L. Topografia - M. Farjas

CONTENIDO DEL LIBRO

Tema 1:

Observaciones Topográficas

Tema 2.

Conceptos Topográficos

Tema 3:

Nivelación Trigonométrica

Tema 4:

Nivelación Geométrica

Tema 5:

Método de Radiación

Tema 6:

Método de Poligonación

Tema 7:

Método de Intersección Simple

Tema 8:

Método de Intersección Múltiple

Tema 9:

Triangulación y Trilateración

Tema 10:

Redes Topográficas

Tema 11:

Levantamientos Topográficos

Tema 12:

Aplicaciones Topográficas del G.P.S

Tema 13:

Aplicaciones Batimétricos

Tema 1

OBSERVACIONES TOPOGRÁFICAS

Tema 1:

Observaciones Topográficas

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Tema 1

OBSERVACIONES TOPOGRÁFICAS

ÍNDICE

1.

CONCEPTO DE TOPOGRAFÍA

2.

ADQUISICIÓN DE OBSERVACIONES TOPOGRÁFICAS 3.1 Lecturas acimutales 3.2 Lecturas cenitales 3.3 Distancias observadas

3.

CÁLCULOS BÁSICOS EN TOPOGRAFÍA 3.1

Obtención de acimutes

3.2

Convergencia de meridianos

3.3

Cálculo de distancias reducidas

3.4

Sistemas de coordenadas a) Coordenadas polares b) Coordenadas cartesianas c) Relación entre los dos sistema.

3.5

Cambios de sistemas de coordenadas a) Giro b) Traslación c) Transformación Helmert 2D

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Tema 1

1.

OBSERVACIONES TOPOGRÁFICAS

CONCEPTO DE TOPOGRAFÍA Etimológicamente este término procede del griego topos (lugar) y graphen (describir) pudiendo ser traducido como la descripción exacta y minuciosa de un lugar. Las definiciones de los distintos autores son muy semejantes y tipifican lo que aparece en los tratados que se ocupan de esta ciencia. Norman Thomas en 1920 definía la Topografía como: "el arte de determinar la posición relativa de los distintos detalles de porciones de la superficie terrestre". Higgins en 1943 señalaba: "La Topografía puede describirse como el arte de realizar medidas sobre la superficie terrestre con el propósito de elaborar mapas, planos o determinar una superficie". Aranha Domingues (1979) entiende por Topografía: "el conjunto de principios, métodos, instrumentos y procedimientos utilizados para la determinación del entorno, dimensiones y posición relativa de una porción limitada de la superficie terrestre, del fondo de los mares y del interior de las minas. También compete a la topografía el replanteo de proyectos". Buckner (1983) la define como: "La ciencia y el arte de realizar las mediciones necesarias para determinar la posición relativa de puntos sobre, en, o debajo de la superficie terrestre, así como para situar puntos en una posición concreta". El concepto de Topografía no ha variado con el tiempo. Lo que sí se ha visto ampliamente modificado son las técnicas, los instrumentos de medida y los métodos a aplicar. Las definiciones anteriormente reseñadas, extraídas de textos fundamentales, nos permiten estudiar las características de la disciplina. Del examen comparativo de todas ellas podemos constatar la coincidencia en cuanto a la fuente de datos (la superficie de la tierra) a la forma de adquirir la información (realizando medidas según métodos determinados) y en cuanto al objetivo a conseguir (representar las características y la geometría del terreno).

1

THOMAS, N.W. (1958): pág.1.

2

HIGGINS, A.L. (1957): pág. 1.

3

ARANHA DOMINGUEZ, F.A. (1979): pág.1.

4

BUCKNER, R.B. (1983): pág. 2.

. . . .

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Tema 1

OBSERVACIONES TOPOGRÁFICAS

En todas las definiciones se indica que la topografía es tanto una ciencia como un arte. Como ciencia pertenece al campo de las ciencias de la medida, con la especial característica de utilizar como fuente de información los accidentes y recursos de la superficie de la tierra. Participa también de las ciencias del dibujo y del diseño toda vez que la información proporcionada por sus resultados es tanto gráfica como numérica, y así se representa. La Topografía es ciencia en el grado en el que se utilizan modelos matemáticos rigurosos para analizar y ajustar los datos topográficos de campo. La precisión y su fiabilidad dependen no solamente de la experiencia de campo del topógrafo, sino también de la comprensión que éste tenga de los principios científicos sobre los que actúa y que afectan a todas las formas de medidas topográficas. Pero también: "La Topografía es el arte de medir distancias y ángulos en la superficie terrestre o en su proximidad". A menudo es difícil para los que comienzan y a veces también para profesionales con experiencia, comprender qué proporción de la Topografía es una ciencia y cuál es un arte, porque ambas surgen de una misma función y pertenecen a un proceso técnico y profesional. Este arte solo puede poseerlo aquel profesional que alcance la comprensión de cómo las técnicas topográficas permiten determinar los métodos más eficientes que se requieren para obtener los resultados óptimos sobre una amplia variedad de problemas topográficos. Otro aspecto de las definiciones que hemos ofrecido alude al hecho de que los topógrafos se enfrentan con dos problemas fundamentales: (1) determinar la posición relativa existente entre dos puntos (2) establecer la posición de puntos nuevos en una posición especifica Whyte (1985), además de indicar esta diferenciación, realiza una clasificación posterior incluyendo categorías según se considere o no la influencia de la curvatura terrestre en planimetría: Topografía plana y Topografía geodésica; según el fin o la aplicación: Topografía geodésica, levantamientos topográficos, Topografía catastral, Topografía de ingeniería, Topografía minera, hidrografía y otras Topografías; según los equipos o las técnicas: radiación topográfica, poligonación topográfica, taquimetría y Topografía fotogramétrica. Todas las clasificaciones intentan recoger el presente de esta ciencia, que en cualquier momento ha de entenderse como fruto de la evolución histórica.

5

.

KAVANAGH, Barry F.; BIRD, S.J. Glenn (1989): pág. 1.

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Tema 1

2.

OBSERVACIONES TOPOGRÁFICAS

ADQUISICIÓN DE OBSERVACIONES TOPOGRÁFICAS. 3.1

Lecturas acimutales

3.2

Lecturas cenitales

3.3

Distancias observadas

Es de gran importancia verificar el estado del instrumental antes de comenzar la adquisición de los datos topográficos. Mediante el proceso de verificación se pretende comprobar el funcionamiento correcto del equipo. No olvidemos que se comienza comprobando el estado de los niveles de estacionamiento (girando la alidada y comprobando que la burbuja permanece calada en cualquier posición) y que ha de comprobarse la posición del retículo. Así mismo se habrán determinado los errores sistemáticos y se habrá elegido el procedimiento para eliminarlos. A continuación vamos a resumir la nomenclatura de los observables topográficos, así como la incertidumbre o intervalo de incertidumbre existentes en los mismos, siguiendo el método tradicional explicado en el curso anterior. Este procedimiento consiste en analizar las posibles variables que intervienen en la toma de datos, tratando de modelizarlas matemáticamente. Las expresiones obtenidas nos permitirán cuantificar los intervalos de incertidumbre en los que se encuentran las observaciones realizadas con un determinado equipo topográfico. Supongamos que la figura representa el modelo general de toma de datos topográficos. La nomenclatura y las expresiones, que vamos a utilizar en la asignatura, serán las siguientes.

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Tema 1

3.1

OBSERVACIONES TOPOGRÁFICAS

LECTURA HORIZONTAL: LAP Es el ángulo horizontal con el que se observa desde la estación A a el punto P, a partir de una orientación establecida. Es el valor que se lee en el aparato, para una posición dada del origen angular. El intervalo de incertidumbre vendrá dado por valores que se obtengan para las siguientes puntería y lectura; en los distintos casos. incertidumbre en las lecturas horizontales vendrá

la componente cuadrática de los variables: verticalidad, dirección, El error angular o intervalo de dado por:

ea = ev2 + ed2 + el2 + e 2p a) Incertidumbre en Verticalidad: e v Nivel tórico . Siendo scc la sensibilidad.

ev =

1 cc s 12

Nivel de doble eje ó electrónico. Siendo C

p

la característica de precisión.

1 ev = C p 4

Nivel con sensor de doble eje. Siendo C

p

la característica de precisión.

ev ≈ 0

b) Incertidumbre en Dirección: e d

ed =

ee + es cc r D

Siendo: • D la distancia medida •

El término es la incertidumbre en la posición de la señal sobre el punto observado.

•

El término ee la incertidumbre en el estacionamiento se considera igual , • a 1 cm en estacionamientos con plomada de gravedad, • a ±3 mm si se utiliza plomada óptica o láser.

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Tema 1

OBSERVACIONES TOPOGRÁFICAS

c) Incertidumbre en la Lectura angular: e l Sistema óptico mecánico.

el = siendo: • •

2 1 m 3 n

m el último salto en pantalla. n el número de observaciones.

Sistema electrónico.

el =

me 3

Siendo me el último salto en pantalla en el sistema electrónico.

d) Incertidumbre en la Puntería: e p

ep = • • •

Ca 1 K A n

Ca coeficiente de observación angular: 10cc ≤ Ca ≤ 150cc A los aumentos del anteojo. K la constante de mayoración

1,5 ≤ K ≤ 3 §

3.2

n el número de observaciones realizadas. Regla de Bessel n= 2.

ÁNGULO CENITAL: VAP Es el ángulo vertical con el que se observa desde la estación situada en el punto A, al punto P. Se supone, como es habitual con los instrumentos actuales, que el aparato es cenital, es decir, que el origen de ángulos verticales es el cenit. En algunos textos los autores la denominan distancia cenital. La incertidumbre asociada a esta observación vendrá dada por la componente cuadrática de las incertidumbres en verticalidad, lectura y puntería:

ea = ev2 + el2 + e 2p

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Tema 1

OBSERVACIONES TOPOGRÁFICAS

a) Incertidumbre en Verticalidad: e v Nivel de eclímetro simple .

1 ev = s cc 3

Siendo scc la sensibilidad.

Nivel de eclímetro de coincidencia.

ev =

1 cc s 20

Compensador automático Siendo C

p

la característica de precisión.

ev = C p

Sensor de inclinación

ev ≈ 0 b) Incertidumbre en la Lectura: e l Sistema óptico mecánico

eL = Siendo: • •

2 1 m 3 n

m el último salto en pantalla. n el número de observaciones.

Sistema electrónico

eL =

me 1 3

Siendo me el último salto en pantalla en el sistema electrónico. c) Incertidumbre en la Puntería: e p

ep = • • •

Cv 1 K A n

Cv el coeficiente de observación cenital A los aumentos del anteojo. K la constante de mayoración

1,5 ≤ K ≤ 3 •

n = número de observaciones realizadas. (Bessel n= 2)

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Tema 1

3.3

OBSERVACIONES TOPOGRÁFICAS

DISTANCIA OBSERVADA: D Es la distancia medida desde el centro del instrumento hasta el punto observado sobre el que se ha realizado la puntería en la señal. En numerosos manuales de equipos topográficos y programas comerciales utilizados en Topografía, esta distancia aparece como distancia geométrica. La distancia geométrica se define como la distancia existente en línea recta entre el punto de estación y el punto observado, ambos en el suelo. La distancia geométrica es generalmente una distancia calculada, que no depende en ningún grado de la altura del equipo de medición, ni de la altura del prisma utilizado. Debéis tener especial cuidado en interpretar correctamente el observable “distancia” medido en campo, sea cual sea el nombre con el que os venga descrita. La incertidumbre asociada a la distancia medida será la componente cuadrática de los valores que se obtengan para las siguientes variables: incertidumbre en el estacionamiento, incertidumbre en la posición de la señal sobre el punto observado, error propio del sistema de medida utilizado en la medida de la distancia y la incertidumbre introducida en la distancia debido a la inclinación en el jalón.

e D = e 2V + e 2e + e 2s + e 2j La medida electromagnética de distancias viene caracterizada por las casas comerciales con un error estándar o desviación típica, que denominaremos ev. Este consta de dos términos: el primero viene dado por una constante; y el segundo, es proporcional a la distancia medida, y se expresa en partes por millón (ppm) o lo que es lo mismo, error en mm por Km medido. Para las estaciones totales topográficas, este error puede tomar valores de este tipo: ev = 3 mm ± 3 ppm. Algunos autores identifican el error estándar con el rango de incertidumbre total que se introduce en la distancia con MED. Sin embargo existen otros términos que no pueden olvidarse cuando este método se aplica a la Topografía, y que sirven para caracterizar el instrumental utilizado en la materialización de la señal y el estacionamiento. Estos errores son: * * *

error de estación: ee error de señal: es error por inclinación de jalón: ej

Error de estación: e e Si la estación se va a situar sobre un trípode y se estaciona con plomada óptica, esta observación da lugar a un error de estación (ee) menor de 2 mm.

ee ≤ 2 mm

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Tema 1

OBSERVACIONES TOPOGRÁFICAS

Error de señal: e s El prisma puede situarse sobre un trípode o sobre un jalón. Si se sitúa sobre un trípode alcanzaremos incertidumbres de 2 mm, pero con jalón éstos serán superiores, pudiendo considerarse valores en torno a 1 cm. Error por inclinación de jalón: e j Se trata de la incertidumbre que se introduce en la distancia medida por inclinación de jalón. La inclinación de jalón, experimentalmente, se contabiliza en 1g si en el trabajo se utiliza un nivel esférico de mano y en 3g si la medición se realiza sin él o con el nivel descorregido (valores superiores los detecta visualmente el operador). Denominamos P al punto ideal de puntería, P1 el real y P2 el punto donde la visual real cortaría a la ideal. Llamemos C al centro de emisión del aparato de MED que coincide con el centro óptico del anteojo.

Hemos indicado anteriormente que la inclinación de jalón nunca seria superior a 3g, por ello podemos considerar que el segmento CP coincide con el segmento CP2 y que la distancia PP2 es despreciable. La distancia geométrica medida CP1, no será la que corresponde al gráfico 1, en el que se exponía la situación ideal de medición. El error aparece representado por el segmento P2P1, y lo denominaremos ej y α el ángulo de pendiente. La expresión de esta incertidumbre viene dada por:

ej = m

sen β cos α

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Tema 1

3.

OBSERVACIONES TOPOGRÁFICAS

CÁLCULOS BÁSICOS EN TOPOGRAFÍA 3.1 Obtención de acimutes 3.2 Convergencia de meridianos 3.3 Obtención de distancias reducidas 3.4 Sistemas de coordenadas a) b) c)

Coordenadas polares Coordenadas cartesianas Relación entre los dos sistemas

3.5 Cambios de sistemas de coordenadas a) b) c)

3.1

Giro Traslación Transformación Helmert 2D

OBTENCIÓN DE ACIMUTES Para poder calcular acimutes de un punto a otro con los datos de campo es necesario tener el acimut a una referencia fija conocida, y haber realizado la observación a la misma. Sea

θ AR el acimut a la referencia observada.

Supongamos estacionado el equipo en un punto A desde el que se ha visado acimutalmente a los puntos R y B. Con

θ AR se calcula la desorientación en el punto de estación y posteriorme nte el

acimut del punto B observado desde A.

Σ A = θ AR − LRA θ AB = Σ A + LBA

3.2

CONVERGENCIA DE MERIDIANOS Los acimutes teóricamente han de cumplir que el acimut directo a A a B, ha de diferir 200g del acimut recíproco de B a A. Es decir:

θ AB = θ BA ± 200 g Sin embargo no debemos olvidar que los acimutes están tienen como origen la transformada del meridiano. Al comparar acimutes en dos puntos diferentes de la superficie terrestre, o en cierres angulares, se hace necesario considerar en algunos casos lo que denominamos como “convergencia de meridianos”

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Tema 1

OBSERVACIONES TOPOGRÁFICAS

Sabido es que los meridianos convergen en los polos y que, por tanto, las meridianas no pueden ser paralelas. De lo expuesto se deduce que el acimut plano,

θ AB de la recta AB referido al sistema de ejes que pasan por el origen O, será distinto del acimut,

θ'AB de la misma

recta, si se considera como correspondiente al sistema de origen O’. La diferencia entre amb os valores,

θ AB y

θ'AB , es el ánguloω, ya que, en ocasiones, se presenta problemas de ajuste de acimutes planos referidos a distintos sistemas. Raro será el caso que los puntos O y O’ no estén en el mismo paralelo y dado la pequeñez de las distancias en Topografía, en relación con las dimensiones de la Tierra se podrá suponer que están en la misma latitud sin más que hacer el promedio de las dos latitudes.

L=

Lo + Lo' 2

El ángulo β de vértice C´, es la diferencia de longitudes entre O y O’; de decir que:

β = M O − M O' = ∆M Calcularemos el valor del arco OO’ como perteneciente al paralelo medio, Expresando β en segundos centesimales y por rcc el número de segundos que tiene un radian. Se tendrá:

OO' =

β CC β CC ∆M cc Lo + Lo' C ' O = CO ⋅ cos L = R ⋅ cos CC CC CC 2 r r r

Puesto que CO es el radio de la Tierra. A su vez OO’ puede considerarse como el arco perteneciente a la superficie del como tangente a lo largo del paralelo de centro C’, cuyo vértice es V, y del cual, una vez desarrollado y teniendo en cuenta que el triángulo COV es rectángulo en O, se obtiene:

OO' =

ω CC ω CC ω CC Lo + Lo' VO = CO ⋅ c tg L = ⋅ R ⋅ c tg CC CC CC 2 r r r

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Tema 1

OBSERVACIONES TOPOGRÁFICAS

ω CC = ∆M cc

Lo + Lo' Lo + Lo' 2 = ∆M cc sen Lo + Lo' 2 ctg 2 cos

ω = ∆M cc sen

Lo + Lo' 2

∆M = incremento de longitud. En algunos casos deberemos calcular el efecto sobre los acimutes debido a la convergencia de meridianos y aplicarlo para corregir el efecto de esta variable sistemática.

3.3

CALCULO DE DISTANCIAS REDUCIDAS Aunque ya no se utiliza, recordemos cómo se podía obtener el valor de la distancia reducida con estadía vertical:

Dr BA = g ⋅ sen 2V AB g = 100 ⋅ ( hs − hi ) Si utilizamos una estación total, la distancia medida será D. distancia reducida vendrá dada por:

partir de ella la

Dr A = DAB ⋅ senV AB B

3.4

SISTEMAS DE COORDENADAS Los sistemas de referencia son modelos necesarios par la descripción cuantitativa de posiciones y movimientos de cuerpos celestes, incluida la tierra. El sistema de referencia que se utiliza en topografía, es un sistema local con origen en el punto de estación. El plano sobre el que se sitúa el sistema de coordenadas es el plano tangente a la superficie terrestre en dicho punto. Los ejes del sistema de coordenadas planimétrico son: Eje Y - Transformada del meridiano que pasa por el punto de estación. El eje Y + coincide con la dirección del Norte Geográfico. Eje X – Perpendicular al eje Y. A partir de los datos obtenidos en una observación topográfica se obtienen las coordenadas planimétricas de un punto con respecto a otro. La coordenada altimétrica la denominaremos H.

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Tema 1

a)

OBSERVACIONES TOPOGRÁFICAS

COORDENADAS POLARES:

θ AB , Dr A B

Las coordenadas polares de un punto B con respecto a un punto A son el acimut y la distancia reducida, definida como la distancia desde la estación A hasta el punto P, proyectada sobre el plano horizontal tangente al punto de estación b)

COORDENADAS CARTESIANAS: X B , Y B El sistema de coordenadas cartesianas en Topografía esta compuesto por tres términos X e Y.

Las coordenadas relativas del punto B con respecto al punto A, son:

x AB = Dr AB ⋅ sen θ AB y AB = Dr AB ⋅ cosθ AB Y las coordenadas absolutas, en el mismo sistema de coordenadas en el que se conocen las coordenadas de A, serán:

X B = X A + x BA YB = YA + y BA c)

RELACIÓN ENTRE LOS DOS SISTEMAS Conocidas las coordenadas cartesianas de un punto con respecto a otro, puede determinarse el acimut y la distancia reducida existente entre ellos, aplicando la siguiente relación:

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Tema 1

OBSERVACIONES TOPOGRÁFICAS

tg θ AB =

X B − X A ∆X = Y B −YA ∆Y

DrAB = ( X B − X A ) 2 + (YB − YA ) 2

3.5

CAMBIOS DE SISTEMAS DE COORDENADAS. a)

GIRO Si entre los dos sistemas de coordenadas la diferencia estriba en un giro angular, la figura que representa la situación sería la siguiente:

Sistema X´Y´ Sistema X, Y

Gráficamente:

X'A = OC = OD − CD Y A' = CA = DB + HA

(1)

En el triángulo rectángulo ODB

OD = X A ⋅ cos α DB = X A ⋅ senα En el triángulo rectángulo AHB

HB = CD = YA ⋅ sen α HA = YA ⋅ cosα Despejando los términos anteriores en el grupo de formulas (1)

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Tema 1

OBSERVACIONES TOPOGRÁFICAS

X'A = X A ⋅ cos α − YA ⋅ sen α YA' = X A ⋅ sen α + YA ⋅ cos α Y en forma matricial:

 X ´A  X    =  Á Y  Y ´   A   A 

b)

 cos α   senα

− senα   + cos α 

TRASLACIÓN Si la relación entre ambos ejes es una traslación del segundo sistema con respecto al primero:

X'A = XA + XO YA' = YA +Y O Y en forma matricial:

 X ´A  X    =  Á + ´ Y  Y   A   A 

c)

X0     Y0 

TRANSFORMACIÓN HELMERT 2D El problema general que se plantea entre dos sistemas de coordenadas en el plano, se denomina transformación Helmert bidimensional.

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Tema 1

OBSERVACIONES TOPOGRÁFICAS

Las expresiones generales son:

X'A = XO + X A ⋅ cos α − YA ⋅ sen α YA' = YO + X A ⋅ sen α + YA ⋅ cos α Y en forma matricial:

 X ´A  X    = 0 + Y  Y ´   0   A 

XÁ   Y   A 

 cosα   senα

− senα   + cos α 

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Tema 2. Conceptos topográficos

Se puede definir la Topografía como el conjunto de métodos e instrumentos necesarios para representar gráfica o numéricamente el terreno con todos sus detalles, naturales o artificiales.

Planimetría y Altimetría La superficie terrestre no es plana y su representación exige determinar, no sólo la proyección horizontal de los diversos puntos, sino también las alturas de cada uno de éstos sobre el plano de proyección, medidas sobre las líneas proyectantes perpendiculares a él, que cuando se refieren al plano horizontal de cota cero toman el nombre de altitudes o cotas. La superficie de cota cero es la de los mares tranquilos que se supone prolongada, idealmente, a través de los continentes; en España la altura media de las aguas del mar Mediterráneo, en Alicante.

Recibe el nombre de Planimetría la parte de la Topografía, que se ocupa de la determinación de la proyección horizontal de los puntos, mientras que la Altimetría comprende los métodos, que proporcionan sus cotas o altitudes. Algunas veces, en el levantamiento de planos, sólo se necesitan los datos planimétricos; por ejemplo, en terrenos muy llanos, o cuando se mide la superficie o se deslinda una finca. Asimismo, pueden realizarse operaciones altimétricas aisladas, como cuando quiere hallarse la altura de un salto de agua; pero, casi siempre, el levantamiento de un plano, que haya de ser utilizado por el técnico, abarca las dos clases de operaciones, planimétricas y altimétricas, y los procedimientos topográficos comprenden unas y otras, que se realizan simultáneamente.

Sistemas de representación en Topografía La topografía pretende la representación en el plano de una serie de elementos espaciales. Y debe cumplir, entre otras, la condición fundamental de dar al que lo utiliza, idea clara de la forma, dimensiones y detalles del terreno representado. El sistema que cumple mejor esta condición, es el conocido con

el nombre de «Planos acotados», que se reduce a representar cada punto por su proyección horizontal, con un número que indica su altura sobre la superficie de referencia.

Proyección U.T.M. (Universal Transversa Mercator) Es una representación de la Tierra que facilita la resolución de problemas geodésicos sobre el plano. Se define como un sistema cilíndrico, transverso y tangente al elipsoide (superficie matemática que se utiliza en geodesia, como representación de la superficie terrestre), a lo largo de un meridiano central del huso que se toma como meridiano origen.

MERIDIANO CENTRAL

N

LINEAS DE INTERSECCIÓN

De esta forma la Tierra queda dividida en 60 husos iguales con origen el antimeridiano de Greenwich. España queda comprendida en los husos 28,29,30 y 31.

Husos de proyección En cada huso de proyección se establece un sistema de coordenadas con el fin de realizar luego la representación de los puntos en el plano.

Este sistema de coordenadas sería el que aparece en la siguiente figura:

De esta forma todas las coordenadas U.T.M. siempre tendrán signo positivo. Las unidades en este sistema son los metros.

Curvas de nivel Son las líneas que unen puntos de igual cota o altitud. En un sistema de planos acotados la curva de nivel viene dada por la intersección de un plano con el terreno.

Equidistancia Para que las curvas de nivel den idea clara del relieve del terreno, los planos horizontales que las determinan deben estar separados entre si una magnitud constante, que es la diferencia entre las cotas de dos de ellos contiguos y que recibe el nombre de equidistancia.

La equidistancia suele elegirse, en función de la escala del plano, de modo que las curvas de nivel no resulten demasiado juntas, ni excesivamente separadas, pues en ambos casos no darían idea suficientemente clara del terreno

Escala Escala es la relación constante que existe entre las líneas plano y sus homologas en el terreno. En Topografía su valor es siempre menor que la unidad, por la necesidad de reducir el tamaño de las líneas del terreno, para que puedan representarse en el papel, y se indica generalmente por una fracción cuyo numerador es la unidad y que tiene por denominador un múltiplo de diez, lo que facilita las operaciones de multiplicación o división necesarias para pasar de las magnitudes del plano a las del terreno o viceversa.

Las escalas varían según el objeto del plano; así, para representaciones de edificios y pequeñas parcelas de terreno de gran valor, se usan escalas grandes, 1/50, 1/100, 1/200, y 1/500. Para mayores extensiones, otras menores, 1/1.000, 1/2.000, 1/5.000 y 1/10.000, son las mas frecuentes. El mapa topográfico nacional, que ejecuta el Instituto Geográfico Nacional (I.G.N), se publica en escala 1/50.000. En trabajos geodésicos se emplean escalas menores, por ejemplo las de 1/400.000, 1/500. 000, 1/1.000.000, etc.

Además de estas escalas numéricas, se suelen dibujar en los planos las escalas gráficas, que evitan las operaciones aritméticas de multiplicación o división. Se reducen a una línea recta dividida en partes iguales y numerada de modo que las cifras indiquen directamente las magnitudes del terreno a que corresponden los segmentos de la escala.

La menor magnitud que podemos apreciar en el plano es de 0,2 mm., grueso de la punta de un lápiz bien afilado, que se denomina error grafico. Si designamos la escala por 1/M una longitud cualquiera del terreno L, se representa por otra que mide L x 1/M , y, por lo tanto, la menor magnitud de aquel que tiene representación en el plano estará dada por la formula L=Mx0,0002 metros Así, por ejemplo, en la escala 1/5.000, las magnitudes inferiores a 1 metro no pueden representarse en el plano, salvo que se adopten signos convencionales para ello.

Distancias En Topografía existen tres tipos de distancias: -

Distancia natural Dn: es la distancia entre dos puntos siguiendo el relieve del terreno.

-

Distancia geométrica: Dg: longitud del segmento de recta que une los dos puntos

-

Distancia reducida Dr: es la proyección sobre el plano horizontal de la distancia geométrica.

Desnivel y pendiente Desnivel: Diferencia de cota entre dos puntos del terreno. Pendiente: Inclinación del terreno con respecto al plano horizontal. Se expresa como una proporción entre la diferencia de cota y la distancia reducida.

Tema 3

Tema 3:

M. Farjas

Nivelación Trigonométrica

Nivelación Trigonométrica

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Tema 3

Nivelación Trigonométrica

ÍNDICE

1. INTRODUCCIÓN - Desnivel - Cotas y altitudes. 2. FUNDAMENTO DE LA NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA. 5.1 5.2 5.3

Fórmula general. Correcciones Fórmula general aplicada

3. INCERTIDUMBRE EN LA DETERMINACIÓN DEL DESNIVEL 3.1 FUENTES DE INCERTIDUMBRE -

Incertidumbre en la determinación de la altura del aparato. Incertidumbre en la determinación de la altura de señal. Incertidumbre en la determinación del término "t".

3.2 INCERTIDUMBRE FINAL 4. EQUIPOS TOPOGRÁFICOS. ANÁLISIS DE METODOLOGÍA. 4.1 Cálculo de desniveles con estaciones totales y semitotales. A) Montajes coaxiales. B) Montajes excéntricos B.1 Con visuales paralelas. B.2 Con visuales no paralelas. 4.2 Cálculo de desniveles con taquímetro y mira.

5.

COEFICIENTE K DE REFRACCIÓN. 5.1 5.2

Determinación experimental del coeficiente k de refracción Reducción de visuales al terreno.

6. MÉTODOS DE NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA SIMPLE. 6.1 NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA SIMPLE. 6.2 NIVELACIÓN POR ESTACIONES RECÍPROCAS.

M. Farjas

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Tema 3

Nivelación Trigonométrica

-

Método de campo.

-

Cálculo del desnivel final. -

-

Directo: ∆HAB. Recíproco: ∆HBA. Discrepancia. Tolerancia. Valor final: medias aritméticas o ponderadas. Precisión.

Altitud. Aplicaciones.

6.3 NIVELACIÓN POR VISUALES RECÍPROCAS Y SIMULTANEAS. -

Fórmula general. Precisión.

7. NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA COMPUESTA. 7.1

Líneas de nivelación. -

Por estaciones alternas. Por estaciones recíprocas. -

Trabajo de campo. Determinación de desniveles. -

-

Corrida de altitudes. Error de cierre. Tolerancia final. Compensación (métodos clásicos). -

7.2

Directos. Recíprocos. Aplicar tolerancia. Promedios.

Proporcional a los desniveles. Proporcional a las distancias. Proporcional a las tolerancias. Partes iguales a todos los tramos.

Redes de nivelación por estaciones recíprocas y simultaneas. -

Proyecto. Metodología de observación. Ajuste por MMCC.

8. BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA.

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Tema 3

Nivelación Trigonométrica

1. INTRODUCCIÓN -

DESNIVEL.

-

COTAS Y ALTITUDES.

Definido el desnivel como la cota de un punto referida a la superficie de nivel que pasa por otro, entendemos por nivelación (Higgins1): "Nivelación es el arte de determinar las diferencias en elevación de puntos sobre la superficie terrestre con el propósito de (a) trazar contornos lineales; (b) dibujar secciones verticales que representen la forma de una superficie, y (c) establecer puntos a una elevación determinada, definida en proyectos de construcción". En Topografía se supone a efectos altimétricos, la Tierra esférica. Las superficies de nivel son también esferas, concéntricas con la forma general de la Tierra y por lo tanto equidistantes. Hasta épocas recientes se clasificaban los métodos altimétricos o de nivelación atendiendo al tipo de visual cenital utilizada. En estas fechas, podemos volver a retomar este mismo criterio. Definimos: *

Nivelación con visuales cenitales de cualquier inclinación: nivelación trigonométrica. nivelación con visuales exclusivamente horizontales: nivelación geométrica. nivelación sin visuales cenitales: nivelación GPS.

* *

La nivelación GPS, ha venido a relevar a la nivelación barométrica retomando sus métodos y su vocabulario de forma inconsciente. En la actualidad la precisión en Topografía se expresa en partes por millón (ppm.) de la unidad medida, valor que corresponde al término que tradicionalmente se definía como error kilométrico o eK,, en altimetría. Pretendemos delimitar el rango de precisión de los métodos de nivelación existentes, describiendo con minuciosidad la situación de la nivelación trigonométrica, en la que la estadía vertical ha cedido su lugar a los sistemas de MED, y realizando una somera presentación de los resultados que se están obteniendo con la nivelación por visuales recíprocas y simultáneas y con la nivelación con las técnicas de GPS. Nuestro objetivo consiste en delimitar el lugar que cada método ocupa en el campo de la nivelación y las tendencias futuras de los mismos. Como en cualquier estudio comparado pretendemos estudiar el presente para entender el futuro. La primera parte se presenta a continuación, analizando los indicadores de la precisión en las nivelaciones trigonométricas. Una vez obtenidas las cotas hay que referir los puntos a la superficie de referencia origen, obteniéndose las altitudes de los puntos observados.

1

.

HIGGINS, A.L. (1957): pág. 60.

M. Farjas

4

Tema 3

Nivelación Trigonométrica

2. FUNDAMENTO DE LA NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA (NT).

2.1

2.1.

FORMULA GENERAL.

2.2.

CORRECCIONES A APLICAR AL DESNIVEL OBSERVADO POR NT.

2.3.

FORMULA GENERAL APLICADA.

FORMULA GENERAL Hemos definido nivelación trigonométrica como el método altimétrico que permite obtener desniveles entre puntos, con observaciones de distancias cenitales de cualquier inclinación. Supongamos estacionado el instrumento en el punto A, y que se sitúa el prisma para la MED en el punto B. El modelo teórico de medida queda reflejado en el siguiente gráfico.

Del gráfico se puede deducir fácilmente la expresión por la que se podrá obtener el desnivel, y que será igual a:

∆H BA = tBA + iA − m B En Topografía, siempre es necesario referirse a dos tipos de variables: aquellas que determinan el grado de incertidumbre en el que se encuentran las observaciones realizadas (en el curso anterior se estudiaban como errores accidentales); y aquellas variables que afectan a las observaciones siguiendo leyes físicas. Éstas últimas, al ser conocidas las causas que las producen, pueden cuantificarse y deben aplicarse las correcciones que eliminan sus efectos en las medidas topográficas. 2.2 CORRECCIONES A APLICAR AL DESNIVEL OBSERVADO POR NT. En la nivelación trigonométrica existen dos efectos que han de ser eliminados: 1) La influencia de la curvatura de la Tierra, que da lugar a la corrección por esfericidad. M. Farjas

5

Tema 3

Nivelación Trigonométrica 2) La influencia de la refracción del rayo de luz que proviene del punto visado, que origina la corrección por refracción.

3) CORRECCIÓN POR ESFERICIDAD. Supuestas esféricas las superficies de nivel y un instrumento estacionado en el punto A, desde el que se visa al punto B, debemos tener en cuenta que las medidas topográficas se realizan en un plano tangente a la superficie terrestre en un punto en el que esta estacionado el instrumento.

B2

El desnivel que se obtiene BB1 no corresponde al real BB2. Si despreciamos el ángulo w, ángulo en el centro de la Tierra (las distancias en Topografía son cortas comparadas con la longitud del radio terrestre) podríamos considerar BB1=BB3; y por tanto el error de esfericidad estaría representado por el segmento B2B3. Tras un análisis matemático de la figura, se obtiene el siguiente valor:

D2 Ce = + 2R Esta corrección siempre será positiva, tal como se desprende del gráfico. 4) CORRECCIÓN POR REFRACCIÓN. El rayo que proviene del punto visado no sigue una trayectoria rectilínea, sino que va sufriendo sucesivas refracciones al ir atravesando una atmósfera de densidad variable. Esta situación produce un efecto, que se refleja en el siguiente gráfico.

M. Farjas

6

Tema 3

Nivelación Trigonométrica

La distancia cenital que medimos corresponde a la tangente al rayo de luz en el centro óptico del teodolito, y es con ella con la que se calcula la posición de B, que queda situado en la posición B1. La distancia BB1, es el denominado error por refracción, que con el signo negativo, toma el valor de:

Cr = −K

D2 R

(para 2 K =

R ) R'

Esta expresión corresponde al coeficiente de refracción K, de valor igual a la mitad de la relación existente entre el radio de la Tierra y el radio de curvatura de la trayectoria del rayo de luz que proviene del punto visado. Con esta definición, para condiciones normales en España, K toma el valor de 0.08. Otros autores definen el coeficiente K como la relación directa entre los dos radios mencionados. En esta situación K toma un valor de 0.16 en condiciones normales en nuestro país. Cada vez es más frecuente que el coeficiente K de refracción se calculé para las condiciones y el lugar de trabajo específico, no utilizándose la generalización de valores que hemos citado. El método para la determinación del coeficiente consiste en la realización de visuales reciprocas y simultáneas entre dos puntos extremo de la zona de trabajo, siguiendo la metodología de observación y cálculo que exponemos en el apartado 5. La corrección por refracción se considera, en la deducción realizada, como negativa, tal como se muestra en la figura. Esto supone que el rayo de luz sigue una trayectoria cóncava hacia el suelo (en condiciones normales la densidad de la atmósfera decrece a medida que nos elevamos). Cuando este sea el caso a considerar, y si el coeficiente K se determina experimentalmente, él será quien nos introduzca el camino de influencia producido del cambio de la concavidad, apareciendo con signo negativo. CORRECCIÓN CONJUNTA. Teniendo en cuenta que la corrección por esfericidad viene dada por:

Ce = +

D2 2R

y que la corrección por refracción se calcula con:

Cr = −K

D2 R

la corrección conjunta de los dos errores mencionados vendrá dado por:

Ce + C r =

M. Farjas

1 D2 D2 D2 −K = (0.5 − K) 2 R R R 7

Tema 3

2.3

Nivelación Trigonométrica

FORMULA GENERAL APLICADA EN NT. Para determinar los efectos de estos dos errores sistemáticos, conocida la expresión que nos permite obtener su influencia para cada caso en particular, se modifica la formula general de la nivelación trigonométrica.

(D BA ) ∆H = t + i A − m B + (0.5 − K) R B A

2

B A

Fórmula cuyo uso se recomienda siempre en los trabajos topográficos, sin ningún tipo de condicionante. Recomendamos realizar el siguiente ejercicio: Hoja 5: Cálculo de desniveles por NT.

3.

INCERTIDUMBRE EN LA DETERMINACIÓN DEL DESNIVEL 3.1.

FUENTES DE INCERTIDUMBRE.

3.2

INCERTIDUMBRE FINAL EN LA DETERMINACIÓN DEL DESNIVEL POR NT

Cuando hablamos de un equipo topográfico actual, nos estamos refiriendo a las estaciones totales. Las características de las mismas, definidas en las Normas ISO 1900, podríamos generalizarlas en: *

Distanciómetro de infrarrojos: . .

*

Alcance: 2.000 m Precisión: 3 mm. ± 3 ppm.

Teodolito: . . .

Sensibilidad: 30cc. Aumentos: 30. Apreciación según la casa comercial: 2cc.

El estudio de las fuentes de incertidumbre se va a realizar exponiendo un planteamiento teórico, y posteriormente se particularizará a este modelo de equipo topográfico, para ir cuantificando el valor de las magnitudes a las que se hace referencia en cada caso. Recomendamos estudiar este apartado con el ejercicio: Hoja 6 y 7: Conceptos y terminología en el cálculo de incertidumbres en NT. 3.1 M. Farjas

FUENTES DE INCERTIDUMBRE.

8

Tema 3

Nivelación Trigonométrica

A.

Termino i

B.

Termino t . . .

C.

Incertidumbre en la medida de la distancia geométrica. Incertidumbre en la medida de la distancia cenital. Incertidumbre total en el término t.

Término m . . .

Incertidumbre en la medida directa de m. Incertidumbre respecto a la altura a la que se ha realizado la puntería cenital. Incertidumbre total en el término m.

El estudio de las fuentes que originan incertidumbre en la nivelación trigonométrica, obliga a analizar los tres términos que intervienen en su cálculo: i, t y m. Cada uno de ellos introduce un grado de incertidumbre en el desnivel obtenido con este método de nivelación. Denominaremos: * * *

ei : al error o incertidumbre al evaluar el término i, et : al error o incertidumbre al evaluar el término t, em : al error o incertidumbre al evaluar el término m.

Cuando hayamos cuantificado estas variables, el error total del desnivel vendrá dado por la componente cuadrática de los mismos, ya que se trata de errores independientes y de los que no conocemos la dirección en la que actúan. A.-

Error o incertidumbre al evaluar el término i: ei La indeterminación que puede existir en la medida de la altura de aparato, dependerá de la precisión y el esmero con el que el operador realice esta operación. La experiencia propia junto a la de otros profesionales, me permite afirmar que este error puede reducirse a medio centímetro. Este será el valor extremo que consideraremos que interviene en la obtención del desnivel. ei ≤ 5 mm

B.-

Error o incertidumbre al evaluar el término t: et Para determinar la cuantía de la incertidumbre que introducimos en el error total del desnivel debido al error en la determinación del término t, se hace necesario analizar cómo se obtiene. No existe acuerdo entre los autores, acerca de la denominación de la distancia que se obtiene con MED. Mientras unos se resisten a denominarla distancia geométrica por no corresponder al concepto estricto de la misma, otros autores la utilizan siempre. Sea DAB la distancia medida y VAB la distancia cenital al prisma.

M. Farjas

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Tema 3

Nivelación Trigonométrica

Según la figura:

cos VAB =

t BA D BA

de donde: tAB = DAB cos VAB Aunque la estación total permita obtener la distancia reducida (o las coordenadas) directamente, no podemos olvidar que lo realiza con un microprocesador que toma los mismos datos de campo que los que consideramos aquí, y que las incertidumbres son inherentes a los datos de campo. Por ello debemos referirnos a la distancia medida y a la distancia cenital obtenida como las variables que intervienen en la incertidumbre del termino t. Estas dos variables tienen incertidumbres propias del proceso de su medición. El término t viene dado por: t = D cos V y es función de dos variables: D y V; t = f (D,V) Aplicando la ley de transmisión de errores, podemos escribir: 2

2

 ∂f   ∂f  e =   e 2D +   e 2V  ∂D   ∂V  2 t

siendo eD la incertidumbre en la medida de la distancia geométrica y eV la existente en la medida del ángulo cenital. Calculamos las derivadas parciales:

∂f = cos V ∂D ∂f = − D sen V ∂V

M. Farjas

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Tema 3

Nivelación Trigonométrica Sustituyendo queda:

e 2t = (cos2 V)e 2D + (D 2 sen 2 V)e 2V y finalmente podemos escribir:

e t = (cos2 V)e 2D + (D 2 sen 2 V)e 2V Antes de proceder al cálculo de este error en los distintos casos, es necesario estudiar y cuantificar los términos eD Y eV. a)

Error o incertidumbre en la distancia medida: eD La medida electromagnética de distancias viene caracterizada por las casas comerciales con un error estándar o desviación típica, que denominaremos ev. Este consta de dos términos: el primero viene dado por una constante; y el segundo, es proporcional a la distancia medida, y se expresa en partes por millón (ppm) o lo que es lo mismo, error en mm por Km medido. Para las estaciones totales a las que aquí nos referimos, este error puede tomar valores de este tipo:

ev = 3 mm ± 3 ppm Este error, muchos autores, lo identifican con el rango de incertidumbre que se introduce en la distancia con MED. Sin embargo existen otros términos que no pueden olvidarse cuando este método se aplica a la Topografía, y que sirven para caracterizar el instrumental utilizado en la materialización de la señal y el estacionamiento. Estos errores son: * * *

error de estación: ee, error de señal: es, error por inclinación de jalón: ej.

El error total en la distancia medida con MED, eD, viene dado por:

eD = ev2 + ee2 + es2 + e2j Error de estación: ee En nuestro estudio aplicado podemos considerar que la estación total se va a situar sobre un trípode y se estacionará con plomada óptica. Esto va a dar lugar a un error de estación (ee) menor de 2 mm.

ee ≤ 2 mm

M. Farjas

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Tema 3

Nivelación Trigonométrica Error de señal: es Ahora bien la señal, el prisma, puede situarse sobre un trípode o sobre un jalón. Si se sitúa sobre un trípode alcanzaremos incertidumbres de 2 mm, pero con jalón éstos serán superiores, pudiendo considerarse valores en torno a 1 cm. es (prisma sobre trípode) ≤ 2 mm es (prisma sobre jalón) ≤ 10 mm Error por inclinación de jalón: ej Existe finalmente otra causa de error. Se trata del error que se introduce en la distancia medida por inclinación de jalón. La inclinación de jalón, experimentalmente, se contabiliza en 1g si en el trabajo se utiliza un nivel esférico de mano y en 3g si la medición se realiza sin él o con el nivel descorregido (valores superiores los detecta visualmente el operador). Denominamos P al punto ideal de puntería, P1 el real y P2 el punto donde la visual real cortaría a la ideal. Llamemos C al centro de emisión del aparato de MED que coincide con el centro óptico del anteojo.

Hemos indicado anteriormente que la inclinación de jalón nunca sería superior a 3g, por ello podemos considerar que el segmento CP coincide con el segmento CP2 y que la distancia PP2 es despreciable. La distancia geométrica medida CP1, no será la que corresponde al gráfico 1, en el que se exponía la situación ideal de medición. El error aparece representado por el segmento P2P1, y lo denominaremos ej. Para cuantificarlo analizaremos el triángulo P2BP1. Llamaremos β al ángulo de inclinación del jalón. Aplicando el teorema del seno:

M. Farjas

12

Tema 3

Nivelación Trigonométrica

ej sen β

m

=

sen (100 + α )

siendo α el ángulo de pendiente. Como sen(100+α) es igual al cos α, obtenemos la siguiente expresión.

ej

=

m cos α

ej = m

sen β cos α

sen β y finalmente:

Para tomar conciencia de la cuantía del ej se han confeccionado las siguientes tablas

V/M 100/0 99/101 98/102 97/103 96/104 95/105 94/106 93/107 92/108 91/109 90/110 89/111 88/112 87/113 86/114 85/115

1,30 20 20 20 20 20 20 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21

e j (m m ): con nive l e sfe rico (be ta m e nor o igua a 1g) 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80 22 24 25 27 28 22 24 25 27 28 22 24 25 27 28 22 24 25 27 28 22 24 25 27 28 22 24 25 27 28 22 24 25 27 28 22 24 25 27 28 22 24 25 27 28 22 24 25 27 29 22 24 25 27 29 22 24 26 27 29 22 24 26 27 29 22 24 26 27 29 23 24 26 27 29 23 24 26 27 29

1,90 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 31 31

2,00 31 31 31 31 31 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32

La influencia del ángulo cenital es despreciable, variaciones máximas de 1 mm en el intervalo de distancias cenitales estudiadas (100 85/115). La altura a la que se ha visado es un efecto a tener en cuenta. Los errores se estudian para conocer que variables son las que hay que tener en cuenta, cual es su valor y cuales tienen efectos despreciables.

M. Farjas

13

Tema 3

V/M 100/0 99/101 98/102 97/103 96/104 95/105 94/106 93/107 92/108 91/109 90/110 89/111 88/112 87/113 86/114 85/115

Nivelación Trigonométrica

1,30 61 61 61 61 61 61 62 62 62 62 62 62 62 63 63 63

e j (m m ): sin nive l e sfe rico (be ta m e nor o igua a 3g) 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80 66 71 75 80 85 66 71 75 80 85 66 71 75 80 85 66 71 75 80 85 66 71 75 80 85 66 71 76 80 85 66 71 76 80 85 66 71 76 81 85 66 71 76 81 85 67 72 76 81 86 67 72 76 81 86 67 72 77 81 86 67 72 77 82 86 68 72 77 82 87 68 72 77 82 87 68 73 78 82 87

1,90 90 90 90 90 90 90 90 90 90 90 91 91 91 91 92 92

2,00 94 94 94 94 94 95 95 95 95 95 95 96 96 96 97 97

El ángulo cenital influye más : 3 mm en el intervalo estudiado, la influencia es menor y los efectos de cualquier variación también. La variación por m oscila desde 6 cm, con alturas de señal de 1.30, hasta 10 cm con alturas de señal de 2.00 m El error total en la distancia medida con MED, eD, viene dado por

e D = e 2v + e 2e + e 2s + e 2j Para las estaciones totales que estudiamos: ev= 3 mm. ± 3 ppm. ee= 2 mm. es= 2 mm. con prisma sobre tripode. es= 10 mm. con prisma sobre jalón. ej= La influencia de la variación de la distancia cenital despreciable. Considerando la altura del prima mínima de 1,30. - Con nivel esférico ej= 20 mm. - Sin nivel esférico ej= 61 mm. Para la situación más usual en la que el prisma se coloca sobre un jalón con nivel esférico y tendiendo a realizar lectura lo más bajas posibles (caso general 1.30 m.), el error en distancias será:

e D = ± 23 mm. Generalizando este planteamiento. en la medida electromagnética de distancias, se recomienda el uso de trípode con el prisma, bien sea que el prisma se sitúe directamente sobre él o que el trípode se utiliza como elemento auxiliar para nivelar, por la influencia del error ej no sólo en altimetría sino también en planimetría.

M. Farjas

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Tema 3

b)

Nivelación Trigonométrica

Error o incertidumbre en el termino V : eV Denominamos por eV el error por dirección cenital. Tradicionalmente se considera que viene dado por:

e V = e2ver + e2lec + e2pun y las expresiones de estas errores según algunos autores son:

e ver =

1 cc s 12

elec =

2 cc a 3

e pun =

60 cc  4A   1 + A  100 

Las expresiones generales para obtener este término, según estudiastéis en la asignatura Topografía I son:

a)

Verticalidad. Nivel de eclímetro simple Siendo scc la sensibilidad.

1 ev = s cc 3

Nivel de eclímetro de coincidencia.

ev =

1 cc s 20

Compensador automático Siendo C

p

la característica de precisión.

ev = C p

Sensor de inclinación.

ev ≈ 0

M. Farjas

15

Tema 3

Nivelación Trigonométrica b)

Lectura. Sistema óptico mecánico.

2 1 eL = m 3 n siendo: • m el último salto en pantalla. • n el número de observaciones. Sistema electrónico.

eL =

me 1 3

siendo me el último salto en pantalla en el sistema electrónico.

c)

Puntería

ep =

Cv 1 K A n

siendo: • Cv el coeficiente de observación cenital • A los aumentos del anteojo. • K la constante de mayoración • n el número de observaciones realizadas. Con regla de Bessel n= 2.

1,5 ≤ K ≤ 3

Las características del teodolito de la estación total que estamos considerando son s= 50cc A = 30x a = 1cc. Ahora bien no podemos considerar la apreciación que nos proporciona la casa comercial como dato a introducir en el error de lectura, puesto que este valor se obtiene por interpolación y no tiene carácter relacionado con la precisión real. Experimentalmente se ha demostrado; que con estos equipos lo que si se puede asegurar es una representatividad en las lecturas de ± 8cc. La expresión del error de la lectura en las estaciones totales debe situarse por el valor que en la definición de las características del instrumento aparece como desviación típica de la medida angular, que tiende a asemejarse a este valor experimental. El error que se comete por dirección cenital, con estas consideraciones con el primer modelo de ecuaciones es:

e V = ± 10cc y con las nuevas formulaciones resulta del mismo orden. En las condiciones de trabajo mencionadas el error por distancia geométrica medida era: M. Farjas

16

Tema 3

Nivelación Trigonométrica

e D = ± 23 mm. El valor total de la influencia de estos errores en el término t, lo podemos obtener por la siguiente expresión, deducida en un apartado anterior.

e t = (cos2 V) e2D + (D 2 sen 2 V) e2V A continuación se presenta la tabla con los resultados obtenidos, en función de la distancia y de la distancia cenital. La variación de distancia cenital no influye en el error en t a partir de 800 m, y la de 500 a 800 supone un error de 1 mm en el intervalo de 100 a 85/115 estudiado. En un caso concreto hay que calcular los valores que toma et en función del equipo utilizdo y de las características de la observación.

