Geometría Actividades Segundo grado de Secundaria
Editorial
Geometría Libro de actividades seGundo Grado de secundaria coLección inteLectum evoLución ©
Ediciones Lexicom S. A. C. - Editor RUC 20545774519 Jr. Dávalos Lissón 135, Cercado de Lima Teléfonos: 331-1535 / 331-0968 / 332-3664 Fax: 330 - 2405 E-mail:
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Responsable de edición: Yisela Rojas Tacuri Equipo de redacción y corrección: Josué Dueñas Leyva / Christian Yovera López Marcos Pianto Aguilar / Julio Julca Vega Óscar Díaz Huamán / Kristian Huamán Ramos Saby Camacho Martinez / Eder Gamarra Tiburcio Jhonatan Peceros Tinco Diseño de portada: Miguel Mendoza Cruzado / Cristian Cabezudo Vicente Retoque fotográfico: Luis Armestar Miranda Composición de interiores: Lourdes Zambrano Ibarra / Natalia Mogollón Mayurí Roger Urbano Lima Gráficos e Ilustraciones: Juan Manuel Oblitas / Ivan Mendoza Cruzado Primera edición: 2013 Tiraje: 15 000 Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú N.° 2013-11979 ISBN: 978-612-313-087-9 Registro de Proyecto Editorial N.º 31501001300685 Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, sin previa autorización escrita del editor. Impreso en Perú / Printed in Peru Pedidos: Av. Garcilaso de la Vega 978 - Lima. Teléfonos 331-1535 / 331-0968 / 332-3664 E-mail:
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La coLección inteLectum evoLución para Secundaria ha sido concebida a partir de los lineamientos pedagógicos establecidos en el Diseño Curricular Nacional de la Educación Básica Regular, además se alinea a los patrones y estándares de calidad aprobados en la Resolución Ministerial N.º 0304-2012-ED. La divulgación de la coLección inteLectum evoLución se adecúa a lo dispuesto en la Ley 29694, modificada por la Ley N.º 29839, norma que protege a los usuarios de prácticas ilícitas en la adquisición de material escolar. El docente y el padre de familia orientarán al estudiante en el debido uso de la obra.
Contenido Temas
Páginas
Líneas y segmentos Aplicamos lo aprendido Practiquemos
6 8
Ángulos
PRIMERA UNIDAD
Aplicamos lo aprendido Practiquemos
Triángulos Aplicamos lo aprendido Practiquemos
Triángulos rectángulos notables
29 31
Maratón matemática
35
Aplicamos lo aprendido Practiquemos
Polígonos Aplicamos lo aprendido Practiquemos
Cuadriláteros Aplicamos lo aprendido Practiquemos
Circunferencia
44 46 50 52 56 58
Maratón matemática
62
Aplicamos lo aprendido Practiquemos
Semejanza de triángulos Aplicamos lo aprendido Practiquemos
Relaciones métricas Aplicamos lo aprendido Practiquemos
Relaciones métricas en triángulos rectángulos
65 67 71 73 77 79
Aplicamos lo aprendido Practiquemos
84 86
Maratón matemática
89
Polígonos regulares Aplicamos lo aprendido Practiquemos
Área de una región plana
CUARTA UNIDAD
38 40
Aplicamos lo aprendido Practiquemos
Proporcionalidad
TERCERA UNIDAD
21 23
Aplicamos lo aprendido Practiquemos
Congruencia de triángulos
SEGUNDA UNIDAD
12 14
Aplicamos lo aprendido Practiquemos
Geometría del espacio Aplicamos lo aprendido Practiquemos
Transformaciones geométricas en el plano cartesiano
92 64
97 99
102 104
Aplicamos lo aprendido Practiquemos
107 109
Maratón matemática
111
Unidad 1
Recuerda Euclides Se conoce muy poco de la vida de este sabio griego. Posiblemente vivió entre el 365 y el 300 a. C., pero se desconoce su lugar de nacimiento. Se le denomina de Alejandría porque fue en esta ciudad donde desarrolló todo su trabajo. Su obra Elementos de geometría es el texto matemático de más éxito en toda la historia, tanto es así que hasta una época muy reciente se utilizaba como texto escolar en Inglaterra.
Arquímedes (287-212 a. C.) Se le considera padre de la ciencia mecánica, y el científico y matemático más importante de la Edad Antigua. Tuvieron que pasar casi dos mil años para que apareciese un científico comparable con él: Isaac Newton. En el campo de las matemáticas puras su obra más importante fue el descubrimiento de la relación entre la superficie y el volumen de una esfera y el cilindro que la circunscribe; por esta razón Arquímedes pidió que sobre su tumba figurase una esfera inscrita en un cilindro. A él debemos inventos como la rueda dentada y la polea para subir pesos sin esfuerzo. También a él se le ocurrió usar grandes espejos para incendiar a distancia los barcos enemigos. ¡Eureka, eureka! ¡Lo encontré!, eso es lo que dicen que gritó un día el sabio Arquímedes mientras daba saltos desnudo en la bañera. No era para menos, ya que medir volúmenes de cuerpos regulares (un cubo, por ejemplo) era algo que ya se sabía hacer en la época de Arquímedes, pero con volúmenes de formas irregulares (una corona, una joya, el cuerpo humano) nadie lo había conseguido.
Reflexiona • Todo esfuerzo se traduce en triunfo si es constante. • El único medio de alcanzar el éxito es merecerlo. • La vida es un deber que cumplir, un progreso que realizar, una prueba que superar y una eternidad que preparar. • Busca lo bueno en todo. En las personas, fíjate más en las cualidades que en los defectos; en las cosas y en los acontecimientos, busca el aspecto bueno y útil de los mismos.
¡Razona...! ¿Cuántos palitos se deben mover como mínimo para que el perrito vea a la izquierda y siga feliz?
Hasta que Arquímedes se dio cuenta de que cuando entraba en una bañera llena de agua hasta el mismo borde, se derramaba una cantidad de agua. Y tuvo la idea de que si podía medir el volumen de ese agua derramada habría hallado el volumen de su propio cuerpo. En el año 212 a. C., Siracusa fue conquistada por los romanos. Un grupo de soldados romanos irrumpió en la casa de Arquímedes al que encontraron absorto trazando en la arena complicadas figuras geométricas. “No tangere círculos meos” (no toquéis mis círculos), exclamó Arquímedes en su mal latín cuando uno de los soldados pisó sobre sus figuras; en respuesta, el soldado traspasó con su espada el cuerpo del anciano Arquímedes.
A) 4
B) 5
C) 1
D) 3
E) 2
Aplicamos lo aprendido tema 1: 1
Líneas y segmentos
En la figura halla x si AB , CD. A
B
12
C
B) 5 E) 2
C)6
6
M
k
A) 2 D) 5
B) 3 E) 1
2
Intelectum 2.°
B) 36 E) 25
C) 30
En la figura, halla x. A
3k
B
C
x
D
E
F
17
A) 8 D) 9
C) 4
A, C, D y E son puntos consecutivos de una recta, tal que D es punto medio de CE y AC + AE = 50. Halla AD.
A) 30 D) 15
B) 29 E) 32
3
C N
En el segmento AB se ubican los puntos consecutivos M; N; O y P los cuales son los puntos medios de los segmentos AB; MB; NB y OB, respectivamente; calcula AP si AM = 16.
A) 28 D) 31 4
B D
6
D
En la figura halla k si AB , CD: A
5
x
7
A) 4 D) 3
3
2
C) 20
6
B) 10 E) 12
C) 11
Calcula AD, si: AB = BC = CD 2 3 4 A
4
A) 15 D) 13
B
C
D
B) 18 E) 22
C) 20
7
Se tienen los puntos colineales A, B, C y D tal que: AD = 10; CD = AB + BC y BC = 2 , calcula BD. CD 5
A) 7 D) 12
9
B) 8 E) 10
8
C) 9
En una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D y E de manera que: AB = BC; CD = 2DE Calcula AD, si AB + AE = 6
A) 5 D) 4
P, Q, R y S son puntos consecutivos de una recta, de modo que PR = 16, QS = 18 y PS = 25. Calcula QR.
10
B) 6 E) 2
C) 7
En una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D y E de manera que: BD = 3 (AE) y AC + BD + CE = 40 5 Calcula AE.
A) 24 D) 16
C) 2 3
C) 8
C) 25
Se tienen los puntos A, B, C y D colineales y consecutivos tal que: AB = 8 y (AB)(BD) = (AC)(CD) Calcula CD.
A) 4 2 D) 12
B) 8 E) 16
5. E
10. B
8. D
9. B
7. A
C) 6
Claves
B) 7 E) 4 3
14
B) 29 E) 21
6. B
12. A 11. D
A) 6 D) 3 2
Se tienen los puntos colineales A, B, C, D y E, situados de tal forma que: AC + BD + CE = 45 y AE = 3 BD 2 Calcula AE.
A) 27 D) 23
En una recta se ubican los puntos A, B y C tal que M es el punto medio de BC. Calcula AM si AB + AC = 12.
C) 20
3. A
B) 1 3 E) 3 4
12
B) 25 E) 45
4. B
En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B y C de modo que: AC + AB = 4 (BC). 3 Calcula AB . BC
A) 1 4 1 D) 6
14. B 13. A
13
C) 20
1. B
11
B) 9 E) 16
2. C
A) 10 D) 13
GEOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 1
7
Practiquemos Nivel 1
7.
x
Comunicación matemática 1.
A
Completa con las letras A; B; C; D y E en los recuadros si también son puntos consecutivos del segmento AE. B
8.
2.
B) 5 E) 4
a P
Ubica M si M es punto medio de AB y N, si N es punto medio de CD.
B
a E
9.
A
3.
C
Si:
AB = BA
A
B B
AB = BA
Razonamiento y demostración 4.
Según el gráfico, halla x. x A
5.
S
(2n + 1)
x 32
A) 5 D) 6
B) 7 E) 3
C) 5
n A 16
S
A) 6 D) 4
(x + 1) E
2x R
25
A) 6 D) 5
U
B) 4 E) 7
(2n - 1)
13
M
B) 8 E) 4
C) 3
C) 9
n E 31
n D
A) 6 D) 4
l
B) 8 E) 9
C) 7
13. Calcula b.
A 3
T
M
Calcula x. S
C) 7
12. Halla n. D
A) 6 D) 7
8
C) 3
Calcula x. 12
6.
B) 3 E) 6
10. Halla n.
P
B) 2 E) 5
E
C) 0
P
15
x
C
A) 1 D) 4
B) 2 E) 4
11. Halla el valor de x.
4 B 7
N
A) 2 D) 4
AB , BA A
A
(x + 3)
D
Indica si las expresiones son correctas () o incorrectas ().
