Kursi i matematikes elementare.pdf

¨ UNIVERSITETI I PRISHITNES

Dr. Sci. MINIR EFENDIJA & Mr. Sci. RAMADAN LIMANI

¨ ELEMENTARE KURSI I MATEMATIKES ¨ NDRYSHME ZBATIME TE

Prishtin¨ e, 2008

Recenzent¨e: Dr.sci. Qamil Haxhibeqiri, prof. i rregullt i FSHMN n¨e UP Dr.sci. Muhib Lohaj, prof. i asocuar i FSHMN n¨e UP

K¨eshilli Botues i Universitetit t¨e Prishitne¨es lejoi botimin dhe p¨erdorimin e k¨etij teksti me Vendimin nr. ???????? t¨e dat¨es ????????.

©T¨e gjitha t¨e drejtat jan¨e t¨e rezervuara. Nuk lejohet shum¨efishimi me ¸cdo mjet apo form¨e, pa lejen e autori¨eve.

Parath¨ enie

Ky tekst ¨esht¨e rezultat i ligj¨eratave dhe ushtrimeve t¨e mbajtura p¨er vite t¨e t¨era n¨e kuad¨er t¨e kursit po me t¨e nj¨ejtin em¨er p¨er student¨et e Departamentit t¨e Matematik¨es, kurse kursit t¨e Matematik¨ es elementare p¨er student¨et e Departamentit t¨e Fizik¨es dhe Departamentit t¨e Kimis¨e n¨e FSHMN n¨e Universitetin e Prishtin¨es. Deri m¨e tani, n¨e nj¨e form¨e ose tjet¨er, student¨et siguronin pjes¨et kryesore t¨e k¨etij teksti, qoft¨e n¨e form¨en e materialit t¨e fotokopjuar apo n¨e form¨en elektronike. Tani, n¨e k¨et¨e tekst, lexuesi do ta ket¨e t¨er¨e materialin e nevojsh¨em p¨er t¨e pregatitur provimin nga Kursi i matematik¨ es elementare dhe p¨er t¨e krijuar baz¨en elementare t¨e matematik¨es, e cila baz¨e student¨eve do t’u mund¨esonte q¨e provimet e tjera q¨e jan¨e n¨e korelacion me matematik¨en, t¨e kuptohen m¨e leht¨e dhe m¨e shpejt. P¨er dallim nga materiali i m¨eparsh¨em i Kursit t¨ e matematik¨ es elementare, i cili kishte pak shembuj t¨e aplikimit t¨e matematik¨es n¨e fushat e tjera, ky tekst ¨esht¨e pasuruar me shembuj t¨e shumt¨e nga ekonomia, fizika dhe kimia. N¨e k¨et¨e m¨enyr¨e, lexuesi do t¨e bindet vet¨e se sa e r¨end¨esishme ¨esht¨e baza elementare e matematik¨es p¨er t¨e kuptuar, shpjeguar apo interpretuar problemet e ndryshme jet¨esore. P¨ervet¨esimi i materialit t¨e k¨etij teksti nga ana e lexuesit, do t’i siguronte atij nj¨e ecje t¨e sigurt drejt hulumtimit shkencor, si n¨e matematik¨e ashtu edhe n¨e disciplinat e tjera t¨e cilat matematik¨en e p¨erdorin si mjet ndihm¨es. ¨ e shum¨e e kuptueshme q¨e do t¨e ishte e pamundur q¨e n¨e k¨et¨e tekst Esht¨ t¨e p¨erfshihej i t¨er¨e materiali nga matematika, i cili lexuesit do t’i siguronte nj¨e baz¨e t¨e sigurt¨e t¨e matematik¨es, por ne jemi munduar q¨e t¨e p¨ermbledhim gj¨erat m¨e t¨e domosdoshme pa u ndalur n¨e holl¨esira t¨e shumta, pa t¨e cilat do t¨e ishte e pamundur q¨e me sukses t¨e p¨ercilleshin kurset e tjera nga matematika. Po ashtu jemi shum¨e t¨e vet¨edijsh¨em q¨e n¨e k¨et¨e tekst jan¨e p¨ervjedhur gabime, prandaj, c¸do v¨erejtje, sugjerim apo korrigjim t¨e ndonj¨e gabimi nga lexuesit e nderuar do t¨e ishte shum¨e e mir¨eseardhur dhe do t¨e ndikonte n¨e ngritjen e kualitetit t¨e tekstit me rastin e ndonj¨e ribotimi eventual. V¨erejtjet eventuale, sugjerimet apo komentet mund t’i d¨ergoni n¨e nj¨erin prej e-mail adresave t¨e autor¨eve: m− [email protected], ose n¨e r− [email protected].

iv

Parath¨ enie

Me k¨et¨e rast autor¨et falendorjn¨e ngroht¨esisht recenzent¨et e tekstit: dr.sc. Qamil Haxhibeqiri, prof. i rregullt, dr.sc. Ramadan Zejnullahu, prof. i rregullt dhe dr.sc. Muhib Lohaj, prof. i asocuar, t¨e cil¨et me kujdes t¨e ve¸cant¨e e lexuan dor¨eshkrimin dhe dhan¨e v¨erejtje shum¨e t¨e q¨elluara, t¨e cilat ndikuan n¨e kualitetin e tekstit. Prishtin¨e, qershor 2010 Autor¨et: 1. Dr.sc. Minir Efendija, prof. i rregullt 2. Mr.sc. Ramadan Limani, ligj.

P¨ ermbajtja Parath¨ enie ¨ ¨ 1 BASHKESIT E 1.1 DISA SIMBOLE DHE RELACIONE LOGJIKE . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ ¨ . . . . . . . 1.2 KUPTIMI I BASHKESIS E 1.2.1 Relacionet mes bashk¨esive . . . . 1.2.2 Veprimet me bashk¨esi . . . . . . ¨ USHTRIME . . . . . . 1.3 DETYRA PER

iii 1 . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

2 FUNKSIONET (PASQYRIMET) 2.1 NDRYSHORET (VARIABLAT) DHE KONSTANTET . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 KUPTIMI I FUNKSIONIT . . . . . . . . . . . ¨ REND ¨ ¨ 2.3 DISA FUNKSIONE TE ESISHME . . . 2.4 KOMPOZIMI I FUNKSIONEVE . . . . . . . . 2.5 FUNKSIONET C ¸ IFT E TEK DHE FUNKSIONET PERIODIKE . . . . . . . . . . 2.5.1 Funksionet c¸ift e tek . . . . . . . . . . . 2.5.2 Funksionet periodike . . . . . . . . . . . 2.6 FUNKSIONET INVERSE . . . . . . . . . . . . 2.7 DISA FUNKSIONE KARAKTERISTIKE . . . 2.7.1 Vlera absolute . . . . . . . . . . . . . . 2.7.2 Funksioni signum (i shenj¨es) . . . . . . 2.7.3 Pjesa e plot¨e . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.4 Funksioni karakteristik i bashk¨esis¨e A . 2.8 FUNKSIONET MONOTONE . . . . . . . . . . 2.9 LLOJET E FUNKSIONEVE . . . . . . . . . . 2.9.1 Funksioni konstant . . . . . . . . . . . . 2.9.2 Funksionet polinomiale . . . . . . . . . 2.9.3 Funksionet racionale . . . . . . . . . . . 2.9.4 Funksionet transcendente (joalgjebrike) 2.10 FUNKSIONI LINEAR . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

1 2 3 3 10 13

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

13 13 18 20

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

21 21 21 22 23 23 25 25 26 26 27 27 27 28 28 29

¨ PERMBAJTJA

vi ¨ EKONOMIKS 2.11 ZBATIMI NE DHE BIZNES . . . . . . . . . . . . . . 2.11.1 Vija buxhetore . . . . . . . . . 2.11.2 Analiza B-E (Break-Even) . . . 2.11.3 Zbatime t¨e tjera n¨e ekonomiks ¨ USHTRIME . . . . . 2.12 DETYRA PER

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

3 POLINOMET DHE SHPREHJET RACIONALE ALGJEBRIKE 3.1 FUQIZIMI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ EZIMI ¨ 3.2 RRENJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 KUPTIMI I POLINOMIT . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Mbledhja dhe zbritja e polinomeve . . . . . 3.3.2 Shum¨ezimi i polinomeve . . . . . . . . . . . 3.3.3 Pjes¨etimi i polinomeve . . . . . . . . . . . . 3.3.4 Faktorizimi i polinomeve . . . . . . . . . . . 3.4 THJESHTIMI I SHPREHJEVE RACIONALE ALGJEBRIKE . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Thyesat algjebrike . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Thjeshtimi i shprehjeve racionale algjebrike ¨ USHTRIME . . . . . . . . . . . . 3.5 DETYRA PER

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

34 35 38 39 47

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

51 51 54 56 57 58 58 60

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

64 64 65 68

4 SISTEMET E EKUACIONEVE LINEARE 79 ¨ 4.1 EKUACIONET LINEARE ME NJE ¨ PANJOHUR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 TE ¨ TE ¨ PAN4.2 ZBATIMET E EKUACIONEVE LINEARE ME NJE JOHUR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.3 SISTEMET E EKUACIONEVE LINEARE . . . . . . . . . . . . 84 ¨ 4.4 ZBATIMET E SISTEMEVE TE EKUACIONEVE LINEARE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.5 PABARAZIMET LINEARE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.5.1 Pabarazimet lineare me nj¨e t¨e panjohur . . . . . . . . . . 91 4.5.2 Pabarazimet lineare me dy t¨e panjohura . . . . . . . . . . 95 ¨ EKONOMIKS 4.6 ZBATIMET NE DHE BIZNES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.6.1 Analiza K¨erkesa - Oferta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.6.2 Ekuilibri n¨e modelin e t¨e ardhurave nacionale . . . . . . . 98 4.6.3 Analiza B-E (metoda grafike) . . . . . . . . . . . . . . . . 99 ¨ USHTRIME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.7 DETYRA PER 5 EKUACIONI KUADRATIK DHE FUNKSIONI y = ax2 +bx+c113 5.1 EKUACIONI KUADRATIK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5.1.1 Rregullat e Viet–it . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.1.2 Shembuj tekstual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.1.3 Ekuacionet bikuadratike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 5.2 FUNKSIONI KUADRATIK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

¨ PERMBAJTJA

5.3

5.4

5.2.1 Shenja e trinomit kuadratik . . . . . . . . . ¨ EKONOMIKS ZBATIMET NE DHE BIZNES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Analiza K¨erkesa - Oferta. Modeli jolinear . 5.3.2 Detyra lidhur me t¨e hyrat, koston e profitin ¨ USHTRIME . . . . . . . . . . . . DETYRA PER

vii . . . . . . . . 126 . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

132 132 136 139

6 EKUACIONET, INEKUACIONET DHE FUNKSIONET EKSPONENCIALE 143 6.1 EKUACIONET EKSPONENCIALE . . . . . . . . . . . . . . . . 143 6.2 PABARAZIMET EKSPONENCIALE . . . . . . . . . . . . . . . 147 6.3 FUNKSIONET EKSPONENCIALE . . . . . . . . . . . . . . . . 148 ¨ EKONOMIKS 6.4 ZBATIMET NE DHE BIZNES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 ¨ USHTRIME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 6.5 DETYRA PER 7 FUNKSIONET, EKUACIONET DHE INEKUACIONET LOGARITMIKE 163 7.1 FUNKSIONET LOGARITMIKE . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 7.2 EKUACIONET DHE INEKUACIONET LOGARITMIKE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 ¨ EKONOMIKS 7.3 ZBATIMET NE DHE BIZNES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 ¨ USHTRIME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 7.4 DETYRA PER 8 PROGRESIONI ARITMETIK DHE AI GJEOMETRIK 8.1 DISA KUPTIME MBI VARGJET . . . . . . . . . . . . . . 8.2 VARGU (PROGRESIONI) ARITMETIK . . . . . . . . . . ¨ USHTRIME . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 DETYRA PER 8.4 VARGU (PROGRESIONI) GJEOMETRIK . . . . . . . . . ¨ USHTRIME . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 DETYRA PER ¨ USHTRIME . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6 DETYRA PER

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

183 183 192 198 201 215 218

Indeksi

221

Literatura

225

viii

¨ PERMBAJTJA

1

¨ ¨ BASHKESIT E 1.1

DISA SIMBOLE DHE RELACIONE LOGJIKE

x = y tregon se vlera e x ¨esht¨e e nj¨ejt¨e me vler¨en e y. n 

xi ≡ x1 + x2 + ... + xn .

i=1 n 

xi ≡ x1 · x2 · · · xn .

i=1

”∀” z¨evend¨eson shprehjen ”p¨er ¸cdo”. ”∃” z¨evend¨eson shprehjen ”ekziston”. ” ∃” z¨evend¨eson shprehjen ”nuk ekziston”. ”∨” z¨evend¨eson shprehjen (lidh¨esen) ”ose”. ”∧” z¨evend¨eson shprehjen (lidh¨esen) ”dhe”. ”: ose |” z¨evend¨eson shprehjen ”ashtu q¨e”. N¨e qoft¨e se m dhe n jan¨e numra t¨e plot¨e, at¨eher¨e ”m, ..., n” sh¨enon t¨e gjith¨e numrat e plot¨e n¨e mes t¨e m e n, nd¨ersa ”m, m + 1, ...” sh¨enon t¨e gjith¨e numrat e plot¨e q¨e jan¨e m¨e t¨e m¨edhenj¨e ose t¨e barabart¨e me m. Shembuj 1.1.1 1. 22 =

√ 16 = 4.

2. P¨er ¸cdo num¨er x, x2 ≡ x · x. 3. ”∃ num¨er i plot¨e x : x > a ∀ num¨er t¨e plot¨e a < 0,” z¨evend¨eson shprehjen: ”ekziston num¨er i plot¨e x i till¨e q¨e x > a p¨er ¸cdo num¨er a m¨e t¨e vog¨el se zero.”

¨ ¨ BASHKESIT E

2

4.

4 

i = 1 + 2 + +3 + 4 = 10

i=1

5.

4 

i = 1 · 2 · 3 · 4 = 24.

i=1

N¨e vazhdim marrim disa relacione logjike. Supozojm¨e se a e b shenojn¨e dy shprehje (p.sh. a : ”x < 5”, b : ”x < 10”). ”a rrjedh b” ose ”a ⇒ b” z¨ev¨end¨eson shprehjen ”n¨ese a ¨esht¨e e sakt¨e at¨eher¨e edhe b ¨esht¨e e sakt¨e”. N¨e qoft¨e se ”a ⇒ b dhe b ⇒ a”, at¨eher¨e thuhet se a ¨esht¨e ekuivalent me b ose a at¨eher¨e dhe vet¨em at¨eher¨e b. N¨e k¨et¨e rast merret shenimi a ⇔ b. Relacioni ⇒ (pra edhe ⇔) ¨esht¨e tranzitiv. D.m.th, n¨e qoft¨e se ”a ⇒ b dhe b ⇒ c, at¨eher¨e a ⇒ c”.

1.2

¨ ¨ KUPTIMI I BASHKESIS E

Nocioni i bashk¨esis¨e n¨e matematik¨e paraqet nj¨e nocion themelor, prandaj nuk mund t¨e p¨erkufizohet. Kjo ndodh p¨er faktin se disa bashk¨esi p¨ermbajn¨e aso objekte (elemente) t¨e cil¨et p¨er nga natyra jan¨e t¨e lloj-llojsh¨em. K¨eshtu, p¨er t¨e qen¨e sa m¨e i qart¨e kuptimi i bashk¨esis¨e p¨er nx¨en¨esin, studentin, etj., duhet t¨e merren shembuj t¨e ndrysh¨em t¨e bashk¨esive. Bashk¨esit¨e zakonisht sh¨enohen me shkronja t¨e m¨edha t¨e alfabetit latin si A, B, C, ... apo ndonj¨eher¨e ndodh q¨e t¨e sh¨enohen edhe n¨e ndonj¨e m¨enyr¨e tjet¨er si p.sh. α, β, ...; a, b, c, ...; P(A), L(A), C[a,b] , etj. Objektet q¨e e formojn¨e bashk¨esin¨e i quajm¨e elemente t¨e bashk¨esis¨e. Ato zakonisht sh¨enohen me shkronja t¨e vogla t¨e alfabetit latin si a, b, c, x, y, ... apo ndonj¨eher¨e edhe me simbole tjera. Elementet jan¨e t¨e ndara me presje dhe jan¨e t¨e mb¨erthyera me kllapa gjarp¨erore. Faktin se elementi x i takon (nuk i takon) bashk¨esis¨e A simbolikisht e shkruajm¨e x ∈ A (x ∈ A). Dallojm¨e bashk¨esin¨e e cila nuk p¨ermban asnj¨e element, t¨e cil¨en e quajm¨e bashk¨esi boshe (t¨e zbrazt¨e) dhe simbolikisht e shkruajm¨e me ndonj¨erin prej simboleve ∅ ose { }, nd¨ersa ne do t¨e preferojm¨e simbolin e par¨e. P¨er nga numri i elementeve t¨e bashk¨esis¨e dallojm¨e bashk¨esi t¨e fundme dhe t¨e pafundme. Nga k¨eto t¨e fundit dallojm¨e bashk¨esi t¨e num¨erueshme (elementet e t¨e cilave mund t’i shkruajm¨e n¨e trajt¨e vargu) dhe t¨e panum¨erueshme. {x ∈ X | x ka vetin¨e P }, sh¨enon bashk¨esin¨e e elementeve t¨e X t¨e cil¨et posedojn¨e vetin¨e P. Shembuj 1.2.1 1. 2 ∈ {2}, por 2 = {2}. 2. {M, N } = {N, M }. 3. {x | x ¨esht¨e zanore e alfabetit shqip} = {a, e, ¨e, i, o, u, y}. 4. A = {x | x ¨esht¨e qytet i Kosov¨es} ({bashk¨esia e t¨e gjitha qyteteve t¨e Kosov¨es}).

¨ ¨ 1.2 KUPTIMI I BASHKESIS E

3

5. B = {x | x ¨esht¨e lum i Europ¨es} ({bashk¨esia e t¨e gjith¨e lumenj¨eve t¨e Europ¨es}). 6. C = {x | x ¨esht¨e banor i bot¨es} ({bashk¨esia e t¨e gjith¨e banor¨eve t¨e bot¨es}.

1.2.1

Relacionet mes bashk¨ esive

Supozojm¨e se X dhe Y jan¨e dy bashk¨esi. N¨e qoft¨e se ¸cdo element i bashk¨esis¨e X ¨esht¨e element edhe i bashk¨esis¨e Y, at¨eher¨e thuhet se X ¨esht¨e n¨enbashk¨esi e bashk¨esis¨e Y dhe sh¨enohet X ⊂ Y. Pra: X ⊂ Y at¨eher¨e dhe vet¨em at¨eher¨e kur x ∈ X rrjedh se x ∈ Y. N¨ese dy bashk¨esi X dhe Y p¨ermbajn¨e elementet e nj¨ejta, at¨eher¨e do t¨e themi se ato dy bashk¨esi jan¨e t¨e barabarta dhe simbolikisht do t¨e shkruajm¨e X = Y. Nga kuptimi i n¨enbashk¨esis¨e dhe barazimit t¨e dy bashk¨esive shihet qart¨e se dy bashk¨esi jan¨e t¨e barabarta at¨eher¨e dhe vet¨em at¨eher¨e, n¨ese X ⊆ Y dhe Y ⊆ X. N¨e qoft¨e se X ⊂ Y por X = Y, at¨eher¨e thuhet se X ¨esht¨e ”n¨enbashk¨esi rigoroze” e bashk¨esis¨e Y dhe sh¨enohet X ⊂ Y. N¨e qoft¨e se X ⊂ Y, at¨eher¨e Y ¨esht¨e mbibashk¨esi e bashk¨esi¨e X, q¨e mund t¨e sh¨enohet si Y ⊃ X. Shembuj 1.2.2 1. {2, 4} ⊂ {1, 2, 3, 4} 2. {1, 2, 3} ⊆ {1, 2, 3} 3. {1, 3} ⊂{1, 2, 3}. =

Me card A do t¨e sh¨enojm¨e numrin e elementeve (numrin kardinal) t¨e bashk¨esis¨e A. P.sh. card {2, 4} = 2, card {a, b, c} = 3. Shembuj 1.2.3 Nuk ¨esht¨e v¨eshtir¨e t¨e konstatohet se nga cilat elemente p¨erb¨ehet secila nga bashk¨esit¨e:   1 A = {a, b, c} , B = {a, b, c, {a} , {b} , ∅} , C = +, 0, −, , Deti Adriatik 2   D = {b, b, b, c, c, a, a, a, a} , E = x|x ∈ N ∧ x2 ≤ 10 . Leht¨e mund t¨e shihet se A ⊆ B dhe A = D, prej nga konkludojm¨e se te bashk¨esit¨e nuk ka r¨end¨esi renditja e elementeve dhe p¨ers¨eritja e ndonj¨e elementi.

1.2.2

Veprimet me bashk¨ esi

Unioni i dy bashk¨ esive U = X ∪ Y = {x : x ∈ X ose x ∈ Y } sh¨enon unionin e bashk¨esive X dhe Y. (fig. 1.1(a).) Pra, bashk¨esia U p¨ermban elementet q¨e gjenden n¨e t¨e pakt¨en nj¨er¨en nga ato bashk¨esi.

¨ ¨ BASHKESIT E

4 Vetit¨e: X ∪∅ X ∪X

= =

X, ∀ X X, ∀ X

X ∪B (X ∪ Y ) ∪ Z

= =

Y ∪ X, ∀ X, Y, (ligji komutativ) X ∪ (Y ∪ Z), ∀ X, Y, Z, (ligji asociativ)

X ⊆ Y =⇒ X ∪ Y X⊆Y

= Y, ∀ X, Y =⇒ X ∪ Z ⊆ Y ∪ Z, ∀ X, Y, Z.

Prerja e dy bashk¨ esive P = X ∩ Y = {x : x ∈ X dhe x ∈ Y } sh¨enon prerjen e bashk¨esive X dhe Y. (fig. 1.1(a).) Pra, P ¨esht¨e bashk¨esia e t¨e gjith¨e elementeve q¨e gjenden nj¨ekoh¨esisht n¨e X dhe Y. Vetit¨e: X ∩ ∅ = ∅, ∀ X X ∩ X = X, ∀ X X ∩ Y = Y ∩ X, ∀ X, Y (ligji komutativ) (X ∩ Y ) ∩ Z = X ∩ (Y ∩ Z), ∀ X, Y, Z (ligji asociativ (i shoq¨erimit)) X ⊆ Y =⇒ X ∩ Y = X, ∀ X, Y X ⊆ Y =⇒ X ∩ Z ⊆ Y ∩ Z, ∀ X, Y, Z X ∩ (Y ∪ Z) = (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z) (ligji distributiv i prerjes ndaj unionit) X ∪ (Y ∩ Z) = (X ∪ Y ) ∩ (X ∪ Z) (ligji distributiv i unionit ndaj prerjes)

Veprimet union dhe prerje mund t¨e p¨erkufizohen edhe p¨er nj¨e num¨er t¨e ¸cfar¨edosh¨em t¨e bashk¨esive Ai (i ∈ I), ku I ¨esht¨e bashk¨esi e ¸cfar¨edoshme indeksesh, n¨e k¨et¨e m¨enyr¨e: ∪ Xi = {x|∃i0 ∈ I ∧ x ∈ Xi0 } ,

i∈I

∩ Xi = {x|x ∈ Xi , ∀ i ∈ I} .

respektivisht

i∈I

N¨ese I = N (N ¨esht¨e bashk¨esia e numrave natyral¨e), at¨eher¨e: ∞

∪ Xi = ∪ Xi

i∈I

i=1

respektivisht

∞

∩ Xi = ∩ Xi . i=1

i∈I

Tani, ligjet distributive mund t¨e p¨ergjith¨esohen si vijon: X ∩ ( ∪ Xi ) = ∪ (X ∩ Xi ), i∈I

i∈I

X ∪ ( ∩ Xi ) = ∩ (X ∪ Xi ). i∈I

i∈I

p¨erkat¨esisht

¨ ¨ 1.2 KUPTIMI I BASHKESIS E

5

Ndryshimi (diferenca) e dy bashk¨ esive Z = X \ Y = {x : x ∈ X dhe x ∈ Y } sh¨enon ndryshimin (diferenc¨ en) n¨e mes t¨e bashk¨esive X dhe Y. (fig. 1.1(a).) Pra, ajo paraqet bashk¨esin¨e, elementet e s¨e cil¨es gjenden n¨e X por jo n¨e Y. Vetit¨e: X\∅ = X, ∀ X X\X = ∅, ∀ X; X\Y = ∅, ∀ X ⊆ Y X\Y = Y \X, (X\Y )\C = X\(Y \C), ∀ X, Y, C, N¨ese X ⊆ Y, Z\X ⊇ Z\Y.X\ N¨e qoft¨e se Y p¨ermbahet n¨e X, X \ Y quhet komplement (plot¨ es) i Y n¨e X dhe sh¨enohet CX Y ose Y c (fig. 1.1(b)). N¨e t¨e shumt¨en e rasteve bashk¨esia universale X n¨e m¨enyr¨e implicite n¨enkuptohet, dhe n¨e k¨et¨e rast komplementi sh¨enohet me Y c ≡ X \ Y. ¨ e i sakt¨e relacioni Esht¨ Z ⊆ Y ⊆ X =⇒ CX Z ⊇ CX Y. X ∪Y CX Y X \Y

X ∩Y

X

Y Y

X

(a)

(b) Fig. 1.1

Shembuj 1.2.4 1. {2, 3, 4} ∩ {2, 5} = {2}; 2. {2, 3, 4} ∪ {2, 5} = {2, 3, 4, 5}; 3. {2, 3, 4} \ {2, 5} = {3, 4}. Shembulli 1.2.1 Le t¨e jen¨e X1 = {2, 3} dhe X2 = {4, 1, 3}. T¨e llogariten: (a) (b) (c)

X1 ∪ X 2 ; X1 ∩ X 2 ; X1 \ X 2 ;

¨ ¨ BASHKESIT E

6

Zgjidhjen e b¨en lexuesi. Veprimet e sip¨ersh¨enuara me bashk¨esi mund t¨e ilustrohen me diagramet e Vennit. Ligjet e DeMorganit

1. (X ∪ Y )c = X c ∩ Y c 2. (X ∩ Y )c = X c ∪ Y c . Theksojm¨e se ligjet e DeMorganit mund t¨e p¨ergjith¨esohen p¨er nj¨e num¨er t¨e ¸cfar¨edosh¨em bashk¨esish: ( ∪ Xi )c = ∩ Xic , i∈I

i∈I

( ∩ Xi )c = ∪ Xic , i∈I

i∈I

Prodhimi kartezian (i drejtp¨ erdrejt) i dy bashk¨ esive. Simbolet e form¨es (a, b) quhen dyshe t¨e renditura. Quhen t¨e renditura sepse ¨esht¨e me r¨end¨esi se cili element ndodhet n¨e vendin e par¨e e cili n¨e t¨e dytin. Barazimi nd¨ermjet dysheve t¨e renditura p¨erkufizohet si vijon: (a, b) = (c, d) ⇐⇒ a = c ∧ b = d. N¨e m¨enyr¨e t¨e ngjashme merret p¨erkufizimin e barazimit t¨e dy n−sheve t¨e renditura. D.m.th. (a1 , a2 , ..., an ) = (b1 , b2 , ..., bn ) at¨eher¨e dhe vet¨em at¨eher¨e, n¨ese ai = bi (i = 1, 2, ..., n). Tani, mund t¨e japim p¨erkufizimin e prodhimit kartezian. A × B = {(a, b)|a ∈ A ∧ b ∈ B} . Vetit¨e: A × ∅ = ∅, ∀ A A × B = B × A, ∀ A = B (A × B) × C = A × (B × C), ∀ A, B, C A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C) A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C). Produktin kartezian mund ta ilustrojm¨e edhe me ndihm¨en e nj¨e sistemi koordinativ k¨enddrejt¨e, si¸c tregon shembulli n¨e vijim. Shembulli 1.2.2 Le t¨e jen¨e X = {1, 2, 3} dhe y = {b, c}. T¨e gjendet bashk¨esia Z = X × Y dhe t¨e paraqitet ajo n¨e sistemin koordinativ k¨enddrejt¨e. Zgjidhje: Shohim se Z = X × Y = {(1, b), (1, c), (2, b), (2, c), (3, b), (3, c)}. (fig.

¨ ¨ 1.2 KUPTIMI I BASHKESIS E

7

1.2.)

y

c b

1

2

3

x

Fig. 1.2

V¨ erejtje. N¨e baz¨e t¨e p¨erkufizimit t¨e produktit kartezian, konstatuam se vetia asociative nuk vlen. Por n¨ese ke dyshja e rendituar ((a, b), c) i largojm¨e kllapat e brendshme, at¨eher¨e do t¨e marrim treshen e rendituar (a, b, c), q¨e d.m.th. se n¨e k¨et¨e rast do vlente ligji asociativ. Duke patur parasysh v¨erejtjen e m¨esip¨erme, produkti kartezian mund t¨e p¨ergjith¨esohet edhe p¨er n bashk¨esi Ai , i = 1, 2, ..., n n¨e k¨et¨e ¨enyr¨e: n

 Ai = A1 × A2 × ... × An = {(x1 , x2 , ...xn )|xi ∈ Ai , i = 1, 2, ..., n} .

i=1

Shembulli 1.2.3 Le t¨e jen¨e X1 = {1, 3.2}, X2 = {5, 6}. T¨e gjenden bashk¨esit¨e X1 × X2 dhe X2 × X1 . Zgjidhjen e b¨en lexuesi. V¨ erejtje dhe shembuj ¨ e e qart¨e se (a1 , a2 , a3 ) paraqet treshe t¨e renditur. V¨erejm¨e p.sh. se: Esht¨ (3, 2, 5) = {3, 2, 5} (sepse (3, 2, 5) sh¨enon treshen e renditur, por {3, 2, 5} sh¨enon bashk¨esin¨e tri element¨eshe). (3, 2, 5) = (2, 3, 5) (por {3, 2, 5} = {2, 3, 5}). n−shet e renditura nuk ¨esht¨e e domosdoshme q¨e t¨e formohen vet¨em nga numrat. Nj¨e ¸cift i renditur i ngjyrave (p.sh. (Kuq, Gjelb¨ert) ¨esht¨e dyshe e renditur). R × R p¨erb¨ehet nga t¨e gjitha c¸iftet e renditura t¨e numrave real¨e. Shembulli 1.2.4 Le t¨e jet¨e X = {K(uq), V (erdh¨e)} dhe Y = {Zh(urma), Q(et¨esia)}. At¨eher¨e: (K, Zh) (K, V ) X ×Y

∈ ∈

X × Y. X × Y.

= {(K, Zh), (K, Q), (V, Zh), (V, Q)}.

¨ ¨ BASHKESIT E

8

Veprimet e m¨esip¨erme paraqesin veprimet binare me bashk¨esi. Por n¨e bashk¨esin¨e e t¨e gjitha bashk¨esive t¨e mundshme (bashk¨esin¨e universale) p¨erkufizohen edhe veprime unare. Nj¨e nga ato veprime ¨esht¨e edhe bashk¨esia partitive ose e pjes¨eve t¨e nj¨e bashk¨esie t¨e dh¨en¨e. Bashk¨ esia partitive e nj¨ e bashk¨ esie Le t¨e jet¨e A nj¨e bashk¨esi e ¸cfar¨edsohme. Bashk¨esia P(A) = {X|X ⊆ A} quhet bashk¨ esi partitive e bashk¨esis¨e A. Vetit¨e: A ⊆ B =⇒ P(A) ⊆ P(B),

P(A ∩ B) = P(A) ∩ P(B).

N¨ese card A = n, at¨eher¨e leht¨e v¨ertetohet (me induksion) se card P(A) = 2n . ¨ e dh¨en¨e bashk¨esia A = {a, b, c}. T¨e caktohet P(A). Shembulli 1.2.5 Esht¨ Zgjidhje: Bashk¨esia partitive e A−s¨e ¨esht¨e: P(A) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, b}}. Disa shembuj t¨ e r¨ end¨ esish¨ em t¨ e bashk¨ esive 1. N = {1, 2, 3, ..., n, ...}, quhet bashk¨esia e numrave natyral¨e. 2. Z = {..., −n, ..., −2, −1, 0, 1, 2, 3, ..., n, ...}, quhet bashk¨esia e numrave t¨e plot¨e. p : p ∈ Z dhe q ∈ N , 3. Q = q d.m.th. bashk¨esia e t¨e gjitha thyesave pozitive e negative, quhet bashk¨esia e numrave racional¨e. ¨ e e qart¨e se N ⊂ Z ⊂ Q. Esht¨ √ √ 4. Me kalkulator shihet se 2 = 1.4142.... Leht¨e tregohet se 2 ∈ Q, d.m.th. nuk mund t¨e shprehet si thyes¨e e dy numrave t¨e plot¨e (ku em¨eruesi ¨esht¨e i ndrysh¨em nga zero). Bashk¨esia e numrave t¨e till¨e formon bashk¨esin¨e e numrave irracional¨e. At¨e e shenojm¨e me Ir dhe vlen barazimi Q ∩ Ir = ∅. 5. R = Q ∪ Ir, d.m.th. unioni i bashk¨esis¨e s¨e numrave racional¨e dhe bashk¨esis¨e s¨e numrave irracional¨e, quhet bashk¨esia e numrave real¨e. Tregohet se ¸cdo numri real¨e i p¨ergjigjet nj¨e pik¨e n¨e boshtin numerik dhe anasjelltas. Prandaj bashk¨esia R mund t¨e identifikohet me boshtin numerik, dhe p¨er k¨et¨e pranohet sh¨enimi R = (−∞, +∞).

