L5 Retele Petri

Modelare şi simulare – Îndrumar de laborator

LUCRAREA 5

MODELAREA ŞI SIMULAREA PRIN INTERMEDIUL REŢELELOR PETRI

1. Obiectivele lucrării Însuşirea unor noţiuni teoretice referitoare la reţelele Petri la domeniile de aplicabilitate ale acestora şi la unele tehnici de modelare a sistemelor de producţie utilizând reţele Petri. Iniţierea în utilizarea unui program pentru definirea structurii şi caracteristicilor reţelelor Petri şi pentru studierea funcţionării acestora. Construirea în cadrul programului a unei reţele Petri reprezentând un sistem de producţie, simularea funcţionării acestuia şi efectuarea unor studii de simulare privind parametrii de desfăşurare ai procesului de producţie.

2. Noţiuni teoretice 2.1. Structura reţelelor Petri Reţelele Petri reprezintă o categorie aparte de grafuri. Un graf este complet definit dacă se cunosc mulţimile nodurilor şi arcelor acestuia. Numărul de noduri ale unui graf reprezintă ordinul grafului. Grafic, nodurile grafului se reprezintă prin puncte sau cercuri, iar arcele prin segmente orientate, unind fiecare câte două noduri. Diferenţa dintre un graf şi o reţea Petri constă în faptul că, în cazul acesteia din urmă, mulţimea nodurilor este înlocuită cu două mulţimi disjuncte: • mulţimea locurilor Pi, i = 1, ..., n şi • mulţimea tranziţiilor Tj, j = 1, ..., m. Într-o reţea Petri, un loc este reprezentat printr-un cerc iar o tranziţie printr-o bară, de obicei verticală, sau printr-un pătrat. Arcele unei reţele Petri sunt unidirecţionale. Un arc nu poate lega decât fie o tranziţie de un loc, fie un loc de o tranziţie. La o tranziţie sau la un loc pot ajunge mai multe arce, iar de la o tranziţie sau de la un loc pot pleca de asemenea mai multe arce. Un loc şi o tranziţie pot fi legate prin cel mult un arc. Structura unei reţele Petri este astfel complet definită de cele trei mulţimi anterioare: a locurilor, a tranziţiilor şi a arcelor. Dacă un arc leagă o tranziţie Tj de un loc Pi, atunci arcul este reprezentat prin perechea (Tj, Pi) şi se spune că Tj este o tranziţie de intrare în locul Pi iar Pi este un loc de ieşire din tranziţia Tj. Analog, dacă un arc leagă un loc Pi de o tranziţie Tj, atunci arcul este reprezentat printr-o pereche (Pi, Tj) şi se spune că locul Pi este un loc de intrare în tranziţia Tj iar tranziţia Pj este o tranziţie de ieşire din locul Pi. Prin evaluarea arcelor unei reţele Petri se înţelege o aplicaţie prin care fiecărui arc al reţelei i se ataşează o valoare naturală. Dacă un arc leagă un arc Pi de o tranziţie Tj, atunci evaluarea arcului respectiv se notează cu a(Pi, Tj), iar dacă un arc leagă o tranziţie T j de un loc Pi atunci evaluarea sa se notează cu a(Tj, Pi). Matricea care conţine evaluările arcelor unei reţele Petri este denumită matricea de incidenţă. Elementul de pe linia i şi coloana j a matricei de incidenţă A are valoarea evaluării arcului ce leagă nodul Pi de tranziţia Tj dacă Tj este o tranziţie de intrare în nodul Pi. Dacă tranziţia Tj este o tranziţie de ieşire din nodul Pi, atunci elementul respectiv al matricei A are aceeaşi valoare a evaluării arcului corespunzător, dar cu semn schimbat. Dacă între nodul Pi şi tranziţia Tj nu există nici un arc, atunci elementul corespunzător al matricei de incidenţă este nul.