2a
Halla x M
a
C) 3
R
x a
16
A) 1 D) 3
a
A
C
Halla a.
A
a
2x B 12
A) 6 D) 2
E
D
Halla x.
L 2
17
V x
8
E
A
6
B) 4 E) 8
Intelectum 2.°
C) 7
A) 4 D) 10
b B
16
b M
B) 5 E) 8
C
C) 7
21. Calcula BD.
Resolución de problemas
A
14. Halla AC. A
B
C
1
3x
D 2,5x
A) 4,5 D) 5,5
E
B) 4 E) 7
C) 6,5
N
3
P
4
5
Q
A) 10 D) 18
D
B) 24 E) 32
C) 25
Nivel 2 Comunicación matemática
15. Halla la distancia entre los puntos medios de NP y QR. M
15 C
A) 20 D) 12
4x
13
B 10
22. Completa los valores numéricos faltantes:
R
6
18
B) 16 E) 17
10
C) 15 15
16. Si: EL = 5, LA = 3 y TA = 10 T
E
L
5 A
23. Coloca V (verdadero) o F (falso) según corresponda: I. El punto medio de un segmento equidista de sus extremos. ( )
Halla TE. A) 2 D) 4
B) 1 E) 5
17. Halla AC. A
a
C) 3
C
a
D
a
A) 2,5 D) 10
E
a
B) 5 E) 8
E
3
D
A
T 14
A) 13 D) 11
B) 12 E) 10
14
A) 9 D) 4
B 3k
D
C) 2
DN
MB
AB – AM
DN
C 5k
40
A) 20 D) 25
B) 15 E) 10
C) 35
26. Según el gráfico, halla x.
20. Halla x, si PS = 20. x
2x R
C
3
NC
Razonamiento y demostración
A
B) 5 E) 3
Q
N
8
AM
25. Halla BC.
4 C
C) VVF
B
M
C) 15
19. Halla (BC + CD). B
B) VFF E) FVV
8
A
M
A) 15 D) 16
( )
C) 15
20
P
III. El segmento de recta se extiende infinitamente.
24. Según el gráfico completa con = o , en los recuadros en blanco.
18. Halla ME.
A
( )
A) FFF D) VVV
20
B
II. Las rectas paralelas tienen un solo punto en común.
2,5 S
3x
B) 10 E) 11
A
C) 5
A) 3 D) 2
2x + 1 B
7,5
C
B) 4 E) 5
C) 6
GEOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 1
9
34. Halla el valor de a.
27. Halla ( 2x + y). y
2x
A
2x
L
2a
y C
I 16
A) 3 D) 6
A
Y
B) 5 E) 8
C) 4
A
B (x + 3)
C (2x - 3) 36
E
A) 2 D) 6 (a + 1) (a + 2) C
A) 4 D) 7
C) 4
D
C) 6
C) 5
a
D
b
P
A) 9 D) 6
Q
29
M
C
30
B
C) 8
C
2x O
R
B) 8 E) 5
2x R 39
(2x - 1) E
B) 16 E) 28
A
C) 18
39. Coloca V (verdadero) o F (falso) según corresponda: I. Una recta es una sucesión de puntos en el espacio.
(2x - 3)
10 Intelectum 2.°
B) 12 E) 14
x
Comunicación matemática
C) 12
33. Calcula x. (x + 1)
C) 3
Nivel 3
B) 5 E) 15
(x - 1)
B) 1 E) 6
E
b
20
A) 4 D) 10
A
A) 20 D) 24
x C
Halla x.
2x
B) 4 E) 7
B
E
38. Halla (CO + RE).
(x + 1) (2x + 1) 30
32. Calcula x.
L
18
A) 10 D) 18
Y
A) 3 D) 6
A
4x
31. Halla x. T
C) 5
37. Halla AM.
E
B) 5 E) 8
A
O
B) 6 E) 5,5
A) 2 D) 4 2a
23
1,2 S 44x 5
36. Si: SA = 2x; LE = 3x y SE = 8x.
B) 3 E) 1
B
a
C) 7
1 A
6y
S
30. Halla a.
2,5 R
A) 1 D) 7
3
2
1,5 E
C) 7
P
x 14
2
A
D
B) 10 E) 9
C
B) 6 E) 11
A B
x
A) 6 D) 3
0,5
(x + 8)
29. Según el gráfico, halla x.
K
C
15
35. Halla (x + y).
D
A) 9 D) 12
A
B
a+1
Resolución de problemas
28. Halla x.
a
2a - 1
( )
II. Una línea es una sucesión de puntos en un mismo plano. ( )
S
III. Una recta se extiende en un solo sentido. C) 7
A) VVF D) FFV
B) VFF E) FVV
C) FFF
( )
40. Completa los valores restantes:
46. Si: AB = BC y BC = CD . 2 3
18
A
B
C
12
D
Calcula AC. A) 7 D) 8
7
Razonamiento y demostración 41. Halla n. E 4
R n -7 20
7
A) 9 D) 6
B) 8 E) 4
C) 7
A) 8 D) 15
D
A) 16 D) 20
Halla BC. B) 1 E) 5
C) 3
B) 2 E) 4
C) 2 2
C) 10
48. Si: AB = 5BC, calcula a. B 2a - 3
C
A) 2,5 D) 4
18
B) 9 E) 11
A
1
B
C
Calcula AB.
42. Si: AC = 6 y AB = _64i6 . A
B
U
2
C) 5
47. Si: BC = CD y AC = 14. 2 6 A
P
B) 6 E) 10
C 5
B) 13 E) 21
C) 14
43. Calcula x.
A) 6 D) 8
39. A 40.
B
Nivel 3
M 12
41. E 42. D 43. C 44. A 45. B 46. B 47. A 48. C
A
x2 - 2
34. D 35. A 36. E 37. B 38. A
x2 - 2
B) 15 E) 18
C) 16
B
C
Nivel 1
45. Calcula AD, si AB = 3BC y BC = 2CD. A
22. 23. B 24.
D
D
C D D E E
A) 14 D) 17
C
9. E 10. C 11. A 12. B 13. A 14. E 15. A 16. A 17. D
B
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
A
Nivel 2
x
25. D 26. D 27. E 28. C 29. B 30. A 31. E 32. D 33. B
44. Halla x. Si: BC = 3 , AB = BC y AD = 20. CD 4
18. A 19. A 20. C 21. A
C l a ve s
Resolución de problemas
6
A) 59 D) 50
B) 54 E) 48
C) 25
GEOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 1
11
Aplicamos lo aprendido tema 2: 1
ÁNGULOS
Halla m+DOB + m+COA, si el ángulo formado por las bisectrices de AOB y COD es 90°.
2
La diferencia de las medidas de los ángulos consecutivos AOB y BOC es 30°. Halla la medida del ángulo que forman la bisectriz del ángulo AOC y el rayo OB .
C D
B A
O
A) 180° D) 160°
3
B) 100° E) 130°
C) 150°
Calcula x, si m+POR = 100°.
A) 25° D) 18°
4
B) 5° E) 15°
Calcula x, si OB es bisectriz del ángulo AOC. C
P
B
R x
D
O
A) 20º D) 60º
5
C) 20°
B) 30º E) 75º
C) 40º
Calcula x.
A) 15° D) 30°
6
20°
O
4x
A
B) 10° E) 12°
C) 20°
¿A qué ángulo se le debe restar su complemento para obtener 10°?
(8x – 30°)
4x
A) 10° D) 30°
12 Intelectum 2.°
B) 20° E) 18°
C) 25°
A) 60° D) 25°
B) 15° E) 50°
C) 40°
7
Calcula x, si OM es bisectriz.
8
Si L1 ' L 2 , calcula x.
A
O
5x - 10° M 3x + 60°
x B
B) 40° E) 45°
Si L1 ' L 2 , calcula x.
10
B) 80° E) 100°
L2
B) 40° E) 50°
Calcula x, si L1 ' L 2 .
14°
L2
A) 10° D) 15°
C) 60°
12
B) 12° E) 14°
C) 13°
Si L1 ' L 2 , calcula x.
L1
x
L1
40°
2x
A) 35° D) 20°
C) 60°
Si L1 ' L 2 , calcula x.
L1
x+b 30° + a a b
x
A) 70° D) 40°
C) 35°
20°
11
150°
L2
A) 30° D) 25° 9
40°
L1
70°
L1
x 80° x
L2
A) 37° D) 60° Si L1 ' L 2 , calcula x.
Si L1 ' L 2 y a + q = 142°, calcula x. α
3α
C) 60°
L1
x
L1
x
A) 64° D) 70°
C) 135°
B) 74° E) 19°
5. A
10. C
8. B
9. E
7. C
C) 84°
Claves
B) 90° E) 150°
6. E
12. D 11. E
A) 45° D) 120°
L2
θ
L2
3. A
3ω
4. C
ω
14
B) 50° E) 85°
1. A
α
A) 40° D) 80°
C) 38°
2. E
14. A 13. A
13
B) 18° E) 45°
L2
x
GEOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 1
13
Practiquemos Nivel 1
5.
Calcula x.
Comunicación matemática 1.
Relaciona los conceptos con las figuras: I. Ángulo agudo.
C
B
(III)
2x 3x x
A
A) 20° D) 36° II. Ángulo obtuso.
(III)
III. Ángulo recto.
(III)
6.
B) 30° E) 32°
Clasifica los siguientes ángulos, si L1 // L2: L1
a c
x
x + 20°
A) 60° D) 72°
f
e
7.
C) 28°
Halla x.
x - 20°
2.
D
B) 52° E) 76°
C) 62°
Calcula x.
g h
b d
x 2x
L2
30°
I. Ángulos alternos internos:
y
II. Ángulos conjugados externos: III. Ángulos correspondientes: 3.
;
y
y y
; ;
A) 11° D) 10°
y y
8.
C) 24°
B) 36° E) 34°
C) 35°
Calcula x.
Completa los recuadros: 50° 70° 2x 75° 3x
70°
60°
A) 32° D) 33°
Razonamiento y demostración 4.
B) 12° E) 20°
9.
Calcula a.