¨ ¨ 1.2 KUPTIMI I BASHKESIS E

9

Intervalet (n¨ enbashk¨ esit¨ e e bashk¨ esis¨ e s¨ e numrave real¨ e) Le t¨e jen¨e a, b ∈ R dhe a < b. [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}, quhet interval i mbyllur ose segment me skajet a dhe b. (a, b) = {x ∈ R : a < x < b}, quhet interval i hapur me skajet a dhe b. (a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b} dhe [a, b) = {x ∈ R : a 0} sh¨enon bashk¨esin¨e e t¨e gjith¨e numrave real¨e pozitiv. Kur n¨e vend t¨e zeros marrim numrin e ¸cfar¨edosh¨em real a, marrim edhe k¨eto n¨enbashk¨esi t¨e r¨end¨esishme t¨e bashk¨esis¨e R: (a, +∞] = {x ∈ R : a < x < +∞} sh¨enon bashk¨esin¨e e t¨e gjith¨e numrave real¨e m¨e t¨e m¨edhenj¨e se a; (−∞, a] = {x ∈ R : −∞ < x < a} sh¨enon bashk¨esin¨e e t¨e gjith¨e numrave real¨e m¨e t¨e vegj¨el ose t¨e barabart¨e me a. Lexuesi le ti paraqes gjeometrikisht intervalet e m¨esip¨erme n¨e boshtin numerik. Shembulli 1.2.6 Jan¨e dh¨en¨e bashk¨esit¨e: A = {x : x ∈ R ∧ x ∈ (3, 7)}; B = {x : x ∈ R ∧ x ∈ [1, 5)}; C D

= {x : x ∈ R ∧ x ∈ (2, 8)}; = {x : x ∈ R ∧ x ∈ (−2, 4)};

E

= {x : x ∈ R ∧ x ∈ (0, 2)}.

T¨e gjenden: A ∪ B, A ∪ C, A ∪ D, A ∪ E, A ∩ B, A ∩ C, A ∩ D, A ∩ E, A\B, A\C, A\D, A\E, B\A, C\A, D\A, E\A. Udh¨ezim: Bashk¨esit¨e e dh¨ena t¨e paraqiten n¨e boshtin numerike pastaj t¨e kryhen veprimet e k¨erkuara.

¨ ¨ BASHKESIT E

10

Shembulli 1.2.7 T¨e gjendet C = A × B = [a, b] × [c, d] dhe t¨e vizatohet kjo bashk¨esi n¨e sistemin koordinativ Oxy. Zgjidhje: Shohim se C = [a, b] × [c, d] = {(x, y) | x ∈ [a, b], y ∈ [c, d]}. (fig. 1.3.) y C =A×B

d y

(x, y)

c a

x

b

x

Fig. 1.3

1.3

¨ USHTRIME DETYRA PER

1. A jan¨e t¨e barabarta bashk¨esit¨e: A = {1, 2, 3, 4} dhe B = {2, 1, 4, 3}? A = {1, 2, 3} dhe B = {1, 1, 1, 2, 3, 4, 3}?

(a) (b) Rez. (a) Po, (b) Jo.

2. T¨e paraqiten elementet e bashk¨esive: (a) A (b) B

= {x | x ∈ N, 3 < x < 12}; = {x | x ∈ N,x − ¸cift, x < 15};

(c) C

= {x | x ∈ N, x + 4 = 3}.

Rez. (a) A = {4, 5.6.7, 8, 9, 10, 11}; (b) B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}; C = ∅. 3. Jan¨e dh¨en¨e bashk¨esit¨e: X = {4, 2}, Y = {x | x + 3 = 5}, Z = {x | x ∈ N, x − ¸cift, x < 5}. Cila prej tyre ¨esht¨e e barabart¨e me bashk¨esin¨e B = {2, 4}? Rez. X = Z = B. 4. T¨e paraqiten elementet e bashk¨esis¨e: A = {x | x ∈ N, 2 ≤ x ≤ 7.2}, B = {x | x ∈ N, x − tek, x ≤ 11}.

Rez. A = {2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {1, 3, 5, 7, 9, 11}.

¨ USHTRIME 1.3 DETYRA PER

11

5. T¨e gjendet bashk¨esia e muajve t¨e vitit q¨e kan¨e m¨e pak se 28 dit¨e. Rez. ∅. 6. T¨e shkruhet bashk¨esia e numrave q¨e formojn¨e numrin e telefonit 229 868. Rez. {2, 6, 8}. 7. Le t¨e jen¨e dh¨en¨e bashk¨esit¨e A = {x, 1, 2, 3, 4}, B = {a, b, 2, y}, C = {1, 6}. T¨e tregohet se vlen¨e: (a) A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C), (b) A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∪ (A \ C).

8. Jan¨e dh¨en¨e bashk¨esit¨e: A = {1, 4, 6}, B = {1, 3, 5}, C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, D = {3, 1, 5}, E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. T¨e tregohet se pohimet n¨e vazhdim jan¨e t¨e sakta apo t¨e pasakta. P¨ergjigjuni me 1 p¨er pohimin e sakt¨e, kurse me 0 p¨er pohimin e pasakt¨e. A; B;

(6) C ⊆ E; (7) B = D;

(3) A ⊂ C;

(8) A = D;

(4) B ⊂ E; (5) A ⊂ E;

(9) ∅ ⊂ A; (10) A ⊆ D.

(1) 2 (2) 1

∈ ∈ =

=

Rez. (1) 0, (2) 1, (3) 1, (4) 1, (5) 1, (6) 1, (7) 1, (8) 0, (9) 1, (10) 0. 9. Jan¨e dh¨en¨e bashk¨esit¨e: A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 3, 4, 5, 6}, C = {2, 3, 4}, D = {7, 8, 9}. T¨e gjenden bashk¨esit¨e: (1) A ∪ B;

(4) A ∩ D;

(7) A ∪ (C ∪ D);

(2) B ∪ C; (3) A ∪ D;

(5) C ∩ D; (8) B ∪ C) ∪ A; (6) (C ∪ B) ∩ A; (9) A ∩ (C ∪ D);

Rez. (1) {1, 2, 3, 4, 5, 6}, (2) {2, 3, 4, 5, 6}, (3) {1, 2, 3, 4, 7, 8, 9}, (4) ∅, (5) ∅, (6) {2, 3, 4}, (7) {1, 2, 3, 4, 7, 8, 9}, (8) {1, 2, 3, 4, 5, 6}, (9) {2, 3, 4}.

¨ ¨ BASHKESIT E

12

10. Le t¨e jet¨e U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} bashk¨esi universale dhe A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 8}, C = {3, 4, 5, 6}. T¨e gjenden: (a) Ac ;

(b) (A ∩ C)c ;

(c) B \ C;

(¸c) (A ∪ B)c .

Rez.(a) Ac = {5, 6, 7, 89}, (b) (A ∩ C)c = {1, 2, 5, 6, 7, 8, 9}, (c) B \ C = {2, 8}, (¸c) (A ∪ C)c {5, 7, 9}. 11. Le t¨e jen¨e A, B, C bashk¨esi t¨e ¸cfar¨edoshme. T¨e v¨ertetohen barazimet: A ∪ A = A; A ∩ A = A; A ∪ B = B ∪ A; A ∩ B = B ∪ A; (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C); (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C); (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C); (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C); A ∪ ∅ = A;

A ∩ ∅ = ∅;

A \ ∅ = A,

A \ A = ∅.

12. Jan¨e dh¨en¨e bashk¨esit¨e: A = {1, 2, 3, 4}, B = {b, c}. T¨e njehsohen: (a) A×B, (b) B ×A, (c) B ×B. A mund t¨e konstatohet se A×B = B ×A? Rez. (a) A × B = {((1, b), (1, c), (2, b), (2, c), (3, b), (3, c), (4, b), (4, c)}, (b) B × A = {(b, 1), (b, 2), (b, 3), (b, 4), (c, 1), (c, 2), (c, 3), (c, 4)}, (c) B × B = {(b, b), (b, c), (c, b), (c, c)}, A × B = B × A. 13. N¨e boshtin numerik t¨e paraqiten intervalet (−∞, 1), (2, 3), [4, +∞). 14. T¨e gjendet A = [2, 3] × [1, 2] dhe t¨e vizatohet kjo bashk¨esi n¨e sistemin koordinativ Oxy. 15. T¨e shkruhet bashk¨esia partitive p¨er bashk¨esit¨e: (a) X = {1, a} dhe (b) Y = {0, 2, {3}}. Rez. (a) P(X) = {∅, {1}, {a}, {1, a}, (b) P(Y ) = {∅, {0}, {2}, {{3}}, {0, 2}, {0, {3}}, {2, {3}}, {0, 2, {3}}}.

2

FUNKSIONET (PASQYRIMET) 2.1

NDRYSHORET (VARIABLAT) DHE KONSTANTET

N¨e ekonomiks si dhe n¨e jet¨en e p¨erditshme hasim n¨e madh¨esi si kostoja, t¨e hyrat, c¸mimet, fitimi, prodhimi, temperatura, syprina e sip¨erfaqes me dimensionet 12 me 12, etj., t¨e cilat maten me vlera numerike. Disa nga ato gjithmon¨e mbesin t¨e nj¨ejta e disa ndryshojn¨e. Ato madh¨esi q¨e mbeten t¨e nj¨ejta quhen konstante, nd¨ersa ato madh¨esi t¨e cilat ndryshojn¨e quhen ndryshore ose variabla. P.sh. prodhimi, fitimi, c¸mimet jan¨e ndryshore, nd¨ersa masa e sip¨erfaqes s¨e dhom¨es me dimensionet 12 m me 12 m ¨esht¨e 144 m2 , d.m.th. ¨esht¨e konstant¨e. Cilat nga madh¨esit¨e vijuese jan¨e variabla e cilat ndryshore? 1. Temperatura jasht¨e sht¨epis¨e. Kjo ¨esht¨e ndryshore. Temperatura jasht¨e sht¨epis¨e ndryshon n¨e var¨esi nga koha. 2. Prodhimi. Kjo ¨esht¨e ndryshore sepse varet nga furnizimi me material, rryma, uji, etj. 3. V¨ellimi i kuadrit me dimensione t¨e dh¨ena. Kjo ¨esht¨e konstant¨e, sepse ajo nuk ndryshon. 4. Intenziteti i zhurm¨es n¨e sall¨en e m¨esimit. Kjo ¨esht¨e ndryshore. Intenziteti i zhurm¨es ndryshon n¨e var¨esi nga numri i student¨eve q¨e bisedojn¨e nd¨ermjet veti dhe nga m¨enyra si ata bisedojn¨e.

2.2

KUPTIMI I FUNKSIONIT

Kuptimi i funksionit ¨esht¨e nd¨er kuptimet m¨e t¨e r¨end¨esishme n¨e matematik¨e.

14

FUNKSIONET (PASQYRIMET)

Sh¨enojm¨e me X bashk¨esin¨e e student¨eve t¨e Universitetit t¨e Prishtin¨es, kurse me Y bashk¨esin¨e e mbiemrave t¨e tyre. N¨e mes t¨e elementeve t¨e bashk¨esis¨e X dhe atyre t¨e Y ekziston nj¨e lidhje plot¨esisht e caktuar: secilit element t¨e bashk¨esis¨e X, d.m.th. secilit student, i p¨ergjigjet element plot¨esisht i caktuar i bashk¨esis¨e Y - mbiemri i tij. K¨et¨e lidhje n¨e mes t¨e bashk¨esive X e Y si dhe n¨e p¨ergjith¨esi lidhjet e ngjashme i p¨erkufizojm¨e n¨e k¨et¨e m¨enyr¨e: P¨ erkufizimi 2.2.1 Le t¨e jen¨e X dhe Y bashk¨esi t¨e dh¨ena dhe joboshe. Rregull¨en (ligjin) f sipas s¨e cil¨es ¸ cdo elementi x ∈ X i p¨ergjigjet nj¨ e dhe vet¨ em nj¨ e element y ∈ Y e quajm¨e funksion (pasqyrim) nga X n¨e Y. N¨e k¨et¨e rast vejm¨e y = f (x) dhe faktin q¨e f pasqyron X n¨e Y e sh¨enojm¨e f

me f : X → Y ose X → Y. y = f (x) quhet vlera e funksionit n¨e pik¨en x ose fytyra e elementit x sipas f. Elementi x quhet origjinali, nd¨ersa y fytyra (p¨erfytyra). Ndryshe x quhet edhe argument ose variab¨el e pavarur, kurse y variab¨el e varur. Bashk¨esin¨e X e quajm¨e domena e funksionit f kurse at¨e Y - kodomena e funksionit f . Domenin e funksionit f zakonisht e sh¨enojm¨e me D(f ). Bashk¨esin¨e {f (x)|x ∈ D(f )} e quajm¨e bashk¨ esi t¨ e vlerave ose rang t¨e funksionit f dhe e sh¨enojm¨e me R(f ) ose (f ). Pra: R(f ) = {f (x) | x ∈ D(f )}. Theksojm¨e se rangu (bashk¨esia e vlerave) i funksionit n¨e rastin e p¨ergjithsh¨em ¨esht¨e n¨enbashk¨esi e kodomen¨es. Funksionin, domena dhe kodomena e t¨e cilit ¨esht¨e bashk¨esia X ⊆ R e quajm¨e funksion real. Si¸c ilustrohet n¨e figur¨en n¨e fig. 2.1, funksioni f ¨esht¨e rregulla q¨e pasqyron y

y2

(x2 , y2 )

y1 x1

x2

x

y1

y2

y

(x1 , y1 ) x1

x2

x

Fig. 2.1 c¸do pik¨e t¨e nj¨e intervali t¨e nj¨e drejt¨eze (domena) n¨e ndonj¨e pik¨e t¨e nj¨e intervali t¨e drejt¨ez¨es tjet¨er (kodomena). Duke e vendosur domen¨en n¨e boshtin Ox dhe kodomen¨en n¨e at¨e Oy, merret nj¨e grafik dydimensional n¨e t¨e cilin shoq¨erimi mes x e y ¨esht¨e marr si bashk¨esi e ¸cifteve si¸c jan¨e (x1 , y1 ) dhe (x2 , y2 ). K¨eshtu: Grafik t¨e funksionit f : X → Y, sh¨enohet me Gf , quajm¨e bashk¨esin¨e: Gf = {(x, f (x)) : ∀x ∈ D(f )}.

2.2 KUPTIMI I FUNKSIONIT

15

Shembuj 2.2.1 1. N¨ese kthehemi n¨e shembullin e dh¨en¨e n¨e fillim shohim se n¨e mes t¨e bashk¨esive X e Y ekziston var¨esia funksionale sepse ¸cdo studenti i p¨ergjigjet mbiemri i tij. 2. Me X sh¨enojm¨e t¨e gjith¨e artikujt q¨e gjenden n¨e vitrin¨en e nj¨e librarije dhe me Y bashk¨esin¨e e ¸cmimeve t¨e tyre. C ¸ do artikulli x i korespondon nj¨e element nga Y (¸cmimi i tij). K¨etu b¨ehet fjal¨e p¨er funksionin i cili p.sh. artikullit x i shoq¨eron c¸mimin f (x). 3. Me X sh¨enojm¨e bashk¨esin¨e e faqeve t¨e nj¨e libri dhe me N, si zakonisht, bashk¨esin¨e e numrave natyral¨e. Secil¨es faqe i shoq¨erohet nj¨e num¨er natyral. Prandaj, edhe n¨e k¨et¨e rast v¨erejm¨e se ekziston var¨esia funksionale n¨e mes t¨e elementeve t¨e X dhe N. 4. Le t¨e jet¨e X = Y = N. Numrit 1 i shoq¨erojm¨e numrin 2, numrit 2 numrin 4 dhe n¨e p¨ergjith¨esi numrit n i shoq¨erojm¨e at¨e 2n. K¨eshtu fitojm¨e funksionin f : N → N : n → 2n, ∀ n ∈ N. Pasqyrimet mund t¨e jipen n¨e m¨enyr¨e analitike, tabelare apo tekstuale. Mjafton t¨e dihen domena, kodomena dhe rregulla (ligji) me ndihm¨en e s¨e cil¨es ¸cdo elementi t¨e domen¨es i shoq¨erohet nj¨e dhe vet¨em nj¨e element i kodomen¨es. Shembulli 2.2.1 Jan¨e dh¨en¨e bashk¨esit¨e X = {a, b, c}, Y = {0, 1, 2} dhe rregullat f : X → Y , g : X → Y , h : Y → X dhe j : Y → X ashtu q¨e: f (a) = 1, f (b) = 0, f (c) = 2, g(a) = 0, g(b) = 0, g(c) = 2 h(0) = a, h(0) = b, h(2) = c, h(0) = b, j(0) = 1, j(1) = a, j(2) = b. Leht¨e shihet se rregullat f dhe g jan¨e pasqyrime, nd¨ersa rregullat h dhe j nuk jan¨e. T¨e b¨ehen korrigjimet e nevojshme n¨e m¨enyr¨e q¨e edhe rregullat h, j t¨e b¨ehen pasqyrime. Shembulli 2.2.2 Le t¨e jet¨e X = {a, b, c}, Y = {u, v, ω, t} dhe rregullat f, g, h le t¨e jepen me diagramet e m¨e posht¨eme (fig. 2.2): f

X

u

Y

g

X

u

Y

h

X

u

a

v

a

v

a

v

b

ω

b

ω

b

ω

c

t

c

t

c

t

Y

Fig. 2.2 V¨erejm¨e se f nuk ¨esht¨e funksion nga X n¨e Y, sepse elementit c ∈ X i shoq¨erohen dy elemente t¨e ndryshme ω, t ∈ Y ;

16

FUNKSIONET (PASQYRIMET)

g nuk ¨esht¨e funksion nga X n¨e Y sepse nuk pasqyron t¨e gjith¨e elementet e bashk¨esis¨e X (elementi b ∈ X nuk ka fytyr¨e); h ¨esht¨e funksion nga X n¨e Y. Shembulli 2.2.3 T¨e gjendet domena e funksioneve f : I → R, ku I ⊆ R, t¨e p¨erkufizuara me: √ 1 . (a) f (x) = x2 + x + 1; (b) f (0) = x + 1; f (x) = 4 − x2 Zgjidhje: (a) Domena ¨esht¨e D(f ) = (−∞, +∞). (b) N¨e k¨et¨e rast duhet q¨e x + 1 ≥ 0, d.m.th. x ≥ −10. Pra, D(f ) = [−1, +∞). (c) 4 − x2 = 0. Pra, D(f ) = (−∞, −2) ∪ (−2, 2) ∪ (2, +∞) = R\{−2, 2}. Shembulli 2.2.4 Le t¨e jet¨e f : N → N funksion i dh¨en¨e me f (x) = x + 5. T¨e gjendet rangu i funksionit f. Zgjidhje: Meqen¨ese D(f ) = N, at¨eher¨e: R(f )

= f (N) = {y = x + 5 | x ∈ N} = = {y = x + 5 | x = 1, 2, 3, · · ·} = {6, 7, 8, 8, 9, · · ·}.

Shembulli 2.2.5 N¨e qoft¨e se f : R → R dhe f (x) = x3 − 6x2 + 11x − 6, t¨e llogariten f (−1), f (0), f (1), f (2), f (3) dhe f (4). Zgjidhje: Kemi: f (−1) f (0) f (1)

= (−1)3 − 6(−1)2 + 11(−1) − 6 = −24, = −6 =

13 − 6 · 12 + 11 · 1 − 6 = 0.

1 1 3 Shembulli 2.2.6 T¨e llogariten f (0), f (− ), f (−x), f (− ) dhe 4 x f (x)

f (x) = 1 + x2 , n¨e qoft¨e se f : R → R. Zgjidhje: Kemi: f (0)  1 f − 4

= =



1 + 02 =

√ 1 = 1,

1 1 + (− )2 = 4

9 = 1+ 16

5 25 = , 16 4



f (−x) = 1 + (−x)2 = 1 + x2 = f (x),

√  1  1 2 1 + x2 1 f − = , = 1+ 2 = 1+ − x x x |x| √ √ 1 1 + x2 1 + x2 1 1 = √ =√ ·√ = . f (x) 1 + x2 1 + x2 1 + x2 1 + x2

dhe

2.2 KUPTIMI I FUNKSIONIT

17

Shembulli 2.2.7 Le t¨e jet¨e f (x) + f (y) = f (z). T¨e caktohet z n¨e qoft¨e se: 1 (a) f (x) = ax, (a = 0), (b) f (x) = , (x = 0). x Zgjidhje: (a) Nga f (x) + f (y) = f (z) marrim ax + ay = az =⇒ z =

ax + ay = x + y, a = 0. a

(b) Nga f (x) + f (y) = f (z) rrjedh 1 1 1 y+x 1 xy + = =⇒ = =⇒ z = , (x, y = 0, x = −y). x y z xy z x+y Shembulli 2.2.8 Le t¨e jen¨e f, g, h: R → R funksione t¨e dh¨ena me x f (x) = , g(x) = x + 1, h(x) = x − 1. 2 T¨e njehsohet: f (g(x)), g(f (x)), g(h(x)), f (g(h(x))). Zgjidhje: Kemi: f (g(x)) g(f (x)) g(h(x)) f (g(h(x)))

x+1 = f (x + 1) = , 2 x x = g = + 1, 2 2 = g(x − 1) = x − 1 + 1 = x, x = f (g(x − 1)) = f (x) = . 2

Shembulli 2.2.9 N¨e qoft¨e se f (x + 1) = 7x − 2, t¨e njehsohet f (x). Zgjidhje: Vejm¨e x + 1 = t. At¨eher¨e, x = t − 1 prandaj f (t) = 7(t − 1) − 2 = 7t − 7 − 2 = 7t − 9.. P¨erfundimisht, f (x) = 7x − 9. N¨e modelet ekonomike, domenet e funksioneve merren t¨e jen¨e n¨enbashk¨esi t¨e bashk¨esis¨e R+ = [0, +∞), sepse ndryshret n¨e to jan¨e numra jonegativ. Prandaj, shumica e modeleve ekonomike vizatohen n¨e kuadrantin e par¨e. Kur nuk thuhet ndryshe domena dhe rangu p¨erfshijn¨e ata numra p¨er t¨e cil¨et funksioni ka kuptim ekonomik. Shembulli 2.2.10 Kostoja totale ditore C ¨esht¨e funksion i prodhimit ditor Q: C = 150 + 7Q. Firma m¨e s¨e shumti mund t¨e prodhoj 100 nj¨esi n¨e dit¨e. T¨e caktohet domena dhe rangu i funksionit. Zgjidhja: Duke marr parasysh se Q merr vlerat n¨e mes t¨e 0 dhe 100, shohim se D(C) = {Q | 0 ≤ Q ≤ 100} = [0, 100).

C B(0, 850)

C = 150 + 7Q C  (0, 150) O

A(100, 0)

Fig.2.3

Q

18

FUNKSIONET (PASQYRIMET)

Grafiku i funksionit C ¨esht¨e drejt¨ez (fig. 2.3). dhe funksioni arrin vler¨en m¨e vog¨el 150 (p¨er Q = 0) dhe vler¨en m¨e t¨e madhe 850 (p¨er Q = 100). Shohim se R(C) = [150, 850]. Nga p¨erkufizimi i pasqyrimit rrjedh se dy pasqyrime f : X → Y dhe g : Z → K jan¨e t¨e barabarta dhe shkruajm¨e f = g n¨ese X = Z, Y = K dhe f (x) = g(x) p¨er ¸cdo x ∈ X = Z. Shembulli 2.2.11 Jan¨e dh¨en¨e rregullat f : Z → N, g : Q → Z, h: N → N t¨e p¨erkufizuara me barazimet p¨erkat¨ese: f (x) = x2 − 1, g(x) = g pq = p, h(n) = 2n − 1. Cilat nga rregullat e m¨esip¨erme jan¨e pasqyrime e cilat jo? Zgjidhje: Rregulla f nuk ¨esht¨e pasqyrim, sepse f (±1) = (±1)2 − 1 = 0, nd¨ersa 0 ∈ N; nd¨ersa rregullat g dhe h jan¨e pasqyrime. Shembulli 2.2.12 Jan¨e dh¨en¨e pasqyrimet f : R → R dhe g : Z → Z t¨e p¨erkufizuara me f (x) = x2 + 1 dhe g(x) = x2 + 1. A jan¨e t¨e barabarta k¨eto dy pasqyrime ? Zgjidhje: Meq¨e Df = Dg, ku Df ¨esht¨e domena e funksionit f , p¨erfundojm¨e se pasqyrimet nuk jan¨e t¨e barabarta. P¨er t¨e thjeshtuar sh¨enimet, nganj¨eher¨e veprohet si m¨e posht¨e. Supozojm¨e se f : X → R dhe g: X → R. At¨eher¨e: ⎧ ⎫ ⎫ f (x) > g(x) ⎪ f >g ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ f ≥g ⎪ ⎨ f (x) ≥ g(x) ⎪ ⎬ ⎬ f (x) = g(x) f =g n¨enkupton se vlen: p¨er ¸cdo x ∈ X. ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ f (x) ≤ f ≤g ⎪ g(x) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎭ f 0, | − 7| = −(−7) = 7, sepse −7 < 0, | 17 = 17, sepse 17 > 0. Nga p¨erkufizimi i m¨esip¨erm merren k¨eto veti t¨e vler¨es absolute: | −x |=| x | .

(1)

|x| ≥ 0 dhe |x| = 0 ⇐⇒ x = 0.

(2)

x ≤ |x| dhe − x ≤ |x|.

(3)

−|x| ≤ x ≤ |x|.

(4)

Nga (3) shohim se vlen Po ashtu, nga p¨erkufizimi i sip¨ersh¨enuar marrim: (−y ≤ x ≤ y) ⇐⇒ (x ≤ y ∧ −x ≤ y) ⇐⇒ |x| ≤ y, p¨er ¸cdo y ≥ 0. Teorema 2.7.1 N¨e qoft¨e se a, b ∈ R, at¨eher¨e: 1)

||a|| = |a| ≥ 0;

2) 3)

|a + b| ≤ |a| + |b|; ||a| − |b|| ≤ |a − b|;

4)

|a · b| = |a| · |b|;    a  |a|  = , b = 0. b |b|

5)

(5)

24

FUNKSIONET (PASQYRIMET)

Le t¨e jen¨e a, b ∈ R. Largesa ose distanca n¨e mes t¨e pikave a e b, sh¨enohet me d(a, b) dhe p¨erkufizohet me barazimin: d(a, b) = |a − b|. P.sh. gjat¨esia e intervalit [−5, 11] ¨esht¨e d(−5, 11) =| −5 − 11 |=| −16 |= 16. V¨ erejtje. P¨er ¸cdo a ∈ R, a ≥ 0, vlen: |x| |x|

≤ a ⇐⇒ x ∈ [−a, a]; > a ⇐⇒ x ∈ (−∞, a) ∪ (a, +∞).

Shembuj 2.7.1 T¨e zgjidhet ekuacioni: 1. | x |= 3. Zgjidhje: Sipas p¨erkufizimit kemi | x |= x, p¨er x ≥ 0 dhe | x |= −x, p¨er x < 0. Prandaj, | x |= 3 ⇐⇒ x = 3 ∨ x = −3, d.m.th. B = {−3, 3}. 2. | x |= −2. Zgjidhje: Ekuacioni nuk ka zgjidhje, sepse |x| ≥ 0 p¨er do num¨er real x (vetia 1). 3. | x | +3 = 8, (Zgj. B={-5, 5}). 4. | 2x + 1 |= 3, (Zgj. B={-2, 1}). Shembuj 2.7.2 T¨e gjendet bashk¨esia e zgjidhjeve t¨e pabarazimit: 1. | x |< 5

(Zgj. x ∈ (−5, 5)).

2. | x |≥ 1

(Zgj. x ∈ (−∞, −1] ∪ [1, +∞)).

3. | x − 2 |≤ 3. Zgjidhje: | x − 2 |≤ 3 ⇔ −3 ≤ x − 2 ≤ 3 ⇔ 2 − 3 ≤ x ≤ 3 + 2 ⇔ −1 ≤ x ≤ 5 ⇔ x ∈ [−1, 5]. 4. | x + 1 |> 2,

(Zgj. x ∈ (−∞, −3) ∪ (3, +∞)).

5. | 5 − 2x |< 3. Zgjidhje: | 5 − 2x |≤ 3 ⇐⇒| 2x − 5 |≤ 3 ⇐⇒ −3 ≤ 2x − 5 ≤ 3 ⇐⇒ 2 ≤ 2x ≤ 8 ⇐⇒ 1 ≤ x ≤ 4 ⇐⇒ x ∈ [1, 4]. Studenti p¨er secil¨en detyr¨e t¨e sip¨ersh¨enuar, t¨e paraqes zgjidhjen n¨e boshtin numerik. y

y

1

−1

O

1

1

x

O

x −1

Fig. 2.6

Fig. 2.7

2.7 DISA FUNKSIONE KARAKTERISTIKE

2.7.2

25

Funksioni signum (i shenj¨ es)

P¨ erkufizimi 2.7.2 Funksioni signum (i shenj¨es), sh¨enohet me sgn , ¨esht¨e pasqyrimi sgn : R → R i dh¨en¨e me barazimin  1, sgn x =

n¨ese x > 0 n¨ese x = 0 n¨ese x < 0.

0, −1,

Grafiku i k¨etij funksioni ¨esht¨e dh¨en¨e n¨e figur¨en 2.7. Vetit¨ e: a) sgn (sgn x) = sgn x, |x| x b) sgn x = = , p¨er x = 0, x |x| c) sgn (xy) = sgn x · sgn y dhe sgn

2.7.3

 x sgn x , y = 0. = y sgn y

Pjesa e plot¨ e

P¨ erkufizimi 2.7.3 Pasqyrimi [ ] : R → R, i p¨erkufizuar me barazimin [x] = k ⇐⇒ k ≤ x < k + 1, k ∈ Z

(1)

quhet pjesa e plot¨ e. √ √ P.sh. [0.34] = [0.56] = [0.999999]0, [−0.34] = [1 − 2] = −1, [2 3] = [3.11] = [3.677] = [3.999] = 3, [−0.34] = [−0.689] = −1, [−2.344] = [−2.999] = −3, etj. Grafiku i funksionit f (x) = [x] ¨esht¨e dh¨en¨e n¨e fig. 2.8. y

2

1 −2

−1 1

O −1

−2

Fig. 2.8

2

3

x

26

FUNKSIONET (PASQYRIMET)

2.7.4

Funksioni karakteristik i bashk¨ esis¨ e A

Le t¨e jet¨e dh¨en¨e bashk¨esia e ¸cfar¨edoshme A ⊆ U , ku U ¨esht¨e bashk¨esia universale (m¨e e ”madhja” e mundshme). P¨ erkufizimi 2.7.4 funksioni χA : U → R i p¨erkufizuar me barazimin  1, n¨ese x ∈ A χA (x) = 0, n¨ese x ∈  A, quhet funksioni karakteristik i bashk¨esis¨e A. N¨ese A = Q ⊆ R, nd¨ersa U = R, at¨eher¨e funksioni χQ : R → R i till¨e q¨e:

 χQ (x) =

1, 0,

n¨ese x ∈ Q n¨ese x ∈  Q,

quhet funksioni i Dirihles (Dirichlet). P¨er k¨et¨e funksion nuk ekziston grafiku, edhe pse mund t¨e caktojm¨e pakufi shum¨e pika t¨e tij. Ky funksion ¨esht¨e i nj¨e r¨end¨esie t¨e ve¸cant¨e n¨e analiz¨en matematike.

2.8

FUNKSIONET MONOTONE

P¨ erkufizimi 2.8.1 P¨er funksionin f : X → R, ku X ⊆ R thuhet ⎧ ⎫ f (x) (rigorozisht) rrit¨es ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ f (x) jozvog¨elues n¨ese nga x < y rrjedh f (x) jorrit¨es ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ f (x) (rigorozisht) zvog¨elues

se ¨esht¨e: < f (y) ≤ f (y) ≥ f (y) > f (y)

ku x, y ∈ D(f ). Funksionet e tilla i quajm¨e funksione monotone. N¨e fig. 2.9 shihet si duken funksioni jozvog¨elues dhe ai zvog¨elues. y y

f −jozvog¨ elues

O

x

O

x

f −zvog¨ elues

Fig. 2.9

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭

,

2.9 LLOJET E FUNKSIONEVE

27

N¨e fig. 2.10 shihet si duken funksioni rrit¨es dhe ai jorrit¨es. y y

f −rrit¨ es f −jorrit¨ es

O

x

O

x

Fig. 2.10

2.9 2.9.1

LLOJET E FUNKSIONEVE Funksioni konstant

Funksioni f : S → R quhet konstant, n¨e qoft¨e se f (x) = c, ∀x ∈ S, c ∈ R. Shihet se rangu i funksionit konstant p¨emban vet¨em nj¨e element. Grafiku i funksionit konstant ¨esht¨e drejt¨eza paralele me boshtin Ox, e larguar nga qendra e sistemit koordinativ p¨er distanc¨en |c| P.sh., funksioni f : R → R, i dh¨en¨e me barazimin f (x) = 5 ¨esht¨e funksion konstant.

2.9.2

Funksionet polinomiale

Funksioni konstant ¨esht¨e rast i ve¸cant¨e i t¨e ashtuquajturave funksioneve polinomiale. Funksioni polinomial i ndryshores x ka form¨en: y = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn . Vejm¨e n¨e dukje se a0 = a0 x0 , a1 x = a1 x1 . Var¨esisht nga vlera e n−it (q¨e paraqet shkall¨en m¨e t¨e lart¨e t¨e x−it), merren k¨eto raste: Rasti n = 0 : y = a0 , funksioni konstant Rasti n = 1 : y = a0 + a1 x, funksioni linear Rasti n = 2 : y = a0 + a2 x + a3 x2 , funksioni kuadratik Rasti n = 3 : y = a0 + a3 x2 + a3 x3 , funksioni kubik, etj. N¨e vazhdim do t¨e flasim m¨e gj¨er¨esisht sidomos p¨er funksionin linear e at¨e kuadratik.

28

2.9.3

FUNKSIONET (PASQYRIMET)

Funksionet racionale

Funksioni si:

x−1 , x3 − 2x + 1 ku y paraqitet si thyes¨e e dy funksioneve polinomiale, quhet funksion racional. Rast i ve¸cant¨e i funksionit racional, q¨e ka zbatime n¨e ekonomiks, ¨esht¨e funksioni a y = , ose xy = a, a ∈ R. x V¨erejm¨e se prodhimi i ndryshoreve ¨esht¨e konstant¨e fikse. N¨e ekonomiks funksioni i till¨e paraqet rastin e ve¸cant¨e t¨e funksionit t¨e k¨erkes¨es, me ¸cmimin P dhe sasin¨e Q. N¨e k¨et¨e rast P Q = a, a − konstante (me rritjen e sasis¨e, ¸cmimi zvog¨elohet dhe anasjelltas, me zvog¨elimin e sasis¨e n¨e treg, ngritet c¸mimi). (fig. 2.11.) y = f (x) =

Q

AF C

P ·Q=a

AF C × Q = C

a

O

C

1

P

O

1

Q

Fig. 2.11 Fig. 2.12 Zbatim tjet¨er merret te lakorja e kostos mesatare fikse (AF C). N¨ese me Q sh¨enojm¨e sasin¨e e prodhuar, (AF C)·Q (= kostoja totale) do t¨e jet¨e nj¨e konstant¨e (me rritjen e sasis¨e s¨e prodhimit, zvog¨elohet kostoja mesatare fikse) fig. 2.12.