M. Farjas

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Tema 2

Nivelación Trigonométrica

Error o incertidumbre al evaluar el termino t (mm.): et V/D

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1.000

1.500

2

3

5

6

8

9

11

13

14

16

24

31

99g/101g

2

3

5

6

8

9

11

13

14

16

24

31

98g/102g

2

3

5

6

8

9

11

13

14

16

24

31

97g/103g

2

3

5

6

8

9

11

13

14

16

24

31

96g/104g

2

3

5

6

8

10

11

13

14

16

24

31

95g/105g

2

4

5

7

8

10

11

13

14

16

24

31

94g/106g

3

4

5

7

8

10

11

13

14

16

24

31

93g/107g

3

4

5

7

8

10

11

13

14

16

24

31

92g/108g

3

4

5

7

8

10

11

13

14

16

24

31

91g/109g

4

4

6

7

8

10

11

13

14

16

24

31

90g/110g

4

5

6

7

9

10

11

13

14

16

24

31

89g/111g

4

5

6

7

9

10

12

13

14

16

24

31

88g/112g

5

5

6

8

9

10

12

13

15

16

24

31

87g/113g

5

6

7

8

9

10

12

13

15

16

24

31

86g/114g

5

6

7

8

9

10

12

13

15

16

24

31

85g/115g

6

6

7

8

9

11

12

13

15

16

24

31

100g

18

2.000

Tema 3

C.

Nivelación Trigonométrica

Error o incertidumbre al evaluar el término m : em Denominamos error en m al error total que se introduce en el desnivel por hacer la puntería a un prisma situado sobre un trípode o un jalón. Existen dos factores a tener en cuenta, cada uno de los cuales introduce un margen de error en la lectura m. El primero se produce en la propia medición de la altura de la señal: e’m, y el segundo correspondiente a la incertidumbre respecto a la altura a la que se ha realizado la puntería cenital: e”m. 1º Error en la medida directa de la altura de la señal: e’m Para analizarlo, tenemos que diferenciar dos casos posibles. a)

Si el prisma está sobre jalón. En esta situación la altura de la señal se obtiene leyendo la graduación que aparece en el propio jalón y la causa del error viene dado por la posible inclinación de la señal. La altura que tomamos como valor para los cálculos es la obtenida directamente de la graduación que aparece en el jalón: m. Si el jalón esta inclinado, esta altura m no corresponde a la altura real (desconocida). Denominamos a la real m’ y β al ángulo de inclinación.

De la figura:

m' = cos β m De donde:

m' = m cos β El error vendrá dado por la diferencia entre el que utilizamos para el cálculo y el que corresponde al modelo observación:

e' m = m − m'

M. Farjas

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Tema 3

Nivelación Trigonométrica Sustituyendo:

e' m = m − m cos β = m (1 − cos β) Si se trabaja con nivel esférico (β ≤ 1g)

m 1,30 e'm(mm) 0,16

1,40 ,,,

1,50 ,,,

1,60 ,,,

1,70 ,,,

1,80 ,,,

1,90 ,,,

2,00 0,24

DESPRECIABLE. Si se trabaja sin nivel esférico o con el nivel descorregido (β ≤ 3g):

m 1,30 e'm(mm) 1 b)

1,4 2

1,50 2

1,60 2

1,70 2

1,80 2

1,90 2

2,00 2

Si el prisma esta sobre, o con trípode Si se utiliza un prisma sobre trípode o este se le añade un jalón, debemos hacer referencia al error en la medida de la altura del trípode y el prisma, sobre la señal. Se mide con un flexometro y de modo análogo a la determinación de la altura de aparato podemos considerar un valor extremo de 5 mm.

e' m ( con tripode) ≤ 5 mm.

2º Incertidumbre respecto a la altura de señal a la que se ha realizado la puntería cenital: e”m Es esta otra causa de error habitualmente olvidada y de gran importancia en el tema que nos ocupa. Consiste en la incertidumbre existente sobre el punto del prisma al que corresponde la lectura de la medida cenital medida por tratarse de un instrumento de MED. Este error tiene una influencia experimental de 1 a 2 centímetros en distancias de 100 a 500 m, y alcanza valores de hasta 4 cm cuando se hace necesario situar 3 o más prismas en distancias de 2 km. En la escala de distancias, que estamos evaluando, vamos a considerar los siguientes valores: m e"m

100 10

200

300

400

500 20

600

700

800

900

1000 30

1500

2000 40

Para cualquier distancia intermedia puede realizarse una interpolación lineal entre estos valores. 3º Error total en m Para determinar la influencia de estos dos errores realizaremos la componente cuadrática de ambos:

M. Farjas

20

Tema 3

Nivelación Trigonométrica

e m = e'2m + e"2m Los resultados se reflejan en las siguientes tablas: *) para alturas mínimas de jalón y usando nivel esférico, el error total en m es la incertidumbre de la altura de puntería: m e'm e"m em

100

200

300

400

10 10

13 13

15 15

18 18

500 600 700 DESPRECIABLE 20 22 24 20 22 24

800

900

1000

1500

2000

26 26

28 28

30 30

35 35

40 40

Para hacer posible el calculo del error total en el desnivel, en la fila del e”m se han interpolado los valores con los datos que se indicaron en el apartado anterior. **) para prisma situado sobre trípode: D

100

e'm e"m em

5 10 11

200

300

400

500

600

5 20 21

700

800

900

1000

1500

5 30 30

5 40 40

Podemos observar que no existe apenas diferencias en los resultados que se obtienen para el error en m, en el uso de un instrumental u otro al situar el prisma sobre la señal. A partir de 1000 m. la influencia del error por incertidumbre en la posición cenital de la altura sobre el prisma es tal, que el error de la lectura directa de la altura m es despreciable. Esto enfatiza la necesidad de utilizar placas de puntería que aseguren la altura a la que se proyectan las visuales cenitales. Consideramos que con las actuales no se consigue y se hace necesario utilizar sistemas por todos conocidos, tales como el de situar detrás del prisma una hoja de papel blanco con un extremo del limite donde ha de realizarse la puntería cenital. Es necesario que las casas constructoras de equipos topográficos sigan considerando este problema. 3.2

INCERTIDUMBRE FINAL EN LA DETERMINACIÓN DEL DESNIVEL POR NT. El error total en el desnivel vendrá dado por la componente cuadrática de los errores reseñados:

e ∆H = e i2 + e 2t + e 2m Del análisis efectuado anteriormente se han obtenido os siguientes valores:

Error en i:

e i ≤ 5 mm.

Error en t:

e t = (cos2 V)e 2D + (D 2 sen 2 V)e 2V

M. Farjas

2000

21

Tema 3

Nivelación Trigonométrica

e m = e'2m + e"2m

Error en m:

Siendo:

e´m = m (1 − cos β )

e´m e´´m m e"m

100 10

200

los siguientes valores: 300

400

500 20

600

700

800

900

1000 30

1500

2000 40

Con estos datos se ha elaborado la siguiente tabla (corresponde a un caso concreto, con una metodología y un equipo de características específicas) en la que aparecen valores de precisión de la nivelación trigonométrica en función de la variación de distancias y de ángulos cenitales.

M. Farjas

22

Tema 3

Nivelación Trigonométrica

PRECISION DEL DESNIVEL OBTENIDO POR NIVELACION TRIGONOMETRICA (mm): e∆H. V/D

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1.000

1.500

2.000

27

29

32

34

43

51

100g 24

99g/101g 98g/102g 97g/103g

11 25

96g/104g 14

95g/105g 94g/106g

17

93g/107g

20

22

92g/108g 91g/109g 90g/110g

12

89g/111g 88g/112g 15

87g/113g 86g/114g 85g/115g

13

23

Tema 3

Nivelación Trigonométrica

Antes de finalizar este apartado quisiera destacar el hecho de que el error o incertidumbre en los desniveles resultantes de nivelaciones trigonométricas, no depende de las distancias cenitales observadas. La mayor fuente de error radica en la indeterminación en la puntería al prisma2. Finalmente no olvidemos el estudio del error que se introduce en la medida electromagnética de distancias por la inclinación del jalón, con valores mínimos de 2 cm. Se hace recomendable el uso de trípodes para prismas en la observación planimétrica de redes básicas y de poligonación, o el uso de estaciones sin prisma. Se recomienda realizar el ejercicio siguiente: Hoja 8: Cálculo de incertidumbres en desniveles obtenidos por NT.

4.

EQUIPOS TOPOGRÁFICOS. ANÁLISIS DE METODOLOGÍA. Antes de proceder a analizar los métodos propios de la NT, nos vamos a detener en el estudio de casos concretos de determinado instrumental topográfico, así como en la metodología a aplicar en el tratamiento de datos en cada situación.

4.1

CALCULO DE DESNIVELES CON ESTACIONES TOTALES O SEMITOTALES.

A) EQUIPOS COAXIALES. Estos equipos disponen de un único anteojo por el que se realiza la puntería que nos permite obtener las lecturas angulares, y por el que se lleva a cabo la emisión de ondas para la medida electromagnética de distancias. Este es el caso general al que se refiere toda la exposición que hemos realizado. El esquema de toma de datos de campo es el siguiente:

2

. Error presentado por D. Rafael Ferrer Torio y D. Benjamín Piña Patón en su libro Metodologías Topográficas (1991).

M. Farjas

24

Tema 3

Nivelación Trigonométrica

Y el término t, lo obtendremos por la siguiente expresión:

t = D cos V El desnivel será igual a:

(D BA ) 2 ∆H = t + i A − m B + (0.5 − K) R B A

B A

B) MONTAJES EXCÉNTRICOS. Estos equipos disponen de un sistema de medida de distancias excéntrico al de medida angular. Se trata de montajes que supusieron un gran avance en la medida electromagnética de distancias pero que han quedado en desuso. No obstante creemos necesario que el alumno se plantee cómo llevar a cabo su utilización y que realice el planteamiento teórico correspondiente a esta metodología, con vistas a futuros equipos o situaciones a los que tengais que enfrentaros, por ejemplo GPS+estaciones totales. Podemos encontrarnos con tipos de equipos: B.1 Montaje excéntrico con posibilidad de visuales paralelas. Son aquellos en los que las placas de puntería vienen preparadas para realizar la puntería angular, a una distancia igual a la excentricidad del montaje. En éstos casos es necesario comprobar que tanto el jalón como el montaje teodolito-distanciómetro tienen una distancia de excentricidad idéntica, lo que generalmente es lo mismo que indicar que ambos elementos son de la misma marca comercial. El esquema de toma de datos sería:

La medida del ángulo se hace a la placa de puntería que estará por debajo del prisma y a una separación igual a la distancia que hay entre los ejes del aparato de medida angular y el del distanciómetro. El cálculo se realiza de forma análoga al planteado en el caso anterior (equipos coaxiales) puesto que la lectura cenital es compatible con la distancia D, en el cálculo del término t; y por lo tanto del desnivel. M. Farjas

25

Tema 3

Nivelación Trigonométrica

B.2 Montaje excéntrico con visuales no paralelas. En estos casos los equipos no vienen preparados para realizar la puntería como en el caso anterior, y es necesario realizar tanto la puntería angular como la de distancias al mismo prisma. El esquema de toma de datos sería el siguiente:

V d

El planteamiento teórico nos obliga a determinar el valor del ángulo e, que permite corregir la lectura cenital. De la figura:

d D = sen e senV sen e =

d senV D

Considerando que el ángulo e toma un valor muy pequeño, podremos hacer la aproximación de que el valor del sen e es igual al valor del ángulo en radianes:

sen e =

d senV = e D

Y para operar en el sistema centesimal:

e cc =

d (senV) r cc D

El término t se obtendrá con el ángulo cenital corregido:

t = D cos ( V + e ) Y el desnivel por la expresión:

∆H BA = t BA + i A − m B + (0.5 − K)

M. Farjas

(D BA ) 2 R

26

Tema 3

Nivelación Trigonométrica

Antes de generalizar esta metodología de cálculo, debemos plantearnos cuál es el orden de las magnitudes de las que se está tratando. La figura que nos permite analizarlas es la siguiente:

Tendremos que determinar el error que se produce al no tener en cuenta el ángulo e. Realizamos los dos cálculos: con corrección y sin corrección, y obtendremos por la diferencia de ambos, las cuantías en las que afecta este problema de falta de paralelismo de las visuales en los montajes excéntricos. EN EL DESNIVEL: •

Calculo del desnivel teniendo en cuenta el termino e.:

∆ H BA = t + i A − m B = D cos ( V + e ) + i A + d − m B •

Calculo del desnivel sin tener en cuenta el termino e:.

(∆ H BA )' = t'+i A − m B = D cos V + i A + d − m B El error en el desnivel será: ∆ H A − ( ∆ H A )' : B

B

t − t' = D (cosV − cos ( V + e )) Este error para distancias de 10 metros, y con cenitales de 85g (caso muy desfavorable) toma un valor de 4 x 10 –9 mm. Este valor nos permite concluir que la corrección de cenitales en el valor calculado a partir de la distancia de excentricidad, sea completamente despreciable para las precisiones que se consiguen con el método de NT. Es decir, en la práctica no es necesario realizar ningun tipo de corrección. EN LA DISTANCIA REDUCIDA: •

Teniendo en cuenta el ángulo e.

Dr = D cos ( V + e ) •

Sin tener en cuenta el ángulo e.

(Dr)'= D cos V M. Farjas

27

Tema 3

Nivelación Trigonométrica

El error será la diferencia de los dos valores.

error = Dr − (Dr)' = D [sen V − sen ( V + e )] Calculando valores nos encontramos que para distancias de 10 metros y con cenitales de 85 g , este error es de 2x 10 –5 mm. Por lo tanto podemos prescindir del ángulo e a la hora de determinar el término t y la distancia reducida, cuando usamos estos equipos.

4.2

CALCULO DE DESNIVELES CON TÁQUIMETRO Y MIRA. A pesar de que es un método que no se va a utilizar, lo incluimos para que no olvidéis las expresiones de cálculo. El esquema de toma de datos de campo es:

Dr = g sen 2 V t=

Dr tan V

Y el desnivel vendrá dado por:

∆H BA = t BA + i A − m B + (0.5 − K)

M. Farjas

D BA R

2

28

Tema 3

Nivelación Trigonométrica

5. COEFICIENTE K DE REFRACCIÓN

5.1 DETERMINACIÓN EXPERIMENTAL DEL COEFICIENTE K DE REFRACCIÓN.

Para determina el coeficiente de refracción K bastará estacionar en los puntos A y B de los que se conozca la distancia, D, que los separa y efectuar simultaneamente medidas de los ángulos verticales correspondientes. Como la luz por defecto describe un arco AB, las distancias cenitales que se miden son V y V’, y como las condiciones atmosféricas son las mismas, por ser simultáneas las observaciones, serán iguales los ángulos r, de refracción. En el triángulo OAB, cuyo vértice O es el centro de la Tierra, puede establecerse la siguiente relación entre los ángulos:

V + r = ω + 200 g − ( V'+ r ) 2 r = ω − ( V + V') + 200 g Dividiendo los dos miembros de está expresión por 2ω y teniendo en cuenta que

r = K resulta: ω

2r 1 1 =K= − ( V + V'−200 g ) 2ω 2 2ω Si en está expresión se sustituye ω por su valor y se expresa ( V + V'+200 ) en segundos, se tendrá: g

K = 0.5 −

R ( V + V'−200 g ) cc cc 2 Dr

en las que V y V’ son distancias cenitales reducidas al terreno (siguiente apartado).

M. Farjas

29

Tema 3 5.2

Nivelación Trigonométrica

REDUCCIÓN DE LAS VISUALES AL TERRENO.

Sea A el punto de estación y B el punto visado, habiéndose medido en el primero la distancia cenital Vm , cuando en realidad debiera medirse la V = A”AB. Trazamos la recta A’B” paralela a AB, resultando que:

V = A" AB por tanto:

V = Vm + ε

es decir que si se conocera V cuando se conozca ε. En el tríangulo A’B’B” se deduce que:

sen ε sen Vm = B" B' A ' B" luego designando por iA a la altura de instrumento AA’; y por mB a la de mira BB’ y siendo A’B” la distancia se obtiene que:

sen Vm sen ε = D (mB − i A ) Despejando sen ε se obtiene:

sen ε = ( m B − i A )

sen V D

Dado que el ángulo es muy pequeño, expresado en segundos, se podrá sustituir el seno por el ángulo quedando entonces:

ε cc = ( m B − i A ) El signo de la corrección dependerá de

sen V cc ⋅r D

(mB − iA ) .

La distancia debería ser la

geométrica correspondiente a los puntos AB , pero dado la escasa pendiente que suelen tener las visuales largas en Topografía, no hay ningún inconveniente en tomar la reducida al horizonte. M. Farjas

30

Tema 3

6.

Nivelación Trigonométrica

MÉTODOS DE NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA SIMPLE

-

NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA SIMPLE

-

NIVELACIÓN POR ESTACIONES RECÍPROCAS -

Método de campo. Cálculo del desnivel final. -

-

Altitud. Aplicaciones.

NIVELACIÓN POR VISUALES RECÍPROCAS Y SIMULTANEAS -

6.1

Directo: ∆HAB. Recíproco: ∆HBA. Discrepancia. Tolerancia. Valor final: medias aritméticas o ponderadas. Precisión.

Fórmula general. Precisión. Determinación experimental del coeficiente k de refracción.

NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA SIMPLE Una nivelación trigonométrica es simple cuando se realiza una única visual. Supongamos sea A el punto de altitud conocida y B el punto cuya altitud queremos determinar. Por el método de nivelación trigonométrica simple puede determinarse del modo que hemos indicado, el valor del desnivel existente entre ellos y la incertidumbre o precisión de dicho desnivel. La altitud del punto B vendrá dada por:

H B = H A + ∆H BA Y la precisión o incertidumbre de esta altitud será:

eH B = eH2 A + e∆2H B A

En el caso en que no conozcamos la precisión de la altitud del punto A, unicamente podremos obtener la precision relativa del punto B con respecto al punto A.

6.2

NT POR ESTACIONES RECIPROCAS. Para encontrar por este método, el desnivel entre dos puntos A y B. se estaciona en A y se visa a B -situación a- ; a continuación se invierten las posiciones relativas -situación b- y se realizan nuevas medidas desde B. Como resultado de las observaciones se podrá calcular:

M. Farjas

31

Tema 3

Nivelación Trigonométrica

Situación A

Situación B

∆H AB = t AB + i A − mB + C( e+ r ) ∆H BA = t BA + iB − m A + C( e+ r ) Teóricamente; ambos deberán ser iguales y de signos contrarios. La discrepancia que entre ellos se presente dará idea de la precisión alcanzada y que en el caso de ser tolerable se toma como desnivel definitivo la semidiferencia:

∆H AB =

∆H AB + (− ∆H BA ) 2

Dicha tolerancia será función del error que pueda afectar a cada uno de los desniveles.

T = e ∆H 2 La precisión del desnivel obtenido como media aritmética de los dos anteriores, tolerables, será:

e ∆H 2 Por ultimo la altitud del punto B vendrá dada por:

H B = H A + ∆H BA M. Farjas

32

Tema 3

Nivelación Trigonométrica

La precisión de la altitud del punto B será:

eH B =

6.3

eH2 A + e∆2H B A

NT POR VISUALES RECÍPROCAS Y SIMULTANEAS. Este método consiste en realizar de forma simultánea la observación entre los dos puntos. Puede calcularse también el desnivel entre dos puntos A y B, estacionando instrumentos en los dos puntos y realizando observaciones verticales reciprocas y simultaneas, por lo que los efectos angulares de la refracción, r, en las dos visuales serán iguales. Del triángulo AOB se produce sucesivamente:

β

En el triángulo AOB

OB OA )= ) sen 1 sen 2

[

R + HB

sen 200 − (V + r) g

]

R + HA = sen 200 g− (V'+ r)

[

]

R + HB R + HA = sen (V + r) sen (V'+r ) Aplicamos el teorema:

a b a − b c−d = ≡ = d c a + b c+d

R + H B − R − H A sen(V+r)− sen(V'+ r) = R + H B + R + H A sen(V+ r)− sen(V'+ r) M. Farjas

33

Tema 3

Nivelación Trigonométrica

Aplicamos el teorema:

sen a − sen b = 2 cos

a+b a−b sen 2 2

V + r+ V'+ r V + r− V'− r sen H 2 2 = V + r+ V'+ r V + r− V'− r H B + H A + 2R 2sen cos 2 2 2cos

B A

V + V'+2R V − V' = cot tg + 2R + H B 2 2 H BA

HB

V + r + 1$ = 200 V'+ r + 2$ = 200 200 − (V + r) − 200 + (V' r) + β = 200 1$ + 2$ + β = 200

200 − V − r − V'− r + β = 0 V + V'+2r β = 100 + 2 2 β V − V' cot (100 + ) tg ( ) 2 2 β V − V' − tg tg ( ) 2 2 − tg α = tg( −α ) β V'− V = tg( )tg ( ) H A + H B + 2R 2 2 H AB

Aplicamos : arco = ángulo * Radio.

D=β R β=

D R

Expresión que se introduce en la ecuación:

H AB H A + H B + 2R

= tg

β V'− V tg 2 2

Como el ángulo β es muy pequeño se puede aproximar por el ángulo (radianes)

M. Farjas

34

Tema 3

Nivelación Trigonométrica

H BA H A + H B + 2R

=

D V'− V tg 2R 2

H BA = (H A + H B + 2R)

D V'− V tg 2R 2

 2R H A + H B 1  V'− V + H BA =  D tg  2 R 2  2R 

hm 

H BA = 1+ D tg R  

V'− V 2

Para hallar el desnivel ∆HAB necesitamos saber el desnivel medio. Ese desnivel, en comparación con el radio de la Tierra, en muy pequeño. Despreciando este término:

∆H BA = H BA = D tg

V'−V 2

Expresión que permite calcular el desnivel entre los puntos A y B sin necesidad de tener en cuenta los efectos de esfericidad y refracción. Debe hacerse notar que las distancias cenitales V y V’ son las que correspondería observar sin alturas de instrumento y objeto de puntería, es decir, que las que han sido observadas deberán reducirse al terreno y como con la simultaneidad de las observaciones lo que se pretende es igualar los efectos de la refracción, puede sustituirse por la condición de operar en condiciones atmosféricas semejantes.

7. NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA COMPUESTA -

Líneas de nivelación. -

Por estaciones alternas. Por estaciones recíprocas. -

Trabajo de campo. Determinación de desniveles. -

-

Corrida de altitudes. Error de cierre. Tolerancia final. Compensación (métodos clásicos). -

-

M. Farjas

Directos. Recíprocos. Aplicar tolerancia. Promedios.

Proporcional a los desniveles. Proporcional a las distancias. Proporcional a las tolerancias. Partes iguales a todos los tramos.

Redes de nivelación por estaciones recíprocas y simultaneas.

35

Tema 3

Nivelación Trigonométrica -

Proyecto. Metodología de observación.

Ajuste por MMCC

Concepto La nivelación trigonométrica compuesta es el método altimétrico que se aplica en poligonación. Se va a analizar este procedimiento aplicándolo a un problema cuyo enunciado se os proporcionará en clase. Solamente indicamos que el tratamiento del cálculo en cada tramo se realiza de forma análoga al explicado en la NT simple por estaciones recíprocas. Para la determinación de los desniveles se dispone de dos determinaciones entre estaciones, obteniéndose el valor final, a partir de la media aritmética de ambas, siempre que la diferencia sea tolerable. Tolerancias Entre desniveles directo y recíproco:

e ≤ e∆H ⋅ 2 Precisión del desnivel de cada tramo.

Incertidumbre en el desnivel promedio =

e∆H 2

Tolerancia de cierre de la línea de nivelación:

e≤

e∆H n 2

8. BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA •

BRINKER, Russell C.; MINNICK, Roy (1987): The Surveying Handbook. Van Nostrand Reinhold Company. New York. 1270 págs.

•

BUCKNER, R.B. (1983): Surveying measurements and their Analysis. Third Printing, May 1991. Landmark Enterprises, Rancho Cordova, California. USA. 276 páginas.

•

BURNSIDE, C.D. Granada. London.

•

CHUECA PAZOS, M. (1983): Topografía. Tomo I. Editorial Dossat, S.A. Madrid, 1983. Tomo I.- Topografía Clásica. 634 páginas.

•

DOMÍNGUEZ GARCÍA-TEJERO, F. (1989): Topografía general y aplicada. 10ª Edición. Editorial Dossat, S.A. Madrid. 823 páginas.

M. Farjas

(1982):

Electromagnetic

Distance

Measurement.

Editorial

36

Tema 3

Nivelación Trigonométrica

•

FERRER TORIO, Rafael; PIÑA PATON, Benjamin (1991b): Metodologías Topográficas. E.T.S. de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos, Santander. 302 páginas.

•

KAHMEN, Heribert (1988): Vermessungskunde I. Fehlerlehre, Vermessungen und Berechnungen für grossmassstäbige Karten und Pläne, Nivellieren. Walter de Gruyter. Berlin. New York. 270 páginas.

•

KAHMEN, Heribert (1986): Vermessungskunde II. Winkelund Streckenmessgeräte, Polygonierung, Triangulation und Trilateration, Satellitengeodäsie. Walter de Gruyter. Berlin. New York. 320 páginas.

•

GROSSMANN, Walter und KAHMEN, Heribert (1988): Vermessungskunde III. Trigonometrische und barometrische Höhenmessung, Tachymetrie und Ingenieurgeodäsie. Walter de Gruyter. Berlin. New York. 247 páginas.

•

HIGGINS, A.L. (1957): Elementary Surveying. London, 7ª Impressión; Longmans, Grenn an Co.

•

OJEDA RUIZ, José Luis (1984): Métodos Topográficos y Oficina Técnica. 1ª Edición. Autor. Madrid. 482 páginas.

•

PEREZ MARTIN, Carlos (1981): "Cálculo de Desniveles por Estaciones Recíprocas y Simultaneas con Teodolito y Distanciómetro. Precisión". Técnica Topográfica. Vol. IX. Nº 43. Septiembre - Octubre.págs. 3-7.

•

RUIZ MORALES, Mario (1991): Manual de Geodesia y Topografía. Primera Edición. Proyecto Sur de Ediciones, S.A.L. Granada. 246 páginas.

•

VALBUENA DURAN, Jose Luis; SORIANO SANZ, María Luisa (1995): "La desorientación del prisma como fuente de error en la medición de distancias y ángulos". Topografía y Cartografía. Vol. XII.- Nº 67. Marzo - Abril. Págs. 6-15.

M. Farjas

37

Tema 4

Nivelación Geométrica

Tema 4:

M. Farjas

Nivelación Geométrica

1

Tema 4

Nivelación Geométrica

ÍNDICE 1.

NIVELACIÓN GEOMÉTRICA SIMPLE 1.1

Descripción del método.

1.2

Métodos de nivelación geométrica simple. -

2.

1.3

Método del punto medio. Método del punto extremo. Método de estaciones recíprocas. Método de estaciones equidistantes. Verificación del equipo.

1.4

Incertidumbre.

1.5

Longitud máxima de la nivelada.

NIVELACIÓN GEOMÉTRICA COMPUESTA 2.1

LÍNEA DE NIVELACIÓN SENCILLA.

-

Descripción. Cálculo. . . . .

2.2

Cálculo de desniveles entre tramos Error de cierre. Tolerancia. Compensación.

LÍNEA DE NIVELACIÓN DOBLE. -

Descripción. Clasificación. Abierta. Cerrada.

-

Control de anillos. Control de línea. Cálculo. Cierre de la nivelación. Tolerancia Compensación.

-

Obtención de altitudes.

3.

REDES DE NIVELACIÓN GEOMÉTRICA

4.

NIVELACIÓN DE PRECISIÓN

M. Farjas

2

Tema 4

Nivelación Geométrica

1. NIVELACIÓN GEOMÉTRICA SIMPLE. 1.1 Descripción del método. 1.2 Métodos de nivelación geométrica simple. -

Método del punto medio. Método del punto extremo. Método de estaciones recíprocas. Método de estaciones equidistantes. 1.3 Verificación del equipo. 1.4 Precisión. 1.5 Longitud máxima de la nivelada

1.1 DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO. La nivelación geométrica es un método de obtención de desniveles entre dos puntos, que utiliza visuales horizontales. Los equipos que se emplean son los niveles o equialtimétros. Los métodos de nivelación los clasificamos en simples cuando el desnivel a medir se determina con única observación. Aquellas nivelaciones que llevan consigo un encadenamiento de observaciones las denominamos nivelaciones compuestas. Antes de realizar una observación topográfica es necesario efectuar la comprobación del estado del equipo correspondiente. Tras describir brevemente los métodos de nivelación geométrica simple, analizaremos el procedimiento de verificación de un nivel. Los métodos de nivelación nos dan diferencias de nivel. Para obtener altitudes, cotas absolutas, habría que referir aquellos resultados al nivel medio del mar en un punto, que en España es Alicante. 1.2

MÉTODOS DE NIVELACIÓN GEOMÉTRICA SIMPLE. •

MÉTODO DEL PUNTO MEDIO. Sean A y B dos puntos cuyo desnivel se quiere determinar. El método denominado del punto medio, consiste en estacionar el nivel entre A y B, de tal forma que la distancia existente a ambos puntos sea la misma, es decir EA = EB. En A y B se sitúan miras verticales, sobre las que se efectúan las visuales horizontales con el nivel, registrando las lecturas mA, mB. A la mira situada en A se le denomina mira de espalda y a la mira situada en B mira de frente El punto de estación no está materializado por ningún tipo de señal, pero los puntos sobre los que se sitúan las miras sí lo están.

M. Farjas

3

Tema 4

Nivelación Geométrica

La igualdad de distancias entre el punto de estación y las miras, que caracteriza a este método de nivelación, podrá realizarse midiendo a pasos las distancias, siempre que previamente se haya verificado el equipo.

El esquema de observación es el siguiente:

De la figura se deduce que el desnivel de B respecto de A, ∆H A , vendrá dado por la diferencia de lecturas, lectura de espalda menos lectura de frente: B

∆H BA = m A − m B El desnivel vendrá dado por la diferencia de los hilos centrales de las lecturas sobre las miras. Siempre se efectúan las lecturas de los tres hilos: inferior, central y superior. Se comprueba en el momento de realizar la observación que la semisuma de las lecturas de los hilos extremos es igual a la lectura del hilo central ± 1 mm, y se da por válida la observación. Se dan por válidas las lecturas, pero no se modifican. El hilo central ha de ser el observado. Si la semisuma no fuese igual a la lectura del hilo central ± 1 mm, se repetirán las tres lecturas. Supongamos que el instrumento tiene un error residual de corrección (e). En este caso las visuales no serán exactamente horizontales. La influencia de este error en las alturas de mira (t) será igual en ambas miras, al cumplirse la equidistancia de E respecto de A y B. Al ser iguales los errores que afectan a mA y mB, ,su diferencia, que es el desnivel, será correcto.El desnivel está exento de errores sistemáticos y de la influencia de la esfericidad y refracción atmosférica, debido a la igualdad de distancias entre miras. Este método es el más utilizado ya que se determina el desnivel con una sola estación de instrumento y el desnivel observado tiene una precisión del orden del mm.

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Tema 4

Nivelación Geométrica

Las lecturas sobre las miras se realizan apreciando los milímetros. Para conseguirlo las visuales han de hacerse a distancias cortas. La apreciación del mm en la mira depende también de los aumentos que tenga el anteojo del nivel. En la práctica se demuestra que el límite de distancias para conseguir lecturas en las que se asegure el mm, es de 80 a 100 m. Esto conlleva una posible distancia de 160 a 200 m, entre los puntos cuyo desnivel se desea obtener.

La pendiente del terreno también condiciona la longitud máxima de las visuales. Si se rebasan ciertos límites podrá suceder que no se pueda realizar la observación, al encontrarse las miras más altas o más bajas que la visual horizontal, tal como se representa en la figura. . •

MÉTODO DEL PUNTO EXTREMO. Sean A y B los dos puntos cuyo desnivel queremos determinar. Para ello, utilizando el método del punto extremo, se estaciona el nivel en el punto A, a una altura sobre el suelo iA y se visa a la mira situada en B, efectuandose la lectura mB . El esquema de observación es el siguiente:

El desnivel ∆H A

B

vendrá dado por:

∆H BA = i A − m B Analizando la expresión observamos que la precisión del método es inferior a la que se obtiene con el método del punto medio. En este caso, la medida del desnivel procede de la diferencia de una lectura de mira y de la altura de aparato. Esto supone una precisión del orden del cm o del medio centímetro.

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Nivelación Geométrica

Por otra parte, en este método, el error residual (e) del instrumento produce un error t, en la lectura de mira mB que no queda compensado. Tampoco se elimina el error de esfericidad y refracción. A pesar de las desventajas anteriores es un método útil para nivelar un conjunto de puntos alrededor del punto de estación, procedimiento que se denomina nivelación radial.

•

MÉTODO DE ESTACIONES RECIPROCAS. Para eliminar los efectos del error residual (e) y los efectos de la esfericidad y la refracción, se aplica el método de estaciones recíprocas, igual al anterior pero duplicando el número de estaciones. Con ello se mejora también la precisión. Es un método de poca aplicación ya que se siguen teniendo magnitudes (i, m) de distinta precisión. El procedimiento de observación es el siguiente:

(a)

(b)

Sean A y B los puntos cuyo desnivel se quiere determinar. Se efectúa en primer lugar la observación desde A a B, situación (a), por el método del punto extremo. Suponemos una visual que corta a la mira en B’, con un error residual del nivel (e), que causa un error t en la lectura mB. En este caso el desnivel ∆H A , vendrá dado por: B

∆H BA = i A − (m B − t) A continuación se realiza otra observación invirtiendo las posiciones relativas del aparato y mira (situación b) y el desnivel en esta ocasión, ∆H B vendrá dado por: A

∆H AB = i B − (m A − t) Los desniveles corresponden a las direcciones directa y recíproca, por lo que tendrán signos contrarios. Para promediarlos los restamos. El desnivel final, promedio de ambos valores, será:

∆H BA − ∆H AB = 2 ∆H BA = (i A − i B ) + (m A − m B )

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Nivelación Geométrica

∆H BA =

iA − iB mA − mB + 2 2

Comprobamos que en este desnivel queda eliminado el termino t, es decir el error en las lecturas como consecuencia del error residual que exista en el equipo Este método se aplica en pocas ocasiones, ya que se requieren dos observaciones de campo, además de que los desniveles finales se obtienen con magnitudes, i y m de distinta precisión.

•

MÉTODO DE ESTACIONES EQUIDISTANTES. Sean A y B los puntos cuyo desnivel queremos determinar. El método de estaciones equidistantes consiste en efectuar la observación del modo siguiente:

(a)

(b)

En primer lugar se estaciona el instrumento en E y se hacen lecturas a las miras situadas en A y B. Después de sitúa el aparato en E’, de modo que E’B sea igual a EA, y se vuelve a leer sobre las miras. Si el aparato tiene un error residual (e) se producirán, unos errores t y t’ sobre las miras cercana y lejana, y como EA y E’B son iguales entre sí, también lo serán EB y E’A. El desnivel. ∆H A , resultará: B

∆H BA = (m A − t) − (m B − t' ) ∆H AB = (m B − t' ) − (m A − t) Si el instrumento esta perfectamente corregido, los dos desniveles serán iguales, lo que servirá de comprobación de las medidas.

El valor definitivo del desnivel valores:

∆H BA =

∆H AB , se obtiene a partir del promedio de ambos m A − m B m'A − m'B + 2 2

Los resultados obtenidos con este método son más homogéneos que con el método de las estaciones recíprocas, ya que solo intervienen alturas de mira en el

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Nivelación Geométrica

calculo de los desniveles, por lo que sus ventajas respecto al método del apartado anterior son indudables. Por otra parte se eliminan los efectos de la esfericidad y la refracción. Este método no obstante presenta el inconveniente de reducción de la longitud de la nivelada. El instrumento está más separado de las miras lejanas que cuando se opera por el punto medio, lo que obliga a hacer niveladas más cortas, sobre todo si el terreno no es llano.

•

MÉTODO DE ESTACIONES EXTERIORES. Sean A y B los puntos cuyo desnivel se quiere determinar. El esquema de observación por el método de estaciones exteriores es el siguiente:

(a)

(b)

La condición de equidistancia del aparato a las miras, necesaria en el método de estaciones equidistantes, puede eliminarse si en lugar de estacionar el instrumento en el espacio comprendido entre las miras, se efectúa en el exterior. Supongamos sean E y E’ las estaciones, en las que EA no es igual a E’B y, por tanto, también serán diferentes los efectos sobre las miras de error residual e. El valor del desnivel vendrá dado por:

∆H BA = (m A − t) − (m B − t' ) ∆H AB = (m'A − t 1 ' ) − (m'B − t 1 ) y tomando el promedio como definitivo:

∆H BA =

m A −m B m'A −m'B t'− t t'1 − t 1 + + − 2 2 2 2

pero:

t'− t t'1 − t 1 = 2 2 pues los numeradores son iguales, por ser, respectivamente, los catetos, B’B’’ y A’A’’, de los triángulos A’B’B’’ y B’A’A’’, con el ángulo e y el cateto separación entre miras, igual. En definitiva:

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Nivelación Geométrica

∆H BA =

m A − m B m'A − m'B + 2 2 En este método se elimina la influencia del error e en las miras, pero no sucede lo mismo, al menos totalmente, con los errores de esfericidad y refracción por no existir igualdad de distancias. La diferencia entre EA y E’B deberá ser siempre pequeña.

Este método se aplica para salvar obstáculos como pueden ser ríos, barrancos etc. También se combina con el método de estaciones exteriores en nivelaciones compuestas, y como él tiene el inconveniente de la separación del aparato a las miras lejanas, que ocasiona niveladas más cortas. 1.3

COMPROBACIÓN DEL EQUIPO La verificación del equipo se realiza antes de comenzar cualquier trabajo, aplicando dos de los métodos explicados en el apartado anterior: • •

Método de punto medio. Método de estaciones exteriores con un solo estacionamiento.

Se seleccionan dos puntos, y se determinará el desnivel entre ellos, según el procedimiento siguiente. En primer lugar se aplica el método de punto medio que permite obtener el desnivel correcto, exento de la influencia de los errores sistemáticos del nivel, y los debidos a la esfericidad terrestre y a la refracción atmosférica; a pesar de que el nivel esté descorregido. En segundo lugar se aplica el método de estaciones exteriores y se calcula el desnivel. El nivel estará descorregido, si ambos desniveles no coinciden.

1.4

INCERTIDUMBRE. La incertidumbre es el parámetro que cuantifica la precisión. En el método de nivelación geométrica, se expresa a través del denominado error kilométrico: ek . Este estimador nos indica la incertidumbre existente en un kilómetro que se nivelara con este método. Sea L la longitud de la nivelada, es decir, la distancia existente entre el punto de estación y la mira. La incertidumbre en la horizontalidad de la visual vendría dada por:

e = e 2p + e h2

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Nivelación Geométrica

Siendo scc la sensibilidad del nivel, Cpr el compensador automático, A los aumentos, el error de horizontalidad y de puntería se obtiene, dependiendo del modelo, utilizando las expresiones siguientes. -

Error de horizontalidad: eh

•

Nivel tubular simple:

1 e h = s cc 3 •

Nivel de coincidencia:

1 cc s 20

eh =

•

Nivel automático electrónico:

e h = C pr

-

Error de puntería: ep

ep =

Cn K A

100cc ≤ Cn ≤ 150cc 1,5 ≤ K ≤ 2,5

La incertidumbre en una nivelada será el arco que corresponde al ángulo e, en un radio L, es decir:

en = e ⋅ L Y sustituyendo:

e n=

e 2p + e h2 636620 cc

L

La incertidumbre en un kilómetro será igual a la suma cuadrática de este término n veces, siendo n el número de niveladas que realizamos en este trayecto:

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Nivelación Geométrica

ek =

e 2p + e h2 636620 cc

.L n

Y por lo tanto conocidas las características de un equipo podremos determinar el error kilometrico que se obtendría en una línea de nivelación geométrica.

ek =

e 2p + e h2 636620 cc

.L

1000 L

El error kilométrico es función de las características del nivel utilizado y de la separación existente entre el aparato y la mira. Normalmente en Topografía oscila entre 7 ó 9 mm, y suele ser un parámetro que viene definido en el pliego de condiciones del trabajo.

1.5

LONGITUD MÁXIMA DE LA NIVELADA. En determinados casos podremos plantearnos cuál ha de ser la longitud de nivelada que nos permite obtener unas precisiones concretas, de modo análogo a como analizáremos en el problema de las distancias máximas en el método de radiación. Imaginemos un proyecto en cuyo pliego de condiciones se especifica que debe cometerse en la realización del trabajo altimétrico un error kilométrico de ek, y que vayamos a aplicar el método de nivelación geométrica. En este caso podremos calcular como parámetro de diseño del trabajo, la longitud de nivelada, una vez que hayamos decidido el instrumental topográfico que vamos a utilizar en la obtención de los datos de campo. Despejando este término en la expresión del error kilométrico obtendremos:

L=

(

e k2 . 636620 cc

(e

2 p

)

)

2

+ e h2 . 1000

Y con este parámetro se prepara el trabajo de campo.

2. :

NIVELACIÓN GEOMÉTRICA COMPUESTA. 2.1

LÍNEA DE NIVELACIÓN SENCILLA. -

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Fundamento. Cálculo.

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Tema 4

Nivelación Geométrica . . . .

2.2

Cálculo de desniveles entre tramos Error de cierre. Tolerancia. Compensación.

LÍNEA DE NIVELACIÓN DOBLE. -

Fundamento. Clasificación. -

-

Abierta. Cerrada.

Control de anillos. Control de línea. Cálculo. -

Cierre de la nivelación. Tolerancia. Compensación. Obtención de altitudes.

Se denomina nivelación compuesta o línea de nivelación, el método por el que se obtiene el desnivel entre dos puntos encadenando el método de nivelación simple de punto medio. Se realiza más de una estación para determinar el desnivel entre los dos puntos. Si los puntos cuyo desnivel quiero hallar están excesivamente separados entre sí, o la diferencia de nivel es mayor que la que puede medirse de una vez, se hace necesario encontrarlo realizando varias determinaciones sucesivas, es decir, efectuando una nivelación compuesta. En las líneas de nivelación, el procedimiento de observación es el siguiente.Sean A y E aquellos puntos de los que interesa encontrar su desnivel.

Situamos la mira en el punto de salida A y la segunda mira en B, a una distancia que permita aplicar el método del punto medio. Se efectúan las lecturas de frente y de espalda. El desnivel vendrá dado por: ∆HA B = LE - LF A continuación la mira en B se gira, sin moverla de su emplazamiento queda mirando hacia C, donde se instala la mira que estaba en A. El instrumento se sitúa equidistante a B y C y se efectúan las lecturas.

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Tema 4

Nivelación Geométrica

∆HB C = LE - LF

De modo análogo hasta llegar a la estación EVI que permite obtener el desnivel

∆H DE

Evidentemente, el desnivel entre A y E se obtendrá sumando los desniveles parciales:

∆H EA = ∆H BA + ∆H CB + ∆H CD + ∆H ED Cada desnivel de la expresión vendrá dado por la lectura a dos miras espalda y frente realizadas en cada estación ya que:

∆H BA = m e − m f ∆H CB = m e − m f ...................... ∆H ED = m e − m f Valores que si sustituimos en la expresión anterior nos da que:

∆H EA = (m e − m´f ) + (m' ' e − m' ' f ) + ... + (m evi − m fvi ) = ∑ m e − ∑ m f Es decir, que el desnivel total es el resultado de restar de la suma de todas las miras de espalda la de todas las de frente. Las miras deben estar situadas sobre superficies estables. Cuando los puntos en los que se tenga que situar la mira no tengan permanencia, se hará uso de una basada o zócalo como superficie de apoyo. Se coloca la basada, se pisa ésta, se coloca la mira, y no se levanta la mira hasta que no hayamos realizado las observaciones de frente y de espalda sobre ella. No se debe olvidar que si se trata de un punto de altitud conocida o previamente señalizado, no se colocará basada ó zócalo. Si la distancia entre A y E obliga a realizar numerosos tramos, es conveniente materializar sobre el terreno alguno de los puntos intermedios, consiguiendo con ello una gran ayuda de comprobación y cálculo de la línea de nivelación. Estos tramos se denominan anillos. Al principio y final de cada anillo se colocarán estacas para materializar dichos puntos de forma que se pueda tener un control de las niveladas. Estas estacas se pueden situar cada 400 metros aproximadamente, pero su longitud depende principalmente de la pendiente del terreno y de la experiencia del operador. Las líneas de nivelación se clasifican en: •

Línea de Nivelación Sencilla.

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Tema 4 •

Nivelación Geométrica

Línea de Nivelación Doble.

Una línea de nivelación es sencilla si el camino se recorre una sola vez, es decir, se parte de A y se llega al punto E nivelando por el método del punto medio encadenado. Una línea de nivelación es doble cuando el camino se recorre dos veces. En estos casos se definen la línea de nivelación de ida, y la línea de nivelación de vuelta. La línea de nivelación de vuelta no tiene que ser la misma, la única condición es que pase por los mismos puntos fijos, estacas, clavos, que se hayan dejado como señal, en los extremos de los anillos. Todas las nivelaciones han de ser encuadradas, es decir, el punto de salida y de llegada ha de tener altitud o cota conocida. 2.1

LÍNEA DE NIVELACIÓN SENCILLA. Una línea de nivelación sencilla es una nivelación geométrica compuesta en la que se aplica el método del punto medio para ir desde un punto A a un punto E en un solo recorrido. Como obligatoriamente ha de ser encuadrada, para poder aplicar este método tendremos que conocer de antemano la altitud de A y de E. El objetivo del trabajo es dotar de altitudes a puntos intermedios distribuidos a lo largo de la línea. La línea se divide en anillos por medio de estacas (cada 400 metros aproximadamente), o siguiendo criterios de pendiente del terreno. Son necesarios estos puntos fijos para permitir la comprobación del trabajo y la localización de errores. En campo se tomarán lecturas de frente y espalda en cada estación, la suma de todas ellas nos permitirá calcular los desniveles de cada anillo. Obtención de desniveles. Se calculan los desniveles de los anillos que componen la línea a partir de la diferencia de lecturas de frente y de espalda.

∆H BA = ∑ m e − ∑ m f ∆H CB = ∑ m e − ∑ m f ∆H CD = ∑ m e − ∑ m f ∆H ED = ∑ m e − ∑ m f

Error de cierre. A partir de los datos previos HA , HB , podrá calcularse el valor teórico del desnivel en la línea:

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Tema 4

Nivelación Geométrica

∆H EA = H E − H A Por otra parte, a partir de los datos de campo mediante la expresión

∑m − ∑m e

, obtendremos el desnivel entre extremos, ∆H ' A . E

f

La diferencia nos permite obtener el error de cierre altimétrico:

e = ∆H'EA −∆H AE El error de cierre altimétrico de la nivelación. deberá ser menor que la tolerancia indicada en el pliego de condiciones, o que calculemos a partir de las características del equipo y del número de kilómetros de la línea (K):

T = ek k Deberá verificarse que:

ec ≤ ek k Cuando se cumpla esta condición se procederá a efectuar la compensación. Si no fuera tolerable habría que repetir el trabajo de campo. Tipos de compensación. La compensación consiste en hacer que se cumpla la geometría del modelo. Se reparte el error de cierre entre los datos de campo de forma que el error de cierre sea cero. Se pueden adoptar los siguientes criterios: • Proporcional a los desniveles parciales. • Proporcional a las distancias de los tramos. • Partes iguales a los tramos. •

Proporcionales a los desniveles parciales El error de cierre con signo contrario se divide entre la suma total de desniveles en valor absoluto, y se multiplica por el valor absoluto del desnivel que corresponde al tramo cuya compensación queremos calcular.

C nn +1 =

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−e

∑H

n +1 n

H nn +1

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Tema 4

Nivelación Geométrica •

Proporcional a las longitudes de los tramos. El error de cierre cambiado de signo, se divide entre la suma de las longitudes de los tramos, y se multiplica por la longitud del tramo cuya compensación se desea obtener. Este calculo se repite para cada tramo.

C nn +1 =

•

− e n +1 Dn ∑D

Partes iguales El error de cierre cambiado de signo se divide entre el número de tramos, el valor obtenido es el valor a aplicar como compensación a cada uno de los desniveles.

C nn +1 =

−e nº tramos

Se recomienda realizar el siguiente ejercicio: Hoja 18: Cálculo de una línea de nivelación sencilla. 2.2

LÍNEA DE NIVELACIÓN DOBLE. Normalmente las líneas de nivelación tiene una longitud de varios kilómetros. En las líneas de nivelación sencillas sólo se tiene comprobación del resultado cuando se finaliza la nivelación. Si no es tolerable el error de cierre, se hace necesario repetir el trabajo. Este inconveniente se evita, y al mismo tiempo se aumenta la precisión, efectuando las medidas por duplicado, es decir, haciendo lo que se llama una doble nivelación. Para ello se divide el recorrido de la línea en anillos de tal modo que los extremos de éstos estén situados en superficies estables y que se encuentren perfectamente señalizados. Se efectúa la nivelación en un sentido: nivelación de ida, trabajando con el método del punto medio. Concluida la nivelación de ida, se inicia la de vuelta, debiendo ser paso obligado de las miras los extremos de los anillos. Hay dos tipos de líneas de nivelación doble: • •

Abierta. Cerrada.

Línea de nivelación doble abierta. Son aquellas en la que partimos de un punto conocido y terminamos en otro punto conocido pero sin ser el mismo. Como

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Tema 4

Nivelación Geométrica

datos de partida se dispone de las cotas o altitudes de los puntos inicial y final. Se conoce por tanto previamente la altitud de A y E. Línea de nivelación cerrada. Son aquellas en la que partimos de un punto conocido y terminamos en otro punto conocido que coincide con el de partida. Sólo se conoce la altitud de A. Normalmente este método se aplica para dar coordenada al punto E. En gabinete hay dos etapas que tenemos que diferenciar: A) CONTROL DE LOS DATOS DE CAMPO: •

Control de los desniveles de los anillos.

•

Control de la línea de ida y de vuelta.

B) CÁLCULO DE ALTITUDES. Procedemos a analizar cada una de estas fases.

A)

CONTROL DE LOS DATOS DE CAMPO. El primer trabajo de gabinete consistirá en efectuar el control de los datos de campo, para darlos por válidos y proceder al cálculo de la línea de nivelación correspondiente. Sean A y E los puntos de los que nos interesa encontrar el desnivel, y sean B, C y D los extremos de los anillos de la línea. B

C

D

A

E

Control de los desniveles de los anillos Las líneas de nivelación sencillas solo tienen comprobación al terminar la nivelación y hallar el error de cierre, si este error no es tolerable toda la nivelación se tiene que repetir. En las líneas dobles, una vez calculados los desniveles en los anillos, se procederá a comprobar si en cada anillo, las diferencias entre la ida y la vuelta son tolerables. Se tendrán para cada anillo dos valores ligeramente distintos. La diferencia deberá ser menor que la tolerancia, calculada especialmente para cada anillo.

T AB = e k

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k AB 2

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Tema 4

Nivelación Geométrica

TBC = e k

k BC 2

TCD = e k

k CD 2

TDE = e k

k DE 2

Si la diferencia excede de esta tolerancia, habrá que repetir la observación del anillo. . Control de los desniveles de ida y vuelta. Cuando todos estos cierres de los anillos son tolerables, se calcula el desnivel de toda la línea de ida por un lado, y el desnivel de toda la línea de vuelta por otro. Se obtendrán dos valores cuya diferencia ha de ser también tolerable. La tolerancia viene dada por

T AE = e k

k AE 2

Siendo KA E la longitud de la línea total. Si la diferencia no fuese tolerable se deberán repetir las nivelaciones de aquellos anillos que presenten mayores diferencias.

B.

CÁLCULO DE ALTITUDES

B.1

LÍNEA DE NIVELACIÓN DOBLE ABIERTA Los datos previos son las altitudes del punto inicial y final: HA , HE., puntos diferentes: A ≠ E. Una vez que se ha comprobado las diferencias entre desniveles de ida y vuelta en los anillos y en la línea, se realiza el promedio de los desniveles de ida y vuelta para cada anillo. Con ellos y partiendo de la altitud del punto inicial A: HA , se procede de la siguiente forma: • • •

Corrida de altitudes. Error de cierre Tolerancia:

(

T = e A2 + e k k •

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)

2

+ e E2

Compensación. 18

Tema 4

Nivelación Geométrica •

B.2

Altitudes finales.