Halla x. 30° 25°
2x 3x
A) 56° D) 59°
5α
B) 54° E) 62°
14 Intelectum 2.°
C) 38°
A) 33° D) 28°
50°
B) 32° E) 29°
C) 31°
10. Calcula a, si m+AOD = 130º.
15. Si L1 // L2, calcula x. 6x
C B
A
L1
D 40° 2α 30° O
A) 20° D) 25°
B) 30° E) 32°
C) 15°
A) 10° D) 26°
B) 20° E) 29°
8x
L2
B) 10° E) 2°
L1
130°
L1
40°
L2
5x
C) 3°
A) 10° D) 24°
B) 16° E) 26°
100°
38°
L1
L1 2x
20x
C) 3°
A) 19° D) 66°
B) 21° E) 71°
C) 30°
Resolución de problemas
13. Si L1 // L2, calcula x.
18. Calcula x, si m+AOD = 102°.
4x - 20°
L1
60°
A x-α
L2
B) 60° E) 50°
C) 90°
B C
x x+α
O
D
A) 64° D) 27°
B) 36° E) 34°
C) 51°
19. Halla, m+POQ, siendo la m+AOC = 160°.
14. Si L1 // L2, calcula x.
P
L1
4x 84°
Q
L2
B) 20° E) 26°
B
A α
O
A) 16° D) 24°
L2
L2
B) 4° E) 1°
A) 30° D) 20°
C) 20°
17. Si L1 // L2, calcula x.
12. Si L1 // L2, calcula x.
A) 5° D) 2°
C) 21°
16. Si L1 // L2, calcula x.
11. Si L1 // L2, calcula x.
A) 5° D) 7°
L2
120°
C) 21°
A) 40° D) 80°
α
θ θ
C
B) 100° E) 86°
C) 120°
GEOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 1
15
20. La diferencia de las medidas de dos ángulos complementarios es 40°. Calcula el mayor. A) 75° D) 25°
B) 45° E) 65°
28. Si L1 // L2, calcula x. 170°
C) 35°
L1
x
21. Dos ángulos congruentes miden: (4q + 28°) y (60° - 4q). Calcula q.
L2
140°
A) 10° D) 2°
B) 12° E) 6°
C) 4°
22. Las medidas de un par lineal se diferencian en 38°. Halla el mayor ángulo. A) 108° D) 86°
B) 98° E) 109°
A) 30° D) 60°
C) 96°
B) 56° E) 62°
40°
B) 54° E) 56°
L2
30°
A) 50° D) 80°
B) 60° E) 100°
C) 70°
30. Si L1 // L2, calcula x.
C) 48°
L1
x 48° 25°
25. Dos ángulos suplementarios se diferencian en 32°. ¿Cuánto mide el mayor? A) 102° D) 120°
L1
x
C) 58°
24. Dos ángulos complementarios se diferencian en 18°. ¿Cuánto mide el mayor? A) 46° D) 42°
C) 50°
29. Si L1 // L2, calcula x.
23. Las medidas de un par lineal se diferencian en 58°. Halla el menor ángulo. A) 61° D) 59°
B) 40° E) 70°
B) 118° E) 98°
C) 106°
L2
A) 25° D) 18°
B) 20° E) 19°
C) 23°
Nivel 2
26. Si L1 // L2, calcula x.
Comunicación matemática L1
40° x
A
120°
A) 80° D) 130°
L2
B) 100° E) 140°
C) 120°
α
B
I. +AOB , m+AOB , a III. m+BOA = m+AOB = a
110°
A) 85° D) 60°
O
II. +BAO , m+BAO = +a
27. Si L1 // L2, calcula x.
x
31. Indica las notaciones correctas () o incorrectas ().
170°
B) 90° E) 40°
16 Intelectum 2.°
L1
32. Completa en los recuadros: 120°
L2
C) 80°
37. Calcula x. 20x 60° − α
2α
70°
A) 6° D) 10°
33. Si L1 // L2, clasifica los siguientes ángulos:
f e
g
B) 38° E) 36°
C) 31°
d
c
y + 10°
L1
4x
h
2y - 8°
L2
I. Correspondientes:
y
;
y
II. Alternos externos:
y
;
y
III. Conjugados internos:
C) 8°
38. Calcula x.
b
a
B) 7° E) 5°
y
;
A) 32° D) 28° 39. Si L1 // L2, calcula x.
y
6w
Razonamiento y demostración
L1
x
34. Halla x.
4w
L2
x + 20° x
A) 60° D) 120°
2x
40°
A) 15° D) 30°
B) 28° E) 20°
C) 26°
B) 72° E) 140°
40. Si L1 // L2, calcula x.
35. Halla a.
x
L1
80° - w 7w
2α α
A) 60° D) 100° B) 35° E) 37°
C) 55°
70° x2 - 11°
2x
A) 30° D) 60°
B) 70° E) 110°
x + 50°
B) 20° E) 50°
C) 40°
C) 90°
41. Si L1 // L2, calcula x.
36. Calcula x.
40°
L2
70°
20° + 3α
A) 40° D) 45°
C) 108°
A) 6° D) 11°
B) 10° E) 7°
L1 L2
C) 9°
GEOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 1
17
42. Si L1 // L2 // L3, calcula x. 10θ
48. Si L1 // L2, calcula el valor de x.
L1
x
L2
A) 30° D) 120°
B) 60° E) 150°
C) 90°
A) 60° D) 110°
C) 20°
44. Dos ángulos suplementarios se diferencian en 64°. Halla el mayor. A) 124° D) 118°
B) 122° E) 114°
C) 18°
46. Si L1 // L2 // L3, calcula x. L1
A) 170° D) 140°
C) 150°
Nivel 3 Comunicación matemática 50. Relaciona los conceptos con los gráficos:
(3x - 20°) y (x + 28°). Calcula x. B) 16° E) 20°
B) 160° E) 130°
x
C) 116°
45. Dos ángulos opuestos por el vértice miden:
A) 24° D) 26°
C) 100°
10°
43. Uno de dos ángulos complementarios mide el cuádruple del otro. Calcula el menor. B) 18° E) 25°
B) 70° E) 130°
49. Calcula x.
Resolución de problemas
A) 16° D) 15°
L2
x
L3
5θ
L2
L1
30° 100°
I. Par lineal
( )
II. Ángulos adyacentes
( )
III. Bisectriz
( )
α
θ
γ
50° x
70° L3
A) 115° D) 120°
B) 130° E) 150°
C) 110°
β
51. Clasifica los siguientes ángulos:
47. Si L1 // L2, calcula x. x
60°
18 Intelectum 2.°
β
θ
L2
B) 50° E) 140°
α
ω
L1
80°
A) 40° D) 80°
α
I. Ángulos consecutivos: C) 60°
y
;
y
II. Ángulos opuestos por el vértice: III. Ángulos suplementarios:
y
y ;
y
α
57. Calcula q.
52. Coloca V (verdadero) o F (falso) según corresponda: I. Dos rectas paralelas pertenecen a un mismo plano.
( )
II. Las rectas perpendiculares forman entre sí un ángulo agudo. ( ) 28° + x 3x - 40° 2(θ + 24°)
III. Las rectas secantes tienen al menos un punto en común. ( ) A) VFF D) FFF
B) VFV E) VVV
C) FFV
Razonamiento y demostración 53. Calcula q.
A) 35° D) 28°
B) 32° E) 37°
C) 34°
58. Si L1 // L2 // L3, calcula x.
2α
A) 60° D) 56°
L1
3α + 20°
120°
θ + 2°
B) 58° E) 70°
x
C) 62°
L2
110° L3
A) 10° D) 40°
B) 20° E) 50°
C) 30°
B) 15° E) 40°
C) 20°
59. Calcula x.
54. Calcula x.
θ
θ
160°
110° 2x
A) 5° D) 25°
B) 10° E) 35°
x
C) 15°
A) 10° D) 30° 60. Calcula x, si L1 // L2.
55. Calcula x.
5x x
7θ
L1 x
2θ
x L2
6x
A) 10° D) 40°
B) 30° E) 50°
C) 60°
56. Calcula x.
A) 10° D) 15°
B) 9° E) 18°
C) 20°
B) 120° E) 135°
C) 130°
61. Calcula x. 60° 20°
8θ
3x
x
7θ
A) 16° D) 18°
B) 15° E) 13°
C) 20°
A) 100° D) 150°
GEOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 1
19
68. Calcula x, si L1 // L2.
Resolución de problemas 62. Si la medida de un ángulo es tres veces la medida de su suplemento, ¿cuál es la medida del ángulo? A) 45° D) 35°
B) 135° E) 60°
C) 105°
63. Uno de dos ángulos suplementarios mide el óctuple del otro. Halla el menor. A) 10° D) 24°
θ 2θ x
B) 20° E) 15°
C) 18°
64. Dos ángulos complementarios son entre sí como 2 es a 3. ¿Cuánto mide el menor? A) 26° B) 54° C) 42° D) 36° E) 38°
α
2α α
L2
A) 135° D) 160°
B) 130° E) 175°
α α
L1
θ
θ
x β
β
3x
w w
L2
L1 a b 50° w + 10° w
A) 100° D) 115°
A) 30° D) 50° L2
B) 105° E) 120°
B) 40° E) 55°
C) 110°
w
L1
w x
θ
a a α
θ
A) 20° D) 45°
x α
A) 30° D) 50°
θ
Cl aves Nivel 1
2x
θ
A) 30° D) 50°
C) 30°
C) 45°
67. Calcula x.
θ
B) 25° E) 50°
L2
B) 40° E) 36°
x
L2
L1
3x
C) 45°
70. Si: L1 // L2; además: a - q = x + 45º. Calcula x. 2
66. Si L1 // L2; calcula x. α
C) 145°
69. Calcula x, siendo L1 // L2.
65. Calcula x, si: a + b = 160° y L1 // L2. x
L1
θ
B) 40° E) 60°
20 Intelectum 2.°
C) 45°
1. 2. 3. 4. B 5. B 6. A 7. E 8. D 9. A 10. B 11. A 12. B 13. D 14. C
15. B 16. E 17. E 18. E 19. D 20. E 21. C 22. E 23. A 24. B 25. C 26. B 27. C 28. C 29. C
30. C Nivel 2
31. 32. 33. 34. D 35. D 36. A 37. B 38. B 39. B 40. E 41. C 42. B
43. B 44. B 45. A 46. D 47. A 48. E 49. A Nivel 3
50. 51. 52. 53. C 54. D 55. D
56. D 57. A 58. E 59. C 60. C 61. C 62. B 63. B 64. D 65. E 66. E 67. E 68. A 69. C 70. C
Aplicamos lo aprendido tema 3: 1
TRIÁNGULOS
De la figura, calcula x.
2
Halla (x + y), si el triángulo ABC es equilátero. B
x
40°
x
y
20° C
30° A
A) 100° D) 105°
3
B) 110° E) 80°
A) 60° D) 70°
C) 130°
Halla x.
4
B) 100° E) 120°
Halla q.
x
θ
30°
40°
120°
30°
A) 75° D) 82°
5
C) 80°
B) 70° E) 80°
A) 50° D) 30°
C) 60°
Calcula a.