2.9.4

Funksionet transcendente (joalgjebrike)

Funksioni i paraqitur p¨ermes polinomeve √ ose rr¨enj¨eve t¨e tyre quhet funksion algjebrik. P.sh., funksioni y = f (x) = x4 + 1 nuk ¨esht¨e racional, por algjebrik. Funksionet e tilla i quajm¨e funksione irracionale. Funksioni si y = ax , a ∈ R, ku ndryshorja e pavarue ¨esht¨e n¨e eksponent, ¨esht¨e funksion transcendent. Po ashtu, edhe funksionet logaritmike (t¨e cil¨et do t¨e shqyrtohen m¨e von¨e) si dhe funksionet trigonometrike e inverse trigonometrike jan¨e funksione trancendente. Klasifikimi i funksioneve shihet nga skema:

2.10 FUNKSIONI LINEAR

29

FUNKSIONET ⏐ ⏐ ⏐ ⏐   A l gj e b r i k e ⏐ ⏐   Racionale ↓ Racionale t¨e plota (polinomiale)

Transcendente

Iracionale

↓ Racionale thyesore

N¨e vazhdim, p¨er shkak t¨e r¨ed¨esis¨e s¨e madhe q¨e ka n¨e ekonomiks dhe biznes, marrim kuptimet themelore n¨e lidhje me funksionin linear.

2.10

FUNKSIONI LINEAR

M¨e sip¨er u dha kuptimi i funksionit f : X → Y, t¨e dh¨en¨e me barazimin y = f (x). Barazimi i fundit ¨esht¨e shprehje analitike q¨e tregon lidhjen q¨e ekziston nd¨ermjet ndryshoreve (variablave) x dhe y. Lidhjen nd¨ermjet variablave mund ta paraqesim me nj¨e shprehje matematike. P.sh.: y = a + mx ¨esht¨e nj¨e shembull i lidhjes nd¨ermjet variablave x dhe y. Shprehja ka po ashtu a dhe m. Ato jan¨e konstante t¨e cilat ndihmojn¨e p¨er t¨e p¨erkufizuar lidhjen nd¨ermjet ndryshoreve.  N¨ e k¨ et¨ e shprehje variabla y varet nga x, a, dhe m. y ¨ esht¨ e variab¨ el e varur.  Nga ana tjet¨ er, vlera e x nuk varet nga y, a dhe m. Pra, x ¨ esht¨ e variab¨ el e pavarur. Shembulli n¨e vijim ilustron m¨enyr¨en si mund t¨e jepen k¨eto shprehje. N¨e nj¨e shitore t¨e picave m¨esojm¨e se pica e thjesht¨e (e that¨e) pa shtesa kushton 3 euro dhe p¨er ¸cdo shtes¨e ¸cmimi i rritet p¨er 0.75 cent. C ¸ mimi total i pic¨es (y) varet nga numri i shtesave (x) q¨e i k¨erkon ble¨esi. Prandaj, c¸mimi i pic¨es ¨esht¨e variab¨el e varur, nd¨ersa numri i shtesave ¨esht¨e ndryshore e pavarur. N¨e k¨et¨e shembull ¸cmimi dhe numri i shtesave mund t¨e ndryshojn¨e, prandaj ato jan¨e variabla. C ¸ mimi total i pic¨es po ashtu varet edhe nga c¸mimi i pic¨es s¨e that¨e dhe c¸mimi i shtesave (q¨e n¨e k¨et¨e rast ¨esht¨e i nj¨ejt¨e). Lidhja nd¨ermjet ¸cmimit t¨e pic¨es dhe numrit t¨e shtesave mund t¨e paraqitet n¨e k¨et¨e form¨e: y = a + mx.

(1)

N¨ese ne dim¨e se x (numri i shtesave) nd¨ersa y (¸cmimi total), ¸cka paraqesin a dhe m? N¨e shembullin ton¨e, ”a” ¨esht¨e ¸cmimi i pic¨es s¨e that¨e pa shtesa dhe ”m”

30

FUNKSIONET (PASQYRIMET)

¨esht¨e ¸cmimi i secil¨es shtes¨e. Ato jan¨e konstante. Me fjal¨e tjera, ato jan¨e vlera t¨e fiksuara t¨e cilat qart¨esojn¨e lidhjen nd¨ermjet x dhe y. Nga skica n¨e vijim shihet se si ¸cmimi total i pic¨es ¨esht¨e i lidhur me numrin e shtesave. y =¸cmimi total i pic¨es 

m =¸cmimi p¨er shtes¨e 

y = a + mx ! a =¸cmimi i pic¨es s¨e that¨e

x =numri i shtesave

N¨e qoft¨e formojm¨e nj¨e tabel¨e q¨e pasyron lidhjet e ve¸canta t¨e x dhe y, ne do t¨e shohim kombinimet e x dhe y q¨e plot¨esojn¨e (1). P.sh., n¨e qoft¨e se pica e that¨e (a) kushton 3 euro dhe c¸mimi i secil¨es shtes¨e (b) ¨esht¨e 0.75 euro, gjejm¨e: y = 3 + 0.75x. Nga relacioni: y = a + mx formojm¨e tabel¨en: y ¸cmimi final 3€ 3.75€ 4.50€ 5.25€ 6€ ···

a pica e that¨e 3€ 3€ 3€ 3€ 3€ ···

m ¸cmimi i ¸cdo shtese 0.75€ 0.75€ 0.75€ 0.75€ 0.75€ ···

x numri i shtesave 0€ 1€ 2€ 3€ 4€ ···

Nga tabela shihet se c¸iftet e renditura (0, 3), (1, 3.75), (2, 4.50), (3, 5.25), (4, 6), · · · plot¨esojn¨e shprehjen e dh¨en¨e. Pra, grafiku i funksionit t¨e dh¨en¨e ¨esht¨e bashk¨esia: Gf = {(x, y) | y = 3 + 0.75x} = {(0, 3), (1, 3.75), (2, 4.50), (3, 5.25), (4, 6), · · ·} e cila, n¨e t¨e v¨ertet¨e ¨esht¨e bashk¨esi e pafundme e ¸cifteve t¨e renditura. I paraqesim

2.10 FUNKSIONI LINEAR

31

ato pika n¨e sistemin koordinativ t¨e Dekartit Oxy : y 5.25 4.5

y = 3 + 0.75x

3.75 3 2 1

1

2

3

x

4

Fig. 2.13

dhe shohim se grafiku i funksionit y = 3 + 0.75x paraqet drejt¨ez (n¨e k¨et¨e rast gjysm¨edrejt¨ez¨en (pse?)) me fillim n¨e pik¨en (0, 3). (fig. 2.13.) P¨ erkufizimi 2.10.1 Funksionin f : R → R, t¨e dh¨en¨e me barazimin: y = f (x) = a + mx, ku a, m jan¨e konstante, x ∈ R, e quajm¨e funksion linear. Grafiku i funksionit linear n¨e sistemin koordinativ t¨e Dekartit, paraqet drejt¨ez. Koeficienti m n¨e barazimin (1) quhet pjerrt¨ esia (koeficienti i drejtimit) e drejt¨ez¨es. Supozojm¨e se vlera e ndryshores x rritet nga x1 n¨e x2 , (x1 < x2 ). At¨eher¨e, ndryshorja y nd¨erron nga y1 n¨e y2 . Vejm¨e Δx = x2 − x1 , Δy = y2 − y1 (shih fig. 2.16). Theksojm¨e se numri α ∈ R ¨esht¨e zero e funksionit linear n¨ese f (α) = 0. Pra: a a + mx = 0 =⇒ x = − , m = 0, m ¨esht¨e zero e funksionit linear. a Pika A(− , 0) ¨esht¨e pik¨eprerje me boshtin e abshisave dhe quhet x−prerja, m nd¨ersa pika B(0, a) ¨esht¨e pik¨eprerja me boshtin Oy dhe quhet y−prerje. Shembulli 2.10.1 T¨e paraqiten grafikisht funksionet: (a) y = x,

(b) y = −x,

1 (c) y − x, 2

1 x − 3, (dh) y = −x + 2, 2 1 (f ) y − −3x + . 5 (d) y =

1 (¸c) y − x + 2, 2

(e) y = −2x + 3,

32

FUNKSIONET (PASQYRIMET)

Zgjidhje: Dim¨e se grafiku i funksionit linear ¨esht¨e drejt¨ez. (a) Mjafton t¨e caktojm¨e dy pika t¨e drejt¨ez¨es. Formojm¨e tabel¨en: x 0 1 y=x 0 1 Pra, pikat O(0, 0) dhe A(1, 1) i takojn¨e drejt¨ez¨es.(fig. 2.14.) (b) e (c). Zgjidhjen e b¨en lexuesi. (¸c) Leht¨e shihet se x−prerja ¨esht¨e pika A(6, 0), nd¨ersa y−prerja ¨esht¨e pika B(0, −3). Grafiku i funksionit ¨esht¨e dh¨en¨e n¨e fig. 2.15. y

y

A(1, 1) O

x

A(6, 0)

O

x

B(0, −3)

Fig. 2.14

Fig. 2.15

Detyrat tjera i zgjidh lexuesi. Pjerrt¨esia m ¨esht¨e her¨esi nd¨ermjet Δy (ecjes vertikale) dhe Δx (ecjes horizontale), d.m.th. (fig. 2.16) m=

ecja vertikale Δy = . Δx ecja horizontale y

y2

 Δy

y1





!

Δx ecja horiz.

x1

Fig. 2.16 Shembulli 2.10.2

ngritja vert.

T¨e vizatohen drejt¨ezat:

x2

x

2.10 FUNKSIONI LINEAR

33

(a) y = 1, (b) y = −3, (c) x = 2, (¸c) x = −3. dhe t¨e caktohet pjerrt¨esia e tyre. Zgjidhje: Dim¨e se pjerrt¨esia e drejt¨ez¨es y = a + mx ¨esht¨e parametri m. (a) y = 1. Grafiku ¨esht¨e dh¨en¨e n¨e fig. 2.17. Marrim pikat A(1, 1), B(2, 1) q¨e i takojn¨e drejt¨ez¨es. Kemi: y1 − y1 0 Δy = − − 0, m= Δx x2 − x1 1 q¨e tregon se pjerrt¨esia ¨esht¨e e barabart¨e me zero. Theksojm¨e se grafiku i funksionit y = a ¨esht¨e drejt¨eza paralele me boshtin Ox, e larguar nga ajo p¨er distanc¨en |a|. (b) Zgjidhjen e b¨en studenti. (c) Grafiku ¨esht¨e dh¨en¨e n¨e fig. 2. 18. Marrim dy pika t¨e drejt¨ez¨es, p.sh. 2−1 A(2, 1), B(2, 2). Shohim se m = = ∞., d.m.th. pjerrt¨esia ¨esht¨e ∞. 2−2 Theksojm¨e se grafiku i funksionit x = b ¨esht¨e drejt¨eza paralele me boshtin Oy, e larguar nga ajo p¨er distanc¨en |b|. (¸c) Zgjidhjen e b¨en studenti. y

y

B(2, 2) y = 1 A(1, 1) B(2, 1) A(2, 1) O

x

x

O x=2

Fig. 2.17

Fig. 2.18

Shembulli 2.10.3 Nj¨e shitore e akulloreve shet konin me nj¨e lug¨e akullore p¨er 0.6€. P¨er ¸cdo lug¨e m¨e tep¨er paguhet nga 0.5€. N¨ese klienti b¨en porosin¨e p¨er s−lug¨e akullore, ku 0 ≤ s ≤ 4, nd¨ersa p ¨esht¨e ¸cmimi, at¨eher¨e lidhja nd¨ermjet ndryshoreve p e s jepet me barazimin: p = 0.6 + 0.5 · s. Cila ¨esht¨e ndryshore e pavarur dhe cila ¨esht¨e e varur? Zgjidhje: (1) Ndryshore e varur ¨esht¨e ¨esht¨e ¸cmimi final i konit (p). (2) Ndryshorja e pavarur ¨esht¨e numri i lug¨eve shtes¨e (s). Shembulli 2.10.4 Vizatojm¨e n¨e t¨e nj¨ejtin sistem koordinativ drejt¨ezat me ekuacionet: 1) y = 1,

2) y =

1 x + 1, 3

3) y = x + 1,

4) y = 3x + 1.

34

FUNKSIONET (PASQYRIMET)

dhe shohim si ndryshon variabla y kur ndryshorja x e rritet p¨er nj¨e nj¨esi. Nga barazimi (1) dhe fig. 3.19 shihet se:  Drejt¨eza e par¨e e ka pjerrt¨esin¨e zero (m=0) dhe grafiku i saj ¨esht¨e drejt¨ez q¨e kalon n¨ep¨er pik¨en (0, 1) dhe ¨esht¨e paralele me boshtin e abshisave; 1  Drejt¨eza e dyt¨e e ka pjerrt¨esin¨e m = , dhe p¨er k¨et¨e madh¨esi rritet variabla 2 y kur x rritet p¨er 1.  Drejt¨eza e tret¨e e ka pjerrt¨esin¨e m = 1, dhe p¨er k¨et¨e madh¨esi rritet variabla y kur x rritet p¨er 1.  Drejt¨eza e kat¨ert e ka pjerrt¨esin¨e m = 3, dhe p¨er k¨et¨e madh¨esi rritet variabla y kur x rritet p¨er 1. Shembull. T¨e vizatohen drejt¨ezat: 1 1) y = 1 − x, 3

2) y = −x + 2,

3) y = −4x + 2,

4) y = 3x + 6.

Zgjidhjen e b¨en¨e lexuesi. y y = 3x + 1

 3

4 y =x+1

 1

3

y=

2

}

1

1 3x

+1

1 3

y=1

1

2

x

Fig. 2.19

2.11

¨ EKONOMIKS ZBATIMI NE DHE BIZNES

Funksioni linear ka zbatim t¨e gj¨er¨e n¨e Ekonomiks dhe Biznes. Marrim n¨e vazhdim disa zbatime t¨e tij.

¨ EKONOMIKS 2.11 ZBATIMI NE DHE BIZNES

2.11.1

35

Vija buxhetore

Me grafikun e funksionit linear mund t¨e shqyrtohen kombinimet e ndyshme t¨e dy mallrave t¨e blera me buxhetn B. N¨e qoft¨e se me x e y sh¨enojm¨e nj¨esit¨e e tyre, nd¨ersa me px e py ¸cmimet e tyre, p¨erkat¨esisht, at¨eher¨e shkruajm¨e px · x + py · y = B

(1)

Ekuacioni (1) quhet vij¨ e buxhetore. N¨ese buxheti ose px e py ndryshojn¨e, drejt¨eza (1) ¸cvendoset paralelisht, p¨erkat¨esisht i ndryshon koeficienti i drejtimit (pjerrt¨esia). Rritja e buxhetit implikon c¸vendosjen paralele t¨e drejt¨ez¨es nga e djathta. Nd¨errimi n¨e komponenten py ka efekt vet¨em n¨e y−prerjen e jo edhe n¨e x−prerjen. N¨e qoft¨e se ¸ciftet (x, y) n¨e vend t¨e (1) plot¨esojn¨e pabarazimin px · x + py · y ≤ B, ose ndonj¨e sistem pabarazimesh, at¨eher¨e bashk¨esin¨e e zgjidhjeve (x, y) e quajm¨e fush¨ e buxhetore. Shembulli 2.11.1 Nj¨e grua shpenzon 150€ p¨er dy mallra x dhe y me ¸cmimet px = 5€ dhe py = 2€. (a) T¨e vizatohet vija buxhetore; T¨e shikohet c¸far¨e ndodh me vij¨en buxhetore n¨ese: (b) buxheti i saj zvog¨elohet p¨er 20%; (c) px zvog¨elohet p¨ergjysm¨e; (¸c) py rritet p¨er 50 cent. Zgjidhje: (a) Duke v¨en¨e n¨e (1) px = 5, py = 2, B = 150, marrim: 5x + 2y = 150, ose y = 2.5x + 75.(vija e plot¨e n¨e fig. 2.20.) y

y

(0, 75)

(0, 75)

(0, 60)

10

10

(30, 0) 10 (24, 0)

Fig. 2.20

x

(30, 0) 10

x (60, 0)

Fig. 2.21

(b) N¨e qoft¨e se buxheti zvog¨elohet p¨er 20%, buxheti i ri do t¨e jet¨e

36

FUNKSIONET (PASQYRIMET) 150 − 0.2 · 150 = 120.

Tash, vija buxhetore merr trajt¨en: 5x + 2y = 120, ose y = 2.5x + 60.(vija e nd¨erprer¨e n¨e fig. 2.20.) V¨erejm¨e se zvog¨elimi i buxhetit sjell¨e ¸cvendosjen paralele t¨e vij¨es buxhetore n¨e t¨e majt. (c) Kur px zvog¨elohet p¨ergjysm¨e, marrim 2.5x + 2y = 150, ose y = −1.25x + 75.(vija e nd¨erprer¨e n¨e fig. 2.21.) y−prerja mbetet e nj¨ejt¨e por pjerrt¨esia ndryshon dhe b¨ehet m¨e e madhe. (¸c) Kur py rritet p¨er 5−cent, marrim 5x + 2.5y = 150, ose y = −2x + 60.(vija e nd¨erprer¨e n¨e fig. 2.22.) y

y

(0, 75) (0, 60) (0, 24) (0, 18)

10

5

(30, 0) 10

x

(40, 0) 10

Fig. 2.22

(30, 0)

x

Fig. 2.23

Shembulli 2.11.2 Kompania me buxhetin prej 120€ mund t¨e prodhoj dy mallra t¨e ndryshme x dhe y me ¸cmime 3 dhe 5€, p¨erkat¨esisht. T¨e paraqitet grafikisht efekti i: (a) reduktimit prej 25% t¨e buxhetit; (b) dyfishimit t¨e ¸cmimit t¨e x; (c) i reduktimit prej 20% t¨e ¸cmimit t¨e y. Zgjidhje: Nga kushtet e detyr¨es shohim se vija buxhetore ka form¨en: 3x + 5y = 120. Shohim se x−prerja ¨esht¨e pika Q(40, 0), nd¨ersa y−prerja ¨esht¨e pika P (0, 24), grafiku i s¨e cil¨es ¨esht¨e dh¨en¨e n¨e fig. 2.23. (a) Meqen¨ese buxheti zvog¨elohet p¨er 25%, marrim ekuacionin: 3x + 5y = 120 − 0.25 · 120 = 90. Shohim se x−prerja ¨esht¨e pika Q(30, 0), nd¨ersa y−prerja ¨esht¨e pika P (0, 18). Grafiku i vij¨es s¨e re buxhetore ¨esht¨e dh¨en¨e n¨e fig. 2.23. (vija e nd¨erprer¨e.) (b) Vija buxhetore merr form¨en 6x + 5y = 120.

¨ EKONOMIKS 2.11 ZBATIMI NE DHE BIZNES

37

x−prerja ¨esht¨e pika Q(20, 0), nd¨ersa y−prerja ¨esht¨e pika P (0, 24). Efekti shihet n¨e fig. 2.24. (c) Kemi 3x + (5 − 0.20 · 5)y = 120 ose 3x + 4y = 120. x−prerja ¨esht¨e pika Q(40, 0), nd¨ersa y−prerja ¨esht¨e pika P (0, 30). Efekti shihet n¨e fig. 2.25. y

y

(0, 30) (0, 24)

(0, 24)

5

5

(40, 0) 10 (20, 0)

x

Fig. 2.24

(40, 0) 10

(30, 0)

x

Fig. 2.25

Shembulli 2.11.3 Buxhetin mujor prej 90€ Ardita e harxhon p¨er bileta teatri dhe n¨e CD. Supozojm¨e se ¸cmimi i secil¨es CD ¨esht¨e px = 15€ dhe c¸mimi i bilet¨es s¨e teatrit ¨esht¨e 10€. (a) T¨e p¨erkufizohet fusha buxhetore dhe t¨e paraqitet ajo grafikisht. (b) Buxhetit prej 90€ i jan¨e shtuar edhe vlera e dy biletave t¨e teatrit, t¨e cilat Ardita patjet¨er duhet ti pranoj. T¨e p¨erkufizohet fusha e saj buxhetore dhe t¨e ilustrohet grafikisht. Zgjidhje: Meqen¨ese x e y paraqet numrin e CD-ve dhe t¨e biletave, p¨erkat¨esisht, bashk¨esia B = {(x, y) | 15x + 10y ≤ 90, x, y ∈ R+ }

paraqet fush¨en buxhetore (fig. 2.26). (b) Meqen¨ese Ardita duhet t¨e merr patjet¨er dy bileta, at¨eher¨e duhet t¨e vlej¨e y ≥ 2. N¨e k¨et¨e rast buxheti mujor ¨esht¨e rritur p¨er ¸cmimin e dy biletave, d.m.th. p¨er 20€. Prandaj, duhet t¨e plot¨esohet edhe pabarazimi 15x + 10y ≤ 110. N¨e

38

FUNKSIONET (PASQYRIMET)

k¨et¨e rast fusha buxhetore do t¨e jet¨e (fig. 2.27) y

y 11

9

2

6

O

x

6

O

Fig. 2.26

x

Fig. 2.27

B = {(x, y) | y ≥ 2, 15x + 10y ≤ 90, x, y ∈ R+ }.

2.11.2

Analiza B-E (Break-Even)

N¨e planifikimin e biznesit t¨e ri ¨esht¨e e r¨end¨esishme t¨e dihet sa nj¨esi duhet t¨e prodhohen dhe shiten q¨e biznesi t¨e jet¨e profitabil. P¨er shkak t¨e kostos fikse, kostoja totale e prodhimit t¨e nj¨e numri t¨e vog¨el nj¨esish do t¨e jet¨e m¨e e madhe se t¨e hyrat e fituara nga shitja e tyre. Pra, niveli i vog¨el i prodhimit implikon humbje. Niveli m¨e i lart¨e i prodhimit b¨en¨e q¨e t¨e hyrat e tejkalojn¨e koston dhe prodhimi realizon profit. Niveli i prodhimit p¨er t¨e cilin kostoja totale ¨esht¨e e barabart¨e me t¨e hyrat totale, quhet niveli B-E (Break-Even) ose pika B-E. Ky ¨esht¨e niveli i prodhimit kur prodhuesi nuk ka fitim e as humbje. Shembulli 2.11.4 Prodhuesi shet nj¨e mall 110€ p¨er nj¨e nj¨esi. Kostoja fikse p¨er t¨e ¨esht¨e 7,500€ nd¨ersa kostoja e ndryshueshme ¨esht¨e 60€ p¨er nj¨esi. Sa nj¨esi duhet t¨e shes prodhuesi q¨e t¨e arrihet niveli B-E? Zgjidhje: Me x sh¨enojm¨e numrin e nj¨esive t¨e shitura t¨e prodhimit. T¨e hyrat totale jan¨e R(x) = 110x, nd¨ersa kostoja totale ¨esht¨e C(x) = 7, 500 + 60x. P¨er t¨e gjet¨e nivelin B-E, marrim: T¨e hyrat = 110x = 50x =

Kostoja 7, 500 + 60x 7, 500

¨ EKONOMIKS 2.11 ZBATIMI NE DHE BIZNES

39

x =

150.

Pra, prodhuesi duhet t¨e shes 150 nj¨esi q¨e t¨e arrihet niveli B-E. Me shitjen e nj¨e numri m¨e t¨e vog¨el t¨e nj¨esive, prodhuesi p¨eson humbje, nd¨ersa me shitjen e m¨e shum¨e se 150 nj¨esive, prodhuesi ka fitim. Skema n¨e vijim ilustron shembullin e dh¨en¨e. ↓ O



Humbje

Pika B-E

!150 



Fitim

!

x

Shembulli 2.11.5 C ¸ mimi i tavolin¨es s¨e kompjuterit ¨esht¨e 70€. Kostoja fikse e prodhimit ¨esht¨e 8, 000€, nd¨ersa kostoja e prodhimit p¨er nj¨esi ¨esht¨e 30€. Sa nj¨esi duhet t¨e shes prodhuesi q¨e t¨e arrihet niveli B-E? Zgjidhje: Kemi: R(x) = 70x,

C(x) = 8, 000 + 30x

R(x) = C(x) 70x = 8, 000 + 30x 40x

=

x =

8, 000 8, 000 = 200 40

Prodhuesi duhet t¨e shes¨e 200 tavolina q¨e t¨e arrihet niveli B-E. Skema n¨e vijim ilustron shembullin e dh¨en¨e. ↓ O

2.11.3



Humbje

Pika B-E

! 200 



Fitim

!

x

Zbatime t¨ e tjera n¨ e ekonomiks

Shembulli 2.11.6 Nga fillimi i vitit, c¸mimi i benzin¨es pa plumb ¨esht¨e ngritur n¨e m¨enyr¨e konstante 0.02 € p¨er lit¨er p¨er ¸cdo muaj. M¨e nj¨e qershor, c¸mimi i benzin¨es ka arritur vler¨en 1.03€ p¨er nj¨e lit¨er. (a) T¨e shprehet ¸cmimi i benzin¨es n¨e funksion t¨e koh¨es (muajve). (b) Sa ka qen¨e ¸cmimi i benzin¨es n¨e fillim t¨e vitit? (c) Sa do t¨e jet¨e ¸cmimi i benzin¨es m¨e nj¨e tetor? Zgjidhje: (a) Meqen¨ese ngritja e ¸cmimit ¨esht¨e konstante, 2 cent p¨er nj¨e lit¨er p¨er ¸cdo muaj, at¨eher¨e funksioni q¨e e p¨ershkruan l¨evizjen e ¸cmimit do t¨e jet¨e linear. Pra: f (x) = m · x + n, (1) grafiku i t¨e cilit ¨esht¨e nj¨e drejt¨ez, nd¨ersa x ∈ {0, 1, 2, ..., 11} , me ¸c’rast vlera x = 0 i p¨ergjigjet muajit janar, kurse x = 11 i p¨ergjigjet muajit dhjetor. Nga t¨e dh¨enat n¨e detyr¨e, kemi: p¨er x = 5, f (5) = 103 cent kurse p¨er x = 6,

40

FUNKSIONET (PASQYRIMET)

f (6) = 105 cent. Kjo do t¨e thot¨e se drejt¨eza e dh¨en¨e me ekuacionin (1) kalon n¨ep¨er pikat P1 (5, 103) dhe P2 (6, 105). Duke shfryt¨ezuar ekuacionin e drejt¨ez¨es n¨ep¨er dy pika P1 (x1 , y1 ) dhe P2 (x2 , y2 ) : y − y1 =

y2 − y1 (x − x1 ), x2 − x1

kemi: f (x) − 103 =

105 − 103 (x − 5), 6−5

ose f (x) = 2x + 93. (b) Meqen¨ese x = 0 i p¨ergjigjet muajit janar, at¨eher¨e ¸cmimi i benzin¨es n¨e fillim t¨e vitit ka qen¨e f (0) = 2 · 0 + 93 = 93 cent p¨er nj¨e lit¨er. (c) Ngjash¨em, si n¨e rastin (b), muajit tetor i p¨ergjigjet vlera x = 9, prandaj c¸mimi i benzin¨es n¨e muajin tetor do t¨e jet¨e f (9) = 2 · 9 + 93 = 18 + 93 = 111 cent.

Shembulli 2.11.7 C ¸ mimi p¨er t¨e vizituar nj¨e muze t¨e historis¨e ¨esht¨e si vijon: grupet me m¨e pak se 50 vizitor¨e paguajn¨e nga 1.5 € p¨er person, kurse grupet me s¨e paku 50 vizitor¨e paguajn¨e nga 1 euro p¨er person. (a) Sa euro duhet paguar grupi me x−vizitor¨e? (b) T¨e vizatohet grafiku i kostos n¨e funksion t¨e x−it (numrit t¨e vizitor¨eve). (c) Sa euro do t¨e kursente grupi me 49 vizitor¨e, n¨ese grupi e rekruton (e merr) edhe nj¨e an¨etar¨e m¨e tep¨er, ndoshta t¨e painteresuar? Zgjidhje: (a) N¨ese me x sh¨enojm¨e numrin e vizitor¨eve, kurse me C(x) koston e vizit¨es n¨e funksion t¨e x−it, at¨eher¨e kemi:  C(x) =

1.5x, n¨ese 0 ≤ x < 50 x, n¨ese x ≥ 50

¨ EKONOMIKS 2.11 ZBATIMI NE DHE BIZNES

41

(b) Grafiku i funksionit C(x) ¨esht¨e dh¨en¨e n¨e fig. 2.28. C(x) P (50, 75) 75

10 O

10 20

50

x

Fig. 2.28 (c) C(49) − C(50) = 49 · 1.5 − 50 · 1 = 73.5 − 50 = 23.5 euro. Shembulli 2.11.8 Duhet nd¨ertuar nj¨e rezervoar n¨e form¨e paralelopipedi me baz¨e sip¨erfaqe katrore, me v¨ellim 250 m3 . Materiali p¨er pjes¨en e sip¨erm dhe t¨e poshtme (bazat) kushton 2 euro p¨er 1m2 , kurse p¨er muret an¨esore kushton 1 euro p¨er 1m2 . T¨e shprehet kostoja e materialit p¨er nd¨ertimin e rezervoarit n¨e funksion t¨e gjat¨esis¨e s¨e baz¨es s¨e tij. Zgjidhje: Le t¨e jet¨e x gjat¨esia e brinj¨es s¨e baz¨es katrore t¨e rezervoarit, kurse y lart¨esia e tij. Duke shfryt¨ezuar formul¨en p¨er syprin¨en e paralelopipedit me brinj¨et a, b dhe c, S = 2(ab + bc + ca), kemi: C(x) = 2 · x2 · 2 + 4 · x · y · 1 = 4x2 + 4xy €. Meqen¨ese v¨ellimi i paralelopipedit ¨esht¨e V = abc, at¨eher¨e nga kushti 250 = 250 x2 · y marrim se y = 2 . K¨et¨e vler¨e t¨e y−it e z¨evend¨esiojm¨e n¨e C(x), dhe x marrim:  250 250 2 2 C(x) = 4x + 4x · 2 = 4 x + . x x Formula e fundit paraqet koston e materialit p¨er nd¨ertimin e rezervoarit t¨e k¨erkuar. N¨e ve¸canti, n¨ese x = 4 m, at¨eher¨e kostoja do t¨e jet¨e:  250 = 64 + 250 = 314 €. C(4) = 4 42 + 4 Shembulli 2.11.9 Duhet nd¨ertuar nj¨e paket¨e n¨e form¨e paralelopipedi, e cila duhet t¨e jet¨e e hapur nga sip¨er, baza e s¨e cil¨es ¨esht¨e sip¨erfaqe katrore, p¨er nj¨e ¸cmim prej 48 euro. C ¸ mimi i mureve an¨esore t¨e paket¨es kushton 3 euro p¨er 1m2 , kurse p¨er baz¨en ¨esht¨e 4 euro p¨er 1m2 . T¨e shprehet v¨ellimi i paket¨es n¨e funksion t¨e gjat¨esis¨e s¨e baz¨es s¨e saj.

