Límites - Ejercicios Resueltos

1 UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA ESCUELA DE ECONOMIA CATEDRA DE MATEMATICAS I PROFA. MA. RITA AMELII

EJERCICIOS RESUELTOS DE CALCULO DE LIMITES 1. Si f(x) = x ² + 2 y a.

(f + g)(x)

b.

(f - g)(x)

c.

(f.g)(x)

d.

(f/g)(x)

g(x) = 1/x ; calcular:

Resolución: Hallamos cada uno de los límites por separado

f(x) = 2 ² + 2 = 11

a.

(f + g)(x) =

f(x) +

b.

(f - g)(x) =

f(x) -

c.

(f.g)(x) =

f(x) .

g(x) = 11.(1/3) = 11/3

d.

(f/g)(x) =

f(x) /

g(x) = 11/(1/3) = 33

y

g(x) = 1/3

g(x) = 11 + 1/3 = 34/3 g(x) = 11 - 1/3 = 32/3

2. Calcular el límite de la función f(x) = (2.x³ - 1)/(3.x ² + 4), cuando x → 1

Resolución: (2.x³ - 1)/(3.x ² + 4) =

(2.x³ - 1)/

(3.x ² + 4) = 1/7

3. Calcular el límite de la función g(x) = (x³ - 2.x ² - 6.x + 12)/(x ² + 3.x - 10), cuando x → 2

Resolución: (x³ - 2.x ² - 6.x + 12)/(x ² + 3.x - 10) =

(x³ - 2.x ² - 6.x + 12)/

(x ² + 3.x - 10) =

2

= (2³ - 2.2 ² - 6.2 + 12)/(2 ² + 3.2 - 10) = 0/0 Esta indeterminación se resuelve simplificando el cociente. Aplicando la regla de Ruffini, se obtiene la descomposición de los polinomios (Numerador)

P(x) = x³ - 2.x ² - 6.x + 12 = (x - 2).(x ² - 6)

(Denominador)

Q(x) = x ² + 3.x - 10 = (x - 2).(x + 5)

- El límite del cociente P(x)/ Q(x) es: (x³ - 2.x ² - 6.x + 12)/(x ² + 3.x - 10) = =

[(x - 2).(x ² - 6)]/[(x - 2).(x + 5)] (x ² - 6)/(x + 5) = -2/7

4. Calcular el límite de la función f(x) = (3.x ² - 4.x)/x, cuando x → 0

Resolución: (3.x ² - 4.x)/x =

(3.x ² - 4.x)/

x = 0/0, indeterminación.

- Se simplifican numerador y denominador (factor común) (3.x ² - 4.x)/x = = 5. Calcular

x.(3.x - 4)/x (3.x - 4) = -4

1/(x - 3) ²

Resolución: 1/(x - 3) ² = 1 /

(x - 3) ²

= 1/0, indeterminación. Para resolver la indeterminación se estudian los límites laterales de la función en el punto x0 = 3. 1/(x - 3) ² = 1 /

(x - 3) ² = 1/0 = + ∞

1/(x - 3) ² =

(x - 3) ² = 1/0 = + ∞

1/

Como los límites laterales coinciden,

1/(x - 3) ² = + ∞

3 6. Calcular el límite de la función f(x) = 1 / (x - 1), cuando x → 1.

Resolución: 1 / (x - 1) = 1 /

(x - 1)

= 1/0, indeterminación. - Se estudian los límites laterales: 1/(x - 1) = 1 /

(x - 1)

= 1/0 = + ∞ 1/(x - 1) = 1 /

(x - 1)

= 1/0 = - ∞ Como los dos límites laterales no coinciden, la función f(x) = 1/(x - 1) no tiene límite cuando x tiende a 1. 7. Calcular el límite de la función f(x) = (3.x ² - 2.x - 5)/(x - 4), cuando x → ∞

Resolución: En este caso, el grado del numerador, 2, es mayor que el grado del denominador, 1, por tanto el límite es ∞. (3.x ² - 2.x - 5) / (x - 4) = =

3.x ²/x 3.x/1 = +∞

8. Calcular el límite de la función g(x) = (x³ - 5)/(-x ² - 4), cuando x → ∞

Resolución: El grado del numerador es mayor que el grado del denominador, y los términos de mayor grado tienen signos distintos, por tanto: (x³ - 5)/(-x ² - 4) = =

x³/(-x ²) = x/(-1) = -∞

4

9. Calcular

(-3.x ² - 2.x + 5)/(4.x ² - 4)

Resolución: El grado del numerador es igual que el grado del denominador, por tanto: (-3.x ² - 2.x + 5)/(4.x ² - 4) =

10. Calcular

(-3.x ²)/(4.x ²)

L = -3/4

(x ² - x + 1)/(x³ - 4.x + 3)

Resolución: El grado del numerador es menor que el grado del denominador, por tanto: (x ² - x + 1) / (x³ - 4.x + 3) = =

x ²/x³ 1/x

L= 0

11.Resolver el limite

Resolución: La solución no es tan inmediata como en el caso anterior, es necesario realizar algunas operaciones antes de aplicar el límite, ya que este límite 0/0. Factorizando:

12.Resolver el siguiente limite:

Resolución:

5

Como el limite queda indeterminado debido a la división: entonces es necesario dividir entre la variable a la mayor potencia tanto en el numerador como en el denominador en este caso entre x7:

13.Calcular el siguiente limite:

Resolución: Dividiendo entre x3 por ser variable de mayor potencia tendríamos:

14.Calcular

Resolución:

Calcular el límite:

6

Resolución: Multiplicando numerador y denominador por la expression conjugada del denominador:

15.Encontrar la solución del siguiente limite

Resolución: La solución, como podemos analizar, no es tan inmediata ya que nos conduce a la indeterminación de la forma 0/0. Debido a que

se puede expresar como

por lo que:

16.Resolver el siguiente limite:

Resolución: Como el límite es indeterminado de la forma infinito sobre infinito primero dividiremos entre x100

7

con lo que:

por lo tanto:

17.Calcular :

Resolución: Directamente no se puede obtener el resultado por lo que es necesario desarrollar los productos

Dividiremos entre la variable de mayor potencia:

por lo tanto

18.

8

19.

Solución: La solución del límite da una indeterminación de la forma Para resolver este límite aplicamos la siguiente expresión:

Aplicando al límite:

Pasando al límite:

20.

L=1

9

10