6
B) 40° E) 25°
C) 35°
B) 70° E) 60°
C) 80°
Halla a. α
α 70°
4α
A) 7° D) 6°
B) 8° E) 9°
C) 10°
A) 65° D) 75°
80°
GEOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 1
21
7
Calcula: (a + b)
8
Halla x. 60°
60°
60°
α
α
20°
A) 140° D) 150°
9
x +10°
β
β
B) 100° E) 110°
C) 120°
Calcula x.
10
β α
β
A) 20º D) 70º
B) 30º E) 50º
Halla x, si BM es bisectriz del +ABC. B
2x
θ
x β
5x
θ
A
β
A) 22,5º D) 95º 11
C) 40º
B) 20º E) 32,5º
80°
M
A) 30º D) 50º
C) 32º
Halla b.
30°
12
C
B) 40º E) 55º
C) 25º
Calcula x, si BH es altura y L es mediatriz de AB. B
γ 110°
γ
30°
θ
A) 80º D) 105º
13
L
β
θ
A
B) 70º E) 100º
C) 120º
Halla q, si EB es bisectriz del +ABH.
x
60°
C
H
A) 120º D) 115º
14
B) 150º E) 100º
C) 130º
Calcula x, si AM es mediana y PM = MC. B
B
x M
θ
C) 30º
A) 30º D) 40º
5. E
8. A 7. A
10. C 9. A
12. A 11. B
14. C 13. A
Claves
22 Intelectum 2.°
x
C
B) 60º E) 55º 6. B
B) 20º E) 25º
P
C) 45º
3. C
A) 15º D) 45º
A
C
4. A
H
1. B
30° E
2. D
A
Practiquemos Nivel 1
5.
Calcula q.
Comunicación matemática 1.
θ
Relaciona los conceptos con las comparaciones de los ángulos del siguiente triángulo: 126°
150°
θ
A) 86° D) 84° α
2.
β
I. Triángulo equilátero
( ) a r) A) Rr Rr R-r
B) 2Rr Rr R-r
D) 4Rr R - r R-r
E) Rr Rr 2 (R - r)
B
D
C) 4Rr Rr R-r
En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la bisectriz interior BD, por D se levanta una perpendicular al segmento AC que interseca a BC en M. Si AD = 30 cm y DC = 40 cm, calcula la medida del perímetro del triángulo BMD en centímetros. A) (30 + 24 2 ) cm
B) (32 + 24 2 ) cm
C) (34 + 24 2 ) cm
D) (35 + 24 2 ) cm
A
A) 7 5 D) 5.
15 7
B) 15 9
C
C) 12 5
E) 2 15 5
En la figura adjunta el radio de la circunferencia inscrita en el cuadrado ABCD es r y A es el centro del cuadrante que contiene el arco BD. halla CE. B
E) (36 + 24 2 ) cm 3.
E
H
E
C
En la figura A y T son puntos de tangencia y AB = 5 m . Calcula la longitud de AT si EC = 2(DE). T A
A B
D
4.
O
E
A) 4 m
B) 5 m
D) 2 5 m
E) 3 5 m 2
Q
A) 2r D) r 6
C
C) 3 m
2 De acuerdo con la siguiente figura, calcula d AB n , si EC = 7 . AE 5 AD
6.
D
B) r 2 E) r 5
C) r 3
En el triángulo rectángulo ABC, M ! AB y N ! BC luego se ubica el punto T el cual es punto medio de MN y Q es el punto medio AC; si AM = 4 u y NC = 6 u. halla TQ. A) 2 u D) 15 u
B) 3 u E) 4 u
C) 13 u
GEOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 3
89
Unidad 4
Recuerda Isaac Newton (1642-1727) Científico y matemático inglés nacido en Wolsthorpe y fallecido en Londres. Newton ha sido considerado por muchos como la mayor inteligencia que jamás ha existido. Fue criado por su abuela, hasta que un tío suyo se dio cuenta de la inteligencia inusual del niño y convenció a su madre para que lo matriculase en Cambridge. A finales de 1664 Newton, tras estudiar las obras de Euclides, Kepler, Viéte y sobretodo la de Wallis, parecía haber alcanzado las fronteras de los conocimientos matemáticos de la época y se encontraba preparado para hacer sus propias contribuciones originales. Sus primeros descubrimientos, que datan de 1665, se derivan de su habilidad para expresar funciones en términos de series infinitas. También empezó a analizar la velocidad de cambio o fluxión de ciertas magnitudes que varían de manera continua o fluentes, tales como longitudes, áreas, volúmenes, distancias, temperaturas. En 1696, la peste asoló Londres y se retiró a la finca de su madre huyendo del peligro, y fue durante ese período cuando llevó a cabo sus principales descubrimientos: el teorema binomial, el cálculo, la ley de la gravitación y la naturaleza de los colores. Sus obras más importantes son: Philosophiae naturalis principia mathematica, el tratado más admirado de todos los tiempos, en el que se presentan los fundamentos de la física y la astronomía formulados en el lenguaje de la geometría pura; Methodus fluxionum et serierum infinitorum , en el que se describe el método de fluxiones para explicar sus métodos infinitesimales; Optics, en el que se describen los experimentos con la luz y el color que lo condujeron a enunciar teorías sobre la naturaleza de la luz; Arithmetica Universalis, famoso tratado que contiene las fórmulas para la suma de las potencias de las raíces de una ecuación algebraica. Sin embargo, a pesar de sus propias contribuciones al álgebra, Newton prefirió el análisis geométrico de los antiguos, y en consecuencia la sección más larga de Arithmetica Universalis, es la que está dedicada a la resolución de cuestiones geométricas.
Reflexiona • El que vence las pasiones vence a los mayores enemigos. • El que se entrega a las pasiones juzgando hallar en ellas la felicidad, hace lo mismo que el que, queriendo calentarse, se arroja a las llamas. • Feliz aquel cuyo presente no está envenenado por los recuerdos del pasado ni por los temores del futuro. • Vale más recordar a quien se ama que vivir con quien se aborrece.
¡Razona...! Halla el término que continúa: -1; 15; 63; 143; ... A) 240 D) 425
B) 250 E) 625
C) 255
Aplicamos lo aprendido tema 1: 1
POLÍGONOS REGULARES
Halla x.
2
´3
O x
α
B) 36° E) 50°
A) 30° D) 90°
C) 24°
Halla b.
´4
4 β
´6
A) 105° D) 100°
B) 110° E) 75°
C) 90°
Halla AB, si: R = 2 3 .
x
O
B) 80°30’ E) 82°25’
C) 82°32’
B) 2 E) 3
C) 1
!
Halla R, si m AB = 90°.
A
R
C) 60°
´3
A) 81°30’ D) 82°30’ 6
B) 120° E) 150°
Halla x.
´8
O
5
O
´5
A) 72° D) 48° 3
Halla a .
A 120º
R
B
A) 2 D) 9
92 Intelectum 2.°
O
3 2
B
B) 3 E) 4
C) 6
A) 2 D) 3 2
7
Halla x, si R = 8.
8
Halla la longitud del perímetro de un cuadrado si su apotema mide 2 2 .
A R
O
x 120º B
A) 4 D) 6 9
B) 3 E) 1
Halla x, si: AB ' DC . A
10
B
´6
D
´6 ´10
B) 60° E) 150°
C) 90°
A) 100 D) 10
Calcula: x + y
12
´5
B) 8 2 E) 15
C) 8
Del gráfico, calcula x si: AC = R 3 y BD = R 2 A
R 2
B
R R 3
C) 4 2
En el gráfico se cumple: (µ6)2 + (µ10)2 = 100 Halla µ5.
C
´3
x
B) 16 2 E) 18 3
x
A) 45° D) 120°
11
A) 8 2 D) 16 3
C) 5
x y
R
C
D
A) 30° D) 60° 14
El gráfico es parte de un icoságono regular, calcula x. C B
E
A) 10° D) 15°
B) 9° E) 12°
5. C
C) 15°
6. E
10. D
8. B
9. C
7. A
C) 20°
Claves
B) 30° E) 25°
D
x
A
12. E 11. E
A) 24° D) 16°
C) 54°
3. A
Halla la medida del ángulo central de un pentadecágono regular.
B) 40° E) 75°
4. D
C) 100°
1. B
14. B 13. A
13
B) 140° E) 150°
2. C
A) 120° D) 210°
GEOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 4
93
Practiquemos Nivel 1
6.
Halla a. α
Comunicación matemática 1.
Rellena los recuadros en blanco con: µ (lado), ap (apotema), R (circunradio) y r (inradio); según corresponda.
´3 A) 45° D) 35°
B) 60° E) 40º
C) 53°
Resolución de problemas 7.
2.
3.
A) 1 D) 2 3
Relaciona: I. µ6
(
) R 2
II. µ5
(
)R 3
III. µ3
(
IV. µ4
(
) R ) R 10 - 2 5 2
8.
Coloca V (verdadero) o F (falso) según corresponda:
9.
I. El ángulo central de un polígono regular mide ( igual que su ángulo exterior.
)
II. Un polígono regular está inscrito y circunscrito en ( dos circunferencias concéntricas.
)
III. El apotema de un polígono regular mide igual que ( su circunradio.
)
Halla µ6; si R = 2 m; (µ6 es el lado de un polígono regular de 6 lados).
´6
En un triángulo ABC, BC = 3 3 y el circunradio mide 3. Calcula la m+A. B) 30° E) 45°
C) 60°
En una circunferencia de radio 2 3 , calcula el perímetro del triángulo equilátero inscrito. A) 6 D) 18
B) 9 E) 24
C) 12
10. En un triángulo ABC la m+BAC = 45°. Calcula BC, si el circunradio de ABC mide 2. A) 2 2
B)
D) 1 2
E) 1
2 3
C)
3
11. En una circunferencia de 10 cm de radio, calcula el perímetro del hexágono regular inscrito.
O
R
C) 2
B) 2 E) 3
A) 90° D) 75°
Razonamiento y demostración 4.
Se tienen dos circunferencias secantes cuyos radios miden 3 . Si cada una pasa por el centro de la otra, calcula la medida de la cuerda común.
A) 10
B) 30
D) 40
E) 50
C) 60
Nivel 2 A) 6 m D) 12 m 5.
B) 3 m E) 2 3 m
C) 3 m
Comunicación matemática 12. Coloca V (verdadero) o F (falso) según corresponda; teniendo en cuenta el siguiente gráfico:
Halla x.
P x
O
´4 A) 30° D) 50°
B) 45° E) 35º
94 Intelectum 2.°
A
C) 40°
45°
x R
O
30°
B
I. x = R 2 + 3
(
)
II. x = R 2
2+ 3
(
)
III. x = R 3 + 2
(
)
13. En la siguiente circunferencia y con ayuda de un compás, dibuja un triángulo equilátero inscrito a dicha circunferencia de radio R.