42

FUNKSIONET (PASQYRIMET)

Zgjidhje: Sipas t¨e dh¨enave, v¨ellimi i paket¨es ¨esht¨e V = x2 · y, kurse kostoja e materialit ¨esht¨e: C(x) = x2 · 4 + 4xy · 3 = 4x2 + 12xy euro. Meqense kostoja totale ¨esht¨e 48 euro, at¨eher¨e nga barazimi 48 = 4x2 + 12xy 12 − x2 . Vler¨en e fundit t¨e y-it e z¨evend¨esojm¨e n¨e formul¨en marrim se y = 3x p¨er v¨ellim dhe marrim: V = x2 · y = x2 ·

x(12 − x2 ) 3 12 − x2 = m . 3x 3

Shembulli 2.11.10 N¨e nj¨e qytet ndodhen dy banka B1 dhe B2 t¨e cilat u ofrojn¨e sh¨erbime qytetar¨eve. P¨er posedimin e nj¨e gjirollogarie n¨e bank¨en B1 duhet paguar 4 euro n¨e vit plus 10 cent p¨er ¸cdo kontrollim t¨e gjendjes n¨e form¨en e printuar. N¨e bank¨en B2 duhet paguar 3 euro n¨e vit plus 15 cent p¨er ¸cdo printim t¨e gjendjes. Gjeni kushtet (kriteret) p¨er t¨e p¨erfunduar se cila bank¨e ¨esht¨e m¨e e favorshme p¨er klientin. C(x)

P (25, 650)

650

C1 (x)

400

300

C2 (x)

100

O

10

25 30

P

Fig. 2.29 Zgjidhje: Se cila bank¨e ¨esht¨e m¨e e favorshme, varet nga numri i printimeve t¨e gjendjes brenda nj¨e viti. Le t¨e jet¨e x numri i printimeve t¨e gjendjes brenda nj¨e viti. At¨eher¨e, kostoja vjetore n¨e bank¨en B1 do t¨e jet¨e C1 (x) = 400 + 10x, kurse n¨e bank¨en B2 do t¨e jet¨e C2 (x) = 300 + 15x. Nga barazimi C1 (x) = C2 (x), marrim se x = 25. Kjo do t¨e thot¨e se n¨ese p¨ercaktohemi q¨e 25 her¨e

¨ EKONOMIKS 2.11 ZBATIMI NE DHE BIZNES

43

t¨e printojm¨e gjendjen, at¨eher¨e kostoja vjetore n¨e t¨e dy bankat do t¨e jet¨e e nj¨ejt¨e dhe e barabart¨e me C1 (25) = 400 + 10 · 25 = 650 cent, sikurse edhe C2 (25) = 300 + 14 · 25 = 300 + 350 = 650 cent. Grafik¨et e funksioneve C1 (x) dhe C2 (x) jan¨e paraqitur n¨e fig. 2.29. K¨eshtu, kushtet (kriteret) e zgjedhjes s¨e bank¨es jan¨e: 1. N¨ese p¨ercaktohemi q¨e numri i printimeve t¨e gjendjes t¨e jet¨e m¨e i vog¨el se 25, banka B1 ¨esht¨e m¨e e favorshme; 2. N¨ese p¨ercaktohemi q¨e numri i printimeve t¨e gjendjes t¨e jet¨e m¨e i madh se 25, banka B2 ¨esht¨e m¨e e favorshme dhe 3. N¨ese p¨ercaktohemi q¨e numri i printimeve t¨e gjendjes t¨e jet¨e i barabart¨e me 25, t¨e dy bankat jan¨e nj¨esoj t¨e favorshme, (shih fig. 2.29). Shembulli 2.11.11 An¨etar¨esimi vjetor n¨e nj¨e klub privat A t¨e tenisit kushton 1000 euro dhe i mund¨eson lojtarit q¨e t¨e shfryt¨ezoj¨e fushat e tenisit me nj¨e ¸cmim prej 3 euro p¨er nj¨e or¨e. Klubi tjet¨er B i ofron k¨eto kushte: 800 euro an¨etar¨esimi vjetor plus 4 euro p¨er ¸cdo or¨e t¨e shfryt¨ezimit t¨e fushave t¨e tenisit. Cili nga k¨eto klube ¨esht¨e m¨e i favorsh¨em p¨er klientin? ¨ e e qart¨e se kostoja totale vjetore, n¨e t¨e dy klubet, varet nga Zgjidhje: Esht¨ numri i or¨eve t¨e shfryt¨ezimit t¨e fushave t¨e tenisit brenda vitit. Le t¨e jet¨e x numri i or¨eve q¨e lojtari planifikon t¨e shfryt¨ezoj¨e fushat e tenisit brenda vitit. At¨eher¨e, kostoja totale vjetore n¨e klubet A e B do t¨e jet¨e: C1 (x) C2 (x)

= 1000 + 3x = 8000 + 4x,

respektivisht. Duke i barazuar kostot, marrim se x = 200. Meqen¨ese p¨er 0 ≤ x < 200, C1 (x) > C2 (x); p¨er x = 200, C1 (200) = C2 (200) = 1600, kurse p¨er x > 200, C1 (x) < C2 (x), p¨efundojm¨e se: 1. N¨ese lojtari i planifikon m¨e pak se 200 or¨e p¨er t¨e shfryt¨ezuar fushat e tenisit brenda vitit, at¨eher¨e klubi B ¨esht¨e m¨e i favorsh¨em; 2. N¨ese lojtari i planifikon 200 or¨e p¨er t¨e shfryt¨ezuar fushat e tenisit brenda vitit, at¨eher¨e t¨e dy klubet A dhe B jan¨e nj¨esoj t¨e favorshme dhe 3. N¨ese lojtari i planifikon m¨e tep¨er se 200 or¨e p¨er t¨e shfryt¨ezuar fushat e tenisit brenda vitit, at¨eher¨e klubi A ¨esht¨e m¨e i favorsh¨em. Shembulli 2.11.12 Kompania A p¨er huazimin e veturave (RENT A CAR), e ngarkon klientin me 14 euro p¨er 24 or¨e plus 15 cent p¨er ¸cdo kilomet¨er t¨e kaluar. Kompania tjet¨er B e ngarkon klientin me 20 euro p¨er 24 or¨e plus 5 cent p¨er ¸cdo kilomet¨er t¨e kaluar. Cila nga k¨eto dy kompani ¨esht¨e m¨e e favorshme p¨er klientin? Zgjidhje: Se cil¨en kompani do ta zgjedh klienti, varet nga numri i kilometrave q¨e ai planifikon p¨er t’i kaluar brenda 24 or¨eve. Le t¨e jet¨e x numri i kilometrave

44

FUNKSIONET (PASQYRIMET)

t¨e rrug¨etimit q¨e klienti planifikon p¨er t’i kaluar brenda 24 or¨eve. N¨ese me C1 (x) dhe C2 (x) sh¨enojm¨e kostot totale p¨er 24 or¨e, n¨ese vetura huazohet nga kompania A dhe B, respektivisht, at¨eher¨e: C1 (x) = 14 + 0.15x C2 (x) = 20 + 0.05x, respektivisht. Grafik¨et e k¨etyre funksioneve jan¨e paraqitur n¨e fig. 2.30. C(x)

P (60, 23) 23 20

C2 (x) C1 (x)

14 10

O

10

20

60

x

Fig. 2.30 Duke i barazuar k¨eto dy barazime, marrim se x = 60. Meqen¨ese p¨er 0 ≤ x < 60, C1 (x) < C2 (x); p¨er x = 60, C1 (60) = C2 (60) = 23, kurse p¨er x > 60, C1 (x) > C2 (x), p¨efundojm¨e se: 1. P¨er nj¨e rrug¨etim m¨e t¨e shkurt¨er se 60 km, do t¨e zgjedhim kompanin¨e A; 2. P¨er nj¨e rrug¨etim t¨e barabart¨e me 60 km, do t¨e zgjedhim cil¨endo kompani, kurse 3. P¨er nj¨e rrug¨etim m¨e t¨e gjat¨e se 60 km, do t¨e zgjedhim kompanin¨e B (shih fig. 2.30). Shembulli 2.11.13 N¨ese p¨er pagimin e taks¨es vjetore p¨er nj¨e sht¨epi jan¨e ofruar dy mund¨esi: 1. 100 euro plus 8% e vler¨es s¨e sht¨epis¨e dhe 2. 1900 euro plus 2% e vler¨es s¨e sht¨epis¨e, at¨eher¨e cil¨en nga k¨eto dy oferta do ta zgjedhnit? Zgjidhje: Le t¨e jet¨e x euro vlera e sht¨epis¨e. N¨ese me C1 (x) dhe C2 (x) sh¨eojm¨e kostot p¨erkat¨ese p¨er mund¨esit¨e 1 dhe 2, at¨eher¨e kemi: C1 (x) C2 (x)

= 100 + 0.08x = 1900 + 0.02x,

¨ EKONOMIKS 2.11 ZBATIMI NE DHE BIZNES

45

respektivisht. Grafik¨et e k¨etyre funksioneve jan¨e paraqitur n¨e fig. 2.31. S(x)

2500

1900

P (30000, 2500)

C2 (x)

1500

500

C1 (x)

100 O

10000

30000

x

Fig. 2.31 Pas barazimit t¨e kostove (C1 (x) = C2 (x)), marrim se x = 30000. Meqen¨ese p¨er x < 30000, kostoja C1 (x) < C2 (x); p¨er x = 30000, C1 (30000) = C2 (30000) = 2500, kurse p¨er x > 30000, C1 (x) > C2 (x), p¨erfundojm¨e si vijon: 1. N¨ese vlera e sht¨epis¨e ¨esht¨e m¨e e vog¨el se 30000 euro, do ta zgjedhim ofert¨en e par¨e; 2. N¨ese vlera e sht¨epis¨e ¨esht¨e e barabart¨e me 30000 euro, do ta zgjedhim cil¨endo ofert¨e dhe 3. N¨ese vlera e sht¨epis¨e ¨esht¨e m¨e e madhe se 30000 euro, do ta zgjedhim ofert¨en e dyt¨e (shih fig. 2.31). Shembulli 2.11.14 Funksionet e ofert¨es dhe k¨erkes¨es p¨er nj¨e artikull jan¨e: S(p) = 4p + 200 dhe D(p) = −3p + 480, respektivisht, ku p paraqet c¸mimin (p.sh. n¨e euro) t¨e nj¨e ekzemplari t¨e artikullit. (a) T¨e gjendet c¸mimi ekuilibrues dhe numri p¨erkat¨es i nj¨esive t¨e k¨erkuara dhe t¨e ofruara tregut. (b) T¨e vizatohen grafik¨et e funksioneve S(p) dhe D(p). (c) T¨e jepet interpretimi ekonomik i shmangies (larges¨es) s¨e grafik¨eve. (¸c) T¨e interpretohet ofrimi (pik¨eprerja) i grafik¨eve t¨e dy funksioneve.

46

FUNKSIONET (PASQYRIMET)

Zgjidhje: (a) C ¸ mimi ekuilibrues gjendet nga ekuacioni S(p) = D(p), prej nga marrim se 4p + 200 = −3p + 480. Zgjidhja e ekuacionit t¨e fundit ¨esht¨e p = 40. Pra, p¨er ¸cmimin p = 40 euro, oferta ¨esht¨e e barabart¨e me k¨erkes¨en dhe n¨e k¨et¨e rast tregu ¨esht¨e stabil. Numri i nj¨esive t¨e k¨erkuara ¨esht¨e i barabart¨e me numrin e nj¨esive t¨e ofruara: D(40) = S(40) = 4 · 40 + 200 = 360 (shih fig. 2.32) D(p), S(p)

480 S(p) P (40, 360)

360

D(p)

200

100

O

40

160

p

Fig. 2.32

(b) Fig. 2.32. (c) Derisa ¸cmimi i artikullit ¨esht¨e duksh¨em m¨e i ult¨e se 40 euro, n¨e treg do t¨e kemi munges¨e t¨e artikullit (k¨erkesa do t¨e jet¨e duksh¨em m¨e e madhe se oferta); kurse kur c¸mimi i artikullit ngritet dhe b¨ehet duksh¨em m¨e i lart¨e se 40 euro, n¨e at¨e rast k¨erkesa do t¨e jet¨e duksh¨em m¨e e ult¨e se sa oferta. N¨ese ¸cmimi i artikullit b¨ehet 160 euro, at¨eher¨e k¨erkesa p¨er at¨e artikull ¨esht¨e zero. (¸c) Grafik¨et i ofrohen nj¨eri-tjetrit,kur c¸mimi i arikullit sillet rreth 40€, dhe n¨e k¨et¨e rast tregu ¨esht¨e duksh¨em stabil. Shembulli 2.11.15 Nj¨e shkoll¨e private ka nisur fushat¨en p¨er rritjen e fondeve 10x t¨e shkoll¨es. Zyrtar¨et e shkoll¨es vler¨esojn¨e se fushata do t¨e zgjas¨e f (x) = 150 − x jav¨e p¨er t¨e arritur x% t¨e q¨ellimit t¨e tyre. (a) Sa jav¨e do t¨e zgjas¨e fushata n¨e m¨enyr¨e q¨e t¨e arrihet 50% e q¨ellimit? (b) Sa jav¨e do t¨e zgjas¨e fushata n¨e m¨enyr¨e q¨e q¨ellimi i zyrtar¨eve t¨e arrihet 100%?

¨ USHTRIME 2.12 DETYRA PER

47

Zgjidhje: (a) S¨e pari caktojm¨e domen¨en e funksionit p¨er k¨et¨e problem praktik: (1) x = 150, (2) f (x) ≥ 0 dhe (3) 0 ≤ x ≤ 100. N¨e rastin ton¨e x = 50, prandaj fushata duhet t¨e zgjas¨e f (50) =

10 · 50 10 · 50 = = 5 jav¨e. 150 − 50 100

(b) N¨e m¨enyr¨e t¨e ngjashme, marrim se f (100) = 20, q¨e do t¨e thot¨e se fushata p¨er rritjen e fondeve t¨e shkoll¨es duhet t¨e zgjas¨e 20 jav¨e, n¨e m¨enyr¨e q¨e objektivi i parapar¨e t¨e realizohet 100%.

2.12

¨ USHTRIME DETYRA PER

1. T¨e gjendet domena dhe rangu (bashk¨esia e vlerave) e funksioneve: (a) f (x) = x2 ; (b) f (x) = x3 . Rez. (a) D(f ) = (−∞, ∞); R(f ) = [0, ∞); (b) D(f ) = (−∞, ∞); R(f ) = (−∞, ∞) √ √ 2. T¨e gjendet domena e funksionit f (x) = x − 1 + 6 − x. Rez. D(f ) = [1, 6]. ¨ e dh¨en¨e funksioni: f (x) = x + 1 . T¨e llogariten f (2x), 2f (x), f (x2 ), 3. Esht¨ x−1 [f (x)]2 . Rez. f (2x)

=

f (x2 ) =

2x + 1 ; 2x − 1 x2 + 1 ; x2 − 1

x+1 2f (x) = 2 ; x−1  2 x+1 [f (x)]2 = . x−1

¨ e dh¨en¨e funksioni: f (x) = x + 1 . T¨e llogariten f (−1), f (a+1), (a = 4. Esht¨ x3 − 1 0) f (a) + 1 (a = 1). Rez. f (−1) = 0, f (a + 1) =

a+2 (a = 0), f (a) + 1 = a3 + 3a2 + 3a

a3 +a a3 −1 .

5. N¨e qoft¨e se ϕ(x) = x2 , ψ(x) = 2x , t¨e llogariten ϕ[ψ(x)] dhe ψ[ϕ(x)]. 2

Rez. ϕ[ψ(x)] = 22x , ψ[ϕ(x)] = 2x . 6. T¨e llogariten: √ √ √ (a) |3|; (b) |5 − 3|; (c) |2 − 19|; (¸c) |π − π 2 |; (d) | 2 − 1|. √ √ √ Rez. (a) 3, (b) 5 − 3, (c) 19 − 2, (¸c) π 2 − π, (d) 2 − 1,

48

FUNKSIONET (PASQYRIMET) 7. N¨e boshtin numerik t¨e paraqiten pikat p¨er t¨e cilat 1 (a) |x| ≤ ; (b) |x − 1| < 3; (c) |x − 1| ≥ 3; (¸c) |2 − 3x| ≤ 4. 2 Rez. (a) x ∈ [− 12 , 12 ]; (b)x ∈ (−2, 4); (c)x ∈ (−∞, −2]∪[4, +∞); (¸c) |2− 3x| ≤ 4 ⇔ |3x − 2| ≤ 4 ⇔ −4 ≤ 3x − 2 ≤ 4 ⇔ −4 + 2 ≤ 3x ≤ 4 + 2 ⇔ −2 ≤ 3x ≤ 6 ⇔ − 23 ≤ x ≤ 2 ⇔ x ∈ [− 23 , 2]. 8. N¨e nj¨e depo 28 qese me miell paketohen n¨e nj¨e kuti kartoni. Numri i qeseve t¨e paketuara me miell jepet me shprehjen y = 28x, ku x sh¨enon numrin e kutive t¨e kartonit. Cila ¨esht¨e ndryshore e pavarur e cila e varur? Rez. Ndryshore e pavarur ¨esht¨e numri i kutijave t¨e kartonit, 9. Le t¨e jet¨e f : R → R funksion i dh¨en¨e me formul¨en y = f (x) = 2x − 3. T¨e njehsohen f (1), f (−1), f (0), f (f (0)), f (2 − f (1)), f (f (x)), f (f (−x)). Rez. f (1) = −1, f (−1) = −5, f (0) = −3, f (f (0)) = −9, f (2 − f (1)) = 3, f (f (x)) = 4x − 9, f (f (−x)) = −4x − 9.

10. Jan¨e dh¨en¨e pasqyrimet f : R → R, f (x) = 3x−1, g : R → R, g(x) = x2 dhe h : R → R+ , h(x) = x2 . Caktoni llojin e pasqyrimit p¨er secilin prej tyre. Rez. Pasqyrimi f ¨esht¨e bijektiv, g nuk ¨esht¨e as injektiv dhe as surjektiv, nd¨ersa h ¨esht¨e surjektiv, por nuk ¨esht¨e injektiv. 11. Jan¨e dh¨en¨e pasqyrimet f : R → R+ \{0}, f (x) = 2x dhe g : R+ \{0} → R+ \ {0}, g(x) = x2 . Tregoni se f dhe g jan¨e bijeksione. Zgjidhje. Le t¨e jen¨e x1 , x2 ∈ R dhe x1 = x2 . At¨eher¨e, 2x1 = 2x2 , q¨e d.m.th. se f (x1 ) = f (x2 ), prandaj pasqyrimi f ¨esht¨e injektiv. P¨er ¸cdo y ∈ R+ \ {0}, ekziston numri x = log2 y ∈ R i till¨e q¨e f (x) = f (log2 y) = 2log2 y = y. D.m.th. pasqyrimi f ¨esht¨e surjektiv. Rrjedhimisht f ¨esht¨e pasqyrim bijektiv. Ngjash¨em tregohet se edhe pasqyrimi g ¨esht¨e bijektiv. 12. N¨e qoft¨e se shpenzimet p¨er prodhimin e dy mallrave me c¸mimet 2 e 3 euro, p¨erkat¨esisht jan¨e 90 euro, t¨e paraqitet grafikisht: (a) vija buxhetore; (b) vija buxhetore kur shpenzimet rriten p¨er 50%; (c) vija buxhetore kur c¸mimi i artikullit t¨e par¨e rritet p¨er 50%.

¨ USHTRIME 2.12 DETYRA PER

49

13. P¨er nxemjen e nj¨e furr¨enalte shpenzohen x−tonelata qymy dhe y−tonelata gas. C ¸ mimi i nj¨e tonelate qymyr ¨esht¨e px = 100€, kurse c¸mimi i nj¨e tonelate gas ¨esht¨e py = 400€. Shpenzimet (buxheti) p¨er nxemjen e furr¨es jan¨e B = 8000€. (a) T¨e vizatohet vija buxhetore; (b) T¨e vizatohet vija buxhetore kur buxheti rritet p¨er 50%; (c) T¨e vizatohet vija buxhetore kur px dyfishohet; (¸c) T¨e vizatohet vija buxhetore kur py zvog¨elohet p¨er 37.5%. Rez, (a) Ekuacioni i vij¨es buxhetore: y = −0.25x + 20; (b) Ekuacioni i vij¨es buxhetore: y = −0.25x + 30; (c) Ekuacioni i vij¨es buxhetore: y = −0.5x + 20; (¸c) Ekuacioni i vij¨es buxhetore: y = −0.4x + 32. 14. Buxhetin mujor prej 90€ Zana e harxhon n¨e bileta teatri dhe n¨e CD. Supozojm¨e se ¸cmimi i secil¨es CD ¨esht¨e px = 10€ dhe c¸mimi i bilet¨es s¨e teatrit ¨esht¨e py = 15€. (a) T¨e p¨erkufizohet fusha buxhetore dhe t¨e paraqitet ajo grafikisht. (b) Buxhetit prej 90€ i jan¨e shtuar edhe vlera e dy biletave, t¨e cilat Zana patjet¨er duhet ti pranoj. T¨e p¨erkufizohet fusha buxhetore dhe t¨e ilustrohet grafikisht. 15. Buxhetin mujor prej 60€ Besiani e harxhon n¨e bileta teatri dhe n¨e CD. Supozojm¨e se ¸cmimi i secil¨es CD ¨esht¨e px = 12€ dhe c¸mimi i bilet¨es s¨e teatrit ¨esht¨e py = 15€. (a) T¨e p¨erkufizohet fusha buxhetore dhe t¨e paraqitet ajo grafikisht. (b) Buxhetit prej 60€ i jan¨e shtuar edhe vlera e dy biletave, t¨e cilat Besiani patjet¨er duhet ti pranoj. T¨e p¨erkufizohet fusha buxhetore dhe t¨e ilustrohet grafikisht. 16. C ¸ mini i kalkulatorit ¨esht¨e 10€ . Kostoja totale e prodhimit p¨er x−nj¨esi ¨esht¨e C(x) − 1, 200 + 2.50x. T¨e gjendet pika B-E. Rez. x = 160.

50

FUNKSIONET (PASQYRIMET)

3

POLINOMET DHE SHPREHJET RACIONALE ALGJEBRIKE Para se t¨e japim kuptimin e polinomit t¨e rikujtojm¨e fuqizimin dhe rr¨enj¨ezimin.

3.1

FUQIZIMI

Sikurse veprimi i shum¨ezimit q¨e e ”shkurton” (thjeshton) mbledhjen, ashtu edhe fuqia ¨esht¨e p¨erkufizuar p¨er ta thjesht¨esuar veprimin e shum¨ezimit. P¨ erkufizimi 3.1.1 Prodhimi n a  · · · a · a! = a , n−her¨ e

a ∈ R, n ∈ N

quhet fuqi. Numri a quhet baza e fuqis¨ e, nd¨ersa n quhet eksponenti i fuqis¨ e. V¨ erejtje. Kuptimi i fuqis¨e mund t¨e zgjerohet edhe p¨er eksponenta nga bashk¨esia e numrave t¨e plot¨e, racional¨e, atyre real¨e apo kompleks¨e. N¨e k¨et¨e kurs ne do t¨e p¨erkufizojm¨e vet¨em fuqit¨e me eksponent nga bashk¨esia e numrave natyral¨e, t¨e plot¨e dhe atyre racional¨e. P¨er p¨erkufizimin e fuqive me eksponenta numra irracional¨e (apo atyre kompleks¨e) shfryt¨ezohet nj¨e aparat m¨e i lart¨e (sofistikuar) matematik. Ne do t’i marrim apriori si t¨e njohura nga q¨e vlejn¨e t¨e nj¨ejtat veti edhe p¨er ato fuqi.

POLINOMET DHE SHPREHJET RACIONALE ALGJEBRIKE

52 Vetit¨ e:

an · am = am+n an = an−m am 1 1 a−n = n , = an , a a−n (ab)n = an bn  a n an = n , b = 0 b b (am )n = amn

1. 2. 3. 4. 5. 6.

a0 = 1, a = 0

p¨er ¸cdo m, n ∈ R. R¨end¨esia e fuqive n¨e matematik¨e ¨esht¨e tejet e madhe, prandaj edhe vetit¨e e tyre duhet t¨e p¨ervet¨esohen n¨e t¨er¨esi. Nga v¨erejtja q¨e e p¨ermend¨em m¨e lart¨e dhe vetia 3, shihet qart¨e se fuqit¨e mund t¨e p¨erkufizohen edhe me eksponenta numra t¨e plot¨e (jo vet¨em p¨er numra natyral¨e). Shembulli 3.1.1

T¨e thjeshtohen shprehjet 210 · 415 · 67 , 184 · 1610

(a)

(b)

0.00023 · 0.00410 · 0.00015 0.000810 · 0.0032

Zgjidhje: (a) Vlen: 210 · 415 · 67 184 · 1610

= =

210 · (22 )15 · (3 · 2)7 210 · 230 · 37 · 27 = 4 2 4 4 10 (2 · 3 ) · (2 ) 2 · (32 )4 · 240 23 8 247 · 37 247 37 37 1 = 23 · = = . = 44 · 8 = 247−44 · 7 44 8 2 ·3 2 3 3 ·3 3 3 3

Shembulli n¨e rastin (b) njehsohet ngjash¨em vet¨em se duhet pasur parasysh faktin se p.sh. 0.001 = 10−3 , 0.0003 = 3 · 10−4 , 0.00018 = 18 · 10−5 e k¨eshtu me radh¨e. Shembulli 3.1.2 T¨e shkruhet numri: (−23 )4 − 163 + (−42 )3 − (−82 )2 , n¨e form¨e t¨e fuqis¨e. Zgjidhje: Kemi: (−23 )4 − 163 + (−42 )3 − (−82 )2 = 212 − 212 − 212 − 212 = −2 · 212 = −213 . Shembulli 3.1.3 T¨e shkruhet numri: 5 · 83 − 6 · 162 + 3 · 45 , n¨e form¨e t¨e fuqis¨e. Zgjidhjen e b¨en¨e lexuesi (Rez. 212 ).

3.1 FUQIZIMI

53

Shembulli 3.1.4 T¨e llogariten: 1 1 1 (a) 2 2 · 2 3 · 2 6 ; Zgjidhje: 1

1

1

1

2

1

(a) 2 2 · 2 3 · 2 6 = 2f rac12+ 3 + 6 = 2 2

2

1

2

2

2

1

(b) [8 3 · (32) 5 ] 4 . 3+2+1 6

1

6

= 2 6 = 1; 2

2

1

1

1

(b) [8 3 · (32) 5 ] 4 = [(23 ) 3 · (25 ) 5 ] 4 = [23· 3 · 25· 5 ] 4 = [22 · 22 ] 4 = [24 ] 4 = 2. (b) Rez. 25 · 32 . (c)

34 · x−4 · y −3 · z 2 81x−4 y −3 (z −2 )−1 = = 34−3 · x−7+4 · y −3+6 · z 2+2 = 27x−7 (y 3 )−2 (7−1 )2 33 · x−7 · y −6 · z −2

= 3x3 y 3 z 4 ; (¸c) E zgjidh¨e lexuesi. Shembulli 3.1.5 T¨e thjeshtohet shprehja A=

x3 y −2 (x−1 y −3 )4 x(y −3 )2 (x2 y −3 )2 (xy −3 )2

dhe t¨e llogaritet vlera e saj p¨er x = 4, y =

1 . 2

Zgjidhje: Kemi: x3 y −2 (x−1 y −3 )4 x(y −3 )2 x3 y −2 (x−1 )4 (y −3 )4 x(y −3 )2 = = (x2 y −3 )2 (xy −3 )2 (x2 )2 (y −3 )2 x2 (y −3 )2 x3−4+1 y −2−12−6 x0 y −20 x3 y −2 x−4 y −12 xy −6 = = = x−6 y −8 . − x4 y −6 x2 y −6 x4+2 y −6−6 x6 y −12 1 P¨er x = 4, y = marrim 2  1 −8 1 1 28 1 A = 4−6 . = 6 · (2−1 )−8 = 6 · 28 = 12 = 2 4 4 2 16 Shembulli 3.1.6 T¨e thjeshtohet shprehja   1 + x−1 x + x−2 1 + x−1 + · . x−2 − x−1 + 1 x−2 + 2x−1 + 1 1 − x−1 Zgjidhje: Kemi:  1 + x−1  1 + x−1 x + x−2 + · = x−2 − x−1 + 1 x−2 + 2x−1 + 1 1 − x−1 3 x+1  x+1  x+ 1  x +1 1 + x1  1 + x1 x2 x2 x x · · x−1 = 1 = + = + 2 2 1 1 2 1 1−x+x 1+2x+x − + 1 + + 1 1 − 2 2 2 2 x x x x x x x x " x3 + 1 x(x + 1) # x + 1 " (x + 1)(x2 − x + 1) x # · = · + + = 2 2 2 1−x+x (x + 1) x−1 1−x+x x+1 x2 + 3x + 1 x+1 = . · x−1 x−1 A=

POLINOMET DHE SHPREHJET RACIONALE ALGJEBRIKE

54

Shembulli 3.1.7 T¨e llogaritet

3n+1 − 3n−1 . 3n−1 + 3n−2

Zgjidhje: 3 · 3n − 1 · 3n 3n (3 − 1 ) 3n+1 − 3n−1 = 1 n 31 n = n 1 31 = n−1 n−2 3 +3 3 (3 + 9) 3 ·3 + 9 ·3 Shembulli 3.1.8 T¨e llogaritet

8 3 4 9

=

8·9 = 6. 4·3

27 1 8 + 16 25 5 4 − 4

=

11 . 16

( 23 )−3 · (2.5)0 + 2−4 . (−0.4)−2 − ( 45 )−1

Zgjidhje: ( 23 )−3 · (2.5)0 + 2−4 ( 32 )3 · 1 + 214 = = 4 −2 (−0.4)−2 − ( 45 )−1 (− 10 ) − 54

3.2

¨ ¨ RRENJ EZIMI

Le t¨e jet¨e a ∈ R dhe n ∈ N. P¨ erkufizimi 3.2.1 Rr¨ enj¨ e t¨ e n–t¨e t¨e numrit real a quajm¨e numrin real b p¨er t¨e cilin bn = a. √ Simbolikisht shkruajm¨e n a = b. Numri a quhet radikanti, nd¨ersa numri n quhet treguesi (eksponenti) i rr¨enj¨es. Vetit¨ e: 1.

√ √ √ n n n a · b = a · b;

2. 3. 4.

√ n a a = √ ; n b b √ √ √ m nm n a· b= am · bn √ √ n b n a = bn · a. n

Tani mund ta p¨erkufizojm¨e edhe fuqin¨e me eksponent num¨er racional si √ def m n am = a n . (1) Duke pasur parasysh relacionin (1), mund t¨e p¨ergjith¨esohet p¨erkufizimi i rr¨enj¨ezimit edhe p¨er eksponenta numra t¨e plot¨e, racional¨e, real¨e apo edhe kompleks. N¨e k¨et¨e kurs do t¨e kemi t¨e b¨ejm¨e vet¨em me eksponent deri te numrat racional¨e. Pjesa tjet¨er punohet n¨e l¨end¨en e algjebr¨es. Vlen t¨e p¨ermendet r¨end¨esia e realcionit (1) e cila na mund¨eson q¨e rr¨enj¨en ta kthejm¨e n¨e fuqi dhe t’i zbatojm¨e vetit¨e e fuqive dhe n¨e fund rezultatin e fituar ta kthejm¨e prap n¨e form¨e t¨e rr¨enj¨es. Duhet pasur parasysh se rr¨enja e n−t¨e e nj¨e numri real (kompleks) ka gjith¨esej n−vlera (shih rr¨enj¨ezimi i numrit kompleks n¨e ndonj¨e tekst), por ne

¨ ¨ 3.2 RRENJ EZIMI

55

√ do t¨e kufizohemi vet¨em n¨e vlerat algjebrike t¨e tyre. P.sh. edhe pse 4 √i ka dy vlera 2 √ dhe −2, sepse 22 = (−2)2 = 4, vlera algjebrike e saj ¨esht¨e 4 = 2, √ 3 3 8 = 2, −8 = −2. Mbani mend √ √ √ √ 4 3 5 a2 = |a|, a4 = |a|, a3 = a, a5 = a, jan¨e vlerat algjebrike t¨e tyre. Dhe n¨e p¨ergjith¨esi: √ √ 2n 2n+1 a2n = |a|, a2n+1 = a. Shembulli 3.2.1 T¨e njehsohen: √ √ √ √ √ 5 3 (a) 36 + 4 49 − 32 + 1 − 3 −1;



√ √ 16 1 3 3 − + 64 − 25 + (−3)2 ; (b) 9 27

√ √ √  25 √  + 3 −8 + ( 9 · 3 −27 · 5 −32). (c) 36 √ √ √ √ √ √ 5 Zgjidhje: (a) 36 + 4 49 − 5 32 + 3 1 − 3 −1 = 6 + 4 · 7 − 25 + 1 − (−1) = 34 − 2 + 1 + 1 = 34.

√ √ 3 √

√ 16 3 1 √ 16 1 √ 3 3 2 3 − 52 +|−3| = − + 64− 25+ (−3) = √ − √ + 4 (b) 3 9 27 9 27 4 1 − + 4 − 5 + 3 = 3. 3 3

√

√ √ √    25

 25 √ 3 3 5 √ + −8 + ( 9 · −27 · −32) = + 3 (−2)3 + 3 · 3 (−3)3 · (c) 36 36

101 5 5 . (−2)5 = − 2 + 18 = 6 6 Shembulli 3.2.2

T¨e njehsohen: √ √ √ √ (a) 8 · 32; (b) 3 6 · 2 8; 1

1

2

1

(c)

√ √ xm+2 · xm−2 ;

2

(¸c) (3 3 + 2 3 ) · (3 3 − 6 3 + 2 3 ).

Zgjidhje: Kemi: $ √

√ 3 5 (a) 8 · 32 = 8 · 32 = 2 · 2 = 28 = (24 )2 = 16; √ √ √ √ √ √ √ √ √ (b) 3 6 · 2 8 = 6 6 · 8 = 6 48 = 6 16 · 3 = 6 16 · 3 = 6 · 4 · 3 √ = 24 3. √ √ √ √ √ (c) xm+2 · xm−2 = xm+2 · xm−2 = xm+2+m−2 = x2m =

= |xm |2 = |xm |. (¸c) zgjidhjen e b¨en lexuesi. √

√

POLINOMET DHE SHPREHJET RACIONALE ALGJEBRIKE

56 Shembulli 3.2.3

T¨e njehsohen:

√ √ 3 3 3 16 (a) 0.5 · 1.25 · ; 10

√ √ 7 128 · 5 32 √ (b) √ . 81 · 3 64

Zgjidhje: %

√ √ 16 5 3 125 3 16 3 3 3 3 = · · = (a) 0.5 · 1.25 · 10 10 100 10

5 8 5 125 16 3 3 1 = · · = · · = 1. 10 100 10 2 4 5 √ √ √ √ 7 5 7 1 128 · 5 32 27 · 25 2·2 √ √ (b) √ = . = = 3 3 9 · 4 9 81 · 3 64 9 4

3.3

KUPTIMI I POLINOMIT

√ Shprehjet e form¨es: −4, 3x, −0.5x√2 z, 5xzy 3 t2 , etj. quhen monome n¨e 5 quhen koeficienta, nd¨ersa shkronjat matematik¨e. Numrat −4, 3, −0.5, x, z, y, t, quhen ndryshore t¨e monomeve. Shuma e treguesve t¨e ndryshoreve (p¨erve¸c konstanteve) quhet shkalla e monomit. P.sh. √ shkalla e monomit 3x ¨esht¨e e barabart¨e me 1, nd¨ersa shkalla e monomit 5xzy 3 t2 ¨esht¨e e barabart¨e me 1+1+3+2 = 7. Konstantat konsiderohen monome me shkall¨e t¨e barabart¨e me 0. Nuk e ka v¨eshtir¨e studenti ta p¨erceptoj¨e kuptimin e monomit. Pra, c¸do prodhim i nj¨e numri t¨e fundm¨e konstantesh me fuqit¨e me eksponenta numra t¨e plot¨e joonegativ t¨e nj¨e numri t¨e fundm¨e ndryshoresh quhet monom. Kjo fjal¨e rrjedh nga gjuha greke, q¨e do t¨e thot¨e shprehje nj¨egjymtyr¨eshe. Shuma apo diferenca e dy monomeve quhet binom. Ngjash¨em e p¨erkufizojm¨e kuptimin e trinomit dhe n¨e p¨ergjith¨esi t¨e polinomit. P.sh. shprehjet algjebrike: 3 − 4x,

2x − 4xy 2 ,

−0.5xyy 2 −

√ 4 6x y

jan¨e binome, nd¨ersa shprehjet: 7 − 4x − x2 ,

2x − 4xy 2 − x3 y 6 ,

−0.5xyy 2 −

√

6x3 y 2 + x + 2z

jan¨e trinome, respektivisht polinome. Monomet:

√ 1 x, − 7x 3 jan¨e t¨e ngjashme mes veti, sikurse edhe monomet: √ 7 2 3 3 2 3 2 3 xy z . 14xy z , − xy z , − 5 2 −4x,

Prandaj p¨er dy monome themi se jan¨e t¨e ngjashme n¨ese ato ndryshojn¨e vet¨em p¨er nga koeficient¨et e tyre, nd¨ersa fuqit¨e e ndryshoreve duhet t¨e jen¨e t¨e nj¨ejta.

