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UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER Escuela de Física Laboratorio de Física I L3. MOVIMIENTO Y DETERMINACIÓN DEL ALCANCE DE UN PROYECTIL INTRODUCCIÓN: Se denomina movimiento parabólico al realizado por un objeto cuya trayectoria describe una parábola. Se corresponde con la trayectoria ideal de un proyectil que se mueve en un medio que no ofrece resistencia al avance y que está sujeto a un campo gravitatorio uniforme. También es posible demostrar que puede ser analizado como la composición de dos movimientos rectilíneos, un movimiento rectilíneo uniforme horizontal y movimiento rectilíneo uniformemente acelerado vertical. Tipos de movimiento parabólico: (i) El movimiento de media parábola o semiparabólico (lanzamiento horizontal): se puede considerar como la composición de un avance horizontal rectilíneo uniforme y la caída libre. (ii) El movimiento parabólico completo: se puede considerar como la composición de un avance horizontal rectilíneo uniforme y un lanzamiento vertical hacia arriba, que es un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado hacia abajo (MRUA) por la acción de la gravedad. OBJETIVOS Encontrar como la distancia vertical que ha caído un proyectil está relacionada con la distancia horizontal alcanzada. Predecir y verificar el alcance de un proyectil lanzado a cierto ángulo. La velocidad inicial del proyectil es determinada disparando el proyectil horizontalmente y midiendo su alcance y la altura desde la que fue lanzado. EQUIPO Lanzador y proyectil con proyectil esférico de acero, tabla (para colocarla de blanco como muestra la fig. 1) y cinta métrica y plomada. Papel carbón, papel blanco, papel milimetrado y cinta pegante (Materiales que debe traer cada sub-grupo). MARCO TEÓRICO Un caso particular del estudio del movimiento en dos dimensiones es el tiro parabólico por tanto puede tratarse de manera vectorial. Si analizamos un movimiento uniformemente acelerado de manera general vemos que la ecuaciones principales pueden escribirse de la siguiente forma: r r rt r r (1) v = v 0 + a ∫ dt = v 0 + a (t − t0 ) to

r r t r r r r t rt r r r 2 r = r0 + ∫ [v0 + a (t − t0 )]dt = r0 + v0 ∫ dt + a ∫ (t − t0 )dt = r0 + v0 (t − t0 ) + 12 a (t − t0 ) to

to

(2)

to

En su aplicación al movimiento parabólico (o de proyectil), a =g = aceleración de la gravedad. Si se escoge el plano XY coincidente con el plano definido por v0 y a; el eje Y hacia arriba de modo que g = -jg, y el origen O coincidente con r0 (no en general, ver figura 1). Entonces r (3) v 0 = iˆv0 x + ˆjv0 y donde v0 x = v0 cos α y v0 y = v0 sen α La ecuación (1) puede separarse en sus componentes (si t0 = 0) se escribe

(

)

r (4) v = iˆvx + ˆjv y = iˆv0 x + ˆjv0 y − ˆjgt o vx = v0x, vy = v0y – gt , que indica que la componente de v en la dirección X permanece constante, como debe ser, ya que no hay aceleración en dicha dirección. Similarmente, la ec. (2) con r0 = 0 y t0 = 0, cuando se separa en sus componentes se transforma en:

(

)

r 2 (5) r = iˆx + ˆjy = iˆv 0 x + ˆjv 0 y t − ˆj 12 gt 2 o x = v0xt , y = v0yt – ½gt , que dan las componentes de la partícula en función del tiempo. El tiempo requerido para que el proyectil alcance la máxima altura A (ts = tiempo de subida) se encuentra haciendo vy = 0 ya que en ese punto, la velocidad del proyectil es horizontal. Luego v 0 y v 0 sen α = ts = g g La máxima altura H se obtiene sustituyendo este valor de t en la ecuación de y, dando voy2 v 2 sen 2 α H = = 0 2g 2g El tiempo necesario para que el proyectil retorne al nivel del suelo en B, coordenadas (x, 0) denominado tiempo de vuelo, se obtiene haciendo y = 0. El tiempo de vuelo es el doble del tiempo de subida. El alcance R = OB es la distancia horizontal cubierta, y se obtiene sustituyendo el valor del tiempo de vuelo en la ecuación de x, resultando: 2v0 x v0 y 2v02 sen α cos α v02 sen 2α R = v0 xtv = = = g g g Al eliminar el tiempo entre las ecuaciones de x = v0xt y y = v0yt – ½gt2, se obtiene la ecuación de la trayectoria: c v0 y g g y= x − 2 x 2 = x tan α − 2 x2 vox 2v0 x 2v0 cos 2 α El alcance horizontal es máximo para sen2α = 1, es decir, para un ángulo de lanzamiento de 45°. Estos resultados son válidos si la velocidad inicial es suficientemente pequeña para que se puedan despreciar (1) la curvatura de la Tierra, (2) la variación de la gravedad con la altura y (3) la resistencia del aire. Si se toma en cuenta la resistencia del aire, la trayectoria se aparta de su forma parabólica como se ve en la figura 2, y disminuyen la altura y el alcance máximos. Para un proyectil de largo alcance (como el misil balístico intercontinental), la situación es como se muestra en al figura 3, donde todos los vectores g apuntan hacia el centro de latiera y su magnitud varía con la altura. La trayectoria en este caso es un arco de una elipse.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