38

Modelare şi simulare – Îndrumar de laborator

Prin marcajul unei reţele Petri se înţelege o aplicaţie care asociază fiecărui loc din reţea un număr întreg reprezentat prin tot atâtea puncte (jetoane) în interiorul cercului care simbolizează locul respectiv. Nu orice reţea Petri trebuie să posede un marcaj. Cele care au ataşată aplicaţia respectivă se numesc reţele Petri marcate.

Figura 5.1: Exemplu de reţea Petri marcată În figura 5.1 este prezentat un exemplu de reţea Petri marcată, formată din trei locuri, trei tranziţii şi şapte arce. Toate arcele reţelei au evaluare unitară, astfel încât matricea de incidenţă a acesteia este −1  A = 1  0

−1 0 1

1  −1  −1

(5.1)

Locul P1 conţine două jetoane, iar locul P2 conţine un jeton. Marcajul reţelei este M = (2, 1, 0)

(5.2)

2.2. Reguli de funcţionare Fiind dată o reţea Petri marcată, se spune că o tranziţie T j a acestei reţele este activabilă pentru marcajul M dacă şi numai dacă şi numai dacă, pentru orice loc P i care este loc de intrare în tranziţia Tj, marcajul locului Pi este mai mare sau la limită egal cu evaluarea arcului dintre Pi şi Tj. Luînd ca exemplu reţeaua Petri din figura 5.1, tranziţia T 1 este activabilă deoarece singurul său loc de intrare (P1) are un marcaj (2) mai mare decât evaluarea arcului (P1, T1). Din acelaşi considerent este activabilă şi tranziţia T2. Tranziţia T3 a reţelei respective nu este activabilă, deoarece printre locurile de intrare în aceasta se află unul (P3) al cărui marcaj este mai mic decât evaluarea arcului corespunzător. Dacă o tranziţie este activabilă atunci ea poate fi activată. Activarea unei tranziţii constă în modificarea marcajelor locurilor de intrare şi de ieşire din tranziţia respectivă. La activarea tranziţiei Tj, marcajul unui loc Pi de intrare în tranziţia respectivă scade cu o cantitate egală cu evaluarea arcului (Pi, Tj). Dacă Pi este un loc de ieşire din tranziţia Tj, atunci marcajul său creşte cu o cantitate egală cu evaluarea arcului (T j, Pi). Dacă un loc al reţelei nu este legat de tranziţia Tj prin nici un arc, la activarea acesteia marcajul locului rămâne neschimbat. Din punct de vedere grafic, activarea unei tranziţii constă în scoaterea unor jetoane din locurile de intrare în tranziţie şi introducerea altora în locurile de ieşire din tranziţie. În figura 5.2 este prezentată situaţia rezultată în urma activării tranziţiei T1 a reţelei Petri din figura 5.1: din locul P1 (loc de intrare în tranziţia T1) a fost scos un jeton (deoarece evaluarea arcului (P1, 39

Lucrarea 5 - Modelarea şi simularea prin intermediul reţelelor Petri

T1) are valoarea 1) iar în locul P2 (loc de ieşire din tranziţia T1) a fost introdus un alt jeton (deoarece evaluarea arcului (T1, P2) este de asemenea 1).

