La geometría como ciencia.docbasquetbol

La geometría como ciencia Concepto de geometría Concepto de geometría: La geometría (del geometría (del latín geometrĭa, que proviene del idioma griego γεωμετρία, geo tierra y metria medida), es una rama de la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras en el plano o el espacio espacio,, incluyendo: puntos puntos,, rectas rectas,, planos planos,, politopos (que incluyen paralelas paralelas,, perpendiculares perpendiculares,, curvas curvas,, superficies superficies,, polígonos polígonos,, poliedros poliedros,, etc.). Es la base teórica de la geometría descriptiva o del dibujo técnico. técnico. También da fundamento a instrumentos como el compás compás,, el teodolito teodolito,, el pantógrafo o el sistema de posicionamiento global( global(en especial cuando se la considera en combinación con el análisis matemático y sobre todo con las ecuaciones diferenciales) diferenciales). Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos relativos a medidas. Tiene su aplicación práctica en física aplicada,, mecánica aplicada mecánica,, arquitectura arquitectura,, cartografía cartografía,, astronomía astronomía,, náutica náutica,,topografía topografía,, balística balística,, etc. Y es útil en la preparación de diseños e incluso en la elaboración de artesanía artesanía..

Historia La geometría es una de las ciencias más antiguas. Inicialmente constituida en un cuerpo de conocimientos prácticos en relación con las longitudes, áreas y volúmenes. En el Antiguo el  Antiguo Egipto estaba muy desarrollada, según los textos de Heródoto Heródoto,, Estrabón y Diodoro Sículo.. Euclides Sículo Euclides,, en el siglo III a. C. configuró la geometría geometrí a1 en forma axiomática y constructiva constructiva,, tratamiento que estableció una norma a seguir durante m uchos siglos: la geometría euclidiana descrita en «Los Elementos». Elementos». El estudio de la astronomía y la cartografía cartografía,, tratando de determinar las posiciones de estrellas y planetas en la esfera celeste, sirvió como importante fuente de resolución de problemas geométricos durante más de un milenio. René Descartes desarrolló simultáneamente el álgebra de ecuaciones y la geometría analítica, analítica, marcando una nueva etapa, donde las figuras geométricas, tales como las curvas planas, podrían ser representadas analíticamente, es decir, con funciones y ecuaciones. La geometría se enriquece con el estudio de la estructura intrínseca de los entes geométricos que analizan Euler  Euler yy Gauss Gauss,, que condujo a la creación de la topología y la geometría diferencial.. diferencial

 Axiomas, definiciones definiciones y teoremas . La geometría se propone ir más allá de lo alcanzado por la intuición. Por ello, es necesario un método riguroso, sin errores; para conseguirlo se han utili zado históricamente los sistemas axiomáticos.. El primer sistema axiomático lo establece Euclides axiomáticos Euclides,, aunque era incompleto. David Hilbert propuso a principios del siglo XX otro sistema axiomático, axiomático, éste ya completo. Como en todo sistema formal, las definiciones, no sólo pretenden describir las pr opiedades de los objetos, o sus relaciones. Cuando se axiomatiza algo, los objetos se convierten en entes abstractos ideales y sus relaciones se denominan modelos. Esto significa que las palabras "punto", "recta" y "plano" deben perder todo significado material. Cualquier conjunto de objetos que verifique las definiciones y los

axiomas cumplirá también todos los teoremas de la g eometría en cuestión, y sus relaciones serán virtualmente idénticas al del modelo tradicional .

Axiomas En geometría euclidiana, los axiomas y postulados son proposiciones que relacionan conceptos, definidos en función del punto, la recta y el plano. Euclides planteó cinco postulados y fue el quinto (el postulado de paralelismo) el que siglos después –cuando muchos geómetras lo cuestionaron al analizarlo – originará nuevas geometrías: la elíptica (geometría de Riemann) o la hiperbólica de Nikolái Lobachevski. En geometría analítica, los axiomas se definen en función de ecuaciones de puntos, basándose en el análisis matemático y el álgebra. Adquiere otro nuevo sentido hablar de puntos, rectas o planos. circunferencia, plano, etc.

