La Enseanza de La Matemticas de 11 a 16-Macnah

D. S. Macnah y J. A. Cummine

La enseñanza de las matemáticas de 11 a 16 Un e n f o q u e centrado en la dificultad

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r Introducción

Este libro trata de las rizones por las que el niño falla al aprender matemáticas. Creemos que sóEo entendiendo i as razones de este fallo puede mejorarse sustancialmente la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Sin tal entendimiento, cambios en el programa, en la metodología o en los recursos usados serán de poco valor. El punto de partida para conseguir este entendimiento deben ser los alumnos mismos —sus opiniones y sus actitudes para las matemáticas, y sus temores y ansiedades hacia ellas. El Capitulo 2 se dedica a un examen de estas opiniones de los alumnos y es por ello este capítulo el motivo central de este libro.

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Referencia* Se uliliian IH fliguientes abicvioiurty Beli Cotìrtto y Kuchcmaroi: Bell, A. W, CoNto J V Kwtaoami, D. 1984: R&tarch Uomini and Teachi*g Mathemm* NFER-Ncfeon. Baia»; Butto*, L 1981 Ito Ycu Panie Atout Natia? HròcmaniL Cockcrok Reputi oT te Cockcroft Coabito: Ì982: Mcth^umci lw*u »IMSO [in « d u o : -1» SUtaaiuci* ti cucciai Mrciflcno df Educ**» y CÌCOCUL. Midrid, 19S5-1 Fnode&thil: Fraitanl» H 1981: MIJOT probfcim ir matteuiiiic» educatoci. EJtoAtional Swdks in Mathematica 12 (2). 13150 •

El fallo en aprender matemáticas no se reduce, naturalmente, a los menos capacitados. Muchos alumnos competentes, que son capaces de un alto rendimiento en otras áreas del curriculum, muestran pobres resultados en matemáticas. Entre aquellos que muestran una aparente competencia en la asignatura existen algunos cuyo entendimiento es sólo superficial y que son capaces, en ocasiones, de los errores más elementales- Otros son capaces de buenos resultados sólo en situaciones que les son familiares por la práctica repetida. A la Iu2 de las razones por las que algunos niños Casi siempre, y casi todos los niños alguna vez, tienen dificultades en el aprendizaje de las matemáticas, y de las implicaciones de estas razones para la enseñanza de la asignatura, hemos creído conveniente, tanto a efectos expositivos como de referencia interna, disponer nuestro material en capítulos más o menos autónomos. Así, un lector interesado, por ejemplo, en las matemáticas a través deí curriculum o en la construcción de unidades de trabajo puede consultar estos capítulos sin leer primero los capítulos anteriores. Sin embargo, se hace referencia a otros capítulos que amplían los puntos que son discutidos o que tienen una estrecha relación con ellos. El orden de los capítulos sigue un cierto modelo. Los primeros siete capítulos se refieren principalmente a tas razones por las que se dan dificultades de aprendizaje y a materias relacionadas. En los capítulos 1 a 3 se exponen los fundamentos (Capítulo 1 ) ; opiniones de los alumnos sobre las matemáticas (Capítulo 2); algunos temas de investigación

(Capiculo 3). Se incluye el Capítulo 3 para indicar el campo de pensamiento e investigación en el aprendizaje y comprensión de las matemáticas. Este capítulo está colocado tempranamente en el libro como parte del fundamento general para las dificultades de aprendizaje, pero puede ser leído más tarde, cuando se pueda apreciar más claramente su importancia* Los Capítulos 4 y 5 forman el núcleo de la primera parte del libro, ocupándose directamente de las dificultades de aprendizaje que provienen de la organización escolar, metodología, curriculum y, también, de las matemáticas mismas. El capítulo 6 se refiere al papel del lenguaje en el proceso de aprendizaje, y al desarrollo de la numeración. El capítulo final de la primera parte —Matemáticas a través del curriculum— es digno de una mención especial Como una causa de las dificultades inlantiles de aprendizaje en matemáticas podemos mencionar la gran distancia aparente entre la asignatura y el mundo real. Resulta esencial acentuar las aplicaciones de las matemáticas en otras asignaturas y en la vida diaria. Visto a esta luz, el Capítulo 7 adquiere mayor importancia y no está alejado de las discusiones sobre dificultades de aprendizaje. I.a segunda pane del libro trata de las implicaciones de lo dicho en la primera parre sobre la enseñanza y organización del aula, empezando con capítulos sobre evaluación, y sobre prevención y remedio de las dificultades de aprendizaje. £n el Capítulo 10, diseño del curso y construcción del programa, algunas de las ideas de los dos capítulos anteriores se desarrollan en el contesto de la planificación de cursos y programas. Los siguientes dos capítulos tratan de la planificación y u*o de recursos —producidos comercialmtnte en el Capítulo 11 y preparados en el instituto en e! Capítulo 12—. Los capítulos finales tratan de la calculadora y el microordenador. Esras herramientas son tratadas como ayudas en el aprendizaje y comprensión de las matemáticas antes que como temas ce enseñanza en sí mismos. ' El libro está escrito como una contribución a una mejor enseñanza de las matemáticas y puede ser utilizado de varias maneras. Por una parte puede servir como un libro de referencia general para un director de departamento escolan por otra, puede ser usado como un texto en cursos de formación inicial de profesores de matemáticas. Puede también servir como ayuda para los profesores en sus clases individuales y como una fuente de ideas y discusiones para cursos de reciclaje. Los lectores generales —aquellos que sólo tienen un modesto conocimiento de las matemáticas— pueden encontrar

el libro de interés al proporcionarles ideas en tos problemas que implica b enseñanza y aprendí?aje Je las matemáticas. A lo largo del libro hemos utilizado las formas masculinas, él y suyo, mejor que el incómodo él/ella y suyo/suya. No existe más razón que la comodidad para no usar ella/suya, especialmente cuando mudios de los profesores de matemática» mis capacitados son mujeres. Sin pretender que la adopción de las ideas y consejos dados aquí vayan a revolucionar la habilidad matemática de los alumnos de dieciséis años, si este libro ayuda a me jo raí esta habilidad y, lo que es más importante» las actitudes de los alumnos hacia las matemáticas y la imagen que tienen de la asignatura, entonces habrá servido a su propósito. D £ Macnah / A, Cummint

CAPÍTULO 1

Objetivos en la educación de las matemáticas en Secundaria *

Los objetivos en enseñanza de las matemáticas aparecen divididos a menudo en dos categorías: 1. los específicamente matemáticos; 2. los que implican aspectos más generales del desarrollo personal, educativo y social de los alumnos. Respecto de 1, un objetivo apropiado para muchos alumnos capacitados puede ser el desarrollo de la habilidad de usar ideas algebraicas en contextos geométricos, mientras que respecto de 2, se puede mencionar ei desarrollo de fa habilidad para trabajar cooperativamente en un grupo para un propósito común. Tradicionalmente, los profesores de matemáticas se han referido a objetivos específicamente matemáticos, pero han de considerarse separadamente objetivos más generales que lleven a englobar tales objetivos en metas más amplias de la educación matemática. Tampoco es satisfactorio para alumnos y asignatura el que las matemáticas se consideren un área de estudio técnico y personal en general. Sin embargo, algunos profesores de matemáticas ven con suspicacia los objetivos educativos generales, sobre todo si se expresan de una forma difícil de poner en práctica y su consecución no es fácil de valorar. La completa separación de los objetivos matemáticos de aquellos de naturaleza más general puede tener como resultado que se de a los últimos un papel insignificante o menor o sean ignorados por completo y a que no puedan relacionarse directamente con la enseñanza matemática. £s, por tanto, preferible tener una lista única de objetivos que incorpore todas las metas deseables de la enseñanza de las matemáticas y el programa de aprendizaje. De esta forma» los objetivos generales se volverán una parte integral del programa de aprendizaje antes que quedar en la periferia. Dentro de una lista unificada, se pueden elaborar unos objetivos más detallados matemáticamente.

Ai considerar objetivos, es importante no enfati?ar demasía- U INSESANZAUE do !a necesidad de tests objetivos de evaluación. Las mate- LAS MATEMÁTICAS maricas se transforman así en una valoración formal donde el criterio de los tests puede establecerse precisa y objetivamente y> en consecuencia» se puede llegar a pensar que sólo los objetivos que se refieren directamente a la competencia matemática resultan apropiados para la asignatura. Mientras que los objetivos de competencia son» naturalmente, de un mayor significado, existen otros tres tipos de objetivos que también son importantes: 1. Objetivos de proceso. 2. Objetivos actitudinales. 3. Objetivos de experiencia.

O&jJTOVÚSENIA J. Objetivos lie experiencia EDUCACIÓN DF I AS MATEMÁTICAS EN Tales objetivos se encuentran a menudo asociados con SECUNDARÍA actividades prácticas en las que el propósito esencial de la actividad es, simplemente, la experiencia a llevar a cabo. La construcción y coloreado de teselaciones interesantes o el trazado exacto de líneas envueltas por epicicloides tienen un fuerte contenido experiencia! —la producción de un dibujo exactamente, estéticamente agradable resulta ser un fin en sí mismo—. La inclusión de objetivos de experiencia puede conseguir incrementar el interés y hacer placenteras las matemáticas, contribuyendo así a crear unas actitudes positivas del alumno hacia la asignatura. Los profesores en el aula tienen una escasa libertad para escoger objetivos amplios u otros mis detallados. Las restricciones surgen de varias maneras:

¡. Objetivos de proceso Mientras que los objetivos de competencia se relacionan con metas-finales del aprendizaje matemático —con el conocimiento y la técnica—, los objetivos de proceso se refieren a los medios por los que se liega a tales metas-finales. Un objetivo general de proceso podría ser el desarrollo de la comprensión matemática a través de un programa de actividades prácticas. Dentro de este objetivo, un objetivo de proceso específico consistiría en el estudio de las simetrías de varios cuadriláteros a través de una serie de actividades sobre plantillas, tarjetas recortadas, plegándolas y moviéndolas. Un segundo ejemplo de un objetivo de proceso es el desarrollo de la iniciativa en la resolución de problemas. Aquí un objetivo específico podría ser el de desarrollar en los alumnos la habilidad para formar hipótesis sobre las posibles soluciones del problema» basadas en la observación del modelo.

2. Objetivos actittuíinales Como su nombre indica* tales objetivos se refieren a las actitudes del alumno, Unto hacia las matemáticas como de forma más general. Un objetivo actitudinal de enorme importancia es el de animar a los alumnos a desarrollar un interés en, y una simpatía hacia, las matemáticas. (¡Suele resultar obvio si se ha conseguido tal objetivo!) Otro objetivo actitudinal sería el de alentar a los alumnos a responsabilizarse de su propio trabajo matemático, valorando su corrección, por ejemplo.

a) Un curso dirigido a una calificación externa tendrá unos objetivos matemáticos parcialmente especificados, al menos, por ia corporación que examine, b) Los institutos de un área de autoridad educativa particular, o subgrupos de tales instituciones, pueden llevar i cabo un programa de matemáticas común con ciertos objetivos acordados, donde el consejero de matemáticas juegue un papel de coordinación. c) El departamento de matemáticas de un instituto puede construir sus propios objetivos, tomando en cuenta, para los cursos de certificación, aquellos prescritos antes en a). Algunos cursos, especialmente para los menos capacitados, aun respondiendo a una calificación externa, contienen importantes elementos que se evalúan internamente y cuya naturaleza queda a discrección del instituto concreto. Sin embargo, es importante que cada profesor de matemáticas tenga alguna libertad respecto de los objetivos, y alguna flexibilidad en su elección e interpretación. Esta es una razón para confeccionar una lista de los objetivos deseables para un curso y para construir, ensenar y evaluar un curso satisfactorio de acuerdo con estos objetivos. Los siguientes puntos pueden ayudar a conseguirlo. a) Los objetivos de un curso deben manifestarse claramente y listarse por separado. Esto es normalmente preferible a párrafos de prosa que se ocupan de una variedad de aspectos generales del curso.

b) La coincidencia enrre objetivos, hasta cierto punto 1.A ENSEÑA-NÍA OÍ. inevitable, debe redúcese al mínimo. Cada objetivo LAS MATEMÁTICAS debe identificar una meta separada, central del curso. c) Al detallar los objetivos, debe pensarse en proporcionar el método para evaluarlos. Esto puede ser por una evaluación formal, por la producción de un trabajo práctico (por ejemplo, la construcción de un sólido geométrico), por la opinión subjetiva del profesor, o por otros medios (por ejemplo, un test de actitudes). d) Los objetivos deben estar relacionados con la edad y habilidad de los grupos de alumnos. Algunos objetivos tienen una amplia aplicabilidad; por ejemplo, desarrollar el interés por la faceta estética de las matemáticas. Otros son más específicos para una edad y habilidad. Un objetivo referente a las destrezas vitales básicas es de mayor importancia para el menos capacitado, pero tendrá menos significado para muchos alumnos capaces. Los objetivos referentes a la aritmética social tienen más relevancia para los de dieciséis que para los de doce años. Considerando los objetivos en educación matemática, es necesario conocer el lugar de las matemáticas en el curriculum escolar y la imagen que la asignatura tiene en las mentes de muchos alumnos y adultos. Para la mayoría de la gente la importancia de las matemáticas surge de su utilidad práctica y esto puede algunas veces estimular un interés general hacia !a asiguatura. Así, un objetivo en toda la enseñanza de las matemáticas debe ser el de ilustrar aplicaciones de matemáticas de tantas formas como sea posible. Además» como discutimos en detalle en el Capítulo 2, muchos alumnos y adultos tienen sentimientos de tensión y miedo hacia las matemáticas —Ver, por ejemplo* el libro Do Yon Panic Abont MathtfK La naturaleza jerárquica y cargada de conceptos de las matemáticas contribuye a esta tensión. Una gran minoría de alumnos cometen fallos desmoralizadores con demasiada facilidad rcsukándoles difícil alcanzar el éxito. Una lista insatisfactoria de objetivos para la educación matemática puede tomar en cuenta, explícitamente, esta tensión y este miedo al fallo. Ahora consideraremos nueve objetivos generales para las matemáticas de la enseñanza secundaria. Estos objetivos responden a los principales argumentos de la primera parte de este capítulo y también adelantan algunos de los temas de los capítulos que siguen. Alrededor de todos ellos se encuentra 1

tWixcoo.

OsjmvostNLA el objetivo fundamental de la enseñanza de las matemáticas t.0UCACtóN DE LAS —interesar a los alumnos en la asignatura, capacitarles para MATEMÁTICAS w desarrollar un gusto por ella y un sentido de su consecución, SECUNDARIA a través del logro de todas sus capacidades para las matemáticas.

1. Mantenimiento de la continuidad Cada etapa en el desarrollo matemático de los alumnos debe ser vista por el profesor y el alumno como un desarrollo coherente respecto a un trabajo previo. Durante mucho tiempo, este objetivo puede que no precise una atención específica. Un profesor que siga un esquema de trabajo bien construido según los niveles apropiados de dificultad de sus alumnos debe encontrar pocos problemas de continuidad sobre una base de trabajo semanal. Sin embargo, en ciertos puntos se presentan peligros evidentes. Esto ocurre, por ejemplo, en un cambio de curso y, en particular, con la transición desde la educación primaria a la secundaria. Para el alumno, este último cambio significa normalmente un cambio de centro y la aparición de profesores especialistas de matemáticas que pueden tener un conocimiento inadecuado dei curriculum de matemáticas en la escuela primaria. Mientras que en recientes años los aspectos social y psicológico de la transición primaria/secundaria han recibido una gran atención, y se ha generado una valiosa conexión entre ellas, mucho de lo que se encuentra actualmente en los programas de primer año de la educación secundaria no implica todavía una continuación bien planeada y un desarrollo del trabajo de años previos. Surgen en particular dos problemas. 1. Un nuevo tema introducido significativamente con gran entusiasmo por un profesor de matemáticas de secundaria puede, simplemente, ser una repetición de un trabajo ya realizado en la escuela primaria. 2. La introducción de un nuevo tema puede no haber sido construida sobre un trabajo previo. Los alumnos encontrarían así dificultades innecesarias al empegar su curso de enseñanza secundaria que, implicando una desconfianza en sus realizaciones, pueden tardar en remediarseLa adopcióo de un esquema integrado (por ejemplo el Kent Mathematks Projeet ) que cubra tanto la primaria como 1

- Kent Af ademanes Project 1978. Ward tocK. t

la secundaria puede ayudar considerablemente dentro de este contexto. Alternativamente, debe disponerse en la educación secundaria de registros detallados del trabajo realizado durante la primaria No existe, naturalmente, ningún sustituto a una coordinación a nivel personal: reuniones de profesores de primaria y secundaria en las que se discutan materias de interés mutuo que conciernan a la educación matemática de los alumnos. Sin embargo, esto requiere una organización cuidadosa y paciencia en todos los implicados. Un proyecto reciente (1984-1985) en las escuelas de la Highland Región, Escocia, bajo los auspicios del Curriculum 10-14 Study, patrocinado por el Departamento Educativo de Escocia, señala la necesidad de una buena organización. Las escuelas de este tipo resultan inusuales en Escoda ya que los alumnos de esta escuela primaria comparten los mismos edificios que los de los dos primeros años de secundaria, así que ei posible una comunicación y coordinación excelentes. Se han organizado grupos de trabajo conjuntos de profesores de primaria y secundaria, y es solamente ahora, a pesar de la frecuente comunicación en el pasado entre materias generales de interés mutuo, cuando han comenzado discusiones detalladas sobre el curriculum en matemáticas. También necesita prestarse una atención continua a la etapa posterior a Los dieciséis» particularmente para los alumnos que dejan el instituto para ingresar en la industria, el comercio o en alguna forma de educación superior. Tradictonalmentc, los que se integran en la universidad hap sido bien formados en los cursos académicos que estudiaban en el instituto* pero no puede decirse siempre lo mismo de los que entran en la industria y el comercio y estudian al tiempo que trabajan para la empresa, o para aquellos que directamente se matriculan en un curso libre en una institución de enseñanza superior. La introducción del Plan de Acción 16-18 en Escocia, con su enfoque modular y su* descriptores de módulo asociados, debe reducir la separación en la educación matemática entre los cursos escolares y los de la educación superior. Así como los profesores de primaria de las etapas superiores necesitan mirar hacia la educación secundaria, también los profesores de secundaria deben prestar atención a las demandas y requerimientos matemáticos de la industria, el comercio y la educación continua.

\7A DE ATOS

OBJ&TIVOS № LA

informe del Comité Cockcroft, Mathernatics Counts^t no 1DUC.ACIÓNDE LAS permite dudar de que la ignorancia numérica funcional es un MATEMÁTICAS EN" problema real a todo lo largo de la sociedad; la cantidad de SECUNDARA cursos sobre la numeración para adultos lo confirma. Puede que no sea posible precisar la cantidad mínima de habilidades matemáticas que se requieren en la vida diaria, pero el caso es que, ciertamente, muchos adultos no pueden contar adecuadamente, aunque, como las personas iletradas que siempre dicen haber perdido sus gafas, se recurre a métodos que lo disfrazan —por ejemplo, pagando siempre con una moneda o un billete excesivamente grande. La investigación en esta área no es extensa pero una publicación como Haz¿ Bnk is Basic* deja claro que existe una lista identiíicable de destrezas y conocimientos báúcot que pueden ser denominados de supervivencia matemática, principalmente relacionados con el dinero y e! tiempo. Los profesores deben estar seguros de que los alumnos más flojos encuentren la oportunidad de adquirir estas destrezas y conocimientos. Es también importante que las destrezas sean desarrolladas en un contexto. Mientras que no se puede olvidar la práctica en el cálculo rutinario, resulta esencial que los alumnos sean capaces de aplicar tal cálculo a situaciones prácticas. La habilidad para usar una calculadora o para estimar respuestas es parte de la numeración» Las dificultades en el trabajo numérico y rutinario no se reducen a los menos capacitados. En nuestro propio colegio los estudiantes, para una calificación en educación primaria» deben realizar un corto test aritmético al comienzo del curso* Las cuestiones, referentes las cuatro operaciones sobre números naturales, fracciones y decimales, son presentadas a un nivel de doce anos. Los resultados de tales tests revelan una serie de deficiencias. Las respuestas a un cálculo como 0,3 X 0,2 indican que la estimación del tamaño aproximado de la respuesta toroia sólo una pequeña parte del pensamiento de, a! menos, algunos alumnos. I-a división de fracciones es Nevada a cabo en un mediano número de casos por inversión de la primera fracción o de ambas fracciones, Respuestas correctas para un cálculo como 1/2 + 1/10 son alcanzados ocasión al men te a través de errores obvios. Ya que nuestros estudiantes están dentro del 10% de rango de habilidad total, dificultades como la arriba indicada se reflejan luego en su curso de matemáticas escolares. En el Capítulo 6 estudiamos distintos aspectos de la numeración.

2, Desarrollo de la numeración Mientras que este objetivo es importante para todos los alumnos, es mas significativo para los menos capacitado*. El

' Cockcroft. Scottish Curriculum Development Service ISSO HlATIC¿5

Ya que este objetivo es el tema principal del libro, aquí simplemente mencionaremos que conlleva una consideración detallada de: a) las causas de la dificultad en el aprendizaje (Capítulos 4 , 5 ) , b) el diagnóstico de evaluación (Capitulo 8), c) la prevención y el remedio (Capítulo 9), d) la utilización de recursos (Capítulos I I , 12).

OejíTivostNU aritméticos o manipulaciones algebraicas, y comunicar sus EDUCACIÓN DE LAS resultados con claridad. MATEMÁTICAS EN Existen varias fuentes de ideas en cuanto a la resolución SECUNDARIA de problemas y las investigaciones, como por ejemplo: Make is simpler: Meyer y Saüec*. A new Twist: Pedersen y Armbruster*. The Real World and Mathematics: Burkhardt . Aha! Insight; Gardner *. Investigations in Mathematics Mottershead*. Solving Real Problems with Mathematics: Spodc G r o u p s SMILE Publications". 7

1

4. La ejecución de actividades prácticas 6- La comunicación rigurosa de las matemáticas El trabajo práctico en el nivel de secundaria es un aspecto importante de la enseñanza de las matemáticas que no siempre recibe la importancia que merece. Por el contrario, en las primeras etapas de la escuela primaria es una forma básica de adquisición de las ideas matemáticas. Existen varias razones para su menor importancia en la educación secundaria, como es la opinión de que las matemáticas son esencialmente una actividad descrita, la presión del tiempo sobre el programa» alguna resistencia de los alumnos mayores y un sentimiento de que la organización que se necesita es desproporcionada a los fines a conseguir. Un propósito del trabajo práctico es ayudar al desarrollo de la competencia y comprensión matemáticas. Los objetivos de proceso y experiencia de las actividades prácticas, como discutimos anteriormente en este capítulo, pueden dar a tal trabajo un grado de importancia en sí mismo que también es valorable. Consecuentemente» debe cuidarse la construcción de elementos prácticos en momentos apropiados de estos cursos disponiendo de los recursos necesarios —por ejemplo, instrumentos, aparatos y papel o tarjetas.

Se debe animar siempre a tos alumnos a usar con rigurosidad el vocabulario y la notación matemáticas. Esto puede, naturalmente, ser exagerado; por ejemplo, las llamadas «Nuevas Matemáticas» de los años 1960 y 1970 producían una proliferación de símbolos que confundían a los alumnos. Sin embargo, estos conocen, por ejemplo, la diferencia entre una ecuación, una fórmula y una expresión algebraica; es muy común en los exámenes del certificado, a los dieciséis años de edad, encontrar que un problema de cambio de disposición en una fórmula termina en algunos casos como simplificación de una expresión. De igual forma, en ei nivel más básico, es importante que los aluinos presenten su trabajo correctamente. Han de conocer que 7,60 libras es aceptable mientras que no lo es 7 6 libras. Esto se discute con más detalle en el Capítulo 6. (Ver también el Capítulo 5, Sección 5). El informe del Comité Cockcroft, Mathematics Counts exige que el aspecto comunicativo de las matemáticas sea una contribución clave para la utilidad de la asignatura. Por ejemplo, expone t

:

Creemos que todas bs percepciones de la utilidad de las matemáticas surgen a partir del hecho de que las matemáticas

5, Desarrollo de la habilidad en resolución de problemas c Investigación

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Una simple competencia en destrezas mecánicas es un resultado muy limitado del aprendizaje de las matemáticas, la resolución de problemas y las investigaciones, posiblemente relacionadas con actividades prácticas, ayudan a aplicar esas destrezas- Las posibilidades van desde puzzles simples a -investigaciones a gran escala que requieran de los alumnos la obtención de datos, su organización en una forma ordenada, h consideración de estrategias apropiadas para efectuar cálculos

* Meyer, C. y Salice, T- 1983: Make it Simpler - A Practical GWV to Problem-Solving in Mathematics. Adduoa-Wesley. ^Pedersen, J. J. y Armbruiter, F- O., 1979: A New Twist * Developing Arithmetic Skilh Through Problem-Solving Adoison-Wesley. Burkhardt, H. 1981: The Real l£Vtó and Mathematics. Bbttie. Gardner, M. 1978: Ahal insight. W. H. Freeman. [En castellano: *[№piración jajaJ* Labor, Barcelona, 1985.] Mocrersbead* L. 1985: Investigations in Mathematics. Blackwell. The Spode Group 1981; Solving Real Problemi With Mathematics. Vols 1, 2. Granfwld Press. « Inner London Educational Authority. SMILE Pablicationi* ILEA. ?

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proveen un medio de comunicación poderoso, conciso y no ambiguo. Este valor comunicativo no se reduce al uso de la notación matemática formal de la aritmética y el álgebra. También incluye la comunicación por medio de tablas, mapas, gráficos, diagramas, cuadros y dibujos. Debe ser, por tanto, un objetivo de las matemáticos escolares que capacite a ios alumnos para interpretar y comunicar información en cualquiera de las forma* anteriores.

7. Utilización de (as matemática* en otras asignaturas Otros departamentos escolares necesitan del conocimiento y habilidad matemáticos de los alumnos. Los profesores de matemáticas tienen que tener en cuenta estas demandas en sus programas de enseñanza. Esto se expone en detalle en el Capitulo 7,

8. Mejora de los niños más capaces Las aptitudes de los niños mis capacitados requieren alguna atención especial tanto en contenido como en interés hacia las matemáticas —los ejercicios extra no son la única respuesta. Los profesores deben tener disponible un archivo de investigaciones y proyectos, donde se pueda escoger el nivel de dificultad según lo necesario. El valor de muchas investigaciones es que pueden ser abordadas desde una variedad de niveles. Donde un alumno menos capaz puede simplemente verificar un resultado en un número limitado de casos, un alumno hábil puede facilitar una demostración completa algebraica o geométrica.

9. Desarrollo de aspectos recreativo* y estéticos de las matemáticas Las matemáticas pueden ser consideradas como una ocupación con sus propias razones y no simplemente como una herramienta vital en otras áreas de estudio. Esto debe reflejarse en los programas de trabajo de los alumnos. Los cursos de matemáticas deben incluir, explícitamente, elementos estéticos y recreativos, que no necesitan presentarse de forma - separada sino integrándoles en las secciones usuales de un programa. En tales actividades, como en el trabajo práctico en general, ios ob|etivos de proceso y experiencia son al

Ow-TivosiNU menos un importantes como los objetivos de competencia. iWa¿X*itxix> Tcselaooncs coloreadas atractivamente puden ser un fin en sí uATFiLíjiCASfN mismas y una forma de discutir y apreciar hechos geométricos. SECUNDARIA Mucho trabajo recreativo puede proporcionar una práctica sustancial en el trabajo numérico —por ejemplo, la conjetura de Goldbach de que cada número excepto el 2 es Ja suma de dos primos, Existen muchos juegos publicados comerciaJmente, los mejores de los cuales combinan el interés, la diversión y el descubrimiento, con la práctica en las matemáticas. Este conjunto de nueve objetivos no constituye una lisia completa y cxhuastiva. Sin embargo, proporciona un esquema básico en el que otros objetivos (alguno de los cuales se han indicado al comienzo del capítulo) pueden ser desarrollados. Los cursos que prestan atención al desarrollo de los objetivos que se han mencionado son probablemente cursos en los que se da un aprendizaje efectivo y que parecen interesantes y agradables para los alumnos.

CAPÍTULO 2

Actitudes del alumno hacia las Matemáticas

Como se mencionó en el Capiculo I, es obvio que a muchos estudiantes, incluyendo algunos de los más capacitados, no les gustan las matemáticas. Esta aversión, tanto en adultos como en estudiantes, esta a menudo relacionada con la ansiedad y eí miedo. Tales actitudes negativas tienen diversos orígenes de los cuales los cinco siguientes son quizá los de mayor importancia: % Percepciones generales y actitudes hacia las matemáticas que son transmitidas a los niños. 2* La presentación de las matemáticas en el aula. 3. Las actitudes de los profesores de matemáticas hacia sus alumnos. 4. La naturaleza del pensamiento matemático. 5. La forma escrita de las matemáticas. A las últimas dos se les prestará atención en los Capítulos 5 y 6- Nosotros empezaremos considerando la primera, es decir, las Opiniones acerca de las matemáticas arraigadas en el público en general. Laurie Buxton, en su libro Do You Panic About Mathsf** p. 115, cita las siguientes creencias acerca de h naturaleza de las matemáticas como típicas de la perspectiva general de la asignatura Ы como es transmitida de padres a hijos-

«Las matemáticas son: L 2. 3. 4.

fijas, inmutables, externas, intratables, irreales; abstractas y no relacionadas con la realidad; un misterio accesible a pocos; una colección de reglas y hechos que deben ser recordados; 5. una ofensa al sentido común en algunas de bs cosas que asegura; Bu x con.

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6. un área en la que se harán juicios, no sólo sobre el intelecto, sino sobre la valía personal; 7. se refiere sobre todo al cálculo*. Uno puede añadir a éstas que las matemáticas: 8. son una asignatura en la que las opiniones y puntos de vista personales no tienen importancia; 9. están llenas de xs e ys y fórmulas incomprensibles. Esta es una perspectiva externa a las matemáticas- Trata la asignatura como si fuera un territorio desconocido en el que uno se aventura sin un mapa y sólo con unas pocas herramientas rudimentarias. En tales circunstancias» no es sorprendente que surgan la ansiedad y el miedo. (El informe en 1982 de Hoyles, *Thc pupil's view of learning mathemalics**, contiene evidencia adicional sobre tales actitudes). Otra opinión o punto de vista generalizados a nivel nacional es que los profesores de matemáticas son «áridos como el polvo*, sarcásticos e impacientes. La televisión y las películas (particularmente las comedias) perpetúan tales estereotipos: las pizarras están llenas de complicadas expresiones y fórmulas algebraicas, cálculos aritméticos o el teorema de Picágoras: el profesor es estirado, didáctico y desdeña a aquellos incapaces de hacer el trabajo. La imagen está lejos de ser halagüeña. Naturalmente, existe una presentación alternativa, normalmente en la televisión educativa: el niño trabaja en grupos felizmente; existen lotes de materiales brillantemente coloreados; las paredes están cubiertas con matemáticas visuales interesantes; tan joven vestido casualmente como un profesor se mueve entre los grupos hablando tranquila e interesadamente con los alumnos; todos trabajan resueltamente. Es una de las imágenes preferidas, aunque en h práctica no es tan fácil de obtener. Sin embargo, en los institutos de secundaria a menudo predomina el punto de vista nacional- Este no surge de cualquier manera; representa alguna realidad común percibida por una gran parte de la población. Es más, esta perspectiva tiende a confirmarse a si misma; aquellos elementos que lo conforman reciben un énfasis y una importancia excesivas mientras que otros elementos son suprimidos o ignorados. La gente tiende a recordar todas las xs e ys, los cálculos aritméticos, el teorema de Pitágoras y cualquier detecto temperamental de sus profesores y olvida otros aspectos de su experiencia matemática.

UFNSESANZADL LAS MATEMÁTICAS

AcmuDPSDEL ALUMNO HACIA LAS МАТШ/TICAS

La presentación de las matemáticas en el aula tiene, obviamente, una gran importancia en las actitudes del alumno. Los alumnos que esperan recordar y aplicar reglas separadas

de su significado o experiencia olvidarán rápidamente las justificaciones de dichas reglas (o las regias mismas) y verán las matemáticas como si estuvieran dominadas por reglas. Tratarán a las matemáticas como incomprensibles estable* ciéndose un bloqueo psicológico. Un alumno puede no intentar entender o llevar a cabo actividades que le conduzcan д Ja comprensión porque esté convencido de que, sea cualquiera la tarea que se le de, él no la entenderá. Cree entonces que está haciendo un esfuerzo vano y se detiene. Una vez que ha sucedido esto, en algunos casos en la escuela primaria, el material mas cuidadoso puede inicialmente ponerse a prueba sin éxito, y será necesaria una considerable atención por parte del profesor antes de hacer cualquier progreso. El dominio de las reglas es e! principal ingrediente en el sentimiento de pánico que pueden provocar las matemáticas; si la regla apropiada no es conocida, entonces no se puede hacer nada- Las reglas mismas pueden ser vistas como una emanación de una autoridad remota más allá de su alcance. Además, las reglas pueden cambiar sin razón aparente creciendo asi la incertidumbre. El estado mental de Joseph К en la novela de Kafka The Triol* es el mejor reflejo de las emociones que experimenta mucha gente hacia las matemáti-

cas. Tomemos un ejemplo específico. En una suma Ы como 3 1/2 + 2 1/4, un niño puede aceptar la regla «Sumar los números enteros y sumar las fracciones». El profesor desaprueba la conversión a la forma de fracción impropia, 7/2 + 9/4, por las dificultades que surgirían con los cálculos de grandes números tales como 136 1/3 + 247 3/5. Más tarde se llega a ¡a multiplicación y entonces, inexplicablemente, todo cambia. Para multiplicar dos números mixtos se multiplican separadamente los números enteros y las fracciones, por ejemplo 3 1 / 2 X 2 1/4 == 6 1/8, lo que es equivocado, insisriéndose en la conversión a la forma de fracción pura, 7/2 X 9/4. Esta es precisamente la clase de situación que encuentra Joseph K. Alguna gente no intenta emplear el sentido común en los problemas numéricos. La aparición de números es suficiente para provocar c! pánico. Para esta gente, una calculadora es de poca ayuda porque sus sentimientos de pánico le impiden usarla de una forma adecuada.

1

Hoyles C 1982: The pupiTs ww of líammg maibtínidcs. Edncational Stuáies m MtdxmtikBt 13 (4), 349-372.

> Kafka, К 1980: ТЬс trU Picador.

Por ejemplo» consideremos el siguiente problema: h- i I X vende en dos tamaños —normal y económico. Fl tamaño normal pesa 630 gramos y cuesta 1,41 libras. El tamaño económico pesa 1650 gramos y cuesta 3,04 libras. ¿Cuánto te ahorras en cada kilo si compras el tamaño económico en vez del normad* ti niño o el adulto que se enfrenta a este problema ve dos sumas de dinero y tres pesos, requiriéndose la suma, resta, multiplicación y división. La persona dominada por las reglas, no conociendo ninguna para enfrentarse a este problema, se siente falto de ayuda. Si intenta una solución no tiene ninguna idea de cuál debe ser una respuesta razonable, y eso que no es ninguna situación abstrusa, sino una situación cotidiana de un supermercado. Otro aspecto del dominio de las reglas es que el simbo lismo, en particular el del álgebra, puede parecer que tiene vida propia. Muchos niños y adultos ven una expresión o ecuación algebraica como un ente misterioso divorciado de cualquier clase de realidad, y su manipulación resulta igualmente incomprensible. Ninguna persona razonable debe escribir 2(x + y) = 2x + y y lin embargo es un error muy común* La amplia confusión entre 2x y x es otro. Parece que los símbolos algebraicos tienen una existencia inaccesible para una mente racional, de forma que su apariencia visual resulta ser el factor dominante en su uso. Por ejemplo, el error no tan común de escribir 3x — x = 3 puede ser el resultado de ver 3x y quitarle físicamente la x. Al final de! capítulo volveremos sobre este punto. Una forma diferente en que niños y adultos, ven las matemática* como amenazantes es que el éxito o el fallo aparecen claramente separados. En particular, el fallo es manifiestamente obvio. Los exámenes de matemáticas son únicos quizá para exámenes, los candidatos encuentran algo que escribir para obtener un 0% o un 100%. En muchos otros una- cierta nota. La naturaleza de blanco*o-negro de las matemáticas puede causar mucha ansiedad. Por añadidura, hay poco lugar para las expresiones personales en matemáticas. Esta supresión del aspecto humano puede también provocar la sensación de esas tuerzas impersonales a las que nos referimos antes, sobre las cuales no se tiene control y que ignoran la creatividad y la individualidad de cada uno. Este último puoto es convenientemente enfatizado porque está detrás de mucho de lo que ya ha sido discutido. Las matemáticas se ven ausentes de cualquier clase de creatividad 2

LA ENSEÑANZA t* Í-ASuArauTXA*

ACTITUDES DCI o de iniciativa personal. Es simplemente así —fría, reservada, ALUUVÚ HACIA LAS independiente de lo humano. Los profesores de matemáticas iMTiwaicis contribuyen a esta perspectiva de tas matemáticas, que resalta su independencia emocional, su impersonalidad y su permanencia. En un intento de hacer las matemáticas más aceptables» mucha gente bien intencionada trata de simplificar la asignatura, sugiriendo que es realmente fácil si sólo se pone menos énfasis en las nociones de acierto y error, tanto en el uso riguroso de la notación simbólica como trabajando cu términos abstractos. Su consejo es el de dejar al niño trabajar sobre problemas que no tengan una única respuesta acertada, olvidar la notación matemática habitual y trabajar principalmente con materiales concretos. El niño, sin embargo, ve esto fácilmente desde el principio. Pronto se siente lejos de ello. Es el equivalente de -Si estás inquieto porque no puedes m o n t a r en bicicleta, los triciclos son más fáciles y tú no puedes caerte», cuando lo que el niño realmente necesita es aprender a montar en bicicleta. Las dificultades están hechas para desaparecer aunque pretendamos que no existen. Es la salida más fácil. Las matemáticas son abstractas, lo que requiere un pensamiento claro y una notación formal; los problemas expuestos con precisión tienen respuestas precisas. En cualquier intento de negociar con las opiniones de los alumnos sobre sus actitudes hacia la asignatura, y con sus dificultades de aprendizaje, estas molestias deben ser abordadas con firmeza. Una forma de mejorar bs opiniones sobre las matemática* en las mentes del alumnado es la de poner una atención positiva sobre (a) el aspecto creativo de la asignatura y (b) su desarrollo a través del esfuerzo humano. El esfuerzo humano está conectado con la creatividad. Es un aspecto de discusión filosófica si las matemáticas son creadas o descubiertas, pero en cualquier caso el esfuerzo hu mano es necesario. Sin embargo, la relación entre el descubrimiento y la creación es digna de ser examinada con más de> talle. Para tomar un ejemplo no matemático, se puede decir que la catedral de San Pablo fué creada por Sir Christopher Wren mientras que Colón descubrió las Indias del Oeste. Asimismo, se puede afirmar que Constable creó sus pinturas de East Anglia, pero que Herschel descubrió el planeta Urano. La diferencia en estos casos entre creación y descubrimiento es que el explorador o astrónomo no toman parte en la existencia de lo que han descubierto, mientras que el arquitecto o el pintor están directamente implicados en la existencia del edificio o la obra de arxe. Ambas empresas —descubrimiento y creación— envuelven deseos y propósitos

humanos; son activos, no pasivos. Si nos fijamos en las UFSSFSANTAM matemáticas para colocarlas en una u otra categoría, su IAS MATEMÁTICAS característica esencial debe ser la actividad. En matemáticas, de todas formas, la distinción entre descubrimiento y creación es imprecisa. Ya que los entes matemáticos y los teoremas son abstractos y no tienen existencia física, ¿en que sentido puede decirse que exista anees de que alguien lo invente, describa, desarrolle o lo pruebe? Una pintura tiene una existencia potencial; cada disposición del color es teóricamente posible pero se ha de ser un maestro para producir una pintura sobre el lienzo. De igual modo, se ha de ser un buen matemático para afirmar y probar un teorema importante. La creación implica el descubrimiento; el descubrimiento requiere de una iniciativa creativa. Si se tiene una firme creencia en que las matemáticas tienen una existencia independiente dei pensamiento humano, se ha de reconocer aún más que la conciencia de esta existencia requiere un impulso creativo. Así, la introducción y la importancia dada a la noción de creatividad en matemáticas pone su atención en un componente esencial de todo desarrollo matemático. El libro Tbe Matematical Experience* de Davis y Hersch, se extiende sobre el tema y debe interesar a todos los profesores de matemáticasA menudo se defiende que para los escolares, y en particular para los que aprenden lentamente, esta tarea de la creatividad es irrelevante; no todos los alumnos son capaces de actuar de esta forma, o si es así, ninguno ha sido descubierto desde hace mucho tiempo. Sin embargo, esto confunde el proceso o actividad con el resultado. Un resultado descubierto/creado, o un problema resuelto, para uno que no lo conoce es como si lo hubiera descubierto/creado o resuelto él mismo aunque haya alguien que haya recorrido anees este camino. Es el sentimiento de haber realizado esta tarea, de haber conseguido algo por sí mismo, y es este sentido del logro lo que le aparta de una cadena que va desde el miedo y el pánico hasta el distanc i amiento. Es por ello algo que debe favorecerse y alentarse. Ün uso eficiente, exacto de las regias y algoritmos puede también ayudar a desarrollar un sentido de logro y proporcionar confianza. Muchos niños se satisfacen a partir de la repetición de ejercicios correctamente realizados al usar la misma regla o reglas. Esta, sin embargo, puede ser una confianza superficial y de corta duración, fácilmente destruida al encontrar problemas en fos que ta regla no sea inmediata2

Davis, R. y Hersch. R. 1981: The Mathemaúeal Exptncnce. Pcaguiíi.