LÍNEA DE NIVELACIÓN DOBLE CERRADA. El punto inicial y final son el mismo (A), y sólo se tiene como dato previo la altitud del punto A. NO se realiza ningún promedio de desniveles de ida y vuelta, sino que partiendo del punto A se desarrolla toda la línea hasta volver al mismo punto: • • • • • • •

3.

Se parte de la altitud de HA Corrida de altitud de toda la línea (de A hasta A) Error de cierre en A. Tolerancia Compensación Altitudes compensadas. Altitudes solución: promedios de las compensadas.

REDES DE NIVELACIÓN GEOMÉTRICA. Al encadenar líneas de nivelación en figuras geométrica se obtienen lo que denominamos redes de nivelación. Este método se aplica para dotar de altitud a los puntos base de un trabajo. Una vez diseñada la posición de los diferentes puntos y tras haber realizado la materialización de los mismos se procederá a llevar a cabo la observación. El método de observación es unir los puntos entre sí mediante líneas de nivelación dobles cerradas. El método de ajuste en la actualidad es el método de ajuste mínimo cuadrático. Tras obtener los desniveles a partir de los datos observados se efectúan corrida de altitudes con datos parciales de campo, y se obtienen las altitudes que van a ser las aproximadas para iniciar el ajuste. Se plantean las relaciones de observación, tantas como observaciones se hayan obtenido, y se anula la redundancia en la solución adoptando la solución mínimo cuadrática como solución final.

4.

NIVELACIÓN DE PRECISIÓN: El método que utiliza siempre la nivelación de precisión es el de la nivelación geométrica o por alturas, pero las tolerancias que se exigen en alta precisión son:

T = 1,5 mm K siendo k la distancia en kilómetros. Para conseguir estas precisiones, se utilizan clavos y señales específicos, y equipos niveles automáticos, con tornillos para calar el nivel esférico, una escala micrométrica y cuña de ajuste de precisión de la visual. En los aparatos de

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Tema 4

Nivelación Geométrica

precisión, y delante del objetivo, va una lámina de caras plano paralelas, que nos facilita la lectura de la mira. Haciendo girar está lamina podemos desplazar el campo visual. En los niveles automáticos el nivel tubular está sustituido por el compensador, situado entre el objetivo y el retículo con el fin de poner horizontal la visual aunque el eje del anteojo no lo sea. Las miras también son especiales. Poseen una cinta de invar de 3 metros de largo, con una división centimétrica a trazos. La cinta está alojada en una ranura de la mira, la cual esta fabricada de madera bien seca, impregnada y barnizada. La mira está ligada a la cinta invar en el extremo superior y está fijada solidamente en el inferior con un muelle. De esta forma se independiza la observación de las influencias atmosféricas que intervienen en la variación de longitud del soporte. Los intervalos de división son de 5 mm y están desplazados unos con respecto a otros. Llevan dos escalas, de manera que la diferencia en las lecturas efectuadas entre ellas es constante. En las nivelaciones de precisión no suelen seguirse itinerarios simples sino que las líneas configuran polígonos cerrados Las normas son muy estrictas. Se indican todos los detalles de cómo ha de realizarse el trabajo: longitud de los anillos, tipo de materialización, comprobaciones a realizar, etc.

5

BIBLIOGRAFÍA •

KASSER, Michel (2001): Nuevas técnicas para la determinación de altitudes. Topografía y Cartografía, Volumen XVIII, número 106, Septiembre-Octubre 2001, pp.37-40.

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FERRER TORIO, Rafael; PIÑA PATON, Benjamín (1991b).

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CHUECA PAZOS, M (1983): Tomo I.

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DOMINGUEZ GARCÍA-TEJERO, F. (1989).

•

OJEDA, J.L. (1984).

•

WHYTE, W.S.; PAUL, R.E. (1985).

M. Farjas

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Tema 5

Método de Radiación: X, Y, H

Tema 5:

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Método de Radiación

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Tema 5

Método de Radiación: X, Y, H

ÍNDICE

1.1

FUNDAMENTO TEÓRICO • • • •

1.2

METODOLOGÍA DE OBSERVACIÓN • • • • • •

1.3

1.4

Reseñas y materialización de los puntos de estación Orientación de la estación Datos de campo Croquización y nomenclatura de puntos Control por referencias Libretas electrónicas

OBTENCIÓN DE COORDENADAS EN TOPOGRAFÍA: X, Y, H •

PARCIALES ü Polares: acimut, distancia reducida y cota ü Cartesianas: x, y, ?H

•

ABSOLUTAS ü Sistema local o arbitrario: X, Y, H ü Conversión de coordenadas

OBTENCIÓN DE COORDENADAS EN PROYECCIÓN U.T.M.: X, Y • • • •

1.5

Concepto de radiación Recinto de incertidumbre ü Error longitudinal ü Error transversal Precisión final en planimetría Precisión final en altimetría

Introducción a la proyección U.T.M. Cálculo de distancias en proyección U.T.M. Obtención de coordenadas U.T.M. Problema inverso

PROYECTO DE UN LEVANT AMIENTO POR RADIACIÓN DE PUNTOS •

Análisis de la precisión a priori ü ü ü

•

M. Farjas

Elección de la escala: error máximo Distancia máxima de radiación Elección del instrumental

Análisis de la precisión a posteriori

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Tema 5

1.1

Método de Radiación: X, Y, H

FUNDAMENTO TEÓRICO. CONCEPTO DEL MÉTODO DE RADIACIÓN. La radiación es un método Topográfico que permite determinar coordenadas (X, Y, H) desde un punto fijo llamado polo de radiación. Para situar una serie de puntos A, B, C,... se estaciona el instrumento en un punto O y desde el se visan direcciones OA, OB, OC, OD..., tomando nota de las lecturas acimutales y cenitales, así como de las distancias a los puntos y de la altura de instrumento y de la señal utilizada para materializar el punto visado. Los datos previos que requiere el método son las coordenadas del punto de estación y el acimut (o las coordenadas, que permitirán deducirlo) de al menos una referencia. Si se ha de enlazar con trabajos topográficos anteriores, estos datos previos habrán de sernos proporcionados antes de comenzar el trabajo, si los resultados para los que se ha decidido aplicar el método de radiación pueden estar en cualquier sistema, éstos datos previos podrán ser arbitrarios. En un tercer caso en el que sea necesario enlazar con datos anteriores y no dispongamos de las coordenadas del que va a ser el polo de radiación, ni de las coordenadas o acimut de las referencias, deberemos proyectar los trabajos topográficos de enlace oportunos. RECINTO DE INCERTIDUMBRE PLANIMÉTRICO. Los datos de campo para determinar la posición planimétrica van a ser el ángulo existente entre la referencia y la dirección del punto visado, desde el vértice polo de radiación, así como la distancia existente entre éste y el punto visado. El concepto de incertidumbre va asociado a los denominados en Topografía I, como errores accidentales asociados a las medidas angulares y de distancias. Siguiendo lo explicado en la asignatura que nos precede, vamos a proceder a intentar cuantificar el rango de la incertidumbre proporcionada por la medida angular, que denominamos error transversal, y por otro lado el rango de la incertidumbre que conlleva el procedimiento utilizado en la medida de distancias, que denominaremos como error longitudinal. ERROR LONGITUDINAL Entendemos por error longitudinal la incertidumbre ocasionada en la posición del punto radiado, debido a la distancia medida. La incertidumbre en una distancia se obtiene como resultado de multiplicarla por el error relativo (e) que corresponda al procedimiento utilizado. En la medida con cinta métrica se estima que el error relativo e es igual a 1/ 2.000; en la medida estadimétrica de distancias se consideraba 1 / 300... Para un caso concreto el error relativo e se determina dividiendo el error eD entre la distancia a la que corresponde, siendo eD la componente cuadrática del error estándar (error que en Topografía I denominabais error en la distancia medida), error de estación, error de señal y error por inclinación del jalón.

M. Farjas

3

Tema 5

Método de Radiación: X, Y, H

El error relativo es: e = eD / D Volviendo a la expresión del error longitudinal en el método de radiación, para una determinada distancia medida con un método determinado: eL = e . D = (eD / D) . D = eD Y por lo tanto en un caso general tomará el siguiente valor:

e L = e 2v + e2e + e 2s + e2j Donde el error estándar consta de un valor constante y una parte proporcional a la distancia medida (mm por Km ó ppm):

e V = a + b ⋅ D Km Sustituyendo en la expresión anterior,

e L = ( a + b ⋅ D Km ) 2 + e 2e + e2s + e 2j De este modo podremos cuantificar la incertidumbre en la posición del punto radiado, en la dirección del mismo. ERROR TRANSVERSAL El error transversal, o incertidumbre introducida por el valor angular medido, tiene por expresión:

e T = e a ( radianes ) ⋅ 2 ⋅ D El error angular (ea) intervienen el error de dirección, el error de puntería, el error de lectura y el error de verticalidad, de la siguiente forma:

e a = e 2P + e 2v + e 2d + e 2l Todos estos errores son conocidos si lo son las características del equipo que se utiliza y si conocemos los requisitos técnicos del trabajo topográfico; excepto el error de dirección (eD), en el que también interviene la distancia:

e D( radianes) = M. Farjas

e e + es D 4

Tema 5

Método de Radiación: X, Y, H

siendo es, el error de estación y es error de señal. Sustituyendo en la expresión del error transversal las dos expresiones anteriores.

  e +e  eT =  e 2P + ev2 +  e s  + eL2  ⋅ 2 ⋅ D    D    Utilizando esta expresión podremos cuantificar la incertidumbre existente en la posición del punto radiado, en la dirección transversal a la de radiación. CONCLUSIÓN RECINTO DE INCERTIDUMBRE PLANIMÉTRICO A partir del planteamiento realizado, conocemos y podemos cuantificar los valores que toman los rangos de incertidumbre en la dirección longitudinal y transversal a la del punto radiado, segmentos que nos permitirán representar un cuadrilátero en primera aproximación. Como ambas variables actúan en dirección perpendicular, y por definición de error máximo como aquel cuya probabilidad de que suceda es del 2 %, podremos concluir que el recinto de incertidumbre en planimetría asociado a un punto radiado vendrá dado por la elipse circunscrita al paralelogramo mencionado anteriormente. El parámetro que tradicionalmente se ha venido denominando error máximo será la máxima separación posible del centro a la elipse, es decir el semieje mayor de la misma. El semieje mayor será por tanto el mayor de los errores cuantificados, el error longitudinal o el transversal según el caso concreto. Para aplicar estos principios teóricos, realizar los ejercicios siguientes: Hoja 24: ejercicios 2 y 3. PRECISIÓN FINAL EN PLANIMETRÍA Supongamos que hemos radiado un punto B desde un punto de posición conocida que denominamos A. Como el método utilizado ha sido la radiación, aplicando el apartado anterior, podremos calcular la incertidumbre en la determinación de B a partir de A (incertidumbre por el método aplicado) obteniendo el valor del error longitudinal que corresponde al punto B y del error transversal. Las expresiones de cálculo eran:

e L = ( a + b ⋅ D Km ) 2 + e 2e + e2s + e 2j    e + es  2 e T =  e 2P + e 2v +  e  + e L  ⋅ 2 ⋅ D  D    M. Farjas

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Tema 5

Método de Radiación: X, Y, H

El mayor de los dos nos permite cuantificar la incertidumbre o precisión de B respecto de A, o lo que es lo mismo: su precisión relativa. La precisión final planimétrica del punto radiado vendrá dada por la componente cuadrática de la precisión o incertidumbre del polo de radiación (A), y la precisión o incertidumbre introducida por el método utilizado en la determinación del punto B respecto al A. 2 e xyB = e 2xy A + e Radiación

Este valor es la precisión absoluta del punto B en el sistema de referencia utilizado. Cuando no conozcamos (ni podamos determinar) la precisión del polo de radiación, sólo podremos dar parámetros relativos. PRECISIÓN FINAL EN ALTIMETRÍA Supongamos que hemos determinado la altitud de un punto B mediante observaciones topográficas enlazando con la altitud del punto A conocida previamente. En general: 2 e HB = eH2 A + eMétodo altimétrico aplicadoen la det er min ación de ∆H

En radiación el método altimétrico que permite determinar la altitud de B con respecto a A, es la nivelación trigonométrica simple. La expresión de cálculo del desnivel es:

∆H BA = t BA + i A − m B + (0.5 − K)

(D BA ) R

2

Y la precision del desnivel obtenido por este método (precisión altimétrica relativa de B respecto de A) vendrá dada por la componente cuadrática de las incertidumbres de los siguientes parámetros:

e ∆H = e i2 + e 2t + e 2m Error en i:

e i ≤ 5 mm.

Error en t:

e t = (cos2 V)e2D + (D 2sen2 V)e 2V

Error en m:

e m = e'2m + e" 2m e´ m

e´ m = m (1 − cos β )

e´´m 1 cm a 100 m/ 2 cm a 500 m/ 3 cm a 1000/4 cm a 2000 m M. Farjas

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Tema 5

Método de Radiación: X, Y, H

Para poder determinar la precisión altimétrica absoluta: 2 e HB = eH2 A + eMétodo altimétrico aplicadoen la det er min ación de ∆H

necesitaremos conocer la incertidumbre altimétrica inicial del punto A.

1.2

METODOLOGÍA DE OBSERVACIÓN. RESEÑAS Y MATERIALIZACIÓN DE LOS PUNTOS DE ESTACIÓN Una vez que se ha elegido el punto polo de radiación se ha de proceder a efectuar una adecuada materialización del mismo sobre el terreno. Se ha de tener en cuenta que los trabajos topográficos podrán prolongarse durante varias jornadas, o que han de proyectarse para realizar desde el mismo punto trabajos complementarios en espacios temporales variables. A este respecto recomendamos leer el siguiente documento: CRESPO ALONSO, Manuel (1992): Elementos de señalización en Topografía. Topografía y Cartografía, Vol. IX- Nº 49, Marzo-Abril. Colegio Oficial de Ingenieros Técnicos en Topografía, Madrid. Por otra parte una vez efectuada la materialización del mismo se ha de proceder a realizar la reseña del punto de estación. Consiste este documento en un impreso en el que se recogen las coordenadas del punto de estación y se describe el tipo de señal, la situación de detalle del punto con acotaciones a referencias fijas del terreno, así como cuanta información gráfica o descriptiva se considere oportuna. ORIENTACIÓN DE LA ESTACIÓN El procedimiento de situar el origen del aparato en O de modo que el 0G ocupe una determinada posición, se denomina orientar el instrumento y podremos referirnos a ellos como trabajar con el instrumento orientado. En este caso se ha colocado como lectura de la referencia el valor del acimut a ella desde el punto origen. La observación de las direcciones acimutales, puede realizarse a partir de un origen arbitrario de la posición del valor 0g del equipo, o bien puede efectuarse una orientación previa del mismo a una referencia origen. Se realice o no la orientación del equipo, esto no va a suponer ninguna diferencia en los resultados finales. Utilizar un método u otro depende de las preferencias del operador o de necesidades complementarias del proyecto que se está efectuando, como pueden ser llevar a cabo replanteos simultáneos, o comprobaciones de algún tipo que se desean realizar a partir del mismo estacionamiento. Ahora bien al realizar el diseño del cálculo de resultados, habrá de comprobarse si la desorientación inicial de la vuelta de horizonte que corresponde a los puntos radiados es cero (que conlleva el caso de realizar la orientación previa en campo) o si toma cualquier otro valor.

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Método de Radiación: X, Y, H

Es muy interesante que respondáis a las siguientes cuestiones: • •

Cómo realizar la orientación del equipo, cuando como corresponde a un caso normal, vamos a utilizar más de una referencia; es decir cuando conocemos el acimut a varios puntos. Cómo se calcula en este caso la desorientación en el punto de estación.

DATOS DE CAMPO Los datos de campo que se adquieren en el método de radiación son: • • • • • •

Lecturas acimutales a la referencia y a los puntos radiados. Lecturas cenitales. Distancias. Altura de instrumento. Altura de la señal, a la que se ha realizado la puntería. Breve descripción del punto radiado.

CROQUIZACIÓN Y NOMENCLATURA DE LOS PUNTOS A medida que se realiza la adquisición de los datos con el equipo topográfico es necesario realizar un croquis en que se refleje la posición relativa de todos los puntos. Los puntos radiados se numerarán de forma correlativa, teniendo especial cuidado en que la numeración que se anota en el croquis coincide con la que va anotándose en el estadillo o registrándose en la libreta electrónica. CONTROL POR REFERENCIAS Antes de comenzar la toma de datos con un equipo topográfico habrá de haberse realizado la comprobación o verificación del mismo. Como hemos indicado se comenzará la adquisición de la información observando a una o varias referencias, que nos permitirán obtener el valor de la desorientación angular, y con ello el cálculo de acimutes. A lo largo de la toma de datos, es necesario realizar controles sucesivos visando de nuevo a una o varias referencias para comprobar que el equipo no ha sufrido algún desplazamiento, y por lo tanto para asegurarnos de que el origen angular no ha variado. En el caso de que la nueva lectura a la/s referencias discrepase de la inicial en un valor superior a la tolerancia, deberán anularse todos los datos registrados desde el control a la referencia anterior. LIBRETAS ELECTRÓNICAS Los equipos topográficos actuales permiten la toma de distancias y de ángulos coaxialmente, así como el registro automático de esta información. Se denominan libretas electrónicas a los dispositivos que permiten este registro en el equipo M. Farjas

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Tema 5

Método de Radiación: X, Y, H

topográfico. Posteriormente pueden importarse los datos adquiridos a un PC bien directamente o mediante un elemento auxiliar.

1.3

OBTENCIÓN DE COORDENADAS EN TOPOGRAFÍA: X, Y, H CALCULO DE ACIMUTES: •

Con instrumento orientado. Si el instrumento estuviera orientado a una referencia en campo, las lecturas que obtuviésemos serían directamente los acimutes a los puntos radiados. Sin embargo no debemos olvidar que normalmente no se trabaja con una sola referencia, y que en este caso la obtención de acimutes deberá realizarse de forma análoga al caso que describimos a continuación.

•

Con instrumento desorientado.

Si el instrumento no se ha orientado previamente en campo, las lecturas acimutales tendrán un origen arbitrario. Tendremos como datos previos el acimut u orientación de una/s de las direcciones visadas, y con este parámetro será posible deducir los acimutes u orientaciones de las restantes direcciones operando como sigue: Si es

θ AO , por ejemplo, el acimut conocido de la dirección OA y la LAO , es la lectura que en la vuelta de horizonte se ha hecho sobre dicho punto A, la diferencia entre ambos valores será:

Σ O = θ AO − LAO por lo que los acimutes de las demás direcciones vendrán dados por: M. Farjas

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Tema 5

Método de Radiación: X, Y, H

θ OB = LBO + Σ O θ CO = LCO + Σ O Conocidos los acimutes y calculando las distancias reducidas, podrán calcularse las coordenadas parciales x, y del punto radiado respecto al punto de estación; y con ellas las absolutas del punto radiado. ALTIMETRÍA: H La altitud del punto radiado respecto al geoide (H) puede obtenerse con los datos de campo adquiridos, aplicando nivelación trigonométrica. Este procedimiento de nivelación ya han sido estudiados en el tema 3. Para recordar los principios básicos, y aplicarlos a la radiación, recomendamos resolver el siguiente ejercicio: Hoja 22: Obtención de coordenadas X, Y, H en radiación.

1.4

OBTENCIÓN XUTM,YUTM

DE

COORDENADAS

EN

PROYECCIÓN

UTM:

INTRODUCCIÓN A LA PROYECCIÓN UTM Antes de plantear cómo se utiliza la proyección UTM, debemos recordar el marco que da lugar a la misma. Nuestro problema es dotar de coordenadas a puntos sobre la superficie terrestre en un determinado sistema de referencia. La geodesia la ciencia que estudia la forma, dimensiones y campo gravitatorio de la Tierra. En España, a escala nacional, se encarga de ello el Instituto Geográfico Nacional (http://www.ign.es). La Red Geodésica Nacional constituye la base geométrica del país. Es una estructura formada por un conjunto de puntos localizados en el terreno y señalizados, a los que se denominan vértices geodésicos, entre los cuales se han efectuado las medidas u observaciones pertinentes para la obtención de sus coordenadas. El Datum es el sistema de referencia para el cálculo y determinación de coordenadas, estableciéndose unos datos iniciales de los cuales se derivan el resto. En Geodesia se emplean dos tipos de Datum, el vertical y el horizontal. El Datum Vertical es la superficie de referencia que permite el cálculo de alturas. Por tanto es la superficie de altura nula. Lo más usual es que esta superficie sea el geoide y las alturas referidas a él son las alturas ortométricas. Los puntos fundamentales altimétricos son los clavos de la red de nivelación de alta precisión

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Método de Radiación: X, Y, H

(NAP). El punto fundamental altimétrico viene dada por la señal NP1 enlazada con el mareógrafo de Alicante, cota 3,4095. El Datum Horizontal permite la determinación de la longitud y latitud. Este Datum geodésico está constituido por: •

Una superficie e referencia con definición generalmente un elipsoide de revolución.

•

Un punto fundamental, en el que coinciden las verticales al geoide y al elipsoide (con lo que también coincidirán las coordenadas astronómicas y geodésicas)

geométrica

exacta,

En la geodesia española, el elipsoide utilizado es el internacional de Hayford y el punto astronómico fundamental, Potsdam (por estar situado en esta ciudad alemana, en la Torre de Helmert). Este Datum se conoce con el nombre de ED-50 (European Datum, 1950) y en él se sitúa el marco de referencia (red de vértices geodésicos) denominada RE-50. El sistema de proyección en el que se representa la cartografía oficial en España (y en muchos otros países), es la denominada UTM. Los vértices geodésicos (RE-50) tienen coordenadas en el sistema ED-50, pero también se ha calculado para ellos su proyección en el plano y se proporcionan las coordenadas UTM. Ambos parámetros aparecen en sus reseñas, disponibles en el Servicio de Geodesia del Instituto Geográfico Nacional. La representación plana de la superficie terrestre se lleva a cabo en dos etapas que conviene diferenciar: •

Se observan ángulos y distancias sobre la superficie terrestre y se reducen dichos valores al elipsoide de referencia (en España Hayford).

•

Se representa el elipsoide sobre un plano.

La representación del elipsoide sobre el plano es el objeto de la Cartografía, y se realiza mediante aplicaciones matemáticas. El sistema de coordenadas geodésicas resulta poco satisfactorio de cara a su utilización práctica en parte porque las unidades de medida son ángulos. Por ello en la práctica suelen utilizarse coordenadas rectangulares planas, que resulta más cómodo. Sin embargo el cambio de un sistema a otro no es fácil, pues la superficie del elipsoide no es desarrollable, es decir no puede extenderse sobre un plano sin sufrir deformaciones ni rasgaduras. La solución que se ha adoptado es la de representar la superficie del elipsoide sobre un plano según una determinada ley matemática que podría expresarse como sigue:

x = f1 (λ, ϕ ) y = f 2 (λ, ϕ )

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Método de Radiación: X, Y, H

donde (x, y) son las coordenadas rectangulares planas deducidas a partir de sus homologas en el elipsoide (ϕ, λ ), mediante la aplicación de la relación matemática indicada. Existen gran cantidad de leyes matemáticas que permiten la representación del elipsoide sobre un plano, pero una de las premisas fundamentales es la de obtener la mínima distorsión al proyectar los elementos de una superficie a la otra. Es entonces cuando entramos de lleno en los dominios de la Cartografía y de las proyecciones cartográficas. La proyección adoptada en la cartografía oficial española es la proyección Universal Transversa Mercator (UTM). A partir de la formulación matemática de la proyección pueden determinarse las coordenadas UTM (XUTM, Y UTM), de cualquier punto del que se conozcan las coordenadas geodésicas sobre el elipsoide ( ϕ, λ ), y a la inversa. La proyección Universal Transversa Mercator (UTM.) es un sistema representación conforme cilíndrico transverso de la superficie terrestre.

de

La proyección UTM es un sistema cilíndrico transverso conforme, tangente al elipsoide a lo largo de un meridiano que se elige como meridiano origen. Como figura geométrica en proyección se utiliza un cilindro transverso:

Como los límites del huso son meridianos y por tanto convergen hacia los polos, las regiones polares se representan de forma separada. Sólo se representa en la proyección UTM, hasta los paralelos de 80 grados norte y sur respectivamente

EXPRESIONES MATEMATICAS Las fórmulas de transformación son válidas para todos los husos. Estas expresiones se obtienen matemáticamente al imponer las siguientes condiciones: •

que la representación sea conforme,

•

que la transformada del meridiano central del huso considerado sea una línea isométrica automecoica, es decir, el módulo de deformación lineal sobre ella sea la unidad.

Una representación conforme de una superficie, s, sobre una segunda superficie, s´, es una transformación en la cual el ángulo que forman dos curvas cualesquiera trazadas sobre una de ellas es igual al ángulo que forman sus transformadas sobre la otra, y además, los elementos lineales infinitesimales correspondientes son proporcionales. M. Farjas

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Las figuras diferenciales del elipsoide se transforman en otras semejantes sobre la carta o plano. Esta semejanza implica que los ángulos se conservan y que la relación entre elementos lineales (deformación lineal) es constante para cada punto, cualquiera que sea la dirección considerada. A la cuantía deducida matemáticamente de las expresiones de la proyección se le aplica el denominado Artificio de Tissot. Con él se pretende disminuir la cuantía de las deformaciones lineales en la zona representada en cada huso. Para evitar un excesivo aumento de la deformación en los extremos del huso, se modifica el coeficiente K de deformación lineal, que corresponda a cada punto. Se pierde el que el sea el meridiano central automeico pero se reducen los valores de deformación lineal en los extremos del huso. SISTEMA DE COORDENADAS Este sistema de proyección aplicado a grandes extensiones en longitud ( ∆λ grandes) ocasiona que las deformaciones lineales alcancen valores considerables según nos vayamos alejando del meridiano de tangencia. Por ello para conseguir la representación completa de la Tierra, se opta por dividirla en husos de 6º de amplitud. Se dispone por tanto de 60 proyecciones iguales, pero referida cada una al meridiano central del huso respectivo y al Ecuador. Cada una de ellas está referida a su respectivo meridiano central. El sistema de referencia adoptado en cada huso es: •

eje de ordenadas (Y): la transformada del meridiano de tangencia (es el meridiano central del huso).

•

eje de abscisas (X): la perpendicular a ésta en su punto de cruce con el Ecuador. Este eje es también la transformada del Ecuador.

En esta situación se tiene una proyección universal en 60 sistemas de referencia diferentes identificados por los correspondientes primeros números naturales, siendo el huso 1 aquél cuyo meridiano central tiene una longitud de 177ºW, y el 60, el caracterizado por los 177º E. Los husos se numeran correlativamente del 1 al 60 a partir del antimeridiano de Greenwich (180 º) y en sentido creciente hacia el Este. Según se trate de situar puntos en el hemisferio norte o sur, el origen toma valores diferentes con objeto de no dar lugar a coordenadas negativas; así para latitudes norte se considera el par (500.000, 0) y para puntos por debajo del Ecuador se conviene en el término (500.000, 10.000.000). La distancia horizontal al Este (X) es siempre inferior a 1.000.000 metros, un valor de no más de 6 dígitos al expresarlo en metros. La distancia vertical al norte (Y) es siempre inferior a 10.000.000 metros, un valor de no más de 7 dígitos cuando se expresa en metros. Por este motivo siempre se usa un dígito más para expresar la distancia al norte que la distancia al este.

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Método de Radiación: X, Y, H

Dado que cada huso cuenta con su propio sistema de referencia no se pueden relacionar en principio puntos situados en husos diferentes. Para solventar el problema se incluyen zonas de solape de unos 80 km en la cual los vértices geodésicos se refieren a las coordenadas UTM de los dos husos.

CUADRICULA UTM Cada huso se divide horizontalmente, entre 80º de latitud Norte y los 80 º de la latitud Sur, en 20 bandas entre paralelos, dando lugar a 20 zonas por huso, filas, de 8º de ∆ϕ . La Tierra queda dividida en 60 husos. Así se limita la proyección a un huso de 6 grados de amplitud (reduciendo la deformación lineal) y cada huso queda así delimitado en áreas de 6º de longitud y 8º de latitud que se denominan zonas y constituyen la cuadrícula básica de la cuadrícula UTM. Las filas se nombran con letras mayúsculas, desde la C a la X (salvo CH, I, LL, Ñ y O), a partir del paralelo límite sur, reservándose los caracteres A, B, Y, Z para las regiones polares. De esta manera una zona identifica biunívocamente una determinada región de la superficie del elipsoide.

En el mapa se reflejan las diferentes zonas (husos y bandas) de la Tierra

La división en elementos más pequeños consiste en el reticulado de los 100 Km, identificándose cada cuadrícula por una pareja de mayúsculas, de la A a la Z para las columnas, y entre A y V para las filas; siempre teniendo en cuenta las excepciones indicadas en el caso de las zonas. Para indicar las coordenadas completas se designa el huso y banda (zona de la cuadrícula) y las coordenadas definidas mediante dos números, el primero designa la distancia al Este y el segundo la distancia al Norte con respecto al punto de origen convenido.

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Resumiendo hay que destacar que el sistema de proyección UTM frente a otros sistemas de proyección tiene la característica de que conserva los ángulo, la deformación lineal es constante para cada punto (no depende de la dirección), se utiliza por debajo de los 80º de latitud, designa un punto de manera concreta y fácil de localizar, y su uso en cartografía está muy extendido a escala mundial. En Topografía trabajaremos con la proyección UTM en las siguientes situaciones: •

Utilización de puntos con coordenadas conocidas en la proyección UTM (Vértices geodésicos o vértices de redes preexistentes).

•

Determinación de las coordenadas de otros puntos, partir de medidas topográficas directas.

en proyección UTM, a

CÁLCULO DE DISTANCIAS EN PROYECCIÓN U.T.M. A partir de una distancia observada entre dos vértices, tras haber estacionado en uno de ellos y haber observado al segundo, se puede determinar qué valor tomaría en la proyección U.T.M. Los datos previos que se requieren son las altitudes de ambos puntos, así como el coeficiente de anamorfosis que corresponde en la proyección al punto de estación. Supongamos que se ha realizado la medida de la distancia existente entre los puntos 1 y 2, con un distanciómetro, denominemos DOBSERVADA = D, a dicha distancia. Para poder utilizarla en el cálculo de coordenadas en la proyección UTM, en Geodesia os explicarán detenidamente el procedimiento de cálculo. 1)

Reducción al horizonte. Se elimina la influencia en la observación, de la altura de aparato y de la altura de la señal a la que se ha realizado la puntería con el distanciómetro.

Sea Dg, la distancia reducida al horizonte, o distancia geométrica. La expresión que permite su obtención es:

D DG = 2 2 sen (V1 + ε ) sen V1

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Método de Radiación: X, Y, H

De donde la distancia reducida al horizonte será:

DG =

D sen V12 sen ( V12 + ε )

Siendo:

sen V12 cc ε = ( m2 − i1 ) r D cc

Otro procedimiento que podemos utilizar resulta de aplicar el teorema del coseno a la figura anterior. El teorema del coseno tiene la siguiente expresión:

a

C b

B

A c

a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos A Y por lo tanto el lado a viene dado por:

a = b 2 + c 2 − 2 b c cos A

Aplicandolo a la figura del modelo de observación:

V

D

m-i DG

B A

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Obtendremos la distancia geométrica por la siguiente expresión:

( )

DG BA = ( mB − i A ) 2 + D BA

2

− 2 ( mB − i A ) DAB cos V AB

Por ambos métodos se obtiene la misma solución. 2)

Reducción al elipsoide. Denominamos Do, a la distancia existente entre los puntos 1 y 2, reducida al elipsoide. Se obtiene aplicando,

DG2 − ∆h 2 Do =  h1  h2  1 + 1 +  R  R 

Donde h1 y h2, son las altitudes de los puntos 1 y 2 respectivamente, y ? h es la diferencia entre ambas. R representa al radio de la Tierra, del que tomaremos un valor de 6370 km. 3)

Reducción de la cuerda al arco. Sea s, la distancia entre los puntos 1 y 2, en el elipsoide y siguiendo el arco que los une. A partir de Do, la podemos obtener considerando que,

s = Do +

Do3 24 R 2

En lo ejercicios comprobaremos que en Topografía s ≈ Do y por qué podemos prescindir de este paso en el cálculo. 4)

M. Farjas

Reducción a la proyección UTM.

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Para realizar esta reducción es necesario considerar el coeficiente de deformación lineal que corresponde al punto 1. Este coeficiente se denomina coeficiente de anamorfosis. La distancia entre los puntos 1 y 2, en la proyección UTM, vendrá dada por

DUTM = s ⋅ K Este es el procedimiento general de reducción de una distancia a la proyección U.T.M.

Resumiendo: El cálculo de las distancias en la proyección UTM, se realiza aplicando: a) Eliminar el efecto de la altura de aparato y de la señal sobre la que se ha realizado la puntería, es decir cálculo de Dg.

DG BA =

[(m

B

( )

− i A )2 + D BA

2

− 2 (mB − i A ) DAB cos VAB

]

b) Reducción de la DG a la proyección. Sustituyendo las expresiones de las distintas reducciones en la que le antecedía, y considerando que s=D o , podemos obtener como expresión final, de forma conjunta:

2

DUTM = K

D G − ∆h  h1  h2   1 + 1 +  R  R  2

Donde h1 y h2, son las altitudes de los puntos 1 y 2 respectivamente, y ?h es la diferencia entre ambas. R representa al radio de la Tierra, del que tomaremos un valor de 6370 km. Recomendamos realizar el siguiente ejercicio: Hoja 26: Cálculo de distancias U.T.M. a partir de distancias observadas en campo. Coeficiente de anamorfosis El coeficiente de anamorfosis es el que corresponde al polo de radiación. Para otros métodos topográficos normalmente tomaremos un valor de K resultado de efectuar la me dia aritmética de los que correspondan a los vértices de la zona de trabajo. También podremos optar por obtenerlo aplicando la formula de Simpson:

M. Farjas

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1 1 4 1 1 =( + + ) K K A KM K B 6 Siendo: KA = Coeficiente de anamorfosis del punto A, extremo de la zona de trabajo. KM = Coeficiente de anamorfosis del punto medio de la zona de trabajo. KB = Coeficiente de anamorfosis del punto B, extremo de la zona de trabajo.

O por el procedimiento general que os explicarán en geodesia, a partir de la siguiente expresión:

K = 0,9996 + 0,01232007 (

Xm - 0,5 ) 2 1.000.000

OBTENCIÓN DE COORDENADAS U.T.M. Conocidas las coordenadas U.T.M. del polo de radiación y habiendo reducido la distancia observada a la proyección U.T.M., el cálculo de las coordenadas no difiere del que hemos planteado en el capítulo anterior. No olvidemos que la proyección es conforme y que para cada punto con coordenadas UTM, se conoce también la convergencia del norte de la cuadrícula con el norte geográfico. Para aplicación recomendamos realizar el siguiente ejercicio: Hoja 27: Cálculo de coordenadas en la proyección U.T.M. a partir de datos topográficos observados en campo. PROBLEMA INVERSO En este caso nos planteamos cómo podemos determinar la distancia geométrica existente entre dos puntos, si conocemos sus coordenadas U.T.M. A partir de las coordenadas UTM podremos obtener el valor de la distancia DUTM ente ellos. También tendremos que conocer las altitudes de ambos y por lo tanto su desnivel. La expresión para determinar la DUTM a partir de la DG era: 2

DUTM = K

D G − ∆h  h1  h2   1 + 1 +  R  R  2

En ella ahora la incógnita es la DG. Despejando: M. Farjas

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DUTM 2 = K 2 (

DG2 − ∆h 2  h1  h2  1 + 1 + R  R 

  

)2

DUTM DG2 − ∆h 2 = K  h1  h2  1 + 1 +  R  R 

Y finalmente obtenemos:

DG2 =

DG =

1.5

DUTM  h1  h2   1 + 1 +  + ∆h 2 K  R  R DUTM  h1  h2   1 +  1 +  + ∆h 2 K  R  R

PROYECTO DE UN LEVANT AMIENTO POR RADIACIÓN DE PUNTOS ANÁLISIS DE LA PRECISIÓN A PRIORI En la fase de diseño de un proyecto es necesario detenerse a analizar cuál es la precisión que nos demanda el cliente, y cuáles van a ser los detalles que han de incluirse en nuestro proyecto. Todos los trabajos exigen que los puntos que lo configuran posean una precisión determinada. Esta precisión puede ser un dato que aparezca en el pliego de condiciones (en él se especifican los registros técnicos del trabajo) o puede tratarse de un dato que hemos de calcular conociendo la escala del levantamiento. En este ultimo caso, la precisión se obtiene calculando la magnitud que supone en el terreno, el límite de percepción visual (0,2 mm). según la escala a la que vamos a realizar el levantamiento. Sabemos qué valores inferiores a él no van a tener representación en el plano final y por ello lo consideraremos como límite de los errores que podemos permitirnos en el trabajo de campo. La precisión (dato conocido antes de realizar el levantamiento), nos va a condicionar las distancias que podemos medir en campo. Puntos distantes un valor superior, tienen errores en su determinación ma yores que los deseados y por lo tanto su posición resulta incorrecta.

M. Farjas

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Tema 5

Método de Radiación: X, Y, H

La radiación es un método topográfico que consiste en establecer la posición de los puntos a partir de otro en el que se estaciona. En este método existen dos causas de error, derivada una de la medida e distancias y otra de la medida de ángulos. La primera de lugar al denominado error longitudinal y la segunda, al error transversal. Ambos errores aumentan al hacerlo la distancia entre los puntos de estación y el punto a representar. Al actuar ambos errores en direcciones perpendiculares, no se pude considerar como error máximo (aquel cuya probabilidad de cometerse es del 2%), su componente cuadrática, sino que se considera como error máximo del mayor de los dos. Para cada trabajo en concreto no conocemos de antemano el error máximo es el longitudinal o el transversal, por lo que tenemos que calcular ambos. Si lo que pretendemos es, conocido el error (la precisión del levantamiento), determinar la distancia máxima de radiación, el método de cálculo consistirá en el estudio de las distancias límite que nos impondrá el error longitudinal si este fuese el de mayor magnitud (y por lo tanto el error máximo) y la que supondría si lo fuese el error transversal. Calculadas estas dos distancias, analizaremos cuál de ellas es la menor, y ésta será la distancia buscada, es decir la distancia máxima que nos permite los requisitos de nuestro trabajo: distancia máxima de radiación. Como tanto el error longitudinal como el transversal aumentan con la distancia, un punto distante un valor mayor que la que hemos denominado distancia máxima de radiación, tendrá un error en su posición mayor que el permitido (ocasionado por la causa de error que limita la distancia) y sería incorrecta su utilización. Conocida las expresiones del error longitudinal (eL) y del error transversal (eT), procederemos a deducir aquellas por las que podemos obtener la distancia límite para el siguiente equipo de medida: a) Teodolito y distanciómetro. b) Teodolito y otro sistema general de medida de distancias. a) DETERMINACIÓN DE LA DISTANCIA MÁXIMA DE RADIACIÓN CON TEODOLITO. Y DISTANCIÓMETRO.

Error longitudinal. En primer lugar vamos a deducir la expresión de la distancia con la que incurrimos en un error longitudinal igual a la precisión deseada. El error longitudinal viene dado por la componente cuadrática del error estándar, error de estación, error de señal y error por inclinación del jalón.

e L = e 2v + e2e + e 2s + e2j Donde el error estándar consta de un valor constante y una parte proporcional a la distancia medida (mm por Km ó ppm): M. Farjas

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Tema 5

Método de Radiación: X, Y, H

e V = a + b ⋅ D Km Sustituyendo en la expresión anterior,

e L = ( a + b ⋅ D Km ) 2 + e 2e + e2s + e 2j y efectuamos las operaciones necesarias para calcular la distancia

e L = e 2v + e2e + e 2s + e2j

e 2L = (a + b ⋅ DKm ) 2 + ee2 + e 2j + es2 ( a + b ⋅ D Km ) 2 = e 2L − e 2e − e2s − e 2J ( a + b ⋅ D Km ) 2 = e 2L − e 2e − e2s − e 2J

DKm =

e 2L − e2e − e 2s − e 2j − a b

Denominamos a esa distancia, límite impuesto por el error longitudinal D1. Error transversal. La distancia límite que implica el error transversal, la denominamos (D2). El error transversal tiene por expresión:

e T = e a ( radianes ) ⋅ 2 ⋅ D El error angular (ea) intervienen el error de dirección, el error de puntería, el error de lectura y el error de verticalidad, de la siguiente forma:

e a = e 2P + e 2v + e 2d + e 2l Todos estos errores son conocidos si lo son las características del equipo que se utiliza y si conocemos los requisitos técnicos del trabajo topográfico; excepto el error de dirección (eD), en el que también interviene la distancia:

e D( radianes) =

e e + es D

siendo es, el error de estación y es error de señal. Sustituyendo en la expresión del error transversal las dos expresiones anteriores.

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Tema 5

Método de Radiación: X, Y, H

   e + es  2 e T =  e 2P + e 2v +  e  + e L  ⋅ 2 ⋅ D  D    donde el error de puntería, el error de verticalidad y el error de lectura (eP, ev y el) deben estar en radianes. 2  2  ee + es   2 2 2 e = e p + e v + e L +   ⋅2⋅D  D     2 T

2  2 e2T  2 2 2  ee + es  = e p + e v + e l    ⋅D  D   2 

eT2 ( ee + e s ) 2 2 2 2 2 = e p + ev + el ⋅ D + ⋅ D2 2 2 D

(

)

e2T − ( ee + e s ) 2 2 2 D = 2 ( e p + e 2v + e 2l )

D =

eT2 − ( ee + e s ) 2 2 (e 2p + ev2 + el2 )

A esta distancia la denominamos D2. Distancia máxima de radiación. Conocidas D1 y D2 , la distancia máxima de radiación será la menor de las dos. A distancias mayores los puntos obtenidos tiene errores superiores a los permitidos, bien debidos al error longitudinal o bien al transversal, según el caso que nos ocupe.

b) DETERMINACIÓN DE LA DISTANCIA MÁXIMA DE RADIACIÓN CON TEODOLITO Y OTRO SISTEMA DE MEDIDA DE DISTANCIA,

Error longitudinal. El planteamiento es análogo al anterior.

M. Farjas

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Tema 5

Método de Radiación: X, Y, H

La distancia límite que nos permite el error longitudinal, la podemos calcular por la expresión de este error:

e L = ε ⋅ D1

donde

ε

es el error relativo cometido en la medida de la distancia.

La distancia podemos obtenerla por:

D1 =

eL ε

Error transversal. La distancia límite por el error transversal D2 , al tratarse también de un equipo en el que la medida de ángulos se realiza con un teodolito, podemos calcularla por la expresión obtenida en el caso anteriormente.

eT2 − (ee + es ) 2 D2 = 2 2 ( e p + ev2 + el2 ) Distancia máxima de radiación. la distancia (D1 ) al igual que en el caso analizado anteriormente, habrá de compararse con la distancia (D2 ). La menor de las dos será la distancia máxima de radiación. El estudio de las distancias que nos permite un equipo topográfico, si queremos cumplir unas determinadas condiciones técnicas, ha de realizarse siempre ANTES de iniciar el proyecto. ANÁLISIS DE LA PRECISIÓN A POSTERIORI Una vez concluida la toma de datos de campo, y los trabajos de gabinete es necesario comprobar que se han cumplido las especificaciones previas de precisión. En el caso de la radiación se ha de comprobar que en ningún caso se ha rebasado la distancia máxima de trabajo, y puede calcularse la incertidumbre (error máximo) del punto radiado más desfavorable. La precisión final será la componente cuadrática de esa incertidumbre y de la que ya tuviera el polo de radiación. Recomendamos analizar las siguientes propuestas: Hoja 25: Proyecto de Levantamiento de los Jardines del Descubrimiento a escala 1/200.

M. Farjas

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Tema 5

1.6

Método de Radiación: X, Y, H

BIBLIOGRAFÍA

SERVICIO GEOGRÁFICO DEL EJERCITO (1976): Proyección Universal Transversa Mercator. Estado Mayor Central. Sección de Geodesia. Madrid. MENA BARRIOS, Juan: Sistema de Proyección UTM, Programa para el cálculo automático de transformaciones.

M. Farjas

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Tema 6

Poligonación

Tema 6:

M. Farjas

Método de Poligonación

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Tema 6

Poligonación

ÍNDICE 1. DESCRIPCIÓN GENERAL. -

Método general de la poligonación.

-

Clasificación de las poligonales.

-

.

Según puntos de partida y llegada. Cerrada. Abierta

.

Según orientación angular. Orientada. No orientada.

Incertidumbres a priori. . .

Incertidumbre longitudinal. Incertidumbre transversal.

2. METODOLOGÍA DE OBSERVACIÓN -

Anteproyecto de la poligonación. . . .

-

Finalidad. Precisión requerida. Elección del material. Señalización de los tramos de la poligonal.

. . . -

Modo de evitar los tramos cortos. Reseñas de las estaciones. Importancia. Referenciación de estaciones críticas. Métodos de observación.

. . . . . . -

Método Método Método Método Método Método

general o de Moinot. de vueltas de horizonte. de Porro. de Villani. de comprobaciones angulares. de comprobaciones sucesivas.

Poligonales de alta precisión. . . . . .

M. Farjas

Instrumental de precisión. Distancia óptima de los tramos. Necesidad del control de refracción. En ángulos. En distancias. Método del centrado forzado: método de los tres trípodes. Método de triangulación de los tramos.

2

Tema 6 3.

Poligonación

CÁLCULO Y COMPENSACIÓN DE LAS COORDENADAS. . . . . . . .

Cálculo de la altimetría. Obtención de acimutes compensados. Obtención de distancias promedio. Cálculo de coordenadas parciales x, y. Errores de cierre en coordenadas. Tolerancias. Compensación y obtención de coordenadas aproximadas ƒ

ƒ

ƒ .

Análisis de la precisión obtenida. ƒ ƒ

.

proporcional a las coordenadas parciales de los tramos: si es menor la precisión de la medida de distancias que la precisión de la medida de ángulos: Compensación por el método de Bowditch (proporcional a la longitud de los ejes: si es mayor o igual la precisión en la medida de distancias que la precisión en la medida de ángulos Compensación por el método de Sanguet

En las estaciones de la poligonal. Transmisión a los puntos radiados.

Compensación y obtención de coordenadas ajustadas y precisiones por MMCC

4.

LOCALIZACIÓN DE FALTAS DE CAMPO Y EQUIVOCACIONES DE CÁLCULO.

5.

CALCULO DE POLIGONALES EN PROYECCIÓN UTM. -

6.

Cálculo de la altimetría (H). Obtención de orientaciones. Obtención de distancias en la proyección. Cierres en coordenadas. Tolerancia. Compensación. OTROS MÉTODOS EN POLIGONACIÓN -

7.

Itinerarios concurrentes en un punto. Punto Nodal. Puntos destacados de una poligonal. Puntos en alineación.

BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA.

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Tema 6

Poligonación

1. DESCRIPCIÓN GENERAL -

-

Método general de la poligonación. Clasificación de las poligonales. .

Según puntos de partida y llegada. Cerrada. Abierta

.

Según orientación angular. Orientada. No orientada.

Incertidumbres a priori. . .

Incertidumbre longitudinal. Incertidumbre transversal.

Un itinerario o poligonal es una sucesión encadenada de radiaciones, donde se debe obtener como resultado final las coordenadas (X, Y, H) de los puntos de estación. Se parte de un punto de coordenadas conocidas y se llega a otro también de coordenadas conocidas. Desde el punto inicial y final se visará a una referencia, también de coordenadas conocidas, como mínimo. Las estaciones de la poligonal tendrán que: • • •

estar relacionadas entre sí (acimutes y distancias), tener intervisibilidad entre ellas, poder desempeñar el trabajo para el que se ha diseñado la poligonal, desde los puntos de estación.

Los puntos de la poligonal pueden convertirse en polos de radiación, y desde ellos efectuar un levantamiento. En este caso en primer lugar se realizará la observación de los puntos de estación del itinerario y después se efectuará en cada uno de ellos la radiación de los puntos de detalle. El método de poligonación consta del siguiente procedimiento. Se estaciona en un punto A y se sitúa por radiación en punto B. Posteriormente se estaciona en B y, tomando como referencia la dirección BA se radia C. Estacionando en C, de modo análogo, se sitúa el punto D y así se continúa sucesivamente hasta fijar el ultimo punto que se desee, tal que el E. Por tanto, un itinerario o poligonal no es más que una sucesión encadenada de radicaciones. Los puntos A, B, C ... son estaciones de itinerario y las distancias AB, BC, ... los tramos o ejes del mismo.

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Tema 6

Poligonación

Normalmente, con una poligonal lo que se pretende es situar una serie de puntos B, C,... a partir de otro A, previamente conocido, desde el que se dispone de acimutes a direcciones (referencias) también conocidas. CLASIFICACIÓN DE LAS POLIGONALES. 1.

Según los puntos de partida y llegada. Cerrada: Cuando el punto inicial coincide con el final

Abierta: Cuando el punto inicial no coincide con el final.

2.

Según la orientación angular. Poligonal Orientada.

Cuando se observa una poligonal orientada, el instrumento esta orientado en cada uno de los puntos o estaciones que componen la poligonal. M. Farjas

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Tema 6

Poligonación

Se estaciona el aparato en el punto inicial A y se orienta, para lo que será necesario conocer el acimut θ A , de una dirección AR. Seguidamente se visa al punto B, sobre el que se hacen las medidas de ángulos y distancias necesarias para situar dicho punto por radiación. Al estar el aparato orientado, la lectura R

acimutal que se haga sobre B será el acimut θ A , de tal dirección. Después se B

traslada el aparato a B, la dirección de referencia será BA ya que el azimut de θ B

A

es conocido , por ser el recíproco de θ A , medido en A. Radiamos desde B el punto B

C y nos trasladamos a él , se orienta utilizando el azimut θ B reciproco de θ C , continuándose así asta el final de la poligonal. C

B

Como siempre debe procurarse tener una comprobación de los resultados obtenidos, por lo que al estacionar en el último punto E se orienta el instrumento sobre D con el acimut θ E y a continuación se visa a la dirección ER’ de acimut conocido. Es natural que debido a los inevitables errores de observación, el valor D

leído para θ E no coincida exactamente con dicho acimut conocido. la diferencia será el error de cierre angular de la poligonal. R'

En un itinerario orientado los acimutes directos y recíprocos deben de diferir en 200 grados, puesto que se ha obligado al goniómetro a indicar las lecturas correspondientes. En la práctica no sucede así. Con el instrumento se observan las direcciones en las posiciones de CD y CI. Las lecturas promedio que se obtienen no resultan rigurosamente iguales a las deseadas, lo que determina que los acimutes directos no se corresponde con sus recíprocos. Se van produciendo a lo largo del itinerario unas ligeras desorientaciones y el error de cierre acimutal que pueda aparecer al observar la dirección de cierre estará también ligeramente falseado, con respecto al que obtendremos finalmente en cálculo. Se hace necesario corregir en cálculo las desorientaciones situadas en el momento de la observación. Esta operación recibe el nombre referir acimutes al origen. Poligonal no Orientada. En este caso no se puede, o no se desea, llevar el instrumento orientado.

Se estaciona en el punto de inicio de la poligonal A y con la lectura acimutal cualquiera se visa a R. Después se realiza la observación completa sobre B. Es evidente que por diferencia de lecturas acimutales se podrá conocer el ángulo que la dirección AB forma con la AR. En B se visa a A con una lectura arbitraria y seguidamente se efectúan las observaciones necesarias sobre C, con lo que se

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Tema 6

Poligonación

podrá calcular el ángulo en B. Se continúa de forma análoga hasta finalizar en E, donde se deberá visar también a R’ para conocer el ángulo de dicha estación. Con las referencias y conocidos los acimutes de las direcciones observadas, se pueden posteriormente calcular los acimutes de todos los lados o tramos de la poligonal y llegar a conocerse el error de cierre de la poligonal. Para poder conocer el error de cierre se utiliza la corrida de acimutes. INCERTIDUMBRES A PRIORI 1

Incertidumbre Transversal.

