Kvantitativne Metode u EiM

March 27, 2017 | Author: Haris Kozica | Category: N/A
Share Embed Donate


Short Description

Download Kvantitativne Metode u EiM...

Description

Naziv djela: KVANTITATIVNE METODE U EKONOMIJI I MENADŽMENTU Autori: Prof. dr Rabija Somun-Kapetanović Mr Almira Arnaut-Berilo Ensar Šehić Elma Kahvić-Begić Izdavač: Ekonomski fakultet u Sarajevu Glavni i odgovorni urednik: Dekan, prof. dr Veljko Trivun Recenzenti: Prof. dr Ksenija Dumičić, redovni profesor Ekonomskog fakulteta u Zagrebu Emir Veledar, PhD Assistant Professor, Emory University, Atlanta, USA DTP: Mešanović Engin Lektor: Softić dr Aiša Štampa: VMG Grafika, Mostar Tiraž:500 Godina izdanja: 2009.

CIP – Katalogizacija u publikaciji Nacionalna i univerzitetska biblioteka Bosne i Hercegovine, Sarajevo Somun-Kapetanović, Rabija...(et al.) Kvantitativne metode u ekonomiji i menadžmentu Rabija Somun-Kapetanović... (et al.) - Sarajevo: Ekonomski fakultet, 2009. – ISBN COBISS.BH-ID

KVANTITATIVNE METODE U EKONOMIJI I MENADŽMENTU

Prof. dr Rabija Somun-Kapetanović Mr Almira Arnaut-Berilo Ensar Šehić Elma Kahvić-Begić

SARAJEVO, 2009.

Predgovor Kvantitativne metode u ekonomiji su uvijek imale veliki značaj, a sa razvojem ekonomskih istraživanja, baziranim na empirijskim podacima, i razvojem informacionih tehnologija njihova uloga je postala nezaobilazna. Primjena kvantitativnih metoda u ekonomiji ima niz prednosti koje doprinose kvalitetu ekonomskih istraživanja. Pretpostavke istraživanja treba da budu precizno, jasno i eksplicitno definisane kako bi se mogle izraziti odgovarajućim matematičkim i statističkim instrumentarijem. Kvantitativni pristup istraživanju olakšava analizu dobijenih rezultata i formulisanje prijedloga za donošenje odluka. Na taj način, primjenom kvantitativnih metoda i odgovarajućih algoritama, mogu se efikasnije i preciznije izučavati složene ekonomske pojave i procesi te njihove međuzavisnosti. Uvođenjem metoda matematičke analize u ekonomiju ekonomska nauka je u svojim savremenim oblicima postala kvantitativna nauka. Ovaj udžbenik ima za cilj da obradi i predstavi odabrane kvantitativne metode. Sadržaj je koncipiran prema nastavnom programu predmeta Kvantitativne metode u ekonomiji i menadžmentu koji se izučava na drugoj godini Ekonomskog fakulteta u Sarajevu. To je uslovilo izbor metoda koje će se obrađivati. Udžbenik je sastavljen iz četiri poglavlja sa sljedećim naslovima: 1. Osnovne ekonometrijske funkcije, 2. Tehnike mrežnog planiranja, 3. Input-output analiza i 4. Linearno programiranje. Svako poglavlje koncepcijski predstavljaju jednu oblast, odnosno grupu metoda koje pripadaju toj oblasti, a koje se koriste u izučavanju ekonomskih fenomena. U svim poglavljima je primijenjen jedinstven metodološki pristup s ciljem da se na jasan i za korisnike razumljiv način obradi prezentovani sadržaj. U udžbeniku je sadržaj obrađen sa ekonomsko-teorijskog i kvantitativnog aspekta formalizacijom obrađenih ekonomskih kategorija matematičkim instrumentarijem. Teorijske analize i matematičke formulacije potom su primijenjene na odabranim numeričkim primjerima koji su kompletno riješeni. Na taj način je omogućena direktna veza između teorijskih izlaganja i formalizacija i aplikacije stečenih znanja na primjerima. U primjerima se, pored aplikacije metoda, te istraživanja međuzavisnosti analiziranih pojava i relacija, insistira i na interpretaciji dobijenih rezultata kao bazi za donošenje odgovarajućih odluka. Za neke primjere aplikacija je ilustrovana i u MS Excelu. Poslije teorijske i aplikativne obrade predstavljene materije, pripremljena su teorijska pitanja za ponavljanje, a zatim i zadaci za vježbu sa kratkim rješenjima. Nadamo se da će specifičnost i originalnost ovog metodološkog pristupa obradi i prezentovanju tematskih jedinica budućim korisnicima omogućiti savladavanje i primjenu metoda obrađenih u udžbeniku. 5

Udžbenik je namijenjen studentima dodiplomskog studija ekonomskih fakulteta, ali i ostalim zainteresovanim studentima i ekonomistima koji primjenjuju kvantitativne metode u svom radu. Iskrenu zahvalnost izražavamo dr Želimiru Vučkoviću, profesoru emeritusu Univerziteta u Sarajevu, za zajednički rad na predmetu Kvantitativne metode u ekonomiji i menadžmentu i njegov doprinos razvoju ovog predmeta. Znanja koja smo sticali tokom dugogodišnje saradnje sa profesorom Vučkovićem čine osnovu ovog udžbenika koji je nastao kao rezultat nastavnog, istraživačkog i pedagoškog iskustva autora iz oblasti kvantitativne ekonomije. Udžbenik Kvantitativne metode u ekonomiji i menadžmentu je rezultat kontinuiranog rada na poboljšanju i unapređenju nastavnog sadržaja predmeta za koji je napisan. Posebnu zahvalnost izražavamo recenzentima prof. dr Kseniji Dumičić, redovnom profesoru Ekonomskog fakulteta u Zagrebu, i Emiru Veledaru, PhD Assistant Professor, Emory University, Atlanta, USA. Njihove primjedbe i prijedlozi su nam bili vrlo korisni i značajno doprinijeli poboljšanju teksta. Autori ostaju odgovorni za eventualne greške i propuste nastale u tekstu. Zahvaljujemo i našoj kolegici Merimi Balavac, asistentici, koja je pažljivo pročitala rukopis i učestvovala u tehničkim korekcijama. Svima koji su doprinijeli da ova knjiga bude napisana i objavljena iskreno zahvaljujemo.

Sarajevo, oktobra 2009. godine Autori

6

Sadržaj 1.

EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE

1.1. UVOD .........................................................................................................................13 1.2. UKUPNA, GRANIČNA I PROSJEČNA FUNKCIJA I NJIHOVI ODNOSI.................................................................................................14 1.2.1. Osnovna ukupna funkcija................................................................................14 1.2.2. Granična funkcija ............................................................................................15 1.2.3. Prosječna funkcija ...........................................................................................17 1.2.4. Analiza odnosa ukupne, granične i prosječne funkcije ...................................19 1.3. ELASTIČNOST.........................................................................................................35 1.3.1. Apsolutne promjene ........................................................................................35 1.3.2. Relativne promjene..........................................................................................36 1.3.3. Koeficijenti elastičnosti – kvantitativni izraz međuzavisnosti između ekonomskih pojava .............................................................................38 1.3.4. Osobine elastičnosti.........................................................................................42 1.3.5. Koeficijent parcijalne elastičnosti ...................................................................44 1.4. OCJENA EKONOMSKIH FUNKCIJA METODAMA REGRESIONE ANALIZE .......................................................................................45 1.4.1. Kriterij izbora regresione prave i metod najmanjih kvadrata..........................45 1.4.2. Pretpostavke o osobinama stohastičnosti modela ...........................................48 1.5. FUNKCIJA TRAŽNJE .............................................................................................56 1.5.1. Agregatna funkcija tražnje ..............................................................................56 1.5.2. Individualna funkcija tražnje...........................................................................59 1.5.3. Analitički oblici funkcije tražnje.....................................................................62 1.5.4. Koeficijenti elastičnosti tražnje .......................................................................62 1.6. FUNKCIJA PRIHODA.............................................................................................80 1.6.1. Funkcija prihoda za konstantnu (determinisanu) cijenu..................................80 1.6.2. Elastičnost prihoda kod konstantne cijene ......................................................82 1.6.3. Agregatni prihod..............................................................................................83 1.6.4. Veza između graničnog prihoda i elastičnosti tražnje.....................................88 1.6.5. Elastičnost prihoda ..........................................................................................89

7

1.7. FUNKCIJA TROŠKOVA.......................................................................................102 1.7.1. Ukupni troškovi ............................................................................................102 1.7.2. Granični troškovi ..........................................................................................103 1.7.3. Prosječni troškovi ..........................................................................................103 1.7.4. Elastičnost troškova.......................................................................................107 1.7.5. Funkcija agregatnih troškova ........................................................................109 1.8. FUNKCIJA DOBITI ...............................................................................................124 1.8.1. Funkcija dobiti kod determinisane cijene......................................................125 1.8.2. Funkcija agregatne dobiti u odnosu na količinu ...........................................130 1.8.3. Funkcija agregatne dobiti u odnosu na cijenu ..............................................135 1.9. FUNKCIJA PONUDE.............................................................................................146 1.9.1. Funkcija agregatne (tržišne) ponude .............................................................146 1.9.2. Funkcija individualne ponude .......................................................................148 1.9.3. Određivanje individualne funkcije ponude iz funkcije troškova...................151 1.9.4. Tržišna ravnoteža (ekvilibrij) ........................................................................154 1.10. FUNKCIJE PROIZVODNJE .................................................................................170 1.10.1. Osobine funkcija proizvodnje .......................................................................171 1.10.2. Granična funkcija proizvodnje ......................................................................173 1.10.3. Prosječna funkcija proizvodnje .....................................................................174 1.10.4. Vertikalni i horizontalni presjeci proizvodne površine .................................175 1.10.5. Granična stopa supstitucije faktora proizvodnje ...........................................178 1.10.6. Elastičnost funkcije proizvodnje ...................................................................180 1.10.7. Prava troškova proizvodnje – izocost prava..................................................181 1.10.8. Optimalna kombinacija faktora proizvodnje.................................................182 1.10.9. Oblici funkcija proizvodnje...........................................................................185 1.11. PITANJA ZA PONAVLJANJE .............................................................................196 1.12. ZADACI ZA VJEŽBU ............................................................................................204 1.13. RJEŠENJA ZADATAKA ZA VJEŽBU................................................................211 LITERATURA.........................................................................................................229 2.

TEHNIKE MREŽNOG PLANIRANJA

2.1. UVOD .......................................................................................................................233 2.2. OSNOVNI POJMOVI U MREŽNOM PLANIRANJU .......................................234 2.2.1. Projekt ...........................................................................................................234

8

2.2.2. 2.2.3. 2.2.4. 2.2.5.

Aktivnost .......................................................................................................234 Događaj .........................................................................................................236 Matrica međuzavisnosti.................................................................................237 Mrežni dijagram ............................................................................................237

2.3. PRIMJENA TEHNIKA MREŽNOG PLANIRANJA .........................................239 2.4. ANALIZA STRUKTURE .......................................................................................241 2.5. ANALIZA VREMENA ...........................................................................................250 2.5.1. Metoda kritičnog puta (CPM)..........................................................................250 2.5.1.1. Određivanje najranijeg početka i najranijeg završetka aktivnosti .........................................................................................251 2.5.1.2. Određivanje najkasnijeg početka i najkasnijeg završetka aktivnosti .........................................................................................252 2.5.2. Vremenske rezerve ..........................................................................................253 2.5.3. PERT-TIME metoda........................................................................................261 2.6. ANALIZA TROŠKOVA .........................................................................................270 2.6.1. PERT-COST metoda .......................................................................................270 2.7. PITANJA ZA PONAVLJANJE .............................................................................280 2.8. ZADACI ZA VJEŽBU ............................................................................................284 2.9. RJEŠENJA ZADATAKA ZA VJEŽBU................................................................291 2.10. ANALIZA SLUČAJA PRIMJENOM MS PROJECT-a......................................310 LITERATURA.........................................................................................................326 3.

INPUT-OUTPUT ANALIZA

3.1. UVOD .......................................................................................................................329 3.1.1. Input-output analiza i proizvodni sistem .......................................................332 3.2. KOLIČINSKA INPUT-OUTPUT ANALIZA ......................................................334 3.2.1. Formiranje količinske input-output tabele ....................................................335 3.2.2. Koeficijenti količinskih input-output odnosa ................................................339 3.2.3. Analiza proizvodnog sistema ........................................................................344 3.3. VRIJEDNOSNA INPUT-OUTPUT ANALIZA ...................................................369 3.3.1. Formiranje vrijednosne input-output tabele ..................................................370 3.3.2. Strukture vrijednosti u transakcionoj input-output tabeli..............................374 3.3.3. Koeficijenti vrijednosnih input-output odnosa..............................................377 9

3.3.4. Analiza proizvodnog sistema u vrijednosnoj strukturi..................................384 3.3.5. Analiza cijena u proizvodnom sistemu i uticaja njihove promjene...............388 3.4. PITANJA ZA PONAVLJANJE .............................................................................419 3.5. ZADACI ZA VJEŽBU ............................................................................................427 3.6. RJEŠENJA ZADATAKA ZA VJEŽBU................................................................433 LITERATURA.........................................................................................................450 4.

LINEARNO PROGRAMIRANJE

4.1. UVOD .......................................................................................................................153 4.2. MODEL LINEARNOG PROGRAMIRANJA .....................................................456 4.2.1. Opšti polazni primalni model LP-a ...............................................................458 4.2.2. Standardni (opšti) model LP-a ......................................................................466 4.3. BAZNE TEOREME LINEARNOG PROGRAMIRANJA .................................472 4.4. TEORIJA DUALNOSTI U LINEARNOM PROGRAMIRANJU .....................478 4.4.1. Osnovne karakteristike ..................................................................................478 4.4.2. Formulisanje dualnog modela .......................................................................479 4.4.3. Teoreme dualnosti .........................................................................................482 4.4.4. Ekonomsko tumačenje optimalnih vrijednosti dualnih varijabli...................486 4.5. METODE ZA RJEŠAVANJE PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA ...............................................................................................489 4.5.1. Grafička metoda ............................................................................................489 4.5.2. Simplex metoda.............................................................................................528 4.6. SPECIFIČNI OBLICI PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA......559 4.6.1. Transportni problem ......................................................................................559 4.6.2. Asignacija......................................................................................................592 4.7. PITANJA ZA PONAVLJANJE .............................................................................605 4.8. ZADACI ZA VJEŽBU ............................................................................................616 4.9. RJEŠENJA ZADATAKA ZA VJEŽBU................................................................635 LITERATURA.........................................................................................................660

10

Kvantitativne metode u ekonomiji i menadžmentu

1. Ekonometrijske funkcije 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 1.8. 1.9. 1.10. 1.11. 1.12. 1.13.

Uvod Ukupna, granična i prosječna funkcija i njihovi odnosi Elastičnost Ocjena ekonomskih funkcija metodama regresione analize Funkcija tražnje Funkcija prihoda Funkcija troškova Funkcija dobiti Funkcija ponude Funkcije proizvodnje Pitanja za ponavljanje Zadaci za vježbu Rješenja zadataka za vježbu Literatura

1.1. Uvod U prvom poglavlju knjige Kvantitativne metode u ekonomiji i menadžmentu su obrađene i prezentovane osnovne ekonometrijske funkcije. U samom naslovu ovog poglavlja termin „ekonometrijske“ ukazuje da će osnovne ekonomske funkcije biti obrađene i analizirane sa ekonometrijskog aspekta. Ovaj pristup obradi funkcija podrazumijeva da se u njihovoj analizi i prezentaciji primijenjuju ekonomske, matematičke i statističke tehnike i metode. Pojedinačno posmatrane, navedene discipline nisu dovoljne za analizu i predviđanje kompleksnih ekonomskih fenomena na bazi empirijskih podataka. Ekonometrija se kao posebna naučna disciplina i fundamentalna grana ekonomije pojavila u modernoj formi oko 1930. godine.1 Iskustvo je pokazalo da je potrebna istovremena primjena ekonomsko-teorijskog, statističkog i matematičkog pristupa kako bi se istraživale kvantitativne relacije u ekonomiji i menadžmentu. Jedinstvo ova tri pristupa čini sastavne dijelove ekonometrije, stoga ekonometrija predstavlja instrumentarij za mjerenje ekonomskih fenomena, provjeru valjanosti ekonomske teorije i predviđanje kretanja ekonomskih pojava i procesa. Pošto se termin „ekonometrija“ sastoji od dvije grčke riječi, ekonomija i mjerenje, često su se kvantitativna istraživanja nazivala ekonometrijskim što nije tačno, jer se na taj način ekonometrija proširuje na sve kvantitativne metode od kojih neke i koristi, ali se od ostalih razlikuje. Mi smo u sljedeća tri poglavlja ove knjige obrađivali i primjenjivali neke od drugih kvantitativnih metoda i predstavili njihovu primjenu u ekonomiji i menadžmentu. U ovom poglavlju smo, primjenjujući ekonometrijski pristup, obradili i analizirali funkcije tražnje, prihoda, troškova, dobiti, ponude i funkciju proizvodnje. Analizi pojedinih funkcija prethodi opšte razmatranje o odnosima ukupne, prosječne i granične veličine. Pored toga, u opštem slučaju je definisana i analizirana elastičnost kao mjera međuzavisnost ekonomskih veličina. Ekonometrijski pristup podrazumijeva i ocjenu parametara analiziranih funkcija. Regresiona analiza pruža odgovarajući instrumentarij za ocjenu parametara modela i matematičko izražavanje ekonomskih zavisnosti pojava koje se istražuju. U tom cilju je obrađen metod najmanjih kvadrata i ilustrovana njegova primjena u MS Excelu. Analiza rezultata dobijenih u outputu MS Excela treba biti usmjerena na provjeru zadovoljavanja ekonomskih, statističkih i ekonometrijskih kriterija2, a zatim na kompletiranje ocijenjenog modela analizirane funkcije.

1 2

Ove godine su Frich, R., Roos, O., i Ficher, I. osnovali Ekonometrijsko društvo. Prema ignon, V., (2008). Detaljnije u Somun-Kapetanović, R., (2008), str. 111-151.

13

Ukupna, granična i prosječna funkcija 1.2. i njihovi odnosi Da bi se mogle analizirati ekonomske pojave i procesi neophodno je definisati pojmove osnovne (ukupne), prosječne i granične veličine, odnosno funkcije, i analizirati odnose među njima. Prisjetimo se definicije funkcije: Ako imamo dva neprazna skupa D i K među kojima je uspostavljeno pravilo (zakon, relacija) po kojem se svakom x iz D pridružuje tačno jedan y = f ( x ) iz K, kažemo da je zadana funkcija jedne varijable ( f : D → K ) . Funkcija može biti zadata algebarski, tabelarno ili grafički. Prelazak sa jednog oblika zadane funkcije na drugi predmet je matematsko statističke analize. 1.2.1. Osnovna (ukupna) funkcija Posmatrajmo dvije mjerljive ekonomske pojave X i Y. Ako je utvrđeno pravilo kojim se svakoj vrijednosti obilježja X pridružuje neka vrijednost obilježja Y, kažemo da je zadana osnovna ekonomska funkcija. Funkcionalna međuzavisnost obilježja X i Y može biti izražena algebarski, i to eksplicitno i implicitno. Ako se zavisna varijabla Y posmatra kao funkcija nezavisne varijable X, kažemo da je Y eksplicitno izraženo preko X i pišemo Y = f(X), odnosno Y = Y(X) ili X = g(Y), odnosno X = X(Y)

(1.1)

ako se zavisna varijabla X posmatra kao funkcija nezavisne varijable Y. Zavisnost se može izraziti i u implicitnom obliku i tada pišemo F(X, Y)=0

(1.2) 3

Za konkretne vrijednosti X i Y možemo napisati eksplicitan izraz za zavisnost varijable Y od varijable X kao y = f ( x) , ili implicitan izraz F(x, y)=0. Varijabla X ima svoju jedinicu mjere4 (jm X) i osnovna funkcija Y ima svoju jedinicu (jm Y). 3 4

Prema konvenciji uobičajenoj u ekonomiji, varijabla, odnosno pojava koja se posmatra, označava se velikim slovom , a konkretne vrijednosti varijable malim slovom. Za jedinicu mjere će se koristiti skraćenica jm.

14

UKUPNA, GRANIČNA I PROSJEČNA FUNKCIJA I NJIHOVI ODNOSI

Ako se zavisna varijabla Y izražava eksplicitno kao funkcija više nezavisnih varijabli pišemo: Y=F(X1, X2, ..., Xn)

(1.3)

Najčešći oblik izražavanja funkcionalne zavisnosti obilježja X i Y je tabelarni prikaz. Kod mjerenja ekonomskih pojava podaci se prikupljaju u tabelu a kasnije se statističkom analizom određuje odgovarajući algebarski oblik. X Y

x1 y1

x2 y2

... ...

xn yn

Za uočavanje karakterističnih veza među ekonomskim pojavama i detaljniju analizu koristićemo grafički prikaz funkcije. Grafički, funkcija jedne varijable predstavlja skup tačaka u ravni, dok funkcija više varijabli (n varijabli) predstavlja skup tačaka u n + 1 dimenzionalnom prostoru (hiperpovrš).

1.2.2. Granična funkcija U ispitivanju ekonomskih pojava osim statičke analize - analize trenutnog stanja na tržištu, veoma je važna i dinamička analiza – analiza promjena koje nastaju mijenjanjem nekih uslova na tržištu. Stepen promjene određene varijable y, koja zavisi samo od x, pri nekoj promjeni varijable x može biti izražen kvalitativno i kvantitativno. Kvalitativno, zanima nas da li sa porastom x dolazi do porasta ili smanjivanja y-a i kvantitativno, zanima nas kolika je ta promjena. y f (x0 + Δx) Δy

Δy

β

f (x0)

Δx Δx

0

x0

x0 + Δx

x

Grafikon 1. Grafička interpretacija pvog izvoda funkcije

15

EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE

Ukoliko x promijeni svoju vrijednost od x0 do x0 + Δx , tada y mijenja svoju vrijednost od f ( x0 )

do

f ( x0 + Δx ) .

Stepen

promjene

y

po

jedinici

promjene

x

je

Δy f ( x0 + Δx ) − f ( x0 ) = . Δx Δx

Ako je β ugao označen na slici, vidimo da je tg β =

Δy . Δx

f ( x0 + Δx) − f ( x0 ) = f ′ ( x0 ) , kažemo da je funkcija diferencijabilna u tačΔx ki x0 (odnosno da ima izvod u x0 ). Izvod funkcije u x0 označavamo sa f ' ( x0 ) .

Ako postoji lim

Δx → 0

Pišemo još i lim

Δx → 0

Δy dy Δy dy za malo Δx ≈ = = y ' , odnosno, Δx dx Δx dx

(1.4)

Geometrijski gledajući, prvi izvod funkcije f u tački x0 (dakle, f ' ( x0 ) ) jednak je koeficijentu pravca tangente na krivu y = f ( x ) u tački ( x0 , f( x0 )). Prvi izvod nam određuje smjer promjene funkcije. Ako je f ' ( x0 ) > 0 , tu je promjena pozitivna (ako x raste onda i y raste), a ako je f ' ( x0 ) < 0 , tu je promjena negativna (s rastom x opada y). Granična ili marginalna ekonomska funkcija se definiše kao prvi izvod ukupne funkcije i izražava se u sljedećem obliku: Y ' = f '( X ) =

dY = φ(X ) dX

(1.5)

Ova funkcija ima svoju jedinicu mjere i izražava se u jedinicama mjere varijable Y u odnosu na jedinice mjere varijable X ( jmY / jmX ) . Za konkretne vrijednosti varijabli X i Y izraz za graničnu funkciju se može pisati kao prvi izvod ukupne funkcije: y ' = f '( x) = lim

Δx → 0

Δy f ( x + Δx) − f ( x) dy = lim = = tg β Δ x → 0 dx Δx Δx

(1.6)

Značenje granične funkcije u ekonomiji proizilazi iz značenja i objašnjenja prvog izvoda funkcije. Granična funkcija pokazuje promjenu zavisne varijable Y uzrokovanu infinitezimalnom, odnosno beskonačno malom promjenom nezavisne varijable X (Δx → 0) . Često se pretpostavlja da je infinitezimalna promjena jedinična zbog jednostavnijeg objašnjenja. 16

UKUPNA, GRANIČNA I PROSJEČNA FUNKCIJA I NJIHOVI ODNOSI

Dakle, ako se nezavisna varijabla X promijeni za jednu jednu jedinicu mjere u kojoj je izražena, granična funkcija pokazuje da će se zavisna varijabla promijeniti za y' jedinica mjere u kojima je izražena zavisna varijabla Y. Jednostavnije, može se reći da jedinična promjena varijable X uzrokuje promjenu zavisne varijable Y za y' jedinica. Granična funkcija funkcije više varijabli određuje se kao parcijalni izvod po svakoj od varijabli, uz pretpostavku da ostale varijable ostaju nepromijenjene:

∂Y ∂F ( X 1 , X 2 ,..., X n ) = , i = 1,..., n. ∂X i ∂X i

(1.7)

Značenje: Ukoliko se nezavisna varijabla Xi poveća za jednu svoju jedinicu mjere, a ostale varijable ostanu nepromijenjene ( ΔX j = 0 za j ≠ i ) , zavisna varijabla Y će se promijeniti

∂Y jedinica mjere. Napomenimo da se i ovdje u tumačenju beskonačno mala promjena ∂X i zamjenjuje sa jediničnom promjenom, što znači da će objašnjenje biti preciznije što je jedinična promjena manja. U tom slučaju se greška aproksimacije smanjuje. za

1.2.3. Prosječna funkcija

Prosječna funkcija (veličina) se dobija kada se ukupna funkcija podijeli sa nezavisnom varijablom:

Y =

Y f (X ) = = f (X ) X X

(1.8)

i izražava se u jedinici mjere Y po jedinici mjere nezavisne varijable koju smo u ovom slučaju označili sa X ( jmY / jmX ) . Značenje: Prosječna funkcija pokazuje koliko u prosjeku po svakoj jedinici nezavisne varijable X dolazi jedinica zavisne varijable Y = f (X).

Za konkretnu vrijednost x varijable X i konkretnu vrijednost y varijable Y, prosječna funkcija se može izraziti u sljedećem obliku:

y=

y f ( x) = = f ( x) x x

(1.9)

Vrijednost prosječne funkcije se na grafiku može odrediti kao tangens ugla kojeg zaklapa radijus vektor svake tačke na grafiku osnovne funkcije sa pozitivnim dijelom x – ose. Na grafikonu 2 smo pomenuti ugao označili sa α .

17

EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE

y=

y = tgα x y

A

f (x0) = y0

y0 0

α x0

x

Grafikon 2. Grafička interpretacija prosječne funkcije

Ukoliko je radijus vektor istovremeno i tangenta na krivu y = f ( x ) , onda prosječna funkcija ima ekstrem (maksimum ili minimum). y C

B

0

αB xB

xC

x

Grafikon 3. Ekstremne vrijednosti prosječne funkcije

Na grafikonu 3. tačka B određuje minimum prosječne funkcije, a tačka C određuje maksimum prosječne funkcije. Odnosno, prosječna funkcija y će za vrijednost nezavisno promjenjljive xB imati minimalnu vrijednost, a za vrijednost x = xC imati maksimalnu vrijednost. Prosječna funkcija (veličina) funkcije više varijabli se određuje kao odnos ukupne funkcije i jedne od varijabli, uz pretpostavku da ostale varijable ostaju nepromijenjene.

YX i = 18

F ( X 1 , X 2 ,..., X n ) Y = = FX i , i = 1,..., n. Xi Xi

(1.10)

UKUPNA, GRANIČNA I PROSJEČNA FUNKCIJA I NJIHOVI ODNOSI

1.2.4. Analiza odnosa ukupne, granične i prosječne funkcije

Granična i prosječna funkcija su jednake (njihovi grafici se sijeku) u vrijednosti nezavisne varijable X u kojoj prosječna funkcija ima stacionarnu tačku (minimum, maksimum ili prevoj), ili za x = 0 ako je 0 element definicionog područja funkcije. Ova tvrdnja se dokazuje na sljedeći način: y za ∀x ≠ 0 x y = y⋅x y=

y ' = y '⋅ x + y ⇒ y ' = y kada je y' ⋅ x = 0, odnosno za x = 0 i/ili y ' = 0

Odredimo odnose između granične i prosječne funkcije za pozitivne vrijednosti nezavisno promjenjljive X. Razlog ovakvog izbora je što su ekonomske pojave koje mjerimo i koje nam najčešće predstavljaju nezavisnu promjenjljivu nenegativne ili pozitivne veličine (količina proizvoda, cijena, utrošak materijala, utrošak vremena, itd.). y=

y za ∀x > 0 x

⎧> 0 za y ' > y y '⋅ x − y y '− y ⎪ = y'= ⎨= 0 za y ' = y x2 x ⎪ ⎩< 0 za y ' < y

(1.11)

Iz izvedenog izraza zaključujemo: Kada je prvi izvod prosječne funkcije pozitivan, odnosno kad prosječna funkcija raste, granična funkcija je veća od prosječne funkcije ⇒ grafik granične funkcije nalazi se iznad grafika prosječne funkcije. Kada je pri izvod prosječne funkcije jednak nuli, prosječna funkcija ima ekstremnu vrijednost. U ekstremnoj vrijednosti prosječne funkcije granična i prosječna funkcija su jednake ⇒ grafici granične i prosječne funkcije se sijeku za tu vrijednost. Kada je prvi izvod prosječne funkcije manji od nula, odnosno kad prosječna funkcija opada, granična funkcija je manja od prosječne funkcije ⇒ grafik granične funkcije se nalazi ispod grafika prosječne funkcije. Na sljedećem grafikonu je predstavljen i detaljno analiziran tok jednog opšteg oblika ukupne funkcije. Funkcija ima ekstrem maksimum. Na grafikonu se može posmatrati tok funkcije i uslovi uz koje se postižu rastući i opadajući prinosi, kao i tok funkcije kada ubrzano opada i usporeno opada. Na grafikonu su označene i prevojne tačke i izrazi za njihovo utvrđivanje. 19

EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE

Tačka ekstrema Maksimum y’ = 0 y’’ < 0 Tačka prevoja y’ > 0 y’’ = 0

0

Tačka prevoja y’ < 0 y’’ = 0

Rastući prinos

Opadajući prinos

Funkcija ubrzano raste

Funkcija usporeno raste

y’ > 0

y’ > 0

y’’ > 0

y’’ < 0

Funkcija ubrzano opada

Funkcija usporeno opada

y’ < 0

y’ < 0

y’’< 0

y’’ > 0

Grafikon 4. Tok ukupne funkcije

Sa grafika ukupne funkcije možemo nacrtati grafik prosječne i granične funkcije, pri tome vodeći računa da: ƒ Kad ukupna funkcija raste, granična funkcija je veća od prosječne i obratno, kad ukupna funkcija opada, granična funkcija je manja od prosječne. ƒ Kad ukupna funkcija ubrzano raste ⇒ granična funkcija je pozitivna i raste, a kad ukupna funkcija usporeno raste ⇒ granična funkcija je pozitivna i opada. ƒ Kad ukupna funkcija ubrzano opada ⇒ granična funkcija je negativna i opada, a kad ukupna funkcija usporeno opada ⇒ granična funkcija je negativna i raste.

y f ( x) = = tg β predstavlja tangens ugla kojeg zaklapa prava, pox x vučena iz koordinatnog početka sa svakom tačkom na krivoj, i pozitivnim dijelom X ose. Odavde zaključujemo da prosječna funkcija ima vrijednost 0 u istoj tački u kojoj nulu ima i Prosječna funkcija y =

20

UKUPNA, GRANIČNA I PROSJEČNA FUNKCIJA I NJIHOVI ODNOSI

osnovna funkcija, a ekstremne vrijednosti ćemo dobiti u tačkama u kojima prava tangira grafik funkcije. Na grafikonu 5. su prikazani grafici ukupne, granične i prosječne funkcije. Posmatrajući uporedo ove tri funkcije mogu se analizirati sljedeći odnosi: ƒ Ukupna funkcija postiže ekstremnu vrijednost kada je granična funkcija jednaka 0, odnosno ukupna funkcija ima ekstremnu vrijednost u tački u kojoj je njen prvi izvod jednak 0. Na grafiku je to tačka C. ƒ U intervalu ubrzanog rasta funkcije ( y ' > 0, y '' > 0) , odnosno od tačke 0 do tačke A, granična funkcija raste, ima pozitivnu vrijednost i veća je od prosječne. ƒ U intervalu usporenog rasta funkcije ( y ' < 0, y '' > 0) , odnosno od tačke A do tačke B, granična funkcija opada, ima pozitivnu vrijednost i veća je od prosječne.

0

A

B

C

D

Maksimum osnovne funkcije

Maksimum granične funkcije

Prosječna funkcija

A

B Maksimum prosječne funkcije

0

C

D

Granična funkcija Minimum granične funkcije

Grafikon 5. Odnosi ukupne, granične i prosječne funkcije

21

EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE

ƒ U tački B, prosječna funkcija ima maksimum i grafici granične i prosječne funkcije se sijeku. ƒ U intervalu usporenog rasta funkcije ( y ' < 0, y '' > 0) , odnosno od tačke B do tačke C, granična funkcija opada, ima pozitivnu vrijednost i manja je od prosječne. ƒ U intervalu ubrzanog pada funkcije ( y ' < 0, y '' < 0) , odnosno od tačke C do tačke D, granična funkcija opada, ima negativnu vrijednost i manja je od prosječne. ƒ U intervalu usporenog pada funkcije ( y ' < 0, y '' > 0) , odnosno od tačke D do tačke E, granična funkcija raste, ima negativnu vrijednost i manja je od prosječne.

Dodavanje fiksne vrijednosti ukupnoj funkciji ne utiče na graničnu funkciju. Ukupna veličina je izražena u jedinicama zavisne varijable Y, prosječna i granična veličina su izražene jedinica mjere Y . u sljedećoj mjernoj jedinici: jedinica mjere X

f(x) y A

C •



yF

0

xA

y’, y x

xC f’(x)

x f(x) x

C’

A’’

0

xA

xC

x

Grafikon 6. Ukupna, granična i prosječna funkcija

22

UKUPNA, GRANIČNA I PROSJEČNA FUNKCIJA I NJIHOVI ODNOSI

Na grafikonu 6. također se mogu posmatrati i analizirati odnosi ukupne, prosječne i granične funkcije. Ovo je slučaj kad je ukupna funkcija rastuća i kada prosječna funkcija ima minimum. Na grafikonu su označene dvije karakterisične tačke xA i xC. U tački xA ukupna funkcija ima prevoj, a granična funkcija dostiže minimum. Do ove tačke granična funkcija f ′ opada a osnovna funkcija f ( x ) ima usporen rast, a nakon ove tačke funkcija f ′ raste a osnovna funkcija f (x ) ima ubrzan rast. U tački xC prosječna funkcija ima ekstrem, i to minimum. U ovoj tački granična funkcija siječe prosječnu i ove dvije funkcije su jednake. Do tačke xC prosječna funkcija opada i granična funkcija je manja od prosječne. Grafikon prosječne funkcije se nalazi iznad grafikona granične funkcije. Poslije tačke xC prosječna funkcija raste i manja je od granične funkcije. Grafik granične funkcije se nalazi iznad grafika prosječne funkcije.

Primjer 1.1.

Kroz ovaj primjer ćemo se prisjetiti nekih elementarnih funkcija i ponoviti njihove osobine. Linearna funkcija u implicitnom obliku je data sa:

ax+by+c=0 (a,b,c∈R), a u eksplicitnom obliku sa: y=kx+n (k,n∈R; k = -a/b) Grafik linearne funkcije je prava. k = -a/b

y

k < 0 funkcija opada,

k>0

k = 0 funkcija je konstantna, k > 0 f unkcija je rastuća. k=0 k0 D0 D=0

2

a0

4 a 0 imamo dvije realne nule parabole 1 i 6.

6 5

x

Za D = 0 imamo jednu realnu nulu parabole 3 i 4. Za D < 0 nemamo realnih nula parabole 2 i 5.

Grafikon 1.1.a. Oblici kvadratne funkcije

Eksponencijalna funkcija je funkcija oblika

y = ax (a ∈ R+\{1}) Kako je y = a x ≥ 0 , to je grafik osnovne eksponencijalne funkcije uvijek iznad x ose. y

a>1 Za 0 < a < 1 funkcija je opadajuća (usporavajući negativan prinos). Za a > 1 funkcija je rastuća (ubrzavajući pozitivan prinos).

0 1 funkcija je rastuća (usporavajući pozitivan prinos)

0

x 0 0 i f ′′ ( x ) < 0 ⇒ usporavajući pozitivan prinos (opadajući prinos) Za x ∈ ( x1 , x3 ) vrijedi: f ′ ( x ) < 0 i f ′′ ( x ) < 0 ⇒ ubrzavajući negativan prinos

Za x ∈ ( x3 , x2 ) vrijedi: f ′ ( x ) < 0 i f ′′ ( x ) > 0 ⇒ usporavajući negativan prinos Za x ∈ ( x2 , +∞ ) vrijedi: f ′ ( x ) > 0 i f ′′ ( x ) > 0 ⇒ ubrzavajući pozitivan prinos f ( x) se može odrediti tako što se x f ( x) ) koja spaja koorodredi najveći/najmanji koeficijent pravca prave ( tan φ = x dinatni početak sa tačkama na krivoj y = f ( x ) . Najveći/najmanji koeficijent

d) Maksimum/minimum prosječne funkcije y =

pravca će imati tangente povučene iz koordinatnog početka na funkciju y = f ( x) . Na grafikonu su to tačke x4 za max y =

f ( x) f ( x) i x5 za min y = x x

e) Granična funkcija y′ = f ′ ( x ) ima ekstrem u tački prevoja x3

( f ′′ ( x ) = 0 ) . 3

Kako je f ′′ ( x ) < 0 za x ∈ ( −∞, x3 ) (što znači da y′ = f ′ ( x ) opada) i f ′′ ( x ) > 0 za x ∈ ( x3 , +∞ ) (što znači da y′ = f ′ ( x ) raste), tačka x3 predstavlja minimum funkcije y′ = f ′ ( x ) . y' y

f'(x)

y

• 0

•x

0



x4 x1

x3





x2 x5

x

Grafikon 1.4.a. Prosječna i granična funkcija

29

EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE

Napomena: Grafovi granične i prosječne funkcije se sijeku u onoj vrijednosti nezavisno promjenjljive x u kojoj prosječna funkcija ima stacionarnu tačku (minimum, maksimum ili prevoj), ili za x = 0 ako je 0 element definicionog područja funkcije. Primjer 1.5.

Data je funkcija y = 10 ⋅ e0,2 x a) Nacrtati grafik funkcije, b) Odrediti njenu graničnu i prosječnu funkciju i prikazati ih u istom koordinatnom sistemu. Rješenje: a) 70

y (x )

60 50 40 30 20 10

x

0 -10

-5

0

5

10

Grafikon 1.5. Grafik funkcije y

b) Granična vrijednost funkcije: y=

30

10 ⋅ e x

0,2 x

y′ = 5 ⋅ e0,2 x

15

= 10 ⋅ e0,2 x

i prosječna vrijednost funkcije:

UKUPNA, GRANIČNA I PROSJEČNA FUNKCIJA I NJIHOVI ODNOSI

50 10

-10

-2

-50 0

5

x

12 5

Grafikon 1.5.a. Prosječna i granična funkcija

Primjer 1.6.

Nacrtati grafik funkcije V ( y ) = 32 y − 12 y 2 + y 3 , a zatim grafike granične V’(y) i prosječne funkcije V ( y ) . Rješenje:

Kubna funkcija V ( y ) = 32 y − 12 y 2 + y 3 ima tri nule: y1 = 0; y2 = 4; y3 = 8 , dvije ekstremne tačke Max (1.63; 24.63) i Min (6.3; -24.63) i jednu prevojnu tačku ( 4, 0 ) . Kreće iz -∞ a završava u +∞.

400

V

24,63 -24,63 0 1,63 -400

4

6,3

x

8

Grafikon 1.6. Grafik funkcije V ( y ) = 32 y − 12 y + y 2

3

31

EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE

Prosječna i granična funkcija su parabole i njihove karakteristične tačke su minimum i nule: V ′ = 3 y 2 − 24 y + 32 ima minimum u (4, -16) i nule u y1 = 1, 69; y2 = 6,31; V = y 2 − 12 y + 32 ima minimum u (6, -4) i nule u y1 = 4; y2 = 8;

Istaknimo da se ove dvije funkcije sijeku u minimumu prosječne funkcije i u tački y = 0.

30 20 10

0

1,63

4

6, 6,3

8

12

x

-16 -20 Grafikon 1.6.a. Grafik funkcije V ′;V

Primjer 1.7. x⋅ y . Odrediti “verx+ y tikalni presjek po x” i “vertikalni presjek po y”, odnosno odrediti nivovske linije funkcije z

Prikazati u nenegativnom koordinatnom sistemu 0xyz površ z =

- za x =2, x = 3, x = 4 - za y =2, y = 3, y = 4 Rješenje:

Grafički prikaz površi z =

32

x⋅ y u I oktantu prostora 0xyz je dat na grafikonu 1.7. x+ y

UKUPNA, GRANIČNA I PROSJEČNA FUNKCIJA I NJIHOVI ODNOSI

Grafikon 1.7. Grafik funkcije z =

xy x+ y

, x ≥ 0, y ≥ 0

Vertikalne presjeke po x, dobijamo kao presjek površi z = F ( x, y ) i ravni x = const. Konkretno uzimajući da je x = 2, x = 3, x =4 dobijamo sljedeće nivovske linije: 2⋅ y 3⋅ y 4⋅ y ; ; ; z= z= z= 2+ y 3+ y 4+ y Analogno, dobijamo vertikalne presjeke po y: 4⋅ x 3⋅ x 2⋅ x ; z= z= z= ; ; 4+ x 3+ x 2+ x i grafički prikaz vertikalnih presjeka je dat na grafikonu 1.7.a. x=2 x=3 x=4

y=2 y=3 y=4

Grafikon 1.7.a. Vertikalni presjeci po x, i vertikalni presjeci po y

33

EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE

Primjer 1.8.

Odrediti i grafički prikazati “horizontalne presjeke po z” površi z =

x⋅ y za z = 2 , x+ y

z = 3, z = 4.

Rješenje

Horizontalne presjeke dobijamo kao presjek površi z = F ( x, y ) i ravni z = const.

Grafik 1.8. Horizontalni presjeci po z: Presjeci ravni z = ai sa datom površi

Konkretno uzimajući da je z = 2, z = 3, z =4 dobijamo horizontalne presjeke po z: 4⋅ x 3⋅ x 2⋅ x ; i njihovi grafici su dati na grafikonu 1.8.a. y= z= z= ; ; x−2 x−3 x−4

Grafikon 1.8.a. Horizontalni presjeci po z

34

ELASTIČNOST

1.3. Elastičnost Elastičnost u ekonomiji se mjeri koeficijentom elastičnosti koji se naziva i koeficijent osjetljivosti i predstavlja kvantitativni izraz međuzavisnosti između ekonomskih pojava. Jedan od osnovnih zadataka u ekonomiji je predviđanje. Predviđanje kretanja neke ekonomske varijable na osnovu kretanja neke druge ekonomske varijable sa kojom je ona međuzavisna moguće je samo na osnovu kvantitativno izražene međuzavisnosti između tih varijabli. U funkciji analize elastičnosti potrebno je definisati apsolutne i relativne promjene.

1.3.1. Apsolutne promjene

U opštem slučaju definišu se dvije ekonomske varijable X i Y. Pretpostavlja se da varijabla Y zavisi od varijable X. U tom slučaju, varijabla Y je zavisna ili endogena varijabla, a varijabla X nezavisna ili egzogena varijabla. Matematski, ovaj funkcionalni odnos se može zapisati u obliku sljedećeg izraza: Y = f (X ) (1.12) Pretpostavlja se da promjena varijable X utiče na promjenu varijable Y. Taj uticaj je jači ukoliko je varijabla Y osjetljivija na promjene varijable X. Zbog toga je potrebno kvantificirati tu osjetljivost, odnosno odrediti kvantitativni izraz međuzavisnosti ekonomskih varijabli Y i X. Polazi se od pretpostavke da promjena varijable X za ΔX uslovljava promjenu varijable Y za ΔY. Kada se podijele apsolutne promjene varijable Y i varijable X dobija se izraz za prosječnu apsolutnu promjenu: ΔY (1.13) ΔX Apsolutna vrijednost izraza (1.13) pokazuje osjetljivost promjene varijable Y na promjenu varijable X. U zavisnosti od vrijednosti ovog izraza mogu se analizirati sljedeći slučajevi: ΔY > 1 . U ovom slučaju promjena varijable Y je veća od promjene varijable X. To znači ΔX da varijabla Y relativno jako reaguje na promjenu varijable X, odnosno varijabla Y je osjetljiva na promjenu varijable X. ΔY < 1 . Promjena varijable Y je manja od promjene varijable X. Varijabla Y je manje osΔX jetljiva na promjene varijable X, odnosno slabo reaguje na promjene varijable X.

35

EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE

Ako se uvede pojednostavljena pretpostavka da je promjena varijable X jedinična, odnosno ΔY da je ΔX=1, tada izraz pokazuje za koliko će se promijeniti varijabla Y ako se varijabla ΔX ΔY X promijeni za jednu jedinicu. To znači da izraz mjeri osjetljivost promjene varijable Y ΔX na jediničnu promjenu varijable X. Ukoliko se pretpostavi da su promjene varijable X beskonačno male, to jeste da Δ X → 0 , što se pretpostavlja uvijek kada je međuzavisnost varijabli data neprekidnom funkcijom, tada se izraz (1.13) može zapisati u sljedećem obliku: ΔY dY = ΔX → 0 ΔX dX lim

(1.14)

Izraz (1.14) pokazuje za koliko jedinica će se promijeniti varijabla Y ako se varijabla X promijeni za jednu beskonačno malu (infinitezimalno malu) jedinicu. Stoga izraz (1.14) predstavlja graničnu veličinu ili graničnu promjenu varijable Y. 1.3.2. Relativne promjene

Ako se apsolutne promjene ΔX i ΔY podijele ukupnim vrijednostima varijabli X i Y respekΔX ΔY . Za konkretnu vrijednost varijabli mogu se tivno, dobijaju se relativne promjene: i X Y napisati izrazi za relativnu promjenu varijable X i relativnu promjenu varijable Y. rx =

Δx x

(1.15)

ry =

Δy y

(1.16)

Ove veličine su neimenovani brojevi i tumače se u procentima.

Primjer 1.9.

Prije septembarskog ispitnog roka, ispit iz statistike je položilo 200 studenata I godine. Nakon septembarskog roka ukupan broj studenata koji su položili statistiku je 250. a) Kolika je promjena broja studenata koji su položili ispit? b) Kolika je relativna promjena? c) Objasnite relativnu promjenu iz b).

36

ELASTIČNOST

Rješenje:

a) Promjena vrijednosti x: Δx = xnovo – xstaro Promjena broja studenata je Δx = 250 – 200 = 50 b) rx – relativna promjena vrijednosti x Δx xnovo − xstaro = x xstaro Relativna promjena iznosi: rx = 50/200 = 0,25 i tumači se u %. rx =

c) Broj studenata koji su položili statistiku nakon septembarskog roka je za 25% veći nego prije septembarskog ispitnog roka. Primjer 1.10.

Broj studenata I godine koji su stekli uslov da upišu narednu godinu prije septembarskog roka bio je 160, a nakon tog roka 180. a) Kolika je relativna promjena broja upisanih studenata? b) Koliko je na tu promjenu uticala promjena prolaznosti iz statistike? Rješenje:

a) Relativna promjena upisanih studenata ry je: Δy/y = (180-160)/160 = 20/160 = 0,125 Nakon septembarskog ispitnog roka broj studenata koji su upisali narednu godinu je 12,5% veći nego prije. b) Porast prolaznosti iz statistike je 25% a ukupna prolaznost je porasla za 12,5%. Možemo reći da u prosjeku na svakih 1% porasta prolaznosti iz statistike raste i broj upisanih za 0,5%. Kroz ova dva prakična primjera prisjetili smo se pojma i tumačenja relativne promjene i uvidjeli potrebu da se posmatraju odnosi (količnici) dviju relativnih promjena i to nas dovodi do pojma elastičnosti.

37

EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE

Koeficijenti elastičnosti – kvantitativni izraz 1.3.3. međuzavisnosti između ekonomskih pojava

Koeficijent odnosa relativnih promjena varijabli označava se sa Ey,x i naziva koeficijent elastičnosti varijable Y u odnosu na varijablu X.

Ey,x

Δy ry x Δy y = = = ⋅ rx Δx y Δx x

(1.17)

Koeficijent elastičnosti se može analizirati na luku između dvije tačke i u jednoj tački. ƒ Koeficijent elastičnost na luku

Ako je zavisnost varijable Y od varijable X izražena prekidno, odnosno diskontinuirano, od tačke do tačke, elastičnost se mjeri na luku između dvije tačke. Tada je riječ o koeficijentu elastičnosti na luku.

Ey,x

Δy x Δy y = = = ⋅ rx Δx y Δx x ry

(1.18)

Ukoliko tačke na luku označimo sa (i) i (i+1), koeficijent elastičnosti na luku ima sljedeći izraz:

Ey,x

Δy yi +1 − yi r yi x y −y y = y = = = i ⋅ i +1 i rx Δx xi +1 − xi yi xi +1 − xi x xi

(1.19)

gdje su ( xi , yi ) i ( xi +1 , yi +1 ) koordinate tačaka na luku. Vrijednost koeficijenta elastičnosti na luku objašnjava se na sljedeći način: ƒ „A posteriori“ - xi je prethodna, a xi +1 = xi + Δx > xi je posmatrana vrijednost varijable Δx ⋅100% , a odX. Ako je vrijednost varijable X iz tačke i u tačku (i+1) porasla za xi Δy govarajuća vrijednost varijable Y se promijenila za ⋅100% , to znači da se u yi

38

ELASTIČNOST

prosjeku na svaki 1% unutar

Δx ⋅100% porasta vrijednosti varijable X, varijabla Y xi

promijenila za E y. x %. ƒ „A priori“ - xi je sadašnja vrijednost varijable, a xi +1 = xi + Δx > xi buduća vrijednost. Δx Ako vrijednost varijable X iz tačke i u tačku (i+1) poraste za ⋅100% odgovarajuća xi Δy ⋅100% . To znači da će se u prosjeku na svaki 1% vrijednost Y će se promijeniti za yi Δx ⋅100% porasta vrijednosti varijable X, varijabla Y promijeniti za E y . x %. unutar xi

Vrijednost koeficijenta elastičnosti na luku ima sljedeće značenje: ako je vrijednost variΔx jable X iz tačke i u tačku (i+1) porasla za % , odgovarajuća vrijednost Y će se xi Δy % ⋅ To znači da se u prosjeku na svaki 1% porasta vrijednosti varijable X, promijeniti za yi varijabla Y mijenja za Ey,x %. Postoje i druge mjere stepena međuzavisnosti ekonomskih varijabli, kao što su koeficijent determinacije i koeficijent korelacije. Koeficijent elastičnosti je najpogodnija mjera kvantitativne međuzavisnosti dvije ili više ekonomskih varijabli i ne zavisi od jedinice mjere analiziranih varijabli. Koeficijent elastičnosti je relativna mjera međuzavisnosti koja zbog te osobine ima jednostavno objašnjenje i ekonomsko značenje i vrlo veliku primjenu u ekonomiji. Navedena objašnjenja koeficijenta elastičnosti na luku pretpostavljaju da je luk pravolinijskog oblika i zanemaruju tok luka između dvije posmatrane tačke. Što luk više odstupa od pravolinijskog oblika, greška u objašnjenju koeficijenta elastičnosti na luku je veća. Ukoliko je luk pravolinijskog oblika, greška tumačenja će biti jednaka nuli. Greška će težiti nuli ukoliko promjene nezavisne varijable X teže nuli Δ X → 0 . Na sljedećim grafikonima će se ilustrovati postupak smanjenja greške koja nastaje pri mjerenju elastičnosti na luku. Pitanje koje se postavlja je: Kako smanjiti ovu grešku mjerenja?

39

EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE

B y2

B

y2

y1

y1

A

x2

x1

A

x1

x2

Grafikon 7. Elastičnost na luku

Elastičnost na luku za ove dvije funkcije je jednaka jer zanemaruje tok kretanja pojave između dvije posmatrane tačke. Greška mjerenja elastičnosti na luku se smanjuje kada su promjene varijable X manje. Greška će težiti ka nuli kada su, kao što je prethodno već navedeno, promjene varijable X beskonačno male i teže nuli, odnosno kada se na prethodnim grafikonima tačke A i B poklope. U tom slučaju definiše se elastičnost u tački. ƒ Elastičnost u tački

Ako je zavisnost varijable Y od varijable X izražena neprekidno, odnosno kontinuirano, elastičnost se mjeri u svakoj tački razmaka u kome je međuzavisnost definisana. Tada je riječ o koeficijentu elastičnosti u tački koji se definiše sljedećim izrazom: E y , x = lim

Δx → 0

x Δy x Δy x dy x ⋅ = ⋅ lim ⋅ = ⋅ = ⋅ y' x 0 Δ → Δx y dx y y Δx y

(1.20)

Koeficijent elastičnosti je relativna mjera stepena međuzavisnosti varijabli, što znači da ne zavisi od jedinica mjere analiziranih varijabli. Koeficijent elastičnosti u tački pokazuje relativnu promjenu varijable Y koja je rezultat relativne promjene varijable X. Veća vrijednost koeficijenta elastičnosti znači da je varijabla Y elastičnija ili osjetljivija na promjenu varijable X. Analogno tome, manja vrijednost koeficijenta elastičnosti ukazuje na manju elastičnost, odnosno osjetljivost promjene varijable Y na promjenu varijable X. Značenje koeficijenta elastičnosti u tački: ako se vrijednost nezavisne varijable X poveća za 1%, tada će se vrijednost zavisne varijable Y promijeniti za Ey,x % u zavisnosti od znaka koeficijenta elastičnosti.

Koeficijent elastičnosti varijable Y na promjene varijable X se može izraziti i kao odnos granične i prosječne promjene varijable Y: 40

ELASTIČNOST

Ey,x =

x y′ y ' ⋅ y' = = y y y x

(1.21)

Koeficijent elastičnost može uzimati vrijednosti od -∞ do +∞, što se može ilustrovati na sljedeći način:

Savršena neelastičnost Savršena elastičnost

Indiferentna elastičnost

-∞

-1

Elastičnost

Neelastičnost

Indiferentna elastičnost

Savršena elastičnost

+∞

1

0

Neelastičnost

Elastičnost

Vrijednosti koeficijenta elastičnosti se mogu vrlo pregledno predstaviti u tabelarnom obliku. Tabela 1. Vrijednosti koeficijenta elastičnosti i njihovo značenje

Koeficijent elastičnosti

Značenje promjene zavisne varijable Y u odnosu na 1% porasta nezavisne varijable X

EY,X = + ∞

Savršeno elastična promjena

+ ∞ > EY,X > 1

Elastična promjena

EY,X = 1

Jedinično elastična promjena

1 > EY,X > 0

Neelastična promjena

EY,X =0

Savršeno neelastična promjena

0 > EY,X > - 1

Neelastična promjena

EY,X = - 1

Jedinično elastična promjena

- 1 > EY,X > - ∞

Elastična promjena

EY,X = - ∞

Savršeno elastična promjena

41

EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE

1.3.4. Osobine elastičnosti EY,X funkcije Y=f(X) ƒ Elastičnost konstante je jednaka nuli: Y = C = const. ⇒

EY·X = 0

Dokaz:

EY , X =

X ' X ' X ⋅Y = ⋅ C = ⋅ 0 = 0 Y C C

(1.22)

ƒ Elastičnost stepene funkcije je jednaka stepenu date funkcije: Y = a·Xb ⇒ EY , X = b = const. Dokaz:

EY , X =

X ' X X 1 ⋅Y = ⋅ a ⋅ b ⋅ X b −1 = ⋅ a ⋅b ⋅ X b ⋅ = b b b Y a⋅ X a⋅ X X

(1.23)

ƒ Elastičnost eksponencijalne funkcije: Y = a ⋅ b X ⋅ ⇒ EY ⋅ X = X ⋅ ln(b) Dokaz:

EY , X =

X X ⋅Y ′ = ⋅ a ⋅ b X ⋅ ⋅ ln(b) = X ⋅ ln(b) X Y a ⋅b

(1.24)

ƒ Elastičnost inverzne funkcije je jednaka recipročnoj vrijednosti koeficijenta elastičnosti osnovne funkcije. Proizvod između koeficijenta elastičnosti inverzne i osnovne funkcije je jednak jedinici. 1 E X ,Y = ⇒ E X ,Y ⋅ EY , X = 1 EY , X Dokaz:

E X ,Y =

Y Y dX 1 1 1 ⋅X' = ⋅ = ⋅ = X X dY X dY EY , X Y dX

(1.25)

ƒ Elastičnost složene funkcije jednaka je proizvodu posmatranih funkcija, odnosno za Z = Z ⎣⎡Y ( X ) ⎦⎤ ⇒ EZ,X = EZ,Y · EY,X,

42

ELASTIČNOST

Dokaz:

Y = f ( X ) ⇒ EY , X =

X dY ⋅ ; Y dX

Z = g (Y ) ⇒ EZ ,Y =

Z = g [ f ( X ) ] = φ ( X ) ⇒ EZ , X = EZ ,Y ⋅ EY , X =

Y dZ ⋅ ; Z dY

X dZ ⋅ Z dX

Y dZ X dY X dZ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = EZ , X Z dY Y dX Z dX

(1.26)

ƒ Odnos elastičnosti prosječne i ukupne funkcije:

EY , X = EY , X − 1

(1.27)

EY , X = EY , X + 1

(1.28)

Iz izraza (1.27) se zaključuje da je elastičnost prosječne funkcije jednaka elastičnosti ukupne funkcije umanjene za jedinicu. Iz izraza (1.28) slijedi da je koeficijent elastičnosti ukupne funkcije jednak koeficijentu elastičnosti prosječne funkcije uvećanom za jedinicu. Dokaz: '

EY , X

X X ⎛ Y ⎞ X 2 ⎛ Y ' ⋅ X −Y = ⋅ (Y ) ' = ⋅ = ⋅⎜ Y ⎜⎝ X ⎟⎠ Y Y ⎝ X2 X

⎞ X ' ⎟ = ⋅ Y − 1 = EY , X − 1 ⎠ Y

Za analizu elastičnosti zbira, razlike, proizvoda i količnika potrebno je definisati sljedeće opšte izraze: Y = f(X) EY , X =

X ⋅Y ′ Y

Y1 = f1(X) EY1 , X =

X ' ⋅ Y1 Y1

Y2 = f2(X) EY2 , X =

X ' ⋅ Y2 Y2

gdje funkcija Y = f(X) može biti odgovarajuća algebarska kombinacija funkcije Y1 = f1(X) i funkcije Y2 = f2(X). ƒ Elastičnost proizvoda dvije funkcije je jednaka zbiru elastičnosti ove dvije funkcije:

Y = Y1·Y2 ⇒ EY , X = EY1 , X + EY2 , X

(1.29)

43

EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE

Dokaz:

EY , X =

X X X ' ⋅Y ′ = ⋅ (Y1 ⋅ Y2 ) = ⋅ (Y1' ⋅ Y2 + Y1 ⋅ Y2' ) = Y Y1 ⋅ Y2 Y1 ⋅ Y2

X X X X ⋅ Y1' ⋅ Y2 + ⋅ Y1 ⋅ Y2' = ⋅ Y1' + ⋅ Y2' = EY1 , X + EY2 , X Y1 ⋅ Y2 Y1 ⋅ Y2 Y1 Y2

Osobina proizvoda se može generalizirati i primijeniti i za n funkcija. ƒ Elastičnost količnika:

Y=

Y1 ⇒ EY , X = EY1 , X − EY2 , X Y2

(1.30)

Dokaz: '

EY , X

X X ⎛ Y1 ⎞ X ⋅ Y2 Y1' ⋅ Y2 − Y1 ⋅ Y2' X ' X ' ′ = ⋅Y = ⋅ ⎜ ⎟ = ⋅ = ⋅ Y1 − ⋅ Y2 = EY1 , X − EY2 , X 2 Y1 ⎝ Y2 ⎠ Y Y1 Y1 Y2 (Y2 ) Y2

ƒ Elastičnost zbira/razlike je jednaka sljedećem izrazu:

Y = Y1 ± Y2 ⇒ EY , X =

1 ⋅ Y1 ⋅ EY1 , X ± Y2 ⋅ EY2 , X Y

(

)

(1.31)

Dokaz: X X X X Y X Y ' EY , X = ⋅ Y ′ = ⋅ (Y1 ± Y2 ) = ⋅ (Y1' ± Y2' ) = ⋅ Y1' ⋅ 1 ± ⋅ Y2' ⋅ 2 Y Y Y Y Y1 Y Y2

=

1 ⋅ Y1 ⋅ EY1 , X ± Y2 ⋅ EY2 , X Y

(

)

1.3.5. Koeficijent parcijalne elastičnosti

Ukoliko se obilježje Y posmatra kao funkcija više nezavisnih Y = F ( X 1 , X 2 , X 3 ,..., X n ) , onda se definiše koeficijent parcijalne elastičnosti:

varijabli

X i ∂Y ⋅ za i = 1,..., n. (1.32) Y ∂X i Koeficijent parcijalne elastičnosti pokazuje postotak promjene zavisne varijable Y koji je rezultat povećanja nezavisne varijable Xi za 1%, uz uslov da ostale varijable ostaju nepromijenjene. Ukoliko se nezavisna varijabla Xi poveća za 1%, a ostale varijable ostanu nepromijenjene, zavisna varijabla će se promijeniti za EY , X i (%). EY , X i =

44

OCJENA EKONOMSKIH FUNKCIJA METODAMA REGRESIONE ANALIZE

Ocjena ekonomskih funkcija metodama 1.4. regresione analize Kada se pomoću statističkih metoda istražuje jedna pojava nezavisno od ostalih, radi se o jednodimenzionalnoj statističkoj analizi. Statističkim metodama mogu se analizirati i međusobni odnosi više pojava. U tom slučaju se radi o višedimenzionalnoj analizi. Ovim metodama se ne analiziraju uzroci ni posljedice pojava, već zavisnost pojava i njihovih promjena. Veze među pojavama mogu biti funkcionalne i stohastičke. Statistička analiza odnosa između dvije ili više pojava se vrši metodama deskriptivne i inferencijalne statistike. Stepen statističke povezanosti između pojava se istražuje metodama korelacione analize. Za određivanje analitičkog odnosa među pojavama primjenjuju se regresioni modeli. Veza među pojavama je funkcionalna ako su vrijednostima jedne pojave u potpunosti određene vrijednosti druge pojave. U tom slučaju za svaku vrijednost nezavisne varijable se može precizno odrediti vrijednost zavisne varijable. Funkcionalne veze su najčešće u prirodnim naukama i u manjoj mjeri u društvenim naukama. Kada jednoj vrijednosti nezavisno promjenljive X, odgovara više vrijednosti zavisno promjenljive Y, kažemo da je njihova veza stohastička. Opšti oblik regresionog modela se može napisati u sljedećem obliku:: Y = f ( X 1 , X 2 ,...., X n ) + ε

(1.33)

gdje je Y zavisna promjenljiva, Xi (i = 1,..., n) su nezavisne promjenljive i parametar ε slučajno odstupanje. Ovaj model se naziva model višestruke regresije ili višedimenzionalni regresioni model. Model koji sadrži zavisnu i jednu nezavisnu promjenljivu naziva se model jednostavne regresije ili jednodimenzionalni regresioni model. Model jednostavne regresije ima sljedeći oblik:

Y = f (X ) +ε

(1.34)

Zadatak regresione analize je istraživanje analitičkog oblika veze između pojava kojem se najviše približavaju promjene analiziranih pojava. Zadatak korelacione analize je utvrđivanje stepena i smjera povezanosti pojava.

1.4.1. Kriterij izbora regresione prave i metod najmanjih kvadrata

Pretpostavimo da je veza zavisne varijable Y i nezavisne varijable X linearna. Y je varijabla koju treba objasniti pomoću varijable X. Polazni model linearne regresije za skup od n vrijednosti (xi, yi) varijabli X i Y se može napisati u sljedećem obliku: 45

EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE

yi = α + β xi + ε i , i = 1,2,...,n.

(1.35)

Potrebno je izvršiti ocjenu parametara α i β . Ocijenjene vrijednosti parametara će se označiti sa a i b , te se model može napisati u sljedećem obliku: yi = a + bxi + ei , i = 1,2,...,n.

(1.36)

Označimo sa yˆi = a + bxi

(1.37)

funkcionalni dio modela gdje su a i b ocijenjeni parametri. Podaci su dati kao n posmatranih parova (xi, yi), a yˆi predstavlja ocijenjene vrijednosti Y na osnovu posmatranih vrijednosti xi od X. Na osnovu izraza (1.36.) i (1.37) može se napisati relacija: yi = yˆi + ei

(1.38)

iz koje se izražava slučajno ili rezidualno odstupanje ei kao razlika između posmatranih i ocijenjenih vrijednosti varijable Y: ei = yi − yˆi

(1.39)

ei = yi − a − bxi Rezidualno odstupanje je predstavljeno na sljedećem grafikonu: yˆ i = a + bxi • •

y

yi

ei = y i − yˆ i

yˆ i







• •

• •

• xi Grafikon 8. Rezidualna odstupanja

46

x

OCJENA EKONOMSKIH FUNKCIJA METODAMA REGRESIONE ANALIZE

Cilj je primijeniti metod za ocjenu parametara regresionog modela koji će minimizirati rezidualna odstupanja. Pitanje koje se postavlja je izbor kriterija koji će obezbijediti minimizaciju slučajnih odstupanja. Kriterij koji omogućava izbor najbolje regresione prave je minimiziranje zbira kvadrata rezidualnih odstupanja: minimum

n

∑e

2 i

i =1

(1.40)

Na ovom kriteriju je baziran metod najmanjih kvadrata. Minimiziranje zbira kvadrata rezidualnih odstupanja: n

n

n

i =1

i =1

i =1

∑ ei2 = ∑ ( yi −yˆi )2 = ∑ ( yi −a − bxi )2

(1.41)

je moguće uz potrebne uslove koji zahtijevaju da parcijalni izvodi ovog zbira po parametrima a i b budu jednaki nuli: n

∂ ∑ ei2 i =1

∂a

n

= 2∑ ( yi − a − bxi )(−1) = 0 i =1

n

∂ ∑ ei2 i =1

∂b

n

= 2∑ ( yi − a − bxi )(− xi ) = 0 i =1

Iz ova dva uslova slijedi sistem normalnih jednačina: n

n

i =1

i =1

∑ yi = na + b∑ xi n

n

n

i =1

i =1

i =1

∑ xi yi = a∑ xi + b∑ xi2 Rješavanjem ovog sistema normalnih jednačina dobijaju se izrazi za ocjenu parametara a i b: n

a=

∑ yi i =1

n

n

−b

a = y − bx

∑x i =1

n

i

(1.42) (1.43)

Zamjenom izraza za izračunavanje parametra a u drugu normalnu jednačinu dobija se izraz za izračunavanje parametra b:

47

EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE

n

n

n

i =1

i =1

i =1

∑ xi yi = ( y − bx )∑ xi + b∑ xi2 n

n

n

n

i =1

i =1

i =1

i =1

∑ xi yii = y ∑ xi − bx ∑ xi + b∑ xi2 n

∑x y i =1

i

ii

n n ⎛ n ⎞ − y ∑ xi = b ⎜ ∑ xi2 − x ∑ xi ⎟ i =1 i =1 ⎝ i =1 ⎠

n

b=

n

∑ xi yi − y ∑ xi i =1 n

i =1 n

∑x

− x ∑ xi

2 i

i =1

(1.44)

i =1

Parametar b se može izraziti i u sljedećem obliku: n

b=

∑ x y − n⋅ x ⋅ y i

i =1

n

i

∑x i =1

2 i

− nx 2

odnosno, 1 n ∑ xi yi − x ⋅ y n i =1 b= 1 n 2 xi − x 2 ∑ n i =1

(1.45)

1.4.2. Pretpostavke o osobinama stohastičnosti modela

Regresioni model izražen regresionom pravom: yi = α + β xi + ε i , i = 1,2,...,n.

(1.46)

je sastavljen iz dva dijela. Prvi dio modela α + β xi predstavlja funkcionalnu vezu pri kojoj je Y linearno zavisna od X ako su drugi faktori konstantni. Drugi, stohastički dio modela (ε i ) predstavlja slučajne varijacije, kojima se uzima u obzir djelovanje promjena drugih varijabli koje nisu eksplicitno uključene u model. Pod uslovom da specifikacija modela odgovara ekonomskoj relaciji u stvarnosti, i da bismo probleme mjerenja ekonomskih relacija preveli u probleme statističkog ocjenjivanja parametara rasporeda vjerovatnoće, neophodno je navesti pretpostavke o osobinama stohastičnosti linearnog regresionog modela: 48

OCJENA EKONOMSKIH FUNKCIJA METODAMA REGRESIONE ANALIZE

1. E (ε i ) = 0 , (očekivana vrijednost stohastičkog člana je jednaka nuli) 2. E (ε i2 ) = σ 2 , 3. E (ε i , ε j ) = 0 ,

(konstantna zajednička varijansa) za svako i, j; i≠j; (nezavisnost)

4. ε i : N ( 0, σ 2 ) ,

(normalnost)

5. E (ε i , X j ) = 0 ,

za sve i, j; (nezavisnost od Xj).

Da bi se ocijenila statistička pouzadanost ocijenjenog modela potrebno je izračunati standardnu grešku regresionog modela prema formuli: n

σ yˆ =

∑ ( y − yˆ ) i =1

i

2

i

n

kao i koeficijent varijacije regresionog modela5: kVyˆ =

σ yˆ y

Ocjena parametara jednostruke i višestruke ili multiple linearne regresije se može izvršiti primjenom Microsoft Excela. Objasnićemo kako se primjenom Microsoft Excela ocjenjuju parametri modela linearne regresije. Faze u primjeni su sljedeće: 1. U izborniku Excela odabire se opcija Tools

5

Pored navedenih, postoje i drugi pokazatelji kvaliteta pouzdanosti ocijenjenih parametara. Detaljnija analiza ovih pokazatela je predstavljena u Somun - Kapetanovć, R. (2008), str.111-145.

49

EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE

2. U izborniku opcije Tools odabire se opcija Data Analysis

3. U izborniku Data Analysis odabire se procedura Regression

4. Odabirom procedure Regression otvara se sljedeći prozor

50

OCJENA EKONOMSKIH FUNKCIJA METODAMA REGRESIONE ANALIZE

u koji se unose vrijednosti zavisne varijable Y i nezavisne varijable X. Ukoliko model ne sadrži konstantu, potrebno je označiti kvadrat Constant is Zero. Kada model sadrži konstantu, ovaj kvadrat ne treba označavati. U izlaznim opcijama (Output options) se označi mjesto gdje se žele upisati dobijeni rezultati. Preporučuje se Output Range i izbor ćelije gdje želimo da upišemo dobijene rezultate. Od opcija Residuals mogu se odabrati sve ili neke od njih, u zavisnosti od cilja analize. U narednom primjeru ćemo ilustrovati primjenu Microsoft Excela za ocjenu regresione prave primjenom metode najmanjih kvadrata. Detaljnija analiza ocijenjene regresione prave koja predstavlja funkciju tražnje će biti urađena u dijelu 1.5., Primjer 1.14. Ovdje ćemo na tom primjeru ocijeniti metodom najmanjih kvadrata, primjenom Excela, linearnu funkciju tražnje koja najbolje aproksimira dati skup podataka. Unesu se podaci za zavisnu i nezavisnu varijablu. U ovom slučaju su unesene ćelije sa nazivima podataka i zato je potrebno označiti kvadratić Labels i primijeniti postupak koji je prethodno objašnjen. Prodate količine frižidera «Super» (q) i cijene po jedinici proizvoda (p) date su u tabeli: q (kom.)

36

32

30

28

24

17

13

12

10

p (KM/kom.) 400 600 700 800 1000 1300 1500 1800 2000

Ukoliko se ne unesu ćelije sa nazivom varijabli, ne treba označavati kvadrat Labels, kao što se vidi na sljedećoj slici. 51

EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE

Odabire se komanda OK i dobiju sljedeći rezultati:

Na osnovu dobijenih rezultata kompletira se jednačina regresione prave: q = 41,55-0,017p koja predstavlja traženu funkciju tražnje. Standardna greška, t – statistika i p vrijednost pokazuju da je dobijena ocjena parametra b uz varijablu cijena p statistički pouzdana. 52

OCJENA EKONOMSKIH FUNKCIJA METODAMA REGRESIONE ANALIZE

Postoji i drugi način ocjene parametara regresionog modela koji se može primijeniti u Excelu. Postupak je sljedeći: Nacrtati dijagram rasipanja (XY Scatter).

Kliknuti na pozadinu dijagrama rasipanja.

U traci izbornika će se umjesto izbornika Data pojaviti izbornik Chart. Kliknuti na izbornik Chart i odabrati opciju Add Trendline.

53

EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE

U opciji Add Trendline odabire se tip grafika Type i otvara komanda Options na kojoj se označavaju dvije opcije: Display equation on chart da bismo dobili jednačinu regresionog modela i opcija Display R-squared value on chart kako bi se dobila vrijednost koeficijenta determinacije.

Na dijagramu rasipanja se dobija ucrtana ocijenjena jednačina regresionog modela i ocjena koeficijenta determinacije koji pokazuje koji postotak varijacije zavisne varijable je ocijenjen varijacijom nezavisne varijable. Ovaj koeficijent pokazuje procenat varijacije zavisne varijable objašnjene modelom u ukupnoj varijaciji zavisne varijable.6 6

Op. cit., str. 126-128.

54

OCJENA EKONOMSKIH FUNKCIJA METODAMA REGRESIONE ANALIZE

Kao što je vidljivo na gornjoj slici, dobijena je jednačina tražnje kao u prethodnom slučaju: q = 41,551-0,017p.

55

1.5. Funkcija tražnje U teorijskoj i empirijskoj analizi razlikuju se individualna i agregatna tržišna tražnja. U prvom dijelu će se definisati, prezentovati i analizirati agregatna tržišna tražnja, a zatim i individualna tržišna tražnja za nekim dobrom. 1.5.1. Agregatna funkcija tražnje

Tražnja nekog dobra predstavlja količinu tog dobra7 koja se može prodati na određenom tržištu u određeno vrijeme. Tražnja za nekim dobrom zavisi od velikog broja faktora. Najznačajniji faktori od kojih zavisi tražnja za nekim dobrom su: cijena tog dobra, cijene ostalih dobara, prvenstveno komplemenata i supstituta, dohodak potrošača, vrijeme, broj potrošača, ukus i preferencije potrošača i niz drugih faktora koji posredno ili neposredno mogu uticati na tražnju. Ako se navedeni faktori posmatraju kao promjenljive veličine, tražnja za nekim dobrom se izražava kao funkcija više promjenljivih u sljedećem obliku: q = F ( p, p1 , p2 ,..., pk , d , t , r )

(1.47)

gdje su: ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

q količina tražnje određenog dobra , p cijena tog dobra, p1 , p2 ,..., pk cijene ostalih dobara na tržištu , d dohodak (budžet) potrošača, t vrijeme, r ostali faktori koji utiču na tražnju za određenim dobrom (broj potrošača, ukus i preferencije potrošača, itd.).

Izraz (1.47) predstavlja opšti oblik funkcije tražnje, odnosno tražnju u širem smislu. Istraživanje, ekonometrijska ocjena i analiza funkcije tražnje preko relacije (1.47) je složen zadatak. Svi faktori od kojih zavisi tražnja za nekim dobrom ne mogu se izmjeriti i na adekvatan način kvantificirati. Stoga se analiza pojednostavljuje smanjivanjem broja faktora koji se uključuju kao nezavisne varijable. Tražnja se analizira kao funkcija određenog broja faktora koji imaju dominantan uticaj pretpostavljajući konstantnost ostalih faktora. Na tražnju za nekim dobrom najveći uticaj ima cijena tog dobra. Polazeći od te činjenice, tražnja se može definisati u užem smislu kao funkcija cijene posmatranog dobra, uz pretpostavku da su ostali faktori od kojih zavisi tražnja konstantni i napisati u sljedećem obliku: q = f ( p), odnosno q = q ( p ) 7

Kao sinonim za dobro koristiće se termin proizvod.

56

(1.48)

FUNKCIJA TRAŽNJE

gdje je: ƒ q tražnja za nekim određenim dobrom, ƒ p cijena tog dobra. Odnos između količine tražnje za nekim dobrom i cijene tog dobra dat relacijom (1.48) naziva se Cournot-ov zakon tražnje. Definisanje relacije (1.48), pored polazne pretpostavke o funkcionalnom odnosu tražnje i cijene, uz konstantnost ostalih faktora, implicira i pretpostavke tržišta potpune konkurencije. Te pretpostavke su: a) Homogenost dobara ili identičnost dobara koja ih čini međusobno savršenim supstitutima. b) Prisustvo velikog broja kupaca i prodavaca od kojih ni jedan pojedinačno svojom tražnjom i ponudom nije u stanju da promijeni nivo cijene. Cijena se javlja kao nezavisna promjenljiva u odnosu na svakog učesnika. Postoji, dakle, objektivno data cijena po kojoj se vrši promet dobara i koja se mijenja kao posljedica aktivnosti svih prodavaca i kupaca tog dobra. c) Svi kupci i prodavci su potupno informisani o stanju na tržištu. d) Svi kupci i prodavci slobodno stupaju u kupoprodajne odnose i mogu kada želi ući na tržište i izaći sa tržišta. Da bi relacija (1.48) predstavljala funkciju tražnje, moraju biti ispunjeni sljedeći uslovi: 1. Nenegativnost8 zavisne i nezavisne varijable: q ≥ 0, p ≥ 0 . Oblast definisanosti funkcije tražnje se nalazi u intervalu: 0 ≤ p ≤ p+ q+ ≥ q ≥ 0 gdje p+ označava maximalnu cijenu do koje postoji tražnja na tržištu, a q+ označava nivo zasićenja, odnosno nivo tražnje kad bi cijena bila 0.

2. Zakon normalnosti tražnje, kojim se izražava osobina da je tražnja opadajuća funkcija cijene, matematički se izražava negativnom vrijednošću prvog izvoda funkcije tražnje dq q′ = = f ′ ( p ) < 0. dp 3. Tražnja je neprekidna funkcija 0 < q′ < +∞. Pretpostavlja se da su potrošači racionalni i da će sa rastom cijene nekog dobra i tražnja za tim dobrom opadati. Ova pretpostavka se odnosi na normalna dobra. Postoje odstupanja, odnosno izuzeci od zakona normalnosti tražnje koji su definisani kao Giffenov paradoks, Veblenov efekat i slučaj špekulacije9. 8 9

Termin nenegativnost se uzima jer se pri matematskoj analizi ovih funkcija uzima da je q ≥ 0 i p ≥ 0 iako cijena p=0 nema ekonomski smisao. Jurin, S., Šohinger, J., (1990), str. 47-48.

57

EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE

Pošto se tražnja prema zakonu normalnosti mijenja obrnuto proporcionalno sa promjenom cijene, grafički prikaz funkcije tražnje (1.48) u opštem slučaju se predstavlja na sljedećem grafikonu: q q+ q1

q2 0

p1

p2

p+

p

Grafikon 9. Funkcija tražnje

Uz pretpostavku da je funkcija tražnje diferencijabilna u posmatranom intervalu, koji mora biti konačan i približno jednak intervalu raspoloživih empirijskih vrijednosti, uslov normalnosti tražnje kazuje da tražnja opada sa rastom cijene i da je u normalnim uslovima tražnja opadajuća funkcija cijene. Iz relacije (1.48) izvodi se inverzni oblik funkcije tražnje: p = ϕ (q ), odnosno

p = p(q )

(1.49)

kojim se cijena p izražava kao funkcija količine tražnje q . Inverzni oblik funkcije tražnje (1.49) određuje se rješavanjem relacije (1.48) po cijeni p. Inverzna funkcija tražnje, kao i direktni zakon tražnje, treba da zadovolji sljedeće uslove: 1. Nenegativnost zavisne i nezavisne varijable, tj. inverzna funkcija tražnje p i količina q treba da budu nenegativne: q ≥ 0, p ≥ 0 . Oblast definisanosti funkcije tražnje se nalazi u intervalu: 0 ≤ p ≤ p+ q+ ≥ q ≥ 0

2. Inverzna funkcija tražnje je monotono opadajuća što se matematički izražava negadp tivnom vrijednošću prvog izvoda funkcije inverzne tražnje: p ′(q ) = = ϕ ′(q ) < 0. dq 3. Inverzni zakon (funkcija) tražnje je neprekidna funkcija 0 < p′ < +∞.

58

FUNKCIJA TRAŽNJE

1.5.2. Individualna funkcija tražnje

Individualna funkcija tražnje je funkcija tražnje pojedinačnog potrošača za određenim dobrom. Ovaj oblik funkcije tražnje predstavlja odnos između cijene dobra i količine tražnje za tim dobrom koju iskazuje potrošač tog dobra na tržištu. Individualna funkcija tražnje se može posmatrati u širem i užem smislu. Za označavanje individualne funkcije tražnje koristit ćemo simbol x. U širem smislu, to je funkcija većeg broja faktora koji mogu uticati na individualnu tražnju: x = F ( p, p1 , p 2 ,..., p k , d , t , r )

(1.50)

gdje su: ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

x individualna tražnja za određenim dobrom, p cijena tog dobra, p1 , p2 ,..., pk cijene ostalih dobara na tržištu, d dohodak potrošača, t vrijeme, r ostali faktori koji utiču na tražnju za određenim dobrom (broj potrošača, ukus i preferencije potrošača, itd.).

Individualna funkcija tražnje za nekim dobrom u užem smislu se definiše kao funkcija cijene tog dobra: x = x ( p)

(1.51)

gdje je: ƒ x individualna tražnja za nekim određenim dobrom, ƒ p cijena tog dobra.

Individualna funkcije tražnje mora zadovoljiti, kao i agregatna funkcija, sljedeće osobine da bi mogla biti funkcija tražnje: 1. Nenegativnost zavisne i nezavisne varijable, odnosno nenegativnost tražnje i cijene: x ≥ 0, p ≥ 0 . Oblast definisanosti funkcije tražnje se nalazi u intervalu: 0 ≤ p ≤ p+

x+ ≥ x ≥ 0 2. Zakon normalnosti tražnje kojim se izražava osobina da je tražnja opadajuća funkcija cijene. Matematski, prvi izvod funkcije tražnje ima negativnu vrijednost:

x′ =

dx = f ′ ( p ) < 0. dp 59

EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE

3. Individualna funkcija tražnja je neprekidna funkcija 0 < x ' < +∞. Funkcija agregatne tražnje se dobija kao zbir svih individualnih tražnji na određenom tržištu u određenom vremenu za nekim dobrom u oblasti njihove definisanosti. Oblast definisanosti Dq agregatne tražnje predstavlja uniju oblasti definisanosti svih individualnih tražnji Dxˆ :

q( p ) = ∑ xi ( p); i

p ∈ ∪ D xi .

(1.52)

i

Zapis p ∈ ∪ Dxi znači da na tržištu postoji tražnja sve dok je barem jedan potrošač sprei

man da kupi predmetno dobro. Prema tome, maksimalna cijena do koje postoji agregatna tražnja je p + = max( pi+ ) , a nivo agregatnog tržišnog zasićenja je q + = ∑ xi+ ; i

i

U sljedećem opštem slučaju ćemo ilustrovati kako na osnovu dvije individualne funkcije tražnje određujemo agregatnu funkciju tražnje. Neka su poznate funkcije individualnih tražnji dva proizvođača: x1 = x1 ( p), x2 = x2 ( p) . Pretpostavimo da su u pitanju linearne funkcije i da je funkcija individualne tražnje x1 = x1 ( p) definisana za p∈(0, p1+); x1∈(0, x1+) i funkcija individualne tražnje x2 = x2 ( p) definisana za p∈(0, p2+); x2∈(0, x2+). Bez ograničenja opštosti, možemo uzeti da je granična cijena p2+ veća ili jednaka od granične cijene p1+ ( p2+ ≥ p1+ ) i da je nivo zasićenja x2+ veći ili jednak od nivoa zasićenja

x1+ ( x2+ ≥ x1+ ) . Na grafikonu 10 je dat prikaz ovih funkcija individualnih tražnji.

x(p) x2+ x1+ x1 p1+

x2 p2+

p

Grafikon 10. Funkcije individualnih tražnji

60

FUNKCIJA TRAŽNJE

Na osnovu pretpostavke ( p2+ ≥ p1+ ) slijedi da je agregatna tražnja definisana za p ∈ ⎡⎣0, p2+ ⎤⎦ . Na tržištu su prisutna oba potrošača ako je cijena predmetnog dobra manja ili jednaka od p1+ , odnosno ako je p ∈ ⎡⎣0, p1+ ⎤⎦ . Ako je cijena predmetnog dobra veća od p1+ , potrošač x1 odustaje od tražnje i za cijenu p ∈ ( p1+ , p2+ ) na tržištu će biti prisutan samo x2 . Odavde je zakon agregatne tražnje definisan sa:

⎧ x1 + x2 za p ∈ ⎡0, p1+ ⎤ ⎪ ⎣ ⎦ . q( p) = ⎨ + + ⎪⎩ x2 za p ∈ ( p1 , p2 ⎤⎦ Nivo zasićenja q + = x1+ + x2+ , a granična cijena p+ = p2+ (p2+ > p1+). Grafički prikaz agregatne tražnje, te individualnih tražnji i agregatne tražnje zajedno dat je na grafikonima 11 i 12. q(p)

x(p), q(p)

q+= x1++x2+

q+ = x1+ + x2+

x1+x2

x1+x2

+

x2 Δ x1 x1 +

x2 p1+

x2

Δ x1 p2+=p+ p

Grafikon 11. Funkcija agregatne tražnje

p1+

p2+= p+

p

Grafikon 12. Funkcija agregatne tražnje

Postupak utvrđivanja agregatne funkcije tražnje se može uopštiti i primijeniti u slučajevima kada se agregatna tražnja određuje na osnovu individualnih tražnji N potrošača. U riješenim primjerima će se predstaviti takvi slučajevi. Ilustracija ovog postupka određivanja agregatne funkcije tražnje je prezentovana u primjerima sa rješenjima koji slijede poslije teorijskog dijela.

61

EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE

1.5.3. Analitički oblici funkcije tražnje

Funkcija tražnje kojom se određuje zavisnost tražnje nekog dobra od cijene tog dobra može imati različite analitičke oblike. Najčešći analitički oblici koji se mogu koristiti za ocjenu funkcije tražnje su sljedeći:10 1. q = a − bp 2. q = a − bp 2 3. q = (a − bp) 2 b 4. q = a + p a − b; 5. q = p+c 6. q = ae − bp 7. q = ap − b + c 8. q = bp − a + c 9. q = a ⋅ p 2 − b ⋅ p + c 10. q = p a ⋅ e −b ( p + c ) Uslovi koje svaka od navedenih funkcija treba zadovoljiti da bi bila funkcija tražnje su: a > 0; b > 0; c > 0 . Za sve navedene direktne zakone tražnje mogu se formulisati inverzni zakoni tražnje.11 Lista predstavljenih analitičkih oblika funkcije tražnje nije egzostivna i u empirijskim analizama se mogu ocijeniti i drugi oblici funkcije tražnje u zavisnosti od prikupljenih empirijskih podataka.

1.5.4. Koeficijenti elastičnosti tražnje

Za funkciju tražnje se može definisati više koeficijenata elastičnosti. Definisaće se i analizirati koeficijent elastičnosti tražnje na luku, zatim koeficijent elastičnosti tražnje u tački kao i dva koeficijenta parcijalne elastičnosti tražnje: koeficijent elastičnosti tražnje posmatranog 10

11

U analizi funkcije tražnje, i kasnije funkcija prihoda i dobiti, koristićemo osobinu neprekidnosti funkcija + tražnji i pretpostavku da je q ( p ) = 0 . Ovaj uslov ne umanjuje opštost analize, ali olakšava matematičku interpretaciju i razumijevanje osobina navedenih ekonometrijskih funkcija. Navedeni analitički oblici i + uslovi postavljeni za parametre zadovoljavaju osobinu q ( p ) = 0 , Vidjeti u : Vučković, Ž., (2004), str. 59-60.

62

FUNKCIJA TRAŽNJE

dobra u odnosu na dobro k, odnosno koeficijent unakrsne elastičnosti i koeficijent dohodovne elastičnosti tražnje. ƒ Koeficijent elastičnosti tražnje u prekidnom slučaju se definiše polazeći od opšteg izraza za koeficijent elastičnosti u prekidnom slučaju:

Eq , p

Δq r p Δq q = q = = ⋅ rp Δp q Δp p

(1.53)

ƒ U neprekidnom slučaju koeficijent elastičnosti se može napisati u sljedećem obliku:

p Δq p Δq p dq p ⋅ = ⋅ lim = ⋅ = ⋅ q′ p → 0 q Δp q p →0 Δp q dp q

lim Eq , p = lim p →0

(1.54)

Koeficijent elastičnosti tražnje pokazuju procentualno smanjenje tražnje ( Eq , p ) izazvano povećanjem cijene za 1%. Ukoliko se cijena posmatranog dobra poveća za 1%, koeficijent ekastičnosti Eq , p pokazuje za koliko % će se smanjiti funkcija tražnje. Pošto funkcija tražnje u intervalu definisanosti ima opadajući tok, koeficijent elastičnosti tražnje će se kretati u intervalu −∞ ≤ Eq , p ≤ 0. Vrijednosti koje uzima koeficijent elastičnosti tražnje se mogu predstaviti tabelarno (tabela 2), Tabela 2. Koeficijent elastičnosti direktnog zakona tražnje

p

Eq,p

Elastičnost

p=0

Eq,p =0

Savršeno neelastična tražnja

0 < p < p1

0 > Eq,p > - 1

Neelastična tražnja

p = p1

Eq,p = - 1

Jedinično elastična tražnja

p1 < p < p+

- 1 > Eq,p > - ∞

Elastična tražnja

p = p+

Eq,p = - ∞

Savršeno elastična tražnja

pri čemu se cijena p+, za koju je q (p+) = 0, i cijena p1, za koju je Eq, p1 = -1, određuje u svakom konkretnom primjeru. Polazeći od izraza (1.47) za agregatnu tražnju u širem smislu može se pomoću koeficijenta parcijalne elastičnosti utvrditi relativna promjena tražnje koja je uslovljena relativnom promjenom bilo koje nezavisne promjenljive. Koeficijent parcijalne elastičnosti tražnje može se utvrditi u odnosu na cijenu tog dobra, cijene ostalih dobara, dohodak potrošača i ostale faktore. 63

EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE

ƒ Koeficijenti parcijalne elastičnosti tražnje

Polazeći od izraza za agregatnu funkciju tražnje (1.47) može se pomoću koeficijenta parcijalne elastičnosti utvrditi relativna promjena tražnje koja je uslovljena relativnom promjenom bilo koje nezavisne promjenljive. Koeficijenti parcijalne elastičnosti tražnje se mogu utvrditi u odnosu na cijenu tog dobra, cijene ostalih dobara, dohodak potrošača i ostale faktore. Koeficijent parcijalne elastičnosti tražnje u odnosu na cijene ostalih dobara koje utiču na tražnju za posmatranim dobrom se definiše u obliku sljedećih izraza u prekidnom i neprekidnom obliku i naziva i koeficijent unakrsne elastičnosti tražnje:

pk q p = k q

Eq , pk = Eq , pk

Δq Δpk ∂q ⋅ ∂pk ⋅

(1.55) (1.56)

Koeficijent parcijalne elastičnosti tražnje u odnosu na cijenu nekog drugog dobra, ili koeficijent unakrsne elastičnosti, ukazuje na odnos posmatranog dobra i nekog drugog dobra k i može se predstaviti u sljedećoj tabeli: Tabela 3. Koeficijent parcijalne elastičnosti tražnje

Koeficijent parcijalne elastičnosti tražnje

Odnos posmatranog dobra i dobra k

Eq , pk > 0

Supstitutski

Eq , pk = 0

Nezavisan

Eq , pk < 0

Komplementaran

Koeficijent parcijalne elastičnosti tražnje u odnosu na dohodak potrošača

Koeficijent parcijalne elastičnosti tražnje u odnosu na dohodak potrošača se naziva koeficijent dohodovne elastičnosti tražnje i definiše sljedećim izrazima, u zavisnosti od toga da li se izračunava na luku između dvije tačke ili u tački:

64

d Δq ⋅ q Δd d ∂q = ⋅ q ∂d

Eq ,d =

(1.57)

Eq , d

(1.58)

FUNKCIJA TRAŽNJE

Pomoću ovog koeficijenta vrši se klasifikacija dobara na normalna i inferiorna. Ukoliko je vrijednost koeficijenta dohodovne elastičnosti pozitivna ( Eq ,d > 0) radi se o normalnom dobru, a ukoliko je negativna ( Eq ,d < 0) o inferiornom dobru. ƒ Koeficijent elastičnosti (fleksibilnosti) cijene u odnosu na tražnju

Polazeci od inverznog zakona tražnje p=p(q) može se definisati koeficijent elastičnosti (fleksibilnosti) cijene u odnosu na tražnju sljedećim izrazom:

E p ,q =

q ⋅ p′ ≤ 0 p

(1.59)

Značenje koeficijenta fleksibilnosti cijene u odnosu na tražnju je sljedeće: Ukoliko se tražnja sa datog nivoa poveća za 1%, tada će se cijena za datim proizvodom smanjiti za 1%. Tabelarna i grafička analiza se vrše na isti način kao za koeficijent elestičnosti tražnje u odnosu na cijenu. U sljedećoj tabeli je prezentovan pregled intervala fleksibilnosti cijene u odnosu na tražnju. Tabela 4. Koeficijent elastičnosti inverznog zakona tražnje

q

Ep,q

Elastičnost

q=0

Ep,q =0

Savršena neelastičnost

0 < q < q1

0 > Ep,q > - 1

Neelastičnost

q = q1

Ep,q = - 1

Jedinična elastičnost

q0 < q < q+

- 1 > Ep,q > - ∞

Elastičnost

q = q+

Ep,q = - ∞

Savršena elastičnost

pri čemu se nivo zasićenja q+,za koji vrijedi q (0) = q+, i nivo q1, za koju je E p ,q1 = −1 određuje u svakom konkretnom primjeru. Koeficijent elastičnosti individualne funkcije tražnje u užem i širem smislu se može odrediti i analizirati na isti način kao koeficijenti elastičnosti agregatne tražnje. U izraze za izračunavanje koeficijenata elastičnosti treba uvrstiti odgovarajuće simbole za individualnu tražnju, odrediti ih i analizirati na analogan način kao koeficijente agregatne tražnje. Primjer 1.11.

Date su funkcije agregatne tražnje u zavisnosti od cijene p : 1) q( p ) = 9 − 2 p

65

EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE

2) q( p) =

7 −1 p +1

3) q ( p ) = 100 − 4 p 2 2 4) q ( p ) = p − 8 p + 15 .

a) Za koje cijene p ove funkcije tražnje imaju ekonomskog smisla i predstaviti ih grafički. b) Odrediti algebarske izraze funkcije elastičnosti datih funkcija tražnje uz grafički i tabelarni prikaz. Rješenje: a) Definiciono područje funkcije tražnje q = q(p) je: p ≥ 0; q ( p) ≥ 0; q′( p) < 0

1)

q( p) = 9 − 2 p p≥0 ⎫ ⎪ q( p ) = 9 − 2 p ≥ 0 ⇒ p ≤ 4,5⎬ ⇒ p ∈ [ 0, 4.5] ⇒ ⎪ q′( p) = −2 < 0 ⎭

p+ = 4,5 (maksimalna cijena do koje postoji tražnja), q+ = q(0) = 9 (q+ nivo zasićenja). Funkcija q( p ) = 9 − 2 p je linearna ⇒ grafik je prava ⎧p = 0⇒ q = 9 q( p) = 9 − 2 p ⇒ ⎨ ⎩q = 0 ⇒ p = 4.5

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

q( p)

p

4,5

1

2

3

4

5

6

7

8

Grafikon 1.11.a. Funkcija tražnje q ( p ) = 9 − 2 p

66

FUNKCIJA TRAŽNJE

2) q ( p ) =

6− p ; p +1

⎫ ⎪ p≥0 ⎪ ⎪ 6− p q( p) = ≥ 0 ⇒ 6 − p ≥ 0 ⇒ p ≤ 6 ⎬ ⇒ p ∈ [ 0, 6] ⇒ ( p + = 6 ∧ q + = 6 ) ⇒ q ∈ [ 0, 6] ; p +1 ⎪ ⎪ −7 q′( p) = 0 < ⎪ ( p + 1) 2 ⎭ Funkcija q( p ) =

7 − 1 je hiperbolična funkcija. Njene asimptote su: p +1

p = −1 (Vertikalna asimptota jer je lim q ( p ) = +∞ ) p →−1

q( p) = −1 (Horizontalna asimptota jer je lim q ( p ) = −1 ) p →+∞

Ograničili smo je u oblasti definisanosti funkcije tražnje p∈(0, 6), q∈(0, 6) pa je njen grafik oblika:

7

q(p)

6 5 4 3 2 1 -1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

p

Grafikon 1.11.b. Funkcija tražnje q ( p ) =

3)

7 −1 p +1

q ( p ) = 100 − 4 p 2 67

EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE

⎫ ⎪ p≥0 ⎪ ⎪ 100 − 4 p 2 ≥ 0 ⇒ p 2 ≤ 25 ⇒ −5 ≤ p ≤ 5 ∧ p ≥ 0 ⎬ ⇒ p ∈ [ 0,5] ⇒ p + = 5, q + = 10 ⇒ q ∈ [ 0,10] ⎪ −8 p −4 p q′( p ) = = < 0 ( ∀p ) ⎪ ⎪⎭ 2 100 − 4 p 2 100 − 4 p 2

Funkcija q ( p ) = 100 − 4 p 2 je korjena funkcija koju smo ograničili u oblasti definisanosti tražnje za p ∈ [0,5] .

Grafikon 1.11.c. Funkcija tražnje q ( p ) = 100 − 4 p

2

4) q( p ) = p 2 − 8 p + 15

⎧ p ≥ 0; ⎪ 2 ⎨q ( p ) = p − 8 p + 15 ≥ 0 ⇒ ( p − 3)( p − 5) ≥ 0 ⇒ p ∈ ( −∞,3] ∪ [5, +∞ ) ; ⎪q′( p ) = 2 p − 8 < 0 ⇒ p < 4 ⎩ p ∈ [ 0, +∞ ) ∩ {( −∞,3] ∪ [5, +∞ )} ∩ ( −∞, 4 )

0

68

3

4

5

FUNKCIJA TRAŽNJE

p∈[0, 3], q∈[0, 15]; p+ =3, q+ =15. Funkcija q ( p ) = p 2 − 8 p + 15 je parabola sa minimumom koju smo ograničili u oblasti definisanosti funkcije tražnje za p∈[0, 3].

20

q (p )

15

10

5

p 0 -1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-5

Grafikon 1.11.d. Funkcija tražnje q ( p ) = p − 8 p + 15 2

b) Funkcija elastičnosti tražnje u odnosu na cijenu E q , p = 1) Eq , p =

p ⋅ q ′( p) < 0 q

p −2 p ⋅ (−2) = < 0 ; definisana za p ∈ [0, 4.5) 9−2p 9−2p

Eq , p = 0 za p = 0; p = 4,5 vertikalna asimptota ( Eq , p )′ =

−18 < 0 ⇒ opadajuća funkcija (9 − 2 p ) 2

Eq , p = −1 ⇒

−2 p = −1 ⇒ 2 p = 9 − 2 p ⇒ 4 p = 9 ⇒ p = 2, 25 9−2p

69

EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE

Eq , p

Tip elastičnosti

p=0

Eq , p = 0

Savršena neelastičnost

0 < p < 2,25

0 > Eq , p > -1

Neelastičnost

p = 2,25

Eq , p = -1

Jedinična elastičnost

2,25 < p < 4,5

Eq , p < -1

Elastičnost

p = 4,5

Eq , p = -∞

Savršena elastičnost

p

Eq,p 0

2,25

p

4,5

-1

Grafikon 1.11.a’. Funkcija elastičnosti tražnje q ( p ) = 9 − 2 p

p −7 −7 p ⋅ = < 0 definisana za p∈[0, 6) 2 6 − p ( p + 1) (6 − p)( p + 1) p +1 Eq , p = 0 za p = 0

2) Eq , p =

p = 6 vertikalna asimptota −14( p 2 + 3) ( Eq , p )′ = < 0 opadajuća funkcija 2 [ (6 − p)( p + 1)] Eq , p = −1 ⇒ p 2 + 2 p − 6 = 0 ⇒ p1,2 = −1 ± 7; p = −1 − 7 ∉ (0, 6); p = −1 + 7 ≈ 1, 65 Eq , p

Tip elastičnosti

p=0

Eq , p = 0

Savršena neelastičnost

0 < p < 1,65

0 > Eq , p > -1 Neelastičnost

p = 1,65

Eq , p = -1

Jedinična elastičnost

1,65 < p < 6

Eq , p < -1

Elastičnost

p=6

Eq , p = -∞

Savršena elastičnost

Eq, p 0

p

1,65

6

p

Grafikon 1.11.b’. Funkcija elastičnosti tražnje q ( p ) =

70

7 −1 p +1

FUNKCIJA TRAŽNJE

3)

Eq , p

−4 p 2 = ⋅ = < 0 definisana za p∈[0, 5) 2 100 − 4 p 2 100 − 4 p 2 100 − 4 p p

−4 p

Eq , p = 0 za p = 0 p = 5 vertikalna asimptota ( Eq , p )′ =

−800 p < 0 opadajuća funkcija (100 − 4 p 2 ) 2

Eq , p = −1 ⇒ 4 p 2 = 100 − 4 p 2 ⇒ 8 p 2 = 100 ⇒ p 2 = 12,5 ⇒ p = + 12,5 ≈ 3,53 Eq , p

Tip elastičnosti

p=0

Eq , p = 0

Savršena neelastičnost

0 < p < 3,53

0 > Eq , p > -1

Neelastičnost

p = 3,53

Eq , p = -1

Jedinična elastičnost

3,53 < p < 5

Eq , p Eq , p > -1 Neelastičnost

p = 1,2

Eq , p = -1

Jedinična elastičnost

1,2 < p < 3

Eq , p < -1

Elastičnost

p=3

Eq , p = -∞

Savršena elastičnost

p

Eq, p 0

1,2

3

p

-1

Grafikon 1.11.d’. Funkcija elastičnosti tražnje

q ( p ) = p 2 − 8 p + 15

Primjer 1.12.

Neka su date funkcije tražnje iz primjera 1.11. a) Naći funkcije inverznog zakona tražnje i grafički ih predstaviti. b) Odrediti fleksibilnosti cijena u odnosu na potraživanu količinu q = 5 u svim slučajevima i protumačiti rezultate. Rješenje: a) Inverzni zakon agregatne tražnje p = p (q) definisan za q ≥ 0 ∧ p ≥ 0 ∧ p′(q) < 0 .

Pri skiciranju grafika inverznih zakona tražnje, iskoristit ćemo već nacrtane grafike u prethodnom primjeru i činjenicu da su grafici inverznih funkcija simetrični u odnosu na simetrali I i III kvadranta, tj. u odnosu na pravu q = p. 1. q( p ) = 9 − 2 p ⇒ 2 p = 9 − q ⇒ p = p (q ) =

9−q 2

Inverzna tražnja je definisana za q ∈ [ 0,9] ; p ∈ [ 0, 4.5] ∧ p′(q) = 72

−1 < 0. 2

FUNKCIJA TRAŽNJE

p 4,5

0

9

q

Grafikon 1.12.a Funkcija inverznog zakona tražnje

p(q) =

9−q 2

6− p 6−q ⇒ q( p + 1) = 6 − p ⇒ qp + p = 6 − q ⇒ p(q) = p +1 q +1 Inverzna tražnja je definisana za p∈[0,6]; q∈[0, 6].

2) q( p ) =

U ovom primjeru su funkcije direktnog i inverznog zakona agregatne tražnje jedna te ista funkcija, pa su njihovi grafici isti. 3) q( p ) = 100 − 4 p 2 ⇒ q 2 = 100 − 4 p 2 ⇒ 4 p 2 = 100 − q 2 ⇒ p = ±

1 100 − q 2 . 2

Kako moraju biti zadovoljeni uslovi q ≥ 0 ∧ p ≥ 0 ∧ p′(q) < 0 , to za funkciju tražnje 1 100 − q 2 definisanu za q∈[0, 10] ∧ p∈[0,5]. uzimamo funkciju p = 2

p 6 5 4 3 2 1 0

2

4

6

8

10

q

Grafikon 1.12.c. Funkcija inverznog zakona tražnje

p(q) =

1 100 − q 2 2 73

EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE

4) q( p) = p2 − 8 p + 15 ⇒ p2 − 8 p + 15 − q = 0 ⇒ p1,2 =

8 ± 64 − 4(15 − p) ⇒ p1,2 = 4 ± 1 + q 2

Zbog uslova p′(q) < 0 funkcija p = 4 + 1 + q ne može biti funkcija tražnje jer vrijedi: p′(q ) =

1 >0. 2 1+ q

Odavde zaključujemo da je funkcija p (q ) = 4 − 1 + q funkcija inverznog zakona tražnje i ona je definisana za p∈[0, 3], q∈[0, 15].

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -5

0

5

10

15

20

Grafikon 1.12.d. Funkcija inverznog zakona tražnje p (q ) = 4 − 1 + q

b) Funkcija fleksibilnosti cijene u odnosu na tražnju E p ,q =

q 1 ⋅ p′(q ) = 0 ∧ x ≥ 0 ∧ x′ ≤ 0 . Odavde su definiciona područja individualnih tražnji data na grafikonu 1.13. i algebarski određena sa: x1 = 4 − 0,5 p ≥ 0 ⇒ p ≤ 8 ⇒ p ∈ [ 0,8] ; x1 ∈ [ 0, 4] ∧ x1′ = −0,5 < 0 .

75

EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE

x2 = 5 − p ≥ 0 ⇒ p ≤ 5 ⇒ p ∈ [ 0,5] ; x2 ∈ [ 0,5] ∧ x2′ = −1 < 0 . x3 = 6 − 1,5 p ≥ 0 ⇒ p ≤ 4 ⇒ p ∈ [ 0, 4] ; x3 ∈ [ 0, 6] ∧ x3′ = −1,5 < 0 .

x2

x1

x3 6

5 4

p 0

1

2

3

4

5

6

7

8

p 0

1

2

3

4

5

6

7

p

8

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Grafikon 1.13. Funkcije individualnih tražnji

b) Agregatna tražnja je zbir svih individualnih tražnji u oblasti njihove definisanosti.

x1+ x2 + x3 x1+ x2 0

4

x1

5

⎧ x1 + x2 + x3 za p ∈ (0, 4) ⎧ 15 − 3 p ⎪ ⎪ q( p ) = ⎨ x1 + x2 za p ∈ [ 4,5 ) = ⎨9 − 1,5 p ⎪ x ⎪4 − 0,5 p za p ∈ [5,8 ) ⎩ 1 ⎩

8

za za za

p

p ∈ [ 0, 4 ) p ∈ [ 4,5 ) . p ∈ [5,8]

p+ = 8 (granična cijena); q+ = 15 (nivo zasićenja) Kako je agregatna tražnja q(p) sastavljena od tri linearne funkcije definisane u različitim intervalima, to ćemo za izradu grafičkog prikaza agregata ove tri linearne funkcije koristiti rubne tačke intervala njihove definisanosti. Za p∈[0, 4), prava koja prolazi kroz tačke (0, 15), (4,3). Za p∈[4, 5), prava koja prolazi kroz tačke(4, 3), (5, 1.5). Za p∈[5, 8], prava koja prolazi kroz tačke (5, 1.5), (8, 0).

76

FUNKCIJA TRAŽNJE

q(p) 15

3 1,5 0

4

5

p

Grafikon 1.13.a. Funkcija agragatne tražnje

c) Jedinična elastičnost agregatne tražnje Eq , p = −1 . Računamo je za svaki izraz fun-

kcije tražnje u oblasti njene definisanosti. Za p ∈[0, 4), q(p) = 15 –3p, pa je Eq , p = −1 ⇒

p ⋅ (−3) = −1 ⇒ 3 p = 15 − 3 p ⇒ 6 p = 15 ⇒ p = 2,5 ∈ [ 0, 4 ) . 15 − 3 p

Za p ∈[4, 5), q(p) = 9 – 1,5p, pa je Eq , p = −1 ⇒

p ⋅ (−1,5) = −1 ⇒ 1,5 p = 9 − 1,5 p ⇒ 3 p = 9 ⇒ p = 3 ∉ [ 4,5 ) . 9 − 1,5 p

Za p∈[5, 8), q(p) = 4- 0,5p, pa je Eq , p = −1 ⇒

p ⋅ (−0,5) = −1 ⇒ 0,5 p = 4 − 0,5 p ⇒ p = 4 ∉ [5,8] . 4 − 0,5 p

Ako cijenu sa nivoa p = 2,5 povećamo 1%, tražnja će se sa nivoa q(2,5) = 7,5 također smanjiti za 1%. 6 d) Za p = 6∈[5, 8], q(p) = 4 – 0,5p = 1, pa je Eq , p =6 = ⋅ (−0,5) = −3 . 1 Ako se cijena sa nivoa p = 6 poveća za 1%, tražnja će se sa nivoa q = 1 smanjiti za 3%.

77

EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE

Primjer 1.14.

Prodate količine frižidera «Super» (q) i cijene po jedinici proizvoda (p) date su u tabeli: Q (kom.)

36

32

30

28

24

17

13

12

10

P (KM/kom.)

400

600

700

800

1000

1300

1500

1800

2000

a) Metodom najmanjih kvadrata odrediti linearnu funkciju tražnje koja najbolje aproksimira dati skup podataka, b) Predvidjeti kolika bi bila potraživana količina frižidera za cijenu p = 2200, c) Odrediti koliki bi bio koeficijent elastičnosti tražnje za cijenu p = 700 i objasniti dobijeni rezultat, d) Odrediti fleksibilnost cijene za nivo q = 15 kom. Rješenje: a) Traži se linearna funkcija q ( p ) = ap + b , odnosno treba ocijeniti metodom najmanjih kvadrata koeficijente a i b koji omogućavaju da odstupanje ocijenjenih vrijednosti tražnje [ q(p) = ap + b ] od vrijednosti datih u tabeli budu minimalna.

Kompletira se radna tabela: pi 400 600 700 800 1000 1300 1500 1800 2000 ∑ 10100

qi 36 32 30 28 24 17 13 12 10 ∑ 202

pi qi 14400 19200 21000 22400 24000 22100 19500 21600 20000 ∑ 184200

pi2 160000 360000 490000 640000 1000000 1690000 2250000 3240000 4000000 ∑ 13830000

Formira se sistem normalnih jednačina:

∑ q = a∑ p + b ⋅ n ∑ q p = a ∑ p + b∑ p i

i

2

i

i

i

(i = 1,2…9 = n).

i

Uvrštavajući odgovarajuće vrijednosti iz gornje tabele u sistem normalnih jednačina dobija se: ⎧202 = 10100a + 9b ⎨ ⎩184200 = 13830000a + 10100b 78

FUNKCIJA TRAŽNJE

Rješavajući gornji sistem jednačina dobijaju se vrijednosti koeficijenata a i b: a = −0, 017; b = 41,551 . Funkcija tražnje je: q( p) = −0, 017 p + 41,551 . Procijenjena funkcija tražnje se definiše na sljedeći način: p > 0 ∧ q( p) = −0, 017 p + 41,551 > 0 ⇒ p < 2444, 2 ∧ q′( p) = −0, 017 < 0 p∈(0, 2444); q∈(0, 41,551). U Microsoft Excelu se dobija ista linearna funkcija koja najbolje aproksimira dati skup podataka. Postupak određivanja funkcije koja najbolje aproksimira dati skup podataka upotrebom Excela je objašnjen ranije i u ovom slučaju ćemo ga primijeniti. 40

y = -0.017x + 41.551 R2 = 0.9668

35 30 25 20 15 10 5 0 0

500

1000

1500

2000

2500

Grafikon 1.14. Funkcija tražnje

b) Za cijenu p = 2200, potraživana količina bi bila q = -0,017⋅ 2200 + 41,551= 4,151≈ 4 kom. c) Eq , p =700 =

700 700 ⋅ (−0, 017) = ⋅ (−0, 017) = −0, 4 . 29, 65 q(700)

Ako se cijena sa nivoa p = 700 nj poveća za 1%, tražnja će se smanjiti za približno 0,4%. p Δq 700 −2 Ili Eq , p = ⋅ = ⋅ ≈ −0, 46 . q Δp 30 100 d) Za q = 15 kom., p ≈ 1562, 1562 1 Eq , p =1562 = ⋅ (−0, 017) ≈ −1, 77 ⇒ E p ,q =15 = − ≈ −0,56 . 15 1, 77 Ako se tražnja sa nivoa q = 15 kom. poveća za 1%, cijena će se smanjiti za približno 0,56%. 79

1.6. Funkcija prihoda Prihod proizvođača odražava realizaciju nekog dobra na tržištu zavisno od prodajne cijene i količine. Ako se količina tražnje za nekim dobrom koja se realizuje na tržištu pomnoži sa cijenom tog dobra dobije se ukupan prihod proizvođača. Funkcija ukupnog prihoda se definiše kao proizvod između cijene nekog dobra i tražnje za tim dobrom koja je realizovana na tržištu. Funkciju prihoda ćemo analizirati za slučajeve konstantne i varijabilne tržišne cijene.

1.6.1. Funkcija prihoda za konstantnu (determinisanu) cijenu

Ako je cijena p nekog dobra na tržištu konstantna, ukupan prihod će biti funkcija prodate količine, tj. funkcija tražnje. P = p⋅ y (1.60) p = const. ⇒ P = P( y ) Kod determinisane tržišne cijene p=const.>0, prodata količina ne može biti veća od odgovarajuće agregatne tražnje q niti od ponuđene količine y na tržištu. Zbog toga između tražnje q na tržištu i ponuđene količine y mogu nastupiti sljedeći odnosi: 0 ≤ y < q, 0 ≤ y = q, y > q ≥ 0 U zavisnosti od odnosa y i q ukupan prihod kod konstantne, odnosno determinisane cijene može se napisati na sljedeći način: ⎧p⋅ y 0 ≤ y ≤ q (1.61) P=⎨ ⎩p⋅q y > q ≥ 0 Funkcija ukupnog prihoda P za konstantnu cijenu je predstavljena na sljedećem grafikonu:

P

p

0

q

y

Grafikon 13. Funkcija ukupnog prihoda kod konstantne cijene

80

FUNKCIJA PRIHODA

Za ponuđenu količinu y koja je manja od maksimalne tražnje na tržištu pri konstantnoj cijeni p, prihod je jednak proizvodu između te cijene p i količine y. Za ponuđenu količinu y, koja je veća od tržišne tražnje q, ukupan prihod je jednak proizvodu između konstantne cijene i tražnje na tržištu koja je realizovana, dakle P = p ⋅ q . Pošto je cijena p konstantna sa rastom realizovane količine y raste i ukupan prihod P, pa slijedi da je ukupan prihod maksimalan kada realizovana količina y dostigne maksimalnu količinu tražnje: (max) P = p ⋅ (max y ) = p ⋅ q. Granični prihod kod determinisane cijene se može napisati sljedećim izrazima, u zavisnosti od odnosa y koji predstavlja količinu koja se nudi na tržištu i maksimalne tražnje q koja se može realizovati na tržištu pri cijeni p.

⎧ p = const > 0 za 0 ≤ y ≤ q , P" ( y ) = 0 P' ( y) = ⎨ 0 za y > q ≥ 0 ⎩

(1.62)

Na sljedećem grafikonu je predstavljena funkcija graničnog prihoda.

P' p 0

q

y

Grafikon 14. Funkcija graničnog prihoda

Grafički prikaz funkcije graničnog prihoda pokazuje, kao i izvedeni izrazi za granični prihod, da je granični prihod jednak konstantoj cijeni p do iznosa količine tražnje realizovane na tržištu. Za ponuđene količine koje su veće od tražnje na tržištu prihod je jednak nuli. Ako je tražnja na tržištu dovoljno velika da se može realizovati sva ponuđena količina, tj. y ≤ q , tada je funkcija graničnog prihoda jednaka cijeni koja je konstantna. Pq' =

dP = p = const > 0 dq

(1.63)

81

EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE

Prosječni prihod kod determinisane cijene

Funkcija prosječnog prihoda kod detereminisane cijene se može napisati u sljedećem obliku: ⎧ p⋅ y za 0≤ y ≤ q ⎪ y = p>0 ⎪ P=⎨ ⎪ p⋅q za y > q ≥ 0 ⎪⎩ y

(1.64)

i predstaviti na grafikonu.

Ρ p

0

q

y

Grafikon 15. Funkcija prihoda kod detereminisane cijene

Ako je tražnja na tržištu dovoljno velika da se može realizovati sva ponuđena količina, tj. y ≤ q , tada je funkcija prosječnog prihoda također jednaka konstantnoj cijeni.