TEMAS DE CONSULTA 9 Encuentre la velocidad de una partícula, que es lanzada horizontalmente desde una altura ‘h’ y posee un alcance horizontal ‘x’. 9 Encuentre el tiempo de vuelo de un móvil que es lanzado con un ángulo θ con respecto a la horizontal desde una altura ‘h’ y con una rapidez de V0. 9 Encuentre el alcance horizontal de un móvil que es lanzado con un ángulo θ con respecto a la horizontal desde una altura ‘h’ y con una rapidez de V0. 9 Escriba las ecuaciones para la posición y la velocidad del anterior movimiento. BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA • • • • • • •

ALONSO M., FINN E. Física. Volumen I. Ed. Fondo Educativo Interamericano. RESNICK R., HALLIDAY D., Física, Parte I Compañía Editorial Continental S.A. TIPLER P. Física, editorial Reverté S.A. SEARS, ZEMANSKY. Física. Ed Aguilar. TIPPENS, PAUL E. Física conceptos y aplicaciones, editorial McGraw-Hill SERWAY, RAYMOND A. Física. Editorial McGraw-Hill FRANCO GARCÍA A., Física con ordenador Curso Interactivo de Física en Internet: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/curvilineo/curvilineo.htm, http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/parabolico/parabolico.htm, http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/parabolico/composicion/composicion.htm, http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/canon/canon.htm, http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/bombardeo/bombardeo.htm, http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/parabolico/alcance/alcance.htm.

PROCEDIMIENTO Parte A: 1. Coloque el lanzador cerca del extremo de una mesa como muestra la figura 4.

Fig. 4. Esquema del montaje.

2. Ajuste el ángulo del lanzador a cero grados de manera que el proyectil sea lanzado horizontalmente. 3. Realice un lanzamiento de prueba para determinar donde colocar inicialmente la tabla que servirá de blanco. Colóquela ahora de manera que el proyectil la golpee cerca al borde inferior. 4. Cubra la tabla con papel blanco y pegue papel carbón encima del papel blanco. 5. Mida la altura desde la que será lanzado el proyectil (h) y regístrela. Marque esta altura sobre la tabla blanco. Mida la distancia horizontal desde el lanzador hasta el blanco y regístrela en la tabla 1. Realice el lanzamiento y mida sobre la tabla la distancia vertical que recorrió el proyectil. Regístrela en la tabla 1. Realice el mismo lanzamiento por lo menos cinco veces 6. Acerque la tabla blanco entre 5 y 10cms. hacia el lanzador, realice un nuevo lanzamiento y mida nuevamente los valores de las distancias horizontal y vertical que recorre el proyectil. Registre sus datos. 7. Continúe acercando la tabla blanco hacia el lanzador entre 5 y 10cms. cada vez y midiendo los respectivos valores de (x) y (y). Recuerde que si usted toma el eje positivo (y) hacia arriba (origen en el punto de lanzamiento), los valores de (y) serán negativos. Parte B: 1. Coloque el lanzador cerca de un extremo de una mesa como muestra la figura 5.

Fig. 5 Lanzador

2. Ajuste el ángulo del lanzador a cero grados de manera que el proyectil sea disparado horizontalmente. 3. Coloque el proyectil dentro del lanzador ajustándolo en la posición que de mediano alcance. Haga un disparo para localizar la posición en el piso a donde llega el proyectil. En esta posición coloque una hoja de papel blanco sobre el piso, con un borde perpendicular a la dirección horizontal de avance del proyectil y luego coloque sobre éste otra hoja de papel carbón de tal manera que cuando el proyectil caiga sobre el piso, deje una marca sobre la hoja de papel blanco. Realice por lo menos cinco lanzamientos para cada ángulo. 4. Mida la distancia vertical (H) desde la parte inferior del proyectil en el lanzador (esta posición esta marcada en el lado del cañón) al piso. Registre esta distancia.

