Kvadriranje, korjenovanje i potenciranje 1
naslov Prva cjelina koju obrađujemo u 8. razredu nosi naslov "Kvadriranje, korjenovanje i potenciranje". Ovo je prva u nizu prezentacija kroz koje ćemo obraditi tu cjelinu. Prezentacije su namijenjene učenicima za samoučenje, npr. u slučaju da su bili bolesni pa nisu neke prisustvovali nastavi nastavi kad se to obrađivalo, ako su zaboravili detalje pa se se žele podsjetiti, a naravno namijenjene su i svima ostalima ostalima koji iz bilo kojeg razloga žele detaljnije proučiti ovo gradivo. gradivo. Kroz prezentacije se krećemo jednostavnim klikom miša, a možemo koristiti i strelice na tipkovnici - za pomake naprijed, ali i nazad. nazad. Probajte! Možda ponekad poželite ponoviti neki primjer, ponovo pročitati objašnjenje i sl., sl., pa koristite strelicu prema gore ili lijevo.
Kroz ovu cjelinu nekoliko ćemo se puta susresti s algebarskim izrazima, koji će, kako napredujemo kroz cjelinu, postajati sve složeniji. složeniji. Stoga ćemo cjelinu i započeti upravo s njima s ponavljanjem osnova o algebarskim izrazima koje smo upoznali u prošlim razredima, uz postepenu nadopunu.
Algebarski izrazi 1. dio
Sjećaš li se što su brojevni, a što algebarski izrazi? Brojevni izrazi su izrazi su izrazi u kojima se pojavljuju brojevi, računske operacije, a mogu i zagrade, npr. 6 - 9 , 9 , 0.58 ∙ ( 3 - 10.1 ) ) itd.
Algebarski izrazi izrazi su su izrazi u kojima se osim brojeva pojavljuju i slova koja zamjenjuju (predstavljaju) brojeve, slova koja y , npr. x + y , 7c , O = 2a + 2b , a+b=b+a itd.
1. Što predstavljaju sljedeći algebarski izrazi: a+b a-b a ∙ b
zbroj brojeva a i b razliku brojeva a i b umnožak (brojeva a i b)
a : b ili __ količnik a b x-y razliku k __ količnik 4 a ∙ b + c ∙ d zbroj dvaju umnožaka z __ zbroj umnoška i količnika xy + v
x ∙ y - u ∙ v
razliku dvaju umnožaka
1. Što predstavljaju sljedeći algebarski izrazi: (a + b) ∙ (c - d) umnožak zbroja i razlike (a - b) : (x ∙ y) količnik razlike i umnoška (a + 2) : ( 7x ) r2 b2
količnik zbroja i umnoška
kvadrat broja r kvadrat broja b
(a + b)2 kvadrat zbroja (a - b)2 kvadrat razlike a2 + b2 zbroj kvadrata x2 - y2 razlika kvadrata
Mali podsjetnik: U 7. razredu smo naučili da da r 2 čitamo kvadrati razlike u kvadrat Uočir na sličnosti i računamo kao r ∙ r . .i nazivima !!! ovim izrazima Opet uoči = 7 · 7 =i razlike! 49 . 49 . Npr. 72 sličnosti
1. Što predstavljaju sljedeći algebarski izrazi: c2 : x2 količnik kvadrata ( 5 · b )2 kvadrat umnoška ( cd )2
kvadrat umnoška
n2 - (4 + x) razlika kvadrata i zbroja ( x : 7 )2 kvadrat količnika
2. Riješ Riješii se zagrad zagradaa i sredi sredi:: a) ( -2x + 3y ) - ( 5x + y ) - ( -3x - 4y ) = Ako si zaboravio kako se rješavamo zagrada zagrada kad je ispred njih plus ili minus, klikni ovdje.
(U suprotnom klikni bilo gdje izvan tog linka.)
2. Riješ Riješii se zagrad zagradaa i sredi sredi:: a) ( -2x + 3y ) - ( 5x + y ) - ( -3x - 4y ) = = -2x + 3y - 5x - y + 3x + 4y = = -4x + 6y Zbrajamo "i pi kssi leovnee sdalje . sa saa i k i psse ivl oi m n iam" a Ik s e v e ne možemo ... . .. i p s i l o n i m a . . zbrajati (Podvucimo ih dadoihkraja, bolje uočimo...) riješen. (to su stigli svi nepodvučeni, oni daju...)je Dakle, smo zadatak
Koliki je njihov zbroj?