puede definir cualquier función, llámese recta,

LA GEOMETRÍA EN LA VIDA DIARIA DEL SER HUMANO La percepción mas profunda de las formas de la naturaleza, la cantidad de líquido que puede contener una vasijas, la necesidad de restablecer l os limites entre propiedades colindantes tras las inundaciones del Nilo y otras experiencias y necesidades llevaron a nuestros antepasados a reunir una cantidad considerable de conocimientos geométricos. Intuición espacial: El mundo en el que vivimos y nos movemos es un mundo de tres dimensiones representado a veces bidimensionalmente por medio de pinturas, dibujos y fotografías. Los libros de texto representan los objetos tridimensionales en un plano y esto, a lo que ya nos hemos acostumbrado, no resulta nada fácil de captar en un primer momento. Una experiencia realizada por G. Ricco 1980 con alumnos de 11 a 15 años constato que las dos dificultades que encuentra el alumno en la representación del volumen son: la ocupación d el espacio y la coordinación multiplicativa de las tres dimensiones. Dificultad esta última que surge al pasar medidas de longitud a medidas de volumen, esto es, de una a tres dimensiones y de no haber trabajado con los cuerpos sino con dibujos de los mismos. Otra dificultad que aparece en la representación bidim ensional de objetos de tres dimensiones es las distintas interpretaciones que se pueden hacer de un dibujo. El objetivo de dicha experiencia era el de favorecer el desarrollo de la intuición espacial mediante la realización de actividades que implican el paso de la representación plana a la construcción espacial y de la construcción espacial a la representación plana. La geometría es la exploración del espacio. Un niño, desde su nacimiento explora el espacio. Al principio lo mira, después extiende sus m iembros en él, y luego se desplaza. Le hace falta un tiempo bastante largo para desarrollar las ideas de perspectiva, de distancia, de profundidad; para adquirir nociones tales como “dentro”, y “fuera”,…Cuando el niño llega a la escuela, algunos de

estos procesos de desarrollo ya están iniciados: sólo falta animarlos y ampliarlos, multiplicando las experiencias ofrecidas a los niños. Pero, previamente el m aestro tendrá que esforzarse en descubrir a qué nivel ha llegado cada niño, tomando individualmente, y qué conceptos ha adquirido ya. En las primeras nociones al niño le interesa preocuparse en cosas como desplazarse en el espacio para hacer lo que desea. La topología es el estudio de las propiedades del espacio que no están afectadas por una deformación continua. En la vida diaria los niños deben saber qué camino deben coger para regresar por ejemplo antes a su casa o al colegio. Pues bien, se les puede hacer un juego de rotación, basado en un trébol de 4 hojas, y se les dice qué clase de rotación hay que hacer para regresar a unos campos respectivos en un solo movimiento. Los hechos, los sucesos que se observan en la naturaleza pueden, desde un cierto punto de vista ser clasificados en dos categorías: continuos y discontinuos. Por ejem plo cuando se cuentan las manzanas de un cesto, entre una manzana y la siguiente no hay una cantidad continua. Lo mismo sucede entre los pasos que se andan por el camino, puesto que no hay ningún paso intermedio entre el primero y el segundo…

Por el contrario muchos fenómenos de la naturaleza aparecen como continuos: el transcurso del tiempo, el crecimiento de una planta, etc. P ero, ¿cómo se puede medir el crecimiento? Por

ejemplo. Naturalmente el niño suele resolver estas cuestiones con un simple golpe de vista. Ve que la maestra es mayor que él y esto no le presenta ninguna dificultad. Cuando se es muy pequeño resuelven esas dudas gracias a los sentidos. Pero llega un momento en que se siente la necesidad de medir... Para ello se elige una cantidad unitaria arbitraria, y se mide el crecimiento o la valoración e función de esta unidad elegida. Para entender mejor la medida, se les hace una serie de juegos como juegos conceptúales (más largo que, más corto que…); ordenación por tamaños; evaluación de distancias (si dejamos el

armario grande en el rincón, ¿creéis que podría colocar mi mesa y el armario pequeño a lo largo de esta pared? ¿o no habría bastante espacio?);juegos de cambio( por ejemplo 9 barras de un metro, 14 reglas de un decímetro, y 46 reglitas de un centímetro. Se les dice que cambien con otras medidas, si es necesario, de manera que tengan la misma longitud de madera y puedan medir la misma distancia total, peor con el menor número de piezas posibles.)  Además la Geometría la podemos encontrarla en el arte como el artista Leonardo da Vinci y Durero, a quienes la fascinación de la Geometría les consistió en su potencial para resolver problemas respecto a orden, proporción y perspectiva. También la observamos en edificios, esculturas en cualquier parte, todo es Geometría; hasta un folio de papel es geometría, la galaxia, el cuerpo humano, cualquier objeto es geometría. Por ello es un pilar fundamental al cual no se le da toda la importancia que tiene.