P=

P p⋅q = = p = const > 0 q q

(1.65)

1.6.2. Elastičnost prihoda kod konstantne cijene

Za funkciju prihoda kod konstantne cijene

⎧p⋅ y 0 ≤ y ≤ q P( y) = ⎨ ⎩p⋅q y > q ≥ 0 elastičnost prihoda je definisana sljedećim izrazom

EP , y = 82

y ⋅P' P

(1.66)

FUNKCIJA PRIHODA

i može imati dvije sljedeće vrijednosti:

Ε P , y = 1% = const

za 0 ≤ y ≤ q

Ε P , y = 0% = const za y > q ≥ 0

Zaista, EP , y

⎧ y ⎪ p⋅ y ⋅ p =1 y ⎪ = ⋅P' = ⎨ P ⎪ y ⋅ ( p ⋅ q )′ = 0 ⎩⎪ p ⋅ q

0≤ y≤q y > q ≥0.

Elastičnost prihoda u odnosu na količinu y će biti jedinična ili indiferentna ukoliko se y nalazi u intervalu 0 ≤ y ≤ q . Ako se ponuđena (u ovom slučaju i realizovana) količina poveća za 1% i ukupan prihod će se povećati za 1%. Ako se ponuđena količina y > q (koja u ovom slučaju nije realizovana, jer je realizovano samo q) poveća za 1% i ukupan prihod se neće promijeniti (EP,y = 1%). Elastičnost prihoda će biti savršeno neelastična za vrijednosti y iz intervala y > q ≥ 0 .

ΕΡ

,y

1

0

q

y

Grafikon 16. Elastičnost prihoda kod determinisane cijene

1.6.3. Agregatni prihod

Kada je cijena na tržištu varijabilna, odgovarajuća funkcija prihoda nema konstantan pravac pa samim tim ova funkcija nema isti grafik kao funkcija prihoda sa konstantnom tržišnom cijenom.. Odredimo oblik funkcije prihoda kod se cijena mijenja po nekom zakonu tražnje: Neka je q = q ( p) funkcija tražnje za predmetnim dobrom na određenom tržištu. Pretpostavimo da za različite cijene p1 , p2 , p3 ,..., pn vrijedi sljedeći odnos: 0 < p1 < p2 < p3 < ... < pn < p + .

83

EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE

Neka su q1 , q2 , q3 ,..., qn maksimalne tražnje kod posmatranih cijena, respektivno. Zbog zakona normalnosti tražnje vrijedi odnos q1 > q2 > q3 > ... > qn . q(p) q1 q2 q3 . . . qn

0

p1

p2

p3

. . .

pn

p+

Grafikon 17. Funkcija tražnje za odgovarajuće cijene

Svakoj mogućoj varijanti tržišne cijene pi ∈ ( 0, p + ⎤⎦ možemo pridružiti odgovarajuću fun-

kciju prihoda Pi = pi ⋅ y za y ∈ [ 0, qi ] i = 1, 2,3,..., n .

Funkcije prihoda Pi = pi ⋅ y ; i = 1, 2,3,..., n grafički predstavljaju duži. Krajnje tačke duži su tačke ( 0, 0 ) i ( pi , pi qi ) ; i = 1, 2, 3,… , n , odnosno tačke koje odgovaraju cijeni 0 i cijeni pi.

Kada se spoje tačke u kojima se ostvaruju maksimalni prihodi, tj. tačke ( pi , pi qi ) ; i = 1, 2, 3,… , n kod svih posmatranih cijena pi, dobije se tipičan oblik funkcije ukupnog prihoda u slučaju varijabilne cijene . q(p) p3 q3 p2 q2

p1 q1 pn qn

0

p1

p2

p3

. . . pn

p+

Grafikon 18. Funkcija ukupnog prihoda kod varijabilne cijene

84

FUNKCIJA PRIHODA

Varijabilna tržišna cijena prati zakon agregatne tražnje izražen kao direktni q = q ( p ) ili kao inverzni zakon p = p (q ) pa se funkcija ukupnog prihoda kod varijabilne cijene može izraziti kao funkcija cijene p ili kao funkcija količine q. Napomenimo da je funkcija agregatnog prihoda definisana samo za one vrijednosti nezavisno promjenjljive (p ili q) za koje je definisana tražnja. Polazeći od direktnog zakona agregatne tražnje q=f(p), odnosno q = q(p) dobijamo funkciju prihoda kao funkciju cijene: P = p ⋅ q = p ⋅ f ( p ) = p ⋅ q( p) = Pp = P( p)

za

0 ≤ p ≤ p+

(1.67)

ili kao funkciju količine polazeći od inverznog zakona tražnje p = p(q): P = p ⋅ q = φ (q) ⋅ q = p(q) ⋅ q = Pq = P(q)

za

0 ≤ q ≤ q + (1.68)

Funkcija ukupnog prihoda jednaka je nuli uz sljedeće uslove12:

⎧⎪ p = 0 ili q = q( p) = 0 odosno p = p + P = p ⋅ q = 0 za ⎨ + ⎪⎩q = 0 ili p = p(q) = 0 odosno q = q Maksimalni agregatni prihod se ostvaruje za tražnju qmax = qP ako su zadovoljeni sljedeći uslovi: P + = max P(qP ) p

P = P ( qP ) = 0 '

'

za 0 ≤ qP ≤ q + i

p+ ≥ p P ≥ 0

P "(qP ) < 0

Analogno, maksimalni agregatni prihod se ostvaruje za cijenu pmax = pP ako su zadovoljeni sljedeći uslovi: P + = max P( pP ) p

P ' = P ' ( pP ) = 0

za 0 ≤ pP ≤ p + i

q + ≥ q( p) ≥ 0

P "(qP ) < 0

Granični prihod P' kod varijabilne cijene

Funkcija graničnog prihoda se izvodi iz funkcije ukupnog prihoda. Funkcija graničnog prihoda je jednaka prvom izvodu funkcije ukupnog prihoda.

12

Iskorištena je pretpostavka da kod funkcije tražnje q=q(p), vrijedi q(p+)=0 i p(q+)=0.

85

EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE

ƒ Granični prihod kao funkcija cijene

Granični prihod kao funkcija cijene Pp' se izražava u novčanoj jedinici prihoda po novčnoj jedinici cijene i pokazuje za koliko novčanih jedinica će se promijeniti ukupan prihod ako se cijena na tržištu poveća za jednu novčanu jedinicu. Znak graničnog prihoda definiše rast ili pad funkcije ukupnog prihoda. Kada je granični prihod veći od nule, ukupan prihod raste, odnosno prihod raste za cijenu 0 < p < pP . Ukupan prihod dostiže maksimum kada je granični prihod jednak nuli, odnosno za cijenu p = pP . Kada je granični prihod manji od nule, ukupan prihod opada, i to za cijenu pP < p ≤ p + .

⎧> 0 za 0 < p < pP ⎪ P ⎨= 0 za p = pP ⎪ + ⎩< 0 za pP < p ' P

Pošto je ukupni prihod izražen kao funkcija cijene relacijom (1.67), granični prihod kao funkcija cijene se može napisati u obliku sljedećeg izraza: Pp' =

dP ′ = [ p ⋅ f ( p ) ] = f ( p ) + p ⋅ f ′( p) = q + pq′ dp

(1.69)

0 ≤ q ≤ q+ i 0 ≤ p ≤ p+ ƒ Granični prihod kao funkcija količine

Kada se ukupan prihod izrazi kao funkcija količine relacijom (1.68) granični prihod se također može izraziti kao funkcija tražnje, odnosno količine q dP ′ = [ q ⋅ φ (q) ] = φ (q) + qφ ′(q) = p + qp′ dq 0 ≤ q ≤ q+ i 0 ≤ p ≤ p+ P 'q =

(1.70)

Granični prihod pokazuje promjenu ukupnog prihoda izazvanu jediničnom promjenom tražnje, odnosno količine realizovane na tržištu. Dakle, granični prihod pokazuje promjenu ukupnog prihoda koja je rezultat porasta tražnje za jednu količinsku jedinicu. Jedinica mjere je novčana jedinica po količinskoj jedinici. Granični prihod i u ovom slučaju može da raste, stagnira ili opada u zavisnosti od tražnje q, što se predstavlja sljedećim izrazom:

⎧> 0 za 0 ≤ q < qP ⎪ P q ⎨= 0 za q = qP ⎪ + ⎩< 0 za qP < q < q '

86

FUNKCIJA PRIHODA

Značenja i objašnjenja graničnog prihoda se mogu rezimirati na sljedeći način: Ukoliko se prihod posmatra kao funkcija cijene, granični prihod će također biti izražen kao funkcija cijene i pokazivaće promjenu ukupnog prihoda izazvanu jediničnom promjenom cijene. Značenje: ukoliko se cijena datog proizvoda poveća za jednu novčanu jedinicu po količinskoj jedinici, ukupan prihod će se promijeniti za onoliko novčanih jedinica koliko nj iznosi granični prihod. Jedinica mjere graničnog prihoda u ovom slučaju je . nj kj Ukoliko se ukupni i granični prihod izraze kao funkcija tražnje, odnosno tražene količine, tada granični prihod pokazuje promjenu ukupnog prihoda koja je rezultat jedinične promjene tražnje. Značenje: ukoliko se tražnja promijeni za jednu količinsku jedinicu, granični prihod pokazuje za koliko će se novčanih jedinica promijeniti ukupan prihod. Jedinica mjere graničnog prihoda u ovom slučaju (nj/kj). Kada je poznata funkcija graničnog prihoda ukupna prihod se utvrđuje kao integral te funkcije, u zavisnosti od toga da li se prihod analizira kao funkcija cijene ili količine: p

P = ∫ P′( p) ⋅ dp ili 0

q

∫ P′(q) ⋅ dq

(1.71)

0

Prosječan prihod kod varijabilne cijene

Prosječan prihod se može izraziti kao funkcija količine dijeleći ukupan prihod sa cijenom, ili kao funkcija cijene dijeleći ukupan prihod sa količinom, što je predstavljeno u izrazima (1.72) i (1.73). Pri datom nivou cijena, u prosjeku na svaku jediničnu cijenu dolazi P p prihoda. Prosječan prihod, izražen kao funkcija cijene, je pokazatelj osvarenog prihoda po jediničnoj cijeni datog proizvoda. U izrazu (1.72) vidimo da prosječan prihod predstavlja funkciju tražnje. Pp =

P( p) = q ( p) = q p

(1.72)

Pri datom nivou tražnje, u prosjeku na svaku količinsku jedinicu tražnje dolazi P q prihoda. Prosječan prihod u ovom slučaju je pokazatelj ostvarenog prihoda po jedinici realizovanog proizvoda. U izrazu (1.73) vidimo da prosječan prihod predstavlja funkciju inverzne tražnje Pq =

P(q) = p (q) = p q

(1.73)

87

EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE

Na sljedećim grafikonima su predstavljeni ukupni, granični i prosječni prihod kao funkcija količine i kao funkcija cijene. Na ova dva grafikona mogu se posmatrati i analizirati odnosi koji postoje između ove tri fukcije primjenjujući rezultate analize koji su prezentovani u opštem slučaju u dijelu 1.2., a odnose se na veze i odnose između ukupne, granične i prosječne veličine.

Pmax

0

Pmax

qmax

q+

q+

0

pmax

p+

p+

0

q+ qmax

0

p+ pmax

Grafikon 19. Ukupni, granični i prosječni prihod kao funkcija količine q i kao funkcija cijene p

Ukupan prihod dostiže maksimum u tački u kojoj je granični prihod jednak nuli. Ukupan prihod raste u intervalu u kojem je granični prihod pozitivan, a opada u intervalu u kojem je granični prihod negativan. Analizirane funkcije prihoda su definisane u oblasti definisanosti tražnje.

1.6.4. Veza između graničnog prihoda i elastičnosti tražnje

Proširivanjem izraza (1.69) i njegovim sređivanjem dobije se veza između graničnog prihoda i elastičnosti tražnje:

88

FUNKCIJA PRIHODA

P ' p = ( q + pq′) ⋅

q q 2 pq′q p = + = q (1 + ⋅ q′) = q (1 + Eq , p ) q q q q

(1.74)

Veza između graničnog prihoda kao funkcije cijene i elastičnosti tražnje se može predstaviti u sljedećem obliku: ⎧> 0 za ⎪ ⎪ Pp' ⎨= 0 za ⎪ ⎪⎩< 0 za

(E (E (E

q, p

+ 1) > 0 ⇔ 0 > Eq , p > −1 za 0 < p < pP , q + > q > qP

q, p

+ 1) = 0 ⇔

q, p

+ 1) < 0 ⇔ − 1 > Eq , p > −∞

Eq , p = −1 za

p = pP , q = qP za

pP < p q > 0

Odavde vidimo da ukupan prihod raste ako je tražnja neelastična u odnosu na cijenu. Ukupan prihod je maksimalan ako je elastičnost tražnje jedinična i ako je tražnja elastična na promjenu cijene, ukupan prihod opada. Proširivanjem izraza (1.70) i sređivanjem dobija se veza izeđu graničnog prihoda kao funkcije količine i elastičnosti (fleksibilnosti) cijene u odnosu na tražnju: Pq' = ( p + qp′) ⋅

p p 2 qp′p q = + = p(1 + ⋅ p′) = p(1 + E p ,q ) p p p p

(1.75)

Veza između graničnog prihoda kao funkcije tražnje, odnosno količine i elastičnosti cijene se može predstaviti u sljedećem obliku: ⎧> 0 za ⎪ ⎪ P 'q ⎨= 0 za ⎪ ⎪⎩< 0 za

(E (E (E

p ,q

+ 1) > 0 ⇒ 0 > E p , q > −1 za 0 ≤ q < qP ,

p ,q

+ 1) = 0 ⇒ E p , q = −1 za q = qP ,

p ,q

+ 1) < 0 ⇒ − 1 > E p ,q > −∞

p + > p > pP

p = pP

za qP < q < q + ,

pP > p > 0

Analogno ranijem, zaključujemo da prihod opada ako je inverzna tražnja elastična a raste ako je inverzna tražnja neelastična.

1.6.5. Elastičnost prihoda

Elastičnost prihoda se može analizirati u odnosu na količinu i u odnosu na cijenu. Koeficijent elastičnosti prihoda u odnosu na količinu pokazuje za koliko postotaka će se promijeniti ukupan prihod ako se tražnja poveća za 1% i po definiciji je jednak: EP , q =

' q ' Pq ⋅ Pq = P Pq

(1.76)

89

EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE

Ako se u gornjoj relaciji Pq' zamijeni izrazom (1.75), dobija se veza između elastičnosti ukupnog prihoda i elastičnosti (fleksibilnosti) cijene: EP , q =

q ' q ⋅ Pq = ⋅ p(1 + E p ,q ) = 1 + E p ,q P p⋅q

(1.77)

Elastičnost prihoda u odnosu na tražnju je jednaka elastičnosti cijene u odnosu na tražnju uvećanu za 1. Koeficijent elastičnosti prihoda u odnosu na cijenu se definiše kao % promjene ukupnog prihoda koji je rezultat 1% porasta cijene: EP , p

' p ' Pp = ⋅ Pp = P Pp

(1.78)

Ako se u relaciji (1.78) Pp' zamijeni sa izrazom (1.74), dobija se veza između elastičnosti prihoda kao funkcije cijene i elastičnosti tražnje: EP , p =

p ' p ⋅ Pp = ⋅ q(1 + Eq , p ) = 1 + Eq , p P p⋅q

(1.79)

Elastičnost prihoda u odnosu na cijenu jednaka je elastičnosti tražnje u odnosu na cijenu uvećanu za 1. Elastičnost prihoda i veza između elastičnosti prihoda u odnosu na cijenu i elastičnosti tražnje u odnosu na cijenu su predstavljeni u tabeli koja slijedi. Tabela 5. Elastičnost prihoda i elastičnost tražnje

p

EP , p

p=0

EP , p =1 (jedinična elastičnost)

0 < p < pP

0< EP , p q ≥ 0 elastičnost jednaka 0.

c)

Primjer 1.16.

Poznata je funkcija agregatne tražnje oblika q = 12 − p . a) Odrediti algebarski i grafički funkciju agregatnog prihoda, te odrediti za koju cijenu i količinu se ostvaruje maksimalan prihod i koliko iznosi. b) Odrediti granični i prosječni prihod i dati njihov grafički prikaz c) Odrediti funkciju elastičnosti prihoda i tražnje u odnosu na cijenu dobra uz grafički i tabelarni prikaz, a zatim protumačiti elastičnost prihoda i tražnje za cijenu p = 8.

93

EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE

Rješenje: a) S obzirom da funkcija ukupnog (agregatnog) prihoda odražava realizovanu prodaju nekog dobra ovisno o prodanoj količini i cijeni, smatrajući funkciju potražnje kao relaciju koja odražava prodaju, funkciju ukupnog prihoda ćemo dobiti kada funkciju tražnje q = f ( p ) pomnožimo cijenom dobra tj. P = p ⋅ q( p) .

Funkcija ukupnog prihoda je definisana u oblasti definisanosti funkcije tražnje, odnosno za ( p > 0, q ≥ 0, q′ ≤ 0 ) . U našem slučaju: q′ = −1 < 0 ∧ q =12 – p > 0 ⇒ p < 12 ⇒ p∈(0,12) . Analizom funkcije ukupnog prihoda P = p ⋅ q ( p ) = p ⋅ (12 − p ) = 12 p − p 2 imamo: Oblast definisanosti: P = p ⋅ q ( p ) = p ⋅ (12 − p ) = 12 p − p 2 definisan je za p∈(0,12). Nule: Prihod P = 0 ⇒ p ⋅ q ( p ) = p ⋅ (12 − p ) = 0 ⇒ p = 0 ∨ q ( p ) = 0 , prihod je jednak nuli ako je p = 0 i p = p+ = 12. Maksimum: Da bi odredili maksimalan prihod, potražimo stacionarnu tačku, odnosno granični prihod izjednačimo sa 0 i imaćemo P ' = 0 ⇒ 12 − 2 p = 0 ⇒ p = 6 . (Kako je P" < 0 ⇒ za p = 6 prihod ima maksimum). Dakle, za cijenu p = 6, tražena količina je q =12 – 6 = 6 i maksimalan prihod je P+ = P(6) = 6⋅6 =36 n.j. b) Ukupan prihod P = 12 p − p 2 ; granični prihod P ' = 12 − 2 p ; prosječan prihod P P = = 12 − p = q . p

Na narednim grafikonima su dati prikazi funkcija ukupnog prihoda, te funkcije graničnog i prosječnog prihoda. Grafici su prikazani jedan ispod drugog zbog uočavanja karakterističnih veza između ukupne vrijednosti neke funkcije i njenih prosječnih i graničnih veličina.

94

FUNKCIJA PRIHODA

P(p) 36

P(p)

6

0

12

p

P', P

12

P′ 0

P 6

12

p

Grafikon 1.16.a. i b. Funkcija agregatnog prihoda P (p) i funkcije graničnog i prosječnog prihoda

Dakle, funkcija graničnog prihoda je linearna i prolazi kroz tačke (0,12) i (6,0). Za cijenu 0< p 0 ⇒ C '(q) = V ′(q) ≥ 0 za q ≥ 0

Kompletna analiza i prezentacija koja je izvršena za funkciju individualnih troškova može se izvršiti i za funkciju agregatnih troškova na analogan način. Zbog toga se neće ponavljati i posebno prezentovati.

Primjer 1.20.

Neka je C(y) = 25 + 2y + y2 funkcija ukupnog troška jednog proizvođača gdje je y ≥ 0 nivo proizvodnje. a) Odrediti i u istom koordinatnom sistemu grafički prikazati funkcije ukupnog, fiksnog i varijabilnog troška.

109

EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE

b) Odrediti i u istom koordinatnom sistemu prikazati funkcije graničnog i prosječnog ukupnog i varijabilnog troška. c) Da li se veća ekonomičnost proizvodnje ostvaruje za nivoe y = 2 ili y = 4? Za te nivoe odrediti granični trošak i protumačiti dobijene vrijednosti. d) Tabelarno i grafički prikazati elastičnost ukupnih troškova. Rješenje: a) Da bi jedna funkcija bila funkcija ukupnog troška, mora zadovoljiti sljedeće uslove: y ≥ 0; C ( y ) ≥ 0; C ′( y ) ≥ 0 .

Potrebno je provjeriti da li data funkcija ispunjava navedene uslove. Provjerava se da li je funkcija nenegativna: C(y) > 0 ⇒ 25 + 2y + y2 > 0 za ∀y (jer je koeficijent ispred kvadratnog člana pozitivan, a diskriminanta negativna D = 4 – 100 = - 96 < 0), Provjerava se C´ (y) = 2 + 2y > 0 za y ≥ 0. Na osnovu provjerenih uslova zaključuje se da data funkcija može predstavljati funkciju troška za svako y ≥ 0. Potrebo je odrediti fiksni i varijabilni trošak. Fiksni trošak je trošak koji postoji i kada je obim proizvodnje jednak nuli, odnosno F = C(0) = 25 je funkcija fiksnih troškova. Varijabilni trošak predstavlja razliku ukupnog troška i fiksnog troška, pa funkcija varijabilnog troška ima sljedeći oblik V(y) = C(y) – F = 2y + y2. Funkcije ukupnih i varijabilnih troškova su kvadratne funkcije sa minimumom (U oblik). Ove funkcije su na osnovu definicionog područja u prvom kvadrantu uvijek rastuće dok je funkcija fiksnih troškova konstantna (prava paralelna sa horizontalnom osom). Grafički prikaz ovih funkcija je dat na grafikonu 1.20. (Na osnovu definicionog područja nas interesuje samo prvi kvadrant.) Funkcija varijabilnog troška V (y) grafički predstavlja parabolu sa polaznom tačkom u I kvadrantu (0, 0), ograničenu u oblasti definisanosti troška. Minimum ove funkcije je y = -1 a ovo ne pripada oblasti definisanosti funkcije troška. Funkcija ukupnog troška je također grafički parabola sa polaznom tačkom (0, 25); tj. translirani grafik funkcije varijabilnog troška za fiksne troškove F = 25.

110

FUNKCIJA TROŠKOVA

50 45

C, V, F V(y )

40 35 30

F(y ) = 25

25 20 15 10 5

y

0 -5 0

1

2

3

4

5

6

7

Grafik 1.20. Funkcije ukupnih,varijabilnih i fiksnih troškova

b) Potrebno je odrediti granični i prosječni trošak:

C´(y) = V´(y) = 2 + 2y (granični ukupni i granični varijabilni su uvijek jednaki) C ( y) =

25 + 2 y + y 2 25 25 = +2+ y = + V ( y ) ; V ( y ) = 2 + y. y y y

Prosječni varijabilni i prosječni ukupni troškovi se asimptotski približavaju kada obim proizvodnje teži beskonačno. Određuje se najekonomičniji nivo proizvodnje ye – nivo za koji se prosječni troškovi minimiziraju, tj. C ′( y ) = 0 ⇒ y = ye . C ′( y ) =

(2 + 2 y ) y − 25 − 2 y − y 2 y 2 − 25 = = 0 ⇒ y 2 − 25 = 0 ⇒ ye = 5. 2 2 y y

C ( ye ) = C ′( ye ) = 12 . (Iz odnosa prosječne i granične funkcije).

Analizirajući funkciju prosječnog troška, određuju se: 1. Pozitivnost: C ( y ) =

25 + 2 y + y 2 >0, y

2. Vertikalna asimptota je y = 0, 3. Kosa asimptota

111

EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE

25 + 2 y + y 2 k = lim =1 y →+∞ y2

⎛ 25 + 2 y + y 2 ⎞ n = lim ⎜ − y⎟ = 2 y →+∞ y ⎝ ⎠ KA : ky + n = y + 2 = V ( y ). Grafici funkcija graničnog i prosječnog ukupnog troška sijeku se za nivo nejekonomičnije proizvodnje ye = 5. Funkcije graničnog i varijabilnog troška su jednake za y = 0.

16

C' 14

C

12 E (5; 12) 10

V

8 6 4 2

y 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Grafik 1.20.a. Funkcije prosječnih i graničnih troškova

c) Ekonomičnost proizvodnje se mjeri nižim prosječnim ukupnim troškovima.

Računa se: C (2) = 16,5;

C (4) = 12, 25

U prosjeku, na svaku jedinicu proizvodnje sa nivoa y = 2, dolazi 16,5 novčanih jedinica troška, a sa nivoa y = 4 dolazi 12,25 novčanih jedinica troška. Dakle, veća ekonomičnost se postiže za nivo proizvodnje y = 4. C ′(2) = 6 C ′(4) = 10

Na svaku dodanu jedinicu proizvodnje y sa nivoa y = 2 ukupni trošak će se povećati za 6 novčanih jedinica, a sa nivoa y = 4 ukupni trošak će se povećati za 10 novčanih jedinica. 112

FUNKCIJA TROŠKOVA

EC , y

y 2 y2 + 2 y ′ = ⋅ C ( y) = 2 ≥ 0. C ( y) y + 2 y + 25

Analizira se funkcija elastičnosti ukupnih troškova u odnosu na nivo proizvodnje y. d)

1) Ispituje se monotonost ove funkcije: EC′ , y =

(4 y + 2)( y 2 + 2 y + 25) − (2 y 2 + 2 y )(2 y + 2) 2 y 2 + 100 y + 50 = 2 > 0 , za y ≥ 0. ( y 2 + 2 y + 25) 2 ( y + 2 y + 25) 2

2) Horizontalna asimptota lim EC , y = 2 . 3) Za y = 0, EC , y = 0 . 4) Iz odnosa EC , y e = EC , ye + 1 = 0 + 1 = 1 se konstatuje da je jedinična elastičnost ukupnih troškova uvijek u nivou najekonomičnije proizvodnje: y = ye= 5. 5)

EC , y

EC,y

y=0

EC, y = 0

Savršena neelastičnost

0 0 ako je P ' > C ′ tj. ⎪ D′ = P ' − C ′ ⎨= 0 ako je P ' = C ′ tj. ⎪< 0 ako je P ' = C ′ tj. ⎩

p > C ′ ⇒ D raste p = C ′ ⇒ D ima ekstrem p = C ′ ⇒ D opada

Iz gornjeg izraza slijedi da u zavisnosti od odnosa cijene i graničnog troška, odnosno od odnosa graničnog prihoda i graničnog troška, koja određuje vrijednost granične dobiti, ukupna dobit može da raste, stagnira ili opada. Nivo proizvodnje za koji je granična dobit jednaka nuli se označava sa yD, odnosno imamo da vrijedi: D′( y ) = P ' ( y ) − C ′( y ) = p − C ′( y ) D′( yD ) = 0 za P ' ( yD ) = C ′( yD ) tj. za D′′( yD ) < 0

p = C ′( yD )

(1.105)

Nivo proizvodnje yD je nivo za koji se ostvaruje maksimalna dobit ako je D ( yD ) > 0 i tada se yD naziva najrentabilnijim nivoom proizvodnje. To je nivo u kojem su granični prihod i granični troškovi jednaki, odnosno u kojem su konstantna cijena i granični trošak jednaki. Nivo proizvodnje yD je nivo za koji se minimizira gubitak ako je D ( yD ) < 0 . Funkcija granične dobiti ima sljedeće ekonomsko značenje: Funkcija granične dobiti pokazuje za koliko novčanih jedinica će se promijeniti ukupna dobit ako se nivo proizvodnje 127

EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE

poveća za jednu količinsku jedinicu. Jedinica mjere u kojoj je izražena granična dobit je novčana jedinica po količinskoj jedinici (nj/kj). Kada je poznata funkcija granične dobiti, funkcija ukupne dobiti se određuje primjenom neodređenog integrala: D( y ) = ∫ D ′( y ) ⋅ dy = D * ( y ) + K

(1.106)

Ovim izrazom se određuje „familija“ funkcija kojoj pripada ova funkcija. Da bi se odredila ukupna dobit potrebno je odrediti konstantu K, a za njeno određivanje je potrebno poznavati još jedan podatak, naprimjer D(0 ) = − F . Funkcija prosječne dobiti kod determinisane cijene je definisana sljedećim izrazima: − ⎧ p C ( y ), − ⎪ D ( y ) = ⎨ pq − ⎪ − C ( y ), ⎩ y

0≤ y≤q (1.107)

y≥q≥0

Za analizu prosječne dobiti će se detaljno analizirati prvi slučaj kada je na tržitu tražnja dovoljno velika da se realizuje sva ponuđena količina. Funkcija prosječne dobiti, ukoliko su poznati p = const , q = const , q = q ( p ) = const i 0 ≤ y ≤ q = q( p) , se definiše sljedećim izrazom: D( y) =

D( y ) P( y ) − C ( y ) P( y ) C ( y ) = = − = ⎡⎣ P ( y ) − C ( y ) ⎤⎦ = ⎡⎣ p − C ( y ) ⎤⎦ 0 ≤ y ≤ q y y y y

(1.108)

Funkcija prosječne dobiti jednaka je razlici funkcija prosječnog prihoda i prosječnih troškova, odnosno razlici između konstantne cijene i prosječnog troška. Analiza funkcije prosječne dobiti se može predstaviti sljedećim izrazom: ⎧> 0 kada ⎪ D ( y ) ⎨= 0 kada ⎪< 0 kada ⎩

je D( y ) > 0 tj.

p > C ( y)

je D( y ) = 0 tj.

p = C ( y)

je D( y ) < 0 tj.

p < C ( y)

Na osnovu ovog izraza mogu se izvesti sljedeći zaključci: Kada je cijena veća od prosječnog troška, prosječna i ukupna dobit su pozitivne i ostvaruje se rentabilno poslovanje. Ako je konstantna cijena jednaka prosječnim troškovima, prosječna i ukupna dobit su jednake nuli i za taj nivo proizvodnje se ostvaruju granice rentabilnosti. Kada je cijena manja od prosječnog troška, prosječna i ukupna dobit su negativne i poslovanje je nerentabilno. Funkcija prosječne dobiti je pokazatelj dobiti po jedinici realizovanog proizvoda. Funkcija prosječne dobiti pokazuje koliko se u prosjeku po svakoj jedinici proizvedenog dobra ostvari jedinica ukupne dobiti. Ukoliko je ukupna dobit pozitivna, ostvaruje se prosječan dobitak po jedinici proizvoda. Kada je ukupna dobit negativna, ostvaruje se prosječan gubi128

FUNKCIJA DOBITI

tak. Jedinica mjere u kojoj se izražava prosječna dobit je novčana jedinica po količinskoj jedinici (nj/kj). Za analizu i grafičko predstavljanje funkcije prosječne dobiti potrebno je odrediti i analizirati tok funkcije prosječne dobiti. Analiza toka je predstavljena u sljedećem obliku: ⎧> 0 kada ⎪ D′( y ) = −C ′( y ) ⎨= 0 kada ⎪ ⎩< 0 kada

je C ′( y ) < 0 za

0 < y < ye

je C ′( y ) = 0 za

y = ye

je C ′( y ) > 0 za

y > ye

(1.109)

Ako prosječni troškovi opadaju, prosječna dobit raste. U najekonomičnijem nivou proizvodnje imamo maksimalnu vrijednost funkcije prosječne dobiti. Prosječna dobit opada kada prosječni troškovi rastu. Ako se nivo proizvodnje za koji se maksimizira prosječna dobit označi sa yD , prosječna dobit će biti maksimalna ako su ispunjeni sljedeći uslovi: D′( yD ) = 0 D′′( yD ) < 0

Iz ovog i iz izraza (1.109) slijedi da kod funkcije dobiti sa konstantnom cijenom vrijedi jednakost yD = ye . To znači da je nivo proizvodnje kod kojeg se maksimizira prosječna dobit jednak najekonomičnijem nivou proizvodnje. Različiti slučajevi funkcija prihoda, troškova i dobiti su predstavljeni i analizirani u primjerima sa kompletnim rješenjima na kraju. Elastičnost kod konstantne cijene

Funkcija elastičnosti dobiti u slučaju kada je cijena p constantna se određuje primjenom definisanog izraza za koeficijent elastičnosti na sljedeći način: ED , y =

y ⋅ D′( y ) D( y )

(1.110)

y D′( y ) p − C ′( y ) ⋅ D′( y ) = = D( y ) D( y ) p − C ( y )

(1.111)

odnosno, ED , y =

Ekonomsko značenje koeficijenta elastičnosti dobiti je sljedeće: Ako se količina y poveća za 1% tada će se dobit/gubitak promijeniti (povećati ako je koeficijent elastičnosti pozitivan i smanjiti ako je koeficijent elastičnosti negativan) za ⏐ED,q %⏐. Napomenimo da se pri interpretaciji značenja koeficijenta elastičnosti funkcije dobiti u konkretnoj tački mora vo129

EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE

diti računa o vrijednosti funkcije dobiti u toj tački. Ako je vrijednost funkcije negativnakoristit ćemo termin gubitak, a ako je pozitivna - koristit ćemo termin dobitak17. Koeficijent elastičnosti prosječne dobiti se određuje pomoću sljedećeg izraza: ED , y =

y ⋅ D′( y ) D( y )

(1.112)

Koeficijent elastičnosti prosječne dobiti ima sljedeće objašnjenje: ukoliko se količina y poveća za 1%, tada će se prosječna dobit/gubitak promijeniti (povećati ako je koeficijent elastičnosti pozitivan i smanjiti ako je koeficijent elastičnosti negativan) za onoliko postotaka koliko iznosi koeficijent elastičnosti prosječne dobiti. Veza izmedu elastičnosti ukupne i prosječne dobite se izražava, koristeći opšti odnos između elastičnosti ukupne i prosječne funkcije, sljedećim izrazima: ED , y = ED , y + 1

ili

E D , y = ED , y − 1

1.8.2. Funkcija agregatne dobiti u odnosu na količinu D=D(q)

Polazeći od funkcije agregatnog prihoda u slučaju varijabilne cijene i od funkcije ukupnih troškova, koji su analizirani u prethodnim dijelovima ovog poglavlja, može se definisati funkcija dobiti. Funkcija dobiti je definisana kao razlika između funkcije ukupnog prihoda i funkcije ukupnih troškova.

P = p ⋅ q = p (q) ⋅ q = P(q)

C = C (q)

D(q ) = P( q) − C ( q) = p( q) ⋅ q − C ( q) = P( q) − C (q )

(1.113)

+ Funkcija dobiti D(q) se izražava kao funkcija agregatne tražnje i definisana je za 0 ≤ q ≤ q .

Pošto odražava proizvodne i tržišne uslove dobit se koristi u analizi rentabilnosti. U zavisnosti od odnosa prihoda i troškova definišu se intervali rentabilne i nerentabilne proizvodnje i granice rentabilnosti. Kada je prihod veći od troškova, dobit je pozitivna i sve vrijednosti nivoa proizvodnje q za koje je dobit pozitivna određuju interval rentabilnosti. Ako je prohod jednak troškovima, dobit je jednaka nuli. Nivoi proizvodnje za koje je dobit jednaka nuli predstavljaju granice rentabilnosti. Treći slučaj je negativna dobit. Za sve nivoe proizvodnje q za koje je prihod manji od troškova dobit će biti negativna i za takve vrijednosti q imamo interval nerentabilnosti. 17

Obrazloženje vidjeti u : Vučković, Ž. (2004), str. 24. i str. 134.

130

FUNKCIJA DOBITI

Odnosi između ukupnog prihoda i ukupnih troškova te dobit koja se određuje iz tih odnosa su predstavljeni sljedećim izrazom: ⎧> 0 ⇒ D(q ) > 0, P (q ) > C (q ) ⎪ D(q ) = P( q) − C (q ) ⎨= 0 ⇒ D(q ) = 0, P(q ) = C (q ) ⎪< 0 ⇒ D(q ) < 0, P (q ) < C (q ) ⎩

(1.114)

Na sljedećim grafikonima predstavljena su tri slučaja za analizu funkcije dobiti.

C

C, P, D P+

P=C F

0

P=C

P D+ q1

qD

q2

q+

q

-F D

Grafikon 22. Funkcije prihoda, troškova i dobiti

Na grafikonu 22. je predstavljen slučaj kad funkcije prihoda i troška imaju dvije zajedničke tačke. Nivoi proizvodnje q1 i q2 su nivoi za koje je funkcija troška jednaka funkciji prihoda i predstavljaju granice renabilnosti. Za nivo qD se maksimizira dobit i to je najrentabilniji nivo proizvodnje. U najrentabilnijem nivou proizvodnje je najveća razlika između prihoda i troškova. Interval q ∈ ( q1 , q2 ) je interval rentabilnosti. Intervali nerentabilnosti su za q ∈ [ 0, q1 ) ∪ ( q2 , q + ) .

Na grafikonu 23. je predstavljen slučaj kada funkcije prihoda i troškova imaju samo jednu zajedničku tačku, tačka qD je tačka u kojoj je funkcija troškova jednaka funkciji prihoda. U ovom slučaju maksimalna dobit je jednaka nuli za nivo prizvodnje qD, a za sve ostale nivoe proizvodnje dobit je negativna jer su troškovi veći od prihoda.

131

EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE

C, P, D C P+ P=C F F

P D+

qD qP

0

q+

q

D

-F

Grafikon 23. Funkcije prihoda, troškova i dobiti

U slučaju kada su troškovi veći od prihoda, poslovanje je nerentabilno i dobit je, kao što je predstavljeno na grafikonu 24. uvijek negativna. Nivo prizvodnje qD je nivo proizvodnje gdje sa minimizira gubitak.

C, P, D C

P+ F

Π

F 0 D+

qD qP

-F

q+

q

D

Grafikon 24. Funkcije prihoda, troškova i dobiti

Funkcija agregatne granične dobiti se definiše kao prvi izvod funkcije ukupne dobiti:

ΔD D(q + Δq) − D(q) dD = lim = Δq → 0 Δq Δq →0 Δq dq

D '(q ) = lim

132

(1.115)

FUNKCIJA DOBITI

Granična dobit pokazuje za koliko novčanih jedinica će se promijeniti funkcija ukupne dobiti ako se nivo proizvodnje q poveća za jednu količinsku jedinicu. Dakle, svaka dodatna jedinica povećanja nivoa proizvodnje će rezultirati u promjeni ukupne dobiti za onoliko novčanih jedinica koliko iznosi granična dobit. Funkcija granične dobiti jednaka je razlici između graničnog prihoda i graničnih troškova, odnosno:

D = P −C D ′= P ' − C ′

(1.116)

Zavisno od vrijednosti funkcije granične dobiti, ukupna dobit može da raste, stagnira ili opada: ⎧> 0; P ' (q ) > C ′(q ), D(q ) raste ⎪ D′(q ) = P ' (q ) − C ′(q ) ⎨= 0; P ' (q ) = C ′(q ), D(q ) ima ekstrem ⎪< 0; P ' (q ) < C ′(q ), D(q ) opada ⎩

(1.117)

Maksimalna dobit, odnosno najrentabilniji nivo proizvodnje se ostvaruje kada je granična dobit jednaka nuli, odnosno kada je granični prihod jednak graničnim troškovima. Najrentabilniji nivo proizvodnje se označava sa qD. D′(qD ) = 0, D′′(qD ) < 0 : D′(qD ) = P ' (qD ) − C ′(qD ) = 0 P ' (qD ) = C ′(qD )

(1.118)

Kada je poznata funkcija agregatne granične dobiti, funkcija ukupne agregatne dobiti se određuje primjenom neodređenog integrala: D(q ) = ∫ D′(q ) ⋅ dq = D* (q) + K

(1.119)

Ovim izrazom se određuje „familija“ funkcija kojoj pripada ova funkcija. Da bi se odredila ukupna dobit potrebno je odrediti konstantu K, a za njeno određivanje je potrebno poznavati još jedan podatak, a taj podatak je da je dobit u nuli jednaka negativnim fiksnim troškovima D ( 0 ) = − F . Funkcija agregatne prosječne dobiti D(q) je pokazatelj dobiti po jedinici realizovanog proizvoda.

D (q ) =

D(q) P( q) − C (q) P(q) C (q) = = − = P(q) − C (q) = p(q) − C (q) q q q q

(1.120)

Funkcija prosječne dobiti jednaka je razlici funkcija prosječnog prihoda i prosječnih troškova. 133

EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE

Ukoliko je q = 0, tada je D(0) =

D(0) − F = = − ∞ , što znači da funkcija ima vertikalnu 0 0

asimptotu. Analiza funkcije prosječne dobiti se može predstaviti sljedećim izrazom za vrijednosti 0 < q ≤ q+ : ⎧> 0 kada ⎪⎪ D(q ) ⎨= 0 kada ⎪ ⎪⎩< 0 kada

je D(q) > 0 tj. P(q) > C (q) je D(q) = 0 tj. P(q) = C (q)

(1.121)

je D(q) < 0 tj. P(q) < C (q)

Nivo kod kojeg se maksimizira prosječna dobit se označava sa (qD > 0) . Da bi agregatna prosječna dobit bila maksimalna treba da budu zadovoljeni sljedeći uslovi: D′(qD ) = 0 D′′(qD ) < 0

Za nivo (qD > 0) , za koji se maksimizira prosječna dobit, prosječna i granična dobit su jednake. Pošto se prvi izvod prosječnih troškova za nivo (qD > 0) nalazi u intervalu opadanja prosječnih troškova tada je (qD ≤ qe ) . To znači da nivo proizvodnje u kojem se maksimizira prosječna dobit nije jednak najekonomičnijem nivou proizvodnje.18 Odnos ova dva nivoa proizvodnje u slučaju agregatne dobiti je različit od njihovog odnosa u slučaju dobiti kod konstantne cijene koji smo analizirali i predstavili u dijelu 1.8.1.2. pod naslovom Funkcija prosječne dobiti kod determinisane cijene. Agregatna prosječna dobit se izražava u novčanoj jedinici po količinskoj jedinici i pokazuje koliko se u prosjeku po svakoj količinskoj jedinici proizvodnje ostvari novčanih jedinica dobiti. Nivo kod kojeg se maksimizira prosječna dobit se označava sa (qD > 0) Elastičnost agregatne dobiti se definiše sljedećim izrazom:

ED , q =

q ⋅ D′(q) D(q)

(1.122)

i daje nam informaciju o procentualnoj promjeni funkcije dobiti ako se količina proizvodnje q poveća za 1%. Elastičnost dobiti se može izraziti i kao odnos granične i prosječne dobiti: ED , q = 18

q D′(q ) ⋅ D′(q ) = D(q) D(q )

Dokaz i izvođenje vidjeti u : Vučković, Ž., (2004), str. 153.

134

(1.123)

FUNKCIJA DOBITI

Elastičnost prosječne dobiti se računa kao: ED , q =

q ⋅ D′(q) D(q)

(1.124)

i daje nam informaciju o procentualnoj promjeni funkcije prosječne dobiti ako se količina proizvodnje q poveća za 1%. Veza izmedu elastičnosti ukupne i prosječne dobiti se izražava koristeći opšti odnos između elastičnosti ukupne i prosječne funkcije sljedećim izrazima: ED , q = ED , q + 1

ili

ED , q = ED , q − 1

U numeričkim primjerima sa rješenjema analizirane su i predstavljene veze i odnosi koji su prezentovani u ovom dijelu.

1.8.3. Funkcija agregatne dobiti u odnosu na cijenu D=D(p)

Ako se u funkciju agregatne dobiti D=D(q) uvrsti funkcija direktnog zakona tražnje q=q(p), dobija se agregatna funkcija dobiti kao funkcija cijene: D=D(p) koja je definisana za cijene: 0 ≤ p ≤ p + ,

p + = p (q = 0) > 0

(1.125)

Mogu se definisati funkcija granične dobiti D′p = D′( p )

(1.126)

i funkcija prosječne dobiti D( p) (1.127) p U ovom slučaju kada je dobit definisana kao funkcija prodajne cijene, može se izvršiti analiza rentabilnosti, kao i ostale analize, koje su izvršene u slučaju agregatne dobiti izražene kao funkcija količine. D p = D( p) =

Primjer 1.27.

Neko dobro na tržištu se prodaje po cijeni p = 35 nj/kj Proizvođač tog dobra ima funkciju troškova C ( y ) = 2 y 2 + 10 y + 50 . a) Odrediti algebarski izraz funkcije dobiti i analizirati karakteristične tačke; b) Grafički predstaviti funkcije prihoda, troška, dobiti; 135

EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE

c) Odrediti funkcije P′, C ′, P , C uz grafički prikaz ; d) Odrediti elastičnost dobiti ED , y za nivoe proizvodnje y = 2, y = 5, y = 8, y = 12 uz tumačenje rezultata; e) Ako bi cijena tog dobra bila p = 25 nj/kj, a ista funkcija troškova proizvođača, kako bi se to odrazilo na dobit proizvođača? Obrazložiti uz grafički prikaz funkcija. Rješenje: a) Funkcija dobiti je razlika ukupnog prihoda i ukupnog troška i kod determinisane cijene vrijedi:

D(y) = P(y) - C(y) = py – C (y). Kako je cijena p = 35, to je prihod P(y) = 35 y, pa je algebarski izraz funkcije dobiti D( y ) = 35 y − 2 y 2 − 10 y − 50 = −2 y 2 + 25 y − 50 . Primjetimo da je D(0) = - F = - 50 (startni gubitak). Analizom ove funkcije dobijaju se: 1) granice rentabilnosti:

D( y ) = 0 ⇔ y1,2 =

y = 2,5 −25 ± 625 − 400 −25 ± 15 = ⇔ 1 y2 = 10 −4 −4

interval rentabilnosti:

D( y ) > 0 ⇔ y ∈ (2,5; 10) intervali nerentabilnosti:

D( y ) < 0 ⇔ y ∈ (0; 2,5) ∪ (10; + ∞) 2) D′( y ) = 0 ⇔ −4 y + 25 = 0 ⇔ yD = 6, 25 nivo najrentabilnije proizvodnje

3) D + = D( yD ) = D(6, 25) = maksimalan dobitak

136

225 = 28,125 8

FUNKCIJA DOBITI

b) C

C, P, D

P

50 28.125 0 -50

2.5

6.25

10

y D

Grafikon 1.27. Funkcije prihoda, troška i dobiti

c) Potrebno je odrediti algebarske izraze ovih funkcija P ' = P = 35 ;

C ′ = 4 y + 10 ; C=

2 y 2 + 10 y + 50 . y

i njihove presjeke: P′ = C ′ ⇔ D′ = 0 ⇔ y = yD = 6, 25 . P = C ⇔ D = 0 ⇔ y1 = 2,5 ∧ y2 = 10 .

C ′ = C ⇔ (C )′ = 0 ⇔

(4 y + 10) y − (2 y 2 + 10 y + 50) =0 y2

⇔ 2 y 2 − 50 = 0 ⇔ y = ye = 5. C ′(5) = C (5) = 30. Karakteristične tačke su: ƒ nivo najrentabilnije proizvodnje yD = 6,25 (tačka presjeka P ' , C ′ ) ƒ nivo najekonomičnije proizvodnje ye = 5 ( C ′(5) = C (5) = 30 )

137

EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE

ƒ granice rentabilnosti y1 = 2,5 i y2 = 10. ƒ interval rentabilnosti (2,5, 10) P > C

C'

C', C , P = P'

C 35 30

P = P ' = 35

10 0 -50

2.5

5

6.25

10

y

Grafikon 1.27.a. Funkcije prosječnog i graničnog prihoda i prosječnog i graničnog troška

d) Elastičnost dobiti u odnosu na nivo proizvodnje y y ED , y = ⋅ D′( y ) = ⋅ (− 4 y + 25) . 2 D( y ) −2 y + 25 y − 50

Računa se: 17 = − 4, 25 ; 4 Ako se nivo proizvodnje y = 2 poveća 1%, gubitak od 8 nj će se povećati za 4,25%. y = 5 ⇒ D(5) = 25; ED , y = 1 ;

y = 2 ⇒ D(2) = − 8; ED , y = −

Ako se nivo proizvodnje y = 5 poveća za 1%, dobitak od 25 nj će se povećati također 1%. y = 8 ⇒D(8) = 22; ED , y = −

28 ≈ −2,5 ; 11

Ako se nivo proizvodnje y = 8 kj poveća za 1%, dobitak od 22 nj će se smanjiti za približno 2,5%. y =12 ⇒ D(12)= − 38; ED , y = −

138

138 ≈ −7, 26 ; 19

FUNKCIJA DOBITI

Ako se nivo proizvodnje y = 12 kj poveća za 1%, gubitak od 38 nj će se povećati za približno 7,26%. e) Ako je cijena p = 25, tada je funkcija dobiti proizvođača

D( y ) = 25 y − 2 y 2 − 10 y − 50 = −2 y 2 + 15 y − 50 . Određuju se granice rentabilnosti, odnosno nule funkcije: D ( y ) = 0 ⇒ y1,2 =

−15 ± 225 − 400 ∉ R , odnosno nema realnih nula. −4 C

C, P, D

P

115.625 93.75 50 0 -21.875

3.75

10

y D

-50 Grafikon 1.27.b. Funkcije prihoda, troška i dobiti pri cijeni p = 25

Funkcija dobiti je uvijek negativna ( D ( y ) < 0

( ∀y )

jer nema realnih nula i D'' - 270 ⇒ q < 90 tj. q∈(0,90). Ove krajnje tačke su istovremeno i nule funkcije prihoda P ( q ) . MaksimaP + (45) = 6075 .

lan prihod računamo iz P ' (q) = 270 − 6q = 0 ⇔ q = 45; pa je

Funkciju troška računamo iz funkcije prosječnih troškova, odnosno: C (q) = C ⋅ q = 2q 2 + 2025 . Funkcija troška je rastuća funkcija i njena najmanja vrijednost su fiksni troškovi, odnosno F=2025. Ovo nam govori da se prilikom grafičkog prikaza funkcije troška koristi onaj dio parabole koji se nalazi u I kvadrantu i koji raste. Sada možemo izračunati i funkciju dobiti D(q ) = P(q) − C (q) = −5q 2 + 270q − 2025 . Analizirajmo funkciju dobiti: 1. D=0 ⇒ q1 = 45, q2 = 9 granice rentabilnosti 2. D> 0⇒ q∈(9, 45) interval rentabilnosti 3. D′ = 0 ⇒ −10q + 270 = 0 ⇒ qD = 27; D + = D(27) = 1620 (najrentabilniji nivo proizvodnje i maksimalna dobit)

C, P, D 6075

C

P 2025 1620 0

9

27

45

90

q

-2025

D Grafikon 1.28. Funkcije prihoda, troška i dobiti

141

EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE

b) −5q 2 + 270q − 2025 D′ = −10q + 270 ; D = . q

Pronađimo njihov presjek, tačku u kojoj se maksimizira prosječna dobit. 2025 D′ = D ⇔ −10q + 270 = −5q + 270 − ⇔ qD = 405 ≈ 20,1 . q D(20,1) = D′(20,1) ≈ 69 . Zaključujemo;

q1 < qD < qD < q2 .

D', D

270 69 0

9

20,01

45

27

q

D

-2025

D' Grafikon 1.28.a. Funkcije granične i prosječne dobiti

c) ED , q =50 =

q q(−10q + 270) 50 ⋅ (−230) D′ = = ≈ 11, 22 . 2 D −5q + 270q − 2025 −1025

ED ,q = ED , q − 1 = 10, 22 .

Ako se q sa nivoa 50 kj poveća 1%, gubitak D = -1025 nj, će se povećati za 11,22%, a prosječan gubitak od 20,5 nj/kj će se povećati za 10,22%. Primjer 1.29.

Neko poljoprivredno poduzeće Agropro proizvodi y - (tona) pšenice i ostvaruje dobit od D(y) (stotina KM). Statistički podaci su dati u sljedećoj tabeli: 142

FUNKCIJA DOBITI

Y

0

4

5

10

12

D(y)

-20

10

20

30

25

a) Metodom najmanjih kvadrata odrediti funkciju dobiti D( y ) = ay 2 + by + c koja najbolje aproksimira funkciju dobiti. b) Odrediti za dobijenu funkciju interval rentabilnosti, nivo najrentabilnije proizvodnje i najveću dobit. c) Kolika se dobit predviđa za 15 tona pšenice? d) Odrediti koeficijent elastičnosti za nivo proizvodnje y = 4 tone i y =15 tona. e) Na istoj slici grafički prikazati empirijske podatke i dobijenu krivu. Rješenje:

a) Napravimo radnu tabelu: yi 0 4 5 10 12 Σ 31

Di -20 10 20 30 25 Σ 65

Diyi 0 40 100 300 300 Σ 740

yi2

Diyi2

yi3

yi4

0 16 25 100 144 Σ 285

0 160 500 3000 3600 Σ 7260

0 64 125 1000 1728 Σ 2917

0 256 625 10000 20736 Σ 31617

Postavljaju se normalne jednačine:

∑ D = a∑ y + b∑ y + cn ∑ D ⋅ y = a ∑ y + b∑ y + c∑ y ∑ D ⋅ y = a ∑ y + b∑ y + c∑ y 2 i

i

i

3

i

i

i

2

i

i

2

i

i

4

i

3

i

i

2

(i = 1,2..,5 = n).

Zamijenjujući u gornji sistem vijednosti iz posljednjeg reda gornje tabele dobija se sljedeći sistem jednačina: 65 = 285a + 31b + 5c 740 = 2917 a + 285b + 31c 7260 = 31617 a + 2917b + 285c Rješavajući ovaj sistem dobijaju se vrijednosti koeficijenata: a = −0,55; b = 10, 49; c = −20,505. Funkcija dobiti ima sljedeći oblik: D( y ) = −0,55 y 2 + 10, 49 y − 20,505.

143

EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE

b) Analizom funkcije dobiti dobijaju se sljedeći rezultati:

D(y) = 0 ⇔ y1 = 2,21; y2 = 16,79. ⇒ y∈ (2,21; 16,79) interval rentabilnosti. D′( y ) = 0 ⇔ −1,1 y + 10, 49 = 0 ⇔ yD = 9,5. nivo najrentabilnije proizvodnje. D + = D(9,5) = 29,5 maksimalna dobit (2950 KM). c) D(15)=13,1. Za 15 tona predviđa se dobit od 1310 KM. d)

ED , y = 4 =

4 ⋅ 6, 05 = 1,93 . 12,56

Ako se nivo proizvodnje y = 4 poveća 1% ,dobit će se sa nivoa D=12,56 povećati 1,93%. ED , y =15 =

15 ⋅ (−6, 01) = −6,88 . 13,1

Ako se nivo proizvodnje y =15 t poveća 1%, dobit će se sa nivoa D=13,1 KM smanjiti za 6,88%. e) U Microsoft Exelu se dobija kvadratna funkcija koja najbolje aproksimira skup podataka u ovom primjeru. y = -0,5542x 2 + 10,499x - 20,505 R2 = 0,9924

Regression

40 30 20 10 0 -10 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-20 -30

Grafikon 1.29. Funkcija dobiti

144

10

11

12

13

FUNKCIJA DOBITI

Primjer 1.30.

Na tržištu je prisutna cijena nekog proizvoda: p =15 nj/kg. Tražnja za tim proizvodom je ∞. Za konkretnog proizvođača ovog proizvoda funkcija graničnih troškova je C ′ = 2 y + 2 i nivo najekonomičnije proizvodnje je ye = 6 kg. a) Odrediti funkcije: troška, prihoda i dobiti za datog proizvođača; b) Odrediti intervale rentabilnog poslovanja, nivo najrentabilnije proizvodnje; c) Grafički prikazati funkcije prosječnog i graničnog prihoda i troška, uz naznačavanje karakterističnih tačaka. Rješenje: a)

C′ = 2 y + 2 ⇒ C = y2 + 2 y + F

⎫ ⎪ 2 F ⎬ ⇒ C = y + 2 y + 36 C′ ( 6) = C ( 6) ⇒ 2 y + 2 = y + 2 + ⇒ F = 36 ⎪ y ⎭ P ( y ) = 15 y D ( y ) = P − C = − y 2 + 13 y − 36

b)

Interval rentabilnosti:

y1 = 4; y2 = 9 ⇒ IR y ∈ ( 4, 9 ) D′ = 0 ⇒ −2 y + 13 = 0 ⇒ y = 6.5

D =0⇒

Nivo najrentabilnije proizvodnje: c) P = P ' = 15 C = y+2+

36 y

C′ = 2 y + 2

C′

Π = Π ′ = 15

0

A

D

C B

VA

E

4

Ye = 6 YD = 6,5

9

y

Grafikon 1.30. Funkcije prosječnog, graničnog prihoda i prosječnog, graničnog troška

145

1.9. Funkcija ponude Ponuda je konačan stadij procesa proizvodnje u tržišnoj privredi. Količina nekog dobra (proizvoda) koja se nudi na tržištu po određenoj cijeni predstavlja ponudu tog dobra. U uslovima slobodnog djelovanja ekonomskih zakonitosti ponuda zavisi od tržišne cijene proizvoda p i od cijena ostalih proizvoda koji mogu biti u vezi sa tehničko-tehnološkim uslovima proizvodnje. To se odnosi na cijene, količine i kvalitet utrošenih faktora proizvodnje, tj. na troškove proizvodnje C f . Ponuda zavisi i od vremena t , od geografskog područja G , sezone s , itd. Na ovaj način definisana ponuda predstavlja funkciju ponude u širem smislu, koja se izražava kao funkcija više promjenljivih: qˆ = F ( p, C f , t , G, s )

(1.128)

Ako funkcija ponude ima izvod po p u intervalu posmatranja taj izvod mora biti veći od ∂qˆ nule > 0 , što znači da je ponuda rastuća funkcija u odnosu na cijenu p . Ostali parcijalni ∂p izvodi mogu biti različitog znaka zavisno od uticaja pojedinih faktora na ponudu posmatranog dobra. Pošto najveći uticaj na ponudu nekog dobra ima cijena tog dobra ponuda se definiše u užem smislu kao funkcija jedne nezavisne varijable, a to je cijena tog dobra: qˆ = f ( p ), odnosno qˆ = qˆ ( p )

(1.129)

Razlikuju se individualna i agregatna ili tržišna ponuda. Funkcija individualne ponude (ponude pojedinačnog proizvođača) pokazuje kolika je količina nekog dobra koje individualni proizvođač nudi na prostorno i vremenski definisanom tržištu po određenoj cijeni. Funkcija agregatne ponude predstavlja ukupnu količinu nekog dobra koju nude svi ponuđači tog dobra na određenom tržištu u određenom vremenskom periodu. Agregatna ponuda se dobije sabiranjem individualnih funkcija ponude. U analizi koja slijedi prvo će biti predstavljena funkcija agregatne, a zatim i funkcija individualne ponude.

1.9.1. Funkcija agregatne (tržišne) ponude

Funkcija agregatne ponude predstavlja količinu nekog dobra koja se nudi na prostorno i vremenski definisanom tržištu po određenoj cijeni. Funkcija agregatne ponude se dobija kao zbir količina nekog proizvoda koje nude različiti individualni proizvođači na određenom tržištu u određeno vrijeme i može se izraziti sljedećom relacijom:

146

FUNKCIJA PONUDE

N

qˆ = ∑ xˆ i .

(1.130)

i =1

u kojoj simbol qˆ predstavlja agregatnu funkciju ponude, a xˆ i , i = 1,..., N . individualne funkcije ponude N ponuđača na tom tržištu. Da bi neka matematska funkcija mogla biti funkcija agregatne ponude treba da budu zadovoljeni sljedeći uslovi: 1. Uslov nenegativnosti na zavisnu i nezavisnu varijablu, što znači da ponuda i cijena treba da budu nenegativne: p > 0, qˆ ≥ 0 . Ako se sa p- označi minimalna cijena za koju postoji ponuda, a sa xˆ − ponuda kod minimalne cijene, tada se oblast definisanosti ponude nalazi u sljedećim granicama 0 < p − ≤ p , 0 ≤ xˆ − ≤ xˆ , 0 < p − ≤ p , 0 ≤ qˆ − ≤ qˆ 2. Funkcija ponude je u intervalu definisanosti neprekidna 0 ≤ qˆ < +∞ 3. Funkcija agregatne ponude je diferencijabilna i prvi izvod funkcije ponude mora biti dqˆ pozitivan = qˆ ′ > 0 . dp Funkcija agregatne ponude je monotono rastuća funkcija i ima pozitivan prinos. To znači da će sa rastom cijene nekog dobra u normalnim uslovima rasti i njegova ponuda. Od ovog opšteg pravila postoje i izuzeci, a u daljoj analizi se polazi od pretpostavke da su normalni opšti uslovi o zavisnosti cijene i ponude ispunjeni. Najčešći analitički oblici funkcije ponude za su za: a ≥ 0, b > 0 19

qˆ = −a + bp qˆ = −a + bp 2 qˆ = (a − bp) 2 qˆ = −a + b ⋅ p + d ;

d ≥0

qˆ = a + b ⋅ ln( p − d );

d ≥0

Ovi analitički oblici funkcije ponude zadovoljavaju osobinu da je p- >0 i da je qˆ − = 0 što teorijski i ne mora biti slučaj, ali u primjerima koje ćemo mi analizirati ova osobina je zadovoljena.

19

Vidjeti osobine u Vučković, Ž., (2004), str. 172.

147

EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE

Elastičnost funkcije agregatne ponude

Za agregatnu funkciju ponude izraz za koeficijent elastičnosti se definiše, analogno izrazu za koeficijent elastičnosti individualne ponude, koristeći odgovarajući simbol za agregatnu funkciju ponude: Eqˆ, p =

p ⋅ qˆ ′ > 0. qˆ

(1.131)

za p > 0, qˆ ≥ 0, qˆ ′ > 0 . Elastičnost ponude je uvijek pozitivna pošto su cijena i ponuda pozitivne i prvi izvod funkcije ponude pozitivan. Koeficijent elastičnosti ponude pokazuje za koliko postotaka (%) će se povećati ponuda ako se cijena poveća za 1%. Elastičnost funkcije ponude je pozitivna i njene vrijednosti se mogu tabelarno predstaviti na sljedeći način. Tabela 7. Elastičnost funkcije ponude

p

Eqˆ, p

Tip elastičnosti

p < p < p1

Eqˆ, p = +∞ +∞ > Eqˆ, p > 1

Elastičnost

p > p1

1 > Eqˆ, p >0

Neelastičnost

p = p-

Savršena elastičnost

1.9.2. Funkcija individualne ponude

Ako se učini simplifikacija, kao kod funkcije tražnje, pretpostavljajući da je uticaj ostalih faktora na ponudu relativno mali u poređenju sa cijenom p dobra koje se nudi, funkcija individualne ponude se definiše u užem smislu kao funkcija cijene:

xˆ = xˆ ( p)

(1.132)

Da bi funkcija (1.132) mogla biti funkcija ponude, mora ispuniti sljedeće uslove: 1. Uslov nenegativnosti na zavisnu i nezavisnu varijablu kod individualne funkcije ponude: p > 0, xˆ > 0 . Ako se sa p- označi minimalna cijena za koju postoji ponuda i sa xˆ − minimalna količina ponuđena pri toj cijeni, tada se obast definisanosti ponude može napisati: 0 < p − ≤ p , 0 ≤ xˆ − ≤ xˆ . 148

FUNKCIJA PONUDE

2. Funkcija ponude je u intervalu definisanosti neprekidna 0 ≤ xˆ < +∞ . 3. Funkcija ponude je diferencijabilna i prvi izvod funkcije ponude mora biti pozitivan, tj. dxˆ = xˆ ′ > 0 dp Ovo znači da je funkcija ponude monotono rastuća funkcija (ima pozitivan prinos), odnosno da će sa rastom cijene nekog dobra u normalnim uslovima rasti i njegova ponuda. Neka je poznata linearna funkcija individualne ponude xˆ1 = xˆ1 ( p) , definisana za p1 ∈ ( p1− , +∞ ) ; xˆ1 ∈ (0,+∞ ) i neka je poznata linearna funkcija individualne ponude

(

)

xˆ 2 = xˆ 2 ( p ) definisana za p 2 ∈ p 2− ,+∞ ; xˆ 2 ∈ (0,+∞ )

Minimalne cijene za koje su definisane ponude su p1− i p 2− i neka je p1− ≤ p 2− . Prikažimo na istom grafiku ove dvije funkcije ponude pa onda odredimo funkciju agregatne ponude i prikažimo je grafički.

xˆ ( p )

xˆ 2

xˆ1

0

p1-

p2-

p

Grafikon 25. Funkcije individualnih ponuda

Agregatna ponuda je zbir svih individualnih ponuda u oblasti njihove definisanosti, pri čemu oblast definisanosti Dqˆ i agregatne ponude predstavlja oblast definisanosti svih individualnih ponuda D xˆ i : qˆ ( p ) = ∑ xˆi ( p); i

p ∈ ∪ D xˆ i . i

149

EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE

Zapis p ∈ ∪ D xˆ i nam govori da na tržištu postoji ponuda kad je barem jedan ponuđač prisui

tan na tržištu, odnosno minimalna cijena za koju postoji agregatna ponuda je p − = min( pi− ) .

(

)

i

U ovom primjeru imamo da je agregatna ponuda definisana za p ∈ p1− ,+∞ , jer smo pret-

(

]

postavili odnos p1− ≤ p 2− . Za cijenu p ∈ p1− , p 2− na tržištu je prisutan samo jedan ponuđač sa ponudom xˆ1 , dok ponuđač sa ponudom xˆ 2 ulazi na tržište ako je cijena veća od

(

)

p 2− . Za cijenu p ∈ p 2− ,+∞ na tržištu su prisutna oba ponuđača sa ponudama xˆ1 i xˆ 2 . ⎧ xˆ1 za p ∈ ( p1− , p2− ⎤⎦ ⎪ qˆ ( p ) = ⎨ − ⎪⎩ xˆ1 + xˆ2 za p ∈ ( p2 , +∞ ) Minimalna cijena je: p − = p1− p1− < p 2− .

(

qˆ ( p )

qˆ ( p )

)

qˆ ( p )

xˆ 2

qˆ ( p ) = xˆ1 + xˆ 2

xˆ1

Δxˆ 2

0

p1-

p2-

Δxˆ 2

p

Grafikon 26. Funkcije individualnih ponuda i agregatne ponude

0

p1-

p

Grafikon 27. Funkcija agregatne ponude

Elastičnost funkcije individualne ponude

Elastičnost funkcije individualne ponude je određena sljedećim izrazom: Exˆ, p =

150

p ⋅ xˆ ′ > 0, za xˆ

p > 0, xˆ > 0, xˆ ′ > 0

(1.133)

FUNKCIJA PONUDE

Koeficijent elastičnosti ponude pokazuje za koliko postotaka (%) će se povećati ponuda posmatranog proizvoda ako se cijena tog proizvoda na tržištu poveća za 1%. Ako se cijena proizvoda poveća za 1%, ponuda tog proizvoda će se povećati za Exˆ, p %. Elastičnost ponude je uvijek pozitivna pošto su cijena i ponuda pozitivne i prvi izvod funkcije ponude pozitivan. Analiza elastičnosti ponude se može predstaviti tabelarno i grafički. Tabelarna prezentacija je predstavljena u analizi agregatne ponude i na isti način se primjenjuje i za individualnu funkciju ponude. Grafičke prezentacije funkcije ponude će biti predstavljene u primjerima sa rješenjima.

Određivanje individualne funkcije 1.9.3. ponude iz funkcije troškova

Cilj ponuđača je da maksimizira dobit, odnosno da ponudi onu količinu dobra koja će mu, pri datoj tržišnoj cijeni, obezbijediti najveću dobit. Upravo na ovoj činjenici, i uz pretpostavku da je u pitanju tržište savršene konkurencije na kojem pojedinac ne utiče na cijenu izvodi se funkcija individualne ponude. Dobit pojedinca pri tržišnoj cijeni p se računa: D( y ) = P( y ) − C ( y ) = p ⋅ y − C ( y ) , a nivo y za koju se maksimizira dobit se određuje kad se granična dobit izjednači sa nulom, odnosno: D′( y ) = P '( y ) − C ′( y ) = p − C ′( y ) = 0 p = C ′( y )

(1.134)

Iz gornjeg izraza se zaključuje da će ponuđač ostvariti najveću dobit ukoliko cijena na tržištu bude jednaka graničnim troškovima. Zbog toga se iz jednačine p = C ′( y ) može eksplicitno izraziti y i dobiti direktni zakon ponude:

y = xˆ = xˆ ( p) . Za konkretnu cijenu p > 0 ponuda xˆ = xˆ ( p) predstavlja rješenje jednačine C ′( y = xˆ ) = p . Zakon individualne ponude u užem smislu xˆ = xˆ ( p) je inverzna funkcija funkcije graničnih troškova C ′ = C ′( y ) za dato p. Na sljedećem grafikonu su predstavljene funkcije prosječnih ukupnih troškova, prosječnih varijabilnih troškova, graničnih troškova, graničnog prihoda, prosječnog prihoda i konstantne cijene p. Na grafikonu je istaknuta konstantna cijena p koja je jednaka prosječnom i graničnom prihodu pri toj cijeni. Prije analize samog grafika, analizirajmo funkciju dobiti pri konstantnoj cijeni: 151

EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE

Poslovanje je rentabilno ako je tržišna cijena (prosječan prihod) veća od prosječnog troška, što se vidi iz izraza (1.135). Poslovanje je nerentabilno ako je tržišna cijena (prosječan prihod) manja od prosječnog troška, a ako je je tržišna cijena jednaka prosječnom trošku poslovanje je na granici rentabilnosti. >

: y >0

>

>

<

<

D( y ) = P( y ) − C ( y ) = p ⋅ y − C ( y ) = 0 ⇔ D ( y ) = p − C ( y ) = 0 ⇔ p = C <

y x

y’,

C’

p=Ρ’ = Ρ

C V

E

pu

(1.135)

V

pi M 0

yM

yV yE

y

Grafikon 28. Određivanje funkcije ponude iz funkcije troškova

Na grafikonu su označene tri karakteristične tačke M, V i E. Tačka M predstavlja minimum graničnih troškova, tačka V minimum prosječnih varijabilnih troškova i tačka E minimum prosječnih ukupnih troškova. Na horizontalnoj osi su prikazane količine y sa jedinicama mjere kj, a na vertikalnoj osi su date cijene, prosječan i graničan prihod, prosječan i graničan trošak i sve mjereno u nj/kj. Tržišna cijena p jednaka je prosječnom i graničnom prihodu i na grafikonu se vidi da postoji interval kod kojeg je prosječan prihod veći od prosječnog troška. To znači da se pri ovoj tržišnoj cijeni može ostvariti dobitak, odnosno postoji interval rentabilnog poslovanja. Sa pu je označena ulazna cijena. Ta cijena je jednaka prosječnim, odnosno graničnim troškovima u najekonomičnijem nivou proizvodnje yE. Sa grafikona se vidi da, ako je tržišna cijena jednaka ulaznoj cijeni pu, onda se prosječan prihod (koji je tada jednak pu) i prosječan trošak sijeku u jednoj tački, pa interval rentabilnosti ne postoji i najbolje poslovanje je na granicama rentabilnosti, u našem slučaju najbolja ponuda je ponuda yE. Na osnovu prethodnog i izraza (1.135) zaključujemo: ako je cijena na tržištu veća od pu pu < p = const. = P ' = P ostvaruje se dobit D > 0 i poslovanje je rentabilno jer je cijena p

152

FUNKCIJA PONUDE

veća od ukupnih prosječnih troškova p > C . što je pokazano u relaciji (1.134).

Za cijenu p = C' se maksimizira dobit kao

Kada je cijena jednaka prosječnim troškovima p = pu = C ostvaruju se granice rentabilnosti, a ako je cijena manja od prosječnih troškova p < C = pu dobit je negativna D V ( y ) → [ p − V ( y ) ] > 0 /⋅ y → [ p ⋅ y − V ( y ) ] > 0 → D ( y ) > − F . To znači da ponuđač i dalje može ostati na tržišu jer se njegov gubitak izražen fiksnim troškovima smanjuje za ΔD = [ p ⋅ y − V ( y )] > 0 . To znači da, ukoliko se cijena nalazi u granicama pi < p < pu , ponuđač ima interes da ostane na tržištu jer smanjuje gubitak.20 Ako je cijena manja od cijene pi, odnosno

p < V ( y ) → [ p − V ( y )] < 0 /⋅ y → [ p ⋅ y − V ( y )] < 0 → D( y ) = − F < 0 ponuđač nema interesa da ostane na tržištu jer tada posluje sa gubitkom, odnosno polazni gubitak koji je bio jednak fiksnim troškovima se povećava za ΔD = [ p ⋅ y − V ( y )]. Rezimirajmo: Proizvođač će ući na tržište ukoliko je cijena na tržištu veća ili jednaka od cijene pu (tzv. ulazna cijena). Za tržišnu cijenu veću od pu proizvođač će ostvariti dobitak. Što je cijena veća ponuđač će ostvarivati veću dobit.

Ako je tržišna cijena manja od pu ( p < pu ) proizvođač ima interes da kratkoročno ostane na tržištu ukoliko je cijena veća od tzv. izlazne cijene pi. Ta cijena je jednaka graničnim troškovima u nivou kod kojeg su minimalni prosječni varijabilni troškovi yV. Dakle kod cijene pi < p < pu proizvođač ostaje na tržištu jer smanjuje gubitak izražen fiksnim troškovima. 20

Vučković, Ž. , (2004), str. 178-181.

153

EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE

Za cijenu ( p < pi ) ponuđač nema interesa da ostane na tržištu jer tada posluje sa gubitkom. Zakon inverzne ponude je, za cijenu jednaku ili veću od pi, jednak funkciji graničnog troška, kao što je pokazano u izrazu (1.134).

1.9.4. Tržišna ravnoteža (ekvilibrij)

Na tržištu savršene konkurencije ravnoteža nastaje kada je agregatna ponuda nekog dobra jednaka agregatnoj tražnji za tim dobrom. Cijena za koju su funkcija ponude i funkcija tražnje jednake naziva se ravnotežna cijena. Ravnotežna cijena se određuje izjednačavanjem funkcije tražnje i ponude: q = qˆ (1.136) Za ravnotežnu cijenu količina dobra koja se nudi će biti jednaka količini dobra koja se traži na određenom tržištu u određeno vrijeme. Određivanje tržišne ravnoteže je obrađeno u primjerima sa rješenjima.

Primjer 1.31.

Date su funkcije ponude: 1) qˆ ( p ) = p 2 − 3 p + 2 2)

qˆ ( p ) = 2 p − 1

3) qˆ ( p ) = e p −1 − 3 p . 2 a) Za koje cijene p ove funkcije imaju ekonomskog smisla? Grafički predstaviti date funkcije. b) Za funkcije ponude 1) i 2) odrediti algebarske izraze funkcije elastičnosti uz grafički i tabelarni prikaz.

4) qˆ ( p ) = ln

Rješenje: a) Definiciono područje funkcija ponude p > 0; qˆ ( p ) > 0; qˆ ′( p ) > 0 . 1) p>0,

qˆ ( p ) = p 2 − 3 p + 2 > 0 ⇒ ( p − 1) ⋅ ( p − 2 ) > 0 ⇒ p ∈ (− ∞,1) ∪ (2,+∞ ) , qˆ ′( p) = 2 p − 3 > 0 ⇒ p > 3 / 2 ,

154

FUNKCIJA PONUDE

0 1

1,5 2

Odavde je definiciono područje ponude: p ∈ (2,+∞ ) . Minimalna cijena je p − = 2



Funkcija ponude je parabola sa minimumom i definisana je za:

p > 2, qˆ > 0

2

0

1

2

p

Grafikon 1.31. Funkcija ponude

2) p - 1>0 ⇒ p >1, qˆ ( p ) > 0 , qˆ ′( p) =

1 p −1

qˆ ( p ) = p 2 − 3 p + 2 > 0 , p- =1, q- = 0.

Funkcija ponude je korjena funkcija u oblasti definisanosti



p > 1; qˆ > 0

0

1

p

Grafikon 1.31.a. Funkcija ponude qˆ ( p ) = 2 p − 1

155

EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE

3) p>0, qˆ ( p) > 0 ⇒ e p −1 − 3 > 0 ⇒ e p −1 > 3 ⇒ p − 1 > ln 3 ⇒ p > ln 3 + 1 ⇒ p > ln 3e , qˆ ′( p ) = e p −1 > 0 ; za p − = ln 3e qˆ Funkcija ponude je eksponencijalna funkcija definisana za

p > 1 + ln 3; qˆ > 0

1+ln 3 0

1

p

Grafikon 1.31.b. Funkcija ponude

4) p>0, qˆ ( p ) > 0 ⇒ ln

p >0⇒ 2

qˆ ( p) = e p −1 − 3

p 1 > 1 ⇒ p > 2 ; qˆ ′( p ) = > 0; 2 2p



Funkcija ponude je logaritamska funkcija koju smo ograničili u oblasti definisanosti ponude:

p > 2; qˆ > 0

0

2

p

Grafikon 1.31.c. Funkcija ponude qˆ ( p ) = ln

156

p 2

FUNKCIJA PONUDE

b) Funkcija elastičnosti ponude u odnosu na cijenu p je uvijek pozitivna i računa se iz:

E qˆ , p =

p ⋅ qˆ ′( p) > 0 . qˆ ( p)

1) qˆ ( p ) = p 2 − 3 p + 2 p

– E qˆ , p =

p2 − 3p + 2

– ( E qˆ , p )′ =

⋅ (2 p − 3) =

2 p2 − 3p p2 − 3p + 2

> 0 definisana za p > 2

− 3p2 + 8 p − 6

< 0 za p > 2 (opadajuća funkcija) ( p 2 − 3 p + 2) 2 = 2 (horizontalna asimptota)

– lim Eqˆ , p p→+∞

– lim E qˆ , p = +∞ ⇒ p = 2 (vertikalna asimptota) p→2

– E qˆ , p = 1 ⇒

2 p2 − 3p 2

p − 3p + 2

= 1 ⇒ p 2 = 2 ⇒ p = 2 ∉ d . p.

Eqˆ , p

p

E qˆ , p

Elastičnost

p>2

+∞> E qˆ , p >2

Elastičnost

2 1 2

p

Grafikon 1.31.d. Funkcija elastičnosti ponude qˆ ( p ) = p

2

− 3 p + 2

E qˆ , p > 2 što znači da je funkcija ponude elastična.

2) –

qˆ ( p ) = 2 p − 1 p E qˆ , p = ⋅ 2 p −1

1 p −1

=

p > 0 definisana za p > 1 2( p − 1)

157

EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE

– – – –

p = 1 (vertikalna asimptota) 1 lim E qˆ , p = (horizontalna asimptota) p → +∞ 2 −1 ( E qˆ , p )′ = < 0 (opadajuća funkcija) 2( p − 1) 2 E qˆ , p = 1 ⇒ p = 2 p − 2 ⇒ p = 2 (jedinična elastičnost)

Eqˆ , p

1

p

E qˆ , p

elastičnost

p=1

E qˆ , p = ∝

savršena elastičnost

1 < p E qˆ , p > 1

elastičnost

p=2

E qˆ , p =1

jedinična elastičnost

p >2

1> E qˆ , p >1/2

neelastičnost

1/2 0

1

2

p

Grafikon 1.31.e. Funkcija elastičnosti ponude qˆ ( p ) = 2

p − 1

Primjer 1.32.

Na tržištu određenog tipa robe prisutna su tri proizvođača sa zakonima individualne ponude:

a) b) c) d)

xˆ 1 = p − 3 , xˆ 2 = 0 ,5 p − 1, xˆ 3 = p − 6 , Definisati funkcije individualnih ponuda i grafički ih predstaviti. Odrediti zakon agregatne ponude na tržištu i prikazati je grafički. Ako je q = 5 – 0,5p zakon agregatne tražnje, odrediti tačku ravnoteže. Odrediti elastičnost ponude za ravnotežnu cijenu i protumačiti rezultat.

Rješenje: a) Definišimo svaku od navedenih funkcija individualne ponude: xˆ > 0, p > 0, xˆ ′ > 0 . xˆ1 > 0 ⇒ p − 3 > 0 ⇒ p > 3; xˆ1′ = 1 > 0 , ponuda prvog proizvođača je definisana za p >3.

158

FUNKCIJA PONUDE

xˆ 2 > 0 ⇒ 0,5 p − 1 > 0 ⇒ p > 2; xˆ 2′ = 0,5 > 0 , ponuda drugog proizvođača je definisana za p >2 .

xˆ 3 > 0 ⇒ p − 6 > 0 ⇒ p > 6; xˆ 3′ = 1 > 0 , ponuda trećeg proizvođača je definisana za cijenu p >6.

0

xˆ3

xˆ 2

xˆ1

3

p

0

2

p

0

6

p

Grafikon 1.32. Funkcije individualnih ponuda

b) Sada odredimo funkciju agregatne ponude:

Agregatna ponuda je zbir svih individualnih ponuda u oblasti njihove definisanosti. xˆ 2

xˆ 2 + xˆ1

xˆ 2 + xˆ1 + xˆ3

⎧ 0,5 p − 1, p ∈ (2,3] ⎧ xˆ 2 ; p ∈ (2,3] ⎪ ⎪ qˆ ( p ) = ⎨ xˆ 2 + xˆ1 ; p ∈ (3,6] = ⎨1,5 p − 4 , p ∈ (3,6] . ⎪ xˆ + xˆ + xˆ ; p > 6 ⎪ 2,5 p − 10, p > 6 2 3 ⎩ ⎩ 1

159

EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE



5

0.5 0

2

3

p

6

Grafikon 1.32.a. Funkcija agregatne ponude

c) Tačka ravnoteže R(pR, qR) je tačka u kojoj je ponuda jednaka tražnji q( p ) = qˆ ( p) .

Definišimo datu funkciju tražnje: (p >0, q >0, q´< 0); q = 5 – 0,5p > 0 ⇒ p < 10, q´= -0,5 < 0. Dakle, tražnja je definisana za p∈(0, 10) i q∈(0, 5). Rješavajući jednačinu 1,5p – 4 = 5 – 0,5p ⇒ 2p = 9 ⇒ pR = 4,5 i qR = 2,75. Dakle, R = (4.5, 2.75).

q, qˆ

5

R

2.75 0.5 0

2

3

4,5

6

10

p

Grafikon 1.32.b. Funkcije agregatne ponude i tražnje i njihova ravnoteža

160

FUNKCIJA PONUDE

d) E qˆ , p = 4,5 =

4,5 ⋅ 1,5 = 2,45 . 2,75

Ako cijenu p sa ravnotežne cijene pR = 4,5 povećamo za 1%, ponuda sa ravnotežnog nivoa 2,75 će se povećati za približno 2,45 %. Primjer 1.33.

Preduzeće « Hlaaa », koje proizvodi hladnjake, izvršilo je analizu tržišta i dobilo sljedeći grafikon:

q, qˆ ( kom.)

30 14

0

90

160

300

Grafikon 1.33. Funkcije ponude i tražnje za hladnjacima

a) b) c) d)

Definisati tražnju i ponudu za hladnjacima. Odrediti ravnotežnu cijenu i ravnotežnu količinu hladnjaka. Pretpostavljajući linearnost funkcija pronaći njihove oblike. Ako vlada odredi da se ne smiju prodavati hladnjaci po cijeni većoj od 150$, šta će to značiti za preduzeće? e) Kako će jedinično povećanje cijene hladnjaka uticati na tražnju i ponudu? Rješenje: a) Zna se da je funkcija tražnje u zavisnosti od cijene opadajuća, a funkcija ponude u zavisnosti od cijene rastuća funkcija. Sa grafikona se uočava:

Tražnja q(p) definisana za p∈ (0, 300) i q(p)∈(0, 30); Ponuda qˆ ( p) definisana za p > 90.

161

EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE

b) Tačka ravnoteže je tačka u kojoj se sijeku funkcije tražnje i ponude; (sa grafikona P.3.1.). Ravnotežna cijena je pR = 160 $, a ravnotežna količina qR = 14 kom. c) Funkcija tražnje je linearna funkcija pa je oblika: q(p) = ap + b.

Sa grafikona se određuje da je granična cijena do koje tražnja postoji p+ =300, q = 0 i nivo zasićenja q+ = 30, p = 0. Rješavajući sistem jednačina, dobija se: 0 = 300⋅a + b 30 = a⋅0 + b ⇒ b = 30, a = -1/10 = -0,1. Funkcija tražnje je q(p) = -0,1p + 30. Funkcija ponude je linearna funkcija pa je oblika qˆ ( p) = cp + d. Sa grafikona se određuje da je najniža cijena za koju ponuda postoji p- = 90, qˆ ( p) =0; i za p = 160, qˆ ( p) =14. Uvrštavajući ove vrijednosti u funkciju ponude qˆ ( p ) = cp + d dobija se sistem jednačina: 0 = 90c + d 14 = 160c + d Rješavanjem ovog sistema određuju se vrijednosti koeficijenata: c = 0,2, d = -18, odnosno funkcija ponude je qˆ ( p) = 0,2p – 18. d) Za cijenu p < 150 $ tražnja je veća od ponude, što znači da će preduzeće sve hladnjake prodati. e) Kako je q´(p) = - 0,1 i qˆ ′( p ) = 0,2, to će za jedinično povećanje cijene tražnja opasti za 0,1, a ponuda porasti za 0,2 kom. Primjer 1.34.

Za konkretnog proizvođača nekog proizvoda poznata je funkcija troškova C(y) = 6y2 + 6y + 96. a) Odrediti njegovu funkciju ponude i količinu ponude kod poznate tržišne cijene p =30 b) Da li je njegovo poslovanje rentabilno? c) Odrediti ulaznu cijenu pu i ulaznu količinu yu iznad koje naš proizvođač izlazi sa ponudom na tržište, izlaznu cijenu pi i izlaznu količinu yi ispod koje bi naš proizvođač odustao od ponude; grafički predstaviti funkcije prosječnog ukupnog i varijabilnog troška, graničnog troška i ponude.

162

FUNKCIJA PONUDE

Rješenje:

a) Vodeći se kriterijem rentabilnosti, cilj je ostvariti maksimalnu dobit D´= 0 ⇒ C´ = P´ ⇒ C´ = p (inverzno) ⇒ xˆ ( p) . C´(y) = 12 y +6 = p ⇒ y =

p−6 p−6 ; definisana za p > 6. ⇒ xˆ ( p) = 12 12

Proizvođačeva ponuda pri cijeni p =30 bi bila: xˆ (30) = 2k . j. b) D(y) = P(y) – C(y) = 30y – 6y2 – 6y – 96 = - 6y2 + 24y – 96.

D(2) = -72 < 0 nije rentabilan pri cijeni p = 30 KM. c) Određuju se funkcije graničnog, prosječnog ukupnog i varijabilnog troška:

C´= V´= 12y + 6. C=

6 y 2 + 6 y + 96 y

V = 6y + 6 . Uvode se sljedeće standardne oznake: E(yE, pE) - tačka minimuma prosječnih ukupnih troškova, V(yV, pV) - tačka minimuma prosječnih varijabilnih troškova, M(yM, pM) - tačka minimuma graničnih troškova.

Odredimo najekonomičniji nivo proizvodnje yE (minimum prosječnih ukupnih troškova). Iz jednačine C ′ = C ⇒ 12 y + 6 =

6 y 2 + 6 y + 96 ⇒ 6 y 2 = 96 ⇒ y E = 4 C ′(4) = C (4) = 54 . y

Kako su funkcije graničnog troška i prosječnog varijabilnog troška rastuće linearne funkcije, to će imati minimalnu vrijednost za y = 0. Dakle, karakteristične tačke su E = (4, 54) i V=M = (0, 6) .

163

EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE

C ′, C ,V xˆ 54

E

30 4 2 6

V 0 2 4

0 6

30

54

p

y

Grafikon 1.34. Funkcije prosječnog ukupnog troška, prosječnog varijabilnog troška i graničnog troška

Grafikon 1.34.a. Funkcija ponude proizvođača (grafik funkcije ponude je inverzan grafiku funkcije graničnog troška)

Kako je P ' = P = p , to iz grafika vidimo da je za p > pE = 54 prosječni prihod veći od prosječnog troška, pa bi proizvođač bio rentabilan, ostvaruje dobit i izlazi na tržište sa svojom ponudom, što znači ulazna cijena pu = pE = 54 i ulazna količina yu = yE = 4. Nadalje, za cijenu pV < p < pE prosječni prihod je manji od prosječnog troška, proizvođač nije rentabilan, ima gubitak koji je manji od gubitka za fiksne troškove, izlazi sa ponudom i minimizira gubitak. Za p < pV proizvođač odustaje od ponude, što znači izlazna cijena pi = pV = 6 i izlazna količina yi = yV = 0. Primjer 1.35.

Kod nekog proizvođača poznata je funkcija prihoda P (q) = 30q − 3q 2 i nepotpuna funkcija troškova C (q) = A + 2q + q 2 . a) Odrediti vrijednost parametra A ako se zna da je najekonomičniji nivo proizvodnje q e = 24 kj . b) Odrediti algebarski izraz funkcije dobiti i dati grafički prikaz, uz obilježavanje karakterističnih tačaka i intervala nerentabilnosti. c) Odrediti funkciju proizvođačeve ponude, oblast definisanosti i grafički je predstaviti.

164

FUNKCIJA PONUDE

Rješenje: a) P (q ) = 30q − 3q 2 ;

C ( q ) = A + 2q + q 2 ;

⎛ A + 2q + q 2 C (q e ) = 0 ⇒ C = ⎜⎜ q ⎝ '

'

q e = 24 kj

'

⎞ A ⎟⎟ = 0 ⇒ 1 − 2 = 0 ⇒ A = 24 q ⎠

b)

D(q) = P(q) − C (q) D(q) = 30q − 3q 2 − (q 2 + 2q + 24)

ekstrem: D ' (q) = (−4q 2 + 28q − 24) ' = 0 − 8q + 28 = 0

D(q) = −4q 2 + 28q − 24 D(q) = 0 ⇒ −4q 2 + 28q − 24 = 0 Nule : q1 = 1 , q2 = 6

D(q D ) = D(3,5) = −4 ⋅ 3,5 + 28 ⋅ 3,5 − 24 = 60

q ∈ (0, 1) ∪ (6, + ∞)

D max (7 / 2,60)

q1 = 1 , q2 = 6

F = 24

qD = 7 / 2

q ∈ (1, 6) D(q)

xˆ Dmax(3,5;60)

60

0

1

qD=3,5

6

q

0

2

p

-F Interval nerentabilnosti

Grafikon 1.35. Funkcija dobiti

Grafikon 1.35.a. Funkcija ponude

c)

165

EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE

C ' (q ) = p inverzna funkcija ponude 2q + 2 = p 1 1 p − 1 ⇒ xˆ = p − 1 2 2 D.P. p ∈ (2, + ∞ )

q=

Primjer 1.36.

Grafička kuća „Book“ je procijenila troškove štampanja i uvezivanja kompleta knjiga za potrebe Gradske biblioteke. Utvrđeno je da su fiksni troškovi F = 400 KM. U tabeli su bilježeni varijabilni troškovi proizvodnje jednog kompleta knjiga i metodom najmanjih kvadrata procijenjena je funkcija varijabilnih troškova: Broj knjiga 0 Varijabilni trošak

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

0 12 30 60 95 140 190 255 320 400 480 570 670 780 890 1020 1150 V

1400

V = 4y 2 +8y R2 = 1

1200 1000 800 600 400 200 0 -200

0

5

10

15

y 20

a) Koliko kompleta knjiga treba proizvesti da bi se minimizirali prosječni troškovi proizvodnje? b) Ako je tržišna cijena kompleta knjiga 120 KM, koliko kompleta bi bilo najbolje štampati? Zašto? c) Da li bi poslovanje bilo rentabilno ako biste pri ovoj cijeni p = 120 KM ponudili 10 kompleta knjiga? d) Odrediti najmanju cijenu pri kojoj bi optimalna ponuda obezbijedila grafičkoj kući «Book» rentabilno poslovanje? Odgovor obrazložiti uz grafički prikaz.

166

FUNKCIJA PONUDE

Rješenje: a) C(y) = 4y2 +8y + 400 funkcija ukupnog troška;

Funkcije graničnog i prosječnog troška su: C ′( y ) = 8 y + 8;

C ( y) = 4 y + 8 +

400 . y

Da bi našli minimum prosječnih troškova proizvodnje: C ′( y ) = 0 ⇒ 4 −

400 = 0 ⇒ y 2 = 100 ⇒ y E = 10 . 2 y

Dakle, najekonomičnije bi bilo štampati 10 kompleta knjiga. b) Ako je p =120 KM jednog kompleta, tada bi prihod Π(y) =120y, pa bi funkcija dobiti bila D(y) = Π(y) – C(y) = - 4y2 +112y – 400. D´(y)= -8y + 112 = 0 ⇒ yD =14 . Najbolje bi bilo štampati 14 kompleta knjiga, jer bi tada grafička kuća ostvarila maksimalnu dobit. c) D(y) = 0 ⇒ y1 = 4,2; y2 = 23,8. D(y) > 0 za y∈(4,2; 23,8), tj. poslovanje grafičke kuće bi bilo rentabilno ako bi štampali između 4 i 24 kompleta knjiga. Ako bi ponudili 10 kompleta, bili bi rentabilni. d) Najmanja cijena pri kojoj bi optimalna ponuda obezbijedila grafičkoj kući rentabilno poslovanje je pE = C´(yE) = 88 KM.

C' 120

A

88

8 0

D

C V

B

E

4.2

10

14

23.8

Grafikon 1.36. Funkcije ukupnog prosječnog troška, prosječnog varijabilnog troška, graničnog troška i prosječnog , graničnog prihoda uz karakteristične tačke

167

EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE

(A, B) : P = C = 120 ⇒ (4,2; 23,8) - interval rentabilnosti D: P ' = C ′ = 120 ⇒ yD = 14 – najrentabilniji nivo proizvodnje E: C ′ = C = 88 ⇒ YE = 10 – najekonomičniji nivo proizvodnje

Primjer 1.37.

Poznata je funkcija ponude jednog proizvođača xˆ ( p ) = 2 p − 1 . a) Odrediti funkciju ukupnog troška ovog proizvođača ako se zna da je najekonomičniji nivo njegove proizvodnje ye = 10 k.j. b) Odrediti funkcije prosječnog ukupnog i varijabilnog troška, graničnog troška i grafički ih predstaviti uz obilježavanje karakterističnih tačaka (yu, yi, pu, pi). Pri kojoj cijeni bi ovaj proizvođač bio rentabilan? c) Izračunati elastičnost ponude za cijenu p = pu i objasniti rezultat. Rješenje: a) Definiše se funkcija ponude:

p - 1>0 ⇒ p >1, xˆ ( p) > 0 , xˆ ′( p) =

1 p −1

> 0 , p- =1, q- = 0.

Označva se sa y = xˆ ( p ) > 0 nivo proizvodnje ovog proizvođača koji će ponuditi na tržištu. y = 2 p −1 ⇒

y = 2

p −1 ⇒

y2 y2 = p −1 ⇒ + 1 = p = C ′( y ) . 4 4

Dakle, funkcija graničnog troška je C ′( y ) =

y2 + 1 . Treba odrediti funkciju ukupnog 4

⎞ ⎛ y2 y3 troška: C ( y ) = ∫ ⎜⎜ + y+F. + 1⎟⎟dy = 12 ⎠ ⎝ 4

Kako je poznat nivo najekonomičnije proizvodnje ye = 6, to je C (6) = C ′(6) = 10 dobiva se:

168

FUNKCIJA PONUDE

63 y3 + 6 + F = 60 ⇒ F = 36 ; C ( y ) = + y + 36 . 12 12 b) C ′( y ) =

y2 y2 y2 36 + 1; C ( y) = +1+ ; V ( y) = + 1. 4 12 12 y

Analiza funkcija troškova: 1. Funkcije C ′( y ) i V ( y ) su pozitivne kvadratne funkcije koje imaju za y ≥ 0 minimalnu vrijednost 1 za y =0 ⇒ M = V = (0, 1). 2. Funkcija C ( y ) je pozitivna funkcija čija je vertikalna asimptota y = 0, i ima minimum za y = ye = 6 čija vrijednost iznosi 10 ⇒ E = (6, 10). C′

C V

(pu) 10

(pi) 1 0(yi)

6 (yu)

y

Grafikon 1.37. Funkcije prosječnog ukupnog i varijabilnog troška i graničnog troška

Ulazna cijena pu = 10 novčanih jedinica i ulazna količina yu = 6 kj iznad koje naš proizvođač izlazi sa ponudom na tržište, ostvaruje dobit, tj. rentabilan je; Izlazna cijena pi je 1 novčana jedinica ispod koje bi naš proizvođač odustao od ponude yi = 0. c) E qˆ , p =10 =

p 2 p −1



1 p −1

=

10 5 p = = ≈ 0,55 . 2( p − 1) 18 9

Ako se cijena sa nivoa p = 10 poveća za 1%, ponuda će se sa nivoa 6 povećati za približno 0,55%. 169

1.10. Funkcije proizvodnje Funkcije proizvodnje su, kao instrumenti ekonomske analize, prvo definisane na mikronivou kao relacije između utrošaka pojedinih faktora proizvodnje i obima proizvodnje, gdje su utrošci i obim proizvodnje izraženi u količinskim jedinicama. Proizvodna funkcija kao instrument mikroekonomske analize može se, uz izvjesne modifikacije, primijeniti na nivou većih privrednih cjelina, pa i na nivou cijele privrede. «Sve dok se na neki način može izmjeriti masa proizvodnih utrošaka, s jedne, i količina različitih gotovih proizvoda i usluga, s druge strane, i sve dok se između tih dvaju kategorija mogu uspostaviti izvjesne analitičke veze, proizvodna funkcija može da posluži kao pogodan i efikasan instrument u teoriji proizvodnje i na nivoima koji su viši od nivoa preduzeća. Od velikog je značaja činjenica da proizvodna funkcija primenjena na celu privredu ima ista analitička svojstva kao i proizvodna funkcija na nivou preduzeća, a njena ekonomska interpretacija na tom znatno višem nivou potpuno je analogna njenoj interpretaciji na najnižem nivou, tj. na nivou jednog proizvodnog procesa ili nekog homogenog, i zato relativno malog, proizvodnog kompleksa».21 Funkcije proizvodnje se kao instrument ekonomske analize primjenjuju na makronivou, uz pretpostavku da relacije između posmatranih agregata održavaju tehnologiju date privrede, kao što odgovarajuće relacije na mikronivou odražavaju tehnologiju datog proizvodnog procesa. Funkcije proizvodnje predstavljaju analitički izraz proizvodnje koji specificira tehnološke relacije između proizvodnje i faktora koji su utrošeni u tu proizvodnju. Ove funkcije definišu vezu koja postoji između angažovanih inputa i izraz su tehnoloških znanja koja egzistiraju u određenom skupu proizvodnih procesa i koja definišu sve kombinacije gotovih proizvoda, koje se mogu dobiti na osnovu odgovarajućih kombinacija faktora proizvodnje, kao i kombinacije svih faktora proizvodnje koje rezultiraju u određenoj kombinaciji gotovih proizvoda. Polazeći od pretpostavke da se faktori proizvodnje koriste na najefikasniji način, ovim funkcijama se izražava maksimalan output kao funkcija varijabilnih inputa. Iako je funkcija proizvodnje osnovni analitički instrument u kvantitativnoj analizi rasta, ona je predmet brojnih kontraverzi u pogledu opravdanosti njene primjene.22

21 22

Madžar, Lj., (1976), str. 131. Vidjeti detaljnije u Bazler-Madžar, M., (1975).

170

FUNKCIJE PROIZVODNJE

1.10.1. Osobine funkcija proizvodnje

Funkcija proizvodnje se analitički izražava sljedećom relacijom: Q = F ( X 1 , X 2 ,... X n ), Q ≥ 0, X i ≥ 0 , i = 1,2,…n.

(1.137)

uz pretpostavku da su faktori proizvodnje Xi i proizvodnja Q kontinuirane varijable i da postoji mogućnost supstitucije faktora proizvodnje. Iz ekonomske teorije proizilaze poželjne osobine funkcija proizvodnje, koje se za funkciju (1.137) mogu izraziti na sljedeći način: 1. Prva poželjna osobina funkcija proizvodnje se odnosi na granične proizvode. Granični proizvodi funkcija proizvodnje moraju biti nenegativni u relevantnom intervalu proizvodnje: ∂Q ≥0, ∂X i

i = 1,2,…,n.

(1.138)

To znači da u tom intervalu, pri povećanom angažovanju bilo kod faktora proizvodnje, uz zadržavanje nepromijenjenog nivoa ostalih faktora proizvodnje, proizvod ne smije biti umanjen, odnosno mora se povećati ili ostati nepromijenjen. Ova osobina se matematički izražava nenegativnoću parcijalnih izvoda funkcije proizvodnje. 2. Druga osobina se odnosi na zakon opadajućih prinosa kao poseban slučaj zakona varijabilnih proporcija. Zakon varijabilnih proporcija implicira promjene proizvodnje koje nastaju kao rezultat povećanja utroška samog jednog faktora, ako su količine ostalih faktora nepromijenjene. Proizvodnja se, zavisno od promjena varijabilnog faktora, mijenja različito, ali poslije izvjesne granice («iza neke tačke») marginalni prirast će početi opadati. To je rezultat činjenice da se stalnim povećanjem utroška samo jednog faktora, uz fiksni nivo ostalih faktora, kombinacija utrošaka sve više udaljava od tehnološki efikasnog područja proizvodnje. Zakon opadajućih prinosa se formuliše «za onaj interval varijacije promjenljivog utroška, u kome njegova sukscesivna povećanja daju sukscesivno opadajuće priraste proizvodnje».23 Zakon opadajućih prinosa važi u sljedećim uslovima: « (1) tehnika proizvodnje je data i u posmatranom trenutku vremena se ne mijenja; (2) utrošak bar nekih proizvodnih usluga je konstantan; (3) postoji mogućnost variranja proporcija utroška, jer inače bi marginalni proizvod bio stalno jednak nuli i (4) «iza neke tačke» znači iza utroška koji se obično

23

Madžar, Lj., (1972), str. 31.

171

EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE

postizava».24 Ovaj zakon se matematički izražava kao smanjivanje marginalnih proizvoda negativnom vrijednošću drugog parcijalnog izvoda funkcije proizvodnje:

∂ 2Q < 0 , i = 1,2,...,n. ∂X i2

(1.139)

3. Treća poželjna osobina funkcija proizvodnje pretpostavlja postojanje konačne granice za granični proizvod ako se jedan faktor beskonačno povećava, a ostali faktori ostaju nepromijenjeni. To znači da se ne može sva proizvodnja ostvariti ulaganjem u samo jedan faktor proizvodnje. Ova osobina će biti zadovoljna ako važi relacija:

lim

xi →∞

∂Q ≤ 0 , i = 1, 2, …, n. ∂xi

(1.140)

Proizvodna funkcija

Q = Q ( xi )

{x j = const , ∀j ≠ i}

0

A

B

C

xi

Zakon opadajućih prinosa

Prosječna funkcija Q x i A

0

B

Područje racionalnih odluka

xi

C

Granična funkcija Q ′x i Područje neracionalnih odluka

Grafikon 29. Funkcija proizvodnje Q = Q(xi) 24

Horvat, B., (1972), str. 16.

172

FUNKCIJE PROIZVODNJE

U daljoj analizi će se koristiti dvofaktorska funkcija proizvodnje: Q = F (R, K), Q>0, R>0, K>0

(1.141)

u kojoj Q predstavlja nivo proizvodnje, a R i K faktore rad i kapital angažovane u proizvodnom procesu. Da bi funkcija proizvodnje Q = F (R, K) zadovoljila tri navedene poželjne osobine funkcije proizvodnje, moraju biti ispunjeni sljedeći uslovi: 1.

∂Q ≥ 0, ∂R

∂Q ≥0 ∂K

(1.142)

2.

∂ 2Q < 0, ∂R 2

∂ 2Q >0, ∂K 2

(1.143)

3.

∂Q ≤0 R → ∞ ∂R lim

∂Q ≤0 K →∞ ∂K lim

(1.144)

1.10.2. Granična funkcija proizvodnje

Granična funkcija proizvodnje se definiše kao prvi izvod funkcije proizvodnje po svakom od analiziranih faktora proizvodnje, uz pretpostavku da ostali faktori proizvodnje ostanu konstantni. Za funkciju Q = F ( X 1 , X 2 ,... X n ), Q ≥ 0, X i ≥ 0 , i = 1,2,…n. granična funkcija ili granični proizvod se određuju pomoću parcijalnog izvoda na sljedeći način: ∂Q = Qx′i > 0, ∂X i

i = 1, 2,..., n.

(1.145)

Ekonomsko objašnjenje prethodnog izraza je sljedeće: ukoliko se utrošak faktora Xi poveća za jednu jedinicu mjere u kojoj je faktor izražen, a ostali faktori ostanu konstantni, nivo ukupne proizvodnje Q će se povećati za onoliko jedinica koliko iznosi granični proizvod, tj. za Q x′i jedinica. Može se izračunati onoliko graničnih funkcija proizvodnje koliko ima faktora koji su uključeni u funkciju proizvodnje. Za prethodnu funkciju se može odrediti n graničnih funkcija proizvodnje. Za dvofaktorsku funkciju proizvodnje Q = F (R, K) mogu se odrediti dvije funkcije granične proizvodnje i to granična proizvodnja po faktoru R i granična proizvodnja po faktoru K. Granična proizvodnja u odnosu na faktor rad je jednaka: ∂Q = QR′ > 0 ∂R

(1.146) 173

EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE

i pokazuje da će se ukupna proizvodnja povećati za QR′ jedinica ukoliko se faktor rad poveća za jednu jedinicu, a faktor kapital ostane nepromijenjen. Granična proizvodnja u odnosu na faktor kapital se određuje sljedećim izrazom: ∂Q = QK′ > 0 ∂K

(1.147)

i njeno značenje je sljedeće: ukoliko se faktor kapital poveća za jednu jedinicu, a faktor rad ostane nepromijenjen, ukupna proizvodnja će se povećati za onoliko jedinica koliko iznosi granična proizvodnja, dakle za QK′ jedinica.

1.10.3. Prosječna funkcija proizvodnje

Prosječna funkcija proizvodnje se za funkciju ukupne proizvodnje: Q = F ( X 1 , X 2 ,... X n ), Q ≥ 0, X i ≥ 0 , i = 1,2,…n., definiše sljedećim izrazom: Qxi =

Q Xi

i = 1, 2,..., n.

(1.148)

U slučaju gore navedene funkcije proizvodnje može se odrediti n prosječnih funkcija proizvodnje jer je funkcija proizvodnje definisana kao funkcija n faktora proizvodnje. Prosječna funkcija proizvodnje pokazuje koliko se u prosjeku po svakoj jedinici angažovanog faktora X i ostvari jedinica ukupne proizvodnje uz pretpostavku da ostali faktori proizodnje ostaju nepromijenjeni. Za dvofaktorsku funkciju proizvodnje Q = F (R, K) mogu se odrediti dvije funkcije prosječne proizvodnje, i to prosječna proizvodnja u odnosu na faktor R i prosječna proizvodnja u odnosu na faktor K. Prosječna funkcija proizvodnje u odnosu na faktor rad je jednaka: QR =

Q , K = const. R

(1.149)

Prosječna funkcija proizvodnje u odnosu na faktor rad pokazuje koliko se u prosjeku po svakoj utrošenoj jedinici faktora rad ostvari jedinica ukupne proizvodnje uz pretpostavku da je faktor kapital ostao konstantan. Ova funkcija naziva se i funkcijom produktivnosti rada. Prosječna funkcija proizvodnje u odnosu na faktor kapital je jednaka:

174

FUNKCIJE PROIZVODNJE

QK =

Q , R = const. K

(1.150)

Prosječna funkcija proizvodnje u odnosu na faktor kapital pokazuje koliko se u prosjeku po svakoj utrošenoj jedinici faktora kapital ostvari jedinica ukupne proizvodnje uz pretpostavku da je faktor rad ostao konstantan. Ova funkcija naziva se i funkcijom produktivnosti, odnosno efikasnosti kapitala.

1.10.4. Vertikalni i horizontalni presjeci proizvodne površine

Proizvodnu površinu, vertikalne i horizontalne presjeke proizvodne površine dvofaktorske funkcije proizvodnje Q = F(R,K), koja ispunjava poželjne osobine, predstavljamo na sljedećim grafikonima:25 Na grafikonu 30. su prikazani vertikalni presjeci proizvodne površine, odnosno presjeci proizvodne površine Q = F(R,K) i ravni K = const (prikazani su presjeci sa tri ravni: K = K1, K = K2, K = K3). Vertikalni presjeci proizvodne površine su krive koje pokazuju kako se mijenja proizvodnja u zavisnosti od promjene R kada je K fiksirano.

Q = F (R, K = const) ) .

Grafikon 30. Vertikalni presjeci proizvodne površine funkcije proizvodnje Q = F (Ri, K).

25

Somun-Kapetanović, R., (1986), str. 43 - 44.

175

EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE

Grafikon 31. Vertikalni presjeci proizvodne površine funkcije proizvodnje Q = F (R, Ki).

Vertikalni presjeci prikazani na grafiku 31. su presjeci proizvodne površine Q = F(R,K) i ravni R = const (prikazani su presjeci sa tri ravni: R = R1, R = R2, R = R3). Vertikalni presjeci su krive koje pokazuju kako se mijenja proizvodnja u zavisnosti od promjene faktora K kada je faktor R fiksiran: (Q = F (R = const, K )) .

Grafikon 32. Proizvodna površina dvofaktorske funkcije proizvodnje Q = F (R, K)

176

FUNKCIJE PROIZVODNJE

Na grafikonu 32. su prikazani horizontalni presjeci proizvodne površine, odnosno presjeci proizvodne površine i ravni Q = Q0 . Istaknuta je kriva koja predstavlja horizontalni presjek (kriva sa krajnjim tačkama AB) i dio te krive koji zadovoljava poželjne osobine funkcije proizvodnje (kriva sa krajnjim tačkama CD). Interval u kojem su zadovoljene osobine funkcije proizvodnje nazivamo interval racionalnih odluka. Na sljedećem grafikonu su predstavljeni horizontalni presjeci proizvodne površine za razne nivoe proizvodnje Q.

Grafikon 33. Horizontalni presjeci proizvodne površine funkcije proizvodnje Q = F (R, K)

Krive horizontanih presjeka proizvodne površine pokazuju sve kombinacije utrošaka faktora proizvodnje koji daju istu količinu proizvodnje. Te krive se nazivaju izokvantama. Izokvanta se algebarski može izraziti implicitnom funkcijom: F ( R, K ) = Q0 gdje je Q = const. = Q0

(1.151)

Izokvanta se može izraziti i eksplicitnom funkcijom polazeći od opšteg oblika funkcije proizvodnje Q=F (R, K). Uz pretpostavku da je nivo proizvodnje konstantan, faktor K se izražava eksplicitno kao funkcija konstantnog nivoa proizvodnje Q0 i faktora R. Analitički oblik izokvante u ovom slučaju je dat sljedećim izrazom: K = F ( R, Q0 ), K = f ( R), Q0 = const.

(1.152)

Totalnim diferenciranjem jednačine Q = F ( R, K ) dobija se relacija: dQ =

∂Q ∂Q ⋅ dR + ⋅ dK ∂R ∂K

(1.153) 177

EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE

Uz pretpostavku da je Q = const . ⇒ dQ = 0 i dobija se sljedeći izraz QR′ ⋅ dR + QK′ ⋅ dK = 0

(1.154)

iz kojeg se nalazi nagib izokvante K = f ( R, Q0 ) : dK Q′ = − R < 0. dR QK′

(1.155)

Parcijalni izvodi na desnoj strani jednačine predstavljaju granične proizvode funkcije. Granični proizvodi funkcije imaju pozitivne vrijednosti u oblasti racionalnih odluka, pa je nagib izokvante negativan. Izokvante su, prema tome, opadajuće krive. Spajanjem tačaka u kojima nagibi izokvanti imaju istu vrijednost dobiju se krive koje se nazivaju izokline. Algebarski izraz izokline dat je jednačinom: Q′ dK = − R = −k dR QK′

k=

QR′ QK′

(1.156)

u kojoj je k nagib izokline. Za pozitivne vrijednosti nagiba izokline k definisano je područje racionalnih odluka, odnosno područje u kome su granični proizvodi faktora pozitivni. U tom području povećanje utroška jednog faktora izaziva smanjenje utroška drugog faktora da bi ukupna proizvodnja ostala nepromijenjena. Izokline za k = 0 i k = + ∞ predstavljaju granične slučajeve jer omeđuju područje racionalnih odluka u kome su ispunjene poželjne osobine funkcija proizvodnje i nazivaju se linije grebena proizvodne površine (g1 i g2 na grafikonu 32.). Izokvante karakterišu i sljedeće osobine: izokvante koje su više udaljene od koordinatnog početka odgovaraju većem nivou proizvodnje jer je funkcija proizvodnje rastuća. Izokvante se ne sijeku i konveksne su u odnosu na koordinatni početak.26

1.10.5. Granična stopa supstitucije faktora proizvodnje

Nagib izokvatne koji je izveden u prethodnom dijelu i izražen relacijom (1.155) predstavlja graničnu stopu supstitucije faktora proizvodnje (R i K). Granična stopa supstitucije faktora proizvodnje se definiše kao količnik graničnih proizvoda funkcije proizvodnje: 26

Dokaz za ove osobine vidjeti u Vučković, Ž., (2004), str. 210 - 220.

178

FUNKCIJE PROIZVODNJE

S=

dK Q′ =− R 0. (1.165) Za dati nivo utrošaka dva posmatrana faktora proizvodnje ostvario bi se nivo proizvodnje Q ≥ 0 uz odgovarajuće troškove C ≥ 0. Uz pretpostavku da su troškovi poznati i konstantni (C=const.,) definiše se izocost prava. To je prava na kojoj svaka kombinacija utrošaka faktora za rezultat ima iste troškove proizvodnje: C = pR ⋅ R + pK ⋅ K = CC = const. (1.166) Diferenciranjem gornjeg izraza se dobija izraz za koeficijent smjera, tj. nagib funkcije troškova: dC = pR ⋅ dR + pK ⋅ dK 0 = pR ⋅ dR + pK ⋅ dK

(1.167)

p dK =− R dR pK

Nalaženjem presjeka sa koordinatnim osama može se nacrtati grafik funkcije troškova, odnosno izocost prave: C = CC = pR ⋅ R + pK ⋅ K = const. (1.168) Presjeci sa osama su:

27

Po analogiji izocost prava se može izvesti i za bilo koju drugu dvofaktorsku funkciju proizvodnje u kojoj su faktori označeni drugim simbolima kao npr. Q=F(X1, X2) .

181

EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE

K = 0 ⇒ CC = pR ⋅ R ⇒ R =

CC >0 pR

(1.169)

C R = 0 ⇒ CC = pK ⋅ K ⇒ K = C > 0 pK K

CC pK

CC pR

0

R

Grafikon 35. Izocost prava

Svaka izocost prava ima sljedeće osobine: dK p 1. Negativan nagib =− R dR pK 2. Za veći nivo troškova izocost prava se udaljava paralelno sama sebi od koordinatnog početka jer su za veći iznos troškova presjeci sa koordinatnim osama K i R veći kod determinisanih cijena za ova dva faktora proizvodnje.

1.10.8. Optimalna kombinacija faktora proizvodnje

U određivanju optimalne kombinacije faktora proizvodnje mogu se javiti dva slučaja. Prvi slučaj je određivanje minimalnih troškova proizvodnje kod zadatog nivoa proizvodnje. Za ostvarenja iste količine proizvodnje potrebno je, između različitih kombinacija ulaganja faktora proizvodnje, odbrati kombinaciju faktora koja će rezultirati u najnižim troškovima proizvodnje. Drugi slučaj je određivanje maksimalnog nivoa proizvodnje kod zadatih troškova proizvodnje. U ovom slučaju potrebno je odrediti kombinaciju faktora proizvodnje koja će, uz zadate troškove, omogućiti ostvarenje maksimalnog nivoa proizvodnje. 182

FUNKCIJE PROIZVODNJE

Postupak za utvrđivanje optimalne kombinacije faktora proizvodnje je sljedeći. UpoređujudK Q′ ći izraze za graničnu stopu supstitucije S = = − R < 0 koja predstavlja nagib dR QK′ dK p izokvante i izraz za nagib izocost prave = − R < 0 konstatuje se da su im lijeve stradR pK ne jednake. Izjednačavajući desne strane ova dva izraza dobija se uslov za izračunavanje optimalne kombinacije faktora proizvodnje: QR′ p = R QK′ pK

(1.170)

Optimalna kombinacija faktora proizvodnje se postiže onda kada je odnos graničnih proizvoda jednak odnosu cijena utrošenih faktora proizvodnje, tj. kada je granična stopa tehnološke supstitucije jednaka graničnoj stopi ekonomske supstitucije. ƒ Određivanje minimalnih troškova za poznati nivo proizvodnje

Ukoliko je nivo proizvodnje poznat i konstantan za određivanje najnižih troškova uz koje se taj nivo proizvodnje može realizovati, potrebno je riješiti sistem sljedeće dvije jednačine: 1. Q ( R, K ) = QC = cons.t QR′ p 2. = R QK′ pK

(1.171)

Određivanje optimalne kombinacije u ovom slučaju se može predstaviti na sljedećem grafikonu:

K QC=const. C3 C2

Kˆ 0

P C1



R

Grafikon 36. Određivanje minimalnih troškova za konstantan nivo proizvodnje

183

EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE

Na grafikonu su predstavljene tri izocost prave C3 > C2 > C1 i izokvanta Qc koja predstavlja određeni konstantni nivo proizvodnje. Optimalna kombinacija faktora koja minimizira troškove za dati nivo proizvodnje se postiže u tački u kojoj je zadovoljen uslov da je koeficijent smjera (nagib) izokvante jednak koeficijentu smjera (nagibu) izocost prave, tj.



Q R′ p =− R Q K′ pK .

