La Enseñanza Aprendizaje de Las Competen-1

La enseñanza/aprendizaje de las competencias aritméticas José Luis Luceño Campos

Colección Educación

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Dirección General: Marcelo Perazolo Diseño de cubierta: Daniela Ferrán Diagramación de interiores: Julieta L. Mariatti

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Índice

Capítulo I La didáctica de las matemáticas. Principios generales.

5

Capítulo II Psicopedagogía de las operaciones aritméticas básicas

28

Capítulo III Números y sistemas de numeración. Aproximación histórica.

42

Capítulo IV La enseñanza aprendizaje del número y de la numeración

63

Capítulo V Psicopedagogía de la decena, la centena y el millar. El principio del valor relativo 97 Capítulo VI Adición y sustracción (los problemas aditivos)

116

Capítulo VII La enseñanza aprendizaje de la multiplicación y la división (los problemas multiplicativos).

140

Capítulo VIII: La enseñanza de los algoritmos. El cálculo pensado, el cálculo estimado y la aproximación.

168

Capítulo IX Los problemas aritméticos.Estrategias para su resolución

228

Sugerencias didácticas

281

Bibliografia

284

Acerca del autor

288

Editorial LibrosEnRed

289

Capítulo I L a didáctica de las matemáticas. Principios generales.

Introducción El currículo básico de esta área educativa está siendo objeto, desde hace un cuarto de siglo, de continuos estudios e investigaciones y, como consecuencia, se han ido generalizando múltiples cambios en los programas y orientaciones técnico-pedagógicas que se vienen formulando. Las ideas y aportaciones nuevas provenientes de la construcción de la matemática actual, los estudios sobre psicología del aprendizaje y desarrollo de la inteligencia (Piaget y seguidores, Bruner, Vigotsky, Dienes, Ausubel, Gagné y otros) y las funciones crecientes de la matemática en la vida actual con el desarrollo acelerado de la informática y las nuevas tecnologías y su consecuente introducción en el ámbito escolar, reclaman una profunda revisión de los curricula escolares para su adecuación a estas nuevas necesidades y condiciones. Las aportaciones más recientes en el ámbito psicopedagógico provenientes básicamente de los enfoques cognitivistas así como un mejor conocimiento de la naturaleza misma del conocimiento matemático, han traído consecuencias sobre la educación en Matemáticas, un área que si bien ha formado parte muy importante tradicionalmente en la enseñanza escolar, sin embargo, puede y debe ser enseñada/aprendida con contenidos y mediante procedimientos a menudo bien distintos de los tradicionales. La misma introducción y aplicación de nuevos medios tecnológicos en Matemáticas conduce a un enfoque diferente tanto en los contenidos como en la forma de enseñanza. La enseñanza de las matemáticas ha estado tradicionalmente muy condicionada, no sólo por la estructura interna del conocimiento matemático, sino también a lograr objetivos educativos generales vinculados al desarrollo de capacidades cognitivas abstractas y formales, de razonamiento, abstracción, deducción, reflexión y análisis.. Siendo muy importante el desarrollo cognitivo, hay que destacar en una enseñanza 5 LibrosEnRed

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moderna, el valor funcional que poseen como conjunto de procedimientos para resolver problemas en muy diferentes situaciones, para explicitar aspectos y relaciones de la realidad no directamente observables, y para permitir anticipar y predecir hechos, situaciones o resultados antes de que se produzcan o se observen empíricamente. Ambos aspectos, el funcional y el formativo, son indisociables y complementarios, pero nunca contrapuestos. A lo largo de la educación obligatoria las Matemáticas han de desempeñar, indisociable y equilibradamente, un papel formativo básico de capacidades intelectuales, un papel aplicado y funcional a situaciones y problemas de la vida diaria (en el ámbito del consumo, de la vida privada y en muchas situaciones de la vida social) y un papel instrumental en cuanto armazón formalizador de conocimientos de otras materias (son precisas tanto para el conocimiento de las Ciencias de Naturaleza como de las Ciencias Sociales). Hasta mediados del pasado siglo los programas de instrucción en Matemáticas eran formulados concediendo una especial importancia al aspecto utilitario de la misma. Las técnicas de enseñanza, con una primacía casi exclusiva del método expositivo, abusaban de la memorización de hechos y fórmulas matemáticas. Los textos se componían de abundantes ejercicios y problemas llamados “prácticos”. A partir de la década de años cincuenta aparece la llamada “Matemática moderna” que provoca una serie de reacciones (rechazos o adhesiones) en padres y profesores. El origen y sentido de este cambio (producido con la Ley General de Educación de 1970) se puede atribuir, en líneas generales, a dos finalidades básicas:  a) La renovación pedagógica de la enseñanza/aprendizaje de las matemáticas.  b) La modernización de los programas por la introducción de las grandes estructuras matemáticas con la finalidad de conferirle unidad a esta área. Enseñar las matemáticas fuertemente unificadas mediante los conceptos básicos y las estructuras fundamentales constituía un objetivo esencial. En nuestro país, la introducción de la teoría conjuntista, inspirada en una concepción claramente formalista, a partir de la reforma de 1970, produjo los siguientes hechos:  a) En la enseñanza primaria y secundaria se pasó de unos métodos memorísticos y dogmáticos, apoyados fundamentalmente en los resultados de los elementos de Euclides, a otros métodos de características análogas, pero apoyados en la teoría de conjuntos. 6 LibrosEnRed

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 b)La enseñanza de las Matemática quedó dividida en dos partes sin ninguna conexión entre sí: la llamada “Matemática moderna” y la tradicional. Este hecho trajo consigo un peligroso alargamiento en los programas. El alumno, a cambio de un simple vocabulario conjuntista, se encontró sin tiempo para aprender las nociones más prácticas. Tenemos aún muy presentes las repetidas quejas de los padres: “El niño no sabe multiplicar”, etc.  c)La implantación de los nuevos planes se hizo de un modo apresurado, sin dar tiempo a que los profesores pudieran asimilar los nuevos conceptos y técnicas y adaptarse a la nueva situación. A partir de los planteamientos actuales las matemáticas son consideradas como un saber que se construye, en el que la formalización (preconizada por la teoría conjuntista) es un objetivo a alcanzar y no un punto de partida: el proceso de construcción del conocimiento matemático debe utilizar como punto de partida la propia experiencia práctica de los alumnos. Los puntos de partida, pues, sobre los que se debe articular la enseñanza/aprendizaje de las matemáticas son: el carácter claramente constructivo del saber matemático y su capacidad de herramienta de uso general. Así mismo, desde estos nuevos planteamientos, las matemáticas no se agotan en su carácter de ciencia exacta sino que también poseen un valor funcional como herramienta para aprehender de forma aproximada/estimativa la realidad cotidiana que rodea al alumno. La práctica habitual de las escuelas ha sido trabajar exclusivamente los aspectos referidos a la exactitud matemática. El cálculo mental, olvidado en las enseñanzas básicas durante largo tiempo, cobra también una gran importancia. Se considera la resolución activa de problemas como el método más conveniente de aprender matemáticas y que los problemas a seleccionar se formulen a partir de la realidad de los alumnos. Como una síntesis de las aportaciones más relevantes del proceso de enseñanza-aprendizaje del área de matemáticas se propone el siguiente cuadro, (adaptación de Hernández Pina, F y otros, 1989):

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La enseñanza de la Matemática bajo el enfoque de las competencias ES: DEBERÍA SER: Conocimiento estático

Conocimiento dinámico

Saber prefijado

Saber que se construye

Matemática para la escuela

Herramienta para la vida cotidiana

Largas páginas de cuentas mecánicas

Cálculo mental o pensado

Aprendizaje en solitario

Aprendizaje cooperativo

La exactitud

La estimación o aproxinación

Resolución de ejercicios descontextualizados

Resolución de problemas de la vida cotidiana y del entorno próximo.

I. L a enseñanza aprendizaje de las matemáticas en la enseñanza básica. Orientaciones psicodidácticas para su aprendizaje: Tomando como base todo lo anterior, se propone el siguiente decálogo psicodidáctico:

1) El profesor ha de ser un diseñador de situaciones de aprendizaje que conduzcan al alumnado al descubrimiento. La tarea del profesor ha de ser la de guiar al alumno tratando de crear situaciones y estímulos precisos para que se produzca el aprendizaje. Decía Pascal: “Uno se convence mejor por las razones que ha encontrado que no por aquellas que se le ocurrieron a otros.” El profesor generará situaciones estructuradas que conduzcan al alumno, de una manera relativamente acelerada, al descubrimiento de las distintas fases por las que ha atravesado el conocimiento matemático en su desarrollo filo-genético. En este sentido, el profesor de matemáticas se transforma en facilitador del aprendizaje. 8 LibrosEnRed

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Los psicólogos cognitivistas han utilizado para referirse al papel del profesor la metáfora del andamio o ayuda (Bruner) para significar el carácter de actividad instrumental y provisional de su intervención que debe tener en cuenta, en cada momento, el grado de ayuda que cada alumno necesita, sabiéndose retirar, de forma progresiva, cuando observe que el alumno ya es capaz de asumir autónomamente la dirección y progreso de su propio aprendizaje. Esto mantiene coherencia con la idea de Vigotsky sobre el paso del heterocontrol al autocontrol. De esta forma, la actividad instructiva para ser eficaz, debe actuar en la zona de desarrollo próximo del estudiante, ni más arriba porque lo ahoga, ni más abajo porque lo aburre. Quizás en este contexto de adquisición de la autonomía del aprendizaje por parte del alumno habrá que entender la expresión piagetiana de que “todo lo que enseñamos a un alumno evitamos que lo aprenda” Los mejores aprendizajes tienen lugar cuando los alumnos adquieren un concepto y dominan un procedimiento que lo conduce a una respuesta correcta como resultado de un compromiso activo en el proceso de enseñanza/ aprendizaje. Las adecuadas sugerencias y orientaciones del profesorado le ayudarán a la construcción y clarificación de los conceptos lógico-matemáticos, en el desarrollo de modelos de pensamiento matemáticos y en el descubrimiento de relaciones. Los alumnos son estimulados a pensar críticamente; a descubrir, utilizar y validar diversos procedimientos y estrategias de solución; a demostrar y probar sus conclusiones. Los nuevos conceptos se desarrollan como resultado de los aprendizajes anteriores. Se trata de conceder tanta importancia al proceso como al producto. Es más interesante, como sugiere el enfoque del procesamiento de la información, el planteamiento de un aprendizaje procesual que el tradicional aprendizaje basado en el producto. No consiste solamente en obtener una respuesta correcta sino el cuestionarse los procedimientos o métodos para alcanzarla. Este modelo psicodidáctico estimula la curiosidad y elicita la motivación interna en el aprendizaje. Transforma al alumno en el protagonista de su propio aprendizaje. En definitiva, se busca no tanto el suministro de conocimientos hechos, terminados, fosilizados, sino crear una manera de pensar matemática. Una de las grandes aportaciones piagetianas consiste en que el aprendizaje matemático no se produce de una manera pasiva sino que su origen está en el propio sujeto que aprende, la fuente de dicho conocimiento es interna. El niño va construyendo el conocimiento matemático coordinando las relaciones simples que ha creado entre los objetos. La mayor parte de los conocimientos matemáticos (no podemos olvidar la enorme influencia de la transmisión cultural de los conocimientos) debe ser construido por el sujeto, siendo insuficiente la mera transmisión verbal. 9 LibrosEnRed

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Este planteamiento no implica la exclusión que la construcción del conocimiento y habilidades matemáticas de los alumnos pueda estar mediatizada por intervenciones y direcciones ajustadas de los maestros, de los iguales y del propio contexto. La matemática, pues, no es tanto una serie de conocimientos organizados del mundo, cuánto un sistema coherente, donde es esencial la construcción mental del que aprende, donde prima la elaboración de un marco de referencia interno. El papel del profesor será el de, respetando la evolución psicogenética del alumnado, diseñar las situaciones de aprendizaje más adecuadas, para que —mediante la búsqueda de soluciones, su discusión y contraste— se pueda alcanzar una auténtica construcción del conocimiento lógico-matemático. A este respecto, los profesores han de crear una atmósfera que estimule a los alumnos a explorar, desarrollar, comprobar, discutir y aplicar ideas. Tienen que escuchar a los alumnos con atención y dirigir el desarrollo de sus ideas. Deben hacer un uso extensivo y reflexivo de materiales físicos que favorezcan el aprendizaje de ideas abstractas. Las aulas, pues, deben ser equipadas con una gran variedad de materiales manipulativos tanto comercializados (bloques lógicos, multibase,..) como domésticos (botones, garbanzos, cartones de huevos,..). A modo de síntesis, se recogen las ventajas y los inconvenientes que ofrece la enseñanza por descubrimiento: Ventajas

Inconvenientes

Estimula al alumnado a aprender las matemáticas, al operar sobre ellas

El descubrimiento precisa ser guiado o conducido cuidando de no convertirlo en dirigismo

Anima a concebir las matemáticas como un proceso y no como un producto acabado

Si un alumno no es capaz de descubrir nada, la situación es decepcionante

Posibilita el razonamiento inductivo

Requiere más tiempo que el aprendizaje receptivo No siempre asegura un aprendizaje significativo

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2) El proceso didáctico debe respetar los distintos estadios del desarrollo del niño.

En la formación de los conceptos matemáticos debe proceder de lo concreto a lo abstracto. En coherencia con los distintos estadios que Piaget distingue en el desarrollo de los conceptos (sensorio-motriz, preoperacional, operaciones concretas y operaciones formales o abstractas) las estrategias psicodidácticas deben facilitar experiencias que se adecuen a los tipos de pensamiento característicos de estas etapas (pensamiento sensorial y manipulativo, pensamiento preconceptual o intuitivo, pensamiento lógico concreto o representativo y pensamiento formal o simbólico). Las experiencias manipulativas deben ser utilizadas en los primeros estadios. Experiencias físicas tales como manipular objetos concretos de la clase para el aprendizaje del número, la utilización del ábaco, juguetes educativos, reglas, tacos,..,servirán de ayuda en la adquisición y consolidación de los conceptos matemáticos básicos. Conviene tener en cuenta que en la evolución intelectual las acciones con y sobre los objetos (reunir, separar, repartir, repetir grupos iguales, etc.) aparecen antes que las operaciones mentales. Para Piaget, la “operación no es más que una acción que se internaliza, una acción interiorizada”. Es necesario, por tanto, operar sensoriomotrizmente antes de operar con símbolos, ya que estos no son más que representaciones sustitutas de acciones reales. El conocimiento matemático es una abstracción a partir de las acciones sobre los objetos, los cuales no ejercen más que el papel de servir de soportes de la acción. Así, pues, la operación de sumar no es sino la acción interiorizada de unir, reunir, juntar.., hacer más o acrecentar. La operación de dividir consiste, a su vez, en internalizar las acciones de repartir en partes iguales, distribuir, hacer grupos iguales,.. En un proceso de abstracción creciente a las tareas manipulativas, a las tareas concretas, seguirán representaciones de la realidad (dibujos, diagramas, señales, marcas, rayas, etc.). Finalmente, durante los periodos lógicoconcretos y lógico-formal, se actuará sobre simbolismos matemáticos. A este respecto habría que añadir que “para formar el concepto, el modelo matemático, la base es la realidad, lo concreto. Ahora bien, lo concreto no es algo absoluto, sino relativo al plano desde el cual se contempla una situación. Para un niño, por ejemplo, el punto concreto de partida es la realidad sensible. Para el matemático, su realidad en estudio, lo concreto de su trabajo, puede ser (será normalmente) un concepto matemático perfectamente determinado y conocido. En este pasaje de lo concreto a lo abstracto “frecuentemente lo abstracto de una etapa pasa a ser lo concreto de lo siguiente”.

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Podríamos decir que los símbolos acentuaron los aspectos cuantitativos de los objetos, pero también retuvieron algunas características mínimas, ya que representaban objetos específicos del mundo real. Esta esquematización de objetos ayuda a producir un mundo en miniatura o microcosmos, que crea su propio espacio de operación al permitir que se realicen acciones directas sobre objetos simbólicos. El manipular los símbolos es más fácil que manejar los objetos naturales, y su propósito principal es registrar en el microcosmos (el mundo real). Con esta nueva manera de representación se da un cambio en la cognición, pues empiezan a operarse las cantidades en un nivel cada vez más simbólico. Los niños en su desarrollo ontogenético también pasan por ciertos estadios en el uso de medios de representación, desde las operaciones con objetos concretos, pasando al uso de representaciones pictóricas, y adquiriendo cada vez una mayor habilidad para representación simbólica. Estas transiciones en el uso de medios de representación en los niños deberían graduarse adecuadamente si queremos que se dé un verdadero aprendizaje. Otro tipo de representaciones simbólicas más abstractas son las matrices de doble entrada. Estas matrices proporcionan toda la información acerca de los datos aritméticos básicos: En estas tablas encontraremos los resultados de la suma y la multiplicación en la intersección de cualquier par de números de la columna y la fila. Además, en la fila o la columna encontraremos el resultado de la división de cualquier número que se encuentre en la intersección de éstas. En el caso de las restas se sigue el mismo procedimiento que en la división. Si los niños llegan a manejar estas representaciones tendrían el conocimiento de las operaciones básicas de la aritmética. A este respecto, Leinhardt (1989) distingue cuatro niveles que los alumnos suelen recorrer en la comprensión de muchos conceptos matemáticos y que exigirían un respeto instruccional:  conocimiento intuitivo (el más precoz, contextualizado e idiosincrásico; el más incierto e incluso podría llegar a se erróneo),  conocimiento concreto,  conocimiento computacional, y  conocimiento conceptual (implica una elevada comprensión de los principios subyacentes a los contenidos aprendidos). La manipulación de materiales concretos por el alumno, la representación gráfica (figurativa y esquemática) sobre el papel, la verbalización de

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las acciones y un gradual incremento en el nivel de abstracción de las actividades que realiza, le ofrece la posibilidad de aprender y comprender el proceso y adquirir los conceptos matemáticos implicados. Debido a las diferencias de madurez lógico-matemática que se dan en los alumnos, se dará la circunstancia de que algunos no precisen seguir, por mucho tiempo, el primer estadio del aprendizaje, es decir, el manipulativo; sin embargo, también se dará el caso de algunos para quienes será difícil o casi imposible moverse en los procesos abstractos, manteniéndose en las primeras etapas del aprendizaje un mayor periodo de tiempo. El profesor tendrá, pues, la misión de determinar el grado de madurez que posee el alumno en un momento dado y proponerle actividades al nivel en que pueda propiciar su continuo progreso. En una investigación sobre la construcción del conocimiento matemático (Gómez, 1992), dos niños pequeños utilizan el lenguaje como medio para dirigir las transiciones entre los diferentes tipos de representación. Durante el trabajo pudo observarse con frecuencia cómo inicialmente con el niño pequeño (cuatro años) era indispensable la representación física de los eventos, posteriormente se podía pasar a la representación pictórica o simbólica, pero cuando se encontraban dificultades en la operación con símbolos, era necesario regresar a la representación física, o cuando menos a la elaboración de una representación pictórica que dotara de sentido a los símbolos numéricos. Algunos ejemplos del uso de la representación por parte de los niños son los siguientes: Representación enactiva Un niño de cuatro años tiene fichas para realizar operaciones aritméticas, el adulto le dice que suponga que tiene tres fichas y que le regalan dos más. El niño hace dos conjuntos con dos y tres fichas respectivas (1). El adulto le pregunta cuánto es y el niño une los conjuntos y los cuenta (2). (Figura 1).

Figura 1

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Aquí la representación es enactiva dado que el niño ejecuta las acciones directamente sobre objetos físicos. Se realizó una operación física de suma.

Figura 2

Representación pictórica o icónica El adulto al niño de seis anos presenta el siguiente problema: ¿Cuánto es 3 por 3? El niño dibuja tres bolsas transparentes y les dibuja tres manzanas dentro a cada una. (Figura 2). En el ejemplo anterior el niño no realiza la operación sobre los objetos físicos sino que los dibuja, y a partir de esa representación plantea la operación de multiplicación como reiteración de una cantidad, y cuenta el número de objetos dibujados. El adulto plantea al niño de seis años el siguiente problema: Un borrachito tomó 18 cervezas y ahora desea saber cuantos six packs ha consumido. El niño dibuja 18 cervezas y las agrupa en conjuntos de seis y cuenta los conjuntos.

Figura 3

En este ejemplo, como en el anterior, aunque el niño prescinde de los objetos concretos, necesita una representación pictórica para tener una idea clara de lo que debe hacer. Agrupa los dibujos de las cervezas en conjuntos de seis y así obtiene el resultado de la división. En este caso opera la división agrupando las representaciones icónicas.

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Un adulto plantea a un niño de seis años el siguiente problema: En la zapatería hay doce zapatos sin caja y la empleada desea saber cuantos pares son. El niño dibuja líneas verticales en lugar de los zapatos, une los pares con una línea horizontal y los cuenta.

Figura 4

Este ejemplo sigue siendo pictórico, sin embargo, ya son sólo marcas las que representan a los zapatos; podríamos decir que se va más a lo simbólico. Representación simbólica El adulto plantea a un niño de seis años el siguiente problema: Tenemos cuatro bolsas y cada bolsa tiene cuatro panes ¿Cuántos son en total? El niño los dibuja primero, luego escribe “4 x 4” y da el resultado.

Figura 5

Bruner, psicólogo cognitivista y divulgador de Vigotsky, confirma la que venimos manteniendo al considerar que en el proceso de aprendizaje de los conceptos matemáticos se atraviesan las tres etapas siguientes:  a) Etapa activa (representación enactiva): El alumno piensa en términos de acción. Sus métodos para resolver problemas tienen todas las limitaciones de la manipulación de lo concreto.

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 b) Etapa representativa o figurativa (representación icónica): En esta etapa la representación mental se realiza a través de las imágenes.  c)Etapa simbólica (representación simbólica): Aquí aparece el pensamiento matemático, la representación mediante formas simbólicas tales como el lenguaje matemático. En consecuencia, las estructuras o núcleos básicos de la enseñanzaaprendizaje de las matemáticas, tienen que ser convertidas en los tres modos fundamentales (enactivos, figurativos o simbólicos), según la etapa en la que se encuentra el sujeto aprendiz. Para Bruner, pues, si se introduce a los alumnos desde temprana edad en los conceptos y estrategias lógicomatemáticos, primero manipulativamente y luego intuitivamente, se les facilita la posterior adquisición de los conceptos y problemas abstractos propios de los niveles educativos superiores. Afirma este autor (Bruner, 1966) que “cualquier materia puede ser enseñada a cualquier edad de modo eficaz”.

3) El aprendizaje matemático debe regirse por el principio de primero la ejercitación práctica debe ser posterior a la comprensión del concepto o del procedimiento en cuestión.

Esta aseveración viene avalada por una serie de razones:

 Los procesos que han sido comprendidos requieren un mínimo de práctica para ser consolidados.  La retención del proceso o mecanismo es más fácil cuando éste (fórmula, algoritmo, etc.) ha sido suficientemente comprendido.  Las habilidades o destrezas se olvidan tanto más fácilmente cuanto menor ha sido su comprensión.  El aprendizaje significativo motiva la práctica ya que el alumno comprende mejor la necesidad de su dominio. La rapidez y la seguridad en la utilización de los automatismos necesarios para desenvolverse en la práctica habitual de las matemáticas es de todo punto necesaria. Estos automatismos deben consolidarse mediante un trabajo suplementario de ejercitación práctica que reúna las características siguientes:

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 Evitar la monotonía y su carácter tradicional de “castigo”.  Intencionalidad de adquirir cada vez mayor perfección.  Suficientemente comprendida.  Basada en principios y procedimientos generales más que en actividades inconexas.  Suficientemente variada y debidamente funcionalizada.  Debidamente secuenciada y temporalizada. No tiene sentido enseñar técnicas operatorias o algoritmos de manera mecánica (restas llevándose, correr lugares a la izquierda en la multiplicación, etc.), formulaciones o principios lógico-matemáticos, etc., sin una previa comprensión y una posterior comprobación. Al alumno hay que explicitarle comprensivamente los “pasos ocultos” de cualquier mecanismo, procedimiento o técnica operatoria que precise aprender.

4) L as reglas, principios y/o generalizaciones lógico-matemáticos serán construidas inductivamente y aplicadas deductivamente. Este cuarto apartado explícita, en cierta manera, lo aconsejado en el punto anterior. Cuando la generalización ha sido construida se presentarán situaciones problemáticas para que los alumnos encuentren la solución o respuesta. Así, pues, en la clase, los alumnos a través del trabajo en grupo, la discusión, el autodescubrimiento, el descubrimiento guiado, los procesos son explorados, los modelos son identificados y los alumnos son guiados hacia la generalización de reglas, ideas o conceptos lógico-matemáticos. Una vez que los alumnos han extraído las características generales de las semejanzas y/o diferencias entre sucesos y/o situaciones, una vez que han descubierto, con la orientación precisa, los conceptos, estos se aplicarán deductivamente en diferentes ejercicios y problemas, lo que conducirá a una mayor profundización en el conocimiento adquirido inductivamente. La idea de utilizar, en una primera fase, el proceso inductivo en el aprendizaje matemático es debido a que el niño posee pocas ideas generales y le es difícil formar abstracciones. De ahí la conveniencia de proceder gradualmente desde lo concreto y particular para conducirlo progresivamente a lo abstracto y general. A medida que el alumno

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se vaya acercando al pensamiento lógico-formal, al pensamiento hipotético-deductivo, será posible y deseable una mayor insistencia en la utilización del procedimiento deductivo. La enseñanza/aprendizaje de la matemática actual debe respetar y valorar el cultivo de la deducción, no aisladamente, sino formando parte de un proceso completo con el que Puig Adam distingue cuatro periodos:  Periodo de observación: Análisis sencillo del entorno del niño. En este periodo el niño desarrolla principalmente sus sentidos. Corresponde normalmente a la Educación Infantil.  Periodo de experimentación: Se presenta especialmente en lo que pudiera corresponder a los primeros ciclos de la Educación Primaria. Aquí se provocan las situaciones a observar, fomentando la presencia de factores con analogías patentes, para que el alumno las analice y detecte las semejanzas. En este periodo se pretende primordialmente el paso de lo particular a lo particular análogo.  Periodo de intuición: Corresponde principalmente al tercer ciclo de Educación Primaria. Los hechos espontáneos o provocados, pero reales, pasan a ser sustituidos por hechos imaginados y la realidad externa sensible por el mundo interno de la fantasía. El niño reflexiona, no se limita a observar 10 que está ocurriendo, sino que empieza intuir (del latín intueri, mirar hacia dentro) lo que ocurrirá en tales o cuales circunstancias.  Periodo lógico: La evidencia sensible del segundo periodo o la intuición del tercero, pasan a ser sustituidas por la evidencia lógica. Los hechos imaginados son sustituidos por las premisas abstractas y sus necesarias consecuencias. Además, se esquematiza el razonamiento mediante el simbolismo abstracto. Es la etapa en que domina la deducción lógica ejercida sobre los conceptos elaborados. Con el siguiente cuadro tratamos de ilustrar lo que se viene afirmando. Los tres primeros pasos estarían dentro del proceso inductivo; los dos últimos corresponderían al proceso deductivo:

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P r o c e s o 1º inductivo

PERCEPCIÓN

Experiencias manipulativas con materiales concretos (ambientales y estructuradas) Experiencias perceptivo-visuales con la representación de objetos (gráficos, dibujos, esquemas,..)

2º

DIFERENCIACIÓN

Comparaciones (semejanzas y diferencias) y relaciones derivadas de la PERCEPCIÓN

3º

ABSTRACCIÓN

Basada sobre la identificación de los elementos, relaciones y estructuras comunes

P r o c e s o 4º deductivo 5º

INTEGRACIÓN

Elaboración de generalizaciones

DEDUCCIÓN

Las generalizaciones son establecidas y consolidadas por medio de las aplicaciones deductivas

5) L a organización/presentación de los contenidos matemáticos debe venir presidida por una serie de principios. Los criterios básicos a contemplar para secuenciar y organizar los contenidos matemáticos en la etapa de Educación Primaria, en la línea de Del Carmen (1991) deberían ser los siguientes:  1. Establecer una distancia óptima entre lo que los alumnos son capaces de hacer y los nuevos contenidos que se pretenden enseñar. Es preciso, pues, establecer una discrepancia adecuada entre lo que se sabe y lo que hay que aprender. Consiste, pues, en situarse en la zona de desarrollo próximo de aprendizaje.  2. Coherencia con la lógica interna de las matemáticas.  3. Conectar los nuevos contenidos con las ideas previas de los alumnos. Partir de sus conocimientos previos, es decir, de lo que realmente saben y de cómo lo saben.  4. Establecer contenidos organizadores y estructurar los distintos tipos de contenidos en relación a ellos, como contenidos soportes.  5. Delimitar las ideas-eje para sintetizar los aspectos fundamentales que tratan de enseñarse.  6. Posibilitar lo que Bruner denomina currículo en espiral o articulado. El currículo no debe ser estrictamente lineal sino, siempre que sea posible, recurrente, es decir, en espiral. Los mismos contenidos se retoman en

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diferentes versiones con diferentes niveles de complejidad. En el caso, por ejemplo, de las operaciones aritméticas cuyo aprendizaje se debe introducir desde la Educación Infantil.  7. Mantener el equilibrio e integrar los distintos contenidos (conceptuales, procedimentales y actitudinales) ejercitados en el aula, es decir, cubrir todos los aspectos planteados sin poner excesivo énfasis en unos en detrimento de otros.  8. Relacionar los conocimientos para favorecer que los alumnos comprendan su sentido y lograr que el aprendizaje sea significativo. Asimismo, a la hora de secuenciar los aprendizajes matemáticos hay que contemplar la llamada “jerarquía del aprendizaje” de Gagné. Esta idea evidencia que el conocimiento de un contenido o concepto forma una jerarquía y que la adquisición de conocimientos o conceptos de un cierto nivel de complejidad o dificultad depende de la adquisición previa de conocimientos subordinados que son dependientes, a su vez, de la adquisición de conocimientos todavía más lejanos en la jerarquía, por ejemplo, un conocimiento de la operación aritmética de dividir depende del conocimiento de la multiplicación, la multiplicación del conocimiento de la suma, la suma del conocimiento d la numeración y del concepto de número, etc. Según Llinares (1994) habría que matizar que no está claro que todo el aprendizaje matemático pueda subdividirse jerárquicamente, como tampoco se entiende como la adquisición de habilidades de habilidades más simples permitan alcanzar destrezas más complejas, como es el caso de la resolución de problemas. Este carácter jerarquizado de los contenidos matemáticos indica que la posibilidad de pasar de un tema a otro depende con frecuencia de una buena comprensión de las cuestiones anteriores.

6) Se deberán propiciar situaciones de aprendizaje que estimulen el conocimiento divergente. Siempre que sea posible hay que presentar el edificio lógico-matemático no como algo acabado, como algo hecho, sino como algo en construcción. Es preciso evitar una enseñanza-aprendizaje de las matemáticas reducidas a la simple transmisión de capítulos considerados importantes y que cultivan exclusivamente el pensamiento convergente. Siempre será más eficaz, por 20 LibrosEnRed

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ejemplo, hacer aprender “cuántos grupos distintos se pueden hacer con ocho bolas, que cuántas bolas suman un grupo de tres y otro de cinco”. Es obvio que el primer aprendizaje permite distintas situaciones, mientras que el segundo solo posibilita una única respuesta que, po42r otra parte, es esencialmente memorística y condicionada. El profesor procurará respetar y estimular, no coartar, las distintas estrategias en la resolución de los problemas (el alumno tendrá posibilidad de resolver problemas y cuestiones valiéndose de distintos procedimientos, siempre que los restantes compañeros y el profesor los puedan comprender). No es aconsejable la imposición de una técnica, de un algoritmo o de una fórmula única (la que dice el profesor o el libro de texto). La imposición de una técnica o procedimiento por el hecho de que todo el mundo la utiliza y es la más conocida o más rápida es causante de muchos bloqueos y fobias. Hay que procurar que el alumno opere por los caminos más divergentes posibles. Es conveniente la propuesta de actividades y ejercicios que permitan distintas estrategias y posibiliten distintas soluciones. Es evidente que en la vida ordinaria los problemas no vienen formulados en términos de preguntas cerradas. Es el individuo el que se tiene que formular sus propias hipótesis para encontrar las correspondientes respuestas y estas respuestas pueden ser bastante variadas. En síntesis, hay que conducir a los alumnos a la convicción de que el edificio lógico-matemático ha sido y sigue siendo una creación humana, estimulándoles a que se cree en ellos una disposición permanente para descubrir e inventar técnicas y procedimientos frente a dificultades nuevas e imprevistas. El aprendizaje de la matemática, en ningún caso debe aparecer como una “creencia” sobreimpuesta, sino como algo susceptible de invención y construcción propia.

7) A través de la interacción social se facilita el aprendizaje matemático. Para el desarrollo del pensamiento matemático es muy conveniente el contraste de los distintos puntos de vista, soluciones o estrategias que puedan aportar los distintos miembros del grupo-clase. Gómez Alfaro, Bernardo (1991) afirma que “ debe tenerse en cuenta el importante papel que juega la interacción alumno-alumno en el desarrollo de la inteligencia: la oportunidad para intercambiar, discutir y evaluar las propias ideas con las ideas de otros produce en el niño una visión más realista y crítica de si mismo y de los demás. Por otra parte, los profesores sabemos que explicando algo a otra persona mejoramos nuestra propia

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comprensión del asunto, y esto vale también para los alumnos. Así, cuando se preguntan y explican entre ellos, recapacitan, articulan y consolidan la comprensión de los hechos.” El profesor procurará diseñar situaciones de aprendizaje que eliciten mecanismos de interacción social, de cooperación (cooperar: operar en común) entre los alumnos, para el aprendizaje y resolución de cuestiones lógico-matemáticas. Los intercambios que se generan contribuyen a una mejor comprensión de las nociones o contenidos que se trabajan. Las modalidades de enseñanza mutua y el trabajo en grupo son técnicas organizativas de gran eficacia. Hay que tener en cuenta que, en la actualidad y fuera de la escuela, la mayoría de las actividades matemáticas son acometidas en grupo. Se debe, pues, estimular el intercambio de ideas entre los alumnos. El desacuerdo con otros compañeros puede llevar a reestructurar, a reconsiderar los propios planteamientos, las propias soluciones. La confrontación facilita el desarrollo del pensar matemático. El profesor tratará de crear un ambiente psicosocial y una disposición material de la clase que, mediante diversos juegos y/o disposiciones grupales, estimulen la creatividad y la autonomía de los alumnos. En los juegos y actividades grupales los alumnos son más activos y críticos, aprenden a depender de ellos mismos para saber si su razonamiento o solución es o no correcta. Asimismo, se cultiva el espíritu de colaboración y solidaridad científica que exige una sociedad altamente tecnificada y democrática, donde la investigación y el trabajo en grupo son absolutamente imprescindibles. Este planteamiento guarda coherencia con la concepción actual del aprendizaje como el resultado de un proceso de construcción social (Gómez Granell y Fraile, 1993). El aprendizaje matemático se adquiere y asienta mejor en contextos y tareas que sean significativas para los alumnos y que favorecen la interacción social, en general, y la resolución de tareas y problemas en pequeños grupos, en particular.

8) L a motivación intrínseca se genera a través de situaciones

problemáticas reales y significativas de aprendizaje con textual.

En la didáctica tradicional se trabajaban una serie de “problemas y actividades tipo” que servían, “a manera de archivo”, para la resolución de “situaciones y cuestiones problemáticas tópicas”, las cuales guardaban escasa o nula relación con situaciones reales y significativas y que, independientemente de carecer de motivación intrínseca (la motivación que incita a desear aprender la materia por sí misma), mantenían una separación tajante con el mundo

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extraescolar del alumno, no produciéndose, pues, una transferencia real al mundo de éste. Consistía en un aprendizaje exclusivamente “escolar”, un aprendizaje “para la escuela y por la escuela”. Para que un aprendizaje sea duradero y sólido es preciso que sea significativo y, para ello, es necesario que la nueva información se conecte o relacione con algún aspecto ya existente en la estructura cognitiva del que aprende, de forma que el nuevo conocimiento entre en conflicto con el anterior y lo modifique o amplíe (proceso de adaptación). Cuando no existen conocimientos previos relevantes (en terminología de Ausubel, conceptos inclusores), se produce un aprendizaje memorístico que tiende rápidamente al olvido. Para que los aprendizajes matemáticos sean significativos y no repetitivos hay que proceder:  partir de los conocimientos previos de los alumnos. En este sentido, no basta con lo que el Maestro o Maestra piensan Qué deben saber, sino que tienen que contrastar de alguna manera lo Que realmente saben v cómo lo saben.  generar una actitud positiva del alumnado hacia el aprendizaje matemático. Esta actitud se puede lograr proponiendo al alumnado situaciones concretas contextualizadas en: La propia historia de las matemáticas. La misma génesis del sistema de numeración decimal es suficientemente motivadora. Problemas de la realidad cotidiana, de las propias experiencias de los alumnos y alumnas. Problemas planteados en otras áreas (Conocimiento del medio, Geografía,.). Utilizando materiales estructurados (regletas, bloques multibase, juegos de simulación, calculadora, etc.) La experiencia que el alumno trae a la escuela, sus conocimientos informales, hay que aprovecharlos en la formulación y resolución de problemas, en el planteamiento de actividades y ejercicios, en la enseñanza-aprendizaje de nociones y conceptos. Esta experiencia debe constituir el punto de partida del proceso psicodidáctico. A este respecto, Carpenter y Moser (1984) afirman que “la mayoría de los niños llegan a la escuela con las herramientas necesarias para el éxito:

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curiosidad, destrezas comunicativas y una diversidad de experiencias de vida. En el momento de ingresar en la escuela, los niños pequeños pueden resolver problemas que exigen aptitudes de cálculo que todavía no han aprendido. Sin embargo, después de varios años de instrucción matemática tradicional, pierden creatividad y dependen de procedimientos memorizados. El resultado: sus aptitudes para la resolución de problemas y su rendimiento realmente declinan. Los docentes deben brindar a los alumnos oportunidades de compartir experiencias extraescolares y conectarlas con las matemáticas que se están aprendiendo en la escuela.” Las primeras situaciones problemáticas son aquellas con las que el alumno reencuentra o puede encontrarse, en su familia, en la escuela, en relación con sus compañeros, en sus juegos, en sus diversiones y costumbres.. Numerosas posibilidades emergen frecuentemente de las situaciones cotidianas de la clase y del estudio de otras materias escolares. Actividades tales como “coste de un alumno un viaje o excursión”, “reparto de material en clase”, “coste de entradas para visitar un museo”, etc., ofrecen posibilidades para un trabajo matemático significativo y funcional. Asimismo, no se puede olvidar que las matemáticas son un instrumento muy útil en otras materias escolares como en naturales, sociales, lenguaje, física, química, etc. La realización de taxonomías (nociones lógicas de clasificación e inclusión), formulación e hipótesis, elaboración e interpretación de cuadros estadísticos, elaboración e interpretación de mapas y escalas, etc., son, entre otras cosas, situaciones y aplicaciones prácticas y vivas que contribuyen a que los alumnos comprendan la importancia y significación de esta materia.

En resumen, un aprendizaje conceptual en el área de las matemáticas implica ofrecer a los alumnos tareas y problemas que corresponden a una serie de situaciones en las que tendrán que utilizar más tarde sus conocimientos y habilidades.

9) L as matemáticas se deben originar de manera natural a partir de la resolución de problemas. La resolución de problemas no es un tema diferenciado sino un proceso que debe saturar toda la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas proporcionando el contexto donde puedan aprenderse conceptos, procedimientos y actitudes favorables. La resolución de problemas debe generarse en un ambiente de clase que sea comprensivo y rico y que estimule y apoye los esfuerzos por

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resolver problemas. Los alumnos deben aprender a valorar el proceso de resolución de problemas en la misma medida en que valoran los resultados proporcionándoles frecuentes experiencias en la creación de problemas a partir de actividades de su mundo real, es decir, a partir de la escuela y otras experiencias cotidianas. A medida que el alumno avance de nivel se le deben proporcionar tipos más diversos y complejos de problemas que surjan tanto del mundo real como de contextos matemáticos. Cuando la resolución de problemas pasa a ser una parte integral de la docencia/discencia en el aula y los alumnos van teniendo éxito en esta tarea, van ganando confianza en el uso de las matemáticas y van desarrollando una mente perseverante e inquisitiva. Aumenta igualmente su capacidad para comunicarse matemáticamente y para utilizar procesos de pensamiento de más alto nivel. Un aula que se orienta hacia la resolución de problemas queda impregnada de preguntas, especulaciones, investigaciones y exploraciones que estimulan la reflexión; en un entorno así el principal objetivo del docente es el de promover para el aprendizaje de todos los contenidos de las matemáticas un enfoque basado en la resolución de problemas. Cuando la resolución de problemas es parte integrante de un currículo, comenzando desde los encuentros más tempranos del niño con las matemáticas, este desarrollará la correcta visión de lo que realmente significa aprender matemáticas.