3.3 KUPTIMI I POLINOMIT

57

R¨end¨esia e monomeve t¨e ngjashme q¨endron n¨e faktin se vet¨em ato mund t¨e mblidhen ose zbriten. Mbledhja (zbritja) e dy monomeve t¨e ngjashme realizohet n¨e at¨e m¨enyr¨e q¨e mblidhen (zbriten) koeficient¨et e tyre. Shembulli 3.3.1 Shuma (zbritja) e monomeve 3xy 2 y 3 dhe 5xy 2 y 3 ¨esht¨e 3xy 2 y 3 + 5xy 2 y 3 = 8xy 2 y 3 , respektivisht 3xy 2 y 3 − 5xy 2 y 3 = −2xy 2 y 3 . Ky proces quhet reduktim n¨e teorin¨e e polinomeve. Nga shembujt e m¨esip¨erm v¨erejm¨e se kemi polinome q¨e varen prej nj¨e apo m¨e shum¨e ndryshoreve. Nga t¨e gjitha k¨eto, ne m¨e s¨e shumti do t¨e merremi me polinomet me nj¨e ndryshore. Marrim k¨et¨e p¨erkufizim: P¨ erkufizimi 3.3.1 Shprehjen e form¨es pn (x) ≡ an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 ,

ai ∈ R(C), an = 0,

(1)

e quajm¨e polinom i shkall¨ es n i ndryshores x me koeficienta numra real¨e (kompleks¨e). Numrat an , an−1 , ..., a1 , a0 quhen koeficient¨e to polinomit. Monomi an xn quhet gjymtyra m¨e e vjet¨er e polinomit, nd¨ersa a0 quhet gjymtyra e lir¨ e. Shkalla e polinomit pn (x) sh¨enohet me deg pn (x). D.m.th. deg pn (x) = n. Theksojm¨e se polinomet nuk jan¨e barazime. Sh¨enimi n¨e relacionin (1) nuk duhet kuptuar si barazim por si sh¨enim t¨e polinomit. Mund t¨e v¨ereni se nuk ¨esht¨e p¨erdorur shenja = por ≡, t¨e cilat jan¨e t¨e ndryshme. Sa her¨e q¨e nj¨e polinom e sh¨enojm¨e me pn (x) duhet kuptuar shprehjen an xn +an−1 xn−1 +· · ·+a1 x+a0 . Preferohet q¨e polinomi t¨e shkruhet sipas zvog¨elimit apo rritjes s¨e treguesve t¨e ndryshores x. Dy polinome pn (x) ≡ an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 dhe qm (x) ≡ bn xn + bn−1 xn−1 + · · · + b1 x + b0 themi se jan¨e t¨e barabarta dhe simbolikisht shkruajm¨e pn (x) = qm (x) n¨ese m = n dhe ai = bi , i = 1, 2, ..., n. Kuptimi i polinomit mund t¨e p¨ergjith¨esohet edhe p¨er n−ndryshore. P.sh. polinomi i shkall¨es s¨e dyt¨e prej dy ndryshoreve x dhe y ¨esht¨e shprehja: p(x, y) ≡ a11 x2 + a12 xy + a22 y 2 + a13 x + a23 y + a33 . V¨em¨e n¨e dukje se shkalla e polinomit p(x, y) = xy + 3x − 4y + 5 ¨esht¨e 2, sepse monomi xy ¨esht¨e i rendit t¨e dyt¨e (xy = x1 y 1 ).

3.3.1

Mbledhja dhe zbritja e polinomeve

Mbledhja dhe zbritja e polinomeve kryhet n¨e at¨e m¨enyr¨e q¨e mblidhen dhe zbriten gjymtyr¨et e ngjashme. Shembulli 3.3.2 Shuma (zbritja) e polinomeve p3 (x) ≡ 4x3 − 5x2 + 7x − 6 dhe q4 (x) ≡ 2x4 + 10x3 − 15x2 + 4x + 12 ¨esht¨e: p3 (x)

+ q4 (x) ≡ (4x3 − 5x2 + 7x − 6) + (2x4 + 10x3 − 15x2 + 4x + 12)

POLINOMET DHE SHPREHJET RACIONALE ALGJEBRIKE

58

= 2x4 + 14x3 − 20x2 + 11x + 6, p3 (x)

− q4 (x) ≡ (4x3 − 5x2 + 7x − 6) − (2x4 + 10x3 − 15x2 + 4x + 12) = −2x4 − 6x3 + 10x2 + 3x − 18.

Ngjash¨em mblidhen tri apo m¨e tep¨er polinome dhe vlejn¨e ligji komutativ dhe ai asociativ p¨er mbledhje.

3.3.2

Shum¨ ezimi i polinomeve

Shum¨ezimi i dy polinomeve kryhet ashtu q¨e ¸cdo gjymtyr¨e e polinomit t¨e par¨e shum¨ezohet me secil¨en gjymtyr¨e t¨e polinomit t¨e dyt¨e dhe rezultati i fituar reduktohet. Shembulli 3.3.3 Prodhimi i polinomeve p(x) ≡ 4x3 − 5x2 + 7x − 6 dhe q(x) ≡ 2x4 + 10x3 − 15x2 + 2x − 3 ¨esht¨e: p(x) · q(x) ≡ (4x3 − 5x2 + 7x − 6) · (2x4 + 10x3 − 15x2 + 2x − 3) = = (8x7 + 40x6 − 60x5 + 8x4 − 12x3 ) + +(−10x6 − 50x5 + 75x4 − 10x3 + 15x2 ) + +(14x5 + 70x4 − 105x3 + 14x2 − 21x) +(−12x4 − 60x3 + 90x2 − 12x + 18) = 8x7 + (40 − 10)x6 + +(−60 − 50 + 14)x5 +(8 + 75 + 70 − 12)x4 + (−12 − 10 − 105 − 60)x3 + +(15 + 14 + 90)x2 + (−21 − 12)x + 18 = 8x7 + 30x6 − 96x5 + 141x4 − 187x3 + 119x2 − 33x + 18 P¨er shum¨ezimin e polinomeve vlejn¨e ligji komutativ, asociativ dhe ai distributiv i shum¨ezimit ndaj mbledhjes dhe ndaj zbritjes).

3.3.3

Pjes¨ etimi i polinomeve

N¨e analogji me pjes¨etimin e dy numrave natyral¨e, p¨erkufizojm¨e edhe pjes¨etimin e dy polinomeve. Le t¨e jen¨e dh¨en¨e dy polinome p(x) dhe g(x) dhe deg p(x) ≥ deg g(x). Marrim k¨et¨e p¨erkufizim: P¨ erkufizimi 3.3.2 T¨e pjes¨etohet polinomi p(x) me polinomin g(x) do t¨e thot¨e t’i gjejm¨e polinomet q(x) dhe r(x) t¨e till¨e q¨e p(x) = q(x)g(x) + r(x), etueshmi, ku deg r(x) < deg g(x). Polinomi p(x) quhet i pjes¨ pjes¨ etuesi, q(x) her¨ esi, nd¨ersa r(x) quhet mbetja.

g(x)

3.3 KUPTIMI I POLINOMIT

59

N¨e vazhdim do t¨e shohim si pjes¨etohen dy polinomeve. S¨e pari polinomet duhet t¨e renditen sipas zvog¨elimit t¨e treguesve t¨e ndryshores x e pastaj gjymtyra m¨e e vjet¨er e t¨e pjes¨etueshmit pjes¨etohet me gjymtyr¨en m¨e t¨e vjet¨er t¨e pjes¨etuesit. Pastaj ecuria e pun¨es ¨esht¨e e ngjashme me at¨e t¨e pjes¨etimit t¨e dy numrave. Pjes¨etimi vazhdon deri sa shkalla e polinomit n¨e mbetje t¨e jet¨e m¨e e vog¨el se shkalla e pjes¨etuesit. Shembulli 3.3.4 Gjat¨e pjes¨etimit t¨e polinomit p(x) = 2x4 +5x3 −2x2 +7x−10 me polinomin g(x) = x2 − 2x + 3 kemi: p(x) : g(x) = (2x4 + 5x3 − 2x2 + 7x − 10) : (x2 − 2x + 3) = 2x2 + 9x + 10 −(2x4 − 4x3 + 6x2 ) 9x3 − 8x2 + 7x − 10 −(9x3 − 18x2 + 27x) 10x2 − 20x − 10 −(10x2 − 20x + 30) −40 ≡ r(x) Meq¨e shkalla e polinomit mbetje r(x) ¨esht¨e 0 m¨e e vog¨el se shkalla e polinomit g(x), q¨e ¨esht¨e 2, k¨etu nd¨erpritet procesi i pjes¨etimit. D.m.th. gjat¨e k¨etij pjes¨etimi kemi marr¨e her¨esin q(x) = 2x2 + 9x + 10, nd¨ersa mbetja ¨esht¨e r(x) = −40. Shembulli 3.3.5 nomeve: (a) (b)

T¨e llogaritet her¨esi dhe mbetje gjat¨e pjes¨etimit t¨e poli-

p(x) p(x)

= 3x2 + 7x = 4 me q(x) = x − 1; = x4 + 3x2 − x + 3 me q(x) = x2 + 1.

Zgjidhje: (a) Kemi: p(x) : g(x) = (3x2 + 7x − 4) : (x − 1) = 3x + 10 −(3x2 − 3x) 10x − 4 −(10x − 10) 6 Pra, q(x) = 3x + 10, r(x) = 6. (b) Pjes¨etimin e b¨ n lexuesi (her¨esi q(x) = x2 +2, kurse mbetja r(x) = −x+1.) N¨ese mbetja r(x) ¨esht¨e e barabart¨e me zero, at¨eher¨e themi se polinomi p(x) plot¨epjes¨etohet me polinomin g(x) dhe n¨e at¨e rast shkruajm¨e p(x) = q(x)g(x).

POLINOMET DHE SHPREHJET RACIONALE ALGJEBRIKE

60

Shembulli 3.3.6 Tregohet se binomi x3 +1 plot¨epjes¨etohet me binomin x+1 me ¸c’rast her¨esi ¨esht¨e x2 − x + 1. (Provoni!) Tregohet se polinomi p(x) plot¨epjes¨etohet me binomin x − a at¨eher¨e dhe vet¨em at¨eher¨e, n¨ese p(a) = 0. D.m.th. a ¨esht¨e nj¨e zero e polinomit.

3.3.4

Faktorizimi i polinomeve

Sikurse n¨e teorin¨e e numrave, edhe n¨e teorin¨e e polinomeve p¨erkufizohet faktorizimi i polinomeve. Marrim k¨et¨e p¨erkufizim:

P¨ erkufizimi 3.3.3 T¨e faktorizohet nj¨e polinom do t¨e thot¨e q¨e at¨e mund ta shkruajm¨e si prodhim i dy apo m¨e tep¨er polinomeve t¨e shkall¨es jo t¨e barabart¨e me zero. Shembulli 3.3.7 Polinomin p(x) = x2 −5x+6 mund ta shkruajm¨e si prodhim t¨e binomeve (x − 2) dhe (x − 3). D.m.th. x2 − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3). K¨eshtu, shprehja n¨e an¨en e djatht¨e paraqet faktorizimin e polinomit x2 − 5x + 6. Binomet x − 2 dhe x − 3 paraqesin faktor¨et e zb¨erthimit. Faktorizimi i polinomeve n¨e matematik¨e njihet edhe si zb¨ erthim n¨ e prodhim (faktor¨ e). Faktorizimi ¨esht¨e nj¨e proces shum¨e i komplikuar n¨e matematik¨e. Nj¨e rol t¨e r¨end¨esish¨em p¨er faktorizimin e polinomeve luajn¨e identitetet themelore algjebrike, t¨e cilat do t’i japim n¨e vazhdim.. Identitetet themelore

(1)

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

katrori i binomit (shum¨es)

(2) (3)

(a − b) = a − 2ab + b a2 − b2 = (a − b)(a + b)

katrori i binomit (ndryshimit) ndryshimi i katror¨eve

(4) (5) (6)

(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 kubi i binomit (shum¨es) (a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3 kubi i binomit (ndryshimit) a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 ) shuma e kubeve

(7)

a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 ) ndryshimi i kubeve  n  & n n n−k k n! , formula e binomit, ku (a + b)n = b , = a k k k!(n − k)!

(8)

2

2

2

k=0

n! = n · (n − 1) · · · 3 · 2 · 1, kurse 0! = 1, (9) an − bn = = (a − b)(an−1 + an−2 b + an−3 b2 + · · · + a2 bn−3 + abn−2 + bn−1 ).

3.3 KUPTIMI I POLINOMIT

61

Shembulli 3.3.8 C ¸ ka duhet tu shtojm¨e binomeve q¨e vijojn¨e n¨e m¨enyr¨e q¨e trinomet e fituara t¨e paraqesin katror¨e t¨e binomeve. (a)

x2 + 2x + ...,

(b) x2 − 2x + ..., (c) x2 − 4mx + ..., (d) x2 + x + ..., 9 2 x + 4y 2 + .... (e) 16 (f )

1 − 4p + ...,

(g) x2 − xy + ..., (i) x4 + y 6 + ..., (j)

25x2 + 1 + ... .

¨ e e qart¨e se n¨e rastin (a) tri pikat duhet t¨e z¨evend¨esohen me 1 dhe me Esht¨ at¨e rast fitojm¨e x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 . N¨e rastin (d) kemi:  2 1 1 1 x2 + 2x + = (x + )2 . 2 2 2 Ngjash¨em zgjidhen rastet tjera. Shembulli 3.3.9 Duke shfryt¨ezuar identitetet themelore, b¨ejm¨e faktorizimin e binomeve:   2  2  1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 a − b = a − b = a− b a+ b (a) 4 9 2 3 2 3 2 3 (b) 144a2 − 25x6 = (12a)2 − (5x3 )2 = (12a − 5x3 )(12a + 5x3 ) (c) a4 − b4 = (a2 − b2 )(a2 + b2 ) = (a − b)(a + b)(a2 + b2 ) (d) (a + b)2 − c2 = (a + b − c)(a + b + c) (e) x3 − 1 = x3 − 13 = (x − 1)(x2 + x + 1) (f ) x3 − 27 = x3 − 33 = (x − 3)(x2 + 3x + 9) (g) 125x3 − 27y 3 = (5x)3 − (3y)3 = (5x − 3y)(25x2 + 15xy + 9y 2 ) (h) (i) (j)

x3 + 8 = x3 + 23 = (x + 2)(x2 − 2x + 4)  3   3 9 27 3 3 3 3 3 2 2 = (xy) + x y + = xy + x y − xy + 64 4 4 4 16 125x3 + 27y 3 = (5x)3 + (3y)3 = (5x + 3y)(25x2 − 15xy + 9y 2 ).

Problemi i faktorizimit n¨e matematik¨e ¨esht¨e mjaft i nd¨erlikuar e ndonj¨eher¨e edhe duhet shtuar e zbritur ndonj¨e shprehje n¨e m¨enyr¨e q¨e t¨e fitojm¨e identitetet e shkruajtura m¨e lart¨e. Sa p¨er ilustrim do ta marrim shum¨en e kubeve dhe do t¨e supozojm¨e se nuk e dijm¨e rezultatin e dh¨en¨e me (6). Kemi

POLINOMET DHE SHPREHJET RACIONALE ALGJEBRIKE

62

a3 + b3

= a3 + ba2 − a2 b − ab2 + ab2 + b3 = = a2 (a + b) − ab(a + b) + b2 (a + b) = (a + b)(a2 − ab + b2 ).

Preferohet q¨e lexuesi t¨e provoj¨e t’i v¨ertetoj¨e identitetet tjera po n¨e k¨et¨e m¨enyr¨e. V¨ erejtje. Binomi a2 +b2 nuk mund t¨e zb¨erthehet n¨e faktor¨e n¨e bashk¨esin¨e e numrave real¨e, por vet¨em n¨e at¨e kompleks¨e. K¨eshtu, a2 + b2 = (a + b · i)(a − b · i), ku i paraqet nj¨esin¨e imagjinare dhe i2 = − Shembulli 3.3.10 T¨e zb¨erthehen n¨e prodhim polinomet q¨e vijojn¨e: (a)

4x2 + 4x + 1,

(b)

a2 + a + 0, 25,

(c)

− 2yz + y 2 + z 2 ,

(d)

a2 − 8a2 c + 16c2 .

¨ e e qart¨e se 4x2 + 4x + 1 = (2x)2 + 2 · 2x · 1 + 12 = (2x + 1)2 . Zgjidhje: (a) Esht¨ Ngjash¨em marrim: 4x2 − 4x + 1 = (2x − 1)2 , 1 (b) a2 + a + 0, 25 = (a + )2 2 (c) − 2yz + y 2 + z 2 = (y − z)2 = (z − y)2 , (d) a2 − 8a2 c + 16c2 = (a − 4c)2 . (a)

Shembulli 3.3.11 T¨e zb¨erthen n¨e prodhim polinomet q¨e vijojn¨e: (a) a3 − 6a2 b + 12ab2 − 8b3 = a3 − 3 · a2 · 2b + 3 · a · (2b)2 − (2b)3 = = (a − 2b)3 (b) 27x3 + 27x2 y + 9xy 2 + y 3 = (3x)3 + 3(3x)2 y + 3(3x)y 2 + y 3 = = (3x + y)3 (c) 8x3 − 12x2 + 6x − 1 = (2x − 1)3 (d)

27m3 − 108m2 n + 144mn2 − 64n3 = (3m − 4n)3 .

Shembulli 3.3.12 Duke shfryt¨ezuar metoda t¨e ndryshme t’i faktorizojm¨e polinomet q¨e vijojn¨e: (a) a2 − ab = a(a − b), (b) 12a5 + 18a3 = 6a3 (2a2 + 3), (c) 2an+1 + 6an = 2an (a + 3), (d) 9a3 b2 − 6a2 b + 12a2 b3 = 3a2 b(3ab − 2 + 4b2 ), (e) b(x − 3) + c(x − 3) + 3 − x = b(x − 3) + c(x − 3) − (x − 3) = (x − 3)(b + c − 1), (f ) a3 + 3a2 + 4a + 12 = a2 (a + 3) + 4(a + 3) = (a + 3)(a2 + 4), (g) a3 − a2 b + 2ab2 − 2b3 = a2 (a − b) + 2b2 (a − b) = (a − b)(a2 + 2b2 ), (h) ax2 + bx2 − bx − ax + cx2 − cx = x2 (a + b + c) − x(a + b + c) = (a + b + c)(x2 − x) = x(a + b + c)(x − 1).

3.3 KUPTIMI I POLINOMIT

63

Shembulli 3.3.13 (a) x2 − 10x + 9 = x2 − x − 9x + 9 = x(x − 1) − 9(x − 1) = = (x − 1)(x − 9) (b) x2 + 7x + 10 = x2 + 2x + 5x + 10 = x(x + 2) + 5(x + 2) = = (x + 2)(x + 5) (c) x2 − 11x + 24 = x2 − 3x − 8x + 24 = x(x − 3) − 8(x − 3) = = (x − 3)(x − 8) (d) x2 + x − 2 = x2 − x + 2x − 2 = x(x − 1) + 2(x − 1) = = (x − 1)(x + 2) Shembulli 3.3.14 Duke shfryt¨ezuar metoda t¨e ndryshme t’i faktorizojm¨e polinomet q¨e vijojn¨e: (a)

x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 − 4x2 = (x2 + 2)2 − (2x)2 =

= (x2 + 2 − 2x)(x2 + 2 + 2x) (b) x4 + 4y 4 = x4 + 4x2 y 2 + (2y 2 )2 − 4x2 y 2 = (x2 + 2y 2 )2 − (2xy)2 = (x2 + 2y 2 − 2xy)(x2 + 2y 2 + 2xy) (c) x4 + x2 + 1 = x4 + 2x2 + 1 − x2 = (x2 + 1)2 − x2 = = (x2 + 1 − x)(x2 + 1 + x) (d) x5 + x + 1 = x5 − x2 + x2 + x + 1 = x2 (x3 − 1) + (x2 + x + 1) = x2 (x − 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 (x − 1) + 1) = (x2 + x + 1)(x3 − x2 + 1) (e) x8 + x4 + 1 = x8 + 2x4 + 1 − x4 = (x4 + 1)2 − (x2 )2 = (x4 + 1 − x2 )(x4 + 1 + x2 ). Shembulli 3.3.15 T¨e faktorizohen polinomet q¨e vijojn¨e:

(a)

a2 + 2ab + b2 − c2 ;

(b)

(c) 16z 2 − 9x2 + 12xy − 4y 2 ; (e) 2x − 2y − x2 + 2xy − y 2 ; (g) m2 + 2mn + n2 − x2 + 2xy − y 2 ;

4 − p2 + 2pq − q 2 ;

(d) x2 − 2xy + y 2 − 9; (f ) x2 + 2xy + y 2 − 25; (h)

4a3n − 100an .

Shembulli 3.3.16 T¨e racionalizohet em¨eruesi i thyesave 1 1 (¸c) √ ; (a) √ ; 3 7−2 10 1 ; (b) √ ; (d) √ 5 2 3+1 1 2 . (c) √ (dh) √ ; 3 3 2+1 3

POLINOMET DHE SHPREHJET RACIONALE ALGJEBRIKE

64 Zgjidhje: Kemi: 1 (a) √ 3 1 (c) √ 3 3 1 (¸c) √ 7−2 1 (d) √ 2 3+1 2 (dh) √ 3 2+1

= = = = = = =

3.4 3.4.1

√ √ √ 3 3 1 √ ·√ = , (b) 2 5, 3 3 3 √ √ √ √ √ 3 3 3 2 3 9 9 11 − 6 2 11 − 6 2 1 √ √ √ , (¸ c ) , (d) , · = = 3 3 3 7 7 3 3 32 33 √ √ √ 7+2 7+2 7+2 1 √ √ , · = = 2 7 − 2 3 7−2 7+2 √ √ √ 2 3−1 1 2 3−1 2 3−1 √ = , · √ = 12 − 1 11 2 3+2 2 3−1 (k¨etu p¨erdoret identiteti a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 )) = √ √ √ √ ( 3 2)2 − 3 2 + 1 2[( 3 2)2 − 3 2 + 1] 2 √ √ √ · √ = = 3 2 + 1 ( 3 2)2 − 3 2 + 1 ( 3 2)3 + 1 √ √ 2( 3 4 − 3 2 + 1) . 3

THJESHTIMI I SHPREHJEVE RACIONALE ALGJEBRIKE Thyesat algjebrike

Veprimet me thyesa c ad + bc a + = , b, d = 0, a, b, c, d ∈ R; b d bd c ad + bc a − = ; Zbritja: b d b−d a·c a c · = , b, d = 0; Shum¨ ezimi: b d b·d a d a c : = · , b, c = 0. Pjes¨ etimi: b d b c V¨erejm¨e se: Mbledhja:

a c = ⇐⇒ a · d = b · d, b, d = 0. b d a a c ndonj¨eher¨e e shkruajm¨e n¨e form¨en cb dhe e quajm¨e thyes¨e e Her¨esin : b d d dyfisht¨e. Pra, a ad a c : = cb = . b d bc d

3.4 THJESHTIMI I SHPREHJEVE RACIONALE ALGJEBRIKE

65

N¨e vazhdim shohim si zgj¨erohen dhe thjeshtohen thyesat. Zgjerimi: P¨ er b = 0 ∧ c = 0, vlen:

a a·c = . b b·c Thjeshtimi: P¨ er b = 0 ∧ c = 0, vlen:

a·c a = . b·c b P.sh.

a−b −(b − a) = = −1, a = b. b−a b−a

Nd¨ errimi i shenj¨ es n¨ e termat e thyes¨ es:

−a a −a a a = , − = = , b −b b b −b −a − b a+b a+b a+b =− = = . c+d c+d −(c + d) −c − d

3.4.2

Thjeshtimi i shprehjeve racionale algjebrike

Shprehje racionale algjebrike quhen t¨e gjitha thyesat te t¨e cilat edhe num¨eruesi e edhe em¨eruesi jan¨e polinome. N¨e baz¨e t¨e k¨esaj t¨e gjitha polinomet jan¨e shprehje racionale. Po ashtu mbledhja, zbritja, shum¨ezimi dhe pjes¨etimi i dy shprehjeve racionale prap ¨esht¨e shprehje racionale. Proces shum¨e i r¨end¨esish¨em n¨e matematik¨e ¨esht¨e thjeshtimi i k¨etyre shprehjeve. Gjat¨e thjeshtimit duhet pasur kujdes q¨e: 1. Em¨eruesi i thyes¨es nuk guxon t¨e jet¨e zero p¨er asnj¨e vler¨e t¨e ndryshores (ndryshoreve), 2. S¨e pari edhe em¨eruesi dhe num¨eruesi i thyes¨es duhet t¨e faktorizohen (n¨ese ¨esht¨e e mundur) e pastaj t¨e thjeshtohen faktor¨et e nj¨ejt¨e. Gjat¨e thjeshtimit duhet t¨e merren parasysh rregullat dhe vetit¨e e mbledhjes, zbritjes, shum¨ezimit dhe t¨e pjes¨etimit t¨e thyesave, pastaj vetit¨e fuqive, e ndonj¨eher¨e edhe ato t¨e rr¨enj¨eve. Shembulli 3.4.1 Kemi: (a) (b) (c)

4 a b 2·2 a 2 1 2 4ab = · 2· = · ·1= · = , 6a2 b 6 a b 2·3 a·a 3 a 3a 7 a2 b 1 a b ab 7a2 b = · · = · · = , a, c = 0, 21ac 21 a c 3 1 c 3c ab3 ab = , b, c = 0, 6b2 c 6c

a, b = 0,

POLINOMET DHE SHPREHJET RACIONALE ALGJEBRIKE

66

a(x + 2)(x + 2) x+2 (x + 2)2 = = , a = 0, x + 2 = 0, 2 2a (x + 2) 2 · a · a · (x + 2) 2a d.m.th. a = 0 dhe x = −2, x(a + b) 1 x(a + b) = = , x = 0, a = −b, (e) 2ax + 2bx 2x(a + b) 2 3a2 b2 (x + y) 3a2 b2 (x + y) 1 = , (f ) = 2 3 2 2 2 3 2 45a b (x + 2xy + y ) 3 · 15a b (x + y) 15b(x + y) a, b = 0, x = −y, −(a2 − 1) −  (a − 1)(a + 1) 1 − a2 = = = −(a + 1), a = 1, (g) a−1 a−1 a−1 (x − 4)2 x−4 x2 − 8x + 16 = = , x = 4, y = 0, (h) xy − 4y y(x − 4) y x(x − 1)(x + 1) x−1 x3 − x = , x = 0, x = −1, = (i) 3 x + 2x2 + x x(x + 1)2 x+1 (a + b − 2)(a + b + 2) a+b−2 (a + b)2 − 4 = = , a + b = −2, (j) 2a + 2b + 4 2(a + b + 2) 2 (a − 3)(a + 3) (a − 3)(a + 3) a−3 a2 − 9 = = = , (k) ab + 3b − a − 3 b(a + 3) − (a + 3) (a + 3)(b − 1) b−1 a = −3, b = 1, a3n − an b2n an (a2n − b2n ) = (l) = a3n − 2a2n bn + an b2n an (a2n − 2an bn + b2n ) (an )2 − (bn )2 (an − bn )(an + bn ) = = (an − bn )2 (an − bn )2 n n a +b = n , a = 0, a = b, a − bn a2n bm − bm bm (an − 1)(an + 1) an − 1 (m) , = = a2n bm + 2an bm + bm bm (an + 1)2 an + 1 b = 0, an = −1, (x2 + 1)2 − x2 x4 + x2 + 1 = 4 = (n) 4 2 3 2 x + 3x + 2x + 2x + 1 x + x + 1 + 2x2 + 2x3 + 2x (x2 + 1 − x)(x2 + 1 + x) x2 − x + 1 = , x ∈ R. = (x2 + x + 1)2 x2 + x + 1 (d)

a

Shembulli 3.4.2 T¨e v¨ertetohet identiteti (a + 1)4 + a + 1 a+2 . =− 4 2 2 a − (a + 2a + 2) 4 Zgjidhje: Vlen: (a + 1)4 + a + 1 − (a2 + 2a + 2)2

a4

=

(a2

−

(a + 1)((a + 1)3 + 1) + 2a + 2))(a2 + a2 + 2a + 2)

(a2

3.4 THJESHTIMI I SHPREHJEVE RACIONALE ALGJEBRIKE

67

(a + 1)((a + 1) + 1)((a + 1)2 − (a + 1) + 1) −2(a + 1)2(a2 + a + 1) (a + 1)(a + 2)(a2 + a + 1) = − 4(a + 1)(a2 + a + 1) a+2 . = − 4 =

Por, ky identitet vlen vet¨em p¨er a = −1. Shembulli 3.4.3 T¨e tregohet se: (a2 + a + 1)2 − (a − 1)2 a+2 , = (a2 − a + 1)2 − (a + 1)2 a−2

a = 0, 2.

Zgjidhje: (a2 + a + 1)2 − (a − 1)2 (a2 − a + 1)2 − (a + 1)2

= = =

((a2 + a + 1) − (a − 1))((a2 + a + 1) + (a − 1)) ((a2 − a + 1) − (a + 1))((a2 − a + 1) + (a + 1)) a(a + 2) (a2 + 2)(a2 + 2a) = (a2 − 2a)(a2 + 2) a(a − 2) a+2 , a = 0, 2. a−2

N¨e vazhdim do t¨e zgjidhim disa shembuj n¨e lidhje me thjeshtimin e shprehjeve t¨e ndryshme algjebrike. Kjo pjes¨e luan rol qendror n¨e matematik¨e dhe konsiderohet se n¨ese studenti e p¨ervet¨eson k¨et¨e pjes¨e n¨e mas¨en m¨e t¨e madhe, at¨eher¨e ai nuk do t¨e ket¨e v¨eshtir¨esi serioze n¨e analiz¨e, algjeb¨er apo gjeometri analitike. Prandaj rekomandohet q¨e k¨esaj pjese t’i kushtohet kujdes i ve¸cant¨e. N¨e vazhdim shohim si thjeshtohen disa shprehje racionale algjebrike. Shembulli 3.4.4 Kemi: 1 1 a2 + b2 2b2 + 3a − 2(a2 + b2 ) a(3 − 2a) + 2− = = = 2 2 6a 4b 6ab 12ab 12ab2 3 − 2a , a, b = 0, = 12b2 a+b a b a+b b a − =− + − = + 2 (b) − 2 ab − b a − ab ab b(a − b) a(a − b) ab −a2 + b2 − a2 + b2 −2(a2 − b2 ) −a2 + b2 − (a + b)(a − b) = = = = ab(a − b) ab(a − b) ab(a − b) −2(a − b)(a + b) a+b = = −2 , a, b = 0; a = b, ab(a − b) ab 3 + 2x 2 − 3x x(16 − x) 3 + 2x 2 − 3x 16x − x2 + − = − − = (c) 2 x −4 2−x x+2 (x − 2)(x + 2) x−2 x+2

(a)

POLINOMET DHE SHPREHJET RACIONALE ALGJEBRIKE

68

16x − x2 − (3 + 2x)(x + 2) − (2 − 3x)(x − 2) = (x − 2)(x + 2) x−2 16x − x2 − (6 + 7x + 2x2 ) − (−4 + 8x − 3x2 ) = = = (x − 2)(x + 2) (x − 2)(x + 2) 1 = , x = ±2, x+2 1 2 1 2 1 1 (d) + = − + = + 2 2 2 x −x 1−x x +x x(x − 1) (x − 1)(x + 1) x(x + 1) x + 1 − 2x + x − 1 0 = = = 0, x = ±1, 0, x(x − 1)(x + 1) x(x − 1)(x + 1)   1 3 3 2a − 1 (e) − 3 + 2 a− = a+1 a +1 a −a+1 a+1  3 3 1 − + · = a + 1 (a + 1)(a2 − a + 1) a2 − a + 1  a(a + 1) − (2a − 1) a2 − a + 1 − 3 + 3(a + 1) a2 − a + 1 · · = a+1 (a + 1)(a2 − a + 1) a+1 2 2 1 (a + 1) 1 a + 2a + 1 · = · = 1, a = −1. = a+1 a+1 a+1 a+1 =

¨ USHTRIME DETYRA PER

3.5

1. T¨e njehsohen: (a) (2−1 +3−1 )·(2−1 −3−1 )+ (2−1 · 20 )−4 ; 23 (b)

[(−2)2 ]3 · (−4)−2 ; (−2)3 · (−2)2

1 (0.25)−1 · (1 )2 + 4 5 2 4 25[( )−2 : ( )3 ] : (− )−3 ; 3 4 3

(c)

(¸c)

1 (x2 )3 (yx)2 · (−x4 y 5 ); 4 x2 y 2

Rez. (a)

46 · 95 + 69 · 120 ; 84 · 312 − 614 1 (dh) 23 + 3 · ( )0 − 2−2 · 4 + 2 1 [(−2)2 : ] · 8; 2 x 2 (e) ( ) : (y : x)2 ; y

(d)

(f )

1 yx3 2x3 y ). :( · 4 2 x y y xy

7 361 1 x4 77 1 , (b) − , (c) − , (¸c) − x10 y 5 , (d) − , (dh) 74, (e) 4 , 36 8 20 4 12 y

2 , (x, y = 0). x3 2. T¨e njehsohet (f)

Rez. 215 32 .

23 (−7)4 (3−2 )−3 . (4−2 )3 (49)2 (9−2 )−1

¨ USHTRIME 3.5 DETYRA PER

69

3. T¨e njehsohet (3−2 )−3 + 5( 34 )0 + 1−1 . 14 + (1 12 )−2 Rez.

6615 13 .