Figura 5.2: Situaţia reţelei din figura 5.1 după activarea tranziţiei T1 Marcajul reţelei Petri a devenit astfel M’ = (1, 2, 0). Dacă în locul tranziţiei T1 ar fi fost activată tranziţia T2, marcajul reţelei ar fi devenit M’ = (1, 1, 1). Se observă că, în urma activării unei tranziţii, aceasta precum şi alte tranziţii ale reţelei îşi pot schimba starea de activabilitate. Dacă în starea din figura 5.1 ar fi activată tranziţia T2, atunci tranziţia T3 ar deveni la rândul său activabilă. Situaţia din figura 5.2 se caracterizează şi prin aceea că, dacă una din tranziţiile T 1 sau T2 este activată (devenind astfel inactivabilă), cealaltă tranziţie îşi pierde şi ea caracterul de activabilitate fără să fi fost însă activată. Situaţia respectivă poartă denumirea de conflict. Pentru a decide în astfel de situaţii care din tranziţiile aflate în conflict trebuie activată prima, reţeaua Petri trebuie să aibă ataşate o serie de reguli de arbitraj. 2.3. Reţele Petri temporizate O reţea Petri este numită temporizată dacă fiecărei tranziţii a reţelei îi este ataşată o valoare raţională pozitivă numită durată de activare. Activarea unei tranziţii într-o reţea Petri temporizată se efectuează în trei etape, intervenind de această dată factorul timp: • tranziţia este iniţializată prin extragerea numărului corespunzător de jetoane din locurile sale de intrare; • tranziţia este activă o perioadă de timp, jetoanele fiind “îngheţate” în tranziţie pe durata respectivă; • tranziţia este încheiată prin plasarea numărului corespunzător de jetoane în locurile de ieşire ale tranziţiei. O tranziţie activabilă nu poate fi activată decât dacă este inactivă (dacă în tranziţie nu se găsesc jetoane “îngheţate”). Pentru a fi complet cunoscută, starea unei reţele Petri temporizate trebuie descrisă prin: • marcajul reţelei; • starea tranziţiilor (active sau inactive); • timpii reziduali ai tranziţiilor (timpii rămaşi până la încheierea tranziţiilor active). Făcând în acest moment legătura cu scopul pentru care reţelele Petri au fost prezentate (modelarea şi simularea sistemelor de producţie) devine evident faptul că tranziţiile unei astfel de reţele servesc modelării operaţiilor dintr-un proces. Durata de activare a unei tranziţii reprezintă astfel timpul necesar pentru efectuarea unei anumite operaţii. Evident, jetoanele care circulă prin reţea reprezintă piesele şi semifabricatele din sistemul de producţie.

40

Modelare şi simulare – Îndrumar de laborator

Numărul de locuri de intrare şi de ieşire dintr-o tranziţie precum şi evaluările arcelor de intrare şi ale celor de ieşire corespunzătoare oferă informaţii asupra caracterului operaţiei modelate de tranziţia respectivă. Iată câteva exemple: • dacă o tranziţie are un singur loc de intrare şi un singur loc de ieşire iar arcele corespunzătoare au evaluări unitare, atunci tranziţia modelează o operaţie în care se prelucrează un singur semifabricat şi din care rezultă o singură piesă, de exemplu o operaţie de prelucrare prin strunjire; • o tranziţie avînd un singur loc de intrare şi un singur loc de ieşire, dar avînd arcele corespunzătoare cu evaluări supraunitare, poate modela o operaţie de prelucrare ce se efectuează simultan asupra unei anumite cantităţi de semifabricate; • dacă o tranziţie are mai multe locuri de intrare şi un singur loc de ieşire, atunci tranziţia modelează o operaţie de asamblare (figura 5.3). Fiecare loc de intrare serveşte în acest caz la modelarea introducerii în zona de lucru a câte unui tip de reper din ansamblul ce va fi realizat, iar evaluările arcelor de intrare oferă informaţii referitoare la cantităţile din fiecare reper ce intră în componenţa ansamblului.