Si al medir el ángulo en la estación inicial A cometería un error, e1 , y suponiendo que no vuelvo a cometer ningún otro en todos los restantes, todo el itinerario gira rígidamente. con centro en A, un ángulo de e1 y radio AE, lo que determina que el ultimo punto E, se traslada a E’. El error cometido en aquella estación trasciende hasta el final con efectos progresivamente ampliados. Designando por L la longitud total del itinerario y sí es n el número de tramos del mismo, el desplazamiento EE’ que experimentará el punto E, valdrá:

EE' = AB n e1 =

L n e1 n

Supongamos que, con independencia del error en el ángulo A, al medir el ángulo en B se comete un error e2, sin que se produzca ningún otro error en los siguientes. La poligonal sufrirá un nuevo giro de valor e2 y centro en B’, con lo que E’ se desplazará a E”, de modo que:

E' E" =

L ( n − 1) e 2 n

Admitiendo, del mismo modo, errores sucesivos e independientes en todos los ángulos, se comprende que el se cometa en el enésimo producirá un efecto final

E n −1 E n =

L en n

Como tales errores son, como se ha dicho, independientes, el efecto acumulado de todos ellos será igual a su componente cuadrática. El error total será:

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Tema 6

Poligonación 2

2

 L  L e T ≤   n 2 e 12 +   (n − 1) 2 e 22 +...+  n  n

2

 L 2   en  n

Los valores de e1 , e2 . . . . en son desconocidos, pero pueden sustituirse por el error máximo angular, e, que cabe cometer con el teodolito que se utilice. Si es ea el error máximo que, por dirección, le corresponde a dicho aparato, resultará:

e ≤ ea 2 ya que cada ángulo consta de dos direcciones. Sustituyendo se obtiene:

eT ≤

L e a 2 n 2 + (n − 1) 2 +...+ 1 n

La cantidad subradical es la suma de los cuadrados de los n primeros números enteros, y su valor es:

n ( n + 1) (2 n + 1) 6 Sustituyendo esta expresión en la anterior se obtiene que el error transversal puede calcularse con la siguiente expresión:

eT ≤

2

L ea 2 n

n (n + 1) (2n + 1) 6

Incertidumbre Longitudinal.

Este parámetro no depende del instrumento con que se midan los ángulos ya que depende solo del aparato con que se hallan medido las distancias. Designamos por ε el error relativo de tales medidas, es evidente que sí L, es la longitud total del itinerario y n su número de tramos, en cada uno de ellos se cometerá un error:

El ≤

L ε n

y al cabo de n tramos, el error total longitudinal valdrá:

El ≤

M. Farjas

L ε n n 8

Tema 6

Poligonación

Como el error relativo es la incertidumbre por unidad de medida, se obtiene dividiendo el error esperado en distancias, por la distancia observada. Es decir:

ε=

eD Ln

Sustituyendo:

El ≤

L eD n = eD n n Ln

Esta es la expresión del error longitudinal, cuando sólo se haya realizado una medida en cada distancia. Como el método de observación de una poligonal exige la medida doble (en sentido directo y recíproco), la expresión final resultante es:

El ≤

3

eD 2

n

Incertidumbre total: Los itinerarios han de ser rectilíneos. En este caso los errores angulares se producen en dirección prácticamente transversal a la de la poligonal y el longitudinal se manifiesta en igual dirección que la poligonal. Nos encontramos, ante un caso en que las líneas de acción de los errores independientes se cortan bajo un ángulo recto, por lo que para saber cual será el error total máximo que puede presentarse en una poligonal, deberán calcularse el transversal y el longitudinal correspondientes y el que resulte mayor de los dos será el error total buscado. Este parámetro nos indicará la precisión relativa, la precisión interna o el rango de incertidumbre de los nuevos vértices con respecto a los ya conocidos. Si se desea conocer la precisión absoluta de los nuevos vértices deberemos conocer la precisión de los vértices de salida y de llegada en los que se apoya la poligonal. Supongamos una poligonal que parte de un vértice A, cierra en D y dota de coordenadas a los vértices B y C. Para determinar un indicador de la precisión absoluta de los nuevos vértices, puede utilizarse la siguiente expresión: 2 2 e xyB ,C = e xy2 A + e Poligonaci ón + e xy D

En altimetría, los desniveles en poligonación se obtienen a partir de los datos de campo, mediante nivelación trigonométrica. La precisión absoluta de los vértices B y C podrá obtenerse de igual forma:

M. Farjas

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Tema 6

Poligonación 2 2 e H B ,C = e H2 A + e Método altimétrico aplicado en la det er min ación de ∆H + e H D

El método de nivelación trigonométrica que se aplica es la nivelación trigonométrica compuesta mediante visuales en sentido directo y recíproco, es decir por estaciones recíprocas. La expresión de cálculo del desnivel de un punto B respecto a A en nivelación trigonométrica simple es:

∆H BA = t BA + i A − m B + (0.5 − K)

(D BA ) R

2

Para la determinación de los desniveles se dispone de dos determinaciones entre estaciones, obteniéndose el valor final, a partir de la media aritmética de ambas, siempre que la diferencia sea tolerable. La tolerancia entre el desnivel directo y recíproco será:

e ≤ e∆H ⋅ 2 Siendo:

e ∆H = e i2 + e 2t + e 2m Hemos indicado que el desnivel se calculará como promedio del valor directo y del recíproco (si fueran tolerables). Su precisión vendrá dada por:

Incertidumbre en el desnivel promedio =

e∆H 2

La incertidumbre ocasionada por el encadenamiento de desniveles a lo largo de la poligonal (línea de nivelación) podrá determinarse con la expresión:

e∆H B ,C =

e∆H 2

n

Donde:

e∆H B ,C = eMétodo altimétrico aplicado en la det er min ación de ∆H Este es el parámetro que anteriormente planteábamos que era necesario conocer para poder aplicar la expresión de la incertidumbre absoluta de los puntos de la poligonal de nuevo diseño: 2 2 e H B ,C = e H2 A + eMétodo altimétrico aplicado en la det er min ación de ∆H + e H D

Las incertidumbres ocasionadas están en relación directa con las tolerancias permitidas en los cierres. Éstas serán las cuantías que podrán permitirse en las discrepancias entre los valores calculados y los valores datos, antes de proceder a compensar.

2.

METODOLOGÍA DE OBSERVACIÓN. -

Anteproyecto de la poligonación. .

M. Farjas

Finalidad.

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Tema 6

Poligonación . .

-

Señalización de los tramos de la poligonal. . . .

-

Modo de evitar los tramos cortos. Reseñas de las estaciones. Importancia. Referenciación de estaciones críticas.

Métodos de observación. . . . . . .

-

Precisión requerida. Elección del material.

Método Método Método Método Método Método

Poligonales de alta precisión. . . .

Instrumental de precisión. Distancia óptima de los tramos. Necesidad del control de refracción. -

. .

*

general o de Moinot. de vueltas de horizonte. de Porro. de Villani. de comprobaciones angulares. de comprobaciones sucesivas.

En ángulos. En distancias.

Método del centrado forzado: método de los tres trípodes. Método de triangulación de los tramos.

DISEÑO Y SEÑALIZACIÓN Los puntos de la poligonal han de señalizarse de modo permanente, con el fin de poder utilizar estos puntos en trabajos posteriores. Además de la permanencia ha de garantizarse su inmovilidad. Si se desplazase la señal el resultado sería equivalente a errores de medida, aunque las medidas se hubieran realizado con gran precisión, puesto que las coordenadas absolutas que ocupa en ese momento la señal son distintas a las que tenía cuando se hizo el trabajo primitivo, apreciándose diferencias en orientaciones, desniveles y distancias, entre estaciones consecutivas. Dentro de lo posible ha de evitarse el situar las estaciones en lugares donde el terreno sea inestable, tal como areneros o escombreras. Uno de los lugares más apropiados es la roca nativa, tanto por su dureza como por la permanencia. En este caso se hacen marcas sobre la roca, se coloca un clavo spin, o se introducen piezas de ferralla cortas. Se utiliza también pintura para destacar la señal. En terrenos de labor, es aconsejable poner las señales en las lindes. La señalización de los vértices de la poligonal puede realizarse con señales construidas con hormigón, o con los denominados hitos feno.

*

MÉTODOS DE OBSERVACIÓN El método general de observación de una poligonal era el denominado método de Moinot, que consiste en estacionar en el punto A, se toman lecturas de espalda a la referencia y de frente al punto B, en CD. Se campanea el anteojo y se toman lecturas de espalda y de frente en CI. Siempre se realiza la observación angular aplicando la regla de Bessel. Por otra parte las distancias se miden en la observación directa (de A a B) y en la recíproca (de B a A), pero sólo en CD.

M. Farjas

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Tema 6

Poligonación

H

L

A

C B D M K Desde los vértices inicial y final se visará a más de un punto conocido para determinar la desorientación del punto de estación. Cada visual de punto de estación conocido a punto de coordenadas conocidas, nos permite determinar un valor de la desorientación. Éste cálculo ha de realizarse más de un vez (es decir en campo ha de tomarse más de una visual de orientación) para tener comprobación del mismo. Por otro lado desde los puntos de nueva implantación de la poligonal deben realizarse visuales a referencias de control, y en lo posible se ha de intentar que las referencias que se utilicen pertenezcan a la misma red. Todo este procedimiento metodológico y la posibilidad de realizar ajustes mínimo cuadráticos, ha llevado a que actualmente las poligonales se observen aplicando el método de vueltas de horizonte. La búsqueda de una mayor redundancia de observaciones y un mayor alcance de los equipos, permiten fácilmente observar un mayor número de vértices sin restringir la toma de datos al vértice de frente y de espalda. En caso de que sea posible, se observará al mismo tiempo a otros vértices de la poligonal o de la red de orden superior que sean visibles, tanto en ángulos como en distancias, aumentando los grados de libertad del ajuste sin dificultad. Se trabaja aplicando el método de vuelta de horizonte en cada estación con observaciones angulares y/o distancia al resto de los puntos visibles ya sean éstos de coordenadas conocidas (procedentes de la misma red que los puntos A y D), o de la poligonal de nueva implantación, a cuyos vértices se pretende dotar de coordenadas. En el caso de la figura representada anteriormente el gráfico de visuales de campo podría ser el siguiente:

M. Farjas

D

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Tema 6

Poligonación

H

L

A

C B D M K

Además de las visuales a los vértices de espalda y de frente, se toman ángulos y/o distancias a vértices adicionales. El método de vueltas de horizonte consiste, por ejemplo en el punto de estación B, en realizar el estacionamiento y colocar el anteojo en posición C.D. Se elige una dirección (la que esté mejor definida) como origen, que podría ser la visual de espalda a A, y se anotan las lecturas en CD a cada una de las restantes: H, C, D y M, volviendo a mirar a A al finalizar y comprobando que esta lectura, denominada de cierre, es la misma que al comienzo. Así nos aseguramos que el instrumento no ha sufrido ningún tipo de movimiento durante la observación. La discrepancia de valores permitida será:

∆ Lectura = ea 2 A continuación se voltea el anteojo, se coloca en posición de CI y se repiten las observaciones girando el instrumento en sentido contrario al de las agujas de reloj: M, D, C, H y A; y comprobando el cierre en A. Si el cierre es correcto se dice que se ha observado una serie o vuelta de horizonte. En caso contrario se deberá repetir el procedimiento desde el principio. La medida de distancias se realiza en la posición de anteojo CD, como mínimo a los vértices de atrás (vértice A en nuestro ejemplo) y de frente (vértice D). No olvidemos que en la actualidad las estaciones totales que realizan la medida de distancias sin prisma reflector, con la señal reflejada directamente sobre el punto visado, nos puede permitir medir distancias a los puntos M, H y D sin necesidad de ir a ellos. El procedimiento de cálculo que planteamos a continuación selecciona las visuales elementales de una poligonal tradicional para determinar unas coordenadas aproximadas. Posteriormente se recuperan todas las observaciones de campo para realizar el ajuste mínimo cuadrático y dar la solución final de coordenadas de los vértices de nueva implantación.

Existen otros métodos auxiliares de observación como: M. Farjas

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Tema 6

Poligonación

o o o o

Método Método Método Método

de de de de

Porro. Villani. comprobaciones angulares. comprobaciones sucesivas.

Que pueden estudiarse utilizando el texto Métodos Topográficos y Oficina Técnica de D. J.L. Ojeda, disponible en la Biblioteca de la ETSI Topográfía, Geodesia y Cartografía. Finalmente se debe destacar que en poligonación, es recomendable utilizar, siempre que sea posible, el método de observación de los itinerarios de precisión. Consiste en la utilización de los equipos de centrado forzoso en el vértice de frente, de estación y de espalda, por lo que también se denomina también método de los tres trípodes. Siguiendo este método se sitúa el aparato en estación y se observan varias referencias de salida. Para materializar el punto de la poligonal que va a observarse, se sitúa un trípode con una placa de puntería. Las placas de puntería disponen de una plataforma nivelante con plomada óptica y nivel esférico, para su estacionamiento. La placa se orienta en la dirección del punto de estación y se realiza la observación angular. Concluida la observación angular en CD /CI a los vértices de frente y espalda, se quitan las placas de puntería y se sitúan sobre los trípodes el prisma, enroscándolo en la misma base nivelante. El cambio de estación se realiza sin mover los trípodes. El teodolito intercambia con las placas de puntería, y se repite la operación anterior.

se

La incertidumbre o error en la observación se reduce al minimizar el error de dirección. 3.

CÁLCULO Y COMPENSACIÓN DE LAS COORDENADAS. Para proyectar y realizar una poligonal es necesario conocer de antemano: • • • •

Coordenadas del punto de salida A (XA, YA , HA ) Acimut del vértice A a una referencia (como mínimo): θA REF Coordenadas del punto de llegada D (XD, YD , HD ) Acimut del vértice D a una referencia (como mínimo): θD REF ´

Los datos que se han obtenido en la observación mínima realizada en campo son: • •

Ángulos de la poligonal. Distancias reducidas de los tramos por duplicado.

Con estos datos procederemos a obtener las coordenadas (X, Y, H) de los vértices en los que se ha estacionado. La altimetría se obtiene por nivelación trigonométrica compuesta. En el caso de observación que estamos planteando de redundancia mayor de observaciones, ésta será la primera fase para determinar unas coordenadas que serán consideradas como aproximadas en una segunda fase de ajuste mínimo cuadrático. El método tradicional de cálculo de una poligonal, obtiene en una primera fase el valor de los acimutes compensados de la poligonal, para posteriormente proceder a realizar el calculo de las coordenadas X, Y. M. Farjas

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Tema 6

Poligonación

Procedemos a exponer este método de cálculo de coordenadas aproximadas, o de poligonación tradicional para posteriormente concluir con el ajuste MMCC. A

CÁLCULO DE ACIMUTES COMPENSADOS. -

Corrida de acimutes. Obtención del error de cierre: Como cierre de la corrida acimutal. Por el método “cálculo del error de cierre sin corrida de acimutes”

(

) (

)

ec = ΣLF + θ AR − ΣLE + θ DR´ − K . 200 g Siendo K un múltiplo de 200, es decir, el error de cierre es la diferencia al múltiplo de 200g más cercano. Siendo ΣLF y ΣLE valores obtenidos con las lecturas realizadas en campo, Y los acimutes θA R , θD R´, los datos previos. -

Cáculo de la tolerancia:

T = ea -

2 n

Si es tolerable se pasa a compensar, si no fuera tolerable se repite la observación angular de la poligonal.

Cálculo de Acimutes. Existen dos procedimientos posibles para realizar el cálculo de acimutes. a)

Por ángulos: Si al comienzo de la poligonal se visó a un punto R, se conoce el acimut

θ AR

de dicha dirección, el acimut de la dirección AB θ A se obtendrá como la suma del azimut de AR más el ángulo que forman las dos direcciones. B

θ AB = θ AR + ( LBA − LRA ) θ AB = θ AB ± 200 g Procediendo de forma análoga se llegará al final de la poligonal obteniendo un acimut de ER θ' E . la diferencia que se presente con respecto al verdadero será el error de cierre de la poligonal. R'

b)

Por desorientaciones: Este segundo procedimiento se emplea preferentemente cuando además de realizar la poligonal se emplea el trabajo para radiar puntos desde las estaciones. Este método consiste en obtener la desorientación de las vueltas de horizonte en las sucesivas estaciones operando así:

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Poligonación

∑ A = θ AR − LRA θ AB = ∑ A + LBA θ AB = θ AB ± 200 g ∑ B = θ AB − LAB θ CB = ∑ B + LCB θ CB = θ CB ± 200 g .... ......... ............. Tolerancia de cierre. Conocido el error de cierre de acimutal o angular de la poligonal y antes de proceder a su compensación, es necesario determinar si, por su cuantía, es admisible o no. Si el itinerario se ha observado con un instrumento cuyo error por cada dirección dada es de ea y dicha poligonal se compone de n estaciones, es claro que en cada estación se mide un ángulo formado por dos direcciones, al cabo de n medidas el error podrá alcanzar un valor de:

Ta ≤ e a

2

n = e a 2n

Este valor es el error máximo o tolerable que podrá admitirse en el error de cierre. Compensación del error de cierre angular. Una vez comprobado que el error de cierre de la poligonal entra en tolerancia, hay que compensar los acimutes obtenidos. Para realizar dicha compensación habrá que modificar los ángulos, de modo que se anule el error de cierre y se cumpla la geometría. La compensación se realiza repartiendo el error en partes iguales entre todos los ángulos. Ahora bien, una variación en el ángulo produce otra en el acimut de la dirección extrema de tal ángulo, de igual magnitud y sentido, y como el acimut recíproco de dicha dirección es el origen calculo del acimut del siguiente tramo, cuyo ángulo correspondiente deberá también ser modificado, resulta que en los sucesivos acimutes se van acumulando las correcciones que experimentan los ángulos. No siempre el error a corregir resulta múltiplo del número de estaciones. Teóricamente deberían modificarse los ángulos en el cociente que resultase de dividir el error por el número de estaciones, pero en la práctica no se introducen correcciones inferiores a la precisión del instrumento. Se descompone el error en partes enteras y múltiplo de la apreciación.

CONTROL DEL ERROR DE CIERRE:

determinación del error de cierre de la poligonal sin calculo de acimutes. Este método permite determinar el error de cierre de la poligonal con los datos de campo directamente. Estudiaremos en primer lugar el caso que los puntos inicial y final del itinerario sean visibles entre sí; es decir, que, a los efectos angulares, pueda considerarse cerrada la poligonal. A su vez, dentro de la hipótesis, pueden presentarse tres variantes, según la poligonal este a la derecha (fig. 1.), o a la M. Farjas

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izquierda (fig. 2.) de la línea que los unen sus extremos, o se cruce con ella (fig. 3). Si está todo el itinerario a la derecha de dicha línea, es evidente que los ángulos medidos serán lo interiores del polígono ABCDE (fig. 1.) y es sabido que la suma de tales ángulos vienen dada por la expresión:

Σα = 200 g ⋅ ( n − 2) Siendo n el número de vértices del polígono.

fig. 1 Cuando la poligonal cae al lado izquierdo de la línea AE (fig. 2.), los ángulos que se miden son los exteriores del polígono, y como en cada vértice, el exterior más el interior suman 400g, resulta que cada uno de los exteriores vendrá dado por la diferencia entre 400g y su interior correspondiente, por lo que la suma será:

400 − A + 400 − B + 400 − C + 400 − D + 400 − E = 200 ⋅ ( n − 2) n ⋅ 400 − 200 ⋅ ( n − 2) = A + B + C + D + E n ⋅ (400 − 200) + 400 = A + B + C + D + E 200 ⋅ ( n + 2) = A + B + C + D + E

fig. 2.

Σα = 200 g ⋅ ( n + 2)

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Poligonación

Consideramos el caso de que la poligonal se cruce una sola vez con la línea AE (fig. 3). En los tramos ABC se medirán los ángulos interiores, y en las estaciones D, E y F se medirán los ángulos exteriores. A partir de todo lo que hemos analizado anteriormente se deduce que la suma S’, de los ángulos de la primera parte, será:

fig. 3.

S' = ( n'+1 − 2) − x' designando por n’ el número de estaciones propias de la poligonal en este trozo, y teniendo en cuenta que el ángulo x’, que se forma en O, no pertenece al itinerario. Análogamente, la suma S”, de los ángulos exteriores de la segunda valdrá:

S" = ( n"+1 + 2) ⋅ 200 g − x" siendo n” las estaciones de la poligonal en este segundo trazo y x” el ángulo que también forma en O. La suma total S vendrá dado por la suma de las dos:

S = S'+S" = ( n'−1) ⋅ 200 g − x'+ ) n + 3) ⋅ 200 g − x" = ( n'+ n") ⋅ 200 g + 2 ⋅ 200 g − ( x'+ x") y puesto que:

n'+ n" = n x'+ x" = 400 g resulta finalmente:

Σα = n ⋅ 200 g Por lo tanto en los tres casos, o en cualquier otro pudiera estudiarse, la suma de ángulos interiores es siempre múltiplo de 200g, y el exceso o defecto sobre tal valor será el error de cierre angular de la misma. Dicha suma, S, puede obtenerse fácilmente observando que cada ángulo se deduce restando de la dirección adelante, o de frente, la dirección atrás, o de espalda y, por tanto, aquella suma vendrá dada restando de la suma de todas las lecturas de frente de las de todas de espalda; es decir: M. Farjas

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Poligonación

S = ∑ LF − ∑ LE

fig. 4. Generalizando el problema al caso en que los puntos extremos no son visibles entre sí (fig. 4.), supongamos se inicio la poligonal en A, visando una dirección AR cuyo acimut, θ A , es conocido, y que término en E visando la dirección ER’ de R

acimut θ E , también conocido. Para tener una figura cerrada angularmente bastara suponer prolongadas las direcciones AR y ER’ hasta su intersección en el punto O. La suma de los ángulos propios de la poligonal, más el que se ha formado en O, tendrá que ser un múltiplo de 200g, y como el ángulo en O tiene un valor: R'

O = θ AR − θ RE ' se tendrá:

S = ∑ L F − ∑ L E + (θ AR − θ RE ' ) = (θ AR + ∑ L F ) − (θ ER ' + ∑ L E ) Conclusión: El error de cierre acimutal vendrá dado por la diferencia que, sobre un múltiplo de 200g, se obtenga aplicando esta expresión.

B)

CÁLCULO DE LA LONGITUD DE LOS EJES DE LA POLIGONAL. Al observar la poligonal se han medido ángulos y distancias a los distintos vértices (anterior y posterior) de la estación. Tendremos dos distancias observadas para cada eje de la poligonal y con ellas se calcularán las distancias reducidas. Se realiza un promedio, siempre que su discrepancia sea menor que la tolerancia:

T = eD ⋅ 2 . B

A

D r A − Dr B ≤ e D ⋅ 2 M. Farjas

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C)

Poligonación

CÁLCULO DE COORDENADAS (X, Y). Tras obtener los acimutes compensados de los tramos y calcular las distancias reducidas promedio, se esta en disposición de calcular numéricamente la poligonal. Las coordenadas parciales mediante las siguientes expresiones:

x' BA = Dr A senθ AB B

y ' BA = Dr A cos θ AB B

Análogamente, las del segundo tramo vendrán dadas por:

x'CB = Dr B senθ BC C

y 'CB = Dr B cos θ BC C

Si se suman todas las sucesivas coordenadas parciales en la dirección de avance E

E

de la poligonal, se obtienen las coordenadas parciales, x A e y A de la ultima estación E respecto de la primera A. Debido a los errores que afectan a las coordenadas parciales. Los valores calculados no resultan iguales a los conocidos a través de los datos previos:

x AE = X E − X A y AE = Y E − YA La diferencia que aparezca entre dichas dos parejas de valores serán los errores de cierre de la poligonal:

e x = x AE − ( x AE ) DATO e y = y AE − ( y AE ) DATO

D)

TOLERANCIA DE LOS ERRORES EN X E Y (eX , eY). Para determinar si una poligonal entra o no en tolerancia se calcula la componente cuadrática de los errores de cierre en x, e y. Este valor ha de ser menor o igual que el error longitudinal o que el error transversal (el valor de constraste –error máximo- es el que resulte mayor de estos dos).

e = e x2 + e y2 ≤ E T o E L Si se conoce la precisión de las coordenadas de los vértices inicial y final, podrá considerar como tolerancia: 2 2 e xyB ,C = e xy2 A + e Poligonaci ón + e xy D

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Poligonación

Siendo el error de poligonación el error longitudinal o el transversal, el mayor de los dos. E)

COMPENSACIÓN DE LAS COORDENADAS Los métodos de compensación clásicos se pueden agrupar en la distribución del error de cierre siguiendo criterios geométricos de fácil aplicación: método de Sanguet (aplicación de giro y homotecia) o el método tradicional. En la actualidad se utilizan ajustes mínimo cuadráticos, que se basan en la aplicación de criterios estadísticos para la determinación final de las coordenadas y la estimación de otra serie de parámetros adicionales. Existen dos formas diferentes de aplicar este método: -

Método de observaciones indirectas o de variación de coordenadas. Método de ecuaciones de condición.

Las ventajas que aportan estos métodos son: -

Producen una solución estadísticamente más probable de todas las posibles. Ofrecen una estimación estadística de la precisión de dicha solución. Permite la validación de la estimación de errores a priori.

Esta metodología, a diferencia de los métodos expeditos de compensación, produce una solución estadísticamente correcta y permite un exhaustivo control del trabajo en su conjunto. Este último punto es de gran importancia, ya que además de obtener las coordenadas finales debemos ser capaces de valorar la precisión con las que están han sido obtenidas. MÉTODO TRADICIONAL DE COMPENSACIÓN. Para la compensación de las coordenadas hay que distinguir dos casos: 1.- Si la incertidumbre longitudinal es más pequeña o igual a la transversal.

EL ≤ ET

e x2 + e y2 ≤ ET En este caso se procederá a efectuar una compensación proporcional a las distancias. Este es el denominado método de Bowditch. 2

− ex 2 D1 ΣD − ey 2 = D1 ΣD

C X1 = 2

CY1

2.- Si la incertidumbre longitudinal es mayor que la transversal.

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Poligonación

EL > ET

e x2 + e y2 ≤ E L Para este caso se realizarán las compensaciones proporcionalmente a las coordenadas parciales. 2

C X1 = 2

CY1 =

-

− eX ∆x 12 Σ ∆x − eY ∆y 12 Σ ∆y

OTROS CRITERIOS DE COMPENSACIÓN.

Método de Sanguet Sólo puede aplicarse en poligonales rectilíneas. En vez de compensar el acimut y luego las distancias, el método de Sanguet compensa la poligonal de forma conjunta, calculando el giro y la homotecia que obligan a cumplir la coincidencia del punto inicial y final. Consiste en aplicar un giro a la poligonal hasta conseguir que el punto erróneo E´ se situé sobre la recta AE, que une la situación correcta. El punto E´ pasa a ocupar la posición E´´. La poligonal resultante será A, B´´, C´´, D´´, E´´. Para que E´´ coincida con E, se modifican las longitudes de los tramos proporcionalmente, sin que varíen los ángulos, con centro de homotecia A. Las coordenadas parciales corregidas de cada tramo vendrán dada por:

xCompensada = x + e y + λ x y Compensada = y − e x + λ y Siendo:

e=−

λ=−

e x Σy − e y Σx

(Σx )2 + (Σy )2

e x Σx + e y Σy

(Σx )2 + (Σy )2

Donde x representa la coordenada parcial (eje de abscisas) de un tramo genérico:

x = x AB = X B - X A

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Poligonación

E y la coordenada parcial de un tramo genérico en el eje de las ordenadas. El método de compensación de Sanguet permite obtener directamente coordenadas parciales compensadas. Un estudio más detallado del método puede realizarse en el libro Métodos Topográficos y Oficina Técnica, mencionado anteriormente. F)

CALCULO DE COORDENADAS GENERALES. Obtenidas las coordenadas parciales compensadas de los tramos de la poligonal, se calculan las generales o absolutas de sus estaciones mediante la suma sucesiva de los incrementos de coordenadas compensadas.

X B = X A + x AB YB = YA + y AB G)

ANÁLISIS DE LA PRECISIÓN OBTENIDA. La precisión de los puntos de la poligonal vendrá dada por la componente cuadrática de las variables que intervienen: puntos con coordenadas conocidas previamente y método utilizado.

H)

COMPENSACIÓN Y OBTENCIÓN DE COORDENADAS AJUSTADAS Y PRECISIONES POR MMCC Este es el método por el que se resuelven actualmente los cálculos en Topografía, y por el que deben resolverse también las poligonales. Tras lo cálculos anteriores contamos con coordenadas aproximadas de los puntos problema, puntos de nueva implantación de los que se desea obtener las coordenadas. Recuperamos todas las observaciones de la figura. Supongamos el gráfico de visuales de nuestro ejemplo:

H

L

A

C B

D

M K

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Poligonación

Con todas ellas se procede a calcular las ecuaciones de observación angulares y de distancia, según el modelo planteado en la asignatura Ajuste de Observaciones y que estudiaremos más adelante. Las incógnitas serán la variación de coordenadas de los vértices B y C, a partir de las aproximadas obtenidas por el método de poligonación tradicional. Resuelto el sistema se habrán obtenido las coordenadas definitivas y la precisión de las mismas a partir de la matriz varianza-covarianza.

4.

LOCALIZACIÓN DE FALTAS O EQUIVOCACIONES.

En la observación de los itinerarios se pueden cometer, algunas veces, equivocaciones o faltas. Estas equivocaciones pueden ser: a)

Se comete un error en la medida de ángulos.

b)

Cuando la poligonal tiene un error de cierre acimutal tolerable y no obstante ello presenta un error de cierre en X o Y en el ajuste final de las coordenadas.

c)

Cuando al calcular las coordenadas cambiamos de signo una coordenada parcial.

d)

Cuando sin darnos cuenta intercambiamos las coordenadas de un punto.

Procedemos a analizar estos posibles problemas, con el objetivo de estudiar el comportamiento general de los itinerarios y poder analizar e interpretar resultados finales no coherentes.

a)

Se comete una falta en la medida de un ángulo. La consecuencia será que al calcular los acimutes aparecerá un error de cierre grande e inadmisible. Supongamos el itinerario ABCDE, en cuya estación C se ha cometido una equivocación e por exceso. Para localizarla gráficamente se opera del siguiente modo. Partiendo del acimut de AR se calculan los tramos en el sentido de A hacia E, y el error de cierre acimutal que aparezca no se compensa. Con tales acimutes se desarrolla la poligonal comenzando en el punto A, y como los tramos AB, BC son correctos, y erróneos los que siguen a la estación C, el trazado que se obtiene será el ABCD’E’. A continuación se calculan nuevamente los acimutes de los

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Poligonación

tramos partiendo ahora de la dirección ER’ y en sentido contrario al anterior, con lo que aparecerá un error de cierre de igual valor al anterior y de signo contrario, que tampoco compensamos. Si con estos acimutes se dibuja en itinerario empezando en E, con los tramos DE y DC no tiene error, pero los siguientes, el trazado será ahora EDCB’A’, que se cruza justamente con el anterior en el punto C donde se produjo el error. Esto se puede hacer también con la corrida de coordenadas mediante las distancias y los acimutes sin compensar obtendremos dos corridas de coordenadas de AE y de EA el punto donde las coordenadas absolutas coincidan o sean muy parecidas entonces ese será el punto donde se habrá producido el error. b)

Cuando la poligonal tiene un error de cierre acimutal correcto y no obstante ello presenta un error de ajuste final grande en coordenadas. Cabe pensar en la equivocación en la medida de la distancia de un tramo.

Sea la poligonal ABCDE en la que al medir sus tramos BC se produce una equivocación, anotando para su longitud el valor BC’. Si solo ha sido esta falta cometida y se desarrolla gráficamente la poligonal, se obtendrá el trazado ABC’D’E’, desplazado paralelamente, respecto del correcto, la magnitud:

CC' = DD' = EE' Luego el error de cierre, EE’, indica la dirección del tramo en que se produjo la referida equivocación y el valor de la misma. En efecto, si se calcula el itinerario aparecerán unos errores de cierre, eX , eY, inadmisibles y el acimut y longitud de EE’ vendrán dados por las expresiones:

tanθ EE ' =

eX eY

El tramo que tenga dicho acimut o a su reciproco entonces será aquel que tenga su longitud equivocada. por exceso o por defecto. c)

Cuando al calcular las coordenadas cambiamos de signo una coordenada parcial Supongamos por ejemplo que en una ordenada parcial de valor -20.32 m se convierte por error en 20.32 m. Es evidente que no solo se han dejado de restar 20.32 sino que se le han sumado 20.32 m, luego el error producido es doble a la coordenada que será +40.64 m. la consecuencia es que sí, como se ha supuesto, un itinerario cierra bien en abscisas pero en ordenadas no, cabe la posibilidad de que una determinada ordenada parcial tenga, por equivocación, el signo cambiado y será aquella que sea de valor mitad e igual signo que el error que se manifiesta.

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Poligonación

Cuando sea inadmisible el error en abscisas y tolerable en ordenadas, es que se ha producido un cambio de signo en abscisas. d)

Cuando sin darnos cuenta intercambiamos las coordenadas de un punto. Sean por ejemplo +40.15 m y -23.62 m dichas coordenadas correctas que por error se cambian. Entonces en la x se han dejado se sumar 40.15 m y se han sumado -23.62 m, por lo que el total se ha introducido un error de -63.77 m; igual en magnitud y signo a la diferencia de las coordenadas permutadas. Análogo efecto, pero con signo contrario, se produce en la Y, en las que el error será de 63.77 m, ya que se les deja de restar 23.62 m y se les suma 40.15 m. Luego procediendo a la inversa, si en una poligonal se presentan los errores de cierre no tolerables en abscisas y ordenadas y dichos errores son iguales y de signo contrario, cabe la posibilidad de haber cambiado las coordenadas de un tramo y será precisamente aquel en el que la diferencia x − y sea igual al error de cierre en x, y e el de las y sea igual a la diferencia y − x .

5.

CÁLCULO DE POLIGONALES EN COORDENADAS UTM En poligonación se han observado ángulos y distancias. Con ellos y en primer lugar, calcularemos la altimetría (H), aplicando el procedimiento general de la nivelación trigonométrica compuesta. Por diferencias de lecturas acimutales de frente menos espalda, podremos obtener los ángulos de la poligonal. Con ellos calcularemos las orientaciones de los ejes. El cálculo de la longitud de los tramos de la poligonal, obliga a reducir las distancias observadas a la proyección UTM. Para ello tendremos que obtener en primer lugar el valor de la distancia geométrica en cada una de las observaciones, para posteriormente hacer el promedio de las distancias directa y recíproca, (si fueran tolerables). Supongamos que se ha realizado la medida de la distancia existente entre los puntos 1 y 2, con un distanciómetro, denominemos DOBSERVADA = D. La reducción al horizonte puede realizarse con la siguiente expresión:

B

DG A =

[(m

( )

− i A ) + D AB 2

B

2

− 2 (m B − i A ) D AB cos V AB

]

De este modo se elimina la influencia en la observación, de la altura de aparato y de la altura de la señal a la que se ha realizado la puntería con el Distanciómetro. Hay que tener cuidado si la visual es ascendente o descendente, con respecto al ángulo que hay que introducir. Cuando la diferencia entre la distancia directa y recíproca sea tolerable: A

B

DG A − DG B = ∆D ≤ T se realizará el promedio de ambas, B

B

A

D G A = ( DG A + DG B ) / 2

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Poligonación

y ésta es la distancia que se reduce a la proyección. La reducción a la proyección se lleva a cabo aplicando: 2

DUTM = K

D G − ∆h 2 h  h   1 + 1 1 + 2  R  R 

Donde h1 y h2, son las altitudes de los puntos 1 y 2 respectivamente, y ∆h es la diferencia entre ambas. R representa al radio de la Tierra, del que tomaremos un valor de 6370 km. Conocidas las coordenadas U.T.M. del vértice inicial y habiendo calculado la orientación del eje de frente y tras reducir las distancias a la proyección U.T.M., el cálculo de las coordenadas de todos los vértices no difiere del que hemos planteado en el apartado general de cálculo de poligonales. El procedimiento consistirá en calcular las coordenadas parciales, determinar los cierres en coordenadas, la tolerancia y posteriormente proceder a la compensación aplicando el método que corresponda de modo análogo al explicado en el apartado anterior.

6.

OTROS MÉTODOS EN POLIGONACIÓN -

-

Itinerarios concurrentes en un punto: punto nodal. Puntos destacados de una poligonal. Puntos en alineación.

CALCULO DE ITINERARIOS CONCURRENTES EN UN PUNTO

En ocasiones se presenta el caso de una serie de poligonales que terminan en un punto común P desconocido. Este punto recibe el nombre de Punto Nodal. Esta situación es frecuente en la elaboración de planos de población, levantamientos de cartografía urbana. Las normas básicas de diseño son: -

o

Las poligonales no se cruzan por las visuales. La longitud de los tramos ha de ser homogénea. Si esto no fuera posible se configuran dos órdenes diferentes de poligonación: una poligonal principal de eje largo, una poligonal secundaria de eje corto apoyada en la principal.

l Es evidente que el cálculo podrá realizarse comenzando por ejemplo, por el del itinerario AEFPNMD, con lo que se obtendrá las coordenadas compensadas de P. Posteriormente se calcularían las poligonales que partiendo de B y C acaban en P. Sin embargo, puede considerarse a P como un nudo o punto M. Farjas

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Poligonación nodal y obtener para el mismo unas coordenadas como resultado de la conjunción de los itinerarios que terminan en él

Su cálculo implica varias consideraciones, ya que en ocasiones no existe ninguna razón para atribuir a uno de los itinerarios más precisión que a los otros. Las operaciones que tendremos que realizar para el cálculo del punto nodal serán las siguientes y por este orden: a) b) c) d) e) f)

Elección de la referencia o lado (puede ser uno de los que concurren en el punto nodal) sobre el que vamos a realizar el punto nodal. Corrida de acimutes en cada uno de los itinerarios, originándose un acimut de cierre por cada itinerario. Calcular la media ponderada de los acimutes obtenidos anteriormente para el lado de cierre o referencia, siendo los pesos inversamente proporcionales al número de ángulos medidos en cada poligonal. Compensar acimutalmente los itinerarios sobre el valor obtenido anteriormente para el lado de cierre o referencia. Calcular las coordenadas del punto nodal en cada itinerario. Calcular la media ponderada de las abscisas y ordenadas del punto nodal, siendo los pesos inversamente proporcionales a la longitud de los itinerarios o al número de vértices según los casos.

Para el cálculo del punto nodal actuaremos cerrando acimutalmente los itinerarios, para lo cual visaremos desde el punto nodal una referencia ó uno de los lados que concurren en el punto nodal. Tomaremos la media ponderada de los acimutes obtenidos de la referencia ó lado común, siendo los pesos inversamente proporcionales al número de ángulos medidos en cada poligonal. Recordamos que la media ponderada de varias magnitudes es la suma de los productos de estas magnitudes por sus pesos respectivos, dividida por la suma de los pesos. A continuación y una vez compensados los acimutes sobre la referencia, calcularemos las coordenadas del punto nodal, desde cada uno de los itinerarios, hallando su media ponderada, siendo los pesos inversamente proporcionales a la longitud de los itinerarios, que es lo más frecuente, pero en el caso de que la longitud de los lados fuese corta y por tanto podemos suponer que predominan los errores angulares, en este caso se tomarán los pesos inversamente proporcionales al número de estaciones. Este método conlleva que cada vez que se llegue a P, como final de una poligonal, se visa a una referencia R, por lo que realizando la corrida acimutal a través de cada uno de los itinerarios, se tendrán para la dirección PR tantos acimutes ligeramente distintos cuantas sean las poligonales que concurren en P. En principio cabría pensar tomar como valor definido del acimut θ P el promedio obtenido, pero esto no sería lo correcto ya que todas las poligonales no tienen el mismo número de estaciones, por R'

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Poligonación

lo que habrá que tomar pesos de los distintos valores que tengan, no serán iguales. En consecuencia, debe calcularse la media ponderada de los acimutes obtenidos. Designemos por θ' P , θ" P .... a tales acimutes. Si se admite que todas las observaciones han sido efectuadas en análogas condiciones y con el mismo R'

R'

instrumento, el error que afectará a dichos valores será proporcional a n , siendo n número de estaciones que componen cada una de las poligonales, y como es sabido que los pesos son inversamente proporcionales a los cuadrados de los errores, resultará que la media ponderada tendrá el valor de:

θ RP ' =

θ' RP

1 1 + θ'' RP +... n' n'' 1 1 + +.... n' n''

en la que n’, n’’ ... serán los respectivos números de estaciones. la diferencia entre los de llegada y la ponderada será el error de cierre.

e' = θ' RP −θ RP e'' = θ'' RP −θ RP Algo análogo sucede con las coordenadas, pues se pueden obtener para P tantas parejas de valores ligeramente distintos como poligonales concurren en él, y de los que pueden calcularse unas medias ponderadas. Sabido es que los errores en coordenadas no son exactamente proporcionales a n ; no obstante para una mayor sencillez en el cálculo se tomaran pesos proporcionales al número de tramos, así pues:

XP =

X' P

1 1 + X' P +.... n' n" 1 1 + +.... n' n''

YP =

Y' P

1 1 + Y' P +.... n' n" 1 1 + +.... n' n''

Expresiones en las que n’ , n’’, ... representan aquí el número de tramos de cada poligonal. Los errores de cierre en las coordenadas que habrán de compensarse vienen dadas por las expresiones:

-

e' X = X' P − X P

e' Y = Y' P − YP

e' ' X = X' ' P − X P

e' ' Y = Y' ' P − YP

MÉTODOS COMPLEMENTARIOS. El método de poligonación nos permite implantar vértices de coordenadas conocidas a lo largo de la zona de trabajo.

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Poligonación

En algunas ocasiones no habremos conseguido cubrir toda el área del trabajo, o o puede suceder que las necesidades impuestas requieran de otros puntos dentro de la red básica. En éstos casos podremos recurrir a densificar la red de poligonación aplicando el método de implantación de destacados, o incorporando puntos intermedios en los tramos, puntos que se denominan puntos en alineación. Los puntos destacados son aquellos que se radian desde la poligonal principal. Para que puedan ser considerados como tales, se han de radiar un mínimo de dos veces desde dos vértices diferentes de la poligonal. Los puntos destacados pasarán a formar parte de la estructura del trabajo, anexos a los puntos de la poligonal y han de estar comprobados. Por otra parte al realizar una radiación doble, se consigue mejorar la precisión final de las coordenadas con respecto a las que obtendríamos con una sola radiación. La radiación desde puntos de la poligonal se límita a distancias del orden de 2/3 la longitud media de los tramos que la componen. No puede radiarse un punto a 500 metros desde una poligonal de tramos medios de 200 metros, por ejemplo. Los puntos destacados nos permiten cubrir zonas concretas, instalar en ellas un punto de coordenadas conocidas, sin obligar a toda la poligonal a pasar por ella, y no aumentando el número de ejes que la componen. Otro método que debemos recordar es el método de implantación de puntos en alineación. Éste es interesante en planos de población. Podemos encontrarnos con una poligonal de eje 200 metros, pero que a una distancia de por ejemplo 50 metros de uno de los vértices necesitamos un punto B, de salida para una calle transversal. Éste método permite, sin pérdida de precisión en el punto a 50 metros, no obligar a introducir un eje, de longitud menor, en toda la poligonal general. El método recurre a calcular toda la poligonal sin considerar el punto B. Una vez compensada la poligonal principal, se calculan cuáles serán las coordenadas de proyecto del punto B, y éste se replantea en campo. Éstos dos métodos descritos permiten densificar puntos en la red de poligonación, en un nivel inferior pero manteniendo un orden de precisión semejante. Esta idea de densificación se está produciendo también en lo que respecta al número de observaciones de campo. En la actualidad nos encontramos con que la aplicación del método de poligonación con observaciones básicas es muy reducida. En campo se recurre a obtener todas las observaciones posibles entre los vértices de la poligonal, lo que permite una mayor comprobación y precisión de los resultados. Esto ocasiona que el método de cálculo tradicional se aplique en pocas ocasiones, quedando relegado en la práctica al cálculo de las coordenadas aproximadas de los puntos que constituyen la poligonal, para luego obtener las coordenadas definitivas con un ajuste mínimo cuadrático, utilizando en cálculo toda la redundancia, de observaciones obtenidas en campo. La poligonal tradicional resulta al seleccionar visuales de campo de entre todas las obtenidas. Las coordenadas finales de ésta poligonal se introducen como coordenadas aproximadas, y se realiza un ajuste en bloque de todas las observaciones originales de campo. Ésta es la línea conceptual en la que debemos entender el método de poligonación, y en cualquier caso recomendamos efectuar el cálculo de la M. Farjas

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Tema 6

Poligonación

poligonal, en la vida profesional, a través de cálculos con ajustes mínimo cuadráticos.

7.

BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA. El método de poligonación es el método clásico de la Topografía, esto da origen a la existencia de multitud de textos en los que se trata el tema. Además de los recomendados como bibliografía general en la asignatura, podemos mencionar los siguientes: •

CARPIO HERNÁNDEZ, Juan Pedro (2002): Compensación de una poligonal por mínimos cuadrados. Topografía y Cartografía, Volumen XIX Número 108, Enero-Febrero 2002. Colegio Oficial de Ingenieros Técnicos en Topografía, Madrid.

•

BANNISTER, A; RAYMONF, S. (1984).

•

BARBIER, M.E. (1960).

•

BEZOARI, G.; MONTI, C. y SELVINI, A. (1984).

•

BRINKER, Russell C.; MINNICK, Roy (1987).

•

CHUECA PAZOS, M. (1983): Tomo I.

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31

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(∆ x CP )UTM = ( DCP )UTM ⋅ senOCP (∆ y CP )UTM = ( DCP )UTM ⋅ cos OCP ( X P )UTM = ( X C )UTM + (∆ x CP )UTM (YP )UTM = (YC )UTM + (∆ y CP )UTM %

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P2 B =

AB ⋅ sen A sen 4

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AB BC = senα 1 ⋅ senα 2 ⋅ senα 3 senC senA ⋅ senβ 1 ⋅ senβ 2 ⋅ senβ 3 senA BC ⋅ senα 1 ⋅ senα 2 ⋅ senα 3 = =M senC AB ⋅ senβ1 ⋅ senβ 2 ⋅ senβ 3 +

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A + C = (n − 2) ⋅ 200 − (α 1 + α 2 + α 3 + β 1 + β 2 + β 3 + B) A+C = N sen A =M sen C A+C = N

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(sen N ⋅ cos A − cos N ⋅ sen A) ⋅ M = sen A tgA =

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D BP1 = D AB

sen A senα 1

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D BP3 = D CB

D CP3 = D CB

sen C sen β 3

sen(200 − C − β 3 ) sen β 3

θ BP3 = θ CB + (200 − C − β 3 ) θ CP3 = θ CB − C

D BP2 = D BP1

sen β 1 sen α 2

D BP2 = D BP3

sen α 3 sen β 2

θ BP 2 = θ BC + (200 − C − β 3 ) + (200 − α 3 − β 2 ) ( 5 !

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Tema 8

Intersección Múltiple

Tema 8:Método de Intersección Múltiple

M. Farjas

1

Tema 8

Intersección Múltiple

ÍNDICE

1.

DESCRIPCIÓN GENERAL. 1.1

Método general de observación.

1.2

Clasificación de las intersecciones múltiples. .

Según puntos de estación. -

.

Según tipo de observación . .

2.

Directa. Inversa. Mixta.

Angular. Angular más distancias.

1.3

Obtención de la solución final como media aritmética o ponderada de las intersecciones simples posibles.

1.4

Metodología general de cálculo por mínimos cuadrados. A)

Las medidas topográficas y el modelo matemático.

B)

Introducción a los ajustes de las medidas topográficas por mmcc.

C)

Modelos de relaciones de observación en las medidas topográficas.

D)

Método de ajuste mmcc.

E)

Matriz de pesos.

F)

Precisión de las coordenadas ajustadas.

LA INTERSECCIÓN ANGULAR MULTIPLE. 2.1

Introducción.

2.2

Expresión de la relación de observación por dirección angular observada.

2.3

Resolución del método de intersección directa múltiple por mínimos cuadrados.

M. Farjas

.

Coordenadas aproximadas del punto a determinar.

.

Planteamiento de las relaciones de observación.

2

Tema 8

Intersección Múltiple

. 2.4

2.5

2.6

3.

Resolución.

Resolución del método de intersección inversa múltiple por mínimos cuadrados . .

Coordenadas aproximadas del punto a determinar.

.

Planteamiento de las relaciones de observación.

.

Resolución.

Resolución del método de intersección mixta múltiple por mínimos cuadrados . .

Coordenadas aproximadas del punto a determinar.

.

Planteamiento de las relaciones de observación.

.

Resolución.

Resolución de la intersección angular múltiple con más de un punto a determinar, por mínimos cuadrados. .

Coordenadas aproximadas de los puntos a determinar.

.

Planteamiento de las relaciones de observación.

.

Resolución.

LA INTERSECCIÓN MÚLTIPLE CON ANGULOS Y CON DISTANCIAS. 3.1

Introducción.

3.2

Expresión de la relación de observación por dirección angular observada.

3.3

Expresión de la relación de observación por distancia observada.

3.4

Metodología general de cálculo por mínimos cuadrados.

M. Farjas

.

Coordenadas aproximadas del punto a determinar.

.

Planteamiento de las relaciones de observación. Observaciones angulares. Observaciones de distancia.

.

Asignación de pesos.

.

Resolución del sistema de ecuaciones por mínimos cuadrados. Relaciones normales. Solución al sistema de ecuaciones de observación.

.

Coordenadas ajustadas del punto a determinar.

3

Tema 8

Intersección Múltiple

. 4.

5.

Precisión de las coordenadas ajustadas.

RESOLUCIÓN DE LA ALTIMETRÍA. 4.1

Introducción.

4.2

Expresión de la relación de observación por desnivel.

4.3

Metodología general de cálculo por mínimos cuadrados. .

Altitudes aproximadas de los punto a determinar.

.

Planteamiento de las relaciones de observación.

.

Asignación de pesos.

.

Resolución del sistema de ecuaciones por mínimos cuadrados. Relaciones normales. Solución al sistema de ecuaciones de observación.

.

Altitud ajustada de los puntos a determinar.

.

Precisión de las altitudes ajustadas.

BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA.

M. Farjas

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Tema 8

Intersección Múltiple

1. DESCRIPCIÓN GENERAL 1.1

Método general de observación.

1.2

Clasificación de las intersecciones múltiples. .

Según puntos de estación. -

.

Según tipo de observación . .

1.1

Directa. Inversa. Mixta.

Angular. Angular más distancias.

1.3

Obtención de la solución final como media aritmética o ponderada de las intersecciones simples posibles.

1.4

Metodología general de cálculo por mínimos cuadrados. A)

Las medidas topográficas y el modelo matemático.

B)

Introducción a los ajustes de las medidas topográficas por mmcc.

C)

Modelos de relaciones de observación en las medidas topográficas.

E)

Método de ajuste mmcc.

E)

Matriz de pesos.

G)

Precisión de las coordenadas ajustadas.

MÉTODO GENERAL DE OBSERVACIÓN El método de observación en la intersección múltiple es el mismo que el que estudiamos en la intersección simple: método de vueltas de horizonte. Este método tenemos que relacionarlo siempre con la observación angular múltiple, ya que nunca se realiza una observación para resolver un método simple. No olvidemos que todas las observaciones de campo han de ser siempre redundantes. Recordemos que el método de vueltas de horizonte consiste en estacionar el instrumento en el vértice, por ejemplo en A y en posición C.D. visar a todas las direcciones, volver a mirar a la visual de origen, y comprobar si su lectura, llamada de cierre, es la misma que al comienzo, lo que probara que el instrumento no ha sufrido ningún tipo de movimiento durante la observación. Se procede a situar el equipo en posición C.I. y se repiten las observaciones girando en sentido contrario al anterior y comprobando igualmente el cierre. Si es correcto se dice que se ha observado una serie o vuelta de horizonte en caso contrario se ha de repetir todo desde el principio.