AcimüFSOiL mente aplicable. De donde se puede deducir que algunos AI i/HtJO HACIA LAS puntos de vista de las matemáticas causan inseguridad. ALtrtjiATrcfts La práctica de reglas, como dijimos en el Capítulo I, debe tener propósitos más allá de la simple eficacia en la realización. El entrenamiento en cricket o el ejercicio musical con los dedos nunca son un fin en sí mismos. Existen unos prerrequisitos para tomar parte en un partido de cricket o para tocar piezas de música. Los profesores de música que enseñan sólo ejercicios mecánicos probablemente no tengan muchos alumnos. Así, las aplicaciones de las matemáticas deben tener su importancia en el aula. Ha de ser un objetivo general de cada profesor de matemáticas establecer en el pensamiento de sus alumnos una relación entre los aspectos creativo, algorítmico y aplicado de las matemáticas de forma que cada uno soporte y complemente a los otros. Esta relación puede ser ilustrada considerando el segundo aspecto del camino mencionado antes con el que mejorar las opiniones del alumno hacia las matemáticas —su desarrollo a través del esfuerzo humano. En esta conexión el trabajo del filósofo Lakatos es digno de estudio. En Proofs and Refutatiom* defiende que ias matemáticas se desarrollan a través de intentos de generalización a partir de un análisis lógico. Uno de los problemas usados por Lakatos para desarrollar su tesis trata de la fórmula de Euler para cierto poliedro, V — E + P 2 (donde V es el número de vértices, E el numero de ejes y F el número de caras). El problema consiste en explicar la distinción entre los poliedros para los que la fórmula se cumple y para los que no se cumple. Un segundo ejemplo de la tesis de Lakatos es el desarrollo de geometrías no euclídeas. Esto surge como una consecuencia directa de los intentos de explicar el axioma de las paralelas de la geometría euclidiana sobre la base de los hechos más simples. Un interesante desarrollo de esto en el aula a un nivel elemental se encuentra en el folleto Alternatk>e Geome* trie&~ En un nivel más avanzado, muchos conceptos habituales del álgebra moderna tienen su origen en los intentos de explicar por qué la ecuación x + y* = & {donde x, y, z son enteros y n es un número natural), tiene únicamente soluciones triviales cuando ni 3. (Una relación de este problema aún irresuelto ptiedc encontrarse en el libro Fermat*s Lase Theorem^ H. Edwards', en particular el Capítulo 4). =

n

5 UkatO), I. 1976: Proofs and Refutations. CUP[En castelbno: *Prutbat y refutaciooes*. Alunfca, Madrid, 1978]. * Leapfrog Mathematics 1981: Alternative Geomttrtt** Tarquin. Edwards, H. 1977: Ferrnax's Last Theorem Springer. 7

A través de este proceso de intentos sucesivos de explica- Ü ENSEÑANZA DE ción, surgen las definiciones significativas y quedan claros los LASIUIIUAÍK» conceptos estructurales importantes. Paralela mente se desarrollan las notaciones apropiadas, los algoritmos y los métodos técnicos. Las matemática*, sin embargo, son normalmente presentadas para que se aprendan en una forma final, pulida, sin referencia a su desarrollo histórico» y consecuentemente pueden parecer sin motivos y arbitrarias. Decir esto no significa ser partidario de li enseñanza de las matemáticas escolares a través de sus orígenes históricos, sino que los profesores han de tomar conciencia de que tales orígenes dan la oportunidad de introducir aspectos históricos en puntos apropiados. Libros tales como Aten of Mathcmatia de E. T. Bell* o History of Maíhematks, de C Boyer* contienen muchos detalles inreresantes sobre el tiempo, la vida y el trabajo de los matemáticos mejor conocidos de b historia. El desarrollo de la notación matemática es otro tema digno de que se le preste atención en el nivel escolar. La notación moderna es el producto de muchos años o siglos de refinamiento. Los alumnos deben saber que notaciones como ?* para 2 multiplicado por x, o 3/4 para la fracción tres cuartos, o ^ para la división, no ocurren repentinamente por inspiración divina, sino que son el resultado de una decisión humana. La forma de la notación es dictada por su utilidad y conveniencia, así como por analogta, y no, como muchos alumnos piensan, ¡por alguna prescripción inmutable en el diseño del universo! Nuestro uso aceptado de la base diez en la representación de los números es fortuita y desafortunada —fortuita porque es difícil de creer que un proceso de evolución en humanos que tienen cinco dedos en cada mano hjya terminado con una representación mental de diez, y desafortunada porque diez tiene sólo como factores propios al dos y al cinco, de manera que reproducir uní simple fracción como un tercio no puede representarse de forma finita en el sistema decimal. A este respecto, el sistema en base doce o duodecimal seria preferible* En dicho sistema tendríamos 1/3 - 0,4, 1/4 = 0 3, 1/6 — 0,2. Sin embargo, los hechos básicos de la suma y la multiplicación serían mis numerosos y, por esta y otras razones, la causa duodecimal para la relorma de la representación numérica se ve condenada* t

r

Una simple cuestión como ¡a definición de un número primo puede ser utilizada con alumnos competentes para * Bell, E T my Mtn o/ Afoftautin. Vots. I, II. Pmgwr •Boyer, C 1968: Hiítory of Mxthrmatitu \Fiky [En castellano; «Historia de la Mztctnaika*. Alianza, Madrid, 1986].

ArmUDMou

ilustrar la conveniencia de las definiciones. Se está general mente de acuerdo en que el I no es un número primo. UATTMATICAS aunque cumpla el criterio de que no tenga mis divisores que el mismo y la unidad. ¿Por qué no es considerado el 1 como un númeio primo? Básicamente, porque ello causa inconvenientes o dificultades en la exposición de muchos resultados concernientes a números primos. Por ejemplo, e] resultado «Si p es primo y es un factor del producto a.b de números naturales, entonces p es un factor de a o es un factor de b» queda sin sentido cuando se aplica al L Además el resultado -Cada número natural excepto el 1 puede ser factorizado de manera única (aparte del orden de los factores) como un producto de primos* es falso si se admite que el 1 sea primo. Así que es preferible excluir al 1 de la lisra de primos. A través de ilustraciones como éstas, los alumnos pueden apreciar mejor el elemento humano en las matemáticas, y darse cuenta de la importante parte jugada por b iniciativa y ta decisión humanas. Volvemos a otros aspectos de ta presentación de las matemáticas en el aula que pueden causar ansiedad y disgusto: la necesidad aparente de velocidad. En la práctica, muchos cálculos en la vida adulta pueden ser realizados lentamente o, si la velocidad es esencial, a través del uso de la calculadora. A menudo trabajar en matemáticas lleva su tiempo, evaluar etapas cuidadosamente y hacer lentos progresos. Muchos alumnos lo ignoran. Los matemáticos, se piensa habitualmente. son pensadores rápidos, exactos, que hacen las cosas bien la primera vez. Es solamente un aspecto de su imagen. La historia de las matemáticas nos cuenta una historia diferente, con ejemplos de ideas erróneas, pistas falsas, trticos equivocados, errores de planificación, e incapacidad para ver que» poi otro lado, las cosas se verían con facilidad, Los alumnos deben estar despiertos ante este otro lado y deben ser conducidos a interesarse en problemas y cálculos que puedan trabajar como si fueran pasatiempos* En el aula de matemáticas un argumento favorable a la velocidad es el periodo de recreo. Un transcurso lento del trabajo significará que se repartirán pocos cálculos y problemas. Esto significará menos práctica y, consecuentemente» peores resultados. Sin embargo, los exámenes de matemáticas» en particular los exámenes a nivel nacional, requieren una componente de velocidad. Así, el ir más deprisa no es meramente un capricho de los profesores de matemáticas. Para lo^ alumnos lentos, que tienen en general un nivel bajo de realización, el círculo vicioso de descenso en la realización aludido antes puede presentarse fácilmente. Uo método de disminuir el problema de ia velocidad es el de colocar a los alumnos lentos en un grupo aparte, trabajando a un ritmo

•lOUNOHACMiA*

mal lento, con un programa restringido a sus necesidades y UBBE£A5CZAW al tiempo disponible. Naturalmente, esta solución tiene el L\¿MATEMÁTICAS efecto de identificar a los alumnos lentos en virtud de su pertenencia a dichos grupos, lo que puede constituir una ra/ón social indeseable. La separación puede también resultar en una declinación de los resultados ya que no existen alumnos capacitados en el grupo que les sirvan de referencia. Sin embargo, la no separación puede fácilmente tener por rebultado que en una clase de matemáticas donde se mezclen las habilidades un profesor pueda (quizá inconscientemente) darse por vencido cansándose de los menos capacitados. Tan pronto como no constituyan una molestia, tan pronto como ellos hagan algo, siquiera poco, uno puede verse libre para concentrarse en los alumnos más capacitados en matemáticas. De esta forma las realizaciones de los alumnos y sus actitudes hacia las matemáticas pueden ser influenciadas por la organización de la clase, una cuestión discutida más adelante en el Capítulo 4. La necesidad de velocidad, sentida a lo largo de un aula de matemáticas (ver, por ejemplo. Do You Panic Abata Miitlxmaucs o «The puptl's view of learning mathtmatics*), puede tener una marcada influencia en las opiniones del alumnado sobre sus profesores de matemáticas — una cuestión abordada al comienzo de este capítulo. Muchos alumnos ven a los profesores de matemáticas como de poco humor, impacientes ante las lentas respuestas a las preguntas, y esperando una atención total, un recuerdo instantáneo y relevante. La información es dada de forma compacta y sin paja; no se da el tiempo adecuado para que las ideas que flotan en una nube de generalización y ejemplifitatión se implanten en la mente de los alumnos. Muchos profesores de matemáticas dañarán, al alumno, si responden a esta descripción. Debe recordarse, sin embargo, que la impresión que uno piensa que está dando y la impresión real recibida por los otros puede ser muy diferente. Naturalmente, se puede defender que el enfoque anterior está en general de acuerdo con la naturaleza de las matemáticas, que es concisa, precisa y densa en pensamiento y lenguaie. Con todo, estas características de los profesores de matemáticas cal como es percibida por los alumnos no da una imagen muy buena de las matemáticas. La intolerancia hacia la lentitud, algunas veces aliada con el sarcasmo, no es la única prerrogativa de los profesores de matemáticas, pero de algún modo en la opinión pública estas cualidades se han venido asociando a los profesores de matemáticas y de ahí que se identifiquen con la misma asignatura. Nadie que desee dar valor a las matemáticas en el proceso educativo puede dejar de estar profundamente pre-

Acirri/DFSDfciL ocupado ante este estado de cosas. Parte de la dificultad es ALUMNO HACIA LAS que otras asignaturas poseen mayor calidez emocional por sí MATEMÁTICA* mismas o tienen un impacto más inmediato en los intereses del alumno, lo que puede ayudar a superar la posible frialdad en la actitud de un profesor. F.n contraste, la enseñanza de las matemáticas requiere una relación emocional positiva entre el profesor y los alumnos difícil a veces de conseguir. Por ello la consecución de una atmósfera de amistad debe ser la primera prioridad. Otra forma en que los profesores de matemáticas pueden despertar en sus alumnos el gusto por las matemáticas es la de demostrar un interés personal real hacia la asignatura. Los profesores de inglés leen libros, asisten, producen y/o actúan en obras de teatro; los profesores de música acuden a obras musicales y/o actúan en coros y orquestas; los profesores de historia o geografía visitan lugares de interés hiitórico o geográfico. Si un profesor de matemáticas da a sus alumnos l,i impresión de no haber abierto nunca un libro de inateraá ticas (además de los textos escolares) desde que dejó la universidad, de no tener ningún libro personal de matemáticas y no tener demasiado interés en los resultados matemáticas, entonces no sorprenderá si los alumnos también fallan en interesarse por la asignatura. Para dicho profesor resulta fácil crear una atmósfera pobre de aprendizaje en su aula y animar actitudes negativas hacia las matemáticas. A partir de la discusión anterior, surgen cuatro cualidades necesarias para los buenos profesores de matemáticas (Ver también el Capítulo 3, Sección 7). Pueden ser formuladas como sigue; 1. Cultivan con sus alumnos relaciones de ánimo y de calidez emocional. El ánimo es difícilmente sobrevalorado. 2. Insisten en interesar y comprometerse en las matemáticas, У, Buscan desarrollar las realizaciones propias en los

alumnos a través de un modelo de actividades en que tales realizaciones sean posibles. 4. Discuten de matemáticas con sus alumnos antes que transmitirlas simplemente, de forma que estos pueden distinguir enere un hecho matemático y la conveniencia y práctica notacionalcs y. mis generalmente, consiguen uo mayor conocimiento de los procesos de desarrollo matemático. Mientras los profesores con estas cualidades no sean capaces de construir una actitud positiva hacia la asignatura, y conseguir desvanecer en gran medida la ansiedad y el

pinico de na alumnos hacia las matemáticas, no H puede 1.A ENSEÑANZA PE esperar que todos ellos sientan un interés real y duradero. Ú&iUttBlfiKM Para muchos alumnos, las matemáticas no serán más que una asignatura útil, y para mucho* más jugará una pequeña parte en su vida adulta aparte de los cálculos rutinarios de la existencia normal. Sin embargo, esto no resta importancia al cultivo del entendimiento y de la realización propia de las matemáticas en el instituto. La educación matemática debe tener propósitos más amplios que la habilidad en las matemáticas mismas. La historia de Linda contada por David Kent en «Linda's ítory* es digna de leerse- Linda, aunque no era una niña poco inteligente, fallaba en el instituto, se apartaba de la educación en general y de las matemáticas en particular» que tanto ella como sus amigos encontraban aburridas en extremo. Kent intentó introducirla en aspectos más interesantes de las matemáticas compartiendo su propio entusiasmo hacia hs matemáticas con ella. Aunque no lo conseguía plenamente, Linda constataba que las matemáticas, sin llegar a ser nunca realmente interesantes para ella, era un área de actividad humana en la cual se podía desarrollar un entusiasmo real, si no pasión- Como consecuencia, observaba que algo en su propia vida podía cumplir el mismo papel, con el resultado de que llegó a convertirse en enfermera. La moraleja que se dibuja a partir de esto es que cada profesor debe ocuparse en la educación general del niño tanto como en el desarrollo de habilidades específicas de su asignatura. En particular, la educación matemática, abordada con propiedad, puede ser un vehículo para el fomento de la iniciativa, independencia y confianza en si mismo para los alumnos de cualquier nivel de habilidad. El desarrollo de escás cualidades debe ser una meta general para todos los profesores de matemáticas. lc

4

36

1C

Kent, D. 1978: LINDA * txwy. Mathemáüa 7*£ de esta sección deben encontrar en el libro Piag^t for UstUMMffBAl Eduatton un útil punto de partida. Para observar ciertas elaboraciones del enfoque de !a evolución del aprendizaje, es necesario primero considerar una propuesta más mecánica, diferente - el análisis de tareas. Esto se hace en la siguiente sección, antes de volver a las ideas evolutivas en la Sección 3.

ALGUNOS TFMAS trabajo del profesor es llevar a cabo tal análisis de tareas, y OF ENVKncAciúN proporcionar un programa de instrucción moviéndose pro* gi chivamente haca arriba. Tales jerarquías tienen un considerable valor en el aprendizaje de tareas prácticas complejas —realizar una unión dt muesca-con^spiga en . aq infería, por ejemplo. La propuesta está quizá más estrechamente relacionada con R. Cagué, pudiéndose encontrar exposiciones detalladas en sus libros The Condiüons of Learning* y Principies of Imtrucriotuf Design . Un tratamiento de amplios resultados está también contenido en The Psychology of Matlmnaticí for fnstructiorL En esta propuesta está implícito que no importa lo compleja que pueda ser una tarca, é*ta puede ser dominada si se proporciona una jerarquía apropiada de subtareas, aunque, naturalmente, tales jerarquías puedan ser muy largas. 10

2, jerarquías de aprendizaje y análisis de urcas La noción general de una jerarquía de aprendizaje es familiar a muchos profesores de matemáticas, aunque quiza no por el nombre. Es el procedimiento de análisis de una tarea, una t¿cnica o proceso en componentes simples o subtareas tales que: a) cada subtarea es un componente de una urea dada; b) cada subtarea tiene que ser dominada antes de que la tarea dada pueda ser realizada con éxito. Una subtarea puede ser subdividida más. De esta forma se crea una jerarquía de tarcas a partir de un nivel básico apropiado, y impresentable a través de un diagrama como sigue: ímmmkl

Para aprender una urea dada (proceso, técnica) en lo alto de la jerarquía, se debe ser hábil en las ureas de nivel básico y trabajar gradualmente hacia arriba a través de los sucesivos niveles. En el nivel 1. las subtareas A y B son componentes de la subtarea P del nivel 2; Us subtareas C, D y t son componentes de la subtarea Q: las subtareas P, Q y R del nivel 2 son componentes de !a tarea dada 7 en el nivel 3. El

El proceso de análisis de tareas es obviamente el núcleo de muchos programas de enseñanza, siendo esenciales tales análisis para construir programas de trabajo. En la enseñanza de las matemáticas, sin embargo, existen dos aspectos del análisis de urcas que requieren una cuidadosa atención: L A partir del punto de vista del que aprende, el proceso de aprendizaje es sintético —es decir, es un proceso de reunión a partir de componentes individuales. Hasta que el aprendiz no ha alcanzado lo más alto de la jerarquía, no puede conocer cuál es la última meta —en otras palabras, no puede saber dónde está yendo. Puede quedarse atascado en uno de los subniveles y no alcanzar nunca la meta. A menos que pueda ver las subtareas en relación a la última meta o a no ser que se pueda dar alguna motivación en las subtareas, el programa de trabajo puede aparecer sin interés ni ventajas —una situación que se debe evitar a toda costa, 2- El proceso de construcción del análisis de tareas, tal como se ha indicado al comienzo de esta sección, no considera cómo se aprenden las subtareas, sino que se concentra sólo en su naturaleza. Sin embargo, en el aprendizaje de una subtarea, proceso o técnica matemáticas dadas, son introducidos los contextos o mode los particulares o se desarrollan reglas de procedimiento particulares que ayudan al aprendizaje en cada etapa, * Gagoí, R. N. 1970: Tbe ConJtUo», of Umatp Holt, Kinctiirt, Y'uuron. Gagiié, EL N. y Briggs, U J. 1974: Principies of ln*m«tkm*t IMijpt Holi, Rjuebarr, \Tiimon ,c

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pero que requerirán dejarse

un lado al proceder con LftEN5EtaN74№ niveles mas altos. Dos ejemplos servirán para ilustrar L-UHATHIÁTICAS este ponto. a) La suma de enteros es normalmente introducida usando un modelo de escalera (es decir, un vector). Este modelo no es muy adecuado para introducir La multiplicación de enteros. Consecuentemente, no es improbable ver en los libros que la multiplicación de enteros se introduce a través de modelos diferentes. El modelo de escalera es así dejado a un lado cuando se pasa de la suma a la multiplicación, b) Al resolver ecuaciones simples, el niño aprende una regla general —«Coloca todas las incógnitas a un lado y los términos (numéricos) constantes al otro** Para resolver por factoriución ecuaciones cuadráticas, esta regla ha de verse como una característica de la solución de las ecuaciones simples que no es aplicable cuando se trata de un proceso de factorización. a

Donde el enfoque de la jerarquía de aprendizaje en su estado puro trabaja mejor en matemáticas es en la construcción de técnicas a partir de conceptos simples. Un ejemplo serla el desarrollo de la técnica de la sustracción. El nivel básico consistiría en el dominio de tareas tales como 5 — 2, conduciéndonos a través de varios niveles a la técnica requerida para realizar un cálculo como 1273 — 7 6 9 por los principios de descomposición o sumas iguales* De igual forma» en un sistema de ecuaciones con dos incógnitas se comienza con 3 x + y = 12 ) x +y = 6 í llegando a l/3(x + 3y) — 1 = 2 x \ 4/3x — U2y = 2(x + l/3y) j lo que se sigue del análisis de tareas. En procesos de aprendizaje complejos (ver las últimas secciones de este capítulo), el análisis de tareas sólo constituye una primera etapa en el proceso de diseño mstruccional Ciertamente, no puede ser considerado como un remedio para todas las dificultades de aprendizaje en matemáticas.

Au;UNüsmiM 0tiNvr>TiGAciiíN

tareas divididas en subtareas componentes. N o forma parte del análisis cómo es dominada cada una de las subtareas ni cómo se realiza el desarrollo desde un nivel a otro. En otras palabras, no toma en cuenta Io> procesos de aprendizaje infantiles. En matemáticas, este es un punto de vista demasiado estrecho. Es necesario un análisis de la tarea comple mentado por el enfoque evolutivo del pensamiento infantil* Un intento reciente sobre ello es el que R. Case desuribr en sus artículos «Gearing i\\v drmands oí ínstruction to ihc developmental capacities oí the learner» , y *A devclopmeiv tally-bascd theory and technology of ínstruction*. Case considera que una de las principales causas de la dificultad en el aprendizaje es el conflicto entre la intuición ingenua del alumno que supone correcta y lo que indica el análisis lógico y racional. Los seguidores de Piaget asignan este conflicto a la ausencia de la etapa apropiada del desarrollo conceptual; el enfoque del anilisis de tareas aduce un número insuficiente de niveles de subtareas. Sin embargo, el trabado experimental de Case y otros muestra que la extensión de la jerarquía de aprendizaje en sí misma no resuelve el conflicto. Esperar ta «buena disposición» del aprendiz no es tampoco una estrategia realista. 11

Case avanza un método en tres etapas para la construcción del análisis de tareas, diseñado para minimizar el conflicto mencionado* Estas tres etapas son las siguientes (tomadas de Case'*): L Precede al diseño de la instrucción una descripción etapa-a-etapa no sólo de la estrategia que debe ser enseñada sino también de la estrategia o estrategia* que el niño aplica espontáneamente en la tarea instruccional. 2. Diseñar la instrucción de tal forma que las limitaciones en las estrategias espontáneas de los niños se pondrán de relieve y se aclarará la necesidad de aplicar la estrategia enseñada. 3. Seleccionar la estrategia que debe ser enseñada y diseñar la secuencia de actividades insrruccionales, reduciendo al mínimo los requerimientos de la situación de aprendizaje en el trabajo de la memoria. Más brevemente, estas etapas pueden expresarse como:

3. Las ideas de Case 11

Como ya se ha mencionado, las jerarquías de aprendizaje en la forma defendida por Gagné. se refiere sólo al análisis de

Case, R. 1975: Gearing the demand* of instruction to the develop mental capacities of the learne/- Rtv. EÍ RffNrA 45 {1), 59-S7. Cite, R. 1978: A dcrrlopmrniilly bised iheory and technology ot instruction. R*u. Ewrh. American PsychotvsJst, \% 1-15.

entiendo*, probablemente se esté retí ríen Jo a las etapa* del LAEN»*ANZADR proceso. El quiere conocer cómo proceder, no por q*¿ LASMATÍ MÍTICAS funciona el procedimiento. Tales consideraciones conducen a una segunda perspectiva del cstmcturalismo en matemáticas que se discute en la sección siguiente.

5. Formas de comprensión Surge del trabajo de R. Skemp fver 'Relational understanding and instrumental understanding*"). Skemp es ut) educador matemático transformado en psicólogo. Sus ideas fueron elaboradas por Byers y Herscovics en ^Understanding school mathematics*^ introduciendo el llamado Modelo Tetraédrico de la comprensión en matemáticas. El mismo Skemp desarrolla sus ideas en «Goals of learning and qualities of understanding*" (ver también la Referencia 3). La proposición original de Skemp era que había dos tipos distintos de comprensión, que llama relacional e inscrumental. Relational es la comprensión no sólo de cómo trabaja algo sino también de por qué trabaja así; la comprensión instrumental implica sólo el cómo. Cuando los psicólogos u otros contrastan la comprensión con el aprendizaje rutinario, se están refiriendo a la comprensión rclaciojial. La instrumental se identifica algunas veces con el aprendizaje rutinario, pero ello oscurece el a menudo complejo proceso que se requiere —algo más que el recuerdo inmediatoSkemp valora La comprensión instrumental como la segunda en importancia y lo justifica por analogías y argumentos basados en el aprendizaje efectivo. Por ejemplo, el aprendizaje instrumental no es adaptable y se basa en la memoria; el niño que es enseñado por un profesor que piensa instrumentalmente puede frustrarse y alejarse de las matemáticas. Pero los juicios más simples en matemáticas ignoran ciertas realidades. En primer lugar, la potencia de las matemáticas se debe a sus procedimientos algorítmicos instrumentales. Hace vario* anos el matemático A. N. Withehead mostró que las matemáticas avanzan al incrementarse el número de procesos que pueden llevarse a cabo sin pensar. Desde su punto de vista, la comprensión instrumental se transforma en una característica clave en el uso efectivo de las mat emir i cas. Skemp, R. 1976: Relational undemindifig and ¡rmnirnenul undemanding. Mathemjtio Teaching, 77, 70^26 B y e r s , V. y Herscovics, N. 1977: Uculcistanding schooi mathematics. í6

Maxhematur TiaiMll 81, 24 27.

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Skemp, R. 1979: Goals of learning and qualities of uruftrtf3ndin£

Marhemazui Trading, $8, 44-49.

AlfiLNOS rtUAS os CívtsnCAtidN

En segundo lugar, la intuición relacional puede ser aumentada al llevar a cabo procedimientos instrumentales con éxito, lo que conduce tanto a un aumento de confianza como de interés. Inversamente, el niño puede llegar a quedar atascado en una confusión de actividades al tratar con la comprensión relacioual, dándose por vencido al encontrarse dificultades periféricas respecto a la idea central. Los árboles no le dejan ver el bosque. Byers y Herscovics identifican dos tipos mis de comprensión —formal e intuitiva. La comprensión formal es capaz de usar correctamente formas matemáticas escritas. Algunas veces no se le ha prestado la atención que merece; está relacionada con la escritura del inglés gramaticalmente co* rrecto. Un inglés gramaticalmente incorrecto todavía puede responder al significado ileseado; el uso incorrecto de ia notación matemática puede dejar sin sentido la forma escrita. Las formas incorrectas de escritura también propician errores. Sin embargo, la habilidad para usar la notación matemática correctamente es una destreza adquirida. Ello reqtiiere el conocimiento de lo que significan los distintos símbolos escritos, A menudo» este conocimiento se considera ya garantizado por parte de los profesores por lo que no lo enseñan especialmente. No es infrecuente ver trabajos como: 2x + 3 = 9 =»2x -6 = x=3

o

sen x - 1/2 x= sen 1/2 = 30°

Muchos profesores ven esto como una simple cuestión de estilo; y si no se comenta con ellos a menudo les llevará a cometer errores en el procedimiento que llevarán a respuestas equivocadas. Esto se discute mis adelante en el Capítulo 6. La segunda forma adicional de comprensión —intuitiva— es más difícil de encontrar. Es el aspecto de la actividad men* tal en que un niño, sin conocer por qué ni habérsele mostrado un método, consigue conocer cómo obtener cierto resultado. El termino «intuición* se aplica también a la forma en que la gente tiene ideas «fantásticas* y e>ti conectado con los principios de la Guestalt considerados en la Sección 6. Aunque el entendimiento intuitivo no es ignorado por la enseñaaza de las matemáticas, no se enseña fácilmente. Byers y Herscovics no ordenan ni valoran entre sí estos cuatro tipos de entendimiento, sino que los colocan en los vértices de un tetraedro, siendo su perspectiva que el proceso de aprendizaje matemático implica a los cuatro en proporciones variadas. Un rema particular puede requerir un mayor énfasis en uno más que en los otros pero todos tienen un lugar en el cuadro completo al desarrollarse la habilidad matemática.

fe. Teoría de la Guestalt

UQttrtUCaw LAS UATFWATKA5

Una opinión común sobre el encendimiento matemático es que depende de la intuición y que ésta no puede ser ensenada. El enfoque gucstáltico se refiere a este aspecto intuitivo del aprendizaje de las matemáticas. La palabra guestalt significa figura o forma y fué adoptada por los psicólogos alemanes —por ejemplo, Wertheimer— en la primera parte de este siglo a! estudiar la organización de las funciones mentales en su interpretación de las percepciones sensoriales, más tarde extendidas para incluir las percepciones mentales. Usada como un nombre, una guestalt es la percepción de que una forma completa es algo más que. simplemente, sus partes constituyentes. Por ejemplo, et modelo " puede ser percibido como un cuadrado aunque sus componentes sean cuatro puntos. De igual forma, si se percibe la secuencia de números 149162536496481 no como una simple secuencia aleatoria de dígitos sino como los cuadrados de I, 2, 3, 9, es decir, si se ha formado la guesialt, entonces la memorización y el recuerdo de la secuencia es mucho más fácil. Un tipo común de juego visual implica un proceso de la guestalt al proporcionar partes de un total, de forma que en cada etapa se añade una parte más. siendo el ganador quien identifique primero de forma correcta la figura global. Cuando sólo se dan unas pocas partes del total, existen muchos diferentes torales de los que pueden formar parte así que son posibles diferentes guestalt*. El incremento de partes dadas reduce estas posibilidades. La inducción desde un caso particular al general es de esta naturaleza; dados algunos casos individuales, estos se pueden ver acomodándose a un modelo que da lugar y permite la generalización. Como en el juego, si se dan pocos casos específicos, son posibles muchas generalizaciones. En el caso de la educación matemática surgen dos cuestiones, que discutimos ahora: 1. El proceso en matemáticas que requiere un pensamiento guestalt ¿en qué se puede aplicar? - 2. ¿Se puede enseñar la habilidad para formar guestalts matemáticas?

56 ta

Desde el punto de vista de la comprensión instrumental discutida en la Sección 5, el pensamiento de la guestalt no es particularmente importante ya que ia operación a través de reglas basadas en el «cómo» no parecen requerir intuición sino una instrucción detallada de cómo llevar a cabo el cálculo o la técnica. Sin embargo, como ya se ha apuntado, las reglas sin una razón llegan fácilmente a la falta de uso y

Atemos TIMAS 0£TNVESTOACHJÍI

el olvido. De igual forma, con las explicaciones hay que tener cuidado. Un profesor puede dar una explicación en forma lógicamente detallada para encontrar tan sólo que sus alumno* no comprenden globalmenre el sentido de la explicación. Esto hace que algunos profesores se impacienten con sus alumnos, particularmente con los más lentos, y recurran a un enfoque puramente instrumental. Para que una explicación sea convincente (sea que la desarrolle directamente el profesor o se haga a través de un programa de actividades prácticas) se debe fomentar en el estudiante el sentimiento de que «ahora veo por qué trabaja así»; en o t m palabras, debe tener lugar algún pensamiento guestalt. El estudiante debe descubrir alguna intuición bajo la definición, el concepto o la técnica. Para muchos niños, particularmente los menos capacitados, será necesario un programa de actividades prácticas que consiga desarrollar estos objetivos; para otros puede ser suficiente una explicación verbal o escrita. Consideremos ahora la sustracción de enteros, Utilizando un enfoque instrumental o formal, se puede definir a — b donde a y b son enteros, por medio de a + (— b), así que, por ejemplo, 5 — 3 se define por medio de 5 + (— 3) y 5 — (— 3) se define por medio de 5 + 3, Armado de la definición anterior un alumno puede llevar a cabo una sustracción con virtiéndola en una suma. Si es inteligente podrá apreciar, intuitivamente incluso, que la definición es razonable. Un chico no un inteligente verá simplemente la situación como un ejemplo más de la naturaleza banda en reglas de las matemáticas. Este niño no formará ninguna guestalt del proceso de sustracción de enteros. Por otra parte, si se considera la sustracción a través de la suma complementaria, de forma que 5 — (— 3), por ejemplo, sea interpretada como *). lín este caso íl niño alcanzará una intuición del proceso de sustracción de enteros, a partir de la cual se sigue naturalmente la iv^U. Este es el proceso de la guestalt. Resulta ser una aracieií\iku esencial del aprendizaje por descubrimiento. El aprendizaje por descubrimiento, sin embargo, no deja de tener detractores que apuntan que, en matemáticas, el niño abandonado a sí mismo aprenderá rara vez algo de valor. Esta opinión muestra una falta de entendimiento de la naturaleza del pensamiento guesralt, del aprendizaje intuitivo, t

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Un conjunto desorganizado de experiencias puede sugerir LA ENfl&ANZá DE muchos modelos de generalización diferentes o, más normal- LAS MATEMÁTICAS mente, ninguno- En el contexto de las matemáticas deben organizarse las experiencias y actividades del alumno de forma que la inducción y la generalización sean las más firmes posibilidades; esto es, e¡ proceso de aprendizaje por descubrimiento requiere ser guiado y estructurado. Aquí es donde son aplicables los cuatro principios de Dienes (ver la anterior Sección 4)- ellos refuerzan la generalización o guestalt deseadas ya que, variando orros factores, se revela la característica unificadora de las diferentes situaciones presentadas al niño* Quizá no es enteramente honesto utilizar el término descubrimiento ya que el niño descubre aquello que se quiere que descubra tomando un camino que le conduce directamente al descubrimiento- Por otro lado, teniendo que llevar a cabo las etapas requeridas, es más probable que adquiera una comprensión real (relaciona]) del concepto o del proceso que se le ensena. La discusión del Capítulo 2 referente al descubrimiento y la creatividad indica los probables beneficios de este enfoque para las actitudes del alumno hacia las matemáticas en general. Esta característica del aprendizaje por descubrimiento —que anima a los niños a pensar por sí mismos, a formular hipótesis, desarrollar estrategias y, en general, a abordar la resolución de problemas —ha atraído considerable atención siendo denominada heurística. Quizá su exposición más conocida sea la de Polya, en sus libros How to Salve ¿í *, Matbematics and Plausible Reasoning y Mathematieal -D/scovery . Se piensa algunas veces que los alumnos menos aventajados deben ser apartados de tal actividad porque su necesidad principal es realizar un trabajo fuertemente controlado con una práctica sustancial. Mientras la consolidación debida a la práctica es una característica necesaria en la mayor parte del aprendizaje de matemáticas, sin embargo tiende a inhibir Ja intuición; más aún, demasiada práctica rutinaria, como se ha mencionado en el Capítulo 1, puede tener un efecto adormecedor sobre los alumnos y resultar contraproducente, llevándoles al aburrimiento y a la falta de cooperación. 2

ALGUNOS TEMAS La colocación de las destrezas de cálculo dentro de i INVESTIGACIÓN estructuras que interesen al alumno y en las que su juicio tenga importancia, puede mejorar estas destrezas tanto o más efectivamente que la practica repetida y aumentar al mismo tiempo la iniciativa y el placer por tas matemáticas. La consideración de los procesos de la guestalt en el aprendizaje de las matemáticas introduce inmediatamente un problema de importancia fundamental, ya mencionado en la Sección 3. ¿Cómo sabe el profesor la estructuración cognitiva que está teniendo lugar en las mentes infantiles? Ciertamente, eí niño puede formar unos principios generales al operar matemáticamente, pero pueden ser inapropiados, irrelevantcs, equivocados o sin fundamento. El profesor» como adulto, lleva su propia mentalidad adulta a la tarea de diseñar la instrucción. Puede, en el espíritu de Piaget o Case, tratar de determinar los errores del alumno experimentando o reflexionando, pero nada revelará necesariamente la perspectiva que tienen los alumnos de las matemáticas, qué estructuras infantiles están operando. Estas no pueden ser expresadas por el niño que no tiene conciencia de la forma en que intenta dar significado y coherencia a las matemáticas que espera aprender. A este problema se refiere ia siguiente sec ción.

7. Constructivismo

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14

22

Polya, G. 1957: How so Sohe iu Vok L II. Princíiori Untvcrmy Prcw (2. ed.) [En castellano: «Cómo plantear y molvcr problemas». Trillas, México, 19791" Dienes, 2. P- Í970: The Six Sta^rs m the Process oj Lemrnmt Mathemaua. NFER [En castellano; «Las seis etapas del aprendizaje de las Matemáticas». Teide. Barcelona, 1971]. Polya* G. 1968: Matbematics and Plausible Re*sonm# Princeton Universíty Press. J

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Puede ser descrito como el estudio de los modelos de pensamiento de cada niño, viendo los procesos de aprendizaje desde dentro de la mente del que aprende. La idea central del contructivismo es que el proceso de aprendizaje en el alumno implica la interpretación de programas de actividades de aprendizaje (proporcionados, por ejemplo, por el profesor) a la luz de las propias estructuras conceptuales del alumno, construidas a partir de sus experiencias previas- Dicho de otro modo, la experiencia que un alumno gana a partir de sus actividades de aprendizaje no puede ser predeterminada por el profesor, ya que depende de cómo el niño relacione las actividades de aprendizaje con su experiencia previa y de sus actitudes afectivas/emocionales; así, un profesor no puede motivar a un alumno a construir un conocimiento específico —puede llevar al caballo al agua pero no puede obligarle a beber. El constructivismo estudia esta interacción entre los procesos de pensamiento infantiles y las experiencias de aprendizaje. Una exposición más completa de estas ideas

viene dada en *The eonstruttivisc rescarcher as teacher and LA ENSEÑANZA ot model buildcr*» Ui MVTEAUTICM T a m o como la experiencia y las actitudes que el mismo alumno expresa en las actividades di* aprendizaje y que pueden afectar materialmente a la naturaleza de este aprendí taje, deben también tenerse en cuenta los llamados efectos laterales de estas actividades —esto es, aspectos del diseño de enseñanza que afectan también al proceso de aprendizaje pero que no han sido específicamente planificados por el profesor. Como ejemplo de esto, un profesor cuyo principal método de enseñanza sea explicar reglas y dar entonces a los alumnos mucha práctica puede llevarles a aprender que no es importante el pensamiento propio y que resulta mejor esperar a que le digan lo que ha de hacer. Sin duda» ningún profesor se propondría tener tal resultado en el aprendizaje; es un efecto lateral de una perspectiva particular de la enseñanza —el enfoque de una comprensión instrumental. Esta forma de aprendizaje auxiliar ha sido llamado meta aprendizaje por Skemp y analizado extensamente en su libro Inttlligenct, Lcanung and Action*. El meta-aprendizaje implica a menudo un aprendizaje no intencional (en lo que se refiere al profesor) debido a algunos aspectos de la metodología utilizada o por las expectativas y actitudes de los alumnos. De forma similar, las dificultades de aprendizaje pueden surgir debido a las percepciones (frecuentemente inconscientes) con que el niño aprende una idea o técnica particulares. Por ejemplo, un alumno puede haber formado una interpretación del término algebraico 3x como significando treinta-y-algo siendo x la cantidad desconocida de unidades. Para este alumno una ecuación como 3x = 6 carecería de sentido- Más adelante, un alumno que piense que eos x es algo llamado eos multiplicado por x, creerá que eos 2x y 2 eos x representan la misma cosa. Estos errores de los alumnos (que Skemp denomina meta-esquema) no tienen por qué ser evidentes a partir de la naturaleza de los errores que los alumnos cometen o de las dificultades que tienen; puede llevar un tiempo considerable el descubrirlos. Un método de identificar tales errores es el conseguido a través de los llamados análisis de protocolos (ver Tíie Psychology of Mathcmaücs for Imtmction, pp. 83 89). Implican la formación de un registro completo de las acciones realizadas por los niños al llevar a cabo una urea *CoW\ P- y Surfe, U P. 1983: TSc comtmcnvut rcmrchcr as teacher aiid model buiider. / Rffearch sn Mathmattcs Eduzaúoru 14 (2), - 83-94. {\Q * Skcnip. R. 1979; lnielhgence Uaming *n¿ AcücrL Wiley. t

ALGUNOS TWAS D£twESTiüAacW

matemática, incluyendo el pedir al niño que ^piense en voz alta- mientras ejecuta las distintas etapas de la tarca. Mientras esto es posible en condiciones de investigación, claramente no es realista en el contexto de las aulas de matemáticas de un típico instituto de secundaria. A menos que el profesor tenga alguna información acerca de la forma en que cada alumno piensa acerca de las matemáticas (consciente o inconscientemente) su diseño de los procedimientos de aprendizaje tenderá a tener distintos grados de éxito con alumnos concretos. Esto, naturalmente, es una parte del pensamiento que subyace en el trabajo de Case, discutido anteriormente en la Sección 3, pero aquí no se refiere a los procesos cognitivos racionales* bien o mal concebidos, que ocupan la atención de Case, sino a modelos de pensamiento más irracionales que los alumnos, a menudo, no pueden expresar en palabras y tal como son ejemplificados eficazmente en Do Yon Patúc alfout Maths* En el núcleo de! enfoque constructivista está la sensibilidad de una parte de! profesorado que es capaz de sentir con sus alumnos, poniéndose ellos mismos en la piel del que aprende, no sólo en el sentido cognitivo, sino también en el emocional. Los errores matemáticos de muchos niños van algunas veces mas allá de nuestra comprensión; no debería nunca olvidarse que tales errores conducen a una ansiedad y confusión que pueden afectar desastrosamente al proceso de aprendizaje. La sensibilidad a que nos referimos en el párrafo anterior es propia de los mejores profesores de matemáticas. Ello* tienen una conciencia casi misteriosa sobre los orígenes de las dificultades de aprendizaje de cada uno de sus alumnos, y adaptan sus propuestas de acuerdo con ellas. Junto a esta sensibilidad esta un llevar adelante la valoración propia y la autocrítica de la efectividad de su enseñanza. En esta conexión se dice algunas veces que el mejor profesor, particularmente para IOÍ alumnos lentos, es aquél con un modesto nivel de conocimientos matemáticos. Así tiene una experiencia personal de primera mano sobre las dificultades que los alumno* pueden tener. De otra parte, los profesores con altos grados académicos en matemáticas pueden algunas veces tener dificultades para descender al nivel de sus alumnos al objeto dr entender sus problemas de aprendizaje. Sin embargo, entender y tratar una dificultad son dos cosas muy diferentes —-un mal jugador de ajedrez no es quizá el mejor de quien aprender para mejorar en este juego. Una enseñanza efectiva en la educación secundaria requiere el aumento de! pensamiento matemático a partir del estudio de la asignatura junto a un entendimiento comprensivo de los orígenes de las dificultades

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de aprendizaje de los niños; ninguna de estas habilidades por separado sería suficiente,

L\ ENSEÑANZA DÉ LAS UATEMÍTKM

ALCUNOSTEMAS di INVESTIGACIÓN

experiencias a partir de las cuales Cl alumno pueda asimilar una red apropiada en su memoria semántica.

