La Braquistocrona, demostración

 Asignatura Métodos Numéricos  Avanzados en Ingeniería

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 Apellidos: TRAVEZ PILLO 17-12-2017 Nombre: WILSON

 Acc t i v i d a d e s  A Trabajo: Braquistócrona. Planteamiento de la ecuación de la  braquistócrona que une los puntos (0,0), (3,-2) Descripción Imaginemos que somos propietarios de un parque de atracciones y que vamos a abrir una nueva atracción, « La

Furia de Euler »

(una montaña rusa). En uno de los tramos

queremos que la velocidad del vagón sea la máxima posible para atraer la atención del público y, de ese modo, tener probabilidades más altas de hacernos ricos. La braquistócrona es la curva que minimiza el tiempo que tarda en recorrer un cuerpo que parte en reposo la distancia entre dos puntos del plano.  Asumiendo que estamos estamos en un mundo ideal y que no existe rozamiento, rozamiento, partiendo partiendo de las ecuaciones de Energía Cinética

 =   

  y Energía Potencial (

 = 

), se

pretende que seas capaz de construir el planteamiento para deducir la ecuación de la  braquistócrona que parte del punto (0,0) (0,0) y acaba en el el punto (3,-2).

Objetivos Planteamiento de un problema que podría ser real.

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 Accede a la demostración visual a través del aula virtual http://www.vimeoinfo.com/video/52369527/la-cicloide-braquistocrona-tautocrona

Desarrollo.El nacimiento del cálculo de variaciones se atribuye al problema de la braquistocrona 1 o curva de descenso más rápida, propuesto y resuelto por el eminente matemático suizo Johann Bernoullien 1696, aunque también dieron soluciones otros contemporáneos suyos como Jacob Bernoulli, Leibnizy, Newton. Dicho problema consistía en determinar cuál, de entre todas las posibles trayectorias, era la que llevaba a una partícula sin rozamiento en el menor tiempo posible, desde un punto A hasta otro punto B en el mismo plano vertical, sujeto sólo a la acción de la gravedad[1]. Para el problema planteado según la gráfica, se podrían plantar una infinidad de posibilidades de respecto a las trayectorias que van de A a B y nos hemos de quedar con la curva con menor tiempo asociado. 1 2 A

-1 -2 -3

B

Figura 1, Posibles trayectorias de una partícula de masa m para llegar de A a B Consideremos el plano vertical de coordenadas cartesianas x e y que contiene a los puntos A y B, la curva solución debe estar contenida en dicho plano. Sea A el origen de coordenadas, el eje x de abscisas con sentido positivo hacia donde apunta la gravedad y, sea B = (2,-3). Consideremos una curva en dicho plano arbitraria y descrita por la gráfica  y = y ( x ) con 0 ≤ x ≤ x 1 . Supondremos que la curva es suave, es decir, es de clase C 1 en

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su dominio. Además impondremos que los puntos inicial y final de dicha curva sean A y B respectivamente, es decir, y (0)=0 e y (x 1)= y 1=-3. Se tomaran las siguientes consideraciones: 1. La masa m en su descenso, conserva su energía mecánica puesto que no hay rozamiento. 2. Parte con velocidad inicial nula del punto A. Entonces, La energía mecánica en A vale E A   = mgh A , siendo E A   > 0 y h A   la altura a la que se encuentra el punto A. Conservando la energía mecánica en cualquier otro punto de la trayectoria de la partícula se tiene

12   ℎ = ℎ  = 2ℎ  ℎ

Donde h es la altura en cualquier instante durante la trayectoria Factoramos y simplificamos m de ambos miembros

Del sistema de coordenadas escogido se tiene que h A -h=y Entonces

 =  2

, si g es la gravedad y se considera constante

=>  =  

(1)

El problema de la Braquistocrona se asocia a otro problema que surge en la óptica.