Figura 5.3: Reţea Petri pentru modelarea unei operaţii de asamblare Dacă tranziţiile servesc modelării operaţiilor procesului tehnologic, se poate stabili în continuare că locurile dintr-o reţea Petri servesc, printre altele, modelării elementelor de transport din cadrul aceluiaşi proces. Se poate astfel ataşa fiecărui loc o valoare raţională pozitivă numită timp de sejur, aceasta reprezentînd timpul necesar unei resurse de transport pentru străbaterea unei anumite distanţe. Aşa cum se va putea observa în continuare, elementele de transport nu sunt singurele componente ale unui sistem de producţie ce pot fi reprezentate prin locuri într-o reţea Petri. Locurile pot reprezenta de asemenea zone de stocare a pieselor sau semifabricatelor (buffere) sau pot avea semnificaţia unor variabile de stare ale procesului. Evident, în aceste din urmă cazuri, ataşarea unor valori ale timpilor de sejur îşi pierde semnificaţia. În cele ce s-au prezentat până la acest punct s-a considerat că valorile care descriu structura şi starea unei reţele Petri (evaluările arcelor, marcajul reţelei, duratele de activare ale tranziţiilor şi timpii de sejur ai locurilor) sunt valori constante. S-au avut deci în vedere numai reţelele Petri deterministe. Pentru ca o reţea Petri ce se doreşte a modela un sistem de producţie să se apropie cât mai mult de realitate este însă necesar ca valorile enumerate mai sus să fie descrise prin variabile aleatoare (cu anumite densităţi de probabilitate). Reţelele din această a doua categorie poartă denumirea de reţele Petri stochastice.

3. Descrierea sistemului de producţie Sistemul de producţie ce urmează a fi modelat prin intermediul unei reţele Petri este prezentat în figura 5.4.

41

Lucrarea 5 - Modelarea şi simularea prin intermediul reţelelor Petri

Figura 5.4: Sistemul de producţie studiat Două tipuri de piese (A şi B) sosesc din exteriorul sistemului în magazia B11. Atât piesele de tip A cât şi cele de tip B sunt preluate de maşina unealtă MU1, prelucrate de către aceasta şi depuse în magazia B12. Din magazia B12, piesele de tip A sunt preluate de transportorul T1 şi deplasate în magazia B21, iar piesele de tip B sunt preluate de transportorul T2 şi deplasate în magazia B31. Piesele de tip A sunt preluate din magazia B21 de maşina unealtă MU2, prelucrate de către aceasta şi depuse în magazia B22. Piesele de tip B sunt preluate din magazia B31 de maşina unealtă MU3, prelucrate de către aceasta şi depuse în magazia B32. Piesele de tip A din magazia B22 sunt preluate de transportorul T3 şi deplasate în magazia B4. Tot în magazia B4 sunt deplasate şi piesele de tip B preluate de transportorul T4 din magazia B32. Din magazia B4 piesele de ambele tipuri părăsesc sistemul. Piesele de tipul A sosesc în magazia B11 pe loturi. Timpul dintre momentele sosirilor a două loturi succesive urmează o distribuţie normală cu media 160 minute şi abaterea standard 12 minute. Mărimea unui lot urmează de asemenea o distribuţie normală, cu media 4 bucăţi şi abaterea standard 1 bucată.. Piesele de tipul B sosesc în magazia B11 de asemenea pe loturi. Timpul dintre momentele sosirilor a două loturi succesive urmează o distribuţie normală cu media 120 minute şi abaterea standard 8 minute. Mărimea unui lot urmează de asemenea o distribuţie normală, cu media 4 bucăţi. şi abaterea standard 1 bucată. Capacitatea magaziei B11 este de 25 bucăţi, indiferent de tipul pieselor. Atunci când este liberă, maşina unealtă MU1 preia pentru prelucrare din magazia B11 piesa care a aşteptat cel mai mult în magazie. Timpul necesar prelucrării unei piese de tip A pe maşina unealtă MU1 urmează o lege de distribuţie normală cu media 20 minute şi abaterea standard 2 minute. Timpul necesar prelucrării unei piese de tip B pe maşina unealtă MU1 urmează o lege de distribuţie normală cu media 15 minute şi abaterea standard 2 minute. Capacitatea magaziei B12 este de 100 bucăţi, indiferent de tipul pieselor. Transportoarele T1 şi T2 preiau fiecare câte o piesă din magazia B12 în mod aleator. 42

