La derivada como razón de cambio

UNIVERSIDAD CATÓLICA SANTO TORIBIO DE MOGROVEJO

FACULTAD DE HUMANIDADES ESCUELA PROFESIONAL DE EDUCACIÓN

TITULO

: La derivada como razón de cambio.

AUTORA

: Luzmila Sandoval Ynoñan.

COAUTOR

: Lic. Jorge Guillermo Díaz Albujar.

CICLO

:

VIII

Chiclayo – 2009

Sumario

Introducción. 1. Velocidad y aceleración de un cuerpo en movimiento rectilíneo. Problemas. 2. Razones de cambio relacionados. 2.1.

Problemas.

Conclusiones. Bibliografía.

Introducción

El análisis es una rama de las matemáticas, que se empieza a desarrollar a partir del inicio de la formulación rigurosa del cálculo y estudia conceptos como la continuidad, limites, la integración, la derivada y la diferenciabilidad de diversas formas. Es por ello, que se desarrolla la presente investigación denominada “la derivada como razón de cambio” con el propósito de conocer más sobre el tema y problemas relacionados con la misma.

Por tal razón se tiene en cuenta que la derivada es la razón de cambio en la curva, que está creciendo o decreciendo, pero que tanto, por eso es una razón de cambio, además por que se puede interpretar como una división, que es la tangente de un triangulo de tamaño minúsculo. En otras palabras la razón de cambio es la forma o velocidad con que va cambiando la variable. Si lo comparamos con la física, podríamos que es como la aceleración y la aceleración es cómo varía la velocidad respecto respecto en el tiempo.

Ante ello, se puede decir que el concepto más general de la razón de cambio instantáneo se puede relacionar con el concepto de de la velocidad en movimiento en el movimiento rectilíneo. Pues la razón de cambio instantáneo es una razón de cambio de la distancia respecto al tiempo, y si s=f (t) describe un movimiento rectilíneo, está razón de cambio en cualquier instante “t” esta representada por f¨´ (t0). De modo semejante nos interesamos en una razón de cambio de una cantidad respecto a otra.

Para su desarrollo de se ha plateado los siguientes objetivos: dar a conocer la derivada como razón de cambio y explicar problemas relacionados con el tema. Para ello el trabajo refiere a dos puntos importantes que se toman en cuenta en el trabajo como es: velocidad y aceleración de un cuerpo en movimiento rectilíneo y razones de cambio relacionados.

Por lo tanto, dicha investigación es de relevancia, puesto que es una ayuda personal para enriquecer más los conocimientos y ponerlos en práctica, y a la vez proporcionar información a otros, con la finalidad que se profundicen aun mas en el tema.

1. Velocidad y aceleración de un cuerpo en movimiento rectilíneo. Aquí se estudiaran cuerpos que se mueven sobre el eje x, cuya ley del movimiento se conoce, es decir, la función

que relaciona la

distancia x reconocida por el cuerpo, la cual su medida es en metros, en términos del tiempo t empleado en recorrer dicha distancia, pero medida en segundos.

Otras veces ocurrirá que la función

tiene un buen sentido para toda

“t” real, siendo su dominio natural R. Sin embargo, está función por ser representada físicamente. Sólo se considera valores de t no negativos. De hecho el valor de la función

para

, es la posición

inicial del cuerpo, es decir, que viene a ser el punto sobre el eje x de donde va a partir el movimiento del cuerpo. Pues es importante calcular la velocidad y aceleración del movimiento de este cuerpo y darle interpretación físicas a los resultados y por ende la herramienta que se utiliza para esta clase de problemas serán las derivadas de la función

Por esta razón, se recuerda que la derivada

.

de la ley del movimiento

del cuerpo, representa la velocidad instantánea del cuerpo a los t segundo de haber comenzado su movimiento

Esta derivada mide la rapidez de variación de la distancia tiempo

. Para

tenemos

cuerpo, denotado como

respecto del

que es la velocidad inicial del

. Observe que si

, entonces la función

es una función creciente, lo cual significa que los valores de aumentan con el tiempo, es decir para

, se tiene:

, lo cual se interpreta en términos de la dirección del movimiento del cuerpo, como que esta ganando distancia a medida que pasa el tiempo.