4. Numrat (a)

√ 2;

(b)

√ 3 4−5 ;

(c) 3 9(27)5 ;

(¸c)

√ 3 67 ;

√ (d) 2 8,

t¨e sh¨enohen si fuqi me num¨er racional. 1

5

10

9

7

5

Rez. (a) 2 2 , (b) 4− 3 = 2− 3 , (c) 3 2 , (¸c) 6 3 , (d) 2 2 . 5. T¨e njehsohen: √ (a) 3 8 · 27; √ √ (b) 3 2 · 3 4; √ √ (c) 20 · 5; √ (¸c) 4 72 · 18;

√ √ 27 · 12; √ (d) √ 4 5 (dh) 73 · 22 · 72 · 23 ; 2 (e) √ ; 3 2+1 1 1 2 (f ) [(25) 3 : 5 3 ]3 · (3 5 : √ 3 3−1 ).

6. T¨e njehsohen p(x) ± g(x) dhe p(x) · g(x) n¨ese: (a)

p(x) = 2x3 − 2x2 + 3x − 4,

g(x) = 3x2 − 5x + 6

(b) p(x) = −3x4 − 12x2 + 6x − 5, g(x) = x3 − 5x2 + 6 (c) p(x) = 7x5 − 2x4 + 3x3 − 4x2 + 3x − 2, g(x) = x2 − 7x + 6 1 (d) p(x) = x8 + 4x7 + 3x6 − 4x5 + x3 − 2x2 + 6x − , 2 g(x) = x5 − 3x4 + 6x2 + 3 7. Jan¨e dh¨en¨e polinomet: p(x) = x3 + 2x + 3,

q(x) = −x2 = 3x + 5,

r(x) = x2 + 7.

T¨e llogariten: (a) p(x) − r(x) + 2q(x);

(c) p(x) · q(x);

(b) 12 p(x) + 34 q(x) = r(x);

(¸c) p(x) · q(x) − 12 r(x).;

Rez. (a) − 2x2 − 4x + 6;

(c) x4 +2x3 +10x2 +14x+21.

8. T¨e llogaritet shuma, prodhimi dhe her¨esi i polinomeve p(x) e q(x) : (a) p(x) = 2x4 − 3x3 + 4x2 + 1, q(x) = x2 − 1; (b) p(x) = 12x4 + 4x3 + 9x + 3, q(x) = 3x − 2; (a) p(x) = 5x4 − 3x5 + 3x − 1, q(x)x + 1 = x2 .

POLINOMET DHE SHPREHJET RACIONALE ALGJEBRIKE

70

9. T¨e njehsohet her¨esi dhe mbetja gjat¨e pjes¨etimit t¨e polinomit p(x) me polinomin g(x). N¨e cilat raste ato plot¨epjes¨etohen ? (a) p(x) = x4 − 15x3 + 6x2 − 7, g(x) = x3 − 3x2 + 9 (b) p(x) = −3x8 − 12x2 + 6x − 5, g(x) = x3 + 5x2 − 5 (c)

p(x) = x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 1,

g(x) = x2 + 2x + 1.

10. T¨e llogariten: (a) (x + 4y)2 ;

(c) (x − y − z)2 ;

(b) (xy − 1)2 ;

(¸c) (x − 1 + y)2 .

Rez. (a) x2 +8xy+16y 2 , (b) x2 y 2 −2xy+1, (c) x2 +y 2 +z 2 −2xy+2yz−2zx, (¸c) x2 + y 2 + 1 − 2x − 2y + 2xy. 11. T¨e llogaritet kubi i shprehjeve (a) (x + 3);

(b) (y = 12 );

(c) (x + 3);

(2x2 + 3y).

Rez. (a) (x + 3)3 = x3 + 9x2 + 27x + 27; 1 3 3 1 (b) (y − )3 = y 3 − y 2 + y − ; 2 2 4 8 2 3 6 4 (c) (2x + 3y) = 8x + 36x y + 54x2 y 2 + 27y 3 . 12. Duke zbatuar identitetin a2 − b2 = (a − b)(a + b) t¨e zb¨erthehen shprehjet: (a) x2 − 1;

(b) x2 − 16;

(c) 25 − y 2 ;

(¸c) x6 y 4 − 0.01.

1 1 2 1 = (x3 y 2 )2 −( 10 ) = (x3 y 2 − 10 )(x3 y 2 + Rez. (¸c) x6 y 4 −0.01 = (x3 y 2 )2 − 100 1 10 ).

13. T¨e faktorizohen binomet: 1 1 1 − a2 ; (c) 16a4 − 81b4 ; (¸c) a2m − a2n . (a) x2 − y 2 ; (b) 9 16 16   x y  x y 1 1 − · + , (b) −a · + a , (c) (2a − 3b)(2a + Rez. (a) 3 4 3 4 4 4 2 2 3b)(4a + 9b ), (¸c) a2m − a2n = (am )2 − (an )2 = (am − an )(am + an ). 14. T¨e faktorizohen binomet: (a) (a + b)2 − c2 ; (b) (x3 + 2y)2 − 4;

(c) (x − 3y)2 − 16z 2 ; (¸c) (x − 12 )2 − 94 .

Rez. (a) (a+b−c)(a+b+e = c); (b) (x3 +2y −2)(x3 +2y +2); 3y − 4z)(x − 3y + 4z); (¸c) (x − 2)(x + 1).

(c) (x−

¨ USHTRIME 3.5 DETYRA PER

71

15. Duke zbatuar identitetin a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 ), t¨e faktorizohen shprehjet: (¸c) 64y 3 − 27; (a) x3 − 1; (b) x3 − 8; (c) 1 − 27x3 ; Rez. (a) (x − 1)(x2 + x + 1);

(d) 0.001x3 − 125; 1 (dh) − x3 . 8 (d) (0.1x − 5)(0.01x2 + 0.5x + 25).

16. Duke zbatuar identitetin a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 ), t¨e faktorizohen shprehjet: 27 . (a) x3 + 27; (b) x3 y 3 + 18 ; (c) (x + 2)3 + 125 Rez. (a) (x + 3)(x2 − 3x + 9); 13 17 23 2 5 )(x + 5 x + 5 ).

(b) (xy + 12 )(x2 y 2 − 12 xy + 14 );

(c) (x +

17. T¨e faktorizohen shprehjet: (c) x4 − 8x2 y + 15y 2 ;

(a) 9x2 + 6x + 1; (b) x2 + x − 1; Rez. (a) (3x + 1)2 ; 5y)(x− 3y);

2

(¸c) 9m 16 + 4 + 3m. $ $ (b) (x + 12 )2 (x + 12 − 54 )(x + 12 + 54

);

(c) (x2 −

2 (¸c) ( 3m 4 + 2) .

18. T¨e faktorizohen shprehjet: (a) x4 + 1; (b) x4 + 4y 4 ; (c) x4 + x2 + 1;

(¸c) x4 + x2 y 2 + y 4 ; (d) x8 + 1; (dh) x8 − 1.

√ Rez. (a) x4 + 1 = (x2 )2 + 2x2 + 1 − 2x2 = · · · = (x2 + 1 − 2x)(x2 + 1 + √ 2x); (b) (x2 + 2y 2 − 2xy)(x2 + 2y 2 + 2xy); (c) (x2 +√ 1 − x)(x2 + 1 + 2 2 2 2 4 x); (¸c) (x + y − xy)(x + y + xy).; (d) (x + 1 − 2x2 )(x4 + 1 − √ 2x2 ); (dh) (x − 1)(x + 1)(x2 + 1)(x4 + 1).

19. Duke zbatuar identitetet themelore, t¨e llogariten: (a) (x − 3)(x + 3);

(d) a3 − 3a2 + 3a − 1;

(b) (4xy − 1)(4xy + 1); (c) (2 − x)(4 + 2x + x2 );

(dh) a6 + 2a3 b3 + b6 ; (e) x3 y 3 + 6x2 y 2 + 12xy + 8;

(¸c)(a − x)(a + x)(a2 + x2 ); (f ) 4m2 − 4mn + n2 . 20. T¨e faktorizohen shprehjet: (a) 4x2 − 4x + 1; (b) a2 − b2 + a3 − b3 ; (c) x3 + x2 + x + 1;

(¸c) a + b + a2 − b2 ; (d) a4 − b2 (2a − b)2 ; (dh) z 2 − 2zm + m2 .

Rez. (a) (2x − 1)2 , (b) (a − b)(a2 + ab + b2 + a + b, (c) (x + 1)(x2 + 1), (¸c) (a + b)(1 + a − b), (d) (a − b)2 (a + b)2 , (dh) (z − m)2 .

POLINOMET DHE SHPREHJET RACIONALE ALGJEBRIKE

72 21. T¨e v¨ertetohen identitetet:

(a) (m + n)2 − (m − n)2 − 4mn; (b) (b − a)2 + (b − a)(b + a) = 2ab(a − b); (c) a(a − b)(a + b) − (a + b)(a2 − ab + b2 ) = −b2 (a + b).

Zgjidhje: (c) a(a − b)(a + b) − (a + b)(a2 − ab + b2 ) = (a + b)[a(a − b) − (a2 − ab + b2 )] = (a + b)(−b2 ) = −b2 (a + b). 22. T¨e thjeshtohen thyesat:

1. 2. 3.

25ab − 15a2 , a = 0; −5a a2 + ab , a = b; a2 − b2 a3 − b3 , a = −b; a2 − b2

Rez. 1. −5b+a;

2.

a ; a−b

4. 5. 6.

3.

ax + bx , a = −b; ay + by a4 − 2a2 + 1 , a = 1; (−2a2 + 3a − 1)2 abcx , a, b, x = 0; abx

a2 + ab + b2 ; a+b

4.

x ; y

5.

(a + 1)2 ; (2a − 1)2

6.

c . x

23. T¨e llogariten: 2x − 3 5 − 3x 3x − 6 − 2 − 2 , x = ±1; x2 − 1 x −1 x −1 a 1 1 2. + , a = b; + 2 2 a −b a+b a−b a 1 1 3. + , a = b; + 2 2 a −b a+b b−a 1 1 1 4. + + , a(a − b)(a − c) b(b − a)(b − c) c(c − a)(c − b) a, b, c = 0, a = b; , a = c, b = c; 1 1 + x y 5. , x, y = 0, x = y; 1 1 − x y 1 1 + a + 1 a − 1 , a = ±1 . 6. 1 1 − a+1 a−1 1.

Rez. 1.

2 ; x+1

2.

3a ; a2 − b2

3.

a − 2b ; a2 − b2

4.

1 ; abc

5.

y+x ; y−x

6. − a .

¨ USHTRIME 3.5 DETYRA PER

73

24. T¨e llogariten: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

144a2 b5 c2 , a, b, c = 0; 256a3 b4 c2 (a − b)x , a = b, y = 0; (b − a)y 2p + 2q , p = q; p2 − q 2 x−2 , x = 2; x3 − 8 ab + ac + b2 + bc ; ax + ay + bx + by 4a − 2b a − 3b + ; 5m 5m

3a 2ab a + − 2 ; a − b a + b a − b2 15ab 28x2 8. · ; 14x 25b2 2 2p p+q 9. ; · 3 3 p +q p x−y y−x : , x = 2; 10. a b m − 1 2m − 2 11. : ; 10m 5 x y − 12. : (x + y) . y x 7.

25. T¨e thjeshohen shprehjet: 5x 3x − 1 − , x2 − 6x + 9 x2 − 9 2 a+1 2 + 3 (2) − 2 , 2 a a − a a − a2 x2 + y 2 x2 y2 (3) − , + xy xy − y 2 x2 − xy 6a 2a − 1 a+1 + − , (4) a + 2 a2 − 4 a−2 a2 + ab + b2 a2 − ab + b2 2a2 b (5) + − 2 , a+b a−b a − b2 x2 y 2 (x2 − b2 )(b2 − y 2 ) (a2 − x2 )(a2 − y 2 ) (6) + , + 2 2 a b b2 (a2 − b2 ) a2 (a2 − b2 ) a2 − bx 3b − a a + 2x (7) − + , 2 a − ab + bx − ax 2a − 2b 3a − 3x 2x 3x2 + 2x + 1 x+1 (8) − + 2 , x−1 x3 − 1 x +x+1 30x2 8 15x + 5 (9) + − , 9x3 − x 6x − 2 9x2 + 6x + 1 1 1 1 (10) + + , x2 + 10x + 25 x2 − 10x + 25 x2 − 25 4a2 + 9a + 5 1 − 2a 6 (11) − 2 − , a3 − 1 a +a+1 1−a x−5 x+3 16 (12) + + , x − 3 x + 5 x2 − 2x − 15 (1)

POLINOMET DHE SHPREHJET RACIONALE ALGJEBRIKE

74

12 x−1 x−7 − + , x + 1 x + 7 x2 + 8x + 7 9x2 1 6x (14) 1 + 3x + − − , 1 + 3x 1 − 3x 9x2 − 1 5x 3 − 15x 10(5x2 + 2x) (15) − + , 2 2 x + 5x 1 − 10x + 25x 1 − 25x2 a2 + ax a−x 2x 3 (16) − , − 2 + a2 − ax ax + x2 a − x2 a+x 5 a − 3x 17x − 25a 1 (17) − 2 + 2 + . 2 3x − 3a x − a 2x + 2a 6x − 6a2 1 a2 − a (18) · , a−1 a+1 a2 − ab a2 b + ab2 − a (19) · , a2 + ab ab 3a2 x+1 (20) · , x2 − 1 a 3x − 3y x2 − y 2 (21) · 2 . 2x + 2y x − 2xy + y 2 x4 − 1 a 2a2 + 2 (22) · · , a3 + a x3 + x2 + x + 1 (x − 1)2 x2 + y 2 − z 2 + 2xy a + b − c · , (23) b2 − a2 − c2 + 2ac x + y − z x3 + 2x2 − x − 2 a2 + a x−2 (24) · 3 · , a+1 x − 2x2 − x + 2 x + 2   2n m−n (25) 2 + · 1− , m−n m+n  2  x +1 x 3−x −1 · − (26) , x+2 2x − 1 2  x+z x+y z2 − , (27) · 2 z x x − yz  a 1 − a2 1 − b2 (28) 1+ · , · 1−a 1 + b a + a2   1 1 1 1 − − (29) , : m n m2 n2   x 3x2 + 1 , (30) 1− : 1 − x2 x−1  2x + 1 2x − 1 4x − , (31) : 2x − 1 2x + 1 6x + 3  1 3x ax + a : + (32) , x2 − x + 1 x + 1 x3 + 1 (13)

¨ USHTRIME 3.5 DETYRA PER x2 − x − 3 25x2 − 110x + 121 −x+2 : . x−4 x2 − 2x − 8 2a + b 2a + b − 2a − b 2a − b , 4a2 + b2 4a2 − b2 − 2 2 4a2 − b2 4a   +b 8x3 − 2a2 x a2 2 2x − 4x − 2x 2x + a , 2x 11 − 2x + a 1 1 + a + 1−a , 1 1 + 1−a 2 x 1 +1− 1+x 1 + x1 , x 1 + 1−x 1 − x1 x + x2 + x3 + · · · + xn , 1 1 1 1 + 2 + 3 + ··· n x x x x   x 2 y y x − + − 2 + : , y 2 + xy x + y x2 + xy y x   2 x − xy y 2x2 y−1 − − · 1 − , x2 y + y 3 y 3 − xy 2 + x2 y − x3 x x2  a a 4a a−4 + + 2 , : 6 − 3a a + 2 a − 4 a−2  a 4a2 − 1 1 a 2 : − · − , a3 − a2 − a + 1 a2 − 2a + 1 1 − a a + 1 a + 1    2b a2 + b2 b2 a 2a + : a+ − · b+1+ , b a + 2b b a a−2 2 4 2 − − − , 3a + 6 2a2 + 4a 3a2 + 12a + 12 3a(a + 2)2  2a 6x − 12 1 + , x+ · 2 2x − 4 3a + 12a + 12 a2 − 4x2  x 3x + x2 2 · 1 + − , ax − 2a2 x2 + x − 2ax − 2a x+3   x−y x+y x+y x−y − + : , x−y x+y x+y x−y  x 2xy 3x 4xy + − 2 , : 2 2 x + y x − y x − 4y x − y2 

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

(38

(39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48)

75

POLINOMET DHE SHPREHJET RACIONALE ALGJEBRIKE

76 

 2x 4y y x2 − 4y 2 − 2 + (49) − : 1− , x2 + 2xy x2 − 4y 2 xy − 2y 2 x2 − 4y 2    1 1 1 1 b2 + c2 − a2 + − (50) : : 1+ , a b+c a b+c 2bc ' 2  ( x x 1 1 1 (x − y)2 + 4xy + + − , (51) : : y3 x y2 y x 1 + xy ' ( (a + 2)2 − a2 a2 + a − 2 3 (52) − 2 · , n+1 n 2 a − 3a 4a − 4 a −a ' ( 3 z−2 1 (z + 4)2 − 12 z + 2z 2 + 2z + 4 − , + (53) : 6z + (z − 2)2 z3 − 8 z−2 z 3 − 2z 2 + 2z − 4 3 3a2 + 3a + 3 (53) − , a−1 a2   8c3 m + 2c m m (54) 1+ 3 − + , 3 m − 8c m + 2c   2c − m 2c 2 3x + y 2x + y 3y , (55) 1− 1− : 1+ 2 x−y x + 2y x − 4y 2  2 2m2 + 2m 2m 4 − + , (56) 2 2 3 m −m 1−m m −1 m−1  2a2 + 3a 3a + 2 4a − 1 2a + 3 (57) − − , · 2 4a + 12a + 9 2a + 3 2a − 1 2a − 3 4 6 3(3 − a) 2(5 − a) + − , (58) − 3 a2 − 1 a + 1 a2 + 2a1 a + a2 − a − 1  1 1−m 1 − 2m 1 4m + 2 − : − (59) , · 2 + 4m 8m3 + 1 2m2 − 2m + 1 2m − 1 1 − 4m + 4m2 ' ( 3 3x x2 + xy + y 2 3 2x + y (60) + 3 , · · : 2 3 x−y x −y x+y x + 2xy + y 2 x+y  3 3x − 6 3x x2 + 2x + 4 2x + 2 (61) · + 3 · , : 2 x + 2 x − 2 x − 8 x + 2 x + 4x + 4  3x + 6 2x2 − x − 10 (62) + : 2x3 + 2x2 + 2x + 2 2x3 − 2x2 + 2x − 2  3 3 5 + − , : x2 + 1 2x + 2 2x − 2 1 1 1 1 + + + + (63) x(x + 1) (x + 1)(x + 2) (x + 2)(x + 3) (x + 3)(x + 4) 1 + , (x + 4)(x + 5) 1 1 1 V¨erejtje: = − . x(x + 1) x x+1 x4 − (x − 1)2 x2 (x − 1)2 − 1 x2 − (x2 − 1)2 (64) + + , (x2 + 1) − x2 x2 (x + 1)2 − 1 x4 − (x + 1)2

¨ USHTRIME 3.5 DETYRA PER

(65)

9 − x2 x2 − (2x − 3)2 4x2 − (x − 3)2 , − + (2x + 3)2 − x2 4x2 − (x + 3)2 9(x2 − 1) 

(66)

77

a4 − a2 + 2a − 1 (a2 − 1)2 − a2 − (a2 + 1)2 − a2 a4 + 2a3 + a2 − 1

:

a2 − 2a . a3 − 1

26. T¨e v¨ertetohen identitetet:   6n n + 1 2n − 1 n2 + n − 4 + − 1. : 1− = n − 2; n2 − 4 n + 2 n−2 n2 − 4 ' 3   ( a − b3 2b 2a − b + 1 : · 2. = 1; 2 2 3 3 a − ab + b a −b a−b '  ( ' 2  ( x−y 1 1 x − y2 1 1 1 + − , 3. : −− xy x y xy x y x−y x, y = 0, x = y, x = −y; a4 − 2a2 + 1 (a + 1)2 4. 3 =− , a = 0; 2 a − 3a + 3a − 1 a−1 a+b 2 − ab 1 a 5. 2 = , a = 0, a = b, a = −b; a a + 2ab + b2 a2 − b2 1 √ 1 + a + 1−a 6. = 1 + a, a = ±1, a = 2; 1 1 + 1−a2 3x − 1 2x2 − 25x − 3 5x − = , x = ±3; x2 − 6x + 9 x2 − 9 (x − 3)(x + 3) a−1 4 a2 − a − 6 = =− , a = ±2; 8. a2 − 4 2−a (a − 2)(a + 2) x 3x − 1 2x + 1 2x 9. − + 2 =− , x = ±2; x−1 x−2 x − 3x + 2 x−1 1 9x + 3 2 x+1 1 10. − + = , x = ± . 6x + 3 8x2 − 2 2x − 1 6(2x + 1)(2x − 1) 2 7.

78

POLINOMET DHE SHPREHJET RACIONALE ALGJEBRIKE

4

SISTEMET E EKUACIONEVE LINEARE 4.1

¨ EKUACIONET LINEARE ME NJE ¨ PANJOHUR TE

P¨ erkufizimi 4.1.1 C ¸ do ekuacion i form¨es ax = b, apo q¨e mund t¨e transformohet n¨e k¨et¨e form¨e, ku a, b ∈ R, nd¨ersa x ¨esht¨e e panjohur quhet ekuacion linear me nj¨ e t¨ e panjohur. x+1 − Lexuesi nuk e ka v¨eshir¨e t¨e konstatoj¨e se ekuacionet 3x = −8x + 5, 2 √ 2x − 3 1 = , 2x − 3 = 2x + 6 jan¨e ekuaione lineare, nd¨ersa ekuacionet 7 3 1 x2 − 3x + 4 = 0, x 2 − 2x = 3, etj. nuk jan¨e lineare. P¨ erkufizimi 4.1.2 C ¸ do paramet¨er real α i till¨e q¨e kur x−in e z¨evend¨esojm¨e me α ekuacioni shnd¨errohet n¨e formul¨e t¨e sakt¨e, quhet zgjidhje e ekuacionit. N¨e vazhdim me B do t¨e sh¨enojm¨e bashk¨esin¨e e zgjidhjeve t¨e nj¨e ekuacioni, sistemi t¨e ekuacioneve, pabarazimi apo sistemi t¨e pabarazimeve. At¨eher¨e B = {α|α ∈ R, a · α = b} .

(1)

N¨ese B = ∅, at¨eher¨e themi se ekuacioni ¨esht¨e i zgjidhsh¨ em; n¨ese B ka pakufi shum¨e elemente, at¨eher¨e themi se ekuacioni ¨esht¨e i zgjidhsh¨ em dhe i pacaktuar dhe n¨ese B = ∅, at¨eher¨e themi se ekuacioni ¨esht¨e i pamundur. Prandaj ekuacioni ax = b ¨esht¨e i zgjidhsh¨em dhe i caktuar n¨ese a = 0; i zgjidhsh¨em dhe i pacaktuar n¨ese a = b = 0 dhe i pazgjidhsh¨em n¨ese a = 0, por b = 0.

80

SISTEMET E EKUACIONEVE LINEARE

P¨er dy ekuacione themi se jan¨e ekuivalente n¨ese bashk¨esit¨e e zgjidhjeve i kan¨e t¨e barabarta. Prandaj bashk¨esia e zgjidhjeve e nj¨e ekuacioni nuk nd¨erron n¨ese: 1. Dy an¨et e tij i nd¨errojn¨e vendet, 2. T¨e dy an¨eve t¨e ekuacionit u shtojm¨e ose u zbresim shprehje t¨e nj¨ejta algjebrike t¨e shum¨ezuara me ndonj¨e shprehje t¨e njejt¨e, t¨e ndryshme nga zero. Ka edhe shum¨e veti tjera t¨e cilat konsiderohet se student¨et i kan¨e t¨e njohura. Te disa ekuacione ¨esht¨e e nevojshme q¨e ndonj¨e shprehje q¨e p¨ermban t¨e panjohur¨en t¨e z¨evend¨esohet me ndonj¨e ndryshore t¨e re e pastaj t¨e zgjidhet sipas saj dhe n¨e fund ato vlera t¨e gjetura t¨e panjohur¨es s¨e re i z¨evend¨esojm¨e dhe k¨eshtu i marrim zgjidhjet e t¨e panjohur¨es fillestare. Shembulli 4.1.1 T¨e zgjidhen ekuacionet: (a) x + 4 = 2x − 7; (b) (x + 3) − 2(x − 1) = 5; 3x − (x + 2) = 12(x − 3); 3 1 (¸c) 4y − (y + 1) = y . 2 2

(c)

Zgjidhje: (a) x + 4 = 2x − 7 ⇐⇒ x − 2x = −4 − 7 ⇐⇒ −x = −11 ⇐⇒ x = 11. (¸c) 4y − 12 (y + 1) = 32 y ⇐⇒ 4y − 12 y − 12 = 32 y ⇐⇒ 4y − 12 y − 32 y = 12 ⇐⇒ 8y − y − 3y = 1 ⇐⇒ 4y = 1 ⇐⇒ y = 14 . Shembulli 4.1.2 T¨e zgjidhen ekuacionet: (a)

2x + 1 + 3(x + 1)(x − 1) = (3x + 2)(x − 1);

(b)

(2x − 1)2 + (3x + 1)2 = 13x2 + 12.

Zgjidhje: Kemi: (a)

2x + 1 + 3(x + 1)(x − 1) = (3x + 2)(x − 1) ⇐⇒ 2x + 1 + 3(x2 − 1) =

= 3x − 3x + 2x − 2 ⇐⇒ 2x + 1 + 3x2 − 3 = 3x2 − x − 2 ⇐⇒ 2x + 3x2 − 3x2 + x = −2 + 3 − 1 ⇐⇒ 3x = 0 ⇐⇒ x = 0.; 2

(b)

(2x − 1)2 + (3x + 1)2 = 13x2 + 12 ⇐⇒ 4x2 − 4x + 1 + 9x2 + 6x + 1 =

= 13x2 + 12 ⇐⇒ 13x2 + 2x − 13x2 = 12 − 2 ⇐⇒ 2x = 10 ⇐⇒ x = 5. Shembulli 4.1.3 T¨e zgjidhen ekuacionet: (a) (b)

x−1 x x+1 −x= + ; 3 4 2 1 3 3x − 1 + 2(x + 1) = x − (x + 3). 5 2 5

¨ 4.1 EKUACIONET LINEARE ME NJE ¨ TE PANJOHUR

81

Zgjidhje: Kemi: x−1 x x+1 −x= + /·12 ⇐⇒ 4(x + 1) − 12x = 3(x − 1) + 6x ⇐⇒ 3 4 2 7 . ⇐⇒ 4x + 4 − 12x = 3x − 3 + 6x ⇐⇒ −17x = −7 ⇐⇒ x = 17 4 (b) Rez. x = − . 3 (a)

Shembulli 4.1.4 T¨e zgjidhen ekuacionet: (a) (b)

3x x 1 + x2 − 1 1 + 3x −2 + 2 − − 2 3 = 1; 3 2 6 12 x x + 1 − 3−x 11 2 2 +x− 3 + = 0. 5 5 15

Zgjidhje: Kemi: 3x x 2+x 3x−2 1 + x2 − 1 1 + 3x −2 + 2 − − 2 3 = 1 ⇐⇒ 2 + 2 − 3 2 6 12 3 2 1 + 5x x − 2 − − 1/36 ⇐⇒ 6(2 + x) + 9(3x − 2) − 6(1 + 3x) − − 6 36 23 . −(x − 2) − 36 ⇐⇒ 14x = 46 ⇐⇒ x = 7 19 (b) Rez. x = . 28

(a)

Shembulli 4.1.5 T¨e zgjidhen ekuacionet: (a) (b)

x+1 x−3 + = 2; x+3 x−1 2x − 1 3x − 1 + − 2 = 0. 2x − 3 3x − 2

Zgjidhje: Kemi: x−1 x−3 + = 2/(x+3)(x−1) , x = −3, x = 1, ⇐⇒ (x − 1)2 + (x + 3)(x − 3) x+3 x−1 = 2(x + 3)(x − 1) ⇐⇒ x2 − 2x + 1 + x2 − 9 = 2(x2 − x + 3x − 3) ⇐⇒ −6x = 2 1 ⇐⇒ x = − . 3 7 (b) Rez. x = . 8

(a)

82

SISTEMET E EKUACIONEVE LINEARE

Shembulli 4.1.6 T¨e zgjidhet ekuacioni Zgjidhje: Pas z¨evend¨esimit

4 3 2 29 − = − . 24 x − 8 2x − 16 3x − 24

1 = t, marrim: x−8

29 4 3 2 29 3 2 − = − = − 4t = t − t 24 x − 8 2x − 16 3x − 24 24 2 3 Zgjidhja e ekuacionit t¨e fundit n¨e lidhje m¨e t ¨esht¨e t =

1 , nd¨ersa x = 12. 4

Shembulli 4.1.7 T¨e zgjidhet ekuacioni 3 0, 75y − 2 y+2 − = 3 . 4y − 12 y 2 − 6y + 9 y − 9y 2 + 27y − 27 Zgjidhje: Vlen: 3 0, 75y − 2 y+2 − = 3 4y − 12 y 2 − 6y + 9 y − 9y 2 + 27y − 27 0, 75y − 2 y+2 3 − = , y = 3 ⇐⇒ (y − 3) (y − 3)2 (y − 3)3 ⇐⇒ 3(y − 3)2 − (3y − 8)(y − 3) = 4(y + 2) ⇐⇒ 3y 2 − 18y + 27 − (3y 2 − 17y + 24) = 4y + 8 ⇐⇒ −5y = 5 ⇐⇒ y = −1.

4.2

ZBATIMET E EKUACIONEVE LINEARE ¨ TE ¨ PANJOHUR ME NJE

Shembulli 4.2.1 Shuma e dy numrave ¨esht¨e 45, nd¨ersa her¨esi ¨esht¨e 7 : 8. Cil¨et jan¨e numrat e till¨e? 7 45 − x = Zgjidhje: Le t¨e jen¨e numrat e k¨erkuar x dhe 45−x. Nga fakti se x 8 marrim se x = 24. D.m.th. numrat e k¨erkuar jan¨e 21 dhe 24. Shembulli 4.2.2 Shuma e dy numrave ¨esht¨e 47. N¨ese numri i madh pjes¨etohet me numrin e vog¨el, at¨eher¨e her¨esi ¨esht¨e dy dhe mbetja ¨esht¨e 5. Cil¨et jan¨e k¨eta numra? Zgjidhje: Le t¨e jet¨e x nj¨eri nga numrat e k¨erkuar. At¨eher¨e nga 47−x = 2x+5 marrim numrat e k¨erkuar 14 dhe 33. Shembulli 4.2.3 Shifra e nj¨esheve t¨e nj¨e numri dyshifror¨e ¨esht¨e 2. N¨ese katrorin e atij numri e zvog¨elojm¨e p¨er prodhimin e dy fqinj¨eve t¨e tij, at¨eher¨e merret numri 1. Cili ¨esht¨e ai num¨er?

¨ TE ¨ 4.2 ZBATIMET E EKUACIONEVE LINEARE ME NJE PANJOHUR

83

Zgjidhje: Meq¨e fjala ¨esht¨e p¨er numra natyral¨e, at¨eher¨e numrin e k¨erkuar e k¨erkojm¨e n¨e form¨en 10x + 2. Prandaj kemi (10x + 2)2 − (10x + 1)(10x + 3) = 1 ⇐⇒ 1 = 1, q¨e d.m.th. se numrat e k¨erkuar jan¨e t¨e gjith¨e numrat dyshifror¨e me shifr¨en e nj¨esheve 2. Pra B = {12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92}. Shembulli 4.2.4 Shuma e shifrave t¨e nj¨e numri dyshifror¨e ¨esht¨e 8. N¨ese shifrat i nd¨errojn¨e vendet e pastaj numrin e madh e pjes¨etojm¨e me t¨e voglin, merret her¨esi 2 dhe mbetja 10. Cili ¨esht¨e ai num¨er? Zgjidhje: Le t¨e jet¨e x shifra e dhjetsheve e numrit t¨e k¨erkuar. At¨eher¨e shifra e nj¨esheve ¨esht¨e 8−x. D.m.th. numri i k¨erkuar ¨esht¨e i form¨es 10x+8−x = 9x+8. Numri i dyt¨e do t¨e jet¨e i barabart¨e me 10(8 − x) + x = 80 − 9x. Nga kushti i detyr¨es kemi 9x + 8 = 2(80 − 9x) + 10 ⇐⇒ x = 6. D.m.th. numri i k¨erkuar ¨esht¨e 62. Shembulli 4.2.5 N¨ese babai ka 45 vite, nd¨ersa djali 22, at¨eher¨e pas sa viteve babai do t¨e jet¨e dy her¨e m¨e i vjet¨er se i biri? Zgjidhje: N¨ese me x e sh¨enojm¨e numrin e viteve pas t¨e cilave babai do t¨e ishte dy her¨e m¨e i vjet¨er se i biri, at¨eher¨e do t¨e kemi ekuacionin 45 + x = 2(22 + x) ⇐⇒ x = 1. D.m.th. pas nj¨e viti do t¨e plot¨esohej k¨erkesa e detyr¨es. Shembulli 4.2.6 N¨ese i biri ¨esht¨e p¨er 18 vite m¨e i ri se i ati, nd¨ersa para 5 viteve ai ka qen¨e 4 her¨e m¨e i ri se babai i tij, at¨eher¨e t¨e gjendet mosha e secilit prej tyre. Zgjidhje: N¨ese me x sh¨enojm¨e numrin e viteve t¨e t¨e atit, at¨eher¨e i biri i tij do t¨e kishte x − 18 vite. Prandaj nga kushti i detyr¨es do t¨e kemi ekuacionin x − 5 = 4(x − 18 − 5) ⇐⇒ x = 29. D.m.th. i ati ka 29 vite, nd¨ersa i biri ka 11. Shembulli 4.2.7 Donika d¨eshiron q¨e kapitalin K = 10000 € ta deponoj¨e n¨e dy banka B1 dhe B2 . Shkalla e interesit vjetor (kamata) t¨e cil¨en banka B1 e paguan ¨esht¨e 10%, kurse banka B2 6%. Donika ¨esht¨e e vet¨edijshme se shkalla e rrezikut (t¨e humbjes s¨e kapitalit) ¨esht¨e m¨e e madhe n¨e bank¨en B1 , prandaj ajo nuk d¨eshiron q¨e t¨er¨e kapitalin ta investoj¨e vet¨em n¨e bank¨en B1 , por ajo d¨eshiron q¨e nj¨e pjes¨e t¨e kapitalit ta investoj¨e n¨e bank¨en B1 , kurse pjes¨en tjet¨er n¨e bank¨en B2 , n¨e m¨enyr¨e q¨e shkalla e interesit vjetor, n¨e t¨er¨e kapitalin, t¨e jet¨e 7%. Sa euro duhet Donika t’i investoj¨e n¨e bank¨en B1 dhe sa n¨e at¨e B2 ?