M. Farjas

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Tema 8

Intersección Múltiple

No debemos olvidar tampoco el método de pares sobre una referencia. Consiste en elegir una dirección de referencia R, que este bien definida, y que puede ser o no alguna de las direcciones a observar. Se hacen las lecturas correspondientes sobre R y B como si se tratase de una vuelta de horizonte compuesta nada más que por dicho par de direcciones. A continuación se visan de igual modo a R y C, que constituirán el segundo par, y así, sucesivamente hasta haber combinado con R todas las direcciones. Como la observación de cada par se hace en muy poco tiempo se evitan posibles movimientos del equipo. Si el numero de direcciones es grande, se tarda bastante en la observación de las direcciones por pares a una referencia, por lo que para abreviar se pueden utilizar el método mixto que consiste en dividir las direcciones totales en varias de tal manera que se vise a la referencia y a unas direcciones y luego se vuelta a visar a la referencia y al resto de las direcciones. Para refundir las vueltas de horizonte en una sola se disponen de distintas lecturas a la referencia R en cada una de ellas.

1.2

CLASIFICACIÓN DE LAS INTERSECCIONES MÚLTIPLES.

A)

.

Según puntos de estación. Directa. Inversa. Mixta.

.

Según tipo de observación . Angular. . Angular más distancias.

SEGÚN EL PUNTO DE ESTACIÓN Las intersecciones podemos clasificarlas atendiendo a dos criterios. El primero de ellos distingue si el punto de estación, desde el que se obtienen las observaciones es o no conocido de antemano. El análisis de esta

M. Farjas

6

Tema 8

Intersección Múltiple situación en las intersecciones simples nos permitía distinguir entre intersecciones directas (punto de estación de coordenadas ya conocidas), inversas (punto de estación cuyas coordenadas se desean determinar) y mixtas (se ha estacionado tanto en puntos de coordenadas ya conocidas como en aquel cuyas coordenadas se desea determinar). Esta misma clasificación se mantiene en las intersecciones múltiples. Es muy importante recordar la gran característica que extraíamos del análisis de las intersecciones directas. En una intersección directa siempre conocemos el acimut (u orientación si estamos en proyección UTM) al punto desconocido. Realizando cálculos básicos, el acimut pasa a ser un dato “casi” de campo. Basta con determinar la desorientación en el punto de estación a partir de las visuales de orientación a otros puntos conocidos. En inversa, sin embargo, al estar estacionados en un punto no conocido, el acimut a cualquier otro punto es una incógnita hasta que se haya realizado el cálculo completo, y se hayan obtenido las coordenadas del punto problema.

B)

SEGÚN EL TIPO DE OBSERVACIÓN El segundo criterio nos permite diferenciar en las intersecciones aquellas en las que se dispone solo de observaciones angulares, y aquellas en las que además se han realizado mediciones de distancias. La facilidad con la que se realiza la medida de distancias con los actuales equipos, ha hecho que este segundo caso sea el más usual en Topografía. Cuando lo estudiéis dadle toda la importancia que tiene. Las intersecciones mixtas con observaciones angulares y de distancias son en la actualidad el método líder de nuestra especialidad.

1.3

OBTENCIÓN DE LA SOLUCIÓN FINAL COMO MEDIA ARITMÉTICA O PONDERADA DE LAS INTERSECCIONES SIMPLES POSIBLES. La resolución de las intersecciones múltiples podría hacerse descomponiendo el problema en todas las intersecciones simples que lo componen, pero el método general que se aplica en su resolución es el método de ajuste por mínimos cuadrados. Durante todo el curso os hemos ido recordando reiteradamente la necesidad de tener comprobación de los resultados y redundancia en las observaciones. Esta superabundancia de datos puede analizarse y resolverse fácilmente mediante el método de MMCC.

1.4

METODOLOGÍA GENERAL DE CÁLCULO POR MÍNIMOS CUADRADOS.

M. Farjas

A)

Las medidas topográficas y el modelo matemático.

B)

Introducción a los ajustes de las medidas topográficas por mmcc.

C)

Modelos de relaciones de observación en las medidas topográficas.

D)

Método de ajuste mmcc.

E)

Matriz de pesos.

7

Tema 8

Intersección Múltiple

F)

A)

Precisión de las coordenadas ajustadas.

MEDIDAS TOPOGRÁFICAS Y MODELO MATEMÁTICO. En topografía nos encontramos con tres tipos de observaciones: - direcciones angulares, - distancias, - desniveles. El problema en los métodos topográficos derivaba de la necesidad de redundancia de datos de campo, y de la posibilidad de obtener observaciones topográficas con los nuevos equipos de medida, al incorporar la distanciometría a los teodolitos. Los avances en la tecnología de medida fueron demandando nuevos sistemas de cálculo. Se trata de un proceso simultáneo: necesidad de redundancia en las observaciones, equipos que las hacen cada vez más posibles en aplicaciones topográficas, avances informáticos que permiten su cálculo. Para resolver esta situación, es suficiente con: -

a partir de los datos de campo, crear un sistema de ecuaciones, dejar que la metodología de ajuste mmcc nos dé una solución única.

Los datos de campo se han de encontrar representados de forma única en los sistemas de ecuaciones, y las incógnitas de las ecuaciones nos han de conducir a las coordenadas de los puntos que queremos determinar. Analicemos estos tres aspectos. Respecto a los datos de campo. A cada tipo de observación le deberá corresponder un tipo de ecuación. Si hay tres modelos de datos de campo habrá tres modelos de ecuación. Deberá ser posible hablar de: - Ecuación para direcciones angulares. - Ecuación para distancias. - Ecuación para desniveles. Al decir que los datos de campo se encuentren representados de forma única, lo que estamos exigiendo en la Modelización, es que métodos de campo redundantes, dén lugar a sistemas de ecuaciones redundantes, y que métodos de campo simples, dén lugar a sistemas de ecuaciones simples. Analizando ecuaciones, analizo métodos y resolviendo ecuaciones resuelvo métodos. Respecto a los sistemas de ecuaciones -

M. Farjas

deberán relacionar las observaciones de campo con las incógnitas. En cada ecuación aparecerá la observación de campo (convenientemente tratada) y como incógnitas, parámetros que nos lleven a obtener la solución a nuestro problema, es decir a determinar las coordenadas del punto o puntos desconocidos. 8

Tema 8

Intersección Múltiple

-

Se resolverán matemáticamente. En este sentido si el sistema es lineal y determinado (igual número de ecuaciones que de incógnitas) tendrá una solución única, es decir estaremos en un método topográfico simple. Y si el sistema es lineal y no determinado (sobredeterminado: mayor número de ecuaciones que de incógnitas) la solución no es única y puede estimarse el valor más probable aplicando la herramienta de cálculo denominada mmcc.

Nos queda buscar la forma de esas ecuaciones, cómo son exactamente. En el caso en que me encuentre con que la ecuación que relaciona el dato de campo con las incógnitas no es lineal, ¿qué hacemos?, ¿nos quedamos sin la potencia de resolución de sistemas de ecuaciones que nos proporciona el cálculo por mmcc?. No, como mmcc no resuelve sistemas no lineales, lo que sí podremos hacer es linealizar la ecuación correspondiente. Para linealizar una ecuación se aplica el método de Taylor. Este método se denomina también método de aproximaciones sucesivas. Y debido a ello, no debemos olvidarnos que cuando el sistema de ecuaciones lineales al que se aplica mmcc procede de una linealización, la resolución final se realiza por aproximaciones sucesivas, el método es iterativo. Se resuelve el sistema aplicando mínimos cuadrados, pero la solución permite re-entradas en el cálculo. Se procederá a la resolución iterativa del sistema a partir de unos valores iniciales de las incognitas que deberán ser estimados de algún modo. En este caso nos encontramos con una terminología en mmcc, similar a la siguiente: ƒ

Parámetros aproximados que se introducen en el primer cálculo: XA0 , YA0 , HA0

ƒ

Parámetros aproximados que se introducen en el segundo cálculo, en la primera iteración: XA1 , YA1 , HA1

ƒ

Parámetros aproximados que se introducen en el tercer cálculo, en la segunda iteración: XA2 , YA2 , HA2

ƒ

Y así sucesivamente.

El método de mmcc es el que és. Se trata de una herramienta de cálculo que resuelve sistemas lineales redundantes, sistemas con más ecuaciones que incógnitas. Recuperando nuestra ubicación en las metodologías topográficas, nos planteamos que para resolver las intersecciones múltiples vamos a recurrir a un método en el que: -

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a partir de los datos de campo, creamos un sistema de ecuaciones, que resolveremos por ajuste mmcc,

9

Tema 8

Intersección Múltiple -

B)

para obtener una única solución.

INTRODUCCION A LOS AJUSTES DE LAS MEDIDAS TOPOGRAFICAS POR MMCC. Los ajustes mínimo cuadráticos en Topografía están muy bien tratados, en el capítulo 14 “Survey Measurement Adjustments by Least Squares” de Raul R. Wolf, del libro The Surveying Handbook de Russell Brinker y Ray Minnick, que se ha indicado como referencia en la bibliografía complementaria. Los contenidos que siguen a continuación son la traducción al español de este capítulo. En este libro de referencia se describen las condiciones fundamentales que conforman el ajuste por mínimos cuadrados, y se ofrecen ejemplos elementales; se explican los procedimientos sistemáticos que deben seguirse para formar y resolver las ecuaciones en el método de MMCC, incluyendo los métodos matriciales; finalmente se explican los procedimientos específicos de ajuste de redes de nivelación, trilateración, triangulación y poligonación, y se explican ejemplos de problemas. Para comenzar el análisis de los ajustes en las medidas en el tema que nos ocupa, debemos recordar que en Topografía, siguiendo la terminología clásica, se definen dos clases de errores: sistemáticos y accidentales. Los errores sistemáticos siguen leyes físicas, y si se miden las causas que lo producen, se pueden cuantificar y aplicar las correcciones que los eliminan. Los errores accidentales existen siempre en los valores observados. Experimentalmente se ha demostrado que los errores accidentales en Topografía siguen leyes matemáticas de probabilidad, y que una serie de medidas contienen errores accidentales que responden a la distribución normal. Respecto a la misma, se aprecia que los errores accidentales tienen las siguientes características: 1. Los errores pequeños se dan con más frecuencia que los grandes. 2. Los errores positivos y negativos del mismo valor, se dan con igual frecuencia. 3. Los errores grandes rara vez aparecen. Debemos tener en cuenta que las equivocaciones no son errores y no pueden ser consideradas como tales. Debe evitarse cometer equivocaciones teniendo cuidado y tomando la precaución de contrastar todos los valores medidos. En los trabajos topográficos, tras eliminar equivocaciones y hacer las correcciones de los errores sistemáticos, se hace evidente la presencia de los errores accidentales, que son los que nos sirven de referencia para cuantificar las incertidumbres finales. Por ejemplo, en nivelación se cierra en puntos de altitud conocida. Los errores de cierre de la línea pueden calcularse, ofreciendo un indicador de los errores accidentales remanentes. De igual modo, en la medida de ángulos, la suma de los ángulos medidos en una vuelta de horizonte debe ser de 360º, y en Topografía plana la suma de los ángulos de una poligonal debe ser múltiplo de 200g . Las discrepancias existentes con respecto a esas condiciones indican la presencia de errores accidentales en los valores medidos. En Topografía, los ajustes se aplican para determinar los valores que distribuyen los errores de cierre y que permiten que se cumplan las condiciones geométricas matemáticas. Se usan diversos procedimientos. El primero de ellos podría ser determinar las correcciones simples, de igual valor para todos los valores

M. Farjas

10

Tema 8

Intersección Múltiple

medidos, que se obtendría dividiendo el error de cierre total por el número de medidas. Otra forma consistiría en introducir correcciones de distinto valor según el origen del error detectado. En Topografía los errores responden a la “distribución normal” y están conformes con las leyes matemáticas de probabilidad. Para aplicar procedimientos de ajuste más rigurosos que los mencionados, hay que tener en cuenta esta teoría de distribución. El método de ajuste por mínimos cuadrados se apoya en las leyes de probabilidad.

C)

MODELOS DE RELACIONES TOPOGRÁFICAS.

DE

OBSERVACIÓN

EN

LAS

MEDIDAS

Como hemos indicado anteriormente, en topografía tenemos tres tipos de observaciones: - direcciones angulares. - distancias. - desniveles. Tendremos tres modelos de ecuaciones. A cada tipo de observación de campo le corresponde un modelo de ecuación. Deberá ser posible hablar de: - Relación de observación por dirección angular. - Relación de observación de distancias. - Relación de observación de desnivel. Y tal como hemos planteado, para cada dato de campo se construirá una única ecuación.

c.1)

EXPRESIÓN DE LA RELACIÓN DE OBSERVACIÓN POR DIRECCIÓN ANGULAR OBSERVADA. Se trata de obtener ecuaciones a partir de los datos de campo. Para las observaciones de dirección (medidas angulares acimutales) obtenemos el modelo de ecuación a partir de la expresión del acimut.

θ 12 = (θ 12 )' + ∂θ 12 ∂θ 12 + (θ 12 )' − θ 12 = V12 (Valor aproximado + corrección ) – valor observado = residuo El acimut puede expresarse en función de las coordenadas de la siguiente forma:

 X − X1   tag θ 12 =  2 Y Y − 1   2 Donde el acimut es función de cuatro términos:

M. Farjas

11

Tema 8

Intersección Múltiple

θ 12 = f ( X 1 , X 2 , Y1 , Y2 )

La ecuación

∂θ 12 + (θ 12 )' − θ 12 = V12 no es lineal, ya que la tangente no lo es. Si queremos poder resolver el sistema de ecuaciones por mmcc, tendremos que linealizarla para convertirla en nuestro modelo de relación de observación por dirección angular. Para ello operamos de la siguiente forma:

θ 12 = f ( X 1 , X 2 , Y1 , Y2 )

∂θ 12 =

∂f ∂f ∂f ∂f dX 2 + dX 1 + dY2 + dY1 ∂X 2 δX 1 ∂Y2 ∂Y1

∂f = ∂X 2 ∂f = ∂X 1

∂f = ∂Y2 ∂f = ∂Y1

1 2

⋅

1 (Y2 − Y1 )

2

⋅

(−1) (Y2 − Y1 )

 X − X1   1 +  2  Y2 − Y1  1  X − X1   1 +  2  Y2 − Y1 

2

⋅

(−1)( X 2 − X 1 ) (Y2 − Y1 ) 2

2

⋅

(−1)( X 2 − X 1 ) ⋅ (−1) (Y2 − Y1 ) 2

1  X − X1   1 +  2  Y2 − Y1  1  X − X1   1 +  2  Y2 − Y1 

Y sustituyendo:

∂θ 12 =

 1  ( X − X1) ( X − X1) 1 ⋅ dX 2 − dX 1 − 2 dY2 + 2 dY1  2 2 (Y2 − Y1 ) (Y2 − Y1 ) (Y2 − Y1 )  X − X 1   (Y2 − Y1 )   1 +  2  Y2 − Y1  1

2

Ahora multiplicamos y dividimos por (Y2 − Y1 )

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12

Tema 8

Intersección Múltiple

∂θ 12 =

 (Y − Y )  (Y − Y ) ( X − X1) ( X − X1) ⋅  2 1 2 dX 2 − 2 1 2 dX 1 − 2 dY2 + 2 dY1  2 2 (Y2 − Y1 ) (Y2 − Y2 ) (Y2 − Y1 )  X − X 1   (Y2 − Y1 )   1 +  2  Y2 − Y1  1

2

∂θ 12 =

(Y2 − Y1 ) 2 D2

∂θ 12 =

 (Y − Y )  (Y − Y ) (X − X1) ( X − X1) ⋅  2 1 2 dX 2 − 2 1 2 dX 1 − 2 dY2 + 2 dY1  2 2 (Y2 − Y1 ) (Y2 − Y2 ) (Y2 − Y1 )  (Y2 − Y1 ) 

1 ⋅ [(Y2 − Y1 )dX 2 − (Y2 − Y1 )dX 1 − ( X 2 − X 1 )dY2 + ( X 2 − X 1 )dY1 ] D2

Esta ecuación está en radianes, como vamos a estar utilizando valores de acimutes en unidades centesimales, vamos a cambiar el sistema de unidades. La utilizaremos en segundos centesimales:

∂θ 12 =

r CC ⋅ [(Y2 − Y1 )dX 2 − (Y2 − Y1 )dX 1 − ( X 2 − X 1 )dY2 + ( X 2 − X 1 )dY1 ] D2

Sustituyendo en la ecuación:

∂θ 12 + (θ 12 )' − θ 12 = V12

[

r CC ⋅ [(Y2 − Y1 )dX 2 − (Y2 − Y1 )dX 1 − ( X 2 − X 1 )dY2 + ( X 2 − X 1 )dY1 ] + (θ 12 )' − θ 12 2 D

]

CC

=v

En estas ecuaciones (θ 1 )' es el obtenido mediante coordenadas, mientras que θ 1 es el obtenido mediante lecturas sumándole a éstas la desorientación de la estación. 2

2

θ 12 = L12 + Σ1 Cuando no conozcamos la desorientación en el punto de estación, es decir cuando hemos estacionado y hemos obtenido las lecturas desde el propio punto a determinar (desconocido) la Σ1, será una incógnita más a determinar. Normalmente no introducimos esta incógnita como tal, sino que calculamos un valor aproximado, y planteamos como incógnita la variación de desorientación:

θ 12 = L12 + (Σ1 ´+ dΣ) Sustituyendo en el modelo anterior obtenemos:

[

r CC CC ⋅ [(Y2 − Y1 )dX 2 − (Y2 − Y1 )dX 1 − ( X 2 − X 1 )dY2 + ( X 2 − X 1 )dY1 ] + (θ 12 )'− ( L12 + Σ´1 + dΣ1 )] = v D2

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Intersección Múltiple

Finalmente, ordenamos las incógnitas y el término independiente:

r CC CC ⋅ [(Y2 − Y1 )dX 2 − (Y2 − Y1 )dX 1 − ( X 2 − X 1 )dY2 + ( X 2 − X 1 )dY1 ] − dΣ1 + [(θ 12 )'− ( L12 + Σ´1 )] = v 2 D EXPRESIÓN GENERAL DE LA RELACIÓN DE OBSERVACIÓN POR DIRECCIÓN ANGULAR OBSERVADA

Los incognitas son cinco: -

La variación de coordenadas del punto de estación: dX1, dY1 La variación de coordenadas del punto visado: dX2, dY2, La variación de desorientación del punto de estación: dΣ1

No olvidemos que las unidades de los residuos son los segundos centesimales. Este es nuestro modelo de relación de observación por cada dirección acimutal obtenida en campo. Bastará con obtener unas coordenadas aproximadas del punto de estación y del punto visado, y hacer los cambios de subíndice para aplicarla a la observación concreta. Imaginemos que el punto de estación es el punto CT, que el punto observado es el punto 22, y que el dato obtenido en campo es una observación acimutal: LCT22. La ecuación que podemos plantear es: Punto de estación 1 ≡ CT Punto visado 2 ≡ 22

r CC ⋅ [(Y22 − YCT )dX 22 − (Y22 − YCT )dX CT − ( X 22 − X CT 1 )dY22 + ( X 22 − X CT )dYCT ] − dΣ CT 22 2 ( DCT ) 22 + [(θ CT )'− ( L22 CT + Σ´CT ) ]

CC

=v

Y de modo análogo podría realizarse para el conjunto de observaciones de campo. Si se conocieran las coordenadas de cualquiera de los puntos, sus respectivos diferenciales serían igual a cero, con lo cual quedaría reducida la expresión anterior.

c.2)

EXPRESIÓN DE LA RELACIÓN DE OBSERVACIÓN POR DISTANCIA OBSERVADA. Para cada distancia podremos plantear:

D = D ' + ∂D

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Intersección Múltiple o lo que es lo mismo:

∂D + D'− D = 0 Al ajustar no se cumplirá la igualdad, si el sistema es redundante, y podremos introducir el concepto de residuo.

∂D + D '− D = ν La distancia, en un sistema cartesiano, viene dada por:

D12 =

( X 2 − X 1 )2 + (Y2 − Y1 )2

D 2 = ( X 2 − X 1 ) 2 + (Y2 − Y1 ) 2 Como no es una ecuación lineal, para poder aplicar el método de ajustes mínimo cuadráticos, tendremos que proceder a linealizarla. Diferenciando:

2 D ⋅ ∂D = 2 ⋅ ( X 2 − X 1 ) ⋅ ∂ ( X 2 − X 1 ) + 2 ⋅ (Y2 − Y1 ) ⋅ ∂ (Y2 − Y1 )

∂D = ∂D =

( X 2 − X1) (Y − Y ) ⋅ ∂ ( X 2 − X 1 ) + 2 1 ⋅ ∂ (Y2 − Y1 ) D D

1 [− ( X 2 − X 1 )dX 1 − (Y2 − Y1 )dY1 + ( X 2 − X 1 )dX 2 + (Y2 − Y1 )dY2 ] D

Sustituyendo en la expresión anterior obtenemos:

∂D + D'− D = ν 1 [− ( X 2 − X 1 )dX 1 − (Y2 − Y1 )dY1 + ( X 2 − X 1 )dX 2 + (Y2 − Y1 )dY2 ] + DCAL − DOBS = V D CAL El modelo de relación de observación por cada distancia observada (y tratada convenientemente para reducirla al sistema cartesiano correspondiente) queda:

1 [− ( X 2 − X 1 )dX 1 − (Y2 − Y1 )dY1 + ( X 2 − X 1 )dX 2 + (Y2 − Y1 )dY2 ] + DCAL − DOBS = V D CAL EXPRESIÓN GENERAL DE LA RELACIÓN DE OBSERVACIÓN POR DISTANCIA OBSERVADA

Si se conocieran las coordenadas de cualquiera de los puntos, sus respectivos diferenciales seríaN igual a cero, y quedaría reducido el número de incognitas.

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Intersección Múltiple

Imaginemos que el punto de estación es el punto CT, que el punto observado es el punto 22, y que el dato obtenido en campo es la distancia entre ambos. La distancia observada hay que reducirla al sistema cartesiano correspondiente: • •

Hay que calcular la distancia reducida si estamos en un sistema de coordenadas topográficas. Hay que calcular la distancia UTM, si estamos trabajando en este sistema. Con esta distancia, la ecuación que podemos plantear es: Punto de estación 1 ≡ CT Punto visado 2 ≡ 22

1   D CAL [− ( X 22 − X CT 1 )dX CT − (Y22 − YCT )dYCT + ( X 22 − X CT )dX 22 + (Y22 − YCT )dY22 ] + DCAL − DOBS  = V Algunos autores sugieren variaciones en la ecuación de distancia con el fin de tener en cuenta la posible introducción de errores sistemáticos en la medida de distancias. Por ello incluyen un factor de escala para tratar de eliminar posibles errores debidos a una elección inadecuada del índice de refracción, reducción altimétrica incorrecta, factor de escala de la proyección cartográfica inadecuado o incluso errores sistemáticos en la definición del datum de la red. c.3)

EXPRESIÓN DE LA RELACIÓN DE OBSERVACIÓN POR DESNIVEL OBSERVADO. Finalmente vamos a deducir el modelo de relación de observación para observaciones de desnivel. En cada desnivel podremos plantear: ∆H12 = (∆H12 )´+ d(∆H) o lo que es lo mismo: d(∆H)+ (∆H12 )´- ∆H12 = 0 Al ajustar no se cumplirá la igualdad, si el sistema es redundante, y podremos introducir el concepto de residuo. d(∆H)+ (∆H12 )´- ∆H12 = ν El desnivel entre dos puntos viene expresado por la diferencia de altitud : ∆H12 = H2 –H1 d(∆H12) = dH2 – dH1

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Intersección Múltiple El modelo de relación de observación queda: dH2 – dH1 + (∆H12 )´- ∆H12 = ν Donde dH1 y dH2, son las incógnitas.

D)

MÉTODO DE AJUSTE MMCC. La realización de ajustes de valores medidos, por el método de MMCC no es nueva. A finales del S. XVIII la realizó el matemático alemán Karl Gauss. Hasta la llegada de los ordenadores, sin embargo, las técnicas de MMCC rara vez se empleaban, debido al tamaño de los cálculos que implicaban. Ahora los procedimientos de cálculo se ejecutan de forma rutinaria. El método de MMCC, se aplica en los ajustes, independientemente de la naturaleza de las medidas topográficas realizadas, incluyendo desniveles, distancias reducidas y ángulos horizontales y cenitales. Para un grupo de observaciones de igual peso, la condición fundamental que se aplica en el ajuste por MMCC es que la suma de los cuadrados de los residuos sea mínima. Esta condición, que ha sido desarrollada a partir de las ecuaciones de la curva de distribución normal, proporciona los valores más probables de las cantidades ajustadas. Supongamos un grupo de m medidas de igual peso cuyos residuos son V1 , V2 , V3 ........Vm. En forma de ecuación paramétrica, la condición fundamental del ajuste por MMCC ,se expresa como sigue: ∑ (Vi)2 = (V1)2 +(V2)2 +(V3)2 + ..... +(Vm)2 = MINIMO. Si los valores medidos son de distinto peso, en el ajuste por MMCC, la condición fundamental que se impone, es que la suma de los pesos p por su correspondientes residuos al cuadrado, sea mínima, o en forma de ecuación: ∑ pi(Vi)2 = p1(V1)2 + p2(V2)2 + p3(V3)2 + ...... +pm(Vm)2 = MINIMA

Debemos tener en cuenta las siguientes consideraciones básicas, que sustentan la teoría de MMCC: 1. Las equivocaciones y los errores sistemáticos han sido eliminados previamente, así que sólo quedan errores accidentales. 2. El número de observaciones que van a ser ajustadas es grande. 3. La frecuencia de la distribución de los errores, es normal . Aunque no se cumplan siempre estas condiciones, el ajuste por MMCC proporciona el tratamiento más riguroso de los errores, y se ha convertido en la Topografía actual, en un método muy importante y de uso frecuente. Además de proporcionar los valores más probables de las incógnitas, el ajuste por MMCC permite: 1. Determinar la precisión de las cantidades ajustadas.

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2. Manifiesta la presencia de errores grandes y equivocaciones, así que pueden tomarse acciones para eliminarlas. 3. Hace posible el diseño óptimo de las procedimientos topográficos en gabinete, antes de ir al campo a realizar las mediciones. Este último tópico está en discusión, pero hay autores que lo defienden. Hay dos métodos básicos para el uso de MMCC en ajustes topográficos : 1. Método de ecuaciones de observación 2. Método de ecuaciones de condición. En el método de ecuaciones de observación, las ecuaciones se obtienen relacionando los valores medidos con sus errores residuales y con los parámetros desconocidos. Se establece una ecuación de observación por cada medida. Para que la solución sea única el número de ecuaciones debe ser igual al número de incógnitas. Si se realizan observaciones redundantes, se pueden escribir más ecuaciones de observación de las que se necesitan para una solución única y se pueden determinar los valores más probables de las incógnitas por el método de MMCC. Para un grupo de observaciones de igual peso, se obtiene una expresión del error residual por cada ecuación de observación. Los residuos se elevan al cuadrado y se suman para obtener la función que se expresa en la ecuación fundamental del ajuste mínimo cuadrático. Para minimizar la función, las derivadas parciales de la expresión, con respecto a cada una de las variables incógnita, se igualan a cero. Esto forma un conjunto de ecuaciones que se denominan ecuaciones normales, que son igual en número, al número de incógnitas. Se resuelven las ecuaciones normales y se obtienen los valores más probables para las incógnitas. En sistemas de ecuaciones de observación grandes, ayuda utilizar procedimientos sistemáticos, en la formulación de las ecuaciones normales. Consideremos el siguiente sistema de m ecuaciones de observación lineales de igual peso que contienen n incógnitas :

a1 A + b1B + c1C + ..................... + n1N - L1 = V1 a2 A + b2B + c2C + ..................... + n2N - L2 = V2 …………………………………………………….. am A + bmB + cmC + ..................... + nmN - Lm = Vm En estas ecuaciones las a, b , etc. son los coeficientes de las incógnitas A,B,C, etc. Las L son las constantes y las V son los residuos. Elevando al cuadrado los residuos y sumándolos, se forma la función ∑V2. Tomando las derivadas parciales de ∑V2 con respecto a cada incógnita A,B,C, etc; se forman las n ecuaciones normales. En forma matricial, las ecuaciones de observación vendrían expresadas del siguiente modo: mAn

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nX1

=

mL1

+

mV1

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Intersección Múltiple

donde

 a1 a  2 A =  ...   ... a m

b1

c1

...

b2

c2

...

... ...

... ...

... ...

bm

cm

...

n1  n2  ...   ...  nm 

 L1   V1   A L  V  B  2  2   X =  C  L =  L3  V = V3         ...   ...   ...   Lm  Vm   N 

Analizando la siguiente representación matricial, se comprueba que reproduce exactamente las ecuaciones normales ATAX = ATL En esta ecuación ATA es la matriz de los coeficientes de las incógnitas de las ecuaciones normales. Multiplicando ambos miembros de la ecuación por (ATA)-1 y simplificando, se obtiene: (ATA)-1 (ATA)X = (ATA)-1 ATL IX = (ATA)-1 ATL X = (ATA)-1 ATL En donde I es la matriz identidad. Esta ecuación es la expresión fundamental del método de ajuste por MMCC para observaciones de igual precisión. La matriz X está formada por los valores más probables de las incógnitas A,B,C,...., N. Para un sistema de ecuaciones con pesos, la siguiente ecuación matricial proporciona los valores de la matriz X : X = (AT PA)-1 ATPL La matriz P es una matriz diagonal de pesos que se define de la siguiente manera:

P =

p1

0

0

0

0

0

p2

0

0

0

0

0

p3

0

0

.................................................... 0

0

0

0

pm

En la matriz P, todos los elementos fuera de la diagonal principal son 0. Esta situación corresponde a observaciones independientes y no correlacionadas. Este es generalmente el caso de la Topografía. La ecuación:

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Tema 8

Intersección Múltiple X = (AT PA)-1 ATPL

responde al caso general, y puede usarse tanto en ajustes con pesos como sin ellos. En un ajuste, si las observaciones son todas de igual peso, la matriz P se convierte en una matriz identidad con todos los elementos de la diagonal principal iguales a 1, lo que la reduce a la ecuación: X = (ATA)-1 ATL Supongamos el siguiente sistema de 3 ecuaciones con dos incógnitas.

2x − 3y − 1 = 0 −x − y − 2 = 0 3x − 2y − 7 = 0 Si resolvemos el sistema dará unas soluciones que sustituidas en el sistema dará un resultado que en general será distinto de cero luego, a esa diferencia la llamaremos residuo:

2x − 3y − 1 ≠ 0 = V1 − x − y − 2 ≠ 0 = V2 3x − 2y − 7 ≠ 0 = V3 La condición del ajuste mmcc en este caso será: f(x,y) = (2x − 3y − 1) + (− x − y − 2) + (3x − 2y − 7) 2

2

2

Ello conlleva que la derivada parcial con respecto a cada una de las incógnitas sea igual a cero, constituyendo el sistema de ecuaciones normales:

∂f = 2(2x − 3y − 1) ⋅ 2 + 2(− x − y − 2) ⋅ (−1) + 2(3x − 2y − 7) ⋅ 3 = 0 ∂x ∂f = 2(2x − 3y − 1) ⋅ (−3) + 2(− x − y − 2) ⋅ (−1) + 2(3x − 2y − 7) ⋅ (−2) = 0 ∂y 28x − 22y − 42 = 0 . ; y = -0.46  = x = 133 11x + 14 y + 19 = 0  En general si tenemos un sistema:

a 1x + b1y + c1 = 0 a 2x + b2y + c2 = 0 a 3x + b 3y + c3 = 0

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Intersección Múltiple

Las ecuaciones normales son:

∂f = [aa ]x + [ab]y + [ac] = 0 ∂x ∂f = [ ba ]x + [ bb]y + [ bc] = 0 ∂y Siendo:

[aa ] = a a + a a + a a [ab] = a b + a b + a b [ ba ] = b a + b a + b a [ac] = a c + a c + a b [ bb] = b b + b b + b b [ bc] = b c + b c + b c 1 1

2

2

3 3

1

1

2

2

2

2

1 1

2

2

3

3

1 1 1

E)

2

2

1

2

1 1

2

3

2

2

3

3

3

3 3

MATRIZ DE PESOS. La materialización del modelo estadístico se produce a través de la denominada matriz de pesos, que se construye a partir de las varianzas y covarianzas de las observaciones implícitas en el ajuste. La matriz diagonal de pesos P se define de la siguiente manera:

 p1 0 P= .  0

0 p2 . 0

0 0 . 0

n

     pn  n 0 0 .

Una observación de mucha precisión tendrá un peso en el ajuste alto, dependiendo de la calidad de todas las observaciones. Los criterios de asignación de pesos pueden ser: •

Considerar todas las observaciones de la misma precisión, es decir la matriz de pesos es la identidad.

•

Desconocida la varianza se pueden aplicar criterios topográficos. Por ejemplo se puede construir la matriz de pesos considerando que el peso de la observación es inversamente proporcional a la distancia del tramo

p=

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k D

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Intersección Múltiple

K es una constante que podemos calcular asignando peso igual a 1 a uno de los valores, por ejemplo al primero. A partir de él calculamos los demás pesos.

k D1 k p1 = =1  → K = 1 x D1 D1 1 . D1 k p2 =  → p2 = D2 D2 p1 =

Y así sucesivamente. •

Conocida la varianza, el peso p de una cierta medida se define como una cantidad inversamente proporcional a su varianza. La relación entre el peso y la varianza es: P = k / σ2 Siendo K una constante de proporcionalidad. Si una observación tiene peso unidad, entonces la constante anterior K = σ02 y se denomina varianza de referencia, varianza de la unidad de peso o varianza de la observación de peso unidad. A partir de ella el peso de cada observación será: P = σ02 / σ2 Podemos poner los pesos y las varianzas de cada una de las observaciones en forma matricial. Tal como hemos definido el concepto de peso:

 P1 0 P= 0  0

0 P2 0 0

... ... ... ...

σ 02  2 0  σ 1 0   0 = 0  0  Pn    0 

0

σ 02 σ 22 0

0

 0    0 0  =σ 2 0  ... 0  σ 02  0 σ m2 

0

 1 σ 2  1  0   0   0 

0 1

σ 22 0 0

 0   0 0  2 −1  =σo Σ ... 0  1  0  σ m2 

0

Σ es la matriz varianza.

σ 12 0  2 0 σ2 Σ=  0 0  0  0

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0   0  ... 0   ... σ 2 n 

... ...

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Intersección Múltiple

Por tanto la expresión que relaciona los conceptos pesos y varianzas.

P = σ 02 Σ −1 Por ejemplo si la la desviación estandar de cada acimut se considera que es igual al cuadrado de la distancia correspondiente, la matriz de pesos a partir de estos valores de las desviaciones estándar, recordando la relación entre pesos y varianzas. P = k / σ2 Siendo K una constante de proporcionalidad. Si una observación tiene peso unidad, entonces la constante anterior K = σ02 y se denomina varianza de referencia. A partir de ella el peso de cada observación será: P = σ02 / σ2 Se elige la varianza de referencia a priori y con ella se calculan los pesos. La matriz varianza se puede construir a partir de las precisiones de los equipos utilizados.

σ 21 0  2 0 σ2  Σ θ=  0 0  0  0

0   ... 0  ... 0   ... σ 2 n  ...

Se toma el valor 1 como varianza de referencia para construir la matriz de pesos.

P = σ 02 Σ −1 Y se obtiene P para el ajuste.

F)

PRECISIÓN DE LAS COORDENADAS AJUSTADAS En la resolución del problema por mínimos cuadrados tenemos que distinguir dos modelos: •

Modelo matemático: permite el planteamiento del problema a través de un sistema de ecuaciones cuya resolución conlleva la obtención de una única solución que corresponde al problema topográfico.

•

Modelo estocástico: permite obtener parámetros indicadores de la calidad de las observaciones y de las relaciones mutuas entre ellas (correlación).

El modelo estocástico es el método de estimación de precisiones del ajuste. Una vez resuelto el ajuste es necesario comprobar la calidad del mismo. Para ello se analiza la precisión y la fiabilidad.

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Intersección Múltiple

Por precisión puede entenderse el modo en que la calidad de las observaciones afecta a los resultados del ajuste a través de la geometría de la red y mide las características de la red en lo que respecta a la propagación de los errores aleatorios. La fiabilidad de una red se refiere a la robustez de la misma es decir a la capacidad de resistir errores groseros indetectables en las observaciones. Para valorar estos aspectos es posible emplear múltiples indicadores. Son frecuentes las elipses de error locales y relativas como indicadores de precisión y los números de redundancia interna y los parámetros λ0 para la fiabilidad. Para determinar las precisiones de las cantidades ajustadas, se calculan los residuos después del ajuste. Sea el ajuste con o sin pesos, los residuos vienen dados por: V = Ax – L Cálculamos de la varianza de referencia a posteriori:

σˆ 02 =

VT PV r

donde V es el vector de residuos, P la matriz de pesos y r es el número de grados de libertad del ajuste y es igual al número de ecuaciones de observación (n) menos el número de incógnitas (no), es decir expresa la redundancia del modelo: r = n-no. Si la varianza de referencia no se da como dato puede calcularse a posteriori con este cálculo. Si la varianza de referencia se conoce al comienzo del ajuste a posteriori se calculará este valor también para hacer una comprobación estadística de los dos valores. La matriz cofactor asociada al vector de parámetros por el método paramétrico, puede calcularse a partir de los residuos Qxx = N-1 = (AT P A)-1 Y a partir de esta matriz obtenemos la matriz covarianza, que contiene las precisiones buscadas. La desviación típica de las cantidades individuales ajustadas son:

Σ xx = σˆ 02 N −1 = σˆ 02 Qxx Análisis estadísticos posteriores al ajuste se concentran en la estimación de la calidad global del ajuste mediante el Test de bondad y la detección de errores groseros de pequeña magnitud. Los errores de magnitudes grandes son fácilmente detectables puesto que producen grandes residuos en las observaciones de una zona concreta de la red. Este análisis se basa en la realización de tests estadísticos sobre los residuos de las observaciones. Como test de bondad del ajuste se utiliza χ2. Es conocido como test global y sirve para determinar si la varianza de referencia a posteriori es compatible con la varianza de referencia a priori.

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Tema 8

Intersección Múltiple

El test de Baarda es una técnica que combina la detección de residuos anormalmente grandes bajo un cierto criterio estadístico, la localización del error grosero y su determinación. Elipse de Error estándar En las observaciones topográficas se utiliza normalmente el modelo de distribución normal bidimensional. Si el estudio de los errores se centra unicamente en las componentes de los errores aleatorios se puede tomar una distribución normal centrada en el origen (0,0). Los parámetros principales serán los semiejes a y b y la orientación θ. a = σx´ b = σy´ Para calcular los parámetros de la elipse de error estandar es necesario obtener primero la matriz covarianza de los parámetros (que contiene las precisiones).

Σ xy = σˆ 02 Qxy La matriz cofactor asociada al vector de parámetros por el método paramétrico, puede calcularse a partir de los residuos Qxx = N-1 Y a partir de esta matriz obtenemos la matriz covarianza de la siguiente forma:

Σ xy = σˆ 02 N −1 Y los parámetros de la elipse son las raíces de los valores propios de la matriz covarianza: Semieje mayor a=

λ1

Semieje menor b=

λ2

Y la orientación:

tg 2θ =

2σ xy

σ x2 − σ y2

Según los signos de numerador y denominador se deduce el cuadrante, y por tanto la solución.

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25

Tema 8

2.

LA INTERSECCIÓN ANGULAR MULTIPLE. 2.1

Introducción.

2.2

Expresión de la relación de observación por dirección angular observada.

2.3

Resolución del método de intersección directa múltiple por mínimos cuadrados.

2.4

2.5

2.7

2.1

Intersección Múltiple

.

Coordenadas aproximadas del punto a determinar.

.

Planteamiento de las relaciones de observación.

.

Resolución.

Resolución del método de intersección inversa múltiple por mínimos cuadrados . .

Coordenadas aproximadas del punto a determinar.

.

Planteamiento de las relaciones de observación.

.

Resolución.

Resolución del método de intersección mixta múltiple por mínimos cuadrados . .

Coordenadas aproximadas del punto a determinar.

.

Planteamiento de las relaciones de observación.

.

Resolución.

Resolución de la intersección angular múltiple con más de un punto a determinar, por mínimos cuadrados. .

Coordenadas aproximadas de los puntos a determinar.

.

Planteamiento de las relaciones de observación.

.

Resolución.

INTRODUCCIÓN En este apartado vamos a analizar el método de intersección angular múltiple, método por el que pueden determinarse las coordenadas de un punto habiendo o no estacionado en él. El método exige que haya redundancia de observaciones. El método de observación es el de vueltas de horizonte o pares sobre una referencia, dependiendo de la precisión que debamos obtener o de las condiciones de observación. La resolución numérica se realiza aplicando la teoría de ajustes mínimo cuadráticos. El método de mmcc, permite obtener una solución única en un sistema de ecuaciones lineales sobredeterminado. Esta solución tiene la característica, por la condición que le imponemos al sistema para configurar las ecuaciones normales, que hace que la suma de los cuadrados de los residuos sea mínima. El método exige conocer unas coordenadas iniciales de todos los puntos, tanto estacionados como observados. A partir de ellas se calcula la variación de coordenadas que conlleva la solución mínimo cuadrática.

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Intersección Múltiple

El procedimiento de cálculo consistirá en obtener coordenadas iniciales de todos los puntos, con ellas y a partir de los datos de campo obtener las ecuaciones de observación de dirección, una ecuación por cada observación de dirección, y finalmente resolver el sistema. Las ecuaciones de observación son: Las ecuaciones normales:

Ax=L

AT P Ax = AT P L

Podemos cambiar la nomenclatura, y llamar N = AT P A t = AT P L quedando el sistema de ecuaciones normales de la siguiente forma: Nx=t La solución al sistema se obtiene calculando: x = (AT P A)-1 AT P L con la sustitución anterior queda: x = N-1 t Para calcular las precisiones del ajuste, se calcula el vector residuos a posteriori, es decir una vez resuelto el problema: V=Ax–L Y se obtiene:

Qxx = N-1 = (ATPA)-1

Y la matriz Σxx ,que contiene las precisiones: Σxx = σ02 Qxx = σ02 N-1

2.2

EXPRESIÓN DE LA RELACIÓN ANGULAR OBSERVADA.

DE

OBSERVACIÓN

POR

DIRECCIÓN

El modelo de relación de observación por cada dirección acimutal obtenida en campo es el siguiente:

r CC CC ⋅ [(Y2 − Y1 )dX 2 − (Y2 − Y1 )dX 1 − ( X 2 − X 1 )dY2 + ( X 2 − X 1 )dY1 ] − dΣ1 + [(θ 12 )'− ( L12 + Σ´1 )] = v 2 D Bastará con obtener unas coordenadas aproximadas del punto de estación y del punto visado, y hacer los cambios de subíndice para aplicarla a la observación concreta.

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Tema 8

Intersección Múltiple

Los incognitas son cinco: • • •

La variación de coordenadas del punto de estación: dX1, dY1 La variación de coordenadas del punto visado: dX2, dY2, y la variación de desorientación del punto de estación: dΣ1

El esquema de cálculo comienza planteándonos una tabla como la que sigue, para cada observación por dirección acimutal: COORDENADAS INICIALES VÉRTICE 1 2

X X1 X2

Y Y1 Y2

VARIACIÓN DE COORDENADAS dX dX1 dY2

dY dY1 dY2

COORDENADAS FINALES X X1 + dX1 X2 + dX2

Y Y1 + dY1 Y2 + dY2

Si las coordenadas de cualquiera de los puntos no se desean variar, sus respectivos diferenciales serían igual a cero. Esta situación es la que corresponde a los puntos que hemos estado denominando como “conocidos” durante el curso. Son puntos cuyas coordenadas nos son dadas de antemano, proceden de redes de orden superior, y que no deseamos que sean variables. Son los puntos “fijos” de la red. El cálculo de una intersección múltiple la planteamos sin diferenciar el tipo de intersección. No nos interesa saber si es directa, inversa o mixta en el cálculo. Nos interesa analizar, qué puntos son fijos, qué puntos son “variables” (van a ser ajustados), cuantas relaciones de observación tenemos, cuántas incógnitas, y cual es el grado de redundancia del sistema. Finalmente, no debemos olvidar que las unidades de los residuos son los segundos centesimales. A continuación vamos a realizar el cálculo de una intersección directa, inversa y mixta, para generalizar con el cálculo de una red que tuviera más de un punto desconocido. Todos estos casos deben considerarse como ejemplos de aplicación del modelo general de cálculo que hemos expuesto anteriormente. Cuando se han linealizado las ecuaciones de observación el proceso de ajuste es iterativo. Las correcciones que obtengamos en el primer ajuste se las aplicaremos a las coordenadas aproximadas y esas nuevas coordenadas de P actuarán como aproximadas en el siguiente cálculo. 2.3

RESOLUCIÓN DEL MÉTODO DE INTERSECCIÓN DIRECTA MÚLTIPLE POR MÍNIMOS CUADRADOS. . . .

Coordenadas aproximadas del punto a determinar. Planteamiento de las relaciones de observación. Resolución.

Para llevar a cabo la resolución de un sistema de ecuaciones por mínimos cuadrados es necesario conocer de antemano una solución aproximada, que debe estar diferencialmente cerca de la solución buscada. Se trata de encontrar los diferenciales que sumados a esta solución aproximada, nos proporcione la

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Tema 8

Intersección Múltiple

solución final. Es por ello que la obtención de la solución aproximada será la primera fase del cálculo. Consideremos el siguiente ejemplo. Para dar coordenadas a un punto P se ha estacionado en los puntos conocidos A, B, C y D, y se han realizado las visuales que se indican en la figura.

P

D A B

C

Debemos comenzar planteándonos de qué puntos conocemos las coordenadas y de qué puntos no. RED DE VÉRTICES: VÉRTICE A B C D P

COORDENADAS DEFINITIVAS X Y XA YA XB YB XC YC XD YD ? ?

Si optamos por el método de ajuste por mínimos cuadrados, debemos comenzar por obtener unas coordenadas iniciales del punto P. A estas coordenadas las denominamos aproximadas. CÁLCULO DE LAS COORDENADAS APROXIMADAS DEL PUNTO PROBLEMA. Para obtener estas coordenadas calcularemos una intersección simple, seleccionando entre las visuales de campo. Si estamos en una observación en la que hemos estacionado en puntos conocidos, y hemos visado al punto desconocido, estaremos en una intersección directa. Si es múltiple (más de dos puntos de estación conocidos) implica que podemos seleccionar una cualquiera de las simples posibles. Basta con calcular UNA intersección directa simple. Supongamos que optamos por la ABP. En la resolución de la intersección directa simple ABP tenemos los siguiente datos iniciales:

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Intersección Múltiple

A (XA, YA)

B (XB, YB) P

B

P

A

Y de las observaciones de campo tomamos las lecturas L A , L A , LB , LB

P

Para la resolución numérica conociendo las lecturas de campo y las coordenadas de los puntos A, B. El método consistía en calcular el acimut θ A , con la lectura y B

el acimut θ A , obtendremos la desorientación de A, mediante la lectura L A , una B

B

vez calculada la desorientación podremos calcular el acimut

θ AP . Del mismo modo

procederemos con el punto B, calculando el acimut θ B . P

La distancia AB también es conocida ya que:

D AB =

( X B − X A )2 + (YB − YA ) 2

El punto P quedará determinado de la forma siguiente: a) Partiendo del punto A:

X P = X A + x AP YP = YA + y AP b) Partiendo del punto B:

X P = X B + x BP YP = YB + y BP Es necesario calcular los incrementos de coordenadas entre AP y BP

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Tema 8

Intersección Múltiple

Siendo θ B el acimut de la dirección AB por la figura que representa la situación real de los puntos se obtiene: P

θ AP = θ AB − Aˆ θ BP = θ BA + Bˆ El problema de la intersección directa queda determinado con el cálculo de las distancias AP y BP. En el triángulo ABP, se cumple:

D AP D AB DBP )= )= senB senV senAˆ

D AP =

senBˆ B ) DA senP

) senA B D = ) DA senP P B

) Aˆ + Bˆ + P = 200 g ) P = 200 − ( Aˆ + Bˆ ) Desde el punto A:

∆ x PA = D AP ⋅ senθ AP ∆ y PA = D AP ⋅ cosθ AP X P = X A + x PA YP = YA + y AP

Desde el punto B:

∆ x PB = DBP ⋅ senθ BP ∆ y PB = DBP ⋅ cosθ BP X P = X B + ∆ x PB YP = YB + ∆ y BP Las coordenadas han de ser idénticas. RELACIONES DE OBSERVACIÓN Ahora ya conocemos las coordenadas iniciales de todos los puntos de la red, unas definitivas y otras aproximadas:

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Intersección Múltiple

VÉRTICE A B C D P

COORDENADAS INICIALES X Y XA YA XB YB XC YC XD YD X´P Y´P

COORDENADAS FINALES X Y XA YA XB YB XC YC XD YD X´P + dxP Y´p + dyP

Ahora debemos plantear las relaciones de observación. Recordemos el modelo de ecuación:

r CC CC ⋅ [(Y2 − Y1 )dX 2 − (Y2 − Y1 )dX 1 − ( X 2 − X 1 )dY2 + ( X 2 − X 1 )dY1 ] − dΣ1 + [(θ 12 )'− ( L12 + Σ´1 )] = v 2 D Los incognitas son cinco en cada ecuación: La variación de coordenadas del punto de estación: dX1, dY1 La variación de coordenadas del punto visado: dX2, dY2, y la variación de desorientación del punto de estación: dΣ1

• • •

Se plantea una por cada observación acimutal, pero queda claro que aquellas observaciones entre puntos fijos no plantean ecuación, los diferenciales son cero tanto en el punto 1 como en el punto 2, y no existe ecuación por no existir incógnitas. Tenemos las siguientes visuales: PUNTO DE ESTACIÓN A B

C

D

PUNTO VISADO P B A C P B P D C P

RELACIÓN DE OBSERVACIÓN De dirección De dirección De dirección De dirección

Procedemos a continuación a plantear estas cuatro ecuaciones: Ecuación de dirección de A a P: Punto de estación 1 ≡ A Punto visado 2 ≡ P

r CC D AP´

2

⋅ [(YP − YA )dX P − (YP − YA )dX A − ( X P − X A )dYP + ( X P − X A )dYA ] − dΣ A +

[(θ AP )'− ( LPA + Σ´ A )]CC = v

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Intersección Múltiple

Como A es un punto del que no vamos a variar sus coordenadas: dXA = 0 dYA = 0 Por otra parte, como hemos estacionado en un punto A, del que conocemos sus coordenadas y hemos orientado visando a otro punto conocido conocemos el acimut : dΣA = 0 La ecuación queda:

r CC D

P´ 2 A

⋅ [(YP − YA )dX P − ( X P − X A )dYP ] + [(θ AP )'− (θ AP )]

CC

=v

Ecuación de dirección de B a P: Punto de estación 1 ≡ B Punto visado 2 ≡ P

r CC DBP´

2

⋅ [(YP − YB )dX P − (YP − YB )dX B − ( X P − X B )dYP + ( X P − X B )dYB ] − dΣ B +

[(θ BP )'− ( LPB + Σ´B )]CC = v Como B es un punto del que no vamos a variar sus coordenadas: dxB = 0 dYB = 0 Por otra parte, como hemos estacionado en un punto B, del que conocemos sus coordenadas y hemos orientado visando a otro punto conocido conocemos el acimut : dΣB = 0 La ecuación queda:

r CC D

P´ 2 B

⋅ [(YP − YB )dX P − ( X P − X B )dYP ] + [(θ BP )'− (θ BP )]

CC

=v

Ecuación de dirección de C a P: Punto de estación 1 ≡ C Punto visado 2 ≡ P

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r CC DCP´

2

⋅ [(YP − YC )dX P − (YP − YC )dX C − ( X P − X C )dYP + ( X P − X C )dYC ] − dΣ C +

[(θ CP )'− ( LPC + Σ´C )]CC = v Como C es un punto del que no vamos a variar sus coordenadas: dxC = 0 dyC = 0 Por otra parte, como hemos estacionado en un punto C, del que conocemos sus coordenadas y hemos orientado visando a otro punto conocido conocemos el acimut : dΣc = 0 La ecuación queda:

r CC P´ 2 C

D

⋅ [(YP − YC )dX P − ( X P − X C )dYP ] + [(θ CP )'− (θ CP )]

CC

=v

Ecuación de dirección de D a P: Punto de estación 1 ≡ D Punto visado 2 ≡ P

r CC DDP´

2

⋅ [(YP − YD )dX P − (YP − YD )dX D − ( X P − X D )dYP + ( X P − X D )dYD ] − dΣ D +

[(θ DP )'− ( LPD + Σ´D )]CC = v Como D es un punto del que no vamos a variar sus coordenadas: dxD = 0 dYD = 0 Por otra parte, como hemos estacionado en un punto D, del que conocemos sus coordenadas y hemos orientado visando a otro punto conocido conocemos el acimut : dΣD = 0 La ecuación queda:

r CC D

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P´ 2 D

⋅ [(YP − YD )dX P − ( X P − X D )dYP ] + [(θ DP )'− (θ DP )]

CC

=v

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Intersección Múltiple

RESOLUCIÓN DEL SISTEMA Las relaciones de observación que hemos obtenido son:

r CC D

P´ 2 A

r CC D

P´ 2 B

r CC P´ 2 C

D

r CC D

P´ 2 D

⋅ [(YP − YA )dX P − ( X P − X A )dYP ] + [(θ AP )'− (θ AP )]

=v

⋅ [(YP − YB )dX P − ( X P − X B )dYP ] + [(θ BP )'− (θ BP )]

=v

⋅ [(YP − YC )dX P − ( X P − X C )dYP ] + [(θ CP )'− (θ CP )]

=v

CC

CC

CC

⋅ [(YP − YD )dX P − ( X P − X D )dYP ] + [(θ DP )'− (θ DP )]

CC

=v

No olvideis que las relaciones de observación han de estar de la siguiente forma: AX=L+v Es necesario pasar el término independiente del sistema que hemos planteado, al otro miembro de la ecuación, para aplicar la resolución matricial. Las ecuaciones normales son: (AT P A) X = AT P L NX=t Y el vector solución: X = (AT P A )-1 AT P L X = N-1 t Como solución obtendremos los valores dXP y dYP, que sumados a los iniciales (aproximados), nos permiten calcular la solución final. Las precisiones pueden obtenerse del modo indicado anteriormente.