2. Riješ Riješii se zagrad zagradaa i sredi sredi:: a) ( -2x + 3y ) - ( 5x + y ) - ( -3x - 4y ) = = -2x + 3y - 5x - y + 3x + 4y = = -4x + 6y b) ( 2x - 7y + 2z ) - ( 5x - 3y + 7z ) - ( -9x - 4y - 4z ) = = 2x - 7y + 2z - 5x + 3y - 7z + 9x + 4y + 4z =
= 6x - z oiem vvea z ze Na ... ... Zbrajamo Sadkraju, i pTime s i l ozbrajamo n i keje s eszadatak vaei pssai"liz oke nsriješen! im ... . s..a ... . .. e o v im a "
(to nepodvučeni, Koliki jedaju? njihov zbroj? oni daju...) Štosu onisvi Ponište se!
2. Riješ Riješii se zagrad zagradaa i sredi sredi:: a) ( -2x + 3y ) - ( 5x + y ) - ( -3x - 4y ) = = -2x + 3y - 5x - y + 3x + 4y = = -4x + 6y b) ( 2x - 7y + 2z ) - ( 5x - 3y + 7z ) - ( -9x - 4y - 4z ) = = 2x - 7y + 2z - 5x + 3y - 7z + 9x + 4y + 4z =
= 6x - z c) - ( 5ab + 7a 7a - 8b ) + ( -2ab - 3a + 4b ) - ( -2ab + 3a + 4b 4b ) = = - 5ab - 7a + 8b - 2ab - 3a + 4b + 2ab - 3a - 4b = = - 5ab - 13a + 8b
"a b -o v i " se mogu zbrajati samo sa " a b - o v i m a " (ne mogu sa a niti niti sa b ), pa je ovime
zadatak riješen.
3. Riješ Riješii se zagrad zagradaa i sredi sredi:: a) 2 · ( a - 3 ) = Ako si zaboravio kako se rješavamo zagrade zagrade kad je ispred nje množenje, klikni ovdje.
(U suprotnom klikni bilo gdje izvan tog linka.)
3. Riješ Riješii se zagrada i sredi: a) 2 · ( a - 3 ) = 2a - 6 b) ( x + 3 ) · y = x y + 3y Ovdje je množenje nakon zagrade! Imaš li ideju što ćemo sad? Vjerujem da imaš - stvar je gotovo ista! Izraz nakon zagrade (tj. y) pomnožimo sa svakim u zagradi...
3. Riješ Riješii se zagrada i sredi: a) 2 · ( a - 3 ) = 2a - 6 b) ( x + 3 ) · y = xy + 3y c) ( b - 7 ) · a = ab - 7a
Uočimo: b · a = a ∙ b, pa je i
ba = ab.
Kod množenja uobičajeno je slova poredati po abecedi. Uvijek se drži tog pravila!
Na taj način ćemo kod duljih izraza lakše uočiti koji su članovi istoimeni, pa ćemo ih lakše spariti odnosno zbrojiti... zb rojiti...
3. Riješ Riješii se zagrada i sredi: a) 2 · ( a - 3 ) = 2a - 6 b) ( x + 3 ) · y = xy + 3y c) ( b - 7 ) · a = ab - 7a d) c · ( a - 2b + 4 ) = ac - 2bc + 4c Zapamtimo:
Kod množenja brojeva i slova uobičajeno je prvo napisati broj, a zatim slova poredati po abecedi.
Uvijek se drži tog pravila! Na taj način ćemo kod duljih izraza lakše uočiti koji su članovi istoimeni, pa ćemo ih lakše spariti odnosno zbrojiti...
3. Riješ Riješii se zagrada i sredi: a) 2 · ( a - 3 ) = 2a - 6 b) ( x + 3 ) · y = xy + 3y c) ( b - 7 ) · a = ab - 7a d) c · ( a - 2b + 4 ) = ac - 2bc + 4c e) a · ( b - 8 ) - b ∙ ( 5 - a ) = ab - 8a - 5b + ab = 2ab 8a 5b Pazi na predznake! Opet pazi na predznake! -b ·-b 5 ·! (-a) ! Množimo Sad množimo Možemo li ovdje što dalje srediti?
Time je zadatak riješen! Možemo! ab zbrojimo sa a b .