84

SISTEMET E EKUACIONEVE LINEARE

Zgjidhje: Le t¨e sh¨enojm¨e me x numrin e eurove t¨e cilat Donika planifikon t’i investoj¨e n¨e bank¨en B1 . At¨eher¨e n¨e bank¨en B2 mbeten 10000 − x euro p¨er t’i investuar. Nga kushtet e detyr¨es, kemi: x · 10% + (10000 − x) · 6% = 10000 · 7%. Ose 10000 − x 70000 10x +6· = . 100 100 100 Zgjidhja e ekuacionit t¨e fundit ¨esht¨e x = 2500. Kjo do t¨e thot¨e se 2500 €Donika duhet investuar n¨e bank¨en B1 , kurse 7500 €n¨e at¨e B2 . kapitalin ta gj : Shembulli 4.2.8 Syprina e nj¨e drejtk¨end¨eshi ¨esht¨e p¨er 125 cm2 m¨e e madhe se syprina e katrorit t¨e nd¨ertuar mbi brinj¨en m¨e t¨e vog¨el t¨e tij. Caktoni brinj¨et e drejtk¨end¨eshit n¨ese ndryshimi i tyre ¨esht¨e 5. Zgjidhje: Vlen a − b = 5 (a ≥ 5), S1 = ab, S2 = b2 , prandaj ab = b2 + 125, respektivisht (b + 5)b = b2 + 125, prej nga marrim se b = 25 cm dhe a = b + 5 = 30 cm.

4.3

SISTEMET E EKUACIONEVE LINEARE

Forma e p¨ergjithsme e ekuacioneve me nj¨e t¨e panjohur ishte ax+b = 0, respektivisht ax = −b, ku a, b ∈ R. Ngjash¨em, p¨erkufizojm¨e nj¨e ekuacion linear me dy, tri e m¨e shum¨e t¨e panjohura, si p.sh. ax + by + c = 0, ax + by + cz + d = 0, etj. Edhe k¨etu, problemi kryesor q¨endoron n¨e gjetjen e bashk¨esis¨e s¨e zgjidhjeve t¨e atyre ekuacioneve. N¨e rastin kur numri i t¨e panjohurave ¨esht¨e 2 (3) zgjidhjet jan¨e dyshe (treshe) t¨e renditura. N¨e vazhdim do ta japim kuptimin e sistemit t¨e ekuacioneve lineare me n t¨e panjohura x1 , x2 , ..., xn . P¨ erkufizimi 4.3.1 Bashk¨esin¨e e m ekuacioneve t¨e form¨es ⎫ a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1 ⎪ ⎪ ⎬ a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 q .................................................. ⎪ ⎪ ⎭ am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm

(1)

ku aij ∈ R, bi ∈ R (i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n), nd¨ersa x1 , x2 , ..., xn t¨e panjohurat quhet sistem i ekuacioneve lineare me n t¨ e panjohura. e t¨ e sistemit, nd¨ersa bi quhen gjymtyr¨ et e Numrat aij quhen koeficient¨ lira t¨ e sistemit. Me fjal¨e t¨e tjera, bashk¨esin¨e e dy apo m¨e tep¨er t¨e ekuacioneve lineare t¨e lidhura mes veti me sh¨enj¨en e konjuksionit ∧ (dhe) e quajm¨e sistem t¨e ekuacioneve lineare.

4.3 SISTEMET E EKUACIONEVE LINEARE

85

Shembulli 4.3.1 Sistemet: ⎫ 3x − 3y = 12 ⎬ , , −2x + 5y = 7 ⎭ x+y =1 ¨ e me r¨end¨esi t¨e jan¨e sisteme t¨e ekuacioneve lineare me dy t¨e panjohura. Esht¨ theksohet se nuk ¨esht¨e e domosdoshme q¨e numri i ekuacioneve t¨e jet¨e i barabart¨e me numrin e t¨e panjohurave. 2x − 3y = 5 x − 3y = −2

√



Shembulli 4.3.2 Sistemet: ⎫ 2x − 3y = 5 ⎬ x + 3y = 12 , ⎭ x − 3y − 3z = −12

x − 3y − 7z = − 32 −2x + 5y = 7

 ,

jan¨e sisteme t¨e ekuacioneve lineare me tri t¨e panjohura. N¨ese bi = 0, i = 1, 2, ..., m, at¨eher¨e sistemi i ekuacioneve lineare (1) quhet homogjen. Forma e p¨ergjithshme e nj¨e sistemi homogjen ¨esht¨e: ⎫ a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = 0, ⎪ ⎪ ⎬ a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = 0, . (1 ) .................................................., ⎪ ⎪ ⎭ am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = 0 Sistemet e ekuacioneve lineare luajn¨e nj¨e rol shum¨e t¨e r¨end¨esish¨em n¨e matematik¨e, fizik¨e, ekonomi, kimi, farmaci, bujq¨esi dhe n¨e p¨ergjith¨esi n¨e industri. N¨e vazhdim t¨e japim p¨erkufizimin e zgjidhjes s¨e nj¨e sistemi t¨e ekuacioneve lineare. P¨ erkufizimi 4.3.2 Zgjidhje t¨ e sistemit (1) quajm¨e ¸cdo n−she t¨e renditur (α1 , α2 , ..., αn ) ∈ Rn t¨e numrave real¨e t¨e till¨e q¨e p¨er xi = αi , i = 1, 2, ..., n t¨e gjitha ekuacionet e sistemit shnd¨errohen n¨e formula t¨e sakta. Pra, V (ai1 x1 + ai2 x2 + · · · + ain = bi ) = " p¨er ¸cdo i = 1, 2, ..., m, ku me V(F ) kemi sh¨enuar vler¨en e sakt¨esis¨e t¨e formul¨es F . N¨ese me B sh¨enojm¨e bashk¨esin¨e e zgjidhjeve t¨e sistemit (1), at¨eher¨e: B = {(α1 , α2 , ..., αn )|V (ai1 α1 + ai2 α2 + · · · + ain αn = bi ) = ", αj ∈ Rn } (2) ku i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n. Var¨esisht nga fakti se bashk¨esia e zgjidhjeve B ¨esht¨e joboshe (boshe), do t¨e themi se sistemi ¨esht¨e i zgjidhsh¨em (i pazgjidhsh¨em apo i pamundsh¨em). N¨ese B ka vet¨em nj¨e element, do t¨e themi se sistemi ¨esht¨e i zgjidhsh¨em dhe i caktuar, nd¨ersa kur B ka pakufi shum¨e elemente, do t¨e themi se sistemi ¨esht¨e i zgjidhsh¨em dhe i pacaktuar.

86

SISTEMET E EKUACIONEVE LINEARE

Shembulli 4.3.3 T¨e provohet se dyshja e renditur (−2, 3) nuk ¨esht¨e zgjidhje e sistemit t¨e ekuacioneve  2x + 3y = 5 . 3x + y = −3 Zgjidhje: Z¨evend¨esojm¨e n¨e t¨e dy ekuacionet x = −2 dhe y = 3 dhe shohim se ato b¨ehen apo jo formula t¨e sakta.   2 · (−2) + 3 · 3 = 5 −1 = 5 ∼ . 3 · (−2) + 3 = −3 −3 = −3 Meqen¨ese formula e par¨e nuk ¨esht¨e e sakt¨e, p¨erfundojm¨e se dyshja e renditur (−2, 3) nuk ¨esht¨e zgjidhje e sistemit t¨e dh¨en¨e t¨e ekuacioneve. Shembulli 4.3.4 Shqyrtoni se treshja e renditur (4, 3, 2) a ¨esht¨e gjidhje e sistemit t¨e ekuacioneve lineare: ⎫ x + y + z = 9⎬ x + 2y + 3z = 16 . ⎭ x + 3y + 4z = 21 Zgjidhje: Edhe k¨etu z¨evend¨esojm¨e x = 4, y = 3, z = 2 dhe do t¨e kemi: ⎫ 4 + 3 + 2 = 9 = 9⎬ 4 + 2 · 3 + 3 · 2 = 16 . ⎭ 4 + 3 · 3 + 4 · 2 = 21 Meqen¨ese t¨e gjitha ekuacionet u b¨en¨e formula t¨e sakta, p¨erfundojm¨e se treshja e renditur ¨esht¨e zgjidhje e sistemit t¨e dh¨en¨e t¨e ekuacioneve lineare. Ekzistojn¨e disa metoda p¨er zgjidhjen e sistemeve t¨e ekuacioneve lineare: 1. Metoda e z¨ evend¨ esimit Zgjidhet nj¨era nga t¨e panjohurat prej cilit do ekuacion t¨e sistemit dhe z¨evend¨esohet n¨e ekuacionet tjera dhe me at¨e rast numri i t¨e panjohurave zvog¨elohet p¨er nj¨e. Duke vazhduar k¨et¨e m¨enyr¨e, problemin e kthejm¨e deri te zgjidhja e nj¨e ekuacioni linear me nj¨e t¨e panjohur. (Zgjedhni at¨e t¨e panjohur me koeficient t¨e barabrt¨e me 1 (n¨ese ka t¨e till¨e)). 2. Metoda e eliminimit. Duke shfryt¨ezuar vetin¨e se bashk¨esia e zgjidhjeve e nj¨e sistemi nuk ndryshon n¨e qoft¨e se disa (apo t¨e gjitha) ekuacione t¨e tij shum¨ezohen (pjes¨etohen) me shprehje t¨e ndryshme nga zeroja dhe u shtohen ndonj¨e ekuacioni tjet¨er, b¨ehet reduktimi i numri t¨e t¨e panjohurave. 2. Metoda grafike. N¨e qoft¨e se sistemi p¨erb¨ehet nga dy ekuacioneve lineare, at¨eher¨e vizatojm¨e n¨e sistemin koordinativ Oxy grafik¨et e tyre 1 e 2 . Le t¨e jet¨e {K(α, β)} = 1 ∩ 2 . N¨e k¨ete rast sistemi ¨esht¨e i zgjidhsh¨em dhe i caktuar dhe zgjidhja e sistemit do t¨e jet¨e dyshja e renditur (α, β). T¨e theksojm¨e se kur grafik¨et 1 e 2 p¨erputhen, sistemi ¨esht¨e i zgjidhsh¨em dhe i pacaktuar. N¨e rastin kur 1 ∩ 2 = ∅, sistemi ¨esht¨e i pazgjidhsh¨em.

4.3 SISTEMET E EKUACIONEVE LINEARE

87

Shembulli 4.3.5 T¨e zgjidhen sistemet e ekuacioneve lineare: (a)

2x + 3y = 7 3x − 6y = 7



(b)

 3x + 5y = 1 . 3x − 2y = 8

Zgjidhja: (a) Zbatojm¨e metod¨en e z¨evend¨esimit. Nga ekuacioni i par¨e marrim se 3y = 7 − 2x. K¨et¨e e z¨evend¨esojm¨e n¨e ekuacionin e dyt¨e dhe marrim 3x − 2 · (7 − 2x) = 7. Ekuacioni i fundit ¨esht¨e linear me nj¨e t¨e panjohur, nd¨ersa zgjidhja e tij ¨esht¨e x = 3. Pas z¨evend¨esimit n¨e ekuacionin 3y = 7−2x  marrim  1 1 3, se y = . D.m.th. bashk¨esia e zgjidhjeve e sistemit ¨esht¨e B = . 3 3 Pra, sistemi ¨esht¨e i caktuar. (b) Zbatojm¨e metod¨en e eliminimit p¨er zgjidhjen e sistemit. Vlen 3x + 5y = 1 3x − 2y = 8



 −3x − 5y = −1 ∼ . 3x − 2y = 8

Tani i mbledhim an¨e p¨er an¨e ekuacionet dhe marrim −7y = 7 3x − 2y = 8

 ∼

y = −1 3x − 2 · (−1) = 8

 ∼

y = −1 x=2



D.m.th. dyshja e renditur (2, −1) ¨esht¨e zgjidhje e sistemtit. Bashk¨esia e zgjidhjeve e sistemit ¨esht¨e B = {(2, −1)}. Shembulli 4.3.6 T¨e zgjidhet sistemi:  3(x − 1) + 5(y − 1) = −4 . 5(x + 3) − 3(y + 1) = 64 Zgjidhjen e b¨en lexuesi. Shembulli 4.3.7 T¨e zgjidhen sistemet (a)

 x − 5y = 2 ; −2x + 10y = −4

 x − y = −1 (b) . −x + y = 4

Zgjidhje: (a) N¨ese ekuacionin e par¨e e shum¨ezojm¨e me 2 dhe pastaj i mbledhim an¨e p¨er an¨e, marrim identitetin 0 ≡ 0, q¨e d.m.th. se ¸cdo dyshe e renditur (α, β) ∈ R2 ¨esht¨e zgjidhje e sistemit. Pra, bashk¨esia e zgjidhjeve e sistemit ¨esht¨e   α − 2 α, | α, β ∈ R . B= 5 (b) Po t’i mbledhim ekuacionet e sistemit an¨e p¨er an¨e do t¨e marrim nj¨e formul¨e jo t¨e sakt¨e 0 = 3. D.m.th. sistemi ¨esht¨e i pazgjidhsh¨em, respektivisht B = ∅.

88

SISTEMET E EKUACIONEVE LINEARE y x+y =3

2 x−y =1

1 x 1

2

3

Fig. 4.1 Shembulli 4.3.8 T¨e zgjidhet sistemi i ekuacioneve: ⎫ 4 1 ⎬ + = 1⎪ x+y−1 x+y−1 . 18 2, 5 ⎭ − = 1⎪ x+y−1 x+y−1 1 1 = u dhe = v, q¨e d.m.th. x+y−1 x−y+1 1 1 x+y−1= dhe x − y + 1 = . Sistemi i ekuacioneve merr form¨en u v   4u + v = 1 u = 18 ∼ . 18u − 2, 5v = 1 v = 12

Zgjidhje: (a) Z¨evend¨esojm¨e

Tani marrim sistemin e ekuacioneve    x+y−1=8 x+y =9 x=5 ∼ ∼ , x−y+1=2 x−y =1 y=4 prej nga shohim se dyshja e renditur (5, 4) ¨esht¨e zgjidhje e sistemit t¨e dh¨en¨e. Shembulli 4.3.9 T¨e zgjidhen grafikisht sistemet e ekuacioneve:   x−y =1 x+y =3 (a) ; (b) . x+y =3 x−y =5 Zgjidhje: (a) N¨e sistemin koordinativ Oxy paraqesim drejt¨ezat x − y = 1 dhe x + y = 3. V¨erejm¨e se x = 2, y = 1 ¨esht¨e zgjidhja e sistemit t¨e dh¨en¨e.(fig. 4.1.) (b) (4, −1)

4.4

¨ ZBATIMET E SISTEMEVE TE EKUACIONEVE LINEARE

Shembulli 4.4.1 N¨ese nga klasa A kalon nj¨e nx¨en¨es n¨e klas¨en B, at¨eher¨e numri i nx¨en¨esve do t¨e barazohej. Por, n¨ese nga klasa B kalon nj¨e nx¨en¨es n¨e klas¨en A, at¨eher¨e numri i nx¨en¨esve n¨e klas¨en A do t¨e jet¨e dy her¨e m¨e i madh se numri i nx¨en¨esve t¨e mbetur n¨e klas¨en B. Nga sa nx¨en¨es kan¨e klasat A dhe B?

¨ 4.4 ZBATIMET E SISTEMEVE TE EKUACIONEVE LINEARE

89

Zgjidhje: N¨ese me x sh¨enojm¨e numrin e nx¨en¨esve n¨e klas¨en A, nd¨ersa me y numrin e nx¨en¨esve n¨e klas¨en B, at¨eher¨e marrim sistemin e ekuacioneve lineare   x−1=y+1 x=7 ∼ . x + 1 = 2(y − 1) y=5 Shembulli 4.4.2 T¨e tregohet se ¸cdo num¨er i thjesht¨e 1 , p¨erve¸c numrit 2, mund t¨e shkruhet si ndryshim i katror¨eve t¨e dy numrave natyral¨e. Zgjidhje: Le t¨e jet¨e p nj¨e num¨er i thjesht¨e dhe supozojm¨e se p = m2 − n2 , ku m, n ∈ N, m > n. At¨eher¨e nga barazimi 1 · p = (m − n)(m + n) marrim se p+1 p−1 m + n = p dhe m − n = 1. Prandaj m = ∈ N dhe n = ∈ N. 2 2 Pse numrat m, n ∈ N? Shembulli 4.4.3 Para 4 viteve i ati ka qen¨e 7 her¨e m¨e i vjet¨er se i biri, nd¨ersa pas 4 viteve i ati do t¨e jet¨e 3 her¨e m¨e i vjet¨er si i biri. Nga sa vite kan¨e secili prej tyre? Zgjidhje: N¨ese me x dhe y sh¨enojm¨e numrin e viteve t¨e t¨e atit, respektivsht t¨e birit, at¨eher¨e kemi sistemin:   x − 4 = 7(y − 4) x = 32 ∼ . x + 4 = 3(y + 4) y=8 Shembulli 4.4.4 Shuma e viteve t¨e n¨en¨es dhe t¨e bij¨es ¨esht¨e 52. Pas 10 vitesh n¨ena do t¨e jet¨e dy her¨e m¨e e moshuar se e bija. Sa vite kan¨e tash n¨ena dhe e bija. Zgjidhje: Me x sh¨enojm¨e vitet e n¨en¨es dhe me y vitet e s¨e bij¨es. Nga kushtet e detyr¨es marrim:    x + y = 52 x + y = 52 x = 38 ∼ ∼ . x + 10 = 2(y + 10) x − 2y = 10 y = 14 Shembulli 4.4.5 Shuma e tre numrave ¨esht¨e 50. Kur numri i par¨e pjes¨etohet me numrin e dyt¨e, merret her¨esi 1 dhe mbetja 2. Kur numri i par¨e pjes¨etohet me numrin e tret¨e merret her¨esi 1 dhe mbetja 8. T¨e caktohen ata numra. Zgjidhje: Sh¨enojm¨e me x, y e z numrat e k¨erkuar. Kemi: x + y + z = 50. Kur x pjes¨etohet me y merret her¨esi 1 dhe mbetja 2, d.m.th. 2 x =1+ . y y Kur x pjes¨etohet me yz merret her¨esi 1 dhe mbetja 8, d.m.th. x 8 =1+ . z z Tani kemi 1C ¸ do num¨er natyral i cili plot¨epjes¨ etohet vet¨ em me numrin nj¨e dhe vetveten quhet i num¨ er i thjesht¨ e

90

SISTEMET E EKUACIONEVE LINEARE ⎫ x + y + z = 50 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎫ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ x + y + z = 50 ⎬ x = 20 ⎬ ⎬ x 2 = 1 + /·y ∼ x=y+2 ∼ y = 18 . y y ⎭ ⎪ ⎭ ⎪ x=z+8 z = 12 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x 8 ⎪ = 1 + /·z ⎭ z z

Shembulli 4.4.6 N¨e nj¨e ark¨e ndodhen 100 monedha, vlerat e t¨e cilave jan¨e 10 dhe 50 cent, p¨erkat¨esisht. N¨ese vlera e p¨ergjithshme e tyre ¨esht¨e 38€ at¨eher¨e t¨e gjendet se sa monedha nga 10 cent dhe sa nga 50 cent ndodhen n¨e ark¨e? Zgjidhje: Le t¨e sh¨enojm¨e me x numrin e monedhave nga 10 cent, kurse me y numrin e monedhave nga 50 cent. Sipas kushteve t¨e detyr¨es, kemi sistemin e ekuacioneve lineare:  x + y = 100 . 10x + 50y = 3800 Ky sistem ka vet¨em nj¨e zgjidhje dhe ajo ¨esht¨e: x = 30 dhe y = 50. Shembulli 4.4.7 Organizatori i nj¨e koncerti planifikon t¨e realizoj¨e 42000€ nga shitja e 1800 biletave te cilat kushtojn¨e 20 dhe 30€, p¨erkat¨eisht. Sa bileta nga 20 dhe sa nga 30€ duhet shitur, n¨e m¨enyr¨e q¨e organizatori ta p¨ermbush¨e objektivin? Zgjidhje: N¨ese me x dhe y sh¨enojm¨e numrin e biletave me c¸mim 20 dhe 30€, p¨erkat¨esisht, at¨eher¨e kemi sistemin e ekuacioneve lineare:  x + y = 1800 . 20x + 30y = 42000 Ky sistem ka vet¨em nj¨e zgjidhje dhe ajo ¨esht¨e: x = 1200 dhe y = 600. Pra, organizatori duhet shitur 1200 bileta t¨e ¸cmimit 20€ dhe 600 bileta t¨e ¸cmimit 30€. Shembulli 4.4.8 Nj¨e bank¨e B1 , m¨e e sigurt¨e, paguan interes vjetor 5%, kurse banka tjet¨er B2 , m¨e pak e sigurt¨e, paguan interes vjetor 8%. Arianiti ka n¨e dispozicion nj¨e kapital prej 20000€ dhe d¨eshiron q¨e nga ky kapital t¨e realizoj¨e nj¨e fitim prej 1150€ n¨e vit, duke e investuar at¨e n¨e bankat B1 dhe B2 . T¨e gjendet se sa euro duhet investuar n¨e bank¨en B1 dhe sa n¨e at¨e B2 , n¨e m¨enyr¨e q¨e Arianitit t¨e p¨ermbush¨e objektivin e planifikuar m¨e par¨e? Zgjidhje:Le t¨e sh¨enojm¨e me x dhe y numrin e eurove t¨e cilat Arianiti i investon n¨e bankat B1 dhe B2 , p¨erkat¨esisht. Nga kushtet e detyr¨es kemi:  x + y = 20000 . x · 0.05 + y · 0.08 = 1150 Ky sistem ka vet¨em nj¨e zgjidhje dhe ajo ¨esht¨e: x = 15000 dhe y = 5000. D.m.th. Arianiti duhet investuar 15000€ n¨e bank¨ n B1 dhe 5000€ n¨e at¨e B2 .

4.5 PABARAZIMET LINEARE

91

Shembulli 4.4.9 Nj¨e fabrik¨e p¨er prodhimin e plehrave kimike p¨er bujq¨esi prodhon dy lloje t¨e plehrave: llojin A dhe llojin B. Lloji A p¨ermban 8% nitrogjen dhe 6% fosfate, kurse lloji B p¨ermban 12% nitrogjen dhe 2% fosfate. Fabrika ka nj¨e porosi prej 800 tonelatash t¨e plehut, i cili duhet t¨e p¨ermbaj¨e: 9% nitrogjen dhe 5% fosfate. A ¨esht¨e e mundur q¨e fabrika t¨e p¨ermbush¨e k¨et¨e porosi vet¨em duke kombinuar dy llojet e plehrave A dhe B ? N¨ese po, tregoni se ¸cfar¨e sasie duhet marr¨e nga lloji A dhe c¸far¨e sasie nga lloji B. Zgjidhje: Le t¨e jet¨e x sasia e plehut t¨e llojit A e shprehur n¨e tonelata, kurse y sasia e plehut t¨e llojit B, po ashtu n¨e tonelata, t¨e cilat duhet kombinuar (p¨erzier), n¨e m¨enyr¨e q¨e t¨e marrim 800 tonelata t¨e plehut sipas porosis¨e. At¨eher¨e kemi sistemin e ekuacioneve: ⎫ x + y = 800 ⎬ 0.12x + 0.08y = 0.09 · 800 . ⎭ 0.02x + 0.06y = 0.05 · 800 Sistemi i fundit p¨ermban 3 ekuacione me dy t¨e panjohura. I zgjedhim dy nga k¨eto tre ekuacione, dhe e zgjidhim sistemin p¨erkat¨es sipas x dhe y, dhe pastaj vlerat e gjetura p¨er x e y i z¨evend¨esojm¨e n¨e ekuacionin e tret¨e. N¨ese ato vlera e shnd¨errojn¨e n¨e identitet edhe ekuacionin e tret¨e, at¨eher¨e problemi ka zgjidhje, nd¨ersa x e y paraqesin sasin¨e e plehrave q¨e duhet kombinuar p¨er t¨e p¨ermbushur porosin¨e e bler¨esit. N¨e t¨e kund¨ert¨en problemi nuk ka zgjidhje. Zgjidhjet e sistemit t¨e m¨esip¨erm jan¨e x = 200 dhe y = 600.

4.5 4.5.1

PABARAZIMET LINEARE Pabarazimet lineare me nj¨ e t¨ e panjohur

P¨ erkufizimi 4.5.1 C ¸ do pabarazim i form¨es ax ∗ b, ku ∗ ∈ {, ≥} apo q¨e mund t¨e transformohet n¨e k¨et¨e form¨e, ku a, b ∈ R, nd¨ersa x ¨esht¨e e panjohur quhet pabarazim linear me nj¨e t¨e panjohur. P¨ erkufizimi 4.5.2 C ¸ do paramet¨er real α i till¨e q¨e kur x−in e z¨evend¨esojm¨e me α pabarazimi shnd¨errohet n¨e formul¨e t¨e sakt¨e, quhet zgjidhje e pabarazimit. P¨er zgjidhjen e k¨etyre pabarazimeve shfryt¨ezohen vetit¨e e ngjashme me ato t¨e ekuacioneve, por duhet pasur kujdes se kur shum¨ezoni apo pjes¨etoni me ndonj¨e shprehje (num¨er) negativ nd¨erron shenja e pabarazimit. Shembulli 4.5.1 T¨e zgjidhen pabarazimet: (a)

3x−1 5

−

x+1 2

< 1 − x7 ,

(b)

9(4x + 1)2 − 4(6x − 2)(6x + 2) < 43,

(c)

5 7 + 51x 2x − 21 3x − 14 − ≥ − . 4 9 72 18

92

SISTEMET E EKUACIONEVE LINEARE

Zgjidhje: (a) E shum¨ezojm¨e pabarazimin e dh¨en¨e me 70 = shmbp(5, 2, 7). Pasi t’i bartim t¨e panjohurat n¨e nj¨er¨en an¨e dhe t¨e njohurat n¨e an¨en tjet¨er, marrim pabarazimin 17x < 119, respektivisht x < 7. D.m.th. bashk¨esia e zgjidhjeve e pabarazimit ¨esht¨e intervali (−∞, 7) = B. 1 (b) Krejt¨esisht n¨e m¨enyr¨e t¨e ngjashme marrim se x < , respektivisht 4  1 B = −∞, . 4 (c) I mbetet lexuesit p¨er ta zgjidhur detyr¨en. Sistem t¨ e pabarazimeve lineare quajm¨e bashk¨esin¨e e dy apo m¨e tep¨er t¨e pabarazimeve t¨e lidhura me shenj¨en e konjuksionit (dhe) mes veti. Prerja e bashk¨esis¨e s¨e zgjidhjeve t¨e t¨e gjitha pabarazimeve q¨e marrin pjes¨e n¨e sistem paraqet bashk¨esin¨e e zgjidhjeve t¨e sistemit t¨e dh¨en¨e. Shembulli 4.5.2 T¨e zgjidhen sistemet e pabarazimeve lineare: (a) Zgjidhje:

x+3>1 x+4>5

(b)

2x + 5 < 1 −3x < 9

(c)

2x − 6 < 0 x − 32 < 0 x + 1 > 0.

Vlen: (a)

x+3>1 x+4>5

∼

x > −2 x>1

∼ x > 1.

D.m.th. bashk¨esia e zgjidhjeve e sistemit t¨e pabarazimeve ¨esht¨e B = (1, ∞). (b) Ngjash¨em marrim se bashk¨esia e zgjidhjeve e sitemit t¨e pabarazimeve p¨er k¨et¨e rast ¨esht¨e B = (−3, −2).   (c) Rez. B , −1, 32 . Shembulli 4.5.3 T¨e zgjidhen pabarazimet: (a) |x − 3| ≤ 3, (¸c) |3 − 2x| > 5, (b) |2x + 3| < 5, (d) |5x − 3| ≥ 8, (c) |x| > 5, (dh) |x + 1| ≤ 2. Zgjidhje: (a) P¨er zgjidhjen e k¨etyre pabarazimeve shfryt¨ezojm¨e k¨eto ekuivalenca: |x| ≤ a ⇐⇒ −a ≤ x ≤ a, ∀ a ≥ 0, |x| ≥ a ⇐⇒ x ≤ −a ∨ x ≥ a, ∀ a ∈ R. Prandaj, pabarazimi |x−3| ≤ 1 ¨esht¨e ekuivalent me sistemin e pabarazimeve −1 ≤ x − 3 ≤ 1, respektivisht 2 ≤ x ≤ 4. Pra, bashk¨esia e zgjidhjeve e pabarazimit t¨e dh¨en¨e ¨esht¨e B = [2, 4].

4.5 PABARAZIMET LINEARE

93

(b) (c) (¸c) x > 4. (d)

Ngjash¨em si rasti (a), kemi B = (−4, 1). K¨etu x ∈ (−∞, −5) ∪ (5, ∞) = B. D.m.th. 3 − 2x > 5 ose 3 − 2x < −5, respektivisht x < −1 ose Pra, B = (−∞, −1) ∪ (4, ∞). Ngjash¨  em si rasti ( (¸c). Bashk¨esia e zgjidhjeve e pabarazimit t¨e dh¨en¨e 11 ¨esht¨e B = −∞, − ∪ [1, ∞). 5 (dh) Zgjidhjen e b¨en lexuesi. Shembulli 4.5.4 T¨e zgjidhen pabarazimet: (a)

(x − 1)(x − 4) > 0, (b)

(x + 3)(x − 5) ≤ 0,

x+3 x−2 > 0, (¸c) ≤ 0. 5−x x−4 Zgjidhje: (a) Dihet se prodhimi apo her¨esi i dy shprehjeve ¨esht¨e pozitiv (negativ) at¨eher¨e dhe vet¨em at¨eher¨e, kur ato dy shprehje kan¨e shenja t¨e nj¨ejta (t¨e kund¨erta, d.m.th. (c)

(1) A · B ≥ 0 ⇐⇒ (A ≥ 0 ∧ B ≥ 0) ∨ (A ≤ 0 ∧ B ≤ 0); (2) A · B ≤ 0 ⇐⇒ (A ≥ 0 ∧ B ≤ 0) ∨ (A ≤ 0 ∧ B ≥ 0); (3)

A ≥ 0 ⇐⇒ (A ≥ 0 ∧ B > 0) ∨ (A ≤ 0 ∧ B < 0); B

(4)

A ≤ 0 ⇐⇒ (A ≥ 0 ∧ B < 0) ∨ (A ≤ 0 ∧ B > 0). B

Prandaj, pabarazimi i dh¨en¨e ¨esht¨e ekuivalent me sistemet:   x−1>0 x−10 x−4 0 ∧ 5 − x > 0 ose x − 2 < 0 ∧ 5 − x < 0, respektivisht x ∈ (2, 5) = B1 ose B2 = ∅. Pra, B = B1 = (2, 5).

94

SISTEMET E EKUACIONEVE LINEARE

(d) Duke patur parasysh se em¨eruesi i thyes¨es nuk guxon t¨e jet¨e zero, prandaj pabarazimi i dh¨en¨e ¨esht¨e ekuivalent me sistemet e pabarazimeve x+3 ≤ 0 ∧ x − 4 > 0 ose x + 3 ≥ 0 ∧ x − 4 < 0, respektivisht B1 = ∅ ose B2 = [−3, 4). Pra, B = B1 ∪ B2 = [−3, 4). Shembulli 4.5.5 T¨e zgjidhen pabarazimet: (a)

3 x−1 < , x−2 2

(b)

5 − 2x 1 ≤ , 5+x 2

(c)

6−x < −2, 3−x

(d)

2x − 3 ≥ 3. 4−x

ax + b ∗ 0, ku cx + d ∗ ∈ {, ≥} e pastaj zgjidhen si n¨e shembullin paraprak. Vlen

Zgjidhje: (a) K¨eto pabarazime s¨e pari kthehen n¨e form¨en

3 x−1 3 −x + 4 x−1 < ∼ − 0 p¨er ¸cdo num¨er real x, at¨eher¨e pabarazimi i dh¨en¨e ¨esht¨e ekuivalent me pabarazimin x − 1 < 0. D.m.th. x ∈ (−∞, 1) ⊆ B. 1 1 Meq¨e p¨er x = − pabarazimi b¨ehet i sakt¨e, prandaj − ∈ B. Bashk¨esia e 2 2   1 zgjidhjeve e pabarazimit ¨esht¨e B = − ∪ (5, ∞). 2   1 (b) Ngjash¨em, meqen¨ese (2x + 1)2 > 0 p¨er ¸cdo x ∈ R \ − , prandaj 2 x − 5 > 0. D.m.th. B = (5, ∞). V¨ erejtje. Sikur t¨e kishim shenj¨en > n¨e vend t¨e ≥, at¨eher¨e bashk¨esia e zgjidhjeve e pabarazimit do t¨e ishte B = (−2, 1) ∪ (1, ∞) (pse?).

4.5 PABARAZIMET LINEARE

4.5.2

95

Pabarazimet lineare me dy t¨ e panjohura

P¨ erkufizimi 4.5.3 C ¸ do pabarazim i form¨es ax + by + c ∗ 0,

(1)

ku ∗ ∈ {, ≥} , a, b, c ∈ R apo q¨e mund t¨e transformohet n¨e k¨et¨e form¨e, ku x, y jan¨e t¨e panjohura quhet pabarazim linear me dy t¨ e panjohura. Ecuria p¨er zgjidhjen e pabarazimit (1) ¨esht¨e: (1) Vizatojm¨e drejt¨ez¨en : ax + by + c = 0. Drejt¨eza e ndan rrafshin n¨e dy pjes¨e (gjysm¨errafshe) dhe ajo ¨esht¨e kufiri i tyre. (2) N¨e rastin kur p.sh. ∗ ¨esht¨e pabarazimi 0, 0 < b < 1), C = a + bY ku Y e C paraqesin t¨e ardhurat nacionale, p¨erkat¨esisht hargjimet dhe I0 e G0 paraqesin paraqesin investimmin dhe shpenzimet e qeveris¨e. Ekuacioni i par¨e ¨esht¨e kusht ekuilibri (t¨e ardhurat nacionale ≡ shpenzimet e p¨ergjithshme). Shembulli 4.6.4

Le t¨e jet¨e Y

= C + I0 + G0

C I0

= =

1

25 + G Y 2 16, G0 = 14.