10) Se deben explotar psicopedagógicamente las ideas equivocadas del alumnado. En la enseñanza-aprendizaje de la matemática es muy interesante sacar partido de las respuestas erróneas de los alumnos e investigar su origen a fin de adaptar en cada momento el proceso instructivo. Ante la corrección de un error cometido por un aluno hay que recordar que el error puede estar en un bloqueo epistemológico como explica Brousseau: El error no sólo es consecuencia de la ignorancia, de la incertidumbre, del azar, tal como se creía en las teorías empiristas o conductistas del aprendizaje, sino el efecto de un conocimiento anterior, que tenía su interés, sus éxitos, pero que, ahora, se revela falso o, simplemente, inadaptado. Los errores de este tipo que no son erráticos ni imprevisibles se constituyen en obstáculos. Tanto en el papel del profesor como en el del alumno, el error forma parte del sentido del conocimiento aprendido. Otros errores pueden tener su origen en las generalizaciones falsas que hacen los alumnos y en la utilización d e metáforas y analogías por parte del maestro para enseñar/transmitir conceptos de los que el alumno no llega captar la esencia de la idea. 25 LibrosEnRed

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La corrección-aprovechamiento del error debe enfocarse mediante la presentación de contraejemplos que generen conflictos cognitivos y soliciten al alumno otro u otros ejemplos o aplicaciones para que descubra que su razonamiento o procedimiento no es siempre válido.. En ningún caso es recomendable decir al alumno: “está mal”, El error debe ser asumido como punto de partida para nuevos aprendizajes y nunca como sanción. Según Brousseau, “el error y el fracaso no tienen el papel significado que a menudo se les quiere hacer desempeñar”. La autoestima, siempre frágil en las relaciones que el alumno o alumna mantiene con las matemáticas, sale reforzada positivamente si el error se considera un elemento contemplado constructivamente dentro del proceso de enseñanza-aprendizaje. Si se admite el error como un elemento más del proceso instructivo, es la interacción horizontal entre los alumnos y alumnas la que le advierte de su error y le ayuda a corregirlo mediante la confrontación o conflicto cognitivo con las concepciones y realizaciones de los compañeros. Asimismo, la admisión de los errores propios y ajenos influirá en la creación de un clima de tolerancia y comprensión.

1. Conclusiones No podemos concluir estas reflexiones psicodidácticas sobre el aprendizaje de las Matemáticas sin insertar una serie de conclusiones que sinteticen las orientaciones que se han venido formulando hasta el momento. Estas conclusiones o preceptos, cuyo respeto debería ser inexcusable, serían:  Los conceptos deben ser construidos por los propios alumnos en base a sus experiencias y pensamientos. La tarea del profesor consistirá primordialmente en facilitar experiencias de aprendizaje a cada aluno en particular.  La madurez lógico-matemática se alcanza mediante un acercamiento en espiral. Los conceptos, pues, deben ser adquiridos formando parte de un proceso de crecimiento o desarrollo.  Los conceptos, para que sean funcionales y significativos, deben ser relacionados con la estructura total de la que forman parte.  Los conceptos se desarrollan mejor mediante una serie de experiencias y situaciones matemáticas variadas (principios de variabilidad perceptiva y variabilidad dinámica de Dienes) que por presentaciones repetitivas.

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 El nivel de dificultad y/o profundidad en que un concepto debe ser presentado para su aprendizaje depende de los aprendizajes previos, motivaciones, habilidades y/o destrezas y nivel psicoevolutivo del sujeto aprendiz.  Los conceptos se adquieren y se desarrollan mejor cuando el alumno opera activamente sobre su medio ambiente y no cuando está sometido pasivamente a la información del profesor.  La acción, la manipulación y las imágenes (figurativas y esquemáticas), deben preceder a la verbalización, y la verbalización debe ser previa a la simbolización escrita, en coherencia con el principio filogenético de Haeckel.  En el aprendizaje de la Matemática se deben ofrecer oportunidades de invención y creatividad.  El error hay que utilizarlo positivamente.

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Capítulo II

Psicopedagogía de las operaciones aritméticas básicas

I) Introducción Según Piaget, una operación es “una acción interiorizada”, una acción/ manipulación que se internaliza; es decir, un proceso mediante el cual se realiza, mentalmente, una acción física o manipulación de una manera más económica, más fácil de realizar que de manera real. Las acciones sobre el mundo real generadoras de operaciones, la manipulación activa, puede sustituirse, “económicamente”, por una expresión simbólica construida con los correspondientes símbolos matemáticos/numéricos. Las operaciones numéricas básicas: suma, resta, multiplicación y división, constituyen expresiones simbólicas de acciones básicas que se pueden realizar con objetos reales: agregar, separar, reiterar y repartir. Asimismo, entre objetos se pueden establecer relaciones como clasificar, comparar, igualar, determinar las veces que uno contiene a otro, etc. Se trata, pues, de operaciones en el sentido físico del término, pero también en el sentido psicológico en cuanto conjuntos de acciones coordinadas y reversibles. Las operaciones aritméticas/numéricas convierten el concepto de número en un concepto operatorio superador más amplio que el de simbolizador de la cantidad, el orden y la medida. A este respecto, Vergnaud llega a afirmar que sin las operaciones numéricas “el concepto de número podría incluso no existir”. Las operaciones, mediante unos pocos principios, establecen una red de conexiones entre los distintos números. Comprender las operaciones fundamentales de suma, resta, multiplicación y división es el punto central del conocimiento matemático. La adquisición de un buen sentido operacional que implica la capacidad de aplicar las operaciones correctamente y con flexibilidad, supone cuatro componentes básicos: 28 LibrosEnRed

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 1. Reconocer en situaciones del mundo real las condiciones que indican que en dichas situaciones sería útil una operación determinada.  2. Percatarse de los modelos y de las propiedades de las operaciones.  3. Ver las relaciones que existen entre las operaciones.  4. Hacerse una idea del efecto que una operación tiene sobre un par de números. El sentido operacional contribuye a que los alumnos sean capaces de tomar decisiones sensatas sobre lo razonable de los resultados, así como a ofrecer un marco para el desarrollo conceptual de procedimientos de cálculos mentales y escritos.

1) Etapas en el aprendizaje de las operaciones “El problema pedagógico —según G. Mialaret— consiste en llegar a una conexión entre una actividad determinada —real, imaginada o simulada— y su traducción a un cierto lenguaje, lenguaje que utiliza sus propios signos ( + , - , x , : ) y sus fórmulas propias (frases utilizadas por los alumnos en la redacción de las soluciones)”. El mismo Mialaret (1967) señala una serie de fases para el paso de la acción a la expresión simbólica en el aprendizaje de las operaciones aritméticas básicas:

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Una primera fase o etapa en el aprendizaje de las operaciones consiste en acción sobre objetos reales. La acción debe preceder a la operación aritmética, así como el lenguaje ordinario/común precede al lenguaje específicamente matemático. Esta fase no cumpliría su función si se limitara a una simple manipulación estandarizada de materiales o situaciones. Casi simultáneamente con la etapa de la acción real aparece la de la acción acompañada del lenguaje, en donde cada acción o conjunto de acciones se asocian con sus términos o verbo de acción (unir, juntar, disminuir, sacar, quitar, repetir tantas veces, añadir tantas veces, distribuir en grupos iguales, repartir,..). Diversas acciones pueden describirse con una sola palabra: “restar’. Pero también una sola acción puede nombrarse de formas distintas: “retirar’, “separar’, “quitar’, “restar’, “disminuir’, etc. Según C. Maza (1989) conviene que la relación acción-verbo sea profundizada desde la misma aparición de la acción infantil, de manera que estas acciones no aparezcan desconectadas entre sí, sino que se reúnan en una misma expresión y simultáneamente, estas expresiones verbales se conecten con la acción correspondiente y no alcancen un valor propio ajeno a esta acción. Ello facilitaría la elección de la operación adecuada en un problema verbal dado. En la tercera etapa, la conducta del relato, el alumno describe las causas, etapas y efectos de una acción ya realizada y sin necesidad de volver a repetir la acción. Esta etapa propicia/prepara para la expresión formal de las operaciones. Constituye un sustituto de la acción directa. El alumno en esta fase debe ser requerido a relatar lo sucedido, las características del problema realizado y su estrategia de resolución. Podría enriquecerse, siempre que ello fuera posible, con la dramatización/simulación física del relato. La etapa de traducción gráfica podría consistir en representaciones gráficas más o menos esquematizadas (dibujos o modelos gráficos existentes, diagramas,..) para expresar una relación cuantitativa. Una etapa intermedia entre las dos anteriores es la acción con los objetos simples y consistirá en operar, en las tres primeras fases, con elementos de distintos grados de abstracción (material figurativo y material no figurativo: cromos y fichas, por ejemplo). Es un paso más avanzado que el empleo de material real. El último paso/fase, la traducción simbólica, constituye la expresión abstracta/ simbólica de la acción/operación en cuestión (+, -, x, :, ..). A partir de aquí vendrán las consideraciones sobre la aplicabilidad de las distintas expresiones simbólicas a situaciones reales que puedan plantearse y ante problemas nuevos. Se considera con Mialaret (1986) que “la evolución del pensamiento matemático del alumno comienza por un estadio concreto 30 LibrosEnRed

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que después atraviesa un estadio formal para llegar a la capacidad de resolver nuevos problemas concretos más difíciles”. El siguiente esquema, adaptación de L.J. Blanco Nieto y M.A. Calderón Trujillo (1994), considera los distintos pasos que deben tenerse en cuenta en el proceso de enseñanza-aprendizaje de las diferentes operaciones aritméticas básicas:

Durante la enseñanza de las operaciones sería útil tomar en cuenta los siguientes aspectos:  1. Al inicio de la enseñanza enfatizar el uso de objetos concretos sobre los cuales el niño ejecute físicamente las operaciones y permitirle el uso de los dedos para contar.  2. Cuando el niño domine la ejecución de operaciones físicas sobre objetos concretos, se le pedirá de manera gradual que resuelva los problemas aritméticos imaginando mentalmente los datos del problema o dibujándolos en su cuaderno.  3. Cuando el niño logre lo anterior con cierta facilidad, se le puede empezar a plantear problemas aritméticos en forma simbólica; es decir, utilizando sólo números y otro tipo de signos.  4. Si el niño encuentra dificultades al realizar una operación sería conveniente sugerirle regresar a otro de los tipos de representación para que comprenda mejor la estructura de la operación que el problema requiere. 31 LibrosEnRed

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II. Principios psicopedagógicos básicos en la enseñanzaaprendizaje de las operaciones aritmeticas basicas. A continuación vamos a exponer una serie de orientaciones, estrategias o principios que nos iluminen en el tratamiento psicopedagógico de las operaciones aritméticas básicas:

II.1. Afrontar, desde el comienzo del tratamiento de la numeración las cuatro operaciones basicas: Se asociará/simultaneará la suma/resta (estructura aditiva) y la multiplicación/ división (estructura multiplicativa) utilizando, sistemáticamente, las siguientes actividades:  Composición/descomposición numérica.  Seriaciones crecientes y decrecientes, con distintos intervalos.  Centros de cálculo, entendiendo por ello todas las maneras posibles de llegar a un número valiéndose de todas las operaciones y sus combinaciones posibles. Ejemplo: para tener 8 bolas podemos operar de las siguientes formas: Unir un grupo de 5 bolas y otro de 3 bolas. Separar de un conjunto de 10 bolas 2 bolas. Repetir un conjunto de 4 bolas dos veces. Repetir un conjunto de 2 bolas cuatro veces. Repartir en dos grupos iguales un conjunto de 16 bolas. . Juntar dos grupos de 3 bolas con otro de 2 bolas.

II.2. Aprovechar, partir del conocimiento informal que el alumno trae a la escuela conexionándolo al conocimiento formal. Para ello hay que tener en cuenta las afirmaciones siguientes:  En el ambiente natural y sin instrucción formal, los niños activamente desarrollan nociones matemáticas.  Aun cuando imperfecta y diferente a la forma de pensar del adulto, estas matemáticas informales son relativamente poderosas (Ginsburg, 1989; Baroody, 1987; Hughes 1986)

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 Deben servir cómo la base o fundamento para el aprendizaje posterior de las matemáticas escritas o formales que se aprenden en el colegio  La importancia de las matemáticas informales radica en el hecho comprobado que en los casos en que éstas no se desarrollan de manera sólida, se observan dificultades que impiden un aprendizaje significativo de las matemáticas formales que se enseñan en los colegios (Ginsburg, 1989) No se trata, pues, más que de partir de lo que los alumnos y las alumnas saben o utilizan y de sus experiencias, con el fin de asegurar la construcción de aprendizajes significativos. Acerca de la importancia de este aspecto en el proceso de aprendizaje destaca la rotundidad de la afirmación de Ausubel: “el factor más importante que influye en el aprendizaje es lo que el alumno ya sabe. Averígüese esto y enséñesele en consecuencia”. Hay que evitar la esquizofrenia que produce en el niño, “que vive y hace unas matemáticas fuera de la escuela” y otras diferentes dentro del aula. A los alumnos hay que evidenciarles que el simbolismo formal no es más que una expresión simbólica de su conocimiento informal. En nuestros diseños curriculares, a veces, la secuenciación no respeta este principio. Los criterios que utilizamos son, normalmente, la costumbre, la estructura de la matemática formal o el análisis de tareas. Olvidamos, gran parte de las veces, el conocimiento informal del alumnado. Un caso lo constituye el aprendizaje/construcción de la tabla de multiplicar por el tamaño de los factores. Sin embargo, como los niños aprenden de dos en dos, de cinco en cinco y de diez en diez, antes de aprender a contar de tres en tres, de cuatro en cuatro, etc., no se debe retrasar el aprendizaje/construcción de las tablas del cinco y del diez. Antes de recibir instrucción formal, los niños ya suelen resolver múltiples problemas de sumar, restar, e incluso de multiplicar o dividir, mediante conteo y uso de objetos. Por eso, parece razonable utilizar estos procedimientos informales y no los algoritmos clásicos al comienzo de su aprendizaje.

II.3. L as operaciones y algorítmos que las explicitan deben constituir los instrumentos para resolver situaciones problemáticas concretas

En ningún caso se debe trabajar una operación/algoritmo (suma, resta, multiplicación o división) o una combinación de operaciones desgajadas 33 LibrosEnRed

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o aisladas del contexto problemático o “campo de experiencia” que ha de resolver. El algoritmo escrito, la cuenta en su caso, es un procedimiento de resolución de problemas, no un fin en si mismo. Constituye un recurso entre otros (dedos, palillos, ábaco, recta numérica, la acción misma,..) para solucionar problemas reales. Primero, pues, debe estar la situación problemática, el problema, y, después, las estrategias de solución, entre las que los algoritmos más o menos abreviados (“las cuentas”) pueden ser los más económicos en esfuerzos y en tiempos (pero no los únicos). No se entiende, bajo ningún análisis razonable, la conveniencia de realizar “cuentas aisladas” (kilométricas, a veces) sino como un exponente de la ignorancia o comodidad. Criticamos, por lo dispedagógico, la acción didáctica —muy frecuente todavía en nuestras escuelas—, de enseñar las cuentas y, una vez mecanizadas, resolver problemas con las mismas. El énfasis que muestra la enseñanza tradicional en la práctica rutinaria y mecánica de los algoritmos (las cuentas) como paso previo a la resolución de problemas, no contempla el hecho de que el conocimiento surge, a menudo, de los mismos problemas. Este énfasis implica creer que la habilidad de los cálculos precede a los problemas orales. Sin embargo es la experiencia directa con los problemas orales la que ayuda a la capacidad de realizar cálculos. Es preciso, pues, modificar sustancialmente las estrategias docentes actuales; el conocimiento de los algoritmos y su comprensión conceptual debería surgir, con frecuencia, de la experiencia directa con los problemas; el aprendizaje del significado de las operaciones y la aplicación/ construcción de los algoritmos debe venir guiado por la búsqueda de respuestas a problemas. El aprendizaje de las operaciones incluye tanto al dominio de las diversas estrategias de cálculo (entre las cuales están los algoritmos, las cuentas) como el reconocimiento del campo de problemas que se resuelven con las operaciones. La estrategia psicopedagógica a seguir debiera respetar las siguientes fases:  1) Partir de una situación real surgida en el aula o suscitada por el profesor (el profesor debe ser un diseñador de situaciones de aprendizaje).  2) La soluciones que se vayan proponiendo se discuten y se seleccionan los mejores procedimientos para encontrar la o las soluciones correctas.  3) Finalmente, se procede a trabajar individualmente el procedimiento y el algoritmo consensuado como el más apropiado.

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Habría, pues, que reorganizar el currículo no en torno a los algoritmos, sino en torno a los problemas, que son situaciones matemáticas con un gran valor significativo, que el niño se plantea frecuentemente en su vida cotidiana extraescolar.

II.4. Que no se presente o imponga ninguna técnica operatoria aritmética (algoritmo) de manera estandar y mecánica (dirección, llevadas, correr lugares,..) Sino partir de los procedimientos propios de los alumnos. Es conveniente animar a los alumnos a que inventen y construyan, progresiva y reflexivamente, los algoritmos convencionales, abreviados o estandarizados. Centrar el aprendizaje de las operaciones aritméticas en la adquisición mecánica e incomprensible de los algoritmos conduce no solamente a obstaculizar los esquemas conceptuales que los alumnos han construido, sino también a desvirtuar el conocimiento matemático mismo. Se ha constatado que muchos niños renuncian a sus posibilidades de pensar sobre lo que están aprendiendo, que son muchos los que se han habituado a poner en práctica algoritmos sin preguntarse sobre las razones que les dan origen. Es posible que la prioridad atribuida a la enseñanza de mecanismos, en detrimento del planteamiento de situaciones problemáticas que permitan la construcción de relaciones y operaciones, los hayan llevado a la conclusión de que el conocimiento matemático consiste en un conjunto de reglas más o menos arbitrarios e incomprensibles. No aprenderán, por ello, matemáticas, porque no es posible hacerlo renunciando al pensamiento matemático. Se debe partir, pues, de materiales manipulativos (monedas, regletas, ábaco,..) y hacerles llegar al lenguaje escrito y formal mediante un proceso de esquematización y simbolización progresiva (forma expandida o relacional, forma extendida, forma abreviada y forma estándar o convencional). Este planteamiento está apoyado por Leif y Delazaly cuando afirma: “ El mecanismo operatorio, es decir, la disposición material de la operación, así como el desarrollo lógico de los reflejos, razonamientos y gestos, deben ser copia fiel de la operación ejecutada en forma manual y comprobada, mediante el experimento. La operación escrita y su desarrollo reproducen la operación concreta que es su prueba y, en cierto modo, su demostración”. 35 LibrosEnRed

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La experiencia enseña, a este respecto, que los niños a quienes la operación escrita fue explicada por numerosas manipulaciones, comete menos errores que aquellos a quienes fue inculcada por mera imitación. Es el mecanismo, más íntimamente conocido, el que ha llegado a ser, en cierto sentido, transparente para la inteligencia familiar, de tal manera que, si se produce cualquier “accidente”, el niño es capaz de buscar las causas y hacer la corrección por sus propios medios. A este respecto, posee mayor relevancia el cálculo por tanteo anticipado, la previa aproximación al resultado, que la realización de cuentas largas, artificiosas y aburridas. El aprendizaje de las técnicas operatorias que se fundamentan en trucos nemotécnicos, como es tradicional, bloquea el aprendizaje significativo y funcional e impide el progreso matemático. La adquisición de los mecanismos calculatorios no puede tener un fin en si mismo, sino que se deben plantear estrategias que promuevan el desarrollo de la creatividad, de la divergencia y originalidad, de la capacidad de crear y construir sistemas propios,.. Se trata, por ello, de ser coherente con el principio de primero comprensión, después mecanización, entendiendo esto último como la rapidez en la utilización de los automatismos precisos para la práctica habitual de las matemáticas en las distintas situaciones de la vida sociolaboral y económica. En todo caso, la palabra mecanización se debiera denominar fluidez por la circunstancia de que el término mecanización guarda relación con lo rutinario y automático. La idea de un algoritmo fluido o mecanizado es positiva al facilitar la comprensión de conceptos más complejos. Si se entiende el algoritmo como un simple instrumento, valdría más soslayar su complicado aprendizaje y dedicarse a enseñar al alumno el manejo de la calculadora. Es obvio que comprender un algoritmo no es necesario para su utilización en la resolución de problemas, pero si es imprescindible para su reconstrucción. El algoritmo debe ser el producto final de un proceso de construcción lógico que no impide su automatización, sino, más bien, todo lo contrario. Se puede y debe aprender un algoritmo reconstruyéndolo, comprendiéndolo y, posteriormente, automatizando su utilización. Hay que optar por la comprensión y reconstrucción de los algoritmos por las siguientes razones:  1. Potencia la capacidad básica de construir técnicas en una sociedad donde las fórmulas rígidas, debido al rápido cambio tecnológico, quedan rápidamente obsoletas. 36 LibrosEnRed

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 2. Los algoritmos, comprensivamente aprendidos, se recuerdan mejor al permitir un almacenamiento más eficaz en la memoria a largo plazo. Su recuperación es también más fiable al poder utilizar diversas rutas de reconstrucción.  3. El conocimiento conceptual permite, asimismo, una mayor transferencia en la utilización del algoritmo (aprendizaje de las fracciones, números complejos, sistema métrico decimal, operaciones algebraicas,..).

II.5. Contemplar las distintas situaciones matemáticas de todas y cada una de las operaciones. En coherencia con los cuatro puntos anteriores y considerando que cualquier operación aritmética resuelve problemas de diferente estructura semántica, es preciso abordar un trabajo sistemático sobre los distintos tipos de problemas que, a través y con todas y cada una de las operaciones se pueden resolver, y que se han intentado recopilar en una serie de verbos de acción, validables en términos de conductas manipulativas. Con estos verbos intentamos traducir las distintas situaciones matemáticas con que los alumnos se van a encontrar en la manipulación y expresión cuantitativa de su realidad circundante. Se pretende superar el condicionamiento que supone el ejercitarles únicamente con términos mentalistas de escasa o nula carga significativa o semántica y no traducibles, claramente, en acciones, manipulaciones que, previa y necesariamente, son precisas para una interiorización y conceptualización adecuada de las operaciones. Para la elaboración del inventario de verbos de acción aplicables al tratamiento didáctico de las operaciones aritméticas básicas, se ha partido de una concepción operativa de éstas, huyendo, en principio, del condicionamiento y ausencia de significación real y concreta que supone la utilización de la terminología y simbología, estrictamente matemática, de los signos: más (+), menos (-), por (x),.. Los mismos verbos de sumar, restar, multiplicar o dividir, expresan una acción abstracta y simbólica escasamente utilizada en el lenguaje común, para expresar las acciones realmente ejecutadas o representadas. Hay que pensar que la elaboración de los signos y de las normas que los rigen, debe ser un proceso de construcción colectiva, una reinvención o creación del grupo de alumnos del aula, que ponga de manifiesto la convencionalidad del lenguaje. 37 LibrosEnRed

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Muchas de las dificultades que tienen los alumnos al resolver los distintos tipos de problemas se deben a su escaso o nulo trabajo en la resolución de estos. A menudo, no saben cuando utilizar una de estas operaciones por desconocimiento referente a los distintos tipos de problemas que se pueden resolver con cada una de las operaciones, atendiendo a la estructura semántica de los mismos y a los tipos de ellos que comprenden (estructuras aditivas y multiplicativas). Los problemas de estructura aditiva son todos aquellos para cuya resolución intervienen sumas y restas y no pueden estudiarse en forma separada, pues pertenecen a una misma familia, a un mismo campo conceptual. Lo mismo habría que indicar sobre los problemas de estructura multiplicativa, que son los que en su resolución intervienen multiplicaciones y divisiones.

II.6. L a enseñanza-aprendizaje de los algoritmos debe contemplarse con el tratamiento ponderado y relacionado -integrado del cálculo mental, de la máquina de calcular y del cálculo estimado. En un currículo de matemáticas auténticamente funcional y significativo se deben trabajar, debidamente relacionadas e integradas, las tres formas de cálculo (algorítmica, mental y con calculadora) conjugadas con el cálculo estimado al que no hay que confundir con el cálculo mental. La estimación puede y debe ser utilizada junto con los procedimientos con los que se produce la respuesta, a modo de anticipar, controlar y juzgar la fiabilidad y razonabilidad de los resultados. El esquema siguiente reproduce lo que venimos diciendo:

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El uso frecuente de calculadoras, del cálculo mental o pensado y de estimaciones, ayuda a que el alumno desarrolle un punto de vista más realista sobre las operaciones y hace que puedan ser más flexibles en la selección de métodos de cálculo. No es conveniente la práctica habitual de aislar procedimientos de lápiz y papel centrándose en ellos durante un periodo dilatado de tiempo, antes de presentar los otros métodos de cálculo (mental, estimativo y con calculadora) ya que hace pensar al alumno que calcular quiere decir, exclusivamente, utilizar métodos de papel y lápiz. Entendemos por cálculo mental el conjunto de procedimientos que, analizando los datos por tratar, se articulan sin recurrir a un algoritmo preestablecido, para obtener resultados exactos o aproximados. Sus procedimientos se basan en las propiedades del sistema de numeración decimal y en las propiedades de las operaciones, y ponen en juego diferentes tipos de escritura de los números, así como diversas relaciones entre los mismos. En este sentido, no se opone al cálculo escrito sino que soporta y se soporta en un aprendizaje pensado y reflexionado de los algoritmos. El cálculo mental constituye una vía de acceso para la construcción comprensiva y reflexiva de los algoritmos, así como una herramienta de 39 LibrosEnRed

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control de los mismos. El profesor de matemáticas debe, puyes, acostumbrar a sus alumnos a que frente a cualquier cálculo, tanto si lo ejecutan con lápiz y papel, como con calculadora, hagan siempre un ensayo de cálculo mental que les permita, posteriormente, evaluar el resultado. El alumno debe habituarse a expresar, verbal y numéricamente, los pasos que ha seguido y las estrategias que ha aplicado para resolver mentalmente el cálculo efectuado, lo que contribuirá, necesariamente, a generar un cálculo pensado y reflexionado, facilitador de la construcción de los distintos algoritmos de lápiz y papel, ya que todo algoritmo escrito necesita, si es aprendido significativamente, de cálculos mentales. En cuanto al aprendizaje y uso de la calculadora, es preciso recordar que no debe realizarse como un aprendizaje aislado dentro del currículo matemático y que su uso no debe implicar la desaparición del aprendizaje del algoritmo tradicional. Las calculadoras no sustituyen la necesidad de aprender hechos básicos, de realizar cálculos mentales o efectuar cálculos razonados con papel y lápiz. Parece oportuno el criterio restrictivo que muchos profesores utilizan para descartar su uso durante la fase de comprensión-construcción de los algoritmos o, por lo menos, evitar el uso abusivo de este instrumento. La calculadora tiene un papel básico en las siguientes situaciones:  Cuando se realizan operaciones con grandes números o con un número muy crecido de ellos.  En la misma fase de construcción inicial del algoritmo como elemento motivador, así como en la realización de algunas actividades exploratorias y de investigación.  Cuando se trate de comprobar cálculos estimados o exactos realizados con lápiz y papel o mentalmente.  Cuando lo esencial sea que el alumno se centre en el proceso de resolución de problemas y no en su aritmética o cálculos complejos que se necesiten. En cuanto al cálculo estimado hay que acostumbrar a los alumnos a evaluar el grado de exactitud que se requiere en cada caso. No se trata de resolver una operación sino de adelantar un valor para su solución, tan cercano al real como el que calcula quiera admitir. El cálculo estimad implica, pues, una inexactitud controlada. Tiene una utilidad social y cognitiva importantísima. El uso y aprendizaje del cálculo estimativo tiene sentido en las siguientes situaciones:  Para anticipar el resultado de una operación a fin de evitar la aplicación irreflexiva y mecánica de algoritmos y de la calculadora, controlando 40 LibrosEnRed

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la razonabilidad y coherencia de los resultados. Estos usos de la estimación reducen drásticamente la incidencia de los errores en el uso de las calculadoras y contribuyen al desarrollo del sentido numérico y operativo de los niños.  En situaciones problemáticas que no requieran exactitud, pero si buenas estimaciones.  Cuando el problema no pueda referirse con datos exactos. No podemos olvidar que los niños ya están acostumbrados a efectuar estimaciones al llegar por primera vez a la escuela. Este conocimiento experimental proporciona la base para seguir desarrollando la capacidad de estimar y aprender las técnicas más apropiadas. Por otra parte, los niños observan con frecuencia que las destrezas de estimación resultan útiles en la vida cotidiana, enjuician correctamente y razonan de forma lógica cuando tienen que tomar decisiones cuantitativas en la vida diaria.

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Capítulo III Números y sistemas de numeración. Aproximación histórica.

I) El origen del número y la numeración decimal. Cuando nos enfrentamos a situaciones en las que deseamos saber cuántos, nuestra primera actitud o conducta es la de contar. Pero los hombres que vivieron hace millares de años no conocían los números ni sabían contar. ¿Cómo surgió, pues la noción de número? El contestar a esta pregunta y obtener la respuesta puede alumbrar mucho el proceso de enseñanzaaprendizaje de esta noción. Para contestar a esta pregunta se precisa tener una idea de cómo aquellos hombres vivían y cuáles eran sus necesidades. En aquellos tiempos, el hombre, para alimentarse, cazaba, pescaba y recogía los frutos que la Naturaleza, gratuitamente, le dispensaba: para vivir utilizaba cuevas o cavernas; para defenderse utilizaba palos y piedras. No obstante, esta manera de vivir fue cambiando poco a poco. Por ejemplo, encontrar alimento suficiente para todos los miembros de un grupo se fue haciendo cada vez más difícil a medida que la población aumentaba y la caza se iba haciendo cada vez más escasa. El hombre comenzó a buscar formas más seguras y más eficientes de atender sus necesidades. Fue entonces cuando comenzó a cultivar plantas y a criar animales, surgiendo la agricultura y el pastoreo. Hace, aproximadamente, 10.000 años, el hombre se transformó en agricultor y en ganadero. Estamos hablando del periodo Neolítico. Los pastores tenían necesidad de controlar los rebaños. Necesitaban saber si faltaban o no ovejas, .. ¿Cómo podían saber los pastores si alguna oveja se les había perdido o si se les habían agregado ovejas de algún otro rebaño?

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Algunos vestigios señalan que los pastores realizaban el control de su rebaño usando conjuntos de piedras . Al salir las ovejas, el pastor, separaba una piedra por cada animal que salía y guardaba el montoncito de piedras así formado. Cuando los animales volvían, el pastor retiraba del montoncito una piedra por cada animal que volvía. Es obvio que si sobraban piedrecitas sabía que faltaban ovejas. Si por el contrario, le faltaban piedrecitas, era señal de que el rebaño había aumentado. De esta manera rudimentaria mantenía todo bajo control. Una relación del tipo: para cada oveja, una piedra, se llama en matemáticas correspondencia uno a uno. Este medio poco elaborado consiste en construir una colección o conjunto equivalente a la colección inicial, a la colección que hay que representar. El conjunto de las piedrecitas sustituye al conjunto de las ovejas. Realizar la correspondencia uno a uno es asociar a cada objeto de una colección un objeto de otra colección. Como se ha podido observar, el hombre resolvió sus primeros problemas de cálculo utilizando la correspondencia uno a uno. Esto constituye uno de los pasos decisivos para la construcción de la noción de número. Al final, alguna cosa común existía entre el montón de piedras y el grupo de ovejas: si la cantidad de piedras correspondía exactamente con la cantidad de ovejas, estos dos conjuntos tenían una propiedad común: el número de ovejas y el número de piedras. Pero, probablemente, el hombre no solo utilizó piedras para realizar correspondencias uno a uno. Es muy probable que utilizara cualquier cosa que tuviese muy a mano y nada tenía más a mano que sus propios dedos. Ciertamente, el hombre primitivo utilizaría también sus dedos para realizar conteos, levantando un dedo o varios por cada objeto o conjunto de objetos. Entretanto le surgió un problema nuevo: levantar los dedos le permitía saber, de momento, la cantidad de objetos, pero no le permitía conservar esa información. Era fácil que se olvidara de cuántos dedos había levantado. Amontonar piedras le permitía guardar o conservar la información por más tiempo, pero este procedimiento no era muy seguro. Surgió, por tanto, el problema de registrar las cantidades.

1) Los primeros registros de los números En los museos de todo el mundo se conservan innumerables objetos con marcas o señales, pertenecientes a épocas antiguas. Son trozos de palos con 43 LibrosEnRed

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tallas, pedazos de barro con marcas y cuerdas con nudos. Existen cuevas en cuyas paredes podemos observar marcas talladas o pintadas. Todo esto parece señalar que el hombre sintió la necesidad de registrar el total de objetos que contaba. ¿Y cómo hacía eso? Para registrar el total de objetos utilizaría también la correspondencia uno a uno: una marca para cada objeto. Cuando el hombre precisaba contar una gran cantidad de objetos tuvo que separar los objetos en montones o grupos para facilitar el conteo. Esto es lo que hoy hacemos, por ejemplo, cuando contamos por docenas. Contar por docenas es una manera de agrupar: agrupar de 12 en 12. En muchas situaciones los agrupamientos son precisos y facilitan el trabajo del conteo. Muchas de las cosas que compramos se embalan o empaquetan en un determinado número de unidades. Pero, ¿en qué etapa de la historia el hombre se percató que agrupar le ayudaría a contar? Obviamente, no sería de un día para otro. Se supone que las primeras formas de agrupar se relacionarían con las manos y también con los pies. El hombre debió comenzar agrupando de cinco en cinco, de diez en diez, de veinte en veinte, haciendo la correspondencia con los dedos de las manos y de los pies. Después de que al hombre se le ocurriera la idea de realizar agrupamientos para facilitar el conteo de los objetos, le surgió el problema de registrar los agrupamientos utilizando algún tipo de señal o marca. Veamos como esto era preciso: si se imagina que un pastor emplease trazos o palotes para representar cada oveja, en el caso de tener:

I I I I I I I I I I I I I ovejas, esta representación no sería práctica. Tal vez la solución sería separar grupos de señales o marcas: el pastor tendría I I I I I I I I I I I I I ovejas en este caso, las señales o marcas se han agrupado de diez en diez. Todavía, en la actualidad, es muy corriente, en los juegos, contar los puntos conseguidos registrándolos de cinco en cinco. Por ejemplo: Ramón ha hecho:

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En esta etapa, el conjunto auxiliar (o las piedrecitas de la etapa anterior) se sustituyó por un conjunto representado, siempre equipotente al conjunto inicial, permitiendo una evocación inmediata del conjunto inicial en lo que respeta a la cantidad. Los agrupamientos vinieron exigidos cuando los números de trazos salían de la zona del subitizing (percepción visual de una cantidad de objetos de forma inmediata). Se pueden distinguir bien conjuntos tales como IIIyIIII Pero no ocurre lo mismo con: IIIIIIIIIyIIIIIIII Los egipcios basaron la organización de los agrupamientos en la duplicación:

Los babilonios se basaron en el principio de agrupamiento de tres en tres:

2) Un gran avance en las representaciones de los números: los sistemas de numeración egipcio y romano Se trata, ante la dificultad que plantea la representación a través de la correspondencia término a término, crear y memorizar tantas señales cuantas sean las cantidades contadas. Los egipcios crearon un sistema muy interesante para escribir números basados en agrupamientos:

El uno era representado por una marca que parecía un bastón;

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El dos por dos marcas



cambiado por otra señal

y, así, sucesivamente hasta el 10, que era y que hoy conocemos como decena.

De esta manera continuaban hasta el 19: 11………………. 13………………. 19………………. El 20 era representado por

, 30 se representaba por

, y así sucesivamente hasta llegar a 100, que se representaba por

De esta manera, intercambiando cada diez señales iguales por una nueva, los egipcios antiguos escribían todos los números que necesitaban. Sin embargo, utilizando el sistema egipcio, era muy difícil registrar ciertas cantidades y realizar las operaciones aritméticas básicas. Se puede experimentar esta dificultad si intentamos escribir 999 en el sistema egipcio comparado con nuestra manera de escribirlo en el sistema decimal. Distintas culturas antiguas, además de la egipcia, desarrollaron sus propios sistemas de numeración. Algunas de ellas dejaron huellas y así, por ejemplo, en el conteo del tiempo, agrupamos de 60 en 60: sesenta segundos componen un minuto, 60 minutos componen una hora. Esto es consecuencia del sistema de numeración desarrollado en Mesopotamia hace más de 40.000 años. Allí se utilizaba la base sesenta. Otra huella o restos de una numeración antigua puede ser observada en los relojes para señalar las horas en la indicación de las fechas y de los capítulos de los libros: son los símbolos de la numeración romana.

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Los símbolos utilizados en el sistema de numeración romana son los siguientes: I= 1; V=5; X=10; L=50; C=100; D=500; M=1000 En este sistema, para no repetir 4 veces un mismo símbolo, utilizaban la sustracción. Por ejemplo: 4=IV 5-1 40=XL 50-10 44=XLIV (50-10)+(5-1) Como ocurría en el sistema egipcio, la escritura de ciertos números y la realización de operaciones se tornaban en algo muy difícil. Por ejemplo, escribir 3888 pone de manifiesto esta grave dificultad: MMMDCCCLXXXVIII

1. El sistema de numeración decimal: solución simple y, a la vez, económica

Tanto la numeración egipcia como la romana eran poco prácticas en comparación con nuestro sistema de numeración, ya que para representar ciertos números esos sistemas precisaban emplear y ordenar una gran cantidad de símbolos. Con nuestro sistema de numeración, utilizando únicamente diez símbolos diferentes, podemos escribir cualquier número, mientras que en las numeraciones egipcias y romanas, para escribir números muy grandes era preciso crear nuevos símbolos, uno para el millón, otro para diez millones, otro para cien millones,.. Al propio tiempo, esos sistemas presentaban, además, otra dificultad: era muy difícil y laborioso realizar cálculos utilizando sus signos y reglas. Estas dificultades fueron superadas por los hindúes, que fueron los inventores de nuestro sistema de numeración. Ellos supieron reunir tres características que ya aparecieron en otros sistemas de numeración de la antigüedad:  El sistema de numeración hindú es decimal (el egipcio, el romano y el chino también lo eran)  El sistema de numeración hindú es posicional (el babilónico también lo era)

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 El sistema de numeración hindú tiene el cero, es decir, un símbolo para la nada, para la ausencia de cantidad. Estas tres características, reunidas, convirtieron al sistema de numeración hindú en el más práctico y económico de todos. No por causalidad es por lo que, en la actualidad, se utiliza en casi todo el mundo. Analizaremos, a continuación, las características de nuestro sistema de numeración para comprender sus reglas de funcionamiento. Sin una comprensión clara del sistema de numeración decimal es imposible entender las técnicas operatorias, los números decimales y el sistema métrico decimal. Anteriormente observamos que para contar cantidades grandes de objetos, se acostumbra a agrupar los objetos: así, para contar las bolitas de este dibujo:

Podemos agruparlas, por ejemplo, de 3 en 3, de 5 en 5,.. Sin embargo, nuestra costumbre es agruparlas de 10 en 10:

pueden registrar los resultados de este conteo de estas maneras:

S e

Hay que borrar dos bolas del grupo de diez y poner en 6 las bolas sueltas

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Vamos a aumentar el número de bolas y agruparlas así:

Se pueden reagrupar, es decir, agrupar los grupos

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Agrupar y reagrupar de 10 en 10 es una de las características de nuestro sistema de numeración que, por eso, se le denomina sistema de numeración decimal. También se dice que nuestro sistema de numeración es de base 10. Los agrupamientos de grupos de diez son denominados centenas; los grupos de diez, decenas, y los objetos sueltos, unidades. El hábito de agrupar de 10 en 10 se presenta, como hemos dicho, en otros sistemas de numeración, como el romano y el chino, por ejemplo. Sin duda se relaciona con la utilización de los dedos en la realización de los conteos. Entendemos que fue con la utilización de los dedos de las manos como el hombre aprendió a contar. Hasta hoy continuamos haciendo esto y, como veremos, es un excelente recurso didáctico para que los niños aprendan el manejo de nuestro sistema. No obstante, el hombre no se conformó solo con utilizar sus manos. Inventó algunos instrumentos para ayudarse en sus cálculos. Dentro de esos instrumentos destaca el ábaco por su eficiencia y simplicidad. Se continúa utilizando todavía tanto para el control de ciertos juegos (el billar, por ejemplo) como para el aprendizaje del sistema posicional de numeración. Existen diversos tipos de ábacos, pero todos obedecen básicamente a los mismos principios. Vamos a describir el más simple: en un marco de madera se fijan algunos alambres; en cada hilo de alambre se insertan diez bolitas que se pueden desplazar de un lado a otro. Las del primer alambre representan a las unidades; las del segundo alambre, a las decenas; las del tercer alambre, a las centenas; y así sucesivamente,..