Dobivamo...
3. Riješ Riješii se zagrada i sredi: a) 2 · ( a - 3 ) = 2a - 6 b) ( x + 3 ) · y = xy + 3y c) ( b - 7 ) · a = ab - 7a d) c · ( a - 2b + 4 ) = ac - 2bc + 4c e) a · ( b - 8 ) - b ∙ ( 5 - a ) = ab - 8a - 5b + ab = 2ab - 8a - 5b
f) ( y + 9 ) ∙ x - y ∙ ( x - 7 ) = xy + 9x - xy + 7y = 9x + 7y
4. Riješ Riješii se zagrad zagradaa i sredi sredi:: a) - ( 2 + b ) · a = = - ( 2a + ab ) = = - 2a - ab
i minusa (ispred zagrade) Ovdje se trebamo riješiti (iza i množenja zagrade).
Ako još nikad nisi rješavao ovakav zadatak, klikni ovdje ovdje da bi pročitao objašnjenja. U suprotnom klikni bilo gdje izvan tog linka,
pa krenimo s rješavanjem...
4. Riješ Riješii se zagrad zagradaa i sredi sredi:: a) - ( 2 + b ) · a = = - ( 2a + ab ) = = - 2a - ab b) 14 - ( 2 - 3a ) · 7 = = 14 - ( 14 - 21a ) = = 14 - 14 + 21a =
Što Pazi!sad? IVjerujem ovdje imamo i minus zagrade da znaš i samispred se - sad ćemo iriješiti množenje nakon nje! zagrade. Stoga i trebamo kao Što namovdje govori minus postupiti ispred zagrade? ... u prošlom zadatku!
= 21a c) ( 4 - 3a ) · x - ( 7 - 2x ) ∙ a = 4x - 3ax - ( 7a - 2ax ) = = 4x - 3ax - 7a + 2ax =
= Time je zadatak riješen! Naravno, rješenje može biti zapisano i s drugačijim poretkom pribrojnika, npr. 4x - 7a - ax . Bitno je da (bez obzira na redoslijed)
ax
4x 7a
predznak svakog člana odgovara!
4. Riješ Riješii se zagrad zagradaa i sredi sredi:: Sad ćemo riješiti još nekoliko sličnih zadataka. Ukoliko misliš da nema potrebe da više rješavaš takve, klikni na link na dnu stranice za prijelaz na novi tip zadatka. U suprotnom klikni bilo gdje izvan tog linka.
Prijelaz na novi tip zadatka zadatka
4. Riješ Riješii se zagrad zagradaa i sredi sredi:: d)
3 ) 2b ( a c ) ( 8 a ∙ ( 2b + c a)∙c = = 2ab + ac - 3a - 2ab + 2bc - ( 8c - ac ) = računsku = ac - 3a + 2bc -Koju 8cpodrazumijevamo + ac =operaciju i zagrade? se trebamo riješiti zagrade (sjetimo se = 2ac - 3a + 2bc -između 8c 2bSad
što nam govori minus ispred nje), Množenje! a usput možemo i zbrojiti izraze izvan zagrade (ako se mogu)...
Prijelaz na novi tip zadatka zadatka
4. Riješ Riješii se zagrad zagradaa i sredi sredi:: d) a ∙ ( 2b + c - 3 ) - 2b ( a - c ) - ( 8 - a ) ∙ c = = 2ab + ac - 3a - 2ab + 2bc - ( 8c - ac ) = = ac - 3a + 2bc - 8c + ac = = 2ac - 3a + 2bc - 8c
e) ( x - y + 6 ) · 8 - ( y + 4 ) ∙ 2x - y ( 2x - 8 ) =
= 8x - 8y + 48 - ( 2xy + 8x ) - 2xy + 8y = = 8x - 8y + 48 - 2xy - 8x - 2xy + 8y = = -4xy + 48
Prijelaz na novi tip zadatka zadatka
Riješii se zagrad zagradaa i sredi sredi:: 4. Riješ f) -4 ∙ ( 2r - 2p + 1 ) + ( r - 4 ) ∙ 2p - ( 2p - 3 ) ∙ 3r = -8r + 8p - 4 + 2pr - 8p - ( 6pr - 9r ) = Kako se ovdje riješiti zagrade?
=
Pomnožit ćemo 2p sa svakim u zagradi. Budući da je pred zagradom plus, ne moramo dobivene umnoške pisati u zagradu (ali se može, ako netko baš želi).