2.4

RESOLUCIÓN DEL MÉTODO DE INTERSECCIÓN INVERSA MÚLTIPLE . . . .

Coordenadas aproximadas del punto a determinar. Planteamiento de las relaciones de observación. Resolución.

Consideremos el siguiente ejemplo. Para dar coordenadas a un punto P se ha estacionado en él y hemos visado a los puntos conocidos A, B, C y D, realizando las visuales que se indican en la figura.

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Intersección Múltiple

B C A

D

P Debemos comenzar planteándonos de qué puntos conocemos las coordenadas y de qué puntos no las conocemos. RED DE VÉRTICES: VÉRTICE A B C D P

COORDENADAS DEFINITIVAS X Y XA YA XB YB XC YC XD YD ? ?

Si optamos por el método de ajuste por mínimos cuadrados, debemos comenzar por obtener unas coordenadas iniciales del punto P. A estas coordenadas las denominamos aproximadas.

CÁLCULO DE LAS COORDENADAS APROXIMADAS DEL PUNTO PROBLEMA. Para obtener estas coordenadas calcularemos una intersección simple, seleccionando entre las visuales de campo las que corresponden a la misma. Si estamos en una observación en la que hemos estacionado en el punto desconocido, y hemos visado a los conocidos, estaremos en una intersección inversa. Si es múltiple (más de tres puntos conocidos visados) implica que podemos seleccionar una cualquiera de las simples posibles. Basta con calcular UNA intersección inversa simple. Supongamos que optamos por la ABC. La resolución de la intersección inversa simple ABC, cuenta como datos iniciales: A (XA, YA)

B (XB ,YB) )

C (XC ,YC)

Y como observaciones de campo con las lecturas:

LAP , LBP , LCP

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Intersección Múltiple

Las tres visuales PA, PB, PC proporcionan los datos necesarios para resolver matemáticamente el problema.

Para la resolución analítica calculamos

E = 400 − Bˆ − β − α $ = tg A

D CB ⋅ sen α ⋅ sen E$ D BA ⋅ sen β + D CB ⋅ sen α ⋅ cos E$

Al calcular el ángulo A hay que tener en cuenta que: tgAˆ = tg (200 + Aˆ )

Y finalmente calculamos el ángulo C:

$ C$ = E$ − A

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Intersección Múltiple

A continuación podemos calcular:

B1 = 200 − A − α B2 = 200 − B − β Una vez obtenido los ángulos A y C podemos obtener los acimutes a P.

θ AP = θ AB + Aˆ θ CP = θ BC ± 200 − Cˆ Las distancias las hallaremos mediante el teorema del seno:

D AB D AP senB1 = → D PA = D AB senα senB1 senα D CP DBC senB 2 = → D CP = DBC senβ senβ senB2 Una vez obtenidas las distancias y los acimutes obtendremos las coordenadas de P desde los puntos A, C. Estas coordenadas han de ser idénticas.

X P = X A + D AP ⋅ senθ AP

X P = X C + DCP ⋅ senθ CP

YP = YA + D AP ⋅ cosθ AP

YP = YC + DCP ⋅ cosθ CP

RELACIONES DE OBSERVACIÓN Ahora ya conocemos las coordenadas iniciales de todos los puntos de la red, unas definitivas y otras aproximadas:

COORDENADAS INICIALES VÉRTICE A B C D P

X XA XB XC XD X´P

Y YA YB YC YD Y´P

COORDENADAS FINALES X XA XB XC XD X´P + dxP

Y YA YB YC YD Y´p + dyP

A continuación debemos plantear las relaciones de observación. Recordemos el modelo de ecuación:

r CC CC ⋅ [(Y2 − Y1 )dX 2 − (Y2 − Y1 )dX 1 − ( X 2 − X 1 )dY2 + ( X 2 − X 1 )dY1 ] − dΣ1 + [(θ 12 )'− ( L12 + Σ´1 )] = v 2 D Los incognitas son cinco en cada ecuación: • •

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La variación de coordenadas del punto de estación: dX1, dY1 La variación de coordenadas del punto visado: dX2, dY2,

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Tema 8

Intersección Múltiple

•

y la variación de desorientación del punto de estación: dΣ1

Se plantea una por cada observación acimutal. Tenemos las siguientes visuales: PUNTO DE ESTACIÓN P

PUNTO VISADO A B C D

RELACIÓN DE OBSERVACIÓN De dirección De dirección De dirección De dirección

En la intersección inversa La dΣ1 se mantiene como incógnita en la ecuación. Como no conocemos las coordenadas del punto 1 de estación, calcularemos la desorientación aproximada a partir de las coordenadas de A y P´; de B y P´; de C y P´; y de D y P´. La desorientación que se introduce en todas las ecuaciones (en todas ha de ser el mismo valor) se calculará haciendo la media de todas las desorientaciones posibles que se puedan calcular en ese punto, siempre que las discrepancias entre ellas sean tolerables. Procedemos a continuación a plantear las cuatro ecuaciones. Ecuación de dirección de P a A: Punto de estación 1 ≡ P Punto visado 2 ≡ A

r CC DPA´

2

⋅ [(YA − YP )dX A − (YA − YP )dX P − ( X A − X P )dYA + ( X A − X P )dYP ] − dΣ P +

[(θ PA )'− ( LAP + Σ´P )]CC = v Como A es un punto del que no vamos a variar sus coordenadas: dXA = 0 dYA = 0

La ecuación queda:

r CC D

A2 P´

⋅ [− (YA − YP )dX P + ( X A − X P )dYP ] − dΣ P + [(θ PA )'− ( LAP + Σ´P )]

CC

=v

Ecuación de dirección de P a B: Punto de estación 1 ≡ P Punto visado 2 ≡ B

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Intersección Múltiple

r CC DPB´

2

⋅ [(YB − YP )dX B − (YB − YP )dX P − ( X B − X P )dYB + ( X B − X P )dYP ] − dΣ P +

[(θ PB )'− ( LBP + Σ´P )]CC = v Como B es un punto del que no vamos a variar sus coordenadas:

La ecuación queda:

r CC D

B2 P´

dxB = 0 dYB = 0

⋅ [− (YB − YP )dX P + ( X B − X P )dYP ] − dΣ P + [(θ PB )'− ( LBP + Σ´P )]

CC

=v

Ecuación de dirección de P a C: Punto de estación 1 ≡ P Punto visado 2 ≡ C

r CC DPC´

2

⋅ [(YC − YP )dX C − (YC − YP )dX P − ( X C − X P )dYC + ( X C − X P )dYP ] − dΣ P +

[(θ PC )'− ( LCP + Σ´P )]CC = v Como C es un punto del que no vamos a variar sus coordenadas:

La ecuación queda:

r CC D

C2 P´

dxC = 0 dYC = 0

⋅ [− (YC − YP )dX P + ( X C − X P )dYP ] − dΣ P + [(θ PC )'− ( LCP + Σ´P )]

CC

=v

Ecuación de dirección de P a D: Punto de estación 1 ≡ P Punto visado 2 ≡ D

r CC DPD´

2

⋅ [(YD − YP )dX D − (YD − YP )dX P − ( X D − X P )dYD + ( X D − X P )dYP ] − dΣ P +

[(θ PD )'− ( LDP + Σ´P )]CC = v

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Tema 8

Intersección Múltiple

Como D es un punto del que no vamos a variar sus coordenadas:

La ecuación queda:

r CC D

D2 P´

dxD = 0 dYD = 0

⋅ [− (YD − YP )dX P + ( X D − X P )dYP ] − dΣ P + [(θ PD )'− ( LDP + Σ´P )]

CC

=v

RESOLUCIÓN DEL SISTEMA El sistema de ecuaciones que hemos obtenido es el siguiente:

r CC D

A2 P´

r CC D

B2 P´

r CC D

C2 P´

r CC D

D2 P´

⋅ [− (YA − YP )dX P + ( X A − X P )dYP ] − dΣ P + [(θ PA )'− ( LAP + Σ´P )]

CC

⋅ [− (YB − YP )dX P + ( X B − X P )dYP ] − dΣ P + [(θ PB )'− ( LBP + Σ´P )]

CC

⋅ [− (YC − YP )dX P + ( X C − X P )dYP ] − dΣ P + [(θ PC )'− ( LCP + Σ´P )]

CC

⋅ [− (YD − YP )dX P + ( X D − X P )dYP ] − dΣ P + [(θ PD )'− ( LDP + Σ´P )]

CC

=v

=v

=v

=v

No olvideis que las relaciones de observación han de estar en la forma: AX=L+v Por lo que es necesario pasar el término independiente al otro miembro de la ecuación. Como solución obtendremos los valores dXP y dYP, que sumados a los iniciales (aproximados), nos permiten calcular la solución final.

2.5

RESOLUCIÓN DEL MÉTODO DE INTERSECCIÓN MIXTA MÚLTIPLE POR MÍNIMOS CUADRADOS . . . .

Coordenadas aproximadas del punto a determinar. Planteamiento de las relaciones de observación. Resolución.

En una intersección mixta se estaciona tanto en puntos conocidos como desconocidos y al ser múltiples contamos con más datos de los imprescindibles para la resolución del problema.

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Intersección Múltiple

Consideremos el siguiente ejemplo. Para dar coordenadas a un punto P se ha estacionado en él y hemos visado a los puntos conocidos A, B, C y D. Se ha estacionado también en los puntos A y B, realizando las visuales que se indican en la figura.

B

C

A

D

P Debemos comenzar planteándonos de qué puntos conocemos las coordenadas y de cuáles no. RED DE VÉRTICES: VÉRTICE A B C D P

COORDENADAS DEFINITIVAS X Y XA YA XB YB XC YC XD YD ? ?

Si optamos por el método de ajuste por mínimos cuadrados, debemos comenzar por obtener unas coordenadas iniciales del punto P. A estas coordenadas las denominamos aproximadas. CÁLCULO DE LAS COORDENADAS APROXIMADAS DEL PUNTO PROBLEMA. Para obtener estas coordenadas calcularemos una intersección simple, seleccionando entre las visuales de campo aquellas que la forman. Basta con calcular UNA intersección simple. Buscaremos una directa simple (dos puntos de estación conocidos desde los que se visa al desconocido), si no la hubiera buscaríamos otro tipo de intersección simple. En nuestro ejemplo podríamos resolver la intersección directa simple ABP. La resolución de la intersección directa simple cuenta como datos iniciales: A (XA, YA)

B (XB, YB) P

B

P

A

Y como observaciones de campo con las lecturas: L A , L A , LB , LB

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Tema 8

Intersección Múltiple

P

Para la resolución numérica conociendo las lecturas de campo y las coordenadas de los puntos A, B, el método consistía en calcular el acimut θ A , con la lectura y B

el acimut θ A , obtendremos la desorientación de A, mediante la lectura L A , una B

B

vez calculada la desorientación podremos calcular el acimut

θ AP . Del mismo modo

procederemos con el punto B, calculando el acimut θ B . P

La distancia AB también es conocida ya que:

D AB =

( X B − X A )2 + (YB − YA ) 2

El punto P quedará determinado de la forma siguiente: a) Partiendo del punto A:

X P = X A + x AP YP = YA + y AP b) Partiendo del punto B:

X P = X B + x BP YP = YB + y BP Es necesario calcular los incrementos de coordenadas entre AP y BP Siendo θ B el acimut de la dirección AB por la figura que representa la situación real de los puntos se obtiene: P

θ AP = θ AB − Aˆ θ BP = θ BA + Bˆ El problema de la intersección directa queda determinado en el cálculo de las distancias AP y BP.

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Tema 8

Intersección Múltiple

En el triángulo ABP, se cumple:

D AP D AB DBP )= )= senB senV senAˆ

D AP =

senBˆ B ) DA senP

) senA B D = ) DA senP P B

) Aˆ + Bˆ + P = 200 g ) P = 200 − ( Aˆ + Bˆ ) Desde el punto A:

∆ x PA = D AP ⋅ senθ AP ∆ y PA = D AP ⋅ cosθ AP X P = X A + x PA YP = YA + y AP Desde el punto B:

∆ x PB = DBP ⋅ senθ BP ∆ y PB = DBP ⋅ cosθ BP X P = X B + ∆ x PB YP = YB + ∆ y BP Estas coordenadas han de ser idénticas.

RELACIONES DE OBSERVACIÓN Ya conocemos las coordenadas iniciales de todos los puntos de la red, unas definitivas y otras aproximadas: COORDENADAS INICIALES VÉRTICE A B C D P

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X XA XB XC XD X´P

Y YA YB YC YD Y´P

COORDENADAS FINALES X XA XB XC XD X´P + dxP

Y YA YB YC YD Y´p + dyP

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Intersección Múltiple

Ahora debemos plantear las relaciones de observación. Recordemos el modelo de ecuación:

r CC CC ⋅ [(Y2 − Y1 )dX 2 − (Y2 − Y1 )dX 1 − ( X 2 − X 1 )dY2 + ( X 2 − X 1 )dY1 ] − dΣ1 + [(θ 12 )'− ( L12 + Σ´1 )] = v 2 D LAs incógnitas son cinco en cada ecuación: La variación de coordenadas del punto de estación: dX1, dY1 La variación de coordenadas del punto visado: dX2, dY2, y la variación de desorientación del punto de estación: dΣ1

• • •

Se plantea una por cada observación acimutal, pero queda claro que aquellas observaciones entre puntos fijos no plantean ecuación, los diferenciales son cero tanto en el punto 1 como en el punto 2, y no existe ecuación por no existir incógnitas. Tenemos las siguientes visuales: PUNTO DE ESTACIÓN P

A B

PUNTO VISADO A B C D B P A P

RELACIÓN DE OBSERVACIÓN De dirección De dirección De dirección De dirección De dirección De dirección

Por otra parte debemos calcular la desorientación aproximada en el punto desconocido de estación, es decir de P. Con las coordenadas de A P´, B P´, C P´, D P´. Se realiza la media de todas ellas, si fueran tolerables, y este valor es el que se utiliza en todas las ecuaciones. Procedemos a continuación a plantear estas seis ecuaciones: Ecuación de dirección de P a A: Punto de estación 1 ≡ P Punto visado 2 ≡ A

r CC DPA´

2

⋅ [(YA − YP )dX A − (YA − YP )dX P − ( X A − X P )dYA + ( X A − X P )dYP ] − dΣ P +

[(θ PA )'− ( LAP + Σ´P )]CC = v

Como A es un punto del que no vamos a variar sus coordenadas: dXA = 0 dYA = 0

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Intersección Múltiple

La dΣP se mantiene como incógnita en la ecuación. La ecuación queda:

r CC D

A2 P´

⋅ [− (YA − YP )dX P + ( X A − X P )dYP ] − dΣ P + [(θ PA )'− ( LAP + Σ´P )]

CC

=v

Ecuación de dirección de P a B: Punto de estación 1 ≡ P Punto visado 2 ≡ B

r CC DPB´

2

⋅ [(YB − YP )dX B − (YB − YP )dX P − ( X B − X P )dYB + ( X B − X P )dYP ] − dΣ P +

[(θ PB )'− ( LBP + Σ´P )]CC = v Como B es un punto del que no vamos a variar sus coordenadas: dxB = 0 dYB = 0 La dΣP se mantiene como incógnita en la ecuación. La ecuación queda:

r CC D

B2 P´

⋅ [− (YB − YP )dX P + ( X B − X P )dYP ] − dΣ P + [(θ PB )'− ( LBP + Σ´P )]

CC

=v

Ecuación de dirección de P a C: Punto de estación 1 ≡ P Punto visado 2 ≡ C

r CC DPC´

2

⋅ [(YC − YP )dX C − (YC − YP )dX P − ( X C − X P )dYC + ( X C − X P )dYP ] − dΣ P +

[(θ PC )'− ( LCP + Σ´P )]CC = v Como C es un punto del que no vamos a variar sus coordenadas: dxC = 0 dYC = 0 La dΣP se mantiene como incógnita en la ecuación.

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Tema 8

Intersección Múltiple

La ecuación queda:

r CC D

⋅ [− (YC − YP )dX P + ( X C − X P )dYP ] − dΣ P + [(θ PC )'− ( LCP + Σ´P )]

CC

C2 P´

=v

Ecuación de dirección de P a D: Punto de estación 1 ≡ P Punto visado 2 ≡ D

r CC DPD´

2

⋅ [(YD − YP )dX D − (YD − YP )dX P − ( X D − X P )dYD + ( X D − X P )dYP ] − dΣ P +

[(θ PD )'− ( LDP + Σ´P )]CC = v Como D es un punto del que no vamos a variar sus coordenadas: dxD = 0 dYD = 0 La dΣP se mantiene como incógnita en la ecuación. La ecuación queda:

r CC D

⋅ [− (YD − YP )dX P + ( X D − X P )dYP ] − dΣ P + [(θ PD )'− ( LDP + Σ´P )]

CC

D2 P´

=v

Ecuación de dirección de A a P: Punto de estación 1 ≡ A Punto visado 2 ≡ P

r CC D AP´

2

⋅ [(YP − YA )dX P − (YP − YA )dX A − ( X P − X A )dYP + ( X P − X A )dYA ] − dΣ A +

[(θ AP )'− ( LPA + Σ´ A )]CC = v Como A es un punto del que no vamos a variar sus coordenadas: dXA = 0 dYA = 0 Por otra parte, como hemos estacionado en un punto A, del que conocemos sus coordenadas y hemos orientado visando a otro punto conocido conocemos el acimut : dΣA = 0

M. Farjas

47

Tema 8

Intersección Múltiple

La ecuación queda:

r CC D

P´ 2 A

⋅ [(YP − YA )dX P − ( X P − X A )dYP ] + [(θ AP )'− (θ AP )]

CC

=v

Ecuación de dirección de B a P: Punto de estación 1 ≡ B Punto visado 2 ≡ P

r CC DBP´

2

⋅ [(YP − YB )dX P − (YP − YB )dX B − ( X P − X B )dYP + ( X P − X B )dYB ] − dΣ B +

[(θ BP )'− ( LPB + Σ´B )]CC = v Como B es un punto del que no vamos a variar sus coordenadas: dxB = 0 dYB = 0 Por otra parte, como hemos estacionado en un punto B, del que conocemos sus coordenadas y hemos orientado visando a otro punto conocido conocemos el acimut : dΣB = 0 La ecuación queda:

r CC D

P´ 2 B

⋅ [(YP − YB )dX P − ( X P − X B )dYP ] + [(θ BP )'− (θ BP )]

CC

=v

RESOLUCIÓN DEL SISTEMA El sistema de ecuaciones es el siguiente:

r CC D

A2 P´

r CC D

B2 P´

r CC D

M. Farjas

C2 P´

⋅ [− (YA − YP )dX P + ( X A − X P )dYP ] − dΣ P + [(θ PA )'− ( LAP + Σ´P )]

CC

⋅ [− (YB − YP )dX P + ( X B − X P )dYP ] − dΣ P + [(θ PB )'− ( LBP + Σ´P )]

CC

⋅ [− (YC − YP )dX P + ( X C − X P )dYP ] − dΣ P + [(θ PC )'− ( LCP + Σ´P )]

CC

=v

=v

=v

48

Tema 8

Intersección Múltiple

r CC D

D2 P´

r CC D

P´ 2 A

r CC D

P´ 2 B

⋅ [− (YD − YP )dX P + ( X D − X P )dYP ] − dΣ P + [(θ PD )'− ( LDP + Σ´P )]

CC

⋅ [(YP − YA )dX P − ( X P − X A )dYP ] + [(θ AP )'− (θ AP )]

=v

⋅ [(YP − YB )dX P − ( X P − X B )dYP ] + [(θ BP )'− (θ BP )]

=v

CC

CC

=v

Para proceder al cálculo matricial, no olvidéis que las relaciones de observación han de estar en la forma: AX=L+v Por lo que es necesario pasar el término independiente al otro miembro de la ecuación. Como solución obtendremos los valores dXP y dYP, que sumados a los iniciales (aproximados), nos permiten calcular la solución final. RESOLUCIÓN NUMÉRICA DE LA INTERSECCIÓN MIXTA MÚLTIPLE: CASO ESPECIAL En la intersección mixta simple se estacionaba en un vértice de coordenadas conocidas y en otro de coordenadas desconocidas, para obtener los datos necesarios para la resolución de la intersección. Existe un caso de intersección mixta múltiple en el que sólo se añade el estacionamiento en el tercer punto, del que conocemos las coordenadas, obteniéndose así más datos de los imprescindibles y pudiendo por tanto tener comprobación. En este caso la resolución podremos hacerla por ajuste minimo cuadrático o por un simple ajuste del cierre del triangulo, aplicando la ecuación de condición a la figura de que la suma de los tres ángulos ha de ser 200g. La diferencia a 200g, será el error de cierre angular. La tolerancia para este error depende de la precisión del instrumento, y vendrá dada por:

T = ea

2 3

2 3 , puesto Siendo ea la incertidumbre por dirección acimutal observada, y que se compone de 3 ángulos y cada uno de ellos consta de dos direcciones. El error de cierre deberá ser menor o igual que la tolerancia. Si esto es así se procederá a la compensación en partes iguales a los tres ángulos. En el caso en que no puedan ser idénticas las compensaciones por la precisión de la medida (no ser divisible de tres entero) se compensa más al ángulo más próximo a 100g. Los tres ángulos una vez compensados cumplirán la condición de que su suma será 200g.

M. Farjas

49

Tema 8

Intersección Múltiple

Con estos valores angulares se procederá al cálculo de las distancias en el triángulo, y al calculo de las coordenadas parciales y absolutas del punto problema. De esta forma hemos anulado la redundancia en este caso especial de intersección mixta múltiple. También podríamos haber optado por una resolución mínimo cuadrática. 2.6

RESOLUCIÓN DE LA INTERSECCIÓN ANGULAR MÚLTIPLE CON MÁS DE UN PUNTO A DETERMINAR. . . .

Coordenadas aproximadas del punto a determinar. Planteamiento de las relaciones de observación. Resolución.

Consideremos el siguiente ejemplo. Para dar coordenadas a dos puntos P1 y P2, se han realizado las visuales que se indican en la figura.

B

C

A

D

P1

P2

Debemos comenzar planteándonos de qué puntos conocemos las coordenadas y de cuáles no. RED DE VÉRTICES: VÉRTICE A B C D P1 P2

M. Farjas

COORDENADAS DEFINITIVAS X Y XA YA XB YB XC YC XD YD ? ? ? ?

50

Tema 8

Intersección Múltiple

Si optamos por el método de ajuste por mínimos cuadrados, debemos comenzar por obtener unas coordenadas iniciales del punto P1 y del punto P2. A estas coordenadas las denominaremos aproximadas. CÁLCULO DE PROBLEMA.

LAS

COORDENADAS

APROXIMADAS

DE

LOS

PUNTOS

Para obtener estas coordenadas calcularemos una intersección simple para cada punto, seleccionando entre las visuales de campo. Basta con calcular UNA intersección simple, para cada uno de los puntos problema. Buscaremos una directa simple (dos puntos de estación conocidos desde los que se visa al desconocido), si no la hubiera buscaríamos otro tipo de intersección simple. En nuestro ejemplo podríamos resolver la intersección directa simple ABP1 para dar coordenadas a P1 y la BDP2 para dar coordenadas a P2. Se resuelven estas dos intersecciones directas simples y se obtienen las coordenadas de P1 y P2. RELACIONES DE OBSERVACIÓN Ahora ya conocemos las coordenadas iniciales de todos los puntos de la red, unas definitivas y otras aproximadas: COORDENADAS INICIALES VÉRTICE A B C D P1 P2

X XA XB XC XD X´P1 X´P2

Y YA YB YC YD Y´P1 Y´P2

COORDENADAS FINALES X XA XB XC XD X´P1 + dXP1 X´P2 + dxP2

Y YA YB YC YD Y´P1 + dYP1 Y´P2 + dYP2

Debemos plantear las relaciones de observación. Recordemos el modelo de ecuación:

r CC CC ⋅ [(Y2 − Y1 )dX 2 − (Y2 − Y1 )dX 1 − ( X 2 − X 1 )dY2 + ( X 2 − X 1 )dY1 ] − dΣ1 + [(θ 12 )'− ( L12 + Σ´1 )] = v 2 D Los incognitas son cinco en cada ecuación: • • •

La variación de coordenadas del punto de estación: dX1, dY1 La variación de coordenadas del punto visado: dX2, dY2, y la variación de desorientación del punto de estación: dΣ1

Se plantea una por cada observación acimutal, pero queda claro que aquellas observaciones entre puntos fijos no plantean ecuación, los diferenciales son cero tanto en el punto 1 como en el punto 2, y no existe ecuación por no existir incógnitas, y que tendremos que calcular la desorientación aproximada de P1 y P2.

M. Farjas

51

Tema 8

Intersección Múltiple

Tenemos las siguientes visuales: PUNTO DE ESTACIÓN P1

A B

D P2

PUNTO VISADO A B C D P2 B P1 A P1 P2 P2 C P1 D C

RELACIÓN DE OBSERVACIÓN De dirección De dirección De dirección De dirección De dirección De dirección De dirección De dirección De dirección De dirección De dirección De dirección

Procedemos a continuación a plantear estas doce ecuaciones: Ecuación de dirección de P1 a A: Punto de estación 1 ≡ P1 Punto visado 2 ≡ A

r CC DPA1´

2

⋅ [(YA − YP1 )dX A − (YA − YP1 )dX P1 − ( X A − X P1 )dYA + ( X A − X P1 )dYP1 ] − dΣ P1 +

[(θ PA1 )'− ( LAP1 + Σ´P1 )]CC = v Como A es un punto del que no vamos a variar sus coordenadas: dXA = 0 dYA = 0 La dΣP1 se mantiene como incógnita en la ecuación. La ecuación queda:

r CC D

A 2 P1´

⋅ [− (YA − YP1 )dX P1 + ( X A − X P1 )dYP1 ] − dΣ P1 + [(θ PA1 )'− ( LAP1 + Σ´P1 )]

CC

=v

Ecuación de dirección de P1 a B: Punto de estación 1 ≡ P1 Punto visado 2 ≡ B

M. Farjas

52

Tema 8

Intersección Múltiple

r CC DPB1´

2

⋅ [(YB − YP1 )dX B − (YB − YP1 )dX P1 − ( X B − X P1 )dYB + ( X B − X P1 )dYP1 ] − dΣ P1 +

[(θ PB1 )'− ( LBP1 + Σ´P1 )]CC = v Como B es un punto del que no vamos a variar sus coordenadas: dxB = 0 dYB = 0 La dΣP1 se mantiene como incógnita en la ecuación. La ecuación queda:

r CC D

⋅ [− (YB − YP1 )dX P1 + ( X B − X P1 )dYP1 ] − dΣ P1 + [(θ PB1 )'− ( LBP1 + Σ´P1 )]

CC

B 2 P1´

=v

Ecuación de dirección de P1 a C: Punto de estación 1 ≡ P1 Punto visado 2 ≡ C

r CC DPC1´

2

⋅ [(YC − YP1 )dX C − (YC − YP1 )dX P1 − ( X C − X P1 )dYC + ( X C − X P1 )dYP1 ] − dΣ P1 +

[(θ PC1 )'− ( LCP1 + Σ´P1 )]CC = v Como C es un punto del que no vamos a variar sus coordenadas: dxC = 0 dYC = 0 La dΣP1 se mantiene como incógnita en la ecuación. La ecuación queda:

r CC D

C 2 P1´

⋅ [− (YC − YP1 )dX P1 + ( X C − X P1 )dYP1 ] − dΣ P1 + [(θ PC1 )'− ( LCP1 + Σ´P1 )]

CC

=v

Ecuación de dirección de P1 a D: Punto de estación 1 ≡ P1 Punto visado 2 ≡ D

M. Farjas

53

Tema 8

Intersección Múltiple

r CC DPD1´

2

⋅ [(YD − YP1 )dX D − (YD − YP1 )dX P1 − ( X D − X P1 )dYD + ( X D − X P1 )dYP1 ] − dΣ P1 +

[(θ PD1 )'− ( LDP1 + Σ´P1 )]CC = v Como D es un punto del que no vamos a variar sus coordenadas: dxD = 0 dYD = 0 La dΣP1 se mantiene como incógnita en la ecuación. La ecuación queda:

r CC D

⋅ [− (YD − YP1 )dX P1 + ( X D − X P1 )dYP1 ] − dΣ P1 + [(θ PD1 )'− ( LDP1 + Σ´P1 )]

CC

D 2 P1´

=v

Ecuación de dirección de P1 a P2: Punto de estación 1 ≡ P1 Punto visado 2 ≡ P2

r CC DPP12´

2

⋅ [(YP 2 − YP1 )dX P 2 − (YP 2 − YP1 )dX P1 − ( X P 2 − X P1 )dYP 2 + ( X P 2 − X P1 )dYP1 ] − dΣ P1 +

[(θ PP12 )'− ( LPP12 + Σ´P1 )]CC = v No se elimina ninguna incógnita.

Ecuación de dirección de A a P1: Punto de estación 1 ≡ A Punto visado 2 ≡ P1

r CC D AP1´

2

⋅ [(YP1 − YA )dX P1 − (YP1 − YA )dX A − ( X P1 − X A )dYP1 + ( X P1 − X A )dYA ] − dΣ A +

[(θ AP1 )'− ( LPA1 + Σ´ A )]CC = v Como A es un punto del que no vamos a variar sus coordenadas: dXA = 0 dYA = 0 Por otra parte, como hemos estacionado en un punto A, del que conocemos sus coordenadas y hemos orientado visando a otro punto conocido conocemos el acimut : dΣA = 0

M. Farjas

54

Tema 8

Intersección Múltiple

La ecuación queda:

r CC D

⋅ [(YP1 − YA )dX P1 − ( X P1 − X A )dYP1 ] + [(θ AP1 )'− (θ AP1 )]

CC

P1´ 2 A

=v

Ecuación de dirección de B a P1: Punto de estación 1 ≡ B Punto visado 2 ≡ P1

r CC DBP1´

2

⋅ [(YP1 − YB )dX P1 − (YP1 − YB )dX B − ( X P1 − X B )dYP1 + ( X P1 − X B )dYB ] − dΣ B +

[(θ BP1 )'− ( LPB1 + Σ´B )]CC = v Como B es un punto del que no vamos a variar sus coordenadas: dxB = 0 dYB = 0 Por otra parte, como hemos estacionado en un punto B, del que conocemos sus coordenadas y hemos orientado visando a otro punto conocido conocemos el acimut : dΣB = 0 La ecuación queda:

r CC D

⋅ [(YP1 − YB )dX P1 − ( X P1 − X B )dYP1 ] + [(θ BP1 )'− (θ BP1 )]

CC

P1´ 2 B

=v

Ecuación de dirección de B a P2: Punto de estación 1 ≡ B Punto visado 2 ≡ P2

r CC DBP 2´

2

⋅ [(YP 2 − YB )dX P 2 − (YP 2 − YB )dX B − ( X P 2 − X B )dYP 2 + ( X P 2 − X B )dYB ] − dΣ B +

[(θ BP 2 )'− ( LPB2 + Σ´B )]CC = v Como B es un punto del que no vamos a variar sus coordenadas: dxB = 0 dYB = 0 Por otra parte, como hemos estacionado en un punto B, del que conocemos sus coordenadas y hemos orientado visando a otro punto conocido conocemos el acimut :

M. Farjas

55

Tema 8

Intersección Múltiple dΣB = 0

La ecuación queda:

r CC D

⋅ [(YP 2 − YB )dX P 2 − ( X P 2 − X B )dYP 2 ] + [(θ BP 2 )'− (θ BP 2 )]

CC

P 2´ 2 B

=v

Ecuación de dirección de D a P2: Punto de estación 1 ≡ D Punto visado 2 ≡ P2

r CC DDP 2´

2

⋅ [(YP 2 − YD )dX P 2 − (YP 2 − YD )dX D − ( X P 2 − X D )dYP 2 + ( X P 2 − X D )dYD ] − dΣ D +

[(θ DP 2 )'− ( LPD2 + Σ´D )]CC = v Como B es un punto del que no vamos a variar sus coordenadas: dxD = 0 dyD = 0 Por otra parte, como hemos estacionado en un punto B, del que conocemos sus coordenadas y hemos orientado visando a otro punto conocido conocemos el acimut : dΣB = 0 La ecuación queda:

r CC D

⋅ [(YP 2 − YD )dX P 2 − ( X P 2 − X D )dYP 2 ] + [(θ DP 2 )'− (θ DP 2 )]

CC

P 2´ 2 D

=v

Ecuación de dirección de P2 a D: Punto de estación 1 ≡ P2 Punto visado 2 ≡ D

r CC DPD2´

2

⋅ [(YD − YP 2 )dX D − (YD − YP 2 )dX P 2 − ( X D − X P 2 )dYD + ( X D − X P 2 )dYP 2 ] − dΣ P 2 +

[(θ PD2 )'− ( LDP2 + Σ´P 2 )]CC = v Como D es un punto del que no vamos a variar sus coordenadas: dxD = 0 dYD = 0 La dΣP se mantiene como incógnita en la ecuación.

M. Farjas

56

Tema 8

Intersección Múltiple

La ecuación queda:

r CC D

⋅ [− (YD − YP 2 )dX P 2 + ( X D − X P 2 )dYP 2 ] − dΣ P 2 + [(θ PD2 )'− ( LDP 2 + Σ´P 2 )]

CC

D 2 P 2´

=v

Ecuación de dirección de P2 a C: Punto de estación 1 ≡ P2 Punto visado 2 ≡ C

r CC DPC2´

2

⋅ [(YC − YP 2 )dX C − (YC − YP 2 )dX P 2 − ( X C − X P 2 )dYC + ( X C − X P 2 )dYP 2 ] − dΣ P 2 +

[(θ PC2 )'− ( LCP 2 + Σ´P 2 )]CC = v Como D es un punto del que no vamos a variar sus coordenadas: dxC = 0 dyC = 0 La dΣP se mantiene como incógnita en la ecuación. La ecuación queda:

r CC D

⋅ [− (YC − YP 2 )dX P 2 + ( X C − X P 2 )dYP 2 ] − dΣ P 2 + [(θ PC2 )'− ( LCP 2 + Σ´P 2 )]

CC

C 2 P 2´

=v

Ecuación de dirección de P2 a P1: Punto de estación 1 ≡ P2 Punto visado 2 ≡ P1

r CC DPP21´

2

⋅ [(YP1 − YP 2 )dX P1 − (YP1 − YP 2 )dX P 2 − ( X P1 − X P 2 )dYP1 + ( X P1 − X P 2 )dYP 2 ] − dΣ P 2 +

[(θ PP21 )'− ( LPP12 + Σ´P 2 )]CC = v RESOLUCIÓN DEL SISTEMA El sistema de ecuaciones que hemos obtenido es el siguiente: Ecuación de dirección de P1 a A:

r CC D

M. Farjas

A 2 P1´

⋅ [− (YA − YP1 )dX P1 + ( X A − X P1 )dYP1 ] − dΣ P1 + [(θ PA1 )'− ( LAP1 + Σ´P1 )]

CC

=v

57

Tema 8

Intersección Múltiple

Ecuación de dirección de P a B:

r CC D

⋅ [− (YB − YP1 )dX P1 + ( X B − X P1 )dYP1 ] − dΣ P1 + [(θ PB1 )'− ( LBP1 + Σ´P1 )]

CC

B 2 P1´

=v

Ecuación de dirección de P1 a C:

r CC D

⋅ [− (YC − YP1 )dX P1 + ( X C − X P1 )dYP1 ] − dΣ P1 + [(θ PC1 )'− ( LCP1 + Σ´P1 )]

CC

C 2 P1´

=v

Ecuación de dirección de P1 a D:

r CC D

⋅ [− (YD − YP1 )dX P1 + ( X D − X P1 )dYP1 ] − dΣ P1 + [(θ PD1 )'− ( LDP1 + Σ´P1 )]

CC

D 2 P1´

=v

Ecuación de dirección de P1 a P2:

r CC DPP12´

2

⋅ [(YP 2 − YP1 )dX P 2 − (YP 2 − YP1 )dX P1 − ( X P 2 − X P1 )dYP 2 + ( X P 2 − X P1 )dYP1 ] − dΣ P1 +

[(θ PP12 )'− ( LPP12 + Σ´P1 )]CC = v Ecuación de dirección de A a P1:

r CC D

P1´ 2 A

⋅ [(YP1 − YA )dX P1 − ( X P1 − X A )dYP1 ] + [(θ AP1 )'− (θ AP1 )]

CC

=v

Ecuación de dirección de B a P1:

r CC D

P1´ 2 B

⋅ [(YP1 − YB )dX P1 − ( X P1 − X B )dYP1 ] + [(θ BP1 )'− (θ BP1 )]

CC

=v

Ecuación de dirección de B a P2:

r CC D

P 2´ 2 B

⋅ [(YP 2 − YB )dX P 2 − ( X P 2 − X B )dYP 2 ] + [(θ BP 2 )'− (θ BP 2 )]

CC

=v

Ecuación de dirección de D a P2:

r CC D

P 2´ 2 D

⋅ [(YP 2 − YD )dX P 2 − ( X P 2 − X D )dYP 2 ] + [(θ DP 2 )'− (θ DP 2 )]

CC

=v

Ecuación de dirección de P2 a D:

r CC D

M. Farjas

D 2 P 2´

⋅ [− (YD − YP 2 )dX P 2 + ( X D − X P 2 )dYP 2 ] − dΣ P 2 + [(θ PD2 )'− ( LDP 2 + Σ´P 2 )]

CC

=v

58

Tema 8

Intersección Múltiple

Ecuación de dirección de P2 a C:

r CC D

⋅ [− (YC − YP 2 )dX P 2 + ( X C − X P 2 )dYP 2 ] − dΣ P 2 + [(θ PC2 )'− ( LCP 2 + Σ´P 2 )]

CC

C 2 P 2´

=v

Ecuación de dirección de P2 a P1:

r CC DPP21´

2

⋅ [(YP1 − YP 2 )dX P1 − (YP1 − YP 2 )dX P 2 − ( X P1 − X P 2 )dYP1 + ( X P1 − X P 2 )dYP 2 ] − dΣ P 2 +

[(θ PP21 )'− ( LPP12 + Σ´P 2 )]CC = v No olvidéis que las relaciones de observación son de la forma: AX=L+v Por lo que es necesario pasar el término independiente al otro miembro de la ecuación, para aplicar la resolución matricial. Como solución obtendremos los valores dXP y dYP, que sumados a los iniciales (aproximados), nos permiten calcular la solución final.

3. LA INTERSECCIÓN MÚLTIPLE CON ANGULOS Y CON DISTANCIAS 3.1

Introducción.

3.2

Expresión de la relación de observación por dirección angular observada.

3.3

Expresión de la relación de observación por distancia observada.

3.4

Metodología general de cálculo por mínimos cuadrados.

M. Farjas

.

Coordenadas aproximadas del punto a determinar.

.

Planteamiento de las relaciones de observación. Observaciones angulares. Observaciones de distancia.

.

Asignación de pesos.

.

Resolución del sistema de ecuaciones por mínimos cuadrados. Relaciones normales. Solución al sistema de ecuaciones de observación.

.

Coordenadas ajustadas del punto a determinar.

.

Precisión de las coordenadas ajustadas.

59

Tema 8

Intersección Múltiple

De modo análogo a cómo hemos expuesto los apartados anteriores, puede resolverse el caso de intersecciones en los que se introducen medidas de distancias. Es importante recordar que las distancias que se introducen en las ecuaciones han de ser distancias cartesianas, en el sistema de referencia en el que estemos trabajando.

4.

RESOLUCIÓN DE LA ALTIMETRÍA. 4.1

Introducción.

4.2

Expresión de la relación de observación por desnivel.

4.3

Metodología general de cálculo por mínimos cuadrados. .

Altitudes aproximadas de los punto a determinar.

.

Planteamiento de las relaciones de observación.

.

Asignación de pesos.

.

Resolución del sistema de ecuaciones por mínimos cuadrados. Relaciones normales. Solución al sistema de ecuaciones de observación.

.

Altitud ajustada de los puntos a determinar.

.

Precisión de las altitudes ajustadas.

5. BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA. • • • • •

• •

M. Farjas

BEZOARI, G.; MONTI, C. y SELVINI, A. (1980). BRINKER, Russell C.; MINNICK, Roy (1987). CHUECA PAZOS, M. (1983): Tomo I. DOMINGUEZ GARCIA-TEJERO, F. (1978). GARCÍA CORTÉS, S.; SÁNCHEZ FERNÁNDEZ, B. ; SÁEZ GARCÍA, E. (2001) : Consideraciones Generales sobre el Ajuste de Observaciones Topográficas mediante Mínimos Cuadrados. Topografía y Cartografía. Vol. XVIII- Nº 106, SeptiembreOctubre 2001, pp.24-36. Colegio Oficial de Ingenieros Técnicos en Topografía, Madrid. OJEDA, J.L. (1984). UREN, J.; PRICE, W.F.(1992).

60

Tema 9

Triangulación y Trilateración

Tema 9: Triangulación y Trilateración

M. Farjas

1

Tema 9

Triangulación y Trilateración

ÍNDICE

1.

FUNDAMENTO TEÓRICO DEL MÉTODO 1.1

Concepto y necesidad de una red topográfica.

1.2

Proyecto y diseño de una red topográfica • • • •

2.

Pre-selección de vértice Reconocimiento y selección definitiva Señalización Reseñas

OBSERVACIÓN DE UNA RED TOPOGRÁFICA 2.1

Triangulación. 1.

Observación angular. • • •

2.

Medida de la base/s. •

3.

Método de la vuelta de horizonte. Método de pares sobre una referencia. Método mixto.

Ampliación y reducción de bases.

Estaciones excéntricas. Reducción al centro. • Concepto. • Cálculo.

2.2

3.

Trilateración.

CÁLCULO Y COMPENSACIÓN 3.1

Cálculo de la triangulación. A.

Descomposición de figuras. • • •

B.

Aplicando mínimos cuadrados. •

M. Farjas

Polígonos. Cadena de triángulos. Cuadriláteros.

Ecuaciones de condición.

2

Tema 9

Triangulación y Trilateración •

3.2

Cálculo de la trilateración. •

Corrección de las distancias medidas. • • •

3.3

4.

Constante del distanciómetro y prisma. Corrección atmosférica. Corrección en caso de proyección UTM.

Cálculo de triangulación-trilateración. ƒ ƒ ƒ ƒ

3.4

Relaciones de observación.

Obtención de las coordenadas aproximadas. Relaciones de observación. Introducción de pesos. Resolución de las ecuaciones.

Precisión de una red topográfica.

BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA

M. Farjas

3

Tema 9

Triangulación y Trilateración

1. FUNDAMENTO TEORICO DEL METODO 1.1 Concepto y necesidad de una red topográfica. 1.2 Proyecto y diseño de una red topográfica • • • •

1.1

Pre-selección de vértice Reconocimiento y selección definitiva Señalización Reseñas

CONCEPTO Y NECESIDAD DE UNA RED TOPOGRÁFICA Se considera red topográfica al conjunto de vértices a partir de la red geodésica de 3er orden. La necesidad de la red topográfica radica en que la distancia entre los vértices de 3er orden es demasiado grande para los levantamientos. Se hace necesario establecer por métodos topográficos nuevos vértices, denominados vértices topográficos de modo que la distancia entre ellos no supere aquella que necesita el trabajo.

1.2

RED TRIGONOMÉTRICA O TRIANGULACIÓN Los puntos que constituyen esta red pueden estar separados desde unos centenares de metros hasta kilómetros. Para ubicarlos se utilizan los métodos de intersección. Los métodos de intersección no requieren más que medidas angulares, por ello para llegar a determinar las posiciones de los vértices se necesitará conocer al menos la longitud de uno de los lados de la red. A este lado de longitud conocida se le denomina base de la triangulación

2.

OBSERVACIÓN DE UNA RED TOPOGRÁFICA 2.1

Triangulación. 1.

Observación angular. • • •

2.

Medida de la base/s. •

M. Farjas

Método de la vuelta de horizonte. Método de pares sobre una referencia. Método mixto.

Ampliación y reducción de bases.

4

Tema 9

Triangulación y Trilateración

3.

Estaciones excéntricas. Reducción al centro. • Concepto. • Cálculo.

2.2

2.1

Trilateración.

TRIANGULACIÓN (observaciones angulares+ una distancia)

Método de vuelta de horizonte El método de observación en la triangulación es el mismo que el que estudiamos en la intersección, es decir el método de vueltas de horizonte. Cuando las observaciones angulares se efectúan según este método, se estaciona el instrumento en el vértice, por ejemplo en A y en posición de C.D. se observan todas las direcciones. De ellas se elige la que mejor definida esté, por ejemplo F, y se anotan las lecturas a cada una de las restantes B, C, ..., para volver a mirar a la visual de origen F, y comprobar si su lectura , llamada de cierre, es la misma que al comienzo. Ello permitirá comprobar que el instrumento no ha sufrido ningún tipo de movimiento durante la observación. De ser así se procederá a situar el equipo en posición de C.I. y se repetirán las observaciones, girando en sentido contrario al anterior y comprobando igualmente el cierre de F. Si es correcto se dice que se ha observado una serie o vuelta de horizonte. Cuando se pretende alcanzar ciertas precisiones, se hace necesario observar más de una serie y si es n el número de ellas, el ángulo de reiteración α, viene dado por el cociente:

α=

200 g n

que será el valor que habrá que incrementar la lectura origen de cada serie para conocer la de la siguiente. En Topografía no es frecuente observar más de dos series Se ha dicho anteriormente que las lecturas de cierre deben ser coincidentes con las iniciales, pero se comprende que esta coincidencia no puede ser total, ya que

M. Farjas

5

Tema 9

Triangulación y Trilateración

estarán afectadas de errores de puntería y lectura por lo que la mayor diferencia admisible para el cierre de una vuelta de horizonte, será:

e≤

(

e 2p + e 2l

)

2

Método de pares sobre una referencia Este método consiste en elegir una dirección de referencia R, que esté bien definida, y que puede ser o no alguna de las direcciones a observar. Se hacen las lecturas correspondientes sobre R y B como si se tratase de una vuelta de horizonte compuesta nada más que por dicho par de direcciones. A continuación se visan de igual modo a R y C, que constituirán el segundo par, y así , sucesivamente hasta haber combinado con R todas las direcciones. Como la observación de cada par se hace en muy poco tiempo se evitan posibles movimientos del equipo. Si el número de direcciones es grande, es lógico que se tarde bastante en la observación de las direcciones, por lo que para abreviar se utiliza el método mixto que consiste en dividir las direcciones totales en varias de tal manera que se vise a la referencia y a unas direcciones y luego se vuelta a visar a la referencia y al resto de las direcciones y se refunden las vueltas de horizonte en una sola. Medida de la base Para el desarrollo de la triangulación es necesario conocer la longitud de uno de los lados. Este lado se llama base de la triangulación. Puede obtenerse mediante medición directa o puede calcularse indirectamente su longitud, por reducción de la de un lado geodésico o por ampliación de otra base más pequeña. La base debe ocupar un lugar lo más centrado posible respecto de la triangulación. Es evidente que así serán necesarios menos encadenamientos de triángulos para enlazar desde ella los límites de la zona. En cuanto a la precisión de la medida de la base será aquella que requiera la escala del plano que se pretende obtener y la mayor o menor superficie a representar, o dependerá de la precisión con la que se deseen las coordenadas de los vértices. La medida de la base se suele llevar a cabo con distanciómetros electrónicos. Anteriormente se realizaba mediante una estadía invar, y fraccionando la distancia en tramos no mayores a 50 metros. Se conseguían de este modo precisiones del orden de 1/50.000.

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Tema 9

Triangulación y Trilateración Las longitudes medidas han de experimentar diversas correcciones, siendo la primera la correspondiente a su reducción al horizonte, si es que el sistema empleado para obtenerla no da directamente este tipo de distancias. A su vez, si no es pequeña la altitud de la base puede llegar a tener cierta importancia la corrección denominada reducción al nivel de mar ya que los verticales de sus extremos A’ y B’ no son paralelos sino convergentes en O, centro de la Tierra. Así, si es H aquella altitud de la semejanza de triángulos OAB y OA’B’ se deduce:

OA' R + H A' B' = = OA R AB R AB = A' B' R+H Si se desea efectuar el calculo de la triángulación en coordenadas rectangulares de un determinado sistema de proyección, debe tenerse en cuenta que las longitudes a representar en el plano pueden no ser iguales a las correspondientes en el terreno, dadas las deformaciones que se producen en las proyecciones cartográficas, teniendo que tener en cuenta la denominada anamorfosis lineal, que representa la relación que existe entre aquellas longitudes. El valor de k, de la anamorfosis es variable de unas proyecciones a otras y es función de las coordenadas del lugar, así pues la longitud de la base a considerar en el plano (AB), viene dada por la expresión:

(AB) = AB ⋅ k Si la base medida es pequeña puede ampliarse por métodos topográficos. Tradicionalmente se ha llevado a cabo esta tarea mediante los métodos del polígono, de la doble cadena, o el método rómbico: •

Método del polígono

El primero de ellos consiste en elegir una serie de puntos de forma que los extremos de la base medida A y B serán vértices de un polígono y de modo que también lo serán los extremos C y G. de la base deducida. Los restantes vértices se sitúan libremente procurando que formen triángulos en los que se vayan aumentando progresivamente los lados. Con este método no se consiguen grandes ampliaciones a lo sumo el doble de las medidas.