3. Procesamiento de información Con la llegada de la computadora electrónica y el incremento de su habilidad para llevar a cabo razonablemente actividades superficialmente parecidas, ha surgido una teoría de aprendizaje que interpreta los procesos de aprendizaje en términos de computación; desde este punto de vista, el aprendizaje es análogo a la capacidad de procesamiento de información de una computadora —los datos son recibidos, procesados, almacenados y tienen su salida. Los aspectos de procesamiento y almacenaje implican la memoria a corto plazo o memoria activa (ver Sección 3) y la memoria a largo plazo o semántica. Los contenidos de la memoria activa (o chunks como a veces son llamados) cambian frecuentemente; tan pronto como un ítem particular del procesamiento está completo, todo lo que está en la memoria activa es o borrado o transferido a la memoria semántica. La memoria activa, por tanto, tiene una estructura interna pequeña. Por el contrario, la memoria semántica, que contiene información para la retención y el recuerdo a largo plazo, requiere un alto grado de estructuración, expresado en términos de redes y relaciones. Cuanto mayor es la estructuración, mayor es la comprensión y más fácil el i-ecuerdo y su utilización. Los que llevan a cabo pobremente las matemáticas tienden a tener una memoria semántica relativamente no estructurada de forma que el recuerdo puede transformarse aparentemente en una búsqueda aleatoria. Esta es una idea que encontramos en varias de Jas secciones anteriores —Dienes, Skemp, los guestaltistas— pero aquí aparece con un alto grado de penetración y detalle por utilizar la analogía de la computadora. Acorde, entonces, con el enfoque del procesamiento de información, el éxito en el aprendizaje requiere la formación de redes relaciónales apropiadas; es responsabilidad del profesor proporcionar al alumno nuevas experiencias que le permitan desarrollar estas redes. En un caso particular, consideremos la relación entre la resra y la suma. Una red mental completamente organizada incorporaría esta relación. En términos esquemáticos se podría representar corno sigue: Naturalmente, los diagramas bidimensionales como estos no deben ser confundidos con redes mentales, pero pueden ayudar a los profesores a identificar aspectos clave de las relaciones implicadas. Son una ayuda para proporcionar

OBfUTO/ RESULTADO m

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La ley conmutativa de la suma puede ser esquematizada de forma similar como:

SUMAR ¿i RESOLTADO t + n + ira k +m+n

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RESUtTAEfcO' OBJtVOk *• a

Para un estudio más extenso, el lector puede consultar The Psychology of Mathematics for Instruction, Capítulo 8, y seguir las referencias contenidas al final de este capítulo.

Resumen Los ocho temas considerados se refieren a cómo aprende el niño y cómo se puede facilitar este aprendizaje. Piaget se refiere a las etapas del desarrollo cognirivo y a la idea de una buena disposición. Gagne presenta un análisis de tareas, construyéndola desde lo complejo hasta los componentes más simples. Case desarrolla el análisis de ureas tomando en cuenta las ¡deas intuitivas infantiles. Los estructuralistas consideran cómo procede el aprendizaje a través de los principios matemáticos generales. Skemp y otros observan ios diferentes significados del entendimiento tal como se aplican a las matemáticas y los distintos aspectos de este entendimiento. Los psicólogos guestaltistas se refieren a la percepción de la forma a partir de los elementos individuales.

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El constructivismo muestra la necesidad de considerar U BOrtütU DE cómo interpretan individualmente los niños sus experiencias us MATFMÁUCAS matemáticas (a menudo de una íorma incoherente e irracional). El procesamiento de información intenta aplicar los conceptos de almacenaje, procesamiento y recuperación al trabajo mental. Todas estas propuestas deben ser vistas como vanas facetas del complejo proceso de aprendizaje y comprensión de Us matemáticas. No forman una jerarquía; no se debe elegir sólo una ni escogerla por nuestras propias inclinaciones. Todas tienen algo que ofrecer y todas pueden contribuir a mejorar los métodos de enseñanza y de construcción y diseño del programa.

CAPITULO

4

Dificultades de aprendizaje basadas en la organización escolar, metodología y curriculum

En el capítulo anterior nos referimos a cierros estudios de investigación que trataban del aprendizaje y sus dificultades. En este capítulo veremos mis específicamente ios orígenes de estas dificultades en el instituto y discutiremos tres de ellos: 1. La organización del instituto, el departamento y la clase. 2. La metodología del aula. 3. El curriculum de matemáticas. El Capítulo 5 tratará de las dificultades inherentes a la propia naturaleza de tas matemáticas.

I. Organización de la escuela, ci departamento y la clase

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Pocos directores de departamentos de matemáticas son capaces de organizar sus clases exactamente como lo desean; se encuentran limitados por el horario global del centro* la provisión de personal y la política escolar. Si las clases no se diferencian por la distinta capacidad de los alumnos y son distribuidas en una variedad de horas en el departamento de matemáticas* entonces un director de departamento encontrará difícil organizarías —es decir, clasilícar a los alumnos en grupos homogéneos acordes con su habilidad en matemáticas. Si las clases se distribuyen en base a la capacidad general no encontrará posible organizar grupos de habilidad variada en matemáticas, aunque desee hacerlo. Un director de departamento puede ver grandes ventajas en la formación de un equipo de enseñanza para encontrar soto que no puede obtener el suficiente profesorado cuando lo pide. Aún sin

DIFICULTADES DE utiliza el plan Hemcmann Modular Mathenuítks pero está AWENDfZAjE siendo reemplazado por el K&tt Mathematia Project\) RAMDAS EU1A Está organización, que no es excepcional pero sí poco ORGANÍZAClÜtf común en el instituto, ha demostrado que tiene éxito. Puede K9C0U&, no ser aceptable en otros institutos, pero apoyado por un personal entusiasta no sólo ha tenido éxito en términos de aprendizaje matemático sino que resulta popular entre los alumnos. Todavía surgen dificultades de aprendizaje pero muchas pueden ser previstas y resueltas por la organización que se ha adoptado. Se puede conseguir un éxito .semejante con las dificultades de aprendizaje y los bajos resultados a través de una forma más ortodoxa de organización. También es posible adoptar una forma de organización específicamente diseñada para facilitar el aprendizaje y que, sin embargo, no se haga el mejor uso de ella. Muchos institutos todavía ordenan a sus alumnos en clases acordes con su capacidad, pero no utilizan plenamente este orden en la disminución de las dificultades de aprendizaje. A cada clase se le da anualmente el mismo contenido al mismo ritmo, usando los mismos recursos y se ie presentan las mismas pruebas de evaluación. En tales circunstancias, los alumnos más capacitados tendón malos resultados debido a lo relativamente lento que discurre el proceso y a la existencia de un programa común con su rango restringido de experiencias matemáticas, mientras los alumnos en los grupos de habilidad más baja lo harán mal, esperarán hacerlo mal y continuarán haciéndolo mal, ya que para ellos el ritmo y el programa les piden demasiado. De igual manera, los alumnos medios pueden hacerlo peor de lo que podrían si el ritmo de trabajo de los alumnos más capacitados les influyera. 1

tales restricciones externas, muchos directores de departamento LA pueden encontrar difícil decidir las formas más apropiadas LAS para las clases y la organización de los grupos, debido a la distinta naturaleza de los recursos disponibles. Las formas globales de organización escolar varían ampliamente —lo que a un instituto le va bien puede ser poco aconsejable en otro, Ha de considerarse asimismo la disponibilidad, opinión y recursos de! profesorado. Actualmente, un modelo típico de organización escolar es aquel en que se enseña a los más jóvenes alumnos de secundaria en clases de capacidad variada, mientras los mayores trabajan en temas individuales acordes con su capacidad. Muchos profesores de matemáticas apoyarían las razones sociales y educativas para no mantenerlos en el comienzo de la secundaría, pero cambian de opinión cuando los alumnos pasan a los últimos años. Ven incrementarse en complejidad ios conceptos que han de ser adquiridos y encuentran las explicaciones más fáciles de enseñar si se encuentran con alumnos de una capacidad aproximadamente similar. Las demandas de los exámenes externos animan a mantenerlos en los primeros cursos. Dentro de este sistema general de organización escolar existen, naturalmente, variaciones; algunas de ellas son mencionadas al final de la Sección 2, más adelante. Por el contrarío* consideremos un sistema muy diferente tal como funciona en una nueva escuela al noreste de Escocia, con un censo actual de alrededor de 600 alumnos. La semana está dividida en diez unidades de tiempo, cada una de 2 1/2 horas, cinco por las mañanas y cinco por las tardes. Cada clase dedica una unidad de tiempo por semana a cada asignatura, Un clase puede, por tanto* tener todas sus clases de matemáticas el martes por la mañana, o codas las de inglés el jueves por la tarde. En toda la escuela las clases son de capacidad variada. Existe un departamento de dificultades de aprendizaje integrado por especialistas de las distintas asignaturas. Además de la sesión normal de 2 1/2 horas, los alumnos trabajan en matemáticas en otros momentos. Por ejemplo, los alumnos más jóvenes tienen treinca minutos de apoyo tutorial cada mañana cuando se necesita ayuda en matemáticas. Existe también un programa estructurado de ejercicios obligatorios. Los alumnos mayores de dieciséis tienen una organización diferente en los dos últimos años escolares al situarse aparte ta mitad de cada día para un estudio individual, parte del cual es supervisado y otra parte es informal. (La enseñanza, como se podría esperar, es llevada a cabo con materiales adecuados a un enfoque de capacidad variada; se

Cada tipo de organización escolar tiene su propia capacidad para reducir las dificultades de aprendizaje dependiendo de si el estilo de enseñanza y el rango de recursos desarrollado son apropiados para la organización global. De ules cuestiones nos ocuparemos ahora.

2. Metodología del aula La metodología debe estar ligada a la organización. Uno de los aspectos de esta relación que no hemos mencionado antes es la ratio profesor/alumnos. Una ratio alta (superior a 1:30) no permitirá que el profesor preste mucha atención personal a cada alumno, pero es un error admitir que una disminución en la ratio debe mejorar la enseñanza y el 1 1

Modular Matbtmatia* 1974, Heinemaun. Ktnt Mattxmaúcs Project^ (978. Ward Lock,

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aprendizaje. En último término, una ratio 1:1 puede dar LA lugar a varios problemas, uno de los cuales es la ausencia de Ul interacción entre alumnos. La electividad de la enseñanza se incrementa con un decrecimiento de b ratio profesor/alumnos pero sólo hasta un punto fijo y* desde luego, tampoco resulta proporcional El estilo de enseñanza, naturalmente, depende del tamafto de la clase. Uno no enseña a una clase de cinco como lo haría a una clase de treinta y cinco. Ahora identificaremos vanas causas de dificultades en el aprendizaje que radican en la metodología del profesor.

Una inadecuada presentación dtí profesor Una presentación inadecuada puede deberse a varias razones. El profesor puede olvidar algunas lagunas en el conocimiento de los alumnos. Su exposición puede estar ausente de estructura y claridad o basarse en supuestos injustificados respecto a la capacidad y progreso de los alumnos. Puede dar un énfasis insuficiente en las ideas clave* No proporcionar actividades apropiadas tales como trabajo práctico, dibujo, medida, investigación o resolución de problemas. Tratar pocos ejemplos sencillos con los que ilustrar las explicaciones. Los ejercicios del alumno pueden estar mal graduados o ser confusos, o pueden ser rutinarios y mecánicos, extraídos de un único libro de texto insuficientemente comprensivo. La ausencia de una supervisión continua y progresiva, así como de una evaluación apropiada, vendrán a añadir nuevas dificultades.

DIHOJUADÍSDE APRENDÍ?AJE

interés por las'necesidades y capacidades de los alumnos, fomentan los fallos y la tensión.

MÍMk)*IKU OftGAXIZACIÚN

tscou*.

Insuficiencia de tos recursos de aprendizaje Mientras no exista algo como un libro de texto o conjunto de fichas de trabajo perfectos, algunos productos serán mejores que otros. La presentación visual es importante para todos los grupos de edad y niveles de capacidad. Los alumnos más jóvenes o menos capaces no se sentirán atraídos por los textos con largos párrafos escritos de sentencias complicadas y ausentes de ilustraciones, diagramas y dibujos. Otro* alumnos pueden no apreciar los materiales basados en dibujos que le intercambian palabras contenidas en «burbujas». Factores simples como el equilibrio entre el texto y la ilustración son importantes; así como su distribución. Puede resultar confuso encontrar que la información necesaria pan un cálculo se presenta tres páginas más adelante. Estos puntos serán considerados en detalle en el Capítulo 12. Los ejercicios propuestos son también un factor impor tante. Aunque el material del libro de rexto pueda aumentarse y a menudo así se hace, resulta todavía importante que exista un programa de ejercicios bien graduados en el texto principal. En algunos libros y materiales se presta una atención insuficiente a la graduación* El segundo problema en un conjunto de ejercicios puede resultar más difícil que el décimo. Igualmente, pueden aparecer en los ejercicios destrezas que no se han enseñado o que no se han revisado hace tiempo, originándose dificultades que no se preveían. Una expresión tal como x — x* — 6x, presentándose inesperadamente en un ejercicio de factorización de trinomios cuadrárteos, puede causar estragos en codos los alumnos, incluidos los más capacitados. Los alumnos que practiquen aplicaciones de la ley distributiva pueden hacer progresos con ejemplos como 3(2x — 3y) pero se detendrán en su camino por la aparición no anunciada de —(x + 2y). Conjuntos variados de ejercicios tienen lugar en la revisión y consolidación, pero deben ser planificados para los alumnos y estos deben saber qué pueden esperar. 1

El ritmo de trabajo Las principales dificultades de aprendizaje pueden deberse al ritmo de trabajo. En primer lugar, la velocidad con que un profesor desarrolla un tema puede resultar demasiado rápida para ciertos alumnos. Por otro lado, la exposición puede ser satisfactoria pero, al presentar el trabajo demasiado rápidamente, llegar a presentarse dificultades. Ninguna tarea de consolidación y revisión, si se lleva a cabo al mismo ritmo, mejorará el tema. Esto, naturalmente, se relaciona con las opiniones del alumno sobre la velocidad en matemáticas que se han discutido en el Capítulo 2. Las dificultades de aprendizaje también pueden venir motivadas por el ritmo con que se diseña un curso entero. No es extraña la existencia de programas que requieren que el alumno, el grupo o clase alcancen una cierta etapa en un tiempo determinado. Tales cursos, planificados con poco

Secuencialiíación de temas IM dificultades pueden ser causadas en ciertos alumnos porque una destreza que es un prerrequisito necesario para un nuevo tema no se ha encontrado desde hace algún tiempo. Los beneficios de un curriculum en espiral (ver

Capiculo 5, Sección 3) pueden reducirse mucho si no se vuelve frecuente y suficientemente sobre ciertos temas clave.

Niveles de lenguaje El nivel de lenguaje empleado por el profesor debe adaptarse a las capacidades y comprensión de sus alumnos; esto es cierto igualmente para la palabra escrita. En años recientes ha existido sobre este tema una conciencia creciente por lo que le dedicaremos una discusión posterior en los Capítulos 6 y 12, Aquí sólo haremos un comentario general. Muchos niños, particularmente los menos capacitados, tienen dificultades en su progreso matemático por algunas palabras o frases (aparentemente simples) utilizadas con frecuencia en matemáticas. (Los alumnos invitados a «completar los cálculos» que no han empezado, obtener un «conjunto de soluciones» cuando no están en una clase de ciencias y calcular productos cuando la lección no es de geografía! En general, e! lenguaje utilizado debe ser simple y evitar en la medida de lo posible, vocabulario inapropiado o confuso. Cuando se emplee vocabulario técnico, se debe tener cuidado en asegurarse que los alumnos entiendan el significado matemático de los términos implicados. Otra forma en que tiene tugar la interacción entre metodología y organización es a través de la atención individual que se preste a los alumnos durante un tiempo apropiado. La extensión en que esté disponible esta ayuda individual puede tener una considerable influencia sobre el aprendizaje del alumno. En las escuelas de un área urbana escocesa en la que los censos son bajos, la autoridad educativa utiliza profesores excedentes de matemáticas para proporcionar una ayuda adicional, especialmente a los alumnos ruás jóvenes, con dos profesores de matemáticas presentes en la misma clase. Más interesante resulta que una clase pueda tener tres bloques consecutivos de veinte minutos, estando un profesor en el primer bloque y los dos el tiempo restante. Como resultado surge una forma particular de enseñanza cooperativa con dos especialistas compartiendo la responsabilidad en los progresos del alumnado. Otras autoridades pueden proponer una cooperación entre profesores de apoyo o especialistas en dificultades de aprendizaje y departamentos de matemáticas. Estos especialistas, sí están apropiadamente entrenados y motivados, pueden influenciar favorablemente todos los aspectos de la administración del aula de matemáticas» incluyendo la metodología, de las siguientes cuatro formas:

DlHCtlTAMSDE APRENDIZAJE BASADAS № LA ORGANIZACIÓN ESCOLA*.

l. Consultan con los profesores de matemáticas, ayudan a eliminar recursos inconvenientes, promueven una evaluación bien definida, y ejercen una influencia general sobre el método de enseñanza. ?. Se constituyen en una ayuda importante para los alumnos menos capacitados, que tienen severas dificultades en el lenguaje básico y trabajo numérico, i. Participan como compañeros en la enseftanza cooperativa. Su papel no es tanto el de un auxiliar que corrije tos ejercicios, como el de un compañero especializado en dificultades de aprendizaje. 4. Proponen y supervisan programas para los alumnos que tienen problemas temporales a cono plazo causados por circunstancias tales como ausencia, enfermedad, traslado de instituto o problemas familiares. Finalmente, todo lo dicho resulta equivalente a una cita del Informe Cockcroft, Mathemalia Counts\ sobre el estilo de enseñanza y la metodología. Afirma (p. 243) que: la enseñanza de las matemáticas en todos los niveles debe incluir oportunidades para • la exposición por el profesor • la discusión entre el prolesor y los alumnos y entre los alumnos mismos. • el trabajo práctico apropiado • ta consolidación y práctica de las. rutinas y las desaeras fundamentales m la resolución de problemas, incluyendo la aplicación de tas matemáticas a situaciones cotidianas • el tribajo de investigación Como ei propio informe nota, sin embargo, una lista de actividades no garantiza una buena metodología. Los factores determinantes realmente son el contexto en que estas actividades tienen lugar, la importancia que se asigna a cada una y las relaciones entre ellas.

3. El curriculum de matemáticas Hasta aquí hemos considerado sólo superficialmente el curriculum de matemáticas. Ahora veremos tres dificultades de aprendizaje que se originan en el curriculum:

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i) Ausencia de dominio $ alumnos son capaces de establecer relaciones entre las propiedades de una figura y entre las figuras mismas. Pueden determinar la posibilidad de una propiedad a partir de otra. El proceso de enseñanza desarrolla conclusiones lógicas, clarificánd ose el papel de la definición. Este nivel puede ser descrito como educativo. Nivel IV: Los alumnos reconocen el significado de la deducción como un medio de construir y desarrollar ia teoría geométrica. Queda claro el papel de los axiomas en este desarrollo. Nivel V: En el nivel final las teorías se desarrollan sin necesidad de ninguna interpretación concreta. Es evidente que las dos primeras etapas de Van Hiele son de naturaleza experimental, basadas en el trabajo práctico, y solamente en el nivel III aparecen las ideas deductivas. Muchos programas actuales de matemáticas retrasan actualmente el trabajo en el nivel III hasta los catorce anos. Aún hay profesores de secundaria, sin embargo, que tratan la geometría como si los alumnos fueran automáticamente capaces de realizar deducciones y llegar a conclusiones lógicas; es decir, que alcanzan la etapa del pensamiento operacionat formal ayudados tan sólo por los libros de texto y la instrucción de clase.

La investigación sobre los niveles de desarrollo cognitivo en geometría ha sido llevada a cabo por P. M. Van Hiele, que ha identificado los cinco siguientes, denominados niveles de Van Hiele (ver Research m Learning and Teaching Maihemaífcí*, pp. 222*224).

Aunque hemos utilizado la geometría como una ilustración, la introducción temprana de una abstracción innecesaria causa dificultades en todas las áreas de las matemáticas. Esto será discutido en el capítulo siguiente.

Nivel 1: En este nivel los alumnos perciben diagramas geométricos como una totalidad. Los alumnos no observan:

iii) Habilidad innata

a) las parres individuales de la figura, b) las relaciones entre las partes componentes, c) las relaciones entre figuras diferentes. El reconocimiento de figuras es fácil ya que se perciben como formas completas. Este nivel puede ser descrito como global/descriptivo. 72

Dt7íCUtTAI>ES DE APRENDÍ?. Aj£ BASADAS EN LA ORGANIZACIÓN ESCOLAR,

* fieil, Cosccllo y Kuchtman.

La tercera fuente de dificultades en el aprendizaje provtnientes del curriculum se refiere al nivel de inteligencia. Algunos alumnos no tienen la habilidad innata para hacer frente a ciertos contenidos matemáticos. Mientras algunos alumnos pueden recuperarse a través de tina enseñanza complementaria, existen otros en lo que se observa una capacidad general baja a parür de cierto punto de un tema concreto. Este es un problema serio para el que no existe una respuesta simple, aunque las ideas discutidas en las

Secciones 2 y 3 del Capítulo 3 sugerirán ciertas líneas de actuación. Las siguientes estrategias generales —relativas a Ja organización escolar, metodología y curriculum— ayudarán a mejorar la calidad global del aprendizaje del alumno. Reuniones departamentales regulares: La reunión del departamento de matemáticas debe jugar un papel central en la discusión y evaluación de la política a seguir. Hoy en día, muchos departamentos tienen algunos profesores de maternaricas a tiempo parcial. Esto incluye a profesores que también enseñan otras asignaturas, profesores que se ocupan de labores de apoyo a otros profesores. La comunicación dentro del departamento es, por tanto, una cuestión importante. Las reuniones semanales pueden servir para asegurar que todo el personal implicado en la enseñanza de las matemáticas está convenientemente informado acerca de la organización y la política departamentales y tiene la oportunidad de contribuir a llevar adelante la planificación. Actualización del profesorado: Un buen programa de actualización del profesorado es de considerable valor. Puede tomar muchas formas y es siempre oportuno para incrementar la conciencia del profesorado sobre las dificultades del aprendizaje. Provisión de recursos de aprendizaje: Los recursos para e! aprendizaje en el aula se pueden obtener de varias maneras. Además del material producido comercial mente y del preparado dentro del instituto, se pueden obtener a menudo informes de otros institutos que, normalmente* recomiendan aquel material que han encontrado interesante y popular. Naturalmente, es necesario desarrollar criterios con los que valorar la conveniencia de los recursos tal como discutiremos en el Capítulo 11. Apoyo a alumnos individuales: Es especialmente importante una organización que facilite una ayuda individual efectiva a los alumnos. Si esta ayuda viene proporcionada por un profesor de matemáticas, no tendrán tanta importancia el profesor de apoyo o el especialista en dificultades de aprendizaje. Relación de la organización de objetivos: La organización escolar y departamental debe ser examinada para asegurar que ayuda a realizar los objetivos de la enseñanza pero no dicta cómo debe enseñarse la asignatura. Registro efectivo de observaciones: Es esencial tener un conocimiento fiable de la etapa de conocimiento en que se encuentra actualmente cada alumno en su desarrollo matemático.

APRENDIZAJE* BASADAS EN IA ORGANIZACIÓN UCOLALl

Relación entre el contenido y las actitudes y habilidades del alumno: Esto es central para el proceso global de enseñanza y aprendizaje. Debe haber una definición clara del contenido a enseñar, con indicación de las prioridades para los alumnos según sus capacidades y sus diferentes etapas de desarrollo. Estas estrategias deben ayudar al desarrollo de una metodología efectiva en el aula. Tal metodología requiere también la comprensión de las causas espeífícamente matemáticas de las dificultades de aprendizaje. El próximo capítulo se refiere a tales causas.

CAPfTULO 5

Dificultades de aprendizaje inherentes a la asignatura

•

En los Capítulos 2, 3 y 4 hemos examinado aquellas percepciones de las matemáticas en los alumnos que pueden interferir o bloquear el aprendizaje, hemos considerado algunos aspectos teóricos del proceso de aprendizaje de las matemáticas y cómo puede facilitarse dicho proceso, así como tres amplias áreas de dificultad en el aprendizaje dentro de! aula —organización metodología y curriculum. Volvemos ahora a las causas de las dificultades de aprendizaje adjudicables a la propia naturaleza de las matemáticas. Tales dificultades no son debidas, simplemente, a una pobre planificación curricular, aunque una planificación de este tipo indudablemente las aumentaría, sino que provienen de la naturaleza de la propia asignatura, sus procesos de pensamiento y su simbolismo. Para facilitar las referencias consideraremos por separado estas dificultades dentro de ocho áreas con los siguientes encabezamientos: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

«A

la naturaleza abstracta de los conceptos implicados la complejidad de los conceptos la naturaleza jerárquica de las matemáticas la naturaleza lógica de las matemáticas la notación formal los algoritmos formales el concepto y uso de las variables los conceptos espaciales y el pensamiento geométrico.

Aunque existe un solapamiento inevitable entre estas áreas, se puede identificar una idea central en cada una. No todas las áreas son exclusivas de las matemáticas —las ideas abstractas o complejas, por ejemplo., están presentes en muchas asignaturas— pero consideradas acumulativamente constituyen, para muchos alumnos*, unos obstáculos formidables para el aprendizaje de las matemáticas.

1. La naturaleza abstracta de los conceptos implicados

DtficuLTAors DE negativos, lo que le exigirá un nuevo reajuste de su perspecAPRENDIZAJE tiva, cosa que pocos niños pueden hacer satisfactoriamente. tNHEUNThs A LA Los alumnos más capacitados encontrarán en su debido ASIGNATURA momento la mtdtiplicación de matrices, productos escalares y vectoriales, todos denotados por las mismas palabras «multiplicación» y «producto», SÍ es capaz llegará a comprender que existen elementos comunes en todos estos cambios de límites y ele formas —por ejemplo, las operaciones llamadas de multiplicación están asociadas con operaciones aditivas y distributivas respecto de U suma (es decir, a X (b + c) = {a X b) + (a X c)). Este nivel de abstracción, sin embargo, está más allá de lo que son capaces casi todos los alumnos. (Existen, naturalmente, situaciones donde una operación es llamada multiplicación sólo por conveniencia notacional; esto pertenece a un nivel de estudio matemático superior al tratado en este libro).

LA LAS

Para mucha gente, ios conceptos y procesos matemáticos pertenecen a un campo del pensamiento que parece una tierra de tinieblas, donde se vislumbra ocasionalmente ahora una característica, ahora otra. Es una tierra de misterio en la que los resultados claros del mundo cotidiano son reemplazados por formas ambiguas cuyos límites son inciertos y cuyas lormas cambian, así que (como ya ha sido notado en el Capítulo 2) lo que en un momento parece claro y bien definido, parece imposible de reconocer en otro momento. C o m o ilustración, consideremos el siguiente desarrollo a partir del punto de vista infantil* En el comienzo de la escuela primaria aprende a asociar las palabras *dc*, «veces» y «producto» con el símbolo «X» de la operación llamada multiplicación e interpretada como una suma reiterada de números naturales. Así, tres cuatros, tres grupos de cuatro, tres veces cuatro, el producto d e 3 y 4 y 3 X 4 denotan la misma operación 4 + 4 + 4. Hasta aquí los cambios se han referido tanto al lenguaje como a la forma escrita. El significado es esencialmente el mismo. Sin embargo, al extender esta operación de multiplicación a las fracciones y enteros se observa la potencia de esta analogía. El niño ha percibido que la multiplicación es una operación sobre números naturales por ia que las cosas se hacen mayores. Tres grupos de cuatro significa añadir juntos cuatros de forma que la* respuesta será inevitablemente mayor que cuatro. (Los casos de la multiplicación por 0 y 1 plantean problemas aparte). Este aspecto de aumento en la multiplicación se construye sobre el concepto tal como llega a la conciencia mfantiL

La multiplicación ha sido discutida en detalle a causa de su importancia, pero el fenómeno descrito antes no es exclusivo de e s » operación. Se pueden encontrar ejemplos similares en cualquier tema matemático. Inicialmemc, una idea matemática aparece en un contexto particular y surge así con ciertas características relacionadas con este contexto. Estas características pueden ser vistas por los alumnos como una parce integral de la idea o el concepto y se pueden asociar, tanto con la naturaleza particular de las actividades prácticas utilizadas para introducir la idea como con su contexto matemático inicial. Muchos niños llegan a ver que las actividades prácticas no son una característica esencial de la ¡dea o del concepto, pero el contexto matemático inicial las asocia irremediablemente con ellas. (Fue al tratar con estos problemas que Dienes formuló sus Principios de variabilidad perceptiva y matemática). Hablando en general, la abstracción a partir de un marco físico ocurre antes que la efectuada a partir de un marco matemático.

Consideremos ahora las fracciones. Tempranamente al niño le resulta familiar la idea de la mitad de una manzana se obtiene ai dividirla en dos partes iguales. Más tarde aprende o encuentra que 1/2 de 12 es 6, obteniendo la respuesta nuevamente por división entre 2. Se le dice entonces que a este proceso se le llama también multiplicación y se escribe con el mismo signo X que se usaba en la multiplicación de números naturales. Encuentra también que el producto por fracciones propias tales como 1/2 y 1/3 hace las cosas mas pequeñas. Muchos niños no llegan a comprenderlo. La aparente solidez de su noción de multiplicación se disuelve siendo reemplazada por una idea resbaladiza, nebulosa que debe relacionarse con la división y la reducción de tamaño.

Para tomar un ejemplo matemático más sustancial, consideremos la introducción de las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente. Aparecen frecuentemente a! principio relacionándose con triángulos rectángulos y con definiciones formuladas en términos de ^adyacente», «opuesto*, ^hipotenusa». El contexto se refiere a alturas, distancias y ángulos de elevación y depresión. No se menciona la periodicidad (que no tiene sentido en un contexto de triángulos rectángulos) o la naturaleza funcional. Más tarde, muchos alumnos se enfrentarán con extensiones de la definición de ángulo comprendiéndolos entre los 90° y los 180 para tratar con triángulos arbitrarios. Pocos encontrarán las definiciones de las funciones periódicas completas del seno, coseno y tangente, en el contexto de un plano de coordenadas. Pero como los u

Supongamos que un alumno reajusta su pensamiento y llega a aceptar que «hacer las cosas más grandes* no es una característica esencial de la multiplicación. En su debido momento se verá confrontado a la multiplicación de enteros

>

DincutT\D€S Dt

definir un enrero como un número natural con un signo más MftEKiHZAjE o menos frence a él. Ambas cosas son igualmente insatisfacfSHEMzrrBAU tonas porque se refieren sólo a la forma escritaASKNATW* De igual forma, la definición de una matriz 2 X 2 como 4 números escritos en dos filas y dos columnas y encerrados emre paréntesis, se refiere sólo a la forma escrita aunque una definición tal puede encontrarse en libros de texto. A menudo, definiciones como éstas son las que recuerdan los alumnos, sobre todo si el enfoque de la enseñanza las resalta sobre las ideas realmente implícitas. Un profesor debe primero analizar por sí mismo aquellas características de una idea (o concepto o técnica) que el estudiante debe entender antes de poder aprenderla. Sólo entonces puede construir actividades y secuencias de aprendizaje que permitirán al que aprende ir conociendo aquellas características en una progresión apro piada. Volveremos sobre este punto al final de la sección.

alumnos más capaces encuentran difícil abandonar las definiciones originales basadas en el triángulo rectángulo, cuando lleguen a un conflicto intentarán que la definición vuelva a éste- La etapa final del proceso de abstracción, esto es, el desprendimiento de características matemáticas particulares y no esenciales, es la extracción de la noción de ángulo a partir de las definiciones de manera que, por ejemplo, en cálculo diferencial, la función sen (x*) sea significativa, aunque el cuadrado de un ángulo no lo sea. Este despojar a la cebolla de los aspectos matemáticos no esenciales es un aspecto ineludible del desarrollo matemático. Debe, por tanto, ser explícitamente planificado por la secuencia de enseñinza. Las dificultades de aprendizaje en esta área presentan los mayores problemas a los no especialistas implicados en la enseñanza de las matemáticas, ya que el esor debe comprender cómo y por qué tiene lugar este proceso de abstracción. Mucha de la potencia de las matemáticas surge en el proceso de remover las capas para alcanzar e| núcleo de la idea matemática. De los pocos componentes esenciales que tienen una idea o un concepto, el mayor es su aplicabilidad- La abstracción y la potencia van de la mano.

El profesor debe evifcar, mientras le sea posible, introducir aspectos complementarios complejos que no sean centrales al concepto o a la técnica. Por ejemplo, resolviendo una ecuación tal como 2x + 1 = 11, la introducción del conectivo lógico es de una complejidad superior a la que se requiere para encontrar la solución. Kn general, el contexto utilizado para introducir un concepto o una técnica no debe contener aspectos que requieran explicaciones sustanciales al comienzo. Al intentar superar los problemas que surgen de la complejidad de las ideas matemáticas, los profesores han recurrido a varias estrategias, de las que mencionaremos tres. Cada una tiene su mérito pero también es defectuosa de alguna manera:

2. La complejidad de los conceptos En la enseñanza se debe aceptar que todas tas ideas matemáticas son complejas. Que el profesor infravalore esta complejidad crea muchas dificultades de aprendizajePara demostrarlo, consideremos los dos siguientes temas, cuya complejidad a menudo no es completamente apreciada —las fracciones vulgares y los enteros- Traten, por ejemplo, de responder brevemente a las dos preguntas siguientes de una forma que capte la naturaleza esencia! de cada concepto:

i) la simplicidad a través de la abstracción ii) la simplicidad a través de la analogía üi) la simplicidad a través de la autoridad

L ¿Qué es una fracción? 2. ¿Qué es un entero? i) La simplicidad a través de la abstracción Pongan a prueba sus respuestas ante compañeros matemilicos y no matemáticos viendo si a) ellos les entienden, b) están de acuerdo con usted. Mientras mucha gente escaria probablemente de acuerdo en que describir una fracción vulgar como dos números naturales escritos verticalmente con una linca horizontal entre ellos sería una respuesta inadecuada para la primera pregunta, de otro lado muchos pueden encontrar razonable

•

i [

La idea que subyace a esta propuesta es que muchas ideas matemáticas son esencialmente simples cuando se ven bajo su propia luz, pero que esta simplicidad resulta ocultada por los contextos usados en su introducción a los alumnos —la misma idea puede presentar aspectos diferentes al que aprende en dos contextos distintos. Así, la esencia de esta estrategia es la de presentar definiciones, teoremas y técnicas en una organización tan abstracta como sea posible, evitando que tomen aspectos distintos en la mente infantil según el contexto tratado. Esto

es lo que sucede ¿ menudo en los cursos de matemáticas de IAEKB£AM&LDÍ la Universidad pero puede tener un coste importante. Los LAS ¿IATUÍÁIÍCAS estudiantes no pueden cntvndtr el propósito o la importancia de las definiciones, teorvnu* o técnicas o la motivación que conduce a ellas y, como consecuencia, no son capaces de aplicarlas a su trabajo, vencidos así por el tratamiento abstracto seguido. Además, el nivel de pensamiento abstracto que se necesita para llegar a la simplicidad puede estar lucra de su alcance. Los tratamientos de enteros en términos de clases de equivalencia que aparecen en algunas publicaciones comerciales de los anos setenta, fallan exactamente por esta razón. El trabajo de Piaget (y la experiencia práctica) deberían alertar a los autoras sobre los problemas que implica este enfoque. (lomo otro ejemplo en el nivel escolar de la propuesta de M i n p t i u d a d a través de la abstracción, consideremos el ti\. JK-niL desarrollo de las reglas habituales para la multiplicación de enteros. Consideramos el requisito uncial de que la multiplicación de enteros sea distributiva respecto de la suma. Para calcular 2 X ( - 3), por ejemplo, empezamos con 2 X (3 + ( - 3» = 2 X 0 = 0 Aplicando ia ley distributiva, obtenemos: ( 2 X 3 ) f ( 2 X ( - 3))=0 Sumando — 6 a cada lado nos da: 2 X ( — 3) ~ — Para calcular (— 2) X (— 3) comenzamos con: (2 + < - 2)) X { - 3) = 0 X ( - 3) = 0. Hntonces: ( 2 X < - $)) + « - 2 ) X ( - 3 ) ) = 0 Ahora: 2 X ( - 3) = — 6 Sumando 6 a ambos miembros tenemos ahora: ( - 2) X ( - 3) = 6. Matemáticamente, este desarrollo desde la suma a la multiplicación es simple; no requiere analogías o modelos complicados y utiliza una propiedad básica de la multiplicación: la distributiva respecto de la suma. Por sólo los más capacitados entre los de 12 y 13 años alcanzarán el nivel de pensamiento abstracto necesario para apreciar tal simplicidad. La mayoría de los alumnos entenderán muy poco o nada.