Modelare şi simulare – Îndrumar de laborator

Timpii necesari transportoarelor T1 şi T2 pentru a deplasa o piesă de la magazia B12 la magaziile B21, respectiv B31, urmează fiecare o lege de distribuţie normală cu media 25 minute şi abaterea standard 3 minute. Timpii necesari aceloraşi transpotoare pentru a se întoarce goale urmează fiecare o lege de distribuţie normală cu media 25 minute şi abaterea standard 2 minute. Capacităţile magaziilor B21 şi B31 sunt de câte 10 bucăţi fiecare. Atunci când este liberă, maşina MU2 preia din magazia B21 o piesă de tipul A, în mod aleator. Timpul care îi este necesar pentru a o prelucra urmează o lege de distribuţie normală cu media 70 minute şi abaterea standard 5 minute. Atunci când este liberă, maşina MU3 preia din magazia B31 o piesă de tipul B, în mod aleator. Timpul care îi este necesar pentru a o prelucra urmează o lege de distribuţie normală cu media 60 minute şi abaterea standard 4 minute. Capacităţile magaziilor B22 şi B32 sunt de câte 100 bucăţi. fiecare. Transportoarele T3 şi T4 preiau fiecare câte o piesă din magazia B22, respectiv B32, în mod aleator. Timpii necesari transportoarelor T3 şi T4 pentru a deplasa o piesă de la magazia B22, respectiv B32, la magazia B4 urmează fiecare o lege de distribuţie normală cu media 30 minute şi abaterea standard 3 minute. Timpii necesari aceloraşi transpotoare pentru a se întoarce goale urmează fiecare o lege de distribuţie normală cu media 25 minute şi abaterea standard 2 minute. Capacitatea magaziei B4 este de 10 bucăţi, indiferent de tipul pieselor. Piesele din magazia B4 sunt extrase din sistem la intervale de timp care urmează o distribuţie normală cu media 20 minute şi abaterea standard 4 minute. Ordinea de extragere din magazia B4 este aleatoare. Cantităţile de piese extrase din magazia B4 urmează o distribuţie normală cu media 4 bucăţi şi abaterea standard 1 bucată.

4. Construirea reţelei Petri Pentru a modela sistemul de producţie descris anterior, utilizând programul SimNet ale cărui comenzi principale sunt descrise în Anexa 7, se va construi reţeaua Petri din figura 5.5. După cum se poate observa, tranziţiile dintr-o reţea Petri reprezintă activităţi sau modificări de stare ale elementelor sistemului de producţie. Locurile dintr-o reţea Petri reprezintă fie zone din sistem în care se formează cozi de aşteptare, fie stări ale elementelor sistemului. Numărul de jetoane dintr-un loc reprezentând o coadă de aşteptare corespunde numărului de piese din zona respectivă a sistemului. Prezenţa sau absenţa unui jeton dintr-un loc reprezentând o stare corespunde variantelor de existenţă a stării respective. Tranziţiile t3 şi t6 reprezintă activităţile de sosire a loturilor de piese de tip A, respectiv B, în magazia B11. Arcele t3-B11 şi t6-B11 au culori diferite pentru a provoca apariţia în locul B11 a două tipuri de jetoane. Maşina unealtă MU1 este liberă dacă există un jeton în locul M1L. Tranziţiile M1A şi M1B reprezintă prelucrarea de către maşina unealtă MU1 a unei piese de tip A, respectiv B. 43