To je tačka u kojoj je izocost prava C2 tangenta na izokvantu QC = const. Na grafikonu je ta tačka označena sa P. Nivo proizvodnje QC se ne bi mogao realizovati uz troškove C1, jer ove dvije funkcije nemaju zajedničkih tačaka. Nivo proizvodnje QC ima presječne tačke sa izocost pravom C3 što znači da bi se mogao realizovati uz ove troškove. Međutim, to bi značilo da se nivo proizvodnje QC ostvaruje uz veće troškove (troškove C3) što nije optimalno, jer se nivo proizvodnje QC može proizvesti uz niže troškove, troškove C2. ƒ Određivanje maksimalnog nivoa proizvodnje uz zadate troškove

U ovom slučaju potrebno je odrediti kombinaciju faktora proizvodnje koja će, uz zadate troškove, omogućiti ostvarenje maksimalnog nivoa proizvodnje. Optimalna kombinacija se u ovom slučaju određuje rješavanjem sistema od sljedeće dvije jednačine: 1. C ( R, K ) = CC = const. QR′ p 2. = R QK′ pK

(1.172)

Iz gornjeg uslova slijedi da će se optimalna kombinacija ostvariti u tački u kojoj izocost prava bude tangenta na jednu od izokvanti koje predstavljaju različite nivoe proizvodnje. Određivanje maksimalnog nivoa proizvodnje za zadate troškove će biti ilustrovano i objašnjeno na sljedećem grafikonu. Na grafikonu 37. su predstavljena tri različita nivoa proizvodnje Q3 > Q2 > Q1 i izocost prava CC . Optimalna kombinacija faktora koja maksimizira proizvodnju uz zadate troškove postiže se u tački u kojoj je zadovoljen uslov da je koeficijent smjera (nagib) izokvante jednak koeficijentu smjera (nagibu) izocost prave, tj.



184

Q R′ p =− R Q K′ pK .

FUNKCIJE PROIZVODNJE

K Q2

Q3

Q1

CC P

Kˆ Rˆ

R

Grafikon 37. Određivanje maksimalne proizvodnje uz zadate troškove

To je tačka u kojoj je izocost prava tangenta na izokvantu Q2. Na grafikonu ta tačka je označena sa P. Nivo proizvodnje Q3 se ne bi mogao realizovati uz zadate troškove jer nemaju zajedničkih tačaka sa izocost pravom. Nivo proizvodnje Q1 ima presječne tačke sa izocost pravom što znači da bi se mogao realizovati. Međutim, bilo bi neracionalno uz zadate troškove proizvoditi manji nivo proizvodnje Q1, jer se za iste troškove može proizvesti veći nivo proizvodnje, nivo Q2.

1.10.9. Oblici funkcija proizvodnje

Oblici funkcija proizvodnje mogu da budu različiti jer mnoge algebarske funkcije zadovoljavaju ekonomsko-tehnološke karakteristike. Pored poželjnih osobina, mnoge funkcije proizvodnje imaju i specifične karakteristike, pa izbor konkretnog oblika funkcije proizvodnje zavisi od proizvodnog procesa koji se istražuje i analizira. Najpoznatija i najčešće primjenjivana od svih funkcija proizvodnje je Cobb-Douglasova funkcija proizvodnje28 koja ima sljedeći oblik: Q = ARα K β

(1.173)

Q > 0, A > 0, R > 0, K > 0, α + β = 1

u kojem Q predstavlja proizvodnju, R i K faktore proizvodnje, parametar A predstavlja parametar efikasnosti, a α i β su parametri koje treba ocijeniti, a koji predstavljaju koeficijente elastičnosti proizvodnje u odnosu na faktor rad i faktor kapital. 28

Ovu funkciju su (uz ograničenje α+ β = 1) 1927. godine predložili i empirijski testirali Cobb, C. W. i Douglas, P. H.

185

EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE

Ukoliko je zbir koeficijenata elastičnoti proizvodnje u odnosu na faktore R i K jednak jedinici α + β = 1 , funkcija proizvodnje je linearno homogena i može se napisati u sljedećem obliku: Q = AR1− β K β

(1.174)

iz kojeg se može izvesti prosječna funkcija proizvodnje po faktoru R, koja se naziva i funkcija produktivnosti q=

Q AR1− β K β = = AR − β K β R R

(1.175)

Funkcija produktivnosti se može napisati kao funkcija kapitalne opremljenosti rada: K q = A( ) β = Ac β R

(1.176)

Ukoliko se u funkciju uvede kao treći faktor tehnički progres, funkcija (1.173) dobija sljedeći oblik Q = ARα K β eγ t

(1.177)

Funkcija produktivnosti sa uključenim tehničkim progresom je jednaka q=

Q AR1− β K β e ϒt = = AR − β K β eγ t R R

(1.178)

odnosno, K q = A( ) β eγ t = Ac β eγ t . (1.179) R U primjerima koji slijede poslije ovih teoretskih analiza i obrazloženja su predstavljeni i analizirani različiti tipovi funkcija proizvodnje.

Primjer 1.38.

Da li opšti oblik funkcije Q = A ⋅ R α ⋅ K β gdje A > 0, 0 < α < 1, 0 < β < 1 ima poželjne osobine? Rješenje: a)

∂Q = α ⋅ A ⋅ R −(1−α ) ⋅ K β > 0 za α > 0 ∂R ∂Q = β ⋅ A ⋅ R α ⋅ K −(1− β ) > 0 za β > 0 ∂K

186

FUNKCIJE PROIZVODNJE

Zadovoljen uslov pozitivnog prinosa. b)

∂ 2Q Q = −α ⋅ (1 − α ) ⋅ A ⋅ 2 < 0 za α < 1 2 R ∂R ∂ 2Q Q = − β ⋅ (1 − β ) ⋅ A ⋅ 2 < 0 za β < 1 2 ∂K K Zadovoljen uslov opadajućeg graničnog prinosa.

⎧ Kβ ⎫ 1 c) lim ⎨α ⋅ A ⋅ 1−α ⎬ = α ⋅ A ⋅ K β ⋅ lim 1−α = 0 R →∞ R →∞ R R ⎭ ⎩ ⎧ Kβ ⎫ 1 lim ⎨β ⋅ A ⋅ 1−α ⎬ = α ⋅ A ⋅ K α ⋅ lim 1−α = 0 K →∞ K →∞ K R ⎭ ⎩ Proizvodnja ne može beskonačno rasti sa porastom utroška samo jednog faktora proizvodnje. Iz prethodnog se može zaključiti da navedena funkcija ima poželjne osobine za 0 < α < 1 i 0 < β < 1 . Primjer 1.39.

Data je funkcija proizvodnje Q = 8 ⋅ R ⋅ K . Potrebno je utvrditi i grafički prikazati a) izokvante za Q = 16 i Q = 32 ,

b) izoklinu za k = 2 , c) linije grebena za proizvodne površine. Rješenje:

Iz navedene funkcije Q = 8 ⋅ R ⋅ K slijedi da Q 2 = 64 ⋅ R ⋅ K , pa je Q2 jednačina izokvante. 64 ⋅ R 16 2 4 Za Q = 16 → K = → K= . 64 ⋅ R R 32 2 16 Za Q = 32 → K = → K= . R 64 ⋅ R K=

187

FUNKCIJE PROIZVODNJE

Zadovoljen uslov pozitivnog prinosa. b)

∂ 2Q Q = −α ⋅ (1 − α ) ⋅ A ⋅ 2 < 0 za α < 1 2 ∂R R ∂ 2Q Q = − β ⋅ (1 − β ) ⋅ A ⋅ 2 < 0 za β < 1 2 ∂K K Zadovoljen uslov opadajućeg graničnog prinosa.

⎧ 1 Kβ ⎫ c) lim ⎨α ⋅ A ⋅ 1−α ⎬ = α ⋅ A ⋅ K β ⋅ lim 1−α = 0 R →∞ R →∞ R R ⎭ ⎩ ⎧ 1 Kβ ⎫ lim ⎨β ⋅ A ⋅ 1−α ⎬ = α ⋅ A ⋅ K α ⋅ lim 1−α = 0 K →∞ K →∞ K R ⎭ ⎩ Proizvodnja ne može beskonačno rasti sa porastom utroška samo jednog faktora proizvodnje. Iz prethodnog se može zaključiti da navedena funkcija ima poželjne osobine za 0 < α < 1 i 0 < β < 1 . Primjer 1.39. Data je funkcija proizvodnje Q = 8 ⋅ R ⋅ K . Potrebno je utvrditi i grafički prikazati a) izokvante za Q = 16 i Q = 32 ,

b) izoklinu za k = 2 , c) linije grebena za proizvodne površine. Rješenje: Iz navedene funkcije Q = 8 ⋅ R ⋅ K slijedi da Q 2 = 64 ⋅ R ⋅ K , pa je Q2 jednačina izokvante. 64 ⋅ R 16 2 4 Za Q = 16 → K = → K= . 64 ⋅ R R 32 2 16 → K= . Za Q = 32 → K = 64 ⋅ R R K=

187

FUNKCIJE PROIZVODNJE

Rješenje: a) Q = 4 ⋅ R + 3 ⋅ K − R 2 + 3 ⋅ R ⋅ K 3 ⋅ (1 + R ) ⋅ K = Q − 4 ⋅ R + R 2

K=

Q − 4 ⋅ R + R2 predstavlja jednačinu za izokvantu. 3 ⋅ (1 + R )

Za Q = 6 imamo sljedeći izraz: K =

6 − 4 ⋅ R + R2 . 3 ⋅ (1 + R )

9 − 4 ⋅ R + R2 Za Q = 9 imamo sljedeći izraz: K = . 3 ⋅ (1 + R ) Za Q = 15 imamo sljedeći izraz: K = b)

15 − 4 ⋅ R + R 2 . 3 ⋅ (1 + R )

Prvi parcjalni izvodi su QR = 4 − 2 ⋅ R + 3 ⋅ K i QK = 3 + 3 ⋅ R

Prema tome, za k =

QR 4 − 2⋅ R + 3⋅ K = 1 vrijedi sljedeći izraz k = = 1. 3 ⋅ (1 + R ) QK

To znači da 4 − 2 ⋅ R + 3 ⋅ K = 3 ⋅ (1 + R ) , odnosno 3 ⋅ K = 3 ⋅ (1 + R ) − 4 + 2 ⋅ R → 3 ⋅ (1 + R ) − 4 + 2 ⋅ R 4 2⋅ R 1 5⋅ R → K = 1+ R − + → K =− + K= 3 3 3 3 3 1 5⋅ R Iraz K = − + predstavlja funkciju izokline oblika K = f (R ) . 3 3

4 − 2 ⋅ R + 3⋅ K = ∞ , slijedi 3 ⋅ (1 + R ) = 0 . Prema tome, R = −1 preds3 ⋅ (1 + R ) tavlja prvu liniju grebena. c)

Iz relacije

Iz

relacije

4 − 2 ⋅ R + 3⋅ K = 0, 3 ⋅ (1 + R )

slijedi

4 − 2⋅ R + 3⋅ K = 0.

Prema

tome,

4 2⋅ R predstavlja drugu liniju grebena. K =− + 3 3 5 1⋅ R Sve izokvante imaju asimptote iste krivulje K = − + i R = −1 . 3 3

189

EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE

d) Dvije linije grebena definišu područje racionalnih odluka za datu funkciju proiz4 2⋅ R vodnje. Granice tog područje su nejednačine K ≥ − + i R ≥ −1 . Međutim, u 3 3 ovom području racionalnih odluka nisu ispunjeni svi uslovi koji se odnose na nenegativnost faktora proizvodnje. Prema tome, sljedeće nejednačine predstavljaju stvarno područje racionalnih odluka: K ≥−

4 2⋅ R , R > 0 , K > 0. + 3 3

K

4 2⋅ R K =− + 3 3

R = -1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11

R

Grafikon 1.40. Linije grebena proizvodne površine

Primjer 1.41. Data je funkcija proizvodnje Q = 10 ⋅ R 0,5 ⋅ K 0,5 . Cijena jednog radnog sata je 10 nj. ( p R = 10) . Cijena jednog mašinskog sata je 20 nj. ( p K = 20) . Fiksni troškovi su 60 nj (F = 60) . a) Pronađite funkciju ukupnih troškova oblika K = f (R ) . b) Pronađite funkciju ukupne proizvodnje oblika K = f (R ) . c) Potrebno je izračunati koja kombinacija proizvodnih utrošaka predstavlja najniže troškove proizvodnje ako se poznate izokvante Q1 = 25, Q2 = 35 i Q3 = 50 jedinica finalnog proizvoda. d) Grafički predstaviti kompletno rješenje. 190

FUNKCIJE PROIZVODNJE

Rješenje: a) Prvo treba da odredimo funkciju ukupnih troškova: C = C (R, K ) = 10 ⋅ R + 20 ⋅ K + 60 .

Langrange-ova funkcija i parcijalni izvodi su sljedeći:

(

L = 10 ⋅ R + 20 ⋅ K + 60 − λ ⋅ 10 ⋅ R 0,5 ⋅ K 0,5 − Q

)

∂L = 10 − 5 ⋅ λ ⋅ R −0,5 ⋅ K 0,5 = 0 ∂R ∂L = 20 − 5 ⋅ λ ⋅ R 0,5 ⋅ K −0,5 = 0 ∂K ∂L = Q − 10 ⋅ R 0,5 ⋅ K 0,5 = 0 ∂λ Iz prethodnog sistema jednačina slijedi

(10 − 5 ⋅ λ ⋅ R

−0,5

⋅ K 0,5 ) ⋅ 2 = ( 0 ) ⋅ 2

20 − 5 ⋅ λ ⋅ R 0,5 ⋅ K −0,5 = 0 20 − 10 ⋅ λ ⋅ R −0,5 ⋅ K 0,5 = 20 − 5 ⋅ λ ⋅ R 0,5 ⋅ K −0,5 −10 ⋅ λ ⋅ R −0,5 ⋅ K 0,5 −5 ⋅ λ ⋅ R 0,5 ⋅ K −0,5 = −5 ⋅ λ ⋅ R 0,5 ⋅ K −0,5 −5 ⋅ λ ⋅ R 0,5 ⋅ K −0,5 2⋅ K = 1 → K = 0,5 ⋅ R R

Prethodna relacija predstavlja liniju ekspanzije po kojoj vrijedi da za svaku jedinicu proizvodnog utroška M koristimo dvije jedinice proizvodnog utroška K. Provjeravamo da Q = 10 ⋅ R 0,5 ⋅ K 0,5 :

li

su

zadovoljene

osobine

funkcije

proizvodnje

za

∂Q = 5 ⋅ R − 0 ,5 ⋅ K 0 ,5 > 0 ∂R ∂Q = 5 ⋅ R 0,5 ⋅ K − 0 ,5 > 0 ∂K

∂ 2Q ∂R

2

= −2,5 ⋅ R −1,5 ⋅ K 0,5 < 0 za α = 0,5

191

EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE

∂ 2Q ∂K

2

= −2,5 ⋅ R 0,5 ⋅ K −1,5 < 0 za β < 1

b) Funkcija ukupnih troškova oblika K = f (R ) za fisknu vrijednost C ima sljedeći oblik: C = C (R, K ) = 10 ⋅ R + 20 ⋅ K + 60 → K =

C − 60 − 10 ⋅ R C − 60 1 →K= − ⋅R 20 2 20

Ovaj izraz predstavlja izocost pravu. c) Funkcija ukupne proizvodnje oblika K = f (R ) za određenu vrijednost Q ima sljedeći oblik: Q = Q (R, K ) = 10 ⋅ R

0 ,5

⋅K

0 ,5

→K

0,5

=

Q 10 ⋅ R 0,5

Q2 →K= 100 ⋅ R

Ovaj izraz predstavlja izokvantu. Izocost prave i izokvante imaju sljedeće zajedničke tačke: Za Q1 = 25 i za datu liniju ekspanzije ( K = 0,5 ⋅ R ): K =

25 2 100 ⋅ R

→ R = 12,5 Za Q2 = 35 i za datu liniju ekspanzije ( K = 0,5 ⋅ R ): K =

K = 0,5 ⋅ 12,5

i

K = 0,5 ⋅ 24,5

35 2 100 ⋅ R

→ R = 24,5 Za Q3 = 50 i za datu liniju ekspanzije ( K = 0,5 ⋅ R ): K =

i

50 2 100 ⋅ R

→ R = 50

i

K = 0,5 ⋅ 50

Odgovarajući troškovi, koji ujedno i predstavljaju najniže troškove, za date nivoe proizvodnje se mogu jednostavno izračunati. Za Q1 = 25 , R = 12,5

i

K = 0,5 ⋅ 12,5 , C = 10 ⋅ 12,5 + 20 ⋅ 0,5 ⋅ 12,5 + 60 = 131

Za Q1 = 35 , R = 24,5 i

K = 0,5 ⋅ 24,5 , C = 10 ⋅ 24,5 + 20 ⋅ 0,5 ⋅ 24,5 + 60 = 159

Za Q1 = 50 , R = 50 192

i

K = 0,5 ⋅ 50 , C = 10 ⋅ 50 + 20 ⋅ 0,5 ⋅ 50 + 60 = 201

FUNKCIJE PROIZVODNJE

d)

K 8 7 6

K=0,5R

5 4 3

Q=50

2

Q=35 Q=25

1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

R Grafikon 1.41. Izokvante i putanja ekspanzije

Primjer 1.42. a) Ocijenite u MS Excel-u funkciju proizvodnje tipa Cobb-Douglas ( Q = A ⋅ K α ⋅ Lβ ) na osnovu sljedećeg uzorka za 24 preduzeća tekstilne industrije. b) Interpretirati rezultate ocijenjenog modela. Preduzeće 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Output (Q) 200 202 224 244 248 244 286 304 302 252 310 318 306 354 368 338 378 450 454 446 436 462 358 480

Kapital (K) 200 200 214 228 244 262 276 298 326 352 370 396 416 432 452 472 488 532 596 670 732 774 814 834

Radna snaga (L) 200 210 220 236 246 232 250 266 276 242 280 288 290 304 308 298 308 364 392 400 386 386 294 322

193

EKONOMETRIJSKE FUNKCIJE

Rješenje: a) Zavisna varijabla je Output (Q). Nezavisne varijable su dva faktora proizvodnje: Kapital (K) i Radna snaga (L). Tri parametra koja treba ocijeniti su A, α i β .

Jasno nam je da Cobb-Douglas funkcija nije linearna funkcija. Prema tome, ne možemo direktno ocijeniti tu funkciju u MS Excel-u. Naime, potrebno je prvo preformulisati datu funkciju tako da se može ocjena izvršiti u MS Excel-u. To podrazumijeva linearizaciju date forme Cobb-Douglas funkcije:

ln(Q) = ln(A ⋅ K α ⋅ L β ) Q = A ⋅ K α ⋅ L β → ln(Q) = ln A + ln (K α ) + ln ( L β ) ln(Q) = ln A + α ⋅ ln K + β ⋅ ln L Na Grafikonu 0.0. prve četiri kolone pokazuju sirove podatke koje smo dali u prethodnoj tabeli. Ovo kolone predstavljaju četiri varijable (Preduzeće, Output, Kapital, Radnu snagu). Sljedeće tri kolone predstavljaju odgovarajuće ln vrijdnosti za zavisnu varijablu i dvije nezavisne varijable. U MS Excelu-u komanda =ln(broj ćelije) nam jednostavno izračuna ln vrijednost.

194

FUNKCIJE PROIZVODNJE

U sljedećem koraku koristimo komandni niz Tools → Data analysis → Regression da bi uradili regresionu analizu, odnosno ocijenili Cobb-Douglas funkciju za date podatke. Slijedi output iz MS Excel-a:

Iz datog outputa možemo formirati Cobb-Douglas funkciju u linearizovanom obliku:

Q = A ⋅ K α ⋅ Lβ ln (Q ) = ln ( A) + α ⋅ ln (K ) + β ⋅ ln (L )

ln (Q ) = −0,394 + 0,207 ⋅ ln (K ) + 0,870 ⋅ ln (L )

Možemo zapaziti da Intercept = ln A = -0.394. Prema tome, A = e −0,394 = 0,674 . Zaključujemo da ocijenjena Cobb-Douglas funkcija u multiplikativnoj formi izgleda ovako: Q = 0,674 ⋅ K 0,207 ⋅ L0,870 Vrijednost parametra α = 0,207 znači da ukoliko se vrijednost kapitala (K) poveća za 1%, cēterīs paribus ,ukupna količina proizvodnje (Q) će se povećati za približno 0,21%. Vrijednost parametra β = 0,870 znači da ukoliko se vrijednost radne snage (L) poveća za 1%, cēterīs paribus, ukupna količina proizvodnje (Q) će se povećati za 0,87%. Vrijednost konstante (presjek sa y osom) je 0,674 i predstavlja količinu proizvodnje (Q) koja ne zavisi od nivoa kapitala i od nivoa radne snage.

195

1.11. Pitanja za ponavljanje 1)

Zaokružite faktor koji ne predstavlja determinantu individualne tražnje u širem smislu: a) b) c) d) e) f)

cijena predmetnog dobra cijena supstitutskog dobra dohodak pojedinca ponuda predmetnog dobra cijena komplementarnog dobra godišnje doba

2)

Definisati koeficijent elastičnosti na luku i napisati izraz za njegovo izračunavanje.

3)

Izvesti izraz za elastičnost stepene funkcije.

4)

Izvesti izraz za elastičnost inverzne funkcije.

5)

Izvesti izraz za elastičnost proizvoda.

6)

Izvesti izraz za elastičnost količnika.

7)

Dokazati vezu između elastičnosti prosječne i ukupne funkcije.

8)

Izvedite vezu između elastičnosti prosječne dobiti i elastičnosti ukupne dobiti.

9)

Definisati koeficijent elastičnosti u tački i napisati izraz za njegovo izračunavanje.

10) Ako je elastičnost ukupne funkcije jednaka

E

nost elastičnosti inverzne funkcije X = g (Y ) .

Y ⋅X

= 2% , izračunati odgovarajuću vrijed-

11) Zaokružiti samo tačne tvrdnje:

a) Eq , p ≤ 0 d) EP ,q ≤ 1

( ∀p ∈ R ) ( ∀q ∈ R ) +

b) Eqˆ , p ≤ 0 ( ∀p ∈ R + )

+

e) ED , x ≥ 0 ( ∀x ∈ R + )

c) EC , x ≥ 0 ( ∀x ∈ R + )

12) U ''prvom kvadrantu'' na luku ''negativnog prinosa'' funkcije Y = f ( X ) : a) Koji je znak njene elastičnosti EY . X ? b) Objasniti značenje izraza EY . X iz a).

196

PITANJA ZA PONAVLJANJE

13) Ako visina budžeta poraste za 1%, a ostale determinante tražnje ostanu nepromijenjene, onda će se prethodni nivo tražnje smanjiti za Eq, B %. Ova situacija će se desiti ako se radi o: a) b) c) d)

Luksuznom dobru, Normalnom dobru, Inferiornom dobru, Nužnom dobru.

14) Neka je C=C(Y) funkcija troškova. Šta predstavlja rješenje sljedeće jednačine E C , y = 1 ? Odgovor obrazložiti. 15) Firma „Luzer“ posluje s gubitkom i utvrđeno je da elastičnost u nivou proizvodnje 20 komada iznosi ED, 20 = -5. Objasniti značenje dobijene vrijednosti: 16) Porast proizvodnje sa nivoa 20 za 1% uzrokuje a) b) c) d)

Porast dobiti za 5%, Smanjenje dobiti za 5%, Porast gubitka za 5%, Smanjenje gubitka za 5%.

17) Ako cijena komplementarnog dobra poraste za 1%, a ostale determinante tražnje ostanu iste, tražnja za predmetnim dobrom će: a) b) c) d)

opasti za Eq,pk%, porasti za Eq,pk%, opasti za 1%, porasti za 1%.

18) Da bi matematska funkcija q = a - bp bila funkcija tražnje trebaju biti zadovoljeni uslovi: a) p>o; q>0; a>0; bo; qo; q>0; a0; a>0; bo; q>0; a0, p>o; qo; q>0; a 16,8 = (TE)7 ⇒ prihvatamo projekat c)

( SU )ij = ((TL ) j − (TE )i ) − (te )ij ( S N ) ij = ((TE ) j − (TL ) i ) − (t E ) ij ( SU ) F = (7 − 3,5) − 3 = 0,5

( S N ) F = (6,5 − 3,5) − 3 = 0

299

TEHNIKE MREŽNOG PLANIRANJA

Rješenje 2.8. a)

A A B C D E F G

B

C +

D

E

F

G

zavisi od E D E G E A G F G B D C A, F

+ +

+

+ +

+ 3 10 D

0

1 -

0

E

2

6

6

8/6

4

4

10

1

1

E D G A F B C

G +

A

F

A

10 2

F 2 2/6

+

+ + +

6

7 4/6

17

17

C

5 12

f

17

A

B

C

D

E

F

G

aij mij bij

5 7 9 7 4/6

9 10 11 10 2/6

3 3 3 3 0

2 4 6 4 4/6

4 5 12 6 8/6

1 2 3 2 2/6

1 4 7 4 6/6

(TE)7 = 20 dana P=50% KP1: 1-2-3-7 ili E-D-B KP2: 1-2-4-6-7 ili E-G-A-C b)

(Ts)7=15 dana (Ts ) i = max (Ts) h + (t e ) hi + z o ⋅ σ hi h

300

{

[

]}

3 0

4

Aktivnost

σij

C

+

4

(te)ij

B

4/6

G

6

D +

B 10 2/6

10 2

4

E

72 20 20 5 10 3,6 1

RJEŠENJA ZADATAKA ZA VJEŽBU

i =1

h=0



(Ts)1 = 0

i=2

h = 1 ⇒ 0 + 6 − 0,675⋅ 8 / 6 = 5,1



(Ts) 2 = 5,1

i =3

h = 2 ⇒ 5,1 + 4 − 0,675⋅ 4 / 6 = 8,65



(Ts)3 = 8,65

i=4

h = 2 ⇒ 5,1 + 4 − 0,675⋅1 = 8,425



(Ts) 4 = 8,425

i =5

h = 4 ⇒ 8,425+ 2 − 0,675⋅ 2 / 6 = 10,2



(Ts)5 = 10,2

i =6

⎧h = 4 ⇒ 8,425+ 7 − 0,675⋅ 4 / 6 = 14,975 ⇒ ⎨ ⎩h = 5 ⇒ 10,2 + 0 − 0,675⋅ 0 = 10,2

(Ts)6 = 14,975

⎧h = 3 ⇒ 8,65 + 10 − 0,675⋅ 2 / 6 = 18,425 ⇒ ⎨ ⎩h = 6 ⇒ 14,975+ 3 − 0,675⋅ 0 = 17,975 (Ts)7 < (TE)7 nećemo prihvatiti projekat ( SU )ij = ((TL ) j − (TE )i ) − ( te )ij

(Ts)7 = 18,425

i =7

( SU ) F = (17 − 10) − 2 = 5

Aktivnost F može kasniti ili trajati pet dana duže a da to ne utiče na najraniji završetak projekta. Rješenje 2.9.

A A B C D E F G

B

C

D

E

G

+

A E B D C G F

+ +

+

+ + +

4

4; 2 A

1 -

5

A E B, D B, D C, G

E

B

A E B D C G F

D

C

G

+ +

+ +

+ +

+

∆C/∆ t 5 6 4 + 2 + 2 3 F

5 B 8; 4

4 1

C

4

4

0 D

3 8

12 2

3; 3

E 8; 6

22

10; 5

12

6

A

zavisi od

+

2

0

F

22 4

2

G 5; 1 2

f 0; 0 -

6 22

22 5

F 10; 5 3

7 32 32 6

-

9 1

301

TEHNIKE MREŽNOG PLANIRANJA

t7( ) = 32 mjeseca 0

C* = 10.000 + 4.000 + 2.000 + 0 + 10.000 + 5.000 + 4.000 = 35.000 KM KP: A-B-C-f-F b)

⎧4 + 8 + 10 + 0 + 10 = 32; 27; 22; 21;19 I KP 1 − 2 − 4 − 5 − 6 − 7 = ⎨ ⎩2 + 4 + 5 + 0 + 5 = 16 ⎧4 + 8 + 5 + 10 = 27; 22; 21;19 II 1 − 2 − 4 − 6 − 7 = ⎨ ⎩2 + 4 + 1 + 5 = 12 ⎧8 + 3 + 10 + 0 + 10 = 31; 26; 21;19 III 1 − 3 − 4 − 5 − 6 − 7 = ⎨ ⎩6 + 3 + 5 + 0 + 5 = 19 ⎧8 + 3 + 5 + 10 = 26; 21;19 =⎨ ⎩6 + 3 + 1 + 5 = 15

IV 1 − 3 − 5 − 6 − 7

1. Kratimo C (A45) za 5 dana 2. Kratimo F (A67) za 5 dana 3. Kratimo B (A24) za 1 dan 4. Kratimo B i E (A24 i A13) za 2 dana

ΔC1 = 5 ⋅ 2 = 10 ΔC2 = 5 ⋅ 3 = 15 ΔC3 = 1 ⋅ 4 = 4 ΔC4 = 2 ⋅ (4+6) = 20 Σ ΔC = 49

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

t7( ) = 19 mjeseca C* = 84.000 KM

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

10.000 KM 15.000 KM 4.000 KM 20.000 KM 49.000 KM

0*

c) 5

2 4; 2

1 0

A

4

B 5; 4

4 1

3; 3

E 6; 6 D

3 6

6 1

302

14 4

f 0

C

4

0 -

5; 5

14

9 9 2,3

G 5; 1

6 14 14 4,5

F 5; 5

7 19 19 6

RJEŠENJA ZADATAKA ZA VJEŽBU

Rješenje 2.10. a)

A A B C D E F G

B

C

D

E

F

G

+ +

+ +

+ +

G

zavisi od G F G B F E F C G A E D B, E

+

F +

E D G A F B C

B

E

+

+

C +

A

D

+

+ +

C 9 -

1 0

0 -

G 4,7 1

2 4,7

4 4,7

A

10,7 14,7

1

3

E 3 2/6

F 3 4/6

3 7,7

7,7

f

A

B

C

D

E

F

G

aij mij bij

6 7 8 7 2/6

8 10 12 10 4/6

9 9 9 9 -

2 3 10 4 8/6

2 3 4 3 2/6

1 3 5 3 4/6

3 4 9 4,7 1

σij

8/6

17,7 17,7 12 17 3 4

Aktivnost

(te)ij

21,7

5

D4 5

4/6

2

21,7

2/6

-

B 10

6

7

dana dana dana

P = 50% (TE)6 = 21,7 dan KP: 1-2-3-5-6 ili G-F-B-D (Ts ) i = max (Ts) h + (t e ) hi + z o ⋅ σ hi h

{

[

]}

303

TEHNIKE MREŽNOG PLANIRANJA

i =1

h=0



(Ts ) 1 = 0

i=2

h =1

⇒ 0 + 4 .7 + 0 , 675 ⋅ 1 = 5 .375



(Ts ) 2 = 5 .375

i=3

h=2

⇒ 5 .375 + 3 + 0 ,675 ⋅ 4 / 6 = 8,825



(Ts ) 3 = 8,825

i=4

h=3

⇒ 8,825 + 3 + 0 ,675 ⋅ 2 / 6 = 12 ,05



(Ts ) 4 = 12 ,05

i=5

⎧h = 3 ⎨ ⎩h = 4

i=6

⎧h = 2 ⎪ ⎨h = 4 ⎪h = 5 ⎩

⇒ 8,825 + 10 + 0 ,675 ⋅ 4 / 6 = 19 , 275



(Ts ) 5 = 19 , 275



(Ts ) 6 = 24 ,175

⇒ 12 ,05 + 0 + 0 ,675 ⋅ 0 = 12 , 05 ⇒ 5,375 + 9 + 0 ,675 ⋅ 0 = 14 ,375 ⇒ 12 ,05 + 7 + 0 ,675 ⋅ 2 / 6 = 19 , 275 ⇒ 19 , 275 + 4 + 0 ,675 ⋅ 8 / 6 = 24 ,175

Rok realizacije projekta koji bi smjeli potpisati uz vjerovatnoću 75% je 24,175 dana.

( S S ) ij = ((TE ) j − (TE ) i ) − (t e )ij

c)

( S s ) A = (21, 7 − 10, 7) − 7 = 4 ( S s )C = (21, 7 − 4, 7) − 9 = 8 ( S s ) E = (10, 7 − 7, 7) − 3 = 0

Rješenje 2.11. a)

A

B

C +

A B C D E F G H

D +

E

F

G

H

+ +

+ + +

+ +

∆C/∆t 2 4 3 1 7 6

4 22

D 12; 6

1 0

0 -

A 7; 7 -

2 7

7 1

C 10; 5 4

3

1 -

17

17 2

2

304

F 11; 8

E 5; 5

3

B 8; 4

t7(0 ) = 40 dana

22 3

C =17.900 KM

f 0; 0 -

6 5 22 17

6 33 33 4,5 G 16; 11 22 17

H 7; 3 6

7

5 3

KP1: A-C-E-F-H KP2: A-C-f-G-H

7 40 40 6

RJEŠENJA ZADATAKA ZA VJEŽBU

b)

⎧7 + 12 + 11 + 7 = 37; 34 =⎨ ⎩7 + 6 + 8 + 3 = 24 ⎧7 + 10 + 5 + 11 + 7 = 40; 37; 34 II KP 1 − 2 − 3 − 4 − 6 − 7 = ⎨ ⎩7 + 5 + 5 + 8 + 3 = 28 ⎧7 + 10 + 0 + 16 + 7 = 40; 37; 34 III KP 1 − 2 − 3 − 5 − 6 − 7 = ⎨ ⎩7 + 5 + 0 + 11 + 3 = 26 I

1− 2 − 4 − 6 − 7

IV

1− 5 − 6 − 7

⎧8 + 16 + 7 = 31; 28 =⎨ ⎩4 + 11 + 3 = 18

1. Kratimo C (A23) za 3 dana ⇒ ΔC1 = 3 ⋅ 4 = 12

⇒ 1.200 $

2. Kratimo H (A67) za 3 dana ⇒ ΔC2 = 3 ⋅ 6 = 18 Σ ΔC = 30

⇒ 1.800 $ ⇒ 3.000 $

t7(0 )* = 34 dana C* = 17.900 + 3.000 = 20.900 $ Rješenje 2.12. a)

A A B C D E F G H I

(te)ij

σij

B +

C +

D +

E

F

+ +

+

G

H

I

+ + +

+ + +

A 9 2/6

B 6 8/6

C 5 0

D 16 10/6

E 9 8/6

F 12 1

G 6 14/6

H 10 1

I 5 8/6

305

TEHNIKE MREŽNOG PLANIRANJA

4

6 8/6

B

15

0 1 0

0 -

A

9 2/6

2 9

9

C

1

5 0

3 14

14 2

27

9 8/6

5

G

2 F 12 9

26

26 3

f

D 16 10/6

T1 = 0 1 T2 = 0 + 9 + 1 ⋅ = 10 3 T3 = 10 + 5 + 0 = 15 4 ⎧ ⎪10 + 6 + 3 ⋅ = 20 T4 = max ⎨ 3 ⎪⎩15 T5 = 15 + 12 + 3 = 30

0

7 6 36 36 4/6 10 H 1

6

I 5 8/6

6 26 26 5

(TE)8 = 41 dan KP : 1 b)

E

A C F f H I 2 3 5 6 7 8

⎧30 + 0 = 30 ⎪ T6 = max ⎨ 5 ⎪⎩10 + 6 + 3 ⋅ 3 = 31 4 ⎧ ⎪20 + 9 + 3 ⋅ 6 = 33 ⎪ 2 ⎪ T7 = max ⎨30 + 6 + 3 ⋅ = 38 3 ⎪ ⎪31 + 10 + 3 = 44 ⎪ ⎩ 4 T8 = 44 + 5 + 3 ⋅ = 53 3

Rok od 53 dana. c)

( SU ) B = 27 − 9 − 6 = 12 Aktivnost B može kasniti 12 dana a da pri tome ne ugrozi završetak projekta.

306

8 41

41 7

RJEŠENJA ZADATAKA ZA VJEŽBU

Rješenje 2.13. a)

A B C D E F G A + B + C D E + F + + G + 3

2

A 3;1 1 -

E 3; 3

-

3 0

ΔC/Δt 3 2 1 2 4

3

1

0

A B G E F D C A + B + G + E + F + + D C

ΔC/Δt 3 4 2 1 2

B 2; 2 -

6

3

6

2

F 4; 2

10

4 3

10 f

D 7; 5 2

18

6

18

5

C 8; 4 G 10;5

2

5

4

10 10 1;4

b)

I II III IV V

⎧3 + 3 + 4 + 7 = 17; 15 =⎨ ⎩1 + 3 + 2 + 5 = 11 ⎧3 + 3 + 4 + 0 + 8 = 18; 16; 15 1− 2 − 3 − 4 − 5 − 6 = ⎨ ⎩1 + 3 + 2 + 0 + 4 = 10 1− 2 − 3 − 4 − 6

⎧2 + 4 + 7 = 13; 11 =⎨ ⎩2 + 2 + 5 = 9 ⎧2 + 4 + 0 + 8 = 14; 12 1− 3 − 4 − 5 − 6 = ⎨ ⎩2 + 2 + 0 + 4 = 8

1− 3 − 4 − 6

1− 5 − 6

⎧10 + 8 = 18; 16; 15 =⎨ ⎩5 + 4 = 9

307

TEHNIKE MREŽNOG PLANIRANJA

t 6(0 ) = 18 mje sec i C= 8.500 € KP1: 1–2–3–4–5–6 KP2: 1–5–6 1. Kratimo F i G može za 2 FiG ⇒ kratimo i F i G za 2 ⇒ ΔC1 = (1 + 2) ⋅ 2 = 6 ⇒ 600 € smije za 2 2. Kratimo C može za 4 C ⇒ kratimo C za 1 ⇒ ΔC2 = 1 ⋅ 4 = 4 ⇒ 400 € smije za 1

t6(0 )* = 15 mjeseci C*= 8.500 + 600 + 400 = 9.500 € Apsolutno najbrža realizacija projekta je 11 mjeseci. Rješenje 2.14. a)

A A B C D E F G H I

B +

C +

D +

E

+ +

F

G

H

+

+

+

+

I

+ + + +

;3

(TE)8 = 40 dan 308

KP : 1

A B H I 2 5 7 8

(te)ij

9 16 5 5 9 12 6 10 5

σij 1/3 5/3 0 2/3 4/3 1 2/3 2/3 4/3

RJEŠENJA ZADATAKA ZA VJEŽBU

b) P(z0) = 0,75 ⇒ z0 = 0,675 (Ts ) i = max (Ts) h + (t e ) hi + z o ⋅ σ hi h

i =1

{

[

]}

h=0

⇒ (Ts)1 = 0

i = 2 h =1

⇒ 0 + 9 + 0,675 ⋅1/ 3 = 9,225

i =3 h=2

⇒ 9,225 + 5 + 0,675 ⋅ 2 / 3 = 14,675 ⇒ (Ts)3 = 14,675

⎧h = 2 ⇒14,675 + 0 + 0,675 ⋅ 0 = 14,675 i=4 ⎨ ⎩h = 3 ⇒ 9,225 + 5 + 0,675 ⋅ 0 = 14,225

⇒ (Ts)2 = 9,225 ⇒ (Ts)4 = 14,675

⎧h = 2 ⇒ 9,225 +16 + 0,675 ⋅ 5/ 3 = 26,35 ⇒ (Ts)5 = 26,35 i =5 ⎨ ⎩h = 4 ⇒14,675 + 9 + 0,675 ⋅ 4 / 3 = 24,575 i = 6 h = 5 ⇒ 26,35 + 6 + 0,675 ⋅ 2 / 3 = 32,8 ⇒ (Ts)6 = 32,8 ⎧h = 3 ⇒14,675 +12 + 0,675 ⋅1 = 27,35 ⎪ i = 7 ⎨h = 5 ⇒ 26,35 +10 + 0,675 ⋅ 2 / 3 = 36,8 ⎪h = 6 ⇒ 32,8 + 0 + 0,675 ⋅ 0 = 32,8 ⎩

⇒ (Ts)7 = 36,8

i = 8 h = 7 ⇒ 36,8 + 5 + 0,675 ⋅ 4 / 3 = 42,7 ⇒ (Ts)8 = 42,7 Sa vjerovatnoćom 75 % smjeli bi prihvatiti realizaciju projekta od 42,7 dana. c)

(S s ) E = (25 − 14) − 9 = 2 Aktivnost E može trajati 2 dana duže ili kasniti sa početkom dva dana, a da time ne ugrozi najranije početke narednih aktivnosti.

309

2.10. Analiza slučaja primjenom MS Project-a U narednom dijelu ćemo predstaviti kratko uputstvo namijenjeno studentima Ekonomskog fakulteta u Sarajevu koje sadrži samo najosnovnije odrednice za samostalan rad u MS Project-u.18 MS Project spada u Office grupu i zbog toga je korisnička podloga (engl. user interface) dijelom već poznata korisnicima aplikacija MS Word i MS Excel. Korisničke opcije su organizovane u menijima, a one koje se češće koriste su dostupne preko trake s alatima. Korisnička podloga se može prilagoditi svakom korisniku u skladu sa njegovim načinom rada. Nakon što pokrenemo MS Project, možemo kreirati novi projekt ili nastaviti s uređivanjem već postojećeg projekta kojeg smo uredno pohranili. Novi projekt otvaramo izborom opcije New iz File menija, a nakon toga Blank Project iz okvira sa zadacima (nalazi se uz lijevu ivicu ekrana). Pored otvaranja novog, u potpunosti praznog projekta, možemo se odlučiti da iskoristimo odgovarajući primjer projekta (engl. Template).19 Nakon što počnemo novi projekt, možemo iskoristiti čarobnjaka koji se pojavljuje u okviru sa zadacima. Svrha čarobnjaka je da nam pomogne u definisanju projekta. Ukoliko želimo promijeniti parametre koje smo unijeli prilikom definisanja projekta, to svakako možemo naknadno uraditi u samom procesu planiranja projekta. U svakom trenutku možemo pohraniti projekt, na isti način kako to radimo u drugim MS Office programima: File > Save. Datoteke u koje MS Project sprema podatke imaju ekstenziju .mpp. Grafikon 9. 18

19

Građevinski fakultet Sveučilišta u Rijeci je kreirao za svoje studente veoma koristan priručnik za MS Project. Taj priručnik nam je zbog svog efikasnog pristupa u objašnjavanju ovog programa bio vodič u kreiranju ovog dijela poglavlja. Lukarić, S., (2006)

310

ANALIZA SLUČAJA PRIMJENOM MS PROJECT-a

Prvi korak je da u ovoj početnoj fazi upišemo datum početka projekta ili krajnji rok za završetak projekta. To ćemo uraditi kroz sljedeće opcije: Project > Project Information > Start date ili Project > Project Information > Finish date. Grafikon 10. predstavlja prethodne opcije.

Grafikon 10.

Generalne postavke projekta dostupne su nam iz menija Tools > Options. Važno je ne mijenjati postavke za koje nismo sigurni kakav efekat imaju na projekt na kojem upravo radimo. Inicijalno se MS Project pokreće s uključenim prikazom gantograma. Međutim, uvijek se možemo vratiti na ovaj prikaz preko menija View > Gantt Chart. Radna površina podijeljena je na dva dijela. S lijeve strane nalazi se tablica namijenjena za unošenje podataka: aktivnosti i resursa. S desne strane je prostor s vremenskom linijom u kojem se kreira gantogram. Radne dane, kao i radno vrijeme, možemo jednostavno postaviti iz menija Tools > Change Working Times.

Grafikon 11.

311

TEHNIKE MREŽNOG PLANIRANJA

Grafikon 12.

Aktivnosti unosimo direktno u tablicu. Naime, kliknemo na praznu ćeliju u koloni „Task Name“ i upišemo konkretan naziv aktivnosti. U posljednjoj lijevoj koloni pojavljuje se identifikator aktivnosti koji se pojavljuje automatski. Procijenjeno trajanje aktivnosti upisujemo u kolonu „Duration“. Sve dok sami ne definišemo trajanje aktivnosti, MS Project upisuje pretpostavljenu vrijednost „1 day?“. Početak pojedinačnih aktivnosti program izračunava “na temelju početnog ili konačnog datuma i trajanja prethodnih aktivnosti.” Ako kliknemo dvaput na aktivnost, onda ćemo otvoriti prozor za detaljnije postavke (grafikon 13.

312

Grafikon 13.

ANALIZA SLUČAJA PRIMJENOM MS PROJECT-a

Resurs u kontekstu MS Project-a može biti osoba, imovina, materijal, informacija ili kapital koji se može koristiti za postizanje cilja.

Grafikon 14.

Nakon povezivanja resursa i aktivnosti možemo dati odgovore na sljedeća pitanja: ƒ Ko i kada radi na određenoj aktivnosti? ƒ Raspolažemo li sa količinom resursa koja odgovara obimu projekta? ƒ Očekujemo li da resurs obavlja određenu aktivnost za vrijeme kada nije na raspolaganju za rad na projektu? ƒ Jesmo li resursu pridružili više aktivnosti nego što radni kapacitet tog resursa dopušta?

Raspoloživost resursa (maximum units) određuje kada i koliko određeni resurs može učestvovati u određenim aktivnostima. Na samom početku se postavlja vrijednost od 100%, što znači da je resurs na raspolaganju cijelo radno vrijeme. Ovaj slučaj je predstavljen za dvije osobe Senadu i Adu na grafikonu 15.

313

TEHNIKE MREŽNOG PLANIRANJA

Grafikon 15.

Raspoloživost resursa se može prilagoditi po potrebi, kao što je to pokazano na grafikonu 16. za osobu Dado. Jediničnu cijenu definišemo ukoliko želimo izračunati iznos koštanja određenog resursa.

Grafikon 16.

MS Project će se primjeniti na konkretan problem u narednom dijelu ovog poglavlja. Mrežni dijagram i Gantt dijagram će biti konstruisani na osnovu skupa aktivnosti koje će se predstaviti u analizi slučaja.

Analiza slučaja Centar za zdravstvenu zaštitu porodice, Bosna i Hercegovina Dr. Dino Dinović, zamjenik direktora Centra za zdravstvenu zaštitu porodice, dobio je zadatak za podučavanje pet timova terenskih radnika koji će implementirati obrazovne i druge 314

ANALIZA SLUČAJA PRIMJENOM MS PROJECT-a

aktivnosti koje su dio većeg projekta koji ima za cilj prikazati prihvatljivost nove metode zaštite od virusnih infekcija. Ovi radnici već su prošli obuku vezanu za edukaciju o virusnim infekcijama, ali moraju proći specifičnu obuku koja se odnosi na novi metod terapije. Potrebno je, također, pripremiti i dva tipa materijala: (1) za podučavanje radnika i (2) za distribuciju na terenu. Potrebno je organizovati prevoz i smještaj učesnika, te dovesti predavače na obuku. Dr. Dinović je sazvao sastanak administrativnog osoblja. Zajedno su odredili koje se aktivnosti moraju provesti, njihov redosljed i vrijeme provođenja. Zaključci sastanka su prikazani u tabeli 2. Tabela 2. Aktivnosti Centra za planiranje porodice

Aktivnost A. Odrediti predavače i njihov raspored B. Dogovoriti transport do baze C. Odrediti i prikupiti materijal za trening D. Dogovoriti smještaj E. Odrediti timove F. Dovesti timove G. Prevesti predavače do baze H. Odštampati programski materijal I. Dostaviti programski materijal J. Upravljanje trening programom K. Održavanje treninga

Predhodna aktivnost -

Vrijeme (radni dani) 5 7 5

Potrebno osoblje 2 3 2

A A B, E A, B C H D, F, G, I J

3 7 2 3 10 7 15 30

1 4 1 2 6 3 0 0

Jasmin, pomoćnik rukovodioca, je zabilježio da će projekat biti završen tokom 60 dana. Računajući na svom kalkulatoru, direktor Centra je došao do podatka da je potrebno vrijeme 64 dana i zaključio da je projekat nemoguć "zadatak". Dr. Dinović je imao drugo mišljenje: "neki zadaci se mogu obavljati istovremeno". "Onda budi oprezan", upozorio je direktor Centra, "nema mnogo ljudi koji rade na ovom projektu. Samo nas je 10". "Ja mogu provjeriti imamo li dovoljno resursa. Pažljivo sam isplanirao svaku aktivnost", dr. Dinović je odgovorio. "Dalje, imam odobrenje od Ministarstva za finansije da upotrijebim određena sredstva kako bih ubrzao aktivnosti, dok god mogu da dokažem da će to biti urađeno sa najmanjim potrebnim troškovima. Možeš li mi pomoći da to dokažem? Ovdje su troškovi aktivnosti koje smo mi planirali i troškovi i vremena ako ih smanjimo na minimum". 315

TEHNIKE MREŽNOG PLANIRANJA

Tabela 3. Minimalna trajanja aktivnosti i troškovi aktivnosti Normalno Aktivnost Vrijeme

Troškovi

Prosječna ušteda troškova po Vrijeme Troškovi danu (KM) 2 2 700 100 Minimum

A. Odrediti predavače i njihov raspored

5

400

B. Dogovoriti transport do baze

7

1000

4

1450

150

C. Odrediti i prikupiti materijal za obuku

5

400

3

500

50

D. Dogovoriti smještaj

3

2500

1

3000

250

E. Odrediti timove

7

400

4

850

150

F. Dovesti timove

2

1000

1

2000

1000

G. Prevesti predavače do baze

3

1500

2

2000

500

10

3000

5

4000

200

7

200

2

600

80

J. Upravljanje programom

15

5000

10

7000

400

K. Održavanje obuke

30

10000

20

14000

400

H. Odštampati programski materijal I. Dostaviti programski materijal

Pitanja za diskusiju

a) Neki od zadataka u ovom projektu mogu biti urađeni istovremeno. Pripremiti dijagram koji pokuzuje zahtijevanu mrežu aktivnosti i definiši kritičan put. b) Koje je trajanje projekta? c) Koji je najmanji iznos koji Dr. Dinović može potrošiti da bi implementirao zacrtani raspored ako je kritični put duži od 60 dana? d) Da li projekat može biti izveden sa 10-članim timom? Rješenja pitanja za diskusiju

A,B,C su početne aktivnosti; D zavisi od A; E zavisi od A; F zavisi od B i E; G zavisi od A i B; H zavisi od C; I zavisi od H; J zavisi od D, F,G i I; K zavisi od J. Završna aktivnost je K. Za analizu strukture, odredit ćemo matricu međuzavisnosti i mrežni dijagram, a za analizu troškova odredit ćemo jedinični prirast troškova.

316

ANALIZA SLUČAJA PRIMJENOM MS PROJECT-a

Tabela 4. Matrica međuzavisnosti

A

B

C

D +

A B C D E F G H I J K

E +

F

G + +

+

H

I

J

K

+ + + + + + + +

Tabela 5. Jedinični prirast troškova

A

B

C

D

5 7 5 3 tijN N Cij 400 1000 400 2500 2 4 3 1 tijU U Cij 700 1450 500 3000 ΔC 100 150 50 250 Δt

5

C 5; 3 1 0

3

A 5; 2

5

I

J

K

7 400 4 850

2 1000 1 2000

3 1500 2 2000

10 3000 5 4000

7 200 2 600

15 5000 10 7000

30 10000 20 14000

150

1000

500

200

80

400

400

6 15

0

7; 4

7; 4

150

f2

150 4 7

19 1

I 7; 2 80 7

250

E f1

15 2

D 3; 1

13

-

B

H

1

100

0

G

200

1 50

F

H 10; 5

2 5

E

F 2; 1

5 12 20 3

J

22 22 15;10 6 400

8 37

37 7

K 30;20 400

9 67

67 8

1000

0

G 3; 2 500

Grafikon 17. Mrežni dijagram prije kraćenja (ukupno trajanje projekta 67 dana)

317

TEHNIKE MREŽNOG PLANIRANJA

Kritični put (KP): 1 – 2 – 6 – 7 – 8 – 9 Kritični put čine sljedeće aktivnosti: odrediti i prikupiti materijal za obuku, odštampati programski materijal, dostaviti programski materijal, upravljanje programom te održavanje obuke.

t 9(0 ) = 67 dana Najbrža realizacija projekta je 67 dana. C = ∑ CijN = 25.400 KM i< j

U sljedećoj tabeli se predstavljaju ukupne i slobodne vremenske rezerve za sve aktivnosti u projetku, prije kraćenje aktivnosti. Tabela 6.

A B C D E F G H I J K

318

SU 8 12 0 17 8 8 12 0 0 0 0

SS 0 0 0 17 0 8 12 0 0 0 0

ANALIZA SLUČAJA PRIMJENOM MS PROJECT-a

I (KP):

1 – 2 – 6 –7 –8 – 9

= 5 + 10 + 7 + 15 + 30 3 + 5 + 2 +10 + 20

= 67 65 60 = 40

II:

1–3–7–8–9

= 5 + 3 + 15 + 30 2 + 1 + 10 + 20

= 53 = 33

III:

1–3–5–7–8–9

= 5 + 7 + 2 + 15 + 30 2 + 4 + 1 + 10 + 20

= 59 = 37

IV:

1–4–7–8–9

= 7 + 3 + 15 + 30 4 + 2 + 10 + 20

= 55 = 36

V:

1 – 3 – 4 – 5 – 7 – 8 – 9 = 5 + 0 + 0 + 2 + 15 + 30 2 + 0 + 0 + 1 + 10 + 20

= 52 = 33

VI:

1–3–4–7– 8–9

= 5 + 0 + 3 + 15 + 30 2 + 0 + 2 + 10 + 20

= 53 = 34

VII:

1–4–5–7–8–9

= 7 + 0 + 2 + 15 + 30 4 + 0 + 1 + 10 + 20

= 54 = 35

Kratimo aktivnost C: može se skratiti za 2 dana, smije se kratiti za 2 dana = 2⋅ 200 = 400 KM Kratimo aktivnost I: može se skratiti za 5 dana, smije se skratiti za 5 dana = 5⋅ 80 = 400 KM Realizacija za 60 dana će koštati: 25.400 KM + 800 KM = 26.200 KM H 10; 5

2 3

3

200

1

C 3

3 50

1 0

A 5; 2

5

E 0

7; 4

7; 4

150

f2

150 4 7

12 1

80 7

250

-

B

I 2

D 3; 1

6

f1

13 2

1

100

0

6 13

15

F 2; 1

5 12 13 3

15 6

J 15;10 400

8 30

30 7

K 30;20 400

9 60

60 8

1000

0

G 3; 2 500

Grafikon 18. Mrežni dijagram (ukupno trajanje projekta skraćeno na 60 dana)

319

TEHNIKE MREŽNOG PLANIRANJA

U sljedećoj tabeli se predstavljaju ukupne i slobodne vremenske rezerve za sve aktivnosti u projetku, nakon kraćenja aktivnosti. Tabela 7.

A B C D E F G H I J K

SU 1 5 0 7 1 1 5 0 0 0 0

SS 0 0 0 7 0 1 5 0 0 0 0

Ukupne vremenske rezerve za aktivnosti C, H, I, J i K iznose nula. Prema tome, te aktivnosti se ne mogu pomjeriti a da pri tome se ne utiče na najranije moguće početke njihovih narednih aktivnosti. Ostale aktivnosti imaju pozitivne ukupne vremenske rezerve i mogu se pomjerati za broj dana koliko iznose njihove odgovarajuće ukupne vremenske rezerve. Slobodne vremenske rezerva za aktivnosti A, B, C, E, H, I, J i K iznose nula. Shodno tome, najraniji počeci tih aktivnosti se ne mogu pomjeriti a da to ne utiče na najranije moguće početke narednih aktivnosti. Ostale aktivnosti imaju pozitivne slobodne vremenske rezerve i njihovi počeci se mogu pomjeriti za broj dana koliko iznose njihove odgovarajuće slobodne vremenske rezerve. U nastavku ćemo dati rješenje datog slučaja, upotrebom MS Project-a. Aktivnosti su unijete u kolonu "Task Name", trajanja aktivnosti su unijete u kolonu "Duration", i početak prve aktivnosti je unijet u odgovarajuću ćeliju u koloni "Start" u kolonu "Predecessors". Potrebno je unijeti redoslijed aktivnosti. Početak svake aktivnosti, MS Project automatski odredi u skladu sa početkom prve aktivnosti. Također, MS Project automatski odredi kraj svake aktivnosti u skladu sa pojedinačnim trajanjem aktivnosti. Kada se unesu zavisnosti među aktivnostima, odnosno njihov redosljed u projetku, onda dolazi do automatske izmjene u početku i kraju svake aktivnosti. Drugim riječima, datumi u kolonama "Start" i "Finish" se promjene u skladu sa releventnim informacijama za aktivnosti, njihova trajanja i međuzavisnosti. Sve neophodne informacije koje su unešene u radnu stranicu u MS Project-u su prikazane na sljedećoj tabeli. 320

ANALIZA SLUČAJA PRIMJENOM MS PROJECT-a

Tabela 8. Aktivnosti Centra za zdravstvenu zaštitu porodice

Na osnovu datih informacija, u MS Project-u je napravljen mrežni dijagram na kojem su aktivnosti i njihove osobine prikazane u elementima pravougaonog oblika. Poređenjem mrežnih dijagrama na grafikonima 17. i 19., primjećujemo da je prikaz aktivnosti i događaja drugačiji. Pravougaoni element na grafikonu 19. predstavlja i aktivnost i događaje (početak i kraj aktivnosti), a strelica prikazuje međuzavisnost. Broj pravoukaonika na početku pokazuje broj polaznih aktivnosti. Grafikon 19. predstavlja mrežni dijagram za ukupno trajanje projekta 67 dana. Grafikon 20. predstavlja Gantt dijagram za ukupno trajanje projekta 67 dana.

321

Grafikon 19. Mrežni dijagram (ukupno trajanje projekta 67 dana)

2

3

2

7

2

14 13 12 10

6

4

1

7 6

1

3

3

0

0

0

Grafikon 20. Gantt dijagram (ukupno trajanje projekta 67 dana)

0

Na osnovu informacija iz tabele 9. potrebno je odrediti da li projekat moguće izvesti sa 10članim timom. Tabela 9. Potrebno osoblje za izvršenje aktivnosti Centra za planiranje porodice

A. B. C. D. E. F. G. H. I. J. K.

Aktivnost Odrediti predavače i njihov raspored Dogovoriti transport do baze Odrediti i prikupiti materijal za obuku Dogovoriti smještaj Odrediti timove Dovesti timove Prevesti predavače do baze Odštampati programski materijal Dostaviti programski materijal Upravljanje trening programom Održavanje obuke

Potrebno osoblje 2 3 2 1 4 1 2 6 3 0 0

Iz grafikona 20., koji predstavlja Gantt dijagram za ukupno trajanje projekta 67 dana, se može zaključiti da projekat nije moguće izvesti sa 10-članim timom bez korištenja informacije o vremenskoj rezervi. Naime, u periodu od srijede, 06. 01. 2010. god. do ponedjeljka, 11. 01. 2010. god. potrebno je više od 10 osoba za izradu datih aktivnosti. U tom periodu, za istovremeno kompletiranje aktivnosti B, D, E i H (odnosno, dogovoriti transport do baze, dogovoriti smještaj, odrediti timove i odštampati programski materijal) potreno je 14 osoba. Za istovremeno kompletiranje aktivnosti D, E, G i H (odnosno, dogovoriti smještaj, odrediti timove, prevesti predavače do baze i odštampati programski materijal) potrebno je 13 osoba. Za istovremeno kompletiranje aktivnosti E, G i H (odnosno, odrediti timove, prevesti predavače do baze i odštampati programski materijal) potrebno je 12 osoba. Treba provjeriti da li vremenske rezerve aktivnosti dozvoljavaju da projekat završi 10 osoba. Znamo da aktivnost E (odrediti timove) zahtjeva 4 osobe i da je vremenska rezerva aktivnosti 8 dana. Ukoliko se aktivnost E pomjeri za 5 dana, projekat može završiti 10 osoba. Dalje, ako se aktivnost E pomjeri za 5 dana (njen najraniji početak, ponedjeljak, 11. 01. 2010. god.), onda se aktivnost F mora pomjeriti za 5 dana (njen najraniji početak, ponedjeljak, 18. 01. 2010. god.). Na osnovu vremenskih rezervi obje aktivnosti vidimo da to možemo uraditi. Pomenutim pomjeranjem bi se projekat mogao izvesti sa 10–članim timom. Ako je ukupno trajanje projekta skraćeno na 60 dana, potrebno je provjeriti da li projekat može biti izveden sa 10-članim timom? Studentima za dalju analizu slučaja ostavljamo da daju odgovor na ovo pitanje, detaljnijim istraživanjem alata u MS Projectu ili analizom grafikona 21. 324

Grafikon 21. Gantt dijagram (ukupno trajanje projekta skraćeno na 60 dana)

Literatura Andrijić, S., (2002), Matematički modeli i metode programiranja u gospodarskom društvu, treće izdanje, Synopsis, Zagreb – Sarajevo Backović, M., Vuleta, J., (2004), Ekonomsko-matematički metodi i modeli, Ekonomski fakultet Univerziteta u Beogradu, Beograd Chatfield, C., (2003), Microsoft Office Project 2003 Step by Step, Microsoft Press Kennemer, B., (2004), Show Me: Microsoft Office Project 2003, QUE Publishing Lukarić, S., (2006), Microsoft Project osnovne upute, Građevinski fakultet Sveučilišta u Rijeci, Rijeka Marmel, E., (2004), Microsoft Office Project 2003 Bible, Wiley Publishing, Inc. Martinović M., Stefanović D., (1969), Tehnika mrežnog planiranja, Institut za organizaciju rada i automatizaciju poslovanja, Beograd Petrić, J., (1983), Mrežno planiranje i upravljanje, Informator, Zagreb Vučković, Ž., Somun – Kapetanović, R., (1990), Zbirka riješenih zadataka iz Matematičkih metoda u ekonomskim istraživanjima, peto izdanje, Ekonomski fakultet u Sarajevu, Sarajevo Vučković, Ž., (2003), Tehnike mrežnog planiranja, Ekonomski fakultet u Sarajevu, Sarajevo

326

Kvantitativne metode u ekonomiji i menadžmentu

3. Input-output analiza 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6.

Uvod Količinska input-output analiza Vrijednosna input-output analiza Pitanja za ponavljanje Zadaci za vježbu Rješenja zadataka za vježbu Literatura

3.1. Uvod Input-output analizu je razvio Wassily Leontief1 kome je Akademija Kraljevine Švedske dodijelila Nobelovu nagradu 1973. godine za razvoj input-output metode i njenu primjenu u rješavanju značajnih ekonomskih problema. Leontief je 1919. i 1929. godine izradio inputoutput tabele za privredu SAD-a.2 Teoretska razmišljanja o input-output analizi datiraju prije Leontijeva. U 18. stoljeću francuski ekonomista Francois Quesnay3 je koristio svoje čuvene „ekonomske tabele“ kako bi ilustrovao relacije koje postoje između poljoprivrednog i drugih sektora. Stotinu godina kasnije Karl Marx4 je analizirao veze između industrijskih grana koje su proizvodile investicijska dobra i onih koji su proizvodili dobra za potrošnju. Francuski ekonomista Leon Walras5 je u formulisanju generalne ravnoteže u jednoj ekonomiji koristio koncept koji je blizak konceptu tehničkih koeficijenata proizvodnje koje je koristio Leontief. Brojni matematičari su se bavili input-output analizom. Leontief je isticao da „vrijednost jednog teoretičara počinje samo onda kada je on u stanju dobro formulisati svoju teoriju i kada je sposoban da pokaže da ona može biti primijenjena u ekonomiji“6. Njegov najznačajniji doprinos razvoju input-output analize je da se koeficijenti koji izražavaju vezu između sektora mogu statistički mjeriti i da budu dovoljno stabilni kako bi se mogli primijeniti u komparativnoj analizi čiji cilj je da evaluira efekte različitih ekonomskih politika. Značajan doprinos poboljšanju osnove za empirijske ekonomske analize dao je i Richard Stone7 koji je 1984. godine nagrađen Nobelovom nagradom za ekonomiju za doprinos Sistemu nacionalnih računa. U pojednostavljenom obliku input-output tabele, zasnovanom na otvorenom sistemu privrede koji je razradio Leontief, tabela input-output koeficijenata u svakoj koloni predstavlja tehniku proizvodnje po kojoj je proizveden samo jedan proizvod. Zbog ove pojednostavljene pretpostavke tabela međusektorskih transakcija (odnosno tabela intermedijarne potrošnje) mora biti ne samo kvadratna nego i simetrična. Model zasnovan na ovoj tabeli se naziva simetričan input-output model. Upotreba input-output modela baziranog na ovim pretpostavkama može se opravdati pretpostavkom da se tehnika proizvodnje u kratkom periodu ne mijenja. Input-output tabela u teoriji može biti izražena u količinskim ili monetarnim jedinicama, ili istovremeno u obje jedinice.

1 2 3 4 5 6 7

Wassily Leontief (1906. -1999.), dobitnik Nobelove nagrade za 1973. godinu. Objavljene u radu: The Structure of the American Economie 1919-1929, Harvard University Press, 1941. Francois Quesnay (1694. - 1774.) Karl Marx (1818. - 1883.) Leon Walras (1834. -1910.) Roux, D., (2002.), str. 87. Richard Stone (1913. – 1991.)

329

INPUT-OUTPUT ANALIZA

U okviru input-output analize definišu se tri vrste tabela i to:8 1. Tabele ponude i upotrebe odnosno tabele stvaranja dobara i usluga i njihove raspodjele; 2. Tabele koje povezuju tabele ponude i upotrebe sa sektorskim računima; 3. Simetrične input-output tabele. U tabelama ponude i upotrebe se prezentuju proizvodni procesi i finansijske transakcije nacionalne privrede prema djelatnostima i proizvodima. Zadatak ovih tabela je da prikažu strukturu troškova proizvodnje i dohodak koji se realizuje u procesu proizvodnje, tokove dobara i usluga koji se proizvedu u nacionalnoj privredi, kao i tokove dobara i usluga sa inostranstvom. Ponuda dobara i usluga prema proizvodu i vrsti dobavljača (domaći i inostrani) se prikazuje u pojednostavljenoj tabeli ponude. Tabela 1. Pojednostavljena tabela ponude Ponuda Proizvodi

1.

Ukupno

2.

Djelatnosti 1. Proizvodnja po proizvodu i po djelatnosti Ukupna proizvodnja po djelatnosti

Inostranstvo 2. Uvoz po proizvodu Ukupni uvoz

Ukupno 3. Ukupna ponuda po proizvodu Ukupna ponuda

Pojednostavljena tabela upotrebe dobara i usluga prema proizvodu i vrsti upotrebe prikazuje se u sljedećem obliku: Tabela 2. Pojednostavljena tabela upotrebe Upotrebe

8

Proizvodi

1.

Komponente dodane vrijednosti Ukupno

2. 3.

Djelatnosti

Inostran stvo

Finalna potrošnja

1. Intermedijarna potrošnja po proizvodu i po djelatnosti Dodana vrijednost po komponentama i po djelatnosti Ukupni input po djelatnosti

2. Izvoz

3. Izdaci za finalnu potrošnju

Bruto Ukupno investicije u kapital 4. 5. Bruto Ukupna investicije upotreba po u kapital proizvodu

Prema: Europski sustav nacionalnih računa ESA 1995, (1998), str. 263 - 265.

330

UVOD

U ovoj tabeli upotreba dobara i usluga je dezagregirana na intermedijarnu, odnosno proizvodnu potrošnju, izvoz, finalnu potrošnju koja se također može dalje dezagregirati, i bruto investicije u kapital. Pored toga ova tabela pokazuje i osnovne komponente bruto dodane vrijednosti koje se mogu u zavisnosti od nivoa analize dalje dezagregirati. Bruto dodana vrijednost se može dekomponirati na plaće zaposlenima, porezne subvencije umanjene za subvencije na proizvodnju, neto mješoviti dohodak, neto operativni višak i potrošnju fiksnog kapitala. Između tabela ponude i upotrebe vrijede dvije vrste identiteta - identitet po djelatnosti i identitet po proizvodu. Identitet po djelatnosti pokazuje da je output po djelatnosti jednak inputu po djelatnosti. To znači da bi ukupna proizvodnja po djelatnosti iz tabele 1 trebala biti jednaka ukupnom inputu po djelatnosti iz tabele 2. Za svaku djelatnost zbir intermedijarne potrošnje i dodane vrijednosti je jednak outputu. Identitet po proizvodu znači da je ukupna ponuda po proizvodu jednaka ukupnoj upotrebi po proizvodu. To znači da se realizovana proizvodnja treba utrošiti, odnosno upotrijebiti. Posmatrajući ovaj identitet u dvije prethodno prezentovane tabele konstatuje se da se output i uvoz svakog proizvoda raspodjeljuju na četiri kategorije: intermedijarnu potrošnju, izvoz, finalnu potrošnju i bruto investicije. Ukupna ponuda po proizvodu u tabeli 1. treba da bude jednaka ukupnoj upotrebi po proizvodu u tabeli 2. Ove dvije grupe tabela predstavljaju bazu za konstrukciju i analizu tabela po djelatnostima. Pored toga, tabele ponude i upotrebe sve tokove iskazuju u računima dobara i usluga, računu proizvodnje i računu stvaranja dohotka. Tabele ponude i upotrebe se mogu prikazati u obliku jedne kombinovane tabele koja je kompleksnija i pruža sve informacije koje se odnose na ponudu i upotrebu, odnosno na stvaranje i raspodjelu outputa. Tabela 3. Pojednostavljena kombinovana tabela ponude i upotrebe Proizvodi

Djelatnosti

Inostranstvo

Finalna potrošnja

Bruto investicije u kapital

Ukupno

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Proizvodi

1.

-

Izvoz

2.

Proizvodnja

Izdaci za finalnu potrošnju -

Bruto investicije u kapital

Djelatnosti

Intermedijarna potrošnja -

Ukupna upotreba po proizvodu Ukupna proizvodnja po djelatnosti

Komponente dodane vrijednosti Inostranstvo Ukupno

3.

-

Dodana vrijednost

4. 5.

Uvoz Ukupna ponuda po proizvodu

Ukupni input po djelatnosti

-

-

331

INPUT-OUTPUT ANALIZA

Pored gore navedene kombinovane tabele ponude i upotrebe dobara i usluga, kompletira se, zbog praktičnih razloga, i simetrična input-output tabela iz koje je vidljivo da ukupna ponuda po proizvodu treba, na osnovu prethodno analiziranog identiteta po proizvodu, biti jednaka ukupnoj upotrebi po proizvodu. To znači da i ukupna ponuda treba biti jednaka ukupnoj upotrebi kao što je zapisano u polju (4,5) ove tabele. Tabela 4. Pojednostavljena simetrična input-output tabela po proizvodima

Proizvodi

1.

Komponente dodane vrijednosti Inostranstvo Ukupno

2.

Proizvodi

Inostranstvo

Finalna potrošnja

1. Intermedijarna potrošnja

2. Izvoz -

3. Izdaci za finalnu potrošnju -

-

-

Dodana vrijednost 3. Uvoz 4. Ukupna ponuda po proizvodu

Bruto Ukupno investicije u kapital 4. 5. Bruto Ukupna uporaba investicije po proizvodu u kapital -

Ukupna ponuda = ukupna upotreba

Simetrična input-output tabela se može kompletirati i kao tabela, odnosno matrica prema djelatnostima (djelatnost x djelatnost)9. Treba istaknuti razliku koja postoji između kombinovane tabele ponude i upotrebe i simetrične input-output tabele. U tabelama ponude i upotrebe se povezuju proizvodi sa djelatnostima, a u simetričnim input-output tabelama proizvodi sa proizvodima i djelatnosti sa djelatnostima, odnosno koriste se klasifikacija po proizvodima ili klasifikacija po djelatnostima unutar tabele kako bi se evidentirali ukupna ponuda i upotreba po proizvodu ili po djelatnosti. Ove tabele omogućavaju praćenje strukture ukupne proizvodnje i njenu raspodjelu na nivou ukupne privrede jedne zemlje, na regionalnom nivou kao i na nivou preduzeća. 3.1.1. Input-output analiza i proizvodni sistem Input-output analiza, poznata i pod nazivom Međusektorska analiza, spada u oblast kvantitativnih ekonomskih analiza. Bazira se na upotrebi linearnih formi i linearnih transformacija koji su nužni preduvjet za razumijevanje ove oblasti. U osnovi, posmatra se jedan otvoreni proizvodni sistem kojeg sačinjavaju proizvodni sektori, tj. proizvođači povezani međusobnim isporukama i nabavkama sirovina, poluproizvoda, 9

Djelatnost puta djelatnost znači djelatnosti po vrstama i kolonama.

332

UVOD

energije i proizvodnih usluga u samom sistemu, ali i nabavkama izvana. Proizvodni sistem je, dakle, povezan sa okruženjem putem finalnih isporuka i nabave dobara izvana, za proizvodnu potrošnju. Međusobnim isporukama sektora unutar samog proizvodnog sistema ostvaruju se proizvodne veze sektora koje uzrokuju promjene proizvodnje direktno putem direktnih nabava i isporuka, ili indirektno putem nabava i isporuka drugih sektora. Proizvodni sektor mora predstavljati zaokruženu tehnološko - ekonomsku cjelinu koja proizvodi samo jedan tip proizvoda. Svaki tip proizvoda se klasificira u samo jedan proizvodni sektor. Prva pretpostavka implicira potpunu homogenost proizvodnih sektora, a druga potpunu jednoznačnost klasifikacije proizvoda koje oni proizvode. U praksi se ove dvije pretpostavke ne mogu uvijek ostvariti što utiče na pouzdanost analitičkih rezultata dobivenih primjenom input-output modela. Kako bi se dobili pouzdaniji analitički rezultati i zadovoljile pretpostavke homogenosti i jednoznačnosti proizvoda, proizvodni sistem se dezagregira, odnosno raščlanjuje na veći broj proizvodnih sektora. Osnovni zadatak input-output analize je utvrđivanje, analitičko raščlanjivanje, kvantificiranje proizvodnih međuzavisnosti direktnih i indirektnih veza proizvodnih sektora, ispitivanje veza unutar strukture proizvodnog sistema te složenih veza sa okruženjem. Time se osigurava praćenje promjena unutar samog sistema, kao i praćenje uticaja vanjskih promjena na sistem. Proizvodni sistem, sa stanovišta korištenja metoda input-output analize međusobnih odnosa može biti privreda jedne zemlje ili jedne regije, kao i preduzeće. U prvom slučaju se radi o primjeni input-output analize na makronivou, a u drugom o primjeni na mikronivou. Na makronivou input-output tabele predstavljaju sastavni dio Sistema nacionalnih računa. U daljem izlaganju će se analizirati proizvodni sistem sastavljen od dva i više proizvodnih sektora za određeni proizvodni period. Analiza i zaključci koji se budu odnosili na posmatrani prošli period vrijediće i primjenjivaće se i na istovrsni budući proizvodni period. U prvom dijelu će se razmatrati i analizirati količinski odnosi proizvodnog sistema koji se predstavljaju u obliku količinske input-output tabele. Ova tabela je baza za odgovarajuće analize međuzavisnosti proizvodnog sistema koje će rješavati primjenom odgovarajućeg input-output modela i njegovim rješavanjem. U drugom dijelu će se istraživati vrijednosni ili transakcioni odnosi predstavljeni u obliku vrijednosne ili transakcione input-output tabele. Rješavanjem odgovarajućeg modela analizirati će se kompleksne međuzavisnosti koje postoje u okviru proizvodnog sistema.

333

3.2. Količinska input-output analiza Kvantitativne vrijednosti elemenata proizvodnog sistema i veličina koje ga povezuju sa okruženjem mogu se predstaviti pregledno u tabelarnom obliku. Tabela sadrži potpune informacije o tokovima proizvedenih dobara u proizvodnom sistemu, njihovim tokovima u odnosima sa okruženjem izraženim količinama proizvoda u njihovim jedinicama.10 Posmatra se proizvodni sistem P sastavljen od n proizvodnih sektora (proizvođača): P1 , P2 ,..., Pn . Dio proizvoda svakog proizvođača se koristi u proizvodnoj, tj. reprodukcionoj potrošnji11 tog i ostalih proizvođača kao interni input, a dio se troši izvan proizvodnog sistema kao finalne potrošnje (finalne isporuke ili neto proizvodnje).12 Za predstavljanje, analizu i kompletiranje količinske input-output tabele uvode se sljedeći pojmovi i simboli: Bruto proizvodnja (ukupna proizvodnja, output) proizvođača Pi koja će se označavati sa Xi gdje i uzima vrijednost od 1 do n: ( i = 1,..., n ) . Finalna potrošnja proizvođača Pi označava se sa Yi i izražava za svih n proizvodnih sektora: ( i = 1,..., n ) . Interni input Qij predstavlja dio proizvodnje proizvođača Pi koji se utroši kao interni repromaterijal u proizvodnji proizvođača Pj 13 gdje i i j uzimaju vrijednosti od 1 do n: ( i = 1,..., n ) ; ( j = 1,..., n ) . U proizvodnom sistemu P koriste se kao repromaterijali i inputi izvan sistema jer ne postoji proizvodni sistem koji sve potrebne repromaterijale proizvodi sam. Neka se sa S1 , S2 ,..., Sm označi m eksternih snabdjevača izvan sistema čiji se proizvodi koriste za reprodukcionu potrošnju u sistemu P.

( e = 1,..., m ) ; ( j = 1,..., n ) . Prethodno definisani pojmovi se mogu zapisati u matričnom obliku na sljedeći način:

10 11 12

13

Prema Vučković, Ž., (2003), str.1-7. Termini proizvodna potrošnja, reprodukciona potrošnja i intermedijarna potrošnja će se u tekstu upotrebljavati kao sinonimi. Termini finalna potrošnja, finalna isporuka, neto proizvodnja, izvoz će se u tekstu upotrebljavati kao sinonimi. Proizvodna potrošnja proizvođača Pj proizvoda proizvođača Pi ili utrošak proizvoda proizvođača Pi u proizvodnoj potrošnji proizvođača Pj .

334

KOLIČINSKA INPUT-OUTPUT ANALIZA

⎡ X1 ⎤ ⎢X ⎥ Vektor bruto proizvodnji (outputa) proizvođača [ X i ]n×1 = ⎢ 2 ⎥ ; ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣Xn ⎦

Xi ≥ 0

⎡ Y1 ⎤ ⎢Y ⎥ Vektor finalnih potrošnji proizvođača [Yi ]n×1 = ⎢ 2 ⎥ ; 0 ≤ Yi ≤ X i ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣Yn ⎦

Matrica internih inputa ⎡⎣Qij ⎤⎦ n× n

⎡ Q11 Q12 … Q1n ⎤ ⎢Q Q22 … Q2 n ⎥⎥ = ⎢ 21 ; 0 ≤ Qij ≤ X i ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣Qn1 Qn 2 … Qnn ⎦

⎡ U1 ⎤ ⎢U ⎥ Vektor ukupnih eksternih inputa (uvoza) u sistem [U e ]m×1 = ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣U m ⎦

Matrica eksternih inputa ⎡⎣Wej ⎤⎦ m× n

⎡ W11 W12 ⎢W W22 = ⎢ 21 ⎢ ⎢ ⎣Wm1 Wm 2

W1n ⎤ W2 n ⎥⎥ ; 0 ≤ Wej ≤ U e ⎥ ⎥ Wmn ⎦

3.2.1. Formiranje količinske input-output tabele Na osnovu prethodno definisanih pojmova, simbola i veličina u matričnom obliku kompletira se sljedeća količinska input-output tabela.

335

INPUT-OUTPUT ANALIZA

Tabela 5. Količinska input-output tabela Sektori primaoci P1 Pj Sektori davaoci Pi

P2



Pn

⎡⎣Qij ⎤⎦

∑ Qij

Yi

Xi

j

P1

Q11

Q12



Q1n

∑ Q1 j

Y1

X1

P2

Q21

Q22



Q2n

∑ Q2 j

Y2

X2

Pn

Qn1

Qn2



Qnn

∑ Qnj

Yn

Xn

j

j

U e = ∑ Wej

⎡⎣Wej ⎤⎦

Se

j

j

S1

W11

W12



W1n

U1 = ∑ W1 j

S2

W21

W22



W2n

U 2 = ∑W2 j

Sm

Wm1

Wm2



Wmn U m = ∑j Wmj

j

j

Količinska input-output (I-O) tabela predstavlja prikaz raspodjele ukupne proizvodnje svakog sektora (duž redova) na reprodukcionu potrošnju i finalnu potrošnju. Duž kolona predstavljena je struktura reprodukcione potrošnje svakog sektora raščlanjena na interne i eksterne inpute. Količinska input-output tabela se može predstaviti u pojednostavljenom obliku gdje se jednostavno u prvom redu predstavlja raspodjela ukupne proizvodnje, odnosno bruto proizvoda na ukupne interne inpute u sistemu i finalne isporuke. U prvoj koloni su predstavljene reprodukciona potrošnja sistema iz internih inputa kao i reprodukciona potrošnja sistema iz eksternih inputa u sistemu. U drugoj koloni tabele 6. su predstavljeni ukupni interni inputi u sistem te ukupni uvozi u sistem od eksternih dobavljača.

336

KOLIČINSKA INPUT-OUTPUT ANALIZA

Tabela 6. Pojednostavljena količinska input-output tabela Reprodukciona potrošnja sistema (interni inputi) Reprodukciona potrošnja sistema (eksterni inputi)

Ukupni interni inputi u sistemu Ukupni uvoz u sistem

Finalne isporuke

Bruto proizvod

Značenje i objašnjenje sastavnih dijelova količinske input-output tabele Kod svake količinske input-output tabele potrebno je definisati značenje njenih sastavnih dijelova. 1) Sadržaj duž redova gornjeg dijela tabele pokazuju strukturu raspodjela bruto proizvodnje X i > 0 pripadnih proizvođača Pi na njene dijelove: reprodukcionu potrošnju u sistemu

∑Q

ij

≥ 0 i finalne potrošnje Yi ≥ 0 proizvođača Pi.

j

Proizvođač Pi je proizveo ukupno X i > 0 količinskih jedinica (kj) svog outputa i raspodijelio ga na reprodukcionu potrošnju direktno: Qi1 kj proizvođaču P1, Qi 2 kj proizvođaču P2, Qii kj u vlastitu proizvodnju, …, Qin kj proizvođaču Pn; odnosno ukupno ∑ Qij ≥ 0 kj u sistem i na finalnu potrošnju Yi ≥ 0 kj. j

2) Sadržaj duž redova donjeg dijela tabele pokazuju strukturu raspodjela pojedinih uvoza U e > 0 proizvođačima Pj. Od eksternog snabdjevača Se je uvezeno u sistem ukupno U e > 0 količinskih jedinica i direktno raspoređeno We1 kj proizvođaču P1, We2 kj proizvođaču P2, ..., Wen kj proin

zvođaču Pn, odnosno ukupno U e = ∑ We j količinskih jedinica. j =1

3) Sadržaj duž kolona tabele pokazuje strukturu kompletiranja potrošnji proizvođača Pj. Kako se veličine duž kolona j odnose na različite inpute, one su izražene u različitim količinskim jedinicama pa se ne mogu međusobno sabirati. Proizvođač Pj u proizvodnji svog outputa X j > 0 kj direktno je utrošio:

interne repromaterijale (gornji dio tabele) iz sistema: Q1j kj dobijenog od proizvođača P1, Q2j kj od proizvođača P2,..., Qjj kj iz vlastite proizvodnje,. .., Qnj kj od proizvođača Pn. eksterne repromaterijale (donji dio tabele) izvan sistema: W1j kj od snabdjevača S1, W2j kj od snabdjevača S2,…, Wmj kj od snabdjevača Sm. Iz formiranja količinske input-output tabele na temelju njenih redova mogu se napisati jednačine raspodjele bruto proizvodnje svakog pojedinog proizvodnog sektora kao i jednačine raspodjele ukupnog eksternog inputa svakog pojedinog snabdjevača.

337

INPUT-OUTPUT ANALIZA

Jednačina raspodjele bruto proizvodnje proizvodnih sektora

Raspodjela bruto proizvodnje sektora i se može izraziti sljedećom jednačinom: n

X i = ∑ Qij + Yi

i = 1,..., n.

(3.1)

j =1

Ukupna proizvodnja sektora Pi označena sa Xi raspodjeljuje se na dio koji se troši kao reprodukciona potrošnja ili interni input u sistemu P i dio koji predstavlja finalnu potrošnju sektora i. Pošto je sistem P sastavljen od n proizvodnih sektora, jednačina (3.1) predstavlja i-tu jednačinu linearnog sistema od n jednačina: X 1 = Q11 + Q12 + .. + Q1n + Y1 X 2 = Q21 + Q22 + .. + Q2 n + Y2 ............................................. X n = Qn1 + Qn 2 + .. + Qnn + Yn

(3.2)

sa 2n+n2 varijabli: n varijabli Xi, n varijabli Yi i n2 varijabli Qij. Opšta jednačina (3.1) sistema (3.2) predstavlja strukturu raspodjele bruto proizvodnje (outputa) pripadnog proizvođača Pi na dva dijela i to: n

∑Q J =1

ij

≥ 0 za reprodukcione potrošnje u sistemu i Yi ≥ 0 za finalne potrošnje proizvođača

Pi.

Jednačina raspodjele ukupnih eksternih inputa

Jednačina raspodjele ukupnih eksternih inputa se izražava u obliku sljedeće jednačine: n

U e = ∑ Wej

e = 1,..., m.

(3.3)

j =1

Jednačina (3.3) predstavlja e-tu jednačinu linearnog sistema od m jednačina: U1 = W11 + W12 + +W1n U 2 = W21 + W22 + .. + W2 n ....................................... U m = Wm1 + Wm 2 + .. + Wmn sa m+mn varijabli i to m varijabli Ue i mn varijabli Wej.

338

(3.4)

KOLIČINSKA INPUT-OUTPUT ANALIZA

Opšta jednačina (3.3) sistema (3.4) predstavlja strukturu raspodjele ukupnog eksternog inputa (eksternog repromaterijala) Ue na proizvođače Pj. Sistemi jednačina (3.2) i (3.4) imaju veći broj nepoznatih nego jednačina, što znači da nemaju jednoznačno rješenje, tj. kod svakog (n+m)-dimenzionalnog proizvodnog sistema P (n proizvođača i m snabdjevača) može se kompletirati neograničen broj raznih njegovih količinskih input-output tabela, i svaka se odnosi na njegov drugačiji proizvodni program.14 Smanjenje broja nepoznatih vodi ka pojednostavljenju sistema jednačina, tj. egzogeno se utvrde neke količine, a primjenom input-output modela određuju ostale količine.

3.2.2. Koeficijenti količinskih input-output odnosa

Na osnovu formirane količinske input-output tabele 5 će se definisati i objasniti koeficijenti količinskih input-output odnosa. To su: tehnički koeficijenti internih inputa, tehnički koeficijenti eksternih inputa i koeficijenti raspodjele. Tehnički koeficijenti internih inputa ⎡⎣ aij ⎤⎦

Ako je proizvodni sektor15 Pj utrošio Qij proizvoda proizvodnog sektora Pi da bi proizveo Xj Q jedinica proizvodnje, znači da je za svaku jedinicu proizvodnje prosječno utrošio ij proiXj zvoda proizvođača Pi. Na ovaj način definisan koeficijent se naziva tehnički koeficijent internog inputa iz Pi ka Pj. Tehnički koeficijent je koeficijent direktnog utroška i pokazuje prosječan utrošak proizvoda proizvođača Pi po jedinici proizvodnje proizvođača Pj. Tehnički koeficijent internih inputa se izražava sljedećom relacijom: aij =

Qij Xj

≥0

(3.5)

kj Pi . kj Pj Tehnički koeficijenti internih inputa treba da zadovolje osobine zapisane u sljedećem izrazu:

jedinice mjere

⎧i = j ⇒ 0 ≤ aii < 1 . aij : ⎨ ⎩ i ≠ j ⇒ aij ≥ 0 14 15

(3.6)

Vučković, Ž., (2003), str. 7. Za proizvodni sektor u tekstu će se koristiti kao sinonim, zbog pojednostavljenja u objašnjavanju, termin proizvođač.

339

INPUT-OUTPUT ANALIZA

Tehnički koeficijent internih inputa aij ima sljedeće značenje: proizvođač Pj po svakoj kj svog outputa X j > 0 direktno utroši aij kj proizvodnje proizvođača Pi. Iz objašnjenja tehničkog koeficijenta internih inputa slijedi i objašnjenje osobina, odnosno ograničenje na ove koeficijente. Ako bi neki dijagonalni element bio jednak jedinici ( aii = 1 ), to bi značilo da bi proizvođač Pi za proizvodnju jedne količinske jedinice proizvodnje kao repromaterijal direktno koristio jednu količinsku jedinicu vlastite proizvodnje što ekonomski nije logično niti opravdano. Tada bi reprodukciona potrošnja proizvođača Pi dobivena iz vlastite proizvodnje bila jednaka ukupnoj proizvodnji proizvođača Pi: Qii = X i . Slijedeći istu logiku konstatuje se da tehnički koeficijenti internih inputa ne mogu biti veći od jedinice jer bi tada Qii >Xi što je nemoguće. Vrijednost svih tehničkih koeficijenata treba da zadovolji uslov nenegativnosti koji je ekonomski logičan. Tehničkih koeficijenata internih inputa ima koliko i odgovarajućih internih inputa Qij. Zbog toga se može formirati matrica tehničkih koeficijenata internih inputa dimenzije n redova i n kolona:

A = ⎣⎡ aij ⎤⎦

n× n

⎡ a11 ⎢a = ⎢ 21 ⎢ ⎢ ⎣ an1

a12 a22 an 2

a1n ⎤ a2 n ⎥⎥ . ⎥ ⎥ ann ⎦

(3.7)

Elementi matrice A treba da zadovolje osobinu nenegativnosti, a dijagonalni elementi matrice A, pored osobine nenegativnosti, treba da zadovolje osobinu da su manji od jedinice, što smo prethodno zapisali u obliku izraza (3.6). ⎡ X1 ⎤ ⎢X ⎥ Vektor kolona bruto proizvodnji [ X i ]n×1 = ⎢ 2 ⎥ koju smo prethodno definisali se može ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣Xn ⎦ 0 ⎤ ⎡ X1 0 ⎢0 X 0 ⎥⎥ 2 ˆ ⎢ ⎡ ⎤ transformisati u dijagonalnu matricu ⎣ X j ⎦ = . ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ Xn ⎦ 0 ⎣0

Primjenom osobine množenja matrica i relacije (3.5) dobijamo: ⎡⎣Qij ⎤⎦ = ⎡⎣ aij ⎤⎦ ⋅ ⎡ Xˆ j ⎤ ⎣ ⎦

340

(3.8)

KOLIČINSKA INPUT-OUTPUT ANALIZA

jednačinu koja se koristi za izračunavanje matrice internih inputa Qij kada su poznate matrica tehničkih koeficijenata i ukupne proizvodnje proizvodnih sektora. Iz jednačine (3.8) se može eksplicitno izraziti matrična jednačina za izračunavanje matrice tehničkih koeficijenata internih inputa. Obje strane jednačine (3.8) se sa desne strane množe −1 matricom ⎡⎣ Xˆ j ⎤⎦ : −1

−1

⎡⎣Qij ⎤⎦ ⋅ ⎡ Xˆ j ⎤ = ⎡⎣ aij ⎤⎦ ⋅ ⎡ Xˆ j ⎤ ⋅ ⎡ Xˆ j ⎤ ⇒ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡⎣ aij ⎤⎦ = ⎡⎣Qij ⎤⎦ ⋅ ⎡ Xˆ j ⎤ ⎣ ⎦

⎡1 ⎢X ⎢ 1 ⎢ 0 −1 ˆ ⎡ ⎤ gdje je ⎣ X j ⎦ = ⎢⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢⎣ proizvodnji ⎡⎣ Xˆ j ⎤⎦ .

−1

(3.9) 0

1 X2 0

⎤ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ inverzna matrica dijagonalne matrice ukupnih ⎥ ⎥ 1 ⎥ X n ⎥⎦

Tehnički koeficijenti eksternih inputa ⎡⎣α ej ⎤⎦

Proizvodni sektori kao inpute u svojoj proizvodnji koriste i repromaterijal nabavljen od eksternih dobavljača. Ako je proizvođač Pj utrošio Wej kj eksternog repromaterijala od snabdjevača Se u svojoj proizvodnji Xj, to znači da je za svaku jedinicu svoje proizvodnje proW sječno utrošio ej eksternog inputa (uvoza) od snabdjevača Se. Tako definisan koeficijent se Xj naziva tehnički koeficijent eksternog inputa od Se ka Pj i zapisuje u obliku sljedećeg izraza:

α ej =

Wej Xj

jedinice mjere

≥0

(3.10)

kj Se . kj Pj

Značenje tehničkoga koeficijent eksternog inputa definisanog gornjim izrazom je sljedeće: Proizvođač Pj po svakoj količinskoj jedinici svog outputa X j > 0 direktno utroši α ej kj eksternog inputa nabavljenog od eksternog dobavljača Se.

341

INPUT-OUTPUT ANALIZA

Pošto tehničkih koeficijenata eksternih inputa α ej ima koliko i eksternih inputa Wej, može se formirati matrica tehničkih koeficijenata eksternih inputa dimenzije m redova i n kolona:

α = ⎡⎣α ej ⎤⎦ m×n

⎡ α11 α12 ⎢α α 22 = ⎢ 21 ⎢ ⎢ ⎣α m1 α m 2

α1n ⎤ α 2 n ⎥⎥

⎥ ⎥ α mn ⎦

.

(3.11)

Na osnovu izraza (3.10) može se napisati matrična jednačina pomoću koje se izračunava matrica eksternih inputa ukoliko su poznati tehnički koeficijenti eksternih inputa i ukupne proizvodnje sektora:

⎡⎣Wej ⎤⎦ = ⎡⎣α ej ⎤⎦ ⋅ ⎡ Xˆ j ⎤ . ⎣ ⎦

(3.12)

Matrica ukupnih eksternih inputa se izračunava kao proizvod matrice tehničkih koeficijenata eksternih inputa i dijagonalne matrice ukupnih proizvodnji sektora. Množenjem gornje jednačine sa desne strane sa ⎡⎣ Xˆ j ⎤⎦ −1

−1

dobija se

−1

⎡⎣Wej ⎤⎦ ⋅ ⎡ Xˆ j ⎤ = ⎡⎣α ej ⎤⎦ ⋅ ⎡ Xˆ j ⎤ ⋅ ⎡ Xˆ j ⎤ ⇒ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡⎣α ej ⎤⎦ = ⎡⎣Wej ⎤⎦ ⋅ ⎡ Xˆ j ⎤ ⎣ ⎦

−1

(3.13)

jednačina za izračunavanje matrice tehničkih koeficijenata eksternih inputa ukoliko su poznati eksterni inputi u sistem i ukupne proizvodnje sektora. Koeficijenti raspodjele ⎡⎣ rij ⎤⎦

Koeficijent raspodjele rij se definiše kao količnik između internog inputa Qij iz sektora i u sektor j i ukupne proizvodnje Xi sektora i:

rij =

Qij Xi

≥0

kod kojih se jedinica mjere skrati tj.

(3.14)

kj Pi . kj Pi

Na osnovu gornjeg definicionog izraza za koeficijent raspodjele zaključuje se da ovaj koeficijent nema jedinice mjere i da je dakle neimenovan broj. Koeficijent raspodjele se, kao i svi neimenovani brojevi, može izražavati u procentima.

342

KOLIČINSKA INPUT-OUTPUT ANALIZA

Ako je proizvođač Pi iz svoje bruto proizvodnje Xi>0 raspodijelio Qij ≥ 0 kj direktno proizvođaču Pj, tada odnos internog inputa Qij i matičnog outputa Xi predstavlja koeficijent raspodjele iz Pi u Pj . Značenje koeficijenta raspodjele rij je sljedeće: proizvođač Pi je raspodijelio rij⋅100% svoje ukupne proizvodnje proizvođaču Pj. Koeficijenata raspodjele ima koliko i koeficijenata internih inputa Qij. Zato se i koeficijenti raspodjele mogu zapisati u matričnom obliku: ⎡ r11 r12 ⎢r r ⎡⎣ rij ⎤⎦ = ⎢ 21 22 n× n ⎢ ⎢ ⎣ rn1 rn 2 Matrica ⎡⎣ rij ⎤⎦ je dimenzije n

r1n ⎤ r2 n ⎥⎥ . (3.15) ⎥ ⎥ rnn ⎦ redova i n kolona jer je u sistemu definisano n proizvodnih

sektora Pi. Na osnovu definicionog izraza za koeficijent raspodjele može se napisati sljedeća matrična jednačina: −1

⎡⎣ rij ⎤⎦ = ⎡ Xˆ i ⎤ ⋅ ⎡⎣Qij ⎤⎦ . ⎣ ⎦

(3.16)

Iz gornje matrične jednačine se može izraziti matrica internih inputa Qij kao proizvod dijagonalne matrice ukupnih proizvodnji i matrice koeficijenata raspodjele:

⎡⎣Qij ⎤⎦ = ⎡ Xˆ i ⎤ ⋅ ⎡⎣ rij ⎤⎦ . ⎣ ⎦

(3.17) n

Ako se jednačina raspodjele bruto proizvodnji (3.1) X i = ∑ Qij + Yi ; i = 1,..., n podijeli sa j =1

pripadnim Xi dobija se izraz koji omogućava izračunavanje raspodjele ukupne proizvodnje svakog sektora izražene u procentima: n

1=

∑Q j =1

Xi

ij

+

n Q n Yi Y Y Y = ∑ ij + i = ∑ rij + i = ri + i . X i j =1 X i X i j =1 Xi Xi

(3.18)

Vrijednost ri ⋅100% pokazuje koliko je procentualno iz bruto proizvodnje Xi proizvođača Pi raspoređeno na reprodukcionu potrošnju u sistemu, a vrijednost Yi ⋅100% pokazuje koliko je procentualno iz te proizvodnje raspoređeno na njegovu Xi finalnu potrošnju Yi.

343

INPUT-OUTPUT ANALIZA

3.2.3. Analiza proizvodnog sistema

Na osnovu prethodno definisanih pojmova i relacija u količinskoj input-output tabeli u narednim dijelovima knjige će se istraživati i analizirati odnosi i relacije u proizvodnom sistemu. Relacije koje će biti izvedene i formulisane predstavljaju osnovne jednačine za rješavanje input-output modela. Zavisnost finalnih potrošnji od bruto proizvodnji

Kada su poznate, odnosno egzogeno utvrđene bruto proizvodnje svakog sektora (proizvođača) finalne potrošnje svakog sektora se mogu utvrditi rješavanjem jednačine input-output modela kojom se izražava zavisnost finalnih potrošnji od bruto proizvodnji. Da bi se riješio ovaj model potrebno je poznavati sve elemente matrice tehničkih koeficijenata A za koju se pretpostavlja da se ne mijenja u toku posmatranog proizvodnog procesa. Uvrštavajući u jednačinu raspodjele bruto proizvodnji (3.1) n

X i = ∑ Qij + Yi ; i = 1,..., n j =1

izraz za utvrđivanje internih inputa Qij = aij X j dobija se u opštem obliku jednačina za bruto proizvodnju Xi sektora Pi: n

X i = ∑ aij X j + Yi ; i = 1,..., n

(3.19)

j =1

odnosno sistem jednačina koji se zapisuje u sljedećem obliku: X 1 = a11 X 1 + a12 X 2 + ... + a1n X n + Y1 X 2 = a21 X 1 + a22 X 2 + ... + a2 n X n + Y2 ............................................................ X n = an1 X 1 + an 2 X 2 + ... + ann X n + Yn ili u matričnom obliku: ⎡ X 1 ⎤ ⎡ a11 ⎢ X ⎥ ⎢a ⎢ 2 ⎥ = ⎢ 21 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ X n ⎦ ⎣ an1

a12 a22 an 2

a1n ⎤ ⎡ X 1 ⎤ ⎡ Y1 ⎤ a2 n ⎥⎥ ⎢⎢ X 2 ⎥⎥ ⎢⎢Y2 ⎥⎥ . ⋅ + ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ann ⎦ ⎣ X n ⎦ ⎣Yn ⎦

(3.20)

(3.21)

Gornji izraz se jednostavnije i može napisati i u sljedećem obliku: X = A·X + Y

344

(3.22)

KOLIČINSKA INPUT-OUTPUT ANALIZA

Rješavajući gornju matričnu jednačinu (3.22) po Y dobija se: Y = X – A·X

(3.23)

Y = (I – A)·X

gdje je I jedinična matrica iste dimenzije kao i matrica A. Ako se uvede smjena L = (I – A) dobija se matrična jednačina: (3.24)

Y = L·X

koja predstavlja jednu od osnovnih zavisnosti u input-output modelu. Njenim rješavanjem se utvrđuju finalne potrošnje ukoliko su poznate bruto proizvodnje sektora i matrica tehničkih koeficijenta internih inputa iz koje se izračunava matrica Leontiefa. Matrica L se naziva matrica tehnologije, ili matrica Leontiefa, i može se zapisati u sljedećem obliku:

L = ⎡⎣lij ⎤⎦

n×n

⎡ l11 l12 ⎢l l = ⎢ 21 22 ⎢ ⎢ ⎣ln1 ln 2

l1n ⎤ ⎡1 0 l2n ⎥⎥ ⎢0 1 =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ lnn ⎦ ⎣0 0

0⎤ ⎡ a11 a12 0⎥⎥ ⎢⎢a21 a22 − ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1⎦ ⎣ an1 an 2

a1n ⎤ ⎡1 − a11 −a12 a2n ⎥⎥ ⎢⎢ −a21 1 − a22 = ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ann ⎦ ⎣ −an1 −an 2

−a1n ⎤ −a2 n ⎥⎥ ⎥ ⎥ 1 − ann ⎦

Jednačina (3.24) se može napisati u obliku:

[Yi ]n×1 = ⎡⎣lij ⎤⎦ n×n ⋅ ⎡⎣ X j ⎤⎦ n×1 .

(3.25)

Ukoliko se izvuče jedan red (i-ti red) iz matrične jednačine (3.25), dobija se izraz: n

Yi = ∑ lij ⋅ X j .

(3.26)

j =1

Računajući parcijalne izvode prethodnog izraza dobija se koeficijent matrice Leontiefa. lij =

∂Yi ∂X j

(3.27)

koji ima sljedeće značenje: Ako se želi samo bruto proizvodnja Xj proizvođača Pj povećati za jednu količinsku jedinicu, (uz pretpostavku da proizvodnje ostalih sektora ostanu nepromijenjene) tada finalnu potrošnju Yi proizvođača Pi treba promijeniti za lij količinskih jedinica. Navedeno objašnjenje za koeficijent matrice L tehnologije ili matrice Leontiefa vrijedi i za svaku dodatnu količinsku jedinicu povećanja bruto proizvodnje, pa se analogno izrazu (3.27) može napisati sljedeći izraz: 345

INPUT-OUTPUT ANALIZA

[ ΔYi ]n×1 = ⎡⎣lij ⎤⎦ n×n ⋅ ⎡⎣ ΔX j ⎤⎦ n×1

tj. ΔY = L ⋅ ΔX .

(3.28)

Koeficijenti matrice Leontiefa (L) treba da zadovolje osobine predstavljene u sljedećem izrazu: ⎧i = j ⇒ 0 < lii = (1 − aii ) ≤ 1 . lij : ⎨ 0 i j l a ≠ ⇒ = − ≤ ij ij ⎩

(3.29)

Dijagonalni elementi matrice treba da budu jednaki ili manji od jedinice, a vandijagonalni elementi negativni. Ove osobine proizilaze iz konstrukcije matrice Leontiefa i osobina matrice tehničkih koeficijenata A. Zavisnost bruto proizvodnji od finalnih potrošnji

Za analizu proizvodnog sistema je vrlo značajno utvrditi veličine bruto proizvodnji sektora sistema kada su poznate finalne potrošnje, odnosno plan finalnih isporuka pojedinih sektora sistema. U izvođenju relacije kojom se izražava zavisnost bruto proizvodnji od finalnih potrošnji polazi se od jednačine koju smo označili sa (3.25):

[Yi ]n×1 = ⎡⎣lij ⎤⎦ n×n ⋅ ⎡⎣ X j ⎤⎦ n×1 Množeći gornju jednačinu sa ⎡⎣lij ⎤⎦

⎡⎣lij ⎤⎦

−1 n× n

−1 n× n

sa lijeva dobija se:

[Yi ]n×1 = ⎡⎣ X j ⎤⎦ n×1

odnosno ⎡⎣ X j ⎤⎦ = ⎡⎣b ji ⎤⎦ ⋅ [Yi ]n×1 n×1 n× n

(3.30)

−1

gdje se sa ⎡⎣b ji ⎤⎦ = ⎡⎣lij ⎤⎦ , odnosno B = L-1 označava matricu ukupnih utrošaka internih inputa. Jednačina (3.30) se može zapisati jednostavnije u sljedećem obliku: X=B·Y

(3.31)

gdje je B = L−1 inverzna matrica matrice Leontiefa L. Rješavanjem gornje jednačine input-output modela izračunavaju se bruto proizvodnje pojedinih sektora kada je poznat plan finalnih potrošnji. Napiše li se jedan red iz sistema jednačina (3.30), dobija se jednačina: 346

KOLIČINSKA INPUT-OUTPUT ANALIZA

n

X j = ∑ b ji ⋅ Yi ;

j = 1,..., n

(3.32)

i =1

iz koje se, računajući parcijalne izvode, dobija koeficijent matrice ukupnih utrošaka internih inputa:

∂X j ∂Yi

= b ji ≥ 0 .

(3.33)

Koeficijent matrice ukupnih utrošaka internih inputa definisan gornjim izrazom ima sljedeće značenje: Ako se želi samo finalna potrošnja Yi ≥ 0 povećati za jednu količinsku jedinicu, uz pretpostavku da finalne potrošnje ostalih sektora ostanu nepromijenjene, bruto proizvodnju X j > 0 treba povećati za b ji ≥ 0 količinskih jedinica. Koeficijenti matrice ukupnih utrošaka internih inputa treba da zadovolje sljedeće osobine: ⎧ i = j; bii ≥ 1 . b ji : ⎨ ⎩i ≠ j; b ji ≥ 0

(3.34)

Dijagonalni elementi matrice B treba da budu jednaki ili veći od jedan, a vandijagonalni elementi nenegativni. Objasniće se osobina (3.34)16: Na osnovu jednačine Y = L ⋅ X tj. Y = ( I − A) ⋅ X ⇒ X − A ⋅ X = Y množeći posljednju jednačinu slijeva redom matricama I, A, A2, A3, … slijedi beskonačan niz matričnih jednačina:

I ⋅ X − A ⋅ X = I ⋅Y A ⋅ X − A2 ⋅ X = A ⋅ Y A2 ⋅ X − A3 ⋅ X = A2 ⋅ Y A3 ⋅ X − A4 ⋅ X = A3 ⋅ Y ............................... Sabirajući gornje jednačine (poslije poništavanja na lijevoj strani) dobija se matrična funkcija: X = ( I + A + A2 + A3 + ...) ⋅ Y . Upoređujući ovu jednačinu sa jednačinom (3.31) jedno od mogućih rješenja je: +∞

B = I + A + A2 + A3 + ... tj. B = ( I + A) + ∑ As s=2

347

INPUT-OUTPUT ANALIZA

Kako je proizvod nenegativnih matrica nenegativna matrica, to su elementi matrica As nenegativni, pa se za elemente matrice B dobija: ⎧ i = j; bii = (1 + aii ) + ∑ aiis ≥ 1 ⎪ s . ⎨ s i ≠ j ; b = (0 + a ) + a ≥ 0 ∑s ji ji ji ⎪ ⎩

Kada smo govorili o direktnim proizvodnim međuzavisnostima, rekli smo da tehnički koeficijent aij pokazuje direktnu proizvodnu međuzavisnost sektora i i sektora j, tj. tehnički koeficijent aij smo definisali kao tehničku relaciju koja pokazuje veličinu proizvodnje sektora i koja se troši kao interni input u proizvodnji sektora j. Zbir elemenata u j-toj koloni n

matrice tehničkih koeficijenata A,

∑a ; i =1

ij

( j = 1,..., n) pokazuje udio internih inputa cijelog

proizvodnog sistema u jedinici proizvodnje sektora j . Međutim, uticaj povećanja proizvodnje j-tog sektora, namijenjenog finalnim isporukama, ne iscrpljuje se samo tim direktnim efektima. Ukupni efekt jediničnog povećanja finalnih isporuka sektora j na nivo proizvodnje sektora i, tj. bij ≥ 0 , može se rastaviti na direktni efekt aij i sumu indirektnih efekata. Razlika ( bij − aij ) predstavlja sumu svih indirektnih

efekata jediničnog povećanja finalnih isporuka sektora j na nivo proizvodnje sektora i. Sumu svih indirektnih efekata jediničnog povećanja finalnih isporuka sektora i na nivo njegove proizvodnje, naći ćemo tako da od ukupnog efekta tog povećanja bii oduzmemo (1+ aii ). Da bi sektor i proizveo jedinicu svoje proizvodnje za finalne isporuke, mora osim te jedinice proizvesti i reprodukcioni materijal za vlastitu potrošnju u veličini koeficijenta aii . Prema tome, direktni efekt jedinice finalnih isporuka tog sektora je 1 + aii . Razlika

( bii − (1 + aii ) )

predstavlja sumu njegovih indirektnih efekata. Zato su elementi na glavnoj

dijagonali matrice B, bii ≥ 1 , a svi ostali vandijagonalni bij ≥ 0 . Efekt jedinice povećanja finalnih isporuka sektora j na ukupnu proizvodnju sistema je n

∑b i =1

ij

. Pošto je direktni efekt jedinice finalnih isporuka sektora j na proizvodnju čitavog n

sistema 1 + ∑ aij , to je suma indirektnih efekata i =1

n

n

i =1

i =1

∑ bij − (1 + ∑ aij ) .

Objašnjenje koje smo dali za značenje elemenata matrice B primjenjuje se i za svaku dodanu jedinicu povećanja finalne potrošnje i-tog sektora pa vrijedi relacija:

348

KOLIČINSKA INPUT-OUTPUT ANALIZA

⎡⎣ ΔX j ⎤⎦ = ⎡⎣b ji ⎤⎦ ⋅ [ ΔYi ]n×1 n×1 n× n

(3.35)

odnosno n

ΔX j = ∑ b ji ΔYi ;

j = 1,..., n .

(3.36)

i =1

Zavisnost uvoza od bruto proizvodnji

Utvrđivanje zavisnosti proizvodnog sistema o nabavama dobara izvana za proizvodnu potrošnju je sljedeće bitno područje u analizi strukture proizvodnog sistema. Utvrđivanje zavisnosti proizvodnog sistema o nabavama dobara izvana za proizvodnu potrošnju je sljedeće bitno područje u analizi strukture proizvodnog sistema. U utvrđivanju zavisnosti uvoza od bruto proizvodnji polazi se od sljedeća dva već definisan

na izraza: Wej = α ej X j i U e = ∑ Wej i dobija se: j =1

n

n

j =1

j =1

U e = ∑ Wej = ∑ α ej X j = α e1 X 1 + α e 2 X 2 + .. + α en X n ;

e = 1,..., m .

(3.37)

Gornji izraz se može zapisati u matričnom obliku:

[U e ]m×1 = ⎡⎣α ej ⎤⎦ m×n ⋅ ⎡⎣ X j ⎤⎦ n×1 .

(3.38)

Iz jednačine (3.38) dobijaju se odgovarajući parcijalni izvodi na osnovu kojih se objašnjava značenje matrice tehničkih koeficijenata eksternih inputa: ∂U e = α ej ≥ 0 . ∂X j

(3.39)

Tehnički koeficijent eksternih inputa α ej u odnosu na gornju jednačinu ima sljedeće značenje. Ako se samo bruto proizvodnja Xj proizvođača Pj želi povećati za jednu količinsku jedinicu, a bruto proizvodnje ostalih sektora ostanu nepromijenjene, tada se ukupni eksterni input od Se treba povećati za α ej količinskih jedinica. Ovo objašnjenje vrijedi i za svaku dodanu jedinicu bruto proizvodnje. To se može izraziti sljedećim relacijama:

349

INPUT-OUTPUT ANALIZA

n

ΔU e = ∑ α ej ΔX j

(3.40)

[ ΔU e ]m×1 = ⎡⎣α ej ⎤⎦ m×n ⋅ ⎡⎣ ΔX j ⎤⎦ n×1 .

(3.41)

j =1

Zavisnost uvoza od finalnih potrošnji

Da bi se definisala i formalizirala zavisnost uvoza od finalnih isporuka pojedinih sektora sistema polazi se od sljedećih jednačina koje su u prethodnim dijelovima analize već definisane: n

Wej = α ej X j i X j = ∑ b jiYi ;

j = 1,..., n.

i =1

Uvodeći odgovarajuće smjene dobija se: n

n

i =1

i =1

Wej = α ej ∑ b jiYi = ∑ (α ej b ji )Yi ; e = 1,..., m,

j = 1,..., n.

(3.42)

Iz gornje relacije se mogu napisati parcijalni izvodi: ∂Wej ∂Yi

= α ej b ji ≥ 0

(3.43)

koji imaju sljedeće značenje: Ako se želi samo finalna potrošnja Yi i-tog sektora povećati za jednu količinsku jedinicu, a finalne potrošnje ostalih sektora ostaju nepromijenjene, tada se eksterni input Wej od Se ka Pj treba povećati za α ej b ji količinskih jedinica. Dato objašnjenje se primjenjuje i za svaku dodatnu jedinicu finalne potrošnje proizvođača Pi, pa vrijedi izraz: n

ΔWej = ∑ (α ej b ji )ΔYi ; e = 1,..., m, j = 1,..., n .

(3.44)

i =1

Kako je ukupni uvoz od snabdjevača Se: n n n n n ⎛ n n ⎞ U e = ∑ Wej = ∑ α ej X j = ∑ α ej ∑ b jiYi = ∑ ⎜ ∑ α ej b ji ⎟Yi = ∑ β eiYi j =1 j =1 j =1 i =1 i =1 ⎝ j =1 i =1 ⎠ n

gdje je β ei = ∑ α ej b ji . j =1

350

(3.45)

KOLIČINSKA INPUT-OUTPUT ANALIZA

Izraz (3.45) se može napisati u matričnom obliku:

[U e ]m×1 = [ β ei ]m×n ⋅ [Yi ]n×1 ; [ βei ]m×n = ⎡⎣α ej ⎤⎦ m×n ⋅ ⎡⎣b ji ⎤⎦ n×n .

(3.46)

gdje je β = α⋅B matrica ukupnih utrošaka eksternih inputa. Računajući parcijalne izvode iz izraza (3.45), dobija se: ∂U e = β ei ≥ 0 . ∂Yi

(3.47)

Značenje izraza (3.47) je sljedeće: ako se želi povećati samo finalna potrošnja Yi za jednu količinsku jedinicu, a da finalne potrošnje ostalih sektora ostanu nepromijenjene, ukupni eksterni input od snabdjevača Se treba se povećati za βei količinskih jedinica. Navedeno objašnjenje koeficijenta ukupnih eksternih utrošaka vrijedi i za svaku dalje dodatnu jedinicu finalne potrošnje što se može zapisati sljedećim izrazom:

[ ΔU e ]m×1 = [ βei ]m×n ⋅ [ ΔYi ]n×1

(3.48)

odnosno n

ΔU e = ∑ β ei ΔYi .

(3.49)

i =1

Primjer 3.1.

Za protekli proizvodni period proizvodnog sistema poznata je sljedeća nekompletna količinska input-output tabela: P1

P2

P3

∑ Qij

⎡⎣Qij ⎤⎦

j

Yi

Xi 100 kom.

P1

?

?

?

?

100

P2

?

0

100

400

?

500 m3

P3

10

?

50

60

140

? kg

⎡⎣Wej ⎤⎦

Ue

S1

300

500

100

S2

300

?

120

? kwh 600 l

351

INPUT-OUTPUT ANALIZA

a) Kompletirati datu količinsku tabelu i objasniti njene sastavne dijelove; b) Izračunati matricu tehničkih koeficijenata internih inputa A= ⎡⎣ aij ⎤⎦ i objasniti značenje njenih elemenata; c) Izračunati matricu tehničkih koeficijenata eksternih inputa α = ⎡⎣α ej ⎤⎦ i objasniti značenje njenih elemenata; d) Izračunati matricu tehnologije (Leontijefa) L = ⎡⎣lij ⎤⎦ i objasniti značenje njenih elemenata; e) Izračunati matricu ukupnih utrošaka internih inputa B = ⎡⎣b ji ⎤⎦ i objasniti značenje njenih elemenata; f) Izračunati matricu ukupnih utrošaka eksternih inputa β = [ β ei ] i objasniti značenje njenih elemenata; g) Tabelarno predstaviti strukturu raspodjele proizvodnje. Rješenje: n

a) Primjenom jednačine raspodjele internih inputa X i = ∑ Qij + Yi (i =1,…, n) i jedj =1

n

načine raspodjele eksternih inputa U e = ∑ Wej (e = 1,..., m), popunjava se tabela: j =1

P1 P2 P3 S1 S2

P1

P2

0 300 10

⎡⎣Qij ⎤⎦ 0 0 0

300 300

⎡⎣Wej ⎤⎦ 500 180

P3

∑ Qij j

0 100 50

0 400 60

Yi 100 100 140

Xi 100 kom. 500 m3 200 kg

Ue 100 120

900 kwh 600 l

Objašnjenje sastavnih dijelova tabele: Po redovima:

Proizvođač P1 je svoju bruto proizvodnju X1 = 100 komada kompletno rasporedio na finalne isporuke Y1 = 100 kom. i proizvodnja proizvođača P1 se ne koristi u reprodukcijskoj potrošnji sistema.