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¿Cómo utilizamos el ábaco? Vamos a imaginar que queremos contar a los alumnos que entran en el Colegio, pasando uno a uno por la puerta. Inicialmente, en el ábaco, todas las bolitas deben estar en el lado izquierdo, tal como aparece en la figura 1.  1.Por cada alumno que entra en el colegio trasladamos una bolita del primer alambre hacia la derecha. Así hasta 10:

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 2. Cuando las diez bolitas del primer alambre está a la derecha, trasladamos una bolita del segundo alambre a la derecha y trasladamos

las diez bolitas del primer alambre hacia la izquierda:  3.Así, continuamos el conteo: cuando las diez bolitas del segundo alambre estén a la derecha, trasladaremos una bolita del tercer alambre hacia la derecha y las bolitas del segundo alambre volverán hacia la izquierda:

Supongamos que, al terminar el conteo, ésta sea la disposición de las bolitas en el ábaco:

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Podemos registrarla de esta manera: Centenas

decenas

unidades

3 6 5 El número total de alumnos es:

o sea: 3x100+6x10+5x1=365 300+60+5=365 Se observa, pues, que aunque en el ábaco todas las bolitas son iguales, su valor depende del hilo de alambre en que está situada. Ciertamente, fue esta característica del ábaco la que hizo surgir la idea de dar valores diferentes a una misma cifra o guarismo, dependiendo del lugar en que estaba escrito. Antes de aparecer el sistema de numeración desarrollado por los hindúes el principio posicional ya aparecía en otros sistemas de numeración como el de los babilonios. Sin embargo, fue en la numeración hindú donde este principio se desarrolló con mayor fuerza. Pero esto sucedió gracias a la invención-creación de un símbolo para la nada, es decir, el símbolo del cero. Estamos tan habituados al sistema de numeración decimal que nos parece increíblemente simple. Pero, desde las épocas en las que los hombres realizaron sus primeros conteos hasta la aparición del sistema de numeración hindú transcurrieron millares de años. Es sorprendente que diversas civilizaciones, de la antigüedad, como la de los egipcios, la de los babilonios o la de los griegos, capaces de realizaciones maravillosas, no hubieran conseguido un sistema de numeración tan funcional como el de los hindúes. ¿A qué puede deberse tanta dificultad? Una posible respuesta a esta pregunta nos lleva al cero, es decir, a un símbolo para la nada. Es fácil

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comprender el porqué de esa tardanza: los números fueron creados por los hombres como un recurso para ayudarles en los diversos conteos que necesitaban realizar en el día adía. Los números surgieron de la necesidad de determinar cantidades. Ahora bien, quien no tiene ninguna cosa, ¿qué necesidad puede tener de contar lo que no tiene? El cero surgió cuando se procuró representar, fielmente, con símbolos en el papel, lo que ocurría en el ábaco. Si se observan las cantidades indicadas en cada uno de los ábacos siguientes

Podemos registrarlas en nuestro sistema de numeración decimal con 34 y 304. Cuando escribimos 304, el símbolo 0 indica que en la segunda fila del ábaco no hay bolitas en el lado derecho. Además en sustitución del símbolo 0 se podría utilizar cualquier otro recurso o indicador como, por ejemplo, un espacio en blanco: 3 4. Se estaría, del mismo modo, usando un símbolo para la nada. Sin embargo, esta manera de representar la ausencia de cualquier orden de unidades (las decenas en este caso) traería o acarrearía problemas por prestarse a la confusión: no se percibe igual un espacio vacío que un símbolo como el 0. Por ejemplo la distinción 34 ( treinta y cuatro), 3 4 (trescientos cuatro) y 3 4 (tres mil cuatro). Después de haber sido inventado el cero para resolver un problema del sistema posicional de numeración, sucedió un hecho interesante: el cero pasó a ser tratado como cualquier otro de los nueve símbolos. El cero pasó a ser tan número como los otros. La nada se volvió también número, siendo introducido en la secuencia: 0,1,2,3, etc. Para finalizar esta exposición y propiciar la comprensión de nuestro sistema de numeración se va a comparar y a confrontar con los sistemas de numeración egipcio y romano. Señaliza esta comparación señalando las características básicas de estos sistemas: 54 LibrosEnRed

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A) Base Como se vio la base de un sistema es la cantidad elegida en el procedimiento de agrupar y reagrupar:  En nuestro sistema la base es diez  En el egipcio la base es diez  En el romano la base es diez Se observó que en el sistema romano los símbolos son siempre reagrupados de diez en diez: diez I forman una X, diez X forman una C, diez C forman una M. En este caso puede surgir la duda ya que cinco I son sustituidas por una V. Sin embargo, no existen reagrupamientos de cinco. Cinco V no pueden ser cambiadas por un símbolo nuevo. Los símbolos V, L y D que indican, 5, 50 y 500 son utilizados solamente para simplificar la escritura.

B) Valor posicional  Nuestro sistema es posicional: 51 es diferente de 15.  El egipcio no es posicional: es indiferente 12 de cualquiera de estas dos maneras:  El romano es posicional, pero en el mismo sentido que nuestro sistema. Es distinto escribir VI (seis) que IV (cuatro.

C) Cero  nuestro sistema tiene un símbolo para la nada  el egipcio no tiene cero  el romano no tiene cero

D) Principio multiplicativo El sistema posicional, como en el nuestro, se basa en el principio multiplicativo: cada cifra o guarismo representa el producto del mismo por el valor de su posición o lugar que ocupa. Por ejemplo, en nuestro sistema, al escribir el número 245,

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 5 significa 5x1  4significa 4x10  2 significa 2x100 En el sistema egipcio y en el sistema romano no tiene validez el principio multiplicativo.

E) Principio aditivo El número representado es la suma de los valores que cada uno de los símbolos representa. El principio aparece en los tres sistemas que venimos considerando:  en el sistema egipcio,

=100+100+10+1+1+1

 En el sistema romano, CXXVII= 100+10+10+5+1+1 Sin embargo, en el sistema romano el principio aditivo precisa ser aplicado con cuidado ya que en él existe también el principio sustractivo. Por ejemplo: La lectura correcta de CXLIX es 100+(50-10)+(10-1)=149, una lectura equivocada sería, CXLIX= 100+10+50+1+10=171

F) Cantidades de símbolos diferentes. ¿Cuántos símbolos distintos se necesitan para escribir cualquier número?  En nuestro sistema con solo diez símbolos diferentes; 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0, se escribe cualquier número  En los sistemas egipcios y romano, por muchos símbolos que se creasen, siempre sería posible y necesario pensar un número que para ser escrito o representado precisaría de un nuevo símbolo. Serían, pues, necesarios infinitos símbolos.

2) L a historia del sistema de numeración decimal. Se han visto las características de los sistemas de numeración egipcio y romano. Otras civilizaciones de la antigüedad como la de los babilonios, griegos, chinos, e hindúes, crearon sus propios sistemas de numeración.

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Los mayas, que vivieron en la América Central, en épocas más recientes, también desarrollaron una manera interesante de registrar los números. Es interesante percatarse que estas civilizaciones no vinieron unas a continuación de otras. Por el contrario, muchas coexistieron durante siglos y, aún localizadas en regiones distintas, mantuvieron contactos unas con otras. Con la excepción de los mayas, que habitaban en América, las civilizaciones de Europa, Oriente y Oriente Medio, intercambiaban mercancías y conocimientos. El intercambio cultural implicó también los conocimientos matemáticos de aquellos pueblos y se reflejó en sus formas de contar y escribir los números. La historia de los sistemas de numeración desarrollados por nuestros antepasados se confunde muchas veces con la propia historia de sus creadores. Las condiciones en que las civilizaciones del pasado surgieron y evolucionaron llevaron al desarrollo del conocimiento práctico que constituirían el embrión de nuestros amplios y diversificados conocimientos actuales en todas las áreas. De esta manera la matemática se desarrolló, inicialmente, a partir del modo de vida y de las necesidades cotidianas de aquellos pueblos. Las grandes civilizaciones del pasado se desarrollaron en las márgenes de los grandes ríos y dependían básicamente de la agricultura. Para la organización de las tareas agrícolas era necesario, antes de nada, repartir las tierras y calcular la extensión que correspondería a cada agricultor. A partir de estos problemas se desarrollaron las prime ras nociones geométricas y de medidas. Por otro lado, calcular o medir la cantidad producida de cereales, distribuirlos entre la población, comercializar los productos agrícolas, constituían actividades que exigían un sistema de numeración y técnicas de cálculo. También era de especial interés prever las épocas de lluvia y de sequía, de frío y de calor, o sea, las estaciones del año que determinaban las épocas de siembra y cosecha. La previsión de las estaciones solo fue posible en función de la observación cuidadosa de los movimientos de los astros y de la posición del Sol, de la Luna y de las estrellas en las diferentes épocas del año. Los pueblos de la antigüedad, así como los pueblos americanos que más se desarrollaron (los mayas, los aztecas y los incas), inventaron sus calendarios, que exigían conocimientos astronómicos y habilidades de cálculo. Sin embargo, nuestros antepasados no se limitaron a conocimientos de carácter práctico. Fueron más lejos por el placer del conocimiento por sí

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mismo. En esto destacaron mucho los griegos. En el campo de las Matemáticas la ciencia de los griegos alcanzó un gran desarrollo en el siglo IV a. de C. con Euclides, cuya obra sobre Geometría influye sobre la enseñanza de esta parte de las Matemáticas, hasta hoy, en muchas de nuestras escuelas. Los griegos crearon su propio sistema de numeración de base 10, utilizando letras para representar los números, lo que no facilitaba los cálculos. Los romanos, que ampliaron sus dominios a partir del siglo V a.C., asimilaron una parte de la Ciencia griega, interesándose sobre todo por sus prácticas tanto en la ingeniería (construcciones de calzadas y acueductos) como en la medicina. En el campo de la Matemática no contribuyeron de manera especial. Las invasiones bárbaras, en los siglos V y VI d.C., acabaron por destruir al Imperio Romano y sumergieron al mundo occidental en un mundo poco favorable al desarrollo de la Ciencia. Sin embargo, en tanto el Imperio Romano declinaba, una gran civilización florecía en el Oriente, en el valle del río Indo, entre las regiones que actualmente constituyen Paquistán y la India. En ese valle, hace más de 4.000 años, se construyeron varias ciudades, con calles, calzadas, sistemas de abastecimiento de agua y canalizaciones. Sus habitantes practicaban un comercio bastante intenso intercambiando mercancías con otros pueblos. Como no podía dejar de ser, en una sociedad con este nivel de organización, los habitantes de la región poseían un lenguaje escrito y un sistema numérico. Sin embargo, éste no era todavía el sistema de numeración que utilizamos hoy. Pasaron algunos siglos hasta que los hindúes desarrollaron el sistema de numeración decimal. No existen muchos documentos sobre la matemática conocida por los hindúes de la antigüedad. Por ello es imposible saber, con exactitud, cuando y cómo los hindúes llegaron al sistema de numeración decimal posicional. Lo que se tiene claro es que, alrededor del siglo V, ya lo utilizaban. Sin embargo, una cosa es cierta: los hindúes tuvieron contactos con muchas otras civilizaciones, las influenciaron y fueron influenciados por ellas. El principio posicional, presente en la numeración hindú, también aparece en el sistema numérico babilónico, y se sabe que hubo contactos entre estos dos pueblos. La base diez, que es una característica del sistema hindú, también era empleado por los egipcios y los chinos. Esto se puede explicar por el hecho de que todos tuviesen diez dedos en las manos, tal vez, también sea debido al intercambio que hubo entre ellos. 58 LibrosEnRed

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El cero, que es otra característica importante de la numeración hindú, tal vez no sea una creación de ellos. Hay indicios de que, en la fase final de la civilización babilónica, ya se utilizaba un símbolo para la nada. No obstante, un gran mérito debe atribuirse a los hindúes: la de reunir estas diferentes características en un mismo sistema numérico. El intercambio cultural entre los pueblos de la antigüedad también se revela en el uso del ábaco, cuyo origen no es conocido, pero que sabemos que era utilizado por los chinos, hindúes y romanos. Es cierto que el ábaco tuvo gran importancia en la creación/invención de nuestro sistema de numeración. En el extremo oriental de la gran extensión que constituyó el imperio árabe, entraron en contacto con la cultura hindú y se interesaron, especialmente, por la astronomía, la aritmética y el álgebra, bastante desarrollados en la civilización hindú. Estudiaron, básicamente, el sistema numérico hindú, reconociendo su simplicidad y practicidad. Los árabes, que habían penetrado en Europa y dominaban la península Ibérica, fueron los introductores de las obras de los hindúes, las cuales tradujeron y difundieron. A los diez símbolos de nuestro sistema de numeración se les llama dígitos o guarismos. Por ejemplo, se dice del número 306 que tiene tres dígitos o tres guarismos. La palabra dígito viene de la palabra latina “digitus”, que significa dedo. Está clarísimo que esta denominación está relacionada con el uso de los dedos en el conteo. Es curioso el origen de la palabra guarismo. En el siglo IX vivió un matemático y astrónomo árabe que se hizo famoso y que se llamaba Moaahammed ibm-Musa al-Khowarizmi. Escribió un libro titulado “Sobre el arte hindú de calcular”, donde explicó minuciosamente el sistema de numeración hindú. A pesar de que al-Khowarizmi explicó bien claro que el origen de aquellas ideas que él explicaba en su libro eran hindúes, la nueva numeración se empezó a conocer como la de al-Khowarizmi. Con el tiempo, el nombre del matemático árabe fue modificado acabando, en la lengua española, por llamarse guarismo. El sistema de numeración decimal llegó a Europa, traído por los árabes, alrededor del siglo VIII, cuando los europeos estaban acostumbrados a utilizar la numeración romana. No fue hasta el siglo XVI cuando las nuevas ideas del sistema de numeración decimal triunfaron definitivamente, tras la oposición e, incluso, persecución oficial de que fueron objeto. La escritura de los guarismos, debido a que los libros eran copiados manualmente, fueron objeto de muchos cambios. Cada copista tenía su 59 LibrosEnRed

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caligrafía y le imprimía, consecuentemente, sus peculiaridades. No fue hasta el siglo XVI cuando las cifras escritas adquirieron las formas y características actuales.

L a denominación oral de los números: sus especificidades. Se han examinado algunos sistemas de numeración interesándonos por su forma numeral escrita. Pero para las situaciones cotidianas, para las necesidades de intercambio comercial, para comunicar oralmente cantidades,.., tenemos necesidad de poder decirlas, esto es, encontrar un medio de nombrarlas u oralizarlas. Contrariamente a los sistemas de representación escrita, sabemos muy poco de los sistemas de denominación oral de los números. Para los sistemas de numeración que disponen de un símbolo distinto para cada nivel de agrupamiento no es difícil pensar en palabras diferentes asociadas a cada uno de estos símbolos. Por ejemplo, en el sistema egipcio los agrupamientos de 1.000 se representaban por un “Lotus”: con toda seguridad, una palabra derivada de “Lotus” serviría para designar un “millar”. Pero, ¿cómo denominar o decir el número de repeticiones de cada nivel de agrupamiento? ¿Cómo decir, por ejemplo, “tres mil”? .Probablemente, pero es sólo una hipótesis, se optaría por “nombrar” el número de repeticiones utilizando palabras convencionales, arbitrarias como las que en la actualidad se utilizan para leer los guarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8,9. A fin de cuentas, como se lee actualmente el número 3.204 tres x mil + doscientos + cuatro, los egipcios deberían decir algo así como “tres” lotus, “dos” espirales y “cuatro” bastones. Para los sistemas de posición la situación es, de alguna manera, inversa. Se dispone de signos arbitrarios para indicar el número de agrupamientos a los que se puede asociar de manera también arbitraria palabras. La idea base es la siguiente: ya que sería imposible inventariar y memorizar un infinito número de símbolos, ciñámonos a un número finito y a las reglas de construcción a aplicar a estos de forma que se obtengan nuevas denominaciones “compuestas” a partir de unos cuantos signos o símbolos de base. Estas reglas o algoritmos de construcción van a funcionar como una “sintaxis” rigiendo un “alfabeto”. Alfabeto y sintaxis definen en común un sistema numérico. La practicidad/funcionalidad de una numeración vendrá dada por la mejor adecuación posible entre el tamaño del alfabeto (cuanto más amplio será más difícil de manejar) y la facilidad de utilización de la 60 LibrosEnRed

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sintaxis que lo rige (siendo la recursividad la que posibilita la máxima facilidad, es decir, la utilización de una regla única que actúe sobre sí misma). Si la numeración oral fuera exactamente calcada de la numeración escrita, para decir el número 3.256, se diría “tres-dos-cinco-seis”, exactamente como se escribe. Pero sería necesario esperar al final de la numeración para conocer el orden del tamaño del número (unidades de millar en este caso) y resultaría muy complicada su decodificación al receptor. Sin embargo, la solución que se ha alcanzado, a pesar de sus numerosas irregularidades, facilita mucho las cosas. Nuestro sistema de numeración oral ha generado palabras suplementarias para denominar potencias de su base: diez, cien, mil, millón, billón,.. Hay que matizar que no todas las potencias de 10 son denominadas por una única palabra. Para leer “100.000” combinamos las palabras disponibles y decimos “cien mil”. Estas palabras simplifican considerablemente la denominación oral de los grandes números y facilitan su memorización: desde el comienzo de la denominación oral el interlocutor puede percatarse del orden del tamaño del número de que se habla. La ausencia de un agrupamiento u orden de unidades se detecta por la ausencia de la palabra asociada en “mil cuarenta y cinco”, por ejemplo, no se ha mencionado el agrupamiento de las centenas. No obstante, en nuestra lengua las palabras-número utilizadas no siguen totalmente la lógica presente en la escritura de las cifras. Por ejemplo, los números 11, 12, 13, 14 y 15, podrían leerse “diez y uno”, “diez y dos”,.. como los números 16,17,18 y 19. Las palabras-número “once”, “doce”, “trece”, “catorce” y “quince”, obedecen a otra lógica ligada a la evolución fonética inaccesible a los niños. Estas palabras específicas son fuente de dificultad al nivel de su memorización y manejo. Son palabras que, en una didáctica acertada, habría que suprimir en una primera fase de aprendizaje. De la misma manera, el nombre de las decenas también produce algunas dificultades. Mientras que 20, 30,40,.., podrían leerse perfectamente “dos diez”, “tres diez”, “cuatro diez”,.. como los números “dos cientos”, “tres cientos”, “cuatrocientos”, utilizamos las palabras “veinte”, “treinta”, “cuarenta”,.. En el proceso de enseñanza -aprendizaje se

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intentará, en un primer momento, obviar esta dificultad añadida al aprendizaje de la numeración. Finalmente, existe otra irregularidad al utilizar “cien”, “mil” y no “un cien”, “un mil”. Los ingleses dicen, en estos casos, “one hundred”, “one thousand”,.. Estas irregularidades son, probablemente, consecuencia de una numeración primero hablada pero ligada a usos prácticos más que a una construcción tan lógica como la que presenta nuestro sistema de numeración escrito.

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Capítulo IV L a enseñanza aprendizaje del número y de la numeración

Los puntos de vista relativamente pesimistas de Piaget sobre las habilidades y capacidades de los niños pequeños tuvieron el efecto de limitar las expectativas sobre los que podían aprender y lo que se les podía enseñar . Por ejemplo, él creía que los niños de educación infantil estaban en la etapa preoperatoria y que eran incapaces de pensar lógica y sistemáticamente o de construir conceptos abstractos( por ejemplo, el verdadero concepto de número o la comprensión de la aritmética). Las visiones pesimistas de los teóricos sociales reforzó el enfoque minimalista de la enseñanza de las matemáticas en la infancia temprana. Algunos autores infantiles impedidos por esta corriente afirmaron :”Los niños pequeños no debería hacer matemáticas… no es apropiado” Hasta hace poco tiempo , estas respuestas reflejaban la actitud más común en nuestra cultura sobre la enseñanza de las matemáticas a los niños de educación infantil. Las críticas, no obstante al modelo piagetiano, han sido variadas y aunque algunas de ellas no son fundadas , otros trabajos experimentales llegan a poner en duda el modelo operatorio del número defendido por Piaget considerando que el modelo proporciona una información incompleta de las competencias numéricas en el niño. En los últimos años del S. XX, los psicólogos adoptaron un punto de vista extremadamente optimista y se centraron en lo que los niños pueden hacer (Gelman, 1979). Este autor llegó a afirmar que los niños están dotados de forma innata de los principios del conteo- principios que le permiten contar de forma no verbal(utilizando etiquetas o representaciones no verbales) y que los niños pequeños pueden aprender rápidamente los nombres de los números y como usarlos en actividades de conteo. Este enfoque alternativo mantiene que no es clara la relación entre el desarrollo del número y las operaciones lógicas .Al contrario, defiende que la comprensión del número se desarrolla gradualmente a través de la experiencia de conteo del niño(Gelman y Gallistei, l978). Según este marco teórico, al que nosotros nos 63 LibrosEnRed

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vamos adscribir, el conteo es visto como una noción más compleja —y no sólo como un recitado memorístico de la cadena numérica oral— que va desde niveles concretos a niveles más abstractos. La iniciación del niño en el mundo del número se da en contextos de crianza , de manera que las interacciones que se producen en el seno familiar tienen relación con producciones numéricas: canciones con números, rimas, juegos, cumpleaños, etc. En el desarrollo temprano se enfrentan , pues, a los números de formas muy variadas. Este enfoque ha permitido conocer e identificar con precisión la progresión y desarrollo del cocimiento matemático entre los dos y los siete años de edad . Las conclusiones de estos diversos estudios asumen que además de las operaciones lógicas piagetianas , varias destrezas de conteo son también importantes para el desarrollo del número y así, el sistema de numeración convencional empezaría en la infancia temprana con la adquisición de la secuencia verbal de la cadena numérica : Algunos estudios como el de Clements(1984) han mostrado que el entrenamiento a un grupo de niños de cuatro años en destrezas de conteo producía una mejora no sólo en el conteo sino también en las tareas piagetianas de seriación y clasificación.

I) L as concepciones actuales sobre la enseñanza aprendizaje del número. En la actualidad se plantea la problemática de la enseñanza -aprendizaje de los números y de la numeración de una manera distinta.. No se trata de un cambio radical como ocurrió con la reforma de la Ley General de Educación llamada de las “Matemáticas Modernas”, sino de una síntesis y profundización de diferentes planteamientos y/o enfoques. Actualmente, parece posible extraer algunas orientaciones de la experiencia de estas últimas décadas a la luz de los avances que nos aporta la psicología cognitiva y el propio desarrollo de la didáctica de la matemática. Estas aportaciones han conducido a revisar las condiciones de la construcción/aprendizaje de los números por los alumnos. Se van a analizar, en primer lugar, los aspectos relativos a los contenidos a enseñar: ¿Qué aspectos de los números, qué prácticas numéricas conviene desarrollar con los alumnos de educación infantil y primaria para que estos atribuyan y confieran sentido y significado a los números y sus denominaciones? , ¿Cómo contemplar los procedimientos iniciales de los alumnos y, particularmente, cómo guiarlos a utilizar y enriquecer sus prácticas de enumeración o conteo?

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El análisis y las propuestas que se desarrollan se organizarán, básicamente, alrededor de dos ejes básicos:  1. Los conocimientos numéricos adquieren significado y sentido, fundamentalmente, por los problemas que permiten resolver eficazmente. Para plantear el aprendizaje de los números mediante la solución de problemas, en principio hay que identificar los diversos usos de los números: - Medir una colección: asignar un número natural a una colección - Producir una colección: operación inversa a la anterior - Ordenar una colección: asignar una determinada posición a los elementos de una colección.  2. Lo “nuevo” se construye a partir de lo “antiguo”, perfeccionándolo o rechazándolo (como insuficiente o inapropiado) y, por tanto, conviene en cualquier proceso de enseñanza -aprendizaje, contemplar los conocimientos previos: unas veces como punto de apoyo o de partida, otras veces como motivos de posibles dificultades a las que el alumno deberá enfrentarse para construir nuevos conocimientos. Se trata de contemplar estos conocimientos previos o iniciales, por muy incompletos e imperfectos que sean, para llenar de sentido a los que se intentan desarrollar o incluso para evitar que esos conocimientos iniciales no se transformen en obstáculos cuando sean erróneos.

II)Aspectos que definen la actual concepción de la enseñanza/ aprendizaje del número. a) Tener en cuenta las competencias numéricas de los alumnos: Esta posición, claramente cognitivista, se asienta en las concepciones de diversos autores (Ausubel, Gelman, Vigotsky,..). En el anexo I se ofrece un cuadro para obtener el diagnóstico en educación infantil y primer curso de E. Primaria de los conocimientos iniciales de los alumnos en el campo numérico. Si observamos a los alumnos al inicio de la educación primaria cuando cuentan, enumeran, construyen una colección o conjunto de un número dado de elementos, así como cuando observamos sus procedimientos 65 LibrosEnRed

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para resolver “sencillos” problemas aritméticos, detectaremos una gran heterogeneidad así como una gran inestabilidad en sus saberes y/o competencias. En lo que respecta al conocimiento y memoria de la secuencia numérica las observaciones muestran que muchas veces se recita comenzando por una secuencia correcta (estable y convencional) más o menos extensa. La mitad de los alumnos recitan más allá del diez (y en bastantes ocasiones, por encima del veinte), aproximadamente un diez por ciento recitan por encima del cuarenta; sólo un escaso número de niños de estas edades ( seis años aproximadamente) no rebasan en su recitado el cuatro o el cinco. Para tres alumnos de cada cuatro el conocimiento de la secuencia numérica le permite enumerar/contar correctamente colecciones de objetos (teniendo en cuenta, como es obvio, que la cantidad de objetos a contar pertenezca al campo o domino propio del niño). Los errores en la enumeración al comienzo de la educación primaria son los mismos que en la educación infantil. Barody y Ginsburg {1982) señalan los siguientes:  => Errores de secuencia: Se producen por el hecho de decir de forma incorrecta, ya sea por doble recuento u omisión.  => Errores de partición: No se establece un orden que permita llevar un control entre los objetos contados y no contados, por lo que quizás cuenten un objeto más de una vez. Es importante aclarar que cuando los objetos están ordenados en hilera se reducen los errores de partición; pero los niños y niñas no utilizan espontáneamente este procedimiento.  => Errores de coordinación: En esta situación no se coordina el recitado de la serie y la acción de establecer la correspondencia biunívoca con los objetos a contar. A veces, los niños señalan con el dedo más rápido que lo que les lleva recitar la serie, dado el esfuerzo para recitarla. Otras veces recitan la serie demasiado rápido por querer demostrarle a los adultos que le rodean lo bien que lo saben y otras muy lento, debido al esfuerzo que tienen que realizar para recordar la serie. b) Los números sirven para construir significados: Todos los docentes tienen muy claro que uno de los retos decisivos de la enseñanza de las matemáticas, y esto desde el periodo de los primeros aprendizajes, es que el alumno atribuya un sentido/significado a los conceptos a aprender. Pero ¿cómo definir el significado de un concepto? Parece ser que el significado de un concepto se construye por dos vías o caminos: 66 LibrosEnRed

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1. En el poder que el concepto otorga al alumno de dominar, resolver problemas para lo que el número, en este caso, constituye un instrumento pertinente. 2. En el poder que el alumno tiene sobre el concepto, en el poder de captar sus propiedades, de hacerlas funcionar, de utilizar un lenguaje {especialmente simbólico) que permita explicitarlo, de establecer conexiones y relaciones con otros conceptos. Las observaciones y estudios realizados han mostrado que los niños elaboran sus primeras competencias numéricas muy temprano. Sus actividades y experiencias diarias aumentan el deseo de saber más, de avanzar, el placer “lúdico” de memorizar la serie numérica, las posibilidades que tienen de prever con el uso del calendario la fecha del día siguiente. De esta manera los números constituyen para los niños, en cierta forma, “instrumentos” para dominar/controlar ciertos aspectos de lo real..pero también objetos que desean conocer más y mejor. Es ilusorio, desde esta perspectiva, buscar la construcción del concepto de número antes de utilizar los números. Es, a través del uso que el niño haga del número como elaborará sus propias concepciones del mismo, nunca definitivas, siempre en evolución o desarrollo, completadas o cuestionadas cuando se amplíe la extensión del campo o dominio numérico que conoce, con el descubrimiento de nuevas posibilidades de uso, dando existencia a otros tipos de números con las capacidades calculatorias,.. Se opta, pues, no por enseñar los números, sino por mucho más, por permitir primero utilizarlos, hacer con ellos cualquier cosa.. con la finalidad de que las palabras y los símbolos que los designen se impregnen de significado. Estos números que los niños han comenzado de esta manera a utilizar, pueden, más tarde, ser mejor “dominados” cuando se comprendan sus cifras escritas, sus denominaciones orales, ciertas relaciones que mantienen entre sí, etc. c) La construcción de significados se produce por el reconocimiento y utilización de las funciones del número: Para el trabajo del número, en el primer ciclo de la educación primaria, se deberían destacar las dos funciones siguientes del número:  el número como “memoria”: “memoria de cantidad” que permite evocar una cantidad sin que ésta esté presente ( y que corresponde al aspecto cardinal del número) y “memoria de posición u orden” que

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permite evocar el lugar en una tira numérica (y que corresponde al aspecto ordinal).  el número como posibilidad de “anticipar” resultados: el número es también la posibilidad de “anticipar” resultados para situaciones no presentes o todavía no realizadas (o sea, simplemente evocadas), pero acerca de las cuales se dispone de ciertas informaciones: los procedimientos a aplicar por los alumnos van a pertenecer al ámbito del “conteo” o del “cálculo”. Durante los primeros cursos de la educación primaria (primer ciclo y parte del segundo) se pueden plantear a los alumnos algunos grandes conjuntostipos de problemas que darán significado a los procesos numéricos y a las denominaciones orales o escritas de los números realizados: PROBLEMAS QUE RELACIONAN DOS CONJUNTOS: Se trata en estos casos de: “comparar dos conjuntos Ay B” (desde el punto de vista de la cantidad de objetos que contienen “construir un conjunto B que debe tener tantos elementos como el conjunto A. “construir un conjunto B para que tenga tantos elementos como un conjunto A dado”. “construir un conjunto B que tenga el doble, el triple,.., del conjunto A” PROBLEMAS ORDINALES Los números pueden ser utilizados eficazmente “para situarse”, desplazarse en una tira o secuencia numérica, en una serie de casillas. Por ejemplo, cuando se juega a la oca o al parchís. PROBLEMAS DE ANTICIPACIÓN DE RESULTADO: Se trata de problemas que serán estudiados más tarde recurriendo a las _operaciones aritméticas básicas, particularmente: *Problemas ligados a “desplazamientos en una pista graduada” (¿dónde se llegará si se avanza o retrocede un lugar o casilla? ¿Cuántas casillas y en qué sentido es necesario desplazarse para alcanzar un determinado lugar?

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*Problemas en que se plantea la “reunión de varios conjuntos”, particularmente cuando se trata de “anticipar” el número de objetos a “añadir” a un conjunto conocido para obtener una cantidad propuesta. *Problemas en que un conjunto conocido se encuentra “separado en dos subconjuntos” y donde se trata de hallar el número de elementos de uno de los subconjuntos conociendo el número de elementos del otro. *Problemas de “división” de un conjunto en conjuntos equipotentes o no, conociendo el número de partes a realizar (caso de una distribución) o el valor de una parte (hacer grupos). *Problemas en los que se realizan intercambios de objetos de valor diferente (por ejemplo, para obtener tres cartas rojas es preciso entregar una carta azul), particularmente cuando se trata de anticipar o controlar el resultado del intercambio (Conviene matizar que esas situaciones son delicadas para muchos alumnos que tienen dificultades para admitir que “uno no siempre vale uno” y que, por ejemplo, es posible tener menos monedas y, a pesar de ello, tener más dinero). Estos diferentes problemas se pueden apoyar en situaciones en las que estén en juego conjuntos de objetos, pero también situaciones que son del ámbito de la medición: puntos ganados en un juego, dinero, distancias, etc. Como se puede constatar por los tipos de problemas descritos se trata, ciertamente, de proponer a los alumnos situaciones problemáticas antes de emprender cualquier estudio de las operaciones aritméticas. Los alumnos pueden resolver los tipos de problemas descritos según el contexto, según la pregunta formulada (petición, por ejemplo, explícita o no de contar), según la naturaleza de la tarea (tarea de constatación, tarea de anticipación, tarea que implique o no una acción, ..), según el domino numérico (magnitud o extensión de las cantidades en juego) y, obviamente, conforme a la naturaleza del problema, mediante el empleo de procedimientos diversificados: utilizando o evitando el recurso a los números, restringiéndose al conteo o movilizando el cálculo. En los PROBLEMAS QUE UTILIZAN DOS CONJUNTOS (de “comparación de conjuntos” o de “construcción de un conjunto equipotente a un conjunto dado”), el alumno puede, por ejemplo, utilizar: Procedimientos que eviten utilizar el recurso numérico:  a) La correspondencia término a término: permite a los niños construir una colección equipotente a una colección dada (en presencia de la colección)., comparar dos colecciones presentes, efectuar distribuciones 69 LibrosEnRed

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o repartos. Pueden utilizar procedimiento de la correspondencia término a término en situaciones de comunicación, dibujando la colección, haciendo palotes, señales, evocando la cantidad sobre los dedos, etc.  b) La correspondencia” grupo a grupo”: se emplea en las mismas tareas anteriores, particularmente cuando la dimensión de las colecciones aumenta (en vez de establecer correspondencias uno a uno, toma varios elementos de la colección a la vez).  c) Estimación puramente visual: se emplea en el caso de una configuración particular de objetos que se basa, bien en un conjunto presente o evocado mentalmente, bien en una descomposición de cantidades más pequeñas. Este procedimiento suele ser muy poco fiable en relación con los anteriores. Procedimientos que utilicen, más o menos explícitamente, el recurso a los números:  1) “El subitizing” o capacidad de enunciar de un vistazo el número de elementos u objetos de un conjunto o colección pequeña, por simple percepción global. El conjunto que se subitiza no tiene más de 5 ó 6 objetos. La subitización tiene primacía evolutiva sobre el conteo, ya que antes de contar los niños la utilizan para cuantificar conjuntos pequeños, y más tarde, cuando ya son capaces de utilizar la subitización y conteo, prefieren utilizar la subitización para determinar los objetos que haya en conjuntos o colecciones pequeñas.  2) Contar los elementos de una colección Para la adquisición del conteo hay que tener en cuenta los siguientes cinco principios o componentes propuestos por Gelman y Gallistei (1978) que servirían de base para el desarrollo del número en interacción con la imitación, práctica y refuerzo al que el medio somete al niño. Estos principios son los siguientes: - 1.Principio de correspondencia uno a uno. Este principio marca una estricta correspondencia entre los elementos de la colección y los nombres de los números (elementos de la secuencia numérica).

O O O O O 1 2 3 4 5

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El primer requisito que el niño necesita para contar correctamente consiste en tener la competencia para construir correspondencias uno a uno. La correspondencia entre objetos es más sencilla y precoz en el niño que la correspondencia establecida entre objetos y numerales. La práctica demuestra que el inicio del conteo se favorece realizando previamente correspondencia entre objetos (taza-platos, sombreros-hombres, huevos-hueveras,..) - 2.Principio del orden estable, según el cual, la serie del nombre de los números corresponde a una secuencia fija. La construcción gradual de esta comprensión supone tres pasos. a) descubrir que la lista está constituida solo por numerales b) que esta lista tiene un orden determinado c) y finalmente, que cada numeral es único y no se repite en la lista .

En la fase de elaboración y consolidación de la secuencia se distinguen cinco niveles evolutivos en función de la comprensión y el uso que los niños son capaces de hacer de los numerales (Fuson, 1988) Primero: El niño solo es capaz de emitir la secuencia de los numerales comenzando necesariamente por el 1, no diferencia entre los distintos elementos de la secuencia (nivel hilera o cuerda). Segundo: La secuencia aparece como una cadena irrompible, pero ahora sus elementos numerales los concibe el niño como diferenciados unos de otros (nivel de cadena irrompible). Tercero: nivel de cadena rompible, ya que los niños pueden emitir fragmentos de la secuencia de los numerales, sin comenzar necesariamente por el 1. La competencia numérica del niño le hace capaz continuar la secuencia convencional aprendida a partir de cualquier numeral, como, por ejemplo, 3-4-5..

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Cuarto: El grado de elaboración y abstracción es mayor, de modo que los niños pueden incluso entender los numerales como elementos contables. Por ejemplo, contar de ocho a doce. Quinto: Finalmente, el niño puede emitir de manera fluida y con entera flexibilidad la secuencia de los numerales tanto hacia delante (creciente) como hacia atrás (decreciente) a partir de un numeral dado. - 3-Principio de cardinalidad o cardinal numérico. En virtud de este principio, tras la ejecución del algoritmo del conteo, el último término de la secuencia numérica enunciado (1,2,3,4,5,..n) corresponde al cardinal de la colección o conjunto evaluado. En otras palabras indica el número de objetos que hay en un conjunto dado. El siguiente gráfico tomado de Bermejo (2004) representa este principio.