Lucrarea 5 - Modelarea şi simularea prin intermediul reţelelor Petri

Figura 5.5: Reţeaua Petri corespunzătoare sistemului de producţie Arcele B11-M1A şi B11-M2A au culori diferite pentru ca un jeton de o anumită culoare care pleacă din magazia B11 să ajungă în tranziţia corespunzătoare tipului piesei. Un jeton în locul p1 reprezintă starea maşinii unelte MU1 din momentul imediat următor încheierii prelucrării unei piese, indiferent de tipul acesteia. Tranziţia t1 reprezintă trecerea maşinii unelte MU1 în starea “liber”. Durata de activare a tranziţiei t1 este nulă deoarece se consideră că trecerea în starea “liber” are loc imediat ce s-a încheiat prelucrarea unei piese. Arcele M1A-B12 şi M2A-B12 au culori diferite pentru a provoca apariţia în locul B12 a două tipuri de jetoane. Tranziţiile T112 şi T121 reprezintă deplasările transportorului T1 de la magazia B12 la magazia B21 şi înapoi. Tranziţiile T213 şi T231 reprezintă deplasările transportorului T2 de la magazia B12 la magazia B31 şi înapoi. Un jeton în unul din locurile T1B12 sau T1B21 reprezintă faptul că transportorul T1 a ajuns la magazia B12, respectiv la magazia B21. Un jeton în unul din locurile T2B12 sau T2B31 reprezintă faptul că transportorul T2 a ajuns la magazia B12, respectiv la magazia B31. Celelalte elemente ale reţelei Petri din figura de mai sus au semnificaţii ce pot fi deduse pe baza celor prezentate anterior. Valorile ce trebuiesc introduse în ferestrele de configurare (vezi Anexa 7) ale locurilor din reţea sunt prezentate în tabelul 5.1. 44

Modelare şi simulare – Îndrumar de laborator

name B11 M1L, p1, T1B12, T2B12, M2L, T1B21, T2B31, M3L, p2, p4, T3B22, T4B32, T3B4 B12, B22, B32 B21, B31, B4

capacity 25 1

Tabelul 5.1 queuetup FIFO Random

100 10

Random Random

Valorile ce trebuiesc introduse în ferestrele de configurare ale tranziţiilor din reţea sunt prezentate în tabelul 5.2. Tabelul 5.2 name parameter 1 parameter 2 name parameter 1 parameter 2 t3 160 12 T112, T213 25 3 t6 120 8 M2A 70 5 M1A 20 2 M3B 60 4 M1B 15 2 T324, T434 30 3 t1, t2, t8 0 0 T4 20 4 T121, T231, 25 2 T342, T443 Pentru toate tranziţiile se vor utiliza valorile: parameter3 = 0; parameter4= 0; priority = 1; probability = 1. Toate tranziţiile vor avea parametrul service time = normal, cu excepţia tranziţiilor t1, t2 şi t8 care vor avea service time = constant. Toate arcele vor avea parametrul arc type = arc Toate arcele vor avea weight = constant, parameter 1 = 1 şi parameter 2 ... 4 = 0, cu excepţia arcelor t3-B11, t6-B11 şi B4-T4 care vor avea weight = normal, parameter 1 = 4, parameter 2 = 1 şi parameter 3 ... 4 = 0. Arcele t6-B11, B11-M1B, M1B-B12 şi B12-T213 vor avea culoarea 2, iar toate celelalte arce vor avea culoarea 1.

5. Enunţul problemei •

•

• •

45

Urmărind lungimea cozii de aşteptare în magazia B11 cu ajutorul ferestrei osciloscop sau a ferestrei stivă (vezi Anexa 7) pe o durată de o lună, să se decidă dacă magazia B11 ar fi putut fi proiectată la o capacitate mai mică, dar fără să ajungă în situaţia de a fi vreodată încărcată la maxim; La o simulare pe o durată mai lungă se constată că magazia B12 se umple, ajungânduse astfel la blocarea maşinii unelte MU1. Să se decidă dacă pentru evitarea acestei situaţii trebuie mărită viteza transportoarelor T1 şi T2 sau trebuie micşoraţi timpii de prelucrare pe maşinile unelte MU2 şi MU3. Să se propună şi alte soluţii. Să se discute posibilităţile de optimizare a capacităţilor magaziilor B22 şi B32. Din meniul Test se alege opţiunea Transitions şi se citeşte valoarea coeficientului de utilizare a tranziţiei t4. Să se aprecieze modul în care sistemul de producţie studiat poate satisface comenzile către beneficiari, luând în considerare încărcarea magaziei B4 şi parametrii densităţii de probabilitate a evaluării arcului B4-t4. Să se precizeze semnificaţiile mărimilor discutate la acest punct.