=
Prijelaz na novi tip zadatka zadatka
Riješii se zagrad zagradaa i sredi sredi:: 4. Riješ f) -4 ∙ ( 2r - 2p + 1 ) + ( r - 4 ) ∙ 2p - ( 2p - 3 ) ∙ 3r = -8r + 8p - 4 + 2pr - 8p - ( 6pr - 9r ) = = -8r - 4 + 2pr - 6pr + 9r = = -4pr + r - 4
=
Prijelaz na novi tip zadatka zadatka
Riješii se zagrad zagradaa i sredi sredi:: 5. Riješ a) ( a - 5 ) · ( b + 7 ) = = ab + 7a - 5b - 35
Ovdje imamo množenje dviju zagrada. Kako se u tom slučaju rješavamo zagrada? Pomnožimo svaki pribrojnik iz prve zagrade sa svakim iz druge!
Opetna na predznake! Može lipazi se dobiveni izraz još srediti? Pazi predznake! b ·! 7 ! Množimo Množimo Ne može! -5 ·-5 zadatak je riješen. Ako teDakle, zanima objašnjenje gornjeg postupka, ovdje.. klikni ovdje U suprotnom klikni bilo gdje izvan tog linka, pa nastavljamo sa zadacima...
Riješii se zagrad zagradaa i sredi sredi:: 5. Riješ a) ( a - 5 ) · ( b + 7 ) = = ab + 7a - 5b - 35
b) ( -4 + y ) · ( 3 - x ) = = -12 + 4x + 3y - xy c) - ( 5 - a ) · ( -x + 7 ) = = - ( -5x + 35 + ax - 7a ) = - minusa + 7a Evo opet ispred zagrade, a iza zagrade množenje! = 5x 35 - ax Sjećaš li se što s tim? Time je zadatak riješen!
Riješii se zagrad zagradaa i sredi sredi:: 5. Riješ d) 2ab - ( b - 8 ) · ( 3 - 2a ) = = 2ab - ( 3b - 2ab - 24 + 16a ) = = 2ab - 3b + 2ab + 24 - 16a = = 4ab - 3b + 24 - 16a e) 8d + ( d - c ) · ( a - 8 ) = = 8d + ad - 8d - ac + 8c = = ad - ac + 8c
Prisjetimo se: se:
a ∙ a = a2 b ∙ b = b2
a ∙ b = ab b ∙ a = ab
Imaj to na umu u sljedećim zadacima...
a + a = 2a
a ∙ a = a2
6. Riješ Riješii se zagrad zagradaa i sredi sredi:: a) ( a - 9 ) · ( a + 7 ) = = a2 + 7a - 9a - 63 = = a2 - 2a - 63 b) ( x - 8 ) · ( x - 6 ) = = x2 - 6x - 8x + 48 48 = = x2 - 14x + 48
c) ( y + 8 ) · ( -y + 1 ) =
2
8 = = -y + y - 8y + 8
2
Može li se dobiveni izraz još srediti? Može! Time je zadatak riješen! Možemo zbrojiti 7a i -9a . Međutim, a2 se ne može zbrojiti sa a ...
=
y
7y + 8
6. Riješ Riješii se zagrad zagradaa i sredi sredi:: d) - ( a - 6 ) · ( 9 - a ) = = = - ( 9a - a2 - 54 + 6a ) = = - 9a + a2 + 54 - 6a = = a2 - 15a + 54
Time je zadatak riješen!
e) 2 - ( -1 + x ) · ( x - 2 ) = = = 2 - ( -x + 2 + x2 - 2x 2x ) = = 2 + x - 2 - x2 + 2x 2x = 3x = - x2 + 3x Time je zadatak riješen!
6. Riješ Riješii se zagrad zagradaa i sredi sredi:: f) -2 ( -y2 + 4 ) - ( 2 - y ) · ( y - 4 ) = = = 2y2 - 8 - ( 2y - 8 - y2 + 4y 4y ) = 4y = = 2y2 - 8 - 2y + 8 + y2 - 4y = 3y2 - 6y
Time je zadatak riješen!
g) ( a + 9 ) ∙ ( a - 9 ) - ( a2 - 9 ) · 9 = = a2 - 9a + 9a - 81 81 - ( 9a2 - 81 ) = =
= a2 - 9a + 9a - 81 81 - 9a2 + 81 = = -8a2 Time je zadatak riješen!