El principio de cardinalidad es comprender que al contar no se asigna un numeral a cada objeto sino a un conjunto, que cuando se señala un objeto, lo que se hace es incluirlo en la clase de los contados. Así cuando se cuenta un conjunto, no se asigna uno al primer objeto, dos al segundo que se señala, etc., sino que cuando se dice uno se debe entender” tengo uno”, dos como “tengo dos”, etc., dándose así una serie de inclusiones jerárquicas. - 4-Principio de abstracción. La heterogeneidad (o en su caso la homogeneidad) de los objetos de una colección no tiene ninguna incidencia en la determinación de su cardinal. Este principio se establece, ya, que todos los objetos de un conjunto o colección, sean homogéneos o heterogéneos, constituyen elementos contables o cosas que pueden contarse. - 5-Principio de irrelevancia del orden. Este principio señala que si la cardinación de una colección ha llevado a un determinado número n, si se vuelve a contar los elementos de esta colección, comenzando por cualquier otro elemento y siguiendo cualquier orden en el conteo, conducirá al mismo número o cardinal n. El 72 LibrosEnRed

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orden (por la izquierda, la derecha o el centro) en que se asignen los numerales (o etiquetas) a los objetos resulta irrelevante siempre y cuando se etiquete una sola vez cada uno de los objetos o elementos del conjunto a contar.  3.Recontar y descontar. Cuando se une o adjunta o reúne una colección a otra, los niños pueden proceder para la determinación del cardinal de la colección final, contando todos los elementos de las dos colecciones, es decir, volviendo al principio (por ejemplo: tres y seis: uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis, sete, ocho y nueve). Esta acción es de recuento. La de descuento es inversa a la de recontar: el niño cuenta hacia atrás a partir de un número dado el número a descontar(por ejemplo: seis menos tres: cinco ,cuatro, tres.)  4.”El sobreconteo” (su dominio comprende varios niveles): => el conocimiento del siguiente a un número dado y la posibilidad de deducir el valor de una cantidad a la que se le añade un elemento => la posibilidad de sobrecontar, es decir, enunciar la secuencia de los números a partir de un número cualquiera, contando la cantidad de números enunciada (apoyándose eventualmente en una ayuda como los dedos). Uno de los errores más frecuentes es el que el niño no parte del número correcto {ejemplo: nueve más tres: “nueve, diez, once”) => el sobreconteo realizado al elegir el mayor de los dos números y añadir el más pequeño. Es el procedimiento más económico.  5.Procedimientos mixtos. El niño establece correspondencias por paquetes o bloques de elementos, constitución de dichos paquetes y utilización de expresiones, bien orales, o escritas de tipo aditivo (por ejemplo, dado un conjunto de 18 caramelos, los niños podrían decir que hay 6 y 3 y 4 y 5 y 1)  Para los problemas de ANTICIPACION el alumno puede utilizar:  Procedimientos propios del ámbito del “conteo”:  Procedimientos que pertenecen al ámbito del cálculo. Los procedimientos del ámbito del “conteo” se basan en una “representación real”, más o menos próxima a la situación real {manipulación de objetos, dibujos de objetos, utilización de la recta numérica o de los dedos, señalización de objetos ficticios, ..) o por una representación mental de la situación {el alumno visualiza, por así decirlo, “de cabeza” la situación, 73 LibrosEnRed

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particularmente en el caso de cantidades muy pequeñas). Por ejemplo, si en una caja opaca se colocan 4 cubos rojos y 3 cubos azules y se le pregunta al alumno cuántos cubos hay en la caja, éste puede volver a contar (“recontar” o volver a contar de nuevo todos los objetos, uno a uno, mentalmente o señalando objetos ficticios) o recurrir al “sobreconteo” (toma nota de los 4 cubos rojos y avanza 3 a partir del 4, señalando, eventualmente, 3 cubos azules ficticios al mismo tiempo que enuncia “cinco, seis y siete”). En otras situaciones recurrirá al “desconteo” (conteo retrocediendo a partir de un número dado n veces). Es evidente que los niños y niñas pueden conceptualizar de modo diferente los números que representan distintos conjuntos de objetos, es decir, pueden alcanzar una estructura determinada para resolver cuestiones relacionadas con un número y, paralelamente, otra para los números. Por ejemplo, identificar hasta el 7 de acuerdo a la hipótesis de la cuenta cardinal y, a partir del 8, recurrir a la de valor cardinal. Así mismo, la representación oral va por delante de la escrita alcanzando, en algunos casos, mejores estructuras ante la misma cantidad. Entre los procedimientos del ámbito del cálculo, el alumno reconoce que puede recurrir a saberes numéricos antiguos y utiliza, pues, la memorización de hechos numéricos básicos o conocimientos que posee sobre los números así como las transformaciones a las que es posible someterlos (descomposiciones, técnicas de cálculo,..). Por ejemplo: 5+7=(5+5)+2=10+2=12; 13+9=13+(10-1)=(13+10)-1=23-1=22

8+6=8+(2+4)=(8+2)+4=10+4=14;

Es necesario decir que en una misma clase van a surgir procedimientos muy variados para un mismo problema. A la dificultad para gestionar la diversidad se une la riqueza pedagógica: posibilidad de que, simultáneamente, cada alumno progrese a partir de sus propias competencias y, así, provocar cambios en los procedimientos utilizados. Este tránsito de un procedimiento a otro se efectúa casi naturalmente. Por ejemplo, el niño que sabe sobrecontar mejorará su procedimiento al unir el número más pequeño al mayor, reduciendo así la duración de la tarea. En otros casos, el alumno renuncia a un procedimiento en provecho de otro: abandona, por ejemplo, la utilización de la correspondencia término a término por la enumeración. En todo caso, las situaciones problemáticas que se propongan en el aula deben suponer un desafío suficiente para incentivar a los alumnos a emplear nuevos procedimientos más económicos cada vez. ,

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2) Los diferentes dominios numéricos y su dimensión relativa La apropiación de los números por los niños, los procedimientos de resolución que aplique a la resolución de problemas serán diferentes conforme al contexto, pero también según el dominio numérico que se utilice y la extensión relativa de los números presentes (un número “pequeño” y un número “grande”, por ejemplo). Para los alumnos, al comienzo de la educación primaria, se pueden distinguir estos dominios numéricos:  El dominio de los números visualizables: números hasta el 4 ó 5. Son los números para los que un reconocimiento rápido y/o global es posible sin el recurso al conteo o con un conteo muy rápido (el niño reconoce sin dificultad que un conjunto contiene 3 objetos). En este dominio al alumno le es posible enumerar mentalmente cada uno de los objetos que constituyen el conjunto. Se trata, pues, de un dominio privilegiado para los procedimientos del “conteo mental” y más tarde para los procedimientos que recurren a resultados memorizados. Es aquí donde los niños podrán tomar conciencia de poder de anticipación, de previsión que los números confieren y pasar más fácilmente del conteo al cálculo. Constituyen los llamados números perceptivo visuales de Piaget.  El dominio de los números familiares: hasta e1 12, 16 ó 19 o aún más, según los niños. En este dominio, recitar de memoria los nombres de los números se puede asimilar muy rápidamente y la enumeración por conteo “uno a uno” es posible y eficaz. El uso social de estos números es relativamente frecuente. Desde la educación infantil se puede, en muchas ocasiones, llevar al alumno a reconocer globalmente las cifras escritas (es decir, sin realizar un análisis en decenas y en unidades). Es, asimismo, en este dominio donde el alumno utilizando ciertos resultados memorizados u ordenados por escrito (tablas de sumar y restar) y sus primeros conocimientos sobre los números, podrá, desde muy pronto, emplear procedimientos de cálculo.  El dominio de los números frecuentados: Son los números que van hasta el 30, 40 o más adelante (pueden llegar hasta el 100). Es el campo o dominio en que se sitúan los números del calendario o el número de alumnos de la clase. Corresponden a números que el niño está menos habituado a manipular. El aprendizaje de la serie puede trabajarse fácilmente. Los procedimientos que utilizan una representación concreta son todavía posibles pero más difíciles de gestionar o manipular. Es en este dominio donde los alumnos van a 75 LibrosEnRed

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tener la posibilidad de hacer sus primeras constataciones sobre las “regularidades” de la secuencia oral (veintiuno, veintidós,..treinta y uno, treinta y dos, ..cuarenta y uno, cuarenta y dos,..) pero, sobre todo, de la secuencia escrita de los números.

III) Actividades y situaciones de aprendizaje para el dominio del número. Para el aprendizaje del número habría que utilizar cuatro grandes momentos organizativos donde contar con sentido sería una actividad habitual:  a) En la vida cotidiana del aula: ¿Cuántos somos en la clase? ¿Cuántos niños y niñas han venido hoy a clase? ¿Cuántos niños y niñas han faltado? ¿Cuántas frutas tenemos que traer a clase para dar una cada uno? ¿Cuántas/os han votado si? ¿y no?  b) Al realizar juegos: Si somos 25 ¿qué podemos hacer para tener dos equipos con la misma cantidad de niños y niñas? Contar para jugar al escondite (desarrolla la secuencia numérica). Repartir cartas: los niños lo pueden hacer a bulto (haciendo montones aproximadamente iguales), dando sucesivamente una o dos a cada niño, contando..  Reparto de objetos de juego  Llevar la cuenta de los puntos conseguidos en el juego  Juegos que conduzcan a la comparación de conjuntos (cartas, loterías,..)  c)Al desarrollar proyectos de trabajo: ¿Cuantos..necesitamos para.. .? ¿ Cuántos equipos de trabajo hemos formado? ¿ Cuántos murales hemos hecho? ¿ Cuántos equipos de seis alumnos hemos formado?

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 d) Al desarrollar actividades lúdicas semiestructuradas (con carácter lúdico, pero que no son juegos):  Ponemos tantos lápices como chicos y chicas estamos en cada grupo.  Agregamos o sacamos dos lápices del lapicero ¿cuántos tenemos ahora?  Ponemos el doble de lápices de los que hay en la mesa. Ahora ponemos la mitad. La construcción del concepto número/cantidad que representa el logro o dominio del principio cardinal debiera pasar por las fases siguientes: 1: Actividades manipulativas en las que se asocien conjuntos con elementos idénticos y en la misma cantidad: Ejemplo: se le indica al alumno que extraiga de un recipiente la misma cantidad de bolas que hay encima de la mesa. (Correspondencia uno a uno) 2: Actividades manipulativas en las que asocien un conjunto de elementos distintos pero con la misma cantidad: Ejemplo: se le indica al alumno que extraiga de un recipiente la misma cantidad de bolas que de muñecos hay encima de la mesa. (Correspondencia uno a uno). 3: Actividades en las que se asocien cantidades (estáticas) cuando los elementos presentan la misma configuración: Un ejemplo de esta actividad es el juego del dominó en el que los elementos de la cantidad aparecen siempre en la misma disposición, así, con el cuatro hay que poner otro cuatro. Otro ejemplo de actividad de este tipo es el de “tacha todas las tarjetas que tengan el mismo número de puntos que esta que te doy o tacha todas las tarjetas que tengan tres puntos como ésta”. (Principio de correspondencia). 4: Actividades de reproducción de cantidades: Una actividad muy

interesante es el “Juego de las tiendas”, en el que se trata de comprar con monedas realizadas con cartulinas. Con cada cartulina se pueden comprar tantos objetos como figuren en ella. 5: Identificar cantidades: La identificación se puede realizar mediante signos motores (mostrar el número de dedos correspondientes a una cantidad dada). Actividades como la de mostrarles objetos o dibujos indicándoles que nos enseñen o extiendan el mismo número de dedos, diciendo, al mismo tiempo, la palabra -número correspondiente: “un perro”, “dos perros”, ..

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En esta fase se potenciará el que los niños representen conjuntos o colecciones de objetos mediante símbolos espontáneos, cada vez más arbitrarios, hasta llegar a los guarismos o cifras estandarizados o habituales. Hughes (1986) señala que en la aparición de lo simbólico se observan cinco etapas o fases: 1. Fase de respuestas idiosincráticas: Lo simbolizado no presenta ninguna relación con el referente para personas ajenas al niño. Sin embargo, esto no quiere decir que carezca de relación para el niño que la realiza. 2. Fase de respuestas pictográficas: El niño representa algo parecido a lo que tiene delante, dejando constancia de la cantidad existente de objetos. Aunque no lo logre plenamente hay una clara intención de correspondencia entre lo real y lo que el niño intenta representar. El niño se centra más en la fidelidad al modelo que en la intención comunicativa. Si el niño, por ejemplo, ha de transmitir por escrito la existencia de cuatro balones, intentará más dibujar estos cuatro balones que a transmitir el número correcto de los mismos. 3. Fase icónica: En esta fase se establece una correspondencia plena entre lo que representa y la realidad, mostrando unos símbolos que van directamente a la intención de la comunicación y no a reproducir fielmente el modelo. El niño entiende lo que tiene que hacer y lo representa de manera económica y personal. 4. Fase simbólica: Utiliza el nombre de los números (los numerales) o bien las cifras, como forma más rápida y económica y efectiva, tanto para él como para el receptor de la información. Los pasos para trabajar la cifra escrita debieran ser los siguientes: PRIMERO: Invención, simbolización propia o idiosincrásita. Cada alumno representa la cantidad con un signo que se inventa. SEGUNDO: Elección de símbolos comunes a nivel de la clase. Se ponen de acuerdo en adoptar una simbología común a toda la clase. Se trata de iniciarlos en la arbitrariedad y convencionalidad del signo numérico o numeral. TERCERO: Simbología convencional. La que utilizan sus padres, sus amigos, en los anuncios,.. CUARTA: Discriminación perceptivo visual. Ejemplo: Rodea los números que sean iguales al de arriba:

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Cuantas más sean las características compartidas entre las cifras más fácil será que las confundan. Las cifras fáciles de confundir deben enseñarse juntas (6 y 9, 2 y 5, 7 y 1, ..) a fin de destacar explícitamente sus diferencias. QUINTO: realización de movimientos grafomotrices de base adecuados:

Estas fases (4 y 5) además de las dos siguientes (6 y 7) de reconocimiento y escritura del número debieran realizarse después del dominio del principio de cardinalidad, ya que en el caso de una precipitación innecesaria no se encontrarían con un significante (la grafía numérica) carente de significado. Por otra parte, al tratarse de un acto grafomotor, requiere, pues, el desarrollo de una motricidad digital fina y, más en concreto, la coordinación óculomanual adecuada. Las grafías numéricas deberán introducirse a través de canciones y adivinanzas que describan su forma, orientación, composición,.. del tipo: “el uno es un paraguas que quita el chaparrón, el dos es el patito..”; o adivinanzas como “tiene forma de patito pero sin patas, alas ni pico, ¿qué número digo?” (para el número 2), “ ¿qué número tiene forma de pera con rabito?” (para el 6), Otras actividades de motricidad digital fina podrían ser:  Imitar el movimiento y el ritmo de cada grafía que el maestro/a traza en el aire.  Ejercicios de percepción y reconocimiento táctil en números recortados en papel de lija. En un primer momento conviene que la tarea se realice individualmente y en presencia del maestro. Para ello, éste debe presentar al niño una cifra recortada en papel de lija y pegada en una cartulina o plancha de madera y mostrarle como recorrerla con el dedo. A continuación, el niño debe hacer la cifra varias veces, siguiendo el recorrido indicado por el maestro. De esta manera, y dado que el papel de lija raspa y obliga a los niños a ser conscientes del trozo que realizan, se van asumiendo los trazados de los distintas cifras. Posteriormente, se puede pedir al niño que dibuje la cifra por sí 79 LibrosEnRed

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mismo con el dedo sobre arena o con pintura de dedos sobre el papel. Más adelante, se le puede decir que trace la cifra con lápiz y papel.  Colorear o pegar sobre las grafías numéricas bolitas de algodón u otros materiales.  Borrar la grafía dibujando en la pizarra con el dedo siguiendo el movimiento grafomotriz de base y el ritmo de ejecución.  Modelar con plastilina u otro material las distintas grafías. 6: Ordenación de cantidades: Se trabajará la comparación numérica de conjuntos o colecciones. El objetivo formal de esta fase es que el niño compare numéricamente dos cantidades utilizando los cardinales de dos conjuntos para finalizar ordenando/seriando de mayor a menor o de menor a mayor una serie de objetos o de números desordenados. 7: Lectura y copia: La copia se debe comenzar con ejercicios de desvanecimiento. 8: Dictado numérico y visual: Se le presentan grupos de objetos o tarjetas con dibujos y el alumno escribe el numeral correspondiente. 9: Dictado numérico auditivo y/o rítmico: El maestro o maestra da un número de palmadas o golpes y el alumno escribe el numeral correspondiente. 10: Dictados de numerales propiamente dichos. El maestro dicta “uno”, “ocho”, “siete”,.. y los alumnos los escriben. Una actividad muy interesante para trabajar con las cifras escritas es la utilización de la tira o recta numérica. La introducción de la tira numérica en educación infantil y primaria persigue las finalidades siguientes:  Disponer de un instrumento que permita leer y escribir números que aún no se conoce de memoria su escritura en cifras.  Comenzar a imaginar que la sucesión de los números se puede prolongar tanto como se quiera y que no termina con el último número que se conoce o se trabaja.  Construir una buena imagen mental de esta secuencia, de su organización y de sus regularidades.

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Cada niño debe disponer de su tira o recta numérica y el maestro o la clase, debe poseer una de mayor tamaño colocada a la vista de todos. La tira numérica aparte de constituirse como diccionario es un buen instrumento de evaluación. Se puede realizar actividades del tipo siguiente: Colocar una recta numérica de referencia en la pared:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

a) Encontrar la cifra escrita de una palabra-número: El maestro pronuncia “seis” y el alumno contando casilla a casilla oralmente llega a la cifra “6”. La puede copiar, puede mostrar un cartón con esa cifra, jugar al bingo,.. b) Encontrar la forma leída de una cifra escrita: El maestro les pide a los alumnos mediante una cifra escrita (“8”, por ejemplo) una cantidad de objetos. El niño localiza la casilla donde figura el dibujo “8” y cuenta desde la primera casilla hasta llegar a la del “8” emitiendo la palabra -número “ocho”. Aunque es incapaz de leer directamente la cifra “8” ha encontrado su forma leída al leer todas las cifras que le preceden gracias a la recta numérica. Desde ese momento conoce la cantidad por su denominación oral (palabra -número) y es capaz de formar la colección/ grupo que se le solicita. c) Dados dos números,lo identifican en la tira numérica y estudian las relaciones que existen entre ellos (antes-después; mayor-menor qué ;números van entre el 6 y el 9) b) Se identifica un número en la tira y se buscan otras que mantengan una determinada relación (anterior-posterior al____; mayor-menor al____; el cuarto a partir del 5;..) d) Ejercicios de conteo continuo y discontinuo. Ejemplos: Empezando en el 9 contamos hacia atrás cuatro lugares, empezando en el 6 contamos hacia delante o hacia atrás de 2 en 2… e) Recitar los distintos números de la tira utilizando expresiones numérica ordinales (primero, segundo, tercero, ..), con el fin de destacar sus posiciones relativas. f) Señalar en la tira el orden que ocupa en la serie. g) Señalar los números que hay entre el número quinto y el noveno 81 LibrosEnRed

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h) Situaciones funcionales: escritura de la fecha, registro de alumnos presentes y ausentes, puntuaciones en juegos. 11. Comparar cantidades. La comparación de los cuantificadores (más, menos, igual, tanto como, mayor que, menor que, el más pequeño, el más grande, el primero, el último, ..) para utilizar, a continuación la comparación explícita con los cardinales de los conjuntos. Las actividades pasarán por las etapas manipulativas, representativas o figurativas y simbólicas gradualmente. Tres son los criterios que deben guiar la elección de actividades de comparación desde un punto de vista jerárquico: PRIMERO: La comparación se iniciará por conjuntos de cantidades muy dispares que son más fáciles de identificar que entre conjuntos de cantidades más próximas (es más fácil comparar un conjunto de tres elementos con otro de ocho que la de un conjunto de siete elementos con otro de ocho elementos). SEGUNDO: Es más fácil, dentro del criterio anterior, comparar conjuntos de elementos que se puedan físicamente manipular, agrupar, emparejar,.. que las representaciones más o menos figurativas de los elementos en cuestión (puntos, cruces, estrellas,..). TERCERO: Los dos criterios anteriores habría que conjugarlos con el criterio de que los conjuntos viniesen dados o tuvieran que ser construidos por los propios niños, aunque esto último sería de mayor dificultad. De la conjunción de estos tres criterios se podrían proponer las actividades siguientes: a) Con cantidades muy diferenciadas: La graduación podría ser la siguiente: 1 .Conjuntos dados con objetos manipulables:  comparar dos grupos de alumnos.  comparar dos conjuntos de lápices.  situaciones problemáticas como las de formar un gran grupo de alumnos y colocar en un plato un conjunto de galletas o caramelos y

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luego preguntar: ¿hay galletas o caramelos para todos? , ¿sobrarán? , ¿faltarán? . 2. Conjuntos a construir por los alumnos con objetos manipulables:  dado un conjunto de lápices, que los alumnos construyan un conjunto mayor, menor o igual. 3. Comparar dos conjuntos o colecciones con objetos representados (láminas):  ante una lámina con gallinas y los respectivos huevos que han puesto, preguntarles: ¿qué gallina ha puesto más huevos? ,¿qué gallina ha puesto menos huevos?  ante una lámina con manzanos, preguntar: ¿qué árbol tiene más manzanas? , ¿qué árbol tiene menos manzanas?  ante el dibujo de un chaleco que tiene más botones que ojales, preguntar:¿ se podrá abrochar bien? , ¿por qué? , ¿qué hay más, ojales o botones?  ante un gráfico, preguntar: ¿dónde hay los mismos círculos que arriba? , ¿dónde hay más que arriba? , ¿dónde hay menos que arriba? 4-Construir/representar una cantidad mayor, menor o igual a la representada en una lámina:

 Dibujar tantos balones como futbolistas hay en la lámina.  Dibujar en el árbol de la derecha más manzanas que en el de la izquierda. 5. Comparar numéricamente dos cantidades a través del recuento separado y la comparación de cardinales:  Se pide aun alumno que traiga lápices (uno para cada compañero) para los miembros de su equipo de trabajo. Esta actividad se puede complicar en el sentido de indicarle que traiga más lápices que compañeros, por ejemplo, trae un lápiz más ya que a Enrique hay que 83 LibrosEnRed

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darle dos. Es obvio que obliga al alumno a contar, primero, el número de alumnos del equipo y, después, al retirar los lápices del recipiente, contar el mismo o más, número de lápices. 6. Adivinar el número más alto entre dos números dados:  ¿Qué número es mayor, cuatro o siete?  ¿Qué número está antes del nueve?  ¿ y después del seis? La recta numérica puede servir a estos efectos así como las actividades de medida. Una vez conseguida esta habilidad de comparación de dos conjuntos se debería pasar a las actividades de ordenación y seriación. Las actividades a proponer podrían ser del tipo siguiente: Dibujar ocho gallinas y sus hueveras y unas cantidades distintas de huevos puestos por cada gallina (siete huevos, seis huevos, cinco huevos, ) y se les propone a los alumnos:  Colorea de verde la gallina que ha puesto más huevos y colorea de amarillo la gallina que ha puesto menos.  Recorta las hueveras y pégalas ordenadas desde la que tiene más huevos hasta la que tienen menos huevos. Colorea los elementos y escribe los números que faltan:

Ordena los números siguientes de mayor a menor: 1,

3,

4,

5

Escribe el número que va en medio de cada serie:

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Escribe los números vecinos de cada uno de los siguientes:

12. Composición y descomposición numérica: Los procesos de razonamiento numérico que implican el establecimiento/ descubrimiento de relaciones numéricas están implicados en las actividades de composición -descomposición numérica. La composición de dos números implica comprender que, al añadir o juntar uno a otro, se obtiene un número mayor que cualquiera de los dos que se juntan. Por el contrario, descomponer un número representa el percatarse de que cualquiera de ellos es menor que el que los origina y que su composición conduce al número que se descompuso, dividió o partió. La acción, pues, de componer o descomponer un número, implica la relación entre el todo y sus partes. Las actividades adecuadas para trabajar esta faceta numérica podrían ser:  Con estas seis bolas haz dos grupos iguales, haz dos grupo en los que uno es mayor que el otro, haz tres grupos iguales,..  El siete es igual que el 4 y el 3 juntos, el siete es igual que el 9 menos 2, si con 9 hago dos grupos iguales me sobra 1.  Dado un conjunto de objetos y un cardinal, dibujar los objetos que faltan hasta que coincidan con el cardinal.  Dado un conjunto de objetos mayor que el cardinal, tachar los objetos hasta que coincidan con el cardinal.  Cuando se trabaja con los números hasta el nueve las descomposiciones básicas de un número deben ser (Dolores Carrillo y otras, 1989)

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 Como suma de unidades: 5=1+1+1+1+1  Como el anterior más uno: 5=4+1  Finalmente, se proponen una serie de situaciones de aprendizaje que sustentan las consideraciones didácticas expuestas y que, sin duda, facilitaran el aprendizaje del empleo de los números a través de situaciones problemáticas. Tiene como objetivos básicos los siguientes:  Utilizar el número para medir y producir una cantidad  Utilizar los números como instrumentos para memorizar una cantidad  Construir diferentes procedimientos de cardinación de colecciones.  Construir la actividad de contar como el procedimiento más eficaz y económico para la cardinación de colecciones.  Construir mensajes para designar los números en una actividad comunicativa

IV) Propuestas de actividades para la enseñanza-aprendizaje del número. Finalmente, se proponen una serie de situaciones de aprendizaje que se sustenta en las consideraciones didácticas, expuestas y que facilitan el aprendizaje del empleo de los números mediante la construcción de conjuntos equipolentes.

Primera actividad: “El castillo” “El Castillo” es una situación didáctica en que los alumnos ante una tarea compleja y que permite al maestro evaluar, en cada alumno, el recurso espontáneo a la enumeración y las dificultades asociadas a su empleo. 86 LibrosEnRed

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Constituye una situación relativamente nueva para muchos alumnos al comienzo de la educación primaria: los recursos que los alumnos emplean habitualmente para construir un conjunto equipotente (correspondencia término a término, por ejemplo) serán cuestionados y superados. Se diseña un castillo sobre un soporte (folio o cartón) cuadriculado. Todas las partes del castillo están claramente diferenciadas (puertas, almenas, torres,..). Cada parte del castillo está formada por un número diferente de cuadrículas. Todos los cuadrados son cubiertos con papel coloreado diferente para cada parte del castillo. Se les propone a los alumnos la realización de copias del castillo que se les presentan a partir de otros dibujos del castillo en los que sólo ciertos cuadrados están cubiertos, lo que permitirá jugar con el número de cuadrados que cada niño deberá buscar. Para completar la parte no cubierta con cartones adhesivos (colocados en un sitio alejado de la clase para impedir el empleo de la correspondencia visual término a término), el alumno deberá ir a buscar estos cuadraditos adhesivos en uno o varios viajes. Los objetivos que se persiguen con la actividad de castillo son los siguientes: Para el alumno:  La confrontación, desde el comienzo del curso, con un primer problema. En esta ocasión, el compromiso relativo a la resolución de problemas será explicitado para que el alumno se percate de que a él es a quien compete buscar, encontrar una solución, ajustar sus resultados.  Aplicar procedimientos de enumeración y mejorarlos. Los intercambios en los grupos y la síntesis tienen como finalidad esta toma de conciencia. Para el maestro:  Observar los procedimientos espontáneos utilizados por los alumnos para construir un conjunto equipotente a uno dado en ausencia de éste. Para solucionar este problema es preciso realizar varias tareas sucesivas (enumerar el primer conjunto, memorizar el cardinal de este primer conjunto, construir un nuevo conjunto).  Evaluar las dificultades ligadas a la enumeración que le lleven a propuestas de actividades específicas que mejoren este procedimiento  Esta actividad se programará en DOS FASES:

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PRIMERA FASE: construcción de la equipotencia: Objetivos:  Para el alumno: tomar conciencia  Para el maestro: observar el recurso espontáneo a la enumeración. Variables:  El número de cuadrados (cartones adhesivos) es seleccionado en función de las supuestas (evaluadas) competencias numéricas de los alumnos y de sus conocimientos de la serie numérica  En esta primera fase no se limita el número de viajes a realizar por los alumnos. Material:  Un castillo modelo.  Un dibujo de castillo incompleto para cada grupo de alumnos  Cajas conteniendo cartones o cuadraditos adhesivos en distintos colores Desarrollo de la actividad. Se le muestra a los alumnos el castillo completo dos o tres días antes de la sesión de trabajo propiamente dicha como si hubiera sido realizado por otra clase o grupo de alumnos, haciéndoles ver/observar a los alumnos las diferentes partes del castillo que corresponden a los diferentes colores. El maestro les dirá:” El otro día os mostré un castillo realizado en otra clase. Ya lo he devuelto, pero antes de devolverlo copié su modelo. Recordaréis que ellos habían colocado un cuadradito de color en cada casilla. Empecé a hacer como ellos pero vosotros lo vais a terminar. Los cuadraditos (o cartoncitos) están en las cajas (una caja para cada color). Vosotros debéis pegar los que sean precisos para completar cada parte del castillo. ¡Cuidado! Es preciso que coloquéis los necesarios, ni más ni menos. Atiendan. A continuación cada grupo va a recoger de las cajas los cuadraditos (cartones) de color que se precisen”. La actividad se organiza con grupos de cuatro alumnos para permitir observaciones más precisas y un trabajo más adaptado con los grupos de alumnos que planteen más dificultades. En cada grupo, el maestro señalará a cada uno la parte del castillo que deberá completar o rellenar. Esta primera 88 LibrosEnRed

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recogida de información permitirá al maestro adaptar las actividades a las capacidades de enumeración de cada alumno. Comportamientos numéricos observados:  Utilización de la enumeración y realización de la tarea en un solo desplazamiento o viaje  Realización de dos o tres desplazamientos o viajes, mediante añadidos/ajustes sucesivos; bien porque los niños se equivocaron en la enumeración , bien porque se olvidaron del número de casillas que habían enumerado y se percatan de ello cuando quiere colocar los cuadraditos adhesivos  Realización de la equipotencia en tantos viajes como cuadraditos a colocar (o también trayendo varios cada vez).  Algunos niños van a buscar los cuadraditos sin haber contado previamente las casillas y en esta situación, ante la caja de los cuadraditos, toman conciencia de la necesidad de contar las casillas de la parte del castillo a completar.  Los procedimientos de enumeración pueden ser muy variados: de un vistazo, señalando, barrido sistemático,.. Finalmente, se propiciará un discusión/debate entre los alumnos sobre los procedimientos, los resultados, las previsiones hechas. Esta situación permite observar una variedad de procedimientos que contribuirán a la evolución de los procedimientos de los alumnos con habilidades menos sofisticadas.

SEGUNDA FASE: Con limitación del número de viajes o desplazamientos Objetivos.  Superar el procedimiento de la correspondencia uno a uno  Utilizar de forma más sistemática la enumeración, particularmente para ajustar al final del primer desplazamiento (y poder, así, realizar la tarea en dos veces):  El número de cuadrículas de cada parte se les propone a los alumnos en función de sus competencias numéricas observadas a lo largo de la primera fase y de su conocimiento de la secuencia numérica.  Se les obliga a realizar dos viajes como máximo para realizar la tarea. 89 LibrosEnRed

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Instrucciones: “Hoy vamos rellenar un nuevo castillo. Cada uno va a tener que completar una parte del mismo colocando cuadraditos (o cartones) de color. ¡Cuidado! Esta vez sólo podéis realizar uno o dos viajes, pero no más. Es preciso que traigáis los cartones que se precisen, ni uno más ni uno menos.”

Desarrollo de la actividad. Se les proporciona un castillo a cada grupo (se les puede facilitar un castillo semejante al primero, con, eventualmente, otras casillas a completar). Se les hace una advertencia al término del primer viaje “¿Cómo haréis para no olvidaros de las casillas a completar y no tener que volver a contarlas de nuevo?” Se trata aquí de que marquen o señalen las casillas (por ejemplo, con un lápiz) Ante la comprobación, el maestro preguntará a los niños: “¿Cómo podéis estar seguros de tener los cuadraditos o cartones que son precisos?” “Conté siete casillas, cogí 7 cartones, sé lo que eso da.” Esto permite a los niños acordarse del conjunto de la tarea, reformularla o, eventualmente, poder percatarse de que se olvidaron de una parte de las instrucciones.

Segunda actividad: El mosaico En esta actividad los alumnos deben completar un mosaico o friso compuesto de partes independientes o un motivo decorativo compuesto por elementos diferentes a partir del modelo que se les presente. Estos mosaicos o frisos están constituidos por un soporte sobre el que se diseñan distintos tipos de figuras geométricas con diferentes números y elementos que serán necesario ir a buscar a cajas situadas en otro lugar del aula. El niño debe construir su conjunto de mosaicos (para el sector del dibujo que se le encomiende) en un único viaje o encargo. Objetivos de esta actividad:  Tomar conciencia de que los números son instrumentos eficaces para memorizar cantidades.  Utilizar el número para construir conjuntos equipotentes  Utilizar la enumeración como procedimientos conscientes  Comprender la expresión “tanto como” (diferenciándola de “más que y de menos que”) 90 LibrosEnRed

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 Tomar conciencia de que el grupo es responsable de que es necesario, para tener éxito, comprobar lo que cada miembro del equipo hace  El número de elementos a enumerar estará en función de las capacidades numéricas diagnosticadas por el maestro. Instrucciones: “Vais a realizar una copia exacta de este mosaico. Cada uno tiene su parte. Prestad atención, después vais a ir a visitar a los comerciantes para pedirles lo que os haga falta. ¡Cuidado!, solo podéis ir una vez a pedir lo que os haga falta”.

Desarrollo: La clase se divide en grupos: grupos de compradores y grupos de comerciantes (un grupo de comerciantes por cada), siendo estos últimos menos numerosos ya que tiene que realizar menos tareas (facilitan a los compradores el número de mosaicos que les piden y comprueban la claridad del mensaje). Cada grupo de compradores (cuatro alumnos) tiene que realizar una copia del mosaico que se le ha asignado. Cada alumno tiene la responsabilidad de una parte de este mosaico. El maestro distribuye los papeles en función de las competencias numéricas de cada alumno: los niños que tienen menos competencias son principalmente compradores. Cuando cada alumno vuelve con los elementos correspondientes a su encargo y antes que los coloque en el soporte, se organiza en el grupo un debate o discusión con la finalidad de saber como estar seguro de que se va a poder reproducir exactamente el dibujo, siendo cada alumno del grupo responsable del trabajo de otro para poder completar el mosaico. Puede haber interacción entre los comerciantes y los compradores: son los comerciantes quienes, a veces, piden a los compradores que cuenten lo que se les entrega o si no ellos no le entregarán nada.

Una puesta en común debe permitir explicitar los errores: ¿Qué hacer para que no haya errores? (Comprobar lo que se le ha dado, memorizar el número, escribirlo, repetirlo,.. )

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Otras actividades de desarrollo: Siguiendo la misma metodología que en las dos actividades anteriores las actividades que a continuación se describen completan el objetivo de utilizar los números para construir conjuntos equipotentes:

Los gnomos En el momento en que los gnomos se preparan para regresar al bosque proponen a los niños que los acompañen para visitarlo. Pero la carroza es pequeña y no caben todos los niños de la clase: cada gnomo podrá llevar consigo sólo 2 niños. La situación se propone a grupos de niños; una caja materializa la carroza y algunos cubos (entre 5 y 10) representan a los gnomos. Cada alumno debe escribir un mensaje señalando cuántos niños podrán viajar con los gnomos para visitar el bosque. También se pueden proponer problemas el tipo uno por cada dos. Por ejemplo. ¿Cuántas avionetas de dos pasajeros se necesitan para que los alumnos de la clase puedan ir a volar? ¿Con los guantes que hay aquí dibujados (o reales) para cuántos niños tenemos bastante? Etc.

Los jugadores de tenis Se les da la instrucción siguiente: Dibuja o escribe las camisetas, las zapatillas, las pelotas y las raquetas necesarias para que jueguen en pareja estos jugadores (se les señala o indica un conjunto de jugadores). En una segunda hoja se les facilitan dibujos de pelotas, camisetas, raquetas y zapatillas en número suficiente para recortar lo que sea preciso para que un número par de jugadores puedan jugar. Otras actividades didácticas que se pueden utilizar para desarrollar el recurso al número como medio eficaz para comparar conjuntos son las siguientes:

L as cajas amontonadas Cinco cajas abiertas conteniendo cada una de 1 a 5 objetos (material manipulable: cubos, fichas..) son apiladas una sobre otras en un orden arbitrario: Solo una caja, la de arriba, puede ser cogida o retirada. 92 LibrosEnRed

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Cada niño lanza un dado cuando le toca. Puede coger todos los objetos de una caja si el valor del dado en puntos o con el número escrito (depende las competencias numéricas de los alumnos) sea mayor que el número de objetos que las cajas contengan. Una vez vaciadas todas las cajas el alumno o alumna que consiga más objetos es el que gana. Esta situación problemática comprende dos niveles de comparación: En el transcurso de la partida, para elegir o no los objetos de una caja en función del valor del dado y de los objetos que contenga la caja en cuestión. Al final de la partida, para saber quién ha ganado comparando, en este caso, cantidades más grandes. Esta comparación se realizará mediante diferentes procedimientos. A veces para calcular las diferencias no se necesita contar; una estimación visual es suficiente. Las instrucciones se formularán así: “Podéis retirar los objetos de la caja siempre que saquéis un dado con más puntos que objetos hubiera en ella”. Son posibles otras formulaciones, si el número del dado fuese mayor que el número de objetos, si hubiera menos objetos en la caja que puntos en el dado, si el número de objetos en la caja fuera menor que el número del dado. Las formulaciones que utilizan menos son peor comprendidas que las que utilizan más. Muchas veces es necesario recurrir a varias formulaciones diferentes. Los mismos alumnos pueden colocar los objetos en las cajas, pudiendo el maestro indicar la cantidad a colocar en cada caja o dejar a la iniciativa de los niños.

L as cajas alineadas En esta actividad los alumnos tendrán que elegir entre varias cajas. La instrucción es la misma que en la actividad anterior, pero, para ganar, interesa elegir cual es la caja que contiene el mayor número de objetos entre las que tienen menos objetos que la puntuación sacada en el dado. Se alinean 6 ó 7 cajas abiertas: El alineamiento es importante para favorecer la memorización de las cantidades, pero las cajas no están ordenadas por el número de objetos que contienen. En cada una de las cajas se coloca una colección de objetos (de 1 a 6 objetos). El jugador o equipo de jugadores lanza el dado. Puede entonces elegir entre las cajas alineadas una de las que contengan un número de objetos inferior al número de puntos de la cara del dado que ha caído en suerte. El objetivo del juego es obtener el mayor número de objetos posibles. La partida finaliza cuando se hayan retirado todas las cajas. Se puede jugar en equipos (equipo contra equipo) y en pareja. 93 LibrosEnRed

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Los conejos hambrientos El juego consiste en alimentar conejos . dándole una zanahoria a cada uno. Hay 3 niveles de dificultad en los que se consideran dos variables: La cantidad de conejos. En el nivel aparecen aleatoriamente de 3 a 6 conejos; en el nivel intermedio de 7 a 12 conejos y en el nivel difícil de 10 a 20 conejos. La manera de alimentar los conejos. En el nivel fácil, las zanahorias se pueden arrastrar, una a una, hacia los conejos. En este caso se trata de favorecer la relación término a término entre los elementos. En el nivel intermedio se hacen desaparecer todas las zanahorias que se requieren para los conejos que aparecen. En este caso se propone favorecer el conteo de todos los conejos para calcular la cantidad de zanahorias. Sin embargo, los niños pueden verificar las veces que consideren necesarias la cantidad de conejos. En el nivel difícil primero aparecen solo los conejos y cuando se terminan de contar, se hacen desaparecer y aparecen sólo las zanahorias, En este caso se propicia que el niño cuente los conejos y que cuando esté seguro de la cantidad, cuente la cantidad de zanahorias. Hasta el momento de verificar el resultado se pueden ver los conejos y las zanahorias juntos y se puede saber si el conteo fue correcto. Durante la actividad se pueden observar diversos procedimientos de resolución de los niños. Veámoslos: a) Sin conteo. Un procedimiento posible observado consistió en sacar todas las zanahorias sin contar los conejos para asegurarse de que todos los conejos tuvieran una. b) Conteo asistemático. Los niños recurren al conteo. Pero, dado que los conejos aparecen desordenados, fallan a la hora de contar porque repiten algún elemento o no cuentan otro. c) Conteo sistemático. Una vez que los niños recurren al conteo y lo hacen sin repetir un elemento y sin saltarse conejos, pueden presentar otro tipo de dificultades . Por ejemplo, cuando la cantidad es mayor que 10 requieren verificar más de una vez el total de conejos contados. Esto lo lleva a contar los conejos para saber cuántas zanahorias necesitan y volver a contarlos cada vez que necesitan controlar la cantidad de zanahorias que han sacado. Con cantidades grandes (más de 15 conejos) el control del conteo es un poco más difícil. La mayor parte de los niños no retiene el número de conejos contado y presenta dificultades para resolver el nivel difícil del juego. 94 LibrosEnRed

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Anexo I. Diagnóstico de los conocimientos iniciales numéricos de los alumnos de educación infantil primer curso de E. Primaria 1. Cocimiento del recitado de los números: - ¿Hasta que número sabes contar? El maestro le ayuda a continuar cada vez que sea necesario hasta que - no quiera seguir más - o diga una sucesión no convencional - o vuelva retomar números ya dichos (ejemplo: 11, 12, … 19, 11, 12 …) 2. Conteo Verificación del principio de correspondencia uno a uno y del principio de cardinalidad(es decir, atribuir un número a cada objeto si repeticiones y sin omisiones, y asignar la colección el último número pronunciado). El maestro prepara una colección de objetos idénticos y desplazables(con una cantidad menor del máximo número que sabe contar): “¿Me puedes decir cuántos objetos hay?” En el caso de que el niño no haga nada se le puede decir. “si quieres puedes moverlos o cogerlos”. Si el niño no concluye o termina con un número se le puede preguntar: “Entonces, ¿Cuántos hay?” 3.Utilización del recitado para crear una colección: El maestro prepara una colección aproximadamente de 10 objetos más de los números que sabía contar , así como una caja vacía. “Pon en esta caja “tantos objetos”(mencionar un número inferior a 10 en educación infantil o inferior a 20 en el primer curso de primaria)Si el niño sobrepasa el número pedido el maestro lo interrumpe cuando se pase en 2 por lo menos del número pedido. “¿Te acuerdas de lo que te pedí? Tienes que poner en esta caja sólo---- objetos 4. El sucesor: El maestro muestra la caja: “¿Te acuerdas que aquí había…. cubos? Ahora pongo uno más .¿Cuántos cubos hay?”