18. Si el lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia mide 5 2 , halla el lado de un triángulo equilátero inscrito en la misma circunferencia. B) 5 E) 6
A) 5 3 D) 16 A
B
O
R
19. Una cuerda de 15 3 cm, subtiende un arco de 120°. Calcula la longitud de la cuerda que subtiende un arco de 60°, en la misma circunferencia. B) 12 3 cm 5 E) 15 cm
A) 15 3 cm 2 D) 16 cm
Razonamiento y demostración 14. Halla x.
´6
A) 60° D) 80°
x
B) 75° E) 85º
15. Halla AB, si R = 6.
C) 2 2 3
21. Se tiene un hexágono regular ABCDEF cuyo lado mide 3 y AC + BF = M. Calcula MD. B) E)
C) 2 5
5 21
Comunicación matemática
O
B) 12 E) 4 2
C) 6 3
22. Completa la siguiente tabla teniendo en cuenta el número de lados (n) de los polígonos regulares; además dichos polígonos se encuentran inscritos en una misma circunferencia de radio igual a 1. n
!
ac
µn
apn
Nombre
8
16. Halla R, si: mAB = 90° 8
A
12 B
10
O
23. Con la ayuda de un compás dibuja un hexágono regular e inscrito en la siguiente circunferencia de radio R.
R
A) 4 D) 6
E)
3 2 2
Nivel 3
B R
B)
A) 6 D) 6
120°
A
A) 6 2 D) 14
C) 90°
C) 15 3 cm 4
20. En una misma circunferencia se encuentran inscritos un cuadrado y un hexágono regular. Halla la razón en la que se encuentran sus perímetros. A) 3 2 2 1 D) 2
´3
C) 10
B) 8 E) 2 2
C) 4 2 A
Resolución de problemas
R
O
R
B
17. Halla el perímetro de un hexágono regular inscrito en una circunferencia de 4 m de radio. A) 20 m D) 16 m
B) 24 m E) 26 m
C) 18 m
GEOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 4
95
30. Se tiene un triángulo ABC inscrito en una circunferencia tal que AB = µ3 y AC = µ4. Calcula BC, si el radio de la circunferencia mide ^ 6 - 2 h.
Razonamiento y demostración 24. Halla x. B C
R 2 R
R A
O
A) 20° D) 30°
A) 4 2 D) 4 E
D
B) 15° E) 25º
C) 10°
B) 2 2 E) 2,5
C) 2
31. Se tiene un octógono regular ABCDEFGH cuyo perímetro es 16. Calcular AD. A) 2 + 1 D) 4
B) 3 2 - 1 E) 8^ 2 - 1h
C) 2 2 + 2
25. Calcula m+CAO; si AB = R 3 ; BD = R 2 y CD = R. B C A
O R
A) 60° D) 45°
D
B) 15° E) 18°
C) 30°
26. Calcula la medida de BQ; si BC = ( 5 + 1 ) u.
28. Halla el apotema de un hexágono regular de 48 m de perímetro. A) 6 3 m
B) 4 3 m
D) 5 3 m
E) 2 3 m
C) 3 6 m
29. Se tiene un polígono regular de n lados cuyo número de diagonales se encuentra entre 22 y 34. Calcula el valor de n. A) 8 D) 11
B) 9 E) 12
96 Intelectum 2.°
C) 10
31. C 25. B 19. E 12. 6. B
30. C
24. B 18. A
23. 17. B 11. C
Nivel 2
29. B 3.
5. B
28. B
22. 16. C 10. A
4. E
27. A
E) 14 3 m
21. E
D) 17 3 m
C) 15 3 m
Nivel 2
B) 12 3 m
15. C
A) 18 3 m
14. C
27. Halla el perímetro de un triángulo equilátero si su apotema mide 3 m.
9. D
Resolución de problemas
8. C
26. D
2u
2.
E)
C) 2 5 u
1.
D) 2 u
B) ^ 5 - 1h u
20. C
5u
C
Q
13.
A)
49°
7. E
A
72°
C l a ve s
23°
Nivel 1
B
Aplicamos lo aprendido tema 2: 1
ÁREA DE UNA SUPERFICIE PLANA
Halla el área del triángulo equilátero ABC, si BH = 3 m.
2
B
Halla el área de la región sombreada, si el área de la región triangular ABC es 32 m2. B
A
C
H
A) 3 3 m2 D) 3 m2
3
A
B) 2 3 m2 E) 9 3 m2
C) 3 2 m2
Calcula el área de la región triangular.
4
5
O 3x
C
6
12 m2
D
A) 5 m2 D) 8 m2
C) 84 m2
En la figura BC // AD y AD = 2BC. Halla la relación entre el área de la región sombreada y el área del cuadrilátero ABCD. B
C x
A
B) 21 m2 E) 114 m2
C) 16 m2
Halla el valor de x.
9 m2
14 m
C
B) 20 m2 E) 10 m2
B
A) 42 m2 D) 28 m2
5k
A) 12 m2 D) 8 m2
15 m
13 m
D
3k
B) 6 m2 E) 9 m2
C) 7 m2
Calcula S, a partir del siguiente gráfico:
8 m2 6 m2
4 m2 S A
A) 1 4 D) 2 3
D
B) 1 2 E) 2 5
C) 1 3
A) 8 m2 D) 2 m2
B) 4 m2 E) 3 m2
C) 6 m2
GEOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 4
97
7
En el gráfico, halla el área de la región sombreada. 8
B 2
8
Calcula el área de la región sombreada, si AE = 2 y FB = 1. A
C
P
E
E 3 A
D
F
5
A) 16 D) 19
9
O
B) 18 E) 20
C) 17
F
A) 6 D) 12
En la figura, calcula el área de la región sombreada.
10
B
B) 8 E) 10
C) 9
Calcula el área de la región sombreada.
2a
3m
A) a2 D) 4a2 11
B) 2a2 E) 8a2
Calcula el área de la región sombreada, si AB, BC y AC son diámetros.
A
B
4
2
A) 12p D) 48p
13
A) p m2 D) 9p m2
C) 3a2
12
B) p m2 E) 27p m2
C) 6p m2
En el siguiente gráfico, calcula el área de la región sombreada si a = 6 m.
a C
B) 24p E) 60p
C) 36p
A) 12^6 3 - ph
B) 18(4 - p)
C) 6^3 3 - ph
D) 36^6 3 - ph
E) 36^3 3 - ph
Calcula S.
14 6m
En un triángulo isósceles ABC, la base mide 15 m y la altura relativa a uno de los lados iguales mide 12 m. Halla el área de la región triangular ABC.
2m S
C) 54 m2
3. C
6. E 5. C
8. D 7. C
10. D 9. B
12. B 11. B
14. A 13. B
Claves
98 Intelectum 2.°
B) 60 m2 E) 36 m2
4. B
A) 75 m2 D) 45 m2
C) 64p m2
1. A
B) 32p m2 E) 36p m2
2. B
A) 6p m2 D) 16p m2
Practiquemos Nivel 1
5.
Calcula el área de la región sombreada. 2
Comunicación matemática 1.
A) 6 - p B) 4 - p
Coloca V (verdadero) o F (falso) según corresponda; teniendo en cuenta la siguiente figura (G es baricentro del DABM).
2
C) 5 - p
B
D) p + 2 E) p - 2
2 G A
I. A BGM = 1 A ABM 2 1 II. A BGM = A BMC 3 III. A ABGM = 3 A BGMC 4 2.
M
(
)
(
)
(
)
(
C D
7.
b
= 1 ab 2
(
)
h
1 (a + b)h 2
(
)
C
C θ
9. b
a
D
A
Halla el área del triángulo mostrado. 6m
120°
4m
C) 6 3 m E) 18 m
4.
2
Halla el área del paralelogramo ABCD.
A 3m
A) 10 m2
B
D 2m
Se tiene un triángulo ABC inscrito en una circunferencia de diámetro AC = 8 3 m . Si AB = 12 m, halla el área de la región triangular ABC.
2
A) 25 cm2 D) 36 cm2
B) 12 m2 D) 6 2 m
2
D) 6
B) 16 cm2 E) 50 cm2
C) 32 cm2
10 m p 10 m p
10 m p 10 m p
B) 4 E) 7
C) 5
10 m p
Comunicación matemática 11. Si ABCD es un trapecio, completa los recuadros en blanco con los valores correspondiente en el siguiente gráfico: B
B) 12 m2 C) 14 m2 E) 20 m2
C) 18 m2
Nivel 2
M 4 u2
u2
D) 16 m2
C
B) 24 m2 E) 16 3 m2
Halla el área de un cuadrado inscrito en una circunferencia cuyo radio mide 5 cm.
A) 3
A) 12 3 m2
C) 40 m2
10. Sean las regiones A1 y A2 limitadas por las circunferencias iguales tal que el área de A1 + A2 es 100 m2 y el área de A1 , A2 es 400 m2. Entonces, el radio de las circunferencias iguales es:
Razonamiento y demostración 3.
B) 60 m2 E) 10 m2
A) 16 m2 D) 24 3 m2
D
B ABCD =
a/2
b/2
H
III. A
8.
b/2
a/2
Se tiene un triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 10 m. Si el ángulo desigual mide 53°, calcula el área del triángulo. A) 80 m2 D) 20 m2
B A ABCD
D) 2(3 + p)
Resolución de problemas 60°
A H
II. A
C) 2(4 - p)
4
120°
h
)
A) 16 - 2p
E) 2(p - 1)
B
1 ab senq 2
4
4
a ABCD =
Calcula el área de la región sombreada. B) 8 - p
Relaciona:
I. A
6.
C
16 u A
C
u2
u2
2
N
Q D
GEOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 4
99
12. Coloca V (verdadero) o F (falso) según corresponda. I. Al perímetro de una circunferencia también se le ( denomina longitud de la circunferencia.
