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LÓGICA Y

TEORÍA DE CONJUNTOS NOCIONES DE LÓGICA CONJUNTOS Y SUS APLICACIONES

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MOISÉS LÁZARO CARRIÓN

%

Autor Estudios

: Moisés Lázaro Carrión : Lic. en Matemáticas Puras, Lic. en Educación, Maestría (Métodos Cuantitativos de la Economía U.N.M.S.M.), Maestría (Matemáticas Puras P.U.C.P.).

Experiencia Docente: Pontificia Universidad Católica del Perú Universidad Ricardo Palma Universidad Nacional Mayor de San Marcos Universidad Nacional de Ancash Santiago Antúnez de Mayolo Universidad Nacional del Callao Universidad Particular San Martín de Pones

LÓGICA T TEORÍA DE CONJUNTOS

Autor Moisés Lázaro Carrión

Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin au­ torización escrita del autor: Decreto legislativo ....................... :. :822

Derechos reservados O Reimpresión: Enero 2012 Tiraje: 500 ejemplares Obra editada, impresa y distribuida por: Distribuidora, Imprenta, Editorial, Librería

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CONTENIDO

1

NOCIONES DE LÓGICA 1.1 1.2 1.3 1.4 • 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 r 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17 1.18

1.19

Enunciado ................................................... ..................... ................. ,................ Proposición Enunciado abierto.................................................. Proposiciones: simples y compuestas ....................... Conectivos lógicos ...... Tablas de verdad....................... Validez de una proposición Circuitos conmutadores ...................... La Conjunción La Disyunción: inclusiva, exclusiva ...... La Condicional: recíproca, inversa, contrarecíproca Proposición inversa La Bicondicional ..................... La Negación: conjuntiva, alternativa............. ......... Uso de los signos de agrupációñ................................7....... Evaluación de esquemas moleculares por tabla de valores. Tautología..:.... La equivalencia y la implicación ............................... La inferencia lógica, Teorema. Ejemplos: 1, 2/3, 4 .......... El método abreviado. Dos métodos para demostrar una proposición.................. 1. Método directo de demostración 2. Método por reducción al absurdo Ejemplos. Principales leyes lógicas o tautologías .............. I. Los tres principios lógicos: de identidad, de no con­ tradicción, tercio excluido .......... :..... II. Equivalencias notables. Léyés: doble negación, idempotencia, conmutativa, distributivas, De Mor­ gan, del condicional, del bicondicional, leyes de ab­ sorción, de transposición, de exportación, elementos neutros de la conjunción y disyunción.

I 2 3 4 5 6 7 9 13 17 18 21 22 23 25 32

34 35

1.20 1.21

III. Implicaciones notables: Forma horizontal, forma vertical ................ Ley de Modus P onens................................................. Ley de Modus Tollens ............ Ley del silogismo disyuntivo, ley de la inferencia equiva­ lente .............................i..*........... Ley del silogismo hipotético, ley de la transiíividad simé­ trica, ley de la simphfiiiitÉidh Ley de adición. Ley del absurdo ....................................... Resumen - Cuadro ....... Condición necesaria y Condición suficiente......,»,............ Problemas resueltos Grupo 1: Circuitos lóceos ........................ *v«,.o»... ....... Grupo 2: Simplificación de Proposiciones compuestas .... Problemas propuestos ............................

. 38 38 38 39 40 41 42 43 46 54 • 86

m CONJUNTOS 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.18

Noción de conjunto ........................ Notación y convenios iniciales Relación de igualdad. Propiedades................ Relación de pertenencia Conjuntos numéricos Determinación o designación de conjuntos.. ** 8 3+5 = 8

10.

x2 < 4 y

11.

x2 + y2 Pi >Pi > ----- --------% y 42 > r \ ,r 2 ,ry ,

IPn

............. ......... 9Qn ............... rn

EJEMPLOS DE PROPOSICIONES:

p q r s t u

: “dos mas tres, es igual a cinco” : “ocho es menor que tres” : “cinco es diferente que cero5’ : “cuatro multiplicado por tres, és igual a doce” : “cuatro y diez son múltiplos de dos” : “2es menor que 3 y 3 es múltiplo de 5”

Como podemos observar: p es V q es F r es V

s es V t es V u es F

En las matemáticas las proposiciones fundamentales son: a) b) c) d) 2

los axiomas o postulados los lemas los teoremas los corolarios.

NOCIONES D€ LÓGICA a) Los axiomas o postulados, son proposiciones cuya, VALIDEZ se aceptan sin demostra­ ción.

b) Los lemas, son proposiciones previas a la demostración de algunos teoremas. c) Los teoremas* son proposiciones que para ser v á l id a s , necesitan de su demostración. Se demuestran usando los axiomas y algunas tautologías lógicas. d) Los corolarios, son proposiciones que son consecuencias de algunos teoremas,

1.3

ENUNCIADOS ABIERTOS Son expresiones que contienen variables y que no tiene la propiedad de ser verdade­ ro o falso.

EJEMPLO 1

P [x] : “ x < 5 ” es un enunciado abierto porque no podemos afirmar que es V o es F. Sólo cuando la variable “jc” toma un valor numérico se hace V o F. Así tendremos:

EJEMPLO 2

p [3] : p [9] :

3 < 5 es V 9 < 5 es F

A [x,y] :x2 + y 2 =25 también es un enunciado abierto.

VARIABLE.- Es una cantidad susceptible de variar en cierto campo o recorrido. Las variables se representan por las letras minúsculas: x, y, z, t, u, v. Estas letras reciben el nombre de variables indeterm inadas . EJEMPLO 1

y = vjc - 2 es un número real, si el número real x - 2 es positivo o cero. Es decir, el recorrido de x es jc > 2

EJEMPLO 2

En la ecuación: x2 + y 2 =25. • •

El recorrido de x es : -5 < jc < 5 El recorrido de y es : -5 < y < 5

Con mayor detalle se estudia en el capítulo*relativo a relaciones de IR en IR .

3

MOISÉS LÁZARO CARRIÓN

1.4

LAS PROPOSICIONES: SIMPLES Y COMPUESTAS

1.4.1 PROPOSICIÓN SIMPLE (atómica o elemental); Son los enunciados que tienen un solo sujeto v un solo predicado. No llevan ningún conectivo lógico. EJEMPLOS

P i: p2 :

“9 es múltiplo de 3” “3 es mayor que 2”

p3: p4 : P s:

“2 x 5 = 12 “2 es mayor que 0” “3 es mayor que 8”

Pi es V Pi p3 p4 ps

es es es es

V F V F

1.4.2 PROPOSICIÓN COMPUESTA (molecular o coligativa): Son aquellas proposiciones que se obtienen de la combinación de dos o más propo­ siciones simples, las cuales son enlazadas por los símbolos: a , v , llamadas conectivas lógicas. Donde:

“y” se representa por “a ” “o” se representa por “v ” “si ... entonces . . . ” se representa por “p -> q” “si .. .y solo s i . . . ” por “/?