352

KOLIČINSKA INPUT-OUTPUT ANALIZA

Proizvođač P2 je svoju bruto proizvodnju X2 = 500 m3 rasporedio na sljedeći način: 300 m3 proizvođaču P1, u vlastitu proizvodnju ništa, 100 m3 proizvođaču P3 i 100 m3 na svoju finalnu potrošnju Y2. Proizvođač P3 je svoju bruto proizvodnju X3 = 200 kg rasporedio: 10 kg proizvođaču P1, proizvodi ovog proizvođača se ne koriste kao inputi u proizvodnji proizvođača P2, 50 kg u vlastitu proizvodnju i 140 kg na finalnu potrošnju Y3. Od eksternog snabdjevača S1 u sistemu se koristi U1 = 900 kwh i to: 300 kwh proizvođaču P1, 500 kwh proizvođaču P2 i 100 kwh proizvođaču P3. Od eksternog snabdjevača S2 u sistemu se koristi U2 = 600 l i to: 300 l proizvođaču P1, 180 l proizvođaču P2 i 120 l proizvođaču P3. Po kolonama:

Proizvođač P1 u proizvodnji je direktno utrošio 300 m3 od proizvođača P2 i 10 kg od proizvođača P3 kao interne inpute. Pored toga, direktno je utrošio 300 kwh od eksternog snabdjevača S1 i 300 l od eksternog snabdjevača S2 kao eksterne inpute. Proizvođač P2 ne troši interne inpute iz sistema, a utrošio je 500 kwh eksternog inputa od snabdjevača S1 i 180 l od snabdjevača S2. Proizvođač P3 ne troši kao input proizvode proizvođača P1, 100 m3 internog inputa proizvođača P2 i 50 kg iz vlastite proizvodnje, 100 kwh eksternog inputa od snabdjevača S1 i 120 l od eksternog snabdjevača S2. b) Tehnički koeficijenti internog inputa iz Pi u Pj Q ⎧i = j ⇒ 0 ≤ aii < 1 (kj Pi ) aij = ij = . i vrijedi ⎨ X j (kj Pj ) ⎩ i ≠ j ⇒ aij ≥ 0 ⎡⎣Qij ⎤⎦ = ⎡⎣ aij ⎤⎦ ⋅ ⎡ Xˆ j ⎤ ⇒ ⎡⎣ aij ⎤⎦ = ⎡⎣Qij ⎤⎦ ⋅ ⎡ Xˆ j ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡1 ⎢X ⎢ 1 ⎢ 0 −1 ⎡ Xˆ j ⎤ = ⎢ ⎣ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢⎣

0 1 X2 0

−1

⎡ X1 ⎢0 ˆ ⎡ ⎤ gdje je ⎣ X j ⎦ = ⎢ ⎢ ⎢ ⎣0

0

X2 0

0 ⎤ 0 ⎥⎥ i ⎥ ⎥ Xn ⎦

⎤ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥. ⎥ ⎥ 1 ⎥ X n ⎥⎦

353

INPUT-OUTPUT ANALIZA

Izračunava se matrica A: ⎡ 1 ⎢ ⎡ 0 0 0 ⎤ ⎢100 A = ⎡⎣ aij ⎤⎦ = ⎢⎢300 0 100 ⎥⎥ ⋅ ⎢ 0 ⎢ ⎢⎣ 10 0 50 ⎥⎦ ⎢ ⎢ 0 ⎣⎢

⎤ 0 ⎥ ⎡ ⎢0 ⎥ ⎢ 0 ⎥=⎢3 ⎥ ⎢ ⎥ 1 ⎥ ⎢1 ⎢ 200 ⎦⎥ ⎣10

0 1 500 0

0 0 0

⎤ 0⎥ ⎥ 1⎥ . 2⎥ 1⎥ ⎥ 4⎦

Objašnjenje elemenata matrice tehničkih koeficijenata internih inputa A:

Proizvođač P1 u proizvodnji svakog komada svog proizvoda direktno utroši: a11 = 0 kom. vlastite proizvodnje, a21 = 3 m3 proizvodnje proizvođača P2, 1 a31 = kg proizvodnje proizvođača P3. 10 Proizvođač P2 u proizvodnji svakog m3 svog proizvoda ne troši repromaterijal iz sistema a12 = 0; a22 = 0; a32 = 0 . Proizvođač P3 u proizvodnji svakog kg svoje proizvodnje ne troši kao reproma1 terijal proizvode proizvođača P1 jer je a13 = 0 kom., a direktno utroši a23 = m3 2 1 proizvodnje proizvođača P2 i a33 = kg iz vlastite proizvodnje. 4 c) Tehnički koeficijenti eksternog inputa iz Se u Pj: α ej =

Wej Xj

=

(kj Se ) ≥ 0. (kj Pj )

−1

⎡⎣Wej ⎤⎦ = ⎡⎣α ej ⎤⎦ ⋅ ⎡ Xˆ j ⎤ ⇒ ⎡⎣α ej ⎤⎦ = ⎡⎣Wej ⎤⎦ ⋅ ⎡ Xˆ j ⎤ . ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Izračunava se matrica α: ⎡ 1 ⎢100 ⎢ ⎡300 500 100 ⎤ ⎢ α = ⎡⎣α ej ⎤⎦ = ⎢ ⎥⋅ 0 ⎣300 180 120 ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣⎢

354

0 1 500 0

⎤ 0 ⎥ ⎡ ⎥ ⎢3 1 0 ⎥=⎢ ⎥ ⎢ 9 ⎥ ⎢3 1 ⎥ ⎣ 25 200 ⎦⎥

1⎤ 2⎥ ⎥. 3⎥ 5 ⎦⎥

KOLIČINSKA INPUT-OUTPUT ANALIZA

Objašnjenje elemenata matrice tehničkih koeficijenata eksternih inputa α:

Proizvođač P1 u proizvodnji svakog komada svog proizvoda direktno troši α11 = 3 kwh od eksternog snabdjevača S1 i α 21 = 3 l od eksternog snabdjevača S2. Proizvođač P2 u proizvodnji svakog m3 svog proizvoda direktno troši eksternog 9 l od S2. inputa α12 = 1 kwh od S1 i α 22 = 25 Proizvođač P3 u proizvodnji svakog kg svog proizvoda direktno troši eksternog 1 3 inputa α13 = kwh od S1 i α 23 = l od S2. 2 5 d) L = I – A predstavlja zavisnost finalnih isporuka od bruto proizvodnje Y = L⋅X

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ 0 0 0⎥ ⎢ 1 0 0 ⎥ ⎡1 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1⎥ ⎢ 1 L = ⎢⎢ 0 1 0 ⎥⎥ − ⎢ 3 0 = −3 1 − ⎥ . ⎢ 2⎥ ⎢ 2⎥ ⎢⎣ 0 0 1 ⎥⎦ ⎢ ⎥ ⎢ 1 1 1 3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− ⎥ 0 0 4 ⎦ ⎣ 10 4 ⎦ ⎣10 lij =

∂Yi i vrijedi ∂X j

⎧ i = j ⇒ 0 < lii ≤ 1 . ⎨ ⎩i ≠ j ⇒ lij ≤ 0

Objašnjenje elemenata matrice L u odnosu na gornju relaciju: Ako se samo bruto proizvodnja X1 želi povećati za 1 kom., tada se mora finalna isporuka Y1 povećati za 1 kom. ( l11 = 1 ), finalna isporuka Y2 smanjiti za 3 m3 −1 ( l21 = −3 ), finalna isporuka Y3 smanjiti za 1/10 kg ( l31 = ). 10

Ako se samo bruto proizvodnja X2 želi povećati za 1 m3, tada finalna isporuka Y1 treba ostati nepromijenjena ( l12 = 0 ), finalna isporuka Y2 se treba povećati za 1 m3 ( l22 = 1 ) i finalna isporuka Y3 ostati nepromijenjena ( l32 = 0 ). Ako se samo bruto proizvodnja X3 želi povećati za 1 kg, tada finalna isporuka Y1 treba ostati nepromijenjena ( l13 = 0 ), finalna isporuka Y2 se treba smanjiti za 1 3 3 3 m i finalna isporuka Y3 povećati za kg ( l33 = ). 2 4 4 e) B=L-1 predstavlja zavisnost bruto proizvodnje od finalne isporuke X = B⋅ Y.

Izračunavanje matrice B ćemo izvršiti primjenom sljedeće dvije metode. 355

INPUT-OUTPUT ANALIZA

Prvo, polazeći od formule za izračunavanje inverzne matrice: 14

L−1 =

1 1 ⋅L = ⋅ ( L∗ )T . det L det L

izračunava se determinanta matrice L: 1 − det L = 1 ⋅ 0

1 −3 2 − ⋅ 0 1 3 − 10 4



1 −3 2 + 0⋅ 1 3 − 10 4

1 0

=

⎛ ⎛ 3 ⎛⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎞⎞ ⎛3 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎞ 3 == 1 ⋅ ⎜ − 0 ⎟ − 0 ⋅ ⎜ −3 ⋅ − ⎜ ⎜ − ⎟ ⋅ ⎜ − ⎟ ⎟ ⎟ + 0 ⋅ ⎜ 0 − 1 ⋅ ⎜ − ⎟ ⎟ = 4 ⎝ ⎝ 10 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎠ ⎠ ⎝4 ⎠ ⎝ 10 ⎠ ⎠ 4 ⎝ ⎝

Zatim se izračunavaju kofaktori kako bi se kompletirala matrica kofaktora. −

1

K11= + K11 = 0

1

K 21 = −

0

1 K 31 = + 0

1 −3 2 = 3 K =− 12 1 3 4 − 10 4

1 0 3 = 0 K 22 = + 1 − 10 4 −



1 −3 1 1 ⎛ 9 1 ⎞ 23 2 = −⎜ − − ⎟ = K13 = + 1 = 3 − 0 10 ⎝ 4 20 ⎠ 10 10 4

0 1 0 3 1 K = − = 3 1 = 23 2 4 −3 − 4 2

1 1 0 1 0 2 = 3 K =− = 0 K 33 = + =1 1 32 −3 1 3 4 − 0 10 4

Matrica kofaktora je jednaka: ⎡ 3 23 1 ⎤ ⎢ 4 10 10 ⎥ ⎢ ⎥ 3 * ⎢ L = 0 0 ⎥. ⎢ ⎥ 4 ⎢ ⎥ ⎢0 1 1⎥ 2 ⎣⎢ ⎦⎥ 14

Za adjungovanu matricu matrice A koristit ćemo oznaku

( A *)

T

. Za označavanje ove matrice može se

koristiti i A . Ova oznaka predstavlja transponovanu matricu kofaktora.

356

KOLIČINSKA INPUT-OUTPUT ANALIZA

Iz matrice kofaktora formira se adjungovana matrica: ⎡3 ⎤ ⎢ 4 0 0⎥ ⎢ ⎥ 23 3 1 ⎥ * T ⎢ (L ) = ⎢ 10 4 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1 0 1⎥ ⎣⎢ 10 ⎦⎥ i inverzna matrica je jednaka: ⎡3 ⎤ ⎡ ⎢ 4 0 0⎥ ⎢ 1 0 ⎢ ⎥ ⎢ 4 ⎢ 23 3 1 ⎥ ⎢ 46 −1 L = ⋅ 1 = 3 ⎢ 10 4 2 ⎥ ⎢ 15 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ 1 0 1⎥ ⎢ 2 0 ⎢⎣ 10 ⎥⎦ ⎣ 15

⎤ 0⎥ ⎥ 2⎥ = B. 3⎥ 4⎥ ⎥ 3⎦

Matrica B se može odrediti i Gaussovom metodom: 0 0 1 0 0⎤ Ivrsta•3+IIvrsta 0 1 0 0⎤ ⎡ 1 ⎡1 0 ⎢ −3 1 −1/ 2 0 1 0⎥ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎢ Ivrsta•1/10+ IIIvrsta → ⎢0 1 −1/ 2 3 1 0⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣−1/10 0 3/ 4 0 0 1⎥⎦ ⎢⎣0 0 3/ 4 1/10 0 1⎥⎦ 0 1 0 0 ⎤ 1 0 0 ⎤ ⎡1 0 ⎡1 0 0 ⎢ ⎥ ⎢ IIIvrsta•(4/3) IIIvrsta•(1/2)+ IIvrsta 3 1 0 ⎥ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎢0 1 0 46 /15 1 2 / 3⎥⎥ ⎯⎯⎯⎯⎯ → ⎢0 1 −1/ 2 ⎢⎣0 0 ⎢⎣0 0 1 2 /15 0 4 / 3⎥⎦ 1 2 /15 0 4 / 3⎥⎦ 0 ⎡ 1 Dakle, matrica B = ⎢⎢ 46 /15 1 ⎢⎣ 2 /15 0 ∂X j ⎧ i = j ⇒ bii b ji = i vrijedi ⎨ ∂Yi ⎩i ≠ j ⇒ b ji

0 ⎤ 2 / 3⎥⎥ . 4 / 3⎥⎦ ≥1 ≥0

.

Objašnjenje elemenata matrice B u odnosu na gornju relaciju:

Ako se želi samo finalna isporuka Y1 povećati za 1 kom., tada se trebaju: bruto proizvodnja X1 povećati za 1 kom.(b11 =1), X2 povećati za 46/15 m3 (b21 = 46/15) i X3 povećati za 2/15 kg (b31 = 2/15). Ako se želi samo finalna isporukaY2 povećati za 1 m3, tada trebaju: bruto proizvodnja X1 ostati nepromijenjena (b12 = 0), X2 se povećati za 1m3 (b22 = 1) i X3 ostati nepromijenjena (b32 = 0).

357

INPUT-OUTPUT ANALIZA

Ako se želi samo finalna isporuka Y3 povećati za 1 kg, tada trebaju: bruto proizvodnja X1 ostati nepromijenjena (b13 = 0), X2 se povećati za 2/3 m3 (b23 = 2/3) i X3 povećati za 4/3 kg (b33 = 4/3). f) Matrica β = α ⋅ B predstavlja zavisnost ukupnog eksternog inputa Ue od finalnih isporuka Yi tj. Ue =β⋅ Y.

Izračunava se matrica β = α ⋅ B : ⎡ ⎢3 1 β =⎢ ⎢3 9 ⎢⎣ 25

β ei =

⎡ 1⎤ ⎢ 1 0 ⎢ 2 ⎥ ⎢ 46 1 ⎥⋅ 3 ⎥ ⎢ 25 ⎢ 5 ⎥⎦ ⎢ 2 0 ⎣ 15

⎤ 0 ⎥ ⎡ 368 ⎥ 2 ⎥ ⎢ 75 =⎢ 3 ⎥ ⎢ 2339 4 ⎥ ⎢⎣ 625 ⎥ 3⎦

1 9 25

4⎤ 3⎥ ⎥. 26 ⎥ 25 ⎥⎦

∂U e ≥0. ∂Yi

Objašnjenje elemenata matrice β u odnosu na gornju relaciju:

Ako se želi samo finalna isporuka Y1 povećati za 1 kom., tada treba povećati ukupni eksterni input U1 za 368/75 kwh (β11 = 368/75) i ukupan eksterni input od S2 U2 za 2339/625 l (β21 = 2339/625). Ako se želi samo finalna isporuka Y2 povećati za 1m3 tada treba povećati ukupni eksterni input U1 za 1kwh (β12 = 1) i ukupan eksterni input od S2 U2 za 9/25 l (β22 = 9/25). Ako se želi samo finalna isporuka Y3 povećati za 1 kg, tada treba povećati ukupni eksterni input U1 za 4/3 kwh (β13 = 4/3) i ukupan eksterni input od S2 U2 za 26/25 l (β23 = 26/25). g) Koeficijenti raspodjele su definisani sljedećim izrazom: −1 Q rij = ij ⇒ ⎡⎣ rij ⎤⎦ = ⎡⎣ Xˆ j ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣Qij ⎤⎦ . X i

⎡ 1 ⎢100 ⎢ ⎡⎣ rij ⎤⎦ = ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎢⎣

358

0 1 500 0

⎤ ⎡ 0 ⎥ ⎢0 ⎥ ⎡ 0 0 0 ⎤ ⎢ 3 0 ⎥ ⋅ ⎢⎢300 0 100 ⎥⎥ = ⎢ ⎥ ⎢5 ⎥ ⎢⎣ 10 0 50 ⎥⎦ ⎢ 1 ⎥ 1 ⎢ 200 ⎥⎦ ⎣ 20

0 0 0

⎤ 0⎥ ⎥ 1⎥ . 5⎥ 1⎥ ⎥ 4⎦

KOLIČINSKA INPUT-OUTPUT ANALIZA

Strukturna raspodjela bruto proizvodnji proizvođača je predstavljena u sljedećoj tabeli: rij ⋅100%

∑ ri ⋅100%

Yi ⋅100% Xi

P1

0

0

0

0

100

P2

60

0

20

80

20

P3

5

0

25

30

70

Objašnjenje:

Proizvođač P1 je kompletno svoju bruto proizvodnju rasporedio na finalnu potrošnju 100%. Proizvođač P2 je svoju bruto proizvodnju rasporedio 20% na finalnu potrošnju i 80% na interne inpute u sistem i to 60% proizvođaču P1 i 20% proizvođaču P3. Proizvođač P3 je svoju bruto proizvodnju rasporedio 70% na finalnu potrošnju i 30% na interne inpute u sistem od čega je 5% proizvođaču P1 i 25% u vlastitu proizvodnju. Primjer 3.2.

Kod nekog složenog proizvodnog sistema poznate su sljedeće matrice: ⎡ 0 1 1,5 ⎤ ⎡ 0, 2 0 0 ⎤ ⎡⎣ aij ⎤⎦ = ⎢ 0 0 0, 75⎥ i ⎡⎣α ej ⎤⎦ = ⎢ U1→kwh, U2→l. ⎢ ⎥ 0,1 0 0,5⎥⎦ ⎣ ⎢⎣ 0 0 0 ⎥⎦ a) Kompletirati odgovarajuću količinsku I-O tabelu ako su bruto proizvodnje X1 = 500 kom., X2 = 200 kg i X3 = 100 m3. b) Kako će se promijeniti bruto proizvodnje ΔXj i eksterni inputi ΔUe ako se finalne potrošnje žele promijeniti za ΔYi = {50, -25, 0}. c) Odrediti i objasniti elemente b13, β13.

Rješenje: a) 0 ⎤ ⎡0 200 150 ⎤ ⎡0 1 1,5 ⎤ ⎡500 0 ∧ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎡⎣Qij ⎤⎦ = ⎡⎣ aij ⎤⎦ ⋅ ⎢ X j ⎥ = 0 0 0, 75 ⋅ 0 200 0 ⎥ = ⎢0 0 75 ⎥⎥ . ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ ⎢⎣0 0 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 100 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 0 ⎥⎦

359

INPUT-OUTPUT ANALIZA

0 ⎤ ⎡500 0 ∧ ⎡0, 2 0 0 ⎤ ⎢ ⎡ ⎤ ⎥ ⎡100 0 0 ⎤ ⎣⎡Wej ⎦⎤ = ⎣⎡α ej ⎦⎤ ⋅ ⎢⎣ X j ⎥⎦ = ⎢ 0,1 0 0,5⎥ ⋅ ⎢ 0 200 0 ⎥ = ⎢ 50 0 50 ⎥ . ⎣ ⎦ ⎢ ⎣ ⎦ 0 100 ⎥⎦ ⎣ 0

Količinska I-O tabela

P1 P2 P3 S1 S2

P1

P2

P3

∑ Qij

0 0 0 100 50

200 0 0 0 0

150 75 0 0 50

350 75 0 100 100

j

Yi

Xj

150 125 100

500 200 100

b) Kako vrijedi:

ΔX = B ⋅ ΔY ΔU = β ⋅ ΔY prvo je potrebno izračunati matrice B =L-1 = (I – A)-1 i β = α⋅ B. ⎡1 0 0 ⎤ ⎡0 1 1,5 ⎤ ⎡1 −1 −1,5 ⎤ L = ⎢⎢0 1 0 ⎥⎥ − ⎢⎢0 0 0, 75⎥⎥ = ⎢⎢ 0 1 −0, 75⎥⎥ . ⎢⎣0 0 1 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 1 ⎥⎦

Polazeći od formule za izračunavanje inverzne matrice: L−1 =

1 ⋅ ( L∗ )T . det L

izračunava se determinanta matrice L: det L = 1 ⋅

1 −0,75 0 −0,75 0 1 + 1⋅ − 1,5 ⋅ = 1⋅ (1 − 0) + 1⋅ (0 − 0) − 1,5 ⋅ (0 − 0) = 1 0 1 0 1 0 0

Zatim se izračunavaju kofaktori i kompletira sljedeća matrica kofaktora: 0 0⎤ ⎡ 1 ⎢ L =⎢ 1 1 0 ⎥⎥ . ⎢⎣ 2, 25 0, 75 1 ⎥⎦ *

360

KOLIČINSKA INPUT-OUTPUT ANALIZA

Iz matrice kofaktora formira se adjungovana matrica: ⎡1 1 2, 25⎤ ( L ) = ⎢⎢ 0 1 0, 75 ⎥⎥ ⎢⎣ 0 0 1 ⎥⎦ * T

i inverzna matrica je jednaka: ⎡1 1 2, 25⎤ ⎡1 1 2, 25⎤ L = 1 ⋅ ⎢⎢0 1 0 ⎥⎥ = ⎢⎢ 0 1 0, 75 ⎥⎥ = B . ⎢⎣0 0 1 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 1 ⎥⎦ −1

Kako je inverzna matrica matrice L matrica B, to primjenom Gaussovog metoda za određivanje inverza matrice dobija se: ⎡1 −1 −1,5 1 0 0 ⎤ ⎡1 0 −2, 25 1 1 0 ⎤ ⎢ 0 1 −0, 75 0 1 0 ⎥ ⎯⎯⎯⎯⎯ Ivrsta + IIvrsta → ⎢⎢0 1 −0, 75 0 1 0 ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 0 ⎢⎣0 0 1 0 0 1 ⎥⎦ 1 0 0 1 ⎥⎦ . 1 0 0 1 1 2, 25 ⎡ ⎤ IIIvrsta⋅(2,25) + Ivrsta IIIvrsta⋅(0,75) + IIvrsta ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → ⎢⎢ 0 1 0 0 1 0, 75 ⎥⎥ ⎢⎣ 0 0 1 0 0 1 ⎥⎦ ⎡1 1 2, 25⎤ Dakle, matrica B = ⎢⎢0 1 0, 75 ⎥⎥ . ⎢⎣0 0 1 ⎥⎦ ⎡1 1 2, 25⎤ ⎡ 50 ⎤ ⎡ 25 ⎤ ΔX = ⎢⎢ 0 1 0, 75 ⎥⎥ ⋅ ⎢⎢ −25⎥⎥ = ⎢⎢ −25⎥⎥ ; ⎢⎣ 0 0 1 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦

Bruto proizvodnja X1 će se povećati za 25 kom., bruto proizvodnja X2 će se smanjiti za 25 kg, bruto proizvodnja X3 će ostati ista. ⎡1 1 2, 25⎤ ⎡0, 2 0 0 ⎤ ⎢ ⎡0, 2 0, 2 0, 05 ⎤ . β =⎢ ⋅ ⎢0 1 0, 75 ⎥⎥ = ⎢ ⎥ 0,1 0,1 0, 725⎥⎦ ⎣ 0,1 0 0,5⎦ ⎢ ⎣ 1 ⎥⎦ ⎣0 0

361

INPUT-OUTPUT ANALIZA

⎡ 50 ⎤ ⎡0, 2 0, 2 0, 05 ⎤ ⎢ ⎡ 5 ⎤ ΔU = ⎢ ⋅ ⎢ −25⎥⎥ = ⎢ ⎥ ; ⎥ ⎣ 0,1 0,1 0, 725⎦ ⎢ ⎣ 2,5⎦ ⎣ 0 ⎥⎦

Ukupan eksterni input U1 će se povećati za 5 kwh, a U2 će se povećati 2,5 l. c) b13 =

∂X 1 = 2, 25 ; ∂Y3

Ako se želi samo finalna isporuka Y3 proizvođača P3 povećati za 1 m3, tada bruto proizvodnju X1 proizvođača P1 treba povećati za 2,25 kom.

β13 =

∂U1 = 0, 05 ; ∂Y3

Ako se želi samo finalna isporuka Y3 proizvođača P3 povećati za 1 m3, tada ukupan eksterni input U1 snabdjevača S1 treba povećati za 0,05 kwh. Primjer 3.3.

Kod nekog proizvodnog sistema poznate su sljedeće matrice: 1⎤ ⎡16 4 ⎤ ⎡ ⎢7 7⎥ ⎢1 4⎥ B=⎢ ⎥ i β =⎢ ⎥ ; U1→ m, U2→kom. ⎢ 8 16 ⎥ ⎢5 3⎥ ⎢⎣ 7 7 ⎥⎦ ⎢⎣ 7 7 ⎥⎦ a) Kompletirati odgovarajuću količinsku I-O tabelu, ako je plan bruto proizvodnji X1 = 192 kg i X2 = 208 m2 b) Utvrditi i objasniti značenje elemenata a21 i α 21 . Rješenje: a) B = L-1⇒ L = B-1

Određuje se matrica L kao inverzna matrica matrice B: L=

362

1 1 ⋅B = ⋅ ( B∗ )T . det B det B

KOLIČINSKA INPUT-OUTPUT ANALIZA

det B =

224 ∗ ;B 49

⎡1 ⎢2 A= I −L=⎢ ⎢1 ⎣⎢ 4 ⎡ 1 ⎢ 2 Y = L⋅ X = ⎢ ⎢− 1 ⎢⎣ 4

⎡ 16 ⎢7 =⎢ ⎢ −4 ⎣⎢ 7 1⎤ 8⎥ ⎥ 1⎥ 2 ⎦⎥

−8 ⎤ ⎡ 16 ⎢7 7⎥ * T ⎥ ⇒ (B ) = ⎢ 16 ⎥ ⎢ −8 ⎥ ⎢⎣ 7 7⎦

−4 ⎤ ⎡ 1 ⎢ 2 7 ⎥ ⎥⇒L=⎢ 16 ⎥ ⎢− 1 ⎥ ⎢⎣ 4 7 ⎦

1⎤ − ⎥ 8 ⎥ 1 ⎥ 2 ⎥⎦

1⎤ − ⎥ 8 ⎡192 ⎤ ⎡70 ⎤ = ⎥⋅ 1 ⎥ ⎢⎣ 208⎥⎦ ⎢⎣56 ⎥⎦ 2 ⎥⎦

⎡ ⎢1 Iz β = α ⋅ B ⇒ α = β ⋅ L = ⎢ ⎢5 ⎣⎢ 7 ⎡1 ⎢ ⎡⎣Qij ⎤⎦ = ⎡⎣ aij ⎤⎦ ⋅ ⎡⎢ X j ⎤⎥ = ⎢ 2 ⎣ ⎦ ⎢1 ⎣⎢ 4 ⎡7 ∧ ⎡ ⎤ ⎢16 ⎣⎡Wej ⎦⎤ = ⎣⎡α ej ⎦⎤ ⋅ ⎢⎣ X j ⎥⎦ = ⎢ 1 ⎢ ⎢⎣ 4 ∧

1⎤ ⎡ 1 4⎥ ⎢ 2 ⎥⋅⎢ 3⎥ ⎢ 1 − 7 ⎦⎥ ⎣⎢ 4

1⎤ ⎡ 7 − ⎥ ⎢ 16 8 ⎥=⎢ 1 ⎥ ⎢1 2 ⎦⎥ ⎣⎢ 4

⎤ 0⎥ ⎥ 1⎥ 8 ⎦⎥

1⎤ 8 ⎥ ⎡192 0 ⎤ ⎡96 26 ⎤ = ⎥⋅ 1 ⎥ ⎢⎣ 0 208⎥⎦ ⎢⎣ 48 104 ⎥⎦ 2 ⎦⎥ ⎤ 0⎥ ⎡192 0 ⎤ ⎡84 0 ⎤ = ⎥⋅⎢ 1 ⎥ ⎣ 0 208⎥⎦ ⎢⎣ 48 26 ⎥⎦ 8 ⎥⎦

Količinska I - O tabela P1 P2 S1 S2

P1

P2

∑Qij

Yi

Xi

96 48 84 48

26 104 0 26

122 152 84 74

70 56

192 208

363

INPUT-OUTPUT ANALIZA

b) a21 =

Q21 1 = ⇒ Proizvođač P1 u proizvodnji svakog kg outputa X1 direktno utroši X1 4

1 2 m internog inputa od proizvođača P2. 4 W21 1 1 = ⇒ Proizvođač P1 po svakom kg svog outputa X1 direktno utroši X1 4 4 komada eksternog inputa od snabdjevača S2.

α 21 =

Primjer 3.4.

Poznata je sljedeća input-output tabela jednog proizvodnog sistema:

P1 P2 S1 S2

P1

P2

∑Qij

Yi

Xi

45 90 20 0

60 40 30 60

105 130

75 110

180 240

a) Ako se u narednom periodu planiraju nove finalne potrošnje Y1 = 60 kg, Y2 = 120 m3, a ostali tehnološki uslovi se ne mijenjaju, sastaviti novu količinsku I-O tabelu. b) Izračunati i prezentirati strukturu raspodjele proizvodnje za naredni period. Rješenje: a) X =B·Y

L = I – A; L-1 = B. Iz poznate količinske I- O tabele izračunavaju se matrice tehničkih koeficijenata inQ W ternih i eksternih inputa. Primjenom formula aij = ij , odnosno α ej = ej ili Xj Xj −1

⎡⎣ aij ⎤⎦ = ⎡⎣Qij ⎤⎦ ⋅ ⎡ Xˆ j ⎤ , odnosno ⎡⎣α eij ⎤⎦ = ⎡⎣Wej ⎤⎦ ⋅ ⎡ Xˆ j ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡1 ⎢4 A=⎢ ⎢1 ⎣⎢ 2 364

1⎤ ⎡1 ⎥ ⎢9 4 ⎥ i α =⎢ 1⎥ ⎢0 6 ⎦⎥ ⎣⎢

1⎤ 8⎥ ⎥ 1⎥ 4 ⎦⎥

−1

dobijaju se tražene matrice:

KOLIČINSKA INPUT-OUTPUT ANALIZA

⎡ 3 ⎢ 4 L= I −A=⎢ ⎢− 1 ⎢⎣ 2 ⎡5 ⎢3 X = B ⋅Y = ⎢ ⎢1 ⎣⎢

1⎤ ⎡5 − ⎥ ⎢3 1 4 −1 ⎥ ⇒ B = L ⇒ det L = ⇒ B = ⎢ 5 ⎥ 2 ⎢1 ⎥ ⎢⎣ 6 ⎦ 1⎤ 2 ⎥ ⎡ 60 ⎤ ⎡160 ⎤ = ⎥⋅ 3 ⎥ ⎢⎣120 ⎥⎦ ⎢⎣ 240 ⎥⎦ 2 ⎦⎥

1⎤ 2⎥ ⎥ 3⎥ 2 ⎥⎦

⎡⎣Qij ⎤⎦ = ⎡⎣α ej ⎤⎦ ⋅ ⎡ Xˆ j ⎤ ⎣ ⎦ ⎡1 4 1 4 ⎤ ⎡160 0 ⎤ ⎡ 40 60 ⎤ ⎡⎣Qij ⎤⎦ = ⎢ ⎥⋅⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎣1 2 1 6 ⎦ ⎣ 0 240 ⎦ ⎣80 40 ⎦ ⎡⎣Weij ⎤⎦ = ⎡⎣ β ej ⎤⎦ ⋅ ⎡ Xˆ j ⎤ ⎣ ⎦ ⎡1 9 1 8 ⎤ ⎡160 0 ⎤ ⎡17.8 30 ⎤ ⎡⎣Wej ⎤⎦ = ⎢ ⎥⋅⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎣ 0 1 4 ⎦ ⎣ 0 240 ⎦ ⎣ 0 60 ⎦

Količinska I-O tabela u narednom periodu bi bila sljedeća: P1 P2 S1 S2

P1

P2

∑Qij

40 80 17,8 0

60 40 30 60

100 120 47,8 60

Yi

Xi

60 120

160 240

b) Matrica koeficijenata raspodjele je:

⎡1 ⎢4 rij = ⎢ ⎢1 ⎢⎣ 3

3⎤ 8⎥ ⎥ 1⎥ 6 ⎥⎦

Strukturna raspodjela je predstavljena u sljedećoj tabeli: rij ⋅100%

P1 P2

25 % 33,3 %

37,5 % 16,7 %

∑ ri ⋅100%

Yi ⋅100% Xi

62,5 % 50 %

37,5 % 50 % 365

INPUT-OUTPUT ANALIZA

Primjer 3.5.

Poznate su matrice tehnologije jednog proizvodnog sistema i tehničkih koeficijenata eksternih inputa: ⎡ 1 −1 ⎤ ⎡1 ⎤ 0⎥ ⎢2 ⎥ ⎢ 6 2 L=⎢ ⎥ α =⎢ ⎥ U1→ l, U2→ kom. 1 1⎥ 1 1 − ⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎣ 4 ⎢⎣ 4 6 ⎥⎦ 3 ⎥⎦ a) Ako je količina internog inputa koju proizvođač P1 koristi od proizvođača P2 50 m, a finalne isporuke proizvođača P1 50 kg, sastaviti odgovarajuću količinsku input-output tabelu. b) Ako bi se planiralo povećanje finalnih isporuka za 20%, kako bi se promijenili ukupni outputi proizvođača i ukupni eksterni inputi snabdjevača? Rješenje:

⎡1 ⎡1 0 ⎤ ⎢ 2 a) A = I − L = ⎢ ⎥−⎢ ⎣0 1 ⎦ ⎢ −1 ⎣⎢ 4

−1 ⎤ ⎡ 1 6 ⎥ ⎢2 ⎥=⎢ 1 ⎥ ⎢1 3 ⎦⎥ ⎣⎢ 4

1⎤ 6⎥ ⎥. 2⎥ 3 ⎦⎥

Poznato je Q21 = 50m; Y1 = 50kg Izračunava se: a21 =

Q21 1 50 ⇒ = ⇒ X 1 = 200kg . X1 4 X1

a11 =

Q11 1 Q ⇒ = 11 ⇒ Q11 = 100kg. X1 2 200

Q12 = X 1 − Q11 − Y1 = 200 − 100 − 50 = 50kg . a12 =

Q12 1 50 ⇒ = ⇒ X 2 = 300m. X2 6 X2

a22 =

Q22 2 Q ⇒ = 22 ⇒ Q22 = 200m. X2 3 300

⎡1 ⎢ ⎡⎣Wej ⎤⎦ = ⎢ 2 ⎢1 ⎣⎢ 4

366

⎤ 0⎥ ⎡ 200 0 ⎤ ⎡100 0 ⎤ . = ⎥⋅⎢ 1 ⎥ ⎣ 0 300 ⎥⎦ ⎢⎣ 50 50 ⎥⎦ 6 ⎦⎥

KOLIČINSKA INPUT-OUTPUT ANALIZA

Sada se kompletira količinska I-O tabela: P1

P2

∑Qij

Yi

Xi

P1

100

50

150

50

200

P2

50

200

250

50

300

S1

100

0

100

S2

50

50

100

⎡10 ⎤ b) ΔX= B⋅ ΔY; ΔY = ⎢ ⎥ ; B = L-1. ⎣10 ⎦ ⎡8 det L= 1/6 – 1/24= 1/8 ⇒ B = ⎢ 3 ⎢ ⎣2 ⎡8 ΔX = ⎢ 3 ⎢ ⎣2

4⎤ 3⎥ . ⎥ 4⎦

4⎤ ⎡10 ⎤ ⎡ 40 ⎤ 3⎥⋅⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ; ⎥ 10 60 4⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Povećanje finalnih isporuka oba proizvođača za 20%, tj. za 10 kj, uzrokovat će povećanje outputa proizvođača P1 za 40 kg, a proizvođača P2 za 60 m, što iznosi povećanje njihovih outputa također za 20%.

ΔUe =β⋅ΔY; β = α⋅B. ⎡1 ⎢ β = ⎢2 ⎢1 ⎢⎣ 4

⎤ 0 ⎥ ⎡8 ⎥ ⋅ ⎢3 1⎥ ⎢ ⎣2 6 ⎥⎦

⎡4 ΔU e = ⎢ 3 ⎢ ⎣1

4⎤ ⎡4 3⎥ = ⎢3 ⎥ ⎢ 4⎦ ⎣1

2⎤ 3⎥ ; ⎥ 1⎦

2⎤ ⎡10 ⎤ ⎡ 20 ⎤ 3⎥⋅⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ . ⎥ 10 20 1⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Ukupni eksterni inputi koje koriste proizvođači će se također povećati za 20%.

ΔUe =β⋅ΔY; β = α⋅B.

367

INPUT-OUTPUT ANALIZA

⎡1 ⎢ β = ⎢2 ⎢1 ⎢⎣ 4

⎤ 0 ⎥ ⎡8 ⎥ ⋅ ⎢3 1⎥ ⎢ ⎣2 6 ⎥⎦

⎡4 ΔU e = ⎢ 3 ⎢ ⎣1

4⎤ ⎡4 3⎥ = ⎢3 ⎥ ⎢ 4⎦ ⎣1

2⎤ 3⎥ ⎥ 1⎦

2⎤ ⎡10 ⎤ ⎡ 20 ⎤ 3⎥⋅⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ . ⎥ 10 20 1⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Ukupni eksterni inputi koje koriste proizvođači će se također povećati za 20%.

368

3.3. Vrijednosna input-output analiza Kvantitativne vrijednosti svih elemenata proizvodnog sistema i veličina koje ga povezuju, kao i tokovi proizvedenih dobara u samom proizvodnom sistemu i njegovom okruženju mogu se pregledno i jasno predstaviti vrijednosno, u monetarnim odnosno novčanim pokazateljima. U tako izraženoj strukturi proizvoda su uključene cijene. Vrijednosna tabela, za razliku od količinske, ima veću informacijsku i analitičku vrijednost. Svakoj količinskoj input-output tabeli može se pridružiti odgovarajuća vrijednosna inputoutput tabela kojoj su pojedinačne i zbirne količine izražene vrijednosno u istim novčanim jedinicama. U vrijednosnoj tabeli je, pored sabiranja elemenata duž redova, dozvoljeno i sabiranje elemenata duž kolona. Zbog toga vrijednosna input-output tabela pruža potpunije i kompleksnije informacije o poslovanju istraživanog složenog proizvodnog sistema u posmatranom periodu. Vrijednosna input–output tabela omogućava sagledavanje transakcija između proizvodnih sektora pa se naziva i transakciona input-output tabela. Da bi se u proizvodnom sistemu mogle ostvariti proizvodnje moraju se obezbijediti prihodi, odnosno novac kojim će platiti interne i eksterne repromaterijale, amortizaciju opreme, lične dohotke, doprinose i poreze, vraćanje kredita i slično. Cijene u vrijednosnoj input-output tabeli

Za konstrukciju vrijednosne input-output tabele skup cijena predstavlja najkompleksniji izraz direktne i indirektne međuzavisnosti u proizvodnom sistemu i njegovom okruženju, u njegovoj vrijednosnoj strukturi i raspodjeli. Posmatra se proizvodni sistem P sa n proizvođača: P1, P2, …, Pn. Definišu se sljedeći pojmovi i simboli koji će biti korišteni u formiranju vrijednosne inputoutput tabele: Tržišna (finalna) cijena po kojoj sektor Pi prodaje finalne potrošnje Yi: pi ( i = 1,..., n). Interna (proizvodna) cijena po kojoj proizvođač (sektor) Pi obračunava svoju proizvodnju Xi i njene dijelove: finalnu potrošnju Yi i interne inpute Qij: π i (i = 1,..., n). Nabavna cijena je cijena po kojoj se obračunavaju uvozi, odnosno eksterni repromaterijali izvana nabavljeni od snabdjevača Se: ce , (e = 1,..., m). Tri definisane vrste cijena se mogu zapisati u matričnom obliku: ⎡ p1 ⎤ ⎢p ⎥ Vektor tržišnih cijena: [ pi ] = ⎢ 2 ⎥ ; ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ pn ⎦

⎡π1 ⎤ ⎢π ⎥ Vektor internih cijena: [π i ] = ⎢ 2 ⎥ ; ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣π n ⎦

369

INPUT-OUTPUT ANALIZA

⎡ c1 ⎤ ⎢c ⎥ Vektor nabavnih cijena: [ ce ] = ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ cm ⎦

3.3.1. Formiranje vrijednosne input-output tabele

U svrhu kompletiranja vrijednosne input-output tabele i rješavanja input-output modela definišu se sljedeći pojmovi i odgovarajući simboli. U vrijedonosnoj input-output tabeli simbolu količine se dodaje gore desno znak “+„ kojim se označava novčana vrijednost pripadnih količina tj. proizvod pripadne cijene i odgovarajuće količine. Vektor vrijednosti bruto proizvodnji se naziva i vektorom prihoda i definiše se sljedećim izrazom: ⎡ Π1 ⎤ ⎡ X 1+ ⎤ ⎡ π 1 X 1 ⎤ ⎢ Π ⎥ ⎢ + ⎥ ⎢π X ⎥ X ⎡⎣ X i + ⎤⎦ = [ Π i ] = ⎢ 2 ⎥ = ⎢ 2 ⎥ = ⎢ 2 2 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ +⎥ ⎣Π n ⎦ ⎣⎢ X n ⎦⎥ ⎣π n X n ⎦ Matrica vrijednosti internih inputa se dobija kada se matrica internih inputa izraženih u količinskim jedinicama mjere pomnoži sa internim cijenama:

π 1Q1n ⎤ ⎡ Q11+ Q12 + Q1n + ⎤ ⎡ π 1Q11 π 1Q12 ⎢ + ⎢π Q + +⎥ π 2Q2 n ⎥⎥ Q Q22 Q2 n ⎥ ⎢ 2 21 π 2Q22 ⎡⎣Qij + ⎦⎤ = ⎡⎣π i ⋅ Qij ⎤⎦ = ⎢ 21 = n×n n× n ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ + ⎢ ⎥ + +⎥ π nQnn ⎦ Qnn ⎦⎥ ⎣π nQn1 π n Qn 2 ⎣⎢Qn1 Qn 2 Vektor vrijednosti internih raspodjela se dobija sabiranjem internih inputa koje koriste sektori u sistemu P: ⎡ n +⎤ ⎢ ∑ Q1 j ⎥ ⎢ j =1 ⎥ ⎢ n ⎥ + Q ⎡ n ⎤ ⎢ ⎥ ∑ 2 j + ⎢ ∑ Qij ⎥ = ⎢ j =1 ⎥ ⎣ j =1 ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ n ⎥ ⎢ + ⎥ Qnj ⎥ ⎢∑ ⎣ j =1 ⎦

370

VRIJEDNOSNA INPUT-OUTPUT ANALIZA

Vektor vrijednosti finalnih potrošnji (finalnih isporuka) ⎡ Y1+ ⎤ ⎡ π 1 ⋅ Y1 ⎤ ⎢ +⎥ ⎢ π ⋅Y ⎥ Y + ⎡⎣Yi ⎤⎦ = [π i ⋅ Yi ] = ⎢ 2 ⎥ = ⎢ 2 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ +⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣Yn ⎥⎦ ⎣π n ⋅ Yn ⎦

Vektor vrijednosti ukupnih eksternih inputa, odnosno uvoza u sistem se dobija množenjem vektora ukupnih eksternih efekata količinski izraženih sa nabavnim cijenama. ⎡ U1+ ⎤ ⎡ c1 ⋅ U1 ⎤ ⎢ +⎥ ⎢ ⎥ U 2 ⎥ ⎢ c2 ⋅ U 2 ⎥ + ⎢ ⎡⎣U e ⎤⎦ = [ ce ⋅U e ] = = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ +⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢U m ⎦⎥ ⎣cm ⋅ U m ⎦

Matrica vrijednosti eksternih inputa se kompletira množenjem matrice eksternih inputa izraženih u količinskim jedinicama sa nabavnom cijenom.

⎡⎣Wej + ⎤⎦ = ⎡⎣ce ⋅Wej ⎤⎦ m×n m×n

⎡W11+ W12+ ⎢ + W W22+ = ⎢ 21 ⎢ ⎢ + + ⎢⎣Wm1 Wm 2

W1n + ⎤ ⎡ c1 ⋅W11 c1 ⋅W12 ⎥ ⎢ W2 n + ⎥ ⎢ c2 ⋅W21 c2 ⋅W22 = ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ Wmn + ⎥⎦ ⎣cm ⋅Wm1 cm ⋅Wm 2

c1 ⋅W1n ⎤ c2 ⋅W2 n ⎥⎥ ⎥ ⎥ cm ⋅Wmn ⎦

Vektor vrijednosti eksternih raspodjela se dobija sabiranjem duž redova vrijednosti eksternih inputa od pojedinih eksternih dobavljača utrošenih u sistemu P. ⎡ n +⎤ ⎢ ∑ W1 j ⎥ j =1 ⎥ ⎡ U1+ ⎤ ⎢ n ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ + ⎡ n U 2 + ⎥ ⎢ ∑ W2 j ⎥ +⎤ + ⎢ = ⎢ ∑ Wej ⎥ = ⎡⎣U e ⎤⎦ = ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ j =1 ⎣ j =1 ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ +⎥ ⎥ ⎢⎣U m ⎥⎦ ⎢ n ⎢ +⎥ Wmj ⎥ ⎢∑ 1 = j ⎣ ⎦

Unoseći definisane elemente u tabelu kompletira se sljedeća vrijednosna input-output tabela:

371

INPUT-OUTPUT ANALIZA

Tabela 7. Opšti oblik vrijednosne (transakcione) input-output tabele Sektori primaoci Pj Sektori davaoci Pi

P1

P1

P2



Pn n

∑ Qij +

⎡⎣Qij + ⎤⎦

j =1

Q11+

Q12 +



Q1n +

∑ Q1 j

+

P2

Q21+

Q22 +



Q2n +

∑ Q2 j

+

Pn

Qn1+

Qn 2 +



Qnn +

∑ Qnj

+

∑ Qij +

∑ Qi1+

∑ Qi 2 +



∑ Qin

n

i =1

i

i

j

j

+

i

W11+

W12 +



n

n

∑ ∑ Qij + = R + j =1 j =1

W1n +

U = ∑ W1 j +



W2n +

U 2 = ∑ W2 j +

Sm

Wm1+

Wm 2 +



Wmn +

U m + = ∑ Wmj +

∑W

∑We 2



∑Wen +

U + = ∑U e +

Mj

M1

M2



Mn

M = ∑M j

Vj

V1

V2



Vn

V = ∑V j

Πj

Π1

Π2



Πn

Π = ∑Π j

e =1

e

+

e

Y2+

X2+

Yn+

Xn+

Y+

X+

j

W22 +

+ e1

X1+

j =1

+ 1

W21+

m

Y1+

n

S2

∑Wej +

Xi+

U e + = ∑ Wej +

⎡⎣Wej + ⎤⎦

Se S1

j

Y i+

e

+

j

j

m

e=1

n

j =1 n

j =1 n

j=1

Vrijednosna tabela predstavlja informativnu osnovu za analizu strukture vrijednosti proizvodnog sistema. U vrijednosnoj tabeli su sadržane sljedeće osnovne specifične skupine elemenata:

372

VRIJEDNOSNA INPUT-OUTPUT ANALIZA

Matrica elemenata Qij+ koje izražavaju vrijednost reprodukcione potrošnje svakog sektora (proizvođača), detaljno raščlanjenu po sektorima davaocima. n

Kolona vrijednosti interne raspodjele od n sektora davaoca ∑ Qij + . j =1

Kolona Yi+ vrijednosti finalnih potrošnji (finalnih isporuka). Svaka od finalnih potrošnji, se može specificirati po pojedinačnim potrošačima, korisnicima ili specifičnim oblicima potrošnje ukoliko postoji potreba za detaljnijom analizom i dekompozicijom ove veličine. Tako, npr. u sistemu narodne privrede, vrijednost finalnih isporuka se može raščlaniti na investicije, ličnu potrošnju, opštu i zajedničku potrošnju, porast zaliha i izvoz. U tom slučaju, umjesto kolone, formirala bi se tabela vrijednosti finalnih isporuka. Kolona vrijednosti bruto proizvoda (prihoda) svakog sektora Xi+ . n

Red reprodukcione potrošnje svakog od sektora ∑ Qij + , reprodukciona potrošnja cijei =1

n

n

log sistema ∑ ∑ Qij + = R + , ukupna vrijednost finalne potrošnje cijelog sistema Y+ i i =1 j =1

ukupna vrijednost bruto proizvodnje X+ cijelog sistema. Skup elemenata vrijednosti nabave izvana Wej+ koji pokazuju vrijednosti eksterne potrošnje po sektorima. Kolona vrijednosti eksterne raspodjele od snabdjevača u sistem U e + = ∑Wej + . j

Red ukupne eksterne potrošnje po sektorima ∑ Wej i ukupan uvoz u sistem U+ . +

e

Red materijalnih troškova Mj po sektorima i ukupan materijalni trošak cijelog sistema M su izraženi kao zbirovi vrijednosti internih i eksternih inputa, odnosno reprodukcione potrošnje domaćeg i uvoznog porijekla za svaki sektor i za cijeli sistem. Red dodane vrijednosti Vj po sektorima i ukupna dodana vrijednost cijelog sistema V. Red dodane vrijednosti se može raščlaniti na sastavne dijelove: amortizaciju, lične dohotke, višak proizvoda itd. U slučaju dekompozicije dodane vrijednosti na sastavne dijelove red dodane vrijednosti bi bio transformisan u tabelu dodane vrijednosti. Red prihoda svakog sektora Πj i ukupan prihod u sistemu Π. Svakom sektoru (proizvođaču) u vrijednosnoj tabeli pripada red u kojem je predstavljena namjenska raspodjela vrijednosti ukupne proizvodnje svakog sektora i proizvodnog sistema u cijelosti. Za svaki proizvodni sektor i za cijeli proizvodni sistem u kolonama je predstavljeno formiranje strukture vrijednosti ukupne proizvodnje svakog sektora, kao i cijelog sistema. U tabeli treba biti ispunjen osnovni bilansni uslov prema kome vrijednost ostvarene ukupne proizvodnje u sistemu treba da bude jednaka vrijednosti raspodijeljene ukupne proizvodnje. To znači da treba da ostvarena jednakost zbirova odgovarajućih redova i kolona to jest: Π i = X i+ = X +j = Π j .

373

INPUT-OUTPUT ANALIZA

3.3.2. Strukture vrijednosti u transakcionoj input-output tabeli

U vrijednosnoj input-output tabeli moguće je posmatrati i analizirati osnovne strukture vrijednosti. Duž redova se analiziraju strukture raspodjele ukupne proizvodnje, a duž kolona strukture stvaranja ukupne proizvodnje. Strukture raspodjele

Struktura raspodjele vrijednosti proizvodnje svakog sektora je predstavljena duž redova vrijednosne input-output tabele i zapisuje se u obliku sljedeće jednačine raspodjele: n

Π i = X i + = ∑ Qij + + Yi + ;

i = 1,..., n.

(3.50)

j =1

Gornja jednačina pokazuje strukturu raspodjele vrijednosti proizvodnje (prihoda) sektora Pi . Struktura raspodjele vrijednosti proizvodnje (prihoda) cijelog sistema P je u inputoutput tabeli predstavljena u odgovarajućem redu i ima sljedeći oblik n

n

n

n

Π = X + = ∑ X i + = ∑ ∑ Qij + + ∑ Yi + = R + + Y + i =1

i =1 j =1

(3.51)

i =1

gdje je : n

n

∑ ∑ Qij + = R + vrijednost reprodukcijskih potrošnji cijelog sistema (vrijednost utrošei =1 j =1

nog internog repromaterijala u ostvarenju ukupne proizvodnje, tj. realizovanog prihoda). n

∑ Yi + = Y + vrijednost finalnih potrošnji (izvoza) cijelog sistema. i =1

Struktura raspodjele vrijednosti eksternih inputa snabdjevača izvan sistema se zapisuje u sljedećem izrazu: U e + = ∑ Wej + ; e = 1,..., m.

(3.52)

j

Struktura raspodjele vrijednosti svih uvoza u sistem m

m

n

U + = ∑U e + = ∑ ∑Wej + e =1

(3.53)

e=1 j =1

Struktura materijalnih troškova proizvodnih sektora n

m

i =1

e =1

M j = ∑ Qij + + ∑Wej + ;

374

j = 1,..., n

(3.54)

VRIJEDNOSNA INPUT-OUTPUT ANALIZA

Struktura materijalnih troškova u cijelom sistemu P predstavlja vrijednost svih internih i eksternih repromaterijala utrošenih u proizvodnji sistema P. n

M = ∑ M j = R+ + U +

(3.55)

j =1

Struktura raspodjele dodane vrijednosti na sektore (proizvođače) Vj = X j+ − M j = Π j − M j

(3.56)

Struktura raspodjele dodane vrijednosti u sistemu P n

V = ∑V j = Π − M

(3.57)

j =1

Struktura raspodjele ukupnog prihoda u sistemu P n

n

j =1

i =1

Π = ∑ Π j = ∑ Πi .

(3.58)

Strukture formiranja vrijednosti proizvodnje

U vrijednosnoj input-output tabeli moguće je duž kolona pratiti strukturu formiranja vrijednosti bruto proizvodnje pojedinih sektora i cijelog sistema. Struktura formiranja vrijednosti bruto proizvodnje (prihoda) proizvođača Pj n m X +j = Π j = M j + V j = ⎛⎜ ∑ Qij + + ∑ Wej + ⎞⎟ + V j ; e =1 ⎝ i =1 ⎠

j = 1,..., n.

(3.59)

Bruto proizvodnja sektora j se formira kao zbir materijalnih troškova i dodane vrijednosti. Materijalni troškovi se sastoje od materijalnih troškova za reprodukcionu potrošnju iz sistema, dakle internih inputa i materijalnih troškova iz uvoza, odnosno eksternih inputa. Za svaki sektor u sistemu se može kompletirati i analizirati jednačina formiranja vrijednosti bruto proizvodnje. Struktura formiranja vrijednosti svih proizvodnji u sistemu n

n

n

j =1

j =1 i =1

n

m

n

X + = Π = ∑ Π j = M + V = ( R + + U + ) + V = ∑ ∑ Qij + + ∑ ∑Wej + + ∑V j j =1 e =1

(3.60)

j =1

Bruto proizvodnja cijelog sistema je jednaka prihodu u cijelom sistemu i dobija se sabiranjem materijalnih troškova i dodane vrijednosti u sistemu. Struktura vrijednosti finalnih porošnji u sistemu n

∑ Yi + = Y +

(3.61)

i =1

375

INPUT-OUTPUT ANALIZA

Finalna potrošnja sistema je jednaka zbiru finalnih potrošnji n sektora sistema. Struktura vrijednosti bruto proizvodnje u sistemu n

∑ X i+ = X + = Π

(3.62)

i =1

Bruto proizvodnja sistema je jednaka zbiru bruto proizvodnji n sektora sistema i jednaka prihodu proizvodnog sistema P. Ravnoteža u input-output modelu

U jednačini raspodjele vrijednosti proizvodnje sektora Pj (3.50) pokazano je kako se vrijednost proizvodnje raspodjeljuje na pojedine kategorije potrošnje. U jednačini vrijednosne strukture (3.59) pokazano je kako se vrijednost bruto proizvoda sektora Pj sastoji od materijalnih troškova i dodane vrijednosti. Osnovno računovodstveno pravilo je da se svaka veličina dva puta knjiži, i to jednom na prihodnoj strani i jednom na rashodnoj strani. Ove dvije strane prihodna i rashodna moraju biti jednake. To pravilo vrijedi i u input-output tabeli, što u slučaju bruto proizvodnje zapisujemo sljedećim izrazom Xi+ = Xj+ za i = j. Vrijednost bruto proizvodnje koja je stvorena može se raspoređivati na različite kategorije potrošnje. Kada se izraze jednačina raspodjele vrijednosti proizvodnje i jednačina strukture vrijednosti proizvodnje za istog proizvođača Pk dobija se jednakost:15 + ∑ Qkj + Yk + = ∑ Qik + + ∑Wek + + Vk . j

i

(3.63)

e

Ako se odvoji dio vrijednosti proizvodnje proizvođača Pk koju je raspodijelio u vlastitu potrošnju, tj. +

Qkk + + ∑ Qkj + Yk + = Qkk + + ∑ Qik + + ∑ Wek + + Vk j≠k

i≠k

e

dobija se sljedeća jednačina + ∑ Qkj + Yk + = ∑ Qik + + ∑Wek + + Vk j ≠k

i≠k

(3.64)

e

Lijeva strana jednačine (3.64) predstavlja dio vrijednosti proizvodnje proizvodnog sektora (proizvođača) Pk koju je raspodijelio na reprodukcionu potrošnju drugih sektora i na njegovu finalnu potrošnju. Desna strana jednačine predstavlja dio vrijednosti proizvodnje proizvođača Pk koji je zbir vrijednosti internih repromaterijala utrošenih od ostalih proizvođača, vrijednosti utrošenih eksternih repromaterijala i dodane vrijednosti.

15

Prema Vučković, Ž., (2003), str. 70-73.

376

VRIJEDNOSNA INPUT-OUTPUT ANALIZA

Ovi identiteti vrijede ne samo za pojedine proizvodne sektore (proizvođače) već i za cijeli proizvodni sistem. Sabirajući po i =1,...,n jednačine raspodjele vrijednosti proizvodnje proizvođača i po j =1,...,n jednačine formiranja vrijednosti proizvodnji proizvođača dobija se: n

n

n

n

Π = X + = ∑ X i + = ∑ ∑ Qij + + ∑ Yi + = R + + Y + i =1

i =1 j =1

i =1

n

n

n

j =1

j =1 i =1

n

m

n

Π = ∑ Π j = M + V = ∑ ∑ Qij + + ∑ ∑ Wej + + ∑ V j = R + + U + + V j =1 e =1

j =1

Izjednačavanjem desnih strana dvije gornje jednačine slijedi:

R+ + Y + = R+ + U + + V

(3.65)

Y + = U + +V V =Y+ −U+

(3.66)

Jednačina (3.66) predstavlja ravnotežu vrijednosti bruto proizvoda cijelog proizvodnog sistema tj. vrijednost finalnih isporuka umanjena za vrijednost uvoza je jednaka dodanoj vrijednosti sistema. 3.3.3. Koeficijenti vrijednosnih input-output odnosa

Za analizu vrijednosnih odnosa proizvodnog sistema primjenjivaće se vrijednosni koeficijenti. Ovi koeficijenti će biti formirani i analizirani po analogiji sa količinskim koeficijentima koji su definisani i analizirani u slučaju količinske input-output tabele. Sve osobine koje su definisane za količinske koeficijente vrijede i za odgovarajuće vrijednosne koeficijente. Razlika je što se vrijednosni koeficijenti izražavaju u novčanim jedinicama mjere. Pored količinskih koeficijenata koji su formirani i analizirani u slučaju količinske input-output tabele, vrijednosna input-output tabela pruža mogućnost definisanja dodatnih koeficijenata koji zbog prirode jedinice mjere nisu mogli biti definisani u slučaju količinske input-output tabele. Vrijednosni koeficijenti internih inputa

Vrijednosni koeficijent internog inputa pokazuje da proizvođač Pj po svakoj novčanoj jedinici (nj)17 svog outputa direktno troši aij + novčanih jedinica proizvodnje proizvođača Pi: +

aij =

Qij + Xj

+

=

π i ⋅ Qij π i = ⋅ a ≥ 0; i, j = 1,..., n. π j ⋅ X j π j ij

(3.67)

Vrijednosni koeficijent internog inputa se može objasniti i na sljedeći način:

377

INPUT-OUTPUT ANALIZA

U svakoj novčanoj jedinici vrijednosti bruto proizvodnje proizvođača Pj nalazi se aij + novčanih jedinica vrijednosti proizvodnje proizvođača Pi. Po analogiji, i uz ista objašnjenja koja su data za formiranje matrice količinskih koeficijenata, formira se i matrica vrijednosnih koeficijenata internih inputa [ aij + ]nxn tj.

A = ⎡⎣ aij ⎤⎦ n×n +

+

⎡ a11+ ⎢ + a = ⎢ 21 ⎢ ⎢ + ⎣⎢ an1

a1n + ⎤ ⎥ a2 n + ⎥ za čije elemente vrijedi 0 ≤ aij + < 1 18. ⎥ +⎥ ann ⎦⎥

a12 + a22 + an 2 +

I u slučaju vrijednosne input-output tabele vrijede sljedeći odnosi:

⎡⎣Qij + ⎤⎦ = ⎡⎣ aij + ⎤⎦ ⋅ ⎡ Xˆ j + ⎤ ⎣ ⎦ ⎡⎣ aij + ⎤⎦ = ⎡⎣Qij + ⎤⎦ ⋅ ⎡ Xˆ j + ⎤ ⎣ ⎦

(3.68) −1

(3.69)

Iz formule (3.67) dobija se veza sa tehničkim koeficijentima ⎡⎣ aij ⎤⎦ količinskih odnosa napisanim u matričnom obliku: ⎡⎣ aij + ⎤⎦ = [πˆi ] ⋅ ⎡⎣ aij ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣πˆ j ⎤⎦ odnosno

−1

(3.70)

⎡⎣ aij ⎤⎦ = [πˆi ] ⋅ ⎡⎣ aij + ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣πˆ j ⎤⎦ . −1

(3.71)

Napomena: Iz formule (3.67) slijedi da su dijagonalni elementi (i = j) matrica A i A+ jednaki. Ako se sa 0 ≤ a

+

j

n

= ∑ aij + < 1 označe zbirovi elemenata matrice A+ duž kolona, tada se i =1

može objasniti značenje elementa a

+

j

.

Kod proizvođača Pj po jednoj novčanoj jedinici njegovog prihoda dolazi a

+

j

novčanih

jedinica vrijednosti internog repromaterijala utrošenog iz sistema.

18

Na osnovu formule (3.59) i relacije (3.67) brojnik πi ⋅ Qij ≥ 0 je dio nazivnika πj ⋅Xj > 0, uz poželjnu pretpostavku da je Vj >0, pa je Qij+ < Xj+. To vrijedi i za zbirove duž kolona matrice A+.

378

VRIJEDNOSNA INPUT-OUTPUT ANALIZA

n

Kada je kod nekog proizvođača Pk zbir a k + = ∑ aik + bliži jedinici, znači da je taj proizvoi =1

đač u većem stepenu primalac repromaterijala proizvedenih u sistemu njegova proizvodnja je više zavisna od repromaterijala iz sistema. Vrijednosni koeficijenti eksternih inputa

Vrijednosni koeficijent eksternih inputa pokazuje zavisnost vrijednosti bruto proizvodnje pojedinih sektora od vrijednosti eksternih inputa utrošenih u toj proizvodnji i koliko je potrebno utrošiti αej+ novčanih jedinica vrijednosti eksternog inputa od snabdjevača Se da bi se proizvela jedna novčana jedinica vrijednosti bruto proizvodnje sektora Pj. Ovaj koeficijent se dobija množenjem količinskog koeficijenta eksternih inputa sa odgovarajućim cijenama.

α ej = +

Wej + Xj

+

=

ce ⋅ Wej

πj⋅Xj

=

ce

πj

⋅ α ej ≥ 0; e = 1,..., m, j = 1,..., n.

(3.72)

Značenje vrijednosnog koeficijenta eksternih inputa se može objasniti na sljedeći način: Svaka novčana jedinica vrijednosti bruto proizvodnje proizvođača Pj sadrži αej+ novčanih jedinica vrijednosti eksternog inputa od snabdjevača Se. Matrica vrijednosti eksternih inputa ⎡⎣α ej + ⎤⎦ se zapisuje u sljedećem obliku m× n

α + = ⎡⎣α ej + ⎤⎦ m×n

⎡ α11+ α12 + ⎢ + α α 22 + = ⎢ 21 ⎢ ⎢ + + ⎣⎢α m1 α m 2

α1n + ⎤ ⎥ α 2n + ⎥

⎥ ⎥ α mn + ⎦⎥

i za njene elemente vrijedi 0 ≤ α ej + < 119.

Sljedeće dvije relacije vrijede i primjenjuju se u analizi i rješavanju input-output modela:

⎡⎣Wej + ⎤⎦ = ⎡⎣α ej + ⎤⎦ ⋅ ⎡ Xˆ j + ⎤ ⎣ ⎦ ⎡⎣α ej + ⎤⎦ = ⎡⎣Wej + ⎤⎦ ⋅ ⎡ Xˆ j + ⎤ ⎣ ⎦

(3.73) −1

.(3.74)

Iz formule (3.72) se dobija veza sa tehničkim koeficijentima eksternih inputa količinskih odnosa u matričnom obliku: ⎡⎣α ej + ⎤⎦ = [ cˆe ] ⋅ ⎡⎣α ej ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣πˆ j ⎤⎦ 19

−1

(3.75)

Na osnovu formule (3.59) i relacije (3.72) brojnik ce ⋅ Wej ≥ 0 je dio nazivnika πj ⋅Xj > 0, uz poželjnu pretpostavku Vj >0, pa je Wej+ < Xj+.To vrijedi i za zbirove duž kolona matrice α+.

379

INPUT-OUTPUT ANALIZA

odnosno ⎡⎣α ej ⎤⎦ = [ cˆe ] ⋅ ⎡⎣α ej + ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣πˆ j ⎤⎦ −1

Ako se sa 0 ≤ α

+

j

(3.76)

m

= ∑ α ej + < 1; ( j = 1,..., n) označe zbirovi elemenata matrice α+ duž ko-

lona, tada element α

e =1 + j

ima sljedeće značenje:

Kod proizvođača Pj po jednoj novčanoj jedinici njegovog prihoda dolazi α

+

j

novčanih

jedinica vrijednosti utrošenog eksternog repromaterijala dobijenog van sistema. Vrijednosni koeficijenti raspodjele

Vrijednosni koeficijenti raspodjele se definišu sljedećim izrazom:

rij + =

Qij + Xi

+

=

π i ⋅ Qij Qij = = r ≥ 0; i, j = 1,..., n. π i ⋅ X i X i ij

(3.77)

To su, kao što je već objašnjeno u slučaju količinskih koeficijenata raspodjele, neimenovani brojevi koji se izražavaju u procentima. Značenje vrijednosnog koeficijenta raspodjele je sljedeće: Proizvođač Pi je raspodijelio (rij⋅100%) vrijednosti svoje bruto proizvodnje proizvođaču Pj. Vrijednosni koeficijenti raspodjele se mogu zapisati i u matričnom obliku:

⎡⎣ rij + ⎤⎦ = ⎡⎣ rij ⎤⎦ n× n n×n

⎡ r11 ⎢r = ⎢ 21 ⎢ ⎢ ⎣ rn1

r12 r22 rn 2

r1n ⎤ r2 n ⎥⎥ . ⎥ ⎥ rnn ⎦

Pri rješavanju input-output modela mogu se koristiti sljedeće relacije: −1

⎡⎣ rij ⎤⎦ = ⎡ Xˆ i + ⎤ ⋅ ⎡⎣Qij + ⎤⎦ ⎣ ⎦

(3.78)

+ ⎡ ˆ +⎤ ⎣⎡Qij ⎦⎤ = ⎣ X i ⎦ ⋅ ⎡⎣ rij ⎤⎦

(3.79)

Za zbirove duž redova matrice koeficijenata raspodjele vrijedi:

380

VRIJEDNOSNA INPUT-OUTPUT ANALIZA

n

0 ≤ ∑ rij = ri ≤ 1;

i = 1,..., n.

(3.80)

j =1

Vrijednost ri ⋅100% pokazuje koliko procentualno je vrijednosti bruto proizvodnje Xi (prihoda) proizvođača Pi ostvareno u sistemu. n

Ako je kod nekog proizvođača Pk zbir rk = ∑ rkj duž k-tog reda matrice ⎡⎣ rij ⎤⎦ bliži jedinici, j =1

to je taj proizvođač u većem stepenu davalac repromaterijala proizvodnjama u sistemu. Koeficijenti dodane vrijednosti Količinski koeficijent dodane vrijednosti u prihodu proizvođača Pj se definiše sljedećim količnikom:

vj =

Vj Xj

> 0;

j = 1,..., n.

(3.81)

Koeficijenti dodane vrijednosti se mogu zapisati u vektorskom obliku: ⎡ v1 ⎤ ⎢v ⎥ ⎡⎣ v j ⎤⎦ = ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣vn ⎦

Značenje koeficijenata dodane vrijednosti je sljedeće: Po svakoj količinskoj jedinici svog bruto proizvoda proizvođač Pj je ostvario vj novčanih jedinica dodane vrijednosti Vj. Vrijednosni koeficijent dodane vrijednosti u prihodu proizvođača Pj se definiše sljedećim izrazom

v j+ =

Vj X j+

> 0;

j = 1,..., n .

(3.82)

Za koeficijente zapisane u vektorskom obliku

381

INPUT-OUTPUT ANALIZA

⎡ v1+ ⎤ ⎢ +⎥ v + ⎡⎣ v j ⎤⎦ = ⎢ 2 ⎥ i vrijedi uslov 0 < v j + < 1 20. ⎢ ⎥ ⎢ +⎥ ⎣⎢vn ⎦⎥

Vrijednosni koeficijent dodane vrijednosti ima sljedeće značenje: Po svakoj novčanoj jedinici vrijednosti bruto proizvoda proizvođaču Pj se ostvaruje vj+ novčanih jedinica dodane vrijednosti Vj. Veza između količinskog i vrijednosnog koeficijenta dodane vrijednosti proizilazi iz formula (3.81) i (3.82):

vj+ =

Vj

πj⋅Xj

=

vj

πj

.

(3.83)

Vrijednosni koeficijenti materijalnih troškova

Vrijednosni koeficijenti materijalnih troškova se definišu za pojedine sektore i za cijeli sistem kao odnos materijalnih troškova i vrijednosti bruto proizvodnje:

mj+ =

Mj X j+

;

j = 1,..., n.

(3.84)

U vektorskom obliku koeficijent materijalnih troškova se zapisuje sljedećim izrazom: ⎡ m1+ ⎤ ⎢ +⎥ m + ⎡⎣ m j ⎤⎦ = ⎢ 2 ⎥ i vrijedi 0 ≤ m j + < 1 21. ⎢ ⎥ ⎢ +⎥ ⎣⎢ mn ⎦⎥

Vrijednosni koeficijent materijalnih troškova pokazuje da je u svakoj novčanoj jedinici vrijednosti bruto proizvoda proizvođača Pj udio materijalnih troškova mj novčanih jedinica.

20 21

U razlomku (3.82) brojnik Vj je dio nazivnika Xj+, pa za sve vrijedonosne koeficijente dodane vrijednosti vrijedi ovo ograničenje. U razlomku (3.84) brojnik Mj je dio nazivnika Xj+, pa za sve vrijedonosne koeficijente materijalnih troškova vrijedi ovo ograničenje.

382

VRIJEDNOSNA INPUT-OUTPUT ANALIZA

Pošto su materijalni troškovi jednaki zbiru vrijednosti utrošenih internih i eksternih repromaterijala n

m

i =1

e =1

M j = ∑ Qij + + ∑ Wej + ;

j = 1,..., n

dijeleći gornji izraz sa Xj+ dobija se: n

Qij +

i =1

X j+

mj+ = ∑

m

Wej +

e =1

X j+

+∑

odnosno n

m

m j + = ∑ aij + + ∑ α ej + i =1

+

mj = a

(3.85)

e =1

+

j



+

j = 1,..., n.

j

U prethodnom izrazu koeficijent materijalnih troškova je izražen kao zbir zbirova elemenata matrice A+ duž kolona i zbirova elemenata matrice α+ duž kolona. Koeficijent materijalnih troškova pokazuje da se u svakoj novčanoj jedinici vrijednosti bruto proizvoda proizvođača Pj nalazi mj+ novčanih jedinica vrijednosti utrošenog repromaterijala iz sistema i od eksternih dobavljača. Strukture jediničnih vrijednosti bruto proizvodnji Ako se jednačina (3.59) formiranja vrijednosti prihoda Πj = Xj+ proizvođača Pj n

m

i =1

e=1

Π j = ∑ Qij + + ∑ Wej + + V j ; j = 1,..., n

odnosno π j X j = ∑ π i ⋅ Qij + ∑ ce ⋅Wej + V j j

e

podijeli sa pripadnim prihodom Πj = Xj+ dobija se: Qij +

n

1= ∑

Xj

i =1

+

m

+∑

e=1

Wej + Xj

+

+

Vj X j+

ili n

m

1 = ∑ aij + + ∑ α ej + + v j + i =1

1= a

(3.86)

e=1

+ j



+ j

+ vj

+

j = 1,..., n

dakle,

383

INPUT-OUTPUT ANALIZA

1 = mj+ + v j+

(3.87)

Jednačina (3.86) predstavlja strukturu formiranja jedinične vrijednosti bruto proizvodnje (prihoda) proizvođača Pj. Objašnjenje jednačine je da se svaka novčana jedinica vrijednosti bruto proizvoda proizvođača Pj sastoji od: a

α

+ j

i =1

+ j

n

= ∑ aij + novčanih jedinica vrijednosti internog repromaterijala, m

= ∑ α ej + novčanih jedinica vrijednosti eksternog repromaterijala, e=1

+

v j novčanih jedinica dodane vrijednosti.

odnosno iz jednačine (3.87) slijedi objašnjenje da se svaka novčana jedinica vrijednosti bruto proizvoda proizvođača Pj sastoji od: m j + novčanih jedinica materijalnih troškova, v j + novčanih jedinica dodane vrijednosti.

Strukture jediničnih vrijednosti proizvodnje ostaju nepromijenjene sve dok se ne mijenjaju interne cijene, nabavne cijene, tehnički koeficijenti internih inputa, tehnički koeficijenti eksternih inputa. Jedinične vrijednosti proizvodnje ne zavise od nivoa bruto proizvodnji Xj.

3.3.4. Analiza proizvodnog sistema u vrijednosnoj strukturi Zavisnosti vrijednosti bruto proizvodnji, vrijednosti finalnih potrošnji i uvoza

U poglavlju 3.2.3. predstavljena je analiza proizvodnog sistema izraženog u količinskim odnosima, kao i međuzavisnosti između određenih kategorija u količinskoj input-output analizi. Ovdje će se predstaviti i analizirati analogne veze između kategorija u vrijednosnoj input-output analizi i tumačenje njihovih elemenata. Dokaze i izvođenja zavisnosti vrijednosti bruto proizvoda od vrijednosti finalnih potrošnji i vrijednosti uvoza te zavisnost vrijednosti finalnih potrošnji od vrijednosti bruto proizvoda i uvoza u sistem neće se ponovo prezentovati jer su već predstavljeni za količinske odnose. Po analogiji ove zavisnosti se izvode i za vrijednosne odnose. Zavisnost vrijednosti finalnih potrošnji od vrijednosti bruto proizvodnje:

Y + = L+ ⋅ X + ; L+ = I − A+ Zavisnost vrijednosti bruto proizvoda od vrijednosti finalnih potrošnji: 384

(3.88)

VRIJEDNOSNA INPUT-OUTPUT ANALIZA

X + = B + ⋅ Y + ; B + = ( L+ ) −1

(3.89)

Zavisnost uvoza od bruto proizvodnji:

U+ =α+ ⋅ X +

(3.90)

Zavisnost uvoza od finalnih potrošnji:

U + = β + ⋅Y + ,

β + = α + ⋅ B+ .

(3.91)

U analizi navedenih međuzavisnosti u proizvodnom sistemu u vrijednosnom obliku koriste se: matrica tehnologije, matrica ukupnih utrošaka internih inputa i matrica ukupnih utrošaka eksternih inputa vrijednosno izražene. Značenja ovih matrica se daju po analogiji sa objašnjenjima koja su predstavljena u dijelu 3.2.3. za ove matrice u količinskom izrazu. Predstaviće se elementi navedenih matrica vrijednosno izraženi i objasniti njihovo značenje. Element matrice tehnologije u vrijednosnom izrazu se zapisuje u sljedećem obliku:

lij + =

∂Yi + i vrijedi ∂X j +

+ + ⎪⎧i = j ⇒ 0 < lii = (1 − aii ) ≤ 1 ⎨ + + ⎪⎩ i ≠ j ⇒ lij = − aij ≤ 0

(3.92)

i ima sljedeće značenje: Ako se želi samo vrijednost bruto proizvodnje Xj+ proizvođača Pj povećati za jednu novčanu jedinicu, a vrijednosti bruto proizvodnji ostalih proizvođača ostanu nepromijenjene, tada vrijednost neto proizvodnje Yi+ proizvođača Pi treba promijeniti za lij + novčanih jedinica. Element matrice ukupnih utrošaka internih inputa vrijednosno izražen: +

b ji =

∂X j + ∂Yi +

i vrijedi b ji

+

⎧⎪ i = j; bii + ≥ 1 =⎨ . + ⎪⎩i ≠ j; b ji ≥ 0

(3.93)

Pokazuje da ako se želi samo vrijednost finalna potrošnja Yi+ ≥ 0 povećati za jednu novčanu jedinicu, a finalne potrošnje ostalih sektora ostanu nepromijenjene, vrijednost bruto proizvodnje Xj+ ≥ 0 treba povećati za b ji + ≥ 0 novčanih jedinica. Element matrice eksternih inputa vrijednosno izražen: ∂U e + = α ej + ≥ 0 . + ∂X j

(3.94)

385

INPUT-OUTPUT ANALIZA

Znači da ako se samo vrijednost bruto proizvodnje Xj+ proizvođača Pj poveća za jednu novčanu jedinicu, a vrijednosti bruto proizvodnji ostalih proizvođača ostanu nepromijenjene, tada se vrijednost ukupnog eksternog inputa od Se treba povećati za α ej + novčanih jedinica. Element matrice ukupnih utrošaka eksternih inputa vrijednosno izražen: ∂U e + = β ei + ≥ 0 . + ∂Yi

(3.95)

Elementi ove matrice imaju sljedeće značenje: Ako se želi povećati samo vrijednost finalne potrošnje Yi+ za jednu novčanu jedinicu, a da vrijednosti finalnih potrošnji ostalih sektora ostanu nepromijenjene, treba vrijednost ukupnog eksternog inputa (uvoza) od snabdjevača Se povećati za βei+ novčanih jedinica. Zavisnost dodane vrijednosti Vj proizvođača Pj od finalnih isporuka Yi proizvođača Pi

Kako je V j = v j ⋅ X j ; ⎡V1 ⎤ ⎡v1 0 ⎢V ⎥ ⎢ ⎢ 2 ⎥ = ⎢ 0 v2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣Vn ⎦ n×1 ⎣ 0 0

j = 1,..., n u matričnom obliku zapisano: 0⎤ ⎡ X1 ⎤ ⎥ ⎢X ⎥ 0⎥ ⋅⎢ 2⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ vn ⎦ n×n ⎣ X n ⎦ n×1

⎡⎣V j ⎤⎦ = ⎡⎣ vˆ j ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣ X j ⎤⎦ n×1 n× n n×1

Kako je ⎡⎣ X j ⎤⎦ = ⎡⎣b ji ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣Yi ⎤⎦ dobija se ⎡V1 ⎤ ⎡v1 0 ⎢V ⎥ ⎢ ⎢ 2 ⎥ = ⎢ 0 v2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣Vn ⎦ n×1 ⎣ 0 0

0⎤ ⎡ b11 b12 ⎥ ⎢b b 0⎥ ⋅ ⎢ 21 22 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ vn ⎦ n×n ⎣bn1 bn 2

⎡⎣V j ⎤⎦ = ⎡⎣ vˆ j ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣b ji ⎤⎦ [Yi ]n×1 n×1 n× n n× n

386

b1n ⎤ ⎡ Y1 ⎤ ⎥ ⎢Y ⎥ b2 n ⎥ ⋅⎢ 2⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ bnn ⎦ n×n ⎣Yn ⎦ n×1

VRIJEDNOSNA INPUT-OUTPUT ANALIZA

Ako se označi ⎡⎣ d ji ⎤⎦ n× n

⎡ v1b11 v1b12 ⎢v b vb = ⎡⎣vˆ j ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣b ji ⎤⎦ = ⎢ 2 21 2 22 ⎢ ⎢ ⎣ vnbn1 vnbn 2

v1b1n ⎤ v2b2 n ⎥⎥ 22 ⎥ ⎥ vn bnn ⎦

dalje se može pisati ⎡⎣V j ⎤⎦ = ⎡⎣ d ji ⎤⎦ ⋅ [Yi ]n×1 . n×1 n× n

(3.96)

Izvuče li se j–ti red iz prethodne matrične jednačine dobija se: n

V j = ∑ d ji ⋅ Yi ;

j = 1,..., n.

(3.97)

i =1

Računajući parcijalne izvode iz prethodne jednačine dobija se izraz za koeficijent dji ∂V j

= d ji = v j b ji ≥ 0 ∂Yi koji ima sljedeće značenje:

(3.98)

Ako se samo finalna potrošnja Yi proizvođača Pi poveća za jednu količinsku jedinicu, a ostale finalne potrošnje ostanu nepromijenjene, dodana vrijednost proizvođača Pj će se povećati za dji novčanih jedinica. Naime, element bji pokazuje veličinu proizvodnje j-tog sektora koja je direktno i indirektno uslovljena količinskom jedinicom finalnih isporuka i-tog sektora. Ako se veličinu proizvodnje j- tog proizvođača pomnoži veličinom dodane vrijednosti tog proizvođača koju on ostvaruje po količinskoj jedinici svoje proizvodnje, dobit će se veličina dodane vrijednosti tog proizvođača uslovljena količinskom jedinicom finalnih isporuka i-tog proizvođača (sektora). Analogno, može se pokazati zavisnost dodane vrijednosti Vj proizvođača Pj od vrijednosti finalne potrošnje Yi+ proizvođača Pi. Pošto je V j = v j + ⋅ X j + ; j = 1,..., n , gdje je vj+ vrijednosni koeficijent dodane vrijednosti, u matričnom obliku se može zapisati ⎡⎣V j ⎤⎦ = ⎡⎣ vˆ j + ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣ X j + ⎤⎦ n×1 n× n n×1

Uvrštavanjem ⎡⎣ X j + ⎤⎦ = ⎡⎣b ji + ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣Yi + ⎤⎦ u gornji izraz se dobija 22

Matrica ⎡⎣ d ji ⎤⎦ = ⎡⎣ vˆ j ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣b ji ⎤⎦ predstavlja matricu ukupnih koeficijenata dodane vrijednosti.

387

INPUT-OUTPUT ANALIZA

⎡⎣V j ⎤⎦ = ⎡⎣vˆ j + ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣b ji + ⎤⎦ ⎡⎣Yi + ⎤⎦ . n×1 n× n n× n n×1

Ako se označi ⎡⎣ d ji + ⎤⎦ n× n

⎡ v1+ b11+ ⎢ + + v b + + ˆ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = ⎣v j ⎦ ⋅ ⎣b ji ⎦ = ⎢ 2 21 ⎢ ⎢ + + ⎣⎢vn bn1

v1+ b12 + v2 +b22 + vn + bn 2 +

v1+ b1n + ⎤ ⎥ v2 + b2 n + ⎥ 23 ⎥ ⎥ vn + bnn + ⎦⎥

može se napisati ⎡⎣V j ⎤⎦ = ⎡⎣ d ji + ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣Yi + ⎤⎦ n×1 n× n n×1

(3.99)

Izvuče li se j–ti red iz prethodne matrične jednačine, dobija se: n

V j = ∑ d ji + ⋅ Yi + ;

j = 1,..., n.

(3.100)

i =1

Računajući parcijalne izvode iz prethodne jednačine dobija se koeficijent u vrijednosnom izrazu: ∂V j ∂Yi +

= d ji + = v j + ⋅ b ji + ≥ 0

(3.101)

koji ima sljedeće objašnjenje: Ako se samo vrijednost finalne potrošnje Yi+ proizvođača Pi poveća za jednu novčanu jedinicu, a ostale finalne potrošnje ostaju nepromijenjene, dodana vrijednost u prihodu proizvođača Pj će se povećati za dji+ novčanih jedinica.

3.3.5. Analiza cijena u proizvodnom sistemu i uticaja njihove promjene

Cijene veličina koje se nalaze u proizvodnom sistemu se mijenjaju, a time i cijene proizvodnje. Zbog toga može doći do narušavanja ravnoteže između potražnje i ponude proizvoda jednog ili više sektora. Za analizu cijena u proizvodnom sistemu i praćenja uticaja njihove promjene polazi se od pretpostavke da proporcije svakog sektora ostaju konstantne, tj. koeficijenti njihovih odnosa se ne mijenjaju uslijed promjena cijena.

23

+ + + Matrica ⎡⎣ d ji ⎤⎦ = ⎡⎣ vˆ j ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣b ji ⎤⎦ predstavlja matricu ukupnih vrijednosnih koeficijenata dodane vrijednosti.

388

VRIJEDNOSNA INPUT-OUTPUT ANALIZA

Veza finalnih i internih cijena

Proizvođači Pi, i = 1,...,n prodaju finalne potrošnje Yi po odgovarajućim tržišnim cijenama pi. Na taj način proizvodni sistem ostvaruje ukupan prihod po formuli: n

Π = ∑ pi ⋅ Yi .

(3.102)

i =1

Ako je proizvođač Pi proizveo Xi > 0 količinskih jedinica ukupne proizvodnje, on ostvaruje odgovarajući prihod Πi > 0. Ako je kod tog proizvođača Yi = 0, onda je piYi = 0, što znači da piYi nije prihod tog proizvođača jer su u njegovoj proizvodnji i dijelovi trošeni u reprodukcijskoj potrošnji sistema. Pojedinačni prihod svakog proizvođača se ostvaruje vrijednošću bruto proizvodnje obračunate po internim cijenama, dakle Πi = πiXi.24 n

n

i =1

i =1

Ukupan prihod sistema je Π = ∑ pi ⋅ Yi = ∑ π i ⋅ X i . Iz ravnotežne jednačine vrijednosti bruto proizvoda i odnosa Y = L·X slijedi: n n n n ⎛ n n ⎞ n Π = ∑ Π j = ∑ π j ⋅ X j = ∑ pi ⋅ Yi = ∑ ⎜ pi ⋅ (∑ lij ⋅ X j ) ⎟ = ∑ ⎛⎜ (∑ pi ⋅ lij ) ⋅ X j ⎞⎟ j =1 j =1 i =1 i =1 ⎝ j =1 ⎠ ⎠ j =1 ⎝ i =1

Iz gornjeg izraza upoređujući ∑ π j ⋅ X j sa ∑ ⎛⎜ (∑ pi ⋅ lij ) ⋅ X j ⎞⎟ n

π j = ∑ pi ⋅ lij ;

n

n

j =1

j =1

n



i =1



j = 1,..., n.

,

dobija se (3.103)

i =1

Ovaj sistem od n linearnih jednačina (j =1,...,n) se može napisati u matričnom obliku: ⎡⎣π j ⎤⎦ = ⎡⎣lij ⎤⎦ ⋅ [ pi ]n×1 . n×1 n× n T

(3.104)

Jednačina (3.104) omogućava da se na osnovu određenih, poznatih finalnih cijena i poznate matrice tehnologije sistema odrede interne cijene po kojima se obračunavaju bruto proizvodi i njegovi dijelovi kod pojedinih proizvođača. Iz jednačine (3.103), računajući parcijalne izvode, dobija se: ∂π j

⎧i = j ⇒ 0 < lii = (1 − aii ) ≤ 1 = lij ; ⎨ . i ≠ j ⇒ l = − a ≤ 0 ∂pi ij ij ⎩

24

(3.105)

Vučković, Ž., (2003), str. 45.

389

INPUT-OUTPUT ANALIZA

Koeficijent lij iz gornjeg izraza ima sljedeće značenje: Ako se tržišna cijena pi poveća za jednu novčanu jedinicu, a ostale tržišne cijene ostanu nepromijenjene, tada internu cijenu πj treba promijeniti za lij novčanih jedinica. Navedeno objašnjenje vrijedi i za svaku dodatnu promjenu tržišnih cijena, tj. ⎡⎣ Δπ j ⎤⎦ = ⎡⎣lij ⎤⎦ ⋅ [ Δpi ]n×1 . n×1 n×n T

(3.106)

Rješavajući jednačinu (3.104) po vektoru finalnih cijena, tj. množeći je sa inverznom matricom matrice LT, odnosno matricom BT sa lijeve strane, dobija se:

[ pi ]n×1 = ⎡⎣b ji ⎤⎦ n×n ⋅ ⎡⎣π j ⎤⎦ n×1 . T

(3.107)

Ako se iz ovog sistema od n linearnih jednačina izdvoji i-ta jednačina, dobija se: n

pi = ∑ π j ⋅ b ji ;

i = 1,..., n .

(3.108)

j =1

Iz jednačine (3.108), računajući parcijalne izvode, slijedi izraz za koeficijent bji ⎧ i = j; bii ≥ 1 ∂pi . = b ji i vrijedi b ji = ⎨ i ≠ j b ≥ ; 0 ∂π j ji ⎩

(3.109)

Koeficijent bji iz gornjeg izraza ima sljedeće značenje: Ako se interna cijena πj želi povećati za jednu novčanu jedinicu, a da ostale interne cijene ostanu nepromijenjene, tržišna cijena pi bi se trebala povećati za bji novčanih jedinica. Pitanje koje ostaje otvoreno za diskusiju je da li se finalna potrošnja na tržištu može realizovati po cijenama koje su planirali proizvođači, a koje su u analizi označene kao tržišne ili finalne cijene. Zavisnost koeficijenta dodane vrijednosti od internih i nabavnih cijena

Ako se jednačina strukture vrijednosti proizvodnje proizvođača π j ⋅ X j = ∑ π i ⋅ Qij + ∑ ce ⋅Wej + V j podijeli sa nivoom proizvodnje Xj, dobija se: i

e

n

π i ⋅ Qij

i =1

Xj

πj =∑

390

m

ce ⋅ Wej

e =1

Xj

+∑

+

Vj Xj

Pj:

VRIJEDNOSNA INPUT-OUTPUT ANALIZA

odnosno n

m

i =1

e=1

π j = ∑ π i ⋅ aij + ∑ ce ⋅ α ej + v j .

(3.110)

Iz izraza (3.110) slijedi n

m

i =1

e=1

m

v j = π j − ∑ π i ⋅ aij − ∑ ce ⋅ α ej = π j − π j ⋅ a jj − ∑ π i ⋅ aij − ∑ ce ⋅ α ej = j ≠i

e =1

m

m

n

m

e=1

i =1

e=1

π j ⋅ (1 − a jj ) + ∑ π i ⋅ (− aij ) − ∑ ce ⋅ α ej = π j ⋅ l jj + ∑ π i ⋅ lij − ∑ ce ⋅ α ej = ∑ π i ⋅ lij − ∑ ce ⋅ α ej . j ≠i

e=1

j ≠i

Za j =1,...,n dobija se sistem od n linearnih jednačina: n

m

i =1

e =1

v j = ∑ π i ⋅ lij − ∑ ce ⋅ α ej

(3.111)

koji se može zapisati u matričnom obliku: ⎡⎣ v j ⎤⎦ = ⎡⎣lij ⎤⎦ ⋅ [π i ] − ⎡⎣α ej ⎤⎦ ⋅ [ ce ] . Iz (3.111) slijede parcijalni izvodi: T

T

⎧i = j ⇒ 0 < lii = (1 − aii ) ≤ 1 = lij za koje ⎨ ∂π i ⎩ i ≠ j ⇒ lij = − aij ≤ 0

∂v j

∂v j ∂ce

(3.112)

(3.113)

= −α ej ≤ 0 .(3.114)

Značenje parcijalnog izvoda (3.113) je sljedeće: Ako se samo interna cijena πi poveća za jednu novčanu jedinicu, a sve ostale interne cijene, kao i cijene nabave ostanu nepromijenjene, koeficijent dodane vrijednosti kod proizvođača Pj će se promijeniti za lij novčanih jedinica. Značenje parcijalnog izvoda (3.114) je sljedeće: Ako se samo nabavna cijena ce poveća za jednu novčanu jedinicu, a ostale cijene nabavne, kao i interne cijene, ostanu nepromijenjene, koeficijent dodane vrijednosti kod proizvođača Pj će se smanjiti za αej novčanih jedinica. Prethodna dva objašnjenja vrijede i za svaku dodanu promjenu: ⎡⎣ Δv j ⎤⎦ = ⎡⎣lij ⎤⎦ ⋅ [ Δπ i ] − ⎡⎣α ej ⎤⎦ ⋅ [ Δce ] . T

T

(3.115)

391

INPUT-OUTPUT ANALIZA

T

Množeći jednačinu (3.112) sa lijeve strane sa matricom ⎡⎣b ji ⎤⎦ dobija se:

[π i ] = ⎡⎣b ji ⎤⎦

T

⋅ ⎡⎣v j ⎤⎦ + ⎡⎣b ji ⎤⎦ ⎡⎣α ej ⎤⎦ ⋅ [ ce ] odnosno

[π i ] = ⎡⎣b ji ⎤⎦

T

⋅ ⎡⎣v j ⎤⎦ + [ β ei ] ⋅ [ ce ] ;

T

T

T

i, j = 1,..., n ; e = 1,..., m.

(3.116)

Iz sistema (3.116) može se napisati i – ta jednačina: n

m

j =1

e =1

π i = ∑ v j ⋅ b ji + ∑ ce ⋅ β ei .

(3.117)

Računajući parcijalne izvode iz jednačine (3.117), dobija se: ⎧ i = j; bii ≥ 1 ∂π i . = b ji i vrijedi b ji = ⎨ ∂v j ⎩i ≠ j; b ji ≥ 0

(3.118)

∂π i = β ei ≥ 0 . ∂ce

(3.119)

Značenje koeficijenta bji zapisanog u izrazu (3.118) je sljedeće: Ako se koeficijent dodane vrijednosti vj želi povećati za jednu novčanu jedinicu, a da svi ostali koeficijenti dodane vrijednosti ostanu isti, kao i nabavne cijene, internu cijenu πi kod pripadnog proizvođača treba povećati za bji novčanih jedinica. Značenje koeficijenta βei zapisanog u izrazu (3.119) je sljedeće: Ako se samo nabavna cijena ce poveća za jednu novčanu jedinicu, a da sve ostale nabavne cijene ostanu iste, kao i koeficijenti dodanih vrijednosti, internu cijenu πi kod proizvođača Pi treba povećati za βei novčanih jedinica. Struktura jedinične vrijednosti proizvodnje i njena dekompozicija na uvoz i dodanu vrijednost

Pokazana je polazna struktura vrijednosti jedinice proizvodnje j – tog proizvođača (sektora) jednačinom (3.86): n

m

1 = ∑ aij + + ∑ α ej + + v j + i =1

1= a

e=1

+ j



+ j

+ v j+ ;

j = 1,..., n.

Jedinica vrijednosti proizvodnje j-tog sektora formira se tako što jediničnim vrijednosnim utrošcima internih i eksternih repromaterijala, dakle jediničnim materijalnim troškovima, doda dodana vrijednost koja se ostvaruje u jediničnoj vrijednosti proizvodnje j-tog sektora. 392

VRIJEDNOSNA INPUT-OUTPUT ANALIZA

Na isti način može se izračunati struktura jediničnih vrijednosti proizvodnje za svakog proizvođača (j = 1,...,n), pa se dobija sistem od n linearnih jednačina: 1 = ( a11+ + a21+ + .. + an1+ ) + (α11+ + α 21+ + .. + α m1+ ) + v1+ 1 = ( a12 + + a22 + + .. + an 2 + ) + (α12 + + α 22 + + .. + α m 2 + ) + v2 + …………………………………………………………

(3.120)

1 = ( a1n + + a2 n + + .. + ann + ) + (α1n + + α 2 n + + .. + α mn + ) + vn + Gornji sistem jednačina se može zapisati u matričnom obliku:

[1]n×1 = ⎡⎣ A+ ⎤⎦ n×n ⋅ [1]n×1 + ⎡⎣α + ⎤⎦ n×m ⋅ [1]m×1 + ⎡⎣v j + ⎤⎦ n×1 T

T

(3.121)

transponovanjem jednačine (3.121) dobija se:

[1]1×n = [1]1×n ⋅ ⎡⎣ A+ ⎤⎦ n×n + [1]1×m ⋅ ⎡⎣α + ⎤⎦ m×n + ⎡⎣v j + ⎤⎦1×n

(3.122)

Jednačina (3.122) se može napisati u obliku:

[1]1×n − [1]1×n ⋅ ⎡⎣ A+ ⎤⎦ n×n = [1]1×m ⋅ ⎡⎣α + ⎤⎦ m×n + ⎡⎣v j + ⎤⎦1×n [1]1×n ⋅ ⎡⎣ I − A+ ⎤⎦ n×n = [1]1×m ⋅ ⎡⎣α + ⎤⎦ m×n + ⎡⎣v j + ⎤⎦1×n [1]1×n ⋅ ⎡⎣ L+ ⎤⎦ n×n = [1]1×m ⋅ ⎡⎣α + ⎤⎦ m×n + ⎡⎣v j + ⎤⎦1×n Množeći prethodnu jednačinu sa desne strane sa [L+] –1 = B+ dobija se:

[1]1×n = [1]1×m ⋅ ⎡⎣α + ⎤⎦ m×n ⋅ ⎡⎣ B + ⎤⎦ n×n + ⎡⎣v j + ⎤⎦1×n ⋅ ⎡⎣ B + ⎤⎦ n×n odnosno, pošto je α+B+ = β+, slijedi

[1]1×n = [1]1×m ⋅ ⎡⎣ β + ⎤⎦ m×n + ⎡⎣v j + ⎤⎦1×n ⋅ ⎡⎣ B + ⎤⎦ n×n .

(3.123)

Izdvoji li se j- ta kolona matrične jednačine (3.123), dobija se: m

n

e =1

i =1

m

n

e =1

i =1

1 = ∑ β ej + + ∑ vi+ ⋅ bij + 1 = ∑ β ej + + ∑ dij + 1= β

+ j

+d

.

(3.124)

+ j

393

INPUT-OUTPUT ANALIZA

Jednačina (3.124) predstavlja dekomponiranu strukturu vrijednosti proizvodnje i izražena je kao zbir vrijednosti uvoza svih proizvođača (sektora) uvjetovanih jedinicom vrijednosti finalnih isporuka j-tog proizvođača i dodane vrijednosti koja se formira u svim sektorima, a sadržana je u jedinici vrijednosti, finalnih isporuka j- tog proizvođača25. Istaknimo da relacije (3.86) i (3.124) pokazuju jediničnu strukturu vrijednosti proizvodnje sektora (proizvođača). U relaciji (3.86) jedinična struktura vrijednosti proizvodnje se izražava kao zbir direktnih vrijednosnih utrošaka internih i eksternih repromaterijala i dodane vrijednosti, sadržanih u jedinici vrijednosti proizvodnje, a relacija (3.124) pokazuje jediničnu strukturu vrijednosti proizvodnje kao zbir ukupnih vrijednosnih utrošaka vanjskih nabavki i dodane vrijednosti, sadržanih u jedinici vrijednosti finalnih potrošnji. Na temelju ovako dekomponirane strukture vrijednosti pojedinog proizvođača (sektora) moguće je kvantificirati složene efekte što ih na promjenu cijena proizvoda pojedinog sektora vrši egzogena promjena uvoznih (nabavnih) cijena proizvoda ili promjena elementa dodane vrijednosti bilo kog proizvodnog sektora.

Primjer 3.6.

Poznata je količinska input-output tabela jednog proizvodnog sistema

P1 P2 P3 S1 S2

P1

P2

0 300 10

⎡⎣Qij ⎤⎦ 0 0 0

300 300

⎡⎣Wej ⎤⎦ 500 180

P3

∑ Qij j

0 100 50

0 400 60

Yi

Xi

100 100 140

100 kom. 500 m3 200 kg

Ue

100 120

900 kwh 600

kao i finalne cijene (cijene izvoza): p1 = 23 KM/kom., p2 = 3 KM/m3, p3 = 10 KM/kg i nabavne cijene c1 = 0,5 KM/kwh, c2 = 0,2 KM/l. a) Formirati odgovarajuću transakcionu input-output tabelu i objasniti njene sastavne dijelove; b) Odrediti vrijednosne matrice internih i eksternih inputa ⎡⎣ aij+ ⎤⎦ i ⎡⎣α ej+ ⎤⎦ i objasniti značenje elemenata ovih matrica; 25

Andrijić, S.,(2002.) str. 229.

394

VRIJEDNOSNA INPUT-OUTPUT ANALIZA

c) Tabelarno predstaviti strukturu jediničnih vrijednosti proizvodnje; d) Tabelarno predstaviti vrijednosnu strukturu raspodjele pojedinih proizvodnji. Rješenje: a) Prvo se izračunavaju interne cijene po kojima se obračunavaju pojedine proizvodnje i njihovi dijelovi (interni inputi i izvoz).

⎡⎣π j ⎤⎦ = ⎡⎣lij ⎤⎦ ⋅ [ pi ] T

⎡ 1 ⎢100 ⎡ 0 0 0 ⎤ ⎢ A = ⎡⎣ aij ⎤⎦ = ⎢⎢300 0 100 ⎥⎥ ⋅ ⎢ 0 ⎢ ⎢⎣ 10 0 50 ⎥⎦ ⎢ ⎢ 0 ⎢⎣

0 1 500 0

⎤ 0 ⎥ ⎡ ⎢0 ⎥ ⎢ 0 ⎥=⎢3 ⎥ ⎢ ⎥ 1 ⎥ ⎢1 ⎢ 200 ⎥⎦ ⎣10

0 0 0

⎤ 0⎥ ⎥ 1⎥ 2⎥ 1⎥ ⎥ 4⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ 0 0 0⎥ ⎢ 1 0 0 ⎥ ⎡1 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1⎥ ⎢ 1⎥ ⎢ ⎥ ⎢ = −3 1 − . L = ⎡⎣lij ⎤⎦ = ⎢0 1 0 ⎥ − 3 0 ⎢ 2⎥ ⎢ 2⎥ ⎢⎣0 0 1 ⎥⎦ ⎢ ⎥ ⎢ 1 1 1 3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− ⎥ 0 0 4 ⎦ ⎣ 10 4 ⎦ ⎣10 −1 ⎤ ⎡ ⎢1 −3 10 ⎥ ⎡ 23⎤ ⎡13⎤ ⎢ ⎥ π j = ⎢0 1 0 ⎥ ⋅ ⎢⎢ 3 ⎥⎥ = ⎢⎢ 3 ⎥⎥ . ⎢ −1 3 ⎥ ⎢⎣10 ⎥⎦ ⎢⎣ 6 ⎥⎦ ⎢0 ⎥ 2 4⎦ ⎣

Množeći proizvodnje proizvođača odgovarajućim internim cijenama dobija se odgovarajuća transakciona (vrijednosna) input-output tabela:

395

INPUT-OUTPUT ANALIZA

P1

P2 Qij+

P3

∑ Qij+

Yi +

X i+

j

P1 P2 P3

0 900 60

0 0 0

0 300 300

0 1200 360

1300 300 840

1300 1500 1200

∑ Qij+

960

0

600

R+=1560

Y+=2440

X+=4000

i

Wej+

∑Wej+ j

S1 S2

150 60

250 36

50 24

450 120

∑ Wej+

210

286

74

U+=570

Mj Vj Πj

1170 130 1300

286 1214 1500

674 526 1200

M=2130 V=1870 Π=4000

e

Objašnjenje elemenata tabele po redovima:

Proizvođač P1 je ostvario prihod X1+ = 1300 KM samo kroz prodaju svoje finalne isporuke. Proizvođač P2 je ostvario prihod X2+ = 1500 KM, i to 300 KM kroz prodaju svoje finalne isporuke i 1200 KM u reprodukcijskoj potrošnji u sistemu, od toga kroz proizvodnju proizvođača P1 900 KM i kroz proizvodnju proizvođača P3 300KM. Proizvođač P3 je ostvario prihod X3+ = 1200 KM, i to 840 KM kroz prodaju svoje finalne isporuke i 360 KM u reprodukcijskoj potrošnji u sistemu, od toga kroz proizvodnju proizvođača P1 60 KM i kroz vlastitu proizvodnju 300 KM. Zbirno u sistemu je ostvaren prihod X+ = 4000 KM, i to kroz vrijednost izvoza Y+ = 2440KM i vrijednost reprodukcijske potrošnje u sistemu R+ = 1560KM. R + = ∑ ∑ Qij + ; X + = R + + Y + . i

j

U sistem je uvezen eksterni input od snabdjevača S1 u vrijednosti 450KM, i to kroz proizvodnje proizvođača P1 150 KM, P2 250 KM i P3 50 KM. U sistem je uvezen eksterni input od snabdjevača S2 u vrijednosti od 120KM i to kroz proizvodnje proizvođača P1 60 KM, P2 36 KM i P3 24 KM. Zbirno u sistem je uvezeno 570 KM, vrijednosti eksternog repromaterijala i to kroz proizvodnje proizvođača P1 210 KM, P2 286 KM, P3 74KM. 396

VRIJEDNOSNA INPUT-OUTPUT ANALIZA

Materijalni troškovi sistema iznose M = 2130 KM i to kod proizvođača P1 1170 KM, P2 286 KM i P3 674 KM. Dodana vrijednost u prihodu sistema je V = 1870 KM i to kod P1 130 KM, P2 1214 KM i P3 526 KM. Ukupan ostvaren prihod u sistemu je Π = 4000 KM i to proizvođača P1 1300 KM, P2 1500 KM i P3 1200 KM. Objašnjenje elemenata tabele po kolonama:

Kod proizvođača P1 prihod je Π1 = 1300 KM i predstavlja zbir materijalnih troškova M1 = 1170 KM koji je zbir 960 KM vrijednosti internog repromaterijala (900 KM dobijenog od P2 i 60 KM dobijenog od P3) i 210 KM vrijednosti eksternog repromaterijala (150 KM dobijenog od S1 i 60 KM dobijenog od S2) i dodane vrijednosti V1 = 130KM. Kod proizvođača P2 prihod je Π2 = 1500 KM i predstavlja zbir materijalnih troškova M2 = 286KM samo kao vrijednost eksternog repromaterijala (250 KM dobijenog od S1 i 36KM dobijenog od S2) i dodane vrijednosti V2 = 1214 KM. Kod proizvođača P3 prihod je Π3 = 1200 KM i predstavlja zbir materijalnih troškova M3 = 674 KM koji je zbir 600 KM vrijednosti internog repromaterijala (300 KM dobijenog od P2 i 300 KM kroz vlastitu proizvodnju) i 74 KM vrijednosti eksternog repromaterijala (50 KM dobijenog od S1 i 24 KM dobijenog od S2) i dodane vrijednosti V3 = 526 KM. U sistemu je ostvaren prihod Π = 4000KM i predstavlja zbir materijalnih troškova sistema M = 2130 KM koji je zbir vrijednosti reprodukcijske potrošnje u sistemu R+ = 1560 KM i vrijednosti uvoza u sistem U+ = 570 KM i dodane vrijednosti sistema V = 1870 KM. Napomena: M = R+ + U+; Π = M + V. b) Računa se ⎡ 1 ⎤ 0 0 ⎥ ⎡ ⎢1300 ⎢0 0 ⎡ 0 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ 1 ⎥=⎢ 9 0 ⎡⎣ aij + ⎤⎦ = ⎡⎣Qij + ⎤⎦ ⋅ ⎡ Xˆ j + ⎤ = ⎢900 0 300 ⎥ ⋅ ⎢ 0 0 ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 13 1500 ⎢⎣ 60 0 300 ⎥⎦ ⎢ ⎥ ⎢ 1 ⎥ 3 ⎢ 0 ⎢ 0 0 ⎢⎣ 1200 ⎥⎦ ⎣ 65

⎤ 0⎥ ⎥ 1⎥ . 4⎥ 1⎥ ⎥ 4⎦

397

INPUT-OUTPUT ANALIZA

Objašnjenje elemenata vrijednosne matrice koeficijenata internih inputa:

Po svakoj novčanoj jedinici (KM) vrijednosti svoje bruto proizvodnje proizvo+ đač P1 nije direktno utrošio vrijednosti svoje proizvodnje a11+ = 0 , a21 = 9 /13 + = 3 / 65 vrijednosti proizvodnje vrijednosti proizvodnje proizvođača P2 i a31 proizvođača P3. Po svakoj novčanoj jedinici vrijednosti svoje bruto proizvodnje proizvođač P2 nije utrošio ništa vrijednosti internog repromaterijala iz sistema. Po svakoj novčanoj jedinici (KM) vrijednosti svoje bruto proizvodnje proizvođač P3 nije direktno utrošio vrijednosti proizvodnje proizvođača P1 a13+ = 0 ,

+ + utrošio je a23 = 1/ 4 vrijednosti proizvodnje proizvođača P2 i a33 = 1/ 4 vrijednosti svoje proizvodnje. Računa se ⎡ 1 ⎤ 0 0 ⎥ ⎢1300 1 1⎤ ⎡3 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 150 250 50 ⎡ ⎤ ⎢ 1 ⎥ = ⎢ 26 6 24 ⎥ ⎡⎣αej+ ⎦⎤ = ⎣⎡Wej + ⎦⎤ ⋅ ⎡ Xˆ j + ⎤ = ⎢ ⋅ 0 0 ⎥ ⎣ ⎦ ⎥ ⎢3 6 1⎥ 1500 ⎣ 60 36 24⎦ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎣ 65 25 50 ⎦⎥ ⎢ 0 0 1200 ⎦⎥ ⎣⎢ .

Objašnjenje elemenata vrijednosne matrice koeficijenata eksternih inputa: Po svakoj novčanoj jedinici vrijednosti svoje bruto proizvodnje proizvođač P1 je direktno utrošio vrijednosti eksternog repromaterijala α11+ = 3/26 od S1 i α21+ = 3/65 od S2. Po svakoj novčanoj jedinici vrijednosti svoje bruto proizvodnje proizvođač P2 je direktno utrošio vrijednosti eksternog repromaterijala α12+ = 1/6 od S1 i α22+= 6/25 od S2. Po svakoj novčanoj jedinici vrijednosti svoje bruto proizvodnje proizvođač P3 je direktno utrošio vrijednosti eksternog repromaterijala α13+ = 1/24 od S1 i α23+= 1/50 od S2. c) Tabela strukture jediničnih vrijednosti proizvodnji:

Iz jednačine strukture jediničnih vrijednosti proizvodnji svakog proizvođača n

m

1 = ∑ aij + + ∑ α ej + + v j + i =1

1= a

398

e=1

+ j



+ j

+ v j+ ;

j = 1, 2,3

VRIJEDNOSNA INPUT-OUTPUT ANALIZA

P1 0 9/13 3/65 48/65 3/26 3/65 21/130 117/130 13/130 1

P1 P2 P3 ∑ S1 S2 ∑ mj+ vj+

P2 0 0 0 0 1/6 6/25 61/150 61/150 89/150 1

P3 0 1/4 1/4 1/2 1/24 1/50 37/600 337/600 263/600 1

Objašnjenje:

Proizvođač P1 u svakoj novčanoj jedinici (KM) vrijednosti bruto proizvodnje obračunava 48/65 KM vrijednosti ukupnog internog repromaterijala i 21/130 KM vrijednosti eksternog repromaterijala, tj. ukupno 117/130 KM materijalnih troškova i 13/130 KM dodane vrijednosti. Proizvođač P2 u svakoj svojoj KM vrijednosti bruto proizvoda obračunava 61/150 KM vrijednosti eksternog repromaterijala i time isto materijalnih troškova i 89/150 KM dodane vrijednosti. Proizvođač P3 u svakoj novčanoj jedinici (KM) vrijednosti bruto proizvodnje obračunava 1/2 KM vrijednosti ukupnog internog repromaterijala i 37/600 KM vrijednosti eksternog repromaterijala, tj. ukupno 337/600 KM materijalnih troškova i 263/600 KM dodane vrijednosti. ⎡ ⎤ ⎢ 0 0 0⎥ ⎢ ⎥ 3 1⎥ 0 d) Kako je ⎡⎣ rij+ ⎤⎦ = ⎡⎣ rij ⎤⎦ i iz izračunate matrice ⎡⎣ rij ⎤⎦ = ⎢ slijedi: ⎢5 5⎥ ⎢1 1⎥ ⎢ ⎥ 0 4⎦ ⎣ 20 rij+ ⋅100%

P1 P2 P3

0 60 5

0 0 0

ri + ⋅100%

0 20 25

0 80 30

Yi + ⋅100% X i+ 100 20 70

399

INPUT-OUTPUT ANALIZA

Objašnjenje:

Proizvođač P1 je svoj prihod kompletno rasporedio na vrijednost svoje finalne potrošnje. Proizvođač P2 je svoj prihod rasporedio 20% na vrijednost finalne potrošnje i 80% na vrijednost interne raspodjele - 60% proizvođaču P1 i 20% proizvođaču P3. Proizvođač P3 je svoj prihod rasporedio 70% na vrijednost finalne potrošnje i 30% na vrijednost internih inputa, i to 5% proizvođaču P1 i 25% u vlastitu proizvodnju. Primjer 3.7.

Kod jednog proizvodnog sistema poznate su sljedeće matrice: ⎡0, 2 0,1 ⎤ + ⎡0, 05 0, 04 ⎤ A+ = ⎡⎣ aij+ ⎤⎦ = ⎢ α = ⎡⎣α ej+ ⎤⎦ = ⎢ ⎥ 0,1 ⎥⎦ ⎣ 0 ⎣ 0,1 0, 4 ⎦

a) Ako su planirane finalne potrošnje Y1 = 14 0kg i Y2 = 125 m3 i poznate interne cijene π1= 10 nj/kg i π2 = 8 nj/m3 kao i cijene uvoza c1 = 5nj/kwh i c2 = 4 nj/l kompletirati odgovarajuću transakcionu tabelu. b) Kompletirati odgovarajuću količinsku I-O tabelu. c) Ako se cijene uvoza povećaju za 1nj kolike trebaju biti interne cijene da bi dodane vrijednosti oba proizvođača ostale iste? Rješenje:

⎡10 ⋅140 ⎤ ⎡1400 ⎤ a) Y + = ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎣ 8 ⋅125 ⎦ ⎣1000 ⎦ −1

X + = B + ⋅ Y + ; B + = ⎡⎣ L+ ⎤⎦ ⎡ 0,8 −0,1⎤ L+ = I − A+ = ⎢ ⎥ ⎣ −0,1 0, 6 ⎦

47 100 ⎡0, 6 0,1⎤ ⇒ B+ = ⋅ 100 47 ⎢⎣ 0,1 0,8⎥⎦ 100 ⎡ 0, 6 0,1⎤ ⎡1400 ⎤ ⎡ 2000 ⎤ X + = B+ ⋅Y + = ⋅ ⋅ = ⇒ 47 ⎢⎣ 0,1 0,8⎥⎦ ⎢⎣1000 ⎥⎦ ⎢⎣ 2000 ⎥⎦

det L+ =

0 ⎤ ⎡ 400 200 ⎤ ⎡0, 2 0,1 ⎤ ⎡ 2000 ⎡⎣Qij+ ⎤⎦ = ⎡⎣α ij+ ⎤⎦ ⋅ ⎡ Xˆ +j ⎤ = ⎢ ⋅⎢ = ⎥ ⎣ ⎦ 2000 ⎦⎥ ⎣⎢ 200 800 ⎦⎥ ⎣ 0,1 0, 4 ⎦ ⎣ 0

400

VRIJEDNOSNA INPUT-OUTPUT ANALIZA

0 ⎤ ⎡100 80 ⎤ ⎡0, 05 0, 04 ⎤ ⎡ 2000 ⎡⎣Wij+ ⎤⎦ = ⎡⎣α ej+ ⎤⎦ ⋅ ⎡ Xˆ +j ⎤ = ⎢ ⋅ = ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ 0,1 ⎦ ⎣ 0 2000 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 200 ⎥⎦ ⎣ 0 Transakciona input-output tabela: P1

P2

∑ Qij+

Yi +

X i+

P1 P2

400 200

200 800

600 1000

1400 1000

2000 2000

∑ Qij+

600

1000

1600

2400

4000

S1 S2

100 0

80 200

180 200

∑ Wej+

100

280

380

M V P

700 1300 2000

1280 720 2000

1980 2020 4000

i

e

j

b) Količinska I-O tabela:

P1 P2 S1 S2

P1

P2

40 25 20 0

20 100 16 50

∑Qij

Yi

Xi

60 125 36 50

140 125

200 250

⎢ ⎥ c) V j = Π j − M j = X j ⋅ π j * − ⎢ ∑ Qij ⋅ π j * + ∑ Wej ⋅ ce* ⎥ ; e ⎣ i ⎦

gdje su πj* nove interne cijene po kojima se obračunavaju bruto proizvodnje i njeni dijelovi i ce* nove cijene nabave. Rješavanjem sistema jednačina dobija se:

401

INPUT-OUTPUT ANALIZA

1300 = 200 ⋅ π 1* − ⎡⎣ 40 ⋅ π 1* + 25 ⋅ π 2* + 20 ⋅ 6 + 0 ⋅ 5⎤⎦ 720 = 250 ⋅ π 2* − ⎡⎣ 20 ⋅ π 1* + 100 ⋅ π 2* + 16 ⋅ 6 + 50 ⋅ 5⎤⎦ 284 = 32 ⋅ π 1* − 5 ⋅ π 2* 533 = −10 ⋅ π 1* + 75 ⋅ π 2*

π 1* = 10.42 π 2* = 9.88 Dakle, ako se cijene uvoza povećaju za 1nj, interne cijene bi se povećale π 1 za 0,42 nj, a π 2 za 1,88 nj. Primjer 3.8.