DincuiTAnes £>£

La definición de un vector como un conjunto de ¿mwflZAjE segmentos dingidos equivalentes es otro ejemplo de una INHERENTES A IA aproximación abstracta, matemáticamente impecable, pero ASKÍNATUM inconveniente para la mayoría de los alumnos. En el nivel escolar entonces, la simplicidad a través dr la abstracción no es una estrategia realista en términos del desarrollo mental de muchos alumnos. Resulta importante aquí mencionar el trabajo de Bruner discutido en el Capitulo 3, Sección 4. Bruner defiende el desarrollo tic principios generales para el proceso de abstrae* ción a partir de contextos particulares, no la introducción de dichos principios sin motivación.

ii) La simplicidad a trairs de la analogía Existe un intento de reducir las complejidades a través de la comparación de un nuevo concepto o proceso con alguna situación o actividad familiar o un lugar común que presente un parecido superficial con el concepto o el proceso. Por ejemplo, cuando traíamos con la regla «dos menos hacen un más* para la multiplicación de enteros, un profesor puede compararla con el uso de la doble negación en castellano. La frase «No voy a negarme a ir- es equivalente a «Voy». Esta analogía puede usarse también para explicar un resultado inverso como — (— 3) = 3. Desafortunadamente, esta analogía no sólo tiene una conexión con la multiplicación de enteros o con la regla inversa — (— a) = a, sino que puede igualmente estar ligada con la suma o resta de enteros donde, por ejemplo» (— 2) — 3 ^ 5. La llamada «álgebra de macedonia de frutas», a la que nos referiremos rnás de una vez, es otro ejemplo del uso de una analogía superficial que no está realmente conectada con la idea que ha de explicarse. Esta analogía consiste en tratar un término algebraico tal como 5x como siendo similar a 5 naranjas, así que, por ejemplo, 5x + 3x — 8x puede ser explicado refiriéndose a que 5 naranjas mas 3 naranjas son iguales a 8 naranjas. No es entonces sorprendente que el niño pueda pensar que 5x + 3y = 8xy sobre la base de que (1) ha de existir una solución (deseo de resultado, ver Capítulo 3, Sección 1), y (2) 5 naranjas más 3 manzanas dan 8 piezas de fruta, algunas de las cuales son naranjas y otras manzanas, En ambos casos las analogías consideran las ideas sólo a un nivel superficial y no ayudan a dirigir la atención del que aprende hacia el núcleo real de la idea, concepto o proceso implicado. Naturalmente, el uso de una analogía puede ser un método efectivo de alcanzar la esencia de una iJea pero

debe ser medíame una analogía que se relacione con la naturaleza matemática de la idea.

DIFICULTADES DE evitar o disminuir las consecuencias de una adhesión demasiado Af>REKDi/A|F estricta a la naturaleza secuencial de la asignatura. Tre& de INHERENTES A LA tales estrategias que pueden ser usadas a discrección por los ASIGNATURA profesores son las siguientes. Todas tienen peligros y ventajas.

üij La simplicidad a través de la autoridad La enseñanza de esta propuesta de enseñanza es «Haz como te digo*- En otras palabras, no intentar dar explicaciones sobre las actividades que estén diseñadas para promover la comprensión: es decir* enunciar ías definiciones, demostrar las reglas y dejar a los alumnos que las practiquen. Esto se justifica a menudo con el argumento de la experiencia —las explicaciones confunden a la gente y estorban un uso eficaz de las reglas. Sin embargo, como se lia discutido en los Capítulos 2 y 3, las reglas sin justificación no sólo pueden ser olvidadas o mal utilizadas, sino que el efecto de esta postura sobre la actitud global de los alumnos hacia la asignatura puede ser desastroso. Una respuesta al problema de la complejidad de las ¡deas matemáticas es la de considerar las distintas ramas de un concepto o una técnica y diseñar actividades para ilustrar cada rama separadamente así como las interrelaciones entre ellas. Haciéndolo así resultará evidente que algunos aspectos deben aparecer más pronto y otros más tarde. De esta forma se construye un análisis de tareas o jerarquía de aprendizaje, tal como se discutió en el Capítulo 3, Sección 2. Discurriendo a través de las etapas de la jerarquía, surgirán las reglas y las técnicas, y podrán ser practicadas en cada etapa. La confianza así construida servirá normalmente para que parezcan fáciles las etapas sucesivas. Así, el progreso a través de la jerarquía de aprendizaje se acompaña de una interacción entre las formas de comprensión relaciona!, instrumental y formal.

3. La naturaleza jerárquica de las matemáticas De todas las asignaturas escolares, las matemáticas son probablemente las más jerárquicas en su naturaleza. Si se permite que esta jerarquía en el contenido guíe la secuencia de enseñanza, no sólo es probable que surjan dificultades sustanciales en el aprendizaje, sino también que se provoque el aburrimiento y la apatía. Los peligros para el proceso de aprendizaje de construir todo el nuevo conocimiento sobre la misma base material, son bastante obvios y han sido discutidos en el Capítulo 4, Es, por tanto, una buena práctica en la enseñanza de las matemáticas adoptar un abanico de estrategias diseñadas para

i) Mirando hacia adelante Esta estrategia implica que ei profesor discuta con los alumnos la dirección futura del trabajo en matemáticas, de forma que puedan ver a donde les conduce dicho trabajo. Puede comenzar un tema a través de la discusión sobre los problemas finales que han de ser resueltos, en orden a motivar un trabajo dirigido a los métodos de resolución de los problemas planteados. Como ilustración, consideremos la habitual técnica de equilibrio para la resolución de ecuaciones simples. Muchos niños encontraron inicialmente tales ecuaciones en un contexto aritmético de inversión de operaciones. Por ejemplo, para resolver la ecuación 2x + 1 = 13, se debe hacer; 2x es menor que 13 en 1, así que 2x = 12 x es la mitad de 12, así que x = 6 Para motivarle hacia el equilibrio, se debe invitar a los alumnos a intentar encontrar la solución de una ecuación tal como 2x + 4 = 5x — I t , poniendo en práctica el método de equilibrio encontrado antes- Los alumnos pueden desarrollar las nociones de equilibrio por ellos mismos, con el consiguiente beneficio para su comprensión. Como un segundo ejemplo, una forma de motivar el descubrimiento del teorema de Pitágoras consistiría en considerar el problema de encontrar la longitud del segmento que una dos puntos dados en un plano de coordenadas, a través del cual los alumnos pueden construir el teorema por ellos mismos considerando el área de un cuadrado, uno de cuyos lados es el segmento en cuestión (ver el Capítulo 10, la Sección sobre el área). La mayoría de los alumnos puede descubrir lo que deben hacer y por qué, una minoría se aburrirá sintiéndose indecisos y sólo otra minoría apreciará que la jerarquía de contenidos le guía en su pensamiento (ver también el Capítulo 3, Sección 3). ti) Cambiando de tema Un aspecto a considerar es el del curriculum en espiral que fue mencionado en el Capítulo 4, en el que un tema

dado no era tratado de una vez por todas sino que se ¡ntroducía y se volvía a él en varias ocasiones siendo cada vez mayor el alcance y la profundidad con que era considerado. Un desarrollo tal está previamente planificado y es parte esencial de la construcción del programa (Capítulo 10). Puede tener lugar algún cambio de tema, aunque no baya sido planificado con anterioridad, si se basa en las observaciones del profesor sobre el progreso y las actitudes de los alumnos. Antes que continuar el desarrollo de un tema más allá de un punto en que el alumno evidentemente se aburre y progresa lentamente, un profesor debe decidir cambiar a una parte enteramente diferente de matemáticas —particularmente, si uno quiere volver a captar el interés del alumno. Los profesores bien organizados tienen material preparado y listo para ser usado en varios de tales temas de interés. El tema original puede ser retomado de nuevo más tarde, probablemente con un mayor interés del alumnoEs necesario enjuiciar con cuidado la posición y la naturaleza de tales cambios. Romper el desarrollo de un tema en un punto equivocado puede hacer necesaria una revisión posterior antes de poder avanzar de nuevo. Cambios demasiado frecuentes pueden llevar al alumno a pensar en una fragmentación del programa. Utilizados diestramente, sin embargo, los cambios pueden ser muy beneficiosos para mantener el interés del alumno hacia las matemáticas.

iii) Empezando de nuevo En algunas situaciones, puede resultar ventajoso comenzar el desarrollo lógico de un nuevo tema a partir de algunos temas previos, no desde el tema anterior sino desde los primeros principios o un material mis simple. De esra forma, se puede dar un nuevo comienzo y las dificultades del alumno con los tema* previos no interferirán en el desarrollo del nuevo. Por ejemplo, antes que desarrollar la regla del seno en su forma completa a^ partir de las propiedades angulares de los círculos, el profesor puede usar directamente la definición de la función seno en un triángulo rectángulo y obtener la regla en una forma restringida (Sección 8). La geometría en general conduce por sí misma a este enfoque, pese al coste de perder el sentido del desarrollo lógico (Sección 4 ) , Para muchos temas no es posible esta opción. Por ejemplo, la introducción de las funciones trigonométricas requiere un entendimiento previo de las propiedades de semejanza; de otro modo las definiciones no tendrían significado. El método general de reducción de las dificultades de aprendizaje en lo que respecta a la jerarquía de contenidos,

1

LA ENSEÑANZA IH

usMAnuAncAS

es el de la revisión, el asegurar que las principales características de los materiales encontrados previamente y que se requieren para comprender el nuevo tema, estarán presentes en las mentes de los alumnos. Las tres estrategias anteriores están diseñadas para disminuir, en ocasiones apropiadas, la necesidad y la extensión de tal revisión aunque, naturalmente, se requiere la revisión para otras cosas. Es parte de la profesional idad del buen profesor de matemáticas tener el suficiente conocimiento tanto de Jas matemáticas como de los procesos de pensamiento infantiles como para conocer cuándo la jerarquía de contenidos debe ser respetada, cuándo ignorada o esquivada. Como regla de trabajo general, si las matemáticas que han de ser ensenadas no precisan una secuencia particular de contenidos, entonces el programa de aprendizaje debe ser determinado por la receptividad de los alumnos.

4. La naturaleza lógica de las matemáticas El aspecto deductivo formal de las matemáticas se ha considerado una de las principales dificultades en el aprendizaje de la asignatura, de tal forma que, por ejemplo, la geometría eucüdea tradicional ha desaparecido de los programas escolares para ser reemplazada por métodos intuitivos más informales. Mientras que el abandono de las demostraciones formales sólo ha tenido elogios, la falta de atención sobre el pensamiento lógico es insatisfactoria en general, así como la incapacidad de seguir un argumento lógico es la causa de considerables dificultades en el aprendizaje de las matemáticas. Ciertamente, es una destreza de alto nivel, pero resulta necesaria en todos los niveles de competencia matemática. El abandonar esta destreza en beneficio de una aplicación instrumental de las reglas, además de limitar ¡a habilidad matemática de los alumnos, es siempre una mala práctica. Este es, sin embargo, un aspecto paradójico de las matemáticas que puede parecer irrazonable a muchos alumnos. Por ejemplo, como se ha mencionado en e! Capítulo 1, «1/3 4; i/12 = 4* puede confundir a los alumnos más capaces ya que 1/3 y 1/12 son fracciones pequeñas y 4 es más grande¿Cómo se pueden combinar dos fracciones pequeñas para dar una respuesta un grande? Nuevamente -1/12 < 1/2* puede causai" confusión ya que 12 es mayor que 2. Kent relaciona muchos de tales ejemplos en sus dos artículos «Sorne processes through wich mathematics is lost* y *More about some 1

1

Keot. D, 1978: Some proceses through wich minhematics ía lost, Educational Restar^ 21, 27-36.

processes through wich mathematics is lost**. Una chica pensaba que x = у no tenia sentido. ¿Cómo puede ser x lo

mismo que y? FJ sentimiento de lo inesperado que evencualmente se siente ante las matemáticas produce un estado mental en el que los alumnos siguen sus propias reglas. Para un alumno en estas condiciones, (a + b) = a + Ы es otro ejemplo de 2

2

2 (a + b) • 2a + 2b; 0,4 X 0,2 = 0,08 lleva a que 0.4 + 0,2 m

0,02. No es que el alumno esté dando razone» a lo loco; el piensa que se comporta racionalmente —se aferra a la idea de una regla y ahora usa su iniciativa para aplicarla a otras situaciones (ver Capítulo 3, Sección 3 sobre el trabajo de Case), Socavando esta iniciativa al decirles que dejen de hacer lo que están haciendo es, al menos, poco satisfactorio. Una alternativa preferible consistiría en animarles a que pensaran por qué y dónde trabaja la regla, de manera que pudieran observar por qué no funciona en otras circunstancias. Tales métodos de apoyo serán tratados con más detalle en el Capítulo 9. Algunas veces, naturalmente, es posible llegar a un resultado o método correctos para resolver un problema a través de una intuición ingenua antes que por el razonamiento lógico, pero una de las dificultades de aplicar estas intuiciones aparentemente razonables a la solución de !os problemas de matemáticas es que éstas presentan a menudo resultados que están en conflicto con la intuición y que, para mucha gente, son difíciles de creer. Uno de tales resultados, en aritmética, es que no existen más números naturales que números pares Un ejemplo famoso del matemático Besicovirch (el problema Кдкеуа) es el de una varilla de una longitud dada que puede

ser girada 160° dentro de un área tan pequeña como uno quiera. Para algunos, resultados como estos infunden un nuevo respeto por el poder lógico de las matemáticas; para otros, les lleva л ta opinión de que las matemáticas tratan con lo increíble y lo ridículo y están alejadas del sentido común del mundo cotidiano. A nivel práctico, sin embargo, la intuición puede ser una guía equívoca. Por ejemplo, considerar el siguiente problema* «Cuatro puntos forman los vértices de un cuadrado. Unir estos cuatro puntos entre $í por segmentos de longitud tan pequeña como sea posible». La configuración

DlKCULTACFS DE

y mucha gente pensará equivocadamente que el primer

APUNDI7A|h ffflEUNTESAH UDEOVU

diagrama da la solución. En efecto, una posible ^ ^ ^ ^ solución al problema no es obvia: Este último resultado es discutido en el libro clásico What is Mathematks?, de Courant y Robbins . Otro libro que ofrece muchas ideas acerca de la explicación y la demostración en matemáticas es Infinite Procttscs* de Gardincr'. Muchas de las sugerencias del libro de Gardiner pueden desarrollarse con alumnos capacitados de 15 o más años. El enfoque lógico de las matemáticas al que, como se ha comentado al principio de esta sección, es necesario darle importancia en las matemáticas escolares, conduce a considerar que los problemas pueden ser resueltos por medio de un pensamiento inteligente, sin confiar en métodos rutinarios, reglas formales o conjeturas aleatorias. Esta es una idea más amplia que la de la deducción formal. La última debe, naturalmente, ser conservada por los alumnos capicitados que pueden apreciarla y beneficiarse de ella, pero debe ser des* arrollada dentro de un contexto. 1

En cualquier caso, el propósito de la demostración en matemáticas no está tan bien definido como un no matemático pueda suponer. Hace doscientos arios, la demostración rigurosa en el sentido moderno no era la preocupación constante que es hoy. Lo que los matemáticos de aquel tiempo pretendían hacer era llegar a: a) su propia convicción de la certeza de un resultado, b) una explicación con la que convencer a los demás. Sus explicaciones debían a menudo mucho a la analogía o a lo que ahora se considerarían extrapolaciones injustificadas de resultados ya conocidos. Algunas de las demostraciones de The Laws of Thought de G. Boole (1851), basadas como estaban en analogías asombrosas, hoy serían consideradas insat i ¿factorías. Una perspectiva moderna de los propósitos de las demostraciones puede contener los dos aspectos siguientes (entre otros): c) mostrar las condiciones precisas bajo las cuales $e cumple el resultado;

da una longitud total más pequeña que

3

1

Kent, D . 1979; More about some processes M lost, tducjiional Renard*, 22t 22-31.

dirough wich matbemiDCi

Counnt, R. y Rofabiiu, 1941: Wh*t is Méthemattat OUP [i* castellano: «¿Que c ta matemática?*, Aguilar, Madrid, 1979]. Gardiner, A, 1^80: Infinite Processe*. Springer. 4

89

d) relacionar un nuevo resultado con la red de resultados LA :-ÑAN?A W existentes, de forma que su lugar en la estructura del IASMATUIÁIKAS desarrollo se pueda apreciar con claridad. Dentro del nivel escolar ni c) ni d) tienen una importancia primordial cli sí mismas, mientras que a) y b) proporcionan hi* l u s o sobre las que desarrollar laj» ideas de ua demostración formal. Las explicaciones comenzadas sobre la base de a) y b) pueden muy bien acabar en el contexto de c) y d) —en geometría, por ejemplo (ver Sección 8). Tales casos pueden ser utilizados para colocar la demostración formal en una perspectiva apropiada— como el punto final de una explicación, no como el punto de partida. En general, el lugar del razonamiento deductivo en el desarrollo de las matemáticas ha sido objeto de controversiaLa postura de filósofos de las matemáticas como Lakatos es que el avance de las matemáticas debe muchísimo más al enunciado y refutación de hipótesis que conducen a su refinamiento sucesivo que a las demostraciones formales como un fin en sí mismas, tal como puede defenderse desde l.i historia de las matemáticas. Del otro lado del espectro de opiniones hay matemáticos como Bel] o Dieudonné que defienden la alternativa de precisión lógica y exactitud de la demostración en matemáticas o su caída, El libro de Bell The Devetopment of Mathernatks* desarrolla este punto de vista con amplitud. Uno supone, en Ja práctica, que los matemáticos trabajan moviéndose entre una y otra perspectivas. No cabe duda de que la demostración formal ¡uega un gran papel, pero de forma más sutil de lo que pueda sugerir la noción de estricta deducción lógica. Sobre esto puede comprenderse algo más a partir del libro de Lakatos Proojs and Refutationr* donde la noción de análisis-demostración es discutida e ilustrada. En particular, investigando por qué fallan las demostraciones de un nuevo resultado, un matemático puede ser capaz simultáneamenie de llegar a la forma correcta de un nuevo resultado y a su demostración. i Sm embargo, los matemáticos confían igualmente en la intuición y la analogía, la especulación y el presentimiento sobre la hipótesis y las demostraciones Desafortunadamente, es el aspecto deductivo formal el que, demasiado a menudo en el nivel escolar, tiende a ser prominente en detrimento de aquellas destrezas investigadoras ya mencionadas. Lo que es más, para muchos alumnos la deducción lógica se confunde con procedimientos algorítmicos. Llegan a pensar que el 5

Bel! f T. 1945: The Dctvlapment of IUUWIAML McGraw-HüL * Lakatos, t. 1976: Pwft and Rrfnunons. CUP.

IXFKUITAÜES DE

proceso formal de resolución de una ecuación o la simplifica AJ*R£Kí>i2Ajt ción IM una expresión algebraica son sinónimos de argumento iKH&fthNTfS A LA lógico. De esta forma, los alumnos no pueden ganar AttCnAiuM experiencia ni de un argumento lógico formal ni de las destrezas investigadoras, adquiriendo así una perspectiva mis insatufactoria de la naturaleza de las matemáticas. Esto nos conduce nuevamente al fundamento del proceso de demostración —la habilidad para argumentar de una manera lógica. Como en todos los problemas de aprendizaje inherentes a la naturaleza de las matemáticas, las dificultades asociadas con la naturaleza lógica de la asignatura tienen más de un aspecto. Recursos aparentemente plausibles como prestar poca atención al pensamiento lógico tendrán un éxito improbable. En esta sección hemos indicado algunas formas de afrontarlo que serán desarrolladas en el Capítulo 9.

5. Notación formal En esta sección trataremos de las dificultades asociadas al uso de la notación matemática. Ya que una de las funciones de tal notación es hacer posible la aplicación formal de las reglas aritméticas/algebraicas, consideraremos también la naturaleza y lugar de tales reglas. Los procedimientos formalizados (algoritmos) son tratados en la Sección 6, y la Sección 7 considera las dificultades concretas que genera el concepto de variable y su uso. La notación formal en matemáticas, central para el desarrollo de la asignatura, puede causar una considerable confusión en las mentes de muchos alumnos. Es debido a la notación, al menos en parte, que las matemáticas se -icen visibles, ¡o que conduce a que distintos conceptos erróneos surjan de la separación entre la apariencia visible y el significado fundamental. En concreto, muchos alumnos intentan entender aisladamente el significado de la notación sobre la base de su apariencia visible. El error 3x — x = 3, mencionado en el Capítulo 2, es un claro ejemplo de esto —quitar x de 3x deja 3, Además, el uso anómalo en álgebra de la yuxtaposición para denotar la operación de la multiplicación (es decir, escribir xy por x X y) fomenta estas nociones equivocadas. Desde la perspectiva de las dificultades de aprendizaje ésta es una anomalía desafortunada porque no puede aplicarse al producto de dos números naturales específicos —evidentemente, no se escribe 28 por 2 X 8 . Además se escribe 2x, raramente x2. La notación también entra en conflicto en el caso de las fracciones como en el caso en que

2 1/3 significa 2 + 1/3. La confusión puede conducir fácil- LA ENSEÑANZA DE mente a resultados como 2 1 / 3 X 3 i/4 = 6 1/12. LAS MATEMÁTICAS Surgen más confusiones cuando nos encontramos con la notación funcional. Sen 30° es el valor de la función seno para un ángulo de 30"; no es algo llamado -sen» multiplicado por 30°. La escritura de sen 2x como 2 sen x surge a partir de la conversión propia de a2b en 2ab, De forma similar los errores sen(A + B) = sen A + sen B log(a + b) = log a + log b proceden en parte del uso de la yuxtaposición para escribir la multiplicación. Otros errores surgen, al menos en parte de la apariencia visual, como T

x + 3 ^ 3 x + 3 __ x+2 T* x + 2

4

1 • 1 __ 1 a TT a+ b '

h ^ =h.

T

Tales errores son debidos también al uso de reglas fuera de su propio contexto. Todos los profesores de matemáticas tienen su propia lista de ejemplos similares. La notación de índices es otra área donde la apariencia visual hace posible la confusión. El uso de a para denotar a X a (nunca se escribe aa, curiosamente) aunque frecuentemente confundido con 2a, es una forma escrita razonable de la que salen resultados como a X a — a que pueden ser demostrados por conversión a la forma expandida. La posición del X entre el 2 y el 3, sin embargo, conduce por sí misma al error a* X a* = a*. 2

J

3

DIFICULTADES DÉ A?RfeN0.ZAJ£ fNHFRENTES A LA ASIGNATURA

Es necesario también que los profesores sean precisos en la interpretación de la notación- Ya hemos mencionado {en la Sección 2) el problema que puede causar la interpretación del álgebra como »macedonia de frutas*. Como un ejemplo más, consideremos la fórmula de conversión de horas a minutos. Para los alumnos que piensan que las letras representan de alguna forma cantidades en general, la fórmula 60 m = h puede erróneamente parecer razonable, pensando vagamente que m representa minutos y h horas, cuando la fórmula correcta es m =* 60 h, donde h es el número de horas y m el correspondiente número de minutos. De igual forma, una interpretación demasiado causal del signo de igualdad puede fácilmente conducir a 4 4 - 3 = 7 + 5= 12, entendiendo que el significado es de 4 más 3 igual a 7, más 5 igual a 12. La utilización del signo de igualdad en matemáticas plantea varias dificultades de aprendizaje. El niño encuentra primero normalmente el signo en su forma operacional —5 más 2 hace 7, que se escribe 5 + 2 = 7— y sólo más urde en su aspecto más general de equilibrio. En álgebra, el uso del signo igual denotando tanto e c u a c i o n e s como identidades puede causar confusión. Por ejemplo. x(x -f 2) = x* + 2x es una identidad pero x(x + 2) = 3x + 2

5

No obstante, las confusiones más serias ocurren en la extensión al cero, índices negativos y fraccionarios. Muchos alumnos opinarán que a* debe ser igual a cero, (ya que a^ significa 2as multiplicadas entre sí, a° debe significar ninguna a multiplicada por sí misma, es decir, cero). De manera similar, a ^ debe ser negativo para un a positivo, y 1/a debe ser Las supuestas anomalías no están en la notación sino en el pensamiento de los alumnos, ya que las definiciones actuales nacen del deseo de preservar, para todos los índices racionales, las leyes de índices establecidas cuando son números naturales 1, 2, 3 y en particular, la ley a X a = a . Si esta ley es aplicada a los índices cero, negativos y fraccionarios, entonces las consecuencias son a° = 1, a— = 1/a, z = \¡ a. Esto no impide que estas definiciones parezcan extrañas a los alumnos. 1

es una ecuación. De nuevo, si el signo de igualdad es utilizado en la simplificación de expresiones algebraicas, ¿por que es equivocado, se preguntan muchos alumnos, usar el mismo signo cuando se simplifican ecuaciones? Hemos notado tambión, en la Sección 3> que los alumnos pueden confundir fácilmente la forma escrita con el concepto que representa. Para tales alumnos, —3 es un entero consistente en un signo menos y un número natural;

2

m

1

fl

rofft

i n

ti

t )

es una matriz. Esto no es erróneo, pero separa las formas escritas de las ideas que representan, con las consecuencias ya indicadas. La mejor forma de tratar con tales conceptos equivocados es, naturalmente, animarles a pensar acerca del significado de lo que hacen- Una presión excesiva sobre ello, sin embargo, puede entrar en conflicto con el propósito principal que

93

anima el empleo de la notación formal: el llevar a cabo los LA ENS&SANZA DE procesos matemáticos sin tener que justificar cada una de sus i AS I.ATRAIATICAS etapas individuales, estando determinadas la manipulación apropiada y las reglas de simplificación por la forma matemática de las expresiones implicadas. Las reglas en sí mismas deben ser justificadas en una etapa inicial por su significado pero» en la utilización habitual, son las formas de la notación las que determinan la elección de las reglas. Un alumno que ha de referirse a tal significado de cada etapa no sólo tendrá una gran dificultad en llevar a cabo las distintas manipulaciones, sino que tendrá poca ventaja en el uso de dicha notación. Este es uno de los dilemas centrales de la enseñanza de las matemáticas. El uso formal de la notación puede conducir a reglas sin fundamentos, a una manipulación sin significado y, aún así, la manipulación formal sigue siendo una característica esencial de la asignatura. De esta forma, al tratar de las dificultades que experimentan los que aprenden, minimizar las dificultades con la notación es optar por no hacer matemáticas. Esto es cierto igualmente en un nivel más básico con los alumnos menos capacitados. Corno se comentó en el Capítulo 2, quedarse en el mundo de los materiales concretos puede considerarse, para tales alumnos, como el único camino posible para capacitarles frente a las demandas numéricas de la vida cotidiana, pero significa retirarse al mundo infantil de las matemáticas; un retiro, además, que sería considerado inadmisible en otras áreas de comportamiento. Por ejemplo, cuando el adulto es incapaz de leer, una respuesta adecuada resulta ser la de proporcionarle libros de grabados con dibujos que le den significado. Como un objetivo literario en ¡os adultos es capacitar a la gente para tratar adecuadamente con material lingüístico escrito, en matemáticas el objetivo debe ser el de permitir que estos alumnos interpreten la notación (aritmética principalmente) y la utilice en situaciones reales. Volveremos sobre esto en el Capítulo 6 sobre Lenguaje y Numeración. El problema referido antes —impedir la manipulación de notación aritmética o algebraica sin recurso directo al significado a partir de una manipulación que favorece la falta de significado —puede exacerbarse si, como sucede a menudo, los alumnos no ven las características de lo que están haciendo. De igual manera, allí donde los alumnos comprenden razonablemente las reglas manipulativas del álgebra y las utilizan formalmente, pueden apreciar una pobreza en su trabajo —los ejercicios no parecen llevarles a ningún lado. Esto puede suceder en todas las etapas de la educación secundaria, pero es más preocupante cuando ocurre en los

TAors DF comienzos del •u'fttNDQAjt»: excesivo interés

DirKui

álgebra, alrededor de los 1! o 12 años. Un por la resolución de ecuaciones lineales y por INHERENTES A LA la simplificación de expresiones como ASIGNATURA 2x + 3y + z — x + 2y — 3z puede causar muchos problemas para entender el propósito del álgebra. Una introducción al álgebra a través de idea:, funcionales y afirmaciones universales mostraría con más claridad el propósito de la notación algebraica. Por ejemplo, supongamos que tenemos la secuencia 1, 4, 7, 10, 12, obtenida por suma reiterada de 3, y estamos interesados en obtener una regla para determinar un número particular a partir de su posición en la secuencia. Tal regla, determinada probablemente por ensayo y error, según c! nivel del alumno, consiste en multiplicar la posición por 3 y entonces restar 2 as! que, por ejemplo, el décimo número en la secuencia es (3 X 10) — 2» como puede verificarse continuando la secuencia. Esta regla puede ahora ser expresada concisamente diciendo que eí número en posición n es {3n — 2). Otra regla que puede obtener un alumno es la de restar uno al número de la posición, multiplicar el resultado por 3 y entonces sumar L Esto produce el resultado 3(n — l) + 1. Expresado así se puede reescribir esto como 3n — 3 + 1 = 3n — 2 de modo que, como debe ser, las dos regias son equivalentes. Las ecuaciones pueden ahora permitir hallar el lugar invirtiendo la regla —dado el número, encontrar su posición en la secuencia. Por ejemplo, para encontrar la posición del 67, precisamos encontrar un n cal que 3n — 2 = 67. La regla misma es una relación funcional y es una forma de afirmación universal ya que se cumple para todos los valores de n. Las afirmaciones universales no necesitan estar directamente relacionadas con ¡as funciones. Pueden tomar la forma de identidades. Por ejemplo, al practicar los alumnos multiplicaciones se pueden dar ejercicios consistentes en multiplicar dos números entre sí, uno de los cuales es mayor que el otro —2 X 4, 3 X 5, 4 X 6 y así sucesivamente. En cada caso pueden observar {o ser guiados hacia ello) el hecho de que cada respuesta es menor que el cuadrado del número que hay entre elios; por ejemplo, 4 X 6 — (5 X 5) — L La siguiente etapa consiste en expresarlo más brevemente. Se puede hacer o bien n(n + 2) = (n + l)(n -I- 1) — 1 = (n + 1)1 — 1 o bien (n — l)(n + 1) = n — 1 2

y comprobarlo para distintos valores de n. La forma algebraica da una expresión clara y abreviada del hecho y hace posible una explicación que irá más allá de la capacidad de muchos alumnos. (Existen también, naturalmente, explicaciones geométricas del resultado). Como un tercer ejemplo, consideremos la suma de los n primeros números naturales. Varias estratagemas —aritméticas y geométricas— sugerirán que

LAIFSEÑANZADE US MATEMÁTICAS

DIFICULTADES DE APREADIZAJE 1NKE&ENT&SAH ASIGNATURA

de llevar a cabo correctamente la manipulación sin el recurso continuo a la interpretación semántica. d) Tener el propósito de desarrollar la notación y el cálculo algebraicos. ej Conocer el aspecto anómalo de la notación matemática y asegurarse de que los alumnos entienden estas anomallas reales u supuestas.

6. Algoritmos formales 1 + 2 + 3 + ..- + n = 2 Tenemos una expresión simple en forma algebraica a partir de la cual resulta fácil realizar el cálculo para un valor particular de n. O t r o ejemplo de este enfoque del álgebra se presenta en la Sección 7, Contexto (viii). De esta forma, un enfoque del álgebra a través de ideas funcionales y afirmaciones universales demuestra la utilidad de la notación algebraica. Se hace evidente cuál es el propósito al introducir letras y resolver ecuaciones. Las reglas manipulativas —asociativa, conmutativa, distributiva, etc.— son necesarias para convertir una forma algebraica en otra, para mostrar que dos formas algebraicas son iguales, para expresar una fórmula o una regla en una forma tan simple como sea posible. Se clarifica así la importancia y la utilización de tales mantpulaciones. Un enfoque tal hace también más fácil de apreciar al principio del álgebra el concepto de variable, tema sobre el que volveremos en la Sección 7. La enseñanza actual requiere una presentación completa a través de muchos casos numéricos, dirigidos a establecer afirmaciones generales. Esta no es una opción fácil pero no es sorprendente que las dificultades de aprendizaje relacionadas con la notación desaparezcan totalmente y que el álgebra gane en significado y motivación (Ver también la discusión sobre las fórmulas en el Capítulo 10). La habilidad para usar ta notación matemática con efectividad requiere tiempo y experiencia en su desarrollo. En el proceso de promover este desarrollo, los profesores deben tener en mente los siguientes principios: a) Dar un significado preciso a los símbolos y la notación matemáticos. b) Conocer los problemas causados por la apariencia visuaL c) AI tiempo que se asocia la manipulación con el significado, desarrollar también en los alumnos la habilidad

Hemos dicho ya mucho acerca de este aspecto d/ las matemáticas. Aquí nos concentraremos sobre unas pocas características centrales en torno a la cuestión. «¿Cuan importantes son los algoritmos en las matemáticas escolares?*. Al discutir la cuestión restringiremos el término «algoritmo* a los procedimientos de cálculo numérico formal tales como la división larga o el procedimiento de división sintética para los polinomios. As!, un algoritmo es un proceso numérico automático que se puede llevar a cabo con la calculadora o el ordenador y se distingue de la manipulación algebraica formal en general. La habilidad de razonar no está implicada. En un sentido real las matemáticas acaban en los algoritmos. Vista a esta luz, mucha aritmética tradicional de la escuela primaria es periférica a las matemáticas. En efecto, uno de los mayores problemas en el trabajo matemático de la escuela primaria es la separación entre los algoritmos de cálculo y las ideas matemáticas, de modo que los alumnos concluyen que los algoritmos vienen a ser la esencia de las matemáticas. En el pasado existían más algoritmos mentales que los existentes hoy —el algoritmo de la división para calcular las raices cuadradas es un ejemplo. ¿Cuántos lectores menores de 50 años conocen cuál era? Hoy en día, con la fácil disponibilidad y el precio barato de las calculadoras es un punto a debate (en primaria o secundaria) cuánto tiempo se debo emplear en practicar los algoritmos rutinarios de cálculo aritmético. Puede preferirse emplear el tiempo as! destinado a extender las habilidades de los alumnos para trabajar inteligentemente con los números. Para los alumnos menos capacitados, poder formar una estimación razonable de la respuesta numérica (ver Capítulo 6) o ser capaz de utilizar un método no algorítmico más largo que pueda entender, es una preparación mejor para la vida adulta que una frecuente práctica algorítmica que puede ser olvidada en gran medida después de dejar la escuela. Para todos los niños, el énfasis en los algoritmos va en detrimento de la calidad esencial del razonamiento en mate-

maricas. Obligar a los niños a responder mediadamente y U tSUERAN2A DE enseñarles pocos o ningún algoritmo es, quizá, excesivamente i-** MATTMATICA* drástico, pero a! mismo tiempo puede recuperar las matemáticas reales y darles más importancia en la mente de muchos alumnos. (Ver también Atajar Problems in Mathernatics Educaúon de Frcudenthal). 7

Hasta aquí hemos resaltado el lado negativo de los algoritmos, donde interfieren con las habilidades de razonamiento y el pensamiento matemático; ahora volveremos a los aspeaos positivos. Los algoritmos son dignos de valoración cuando permiten hacer con técnicas más simples lo que, de otro modo, serían procesos complejos y/o largos2

Por ejemplo, la fórmula nr para el área de un círculo de radio r, da un procedimiento para calcular áreas de círculos para el que no existe una alternativa practicable y mas sencilla. (Ver el Capítulo 10, Sección sobre el área). Como un segundo ejemplo, la fórmula l + 2 + 3 + ... + n = l / 2 n ( n + l) reduce la longitud de los cálculos tales como 1 + 2 + 3 + ... + 1000 a 1/2 X 1000 X 1001. Un ejemplo de un poderoso algoritmo que no se basa en una fórmula es el que permite calcular el mayor factor común de dos números- El algoritmo depende del resultado de forma que, si a = bq 4- r> entonces M F C (a, b) == MFC (b, r) lo que es fácil de comprobar ya que un factor común de a y b es también un factor común de b y r, y viceversa. Supongamos que deseamos calcular M F C (28374, 13436). El algoritmo da, sucesivamente, MFC (28374, 13436) = M F C (13436, 1502) = M F C (1420, 1502) = M F C (1420, 8 2 ) = M F C (26, 82) = MFC (26, 4) = 2, donde en cada etapa calculamos el resto de dividir el número mayor de los dos entre el menor. Existen formas más breves de llevar a cabo las etapas del cálculo, pero la potencia del algoritmo no depende de esto. Para apreciar esta potencia el lector puede intentar encontrar el M F C (28374, 13436) por el método alternativo de la factorización en números primos. Un buen algoritmo es un algoritmo eficaz. Demasiado a menudo los algoritmos son vistos por los alumnos, en el nivel escolar, como «el procedimiento que ha dicho el profesor». Sí un algoritmo no puede demostrar ser claramente superior a los otros métodos en términos de tiempo y esfuerzo empleados, su razón de ser ha de ponerse en cuestión y la persistencia del profesor en su utilización 7

Freudenthal.

DincuiTADfcS DE llevará a socavar la confianza del alumno en lo razonable del APRENW2AJI trabajo matemático en general, lo que originará una variedad INHERENTE ALA de problemas de aprendizaje. ASIGNAIVIU Cuando se usa un algoritmo es importante que, en unco sea posible, los alumnos también entiendan por que funciona. Esto no quiere decir que un método «ingenioso» no explicado no deba ser introducido ocasionalmente para añadir un elemento de diversión y misterio, o que fórmulas no demostradas (en el nivel previo al cálculo) tales como la del volumen de la esfera, 4/3 írr , no deban ser usadas* pero deben constituir una excepción. El método de multiplicación llamado ruso o chino es un buen ejemplo de un algoritmo interesante. Consideremos 34 X 19. Duplicando sucesivamente el primero y dividiendo el segundo por dos al tiempo que se ignora el resto* da: 3

34 68 136 272 544

19 9 4 2

1

Ahora sumamos los números de la columna de la izquierda que se oponen a los números impares de la columna derecha. Esta suma da la respuesta, 646. Bastantes niños se divierten con este procedimiento aunque la explicación en base dos está fuera de su alcance. Los algoritmos forman un aspecto importante de las matemáticas que no siempre está claro para los alumnosProporcionan (o deben proporcionar) procedimientos eficaces y fáciles de usar que de otro modo darían lugar a cálculos complejos y largos pero no son un sustituto del pensamiento razonado lógicamente, que es el núcleo de la asignatura.

7. El concepto y el uso de las variables El concepto de variable en matemáticas está lejos de ser simple; los alumnos más adelantados son capaces de cometer los errores más abísmales. Parte de la dificultad consiste en que, en el álgebra de la escuela elemental, muchos de los contextos no tienen (al menos para el pensamiento de muchos alumnos) un sentido de variabilidad. Veremos primero algunos de estos y, posteriormente, trataremos de los contextos en los que la noción de variable es más fácil de entender. Se introduce cada contexto a través de un ejemplo típico. Existen estrechas conexiones con la Sección 5 de Notación formal de forma que las ideas discutidas entonces

deben tenerse en cuenta. Aquí no nos referiremos tanto a las notaciones en sí mismas como a las ideas representadas por estas notaciones (o que los alumnos piensan que representan). Un tipo similar de análisis puede ser encontrado en el artículo «Children's Understanding of Numérica! Variables» de D. Kuchemann, reproducido como Capítulo S en ChÜdren's Understanding of Mat/wmatics, de K. Hart (editor)*. El libro mismo contiene los resultados de un extenso proyecto de investigación sobre el pensamiento matemático infantil y es, por el!o> conveniente su lectura.

Contexto i): Si b + 4 = 9¿cuál es el valor de h? Aquí la letra b tiene un valor específico. Es una cantidad inicialmentc desconocida pero evaluable. No se evidencia variabilidad- Los problemas de esta clase, habituales al final de la escuela primaria, pueden llevar fácilmente al niño a pensar que una letra tiene siempre un valor específico- Este uso de las letras» frecuentemente el primero que el alumno encuentra, se desarrolla a partir de la simple forma aritmética • + 4 = 9, donde el número desconocido ha de ser insertado dentro del recuadro. Este mismo no tiene valor sino que indtea simplemente que existe un número desconocido, A partir de este punto es usual plantear preguntas como *S¡ • + 4 = 9, entonces • = ?», que es conceptuaimente diferente de poner el número desconocido en el recuadro. El recuadro D pasa de ser un indicador a ser un símbolo matemático con un valor numérico, que puede ser combinado con números y otros símbolos tales como +. En algún momento, los símbolos tales como • son reemplazados por letras del alfabeto tales como n o x. Esta forma de introducir el álgebra —desde un recuadro a una letra con un valor fijo— no es probable que de al niño una ¡dea real de la noción de variable.

Contexto ti): ¿cuál es el valor de Ja a = 2, a = 3?

+

4 cuando .1

=

1,

Nos movemos ahora desde la noción de una letra que tiene un valor fijo, inicialmentc desconocido pero calculable, a (a idea de una letra que puede ser reemplazada por varios números. Sin embargo, la cuestión realmente es un cálculo • Нагц К, Miixray.