Figura 2, refracción de un haz de luz al incidir sobre un medio de densidad diferente, fuente [3] Del problema de óptica se toman las siguientes condiciones

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1.  V 2 < V 1 2. El tiempo total que tarda el haz de luz en llegar de A a B es T=T 1+T2, usando

  = √+   +− 

Pitágoras tenemos:

3. Si minimizamos el tiempo que tarde en llegar de A a B entonces Usando MATLAB derivamos T

 = 0

diff(T,x) dT/dx = x/(v1*(a^2 + x^2)^(1/2)) - (2*c - 2*x)/(2*v2*(b^2 + (c - x)^2)^(1/2)) pretty(dT/dx) (solución editada)

 =  √              0 = √              = √          = 

De la consideración 3 tenemos

Tomando en consideración la gráfica 2, tenemos

Esta igualdad expresa la conocida ley de refracción de Snell, cuya forma inicial obtenida experimentalmente es:

Donde a es una constante

 = 

La suposición acerca de que el rayo de luz pasa de A a B en un tiempo mínimo se conoce como principio de Fermat del tiempo mínimo. Su importancia radica en que se puede emplear para hallar la trayectoria (en general no rectilínea) de un rayo de luz que atraviesa un medio de densidad variable [3].

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Figura 3, refracción de un haz de luz al incidir sobre diferentes medios de densidades diferentes, fuente [3]

 =  =  = 44  = 

Haciendo el número de capas infinito

(2)

Donde C es una constante

1

A

2

-1 -2 β -3

α

B

Figura 4, descenso desde el punto A hasta el punto B de tal manera que el tiempo de descenso sea mínimo. De la figura 4

1  = 1 1 ′  =  = 1  = 1  

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Sustituyendo en (1) y (2)

1  1  ′ =   =  1′

 =  1′ 3

Esta es la ecuación de Euler para funcionales que dependen de y e y ’ De 3 se puede obtener

Separando las variables

′ =    =     =   

Realizando un cambio de variable en referencia a la figura 4, tendremos

 = ∅ (4)

Despejemos y

  ∅ =   ∅ =     ∅ ∅ =    ∅ =   ∅   ∅ =  ∅1  = ∅∅   ∅    = 1 ∅  ∅  = ∅ ∅  (5)

Derivando en MATLAB y=c *sin( )^2

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∅

 y =c*sin( )^2 >> diff(y)

∅ ∅

2*c*cos( )*sin( )

 = 2 ∅∅∅  = ∅ 2 ∅  ∅∅ ∅  2 ∅∅∅  = ∅  = 2∅ ∅

Reemplazando en 4

Integramos usando MATLAB f=2*c*sin(fi)^2 f= 2*c*sin(fi)^2 >> int(f,fi) ans = (c*(2*fi - sin(2*fi)))/2

 = 2 2∅2∅1

Tomando en cuenta las condiciones iniciales tenemos y(0)=0,

 = 2 2∅2∅  = ∅ = 2 1cos2∅ ∅  =    = 1

∅= 0

 => c1=0

Con la ecuación 5 finalmente tenemos

Haciendo r=C/2 y θ=2

Para el punto B(2,-3), resolviendo simultáneamente las ecuaciones

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2 =   3 = 1 3  = 1 3   2 = 1 23 = 1   3( )21 = 0 3 322 = 0

, considerando el sistema de referencia tomado y es negativo

θ=0 y θ=1.7859 rad Con 0 r no existe Entonces con 1,7859 r =1963/794, valor obtenido en MATLAB Grafica en MATLAB

%x=r(θ-sen(θ)) %y=r(1-cos( θ)) clc clear  r = 1963/794; theta = linspace(0,2*pi); x = r*(theta-sin(theta)); y = -r*(1-cos(theta)); subplot(1,2,1),plot(x,y,'r') title('BRAQUISTOCRONA') xlabel('x') ylabel('y') axis equal grid on theta = 0:0.01:1.7859; x = r*(theta-sin(theta)); y = -r*(1-cos(theta)); TEMA 1 – Actividades

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subplot(1,2,2),plot(x,y,'Color',[0,0.7,0.9]) title('BRAQUISTOCRONA') xlabel('x') ylabel('y') axis ([0 2 0 -3]) grid on

Conclusión. Las ecuaciones

con dT/dx=0, tiempo mínimo, obtenidas son las ecuaciones

paramétricas de una cicloide, de entre todas las posibles trayectorias esta sería la que cumple la condición requerida. Bibliografía 1.- Isaac A. García. (2005). Teoría de estabilidad y control, Lleida: Edicions de la Universitat de Lleida 2.- Isaac A. García Susanna Maza. (2009). Métodos numéricos Problemas resueltos y prácticas, Lleida: Edicions de la Universitat de Lleida.

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3.- Jaramillo, J. (2015), matemática aplicada ecuaciones diferenciales problema de la

 braquistocrona. 4.- Galiano, G. (2003). Introducción al Cálculo Variacional. Universidad de Oviedo.

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