)
II. pes un número exacto.
(
)
III. El área de un círculo es igual al número pi por la ( longitud de su diámetro al cuadrado.
)
Razonamiento y demostración 13. Calcula el área de la región sombreada. A) 42 m2
1m
B) 40 m2
12 m
C) 46 m2 D) 38 m2 E) 44 m2
20 m
14. Halla el área del paralelogramo ABCD. 6m
B
4m
C
A) 20 m2 B) 30 m
18. En un triángulo rectángulo el cateto menor mide 5 m y la mediana relativa a la hipotenusa 6,5 m. Halla el área del triángulo. A) 60 m2 D) 30 m2
B) 45 m2 E) 15 m2
19. Las alturas de un romboide miden 3 m y 5 m, y las medidas de sus ángulos internos se encuentran en la relación de 1 a 2. Calcula el área de la región limitada por dicho romboide. A) 15 3 m2
B) 30 m2
D) 45 m2
E) 10 3 m2
D
A) 1 2
B) 9 16
D) 6 11
E) 7 16
E) 60 m2
Comunicación matemática 21. Completa los recuadros en blanco con los valores presentes en el siguiente gráfico:
u2
A) p
20 u2
B) 2p C) p/2 D) 4p
A
B
E) p/4
B
u2
15. Calcula el área de la región sombreada si AB = 2.
O
C) 2 5
Nivel 3
2
D) 50 m2
C) 18 3 m2
20. En un triángulo ABC, se trazan las alturas AH y CP. Calcula la razón, entre el área de la región triangular PBH y el área de la región cuadrangular APHC, si además m+ABC = 53°.
C) 40 m2 A
C) 40 m2
C
A
Además la diferencia del área de las lúnulas es de 4 u2. 22. Relaciona: ( )
B
b
16. Halla el área de la región sombreada. A) 3(6 3 - p)
6
6 6
B) 4 3 + p C) 6(6 3 - p)
6
=
(a + b + c) (a + b + d) (b + c + d) (c + d + a) 4
D) 4 3 - p
12
=
A)
D) 3 15 m2 8
B) E)
100 Intelectum 2.°
15 m2 4 15 m2 6
C) 3 15 m2 4
B
b
C
a
abcd ( )
III. Área del cuadrilátero ABCD = 1 (a + b + c + d)r 2
D
d
II. Área del cuadrilátero ABCD
17. Los lados de un triángulo miden 2 m, 3 m y 4 m. Halla el área de la región triangular.
c
r
A
( )
E) 5(3 3 - p)
Resolución de problemas
15 m2 2
a
I. Área del cuadrilátero ABCD
C
c
A
d
B
b a A
D
C r
d
c D
28. Si el área de la región triangular ABC es 36, además G es baricentro, calcula el área de la región sombreada.
Razonamiento y demostración
B
23. En la figura, halla el área de la región sombreada, si AB = 90, BC = 50 y EC = 30. B
A) 1560
θ θ
B) 2160
G A
C) 1750 D) 1830
E
A
24. En la figura, ABCD es un cuadrado de lado x. Calcula el área del rectángulo MPNQ, si MN = y. P
B
C
A) x2 -
N
A
Q
45°
D
E) x2 -
2 y2 D) x 3 3
y2 3
α
C
B) 6 E) 3
C) 5
29. En un triángulo ABC se traza la ceviana interior BD tal que m+ABD = m+BCA y BC = 3(BD). Calcula S ABD/S BDC
y2 y2 B) x2 + 2 2
2 C) x - y 2
M
N
A) 2 D) 4
E) 1920
C
α
A) 1 4 1 D) 6
B) 1 2 1 E) 8
C) 1 3
30. Si el lado del cuadrado inscrito en el círculo C1 es L, entonces, el área sombreada de la figura mostrada, en función del radio R de la circunferencia C1, es:
25. En la figura, calcula el área de la región sombreada si las circunferencias son iguales de radio R.
C1
A
C2
C O
R
L
D B
A) R ` 4 - p j 3
B) R ` 3 - p j 2
D) R ` 5 - p j 4
E) R ` 7 - p j 9
2
2
A) p R2 4
C) R ` 5 + p j 4
2
2
D) ` 4 - p j R2 4
2
B) `1 - p j R2 4 3 p E) R2 4
C) `2 - p j R2 4
26. En la figura: L = ^3 + 2 2 h m Halla el área del círculo sombreado. A) p m2
B) 2p m2 2L
C) 3p m2
C l a ve s
D) 0,5p m2
E) 0,75p m2 7. C
13. A
20. B
26. A
8. D
14. C
Nivel 3
27. C
9. E
15. A
21.
10. C
16. C
22.
4. B
Nivel 2
17. C
23. A
5. B
11.
18. D
24. A
6. A
12.
19. E
25. B
Nivel 1
Resolución de problemas
1.
27. Las diagonales de un rombo están en la relación de 4 a 3. Si la diferencia entre ellas es 6, Halla el área del rombo. A) 169 D) 162
B) 252 E) 288
C) 216
2. 3. C
28. D 29. E 30. B
GEOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 4
101
Aplicamos lo aprendido tema 3: 1
GEOMETRÍA DEL ESPACIO
En un poliedro el número de caras y el número de vértices están en la proporción de 3 a 1. Si tiene 18 aristas, calcula cuántas caras tiene este poliedro.
A) 15 D) 10 3
B) 3 E) 20
2
C) 5
Calcula el volumen de un cono equilátero de altura 6.
El área de la superficie total de un cono equilátero es 27p. ¿Cuánto mide el radio?
A) 1 D) 4 4
B) 2 E) 5
C) 3
B) 56 E) 8
C) 6
Calcula x, si AT = 54p.
x
x
A) 15p D) 14p 5
B) p E) 23p
Halla el área lateral de un prisma recto, si su altura mide 4 m y la base es un triángulo rectángulo de catetos 8 y 6 m.
A) 24 m2 D) 56 m2
102 Intelectum 2.°
B) 48 m2 E) 32 m2
A) 4 D) 7
C) 24p
C) 96 m2
6
El área total de un tetraedro regular mide 4 3 m2, calcula el valor de su arista.
A) 3 m D) 2 m
B) 2 3 m E) 5 m
C) 4 3 m
El círculo máximo de una esfera tiene como área 9p m2. Halla el volumen de la esfera.
A) 18p m3 D) 30p m3
B) 4 m E) 9 m
B) 40 E) 34
10
B) 16p m2 E) 12p m2
12
B) 27 cm3 E) 18 cm3
La base de una pirámide regular es un cuadrado de lado igual a 3 m. La altura de la pirámide es igual a la diagonal de la base. Calcula el volumen del sólido.
14
C) 20 cm3
Un cono de revolución tiene una altura que mide 8 m y el radio de la base 6 m. Calcula el área lateral del sólido.
A) 40p m2 D) 70p m2
C) 38
C) 15p m2
La suma de las aristas de un cubo es igual a 36 cm. Calcula el volumen de dicho cubo.
A) 9 m3 D) 36 cm3
C) 5 m
Un poliedro tiene 27 caras y 15 vértices. ¿Cuántas aristas tiene este poliedro?
A) 42 D) 36
B) 50p m2 E) 80p m2
C) 60p m2
La diagonal del cubo mostrado mide 6 3 . Calcula el volumen de la esfera inscrita en el cubo. O
C) 7 2 m3
A) 27p D) 81p
B) 36p E) 288p 6. D 5. C
10. B
8. B
9. A
7. E
C) 54p
Claves
B) 8 2 m3 E) 5 2 m3
3. C
12. C 11. B
A) 9 2 m3 D) 6 2 m3
4. C
14. B 13. A
13
A) 18p m2 D) 10p m2
El volumen de un octaedro regular mide 9 2 m3, calcula el valor de su arista.
A) 3 m D) 6 m 11
C) 30p m3
Calcula el área de una esfera, si se encuentra inscrita en un cubo cuya arista mide 4 m.
1. A
9
B) 27p m3 E) 36p m3
8
2. C
7
GEOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 4
103
Practiquemos Prisma
Nivel 1 C)
Comunicación matemática 1.
F
D
E
Completa: Nombre
Caras
Vértices
Aristas
C
Tetraedro
A
Hexaedro
B
Octaedro Dodecaedro Icosaedro 2.
4.
Del tema posiciones relativas en el espacio, relaciona:
Relaciona: A)
I.
B)
II.
C)
III.
D)
3 V= a 2 3
V = a3
3 V= a 2 12
IV.
3 V = 5a 6
A)
I. Planos secantes
B)
II. Rectas alabeadas
C)
III. Recta secante a un plano
7+3 5 2
Razonamiento y demostración E)
V.
3 V = 5a 2
47 + 21 5 10
3.
Señala los elementos de la pirámide, el cilindro y el prisma.
A)
Pirámide
5.
La figura muestra el desarrollo de la superficie de una pirámide cuadrangular regular. Calcula el volumen de la pirámide. 13 13
A) 100 6.
B) 150
D) 250
E) 300
R
B)
104 Intelectum 2.°
C) 200
Halla la superficie esférica y el volumen de la esfera, si el área de su círculo máximo es 81p.
Cilindro
H
5 2
A) 81p; 324p D) 324p; 972p
B) 324p; 405p E) 324p; 486p
C) 162p; 324p
7.
El gráfico es una pirámide regular. Halla la apotema de dicha pirámide.
I. II. III. IV.
12
B) 14
C) 13
D) 15
E) 10
Resolución de problemas 8.
El volumen de una pirámide regular triangular es 24 3 y su arista básica mide 4 3 . ¿Cuánto mide la altura? A) 4
9.
B) 8
C) 7
D) 9
E) 6
El área lateral de una pirámide hexagonal regular es igual a 2 202,5 m . La apotema de la pirámide mide 9 m. Calcula el lado de la base. A) 7,1 m
B) 7,2 m
C) 7,3 m
D) 7,4 m
B) 120 2
D) 122 3
E) 120 3
A) Solo I D) I, III
B) Solo II E) Todas
I. II. III. IV.
Una recta pertenece a un solo plano. Un punto está incluido en un solo plano. Dos rectas alabeadas pueden pertenecer a un plano. Dos planos paralelos tienen una recta en común.
A) 4
B) 3
C) 2
D) 1
15. ABCD - EFGH es un cubo, calcula la medida del ángulo formado por EA y EG. E
F
B
C H
A) 53º
G
B) 45º
C) 60º
D) 75º
E) 37º
O
I.
Poliedro
Superficie llana perfectamente lisa, sin espesor que se extiende indefinidamente en todas las direcciones.
II.
Plano
C)
Contiene al menos 4 puntos no coplanares.
III.
Recta
D)
Porción del espacio separado del espacio inmediato por un conjunto de puntos que forman la superficie del sólido. Sólido geométrico formado por polígonos situados en distintos planos que constituyen las caras.
D
16. Calcula la relación entre el volumen del cono y del cilindro recto.
11. Relaciona:
B)
E) 0
Razonamiento y demostración
C) 124 2
Comunicación matemática
E)
C) Solo III
A
Unión de infinitos puntos colineales sin un punto de origen.
( )
14. Indica cuántas son correctas:
Nivel 2
A)
( ) ( ) ( )
I. Dos planos definen el espacio. II. Una recta y un punto exterior a ella definen un plano. III. Dos planos paralelos definen el espacio.