Poznata je nepotpuna vrijednosna input-output tabela, kao i vektori internih cijena ⎡10 ⎤ nj / kwh ⎡ 25⎤ nj / kom π =⎢ ⎥ i nabavnih cijena c = ⎢ ⎥ . ⎣ 20 ⎦ nj / kom ⎣15 ⎦ nj / m P1

+ ij

Q

P2

∑ Qij+

Yi +

X i+

2100

2500 3000

j

P1 P2

0

1250 600

∑Q i

+ ij

Wej+

∑Wej+ j

S1 S2

0 1200

100 160

∑Wej+ e

Mj Vj Πj a) Kompletirati vrijednosnu I-O tabelu. b) Napisati jednačinu raspodjele vrijednosti proizvodnje u sistemu. c) Koliko proizvođač P1 direktno utroši u svojoj proizvodnji internog inputa proizvođača P2 ? d) Formirati količinsku input-output tabelu. 402

VRIJEDNOSNA INPUT-OUTPUT ANALIZA

e) Izračunati matrice vrijednosnih koeficijenata internih i eksternih inputa i objasniti vrijednost elementa a12 + , α12 + . f) Odrediti koliko po jednoj nj proizvođač P2 ostvaruje dodane vrijednosti. Rješenje: a) Vrijednosna I-O tabela P1

+ ij

Q

P2

∑ Qij+

Yi +

X i+

1250 600

1250 900

1250 2100

2500 3000

1850

2150

3350

5500

j

P1 P2

0 300

∑ Qij+

300

i

+ ej

W

∑W j

+ ej

S1 S2

0 1200

100 160

100 1360

∑Wej+

1200

260

1460

Mj Vj Πj

1500 1000 2500

2110 890 3000

3610 1890 5500

e

2

2

2

b) Π = X + = ∑∑ Qij + + ∑ Yi + = R + + Y + ⇒ 5500 = 2150 + 3350 . i =1 j =1

c) Q21 =

Q21+

π2

=

i =1

300 = 20m . 15

d) Dijeleći vrijednosti internih i eksternih inputa proizvođača sa odgovarajućim internim i nabavnim cijenama, dobijamo količinsku I- O tabelu:

P1 P2 S1 S2

P1

P2

∑Qij

0 20 0 60

50 40 10 8

50 60 10 68

Yi

Xi

50 140

100 200

403

INPUT-OUTPUT ANALIZA

⎡ 1 ⎢ 0 1250 ⎡ ⎤ 2500 e) ⎣⎡ aij + ⎦⎤ = ⎣⎡Qij + ⎦⎤ ⋅ ⎣⎡ Xˆ j ⎦⎤ = ⎢ ⋅⎢ ⎥ ⎣300 600 ⎦ ⎢ 0 ⎢⎣ −1

⎡ 1 ⎢ 2500 0 100 ⎡ ⎤ ⎡⎣α ij + ⎤⎦ = ⎡⎣Wej + ⎤⎦ ⋅ ⎡ Xˆ j ⎤ = ⎢ ⋅ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣1200 160 ⎦ ⎢ 0 ⎢⎣ −1

a12 + =

5⎤ ⎤ ⎡ 0 ⎥ ⎢0 12 ⎥ ⎥=⎢ ⎥ 1⎥ 1 ⎥ ⎢3 3000 ⎥⎦ ⎢⎣ 25 5 ⎥⎦

⎤ ⎡ 0 ⎥ ⎢0 ⎥=⎢ 1 ⎥ ⎢ 12 3000 ⎥⎦ ⎢⎣ 25

1⎤ 30 ⎥ ⎥. 4⎥ 75 ⎥⎦

5 1 ; α12 + = 12 30 .

U svakoj novčanoj jedinici vrijednosti proizvodnje proizvođač P2 direktno utroši vrijednosti proizvodnje proizvođača P1 i f) v2 + =

5 12

1 vrijednosti uvoza od snabdjevača S1. 30

V2 890 = ≈ 0, 296 . + X2 3000

Primjer 3.9. Kod jednog proizvodnog sistema u tekućem periodu poznate su matrice:

A+

a) b)

c) d)

404

⎡1 1⎤ ⎢8 4⎥ ⎡ 400 ⎤ ⎡1 ⎤ + =⎢ 0⎥ , X + = ⎢ ⎥, α = ⎢ ⎥. ⎣4 ⎦ ⎣ 600 ⎦ ⎢1 1⎥ ⎢⎣ 4 3 ⎥⎦ Kompletirati odgovarajuću vrijednosnu I- O tabelu proizvodnog sistema ; Izračunati vrijednosnu matricu koeficijenata ukupnih eksternih inputa [β+] i komentarisati vrijednosti koeficijenata direktnih i ukupnih utrošaka eksternih inputa za sektor P2; Izračunati vrijednosne direktne i ukupne koeficijente dodane vrijednosti [v+] i [d+] i komentirati dobivene rezultate za sektor P2 ; Napisati vrijednosnu strukturu jedinične proizvodnje za svaki sektor pomoću direktnih koeficijenata (polaznu strukturu), a zatim pomoću ukupnih koeficijenata (dekomponiranu strukturu).

VRIJEDNOSNA INPUT-OUTPUT ANALIZA

Rješenje: a) Izračunavaju se:

⎡1 ⎢ ⎡⎣Qij+ ⎤⎦ = ⎡⎣α ij+ ⎤⎦ ⋅ ⎡ Xˆ +j ⎤ = ⎢ 8 ⎣ ⎦ ⎢1 ⎣⎢ 4 1 + + ⎡ ˆ +⎤ ⎡ ⎣⎡Wej ⎦⎤ = ⎣⎡α ej ⎦⎤ ⋅ ⎣ X j ⎦ = ⎢ 4 ⎣

1⎤ 4 ⎥ ⎡ 400 0 ⎤ ⎡ 50 150 ⎤ = ⎥⋅ 1 ⎥ ⎣⎢ 0 600 ⎦⎥ ⎣⎢100 200 ⎦⎥ 3 ⎦⎥ ⎤ ⎡ 400 0 ⎤ 0⎥ ⋅ ⎢ ⎥ = [100 0] ⎦ ⎣ 0 600 ⎦

Dobija se vrijednosna I-O tabela: P1

+ ij

Q

P2

∑ Qij+

Yi +

X i+

200 300 500

200 300 500

400 600 1000

j

P1 P2

50 100 150

∑ Qij+ i

150 200 350 Wej+

∑ Wej+ j

S1 Mj Vj Πj

100 250 150 400

0 350 250 600

100 600 400 1000

b) β+ = α+·B+; B+ = (L+)-1.

Računa se matrica B+: ⎡7 ⎢8 L+ = ( I − A+ ) = ⎢ ⎢ −1 ⎣⎢ 4 25 det L+ = 48

−1 ⎤ 4⎥ ⎥ 2⎥ 3 ⎦⎥

⎡ 32 ⎢ 25 1 + ( ) B+ = L ⋅ = ⎢ det L+ ⎢ 12 ⎣⎢ 25

12 ⎤ 25 ⎥ ⎥ 42 ⎥ 25 ⎦⎥ 405

INPUT-OUTPUT ANALIZA

⎡ 32 1 ⎡ ⎤ ⎢ 25 Sada matrica β + = ⎢ 0⎥ ⋅ ⎢ ⎣4 ⎦ ⎢ 12 ⎢⎣ 25

12 ⎤ 25 ⎥ ⎡ 8 ⎥= 42 ⎥ ⎢⎣ 25 25 ⎥⎦

3⎤ . 25 ⎥⎦

Iz dobivenih matrica traženi direktni vrijednosni koeficijent eksternih inputa za proizvođača P2 je α12+ = 0 i pokazuje da proizvođač P2 u svojoj proizvodnji ne troši vrijednost eksternog repromaterijala. 3 ∂U1+ pokazuje da jedinica vrijednosti finalne isporuke proizvođa= Nadalje β = 25 ∂Y2+ ča P2 uvjetuje potrošnju eksternog repromaterijala kod svih proizvođača u vrijednosti od 3/25 nj. + 12

c) Iz v +j =

Vj

⎡3 5 ⎤ ⇒ v+ = ⎢ X ⎣ 8 12 ⎥⎦ + j

⎡3 ⎤ ⎡ 32 0⎥ ⎢ ⎢ 25 8 + + + ⎥⋅⎢ ⎣⎡ d ⎦⎤ = ⎣⎡vˆ ⎦⎤ ⋅ B = ⎢ 12 5 ⎢0 ⎥ ⎢ ⎢⎣ 12 ⎥⎦ ⎢⎣ 25

12 ⎤ ⎡ 12 25 ⎥ ⎢ 25 ⎥=⎢ 42 ⎥ ⎢ 1 25 ⎥⎦ ⎢⎣ 5

9⎤ 50 ⎥ ⎥ 7⎥ 10 ⎥⎦

To znači da je direktni vrijednosni koeficijent dodane vrijednosti proizvođača P2 5 v2+ = i pokazuje da se u jednoj novčanoj jedinici vrijednosti proizvodnje proizvo12 đača P2 nalazi 5/12 nj dodane vrijednosti. Dalje, ukupni vrijednosni koeficijent dodane vrijednosti proizvođača P2 je 9 7 22 i pokazuje da jedinica vrijednosti finalne isporuke prod +2 = d12+ + d 22+ = + = 50 10 25 izvođača P2 sadrži 22/25 nj dodane vrijednosti formirane u svim sektorima proizvodnog sistema i to: u prvom 9/50 nj, u drugom 7/10 nj. d) Struktura vrijednosti jediničnih proizvodnji: n

m

1 = ∑ aij + + ∑ α ej + + v j + i =1

1= a

e =1

+

j



+

j

+ vj+ ;

j = 1, 2.

1 1 1 3 Za sektor P1: ( + ) + + = 1 8 4 4 8 406

VRIJEDNOSNA INPUT-OUTPUT ANALIZA

U jednoj novčanoj jedinici proizvodnje sektora P1 se nalazi 3/8 nj vrijednosti utrošenog internog repromaterijala, ¼ vrijednosti utrošenog eksternog repromaterijala i 3/8 nj dodane vrijednosti. 1 1 5 Za sektor P2: ( + ) + 0 + = 1 4 3 12 U jednoj novčanoj jedinici proizvodnje sektora P2 se nalazi 7/12 nj vrijednosti utrošenog internog repromaterijala, ništa vrijednosti eksternog repromaterijala i 5/12 nj dodane vrijednosti. Dekomponirana struktura vrijednosti jediničnih proizvodnji: m

n

e =1

i =1

m

n

1 = ∑ β ej + + ∑ vi+ ⋅ bij + ; 1 = ∑ β ej + + ∑ dij + ; e =1

1= β

i =1

+

j

+d

+

j

Za sektor P1:

8 12 1 8 17 +( + ) = + =1 25 25 5 25 25

U jednoj novčanoj jedinici proizvodnje sektora P1 se nalazi 8/25 nj vrijednosti eksternih inputa i 17/25 nj dodane vrijednosti formirane u sistemu, a sadržanih u jedinici vrijednosti izvoza ovog sektora. Za sektor P2:

3 9 7 3 22 +( + ) = + =1 25 50 10 25 25

U jednoj novčanoj jedinici proizvodnje sektora P2 se nalazi 3/25 nj vrijednosti eksternih inputa i 22/25 nj dodane vrijednosti formirane u sistemu, a sadržanih u jedinici vrijednosti izvoza ovog sektora. Primjer 3.10.

Kod nekog proizvodnog sistema poznate su sljedeće matrice ⎡4 ⎢ ⎡⎣b ji + ⎤⎦ = ⎢ 3 ⎢2 ⎣⎢ 3

10 ⎤ ⎡1 ⎥ 9 ⎡ + ⎤ ⎢ 25 ⎥ α ej ⎦ = ⎢ 20 ⎥ ⎣ ⎢4 9 ⎦⎥ ⎣⎢ 25

⎤ 0⎥ ⎥ 1⎥ 30 ⎦⎥

407

INPUT-OUTPUT ANALIZA

a) Ako su poznate cijene π1 = 50KM/kg; π2 = 30KM/m; c1 = 20KM/l; c2 = 40KM/kom. i ako je plan vrijednosti finalnih potrošnji Y1+ = 2000KM i Y2+ = 2100KM formirati odgovarajuću količinsku I -O tabelu. b) Odrediti matricu ⎡⎣ β ei+ ⎤⎦ i objasniti značenje elementa β12+ c) Koliko se u 1KM vrijednosti proizvodnje proizvođač P1 ostvaruje dodane vrijednosti? Rješenje:

⎡4 ⎢3 a) X + = B + ⋅ Y + = ⎢ ⎢2 ⎢⎣ 3

10 ⎤ −1 −1 9 ⎥ ⎡ 2000 ⎤ ⎡5000 ⎤ I − A+ = ( B + ) ⇒ A+ = I − ( B + ) =⎢ ⎥⋅⎢ ⎥ ⎥ 20 ⎥ ⎣ 2100 ⎦ ⎣6000 ⎦ 9 ⎥⎦

10 ⎤ ⎡ 20 − ⎥ ⎢ T 20 9 9 det B + = ; ( B + *) = ⎢ ⎥ ⇒ 2 4 9 ⎢− ⎥ ⎢⎣ 3 3 ⎥⎦ 10 ⎤ ⎡ 1⎤ ⎡ 20 − ⎥ ⎢ 1 − ⎥ ⎢ −1 9 9 9 2 L+ = ( B + ) = ⋅ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥⇒ 3 ⎥ 4 ⎥ ⎢ 3 20 ⎢ 2 − − 3 ⎦⎥ ⎣⎢ 10 5 ⎥⎦ ⎣⎢ 3 1⎤ ⎡ 0 ⎢ 2⎥ ⇒ A+ = I − L+ = ⎢ ⎥ ⎢ 3 2⎥ ⎢⎣10 5 ⎥⎦ Izračunava se: ⎡ ⎢0 + + + ˆ ⎡ ⎤ ⎣⎡Qij ⎦⎤ = ⎣⎡α ij ⎦⎤ ⋅ ⎣ X j ⎦ = ⎢ 3 ⎢ ⎢⎣10 ⎡1 ⎢ ⎡⎣Wej+ ⎤⎦ = ⎡⎣α ej+ ⎤⎦ ⋅ ⎡ Xˆ +j ⎤ = ⎢ 25 ⎣ ⎦ ⎢4 ⎣⎢ 15

408

1⎤ 0 ⎤ ⎡ 0 3000 ⎤ 2 ⎥ ⎡5000 =⎢ ⎥⋅⎢ ⎥ 2⎥ ⎣ 0 6000 ⎦ ⎣1500 2400 ⎥⎦ 5 ⎥⎦ ⎤ 0⎥ 0 ⎤ ⎡ 200 0 ⎤ ⎡5000 = ⎥⋅⎢ 1⎥ ⎣ 0 6000 ⎥⎦ ⎢⎣800 200 ⎥⎦ 30 ⎦⎥

VRIJEDNOSNA INPUT-OUTPUT ANALIZA

Transakciona I-O tabela P1

P2

∑ Qij+

Yi +

X i+

P1 P2

0 1500

3000 2400

3000 3900

2000 2100

5000 6000

∑ Qij+

1500

5400

6900

4100

11000

S1 S2

200 800

0 200

200 1000

:20 :40

∑ Wej+

1000

200

1200

Mj Vj Xj+

2500 2500 5000

5600 400 6000

8100 2900 11000

P2

∑Qij 60 130 10 25

i

e

j

:50 :30

Količinska I-O tabela P1 P1 P2 S1 S2

0 50 10 20

60 80 0 5

Yi 40 70

Xi 100 200

b)

⎡1 ⎢ ⎡⎣ β ei + ⎦⎤ = ⎡⎣α ej+ ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣b +ji ⎤⎦ = ⎢ 25 ⎢4 ⎣⎢ 25 + ∂U 2 β12+ = 1+ = 45 ∂Y2

⎤ ⎡4 0⎥ ⎢ 3 ⎥⋅⎢ 1 ⎥ ⎢2 30 ⎦⎥ ⎣⎢ 3

10 ⎤ ⎡ 4 2 ⎤ ⎥ ⎢ 9 75 45 ⎥ ⎥=⎢ ⎥ 20 ⎥ ⎢ 53 34 ⎥ 9 ⎦⎥ ⎣⎢ 225 135 ⎦⎥

Ako se vrijednost izvoza od P2 želi povećati za 1KM, tada vrijednost uvoza od S1 tre2 KM. ba povećati za 45 c) v1+ = 2500/5000 = 0,5.

U 1KM proizvodni sektor P1 ostvaruje 0,5KM dodane vrijednosti.

409

INPUT-OUTPUT ANALIZA

Primjer 3.11.

U proteklom periodu poznata je vrijednosna input-output trosektorska tabela jedne privrede (u milionima $): Industrija Poljoprivreda Tturizam

Qij+

∑ Qij+

Yi +

X i+

j

Industrija Turizam

150 50 0

100 120 0

50 80 100

300 250 100

∑ Qij+

200

220

230

R+=650

Poljoprivreda

i

Wej+

200 150 200

500 400 300

Y+=550 X+=1200

∑ Wej+ j

S(uvoz) Mj Vj Πj

200 400 100 500

100 320 80 400

50 280 20 300

350 M=1000 V=200 Π=1200

a) Odrediti matricu vrijednosnih koeficijenata internih inputa A+ i objasniti njene elemente; b) Odrediti zbirove ∑ aij + i objasniti njihove vrijednosti ; i

c) Odrediti matricu B+ i objasniti njene elemente; d) Izračunati indirektne efekte vrijednosti finalnih isporuka svakog sektora na vrijednost outputa čitavog sistema; e) Ako se planira da se vrijednost finalnih isporuka drugog sektora (poljoprivrede) poveća za 50 miliona, a da vrijednosti finalnih isporuka ostalih sektora ostanu nepromijenjene, kako će to uticati na vrijednost ukupne proizvodnje pojedinih sektora te privrede, kao i na vrijednost uvoza privrednog sistema? Rješenje: ⎡ 1 ⎢ ⎡150 100 50 ⎤ ⎢ 500 −1 a) A+ = ⎡⎣Qij + ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣ Xˆ j + ⎤⎦ = ⎢⎢ 50 120 80 ⎥⎥ ⋅ ⎢ 0 ⎢ 0 100 ⎦⎥ ⎢ ⎣⎢ 0 ⎢ 0 ⎢⎣

410

0 1 400 0

⎤ ⎡3 1 1⎤ 0 ⎥ ⎢ 10 4 6 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ 1 3 4⎥ ⎥ ⎢ 0 = ⎥ ⎢10 10 15 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ 1 ⎥ ⎢ 1⎥ 0 0 300 ⎥⎦ ⎢⎣ 3 ⎥⎦

VRIJEDNOSNA INPUT-OUTPUT ANALIZA

+

ili primjenom relacije aij =

Qij + X j+

objašnjava se:

Sektor industrije po svakom milionu vrijednosti outputa direktno utroši: 3 1 a11+ = miliona vrijednosti vlastite proizvodnje, a21+ = miliona vrijednosti 10 10 proizvoda poljoprivrede, a31+ = 0 ništa od vrijednosti koju daje sektor turizma. Sektor poljoprivrede po svakom milionu vrijednosti outputa direktno utroši: 1 3 a12 + = miliona vrijednosti proizvoda prvog sektora (industrije), a22 + = mili4 10 ona vrijednosti vlastite proizvodnje, a32 + = 0 ništa od vrijednosti koju daje sektor turizma. Sektor turizma po svakom milionu vrijednosti svog outputa direktno utroši: 1 4 miliona vria13+ = miliona vrijednosti proizvoda sektora industrije, a23+ = 6 15 1 jednosti proizvoda poljoprivrede, a33+ = miliona vrijednosti vlastitog outputa. 3 b) ∑ aij + pokazuje vrijednosni utrošak interne proizvodnje (reprodukcione potrošnje) i

sistema u jedinici vrijednosti outputa sektora j. Iz matrice A+ sabirajući elemente po kolonama imamo:

∑ ai1+ = i

4 = 0, 4 ; 10

U milionu vrijednosti outputa sektora 1 (industrije) nalazi se 0,4 miliona vrijednosti interne reprodukcione potrošnje sistema, ili u vrijednosti outputa sektora industrije učešće vrijednosti domaće ili interne potrošnje je 40%.

∑ ai 2 + = i

11 = 0,55 ; 20

U milionu vrijednosti outputa sektora poljoprivrede nalazi se 0,55 miliona vrijednosti interne potrošnje sistema.

∑ ai 3+ = i

23 ≈ 0,77 ; 30

U milionu vrijednosti outputa sektora turizma nalazi se 0,77 miliona vrijednosti interne potrošnje sistema. B + = ( L+ ) −1 = ( I − A+ ) −1 .

411

INPUT-OUTPUT ANALIZA

⎡ 7 ⎢ 10 ⎢ 1 + ( I − A ) = ⎢− ⎢ 10 ⎢ ⎢ 0 ⎣⎢

1 4 7 10



0

1⎤ − ⎥ 6 ⎥ −4 ⎥ . 15 ⎥ ⎥ 2 ⎥ 3 ⎥⎦

Pronađimo inverznu matricu tj. B + =

1 ( L+ ) det L+

1 ⎡7 ⎢ 15 15 ⎢ 31 1 7 + + + * T det L = ; L = (( L ) ) = ⎢ ⎢ 6 15 100 ⎢ ⎢ 11 21 ⎣⎢ 60 100

T

⎤ ⎡7 1 0 ⎥ ⎢15 6 ⎥ ⎢ 1 7 ⎥ =⎢ 0 ⎥ ⎢15 15 ⎥ ⎢ 93 ⎥ ⎢0 0 ⎢⎣ 200 ⎥⎦

11 ⎤ 60 ⎥ ⎥ 21 ⎥ 100 ⎥ ⎥ 93 ⎥ 200 ⎥⎦

⎡140 50 55 ⎤ ⎢ 93 93 93 ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ 1,51 0,54 0,59 ⎤ 20 140 21 ⎥ ⎢ + ⎢ B = ≈ 0, 22 1,51 0, 68⎥⎥ . ⎢ 93 93 31 ⎥ ⎢ 0 1,5 ⎥⎦ ⎢ ⎥ ⎢ 0 3⎥ ⎣ ⎢ 0 0 2 ⎦⎥ ⎣⎢ + ∂X j b ji + = predstavlja zavisnost vrijednosti outputa sektora j uslovljena jediničnom ∂Yi + promjenom vrijednosti finalnih isporuka (izvoza) sektora i.

Objašnjenje:

Ako povećamo vrijednost izvoza samo sektora 1(industrije) za milion, tada će se njegova bruto vrijednost povećati za b11+ = 1,51 miliona, bruto vrijednost sektora 2 (poljoprivrede) za b21+ = 0, 22 miliona, a bruto vrijednost sektora 3 (turizma) će ostati ista b31+ = 0 ; Ako povećamo vrijednost izvoza samo sektora 2 (poljoprivrede) za milion, tada će se bruto vrijednost sektora 1 (industrije) povećati za b12 + = 0,54 miliona, vlastita bruto vrijednost za b22 + = 1,51 miliona i bruto vrijednost sektora 3 (turizma) se neće promjeniti b32 + = 0 ; 412

VRIJEDNOSNA INPUT-OUTPUT ANALIZA

Ako povećamo vrijednost izvoza samo sektora 3 (turizma) za milion, tada će se bruto proizvodnje sektora industrije povećati za 0,59 miliona, sektora poljoprivrede za 0,68 miliona i vlastita bruto vrijednost za 1,5 miliona. d) ∑ b ji + − (1 + ∑ a ji + ) 26 j

j

Suma indirektnih efekata prvog sektora: (1,51+0,22+0)-(1+0,3+0,1+0) = 0,33 Suma indirektnih efekata drugog sektora: (0,54+1,51+0)-(1+0,25+0,3+0)=0,5 Suma indirektnih efekata trećeg sektora: (0,59+0,68+1,5)-(1+0,77)=1. Vidi se da najmanji indirektni efekt (putem međusobnih procesa u sistemu) ima sektor industrije, a najveći sektor turizma. e) ΔX + = B + ⋅ ΔY + ⎡ 1,51 0,54 0,59 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡ 27 ⎤ ΔX = ⎢ 0, 22 1,51 0, 68⎥ ⎢50 ⎥ = ⎢ 75,5⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 0 1,5 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ +

Vrijednost outputa sektora industrije bi se povećao za 27 miliona, sektora poljoprivrede za 75,5 miliona, a vrijednost outputa sektora turizma bi ostao isti. ΔU + = β + ⋅ ΔY + ⎡2

1⎤ 6 ⎥⎦

1 4

β+ = ⎢ ⎣5

⎡2 ΔU = ⎢ ⎣5 +

⎡0⎤ 1⎤ ⎢ ⎥ ⋅ 50 = 12,5 . 6 ⎥⎦ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 ⎥⎦

1 4

Uvoz u sistem bi se povećao za 12,5 miliona.

26

U elementu b ji

+

sadržan je ukupni efekat što ga na vrijednost outputa sektora j putem složenog sistema

čini jedinica vrijednosti izvoza sektora i, stoga se formira iz direktnih i indirektnih efekata. Direktni efekt +

+

+

+

+

je predstavljen sa a ji , stoga je b ji - a ji (i≠j), odnosno bii -(1+ aii ) predstavlja veličinu indirektnih efekata. Kako suma

∑b

+ ji

predstavlja efekat jedinice vrijednosti finalnih isporuka (izvoza) sektora i na

j

vrijednost outputa čitavog sistema to

∑b

+ ji

j

− (1 + ∑ a ji + ) predstavlja sumu indirektnih efekata izvoza j

sektora i na vrijednost outputa čitavog sistema.

413

INPUT-OUTPUT ANALIZA

Primjer 3.12.

Neka je u nekom proteklom proizvodnom periodu poznata transakciona I-O tabela jednog proizvodnog sistema (u $), kao i interne cijene proizvodnji i nabavne cijene: ⎡10 ⎤

⎡10 ⎤

π i = ⎢ ⎥ , ce = ⎢ ⎥ ⎣5⎦ ⎣ 20 ⎦ Transakciona I-O tabela: P1

Qij+

P2

∑ Qij+

Yi +

X i+

j

P1 P2

0 2000

1000 1000

1000 3000

3000 3000

4000 6000

∑ Qij+

2000

2000

4000

6000

10000

i

Wej+

∑Wej+ j

S1 S2

1000 0

500 500

1500 500

∑ Wej+

1000

1000

2000

Mj Vj Πj

3000 1000 4000

3000 3000 6000

6000 4000 10000

e

a) Prikazati dekomponiranu strukturu jedinične vrijednosti proizvoda za oba proizvođača. b) Ako se samo cijena uvezenog materijala c1 od snabdjevača S1 poveća za 20%, a ostale cijene ostanu nepromijenjene, kako će se promijeniti dodane vrijednosti kod proizvođača te ukupna dodana vrijednost u prihodu sistema. c) Ako se samo cijena uvezenog materijala c1 od snabdjevača S1 poveća za 20%, za koliko će se povećati cijene proizvoda proizvođača P1, P2 ako svaki proizvođač može povećanje svojih troškova u cijelosti prebaciti na svoje potrošače (dodane vrijednosti u prihodima proizvođača ostaju iste). d) Kako bi se uvođenje novog poreza na proizvod drugog proizvođača, kojima se njegova dodana vrijednost u prihodu povećava za 10%, odrazilo na cijene proizvoda proizvođača, ako drugi proizvođač to dodatno opterećenje može prebaciti na druge sektore, a oni mogu to dodatno opterećenje prebaciti u potpunosti na potrošače?

414

VRIJEDNOSNA INPUT-OUTPUT ANALIZA

Pod tim uvjetom sastaviti novu transakcionu I-O tabelu. Rješenje: a) Izračunavaju se matrice:

⎡ ⎢0 + A =⎢ ⎢1 ⎢⎣ 2

1⎤ ⎡ ⎡1 1 ⎤ ⎥ ⎢ 1 ⎢ ⎥ 6 4 12 + + + ⎥; α = ⎢ ⎥;L = I − A = ⎢ 1⎥ ⎢− 1 ⎢0 1 ⎥ ⎢⎣ 2 ⎢⎣ 6 ⎥⎦ 12 ⎥⎦

⎡10 ⎢9 −1 B + = ( L+ ) = ⎢ ⎢2 ⎢⎣ 3 ⎡1 ⎡⎣ v + ⎤⎦ = ⎢ ⎣4

2⎤ ⎡1 ⎥ ⎢3 9 + + + ⎥; β = α ⋅ B = ⎢ 4⎥ ⎢1 ⎢⎣18 3 ⎥⎦

−1 ⎤ 6⎥ ⎥ 5⎥ 6 ⎥⎦

1⎤ 6⎥ ⎥; 1⎥ 9 ⎥⎦

1⎤ ; [ v ] = [ 2,5 10] 2 ⎥⎦

m

n

e =1

i =1

m

n

1 = ∑ β ej + + ∑ vi+ ⋅ bij + ; 1 = ∑ β ej + + ∑ dij + ; e =1

1= β

i =1

+ j

+d

+ j

⎡5 1⎤ ⎢ ⎥ ⎡⎣ dij + ⎤⎦ = ⎢18 18 ⎥ ⎢1 2⎥ ⎣⎢ 3 3 ⎥⎦

Za proizvođača P1: 1 1 5 1 7 11 1= β 1 +d 1 = ( + )+( + ) = + 3 18 18 3 18 18 . Proizvođač P1 po svakoj novčanoj jedinici vrijednosti proizvodnje obračunava 7/18 novčanih jedinica vrijednosti uvezenog repromaterijala uzrokovanih jedinicom izvoza i 11/18 novčanih jedinica dodane vrijednosti formirane u sistemu, a sadržanih u jedinici vrijednosti finalne isporuke (izvoza).

415

INPUT-OUTPUT ANALIZA

Za proizvođača P2: 1 1 1 2 5 13 1= β 2 +d 2 = ( + )+( + ) = + 6 9 18 3 18 18 . Proizvođač P2 po svakoj novčanoj jedinici vrijednosti proizvodnje obračunava 5/18 novčanih jedinica vrijednosti uvezenog repromaterijala uzrokovanih jedinicom izvoza i 13/18 novčanih jedinica dodane vrijednosti formiranih u sistemu, a sadržanih u novčanoj jedinici izvoza. b) Obzirom da su poznate cijene proizvodnji i nabavne cijene, kompletiramo odgovarajuću količinsku I-O tabelu:

P1 P2 S1 S2

P1

P2

∑Qij

Yi

Xi

0 100 100 0

100 50 50 100

100 150 150 100

300 150

400 300

Odrede se sve matrice količinskih odnosa: ⎡ ⎢0 A=⎢ ⎢1 ⎣⎢ 4

1⎤ ⎡1 ⎥ ⎢4 3 ⎥; α = ⎢ 1⎥ ⎢0 ⎢⎣ 6 ⎦⎥ ⎡10 4 ⎤ ⎢ 9 9⎥ −1 B = ( L) = ⎢ ⎥; ⎢ 1 4⎥ ⎢⎣ 3 3 ⎥⎦ Vrijedi

1⎤ ⎡ ⎥ ⎢ 1 6 ⎥;L = I − A = ⎢ 1⎥ ⎢− 1 3 ⎦⎥ ⎣⎢ 4 ⎡1 ⎢ β = α ⋅ B = ⎢3 ⎢1 ⎢⎣ 9

−1 ⎤ 3⎥ ⎥ 5⎥ 6 ⎦⎥

1⎤ 3⎥ ⎥; 4⎥ 9 ⎥⎦

∂v1 = −α11 = −0, 25 . ∂c1

Kako je ovo jedinična promjena, a cijena c1 se povećala 20%, to je Δc1 = 2 , pa će se prethodni koeficijent dodane vrijednosti v1 = 2,5 smanjiti za 2⋅0,25 = 0,5, tj. novi koeficijent dodane vrijednosti proizvođača P1 će biti v1′ = 2,5 – 0,5 = 2, a dodana vrijednost proizvođača P1: V1′ = 2⋅ 400 = 800. Dodana vrijednost proizvođača se smanjila za 100% − 416

800 ⋅100% = 20% . 1000

VRIJEDNOSNA INPUT-OUTPUT ANALIZA

Do ovog rezultata smo mogli doći i ovako: V1′ = 4000 -(2000 + 100⋅12) = 800. ∂v2 1 = −α12 = − , to će se prethodni koeficijent dodane vrijednosti proizvo∂c1 6 đača P2 smanjiti za 1/3, tj. biće 10-1/3 = 29/3, računa se V2′ = 29/3⋅ 300 = 2900.

Kako je

To

znači da se dodana 2900 100% − ⋅100% = 3,33% . 3000

vrijednost

proizvođača

P2

smanjila

za

∂π 1 1 = β11 = i kako je ovo jedinična promjena, a Δc1 = 2 , to će se cije∂c1 3 na proizvoda proizvođača P1 povećati za 2⋅1/3 = 2/3, odnosno nova interna cijena proizvođača P1 će biti π 1′ = 10 + 0, 67 = 10, 67 , tj, povećat će se za 6,67%. c) Iz odnosa

∂π 2 1 = β12 = , pa će se cijena proizvoda proizvođača P2 povećati za 2/3, tj. ∂c1 3 biće π 2′ = 20 + 0, 67 = 20, 67 . Dakle, povećat će se za 3,33%.

Slično,

Do istog rezultata se moglo doći rješavajući sistem jednačina: 1000 = 400π 1′ − (100π 2′ + 1200) . 3000 = 300π 2′ − (100π 1′ + 50π 2′ + 50 ⋅12 + 100 ⋅ 5) ∂π 1 1 = b21 = ≈ 0,33 te će se nova interna cijena povećati za 0,33 novčane jedini∂v2 3 ce, biće π 1′ = 10 + 0,33 = 10,33 . Procentualno povećanje je za 3,33%.

d)

∂π 2 4 = b22 = ≈ 1,33 , nova interna cijena povećat će se za 1,33 novčane jedinice, biće ∂v2 3

π 2′ = 20 + 1,33 = 21,33 . Procentualno povećati će se za 6,6%. Do ovih rezultata moglo se doći rješavajući sistem jednačina: 400π 1′ = 100π 2′ + 1000 + 1000 . 300π 2′ = 100π 1′ + 50π 2′ + 1000 + 3300

417

INPUT-OUTPUT ANALIZA

Nova transakciona tabela bi bila : P1

Qij+

P2

∑ Qij+

Yi +

X i+

1033,3 3200 4233,3

3100 3200 6300

4133,3 6400 10533,3

j

P1 P2

∑Q

+ ij

0 2133,3 2133,3

i

1033,3 1066,7 2100 Wej+

∑Wej+ j

S1 S2

1000 0

500 500

1500 500

∑ Wej+

1000

1000

2000

Mj Vj Πj

3133,3 1000 4133,3

3100 3300 6400

6233,3 4300 10533,3

e

418

3.4. Pitanja za ponavljanje 1)

n

Objasniti značenje izraza ∑ Q2 j = 50 kg . j =1

2)

Napisati jednačinu strukture jedinične vrijednosti proizvodnje proizvođača Pj .

3)

Šta predstavlja izraz ∑ aij+ ?

n

i =1

4)

n

Šta se može zaključiti ako je zbir aoj+ = ∑ aij+ bliži jedinici ? i =1

5)

Objasniti značenje vrijednosti W25+ = 20 KM .

6)

Napisati jednačinu strukture formiranja vrijednosti proizvodnje proizvođača Pj ?

7)

Šta predstavlja izraz ∑ Ce ⋅ Wej = ∑Wej+ ?

m

m

e =1

e=1

8)

Koje vrijednosti mogu imati elementi matrice ⎡⎣b ji ⎤⎦ ?

9)

U matričnoj funkciji ⎡⎣π j ⎤⎦ = [?] ⋅ [ pi ] koju konkretnu matricu treba napisati umjesto matrice [?] ?

10) Kako se određuju i koje je značenje veličina U e+ i Wej+ u vrijednosnoj input-output tabeli? 11) Koja od sljedećih jednačina predstavlja jednačinu strukture jedinične vrijednosti proizvodnje proizvođača Pj . a)

n

i =1

b)

+ ij

e =1

n

m

i =1

e =1

+ ej

+ v +j = 0

∑ aij + ∑ α ej + v j = 1 n

c)

m

∑ a + ∑α m

∑ a + ∑α i =1

+ ij

e =1

+ ej

+ v +j = 1

419

INPUT-OUTPUT ANALIZA

12) U matričnoj funkciji ⎡⎣ X j ⎤⎦ = [?] ⋅ [Yi ] koju matricu treba upisati umjesto matrice [?] 13) Napisati čemu je jednak element lii matrice ⎡⎣lij ⎤⎦ . n

n

14) Napisati značenje izraza ∑ ∑ Qij+ u vrijednosnoj input-output tabeli . i =1 j =1

15) Napisati izraz za izračunavanje izraza Qij+ u vrijednosnoj input-output tabeli. 16) Koje je značenje vrijednosti izraza

∂pi ? ∂π k

17) U vrijednosnoj input-output tabeli, koja oznaka predstavlja finalne cijene: a) b) c) d)

pi

πi Ce Yi

18) Napisati simbol (oznaku) za interne cijene u vrijednosnoj input-output tabeli: 19) Napisati simbol (oznaku) za nabavne cijene u vrijednosnoj input-output tabeli. 20) Napisati izraz za ukupan prihod u input-output tabeli. 21) Izraz ⎡⎣Qij+ ⎤⎦ predstavlja: a) b) c) d)

matricu vrijednosti internih inputa, vektor vrijednosti neto proizvodnji, vektor vrijednosti bruto proizvodnji, matricu vrijednosti eksternih inputa.

22) Napisati šta predstavlja izraz [Yi+]. 23) Izraz [Xi+] predstavlja: a) b) c) d)

420

matricu vrijednosti internih inputa, vektor vrijednosti bruto proizvodnji, vektor vrijednosti finalnih potrošnji, matrica vrijednosti eksternih inputa.

PITANJA ZA PONAVLJANJE

24) Napisati šta predstavlja izraz [Wej+] . 25) Izraz [Ue+] predstavlja: a) b) c) d)

vrijednost ukupnog uvoza u sistem, vektor vrijednosti eksternih inputa, dodanu vrijednost, ukupan prihod sistema.

26) Napisati izraz za materijalne troškove proizvođača Pj. 27) Napisati izraz za materijalne troškove cijelog sistema P. 28) Napisati izraz za strukturu vrijednosti proizvodnje Xj proizvođača Pj. 29) Napisati osobine matrice tehničkih koeficijenata internih inputa A = ⎡⎣ aij ⎤⎦ . 30) Napisati osobine matrice Leontijeve L = ⎡⎣lij ⎤⎦ . 31) Napisati osobine matrice ukupnih utrošaka internih inputa B = ⎡⎣b ji ⎤⎦ . 32) Definisati koeficijent raspodjele rij+ . 33) Objasniti direktne veze između: a) W39+ = 50 KM i U 3+ > 0 , 34) Objasniti značenje vrijednosti

b) W39+ = 50 KM i X 9+ > 0 m

∑W e =1

+ e3

35) Objasniti značenje vrijednosti α 42 = 3 36) Objasniti vrijednost b48 = 3

= 400 KM . kwh . kg

kom u odnosu na matričnu jednačinu ⎡⎣ X j ⎤⎦ = ⎡⎣ b ji ⎤⎦ ⋅ [ Yi ] t

37) Koja od navedenih matrica može predstavljati matricu L i zašto?

421

INPUT-OUTPUT ANALIZA

⎡ 3 0.1 0 ⎤ a) ⎢⎢ 0.5 1 0 ⎥⎥ ⎢⎣ 0.2 0.2 1.2 ⎥⎦

⎡ 0.4 0.10 0 ⎤ b) ⎢⎢ 0.1 0.2 0 ⎥⎥ ⎢⎣ 0.2 0.4 0 ⎥⎦

0 0⎤ ⎡ 0.6 ⎢ c) ⎢ −0.1 0.8 0 ⎥⎥ ⎢⎣ −0.2 −0.4 1 ⎥⎦

⎡ 0.1 0.2 0.3⎤ d) ⎢ 0 0.2 ⎥⎦ ⎣ 0

38) Objasniti direktne veze između a) Q32 = 100 kom i X 3 > 0 , b) Q32 = 100 kom i X 2 > 0 n

n

39) Objasniti značenje vrijednosti ∑ ∑ Qij+ = 5000 KM . i =1 j =1

40) Objasniti značenje vrijednosti α 42+ = 0.3 . 41) Riječima i matematički objasniti vrijednost β 28 = 0.5 nu [ U e ] = [ β ei ] ⋅ [ Yi ]

l u odnosu na matričnu jednačit

42) Koja od navedenih matrica može predstavljati matricu B i zašto? ⎡ 3 0.1 0 ⎤ a) ⎢⎢ 0.5 1 0 ⎥⎥ ⎢⎣ 0.2 0.2 1.2 ⎥⎦

⎡ 0.4 0.10 0 ⎤ b) ⎢⎢ 0.1 0.2 0 ⎥⎥ ⎢⎣ 0.2 0.4 0 ⎥⎦

0 0⎤ ⎡ 0.6 ⎢ c) ⎢ −0.1 0.8 0 ⎥⎥ ⎢⎣ −0.2 −0.4 1 ⎥⎦

⎡ 0.1 0.2 0.3⎤ d) ⎢ 0 0.2 ⎥⎦ ⎣ 0

43) Riječima objasniti direktne veze između a) W32 = 150 kom i U 3 > 0 , b) W32 = 150 kom i X 2 > 0. m

n

44) Riječima objasniti značenje vrijednosti ∑ ∑ Wej+ = 4000 KM. e =1 j =1

+ 45) Riječima objasniti značenje vrijednosti a42 = 0,5.

46) Napisati izraz za jednačinu raspodjele proizvođača (sektora davaoca) Pi u količinskoj input-output tabeli. 47) Riječima i matematički objasniti vrijednost α 28 = 0.3 nu [ U e ] = ⎡⎣ α ej ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣ X j ⎤⎦

l u odnosu na matričnu jednačit

48) Napisati relaciju kojom se izražava matrica tehničkih koeficijenata internih inputa . 422

PITANJA ZA PONAVLJANJE

n

49) Šta se može zaključiti ako je zbir ri + = ∑ rij+ bliži jedinici ? j =1

50) U matričnoj funkciji ⎡⎣ X j ⎤⎦ = [?] ⋅ [Yi ] koja je vrijednost za X j ? n

a) X j = ∑ rji ⋅ Yi i =1 n

b) X j = ∑ a ji ⋅ Yi i =1 n

c) X j = ∑ α ji ⋅ Yi i =1 n

d) X j = ∑ b ji ⋅ Yi i =1

51) 51. Čemu je jednak elementi lii u matrici ⎡⎣lij ⎤⎦ ? a) b) c) d)

lii lii lii lii

= −aii = 1 − aii = 1 + aii = aii n

n

52) U “vrijednosnoj input-output“ analizi koje je značenje zbira ∑ ∑ Qij+ ? i =1 j =1

a) To je dio proizvodnje X i prizvođača Pi koji je dobijen od eksternih snabdjevača. b) To je ukupna količina U e uvoza od snadbjevača Se koja je raspodijeljena na reprodukcionu potrošnju u cijelom sistemu P. c) To je vrijednost ''interne reprodukcione potrošnje'' u cijelom sistemu P. d) To je dio proizvodnje X i prizvođača Pi koji je raspodijeljen na reprodukcionu potrošnju u cijelom sistemu P. 53) Koja od sljedećih izjava predstavlja tumačenje za broj v j ? a) Po svakoj vrijednosnoj jedinici bruto proizvodnje, proizvođač Pj ostvaruje vj novčanih jedinica dodane vrijednosti. b) Po svakoj vrijednosnoj jedinici bruto proizvodnje, proizvođač Pj ostvaruje vj prihoda.

423

INPUT-OUTPUT ANALIZA

c) Po svakoj količinskoj jedinici bruto proizvodnje, proizvođač Pj ostvaruje vj prihoda. d) Po svakoj količinskoj jedinici bruto proizvodnje, proizvođač Pj ostvaruje vj novčanih jedinica dodane vrijednosti. 54) U '' vrijednosnoj input-output'' analizi kako se računa Qij+ ? a) Qij+ = π i ⋅ Qij + b) Qij+ = ci ⋅ Qij c) Qij+ = pi ⋅ Qij d) Qij+ = π i ⋅ Qij 55) Koja od sljedećih matrica može biti matrica tehnologije jednog proizvodnog sistema: −0,5⎤ ⎡ 1 a) ⎢ 2 ⎥⎦ ⎣ −1,3 −0,5⎤ ⎡ 1 b) ⎢ ⎥ ⎣ −1,3 0, 2 ⎦ ⎡ 1 −0,5⎤ c) ⎢ 0 ⎥⎦ ⎣1,3

56) Ako je poznato u jednom proizvodnom sistemu da je bruto proizvodnja jednog proizvođača 500kg, i da je 10 % svoje bruto proizvodnje raspodijelio na reprodukcijsku potrošnju u sistemu, kolika je njegova finalna potrošnja? a) 50 kg b) 450 kg c) 500 kg. n

m

i =1

e =1

57) Šta predstavlja izraz Π j − ∑ π i ⋅ Qij − ∑ ce ⋅ Wej ? Objasniti dijelove. 58) Ako je poznato a23+ = 0,1 i Q23+ = 150KM, koliki je prihod proizvođača P3 ? a) 15 KM, b) 1500 KM , c) 149,9 KM.

424

PITANJA ZA PONAVLJANJE T T ∂v 59) Iz matrične jednačine ⎡⎣ v j ⎤⎦ = ⎡⎣lij ⎤⎦ ⋅ [π i ] − ⎡⎣α ej ⎤⎦ ⋅ [ ce ] je dobijeno 2 = −5 . Objasniti ∂c3 značenje vrijednosti tog parcijalnog izvoda i napisati koji element predstavlja ova vrijednost. T T ∂v2 = −2 . Objasniti 60) Iz matrične jednačine ⎡⎣ v j ⎤⎦ = ⎡⎣lij ⎤⎦ ⋅ [π i ] − ⎡⎣α ej ⎤⎦ ⋅ [ ce ] je dobijeno ∂π 3 značenje vrijednosti tog parcijalnog izvoda i napisati koji elemenat predstavlja ova vrijednost.

61) Objasniti vrijednost d21 = 3 u odnosu na matričnu jednačinu ⎣⎡V j ⎦⎤ = ⎣⎡ d ji ⎦⎤ ⋅ [Yi ] . 62) Napisati dekomponiranu strukturu vrijednosti jedinične proizvodnje proizvođača Pj. 63) Napisati jednačinu ravnoteže vrijednosti proizvodnje u međusektorskom modelu. 64) Koje informacije o proizvodnom sistemu sadrže kolone u vrijednosnoj input-output tabeli? 65) Koje informacije o proizvodnom sistemu sadrže vrste u vrijednosnoj input -output tabeli? T ∂π 3 T 66) Iz matrične jednačine [π i ] = ⎡⎣b ji ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣v j ⎤⎦ + [ β ei ] ⋅ [ ce ] je dobijeno = 0,5 . Objas∂v2 niti značenje vrijednosti tog parcijalnog izvoda i napisati koji element predstavlja ova vrijednost. T ∂π 2 T = 2. Objasniti 67) Iz matrične jednačine [π i ] = ⎡⎣b ji ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣v j ⎤⎦ + [ β ei ] ⋅ [ ce ] je dobijeno ∂c2 značenje vrijednosti tog parcijalnog izvoda i napisati koji element predstavlja ova vrijednost.

68) Napisati vezu između tehničkih koeficijenata i vrijednosnih koeficijenata internih inputa i navesti razlike. 69) U proizvodnji svakog kg bruto proizvodnje proizvođač P3, između ostalog, treba direktno utrošiti 3m proizvodnje proizvođača P5. Broj 3 je vrijednost koeficijenta: a) a35 b) a53 425

INPUT-OUTPUT ANALIZA

c) α 35 d) l53 70) Ako se planira samo finalna isporuka proizvođača P3 povećati za 1kg, između ostalog, mora se bruto proizvodnja proizvođača P5 povećati za 10m. Broj 10 je vrijednost koeficijenta: a) a35 b) l53 c) b53 71) Zaokružite faktor koji ne predstavlja determinantu individualne tražnje u širem smislu: a) b) c) d) e) f)

cijena predmetnog dobra cijena supstitutskog dobra dohodak pojedinca ponuda predmetnog dobra cijena komplementarnog dobra godišnje doba

72) Definisati koeficijent elastičnosti na luku i napisati izraz za njegovo izračunavanje. 73) Izvesti izraz za elastičnost stepene funkcije. 74) Izvesti izraz za elastičnost inverzne funkcije. 75) Izvesti izraz za elastičnost proizvoda.

426

3.5. Zadaci za vježbu Osnovni matrični račun Zadatak 3.1.

Sastaviti matricu Q = ⎡⎣ qij ⎤⎦

3×3

za čije elemente vrijedi

⎧i ≠ j ⇒ qij = (i + j ) ⋅10 ⎨ ⎩ i = j ⇒ qii = 10 ; 3

3

i =1

j =1

a zatim pronaći q13 , q31 , q33 , ∑ qi 3 , ∑ q1 j , QT . Zadatak 3.2.

⎡1 3 ⎤ ⎡ −1 −3 ⎤ ⎡2⎤ ; ; Date su matrice A = ⎢ B C = = ⎥ ⎢2 5⎥ ⎢ 3 ⎥ ; D = [ 3 2] . ⎣2 4⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Izračunati: A +B; A ⋅ B; B ⋅ A; A ⋅ C; C ⋅ D; D ⋅ C; A-1. Zadatak 3.3.

Odrediti inverzne matrice matrica ⎡ x1 0 ⎡1 0 1 ⎤ ⎢ ⎥ A = ⎢ 2 3 4 ⎥ , D = ⎢⎢ 0 x2 ⎢⎣ 0 0 ⎢⎣ 0 1 2 ⎥⎦

0⎤ 0 ⎥⎥ . x3 ⎥⎦

Zadatak 3.4.

⎡2 0⎤ ⎡ 1 3⎤ Date su matrice A = ⎢ ;B = ⎢ ⎥ ⎥. ⎣0 3⎦ ⎣ 2 1⎦ Riješiti matrične jednačine: a) A⋅X⋅B = I b) A⋅X+X = B c) X⋅A = B-2X. Zadatak 3.5.

Preduzeće PHONTELE prodaje dva tipa telefona: super i compact, preko dva prodajna mjesta P1 i P2. Vrijednost prodaje u $, za septembar i oktobar, date su u matricama A i B redom: 427

INPUT-OUTPUT ANALIZA

A P1 P2

septembar sup er compact B 18000 35000 P1 25000 27000 P2

oktobar sup er compact 20000 40000 30000 25000

a) Kolika je ukupna prodaja preduzeća u ta dva mjeseca po pojedinom prodajnom mjestu i pojedinom tipu telefona? b) Koliko je povećanje prodaje u oktobru u odnosu na septembar po pojedinom prodajnom mjestu i tipu telefona? Komentirajte. c) Ako je provizija na prodaju 5%, izračunajte proviziju za svako prodajno mjesto po pojedinom tipu telefona za mjesec septembar. d) Ako je porez na prihod u septembru bio 3%, a u oktobru 3,2%, izračunajte ukupan porez preduzeća po pojedinom prodajnom mjestu i tipu telefona. Zadatak 3.6.

Neko preduzeće proizvodi tri tipa frižidera: super, compact i delux. Svaki tip mora proći kroz tri različita postrojenja P1- proizvodnja dijelova, P2-sklapanje dijelova i P3- pakovanje. Trajanje tih prolaza (u satima) po jedinici proizvoda data su u tabeli P1 P2 P3

super 0,4 0,25 0,2

compact 0,5 0,3 0,2

delux 0,5 0,4 0,2

Postrojenja P1, P2 i P3 raspolažu sedmičnim kapacitetom odredom 37, 25, 16 sati respektivno. Koliko se frižidera mora sedmično proizvoditi da bi preduzeće radilo punim kapacitetom? Input-output analiza Zadatak 3.7.

U tekućem proizvodnom periodu poznata je količinska I-O tabela proizvodnog sistema Proizvođači

428

Ukupno

Y

X

P1

0

50

50

50

100

t

P2

20

40

60

140

200

kom

S1

0

10

10

m

S2

20

5

25

kg

ZADACI ZA VJEŽBU

a) Ako se u narednom periodu planiraju finalne potrošnje Y1 = 90 t i Y2 = 162 kom, kompletirati novu količinsku I-O tabelu. b) Objasniti značenje elemenata b21 i a21 . c) Ako su poznate finalne cijene p1 = 30 KM/t i p2 = 40 KM/kom, kao i nabavne cijene c1 = 10 KM/m i c2 = 10 KM/kg odrediti u kojem periodu će se ostvariti veća dodana vrijednost, tekućem ili planiranom. Zadatak 3.8.

Kod nekog složenog proizvodnog sistema P poznate su matrice : 0 ⎤ −0,3⎤ ⎡ 1 ⎡ 0,1 ⎡⎣lij ⎤⎦ = ⎢ ⎡⎣α ej ⎤⎦ = ⎢ ⎥ ⎥ ⎣ −0,5 0, 6 ⎦ ⎣0, 2 0, 025⎦ a) Ako je plan finalne potrošnje Y1 = 40 kg i Y2 = 70 t, formirati odgovarajuću količinsku IO tabelu. b) Ako su poznate finalne cijene p1 = 100 nj/kg i p2 = 100 nj/t, a nabavne cijene c1 = 20 nj/kom i c2 = 40 nj/m3, kompletirati odgovarajuću transakcionu I-O tabelu i odrediti matrice [aij+ ] i [αej+]. Zadatak 3.9.

Kod nekog proizvodnog sistema poznate su sljedeće matrice 1⎤ 6 ⎤ ⎡ ⎡2 0 ⎢ ⎥ ⎢ 40 ⎡ + ⎤ 25 100 ⎥ ⎡⎣ aij + ⎦⎤ = ⎢ ⎥ ⎣α ej ⎦ = ⎢ ⎥ 3 ⎥ ⎢3 1 ⎥ ⎢0 50 ⎦⎥ ⎣⎢ 5 40 ⎦⎥ ⎣⎢ a) Ako su poznate interne cijene π1 = 5 KM/kg; π2 = 10 KM/m, kao i nabavne cijene c1 = 2 KM/l i c2 = 4 KM/kom, odrediti matrice ⎡⎣ aij ⎤⎦ i ⎡⎣α ej ⎤⎦ . b) Ako je plan bruto proizvodnje X1 = 100 kg i X2 = 400 m, kompletirati odgovarajuću transakcionu tabelu. c) Odrediti vektor vrijednosnih koeficijenata dodane vrijednosti [vj+] i objasniti značenje elementa v1+. Zadatak 3.10.

Kod nekog proizvodnog sistema poznati su sljedeći podaci: 1⎤ ⎡ 16 5 ⎤ ⎡ 0 ⎢ ⎢ ⎥ ⎡50 ⎤ ⎡ 20 ⎤ 15 9 30 ⎥ + B+ = ⎢ ⎥ α =⎢ ⎥ π =⎢ ⎥ c=⎢ ⎥ ⎣30 ⎦ ⎣ 40 ⎦ ⎢ 4 4⎥ ⎢ 12 4 ⎥ ⎣⎢ 25 75 ⎦⎥ ⎣⎢ 25 3 ⎦⎥ 429

INPUT-OUTPUT ANALIZA

a) Ako je plan neto proizvodnje Y1 = 50t i Y2 = 140kom., kompletirati odgovarajuću transakcionu I-O tabelu b) Kompletirati količinsku I-O tabelu c) Ako su uslijedile promjene cijena uvoza: Δc1=10 nj i Δc2 =10 nj, kolike treba da budu interne cijene π1 nj/t i π2 nj/kom pa da proizvođači P1 i P2 ostvaruju iste dodane vrijednosti kao u a). d) Objasniti značenje elemenata α12+ i b12+. Zadatak 3.11.

Kod nekog proizvodnog sistema poznate su matrice 1⎤ ⎡16 4 ⎤ ⎡ ⎢7 7⎥ ⎢1 4⎥ B=⎢ ⎥ i β =⎢ ⎥ 8 16 ⎢ ⎥ ⎢5 3⎥ ⎢⎣ 7 7 ⎥⎦ ⎢⎣ 7 7 ⎥⎦ a) Ako je plan bruto proizvodnji X1 = 192 kg i X2 = 208 m2, sastaviti odgovarajuću količinsku I-O tabelu b) Ako su poznate finalne cijene p1 = 32 nj/kg, p2 = 24 nj/m2 i cijene nabave c1 =3 nj/kwh, c2 = 2 nj/m3, sastaviti odgovarajuću transakcionu I-O tabelu + i α 21+ . Objasniti njihovo značenje. c) Koliki su koeficijenti a21 Zadatak 3.12.

Kod nekog proizvodnog sistema poznate su matrice 1⎤ ⎡ 1 ⎢ 2 − 6⎥ 0 ⎤ ⎡ 0,1 L = ⎡⎣lij ⎤⎦ = ⎢ ⎥ i α = ⎡⎣α ej ⎤⎦ = ⎢ ⎥ ⎣0, 2 0, 25⎦ ⎢− 1 1 ⎥ ⎣⎢ 4 3 ⎦⎥ a) Ako je plan finalne potrošnje Y1= 50 kom, Y2 = 50 kg, kompletirati odgovarajuću količinsku I-O tabelu. b) Ako su poznate interne cijene π1 = 50 nj/kom i π2 = 30 nj/kg, kao i cijene nabave c1= 20 nj/m2 i c2 = 6 nj/kwh kompletirati transakcionu tabelu. c) Ako se bruto proizvodnja prvog proizvođača poveća za 100 kom, a kod drugog ostane nepromijenjena kako će se promijeniti finalne isporuke i uvoz u sistem? Zadatak 3.13.

Kod nekog složenog proizvodnog sistema poznate su matrice

430

ZADACI ZA VJEŽBU

⎡ 0 1 1,5 ⎤ ⎡ 0, 2 0 0 ⎤ ⎡⎣ aij ⎤⎦ = ⎢ 0 0 0, 75⎥ i ⎡⎣α ej ⎤⎦ = ⎢ ⎢ ⎥ 0,1 0 0,5⎥⎦ ⎣ ⎢⎣ 0 0 ⎥ 0 ⎦

a) Ako su finalne cijene p1 = 10 nj/kom, p2 = 20 nj/kg, p3 = 60 nj/m3 i nabavne cijene c1 = 2 nj/l i c2 = 3 nj/kwh, kolike su interne cijene{π1, π2, π3} ? b) Ako su finalne potrošnjeY1 =150 kom,Y2 =125 kg, Y3 =100 m3 kompletirati odgovarajuću količinsku I-O tabelu, c) Kompletirati odgovarajuću vrijednosnu (transakcionu) tabelu. Zadatak 3.14.

Poznata je sljedeća nekompletna količinska I-O tabela. Proizvođači P1

0

P2

50

Uvoz

20

Ukupno

60 130

Finalne isporuke 40

Ukupna proizvodnja

70

5

a) Ako se u narednom periodu planira izvoz Y1 = 60 kg i Y2 = 150 kom, kompletirati odgovarajuću količinsku I – O tabelu. b) Ako su poznate finalne cijene p1 = 50 $/kg i p2 = 30 $/kom, i nabavna cijena c1 = 20 $/l. Odrediti ukupan prihod sistema u tekućem i narednom periodu, kao i njihove dodane vrijednosti u sistemu. c) Ako bi bruto proizvodnju prvog proizvođača povećali za 1kg, kako bi se trebali promijeniti izvoz proizvođača i uvoz u sistem? Zadatak 3.15.

Poznate su matrice tehnologije jednog proizvodnog sistema i uvoza u sistem: ⎡1 −0,1 −0, 2 ⎤ L = ⎢⎢0 0,8 −0, 4 ⎥⎥ ; U = [50 20 0] (kwh) ⎢⎣0 0 0,5 ⎥⎦ a) Ako je ukupni output prvog sektora 100 kom., finalne isporuke drugog sektora 50 kg i finalne isporuke trećeg sektora 100 l, sastaviti količinsku I-O tabelu. b) Koliko je potrebno kwh eksternog repromaterijala od snabdjevača da bi se proizveo kg proizvodnje drugog proizvođača?

431

INPUT-OUTPUT ANALIZA

Zadatak 3.16.

Poznata je nepotpuna transakciona tabela u tekućem proizvodnom periodu (u KM): P1 P1 P2 ∑Q+ij S1 M V P

P2

∑Q+ij

Y+i

75000

6000

25000 12000

25000

X+i

30000 93000

1250

750

2000

100000

30000

130000

⎡50 ⎤ kao i cijene π = ⎢ ⎥ ; c1 = 10 . ⎣30 ⎦ a) Kompletirati datu tabelu. b) Ako se planiraju novi izvozi u vrijednosti Y1+ = 90000, Y2+ = 30000, odrediti materijalne troškove proizvođača, kao i dodane vrijednosti u prihodima proizvođača c) Koliko bi se po jednoj količinskoj jedinici proizvodnje proizvođača ostvarivalo dodane vrijednosti proizvođača u narednom periodu? d) Ako se nabavna cijena poveća za jedinicu, a interne cijene ostanu nepromijenjene, kako će se to odraziti na koeficijente dodane vrijednosti proizvođača?

432

3.6. Rješenja zadataka za vježbu Rješenje 3.1. ⎡10 30 40 ⎤ Q = ⎢⎢30 10 50 ⎥⎥ , ⎣⎢ 40 50 10 ⎥⎦

q13 = 40, q31 = 41, q33 = 10, 3

∑q j =1

1j

3

∑q i =1

i3

= q13 + q23 + q33 = 40 + 50 + 10 = 100 ,

= q11 + q12 + q13 = 10 + 30 + 40 = 80 .

Matrica Q je simetrična pa je QT = Q . Rješenje 3.2.

⎡1 + (−1) 3 + (−3) ⎤ ⎡ 0 0 ⎤ A+ B = ⎢ . = 4 + 5 ⎥⎦ ⎢⎣ 4 9 ⎥⎦ ⎣ 2+2 ⎡ 1⋅ (−1) + 3 ⋅ 2 1⋅ (−3) + 3 ⋅ 5 ⎤ ⎡5 12 ⎤ A⋅ B = ⎢ ⎥=⎢ ⎥. ⎣ 2 ⋅ (−1) + 4 ⋅ 2 2 ⋅ (−3) + 4 ⋅ 5⎦ ⎣6 14 ⎦ ⎡ −7 −15⎤ B⋅ A = ⎢ ⎥. ⎣12 26 ⎦ ⎡ 1⋅ 2 + 3 ⋅ 3 ⎤ ⎡11⎤ A⋅C = ⎢ ⎥=⎢ ⎥. ⎣ 2 ⋅ 2 + 4 ⋅ 3⎦ ⎣16 ⎦ ⎡6 4 ⎤ C⋅D = ⎢ ⎥. ⎣9 6 ⎦ D ⋅ C = [3 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3] = [12] .

1 A ; A = ( A* )T , pa računamo det A= 1⋅ 4 - 2⋅ 3= - 2. det A 3⎤ ⎡ −2 ⎢ ⎡ 4 −2 ⎤ ⎡ 4 −3⎤ −1 ⎡ 4 −3⎤ 2 ⎥. −1 A* = ⎢ A A ⇒ = ⇒ = = ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ −2 1 ⎥ −1 ⎥ 2 ⎢⎣ −2 1 ⎥⎦ ⎢ ⎣ −3 1 ⎦ ⎣ ⎦ 1 2 ⎦⎥ ⎣⎢ A−1 =

433

INPUT-OUTPUT ANALIZA

Rješenje 3.3.

Koristićemo Gausov metod pronalaženja inverzne matrice. ⎡1 ⎢ ⎢2 ⎢⎣ 0 ⎡1 ⎢0 ⎢ ⎢⎣ 0

0 1|1 0 0 ⎤ ⎡1 0 Ivrsta •( −2) + IIvrsta 3 4|0 1 0 ⎥⎥ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → ⎢⎢0 3 ⎢⎣0 1 1 2|0 0 1 ⎥⎦ 0 1| 1 0 0 ⎤ IIvrsta•( −3) + IIIvrsta ⎡1 1 2| 0 0 1 ⎥⎥ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎢⎢0 ⎢⎣0 3 2| −2 1 0 ⎥⎦

1| 1 0 0 ⎤ IIvrsta zamjenjena IIIvrstom 2| −2 1 0 ⎥⎥ ⎯⎯⎯⎯ → 2| 0 0 1 ⎥⎦ IIIrstu 0 1 | 1 0 0 ⎤ dije lim o sa ( −4) 1 2 | 0 0 1 ⎥⎥ ⎯⎯⎯→ 0 −4| −2 1 −3⎥⎦

0 0 ⎤ IIIvrsta•( −1) + Ivrsta ⎡1 0 0|1/ 2 1/ 4 −3 / 4 ⎤ ⎡1 0 1| 1 ⎢ 0 1 2| 0 IIIvrsta⋅( −2) + IIvrsta 0 1 ⎥⎥ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → ⎢⎢0 1 0| −1 1/ 2 −1/ 2 ⎥⎥ ⎢ ⎢⎣ 0 0 1|1/ 2 −1/ 4 3 / 4 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 1|1/ 2 −1/ 4 3 / 4 ⎥⎦ ⎡1/ 2 1/ 4 −3 / 4 ⎤ Dakle, A = ⎢⎢ −1 1/ 2 −1/ 2 ⎥⎥ . ⎢⎣1/ 2 −1/ 4 3 / 4 ⎥⎦ −1

⎡1 ⎢ ⎢ x1 ⎢ D je dijagonalna matrica pa je njena inverzna matrica D −1 = ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎢0 ⎣ Rješenje 3.4.

0 1 x2 0

⎤ 0⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥. ⎥ 1⎥ ⎥ x3 ⎦

a) A⋅X⋅B=I (množimo sa A-1 slijeva i B-1 zdesna) ⇒ X = A-1⋅ B-1. ⎡ −1/10 3 /10 ⎤ ⎡1/ 2 0 ⎤ −1 ⎡ −1/ 5 3 / 5 ⎤ ;B = ⎢ imamo da je X = ⎢ Kako je A−1 = ⎢ ⎥. ⎥ ⎥ ⎣ 2 /15 −1/15⎦ ⎣ 0 1/ 3⎦ ⎣ 2 / 5 −1/ 5⎦ b)

⎡1/ 3 0 ⎤ ⎡1 3⎤ ⎡1/ 3 1 ⎤ (A+I) ⋅X = B ⇒ X = (A+I)-1⋅B = ⎢ ⎥⋅⎢ ⎥=⎢ ⎥. ⎣ 0 1/ 4 ⎦ ⎣ 2 1⎦ ⎣1/ 2 1/ 4 ⎦ c)

⎡1/ 4 3 / 5⎤ X⋅A + 2X = B ⇒ X⋅(A+2I) = B ⇒ X = B⋅(A+2I)-1 = ⎢ ⎥. ⎣1/ 2 1/ 5 ⎦

434

RJEŠENJA ZADATAKA ZA VJEŽBU

Rješenje 3.5. a) A+B;

⎡ 2000 5000 ⎤ b) B − A = ⎢ ⎥ što znači da prodajno mjesto P2 gubi 2000 $ vrijednosti prodaje ⎣5000 −2000 ⎦ compact telefona u odnosu na septembar. c) 0,05A; d) 0,03A+0,032B. Rješenje 3.6.

x1- broj super frižidera, x2- broj compact frižidera, x3- broj delux frižidera. Naš zadatak se svodi na rješenje sistema jednačina u matričnom obliku A⋅X=B, gdje je ⎡ 0, 4 0,5 0,5 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡37 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ A = ⎢0, 25 0,3 0, 4 ⎥ ; X = ⎢ x2 ⎥ ; B = ⎢⎢ 25⎥⎥ ⎢⎣ 0, 2 0, 2 0, 2 ⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎢⎣15 ⎥⎦

pa je rješenje ⎡30 ⎤ −1 X = A B = ⎢⎢ 25⎥⎥ . ⎢⎣ 25⎥⎦ Mora se proizvoditi 30 super, 25 compact i 25 delux frižidera da bi preduzeće radilo punim kapacitetom. Rješenje 3.7.

1⎤ ⎡ ⎡ ⎢0 ⎢0 4 ⎥ a) A = ⎢ ⎥; α = ⎢ ⎢1 ⎢1 1 ⎥ ⎣⎢ 5 5 ⎦⎥ ⎣⎢ 5 -1 X=B·Y; B=L = (I-A)-1 ⎡16 ⎢15 B=⎢ ⎢4 ⎢⎣15

1⎤ ⎡150 ⎤ 3⎥ ⎥; X = ⎢ ⎥ 4⎥ ⎣ 240 ⎦ 3 ⎥⎦

1⎤ 20 ⎥ ⎥ 1⎥ 40 ⎦⎥

P1 P2 S1 S2

P1 0 30 0 30

P2 60 48 12 6

∑Qij 60 78 12 36

Yi 90 162

Xi 150 240

435

INPUT-OUTPUT ANALIZA

⎡ 0 0,3 ⎤ A= I −L=⎢ ⎥; ⎣0,5 0, 4 ⎦ ⎡ ⎢0 ⎡⎣Qij ⎤⎦ = ⎡⎣α ij ⎤⎦ ⋅ ⎡ Xˆ j ⎤ = ⎢ ⎣ ⎦ ⎢1 ⎣⎢ 5

1⎤ 4 ⎥ ⎡150 0 ⎤ ⎡ 0 60 ⎤ = ⎥⋅ 1 ⎥ ⎢⎣ 0 240 ⎥⎦ ⎢⎣30 48⎥⎦ 5 ⎦⎥

⎡ ⎢0 ˆ ⎡ ⎤ ⎣⎡Wej ⎦⎤ = ⎣⎡α ej ⎦⎤ ⋅ ⎣ X j ⎦ = ⎢ 1 ⎢ ⎢⎣ 5

1⎤ 20 ⎥ ⎡150 0 ⎤ ⎡ 0 12 ⎤ = ⎥⋅ 1 ⎥ ⎣⎢ 0 240 ⎦⎥ ⎣⎢30 6 ⎦⎥ 40 ⎥⎦

4 ; 15 Ako neto proizvodnju Y1 povećamo za 1 t, bruto proizvodnju X2 treba povećati za 4 b21 = kom. 15 1 a21 = ; 5 1 Po svakoj toni proizvođač P1 direktno utroši a21 = komada proizvodnje proizvođača P2. 5 b) b21 =

c) Izračunavaju se interne cijene po kojima se obračunavaju proizvodnje i njeni dijelovi. 1⎤ ⎡ 1 − ⎥ ⎢ T 5 ⎡30 ⎤ ⎡ 22 ⎤ ⎡⎣π j ⎤⎦ = ⎡⎣lij ⎤⎦ ⋅ [ pi ] = ⎢ ⎥⋅⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ −1 4 ⎥ ⎣ 40 ⎦ ⎣ 24,5⎦ 5 ⎦⎥ ⎣⎢ 4 U tekućem periodu V = 4180 KM, u planiranom V = 5469 KM. Rješenje 3.8. a) ⎡4 ⎢3 X = B ⋅ Y ; B = L−1 = ⎢ ⎢10 ⎢⎣ 9 ⎡100 ⎤ X =⎢ ⎥ ⎣ 200 ⎦

436

2⎤ 3⎥ ⎥; 20 ⎥ 9 ⎥⎦

RJEŠENJA ZADATAKA ZA VJEŽBU

⎡ 0 0,3⎤ A= I −L=⎢ ⎥; P1 P2 ∑Qij Yi Xi ⎣0,5 0, 4⎦ P1 0 60 60 40 100 ⎡ 0 0,3⎤ ⎡100 0 ⎤ ⎡10 0⎤ ⎡ˆ ⎤ ⇒ ⎣⎡Qij ⎦⎤ = ⎣⎡aij ⎦⎤ ⋅ ⎣ X j ⎦ = ⎢0,5 0, 4⎥ ⋅ ⎢ 0 200⎥ = ⎢20 5⎥ P2 50 80 130 70 200 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 0 ⎤ ⎡100 0 ⎤ ⎡ 0 60⎤ S1 10 ⎡ 0,1 0 10 ⎡⎣Wej ⎦⎤ = ⎣⎡αej ⎦⎤ ⋅ ⎡ Xˆ j ⎤ = ⎢ ⎣ ⎦ 0, 2 0,025⎥ ⋅ ⎢ 0 200⎥ = ⎢50 80⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ S2 20 5 25 b) 1⎤ ⎡ 1 − ⎥ ⎢ T 2 ⎡100 ⎤ ⎡50 ⎤ ⎡⎣π j ⎤⎦ = ⎡⎣lij ⎤⎦ ⋅ [ pi ] = ⎢ ⎥⋅⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ −3 3 ⎥ ⎣100 ⎦ ⎣30 ⎦ ⎣⎢ 10 5 ⎦⎥ Množeći dijelove proizvodnje internim cijenama i uvoz nabavnim cijenama dobijamo transakcionu tabelu ovog proizvodnog sistema:

P1 P2 ∑ S1 S2 ∑ Mj Vj Xj+

P1

P2



Y+

X+

0 1500 1500 200 800 1000 2500 2500 5000

3000 2400 5400 0 200 200 5600 400 6000

3000 3900 6900 200 1000 1200 8100 2900 11000

2000 2100 4100

5000 6000 11000

⎡ 0 0,5 ⎤ A+ = ⎢ ⎥ ⎣ 0,3 0, 4 ⎦

⎡1 ⎢ α + = ⎢ 25 ⎢4 ⎢⎣ 25

⎤ 0⎥ ⎥. 1⎥ 30 ⎥⎦

437

INPUT-OUTPUT ANALIZA

Rješenje 3.9.

a) Primjenom formula: −1

⎡⎣ aij + ⎤⎦ = [πˆi ] ⋅ ⎡⎣ aij ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣πˆ j ⎤⎦ ⇔ ⎡⎣ aij ⎤⎦ = [πˆi ] ⋅ ⎡⎣ aij + ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣πˆ j ⎤⎦ −1

−1   −1  ⎡⎣α ej + ⎤⎦ = [ ce ] ⋅ ⎡⎣α ej ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣πˆ j ⎤⎦ ⇔ ⎡⎣α ej ⎤⎦ = [ ce ] ⋅ ⎡⎣α ej + ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣π j ⎤⎦

dobijaju se ⎡1 ⎤ ⎡ ⎢5 0 ⎥ ⎢0 ⎡⎣ aij ⎤⎦ = ⎢ ⎥⋅⎢ ⎢0 1 ⎥ ⎢3 ⎢⎣ 10 ⎥⎦ ⎢⎣ 5 ⎡1 ⎢ ⎡⎣α ej ⎤⎦ = ⎢ 2 ⎢0 ⎢⎣

⎤ ⎡2 0⎥ ⎢ 25 ⎥⋅⎢ 1⎥ ⎢ 0 4 ⎥⎦ ⎢⎣

1⎤ ⎡ ⎥ ⎢0 5 0 ⎡ ⎤ 40 =⎢ ⎥⋅ 1 ⎥ ⎢⎣0 10 ⎥⎦ ⎢ 3 ⎢⎣10 40 ⎥⎦

1⎤ 20 ⎥ ⎥ 1⎥ 40 ⎥⎦

3⎤ ⎡1 ⎥ 50 ⎡ 5 0 ⎤ ⎢ 5 =⎢ ⎥⋅ 3 ⎥ ⎢⎣ 0 10 ⎥⎦ ⎢ 0 ⎢⎣ 50 ⎥⎦

3⎤ 10 ⎥ ⎥. 3⎥ 20 ⎥⎦

b) X1= 100kg ⇒ X 1+ = 100 ⋅ 5 = 500 KM ; X2 = 400m ⇒ X 2+ = 400 ⋅10 = 4000 KM

⎡ ⎢0 + ⎡⎣Qij ⎤⎦ = ⎢ ⎢3 ⎢⎣ 5

1⎤ 0 ⎤ ⎡ 0 100 ⎤ 40 ⎥ ⎡500 = ⎥⋅⎢ 1 ⎥ ⎣ 0 4000 ⎥⎦ ⎢⎣300 100 ⎥⎦ 40 ⎥⎦ ⇒

6 ⎤ ⎡2 ⎢ ⎥ ⎡500 0 ⎤ ⎡ 40 240 ⎤ ⎡⎣Wej+ ⎤⎦ = ⎢ 25 100 ⎥ ⋅ ⎢ = 3 ⎥ ⎣ 0 4000 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 240 ⎥⎦ ⎢0 ⎢⎣ 50 ⎥⎦ ⎡V c) [vj+] = ⎢ 1+ ⎣ X1

V2 ⎤ ⎡ 160 ⎥= X 2+ ⎦ ⎢⎣ 500

P1 P2 ∑ S1 S2 ∑ Mj Vj Xj+

P1 P2 Y+ X+ ∑ 0 100 100 400 500 300 100 400 3600 4000 300 200 500 4000 4500 40 240 280 0 240 240 40 480 520 340 680 1020 160 3320 3480 500 4000 4500

3320 ⎤ = [ 0.32 0.83] 4000 ⎥⎦

U jednoj KM vrijednosti proizvodnje P1 dolazi v1+=0,32 KM dodane vrijednosti.

438

RJEŠENJA ZADATAKA ZA VJEŽBU

Rješenje 3.10.

⎡ 2500 ⎤ a) Y + = ⎢ ⎥; ⎣ 4200 ⎦ ⎡ 16 ⎢ 15 X + = B +Y + = ⎢ ⎢4 ⎢⎣ 25

5⎤ 9 ⎥ ⎡ 2500 ⎤ ⎡5000 ⎤ = ⎥⋅ 4 ⎥ ⎢⎣ 4200 ⎥⎦ ⎢⎣6000 ⎥⎦ 3 ⎥⎦

−5 ⎤ 5⎤ ⎡ ⎡ 1 0 ⎢ ⎥ ⎢ 12 12 ⎥ + + L+ = ( B + ) −1 = ⎢ ⎥⇒ A = I −L =⎢ ⎥ 1⎥ ⎢ −3 4 ⎥ ⎢3 ⎢⎣ 25 5 ⎥⎦ ⎢⎣ 25 5 ⎥⎦ 5⎤ ⎡ 0 ⎢ 0 ⎤ ⎡ 0 2500 ⎤ 12 ⎥ ⎡5000 ⎡⎣Qij + ⎤⎦ = ⎢ = ⎥⋅⎢ 1⎥ ⎣ 0 6000 ⎥⎦ ⎢⎣600 1200 ⎥⎦ ⎢3 ⎢⎣ 25 5 ⎥⎦ ⎡⎣Wej+ ⎤⎦ = ⎡⎣α ej+ ⎤⎦ ⋅ ⎡ Xˆ +j ⎤ ⎣ ⎦ 0 ⎤ ⎡5000 0 ⎤ ⎡ 0 200 ⎤ ⎡ 0,1 ⎡⎣Wej+ ⎤⎦ = ⎢ ⋅⎢ =⎢ ⎥ ⎥ 6000 ⎦ ⎣ 2400 320 ⎥⎦ ⎣0, 2 0.025⎦ ⎣ 0 Transakciona I-O tabela P1 P2 ∑ S1 S2 ∑ Mj Vj Xj+

P1

P2



Y+

X+

0 600 600 0 2400 2400 3000 2000 5000

2500 1200 3700 200 320 520 4220 1780 6000

2500 1800 4300 200 2720 2920 7220 3780 11000

2500 4200 6700

5000 6000 11000

b) Dijeleći ostvarene vrijednosti proizvodnje i njenih dijelova proizvođača sa odgovarajućim internim cijenama i uvoz sa nabavnim cijenama, dobijamo količinsku I-O tabelu:

439

INPUT-OUTPUT ANALIZA

Količinska I-O tabela P1 P2 S1 S2

P1

P2

∑Qij

Yi

Xi

0 20 0 60

50 40 10 8

50 60 10 68

50 140

100 200

c) 2000 = 100π1 – (0π1 + 20π2+0+ 3000) 1780 = 200π2 – (50π1 + 40π2 +300 + 400) 5000 = 100π1 -20π2 2480 = -50π1 + 160π2 π1 = 57,31; π2 = 36,53.

1 30 Proizvođač P2 po svakoj novčanoj jedinici vrijednosti svoje proizvodnje direktno utroši 1/30 novčane jedinice vrijednosti eksternog repromaterijala od snabdjevača S1. ∂U +1 1 = Ili α +12 = ∂X + 2 30 Ako povećamo samo vrijednost proizvodnje proizvođača P2 za jednu novčanu jedinicu, tada će se vrijednost uvoza od S1 povećati za 1/30 novčanih jedinica. 5 b +12 = 9 Ako želimo vrijednost izvoza proizvođača P2 povećati za jednu novčanu jedinicu, tada moramo vrijednost proizvodnje proizvođača P1 povećati za 5/9 novčanih jedinica. d) α +12 =

Rješenje 3.11. a) B = L-1⇒ L = B-1 ⎡ 1 ⎢ 2 224 det B = ⇒L=⎢ 49 ⎢− 1 ⎣⎢ 4

⎡1 ⎢2 A= I −L=⎢ ⎢1 ⎢⎣ 4 440

1⎤ 8⎥ ⎥ 1⎥ 2 ⎥⎦

1⎤ − ⎥ 8 ⎥ 1 ⎥ 2 ⎦⎥

RJEŠENJA ZADATAKA ZA VJEŽBU

⎡ 1 ⎢ 2 Y = L⋅X = ⎢ ⎢− 1 ⎢⎣ 4 ⎡ ⎢1 α = β ⋅L = ⎢ ⎢5 ⎢⎣ 7

⎡1 ⎢ ⎡⎣ Qij ⎤⎦ = ⎢ 2 ⎢1 ⎣⎢ 4

1⎤ − ⎥ 8 ⎡192 ⎤ ⎡ 70 ⎤ = ⎥⋅ 1 ⎥ ⎢⎣ 208 ⎥⎦ ⎢⎣ 56 ⎥⎦ 2 ⎥⎦ 1⎤ ⎡ 1 1⎤ ⎡ 7 − ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 16 4 2 8 ⎥⋅⎢ ⎥=⎢ 3⎥ ⎢ 1 1 ⎥ ⎢1 − 7 ⎥⎦ ⎢⎣ 4 2 ⎥⎦ ⎢⎣ 4

1⎤ 8 ⎥ ⎡192 ⎥⋅ 1 ⎥ ⎢⎣ 0 2 ⎦⎥

⎡ 7 ⎢ 16 ⎣⎡W ej ⎦⎤ = ⎢ 1 ⎢ ⎣⎢ 4

⎤ 0⎥ ⎥ 1⎥ 8 ⎥⎦

0 ⎤ ⎡ 96 26 ⎤ = 208 ⎥⎦ ⎢⎣ 48 104 ⎥⎦

⎤ 0⎥ ⎡192 ⎥⋅ 1 ⎥ ⎢⎣ 0 8 ⎦⎥

0 ⎤ ⎡ 84 = 208 ⎥⎦ ⎢⎣ 48

0 ⎤ 26 ⎥⎦

Količinska I-O tabela P1 P2 S1 S2

P1

P2

∑Qij

Yi

Xi

96 48 84 48

26 104 0 26

122 152 84 74

70 56

192 208

b) Transakciona IO tabela P1 P2

∑Q+ij S1 S2

∑W+ej M V P

P1

P2

∑Q+ij

Y +i

X +i

960 384 1344 252 96 348 1692 228 1920

260 832 1092 0 52 52 1144 520 1644

1220 1216 2436 252 148 400 2836 748 3584

700 448 1148

1920 1664 3584

441

INPUT-OUTPUT ANALIZA

384 96 + = 0, 2; α 21 = = 0, 05 c) 1920 1920 Proizvođač P1 po svakoj novčanoj jedinici vrijednosti svoje bruto proizvodnje direktno utroši 0,2 nj vrijednosti proizvodnje od P2 i 0,05 nj vrijednosti eksternog inputa od S2. + a21 =

Rješenje 3.12. a) X =B·Y B = L-1

⎡8 3 4 3⎤ 1 ⇒B=⎢ 4 ⎥⎦ 8 ⎣ 2 ⎡1 1⎤ ⎢2 6⎥ L = I − A⇒ A= I −L = ⎢ ⎥ ⎢1 2⎥ ⎢⎣ 4 3 ⎥⎦ ⎡8 3 4 3⎤ ⎡50 ⎤ ⎡ 200 ⎤ ⋅ = X = B ⋅Y = ⎢ 4 ⎥⎦ ⎢⎣50 ⎥⎦ ⎢⎣300 ⎥⎦ ⎣ 2

det L =

⎡⎣Qij ⎤⎦ = ⎡⎣ aij ⎤⎦ ⋅ ⎡ Xˆ j ⎤ ⎣ ⎦ 1 2 1 6 ⎤ ⎡ 200 0 ⎤ ⎡100 50 ⎤ ⎡ ⎡⎣Qij ⎤⎦ = ⎢ ⎥⋅⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎣1 4 2 3⎦ ⎣ 0 300 ⎦ ⎣ 50 200 ⎦ ⎡⎣Wej ⎤⎦ = ⎡⎣α ej ⎤⎦ ⋅ ⎡ Xˆ j ⎤ ⎣ ⎦ 0.1 0 ⎤ ⎡ 200 0 ⎤ ⎡ 20 0 ⎤ ⎡ ⎡⎣Wej ⎤⎦ = ⎢ ⎥⋅⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎣0.2 0.25⎦ ⎣ 0 300 ⎦ ⎣ 40 75⎦ ⇒

Količinska I-O tabela P1 P2 S1 S2

442

P1

P2

∑Qij

Yi

Xi

100 50 20 40

50 200 0 75

150 250 20 115

50 50

200 300

RJEŠENJA ZADATAKA ZA VJEŽBU

b) Transakciona I-O tabela

P1 P2 ∑Q+ij S1 S2

∑W+ej M V P

P1

P2

∑Q+ij

Y +i

X +i

5000 1500 6500 400 240 640 7140 2860 10000

2500 6000 8500 0 450 450 8950 50 9000

7500 7500 15000 400 690 1090 16080 2910 19000

2500 1500 4000

10000 9000 19000

c)

⎡100 ⎤ ΔX = ⎢ ⎥ ⎣ 0 ⎦ ΔY = L ⋅ ΔX ⎡ 1 2 −1 6 ⎤ ⎡100 ⎤ ⎡ 50 ⎤ ΔY = ⎢ ⎥⋅⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎣ −1 4 1 3 ⎦ ⎣ 0 ⎦ ⎣ −25⎦ ΔU = α ⋅ ΔX ⎡ 0.1 0 ⎤ ⎡100 ⎤ ⎡10 ⎤ ΔU = ⎢ ⎥⋅⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎣0.2 0.25⎦ ⎣ 0 ⎦ ⎣ 20 ⎦ Rješenje 3.13. a) ⎡⎣π j ⎤⎦ = ⎡⎣lij ⎤⎦ ⋅ [ pi ] L= I – A T

⎡1 0 0 ⎤ ⎡0 1 1,5 ⎤ ⎡1 −1 −1,5 ⎤ L = ⎢⎢0 1 0 ⎥⎥ − ⎢⎢0 0 0, 75⎥⎥ = ⎢⎢ 0 1 −0, 75⎥⎥ ⎢⎣0 0 1 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 1 ⎥⎦ 0 0⎤ ⎡ 1 T ⎢ ⎡⎣lij ⎤⎦ = −1 1 0 ⎥⎥ ⎢ ⎢⎣ −1,5 −0, 75 1 ⎥⎦

443

INPUT-OUTPUT ANALIZA

0 0 ⎤ ⎡10 ⎤ ⎡10 ⎤ π 1 ⎡ 1 ⎢ ⎡⎣π j ⎤⎦ = −1 1 0 ⎥⎥ ⋅ ⎢⎢ 20 ⎥⎥ = ⎢⎢10 ⎥⎥ π 2 ⎢ ⎢⎣ −1,5 −0, 75 1 ⎥⎦ ⎢⎣ 60 ⎥⎦ ⎢⎣30 ⎥⎦ π 3

b) ⎡⎣ X j ⎤⎦ = ⎡⎣b ji ⎤⎦ ⋅ [Yi ] −1 1 T ⎡⎣b ji ⎤⎦ = ⎡⎣lij ⎤⎦ = ( L *) det L

1 −1 −1,5 det L = 0 1 −0, 75 = 1 0 0 1

( L *)

T

⎡1 1 2, 25⎤ = ⎢⎢0 1 0, 75 ⎥⎥ ⎢⎣ 0 0 1 ⎥⎦

0 0⎤ ⎡ 1 ⎢ 1 0 ⎥⎥ ( L *) = ⎢ 1 ⎢⎣ 2, 25 0, 75 1 ⎥⎦ ⎡1 1 2, 25⎤ ⎡⎣b ji ⎤⎦ = ⎢⎢0 1 0, 75 ⎥⎥ ⎢⎣0 0 1 ⎥⎦

⎡1 1 2, 25⎤ ⎡150 ⎤ ⎡500 ⎤ ⎡⎣ X j ⎤⎦ = ⎡⎣b ji ⎤⎦ ⋅ [Yi ] = ⎢⎢0 1 0, 75 ⎥⎥ ⋅ ⎢⎢125 ⎥⎥ = ⎢⎢ 200 ⎥⎥ ⎢⎣0 0 1 ⎥⎦ ⎢⎣100 ⎥⎦ ⎢⎣100 ⎥⎦

⎡⎣Qij ⎤⎦ = ⎡⎣ aij ⎤⎦ ⋅ ⎡ Xˆ j ⎤ ⎣ ⎦ 0 ⎤ ⎡ 0 200 150 ⎤ ⎡0 1 1,5 ⎤ ⎡500 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎡⎣Qij ⎤⎦ = 0 0 0, 75 ⋅ 0 200 0 ⎥ = ⎢ 0 0 75 ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎣0 0 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 100 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 0 ⎥⎦

⎡⎣Wej ⎤⎦ = ⎡⎣α ej ⎤⎦ ⋅ ⎡ Xˆ j ⎤ ⎣ ⎦ 0 ⎤ ⎡500 0 ⎡0, 2 0 0 ⎤ ⎢ ⎡100 0 0 ⎤ ⎡⎣Wej ⎤⎦ = ⎢ ⋅ ⎢ 0 200 0 ⎥⎥ = ⎢ ⎥ ⎥ ⎣ 0,1 0 0,5⎦ ⎢ ⎣ 50 0 50 ⎦ ⎥ 0 0 100 ⎣ ⎦

444

RJEŠENJA ZADATAKA ZA VJEŽBU

Količinska I-O tabela:

P1

P2

P3 2

Qij

∑ Wej

Yi

Xi

j =1

P1

0

200

150

350

150

500

kom ⋅10nj / kom

P2

0

0

75

75

125

200

kg ⋅10nj / kg

P3

0

0

0

0

100

100

m3 ⋅ 30nj / m3

Se S1 S2

2

∑ Wej

Wej 100 50

0 0

j =1

0 50

l ⋅ 2nj / l kwh ⋅ 3nj / kwh

100 100

c) Transakciona I-O tabela P1 P2 P3 ∑Q+ij S1 S2 ∑W+ej M

V P

P1

P2

P3

∑Q+ij

Y+i

X+i

0 0 0 0 200 150 350 350 4650 5000

2000 0 0 2000 0 0 0 2000 0 2000

1500 750 0 2250 0 150 150 2400 600 3000

3500 750 0 4250 200 300 500 4000 6000 10000

1500 1250 3000 5750

5000 2000 3000 10000

Rješenje 3.14. a)

P1

0

60

60

Finalne isporuke 40

P2

50

80

130

70

Uvoz

20

5

25

Proizvođači

Ukupno

Ukupna proizvodnja 100 200

445

INPUT-OUTPUT ANALIZA

⎡ 0 0,3 ⎤ A=⎢ ⎥ ; α = [ 0, 2 0, 025] ⎣0,5 0, 4 ⎦ −0,3⎤ ⎡ 1 L=⎢ ⎥ ⎣ −0,5 0, 6 ⎦ 2⎤ ⎡4 ⎢ 3 3⎥ B = L−1 = ⎢ ⎥ ⎢10 20 ⎥ ⎢⎣ 9 9 ⎥⎦ ⎡180 ⎤ X = B ⋅Y = ⎢ ⎥ ⎣ 400 ⎦ ⎡⎣Qij ⎤⎦ = ⎡⎣ aij ⎤⎦ ⋅ ⎡ Xˆ j ⎤ ⎣ ⎦ ⎡ 0 0,3 ⎤ ⎡180 0 ⎤ ⎡ 0 120 ⎤ ⎡⎣Qij ⎤⎦ = ⎢ ⎥⋅⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎣0,5 0, 4 ⎦ ⎣ 0 400 ⎦ ⎣90 160 ⎦ ⎡⎣Wej ⎤⎦ = ⎡⎣α ej ⎤⎦ ⋅ ⎡ Xˆ j ⎤ ⎣ ⎦ ⎡180 0 ⎤ ⎣⎡Wej ⎦⎤ = [ 0, 2 0, 025] ⋅ ⎢ 0 400 ⎥ = [36 10] ⎣ ⎦

P1

0

120

120

Finalne isporuke 60

P2

90

160

250

150

Uvoz

36

10

46

Proizvođači

Ukupno

Ukupna proizvodnja 180 400

1⎤ ⎡ ⎢ 1 − 2 ⎥ ⎡50 ⎤ ⎡35⎤ ⎣⎡π j ⎦⎤ = ⎣⎡lij ⎦⎤ ⋅ [ pi ] = ⎢ −3 3 ⎥ ⋅ ⎢30 ⎥ = ⎢ 3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢⎣ 10 5 ⎥⎦ T

Ukupan prihod u sistemu u tekućem periodu iznosi 4100$, a u narednom periodu 7500$. Dodane vrijednosti za tekući period 4100- 2990 =1110, za naredni 7500-5870 =1630.

446

RJEŠENJA ZADATAKA ZA VJEŽBU

c)

∂Y1 ∂Y2 = l11 = 1; = l21 = −0,5 ∂X 1 ∂X 1 ∂U = α11 = 0, 2 ∂X 1

Ako bi povećali bruto proizvodnju prvog proizvođača za jedan kg, onda bi njegovu finalnu potrošnju morali povećati također za 1 kg, finalnu potrošnju drugog proizvođača smanjili za 0,5 kom, a uvoz povećali za 0,2 l. Rješenje 3.15. a) ⎡0 A = I − L = ⎢⎢0 ⎢⎣0 ⎡0 0,1 [Q ] = ⎢⎢0 0, 2 ⎢⎣0 0

0,1 0, 2 ⎤ 0, 2 0, 4 ⎥⎥ ; 0 0,5 ⎥⎦

0, 2 ⎤ ⎡100 0 0 ⎤ ⎡ 0 0,1X 2 0, 2 X 3 ⎤ ⎥ ⎢ 0, 4 ⎥ ⋅ ⎢ 0 X 2 0 ⎥⎥ = ⎢⎢ 0 0, 2 X 2 0, 4 X 3 ⎥⎥ 0,5 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 X 3 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 0,5 X 3 ⎥⎦ Iz jednačine raspodjele bruto proizvodnji dobijamo sistem tri jednačine sa tri nepoznate: 0,1X2 + 0,2X3 +Y1 =100 0,2X2 +0,4X3 + 50 = X2 0,5X3 +100 = X3 Rješavanjem dobijamo: X3 = 200, X2 = 162,5, Y1 = 43,75. Sada možemo kompletirati traženu količinsku IO tabelu:

Proizvođači

Ukupno

Finalne isporuke

Ukupna proizvodnja

P1

0

16,25

40

56,25

43,75

100

P2

0

32,5

80

112,5

50

162,5

P3

0

0

100

100

100

200

Uvoz

50

20

0

70

20 ≈ 0,1231 . 162,5 Potrebno je približno 0,1231 kwh uvoza da bi se proizveo kg proizvodnje proizvođača P2.

b) α12 =

447

INPUT-OUTPUT ANALIZA

Rješenje 3.16. a)

P1 P2 ∑Q+ij S1 M V P

P1

P2

∑Q+ij

Y+i

25000 6000 31000 1250 32250 67750 10000 0

0 6000 6000 750 6750 23250

25000 12000 37000 2000 39000 91000

75000 18000 93000

30000

130000

⎡1 ⎢4 b) A+ = ⎢ ⎢3 ⎢⎣ 50 X + = B +Y + ⎡4 ⎢3 B+ = ⎢ ⎢1 ⎢⎣10

⎤ 0⎥ ⎡1 + ⎥; α = ⎢ 1⎥ ⎣ 80 ⎥ 5⎦

⎤ 0⎥ ⎥, 5⎥ 4 ⎥⎦

X+i 100000 30000 130000

1⎤ 40 ⎥⎦

⎡120000 ⎤ X+ =⎢ ⎥ ⎣ 46500 ⎦

⎡1 ⎢ ⎡⎣Qij+ ⎤⎦ = ⎡⎣α ij+ ⎤⎦ ⋅ ⎡ Xˆ +j ⎤ = ⎢ 4 ⎣ ⎦ ⎢3 ⎣⎢ 50

⎤ 0⎥ 0 ⎤ ⎡30000 0 ⎤ ⎡12000 =⎢ ⎥⋅⎢ ⎥ 3⎥ ⎣ 0 46500 ⎦ ⎣ 7200 9300 ⎥⎦ 4 ⎦⎥

0 ⎤ ⎡ 1 140 ⎤ ⎡12000 ⎡⎣Wij+ ⎤⎦ = ⎡⎣α ej+ ⎤⎦ ⋅ ⎡ Xˆ +j ⎤ = ⎢ = [1500 1162,5] ⎥⎦ ⋅ ⎢ 0 ⎣ ⎦ ⎣ 80 46500 ⎥⎦ ⎣ M1 = 38700; M2 = 10462,5; V1 = 81300; V2 = 36037,5.

⎡V V2 ⎤ c) v = ⎢ 1 ⎥ = [33,875 23, 25] . ⎣ X1 X 2 ⎦ Proizvođač P1 po svakoj količinskoj jedinici svoje proizvodnje ostvari 33,875 KM dodane vrijednosti, a proizvođač P2 po svakoj količinskoj jedinici svog proizvoda ostvari 23,25 KM dodane vrijednosti.

448

RJEŠENJA ZADATAKA ZA VJEŽBU

1 ⎤ ⎡50 0 ⎤ ⎡ 25 15 ⎤ ⎡1 ⋅⎢ d) [α ] = c ⋅ ⎣⎡α + ⎦⎤ ⋅ ⎡⎣πˆ j ⎤⎦ = 10 ⋅ ⎢ ⎥= 2 ⎥⎦ ⎣ 80 40 ⎥⎦ ⎣ 0 30 ⎦ ⎢⎣ 4 ∂v j ∂v 25 ∂v 15 = −α ej ⇒ 1 = − ; 2 = − . 4 ∂c1 2 ∂ce ∂c1 Ako se nabavna cijena poveća za jedinicu, koeficijent dodane vrijednosti prvog proizvođača će se smanjiti za 6,25 KM, a kod drugog proizvođača za 7,5 K

449

INPUT-OUTPUT ANALIZA

Literatura

Andrijić, S., (2002), Matematički modeli i metode programiranja u gospodarskom društvu, treće izdanje, Synopsis, Zagreb – Sarajevo Babić, M., (1978), Osnove Input-output analize, Narodne novine, Zagreb Babić, M., (1989), Makroekonomski modeli, četvrto izdanje, Narodne novine, Zagreb Babić, M., (2004), Makroekonomija, XIV. dopunjeno i izmijenjeno izdanje, Mate, Zagreb Europski sustav nacionalnih računa ESA 1995., (1998), Eurostat, Prevod: Državni zavod za statistiku Republike Hrvatske, Zagreb Roux, D., (2002): Nobel en economie, Economica, Paris Sustav nacionalnih računa 1993, (1997), UN, Svjetska banka, Washington D.C. Prevod: Državni zavod za statistiku Republike Hrvatske, Zagreb Vučković, Ž., (2003), Input-output analiza, Ekonomski fakultet u Sarajevu, Sarajevo Vučković, Ž., Somun –Kapetanović, R., (1990), Zbirka zadataka iz Matematičkih metoda u ekonomskim istraživanjima, Ekonomski fakultet u Sarajevu, Sarajevo

450

Kvantitativne metode u ekonomiji i menadžmentu

4. Linearno programiranje 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7. 4.8. 4.9. 4.10.

Uvod Model linearnog programiranja Bazne teoreme linearnog programiranja Teorija dualnosti u linearnom programiranju Metode za rješavanje problema linearnog programiranja Specifični oblici problema linearnog programiranja Pitanja za ponavljanje Zadaci za vježbu Rješenja zadataka za vježbu Literatura

4.1. Uvod O pojmu matematičkog programiranja Iz potrebe za optimizacijom rješenja, koja je oduvijek bila prisutna u ljudskoj svijesti, razvila se oblast matematičkog programiranja. Problemi programiranja se bave efikasnošću korištenja ili alokacije ograničenih resursa s ciljem da se zadovolji objektivnost. Ove probleme karakteriše veliki broj rješenja koja zadovoljavaju bazične uslove svakog problema. Počeci matematičkog programiranja datiraju iz vremena II svjetskog rata, kad je jedan od osnovnih problema bio kako da se rasporedi ograničena količina vojnog materijala i ljudi za određene vojne operacije na što djelotvorniji način. Nakon rata postalo je jasno da se matematičko programiranje može uspješno primijeniti i u mnogim drugim oblastima: u ekonomiji, vazduhoplovstvu, tehničkim naukama i industriji. Najpoznatiji ekonomski problemi koji se rješavaju matematičkim programiranjem su: određivanje optimalnog proizvodnog plana, optimalno vođenje zaliha, optimalni izbor investicijskog projekta, problem optimalnog transporta, optimalne alokacije resursa, optimalne raspodjele kadrova na radne zadatke, problem trgovačkog putnika, problem optimalnog otpada itd. Razne metode matematičkog programiranja postale su posebne naučne discipline. Među najpoznatijim su: linearno programiranje, dinamičko programiranje, višekriterijalno programiranje, stohastičko programiranje i analiza omeđivanja podataka. Danas se ove metode preklapaju i sa mnogim drugim područjima kao što su teorija aproksimacija, teorija vjerovatnoće, klasična mehanika i račun varijacija. Najznačajnija imena u oblasti linearnog programiranja Matematski model linearnog programiranja konceptualno je postavljen prije II svjetskog rata od strane poznatog sovjetskog matematičara Leonida Kantorovicha. Njegov rad “Matematički metodi organizacije i planiranja proizvodnje” iz 1939.g. se smatra začetkom ubrzanog razvoja ovog modela, kao i ekonomsko-matematičkih modela uopšte. George Dantzing, Marshall Wood i saradnici pri US odjelu vazdušnih snaga 1947. godine, u projektu pod nazivom SCOOP (Scientific Computation of Optimum Programs), daju matematičku osnovu i razvijaju metodu (simplex metoda ili Dantzingov algoritam) za rješavanje problema linearnog programiranja sa velikim brojem varijabli. Dantzingov originalni primjer na kojem je pokazao primjenu simplex algoritma je pronalaženje najboljeg načina rasporeda 70 ljudi na 70 radnih mjesta. Iste godine (1947), povezujući teoriju linearnog programiranja i teoriju ''matričnih igara'', J. Von Neumann razvija teoriju dualnosti. Teorija dualnosti u linearnom programiranju omogućava i postoptimalnu analizu i parametarsko linearno programiranje.

453

LINEARNO PROGRAMIRANJE

Za formiranje i upotrebu algoritama koji omogućavaju brzo rješavanje problema linearnog programiranja uz pomoć računara važan je bio dokaz da su problemi linearnog programiranja rješivi u polinomskom vremenu. Za ovaj dokaz zaslužan je Leonid Khachiyan 1979. godine. Veliki proboj u teorijskom i praktičnom smislu u ovom polju vežemo za ime indijskog matematičara Narendra Karmarkera koji je razvio algoritam za rješavanje problema linearnog programiranja u polinomskom vremenu. On je uveo novi metod (interior point method) za rješavanje ovih problema. U ovom kratkom pregledu najznačajnijih imena iz oblasti linearnog programiranja spomenimo i matematičara i ekonomistu Tjallinga Koopmansa koji je 1975. godine podijelio Nobelovu nagradu iz ekonomije sa ruskim matematičarem Leonidom Kantorovichem. Koopmans je nagradu dobio za svoj doprinos u teoriji optimalne alokacije resursa. Matematičko okruženje kod linearnog programiranja Matematički, osnovni problem linearnog programiranja je pronalaženje uslovnog ekstrema (minimuma ili maksimuma) određene linearne funkcije više promjenljivih (funkcija: cilja ili kriterija ili optimuma), tako da odabrana kombinacija vrijednosti tih promjenljivih zadovolji skup ograničavajućih uslova datog problema (nehomogeni sistem linearnih jednačina). Prisjetićemo se osnovnih matematskih pojmova koje ćemo koristiti u opisu i rješavanju problema linearnog programiranja. Vektorski prostor V nad poljem realnih brojeva je preslikavanje f: R x V → V; f (α, x) = α x (α ∈ R, x ∈ V) sa osobinama:

α ⋅ (β ⋅ x ) = (α ⋅ β ) ⋅ x (α + β ) ⋅ x = α ⋅ x + β ⋅ x α ⋅ (x + y ) = α ⋅ x + β ⋅ y 1⋅ x = x

(∀α , β ∈ R;

∀x, y ∈ V )

gdje je (V, +) Abelova grupa. Realna matrica je preslikavanje A: I x J → R gdje su I = {1, 2, ..., m} i J = {1, 2, ...,n}. Pošto se I x J može napisati u m redova i n kolona, matrica se najčešće identifikuje sa tabelom: ⎡ a11 ⎢a A = aij = ⎢ 21 ⎢ ⎢ ⎣a m1

[ ]

a12 a 22 am2

… a1n ⎤ … a 2 n ⎥⎥ ⎥ ⎥ … a mn ⎦

i kaže se da matrica A ima dimenziju m x n ili da je tipa m x n .

454

UVOD

Skup svih matrica dimenzije n x 1 nad poljem realnih brojeva čini jedan vektorski prostor nad poljem R. Taj vektorski prostor označit ćemo sa Vn, a elemente tog prostora (matrice tipa n x 1) zvaćemo vektorima (vektor kolone).

{

}

Skup vektora {A1 , A 2 , ..., A n } = A j j = 1, n

n

je linearno nezavisan ako je ∑ α j Aj = 0 samo j =1

za realne brojeve α1 = α2 =. .. = αn = 0. U suprotnom, taj skup je linearno zavisan. Konveksna kombinacija elemenata A1, A2, ..., An iz vektorskog prostora Vn je element A= α1A1 + α2A2 + ...+ αnAn gdje su αi skalari, takvi da je α i ≥ 0 i ∑ α i = 1 . i

Podskup K skupa Vn je konveksan skup ako i samo ako za svaki par elemenata iz K vrijedi da je i njihova konveksna kombinacija također u K. Elemente skupa K zvaćemo tačkama. Svaka tačka na segmentu koji povezuje dvije tačke skupa K može se izraziti kao konveksna kombinacija tih tačaka, i obrnuto1. (1) Tačka konveksnog skupa K koja se ne može izraziti kao konveksna kombinacija bilo kojih drugih različitih tačaka u K naziva se ekstremna tačka skupa K.

Gass S. (1970), poglavlje 2, teorema 1 i teorema 2.

455

4.2. Model linearnog programiranja Linearno programiranje predstavlja skup metoda i postupaka kojima se određuju ekstremne vrijednosti takve linearne funkcije čije područje definicije određuje sistem linearnih jednačina ili nejednačina. Matematski zapisano, problem linearnog programiranja glasi: naći ono nenegativno rješenje (x1, x2, …, xn), (xi ≥ 0, i = 1, 2, …, n) sistema linearnih nejednačina (ograničenja, uvjeta)

≤ d1 ≥ ≤ a21x1 + a22x2 + … + a2nxn d2 ≥ . . . . . . . . . .

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn

S

am1x1 + am2x2 + … + amnxn

≤ dm ≥

za koje funkcija cilja ili funkcija kriterija f = f(x1, x2, …, xn) = c1x1 + c2x2 + … + cnxn dostiže ekstremnu vrijednost, pri čemu su c1 , c2 , …, cn ; a11 ,… amn , d1 , d 2 , …, d m poznate, a x1, x2, …, xn nepoznate vrijednosti u modelu.

Rješenje (x1, x2, …, xn) u primjenama najčešće ima značenje plana ili programa (proizvodnje, transporta), pa je otuda ovaj problem dobio naziv "programiranje", a naziv "linearno programiranje" potiče od toga što su ograničenja varijabli, kao i funkcija cilja, linearni. Proizvoljno rješenje sistema nejednačina predstavlja tačku n-dimenzionalnog prostora, to jest (x1, x2, …, xn) ∈ Rn. Nenegativno rješenje sistema nejednačina S naziva se dopustivim ili mogućim rješenjem. U zavisnosti od oblika skupa mogućih rješenja, za problem linearnog programiranja vrijedi jedna od sljedećih osobina: 1. Ima konačno optimalno rješenje (jedinstveno ili ne) ako je skup mogućih rješenja S ograničen konveksan skup. 2. Optimalno rješenje je beskonačno (optimalan program je neizvediv). Ovo se može desiti (ali i ne mora, zavisi od funkcije cilja) u slučaju da je skup mogućih rješenja neograničen. 3. Nema optimalnog rješenja ako je skup mogućih rješenja prazan skup.

456

MODEL LINEARNOG PROGRAMIRANJA

Za problem linearnog programiranja reći ćemo da ima rješenje ako veličina fmax (fmin) ima konačnu vrijednost na skupu S dopustivih rješenja, a nema rješenja ako je skup S prazan skup, ili ako veličina fmax (fmin) nema konačnu vrijednost. Linearnim programiranjem može se riješiti svaki problem koji se može predstaviti odgovarajućim modelom linearnog programiranja. Osnovne pretpostavke modela linearnog programiranja2 Linearnost: Pretpostavka linearnosti podrazumijeva postojanje linearnih zavisnosti između promjenljivih u zadatku linearnog programiranja. Ova pretpostavka zadovoljena je tako što su funkcija cilja i ograničavajući uslovi u modelu linearnog programiranja izraženi linearnim funkcijama. Kao posljedica linearnosti u modelu linearnog programiranja zadovoljene su također dvije osnovne pretpostavke: proporcionalnost i aditivnost. Izvjesnost: Svi parametri modela linearnog programiranja su unaprijed jednoznačno određeni, što znači da su koeficijenti funkcije cilja i sistema ograničenja deterministički određeni i ne mijenjaju se u toku rješavanja modela. S obzirom na ovu osobinu, model linearnog programiranja smatramo determinističkim modelom. Djeljivost: Ova pretpostavka podrazumijeva da promjenljive u modelu linearnog programiranja ne moraju biti cijeli brojevi. Prema tome, u opštem obliku modela linearnog programiranja ne postavlja se tzv. uslov cjelobrojnosti rješenja, što znači da vrijednosti promjenljivih mogu biti izražene i u obliku decimalnih brojeva. Ukoliko se, međutim, iz određenih razloga zahtijeva cjelobrojnost promjenljivih, onda je u pitanju specijalan oblik zadatka - model cjelobrojnog linearnog programiranja. Nenegativnost: Uslov nenegativnosti promjenljivih predstavlja jednu od osnovnih pretpostavki modela linearnog programiranja. Ova pretpostavka ima svoj metodološki i suštinski (ekonomski) značaj. Naime, kako opšti algoritam rješavanja modela linearnog programiranja predstavlja simplex metod, to je za primjenu ovog metoda neophodno zadovoljenje uslova nenegativnosti promjenljivih, što čini metodološki aspekt uslova nenegativnosti promjenljivih. S druge strane, kako promjenljive u modelu linearnog programiranja, koji se koristi za određene ekonomske analize, predstavljaju određene ekonomske veličine, jasno je da one ne mogu biti negativne. Jasno je, naprimjer, da ukoliko korištenjem modela linearnog programiranja želimo da odredimo optimalan program proizvodnje nekog preduzeća, promjenljive modela pokazuju vrijednost (količinu) proizvodnje određenih proizvoda koja ne može biti negativna. Zbog toga uslov nenegativnosti, pored funkcije cilja i sistema ograničenja (predstavljenih u vidu nejednačina i jednačina), predstavlja jedan od osnovnih elemenata modela linearnog programiranja.

2

Prema: Backović, M., Vuleta, J. (2008), str. 197-198.

457

LINEARNO PROGRAMIRANJE

Navedene pretpostavke predstavljaju osnovne pretpostavke modela linearnog programiranja i one moraju biti uvijek zadovoljene. Ukoliko, međutim, bilo koja od navedenih pretpostavki nije zadovoljena, onda se radi ili o specijalnom obliku modela linearnog programiranja, ili postavljeni model ne predstavlja model linearnog programiranja. Osnovni elementi modela linearnog programiranja su funkcija cilja, sistem ograničenja i uslovi nenegativnosti. Polazni model koji odgovara konkretnom problemu LP-a nazivaćemo primalnim modelom. U nastavku ćemo detaljno izložiti dijelove polaznog primalnog modela LP-a u formama: Opšti polazni primalni model LP-a, i to u njegovim sljedećim oblicima: ƒ ekstezivni (razvijeni) oblik, ƒ kondenzovani oblik, ƒ matrični oblik

i objasnit ćemo kako se iz opšteg polaznog primalnog modela formira simetrični model. Standardizovani primalni model LP-a u sljedećim oblicima: ƒ ekstezivni (razvijeni) oblik, ƒ kondenzovani oblik, ƒ matrični oblik. 4.2.1. Opšti polazni primalni model LP-a

Funkcija cilja u problemu LP-a izražava osnovni cilj, odnosno ono što želimo postići rješavanjem modela i mora biti unaprijed definisana (npr. maksimizirati prihod). Označimo sa x1 , x2 ,… , xn ∈ R nepoznate veličine u problemu linearnog programiranja (npr. količine proizvoda koje trebamo proizvesti, ili resursa koje trebamo rasporediti) i neka su c1 , c2 , …, cn ∈ R poznati parametri koji karakterišu fukciju cilja (npr. prihod ili trošak po jedinici proizvoda ili resursa koji određujemo). Kako je zadatak linearnog programiranja određivanje ekstremne vrijednosti funkcije (funkcije cilja), uz dati skup linearnih ograničenja (sistem ograničenja i uslovi nenegativnosti), to ustvari znači da trebamo odrediti one vrijednosti nepoznatih x1 , x 2 ,…, xn kojima bi se maksimizirala/minimizirala linearna kombinacija vektora X = x p = [x1 x 2 … x n ] i vektora c p = [c1 c 2 … c n ] .

[ ]

[ ]

Odavde je polazni oblik primalne funkcije cilja ˝f ˝ oblika: (

458

Max. ) f = c1 x1 + c 2 x 2 + ... + c n x n Min.

MODEL LINEARNOG PROGRAMIRANJA

ili ˝kondenzovano˝ (

n Max. ) f = ∑cpxp Min. p =1

i matrično:

Max. ) f = cp T ⋅ xp Min.

(

[ ] [ ]

Varijable x1 , x2 ,… , xn ∈ R nazivamo polazne primalne varijable i usvojićemo da je njihov broj n . Sistem ograničenja se sastoji od određenog broja linearnih nejednačina. U opštem slučaju ograničenja koja se javljaju u nejednačinama mogu biti tipa: ≤ (npr. maksimalna količina novca koju imamo na raspolaganju) i ovo ograničenje nazivamo ograničenjem «I tipa». ≥ (npr. minimalna količina proizvoda koju trebamo nabaviti) i ovo ograničenje nazivamo ograničenjem «II tipa».

= (npr. moraju se iskoristiti svi resursi) i ovo ograničenje nazivamo ograničenjem «III tipa». Polaznih ograničenja tipa ≤ može biti više, npr K∈No, pa skup svih polaznih primalnih ograničenja I tipa možemo zapisati: a1,1 x1 + a1, 2 x 2 + ... + a1,n x n ≤ d 1 a 2,1 x1 + a 2, 2 x 2 + ... + a 2, n x n ≤ d 2 .................................................. a K ,1 x1 + a K , 2 x 2 + ... + a K , n x n ≤ d K

ili ˝kondenzovano˝ n

∑a p =1

kp

x p ≤ d k za k = 1, K

Parametri a kp su poznate veličine koje karakterišu ograničenje d k . Polaznih ograničenja tipa ≥ može biti više, npr. L∈N0, pa skup svih polaznih primalnih ograničenja II tipa možemo zapisati: a K +1,1 x1 + a K +1, 2 x 2 + ... + a K +1, n x n ≥ d K +1 a K + 2,1 x1 + a K + 2, 2 x 2 + ... + a K + 2, n x n ≥ d K + 2 ............................................................. a K + L ,1 x1 + a K + L , 2 x 2 + ... + a K + L , n x n ≥ d K + L

459

LINEARNO PROGRAMIRANJE

ili ˝kondenzovano˝ n

∑a p =1

lp

x p ≥ d l za l = K + 1, K + L .

Parametri alp su poznate veličine koje karakterišu ograničenje d l . I ograničenja tipa „=“ može biti više, npr. R∈N0, pa skup svih polaznih primalnih ograničenja III tipa možemo zapisati: a K + L +1,1 x1 + a K + L +1, 2 x 2 + ... + a K + L +1, n x n = d K + L +1 a K + L + 2,1 x1 + a K + L + 2, 2 x 2 + ... + a K + L + 2, n x n = d K + L + 2 ........................................................................

a K + L + R ,1 x1 + a K + L + R , 2 x 2 + ... + a K + L + R , n x n = d K + L + R

ili ˝kondenzovano˝ n

∑a p =1

rp

x p = d r za r = K + L + 1, K + L + R .

Parametri a rp su poznate veličine koje karakterišu ograničenje d r . Opšti uslovi nenegativnosti se odnose na polazne primalne varijable x1 , x2 ,… , xn ∈ R i predstavljaju činjenicu da količine ne mogu biti negativni brojevi.