La importancia de la geometría en las artes visuales El arte es una expresión de la actividad humana a través de la cual se manifiesta una visión de lo real o imaginario. Se clasifican de las siguientes formas: Pintura, Grabado, Escultura, Fotografía, Orfebrería, Glíptica, entre muchas otras; cada una de estas ramas de de esta parte del arte cuenta con una historia y una importancia determinada. Tradicionalmente se consideró al arte como la habilidad o maestría de una persona para elaborar algo, concepto que si bien no refleja fehacientemente el significado de arte, aun al día de la fecha se considera como un artista a aquella persona que realiza una tarea en forma sobresaliente.

Conceptos en artes plásticas

Figura - fondo Ley de la psicología de la forma, establece la tendencia a subdividir la totalidad de un campo de percepción en zonas más articuladas (figuras) y otras fluidas y d esorganizadas que constituyen el fondo. Según esta ley, toda superficie rodeada tiende a convertirse en figura en tanto que la restante actuará como fondo. Imagen Suele llamarse imagen al conjunto de las representaciones que tenemos de las c osas. En alguna medida imagen y representación son sinónimos y se refieren a los diversos tipos de aprehensión de un objeto presente, la representación de percepciones pasadas, estar ligado a la imaginación en la libre combinación de percepciones pasadas o a la alucinación. Las imágenes o representaciones pueden ser acústicas, ópticas, eidéticas, no eidéticas, afectivas, volitivas, etc. Proporción La proporción o canon es u na relación de medidas armónicas entre las partes componentes de un todo, tanto como la distancia armoniosa entre parte y parte. Estas relaciones de medida s on encontradas en el mundo orgánico e inorgánico pero tales relaciones matemáticas no se expresan de manera mecánica, la relación existe pero las formas exhiben una serie de pequeñas variaciones dentro de la relación general lo que contribuye a la belleza y la vitalidad. Plano Desde el punto de vista geométrico, el [Plano (geometría)|plano]] puede ser representado sobre una superficie pero en el espacio no es posible representarlo sin espesor, tiene que existir como material. En este caso, si el alto y el ancho predominan con respecto al espesor percibimos la forma como un plano. Hay dos tipos d e plano: el plano regular y el plano i rregular; el plano regular se refiere a que tiene una forma definida como, por ejemplo, las figuras geométricas; y el plano irregular es aquella figura que no tiene su forma bien definida, como puede ser una manchas o un garabato. Movimiento Es el foco de atención más fuerte en una comprensión. Sugerencia que logra en un orden plástico debido a la aplicación, en la organización, de determinados fundamentos visuales: destino común, buena dirección, agrupamiento, secuencia lineal, transponibilidad, progresión, alternancia, etcétera. Tensión existente entre varios elementos formales o lineales y el campo que los contiene, a través de la cual las figuras son atraídas, repulsadas o aquietadas provocando la sugerencia del movimiento o desplazamiento. Croquis Diseño rápido y ligero que se hac e de un terreno, de un paisaje, de una posición militar, etc., sin valerse de instrumentos ni aparatos geométricos en forma de dibujo y como tanteo o preliminar de algo que puede completarse.  A pesar de ello un croquis no carece de mérito. Incluso algunos, realizados por grandes artistas, se consideran actualmente como obras de gran valor , debidamente apreciadas y con categoría de producciones artísticas. Son famosos, por ejemplo, algunos croquis de Rafael, Rubens, Leonardo Da Vinci, etc. Boceto En pintura, es la plasmación de la primera idea del artista, realizado en un borrador, es decir, en una superficie apta simplemente para trazar unas líneas y dar unos colores, todo de forma rápida, y con el único objetivo de conocer el objeto que ha de producir la obra definitiva. Tono Color integrado en todas sus dimensiones.

Se denomina también tono a la escala resultante de un color mezclado sea con blanco, negro o gris, es decir, al matiz o bien con su color complementario. Escala de valores Es el orden de los gradientes que s e encuentran entre los extremos máximos. En este caso se refiere sólo a variaciones crecientes o decrecientes de claridad, ubicadas entre polos de claridad u oscuridad. Tonalidad Es la resultante de diversas relaciones del tono, conceptuado en todas sus dimensiones, que por su organización tienden a provocar un tipo tal de orden de color que se manifiesta moviéndose hacia la armonía, el contraste o la relación de temperatura. Frente a un cuadro siempre se hace referencia a la tonalidad dominante, sea armónica, por predominio de un solo color (monocromático), por predominio de un color al cual los otros tienden a asemejarse por mezcla (tonalidad rojiza, azulada, etc.), tanto como por su oposición (contraste), o por s u temperatura (tonalidad cálida o fría). Puede darse también en valores de grises. Valor Grado de claridad u oscuridad de un color (blanco y negro), debido a la presencia de blanco o negro en el mismo. El valor no depende del color en sí, sino de los tonos cercanos: por ejemplo el amarillo, es un color muy claro, tiene un valor inferior a un verde o violeta.