E) 7,5 m
10. Con una región rectangular ABCD se construye la superficie lateral de un prisma hexagonal regular tal que AB sea una arista lateral; AB = 5 y BC = 24. Calcula el volumen del prisma correspondiente a dicha superficie. A) 115 2
Tres puntos colineales determinan un plano. Por dos rectas paralelas pasa un plano. Se le denota como o(p). Dos rectas paralelas determinan un plano al cual pertenecen.
13. Indica cuáles son correctas:
10
A) 12
12. Coloca verdadero (V) o falso (F) según corresponda sobre la definición del plano:
A) 1 2
B) 1 3
C) 1 4
D) 2 3
E) 2 5
17. Sea: P - ABCD una pirámide regular, ABCD - EFGH un cubo; O y R: centros de ABCD y EFGH, además PO = OR. Si EH = 6, calcula el volumen del sólido total. P
B
IV. Sólido geométrico
A F
V.
E
Espacio A) 144
B) 188
O R
C) 288
C D G H
D) 244
E) 388
GEOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 4
105
Resolución de problemas 18. Si el área total de un cilindro es 198p cm2 y su altura es 10 veces su longitud del radio del círculo de su base. Halla el radio. A) 1 cm
B) 2 cm
C) 3 cm
D) 4 cm
E) 5 cm
A) 24
19. En una pirámide cuadrangular regular, si su área total es 360 y su apotema mide 13, calcula el volumen de la pirámide. A) 300
B) 400
C) 450
D) 500
37°
E) 600
B) 24 3
D) 42 2
E) 18 6
A) 24 B) 46 C) 40 D) 48 E) 60
21. Indica cuántas proposiciones son verdaderas: I. 4 puntos definen el espacio. II. 4 puntos no colineales definen el espacio. III. 4 puntos no coplanarios definen el espacio. IV. 4 puntos no colineales ni coplanarios definen el espacio. B) 2
C) 3
D) 4
A) 110
B) Solo II E) Ninguna
B) 112
C) 114
D) 116
E) 118
29. En un prisma recto ABC - DEF, m+ABC = 90° y el área de la región triangular equilátera AEC es 2 3 . Calcula el volumen de prisma.
C) Solo III
A) 6
El hexaedro regular es un prisma. El prisma es un poliedro. El paralelepípedo es un prisma. Una pirámide es un poliedro.
A) Solo I D) Solo IV
2
28. Los lados de la base de una pirámide triangular miden 13; 14 y 15. Si la altura es igual al radio de la circunferencia inscrita en la base, calcula el volumen de la pirámide.
23. Indica qué proposiciones son incorrectas: I. II. III. IV.
3
Resolución de problemas
Una esfera es un poliedro. Un poliedro tiene como mínimo 5 caras. Existen 5 poliedros regulares. Un poliedro tiene regiones circulares. B) Solo II E) Todas
8
E) 0
22. Indica qué proposiciones son correctas:
A) Solo I D) Solo IV
E) 25
27. Halla el volumen del prisma mostrado.
Comunicación matemática
I. II. III. IV.
D) 36
A) 18p m3 B) 20p m3 C) 22p m3 D) 16p m3 E) 19p m3
C) 36 2
Nivel 3
A) 1
C) 48
26. En la figura el área de la proyección del cono sobre la base del cubo mide 9p m2. Halla el volumen del cono.
20. Calcula el volumen de una pirámide regular O-ABCD tal que m+DOC = 60° y AB = 6. A) 2 6
B) 11
B) 3 3
C) 4/3
D) 2 2
E) 4
30. ¿Cuánto mide la arista de un cubo, si un vértice dista de una diagonal 6 ? A) 1
C) Solo III
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
24. Coloca verdadero (V) o falso (F) donde corresponda: I. II. III. IV.
Una pirámide es un sólido geométrico. Un cilindro es un sólido geométrico. Una pirámide tiene base circular. Un prisma tiene base circular.
( ( ( (
) ) ) )
Razonamiento y demostración 25. Calcula el área de la sección axial, si el área de la superficie lateral es 40p.
106 Intelectum 2.°
Cl aves Nivel 1
7. C
13. E
20. C
26. A
1.
8. E
14. E
Nivel 3
27. D
2.
9. E
15. C
21. B
28. B
3.
10. E
16. B
22. C
29. E
4.
23. E
30. C
Nivel 2
17. C
5. C
11.
18. C
24. A
6. D
12.
19. B
25. A
Aplicamos lo aprendido tema 4: 1
Halla el punto simétrico a Q(-9; 5) con respecto al eje y.
A) (-9; 5) D) (9; -5) 3
TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS EN EL PLANO CARTESIANO
B) (-9; 9) E) (5; 5)
2
C) (9; 5)
Halla la posición final del punto A(-1; -2) que se ha desplazado 3 unidades en dirección del eje x negativo.
Halla el punto simétrico a P(-12; -3) con respecto a (0; 1).
A) (12; -3) D) (3; 12) 4
B) (12; 5) E) (-3; 12)
C) (-12; 3)
Halla la suma de las coordenadas de la posición final del punto P(-1; 4) que ha sido trasladado 58 unidades en dirección "
del rayo V (3; 7).
A) (-2; 4) D) (-2; 1) 5
B) (-1; -2) E) (-1; 4)
Halla la suma de las coordenadas de la posición final del punto T(-5; -5) luego de que este ha rotado (53°) en sentido horario con respecto al origen de coordenadas.
A) 7 D) 4
B) -6 E) 3
A) 1 D) -5
C) (1; -2)
C) -5
6
B) -1 E) 6
C) 13
Halla el radio vector del punto simétrico al punto B(3; 6) con respecto a la recta L, la cual pasa por los puntos (-4; 0) y (0; 1).
A) D)
27 31
B) 29 E) 19
C)
GEOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 4
23
107
Se tiene el TABC; de vértices A(-5; -2); B(-1; 2) y C(3; 2). Halla la distancia entre los puntos M' y N', si M' es la traslación del punto medio de AB en dirección del eje y negativo y a su vez N' es la traslación del punto medio de BC en dirección del eje x positivo. Además dichas traslaciones se hicieron ambas una distancia de 4.
B) 5 2 E) 13
Si: A = Sim (-1; 5) "y y B = Sim (-2; -3) "x . Halla la distancia entre A y B.
A) 3 13
B) 13 E) 13 2
D) 2 13
13
C) 11
C) 3 13 2
14
Halla la distancia entre M y G.
10. E 9. A
12. C 11. B
14. B 13. E
Claves
108 Intelectum 2.°
C) ^ 3 ; 1h
3m 3
Se tiene el triángulo A'B'C en el plano cartesiano. Si la mediana A'M mide 5 se pide hallar las coordenadas del punto C si se sabe que este punto pertenece al eje x positivo. Además B' es el resultado de la rotación en 90° del punto B(10; 0) con respecto al origen de coordenadas así como A' es el simétrico del punto A(-2; -2) con respecto al eje x.
B) (6; 0) E) (4; 0)
C) (2; 0)
Halla el punto simétrico del punto R con respecto a la recta L, si se sabe que dicha recta pasa por el punto ^3; 3 3 h y el origen de coordenadas. R = ^1; 2 3 h .
A) c 3 ; 1 + 3 m 2 2
B) c 3 ; 1 m 3 3
D) ^2 + 3 ; 3 h
E) c 1 + 3 ; 3 m 2 2
C) c 5 ; 3 3 m 3 2
Si: G = Rot (-9; 12)(O; -90°) y M = Rot(0; 20)(O; 53°). Calcula la distancia entre G y M, además O es el origen de coordenadas.
A) 26 D) 27
C) 4 2
7. C
B) 4 E) 5
8. D
A) 3 2 D) 7
E) c2;
A) (3; 0) D) (5; 0) 12
Si: M = Tras (2; 4)(2; - "x ) y G = Tras (-3; -4)(4; "y ).
D) c 2 3 ; 1 m 3
B) 28 E) 24
5. B
A) 10 D) 9
10
B) c 3 ; 2 m 6
6. B
11
C) 2 3 - 2
A) c 3 ; 1 m 3
C) 23
3. B
9
B) 2 - 3 3 E) 3 3 - 6
En el plano cartesiano el punto A^ 3 ; 0h es rotado 60° con respecto al punto B(0; 1) en sentido antihorario generándose así el TABA'. Halla las coordenadas del baricentro de dicho triángulo.
4. C
A) 2 - 2 3 D) 2 3 -1
8
1. C
El punto P(-2; 1) es rotado 30° en sentido antihorario con respecto a C(2; 1). Halla el producto de las coordenadas de la nueva posición de P.
2. B
7
Practiquemos A) (-4; -2) B) (-4; 2)
Nivel 1 Comunicación matemática 1.
Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. Sim (-5; 1)( "x ) = (-5; -1)
III. Tras (4; 3)(- "x ; 7) = (-3; 3)
2.
B) VFFF
C) VVVF
B) 2 10
D) VVVV
P'
I. Giro antihorario:
II. Tras (5; -5)(- "y ; 10) = (-5; -15)
III. Si O = (0; 0) & Rot (2; -2)(O; -45°) = (0; - 2 2 )
IV. Si O = (0; 0) & Rot (-4; 3)(0; 37°) = (5; 0) C) FFVF
D) FVVF
4.
B) (-2; -7) E) (7; -2)
x
12. Completa:
Halla el punto simétrico a el punto (-3; 7) con respecto al eje x. B) (3; 7) E) (7; 7)
C) (-3; -7)
7.
D) -2
E) 5
B) 6
C) -5
D) 1
E) -7
Halla la diferencia de las coordenadas del punto simétrico a B(-9; 3) con respecto al origen de coordenadas. A) 6
9.
C) 0
Halla la suma de coordenadas del punto A. Si se sabe que su posición final luego de haber sido trasladado 74 unidades en dirección de la flecha V(7; -5) es A'(3; 0). A) 3
8.
B) -2
B) 12
C) -12
P''(.....; .....)
D) -6
Razonamiento y demostración 13. Halla el radio vector del punto simétrico a (-6; 8) con respecto al eje y. A) 11
B) 10
C) 9
D) 18
E) 12
14. Halla las coordenadas de la traslación del punto A(2; -1) en dirección de la flecha V(1; 1), una cantidad igual a 2 .
Halla la abscisa del punto de intersección entre el eje x y el segmento A'B', que es simétrico a la recta AB con respecto al punto (1; 1), además: A(-4; 1) y B(-2; 3). A) -5
P(x; y)
x
C) (-3; 2)
Resolución de problemas 6.