De la misma forma si

entonces la función

es decreciente,

es decir, que para

se tiene

, lo cual

significa que los valores de

disminuye con el tiempo. A continuación

veamos problemas relacionados con el tema.

1. La ley del movimiento de un cuerpo es

, en donde x se

mide en metro y t en segundos. Determine: (a)

La posición inicial, (b) la velocidad inicial, (c) la velocidad a los 2

segundos de haber comenzado el movimiento, (d) la velocidad a los 5 segundos de haber comenzado el movimiento, (e) el tiempo durante el cual se está moviendo hacia la derecha, (f) el tiempo durante el cual se esta moviendo hacia la izquierda.

Solución: a. La posición inicial del cuerpo es:

Esto indica que su movimiento comienza en el origen. Por consiguiente, para dar respuesta a lo siguiente se usará la derivada de la función b. La

velocidad

entonces

inicial

, la cual es es

de lo cual se concluye que el cuerpo comienza a

moverse hacia la izquierda. c. A los 2 segundos la velocidad es

,

esto quiere decir que el cuerpo se sigue moviendo hacia la izquierda. d. A los 5 segundos la velocidad es

. Esto

quiere decir que ahora el cuerpo se esta moviendo hacia la derecha. e. Mientras mientras

el cuerpo se moverá hacia la derecha. Es decir .

Esto ocurre para t > 3. Así pues, después de los 3 segundos, el movimiento del cuerpo es hacia la derecha. f. De (e) se concluye que para

, el movimiento del cuerpo es

hacia la izquierda. Se observa que en el instante dirección

en

el

en el que ocurre el cambio de

movimiento,

el

cuerpo

se

encontraba

en

Pues esta a 9m a la izquierda del origen. El movimiento de este cuerpo puede presentarse esquemáticamente como sigue:

t=5 t=3

t=2

t=0

-9

0

x

Por otro lado, tenemos la aceleración, que se calcula como la derivada, respecto de t de la velocidad

Es decir, en términos de la función movimiento del cuerpo, la aceleración “a” es

que proporciona la ley de Esta vendrá

a ser la segunda derivada de la función

Las unidades por la que se mide la aceleración es en m/s². También se observa que si

entonces la función

es creciente, es decir, si

, entonces la función

. Esto significa que

el cuerpo va aumentando su velocidad.

De igual manera, si decir, si

, entonces la función

es decreciente. Es

, entonces

, lo cual significa que

el cuerpo va disminuyendo su velocidad.

2. Un cuerpo se mueve sobre el eje x con una ley de movimiento , en donde x se mide en metros y t en minutos. Determinar los momentos en que el cuerpo se mueve hacia la derecha, hacia la izquierda, con aceleración positiva y con aceleración negativa.

Solución: La velocidad del cuerpo es

. El cuerpo se moverá hacia

la derecha cuando

lo cual ocurre para

. Es decir, que después de los

y para

minutos, el cuerpo se mueve hacia

la derecha y por razonamiento se deduce que para movimiento del cuerpo es hacia la izquierda. En el instante t

, el en que el

cuerpo cambia de dirección en su movimiento y se encontraba en la posición hacia la izquierda.

La aceleración es para

la cual es positivo para

. Es decir, la velocidad del cuerpo es siempre creciente.

Estos resultados obtenidos se muestran en la gráfica:

y negativa

t = √2

t=0

0

-4√2

x

3. La ley de un punto sobre el eje x es

en donde x se

mide en centímetros y t en minutos. Determinar la velocidad y aceleración del punto a los

y

Solución: La velocidad en el instante

es

y la aceleración

es Al

tiempo

la

velocidad

instantánea

del

punto

es

de

Esto quiere decir que el punto se mueve hacia la izquierda.

