La Identidad de Euler
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Describe la relación entre la fórmula y la identidad de Leonhard Euler....
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Byron David Narváez Quezada Blog Ciencia por Barcedavid X edición carnaval de matemáticas.
1) LA IDENTIDAD DE LEONHARD EULER 1.1) En matemáticas una de las más famosas identidades se llama identidad de Euler a una identidad que es un caso especial de la fórmula desarrollada por el matemático Leonhard Euler que por si misma presenta una rara curiosidad de entre todas las demás, y es que ella relaciona los 5 números más importantes en matemáticas como son e, , i , 0, 1 luego veremos porque.
un
poco de historia
Leonhard Paul Euler fue un importante importante matemático nacido en Basilea - Suiza el 15 de abril del año 1707. Es considerado uno de los matemáticos más influyentes y prestigiosos del siglo XVIII. Se puede observar en ella como va evolucionando el concepto numérico a través de los años. Desde la concepción más instintiva, como la de los naturales (que ya se conocen desde la época prehistórica) hasta los números negativos (representados por -1) obteniendo luego los números enteros. Si se agregan las fracciones (no figuran) se obtiene como resultado a los números racionales. Después, añadiendo los irracionales ( e
y )
se
obtienen los reales. Como punto final si se agregan los imaginarios (se representan por la unidad imaginaria i ) obtenemos finalmente a los números complejos. También se puede observar en esta identidad la historia de la evolución matemática, en este caso de las operaciones aritméticas. Podemos ver una suma, un producto y también una potencia. Esta identidad es interesante y sumamente valiosa, ya que relaciona cinco números muy utilizados en matemáticas:
e (número de Euler o constante de Napier) Napier) esencial en análisis. Este es un número
irracional muy popular y también es uno de los números más trascendentes en matemáticas. Sus primeras cifras son las siguientes, 2,71828182845904523536028747135
(pi) pi) es un número esencial en geometría (corresponde a la relación entre la longitud
de una circunferencia y su diámetro, pi = 3,14159265.)
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i (la
unidad
imaginaria) aria) es un número de gran importancia algebraica. Un número
imaginario es un número que tiene como cuadrado a un negativo, i = propiedad fundamental de los números complejos. 0
y 1
Son las bases arit méticas puesto que son los elementos neutrales
correspondientes a la adición y a la multiplicación Estos números no parecían guardar gran relación entre ellos. Pero Euler descubrió su relación, hecho que sorprendió al mundo de las matemáticas. Esta identidad como indique al inicio es un caso especial de la Formula de Euler la cual especifica que:
NOTA:
(los argumentos de las funciones trigonométricas sin y cos se toman en radianes)
Aquí e es la base del logaritmo natural, i es la unidad imaginaria, sin x y cos x son funciones trigonométricas. Esta función tiene simetría par e impar razón por la cual son de gran utilidad en fisica moderna, y su representación grafica es como sigue:
Geométricamente se interpreta como una circunferencia de radio uno en el plano complejo, dibujada por la función
al variar
sobre
. Así es el ángulo de una recta que conecta
el origen del plano y un punto sobre la circunferencia, con el eje positivo real, medido en sentido anti horario y en radianes. La fórmula sólo es válida si las funciones seno y coseno tienen sus argumentos en radianes. La fórmula de Euler fue demostrada por primera vez por Roger Cotes en 1714, y luego redescubierta y popularizada por Euler en 1748. Es interesante saber que ninguno de los
Byron David Narváez Quezada Blog Ciencia por Barcedavid X edición carnaval de matemáticas. descubridores vio la interpretación geométrica señalada anteriormente: la visión de los números complejos como puntos en el plano surgi ó unos 50 años más tarde.
1.2) Pasemos a ver la fórmula y la identidad: En la fórmula de Euler:
Si hacemos
tenemos entonces:
Y como
y
entonces:
De donde se sigue que:
Veamos la
NT ID AD DE EULER. La cual es la IDE NT ID AD
demostración usando series de Taylor:
(Nota: ésta demostración proviene de la Gaussianos Gaussianos)) e en forma de serie vi ene dado por:
Además sabemos que:
;
;
;
;
;
;
Byron David Narváez Quezada Blog Ciencia por Barcedavid X edición carnaval de matemáticas. En Si sustituimos
por donde es una variable real e
es la unidad imaginaria, y
agrupamos las potencias pares de por un lado y las impares por otro entonces obtenemos que:
Y escribiendo las expresiones de
y
en forma de serie:
Obtenemos:
Y ahora sustituyendo
por :
1.3)La 1.3)La fórmula proporciona una potente conexión entre en análisis matemático y la trigonometría. Se utiliza para representar números complejos en coordenadas polares y permite definir el logaritmo para números negativos y números complejos. Para el logaritmo de un número negativo: Basta con evaluar la fórmula de Euler en
obteniendo:
Luego invirtiendo la exponencial se obtiene el logaritmo natural de -1
Para un número negativo cualquiera:
Byron David Narváez Quezada Blog Ciencia por Barcedavid X edición carnaval de matemáticas. Además puede definirse el logaritmo de un número negativo en cualquier base, a partir del logaritmo natural y la formula de cambio de base.
1.4) Una propiedad importante de la fórmula de Euler es que es la única función matemática que permanece con la misma forma (excepto por la unidad imaginaria) con las operaciones de integración y derivación del cálculo integral, lo que permite que se utilice para convertir ecuaciones diferenciales en ecuaciones con forma algebraica simplificando mucho las operaciones.
De las reglas de potenciación tenemos:
Y
válidas para todo par de números complejos
y
, se pueden pueden derivar varias identidades identidades
trigonométricas así como la fórmula de De Moivre.
La fórmula de Euler también permite interpretar las funciones seno y coseno como variaciones de la función exponencial.
Estas fórmulas sirven así mismo para definir las funciones trigonométricas para argumentos complejos x. Las dos ecuaciones anteriores se obtienen simplemente resolviendo las fórmulas:
En ecuaciones diferenciales, la función
se utiliza para simplificar derivadas, incluso si la
respuesta final es una función real en la que aparezcan senos o cosenos, la identidad de Euler es una consecuencia inmediata de la formula de Euler.
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