Opšte uslove nenegativnosti zapisujemo u ekstenzivnom obliku x1 ≥ 0, x 2 ≥ 0,… , x n ≥ 0 , odnosno u kondenzovanom x p ≥ 0 za p = 1, n i u matričnom ⎡⎣ x p ⎤⎦ ≥ 0 . n×1

Na osnovu prethodnog, matematski zapisi opšteg primalnog modela LP-a imaju sljedeće forme: Opšti polazni primalni oblik LP-a – ekstezivni oblik

(

n Max. ) f = ∑cpxp Min. p =1

a1,1 x1 + a1,2 x 2 + ... + a1, n x n ≤ d1 a 2,1 x1 + a 2,2 x 2 + ... + a 2, n x n ≤ d 2

.................................................. a K ,1 x1 + a K ,2 x 2 + ... + a K , n x n ≤ d K

460

MODEL LINEARNOG PROGRAMIRANJA

a K +1,1 x1 + a K +1,2 x 2 + ... + a K +1, n x n ≥ d K +1 a K + 2,1 x1 + a K + 2,2 x 2 + ... + a K + 2, n x n ≥ d K + 2

............................................................. a K + L,1 x1 + a K + L,2 x 2 + ... + a K + L, n x n ≥ d K + L

(4.1) a K + L +1,1 x1 + a K + L +1,2 x 2 + ... + a K + L +1, n x n = d K + L +1 a K + L + 2,1 x1 + a K + L + 2,2 x 2 + ... + a K + L + 2, n x n = d K + L + 2

........................................................................ a K + L + R,1 x1 + a K + L + R,2 x 2 + ... + a K + L + R, n x n = d K + L + R

x p ≥ 0 za p = 1, n gdje su aip, di, cp ∈ R poznate konstante, za p = 1, n i i = 1, m i gdje je ukupan broj ograničenja m = K + L + R i n ukupan broj polaznih primalnih varijabli. Usvojimo da su svi di ≥ 0, što se može množenjem –1 spornih polaznih jednačina u (i) uvijek obezbijediti. Opšti polazni primarni oblik LP-a u kondenzovanom obliku je dat sa: n ⎛ Max. ⎞ ⎜ ⎟ f = ∑cp ⋅ xp ⎝ Min. ⎠ p =1

⎧ ⎪I ⎪ ⎪⎪ ⎨ II ⎪ ⎪ ⎪ III ⎪⎩

n

∑a p =1

kp

n

∑a p =1

lp

n

∑a p =1

rp

⋅ xp ≤ dk

za

k = 1,K

⋅ x p ≥ dl

"

l = K + 1,K + L

⋅ xp = dr

"

r = (K + l) + 1,(K + L) + R

xp ≥ 0

"

p = 1,n ;

(4.1')

m = (K + L + R)

Ako poznate parametre u funkciji cilja i polazne primalne varijable zapišemo kao ndimenzionalne vektore ⎡⎣c p ⎤⎦ n×1 i ⎡⎣ x p ⎤⎦ n×1 , te poznate koeficijente u ograničenjima kao m x n

[ ] m x n , a sva ograničenja kao [d ]

- dimenzionalnu matricu aip

i

m×1

vektor ograničenja, onda

se može dati i matrični oblik opšteg polaznog primalnog modela LP-a:

461

LINEARNO PROGRAMIRANJE

(

[ ] [ ]

Max. ) f = cp T ⋅ xp 1n n1 Min.

I II III

[akp ] Kn ⋅ [x p ] n1 ≤ [d k ] K1 [alp ] Ln ⋅ [x p ] n1 ≥ [d l ] L1 [arp ] Rn ⋅ [x p ] n1 = [d r ] R1

⎫ ⎪⎪ ⎯→ m = ( K + L + R) ⎬⎯ ⎪ ⎪⎭

(4.1'')

⎡⎣ x p ⎤⎦ ≥ 0 n×1

gdje je ⎡⎣ x p ⎤⎦ n×1 vektor polaznih primalnih varijabli, ⎡⎣ c p ⎤⎦ n×1 vektor parametara koji karakterišu funkciju cilja,

[ di ] m×1

vektor ograničenja i A = ⎡⎣ aip ⎤⎦ matrica koeficijenata u mxn

ograničenjima. Kod problema maksimizacije prirodno je očekivati barem jedno ograničenje tipa ≤ („odozgo”) jer bi u suprotnom optimalna vrijednost bila beskonačno velika i analogno kod problema minimizacije, ako nemamo „donjeg” ograničenja (tipa ≥ ), optimum bi bio u nuli (zbog uslova nenegativnosti). Upravo iz ovih razloga se često u literaturi kao polazni model linearnog programiranja uzima tzv. simetričan model. Za model ćemo reći da je simetričan ako funkcija cilja i skup ograničenja zadovoljavaju sljedeće osobine: ƒ funkcija cilja je max f , a sva ograničenja u modelu su tipa ≤ , odnosno I tipa. ƒ funkcija cilja je min f , a sva ograničenja u modelu su tipa ≥ , odnosno II tipa.

Kad polazni model nije simetričan možemo ga, jednostavnim transfomacijama skupa ograničenja, pretvoriti u simetričan. Postupak je opisan u nastavku: Kod funkcije cilja max f , potrebno je transformisati skup ograničenja tako da sva ograničenja u modelu imaju oblik ≤ . To znači da ograničenja I tipa nećemo transformisati, ograničenja II tipa ćemo množiti sa (-1), dok ćemo ograničenja tipa „=“ razdvojiti na dvije jednačine sa istim oblikom, samo što jedna jednačina ima oblik ≤ , a druga oblik ≥ . Postupak transformacije opšteg polaznog primalnog modela 4.1' (opšteg modela datog u kondenzovanom obliku) sa ciljem max f u simetrični model:

462

MODEL LINEARNOG PROGRAMIRANJA

SLUČAJ (Max.)f n

( Max.) f = ∑ c p ⋅ x p



p =1

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪I ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ II ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ III ⎪ ⎪⎩

p =1

n

∑ akp ⋅ x p ≤ d k



p =1 n

∑ alp ⋅ x p ≥ dl ∑a p =1

rp

⋅ x p = dr

xp ≥ 0

n

∑ p =1



p =1

n

n

( Max.) f = ∑ c p ⋅ x p

n

∑ (-a p =1





akp ⋅ x p ≤ lp

)⋅ xp ≤

dk - dl

⎧ n ⎪ ∑ arp ⋅ x p ≤ d r ⎪ p =1 ⎨ n ⎪ (−a ) ⋅ x ≤ −d rp p r ⎪⎩ ∑ p =1 xp ≥ 0

∀k ∀l ∀r

∀p

odnosno, model 4.1'. u slučaju maksimuma ima svoj ekvivalentan simetričan oblik: n

(Max.)f = ∑ c p ⋅ x p p =1

n

∑ a ⋅ x p ≤ d i∗ p =1

∗ ip

xp ≥ 0

, i = 1,m ∗ , m ∗ = m + R

(4.1''')

p = 1,n

gdje su: m∗ = [ m + R ] = [(K + L + R) + R ] = K + L + 2 R ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ akp i d i∗ = d k za p = 1,n k = 1,K i=k ⎪ ⎪ ∗ = ⎨ − alp " di∗ = − d l aip " " l = K + 1,K + L i=l ⎪ ⎪⎧ a rp " d i∗ = d r " " r = K + L + 1,K + L + R i=r ⎪⎪ m ⎪⎨ " " " i = m + 1,m + R ⎪⎩⎪⎩− a rp " d i∗ = −d r pa se ovaj simetričan model 4.1'''. može posmatrati kao polazni model LP-a.

463

LINEARNO PROGRAMIRANJE

Kod funkcije cilja min f , potrebno je transformisati skup ograničenja tako da sva ograničenja u modelu imaju oblik ≥ . To znači da ograničenja I moramo transformisati i to tako što ćemo ovaj tip ograničenja pomnožiti sa (-1). Ograničenja II tipa ćemo prepisati, dok ćemo ograničenja tipa „=“ razdvojiti na dvije jednačine sa istim oblikom, samo što jedna jednačina ima oblik ≤ , a druga oblik ≥ . Slučaj (Min.)f n

( Min.) f = ∑ c p ⋅ x p



p =1

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪I ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ II ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ III ⎪ ⎪⎩

n

∑a p =1

kp

n

∑a p =1

lp

n

∑a p =1

rp

n

( Min.) f = ∑ c p ⋅ x p p =1

⋅ xp ≤ dk



⋅ x p ≥ dl



⋅ xp = dr

xp ≥ 0

n

∑ (- a

) ⋅ xp ≥ - dk

∀k

alp ⋅ x p ≥ d l

∀l

a rp ⋅ x p ≥ d r

∀r

p =1 n

∑ p =1



⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩

n

∑ p =1

kp

n

∑ (−a p =1



rp

) ⋅ x p ≥ −d r xp ≥ 0

∀p

odnosno, model 4.1'. u slučaju minimuma ima svoj ekvivalentan simetričan oblik: n

( Min)f = ∑ c p ⋅ x p p =1

n

∑ a ⋅ x p ≥ di∗ p =1

∗ ip

xp ≥ 0

, i = 1,m∗ , m∗ = m + R p = 1,n

gdje su: m ∗ = [m + R ] = [(K + L + R) + R ] = K + L + 2 R

464

(4.1''''.)

MODEL LINEARNOG PROGRAMIRANJA

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ − akp ⎪ aip∗ = ⎨ alp ⎪ ⎪ ⎧⎪ arp ⎪⎨ ⎪⎪−a ⎩ ⎩ rp

i

d i∗ = − d k

"

d i∗ =

"

d i∗ = d r

za p = 1,n

dl

" "

"

k = 1,K

i=k

l = K + 1,K + L

i=l

r = K + L + 1,K + L + R

"

.

i=r

m

d i∗ = − d r

"

"

"

i = m + 1,m + R

"

Na osnovu prethodnog izvođenja vidimo da se (uz naglašavanje izvedenih transformacija) simetrični modeli mogu uzimati za polazne modele linearnog programiranja, što brojni autori i rade. Primjer 4.1.

Dat je opšti polazni model LP-a min f = 80 x1 + 120 x2 + 80 x3 2 x1 +

I ΙΙ ΙΙΙ

x1 +

x2 + 3 x3 ≤ 1000 2 x2 +

x3 ≥ 200

x2 −

x3 = 100

x1 , x2 , x3 ≥ 0 transformisati dati model u simetričan, pa ga zapisati u matričnom obliku. Rješenje:

Kako je u pitanju min f, to se sva ograničenja moraju svesti na oblik ≥ , što znači da ćemo transformisati ograničenja I i ograničenje III datog modela: Ι ⇔ − 2 x1 − x 2 − 3 x3 ≥ −1000 2 x1 + x 2 + 3 x3 ≤ 1000 ΙΙI

x1 + x 2 − x3 = 100 ⇔

⎧ x1 + x 2 − x3 ≤ 100 ⇔ ⎨ ⎩ x1 + x 2 − x3 ≥ 100

⎧− x1 − x 2 + x3 ≥ −100 ⎨ ⎩ x1 + x 2 − x3 ≥ 100

Odnosno, ekvivalentan simetričan zapis polaznog modela LP-a ima oblik: min f = 80 x1 + 120 x2 + 80 x3 Ι

− 2 x1 −

ΙΙ ΙΙΙ

x2 − 3 x3 ≥ −1000 2 x2 +

x3 ≥

200

− x1 −

x2 +

x3 ≥ − 100

x1 +

x2 −

x3 ≥

100

x1 ,

x2 ,

x3 ≥

0

465

LINEARNO PROGRAMIRANJE

Definišimo matrice: ⎡− 2 − 1 − 3⎤ ⎡− 1000⎤ ⎡ 80 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎥ ⎢0 ⎢ 200 ⎥ 2 1⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ A= ; d= ; c = ⎢120⎥ i x = ⎢⎢ x 2 ⎥⎥ ⎢−1 −1 1 ⎥ ⎢ − 100 ⎥ ⎢⎣ 80 ⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ − 1 1 1 100 ⎦ ⎦ ⎣ ⎣ Matrični zapis modela bi sada izgledao ovako: min f = c T ⋅ x . A⋅x≥ d

x≥0 4.2.2. Standardni (opšti) model LP-a

Navedene opšte oblike modela linearnog programiranja ćemo kompletirati definisanjem standardnog modela LP-a, koji je neophodan za razvoj i upotrebu algoritama kojima se rješavaju problemi linearnog programiranja. Polazni model LP-a 4.1. se prevodi u ekvivalentan standardni oblik tako što se sva ograničenja transformišu u jednačine. To se postiže tako što se svakom ograničenju I i II tipa pridruži po jedna nova varijabla koja će omogućiti izravnanje ograničenja. Ove varijable se nazivaju izravnavajuće varijable (dopunske ili oslabljene) i njihov broj jednak je broju ograničenja I i II tipa (odnosno K + L u opštem modelu). Izravnavajuće varijable ispunjavaju uslov nenegativnosti i njihove vrijednosti ne smiju uticati na vrijednost funkcije cilja. Zbog toga su koeficijenti uz izravnavajuće varijable u funkciji cilja jednaki 0. Uvođenjem izravnavajućih varijabli je omogućena transformacija ograničenja tipa «≤» i tipa «≥» u jednakost, ali za potpuno formiranje standardnog modela i primjenu simplex algoritma za rješavanje problema LP-a neophodno je matricu ograničenja A = aip

[ ]mxn

proširiti sa jediničnom matricom, odnosno svakom ograničenju (pa i ograničenju tipa «=») moramo dodati neku novu varijablu. Varijable koje se uvode u model isključivo da bi se dobila jedinična matrica kao dio proširene matrice ograničenja A nazivamo vještačkim (umjetnim, eng. artificial) varijablama. Vještačke varijable nemaju ekonomsko značenje i u optimalnom rješenju problema LP-a ove varijable moraju imati vrijednost 0. Da bi se obezbijedila vrijednost 0 za sve vještačke varijabe u modelu, potrebno je ovim varijablama dodijeliti koeficijente u funkciji cilja koji će ih učiniti inferiornim i u optimalnom slučaju im obezbijediti uvijek vrijednost 0. Ovo ćemo postići ako svim vještačkim varijablama dodijelimo dovoljno mali broj za maksimum, označimo ga sa –M i dovoljno veliki broj za minimum, označimo ga sa +M, M ∈ R + . 466

MODEL LINEARNOG PROGRAMIRANJA

U nastavku ćemo objasniti način uvođenja novih varijabli u polazni model i njihovo značenje. Polaznom modelu LP-a dodajemo dvije vrste varijabli:

Izravnavajuće varijable (dopunske ili oslabljene) za koje mora vrijediti uslov nenegativnosti i koje imaju ekonomsko značenje; Vještačke varijable (umjetne, eng. artificial), koje nemaju ekonomsko značenje i u optimalnom slučaju moraju imati vrijednost 0. Kod svih ograničenja I tipa (≤) imamo manju vrijednost na lijevoj strani u ograničenju, pa dodajemo neku pozitivnu vrijednost, odnosno uvodimo izravnavajuću varijablu sa znakom (+1). Izravnavajuća varijabla pridružena ograničenju k označava se sa x n + k i mjeri se u istoj jedinici mjere kao i ograničenje (naziv: izravnavajuća I tipa3 ili neiskorištena ili oslabljena varijabla, eng. slack). Npr., da bi izvršili standardizaciju kod 3. ograničenja I tipa u opštem modelu 4.1. LP-a a3,1 x1 + a3, 2 x 2 + ... + a3,n x n ≤ d 3 moramo dodati izravnavajuću varijablu x n +3 ≥ 0 , pa bi sad ograničenje 3 poprimilo oblik: a3,1 x1 + a3, 2 x 2 + ... + a3,n x n + x n +3 = d 3 . Varijabla x n +3 ≥ 0 označava koliko u ponuđenom rješenju (ne mora biti optimalno) nedostaje jedinica ograničenja 3 da bi se ovo ograničenje potpuno iskoristilo. Kod svih ograničenja II tipa (≥) imamo veću vrijednost na lijevoj strani nejednakosti u ograničenju, pa da bi izravnali ograničenje oduzimamo neku pozitivnu vrijednost, odnosno uvodimo izravnavajuću varijablu sa znakom (-1) i jednu vještačku sa znakom (+1). Izravnavajuća varijabla pridružena ograničenju l označava se sa x n +l i mjeri se u istoj jedinici mjere kao i ograničenje (izravnavajuća II tipa ili suvišak, eng. surplus), dok se vještačka varijabla označava sa x n*+l i nema ekonomsko značenje (vještačka II tipa, eng. artificial) Npr., da bi izvršili standardizaciju kod petog ograničenja koje je II tipa: a5,1 x1 + a5, 2 x 2 + ... + a5,n x n ≥ d 5 uvodimo izravnavajuću varijablu x n +5 i vještačku x n*+5 na sljedeći način: a5,1 x1 + a5, 2 x 2 + ... + a5,n x n − x n +5 + x n*+5 = d 5 ,

pa je ovim izvršena standardizacija petog ograničenja. 3

Vučković, Ž., (1989), str. 6.

467

LINEARNO PROGRAMIRANJE

Prilikom standardizacije ograničenja III tipa, odnosno kod ograničenja tipa =, vidimo da nema potrebe za uvođenjem izravnavajuće varijable jer je ograničenje već izravnato, ali se uvodi vještačka varijabla sa znakom (+1) i označava sa x n*+ r (vještačka varijabla III tipa). U funkciji cilja, izravnavajuće varijable imaju koeficijent 0, dok vještačke imaju koeficijent ± M (+M ako je cilj min f i –M ako je cilj max f) gdje je M jako veliki realni broj. Napomenimo još jedanput da vještačke varijable II i III tipa nemaju ekonomsko tumačenje i u optimalnom rješenju problema LP-a njihove vrijednosti uvijek moraju biti 0. Prilikom uvođenja i tumačenja dualnih varijabli vidjećemo da se vještačka varijabla III tipa koristi pri izračunavanju njene dualne vrijednosti. Izravnavajuće (slack) varijable pridružene ograničenju tipa „≤” u ograničenjima imaju koeficijent +1, pa će one činiti dio jedinične matrice u standardnom modelu LP-a. Međutim, izravnavajuće (surplus) varijable pridružene ograničenju tipa „≥” će u ograničenjima imati koeficijent -1 (oduzimamo od lijeve strane nejednakosti) i one neće biti dio jedinične matrice. Upravo vještačke varijable koje su pridružene ograničenjima II i III tipa omogućavaju sa kompletiranje jedinične matrice, odnosno proširenje matrice ograničenja A = aip

[ ]mxn

jediničnom matricom. Na osnovu izloženog imamo da je standardizovani polazni model LP-a u kondenzovanom obliku dat sa: n

(1)⎛⎜ Max. ⎞⎟ f = ∑C p ⋅ x p + ∑ 0 ⋅ xn + k +∑ 0 ⋅ xn +l + ∑ ∓ M ⋅ x*n +l + ∑ ∓ M ⋅ xn + r Min. ⎝

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ (2) ⎪⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩

(3)



p =1 n

∑ akp ⋅ x p

Ι

p =1 n

∑ alp ⋅ x p

ΙΙ

p =1

∀l

∀l

∀r

+ xn + k

= dk , − xn + l

+ x* n + l

n

∑ arp ⋅ x p

ΙΙΙ

p =1

x p ≥ 0 ; xn + k ≥ 0 ; xn + l ≥ 0 , xn + r = 0 ; x*n + l = 0 ,

odnosno, kraće:

468

∀k

(∀k )

= dl ,

(∀l )

+ xn + r = d r ,

(∀r )

(∀p, k, l, r )

MODEL LINEARNOG PROGRAMIRANJA

N ⎛ Max ⎞ f = cs ⋅ xs ⎜ ⎟ ∑ ⎝ Min ⎠ s =1 N

∑a s =1

is

⋅ xs = d i , xs ≥ 0

i = 1, m ← m = K + L + R

(4.2)

s = 1, N ← N = n + (K + L + R ) = n + m

i u matričnom obliku: ⎛ Max ⎞ T T ⎜ ⎟ f = [c s ] ⋅ [x s ] → [c s ] je (1 ⋅ N ) − dim ⎝ Min ⎠ [ais ] ⋅ [x s ] = [d i ] → [x s ] " (N ⋅ 1) − dim , [x s ] ≥ 0 → [ais ] " (m ⋅ N ) − dim → [d i ] "

(m ⋅ 1)

(4.2')

− dim

gdje je matrica [ais ] proširena matrica koeficijenata u ograničenjima po već opisanom pravilu. Rezimirajmo, standardizacija polaznog primalnog modela se vrši tako što se skup polaznih varijabli proširuje i uvode se dva tipa varijabli: izravnavajuće ( xn+i i = 1,…, K + L ) i vještačke ( x*n+ j j = K + 1,…, m ) .

Kod ograničenja I tipa (tipa ≤) uvodimo jednu izravnavajuću varijablu sa koeficijentom +1. Kod ograničenja II tipa (tipa ≥) uvodimo jednu izravnavajuću varijablu sa koeficijentom -1 i jednu vještačku varijablu sa koeficijentom +1. Kod ograničenja III tipa (tipa =) uvodimo jednu vještačku varijablu sa koeficijentom +1. Izravnavajuće varijable su nenegativne i imaju svoje ekonomsko značenje, dok vještačke varijable nemaju ekonomsko značenje i njihova vrijednost mora biti 0. Izravnavajuća varijabla xn+i nam govori koliko nedostaje da se zadovolji ili koliki je suvišak u ograničenju i . U funkciji cilja, izravnavajuće varijable imaju koeficijent 0, dok vještačke varijable imaju koeficijent ± M (gdje je M neki veliki realni broj), i to − M kod cilja max f i + M kod cilja min f .

469

LINEARNO PROGRAMIRANJE

Primjer 4.2.

Dat je opšti polazni model LP-a min f = 80 x1 + 120 x 2 + 80 x3 I

2 x1 + x 2 + 3 x3 ≤ 1000

ΙΙ

2 x 2 + x3 ≥ 200 x1 + x 2 − x3 = 100

ΙΙΙ

x1 , x 2 , x3 ≥ 0

Izvršiti standardizaciju modela pa ga zapisati u matričnom obliku. Rješenje:

Standardizacija ograničenja: Ograničenje I tipa: 2 x1 + x2 + 3x3 ≤ 1000

(4.2. a)

Da bi izravnali ovo ograničenje, potrebno je dodati lijevoj strani nejednakosti (4.2. a) neki pozitivan broj, označimo ga sa x 4 . Varijabla x 4 predstavlja izravnavajuću varijablu I tipa (neiskorištena ili oslabljena varijabla, eng. slack), a ograničenje (4.2. a) poprima ekvivalentan oblik (4.2. a'): 2 x1 + x2 + 3x3 + x4 = 6 x1, x2 , x3 , x4 ≥ 0

.

(4.2. a')

Ograničenje II tipa: 2 x 2 + x3 ≥ 200

(4.2. b)

gdje je x1 , x 2 , x3 ≥ 0 . U ovom slučaju imamo višak na lijevoj strani nejednakosti (4.2. b). Da bi izravnali ograničenje, potrebno je oduzeti od lijeve strane nejednakosti (4.2. b) neki pozitivan broj, označimo ga sa x5 . Varijabla x5 predstavlja izravnavajuću varijablu II tipa (suvišak varijabla, eng. surplus). Osim izravnavajuće, moramo dodati i vještačku varijablu x5* , a ograničenje (4.2. b) poprima ekvivalentan oblik (4.2. b''): 2 x 2 + x3 − x5 + x5* = 200 x1 , x 2 , x3 , x5 ≥ 0; x5* = 0

Ograničenje III tipa: 470

.

(4.2. b'')

MODEL LINEARNOG PROGRAMIRANJA

x1 + x 2 − x3 = 100

(4.2. c)

gdje je x1 , x 2 , x3 ≥ 0 . U ovom slučaju uvodimo samo jednu vještačku varijablu III tipa, označimo je sa x6* , i ograničenje (4.2. c) poprima ekvivalentan oblik:

x1 + x2 − x3 + x6* = 100

(4.2. c)

Kako je cilj min f, to se u funkciji cilja vještačkim varijablama dodjeljuje koeficijent +M, a izravnavajućim koeficijent 0. Nakon uvođenja izravnavajućih i vještačkih varijabli u model koji je dat u primjeru 4.2, dobićemo sljedeću ekvivalentnu interpretaciju modela: min f = 80 x1 + 120 x2 + 80 x3 + 0 ⋅ x4 + 0 ⋅ x5 + M ⋅ x5* + M ⋅ x6* + x2

2 x1

I ΙΙ

+ x3

2 x2

IΙΙ

x1 + x2

+ 3x3 + x4

= 1000

− x5

+ x

= 200

* 5

− x3

+ x6*

= 100

x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0; x5* = x6* = 0

Odnosno, u matričnoj interpretaciji: min f = [80 120 80 0 0 M

[

M ] ⋅ x1

x2

x3

x4

x5

x5 *

x6 *

]

Τ

⎡ x1 ⎤ ⎢x ⎥ ⎢ 2⎥ ⎡2 1 3 1 0 0 0⎤ ⎢ x3 ⎥ ⎡1000⎤ ⎢0 2 1 0 − 1 1 0⎥ ⋅ ⎢ x ⎥ = ⎢ 200 ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ 4⎥ ⎢ ⎢ ⎢⎣1 1 − 1 0 0 0 1⎥⎦ ⎢ x5 ⎥ ⎢⎣ 100 ⎥⎦ ⎢ *⎥ ⎢ x5 ⎥ ⎢x * ⎥ ⎣ 6 ⎦

[x

1

x2

x3

x4

x5

x5 *

x6*

]

Τ

≥0

471

4.3.

Bazne teoreme linearnog programiranja

Navešćemo osnovne teoreme na bazi kojih je definisan način rješavanja problema i osnovne osobine modela linearnog programiranja.4 U navođenju osnovnih teorema koristićemo standardizovani opšti model LP-a dat u jednom od sljedeća dva ekvivalentna zapisa: ⎧ f = cT X ⎪ AX = d ⎨ ⎪ X ≥0 ⎩

(4.3)

⎧f = N c x ∑ j j ⎪ j =1 ⎪N ⎪ ⎨∑ Aj x j = d ⎪ j =1 ⎪ xj ≥ 0 ⎪ ⎩

(4.4) j =1, N

gdje su c = [c1 c2 … c N ]Τ ; d = [d 1 ⎡ a11 A = ⎢⎢ ⎢⎣a m1

d2

[

… d m ] ; A j = a1 j Τ

a2 j

]

… a mj Τ i

a1N ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎥ poznati koeficijenti u modelu, a X = ⎢ ⎥ nepoznat vektor u modelu. ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ x N ⎥⎦ a mN ⎥⎦

Teorema 4.3.1:

Skup K svih mogućih rješenja problema linearnog programiranja je konveksan skup. Dokaz:

Treba pokazati da je bilo koja konveksna kombinacija mogućeg rješenja LP-a također moguće rješenje istog LP-a. Neka su X1 i X2 dva razna moguća rješenja problema (1), a to znači da X1 i X2 zadovoljavaju uslove: AX1 = d X1

≥ 0

X1 ∈ VN 4 5

i

AX2 = d X2 ≥ 0. X2 ∈VN.5

Arnaut-Berilo A., (2000) VN (skup svih N-dimenzionalnih vektora) predstavlja vektorski prostor nad poljem realnih brojeva.

472

BAZNE TEOREME LINEARNOG PROGRAMIRANJA

Neka je

X = αX1 + (1-α)X2,

α∈ [0, 1]

AX = A(αX1 + (1-α)X2) = αAX1 + (1-α)AX2 = αd + (1-α)d = d,

slijedi

odnosno X∈ K. Dakle, konveksna kombinacija bilo koja dva elementa iz K je element iz K, tj. K je konveksan skup♦ Označili smo konveksan skup rješenja LP-a sa K. Pošto je K određeno sa presjekom konačnog broja ograničenja, to skup K može biti ili prazan skup, ili konveksan poligon, ili konveksna regija koja je neograničena sa jedne strane. Ukoliko je K prazan skup, problem LP-a nema ni jedno rješenje. Ukoliko je K konveksan poligon, problem LP-a ima rješenje sa konačnom vrijednošću objektivne funkcije f. Ukoliko je K konveksna regija koja je neograničena sa jedne strane, to problem LP-a može imati konačno ili beskonačno rješenje. U nastavku ćemo pretpostaviti da je K konveksan poligon.

Teorema 4.3.2:

Objektivna funkcija f postiže svoju optimalnu vrijednost (minimum ili maksimum) u ekstremnim tačkama konveksnog poligona K. Ako se desi da f prima optimalnu vrijednost za više od jedne ektremne tačke, onda će problem LP-a imati optimalnu vrijednost za svaku konveksnu kombinaciju tih ekstremnih tačaka. Dokaz:

Uzet ćemo da je u pitanju minimum (analogno zaključivanje bi izvršili i za maksimum). Prema pretpostavci, skup K je konveksan poligon. Slijedi da K ima konačno mnogo ekstremnih tačaka, recimo p. Označimo te ekstremne tačke sa : X 1 , X 2 , . . . , X p sa odgovarajućim vrijednostima funkcije cilja: f ( X 1 ), f ( X 2 ), . . . , f (X p ) .

Neka ekstremnu vrijednost funkcija cilja ima u tački X0, odnosno min f(X) = f(X0), slijedi f (X0) ≤ f (X), za sve X∈ K. Ako je X0 ekstremna tačka poligona K, onda je prvi dio teoreme dokazan. Pretpostavimo da X0 nije ekstremna tačka skupa K. Tada se X0 može napisati kao konveksna kombinacija ekstremnih tačaka poligona K: p

X 0 = ∑α e X e , e =1

αe ≥ 0 i

p

∑α e =1

e

=1

(4.5)

473

LINEARNO PROGRAMIRANJE

Odavde ćemo imati:6 p

f ( X 0 ) = ∑α e f (X e )

(4.6)

e =1

Neka je p

f ( X min ) = min f ( X i ) ⇒ f ( X e ) ≥ f ( X min )

⇒ f ( X 0 ) ≥ ∑αe f ( X min ) = f ( X min ) (4.7)

e=1, p

e=1

Iz (4.6) i (4.7) imamo da je f (X0) = f (Xmin), što znači da se u ektremnoj tački Xmin minimizira funkcija cilja. Prvi dio teoreme je dokazan. Neka je npr. f ( X 1 ) = f (X 2 ) = . . . = f (X q ) = f (q ≤ p), odnosno neka funkcija cilja dostiže minimalnu vrijednost f u ekstremnim tačkama X 1 , X 2 , . . . , X q . Pokazaćemo da je za svaku konveksnu kombinaciju ovih q vektora vrijednost funkcije cilja minimalna. Neka je X proizvoljna konveksna kombinacija elemenata: X 1 , X 2 , . . . , X q , tada je q

X = ∑α e X e ,

αe ≥ 0 i

e =1

q

∑α e =1

e

=1

(4.8)

Uvrštavanjem prethodnog u funkciju cilja f imaćemo: q

q

e =1

e=1

f ( X ) = ∑ α e f ( X e ) = ∑ α e fˆ = fˆ Ovim je teorema dokazana ♦ Za sljedeću teoremu koristit ćemo model linearnog progamiranja u obliku (4.4). Napomenimo da kolone matrice A predstavljaju m – dimenzionalne vektore, označili smo ih sa Ai, i da je d također m – dimenzionalan vektor sastavljen od elemenata di ≥ 0.

Teorema 4.3.3:

Ako postoji podskup {P1 , P2 , ..., Pk } od k ≤ m linearno nezavisnih vektora skupa {A1 , A 2 , ..., A N } , takvih da je x1P1 + x2P2 +. .. + xkPk = B i xi ≥ 0 (∀i = 1,.., k)

6

Iskorištena je činjenica da VN predstavlja vektorski prostor.

474

BAZNE TEOREME LINEARNOG PROGRAMIRANJA

tada je tačka X = (x1, x2,. .. ,xk, 0,.. ., 0) ekstremna tačka skupa mogućih rješenja. Ovo znači da je X jedan N – dimenzionalni vektor kod kojeg su zadnjih N – k elemenata jednaki 0. Dokaz:

Teorema pretpostavlja da vektor X zadovoljava uslove (i) i (ii) modela (4.4), pa je takvo X moguće rješenje problema LP-a (X ∈ K). Pretpostavimo da X nije ekstremna tačka skupa K. To znači da X može biti napisana kao linearna kombinacija druge dvije tačke X1 i X2 iz K : X = αX1 + (1 - α)X2 za 0 < α α > 0 i (1 - α) > 0 i da su svi elementi xi vektora X nenegativni, imamo da je posljednjih (n – k) elemenata u X1 i u X2 također jednako 0. Pošto X1, X2 ∈ K slijedi AX1

= d odnosno x1(1) P1

+ x2(1) P2

+ . . . + xk(1) Pk

AX 2

= d odnosno x1( 2) P1

+ x2( 2) P2

+ . . . + xk( 2) Pk

A ( X1 − X 2 ) = 0 odnosno

⎫⎪ ⎬+ = d ⋅ ( −1) ⎪⎭

=d

( x( ) − x( ) ) P + ( x( ) − x( ) ) P + . . . + ( x( ) − x( ) ) P = 0 1 1

2

1

1

1 2

2 2

2

1 k

2

k

k

zbog linearne nezavisnosti vektora Pi imamo da su x1(1) = x1(2 ) ;

x 2(1) = x 2(2 ) ; . . . x k(1) = x k(2 )

Ovo znači da se X ne može izraziti kao konveksna kombinacija dvije različite tačke iz K, pa X mora biti ekstremna tačka u skupu K. Time je teorema dokazana ♦

Teorema 4.3.4:

Ako je X = (x1, x2,. .. ,xn) ekstremna tačka skupa mogućih rješenja K, tada m – dimenzionalni vektori P1, P2,.. ., Pk koji su asocirani7 sa pozitivnim koeficijentima xi čine linearno nezavisan skup. Odavde slijedi da je najviše m od ovih xi pozitivno. Dokaz:

Neka su nenulti xi prvih k koeficijenata u X, to na osnovu teoreme 4.3.3 imamo

7

Za vektore Pi, i = 1..k, ćemo reći da su asocirani sa xi ako vrijedi x1P1 + x2P2 + . . . + xkPk = P0 i xi > 0

475

LINEARNO PROGRAMIRANJE

k

∑x P =d. i =1

i

i

Pretpostavimo suprotno, da su vektori P1, P2,.. ., Pk linearno zavisni, to znači da imamo : d1P1 + d2P2 +.. .+ dkPk = 0 i bar jedan di ≠ 0.

(4.9)

Iz pretpostavke teoreme slijedi:

x1P1 + x2P2 +. .. + xkPk = d

(4.10)

Za neko d > 0 imamo:

(x1 − dd1 )P1 + (x 2 − dd 2 )P2 + . (x1 + dd1 )P1 + (x 2 + dd 2 )P2 + .

. . + (x k − dd k )Pk = d

. . + ( x k + dd k )Pk = d

Izaberimo d > 0 dovoljno malo tako da je :

(x1 – dd1) > 0; (x2 – dd2) > 0;. . .(xk – ddk) > 0 pa imamo da su

X1 = (x2 – dd2, x2 – dd2,.. ., xk – ddk) i X1 = (x2 + dd2, x2 + dd2,.. ., xk + ddk) dva različita moguća rješenja problema LP-a, odnosno da X1, X2∈ K;

1 1 X 1 + X 2 , što je u suprotnosti sa pretpostavkom da je X ektremna 2 2 tačka. To znači da skup vektora P1, P2,.. ., Pk mora biti linearno nezavisan. Odavde je X =

Kako je svaki skup od (m+1) vektora u m – dimenzionalnom prostoru linearno zavisan, ne može postojati više od m pozitivnih xi, i=1,...,n. Time je teorema dokazana♦ Možemo, bez gubitka opštosti, pretpostaviti da u skupu vektora {A1 ,A2,. .. ,An} uvijek postoji podskup od m linearno nezavisnih vektora. (Ukoliko to ne bi bio slučaj, onda možemo proširiti skup {A1 ,A2,. .. ,An} vektora dok ne dobijemo da su linearno nezavisni i tražiti rješenje proširenog problema.) Kao posljedicu prethodnih teorema imamo sljedeći korolar:

Korolar 4.3.1:

Asociran sa svakom ekstremnom tačkom iz skupa mogućih rješenja, K je podskup od m linearno nezavisnih vektora iz pripadnog skupa {A1 ,A2,. .. ,An}. Kao rezultat prethodnih teorema imamo:

476

BAZNE TEOREME LINEARNOG PROGRAMIRANJA

ƒ Postoji ektremna tačka skupa K u kojoj funkcija cilja f uzima optimalnu vrijednost; ƒ Svako bazično moguće rješenje odgovara ekstremnoj tački u K; ƒ Svaka ektremna tačka u K ima m linearno nezavisnih vektora iz datog skupa od n asociranih sa njom.

Iz ranije navedenog možemo zaključiti da trebamo provjeriti samo ektremne tačke, a ⎛n⎞ to znači da treba provjeriti najviše ⎜⎜ ⎟⎟ vrijednosti. Kako m i n mogu biti jako veliki, ⎝ m⎠ to su razvijene tehnike za rješavanje problema linearnog programiranja.

Tehnike za rješavanje LP problema: Dvije familije tehnika za rješavanje LP-a danas su u širokoj upotrebi. Ove tehnike uzimaju kao input samo modele LP-a u standardnoj formi i određuju rješenje vezano za standardizirani model LP-a. Ove tehnike se zasnivaju na progresivnom unapređivanju rješenja dok se ne postigne rješenje koje zadovoljava uslove za optimum. Simplex metode, koje je uveo Dantzig pedesetih godina, koriste bazično rješenje, odnosno ekstremne tačke skupa mogućih rješenja i krećući se po tim tačkama dolazimo do optimalnog rješenja. Za razliku od simleks, barrier ili interior-point metoda koristi tačke unutar skupa mogućih rješenja. Ove tehnike su se razvile iz tehnika nelinearnog programiranja, koje su razvili i popularizirali šezdesetih godina XX stoljeća Fiacco i McCormick, a njihova aplikacija u linearnom programiranju potiče od Karmarkarove analize iz 1984.godine. Upotrebom računara, problemi linearnog programiranja od nekoliko hiljada varijabli i uslova su regularno rješivi. Softveri za rješenje problema LP-a su rađeni za Pentium PC i nekoliko varijanti za Unix. Najpoznatiji softveri (free - kodovi) bazirani na ksimplex metodi su: lp_solve, koji može (po autoru) riješiti modele od 30 000 varijabli i 50 000 uslova (pisan u C-u). Verzija 3.0 je dostupna pod Lesser GNU Public License. LP – Optimizer je simplex baziran kod za linearno i integer programiranje. SoPlex je orijentisan za primjenu primalnog i dualnog simplex algoritma (dostupni su besplatni source kodovi za nekomercijalne i akademske institucije). Najpoznatiji programi (free - kodovi) bazirani na inter-point metodi su: PCx, (dostupan besplatno, Fortran ili C verzija, za bilo koju verziju Windowsa); BPMPD (za linearno i konveksno kvadratne programe, za Linux operativni sistem); HOPDM (za LP i konveksne QP, Fortran verzija dostupna, ali C verzija nije). Kod MATLAB, mogu se koristiti korisni optimizacijski paketi: Optimization Toolbox; TOMLAB Optimization Enviroment; milp.m; LPMEX. 477

4.4. Teorija dualnosti u linearnom programiranju U teoriji optimizacije princip dualnosti nam govori da se svaki problem optimizacije može posmatrati sa dva aspekta - kao primalni problem ili kao dualni problem. Teoriju dualnosti u linearnom programiranju je razvio John Von Newman 1947. godine. Problem linearnog programiranja se ne može u potpunosti razumjeti, niti se značaj informacija koje dobijamo određujući optimalno rješenje može pravilno sagledati bez upotrebe teorije dualnosti. Osnovna ideja je da se optimizacijski problem može uvijek sagledati sa dva aspekta, na dva ekvivalentna načina sa suprotno definisanim optimizacijskim ciljevima. Ideja za razvoj i matematičko definisanje dualnih problema kod linearnog programiranja je nastala proučavanjem konkurentskih matričnih igara dva igrača suma nula, gdje je jednom igraču cilj maksimum, a drugom cilj minimum. U nastavku ćemo dati osnovne karakteristike dualnih modela, vezu između dualnog i primalnog modela, načine označavanja i tumačenje dualnih varijabli. Osim toga, biće izložene (jedan dio sa dokazima) osnovne teoreme dualnosti kao matematska osnova osobina i relacija koje vrijede između primalnih i dualnih problema.

4.4.1. Osnovne karakteristike

Da bismo lakše razlikovali polazni (primalni) model od odgovarajućeg dualnog modela usvojimo sljedeće: Varijable u dualnom modelu ćemo označavati sa y, a varijable u primalnom modelu sa x. Uopšteno, primalni model linearnog programiranja ima: Funkciju cilja u dualnom modelu ćemo označavati sa g, a u primalnom modelu sa f. ƒ linearnu funkciju cilja označenu sa f sa zadatkom Max. f ili Min. f, pri čemu smo sa c = c p nx1 označili vektor koeficijenata u funkciji cilja;

[ ]

ƒ n polaznih varijabli koje moraju biti nenegativne ( x p ≥ 0, p = 1, n ) ; ƒ sistem od m polaznih ograničavajućih linearnih (ne) jednačina (i = 1, m) , pri čemu označavali matrica koeficijenata u ograničenjima, a sa smo sa A = aip

[ ]mΧn

d = [d i ]mΧ1 vektor ograničenja;

ƒ m izravnavajućih varijabli ( xn + i ≥ 0, i = 1, m ) , po jedna za svako od m navedenih polaznih primalnih ograničavajućih nejednačina; ƒ Polazni primalni model ne mora biti simetričan;

478

TEORIJA DUALNOSTI U LINEARNOM PROGRAMIRANJU

Odgovarajući (opšti) dualni model linearnog programiranja ima: ƒ Linearnu funkciju cilja označenu g suprotnog optimizacijskog cilja od funkcije f: ƒ Max. f ↔ Min. g, odnosno Min. f ↔ Max. G, dok su koeficijenti u funkciji cilja dati sa d = [d i ]mΧ1 , odnosno ograničenja u polaznom modelu predstavljaju koeficijente u funkciji cilja u dualnom modelu; ƒ m polaznih varijabli označenih sa ( y n + i , i = 1, m ) , po jednu pridruženu odgovarajućoj i-toj primalnoj polaznoj (ne)jednačini. Jedinica mjere polazne dualne varijable

y n + i je

jm funkcije cilja i ove varijable ne moraju biti nenegativne; jm ograničenja

ƒ sistem od n ograničavajućih linearnih (ne) jednačina ( p = 1, n) , pri čemu je

[ ]

A Τ = aip Τ nΧm matrica odgovarajućih koeficijenata u ograničenjima kod dualnog modela a c = c p vektor ograničenja;

[ ]nΧ1

ƒ n izravnavajućih varijabli ( y p ≥ 0, p = 1, n ) , po jedna za svako od n navedenih po-

laznih dualnih ograničavajućih nejednačina; ƒ dualni model LP-a mora biti simetričan. 4.4.2. Formulisanje dualnog modela

Kod simetričnog polaznog primalnog modela LP-a sa ciljem max f Max. f =

n

∑cpxp

p =1 n

∑ aip x p ≤ d i

, i = 1, m

p =1

xp ≥ 0 ,

p = 1, n

odgovarajući polazni dualni model LP-a je



yn + i

i = 1, m Ograničenju i pridružujemo odgovarajuću dualnu varijablu yn+ i

m

Min. g = ∑ d i y n + i i =1 m

∑ aip y n + i ≥ c p

,

p = 1, n

i =1

yn + i ≥ 0 ,

i = 1, m 479

LINEARNO PROGRAMIRANJE

a odgovarajući standardni dualni model LP-a je n

m

p =1

i =1

∑ 0 ⋅ y p + ∑ di yn + i

Min. g =

m

− y p + ∑ aip y n + i = c p ,

p = 1, n

i =1

yp ≥ 0

∀p

yn + i ≥ 0

∀i

Napomenimo da se u standardizovanom dualnom modelu obično ne uvode vještačke varijable. Od ovog pravila odstupamo jedino u slučaju da koristimo dualni model kao primalni8 pri rješavanju nekog problema linearnog programiranja. Kod simetričnog polaznog primalnog modela LP-a sa ciljem min. f Min. f =

n

∑cpxp

Ograničenju i pridružujemo odgovarajuću dualnu varijablu yn+ i

p =1 n

∑ aip x p ≥ d i

, i = 1, m



p =1

xp ≥ 0 ,

yn + i

p = 1, n

odgovarajući polazni dualni model LP-a je m

Max. g = ∑ d i y n + i i =1 m

∑ aip y n + i ≤ c p

,

p = 1, n

i =1

yn + i ≥ 0 ,

i = 1, m

a odgovarajući standardni dualni model LP-a je Max . g =

n

m

∑ 0 ⋅ y p + ∑ d i ⋅ y n+i

p =1

i =1

m

+ y p + ∑ a ip y n + i = c p ,

p = 1, n

i =1

yp ≥0 8

∀p

y n +i ≥ 0

∀i

Dual se može rješavati kao polazni model samo kad je odgovarajući primalni model simetričan. Pogledati teoreme dualnosti.

480

TEORIJA DUALNOSTI U LINEARNOM PROGRAMIRANJU

Kod opšteg polaznog primalnog modela LP-a n

⎛ Max. ⎞ ⎜ ⎟ f = ∑cp ⋅ xp ⎝ Min. ⎠ p =1

polazne dualne varijable ⇓

n

I

∑ akp x p ≤ d k

za

k = 1, K

← yn + k

za

l = K + 1, K + L

← yn + l

p =1 n

II

∑ alp x p ≥ d l

p =1 n

III

∑ arp x p = d r

r = ( K + L) + 1, ( K + L) + R

za

p =1

xp ≥ 0

,

← yn + r

p = 1, n ; m = ( K + L + R)

odgovarajući polazni dualni model LP-a je dat sa (

K K +L K + L+ R Min. ) g = ∑ d k yn + k + ∑ d l yn + l + ∑ d r yn + r Max. k =1 l = K +1 r = K + L +1 K+L

K

K + L+ R

∑ akp y n + k + ∑ alp y n + l + ∑

k =1

l = K +1

yn + k

≥ 0 ≤

yn + l

r = K + L +1 ≥ yn + r = 0 , ≤

≤ 0 ≥

a rp Yn + r

≥ c p , p = 1, n ≤

∀k,l, r

a odgovarajući standardni dualni model LP-a je (

n Min. ) g = ∑ 0 ⋅ y p +∑ d k yn + k +∑ d l y n + l + ∑ d r y n + r Max. p =1 k l r

± y p + ∑ a kp y n + k + ∑ alp y n + l + ∑ a rp y n + r = c p , p = 1, n k

yp ≥ 0

yn + k

l

≥ 0 ≤

yn + l

≤ 0 ≥

r ≥

y n + r = 0 , ∀p, k,l,r ≤

481

LINEARNO PROGRAMIRANJE

4.4.3. Teoreme dualnosti9 Teorema 4.4.3.1.

Kod mogućeg rješenja (opšeg) dualnog modela LP-a, dualne varijable moraju imati sljedeće uslove (pred)znaka: Tip ograničenja

Izravnavajuće dualne varijable

yp ≥ 0

≤ dk

Polazne dualne varijable Max. f ↔ Min.g

Min. f ↔ Max.g

∀p

y n+k ≥ 0

∀k

y n+k ≤ 0

∀k

≥ dl

"

"

y n+ l ≤ 0

∀l

y n+ l ≥ 0

∀l

= dr

"

"

y n + r 0

∀r

y n + r 0

∀r

Dokaz

Posmatrajmo opšti standardni primarni model LP-a i svakom ograničenju pridružimo odgovarajuće dualne varijable: n ⎛ Max. ⎞ ⎜ ⎟ f . = ∑ c p ⋅ x p + ∑ 0 ⋅ x n + k + ∑ 0 ⋅ x n +l + ∑ (∓ M ) ⋅ x n + r ⎝ Min. ⎠ p =1 ∀k ∀l ∀r

⎧ ⎪I ⎪ ⎪⎪ ⎨ II ⎪ ⎪ ⎪ III ⎪⎩

n

∑a p =1

kp

n

∑a p =1

lp

n

∑a p =1

rp

⋅ xp

+ 1 ⋅ xn+k

⋅ xp

= d k ← y n + k ∀k − 1 ⋅ x n +l

⋅ xp xp ≥ 0

+ 1 ⋅ x n + r = d r ← y n + r ∀r xn+k ≥ 0

x n +l ≥ 0

Sada opšti polazni dualni model LP-a ima oblik:

9

Prema: Vučković Ž., (1989), str. 179-231.

482

= d l ← y n +l ∀l

x n + r 0 odgovarajuća dualna varijabla jednaka nuli yˆ p = 0 , pa možemo reći da kad je yˆ p = 0 , odgovarajuće xˆ p je konkurentno da uđe u program. Termin konkurentno da uđe u program smo iskoristili jer se može desiti da je i xˆ p = 0 i yˆ p = 0 , a to bi značilo da je xˆ p ušlo u program, ali ima vrijadnost 0, pa imamo

487

LINEARNO PROGRAMIRANJE

degenerisano rješenje ili da xˆ p nije ušlo u ponuđeni optimalni program, ali imamo još jedno optimalno rješenje. U slučaju yˆ p > 0 10 imamo da je xˆ p = 0 , pa odgovarajuća varijabla nije ušla u program. Ako varijabla nije ušla u program, to znači da nije bila dovoljno konkurentna, odnosno da vrijednost njenog koeficijenta c p u funkciji cilja nije bila dovoljno velika (kod cilja max f), ili dovoljno mala (kod cilja min f). Ako želimo da uključimo varijablu xˆ p u program, postavlja se pitanje kako se treba promijeniti koeficijent u funkciji cilja da bi to mogli uraditi. Na osnovu teoreme 4.4.3.6. imamo da je yˆ p

⎧− (c p − fˆ p ) ≥ 0 ⎪ ⎨ ⎪⎩ (c p − fˆ p ) ≥ 0

=

kod Max.f ↔ Min.g kod Min.f ↔ Max.g

,

pa ako želimo da odgovarajuća xˆ p * > 0 , mora odgovarajuće yˆ p * = 0 . Kod max f je − yˆ p = (c p − fˆ p ) ≤ 0 ⇒ c p − fˆ p + yˆ p ≤ 0 ⇔ c p + yˆ p − fˆ p ≤ 0

(

)

Ako želimo da promijenimo koeficijent c p , onda ta promjena mora biti takva da odgovarajuće yˆ p * = 0 , odnosno iz prethodnog imamo: c + yˆ − fˆ = − yˆ * = 0

(p

p

)

p

p

pa za odgovarajući koeficijent c p * = c p + yˆ p imamo da vrijedi: c * − fˆ = − yˆ * = 0 p

p

p

Analogno bi se u slučaju min f dobilo c p * = c p − yˆ p i c p * − fˆ p = yˆ p * = 0 . Iz prethodnog razmatranja vidimo da je Δc p = c p * − c p = yˆ p , pa imamo sljedeće tumačenje izravnavajuće dualne varijable: yˆ p > 0 nam daje informaciju za koliko bi se najmanje trebao promijeniti koeficijent c p u funkciji cilja (povećati ako je cilj maximum, a smanjiti ako je cilj minimum) da bi odgovarajuća xˆ p bila konkurentna da uđe u program.

10

yˆ p < 0 se ne može desiti po definiciji izravnavajućih dualnih varijabli.

488

Metode za rješavanje problema 4.5. linearnog programiranja U nastavku će teorijski i praktično biti izložene najčešće korištene metode za rješavanje problema linearnog programiranja: 1. 2. 3. 4.

Grafička metoda; Simplex metoda; Transportni problem; Asignacija.

4.5.1. Grafička metoda

Grafička metoda linearnog programiranja obično se primjenjuje kada polazni oblik modela linearnog programiranja sadrži 2 promjenljive {x1; x2}, ili se može svesti na dvije promjenjljive. Ako model sadrži 3 promjenljive {x1; x2; x3}, onda primjena grafičke metode zahtijeva upotrebu nacrtne geometrije (predstavljanje 3-dimenzionalnog prostora u ravni). Ova metoda nam omogućava da lakše shvatimo: ƒ ƒ ƒ ƒ

Oblast svih mogućih rješenja; Kada je neko ograničenje suvišno; Šta je jednoznačno, a šta višeznačno rješenje; Postojanje ’’uskih grla’’ kod optimuma i sl.

Grafička metoda rješavanja problema linearnog programiranja se sastoji od grafičkog prikaza cijelog modela LP u 2-dim koordinatnom sistemu x10x2. Uslovne jednačine su predstavljene pravcima, a uslovne nejednačine poluravnima. Funkcija kriterija je predstavljena jednoparametarskom familijom pravaca.

489

LINEARNO PROGRAMIRANJE

Opšti polazni model LP kod grafičke metode

(1)

⎛ Max. ⎞ ⎜ ⎟ f = c1 ⋅ x1 + c 2 ⋅ x 2 ⎝ Min. ⎠

⎧ ⎪ ⎪ ⎪I ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ( 2 ) ⎪⎨ΙΙ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ΙΙΙ ⎪ ⎪ ⎩

a11 ⋅ x1 + a12 ⋅ x2 ≤ d1

⎫ ⎪ a21 ⋅ x1 + a22 ⋅ x2 ≤ d 2 ⎪ ⎬ K ograničenja I tipa ⎪ aK 1 ⋅ x1 + aK 2 ⋅ x2 ≤ d K ⎪⎭ aK +1,1 ⋅ x1 + aK +1,2 ⋅ x2 ≥ d K +1 ⎫ ⎪ aK + 2,1 ⋅ x1 + aK + 2,2 ⋅ x2 ≥ d K + 2 ⎪ ⎬ L ograničenja II tipa ⎪ ⎪ aK + L ,1 ⋅ x1 + aK + L ,2 ⋅ x2 ≥ d K + L ⎭ aK + L +1,1 ⋅ x1 + aK + L +1,2 ⋅ x2 = d K + L +1 ⎫ ⎪ aK + L + 2,1 ⋅ x1 + aK + L + 2,2 ⋅ x2 = d K + L + 2 ⎪ ⎬ R ograničenja III tipa ⎪ aK + L + R ,1 ⋅ x1 + aK + L + R ,2 ⋅ x2 = d K + L + R ⎪⎭

(3)

x1 ≥ 0;

x2 ≥ 0

ili kondenzovano:

(1)

⎛ Max. ⎞ ⎜ ⎟ f = c1 ⋅ x1 + c 2 ⋅ x 2 ⎝ Min. ⎠

⎧ I ⎪ (2) ⎪⎨ II ⎪ ⎪⎩ III

(3)

a k1 ⋅ x1 + a k 2 ⋅ x 2 ≤ d k al1 ⋅ x1 + al 2 ⋅ x 2 ≥ d l

k = 1, K l = K + 1, K + L

(4.12)

a r1 ⋅ x1 + a r 2 ⋅ x 2 = d r r = K + L + 1, K + L + R

x1 ≥ 0; x 2 ≥ 0

Grafička interpretacija ograničenja

Na osnovu baznih teorema linearnog programiranja, imamo da je skup svih mogućih rješenja problema linearnog programiranja konveksan skup i da se optimalna vrijednost nalazi u rubnoj tački tog konveksnog skupa.

490

METODE ZA RJEŠAVANJE PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA

Upotreba grafičke metode je zasnovana na tome da se predstavi skup mogućih rješenja (konveksan skup) datog problema u koordinatnom sistemu x10x2, a zatim da se od svih mogućih rješenja izabere ono najbolje, odnosno da se izabere rubna tačka koja predstavlja optimum. Pogledajmo sada kako se grafički prikazuju razni tipovi ograničenja. Kod svih ograničenja trebamo prikazati poluravni određene linearnim nejednačinama datim u modelu (4.12), odnosno trebamo prvo prikazati pravu koja predstavlja rub poluravni pa izabrati poluravan. Napomenimo da se zbog uslova nenegativnosti posmatra samo I kvadrant u koordinatnom sistemu x10x2. Ograničenje I tipa „≤”: ak1 ⋅ x1 + ak 2 ⋅ x2 ≤ d k

(4.13.)

Potrebno je prikazati pravu koja predstavlja rub poluravni pa izabrati koji dio ravni zadovoljava ograničenje. Ako je a k1 > 0 i a k 2 > 0 , onda su odsječci na koordinatnim osama:11 x1 = 0 ⇒ x2 =

dk d > 0 ; x2 = 0 ⇒ x1 = k > 0 ak 2 ak1

i prava koja predstavlja rub poluravni 4.4.je opadajuća prava. Kako koordinatni početak, tj. tačka (0, 0 ) zadovoljava nejednačinu ak1 ⋅ x1 + ak 2 ⋅ x2 ≤ d k za a k1 > 0 i a k 2 > 0 , to ograničenje I tipa predstavlja sljedeću poluravan12:

x2

dk ak 2

Ograničenje I tipa

Skup mogućih rješenja za dato ograničenje 0

dk a k1

x1

Grafikon 1. Skup mogućih rješenja za ograničenja ak1 ⋅ x1 + ak 2 ⋅ x2 ≤ d k i ak1 > 0 i ak 2 > 0 i x1 , x2 ≥ 0

11 12

Već smo ranije istakli da smatramo da je dk ≥ 0. Biramo onu poluravan koja sadrži koordinatni početak.

491

LINEARNO PROGRAMIRANJE

Ako je a k1 < 0 i a k 2 > 0 , onda su odsječci na koordinatnim osama: x1 = 0 ⇒ x 2 =

dk >0 ak 2

x 2 = 0 ⇒ x1 =

dk 0 , to ograničenje I tipa predstavlja sljedeću poluravan:13

x2

Ograničenje I tipa

dk ak 2 Skup mogućih rješenja za dato ograničenje

dk a k1

0

x1

Grafikon 2. Skup mogućih rješenja za ograničenja ak1 ⋅ x1 + ak 2 ⋅ x2 ≤ d k i ak1 < 0 i ak 2 > 0 i x1 , x2 ≥ 0

Ako je a k1 > 0 i a k 2 < 0 , onda su odsječci na koordinatnim osama:

13

x1 = 0 ⇒ x 2 =

dk 0 a k1

Uključili smo i uslove nenegativnosti, odnosno posmatramo samo I kvadrant.

492

METODE ZA RJEŠAVANJE PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA

i prava koja predstavlja rub poluravni je rastuća prava. Kako koordinatni početak, tj. tačka (0, 0) zadovoljava nejednačinu ak1 ⋅ x1 + ak 2 ⋅ x2 ≤ d k za ak1 > 0 i ak 2 < 0 , to ograničenje I tipa predstavlja sljedeću poluravan: x2

Skup mogućih rješenja za dato ograničenje 0

Ograničenje I tipa

x1

dk a k1

dk ak 2

Grafikon 3. Skup mogućih rješenja za ograničenja ak1 ⋅ x1 + ak 2 ⋅ x2 ≤ d k i ak1 > 0 i ak 2 < 0 i x1 , x2 ≥ 0

U slučaju da je a k1 = 0 ili a k 2 = 0 imaćemo prave paralelne sa koordinatnim osama 0x2 ili 0x1 respektivno, i ponovnim uvrštavanjem koordinatnog početka (0, 0 ) vidjeti koju poluravan biramo. x2

x2 Ograničenje I tipa Ograničenje I tipa

dk ak 2

Skup mogućih rješenja za dato ograničenje

Skup mogućih rješenja za dato ograničenje

0

x1

Grafikon 4. Skup mogućih rješenja kod ak1 = 0

0

dk a k1

x1

Grafikon 5. Skup mogućih rješenja kod ak 2 = 0

493

LINEARNO PROGRAMIRANJE

Ukoliko je d k = 0 , onda ograničavajuća prava prolazi kroz koordinatni početak, pa za izbor odgovarajuće poluravni treba uvrstiti neku tačku koja se ne nalazi na pravoj, npr. bilo koja tačka sa koordinatnih osa. Može se pokazati da je, zbog uslova nenegativnosti, skup mogućih rješenja u slučaju d k = 0 i a k1 > 0 i a k 2 > 0 prazan skup, dok u slučajevima d k = 0 i a k1 < 0 i a k 2 > 0 ili d k = 0 i a k1 > 0 i a k 2 < 0 imamo sljedeće poluravni: x2

x2 Skup mogućih rješenja za dato ograničenje

Ograničenje I tipa

Ograničenje I tipa

Skup mogućih rješenja za dato ograničenje

x1

0

Grafikon 6. Moguća rješenja kod ak1 > 0 i ak 2 < 0

0

x1

Grafikon 7. Skup mogućih rješenja kod ak1 < 0 i ak 2 > 0

Ograničenje II tipa „≥”: a l1 ⋅ x1 + al 2 ⋅ x 2 ≥ d l

(4.14.)

Ako je al1 > 0 i al 2 > 0 , onda su odsječci na koordinatnim osama: x1 = 0 ⇒ x 2 =

dl >0 al 2

x 2 = 0 ⇒ x1 =

dl >0 a l1

i prava koja predstavlja rub poluravni 4.5. je opadajuća prava. Kako koordinatni početak, tj. tačka (0, 0 ) ne zadovoljava nejednačinu al1 ⋅ x1 + al 2 ⋅ x 2 ≥ d l za al1 > 0 i al 2 > 0 , to ograničenje II tipa predstavlja sljedeću poluravan14:

14

Biramo onu poluravan koja ne sadrži koordinatni početak.

494

METODE ZA RJEŠAVANJE PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA

x2

Skup mogućih rješenja za dato ograničenje

dl al 2

Ograničenje II tipa

0

x1

dl a l1

Grafikon 8. Skup mogućih rješenja za ograničenja al1 ⋅ x1 + al 2 ⋅ x 2 ≥ d l i al1 > 0 i al 2 > 0 i x1 , x2 ≥ 0

Izgled skupa mogućih rješenja ograničenja 4.5. u slučaju rastućih ograničavajućih pravih ili u slučaju da je d l = 0 se određuje analogno ranije opisanom postupku, pa kod ograničenja II tipa može imati i sljedeće oblike: x2

x2

Skup mogućih rješenja za dato ograničenje

Ograničenje II tipa

dl al 2

Skup mogućih rješenja za dato ograničenje

dl al 2

0

dl al1

al1 > 0; al 2 < 0; d l > 0

x1

dl al1

x2

x2

Ograničenje II tipa

dl al 2 dl al1

0

dl al 2

Skup mogućih rješenja za dato ograničenje

al1 > 0; al 2 < 0; d l = 0

0

x1

dl al1

0

Ograničenje II tipa

al1 < 0; al 2 > 0; d l > 0

x1

Skup mogućih rješenja za dato ograničenje

Ograničenje II tipa

al1 < 0; al 2 > 0; d l = 0

x1

Grafikon 9. Skup mogućih rješenja za ograničenja al1 ⋅ x1 + al 2 ⋅ x 2 ≥ d l

495

LINEARNO PROGRAMIRANJE

Ograničenje III tipa „=”: a r1 ⋅ x1 + a r 2 ⋅ x 2 = d r

(4.15)

Kod ovog tipa ograničenja, skup mogućih rješenja su samo one tačke u I kvadrantu koje se nalaze na pravoj a r1 ⋅ x1 + a r 2 ⋅ x 2 = d r . Ako je a r1 > 0 i a r 2 > 0 , onda je skup mogućih rješenja oblika: x2 dr ar 2 Ograničenje III tipa

0

dr a r1

x1

Grafikon 10. Skup mogućih rješenja za ograničenja a r1 ⋅ x1 + a r 2 ⋅ x 2 = d r i a r1 > 0 i a r 2 > 0

x2 Skup mogućih riješenja predstavlja duž BC.

B (I∩III)

C (II∩III)

A (I∩II)

x1

0 Ograničenje III tipa ’’=’’

Ograničenje I tipa ’’≤’’

Ograničenje II tipa ’’≥’’

⎧ak1 ⋅ x1 + ak 2 ⋅ x2 ≤ d k ⎪ Grafikon 11. Skup mogućih rješenja za sistem ograničenja ⎨al1 ⋅ x1 + al 2 ⋅ x2 ≥ dl ⎪a ⋅ x + a ⋅ x = d r2 2 r ⎩ r1 1 ak1, ak 2, al1, al 2,ar1, ar 2 > 0

496

METODE ZA RJEŠAVANJE PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA

Grafički se skup mogućih rješenja polaznog modela 4.3. dobije kada se odredi presjek svih ograničavajućih poluravni i pravaca datih u modelu. Ukoliko bi model 4.3. imao samo tri ograničenja, i to ona data na grafikonima 1, 8 i 10., onda bi skup svih mogućih rješenja modela imao oblik prikazan na grafikonu 11. Na osnovu baznih teorema, sigurno je optimalna ili tačka B ili točka C, zavisno od funkcije cilja što je predstavljeno na grafionu 12. Ako je cilj max f, biramo onu tačku koja će dati najveću vrijednost, odnosno grafički biramo onu pravu na pravcu funkcije cilja koja je najudaljenija od koordinatnog početka. Obratno, ako je cilj min f, biramo onu tačku koja će dati najmanju vrijednost funkciji cilja, odnosno onu tačku koja je najbliža koordinatnom početku. x2 Skup mogućih riješenja predstavlja duž BC.

B (I∩III) f0 translacija C (II∩III)

A (I∩II) f0 Pravac funkcije cilja

x2

0

Ograničenje III tipa ’’=’’

Ograničenje I tipa ’’≤’’

Ograničenje II tipa ’’≥’’

Grafikon 12. Skup mogućih rješenja i pravac funkcije cilja

Kroz ovaj uopšteni prikaz rješavanja problema LP-a grafičkom metodom, a na osnovu baznih teorema LP-a, možemo istaći sljedeće: ƒ Ukoliko je presjek svih ograničenja u modelu prazan skup, onda model LP-a nema rješenja. ƒ Ukoliko je presjek svih ograničenja u modelu zatvorena površ (konveksan poligon), model LP-a ima konačno optimalno rješenje bez obzira da li je cilj min f ili max f. ƒ Ukoliko su dvije tačke konveksnog poligona optimalne, onda je optimalna i svaka tačka između te dvije tačke, odnosno pravac funkcije cilja je paralelan sa ograničenjem koje sadrži optimalne tačke i tada imamo beskonačno mnogo optimalnih rješenja.

497

LINEARNO PROGRAMIRANJE

ƒ Ukoliko je presjek svih ograničenja otvorena konveksna površ, onda model ima konačno rješenje ako je cilj min f, a nema rješenja, odnosno rješenje je beskonačno ako je cilj max f. ƒ Tačka koja predstavlja optimalno rješenje problema LP-a nam, osim informacije o optimalnom planu, daje i informaciju o ograničenjima koja će biti potpuno iskorištena u optimalnom slučaju tzv. uskim grlima programa.

Kad se odredi optimalno rješenje problema LP-a pod datim uslovima, postavlja se pitanje koliko je to rješenje stabilno, odnosno koliko je osjetljivo (eng. sensitive) na promjenu pojedinih parametara u problemu. Analiza promjena parametara u modelu spada u tzv. postoptimalnu ili senzitivnu analizu. Dio te analize će biti praktično prikazan kroz upotrebu dualnog modela, ali napomenimo da se sa grafikona može vidjeti kad će promjena ograničenja ili pravca funkcije cilja uticati na promjenu optimalnog rješenja. Na osnovu prethodnih razmatranja vidimo da se grafički metod određivanja rješenja zadatka linearnog programiranja sastoji od sljedećih aktivnosti: 1. Formulisanje problema u obliku zadatka linearnog programiranja; 2. Grafičko predstavljanje pravih koje reprezentuju (ne)jednačine sistema ograničenja; 3. Identifikacija skupa mogućih rješenja za koja su zadovoljene sve (ne)jednačine sistema ograničenja i opšti uslov nenegativnosti; 4. Određivanje prave koja reprezentuje pravac funkcije cilja – f0; 5. Translacija prave funkcije cilja slijeva udesno ili obratno (zavisno od funkcije cilja), sve dok ne ucrtamo jednu takvu pravu koja sa skupom mogućih rješenja ima samo jednu zajedničku tačku; 6. Utvrđivanje optimalnih vrijednosti promjenljivih x1 i x2 u vidu koordinata ekstremne tačke skupa mogućih rješenja najudaljenije, odnosno najbliže koordinatnom početku u zavisnosti od cilja. Utvrđivanje optimalnih vrijednosti se može uraditi identifikacijom sa grafikona ili rješavanjem sistema jednačina pravih na čijem presjeku se tačka nalazi; 7. Određivanje vrijednosti funkcije cilja za optimalne vrijednosti promjenljivih. Pogledajmo na primjerima kako se koristi grafički metod u rješevanju problema linearnog programiranja.

Primjer 4.3.

Neka kompanija proizvodi dobra A i B. Mašine koje se koriste u proizvodnji imaju maksimalan mjesečni kapacitet 24 000 sati (ms – mašinski sati). Jedinica dobra A može se izraditi za 3 sata, a jedinica dobra B za 2 sata rada mašina. Mjesečno se može računati sa najviše 35 000 radnih sati radnika (rs). Potrebno vrijeme za izradu jedinice dobra A je 2,5 sata, a jedinice dobra B je 5 sati. 498

METODE ZA RJEŠAVANJE PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA

Istraživanje tržišta kazuje da se mjesečno može prodati najviše 6 000 jedinica dobra A i 5 000 jedinica dobra B. Dobit po jedinici dobra A je 140 KM, a dobra B je 80 KM. Cilj je ostvarenje maksimalne dobiti za kompaniju, pa treba: a) formirati model LP-a; b) izračunati optimalan program proizvodnje; c) izvršiti analizu optimalnog programa. Rješenje:

Rješavanjem zadatka trebamo dati odgovor na pitanje: Koliko jedinica dobra A i dobra B treba proizvoditi mjesečno da bi se time maksimizirala dobit? Koliko iznosi ta maksimalna mjesečna dobit? Nepoznate vrijednosti u zadatku (modelu) su: x1 mjesečni broj jedinica dobra A i x2 mjesečni broj jedinica dobra B. Funkcija cilja: Cilj je maksimizirati dobit. Iz postavke zadatka vidimo da je dobit po jedinici dobra A 140 KM , a dobra B 80 KM . Ako proizvodimo x1 jedinica dobra A dobit će biti 140 ⋅ x1 , dok će dobit za proizvodnju x2 jedinica dobra B iznositi 80 ⋅ x 2 .

Ako istovremeno proizvodimo x1 jedinica dobra A i x2 jedinica dobra B, dobit će iznositi 140 x1 + 80 x 2 Odavde funkcija cilja ima oblik: max f = 140 x1 + 80 x 2

Odredimo sad ograničenja u modelu. Iz teksta zadatka vidimo da su mjesečni kapacitet rada mašina i radnika unaprijed dati i da bez dodatnih ulaganja ove vrijednosti mjesečno ne mogu biti veće. Također se vidi da je unaprijed poznata maksimalna potražnja za proizvodima A i B na tržištu, pa se bez promjene osobina proizvoda ili bez osvajanja novih tržišta ova količina ne bi trebala prekoračiti (stvaraju se dodatne zalihe i time povećavaju troškovi, odnosno smanjuje dobit i ovaj zadatak se mijenja). Ograničenje I: Mašinski kapacitet (max 24 000 mašinskih sati)

Jedinica dobra A može se izraditi za 3 sata, a jedinica dobra B za 2 sata rada mašina. Ako se izradi x1 jedinica dobra A, mašine moraju raditi 3 ⋅ x1 sati, a ako se uradi x2 jedinica dobra B, mašine moraju raditi 2 ⋅ x 2 sati. Ako izradimo istovremeno x1 jedinica dobra A i x2 jedinica dobra B, mašine moraju raditi 3 ⋅ x1 + 2 ⋅ x 2 sati. Odavde se dobije prvo ograničenje:

499

LINEARNO PROGRAMIRANJE

3 ⋅ x1 + 2 ⋅ x 2 ≤ 24 000 (m. s.)15

I

Ograničenje II: Radni kapacitet radnika (max 35 000 radnih sati)

Potrebno vrijeme za izradu jedinice dobra A je 2,5 sata, a jedinice dobra B je 5 sati. Ako se izradi x1 jedinica dobra A, radnici moraju raditi 2,5 ⋅ x1 sati, a ako se uradi x2 jedinica dobra B, radnici moraju raditi 5 ⋅ x 2 sati. Ako izradimo istovremeno x1 jedinica dobra A i x2 jedinica dobra B, radnici moraju raditi 2,5 ⋅ x1 + 5 ⋅ x 2 sati. Odavde se dobije drugo ograničenje: 2,5 ⋅ x1 + 5 ⋅ x 2 ≤ 35 000 (r. s.)

II

Ograničenje III: Plasman proizvoda A na tržištu (max 6 000 kom)

Istraživanje tržišta kazuje da se mjesečno može prodati najviše 6000 jedinica dobra A. Odavde je treće ograničenje dato sa: III

x1 ≤ 6 000 (kom A)

Ograničenje IV: Plasman proizvoda B na tržištu (max 5 000 kom)

Istraživanje tržišta kazuje da se mjesečno može prodati najviše 5 000 jedinica dobra B. Odavde je treće ograničenje dato sa: IV

x 2 ≤ 5 000 (kom B)

Uslovi nenegativnosti: x1 ≥ 0; x 2 ≥ 0

Na osnovu prethodnih razmatranja, model linearnog programiranja (LP-a) koji odgovara postavljenom problemu ima oblik:

(1) (2)

max f = 140 x1 + 80 x2 Ι

ΙΙ 2,5 x1 + 5 x2 ≤ 35 000 (r.s.) ΙΙΙ

(3)

3 x1 + 2 x2 ≤ 24 000 (m.s.)

ΙV

≤ 6 000 kom A

x1 x2

≤ 5 000 kom B

x1 , x2 ≥ 0

(odgovor pod a) Napomena: Dati model LP-a je simetričan16.

15

16

Jedinica mjere nepoznatih x1 i x2 je komad. Potrebni mašinski sati za izradu kom. A ili B imaju jedinicu mjere ms/kom, pa je ogrančenje I izraženo u ms (mašinskim satima). Simetričan model: Cilj max i sva ograničenja su ≥ , ili cilj min i sva ograničenja su ≤ .

500

METODE ZA RJEŠAVANJE PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA

Kako u modelu postoje samo dvije nepoznate, to se u koordinatnoj ravni x1 0x 2 može prikazati skup mogućih rješenja određenih ograničenjima (2) i uslovima nenegativnosti (3) i najbolje rješenje, određeno funkcijom cilja (1). Ograničenja I, II, III i IV predstavljaju poluravni u koordinatnom sistemu x1 0x 2 i određena su pravima: 3 ⋅ x1 + 2 ⋅ x 2 = 24 000 ; 2,5 ⋅ x1 + 5 ⋅ x 2 = 35 000 ; x1 = 6 000 ; x 2 = 5 000 Prikažimo u koordinatnom sistemu x1 0x 2 ograničenje I: 3 ⋅ x1 + 2 ⋅ x 2 ≤ 24 000 (m s).

Presječne tačke prave 3 ⋅ x1 + 2 ⋅ x 2 = 24 000 sa koordinatnim osama su: x1 = 0 ⇒ x2 =12000 x2 = 0 ⇒ x1 = 8000, pa grafikon prave 3 ⋅ x1 + 2 ⋅ x 2 = 24 000 izgleda: x2 12 000

0

8000

I

x1

Grafikon 4.3.a. Prava 3 ⋅ x1 + 2 ⋅ x 2 = 24 000

Prava 3 ⋅ x1 + 2 ⋅ x 2 = 24 000 dijeli ravan x1 0x 2 na dvije poluravni i ako želimo odabrati baš onu poluravan za koju vrijedi I 3 ⋅ x1 + 2 ⋅ x 2 ≤ 24 000 izabraćemo proizvoljnu tačku iz jedne poluravni i provjeriti da li je zadovoljena nejednačina I. Najlakše je uzeti koordinatni početak ( x1 , x 2 ) = (0, 0 ) , pa uvrštavanjem u I imamo: 3 ⋅ 0 + 2 ⋅ 0 ≤ 24 000 ⇒ 0 ≤ 24 000 što je tačno. Dakle, u pitanju je poluravan koja sadrži koordinatni početak. Ako pri grafičkoj interpretaciji uzmemo u obzir uslove nenegativnosti (3) (tj. posmatramo samo prvi kvadrant), onda skup svih mogućih tačaka koje zadovoljavaju ograničenje I i uslove nenegativnosti (3) možemo prikazati kao osjenčenu površinu na grafikonu 4.3.a´. 501

LINEARNO PROGRAMIRANJE

12 000

0

8000

x1

I

Grafikon 4.3.a´. Poluravan I 3 ⋅ x1 + 2 ⋅ x 2 ≤ 24 000

Dodajmo prethodnom drugo ograničenje u modelu. Odnosno, grafički trebamo odrediti skup tačaka koje istovremeno zadovoljavaju i I i II ograničenje. Ovaj skup tačaka ustvari predstavlja sve one odluke o količini mjesečne proizvodnje proizvoda A i B za koje imamo dovoljno i radnika (mjesečni kapacitet 35 000 radnih sati) i mašina (mjesečni kapacitet 24 000 mašinskih sati). Prikažimo u koordinatnom sistemu x1 0x 2 ograničenje II: 2,5 ⋅ x1 + 5 ⋅ x 2 ≤ 35 000 Na analogan način, kao i ranije, odredit ćemo grafički prikaz prave 2,5 ⋅ x1 + 5 ⋅ x 2 = 35 000 , a zatim odabrati koja poluravan odgovara ograničenju II 2,5 ⋅ x1 + 5 ⋅ x 2 ≤ 35 000 . Presječne tačke prave 2,5 ⋅ x1 + 5 ⋅ x 2 = 35 000 sa koordinatnim osama su: x1 = 0 ⇒ x2 = 7 000 x2 = 0 ⇒ x1 = 14 000 pa je grafikon prave dat na slici 4.3. b, dok je poluravan II data na slici 4.3. b´. x2

x2

7 000

7 000

x1

x1 0

14 000 II

Grafikon 4.3.b. Prava 2,5 ⋅ x1 + 5 ⋅ x2 = 35 000

502

0

14 000

II

Grafikon 4.3.b´. Poluravan 2,5 ⋅ x1 + 5 ⋅ x2 ≤ 35 000

METODE ZA RJEŠAVANJE PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA

Ako se oba ograničenja prikažu zajedno, onda se na grafiku 4.3. c vidi skup svih mogućih tačaka (osjenčen) koje zadovoljavaju ograničenje I i II. x2 12 000 7 000

x1 14 000 II

8 000 I

0

Grafikon 4.3.c. Skup rješenja I∩II

U nastavku bismo trebali uključiti i ograničenja III i IV, te ove poluravni presjeći sa poluravnima I i II. Prikažimo u koordinatnom sistemu x1 0x 2 ograničenja III: x1 ≤ 6 000 i IV: x 2 ≤ 5 000

Prave x1 = 6 000 i x 2 = 5 000 su paralelne sa koordinatnim osama 0x 2 i 0x1 respektivno, a poluravni III i IV su date na sljedećim grafikonima: x2

x2

III

5 000

IV

x1 0

6 000 Grafikon 4.3.d. Poluravan x1 ≤ 6 000

x1 0 Grafikon 4.3.e. Poluravan x1 ≤ 5 000

Ako bismo sva ograničenja prikazali na istom grafikonu i odredili presjek, dobili bi skup mogućih rješenja datog modela LP-a, odnosno svaka tačka u osjenčenom šesto503

LINEARNO PROGRAMIRANJE

uglu MNCDEO na grafikonu 4.3.f predstavlja izvodljivu (moguću) kombinaciju mjesečne proizvodnje proizvoda A i B. x2 12 000 7 000 5 000

IV E

D

C N

0

M 6 000 III

x1 8 000

14 000 I

II

Grafikon 4.3.f. Skup mogućih rješenja modela LP 1

Od svih mogućih rješenja trebamo izabrati ono najbolje. Vidjeli smo da sva moguća rješenja dobijemo presjekom svih ograničenja u modelu i uslova nenegativnosti, a najbolje rješenje zavisi od funkcije cilja. Po teoremi17, optimalno rješenje će biti jedna od tačaka M, N, C, D, E, O, a koja od njih - to zavisi od funkcije cilja. Vrijednost funkcije cilja u tački O (0, 0) je 0 KM, dok je u tački E(0, 5000) njena vrijednost 400 000 KM. U nekoj drugoj tački iz skupa mogućih rješenja vrijednost funkcije cilja će biti drugačija. Ono što je sigurno, jeste da je vrijednost funkcije cilja veća što je ona (prava koja predstavlja pravac funcije cilja) udaljenija od koordinatnog početka. Nas zanima najveća vrijednost funkcije cilja, odnosno najudaljenija tačka po pravcu funkcije cilja. Odaberimo proizvoljno tačku P koja pripada skupu mogućih rješenja i odredimo kolika je vrijednost funkcije cilja u toj tački. Uzmimo da su koordinate tačke P (3 000, 2 000), pa je vrijednost funkcije cilja: f ( x1 = 3000, x 2 = 2000 ) = 580 000 ,

odnosno prava koja pripada pravcu funkcije cilja i prolazi kroz tačku P ima jednačinu: 17

Teorema 4.3.2: Funkcija cilja f dostiže svoju optimalnu vrijednost u ekstremnim tačkama konveksnog skupa mogućih rješenja. Ako se desi da f prima optimalnu vrijednost za više od jedne ekstremne tačke, onda će problem LP-a imati optimalnu vrijednost za svaku konveksnu kombinaciju tih ekstremnih tačaka.

504

METODE ZA RJEŠAVANJE PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA

f 0 ≡ 140 ⋅ x1 + 80 ⋅ x2 = 580 000 a njen grafički prikaz dat je na grafikonu 4.3. g. Koordinate tačaka kroz koje prolazi ⎧ x = 0 ⇒ x 2 = 7 250 prava f0 su: ⎨ 1 ⎩ x1 = 3000 ⇒ x 2 = 2000 Paralelnim pomjeranjem prave f0 od koordinatnog početka vidimo da je tačka N najudaljenija tačka u skupu svih mogućih rješenja i stoga ova tačka predstavlja optimalno rješenje (grafikon 4.3.h).

x2 12 000

7 000

7250

5 000

IV E

D

C P

N M 6 000 8 000 III

0

x1 14 000 I

II

Grafikon 4.3.g. Skup mogućih rješenja i pravac funkcije cilja

III

x2 7 000

7250

5 000

IV E

D

C P

N f0

0

6 000

II



M 8 000

x1

I Grafikon 4.3.h. Skup mogućih i optimalno rješenje

505

LINEARNO PROGRAMIRANJE

Koordinate tačke N dobijamo kao presjek prave I i III, odnosno rješavanjem sistema: ⎧3 ⋅ x1 + 2 ⋅ x 2 = 24 000 ⎨ ⎩ x1 = 6000

odakle se dobije xˆ1 = 6000; xˆ 2 = 3000 i ove vrijednosti predstavljaju optimalan plan proizvodnje.18 Vrijednost funkcije cilja je u ovoj tački veća od njene vrijednosti u svakoj drugoj tački skupa mogućih rješenja i iznosi: fˆ = 140 ⋅ 6000 + 80 ⋅ 3000 = 1 080 000 KM Provjerimo koliko iznosi vrijednost funkcije cilja u ostalim rubnim tačkama skupa mogućih rješenja: M (6000, 0) f (M ) = 840 000 KM E (0,5000) f (E ) = 400 000 KM ⎧ 3 x1 + 2 x 2 = 24 000 ⇒ C (5000, 4500) ⎩2,5 x1 + 5 x 2 = 35 000

{C} = I ∩ II ⇒ ⎨

f (C ) = 1 060 000 KM



{D} = II ∩ IV ⇒ ⎨

x 2 = 5 000

⎩2,5 x1 + 5 x 2 = 35 000 f (D ) = 960 000 KM

⇒ D (4000, 5000)

Vidimo da je zaista najveća vrijednost funkcije cilja u tački N i na osnovu prethodne analize možemo ponuditi sljedeći optimalan plan proizvodnje: Uz ponuđena ograničenja optimalna mjesečna proizvodnja iznosi 6 000 komada proizvoda A i 3 000 komada proizvoda B ( xˆ1 = 6000; xˆ 2 = 3000 ). Maksimalna mjesečna dobit iznosi 1 080 000 KM (odgovor pod b). Pod analizom optimalnog plana podrazumijevaćemo analizu ispunjenosti ograničenja, iako se pod ovim pojmom može raditi i puno šira analiza. Ograničenje I: Mašinski kapacitet (max 24 000 mašinskih sati, mjesečno) je potpuno iskorišten u optimalnom planu. Za ovo ograničenje kažemo da predstavlja „usko grlo“ programa.

18

Oznaku ˆ koristimo ukoliko smo odredili optimalan plan.

506

METODE ZA RJEŠAVANJE PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA

I 3 ⋅ 6000 + 2 ⋅ 3000 = 24 000 (m. s.) Ograničenje II: Radni kapacitet radnika (max 35 000 radnih sati mjesečno) nije u potpunosti iskorišten. Po optimalnom programu proizvodnje mjesečno ostaje 5 000 radnih sati radnika neiskorišteno.

II 2,5 ⋅ 6000 + 5 ⋅ 3000 = 30 000 ≤ 35 000 (r. s.) Ograničenje III: Plasman proizvoda A na tržištu (max 6 000 kom, mjesečno) predstavlja „usko grlo“ programa, odnosno tržište će biti u potpunosti zadovoljeno proizvodima A.

III 6 000 = 6 000 (kom A) Ograničenje IV: Plasman proizvoda B na tržištu (max. 5 000 kom) nije u potpunosti zadovoljen. Na tržištu se može plasirati još 2000 komada proizvoda B mjesečno.

IV 3 000 ≤ 5 000 (kom B) Napomena: Uska grla programa se mogu vidjeti direktno sa grafikona 4.8, jer one prave (ograničenja) koje određuju optimalnu tačku istovremeno predstavljaju usko grlo programa. Kod nas su to prave I i III. Primjer 4.4.

Kompjuterska koorporacija MSA prizvodi dva modela mini kompjutera Alfa 4 i Beta 5. Firma zapošljava 5 tehničara. Svaki od njih radi 160 sati mjesečno na montaži. Za sklapanje kompjutera Alfa 4 potrebno je 20 sati rada tehničara, dok je za model Beta 5 potrebno 25 sati rada. U narednom mjesecu MSA želi proizvesti barem 10 kompjutera Alfa 4 i barem 15 kompjutera Beta 5. Svaki kompjuter Alfa 4 ostvaruje profit od 1200 USD, a Beta 5 profit od 1800 USD. a) Odrediti najprofitabilniji broj mini kompjutera koje treba proizvesti u narednom mjesecu. b) Napisati odgovarajući standardni model i odrediti značenje optimalne vrijednosti izravnavajućih varijabli. c) Formirati dualni model datog problema LP-a i odrediti optimalne vrijednosti dualnih varijabli. d) Koliko bi primanje još jednog radnika unaprijedilo funkciju cilja?

507

LINEARNO PROGRAMIRANJE

Rješenje:

a) Označimo varijable:

x1 – broj kompjutera Alfa 4 x2 – broj kompjutera Beta 5 I ograničenje: Firma zapošljava 5 tehničara. Svaki od njih radi 160 sati mjesečno na montaži. Ovo znači da imamo na raspolaganju 800 radnih sati montažera mjesečno. Za sklapanje kompjutera Alfa 4 potrebno je 20 sati rada tehničara, dok je za model Beta 5 potrebno neophodno 25 sati rada. Odavde je prvo ograničenje dato sa:

I 20 ⋅ x1 + 25 ⋅ x 2 ≤ 800 (rs) II ograničenje: U narednom mjesecu MSA želi proizvesti barem 10 kompjutera Alfa 4.Odavde je II ograničenje dato sa:

II x1 ≥ 10 (kom) III ograničenje: U narednom mjesecu MSA želi proizvesti barem 15 kompjutera Beta 5. Odavde je III ograničenje dato sa:

III x 2 ≥ 15 (kom) Funkcija cilja: Svaki kompjuter Alfa 4 ostvaruje profit od 1200 USD, a Beta 5 profit od 1800 USD. Proizvodnjom x1 komada kompjutera Alfa 4, ostvaruje se dobit od 1200 x1 a proizvodnjom x 2 komada kompjutera Beta 5, ostvaruje se dobit od 1800 x 2 . Odavde je funkcija cilja data sa: max f = 1200 x1 + 1800 x 2

Ako još uključimo i uslove nenegativnosti, onda je model problema 4.4.dat sa: max f = 1200 x1 + 1800 x 2 I

20 x1 +

II

x1

III

25 x 2 ≤ 800

≥ 10 x 2 ≥ 15 x1 , x 2 ≥ 0

Odredimo grafički skup mogućih rješenja:

508

METODE ZA RJEŠAVANJE PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA

I: Presječne tačke prave

x2

20 ⋅ x1 + 25 ⋅ x2 = 800

II

sa koordinatnim osama:

32 C III

15 A

II: Paralelna sa x 2 osom

B

10

0

⎧ x = 0; x2 = 32 ⇒⎨ 1 ⎩ x2 = 0; x1 = 40

40

I

x1

III: Paralelna sa x1 osom

Grafikon 4.4.a. Skup mogućih rješenja za LP 2

Odredimo pravac funkcije cilja: Izaberimo proizvoljnu tačku iz skupa mogućih rješenja19. Neka je to tačka P (15, 15). Pravu f0 koja prolazi kroz ovu tačku, a paralelna je funkciji cilja, određujemo uvrštavanjem koordinata tačke P u funkciju cilja: f ( x1 = 15; x 2 = 15) = 1200 ⋅ 15 + 1800 ⋅ 15 = 45 000

Odavde je jednačina prave f0:

f 0 ≡ 1200 x1 + 1800 x2 = 45 000 Napomenimo da vrijednost funkcije cilja u tački P govori da bi mjesečni profit firme bio 45000 USD ako bi u narednom mjesecu planirali proizvesti 15 kompjutera Alfa 4 i 15 kompjutera Beta 5. Ovo očito nije najbolje rješenje. Sa grafikona 4.4.b vidimo da je tačka C optimalna. Odredimo koordinate ove tačke: I ∩ II ⇒ ⎧ 20 x1 + ⎨ ⎩ x1

25 x 2 = 800

= 10



x1 = 10; x2 = 24 ⇒ fˆ = 1200 ⋅ 10 + 1800 ⋅ 24 = 55 200 19

Izabrana tačka ne mora biti u skupu mogućih rješenja jer nam je potrebna samo zbog određivanja pravca funkcije cilja, ali se radi bolje preglednosti najčešće bira tačka iz skupa mogućih rješenja.

509

LINEARNO PROGRAMIRANJE

x2

Presječne tačke prave

II 32

f 0 ≡ 1200x1 + 1800x2 = 45 000 sa koordinatnim osama:

C

A

B f0

0

⎧ x1 = 0; x2 = 25 ⇒⎨ ⎩ x2 = 0; x1 = 37,5

III

15

10

foptimalno

40

I

x1

Grafikon 4.4.b. Skup mogućih rješenja, pravac funkcije cilja i optimalno rješenje

Odgovor pod a) Najprofitabilniji broj mini kompjutera koje treba proizvesti u narednom mjesecu je xˆ1 = 10 kompjutera Alfa 4 i xˆ 2 = 24 kompjutera Beta 5. Očekivani najveći profit iznosit će: fˆ = 55 200 USD . Sa grafikona vidimo da su ograničenja I i II uska grla programa, odnosno mjesečni broj radnih sati montažera i ugovoreni minimalan broj kompjutera Alfa 4 predstavljaju ograničenja zbog kojih se ne može ostvariti veća vrijednost funkcije cilja. Ova analiza nam govori da, ako bismo željeli unaprijediti funkciju cilja, onda bismo morali mijenjati ograničenja I ili II, ali ne i ograničenje IV. b)

Prilikom formiranja standardnog modela LP-a moramo uvesti određen broj dopunskih varijabli - izravnavajućih i vještačkih20. Standardni model ovog problema LP-a ima oblik:

20

Kod ograničenja ≤ uvodimo jednu izravnavajuću sa koeficijentom +1, kod ograničenja ≥ uvodimo jednu izravnavajuću sa koeficijentom -1 i vještačku sa koeficijentom +1, dok kod ograničenja = uvodimo jednu vještačku sa koeficijentom +1. U funkciji cilja izravnavajuće varijable imaju koeficijent 0, dok vještačke imaju koeficijent ± M u zavisnosti od funkcije cilja (+M kod cilja min f i –M kod cilja max f).

510

METODE ZA RJEŠAVANJE PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA

max f = 1200 x1 + 1800 x2 + 0 ⋅ x3 + 0 ⋅ x4 − M ⋅ x4* + 0 ⋅ x5 − M ⋅ x5* I = 800 20 x1 + 25 x2 + x3

II

− x4 + x4*

x1

III

= 10 − x5 + x5* = 15

x2 x1 , x2 , x3 , x 4 , x5 ≥ 0;

x 4* , x5* = 0

Kako su nam već izračunate optimalne vrijednosti polaznih primalnih varijabli u modelu xˆ1 = 10 i xˆ 2 = 24 , to su odgovarajuće optimalne vrijednosti izravnavajućih primalnih varijabli u modelu: xˆ 3 = 0 , xˆ 4 = 0 i xˆ5 = 9 Izravnavajuće varijable xˆ 3 , xˆ 4 su vezane za uska grla programa, pa je njihova vrijednost 0. Ako je vrijednost izravnavajuće varijable jednaka nula, onda je ograničenje kojem izravnavajuća varijabla pripada ustvari usko grlo programa. Varijabla xˆ 5 je vezana za treće ograničenje u modelu, odnosno za minimalno potreban broj mini kompjutera Beta 5, pa xˆ 5 = 9 nam govori da se 9 kompjutera tipa Beta 5 proizvodi više od minimalno potrebne količine. c) Dualni model polaznog primalnog modela određujemo tako da svakom ograničenju i pridružimo odgovarajuću polaznu dualnu varijablu y n + i : max f = 1200 x1 + 1800 x 2 I

20 x1 +

II

x1

III

25 x 2 ≤ 800 ⇐ y3

≥ 10 x 2 ≥ 15

⇐ y4 ⇐ y5

x1 , x 2 ≥ 0

Na osnovu osobina duala21 formiraćemo odgovarajući dualni model. Funkcija cilja u dualu: Označimo odgovarajuću dualnu funkciju sa g. Kako je u primalu cilj max f, to je u dualu cilj min g. Koeficijenti u ograničenjima kod primala nalaze se u funkciji cilja kod duala:

min g = 800 y3 + 10 y 4 + 15 y5 21

Dualni model je simetričan; Matrica A koja se nalazi u ograničenjima primalnog modela je transponovana u ograničenjima kod dualnog modela; Cilj max f kod primala ⇒ min g kod duala i min f kod primala ⇒ max g kod duala; Polazne dualne varijable ne moraju biti ≥ 0.

511

LINEARNO PROGRAMIRANJE

Ograničenja: Kako je dual simetričan, a cilj je min g, to su sva ograničenja u dualu ≥. Ograničenja u dualu imamo onoliko koliko u primalu imamo polaznih varijabli, tj. dva ograničenja.

Prvo ograničenje određujemo tako da gledamo sve koeficijente uz x1 u polaznom primalnom modelu, a granicu tako što gledamo koeficijent uz x1 u funkciji cilja: 20 y3 + y 4

≥ 1200

Analogno, za drugo ograničenje gledamo koeficijente uz x 2 : + y5 ≥ 1800

25 y3

Znak polaznih dualnih varijabli y n + i zavisi od znaka u ograničenju i kojem je pridružena odgovarajuća varijabla y n + i . Ako znak u ograničenju primala odgovara simetričnom modelu22, onda je dualna varijabla y n + i ≥ 0 , u suprotnom je y n + i ≤ 0 . Dakle, imamo:

y3 ≥ 0 ; y 4 ≤ 0; y5 ≤ 0 Na osnovu prethodnog razmatranja, odgovarajući dualni model ima oblik: min g = 800 y3 + 10 y 4 + 15 y5 20 y3 + y 4 25 y3

≥ 1200 + y5 ≥ 1800

y3 ≥ 0 ; y 4 ≤ 0; y5 ≤ 0

Za određivanje optimalnih vrijednosti dualnih varijabli potrebno je izvršiti standardizaciju dualnog modela i iskoristiti princip oslabljene komplementarnosti23. Prilikom strandardizacije dualnog modela uvodimo izravnavajuće varijable yi koje obavezno moraju biti nenegativne (vještačke dualne varijable nije potrebno uvoditi). Standardni dualni model ima oblik: min g = 800 y3 + 10 y 4 + 15 y5 − y1 + 20 y3 + y 4 = 1200 − y 2 + 25 y3 + y5 = 1800 y1 , y 2 ≥ 0; y3 ≥ 0 ; y 4 ≤ 0; y5 ≤ 0

22 23

Za cilj max f ograničenje traba biti ≤ , a za cilj min f ograničenje treba biti ≥.

(

xˆ i ⋅ yˆ i = 0; ∀i = 1, m

512

)

METODE ZA RJEŠAVANJE PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA

Na osnovu principa oslabljene komplementarnosti i optimalnih vrijednosti svih primalnih varijabli, imamo: xˆ1 = 10 ⇒ yˆ1 = 0 ; xˆ 5 = 9 ⇒ yˆ 5 = 0

xˆ 2 = 24 ⇒ yˆ 2 = 0

xˆ 3 = 0 ⇒ yˆ 3 = ? ,

xˆ 4 = 0 ⇒ yˆ 4 = ?

i

Iz prethodnog sistema, možemo odrediti vrijednost ostalih nepoznatih dualnih varijabli, odnosno vrijednost yˆ 3 i yˆ 4 . 20 y3 + y 4 = 1200⎫ ⎬ ⇒ yˆ 3 = 72, yˆ 4 = −240 25 y3 = 1800 ⎭ Jedinice mjere i značenje optimalnih vrijednosti dualnih varijabli:

Polazne dualne varijable y n + i su vezane za ograničenje i , te nam govore koliko će se promijeniti funkcija cilja ukoliko se ograničenje i promijeni za jednu svoju jedini⎡ jm funkcije cilja ⎤ cu mjere. Jedinice mjere za polazne dualne varijable y n + i su ⎢ ⎥. ⎣ jm ogranicenja i ⎦ Izravnavajuće dualne varijable yi su vezane za koeficijente u funkciji cilja uz primalne varijable xi . Govore nam koliko se najmanje mora promijeniti koeficijent u funkciji cilja uz xi da bi varijabla xi „ušla” u program, odnosno da bi xi bilo >0. Jedinica mjere yi je ista kao i jedinica mjere koeficijenta ci , koji se nalazi uz xi u ⎡ jm funkcije cilja ⎤ funkciji cilja primala, dakle ⎢ ⎥ jm xi ⎣ ⎦

Konkretno, dualne varijable yˆ1 = 0 ; yˆ 2 = 0 govore da su u optimalnom rješenju xˆ1 , xˆ 2 > 0 (»ušle u program«). Varijabla yˆ 5 = 0 nam govori da povećanjem ograničenja III za 1 kom. ne bismo promijenili funkciju cilja. Varijabla yˆ 3 = 72 nam govori da bi se, pomjeranjem ograničenja I za 1 rs (kad bi imali mjesečno na raspolaganju 801 rs), funkcija cilja povećala za 72 USD. Varijabla yˆ 4 = −240 nam govori da bi se, pomjeranjem ograničenja II za 1 kom. (kad bismo morali mjesečno proizvesti najmanje 11 komjutera Alfa 4), funkcija cilja smanjila za 240 USD.

513

LINEARNO PROGRAMIRANJE

d)

Primanje još jednog radnika će direktno uticati na I ograničenje. Primanjem jednog novog radnika broj radnih sati montažera će se povećati za 160, odnosno I ograničenje će imati oblik: 20 ⋅ x1 + 25 ⋅ x 2 ≤ 960

Na grafikonu vidimo da će skup mogućih rješenja promijeniti (prava I će se pomjeriti prema “gore”) i optimalna tačka C će se pomjeriti u tačku C´. Kako se pravac funkcije cilja nije promijenio, to će novo rješenje biti x1=10; x2=30,4, odnosno funkcija cilja će se povećati za 11 520 USD.

x2 II

32

C´ C III

15

A

B I

0

10

40



x1

Grafikon 4.4.c. Skup mogućih rješenja, pravac funkcije cilja i optimalno rješenje kod promjene ograničenja I

Do istog ovog rezultata smo mogli doći da smo iskoristili vrijednost i značenje dualne varijable yˆ 3 = 72 . Povećanjem granice I za 160 rs, funkcija cilja će se povećati za 160 ⋅ 72 = 11 520 USD , odnosno nova vrijednost funkcije cilja će biti fˆ ′ = 55 200 + 11 520 = 66 720 USD Napomena: Kako se nova optimalana vrijednost u stvarnosti ne može realizovati (proizvodnja 30,4 komada kompjutera Beta 5 nije moguća), mi ćemo uzeti cjelobrojno rješenje najbliže optimalnom koje se nalazi u skupu mogućih rješenja.

514

METODE ZA RJEŠAVANJE PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA

Primjer 4.5

Napraviti standardizirani model modela LP iz primjera 4.3. i pronaći optimalne vrijednosti svih varijabli. Objasniti njihovo značenje. Rješenje:

(1)

max f = 140 x1 + 80 x 2 + 0 x3 + 0 x 4 + 0 x5 + 0 x 6 Ι

3 x1 + 2 x 2 ΙΙ 2,5 x1 + 5 x 2

(2)

ΙΙΙ

(3)

= 24 000 ( m.s.)

+ x4

= 35 000 (r.s.) + x5

x1

ΙV

+ x3

x2

= 6 000 kom A + x 6 = 5 000 kom B

x1 , x 2, x3 , x 4, x5 , x 6, ≥ 0

Optimalne vrijednosti izravnavajućih varijabli su: x3 = 0;

Značenje: raspoloživi mašinski sati su “usko grlo” programa;

x4 = 5000; Značenje: 5000 neiskorištenih radnih sati u optimalnom programu proizvodnje; x5 = 0;

Značenje: tržište je zasićeno proizvodom A, “usko grlo” programa;

x6 = 2000; Značenje: može se plasirati još 2000 jedinica dobra B na tržištu; Primjer 4.6.

Napraviti odgovarajući dualni model modela LP iz primjera 4.3. pa odrediti optimalne vrijednosti dualnih promjenjljivih i objasniti njihovo značenje. Rješenje:

Primal:

(1) (2)

max f = 140 x1 + 80 x2 Ι

3 x1 + 2 x 2 ≤ 24 000 (m.s.) ⇐ ΙΙ 2,5 x1 + 5 x2 ≤ 35 000 (r.s.) ⇐ ΙΙΙ

(3)

ΙV

y3 y4

≤ 6 000 kom A ⇐ y5 x 2 ≤ 5 000 kom B ⇐ y 6 x1 , x 2 ≥ 0 x1

515

LINEARNO PROGRAMIRANJE

Dual: min g = 24 000 y3 + 35 000 y 4 + 6 000 y5 + 5 000 y 6 3 y3 + 2,5 y 4 + y5 ≥ 140 2 y3 + 5 y 4

+ y 6 ≥ 80 y3 ; y 4 ; y5 ; y 6 ≥ 0

Standardizacija duala: min g = 24 000 y3 + 35 000 y 4 + 6 000 y5 + 5 000 y 6 − y1

+ 3 y3 + 2,5 y 4 + y5 − y 2 + 2 y3 + 5 y 4

= 140 + y 6 = 80

y1 ; y 2 ; y3 ; y 4 ; y5 ; y 6 ≥ 0

Pomoću principa oslabljene komplementarnosti: xˆ1 = 6000 ⇒ yˆ1 = 0 xˆ 2 = 3000 ⇒ yˆ 2 = 0 3 y3 + y5 = 140⎫ xˆ 3 = 0 sistem 4.6. poprima oblik: ⎬ ⇒ yˆ 3 = 40; yˆ 5 = 20 2 y3 = 80 xˆ 4 = 5000 ⇒ yˆ 4 = 0 ⎭ xˆ 5 = 0 xˆ 6 = 2000 ⇒ yˆ 6 = 0

Polazne dualne varijable yˆ 4 = 0 i yˆ 6 = 0 nam govore da ograničenja II i IV nisu do kraja iskorištena, pa pomjeranjem ovih ograničenja nećemo promijeniti funkciju cilja. ⎡ KM ⎤ ⎥ nam govori da će se funkcija cilja povećati za ⎣ ms ⎦

Polazna dualna varijabla yˆ3 = 40 ⎢

40 KM ako se ograničenje I poveća za 1 mašinski sat. ⎡ KM ⎤ ⎥ nam govori da ako na tržištu uspijemo plasi⎣ komA ⎦

Polazna dualna varijabla yˆ5 = 20 ⎢

rati još jedan dodatni komad proizvoda tipa A, funkcija cilja će se povećati za 20 KM. Izravnavajuće dualne varijable yˆ1 = 0 i yˆ 2 = 0 nam govore da se koeficijenti u funkciji cilja (dobit po jedinici proizvoda A i dobit po jedinici proizvoda B) ne moraju mijenjati da bi x1 i x 2 ušle u optimalan plan.

516

METODE ZA RJEŠAVANJE PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA

Primjer 4.7.

U proizvodnom pogonu firme mogu se proizvoditi dva proizvoda (P1, P2). Strojevi prvog pogona (S1) imaju mjesečni kapacitet 450 sati, a drugog (S2) kapacitet od 600 sati. Potreban broj sati rada strojeva u proizvodnji jedinice proizvoda je sljedeći: S1 2 1

P1 P2

S2 2 2

Na temelju analize troškova zna se da treba proizvesti najmanje 100 jedinica P1. Ako je prihod po jedinici P1 10 KM i po jedinici P2 također 10 KM, treba odrediti optimalan plan proizvodnje koji omogućava maksimalan prihod. Rješenje:

x1 – broj proizvoda P1; x2 – broj proizvoda P2 Funkcija cilja:

max f = 10 x1 + 10 x 2

Ograničenja:

Strojevi prvog pogona (S1) imaju mjesečni kapacitet 450 sati. Za x1 jedinica proizvoda P1 potrebno je 2 x1 sati, a za x2 jedinica proizvoda P2 potrebno je 1 x2 sati. Ι 2 x1 + 1x 2 ≤ 450 (m.s.) S1 Strojevi drugog pogona (S2) imaju mjesečni kapacitet 600 sati. Za x1 jedinica proizvoda P1 potrebno je 2 x1 sati, a za x2 jedinica proizvoda P2 potrebno je 2 x2 sati. ΙΙ 2 x1 + 2 x 2 ≤ 600 (m.s.) S 2 Na temelju analize troškova zna se da treba proizvesti najmanje 100 jedinica P1. ΙΙΙ

≥ 100 kom P1

1x1

Model:

(1) (2) (3)

max f = 10 x1 + 10 x 2 Ι ΙΙ

2 x1 + 1x 2 ≤ 450 (m.s.) S1 2 x1 + 2 x 2 ≤ 600 (m.s.) S 2

ΙΙΙ

1x1

≥ 100 kom P1

x1 , x 2 ≥ 0 0

0

Za grafički prikaz vidimo da prava I siječe ose u x1 = 225; x 2 = 450 , te da prava II 0

0

siječe ose u x1 = 300; x 2 = 300 . 517

LINEARNO PROGRAMIRANJE

Skup mogućih rješenja je četverougao ABCD na grafikonu 4.7. x2

450

300

C (II∩III) P

100 D 0

III

100

B (I∩II) A 225 I300 f0

II

x1

foptimal-

Grafikon 4.7.a. Skup mogućih rješenja, pravac funkcije cilja i optimalno rješenje

Pravac funkcije cilja: Proizvoljno, tačka P (100, 100) ⇒ f (100,100 ) = 2000 , odavde je prava koja prolazi f 0 ≡ 10 x1 + 10 x 2 = 2 000 (na grakroz P, a paralelna je sa funkcijom cilja, data sa: fikonu je prikazana isprekidanom linijom). Paralelnim pomjeranjem vidimo da se pravac funkcije cilja podudara sa pravcem ograničenja II, a da obje najudaljenije rubne tačke skupa mogućih rješenja (kandidati za optimum) pripadaju ograničenju II. To znači da su optimalne i tačka B (150, 150) i tačka C (100, 200). Vrijednost funkcije cilja u ovim tačkama je ista i iznosi f(C) = f (B) = 3 000. Ako postoji više od jednog optimalnog rješenja, onda optimalnih rješenja ima beskonačno. U našem slučaju optimalne su tačke C i B, ali i svaka tačka na duži BC. Sva ostala optimalna rješenja se dobijaju kao linearna konveksna kombinacija rubna dva. Elementi optimalnog plana 1: Mjesečna proizvodnja 150 kom P1 i 150 kom P2, uz maksimalan prihod od 3 000 KM. Elementi optimalnog plana 2: Mjesečna proizvodnja 100 kom P1 i 200 kom P2, uz maksimalan prihod od 3 000 KM. Elementi svih ostalih optimalnih rješenja: 518

METODE ZA RJEŠAVANJE PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA

⎡ xˆ1 ⎤ ⎡150⎤ ⎡100 ⎤ ⎢ xˆ ⎥ = λ ⋅ ⎢150⎥ + (1 − λ ) ⋅ ⎢200⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 2⎦

λ ∈ [0,1]

Primjer 4.8.

Preduzeće koristi tri stroja, S1, S2, S3, da bi proizvelo dva tipa plastične mase - P1, P2. Jedan sat rada stroja S1 košta 10 KM, S2 košta 7 KM i S3 košta 12 KM. Svake sedmice preduzeće mora proizvesti barem 7 kg plastične mase tipa P1 i barem 4 kg mase tipa P2. Podaci o obradi plastičnih masa u jednom satu dati su u sljedećoj tabeli: P1

P2

S1

1 kg

2 kg

S2

1 kg

1 kg

S3

2 kg

1 kg

a) Sastaviti odgovarajući model LP-a za minimalne sedmične troškove, b) Formirati dualni model i odrediti optimalne vrijednosti duala i primala, c) Protumačiti značenje varijabli: yˆ 4 i xˆ 4 . Rješenje:

a) x1 – broj radnih sati S1

x2 – broj radnih sati S2 x3 – broj radnih sati S3 Funkcija cilja: min f = 10 x1 + 7 x 2 + 12 x3 Ograničenja: Zahtjevi za minimalnom potrebnom količinom plastičnih masa P1 i P2.

I II

x1 + x 2 + 2 x3 ≥ 7 2 x1 + x2 + x3 ≥ 4

Model: min f = 10 x1 + 7 x 2 + 12 x3 x1 + x 2 + 2 x3 ≥ 7 2 x1 + x 2 + x3 ≥ 4 x1 ≥ 0; x 2 ≥ 0; x3 ≥ 0

519

LINEARNO PROGRAMIRANJE

Standardizovani oblik modela je. min f = 10 x1 + 7 x 2 + 12 x3 + 0 x 4 + 0 x5 x1 + x 2 + 2 x3 − x 4 = 7 2 x1 + x 2 + x3 − x5 = 4 x1 ≥ 0; x 2 ≥ 0; x3 ≥ 0; x 4 ≥ 0; x5 ≥ 0

b) U modelu imamo tri polazne primalne varijable i klasični grafički model se ne može primijeniti. Međutim, analizirani model je simetričan i ima osobinu „dual duala je primal“, odnosno možemo prvo riješiti odgovarajući dualni model, pa iz njega pročitati optimalne vrijednosti primalnih varijabli. Odgovarajući dualni model je: max g = 7 y 4 + 4 y5 min f = 10 x1 + 7 x 2 + 12 x3 y 4 + 2 y5 ≤ 10 x1 + x 2 + 2 x3 ≥ 7 ← y4 ≥ 0 y 4 + y5 ≤ 7 ⇒ ← y5 ≥ 0 2 x1 + x 2 + x3 ≥ 4 2 y 4 + y5 ≤ 12 x1 ≥ 0; x 2 ≥ 0 y 4 ≥ 0; y5 ≥ 0

Na grafikonu 4.8.a. vidimo da je skup mogućih rješenja petougao ABCOD i da je optimalno rješenje tačka A. Koordinate rubnih tačaka skupa mogućih rješenja: A: II ∩ III = (5, 2); B: III ∩ I = (4, 3); C (6, 0); D (0, 5); O (0, 0);

y5 12

Pravac funkcije cilja: 7 5 C

0

Proizvoljna tačka M (4, 2):

gmax

7·4 + 4·2 = 36 ⇒ g0: 7·y4 + 4·y5 = 36 ⇒ (y4 = 0 ⇒ y5 = 9)

B M

A g0

6

D III

y4 10

7 II

I

Grafikon 4.8.a. Skup mogućih rješenja, pravac funkcije cilja i optimalno rješenje

Izravnavajuće dualne: yˆ1 = 1; yˆ 2 = 0; yˆ 3 = 0; 520

Optimalno rješenje: gmax = g (A) = 43 za

yˆ 4 = 5; yˆ 5 = 2;

METODE ZA RJEŠAVANJE PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA

Po principu oslabljene komplementarnosti imamo da su vrijednosti odgovarajućih primalnih varijabli: xˆ1 = 0; xˆ 4 = 0; xˆ 5 = 0; Sa ovim vrijednostima, vraćajući se u standardizovani model, imamo: x2 + 2 x3 = 7 x2 + x3 = 4 xˆ2 = 1; xˆ3 = 3

Odgovor: Minimalni sedmični troškovi iznose 43 KM, a optimalan plan korištenja strojeva za proizvodnju plastičnih masa P1 i P2 je 1 sat koristiti S2 i 3 sata koristiti S3. Stroj S1 se neće koristiti. KM govori da će se funkcija cilja povećati za 5 KM ako se ograničenje I kg poveća za 1 kg. c) yˆ 4 = 5

xˆ 4 = 0 kg govori nam da je ograničenje I usko grlo programa, odnosno da će se u optimalnom planu proizvesti minimalno potrebna količina plastične mase P1.

Primjer 4.9.

Trgovinsko preduzeće ima na raspolaganju 25 000 $ koje namjerava potrošiti na TV reklamu. Svi spotovi bi se emitovali na jednoj TV stanici. Relevantni su sljedeći podaci: Vrijeme emitovanja

Troškovi

7:00 – 18:00 18:00 – 23:00 23:00 – 02:00

1200 $ 2500 $ 1500 $

Broj potencijalnih gledalaca 15 000 25 000 18 000

TV stanica neće emitovati više od 15 spotova u svim terminima zajedno. a) Napraviti model datog problema LP-a u cilju maksimizacije broja potencijalnih kupaca koji će vidjeti spotove; b) Formirati dualni model i odrediti optimalne vrijednosti duala; c) Protumačiti značenje dualnih varijabli. Rješenje:

a)

x1 – broj spotova od 7:00 do 18:00 x2 – broj spotova od 18:00 do 23:00 x3 – broj spotova od 23:00 do 02:00 521

LINEARNO PROGRAMIRANJE

Funkcija cilja: max f = 15000 x1 + 25000 x 2 + 18000 x3 Ograničenja: Maksimalan broja spotova koji će se emitovati ⇒ x1 + x 2 + x3 ≤ 15

Troškovi za reklamu, maksimalno 25 000$ ⇒ 1200 x1 + 2500 x 2 + 1500 x3 ≤ 25000 Model: max f = 15000 x1 + 25000 x 2 + 18000 x3

x1 +

x2 +

x3 ≤ 15

← y4 ≥ 0 1200 x1 + 2500 x 2 + 1500 x3 ≤ 25000 ← y5 ≥ 0 x1 ≥ 0; x 2 ≥ 0; x3 ≥ 0

b) Simetričan primal ⇒ „ dual duala je primal“

Dualni model: min g = 15 y 4 + 25000 y 5

y 4 + 1200 y5 ≥ 15000 y 4 + 2500 y 5 ≥ 25000 y 4 + 1500 y5 ≥ 18000 y 4 ≥ 0; y5 ≥ 0 Koordinate presječnih tačaka:

y5 (1000)

D12,5 g0 A 10

A: I ∩ III = (3, 10) B: III ∩ II = (7, 7.5) C (25, 0) D (0, 12.5) Pravac funkcije cilja: M (10, 10) 15·10 000 + 25 000·10 = 400 000 g0: 15·y4 + 25 000·y5 = 400 000 ⇒ (y4 = 0 ⇒ y5 = 16)

12

M B

Optimalno rješenje:

gmin 0

15

I

18

III

C 25

y4 u hiljadama KM II

Grafikon 4.9.a. Skup mogućih rješenja, pravac funkcije cilja i optimalno rješenje

522

gmin = g (B) = 292 500 KM za

yˆ 4 = 7; yˆ 5 = 7,5;

METODE ZA RJEŠAVANJE PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA

Odgovarajuće izravnavajuće dualne varijable imaju vrijednosti: yˆ1 = 1000; yˆ 2 = 0; yˆ 3 = 0; . Odavde su primalne varijable: xˆ1 = 0; xˆ 4 = 0; xˆ 5 = 0; a iz modela 4.1.8 imamo: x2 +

x3 = 15

2500 ⋅ x2 + 1500 ⋅ x3 = 25000

xˆ2 = 2.5; xˆ3 = 12.5

c) yˆ1 = 1000 govori da bi se gledanost u terminu 7:00 do 18:00 trebala povećati za 1000 da bi se u optimalnom planu izabralo emitovanje spotova u tom terminu. yˆ 4 = 7000 nam govori da bi se broj potencijalnih gledalaca (vrijednost funkcije cilja) povećao za 7 000 ukoliko bismo povećali planirani broj spotova za 1 (ograničenje 1).

yˆ 5 = 7,5 nam govori da bi se broj potencijalnih gledalaca (vrijednost funkcije cilja) povećao za 7,5 ukoliko bismo povećali novac planiran za oglašavanje za 1$ (ograničenje 2). Primjer 4.10.