Al tiempo

la velocidad es de

Esto quiere decir que el punto se mueve hacia la derecha. La aceleración del movimiento siempre en positivo e igual a

4. Un punto sobre el eje x se mueve bajo la ley

,

en donde x se mide en metros y t en minutos. Determinar la velocidad inicial del punto, los intervalos de tiempo en que el movimiento es a la izquierda y los intervalos de tiempo en que el movimiento es a la derecha.

Solución: La velocidad instantánea es

de modo que en

, se tiene

Este es la velocidad inicial del punto. Es decir

que su movimiento comienza hacia la derecha.

Pero el movimiento del punto será hacia la izquierda en los tiempos t en que y hacia la derecha en los tiempos t en que Como

representa

geométricamente una parábola que abre hacia arriba y corta el eje t en , vemos que para

y para

se tiene

y

por lo tanto el movimiento será hacia la derecha, mientras que para se tiene

y entonces para este tiempo el movimiento es a

la izquierda.

En el instante del

punto

en que ocurre el cambio de dirección en el movimiento de

derecha

a

izquierda,

es

se

encontraban

a la derecha del origen.

Mientras que a los

cuando ocurre el segundo cambia de dirección

en el movimiento del punto de izquierda a derecha, éste se encontraba en de origen.

El esquema de todo esto es el siguiente:

metro a la derecha del

t=4 t=2

t=0 0

8/15 2/3

y

x

5. Dos cuerpos que han partido del origen comienza a moverse en el

eje

x,

con

leyes

de

, sobre y

movimiento

respectivamente, en donde los

se miden en

metros y los

en minutos. Decir si estos dos cuerpos se encuentran en

igual instante

. En caso afirmativo, calcular la velocidad de ambos en el

instante del encuentro.

Solución: Primero se observa que ambos cuerpos comienzan respectivamente sus movimientos en el origen, pues

y

. Tenemos que

los derivados de las leyes del movimiento de estos dos cuerpos son: y

. Aquí para

y

tenemos:

. Esto quiere decir, que el primer

cuerpo comienza moviéndose hacia la izquierda con una velocidad inicial de y el segundo comienza su movimiento hacia la derecha con una velocidad inicial de

.

Pero se pregunta si es que existe el encuentro de estos cuerpos. Si es que esto pasara, ocurriría en algún valor

para el cual

, lo cual nos

conduce a procurar una solución positiva de la ecuación:

de donde se obtienen las raíces y

. Este último es la solución que se busca. Es decir, que a los

5min. de haber comenzado su movimiento, los dos cuerpos se encuentran a

los

metros del origen, con

velocidades

y

de .

Entonces en el momento del encuentro ambos cuerpos se están moviendo hacia la derecha.

6. Tres puntos se mueven en el eje

, sus respectivas leyes de movimiento

son: en donde x se mide en metros y t en minutos. Verificar que en un momento los tres puntos se encuentran. Descubrir la posición y la velocidad de cada uno de los puntos en ese instante.

Solución: y

Los puntos comienzan su movimiento en respectivamente. Pero se debe ver que existe una lo cual

para

. Es decir, se debe observar que el sistema de

ecuaciones:

Tiene una solución positiva. Considerando sólo la primera igualdad: , se obtiene t = 4, este es el mismo valor por el cual: . Es entonces, a los tres

puntos

de haber comenzado el movimiento, que los se

encuentran

La velocidad de cada uno de los puntos en el instante del encuentro es:

en

y ,

se

están

moviendo

hacia

la

derecha

respectivamente de 3,2 y 1 por minutos.

2. Razones de cambio relacionados Aquí se abordaron problemas en la cual va a contener lo siguiente: Se toman dos variables que están cambiando con el tiempo, digamos: y

. Ambos pueden ser distancias, áreas, volúmenes, etc. Las

variables a su vez están relacionadas entre si por medio de una ecuación como .