(ed.) 1981: Chdiren't Understanding of Matbematks. John

DiRCtXTADESDE AHUMDtZAjE

numérico disfrazado. Lo que se le pregunta al alumno-es el cálculo de ( 3 X 1 ) + 4, ( 3 X 2 ) + 4, ( 3 X 3 ) + 4.

INHERENTES A LA ASIGNATURA

Contexto iii): Si cada lado de un cuadrado tiene s ста, ¿cuál es el perímetro total del cuadrado? Mientras que se puede pensar que ahora empieza a aparecer un sentido real de la variabilidad, no lo ven así los niños. Esto se puede apreciar en la respuesta habitual s + s + s + s. De igual forma, en el caso de un rectángulo de lados s cm. y t cm., una respuesta que se da frecuentemente es s + t + s + t. Estas respuestas indican lo que se quiere hacer —sumar los lados entre sí. No existe simplificación porque las letras son vistas como nombrando simplemente a los lados.

Contexto iv): Simplificar 2x + 3y + 4x — y Aquí. las letras x e y no son interpretadas a menudo como números que representan a algún conjunto, es decir, como variables que recorren un conjunto, sino como objetos reales dír alguna clase —la noción de «macedonia de frutas* discutida anteriormente.

Contexto v): ¿Cuál es el multado de sumar S a 3x? Esta cíase de pregunta confunde a muchos niños. La respuesta —3x + 5— no les parece una respuesta, ya que no ha tenido lugar ninguna suma. Ciertamente, existe poca consideración de la cantidad variable 3x + 5, con 5 mayor que 3x para algún valor de x. Un error común es, naturalmente, Sx.

Cotffejcfo vi):¿Para qué valores de x en el conjunto JO, 1, 9} es 3x + í < 19? Se le pide al alumno que evalúe 3x + 1 para x = 0, 1, 2, 9 y compare la solución con 19. Aunque los términos de la pregunta parecen indicar claramente la noción de variable, muchos niños realizan esencialmente otro tipo de cálculo aritmético. En los siguientes cuatro contextos, la idea de variable se hace más evidente.

Contexto vü): ¿Cual es el n-ésimo número impar?

LA ENSEÑAN2A DE

LAS MATEMÁTICAS A partir de una pregunta como ésta difícilmente puede eludirse el verdadero concepto de variable. La letra n puede ser un número natural cualquiera; la respuesta, (2n — I) nos dice cómo encontrar el número impar requerido a partir de su posición en la secuencia de números impares. Naturalmente, esta es una relación funcional y es en esta clase de relaciones donde se puede ver con claridad la noción de variable en ios comienzos del álgebra. Contexto viii): Un rectángulo tiene un área de 24 cm* Encontrar una expresión para el perímetro del rectángulo en términos de la longitud del rectángulo Se le pide al alumno que describa el método de cálculo del perímetro de tal rectángulo, conociendo su longitud. La expresión resultante es 2 o, como una fórmula: P =

2

( i

+

^ )

donde la longitud es de 1 cm. y el perímetro de P CÍÍI El símbolo *U representa una variable ya que su valor cambia de rectángulo en rectángulo. Representando esta relación (funcional) entre e! perímetro y longitud sobre un gráfico cartesiano se refuerza el concepto de variable, ya que el movimiento a lo largo del gráfico es una consecuencia de la variación del valor de la longitud. El trabajo gráfico, en general, puede ser de una considerable ayuda en el refuerzo del concepto de variable ya que hace, en algún sentido, visible la variabilidad. El enfoque gráfico puede tener un uso eficaz al introducir ideas algebraicas (véase el final de la Sección 5) ya que los gráficos pueden ser construidos sobre bases puramente numéricas, introduciendo los símbolos algebraicos para dar una descripción concisa, corta y fácil de la relación descrita con palabras en castellano.

Contexto ix): Demostrar que si x > 5, entonces 4x + / > 3x + 4 IUJ

Este es un contexto no funcional en el que la letra x tiene claramente las características de una variable. Nótese

DíftcutTAOESDr que en el tipo inverso de problema — «Demostrar que si 3x APftENDiZAjr + 1 > 2x + 5, entonces x > 4 — la noción de variable iNHfcRFXTFS A LA tiende a no resultar tan obvia ya que el problema es tratado ASiGNAniRA normalmente bajo la rúbrica de «Resolver una inecuación* que, a través de un proceso manipulativo formal* no requiere realmente una consideración de la idea de variable.

Contexto x): El n-ésimo número impar es 2n — l; ¿Cuál es el (3n + í)-ésimo número impar? Esto es equivalente a preguntar por f{3n 4- 1), dada f(n) 2n — 1. La capacidad de tratar correctamente un problema de este tipo indica que el concepto de variable está bien entendido. Pocos alumnos de secundaria se sienten realmente confiados en este tipo de problema. Es útil examinar en detalle el problema del contexto (x). En esencia, la o de (2n — 1) tiene que ser sustituida por 2n + 1 para dar 2(3n + 1 ) — 1 que, una vez simplificado, resulta 6n 4- 1. Sustituir ahora n por un número tal como 5 es sencillo. Escribimos «cuando n = 5, entonces 2n — 1 = 9*>. De igual forma, podemos sustituir n por 5a, digamos, y escribir «cuando n = 5a, entonces 2n — 1 = 10a — 1*. Pero no es matemáticamente prudente escribir «cuando n = 3n + 1, entonces 2n — 1 = 2(3n + 1) — 1 = 6n +• 1», ya que n = 3n 4- 1 requiere que n = — 1/2. Este es un aspecto del término «variable» que no hemos visto hasta ahora. Para observarlo más claramente, es útil considerar la interpretación numérica del probl ema. Nos hemos referido inicialmenre a la correspondencia =

1 1

2 3

3 5

4 7

5 9

6 11

7 13

... n ... (2n — 1).

Considerando ei número impar (3n 4- l)-ésimo tenernos una nueva correspondencia: 4 7

13

10 19

13 25

16 31

... ...

3n4-l 6n+l

En la primera correspondencia, n se refiere a la posición ordinal del número impar con referencia a la secuencia 1, 2, 3, 4, 5 — En la segunda correspondencia n se refiere a la posición ordinahen referencia a Ja secuencia 4, 7, 10, 12, ... Asi, la n en (3n 4- 1) tiene un significado diferente del que presenta en la afirmación *EI número impar n-ésimo es (2n — 1)». De esta forma se hace evidente que, mientras en muchas circunstancias cualquier ocurrencia de una variable

en un contexto matemático dado tiene el mismo significado e idéntico valor, existen otras circunstancias donde no es asi. Una situación similar surge en el cálculo de una fórmula para la función inversa a partir de la relación: y

L* ENSEÑANZA i* I-ASMATOÍATICA*

DlüCUtTAWS DI APKENWAJi

y - i» +

1

GERENTES A LA ASIGNATURA

= f( ) m x = f-'{y). x

Por ejemplo, a partir de y = 2x + 3 obtenemos, por reordenamiento» x = 1/2 (y — 3) así que

1

^

x

Nótese que aparece una dificultad relacionada con la sustitución numérica. Sustituyendo 5. digamos, por x en lx 6 R: x > II el resultado no tiene sentido.

a

f-Hy) l/2(y-3). Esto puede repetirse como

Cálculo

f-t(x) = 1/2 (i - 3), pero ello no unplica que y = x« o que la x en ffx) = 2x + 3 se deba identificar con la x en í~ (x) = 1/2 (x — 3). Vemos, por tanto, que las situaciones surgen donde: i) pueden hacerse los cambios de variables aunque no exista identidad de significado o de valor entre las variables cambiadas; o ü) puede existir más de una presencia del mismo símbolo de variable sin necesidad de que los símbolos tengan siempre el mismo valor. No es sorprendente que surjan dificultades de aprendizaje, ya que es necesario prestar atención en muchas introducciones del álgebra a que un símbolo de variable en un contexto dado tome siempre el mismo valor, Los niños afirman, por ejemplo, que en x + s - 10, resulta equivocado dar a la primera x el valor de 7 y a la segunda el valor de 3. Brevemente debe mencionarse que el hecho de qpe, por ejemplo en x + y = 10, x e y tengan el mismo valor es también una sorpresa para algunos niños. x

En las matemáticas escolares, estos problemas ocurren principalmente en tres áreas —la notación del conjunto solución, la notación funcional y el cálculo. La notación funcional ya ha sido mencionada. Veamos algunos ejemplos de las otrxs dos áreas.

a) /x dx = l/2x* + c, c o n / 3 dx # 9/2 + c b) (x + l)* = x* + 2x + 1 «* (sen sen*x + 2 sen x + 1; con /x dx = 1/2 x * sen x dx = 1/2 scn x + c 2

a

En todos estos casos, los símbolos de variable son realmente utilizados para describir enteramente los conjuntos o funciones. Siempre que aparezcan tales variables descriptivas (o limitadas), los intercambios y sustituciones numéricas requerirán una consideración cuidadosa y no simplemente una aplicación sin pensar de las reglas formales de manipulación apropiadas para el uso «ordinario* de las variables. En resumen, las variables pueden causar una confusión considerable en los que aprenden por tres razones fundamentales: 1. Pueden ser introducidas a los alumnos en unos contextos en los que su propósito no es evidente. 2. Pueden ser introducidas en contextos donde la noción de variabilidad no es obvia. 3. Pueden no hacerse distinciones entre las variables en sentido ordinario y las descriptivas o limitadas.

Notación del conjunto nluáón 8. Conceptos espaciales y pensamiento geométrico Puede transformarse en un choque para los alumnos que los intervalos en el eje de la coordenada y puedan ser descritos por medio del símbolo variable x. Por ejemplo» el dominio de la función parabólica y = x + 1 se puede escribir correctamente como Ix 6 R: x > 1} o como lu £ R: u > 1¡, usando un símbolo completamente diferente u. 2

1:1 estudio de la geometría supone un número de dificultades para los que la aprenden, de alguna forma de naturaleza diferente de aquéllas presenradas en aritmética y en álgebra, debido fundamentalmente a su naturaleza visual Mientras en aritmética, por ejemplo, los signos numéricos representan

meramenu: números y la figura de los primeros no se LA ÍMEÍÍANZA DC relaciona con el número, en geometría un concepto como el LAS MATEMÁTICAS de triángulo y su forma gráfica es esencialmente una y la misma cosa. Así, uno puede considerar un triángulo arbitrario (es decir, un triángulo que no posea otras propiedades que las que tengan codos los triángulos) pero, una vez que lo dibuja, resulta ser un triángulo muy específico en forma, tamaño y orientación e, inevitablemente, posee características que no pertenecen a todos los triángulos. En la formulación de definiciones o en la introducción de ideas se necesita ir con cuidado para asegurarnos de que tales características accidentales no formen parte del pensamiento de los alumnos en cuanto a esa definición o idea. Los tres ejemplos siguientes ilustran estos puntos. 1. Ya que los rectángulos siempre se dibujan con lados adyacentes desiguales, muchos alumnos piensan que c&ta desigualdad forma parte de ta definición de rectángulo y fallan al intentar comprender que los cuadrados son también rectángulos. 2. Las longitudes de los lados do un ángulo no afectan a la definición del tamaño del mismo pero, como unos lados largos incrementan el tamaño total de la configuración angular, se puede pensar con facilidad que lados largos significan un ángulo grande. 3. Las ideas y definiciones que se refieren a los triángulos rectángulos tienden a ser introducidas usando triángulos en cualquiera de las siguientes posiciones:

Muchos alumnos tienen entonces dificultades en identificar la hipotenusa o los lados adyacentes y opuestos a un ángulo si el triángulo es dibujado así:

106

Como la geometría es principalmente una asignatura visual, no hay forma de evitar este conflicto entre Jo particular y lo general. El proceso de aprendizaje de la geometría requiere la capacidad de distinguir las características esenciales de una configuración particular que aparece dibujada,

DIFICULTADES DE a partir de las características accidentales e irrelevantes. Los APKENDQAJS niveles de Van Hiele del pensamiento geométrico, discutidos IVHEUMTESAIA en el Capítulo 4, se refieran a esto, así como los Principios ASIGNATURA de variabilidad perceptiva y matemática de Dienes, encontrados en el Capítulo 3. Una segunda dificultad general que surge al tratar con conceptos geométricos espaciales es la relación entre la experiencia visual y el pensamiento lógico. Con el actual declive de la enseñanza de la geometría tradicional con su énfasis en la deducción formal, las distinciones entre la experiencia visual y la demostración se han hecho imprecisas, de donde resulta que muchos alumnos pueden llegar a creer que ta! experiencia es equivalente a la demostración. Este punto de vista tiene considerables inconvenientes, no sólo porque reduce la geometría al nivel de una actividad observacional, sino porque hace que la apariencia de las figuras geométricas sea determinante de sus propiedades- Por ejemplo, si en un diagrama dado aparece un rectángulo que parece estar cerca de ser un cuadrado, muchos alumnos admitirán lácilmente que es un cuadrado; si una cuerda de un círculo está cerca de ser un diámetro se admitirá entonces que lo es. La geometría de experiencia es una geometría aproximada. Puede dar una guía de lo que es probable que sea cierto pero nada más. El alumno que recorta los tres vértices de un triángulo y los dispone lado por lado o que mide los tres ángulos y los suma, puede razonablemente estar convencido de que la suma de los ángulos es de cerca de 180° para los pocos y pequeños triángulos que ha usado, pero es una cuestión muy diferente conocer que la suma es exactamente de 180> para cualquier triángulo de cualquier tamaño. De igual forma, en el nivel de la escuela primaria, las explicaciones que surgen a partir de las teselaciones triangulares del plano están dentro de la capacidad de muchos alumnos y deben estar disponibles. Tales explicaciones también sirven para dejar claro que la propiedad de la suma de los ángulos es una consecuencia de la existencia de una red de líneas paralelas equidistantes. Como es bien conocido, tales redes no existen en la geometría no euclídca; la geometría de la teoría de ta relatividad muestra que tales propiedades de las paralelas se cumplen en la realidad sólo a pequeña escala. La suma de los ángulos de un triángulo sobre la superficie de una esfera, por ejemplo, es siempre mayor que Í 8 0 \ mayor cuanto más grande sea el triángulo; consideremos, por ejemplo, un triángulo con un vértice en el polo norte terrestre y los dos restantes en el ecuador. Tales consideraciones también conducen a la discusión de lo que es realmente una línea recta. Algunos alumnos no estarán satisfechos con el ejemplo anterior del triángulo sobre la esfera porque verán los lados 9

curvados, antes que rectos. Cuestiones similares se tratan al LA ENSEÑAKZA DE considerar triángulos astronómicos. El desarrollo de los LAS MATEMÁTICAS vuelos espaciales y la moderna ciencia ficción hacen más fáciles de discutir en el aula estas ideas. Aparte de estas consideraciones generales de la base sobre la que son ciertos los hechos geométricos, existen dos áreas particulares en geometría donde la distinción entre el enfoque de la experiencia y las consecuencias lógicas ha de ser comprendida: i) ia medida y ü) las construcciones con regla y compás.

i) Medida El cálculo de la distancia o la longitud en la geometría ordinaria euclídea se basa en el teorema de Pitágoras. Esto conduce a longitudes cuyo valor numérico es irracional. Un triángulo rectángulo isósceles con sus lados iguales de longitud 1 tiene una hipotenusa de y 2 , por ejemplo. Este no es un hecho experimental. De igual forma, el hecho de que la longitud de la circunferencia de un círculo es TT veces la longitud del diámetro no es accesible a la experiencia.

DIFICULTADES DE pueden ser simples de ejecutar ya que son independientes de APRENDIZAJE los recursos de medida, que no son fáciles de usar con un (NHFACNTFS A LA alto grado de exactitud). ASIGNATURA Volvamos ahora a dos aspectos más de ia geometría en los que el sentido visual es predominante. El primero de ellos se refiere a la percepción de los hechos de una configuración geométrica como un resultado de identificar o aislar partes de la figura dentro del todo. Esta habilidad corresponde a uno de los niveles más altos de Van Hiele, y también se relaciona con la capacidad de formar gucstalts (Capítulo 3, Sección 6). De igual manera, en los niveles elementales, por ejemplo en el cálculo de un área, es necesario ser capaz de dividir una figura en sus componentes o verla en el contexto de un todo mayor, mientras que para alguna forma de geometría deductiva, la habilidad es esencial, Esto puede llevar a una considerable simplificación y unificación de ías explicaciones y demostraciones geométricas. Consideremos, por ejemplo, el siguiente diagrama, donde las flechas indican líneas paralelas:

ii) Construcciones con regla y compás Los alumnos al final de la primaria y comienzos de la secundaria no entienden a menudo el propósito de las construcciones geométricas tales como la bisección de un ángulo o de un segmento, o el dibujo de un segmento perpendicular a otro y que pase por un punto dado. Se puede utilizar un transportador o una regla para dividir ángulos o segmentos y una escuadra es adecuada para la construcción mencionada en tercer lugar. Mientras que es indudablemente cierto que algo del énfasis dado a las construcciones con regla y compás proviene del interés de los griegos por la geometría de la recta y el círculo, también sucede que estas construcciones aclaran la distinción entre exactitud teórica y experiencia práctica. Al igual que en teoría la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles con los lados iguales de longitud 1 es exactamente V 2 , de igual forma la construcción de la bisección de un ángulo se puede hacer teóricamente con exacritud, mientras que la aplicación de un transportador estará inevitablemente sujeta a un error de medida. El hecho de que la ejecución práctica de la construcción no sea perfecta no le resra valor. En el mundo ideal de los objetos geométricos, la constmeción es exacta. (Desde el punto de vista práctico las construcciones

P Esta es una configuración habitual que surge del enrejado triangular del plano. Si se aisla el A ABC y se relaciona con A PQR» se puede comprobar que las perpendiculares que dividen en dos a tos lados de A PQR son las alturas de A ABC. Así, la intersección de unas se sigue de la intersección de las otras. Como la intersección de estas perpendiculares es un hecho completamente comprobado (basado en la equidistancia), obtenemos una demostración de la intersección de las alturas. Una reflexión más aclara el hecho de que A PQR y A ABC tienen las mismas medianas. Se sigue de que si las medianas de A PQR no se intersectaran, entonces ninguna sería mediana del A A B C Por otra parte, como los dos triángulos son semejantes con los lados en proporción 2:1, los lados del triángulo encerrado por las medianas del A ABC tienen la mitad de longitud que los del triángulo encerrado por las medianas del A PQR. Como los dos triángulos formados por ¡as medianas son uno y el mismo, llegamos a una contradicción. La suposición de la no intersección de las medianas es, por tanto, falsa, y el teorema de la intersección ha de cumplirse.

La habilidad geométrica depende de una gran extensión LA FNSEÑAHZA DF de este tipo de intuiciones, y muchas diíicultades de aprendí- LAS KATUIATICAS 2a¡e son debidas a su ausencia, Por tanto, la realización de estas intuiciones debe ser perseguida como una meta específicamente identificada. El segundo de los dos aspectos donde el sentido visual predomina es en la representación en e! plano de objetos de tres dimensiones. Mientras los sólidos constituyen una ayuda visual obviamente importante en el trabajo tridimensional, la capacidad de traslación de dos a tres dimensiones y viceversa es también importante. Parte de la dificultad que implica es que ta representación bidimensional de un objeto tridimensional tiene una apariencia visual ambigua, siendo al mismo tiempo interpretable como un diagrama plano y como un objeto sólido. Algunos artistas modernos como Escher y Magritte expÜcitan CSU ambigüedad para producir resultados desorientadores. En particular, Escher se interesa en lo que aparentemente son representaciones bidimensionales de objetos sólidos, pero objetos que un examen detallado revela como imposibles en tres dimensiones. Una variedad de ejemplos puede ser encontrada en The Graphic Work o/M. C. Escher*. Otras dificultades pueden surgir en los alumnos, ya que los ángulos que en el objeto sólido son rectos pueden aparecer como no rectos en el diagrama bidimensional y el efecto de U perspectiva visual hará que líneas paralelas parezcan diverger. El familiar diagrama bidimensional de un cubo ilustra este primer punto.

O t r o punto (explotado por Escher) es la interpretación actual de tal diagrama como un objeto de eres dimensiones. ¿Es el punto A el más cercano o el más alejado del observador? • "La interpretación simultánea de la figura anterior como un cubo y como una configuración plana de paralelogramos tiene, como una interesante consecuencia, el hecho de que los segmentos C F , BG y DE sean concurrentes ya que son tres de las diagonales espaciales del cubo. Tratadas puramente en el plano, una explicación de esta concurrencia requiere mucho razonamiento. Una idea similar que trata de la intersección de alturas puede ser encontrada en una nota a

DIFICULTADES DE pie de página de los autores $ métodos vectoriales, en particular, son vistos con antipatía por los alumnos mayores porque la aplicación formal délas reglas del álgebra vectorial se extraen de la realidad de las figuras geométricas. Mientras el uso de las técnicas algebraicas empiece a partir de donde acaban los diagramas geométricos, la etapa manípulauva del álgebra no puede ser relacionada con estos diagramas o, al menos, no de forma obvia. Esta dificultad no se aplica tanto a la representación de los lugares geométricos por medio de ecuaciones e inecuaciones algebraicas, ya que en el nivel educativo superior a los 16 años tales representaciones se refieren raramente al pensamiento geométrico y son utilizadas por razones puramente algebraicas o numéricas —por ejemplo, obteniendo las coordenadas del punto (o puntos) de intersección de dos Jugares geométricos. Quizá, una de las piedras de toque de la capacidad real en matemáticas sea que un alumno utilice métodos algebraicos con confianza para el establecimiento de resultados geométricos- Ya que ésta es un área donde pueden demostrar el valor de la técnica de manipulación algebraica, debe ser tomada en 10

110

9 Eieher, M. C »967; The Graph* Work ofM C E*dm. Oldboume.

Matnab, D. S. 1984; The Eukr line and wberc it led to. Matfama-

tied Gazette. 68, 95-98.

rumia por la enseñanza de forma que se 1« den ai alumno aplicaciones del algebra por este camino. Tal experiencia ayuda también a dar a los alumnos una perspectiva de la unidad esencial de las matemáticas.

UEMtfAKZADf

CAPÍTULO 6

t-v> HA TEMÁTICAS

Lenguaje y numeración en matemáticas

El lenguaje es un vehículo necesario para la comunicación del pensamiento racional. En matemáticas, sin embargo, el simbolismo formal constituye otro canal de comunicación, principalmente en forma escrita. Es más, este lenguaje escrito de las matemáticas opera en dos niveles. El primero de ellos es el nivel semántico —los símbolos y la notación conllevan un significado- En este nivel existe un paralelismo exacto con un lenguaje natural como el castellano. El simbolismo matemático tiene también un nivel puramente sintáctico en el que se pueden aplicar reglas manipulativas sin referencia directa a su significado. Este nivel sintáctico es un elemento esencial en el desarrollo de la asignatura. (Ver el Capiculo 5, Sección En matemáticas, el lenguaje ordinario (o natural) tiene que interpretar el lenguaje simbólico. Esto conduce a un conflicto de precisión. Til lenguaje ordinario puede comunicar su significado notablemente bien a pesar de los abusos sintácticos como la rotura de las reglas gramaticales o los errores ortográficos. El significado puede ser comunicado por alusión y por asociación* El lenguaje natural puede expresar emociones, dar opiniones, puede emplearse para discutir o valorar. En contraste, el lenguaje matemático es preciso, obedece a reglas exactas, no tiene un significado salvo por la exacta interpretación de sus símbolos, y no puede expresar emociones, juicios o valores. Este es e! conflicto que implica el uso del lenguaje ordinario en contextos matemáticos. Otro aspecto del lenguaje simbólico de las matemáticas» que le diferencia del lenguaje natural y que es una fuente de confusión en muchos niños, es que su sintaxis (es decir, las reglas formales con las que se opera) pueden algunas veces extenderse más allá del dominio original de su aplicación. Por ejemplo, las definiciones de a°, a ' , a son determinadas por el deseo de que la regla i" X a° — a™ * se cumpla para todos los valores racionales de m y n. Una característica tal de la notación matemática requiere, como se ha visto, un 1

*

a *

1

112

2

- 1

4

tratamiento cuidadoso ya que, normalmente, uno no desea LA que los alumnos extrapolen regias que vayan mis alli de su LAS dominio original de validez. Un tercer problema de lenguaje en matemáticas se debe al vocabulario común. Algunas palabras tienen un significado en el uso normal del castellano y uno muy diferente en matemáticas (a menudo se remonta a los días en que el latirera ia lengua de comunicación científica) — por ejemplo* raíz, solución, producto, matriz, diferenciar, integrar, 1 unción, coordenada, primo, facior, multiplicar, potencia, índice. La utilización de tales palabras causa dificultades porque implican una confusión semántica. No existe una forma fácil de evitarlo —las palabras son parte del vocabulario matemático habitual. Sin embargo, el reconocimiento de la existencia de tal dificultad es una primera etapa hacia su solución. Además de estas palabras con significados especiales en matemáticas, existe otro conjunto de palabras para las que existe confusión en cualquier pane y que forman parte del castellano ordinario- Estas incluyen palabras como evaluar, isósceles, conmutativa, polígono, rombo, paralelogramo. Tales palabras y las mencionadas antes, crean la impresión de que las matemáticas son más difíciles de lo que realmente son, ya que las palabras difíciles sugieren ideas del mismo tipo. Como se ha dicho al comienzo de este capítulo, el lenguaje es claramente esencial en el proceso de aprendizaje tanto en su forma escrita como vcrbaL La comunicación, sin embargo, tiene un doble camino; el lenguaje del alumno es tan importante como el del profesor. Escuchando a los alumnos, un profesor puede calibrar su nivel de lenguaje y la calidad de su entendimiento. Un alumno que no puede hablar acerca de su trabajo en matemáticas incluso en su, comparativamente, simple lenguaje, es un alumno que no entiende completamente lo que está haciendo. Los alumnos deben ser animados a hablar sobre las matemáticas que van construyendo. Se dice a menudo que no hay bastante tiempo en el aula para una extensa discusión profesor/alumno o para poner de relieve las ideas de los alumnos. No debe infravalorarse, sin embargo, el valor de tal interacción verbal. Crea una atmósfera de ínteres en clase, muestra que el profesor se interesa por lo que piensan sus alumnos; anima una activa participación de los alumnos en contribuir al trabajo matemático que está siendo desarrollado; permite al profesor diagnosticar los falsos aprendizajes; da a los alumnos individuales la oportunidad de avanzar en su forma de aprendizaje y mejorar su comprensión. Los alumnos pueden aprender también de las preguntas que les hacen al

profesor otros companeros —preguntas que, posiblemente, no se le hayan ocurrido— y de las respuestas del profesor. Es necesario un tiempo para que las ideas y las técnicas adquieran un significado real para los alumnos; se puede necesitar verlas desde diterentes perspectivas y ser iluminadas por analogías apropiadas. Este proceso de aumento del significado puede ser considerablemente impulsado por el uso de un lenguaje que entiendan los alumnos. Una confianza excesiva del profesor en [a precisión del lenguaje matemático, mientras le permite concentrarse en las matemáticas mis esenciales, puede dejar a los alumnos con una comprensión menos clara que si utilizara un nivel de lenguaje informal, más cercano a los propios alumnos. Existe, naturalmente, un equilibrio que debe conseguirse entre el silencio del aula donde únicamente se escucha la voz del profesor y la clase donde la discusión abierta entre alumnos y profesor o entre grupos de alumnos produce unos niveles de ruido que van en contra del propósito de terminar la discusión comenzada. Sin embargo, si la clase cree en la seriedad del propósito del profesor, si su trabajo le parece bien planeado y si existen oportunidades para algún elemento de frivolidad, entonces puede establecerse la atmósfera que produzca el tipo de discusiones que ayudan a promover la comprensión. Volvamos ahora al problema de leer y escribir matemáticas, empezando con la escritura, que es la actividad del alumno que el profesor suele utilizar en la evaluación. El contraste entre la flexibilidad semántica del lenguaje ordinario y la precisión del simbolismo matemático ya ha sido mencionado. Algunos profesores no consideran conveniente el uso del castellano porque ello unplicaria la existencia de dificultades que no quieren admitir y prefieren utilizar símbolos matemáticos que identifican con las matemáticas escritas. Esto sólo sirve para incrementar la distancia entre las matemáticas y la realidad. La capacidad de los alumnos para explicar exactamente sobre el papel Jo que están haciendo debe propiciarse. Es una habilidad tristemente ausente en muchos de los que dejau el instituto, incluyendo alumnos capacitados. Como un ejemplo del uso del lenguaje natural en las explicaciones matemáticas, consideremos el siguiente problema. Problema: Un cierto artículo cuesca 65 peniques. Si se compran más de 10, el precio baja a 60 p. cada uno. Un hombre tiene 6 libras para comprar estos artículos. Otro hombre tiene 7 libras. ¿Cuántos artículos más comprará el segundo hombre?

Solución; A 60 p. cada uno, con 6 libras se podrán comprar 10 artículos, que no son bastantes para llegar al descuento en el precio. Por tanto, el primer hombre tiene que pagar 65 p. por Cada uno y, consecuentemente, puede comprar sólo 9 artículos por un coste de 5,85 libra*, A 60 p. cada uno, 7 libras comprarán 11 artículos. Una vez aplicado el descuento en el precio, el segundo hombre puede comprar 11 de los artículos por un coste de 6,60 libras. Compra así 2 artículos más que el primer hombre. Esta solución explica claramente las bases razonadas del cálculo y lo expresa razonablemente en castellano. Es probable que muy pocos alumnos de secundaria se expresen de esta forma, aunque el proceso de producir una solución escrita razonable pueda ayudarles a desarrollar la capacidad de razonamiento. Alentar un uso preciso del castellano en las explicaciones escritas debe empozar, naturalmente, en la escuela primaria con problemas más simples que requieran sólo unas pocas líneas a través de un cálculo sencillo* Por ejemplo: Problema; Las naranjas cuestan 16 p. cada una. Si compro 4 con una libra ¿cuánto cambio me devolverán? Solución; Coste de 1 naranja = 16 p. Coste de 4 naranjas = 4 X 16 p, = 64 p. Cantidad de moneda que doy = 1 libra. Cambio = 1 1 . — 64 p. — 36 p. Esta solución emplea tanto notación matemática como castellano y se debe ser cuidadoso en que la notación sea correctamente utilizada. La segunda linea de la solución puede ser expresada como «4 naranjas cuestan 4 X 16 p, = 64 p.*, pero esto no sólo requiere que el signo de igualdad sea interpretado como *lo que es igual a», sino que es probable que la disposición se contraiga a «4 naranjas - 1 X 16 p. — 64 p.», lo que es una mala utilización del símbolo de igualdad. • Como ya se ha comentado, algunos profesores creen (y esta creencia es dirigida hacia sus alumnos) que, en su trabajo escrito, los alumnos deben reducir el castellano al mínimo porque, en caso contrario, se hace más lento el proceso de solución y, sobre todo, porque el idioma interfiere con dicho proceso. De acuerdo con este punto de vista, el centrarse en una clara expresión de la solución desvía la atención de los procesos matemáticos necesarios para llegar a ella. En otras palabras, mejor es una solución correcta sin explicaciones que una solución incorrecta escrita en detalle. Estas, sin

LKVGCAJF.Y MJttAOdNEN

MATEMÁTICAS

embargo, no son alternativas excluyeme;. En cualquier caso el profesor es, o debe ser, un profesor del propio idioma. El proceso de expresar una solución a través de explicaciones puede servir para clarificar las etapas matemáticas seguidas y, en consecuencia, hacer el trabajo mis comprensible para el alumno (y también para ios que han de leerlo). Esto también permite localizar los errores de una respuesta equivocada más fácilmente, tanto para el profesor como para el alumno. En matemáticas existe, desde luego, mucho trabajo formal o algorítmico que implica cálculos o simplificaciones algebraicas sin explicación escrita, pero incluso así se debe escribir bastante para dejar claro cómo se está resolviendo el problema. Problema: Resolver las ecuaciones 3x + 2y = 14 2x- y~ 7 donde x, y son números reales. Solución;

Ecuación (2) X 2: Ecuación fl) + Ecuación (3): Sustituyendo x « 4 en (2): Comprobando en (1):

3x + 2y = 14 (1) 2x - y = 7 (2) 4x - 2y = 14 (3) 7x = 28 ^ x = 4 8 — y = 7 •+ y = i (3 X 4) + (2 X 1) = 14

De donde la solución es x = 4, y = 1. Animarles e insistirles en que expliquen las soluciones ayuda en particular a los alumnos lentos, aunque no será fácil para los que tengan severas dificultades con el lenguaje. Es difícil a veces persuadir a los alumnos para que den soluciones detalladas ya que ven claramente lo que están haciendo, pero es conveniente insistir porque de vez en cuando encontrarán tareas que les presentarán mayores dificultades. Insistir demasiado sobre una explicación desanima a realizar atajos y estos, como sabe cualquier profesor, producen errores. Como regla general, la reducción en la cantidad de explicaciones que se requieren debe ser el resultado de un entendimiento más completo del alumno, no una ayuda supuesta que permita alcanzar la comprensión. Hemos visto entonces las relaciones entre las soluciones explicadas y U reducción de las dificultades de aprendizaje. Las explicaciones han de ser consideradas como instrumentales; explicaciones de cómo se obtiene la solución. Son del tipo «Hice esto, entonces hice aquello». Las explicaciones de la comprensión relaciona! se refieren a la pregunta ¿Por qué? y

requieren una mayor profundización; las demostraciones ma- LAÍNSÍAANZADI temáticas caerían en esta categoría. La palabra demostración, L\s MATEMÁTICAS sin embargo, evoca las matemáticas formales y una atención puntillosa a cuestiones tic detalle. La explicación es un termino amplio. Como ejemplo, consideremos los siguientes lirt hos:

Lhjguaje v qué la solución es la que es y no simplemente cómo se xummackJnhn obtiene. Este uso del lenguaje escrito precisa mayor habilidad matemáticas lingüística que el uso instrumental ya que no existen modelos prevaos que seguir- Esto permite una interacción entre las matemáticas y el lenguaje en beneficio de ambos. El primer problema planteado en este capítulo es de este tipo.

1 + 3 - 4 =2* 1 + 3 + 5 * V- P 1 + 3 + 5 + 7 = 16-42

Destrezas de lectura en matemáticas

En general, parece que 1 + 3 + 5 + ... + término n~ésimo — n' ¿Por qué es así? La explicación aquí no se reitere a cómo se suman los números impares sino a por qai cuando se añade uno a los anteriores la respuesta es un cuadrado exacto. Una posible demostración debe empezar por el hecho de que tenemos una serie aritmética cuyo primer término es 1 y de razón 2, y que debemos usar la fórmula general para la suma de tales series. Pero tal demostración, aunque es lógicamente irreprochable, no explica realmente el resultado. Muchas demostraciones formales son de este tipo, irrefutables, pero carentes de explicación. Una explicación más perspicaz consistiría en imaginar modelos cuadrados de puntos como el ilustrado.

•

La habilidad para leer matemáticas está centrando cada vez mayor atención de los educadores. El libro recientemente publicado, Children Reading Mathematk\ de Shuard y Rothery (editores)', es una muestra de este interés. Otru libro útil publicado en 1974, es Helping Children Rgdd Matlyennizic^ de Kane, Byrne y Hater , Una razón para esta mayor atención ha sido el movimiento hacia un aprendizaje centrado en el alumno como opuesto a un aprendizaje centrado en el profesor. Esta tendencia traslada el énfasis desde el l e n g ^ e hablado por el profesor al lenguaje escrito de los recursos materiales —fichas, láminas, libros de texto. Es interesante notar sobre esta conexión que el Kent Mathcmatics Project incluye cintas que permiten usar la palabra dando instrucciones o recursos. 2

Las dificultades que implica la lectura en matemáticas incluyen las siguientes cuatro (que son, desde luego, dificultades de la lectura en general): L Dificultades debidas a la complejidad sintáctica del castellano utilizado. 2. Dificultades debidas a la utilización de vocabulario técnico. 3. Dificultades causadas por la utilización de notación matemática. 4. Dificultades debidas a la incapacidad de relacionar las matemáticas con el contexto.

«

Una explicación escrita complementaria al diagrama, señalana que se comienza con un simple punto abajo a la derecha de forma que moviéndose hacia la izquierda, cada forma contiene eos puntos mas que la anterior de modo que se genera la suma de números impares y resulta un modelo cuadrado de puntos, Esta forma de explicación está relacionada con el tipo de resolución de problemas en el que se requiere explicar por

Los cuatro pares de ejemplos siguientes ilustran sucesivamente cada una de estas dificultades. En cada par, la segunda formulación presenta mayores dificultades que la primera.

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• Shuaxd, H. v Rotbery. A. (cdi.) 1984: ChUrm Re*dmg M*zbfrnm£*í. >¡R M IRRIV. J

Kan*. R. Byrne. M. A. y Hater. M. A 1974: Uelping Children Ktjd At*thfm*tiu, American Book Company.

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LSNCUAIFY

1. a) Juan compra una barra de chocolate por 30 p. y LA ENSEÑANZA W una boba de patatas fritas por 12 p. ¿Cuánto dinero LAS UATCMATKAS le har. de devolver si paga con 50 p.? b) A partir de una cantidad inicial de 50 p,, un chico gasta 30 p. en una tienda y, mis tarde, 12 p. en una segunda tienda. Calcular cuánto le queda por gastar. 2- a) En el triánglo ABC que se muestra, encontrar la longitud de AC hasta en una cifra decimal.

b) Evaluar, con una precisión de una cifra decimal, la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo, en el que las longitudes de los otros dos lados son de 5 cm. y 8 cm. 3. a) Encontrar aquellos valores de x para los que (2x— l ) ( x + 3 ) < 0 donde x es un número real, b) Encontrar el conjunto solución de la inecuación (2x— l ) ( x + 3 ) < 0 donde x 6 R. 4. a) Dos rectas tienen por ecuaciones y = 3x — I e y = 2x + 3. Encontrar las coordenadas del punto de corte de ambas rectas, b) ¿Qué punto de la recta de ecuación y = 3x — I pertenece también a la recta y = 2x + 3? Puede haber muy buenas razones para utilizar la versión b) en cada caso pero uno debe tener claras las razones para ello. De igual forma, con el texto explicatorio, el objetivo debe ser el de emplear términos simples lingüísticamente a no ser que se tengan razones específicas para otra cosa. En particular, se deben evitar explicaciones o instrucciones escritas largas e intrincadas. (Estas cuestiones son exploradas en detalle en el Capitulo 12.) Como un ejemplo inintencionado de una explicación compleja, reproducimos la siguiente parte del texto aparecido en las series CSE publicadas en 1985. -Sólo se pueden sumir matrices entre sí cuando son de! mismo orden. La solución se encuentra entonces sumando

NCWRACJONtN MATOtáTCAS

,

los valores correspondientes a cada matriz para dar una nutriz linal del mismo orden que las originales.* Se deja a! lector el decidir cómo contribuye el párrafo anterior al entendimiento de la suma de matrices en los alumnos de la CSE. Se puede reescribir este párrafo de una forma que revele su simplicidad. Se han desarrollado procedimientos para valorar la comprensión lectora en matemáticas. Una forma de estos tests —el llamado test Cloze— implica dejar en blanco una porción del texto al tiempo que se proporcionan suficientes claves matemáticas y lingüísticas al alumno para que pueda rellenar estos espacios en blanco. La comprensión lectora es valorada según la capacidad del alumno de completar el test. Para ilustrarlo, damos un ejemplo: «Un chico con 2 libras fue a una tienda a comprar caramelos, patatas fritas y limonada. Los caramelos cuestan un ... de 85 p. lo que deja al chico con ... Decide entonces gastar 30 p. en paratas fritas y ... lo que ... 75 p. Gasta así ... en total, para encontrar su cambio el ... esta suma de ... Encuentra entonces que su cambio debe ser de...>. Una versión completa puede ser la siguiente: «Un chico con 2 libras fue a una tienda a comprar caramelos, pautas fritas y limonada. Los caramelos cuestan un total de 85 p. lo que deja al chico con 1,5 libras. Decide entonces gastar 30 p. en patatas fritas y 45 p. en limonada, lo que suma 75 p. Gasta así 1,60 libras en totaL Para encontrar su cambio el resta esta suma de 2 libras. Encuentra entonces que su cambio debe ser do 40 p.* En el trabajo de investigación, las palabras borradas forman un modelo —típicamente la primera y séptima palabras borradas. Sin embargo, en un uso más informal en las aulas de matemáticas es preferible que las palabras borradas sean escogidas por su importancia para las ideas o cálculos matemáticos implicados, como en el ejemplo dado. Los lectores interesados en un análisis detallado de la labilidad lectora y en los procedimientos «Cloze» en particular encontrarán de mucho interés los dos libros mencionados antes —Chitaren Readirtg Mathematks y Helping Chitdwn Read M&thematics* t

Sentido numérico Antes de discutir el sentido numérico en el contexto de la enseñanza de las matemáticas, es necesario tener una idea clara de lo que significa ya que, a los ojos de mucha gente, rl sentido numérico y el cálculo son sinónimos. El primero, sm embargo, es un concepto más amplio que el segundo.

decirlo brevemente, el sentido numérico es el uso inteli- LAENSf&ANZADt gente de los números. Kl cálculo formal basado en reglas, en LAS MATEMÁTICAS contrasto» puede requerir poca inteligencia aparte de memoria, t Imito un ejemplo de un enfoque numérico consideremos el siguiente: Para

Prttl/lpmtt; Kl tamaño uormal de 7C0 g. de un producto cuesta 1,32 libras, El tamaño económico do 1.250 g. cuesta 2,08 libras. ¿Es realmente el tamaño económico el más barato? Solución: Si el producto tiene un coste de 1,40 libras por 700 g,, entonces 100 g. costarán 20 p. Como 1,32 libras por 700 g. es cerca de 19 p. por 100 g., 1.250 g. a 20 p. los ICO g. cuestan 2^50 libras. Con 1 p. menos el coste es así de 2,38 libras. Por tanto, el tamaño económico es ciertamente más barato. l'A evidente que tal solución demuestra un buen sentido numérico. De igual forma, la habilidad para llevar a cabo el cálculo implicado en una calculadora mostrará una presencia de tal sentido ya que la secuencia de operaciones debe ser determinada. En algunos libros el sentido numérico es un hecho definido como la habilidad para usar una calculadora de cuatro funciones con eficacia pero ésta es una definición tlt-inasiado estrecha. Un elemento básico del sentido numérico es la habilidad para realizar aproximaciones ajustadas. Por ejemplo, tratando 28 X 137 como 30 X 140 (incrementando ambos factores) no se consigue una aproximación tan buena como 30 X 135 (incrementando un factor y disminuyendo el otro) aunque para muchos propósitos 30 X 140 sea bastante buena. De igual manera, 15/3 es una aproximación más cercana a 15,63/3,2 que 16/3. Conocer por qué 15/3 será una aproximación mejor que 16/3 es tener sentido numérico. O t r o de sus importantes aspectos es la habilidad para razonar acerca de números sin la utilización de algoritmos y saber cuándo un cálculo a simple vista es inútil. Por ejemplo, consideremos el problema de empaquetar tantos bloques de 3 cm. por 4 cm. como sea posible en una caja rectangular de 11 cm. por 7 cm. Dos respuestas posibles se muestran en el siguiente diagrama.