Poljoprivredno dobro proizvelo je 1000 t jabuka i prodavaće ih u gradovima A, B i C po cijenama: 25 nj / t u gradu A, 30 nj / t u gradu B i 28 nj / t u gradu C. Troškovi proizvodnje po toni jabuka iznose 10 nj , a transportne cijene su: 5 nj / t do grada A, 2 nj / t do grada B i 3 nj / t do grada C. Proizvedenu količinu jabuka treba kompletno prodati. U gradu C se može prodati maksimalno 50% jabuka, dok se u gradovima A i B može prodati zbirno maksimalno 600 t jabuka. U gradu A već je ugovorena prodaja od minimalno 150 t jabuka. a) Naći optimalan plan prodaje proizvedene količine koji će biti najrenatabilniji za proizvođača; b) Napraviti dualni model datog problema LP-a i naći optimalne vrijednosti dualnih varijabli; c) Protumačiti značenje optimalnih dualnih varijabli yˆ 6 i yˆ 7 .

523

LINEARNO PROGRAMIRANJE

Rješenje:

a) x1-tone jabuka u A (transportovane i prodate)⇒ dobit od prodaje u A: 25-(10+5) = 10 nj x2-tone jabuka u B (transportovane i prodate) ⇒ dobit od prodaje u B: 30-(10+2) = 18 nj x3-tone jabuka u C (transportovane i prodate) ⇒ dobit od prodaje u C: 28-(10+3) = 15 nj Funkcija cilja: maximalna dobit ⇒ max f = 10 x1 + 18 x 2 + 15 x3 Ograničenja:

Proizvedenu količinu treba kompletno prodati ⇒ I ) x1 + x 2 + x3 = 1000 U gradu C se može prodati maksimalno 50% jabuka ⇒ x3 ≤ 500 U gradovima A i B može se prodati zbirno maksimalno 600 t jabuka ⇒ x1 + x2 ≤ 600 U gradu A već je ugovorena prodaja od minimalno 150 t jabuka ⇒ x1 ≥ 150 Model: max f = 10 x1 + 18 x 2 + 15 x3

I

x1 + x 2 + x3 = 1000 x3 ≤ 500

II III

x1 + x 2

IV

x1

≤ 600 ≥ 150

x1 ≥ 0; x 2 ≥ 0; x3 ≥ 0; U pitanju je model koji ima tri nepoznate. Model nije simetričan, ali postoji jedno ograničenje trećeg tipa (tipa =) i ono nam omogućava da model transformišemo u model sa dvije nepoznate. Transformacija se vrši za svako ograničenje i to na sljedeći način: Iz I ⇒ x3 = 1000 − ( x1 + x 2 ) ≥ 0 ⇒ x1 + x 2 ≤ 1000 ; Iz II ⇒ x3 ≤ 500 ⇒ 1000 − ( x1 + x 2 ) ≤ 500 ⇒ x1 + x 2 ≥ 500 ; Iz III ⇒ x1 + x 2 ≤ 600 (ostaje isto) Iz IV ⇒ x1 ≥ 150 (ostaje isto) Iz max f = 10x1 + 18x2 + 15x3 = 10x1 + 18x2 + 15 ⋅ (1000 − x1 − x2 ) = −5x1 + 3x2 + 15000

524

METODE ZA RJEŠAVANJE PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA

Na osnovu spomenutih transformacija polazni model poprima oblik: max f = − 5´ x1 + 3 x 2 + 15000 I′ x1 + x 2 ≤ 1000 II ′ x1 + x 2 ≥ 500 II I ′ IV ′

x1 + x 2 ≤ 600 ≥ 150

x1

x1 ≥ 0; x 2 ≥ 0

Pravac funkcije cilja možemo odrediti ako izaberemo proizvoljnu tačku (iz skupa mogućih rješenja ili ne) i uvrstimo u izraz max f = −5 x1 + 3 x 2 + 15000 , odnosno na isti način kao i ranije. Međutim, kako je funkcija cilja rastuća funkcija (znak – ispred jedne nepoznate) i kako ima konstantni član (15 000), najlakši način za određivanje pravca je da izraz max f izjednačimo sa 0. Na ovaj način smo pravac funkcije cilja izrazili funkcijom f0, odnosno sa: − 5 x1 + 3x 2 + 15000 = 0

f 0 ≡ 5 x1 − 3x 2 = 15000 ⇒ {x1 (0) = 300; x 2 (0 ) = −500

Sa grafikona 4.10.a. se vidi da je skup mogućih rješenja ABCD i da je optimalna tačka A.

1200

f max

1000

f0

800 600

A

400

B

200

I C

0 -200 -400 -600

0

D

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100

III IV

II

Grafikon 4.10.a. Skup mogućih rješenja, pravac funkcije cilja i optimalno rješenje

Elementi optimalnog rješenja su: A (150, 150) i f (A) =15 600, odnosno: xˆ1 = 150; xˆ 2 = 150; xˆ 3 = 1000 − (150 + 150) = 700; 525

LINEARNO PROGRAMIRANJE

Odgovor: Optimalan plan prodaje jabuka je 150 t u gradu A, 150 t jabuka u gradu B i 700 t jabuka u gradu C i sa ovim planom će se ostvariti maksimalna dobit od 15 600 KM. b)

Odgovarajući dualni model ima oblik: min g = 1000 y 4 + 500 y5 + 600 y 6 + 150 y 7

y4 +

y6 +

y 7 ≥ 10

y4 +

y6 +

≥ 18

y4 + y4

y5 +

≥ 15

≤ 0; y 5 ≥ 0; y 6 ≥ 0; y 7 ≤ 0; ≥

Po principu oslabljene komplementarnosti i iz gornjeg sistema imamo: xˆ i ⋅ yˆ i = 0 xˆ1 = 150 → yˆ1 = 0 xˆ 2 = 450 → yˆ 2 = 0 xˆ 3 = 400 → yˆ 3 = 0

xˆ 4 = 0 → yˆ 4 = 15 xˆ 5 = 100 → yˆ 5 = 0 xˆ 6 = 0 → yˆ 6 = 3 xˆ 7 = 0 → yˆ 7 = −8

Optimalna vrijednost funkcije cilja primala fˆ = 15600 i duala gˆ = 15600 c) ∂f = 3nj / t ∂d 3

∂f = −8nj / t ∂d 4

Pomjeranjem ograničenja III za 1 tonu, funkcija cilja će se povećati za 3 KM. Pomjeranjem ograničenja IV za 1 tonu, funkcija cilja će se smanjiti za 8 KM. Primjer 4.11.

Preduzeće proizvodi tri vrste tkanina: A, B, C. Za njih su potrebne tri vrste vune: crvena, bijela i plava. Za 1 m tkanine A potrebno je 2 kg crvene, 1 kg plave i 1 kg bijele vune; za 1m tkanine B potrebno je 4 kg crvene i 4 kg bijele vune, dok je za tkaninu C potrebno 6 kg crvene, 2 kg plave i 4 kg bijele vune. Može se utrošiti maksimalno 48 kg crvene i 32 kg bijele vune, dok je potrebno utrošiti tačno 18 kg plave vune. Treba odrediti onu kombinaciju proizvodnje tkanina koja će obezbijediti najveći prihod preduzeću ako je prihod po metru tkanine A 10 KM, tkanine B 20 KM i tkanine C 10 KM. 526

METODE ZA RJEŠAVANJE PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA

a) Slobodno izabranom metodom pronaći optimalno rješenje i izvršiti analizu ispunjenja ograničenja; b) Formirati odgovarajući dualni model i odrediti optimalne vrijednosti dualnih promjenljivih. Rješenje:

a)

x1 – kg tkanine A; x2 – kg tkanine B; x3 – kg tkanine C

Funkcija cilja: maximalan prihod ⇒ max f = 10 x1 + 20 x 2 + 10 x3 Ograničenja:

I: Može se utrošiti maksimalno 48 kg crvene vune ⇒ 2 x1 + 4 x 2 + 6 x3 ≤ 48 II: Može se utrošiti maksimalno 32 kg bijele vune ⇒ x1 + 4 x 2 + 4 x3 ≤ 32 III: Potrebno utrošiti tačno 18 kg plave vune ⇒ x1 + 2 x3 = 18 Model:

max f = 10 x1 + 20 x 2 + 10 x3 2 x1 + 4 x 2 + 6 x3 ≤ 48 x1 + 4 x2 + 4 x3 ≤ 32 x1

+ 2 x3 = 18

x1 ≥ 0; x 2 ≥ 0; x3 ≥ 0; Ponovo vidimo da postoji jedno ograničenje trećeg tipa (III ograničenje) i ono nam omogućava da imodel transformišemo u model sa dvije nepoznate na sljedeći način: III ⇒ x1 + 2 x3 = 18 ⇒ x1 = −2 x3 + 18 ≥ 0 ⇒ x3 ≤ 9 I ⇒ 2 x1 + 4 x 2 + 6 x3 ≤ 48 ⇒ 2(− 2 x3 + 18) + 4 x 2 + 6 x3 ≤ 48 ⇒ … ⇒ 4 x 2 + 2 x3 ≤ 12 II ⇒ x1 + 4 x 2 + 4 x3 ≤ 32 ⇒ (− 2 x3 + 18) + 4 x 2 + 4 x3 ≤ 32 ⇒ … ⇒ 4 x 2 + 2 x3 ≤ 14

Iz ovih transformacija vidimo da je ograničenje II suvišno (jer I i II imaju iste lijeve strane), pa se skup mogućih rješenja može dobiti iz ograničenja I i III. Ako u funkciji cilja zamijenimo x1 sa , − 2 x3 + 18 , onda će funkcija cilja poprimiti oblik: max f = 20 x 2 − 10 x3 + 180 Funkcija cilja je rastuća funkcija i trebamo odrediti njen pravac. Međutim, ako pogledamo oblast mogućih rješenja datih na grafikonu 4.10, vidimo da se koordinate tjemena mogu pročitati sa grafikona i optimalna je jedna od tačaka A (0, 6) ili B (3, 0). Uvrštavanjem u funkciju cilja vidimo da je optimalna tačka B. 527

LINEARNO PROGRAMIRANJE

10

x3

f (B) = f (3, 0) = 240 f (A) = f (0, 6) = 120

A

Odavde je optimalno rješenje: x2 = 3 i x3 = 0; Ako se vratimo u polazni model i ograničenje III, imaćemo da je x1 = 18.

9 8 7 6 5 4 3 2 1

B

0 0

1

2

3

x2 4

Odavde vidimo da je optimalno koristiti 18 kg tkanine A, 3 kg tkanine B i 0 kg tkanine C. Maksimalan prihod 240 KM.

Grafikon 4.11.a. Moguća rješenja

4.5.2. Simplex metoda

Na osnovu baznih teorema linearnog programiranja vidjeli smo da se optimalno rješenje nalazi u nekoj od rubnih tačaka konveksnog skupa koji predstavlja skup mogućih rješenja. Grafičkim prikazom skupa mogućih rješenja se mogu vidjeti rubne tačke i pojedinačnom provjerom vidjeti koja od njih daje optimalno rješenje. Kod problema sa velikim brojem varijabli nije moguće grafički prikazati skup mogućih rješenja (u pitanju su n dimenzionalni prostori), ali je koncept isti. Simplex metoda predstavlja opšti algoritam koji se koristi za rješavanje svih oblika zadataka linearnog programiranja. Ovaj metod omogućava sistematsko ispitivanje rubnih tačaka n-dimenzionalnog poliedrona koji predstavlja skup mogućih rješenja sve dok se ne pronađe optimalno rješenje. U pitanju je iterativni postupak baziran na istom skupu procedura definisanih algebarskim operacijama nad matricama gdje se svakom narednom iteracijom dobija vrijednost bliža optimalnom rješenju. Ovo ustvari znači da simplex metoda omogućava najkraći put do optimalnog rješenja i da se ne moraju ispitati sve rubne tačke. Za upotrebu simplex metode moramo koristiti standardni primalni model problema linearnog programiranja koji smo prethodno označili sa (4.2): N

⎛ Max ⎞ ⎜ ⎟ f = ∑ cs ⋅ xs ⎝ Min ⎠ s =1 N

∑ ais ⋅ x s = d i ,

i = 1, m

s =1

xs ≥ 0 528

s = 1, N

METODE ZA RJEŠAVANJE PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA

gdje je m broj svih ograničavajućih linearnih jednačina; m = ( K + L + R ) , a N je broj svih primalnih varijabli. Da bismo objasnili suštinu simplex metode i način izračunavanja optimalnog rješenja zadatka linearnog programiranja moramo standardni primalni model izraziti u matričnom obliku ranije označenom sa (4.2'): ⎛ Max ⎞ ⎜ ⎟f = ⎝ Min ⎠

[ cs ] ⋅[ xs ] T

[ ais ] ⋅ [ xs ] = [ di ] [ xs ] ≥ 0 Kolone matrice [ais ] označimo kao vektore As , a vektor ograničenja [d i ] označimo sa A. Kako su vektori A i As , (s = 1,..., N ) m – dimenzionalni, to je skup ograničenja, pa i cijeli

problem LP-a, smješten u m - dimenzionalan vektorski prostor Vm. Naš zadatak je da odredimo vektore koji će predstavljati bazu tog vektorskog prostora. Uvođenjem ovih oznaka skup ograničenja u modelu 4.2 se može zapisati kao linearna kombinacija vektora As : N

A = ∑ x s ⋅ As

(4.16)

s =1

pri čemu je x s ≥ 0

(∀s = 1,..., N )

Ako pretpostavimo da sistem ograničavajućih jednačina ima rang m i time barem jedno rješenje, onda se iz skupa {A1 , A2 , … , AN } može izabrati barem jedna kombinacija od m vektora, označimo ih sa Ab , koji su linearno nezavisni i koji predstavljaju rješenje sistema 4.16. Ovi vektori mogu predstavljati bazu vektorskog prostora Vm. Bazu vektorskog prostora Vm označimo sa B. Ako postoji baza B = {Ab } vektorskog prostora Vm, onda se može pronaći m bazičnih varijabli xb ≠ 0 za koje vrijedi: A = ∑ xb ⋅ Ab

(4.17)

b

Bazične varijable xb ≠ 0 čine m baznih komponenti vektora [x s ] , dok su ostale komponente ovog vektora jednake nuli x s = 0; ∀s ≠ b . Vektor bazičnih varijabli označimo sa XB. Na osnovu teoreme 4.3.3, imamo da je ovaj vektor XB ekstremna tačka skupa mogućih rješenja, a odgovarajuća vrijednost funkcije cilja za XB iznosi: 529

LINEARNO PROGRAMIRANJE

N

f = ∑ cb ⋅ xb = ∑ c s ⋅ x s

(4.18)

s =1

b

Za vrijednost f kažemo da predstavlja vrijednost vektora A manifestovanog u odgovarajućoj bazi.24 Kako je B = {Ab } baza vektorskog prostora Vm, to znači i da se svaki vektor iz skupa {A1 , A2 , … , AN } može izraziti kao linearna kombinacija vektora iz baze: As = ∑ K bs ⋅ Ab

(4.19)

b

a vrijednost vektora As koju manifestuje u datoj bazi je data sa: f s = ∑ cb ⋅ K bs

(4.20)

b

Na osnovu (4.20) imamo da f s predstavlja vrijednost vektora As izraženog preko baze B, dok je c s vrijednost vektora As kad je on uzet kao bazični vektor. Odavde imamo da izraz: c s − f s = c s − ∑ cb ⋅ K bs b

predstavlja doprinos funkciji cilja ukoliko bi vektor As ušao u bazu sa vrijednošću x s = 1 . Iz ovih uvodnih napomena je vidljivo da je ispitivanje rubnih tačaka konveksnog poliedrona, koji predstavlja skup mogućih rješenja, ekvivalentno pronalasku odgovarajuće baze vektorskog prostora Vm, pa u suštini simleks metoda predstavlja izbor baznih vektora iz skupa {A1 , A2 , … , AN } i prelazak sa jedne baze na drugu, sve dok sa ne dobije optimalno rješenje. Objasnimo suštinu simplex metode na standardnom primalnom modelu LP-a. Kao prvo, matrica [ais ] sigurno ima m linearno nezavisnih kolona jer smo pri standardizaciji dodali izravnavajuće (ograničenjima I tipa) i vještačke varijable (ograničenjima II i III tipa) i time proširili matricu ograničenja sa jediničnom matricom ranga m. Odavde se vidi da će polazna baza biti sastavljena od K izravnavajućih vektora An+ k , k =1,..., K i od L+R vještačkih vektora A* n+ k +l , l = K +1,..., K + L + R 24

Vučković Ž., (1989), str 103.

530

METODE ZA RJEŠAVANJE PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA

To znači da polazno bazno rješenje XB ima oblik: X B = (0 0 d1 d m ) , odnosno bazne varijable imaju vrijednost jednaku vrijednosti ograničavajućih faktora [d s ] . Uopšteno, možemo uzeti da polazno bazično rješenje ima oblik

[

X B = xb1

xb2

xbm

0

0

]

i neka su iz skupa {A1 , A2 , … , AN } odabrani odgovarajući bazni vektori

{

B = Ab1 ,

, Av ,

}

, Abm ,

pri čemu nam indexi bi , i = 1,..., m govore o kojim varijablama je konkretno riječ, odnosno u pitanju su konkretni indeksi iz skupa {1,2, … , N } Ako u ovoj bazi vektor Av želimo zamijeniti sa nekim nebaznim vektorom Au , dobićemo novu bazu vektorskog prostora Vm :

{

B ′ = Ab1 ,

, Au ,

}

, Abm ,

kojoj odgovara novo bazično moguće rješenje:

[

X B′ = x b′ 1

xb′ 2

xb′ m

0

0

]

Zadatak simplex metode je da odredi pravilo (proceduru) kako se transformišu elementi modela ako smo napravili prelazak iz baze B u bazu B ′ . Iz izraza (4.17) vrijedi: m

A = ∑ xb i ⋅ Abi = xb1 ⋅ Ab1 + i =1

+ x v ⋅ Av +

+ xbm ⋅ Abm

(4.21.)

Svaki vektor As se može izraziti kao linearna kombinacija baznih vektora, pa i vektor Au , odnosno iz (4.19) slijedi: m

As = ∑ K bi s ⋅ Abi = K b1s ⋅ Ab1 + i =1

m

Au = ∑ K biu ⋅ Abi = K b1u ⋅ Ab1 + i =1

+ K vs ⋅ Av + + K vu ⋅ Av +

+ K bm s ⋅ Abm + K bmu ⋅ Abm

(4.22.)

(4.23.)

Ako jednačinu (4.23). pomnožimo sa nekim θ ≥0 i oduzmemo od jednačine (4.21), dobićemo relaciju:

531

LINEARNO PROGRAMIRANJE

(

)

A = xb1 − θ ⋅ K b1u ⋅ Ab1 + m

(

+ ( xv − θ ⋅ K vu ) ⋅ Av +

(

)

+ xbm − K bmu ⋅ Abm + θ ⋅ Au =

(4.24)

)

= ∑ xb i − θ ⋅ K biu ⋅ Abi + θ ⋅ Au i =1

a odavde vidimo da je

[

X B = xb1 − θ ⋅ K b1u

x v − θ ⋅ K vu

x bm − θ ⋅ K bmu

0

θ

0

]

moguće rješenje modela. Zbog uslova nenegativnosti u modelu imamo da xbi − θ ⋅ K biu ≥ 0 (∀i ) , odakle slijedi da je: 0 0

jer će tada biti f '' > f ' ako je X 'j' > 0

Cilj min. f : (c j − f j' ) > 0

jer će tada biti f '' < f ' ako je X 'j' > 0

Za svaki “korisni” vektor As: 538

METODE ZA RJEŠAVANJE PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA

ƒ Treba izračunati m količnika

xbi K bi s

za i = 1,..., m

ƒ Vrijednost θj ne smije biti veća ni od jednog navedenog količnika, a mora biti jednaka bar jednom (za b = v) od tih količnika i mora biti pozitivna. To će biti ako je ispunjen uslov:

⎪⎧ xbi ⎪⎫ ⎬, ⎪⎩ K bi s ⎪⎭

θ = min ⎨ bi

i = 1,… , m

za svaki koristan vektor As

Kriterij izlaska vektora iz baze: Određivanje najkorisnijeg para vektora zamjene (Av, Au): Za sve korisne vektore za ulazak u bazu Au treba izračunati priraštaj funkcije cilja:

Δf vs = ( f ′ − f ) = θ s ⋅ (C s − f s ) i prednost dati onom vektoru kod kojeg je apsolutna vrijednost priraštaja najveća.

[

]

[

]

Kod max. f u bazu ulazi vektor kod kojeg je vrijednost θ j ⋅ (C j − f j' ) maksimalno pozitivna. Kod min. f u bazu ulazi vektor kod kojeg je vrijednost θ j ⋅ (C j − f j' ) maksimalno negativna. Optimalno rješenje je dobijeno ako u simplex tabeli : ƒ vrijednosti svake od N varijabli Xs zadovoljavaju uslove nenegativnosti; ƒ vrijednost funkcije cilja je konačna i ako su: ƒ Kod cilja max.f sve razlike (C s − f s' ) < 0 ; ƒ Kod cilja min.f sve razlike (C s − f s' ) > 0 .

Primjer 4.12.

Riješiti problem LP iz primjera 4.3. simplex metodom. Rješenje:

Zadatak je bio da se odredi broj jedinica dobra A i broj jedinica dobra B koje treba proizvoditi sa ciljem maksimizacije mjesečne dobiti. Spomenuti problem LP-a ima dvije nepoznate i mi smo ga rješavali grafičkom metodom. Da bi se na polazni model LP-a mogao primijeniti simplex algoritam, potrebno je prethodno napraviti standardni 539

LINEARNO PROGRAMIRANJE

model datog problema. Kako su i model i standardizacija ranije detaljno objašnjeni27, sada ćemo samo napisati navedene modele: Polazni model:

(1)

max f = 140 x1 + 80 x2

(2)

Ι

3 x1 + 2 x2 ≤ 24 000 (m.s.)

ΙΙ 2,5 x1 + 5 x2 ≤ 35 000 (r.s.) ΙΙΙ

(3)

≤ 6 000 kom A

x1

ΙV

x2

≤ 5 000 kom B

x1 , x2 ≥ 0

Standardni model:

max f = 140 x1 + 80 x2 + 0 x3 + 0 x4 + 0 x5 + 0 x6 3 x1 + 2 x2 + 1x3 + 0 x4 + 0 x5 + 0 x6 = 24 000⎫ 2,5 x1 + 5 x2 + 0 x3 + 1x4 + 0 x5 + 0 x6 = 35 000 ⎪⎪ ⎬ 1x1 + 0 x2 + 0 x3 + 0 x4 + 1x5 + 0 x6 = 6 000 ⎪ 0 x1 + 1x2 + 0 x3 + 0 x4 + 0 x5 + 1x6 = 5 000 ⎪⎭ x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ≥ 0 Simplex tabela omogućava prikaz svih vektora As (sastavljanih od koeficijenata uz nepoznatu Xs) i vektora ograničenja A0 (sastavljnog od vrijednosti ograničenja u svakoj jednačini) izraženih u odabranoj bazi u m – dimenzionalnom vektorskom prostoru. U našem slučaju mi ćemo prikazati vektore A1, A2, A3, A4, A5, A6 i vektor A0 u četverodimenzionalnom prostoru. Napomenimo da svaki vektor koji bude odabran za bazni u ovom prostoru mora imati jedan od sljedećih oblika: ⎡1 ⎤ ⎢0 ⎥ e1 = ⎢ ⎥; ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 ⎦

27

⎡0 ⎤ ⎢1 ⎥ e 2 = ⎢ ⎥; ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 ⎦

Primjer 4.3. i Primjer 4.4.

540

⎡0 ⎤ ⎢0 ⎥ e3 = ⎢ ⎥ ; ⎢1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 ⎦

⎡0 ⎤ ⎢0 ⎥ e 4 = ⎢ ⎥; ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣1⎦

METODE ZA RJEŠAVANJE PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA

Polazna simplex tabela ima sljedeći oblik:

C0 Koeficijenti u funkciji cilja uz bazne varijable

B

A0

Koeficijenti u funkciji cilja uz varijable xs

A1

Vrijednost Vrijedograniče- nost Bazne varijable nja u datoj vektora A1 u bazi (Ab) datoj bazi (xb)

A2

A3

Vrijednost vektora ... A2 u datoj bazi

A4

...

A5

A6 Vrijednost vektora A6 u datoj bazi

...

Vrijednost funkcije (Cs – fs) – Doprinos vektora As promjeni vrijednosti funkcije cilja u cilja izražen u datoj bazi B datoj bazi

odnosno popunjena tabela ima sljedeći oblik: Tabela 4.12.a. Polazna simplex tabela

C0

B

A0

0 0 0 0

A3 A4 A5 A6

24000 35000 6000 5000

140 A1 3 2,5 1 0

80 A2 2 5 0 1

0 A3 1 0 0 0

0 A4 0 1 0 0

0 A5 0 0 1 0

0 A6 0 0 0 1

Posljednji red u simplex tabeli se sastoji od vrijednosti funkcije cilja u datoj bazi (zapisuje se u koloni A0) i doprinosa koji svaki vektor daje promjeni funkcije cilja (zapisuje se u kolonama As i označava se sa cs – fs).

Vrijednost funkcije cilja u datoj bazi se određuje iz formule f = ∑ cb ⋅ xb , odnosno f = 0 ⋅ 24000 + 0 ⋅ 35000 + 0 ⋅ 6000 + 0 ⋅ 5000 = 0

b

Doprinos vektora As promjeni funkcije cilja se određuje iz c s − f s = c s − ∑ cb ⋅ K bs b

gdje je Kbs komponenta b vektora As, odnosno

541

LINEARNO PROGRAMIRANJE

c1 − f1 = 140 − (0 ⋅ 3 + 0 ⋅ 2,5 + 0 ⋅ 1 + 0 ⋅ 0) = 140 c2 − f 2 = 80 − (0 ⋅ 2 + 0 ⋅ 5 + 0 ⋅ 0 + 0 ⋅ 0) = 80 c3 − f 3 = 0 − (0 ⋅ 1 + 0 ⋅ 0 + 0 ⋅ 0 + 0 ⋅ 0 ) = 0 c4 − f 4 = 0 − (0 ⋅ 0 + 0 ⋅ 1 + 0 ⋅ 0 + 0 ⋅ 0) = 0 c5 − f 5 = 0 − (0 ⋅ 0 + 0 ⋅ 0 + 0 ⋅ 1 + 0 ⋅ 0) = 0 c6 − f 6 = 0 − (0 ⋅ 0 + 0 ⋅ 0 + 0 ⋅ 0 + 0 ⋅ 1) = 0

Uvrštavanjem ovih vrijednosti u tabelu (4.11a) dobićemo popunjenu prvu simplex tabelu. Tabela 4.12.b. Prva simplex tabela problema LP 4.11

C0

B

A0

0 0 0 0

A3 A4 A5 A6

24000 35000 6000 5000 0

140 A1 3 2,5 1 0 140

80 A2 2 5 0 1 80

0 A3 1 0 0 0 0

0 A4 0 1 0 0 0

0 A5 0 0 1 0 0

0 A6 0 0 0 1 0

Dalje ćemo koristiti osobinu da je kod baznih vektora vrijednost (Cs – fs) uvijek jednaka nuli28. Iz prve tabele vidimo da bi vrijednost funkcije cilja u trenutnoj bazi (A3, A4, A5, A6) bila 0. U posljednjem redu prve simplex tabele gledamo koliki doprinos funkciji cilja daje svaki nebazni vektor. Ukoliko je doprinos cs – fs pozitivan, kod cilja maximum, kažemo da je vektor As koristan i analogno, kod cilja minimum korisni su oni vektori koji imaju negativne doprinose cs – fs. U našem primjeru korisni vektori su A1 i A2. Podatak (c1 – f1) = 140 govori da bi „ulaskom“ vektora A1 u bazu sa vrijednošću X1 = 1, funkcija cilja se povećala za 140 KM, dok podatak (c2 – f2) = 80 govori da bi „ulaskom“ vektora A2 u bazu sa vrijednšću X2 = 1, funkcija cilja se povećala za 80 KM.

28

Dokaz je vrlo lagan, potrebno je samo u c s − f s = c s − nicu da je

542

∑ c b ⋅ K bb b

= c b jer je K =1. bb

∑ b

c b ⋅ K bs uvrstiti da je s = b i iskoristiti činje-

METODE ZA RJEŠAVANJE PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA

Određivanje vektora koji će napustiti bazu i vektora koji ulazi u bazu

Za formiranje naredne simplex tabele trebamo izabrati koji od korisnih vektora „ubaciti“ u bazu i koji bazni „izbaciti“. Za određivanje najboljeg para (ulazni, izlazni) vektora, kriterij je najveći „popravak“ funkcije cilja uz osiguravanje nenegativnosti baznih (svih) varijabli. Maksimalnu vrijednost koju nebazna varijabla Xs može imati pri ulasku u bazu označićemo sa θs i računamo je kao θs = Min(Kbs/Xb) za sve b iz B. U našem primjeru imamo: θ1 = Min (24000/3; 35000/2.5; 6000/1; -)29 = Min (8000; 14000; 6000; -) = 6000. Veličina 6000 odgovara trećem elementu u koloni, što znači da je treći element u trenutnoj bazi kandidat za izlazak. θ2 = Min (24000/2; 35000/5; -; 5000/1) = Min (12000; 7000; -; 5000) = 5000. Veličina 5000 odgovara četvrtom elementu u koloni, što znači da je četvrti element u trenutnoj bazi kandidat za izlazak. Vrijednost θ1 daje informaciju da je najveća vrijednost koju vektor A1 može poprimiti pri ulasku u bazu jednaka X1 = θ1 = 6000 i da će se u tom slučaju funkcija cilja povećati za: θ1 ⋅(c1 – f1) = 6000 ⋅140 = 840 000 KM Vrijednost θ2 daje informaciju da je najveća vrijednost koju vektor A2 može poprimiti pri ulasku u bazu jednaka X2 = θ2 = 5000 i da će se u tom slučaju funkcija cilja povećati za: θ2 ⋅(c2 – f2) = 5000 ⋅80 = 400 000 KM Iz ovih razmatranja zaključujemo da je bolje u bazu uključiti vektor A1 i da u tom slučaju iz baze izlazi vektor A5. Druga simplex tabela se dobije transformacijom prve tabele tako što se u bazu ubaci najkorisniji vektor, a iz baze izbaci vektor koji smo odredili preko θ.

Transformacija prve (prethodne) simplex tabele je ekvivalentna Gausovoj metodi transformacije nad redovima matrice. Cilj transformacije je obezbijediti da novi bazni vektor (vektor koji „ulazi“ u bazu) ima bazne koordinate. U našem slučaju transformacije se moraju izvršiti sa ciljem da vektor A1 poprimi oblik:

29

Dijeljenje sa 0 nije moguće, a sa negativnim vrijednostima nije dozvoljeno jer se gubi nenegativnost varijabli.

543

LINEARNO PROGRAMIRANJE

⎡0 ⎤ ⎢0 ⎥ A1′ = ⎢ ⎥ ; ⎢1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 ⎦

Tabelarna interpretacija elementarnih transformacija nad matricom u prethodnoj simplex tabeli se može iskazati na sljedeći način: I

Red koji odgovara izlaznom vektoru (bazni red) podijelimo sa elementom (bazni element) koji se nalazi na presjeku baznog reda i kolone koja odgovara ulaznom vektoru (bazna kolona) (Tabela 4.11c). U našem slučaju, bazni element je 1 i bazni red se prepiše.

II

Bazna kolona je bazni vektor, što znači da su joj svi elementi jednaki 0, osim baznog koji mora biti 1.

III

Sve ostale elemente u matrici ćemo dobiti „kružnom“ transformacijom:

K us ⋅ K bv , gdje je Kbs bazni element a Kus element u baznoj koloni i Kbv K bs element u baznom redu. ′ = K uv − K uv

Konkretno, vrijednosti pojedinih elemenata u tabeli su: 3 ⎧ ⎪ X 3′ = 24000 − 1 ⋅ 6000 = 6000 ⎪ 2,5 ⎪ ⋅ 6000 = 20000 Kolona A0: ⎨ X 4′ = 35000 − 1 ⎪ 0 ⎪ ⎪ X 6′ = 5000 − 1 ⋅ 6000 = 5000 ⎩ Tabela 4.12b'. Prva simpex tabela problema LP 4.1.1 sa označenim baznim redom, kolonom i elementom

544

C0

B

A0

0 0 0 0

A3 A4 A5 A6

24000 35000 6000 5000 0

140 A1 3 2,5 1 0 140

80 A2 2 5 0 1 80

0 A3 1 0 0 0 0

0 A4 0 1 0 0 0

0 A5 0 0 1 0 0

0 A6 0 0 0 1 0

METODE ZA RJEŠAVANJE PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA

⎧ ⎪ K 12′ ⎪ ⎪⎪ K ′ Kolona A2: ⎨ 22 ⎪ K 32 ′ ⎪ ⎪K ′ 42 ⎩⎪

0 = 2 − ⋅3 = 2 1 0 = 5 − ⋅ 2,5 = 5 Kolona A5: 1 = K 32 = 0 0 = 1− ⋅0 = 1 1

⎧ ⎪ K 15′ ⎪ ⎪⎪ K ′ 25 ⎨ ⎪ K 35 ′ ⎪ ⎪K ′ 45 ⎩⎪

1 = 0 − ⋅ 3 = −3 1 1 = 0 − ⋅ 2,5 = −2,5 1 = K 35 = 1 0 = 0 − ⋅1 = 0 1

Kolone (vektori) A3, A4, A1 i A6 su bazne i one imaju oblik (respektivno): ⎡1⎤ ⎢0 ⎥ A3′ = ⎢ ⎥; ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 ⎦

⎡0 ⎤ ⎢1 ⎥ A4′ = ⎢ ⎥; ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 ⎦

⎡0 ⎤ ⎢0 ⎥ A1′ = ⎢ ⎥; ⎢1⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 ⎦

⎡0 ⎤ ⎢0 ⎥ A6′ = ⎢ ⎥; ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣1⎦

Ove transformacije možemo zapisati u drugu simplex tabelu 4.2. 1. c u kojoj ostaje još da se izračuna posljedni red. Tabela 4.12.c. Druga simplex tabela problema LP 4.11

C0

B

0 0 140 0

A3 A4 A1 A6

A0

6000 20000 6000 5000

140 A1 0 0 1 0

80 A2 2 5 0 1

0 A3 1 0 0 0

0 A4 0 1 0 0

0 A5 -3 -2,5 1 0

0 A6 0 0 0 1

Vrijednost funkcije cilja u datoj bazi f = 0 ⋅ 6000 + 0 ⋅ 20000 + 140 ⋅ 6000 + 0 ⋅ 5000 = 840000 Doprinos vektora As promjeni funkcije cilja tj. c s − f s :

( bazni ) c2 − f 2 = 80 − ( 0 ⋅ 2 + 0 ⋅ 5 + 140 ⋅ 0 + 0 ⋅1) = 80 c3 − f 3 = 0 ( bazni ) c1 − f1 = 0

545

LINEARNO PROGRAMIRANJE

( bazni ) c5 − f5 = 0 − ( 0 ⋅ ( −3) + 0 ⋅ ( −2,5 ) + 140 ⋅1 + 0 ⋅ 0 ) = −140 c6 − f 6 = 0 ( bazni ) c4 − f 4 = 0

Kompletirajmo drugu simplex tabelu i, na osnovu vrijednosti c s − f s , vidimo da je koristan samo jedan vektor i to A2 ( c 2 − f 2 > 0 ). Određivanjem odgovarajućih vrijednosti θ, dobićemo θ2 = Min {6000/2; 20000/5; -; 5000/1} = Min {3000; 4000; -; 5000} = 3000, pa je vektor A3, vektor koji izlazi iz baze. Odavde vidimo da je I red bazni (određuje ga izlazni vektor A3), a II kolona bazna (određena sa ulaznim vektorom A2). Bazni element je 2 (presjek I reda i II kolone) Tabela 4.12.c'. Druga simplex tabela problema LP 4.11

C0

B

A0

0 0 140 0

A3 A4 A1 A6

6000 20000 6000 5000 840000

140 A1 0 0 1 0 0

80 A2 2 5 0 1 80

0 A3 1 0 0 0 0

0 A4 0 1 0 0 0

0 A5 -3 -2,5 1 0 -140

0 A6 0 0 0 1 0

Postupak transformisanja simplex tabele nastavljamo sve dok se ne dobije tabela u kojoj nema više korisnih vektora. U trećoj tabeli podijelimo bazni red sa 2. Kolone koje odgovaraju bazi popunimo odgovarajućim jediničnim vektorima: ⎡1 ⎤ ⎢0 ⎥ ′ ′ A2 = ⎢ ⎥; ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 ⎦

⎡0 ⎤ ⎢1 ⎥ ′ ′ A4 = ⎢ ⎥; ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 ⎦

⎡0 ⎤ ⎢0 ⎥ ′ ′ A1 = ⎢ ⎥; ⎢1⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 ⎦

⎡0 ⎤ ⎢ ⎥ ″ ⎢0 ⎥ A6 = ; ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣1 ⎦

′′ = K uv ′ − Sa preostalim elementima radimo „kružnu“ transformaciju: K uv

546

K us′ ′ ⋅ K bv K bs′

METODE ZA RJEŠAVANJE PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA

⎧ X 2′ ′ = 3000 (bazni red ) ⎪ ⎪ X 4′ ′ = 20000 − 6000 ⋅ 5 = 5000 2 ⎪ Kolona A0: ⎪ ⎨ 6000 ⎪ X 1′ ′ = 6000 − 2 ⋅ 0 = 6000 ⎪ ⎪ X ′ ′ = 5000 − 6000 ⋅ 1 = 2000 ⎪⎩ 6 2 ⎧ ⎪ K 13′ ′ ⎪ ⎪ K ′′ Kolona A3: ⎪ 23 ⎨ ⎪ K ′′ ⎪ 33 ⎪ ⎪ K 43 ′′ ⎩

K 13′ 1 = (bazni red ) 2 2 5 5 = 0 − ⋅1 = − Kolona A5: 2 2 0 = 0 − ⋅1 = 0 2 1 1 = 0 − ⋅1 = − 2 2

=

⎧ ⎪ K 15′ ′ ⎪ ⎪ K ′′ ⎪ 25 ⎨ ⎪ K ′′ ⎪ 35 ⎪ ⎪ K 45 ′′ ⎩

K 15′ 3 = − (bazni red 2 2 5 = − 2 ,5 − ⋅ (− 3 ) = 5 2 0 = 1 − ⋅ (− 3 ) = 1 2 3 1 = 0 − ⋅ (− 3 ) = 2 2

=

)

Odredimo i posljednji red tabele: Vrijednost funkcije cilja u datoj bazi f = 80 ⋅ 3000 + 0 ⋅ 5000 + 140 ⋅ 6000 + 0 ⋅ 2000 = 1 080 000 Doprinos vektora A3 i A5 promjeni funkcije cilja: ⎡ 1 ⎛ 5⎞ ⎛ 1 ⎞⎤ c3 − f 3 = 0 − ⎢80 ⋅ + 0 ⋅ ⎜ − ⎟ + 140 ⋅ 0 + 0 ⋅ ⎜ − ⎟⎥ = −40 2 ⎝ 2⎠ ⎝ 2 ⎠⎦ ⎣ ⎡ ⎛ 3⎞ 3⎤ c5 − f 5 = 0 − ⎢80 ⋅ ⎜ − ⎟ + 0 ⋅ 5 + 140 ⋅ 1 + 0 ⋅ ⎥ = −20 2⎦ ⎣ ⎝ 2⎠

Odavde vidimo da nemamo više korisnih vektora i da smo dobili posljednju, optimalnu simplex tabelu. Tabela 4.12.d. Treća i završna simpleks tabela problema LP 4.11

C0

B

A0

80 0 140 0

A2 A4 A1 A6

3000 5000 6000 2000 1080000

140 A1 0 0 1 0 0

80 A2 1 0 0 0 0

0 A3 1/2 -5/2 0 -1/2 -40

0 A4 0 1 0 0 0

0 A5 -3/2 5 1 3/2 -20

0 A6 0 0 0 1 0

547

LINEARNO PROGRAMIRANJE

Optimalne vrijednosti funkcije cilja primala i duala su iste (ako optimum postoji) i iznose: fˆ = gˆ = 1 080 000 KM Optimalne vrijednosti primalnih varijabli čitamo iz kolone A0, odnosno: xˆ1 = 6000 ; xˆ 2 = 3000 ; xˆ 3 = 0 ; xˆ 4 = 5000 ; xˆ 5 = 0 ; xˆ 6 = 2000 ; Optimalne vrijednosti dualnih varijabli čitamo iz posljednjeg reda u optimalnoj simplex tabeli, i odavde je: yˆ1 = 0 ; yˆ 2 = 0 ; yˆ 3 = 40 ; yˆ 4 = 0 ; yˆ 5 = 20 ; yˆ 6 = 0 ;

30

Primjer 4.13.

Preduzeće proizvodi tri proizvoda A, B, C koji se obrađuju u dva pogona. Tehničkotehnološki uslovi proizvodnje su dati u tablici: Proizvodni pogoni P1 P2

Sati potrebni za izradu jedinice A B C 6 5 2 4 5 6

Raspoloživi fond sati 6000 9000

Po jedinici dobra A, B i C ostvaruju se dobiti od 20, 25 i 12 KM a) Odrediti optimalan program proizvodnje kojom se ostvaruje maksimalna dobit. b) Formirati dualni model i riješiti ga. Rješenje:

a)

x1 – broj jedinica dobra A x 2 – broj jedinica dobra B x 3 – broj jedinica dobra C

Model koji odgovara ovom problemu je: max f = 20 x 1 + 25 x 2 + 12 x 3 6 x 1 + 5 x 2 + 2 x 3 ≤ 6000 4 x 1 + 5 x 2 + 6 x 3 ≤ 9000 x 1 ≥ 0; x 2 ≥ 0; x 3 ≥ 0 30

Znak dualne promjenljive zavisi od ograničenja za koje je vezana dualna varijabla, s tim da su sve izravnavajuće dualne varijable nenegativne.

548

METODE ZA RJEŠAVANJE PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA

Standardizacijom polaznog modela dobijamo sljedeću tabelu: max f = 20 x 1 + 25 x 2 + 12 x 3 + 0x4 + 0x5 6 x 1 + 5 x 2 + 2 x 3 + x4 = 6000 4 x 1 + 5 x 2 + 6 x 3 + x5 = 9000 x 1 ≥ 0; x 2 ≥ 0; x 3 ≥ 0; x4 ≥ 0; x 5 ≥ 0 Zadatak ćemo riješiti pomoću simplex algoritma. Iz standardizovanog modela formiraćemo prvu simplex tabelu: C0

B

A0

0 0

A4 A3

6000 9000 0

20 A1 6 4 20

25 A2 5 5 25

12 A3 2 6 12

0 A4 1 0 0

0 A5 0 1 0

Ponovo je cilj maximum, pa su korisni vektori A1, A2 i A3. Za svaki od njih treba odrediti odgovarajuće θ: θ1 = Min{6000/6; 9000/4} = 1000 θ2 = Min{6000/5; 9000/5} = 1200 θ3 = Min{6000/2; 9000/6} = 1500 Vrijednost θ1 daje informaciju da je najveća vrijednost koju vektor A1 može poprimiti pri ulasku u bazu jednaka x1 = θ1 = 1000 i da će se u tom slučaju funkcija cilja povećati za: θ1 ⋅(c1 – f1) = 1000 ⋅20 = 20 000 KM Vrijednost θ2 daje informaciju da je najveća vrijednost koju vektor A2 može poprimiti pri ulasku u bazu jednaka x2 = θ2 = 1200 i da će se u tom slučaju funkcija cilja povećati za: θ2 ⋅(c2 – f2) = 1200 ⋅25 = 30 000 KM Vrijednost θ3 daje informaciju da je najveća vrijednost koju vektor A3 može poprimiti pri ulasku u bazu jednaka x3 = θ3 = 1500 i da će se u tom slučaju funkcija cilja povećati za: θ3 ⋅(c3 – f3) = 1500 ⋅12 = 18 000 KM Iz ovih razmatranja zaključujemo da je najbolje u bazu uključiti vektor A2 i da u tom slučaju iz baze izlazi vektor A4. 549

LINEARNO PROGRAMIRANJE

Bazni element iznosi Kbs' = 5 i bazni red je prvi red, što znači da bazni red dijelimo sa ⎛1⎞ 5. Bazna kolona je druga kolona, pa su njene koordinate ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝ 0⎠ Ranije opisanim »kružnim» transformacijama dobićemo narednu simplex tabelu: C0

B

A0

25 0

A2 A5

1200 3000 30000

Cs – fs

20 A1 6/5 -2 -10

25 A2 1 0 0

12 A3 2/5 4 2

0 A4 1/5 -1 -5

0 A5 0 1 0

Iz tabele vidimo da je koristan samo jedan vektor, i to vektor A3, i odgovarajuće θ3 iz⎧1200 3000 ⎫ nosi θ3 = Min⎨ ; ⎬ = 750 , što znači da u bazu ulazi vektor A3, a iz baze 4 ⎭ ⎩25 izlazi vektor A5 i ukupna vrijednost funkcije cilja će se povećati za θ 3 ⋅ (c3 − f 3 ) = 750 ⋅ 2 = 1500 . Bazni element iznosi Kbs'' = 4 i bazni red je drugi red, što znači da bazni red dijelimo ⎛ 0⎞ sa 4. Bazna kolona je treća kolona, pa su njene koordinate ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝1⎠ Ponavljamo opisane korake iteracije i dobijemo treću simplex tabelu, u kojoj nemamo pozitivnih vrijednosti c s − f s pa to znači da nemamo više korisnih vektora, odnosno dobili smo optimalnu simplex tabelu. C0

B

A0

25 12

A2 A3

900 750 31500

Cj-fj

20 A1 8/5 -1/2 -14

25 A2 1 0 0

12 A3 0 1 0

0 A4 3/10 -1/4 -4,5

Optimalne vrijednosti funkcija cilja duala i primala pročitamo iz tabele: Primal: xˆ1 = 0 xˆ 2 = 900 xˆ 3 = 750

550

xˆ 4 = 0 xˆ5 = 0

fˆ = 3150

0 A5 -1/10 1/4 -0,5

METODE ZA RJEŠAVANJE PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA

Optimalno bi bilo proizvoditi 900 jedinica proizvoda B i 750 jedinica proizvoda C, i tada bi maksimalna dobit iznosila 3150 KM. Kako su izravnavajuće varijable jednake nuli, zaključujemo da su kapaciteti potpuno iskorišteni. min g = 6000 y 4 + 9000 y5 6 y 4 + 4 y5 ≥ 20 Dual:

5 y 4 + 5 y5 ≥ 25 2 y 4 + 6 y5 ≥ 12 y 4 ; y5 ≥ 0

yˆ1 = 14 yˆ 2 = 0 yˆ 3 = 0

yˆ 4 = 4,5 yˆ 5 = 0,5

gˆ = 3150

Primjer 4.14.

Preduzeće proizvodi dva tipa proizvoda A i B. Trošak za izradu jedinice proizvoda A je 24 nj, a proizvoda B je 25 nj. Da bi se izradila 1 jedinica proizvoda A potrebno je 1 sat rada mašine i 4 sata rada radnika, dok je za izradu jedinice proizvoda B potrebno 5 sati rada mašine i 1 sat rada radnika. Dnevno se maksimalno može koristiti 10 sati rada mašine, a minimalno 12 sati rada radnika. Treba odrediti onu kombinaciju dnevne proizvodnje da se pri datim uslovima minimiziraju troškovi proizvodnje. a) Formirati model datog problema; b) Simplex metodom pronaći optimalno rješenje datog problema; c) Formirati odgovarajući dualni model, odrediti optimalne vrijednosti dualnih promjenljivih i objasni značenje dualne promjenljive y4. Rješenje:

a)

x1 – broj jedinica A x2 – broj jedinica B

min f = 24x1 + 25x2 x1 + 5x2 ≤ 10 4x1 + x2 ≥ 12 x1 ≥ 0; x2 ≥ 0

551

LINEARNO PROGRAMIRANJE

b) Standardizacija

min f = 24x1 + 25x2 + 0 x 3 + 0 x 4 + M x *4 x1+ 5 x2+ x3

= 10

4 x 1 + x 2 - x 4 + x *4 = 12 x 1 ≥ 0; x 2 ≥ 0; x 3 ≥ 0; x 4 ≥ 0; x *4 = 0 Prva simplex tabela:

C0

B

A0

0 M

A3 A*4

10 12 12M

Cs-fs

24 A1 1 4 24 - 4M

25 A2 5 1 25 - M

0 A3 1 0 0

0 A4 0 -1 M

M A*4 0 1 0

U ovoj simplex tabeli se pojavio parametar M. Za njega smo rekli da predstavlja jako veliki pozitivan broj, pa ćemo ga i u svim algebarskim izrazima u kojima se pojavljuje tako i tretirati. U problemu 4.13. cilj je minimum, te se za korisne vektore uzimaju negativne vrijednosti cs – fs, pa imamo: Korisni vektori za ulazak u bazu su A1 i A2. Odgovarajuće θ1 = Min{10/1; 12/4} = 3, odnosno θ2 = Min{10/5; 12/1} = 2. Ulaskom vektora A1 u bazu, iz baze bi izašao vektor A4* i funkcija cilja bi se promijenila za θ1 ⋅(c1 – f1) = 3 ⋅(24 – 4M) = 72 – 12M. Ulaskom vektora A2 u bazu, iz baze bi izašao vektor A3 i funkcija cilja bi se promijenila za θ2 ⋅(c2 – f2) = 2 ⋅(25 – M) = 50 – 2M

Korisniji nam je onaj vektor kod koga je negativnije θ ⋅ (c s − f s ) , a u našem slučaju to je vektor A1, pa bi naredni korak u iteraciji simplex tabele imali kad u bazu «uđe» vektor A1, a iz baze «izađe» vektor A4*. Druga simplex tabela:

C0

B

A0

0 24

A3 A1

7 3 72

Cs-fs 552

24 A1 0 1 0

25 A2 19/4 1/4 19

0 A3 1 0 0

0 A4 1/4 -1/4 6

M A*4 -1/4 1/4 M-6

METODE ZA RJEŠAVANJE PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA

Nemamo više korisnih vektora, pa je ova tabela istovremeno i optimalna i odgovarajuće optimalne vrijednosti polaznog modela su: fˆ = 72; xˆ1 = 3; xˆ 2 = 0; xˆ 3 = 7; xˆ 4 = 0; xˆ * 4 = 0 Minimalni troškovi proizvodnje iznose 72 KM i ostvaruju se pri proizvodnji 3 jedinice dobra A, dok dobro B ne moramo proizvoditi. Provjerom uslova vidjećemo da su zadovoljene pretpostavke zadatka. Izravnavajuća varijabla x3 = 7 nam govori da prvo ograničenje nije u potpunosti iskorišteno. c) Dualni model

max g = 10 y 3 + 12 y 4 y 3 + 4 y 4 ≤ 24 5 y 3 + y 4 ≤ 25 y 3 ≤ 0; y4 ≥ 0 yˆ1 = 0; yˆ 2 = 19; yˆ 3 = 0; yˆ 4 = 6 gˆ = 72 Na osnovu vrijednosti izravnavajuće dualne varijable yˆ 2 = 19 vidimo da je potrebno troškove po jedinici proizvoda B smanjiti za najmanje 19 KM da bi proizvod B ušao u optimalan plan proizvodnje. Na osnovu vrijednosti polazne dualne varijable yˆ 4 = 6 vidimo da je drugo ograničenje usko grlo programa (minimalan broj radnih sati radnika dnevno) i da bi se povećanjem ovog ograničenja za 1 rs, funkcija cilja povećala za 6 KM. Primjer 4.15.

Fabrika duhana proizvodi tri vrste cigareta: light (L), superlight (SL), ultralight (UL), koje kao gotovi proizvodi prolaze kroz dva procesa: P1 – kontrola i P2 – pakiranje. Tehničko- tehnološki uslovi ova dva procesa obrade, kao i raspoloživi sedmični fond sati, dati su u tabeli: Kutija (20 cigareta) P1 P2

L 1 3

SL 1 1

UL 5 1

Raspoloživi fond sati 1200 r.s. 900 r.s.

553

LINEARNO PROGRAMIRANJE

Ako je prihod po kutiji (L), (SL), (UL) redom 15 KM, 6 KM i 10 KM treba: a) Formirati model ako je cilj maksimizirati prihod fabrike. b) Upotrebom solvera u Excelu odrediti optimalno rješenje modela. c) Za koliko će se povećati prihod ako fond sati pakiranja P2 povećamo za 1 rs? Rješenje:

a)

x1 – broj kutija L x2 – broj kutija SL x3 – broj kutija UL

max f = 15x1 + 6x2 + 10x3 x1 + x2 + 5x3 ≤ 1200 3x1 + x2 + x3 ≤ 900 x1 ≥ 0; x2 ≥ 0; x3 ≥ 0 b)

Za rješavanje zadataka linarnog programiranja putem Excel koristi se opcija Solver. Ukoliko Solver nije korišten ranije, potrebno ga je instalirati na sljedeći način: ƒ Na meniju “Tools” treba izabrati “AddIns” ƒ Na otvorenom prozoru Add-Ins, selektirati kvadratić do reda gdje piše “Solver Add-in” i kliknuti OK. ƒ Pojaviće se poruka da Solver Add-in nije trenutno instaliran na vašem kompjuteru, i treba izabrati opciju “Yes” da ga instalirate.

Ponovnim izborom Tools na glavnom meniju vidjećemo da se u sub-meniju nalazi opcija “Solver”. Kada je Solver instaliran, potrebno je unijeti sve podatke o konkretnom problemu u Excel stranicu.

554

METODE ZA RJEŠAVANJE PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA

ƒ

Nakon postavljenog modela (što uključuje jasno napisane zavisne varijable, funkciju cilja i sva ograničenja), otvorite opciju Solver.

ƒ

U otvorenom prozoru treba izabrati Options, te u novom prozoru Options selektirati redove “Assume linear” i “Assume nonnegative”. Time je zadovoljen uslov nenegativnosti.

ƒ

Nakon selektiranja, kliknite OK i automatski se vraćate na prozor Solvera.

ƒ

Na mjestu gdje piše “Set Target Cell”, potrebno je označiti ćeliju u kojoj će biti upisana optimalna vrijednost funkcije cilja.

ƒ

Kod opcije “Equal To”, treba označiti da li je funkcija cilja minimum, maksimum ili tačno određena vrijednost.

ƒ

U polju “By Changing Cells” treba izabrati ćelije u radnom sheetu koje Excel treba mijenjati (po principu simleks tabele), da bi došao do optimalnog rješenja. U ovim ćelijama će se nalaziti optimalne vrijednosti polaznih varijabli.

ƒ

Na mjestu “Subject To Constraints” se upisuju sva ograničenja na način da se nova dodaju putem “Add”, a već unesena se eventualno mijenjaju putem “Change”. Ovdje je važno znati da se vrijednosti koeficijenata u ograničenjima moraju upisati u odgovarajuće ćelije i da se vrijednosti ograničenja moraju nalaziti u konkretnim ćelijama.

ƒ

Ako dodajete novo ograničenje, kada kliknete Add, otvara vam se novi prozor. Na “Cell Reference” unosite cell iz modela koji označava lijevi dio vašeg ograničenja. Desno od Cell Reference unosite kojeg tipa je ograničenje, s tim da “int” znači integer i podrazumijeva da rezultat ograničenja mora biti cijeli broj. Na kraju, “Constraint” označava desni dio vašeg ograničenja. Kada unesete sve potrebne podatke, kliknite OK i automatski se vraćate na prozor Solvera.

ƒ

Kada ste unijeli sva ograničenja, kliknite “Solve” i, ukoliko su svi podaci tačno uneseni, Excel će naći optimalno rješenje problema.

Primijenićemo gore opisani niz koraka na naš konkretan problem. Na odabranoj radnoj stranici unijet ćemo koeficijente u funkciji cilja, koeficijente u ograničenjima i ograničenja na sljedeći način:

555

LINEARNO PROGRAMIRANJE

Napomenimo da su naslovi dati pojedinim ćelijama da bi se lakše moglo pročitati optimalno rješenje. Prije pristupa rješavanju zadatka potrebno je koeficijente iz modela unijeti u odabrane ćelije u excel sheetu (polja C7:E7, za funkciju cilja i C9:E10, za ograničenja). Za optimalne vrijednosti (bazne varijable) u modelu odabrali smo ćelije C4:E4.Funkcija SUMPRODUCT, koja se nalazi u ćelijama F9, F10, mjeri iskorištenost kapaciteta u datoj bazi, dok funkcija SUMPRODUCT, koja se nalazi u ćeliji F7, mjeri vrijednost funkcije cilja u datoj bazi (C4: E4). Pokretanjem opcije Solver, popuniti o Opcijama: “Assume linear” i “Assume nonnegative” i u prozoru solvera izabrati ćeliju u kojoj će biti rezultat (maksimalna vrijednost funkcije cilja). Kod nas je to ćelija F7.

556

METODE ZA RJEŠAVANJE PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA

U polju “By Changing Cells” izabrati ćelije koje Excel treba mijenjati (baza), a to su u C4:E4.U ovim ćelijama će se na kraju nalaziti optimalne vrijednosti polaznih primalnih varijabli. Na mjestu “Subject To Constraints” trebamo odabrati ograničenja. Ovdje se podrazumijeva vrijednost ograničenja u datoj bazi (F9 i F10) i njihov odnos (veće ili manje) prema zadatoj granici (H9 i H10). Dodavanje ograničenja se vrši pokretanjem opcije Add. Nakon unosa svih potrebnih parametara možemo pokrenuto postupak rješavanja (opcija Solver). Pojaviće nam se prozor sa upitom o prikazivanju rješenja i odgovarajućim izborom (npr. Keep Solver Solution) dobićemo ispis optimalnog rješenja. U ovom prozoru se može tražiti i izvještaj o granicama u kojima se kreću optimalne vrijednosti, ispunjenje ograničenja ili o vrijednosti dualnih varijabli (senzitivna analiza). Izgled optimalnog rješenja je prikazan na narednoj slici i vidimo da je maksimalna vrijednost prihoda 5700 KM sedmično i da je optimalan plan proizvoditi 825 kutija superlight i 75 kutija ultralight cigareta sedmično. Po ovom planu ne bismo prizvodili light cigarete. Sedmični kapaciteti su u potpunosti iskorišteni.

557

LINEARNO PROGRAMIRANJE

Slika 4.15.a. Optimalno rješenje problema 4.14

Sensitivity Report za ovaj zadatak je dat u tabeli 4.14b. i u njemu su date optimalne vrijednosti polaznih dualnih varijabli (kolona Shadow Price) i optimalne vrijednosti izravnavajućih dualnih varijabli (kolona Reduced Cost). Kolone Allowable Increase i Allowable Decrease nam pokazuju dozvoljeno povećanje ili smanjenje koeficijenata u funkciji cilja (gornji dio tabele), odnosno ograničenja (donji dio tabele), a da se optimalno rješenje ne promijeni. Tabela 4.15.b. Microsoft Excel 10.0 Sensitivity Report Adjustable Cells Cell $C$4 $D$4 $E$4

Name vrijednosti varijabli broj kutija L vrijednosti varijabli broj kutija SL vrijednosti varijabli broj kutija UL

Final Value

Reduced Objective Allowable Cost Coefficient Increase 0

-1

15

825

0

6

75

0

10

1

Allowable Decrease 1E+30

4 0,285714286 2

4

Final Shadow Constraint Allowable Value Price R.H. Side Increase 1200 1 1200 3300 900 5 900 300

Allowable Decrease 300 660

Constraints Cell Name $F$9 I Iskorištenost kapaciteta $F$10 II Iskorištenost kapaciteta

558

4.6. Specifični oblici problema linearnog programiranja 4.6.1. Transportni problem

Transport robe od određenog broja proizvođača do određenog broja potrošača izaziva obično velike troškove distribucije i prevoza. Stoga minimizacija ovih troškova predstavlja jedan od uslova efikasne organizacije i finansijskog uspjeha poslovanja velikog broja preduzeća. Ovaj zahtjev, s obzirom na direktni uticaj transportnih troškova na cijenu proizvoda, predstavlja interes i proizvodnih i prometnih preduzeća, kao i krajnjih potrošača. Problemi poput ovog se veoma efikasno mogu modelirati i rješavati upotrebom modela linearnog programiranja Kao osnovni zahtjev optimizacije transporta robe najčešće se postavlja problem minimizacije ukupnih troškova prevoza i na taj način funkcija cilja izražavala bi ukupne troškove prevoza robe, dok bi sistem ograničenja izražavao ograničeni iznos ponude homogene vrste robe različitih proizvođača (ponuđača), odnosno iznos tražnje pojedinih odredišta (potrošača). Ovaj specifičan problem linearnog programiranja, koji u opštom slučaju i ne mora biti formulisan isključivo kao problem minimizacije, naziva se transportni problem i postoje različiti algoritmi prilagođeni za rješavanje upravo ovakvih problema. Formulacija modela transporta

Pretpostavimo da postoji konačan broj mjesta ponude (ishodišta) koja raspolažu sa određenom homogenom vrstom robe za čije korištenje je izražena tražnja u konačno mnogo mjesta tražnje (odredišta). Transportni problem je dio problema linearnog programiranja koji rješava problem prijevoza (transporta) istovrsnog tereta iz više ishodišta ( I i , (i = 1,2, … , m ) ) u više odredišta ( O j , ( j = 1, … , n ) ), odnosno iz m ishodišta u n odredišta. Ishodišta imaju fiksnu ponudu ai, (i = 1,2,… , m ) , dok odredišta imaju fiksnu potražnju bj, ( j = 1,2, … , n ) . Označimo sa cij trošak prijevoza po jedinici tereta od ishodišta Ii do odredišta Oj i ove veličine su nam unaprijed poznate. Nepoznate količine transporta na relaciji i – j, odnosno od ishodišta i do odredišta j označimo sa xij. Zadatak transportnog problema je minimizacija troškova prijevoza na relacijama između ishodišta i odredišta, uz uslov da se zadovolje potrebe odredišta i u potpunosti iskoriste ponude ishodišta.

559

LINEARNO PROGRAMIRANJE

Matematička formulacija funkcije cilja transportnog problema izgleda ovako:

min f = c11 ⋅ x11 + c12 ⋅ x12 + … + c1n ⋅ x1n + + c 21 ⋅ x 21 + c 22 ⋅ x 22 + … + c 2 n ⋅ x 2 n +

(4.35a)

+ c m1 ⋅ x m1 + c m 2 ⋅ x m 2 + … + c mn ⋅ x mn dok se ograničenja u modelu mogu zapisati: x11 + x12 + . . . +x1n = a1 x21 + x22 + . . . +x2n = a2 .

.

.

.

.

.

xm1 + xm2 + . . . +xmn = am

x11 + x21 + . . . +xm1 = b1 x12 + x22 + . . . +xm2 = b2 .

.

.

.

.

.

.

.

(4.35b)

x1n + x2n + . . . +xmn = bn

i uslovi nenegativnosti: xij ≥ 0 (i = 1,2, … , m ) , ( j = 1,2, … , n )

(4.35c)

Puno jednostavnije je model transporta prikazati u kondenzovanom obliku: n

m

min f = ∑ ∑ cij ⋅ xij j =1 i =1 n

∑ xij = ai j =1 m

∑ xij = b j i =1

( i = 1, 2,…, m )

(4.36)

( j = 1, 2,…, n )

xij ≥ 0 ( i = 1, 2,… , m ) ; ( j = 1, 2,… , n )

Istaknimo da, iako je razvoj ovakvih specifičnih modela zasnovan na ideji minimizacije troškova transporta, postoji i niz drugih problema koji se mogu interpretirati kao problemi transporta, a da im nije cilj minimizacija transpotrnih troškova. Ako bi, naprimjer, vrijednosti cij predstavljale zaradu za jedinicu transporta iz mjesta i do mjesta j, onda bi cilj bio napraviti takav transport kojim bi se maksimizirala zarada i zadovoljila transportna ograničenja. Prema tome, opšti oblik modela transporta se može zapisati u obliku:

560

SPECIFIČNI OBLICI PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA

n m min f = ∑ ∑ cij ⋅ xij max j =1 i =1 n

∑ xij = ai j =1 m

∑ xij = b j i =1

( i = 1, 2,…, m )

(4.37)

( j = 1, 2,…, n )

xij ≥ 0 ( i = 1, 2,… , m ) ; ( j = 1, 2,… , n ).

Mi ćemo u nastavku izlaganja pretpostaviti da je cilj u modelu minimalna vrijednost transportnih troškova i, ukoliko bude potrebno, izdvojiti zaključivanja koja su različita kod cilja min f i kod cilja max f . Transportni problem se može zapisati u obliku tabele sa m redova (koji predstavljaju ishodišta) i n kolona (koji predstavljaju odredišta) i u toj tabeli se unose podaci o cijenama transporta i količini transporta. Tabela 2. Tablični izgled transportnog problema

O1

O2

I1

x11

x 12

... ...

I2

x 21

x 22

...

. . .

. . .

. . .

Im

x m1

x m2

. . . ...

bj

c11 c21

cm1 b1

c12

ai

x 1n

a1

x 2n

a2

. . .

. . .

c1n

c22

cm2 b2

On

c2n

x mn

cmn

...

am

bn

U donji desni ugao transportne tabele se upisuju podaci o cijenama transporta (troškovima transporta po jedinici tereta) na relaciji i – j, dok se u gornji lijevi ugao upisuju količine transporta. Općeniti primjer transportnog problema moguće je prikazati i pomoću mreže koja sadrži m ishodišta, n odredišta te m ⋅ n veza između pojedinih ishodišta i odredišta.

561

LINEARNO PROGRAMIRANJE

ISHODIŠTA

ODREDIŠTA c11, x11

a1

b1

a2

b2

. . .

. . .

. . .

am

. . . bn

Grafikon 13. Grafički prikaz transportnog problema

Kao što se vidi iz sistema jednačina (4.36), transportni problem je problem linearnog programiranja koji se sastoji od m + n jednačina i od m ⋅ n varijabli. U nastavku ćemo navesti, sa dokazima, teoreme koje daju uslove za rješavanje problema transporta. Osnovne teoreme transportnog modela

Teorema 4.6.1.1.

Transportni problem ima rješenje ako i samo ako je m

n

i =1

j =1

∑ ai = ∑ b j ,

(4.38)

odnosno, ako je ukupna ponuda jednaka ukupnoj potražnji. Dokaz

Pretpostavimo da je xij ≥ 0 ( i = 1, 2,…, m ) , ( j = 1, 2,…, n ) jedno rješenje transportnog problema i pokažimo da tada mora vrijediti uslov (4.37). Ukoliko u ograničenjima u modelu (4.36) saberemo prvih m jednačina i posljednjih n jednačina imaćemo: m

n

m

∑ ∑ xij = ∑ ai , i =1 j =1

odnosno,

562

i =1

(4.39)

SPECIFIČNI OBLICI PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA

n

m

n

∑ ∑ xij = ∑ b j . j =1 i =1

(4.40)

j =1

Kako su lijeve strane u izrazima (4.39) i (4.40) jednake, to moraju biti jednake i desne strane, odnosno mora vrijediti:

( i = 1, 2,…, m ) Ovim smo pokazali da je uslov (4.38) potreban da bi model transporta bio rješiv. Pokažimo da je ovaj uslov i dovoljan, odnosno da, ako vrijedi (4.38), onda se može pronaći barem jedno rješenje transportnog problema (4.36). Neka je xij =

ai ⋅ b j m

∑ ai

=

i =1

ai ⋅ b j n

∑ bj

, ( i = 1, 2,…, m ) , ( j = 1, 2,…, n )

(4.41)

j =1

pokazaćemo da (4.41) predstavlja moguće rješenje modela (4.36) Jasno je, iz nenegativnosti količina koje su u ishodištima ili u odredištima, da moraju vrijediti uslovi nenegativnosti, odnosno sigurno vrijedi: xij ≥ 0 ( i = 1, 2,… , m ) , ( j = 1, 2,… , n )

Uvrštavanjem vrijednosti (4.41) u ograničenja u modelu (4.36) imamo da vrijedi: m

m

∑ xij = ∑ i =1

i =1

ai ⋅ b j m

∑ ai

=

i =1

1 m

∑ ai

m

⋅ ∑ ai ⋅ b j = i =1

i =1

bj m

∑ ai

m

⋅ ∑ ai = b j i =1

i =1

odnosno, n

n

∑ xij = ∑ j =1

j =1

ai ⋅ b j n

∑ bj j =1

=

1 n

∑ bj j =1

m

⋅ ∑ ai ⋅ b j = i =1

ai n

∑ bj

n

⋅ ∑ b j = ai j =1

j =1

i odavde vidimo da xij definisano kao (4.41) zadovoljava ograničenja u modelu, odnosno vidimo da predstavlja moguće rješenje problema. Time je teorema dokazana ♦ Vidimo da je ( i = 1, 2,…, m ) potreban i dovoljan uslov za postojanje rješenja transportnog problema. Transportni problem kod kojeg vrijedi relacija (4.38) se naziva zatvoreni problem transporta. Model transporta ima m + n jednačina, ali se postavlja pitanje koliko tih jednačina je linearno zavisno, odnosno postavlja se pitanje koliko imamo baznih varijabli. Naredna teorema nam daje tu informaciju. 563

LINEARNO PROGRAMIRANJE

Teorema 4.6.1.2.

Broj linearno nezavisnih jednačina sistema ograničenja zatvorenog transportnog modela (4.36) je m + n – 1. Dokaz

Da bi dokazali tvrdnju teoreme, potrebno je pokazati da svako rješenje koje zadovoljava proizvoljnih m + n – 1 jednačina u skupu ograničenja modela transporta (4.36), zadovoljava i ono koje je preostalo. Bez

ograničenja

opštosti,

možemo

pretpostaviti

da

je

xij ≥ 0

( i = 1, 2,…, m ) , ( j = 1, 2,…, n ) takav skup vrijednosti koji zadovoljava sva ograničenja u modelu (4.36), osim prvog. Trebamo pokazati da on onda mora zadovoljavati i prvo ograničenje, odnosno da vrijedi: n

∑ x1 j = a1

(4.42)

j =1

Iz pretpostavke o zatvorenosti modela imamo:

( i = 1, 2,…, m ) , odnosno, izražavanjem a1 : n

m

j =1

i =2

a1 = ∑ b j − ∑ ai ,

(4.43)

Iz pretpostavke da su xij ≥ 0 ( i = 1, 2,…, m ) , ( j = 1, 2,…, n ) rješenja ostalih m + n – 1 jednačina u skupu ograničenja imamo da vrijedi: n

∑ xij = ai j =1 m

∑ xij = b j i =1

( i = 2,…, m ) ( j = 1, 2,…, n )

(4.44)

Uvrštavanjem (4.44) u (4.43) dobićemo: n m n m m n n m n m n m m n a1 = ∑ b j − ∑ ai = ∑ ∑ xij − ∑ ∑ xij = ∑ ∑ xij − ∑ ∑ xij = ∑ ⎛⎜ ∑ xij − ∑ xij ⎞⎟ = ∑ x1 j i time smo j =1 i =2 j =1 i =1 i = 2 j =1 j =1 i =1 j =1 i = 2 j =1 ⎝ i =1 i=2 ⎠ j =1

pokazali da vrijedi (4.42), odnosno dokazali smo teoremu♦ Navedena teorema je ekvivalentna sa sljedećom teoremom:

564

SPECIFIČNI OBLICI PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA

Teorema 4.6.1.3.

Matrica koeficijenata sistema ograničenja našeg zatvorenog transportnog problema (4.36) ima rang m + n – 1 ♦ Vidjeli smo da model transporta ima rješenja ako je zatvoren, ali šta u slučajevima da model transporta nije zatvoren? Da li to znači da takvi modeli transporta nemaju rješenje? Problemi transporta koji ne zadovoljavaju relaciju (4.38) se nazivaju otvoreni problemi transporta. Otvoreni transportni problem

Otvoreni transportni problem je transportni problem kod kojeg suma kapaciteta ishodišta nije jednaka sumi kapaciteta odredišta.

∑ ai ≠ ∑ b j i

j

Višak koji se javlja moguć je na strani ishodišta ili na strani odredišta, te se prema tome može reći da postoje dvije vrste otvorenog transportnog problema, a to su: 1) otvoreni transportni problem sa viškom u ponudi, 2) otvoreni transportni problem sa viškom u potražnji. Kod otvorenog transportnog problema sa viškom u ponudi, višak se javlja na strani ishodišta, odnosno suma kapaciteta ishodišta veća je od sume potražnje odredišta.

∑ ai > ∑ b j i

j

Model ovog otvorenog transportnog problema je dat sa: min f = c11 ⋅ x11 + c12 ⋅ x12 + … + c1n ⋅ x1n + + c 21 ⋅ x 21 + c 22 ⋅ x 22 + … + c 2 n ⋅ x 2n +

(4.45a)

+ c m1 ⋅ x m1 + c m 2 ⋅ x m 2 + … + c mn ⋅ x mn

Ograničenja za ishodišta: x11 + x12 + . . . + x1n ≤ a1 x21 + x22 + . . . + x2n ≤ a2

(4.45b)

..........

xm1 + xm2 + . . . + xmn ≤ am

565

LINEARNO PROGRAMIRANJE

Ograničenja za odredišta: x11 + x21 + . . . +xm1 = b1 x12 + x22 + . . . +xm2 = b2 . . . . . . . . .

x1n + x2n + . . . +xmn = bn Uslovi nenegativnosti:

xij ≥ 0

(i = 1,2, … , m ) , ( j = 1,2, … , n )

(4.45c)

Da bi bilo moguće riješiti ovaj tip otvorenog transportnog problema potrebno je otvoreni transportni problem pretvoriti u zatvoreni transportni problem. Drugim riječima, potrebno je dodati „fiktivno“ odredište (Of) čiji je kapacitet (bf) onoliki koliko je veća ponuda od potražnje. n

b f = ∑ ai − ∑ b j i

j =1

Jedinični troškovi prijevoza su nula i dobili smo zatvoreni transportni problem. Tabelarni prikaz bi tada izgledao: Tabela 3. Otvoreni transportni problem sa viškom u ponudi nakon zatvaranja

O1 I1

x11

x 12

... ...

I2

x 21

x 22

...

x m2

. . . ...

. . . Im bj

c11 c21 . . .

x m1

cm1 b1

O2 c12 c22 . . .

cm2 b2

On

x 1n

x1,f

x 2n

x2,f

c1n

...

Of

c2n . . .

x mn

cmn bn

ai 0 0

a2 . . .

xm,f

0

bf

Sada je moguće napisati „dopunjeni“ originalni oblik koji izgleda ovako:

566

a1

am

SPECIFIČNI OBLICI PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA

min f = c11 ⋅ x11 + c12 ⋅ x12 + … + c1n ⋅ x1n + 0 ⋅ x1 f + + c 21 ⋅ x 21 + c 22 ⋅ x 22 + … + c 2n ⋅ x 2n + 0 ⋅ x 2 f +

(4.46a)

+ c m1 ⋅ x m1 + c m 2 ⋅ x m 2 + … + c mn ⋅ x mn + 0 ⋅ x mf

Ograničenja za ishodišta:

Ograničenja za odredišta:

x11 + x12 + . . . +x1n + x1f = a1 x21 + x22 + . . . +x2n + x2f = a2 .

.

.

.

.

x11 + x21 + . . . + xm1 = b1 x12 + x22 + . . . + xm2 = b2 .

.

xm1 + xm2 + . . . +xmn + xmf = am

. .

. .

.

(4.46b)

x1n + x2n + . . . + xmn = bn x1f +x2f + . . . + xmf = bf

Uslovi nenegativnosti

xij ≥ 0 (i = 1,2, … , m ) , ( j = 1,2, … , n )

(4.46c)

Otvoreni transportni problem sa viškom u potražnji je problem kod kojeg je suma ishodišta manja od sume odredišta, što znači da je ponuda manja od potražnje,

∑ ai < ∑ b j . i

j

Originalni oblik ove vrste transportnog problema izgleda ovako: min f = c11 ⋅ x11 + c12 ⋅ x12 + … + c1n ⋅ x1n + + c 21 ⋅ x 21 + c 22 ⋅ x 22 + … + c 2 n ⋅ x 2n +

(4.47a)

+ c m1 ⋅ x m1 + c m 2 ⋅ x m 2 + … + c mn ⋅ x mn

Ograničenja za ishodišta: x11 + x12 + . . . + x1n = a1 x21 + x22 + . . . + x2n = a2

(4.47b)

..........

xm1 + xm2 + . . . + xmn = am

567

LINEARNO PROGRAMIRANJE

Ograničenja za odredišta: x11 + x21 + . . . +xm1 ≤ b1 x12 + x22 + . . . +xm2 ≤ b2 . . . . . . . . .

x1n + x2n + . . . +xmn ≤ bn Uslovi nenegativnosti: xij ≥ 0 ( i = 1, 2,… , m ) , ( j = 1, 2,… , n )

(4.47c)

Jednako kao i u prethodnom slučaju, kod otvorenog transportnog problema sa viškom u ponudi, i otvoreni transportni problem sa viškom u potražnji potrebno je pretvoriti u zatvoreni transportni problem, a to se postiže dodavanjem „fiktivnog“ ishodišta (If) čiji kapacitet (af) je onoliki kolika je razlika između ponude i potražnje, a jedinični troškovi prijevoza jednaki su nuli. m

a f = ∑ b j − ∑ ai i =1

j

Tabelarni prikaz transportnog problema ovog tipa izgleda ovako: Tabela 4. Otvoreni transportni problem sa viškom u potražnji nakon zatvaranja

O1 I1

x11

x 12

... ...

I2

x 21

x 22

...

. . .

c11 c21 . . .

O2 c12 c22 . . .

Im

x m1

x m2

If

x f1

x f2

...

bj

0 b1

cm2

0 b2

a1

x 2n

a2

c2n . . .

. . .

x mn

am

x fn

af

cmn

...

ai

x 1n

c1n

. . . ...

cm1

On

0 bn

Sada, kada su kapaciteti ishodišta i odredišta izjednačeni, original zatvorenog problema izgleda ovako:

568

SPECIFIČNI OBLICI PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA

min f = c11 ⋅ x11 + c12 ⋅ x12 + … + c1n ⋅ x1n + + c 21 ⋅ x 21 + c 22 ⋅ x 22 + … + c 2 n ⋅ x 2 n +

(4.48a) + c m1 ⋅ x m1 + c m 2 ⋅ x m 2 + … + c mn ⋅ x mn + +0 ⋅ x f 1 + 0 ⋅ x f 2 + + 0 ⋅ x fn

Ograničenja za ishodišta: x11 + x12 + . . . +x1n = a1 x21 + x22 + . . . +x2n = a2 .

.

.

.

.

Ograničenja za odredišta: x11 + x21 + . . . + xm1 + x f 1 = b1 x12 + x22 + . . . + xm2 + x f 2 = b2 .

.

xm1 + xm2 + . . . +xmn = am xf1 +xf2 + . . . + xfn = af

. .

. .

.

x1n + x2n + . . . + xmn+ xfn = bn

(4.48b)

Uslovi nenegativnosti: xij ≥ 0 ( i = 1, 2,… , m ) , ( j = 1, 2,… , n )

(4.48c)

Rezimirajmo: ƒ Problem transporta se može riješiti ako i samo ako je zatvoren. ƒ U sistemu ograničenja modela transporta imamo m + n jednačina, ali je samo m + n – 1 nezavisnih, pa zbog toga rješenje problema transporta mora sadržavati m + n – 1 pozitivnih vrijednosti xij. ƒ Bazično rješenje problema transporta ima m + n – 1 pozitivnih vrijednosti: ƒ Ako neko od rješenja transportnog problema sadrži manje od m + n – 1 pozitivnih vrijednosti xij tada je to rješenje degenerisano31. ƒ Ukoliko je problem transporta otvoren, potrebno je model zatvoriti da bi se mogao rješavati. ƒ Da bi odredili optimalno rješenje našeg transportnog problema, neophodno je prvo odrediti početni program transporta (početno bazično rješenje), a zatim se korištenjem metoda optimizacije ovo rješenje mora popraviti. 31

Degenerisano rješenje potrebno je nadopuniti tako da ono postane nedegenerisano, što će biti objašnjeno u primjerima.

569

LINEARNO PROGRAMIRANJE

Polazno bazično rješenje transporta se određuje nekom od sljedećih metoda: a) Metoda gornji lijevi ugao, b) Metoda jediničnih koeficijenata, c) Vogelov metoda. Sve ove metode omogućavaju pronalazak m + n -1 pozitivnih vrijednosti transporta koji zadovoljavaju sistem mogućih rješenja. Određivanje optimalnih vrijednosti transporta se realizuje iterativnim postupkum, pri čemu je svako naredno rješenje bolje od prethodnog i nakon konačnog broja koraka pronalazimo optimum. Metode za popravak ili unapređenje početnog bazičnog rješenja su: 1) Stepping stone metoda, 2) MODI – metoda. Pojedinačne metode za određivanje početnog bazičnog rješenja, kao i metode za unapređenje bazičnog rješenja, objašnjene su kroz sljedeći primjer. Primjer 4.16.

Odrediti početno bazično rješenje transportnog problema ako su u tabeli date transportne cijene, te količine ponuda (bj) raznih ishodišta Ij i količine potreba (ai) raznih odredišta Oi. I1 I2 I3 I4 Potrebe bj

O1

O2

O3

O4

O5

O6

Ponude ai

3 12 13 7

8 11 9 17

13 8 11 10

6 7 23 6

7 18 6 4

19 10 5 11

30 40 10 70

50

20

15

30

5

30

150

Rješenje:

Iz tabele vidimo da imamo šest odredišta i četiri ishodišta, te da su ukupne tražnje ishodišta iste kao i ukupne ponude odredišta (150)32. Broj c11 = 3, koji se nalazi u prvom redu i prvoj koloni, govori kolika je cijena transporta jedinice predmetnog dobra od ishodišta I1 do odredišta O1, analogno broj c31 = 13, koji se nalazi u trećem redu i prvoj koloni, govori nam kolika je cijena transporta jedinice predmetnog dobra od ishodišta I3 do odredišta O1. Broj 40 iz kolone «Ponu32

Zatvoren model

570

SPECIFIČNI OBLICI PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA

de», govori kolika je ukupna količina koju ishodište I2 može isporučiti, a broj 15 iz reda «Potrebe» govori kolika je količina predmetnog dobra koja treba odredištu O3. Prilikom obavljanja transporta sa konkretnog ishodišta i do konkretnog odredišta j mi ćemo u tabeli popuniti konkretno polje (i-j) i popunjenu vrijednost zvati transport xij. Radi lakšeg označavanja mi ćemo i polje na koje stavljamo transport označavati sa xij. Metode za određivanje polaznog bazičnog rješenja u transportnom problemu su: metod gornji lijevi ugao, metod jediničnih koeficijenata i Vogelov metod. Svaki od ovih metoda ima zadatak da «popuni» određenom količinom transporta najviše (m + n – 1) polja u tabeli33. a) Metoda gornji lijevi ugao

Ovaj metod se sastoji u tome da se ponude i potrebe zadovoljavaju polazeći od polja x11, odnosno od «gornjeg lijevog ugla», pa sve dok se ne iscrpe sva ishodišta i zadovolje sva odredišta. Napominjemo da se zbog jednakosti suma svih potreba i svih ponuda (150) ovo može uraditi. Ako krenemo od polja x11, vidimo da ishodište I1 nudi 30 jedinica predmetnog dobra, dok odredište O1 traži 50 jedinica tog dobra. Na polje x11 upisujemo manji broj, dakle 30. Kao rezultat ove odluke, ishodište I1 će biti potpuno iscrpljeno. Na osnovu ove činjenice, ni jedan drugi transport u prvom redu tabele više nije moguć. Prilikom rješevanja zadatka to možemo zapisati sjenčenjem polja na kojima transport više nije moguć: Tabela 4.16.a. Ispražnjeno ishodište I1 a u odredištu O1 imamo nezadovoljenu tražnju od 20 jedinica predmetnog dobra. O1 I1

O2

O3

O4

O5

Ponude ai

O6

30 3

8

13

6

7

19

I2

12

11

8

7

18

10

I3

13

9

11

23

6

5

7

17

10

6

4

11

I4 Potrebe bj

50

20

15

30

5

30

30 40 10 70 150

Sljedeće polje koje treba popuniti je polje x21. Vidimo da odredište O1 nije zadovoljilo svoju potražnju i da mu nedostaje 20 jedinica predmetnog dobra. S druge strane, isho33

(m + n – 1) je maksimalan broj nenultih vrijednosti transporta xij od ishodišta i do odredišta j. Ukoliko je broj nenultih varijabli xij manji od (m + n – 1), onda je u pitanju degenerisano rješenje. (m je broj ishodišta a n je broj odredišta).

571

LINEARNO PROGRAMIRANJE

dište I2 nudi 40 jedinica predmetnog dobra. Transport koji se može obaviti na ovom polju je manja vrijednost, dakle x21 = 20 i u ovom slučaju odredište O1 je zadovoljeno. Tabela 4.16.b. Ispražnjeno ishodište I1 i zadovoljeno odredište O1. U ishodištu I2 je preostalo 20 jedinica predmetnog dobra. O1 I1

30

I2

20

O2

I3 I4 Potrebe bj

O3

O4

O5

Ponude ai

O6

3

8

13

6

7

19

12

11

8

7

18

10

13

9

11

23

6

5

7

17

10

6

4

11

50

20

15

30

5

30 40 10 70

30

150

Sljedeće prazno polje (gornji lijevi ugao) je polje x22. Vidimo da odredište O2 traži 20 jedinica, a u ishodištu I2 je preostalo 20 jedinica predmetnog dobra. Transport koji se može obaviti na ovom polju je x22 = 20 i u ovom slučaju i odredište O2 i ishodište I2 je zadovoljeno (tabela 4.16.c.). Ukoliko se u određivanju polaznog bazičnog rješenja u transportu u isto vrijeme zadovolje i ponuda konkretnog ishodišta i potražnja konkretnog odredišta, a nije kompletiran cjelokupan transport (kao što je slučaj u tabeli 4.16a), onda se pojavljuje degenerisano polazno bazično rješenje. Postupak opisan ranije nastavljamo dok se ne iscrpe sva ishodišta i ne zadovolje sva odredišta. Polazno bazično rješenje dobijeno metodom «gornji lijevi ugao» je prikazano u tabeli 4.15d, a odgovarajuće vrijednosti transporta su: x11 = 30; x21 = 20; x22 = 20; x33 = 10; x43 = 5; x44 = 30; x45 = 5; x46 = 30 Tabela 4.16.c. Zadovoljena odredišta O1 i O2 ,a ispražnjena ishodišta I1 i I2. O1 I1

30

I2

20

O3

O4

O5

Ponude ai

O6

8

13

6

7

19

30

12

11

8

7

18

10

40

I3

13

9

11

23

6

5

10

I4

7

17

10

6

4

11

70

Potrebe bj

572

O2 3

50

20

20

15

30

5

30

150

SPECIFIČNI OBLICI PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA

Tabela 4.16.d. Zadovoljena sva odredišta, a ispražnjena sva ishodišta. O1 I1

30

I2

20

O2

O3

O4

O5

Ponude ai

O6

8

13

6

7

19

30

12

11

8

7

18

10

40

I3

13

9

11

23

6

5

10

I4

7

17

11

70

Potrebe bj

3

20 10 5

50

20

30 10

15

5

30

6

30

4

5

30

150

Ako pogledamo broj «punih» polja u tabeli 4.16.d., vidimo da smo napravili ukupno 8 transporta, a broj polja koja bi trebala biti popunjena je m + n -1 = 6 + 4 – 1. Odgovarajuća vrijednost funkcije cilja je: f =30·3 + 20·12 + 20·11 + 10·11 + 5·10 + 30·6 + 5·4 + 30·11 = 1240 b) Metoda jediničnih koeficijenata

Nedostatak metode «gornji lijevi ugao» je što nam daje isto polazno rješenje bez obzira da li je cilj transportnog problema minimum ili maksimum. Bolje polazno rješenje se postiže metodom «jediničnih koeficijenata», pri čemu pod terminom «bolje» podrazumijevamo manju ili (veću) vrijednost funkcije cilja. U našem zadatku se u tabeli nalaze cijene transporta svih kombinacija ishodišta do svih kombinacija odredišta, pa samim tim nama je cilj ostvariti što manje transportne troškove. Metod jediničnih keficijenata se sastoji u tome da se u cijeloj tabeli pronađe polje sa najmanjom cijenom cij (odnosno, polje sa najvećom cijenom cij ako je cilj max f) i na to polje postavimo najveći mogući transport. Postupak se ponavlja dok se ne popune sva odredišta i ne iscrpe sva ishodišta. Ako pogledamo polaznu tabelu 4.16.a. vidimo da je najmanji element u njoj c11 = 3 i na ovo polje trebamo napraviti najveći mogući transport. Ponuda ishodišta I1 je 30, a potražnja odredišta O1 je 50 jedinica predmetnog dobra. Najveći transport koji možemo napraviti je x11 = 30. Ovom odlukom smo iscrpili ishodište I1, pa se red 1 više ne uzima u razmatranje (tabela 4.16.a.). U nastavku potražimo najmanju transportnu cijenu u preostalim kolonama i redovima tabele. Najmanji element je c45 = 4 i na ovo polje trebamo napraviti najveći mogući transport. Ponuda ishodišta I4 je 70, a potražnja odredišta O5 je 5 jedinica predmetnog dobra. Najveći transport koji možemo napraviti je X45 = 5. Ovom odlukom smo iscrpili odredište O5, pa se kolona 5 više ne uzima u razmatranje (tabela 4.16.e.). 573

LINEARNO PROGRAMIRANJE

Tabela 4.16.e. Ispražnjeno ishodište I1 i odredište O5 O1

O2

O3

O4

O5

Ponude ai

O6

30 3

8

13

6

7

19

30

I2

12

11

8

7

18

10

40

I3

13

9

11

23

6

5

10

I4

7

17

10

6

4

11

70

I1

Potrebe bj

5

50

20

15

30

5

30

150

Po prethodno opisanoj proceduri, naredni element je x36 = 10 (jer je c36 = 5), zatim x44 = 30 (jer je c44 = 6), zatim x41 = 20 (jer je c41 = 7), zatim x23 = 15 (jer je c23 = 8), zatim x26 = 20 (jer je c26 = 10), zatim x22 = 5 (jer je c22 = 11) i na kraju je x42 = 15. Polazno bazično rješenje dobijeno metodom «jediničnih koeficijenata» je dato u tabeli 4.16.f. Tabela 4.16.f. Polazno bazično rješenje dobijeno metodom jediničnih koeficijenata O1 I1

3

8

5

O4

O5

Ponude ai

O6

13

6

7

15

19

30

10

40

20

12

11

8

7

18

13

9

11

23

6

5

10

17

10

4

11

70

10

I3

Potrebe bj

O3

30

I2

I4

O2

20

15 7

50

20

30

15

5 6

30

5

30

150

Ako pogledamo broj «punih» polja u tabeli 4.16.f. vidimo da smo napravili ukupno 9 transporta, a broj polja koja bi trebala biti popunjena je 9 (m + n-1), dakle ovo polazno rješenje nije degenerisano. Odgovarajuća vrijednost funkcije cilja je: f = 30·3 + 20·7 + 5·11 + 15·17 + 15·8 + 30·6 + 5·4 + 20·10 + 10·5 = 1110. Vidimo da je početno rješenje koje se dobije metodom jediničnih koeficijenata bolje od rješenja koje se dobije metodom gornji lijevi ugao (ima manju vrijednost funkcije cilja).

574

SPECIFIČNI OBLICI PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA

c) Vogelova metoda Procedura za određivanje bazičnog rješenja pomoću Vogelove metode počinje određivanjem razlika između dva najmanja (u problemu minimuma), ili dva najveća (u problemu maksimuma) koeficijenta cij u svakom redu i koloni transportne tabele. Zatim odaberemo kolonu ili red sa najvećom razlikom i u njemu polje sa najmanjim (problem minimuma) ili najvećim (problem maksimuma) koeficijentom cij. Neka je to polje (r, s). U odabrano polje upisujemo broj jednak min{a r , bs }.

Ako je a r < bs , tada je varijabla xrs = ar, a ako je a r > bs ,onda je xrs = bs. Ako uzmemo da vrijedi prvi odnos, tada je poslije upisivanja vrijednosti varijable xrs = ar u polje (r, s) ishodište Ir iscrpljeno. Skraćujemo tablicu za r red. Na reduciranoj tablici ponavljamo postupak. To činimo sve dok ne dobijemo početno bazično moguće rješenje. Kako je kod nas cilj minimum, to smo u dodatnoj koloni i dodatnom redu izračunali razlike dva najmanja koeficijenta po redovima i kolonama respektivno. Od izračunatih razlika, najveća iznosi 5 i odgovara šestoj kolini. U odabranoj koloni odredimo najmanji koeficijent i u njega upišemo najveći mogući transport. Odabrano je polje (3, 6) i najveći mogući transport iznosi 10 (x36 = 10). Nakon ovog transporta vidimo da je ishodište I3 iscrpljeno pa možemo reducirati tabelu tako da treći red više ne posmatramo. Tabela 4.16.g. Vogelovom metodom popunjen dio tabele Min

O1

I1 I2

O3

O4

O5

O6

I4 Potrebe bj

3

8

13

6

7

19

12

11

8

7

18

10

13

9

11

23

6

5

7

17

10

6

4

11

50 4

20 1

15 2

30 0

5 2

30

Razlike dva najmanja cij

Ponude ai

10

I3

Razlike dva najmanja cij

O2

30

3

40

1

10

1

70

2

150

5

U reduciranoj tabeli ponovo određujemo razlike dva najmanja elementa, a kako smo izbacili red, to se promijenila razlika samo po kolonama. Nove razlike upišemo u dodatni red i ponovo tražimo najveću razliku.

575

LINEARNO PROGRAMIRANJE

Nakon ponovnog izračunavanja vidimo da najveća razlika iznosi 4 i da ona odgovara prvoj koloni. U odabranoj koloni je namanji keoficijent c11 = 3, što znači da trebamo napraviti transport na polje (1, 1). Vidimo da ishodište I1 nudi 30 kj, dok odredište O1 traži 50 kj predmetnog dobra, pa najveći transport koji se može napraviti iznosi 30 (x11 = 30). Ovim smo ispraznili ishodište I1 i tabelu reduciramo za prvi red (tabela 4.16.h.). Tabela 4.16.h. Vogelovom metodom popunjen dio tabele Min I1

O1

O4

O5

Ponude ai

O6

I4

Razlike dva najmanja cij

3

8

13

6

7

19

30

3

12

11

8

7

18

10

40

1

13

9

11

23

6

5

10

1

7

17

10

6

4

11

70

2

10

I3

Razlike dva najmanja cij

O3

30

I2

Potrebe bj

O2

50

20

4, 4

15

1, 3

30

2, 2

5

0, 0

30

2, 3

150

5, 1

U daljnjem izračunavanju imali bi najveću razliku (=14) u koloni 5 i u toj koloni bi odabrali polje (4, 5) pa izvršili transport x45 = 5. Time bismo iz tabele izbacili petu kolonu i promjene razlika računali po redovima (4.16.i.) Tabela 4.16.i. Vogelovom metodom popunjen dio tabele Min I1

O4

O5

Ponude ai

O6

13

6

7

19

30

3

8 11

8

7

18

10

40

1

12

9

11

23

6

5

10

1

13

17

10

6

4

11

70

2

7

5

I4

50

Razlike dva najmanja cij

3

10

I3

Razlike dva najmanja cij

O3

30

I2

Potrebe bi

O2

O1

20

15

30

4, 4, 5, 1, 3, 6, 2, 2, 4, 0, 0, 1,

5

30

2, 3, 14,

5, 1, 1

150

Postupak bi nastavljali dok ne iscrpimo sva ishodišta i ne zadovoljimo sva odredišta. Kratak redoslijed određivanja ostalih transporta je sljedeći:

576

SPECIFIČNI OBLICI PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA

x22 = 20

(Najveća razlika je 6 i odabrana je kolona 2 i u njoj polje (2, 2). Iscrpljeno je odredište O2.)

x41 = 20

(Najveća razlika je 5 i odabrana je kolona 1 i u njoj polje (4, 1). Iscrpljeno je odredište O1.)

x44 = 30

(Najveća razlika je 4 i odabran je red 4 i u njemu polje (4, 4). Iscrpljeno je odredište O4.)

x23 = 15

(Najveća razlika je 2 u drugom redu i u drugoj koloni. Treba izabrati ono polje u kojem imamo manji cij. Odabrano je polje (2, 3) i iscrpljeno je odredište O3.)

x26 = 5; x46 = 15 (Preostala polja popunimo da ispraznimo ishodišta i zadovoljimo odredišta). Tabela 4.16.k. Vogelovom metodom popunjena tabela Min I1

O1 3

Razlike dva najmanja cij

8

20

O4

O5

Ponude ai

O6

13

6

7

15

30

3*

40

1, 1, 1, 2,

10

10

1*

5

70

2, 1, 4, 1

11

5

12

11

8

7

18

13

9

11

23

6

7

17

10

20

50

30

20

4, 4, 5, 1, 5*, 6*,

15

5

15

6

30

4

5

Razlike dva najmanja cij

19

10

I3

Potrebe bi

O3

30

I2

I4

O2

30

150

3, 2, 2, 4, 0, 0, 1, 2, 3, 5, 1, 1, 2, 1, 14* 1

Popunjeno je devet polja sa odgovarajućim transportom (polazno rješenje nije degenerisano), pa polazno bazično rješenje dobijeno Vogelovom metodom ima vrijednost funkcije cilja. f = 30·3 + 20·7 + 20·11 + 15·8 + 30·6 + 5·4 + 5·10 + 10·5 + 15·11 = 1035 $ a odgovarajući transporti su: x11 = 30; x22 = 20; x23 = 15; x41 = 20; x44 = 30; x45 = 5; x26 = 5; x36 = 10; x46 = 15. Od spomenute tri metode, Vogelova daje početno moguće rješenje koje ima najmanju vrijednost funkcije cilja. Kako se traži minimalna vrijednost funkcije cilja, to znači da je ona dala najbolje početno rješenje.

577

LINEARNO PROGRAMIRANJE

Primjer 4.17.

Izvršiti optimizaciju rješenja određenog pomoću metode jediničnih koeficijenata koristeći: a) Stepping Stone – metodu, b) Modi metodu. Rješenje:

Stepping Stone je iterativna metoda koja omogućava da dobijemo optimalno rješenje iteracijama putem niza mogućih bazičnih rješenja (mora biti popunjeno (m + n -1) polja). Bazirana je na testiranju «praznih» polja i utvrđivanju onih polja koja bi nam omogućila popravak vrijednosti funkcije cilja. Ako je cilj max, onda nas interesuje povećanje, a ako je cilj min, interesuje nas smanjenje vrijednosti funkcije cilja. Od svih korisnih prijedloga realizira se samo onaj koji ima najbolji efekt, najveće povećanje (smanjenje) vrijednosti funkcije cilja. Testiranje praznih polja se sastoji u određivanju efekata dodjeljivanja pozitivne vrijednosti nekom polju za koje je xij = 0. Promjena jednog transporta zahtijeva preraspodjelu ranijih transporta da bi se očuvala ravnoteža potreba odredišta i ponude ishodišta. Ove preraspodjele se vrše po zatvorenom poligonalnom putu koji povezuje testirano i «puna» polja u polaznoj tabeli. Ako se napravi jedinična preraspodjela transporta, onda se promjena vrijednosti funkcije cilja mjeri sa koeficijentom dij.34 Postupak određivanja vrijednosti d12 za prazno polje u tabeli 4.16.f. je sljedeći: d12 = c12 − c 42 + c 41 − c11 = 8 − 17 + 7 − 3 = −5

Element d12 označava promjenu vrijedosti funkcije cilja ako bismo jednu kj predmetnog dobra transportovali na polje (1, 1). Opisani poligon ustvari pokazuje da transport veličine θ na polje (2, 2) zahtijeva oduzimanje te vrijednosti sa polja (4, 2) jer je odredište O2 zadovoljeno (20 jedinica je već raspoređeno odredištu O2), ali time se remeti ponuda ishodišta I4, pa se ranije oduzeta vrijednost θ mora dodati polju (4, 1), a dodavanje ove vrijednosti ovom polju remeti O1, pa se dodata vrijednost θ mora oduzeti polju (1, 1). Ovim je ravnoteža uspostavljena (ovo prebacivanje vrijednosti je i opravdanje zašto se ovaj metod zove «skakanje s kamena na kamen»). Ako je θ = 1, promjena vrijednosti je izračunata i iznosi d12 = −5 .

34

Vrijednost dij je analogna vrijednosti cs – fs u linearnom programiranju.

578

SPECIFIČNI OBLICI PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA

Tabela 4.16.f. Polazno bazično rješenje dobijeno metodom jediničnih koeficijenata O1 I1

3

8

5

O4

O5

Ponude ai

O6

13

6

7

15

19

30

10

40

20

12

11

8

7

18

13

9

11

23

6

5

10

17

10

4

11

70

10

I3

Potrebe bj

O3



30-θ

I2

I4

O2

20+θ 15-θ 7

50

20

30

15

5 6

30

5

30

150

Odredimo i ostale diferencije dij. d13 = c13 − c23 + c22 − c42 + c41 − c11 = 13 − 8 + 11 − 17 + 7 − 3 = 3 d14 = c14 − c 44 + c 41 − c11 = 6 − 6 + 7 − 3 = 4 d15 = c15 − c45 + c41 − c11 = 7 − 4 + 7 − 3 = 7 d16 = c16 − c 26 + c 22 − c 42 + c 41 − c11 = 19 − 10 + 11 − 17 + 7 − 3 = 7 d 21 = c 21 − c 22 + c 42 − c 41 = 12 − 11 + 17 − 7 = 11 d 24 = c 24 − c 44 + c 42 − c 22 = 7 − 6 + 17 − 11 = 7 d 31 = c31 − c41 + c42 − c22 + c26 − c36 = 13 − 7 + 17 − 11 + 10 − 5 = 17 d 32 = c32 − c 22 + c 26 − c36 = 9 − 11 + 10 − 5 = 3 d33 = c33 − c23 + c26 − c36 = 11 − 8 + 10 − 5 = 8 d 34 = c34 − c44 + c42 − c 22 + c26 − c36 = 23 − 6 + 17 − 11 + 10 − 5 = 28 d 35 = c35 − c45 + c42 − c22 + c 26 − c36 = 6 − 4 + 17 − 11 + 10 − 5 = 13 d 43 = c43 − c 44 + c 22 − c 23 = 10 − 17 + 11 − 8 = −4 d 46 = c 46 − c 42 + c 22 − c26 = 11 − 17 + 11 − 10 = −5 Kako je cilj minimum funkcije transporta, to su nam korisna polja ona koja imaju negativan doprinos, odnosno polja (1, 2); (4, 3) i (4, 6). Za svako od ovih polja moramo izračunati maksimalan moguć transport i vidjeti koliko bi ustvari ovo polje smanjilo vrijednost funkcije cilja. To znači da trebamo odrediti najmanje θ koje se nalazi na polju od kojeg oduzimamo cij. Naprimjer, θ12 = 15 jer na poljima sa kojih oduzimamo najmanji je broj 15. Kod polja (4, 3) imamo da je θ43 = 15 jer na poljima sa kojih oduzimamo najmanji je broj 15 i θ46 = 15 jer na poljima sa kojih oduzimamo najmanji je broj 15. 579

LINEARNO PROGRAMIRANJE

Tabela 4.16.f. Polazno bazično rješenje dobijeno metodom jediničnih koeficijenata O1 I1

3

8

5+θ

O4

O5

Ponude ai

O6

13

6

7

15-θ

19

30

10

40

5

10

11

70

20-θ

12

11

8

7

18

13

9

11

23

6

10

I3

Potrebe bj

O3



30-θ

I2

I4

O2

20+θ 15-θ 7

+θ 17

50

20

30 10

15



5 6

4

30

5

30

150

Kod odabranih korisnih polja vidimo da je doprinos polja (2, 1) isti kao i polja (4, 6) i iznosi θ 21 ⋅ d 21 = θ 46 ⋅ d 46 = −5 ⋅ 15 = −75 i predstavlja najveći doprinos popravci funkcije cilja pa se u ova polja treba napraviti transport. Kod polja (4, 3) taj doprinos bi bio θ 43 ⋅ d 43 = −4 ⋅ 15 = −60 Izaberimo proizvoljno jedno od odabranih polja, npr. polje (2, 1), i prebacimo transport veličine θ12 = 15, tada će poboljšano rješenje transporta izgledati: Tabela 4.17.a. Poboljšano rješenje problema dobijeno stepping stone metodom O1 I1

15

8

5

O4

O5

Ponude ai

O6

13

6

7

15

19

30

10

40

20

12

11

8

7

18

13

9

11

23

6

5

10

7

17

10

4

11

70

10

I3

Potrebe bj

O3

15 3

I2

I4

O2

35

50

30

20

15

5 6

30

5

30

150

Sa ovim poboljšanjem vrijednost funkcije cilja će biti za 75 nj manja od polazne vrijednosti f = 1100 ⇒ f = 1100 − 75 = 1035 . Da bismo provjerili da li je ovo optimalno, trebalo bi ponovo testirati sva prazna polja i provjeriti da li ima korisnih.

580

SPECIFIČNI OBLICI PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA

Kako je ovaj postupak dosta dugačak, razvijena je modificirana stepping stone metoda koja nam omogućava da se na lakši način odrede vrijednosti d ij ; (∀i, ∀j ) b) Modi – metod

Kod modi metode se uvode dualne varijable za svako ishodište i za svako odradište (tj. za svako ograničenje). Varijable koje odgovaraju kolonama označićemo sa kj, a varijable koje odgovaraju redovima označićemo sa ri. Veza koja postoji između dualnih varijabli i koeficijenata u transportnoj tabeli je data sa: ri + k j + d ij = cij

(∀i = 1, m) (∀j = 1, n)

(4.49)

Kod baznih polja (punih polja) znamo da je distanca d ij = 0 , pa imamo da kod baznih polja vrijedi ri + k j = cij

(∀i, j ∈ B )

(4.50)

Iz formule (4.50) vidimo da se može formirati sistem od m + n – 1 jednačina sa m + n nepoznatih. Izabiramo jednu dualnu varijablu proizvoljno i odredimo vrijednosti ostalih: r1 + k1 = 3

k1 = 7

r2 + k 2 = 11 r2 + k 3 = 8

k 2 = 17 k4 = 6

r2 + k 6 = 10 k5 = 4 r3 + k 6 = 5 za proizvoljno npr. r4 = 0 ⇒ r1 + k1 = r1 + 7 = 3 ⇒ r1 = −4 r4 + k1 = 7 r4 + k 2 = 17

r2 + k 2 = r2 + 17 = 11 ⇒ r2 = −6 r2 + k 3 = 8 ⇒ −6 + k 3 = 8 ⇒ k 3 = 14

r4 + k 4 = 6 r4 + k 5 = 4

r2 + k 6 = 10 ⇒ −6 + k 6 = 10 ⇒ k 6 = 16 r3 + k 6 = 5 ⇒ r3 + 16 = 5 ⇒ r3 = −11

581

LINEARNO PROGRAMIRANJE

Tabela 4.17.b. Primjena modi metode

k1 = 7

k2 =17 k3 =14 k4 =6

O1

r1 = -4

I1

r2 = -6

I2

r3 = -11

I3

r4 = 0

I4

O2

O3

k5 =4

O4

k6 =16

O5

Ponude ai

O6

30 8

3

5

13

6

7

15

19

30

10

40

20

12

11

8

7

18

13

9

11

23

6

5

10

17

10

4

11

70

10 20

15 7

Potrebe bj

50

20

30

15

5 6

30

5

30

150

Korištenjem formule (4.49) dobićemo vrijednosti diferencija za sva nebazna polja:

(

d ij = cij − ri + k j

) (∀i = 1, m) (∀j = 1, n)

(4.51)

Primjenom 4.37 izračunaćemo vrijednost diferencija za sva prazna polja u tabeli 4.15 f. d12 = 8 − (− 4 + 17 ) = −5 d 21 = 12 − (− 6 + 7 ) = 11 d 33 = 11 − (− 11 + 14) = 8 d13 = 13 − (− 4 + 14) = 3 d 24 = 7 − (− 6 + 6) = 7 d 34 = 23 − (− 11 + 6) = 28 d14 = 6 − (− 4 + 6) = 4

d15 = 7 − (− 4 + 4 ) = 7

d 25 = 18 − (− 6 + 4 ) = 16 d 35 = 6 − (− 11 + 4 ) = 13 d 31 = 13 − (− 11 + 7 ) = 17 d 43 = 10 − (0 + 14) = −4

d16 = 19 − (− 4 + 16) = 7 d 32 = 9 − (− 11 + 17 ) = 3 d 46 = 11 − (0 + 16 ) = −5

Kako je nama cilj minimum funkcije transporta, to su nam korisna polja ona koja imaju negativan doprinos, odnosno polja (1, 2); (4, 3) i (4, 6). Vidimo da se vrijednosti diferencija poklapaju sa vrijednostima koje smo dobili stepping stone metodom. Postupak optimizacije rješenja je u nastavku isti kao i kod stepping stone metode - modi metoda se koristi samo kao modificirana stepping stone metoda jer omogućava brži izračun diferencija.

Rezimirajmo: ƒ Korisna polja za transport sa ciljem min f su ona kod kojih je vrijednost diferencije dij negativna. ƒ Korisna polja za transport sa ciljem max f su ona kod kojih je vrijednost diferencije dij pozitivna.

582

SPECIFIČNI OBLICI PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA

ƒ Kriterij za izlazak veličine xit iz baze (pražnjenje polja i-t) je određivanje θ sa osobi-

nama da je θ = min xit− , pri čemu oznaka «-« govori da koristimo sva polja sastavljena −

od popunjenih mjesta u prethodnom rješenju, a koja trebamo umanjiti prilikom novog transporta. ƒ Kriterij za ulazak veličine xuv u bazu (popunjavanje polja u –v) je izbor polja sa najvećim proizvodom θ ⋅ d ij pri čemu je i − j korisno polje. ƒ Optimalno rješenje smo dobili ako nema više korisnih polja, odnosno ako:

kod min f vrijedi d ij ≥ 0 (∀i )(∀j ) kod max f vrijedi d ij ≤ 0 (∀i )(∀j )

Primjer 4.18.

Tri rudnika (R1, R2, R3) snabdijevaju ugljenom 4 grada (G1, G2, G3, G4). Rudnik R1 može da isporuči 45000 t, rudnik R2 15000 t i rudnik R3 40000 t uglja. Potrebe gradova G1, G2, G3, G4 su: 10 000 t, 30 000 t, 25 000 t i 35 000 t uglja respektivno. Troškovi transporta po toni uglja dati su u tabeli (u KM): G1

G2

G3

G4

R1

5

7

4

5

R2

8

4

7

9

R3 3 6 5 8 a) Naći program snabdijevanja da troškovi prevoza ukupne količine uglja budu najniži, b) Izračunati iznos tih troškova. Početno rješenje odrediti metodom jediničnih koeficijenata, a optimum stepping stone metodom. Rješenje:

Potrebe gradova zbirno iznose: 10 000 + 30 000 + 25 000 + 35 000 = 100 000 t uglja. Ponude rudnika zbirno iznose: 45 000 + 15 000 + 40 000 = 100 000 t uglja, pa je u pitanju zatvoreni problem transpotra. Cilj je minimalan trošak, pa se metod jediničnih koeficijenata sastoji u pronalasku polja sa najmanjim koeficijentom cij u tabeli i smještanja najvećeg transporta u to polje.

583

LINEARNO PROGRAMIRANJE

Redoslijed unosa transpotra u tabelu je sljedeći: X31 = 10, zadovoljeno odredište G1; X13 = 25, zadovoljeno odredište G3; X22 = 15, iscrpljeno ishodište R2; X14 = 20, iscrpljeno ishodište R1; Preostala polja su X32 = 15 i X34 = 15. Odgovarajuća tabela sa polaznim rješenjem je tabela 4.18.a. Vrijednost funkcije cilja iznosi: f = 25 ⋅ 4 + 20 ⋅ 5 + 15 ⋅ 4 + 10 ⋅ 3 + 15 ⋅ 6 + 15 ⋅ 8 = 500 Tabela 4.18.a. Polazno bazično rješenje određeno metodom jediničnih koeficijenata

G1

G2

R1

5

R2

8

R3

G3 25

G4 20

7

4

5

4

7

9

6

5

15 10

15

15

3

10

30

25

8

35

45 15 40 100

Testirajmo prazna polja i odredimo da li je ovo rješenje optimalno: d11 = 5 − 5 + 8 − 3 = 5 d 23 = 7 − 4 + 6 − 8 + 5 − 4 = 2 d12 = 7 − 5 + 8 − 6 = 4 d 24 = 9 − 8 + 6 − 4 = 3 d 21 = 8 − 4 + 6 − 3 = 7 d 33 = 5 − 4 + 5 − 8 = −2 Dobili smo da polje (3, 3) ima negativnu diferenciju, odnosno da uključivanjem ovog polja u bazu možemo unaprijediti (smanjiti) funkciju cilja. Odredimo maksimalan mogući transport koji možemo prebaciti na polje (3, 3), odnosno odredimo θ. U tabeli 4.18.b. je pokazano da maksimalna vrijednost koju θ može uzeti iznosi θ = 15 (zbog polja (3,4)), a to znači da će se premještanjem transporta na polje (3, 3) vrijednost funkcije cilja smanjiti za 2⋅15 = 30 KM. Nova transportna tabela je data u 4.18.c.

584

SPECIFIČNI OBLICI PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA

Tabela 4.18.b. Određivanje korisnog polja i θ u polaznom bazičnom rješenju

G1

G3

G4

G1

25-θ 20+θ

R1

5

7

4

5

4

7

9

15

R2 R3

G2

8

10



15 3

10

6

30

15-θ 5

25

Tabela 4.18.c. Nova transportna tabela sa transportnim troškovima f = 470 KM

8

35

G3

G4

10

45

R1

15

R2

40

R3 10

100

G2 5

35

7

4

5

4

7

9

5

8

15 8

15 3

10

15 6

30

25

35

45 15 40 100

Ponovo testirajmo prazna polja i vidjećemo da su svi dij pozitivni, odnosno da nemamo više korisnih polja. Prema tome, ponuđeno rješenje u tabeli 4.18.c. je optimalno: d11 = 5 − 4 + 5 − 3 = 3 d 23 = 7 − 5 + 6 − 4 = 4 d12 = 7 − 4 + 5 − 6 = 2 d 24 = 9 − 4 + 6 − 5 + 4 − 5 = 5 d 21 = 8 − 4 + 6 − 3 = 7 d 34 = 8 − 5 + 4 − 5 = 2 Najmanji troškovi transporta kojim bi se transpotrovalo 100 000 t uglja iz tri rudnika u četiri grada iznose 470 KM, a optimalan plan transporta uglja bi bio: Iz rudnika R1 u grad G3 transportovati 10 000 tona uglja (x13 = 10) i 35 000 tona uglja u grad G4 (x14 = 35). Iz rudnika R2 u grad G2 transportovati 15 000 tona uglja (x22 = 15). Iz rudnika R3 u grad G1 transportovati 10 000 tona uglja (x31 = 10); 15 000 tona uglja u grad G2 (x32 = 15) i 15 000 tona uglja u grad G3 (x33 = 15). Primjer 4.19.

Korporacija DL planira postavljanje novih mašina u postojećim fabrikama na lokacijama Decatur, East St. Luis i St. Luis. Analizirajući samo troškove transporta po jedinici treba: a) Odrediti optimalan plan transporta mašina iz pojedinih skladišta B, C i D. Troškovi transporta po jedinici, kao i kapaciteti i potrebe su dati u tabeli: B C D Potrebe

East St. Luis 29 30 30 150

St. Luis 27 30 31 150

Decatur 20 25 22 300

Kapacitet 250 200 350

585

LINEARNO PROGRAMIRANJE

b) Odrediti po optimalnom planu koja skladišta neće biti ispražnjena. c) Odrediti da li je optimalno rješenje jedinstveno i, ako nije, dati bar još jedan optimalan plan transporta. Napomena: Problem riješiti koristeći Vogelov metod za polazno rješenje i modi metod za optimizaciju. Rješenje:

a) Ponuda mašina u skladištima je 250 + 200 + 350 = 800, a potražnja fabrika za mašinama iznosi 150 + 150 + 300 = 600. Veća je ponuda nego potražnja, pa uvodimo fiktivnu kolonu sa potrebama 200. Kod fiktivne kolone (pošto ona ne postoji) uzimamo da su svi troškovi transporta 0 (ci4 = 0). Tabela 4.19.a. Početno bazično rješenje dobijeno Vogelovom metodom

B

East St. Luis 100

C

-

D

50

Potrebe kj

St. Luis

150

29

-

20

-

-

0

25

0

ε

300 31

150 3, 28

Kapacitet

200

30

30

fiktivna -

27

30

150 1, 30

Decatur

22

300 4 22

0

200 2, * 0

ri

250

20, 7, 2

-1

200

25, *

0

350

22, 8, 1

0

800 0, *

Vogelovom metodom smo dobili degenerisano početno rješenje. Funkcija cilja ima vrijednost f = 15050. Zbog degenerisanog početnog rješenja ne može se primijeniti ni stepping stone ni modi metoda za unapređenje rješenja. Zbog toga se nekom praznom polju dodijeli mali teret ε ≈ 0 i time obezbijediti popunjenost m + n -1 polja. Izbor polja na koji ćemo staviti mali teret ε ≈ 0 je proizvoljan, ali treba da nam omogući korištenje metoda za unapređenje rješenja. (Npr. polje (3, 2) nije dobro za mali teret ε ≈ 0, dok polje (3, 4) jeste). Odredimo vrijednosti dualnih varijabli:

586

SPECIFIČNI OBLICI PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA

r1 + k1 = 29

k1 = 30

r1 + k 2 = 27

k 3 = 22

r2 + k 4 = 0 k =0 za proizvoljno npr. r3 = 0 ⇒ 4 r3 + k1 = 30 r1 + k1 = r1 + 30 = 29 ⇒ r1 = −1 r3 + k 3 = 22 r1 + k 2 = −1 + k 2 = 27 ⇒ k 2 = 28 r3 + k 4 = 0

r2 + k 4 = 0 ⇒ r2 + 0 = 0 ⇒ r2 = 0

Modi metodom testiramo slobodna polja d13 = 20 − (22 − 1) = −1 d14 = 0 − (0 − 1) = 3

d 21 = 30 − (30 + 0) = 0

d 22 = 30 − (28 + 0) = 2 d 23 = 25 − (22 + 0) = 3 d 32 = 31 − (28 + 0) = 3

i dobili smo da je korisno polje (1, 3), odnosno d13 = -1, a odgovarajuće θ = 100. Napravimo transport veličine 100 na odabrano polje (X13 = 100) i odredimo novu transportnu tabelu: Tabela 4.19.b. Transportna tabela dobijeno nakon popunjavanja polja (1, 3)

East St. Luis B

-

C

-

D

St. Luis

Decatur

150 27

-

20

-

30

30

-

100

29

150

fiktivna

200

30

-

0

25

0

ε

200 31

22

0

Potrebe

150

150

300

200

ri

30

29

22

0

Kapacitet

kt

250

-2

200

0

350

0

800

Testiranjem slobodnih polja vidimo da je popravljeno rješenje optimalno sa vrijednosti funkcije cilja f = 14950. Optimalan plan transporta je: 150 mašina prebaciti iz skladišta D u East St. Luis, 150 mašina transportovati iz skladišta B do St. Luisa i 100 mašina transportovati iz skladišta A, a 200 iz sladišta B do Decatura. U skladištu C će ostati 200 mašina. b) Skladište C neće biti ispražnjeno. 587

LINEARNO PROGRAMIRANJE

c) S obzirom da kod optimalnog riješenja imamo d21 = 0, to znači da postoji više optimalnih rješenja i novo optimalno rješenje ćemo dobiti ako napravimo transport na polje (2, 1), a zbog θ21 = 150 novo optimalno rješenje ima oblik predstavljen u tabeli 4.19.c. Tabela 4.19.c. Drugo optimalno rješenje problema 4.3.4.