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Tomar nota si el niño retoma el recitado desde 1 o si dice el siguiente inmediatamente. 5. Lectura y escritura de números: Preparar un juego de cartones con un número del 0 al 10 escrito en cada uno ( en primer curso hasta 30 . Presentar a los niños las tarjetas en desorden y preguntar:”¿Conoces algo de lo que está escrito en los cartones?”. Anotar los cartones en el orden en que los dice el niño y lo que dice(por ejemplo si para 12 dice 21). Si los lee en orden , desde 0 hasta 10 darle algunos cartones separados para asegurarse si puede leerlos. Pedirle que escriba algunos números .Si los escribe en orden dejarlo que siga y anotar hasta que número llega .Luego pedirle que escriba algunos números aislados. 6.Contar a partir de. Proponerle entre 10 y 15 objetos para contar, luego agregarle 3 y preguntarle el número total de objetos. Si no saben contar hasta esos números proponerles 5 objetos y agregarle 3 más. Anotar si es capaz de contar a partir del primer número, sin necesidad de empezar por 1 nuevamente. 7. Conteo espontáneo Esta prueba debe ser propuesta varios días después de la otra parte del protocolo. Se le presentan al niños dibujos( el número x elegirlo en función del número hasta el que saben sumar) “Aquí hay un cartón con dibujos y allí hay cubos. Tienes que poner un cubo sobre cada dibujo y será necesario que cada dibujo tenga un solo cubo. Ahora vas a ir buscar justamente o exactamente lo que sea necesario. Cuidado: es necesario que sea justo, ni más ni menos. Tienes que hacer un solo viaje” Realizar un ensayo y, si fracasa , anotar el fracaso y volver a hacer un segundo ensayo. Anotar el método de conteo del niño delante del cartón y luego lo que hace delante de la caja de los cubos y ,finalmente, como realiza la correspondencia. 8. Uso social del número Preguntar. “¿para qué sirven los números?¿Dónde utilizas los números?” Si dice” en la escuela”, preguntar si los usa también fuera de la escuela.

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Capítulo V Psicopedagogía de la decena, la centena y el millar. El principio del valor relativo

I) los principios de la numeración decimal El paso de la noción de unidades (números dígitos) a decenas y agrupaciones superiores conlleva el aprendizaje del principio del valor relativo así como el de algunas reglas y excepciones. Por ejemplo, en el número 746 la posición de la cifra 7 en la tercera columna desde la derecha informa de que el 7 representa centenas o grupos de cien y no 7 unidades (7 grupos de uno) o 7 millares (7 grupos de mil). Este tipo de sistema, llamado posicional, se funda en el principio de la agrupación sucesiva (las unidades, cada diez, se agrupan en decenas, cada colección de diez decenas se agrupan en una centena, éstas, las centenas, lo son en millares y, así, sucesivamente). Presupone un claro dominio de la inclusión de clases, de las clasificaciones y de unas estructuras espacio temporales consolidadas (antes-después, izquierda-derecha, etc.) Los números de varias cifras (decenas, centenas,..) forman una expresión numérica, es decir, la codificación de las relaciones entre cifras aisladas para expresar un número que debe leerse como un todo. Las relaciones entre las cifras se codifican mediante su posición (orden y lugar). Por ejemplo, el orden de las cifras en 73 especifica un significado cuantitativo diferente que el orden en 37. Además, el lugar del 3 en 37 y en 375 expresa significados distintos (treinta y trescientos, respectivamente) Para leer pues un número se debe codificar la información especificada por la posición (el orden y el lugar). Esta codificación se realiza y, por supuesto, el alumno tiene que aprender los pasos siguientes:  1) Observar el número de cifras que tiene. El número 37, por ejemplo, tiene dos cifras

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 2) Especificar las relaciones entre las cifras. En el número 37 quiere indicar que la primera cifra (por la izquierda, el 3 ocupa el grupo de los dieces, (la serie de las decenas) y el 7 (el segundo lugar, el de la derecha) ocupa el grupo de los unos (la serie numérica del uno al nueve, de las unidades).  3) Llevar cada lugar con el nombre específico y adecuado para cada número intercalando en medio la comparación y en el caso del número 37, el lugar de las decenas se rellena con la palabra treinta de la serie de las decenas, y el lugar de las unidades se rellena con la palabra siete de las serie numérica del uno al nueve.

Treinta

y siete

Dieces

unos

(Decena)

(unidades)

El procedimiento con las fases descritas se aplica a la lectura de todos los números de dos cifras excepto los números 11, 12, 13, 14 y 15 y de las decenas completas, 20, 30, 40,.. (números con 0 en el lugar de las unidades). Para leer los números 11, 12, 13, 14 y 15 debe recordar los nombres especiales aprendidos de memoria igual que los nombres de las decenas completas (once, doce, trece, catorce, quince, veinte, treinta..) Hacia finales del primer curso de la escolaridad obligatoria los niños suelen leer los números de dos cifras. Las dificultades de aprendizaje que suelen presentar los números del 11 al 15 se suelen obviar didácticamente presentándolo como compuestos: diez y uno, diez y dos, diez y tres, .. Para leer números de tres cifras, el procedimiento es más complejo. La dificultad añadida es la regla de iniciar la lectura con el nombre del dígito extraído de las unidades adjuntándole la palabra cientos. Ejemplo, para leer 345, se evoca el nombre del número 3 (tres) y se le añade cientos y se continúa leyendo como los de dos cifras cuarenta y cinco

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TRES CUARENTA Y CINCO UNOS +(CIENTOS)

DIECES

UNIDADES( de Cientos) DECENAS

UNOS UNIDADES

Cuando el cero ocupa el lugar de los DICECES (decenas) debe aplicarse la regla de los ceros intermedios, es decir, los ceros intermedios no se nombran sino que se debe saltar el lugar que ocupa (las decenas). Es el caso del número 305: Tres+cientos+cinco TRES+(cientos)NO SE PRONUNCIA

Y

CINCO

UNOS DIECES UNOS UNIDADES DECENAS UNIDADES

Para aprender a leer números de cuatro cifras, por ejemplo 4.684, su lectura implica aprender el nombre del lugar de las unidades de millar (mil). Los pasos se pueden resumir en los siguientes: CUATRO

+

mil

SEIS+cientos

OCHENTA yCUATRO

UNOS

+

mil

UNOS+cien

DIECES

UNOS

unidades de cien

decenas

unidades

Unidades de mil

Las únicas excepciones para la lectura de las centenas son las del número 500 (quinientos) y 700 (setecientos ) En el caso de números de 5 ó 6 cifras hay que anteponer a la palabra mil el número de la decena o centena correspondiente: 12.584 (doce mil quinientos ochenta y cuatro) y 415.632 (cuatrocientos quince mil seiscientos treinta y dos). Los números de tres cifras suelen leerse a finales del 2º curso de la Educación Obligatoria y los de cuatro cifras no se suelen aprender hasta el tercer curso.

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Las reglas aprendidas para leer números hasta seis cifras se aplican para números, añadiendo millones, billones,.. En el caso de la escritura, proceso inverso al de la lectura, consiste en codificar un número verbal en los símbolos escritos apropiados. La escritura de decenas implica pues dos cifras, la de centenas implica tres cifras y sólo tres,.. El número trescientos dos, implica tres cifras(302) y no dos (32) ni cuatro cifras (3.002), errores, por otra parte, frecuentes en un aprendizaje mecánico del sistema de numeración decimal. El conocimiento profundo de nuestro sistema de numeración de base diez implica comprender:  a) La equivalencia de los órdenes en base diez: 10 unidades equivalen a 1 decena ó 10 decenas a 1 centena, etc.  b) La existencia de una pauta repetitiva con puntos de transición previsibles. Nuestro sistema se basa en un total de diez símbolos para las cifras(0, 1 2, 3, 4, 5, 6 , 7, 8, 9) que se combinan para formar todos los números que se necesiten escribir Las reglas a las que se somete este sistema posicional son de orden (35 se formula treinta y cinco y no cinco y treinta, es preciso comenzar la lectura/escritura por las unidades de orden mayor), es decir 30+5, expresión mediante un producto (3.000 se expresa por tres mil, es decir, 3x1000) o como suma y producto (1.384, mil trescientos ochenta y cuatro, es decir, 1000+3x100+80+4). Asimismo, para un exitoso comienzo en el trabajo con las decenas (la noción de diez en sentido cardinal y ordinal) Convenimos con Ronshausen (1978) en que el alumno debería estar en posesión de las siguientes habilidades numéricas:  Conocer la cardinalidad de los números dígitos (0 al 9). Pruebas para comprobar este requisito podrían ser: - a) Coge 5 bolas de esa caja - b) ¿Cuantas monedas hay en la mesa? - c) Dibuja 8 globos

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 Saber contar de uno a diez tanto mecánica como” racionalmente”.  Saber leer los símbolos del 0 al 9. Por ejemplo, se le muestra 8 y que lea en voz alta “ocho”.  Saber asociar/aparear los símbolos numéricos con conjuntos dados. Pruebas para comprobar esta habilidad podrían ser: - a) Une las cifras con los conjuntos.

 Saber escribir los símbolos numéricos de 0 a 9 cuando se les dictan o etiquetando un conjunto. Ejemplo: - a) Escribe en tu cuaderno con números ocho, siete, cero,.. - b) Escribe el número que corresponda.

A estos requisitos habría que añadir los siguientes:  Identificar y conocer el cero como ausencia de cantidad  Establecer relaciones entre los números dígitos de mayor que, menor que e igual, es decir, que sean capaz de seriar de forma ascendente y descendente.  Aplicar las leyes de composición y descomposición a los números dígitos:

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6=4+24+2=6 6=3+2+13+2+1=6 6=3+33+3=6 Guisburg (1977) identifica tres fases en la comprensión del valor relativo en lo que a la expresión escrita se refiere:  1) El niño escribe correctamente los números sin comprender sus reglas de formación.  2) El niño comprende que otras formas de escribir un número determinado son erróneas. Por ejemplo, que sería incorrecto escribir 31 para denotar trece.  3) El niño es capaz, de relacionar la notación escrita de los números con el principio de valor relativo. Por ejemplo, cuando se le pregunta por qué ha escrito 1 seguido por un 3 para denotar trece replica que el 1 representa diez y el 3 expresa tres, diez más tres son trece.

II. Actividades de enseñanza/aprendizaje para el trabajo con la numeración decimal. Para la enseñanza aprendizaje de las decenas convendría que previamente el alumno se ejercitara en realizar agrupamientos con colecciones o subconjuntos menores de diez (de dos en dos, de tres en tres, de cuatro en cuatro,..hasta unidades de segundo orden), primero de forma manipulativa, y después de forma gráfica. Hay que procurar que el alumno se percate de la economía que supone el contar objetos agrupados frente a tener que contar objeto por objeto. Para un aprendizaje significativo de la noción de valor relativo convendría ser respetuoso con la siguiente secuencia de aprendizaje que propone el Centro de Matemáticas ILEA Abey Wood (175):  1) Formar haces de lápices o bolsas que encierren diez elementos, agrupando los objetos en decenas y unidades. Procurar, en todo caso, colocar los materiales de las unidades a la derecha de las decenas para ir generando el hábito posicional.

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 2) Unir objetos en decenas y unidades, en lugar de la mera agrupación; por ejemplo, ensartando cuentas en un hilo o utilizando bloques de construcción ensambladas en decenas.  3) Actividades con aparatos estructurales prefabricados como los bloques Dienes Base 10, en los que los cubos o placas individuales siguen siendo distinguibles pero son inseparables.  4) La siguiente etapa consiste en pasar a centenas, decenas y unidades, donde la decena o centena no están señaladas y distinguibles las unidades individuales, sino que es, por ejemplo, simplemente una tira de cartulina (decena) o un cuadrado de cartulina (centena) En todas estas fases conviene realizar actividades de desagrupar (o de intercambio) para propiciar en el alumno el pensamiento reversible. Interesa especialmente desagrupar las unidades de orden superior en unidades de orden inmediatamente inferior. 5) Diferenciar/representa los dieces utilizando un objeto o representación que solamente son distinguibles de los unos por su diferente color o posición (a la derecha a la izquierda). Por ejemplo, Representar el conteo de 32 elementos mediante

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6) Utilización del ábaco o modelo similar. Al avanzar por estas fases o etapas el alumno va captando la creciente abstracción que supone el paso de la agrupación de objetos en decenas y unidades a la representación de unas u otras mediante unas mismas entidades (las fichas en el caso del ábaco) cuya posición (a la izquierda o a la derecha) es el determinante fundamental para conocer si una ficha u otro objeto representa una decena o una unidad. Sustituir el número de fichas del ábaco por los dígitos 0 al 9 constituirá un paso sencillo de comprender para el alumno y que le conducirá a captar significativamente el concepto de valor relativo/posicional. Estas fases, especialmente la 5 y la 6, son aplicables al trabajo con números tridígitos (centenas) y polidígitos (millares). Las actividades del alumno con materiales concretos para el aprendizaje de las decenas no le facilitan suficiente preparación, en todos los casos, para abordar el aprendizaje de las centenas y millares sino que es preciso abundar en el uso de materiales concretos y representaciones intuitivas hasta muy avanzada la educación primaria. En el caso de la unidad de millar su aprendizaje no deberá iniciarse hasta que se encuentre en un momento de evolución cognitiva que le permita representarse esta cantidad de una manera abstracta. Es obvio que las unidades de millar no son familiares para los alumnos de los primeros cursos y, por ende, acceder a su representación intuitiva no es posible. Su aprendizaje prematuro ( no debiera iniciarse su trabajo antes del 2º ciclo de Educación Primaria) no sería respetuoso con una psicopedagogía contextualizadora y significativa. No debemos desechar para la enseñanza/aprendizaje de las decenas la utilización de los dedos. Los dedos constituyen un recurso en el que el agrupamiento de 10 (decena) se representa en estado natural. . Es mucho más rápido formar 3 grupos de diez y 5 unidades, por ejemplo, con los dedos de cuatro alumnos que con fichas extraídas de una caja. Esta facilidad proporciona al maestro la posibilidad de trabajar sobre la composición/ descomposición en decenas y unidades de la serie de los números hasta el 100. Con la utilización de los dedos se pueden realizar actividades tales como:  Mostrar con los dedos la cantidad escrita en la pizarra.  Escribir la cantidad de dedos que se muestren.  Mostrar la cantidad de dedos que se indiquen verbalmente. 104 LibrosEnRed

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No podemos olvidar que las manos constituyen” la máquina de calcular que más a mano tienen nuestros alumnos.” Para fortalecer y profundizar en el manejo de las distintas órdenes de unidades se pueden realizar las actividades siguientes:  Representar las decenas completas en la recta numérica.  Seriar regresiva y progresivamente los números hasta 20, 30, 40,.. de 1 en 1, de 2 en 2, de 3 en 3,.. de 10 en 10.  Establecer una correspondencia entre unidades y decenas completas de forma numérica y escrita. Por ejemplo: 3 tres 30 treinta 5 cinco 50 cincuenta 6 seis 60 sesenta 8 ocho 80 ochenta.  Representar en tablas (ábacos) unidades y decenas completas de forma paralela.  Descomponer decenas en decenas completas, haciéndolo corresponder con la descomposición de números que expresen unidades.

8=6 y 2 80=60 y 20  Descomponer los números según sus ódenes de unidades y según el valor posicional de sus cifras. 38=3 decenas y 8 unidades 38=30+8  Completar tablas similares a

Nº 12 38

Escritura

Valor Posicional Orden de unidades 1D y 2 U Veintisiete 20+7 38D y 8 U 40+6

4D y 6 U

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 Actividades de correspondencia entre dígitos y cardinales. Mostrar al alumno una colección de 37 fichas (o cualquier otro material). Pedir que cuente la cantidad de fichas y que escriba el número resultante. Señalar el 7 en el 37 y preguntarle, ¿Qué quiere decir este 7 en relación a la cantidad de piezas que hay?. Después señalarle el 3 y repetir la pregunta.  Actividades de uso de la decena. Tomar 58 fichas y hacer que el niño las cuente. A continuación mostrar al alumno 12 tarjetas con casilleros decimales marcados . Preguntarle: si queremos poner estas fichas en los espacios de estas tarjetas, ¿Cuántas tarjetas podemos rellenar?  Actividades de usar grupos de 10: preparar tarjetas con semillas u otras piezas pegadas en las tarjetas dispuestas en hileras de 10. Proporcionar al alumno al menos 10 tarjetas. Después de asegurarnos que el niño sabe que hay 10 semillas en cada pieza, pedir que muestre 43 semillas. Observar si cuenta las semillas individualmente (una a una), o usa las tarjetas con decenas de semillas. Esta actividad se puede realizar también con centenas.  Completar ejercicios del tipo: DECENAS UNIDADES 3 5 vale___ unidades

vale ______ unidades

 Realizar descomposiciones que faciliten las restas con desagrupamiento. 53=40+13 53=---- decenas y 13 unidades  Realizar ejercicios inversos al apartado anterior (agrupamientos) que faciliten las sumas con arrastres 40 y 13 =40+10+3=53 4d y 13u=4d+1d+3u=5dy3u.

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Otras actividades más complejas son las siguientes:  Facilitar al alumno tres cartulinas con un dígito distinto en cada una y que escriban con las tres cartulinas el número, menor o mayor posible, que ordenen los de menor a mayor o viceversa los construidos con las tres cartulinas,..  Reorganizar o descomponer un número dado de diversas maneras:  -523 es 52d y 3u5c y 23 u4c12d y 3u

igual

a:

 ¿Qué significa 25c y 4d?. Rodea: 25.040, 2.540, 2.504, ninguno de los anteriores

 ¿Cuál de las siguientes expresiones significa 15.320? Rodea: 15.320

decenas; 15centenas y 320 decenas; 1532 decenas; 1532 decenas y 20 unidades.  ¿Cuál de los números siguientes es igual a 2M 36C 18C y 6U? 3.486 ; 5.386; 5.686; ninguno de los anteriores.  Actividades sobre multiplicación y división polinómicas.  ¿Cuántas veces mayor es el 6 rodeado por un cuadrado que el subrayado? Rodea. 6 6 10, 1/100, 1/10, 100  En el número 420 ¿Cuántas veces es mayor el valor representado por el 4 que por el 2? Rodea: 2 veces, 10 veces, 20 veces, 200 veces  ¿Qué valor tiene los 2 del número 23.206? El 2 amarillo vale ___ unidades y el 2 azul vale ___ unidades.

En cuanto al aprendizaje del valor relativo del cero (0) es obvia su dificultad. Su papel posicional en la representación simbólica de los números no les resulta fácil a los niños. Les cuesta un gran esfuerzo captar el papel del cero como ocupante de un lugar, es decir, como cifra significativa. Los alumnos deben trascender la noción del cero como nada (representante de un conjunto vacío) o como algo que carece de efecto (5+0=0) y percatarse de que indica una columna vacía. Por ejemplo, en el número 602 el cero representa ningún grupo de diez o ninguna decena. En contraste con el significado inicial que el niño atribuye al cero, el papel de éste como constituyente de un número de varias cifras es bastante complejo. Es preciso conducir al niño a que llegue a la concepción del valor posicional del cero como nada de algo, es decir, nada decenas, nada

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de centenas, La utilización del ábaco u otro material estructurado como los bloques multibases, pueden utilizarse para favorecer una adecuada comprensión del cero como ausencia de grupos de cien, ausencia de grupos de mil,.. Actividades como representar o leer el número 403 en el ábaco o con los bloques multibases pueden resultar interesante Centenas 4 Decenas 0 Unidades 3 Asimismo, actividades como las siguientes pueden conducir a un aprendizaje comprensivo del cero (lectura y escritura) en números de varias cifras:  Escribe un número que contenga 4 centenas y 6 unidades. Utiliza el gráfico siguiente: Centenas Decenas Unidades 4 0 6 Cuatrocientos seis  Descomponer los números siguientes según el modelo anterior: 5.043=500+40+6=5M4D y 6U 6 . 3 0 9 = 5.004=  Escribe el número que contenga 6000 unidades y 30 unidades ¿Cuántos millares, centenas, decenas y unidades contiene?  ¿Qué valor en unidades tiene el 4 en los números siguientes 42, 402, y 4002? En el 42 el 4 vale-----unidades En el 402 el 4 vale----unidades. En el 4.002 el 4 vale--unidades. Un aprendizaje comprensivo del cero evita errores en la lectura y escritura de números de varias cifras como los siguientes:  Leer 402 como cuarenta y dos o 4.002 como cuatrocientos dos.  Escribir cuatrocientos dos como 4002 o ciento cuarenta como 10040  Leer 4002 como cuarenta y dos. La causa de este error es que los alumnos han aprendido que el cero significa nada y no lo tienen en cuenta 4002=42. Finalmente, la consideración sobre la introducción/aprendizaje de otros sistemas numéricos (binarios, ternarios, etc.) para que los niños desarrollen 108 LibrosEnRed

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una mejor comprensión del sistema de base 10 o sistema de numeración decimal no ha recibido una aceptación generalizada. Para algunos autores esta introducción carece de eficacia ya que el niño pierde lo esencial de sus referencias. Su conocimiento/manejo habitual/ informal de los números, el que utiliza en su entorno extraescolar, entra en interferencia con otros sistemas. Puede confundir el 10 que ve como precio de una golosina en el mercado con el 10 en base cuatro, que además hay que leer” uno cero en base cuatro”. En un estudio realizado por J. P. Perret en 1985 en Suiza sobre un programa de enseñanza de la numeración en bases distintas al sistema de numeración decimal concluyó que cabe pensar seriamente que en un estudio más tardío de las actividades de agrupamiento y de codificación numérica en base distinta de diez, en el tercer o cuarto curso, cuando se crea que los alumno están preparados para reflexionar y trabajar sobre el sistema de codificación como tal, permitiría obtener resultados idénticos ahorrándose una larga fase de estudios de resultados inciertos. Baroody (1988) afirma a este respecto que la introducción de otros sistemas numéricos puede hacerse de una manera informal y significativa. Como los niños se familiarizan con nuestro sistema cotidiano (de base diez) contando, podría ser útil emplear el mismo procedimiento (contar) para introducir otro sistema numérico.

III) Materiales para el estudio de la numeración. Las actividades manipulativas con material concreto, como ya hemos visto en algunas actividades de enseñanza-aprendizaje ya descritas, son esenciales para la comprensión del valor de posición de las diversas cifras en el sistema de numeración. Aquí describimos, más detalladamente, algunos de los materiales más frecuentemente utilizados en la enseñanza de la numeración. El interés de usar distintos materiales es para que el niño no asocie el valor posicional con un modelo particular. Con el uso de materiales concretos diversos no se trata de que los alumnos abstraigan algo que tuvieran en común dichos modelos, como si los conceptos a construir tuvieran una naturaleza empírica. El fin esencial será lograr que la comprensión de las reglas del sistema de numeración posicional decimal sea independiente de los modelos físicos utilizables. Estos modelos pueden ser proporcionales o no proporcionales:

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 En los proporcionales de base 10, como los bloques multibase, haces de palillos, etc., el material que expresa la decena es diez veces mayor en tamaño que el que expresa la unidad; la representación de la centena es diez veces mayor que la decena, etc. Los instrumentos de medida también pueden usarse como modelos proporcionales de la numeración: las bandas o cintas de metros, decímetros y centímetros se pueden usar como modelos de cualquier número de tres cifras.  Los modelos no proporcionales, tales como el dinero, el ábaco, etc. no mantienen ninguna relación de tamaño entre las distintas piezas que representan los números. Por ejemplo, una moneda de 1 euro no es cien veces mayor en tamaño que la que representa un céntimo.

 Entre los materiales manipulativos más utilizados en el estudio de la numeración y las operaciones aritméticas están los ábacos, los bloques Multibase y los números en color.

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Ábacos. Son juegos de varillas insertadas en un bastidor sobre las que se deslizan bola o fichas como un collar. Reproducen físicamente las características de los sistemas de numeración posicionales ordenados ya que las bolas representan un valor numérico diferente según la posición de la varilla en están colocadas. En el ábaco decimal cada bola representa una unidad, pero bolas situadas en varillas diferentes representan unidades de distintos órdenes; sobre cada varilla se tiene una potencia de la base. En cada varilla habrá 9 bolas como máximo ya que al añadir otra más se sustituyen por una bola colocada en la varilla de la izquierda. Ábacos no proporcionales. Antes de utilizar los ábacos no proporcionales se recomienda usar variantes en los cuales no se usa el convenio del valor de posición, de modo que, por ejemplo, el número 23 queda expresado con dos hileras de 10 bolas y otra de tres. Bloques multibase. Los bloques multibase se presentan en cajas, una para cada base de numeración. En cada caja existen piezas (generalmente de madera o material plástico) de cuatro tipos: cubos, barras, placas y bloques. Los cubos representan las unidades simples o de primer orden, las barras de las unidades de segundo orden, las placas las de tercero y los bloques las de cuarto orden. Forman una sistema de numeración por agrupamiento múltiple. Cada pieza corresponde a una potencia de la base. La representación de un número se corresponde con el tamaño de la cantidad ya que van arrastrando todas las unidades. Palillos, cordones, o cualquier otro material cotidiano, enlazados o distribuidos en cajas, haciendo grupos de diez unidades, reproducen las características de los bloques.

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Números en color Los números en color, también llamados regletas de Cuisinaire, son una colección de varillas coloreadas de longitudes que van desde 1 cm (unidades) a 10 cm (decenas) que permiten reproducir las características de los sistemas de numeración de agrupamiento simple. Las varillas tienen forma de prisma cuadrangular de un centímetro cuadrado de sección y sus longitudes varían de centímetro en centímetro desde uno hasta diez. Las regletas que tienen el mismo color tienen también la misma longitud. Los distintos tamaños permiten ordenar las regletas, formando escaleras; uniéndolas por los extremos se pueden obtener distintas longitudes que representarán números diferentes y las operaciones aritmética

El cartel de posición y utilización Para trabajar de una forma práctica y funcional el sistema de numeración decimal se podría utilizar el llamado cartel de posición. Su funcionamiento básico se sustenta en que una unidad de cualquier orden equivale a 10 unidades de orden inmediatamente inferior, que se ubican a la derecha, o lo que es lo mismo, con 10 unidades de cualquier orden se constituye una unidad inmediatamente superior, que se sitúa a la izquierda.

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Interesa destacar a los alumnos que cada unidad de los diversos órdenes tiene su nombre propio. Aparte del trato con números enteros positivos las mismas reglas rigen para los números decimales de tanto uso en la expresión de las monedas, las medidas en el sistema métrico decimal, las temperaturas, etc. ¿Qué significa un decimal? Lo podemos entender justamente en términos del sistema decimal de numeración ya , que como hemos indicado, en su constitución rigen los mismos principios que para las unidades enteras. En la tabla siguiente se puede observar su funcionamiento.

Como una nota adicional a las dos tablas anteriores podemos imaginarnos el sistema de numeración decimal como una regla en la que cada 10 unidades constituyen una unidad superior, o como un sistema monetario en el que a cada cantidad le corresponde una representación en forma de moneda o billete. La tabla o cartel de posición podría ser el siguiente:

Evidentemente , la tabla no tiene límites ni por la izquierda( sigue con decena de millón, centena de millón, etc.) ni por la derecha(sigue con diezmillonésima, cienmillonésima, etc.)Así se hacer percibir al alumno la posibilidad de escribir cualquier cantidad por grande o pequeña que sea. El cartel de posición puede servir para varios fines. En primer lugar, para ubicar en él diversos números y “descomponerlos” en sus correspondientes unidades de orden, como muestra el cuadro o cartel siguiente. 113 LibrosEnRed

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También se puede utilizar el cartel de posición para la actividad opuesta, es decir, escribir un número con sus cifras y proceder a leerlo correctamente. Actividades que se pueden realizar serían:  Utiliza el cartel de posición para determinar qué cifra ocupa la posición de las centenas , en el número cuatro mil cuarenta y seis ,las decena de mil , en el número un millón treinta y siete mil doce, … .Dados los siguientes números indique en cada uno de ellos el valor que le corresponde a la cifra 3: 3·.015, 1.031,93, … El cartel de posición se convierte también en una herramienta auxiliar para percibir las relaciones existentes entre las unidades de los diversos órdenes . Así se puede observar en ejercicios como “completa la tabla”:

Lo importante es advertir que ésta no es una tabla para aprendérsela de memoria sino para construirla.

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Finalmente, otra actividad interesante que permite el uso del cartel de posición es la diversidad de lectura de cualquier número. Tomemos como ejemplo el número 127.401,02 y veamos algunas maneras de leerlo: 1 centena de mil, 2 decenas de mil , 7 unidades de mil, 1 unidad, 2 centésimas. 127 unidades de mil, 40 decenas , 1 unidad , 2 centésimas. 1.274 centenas, 102 centésimas. y bastantes más.

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Capítulo VI Adición y sustracción (los problemas aditivos)

1) Concepto de suma y resta. Hay dos concepciones básicas de las operaciones de sumar y restar: la concepción unitaria y la concepción binaria. La concepción unitaria es una situación dinámica, ya que hay una acción que modifica un primer conjunto mediante un segundo conjunto. En el caso de la adición, la situación sería como sigue: “Luisa tiene 4 canicas y gana a su amiga 3 canicas. ¿Cuántas canicas tiene ahora Luisa? En la concepción binaria no existe acción en el planteamiento de ambos conjuntos. Constituyen una acción estática. Desde esta concepción se entiende fácilmente la propiedad conmutativa de la adición (a+b = b+a). Un ejemplo de la concepción binaria sería el siguiente: “Luisa tiene 4 canicas y su amiga Ana tiene 3 canicas ¿cuántas canicas tienen entre las dos? El resultado matemático es idéntico entre las dos situaciones. La concepción binaria, no obstante, se ajusta mejor al esquema partes-todo, ya que la combinación de las partes da lugar al todo, y, de otra parte, el todo puede descomponer en partes: Desde la concepción binaria se parte de la existencia de dos conjuntos disjuntos determinados que se unen para obtener un tercer conjunta. En la unitaria se parte de un solo conjunto que modifica añadiendo otro conjunto. Las situaciones binarias se caracterizan básicamente por contar con dos cantidades estáticas que forman parte de un todo que las incluye. Son estáticas por cuanto no cambian en el transcurso del tiempo. Lo contrario ocurre en las situaciones unitarias. 116 LibrosEnRed

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Con respecto a la resta por su naturaleza su concepción más apropiada sería como operación unitaria. En la resta, pues, no se daría la propiedad conmutativa. Aquí se da una cantidad inicial y se quita después un mínimo de elementos determinados, resultando un tercer conjunto (a-b-=c). La adición y la sustracción tienen una gran importancia social y cultural. El contexto más frecuente donde aparece es el de la compraventa. Los niños no se encuentran ajenos a esta actividad. El aprendizaje informal de estas operaciones lo adquieren a través de la compra de chucherías, juguetes,.. Cualquier niño, sin necesidad de manejar los algoritmos convencionales de estas operaciones, son capaces de pedir la “vuelta” del dinero entregado. En otras situaciones también estar presentes muy pronto, como es el caso de la medida del tiempo. Asimismo, son numerosas las profesiones donde se recurre frecuentemente a estas operaciones. Así, en el informe Cockroft (1985) se expresa: “La manera de saber realizar cálculos aritméticos de diferentes clases aparece entre las exigencias matemáticas de casi todos los tipos de empleo.. Estos cálculos se hacen a veces mentalmente, a veces con lápiz y papel, y otras con una calculadora”

2) Clasificación de los problemas de sumar y restar. Las situaciones problemáticas que tradicionalmente se han trabajado y se trabajan en nuestras escuelas son las de “agregar” y “ quitar”. Estos son problemas de sumar y restar, pero esto no significa que todos los problemas aditivos (sumar y restar) se puedan reducir a estas dos acciones. Se han propuesto a distintas clasificaciones para los problemas aditivos. Todas las situaciones que puedan estar protagonizadas por una cantidad que es susceptible de crecer o disminuir, que plantean como pregunta la situación de la cantidad antes o después del crecimiento o disminución, o que preguntan sobre la cantidad inicial, la final o la cantidad de crecimiento o disminución, puedan dar lugar a distintos tipo de problemas aditivos. Nosotros vamos a seguir, en principio, la clasificación de Vernaug (1976-1981), por parecernos lo más didáctica, aunque expondremos otras clasificaciones. La clasificación propuesta, por Vergnaud distingue según estén involucrados en los problemas medidas, estados relativos o transformaciones. Los tres siguientes situaciones nos presentan el significado de estos conceptos: 117 LibrosEnRed

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“Luisa tiene 5 canicas rojas y 3 canicas azules. En total tiene 8 canicas”. “Luisa tiene 5 canicas y compra 3, ahora tiene 8 canicas” “Luisa tiene 5 canicas y Ana tiene 3 más que ella. Ana tiene 8 canicas” Aunque las tres situaciones se pueden representar mediante la operación 5+3 = 8, las relaciones entre esos números difieren en cada una de las situaciones. En la primera, 5 y 3 son medidas de la colección de canicas, en tanto 8 es la medida de la colección total. El 8 no representa ningún cambio en la cantidad de canicas, sólo representa la unión o combinación de ambas colecciones. En el segundo caso, el 5 es la medida de la colección de canicas, pero el 3 representa un cambio, una transformación. Luisa ha comprado 3 y su colección ha aumentado. Un cambio o transformación positiva o de aumento se ha operado sobre una medida. La transformación tuvo lugar en un tiempo, antes tenía 5 y ahora tiene 8.En la tercera situación el 5 sigue siendo la medida de una colección o conjunto, pero el 3 no representa una medida como en la primera situación, ni una transformación como en la segunda. El 3, en la tercera situación, representa una relación entre la cantidad de canicas de ambas niñas. Estos tres problemas, son equivalentes desde el punto de vista matemático (5+3=8), pero no lo son desde el punto de vista de los niños. Tienen, obviamente, distinta dificultad. Es evidente que existen muchos problemas aditivos para resolver con las mismas cuentas. La dificultad diferente que plantean los problemas hace necesaria una graduación y distribución a través del tiempo y tienen que pasar varios años para su reconocimiento y ejecución. Sobre la base de la distinción entre medidas, estados relativos y transformaciones, se pueden clasificar las relaciones numéricas aditivas en seis categorías. A su vez, en el interior de cada una de ellas se encuentran diferentes tipo de problemas. El siguiente cuadro explícita los diversos tipos de problemas de estructura aditiva y que se pueden resolver con la utilización de la suma y la resta:

Clasificación de los problemas aditivos (vergnaug, 1976,1981)  1) Composición de dos medidas.

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- 1.1.) Encontrar el total de las medidas. Ejemplo: Ana tiene 5 canicas, Luisa 3 canicas. ¿cuántas canicas tienen entre las dos? - 1.2.)Encontrar algunas de las medidas .Ejemplo: Ana y Luisa tienen juntas 8 canicas. Si Luisa tiene 3 canicas, ¿cuántas tiene Ana? Es la adición con huecos: 3+ 5 = 8  2) Una transformación opera sobre una medida. Esquema: Estado inicial (Ei – Transformación (T)- Estado final (Ef) - 2.1) Transformación positiva y la incógnita en el estado final. Ejemplo: Luisa tenía 5 canicas y ganó 3 ¿Cuántas tiene ahora?”. - - 2.2) Transformación positiva. Incógnita en el estado inicial. Ejemplo: “Luisa ganó 3 canicas ahora tiene 8 ¿Cuántas tenía antes de jugar?” - - 2.3) Transformación positiva. La pregunta o incógnita en la transformación. Ejemplo: “Luisa tiene 5 cromos, después de jugar tenía 8 cromos ¿Cuántos ganó?” - - 2.4) Transformación negativa y la incógnita en el estado final. Ejemplo:” Luisa tenía 8 canicas. Perdió 3 ¿Cuántas tiene ahora?” - - 2.5) Transformación negativa e incógnita en el estado inicial. Ejemplo:” Luisa perdió 3 cromos. Ahora tiene 5. ¿Cuántos tenía antes de jugar?” - 2.6) Transformación negativa e incógnita en la transformación. Ejemplo:” Luisa tenía 8 cromos después de jugar se quedó con 5 ¿Cuántos perdió en el juego?”  3) Una relación entre dos medidas también llamadas de tipo (COMPARACIÓN D E MEDIDAS) - 3.1) Incógnita de una de las medidas. Comparación positiva. Ejemplo: “Luisa tiene 5 cromos Ana tiene 3 cromos más ¿Cuántos cromos tiene Ana?” -

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- 3.2) Incógnita de una de las medidas o comparación negativa. Ejemplo:” Luisa tiene 8 cromos Ana tiene 3 cromos menos ¿Cuántos cromos tiene Ana?” - - 3.3) Incógnita en relación . Comparación positiva. Ejemplo.” Luisa tiene 8 cromos y Ana tiene 5 cromos ¿Cuántos cromos tiene más Luisa que Ana?” - - 3.4) Incógnita en la relación comparación. Negativa. Ejemplo:” Luisa tiene 8 cromos, Ana tiene 5 cromos ¿Cuántos cromos tiene menos Ana que Luisa?” - - 3.5) Incógnita en la otra medida. Comparación positiva. Ejemplo: “Luisa tiene 3 cromos menos que Ana. Ana tiene 5 cromos ¿Cuántos cromos tiene Luisa?” - - 3.6) Incógnita en la otra medida. Comparación negativa. Ejemplo: “Luisa tiene 3 cromos menos que Ana. Ana tiene 8 cromos ¿Cuántos cromos tiene Luisa”.

 4) Dos transformaciones se componen para formar una tercera (Problemas de composición de transformaciones) - 4.1) Incógnita en la composición .Transformación negativa. Ejemplo: “Luisa perdió primero 5 cromos, luego 3 cromos ¿Cuántos cromos perdió en total?” - 4.2) Incógnita en una de las transformaciones. Negativa. Ejemplo:” Luisa jugó dos veces a los cromos. La primera vez perdió 5 cromos y entre la primera y la segunda vez que jugó perdió 8 cromos. ¿Cuántos cromos perdió en la segunda vez que jugó?” - 4.3) Incógnita en la composición. Transformaciones positivas. Ejemplo:” Luisa ganó en la primera jugada 5 cromos y en la segunda ganó 3 cromos ¿Cuántos cromos ganó en total?”