5. Use una plomada para localizar el punto sobre el piso que está directamente bajo el punto de liberación del proyectil. Mida la distancia horizontal a lo largo del piso, y a partir del punto que localizó con la plomada, hasta cada una de las marcas que dejó el proyectil sobre la hoja y registre estas distancias en la tabla 2. 6. Repita el procedimiento anterior para cuatro ángulos diferentes de cero grados (positivos y negativos). CÁLCULOS, RESULTADOS Y ANÁLISIS Parte A: 1. Calcule x2 para todos los valores de x. Regístrela en la tabla 1 2. Haga una gráfica de (yprom) versus (x)2. 3. Calcule, utilizando regresión lineal, la pendiente de la recta que debió obtener al graficar (y) contra (x)2. También halle la pendiente de la gráfica directamente. Compare sus resultados. 4. De la pendiente de la gráfica calcule la magnitud de la velocidad inicial del proyectil, y tome esta como un “valor teórico”. 5. Para algún valor de (y) calcule el tiempo de vuelo y luego, usando este, y el respectivo valor de (y), calcule la velocidad inicial. 6. Calcule la diferencia porcentual entre las velocidades iniciales encontradas utilizando estos dos métodos. 7. Haga ahora una gráfica de (yprom) versus (x). Qué tipo de gráfica es? 8. En que se diferenciarían las gráficas si el origen se toma en el punto de lanzamiento o a nivel del piso justo debajo de este punto? 9. Registre todos sus datos en una tabla y no olvide calcular los respectivos errores de medición. Instrumento de medición 1 _________________ sensibilidad _________ Instrumento de medición 2 _________________ sensibilidad _________ Altura del punto de lanzamiento (h) __________ [cm]. Tabla 1 x [cm] y1

y2

y [cm] y3

yprom ± δyprom [cm] y4

x [cm2]

y5

Parte B: Cálculos para cada uno de los cinco (5) ángulos: 1. Usando la distancia vertical (H), calcule el tiempo de vuelo. 2. Con el tiempo de vuelo y la velocidad inicial (tome como valor teórico de la velocidad inicial del proyectil el valor calculado en la parte A), calcule de manera teórica el alcance del proyectil y su incertidumbre (error), para cada ángulo. Regístrelo en tabla. 2. Calcule y registre la diferencia porcentual entre el valor predicho y la distancia promedio resultante. 3. ¿Cuántos de los disparos caen dentro del rango establecido? (de acuerdo a la incertidumbre). 4. Registre sus resultados en una tabla como la tabla 3. Distancia vertical (H):_____________ Lanzamiento Ángulo 1 = 0º

Tabla 2 Distancias x [cm] Ángulo 2 (+) = Ángulo 3 (+) =

Ángulo 4 (-) =

Ángulo 5 (-) =

1 2 3 4 5 Distancia xprom [cm]

H= Ángulo de lanzamiento

OBSERVACIONES CONCLUSIONES

Tabla 3 [cm]; Velocidad inicial = [cm/s]; tvuelo = [s] Diferencia porcentual Alcance horizontal Alcance horizontal relativa experimental teórico [100(xteo – xprom)/xteo] % xprom ± δxprom [cm] xteórico ± δxteórico [cm]

HOJA DE DATOS (sugerida, llenar con lapicero de tinta durante la práctica)

L3. MOVIMIENTO Y DETERMINACIÓN DEL ALCANCE DE UN PROYECTIL Fecha: ________________ Grupo________ Subgrupo _________ Estudiantes _______________________________________________

Instrumento de medición 1 _________________ sensibilidad _________ Instrumento de medición 2 _________________ sensibilidad _________ Parte A: Altura del punto de lanzamiento (h) ___________ [cm]. x [cm]

Tabla de datos 1 y [cm] y1 y2 y3

y4

y5

Parte B: Distancia vertical (H):__________ [cm] Lanzamiento Ángulo 1 = 0º

Tabla de datos 2 Distancias x [cm] Ángulo 2 (+) = Ángulo 3 (+) = Ángulo 4 (-) =

Ángulo 5 (-) =

1 2 3 4 5

Observaciones.

_________________________________ Vo Bo. Profesor (firma)