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Tema 9

•

Triangulación y Trilateración

Método de la doble cadena

La ampliación por doble cadena se hace, como de su nombre se deduce, mediante la observación de las cadenas de triángulos, para tener así comprobación de los resultados. Normalmente los vértices duplicados de ambas cadenas son los intermedios entre los de la base medida y ampliada, se sitúan muy próximos unos a otros, lo que reduce los desplazamiento y se utilizan banderas de diferentes colores para no confundirlos. Este método permite ampliaciones mayores que el anterior, pero no se debe exagerar el número de triángulos de las cadenas, para evitar la acumulación de errores.

•

Método rómbico

Por ultimo el método más utilizado era el método rombico o alemán. Con él se conseguían mayores rendimientos con el menor esfuerzo. Consiste en considerar la basé AB medida, como la diagonal pequeña de un rombo, del que la base ampliada CD, es la otra diagonal. Así pues solo interviene en la operación los cuatro puntos mencionados reduciéndose al máximo las observaciones. Con este método se puede ampliar dos veces y media la base medida con un rombo, pero puede considerarse a la diagonal CD como la base a ampliar mediante otro rombo, del que EF seria la base a deducir.

. 2.2

TRILATERACIÓN (medida de distancias) Este método consiste en que en vez de medir ángulos se miden distancias entre todos los lados con distanciómetro. Las distancias que se obtienen en campo hay que reducirlas al horizonte, por ello deberán medirse también los correspondientes ángulos de inclinación, es decir se deben tomar las lecturas cenitales.

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Tema 9

Triangulación y Trilateración

Si se designan por a, b, c los lados del triángulo ABC el valor de A se puede deducir mediante el teorema del coseno.

b2 + c2 − a 2 cos A = 2bc o también

cos

A = 2

p( p − a ) bc

Las coordenadas de los vértices se deducen del siguiente modo: si son A y B los puntos de partida conocidos el acimut θ A será asímismo conocido y como se ha médido el lado AC, para calcular las coordenadas de C respecto de A solo se precisa deducir el angulo en A ya que: B

θ CA = θ BA − A 2.3

ESTACIONES EXCENTRICAS En ocasiones por alguna razón no es posible estacionar en un vértice V. En este caso se puede situar el aparato en otro punto E, haciendo lo que se llama una estación excéntrica. Visando a los puntos A , B,... que deberían observase desde V, con posterioridad pueden calcularse las lecturas que se hubiesen realizado de haber podido estacionar en él. Para ello bastará tomar nota también de la lectura acimutal que corresponde a la dirección EV, llamada lectura al centro, y medir cuidadosamente la separación entre ambos puntos, E y V, que se denomina distancia de excentricidad

Sean

LA

y

LV

las

lecturas

efectuadas,

respectivamente, desde E al vértice lejano A y al V, y sea E0g la del origen de lecturas. Si por V se traza rectas paralelas a E0g y EA, se tendrá:

L' A = L A + e A por lo hecho LV en puede

que para conocer la lectura que se hubiese desde V sobre A, bastará modificar la lectura el valor del angulo eA. En el triángulo EVA establecerse:

EV VA (1) = $ sen e A sen VEA

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Tema 9

Triangulación y Trilateración

pero:

  EV = d  VEA = L A − L V  VA = D AV

Sustituyendo valores en la expresión (1) y despejando sen eA resulta:

D AV d = sen e A sen(L A − L V ) sen e A = d

sen(L A − L V ) D VA

V

Como la distancia d es corta y grande D A , el ángulo eA, será necesariamente pequeño, por lo que puede sustituirse el seno por el arco, y expresándolo en segundos, se obtendrá:

eA

CC

= dr CC

sen(L A − L V ) D AV

Para cada una de las observaciones o direcciones visadas desde E, hay que deducir la corrección que le corresponde. La corrección toma un valor diferente para cada visual.

3.

CÁLCULO Y COMPENSACIÓN 3.1

Cálculo de la triangulación. A.

Descomposición de figuras. • • •

B.

Aplicando mínimos cuadrados. • •

3.2

Corrección de las distancias medidas. • • •

Constante del distanciómetro y prisma. Corrección atmosférica. Corrección en caso de proyección UTM.

Cálculo de triangulación-trilateración. ƒ ƒ ƒ ƒ

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Ecuaciones de condición. Relaciones de observación.

Cálculo de la trilateración. •

3.3

Polígonos. Cadena de triángulos. Cuadriláteros.

Obtención de las coordenadas aproximadas. Relaciones de observación. Introducción de pesos. Resolución de las ecuaciones.

10

Tema 9 3.4

3.1

Triangulación y Trilateración Precisión de una red topográfica.

CALCULO PLANIMÉTRICO DE LA TRIÁNGULACIÓN

DESCOMPOSICIÓN DE FIGURAS. - Polígono ( 5 - 7 vértices). - Cuadrilátero. -Cadena. AJUSTE MÍNIMO CUADRÁTICO.

COMPENSACIÓN DE FIGURAS

A.

POLÍGONO

Si la descomposición de los vértices es similar a la de la figura, se ha formado un polígono alrededor de su vértice central. Supongamos que se han medido en el campo los ángulos indicados en la figura. El número de triángulos que normalmente configuran los polígonos suelen ser 5, 6 ó 7 y las condiciones que han de cumplir sus ángulo serán: 1.-

La suma de los tres ángulos de cada triángulo ha de ser 200g.

2.-

La suma de los ángulos alrededor del vértice central, A, deber ser 400g.

3.-

Calculando sucesivamente los triángulos a partir de un lado radial cualquiera, el AB, por ejemplo, debe llevarse a la misma longitud inicial.

El cumplimiento de estas tres condiciones da lugar a la aplicación de otras tantas compensaciones, y que enunciadas por orden, son: 1º Compensación: Cierre de triángulos.

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Triangulación y Trilateración

Sumando los tres ángulos de cada triángulo, resultará:

1 + 2 + 3 = 200 g 4 + 5 + 6 = 200 g 7 + 8 + 9 = 200 g 10 + 11 + 12 = 200 g 13 + 14 + 15 = 200 g Naturalmente la suma de los ángulos no será 200g así que se producirá un error ei

1 + 2 + 3 = 200 g + e 1 4 + 5 + 6 = 200 g + e 2 7 + 8 + 9 = 200 g + e 3 10 + 11 + 12 = 200 g + e 4 13 + 14 + 15 = 200 g + e 5 Para compensar los diferentes errores si son admisibles ( e ≤ e a

2 3 ), se

corregirá cada uno de los ángulos en la tercera parte del error, pero nunca introduciendo una compensación inferior a la precisión de las lecturas. Si por algún motivo quedara una parte del error sin compensar se le sumará al ángulo que más se acerque a 100g por exceso o por defecto. Quedando entonces los ángulos:

1 1' = 1 − e1 3 1 2' = 2 − e1 3 1 3' = 3 − e1 3 1 4' = 4 − e 2 3 1 5' = 5 − e 2 3 . . . . 1 15' = 15 − e5 3 2º compensación: Suma de ángulos en el centro. Los ángulos medidos alrededor del punto O deben sumar 400g, ya que son los deducidos de una vuelta de horizonte.

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Triangulación y Trilateración

1 + 4 + 7 + 10 + 13 = 400 g Naturalmente esto no ocurrirá así que se producirá un error e que si es tolerable ( ea

2 n donde n = número de vértices) se procederá a compensar del mismo

modo que se compensó con los ángulos interiores.

1 + 4 + 7 + 10 + 13 = 400 g + e de tal manera que en este caso la compensación será:

1 1' ' = 1'− e 5 1 4' ' = 4 − e 5 1 7' ' = 7'− e 5 1 10' ' = 10'− e 5 1 13' ' = 13'− e 5 Pero esta modificación de los ángulos interiores implica que habrá dejado de cumplirse la 1ª condición. Para que esto no ocurra se tendrán que retocar los ángulos restantes en la mitad y con signo contrario al de la corrección que se ha efectuado a los ángulos interiores.

1 e 10 1 3'' = 3'+ e 10 1 5'' = 5'+ e 10 1 6'' = 6 + e 10 1 8'' = 8 + e 10 . . . . . . . . 1 15' ' = 15'+ e 10 2'' = 2'+

3º Compensación: Ajuste de lado. Puede suceder que cumpliéndose las otras dos condiciones el conjunto de los puntos no sea un polígono, y entonces el punto A’ obtenido médiante la relación

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Triangulación y Trilateración

encadenada del teorema del seno, aplicado a las sucesivas bases de los triángulos, no coincida con el de partida A. Para que esto no ocurra se ha de aplicar una tercera corrección.

Aplicando el teorema de los senos a los diferentes triángulos obtenemos en el triángulo 1:

OA sen 3 = OB sen 2 En el triángulo 2:

OB sen 6 = OC sen 5 En el triángulo 3:

OC sen 9 = OD sen 8 En el triángulo 4:

OD sen 12 = OE sen 11 En el triángulo 5:

OE sen 14 = OA sen 15

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Triangulación y Trilateración

Multiplicando ordenadamente nos queda:

0 A ⋅ 0 B ⋅ 0C ⋅ 0 D ⋅ 0 E sen 3 ⋅ sen 6 ⋅ sen 9 ⋅ sen 12 ⋅ sen 15 = OB ⋅ OC ⋅ OD ⋅ OE ⋅ OA sen 2 ⋅ sen 5 ⋅ sen 8 ⋅ sen 11 ⋅ sen 14 Ahora el primer miembro de la igualdad es igual a uno luego:

sen 3 ⋅ sen 6 ⋅ sen 9 ⋅ sen 12 ⋅ sen 15 =1 sen 2 ⋅ sen 5 ⋅ sen 8 ⋅ sen 11 ⋅ sen 14 Para que sea cierto los punto A y A’ han de coincidir, pues de lo contrario el lado OA, inicial y final, no serán iguales. Este será el caso más general, el logaritmo de la expresión anterior no será 0 sino que valdrá un cierto valor ∆:

log

sen 3 ⋅ sen 6 ⋅ sen 9 ⋅ sen 12 ⋅ sen 15 =∆ sen 2 ⋅ sen 5 ⋅ sen 8 ⋅ sen 11 ⋅ sen 14

Se modifican los ángulos de la expresión anterior para conseguir que sea cero el logaritmo. Esta modificación ha de hacerse de manera que no perturbe las compensaciones anteriores, y observando que en el numerador y en el denominador de la expresión anterior, figuran un ángulo de cada triángulo, para no introducir nuevos errores, la corrección que se introduzca en ellos ha de hacerse por igual y con signo contrario. Así designándola por e y aplicando con signo negativo a los del numerador y positivo a los del denominador se tendrá:

log

sen(3 − e) ⋅ sen(6 − e) ⋅ sen(9 − e) ⋅ sen(12 − e) ⋅ sen(15 − e) =0 sen(2 + e) ⋅ sen(5 + e) ⋅ sen(8 + e) ⋅ sen(11 + e) ⋅ sen(14 + e)

Matemáticamente se obtiene que el ángulo e, puede calcularse con la siguiente expresión:

e=

∆

∑δ

Siendo:

∆ = log

∑ ∑

δ

sen3 ⋅ sen6 ⋅ sen9 ⋅ sen12 ⋅ sen15 sen2 ⋅ sen5 ⋅ sen8 ⋅ sen11 ⋅ sen14

δ = δ 3 + δ 6 + δ 9 + δ 12 + δ 15 + δ 2 + δ 5 + δ 8 + δ 11 + δ 14

se denomina sumatorio de diferencias tabulares, debido al origen de las

mismas. Se calculan para los ángulos que intervienen en la ecuación de ajuste.

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Triangulación y Trilateración

Recordemos que la ecuación de ajuste debe deducirse para cada caso concreto de compensación. El valor de

∑

δ

viene dado por:

δ 3 = log sen (3 + 1CC ) − log sen 3 δ 6 = log sen (6 + 1CC ) − log sen 6 δ 9 = log sen (9 + 1CC ) − log sen 9 δ 12 = log sen (12 + 1CC ) − log sen 12 δ 15 = log sen (15 + 1CC ) − log sen 15 δ 2 = log sen (2 + 1CC ) − log sen 2 δ 5 = log sen (5 + 1CC ) − log sen 5 δ 8 = log sen (8 + 1CC ) − log sen 8 δ 11 = log sen (11 + 1CC ) − log sen 11 δ 14 = log sen (14 + 1CC ) − log sen 14 La demostración teórica del cálculo del término e, se inicia a partir de la expresión:

log

sen(3 − e) ⋅ sen(6 − e) ⋅ sen(9 − e) ⋅ sen(12 − e) ⋅ sen(15 − e) =0 sen(2 + e) ⋅ sen(5 + e) ⋅ sen(8 + e) ⋅ sen(11 + e) ⋅ sen(14 + e)

Desarrollando:

(log(sen(3 − e)) + log(sen(6 − e)) + log(sen(9 − e)) + (log(sen(12 − e)) + log(sen(15 − e))) −

(log(sen(2 + e)) + log(sen(5 + e)) + log(sen(8 + e)) + log(sen((11 + e)) + log(sen(14 + e)) = 0 Debido a la pequeñez de e puede escribirse de modo general que:

log(sen(3 − e)) = logsen 3 − eδ 3 log(sen 2 + e)) = logsen 2 − eδ 2 Sustituyendo en la expresión anterior tendremos:

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Tema 9

Triangulación y Trilateración

(log sen 3 − eδ 3 + log sen 6 − eδ 6 + log sen 9 − eδ 9 + log sen 12 − eδ 12 + log sen 15 − eδ 15 −

(logsen 2 + eδ 2 + logsen 5 + eδ 5 + logsen 8 + eδ 8 + logsen 11 + eδ 11 + logsen 14 + eδ 14 = 0 y agrupando términos:

log sen3 + log sen 6 + log sen9 + log sen12 + log sen15 − (log sen 2 + log sen5 + log sen8 + log sen11 + log sen14) =

= e(δ 2 + δ 3 + δ 5 + δ 6 + δ 8 + δ 9 + δ 11 + δ 12 + δ 14 + δ 15 ) Ahora el primer miembro de la expresión es el desarrollo del logaritmo de la expresión (*) . Su valor será ∆. La expresión queda reducida a:

∆ = e∑ δ

e=

∆

∑δ

Una vez hallada la corrección (el valor del ángulo e, que compensa la figura) se corregirá a los ángulos del numerador con signo contrario al error y a los del denominador con su signo.

2' ' ' = 2' '− e 3' ' ' = 3' '+ e 5' ' ' = 5' '− e 6' ' ' = 6' '+ e 8' ' ' = 8' '− e . . . . . . . . 15' ' ' = 15' '+ e B.

CUADRILÁTERO

En un cuadrilátero hay que observar los ocho ángulos que determinan sus dos diagonales, la figura constituye un cuadrilátero completo, y tales ángulos deben cumplir las siguientes condiciones: 1.- Las diagonales dan lugar a la formación de cuatro triángulos opuestos, dos a dos, por el vértice común O. La suma de ángulos opuestos por el vértice ha de ser igual. 2.- La suma total de los ángulos será igual a 400g.

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Tema 9

Triangulación y Trilateración

3.- Calculando sucesivamente los triángulos a partir de un lado radial cualquiera, el OA, por ejemplo, debe llevarse a la misma longitud inicial.

1º Compensación: Suma de ángulos en triángulos opuestos.

1+ 2 = 7 + 8 4 + 5 = 9 + 10 debido a los errores de observación no se cumplirán exactamente estas igualdades, sino que resultará:

1 + 2 = 7 + 8 + e1 4 + 5 = 9 + 10 + e 2 Se corregirán cada uno de los ángulos si fuese tolerable ( e a

2 4 ) en la cuarta

parte del error respectivo y en el sentido conveniente.

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Triangulación y Trilateración

1 e1 4 1 2' = 2 − e 1 4 . . . . . . . .

1' = 1 −

1 e1 4 1 8' = 8 + e 1 4 1 4' = 4 − e 2 4 . . . . . . . . 1 10' = 10 + e 2 4 7' = 7 +

2º Compensación. Suma total de los ángulos.

1'+2'+4'+5'+7'+8 + 9'+10' = 400 Naturalmente como ocurría en el caso anterior esta no se cumplirá y se producirá un error e3 que si es tolerable ( e a

2 8 ) se procederá a compensar:

1 1'' = 1'− e 3 8 1 2'' = 2'− e 3 8 . . . . . . . . . . . . 1 10'' = 10 − e 3 8 Esta compensación no modifica los efectos de la primera, pues cada uno de los ángulos de la anterior compensación experimenta la corrección y seguirán cumpliéndose aquellas condiciones.

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Triangulación y Trilateración

3º Compensación Ajuste de lado. En el triángulo 1:

OA sen 2 = OB sen 1 En el triángulo 2:

OB sen 5 = OC sen 4 En el triángulo 3:

OC sen 8 = OD sen 7 En el triángulo 4:

OD sen 10 = OA sen 9 Multiplicando ordenadamente:

OA ⋅ OB ⋅ OC ⋅ OD sen 2 ⋅ sen 5 ⋅ sen 8 sen 10 = =1 OB ⋅ OC ⋅ OD ⋅ OA sen 1 ⋅ sen 4 ⋅ sen 7 ⋅ sen 9 Naturalmente esto no ocurrirá y aplicando logaritmos tendremos que:

log

sen 2' '⋅ sen 5' '⋅ sen 8' '⋅ sen 10' ' = log 1 sen 1' '⋅ sen 4' '⋅ sen 7' '⋅ sen 9' '

Ahora bien, para que sea cierto los puntos A y A’ han de coincidir, pues de lo contrario los lados OA, inicial y final , no serán iguales, y como éste será el caso más general, el logaritmo de la expresión anterior no será 0 sino que valdrá un cierto ∆:

log

sen 2' '⋅ sen 5' '⋅ sen 8' '⋅ sen 10' ' =∆ sen 1' '⋅ sen 4' '⋅ sen 7' '⋅ sen 9' '

para que resulte cero se introduce en ellos una corrección e tal que:

log

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sen(2' '−e) ⋅ sen(5' '−e) ⋅ sen(8' '−e) ⋅ sen(10' '−e) =0 sen(1' '+e) ⋅ sen(4' '+e) ⋅ sen(7' '+ e) ⋅ sen(9' '+e)

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Tema 9

Triangulación y Trilateración

El ángulo viene dado por:

e CC =

∆

∑δ

Siendo:

∆ = log

∑ ∑

δ

sen2' '⋅sen5' '⋅sen8' '⋅sen10' ' sen1' '⋅sen4' '⋅sen7' '⋅sen9' '

δ = δ 2 + δ 5 + δ 8 + δ10 + δ1 + δ 4 + δ 7 + δ 9

se denomina sumatorio de diferencias tabulares. Se calculan para los

ángulos que intervienen en la ecuación de ajuste. Recordemos que la ecuación de ajuste debe deducirse para cada caso concreto de compensación. El valor de

∑

δ

viene dado por:

δ 2 = log sen (2 + 1CC ) − log sen 2 δ 5 = log sen (5 + 1CC ) − log sen 5 δ 8 = log sen (8 + 1CC ) − log sen 8 δ 10 = log sen (10 + 1CC ) − log sen 10 δ 1 = log sen (1 + 1CC ) − log sen 1 δ 4 = log sen (4 + 1CC ) − log sen 4 δ 7 = log sen (7 + 1CC ) − log sen 7 δ 9 = log sen (9 + 1CC ) − log sen 9

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Tema 9

C.

Triangulación y Trilateración

CADENA

Llamaremos cadena a la disposición de triángulos que tienen una base en común entre triángulos y no existe ningún vértice en común a todos ellos. Para el cálculo de la cadena se necesita conocer, al menos, la longitud del lado inicial AB, y según se conozcan o no otros datos relativos a su lado final IJ, podrá aplicarse un número variable de compensaciones. 1º Compensación: Si solo se conoce un dato relativo al último lado de la cadena, se dice que está colgada, y solo se podrá realizar la compensación que deriva de los cierres de sus triángulos, por lo que una vez realizado, los ángulos corregidos tendrán que cumplir las condición general.

1 + 2 + 3 − 200 g = e 1 4 + 5 + 6 − 200 g = e 2 7 + 8 + 9 − 200 g = e 3 10 + 11 + 12 − 200 g = e 4 13 + 14 + 15 − 200 g = e 5 16 + 17 + 18 − 200 g = e 6 De aquí los ángulos compensados serán:

1 1' = 1 − e 1 3 1 2' = 2 − e 1 3 1 3' = 3 − e 1 3 1 4' = 4 − e 2 3 1 5' = 5 − e 2 3 . . . . 1 17' = 17 − e 6 3 M. Farjas

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Tema 9

Triangulación y Trilateración

2º Compensación: Si además de conocer los ángulos de los triángulos conocemos el azimut de llegada, es natural que este dato obligue a hacer otra compensación, llamada ajuste de acimut. Partiendo del azimut θ B y pasando por todas las bases comunes a los triángulos haremos una corrida de azimutes hasta llegar al acimut final. A

θ CB = θ BA − 2 θ CD = θ CB + 6 θ DE = θ CD − 7 θ FE = θ DE + 12 θ GF = θ EF − 13 θ HF = θ GF − 16

θ FH − (θ FH ) DATO = e Este error será el error en el ajuste acimutal que habrá que compensar. Para ello se hacen tantas partes del error como ángulos han intervenido en la corrida de acimutes (será igual al número de triángulos). En cuanto al sentido con que han de aplicarse las correcciones debe ser tal que anulen el error e, y a este respecto debe deducirse de la figura el signo con que cada uno de aquellos ángulos intervienen el calculo. Así en la figura la compensación será:

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Tema 9

Triangulación y Trilateración

1 1 2 = −2− e = 2+ e n n 1 6 = 6+ e n 1 1 7 = −7− e = 7+ e n n 1 12 = 12 + e n 1 1 13 = − 13 − e = 13 + e n n 1 1 16 = − 16 − e = 16 + e n n Esta modificación obliga a reajustar los triángulos otra vez sin modificar los ángulos que han intervenido en la corrida acimutal. El reajuste será la mitad del ángulo de corrección que se aplicó a los ángulos de la corrida acimutal cambiado de signo.

11 e 2n 11 3 = 3− e 2n 11 4= 4+ e 2n 11 5 = 5+ e 2n 11 8 = 8− e 2n 11 9 = 9− e 2n 11 10 = 10 + e 2n 11 11 = 11 + e 2n 11 14 = 14 − e 2n 11 15 = 15 − e 2n 1 = 1−

11 e 2n 11 18 = 18 − e 2n 17 = 17 −

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Triangulación y Trilateración

3º Compensación: Cuando se conoce la longitud del lado de llegada debe aplicarse la compensación del ajuste de lado, aplicando el teorema de los senos en los lados comunes de los triángulos o lo que es lo mismo utilizando los lados de la corrida acimutal.

Aplicando el teorema de los senos.

AB sen 3 = BC sen 1 BD sen 5 = CD sen 4 CD sen 9 = DE sen 8 DE sen 11 = EF sen 10 EF sen 15 = FG sen 14 FG sen 17 = FH sen 18 Multiplicando ordenadamente y simplificando queda la expresión:

AB sen 3 ⋅ sen 5 ⋅ sen 9 ⋅ sen 11 ⋅ sen 15 ⋅ sen 17 = FH sen 1 ⋅ sen 4 ⋅ sen 8 ⋅ sen 12 ⋅ sen 16 ⋅ sen 18 FH ⋅ sen 3 ⋅ sen 5 ⋅ sen 9 ⋅ sen 11 ⋅ sen 15 ⋅ sen 17 =1 AB ⋅ sen 1 ⋅ sen 4 ⋅ sen 8 ⋅ sen 12 ⋅ sen 16 ⋅ sen 18 Aplicando logaritmos:

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Tema 9

Triangulación y Trilateración

log

FH ⋅ sen3 ⋅ sen5 ⋅ sen9 ⋅ sen11 ⋅ sen15 ⋅ sen17 = log 1 = 0 AB ⋅ sen1 ⋅ sen4 ⋅ sen8 ⋅ sen12 ⋅ sen16 ⋅ sen18

log

FH ⋅ sen3 ⋅ sen5 ⋅ sen9 ⋅ sen11 ⋅ sen15 ⋅ sen17 =∆ AB ⋅ sen1 ⋅ sen4 ⋅ sen8 ⋅ sen12 ⋅ sen16 ⋅ sen18

Se hace, por tanto necesario modificar los distintos ángulos que intervienen en una cierta cantidad e. Para obtener el valor del ángulo e, se procede de modo análogo a como hemos realizado en las figuras anteriores:

e CC =

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∆

∑δ

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Tema 9

Triangulación y Trilateración

Siendo:

∆ = log

∑

FH ⋅ sen3 ⋅ sen5 ⋅ sen9 ⋅ sen11 ⋅ sen15 ⋅ sen17 AB ⋅ sen1 ⋅ sen4 ⋅ sen8 ⋅ sen12 ⋅ sen16 ⋅ sen18

δ = δ 3 + δ 5 + δ 9 + δ11 + δ15 + δ17 + δ1 + δ 4 + δ 8 + δ12 + δ16 + δ18

Las diferencias tabulares se calculan para los ángulos que intervienen en la ecuación de ajuste. El valor de

∑

δ

viene dado por la suma de los siguientes

términos:

δ 3 = log sen (3 + 1CC ) − log sen 3 δ 5 = log sen (5 + 1CC ) − log sen 5 δ 9 = log sen (9 + 1CC ) − log sen 9 δ 11 = log sen (11 + 1CC ) − log sen 11 δ15 = log sen (15 + 1CC ) − log sen 15 δ17 = log sen (17 + 1CC ) − log sen 17 δ 1 = log sen (1 + 1CC ) − log sen 1 δ 4 = log sen (4 + 1CC ) − log sen 4 δ 8 = log sen (8 + 1CC ) − log sen 8 δ 12 = log sen (12 + 1CC ) − log sen 12 δ16 = log sen (16 + 1CC ) − log sen 16 δ18 = log sen (18 + 1CC ) − log sen 18 Cuando hayamos modificado los ángulos que intervienen en la ecuación de ajuste, para compensar la figura, se cumplirá la igualdad:

log

M. Farjas

FH ⋅ sen(3 − e) ⋅ sen(5 − e) ⋅ sen(9 − e) ⋅ sen(11 − e) ⋅ sen(15 − e ) ⋅ sen(17 − e) =0 AB ⋅ sen(1 + e) ⋅ sen(4 + e) ⋅ sen(8 + e) ⋅ sen(12 + e) ⋅ sen(16 + e ) ⋅ sen(18 + e)

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Tema 9

Triangulación y Trilateración

4º Compensación: Si se conocen las coordenadas de los puntos iniciales y finales de la cadena, se podrán calcular la longitud y acimut del lado que une los dos últimos puntos y, por tanto, podremos hacer un nuevo ajuste. Resolviendo los sucesivos triángulos se podrán calcular las coordenadas de todos los vértices de la cadena partiendo de las de los primeros. Las coordenadas que se obtengan, para el último no coincidirán con las reales y las diferencias son las que habrá que compensar.

Para ellos se consideran los vértices de la cadena en el mismo orden en que se han calculado y se asimila a una gran poligonal cuyos tramos son los lados del triángulo. La compensación de las coordenadas se hará proporcional a las longitudes de los lados.

AJUSTE MÍNIMO CUADRÁTICO Como se ha comentado, el método de observación en la triangulación y en la trilateración es el método de vueltas de horizonte.

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Tema 9

Triangulación y Trilateración

Con todas las observaciones obtenidas angulares y de distancias, puede realizarse el cálculo de las coordenadas de los vértices planteando las ecuaciones de observación que corresponden al modelo. Previamente se obtendrán las coordenadas aproximadas de los vértices incógnita mediante la resolución de los métodos simples que se requieran. Para estas coordenadas podrá aplicarse el método de radiación, de intersección simple u otros, desde los vértices de coordenadas conocidas previamente. El modelo de relación de observación por cada dirección acimutal obtenida en campo es el siguiente:

r CC CC ⋅ [(Y2 − Y1 )dX 2 − (Y2 − Y1 )dX 1 − ( X 2 − X 1 )dY2 + ( X 2 − X 1 )dY1 ] − dΣ1 + [(θ 12 )'− ( L12 + Σ´1 )] = v 2 D EXPRESIÓN GENERAL DE LA RELACIÓN DE OBSERVACIÓN POR DIRECCIÓN ANGULAR OBSERVADA

El modelo de relación de observación por cada distancia observada (y tratada convenientemente para reducirla al sistema cartesiano correspondiente) queda:

1 [− ( X 2 − X 1 )dX 1 − (Y2 − Y1 )dY1 + ( X 2 − X 1 )dX 2 + (Y2 − Y1 )dY2 ] + DCAL − DOBS = V D CAL EXPRESIÓN GENERAL DE LA RELACIÓN DE OBSERVACIÓN POR DISTANCIA OBSERVADA

Las ecuaciones de observación serán: Ax=L Las ecuaciones normales:

AT P Ax = AT P L

Podemos cambiar la nomenclatura, y llamar N = AT P A t = AT P L

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Tema 9

Triangulación y Trilateración

quedando el sistema de ecuaciones normales de la siguiente forma: Nx=t La solución al sistema se obtiene calculando: x = (AT P A)-1 AT P L con la sustitución anterior queda:

x = N-1 t

La matriz P es una matriz diagonal de pesos que se define de la siguiente manera:

P =

p1

0

0

0

0

0

p2

0

0

0

0

0

p3

0

0

.................................................... 0

0

0

0

pm

En la matriz P, todos los elementos fuera de la diagonal principal son 0. Esta situación corresponde a observaciones independientes y no correlacionadas. Este es generalmente el caso de la Topografía. Para determinar las precisiones de las cantidades ajustadas, se calculan los residuos después del ajuste. Sea el ajuste con o sin pesos, los residuos vienen dados por: V = Ax – L Cálculamos de la varianza de referencia a posteriori:

σˆ 02 =

VT PV r

donde V es el vector de residuos, P la matriz de pesos y r es el número de grados de libertad del ajuste y es igual al número de ecuaciones de observación (n) menos el número de incógnitas (no), es decir expresa la redundancia del modelo: r = n-no. Si la varianza de referencia no se da como dato puede calcularse a posteriori con este cálculo. Si la varianza de referencia se conoce al comienzo del ajuste a posteriori se calculará este valor también para hacer una comprobación estadística de los dos valores. La matriz cofactor asociada al vector de parámetros por el método paramétrico, puede calcularse a partir de los residuos Qxx = N-1 = (AT P A)-1

M. Farjas

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Tema 9

Triangulación y Trilateración

Y a partir de esta matriz obtenemos la matriz covarianza, que contiene las precisiones buscadas. La desviación típica de las cantidades individuales ajustadas son:

Σ xx = σˆ 02 N −1 = σˆ 02 Qxx Análisis estadísticos posteriores al ajuste se concentran en la estimación de la calidad global del ajuste mediante el Test de bondad y la detección de errores groseros de pequeña magnitud. Los errores de magnitudes grandes son fácilmente detectables puesto que producen grandes residuos en las observaciones de una zona concreta de la red. Este análisis se basa en la realización de tests estadísticos sobre los residuos de las observaciones. Como test de bondad del ajuste se utiliza χ2. Es conocido como test global y sirve para determinar si la varianza de referencia a posteriori es compatible con la varianza de referencia a priori. El test de Baarda es una técnica que combina la detección de residuos anormalmente grandes bajo un cierto criterio estadístico, la localización del error grosero y su determinación. El procedimiento de cálculo consistirá en obtener coordenadas iniciales de todos los puntos, con ellas y a partir de los datos de campo obtener las ecuaciones de observación de dirección, una ecuación por cada observación de dirección, y finalmente resolver el sistema.

4.

BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA

M. Farjas

•

BANNISTER, A y RAYMONF, S.(1984).

•

BARBARELLA, Maurizio; PIERI, Lamberto (1983): "I pesi nella compensazione di reti topografiche". Bolletino di Geodesia e Scienze Affini. Anno XLII, Nº 3, págs. 317-335.

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BEZOARI, G.; MONTI, C. y SELVINI, A. (1984).

•

BRINKER, Russell C.; MINNICK, Roy (1987).

•

CHUECA PAZOS, M. (1983): Tomo I.

•

DOMINGUEZ GARCIA-TEJERO, F. (1978).

•

FERNÁNDEZ, F. M (1982): "Diseño óptimo y control de redes topográficas". Topografía y Cartografía. Vol X nº 50. 1982.

•

KAVANAGK Barry F. y BIRD, S.J. Glenn (1989).

•

NUÑEZ DEL POZO, A y MACAN FÁBREGA, M (1990): "Densificación de la red de tercer orden". Topografía y Cartografía. Vol VII. nº36. EneroFebrero 1990.

•

OJEDA RUIZ, J.L. (1984).

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Tema 9

M. Farjas

Triangulación y Trilateración

•

RUIZ MORALES, Mario (1992).

•

SOBERATS MASSANET, M (1985): "Correcciones Meteorológicas a distancias medidas con distanciómetro". Topografía y Cartografía. Vol II-Nº 50. Septiembre-Octubre 1985

•

UREN, J.; PRICE, W.F. (1992).

•

VALBUENA DURAN, J.L. (1989): "Distanciometría electrónica, calibración y puesta a punto". Topografía y Cartografía. Vol IV - Nº 31, pág. 21-29.

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Tema 10

Redes Topográficas

Tema 10: Redes Topográficas

M. Farjas

1

Tema 10

Redes Topográficas

ÍNDICE

1.

INTRODUCCIÓN

2.

SISTEMAS Y MARCOS DE REFERENCIA GEODÉSICOS 2.1

INTRODUCCIÓN

2.2

SISTEMAS DE REFERENCIA GEODÉSICOS 2.2.1 Sistema de referencia ED-50 (European Datum 1950) 2.2.2 Sistema de referencia WGS84 (World Geodetic System 1984) 2.2.3 Sistema de referencia Internacional ITRS (Internacional Terrestrial Reference System) 2.2.4. Sistema de referencia Europeo ETRS-89 (European Terrestrial Reference System 1989)

2.3

MARCOS DE REFERENCIA GEODÉSICOS 2.3.1 RED ANTIGUA NACIONAL DE PRIMER, SEGUNDO Y TERCER ORDEN 2.3.2 RED ROI: RED DE ORDEN INFERIOR 2.3.3 RED DE NIVELACIÓN DE ALTA PRECISIÓN- REDNAP 2.3.4 RED REGENTE

3.

DISEÑO Y SEÑALIZACIÓN DE LOS VÉRTICES DE UNA RED BÁSICA TOPOGRÁFICA

4.

OBSERVACIÓN DE LA RED BÁSICA 3.1 3.2

5.

POR MÉTODOS CLÁSICOS POR MÉTODOS GPS

CÁLCULO DE COORDENADAS Y PRECISIONES 5.1 5.2

POR MÉTODOS CLÁSICOS POR MÉTODOS GPS

6.

RESULTADOS FINALES

7.

LA GEODESIA EN ESPAÑA: DEL SISTEMA GEODÉSICO ED-50 AL ETRF -89

8.

BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA

M. Farjas

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Tema 10

1.

Redes Topográficas

INTRODUCCIÓN

Para la realización de un trabajo topográfico se necesitan puntos con coordenadas conocidas en los que apoyarse directa o indirectamente. Estos puntos se denominan vértices, y al conjunto de ellos red topográfica o red básica. La finalidad de las observaciones puede ser obtener las coordenadas de dichos puntos o crear la estructura topográfica para el desarrollo de trabajos cartográficos o fotogramétricos. En un proyecto se suele distinguir entre la red básica planimétrica y la red básica altimétrica. Las redes planimétricas tienen la finalidad de establecer coordenadas geográficas latitud y longitud ( ϕ, λ ) o bien cartesianas (X, Y) de los puntos. Las redes altimétricas determinan la tercera coordenada, la altura sobre el Geoide. Una red planimétrica estará formada por el conjunto de vértices con coordenadas (ϕ, λ) ó (X, Y), mientras que la red básica altimétrica lo será por vértices con máxima precisión en la coordenada H. Los vértices pueden ser los mismos, pero los condicionantes de situación son completamente diferente, y esto hace que no siempre los puntos que forman ambas redes en un mismo trabajo, coincidan. Cuando los puntos que componen la red básica altimétrica y planimétrica coinciden se habla de redes tridimensionales. En este caso el conjunto de puntos está definido por coordenadas (ϕ, λ, h) ó (X, Y, Z) con máxima precisión en el trabajo.

Ejemplo de Red básica1

1

GARCIA MARTINEZ, Raúl; RUBIO DE LA TORRE RUIZ, Yolanda (2006): Cartografía a escala 1/500 del Área II del Yacimiento Arqueológico “Reina” en el Termino Municipal de Seseña en la provincia de Toledo. PFC de la ETSI en Topografía, Geodesia y Cartografía. UPM, Madrid.

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Tema 10

Redes Topográficas

Las redes planimétricas u horizontales se pueden subdividir atendiendo a criterios como la densidad de puntos, la metodología de observación y la zona de terreno que cubren. De este modo se plantean las redes de orden cero (continentales), de primer orden, de orden inferior (segundo y tercer orden) y las redes de cuarto orden (regionales). Las redes verticales (la Red de Nivelación de Alta Precisión es una de ellas) tienen como objetivo dotar de sistema de altitudes a la zona de trabajo y servir de apoyo en trabajos cartográficos, geodésicos y topográficos. La altura de un punto sobre el nivel medio del mar en algún punto prefijado (en España se toma el nivel medio en Alicante), es la que se denomina altura ortométrica (H). La diferencia entre la altura elipsoidal (h) y la altura ortométrica (H) es la que llamamos altura geoidal (N) u ondulación del geoide, y representa las desviaciones del geoide con respecto al elipsoide de referencia. La ecuación que liga las tres alturas es:

h=H+N Las observaciones GPS están referidas a un sistema de referencia global y proporcionan altitudes elipsoidales, mientras que las observaciones clásicas estarán referidas a sistemas astronómicos locales y proporcionan altitudes ortométricas. Los puntos que constituyen una red básica topográfica pueden estar separados desde unos centenares de metros hasta kilómetros dependiendo de la finalidad trabajo. Para ubicarlos se pueden utilizan los métodos de intersección (angulares y de distancias), y las técnicas GPS. Es el operador el que ha de decidir la elección del instrumental y en función del mismo, la metodología de observación y de cálculo. Normalmente es necesario dar las coordenadas de la red básica en un sistema de referencia oficial (ED-50) o en coordenadas de proyecto, existiendo vértices preexistentes en algún lugar, con los que es necesario efectuar los trabajos de enlace. En otras ocasiones se podrá optar por dar los resultados en un sistema de coordenadas arbitrario. El conjunto de puntos o vértices geodésicos con coordenadas en un determinado sistema de referencia se denomina “marco de referencia”. La altitud de los vértices geodésicos respecto a la red altimétrica se obtuvo observando itinerarios de desniveles por recíprocas y simultaneas entre los vértices y clavos de la red de nivelación de alta precisión. En este tema vamos a comenzar estudiando la definición de sistemas de referencia, describiendo los sistemas usuales en Topografía, la necesidad de observar desde ellos para efectuar la transformación de coordenadas de los puntos observados, los condicionantes de los métodos de observación de la red de nueva implantación y los métodos de cálculo y obtención de los parámetros de fiabilidad y precisión.

M. Farjas

4

Tema 10

2.

SISTEMAS Y MARCOS DE REFERENCIA GEODÉSICOS 2.1 2.2 2.3

2.1

Redes Topográficas

INTRODUCCIÓN SISTEMAS DE REFERENCIA GEODÉSICOS MARCOS DE REFERENCIA GEODÉSICOS: REDES GEODÉSICAS EN ESPAÑA

INTRODUCCIÓN Tanto en una red planimétrica como en una altimétrica, se ha de comenzar eligiendo el Datum o sistema de referencia en el que se van a calcular las coordenadas de los puntos de la red. Esta cuestión se decide en función de las condiciones y requerimientos que aparezcan en el pliego de condiciones, o de las variables que definan las necesidades del trabajo topográfico. En general, el Datum es la superficie de referencia para el cálculo y determinación de coordenadas, estableciéndose unos datos iniciales de los cuales se derivan el resto. En Geodesia se emplean dos tipos de Datum: el Datum vertical y el Datum horizontal. El Datum Vertical es la superficie de referencia para el cálculo de alturas, es la superficie de altura nula. Lo más usual es que esta superficie sea el geoide y las alturas referidas a él son las alturas ortométricas. El Datum Horizontal permite la determinación de la longitud y latitud. Se elige un punto en el cual las superficies del elipsoide de referencia y del geoide sean tangentes. En él las verticales geodésica y astronómica, coincidirán, así como las coordenadas astronómicas y geodésicas. Un Datum planimétrico comprende un conjunto de datos tanto geométricos como dinámicos que lo definen, aparte de una serie de puntos en el terreno que lo materializa, que son la red de vértices. Por lo que respecta a la definición geométrica, un Datum geodésico está constituido por: •

Una superficie de referencia generalmente un elipsoide de revolución.

•

Un punto fundamental, en el que coinciden las verticales al geoide y al elipsoide (con lo que también coincidirán las coordenadas astronómicas y geodésicas).

Las coordenadas geodésicas de un punto están formadas por la longitud y latitud geodésicas y además la altura del punto sobre el elipsoide de referencia, es decir h:

Coordenadas geodésicas del punto P : (λP ,ϕ P , hP ) •

Longitud geodésica: es el ángulo λ formado por el plano del meridiano origen y el meridiano que pasa por el punto A. Se mide en grados sexagesimales de 0 a 360º, con sentido positivo al Oeste.

•

Latitud geodésica: Es el ángulo

ϕ formado por la vertical al elipsoide

desde el punto A (vertical geodésica) y el plano ecuatorial. Se mide en grados sexagesimales, partiendo del Ecuador, siendo positiva al Norte (de 0 a 90º) y negativa al Sur (de 0 a -90º). M. Farjas

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Tema 10

Redes Topográficas

Si tomamos como superficie de referencia una esfera en lugar del elipsoide, hablaríamos de longitud y latitud geográficas, con una definición semejante a las anteriores. Para representar la superficie del elipsoide sobre un plano se utilizan las proyecciones según una determinada ley matemática:

x = f1 (λ, ϕ ) y = f 2 (λ, ϕ ) donde (x, y) son las coordenadas rectangulares planas deducidas a partir de sus homologas en el elipsoide (ϕ, λ ), mediante la aplicación de la relación matemática indicada. Mediante las Coordenadas geodésicas ( ϕ, λ ), se determina la posición de la proyección de un punto de la superficie real de la Tierra sobre el elipsoide según la normal a éste. Existen gran cantidad de leyes matemáticas que permiten la representación del elipsoide sobre un plano, pero una de las premisas fundamentales es la de obtener la mínima distorsión al proyectar los elementos de una superficie a la otra. En España, el sistema de proyección oficial es el UTM, el más difundido internacionalmente, y es el utilizado en la Red Geodésica Nacional.

2.2

SISTEMAS DE REFERENCIA GEODÉSICOS 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4.

Sistema de referencia ED-50 (European Datum 1950) Sistema de referencia WGS84 (World Geodetic System 1984) Sistema de referencia Internacional ITRS (Internationa Terrestrial Reference System) Sistema de referencia Europeo ETRS-89 (European Terrestrial Reference System 1989).

2.2.1 Sistema de referencia ED-50 (European Datum 1950) El sistema oficial en España fue adoptado para la Cartografía Nacional, en 1970 por el Instituto Geográfico Nacional. El elipsoide de referencia es el elipsoide de Hayford de 1909, que también se conoce como Internacional de 1924. Sus datos geométricos son: • • • •

Aplanamiento: 1/f = 1/297 Eje vertical paralelo al eje de giro de la Tierra. Semieje mayor o semieje ecuatorial de 6.378.388 metros. Excentricidad al cuadrado: 0,006722670022.

El Datum es Potsdam (punto astronómico fundamental) y el meridiano de Greenwich se toma como origen de longitudes y como origen de latitudes el Ecuador. M. Farjas

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Tema 10

Redes Topográficas

Las coordenadas geodésicas obtenidas bajo este sistema son transformadas a coordenadas planas mediante la proyección cartográfica UTM (Universal Transversa Mercator), proyección oficial vigente en España. El Datum ED50 quedó materializado en su momento por los vértices constitutivos del Marco RE50 y actualmente por el marco ROI. Estos vértices tienen coordenadas elipsoidales o en proyección UTM, y su altitud es ortométrica:

ϕ, λ , H XUTM , Y UTM , H 2.2.2 Sistema de referencia WGS84 (World Geodetic System 1984) Este es el sistema de referencia utilizado por la tecnología GPS. S e toma como elipsoide de referencia el elipsoide WGS84 cuya definición geométrica es: a = 6378137,0 metros ( semieje mayor). f = 1/298,257223563 ( aplanamiento). El sistema coordenado WGS84 es un sistema cartesiano centrado, definido por: • § § §

Origen: centro de masas de la Tierra o geocentro. Eje Z: dirección del polo de referencia IERS (corresponde a la dirección del polo convencional terrestre en la época 1984,0) Eje X: intersección del meridiano de referencia IERS y el plano que pasando por el origen es perpendicular al eje Z. Eje Y: completa un sistema ortogonal dextrógiro.

Las alturas en este sistema son alturas elipsoidales respecto al elipsoide WGS84. 2.2.3 Sistema de referencia Internacional ITRS (International Terrestrial Reference System) El Sistema de referencia internacional ITRS es un sistema de referencia geodésico dentro del contexto de la teoría de la relatividad, válido para la Tierra y espacio próximo, con un nivel de precisión relativa de 10-10. Su elipsoide asociado es el GRS80 definido geométricamente por: • •

a = 6378137,0 metros ( semieje mayor). f = 1/298,2572221008827 ( aplanamiento).

El sistema coordenado que utiliza ITRS es un sistema cartesiano centrado y fijo en la Tierra, definido:

M. Farjas

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Tema 10

Redes Topográficas • • • •

Origen: centro de masas de la Tierra o geocentro. Eje Z: dirección del polo de referencia IERS (corresponde a la dirección del polo terrestre convencional en la época 1984,0). Eje X: intersección del meridiano de referencia IERS y el plano que pasando por el origen es perpendicular al eje Z. Eje Y: completa un sistema ortogonal dextrógiro.

Las alturas en este sistema son alturas elipsoidales respecto al elipsoide GRS80. 2.2.4. Sistema de referencia Reference System 1989)

Europeo

ETRS-89

(European

Terrestrial

Desde 1988, el Servicio de Rotación de la Tierra (IERS) fue creado por la Unión Astronómica Internacional (IAU) y la Unión Internacional de Geodesia y Geofísica (IUGG), para proporcionar valores de referencia de los parámetros de orientación de la Tierra y sistemas de referencia terrestre y celeste. Está encargado de realizar, usar y promover el Sistema de Referencia Terrestre Internacional (ITRS). En terminología geodésica, un marco de referencia consiste en un conjunto de puntos con coordenadas que materializa un sistema de referencia. Los marcos generados por el IERS para ITRS son denominados Marcos de Referencia Terrestre Internacional (ITRF). Tales marcos están constituidos por las estaciones de seguimiento que integran la Red IERS y sus correspondientes monumentos, con las coordenadas y sus variaciones en el tiempo. A partir de las series temporales de resultados del IERS, se ha puesto de manifiesto que la Placa Continental Europea mantiene un movimiento bastante uniforme, de unos 3 cm por año, con relación al ITRS, con excepción del extremo sur-este de Europa (Grecia, Turquía). Por esta razón, con el fin de mantener unas coordenadas razonablemente estables para Europa, la Subcomisión EUREF decidió definir un Sistema ligado a la placa Europea. Este sistema (datum) se denomina ETRS, o ETRS89, ya que fue idéntico al ITRS en el año 1989. Desde 1989, las coordenadas ETRS89 ajustadas con relación a la Placa Europea, han modificado sus valores con respecto a los expresados en ITRS. Sin embargo, esta modificación es conocida, por IERS y EUREF, y son posibles realizar transformaciones entre unas y otras con exactitud de 1 cm para la mayor parte. La Asociación Internacional de Geodesia (IAG), formó la Subcomisión EUREF, para la determinar un nuevo DATUM geodésico Europeo y un nuevo Marco que lo materializase. Se pretendía: • • •

M. Farjas

Establecer una Red de estaciones Permanentes GPS (EUREF Permanent Network) Establecer una Red de referencia geodésica de alta precisión determinada a partir de campañas GPS. Determinar de una red vertical e integrarla en la red de referencia vertical europea GPS.

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Tema 10

Redes Topográficas El sistema de referencia se denomina Sistema de Referencia Terrestre Europeo 198- ETRS89. Este sistema geodésico de referencia (que en definitiva es lo que se conoce como un 'datum') lleva asociado, entre otros parámetros, un elipsoide de referencia que es el GRS80 completamente equivalente a nivel usuario con el WGS84. De hecho, el WGS84 deriva del GRS80. Los semiejes mayores de los dos elipsoides son iguales, y la diferencia entre semiejes menores debe de ser de alguna décima de milímetro; por eso decimos que podemos confundir a nivel práctico el GRS80 con el WGS84. Los sistemas de referencia WGS84 y ETRS89 son equivalentes en la gran mayoría de aplicaciones topográficas o cartográficas. El primero está basado en el elipsoide del mismo nombre, WGS84, mientras que el segundo utiliza el SGR80; adoptado por la Asociación Internacional de Geodesia en 1979. Ambos elipsoides son idénticos excepto en la excentricidad, en la que difieren ligeramente. ETRS89 es el sistema de referencia geocéntrico oficial 2 en Europa de precisiones mucho más elevadas que la solución WGS84 . El sistema coordenado que se utiliza en el sistema de referencia Europea ETRS-89 es un sistema cartesiano centrado y fijo en la Tierra y definido por: • • • •

Origen: el centro de masas de la Tierra Eje Z: en la dirección del Polo Convencional Terrestre en la época 1984 Eje X: intersección del meridiano de referencia IERS y el plano que pasando por el origen es perpendicular al eje Z. Eje Y: completando el sistema ortogonal dextrogiro.

El European Terrestrial Frame (ETRF89) es el marco de referencia, formado por puntos (vértices geodésicos) con coordenadas en el sistema ETRS89. La proyección Universal Transversa de Mercator no es exclusiva de ningún datum en particular. Un sistema de proyección cartográfica es una función biunívoca de transformación entre latitudes, longitudes geodésicas y coordenadas planas. En consecuencia existirán coordenadas UTM datum WGS84 basadas en el elipsoide del mismo nombre, UTM ED50 basadas en el Internacional (Hayford) y, UTM ETRS89 basadas en SGR80. 2.3

MARCOS DE REFERENCIA GEODÉSICOS 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4

RED ANTIGUA NACIONAL DE PRIMER, SEGUNDO Y TERCER ORDEN RED ROI: RED DE ORDEN INFERIOR RED DE NIVELACIÓN DE ALTA PRECISIÓN- REDNAP RED REGENTE

La geodesia estudia la forma, dimensiones y campo gravitatorio de la Tierra en territorios extensos. Esta es la principal diferencia con la Topografía, que basa sus trabajos en superficies de extensión reducida en las que la esfericidad terrestre puede considerarse despreciable.