En cada caja pueden ser empaquetados 5 bloques- El uso NI-M&MCUÍN EK de la fórmula del área de un rectángulo produce el resultado MATEMÁTICAS (11 X 7) / (3 X 4) que es igual a 6 5/12, sin importancia en el actual problema, aunque muchos alumnos seguirán este camino hasta concluir que la respuesta es 6 o, posiblemente, 7. Este problema puede estimular una investigación general sobre el mayor número de bloques rectangulares que pueden ser empaquetados en un contenedor rectangular. Tales investigaciones aumentarán el sentido numérico asi como intensificarán tas actitudes del alumno hacia las matemáticas. O t r o elemento del sentido numérico es la capacidad de interpretar una respuesta. Si un alumno calcula la altura de un árbol a partir de la longitud de su sombra y el ángulo de elevación del sol, obteniendo una respuesta de 3.245 m., debe darse cuenta inmediatamente de que lia cometido un error. Si su calculadora le muestra que la altura de un edificio es de 35,362451 ni-, debe saber que los tres últimos dígitos decimales, al menos, son irrelevantes y que una exacritud razonable es la de 35 1/2 m. o, como mucho, 35,36 m. Si en un cálculo de cuántos autobuses de 40 plazas se necesitan para transportar a 373 personas, un alumno divide 373 entre 40 y obtiene la respuesta 9 13/40 o 9,325, debe reconocer que se necesitan 10 autobuses. LtNGUAjtr

El sentido numérico parece envolver más de un aspecto. Requiere: a) una cierta facilidad de cálculo, b) la habilidad para usar sensiblemente una calculadora, c) la habilidad para estimar, saber la magnitud, aplicar apropiadamente la exactitud, d) la habilidad para colocar ios cálculos en su contexto, para analizarlo primero y entonces, si es apropiado^ usar una regla. Como dijimos al comienzo de este capítulo, es esencialmente la habilidad para pensar inteligentemente en contextos numéricos.

CAPÍTULO 7

Matemáticas a través del curriculum

Recientemente, (os profesores se han dado cuenta de que el aspecto práctico de las matemáticas debe recibir una mayor atención cuando se planifica el curriculum. Muchas asignaturas escolares tales como Ciencias, Geografía, asigna* turas técnicas y económicas tienen necesidades matemáticas —necesidades a las que los alumnos no responden siempre de forma adecuada. Como consecuencia^ aquellos sentimientos de ansiedad, tensión y temor al fallo, que los alumnos han podido tener en su trabajo en la clase de matemáticas, aumentan. La importancia de este aspecto práctico no puede ser subestimada ya que, para muchos alumnos, las matemáticas adquieren su valor real sólo a través de sus aplicaciones. Existen tres razones fundamentales para las dificultades que encuentran los alumnos al aplicar las matemáticas a otras áreas del curriculum: 1. La falta de coordinación entre los programas. Un tema matemático puede aparecer en otra área del curriculum antes de haber sido desarrollado en la cíase de matemáticas, o en una forma diferente a aquella en que la aprendió en matemáticas, o sin una revisión previa conveniente. 2. La actitud de los profesores de otras asignaturas hacia las matemáticas. Los profesores de otras asignaturas pueden dar la impresión a los alumnos de que ellos mismos ven las matemáticas como una ayuda necesaria pero no como una asignatura digna de ser comprendida. 3. La actitud de los profesores de matemáticas hacia otras asignaturas. 1J>$ profesores de matemáticas pueden no tener demasiado interés en la forma en que su asignatura es utilizada en otras áreas del curriculum, y consecuentemente enseñan matemáticas en un vacio contextual. Es necesario condiderar cada una de esias razones con más detalle.

í. Falta de coordinación entre los programas

LA BONANZA DE IAS UATM¿IKA$

Resulta deseable que las ideas o métodos matemáticos, necesarios en un punto particular de otra asignatura, aparezcan algún tiempo antes en eí aula de matemáticas. Recibir una receta de los profesores de otras asignaturas en el momento de usar una técnica matemática va en detrimento de la comprensión del alumno. No sólo es probable que no entiendan la técnica cuando es introducida en otra asignatura sino que, cuando sea desarrollada más tarde en matemáticas, las anteriores experiencias del alumno les causarán considerabies dificultades de aprendizaje. Los problemas originados por la falta de coordinación de lus programas no deben ser subestimados. Las asignaturas individuales tienen su propio curso separado y su propio diseño de programa. En matemáticas, en particular, los profesores no desean introducir temas fuera de su secuencia jerárquica o lógica simplemente porque las ciencias, por ejemplo, hayan adoptado un orden particular. Sin embargo* con una buena relación interdepartamenul y acritudes adecuadas se pueden conseguir progresos en todos los aspectos, aunque un acuerdo completo sobre el dominio completo de asignaturas escolares pueda parecer imposible. Jasmine Denyer, en su libro Mathematics Across the Curtícttlum y detalla dos estudios sobre esta cuestión; se pueden encontrar otros en la revista Mathematics for Schools* publicado por la Mathematical Association* volumen 10, números 3, 4, 5 y volumen 11, números 1-5 desde mayo de 1981 en adelante. Estos artículos contienen estudios sobre 100 escuelas, propuestas de cooperación interdepartamental y una extensa bibliografía. El acuerdo sobre la coordinación de programas debe ir de la mano con ei tratamiento de los temas para asegurar que la forma en que es utilizada una técnica matemática en otra asignatura no parecerá diferente de la forma en que se aprende en el aula de matemáticas. Por ejemplo, los alumnos pueden estar acostumbrados, en matemáticas, a usar la razón en la proporcionalidad directa, mientras que el profesor de geografía, por ejemplo, puede realizar sus cálculos a través de la proporción. Puede evitar cualquier método relaciona! recurriendo a Ja mnemotecnia como en el siguiente caso: x

126

* Denyer, J. 19#4: Matbetnacia Across the Curricwlum* LotignianíSchoolj Cütfocih

para dar los cálculos distancia* velocidad-tiempo. El uso de tal diagrama puede llevar al alumno, en su esfuerzo por recordar dónde va cada letra, a perder todo lo que había entendido de las relaciones matemáticas entre distancia, velocidad y tiempo. Un segundo ejemplo sería el de las ecuaciones y fórmulas que se encuentran en ciencias. Pueden presentarse de forma diferente a como se presentan en matemáticas. No sólo son utilizadas letras inhabituales como V, P, A —en contraste con las xs e ys tan comunes en matemáticas— sino que tales letras presentan ya un significado; por ejemplo» V representa el voltaje, V el peso y A la altura. Consecuentemente, tienen unidades relacionadas con ellas. Esto les puede parecer a los alumnos muy diferente de las variables sin dimensión típicas en la clase de matemáticas. Estos (y otros) aspectos de las fórmulas serán discutidos más adelante en el Capítulo 10. O t r o tema que deja claras las diferencias entre los enfoques escolares de las matemáticas y otras asignaturas son los icos* En matemáticas, normalmente los gráficos tienen una variable independiente (usualmente denotada por x) sobre el eje horizontal y una variable dependiente (denotada por y) sobre el eje vertical. En otras áreas de! curriculum los gráficos pueden estar orientados de forma diferente y sólo raramente etiquetados (si alguna vez) como ejes x e y* Las gráficas en la clase de matemáticas tienden a comenzar los ejes en la escala 0; en otras asignaturas los ejes pueden muy bien no empezar en 0. No se puede afirmar que el resto del mundo educativo se equivoca en !o que los profesores de matemáticas ven como una notación habitual. Por ello, estos últimos deben prestar atención a las formas en que aparecen las ideas matemáticas en otras asignaturas y familiarizar a sus alumnos con ellas. A este respecto, muchos profesores de matemáticas tienen un punto de vista demasiado estricto en lo que se refiere a la corrección de una fonna matemática. No existe nada inmutable, por ejemplo, en cómo deben ser dibujados los ejes coordenados —es una simple cuestión de gusto y conveniencia* Por otra parte, los profesores de matemáticas tienen la responsabilidad de asegurarse de que los profesores de otras asignaturas usan con exactitud la notación matemática. En este punto surge la necesidad de una revisión constante. Cuando hay un buen acuerdo en la coordinación de los programas, se puede dar un tema particular en matemáticas algún tiempo antes de que se le necesite en otra asignatura. Si transcurre más de una semana* quizá no se recuerde bien dicho tema. Tales situaciones deben identificarse y tomarse en cuenta cuando se planifican los programas del departamento de matemáticas. De esta forma, un profesor de matemáticas

será capaz de recordar a sus alumnos las ideas y los métodos necesarios poco antes de que aparezcan en otra asignatura, La cuestión se complicaría i\ no todos los alumnos de matemáticas lo son de la otra asignatura. En tal caso, $e puede invitar a un profesor de matemáticas desde el departamento de b otra asignatura para que efectúe la necesaria revisión y refuerzo de los alumnos. Alternativamente, el departamento de matemáticas puede comunicar a los profesores de la otra asignatura el fundamento matemático y el nivel de conocimientos que se espera de sus alumnos (ver Sección ?), Donde existe buena voluntad y una relación eficaz son posibles estos y oíros aspectos de la cooperación inierdepartamental.

2, Actitudes de lo* profesores de oirás asignaturas hacia las matemáticas Esta es una cuestión más delicada ya que depende de la actitud hacia las matemáticas antes que de la organización. Muchos profesores de ciencias y geografía admitirían abiertamente que tienen una perspectiva de *caja negra- respecto de ¡as matemáticas se meten los datos en ella, se da al botón y se esperan los resultados. Lo que sucede dentro de la caja es irrclevante y no interesa. Ahora bien, aunque esto resulte razonable para un profesional que desea hacer uso de las matemáticas en su propio trabajo, es insatisíactorio en el contexto de la educación total de un niño. Un profesor de ciencias o de geografía tienen la responsabilidad de asegurarse de que las matemáticas que usa en el contexto de su propia asignatura, lo son de una forma que ios alumnos puedan comprender. Ciertamente, ello significará que debe discutir con sus colegas de matemáticas el uso que se propone dar, buscar su consejo observando lo que sus alumnos conocen y son capaces de hacer. Ha de reforzar la comprensión del alumnado respecto de las matemáticas permitiéndoles que el trabajo que realizan en la clase de matemáticas sea aplicado al estudio de su propia asignatura para obtener resultados. Haciéndolo as¡ puede jugar un importante papel reduciendo la ansiedad y la tensión de sus alumnos hacia las matemáticas. Este punto está expuesto de forma interesante en el libro mencionado antes Mathematics ACTOÍS the Curriculum de jasmine Denyer donde* en una sección de propuestas generales, formula diez puntos, cuatro de los cuales se relacionan con la necesidad de los profesores de otras asignaturas, así como los de matemáticas, de tener una actitud positiva hacia esta ciencia y, en tanto sea posible, fomentar en sus alumnos el

4

U FNSIIÍANZA ut L-UNATIHÁTICU

MATEMÁTICAS * TRAvtsori, CUtUUCULUH

gusto por las matemáticas. Algunos de los puntos más sobresalientes son los siguientes: a) La necesidad matemática más importante para la vida adulta es tener suficiente confianza para hacer un uso eficaz de las destrezas y conocimientos matemáticos que se posean, b) El departamento de matemática* debe ver en otras asignaturas la oportunidad de poner en práctica las destrezas matemáticas y, debido a ello, incrementar la motivación del alumnado. ¿ c) Es importante fomentar actitudes positivas hacia las matemáticas. Deben buscarse oportunidades para integrar los ejercicios matemáticos en tixlas las asignaturas, y los profesores de éstas últimas no deben evitar las matemáticas. d) Los profesores que no sean de matemáticas y que no estén seguros de los métodos actuales de su enseñanza deben ser invitados a acercarse al departamento de matemáticas. Es necesario aquí lucer una mención más. Los profesores de otras asignaturas, como les sucede a los de matemáticas, pueden no apreciar todas las dificultades de aprendizaje que los niños tienen en su asignatura. Si un alumno no entiende completamente un concepto o un procedimiento en. por ejemplo, geografía, el intento de utilizar las matemáticas en este contexto auméntala su confusión. Si no entiende totalmente el coeficiente de expansión (o lo que es un coeficiente) en física, difícilmente se aplicará la aritmética decimal (bastante compleja) al cálculo de tales coeficientes. Así, antes de introducir ias matemáticas en un tema, el profesor de otra área debe asegurarse de que sus alumnos comprenden bien las matemáticas necesarias.

3. Actitud de los profesores de matemáticas hacia otras asignaturas Un énfasis excesivo en la enseñanza de destrezas, aprendizaje rutinario y práctica con ejemplos puramente mecánicos, no sólo tiene efectos desafortunados sobre la comprensión de :os alumnos en matemáticas, sino que puede proporcionarles considerables dificultades cuando se les requiera el uso de las matemáticas en otra parte del curriculum. Los profesores de matemáticas tienen que conocer la forma en que se pueden usar las matemáticas y, como ya se ha dicho, familiarizar a sus alumnos con las aplicaciones a otras asignaturas. Esto también

ayudará a incrementar la importancia de las matemáticas- Para I-A ENSEÑANZADE muchos alumnos, las matemáticas como un fin en sí mismas IAS MATEMÁTICAS no son apropiadas; muchos profesores pueden indicar aplicaciones que será probable que permitan un aumento en el interés en su asignatura. Uno puede pensar que tales consejos son evidentes por sí mismos pero, desafortunadamente, la experiencia muestra que no es así. Una extensa investigación sobre las formas en que las matemáticas son utilizadas en orras asignaturas fue llevada a cabo en Glasgow, Escocia, entre 1977 y 1980. Bajo los auspicios del National Committee on Mathematics for the Less Able se estableció un subgrupo con el siguiente objetivo: -«Establecer bs formas en que los alumnos que tienen dificultades con las matemáticas pueden ser ayudados a través de relaciones con otras asignaturas-* El informe final del subgrupo incluye un examen del contenido matemático en todas las asignaturas de la educación secundaria, poniendo el énfasis en el trabajo realizado con los menos capacitados y en referencia a los primeros dos años de educación secundaria escocesa (12*13 anos)- Con todo ello, el informe» Learning Difficulties ir: Mádyernatics Sí y S2*> publicado por el Scottisch Curriculum Development Service, contiene una gran riqueza de información respecto del uso de las matemáticas en otras asignaturas. A partir de una de las secciones de conclusiones, citamos lo siguiente; La ocurrencia de las matemáticas (en otras asignaturas) 1. Es intermitente e imprevista-,, requiriendo un recuerdo instantáneo y uoa re-orientación por pane del alumno. 2. Surge en contextos no familiares-, donde se supone la habilidad para aplicar el conocimiento. 3- Precisa inmediatamente la re-orientación y el recuerdo— que son funciones de una alta capacidad intelectual. 4. Da salida a situaciones: a) que implican frecuentemente técnicas que no han sido introducidas (o no todavía) ni enseñadas por el departamento de matemáticas,., debido a la ausencia de una relación ¡mercurricular. b) que raramente dependen de destrezas básicas.-, sino mejor de su aplicación, apreciación y'o extensión.

2

Scottisch Curriculum Development Service 1980: Learning Difficulties t ^fi *** Mathematics St asta $2 - Does every teachw teach mathematics? Scottisch i jl) Curriculum Development Service, Dundee College of Education.

Hemos discutido antes su relación con otras asignaturas y el hecho de que no existe habitualmente unacoordinación preliminar. La técnica matemática que se requiere puede que no haya sido utilizada por el alumno desde hace bastante tiempo. Como ya se ha mencionado, los profesores de matemáticas deben repasar con sus alumnos las ideas y métodos necesarios. La cita numerada como 4 b) indica también la necesidad dr un sentido numérico genuino. Concluimos este capítulo con algunas ilustraciones especf* ficas de las dificultades que atraviesan ios alumnos al usar las matemáticas en otras áreas del curriculum. Se han extraído de una selección de preguntas de examen y son incluidas para atraer la atención hacia los caminos irreales por ios que se pueden usar ¡as matemáticas y los problemas que surgen de aplicar en otras áreas curnculares las destrezas aprendidas en la clase de matemáticas. La primera proviene del ejercicio CSE en economía. 1

Número de paradas

Huelga oficial Huelga no oficial

82 2.125

Número de trabajadores implicados 84-700 663-300

Número de días de trabajo perdidos 643-000 1.85/.OCO

a) ¿Cuál ha sido el tipo más frecuente de huelga durante estos años? b) Explicar la diferencia entre los dos tipos de huelga. c> ¿Cuántos hombres, por término medio, estaban implicados en cada huelga oficial? d) Del total de días de trabajo perdidos por huelgas, ¿qué proporción se perdió a causa de bs huelgas no oficiales? Las cuestiones c) y d) no son sólo difíciles sino que además muestran la ausencia de conocimiento sobre puntos importantes concernientes al manejo de los datos matemáticos. En la pregunta c) ¿qué respuesta se puede esperar del cálculo 84-700 + 82? ¿Es 1.000 una buena respuesta (obtenida por una acertada aproximación) o es mala (no bastante exacta)? ¿Es 1.032,9268 una buena respuesta o es una solución ridicula en esre contexto? ¿Es 1.033 la mejor respuesta aquí? Los autores de esta pregunta pueden tener una regla general acerca de la aproximación, adoptada por el tribunal de examen. No obstante, fa pregunta, que es sin duda simple en términos de interpretación general, requiere un entendimiento claro de los conceptos de media y estimación. De igual forma, en la parte d) la idea de proporción resulta difícil a este nivel. Encierra más dificultades cuando

se ha realizado un cálculo previo para obtener el número total de días perdidos- Como en la parte c) ¿conocerán los examinadores las formas diferentes en que se puede expresar la respuesta? Quizá nuevamente tengan reglas generales que cubran la situación, pero las demandas matemáticas de !a cuestión (d) parecen desproporcionadamente más duras que la interpretación general. La segunda cuestión proviene de un examen en historia económica; 2 Estudiar los siguientes diagramas y responder después las preguntas que siguen. Número de

salidas

LA ENSEÑANZA DE IAS MATfcMÀ OCAS

¡t) Dar un ejemplo de una firma múltiple al por menor en el Keíno Unido. e) i) ¿Qué cambios tienen lugar en la importancia de los múltiples respecto de las otras formas de salidas al por menor entre 1971 y 1977? ii) ¿Qué razones puedes dar para estos cambios? f) Dar dos ventajas y dos desventajas que puede experimentar el ama de casa como resultado de los cambios en el modelo de coemrcio al por menor. Mucho del contenido es matemático y proviene de áreas en las que los profesores de matemáticas no suelen poner el suficiente énfasis, tal como:

al por menor en el Remo Unido

i) obtener información de diferentes tipos de gráficos antes que del dibujo de estos gráficos; ü) entender y manipular grandes números tal como son utilizados usualrnente en economía, estudios de negocios y otras asignaturas sociales; por ejemplo, 17,000 millones de libras; üi) el uso de cuestiones de final abierto donde la respuesta depende en primera instancia de una interpretación de los datos {por ejemplo, la pregunta e) (i)).

1971 30%

60%

68%

TOTAL 510C00

TOTAL 368CO0 La tercera cuestión está tomada de un examen de ingenie-

Valor de v e n t a s al por m e n o r en el R e i n o U n i d o 1971

ría:

1977

3 (a) Cuando se examina un motor, es necesario medir el par de torsióu en el árbol de salida. Explica brevemente cómo se puede hacer. (b) Durante dicho test sobre uu modelo de motor, se registraron los siguientes datos:

33% 42%

TOTAL £17999 millón

Salidas ai por menor únicas

TOTAL E390CO million

81 Cooperativas al por mencrf

Múltiple

a) ¿Qué cambio tuvo lugar en el número tutal de salidas al por menor entre 1971 y 1977? b) i) ¿Que cambia tuvo lugar en el valor total de las ventas al por menor entre 1971 y 1977? ii) Sugerir dos razones para este cambio. c) El valor de las ventas por las salidas al por menor ¿aumentó mas rápido o más lento que el total de ventas entre 1971 y 1977? Mostrar con claridad cómo calculas tu respuesta. d) i) ¿Cual es el significado de «múltiple- tal como es usado en el diagrama?

Duración del test Energía específica de combustible Consumo de combustible Velocidad del motor Salida del par

5 minutos 40 MJ/kg 0,94 X 10~ kg 7.CO0 rev/min 34 X 10-* N m J

Calcular: (i) la energía que suministra el combustible por segundo; (ii) la potencia del freno; (iü) la eficacia térmica del freno, (c) Este motor es utilizado para impulsar una lancha. El árbol propulsor debe girar a 120 rev/muL Inventar un sistema para dar la reducción de velocidad requerida, hacer un boceto y demostrar todos los cálculos. Las fórmulas numéricas utilizadas para mostrar el consumo de combustible y la solida del par pueden confundir a ios

alumnos que se enfrentan a ellas por primera vez» ya que no L\*N»fl«OAne es probable que se traten en matemáticas cantidades como LAS UAITUÁTKAS 9,4 X kg y 3,4 X 10-* N. La operación con índices que son múltiplos de tres es» sin embargo, un procedimiento reconocido en ingeniería y, por tanto, debe ser mencionado en los programas de matemáticas. las conclusiones que se pueden extrar de estas ilustraciones son las siguientes: L Debe haber una buena relación entre los departamentos para asegurar la ordenación oprima de los temas en los programas. 2, Los profesores de matemáticas deben tomar en cuenta las formas en que aparecen las matemáticas en otras asignaturas y familiarizar a los alumnos con ellas. 3. Todos los profesores tienen la responsabilidad de animar el entendimento y el gusto por las matemáticas. Las matemáticas a través del curriculum es una variación del tema de la aplicación de las matemáticas a la vida cotidiana. Un informe sobre el í/se of Mathemalics by Adulto ¡n Daily life\ comisionado por el Advisory Council for Adule and Continuing Education Project, hace la observación de que -las dificultades matemáticas más frecuentes se refieren a porcentajes» razones, gráficos y tablar horarios y unidades métricas». Con la posible excepción de los horarios» éstas son precisamente las áreas de las matemáticas que muchos profesores de ciencias, geografía o economía domestica, por ejemplo, identifican como causantes de frecuentes dificultades para sus alumnos. La revisión de temas, asignatura por asignatura, que da el libro Mathematia Across ihe Curriculum , de John Ling, muestra también que los temas mencionados antes se presentan consistentemente en muchas asignaturas de la educación secundaria. Así, dentro de las distintas asignaturas del curriculum escolar, cada una tiene sus propias necesidades matemáticas así como necesidades comunes y estas últimas se refieren exactamente a las destrezas requeridas por la población adulta en su vida cotidiana. 4

CAPÍTULO 8

Evaluación

El término ^evaluación* puede suscitar sospecha y des confianza en algunos profesores. Lo pueden asociar con exámenes formales que producen una tensión innecesaria en los alumnos, con resultados poco más fiables que sus propios juicios subjetivos. Consideran que se aplican sólo a una parte del aprendizaje de sus alumnos, que ignoran el entusiasmo, U cooperación, el esfuerzo sostenido, el éxito en las tareas prácticas, etc. Los profesores de secundaria pueden dudar del valor de registrar detalladamente los resultados en matemáticas de la escuela primaria y presentan sus propios exámenes al comienzo de la educación secundaria. Tales examenes, si no están directamente basados en el trabajo de los alumnos en primaria, pueden casar mal con los resultados de primaria y ser unos indicadores inexactos sobre las futuras realizaciones matemáticas, La evaluación de la calidad y cantidad del aprendizaje del alumno, sin embargo, es una parte integral del proceso de tratamiento de las dificultades de aprendizaje. Es una valoración continua día por día, semana tras semana, que continúa a través de los cursos seguidos por los alumnos, de forma que los exámenes de fin de curso (internos o externos; constituyen sólo una pequeña parte del procedimiento. Este capítulo trata de las distintas formas en que puede llevarse a cabo la evaluación y de los objetivos que persigue.

Evaluación informal

•:.-.-:! B, 1981; Use of MatbtniMus h AdéUts m D*ih Lífr

/ 71 / J4

Advííor* Council for Adult ü*I C w n i i n t i : r ¡ f-liwauoc. « Line, J. 1977: Mathemxtict Aavss the Cmíimkm Blicfcic

La evaluación informal (ver también el Capítulo 6) discurre a lo largo del tiempo transcurrido en el aula tanto en forma oral como escrita. La utilización de preguntas orales para valorar la comprensión de los alumnos es un componente esencial de una buena enseñanza. Las preguntas, normalmente, deben ser formuladas pensando en el alumno. No es muy válido formular preguntas simples, cuestiones básicas a los alumnos

capacitados (aunque se sospeche que estén distraídos), o UENSÉ^AWAOC preguntar cuestiones difíciles a los que aprenden más lenta- u s №TEU.VLKAS mente, ya que es probable que no se obtenga una respuesta correcta. Por otra parte, los alumnos menos capacitados pueden salir ganando al oír una respuesta correcta de los

alumnos más capacitados de la clase y preguntas sencillas formuladas a alumnos tímidos pueden mejorar su propia confianza. El profesor debe comportarse, con cualquier grupo de alumnos, de manera que se asegure que todos están implicados en el trabajo oral al nivel apropiado a sus habilidades individuales. Una segunda forma importante de evaluación continua es el trabajo escrito de los alumnos, llevado a cabo en clase o en casa. Es el método más habitual para evaluar lo que han aprendido y entendido y con el que se pueden diagnosticar dificultades en el aprendizaje. Tiene poco valor corregir los trabajos escritos presentados por los alumnos sin indicar al mismo tiempo la naturaleza de sus errores e indicar los métodos de tratarlos. Desde este punto de vista, los ejercicios escritos son parte de la enseñanza y del programa de aprendizaje y no, simplemente, un medio de registrar lo que el alumno sabe o no sabe.

I valuación formal Cuando volvemos a una evaluación más formal, existen cuatro factores a considerar:

EVUOACXW

Exámenes escritos Exámenes de diagnóstico Son exámenes diseñados para detectar dificultades específicas de aprendizaje, al objeto de identificar a los alumnos que precisen una ayuda adicional. Una vez que se ha determinado la naturaleza de las dificultades puede ponérseles remedio, ral como se discute en el siguiente capítulo. La primera etapa en la construcción de un examen de diagnóstico es construir un análisis de tareas del tema que está siendo examinado para identificar las subtareas compo nentes. El examen debe incluir ítems que valoren separadamente cada una de estas subtareas, de forma que una respuesta incorrecta a un ítem del examen permita localizar con exactitud el área de dificultad. Naturalmente, un programa bien diseñado de actividades de aprendizaje debe permitir al profesor conocer las difícil'tades que tienen, de manera que el subsecuente examen de diagnóstico se antojaría innecesario. Existen, sin embargo, ocasiones en que un profesor puede desear utilizar tales exámenes. a) Al comienzo de una sesión escolar, para determinar qué necesidades deben repasarse antes de pasar adelante. b) Cuando en el curso del aprendizaje de un tema, el alumno parezca encontrar dificultades en otra ¿rea «lilas matemáticas. Por ejemplo, al tratar con ímlkYx fraccionarios, un alumno puede cometer errorc\ qut parezcan ser debidos a una ausencia de conocimientos sobre las fracciones. Puede saber que z X a se resuelve sumando los índices pero puede hacerlo inco* rrectamente, obteniendo posiblemente 2/5 como la suma. En contraste, un alumno que calcula a * X a como a * muestra que no conoce un tema principal de los que están siendo estudiados. 1

1. ¿El examen es escrito, práctico u oral? 2. ¿Por qué se está poniendo el examen? ¿Es para dignosticar con precisión las causas de sus dificultades?, ¿utiliza criterios con los que evaluar la competencia en áreas específicas o se refiere a una norma con la que relacionar la capacidad del alumno con criterios más generales de capacidad? 3. ¿Cuál es la forma de las respuestas de los alumnos? ¿Los ítems del examen son de elección múltiple, de forma que piden a los alumnos que escojan una respuesta correcta entre varias posibles o son ítems que requieren respuestas cortas o más extensas? 4. ¿Cómo están ordenados los ítems? Son de mayor importancia las cuestiones 2, 3 y 4 en relación a los exámenes escritos, dado que son los más comunes en las matemáticas escolares. (En este contexto, los tests por computadora pueden interpretarse como una forma de examen escrito.)

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c) Cuando un alumno vuelve a un tema algún ik*ui|*> después y parece haber olvidado mucho de ki i¡ur había aprendido anteriormente. El valor de la evaluación diagnóstica, particularmente con los alumnos menos capacitados, es muy reducido si no está ligada a un sistema de registro eficaz que establecerá la continuidad en los remedínt que se aporten. Sin embargo, el interés principal debe ser el que al diagnóstico le siga inmediatamente una acción conveniente de remedio. El remedio es tratado con detalle en rl próximo capítulo pero se

puede hacer aquí una observación general- Existen dos aspectos en el proceso de diagnosis: i) la dificultad debe ser identificada con claridad, ¡i) deben considerarse las circunstancias relacionadas con la dificultad. El segundo aspecto es importante respecto de las dificultades encontradas entre los menos capacitados. Por ejemplo, et error 36 X 2 = 612, cuando ocurre en el contexto de la técnica de multiplicación, está relacionado con una pobre comprensión del valor de posición y una falta de conocimiento sobre el uso de estimaciones con las que valorar lo razonable de una respuesta. (Un alumno que hace esto, cada vez que recibe el cambio de una libra debe saber que 36 X 2 es menor que 100). En este caso, el programa de remedio debe comenzar con una revisión de las ideas del valor de posición en base diez —'centenas, decenas y unidades— usando la notación expandida y, posiblemente, ta comprobación con calculadora. La suma reiterada —36 + 36— servirá entonces para consolidar el aspecto de «llevarse» en el cálculo del valor de posición. Después de una práctica suficiente, se puede volver a la técnica de la multiplicación y a las ideas de distribución.

Exámenes con referencia a criterios Tales exámenes miden la habilidad de ios alumnos respecto de un criterio establecido. Al diseñarlo un profesor tiene primero que decidir cuál es el criterio apropiado. Una pregunta puede implicar un criterio único que se alcanza o no, puede considerar criterios variados, algunos de los cuales pueden haber sido alcanzados y otros no. Damos cuatro ejemplos. 1. Criterio: Comprensión de lo que significa la frase «una solución de una ecuación». Pregunta de examen: Determinar si 7 es una solución de la ecuación 4x + 3 = 31. 2. Criterio: Comprensión del hecho de que, para números reales, a.b = 0 =* a = 0 ó b = 0. Pregunta de examen: Para qué números reales x se cumple que (x — 4) (x — 7) = 0.

1S8

J. Criterio: a) Comprensión del hecho de que a.b = 0 => a = 0 ó b = 0 es una propiedad única para el 0.

U ENSEÑANZA OK LAS MATEMÁTICAS

EVALUACIÓN

b) Habilidad para usar la ley distributiva. c) Habilidad para factorizar un trinomio. Pregunta de examen: Resolver la ecuación (x — 2) ( _ 3) = 12. X

4, Criterio: a) Habilidad para calcular la pendiente de una recta que une dos puntos dados en el plano. b) Habilidad para construir la ecuación de una línea recta a partir de su pendiente y un punto de la misma, c) Comprensión de la relación entre las pendientes de rectas perpendiculares. d) Habilidad para encontrar el punto de intersección de dos rectas cuando se conoce la ecuación de cada una. Pregunta de examen: A, B y C tienen por coordenadas (l 4), (2,2) y (10,1), respectivamente. La recta que pasa por C y es perpendicular a AB corta a AB en D. Encontrar las coordenadas de D. f

Notar que si en el ejemplo 3, no se alcanza el primero de los criterios mencionados —si, por ejemplo, escribe *x — 2 = 12 o x — 3 - 12»— entonces los dos criterios restantes no se pueden evaluar. En el ejemplo 4, si existen errores en los primeros tres criterios, es posible valorar el cuarto. Desde este punto de vista, la cuarta pregunta está mejor construida que la tercera. Diseñar preguntas de examen —particularmente cuando hay más de un criterio implicados— requiere una reflexión cuidadosa. t

Cuando cada pregunta de un examen implica el mismo criterio único que es o no alcanzado, el examen se transforma en un test sobre el aprendizaje que se ha llegado a dominar. Por ejemplo, para valorar el dominio en el uso básico de la ley distributiva en álgebra se pueden presentar preguntas que requieran el desarrollo de expresiones como 3(2x + 5y). Mientras los exámenes referentes a criterios contienen un elemento de diagnóstico —ya que el fallo en tratar un criterio indica una dificultad de aprendizaje—, el examen mismo no puede identificar el punco o pumos específicos que causan la dificultad. De ahí que hacer mal este tipo de exámenes implica realizar valoraciones posteriores que incluyan, posiblemente, un examen de diagnóstico. No es necesario que los criterios sean especificados en términos puramente matemáticos. Por ejemplo, se puede tener un criterio como: a) El alumno ¿puede seleccionar una estrategia apropiada?

b) ¿Puede explicar claramente una solución? c) ¿Puede revisar la corrección de su trabajo? En el primero de ellos una pregunta conveniente en el examen (en un formato de elección múltiple) describiría un problema matemático y relacionaría cuatro estrategias, rettíendo que seleccionar el alumno la más apropiada para dar solución al problema. En el segundo caso se puede dar un problema al alumno preguntándole cómo resolverlo. Por ejemplo, se le presenta el siguiente diagrama en trigonometría pidiéndole que explique cómo se puede calcular la longitud de AD.

Para tratar el tercer criterio se le muestra un cálculo detallado, preguntándole a) que encuentre una fornu de comprobar que la respuesta sea correcta, o b) encontrar un error en el trabajo.

Exámenes con referencia a normas Estos exámenes están diseñados para valorar la habilidad de un alumno respecto de los demás alumnos o de alguna medida normalizada de habilidad. Así, se puede intentar determinar la habilidad del alumno en términos de percentiles; un alumno dado estaría situado en el 10% superior o en el 30*ft inferior de su grupo de edad en matemáticas. Muchos exámenes externos de la Junta evaluadora son de este tipo. En un ano concreto, las puntuaciones de los exámenes son tratadas para fijar la media y la desviación standard y se determinan entonces franjas de habilidad correspondientes a los distintos años. En la práctica se utilizan técnicas de comparación más sofisticadas, pero los principios fundamentales son los mismos. Los exámenes con referencia a normas no se refieren directamente, por tanto, a la estimación del conocimiento sobre temas matemáticos concretos ni revelan dificultades de aprendizaje, aunque una lectura detenida de los exámenes revelará obviamente muchos errores. En el enfoque de las matemáticas basado en las dificultades de aprendizaje, los

EvUüACtós MATEMÁTICA;

exámenes con referencia a normas deben jugar un pequeño papel. Además de los propósitos generales de evaluación mencionados antes, los exámenes pueden ser necesarios para propósiros más específicos. a) El traslado de un alumno de un instituto a otro requiere una valoración a su ent rada en el nuevo instituto, para determinar sus conocimientos en varias áreas de matemáticas. Tal examen debe contener pre guntas de distinta dificultad y que provengan de diferentes áreas de las matemáticas. En el momento en que se pueda construir su perfil de habilidades se le proporcionará la ayuda necesaria en aquello que debe conocer para que su trabajo progrese. La forma del examen debe ser de diagnóstico o referente a criterios, basados en las matemáticas que el alumno necesita conocer para acomodarse a la etapa del programa que se lleve a cabo cuando entre. Si se conoce su rendimiento anterior en matemáticas, puede emplearse un examen basado en este trabajo pra estimar su nivel general de habilidad matemática. Un alumno puede puntuar alto en este tipo de examen pero hacerlo mal en un examen basado en el programa de su nuevo instituto y conteniendo temas que él conoce poco. b) Es necesario de vez en cuando obtener información acerca de la competencia matemática de los alumnos de cara a un empleo, para otros profesores o sus padres. SÍ no está disponible ninguna evaluación escrita reciente, los exámenes se realizarían con este propósito.

Formas de respuesta del alumno en exámenes escritos Pregunta* de elección múltiple Las preguntas de este tipo requieren del alumno que escoja entre un número de respuestas dad.t%, de las cuales sólo una es correcta. Las respuestas incorrecta:* pene plausibles son denominadas distractores. Desde la perspectiva dr la detección de las dificultades de aprendizaje, las preguntas do este tipo no son particularmente útiles ya que no existíforma de conocer, sobre una pregunta concreta, cómo decide el alumno escoger una respuesta. Supongamos que se desea valorar si un alumno conoce la relación gráfica de la proporcionalidad inversa —es decir, la forma gráfica asociada a la ecuación xy = k, donde k es una constante. Una pregunta de respuesta corta puede pedir al

alumno que dibuje un boceto aproximado de tal relación. LA INSERANZA ot Una pregunta de elección múltiple le presentaría cinco i£k MATFMJVT[CAS gráficos (cartesianos) y le pediría que seleccionara el más * parecido al gráfico de la proporcionalidad inversa. Un alumno que soa incapaz de responder a la pregunta de respuesta cri;i jukxlr seleccionar bien el gráfico apropiado en la pregunta tic elección múltiple, no porque sepa que es correcta sino porque, por diversas razones, descarta las restantes —o, posiblemente, por una simple conjetura. Así no resulta fácil saber lo que la pregunta de elección múltiple está realmente evaluando. Por otro lado, un alumno que puede obtener una respuesta correcta cuando se le pide directamente que realice un cálculo, es posible que escoja una respuesta incorrecta pero plausible cuando se le presentan cíuco respuestas diferentes. Existe también algo poco limpio en el intento de que el niño de respuestas incorrectas al proporcionarle distractores plausibles. Después de todo, el arte de construir bien un examen de elección múltiple consiste en presentar todas las respuestas como igualmente convincentes —la respuesta correcta no debe ser claramente diferente de las otras. La construcción de tal examen no es una labor simple y resulta necesario algún adiestramiento. Además de los temas estadísticos como la fiabilidad, el diseño de una pregunta del examen para valorar un objetivo específico requiere alguna reflexión.