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- 4.4) Incógnita en una de las transformaciones. Transformaciones positivas. Ejemplo:” Luisa ganó en la primera jugada 5 cromos. Entre la primera y la segunda jugada ganó 8 cromos ¿Qué ocurrió en la segunda jugada?” - 4.5) Incógnita en la composición. Una transformación positiva y una negativa. Ejemplo: “Luisa perdió en la primera jugada 8 cromos y en la segunda jugada ganó 3 cromos ¿Qué ocurrió en total?” - 4.6) Incógnita en una de las transformaciones. Una transformación positiva y otra negativa. Ejemplo. “Luisa perdió en la primera jugada 8 cromos y entre las dos jugadas perdió 3 cromos ¿Qué ocurrió en la segunda jugada?”  5) Una transformación opera sobre un estado relativo Ejemplo:” Luisa debía 8 cromos a Ana. Le devuelve 5 cromos. ¿Cuántos le debe ahora Luisa a Ana.” Los diferentes problemas según si la transformación es positiva o negativa y según se trate de conocer el estado relativo inicial, el estado relativo final o la transformación son similares a los de una transformación opera sobre una medida.  6)Dos estados relativos se componen para dar lugar a otro estado relativo. - 6.1) “Luisa debe 8 cromos a Ana, pero Ana le debe 3 cromos a Luisa ¿Cuántas cromos le debe Luisa a Ana?” - 6.2) “Luisa debe 3 cromos a Ana y 5 cromos a Isabel ¿Cuántos cromos debe en total Luisa?” Estas situaciones pueden variar si la incógnita está en uno de los estados relativos o en la composición de ambos, y si los estados relativos se complementa entre si o no. El análisis de estos problemas hace evidente que, tras operaciones tan elementales como la suma y la resta, se “esconden” de hecho una gran cantidad de problemas posibles algunos de los cuales están al alcance de alumnos del último tramo de educación infantil y otros encierran dificultades “lógicas” importantes incluso para alumnos de segundo ciclo. En otras palabras, los problemas aditivos y sustractivos no son exclusivos del ámbito del primer ciclo, sino que su estudio debe ser enfocado a un plazo más 121 LibrosEnRed

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largo, en función de las dificultades “lógicas” que cada problema encierra. Una gran ventaja de esta tipología es ayudar a los maestros y maestras a diversificar la naturaleza “matemática” de los problemas a proponer a los alumnos. En cuanto a la dificultad que pueden plantear los distintos tipos de problemas habría que indicar lo siguiente: Con respecto a los problemas de composición de medidas los problemas 1.1) no plantean ninguna dificultad, incluso al comienzo de la escolaridad primaria. Los problemas del tipo 1.2) pueden ser abordados a fines del primer año de primaria y especialmente, en segundo años, si se trata de números grandes. Con respecto a los problemas de una transformación opera sobre una medida los problemas 2.1) son fácilmente reconocibles para los alumnos de primer año de primaria. Los problemas 2.2) resultan más difíciles que los anteriores al tener que aplicar la resta a un problema en el que “se ganó” y porque el alumno precisará reconstruir la situación para comprenderla e interpretarla que habría una colección desconocida inicial menor a la colección final dada. En los problemas 2.3) los niños se encuentran frente al desafío de reconocer que se está preguntando. Se trata de resolver un problema con una resta, aunque se refiera a una transformación positiva. El tipo de problemas 2.4) no presenta dificultades a los niños incluso al comienzo del primer curso de primaria. Los problemas del tipo 2.5) vuelven a aparecer dificultades pues se trata de utilizar la suma en un problema de “perder”. Finalmente, los problemas del tipo 2.6) no son sencillos de resolver en los primeros años de primaria. Los problemas de una relación entre dos medidas, presentan en muchos casos una exigencia de mayor elaboración conceptual para los niños que algunos de las dos categorías analizadas. En cuanto a la categoría de problemas de dos transformaciones se componen para dar lugar a otra transformación los problemas el tipo 4.1) no plantean dificultades aunque hay que tener cuidados con la idea que se instala en los niños que todos los problemas de “perder” se resuelven con una resta. En cuanto a los problemas del tipo 4.2) a los niños suelen resultarle más complejos que los problemas del tipo 4.1). 122 LibrosEnRed

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En los problemas del tipo 4.3), los alumnos no suelen tener dificultades. Los problemas el tipo 4.4) son objeto de cierta perplejidad en los alumnos por la aparente contradicción de que “un problema de ganar se puede resolver restando”. En los problemas del tipo 4.5) no reconocen que puede haber perdido más de lo que ha ganado, ya que existe un estado inicial de canicas desconocido. A muchos alumnos del 2º ciclo les resultan estos problemas bastante complejos. Por último, los del tipo 4.6) plantean dificultades hasta a alumnos del segundo ciclo. Deben ser propuestos a finales del tercer nivel de primaria. En estos problemas está involucrada una compensación entre las ganancias y las pérdidas que dista de ser sencilla, el problema no es simple. Los problemas de la categoría, una transformación opera sobre un estado relativo al ser similares a los de otras categorías, ya analizadas, sus dificultades guardan también similaridad. En última instancia, los problemas de la categoría dos estados relativos se componen para dar lugar a otro estado relativo son bastante similares a los de la categoría dos transformaciones se componen para dar lugar a otra transformación.

3)Otra clasificación de los tipos de problemas aditivos. Adaptando la clasificación que en su día realizó Nesher y con las modificaciones introducidas por el autor de este texto, se propone la siguiente clasificación de problemas aditivos simples(sumas y restas) atendiendo a la estructura semántica de los mismos .Se consideran cuatro categorías:  a) Categoría de cambio: Se trata de problemas en los que se parte de una cantidad, a la que se le añade o le quita otra de la misma naturaleza. En los problemas de Cambio se puede preguntar por la cantidad final, por la cantidad resultante de la transformación y, por último, por la cantidad inicial.

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Cada una de estas tres posibilidades se puede enfocar desde dos puntos de vista: la cantidad aumenta o disminuye. - 1) Se conoce la cantidad inicial, se le hace crecer. Se pregunta por la cantidad final .Es un problema de sumar. Ejemplo: “Luis tiene 5 canicas y compra 4 más. ¿Cuántas canicas tiene ahora?” Este tipo de problemas debe ser objetivo del primer curso de E. Primaria. - 2) Se parte de una cantidad inicial a la que se le hace disminuir Se pregunta por la cantidad final resultante de la misma naturaleza. Es un problema de restar. Ejemplo: “Luis tiene 9 galletas y se come 4 galletas. ¿Cuántas galletas le han quedado? Este tipo de problema es propio del primer curso de E. Primaria. - 3) Se parte de una cantidad inicial, y por una transformación , se llega a una cantidad final conocida y mayor que la inicial. Se pregunta por la transformación. Es un problema de restar. Ejemplo: “Andrés tenía 14 cromos .Después de jugar ha reunido 18. ¿Cuántos ha ganado? “Este tipo de problema es adecuado para trabajarlo en segundo y tercer curso de E. Primaria. - 4) Se parte de una cantidad inicial y, por una transformación, se llega a una cantidad final conocida y menor que la inicial. Se pregunta por la transformación. Es un problema de restar. Ejemplo:” Andrés tenia 14 cromos. Después de jugar le quedan 8 cromos. ¿Cuántos ha perdido?” - Este tipo de problemas es propio del segundo curso de E. Primaria. - 5) Se tiene que construir la cantidad inicial conociendo lo que ésta ha crecido y la cantidad resultante. Es un problema de restar. Ejemplo: “Jugando, Luis, ha ganado 7 canicas, y ahora tiene 11 canicas. ¿Cuántas canicas tenía antes de empezar a jugar? “Este tipo de problema es propio de segundo y tercer curso de E Primaria. - 6) Se tiene que construir la cantidad inicial conociendo lo que ésta ha disminuido y la cantidad resultante. Es un problema de sumar. Ejemplo: “Jugando he perdido 7 canicas, y ahora me quedan 4. ¿Cuántas canicas tenía antes de empezar a jugar?”. Este tipo de problema es apropiado para trabajarlo en segundo y tercer curso de E. Primaria.  b) Categoría de combinación: Se trata de problemas en los que se tiene dos cantidades , las cuales se diferencian en alguna característica, y se quiere saber la cantidad total que se obtiene cuando se reúnen las 124 LibrosEnRed

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anteriores, o cuando conociendo el total y una de aquellas, se quiere saber cuál es la otra. De aquí surgen dos tipos de problemas. - 1) Se conocen las dos partes y se pregunta por el todo. Es un problema de sumar. Ejemplo: “Ana tiene 3 globos amarillos y 5 rojos. ¿Cuántos globos en total tiene Ana?”. Este tipo de problema es propio del primer curso de E. Primaria. - 2) Es el problema inverso al anterior , puesto que conoce el todo y una de las partes , y se pregunta por la otra . Es un problema conmutativo y de restar. Ejemplo: “En clase hay 15 alumnos; 9 son niños y el resto niñas. Cuántas niñas hay?”. Este problema es apropiado para trabajarlo en segundo y tercer curso de E. Primaria.  C) Categoría de comparación: Esta categoría comprende aquellos problemas en los se comparan dos cantidades. Los datos del problema son precisamente esas cantidades y la diferencia que existen entre ellas. De estas cantidades , una es la comparada y otra la que sirve de referencia. La diferencia es la distancia que se establece entre ambas. Los problemas de comparación pueden ser de seis tipos. - 1) Conociendo las dos cantidades se pregunta por la diferencia en más. Es un problema de restar. Ejemplo: “Luis tiene 8 euros y Ana tiene 5 euros. ¿Cuántos euros tiene más Luis que Ana?”. Este tipo de problemas es propio del segundo ciclo de E. Primaria. El alumno puede asociar “más” a “añadir”. - 2) Conociendo las dos cantidades se pregunta por la diferencia en menos. Es un problema de restar. Ejemplo:”Luis tiene 8 euros y Ana tiene 5 euros. ¿Cuántos euros tiene Ana menos que Luis?”. Se trabaja fundamentalmente en tercer curso de E. Primaria. -

3) Se conoce la cantidad del primero y la diferencia en más del segundo. Se pregunta por la cantidad del segundo. Es un problema de sumar. Ejemplo: “Luis tiene 8 euros. Ana tiene 5 euros más que Luis. ¿Cuántos euros tiene Ana?”. Es un problema apropiado para segundo y tercer curso de E. Primaria.

- 4) Se conoce la cantidad del primero y la diferencia en menos del segundo. Se pregunta por la cantidad del segundo. Ejemplo: “Luis tiene 8 euros y Ana tiene 5 euros menos que él. ¿Cuántos euros tiene Ana?” Es un problema apropiado para segundo curso de E, Primaria.

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- 5) Se conoce la cantidad del primero y su diferencia en más con la del segundo. Se pregunta por la cantidad del segundo. Es un problema de restar. Ejemplo:”Luis tiene 15 euros , y tiene 5 euros más que Ana .¿Cuántos euros tiene Ana?. Es un problema apropiado para el segundo y tercer ciclo de E. Primaria. Requiere un gran entrenamiento. - 6) Se conoce la cantidad del primero y su diferencia en menos con la del segundo, Se pregunta por la cantidad del segundo. Es un problema de sumar. Ejemplo: “Ana tiene 15 euros, y tiene 5 menos que Luis. ¿Cuántos euros tiene Luis?”. Es un problema para el segundo y tercer ciclo de E. Primaria y requiere mucho entrenamiento.  d) Categoría de igualación: Comprende los problemas que contienen dos cantidades diferentes , sobre una de las cuales se actúa aumentándola o disminuyéndola hasta hacerla igual a la otra. De estas dos cantidades , una es la cantidad a igualar y la otra la cantidad referente. La transformación que se produce en una de dichas cantidades es la igualación. Algunos especialistas confunden esta categoría con la de comparación. Nosotros entendemos que la categoría de igualación es un término medio entre la de comparación y la de cambio. En esta categoría se pueden encontrar seis tipos de problemas. - 1) Conocemos las cantidades de la primera y segunda colección. Se pregunta por cuanto hay que aumentar la cantidad menor para igualarla a la mayor. Es un problema de restar. Ejemplo:”Luis tiene 8 euros y Ana tiene 5 euros. ¿Cuántos euros le tienen que dar a Ana para que tenga los mismos euros Luis?”. Es un problema propio de tercer y cuarto curso de E. Primaria. Es un problema con cierta dificultad porque el alumno puede asociar “añadir a” “sumar”. -

2) Conocemos las cantidades del primero y del segundo. Se pregunta por la disminución de la cantidad mayor para igualarla a la menor. Es un problema de restar. Ejemplo:”Luis tiene 8 euros y Ana tiene 5 euros. ¿Cuántos euros tiene que perder Luis para tener los mismos euros que Ana?”. Es un problema adecuado para trabajarlo en tercer y cuarto curso de E. Primaria.

- 3) Se conoce la cantidad del primero y lo que hay que añadir a la segunda para igualarla con la primera. Se pregunta por la cantidad de la segunda. Es un problema de restar muy difícil.

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Ejemplo:”Luis tiene 15 euros. Si Ana ganara 6 euros , tendría la misma cantidad que Luis. ¿Cuántos euros tiene Ana?”. Es un problema adecuado para el tercer y cuarto curso de primaria. -

4) Conocemos las cantidades del primero y lo que hay que quitar al segundo para igualarlo con el primero. Se pregunta por la cantidad del segundo. Es un problema de sumar difícil. Ejemplo:”Luis tiene 15 euros. Si Ana perdiera 6 euros, tendría los mismos euros que Luis. ¿Cuántos euros tiene Ana?” Es un problema apropiado para tercer y cuarto curso de primaria.

- 5) Se conoce la cantidad primera y lo que hay añadirle para igualarla con la cantidad de la segunda. Se pregunta por la cantidad de la segunda. Es un problema de sumar. Ejemplo:”Luis tiene 8 euros .Si le dieran 5 euros más tendría los mismos que Ana. ¿Cuántos euros tiene Ana?”. Es un problema propio del segundo ciclo de primaria aunque algunos no lo dominan hasta el tercer ciclo. - 6) Conocemos la cantidad del primero y lo que hay que quitarle para igualarla con la del segundo. Se pregunta por la cantidad del segundo. Ejemplo:”Luis tiene 8 euros. Si perdiera 5 euros tendría los mismos que tiene Ana. ¿Cuántos euros tiene Ana?”. Es un problema del primer ciclo de primaria , aunque algunos no lo dominan hasta el segundo ciclo.

4) Variables que inciden en las dificultades de los problemas Independientemente del análisis general que se ha mostrado más arriba de las dificultades de las distintas categorías y tipologías de los problemas propuestos, analizaremos otras variables que, bajo el punto de vista didáctico, pueden acrecentar o aminorar la dificultad de los problemas a proponer a los alumnos, ya que estas variables pueden ser manipuladas por los maestros intencionalmente con el objetivo de adaptarlas al nivel de competencia de los alumnos así como de provocar cambios en las estrategias de resolución de los mismos. Entre estas variables podemos considerar:  a) Presentar inicialmente situaciones problemáticas con números pequeños, con la finalidad de que los niños puedan implementar diferentes estrategias de resolución primando las informales, controlar las acciones que realizan, estimar el resultado, no tener que concentrarse en técnicas de cálculo complejas y, así, poder centrarse en los problemas. Partir de situaciones con números pequeños permite a los alumnos 127 LibrosEnRed

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utilizar procedimientos “no expertos”. Los alumnos se enfrentan a problemas y tienen que encontrar un camino original, personal y tendente a solucionarlo, movilizando, entre los conocimientos de que dispone, los que corresponden a la imagen mental que ellos tienen de la situación. Utilizar números mayores permite al maestro provocar en los alumnos la necesidad de reconocer y utilizar una técnica operatoria convencional. De la misma manera, la dificultad disminuye cuando el segundo sumando es menor que el primario.  b) Otro aspecto o variable a tener en cuenta es el rango de los números involucrados en la situación. La proximidad de los números involucrados es otro aspecto que facilita o dificulta la resolución de un problema. Por ejemplo, un problema fácil de resolver mediante una estrategia no formal es el siguiente: “Quiero comprar un juguete que vale 132 € y solo tengo 129 €. ¿Cuántos € me faltan? “. Este problema al mantener una corta distancia puede resolverse por conteo. También la utilización de decenas completas disminuye la dificultad de un problema. Es más sencillo resolver el problema: “Tengo que leer un libro que tiene 250 páginas y ya he leído 100 ¿Cuántas páginas me quedan que leer?” que el mismo problema con los números 75 y 18.  c) Los tipos de magnitudes.Los problemas que involucran figuritas, cromos, letras, kilógramos, monedas, céntimos, juguetes, kilómetros o años no plantean similares dificultades para los alumnos. Así mismo, operar con magnitudes discretas contables (figuritas, cromos, animales, ..) facilitan la resolución de problemas más que los que involucran magnitudes continuas, no contables (peso, capacidad, tiempo,..). Dos problemas aparentemente iguales son, sin embargo, para los niños de diferente dificultad. Por ejemplo: “Tengo 18 cromos y me regalan 7 cromos más. ¿Cuántos tengo ahora?”

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“Un ciclista va del pueblo A al pueblo B. Ha recorrido 18 kilómetros y le quedan por recorrer 7 kilómetros más. ¿Cuántos kilómetros hay entre los pueblos A y B?” Obviamente, el primero plantea muchos menos dificultades.  d) El orden de presentar las informaciones. Los problemas en que se presentan la información en forma ordenada según el orden temporal son más fáciles de resolver en los primeros años que los que presentan la información en orden inverso a los que se produjeron los hechos. Por ejemplo, en los siguientes problemas, es más fácil resolver el primero que el segundo: “Luisa tenía muchos cromos. Le regaló 8 a Ana. Le quedaron 10 cromos ¿Cuántos cromos tenía Luisa?” “Calcula cuantos cromos tenía Luisa si le regaló 8 cromos a Ana y le quedaron 10”  e) Las distintas maneras de presentar las informaciones. Las situaciones pueden estar representadas en lenguaje natural, mediante diagramas o esquemas, por medio de un dibujo o mediante una escritura algebraica o mediante una representación real. Cada una de estas situaciones presenta dificultades diferentes. Comparemos estos dos problemas: Una representación fotográfica de un equipo de fútbol donde hay 7 jugadores y se le formulaba la siguiente pregunta: ¿Cuántos jugadores tienen que salir del vestuario para que el equipo esté completo?, es más fácil que el mismo problema formulado por escrito: “En un partido de fútbol han salido al campo 8 jugadores, ¿Cuántos jugadores faltan por salir para que el equipo esté completo”. Lo mismo podemos observar en este otro problema:

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Por ejemplo, si se presentan en un dibujo 9 hombres y 6 sombreros y se pregunta: ¿Cuántos hombres hay más que sombreros?, los niños presentan más dificultad ante esta pregunta que si se presenta el problema de la manera siguiente: “Imagina que cada hombre se coloca un sombrero, ¿cuántos hombres se quedaron sin sombrero? La investigación demuestra que la utilización en los problemas de objetos o dibujos mejoran manifiestamente la resolución de problemas en los niños más jóvenes.  f) El tipo de contexto a que se hace referencia. Si el enunciado de un problema se refiere a un contexto desconocido, el alumno no podrá interpretar siguiera cual es el problema matemático que debe resolver. Las dificultades para resolver un problema se aminoran cuando estos se refieren a la vida cotidiana o al entorno del niño. Son los problemas llamados por algunos expertos, “concretos”, “problemas de la realidad de los niños”, “temas de su interés”. De todas formas, considerar como interés de los alumnos su vida cotidiana presenta algunos riesgos. En principio, deja fuera de la actividad matemática escolar problemas planteados en términos puramente matemáticos, es decir, los llamados “problemas internos” que resultan muy interesantes por el desafío intelectual que les provoca a los alumnos.  g) La cantidad de información no pertinente para responder a la pregunta o preguntas del problema. Un problema con los datos justos es más fácil de resolver que tener, que seleccionar los necesarios según la pregunta planteada. Podemos comparar estos dos problemas: “Luisa tiene 28€ y quiere comprarse un juego que cuesta 23 €. ¿Cuántos euros le sobrarán?” “Luisa recibió de su tía que ha venido a visitarla 28 € de regalo. Su tía le dio 2 billetes de 10 €, un billete de 5 € y 3 monedas de 1 €. Ella quiere comprar un juego para jugar con sus 2 amigas que vale 23 euros. ¿Cuánto le sobrará?”

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En el segundo problema la selección de los datos pertinentes obviando los datos no necesario dificulta su resolución del problema. Además de las variables analizadas se han puesto de manifiesto otras que pueden, desde el punto de vista del niño, facilitar o dificultar su resolución. Entre estos podemos mencionar: el vocabulario utilizado, el lugar de la pregunta, la longitud del enunciado, el tiempo verbal utilizado,.. En cuanto a la ubicación de la pregunta o incógnita, el éxito de los niños suele ser mayor cuando la incógnita se ubica en el resultado. (Ejemplo algorítmico: a+b=?). En cambio, la dificultad aumenta cuando la incógnita o pregunta se sitúa en el segundo sumando o término de la operación (a+?=c); y sobre todo, la dificultad es máxima cuando el término desconocido es el primero (¿+b=c).

4) Procedimientos o estrategias infantiles para la resolución de los problemas aditivos

En la observación atenta de las estrategias que utilizan los niños para la resolución de los problemas de sumar y restar, podemos encontrar una gran variedad que muchas veces no han sido enseñadas por los adultos, son procedimientos no algorítmicos para resolver problemas de sumar y restar. Se ha comprobado que muchos niños han mostrado y muestran destrezas para resolver algunos problemas aditivos complejos si el tamaño de los números le permiten utilizar diferentes estrategias de resolución. Los niños muestran capacidad para resolver gran variedad de problemas aditivos sin conocer la “cuenta” o algoritmo convencional de sumar y/o restar. A veces, aunque conozca las técnicas de cálculo formales, utilizan otros procedimientos, porque no reconocen cual es la operación que resuelve el problema, o porque le resulta más sencillo o fácil recurrir a otros caminos o estrategias. Sin ánimo de ser exhaustivos los procedimientos para las sumas utilizados por los niños son:  1) Modelado directo: Reunir físicamente las colecciones y contar los elementos totales a partir de uno. También puede ocurrir que representen las colecciones con ayuda de los dedos, gráficamente o con símbolos (palitos, por ejemplo) y luego contar el total. Hay una imitación o simulación de las situación 131 LibrosEnRed

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real. Baroody y Giusburg (1985) se refieren a este procedimiento como “contaje efectivo de la totalidad de los elementos”. A veces se llega al resultado final sin contar, más bien mediante la subitización, si las cantidades son pequeñas. Diversos estudios, han encontrado que un alto porcentaje de niños, entre 6 y 8 años, utilizan esta estrategia la mayor parte del tiempo. Teóricamente, existen dos formas posibles para desarrollar esta estrategia. Una vez que los conjuntos son construidos, el niño físicamente puede juntar las dos conjuntos y cuando están unidos comenzar a contar las unidades; o puede comenzar a contarlas sin unir físicamente los conjuntos. Algunos niños utilizan diversas formas de organización de los elementos, pero estos arreglos no reflejan cambios en la estrategia.  2) Conteo: Tanto en la situación de reunir físicamente los objetos como representar estos con la ayuda de los dedos, es posible contar a partir del primer cardinal (en este caso se realiza un “sobreconteo”). Otras estrategias de conteo más evolucionada, y por tanto más económicas o eficientes es “contar a partir del sumando mayor”. En este caso, se cuenta a partir del sumando mayor, sea este el primero o el segundo.  3) Hechos numéricos conocidos: Son aquellas estrategias basadas en la memorización. Pueden utilizar la suma, es decir, realizar una recuperación directa de los resultados ya conocidos (por ejemplo, directamente que 5+5= 10 o que 5+3=8). La recuperación del resultado suele ser más fácil y rápida en la suma de números iguales que en números diferentes aunque similares (5+5 o 3+3 más fácil que 5+3). Hechos de esta naturaleza son mostrados incluso antes de estudiar la tabla de sumar.  4) Hechos numéricos derivados. Se apoyan en un resultado conocido para averiguar uno desconocido (por ejemplo, para 6+5 pensar en 5+5=10 y 10+1=11). Esta estrategia suelen aparecer más tarde con cantidades pequeñas también se utilizan por los niños “los dobles más/menos dos”: 7+5=(5+5)+2=10+2=12, y “las compensaciones”: 9+7=(9-1)+(7+1)=8+8=16. O bien, 6+8=6+(6+2)=6+6+2=12+2=14. Otra manera sería 6+6 es igual a doce, y que para llegar a catorce le faltan dos, así, cuenta más uno= trece; más uno = 14. Suples y Groen(1967) pr0pusieron cinco modelos sobre como los niños suman dos conjuntos por conteo .La X en cada modelo representa la variable repetida en el conteo.

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Modelo 1. X=M+N

Modelo 2. X=M

Modelo 3. X=N

Modelo 4. X= max (M,N) Modelo 5. X=min (M,N)

Este modelo sugiere que se cuenta tantas veces como la suma de los números dados. Por ejemplo, 2+6=?, se podría decir;1,2; 1,2,3,4,5,6, es 1,2,3,4,5,6,7,8. La respuesta es 8 Este modelo sugiere que al sumar, se cuenta el primer número partiendo del segundo sumando. Por ejemplo, 2+6=?, se podría decir: 6,7,8. La respuesta es 8. Este modelo sugiere que se cuenta solamente el segundo número partiendo del primer sumando. Por ejemplo, 2+6=?, se podría decir:3,4,5,6,7,8, es decir, se empieza a contar desde 3. La respuesta es 8. Este modelo sugiere que al sumar, se suma el número mayor partiendo del menor. Este modelo sugiere que se cuenta el número menos partiendo del mayor

Los procedimientos o estrategias informales utilizados para la resta son los siguientes: Modelado directo: Separar físicamente a partir del conjunto mayor contado los elementos de la colección menor. Se pueden utilizar objetos o los mismos dedos. Conteo: Descontar de 1 en 1 a partir del número mayor y agregar desde el número menor e ir contando de 1 en 1 hasta llegar al número mayor. Este procedimientos implica contar simultáneamente a partir del número menor y a la vez controlar cuantos se van agregando. Sumar: Puede consistir en recuperar de la memoria una suma o bien tantear con números e ir probando si al sumar se obtiene el mayor. Puede ser una suma única (por ejemplo, para encontrar la diferencia entre 4 y 9 encontrar el 5 directamente) o bien ir haciendo sumar sucesivas y controlar simultáneamente cuánto se va sumando y cuanto todavía falta (por ejemplo, para encontrar la diferencia entre 15 y 27 pensar 25- agregar 10, me faltan todavía 2, entonces 10 y 2 son 12). Restar: Recuperación directa de la memoria de restar con resultados conocidos (por ejemplo, recordar que 8-3 es 5), o bien apoyarse en una 133 LibrosEnRed

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resta conocida para encontrar una desconocida (por ejemplo, para hacer 25-11 pensar en 25-10=15 y 15-1=14)

L as estrategias de sustracción propuestas Por Suples y Groen(1967) so las siguientes: TIPO MODELAMIENTO DIRECTO Separar de

Separar a Contar hacia delante

Igualar

CONTEO Contar hacia atrás desde

Contar hacia delante de un número dado

DESCRIPCIÓN Consiste en representar la cantidad mayor usando objetos o dedos. A esta cantidad se le quita la menor. La respuesta es el número de objetos que quedan. Ejemplo: 7-4= ¿ Consiste en separar elementos de la cantidad mayor hasta que queda el números indicado por la cantidad menor. La respuesta se halla contando el número de elementos separados. Ejemplo: 7-4= ¿ Consiste en representar con objetos la cantidad mayor y luego la menor. A ésta se le añaden los objetos necesarios para que sea equivalente a la cantidad mayor. La respuesta se consigue contando el número de elementos añadidos a la cantidad menor. Ejemplo: 7-4= ¿

Consiste en disponer de dos cantidades de objetos en correspondencia uno a uno. La respuesta se obtiene contando los elementos no emparejados. Ejemplo: 7-4= ¿

Consiste en contar hacia atrás sin ayuda (objetos o dedos a partir del minuendo tantos pasos como marca la cantidad menor. El último número en la secuencia de conteo es la respuesta. Ejemplo: 7-4= ¿ ¿. Se verbaliza a partir del minuendo(7), es decir: seis, cinco, cuatro, tres. La respuesta es tres. Consiste en contar a partir del número menor hasta alcanzar el mayor .La respuesta se obtiene contando los números contados para equiparar ambas cantidades. Ejemplo: 7-4=? Se verbaliza: cinco, seis, siete. Los números contados son tres, por lo tanto, la respuesta es tres.

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La enseñanza/aprendizaje de las competencias aritméticas

Las estrategias de adición y sustracción analizadas representan diversos grados de abstracción. Por ejemplo, las estrategias de modelamiento directo con objetos es un nivel de estrategias relativamente primitivo y de naturaleza concreta que corresponde, según Piaget, a los primeros estadios de desarrollo de la inteligencia. Sin embargo, las estrategias de conteo requieren habilidades que implican la representación del mundo de lo concreto y, por lo tanto, se trata de un nivel más sofisticado. Esta diferencia entre los niveles y las estrategias propiamente dichas determinará que los niños, dependiendo de su nivel de desarrollo intelectual, maduración, edad, entre otros factores, utilicen una u otra para resolver problemas aritméticos y algebraicos. Los resultados de investigaciones realizadas señalan que los niños menores tienden a utilizar estrategias de naturaleza concreta (moldeamiento directo con objetos o dedos), ya que les permite seguir, con mayor confianza, la secuencia de conteo y chequear el proceso varias veces. Los niños mayores tienden a utilizar estrategias más eficientes en términos de tiempo. Igualmente, los niños cambian las estrategias varias veces durante el proceso de adquisición de una determinada habilidad aritmética o algebraica (Goldman, 1989). Como el que el niño selecciona el sumando mayor y le suma el menor. En la descripción de los cambios ocurridos durante el desarrollo de los niños, Siegles y Shrager (1983) sugieren una estrategia de selección la cual depende de las características de los individuos. La propuesta supone que los niños, en una primera instancia, tratan de resolver los problemas por recuperación de hechos numéricos almacenados en su memoria. Si este procedimiento no les resulta eficiente, vuelven a intentar resolverlo por el mismo procedimiento de recuperación. Si en este segundo intento fracasan, prueban una estrategia diferente como, por ejemplo, alguna estrategia de conteo. De esta manera, los modelos de conteo se utilizan sólo cuando la recuperación de los hechos almacenados en la memoria no ha sido eficiente para resolver el problema. En términos generales, los resultados de las investigaciones pueden resumirse así:  1) los niños inicialmente ensayan estrategias del tipo “contar todos”, que paulatinamente se van disipando para dar origen a otras más eficientes como “contar hacia delante” y “recuperar hechos numéricos conocidos”,

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 2) a pesar de que existe una variabilidad considerable en el uso de las estrategias dependiendo del tipo de problema, la estrategia de “contar hacia delante” presenta una alto porcentaje de uso y perdura a lo largo de varios niveles de desarrollo en los niños examinados.

6) la enseñanza aprendizaje de las operaciones aditivas a través de problemas

Los problemas de sumar y restar no deben ser tratados aisladamente. Estamos, según Vergnaud (1990), ante un mismo campo conceptual, porque las situaciones que componen el concepto de suma y resta son las mismas. Para conseguir que los alumnos aprendan las nociones de adición y sustracción es preciso proponerles los diferentes problemas en los que la operación (adición o sustracción) que nos ocupa sea la herramienta que lo resuelve. Es conveniente que los niños experimenten y descubran estructuras semánticas y contextos diferentes, de manera que su aprendizaje sea más completo. Para que el proceso de enseñanza-aprendizaje de la suma-resta sea significativo hay que tener en cuenta una serie de consideraciones didácticas:  1) Los problemas han de ser formulados en un lenguaje claro y familiar para los alumnos y en contextos de su vida cotidiana, en situaciones funcionales de forma que resuelva un problema real que le pueda interesar  2) Tener en cuenta los conocimientos previos de los alumnos. Para ello, hay que sustentarse en las estrategias informales conducible a la construcción de procedimientos cada vez más elaborados, económicos y abstractos. Para conseguir este objetivo el maestro/a seguirá en su diseño didáctico las siguientes fases: - Primero: una fase de resolución individual o por parejas en la que es esperable que aparezcan distintos procedimientos de resolución y diferentes respuestas al problema. - Segundo: Una fase e trabajo colectiva dirigida, en primer lugar, a la comunicación de la diversidad de procedimientos utilizados por los niños. - Tercero: Comparación y análisis de los procedimientos o estrategias que les permita a los niños utilizar estrategias más económicas y sofisticadas y auto corregir sus errores. 136 LibrosEnRed

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 3) Relacionado con la consideración anterior, impulsar a que los niños reflexionen sobre sus estrategias y soluciones, pidiéndole que justifiquen las respuestas y los procedimientos: ¿por qué crees que esta solución es la correcta?, ¿cómo lo has hecho para averiguar la respuesta?..  4) Utilizar materiales concretos, tanto estructurado como no estructurados, así como cualquier recurso que facilite su resolución; canicas, garbanzos, cromos, botones, regletas, recta numérica, calendario, juegos de la oca o del dominó, bloques de Dienes, material Multibase, etc. En esta línea, el montaje de una tienda facilita el planteo y resolución de problemas de compra venta. De los resultados de numerosas investigaciones llevadas a efecto sobre las dificultades de los distintos tipos de problemas podemos concluir:  1. En lo que afecta a los problemas el tipo CAMBIO, la transformación negativa (disminución) no se manifiesta más difícil que la positiva (aumento), contrariamente a lo que habría pensar una concepción ingenua. Por ejemplo los dos problemas siguientes planean una dificultad parecida.  Juan tiene 9 canicas y pierde 3 canicas. ¿Cuántas canicas le quedan? (Transformación negativa)  Juan tiene 6 canicas y le regalan 3 canicas ¿cuántas canicas tiene ahora? (transformación positiva) Contrariamente la diferencia entre las transformaciones positivas (aumento) y negativas (disminución) es muy elevada cuando se trata de encontrar el elemento de transformación.  Juan tenía 9 canicas. Ahora tiene 3 canicas ¿Cuántas canicas ha perdido? (menos difícil)  Juan tenía 6 canicas. Le han regalado canicas. Ahora tiene 9 canicas. ¿Cuántas canicas le han regalado? (más difícil) La búsqueda del estado final no plantea problemas desde la propia escuela infantil (problemas 1 y 2 del tipo CAMBIO). Sin Embargo encontrar el estado inicial ( problemas 5 y 6 del tipo CAMBIO) constituye un obstáculo insuperable, al menos para los más pequeños. Es preciso llegar al segundo curso de Educación Primaria para encontrar una tasa de éxito relativamente elevada. 137 LibrosEnRed

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 2. Un fenómeno similar a los problemas del tipo CAMBIO se manifiesta con los problemas del tipo COMBINACIÓN. Las tasas de éxitos son muy elevadas cuando se trata de encontrar el cardinal del conjunto X+Y pero son mucho más bajas cuando se trata de hallar cualquiera de los subconjuntos. Hay que indicar que los problemas del tipo COMBINACIÓN y CAMBIO las tasas de éxito son muy idénticas. Es decir que la oposición entre situaciones estáticas y dinámicas no se corresponde con variaciones significativas en las ejecuciones.  3. Finalmente, los problemas del tipo COMPARACIÓN presentan un nivel de dificultad muy superior a los dos categorías de problemas anteriores. De los diferentes estudios referentes a la dificultad relativa de los distintos tipos de problemas, se deduce que no hay un avance homogéneo en un mismo tipo de problema avanzando de un tipo a otro. Es decir, los niños no aprenderán primero todos los problemas de cambio, luego lo de combinación, más tarde los de comparación y, por último, los de igualación. Ocurre esto porque intervienen decisivamente el tipo de sentencia (canónicas o no canónicas), como muestra el cuadro siguiente donde se ha constatado que las sentencias canónicas son más fáciles que las no canónicas, pudiéndose ordenar los distintos tipos de problemas según el grado de dificultad (tablas, figura y figura tomados/adaptados de Maza, 1989)

Tabla Sentencias canónicas y no canónicas de los problemas de suma y resta. SUMA

RESTA

I (Canónica)

a+b=?

a-b=?

II (no canónica)

a+?=c

a-¿=c

III (no canónica

¿+b=c

¿-b=c

Dificultad de los problemas de suma y resta desde el punto de vista del tipo de sentencia y colocación de la incógnita.

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NIVELES de dificultad en los problemas de suma y resta teniendo en cuenta el tipo de problemas y el tipo de sentencia canónica.

Según Kamii (1986) adoptando una visión de los problemas basados en el tipo de acciones mentales que los sujetos deben realizar para su resolución, acciones que adoptan una estructura lógico-matemática los tipos de problemas los clasifica desde los más fáciles a más difíciles de la siguiente.

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Capítulo VII La enseñanza aprendizaje de la multiplicación y la división (los problemas multiplicativos).

1) Introducción. La perspectiva que se asume, igual que para la enseñanza de la suma y la resta, la enseñanza de los algoritmos convencionales no es un requisito previo para la resolución de problemas que involucren las operaciones de multiplicar o dividir. La actividad de resolución de problemas es básica para la construcción del significado de las operaciones y en donde la construcción y dominio de los recursos de cálculo puede ser abordada a partir de los mismos. La postura que vamos a adoptar es claramente opuesta a la que tradicionalmente se ha presentado: Primero el manejo de los algoritmos convencionales (“las cuentas”) y luego problemas similares de aplicación. Desde dicha concepción, el objetivo era asegurarse de que los niños resuelvan bien las situaciones al ser éstas todas iguales y ya conocido el algoritmo, se suponía que los niños aprenderían a multiplicar y a dividir. Son archisabidas las dificultades que esta posición plantea; no es suficiente conocer el algoritmo para saber cuando utilizarlo. Reconocer el campo de utilización de una operación ha sido un aprendizaje que se ha dejado a cargo del alumno, no ha formado parte de aquello que se consideraba “aprender a multiplicar y a dividir” Desde la perspectiva que proponemos, por el contrario, el objetivo es favorecer la construcción de los diferentes significados posibles de la multiplicación y de la división. Para ello es necesario que los niños resuelvan y conozcan los diferentes tipos de problemas que se pueden resolver con la multiplicación y la división, ya que estas operaciones no sirven exclusivamente para resolver los problemas de un solo tipo. Los niños reconocen más fácilmente la multiplicación y la división en unos que en otros problemas y será necesario, pues, abordar en la enseñanza 140 LibrosEnRed

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aquellas situaciones donde experimenten más dificultades. Es preciso, pues, obviar la dicotomía que oculta el complejo interjuego existente entre los procedimientos y recursos de cálculo y la construcción y ampliación del sentido de las operaciones de dividir y multiplicar. Efectivamente, utilizar propiedades de estas operaciones, anticipar, estimar, controlar resultados, son recursos que ponen en juego el sentido o significado de las operaciones, a la vez que constituyen herramientas imprescindibles para abordar nuevos problemas.

2)Clasificaciones de los problemas de carácter multiplicativo. Dentro de lo que Vergnaud (1983) entiende por estructura multiplicativa esta el conjunto de problemas que comportan operaciones aritméticas y nociones de tipo miltiplicativo tales como multiplicación, división, fracción, razón y semejanza. Según Vergnaud los problemas “simples” que conllevan operaciones de multiplicación y división se clasifican en dos grandes categorías:

 a) Categoría de isomorfismo de medida: Se refiere a los problemas en los que subyace una proporcionalidad simple directa entre las dos magnitudes implicadas. Comprende los clásicos problemas referidos a repartos iguales (personas y objetos), precios constantes (bienes y costo), movimientos uniforme (espacio y velocidad), densidades constantes a lo largo de una línea (árboles y distancias), en una superficie o en un volumen. Son los problemas que Nesher (1988) denomina “mapping rule”. Dentro de esta amplia categoría se identifican cuatro subclases de problemas.  1. Subclase de multiplicación. Un ejemplo de esta subclase es el siguiente problema: “Luis compra 6 lápices a 25 ptas. Cada uno, ¿cuántas pesetas tiene que pagar? A esta subclase de problemas se les denomina también problemas de razón multiplicativas. Estos problemas de razón siempre presentan una cantidad de elementos (6 lápices) y una razón entre dos cantidades dónde la segunda es la unidad (25 pesetas cada lápiz). Esta subclase de problemas se puede resolver inicialmente por una suma reiterada. Este tipo de problema se introducirá en el primer ciclo de E. Primaria. 141 LibrosEnRed

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 2. Subclase de división. Un ejemplo de este subtipo de problemas puede ser el siguiente: Luis tiene 12 lápices y los quiere repartir en partes iguales entre Pedro y María, ¿Cuántos lápices les dará a cada uno? A estos problemas se les llama también de partición-razón. Se trata en ellos de repartir una cantidad en un número dado de partes iguales, preguntándose por el tamaño de cada parte. Shwartz y Nesher les llaman problemas partitivos. Se introducirán en el primer ciclo de E. Primaria.  3. Subclase de división: segundo tipo. Ejemplo de este subtipo de problemas puede ser el siguiente: Luis ha comprado cuadernos. Si cada cuaderno le cuesta 30 ptas. y ha pagado 90 ptas en total, ¿Cuántos cuadernos compró? Estos problemas son conocidos también como de agrupamiento-razón o cuotitivos. Son resolubles de manera sencilla a través de restas sucesivas. Se trata de calcular cuántas veces cabe una cantidad en otra. El procedimiento por restas sucesivas sería:

Sin embargo, otros autores afirman que el procedimiento o estrategia preferida por los niños es la denominada “conteo hacia delante”. El problema anterior se resolvería, pues, de esta manera:

Este tipo de problemas(división cuotitiva) se introducirán en el segundo ciclo de E. Primaria.