Ya se conoce la velocidad a lo que está cambiando con el tiempo, digamos alguna de estas variables y se quiere conocer la velocidad a la que está cambiando la otra variable, es decir, que al conocer conocer

. Se quiere

, respectivamente, Pero la manera de abordar estos

problemas es considera la relación

esta será la ecuación que se

debe obtener correctamente, ya que conecta las variables “x” y “y”, los cuales deben ser en primera bien identificados.

Después de esto, lo que sigue es saber derivar bien la expresión respecto del tiempo, aplicando debidamente la regla de la cadena y obtener lo que el problema pide; sustituyendo la información del mismo en la expresión o derivado. A continuación se dan a conocer problemas relacionados.

1. Se lanza una piedra a un estanque de aguas tranquilas y se genera una serie de ondas circulares concéntricas. El radio de la primera onda aumenta a razón de 0.5 centímetros cada segundo. ¿A que velocidad está cambiando el área del circulo que encierra esta onda cuando el radio del círculo es metro? Solución: Primero el radio r del círculo de la onda que se está expandiendo y segundo el área A de tal circulo.

Estas dos variables son funciones del tiempo: a medida que transcurre el tiempo tanto el radio como el área cambian. Este hecho lo enfatizamos .

escribiendo

A

su

vez

estas

dos

variables

están

relacionadas entre sí.

En el problema se nos proporciona la velocidad, de aquella a la que varía el radio del círculo. Esta velocidad es la derivada ambos miembros en

. Pero si derivamos

respecto del tiempo obtenemos:

De esta última expresión conocemos

, y queremos calcular

que

es la velocidad a la que esta variando el área con el tiempo cuando el radio es Observe que este último dato es importante, pues en la

de

expresión obtenida para

, se delata que esta variación del área aumenta a

medida que crece r. Así pues se quiere conocer

cuando r = 100 cm, siendo

cm/s. Entonces

.

Esto quiere decir que el área del círculo está cambiando una de

r= f(t )

centímetros cuadrados cada segundo.

A =g(t) = πr²

2. Un punto se mueve sobre la parábola

de tal modo que su abscisa x

aumenta a una velocidad constante de

Calcular la velocidad a la que

varía la ordenada de este punto cuando pasa por (1,1). Solución: Primer tanto la abscisa como la ordenada del punto que se mueve sobre la carretera

están variando con el tiempo. En el problema se nos da la

información de que punto pasa por

y se nos pregunta

en el instante en que el

. Este es un punto de la parábola

respecto de t la expresión

Si sustituimos los valores

. Al derivar

obtenemos:

y

=2 obtenemos que:

Es decir la ordenada del punto se está moviendo a una velocidad de 4 cm/s en el instante en que el punto está pasando por (1,1).

3. Un punto se mueve sobre la hipérbola

de tal modo que su abscisa x

aumenta a una velocidad constante de 2cm/s. Calcular la velocidad a la que varía la ordenada de este punto Solución: Tanto la abscisa x como la ordenada y del punto que se mueve sobre la carrera están variando con el tiempo, digamos que Pues en el problema se nos da la información de que pregunta por

en el instante en que el punto pasa por

el punto de la hipérbola

. , y se nos . Este viene a ser

. Al derivar respecto de t la expresión

obtenemos:

Si sustituimos los valores

y

, obtenemos que:

La presencia del signo menos en el resultado, indica que el punto está pasando por (1,1), la ordenada

es una función decreciente del tiempo, la

ordenada va tomando valores cada vez más pequeños.

Entonces cuando el punto esta pasando por (1,1), con su abscisa que crece a una velocidad de 2cm/s, su ordenada está decreciendo con la misma rapidez, es decir con una velocidad de

.