7. Riješ Riješii se zagrad zagradaa i sredi sredi:: a) ( a + b + 2 ) · ( a - b ) =
= a2 - ab + ab - b2 + 2a - 2b =
2
2
= a - b + 2a - 2b
Time je zadatak riješen!
b) e - ( e - f ) · ( -e + f + 1 ) =
2
2
= e - ( -e + ef + e + ef - f - f ) = = e + e2 - ef - e - ef + f2 + f = = e2 + f2 - 2ef + f Time je i ovaj zadatak riješen!
8. Riješ Riješii se zagrad zagradaa i sredi sredi:: a)
ab - [ a2 - ( a - b ) · a ] =
Pažljivo pogledaj zadatak i razmisli - koji dio ćemo ovdje prvo rješavati? Prvo ćemo se riješiti okrugle zagrade! Kako?
Ispred nje je minus, a iza nje množenje. Stoga ćemo sve ispred nje prepisati, zatim otvoriti zagradu (zbog minusa), a onda svakog iz te zagrade pomnožiti s a ...
8. Riješ Riješii se zagrad zagradaa i sredi sredi:: a)
ab - [ a2 - ( a - b ) · a ] = = ab - [ a2 - ( a2 - ab ) ] =
= Što sad? Riješimo se okrugle zagrade! Kako?
Minus ispred nje kaže da svim pribrojnicima iz nje promijenimo predznak. A sve prije tog minusa ćemo, naravno, prepisati...
8. Riješ Riješii se zagrad zagradaa i sredi sredi:: a)
ab - [ a2 - ( a - b ) · a ] =
= ab - [ a2 - ( a2 - ab ) ] = = ab - [ a2 - a2 + ab ] = =
ab
= 0
-
a2
+
a2
- ab =
Što sad? Sad se još riješimo uglate zagrade! Kako?
Minus ispred nje kaže da svim pribrojnicima iz nje promijenimo predznak.
8. Riješ Riješii se zagrad zagradaa i sredi sredi:: b)
- [ -2y - ( 3y - 7 ) · (-6) ] · ( 5x - 6x ) =
Što ćemo ovdje prvo rješavati? Ovdje imamo dvije okrugle zagrade! Riješit ćemo se obje!
Kako ćemo se riješiti prve? Ispred prve okrugle zagrade je minus, a iza nje množenje. Stoga ćemo je se riješiti kao i u prošlom zadatku. A što ćemo s drugom okruglom zagradom? Izraz u njoj se može izračunati! Sjeti se koliko je 5x - 6x ...
8. Riješ Riješii se zagrad zagradaa i sredi sredi:: b)
- [ -2y - ( 3y - 7 ) · (-6) ] · ( 5x - 6x ) = = - [ - 2y - ( -18y + 42 ) ] · ( -x ) =
= - [ - 2y + 18y - 42 ] · ( -x ) = = - [ 16y - 42 ] · ( -x ) = = - ( -16xy + 42x ) = = 16xy - 42x Time smo riješili i ovaj zadatak!
Došli smo do kraja prezentacije. prezentacije. Klikom na donji link otvorit će ti se Word dokument dokument koji sadrži mnoge ovdje riješene zadatke, ali i dodatne zadatke za uvježbavanje. uvježbavanje. Sretno u rješavanju! Link - zadaci za vježbu vježbu
Autorica prezentacije
Antonija Horvatek ožujak 2010
Ovaj materijal možete koristiti u nastavi, tj. u radu s učenicima. U istu svrhu dozvoljeno je mijenjati ga i prilagoditi svojim potrebama. Za svako korištenje materijala koje nije rad s učenicima, npr. za za objavljivanje materijala ili dijelova materijala u časopisima, č asopisima, udžbenicima, na CDCD-ima..., za korištenje na predavanjima, predavanjima, radionicama..., potrebno je tražiti i dobiti dozvolu autorice, te vezano uz objavu materijala navesti ime autorice (ako dozvolu dobijete). Ukoliko na bilo koji način koristite moje materijale, bit će mi drago ako dobijem povratnu informaciju, Vaše primjedbe, komentare... komentare... Antonija Horvatek
[email protected] [email protected] http://public.carnet.hr/~ahorvate http://public.carnet.hr/~ahorvate