Preguntas de respuesta corta Muchos exámenes escolares son de este tipo. Las preguntas requieren un cálculo único o la aplicación inmediata de una técnica, al objeto de determinar si una destreza apropiada ha sido aprendida o no. Tales exámenes tienden a valorar solamente el aprendizaje instrumental. Son fáciles de construir y fáciles de calificar, lo que contribuye a su amplia utilización.

Preguntas de respuesta extensa Estas evalúan habilidades de alto nivel y comprensión relacionaL Le piden al alumno que decida una estrategia apropiada de solución, o ci uso de más de una técnica, o que explique cómo puede obtenerse una respuesta o por qué un resultado es cierto. Ya que, en general, son más difíciles de construir, lleva tiempo la respuesta de los alumnos y la calificación por los profesores, tales exámenes son, comprensiblemente, menos comunes en las aulas de matemáticas de

EVALUACIÓN

secundaria. Tales preguntas se presentan mejor como ejercicios esentos que no precisan de velocidad por parte de los alumnos. Sin embargo, ya que les requieren pensar relaciona!* mente y aplicar destrezas y técnicas, deben formar parte de un programa global de evaluación.

Examen de composición Los exámenes simples, consistentes en cuestiones similares valorando la misma parte del trabajo matemático, necesitan poca atención en la composición, ya que todas las preguntas son del mismo tipo y muchas del mismo nivel de dificultad. Otras formas de examen requieren mayor estructura interna. Es importante colocar las cuestiones más fáciles a! comienzo del examen y dejar las más difíciles para el final* Esto da confianza al alumno y permite a los menos capacitados demostrar su capacidadUna pregunta difícil demasiado pronto puede llevar al alumno demasiado tiempo para, eventualmcnte, obtener una solución correcta, dejándole con poco tiempo para completar las cuestiones más fáciles y tardías. Una preguuta difícil puede no ser apreciada así por el alumno a primera vista, de modo que la estrategia de leer todas las preguntas para escoger las más fáciles no es tampoco una posibilidad factible. Se tiene que decidir también qué formas de la respuesta del alumno serán admisibles. En general, las preguntas de respuesta corta deben colocarse antes que las de respuesta extensa. Esto puede servir de ayuda cuando las técnicas valoradas en las de respuesta corta se empleen en las últimas cuestiones. Alternativamente, una pregunta de respuesta extensa puede venir precedida por una cuestión corta directamente relacionada con ella. En este caso, naturalmente, la habilidad para seleccionar una estrategia apropiada no puede ser evaluada ya que esta estrategia aparece indicada en la cuestión introductoria. Como se ha dicho antes, las preguntas de elección múltiple son inconvenientes para detectar las dificultades de aprendizaje. Si se utilizan, es preferible que todo el examen sea de esce tipo, porque una mezcla en el m i s m o examen de preguntas de elección múltiple y de respuestas cortas puede confundir a los alumnos. Si un examen se presenta a alumnos de un amplio rango de habilidad* surgen problemas especiales. Sirve, de poco presentar un examen en el que una gran proporción de alumnos puntuarán poco o en el que las preguntas resultarán triviales para los alumnos capacitados. Una solución es presentar exámenes separados pero esto no es posible si los

alumnos se encuentran en grupos de habilidad mixta. Una alternativa consiste en subdividir el examen en secciones —una sección inicial común para todos los alumnos, seguida por secciones progresivamente mis difíciles dirigidas a los alumnos según aumenten sus conocimientos. Debemos recordar que, aunque unos exámenes apropiados pueden motivar a los alumnos y aumentar su confianza en sí mismos, también pueden ser inquietantes y rompeí los nervios de muchos niños. Muchos profesores defienden un sistema de evaluación continua y la realización de un registro (perfil) del alumno sobre cada uno de sus logros. Existen, sin embargo, razones válidas para conservar un elemento del examen formal. a) El trabajo matemático requiere una consolidación pe riódica. Los exámenes formales pueden evaluar la extensión de esta consolidación y poner de relieve Las debilidades existentes. b) Los exámenes formales dan una estimación más objetiva de las capacidades de los alumnos que la evaluación continua día por día, que puede estar teñida por aspectos subjetivos de las relaciones entre el profesor y los alumnos. c) En general, a los alumnos les gusta conocer si hacen bien su tarea. Los exámenes formales pueden darles esta información más claramente que la evaluación continua. d) En los últimos años de secundaria, los exámenes formales sirven de preparación a los exámenes a nivel nacional. Volvemos ahora a los otros dos métodos de llevar a cabo un examen —práctico y oral.

Exámenes prácticos Los exámenes de trabajo práctico, que resultan habituales et\ -asignaturas como ciencias, arre, economía doméstica y educación técnica, juegan tradicionalmente un pequeño papel en U evaluación del trabajo matemático. Existen distintas razones para ello. 1. A menudo, se ve el trabajo práctico en matemáticas como un medio para un fin, siendo éste el trabajo dr lápiz y papeL 2. I-os objetivos matemáticos que quieren ser evaluados no son siempre fáciles de identificar,

U ENSEÑANZA I>E LASMAIÜÍÍÍKAS

y La norma standard de una realización puede ser difícil de definir En años recientes, sin embargo, existe una tendencia creciente a tratar el trabajo práctico como una parte integral de la experiencia matemática (ver el Capítulo 1). La evaluación del trabajo práctico debe así formar parte de la evaluación global de la capacidad de un alumno para las matemáticas. Para poner de relieve los problemas de la evaluación práctica, consideremos la construcción de un sólido en cartulina, un tetraedro por ejemplo. Se le pide a cada alumno que haga el tetraedro en un tiempo especificado. ¿Cómo se C evaluar el tetraedro resultante? ¿Es una simple cuestión de completarlo o no? ¿Es una cuestión de destreza del alumno en la exactitud del cortado, doblado y pegado? En otras palabras, si un alumno sabe cómo hacer el modelo, su i v - . t u / . i i i u m u i en n C Ü Í : > : : \ A / i o n 'Í.SUJ

MI; IMIU

ÍA

evaluación matemática? Más aún, la construcción de un tetraedro sobre cartulina implica un número de etapas (análisis de tareas). ¿Se debe evaluar separadamente cada etapa? Se pueden dar varias respuestas a las preguntas anteriores. Es posible evaluar la habilidad para completar el modelo independientemente de !a calidad del sólido construido. Se puede admitir que completar el modelo indica que sus distintas etapas han sido llevadas a cabo con éxito. Sin embargo, si el sólido no se ha completado, un profesor querrá conocer qué etapa produce esta dificultad. Otro aspecto de la evaluación separada de las etapas es que requiere que el profesor observe el trabajo de sus alumnos frecuentemente, lo que consume mucho tiempo y puede ser imposible en una cíase grande. Este último punto podría ser superado si la evaluación sólo afecta a una parte de la cla.se al mismo tiempo. Esto es posible en los exámenes prácticos ya que, contra lo que sucede en los de tipo cálculo, el conocimiento de lo que hacen otros alumnos no ayuda tanto en la realización propia. Esto, sin embargo, limita la naturaleza de lo que puede ser evaluado ya que, por ejemplo, puede dar a algunos alumnos más oportunidad de practicar. Cuando esto se lleva a cabo, la evaluación práctica requiere organización. Una forma de conseguirla es disponer de los llamados puestos de evaluación. Son colocadas en varios puntos de la clase las tareas prácticas a realizar, las instrucciones necesarias, el equipamiento necesario y los malcríale* y, si es necesario, una hoja para registrar los resultados (por ejemplo, en los experimentos estadísticos). Se 1c pediría al alumno, asimismo, que discutiera sus resultados con él profesor.

A cada alumno se 1c insta a realizar todas las tareas en LAENSFÍ-ANZAM tiempos variados mientras el resto de la clase está ocupado LAS MATKMATTCAS en otras ureas. Para tener éxito, tal sistema requiere que el profesor establezca un registro de resultados para cada alumno. SÍ el equipamiento y el espacio disponibles son suficientes, la evaluación práctica puede ser llevada a cabo sobre la clase entera, lo que es claramente más simple en términos de organización.

Exámenes orales Esta forma de evaluación es central en eí proceso de enseñanza/aprendizaje. Como se ha dicho antes, proporciona la base a partir de la cual un profesor obtiene información acerca de la forma en que los alumnos comprenden un tema concreto dentro del proceso de aprendizaje. La evaluación oral puede tener lugar en un contexto formal. Quizá el uso más común de los métodos orales en matemáticas hasta hace poco ha sido el de viva voz para el doctorado, donde el estudiante tiene que discutir y defender su tesis frente a un tribunal de examinadores. Tales confrontaciones pueden asustar a algunos candidatos más que un examen escrito. La evaluación oral de alumnos individuales consume claramente tiempo en el contexto de un instituto típico. Existe, sin embargo, la ventaja de que, para los alumnos lentos, no se necesita la comprensión lectora. De otro lado, una pregunta escrita es permanente y puede uno acudir a ella tan a menudo como se desee. Las preguntas verbales deben ser cortas o surgirán problemas de memoria, lo que lleva a la necesidad de repetirla. En consecuencia, los exámenes orales son más convenientes cuando se exponen brevemente y pueden ser entendidos con exactitud. Para ilustrar algunos aspectos de los exámenes orales para alumnos lengos, describiremos el trabajo llevado a cabo por uno de los autores (JAC): la evaluación oral de 58 alumnos ligeramente disminuidos, con edades entre los catorce y dieciséis años y con coeficientes de inteligencia entre cincuenta y setenta. Se Elevaban a cabo cinco exámenes orales, conteniendo cada uno 10 cuestiones con las que se identificaban destrezas vitales en matemáticas. Cada respuesta correcta significaba 2 puntos pero, si era necesario repetir la pregunta, se puntuaba sólo 1 punto. Como control, se daban a los alumnos cinco exámenes escritos el último día conteniendo las mismas preguntas. Los análisis de las puntuaciones en los

F.VALUACÍÚN

dos conjuntos de exámenes mostraba que los alumnos realizaban significativamente mejor los exámenes orales. (R. Sumner encontraba puntuaciones significativamente más altas en exámenes orales de alumnos con bajos conocimientos en destrezas lectoras tal como lo atestigua en su libro Tests of Attmnrnent m Mattxmatks m Schooft*) La evaluación oral que se comentaba anteriormente revelaba una ausencia de conocimientos en algunos temas que no se había sospechado. Por ejemplo, todos los alumnos podían copiar de la pizarra correctamente una fecha como 13/9/85 pero algunos, cuando se les preguntaba a qué mes correspondía la fecha 16/11/85, no sabían responder. Con la información oral dada, los alumnos intentan los cálculos, en algunos casos, por métodos diferentes de los que adoptan al tratar con cuestiones escritas. Por ejemplo, en la suma de dinero se agrupaban primero las unidades más altas, o al menos tendían a hacerlo, en vez de empezar por las unidades más pequeñas como se hace habitualmenre en el trabajo escrito. En los exámenes orales los alumnos parecen estar libres de tensión y disfrutando de una interacción más personal con el profesor. l^>s alumnos en clases de 20-30 en escuelas estatales tienen, normalmente, una relación más impersonal con sus profesores. En rales circunstancias, los alumnos tímidos pueden encontrar Ja evaluación oral uno a uno como una aventura desalentadora, por lo que debe animarse una interacción más personal entre profesor y alumno; la evaluación oral debe fomentarlo considerándose una parte normal del programa global de evaluación.

Tests comerciales v bancos de ítems Hasta aquí nos hemos referido a exámenes construidos dentro de ta escuela. También están disponibles una gran variedad de tests publicados comercialmente. Se puede encontrar una lista de tales tests en el folleto Tests ^ publicado por la Mathematical Association. Este folleto incluye también una fundamentación excelente sobre la evaluación formal en general. Otra fuente más reciente de preguntas de test es el ítem Bank. Tales bancos de ítems están disponibles, incluyendo uno preparado en Escocia sobre bases nacionales. Están 2

1

Sumner, R. !975: Tests of Attainment ¡n Mathtmaticí m Schools. NFER. *The MacbemaritaJ Association 1978: Tesis. The Mathematical Asociación.

EVALUACIÓN

planificados para contener cuestiones válidas estadísticamente c incluyen información sobre el nivel de dificultad y los criterios que están siendo evaluados, con la intención de que el profesor pueda obtener un test de cualquier longitud, en un grado prescrito de dificultad, sobre cualquier tema de las matemáticas escolares. Puede obtenerse una información estadística sobre los ítems que capacitan para juzgar sobre el promedio alcanzado por los alumnos según una norma standard. En la práctica, los bancos de ítems no han alcanzado aún una etapa de desarrollo que permita una valoración critica apropiada. Cuando están disponibles, muchos son incompletos por lo que los profesores que quieran usarlos deben considerarlos como cuestiones razonablemente bien construidas para evaluar la consecución de objetivos especificados. La teoría estadística debida a Rasch, que está detrás de muchos bancos de ítems> no ha sido todavía adecuadamente valorada con el uso práctico del aula. Hemos examinado en este capítulo un amplio campo de elección disponible en la invención de técnicas de evaluación formal. Es útil volver a repetir lo dicho al comienzo. La evaluación más efectiva del aprendizaje del alumno es la que se lleva a cabo día a día a través de la discusión entre el profesor y el alumno y las observaciones del trabajo de los alumnos. La evaluación forma! es una extensión de todo ello, no su sustituto-

CAPÍTULO 9

Prevención y remedio

En los Capítulos anteriores nos hemos referido a una variedad de fuentes en las dificultades de aprendizaje que pueden ser resumidas bajo los siguientes encabezamientos: L Dificultades que surgen de ¡os procesos de desarrollo cognitivo infantil y de su estructuración de la experiencia (Capítulo 3 ) , 2. Dificultades atribuíbles a la escuela o a la organización de la clase —formación de la clase, naturaleza de los métodos de enseñanza utilizados, naturaleza de los programas (Capítulo 4 ) . 3. Dificultades debidas a actitudes afectivas, emocionales y no racionales hacia las matemáticas (Capítulo 2 ) . 4. Dificultades debidas a la naturaleza de la asignatura (Capítulo 5 ) . En cada una de estas áreas se lian hecho algunxs sugerencias tanto para la prevención como, con menor extensión, para el remedio. Este capítulo relaciona los pensamientos de estos primeros capítulos dándoles la forma de estrategias prácticas para la enseñanza en clase. Inevitablemente, existe una coincidencia con discusiones anteriores por lo que se hará una referencia a ellas en los puntos apropiados. Mientras se hacen pocas referencias directas en este capiculo a3 diagnóstico y a otras técnicas de evaluación, se debe conocer lo que se está tratando de prevenir y mejorar, tanto en la prevención de los errores antes de que ocurran como en su mejora, una vez ocurridos. El uso adecuado de la evaluación es un elemento importante en ambos, así como la completa supervisión del trabajo de los alumnos»

148

Al discutir las dificultades de aprendizaje en términos de prevención y mejora combinamos el enfoque a largo plazo y general con el inmediato y particular. La prevención afecta directamente a los recursos y a la planificación del programa, cuestiones discutidas en sucesivos capítulos. Las mejoras, por otra parte, se refieren a la interacción diaria en clase entre el profesor y el alumno. Esto es preferible, sin embargo, a ver

*•! i r n i r t l i o , n o e n e l s e n t i d o n e g a t i v o d e c o r r e g i r s i m p l e m e n t e t o s r m i r c s , .sino e n e l a m p l i o s e n t i d o p o s i t i v o d e a u m e n t a r l a t o m p j ^ i i s i ó n , de forma que la mejora se integre en el . u i i m ' i t i o Litis g e n e r a l de la c a l i d a d de la e n s e ñ a n z a y el ..piVHílix.*i*\ S i v i p r o f e s o r o b s e r v a e r r o r e s e s p e c í f i c o s d e l n o C|IIL* n o sv d e b e n a l a d i s t r a c c i ó n y q u e i n d i c a n u n a c o m p r e n s i ó n p a r c i a l , l e será más fácil t e n e r é x i t o q u e s i l o s v e c o m o aberraciones innecesarias q u e n o habrían ocurrido e n c a s o d e q u e e l a l u m n o p r e s t a s e m á s a t e n c i ó n . Por b i e n q u e i m a g i n e m o s n u e s t r a e n s e ñ a n z a y l a o r g a n i z a c i ó n d e las actividades del a l u m n o , no t o d o s los capacitados aumentarán a la v e z su c o m p r e n s i ó n . El p r o c e s o p o s t e r i o r de o c u p a r s e de l o s e r r o r e s i n d i v i d u a l e s , así c o m o de ION e r r o r e s c o m u n e s a grupas enteros de alumnos, es una parte integral de una estrategia de enseñanza global.

Estrategias de prevención Las seis estrategias siguientes sirven para minimizar las principales dificultades de aprendizaje. Cacti una de ellas aparece encabezada por un consejo específico.

/

Na introducir nuevas ideas demasiado rápidamente

Es imprescindible insistir en este consejo. Debe ser uno de los principios fundamentales de toda enseñanza. Ignorarlo es el camino más seguro para crear dificultades de aprendizaje sustanciales y profundamente enraizadas. Para ponerlo en práctica, se deben adoptar los siguientes procedimientos: a) Cuando se desarrolle un tema, se han de consolidar y practicar considerablemente las primeras etapas antes de introducir una idea o técnica nuevas. b) El contexto o marco de estas etapas tempranas no debe interferir con futuros desarrollos (véase 2 más abajo), c) Las ideas y técnicas nuevas deben ser introducidas tratando de que no creen confusión en el alumno respecto al trabajo previo. d) Donde se necesite una nueva técnica para resolver problemas que no se pueden tratar con las anteriores, la necesidad de esta nueva técnica debe ser claramente percibida por los alumnos. e) La idea o técnica nueva, una vez consolidada y practicada, debe relacionarse con las etapas anteriores para

LirNSEÑAir2Aft: iMHArEiiíTicu

pKt.vbNCHlK Y REHEPIO

que queden claras las similitudes y/o diferencias entre las etapas. C o m o una ilustración de d) en la solución de ecuaciones simples, podemos mencionar una idea que puede llegar a ser perjudicial: la de equilibrio cuando se introduce al comienzo de los métodos opcracionales. Para muchos niños, el equilibrio no es un camino obvio para resolver ecuaciones y su necesidad debe ser convenientemente preparada- No es solución el evitar el uso de todos los métodos operacionales; ello sólo servirá para confundir más al niño. Como hemos discutido en c! Capítulo 5, Sección 3 las limitaciones del método operacional deben ser demostradas —por ejemplo, considerando una ecuación tal como 3x + 1 = 7x — 11— para dejar claro que se necesita algo más. Una vez que los alumnos han entendido esto, se puede llevar a cabo la práctica en la técnica del equilibrio con ecuaciones tales como 3x + 4 = 19, antes de tratar una ecuación como 3x + 1 = 7x — 11, donde el equilibrio es necesario. (

Como una ilustración más general de la estrategia de introducir nuevas ideas gradualmente, consideremos la ecuación algebraica de una línea recta en el plano cartesiano. Inicialment£, este tema puede introducirse considerando la pendiente o gradiente que conduce a las formas algebraicas y = mx e y = mx + c, trabajando principalmente en un marco funcional. En algún punto, sin embargo, se introducirá la forma general de la ecuación de una línea recta ax + by — c„ posiblemente por la vía del lugar geométrico y los pares ordenados- La relación del aspecto funcional con el aspecto del par ordenado requiere un tratamiento cuidadoso. Un método posible sería el de observar cualquier forma de la ecuación de una línea recta como esencialmente funcional, de modo que para encontrar las coordenadas del punto de intersección de dos rectas se les pida a los alumnos que expresen cada ecuación en la forma y = mx + c y resuelvan entonces las ecuaciones por sustitución. Sin embargo, ésta es una solución extrema al problema de reconciliar dos enfoques diferentes de la ecuación algebraica de la línea recta. Una solución más satisfactoria, entre otras, sería la de desarrollar el enfoque del lugar geométrico a partir de la faceta algebraica de una ecuación en dos variables, usando la técnica de la eliminación como el método de obtener las coordenadas de un punto de intersección, y en secuencia (antes o depucs) o en paralelo, adquirir experiencia en la noción geométrica de pendiente y en el aspecto funcional. Las conexiones entre los dos enfoques se van haciendo progresivamente más fuertes, a través de las distintas tormas en que puede escribirse la ecuación de la recta, hasta que

cxisca una compleca combinación de lugar geométrico, pen diente y función, complementándose unos a otros. En una forma como ésta, se va estableciendo cada idea o técnica en el pensamiento infantil, tanto separadamente como en relación con las otras. Se constntve así una red de aprendizaje (véase el Capítulo 3, Sección 8).

2. No introducir ideas ffl un marco demasiado específico o que no ayude a un futuro desarrollo De algún modo, éste es un ideal imposible. Sin embargo, lo incluímos para llamar la atención hacia el tipo de dificultades que se pueden mitigar pero no hacer desaparecer. Por ejemplo, si las funciones trigonométricas se introducen primero en el contexto de los triángulos rectángulos, entonces las definiciones aparecería ligadas a dichos triángulos (véase Capítulo 5, Sección 1), Este contexto es demasiado específico y (K poca ayuda en la futura extensión de las definiciones a la de un ángulo en general La alternativa de empezar con la definición general de ingulo y, más tarde, particularizar a los triángulos rectángulos o de otro tipo, aunque evita tales dificultades, introduce otras que implican una falta de moti* vación y un nivel de abstracción más elevado. En ninguna paite se necesita mencionar la naturaleza periódica de las funciones trigonométricas ya que son, de algún modo, un subproducto. Algunos libros de texto toman el camino de la periodicidad a gran escala, pero ello requiere una planificación más cuidadosa que la vía de los triángulos rectángulos. Ya hemos discutido (Capítulo 5) otros dos ejemplos de un contexto inicial que no ayuda al desarrollo futuro de un tema, que volveremos a mencionar aquí brevemente. 1. La introducción del álgebra de un modo que trate a las letras como incógnitas específicas con un valor único (Capítulo 5, Secciones 5, 7). ¡I 2, El álgebra de *la macedonia de frutas* (Capítulo 5, Sección 2). Dos temas más en que un contexto inicial demasiado específico puede causar dificultades en futuros desarrollos son:

U ENSEÑANZA DÉ LAS H*TQlXnuU

PttVBetüN r

Ecuaciones de las rectas

RTUIDtO

Si uno se aproxima a tales ecuaciones por medio del lugar geométrico, pendiente o función, un contexto demasiado específico consistiría en empezar con rectas paralelas a los ejes coordenados. Las formas c y x = c no aclaran la situación general y es mejor tratarlas como casos particulares después de haber desarrollado ia forma general de la ecuación por otros medios. En cualquier caso, la forma x = c no tiene una interpretación tan simple a partir de la perspectiva de la pendiente o de la función.

Ecuaciones poliatómicas El método usual de comenzar con ecuaciones cuadráticas (utilizando el ensayo y error para obtener una factorización por examen de los factores del término constante), es de una ayuda muy limitada al tratar con ecuaciones de grado más alto. Se puede proceder directamente hasta el resultado general de que un polinomio P(x) tiene un tactor (x — b) si y solo si b es una solución de la ecuación P(x) = 0. I-os trucos habítualmente presentes en la factorización, por ejemplo, de 2x* — x — 6, clarifican poco ei proceso general. Para ilustrar este enfoque general, consideremos la factorización de P(x)

y

= K + 4x* — 3x — 18.

Si existe una solución entera de P(x) — 0, debe ser un factor de 18. (Si no existe una solución entera, no existirá una factorización simple). A través de un ensayo, encontramos que 2 C5 una solución así que (x — 2) es un factor de P(x). De donde x

i +

4 2 X

_ 3x — 18 = (x

2X

).

El restante tactor cuadrático puede ser encontrado ahora por división sintética, pero ésta es una técnica que parece diseñada para ser muy poco clara. Es más sunplr № la práctica y también mucho más perspicaz obtener los Ctjpfi cientes del factor cuadrático comparando las potencias de x. Por ejemplo, el término constante debe ser 9. y si escribimos el término lineal como x% encontramos que a — 2 - 4, fo que —2a 4 9 - - 3) todo lo cual da a = 6. La factorización es así t

a) las ecuaciones de las rectas; b) la solución de las ecuaciones polinomiales.

>

2

P(x) = (x — 2)(x + 6x I V)

de P(x) = O lleva, por simplificación, a que X = .í » que x* I* fix *H 9 = 0. No li iy nuda particularmente difícil en este enfoque. Sólo depende d e d o s Tutores: V U Solución

(

1. Si a, h \\Mi números reales, y ab = 0, entonces a = 0 ó tí 0. 2. 1.a propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma. El centrarnos en el caso euadrátieo puede fácilmente ocultar la uniformidad del método gcneraL En particular, la propiedad I anterior tiende a ser menos explorada en el enfoque p j r ecuaciones cuadráticas q u e en un tratamiento mas genera!. Consecuentemente, los errores tales como X (x 3) fe Mí « o x — 3 — 6 son frecuentes. Así, la especificidad del contexto euadrátieo, aunque no es inmediato que sea asi, puede conducir en h práctica a dar una importancia insuficiente a las ideas clave para relacionar la factorización con la resolución de ecuaciones —la propiedad 1 anterior. la introducción de una nueva idea o técnica en un i'outcxto más general evitará necesariamente los problemas creados p o r tomar un contexto demasiado específico, pero puede llegar a eausar otras dificultades iguales o más serias (ver el Capítulo 3, Sección 2). Esto no niega o devalúa e! consejo de esta sección; el consejo se propone para señalar las siguientes cuestiones, que deben ser consideradas en el desarrollo de cada nuevo tema: I- Un contexto altamente específico ¿puede hacer la idea o la técnica más fáciles de entender? 2. El contexto propuesto ¿contendrá características extrañas que oscurecerán el verdadero significado de la ideea o el propósito de [a técnica? 3. Ei contexto propuesto ¿contendrá características que han de ser vistas como extrañas antes de proceder al desarrollo de la idea o de la técnica? A El contexto propuesto ¿oculta los principios matemáticos implicados? 5. ¿Es preferible un tratamiento más general, en orden a hacer más fáciles de apreciar las cualidades esenciales de la idea o los principios de la técnica? ó. ¿Se puede motivar apropiadamente un tratamiento más general? En muchos casos, particularmente il tratar con los alumnos menos capacitados, será necesario un contexto muy específico

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1

para hacer algún progreso. Las cuestiones anteriores resultan ser de menor importancia en tales circunstancias; su consideración detallada debe conducir a una reducción de las dificulta* des de aprendizaje basadas en el contexto, por sacar a la luz los problemas que se presentan.

3, Asegurarse de que diferentes aspectos de una idea son claramente diferenciados Una de las mejores ilustraciones de su necesidad en el nivel escolar es el uso del signo negativo *—» en el contexto de los enteros. Están implicados tres aspectos diferentes: i) Parte de la representación simbólica para los números negatitw, por ejemplo, — 5 ; Aquí el signo «—* y el dígito 5 forman parte de un símbolo completo que representa e\ número entero negativo cinco. ¡i) La inversión de la suma: A este respecto podemos escribir —(+5) = —5 y —(—5) — + 5 . El signo negativo en —(+5) representa una operación sobre un entero que produce otro entero. Desde este punco de vista, omitir el signo «+* en +5 tiene por consecuencia dejar sin significado a —(+5) = —5. iü) Sustracción: Por ejemplo, en (+6) — (—2), el signo negativo de la izquierda denoia una operación entre un par de enteros que produce un tercero, + 8 . La naturaleza de la confusión que se puede originar se aprecia considerando una expresión como 2x — 3y — x + 4y. La reordenación 2x — x — 3y + 4y sugiere que uno está tratando con cuatro entes 2x, —3y, —x, +4y y rescribiéndolos en un orden conveniente; esto es, los signos operacionales que conectan pares de términos son tratados como si estuvieran asociados a un término y se movieran con él. Para observar lo que realmente sucede es necesario escribir 2x — 3y — x + 4y como 2x + (—3y) + (—x) + 4y, para luego aplicar Us propiedades conmutativa y asociativa de la suma de enteros. En otras ras, se debe reemplazar el «—* como una operación de sustracción entre pares de términos por el *—» como una operación inversa de la suma sobre un único término. De igual forma, pero implicando a los aspectos i) y ü), algunos alumnos piensan que —3x, por ejemplo, debe ser siempre un número negativo ya que tiene un signo *—* a la izquierda. Se pueden encontrar otros ejemplos de confusión semántica en distintos temas de las matemáticas escolares. La fracción

1/4 puede significar el número especifico un cuarto o una L* ENSEÑANZA ot proporción de una pane sobre cuatro o la ra2Ón 1:4. Ya uuuáTBUnuí hemos discutido la variedad de interpretaciones semánticas de ia variable en álgebra (Capítulo 5, Sección 7). En todo caso, tomarse con ligereza las distintas formas en que pueden ser interpretados una idea o un símbolo causará muchas dificultades de aprendizaje (ver el Capítulo 5, Sección 1). Para conocer más sobre la naturaleza de estas dificultades, consideremos el siguiente desarrollo notacionaL escogido deliberadamente como uno que es improbable que el lector encuentre en la forma aquí presentada. a) A cada número natural b le asociamos un nuevo número ->b. Supongamos que la suma y la multiplicación pueden ser sistemáticamente extendidas a estos nuevos números. El sistema de números que se forma así se llamará T. b) La propiedad básica de -rb es que b X (H-b) = f-rb) X b = L c) Existe una operación funcional + sobre T tal que, para cualquier t £ T, tenemos t X (-í-t) = (-í-t) X t — I. d) Existe una operación 4 sobre pares de elementos de T, TU que, para todo t, yG T, t 4- y es el elemento z de T para el que y X x = t. Equivalentemente» t + y = tX(-f7). El lector debe observar que T contendrá números de la forma t dly y que no son números naturales ni de la forma ^b donde b es un número natural, cuando t, y sean números naturales. En efecto, debe ser obvio para el lector que ^-b no « otro q*w el recíproco 1/b, y que T es el sistema de números racionales positivos. Desarrollar este sistema como se señala de a) hasta d) es mucho más complejo, tanto notacional como semánticamente, que el método normal. Este es, sin embargo, el paralelo exacto del desarrollo notacional del sistema de enteros a partir de los naturales, con lo que se pueden llegar a aclarar las dificultades conceptuales implicadas.

4. No introducir notación formal o presentar ana idea o una técnica antes de poder ser asimiladas a las estructuras de conocimiento existentes Al igual que la sección 2, este consejo requiere algún análisis, ya que mucha gente puede defender que la capacidad de hacer trente a la notación formal es el indicador de que

•

Pn£VENCk>*v XExtoio

una idea o, más a menudo, una técnica han sido asimiladas en las estructuras de conocimiento existentes (ver el Capítulo 3, Sección 5). Esto es parecido, sin embargo» a (a opinión de que lo mejor para que la gente aprenda a nadar es echarles al agua —jlo que tiene efectos desafortunados para los que no saben nadar! Otros profesores defenderían que la notación formal supone una ayuda en ci proceso de asimilación; que, trabajando dentro de un marco formal, las ideas y las técnicas se vuelven más claras para el alumno y, consecuentemente, se entienden mejor (en el sentido relacional). En la práctica, donde esta postura tiene un éxito aparente, se pone de relieve que la notación ha reforzado o consolidado la asimilación que ya había tenido lugar. La notación formal para los vectores, por ejemplo, y el marco formal para el cálculo de vectores, pueden venir precedidas por conexiones adecuadas relacionando la noción de vector con el desplazamiento, traslación y segmento dirigido. Esto no sucede demasiado a menudo. Si, en la mente infantil, la palabra vector se relaciona vagamente con la longitud y el ángulo, o con eí movimiento, la notación y el marco formal pueden ser confundidos, ya que requieren un entendimiento preciso de la conexión entre el concepto de vector y las nociones geométricas de desplazamiento, traslación y segmento dirigido. De forma similar, la notación funcional puede ser mal utilizada ya que, muy frecuentemente, las ideas fundamentales de función no han sido nunca adectiadámente desarrolladas en las mentes infantiles más allá del dibujo de dos diagramas de Venn con flechas que van del uno al otro. La noción de que, en muchos casos prácticos, una función está determinada por una regla, y que la notación simboliza esta regla, queda implícita antes que explícita. Esto se hace penosamente evidente en un trabajo más avanzado donde, por ejemplo, dados f(*, y) = (x + y, x — y) g(x, yj = (2x - y, x + 3y) pocos estudiantes confian realmente en encontrar una fórmula para tlg(x, y)]. Como un tercer ejemplo, consideremos nuevamente los índices racionales tales como a '\ a(ver Capítulo 5, Sección 5). La manipulación de tales expresiones es notoriamente una de las partes peor conseguidas del álgebra elemental. (Por qué? Porque en muchos casos la idea que subyace a la notación no ha sido nunca explicada apropiadamente* Sí los J

314

1

alumnos entienden que los significados asignados a 1 0 " , cU\, son los que producen una mayor regularidad en el cálculo, aparecerán pocas dificultades. Así, se cumple a X a° ^iniii pjf-j cualesquiera números racionales ni y n porque se escoge así la definición, I.as explicaciones de a - o a IUVUIAS K\\ la continuación de un modelo o una secuencia son trucos para los niños. Esto no quiere decir que tales explicaciones no tengan valor; pero se deben ver corroborados por la evidencia razonable de las definiciones. m

1

ü 2

Es generalmente cierto que una de las prácticas más comunes en la enseñanza de matemáticas es la de ensenar algoritmos formales antes o al mismo tiempo, en que se establece la 'X>mprensión relaciona!. Como hemos discutido en el Capítulo 2 y a lo largo de este libro, esta perspectiva considera que el enfoque relaciona!, en e! que se ligan nuevas ideas y técnicas al conocimiento ya existente, consume bastante uempo, mientras que los métodos instrumentales son rápidos, requieren menos esfuerzo y organización por parte del profesor y conseguirán, al menos, bastante. Son por ello utilizados por profesores desilusionados o poco entregados. Han tratado de desarrollar la comprensión relaciona!» han fallado, esperan que sus alumnos tengan serias dificultades de aprendizaje en matemáticas y no creen que estas dificultades puedan disminuir {ver también el Capítulo 3, Sección 5).

5. Evitar una innecesaria complejidad notacional Esta es un área de la que el movimiento de las matemáticas modernas de años recientes tiene mucho que responder (ver el Capítulo 3, Sección 4). Toda notación, como se ha visto, tiene un efecto de «olvido*; los alumnos olvidan por que surge la notación y a qué se aplican sus reglas operacionalcs. La notación innecesaria complica estas dificultades, incrementando el sentido de misterio y confusión en las ideas más simples. La notación se adquiere confundida con los procesos. Tomemos un ejemplo, verdaderamente extremo, -Resolver la ecuación 3x + 1 = 10. donde xE Q, el conjunto de racionales*. Tenemos 3x + 1 - 10 3x + l + ( - l ) = lÜ + ( - l ) » 3x = 9 *# 1/3 X 3 x = 1 / 3 X 9 » x =3 El conjunto solución es 13).

ENSEÑAN**\ DE Lis & u u i A T f C A S

PREVENCIÓN v KFM . EMQ

Existen tres complejidades innecesarias: i) El uso de » , ii) El uso de la suma de enteros. iii) El uso de Í3} para denotar la solución. Consideremos cada una por turno.

i) El uso de ¿Qué añade » a la solución y qué aporta al niño? El uso del signo de equivalencia indica que las etapas sucesivas en la solución son lógicamente equivalentes- De ahí que el conjunto de números para los que se cumple 3x + 1 = 10 es el mismo conjunto para el que se verifica x = 3, y esta ultima ecuación tiene, obviamente, a 3 como la única solución. El argumento unidireccional: 3x + 1 = 10 * 3x = 9 o, simplemente, x = 3

3x + 1 » 10 3x = 9 x =3

no muestra por sí misma que 3 sea la solución de la ecuación, sino sólo que si la ecuación tiene una solución, ésta debe ser 3. La diferencia entre la implicación unidireccional y la equivalencia es, desde el punto de vista utilizado, similar a la diferencia entre las técuicas de solución operacional y de equilibrio. Más aún, la fuerza intuitiva de la implicación hace que la introducción de los métodos de equivalencia no siempre sea fácil. Por ejemplo, se hace necesario justificar la reversibilidad de cada etapa, una complicación no relacionada con el proceso de solución. La interpretación usual de por los alumnos es verla como una forma decorativa del signo de igualdad o como un adorno requerido por los profesores que no contribuye en nada a la solución. En ambos casos se incrementa la confusión.

ü) Uso de la suma de enteros Tratar la sustracción como una suma de un número negativo añade también complejidad a la solución. El punto de vista de la matemática moderna de usar la suma en detrimento de la resta viene fomentado por la noción de inversión de la suma y de las ideas de grupo y está equivocado en dos aspectos: a) ia noción abstracta de grupo está más allá de los más capaces, y b) añade una preocupación

innecesaria al niño cuando traca de resolver ecuaciones. El principio del equilibrio trabaja igualmente bien para la suma que para ta resta.

PREVENCIÓN Y

L\: • • LAS MATDÍATILW

REiüixo

iii) Uso de L notación del conjunto solución Para muchos niños, la respuesta es 3 o quizá x " 3; ciertamente, no lo es 1 3 ) . La insistencia sobre ( 3 1 conduce inevitablemente a x - 13). Esta notación tiene su utilidad en nutaciones matemáticas más complejas, inecuaciones por ejemplo, pero en ecuaciones simples se vuelve simplemente algo decorativo por no tener un propósito obvio.

están haciendo. Este admirable punto de vista no se extiende, desafortunadamente, a otros contextos donde el pensamiento anterior es igualmente válido. Como se discutió en el Capítulo 3, Sección 5. la sustracción puede ser introducida como complementaria de la suma; por ejemplo, 5 — (— 3) es interpretada como «¿Qué debe añadirse a — 3 para dar 5? Después de una práctica considerable, se puede introducir la regla a — b = a + (— b) o mejor si la deducen los mismos alumnos. Sin embargo» si la regla a — b — a + (— b) se introduce al principio, en la definición de sustracción de enteros, estará ausente la motivación y el proceso de cálculo queda a un nivel manipulative formal sin que presente una interpretación significativa. La introducción de una técnica formal requiere el plantearse las siguientes cuestiones:

6. No introducir técnicas formales demasiado pronto o sin una apropiada motivación Este consejo se ha mencionado varias veces en las discusiones anteriores, incluyendo dos secciones previas de este capítulo. Es a menudo rechazado sobre la base de que gastar demasiado tiempo sobre métodos informales hace que el método formal sea más difícil de establecer o de motivar. Sin embargo, es instructivo considerar algunos ejemplos de técnicas formales que los profesores no deberían pensar en inrroducir al comienzo de la secundaria. La ecuación ax + b = c riene la solución formal x =

c

b

a

44 - )- *

a

La ecuación ax + b = ex + d tiene la solución formal

A partir de estos resultados, las soluciones de las ecuaciones simples pueden ser escritas más abajo. Se pueden obtener fórmulas similares para la solución de ecuaciones simultáneas ax + by = c 1 px + q y = r J donde existen soluciones. Tales fórmulas no son utilizadas normalmente en los institutos. Una razón para ello es que los profesores consideran correctamente que son preferibles los procedimientos habituales para resolver ecuaciones simples O simultáneas, en los que ellos pueden ver claramente lo que

a) b) c) d)

j

¿Es necesaria en esta etapa? ¿Será significativa en esta etapa? ¿Se ha preparado su motivación? Se sigue con naturalidad de métodos más elementales ya utilizados por los alumnos? e) ¿Cuál es el propósito matemático de la técnica? f) La introducción de esta técnica ¿facilita o dificulta el pensamiento matemático?