Por lo tanto, el punto esta moviéndose sobre la parábola

del ejemplo 2.

y = x²

x

2cm/s

4. Se inyecta gas a un floro esférico a razón de

. Calcular la rapidez a la

que esta aumentando el radio del globo después de 2 horas de haber comenzado a inflarlo. Solución: al radio del globo en metros al tiempo

Llamaremos sea

el volumen en

en horas, y

del globo en el instante t. Las variables V y r

están relacionadas por (el volumen V de una esfera de radio r). Si derivamos respecto de t en ambos miembros de esta expresión nos queda:

Sabemos que

y queremos saber el valor de

después de dos

horas de haber comenzado a inflar el globo. En este instante el volumen del globo es de sea:

, de modo que su radio lo obtenemos de la formula

,o

Entonces de la expresión que obtuvimos entre

nos queda que:

Es decir a las dos horas de haber comenzado a llenar el globo su radio está aumentando con una velocidad de 13 centímetros por hora. A continuación se grafica el punto moviéndose sobre la curva y y =In(3x+1) 1cm/s x

5. Un punto comienza a moverse en coordenadas, por la curva

, partiendo del origen de

de tal modo que su ordenada crece

a una velocidad de 5cm/s. Solución: De acuerdo con la expresión del tiempo, que:

, obtenemos, al derivar respecto

Se dice que

y se nos pregunta por el instante en que

. Al

sustituir estos datos en la expresión anterior obtenemos que:

Es decir, cuando el punto está pasando por el punto de abscisa

es que

. La ordenada correspondiente de

está creciendo a una velocidad de este punto es

, puesto que está último está , concluimos que es después de

creciendo a una velocidad de

segundos de haber comenzado el movimiento, cuando el punto está pasando por

y por lo tanto, cuando su abcisa está

aumentado a una velocidad de 5cm/s. A continuación se grafica:

y=1/x

x

2 cm/s

El punto se está moviendo sobre la hipérbola

del ejemplo anterior N° 3.

6. En un recipiente, en forma de cono circular recto (invertido), con radio de base R = 30 cm. Y altura H = 50 cm, se vierte agua a razón de dos litros cada minuto. Si en

el recipiente estaba vació, calcular la velocidad a la que

esta aumentando el nivel de agua en el recipiente, después de 5 minutos de haber comenzado a llenarse. Solución: Llamemos x a la altura del agua medida, en cm respecto de la base en que descansa el recipiente. En un instante dado

, hay un cono de agua dentro

del recipiente cónico, el cual tiene altura x y radio de la base r. Tanto x como r son funciones del tiempo t, digamos

y

. El volumen V de este

cono de agua es:

La variación que tiene este volumen respecto del tiempo es

.

Por otra parte las variables r y x están relacionadas entre sí. Para determinar esta relación.

Observemos la siguiente figura.

A´ R=30cm

30

B´

50 A

B X

H=50 cm

O

El

es semejante al

de modo que:

Es decir que: , de donde se obtiene que

, y el volumen de agua vertido al

recipiente, en términos de altura x, se ve como:

Al derivar respecto del tiempo ambos miembros de esta expresión obtenemos:

Se quiere saber

, la rapidez a la que esta subiendo el nivel del agua en el

recipiente, a los 5m de haber comenzado a llenarse. Puesto que se están vertiendo 2 litros cada minuto, a los 5 m. hay 10 litros (10000cm3) de agua en el recipiente. Entonces se tiene que:

Es decir, a los 5m de comenzar a vaciar el agua al recipiente, la altura del líquido era de 29.823. De la relación encontrada entre

obtenemos que:

Así el nivel del líquido está subiendo a una rapidez de 1.988 centímetros cada 5 minutos después de que comenzó el llenado.

Conclusiones

 La derivada no es más que la pendiente de una recta cualquiera la cual es tangente a una curva, que es continua en (a, b) y la razón de cambio es la proporción, donde una variable cambia con respecto a otra como por ejemplo la velocidad, la cual es una razón de cambio del espacio con respecto al tiempo.  Los problemas relacionados con el tema de la derivada como razón de cambio, han permitido entender más sobre el tema, ya que se toman puntos como el movimiento rectilíneo que se ve en Física más la aceleración, el tiempo en que se mueve un cuerpo, entre otro.

Bibliografía

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Pita, C. (1998). Calculo de una variable. México: Prentice Hall.