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 4. Subclase de regla de tres: Caso general. En estos problemas intervienen tres datos; no son problemas simples de estructura multiplicativa. Vergnaud los utiliza para dejar constancia de que los problemas de multiplicación y división son casos simples de los problemas más generales de regla de tres, distinguiéndose de estos en que uno de los cuatro términos implicados es igual a uno. Ejemplo de esta subclase: Si 6 lápices cuestan 72 pesetas, ¿Cuántas pesetas costarán 3 lápices? Este tipo de problemas se introducirá el segundo ciclo de E. Primaria y se consolidará en el tercer ciclo.  b) Categoría de productos de medidas: Llamadas por Nesher de multiplicación cartesiana son aquellos cuya estructura multiplicativa engloba tres magnitudes M1, M2 y M3, de forma que una de ellas M3, es el producto de las otras dos, M1x M2= M3. Dentro de esta categoría se encuentran los problemas relativos a áreas, volúmenes y productos cartesianos de conjuntos discretos. La forma más propia de representar esta estructura multiplicativa es la representación cartesiana. Dentro de esta categoría Vergnaud distingue dos subtipos de problemas:  1. Multiplicación. Ejemplo de este subtipo de problemas es el siguiente: ¿Cuál es el área de una sala rectangular de 6 metros de larga y 5 metros de ancha? Se trata de problemas de encontrar la medida producto conocidas las medidas que lo componen. A estos problemas también se les denomina como de mulltiplicación-combinación.  2. División. Ejemplo de este tipo de problemas es el siguiente: el área de una sala rectangular es de 30 metros cuadrados. Si el largo de la sala es de 6 metros, ¿Cuál es la medida del ancho de la sala? A estos problemas se les denomina como división-combinación. Con este tipo de problemas van parejos el cálculo de áreas y volúmenes. Se introducirán, por tanto en el tercer ciclo de E. Primaria. Vergnaud (1983) contempla una tercera estructura que denomina proporción-múltiple y que se refiere a los problemas de proporcionalidad en los que intervienen al menos tres magnitudes. Son problemas compuestos en los que para su resolución hay que emplear más de una operación. Una clasificación de gran claridad es la que ofrece Schmidt y Weiser (1995), con cuatro grandes estructuras. De acuerdo con Schmidt y Weiser (1995), hay cuatro grandes estructuras:

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Isomorfismo de medidas: Agrupa los problemas que se resuelven con una multiplicación, en la que el resultado final es una cantidad del mismo tipo que la del primer factor. Esta categoría se subdivide en otras cinco:

 La estructura parte-todo, en la que el todo se forma articulando partes iguales que se repiten un número determinado de veces: “En una estantería hay 35 cajas de conserva y cada caja contiene 12 latas. ¿Cuántas latas de conserva hay en total?”

 La estructura de iteración, caracterizada por la utilización de la palabra “veces” y representa situaciones que contienen repetición de los mismos componentes:

“Para vaciar la estantería de latas de conserva, puedo transportar 12 latas en un balde. ¿Cuántas latas habré transportado después de haber realizado esta operación 53 veces?

 Estructura de cambio multiplicativo, que hace referencia a cambios determinados a la que sometemos una cantidad inicial: “Invierto 15500 € en un negocio y después de dos años se dobla el capital. ¿A cuánto ascenderá el capital después de este periodo?”  Estructura de comparación comparativa, relacionada en cierta manera con la estructura aditiva de tipo Comparación: “Juan gana de sueldo 1.550 € mensuales y su primo Antonio gana el triple que Juan. ¿Cuánto gana entonces Antonio?

 Estructura de proporción simple, en el que se establece una proporción entre los miembros del enunciado: 144 LibrosEnRed

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“En una fuga de agua de la cañería de la calle se pierden 12 litros por minuto. ¿Cuántos litros se perderán en tres horas?”  Multiplicación combinatoria: Agrupa a los problemas de productos cartesianos: “Entre 4 niñas y 12 vestidos diferentes ¿cuántas combinaciones podemos realizar a la hora de vestirlas?”  Composición de operadores: Contempla los problemas multiplicativos en los que un primer operador es transformado por otro: “En un trabajo Juan acabó ganando después de un año el triple de lo que ganaba al principio, y para el cuarto año ya ganaba el doble de lo que ganaba al final del primer año. ¿Cuántas veces más gana ahora que cuando comenzó?”

 Multiplicación por fórmula: Agrupa a todos los tipos de problemas con fórmulas matemáticas o propias de las ciencias que establecen relaciones fijas entre cantidades: “Calcula el espacio recorrido por un coche que va a una velocidad constante de 120 km por hora circulando durante 4 horas.” A las categorías de problemas ya analizados C. Maza (1991) añade dos categorías de problemas:  1. Problemas de comparación que suponen un refinamiento de los problemas de razón. Parece ser que este tipo de problemas no plantea mayores dificultades que los de razón. En esta categoría de problemas se pueden distinguir los subtipos siguientes:  Multiplicativos. Llamados “factor multiplicativo” por Brown (1981) o cambio de tamaño con la misma unidad por Bell (1989). Un ejemplo de este tipo de problema es el siguiente: Juan tiene 5 lápices. Luis tiene 3 veces más lápices que Juan, ¿Cuántos lápices tiene Luis?  Agrupamiento razón. Ejemplo de este tipo de problema, inverso al anterior, es el siguiente: Juan tiene 5 lápices y Luis tiene 15 lápices, ¿Cuántas veces Luis tiene los lápices que Juan?

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 Partición-razón. Constituye una ilustración de este tipo de problema el siguiente: Luis tiene 15 lápices. Luis tiene 3 veces más lápices que Juan, ¿Cuántos lápices tiene Juan?. Los problemas de comparación presentan más dificultades para el alumnado que los de razón y los productos de medida o multiplicación por fórmulas. En primer lugar hay que tener un gran dominio de las situaciones de grupos iguales para poder abordar las comparaciones. Además hay que dominar el vocabulario implicado en estas situaciones(doble, mayor, menor, tercio,…) De todas formas, no todas las situaciones expuestas en este tipo de problemas implican el mismo grado de dificultad. Aquellas situaciones que implican disminución plantean más dificultades que las de aumento, puesto que el alumnado tiende a establecer comparaciones en forma de aumento y no como disminución. La introducción de estos problemas se hará al final del segundo ciclo y comienzo del tercer ciclo de E. Primaria.  1. Los problemas conversión, tal como los plantea C. Maza, constituyen situaciones semánticas-mixtas de los problemas de razón y comparación, y su enseñanza-aprendizaje no debe plantear dificultades una vez dominados los problemas de comparación y de razón. Una clasificación de los tipos de problemas muy interesante desde el punto de vista didáctico es la propuesta por Bell y otros (1989). Estos autores contemplan dos tipos de producto:  a) El producto simétrico, en el que las dos cantidades elementales juegan el mismo papel y pueden ser intercambiadas. Por ejemplo, en los problemas de área las dos cantidades (el largo y el ancho) juegan el mismo papel y pueden ser intercambiables. Son los problemas pertenecientes al producto de medidas.  c) Los productos asimétricos, se caracterizan porque las dos cantidades que aparecen como datos en los problemas representan papeles distintos. Los problemas de velocidad y tiempo son ejemplos de este tipo de problemas asimétricos. Los autores antes mencionados (Bell y otros) clasifican en siete categorías los problemas multiplicativos asimétricos dónde a cada problema de multiplicación asocian dos tipos de problemas de división (división cómo partición y división como cuotición ya analizados).

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Clasificación de los problemas multiplicativos asimétricos (Adaptación de Bell y otros, 1989)

ESTRUCTURAS EJEMPLOS DE PROBLEMAS Grupos múltiples

MULTIPLICATIVOS

PARTICIÓN

Hay 3 cajas de lápices con 12 lápices en cada caja ¿cuántos lápices hay en total?

Hay 36 lápices en 3 cajas, ¿cuántos lápices hay en cada caja?

CUOTICIÓN

Tengo 36 lápices y deseo guardarlos en cajas de 12 lápices, ¿cuántas cajas necesito? Medida repetida Un jardinero En 5 rollos de Para enrollar necesita 5 rollos alambre hay 80 80 ms. de de alambre de ms. ¿Cuántos alambre en 16 ms. cada rollo, ms. medirá cada rollos de 16 ¿cuántos ms. de rollo? ms. ¿Cuántos alambre precisa rollos se en total? necesitarán? Razón (Tasa) Un autobús viaja Un autobús ha ¿Cuántas durante 5 horas a recorrido 600 horas la velocidad de 120 kms en 5 horas necesitará km/h. ¿Cuántos ¿A qué velocidad un autobús km recorrerá? media ha para recorrer circulado? 600 km a 120 km/h? Cambio de Una fotografía Una fotografía Una tamaño (la misma se amplia en se amplia en 4 fotografía unidad) 4 Si la altura y su altura ya de 5 cm. originar era de 5 ampliada es de De altura cm, ¿cuántos cm 20 cm, ¿cuántos después de Medirá la altura cm. Media su ampliada de la fotografía altura original? mide 20 cm ampliada? de altura. ¿En cuánto se amplió?

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Cambio de La maqueta de tamaño (unidades un barco ha sido distintas) realizada a escala de 4 m. por cm si la maqueta es de 5 cm. De larga, ¿cuál es la longitud del barco? Mezcla (con la Un color se misma unidad) obtiene utilizando 4 veces más rojo que amarillo, ¿Cuánta pintura roja se necesitará para la mezcla con 3 litros de pintura amarilla?

Mezcla (unidades Se mezclan 4 distintas) gramos de azúcar por litro de leche ¿Cuántos gramos de azúcar se necesitan para mezclar con 5 litros de leche?

La longitud de un barco es de 20 m. ¿Cuál será la longitud de la maqueta de dicho barco realizada a escala de 4 ms por cm? Se tienen 15 litros de un color mezcla de rojo y amarillo ¿Qué pintura de color amarillo habrá mezclado si la pintura de color rojo es 4 veces más que la de color amarillo?

La longitud de un barco es de 20 m y su maqueta mide 5 cm. ¿A qué escala está realizada la maqueta? Para obtener un color de pintura se mezclan 12 litros de color rojo y 3 de color amarillo ¿Cuántas veces se ha utilizado el color rojo más que el amarillo? A 5 litros de Por cada litro leche se le de leche se han mezclado han mezclado 20 gramos de 4 gramos azúcar, ¿Cuántos de azúcar. gramos de azúcar Si hemos contiene cada mezclado litro de leche? 20 gramos de azúcar en leche, ¿Cuántos litros de leche hemos endulzado?

Finalmente, en Shwartz (1976), Nesher (1988) (citadas por Maza, 1991), hay un relativo acuerdo en dividir los problemas de estructura multiplicativa en los siguientes tipos:

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Problemas de razón. Compra 4 cajas de colores y en cada paquete hay 10 colores. ¿Cuántos colores ha comprado en total?

Problemas de comparación. Pesas 39 kg. Si tu padre pesa dos veces lo que tú pesas, ¿cuántos kg pesa tu padre?

Problemas de combinación (de producto cartesiano). Para ir a la playa tienes 3 trajes de baño y 4 toallas. ¿De cuántas maneras distintas puedes combinar las dos cosas para ir a la playa? Los problemas de combinación (son más difíciles que los dos tipos restantes (Hart 1982; Quintero, 1985, citados por Maza, 1991). Para la división se dan dos casos en los dos primeros tipos y uno para el tercer tipo de los anteriores vistos correspondientes a la multiplicación:

Problemas de razón:  Problemas de participación-razón. Compra 4 cajas de iguales colores y hay en total 40 colores. ¿Cuántos hay en cada caja?  Problemas de agrupamiento-razón Si compras 40 colores que vienen en paquetes de 10 colores cada uno. ¿Cuántos paquetes de colores has comprado?

Problemas de comparación:  Problemas de participación-cuantificador. Tu padre pesa 78 k, o sea, 2 veces lo que tú pesas. ¿Cuál es tu peso?  Problemas de agrupamiento-razón. 149 LibrosEnRed

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Si tú pesas 39 k y tu padre 78 k. ¿Cuántas veces pesa tu padre más que tú?

Problemas de combinación: Tienes 3 trajes de baño y varias toallas de playa. Si te pones un traje de baño y te llevas una toalla cada vez que vas abañarte, puedes ir de 12 maneras distintas ¿Cuántas toallas de playa tienes?

3) Dificultad relativa de los problemas asociados a la estructura multiplicativa

Es, generalmenteaceptada la idea de que la comprensión del significado de la multiplicación y división es particulamente más difícil que el de la suma y la resta. Para confirmar lo anterior se han utilizado distintos argumentos. Luria, por ejemplo, ha investigado que en lesionados cerebrales que eran capaces de resolver satisfactoriamente problemas de sumas y restas, mostraban, sin embargo, incapacidad para la resolución de problemas que implicaran miltiplicaciones o divisiones al ser los conceptos/habilidades más complejas los primeros en deteriorarse. Es obvia la mayor dificultad /complejidad de la miltiplicación/división. Dienes afirma que el niño frente a los dos bloques siguientes se centrará en que el segundo bloque se contruirá añadiendo “tres más” al primero pero no en que es “cuatro veces más” largo.

Hart (1981) encontró que más de 30% de los alumnos de secundaria optaron por sumar en lugar de multiplicar al resolver problemas de razón. Dikson y colaboradores (1991) señalan que en una experiencia llevada a cabo por Brown (1981) donde se solicitó a niños de 11 años que preparasen historias que justificaran diversas expresiones aritméticas obtuvieron las respuestas/resultados siguientes:

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EXPRESIÓN 84 – 28

PORCENTAJES DE ÉXITOS 77%

9/3

60%

84/28

42%

9x3

45%

84 x 28

31%

A su vez, a un grupo de niños de 11 a 12 años les solicitaron que seleccionaran las expresiones artiméticas que mejor se correspondieran con una historia dada, obteniéndose los siguienrtes resultados:

OPERACIÓN +

PORCENTAJES DE ÉXITOS 88%

-

67%

:

63%

X

53%

El orden de dificultad de las operaciones resultó el mismo en ambas situaciones. Los resultados (porcentajes de éxito) de la suma y la resta fueron superiores a los de la multplicación y división. Por otra parte, los porcentajes de éxito en la división fueron superiores a los de la multiplicación. Dickson y colaboradores (1991) señalan que Brown atribuye la mayor dificultad de la multiplicación y la división a la estructura de cada operación. Así, mientras que la suma y la resta están asociados/ligadas a situaciones en las que se combinan o disocian conjuntos de objetos “similares”, en la multiplicación y la división no solo acontece que los objetos de los dos conjuntos son de tipo diferentes, sino que en cada caso es necesario asociar cada uno de los elementos de uno de los conjuntos con un subconjunto equivalente del otro. El mismo Brown señala que las palabras más comúnmente utilizadas asociadas a los signos de las operaciones

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proporcionan vigorosos indicios del tipo de situación que les corresponde. Así:

Significa: “sumar“, “añadir“ o “y“ Significa: “restar“ o “quitar“ Significa: “repartir“ Significa: “tantas veces“ Mientras que añadir, quitar o repartir se refieren a acciones concretas y fáciles de visualizar,” tantas veces” no tiene una referencia activa tan clara. Esta razón explicaría la mayor dificultad de la multiplicación como operación lo que no significa, como veremos más adelante, que el algoritmo de la miltiplicación sea más difícil que el de la división. Así mismo, en un estudio dirigido por Hart (1981) se obtuvieron las conclusiones siguientes:  La división resulta ser más fácil que la miltiplicación  Los problemas de multplicación de “razón” son más fáciles que los de “producto cartesiano”, de “factor multiplicativo” y de “comparación”  En la división son más fáciles los problemas de “reparto” (o partición) que los de “agrupar” (o cuotición. Carlos Maza (1991) ordena, por orden de dificultad decreciente, los problemas de multiplicación/división de la siguiente manera:

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Esta ordenación resulta adecuada a los efectos de poder establecer una correcta secuencia de enseñanza-aprendizaje.

4) Estrategias infantiles de resolución de problemas de multiplicación y división

Analizados los diferentes problemas de multiplicación y división se van a estudiar las estrategias o procedimiento de resolución de los mismos Partiendo de las aportaciones de Anghileri (1989) y Kouba (1989) citadas y sintetizadas por C. Maza (1991) se pueden considerar cinco niveles en el desarrollo progesivo de las estrategias informales de resolución de los problemas de multiplicación .Estos niveles son los siguientes:

 1) Recuento unitario: El niño necesita representar mediante materiales concretos o dibujos figurativos las situaciones problemáticas planteadas y luego contar uno a uno todos los objetos representados o colocados. Ejemplo: Luis tiene 3 cajas de lápices. En cada caja tiene 4 lápices,

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¿Cuántos lápices tiene en total? El niño dibujará/colocará primero las tres cajas y, a continuación, los cuatro lápices en cada caja. Finalmente, contará uno a uno todos los lápices.

 2) Doble recuento: Aunque el niño depende aún del recuento unitario se observa una diferencia cualitativa con éste. El niño percibe ya la regularidad de tales recuentos y la repetición de los grupos de palabras. Baroody (1988) señala los cuatro procedimientos de esta estrategia. - a) Generar números sucesivos a partir de la serie numérica: 1,2,3,4,- 5,6,7,8, - 9,10,11,12. - b) Llevar la cuenta de cada cuarto número contado: 12341234 1234 - c) Llevar la cuenta del número de grupos de cuatro:123 - d) Detener la generación de la serie numérica después de completar el tercer grupo de cuatro y dar el último número contado como respuesta:12 En la multiplicación 4x3 el niño puede utilizar una parte digital para representar el 4 y, a continuación, contar esta parte 3 veces. El empleo de los dedos de una mano para contar los dedos de la otra para llevar la cuenta del número de veces que se repite cada grupo de dedos extendidos elimina la necesidad, en el problema citado (4x3), de llevar la cuenta de cada cuarto número contado. Más adelante el niño prescindirá de objetos visuales (dibujos) o de unidades motoras (los dedos) y cuenta verbalmente con distintas pausas o énfasis en la cuarta palabra de cada recuento: 1-2-3-4 (pausa) 5-6-7-8 (pausa) 1-2-3-4 (énfasis en el 4)

9-10-11-12 (pausa)

5-6-7-8 (énfasis en el 8)

9-10-11-12 (énfasis en el 12) - 3) Recuento transaccional: constituye una estrategia similar a la anterior, excepto que se utilizan unidades abstractas para el recuento. El niño comienza subvocalizando o susurrando los numerales para concluir suprimiendo su pronunciación contando interiormente:

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1,2,3.(susurrados)

4-5,6,7 (susurrados)

Silencio 4 silencio

8-9,10,11 (susurrados)

12.

8

12

silencio

Esta estrategia de contar a intervalos es según Baroody (1988) muy común para calcular productos. - 4. Estrategia aditiva: El niño al dominar el recuento de grupos emplea distintos procedimientos aditivos para calcular la suma resultante de distintos grupos. Por ejemplo, para calcular 4x3 procede así: - 4, 4 y 4 son 8 , 8 y 4 son 12. - - 5. Recuperación de hechos numéricos: Las rutinas anteriores se transforman finalmente en el almacenamiento y recuperación de hechos multiplicativos básicos. El almacenamiento y la recuperación se ciñe en esta fase a las multiplicaciones elementales de los números inferiores a 10. Se apela, pues, a la multiplicación directa, es decir, 4x3=12.

Las estrategias informales de los problemas división son las siguientes: - 1. Resta reiterada: Aplicable a los problemas de agrupamientorazón. Ejemplo de esta estrategia: Luis tiene 15 lápices. Si quiere regalarle 3 lápices a cada compañero, ¿cuántos compañeros podrá regalarles lápices? Luis tiene 15 lápices. Regala 3 lápices al primer compañero (1) Le quedan 15-3=12 lápices. Regala 3 lápices al segundo compañero (2) Se quedan 12-3=9 lápices. Regala 3 lápices al tercer compañero (3) Le quedan 9-3= 6 lápices.

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Regala 3 lápices al cuarto compañero (4) Le quedan 6-3= 3 lápices. Regala 3 lápices al quinto compañero (5) Le quedan 3-3=0 lápices. Ha reglado lápices a 5 compañeros.

- 2. Reparto: Aplicable a los problemas de partición-razón. Ejemplo: Luis quiere repartir 15 lápices entre 5 amigos, ¿Cuántos lápices regalará a cada amigo? Luis tiene 15 lápices Da 1 lápiz a cada uno de los 5 amigos Le quedan 15-5= 10 lápices Da 1 lápiz (el segundo) a cada uno de los 5 amigos. Le quedan 10-5= 5 lápices. Da 1 lápiz (el tercero) a cada uno de los 5 amigos. Le quedan 5-5= 0 lápices Ha dado 3 lápices a cada uno de los 5 amigos.

- 3. Ensayo y error: consiste en formular conjeturas y comprobar si son correctas. Esta estrategia se aplica a los problemas de partición-razón. En el problema anterior el niño procede este modo: Luis tiene 15 lápices. Regala 4 a cada uno de sus 5 amigos. Ha regalado, pues, 4x5= 20 lápices. No tiene bastante Regala 2 a cada uno de sus 5 amigos. Ha regalado, pues, 2x5= 15 lápices. Le sobran lápices. Regala 3 a cada uno de sus 5 amigos. Ha regalado 3x5= 15 lápices. Es correcto. 156 LibrosEnRed

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- 4. Aditiva. Aplicable a problemas de agrupamiento-razón. El alumno procede así: Luis tiene 15 lápices. Quiere regalar 3 lápices a cada compañero. Da 3 lápices al primer compañero. Da otros 3 lápices al segundo compañero. Ha dado 3+3= 6 lápices. Da 3 lápices al tercer compañero Ha dado 6+3= 9 lápices. Da 3 lápices al cuarto compañero. Ha dado 9+3= 12 lápices. Da 3 lápices al quinto compañero. Ha dado 12+3= 15 lápices. Ha regalado pues lápices a 5 compañeros.

- 5. Aditiva con múltiplos: Constituye una estrategia más sofisticada que la anterior aplicable al mismo tipo de problemas. El niño procede así: Luis tiene 15 lápices.

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- 6. Multiplicativa: constituye una simple evolución de las dos estrategias anteriores. Utiliza las reglas multiplicativas básicas. En un problema de agrupamiento-razón procede así: Luis tiene 15 lápices. Quiere dar 3 lápices a cada compañero 3 x 6 = 18. No tiene bastantes para 6 compañeros. 3 x 5= 15. Tiene para repartir a 5 compañeros.

A continuación se muestra (adaptado de C. Maza, 1991) una síntesis de la relación de estrategias utilizadas en función de los tipos de problemas a los que se aplican.

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PROBLEMAS

ESTRATEGIAS

RAZÓN

Recuento unitario

COMPARACIÓN

Doble recuento

MULTIPLICACIÓN

MULTIPLICACIÓN

Recuento transaccional Estrategia aditiva

COMBINACIÓN

Recuperación hechos multiplicativos

DIVISIÓN

ESTRATEGIAS

AGRUPAMIENTO-RAZÓN

Estrategias aditivas

AGRUPAMIENTO- COMPARACIÓN

Estrategias aditivas con múltiplos Restas reiteradas

PARTICIÓN-RAZÓN

Ensayo y error

PARTICIÓN-COMPARACIÓN

Reparto Estrategia multiplicativa

COMBINACIÓN

Multiplicativa

AGRUPAMIENTO-RAZÓN

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5) Pautas psicopedagógicas para la enseñanza-aprendizaje de los problemas de estructura multiplicativa

En la enseñanza aprendizaje de los problemas de estructura multiplicativa conviene respetar las pautas siguientes:

 Trabajar los distintos tipos de problemas agrupados por su significado, es decir, por sus características semánticas, y no por una dicotomía multplicación-división.  Ordenarlos/secuenciarlos según su dificultad (razón, comparación, combinación). Se trata de que los problemas del mismo, grupo tengan el mismo significado para los alumnos.  Plantear problemas sencillos del entorno inmediato escolar y familiar del alumno, asociados a situaciones del mundo social y natural así como generar “situaciones problemáticas” en el aula (juego de las tiendas, ..)  Explicitar/centrarse en las cinco fases de resolución de un problema.

 1. Análisis: Diferenciar claramente lo que se conoce de lo que se necesita/desea conocer, lo que sabemos de lo que no sabemos, los datos de la incógnita.  2. Representación: Analizados los elementos conocidos y desconocidos se relacionan entre si y se expresan mediante alguna representación. Las representaciones de los problemas de estructura multiplicativa mas adecuadas son las siguientes. Problemas multiplicativos de razón y comparación: Modelos físicos: fichas, palitos, botones,.. o material similar. Modelos cardinales: así 4x3 podría representarse así:

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Esquemas de puntos o diagramas matriciales:

 Modelos con medidas: Regleta de Cuisinaire y bloques Multibases de Dienes.  Modelos numéricos: se utilizan en contextos estrictamente simbólicos: 3x4= 3 veces 4 = 4+4+4. Estos modelos se aplican como fase final de los modelos en que se emplea material o representaciones gráficas. Problemas multiplicativos de partición y agrupamiento: El reparto se puede representar mediante: Modelos cardinales: Por ejemplo la división 12:3 se representa así:

En la diagramación matricial el total de elementos dados por el dividendo se distribuyen rectangularmente en tantas filas iguales como señale el divisor En el caso de los problemas de agrupamiento se utiliza la línea numérica o recta numérica contando hacia atrás desde el dividendo, y, de tanto en tanto, según indique el divisor. El número de pasos dados es el divisor. La representación 10 : 2 es como sigue.

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0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

También se puede utilizar el modelo cardinal mediante el diagrama de Venn. En la división 12:3 se representaría así.

Problemas multiplicativos de combinación. Productos cartesianos: así el producto 2 x 3 se puede representar tomando 2 pantalones (corto y lago) y 3 camisas (blancas, negra y roja) e intentar hallar las distintas formas de ir vestido.

C A M I S A C A M I S A CAMISA ROJA BLANCA NEGRA PANTALON CORTO

X

X

X

PANTALÓN LARGO

X

X

X

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Diagrama de flechas

Diagrama de árbol: 2x3 se puede representar así:

 1. PLANIFICACIÓN. Una vez representado se procede a la elección de la estrategia más adecuada para llegar desde los datos a la solución requerida. Se debe partir desde la estrategia informal que el alumno este empleando.  2. EJECUCIÓN: Aplicar la estrategia seleccionada en la fase anterior

5) L a progresión en la enseñanza/aprendizaje de la multiplicación y división. A partir del primer curso de primaria, coincidiendo con el campo numérico que se trabaje, se le deben proponer a los niños problemas de multiplicar aunque no “sepan” multiplicar. 163 LibrosEnRed

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Se trata, luego de la resolución individual, comparar los resultados y los procedimientos Vamos a proponer el siguiente problema: Calcular cuántos lápices hay en 6 paquetes de 4 lápices cada uno? Al comienzo, en este tipo de problemas, se espera que los niños puedan reconocer puntos de contacto con la suma y, al mismo tiempo, puedan establecer diferencias. Le conduciremos a que puedan formular expresiones como estas: “en estos problemas se suma muchas veces el mismo número”, “no hay que sumar dos números diferentes como en los otros problemas”, “el problema te dice 4 y 6, pero nosotros no sumamos 4 + 6, el 6 nos dice cuántas veces sumar 4, ..” En la fase colectiva se comparan las diferentes estrategias o procedimientos que surgieron en el aula y por las cuales muchos alumnos llegaron al mismo resultado. Se les pone de manifieste este mismo resultado y luego se comparan los distintos procedimientos para que determinen cual o cuales son los más económicos. Se espera que puedan expresar, por ejemplo, “no hace falta dibujar todo”, “no hace falta hacer los palitos, se ponen los 4”, o “no hay que sumar tantos 4, se pone uno y se cuenta muchas veces”, etc. Las actividades de comparación de procedimientos y el análisis acerca de los errores en la resolución de un problema les permitirán a los niños avanzar en la comprensión de los enunciados y en las estrategias de resolución. Para ciertos alumnos, después de algunas clases, ya no les será preciso dibujar y contar cada uno de los elementos, otros podrán establecer un cálculo con una sería sucesiva sumas. Algunos alumnos comenzarán a escribir en forma más breve algunas expresiones como “6 veces 4”. El trabajo en clase con esta metodología permitirá que los alumnos puedan hacer evolucionar sus procedimientos informales hacia otros más sofisticados y económicos Hay que resaltar la importancia de trabajar en el aula con la diversidad de problemas que pertenecen al campo de problemas multiplicativos. La profundidad en el tratamiento de los diversos problemas multiplicativos debe acentuarse en el segundo ciclo de primaria, tratándose primero con números pequeños, para pasar más tarde a las decenas completas y terminando con el empleo de números más grandes para que vayan obligando a los alumnos a cambiar de estrategias e ir, al mismo tiempo, proponiendo desde el aula estrategias de cálculo más sofisticadas hasta poder llegar a las convencionales. Habitualmente, “los problemas de multiplicación” insisten en un mismo tipo de problemas: los de isomorfismo de medidas. En general, en los libros de texto, los problemas de multiplicación pertenecen a este tipo de 164 LibrosEnRed

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problema. Conviene ir iniciando en el segundo ciclo a los niños, incluso mediante el conteo, en problemas de “productos de medida”, del tipo de organizaciones rectangulares a través de baldosas o cuadrados como el siguiente: ¿Cuántas baldosa cuadradas de un 1 m de lado se necesitan para cubrir todo el piso de un salón de 4 m de largo y 5 m de ancho? ¿Cuántos asientos hay en esta sala de cine? Se les da dibujada la sala de cine. Otro tipo de problemas que los niños pueden iniciar a final del primer ciclo y comienzo del segundo ciclo son aquellos en lo que hay que combinar elementos de diferentes colecciones. Por ejemplo: “Tengo 3 camisas diferentes y 4 pantalones de distinto color (blanco, azul, rojo, amarillo) ¿De cuántas maneras distintas puedo vestirme?¨” Los niños podrán resolver problemas similares a este utilizando cada vez mejores estrategias y modos de organizar la información que les permitan aprender a “no olvidarse” de ninguna posibilidad. Así como ha sido planteado que la multiplicación se inicie en el segundo curso y no se agote en él, tampoco la división es un tema que haya que comenzarlo en el primer año del segundo ciclo. Desde finales del primer año del primer ciclo y durante el segundo año de este ciclo los alumnos podrán resolver problemas de partición por procedimientos de conteo, de reparto 1 a 1 y, a veces, por sumas sucesivas. En primer curso del segundo ciclo, los alumnos al conocer el algoritmo de la multiplicación, lo utilizarán como recurso para la resolución de este tipo de problemas. Mediante la multiplicación resolverá los problemas de partición (problemas de isomorfismo de medidas, subclase de división primer tipo). Por ejemplo: “Luisa quiere repartir 35 cromos entre sus 4 amigos de tal manera que todos tengan la misma cantidad. ¿Cuánto es lo máximo que le pueda dar a cada uno?” Este problema puede ser resuelto a partir de la multiplicación. Los niños de segundo curso del primer ciclo podrán realizar sumas sucesivas probando con diferentes números hasta llegar a que el número más grande que se puede sumar es 4 veces el 8 y se llega a 32. Por lo tanto, sobran 3 cromos. Los niños del tercer curso (primero del segundo ciclo) – antes de conocer el algoritmo de la división – podrán utilizar el conocimiento memorizado de las tablas para encontrar el 8, a partir de 8 x 4 = 32. 165 LibrosEnRed

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Es interesante enfrentar a los alumnos a problemas de “partición” a la vez que resuelvan problemas de multiplicación”. Los niños se percatarán de cómo la multiplicación es un conocimiento útil para la resolución de problemas de división. En un principio, a los alumnos de primero, segundo y tercer curso es conveniente proponerle problemas en los que uno siempre sea preciso repartir en partes iguales. El objetivo es analizar que las posibilidades de distribución son diversas. Con toda seguridad, una gran parte de los alumnos considera injusto que en un problema de repartir se les de a unos más que a otros. A los niños habría que conducirlo a la elaboración de problemas para evitar “la injusticia”. En el trabajo colectivo pueden surgir frases como: “dándoles lo mismo a cada uno”, “repartir en partes iguales”, “que todos tenga la misma cantidad”, “que nadie quepa a más”.. Simultáneamente, se deben proponer problemas de reparto en los que el resto sea 0 (divisiones exactas) y problemas en los que las divisiones sean enteras (el resto sea distinto de 0). A los niños se les podría proponer “que se hace con aquello que sobra”. Puedan ofertar diversas soluciones a un problema como el siguiente: “Luisa tiene 18 chocolatinas y desea repartirlas entre sus 4 amigas en partes iguales, ¿Cuánto les dará a cada una?”  a) Se repartirán 4 chocolatinas y me sobrarán 2  b) Les daré 5 a dos y 4 a otras dos  c) Les daré 6 a mi amiga Ana y 4 a las otras tres amigas. También es importante plantearle problemas en los que lo que sobra se pueda partir y otros en los que lo que sobra no se pueda repartir. Se trata de iniciar a los alumnos, de forma intuitiva, en los aprendizajes de fracciones. En el problema anterior los alumnos podrán expresar la solución de la manera siguiente: “Les doy a cada una de mis amigas 4 chocolatinas y media”, que no podría formular si se tratara de este otro problema: “Reparto en partes iguales 18 juguetes ente mis 4 amigas, ¿Cuántos juguetes tocará a cada una? A veces lo que sobra (divisiones con resto) cambia todo el problema. Esto ocurre en el siguiente problema. “Quiero alquilar taxis para 14 personas. En cada taxi solo pueden viajar 4 personas ¿Cuántos taxis tengo que alquilar?”. Será preciso alquilar un taxi más para las dos personas que sobran. Este tipo de problemas permite poner en juego el análisis del resto. No basta con hacer la cuenta o cualquier otro procedimiento, ya que el cociente no es suficiente para saber el resultado del problema. Es necesario, pues, analizar el resto. 166 LibrosEnRed

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En el tercer curso de primario (primer curso de segundo ciclo) es conveniente plantear la resolución de problemas de isomorfismo de medida de la subclase de división. Primer tipo y de subclase de división. Segundo tipo, ya que no es lo mismo repartir que averiguar las partes. Los problemas de averiguar las partes son más complejos que los de reparto. Los siguientes problemas ilustran ambos tipos: “Luisa tiene 25 cromos y quiere repartirlo entre sus 3 amigas en partes iguales ¿Cuántos dará a cada una?” (Problemas de repartir en partes iguales). “Luisa tiene 25 cromos y darle 3 a cada una de sus amigas. ¿A cuántas amigas puede darles 3 cromos?” (problemas de averiguar las partes) En el primer problema se conoce la cantidad de parte y se solicita averiguar el valor de cada parte. Los niños, en un principio, podrían utilizar los distintos procedimientos de reparto uno a uno. En el segundo, al contrario, se conoce el valor de cada parte y es necesario averiguar, en cuantas partes se puede dividir la colección (en este caso los 25 cromos). Para este problema no es posible el reparto 1 en 1, porque no se sabe “en cuantos repartir”. En este caso, será preciso utilizar la estrategia de las restas sucesivas, restándole 3 a 25 tantas veces como sea posible: 253=22; 22-3=19,..4-3=1.También se puede utilizar la suma hasta acercarse a 25; 3+3+3+3+3+3+3+3=24 y sobra 1. Ya en el tercer curso los alumnos pueden utilizar productos: 9.x3=27. “Me he pasado.” 8x3=24.” 8 amigos y me sobra 1 cromo”. A los alumnos, a lo largo de su escolaridad, y fundamentalmente en el segundo ciclo hay que proponer los distintos problemas que se resuelvan mediante la división. No es suficiente con conocer el algoritmo para saber cuando utilizarlo. Reconocer el cambio de utilización de una operación ha sido un aprendizaje que no se suele prever y no se ha considerado, habitualmente, que debe formar parte de aquello que se consideraba aprender a dividir. Es necesario, pues, favorecer la construcción de los diferentes significados posibles de la división. Los alumnos reconocen más fácilmente la utilización de la división en unos que en otros problemas y será preciso, pues, abordar en la enseñanza aquellas situaciones donde experimenten más dificultad.

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Capítulo VIII: L a enseñanza de los algoritmos. El cálculo pensado, el cálculo estimado y la aproximación.

Introducción La enseñanza/aprendizaje de los algoritmos debe suponer la culminación de todo un proceso, después de que los alumnos construyan y hagan evolucionar sus distintas estrategias informales. Se trata de que los aprendan de manera significativa para evitar los errores típicos que aparecen con frecuencia en los niños tales como los de la posición del número (situar de forma incorrecta los números en las columnas, sumando, restando, multiplicando o dividiendo cifras con valores distintos), errores en los pasos del algoritmo cambiando u omitiendo algunos de los pasos (no realizar las llevadas, restar siempre el número mayor del menor independientemente que pertenezca al minuendo o sustrayendo) o errores de cálculo o fallos numéricos al operar con cantidades. Todavía, en la actualidad, podemos afirmar con Baroody (1988,53) lo siguiente: “se exige que los niños memoricen datos, definiciones, procedimientos de cálculo, técnicas de medición, etc. Cuando los recursos son limitados y las clases grandes, la enseñanza y la práctica repetitiva de datos y técnicas son más manejables que el fomento del conocimiento conceptual y la aptitud para el razonamiento. Por ejemplo, enseñar paso a paso el algoritmo para la sustracción de números de varias cifras con acarreo resulta más fácil que construir las relaciones que constituyen el conocimiento de los órdenes de unidades. Más aún, el conocimiento de datos y técnicas es más fácil de observar y comprobar que el conocimiento conceptual o la capacidad de razonamiento. Como el cultivo y la evaluación de la comprensión matemática, el razonamiento y la resolución de problemas son difíciles,

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la educación masiva se centra en la enseñanza y la evaluación de datos y técnicas de matemáticas”. En la habitual enseñanza de los algoritmos tradicionales presentar el algoritmo convencional y repetición por el alumno. Este se esfuerza en recordar los pasos más que en comprender su ejecución. Al mismo tiempo, al no contemplar sus estrategias o técnicas de cálculo informales, el aprendizaje del algoritmo obliga a los alumnos a olvidar su propio conocimiento numérico ya que el algoritmo convencional no refleja su forma natural de operar. De todas maneras el aprendizaje/utilización de algoritmos convencionales costosos (con números excesivos: sumas largas, multiplicaciones y divisiones con grandes números) no es aconsejable por las siguientes razones:  1) Porque esas operaciones con bolígrafo y papel no se realizan en la vida diaria, y en el caso de tener que hacerlas, emplearíamos la calculadora que tiene la ventaja de ser más rápida y equivocarse menos.  2) No es habitual tener que hacer operaciones como 78.659:93 ó 45.465x389. A los lectores les costará recordar cuándo fue la última vez que tuvieron que hacer un cálculo parecido en su vida ordinaria.  3) La práctica repetida de estos algoritmos no mejora ni aporta conceptualmente nada a la capacidad aritmética de las alumnas y alumnos.  4) Una gran cantidad de alumnas y alumnos cometen muchos fallos de operaciones cuando se enfrentan a este tipo de algoritmos.  5) Al estudiante que no sabe hacer algoritmos largos con muchos dígitos se le considera un fracasado en la escuela. Se le impide hacer nuevos progresos en matemáticas y se le aleja de ellas para siempre, y no porque el estudiante carezca de las capacidades necesarias para ser un competente aprendiz y usuario de las matemáticas, sino porque así es como está estructurado el programa de matemáticas en la escuela (MAIER, E.; 1987).  6) Estos algoritmos son destrezas de supervivencia escolar. Las alumnas y alumnos deben conocerlos para poder progresar en el sistema educativo, no porque les sean útiles en su futura vida académica

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u ocupación laboral. Se trabajan estos algoritmos en los centros educativos sólo porque vienen en los programas de matemáticas.  7) Estos algoritmos fuerzan a las niñas y niños a renunciar a sus propias estrategias y pensamiento.  8) Estos algoritmos permiten a las niñas y niños producir respuestas correctas, pero con el efecto secundario de erosionar la confianza que tienen en sí mismo. Estos alumnos han aprendido a depender del lápiz y papel y de la distribución espacial de las cifras y de otras personas.  9) En el pasado fue imprescindible sacrificar tiempo y energía en impartir estas destrezas algorítmicas, pero en la actualidad no tienen nada que ver con formación matemática el adiestrar seres humanos en algo que las máquinas hacen mucho mejor. (GUZMÁN ROJAS, 1979)  10) En la mayoría de los niveles de enseñanza primaria y gran parte de la secundaria un 80% del tiempo y del esfuerzo de aprendizaje se dedica a ganar destrezas en los diversos algoritmos de las operaciones aritméticas (GUZMÁN ROJAS, 1979). Teniendo esta actividad poca repercusión en el desarrollo de capacidades en las alumnas y alumnos.  11) Un argumento que se oye con frecuencia a muchos docentes y madres y padres que quieren seguir justificando lo injustificable, la enseñanza de algoritmos tradicionales, es: “¿y si los alumnos cuando van a hacer un cálculo no tienen calculadora, qué hacen? La respuesta es obvia: ¿y si cuando van hacer un cálculo no tienen lápiz y papel, qué hacen?” Hoy en día lo que debe primar es el CÁLCULO MENTAL, y dentro del mismo, LA ESTIMACIÓN. El cálculo exacto lo dan las calculadoras. En definitiva, los algoritmos largos (“las cuentas largas”) deben desaparece de la práctica escolar y de las actividades matemáticas en el sistema escolar. Los profesores/as de matemáticas enseñarán otros algoritmos destinados a desarrollar el cálculo mental y la estimación en nuestras alumnas y alumnos así como el uso de la calculadora.