Al responder a estas preguntas, las metas de una enseñanza son, obviamente, importantes. Un objetivo de eornpeicneu como «El niño será capaz de dividir cualquier numero por un divisor de dos dígitos obteniendo cociente y resto sin ayuda*, para el cálculo*, favorece las técnicas formales, mientras q u e un objetivo de proceso como «El niño será capaz de demostrar su comprensión de la resta identificando este proceso corree* tarnenre en una variciíad de contextos», favorece un proceso de reconocimiento antes que una técnica formal. Para los alumnos lentos, el enfoque de pmce\o es probablemente más útil en término* de destrezas vitales. Para muchos alumnos capacitados debe tener un efecto benéfico sobre ¡su pensamiento, así como les permitirá fundamentar significativamente la eventual introducción de métodos formales. Donde los alumnos parezcan ser capaces de hacer frente, ínstrumciiul mente, a la manipulación algebraica, puede seguir siendo preferible retrasar su desarrollo. Es posible un nivel mil avanzado, aunque insatisfactorio, en la construcción de técnicas formales para el cálculo diferencial e integral, sin que exista la habilidad correspondiente de aplicar la técnica en el contexto. Retrasando los métodos técnicos hasta que se identifiquen los procesos en vario* contextos, se da una

mayor- I nulidad a la técnica formal y se consigue que sea más 1.A №SC$ANZADP ;1|>IUMMC. tAS MATEMÁTICAS Como un ejemplo más, consideremos la siguiente pregunta: -Cuál «as mayor, 271 X 4369 o 537 X 2177*. Un niño que nina que W7 < 2 X 271 y que 2177 < 1/2 X 4369 y, por u n t o , que el primer producto es e! mayor, entiende mucho más que el niño que utiliza un algoritmo de multiplicación larga (o la calculadora) para calcular ambos productos. La idea que subyacc al pensamiento del primer niño es la de la proporción inversa o el producto constante. La proporción inversa es, para muchos niños, un tema muy difícil de entender. Si se enfoca en el contexto de los productos constantes y no a través de reglas formales, su naturaleza real será percibida con mayor claridad.

Estrategias de remedio Volvemos ahora al remedio —esto es, a las acciones que se toman para tratar la presencia de dificultades en el aprendizaje. Antes de comenzar se ha de decidir si un errar observado es debido a una falta de entendimiento o a una distracción, a una pérdida de atención o a un descuido momentáneo- Si al indicar el profesor el error, un alumno lo reconoce inmediatamente y lo arregla, entonces se puede admitir con seguridad que no es necesaria ninguna acción de remedio. Un alumno, sin embargo, que incurre en tales distracciones frecuentemente, puede requerir una mayor atención porque exista un descuido constante. En lo que sigue, admitiremos que las dificultades son más serias que los errores casuales- Como en la sección precedente, los encabezamientos iormulan consejos específicos. >

PKfvtxciúN r

puede estar menos seguro si se enfrenta a

REMEDIO

2/3x — l/5y = 3/5 ) x + l/3y = 1/4 J En tales dificultades, es necesario determinar si se entiende la técnica básica del problema y, para conseguirlo, se debe reemplazar el problema dado por uno que contenga tan pocas características extrañas como sea posible. Sin embargo, cuando se va desde un problema o cálculo particular a uno más simple, es importante no perder la esencia de las ideas presentes en el primero —uno debe asegurarse cuidadosamente de que las ideas básicas quedan intactas. Tratando con las dificultades de las inecuaciones, por ejemplo, si nos referimos a un caso simple de ecuaciones, se pierde la esencia de la noción de inecuación y se hace que las inecuaciones se conviertan en más difíciles de entender. La solución del par de inecuaciones 2x + y > 10] x + y < 3J tiene muy poco en común con la solución del correspondiente par de ecuaciones, sea en el proceso de solución o en la naturaleza de la solución obtenida. SÍ el remedio por simplificación demuestra tener éxito, un profesor atento lo reflejad en su enfoque del tema. En particular, debe considerar si la complejidad técnica construida procede demasiado rápidamente y se presenta antes de Us ideas básicas que la integrarían apropiadamente en el conocimiento previo. En otras palabras, considerará medidas preventivas tales como las que han sido discutidas en la primera parte de este capítulo.

/, Tomar un ejemplo simple del problema

2. Considerar un ejemplo numérico

Muchos alumnos que parecen ser capaces de enfrentarse a un problema o a un cálculo dados cuando los números son pequeños o el contexto geométrico o algebraico es relativamente simple, pueden interrumpirse ante el mismo problema o cálculo cuando los números son más «difíciles», o el contexto geométrico o algebraico menos simple. Por ejemplo, estos alumnos pueden encontrar dificultades si los números cuentan con dos decimales. Igualmente, un alumno capaz de resolver las ecuaciones simultáneas

Esta estrategia, naturalmente, sólo será apropiada en contextos algebraicos; allí donde su aplicación se limite fundamentalmente a las situaciones de simplificación. Donde es apropiado puede no conseguir sus propósitos ya que no es lo mismo el entendimiento en un contexto numérico que en uno algebraico. El método es más conveniente cuando se cometen errores como 2( + y) = 2x + y; (a + b)* = a* + h*; 2x + 3y = 5xy X

*

2x + 5v = 19 ) x

í

- 1 2 2

;

1 . 1 ^ a b

1 a + b

La dificultad de los ejemplos numéricos para constituir LA ENS¿ÑA>ZA cu un remedio es que, mientras que pueden convencer a un USMATLUVUOS alumno de que su método es msatisfactorio, no aumentan el conocimiento hacia la dirección conecta. Demostrar que (2 + 3> I* V + Í no es eu sí ninguna ayuda para alcanzar el resultado correcto (a f b) a + + 2ab. Otro problema es que los ejemplos numéricos pueden eliminar b esencia de la dificultad. Esto puede ocurrir de dos formas. :

2

J 83

2

En primer lugar, por ejemplo, demostrar en un caso numérico que 2x + 3y i* 5xy no llega a convencer al chico de que, en un contexto algebraico, 2x + 3y no puede escribirse de forma mis simple (es decir, que la suma no puede ser realizada). En segundo lugar, un caso numérico puede trivializar la idea. Por ejemplo, la noción de equilibrio en la solución de ecuaciones se vuelve inútil cuando se reduce a una afirmación como «Si 2 = 2, entonces 2 + 3 = 2 + 3»Adcmás, muchos problemas algebraicos no conducen por sí mismos a ejemplos numéricos —tai es el caso de las ecuaciones y tas fórmulas. Es difícil considerar el proceso de solución de 2x + 3 = 5x — 6 en un contexto numérico. Igualmente, los procesos algebraicos de cambio de la fórmula V AB/C para encontrar C se pierden si se dan valores numéricos a V A, B y CDe aquí que reducir un problema algebraico a términos numéricos requiere una consideración cuidadosa; puede no ser posible, puede triviali7ar la idea, o no indicar al alumno la naturaleza de la equivocación, puede no relacionarse con el contexto algebraico. No obstante, dentro de estas restricciones es un enfoque que no debe ser ignorado. =

T

PREVENCIÓN* UV7DC0

le ha hecho mayor en una unidad por lo que la ecuación ahora no estará equilibrada. Se le puede indicar además que la solución de la segunda ecuación, a saber 3, no es la solución de 2x + 1 = 5. Estos hechos en sí mismos no dejan claro lo que se rienc que hacer. De igual modo, un alumno que piense que el área de un paraMogramo es el producto de las longitudes de los lados adyacentes puede, por medio de un modelo de bisagras, observar que al quedar el paralelogranio plano su área será menor, mientras que por su método el área no debería cambiar. Pero esto es de poca ayuda para entender lo que debe hacer para calcular el área de un paralelogramo. Por otro lado, la demostración de que existe un defecto en el método del alumno puede ser útil en situaciones donde conozca un procedimiento correcto pero prefiera su alternativa ya sea porque es suya, o porque la vea más fícil, o por alguna otra razón. En tales casos, puede que sea necesario demostrar la defectuosa naturaleza del método del alumno antes de que adopte un método correcto (ver el Capítulo 3, Sección 3). El enfoque de los defectos conduce también a que varíen con la situación los principios generales que fundamentan un proceso (4, a continuación}. Por ejemplo, al explicar el defecto en 2(x + y) = 2x + y se puede hacer referencia a que x representa un número de manzanas e y un número de naranjas. Al doblar el número total de piezas de fruta se duplicarán el número de manzanas y el número de naranjas. De esta forma, se aplica la ley distributiva y el principio general presente en la expresión 2(x + y). Venios así que la demostración de la existencia de defectos puede incluir una discusión sobre principios generales, aunque no necesariamente tenga que ser así. f

3. Demostrar que existe un defecto en el método del alumno Esta es una generalización del enfoque del caso numérico v, al igual que en aquél, mientras se indica que existe un error, se puede no indicar qué es lo que realmente debe hacerse. Por ejemplo, a un alumno que parte de 2x + l = 5 para llegar a 2x = 6 se le puede indicar que al miembro de la izquierda se le ha hecho menor en una unidad mientras que al de la derecha se •

4. Volver a explicar el principio general que subyace a una técnica Este es un consejo conveniente cuando el fundamento de un error reside en la falta de entendimiento de un principio general. Se gasta infructuosamente mucho tiempo en la explicación de principios generales ctiando la fuente real del error es superficial o está en una zona periférica. Se cometen muchos errores en (a solución de ecuaciones, no porque no se entienda el procedimiento de solución general sino por problemas con el cálculo de enteros. De ahí que el enfoque 1) sea un preliminar útil para las explicaciones generales —considerar un problema más simple que implique el mismo principio. Sin embargo, existen muchas situaciones en las

que e! método más efectivo es la re-explicación del principio LA ENSEÑANZA DE general, LAS MATEMÁTICAS Como ejemplo de ello, consideremos el error —2x < 10 •* x < —5. Una forma de tratarlo es referirse a ejemplos cales como 2 < 5 pero —2 > —5 ó -5 < -2 —3 < 2 pero 3 > —2 ó —2 < 3 que ilustran el principio general de que el cambio de signo en ambos miembros de una desigualdad invierte dicha desigualdad. La referencia al principio general sera efectiva sólo si el alumno se ha convencido primero, considerando valores numéricos convenientes de x> que —2x < 10 no implica x < — 5 , De igual manera, un alumno que piense que eos x° = — 1/2 => x = —60, necesitará convencerse de que está equivocado» antes de discutir los principios que le couduzcan a que x = 120 ó 240, para que esto *ea realmente significativo. En este caso, la consideración del gráfico de la función coseno puede conseguir ambos fines más o menos simultáneamente.

PUVGNÜÜNY RLMUMU

La geometría es un área de estudio donde las explicaciones alternativas tienen un papel importante. Como una ilustración de ello, consideremos la regla del seno: a _ sen A

b sen B

(En la notación usual para los lados y ángulos de un triángulo, a representa el lado opuesto al vértice A y así sucesivamente). Una demostración de esta regla, tal como se puede ver en muchos libros de texto, procede como sigue.

En el triángulo ABC que se muestra» tenemos que AD = c sen B y A D = b sen C , de forma que c sen B — b sen C y de aquí

5, Usar métodos alternativos de explicación Esta es una técnica que puede ser muy efectiva, Repetir al alumno algo que no ha entendido la primera vez que lo ha oído puede no tener un éxito mayor en el segundo o tercer intento. En la presentación inicial el profesor puede haber admitido que el alumno ha asimilado un aprendizaje previo relevante y aplicarlo a una situación nueva en una forma particular, pero la naturaleza del aprendizaje previo del alumno hará que le resulte difícil dar, al nuevo material, el sentido que espera el profesor. En tales circunstancias, será necesario un método diferente de explicación, posiblemente una técnica distinta para resolver el problema o llevar a cabo el cálculo. i i Un alumno para el que significa poco el enfoque del producto de enteros por medio de modelos de secuencias y ia ley conmutativa, puede aceptar un enfoque basado en la idea de que el signo menos denota la inversión* Por ejemplo, —3 denota la inversa de sumar 3, y —(—3) denota la inversa de — 3 , asi que 3 + (—3) = 0 y —{—3) = 3. De igual forma, —3 X —2 denota la inversa de 3 X (—2), dando —3 X —2 — 6. Este enfoque de la inversión, aunque no tenga una base lógica más fuerte que el modelo de continuación, será más convincente para el alumno.

c sen C

b _ c sen B sen C

De forma similar _ sen A

b seo &

y de aquí se sigue el resultado para los triángulos acutángulos. Otras consideraciones sobre un triángulo obtusángulo demuestran que el resultado es cierto para todos los triángulos. Aunque la demostración es correcta, falta algo. No existe una explicación rea! de por qué las tres razones son ¡guales. Esta igualdad sugiere (para el pensamiento matemático sobre la proporción) que existe alguna cantidad relacionada con el triángulo globalmeme, para la que cada razón es igual. La demostración anterior no indica qué cantidad puede ser. La siguiente demostración alternativa, aunque precisa un mayor conocimiento de los fundamentos, clarifica la cuestión arriba mencionada de una manera simple y elegante.

167

O es el circuncencro LA ENSEÑANZA u del triángulo A B C us MATFMÁTICAS De ahí que el ángulo A sea igual al D y el ángulo BCD sea igual a 90°. Si llamamos R a! circumradio, se sigue que a/2R = sen D = 2R, dando el resultado inmediata* mente para triángulos acutángulos. El caso del obtusángulo se sigue de las propiedades de los cuadriláteros cíclicos. ün alumno que quedara confundido por ¡a primera demostración puede ver el resultado mucho más claramente a través de la segunda. Esta última tiene una serie de interesantes consecuencias que no es posible extraer directamente de la primera. Por ejemplo, la fórmula del área A = 1/2 ab sen C puede ser reescriu en las formas simétricas abcMR y 2R sen A sen B sen C que, naturalmente, no son adecuadas para el cálculo numérico puesto que el valor de R no es habituaimente conocido, pero sí presentan una cualidad escérica por sí misma. Una parte valiosa de la educación de los alumnos consiste en animarles a que descubran una variedad de demostraciones de resultados conocidos —teoremas de concurrencia, por ejemplo. Los alumnos menos capacitados pueden también beneficiarse ai ver que no existe una sola explicación ^correeta». El mensaje general de esta sección es que, donde una explicación puede fallar, otra puede tener éxito. Ya que conocemos raramente los procesos de pensamiento infantiles, es necesario tener un almacén de explicaciones alternativas, ya que es improbable que una sola sea entendida por todos. 2

6,* Mostrar corno revisar ¡a corrección de una respuesta Este es un aspecto olvidado a menudo por la enseñanza. El desarrollo de la práctica en revisiones exactas debe ser una parte normal del trabajo de clase, no sólo como conclusión de un cálculo o un problema, sino como un punto intermedio conveniente. Tales revisiones no deben implicar el rehacer todo el trabajo sobre un problema sino utilizar un procedimiento alternativo para determinar si la respuesta es correcta. Por ejemplo, cuando se revisa la exactitud de la solución de

PREVENCIÓN Y una ecuación, los alumnos trabajarán laboriosamente sobre HEMEDÍO todas las etapas de su solución para ver si han cometida algún error (olvidando probablemente en el proceso alguno de estos errores), antes que sustituir su solución en la ecuación original. Revisar las inversiones —sustracción/adición, división/multiplicación— ayudará a entender estas relaciones. A un nivel más alto, la revisión íunción/función inversa o diferenciación/integración ayuda a clarificar el pensamiento. En el caso de la función, si f(x) = 3x — 1, entonces M ( x ) = (x + l)/3; la revisión es f~* (f{x)) = x, es decir, i3x - 1» + 1 3

_ i>L - v 3 x

l

o f(f~ (x)) — x, es decir, 3

(* + 1) _ i = s + 3

t

_ i = , x

De una forma tan variada como ésta, los procesos de revisión de las respuestas pueden tener una utilidad positiva en términos del entendimiento infantil, Demasiado énfasis sobre las revisiones puede causar frus* tración entre los alumnos, impacientes por completar un conjunto de ejercicios; revisar cada respuesta pronto se vuelve tedioso. Se necesita alguna forma de selección; los alumnos pueden revisar cada cuatro cálculos. Al igual que la revisión de la exactitud, l:is colimaciones antes de iniciar un cálculo pueden ayudar a prevenir unas respuestas numéricas equivocadas. Es improbable que la altura de un edificio sea de 4265 metros pero sí puede ser de 42 65 metros. Si se usa una calculadora, tales revisiones son casi indispensables. Diremos más sobre ello en los Capítulos 6 y 13. Llevar a cabo revisiones exactas tí estimativas proporciona un elemento para que el alumno se corrija a sí mismo de forma tan valiosa como en el aspecto de prevención de errores- Los alumnos acostumbrados a practicar y usar tales revisiones será menos probable que cometan errores al principio y más probable que corrijan su propio tral üijo si ocurren dichos errores. De ahí se obtiene un doble beneficio para el proceso de aprendizajeExiste un aspecto final que se debe resaltar ciiaudí * tratamos del remedio —es posible ser demasiado entusiasta. L.os intentos de forzar al alumno a aprender con demandas excesivas sobre su intelecto pueden causar tantos transtomos psicológicos como el método de enseñanza mirir/.n más fresco. Así, un aspecto del remedio que mi debe olvidarte es el cambio completo de teína (ver el Capítulo 5, Sección >}.

C a p i t u l o 10

Diseño del curso y construcción del programa

En el diseño de un curso es necesario que, en su comienzo, se consideren ios principios generales y los criterios que determinarán el modelo global o estilo. La construcción de! programa (que forma la segunda parte de este capítulo) se refiere a la producción de un programa de enseñanza dentro de este modelo. £1 diseño del curso y la construcción del programa son las primeras dos etapas de las cuatro que •integran un proceso de planificación. La tercera etapa —uso de recursos— es el tema del Capítulo II y la cuarta —unidades escritas de trabajo— es tratada en el Capítulo 12. En el diseño existen dos amplios principios de planificación que se aplican en casi todos los cursos, llabitualmente son denominados los Principios de Arriba-hacia-abajo y de Abajohacia-arriba. Un factor determinante en el estilo de un curso es eí equilibrio que se obtenga entre los dos.

El principio de Arriba-hacia-abajo Este principio establece que los objetivos conseguibles al final del curso deben determinarse por adelantado; esto es, para cada curso se ha de especificar lo que los alumnos deben conocer y ser capaces de hacer al final. Tales objetivos pueden ser propuestos en términos generales o especificados con detalle. Ejemplos de esta última postura se pueden encontrar, por ejemplo, en el Informe Ocasional 6, AtatheNMOCf CoMrses in Sí and 52, (I981) , publicado por el Scotttsch Curriculum Development Service o en los programas de disuntos tribunales de examen. 1

Si, como es el caso más frecuente, se escriben taks objetivos con un detalle considerable, tendremos que asegu1

Scottish Curriculum Development Scrncc 1981: Occasionil Paper 6. Matb-tmatki CO*TW m Si and Sil Scotiisli Curriculum Dwlopmenc Setvktf, Dundee College of educación.

romos de que no predominan lo logros a pequeña escala, de manera que se pudiera perder ía visión global del desarrollo y el pensamiento matemático de los alumnos. Una prescripción demasiado detallada de los objetivos puede conducir a un énfasis casi exclusivo sobre objetivos de conocimiento o c o m p e t c n c i a l e 5 a expensas de los objerivos de proceso o de experiencia (ver el Capítulo 1). Como consecuencia, se podría dar poca importancia durante e] curso a los propios alumnos y a su participación en el proceso de aprendizaje. Para evitar, o al menos disminuir, estas consecuencias desafortunadas de una aplicación estrecha del principio de arriba hacía-abajo, se recurre al segundo principio.

El principio de Ahajo-hacia-arriba Este principio defiende que el progreso en el aprendizaje depende de que el programa se diseñe respetando la situación del conocimiento y la receptividad general del alumno. Así, no puede predeterminarse qué es lo que hará un alumno dado o cuánto le costará llegar a un determinado punto dentro de un tema temático concreto. Este aspecto del aprendizaje ha sido discutido ampliamente en el Capítulo 3. Los inconvenientes de una excesiva confianza en este principio son evidentes. Si la habilidad y el progreso de cada alumno es el principal factor a la hora de determinar los objetivos finales, existiría una ausencia de dirección y de propósito. Ello implicaría seguir un ritmo lento que, er. otras circunstancias, podría ser el apropiado. Si el trabajo inicial se hace realmente significativo sólo en un contexto que ha de desarrollarse más tarde, los alumnos menos capacitados pueden no llegar nunca a este contexto y encontrar, por unto, irreíevante el trabajo. Quizá la única circunstancia en la que el principio de abajo-hacia-arriba puede ser aplicado sin restricciones es en la educación de los alumnos muy lentos. En la prácuca, naturalmente, los dos principios de trabajo se asocian entre sí. Se consideran los objetivos globales pero el camino hacia ellos se determina tomando en cuenta Jas habilidades y actitudes de los alumnos. Es el equilibrio del peso concedido a cada principio lo que constituye e! factor fundamental en el estilo global del curso. Por sí mismos, estos dos principios no determinan un diseño del curso específico. Para ello « deben establecer vinos criterios generales para dicho curso y relacionar el programa con ellos. Las siguientes preguntas y sus respuestas pueden proporcionar estos criterios:

°* «

DiSííW wi cüMü TCOKSTWKXIÓN ou ttooiLUiA

a) ¿El curso debe ser diseñado para un rango ancho o estrecho de habilidades? b) Al comienzo del curso ;se ha de admitir una homoge neidad razonable de los contenidos a aprenden c) ¿Existen exámenes externos? d) ¿Cuál es el balance entre procesos y contenidos? e) ¿Qué importancia se concede at pensamiento independiente de los alumnos? f) ¿Qué grado de prioridad se da a fomentar el interés y el gusto por !as matemáticas? g) En qué forma debe incrementarse el entendimiento infantil de las matemáticas como resultado del curso? c

Con propósitos ilustrativos, damos cuatro posibles conjuntos de respuestas- Diferentes respuestas a las mismas preguntas conducen, naturalmente, a distintos diseños de curso.

1. Respuestas: a) Un rango estrecho de habilidad. b) Razonable homogeneidad del contenido al comienzo del curso. c) Examen externo. d) Un programa basado en el contenido, confiando principalmente en los algoritmos standard. e), S) El pensamiento independíeme o el (ptfttt p*ir tw matemáticas no son las metas principales {aunque, naturalmente, no se rechazan), g) Aumentar principalmente la comprensión instrumental del alumno. Diseño: El diseño tendería a ser de arriba-hacia-abajo y con unas características específicas desarrollo lineal, ninguna diferenciación por la habilidad, progreso uniforme de los alumnos, enseñanza didáctica a la clase entera, utilización del libro de texto, sobre todo pira ejercicios, los alumnos trabajarían separadamente, evaluación de la competencia standard en las téeuuxs. Tal descripción podría acomodarse al nivel tradicional de ta enseñanza de bl etapas media y superior del instituto asi como a muchos cursos de matemáticas técnicas en Facultades de la enseñanza superior.

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A Respuestas*: a) b) c) d)

Rango estrecho de habilidad. Ka/omblc homogeneidad del contenido al comienzo. Algunos requerimientos de exámenes externos. Un programa basado en las aplicaciones con un contenido restringido. c) El pensamiento independiente es importante ya que el análisis de las situaciones prácticas es el núcleo del curso. f) El interés/gusto por las matemáticas debe ser animado pero no es una meta principal. e) Se exigirá una comprensión del alumno a un nivel conceptual/relacional con algunas técnicas instrumentales, principalmente usando la calculadora.

Diseño: En este caso se requiere una mayor organi*¿ación tal como los alumnos trabajando en grupos cooperativos mejor que la enseñanza a la clase entera, un enfoque de invesrigación/proyecto usando variedad de recursos, antes que los ejercicios del libro de texto únicamente, evaluación de los procesos/conceptos. Esta descripción tiende a aplicarse a las clases donde se trabaja con alumnos menos capacitados como el CSE Mode 111 o el Scottish Standard Grade Foundation Level.

3. Respuestas: a) b) c) d) c)

Ancho rango de habilidad. Variados contenidos de fundamento. Ningún examen externo. Importantes tanto el contenido como los procesos. Algún pensamiento independiente es importante pero hay mucho material standard que debe cubrirse, f). Busca activamente el interés/gusto. g) Desarrollo de la comprensión infantil, sobre todo a nivel relaciona!. Diseño: Aquí será necesaria alguna estructuración de los recursos materiales —será central la generalización y la revisión/rcforzamiento (ver el Capítulo 11). La comprensión relacional se fomentará en todo momento. La intención debe ser la de estimular el interés en todas las etapas. Los alumnos han de trabajar individualmente o en grupos cuando sea apropiado, con alguna enseñanza a la clase entera al comienzo

DiSFÑoiiu.CURSO

del tema. Las técnicas desarrolladas a partir de fichas de rcONíntucxuóN trabajo se consolidarían a través de los ejercicios del libro de DEL PROGRAMA texto. Se animaría la autoevaluación del alumno, que podria ampliarse con las discusiones profesor/alumno y exámenes al final de los temas. El que hemos descrito es un diseño típico para el primer o segundo año de secundaria en clases de habilidad mixta, Es posible una organización más elaborada —por ejemplo, diferentes grupos de alumnos en la misma clase trabajando sobre remas separados— aunque ello puede ser contraproducente.

4 . Respuestas: a), b) c) d) e) f)

Ancho rango de habilidades y contenido al comienzo. Ningún examen externo. El enfoque de los procesos como central. Pensamiento independiente de la mayor importancia. El interés/gusto por las matemáticas como una meta principal* g) El desarrollo de una comprensión relacional en el alumno.

Diseño: Las respuestas sugieren que el curso estaría destinado a desarrollar entre los alumnos un interés personal por las matemáticas. Un curso basado en el interés es relativamente extraño en ios institutos, principalmente porque las matemáticas se conciben en función de su contenido y utilidad; también* naturalmente, la evaluación puede presentar problemas. Donde existen tales cursos se considera, por lo general, que no tienen ningún objetivo concreto ni propósitos obvios, por lo que no conducen a ningún lado. En otras palabras, que no existe un diseño global. En un curso tal por tanto, resulta esencial tener una idea clara de lo que uno trata de conseguir. T

En determinados casos se puede desarrollar la resolución de problemas a través de una secuencia graduada de investigaciones; en otros, interesar a los alumnos en rompecabezas y paradojas; una tercera posibilidad es animarles a una investigación de final abierto que no tenga aparentemente una única solución. Debe ser importante el trabajo cooperativo incluyendo el ensayo y error, técnicas iterativas* casos especiales, la formación de hipótesis, la generalización de tos problemas. La evaluación puede tomar vo puede presentar problemas. Donde existen tales cursos se considera, por lo general, que no tienen ningún objetivo concreto ni propósitos obvios, por lo que no conducen a ningún lado. En otras palabras, que no existe un diseño global. En un curso tal.

por unto» resulta esencial tener una idea clara de lo que uno LA KNSFÍÑA . N2A DE trata de conseguir. us MATEMÁTICAS En determinados casos se puede desarrollar la resolución de problemas a través de una secuencia graduada de investigaciones; en otros, interesar a los alumnos en rompecabezas y paradojas; una tercera posibilidad es animarles a una investigación de final abierto que no tenga aparentemente una única solución- Debe ser importante el trabajo cooperativo incluyendo el ensayo y error, técnicas iterativas, casos especiales, la formación de hipótesis, la generalización de los problemas. La evaluación puede tomar varias formas —a través de carpetas de trabajo, construcción de problemas, explicaciones escritas, orales y así sucesivamente. La discusión es, claramente, una característica importante del trabajo. Sin enfatizar demasiado el papel de la evaluación, los alumnos pueden ganar en interés hacia sus actividades matemáticas. Desde la perspectiva de las dificultades de aprendizaje, el diseño 4 sería el opuesto al diseño 1, pero la diíerencia no reside sino en la naturaleza de las dificultades. En 1, la organización formal es muy inflexible, los alumnos discurren por un camino fijado a una velocidad uniforme. Deben ser razonablemente eficientes técnicamente en situaciones standard. En 4, los estudiantes deben ser capaces de hablar de su propio trabajo, explicar lo que han hecho, demostrar intuición ante situaciones no familiares. Las dificultades surgirán probablemente en l por la ausencia de comprensión relaciona!; en 4 por una posible ausencia de dominio técnico. El diseno de curso se refiere a los propósitos y estrategias globales. No importa qué forma adopte el diseño, seguirán estando presentes varias fuentes de dificultad de aprendizaje. Dentro de un diseño particular, es el proceso real de construcción del programa lo que se dedica más directamente a minimizar estas dificultades- Lo que es importante es que se entiendan con claridad las implicaciones del diseño global en la naturaleza de las dificultades de aprendizaje.

OBESO DEL CURSO 2. Producir programas semana-por-setnana para clases, rcoHíraucctó* grupos o alumnos individuales. OEfc №0 N, sea N = Ai- Se repite la última instrucción para A^,-.^ Af,. Los cálculos de fechas forman otro tipo de problema donde se requiere tomar decisiones en varios momentos debido a las longitudes de los meses y a los cambios de aflos. Eí uso de! microordenador para tales problemas debe fomentar el pensamiento sistemático. Los ejemplos anteriores indican que los cálculos para los que un ordenador es más apropiado que una calculadora son los demasiado largos, o que requieren una decisión en puntos intermedios, o ambas cosas a la vez. Sin embargo, para cálculos más rutinarios, la potencia de un ordenador no es necesaria. | t

n

Ix>s restantes cinco usos de los ordenadores en clase sirven a distintos propósitos aunque también habrá a menudo cálculos auxiliares (frecuentemente sustanciales),

2,

Demostración/exposición

Con un monitor en color, el microordenador puede utilizarse para exponer gráficos y demostrar hechos geométricos y de otro tipo en una forma que no se consigue fácilmente en un retroproyector o en la pizarra* Tales exposiciones y demostraciones pueden resultar lo convincentes que no podrían ser de otro modo. Por ejemplo, el efecto de cambiar los coeficientes a, b, c en la ecuación cúbica y x I* a + bx + c serían vistos inmediatamente en la curva correspondiente. De igual manera, los gráficos trigonométricos de la forma y = a eos px + b sen qx pueden ser expuestos y, si se desea, sobreimpresionados. Todo esto es posible sólo si existe un programa de software conveniente, escrito por el profesor o grupo de profesores o producido comerciaimente. Dado el aumento en la disponibilidad de tal software, el microordenador puede colaborar considerablemente a la comprensión del alumno. s

3

Los gráficos estadísticos son otro campo fructífero para la demos troció n/exposición- Por ejemplo, la distribución binoinial sobre n pruebas con una probabilidad p de éxito en cada prueba, puede exponerse fijando n y variando p, o fijando p y variando n. De manera similar, se puede demostrar

LA ENSEAMÍZA DE

Et

IA> MATEMÁTICAS

MICROORDENADOR

la aproximación en el límite de !a distribución binomial a la normal. El área de las transformaciones en geometría con sus vectores y matrices asociados gana un realismo considerable cuando se enfoca dinámicamente a través del monitor. Tales programas, frecuentes en el mercado, pueden llegar a una sofísticación tal que las ideas matemáticas implicadas se tornen siempre obvias. Volveremos a esto más avanzado el capítulo, cuando discutamos cómo planificar el microordenador dentro del programa de matemáticasLos usos l y 2 se pueden introducir en clase con pocos cambios en la organización existente, metodología o programa. Los cuatro restantes requieren algo más de planificación previa.

.3, Refuerzo del aprendizaje Los procesos de consolidación y revisión son elementos importantes en el aprendizaje de matemáticas. El ordenador puede ser utilizado simplemente para revisar las ideas centrales de un tema y proporcionar ejercicios prácticos. £n este sentido reemplazaría al libro de texto. El énfasis se coloca, no en el desarrollo inicial, sino en el resumen y en la exposición conjunta del material ya cubierto. Cuando los ejercicios prácticos no se realizan bien (en la pizarra), se puede llevar a cabo una repetición del material que esta siendo valorado o proporcionar instrucciones de ayuda. La práctica rutinaria de las destrezas puede también tratarse por este camino. Para tener éxito con tales programas se necesita proceder en pequeñas etapas, resultando más convenientes al tratar temas que contengan una única idea. Pueden también ser utilizados para poner al corriente a alumnos que, por ausencia, han perdido una parte del trabajo en clase. En este ultimo modo de utilización, el profesor debe proporcionar una introducción básica antes de que el alumno comience con el programa. Para propósitos más generales en la enseñanza es normalmente necesario el siguiente uso —Ramificación de la en* señan za. 4, Ramificación de la enseñanza Se puede construir una variedad de estrategias dentro de un programa. El usuario que no cometa errores seguirá el

núcleo central del desarrollo. Cuando se den respuestas incorrectas, sin embargo, el programa puede volver a un punto anterior y repetir una paite del desarrollo o tratar la dificultad presentada saltando a un eníoque diferente. Después de una secuencia de respuestas correctas, el programa se puede acelerar omitiendo parte de las etapas individuales. Se le pitcdt. preguntar al usuario si quiere ir a un ritmo más rápido o más lento. Un microordenador utilizado de esta forma estimula at profesor en clase al comprobar que la efectividad depende de la destreza de los redactores del programa. Los tres últimos usos que vamos a considerar tienen un aspecto en común. El ordenador, a través de sus programas almacenados, controla el proceso de aprendizaje del mismo mudo que el profesor en clase. Donde el microordenador tiene una potencia única entre los recursos de aprendizaje « en eí campo del aprendizaje centrado en el alumno, donde el alumno controla OÍ proceso de aprendizaje. Los dos usos finales que consideremos tratan de esto último.

LA ENSEÑABA T>E LASM^HMÁTÍCAS

EL MÍCRÚÚ&lJFX.WOl

ción por una ausencia de información, pero de otro modo es paSlVO.

Logo es un sistema sofisticado y uno aprende según lo que

haCC.

Sin embargo, las investigaciones pueden ser igualmente efectivas utilizando técnicas más simples, igual de simples que el modo de cálculo. Como ejemplo, consideremos el problema de localizar un punto o puntos P dentro de un exágono convexo ABCDEF, tal que la suma de las distancias desde P a los seis vértices sea mínima. Utilizando el ordenador para calcular la distancia total para varias posiciones de P en una variedad de exágonos, la naturaleza de la solución puede surgir por sí misma. Se daría entonces, si se desea, una explicación general. Tal enfoque investigativo con el uso del ordenador puede aumentar considerablemente el poder de razonamiento de los alumnos. Revistas tales como Micro Math* contienen ideas para trabajo de este tipo, incluyendo paquetes de software.

6. Et ordenador como tutor personal 5.

Aprendizaje investigativo

Para el aprendizaje investigativo, la característica esencial du los programas de ordenador es que no existe una enseñanza directa. Depende del usuario el decidir cómo desea proceder. Un ejemplo muy utilizado es el Logo, un lenguaje procedimental del ordenador desarrollado por Seymour Papert {ver Mindstorms ) que anima al niño a desarrollar la intuición geométrica. Sería demasiado largo explicar aquí en detalle cómo se estructura este lenguaje pero en su puesta en práctica más simple tiene tres características geométricas: 2

i) .El usuario puede dibujar una linea de longitud dada (sobre el monitor). ii) El usuario puede cambiar, mediante un ángulo dado, la dirección que desea que siga la línea dibujada. iii) Las combinaciones de i) y ii) pueden ser definidas por ,él usuario como funciones o sub-rutinas siendo entonces utilizadas en funciones o sub-ruunas posteriores. Es iii) lo que le da su potencia al sistema. Por este medio, se pueden construir procedimientos notablemente complejos cuyos efectos no son fáciles de predecir. El programa no impone una secuencia de aprendizaje y no da instrucciones. Informa al usuario si éste es incapaz de ejecutar una instruc3

Paperr, S. 19S0: Minthtormy Harvcstcr Press.

Para muchos institutos esta posibilidad se encuentra en el futuro, pero existen ya muchos programas que indican que la distancia no es tan larga. Tales programas preguntan al alumno su nombre, su dirección, le permiten opinar sobre el tema que se está desarrollando y, en general, le permiten ejercer una influencia considerable sobre el procedimiento que sigue el programa. Cuando los tests se realizan bien, aparecen unas palabras apropiadas de felicitación o de ánimo, de forma escrita o, cada vez más frecuentemente, hablada. No está lejos el que tales sistemas sean un lugar común en los institutos. Con la llegada del habla se alcanzará el profesor sintético, lo que nos puede llevar a cuestionar las notas expuestas al comienzo de este capítulo. El resto de este capítulo se dedica a los aspectos metodológicos y de planificación del programa en lo que se refiere al uso de! microordenador y en relación a las dificultades de aprendizaje. El microordenador es un recurso de aprendizaje y, en muchos aspectos, se le aplican las mismas consideraciones que a cualquier otro recurso. Gran parte de la discusión anterior supone la disponibilidad de estos aparatos en clase. Cuando esto no ocurra o su tiempo de utilización esté restringido a momentos específicos de la semana, sólo pueden ser posibles ciertos modos de uso; la demostración/exposición, por ejemplo, sólo necesita un microordenador y una pantalla de televisión. De igual forma.

la ausencia de un software conveniente puede impedir el desarrollo de algunos temas por esta vía. Al considerar la utilización del microordenador en la cíase de matemáticas, surgen dos cuestiones inmediatamente: a) ¿Cómo se decide cuándo usar el enfoque del ordenador? b) ;¿Cómo evaluar el software, en particular el producido comercialmente? a) A no ser que uno crea que cualquier terna matemático puede ser presentado mejor por medio del ordenador que por cualquier o t r o método, será necesario tomar decisiones respecto de lo apropiado que sean los temas para la presentación por ordenador. {Esto puede de* pender de la disponibilidad de un buen software, pero dejaremos este aspecto para b)). Una exposición didáctica correcta a través del monitor de televisión no es probable que mejore el mismo enfoque dado por el profesor en clase. La exposición de ecuaciones o fórmulas sobre un monitor no será más efectiva que sobre un retroproyector o una pizarra. Por otra parte, dondtí no se puedan conseguir de otro modo los efectos deseados —por ejemplo, en relación con las transformaciones geométricas—, el ordenador habrá de jugar un papel importante. El uso del ordenador no disminuye por sí mismo las dificultades de aprendizaje a menos que la apreciación de tales dificultades venga contemplada en el software. Los microordenadores tienen demasiadas dificultades de manejo —¡existen más cosas que interrumpen que las presentes en un recurso escrito como el libro de texto! A no ser que los alumnos impriman su propio trabajo en el microordenador, no les quedará nada cuando termine la sesión. Su trabajo puede ser almacenado en disco o cinta pero no tiene un acceso fácil. Los ordenadores pueden también fomentar ei individualismo cuando se utilizan sobre la base de un único alumno. Esto se puede evitar agrupando a varios alumnos en torno a una máquina para animar la discusión y la actividad del grupo. Aunque no se pueden fijar reglas definitivas para determinar cuándo un profesor debe adoptar un enfoque basado en el ordenador, sobre todo por la rapidez con que se desarrolla el software, es conveniente plantearse tas preguntas siguientes a este respecto: i) ¿Qué puede conseguir el enfoque del ordenador que no se puede conseguir con otros medios más simples?

LA ENStfiWZA ÚY. lASMATÉMÁ HCAS

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ü) ¿Puede su tecnología interferir con el deseado aprendizaje matemático? —por ejemplo, las líneas del monitor pueden sugerir una sucesión de pequeñas etapas. iii) Si se usa el modo de exposición/demostración, ¿es la resolución de la pantalla bastante buena? El modo de exposición ¿es más efectivo que otras ayudas visuales? iv) Si se utiliza un modo interactivo con el alumno ¿cómo se puede asegurar el aprendizaje apropiado? v) Admitiendo que también se utilizaran otros recursos escritos, ¿cómo se puede combinar el enfoque basado en el ordenador con el libro de texto o las fichas de trabajo? b) La evaluación del software es bastante subjetiva para algunos, pero las preguntas siguientes proporcionan una base objetiva en las que basarse: i) El programa ¿sobrevivirá a golpes arbitrarios en las teclas? ii) ¿Qué desea conseguir? iii) ¿Consigue las metas establecidas? iv) ¿Es matemáticamente exacto? v) ¿Tiene extraños efectos colaterales —por ejemplo, debidos a errores de redondeo o a la división por cero? vi) ¿Cómo trata las principales dificultades de aprendizaje? viii) El programa ¿merece la pena? Si todas estas preguntas son respondidas sausLutuiianicnte, queda considerar el estilo global del programa y cónm si* adecúa a otros trabajos matemáticos. Si un programa es excepcionalmente valioso puede valer la pena adaptarlo a otros aspectos de la enseñanza. Se dispone de muchas publicaciones de ayuda a los profesores respecto al uso de microordenadores tío ta dase de matemáticas — por ejemplo, Micro Math>. No hay duda de que los ordenadores jugarán un papel cada vez más importante en !a enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Pese a que tienen ilmclio que nlrecer, uno debe conocer sus limitaciones y su efecto sobre la con q*visión infantil de las matemáticas. Algunas de estas limitaciones han sido ya discutidas, pero existen ocras dos que merecen atención —los errores de redondeo y la comprobación. ? MkroMath - A Jc^mal oftke Afsociaticrt ofTeachen of Maúxmaúa. Blackwcil.

Los errorn* de redondeo son también un problema con las calculadoras, pero en los ordenadores pueden surgir resultados más sorprendentes que no son siempre fáciles de explicar. Como un ejemplo simple, consideremos a/(b