East St. Luis B C D

-

St. Luis 150 27

29

150

Decatur 100

-

20

30

0

25

200

30

0

50

-

30 -

fiktivna

150 22

31

0

Potrebe

150

150

300

200

kj

30

29

22

0

Kapacitet

ri

250

-2

200

0

350

0

800

Primjer 4.20.

Korporacija DL planira postavljanje novih mašina u postojećim fabrikama na lokacijama Decatur, Minneapolis i Carbondale. Stoga je nabavila tri tipa mašina. Analizirajući potrebe i karakteristike fabrika, te efikasnost pojedinih mašina na konkretnim pozicijama u fabrikama, sačinjena je tabela očekivanih sedmičnih dobiti kroz lociranja konkretne vrste mašina na konkretno mjesto. a) Odrediti optimalan plan raspoređivanja mašina tipa B, C ili D na konkretne lokacije ako su procijenjene sedmične dobiti, potrebe fabrika i broj mašina dati u tabeli: B C D Potrebe

Decatur 20 25 22 300

Minneapolis 17 27 25 200

Carbondale 21 20 22 150

Broj mašina 250 200 350

b) Odrediti po tom optimalnom planu koliko i kojeg tipa mašina će ostati neraspoređeno. c) Odrediti vrijednost dualne varijable k2 i napisati koju informaciju nam ona nudi. Napomena: Problem riješiti koristeći Vogelov metod za polazno rješenje i modi metod za optimizaciju.

588

SPECIFIČNI OBLICI PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA

Rješenje:

Kako je veći broj mašina nego potrebe za njima (otvoreni problem transporta), potrebno je uvesti fiktivnu lokaciju (kolonu) sa potrebama 150. Transportni problem se postavlja sa ciljem maksimizacije dobiti pa je upotreba Vogelove metode malo drugačija nego u ranije opisanim primjerima. Sad se u svakoj koloni i u svakoj vrsti traže dva najveća koeficijenta cij i računa njihova razlika. Od svih razlika biramo najveću i u odgovarajućoj koloni ili redu upisujemo transport u polje sa najvećim cij. Postupak ponavljamo dok ne iscrpimo ishodišta i ne zadovoljimo odredišta. Tabela 4.20.a. Polazno i optimalno rješenje problema 4.19

Minneapolis

Decatur B C D Potrebe kj

-

20

200

17

200

0

20

50

0

-

25

200 2, 8* 25

Kapacitet

-

27

22

300 3, 2*, 22

21

-

25

100

CarbonFiktivno dale 100 150

22

150 1, 1, 22

0

150 0 1

ri

250

1, 1

-1

200

2*

3

350

3, 2*

0,

0

800

Vogelov metoda nam je dao polazno riješenje (nedegenerisano) sa odgovarajućom vrijednosti funkcije cilja: f = 15400 Modi metodom provjeravamo da li je riješenje optimalno. Testiranjem slobodnih polja dobijamo da su svi dij negativni, odnosno da nemamo korisnih polja (sad su korisna ona koja će povećeti funkciju cilja). Na osnovu ove analize imamo da je optimalno rješenje određeno odmah Vogelovom metodom. Optimalno je ugraditi 200 mašina tipa C i 100 mašina tipa D u fabriku u Decaturu, 200 mašina tipa D prebaciti u fabriku u Minneapolisu, te 150 mašina tipa B i 50 mašina tipa C prebaciti u fabriku u Carbondale. a) 150 mašina tipa B ostaje neiskorišteno. b) k2 = 25 nam daje sljedeću informaciju: povećanje potreba u Minneapolisu za 1 izazvaće povećanje funkcije cilja za 25 nj.

589

LINEARNO PROGRAMIRANJE

Primjer 4.21.

Upotrebom Solvera u Excelu riješiti sljedeći problem transporta lijekova. Farmaceutska kompanije proizvodi lijekove u Los Angelesu, Atlantai i New Yorku. Fabrika u Los Angelesu može mjesečno proizvesti količinu od 10 000 komada lijekova, fabrika u Atlantai 12 000 komada lijekova, dok fabrika u New Yorku mjesečno proizvodi 14 000 komada lijekova. Svakog mjeseca, farmaceutska kompanije mora isporučiti lijekove u 4 regije Sjedinjenih Američkih Država (East, Midwest, South i West). Količine koje se trebaju isporučiti su prikazane u ćelijama od B2 do E2 na slici 4.3.6.a (npr. regija West (Zapad) mora mjesečno primiti najmanje količinu od 13000 komada lijekova). Jedinični troškovi (troškovi za proizvodnju i transport jednog komada lijeka u svakoj fabrici do svake regije) su prikazani u ćelijama od B4 do E6 (npr. da bi se 1 komad lijeka proizveo u Los Angelesu i transportovao u regiju Midwest treba potrošiti 3,5$). Koji je najjeftiniji način da bi svaka regija dobila količinu lijekova koju treba? Rješenje:

Problem je potrebno napisati u excel stranici. Voditi računa da trebamo podatke o troškovima upisati u konkretna polja (B4:E4), a podatke o transportu (ćelije koje excel mijenja sa ciljem određivanja minimuma ili maksimuma) u neka druga konkretna polja (B10:E12).

590

SPECIFIČNI OBLICI PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA

Da bi izrazili funkciju cilja (target cell B18), moramo pratiti ukupne transportne troškove. Nakon što se u ćelije od B10 do E12 unesu probne vrijednosti za isporuku iz svake tačke ponude do svake regije, ukupne transportne troškove možemo izačunati na sljedeći način: (količina poslata iz LA u regiju East) ⋅ (trošak po komadu poslatom iz LA u regiju East) + količina poslata iz LA u regiju Midwest) ⋅ (trošak po komadu poslatom iz LA u regiju Midwest) + (količina poslata iz LA u regiju South) ⋅ (trošak po komadu poslatom iz LA u regiju South) + (količina poslata iz LA u regiju West) ⋅ (trošak po komadu poslatom iz LA u regiju West) + ...+ (količina poslata iz NY u regiju West) ⋅ (trošak po komadu poslatom iz NY u regiju West). Upravo ovo radi funkcija SUMPRODUCT. Funkcija SUMPRODUCT (zbir umnožaka) može umnožiti odgovarajuće elemente u dva različita pravougaonika (sve dok su ti pravougaonici iste veličine) i zbrojiti te proizvode u jedan iznos. Ćelije od B4 do E6 su na slici prikazani kao troškovi, a ćelije od B10 do E12 se zovu transport. Iz ovoga slijedi da ukupne troškove (proizodnja i tansport) možemo izračunati u ćeliji B18 koristeće funkciju SUMPRODUCT (B4:E6,B10:E12). Da bi izrazili naše ograničenje, prvo ćemo izračunati transportne iznose iz svake tačke ponude. Koristeći funkciju SUM(B10:E10) u ćeliji F12– zbir ćelija od B10 do E10, izračunat ćemo ukupne transportovane količine iz Los Angelesa (LA do East + LA do Midwest + LA do South + LA do West). Kopirajući ovu formulu u ćelije F11 i F12 izračunat ćemo i transportovane količine iz Atlantae i New Yorka. Kasnije ćemo dodati ograničenja (koja se zovu ograničenja ponude) koja osiguravaju iznos transportovan iz svake lokacije, a koji nije prekoračio kapacitet fabrike. Slijedi izračunavanje ukupnog iznos koji primi svaka tačka potražnje. Prvo se u ćeliju B13 unese formula SUM(B10:B12). Ova formula izračunava ukupan broj komada lijekova primljen u regiju East (broj komada transportovan iz LA u East + broj komada transportovan iz Atlantae u East + broj komada transportovan iz NY u East). Ova formula se, potom, kopira iz ćelije B13 u ćelije od C13 do E13 kako bi se izračunala količina lijekova koja je primljena i u ostale regije (Midwest, South, West). Kasnije se dodaju ograničenja (koja se zovu ograničenja potražnje) jer osiguravaju da svaka regija primi minimalan iznos lijekova koji potražuje. Sad otvaramo opciju Solver Parameters tako što u meniju Tools kliknemo na Solver, a potom popunimo dialog box na sljedeći način:

591

LINEARNO PROGRAMIRANJE

Naš cilj je da minimiziramo ukupne transportne troškove (izračunate u ćeliji B18). Naše changing cells je broj komada transportovan iz svake fabrike u svaku regiju. (Ovi iznosi su u ćelijama B10 do E12). Ograničenje F10:F12= B15:E15 (ograničenje potražnje) osigurava da svaka regija najmanje primi onu količinu lijekova koju potražuje. Naš model je linearni model u Solveru jer je naša funkcija cilja kreirana tako što su se sastavili uslovi obrasca (changing cell)⋅(constant), a oba naša ograničenja (i ponude i potražnje) su nastala upoređujući zbir u changing cell i konstantu. Potom se u Solver Parameters meniju klikne na Options i označe opcije Assume Linear Model i Assume Non-Negative. Nakon toga se klikom na Solve (riješi) u Solver Parameters dobije optimalno rješenje problema. Najmanji trošak da bi se zadovoljila potražnja iznosi 86.800$. Minimalan trošak se može postići ako kompanija bude koristila sljedeći raspored proizvodnje i transporta: ƒ

Transportovati 10 000 komada lijekova iz Los Angelesa u regiju West.

ƒ

Transportovati 3000 komada lijekova iz Atlantae u regiju West i regiju Midwest. Iz Atlantae transportovati i 6000 komada lijekova u regiju South.

ƒ

Transportovati 9000 komada lijekova iz New Yorka u regiju East i 3000 komada iz New Yorka u regiju Midwest.

4.6.2. Asignacija

Opis problema raspoređivanja Kandiduju se m raznih objekata (osoba, materijala, aktivnosti i sl.) da budu raspoređeni na n raznih mjesta. Prilikom tog raspoređivanja moraju biti zadovoljena sljedeća ograničenja: 592

SPECIFIČNI OBLICI PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA

1. svaki objekat može se rasporediti samo na jedno od tih mjesta, 2. svakom mjestu može se rasporediti samo jedan od tih objekata. Kod asignacije najčešće se određuje takav plan raspoređivanja kojim će se postići najbolji odgovarajući efekat. Takav problem raspoređivanja je specijalan slučaj transportnog problema. Ako odlučimo da objekat iz nekog konkretnog Ai rasporedimo na neko konkretno Bt, na toj konkretnoj relaciji Ai → Bt “transport“ će biti xit=1. Suprotno, ako odlučimo da objekat iz nekog konkretnog Ai ne rasporedimo na neko konkretno Bt, na toj konkretnoj relaciji Ai → Bt „transport“ će biti xit = 0. Broj raznih relacija Ai → Bt je m ⋅ n , pa time je i m ⋅ n različitih promjenljivih xit, čija vrijednost može biti samo 1 ili 0. Na osnovu ograničenja koja važe kod asignacije, kod svakog mogućeg plana raspoređivanja u svakom redu i u svakoj koloni odgovarajuće „transportne tabele“ može biti najviše jedno „puno polje“. 4.6.2.1. Modeli linearnog programiranja raspoređivanja

Kod problema raspoređivanja, između broja objekata m i broja mjesta n može biti prisutan jedan od tri sljedeća odnosa: 1) m = n – svi objekti mogu biti raspoređeni i sva mjesta mogu biti popunjena; 2) m > n - svi objekti ne mogu biti raspoređeni, ali sva mjesta mogu biti popunjena; 3) m < n – svi objekti mogu biti raspoređeni, ali sva mjesta ne mogu biti popunjena. Kako je asignacija specijalan oblik transportnog problema, to znamo da problem raspoređivanja ima rješenja ako je u pitanju zatvoren problem.

Model asignacije - zatvoreni problem raspoređivanja Ako je m = n, odnosno ako imamo jednak broj objekata i mjesta, to će svi objekti biti raspoređeni i sva mjesta biti popunjena. Zatvoreni model asignacije se može napisati kao: m m ⎛ Max ⎞ = f ∑ ∑ cit ⋅ xit ⎜ ⎟ i =1 t =1 ⎝ Min ⎠ m

∑ xit = 1 i = 1, m t =1

(4.52)

m

∑ xit = 1 t = 1, m i =1

xit ∈ {0,1} , i = 1, m, t = 1, m

593

LINEARNO PROGRAMIRANJE

Ukoliko broj objekata nije jednak broju mjesta na koja vršimo raspoređivanje, odnosno ako je m≠n imaćemo otvoreni problem asignacije. U optimalnom rješenju neće biti popunjena sva mjesta ili neće biti raspoređeni svi objekti. Kod otvorenog problema raspoređivanja razlikujemo situaciju kad: m > n imamo više objekata nego mjesta, m < n imamo više mjesta nego objekata.

Opšti oblik modela otvorenih problema asignacije i način njihovog zatvaranja su opisani u nastavku.

Model m > n - otvoreni problem raspoređivanja m n ⎛ Max ⎞ ⎜ ⎟ f = ∑ ∑ cit ⋅ xit i =1 t =1 ⎝ Min ⎠ n

∑ xit ≤ 1 i = 1, m t =1

(4.53)

m

∑ xit = 1 t = 1, n i =1

xit ∈ {0,1} , i = 1, m, t = 1, n

Zbog odnosa n < m, svako od n mjesta bit će popunjeno, ali svi objekti neće biti raspoređeni. Otvoreni model raspoređivanja m > n se može uvijek zatvoriti uvođenjem (m – n) fiktivnih mjesta (kolona). Svaki od viška objekata koji bude raspoređen na fiktivno mjesto u stvarnosti će ostati neraspoređen. Za razliku od transportnog modela, gdje smo dodavali samo jednu fiktivnu kolonu (odredište) sa ukupnom tražnjom koja je jednaka razlici ukupne ponude i potražnje, kod asignacije je potražnja svakog mjesta 1, pa moramo dodati m – n fiktivnih mjesta. Zatvaranje modela (4.53) bi izgledalo: m n m m ⎛ Max ⎞ ⎜ ⎟ f = ∑ ∑ cit ⋅ xit + ∑ ∑ 0 ⋅ xit i =1 t =1 i =1 t = n +1 ⎝ Min ⎠ n

m

t =1

t = n +1

∑ xit + ∑ xit = 1 i = 1, m m

∑ xit = 1

t = 1, n

i =1 m

∑ xit = 1t = n + 1, m i =1

xit ∈ {0,1} , i = 1, m, t = 1, m

594

(4.54)

SPECIFIČNI OBLICI PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA

Model m < n - otvoreni problem raspoređivanja m n ⎛ Max ⎞ ⎜ ⎟ f = ∑ ∑ cit ⋅ xit i =1 t =1 ⎝ Min ⎠ n

∑ xit = 1 i = 1, m

(4.55)

t =1 m

∑ xit ≤ 1 t = 1, n i =1

xit ∈ {0,1} , i = 1, m, t = 1, n

Zbog odnosa n > m, svako od m objekata će biti raspoređeno, ali sva mjesta neće biti popunjena. Otvoreni model raspoređivanja m < n se može uvijek zatvoriti uvođenjem (n – m) fiktivnih objekata (redova). Svaki od fiktivnih objekata koji bude raspoređen na određeno mjesto u stvarnosti znači da će mjesto ostati nepopunjeno. Dakle, zatvaranje modela (4.55) bi izgledalo: m n n n ⎛ Max ⎞ ⎜ ⎟ f = ∑ ∑ cit ⋅ xit + ∑ ∑ 0 ⋅ xit i =1 t =1 i = m +1 t =1 ⎝ Min ⎠ n

∑ xit = 1

i = 1, m

t =1 n

∑ xit = 1i = m + 1, n

(4.56)

t =1 m

n

i =1

i = m +1

∑ xit + ∑ xit = 1

t = 1, n

xit ∈ {0,1} , i = 1, n, t = 1, n

Napomenimo da svaki zatvoreni model raspoređivanja ima najmanje jedno moguće rješenje, odnosno uvijek je rješiv. 4.6.2.2. Mađarska metoda

Metoda raspoređivanja se sastoji iz sljedećih koraka:

1. Reduciranje matrice ƒ u svakom redu odredimo najmanji element pa ga odbijemo od ostalih elemenata tog reda, ƒ zatim, u svakoj koloni određujemo najmanji element i odbijemo ga od ostalih elemenata te kolone. Rezultat je matrica koja u svakom redu i u svakoj koloni ima bar jednu nulu.

595

LINEARNO PROGRAMIRANJE

2. Kategorizacija nula a) polazimo od prvog reda i nalazimo redove u kojima je samo jedna neoznačena 0. Ta nula se označi sa 0, a ostale nule u toj koloni se precrtaju, b) isti postupak zatim primjenjujemo na kolone. Postupak a) i b) ponavljamo dok sve 0 ne označimo na jedan od navedenih načina. Ukoliko imamo u svakom redu i u svakoj koloni označenu 0 asignacija je završena, ako to nije slučaj prelazimo na 3. korak

3. Nova matrica: a) označimo strelicom redove bez asignacije , b) označimo strelicom kolone koje u označenim redovima imaju precrtanu nulu, c) označimo redove koji u označenim kolonama imaju zaokruženu nulu, d) nastavljamo korake b) i c) dok se lanac ne završi, e) povuku se linije kroz označene kolone i neoznačene redove. Kroz svaku zaokruženu nulu mora prolaziti jedna i samo jedna linija, to znači linija imamo koliko i zaokruženih nula, f) pišemo novu reduciranu matricu tako što najmanji nepokriveni element ƒ oduzmemeo od svih ostalih nepokrivenih, ƒ dodamo elementima dva puta precrtanim. Ponavlja se 2. korak, pa ako nema rješenja ponavljamo i 3. korak, i tako dok ne izvršimo asignaciju.

Primjer 4.22.

Pet dobara se može proizvoditi na pet strojeva. Istovremeno se može proizvoditi na jednom stroju samo jedno dobro. Troškovi proizvodnje dobra, ovisno o stroju na kojem se proizvodi, (u nekim nj) su:

Dobro I II III IV V

1 7 1 2 1 1

2 5 4 3 7 9

Stroj 3 3 5 1 3 4

4 1 6 2 6 10

5 6 6 4 6 8

Treba naći kombinaciju proizvodnje koja obezbjeđuje najniže troškove.

596

SPECIFIČNI OBLICI PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA

Rješenje:

1. korak: Reduciramo matricu tako da u svakom redu odredimo najmanji element i oduzmemo ga od ostalih elemenata u tim redovima: 7 1 2 1 1

5 4 3 7 9

3 5 1 3 4

1 6 2 6 10

6 6 4 6 8

-1 -1 -1 -1 -1

Zatim u svakoj koloni oduzmemo najmanji element iz kolone: 6 0 1 0 0 -0

4 3 2 6 8 -2

2 4 0 2 3 -0

0 5 1 5 9 -0

5 5 3 5 7 -3

Rezultat je matrica koja u svakom redu i u svakoj koloni ima bar jednu nulu. 6 0 1 0 0

2 1 0 4 6

2 4 0 2 3

0 5 1 5 9

2 2 0 2 4

2. korak - kategorizacija nula: 6

2

2

0

2

0

1

4

5

2

1

0

0

1

0

0 0

4 6

2 3

5 9

2 4

6

2

2

0

2

0

1

4

5

2

1

0

0

1

0

0 0

4 6

2 3

5 9

2 4

3. korak -nova matrica:

597

LINEARNO PROGRAMIRANJE

Oduzimamo (dodajemo dva puta precrtanim) element 1: 7 0 2 0 0

2 0 0 3 5

2 3 0 1 2

0 4 1 4 8

2 1 0 1 3

2. korak -kategorizacija nula: 7

2

2

0

2

0

0

3

4

1

2

0

0

1

0

0

3

1

4

1

0

5

2

8

3

7

2

2

0

2

0

0

3

4

1

2

0

0

1

0

0

3

1

4

1

0

5

2

8

3

3. korak - nova matrica:

Oduzimamo (dodajemo dva puta precrtanim) element 1: 8 1 3 0 0

2 0 0 2 4

2 3 0 0 1

0 4 1 3 7

2 1 0 0 2

2. korak - kategorizacija nula:

598

8

2

2

0

2

1

0

3

4

1

3 0

0 2

0 0

1 3

0 0

0

4

1

7

2

SPECIFIČNI OBLICI PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA

Prilikom kategorizacije preostale dvije nule u matrici vidimo da su ravnopravni njihovi položaji i po kolonama i po redovima, što znači da imamo dva optimalna rješenja. Proizvoljnim biranjem jedne opcije dobićemo jedno rješenje, a izborom druge opcije dobićemo drugo rješenje. I rješenje: 8

2

2

0

2

1

0

3

4

1

3

0

0

1

0

0

2

0

3

0

0

4

1

7

2

Dobro I se proizvodi na stroju 4, dobro II na stroju 2, dobro III na stroju 3, dobro IV na stroju 5 i dobro V na stroju 1. Troškovi proizvodnje su: f = 1 + 4 + 1 + 6 + 1 = 13 nj. II rješenje: 8

2

2

0

2

1

0

3

4

1

3

0

0

1

0

0

2

0

3

0

0

4

1

7

2

Dobro I se proizvodi na stroju 4, dobro II na stroju 2, dobro III na stroju 5, dobro IV na stroju 3 i dobro V na stroju 1. Troškovi proizvodnje su: f = 1 + 4 + 4 + 3 + 1 = 13 nj. Primjer 4.23.

Posada astronauta NASA ima 10 specijalista sa doktorskim zvanjem iz astrofizike ili astromedicine koji odlaze u misije u svemir. Jedan od specijalista bit će upisan na svakom od 10 rasporeda letenja u sljedećih devet mjeseci. Specijalisti su odgovorni za izvođenje znanstvenih i medicinskih eksperimenata u svemiru ili za lansiranje, pronalaženje ili popravljanje satelita. Šef astronautskog osoblja, i sam bivši član posade koji je već učestvovao u tri misije, mora odlučiti ko bi trebao biti treniran za svaku od ovih, veoma različitih misija. Jasno da su astronauti koji imaju medicinsko obrazovanje najpogodniji za misije koje su vezane za biološke ili medicinske eksperimente, dok će inženjeri i fizičari biti raspoređeni na druge vrste misija. Šef ocjenjuje svakog astronauta ocjenama na skali od 1 do 10 za svaku pojedinačnu misiju (10 dobivaju astronauti koji su savršeni za izvrše-

599

LINEARNO PROGRAMIRANJE

nje zadatka, a 1 oni koji uopšte ne odgovaraju). Samo jedan specijalist je određen za svaki let, te ne učestvuje u drugoj misiji dok svi ostali ne odlete barem jednom. a) Ko bi trebao biti određen za svaki let? b) NASA je obaviještena da je Andersonovo vjenčanje zakazano za februar i da namjerava tada provesti medeni mjesec u Evropi. Kako će to promijeniti konačan raspored? Podaci o ocjenama svakog astronauta za svaku planiranu misiju su dati u tabeli 4.23. Zadatak riješiti upotrebom solvera. Tabela 4.23. Ocjene svakog astronauta za svaku planiranu misiju

Astronaut Vincze Veit Anderson 442

Herbert Schatz Plane Cerato Moses Brandon Drtina

Jan. 12 9 8 2 4 10 1 9 3 5 10

Jan. Feb. Feb. Mar. Apr. Maj 27 5 26 26 12 1 7 8 1 4 10 3 9 2 4 10

2 3 10 10 9 5 8 7 5 9

1 4 10 9 9 7 8 6 9 7

10 7 1 9 8 9 9 4 10 6

9 9 4 9 9 7 1 3 10 7

8 7 7 1 1 10 1 9 5 5

Jun. Aug. Sep. 9 20 19 9 7 6 2 1 10 2 7 4 4

2 4 6 3 1 9 2 7 9 8

6 4 7 4 1 2 9 9 8 8

Rješenje:

Zadatak se može posmatrati kao problem transporta gdje su ponude svih ishodišta jednake 1 i potrebe svih odredišta jednaka 1 i prema postupku korištenja solvera za transportne probleme koji je prethodno obrađen zadatak se može riješiti.

600

SPECIFIČNI OBLICI PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA

Tabela 4.23.a.

Prvo ćemo prenijeti tabelu i zaglavlja na Excelovu stranicu. Zatim definisati prostor za asignaciju (kod nas je to u ćelijama odmah ispod, odnosno sa zaglavljima zauzeli smo prostor A16:K27). Asignaciju radimo na poljima B20:K29 i ovaj prostor moramo popuniti proizvoljnim vrijednostima ili ostaviti prazan. U koloni i redu UKUPNO računamo zbir popunjenih polja (U ćeliji B28 kucamo SUM(B18:B27) i razvučemo formulu, odnosno u ćeliji L18 kucamo SUM(B18:K18) i razvučemo formulu). U kolonama i redovima sa nazivom kapacitet (potrebe) unosimo vrijednosti 1 jer je u pitanju asignacija. U ćeliji B32 sa nazivom vrijednost rasporeda unosimo vrijednost proizvoljnog (početnog) rješenja koje se dobije kao zbir ocjena svakog astronauta raspoređenog za neki let. Ovu vrijednost računamo koristeći formulu SUMPRODUCT i vodeći računa da dvije tabele koje povezujemo budu istih dimenzija (istog tipa) (SUMPRODUCT(B3:K12;B18:K27)). Pokretanjem opcije Solver u Tools meniju, otvoriće nam se prozor za solver parametre:

601

LINEARNO PROGRAMIRANJE

Tabela 4.23.b.

U polju Subject to the Constraints unosimo da je kolona UKUPNO manja ili jednaka koloni KAPACITET i red UKUPNO je veći ili jednak od reda POTREBE (ako je problem asignacije zatvoren, možemo koristiti znak = i kod kapaciteta i kod potražnje). U prostor Set Target Cell unosimo ćeliju u kojoj želimo da nam se prikaže vrijednost funkcije cilja, odnosno vrijednost asignacije. Kod nas je to polje B32. U prostor By Changing Cells unosimo adresu tabele u kojoj želimo de se uradi asignacija. Kod nas je to B18:K27. Potom se u Solver Parameters meniju klikne na Options i označe opcije Assume Linear Model i Assume Non-Negative. Nakon toga se klikom na Solve (riješi) u Solver Parameters dobije optimalno rješenje problema. (tabela 4.23.) Vidimo da je vrijednost asignacije 96 i vidimo raspored pojedinih astronauta na konkretne letove. AstroVincze nauti Mar Letovi 26

602

Veit

Apr 12

Anderson Herbert Schatz 442

Feb 26

Feb 5

Jan 12

Plane

Cerato

Moses

Brandon

Drtina

Jun 9

Sept 19

Maj 1

Aug 20

Jan 27

SPECIFIČNI OBLICI PROBLEMA LINEARNOG PROGRAMIRANJA

Tabela 4.23.c

b) Astronaut Anderson ne može putovati u februaru. Zato moramo prilagoditi tabelu tako da upotrebom solvera dobijemo rješenje po kojem je Anderson slobodan u tom periodu. Isključiti Andersona za letove u februaru možemo tako što ćemo u polaznoj tabeli 4.23. promijeniti njegove ocjene i dati mu najmanje vrijednosti (da je cilj bio minimizacija, onda bismo mu dodijelili najveće vrijednosti, pa da bude nekonkurentan na posmatranoj poziciji) Tabela 4.23.d

603

LINEARNO PROGRAMIRANJE

Vidimo da je nova vrijednost rasporeda 92 i da je Anderson planiran za let u maju. Također vidimo da su se planovi letova za gotovo sve astronaute promijenili.

Astro- Vincze nauti Letovi

604

Mar 26

Veit

Apr 12

Anderson Herbert Schatz 442

Maj 1

Feb 5

Feb 26

Plane

Cerato

Moses

Brandon

Drtina

Jun 9

Jan 27

Sept 19

Aug 20

Jan 12

4.7. Pitanja za ponavljanje 1. Ako je skup ograničenja nekog modela dat sa: (a ) 2 x1 + 2 x2 ≤ 100

(b ) (c )

x1

≥ 20

x 2 ≥ 40

,

60

2. Ako je skup ograničenja nekog modela dat sa:

60

2 x1 + 2 x 2 ≥ 100

x 2 ≥ 40

,

koje ograničenje se može izbaciti, a da skup mogućih rješenja i dalje bude isti? 3. Ako je skup ograničenja nekog modela 2 x1 + 2 x 2 ≥ 100

x1

E

D (c) C (a) A

0 0

≥ 20

x 2 ≥ 40 x1 , x 2 ≥ 0

kad problem LP-a neće imati rješenje? a) ako je cilj max f,

10

20

B

30

40

50

x1 60

x2 F

50

G

40

x1 , x 2 ≥ 0

(a ) (b ) (c )

(b)

20

tada je oblast mogućih rješenja: a) prazan skup, b) trougao ABC, c) trougao CDE, d) petougao OACEG, e) neograničen konveksan skup sa jednim tjemenom u D.

≥ 20

G

40

10

x1

F

50

30

x1 , x 2 ≥ 0

(a ) (b ) (c )

x2

(b) E

D (c) C

30 20

(a)

10 A

0 0

60

20

30

40

50

x1 60

x2 F

50 40

10

B

G

(b) E

D (c) C

30 20

(a)

10 A

0 0

10

20

B

30

40

50

x1 60

605

LINEARNO PROGRAMIRANJE

b) ako je cilj min f, c) uvijek će imati rješenje, d) nema rješenja jer je skup mogućih rješenja prazan. 4. Ako je skup ograničenja nekog modela dat sa:

(a ) (b ) (c )

x2 F

50

2 x1 + 2 x 2 ≤ 100

x1

≥ 20

x 2 ≤ 40

G

40

,

x1 , x 2 ≥ 0

koje ograničenje se može izbaciti, a da skup mogućih rješenja i dalje bude isti? 5. Ako je skup ograničenja nekog modela dat sa:

(a ) (b )

60

x1 − 2 x 2 ≥ 10

(b) E

D (c) C

30 20

(a)

10 A

0 0

50 40

2 x1 + 2 x 2 ≤ 80 ,

30

x1 , x 2 ≥ 0

20

10

20

B

30

40

50

x1 60

x2 D

A (30, 10) 10

6. Odrediti skup mogućih rješenja B 0 a) prazan skup, 0 10 20 30 b) trougao ABC, -10 c) trougao CDO, d) četverougao OBAD, e) neograničen konveksan skup sa jednim tjemenom u D, a drugim u A. 6)

C 40

x1 50

Ako je u prethodnom modelu cilj max f = x1 + x2, odrediti optimalnu vrijednost funkcije cilja. a) b) c) d)

606

optimalna je tačka A, optimalna je tačka B, optimalna je tačka C, optimalna je duž AC.

PITANJA ZA PONAVLJANJE

7)

U ''polaznom dualnom modelu LP-a'' broj ograničenja je n = 4 , a broj polaznih dualnih varijabli {Yn+i } je m = 3. Koliko odgovarajući ''polazni primalni model LP-a'' ima ograničenja: a) 3, b) 4, c) 7, d) nije moguće utvrditi bez konkretnog zadatka.

8)

U ''polaznom dualnom modelu LP-a'' broj ograničenja je n = 4 , a broj polaznih dualnih varijabli {Yn+i } je m = 3. Koliko odgovarajući ''polazni primalni model LP-a'' ima polaznih primalnih varijabli: a) 3, b) 4, c) 7, d) nije moguće utvrditi bez konkretnog zadatka.

9)

Ako primal ima cilj Min.f, kojeg su oblika polazna dualna ograničenja ? a) Sva su ograničenja tipa ≥, b) Sva su ograničenja tipa ≤, c) Sva su ograničenja tipa =, d) Ograničenje u dualu zavisi od ograničenja u primalu.

10) U standardnom primalnom modelu LP-a broj ograničenja je m = 7 , a broj svih (polaznih i izravnavajućih) varijabli { X s } = X p + { X n+i } je N=11. Koliko u tom modelu

{ }

ima polaznih dualnih varijabli? a) 7, b) 11, c) 4, d) 18. 11) U standardnom primalnom modelu LP-a broj ograničenja je m = 7 , a broj svih (polaznih i izravnavajućih) varijabli { X s } = X p + { X n+i } je N=11. Koliko u tom modelu

{ }

ima ''izravnavajućih dualnih varijabli? a) 7, b) 11, c) 4, d) 18.

607

LINEARNO PROGRAMIRANJE

12) Objasniti značenje konkretne optimalne vrijednosti izravnavajuće dualne promjenljive KM . yˆ 2 = 5 kom a) 5 KM/kom nedostaje da bi ograničenje II bilo u potpunosti iskorišteno. b) Ako se ograničenje II poveća za 1 komad, a ostala ograničenja ostanu ista, funkcija cilja će se promijeniti za 5 KM. c) Da bi polazna dualna varijabla x2 «ušla» u optimalan program proizvodnje, potrebno je da se njen koeficijent u funkciji cilja (c2) promijeni za najmanje 5 KM. 13) Objasniti značenje konkretne optimalne vrijednosti polazne dualne promjenljive KM yˆ n + 2 = 5 ms a) 5 KM/kom nedostaje da bi ograničenje II bilo u potpunosti iskorišteno. b) Ako se ograničenje II poveća za 1 ms, a ostala ograničenja ostanu ista, funkcija cilja će se promijeniti za 5 KM. c) Da bi polazna dualna varijabla x2 «ušla» u optimalan program proizvodnje, potrebno je da se njen koeficijent u funkciji cilja (c2) promijeni za najmanje 5 KM. 14) Objasniti značenje konkretne optimalne vrijednosti izravnavajuće primalne promjenljive xˆ n+ 2 = 5 kom a) 5 kom nedostaje da bi ograničenje II bilo u potpunosti iskorišteno. b) Ako se ograničenje II poveća za 1 ms, a ostala ograničenja ostanu ista, funkcija cilja će se promijeniti za 5 KM. c) Da bi polazna dualna varijabla x2 «ušla» u optimalan program proizvodnje, potrebno je da se njen koeficijent u funkciji cilja (c2) promijeni za najmanje 5 KM. 15) Ako postoje optimalna rješenja, kakav je odnos između vrijednost funkcije cilja primala i vrijednosti funkcije cilja duala? a) fˆ ≥ gˆ b) gˆ ≥ fˆ a)

c) fˆ > gˆ d ) gˆ > fˆ e) gˆ = fˆ

16) Ako primalni model ima m ograničenja i n varijabli, tada dualni model mora imati: a) m polaznih varijabli, b) n polaznih varijabli,

608

PITANJA ZA PONAVLJANJE

17) Ako je optimalna vrijednost neke varijable odlučivanja u linearnom programiranju različita od nule, tada optimalna vrijednost odgovarajuće dualne varijable mora biti a) jednaka 0, b) različita od 0, c) veća od 0, d) manja od 0. 18) Koji od sljedećih odgovora nije svojstvo problema linearnog programiranja: a) ograničenja, b) softverski paket, c) optimizacija funkcije cilja, d) linearne jednačine i nejednačine? 19) Dovrši rečenicu: Optimalno rješenje problema linearnog programiranja a) se dostiže u ekstremnoj tački skupa mogućih rješenja, b) može biti bilo koja tačka iz skupa mogućih rješenja, c) je jedinstveno, d) mora uvijek biti cjelobrojno. 20) Koje od sljedećih ograničenja ne može biti ograničenje problema linearnog programiranja? a) 4 x1 + 2 x 2 = 820 b) 4 x1 + x 2 ≥ 820 c) 4 x1 + 2 x 2 ≤ 820 d)

x1 + x23 ≤ 80

21) Kod optimalnog rješenja primala LP-a svi su (C s − f s ) ≤ 0 . Znači da je cilj: a) max f, b) min f. 22) Kod optimalnog rješenja primala LP-a svi su (C s − f s ) ≤ 0 . Kakav je cilj kod odgovarajućeg dualnog modela?. a) max g, b) min g. 23) Šta predstavlja sljedeći izraz: Xˆ i ⋅ Yˆi = 0 ∀ i = 1, N ? a) Princip oslabljene komplementarnosti. b) Princip oslabljene kolinearnosti. c) Princip oslabljene kompatibilnosti. 609

LINEARNO PROGRAMIRANJE

24) Kako se upotrebom grafičke metode manifestuje postojanje višestrukog optimalnog rješenja u zadatku linearnog programiranja? a) Skup mogućih rješenja je prazan. b) Skup mogućih rješenja je neograničen. c) Pravac funkcije cilja je paralelan sa ograničenjem koje predstavlja usko grlo programa. 25) Kako se upotrebom simplex algoritma manifestuje postojanje višestrukog optimalnog rješenja u zadatku linearnog programiranja? a) Optimalna tabela ne postoji. b) Bazično rješenje je degenerisano. c) U optimalnoj simplex tabeli su svi (C s − f s ) ≥ 0 d) e)

U optimalnoj simplex tabeli su svi (C s − f s ) ≤ 0 U optimalnoj simplex tabeli postoji nebazni vektor kod kojeg vrijedi (C s − f s ) = 0

26) U kojoj se jedinici mjere izražava vrijednosti izravnavajuće primarne varijable xn + i ? a) U jedinici mjere primalne varijable xi. b) U jedinici mjere dualne varijable yi. c) U jedinici mjere ograničenja i . d) U jedinici mjere funkcije cilja. e) U jedinici mjere funkcije cilja / jedinica mjere ograničenja i. 27) Napisati izraz za kriterij ulaska vektora u bazu ako je cilj LP minimum. 28) Napisati kriterij izlaska vektora iz baze. 29) U kojoj se jedinici mjere izražava vrijednosti izravnavajuće dualne varijable Y p ? 30) Koje je značenje optimalne vrijednosti polazne dualne varijable Yn + i ? 31) Koji uslovi trebaju biti zadovoljeni da bi simplex tabela koja odgovara linearnom programu maksimizacije bila optimalna? 32) Koji je bio cilj primalnog modela ukoliko su kod optimalnog rješenja primala LP-a sve razlike {C s − f s }≤ 0 ? 33) Koji je bio cilj dualnog modela ukoliko su kod optimalnog rješenja primara LP-a sve razlike {C s − f s }≤ 0 ? 610

PITANJA ZA PONAVLJANJE

{

}

34) Po definiciji, kako se u tekućoj bazi B izražavaju vektori As s = 1, N ?

{

}

35) Napisati opšti oblik izražavanja vektora As s = 1, N u novoj bazi B ′( Au ; Ab ∀b ≠ v ) . ′ i K bs ′ (∀s ≠ b ) . 36) Napisati formule za izračunavanje K us 37) Ako je u optimalnom rješenju duala odgovarajuća dualna varijabla Ys = 0 , koja od sljedećih tvrdnji je sigurno tačna za odgovarajuću primalnu varijablu X s ? a) X s = 0 b) X s ≠ 0 c) X s ≥ 0 38)

Koji kriterij mora da zadovolji nebazični vektor Aj kod simplex tabele linearnog problema maksimizacije da bi eventualno ušao u bazu? Odgovor obrazložiti.

39) Napisati kondezovani opšti oblik dualnog modela linearnog programiranja koji odgovara polaznom primalnom modelu: n

Max( f ) = ∑ c p x p p =1

n

∑a p =1

kp

x p ≤ d k , k=1…K

lp

x p ≥ d l , l=K+1,…K+L

n

∑a p =1

x p ≥ 0 , p=1, ..n 40) U polaznom dualnom modelu LP-a broj ograničenja je n = 4 , a broj 'polaznih dualnih varijabli {Yn+i } je m=3. Ako primal ima cilj Min.f, kojeg su oblika polazna dualna ograničenja ? 41) U standardnom primalnom modelu LP-a broj ograničenja je m = 8 , a broj svih (polaznih i izravnavajućih) varijabli { X s } = X p + { X n+i } je N=12.

{ }

a) b)

Koliko u tom modelu ima polaznih dualnih varijabli? Koliko u tom modelu ima izravnavajućih dualnih varijabli?

42) Napisati u kondenzovanom obliku simetričan model LP čiji je cilj minimum.

611

LINEARNO PROGRAMIRANJE

43) Kako se u grafičkoj metodi LP manifestuju situacija da problem LP-a ima beskonačno mnogo optimalnih rješenja i kako ih nalazimo? 44) Objasniti ekonomsko značenje optimalnih dualnih promjenjivih. 45) Objasniti značenje konkretne optimalne vrijednosti izravnavajuće dualne promjenljive KM . yˆ 2 = 5 kom 46) Napisati u kondenzovanom obliku simetričan model LP čiji je cilj maksimum. 47) Kako se u grafičkoj metodi LP manifestuje situacija da problem LP- a nema optimalno rješenje? 48) Objasniti značenje konkretne optimalne vrijednosti polazne dualne promjenjljive KM . yˆ n + 2 = 5 ms 49) Ako postoje optimalna rješenja, kakav je odnos između vrijednost funkcije cilja primala i vrijednosti funkcije cilja duala? 50) Ako primalni model ima m ograničenja i n varijabli, tada dualni model mora imati m ili n varijabli. 51) Koji od sljedećih odgovora nije karakteristika problema linearnog programiranja: a) ograničenja, b) softverski paket, c) optimizacija funkcije cilja, d) linearne jednačine i nejednačine? 52) Optimalno rješenje problema linearnog programiranja: a) se dostiže u ekstremnoj tački skupa mogućih rješenja, b) može biti bilo koja tačka iz skupa mogućih rješenja, c) je jedinstveno, d) mora uvijek biti cjelobrojno. 53) Napišite izraz za opšti polazni model linearnog programiranja kod grafičke metode.

612

PITANJA ZA PONAVLJANJE

54) Dopunite sljedeću tabelu za simplex algoritam LP-a.

55) Napišite izraz za kondenzovani oblik funkcije cilja "f" u primalnom modelu LP. 56) Napišite izraz za kondenzovani oblik primalnog ograničenja "prvog tipa" u primalnom modelu LP. 57) Napišite izraz za kondenzovani oblik primalnog ograničenja "drugog tipa" u primalnom modelu LP-a. 58) Napišite izraz za kondenzovani oblik primalnog ograničenja "trećeg tipa" u primalnom modelu LP. 59) Šta predstavlja sljedeći izraz: X i ⋅ Yi = 0 ∀ i = 1, N ? 60) Kako matematski glasi teorema ''Princip oslabljene komplementarnosti'' u LP-u? Objasniti kako se taj princip primjenjuje na određivanje optimuma duala ako je poznato optimalno rješenje primala? 61) Na osnovu čega se utvrđuje postojanje višestrukog optimalnog rješenja u zadatku linearnog programiranja grafičkim i simplex algoritmom? 62) Napisati u kondenzovanom obliku polazni primalni model linearnog programiranja. 63) Napisati u kondenzovanom obliku polazni dualni model linearnog programiranja. 64) Koji uslovi trebaju biti zadovoljeni da bi simplex tabela, koja odgovara linearnom programu maksimizacije, bila optimalna? 65) Po definiciji, kako se u tekućoj bazi B ′ izražava vektor A ? 613

LINEARNO PROGRAMIRANJE

66)

Koji kriterij mora da zadovolji nebazični vektor Aj kod simplex tabele linearnog problema maksimizacije da bi eventualno ušao u bazu? Odgovor obrazložiti.

67) Kod nekog problema linearnog programiranja poznata je optimalna simplex tabela: CS

10

10

0

0

0

-M

CB

B

A0

A1

A2

A3

A4

A5

A5*

0

A3

50

0

0

1



1

-1

10

A2

200

0

1

0

½

1

-1

10

A1

100

1

0

0

0

-1

1

3000

0

0

0

-5

0

-M

CS - fS

A) Na osnovu ponuđene tabele odrediti: i) Koji je bio cilj Max f ili Min f? ii) Koliko je optimalno fˆ ? iii) Kojeg polaznog tipa su ograničenja? Koje su optimalne vrijednosti polaznih primalnih varijabli Xp i izravnavajućih primalnih varijabli Xn+i ? B) Na osnovu ponuđene tabele odrediti: iv) Optimalnu vrijednost duala gˆ ? v) Koje su optimalne vrijednosti polaznih dualnih varijabli Yn+i i izravnavajućih dualnih varijabli Yp ? 68)

Kod nekog problema LP-a data je polazna simplex tabela:

614

25 A2 5 5

12 A3 2 6

0 A4 1 0

0 A5 0 1

0

20

25

12

0

0

B

A0

0 0

X4 X3 Cj-fj

a) b) c) d)

6000 9000

20 A1 6 4

C0

Ako se zna da je cilj max f, napisati kako glasi model. Koliko ima polaznih primalnih varijabli? Koliko ima polaznih dualnih varijabli? Kojeg tipa su ograničenja i da li je model simetričan?

PITANJA ZA PONAVLJANJE

e) f)

Ako bismo vektor A2 uključili u bazu, koliku vrijednost on treba uzeti i koliko bi se tada popravila vrijednost funkcije cilja? Da li je bolje uključiti u bazu vektor A2 ili A1? Obrazložiti odgovor.

69) Napisati kondezovani opšti oblik dualnog modela linearnog programiranja koji odgovara polaznom primalnom modelu: n

Max( f ) = ∑ c p x p p =1

n

∑a p =1

kp

x p ≤ d k , k=1…K

lp

x p ≥ d l , l=K+1,…K+L

n

∑a p =1

x p ≥ 0 , p=1, ..n 70) Koje metode se koriste za dobivanje polaznog plana transportnog modela? 71) Koje metode se koriste za unapređenje tekućeg plana transportnog modela? 72) U modelu transporta a>b, broj izravnavajućih primalnih varijabli je jednak: a) broju ishodišta b) broju odredišta c) nema izravnavajućih varijabli jer je model zatvoren. 73) U optimalnom rješenju problema asignacije dobijena je sljedeća vrijednost xˆ 35 = 0 . Objasniti značenje dobijenog izraza. 74) Navesti korake u primjeni metode asignacije. 75) Koliko pozitivnih vrijednosti xij mora biti u rješenju transportnog modela sa m ishodišta i n odredišta da bi rješenje bilo degenerisano?

615

4.8. Zadaci za vježbu Zadatak 4.1. Neko preduzeće proizvodi dva tipa skija, skije za trčanje T1 i skije za slalom T2. Relevantni podaci o proizvodnom programu dati su u tabeli. BROJ RADNIH SATI PO PARU SKIJA T1

BROJ RADNIH SATI PO PARU SKIJA T2

5 5 40$

4 2 30$

ODJEL ZA PROIZVODNJU ODJEL ZA FINALIZACIJU PROFIT PO SKIJI

KAPACITET U SATIMA (mjesečni)

750 450

Ispitivanjem tržišta preduzeće je odlučilo da proizvodnja skija za slalom bude najmanje dva puta veća od proizvodnje skija za trčanje. Treba: a) Pronaći optimalan program proizvodnje u cilju maksimizacije mjesečnog profita predu-

zeća i analizirati rješenje; b) Ako bi se povećao profit po paru skija za slalom za 10$ ,kakva bi bila posljedica po

optimalnom programu proizvodnje?

Zadatak 4.2. Jedan lanac restorana želi proširiti svoju djelatnost otvarajući nove restorane u određenim gradovima. Za jedan novi restoran tipa FAST FOOD potrebno je 20 000 KM i 2 nova radnika, a očekivani godišnji prihod je 200 000 KM. Za jedan novi restoran tipa CLASIC potrebno je 30 000 KM i 4 nova radnika, a očekivani godišnji prihod je 500 000 KM. Preduzeće ima na raspolaganju 600 000 KM i zakonski ugovor zahtijeva da uposli najmanje 44 nova radnika. Istraživanje tržišta je pokazalo da restorana tipa FAST FOOD treba biti najmanje za 10 više od restorana tipa CLASIC. a) Pronaći optimalan program program širenja djelatnosti u cilju maksimizacije profita i analizirati rješenje. b) Ako bi se naknadnim istraživanjem tržišta u gradovima ustanovilo da ne treba više od 6 restorana tipa CLASIC, kako bi to uticalo na optimalan plan proizvodnje?

616

ZADACI ZA VJEŽBU

Zadatak 4.3. Electrocom korporacija proizvodi dva tipa proizvoda: klima uređaje i velike ventilatore. Proces proizvodnje za svaki proizvod je sličan: zahtijeva se određena količina ožičavanja i određena količina bušenja. Svaki klima uređaj traži 3 sata ožičavanja i 2 sata bušenja, a za svaki ventilator treba 2 sata ožičavanja i 1 sat bušenja. U narednom proizvodnom periodu raspolažemo sa 240 sati ožičavanja i do 140 sati bušenja. Svaki klima uređaj donosi profit od 25 USD, a svaki ventilator donosi profit od 15 USD. Menadžment kompanije je potpisao ugovor kojim se garantuje isporuka 20 klima uređaja. Ispitivanjem tržišta su ustanovili da ponudu ventilatora treba ograničiti na maksimalno 80 komada u narednom proizvodnom periodu. a) Odrediti optimalnu kombinaciju proizvodnje klima uređaja i ventilatora u narednom periodu koja će osigurati najveći profit Electocomu; b) Izvršiti analizu optimalnog programa proizvodnje; c) Formirati dualni model i odrediti optimalne vrijednosti dualnih promjenljivih.

Zadatak 4.4. Preduzeće proizvodi dva proizvoda (A i B). Oba proizvoda se proizvode na strojevima kapaciteta 250 sati mjesečno. Za jedan sat rada strojeva izradi se 3 jedinice A proizvoda, ili 1,5 jedinica B proizvoda. Prodaja proizvoda B je ograničena na 300 jedinica mjesečno. Iz jedinice osnovne sirovine može se proizvesti 6 jedinica A proizvoda ili 10 jedinica B proizvoda. Mjesečno se može obezbijediti najviše 90 jedinica te sirovine. Dobit po jedinici A proizvoda je 20 KM a po jedinici B proizvoda je 50 KM. Treba: a) Odrediti program proizvodnje koji osigurava najveću dobit; b) Izvršiti analizu optimalnog programa; c) Odrediti da li će biti promijenjen optimalni program proizvodnje ako je naknadno ustanovljeno da se mora proizvesti najmanje 100 jedinica proizvoda A mjesečno.

Uputstvo: (Potrebno je prethodno izraziti koliko sati ili sirovine treba za jedinicu proizvoda A ili B. Npr: Za jedan sat rada strojeva izradi se 3 jedinice A proizvoda, ili 1,5 jedinica B proizvoda ⇒ za jedinicu dobra A potrebno je 1/3 sata rada strojeva ...) 617

LINEARNO PROGRAMIRANJE

Zadatak 4.5. Kandidat za gradonačelnika u gradu XYZ je izdvojio 40 000 USD za oglašavanje u posljednjem danu pred izbore. Planirano je da se koriste dva tipa oglašavanja: radio i televizija. Oglas na radiju košta 200 USD i procjenjuje se da će svako oglašavanje na radiju čuti novih 3000 osoba. Oglas na TV košta 500 USD i procjenjuje se da svaki TV oglas informiše novih 7 000 osoba. U planiranju reklamne kampanje menadžer bi želio da oglase čuje što više ljudi, ali ugovorom su ograničeni da: - moraju imati najmanje 10 oglasa svakog tipa i - da radio oglasa mora biti najmanje toliko koliko i TV oglasa. a) Odrediti koliko oglašavanja svakog tipa treba koristiti da bi se informisalo što više ljudi i koliko maksimalno ljudi će čuti oglase. b) Izvršiti analizu optimalnog programa; c) Ako bi ugovorom bilo određeno da moramo imati najmanje 20 TV oglasa, a ostali uslovi ugovora ostaju nepromijenjeni, da li bi tada više ljudi bilo informisano?

Zadatak 4.6. Brokerska firma BLW je izvršila analizu i preporučila dvije dionice jednom investitorskom klubu profesora. Profesori su bili zainteresovani za faktore kao što su: kratkoročni rast vrijednosti, srednjoročni rast vrijednosti i stope dividendi. Traženi podaci za svaku dionicu su: Faktor

Luizijana Gas Trimex Insulation & Power Company

Očekivani kratkoročni rast po uloženom dolaru Očekivani srednjoročni rast (u toku naredne 3 godine) po uloženom dolaru Očekivana stopa dividendi (godišnja)

3,6%

2,4%

20%

25%

4%

8%

Članovi kluba imaju sljedeće investicijske ciljeve: Porast vrijednosti ne manji od 720 $ za kratkoročni period, Porast vrijednosti ne manji od 5 750 $ za srednjoročni period, Prihod od dividendi ne manji od 200 $ na godišnjem nivou. Koja je najniža suma koju klub profesora treba uložiti kako bi postigao gore navedene ciljeve i uz koju kombinaciju ulaganja? Odrediti „uska grla” optimalnog programa i koje ograničenje je suvišno. 618

ZADACI ZA VJEŽBU

Zadatak 4.7. Uspješna firma koja gradi dva tipa skladišta (Maxi i Mini) je odlučila da razvije posao na teritoriji X. Zakonski ugovor im dozvoljava korištenje maksimalno 8000 m2 prostora i to 100 m2 po Maxi, a 50 m2 po Mini tipu skladišta. Istraživanje tržišta je pokazalo da na ovoj teritoriji ne treba više od 60 skladišta tipa Maxi. Raspoloživi mjesečni budžet firme za oglašavanje je 400 $, i to 2 $ po Maxi i 4 $ po Mini. Ako je mjesečni profit firme 50 $ po Maxi tipu i 20 $ po Mini tipu skladišta, napraviti optimalan program izgradnje ovih tipova skladišta da bi firma ostvarila maximalan profit. Analizirati rješenje i odrediti kakav bi efekat na optimalno rješenje imao mjesečni porast profita po Mini tipu skladišta za 50% .

Zadatak 4.8. Dekan Western Business Collegea mora isplanirati ponude kurseva za jesenji semestar. Ugovor fakulteta diktira najmanje 55 obaveznih i izbornih kurseva ukupno. Studenti zahtijevaju bar 20 izbornih kurseva. Na svaki obavezan kurs fakultet zapošljava 2 nastavnika, a na svaki izborni 3 nastavnika, dok fakultet raspolaže sa najviše 150 nastavnika za jesenji semestar. Analizom troškova je utvrđeno da svaki obavezan kurs košta 3000$, a svaki izborni 2500$. a) Napraviti optimalan plan broja obaveznih i izbornih kurseva da bi se minimizirali troškovi fakulteta. b) Da li bi se troškovi fakulteta povećali ako bi studenti tražili barem 30 izbornih kurseva?

Zadatak 4.9. Neka su na raspolaganju samo dva artikla dnevne prehrane A1 - hljeb i A2 - meso koji sadrže hranjive sastojke H1 - bjelančevine, H2 - masti, H3 - ugljikohidrate. Svi potrebni podaci i minimalne dnevne potrebe hranjivih sastojaka za osobu određene težine i dobi, kao i cijene dati su u tabeli: Hranjivi sastojci (u gramima) H1 H2 H3 Cijena po 100gr.

A1 (u 100 gr.)

A2 (u 100 gr.)

8 2 50 0,70 KM

16 24 0 4,00 KM

Dnevne potrebe u gr. 104 66 360

619

LINEARNO PROGRAMIRANJE

a) Odrediti optimalan program dnevne prehrane s tim da troškovi za hranu budu minimalni. Protumači dobiveno rješenje! b) Formirati dualni model i, ako se zna da je yˆ 4 = 0,13 KM/gr, objasniti značenje ove vrijednosti.

Zadatak 4.10. Jedno poduzeće izvozi dva proizvoda A, B u dvije zemlje Z i W. Za zemlju Z vrijednost izvoza je ograničena na 30 000$, po cijeni od 1$ za komad proizvoda A i 2$ za proizvod B. Za zemlju W vrijednost izvoza je ograničena na 60 000$, po cijeni od 3$ za komad proizvoda A i 2$ za proizvod B. Proizvod A se mora izvesti u količini od najmanje 6 000 komada. Devizni efekat po komadu proizvoda A iznosi 180$, a proizvoda B 120$. a) Odrediti optimalan program izvoza proizvoda A i B za koji će se ostvariti maksimalan devizni efekat. b) Ako se devizni efekat po proizvodu B poveća za 10%, da li biste onda odabrali drugačiji optimalan plan?

Zadatak 4.11. Novi pogon nekog preduzeća treba da proizvodi proizvode A, B, C. Istraživanja tržišta su pokazala da: proizvoda A treba proizvoditi najviše 1800 jedinica, proizvoda B treba proizvoditi najmanje 4200 jedinica, proizvoda C treba proizvoditi najmanje 2400 jedinica. Za proizvodnju ovih proizvoda treba da obuči radnike kvalifikacija K1 i K2. Troškovi obuke jednog radnika kvalifikacije K1 iznose 300 KM, a radnika K2 400 KM. Jedan radnik jedne ili druge kvalifikacije može u toku radnog vremena da proizvede sljedeću količinu proizvoda A, B, C: Jedan radnik K1 K2

A (jed.)

B (jed.)

C (jed.)

1 1

3 2

1 4

a) Koliko radnika kvalifikacija K1, K2 treba obučiti da troškovi preduzeća budu minimalni? b) Izvršiti standardizaciju modela i analizirati rješenje.

620

ZADACI ZA VJEŽBU

Zadatak 4.12 Fabrika obuće je u program proizvodnje uvrstila novi model muških cipela i ženskih čizmica za čiju proizvodnju se koriste iste sirovine. Za obradu jednog para cipela koristi se 1 m kože, a za čizmice 2 m kože. Za obradu jednog para cipela neophodno je utrošiti 6 sati rada, a za proizvodnju čizmica 3 sata rada. Za potrebe izrade prve serije nabavljeno je 2400 m kože i može se angažovati 4500 radnih sati. Ustanovljeno je da proizvodnja ženskih čizmica mora biti bar dva puta veća od muških cipela! Profit po jednom paru cipela je 25 KM, a po jednom paru čizmica 30 KM. a) Odrediti optimalan program proizvodnje u jednoj seriji za koji bi se ostvario maksimalan profit poduzeća. b) Formirati dualni model, izračunati i protumačiti dualnu varijablu yˆ 3 .

Zadatak 4.13. Pobjednik na teksaškom lotou je odlučio da godišnje investira do 50000$ u dionice. U razmatranje su uzete dionice Petrohemije i JP Vodovod i Elektroprivreda. Plan je da se na duži vremenski period dobije što veći povrat. Uzeti su u obzir i rizici od ulaganja u dionice koje su na tržištu. Index rizika na skali od 1-10 (sa 10 kao najrizičnijom skupinom) je dodijeljen svakoj dionici. Ukupni rizik portfolija se dobije množeći rizik svake dionice sa ulaganjem u tu dionicu. U tabeli je prikazan povrat i rizik. Petrohemiska industrija JP. Vodovod i Elektroprivreda

Očekivani povrat

Rizik

12% 6%

9 4

Investitor bi želio da maximizira povrat, ali prosječan rizik ne smije biti veći od 6. Koliko bi trebalo biti investirano u svaku dionicu? Koji je prosječan rizik? Koji je očekivani povrat?

Zadatak 4.14. U štampariji se štampaju tri vrste knjiga: A, B, C, uz jedinične troškove: 15 KM/kom A, 10 KM/kom B, 12 KM/kom C. Istraživanjem tržišta je ustanovljeno da knjiga tipa A treba proizvesti najmanje 100 kom više nego knjiga B i C zajedno. Dogovoreno je da se u takvoj proizvodnji angažuje minimalno 420 rč, a zna se da se treba utrošiti: 2 rč/kom A, 3 rč/kom B i 4 rč/kom C. a) Formirati model datog problema ako je cilj minimizirati troškove; 621

LINEARNO PROGRAMIRANJE

b) Slobodno izabranom metodom pronaći optimalno rješenje i izvršiti analizu ispunjenja ograničenja; c) Formirati odgovarajući dualni model i odrediti optimalne vrijednosti dualnih promjenjljivih; d) Protumači značenje optimalne vrijednosti dualnih varijabli.

Zadatak 4.15. U hranjenju pilića dnevni obrok treba da sadrži najmanje 18 jedinica hranljivog sastojka A, 16 jedinica hranljivog sastojka B i 24 jedinice hranljivog sastojka C. Dvije vrste hrane I i II koje se koriste u spravljanju dnevnog obroka sadrže sljedeći broj jedinica hranljivih sastojaka: A B C

I 6 2 2

II 2 4 12

Nabavna cijena I vrste hrane je 8 KM, a hrane II je 12 KM. Treba: a) Izračunati sastav obroka koji osigurava najjeftiniju hranu i cijenu koštanja obroka; b) Izvršiti analizu ovog optimalnog programa isporuke; c) Formirati dualni model, odrediti optimalne vrijednosti dualnih promjenljivih i dati njihovo ekonomsko značenje.

Zadatak 4.16. Davalac usluga »Com.co« za kompjutersku obradu podataka ima cijene 1000 KM na minutu visokoprioritetnog vremena i 600 KM na minutu niskoprioritetnog vremena. Korisnicima njihovih usluga treba najmanje 5 minuta visokoprioritetnog vremena dnevno, a davalac usluga može obezbijediti najviše 40 minuta za obradu podataka i to najviše 10 minuta visokoprioritetnog vremena, dnevno. a) Koliko kojeg vremena bi trebalo biti kupljeno pa da »Com.co« maksimizira svoj prihod? b) Ispitati da li će rješenje ostati optimalno ukoliko davalac usluga snizi cijenu visokoprioritetnog vremena za 20% .

Zadatak 4.17. Napravljeni su projekti za dva prigradska naselja M i N koja se mogu etapno izgrađivati. Za prvu etapu njihove izgradnje grad je obezbijedio sljedeća namjenska investiciona sredstva: 200 nj za puteve, 130 nj za vodovod i 108 nj za kanalizaciju. Prema projektima, za navedene infrastrukture na svakih 1000 stanovnika treba utrošiti : 622

ZADACI ZA VJEŽBU

Za puteve Za vodovod Za kanalizaciju

Naselje M 2,5 2 1,8

Naselje N 5 2 1,2

Uslovljeno je da u ovoj etapi treba izgraditi infrastrukturu u koju bi se uselilo najmanje 25000 stanovnika zbirno u oba naselja. a) Pronaći takav plan raspodjele navedenih namjenskih investicionih sredstava za naselja M i N kojim će se izgraditi odgovarajuća infrastruktura za maksimalan broj stanovnika. b) Ako optimalno rješenje u a) nije jednoznačno, izabrati ono rješenje kojim će se najviše uštedjeti namjenskih investicionih sredstava bez obzira na namjenu. c) Formirati dualni model i odrediti optimalne vrijednosti dualnih promjenljivih koje odgovaraju rješenju b).

Zadatak 4.18. Predviđena je proizvodnja dva proizvoda A i B. U proizvodnji se koristi stroj čiji je maksimalan mjesečni kapacitet 1200 mč. Za izradu jedinice proizvoda A potrebna su 2 mč i za izradu jedinice proizvoda B potrebna su 2 mč. Za proizvodnju ovih proizvoda potrebno je obezbijediti najmanje 400 kg sirovine mjesečno. Iz 1 kg sirovine proizvede se ½ jedinice proizvoda A ili 1 jedinica proizvoda B. Istraživanjem tržišta ustanovljeno je da se mjesečno može prodati najviše 500 jedinica proizvoda B i da se na svaku jedinicu proizvoda A mora proizvesti najmanje ½ proizvoda B. Dobit po jedinici proizvoda A je 40 KM, a proizvoda B je 50 KM. a) Utvrditi program proizvodnje koji osigurava najveću dobit i izvršiti analizu optimalnog rješenja; b) Utvrditi posljedice na optimalno rješenje ako se dobit po jedinici proizvoda B poveća za 60%; c) Formirati dualni model i odrediti optimalne vrijednosti dualnih promjenljivih koje odgovaraju rješenju b).

Zadatak 4.19. Tvornica gume isporučuje proizvođaču traktora gume za male traktore trotočkaše i standardne traktore. Cijena isporuke gume za zadnji točak malog traktora G1 je 600 nj/kom, za prednji točak G2 je 1000 nj/kom i za standardni traktor je 1200 nj/kom. Na strojevima mjesečnog kapaciteta 6 000 sati izradi se jedna guma G1 za 0,5 h, G2 za 0,5 h i G3 za 0,5 sati.

623

LINEARNO PROGRAMIRANJE

Za jednu gumu G1 treba 1,5 kg uvozne sirovine, za G2 gumu 2 kg i za G3 gumu 5 kg sirovine. Uvoz je ograničen na najviše 42 t na mjesec. Proizvođač traktora preuzima čitavu proizvodnju, s tim da guma G1 bude 2 puta više nego guma G2. Treba: a) Odrediti mjesečni proizvodni program tvornice guma ako je cilj ostvarenje maksimalnog ukupnog prihoda; b) Izvršiti analizu ovog optimalnog programa isporuke; c) Formirati dualni model, odrediti optimalne vrijednosti dualnih promjenljivih i dati njihovo ekonomsko značenje.

Zadatak 4.20. Jedan rudnik ugljena opskrbljuje tri potrošna mjesta. Rudnik može isporučiti najviše 1000 vagona uglja. Prvo i drugo mjesto troše zajedno 100 vagona ugljena više od trećeg mjesta, a drugo i treće mjesto zajedno troše najmanje 200 vagona. Troškovi prevoza po vagonu od rudnika do svakog mjesta potrošnje su: prvog 80 KM, drugog 120 KM i trećeg 80 KM. a) Odrediti program opskrbe koji osigurava najniže troškove prevoza; b) Izvršiti analizu najpovoljnijeg rješenja; c) Formirati dualni model, odrediti optimalne vrijednosti dualnih promjenljivih i dati njihovo ekonomsko značenje.

Zadatak 4.21. Preduzeće proizvodi tri vrste proizvoda A, B i C. Strojevi koji se koriste u proizvodnji imaju mjesečni kapacitet 1000 ms koji se mora u potpunosti iskoristiti. Jedinica proizvoda A može se izraditi za 1 sat, jedinica proizvoda B može se izraditi za 2 sata i C za 4 sata rada strojeva. Može se računati sa najviše 2500 rs radnika, a potrebno vrijeme za izradu jedinice proizvoda A je 2 sata, proizvoda B 1 sat i proizvoda C 2 sata. Istraživanjem tržišta je ustanovljeno da se može prodati najviše 400 jedinica proizvoda A. Dobit po jedinici proizvoda A je 20 nj, proizvoda B 10 i proizvoda C 30 nj. a) Ako je cilj maksimizirati dobit, izračunati optimalan program proizvodnje i izvršiti analizu optimalnog programa; b) Formirati odgovarajući dualni model i odrediti optimalne vrijednosti dualnih promjenljivih; c) Dati ekonomsko značenje vrijednosti yˆ 2 i yˆ 5 .

Zadatak 4.22. Preduzeće želi da odredi optimalan program proizvodnje tri tipa proizvoda: C, D, E, tako da minimizira ukupne troškove. Zna se da su troškovi proizvodnje: 1 KM/kg C, 2KM/m D i 3 KM/kom E. 624

ZADACI ZA VJEŽBU

Smije se utrošiti maksimalno 150 KM za kupovinu repromaterijala, a zna se da treba utrošiti 1 KM/kg C, 0 KM/m D i 2 KM/kom E. Raspoloživi fond je 200 radnih sati (rs) i on se mora u potpunosti iskoristiti, a zna se da treba angažovati 2 rs/kg C, 4 rs/m D i 1 rs/komE. a) Proizvoljno izabranom metodom naći sve elemente oba optimalna programa proizvodnje i izvršiti analizu ispunjenja ograničenja. Kojem programu biste dali prednost i zašto? b) Formirati dualni model ovog problema i pronaći elemente njegovog optimalnog rješenja koje odgovara programu iz a).

Zadatak 4.23. Preduzeće proizvodi dva proizvoda (A i B). U procesu proizvodnje koriste se: strug kapaciteta 50000 radnih sati, glodalice kapaciteta 40000 radnih sati i bušilica kapaciteta 24000 radnih sati. Da bi se proizvela jedinica proizvoda A potreban je rad struga u trajanju od 8 sati, glodalice 4 sata i bušilice 4 sata, a za jedinicu proizvoda B rad struga od 4 sata i glodalice 8 sati. Istraživanje tržišta je pokazalo da se na tržištu mora plasirati najmanje 1000 jedinica proizvoda A. Također treba uzeti u obzir da se proizvod A treba proizvesti u količini najviše dva puta većoj od količine proizvoda B. Cilj preduzeća je ostvarenje najveće dobiti. a) Utvrditi takav program proizvodnje koji osigurava najveću dobit ako su dobiti po jedinici proizvoda A i B jednake; b) Izvršiti analizu optimalnog programa proizvodnje; c) Formirati dualni model i odrediti optimalne vrijednosti dualnih promjenljivih. Šta možemo zaključiti o polaznom rješenju?

Zadatak 4.24. Neko poljoprivredno dobro snabdijeva jabukama tri pijace A, B i C. Dobro može dnevno da isporuči maksimalno 600 kg jabuka. Na pijacama A i B mora se ukupno isporučiti najmanje 10 kg više nego na pijacu C. a) Ako su prodajne cijene jabuka na svim pijacama 100 nj/kg i ako su cijene transporta po kilogramu jabuka od dobra do pojedinačnih pijaca: 10 nj do A, 15 nj do B i 10 nj do C, kakav treba da bude optimalni plan isporuke jabuka pa da dobro ostvaruje najveću dobit? b) Izvršiti analizu ovog optimalnog programa isporuke; c) Formirati dualni model, odrediti optimalne vrijednosti dualnih promjenljivih i dati njihovo ekonomsko značenje.

625

LINEARNO PROGRAMIRANJE

Zadatak 4.25. Fabrika konfekcije proizvodi dva tipa muških odijela, A i B. Odijela se proizvode od istog štofa, pri čemu se za odijelo A utroši 2,5 m platna, a za odijelo B 2,7 m. Za šivenje odijela A utroši se 5 rs, dok za odijelo B treba 3 radna sata. Fabrika raspolaže sa 27 000 m štofa i 42 000 radnih sati mjesečno. S obzirom na ugovorene obaveze, odijela B se mora proizvoditi najmanje 3000 kom mjesečno. Profit po odijelu A iznosi 90 KM, a po odijelu B 55 KM. a) Treba odrediti optimalan plan mjesečne proizvodnje odijela i izvršiti analizu optimalnog programa. b) Formirati odgovarajući dualni model i odrediti optimalne vrijednosti dualnih promjenljivih.

Zadatak 4.26. Jedan mlin snabdijeva brašnom tri pekare A, B, C. Mlin može da isporuči najviše 1000 tona brašna u toku mjeseca. U pekare A i B zajedno mora isporučiti 100 tona brašna više nego pekari C. Pekarama B i C zajedno mora isporučiti najmanje 200 tona brašna. Troškovi prevoza brašna od mlina do pekare po jednoj toni iznose: 80 KM do pekare A, 120 KM do pekare B i 80 KM do pekare C. Treba utvrditi program isporuke brašna koji osigurava da ukupni troškovi prevoza budu najmanji te izvršiti analizu tog optimalnog rješenja.

Zadatak 4.27. Kod nekog problema linearnog programiranja poznata je optimalna simplex tabela: CB 0 10 10

B A3 A2 A1 CS - fS

CS A0 50 200 100 3000

10 A1 0 0 1 0

10 A2 0 1 0 0

0 A3 1 0 0 0

0 A4 -½ ½ 0 -5

a) Na osnovu ponuđene tabele odrediti: ∧

i) Koji je bio cilj Max f ili Min f i koliko je optimalno f ? ii) Kojeg polaznog tipa su ograničenja?

626

0 A5 1 1 -1 0

-M A5* -1 -1 1 -M

ZADACI ZA VJEŽBU

iii) Koje su optimalne vrijednosti: polaznih primalnih varijabli Xp i izravnavajućih primalnih varijabli Xn+i? b) Na osnovu ponuđene tabele odrediti: ∧

a) Optimalna vrijednost duala g ? b) Koje su optimalne vrijednosti: polaznih dualnih varijabli Yn+i i izravnavajućih dualnih varijabli Yp? c) Na osnovu prethodne simplex tabele rješenje problema nije jedinstveno. Kompletirati simplex tabelu sa drugim optimalnim rješenjem.

Zadatak 4.28. Jedna građevinska firma treba distribuirati tri vrste materijala A, B, C uz jedinične troškove 15 KM/ m3 materijala A, 10 KM/m3 materijala B i 12 KM/m3 materijala C. Ustanovljeno je: - da materijala A treba distribuirati 90 m3 više nego materijala B i C zajedno. - da se takvom distribucijom treba angažovati minimalno 120 radnih sati i to: 1 rs/m3 materijala A, 2 rs/m3 materijala B i 2 rs/m3 materijala C. a) Formirati model ako je cilj minimizirati troškove distribucije. b) Simplex metodom pronaći optimalno rješenje problema. Kako bi se zadatak riješio grafičkom metodom? c) Analizirati ograničenja.

Zadatak 4.29. Fabrika duhana proizvodi tri vrste cigareta: light (L), superlight (SL), ultralight (UL), koje kao gotovi proizvodi prolaze kroz dva procesa: P1 – kontrola i P2 – pakiranje. Tehničkotehnološki uslovi ova dva procesa obrade, kao i raspoloživi sedmični fond sati, dati su u tabeli: Kutija (20 cigareta) P1 P2

L 1 3

SL 1 1

UL 5 1

Raspoloživi fond sati 1200 r.s. 900 r.s.

Ako je prihod po kutiji (L), (SL), (UL) redom 15 KM, 6 KM, 10 KM treba: a) Formirati model ako je cilj maksimizirati prihod fabrike. b) Simplex metodom pronaći optimalno rješenje problema. c) Za koliko će se povećati prihod ako fond sati pakiranja P2 povećamo za 1 rs?

627

LINEARNO PROGRAMIRANJE

Zadatak 4.30. Kompanija R proizvodi madrace i krevete. Prioritetni ugovor zahtijeva da kompanija proizvede najmanje 30 madraca ili kreveta u bilo kojoj kombinaciji. Kao dodatak, Unija sindikata ima dogovor sa poslodavcem da mašine moraju raditi najmanje 40 sati sedmično, što predstavlja jedan proizvodni period. Za svaki krevet je neophodno 2 sata rada, a za svaki madrac 1 sat rada mašine. Proizvedeni madrac košta 20 $, dok svaki proizvedeni krevet košta 24 $. a) Riješiti problem tako da se minimiziraju ukupni troškovi proizvodnje. Problem riješiti koristeći simplex metod. b) Protumačiti značenje dualne promjenjljive y3

Zadatak 4.31. BK korporacija u toku razvoja nove hrane za mačke nazvane Yum-Mix suočila se sa problemom miješanja hrane. Standardima je utvrđeno da svaka konzerva Yum-Mixa mora sadržavati najmanje 30 jedinica proteina i 80 jedinica riboflavina. Ova dva sastojka su dostupna od strane dva konkurentska proizvođača komponenti za mačiju hranu. Kod proizvođača A dodatak po kilogramu košta 9$, dok kod proizvođača B dodatak košta 15$ po kilogramu.Kilogram dodatka proizvođača A obezbijedi 1 jedinicu proteina i 1 jedinicu riboflavina po konzervi, dok kilogram dodatka B obezbjeđuje 2 jedinice proteina i 4 jedinice riboflavina po konzervi. Korporacija BK mora zadovoljiti standarde uz minimalne troškove. a) Naći najbolju kombinaciju kupovine ova dva dodatka (A i B) da bi se ispunili zahtjevi uz minimalni trošak. Optimalno rješenje nađite koristeći simplex metod. b) Potumačite vrijednost dualne promjenljive y1.

Zadatak 4.32. Dva tipa vitamina V1 i V2 mogu se konzumirati putem dva tipa tableta T1 i T2, koji se mogu kupiti po cijeni 24 nj za T1 i 25 nj za T2. Dnevno treba konzumirati minimalno 10 jedinica V1, a maksimalno 12 jedinica V2. Tableta T1 sadrži 1 jedinicu V1 i 4 jedinice V2, dok tableta T2 sadrži 5 jedinica V1 i 1 jedinicu V2. Treba odrediti onu kombinaciju konzumiranja tableta dnevno koja najmanje košta. a) Formirati model datog problema; b) Simplex metodom pronaći optimalno rješenje datog problema; c) Formirati odgovarajući dualni model, odrediti optimalne vrijednosti dualnih promjenljivih i objasni značenje dualne promjenljive y1.

628

ZADACI ZA VJEŽBU

Zadatak 4.33. Za neki problem LP-a postavljen je sljedeći model: max f = 10 x1 + 5 x 2 + 10 x3 4 x1 + x 2 + 2 x3 ≥ 10 2 x1 + x 2 + x3 ≤ 50

x1 ≥ 0; x 2 ≥ 0; x3 ≥ 0;

a) Formirati odgovarajući dualni model: b) Napraviti standardni model, popuniti I simplex tabelu i odrediti najkorisniji vektor za ulazak u bazu u narednoj iteraciji.

Zadatak 4.34. Kod nekog problema minimuma nakon jedne iteracije dobivena je sljedeća simplex tabela.

65 50

45 A1 20 1

10 A2 5 1

55 A3 10 1

0 A4 -1 0

M A*4 1 0

0 A5 0 1

65M

45-20M

10-5M

55-10M

M

0

0

Cb

B

A0

M 0

A*4 A5 Cs-Fs

a) Da li je ova tabela optimalna? Kojeg su polaznog tipa ograničenja? b) Ako tabela nije optimalna, poboljšati rješenje kompletirajući novu simplex tabelu. c) Odrediti optimalne vrijednosti funkcije cilja, polaznih i dopunskih varijabli.

Zadatak 4.35. Za neki problem LP-a postavljen je sljedeći model: min f = 9 x1 + 2 x 2 + 11x3 8 x1 + 2 x 2 + 4 x3 ≥ 26

x1 + x 2 + x3 ≤ 50 x1 ≥ 0; x 2 ≥ 0; x3 ≥ 0;

a) Formirati odgovarajući dualni model; b) Napraviti standardni model, popuniti I simleks tabelu i odrediti najkorisniji vektor za ulazak u bazu u narednoj iteraciji.

629

LINEARNO PROGRAMIRANJE

Zadatak 4.36. Kod nekog problema minimuma nakon jedne iteracije dobivena je sljedeća simplex tabela. Cb

B

A0

10 A1 1/2 3/2

7 A2 1/2 1/2

7/2 12 A3 * M A5 1/2 42+(M/2) 4 - (3M/2) 1 - (M/2) Cs-fs

12 A3 1 0 0

0 A4 -1/2 1/2

M A4* 1/2 -1/2

6 - (M/2) (3M/2) - 6

0 A5 0 -1

M A5* 0 1

M

0

a) Da li je ova tabela optimalna? Obrazložiti! Kojeg su polaznog tipa ograničenja? b) Ako tabela nije optimalna, poboljšati rješenje kompletirajući novu simplex tabelu. Odrediti optimalne vrijednosti funkcije cilja, polaznih i dopunskih varijabli.

Zadatak 4.37. Tri mlina snabdijevaju 4 pekare brašnom. Dnevni kapaciteti mlinova su: M1 25 t, M2 10; M3 35 t brašna. Dnevne potrebe pekara P1, P2, P3, P4 iznose: 45 t, 15 t, 20 t, 30 t respektivno. Troškovi prevoza za tonu brašna dati su u tabeli (u nekim nj): M1 M2 M3

P1 10 12 14

P2 20 10 15

P3 14 8 12

P4 22 18 14

a) Izračunati program snabdijevanja pekara brašnom tako da ukupni troškovi transporta budu minimalni; b) Reći koja pekara i u kojim količinama neće biti zadovoljena; c) Da li ima više optimalnih rješenja? Ako ima, napisati ih.

Zadatak 4.38. Tri tvornice džema (T1, T2, T3) istog vlasnika, izvoze džem u tri grada (G1, G2, G3). Količina džema koju tvornice nude u toku mjeseca su: T1 7000 kg, T2 12500 kg i T3 15 500 kg, dok su mjesečne potrebe gradova sljedeće: G1 6500 kg, G2 9000 kg, G3 16 500 kg. Dobiti vlasnika tvornica po kg džema date su u sljedećoj tabeli (u nekim nj): T1 T2 T3 630

G1 7 8 9

G2 8 3 6

G3 6 7 3

ZADACI ZA VJEŽBU

a) Naći optimalan plan za vlasnika tvornica i analizirati dobijeno rješenje. b) Da li ima više optimalnih rješenja? Ako ima, napisati ih.

Zadatak 4.39. Četiri proizvođača neke sirovine (F1, F2, F3, F4) podmiruju potrebe tri pogona (P1, P2, P3) za tom sirovinom. Dnevni kapaciteti fabrika (F1, F2, F3, F4) su: 20, 50, 75, 55 tona respektivno, dok su dnevne potrebe pogona (P1, P2, P3) za sirovinom: 60, 50, 80 tona redom. Utvrđeno je da ne postoji mogućnost prevoza sirovine iz F3 u P1. Troškovi prevoza po toni sirovine dati su u tabeli (u nekim nj): P1 7 9 10

F1 F2 F3 F4

P2 4 7 5 5

P3 7 8 6 6

Cilj je utvrditi takav program snabdijevanja kojim bi se osigurao prevoz cjelokupne količine sirovine uz najmanje troškove.

Zadatak 4.40. Vlasnik lanca trgovina treba iz svojih skladišta dostaviti brašno u 5 prodajnih centara (PC). U skladištu S1 nalazi se 200t, u skladuštu S2 200t, u skladištu S3 150t i u skladištu S4 200t brašna. Prodajnim centrima treba: 100t za PC1, 200t za PC2, 400t za PC3, 200t za PC4 i 100t za PC5. Cijene transporta (po toni) od skladišta do centra dati su u tabeli:

S1 S2 S3 S4

PC1 3 7 5 10

PC2 10 5 8 12

PC3 4 8 15 10

PC4 2 4 7 8

PC5 3 10 12 4

Treba odrediti: a) Plan transporta robe koji će najmanje koštati i skladišta koja će biti ispražnjena. b) Navesti metode koje ste koristili za dobijanje polaznog optimalnog riješenja.

631

LINEARNO PROGRAMIRANJE

Zadatak 4.41. Vlasnik lanca treba iz svojih skladišta dostaviti šećer u 5 prodajnih centara (PC). U skladištu S1 nalazi se 30t, u skladuštu S2 20t, u skladištu S3 50t šećera. Prodajnim centrima treba: 25t za PC1, 15t za PC2, 55t za PC3, 20t za PC4 i 5. Cijene transporta (po toni) od skladišta do centra dati su u tabeli (transport od S3 do PC1 nije moguć). PC1

PC2

PC3

PC4

PC5

S1

2

3

4

5

6

S2

4

3

5

2

8

S3

-

4

10

5

5

Treba odrediti: a) Plan transporta robe koji će najmanje koštati, koliko košta planirani transport i koji centri će biti snabdjeveni. b) Navesti metode koje ste koristili za dobijanje polaznog optimalnog riješenja.

Zadatak 4.42. Za potrebe tri industrijska centra (C1, C2 i C3) uvozi se jedna vrsta materijala iz tri zemlje (Z1, Z2 i Z3) prema sljedećim uslovima: Ponuda zemalja: a1 = 7000; a2 = 12500; a3 = 15500 kj materijala mjesečno; Tražnja industrijskih centara: b1 =6500; b2 = 9000;b3 = 16500 kj materijala mjesečno; Transportni troškovi po jedinici prevezenog materijala su (u nekim nj): c11 = 7 c12 = 8 c13 = 6 c21 = 8 c22 = 3 c23 = 7 c32 = 6 c33 = 5 c31 = 9 Naći optimalan plan transporta materijala za koji će ukupni troškovi transporta biti najmanji i odredi te troškove. Analizirati optimalan plan. Da li ima više optimalnih rješenja? Ako ima - napisati ih, a ako nema - objasniti zašto.

Zadatak 4.43. Korporacija DL planira postavljanje novih mašina u postojećim fabrikama na lokacijama Decatur, Minneapolis i Carbondale. Analizirajući samo troškove transporta po jedinici treba: a) Odrediti optimalan plan transporta mašina iz pojedinih skladišta B, C i D. Troškovi transporta po jedinici, kapaciteti i potrebe su dati u tabeli: 632

ZADACI ZA VJEŽBU

Decatur B C D Potrebe

20 25 22 300

Minne- Carbon- Kapaapolis dale citet 17 21 250 27 20 200 25 22 350 200 150

b) Odrediti po tom optimalnom planu koja skladišta neće biti ispražnjena. c) Odrediti vrijednost dualne varijable r12 i napisati koju informaciju nam ona nudi. Napomena: Problem riješiti koristeći Vogelov metod za polazno rješenje i modi metod za optimizaciju.

Zadatak 4.44. Na konkurs raspisan za prijem po jednog prevodioca za engleski (E), francuski (F), španski (Š) i njemački jezik (Nj) prijavila su se tri kandidata. Nakon testiranja, dobili smo sljedeće vrijednosti: E F Š NJ K1 3 2 5 4 K2 6 4 7 8 K3 1 6 3 7 Jedan kandidat može biti primljen za prevodioca samo za jedan jezik. a) Izvršiti optimalan raspored tako da zbir poena koje su kandidati dobili na testu bude maksimalan. b) Koje radno mjesto će ostati nepopunjeno?

Zadatak 4.45. Na nova radna mjesta M1, M2, M3 konkurisali su kandidati K1, K2, K3, K4 i K5. Odgovarajuće kvalifikacije nemaju: K2 za M2, K4 za M1 i K5 za M3. Za ostala mjesta svi kandidati imaju odgovarajuće kvalifikacije. Nakon testiranja, kandidatima su dodijeljeni odgovarajući negativni poeni i to redom po radnim mjestima: K1: 5, 11, 17; K2: 6, -, 18; K3: 7, 12, 19; K4: -, 13, 20; K5: 8, 14, -; a) Kompletirati matricu rezultata kandidata. b) Izvršiti optimalan raspored kandidata na odgovarajuća radna mjesta tako da zbir negativnih poena bude minimalan. c) Koji kandidati neće biti primljeni? 633

LINEARNO PROGRAMIRANJE

Zadatak 4.46. Na raspisani oglas za obavljanje četiri poslovna zadatka (A, B, C, D) prijavilo se pet kandidata. Kandidati imaju iste uslove za obavljanje posla, ali su dali izjavu da će, u slučaju neizvršavanja ugovora, platiti sljedeće nadoknade (u nekim nj): Poslovi A B C D

K1 21 18 16 10

K2 24 20 20 14

Kandidati K3 K4 18 15 20 19 15 22 12 16

Sa kojim kandidatima bi trebalo zaključiti ugovor?

634

K5 20 15 18 11

4.9. Rješenja zadataka za vježbu Rješenje 4.1. a)

x1 – broj skija za trčanje, x2 – broj skija za slalom.

Funkcija cilja: Profit po skiji T1 je 40$, a po skiji T2 je 30$. max f = 40 x1 + 30 x 2

Ograničenje I: Kapacitet odjela za proizvodnju je 750 sati, pa slijedi 5 x1 + 4 x 2 ≤ 750 Ograničenje II: Kapacitet odjela za finalizaciju je 450 sati, pa slijedi 5 x1 + 2 x 2 ≤ 450 Ograničenje III: Proizvodnja skija za slalom treba da bude najmanje dva puta veća od proizvodnje skija za trčanje, odnosno x 2 ≥ 2 x1 Model: max f = 40 x1 + 30 x 2 5 x1 + 4 x 2 ≤ 750 5 x1 + 2 x 2 ≤ 450

x 2 ≥ 2 x1 x1 ≥ 0; x 2 ≥ 0 x2 III

22 C 187,5

B M A fmax f0

0

90

x1 II

15

I

Grafikon 4.1. Određivanje optimalnog rješenja Prikaz modela Z 4.1

Skup mogućih rješenja je četverougao ABCO, a koordinate rubnih tačaka su: A: II ∩ III = (50, 100) B: I ∩ II = (30, 150) C (0, 187.5) 635

LINEARNO PROGRAMIRANJE

Pravac funkcije cilja ćemo odrediti izborom proizvoljne tačke M (30, 100), pa njenim uvrštavanjem u f = 40 x1 + 30 x 2 imamo 40·30 + 30·100 = 4200. Prava koja prolazi kroz M i paralelna je funkciji cilja je data sa f0: 40·x1 + 30·x2 = 4200 x = 0 ⇒ x1 = 105 Presjeci sa osama ove prave su 2 x1 = 0 ⇒ x 2 = 140 Napominjemo da je dovoljno odrediti presjek sa jednom osom jer je druga tačka kroz koju prolazi prva f0 ustvari tačka M.

Optimalna tačka je ona rubna tačka koja je najudaljenija od koordinatnog početka, po pravcu funkcije cilja. U našem slučaju to je tačka B. Elementi optimalnog plana su xˆ 1 = 30; xˆ 2 = 150; odnosno najbolje je mjesečno proizvoditi 30 pari skija za trčanje i 150 pari skija za slalom i odgovarajući najveći profit će biti:

fmax = f (B) = 5700$ Analiza rješenja: Ograničenja I i II predstavljaju usko grlo programa, odnosno odjeli za proizvodnju i finalizaciju rade punim kapacitetom; proizvodi se 90 skija za slalom više od minimalno potrebne količine. b) Ako bi se povećao profit po paru skija za slalom za 10$, onda bi se promijenila funkcija cilja i njen novi oblik bi bio: max f0= 40·x1 + 40·x2 Ovom promjenom, mijenja se i pravac funkcije cilja, ali skup mogućih rješenja ostaje isti. x2 III

22 C 187,5

B M A

fmax

II 0

90

f0

I

x1

15

Grafikon 4.1´. Promjena pravca funkcije cilja

636

RJEŠENJA ZADATAKA ZA VJEŽBU

Provjerom vrijednosti funkcije cilja u rubnim tačkama imaćemo sljedeće: f (A) = 6000$; f (B) = 7200$; f (C) = 7500$; ⇒ Optimalan plan se promijenio (grafikon 4.1´.), odnosno optimalno je prizvoditi 187,5 pari skija za slalom, a ni jedan par skija za trčanje.

Rješenje 4.2. a) x1 – broj novih restorana tipa FAST FOOD x2 – broj novih restorana tipa CLASIC Funkcija cilja maksimalan prihod max f = 200000 x1 + 500000 x 2 Ograničenja: Za širenje djelatnosti imamo na raspolaganju 600 000 KM ⇒ 20000 x1 + 30000 x 2 ≤ 600000 Zakonski ugovor o minimalnom broju radnika koje treba zaposliti ⇒ 2 x1 Istraživanje tržišta ⇒ x1 ≥ 10 + x 2 Model:

+ 4 x 2 ≥ 44

x2

max f = 200000 x1 + 500000 x2 20000 x1 + 30000 x2 ≤ 600000 2 x1

20 III

+ 4 x2 ≥ 44

x1 ≥ 10 + x2

11

B

x1 ≥ 0; x2 ≥ 0 A

Koordinate rubnih tačaka:

f0

A: II ∩ III = (14, 4) B: III ∩ I = (18, 8) C (22, 0) D (30, 0)

fmax

M

0

10

22 C

D x1 30 II

I

Grafikon 4.2. Određivanje optimalnog rješenja

Pravac funkcije cilja: Proizvoljno M (20, 5) ⇒ 2·20 + 5·5 = 65

f0: 2·x1 + 5·x2 = 65 ⇒ (x1 = 0 ⇒ x2 = 13)

637

LINEARNO PROGRAMIRANJE

Optimalno rješenje: fmax = f (B) = 7 600 000 za xˆ1 = 18; xˆ 2 = 8;

x2 20 III

Odgovor: Optimalno bi bilo otvoriti 18 restorana tipa FAST FOOD i 8 rastorana tipa CLASIC, a očekivani maksimalni prihod je 7 600 000 KM

Analiza rješenja:

11

B A

E M

0

10

f0

fmax

22 C

D

IV x1

30

II I − ograničenja I i III predstavljaju usko grlo programa, odnosno noGrafikon 4.2.a. Model sa dodatnim ograničenjem vac koji preduzeće ima na raspolaganju i tržišna potražnja su uska grla programa;

− program nudi upošljavanje 24 radnika više od minimalno zahtijevane granice;

b) Promijeniće se oblast mogućih rješenja, dobićemo još jedno ograničenje x 2 ≤ 6 . Optimalno rješenje se pomjera u novu tačku E: IV ∩ I = (21, 6), a funkcija cilja ima manju vrijednost: f (E) = 7 200 000$ (grafikon 4.2.a.)

Rješenje 4.3. x1 – broj klima uređaja x2 – broj ventilatora

Model: max f = 25 x1 + 15 x 2 3x1 + 2 x 2 ≤ 240 2 x1 + x 2 ≤ 140 x1 ≥ 20 x 2 ≤ 80 x1 ≥ 0; x 2 ≥ 0

Grafikon 4.3. Određivanje optimalnog rješenja

638

RJEŠENJA ZADATAKA ZA VJEŽBU

Optimalno rješenje: fmax = 1900 za xˆ1 = 40; xˆ 2 = 60; Optimalno rješenje duala: gmmin = 1900 za yˆ 3 = 5; yˆ 4 = 5; yˆ 5 = 0; yˆ 6 = 0 Rješenje 4.4. Model: max f = 20 x1 + 50 x 2 1 1 x1 + x 2 ≤ 250 3 1,5 x 2 ≤ 300

Optimalno rješenje:

Analiza: Ograničenja II i III su uska grla programa

xˆ1 = 150; xˆ 2 = 300; fˆ = 18 000

1 1 x1 + x 2 ≤ 90 6 10 x1 ≥ 0, x 2 ≥ 0

b) Dodavanje ograničenja x1 ≥ 100 nece uticati na optimalno rješenje

Rješenje 4.5. a) max f = 3000x1 + 7000x2 I 200 x1 + 500 x2 II x1 III x2 - x2 IV x1

≤ 40 000 USD ≥ 10 ≥ 10 ≥ 0

x1 ≥ 0; x2 ≥ 0 Treba koristiti 175 oglasa na radiju i 10 oglasa na TV da bi informisali 595 000 ljudi.

b) Mijenja se ograničenje III, pa se optimalna tačka pomjera. Novo optimalno rješenje je 150 radio oglasa i 20 TV oglasa i f = 590 000, odnosno 5000 ljudi manje bi čulo oglase.

639

LINEARNO PROGRAMIRANJE

Rješenje 4.6.

Optimalno rješenje: xˆ1 = 10 000; xˆ 2 = 15 000; fˆ = 25 000

Grafikon 4.6. Određivanje optimalnog rješenja

Rješenje 4.7.

Optimalno rješenje: xˆ1 = 60; xˆ 2 = 40; fˆ = 3 800

Grafikon 4.7. Određivanje optimalnog rješenja

640

RJEŠENJA ZADATAKA ZA VJEŽBU

Rješenje 4.8.

Optimalno rješenje: xˆ1 = 15; xˆ 2 = 40; fˆ = 145 000 b) Skup mogućih rješenja bi se promijenio ako se promijeni ograničenje II, ali bi optimalno rješenje ostalo isto. Već im je u optimalnom slučaju ponuđeno 40 izbornih kurseva.

Grafikon 4.8. Određivanje optimalnog rješenja

Rješenje 4.9. Optimalno rješenje: xˆ1 = 9; xˆ 2 = 2; fˆ = 14,3 Rješenje 4.10. Optimalno rješenje: Bazično 1: xˆ1 = 20 000; xˆ 2 = 0; fˆ = 3 600 000 Bazično 2: xˆ1 = 15 000; xˆ 2 = 7 500; fˆ = 3 600 000 Sva optimalna rješenja imaju oblik: ⎡ xˆ1 ⎤ ⎡20000⎤ ⎡15000⎤ ⎢ xˆ ⎥ = λ ⋅ ⎢ 0 ⎥ + (1 − λ ) ⋅ ⎢ 7500 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 2⎦ b) Optimalno rješenje bi bila samo tačka 2, odnosno xˆ1 = 15 000; xˆ 2 = 7 500; ali bi vrijednost funkcije cilja bila veća. Grafikon 4.10. Određivanje optimalnog rješenja. Dvije «rubne» tačke su optimalne.

Rješenje 4.11. xˆ1 = 1200; xˆ 2 = 300; fˆ = 480 000 641

LINEARNO PROGRAMIRANJE

Rješenje 4.12. max f = 25 x1 + 30 x 2 1x1 + 2 x 2 ≤ 2400 6 x1 + 3 x 2 ≤ 4500 x1 ≥ 2 x2 x1 ≥ 0; x 2 ≥ 0

xˆ1 = 600; xˆ 2 = 300; fˆ = 24 000

Grafikon 4.12. Određivanje optimalnog rješenja

Rješenje 4.13. xˆ1 = 20 000; xˆ 2 = 30 000; fˆ = 4 2 00

Rješenje 4.14. xˆ1 = 136.6667; xˆ 2 = 36.6667; fˆ = 2490

Rješenje 4.15.

Optimalno rješenje je: xˆ1 = 2; xˆ 2 = 3; fˆ = 52

Grafikon 4.15. Određivanje optimalnog rješenja

642

RJEŠENJA ZADATAKA ZA VJEŽBU

Rješenje 4.16. xˆ1 = 10; xˆ 2 = 30; fˆ = 28000 b) Neće

Grafikon 4.16. Određivanje optimalnog rješenja

Rješenje 4.17.

xˆ1 = 50; xˆ 2 = 15; fˆ = 65

Grafikon 4.17. Određivanje optimalnog rješenja

Rješenje 4.18. xˆ1 = 100; xˆ 2 = 500; fˆ = 29000

Grafikon 4.18. Određivanje optimalnog rješenja

643

LINEARNO PROGRAMIRANJE

Rješenje 4.19. Model zadatka max f = 600 x1 + 1000 x 2 + 1200 x3 0,5 x1 + 0,5 x 2 + 0,5 x3 ≤ 6000 1,5 x1 + 2 x 2 x1

+ 5 x3 ≤ 4200 = 2 x2

x1 ≥ 0; x 2 ≥ 0; x3 ≥ 0 Optimalno rješenje: xˆ1 = 3 600; xˆ 2 = 1800; xˆ 3 = 6600; fˆ = 11 880 000 Zadatak se može riješiti grafičkom metodom ili simplex algoritmom. Upotrebom simplex algoritma možemo primijetiti da se u prvoj simplex tabeli dobije degenerisano bazično rješenje jer vještačka varijabla koja je dodijeljena trećem ograničenju x6* u prvoj tabeli ima vrijednost 0. U ovakvim slučajevima se može desiti da simplex algoritam ne funkcioniše najbrže, odnosno postoji opasnost od beskonačnog ponavljanja degenerisanog bazičnog rješenja. Koraci su pri rješavanju sljedeći: u prvoj iteraciji iz baze izlazi vještačka varijabla x6* dodijeljena trećem ograničenju, a ulazi polazna varijabla x1 , u narednoj iteraciji treba iz baze izbaciti izravnavajuću varijablu x 4 , a u bazu ubaciti varijablu x 2 . Na kraju iz baze izlazi varijabla x5 , a ulazi x3 Grafičkim rješavanjem u koordinatnom sistemu x2Ox3 rješenje ima oblik:

Grafikon 4.16. Određivanje optimalnog rješenja

644

RJEŠENJA ZADATAKA ZA VJEŽBU

Rješenje 4.20. Zadatak se može riješiti grafičkom metodom ili simplex algoritmom. Simplex algoritam izgleda: Cb M M Cs-Fs M

B

A0

0 A4 A*5 A*6

1000 100 200 0 300

(Cs-Fs)⋅Q M Cb

B

A0

0 A4 120 A2 M A*6 Cs-Fs M

80 A1

120 A2

1 1 1 1 0 1 80 120 -1 -2 Koristan! Koristan! 8000 12000 -100 -200 80 A1

900 100 100 12000 100

0 1 -1 -40 1

B

0 A4 120 A2 80 A3 Cs-Fs M

A0

80 A1

120 A2

80 A3

0 1 0 0 0

0 M A*5 1 0 0 0 0

A4 1 -1 1 80 0

120 A2

(Cs-Fs) ⋅Q M Cb

80 A3

0

M A*5

A4

800 1 0 0 150 0,5 1 0 50 -0,5 0 1 22000 60 0 0 0 0 0 0 Nema više korisnih vektora, dobili ste optimum!

0 1 0 0 0

0 M A*5 A6 1 -1 0 1 0 -1 0 -120 0 2

A4

2 -1 2 200 -2 Koristan! 10000 -100 80 A3

A6

1 0 0 0 0

0 0,5 -0,5 -20 1

0 M A*6 0 0 -1 0 1

0 0 1 0 0

0 M A*6 0 0 -1 0 1

0 0 1 0 0

0 A6 1 -0,5 -0,5 100 0

M A*6 -1 0,5 0,5 -100 1

Rješenje 4.21. Zadatak se može riješiti grafičkom metodom ili simplex algoritmom. Optimalno rješenje: xˆ1 = 400; xˆ 2 = 0; xˆ 3 = 150; fˆ = 12 500

Rješenje 4.22. Optimalno rješenje 1: xˆ1 = 100; xˆ 2 = 0; xˆ 3 = 0; fˆ = 100 Optimalno rješenje 2: xˆ1 = 0; xˆ 2 = 50; xˆ 3 = 0; fˆ = 100 U oba optimalna rješenja II ograničenje je usko grlo, ali kod optimalnog plana 2 ostaje 150 KM za kupovinu repromaterijala pa bi ovom programu trebalo dati prednost. 645

LINEARNO PROGRAMIRANJE

Rješenje 4.23. Optimalno rješenje: xˆ1 = 5000; xˆ 2 = 2500; fˆ = 7500

Grafikon 4.23. Određivanje optimalnog rješenja

Rješenje 4.24. Model zadatka max f = (100 − 10 )x1 + (100 − 15)x 2 + (100 − 10 )x3 x1 + x 2 + x 3 ≤ 600 x1 + x 2 ≥ 10 + x3 x1 ≥ 0; x 2 ≥ 0; x 3 ≥ 0

Optimalno rješenje: xˆ1 = 305; xˆ 2 = 0; xˆ 3 = 295; fˆ = 54 000

Rješenje 4.25. Optimalno rješenje: xˆ1 = 5400; xˆ 2 = 5000; fˆ = 761 000

Grafikon 4.25. Određivanje optimalnog rješenja

646

RJEŠENJA ZADATAKA ZA VJEŽBU

Rješenje 4.26. Model:

(1)

min f = 80 x1 + 120 x 2 + 80 x3 Ι

x1 + x 2 + x3 ≤ 1000

ΙΙ

x1 + x 2 − x3 = 100 x 2 + x3 ≥ 200

ΙΙΙ

x1 , x 2 , x3 ≥ 0 Standardizacija: min f = 80 x1 + 120 x2 + 80 x3 + 0 x4 + Mx5 + 0 x6 + Mx6

*

1x1 + 1x2 + 1x3 + 1x4 + 0 x5 + 0 x6 + 0 x6 = 1000⎫ ⎪⎪ * 1x1 + 1x2 − 1x3 + 0 x4 + 1x5 + 0 x6 + 0 x6 = 100 ⎬ ⎪ * 0 x1 + 1x2 + 1x3 + 0 x4 + 0 x5 − 1x6 + 1x6 = 200 ⎭⎪ *

*

x1 , x2 , x3 , x4 , x6 ≥ 0 ; x5 , x6 = 0

Prva simplex tabela: C0

B

A0

0 M M

A4 A5 A6*

1000 100 200 300M

80 A1 1 1 0

120 A2 1 1 1

80 A3 1 -1 1

0 A4 1 0 0

M A*5 0 1 0

0 A6 0 0 -1

M A6* 0 0 1

80

0

0

M

0

120 A2 0 1 0

80 A3 2 -1 2

0 A4 1 0 0

M A*5 -1 1 1

0 A6 0 0 -1

M A6* 0 0 1

0

200-2M

0

-120

M

0

80 – M 120 – 2M

Druga simplex tabela: C0

B

A0

0 120 M

A4 A2 A6*

900 100 100

80 A1 0 1 -1

12000+100 -40 + M M

koristan

koristan

647

LINEARNO PROGRAMIRANJE

Treća simplex tabela:

800 150 50

80 A1 1 1/2 -1/2

120 A2 0 1 0

80 A3 0 0 1

0 A4 1 0 0

M A*5 -2 3/2 1/2

0 A6 1 -1/2 -1/2

M A6* -1 1/2 1/2

22000

60

0

0

0

M-220

100

M-100

C0

B

A0

0 120 80

A4 A2 A3

Optimalno rješenje

Rješenje 4.27. a) ii)

i) max fˆ = 3000 I – ograničenje tipa ≤ ; II – ograničenje tipa ≤ ; III – ograničenje tipa ≥

iii)

Xˆ 1 = 100 Xˆ 2 = 200 (polazne varijable) Xˆ 3 = 50 Xˆ 4 = 0 Xˆ 5 = 0 (izravnavajuće varijable)

b)

i) gˆ = 3000 ii) Yˆ3 = 0 Yˆ4 = 5 Yˆ5 = 0 (polazne varijable)

Yˆ1 = 0 Yˆ2 = 0 (izravanavajuće varijable) c)

Rješenje nije jedinstveno jer nebazna varijabla A5 ima vrijednost c5 − f 5 = 0 . Dakle, rješenje sa neće promijeniti ukoliko A5 uđe u bazu. A5 ulazi, a A3 izlazi iz baze, pa je druga optimalna simplex tabela data sa: CB

B

CS A0

10 A1

10 A2

0 A3

0 A4

0 A5

-M A5*

0

A5

50

0

0

1



1

-1

10

A2

150

0

1

-1

1

0

0

10

A1

150

1

0

1



0

1

3000

0

0

0

-10

0

-M-10

CS - fS

Napomenimo da u slučaju postojanja dva optimalna bazna rješenja mi ustvari imamo beskonačno mnogo optimalnih opcija i sve te opcije se mogu dobiti kao konveksna linearna kombinacija bazna dva, tj.

648

RJEŠENJA ZADATAKA ZA VJEŽBU

⎡ x1 ⎤ ⎡100 ⎤ ⎡150⎤ ⎢x ⎥ ⎢200⎥ ⎢150⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x3 ⎥ = λ ⋅ ⎢ 50 ⎥ + (1 − λ ) ⋅ ⎢ 0 ⎥; ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x4 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢⎣ x5 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 50 ⎥⎦

λ ∈ [0,1]

Rješenje 4.28. Model:

(1)

min f = 15 x1 + 10 x 2 + 12 x3 Ι

x1 − x 2 − x3 = 90 x1 + 2 x 2 + 2 x3 ≥ 120

ΙΙ

x1 , x 2 , x3 ≥ 0

Optimalno rješenje: xˆ1 = 100; xˆ 2 = 10; xˆ 3 = 0; fˆ = 1 6 00

Rješenje 4.29. Model:

(1)

max f = 15 x1 + 6 x 2 + 10 x3 Ι

x1 + x 2 + 5 x3 ≤ 1200

ΙΙ

3 x1 + x 2 + x3 ≤ 900 x1 , x 2 , x3 ≥ 0

xˆ = 0; xˆ 2 = 825; xˆ 3 = 75; fˆ = 5700 Optimalno rješenje: 1 yˆ 5 = 5

Rješenje 4.30. Prva simplex tabela Cb M M Cs-Fs M

B A*3 A*4

24

A0

A1 30 40 0 70

1 2 24 -3 Koristan!

20 A2 1 1 20 -2 Koristan!

0 A3

M

0 A*3

-1 0 0 1

A4 1 0 0 0

M A*4

0 -1 0 1

0 1 0 0

649

LINEARNO PROGRAMIRANJE

... Posljednja simplex tabela Cb

B

20 24 Cs-Fs M

A2 A1

24

A0

A1

20 10 640 0

20

0

A2 0 1 0 0

A3 1 0 0 0

M

0 A*3

-2 1 16 0

A4

2 -1 -16 1

M A*4

1 -1 4 0

-1 1 -4 1

Rješenje 4.31. Optimalno rješenje: xˆ1 = 0; xˆ 2 = 20; fˆ = 300 yˆ1 = 10

Rješenje 4.32. Cb

B

M 0

A*3 A4

10 12 0 10

Cs-Fs M

Cb

B 25 0

Cs-Fs M

650

A2 A4

24

A0

25

A1

A2

1 4 24 -1 Koristan!

5 1 25 -5 Koristan!

A3

M

0 A*3

-1 0 0 1

A4 1 0 0 0

0 M A3 A*3 2 0,2 1 -0,2 0,2 10 3,8 0 0,2 -0,2 50 19 0 5 -5 0 0 0 0 1 Nema više korisnih vektora, nađeno je optimalno rješenje. A0

24

0

A1

0 1 0 0

25

A2

0 A4 0 1 0 0

RJEŠENJA ZADATAKA ZA VJEŽBU

Rješenje 4.33. a) Dualni model:

(1)

min g = 10 y 4 + 50 y 5 Ι

4 y 4 + 2 y 5 ≥ 10

ΙΙ

y 4 + y5 ≥ 5 2 y 4 + y 5 ≥ 10

ΙΙΙ

y 4 ≤ 0; y 5 ≥ 0 max f = 10 x1 + 5 x 2 + 10 x 3 + 0 ⋅ x 4 − M ⋅ x * 4 +0 ⋅ x 5 4 x1 + x 2 + 2 x3 − x 4 + x * 4 = 10

b)

2 x1 + x 2 + x3 + x5 = 50 x1 ≥ 0; x 2 ≥ 0; x 3 ≥ 0; x 4 ≥ 0; x5 ≥ 0 Cb

B

-M 0

10 A1

5 A2

10 A3

4 2 10 4 Koristan! 25+10M

1 1 5 1 Koristan! 50+10M

2 1 10 2 Koristan! 50+10M

A0

A*4 A5

10 50 0 -10

Cs-Fs M (Cs-Fs)*Q

0 A4

-M A*4 -1 0 0 -1

0 A5 1 0 0 0

0 1 0 0

Rješenje 4.34. Tabela nije optimalna.

U narednoj iteraciji u bazu ulazi A2, a izlazi A*4 Rješenje 4.35. Dualni model:

(1)

max f = 26 y 4 + 50 y 5 Ι

8 y 4 + 1y 5 ≤ 9

ΙΙ

2 y 4 + 1y 5 ≤ 2

ΙΙΙ

4 y 4 + y 5 ≤ 11 y 4 ≥ 0; y 5 ≤ 0 651

LINEARNO PROGRAMIRANJE

Prva simplex tabela: Cb

B

M 0

A0

A*4 A5

26 50 0 26

Cs-Fs M

9 A1

2 A2

11 A3

0 A4

8 1 9 -8 Koristan!

2 1 2 -2 Koristan!

4 1 11 -4 Koristan!

M A*4 -1 0 0 1

0 A5 1 0 0 0

0 1 0 0

Rješenje 4.36. Nije optimalna tabela jer je cilj minimum, a imamo negativnih Cs-fs. Osim toga, u bazi se ne smije nalaziti vještačka varijabla. Oba ograničenja su tipa ≥ U bazu ulazi A2 a izlazi A*5

Rješenje 4.37. kj ri -4 -4 0 -14

d12 = 20 − (− 4 + 15) = 9 d13 = 14 − (− 4 + 12 ) = 4

M1

14

15

12

P1

P2

P3

14 P4

25 10

20

12

10

14

22

8

18

12

14

10

M2 M3 M4

10

15

Σ

45

15

20

30

10, 2, 4

10, 5, 5, *

8, 6, 2

14,*

14

10 15

30

10 0

0

0

d 21 = 12 − (− 4 + 14 ) = 2

Σ 25

4, 4,*

10

2,*

35

2, 2,

40

0,*

0

d 34 = 14 − (0 + 14) = 0

d 22 = 10 − (− 4 + 15) = −1 d 42 = 0 − (− 14 + 15) = −1 d14 = 22 − (− 4 + 14) = 12 d 24 = 18 − (− 4 + 14) = 8 d 43 = 0 − (− 14 + 12 ) = 2 Korisna su polja (2, 2) i (4, 2). Kako je θ22 = 10 i θ42 = 10, sasvim je svejedno koje polje ćemo popuniti transportom. 652

RJEŠENJA ZADATAKA ZA VJEŽBU

kj ri -4 -5 0 -14

d12 = 9 d13 = 4

M1

14

15

12

P1

P2

P3

14 P4

25 10

20

14

22

10

8

18 14

10

M2

12

M3 M4

10

Σ

45

5

20

14

15

12

0

0

0

30

10

15

20

Σ 25

10 35 40

0

30

d 21 = 12 − (− 5 + 14 ) = 3 d 34 = 14 − (0 + 14) = 0 d 23 = 8 − (− 5 + 12) = 1

d 42 = 0 − (− 14 + 15) = −1

d14 = 12 d 24 = 18 − (− 5 + 14) = 9 d 43 = 0 − (− 14 + 12 ) = 2 Korisno polje (4, 2). θ42 = 5, pa imamo: kj ri 10 10 14 0

M1

0

0

-2

P1

P2

P3

0 P4

25 10

20

14

22

12

10

8

18

14

15

12

14

0

0

10

M2 M3 M4

15

Σ

45

20

5

30

5 0

15

20

Σ 25

10 35 40

0

30

d12 = 10 d 21 = 2 d 32 = 1 d13 = 6 d 23 = 0 d 34 = 0 d14 = 12 d 24 = 8 d 43 = 2 Dobili smo optimalan transport. Zadatak nije jednoznačno rješiv jer postoje dva polja (2, 3) i (3, 4) koja također mogu ući u optimalan program transporta.

653

LINEARNO PROGRAMIRANJE

II optimalan plan transporta:

P1

P2

P3

P4

25

M1

10

20

5

M2

14

22

8

18 14

5

12

10

14

15

12

0

0

M3 M4

20

15

Σ

45

15

20

30

P1

P2

P3

P4

30

10 0

Σ 25

10 35 40

0

III optimalan plan transporta: 25

M1

10

20

14

22

12

10

8

18

14

15

12

0

0

10

M2

20

M3 M4

20

Σ

45

15

15

5 0

15

14

20

Σ 25

10 35 40

0

30

Rješenje 4.38. Cilj je maksimum. Optimalan plan transporta je dat u tabeli. Vrijednost funkcije cilja je 257 000 T1 T2 T3

G1 0 0 9500

G2 3000 0 6000

G3 4000 12500 0

Rješenje 4.39. Cilj je minimum. Optimalan plan transporta je dat u tabeli. Vrijednost funkcije cilja je 1230 nj.

Rješenje 4.40. Cilj je minimum. Optimalan plan transporta je dat u tabeli. Vrijednost funkcije cilja je 6050 nj. 654

RJEŠENJA ZADATAKA ZA VJEŽBU

S1 S2 S3 S4

PC1 0 0 0 100

PC2 0 0 100 100

PC3 150 200 50 0

PC4 50 0 0 0

PC5 0 0 0 0

Rješenje 4.41. Cilj je minimum. Optimalan plan transporta je dat u tabeli. Vrijednost funkcije cilja je 455 nj. S1 S2 S3 S4

PC1 25 0 0 0

PC2 0 0 15 0

PC3 5 20 10 20

PC4 0 0 20 0

PC5 0 0 5 0

Rješenje 4.42. Kako su veći kapaciteti nego potrebe (otvoreni problem transporta), potrebno je uvesti fiktivnu lokaciju (kolonu) sa potrebama 150. Decatur B C D Potrebe Ri

50

Minneapolis 200

20

300 2, 0

-

27

-

0

150

25

200 8,* -3

0

20

-

22

Fiktivno

21

150

25

200

-

17

-

50

Carbondale

22

150 1, -5

0

150 0,* -22

Kapacitet

Kt

250

17, 3, 1

20

200

20, 5, 5

25

350

22, 0, 0

22

800

Vogelov metod nam je dao polazno riješenje (nedegenerisano) sa odgovarajućom vrijednosti funkcije cilja: f = 13050. Modi metodom provjeravamo da li je rješenje optimalno. Testiranjem slobodnih polja dobijamo: d24 = -3
View more...

Comments

Copyright ©2017 KUPDF Inc.
SUPPORT KUPDF