2

http://www.fomento.es/MFOM/LANG_CASTELLANO/DIRECCIONES_GENERALES/INSTITUTO_GEOGRAFIC O/Geodesia/red_geodesicas/preguntas.htm M. Farjas

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Redes Topográficas

La Red Geodésica Nacional constituye la base geométrica del país. Sirve de referencia para todos los sistemas espaciales y es la base de la cartografía. Consta de una red de puntos de control, estructura sobre la que apoyar levantamientos o trabajos topográficos. El organismo responsable es el Instituto Geográfico nacional (http://www.ign.es). Para determinar las coordenadas de los vértices geodésicos se parte de las del Punto Astronómico Fundamental, determinadas por procedimientos exclusivamente astronómicos. Posteriormente se van determinando el resto de puntos. Los vértices geodésicos han sido puntos fundamentales planimétricos, con Datum Potsdam y elipsoide de referencia Hayford. Todo vértice geodésico lleva asociada una cota o altitud sobre el nivel medio del mar. Esta coordenada es de inferior precisión a las coordenadas planimétricas. Los puntos fundamentales altimétricos son los clavos de la red de nivelación de alta precisión (NAP). El punto fundamental altimétrico es la señal NP1 (cota 3,4095) enlazada con el mareógrafo de Alicante. Para hacer cartografía además de contar con un datum o sistema geodésico de referencia, se necesita que esté materializado en el terreno, con una serie de puntos que existan sobre el territorio y que se puedan utilizar como puntos de coordenadas de partida para los trabajos de posicionamiento. El conjunto de puntos o vértices geodésicos con coordenadas correspondiente sistema de referencia se denomina marco de referencia.

en

el

El European Terrestrial Reference Frame (ETRF89) es el marco de referencia, formado por una serie de puntos (vértices geodésicos) con coordenadas en el sistema ETRS89. El marco ETRF89 es la realización práctica en el terreno del sistema ETRS89, y las coordenadas se han calculado utilizando el elipsoide GRS80 (~WGS84). El antiguo sistema geodésico de referencia (datum) ED50, se materializó en el terreno con una serie de vértices geodésicos: los famosos once mil y pico cilindros verticales de 1,20 metros por 30 cm de diámetro sobre un prisma de mayor o menor altura con una placa del IGN que los identifica. Esta red de vértices geodésicos, cuyas coordenadas fueron calculadas utilizando el elipsoide de Hayford 1909 (o Internacional 1924), es lo que se denomina Red de Orden Inferior (en algunos mapas rotulados con las siglas ROI) y materializa en el terreno el sistema ED50. Equivalentemente y de igual manera habrá, en un futuro, un nuevo sistema, ETRS89, con un marco de referencia que serán un conjunto de vértices (las señales cilíndricas blancas) que lo materializará en el terreno, es el ETRF89. El proyecto realizado para construir y densificar este marco de referencia en España se denomina red REGENTE (en los nuevos mapas del IGN ya aparecen rotulados los vértices), y se completó en el año 2001. Los vértices geodésicos de la red REGENTE se calculan utilizando el sistema ETRS89, elipsoide GRS80 (~WGS84). Ni que decir tiene que los vértices que pertenecen a la red REGENTE (nueva) también pertenecen a la red ROI (antigua) y se dispone de coordenadas de estos puntos en ambos sistemas ETRS89 y ED50. Se puede, entonces, calcular parámetros de transformación entre ambos sistemas con mucha precisión utilizando estos vértices con duplicidad de coordenadas.

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Tema 10

Redes Topográficas

¿Qué ventajas aporta al usuario el cambio de la cartografía de ED50 a ETRS89? La fundamental y más importante es que el usuario podrá utilizar las coordenadas que directamente le da su GPS para posicionarse sobre la nueva cartografía sin necesidad de andar utilizando cambios de datum ni transformación alguna, y sin 3 más error que el que tenga su receptor o su método de posicionamiento con GPS . Las reseñas de los vértices pueden obtenerse en la página web del Instituto Geográfico Nacional. 2.3.1 RED ANTIGUA NACIONAL DE PRIMER, SEGUNDO Y TERCER ORDEN Para establecer las redes geodésicas se implantaron de distinta precisión y orden para evitar en lo posible la acumulación de errores que supone el cálculo de unos triángulos apoyados en los anteriores. Se dispusieron redes de primero, segundo y tercer orden con precisiones progresivamente decrecientes. PRIMER ORDEN La red geodésica de primer orden estaba formada por triángulos de 30 a 80 km de lado, pudiendo llegar en casos excepcionales a más de 200 km, como el lado Mulhacen_Sierra Nevada/Filhaussen_Argelia de 270 km. Constaba de 285 vértices a los que se sumaba la red complementaria de primer orden con 288 vértices a distancias 30 km, lo que hacía un total de 573 vértices con un espaciamiento medio de unos 40 km. La monumentación se realizó con una base de 2,50 x 2,50 x 1,20 de altura y un pilar cilíndrico de 0,20 m de diámetro y 1,20 de altura. Si el vértice de primer orden es además un punto Laplace las dimensiones son 3,00 m x 3,00 x 1,20 de altura, con un pilar cilíndrico de 0,40 m de diámetro y 1,20 de altura. SEGUNDO ORDEN La red de segundo orden se apoyó en la de primer orden con triángulos de 10 a 30 km. Constaba de 2170 vértices. Todos los vértices de primer orden se incorporaron también a esta red, forma ndo una malla continua en todo el territorio español. La monumentación se realizó con una base de 1,0 x 1,0 x 1,0 de altura y un pilar cilíndrico de 0,30 cm de diámetro y 1,20 de altura. Los triángulos de primer y segundo orden eran elipsoidicos, (se calcularon sobre el elipsoide) ya que en esas dimensiones no podía prescindirse de la esfericidad terrestre.

3

http://www.cartesia.org/article.php?sid=80

M. Farjas

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Redes Topográficas TERCER ORDEN La red de tercer orden se apoyó en la de segundo orden y tenía triángulos con lados de 5 a 10 km. Contaba de unos 12.000 vértices. Apoyándose en esta red y mediante la intersección de varias visuales, se determinaron las coordenadas de las veletas de las iglesias de los pueblos. Su precisión era de unos 10-20 cm. Se compensó por Comunidades Autónomas, lo que llevó consigo problemas de solape. La señal tenía una base de 1,0 x 1,0 con una altura variable, y el pilar cilíndrico era de 0,30 de diámetro y 1,20 de altura. Los triángulos de tercer orden se calcularon como triángulos planos.

2.3.2 RED ROI: RED DE ORDEN INFERIOR Desde 1953, la IAG creó una Subcomisión, conocida como RETrig, para analizar la precisión y posibles errores del marco geodésico RE50. En poco tiempo se llegó a la detección de fuertes irregularidades en escala y orientación, tanto mayores cuanto mas periféricas eran las redes nacionales europeas, caso de la Península Ibérica. Se decidió complementar los datos con nuevas observaciones. En 1993 el IGN finalizó los trabajos de construcción de la Red de Orden Inferior (ROI), constituida por 10.944 vértices materializados y homogéneamente distribuidos por el territorio nacional, con una densidad media de 2,39 vértices por cada 100 km2. 4

Las condiciones que satisfacían estos vértices eran : •

La red cubría todo el territorio nacional con una malla continua de triángulos, a la que pertenecían todos los vértices de la red de primer orden.

•

La longitud de sus lados quedaba comprendida como límites máximos entre 3 y 12 kilómetros.

•

La configuración de la red permitía, en general, la observación angular, sin estaciones excéntricas de los vértices, asegurando la visibilidad entre ellos.

•

A cada vértice geodésico se le asignaba un nombre y el número de 6 cifras, siendo las tres últimas el número de la hoja del Mapa Topográfico Nacional en la que se encontraba.

La red de orden inferior fue observada angularmente con teodolito de 1cc por el método de vueltas de horizonte. La calidad de ésta red está entre 10 y 30 cm. El sistema de referencia geodésico asociado es ED50.

4

http://www.fomento.es/MFOM/LANG_CASTELLANO/DIRECCIONES_GENERALES/INSTITUTO_GEOGRAFIC O/Geodesia/red_geodesicas/roi.htm M. Farjas

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2.3.3 RED DE NIVELACIÓN DE ALTA PRECISIÓN- REDNAP H-precisión: Altitudes ortométricas La red de nivelación se acometió con el objeto de asignar cota a puntos geodésicos. Se tomo como referencia de altitudes el nivel medio del mar en Alicante, instalándose una escala de mareas en su puerto marítimo. El primer punto de la Nivelación de Precisión (NP-1) se situó en el primer peldaño de la escalera del Ayuntamiento de Alicante, enlazándose con la base de la escala de mareas portuaria. La monumentación, observación, cálculo, compensación y mantenimiento de la Red NAP es competencia del IGN. Los vértices se materializan con clavos de nivelación, y dependiendo del orden al que pertenezcan tienen diferentes formas y dimensiones. Las características de los clavos son: • • • • • •

Metal anticorrosivo, latón o metal blanco. Bajo coeficiente de dilatación. Cabeza semiesférica para apoyo del talón de la mira. Construcción que garantiza gran estabilidad. Situación próxima a líneas de ferrocarril, carreteras, etc... No suelen coincidir con vértices geodésicos por los grandes desniveles que habría que salvar.

La red de nivelación de alta precisión se observa con nivel de precisión y miras invar, líneas de nivelación en anillos de distancias máximas de 100 km. Las líneas de nivelación son dobles entre puntos nodales. Como características de la Red NAP, destacan: •

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Observación de nivelación geométrica y gravimétrica a lo largo de las líneas.

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Determinación de diferencia de potenciales: Cotas Geopotenciales.

• • •

Obtención de gran precisión, del orden de Estabilidad en las señales. Señales Principales y Señales Secundarias.

0.8a1.5mm k

A partir de los desniveles y la gravedad observados se determina el número geopotencial, y a partir de éste y con la corrección ortométrica, se determinan los desniveles ortométricos. 2.3.4 RED REGENTE Con el fin de establecer una cartografía europea unificada, se hacía indispensable la conversión de las coordenadas de los Marcos de los Sistemas Geodésicos Nacionales al Marco ETRF89. En el caso de la Península y Archipiélagos, el IGN decidió resolver el problema mediante el Proyecto REGENTE (Red Geodésica Nacional por Técnicas Espaciales), que consiste en una densa red GPS de alta precisión con estaciones coincidentes con vértices ROI y clavos de las líneas de nivelación de alta precisión (NAP). El armazón geodésico del Proyecto REGENTE está formado por alrededor de 1.150 vértices (incluidos los insulares), uno por cada hoja del 1:50.000. Se contempla la realización de observaciones gravimétricas en todos ellos y convertirlos en estaciones GPS. Por otra parte como las altitudes que se consideran en el Proyecto Regente son geodésicas, referidas al elipsoide WGS84, se ha impuesto la condición de que al menos un 10% de tales vértices estén enlazados con la RNAP, para así poder relacionarlas con las altitudes ortométricas. El proyecto REGENTE surge para alcanzar los siguientes objetivos: •

Materialización, observación y cálculo de coordenadas, para toda España, de una red geodésica básica tridimensional de Primer Orden, con precisión absoluta, a priori para cada coordenada =5 cm.

•

Obtención de parámetros precisos de transformación entre el sistema de referencia de la Red Geodésica Nacional (ED50) y el de REGENTE (ETRF89).

•

Facilitar datos válidos para la depuración del geoide español de precisión centimétrica. Se apoya el proyecto REGENTE con observaciones gravimétricas, por el método de relativas con gravímetros Lacoste-Romberg, en cada uno de sus puntos.

•

Facilitar apoyo al elevado número de usuarios de la técnica GPS, de modo que un punto cualquiera del territorio nacional se encuentre dentro de un círculo de radio máximo de 15 Km con centro en un vértice REGENTE.

Se trata de una red tridimensional de orden cero, es decir de máxima precisión. Los vértices de esta nueva red tienen coordenadas en el sistema de referencia ED-50 y ETRS-89.

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ϕ, λ , H

ED-50

(elipsoide de Hayford)

XUTM , Y UTM , H ETRS-89

ϕ, λ , h

(elipsoide GRS80~WGS84)

El Proyecto REGENTE comenzó en marzo de 1994 con la colocación del centrado forzado (para la basada soporte de la antena del receptor) de forma que se eliminase prácticamente el error de estacionamiento de la antena en las sesiones de observación. En el mes de Abril del mismo año comenzó la observación GPS. Participaron en el proyecto el Instituto Geográfico Nacional y el Servicio geográfico del Ejército en la totalidad de las campañas y otras instituciones como el Real Observatorio de la Armada y el Instituto Cartográfico de Cataluña. El método GPS utilizado en la observación de REGENTE fue el estático, observándose simultáneamente bloques de 9 vértices, con 9 receptores de doble frecuencia. En Octubre de 2001, finalizaron las campañas del proyecto con la observación GPS de los 120 vértices del Bloque Norte. La red REGENTE quedó constituida por 1.108 vértices de la Red de Orden Inferior (ROI) y 196 clavos de Nivelación de Alta Precisión (NAP) homogéneamente distribuidos por todo el territorio español, en los cuales se han determinado las coordenadas WGS84 con alta precisión. Una vez finalizada la observación total de la red, se emprendieron los trabajos de análisis, calculo y compensación en bloque de la misma, apoyada en la de orden superior IBERIA95, con objeto de obtener las coordenadas definitivas para cada punto REGENTE en el Sistema de Referencia Terrestre Europeo ETRS89. El calculo y la compensación se llevaron a cabo utilizando Efemérides Precisas del Internacional GPS Service (IGS), y obteniendo coordenadas con una exactitud centimétrica y una precisión del orden de 10-1 ppm (100 veces superior a la de una red de primer orden convencional). Asimismo un 20% de los puntos REGENTE disponen de un doble juego de altitudes (ortométrica y elipsoidales WGS84) de alta precisión, lo que hace de la red una herramienta de excepcional importancia para el incremento en la precisión de la carta del geoide. El cálculo de los vectores se realiza con el programa GPSurvey de Trimble utilizando las Efemérides de Precisión. El proceso de compensación, se realizó con el programa GeoLab de Geosurv Inc., comenzando con una compensación previa por bloques como red libre, sin ningún tipo de constreñimientos. En ella se analizan la concordancia de las soluciones aportadas por las distintas sesiones y el cierre de los vectores, y, finalmente, se les asigna su ponderación correspondiente. Una vez depurada la observación en red libre, se procede al ajuste conjunto de todos los bloques que componen una campaña, manteniendo fijas las

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Redes Topográficas coordenadas de los vértices de IBERIA95 y de los vértices ya calculados en campañas anteriores. Al finalizar el proceso, se guardan en base de datos las componentes de los vectores con su matriz de varianza-covarianza, el peso que se les ha asignado y las coordenadas calculadas. Se incluye a continuación una de las reseñas de estos vértices a modo de ejemplo.

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Ministerio de Fomento Subsecretaría

General Ibañez de Ibero, 3 28003 MADRID

Dirección General del Instituto Geográfico Nacional Subdirección General de Geodesia y Geofísica

Reseña Vértice Geodésico Número.....: 63053

Fecha de Construcción.: 01/11/1982

Nombre.....: Rincón de Román

Centrado Forzado.: Si

Municipio..: Yepes

Nº de cuerpos.: 1

Altura pilar.: 1.20000004768372 m

Provincia..: Toledo

Diámetro pilar.: 0.300000011920929 m Altura último cuerpo...........: 2.0 m

Coordenadas WGS84 Ancho último cuerpo..........: 1.0 m Longitud.: -3º 40' 34,1402''

Compensación...:

Altura total de los cuerpos.: 2.0 m

Latitud....: 39º 53' 34,6024'' X UTM....: 442193.762 m Y UTM....: 4416094.047 m Altura.....: 739.718994140625 m (CF)*

Factor escala..: 0.9996411368 Convergencia.: 0º 26' 1,1916'' Huso...............: 30

Situación: Situado sobre el punto O. de la mesa que se extiende al S. de Yepes hacia poniente y que termina en la llamada Punta o Rincón de Román, en monte bajo. Acceso: Desde el punto kilométrico 29,600 de la carretera local de Yepes a Huertas de Valdecarábanos, se sigue el camino que, pegado a la misma, bordea por el S. el pueblo de Yepes y se dirige hacia el O. hasta alcanzar la punta citada, siempre por lo más alto de la meseta. En tiempo seco puede ir cualquier vehículo, con un recorrido de unos 5 Km.

Observaciones: REGENTE. * Altura referida a Centrado Forzado

Horizonte GPS: Despejado

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3.

Redes Topográficas

DISEÑO Y SEÑALIZACIÓN TOPOGRÁFICA 3.1 3.2 3.3 3.4

3.1

DE

LOS

VÉRTICES

DE

UNA

RED

BÁSICA

PRE-SELECCIÓN DE VÉRTICES RECONOCIMIENTO Y SELECCIÓN DEFINITIVA SEÑALIZACIÓN RESEÑAS

PRESELECCIÓN DE VÉRTICES El conjunto de puntos que forman una red topográfica debe cubrir toda la zona de trabajo. Su diseño depende de tres factores: • • •

El trabajo que se quiere realizar. El terreno donde deba establecerse. El coste del proyecto.

El diseño puede hacerse estimando la geometría sobre la cartografía existente o recurriendo a estudios de diseño optimo. La búsqueda del diseño óptimo de redes comienza con Helmert (1868) definiendo unas reglas para la localización óptima de puntos de la red en función del tipo de medidas y del número de observaciones. Sus técnicas acerca del ajuste máxima precisión, minimización de costes y del tiempo de observación, son aceptados en la actualidad en la mayoría de los textos sobre diseños óptimos. Los conceptos introducidos por Helmert siguen el esquema: • • •

Diseño de orden cero (Datum) Diseño de primer orden (configuración) Diseño de segundo orden (Pesos)

Según su metodología de trabajo, con la consideración de la situación sobre el terreno de los puntos, se establece la matriz de diseño A del modelo. Con las características de la instrumentación topográfica con la que se va a trabajar, unida al método de observación que se utilice, se determina la precisión y con ello la matriz de pesos o matriz de covarianzas a priori

σ 02 Q.

La matriz de diseño se conoce si se saben las coordenadas aproximadas de los vértices elegidos. Por otro lado al fijar la instrumentación y el método de observación se determina P. De esta manera se puede obtener la precisión del trabajo sin haberlo realizado ya que la matriz normal N será conocida y con ello:

C x* x* = σ 02 ( At PA) − 1 Según se considere la matriz

Cx * x* fija o no, se tienen los diferentes problemas de

diseño, que dependerán de que parámetros se consideran fijos o libres.

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Redes Topográficas

De esta forma: •

Se puede hablar de diseño de orden cero al que fija A y P toma ndo un sistema de referencia y deja libres x y C x * x* que dependerán de dicho sistema.

•

Se puede hablar de diseño de primer orden o problema de configuración, al que fija la matriz de pesos y la de covarianzas C x * x* dejando libre la de configuración A. Es decir, deja libre y desea determinar la situación de los vértices para garantizar una precisión como la de C x * x*

•

Se llama diseño de segundo orden al que fija las marices A y

Cx * x* y deja

libre la pesos P. Así se trata de establecer los métodos de observación necesarios y la instrumentación adecuada para obtener una precisión determinada. •

Se hablará de diseño de tercer ordena al que fija

Cx * x* y deja

parcialmente libres A y P. Pretende mejorar la información de que se dispone a partir de otros datos como pueden ser un mayor número de observaciones, etc. Estas posibilidades de diseño son importantes debido a que permiten un estudio previo de las redes antes de ir al camp o a establecerlas. Son métodos llamados de simulación. Su esquema puede resumirse en: •

Elección de los vértices de la red.

•

Estudio de las observaciones que se pueden realizar.

•

Estudio de los instrumentos disponibles y métodos de observación para poder fijar una estimación a priori de la precisión.

•

Compensación y estudio e los resultados.

•

Calculo de las influencias de las observaciones van a realizarse.

•

Búsqueda de la solución optima en el sentido necesario: bien coste, precisión, fiabilidad, etc. Lo cual puede realizar por medio de: • • • •

Elección del instrumental Diseño de tercer orden. Elección de los métodos de observación Eliminación o anexo de observaciones

Dependiendo de las necesidades de nuestro trabajo recurriremos en mayor o medida a los procedimientos de simulación. En general, los trabajos topográficos empiezan con la obtención de la cartografía a escala 1:50.000 y 1:25.000 de la zona del trabajo y de los alrededores, para la localización de los vértices de la red. También puede trabajarse con las fotografías

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aéreas u otro tipo de documentos. Analizado el objetivo del trabajo topográfico y las necesidades del mismo, se seleccionarán vértices pre-existentes en las proximidades que tengan coordenadas en el sistema de referencia en el que se hayan de entregar los resultados. Sobre la cartografía existente se localizan estos vértices, se eligen los lugares idóneos para situar la red básica de nueva implantación, y se comprueba que dichos lugares cumplen la condiciones geométricas (triángulos equiláteros y que la geometría de la figura sea idónea). Se intentara que los vértices formen triángulos de la misma longitud y con forma geométrica regular para conseguir a posteriori un buen ajuste de la red. Es importante que exista intervisibilidad como mínimo a tres vértices de la red desde cada punto para posibles enlaces por topografía clásica. Los puntos de la red se eligen de manera que estén en zonas estables. Los vértices de una red básica han de cumplir las siguientes características:

3.2

•

Estabilidad dimensional: que no varien de forma o tamaño.

•

Estabilidad material: que sus materiales sean resistentes a los agentes externos.

•

Estabilidad espacial: que no varie su situación o posición absoluta en el espacio.

•

Materialización de forma adecuada, fina, precisa e inequívoca.

•

Fácilmente estacionable.

•

Fácilmente visible desde cualquier otro punto de la zona.

•

Con visibilidad sobre la zona del proyecto.

•

Fácilmente localizable.

•

Fácilmente sustituible, en caso de desaparición.

RECONOCIMIENTO Y SELECCIÓN DEFINITIVA La selección definitiva de vértices se realiza en la fase de reconocimiento del terreno, comprobando la viabilidad del diseño establecido en la fase anterior.

3.3

SEÑALIZACIÓN Se recorre la zona con el anteproyecto verificado, se materializan los vértices y se elabora la reseña de los mismos. La materialización puede realizarse con señales sobre la roca, clavos de acero, hitos hormigonados, hitos feno o mediante barras de acero corrugadas, clavadas en el terreno con maceta, y consolidadas en la base con mortero de cemento u hormigón

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Materialización del vértice. Las siguientes imágenes nos muestran el proceso de materialización de vértices de una red básica, para un trabajo de topografía, así como un ejemplo de la reseña final:

Se mezcla el cemento con el agua

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Se le añade arena para obtener el mortero

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Se le añaden áridos (hormigón)

Se elige el punto del terreno

Se estabiliza la señal

Se procede a verter el hormigón

Materialización final del vértice

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EJEMPLO DE RESEÑA DE VÉRTICES DE UNA RED TOPOGRÁFICA

Nombre: Coordenadas UTM ED-50 X= Y= h= Huso: Altura referida al nivel medio del mar en calma en Alicante.

Croquis de situación

Situación General:

Acceso:

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4.

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OBSERVACIÓN DE LA RED BÁSICA Una vez concluida la materialización de los puntos que componen la red, comienzan los trabajos de observación. Como metodologías generales existen dos opciones: • •

Equipos de topografía clásica (estaciones totales y teodolitos) Equipos GPS

A continuación analizamos las posibilidades de aplicación de estos instrumentos de medida. 4.1

OBSERVACIÓN POR TOPOGRAFÍA CLÁSICA 4.1.1 4.1.2 4.1.3

REDES PLANIMÉTRICAS REDES ALTIMÉTRICAS REDES TRIDIMENSIONALES

En los métodos clásicos de observación de redes, se diferencia la observación de la red planimétrica y la observación de la red altimétrica. En planimetría se recurre a los métodos de triangulación y trilateración, mientras que en altimetría se puede optar por los métodos de nivelación geométrica o trigonométrica con las variantes de precisión de cada uno de ellos. En determinados trabajos se calculan redes tridimensionales, sobre todo en levantamientos fotogramétricos de objeto cercano o con equipos láser escaner.

4.1.1 RED PLANIMÉTRICA La observación de una red planimétrica puede realizarse por triangulación, trilateración o por ambos métodos. Los datos básicos necesarios en una triangulación son: •

La determinación de las coordenadas del punto fundamental.

•

La orientación de uno de los ejes. Se han de realizar los trabajos topográficos necesarios para trasmitir orientación del sistema de referencia a la red, dotando de orientación a un lado de la misma.

•

La medida de la base: Proporciona la escala de la triangulación. El lado se llama base de la triangulación. Puede obtenerse mediante medición directa o puede calcularse indirectamente su longitud, por reducción de la de un lado geodésico o por ampliación de otra base más pequeña. La base debe ocupar un lugar lo más centrado posible respecto de la triangulación. Es evidente que así serán necesarios menos encadenamientos de triángulos para enlazar desde ella los límites de la zona.

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En cuanto a la precisión de la medida de la base será aquella que requiera la escala del plano que se pretende obtener y la mayor o menor superficie a representar. La medida de la base se suele llevar a cabo con distanciómetros electrónicos. Anteriormente se realizaba mediante una estadía invar, fraccionando la distancia en tramos no mayores a 50 metros para conseguir precisiones del orden de 1/50.000. En una red topográfica, se suponen los triángulos planos. El mejor triangulo es el equilátero, y en lo que respecta a la longitud de los lados, se trata de reducir el número de triángulos, lo que implica aumentar la longitud (siempre teniendo en cuenta la precisión de los equipos de medida). El método de observación angular en una triangulación es el de vueltas de horizonte. La observación constará de dos vueltas de horizonte con reiteración de 200g entre ellas. Cada vuelta se realizará primero en CD y luego en CI, tanto acimutal como cenitalmente. Cuando el trabajo lo precise puede aplicarse el método de pares sobre una referencia para aumentar o asegurar la precisión. Para dar como válidas las observaciones en campo se analizan las discrepancias entre las lecturas. Estas deberán ser menores que la tolerancia calc ulada para el tipo de aparato utilizado:

T = ea 2 ea = el2 + e 2p + ed2 + ev2 En la actualidad en la observación de la red planimétrica con las estaciones totales, se complementa la medida de la base con observaciones adicionales de distancia. Éstas se obtienen en la observación de la vuelta de horizonte. En la me dida de distancias se aplica la corrección metereológica, introduciendo los parámetros de presión y temperatura en el equipo en el momento de realizar la observación. El método de trilateración consiste en realizar la medición de distancias entre todos los lados de la red básica, con distanciómetro. Las distancias que se obtienen en campo hay que reducirlas, por ello deberán medirse también los correspondientes ángulos de inclinación, es decir se deben tomar las lecturas cenitales. A partir de las distancias pueden obtenerse por cálculo los ángulos en los vértices. Si se designan por a, b, c los lados del triángulo ABC, el valor del ángulo en A se puede deducir mediante el teorema del coseno.

cos A =

b2 + c2 − a 2 2 bc

o también:

cos

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A = 2

p( p − a ) bc

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Tema 10

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En la actualidad se trabaja con observaciones angulares y de distancias, es decir con el método de triangulación y trilateración conjunto. Las observaciones permiten establecer ecuaciones donde las incógnitas son las coordenadas de los puntos. La redundancia se define como los datos adicionales a los que permiten resolver geométricamente el problema . Es importante contar con más información de la necesaria para el cálculo de una red topográfica, para lo que se deben tomar todas las medidas adicionales que se consideren aportunas. Cuando nos encontremos con estructuras lineales recurriremos al uso de poligonación en red, con observaciones como el que aparece en la siguiente figura.

4.1.2 RED ALTIMÉTRICA →

MÉTODOS DE OBSERVACIÓN A. B. C. D. E.

→

NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA SI MPLE. NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA POR VISUALES RECÍPROCAS Y SIMULTANEAS. NIVELACIÓN GEOMÉTRICA NIVELACION GEOMETRICA DE PRECISION. EQUIPOS GPS

CONCLUSIONES

Para determinar la altitud de los vértices o clavos en una red altimétrica a partir de un origen de altitudes, podemos utilizar diferentes métodos. A continuación se incluye el estudio comparado de la precisión relativa que se obtiene con ellos para un mismo rango de distancias. En este estudio se han seleccionado las nivelaciones realizadas entre puntos A y B separados 500, 1000, 1.500 y 2.000 metros.

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Redes Topográficas

Sin adentrarnos en el estudio teórico, se exponen los resultados de las precisiones que pueden obtenerse con cada uno de los métodos, y un análisis comparado de estos valores. →

MÉTODOS DE OBSERVACIÓN

A.

NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA SIMPLE Obtención del desnivel La expresión que permite obtener el desnivel es la siguiente: B 2

∆H A

B

= t A + i A - mB + ( 0,50 - K ) DA R B

Precisión Condiciones de trabajo: •

•

Estación total de las siguientes características (como ejemplo numérico de cálculo): *

Distanciómetro de infrarrojos: . Alcance: 2.000 m . Precisión: 3 mm ± 3 ppm

*

Teodolito: . Sensibilidad: 30cc . Aumentos: 30x . Apreciación según la casa comercial: 2cc

Prisma en jalón con nivel de mano.

Incertidumbre en i: ei ≤ 5 mm Incertidumbre en t: VAB/Dg (m)

500

1.000

1.500

2.000

100 g

8

16

24

31

90 g

9

16

24

31

85 g

9

16

24

31

500

1.000

1.500

2.000

Incertidumbre en m: D (m)

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Redes Topográficas em

20

30

35

40

Conclusión Si realizamos la componente cuadrática de los tres errores obtendremos la tabla siguiente. VAB/Dg (m)

500

1.000

1.500

2.000

100 g

22

34

43

51

90 g

22

34

43

51

85 g

22

34

43

51

Teniendo en cuenta la influencia nula de la variación de distancia cenital, podemos concluir:

B.

Dg (m)

500

1.000

1.500

2.000

e? H (mm)

± 22

± 34

± 43

± 51

ppm

44

34

29

25

NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA POR VISUALES RECÍPROCAS Y SIMULTANEAS Cálculo del desnivel La expresión que nos permite obtener el desnivel entre dos puntos A y B al aplicar el método de visuales recíprocas y simultáneas, es decir sin necesidad de tener en cuenta los efectos de la esfericidad y anulando la influencia por la refracción, es la siguiente: B ∆H A = D sen

1 ( V B A - V AB ) 2

donde las distancias cenitales VAB y VBA, están reducidas al terreno. Precisión

e∆H = D g

1 1 1 1 0,000018692 cos ( V BA - V BA ) + D g sen ( V AB - V BA ) 2 2 100000 2

Para un equipo de precisión angular de 8,4cc, y una precisión en distancias de 1/100.000 con un alcance de 2 a 3 km. Aplicando esta fórmula a distintos casos, Pérez Martín obtiene el siguiente cuadro 5: 5.

PÉREZ MARTÍN, Carlos (1981): "Cálculo de Desniveles por Estaciones Recíprocas y Simultaneas con Teodolito y Distanciómetro. Precisión". Técnica Topográfica. Vol. IX. Nº 43. Septiembre - Octubre.págs. 3-7.

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VAB/Dg (m.)

500

1.000

1.500

2.000

100 g

5

9

14

19

90 g

5

11

16

22

80 g

6

12

18

24

70 g

6

13

19

26

60 g

7

13

20

27

50 g

7

14

21

27

A 500 metros la variación del error en distancias cenitales comprendidas entre 100g y 90g, son despreciables; a 1.000 metros estas cifras de V introducen diferencias de precisión de 2 mm en el desnivel (un desnivel del orden de 158 metros); a 1.500 metros estos dos valores extremos de 100g y 90g, suponen 2 mm de diferencia de precisión (en desniveles del orden de 237 m); y a 2.000 metros diferencias de precisión de 3 mm, con desniveles de 311 metros. Como estas diferencias de desnivel rara vez se encuentran en distancias tan cortas (500 a 2.000 metros), podemos prescindir de la variación de precisión con la distancia cenital en nuestro estudio. Teniendo en cuenta esta simplificación y lo que ella supone, podemos considerar como parametros de comparación los siguientes:

C.

D (m)

500

1.000

1.500

2.000

e? H (mm)

±5

±9

± 14

± 19

ppm

10

9

9

9

NIVELACIÓN GEOMÉTRICA Cálculo del desnivel

∆H BA = Σ LE - Σ L F Precisión

e∆H = e k k Con los niveles automáticos actuales el error kilométrico ek, toma valores de ± 7 mm. La precisión resultante con este método será:

M. Farjas

D (m)

500

1.000

1.500

2.000

e? H (mm)

±5

±7

±9

± 10

ppm

10

7

6

5

29

Tema 10

D.

Redes Topográficas

NIVELACION GEOMETRICA DE PRECISION El instrumental topográfico en este tipo de trabajos son niveles digitales. Entre los de tercera generación fabricados por ZEISS, el DiNi 12, es el más preciso de la gama. Sus características técnicas son las siguientes: •

Desviación estándar en 1 Km. de nivelación doble:

•

Telescopio

Imagen directa

•

Aumentos del anteojo:

32X

•

Rango de medición:

1.5 a 100 m

•

Rango de compensación automática.

± 15”

•

Precisión del compensador:

± 0.2”

•

Memoria:

Tarjetas PCMCIA

•

Pantalla:

4 líneas

•

Cifras decimales en lectura de mira invar.:

•

Teclado:

22 teclas

•

Peso:

3.5 kg

0.3 mm (con mira invar)

0.1 / 0.01 mm

Estos niveles miden distancias y desniveles en base a un tratamiento electrónico de la imagen con grabación automática de los datos. Con solo apretar un botón miden y registran la altura en la mira y la distancia y calculan la altitud del punto sin errores de lecturas ni de anotaciones, eliminando por completo los cálculos a mano. El software que lleva incorporado ofrece un amplio menú con diferentes posibilidades como son el establecimiento de los parámetros del instrumento, introducción de coeficientes y constantes, establecimiento de tolerancias con aviso, elección de formatos en la grabación de datos y la visualización continúa en pantalla de la información además de un sistema de guiado. Ofrecen también la posibilidad, mediante diferentes métodos, el comprobar y ajustar el equipo de forma rápida y guiada. Como ventajas de la Nivelación digital destacan los tiempos breves de medición, registro y el tratamiento automático de los datos, indicaciones digitales con un display claro, posibilidad de trabajos con poca luminosidad por contar con iluminación propia, también elimina los errores propios de operador al efectuar la puntería en las miras y las lecturas en estas. El registro a traves del modulo REC excluye todo tipo de error de transferencia, y el uso de tarjetas PCMCIA acelera los trabajos de volcado al PC incorporando el hardware y el software necesario. La información referente a los clavos de nivelación geométrica de la Red Nacional de Alta Precisión, son proporcionados por el I.G.N. A continuación se muestra una de ellas.

M. Farjas

30

Tema 10

Redes Topográficas

Ministerio de Fomento

General Ibañez de Ibero, 3

Subsecretaria

28003 MADRID

Direccion General del Instituto Geografico Nacional Subdireccion General de Geodesia y Geofisica

Reseña de señal de Nivelacion Datos de la Numero:

Nombre:

Linea o Ramal: Señal: Clavo

Anterior:

Posterior:

Nombre: Ministerio de Fomento Agrupada con:

En posicion: Horizontal

Datos Longitud WGS84: 3º41´29" W

Altura Ortometrica:

LatitudWGS84:

Geopotencial:

Hoja MTN50: Provincia: Reseña

40º26´43" N 559/4-3/3

MADRID

677.92634 m

Gravedad en superficie: Municipio: Madrid

Clavo incrustado en la fachada principal del Ministerio de Fomento, situado en el Paseo de La Castellana s/n

M. Farjas

31

Tema 10

Redes Topográficas

Verificación del equipo La verificación del equipo instrumental comprende trípode, nivel digital y miras. En el trípode se verifica el ajuste mecánico. Se revisa el ajuste del eje de las bisagras, en la unión de las patas de madera con la parte metálica de la bisagra y en la de la unión de la madera con la punta metálica que se apoya en el suelo. Una sencilla comprobación para verificar el ajuste de la artic ulación de una pata consiste en colocar el trípode boca abajo y comprobar que el movimiento de caída de sus patas sea lento y uniforme. En el nivel el ajuste de la visual o línea de puntería debe efectuarse de acuerdo con el procedimiento descrito en el manual o mediante un programa o aplicación informática para dicho ajuste, de modo que se garantice la adecuada corrección de la visual o línea de puntería electrónica. El ajuste se realiza antes de la realización del trabajo, del siguiente modo: •

Se coloca el aparato entre las dos miras, a 15 m de la mira que consideraremos mira A y a 30 m de la otra, denominada mira B, tal y como se muestra en la figura. Realizamos las lecturas a la mira A y a la mira B.

Mira A

Mira B

15 m •

30 m

Se sitúa el aparato a 15 m de la mira que consideraremos mira B y a 30 m de la otra, denominada mira A, tal y como se muestra en la figura. Realizamos las lecturas a la mira A y a la mira B.

Mira A

Mira B

30 m

M. Farjas

15 m

32

Tema 10

Redes Topográficas

En tanto que una inclinación constante de la visual o línea de puntería se corrige estacionando en posiciones simétricas o equilibradas en distancia, la desviación funcional del foco de la visual, o línea de puntería, es una función hiperbólica no lineal y debe tenerse en cuenta en la nivelación de precisión con visuales a distancias variables. Además, la mayoría de los procedimientos de nivelación digital disponen de un código de cambio de campo próximo a distante, en el rango de distancias de 5 a 15 m, y por tanto es de esperar que se presenten efectos sistemáticos cuando haya variaciones acusadas en las distancias a las miras. Para comprobar el compensador durante el procedimiento de la nivelación, un leve golpe permite saber que el compensador no esta atascado. Hay algo especial con respecto a la función del compensador; dado que todos los compensadores son de tipo pendular, el compensador se desvía sistemáticamente debido a la fuerza centrifuga que se produce durante el cambio de visual adelante a visual hacia atrás. Además del ajuste del Nivel por parte del usuario, con anterioridad a la realización del trabajo, se realizan calibraciones periódicas del mismo. La finalidad de calibrar las miras de nivelación es determinar la escala y la corrección del punto cero. Todos los comparadores de miras de nivelación invar se basan en el mismo principio: controlar un desplazamiento horizontal o vertical de la mira de nivelación por interferometria y un dispositivo óptico-electrónico (microscopio de Schlemmer y sensores de posición CCD y de semiconductores) para determinar la posición de los rebordes y el centro de las barras de código respectivamente. En la miras debe hacerse también la corrección de los niveles esféricos y verificarse la ortogonalidad de talón. La corrección del nivel esférico de la mira se realiza calando el nivel en cualquier posición, girando la mira 180º y corrigiendo con los puntales la mitad del desplazamiento que pueda observarse en la burbuja, y la otra mitad, con los tornillos de corrección de la parte inferior del nivel esférico, mediante un punzón adecuado. Para el caso de la ortogonalidad del talón, si el rectángulo de apoyo que presenta el talón de la mira no es ortogonal a la cinta, o lo que es equivalente, si no es horizontal cuando la mira es vertical, las lecturas dependerán del punto en el que se apoye. Para esta comprobación se estaciona la mira sucesivamente sobre cada una de las cuatro esquinas del talón. Las lecturas deben ser idénticas, dentro de tolerancia. En caso contrario, si las diferencias son inadmisibles, la mira ha de ser reparada o usarse con un centrador para que siempre se estacione sobre el mismo punto. En el caso de las miras también se puede realizar una calibración periódica en el Instituto Nacional de Metrología. Metodología El método utilizado en la nivelación de precisión, se basa en la nivelación geométrica o por alturas. Se estaciona el nivel de precisión en un punto medio, M, de otros dos puntos A y B cuyo desnivel queremos obtener, situando en estos dos miras específicas para nivelación, en este caso de invar y con código de barras, que junto con el nivel digital permiten obtener precisiones muy elevadas. Las

M. Farjas

33

Tema 10

Redes Topográficas

diferencias de lecturas en las miras obtenidas con el nivel, nos dan directamente el desnivel buscado. La necesidad de colocar el nivel en el punto medio del tramo cuyo desnivel queremos determinar se debe a que, de esta forma, se eliminan una serie errores que de no hacerlo así, impedirían alcanzar la precisión deseada y que son los siguientes: §

Error de curvatura o esfericidad: en la nivelación de un tramo de 100 m de longitud, el error cometido sería aproximadamente de 1 mm, este error lo eliminamos empleando el método del punto medio.

§

Error de refracción: al ser su influencia igual en las dos niveladas que realicemos, al calcular su diferencia el error se eliminará.

§

Errores propios del nivel: si la visual es horizontal, sabemos que el desnivel entre dos puntos viene dado por la diferencia de lecturas de mira, pero aun estando el instrumento descorregido, como el ángulo de pendiente del eje de colimación es el mismo, los errores cometidos en ambas miras serán idénticos y, por tanto, la diferencia de lecturas aun siendo erróneas, nos darán el desnivel verdadero.

El itinerario altimétrico se recorre 2 veces (ida y vuelta), permitiéndonos obtener un error de cierre, ya que la suma de los desniveles de ida y vuelta de todos los tramos, con su signo correspondiente, tendría que resultar igual a cero. Si el error obtenido entra dentro de la tolerancia establecida se puede compensar repartiéndolo proporcionalmente a las diferencias entre el desnivel de ida y vuelta de cada tramo. Después, se promedia el desnivel de ida y vuelta compensados, de cada tramo, obteniéndose así el desnivel definitivo. La longitud de nivelada (distancia aparato-mira) no debe sobrepasar en ningún caso los 30 m por la pérdida de precisión que ello supone. Cálculo del desnivel

∆H BA = Σ LE - Σ L F Precisión

e∆H = e k k La nivelación de precisión permite trabajar con errores que oscilan entre

0,5 mm K ≤ e∆H ≤ 1 mm K Si consideramos el valor de la constante ek, igual a 1 mm, resulta:

M. Farjas

D (m)

500

1.000

1.500

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e? H (mm)

± 0,7

±1

± 1,2

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34

Tema 10

E.

Redes Topográficas

EQUIPOS GPS Cálculo del desnivel En la metodología GPS se sitúa un punto determinando el vector que lo une al punto de referencia, El cálculo del desnivel va asociado al cálculo planimétrico, y ambos se realizan aplicando algoritmos de cálculo a los datos recibidos por los sensores durante la observación. Precisión La precisión depende de: •

Equipo de trabajo: o o

• • •

Un equipo (posic ionamiento absoluto) o dos (posicionamiento diferencial), Equipo de una o de dos frecuencias.

Tiempo de observación. Distancia entre puntos. Algoritmo de cálculo. etc.

Por todo ello no se pueden acotar errores en GPS, de modo análogo al realizado con los anteriores métodos. Hay estudios de precisión referidos a unas determinadas condiciones de proyectos, que no resultan generalizables. Para hacer posible este trabajo comparado y un análisis relativo al lugar que esta ocupando en Topografía este método, se considera que: (a)

en Topografía diferencial;

se

aplica

el

método de posicionamiento global

(b)

a una determinación de nivelación simple clásica correspondería en la metodología GPS la medida del desnivel realizada con un equipo compuesto por un receptor fijo situado en el punto A y uno móvil situado en B.

(c)

Las casas comerciales aseguran, para estas condiciones y con líneas-base menores de 5 km, unas precisiones de 1 cm en postproceso, con 5 minutos de observación, para la resolución de ambigüedades. Esta duración de la observación se está viendo reducida y algunos fabricantes consideran que pueden conseguirse precisiones superiores.

La tabla a la que corresponderían estos valores sería la siguiente:

M. Farjas

D (m)

500

1.000

1.500

2.000

e? H (mm)

± 10

± 10

± 10

± 10

ppm

20

10

7

5

35

Tema 10

Redes Topográficas

No olvidemos que estas precisiones se superan fácilmente, ampliando los tiempos de observación, el número de receptores, etc.; y que incluso se empiezan a considerar parámetros de precisión milimétricos en las condiciones estándar reseñadas, pero sin olvidar que los desniveles obtenidos son elipsoidales. →

CONCLUSIONES DE LA COMPARACIÓN A.

B.

C.

D.

E.

M. Farjas

NIVELACION TRIGONOMETRICA NORMAL D (m)

500

1.000

1.500

2.000

e ? H (mm)

± 22

± 34

± 43

± 51

ppm

44

34

29

25

NIVELACION TRIGONOMETRICA POR VISUALES RECIPROCAS Y SIMULTANEAS D (m)

500

1.000

1.500

2.000

e ? H (mm)

±5

±9

± 14

± 19

ppm

10

9

9

9

NIVELACION GEOMETRICA NORMAL D (m)

500

1.000

1.500

2.000

e ? H (mm)

±5

±7

±9

± 10

ppm

10

7

6

5

NIVELACION GEOMETRICA DE PRECISION D (m)

500

1.000

1.500

2.000

e ? H (mm)

± 0,7

±1

± 1,2

± 1,4

ppm

1,5

1

0,8

0,7

NIVELACION CON EQUIPOS GPS (desniveles elipsoidales) D (m)

500

1.000

1.500

2.000

e ? H (mm)

± 10

± 10

± 10

± 10

ppm

20

10

7

5

36

Tema 10

Redes Topográficas

Del análisis de los mismos se destaca la presencia de dos métodos de nivelación que generalmente se consideraban propios de la Geodesia, y que pueden ser de gran aplicación en Topografía: la nivelación trigonométrica por visuales recíprocas y simultáneas, y la metodología GPS. El primero de ellos, con una gran sencillez (sólo con dos puntos de estación) y en períodos cortos de trabajo, permite obtener precisiones que se acercan teóricamente a la nivelación geométrica y que experimentalmente la superan. La valoración de la relación error /coste nos ayudara a potenciar su uso. La metodología GPS en las determinaciones topográficas, ocupa un lugar importante en la determinación de redes básicas, en la obtención de puntos de apoyo, y en todo tipo de levantamientos y trabajos batimetricos. Se trata de un método sencillo y rápido, con un coste rentable en Topografía, en algunos trabajos de forma exc lusiva, y en otros combinandolo con el uso del instrumental tradicional. 4.1.3 REDES TRIDIMENSIONALES Como se ha definido anteriormente, una red tridimensional esta formada por un conjunto de puntos con coordenadas (ϕ, λ, h) ó (X, Y, Z) con máxima precisión en el trabajo, de forma que la red básica altimétrica y planimétrica coinciden. Mediante los equipos topográficos tradicionales (estaciones totales y eodolitos) se pueden establecer redes en las que los puntos tengan coordenadas X, Y, Z con precisión análoga en las tres dimensiones. Para ello es necesario eliminar como observable la altura de aparato y la altura de mira. Las observaciones se suelen realizar con centrado forzado. El análisis de esta metodología se realizará con un estudio de casos prácticos, proporcionados por el profesor.

4.2

OBSERVACIÓN DE LA RED BÁSICA POR MÉTODOS GPS

Cuando una red va a observarse por medio de técnicas GPS, en el diseño se consideran menos restricciones de visibilidad, no obstante no debe olvidarse el uso d estos vértic es en trabajos posteriores por métodos de topografía clásica. La metodología GPS (Global Positioning System) proporciona coordenadas cartesianas tridimensionales (X, Y, Z)WGS84 o coordenadas geodésicas (ϕ, λ, h)WGS84 en un sistema geocéntrico que utiliza el elipsoide WGS84. Para transformar los valores de las observaciones al sistema de referencia local es necesario conocer los parámetros de transformación entre ambos sistemas. Dichos parámetros pueden obtenerse mediante una transformación Helmert tridimensional (transformación clásica en tres dimensiones) con siete parámetros incógnitas: • • •

Tres rotaciones. Tres traslaciones. Un cambio de escala.

La determinación de estos parámetros se podrá realizar si se han incluido en la observación de cuatro puntos del marco de referencia ROI (con coordenadas en el sistema

M. Farjas

37

Tema 10

Redes Topográficas

de referencia oficial ED-50 y en proyección UTM) son necesarios al menos tres vértices siendo conveniente contar con un cuarto punto para tener comprobación de las observaciones. En la actualidad la determinación de estos parámetros puede realizarse también trabajando con vértices REGENTE. Además de los vértices REGENTE existen repartidas por el territorio nacional estaciones permanentes de observación GPS que forman la denominada red IBEREF-GPS, en el sistema ETRS89. También estarán a nuestra disposición los datos de estas estaciones.

Ejemplo de estación permanente GPS

Una vez determinados los parámetros de transformación entre los dos sistemas se pueden transformar todos los observables GPS al sistema geodésico local ED50 (X, Y)ED50 La organización de la observación dependerá del objetivo del trabajo, precisión y fiabilidad requerida, número y tipos de receptores y de las condiciones logísticas. El material para observar una red con métodos GPS suele constar de 2 o 3 receptores con el equipo complementario necesario.

M. Farjas

38

Tema 10

Redes Topográficas

Los receptores utilizados normalmente son bifrecuencia, registran el código C/A y P de L1 y fase de L1 y L2. Al tener mayor número de observables requieren un menor tiempo de observación, obteniéndose un mayor rendimiento que con receptores monofrecuencia.

Las precisiones que se obtienen con los equipos GPS en postproceso, puede ser del siguiente orden: Estático Relativo: 5mm ± 1ppm Estático Relativo Rápido: 5-10mm ± 1ppm RTK: 2 cm ± 1ppm Se deben planificar las puesta o sesiones, atendiendo: número de satélites, geometría de la constelación (DOP), actividad ionosférica (depende de la latitud y hora del día), longitud de la línea base a medir, número y calidad de las observaciones, obstrucciones físicas o electromagnéticas en los puntos e intervalo de registro; considerando necesario las mismas condiciones en ambos extremos de la línea base (datos comunes y simultáneos). En función de la longitud de la línea base y el tipo de instrumental se consideran los siguientes valores de tiempos de observación:

< 1 km 1 - 10 km 10 – 30 km > 30 km

Monofrecuencia Estático

Bifrecuencia Estático

Bifrecuencia Estático Rápido

20 – 40 min 30 – 60 min 45 – 120 min

20 – 40 min 30 – 60 min 45 – 90 min > 60 min

5 – 10 min 5 – 10 min

El método estático relativo por diferencia de fase, consiste en hacer observaciones simultáneas con al menos dos receptores, obteniendo líneas base entre ambos. Para una determinada línea base AB, se obtienen por pseudodistancias las coordenadas absolutas del punto A (o bien se conocen previamente) y por medida de fase los incrementos de coordenadas ?X, ?Y y ?Z entre A y B. En este método general se diferencian a su vez dos modelos:

M. Farjas

39

Tema 10 •

Redes Topográficas

El método estático relativo estándar: Se trabaja como mínimo con dos receptores que se estacionan y observan durante un periodo de tiempo de una a dos horas, según la redundancia y la precisión necesarias, la distancia a observar y la bondad de la configuración de la constelación de satélites. Se utiliza generalmente para medir líneas mayores de 20 kilómetros, como es el caso al pretender enlazar con estaciones REGENTE cuyas distancias oscilarán entre 20 y 30 kilómetros. La precisión en la medida de la distancia se estima en 5 mm ± 1 ppm.

•

El método estático relativo rápido: Se utiliza para la observación de distancias menores a 20 kilómetros y la precisión en la medida de la distancia oscila de 5 a 10 mm ± 1 ppm. Éste método utiliza el algoritmo FARA para la resolución estadística de la ambigüedades, permitiendo la disminución de los tiempos de observación frente al método estático estándar, estimándose el tiempo de observación necesario de 5 a 20 minutos. Es sólo utilizable con receptores bifrecuencia con medida de fase tras la demodulación de la portadora por correlación con ambos códigos (C/A y P).

Para la observación de la red se emplea el método estático relativo rápido. El tiempo mínimo de observación, para puestas simultáneas, suele ser de quince minutos entre vértices de la red interior, y de mayor duración en los vértices exteriores, dependiendo de las distancias existentes. Para la toma de datos se estaciona el aparato fijo en un vértice, que consideramos como estación de referencia. Se configura el aparato para el método de posicionamiento estático relativo estándar. Los dos equipos móviles se estacionan en dos de los vértices internos configurándolos para que el método de posicionamiento sea estático relativo rápido. Se utiliza un intervalo de grabación de 10-15 minutos en medición simultánea. Cuando la grabación concluye, uno de los aparatos móviles se sitúa en otro vértice con un solape temporal de 10-15 minutos, como mínimo. Durante toda la observación se tiene en cuenta el GDOP, parámetro adimensional que da una idea de la geometría que forma el receptor y los vectores que determinan los satélites. Como es sabido su valor ideal es uno y en todo momento de la observación hay que controlar que el GDOP esté en un valor admisible (

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