P'(.....; .....) y
C) (2; -7)
B) (-2; -3) E) (-2; 3)
A) (-3; 7) D) (3; -7)
P'' =
P''
Halla la posición final del punto D(-2; -1) que se ha trasladado 4 unidades en dirección del eje y positivo. A) (3; -2) D) (2; 3)
5.
II. Giro horario:
E) FVVV
Halla la posición final del punto M(-2; 7) que ha sido rotado 90° en sentido antihorario con respecto al origen de coordenadas. A) (-7; -2) D) (2; 7)
P' =
P
θ θ
A
Razonamiento y demostración 3.
E) 5 10
11. Completa: y
I. Sim (4; -1)(y) = (4; 1)
B) FFFF
D) 10
Comunicación matemática
E) FVVV
Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
A) VVVV
C) 4 10
Nivel 2
IV. Si O = (0; 0) & Rot(-7; 11)(O; 90°) = (11; 7) A) VVFF
E) (4; 3)
10. Halla el radio vector de la posición final de N(-5; -3) luego de que este punto rota 90° en sentido antihorario con respecto al punto (2; 4). A) 3 10
II. Tras (-6; -3)( "y ; 4) = (-6; 1)
C) (4; -3) D) (4; 2)
E) 3
Halla la posición final del punto M(-4; 3) que se ha desplazado 5 unidades en dirección del eje y negativo.
A) (-3; 0) D) (-2; 0)
B) (0; -3) E) (0; 3)
C) (3; 0)
15. Halla el producto de las coordenadas de A', dicho punto es resultado de la rotación de 60° de A(1; 2) con respecto al punto (-3; 2), en sentido antihorario. A) 2 -2 3
B) -2 + 2 3
D) 2 + 2 3
E) 2 - 2 2
C) -2 - 2 3
Resolución de problemas 16. Halla la suma de las coordenadas de la traslación del punto A(-3; 2). Si se sabe que este punto ha sido trasladado siguiendo la dirección de la flecha (0; -8), 8 unidades. A) 2 5
B) 5
C) 5 3
D) 3 5
E) 3 3
GEOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 4
109
17. Halla las coordenadas de la posición final de (-3; 5), si este punto ha rotado 45° con respecto al origen de coordenadas, en sentido antihorario. A) (-2 2 ; - 2 ) D) (-4 2 ; 2 )
B) (2 2 ; 2 ) E) (-4 2 ; 2)
C) (4 2 ; 2 )
18. Ubica los puntos R = Sim(3; 8)L y S = Sim(-8; -6)L. Si L pasa por los puntos (0; 0) y (2; 2).
F = Tras (6; -1)(- OL ; 2) Si el rayo OL parte de O(0; 0) y pasa por (3; 3).
C) 2 3 3
3 E) 3 3
Comunicación matemática Si Q ! IIIC & Sim Q( "x ) ! IVC Si R ! IVC & Sim R( "x ) ! IIC Tras (-2; 5)( "x ; 4) ! IC Si A ! IIC y O = (0; 0) & Rot A(O; 90°) ! IIIC B) VVFF E) FVVF
C) FVFV
22. Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. II. III. IV.
Sim (2; 5)( " ) = (-2; 5) x Sim (-3; -2)( "y ) = (3; -2) Tras (-2; 1)( "x ; 3) = (1; -1) Si O = (0; 0) & Rot (-9; -3)(O; 180°) = (9; 3)
A) FVFV D) FFVV
B) VFVF E) FFFV
B) (-5; 0) E) (5; -5)
C) 12
C) VVFF
26. Halla el baricentro del triángulo simétrico al triángulo ABC con respecto al punto (-2; 0). Si A es (-7; 1), B es (-2; 4) y C es (-5; 7). A) c- 4; 2 m 3 D) c 4; 2 m 3
B) c 2 ; - 4 m 3 E) c- 2 , - 4 m 3
C) c 2 ; 4 m 3
27. Halla la distancia entre los puntos A' = Rot(0; 5)(0; 37°) y
" A' = tras(-4; 5)( "V ; 5) y B' = tras(6; -1)(- "V ; 5); si V = (4; 3).
A) (2; 1) D) (-1; -2)
B) (1; 2) E) (2; -1)
D) 13
C) (-1; 2)
29. En el plano cartesiano la figura simétrica al hexágono regular ABCDEF respecto al eje y es el hexágono A'B'CD'EF'. Si AB = 2 señala la longitud de AB'. Además se sabe que: C^0; 3 h; E^0; - 3 h y D ! x. B) 3 7
A) 4 7
C) 2 7
D) 5 7
E) 7
A) 5
B) 3 2
C) 4
D) 2 2
E) 3
Cl aves
E) 14
24. En el TABC; los vértices son: A(-2; 3); B(6; 1) y (4; -5). Halla la distancia entre los puntos M' y N'; si M' es la traslación del punto medio de AB en dirección del eje y negativo y a su vez
110 Intelectum 2.°
C) (0; 5)
30. En el plano cartesiano se tienen los puntos A(0; 1), B ^ 3 ; 0h y C^3 3 ; 0h . Halla AC', si C' = Rot C(B; 2a), donde a es el menor ángulo formado por AB y el eje x de coordenadas; además la rotación que se efectúa sobre C' es de sentido antihorario.
23. Halla la distancia entre A' = Sim (-2; 4)(L) y B' = Sim (3; 8)(L) si L pasa por el punto (2; 2) y el origen de coordenadas. B) 11
E) 6
25. Tenemos A' = Rot (-12; -5)(O; 90°) y B' = Rot (13; 0)(C; 53°). En el segmento A'B' se toma el punto H de tal forma que 4A'H = 3HB'. Halla las coordenadas de H si C es (-7; 0) y O es el origen de coordenadas.
Razonamiento y demostración
A) 10
D) 5
28. Halla las coordenadas del punto medio entre
21. Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
A) VFVF D) FFVV
C) 4
B' = Rot (6; -2)(C; 90°), si C es (1; -1) y O el origen de coordenadas. A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2
Nivel 3
I. II. III. IV.
B) 2
Resolución de problemas
20. En el plano cartesiano el punto A^- 3 ; - 1h se traslada 2 3 unidades en dirección del eje x positivo generándose A1; que a su vez es rotado 90° en sentido antihorario con respecto a O para transformarse en A2. Halla la razón entre BO y A2O, si B es la intersección de AA1 con la prolongación de A2 O y O es el origen de coordenadas. B)
A) 3
A) (5; 0) D) (0; -5)
19. Ubica los puntos: C = Tras (-2; 5)( OL ; 5)
A) 2 3 D) 1 3
N' es la traslación del punto medio de BC en dirección del eje x positivo. Además dichas traslaciones recorrieron una distancia de una unidad.
Nivel 1
7. D
13. B
20. E
26. B
1. C
8. B
14. C
Nivel 3
27. B
2. C
9. A
15. C
21. D
10. A
28. B
3. A
16. D
22. A
4. E
Nivel 2
17. D
23. D
5. C
11.
18.
24. D
6. E
12.
19.
25. A
29. C 30. C
Matemática ▪ En un cubo las caras opuestas son ABCD y EFGH, siendo las aristas que las conectan AE; BF, CG y DH. El ángulo que forma BE con AH mide:
Paso 1: AH y BE son rectas alabeadas. AH se proyecta en el plano BCGF & AH , BG
Resolución: B
a 2
a
a
Paso 2: El triángulo EBG es equilátero. ` +EBG = 60°
a
a
A
C
a 2 a 2 a
F
E
1.
H
Halla el área de la región sombreada si ABCD es un cuadrado de lado “a” y PQ es tangente al arco AC (de centro “O”) en su punto medio. A
P
B
Q O
2.
G a 2
C
A) d 3 2 - 8 + p n a 2 4 + 8 2 8 - p n a2 B) d 4 C) d 8 2 + 6 + p n a 2 4 + 8 2 8 n a2 D) d 3 E) d 8 2 - 8 - p n a 2 4
A O
A) L = 1 + p2
r
B
B'
A) 1 D) 8/27 5.
B) 2/3 E) 3
A) (1; 2; 3) D) 1; -2; -3) 6.
B) (-1; 2; -3) E) (1; -2; 3)
A) 3p m3 D) 5p m3 4.
D) L = 2 1 + p
4 + 2p2
Se tiene un prisma recto de base triangular ABC, siendo el ángulo ABC = 90° y la altura del prisma 6 m. Considerando como diámetro el segmento BC se dibuja un cilindro recto de igual altura que el prisma. La cara lateral mayor del prisma es dividida por una de las generatrices del cilindro en dos regiones rectangulares; cuyas áreas son 18 m2 y 6 m2; la región rectangular menor es interior al cilindro. Halla el volumen del cilindro. B) 4p m3 E) 6p m3
C) 2p m3
En la figura mostrada se tienen dos esferas cuyos radios están en la relación de 2 a 3. La parte sombreada corresponde a los anillos esféricos determinados en cada una de ellas por cilindros inscritos, rectos y de altura “h”. Si “r” es la medida del radio de la esfera menor, halla la razón de los volúmenes de los anillos esféricos para h = 2 r . 3
(-1; -1)
7.
C) (-1; -2; 3)
Del triángulo notable cuyo baricentro es (-2; 1/3), halla el área encerrada por la simetría axial respecto al eje y y la simetría axial respecto al eje x.
2
3.
C) 4/9
Se tiene un punto en el espacio tal que el punto simétrico respecto al eje y del punto simétrico respecto al eje x se traslada (-1; -2; -3) y coincide con el origen de coordenadas. Halla las coordenadas de dicho punto.
C) L = 2 1 + p2 E) L =
h 2 h B 2
(II)
B) L = 2 1 + 2p2
A
A
O'
(I)
La curva de longitud mínima, trazada de A a B están sobre una misma generatriz) que da una vuelta completa en torno al cilindro recto de radio 1 y altura 2, tiene por medida “L” igual a: B
A'
G (-2; 1) 3 37°
A) 15 4 27 C) 8 3 E) (-1; 3) 2
B) 15 8 9 D) 4
Se tiene una esfera maciza de metal y un cono macizo de metal, el cual resulta ser el mayor de los conos que se puede inscribir en el menor cilindro que contiene a la esfera indicada. Al sumergir completamente la esfera en un recipiente cilíndrico con agua, el nivel del agua sube 6 cm. ¿Cuántos centímetros subió el nivel del agua, al sumergir completamente a la vez la esfera y el cono? Area (A) 6 cm R R R
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
GEOMETRÍA - ACTIVIDADES UNIDAD 4
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Este libro se terminó de imprimir en los talleres gráficos de Aníbal Paredes Editor S.A.C. Calle San Carlos, mz. B lote 5, urb. Santa Marta, Lima, ATE RUC 20538732941