Exp resion es d e las artes p lásticas  La pintura

La pintura es el arte de expresar sentimientos, emociones o ideas, mediante imágenes o representaciones reales o ficticias realizadas por un artista, plasmadas en una superficie bidimensional, utilizando diferentes sustancias o determinadas Técnicas pictóricas. Encontramos que existen datos de la Pintura desde la prehistoria, pero la pintura ha evolucionado desde la prehistoria hasta la actualidad, siendo de esta manera encontramos que existen distintas técnicas para crear una pintura. Existen variadas formas de clasificar las técnicas de pintura: Óleos, Acuarelas y Témperas, Cera o Encáustica, los Acrílicos y las Técnicas mixtas. Óleo

La palabra óleo viene del latín oleum[4], que significa aceite de oliva. En épocas pasadas llamaban al aceite sacado de la oliva " óleo" y al combinarlo con otras sustancias para darles color y hacer las pinturas adoptaron el nombre de "óleos" con el paso del tiempo. El aceite que más empleado era el de linaza que solía mezclarse con los pigmentos de minerales para proporcionarle colorido. El óleo era ya en la edad media muy conocido y empleado en combinación con la pintura al temple y el fresco, se usaba también para hacer retoques en piezas de yeso. El mismo se divide en varias técnicas: Óleo sobre muros, sobre Lienzo y Óleo sobre tabla. Acuarela

La acuarela es una técnica de pintura que se práctica sobre papel, cartulina o cartón; se caracteriza por la transparencia de los colores diluidos en Agua. La técnica de acuarela se aplica diluyendo en agua el pigmento aglutinado con una goma suave, como la arábiga, la transparencia de los colores depende la cantidad de agua que sea incorporada a la g oma y también a la tonalidad que sea requerida por el pintor. Esta técnica no utiliza color blanco, ya que éste s e obtiene por transparencia con el papel blanco del fondo.El objetivo de la acuarela es transparentar los colores con agua y quizá hasta permitir ver el fondo del papel o de la cartulina que actúa como otro tono. Tempera o Temple

Geometría Cotidiana  Nada tan intuitivo como la geometría para los humanos, que tenemos un mundo visual, donde la luz, la sombra y el color son los componenetes principales de nuestro universo sensorial desde que aprendemos a mirar en nuestra cuna. Desde tiempos inmemoriales el humano maneja todos estos conceptos, pero no aparecen escritos, al menos para nuestro mundo occidental, hasta que el genial Euclides hace tal vez la primera conceptualización abstracta de la geometría. Luz, sombra color y movimiento. Este último es por alguna razón de peso, el que nos ayuda a fijar ideas. Es curioso, pero si el objeto se mueve, capturamos mejor su esencia espacial. El movimiento es la mejor vía de entrada para la geometría. En las ciencias se clasifica todo, hasta las maneras de clasificar las cosas. Cuando no tenemos en cuenta propiedades de la materia como la masa y la fuerza, hablamos de Cinemática. Cinemática = Geometría + Movimiento Buscando una ayuda para la geometría clásica o Euclídea, encontré este  programa que se llama Wingeom y es gratis además de ser un buen programa. Es un programa pequeño, hecho por el profesor Richard Parrish, aficionado a la  programación, pero un programa muy útil. Funciona básicamente en windows,  pero hay que darle una oportunidad en Wine bajo Linux ;-)

Las ruedas del ferrocarril.

Un buen profesor que tuve (Ing. Fernando Forteza) nos puso un ejemplo que en su momento capturó mi atención. En un ferrocarril que se desplaza sobre sus vías hacia adelante, ¿Existe alguna parte de él que se mueva visiblemente hacia atrás? Pues al menos los puntos donde la rueda toca al riel, que se van rotando entre los  puntos de la llanta metálica, son puntos donde la velocidad del metal llega a ser la misma que la del riel, o sea cero, ya que las ruedas no deslizan. Pero recueden como está hecha una rueda de ferrocarril. Tiene un reborde para impedir que la rueda descarrile, que es de mayor diámetro que la llanta misma.  No es novedad que la familia de curvas que describen los puntos de una rueda se llaman cicloides, pero en este esquema puede verse claramente como los puntos del reborde se mueven hacia atrás.