La Hipérbola

La Hipérbola

Miguel Bustos Oscar Poblete Edgardo Zúñiga

Unidad

Lugares geométricos

Contenido

La hipérbola

Objetivo general

Definir la hipérbola como lugar geométrico, calcular su ecuación y reconocer sus elementos principales

Objetivos específicos

Definir la hipérbola como lugar geométrico e identificar sus elementos Calcular las ecuaciones ordinaria y general de la hipérbola con su eje focal paralelo a los ejes del sistema de referencia Graficar la hipérbola Resolver, problemas que involucren la hipérbola.

ACTIVIDADES -La hipérbola definición y construcción • Construcción a través de plegados con papel -Formas canónicas de la ecuación de una hipérbola. Ecuación general de una hipérbola en posición normal -Propiedades de la hipérbola y asíntotas • Comprobación de propiedades por medio del programa GeoGebra

Construcción de la hipérbola a través de construcciones geométricas doblando papel 1. Coge una hoja (oficio o carta) y, pinchando más o menos en el centro de la hoja, dibuja una circunferencia de unos 5 cm de radio. Separa cortando el círculo, y dejando intacto el resto de la hoja. Marca un punto de la hoja agujereada que esté a unos 2 cm de la circunferencia y a medio camino entre los lados largos de la hoja.

Construcción de la hipérbola a través de construcciones geométricas doblando papel 2. Dobla ahora la circunferencia y hazla pasar por P. 3. Desdobla y marca el doblez con un lápiz. Haz nuevos dobleces de la misma forma, girando el doblez alrededor de la circunferencia.

4. Vemos aparecer una hipérbola (naturalmente los trozos de línea sobre el agujero no los verás)

Definición de Hipérbola Una hipérbola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano , llamados focos, es siempre igual a una cantidad constante, positiva y menor que la distancia entre los focos. Relación matemática entre a, b y c. Es posible comprobar geométricamente que la distancia del centro a cualquiera de los focos es exactamente igual a la distancia de un vértice a cualquiera de los extremos del eje y.

Definición de Hipérbola De la figura anterior se puede ver que:

c2 = a2 + b2

ora bien, tenemos 2 situaciones con la hipérbola centro en el origen:

je real paralelo al eje X. Eje real paralelo al eje Y.

A) Eje real paralelo al eje X. En la gráfica se puede observar que: d1 =

1

y d2 =

De la definición de la hipérbola se tiene que sustituyendo:

2

,

y

A) Eje real paralelo al eje X.

( x + c ) 2 + y 2 − ( x − c ) 2 + y 2 = 2a Elevando al cuadrado, simplificando y ordenando:

cx − a 2 = a

( x − c) 2 + y 2

(c 2 − a 2 ) x 2 − a 2 y 2 = a 2 (c 2 − a 2 )

A) Eje real paralelo al eje X. Pero c2 = a2 + b2, entonces, c2 - a2 = b2 Reemplazando en (1):

b x −a y = a b 2

2

2

2

x2 y2 − 2 =1 2 a b

2

2

;y dividiendo entre a2 b2 :

A) Eje real paralelo al eje Y. De forma similar es posible llegar a la ecuación cuando el eje real es vertical (paralelo al eje Y) y se deja como ejercicio al alumno. En este caso la ecuación resultante deberá ser:

2

2

y x − 2 =1 2 a b

Asíntotas -Construcción con regla y compas -Verificación por medio de GeoGebra

-Propiedades de la hipérbola. 2 2 2 2 2 2 1. La ecuación tangente a la hipérbola b x − a y = a b en cualquier punto P1 ( x1 , y1 ) de la hipérbola es:

b 2 xx1 − a 2 yy1 = a 2b 2 2. La tangente a una hipérbola en cualquier punto de la curva es bisectriz del ángulo formado por los radio vectores de ese punto

Aplicaciones Propiedad óptica

Consideremos un espejo que tenga forma de hipérbola. Si un rayo de luz que parta de uno de los focos choca contra el espejo, se reflejará alejándose directamente del otro foco.

Las propiedades ópticas de la parábola y de la hipérbola se combinan en el diseño del telescopio reflector:

Sistema de navegación LORAN La propiedad de la definición de la hipérbola "la diferencia de las distancias de los puntos de la hipérbola a los focos es constante", se utiliza en la navegación. En el sistema de navegación LORAN, una estación radioemisora maestra y otra estación radioemisora secundaria emiten señales que pueden ser recibidas por un barco en altamar. Puesto que un barco que monitoree las dos señales estará probablemente más cerca de una de las estaciones, habrá una diferencia entre las distancias recorridas por las dos señales, lo cual se registrará como una pequeña diferencia de tiempo entre las señales. En tanto la diferencia de tiempo permanezca constante, la diferencia entre las dos distancias será también constante. Si el barco sigue la trayectoria correspondiente a una diferencia fija de tiempo, esta trayectoria será una hipérbola cuyos focos están localizados en las posiciones de las dos estaciones. Si se usan dos pares de transmisores, el barco deberá quedar en la intersección de las dos hipérbolas correspondientes

Dos estaciones LORAN están separadas 250 millas a lo largo de una costa recta además se sabe que uno de los vértices de la hipérbola que se determina esta en el punto (100,0) Si el barco está a 80 millas de la costa cuando se obtiene la diferencia de tiempo deseada, ¿cuál es su ubicación exacta?