Pautas para la enseñanza de los algoritmos. Teniendo en cuenta que los algoritmos, procedimientos económicos para resolver las operaciones numéricas, son instrumentos rápidos, eficientes

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y económicos y que su enseñanza/aprendizaje corresponde a la escuela primaria, hay que abordar su enseñanza/aprendizaje de la forma más significativa posible. Para su enseñanza-aprendizaje sería preciso tener en cuenta las pautas siguientes extraídas, entre otros, de Baroody (1988), Mesa Gómez (1998) y otros y con los aportes de nuestra propia experiencia:  1) Previo a la enseñanza de los algoritmos escritos es indispensable que los alumnos manejen la operación mentalmente y mediante aproximación así como el sistema de numeración decimal.  2) Tener en cuenta el conocimiento informal y previo de los alumnos de forma que constituya el punto de partida en la construcción de nuevos conocimientos y en la adquisición de nuevos algoritmos. Hay que procurar que los alumnos lo resuelvan, en primera instancia, con sus propios procedimientos, posibilitando la reflexión colectiva sobre cada una de las estrategias utilizadas , evaluando su utilidad, para poco a poco ir introduciendo formas más convencionales de cálculo, más abstractas, sistemáticas y económicas.  3) Estimular la comprobación de los cálculos escritos contrastando los resultados obtenidos con ellos con los obtenidos mediante procedimientos informales. Esto permite establecer puentes entre los procesos algorítmicos y las técnicas artesanales, propias y significativas (procedimientos informales)  4) Para la enseñanza/aprendizaje de los algoritmos de las operaciones aritméticas básicas conviene seguir las tres etapas recomendadas por Bruner.  5) Para afrontar significativamente la enseñanza/aprendizaje de los algoritmos es necesario conocer la estructura del sistema de numeración decimal, el conocimiento de los hechos básicos (las tablas) y las propiedades de las operaciones de manera funcional (conmutativa, asociativa, la propiedad distributiva del producto respecto de la suma,..)  6) Para un aprendizaje constructivista de los algoritmos las clases sobre las técnicas de cálculo debe pasar por diferentes momentos. Después de una fase de resolución individual, el maestro propone a los alumnos que cada uno explique el “método” que ha utilizado para resolver un cálculo. Se realiza una puesta en común en la que se exponen tanto los procedimientos correctos como los incorrectos. Luego, en otro momento, se les propone a los alumnos comparar los diversos procedimientos, observar en qué se parecen, analizar cuales fueron 171 LibrosEnRed

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más largos y más cortos, .. A partir de la reflexión y sistematización de lo realizado, los alumnos podrán avanzar hacia la utilización de estrategias más económicas de cálculo. Se realizan acuerdos que permiten ir aproximándose al algoritmo convencional.

Algoritmos de la suma y de la resta De la suma. Se partirá siempre de una situación problemática. Por ejemplo: Mi abuela me regaló el otro día 45€ para que me comprara una camisa. Después mi tía me regaló 32€ ¿Cuántos euros me regalaron entre las dos?  A) Los alumnos pueden utilizar diferentes procedimientos en una suma sin llevadas.Se empieza con este tipo de sumas ya que no exige, en sentido estricto, la comprensión y utilización del sistema de numeración decimal ya que no plantea el principal problema que es el de “reagrupamiento”. 0)45+32 = 47+30 = 77 1) 32+5 = 37 y 37+40 = 77 2)40+5+30+2 = 40+30+5+2 = 70+7 = 77 (Expandido horizontal)

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 B) Sumas con llevadas: 36+48 1) 30+40+6+8 = 70+14 = 70+10+4 = 84 (Expandido horizontal) Los algoritmos expandido vertical(2),extendido de derecha a izquierda(3),extendido de izquierda a derecha (4), abreviado (5) y convencional (6) se pueden analizar a continuación.

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Los métodos 1, 2, 3 y 4 evitan los procedimientos complejos de llevarse que, frecuentemente, conducen, a errores de olvido de anotación. También es indistinto comenzar por la izquierda o por la derecha ya que la forma natural de operar de los niños es de izquierda a derecha.  C) Sumas con llevadas (Procedimiento de sumas parciales) Por ejemplo:

Este método es muy apropiado porque:  1.Evita los procedimientos complejos de “llevarse”  2.Resalta el valor de posición del número ya que los alumnos no trabajan con las distintas columnas como si fueran conjunto de unidades.  3.Permite comenzar tanto por la izquierda (el más natural para los niños) como por la derecha.  D) Una vez dominado el procedimiento de sumas parciales se puede introducir el algoritmo convencional, estándar , tradicional o convencional.

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NOTA: Conviene que hasta muy avanzada la E. Primaria los algoritmos

convencionales se le propongan a los alumnos señalando las columnas con los órdenes de unidades (U., D., C., U.M., ..)

De la resta Se presentan siempre acompañándolos de situaciones problemáticas  a) Restas sin arrastre o sin llevada (Método de diferencias parciales) Ejemplo: 478-243=

0.Método de diferencias parciales (Expandido)

1. Método de diferencias parciales (Extendido).De izquierda a derecha y de derecha a izquierda.

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2. Método de diferencias parciales (Abreviado)

Desde este método al estándar o

 a) Restas con llevadas (Método de pedir prestado) Ejemplo: 753-627=

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Nota: se pide prestado a las decenas y se le suman las unidades de la decena a las unidades.

 b) Restas con llevadas (Método de diferencias parciales abreviado y expandido). En este caso basta entender que colocar un menos delante del número significa que se debe esa cantidad y que tienen que sacarla de os demás números.

A los 30 le resta 4 y quedan 26

 d) Método de las “vueltas” Los niños desarrollan este método algunas veces y parece reflejar la forma de calcular mentalmente. Las vueltas que debe dar el tendero cuando se hace una compra. Por ejemplo: 42-37=

y

136-68=

 e) Método de “pedir o pagar” o de “suma de iguales” Este es el método a trabajar en último lugar. Se basa en la propiedad uniforme de la desigualdad que nos dice: “al sumar dos número iguales a los dos miembros de una desigualdad la desigualdad continua”. También requiere el dominio de la equivalencia flexible entre10 unidades y 1 decena, 10 decenas y una centena…

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Al no ser un modelo que los alumnos realizan mediante estrategias informales hay que procurar acercarse gradualmente. Se comienza pues con las restas de números dígito sumándole el mismo número al minuendo y al sustraendo.

Los alumnos inducen que si al minuendo y al sustraendo se les suma un mismo número la diferencia no varía. Si restamos 7 5 3 – 6 2 7=

En este caso la expresión de 7 a 13, 6 y me llevo una expresada por el alumno de forma mecánica, se traduce en comprensiva al sumar 10 unidades a las unidades del minuendo y compensar con 1 decena sumada a las decenas del sustraendo.  f) Completar ceros en el sustraendo Este método propuesto por Solano (1987) se apoya también en las propiedades del procedimiento anterior. Si consideramos la resta siguiente:

Tanto el procedimiento e) como el f) exigen de una adecuada base conceptual y una buena base procedimental respecto del algoritmo “pedir prestado”.

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Algoritmos de la multiplicación y de la división De la multiplicación Los pasos, pues, a seguir serían los siguientes:  1) Aproximarse al resultado utilizando el cálculo mental/pensado y/o la estimación. Se partirá de un problema multiplicativo a fin de contextualizar el algoritmo.

   2)La suma reiterada/repetida

 3)Distribuyendo el multiplicando

 4)Expresar el paso anterior en forma multiplicativa

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O bien otra manera manipulativa/intuitiva es valiéndose del método rectangular. Por ejemplo, el producto de 24 x 3 es el número de cuadritos contenidos en el rectángulo de lados 24 y 3.

Se descompone el rectángulo en otros dos aprovechando la propiedad distributiva:

Estos cálculos se organizan de esta otra manera: 3 x (20 + 4) = 3 x 20 + 3 x 4 = 6 0 + 12 = 72

Para simplificar el procedimiento, se acostumbra a hacer la suma de 60 con 12 mentalmente. Se tiene, así, la forma habitual del algoritmo:

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24 x 3 = 72 3 x 4 = 12, me llevo 1 decena 3 x 2 = 6 decenas más 1 decena dan 7 decenas  5)Forma simplificada/estándar/habitual 

En todas estas fases, en los comienzos y siempre que se crea necesario, debiera conexionarse lo escrito con procedimientos concretos (Bloques Multibases, abaco,... material figurativo). La utilización más o menos profusa de la manipulación o la representación intuitiva dependerá de la capacidad del alumno para utilizar estrategias mentales y aconsejables, en todo caso, para alumnos con dificultades en el área de matemáticas. Suydam y Dessart plantean el siguiente proceso para la multiplicación de dos factores de más de una cifra:

52x 38=

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Con el modelo rectangular se puede plantear así. Por ejemplo, multiplicar 13x25. Se va a representar el producto 13x25 con el rectángulo siguiente:

Para encontrar el total de cuadraditos (o el área) del rectángulo, el camino natural es encontrar el total de cada parte y, después, sumar estos resultados parciales. Así pues, se debe efectuar 3 x25 para la parte más pequeña y 10x25 para la parte mayor, y sumar los resultados:

Otro ejemplo es el siguiente: 1 3 5 x 1 2 =

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A continuación se ofrece el modelo de disposición en tabla de doble entrada utilizado por los griegos empleando la descomposición de números y la propiedad distributiva: 135 x 12 = 1.620

tros métodos son:

 I)Descomponiendo según el valor posicional del multiplicador

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 II)Descomponiendo según el orden de unidades del multiplicando

 El último proceso, el de nuestro país, es el de mentalización (arrastrando la llevada en nuestra memoria)  De esta manera eliminar el 0 y en sustitución hacer recordar la regla del desplazamiento (se corre un lugar hacia la derecha) implica un aprendizaje comprensión y no arbitrario (el niño sabe por qué realiza esa acción), es decir, “ correr un lugar hacia la derecha”.  La siguiente evolución, con la aparición de los números árabes y el SND, es la de la codificación de los números actual sistema de multiplicación de los italianos .Los italianos siguen sin codificar su actual forma de multiplicar.

L a enseñanza/aprendizaje de la tabla de multiplicar.

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 En la escuela tradicional saberse la tabla de memoria era motivo de orgullo tanto para los alumnos como para el maestro. Pocos docentes osaban poner en duda la necesidad de este aprendizaje mecánico.  En la década de los 60 se modificó la enseñanza de la matemática. No se van a explicitar aquí las características de este movimiento pero si destacar que dentro de sus aspectos positivos se destaca la característica del aprendizaje comprensivo.  En el conjunto de críticas a la enseñanza tradicional una recayó sobre la mecanización de la tabla. Diversos autores y corrientes abolieron y prohibieron la memorización de la misma. El maestro o maestra que obligase a sus alumnos a memorizar la tabla era, muchas veces, considerado como “anticuado”, “retrógrado”.  El argumento de los renovadores, contrario a la memorización, era básicamente éste: “no se debe obligar al alumno a memorizar la tabla: se debe, pues, crear condiciones para que la comprenda”. Los adeptos de las nuevas tendencias alegaban que, si el alumno comprendiese la tabla, si entendiese el significado de códigos como 3x7, 8x6, 5x9, etc., entonces, cuando la precisase, solo, pensando, descubriría los resultados.  Algunos maestros rebatían esta afirmación sosteniendo que, sin saberse la tabla de memoria, un alumno no podría realizar multiplicaciones ni divisiones. A cada instante, en la realización de cálculos y en la resolución de problemas se “encasquillaría” al no saber la tabla de memoria. Todavía esta discusión se suele producir en cualquier reunión de maestros donde se plantee la enseñanza/aprendizaje de las matemáticas.  No obstante, y, salvo escasas excepciones, a pesar de las divergencias hay una opinión unánime: se debe rechazar la mecanización pura y simple de la tabla. Es absurdo exigir que los alumnos reciten: “dos por uno, dos”. “dos por dos, cuatro”, etc., sin que entiendan el significado de lo que están diciendo.  La multiplicación (igual que las restantes operaciones, la noción de número y el sistema de numeración decimal) precisa ser construida y comprendida. Esta construcción debe ser el resultado de un trabajo, intelectual por parte del alumno.  El término tabla es bastante antiguo y señala un conjunto de hechos numéricos como por ejemplo:

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3x1=3, 3x2=6, 3x3=9, etc.  Estos hechos son llamados por diversos autores, hechos fundamentales de la multiplicación.  Trabajando con materiales variados (papel cuadriculado, granos, palitos), explorando juegos y situaciones diversas, los alumnos podrán, muy pronto, construir y registrar los hechos numéricos que comprenden la tabla.  Entre las estrategias que permiten la adquisición relacionada/ significativa de los hechos multiplicativos básicos están las siguientes:   a)La suma reiterada  Constituye el fundamento más significativo de la multiplicación porque garantiza la comprensión de la misma. Es presentar el producto como una repetición de sumandos, la multiplicación como una suma abreviada. En su forma extensa aparece de esta manera: 1 vez 3=3 2 veces 3=3+3=6 3 veces 3=3+3+3=9 4 veces 3=3+3+3+3=12 La palabra “vez” se puede sustituir por x (por).  Una reducción de la forma extensa es la de aplicar la regla de no repetir todos los sumandos sino añadirle al resultado anterior un solo sumando. 1 x 3=3 2 x 3=3+3=6 3 x 3=6+3=9 4 x 3=9+3=12

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 Esta estrategia se puede facilitar con la construcción de seriaciones numéricas crecientes previas a la construcción de la tabla: 2-4-6-8-10-12- ... Esta estrategia implica una concatenación de los hechos multiplicativos a recordar y una tendencia, por tanto, a comenzar por uxi, para continuar con los restantes hasta llegar al que interesa calcular nxm, es decir, que para encontrar el 3x7 hay que retrotraerse al 3x1, 3x2,... 3x7.  b)Conmutar. Consiste en reducir el cálculo de un hecho multiplicativo a otro variando el orden de los factores. Si se conoce 4x8 se puede conocer 8x4. Esta estrategia reduce a la mitad los hechos multiplicativos a recordar. Por otra parte, de todos es conocido, incluso por propia experiencia, que aun conociendo cuánto es 9x7, muchas personas prefieren conmutar 7x9 antes de responder, como si se hubieran negado a memorizar la relación 9x7.  La aplicación de las dos estrategias, suma reiterada y conmutar, llevaría al alumno a la construcción de la tabla siguiente: 2 veces 3= 3+3= 3 veces 2= 2+2+2=6 Como se puede observar facilitaría el recuerdo (son dos caminos para llegar al resultado), simplificaría el aprendizaje de los hechos multiplicativos básicos en un 50% (cuando se construya la tabla del 3 el producto 3x2 ya ha sido trabajado) y prepararía para la división.

 c)Cálculo del doble  Esta estrategia consiste en recurrir a la suma de dobles y a su resultado la operación de doblar. La idea de que multiplicar por 2 es doblar se entiende sin dificultad a multiplicar por 4 (doblar y doblar o doblar dos veces o doblar el doble) o por 8 (doblar el doble del doble)

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Multiplicar por 3, es simplemente, añadir el doble del número multiplicado. 3 x 4=4+8(doble del 4) = 12 3 x 8=8+16(doble del 8)= 24

 d)Multiplicación por 10 (añadir un cero) La multiplicación por 10 es muy fácil de retener. Utilizando la propiedad conmutativa hacer comprender que 10x2 es igual que 2x10,... De forma inductiva se puede conseguir automatizar definitivamente la regla de multiplicación de un número por la unidad seguida de cero. También se puede multiplicar por cualquier número seguido de cero 2 x 80 = 2 x 8 x 10 =16 x 10 = 160 4 x 800 = 4 x 8 x 100 = 32 x 100 =3200

 e) Cálculo de la mitad. Para multiplicar por 5: 5 x 610 x 6 = 60 60:2 = 30 Para multiplicar por 5 se añade un cero al otro número y se divide por dos: 5 x 6 = 60:2 = 30  f)Descomposiciones (adición y sustracción del multiplicando)

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La estrategia de adición basada en la concepción de la multiplicación como suma abreviada es particularmente frecuente y cómoda de aplicar en las multiplicaciones por 3 y 6 apoyándose en las del 2 y del 5. 6 x 7 = 5 x 7+7 = 35 + 7 = 42 3 x 7 = 2 x 7 + 7 = 14 + 7 = 21 La estrategia de sustracción es simétrica de la anterior. Está prácticamente reservada a la multiplicación por 9: 9 x 7 = 10 x 7-7 = 70 – 7 = 63 Con las dos estrategias es posible aplicar un procedimiento iterativo (repetitivo) 7 x 6 = 5 x 6 + 6 + 6 = 30 + 6 + 36 + 6 = 42 8 x 4 = 10 x 4 – 4 – 4 = 40 – 4 – 4 = 36 – 4 = 32  g)Particiones Realizar la partición de los factores constituye una forma de resolver una multiplicación con factores más pequeños: 8 x 7= (4 +4) x (4 + 3)4 x 4 + 4 x 4 = 32 4 x 3 + 4 x 3 = 24 56 La actividad que se va a describir es bastante interesante: En ella, los alumnos construyen la tabla partiendo de algunos hechos numéricos simples ya trabajados con anterioridad, así como, de las estrategias referidas anteriormente. Primeramente se organiza la tabla y se registra con los alumnos los hechos numéricos.

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Podemos asomar a nuestros alumnos a la anterior tabla de doble entrada y dedicarnos a un amplio proceso de observación proponiendo las siguientes actividades:  1. Observar la tabla de multiplicar del 1.  2. Observar la tabla de multiplicar del 10.  3. Comparar la tabla de multiplicar del 2 con la del 1.  4. Comparar la tabla de multiplicar del 4 con el 2.  5. Comparar la tabla de multiplicar del 8 con el 4.  6. Comparar la tabla de multiplicar del 5 con el 10.  7. Comparar la tabla de multiplicar del 3 con la del 1 y la del 2.  8. Comparar la tabla de multiplicar del 9 con la del 10 y la del 1.  9. Comparar la tabla de multiplicar del 6 con la del 3. Como resultado de este proceso de observación-comparación llegarán a las siguientes conclusiones:  Multiplicar por 1 es no modificar el otro factor. Así, 1 x 54 = 54.  Multiplicar por 10 significa agregar un 0 al otro factor.  Los productos de la tabla del 2 son el doble de los correspondientes de la tabal del 1. Por consiguiente, multiplicar por 2 significa obtener el doble del otro factor. 190 LibrosEnRed

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 Los productos de la tabla del 4 son el doble de los correspondientes de la tabla del 2. Por consiguiente, multiplicar por 4 significa obtener dos ves consecutivas el doble a partir del otro factor.  Los productos de la tabla del 8 son el doble de los correspondientes de la tabla del 4. Por consiguiente, multiplicar por 8 significa obtener tres veces consecutivas el doble a partir del otro factor.  Los productos de la tabla del 5 son la mitad de los correspondientes de la tabla del 10. Por consiguiente, multiplicar por 5 equivale a añadir un 0 al otro factor y luego obtener la mitad de es último número.  Los productos de la tabla del 3 son la suma de los  correspondientes de l a tabla del 2 y del 1. Por consiguiente, multiplicar por 3 significa obtener el doble del otro factor (multiplicarlo por 2) e , inmediatamente , sumarle el mismo factor(multiplicado por 1).  Los productos de la tabla del 9 son la diferencia de los correspondientes de la tabla del 10 y del 1. Por consiguiente, multiplicar por 9 equivale a añadir un 0 al otro factor y luego restarle el mismo factor.  Finalmente, los productos de la tabla del 6 son el doble de los correspondientes de la tabla del 3. Pero también son la suma de los correspondientes de la tabla del 4 y del 2. O la suma de los correspondientes de la tabla del 5 y del 1. Como puede observarse esta “lectura” de las tablas de multiplicar permite manejarlas de una forma diferente: en lugar de aprender de memoria los productos – cosa que también se hace- se analiza cada tabla desde una perspectiva integral, es decir, desde el punto de vista de lo que hace con cualquier factor. Se observa también que todos los productos de todas las tablas se obtienen mediante operaciones muy simples: agregar un 0, hallar el doble, sumar y restar números. La tabla menos ”penetrable” es la del 7 – aunque puede verse como la suma del 5 y del 2 , o la diferencia del 8 y del 1 – pero la disponer de los productos de las demás tablas de una vez quedan incluidos los productos de la tabla del 7 menos el producto de 7x7. Estas actividades contribuyen a la memorización de la tabla. Está claro que este esfuerzo de memorización no debe ser obsesivo. Si un alumno, por ejemplo, no se acuerda de cuanto es 7x8, es importante que tenga la habilidad de pensar y descubrirlo por sí mismo, utilizando distintas estrategias:

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 Conmutativa: Comprobar si se acuerda del 8x7  Reiterativa o suma reiterada: Si se acuerda del 6x8, obtendría x 8 = 6 x 8 + 8 = 56

7

 Descomposición: 7x8=3x8+4x8=56. Descomponiendo el 7 en 3+4.  Partición: (3+4)x(4+4)=3x4+3x4+4x4+4x4=56  Doble: 7x8=2(7x4)2x28=56. Debemos, además, discutir con los alumnos la necesidad de esta “memorización”. Deben saber que es necesaria para que puedan desarrollar situaciones más complejas. La necesidad de memorizar está justificada. No es un capricho que los hechos “fundamentales” se llamen así. La fijación/ memorización de los mismos es importante para que el alumno comprenda y domine algunas técnicas de cálculo. En la exploración de nuevas ideas (fracciones, múltiplos, divisores, el tratamiento aprendizaje de la equivalencia de las proporciones, de las potencias, de la raíz cuadrada, etc.). la multiplicación aparecerá con frecuencia. Si el niño no tiene memorizado los hechos numéricos básicos estarán continuamente dependiendo de la tabla, desviando su atención de las nuevas ideas/nociones que estén trabajando. Para concluir hay que afirmar que los alumnos no deben memorizar mecánicamente la tabla pero que es preciso hacer un cierto esfuerzo para automatizarla. Se insiste que la memorización debe ser precedida por la comprensión. El énfasis debe ser colocado en la construcción de los hechos numéricos fundamentales. La preocupación por la memorización no tiene que ser obsesiva y exagerada.

Otros procedimientos para multiplicar Nosotros, habitualmente, multiplicamos así:

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No siempre las multiplicaciones se hacían así, a lo largo del tiempo. Diferentes pueblos, en diferentes lugares, desarrollaron variadas técnicas para multiplicar. Los egipcios, por ejemplo, crearon un interesante procedimiento utilizando duplicaciones sucesivas. Duplicar es doblar, es decir, multiplicar por dos. Para exponer el procedimiento se comenzará con algunos ejemplos simples. En los ejemplos siguientes no se van a utilizar la escritura de los números utilizadas por los egipcios sino en nuestra numeración. Se trata de facilitar la comprensión.  Multiplicar un número por cuatro es doblar o sea hallar el doble ya que 4=2x2. Por ejemplo, para obtener 4x17 se hace así: Doble de 17=34 Doble de 34=68 De esta manera 4x17=68  Multiplicar un número por 8 es doblar el doble de su doble, ya que 8=2x2x2. Para obtener 8x21 se hace así: Doble de 21=42 Doble de 42=84 Doble de 84=168 Por tanto, 8x21=168 Otro ejemplo 32x13 Doble de 13=2x13=26 Doble de 26=2x26=52 Doble de 52=2x52=104 Doble de 104=2x104=208 Doble de 208=2x208=416 Por tanto, 32x13=416 De esta manera mediante duplicaciones sucesivas es fácil multiplicar un número por 4, 8, 16, 32, 64, etc, (éstos son los números que se obtienen multiplicando el 2 por sí mismo sucesivamente). Pero, por ello, este

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procedimiento no permite obtener, por ejemplo, 14x23, ya que ninguno de los dos factores es 4, 8, 16, 32, 64, etc. Sin embargo, ¿Hay un modo de superar esta imposibilidad? Para comprenderlo hay que percatarse antes de lo siguiente: los números que no forman parte de la secuencia 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, etc., pueden siempre se escritos como la suma de los números que forman parte de ella. Por ejemplo, el 3, que no forma parte de la secuencia, es la suma de 1 y 2, que si forman parte de la secuencia. Otros ejemplo: 11 = 8 + 2 + 1 36 = 32 + 4 88 = 64 + 16 + 8 Realicemos la multiplicación 14x23. Primero se escribe uno de los factores (por ejemplo, el 14) como suma de la secuencia ya referida: 14 = 8 + 4 + 2 A continuación, se hacen las duplicaciones sucesivas del 23: 2 x 23 = 46 4 x 23 = 2 x 46 = 92 8 x 23 = 2 x 92 = 184 Como 14 x 23 = (8 + 4 + 2) x 23 = 8 x 23 + 4 x 23 + 2 x 23 = resulta que 14 x 2 3 = 184 + 92 + 46 = 322  Otro ejemplo ya simplificado, es el siguiente: 37 x 45 = ?37 = 32 + 4 + 1

1 x 45 = 45

45

2 x 45 = 90 180

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4 x 45 = 1801440 8 x 45 = 3601665 16 x 45 = 720 32 x 45 = 1440 Luego 37 x 45 = 1665. Una manera de disponer este modelo de multiplicación en tablas es el siguiente:

En el sistema de numeración egipcio vale el principio aditivo. Este carácter aditivo de la numeración usado por los egipcios refleja el procedimiento de cálculo que ellos desarrollaron. Esto se evidencia en el método analizado: para multiplicar, después de las duplicaciones (sumas dobles) realizadas sucesivamente, se hace una adición. El procedimiento egipcio tal vez explique el origen de la palabra multiplicar ya que en la lengua latina “multi” quiere decir varios y “plicare” significa doblar. Así, pues, multiplicar “es doblar varias veces”.

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Método para multiplicar utilizado por los árabes.  El algoritmo para multiplicar, que se presenta a continuación, era utilizado por los árabes que, probablemente, lo aprendieran de los hindúes. Se puede apreciar que es bastante parecido al que se utiliza hoy.  ¿Cómo multiplicar 482 x 36?

1.- Construimos la siguiente tabla, de 2 filas y tres columnas, en la parte superior coloco el 482, cada número en una columna y en el lateral derecho el 36, cada número en una fila.

2.- Cada casilla la relleno con el resultado de multiplicar el número situado en esa fila por el número situado en esa columna, quedaría del modo: ( todos los números deben tener dos dígitos, en caso que sólo tuviese uno , 6 , se coloca un 0 a su izquierda, 06 , como se ve en la tabla)

3.- Ahora trazo las diagonales de cada casilla del modo indicado en la siguiente figura procurando que, en cada casilla, haya un dígito a cada lado de la diagonal.

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4.- Ahora sólo nos queda sumar las líneas diagonales y obtenemos el 17.352 que es el resultado de multiplicar 482 x 36 = 17.352

Conclusiones metodológicas

respecto a la multiplicación:

 Las formas más primitivas de multiplicación, es decir, su evolución histórica (egipcia, griega, árabe,…) favorece la comprensión y el dominio del proceso por parte de los alumnos/as.  Hay que partir de los algoritmos informales que traen los alumnos.  Es interesante que los alumnos/as practiquen estas formas de multiplicación, que tienen mucho que ver con sus algoritmos personales o informales y la cultura numérica y matemática que poseen en estas edades.  La forma de la multiplicación italiana representa un buen modelo de comprensión, y puede/debe ser utilizada de manera regular por los alumnos/as, como paso previo para comprender nuestro algoritmo académico o convencional  Hay que evitar enseñar directamente nuestro algoritmo académico de la multiplicación ya que plantea muchos problemas de comprensión ya que son muchos los pasos ocultos implícitos en dicho mecanismo

Multiplicando con las manos.  El método de multiplicar con las manos era utilizado, hasta hace poco tiempo, por los campesinos de una región francesa. Estos campesinos se sabían de memoria la tabla hasta el 5 y, para multiplicar números comprendidos entre 5 y 10, como por ejemplo 6x9 ó 7x8, utilizaban sus dedos. Veamos como lo hacían para multiplicar 6x8. 197 LibrosEnRed

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 En una de las manos, doblaban tantos dedos como unidades el 6 pasa de 5, por tanto, se baja un dedo.

En la otra mano, se doblan tantos dedos como unidades el 8 pasa de 5, por tanto, se bajan 3 dedos.

Se suman el número de dedos doblados y ellos expresan las decenas. En este caso 1+3=4 decenas, es decir, 40 unidades.

 A continuación se multiplican los números de dedos levantados (no doblados): 4x2= 8 unidades.   Para obtener el resultado final se suman los valores hallados: 40+8=48. De hecho 6x8=48. Se usaba para obtener 7x8, 6x7, 7x9 y 6x9. También vale para los factores 5 y 10, que son los extremos del intervalo en que el procedimiento puede ser utilizado. Hay además, una manera interesante para hallar la tabla del nueve utilizando los dedos de las manos. Se colocan las manos abiertas sobre la mesa.

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Se observa que, a la izquierda del dedo doblado, quedarán 2 dedos y, a su derecha, 7 dedos. El resultado: 3x9=27

3.2.) DE LA DIVISIÓN: Prerrequisitos básicos

Los prerrequisitos básicos para abordar el aprendizaje del algoritmo escrito de la división son los siguientes:  Una correcta orientación espacial por las distintas direcciones/ orientaciones a tener en cuenta en la técnica usual de la caja. Implica, simultáneamente, el manejo de las nociones derecha, izquierda, arriba, abajo, delante, detrás.

 Las confusiones en la orientación espacial pueden acarrear al alumno graves problemas para la adquisición fluida/automatizada del algoritmo.  Automatización/fluidez en los hechos numéricos básicos (tablas) de la suma, resta y multiplicación.  Descomposición del dividendo en sus distintos órdenes de unidades y transformación de las unidades de un orden superior en otras de orden inferior.

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564= 5C+6D+4U 5C6D=56D 6D4U=64U  Expresar las divisiones en forma de multiplicación: 18 : 36 x 3 = 18  Expresar las multiplicaciones en forma de división: 6 x 3 = 1818 : 3 = 618 : 6 = 3  Resolver divisiones exactas de hasta 2 cifras valiéndose de los hechos multiplicativos básicos (tablas) 24 : 6 = 4 y 4 x 6 = 24 72 : 6 = 12 y 12 x 6 = 72 Resolver situaciones de dividir con las siguientes desigualdades de manera fluida a través de ejercicios de aproximaciones sucesivas: 13=4 x----- +---4x2=813 Resolución de la división por sumas o restas reiteradas 18:3= 3+3+3+3+3+3=

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1 3

2 6

3 9

1 8 – 3 = 15 1

4

5

6

12 15 18 15-3=12

veces resultado 12-3= 9

2

9- 3 = 6

3

4

6-3 = 3 5

3-3 = 0 6 veces

Proceso para la enseñanza/aprendizaje de los algoritmos de la división.  La secuencialización a seguir en la enseñanza/aprendizaje del algoritmo debiera ser la siguiente:  1)Una cifra en el dividendo Ejemplo 9:3=  Contextualizar en distintas situaciones problemáticas (partición, cuotición o agrupamiento, situación inversa a la multiplicación...):  Repartir en partes iguales: 9 entre 3 ¿Cuántas bolsas de 3 caramelos pueden formar con 9 caramelos? ¿Cuántas veces el 3 está contenido en 9? Tres caramelos cuestan 9 pesetas ¿Cuántas pesetas vale cada caramelo? ¿Qué número multiplicado por 3 da 9? Contextualizar manipulativa/gráficamente las situaciones problemáticas anteriores:  a)Repartir, mediante partición.

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   b) Grupos iguales de 3 contenidos en 9. Se puede realizar, por clasificación, en subgrupos de 3 o por restas sucesivas del sustraendo 3.

Un grupo- más un grupo- más un grupo = 3 grupos 9-3 =6( primer grupo) 6-3=3 (segundo grupo) 3-3=0 (tercer grupo)  c)Como factor desconocido. Operación inversa a la multiplicación. ---x 3 = 9  d)Como algoritmo abreviado.

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 2)Dos o más cifras en el dividendo y una cifra en el divisor. Nos podemos encontrar con las situaciones siguientes:  1.Cociente exacto y sin y con restos parciales.  2.Con cero en el cociente.  3.Con la primera cifra del dividendo igual o menor que la cifra del divisor.

Descomposición por el valor posicional del dividendo Una estrategia eficaz de repartos nos lleva a la idea de dividir descomponiendo en unidades el dividendo, es decir, mediante la propiedad distributiva.

Esta estrategia también se nos complica a medida que los números se hacen mayores y aparecen cada vez más reajuste de unidades (como en el caso de 342:3): 5000:12, 400:12, ... Esta misma forma de dividir, pero cambiando la estructura de la representación, sería:

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Vamos a tratar los siguientes casos partiendo de la disposición convencional de la caja. Fases:

Previo al algoritmo de lápiz y papel y dependiendo de la madurez del alumno se puede iniciar manipulativamente (con monedas, fichas, haces de palillos, bloques multibases, etc.) o bien utilizando el simbolismo gráfico. Una evolución de las formas de descomposición nos lleva a poner los números codificados pero seguir haciendo restas sucesivas:

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Si suprimimos los ceros de las unidades exactas, y vamos utilizando las cifras de una en una para dividir (CODIFICACIÓN):

Si además dejamos de hacer las restas, mediante cálculo mental, llegamos a nuestro algoritmo académico o convencional de la división.

Si nos enfrentamos con divisiones con restos parciales, por ejemplo, 873 dividido entre 4, haríamos:

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Divisiones con ceros en el cociente, ejemplo: 436 : 4

Vamos a dividir ahora un número donde la primera cifra del dividendo es menor que la cifra del divisor. Por ejemplo: 3 6 9 : 5

Otro modelo de algoritmo es el propuesto por Brouseau (1987), que es un procedimiento intermedio entre los procedimientos informales y el algoritmo convencional. Se trata de un recurso/procedimiento “transparente”. Este procedimiento posibilita a los alumnos controlar lo que hacen cada paso. Favorece también la estimación y el control posterior.

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Veamos otro ejemplo

89 : 9

Otro ejemplo:

Los egipcios tenían una curiosa manera de dividir, basándose en la manera en que multiplicaban. Así para hacer 125 : 5, y uniendo las cantidades que daban 125, conseguían averiguar la solución: 25 veces.

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Siguiendo en esta línea de convertir la división en una multiplicación existe una versión moderna: EL ALGORITMO HOLÁNDES de la división. Apliquemos la técnica a partir de la división: 342 : 3

Aplicaremos el método a otra división 6384 : 8 Veremos dos procesos distintos, uno aplicado por una persona poca experta en el método y otro aplicado por otra persona con más experiencia en el mismo.

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Persona poco experta

Persona experta

Al principio, los niños utilizan varias multiplicaciones para la búsqueda del cociente. Más tarde, se les propone buscar el mayor número posible, tratando de acortar la cuenta.  1)Dos o más cifras en el divisor. El desarrollo de este algoritmo de la división debe basarse en la técnica del cálculo aproximado y en la propiedad fundamental de la división exacta. Los pasos a seguir para fundamentar la propiedad fundamental de la división exacta deben ser los siguientes:  Multiplicar y dividir los dos términos de la división por el mismo número, para deducir tanto de forma experimental e intuitiva como numérica la propiedad fundamental: Si multiplicamos el dividendo y el divisor por el mismo número el cociente no varía.

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 Aplicación de la propiedad fundamental exacta al cálculo de los cocientes de divisiones en los que el dividendo y divisor representan decenas o centenas completas. Dividimos por 10 el dividendo y el divisor: 60 : 20 =36 0 : 1 0 = 6

y

20:10=2

por lo tanto 6: 2=3

Dividimos por 100 el dividendo y el divisor: 800 : 200 = 4

800 : 100 = 8

y 200 : 100 = 2 por lo tanto 8: 2=4

 Hallan el cociente de divisiones exactas, cuyos divisores tengan dos cifras y los cocientes una, aplicando la propiedad fundamental de la división exacta. Ejemplo: 630 : 70 = ?70 x ? = 630 630 : 70 =¿ ¿ Dividiendo dividendo y divisor por 10

63:7= 9

 Calcular el cociente de divisiones exactas y cuyos divisores tengan dos cifras y los cocientes una, aplicando la propiedad fundamental de la división exacta y el cálculo aproximado.

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Ejemplo: Dividir 304 entre 76 (división exacta)  Aproximar dividendo y divisor a la decena más próxima. 304 : 76 = ? 310 : 80 =  Se divide por 10 el dividendo y el divisor (aplicando la propiedad fundamental) 31 : 8 = ¿  Se calcula el cociente con la ayuda de la multiplicación. 31 : 8 = ? 8 x ? = 31 8 x 4 aproximadamente = 31  Se multiplica el divisor (76) por el cociente obtenido (4), producto que en este caso, al ser división exacta, es igual al dividendo 76 x 4 = 304

Ejemplo para una división entera: División 552:63  Se aproximan dividendo y divisor a la decena más próxima. 552 : 63 = --550 : 60 = -- Se divide por 10 dividendo y el divisor de la división de número aproximados (propiedad fundamental) 550 : 60 = ¿ 211 LibrosEnRed

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:10 : :10= 55 :

6=¿

 Se calcula el cociente expresando la división en forma de multiplicación y hallando el factor desconocido con ayuda de la tabla de multiplicación, si es necesario. 55 : 6 = ?

6 x ? = 55

6 x 9 aproximadamente = 55  Se multiplica el divisor (63) por el cociente obtenido (9) y el producto se resta del dividendo (552) 63 x 9 = 567  Como el producto (567) del cociente por el divisor es mayor que el dividendo se busca el número inmediatamente inferior (8) como cociente. 63 x 8 = 504

552 – 504 = 48

Para la generalización del algoritmo para divisiones cuyos divisores tienen 2 ó más cifras sean exactas o enteras, se pueden utilizar dos procedimientos básicos (el algoritmo usual o de caja y el método de restas con múltiplos del divisor) Realicemos la división siguiente 35.734: 43=

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a) a)Procedimiento usual: 1º) Se descompone el dividendo en sus órdenes de unidades:

2º) Al no poder dividir 35 millares entre 43 cortamos tres cifras, es decir, 357 centena se dividen por 43. Aproximamos el dividendo (357) y el divisor (43) a la decena más próxima. Asimismo, a las dos cantidades aproximadas (360 aproximada a 357 y 40 aproximada a 43) se le aplica la propiedad fundamental que consiste en dividir por 10 con lo que resulta la división: 36 : 4 = 9 Se multiplica el divisor (43) por el cociente parcial obtenido (9). 43 x 9 = 387 Como el producto (divisor por cociente parcial es mayor que el dividendo parcial (357) elegimos para el cociente número inmediatamente inferior o sea el 8. 43 x 8 = 344 Se compara con el dividendo 357 y como es inferior, se le resta

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Se transforman las 13 centenas en decenas 13 c x 10 = 130 d. Las 130 decenas obtenidas se suman con las 3 decenas que se bajan: 130 d + 3d = 133d Ahora se dividen 133 decenas entre 43 y aplicamos: La aproximación a las decenas más próximas: 133

a 130

y

4 a 40

Se aplica la propiedad fundamental: 130 : 40 = ? 13 : 4 = ? Cociente parcial: 13 : 4 = 3 Divisor por cociente: 43 x 3 = 129 Comparación con el dividendo. 129