T¨e gjendet ekuilibri i t¨e ardhurave nacionale. Zgjidhje: Kemi √ √ Y = 25 + 6 Y + 16 + 14 =⇒ Y = 6 Y + 55 =⇒ √ =⇒ Y − 6 Y − 55 = 0.

¨ EKONOMIKS 4.6 ZBATIMET NE DHE BIZNES Vejm¨e

99

√ Y = t. At¨eher¨e, t2 − 6t − 55 = 0 =⇒ t1 = 11, t2 = −5.

Vlera t2 = −5 nuk merret parasysh, sepse sjell¨e deri te C < 0, q¨e ¨esht¨e e pamundur. P¨er t1 = 11 marrim Y = 112 = 121. Pra Y = 121. M¨etej, C = √ 25 + 6 Y = 25 + 6 · 11 = 91. P¨erfundimisht, Y = 121, C = 91.

4.6.3

Analiza B-E (metoda grafike)

N¨e pik¨en 2.10.2 u dha kuptimi i analiz¨es B-E (Break-Even). N¨e vazhdim marrim shembull t¨e zgjidhjes grafike t¨e detyrave lidhur me analiz¨en B-E. Shembulli 4.6.5 Funksioni i t¨e hyrave totale dhe ai i kostos totale jan¨e: R(x) = 10x C(x) = 2.50x + 1200. T¨e gjendet pika B-E. Zgjidhje: N¨e sistemin koordinativ OxR ≡ OxC, vizatojm¨e drejt¨ezat R(x) = 10x, C(x) = 2.50x + 1200. Drejt¨eza R(x) = 10x kalon n¨ep¨er pikat (0, 0) dhe (300, 3000). Drejt¨eza C(x) = 2.50x + 1200. kalon n¨ep¨er pikat (0, 1200) dhe (300, 1950). Nga fig. 4.5 shihet se ato priten n¨e pik¨en (160, 1600), e cila ¨esht¨e pika e k¨erkuar B-E. R, C 3200 R(x)

1600

C(x)

(160, 1600)

1200 800 400 O

40

160

320

x

Fig. 4.5

Theksojm¨e se fusha e nxir¨e paraqet ”fush¨en e humbjes”, d.m.th. fush¨en ku prodhuesi ka humbje, nd¨ersa fusha leht¨e e nxir¨e paraqet ”fush¨en e fitimit”. Shembulli 4.6.6 T¨e zgjidhet grafikisht shembulli 2.10.4 i pik¨es 2.10.2. Zgjidhjen e b¨en lexuesi.

100

SISTEMET E EKUACIONEVE LINEARE

Shembulli 4.6.7 Nj¨e nj¨esi e nj¨e malli shitet p¨er 110€. Kostoja totale p¨erb¨ehet nga kostoja fikse prej 7500€ dhe kostoja e prodhimit p¨er nj¨esi prej 60€. (a) Sa nj¨esi duhet t¨e shes¨e prodhuesi q¨e t¨e arrihet niveli B-E? (b) Me shitjen e 100 nj¨esive, a ka fituar apo humbur prodhuesi? (c) Sa nj¨esi duhet t¨e shes¨e prodhuesi, q¨e t¨e realizohet profiti prej 1250€? Zgjidhje: (a) N¨e qoft¨e se me x sh¨enojm¨e numrin e nj¨esive t¨e shitura, t¨e hyrat jepen me formul¨en R(x) = 110x, nd¨ersa kostoja totale me C(x) = 7500 + 60x. (a) P¨er t¨e gjet¨e nivelin B-E, vejm¨e R(x) = C(x), dhe marrim: 110x 50x

= =

x =

7500 + 50x 7500 150.

Pra, prodhuesi duhet t¨e shes¨e 150 nj¨esi q¨e t¨e arrihet niveli B-E. (Shih fig. 4.6.) R, C

C(x)

(150, 16500)

16500 10000 7500

O

R(x)

100 150

x

Fig. 4.6 (b) Profiti π(x) ¨esht¨e i barabart¨e me t¨e hyrat minus kostoja. Pra: π(x) = R(x) − C(x) = 110x − (7500 + 60x) = 50x − 7500. Me shitjen e 100 nj¨esive, profiti ¨esht¨e: π(100) = 50 · 100 − 7500 = 5000 − 7500 = −2800. Shenja minus tregon profitin negativ, q¨e edhe ¨esht¨e pritur sepse 100 nj¨esi jan¨e m¨e pak se niveli B-E prej 150 nj¨esish. (c) Nga π(x) = 50x − 7500 dhe π(x) = 1250, marrim: 1250 = 50 · x − 7500 =⇒ 50x = 8750 =⇒ x = 175, q¨e tregon se me shitjen e 175 nj¨esive gjenerohet profiti prej 1250€.

4.7

¨ USHTRIME DETYRA PER

1. T¨e zgjidhen ekuacionet:

¨ USHTRIME 4.7 DETYRA PER √ √ √ √ (a) x + 2 3 = 2 3 x − 3; (b) 2x( 5 − 3) = 2 − 5 x. √ √ 2 5+4 15 + 8 3 ; (b) x = . Rez. (a) x = 11 3 2. T¨e zgjidhen ekuacionet: x−1 1 − = 1; x+1 x−1 1 2 3 (b) 2 + 2 − 2 = 0. y − 9 y − 6y + 9 y + 5y + 6 (a)

Rez. (a) x =

1 ; 3

(b) y −

7 . 9

3. T¨e zgjidhen ekuacionet: (a)

x 2x − 1 x + =1− ; 3 6 3

(b) 7 − 2x −

1 − 3x 2x − 1 =2− ; 7 3

(c)

7 − 3x 12x2 + 30x − 21 6x − 5 = = ; 4x + 3 3 − 4x 16x2 − 9

(¸c)

1 1 3(2x + 1) + − = 0; 4x − 6 8x + 12 4x2 − 9

(d)

2 1 1 − − = 90 . x2 − 4 x2 − 4x + 4 x2 + 5x + 6

Udh¨ezim: x2 − 4x + 4 = (x − 2)2 , x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) 4. T¨e zgjidhen ekuacionet

(a) (b) (c) (¸c) (d)

x − 3 3x − 1 + = 2, x + 3 3x + 1 2x − 9 3x + = 2, 2x − 5 3x − 2 9x + 1 1−x 2x + 5 −3= + , 4x − 3 20x − 15 4x − 3 3y − 1 6y + 5 9 11 − + = , y−3 3y + 9 5y + 15 45 4y − 1 5y 6y − 4 y+1 − − =1+ , y−4 3y − 12 5y − 20 2y − 8

101

102

SISTEMET E EKUACIONEVE LINEARE 1−x 2x + 5 9x + 1 −3= + , 4x − 3 20x − 15 4x − 3 1 5−z z−1 7 (e) + − , = 8z − 16 8z − 4z 2 8z 2z(z − 2) z−1 4z + 1 2 3 (f ) − + = , 2z 2 − 18 4z 2 − 36 z + 3 2z − 6 6z + 5 7 − 3z 12z 2 + 30z − 21 (k) − = . 4z + 3 3 − 4z 16z 2 − 9

(dh)

5. Nj¨e num¨er ¨esht¨e p¨er 24 m¨e i madh se numri i dyt¨e. N¨ese dihet se shuma e tyre ¨esht¨e 100, t¨e caktohen ata numra. Rez. Numri i par¨e ¨esht¨e 62, nd¨ersa i dyti ¨esht¨e 38. ¨ e dh¨en¨e thyesa 3 . 6. Esht¨ 5 (a) Cilin num¨er duhet t’ia shtojm¨e num¨eruesit dhe em¨eruesit, q¨e t¨e merret 9 thyesa ? 10 9 ? (b) Cilin num¨er duhet t’ia shtojm¨e thyes¨es q¨e t¨e merret thyesa 10 3 Rez. (a) 15; (b) . 10 7. Donika d¨eshiron q¨e kapitalin K = 10000 € ta deponoj¨e n¨e dy banka B1 dhe B2 . Shkalla e interesit vjetor (kamata) t¨e cil¨en banka B1 e paguan ¨esht¨e 10%, kurse banka B2 6%. Donika ¨esht¨e e vet¨edijshme se shkalla e rrezikut (t¨e humbjes s¨e kapitalit) ¨esht¨e m¨e e madhe n¨e bank¨en B1 , prandaj ajo nuk d¨eshiron q¨e t¨er¨e kapitalin ta investoj¨e vet¨em n¨e bank¨en B1 , por ajo d¨eshiron q¨e nj¨e pjes¨e t¨e kapitalit ta investoj¨e n¨e bank¨en B1 , kurse pjes¨en tjet¨er n¨e bank¨en B2 , n¨e m¨enyr¨e q¨e shkalla e interesit vjetor, n¨e t¨er¨e kapitalin, t¨e jet¨e: (a) 8%,

(b) 9%.

Sa euro duhet Donika t’i investoj¨e n¨e bank¨en B1 dhe sa n¨e at¨e B2 ? Rez. (a) Nga 5000 € n¨e t¨e dy banakt. (b) 7500 € n¨e bank¨en B1 dhe 2500 € n¨e bank¨en B2 . 8. A paraqet dyshja e renditur (1, 2) zgjidhje t¨e sistemit t¨e ekuacioneve  x + 2y = 5 ? 3x − 2y = −1 Rez. Po.

¨ USHTRIME 4.7 DETYRA PER

103

9. T¨e zgjidhen sistemet e ekuacioneve lineare: 2x + 3y = 5 (a) 3x − 4y = −1 Rez. (a) x = 1, y − 1;



−2x + 5y = 4 (b) 5x + 2y = −10



(b) x = −2, y = 0.

10. T¨e zgjidhen sistemet e ekuacioneve lineare: (a)

2x + y = 0 8x + 4y = 0

 0 (b)

Rez. (a) B = {(α, −2α) | α ∈ R};

x+y =4 3x + 3y = 6



(b) Sistemi nuk ka zgjidhje.

11. T¨e zgjidhen sistemet e ekuacioneve lineare:    x + 2y = 8 x+y =5 x+y =3 (a) (b) (c) x−y =1 x−y =1 y = 32 x

(¸c)

3x + y = 1 x − 2y = 5.

Rez. (a) x = 3, y = 2, (b) x = 2, y = 3, (c) x = 2, y = 1, (¸c) x = 1, y = −2, 12. T¨e zgjidhen sistemet e ekuacioneve:  (a)  (b)

2(x − 1) + 5(y + 1) = 3 3(x + 3) − 2(y + 1) = −2.5. (x − 1)(x + 3) − 2y + x2 + 7 (x + 1)(x − 2) + y 2 = (y + 2)(y + 3) + x2 − 19.

⎧ x+4 x+1 ⎪ ⎪ = ⎪ ⎨ y+3 y+2 (c)

⎪ ⎪ x+3 y+2 ⎪ ⎩ = . x−1 y−4

Rez. (a) x = − 52 , y = 1;

(b) x = 6, y = 1;

20 (c) x = − 25 7 ,y = − 7 .

13. N¨e nj¨e ark¨e ndodhen 200 monedha, vlerat e t¨e cilave jan¨e 10 dhe 50 cent, p¨erkat¨esisht. N¨ese vlera e p¨ergjithshme e tyre ¨esht¨e 52€ at¨eher¨e t¨e gjendet se sa monedha nga 10 cent dhe sa nga 50 cent ndodhen n¨e ark¨e? Rez. 120 monedha nga 10 cent dhe 80 monedha nga 50 cent. 14. Organizatori i nj¨e koncerti planifikon t¨e realizoj¨e 30000€ nga shitja e 1600 biletave te cilat kushtojn¨e 15 dhe 25€, p¨erkat¨eisht. Sa bileta nga 15 dhe sa nga 25€ duhet shitur, n¨e m¨enyr¨e q¨e organizatori ta p¨ermbush¨e objektivin? Rez. 1000 bileta t¨e ¸cmimit 15€ dhe 600 bileta t¨e ¸cmimit 25€.



104

SISTEMET E EKUACIONEVE LINEARE

15. Nj¨e bank¨e B1 , m¨e e sigurt¨e, paguan interes vjetor 6%, kurse banka tjet¨er B2 , m¨e pak e sigurt¨e, paguan interes vjetor 9%. Albani ka n¨e dispozicion nj¨e kapital prej 15000€ dhe d¨eshiron q¨e nga ky kapital t¨e realizoj¨e nj¨e fitim prej 1110€ n¨e vit, duke e investuar at¨e n¨e bankat B1 dhe B2 . T¨e gjendet se sa euro duhet investuar n¨e bank¨en B1 dhe sa n¨e at¨e B2 , n¨e m¨enyr¨e q¨e Albani t¨e p¨ermbush¨e objektivin e planifikuar m¨e par¨e? Rez. Albani duhet investuar 8000€ n¨e bank¨ n B1 dhe 7000€ n¨e at¨e B2 . 16. T¨e zgjidhen sistemet e ekuacioneve: ⎧ 1 1 ⎪ ⎪ + =3 ⎪ ⎨ x y (a) (b) ⎪ ⎪ 1 1 ⎪ ⎩ − = 5. x y ⎧ 1 3 ⎪ ⎪ + =1 ⎪ ⎨ x+y x−y (c) (¸c) ⎪ ⎪ 2 4 ⎪ ⎩ − = 4. x+y x−y

⎧ 2 3 ⎪ ⎪ + =3 ⎪ ⎨ x 2y ⎪ ⎪ 3 7 ⎪ ⎩ − = −2. 2x 4y ⎧ 1 1 ⎪ ⎪ + =1 ⎪ ⎨ x+y+1 x−y−1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

2 3 − = 7. x+y+1 x−y−1

1 23 Rez. (a) x = , y = −1; (b) x = ,y 4 9 45 1 1 ; (¸c) x = − , y = − . 16 4 4 17. T¨e zgjidhen sistemet e ekuacioneve: ⎧ x+y+z =6 ⎨ 2x + 3y − z = 5 (a) (b) ⎩ −3x − 2y + 4z = 5 Rez. (a) (1, 2, 3);

=

23 ; 34

(c) x = −

35 ,y = 16

⎧ ⎨

3x + y − z = 8 4x + 2y + 3z = 16 ⎩ x + 3y + 5z = 24.

(b) (0, 8, 0).

18. T¨e zgjidhen sistemet e ekuacioneve lineare: ⎫ ⎫ x + 2y + 3z = 1 ⎬ x + 2y − 5z = 6 ⎬ x + 2y + 3z = 1 (b) 2x + 4y = 6z = −2 (c) (a) ⎭ ⎭ −x + 2y + 6z = 4 −3x + 3y − 4z = 8 Udh¨ezim: N¨e rastin (c) merren z¨evend¨esimet:

1 x

= u,

1 y

9 x

= v,

⎫ + y4 + z5 = 4 ⎬ + y8 + z5 = 4 . ⎭ 10 + 12 y − x =4

6 x 3 x

1 z

= t.

19. T¨e zgjidhen dhe diskutohen bashk¨esit¨e e zgjidhjeve t¨e sistemeve, var¨esisht nga nd¨errimi i vlerave t¨e parametrit real m: (a)

mx + y = 1 2x + y = 2

(b)

mx − 9y = 14m 2mx + 3y = 7m

(c)

mx + ny = m2 + n2 mx − ny = m2 − n2 .

Rez. (a) P¨er m = 2 sistemi ka nj¨e zgjidhje: x = − m = 2, sistemi nuk ka zgjidhje.

2(m − 1) 1 ,y = . P¨er m m−2

¨ USHTRIME 4.7 DETYRA PER

105

(b) P¨er m = 0 sistemi ka nj¨e zgjidhje: x = 5, y = −21m. P¨er m = 0, sistemi nuk ka pakufi shum¨e zgjidhje. Bashk¨esia e zgjidhjeve ¨esht¨e B = {(α, 0) : α ∈ R}. (c) 1. P¨er m = 0 dhe n = 0 sistemi ka nj¨e zgjidhje: x = m, y = n. P¨er m = 0 ose n = 0, sistemi nuk ka pakufi shum¨e zgjidhje. 2. N¨e rastin kur n = 0, nd¨ersa m = 0, bashk¨esia e zgjidhjeve ¨esht¨e B = {(m, α) : α ∈ R}, e cila gjeometrikisht paraqet nj¨e drejt¨ez paralele me boshtin Oy dhe e cila e pret boshtin Ox n¨e pik¨en P (m, 0). 3. N¨e rastin kur m = 0, nd¨ersa n = 0, bashk¨esia e zgjidhjeve ¨esht¨e B = {(α, n) : α ∈ R}, e cila gjeometrikisht paraqet nj¨e drejt¨ez paralele me boshtin Ox dhe e cila e pret boshtin Oy n¨e pik¨en Q(0, n). 4. P¨er m = n = 0 sistemi ka pakufi shum¨e zgjidhje. Bashk¨esia e zgjidhjeve ¨esht¨e B = {(α, β) : α, β ∈ R}, e cila gjeometrikisht paraqet t¨er¨e rrafshin real. 20. Shuma e dy numrave ¨esht¨e 30 kurse ndryshimi i tyre ¨esht¨e 10. T¨e caktohen ata numra. Rez. (20, 10). 21. Shuma e dy numrave ¨esht¨e 100. Numri i par¨e ¨esht¨e kat¨er her¨e m¨e i madh se i dyti. T¨e caktohen ata numra. Rez. (80, 20). 22. Ndryshimi i dy numrave ¨esht¨e 10. Numri i par¨e ”esht¨e p¨er 12 m¨e i vog¨el se dyfishi i numrit t¨e dyt¨e. T¨e caktohen ata numra. Rez. (32, 22). 23. Shuma e dy numrave ¨esht¨e 90. Numri i par¨e ¨esht¨e p¨er 20 m¨e i vog¨el se numri i dyt¨e. T¨e caktohen ata numra. 24. Shuma e shifrave t¨e nj¨e numri dyshifror¨e ¨esht¨e 8. N¨ese shifrat i nd¨errojn¨e vendet merret numri p¨er 36 m¨e i madh se i pari. Cili ¨esht¨e ai num¨er? Rez. 26. 25. T¨e zgjidhen pabarazimet: (a) x − Rez. (a) [−1, +∞).

1 2 ≥ + 2x, 3 3

(b) 2(x − 1) ≤ x + 4;

 1 1 (c) 3 x + ≥x− . 2 2

x ∈ B = (−∞, −1]; (b) x ∈ B = (−∞, 6]; (c) x ∈ B =

106

SISTEMET E EKUACIONEVE LINEARE

26. T¨e zgjidhen pabarazimet: (b) 2(x − 4) ≥ x − 1;

(a) 2(3 − x) < 3(1 − 2x); (c)

3 1 (x − 1) ≤ (x + 3); 2 2

(¸c)

3(x − 5) x−3 > . 4 4

  Rez. (a) B = −∞, − 34 ; (b) B = [7, +∞); (c) B = (−∞, 3]; (¸c) B = (6, +∞). 27. T¨e zgjidhen pabarazimet:

Rez. (a)

(a)

x 2x − 1 x + 1 − 1.

11. (Demografi). Rritja e popullat¨es s¨e nj¨e vendi n¨e funksion t¨e koh¨es t mund t¨e p¨ershkruhet me ekuacionin: N (t) = N0 (1 + r)t , ku N0 ¨esht¨e numri i banor¨eve n¨e momentin aktual (t = 0), kurse r ¨esht¨e shkalla e shtimit natyror e shprehur n¨e num¨er dhjetor. N¨e lidhje me vlerat e mundshme t¨e numrit r dallojm¨e tri raste: 1. N¨ese r > 0, at¨eher¨e kemi shtim t¨e popullat¨es. 2. N¨ese r = 0, at¨eher¨e numri i popullat¨es mbetet konstant. 3. N¨ese r < 0, at¨eher¨e kemi zvog¨elim t¨e popullat¨es, q¨e n¨e fjalorin e demografis¨e njihet me emrin vdekje e bardh¨e. (a) Sa banor¨e do t¨e jen¨e pas 5 viteve, n¨ese N0 = 4.1 milion, kurse r = 2% = 0.02? (b) Sa banor¨e do t¨e jen¨e pas 20 viteve, n¨ese N0 = 4.1 milion, kurse r = 1.5% = 0.015? (c) Sa banor¨e do t¨e jen¨e pas 20 viteve, n¨ese N0 = 4.1 milion, kurse r = −0.5% = −0.005? V¨ erejtje. Numri negativ r = −0.005 tregon se 1000 banor¨e t¨e popullat¨es, brenda nj¨e viti, numri i vdekjeve p¨er 5 m¨e i lart¨e se numri i lindjeve. Rez. (a) N (5) = 4.526 milion, (b) N (20) = 5.522 milion, (c) N (20) = 4.1 · 0.99520 ≈ 3.709 milion.

8.6

¨ USHTRIME DETYRA PER

1. (Ekonomi). N¨ese kapitalin fillestar K0 = 1000€ e kemi investuar me nj¨e shkall¨e interesi vjetor r = 0.1, at¨eher¨e pas sa viteve vlera e kapitalit do t¨e dyfishohet, n¨ese llogaritja e interesit ¨esht¨e: (a) semestrale, (b) tremujore, (c) mujore dhe (¸c) e vazhdueshme? Rez. (a) 7.10 vite, (b) 7.02 vite, (c) 6.96 vite, (¸c) 6.93 vite.

¨ USHTRIME 8.6 DETYRA PER

219

2. (Demografi.) M¨e par¨e kemi konstatuar se rritja e popullat¨es s¨e nj¨e vendi me N0 banor¨e mund t¨e p¨ershkruhet me funksionin N (t) = N0 (1 + r)t , ku t ¨esht¨e koha, e shprehur n¨e vite, kurse r ¨esht¨e shkalla e shtimit natyror e shprehur n¨e num¨er dhjetor. N¨ese N0 = 2 milion dhe r = 0.015, at¨eher¨e pas sa vitesh numri i popullat¨es do t¨e: (a) dyfishohet, (b) trefishohet? Rez. (a) 46.6 vite, (b) 73.8 vite. 3. (Jeta mesatare). Qendra Komb¨etare e Statistikave Sh¨endet¨esore t¨e SHBAs¨e ka konstatuar se jeta mesatare, nga viti 1920 e tutje, rritet sipas funksionit L(x) = 11.485 + 14.18 · ln x, x ∈ {20, 21, 22, ...} (1) ku x paraqet numrin e viteve nga viti 1900. (a) Sa ka qen¨e jeta mestare n¨e SHBA n¨e vitin 1920? (b) Sa ka qen¨e jeta mestare n¨e SHBA n¨e vitin 2000? (c) Sa da t¨e jet¨e jeta mestare n¨e vitin 2010? (¸c) C ¸ far¨e funksioni (monotono-rrit¨es apo monotono-zvog¨elues) ¨esht¨e funksioni (1)? Rez. (a) L(20) = 53.96 ≈ 54 vite, (b) L(100) = 76.79 ≈ 77 vite, (c) L(110) = 78.14 ≈ 78 vite, (¸c) Monotono-rrit¨es. 4. Sipas t¨e dh¨enava statistikore t¨e SHBA-s¨e, fuqia bler¨ese e 1$ ka p¨esuar ndryshime t¨e m¨edha q¨e nga viti 1968. P¨er t¨e b¨er¨e k¨et¨e krahasim, p¨er ”nj¨esi” ¨esht¨e marr¨e vlera reale e dollarit n¨e vitin 1983. N¨e baz¨e t¨e k¨esaj, p.sh. n¨e vitin 1968 vlera reale e dollarit ka qen¨e 2.873$, q¨e do t¨e thot¨e se me nj¨e dollar n¨e vitin 1968, qytetari amerikan ka mund t¨e blej¨e 2.873 her¨e m¨e shum¨e gj¨era se n¨e vitin 1983. Po ashtu, n¨e vitin 2000, vlera reale e dollarit ka qen¨e 0.581$, q¨e do t¨e thot¨e se me nj¨e dollar n¨e vitin 2000, qytetari amerikan ka mund t¨e blej¨e gati p¨ergjysm¨e m¨e pak gj¨era se n¨e vitin 1983. Me fjal¨e t¨e tjera, ¨esht¨e konstatuar nj¨e devalvim gradual i valut¨es amerikane. P¨er k¨et¨e humbje t¨e fuqis¨e bler¨ese t¨e nj¨e dollari nga viti 1968 deri n¨e vitin 2000, enti statistikor ka gjetur modelin matematik (funksionin), i cili e p¨ershkruan r¨enien e k¨esaj fuqie n¨e funksion t¨e viteve: f (x) = 3.974 · (0.94864)x , ku x = 0 i korrespondon vitit 1960. (a) Sa do t¨e jet¨e vlera e 1$ n¨e vitin 2010 n¨e krahasim me at¨e t¨e vitit 1983?

220

PROGRESIONI ARITMETIK DHE AI GJEOMETRIK (b) N¨e cilin vit fuqia bler¨ese e dollarit do t¨e jet¨e (ose ka qen¨e) 3 her¨e m¨e e vog¨el se fuqia bler¨ese e dollarit t¨e vitit 1983? (c) Caktoni parametrin k n¨e m¨enyr¨e q¨e funksionin f (x) t¨e shkruhet n¨e form¨en 3.974 · e−kx . Rez. k ≈ 0.85. Rez. (a) f (50) = 0.28, (b) 2007, (c) k ≈ 0.85.

5. Caktoni parametrin k n¨e m¨enyr¨e q¨e funksionin f (x) = 4 · (2.334)x t¨e shkruhet n¨e form¨en 4 · ekx . 6. Supozojm¨e se funksioni i k¨erkes¨es (p¨er nj¨e muaj) ¨esht¨e dh¨en¨e me formul¨en p(x) = 400 · e−0.003x , ku p ¨esht¨e ¸cmimi n¨e euro, kurse x ¨esht¨e numri i ekzemplar¨eve (nj¨esive) t¨e k¨erkuara. Sa ekzemplar¨e do t¨e k¨erkohen n¨e treg n¨ese ¸cmimi p¨er nj¨esi ¨esht¨e 100 euro? Rez. x =

2 ln 2 ≈ 462. 0.003

7. Supozojm¨e se funksioni i k¨erkes¨es p¨er nj¨e lloj t¨e caktuar t¨e prodhimit x (artikullit) ¨esht¨e dh¨en¨e me formul¨en p(x) = 100 · e− 10 , ku p ¨esht¨e ¸cmimi n¨e euro p¨er nj¨esi, kurse x ¨esht¨e numri i ekzemplar¨eve (nj¨esive) t¨e shitur. (a) Shkruani funksionin e t¨e hyrave totale n¨e funksion t¨e x−it. (b) Sa do t¨e jen¨e t¨e hyrat totale n¨ese jan¨e k¨erkuar 30 nj¨esi dhe po aq jan¨e ofruar? −x

Rez. (a) R(x) = x · p = 100x · e 10 , (b) R(30) = 100 · 30 · e euro.

−30 10

≈ 149.40

8. Supozojm¨e se funksioni i k¨erkes¨es p¨er nj¨e lloj t¨e caktuar t¨e prodhimit x (artikullit) ¨esht¨e dh¨en¨e me formul¨en p(x) = 200 · e− 100 , ku p ¨esht¨e ¸cmimi n¨e euro p¨er nj¨esi, kurse x ¨esht¨e numri i ekzemplar¨eve (nj¨esive) t¨e shitur. (a) Sa do t¨e jet¨e ¸cmimi i nj¨e nj¨esie (ekzemplari) n¨ese tregut i jan¨e ofruar 500 ekzemplar¨e dhe sa do t¨e jen¨e t¨e hyrat totale n¨e k¨et¨e rast? (b) Sa nj¨esi duhet ofruar tregut n¨e m¨enyr¨e q¨e ¸cmimi i nj¨e nj¨esie t¨e jet¨e 20 euro, dhe sa do t¨e jen¨e t¨e hyrat totale n¨e k¨et¨e rast? Rez. (a) p(500) = 200 · e euro.

−500 100

=

200 200 ≈, kurse R(500) = 500 · 5 ≈ 675 e5 e

(b) x = 100 · ln 10 ≈ 230, kurse R(x) = R(230) = 230 · 20 = 4600 euro.

¨ USHTRIME 8.6 DETYRA PER

221

9. Supozojm¨e se numri i t¨e pun¨esuarve n¨e nj¨e spital regjional ¨esht¨e modeluar sipas funksionit t¨e Gompertz−it t

N (t) = 3500 · (0.1)0.5 , ku t ¨esht¨e numri i viteve t¨e funksionimit t¨e spitalit. (a) Sa t¨e pun¨esuar kishte spitali n¨e fillim t¨e pun¨es s¨e tij? (b) N¨e cilin vit t¨e pun¨es numri i t¨e pun¨esuarve n¨e spital pritet t¨e jet¨e p¨eraf¨ersisht 3031? (c) Sa mund t¨e jet¨e numri maksimal i t¨e pun¨esuarve n¨e spital gjat¨e gjith¨e koh¨es s¨e funksionimit t¨e spitalit? 0

Rez. (a) N = N (0) = 3500 · 0.10.5 = 3500 · 0.1 = 350., (b) x = ln ln 10 − ln(ln 3500 − ln 3031) ≈ 4, (c) 3500. ln 2  I 10. Formula R = log sh¨erben p¨er matjen e intensitetit t¨e nj¨e t¨ermeti I0 e shprehur n¨e shkall¨en Richter, ku I0 ¨esht¨e intensiteti minimal i nj¨e t¨ermeti, i cili merret p¨er ”nj¨esi”. (a) Sa ¨esht¨e intensiteti R i nj¨e t¨ermeti n¨ese I ¨esht¨e 3160000 m¨e i lart¨e se I0 ? (b) N¨e vitin 1964 Alaska ¨esht¨e goditur nga nj¨e t¨ermet, fuqia e t¨e cilit ka qen¨e R = 8.5 shkall¨e t¨e Richter-it. Sa her¨e m¨e i madh ka qen¨e intensiteti I n¨e raport me intensitetitn I0 ? Rez. (a) R = 5.56 shkall¨e t¨e Richter-it, (b) 316227766 her¨e. 11. Pas p¨erfundimit t¨e nj¨e fushate promovuese t¨e nj¨e prodhimi t¨e caktuar t¨e nj¨e kompanie, shitja ka filluar t¨e bie sipas funksionit: S(x) = 50000 · e−0.08x , ku x paraqet numrin e muajve nga p¨erfundimi i fushat¨es. (a) Sa do t¨e jet¨e shitja n¨e 4 muaj pas p¨erfundimit t¨e fushat¨es? (b) Pas sa muajve kompania duhet t¨e filloj¨e edhe nj¨e fushat¨e tjet¨er t¨e marketingut, n¨e m¨enyr¨e q¨e shitja to mos bie n¨en 22466 euro n¨e muaj? Rez. (a) S(4) = 50000 · e−0.08·4 = 50000 · e−0.32 ≈ 36307 euro n¨e muaj, (b) Pas 10 muajve.

Indeksi x−prerja, 31 y−prerja, 31 C ¸ mimi i ekuilibrit, 96 Bashk¨esit¨e e barabarta, 3 Baza e fuqis¨e, 51 Baza e logaritmit, 163 Binomi, 56 Distanca, 24 Domena e funksionit, 14 Eksponenti (treguesi) i rr¨enj¨es, 54 Eksponenti i fuqis¨e, 51 Ekuacion linear me nj¨e t¨e panjohur, 79 Ekuacionet ekuivalente, 80 Ekuacioni bikuadratik, 120 eksponencial, 143 i pazgjidhsh¨em, 79 i zgjidhsh¨em dhe i caktuar, 79 i zgjidhsh¨em dhe i pacaktuar, 79 jo i plot¨e kuadratik, 113 kuadratik, 113 logaritmik, 170 Ekuacioni linear¨e i pamundur, 79 i zgjidhsh¨em, 79 i zgjidhsh¨em dhe i pacaktuar, 79 Ekuilibri i tregut, 96 Formulat e Viet–it, 114 Funksionet e barabarta, 18 Funksioni, 14 ¸cift (tek), 21 algjebrik, 28 bijektiv, 19

eksponencial, 148 forma kanonike, 121 i Dirihles, 26 i k¨erkes¨es, 28, 96, 132, 153 i ofert¨es, 96, 132 identik, 18 injektiv (1-1), 18 invers, 22 irracional, 28 karakteristik i bashk¨esis¨e A, 26 konstant, 27 kuadratik, 27, 121 kubik, 27 linear, 27, 29 logaritmik, 163 monoton, 26 periodik, 21 polinomial, 27 racional, 28 real, 14 surjektiv (mbi), 19 transcendent, 28 Fuqia, 51 Fusha buxhetore, 35 Gjymtyr¨et e sistemit, 84 Kodomena e funksionit, 14 Koeficient¨et e sistemit, 84 Komplementi (plot¨esi) i bashk¨esis¨e, 5 Kompozimi i funksioneve, 20 Kostoja mesatare fikse, 28 totale, 28, 154 Kulmi i parabol¨es, 121 Largesa (distanca), 24

INDEKSI Madh¨esit¨e e ndryshueshme (variabile), 13 konstante, 13 Mbibashk¨esia, 3 Mbledhja (zbbritja) e polinomeve, 57 Metoda e eliminimit, 86 e z¨evend¨esimit p¨er zgjidhjen e sistemit t¨e ekuacioneve lineare, 86 grafike p¨er zgjidhjen e sistemit t¨e ekuacioneve lineare, 86 Modeli i Keynesian-it, 98 Monomet e ngjashme, 56 Monomi, 56 koeficienti i monomit, 56 ndryshoret e monomit, 56 shkalla e monomit, 56 N¨enbashk¨esia, 3 rigoroze, 3 Ndryshimi (diferenca) e dy bashk¨esive, 5 Niveli B-E (Break-Even), 38 Numri kardinal i bashk¨esis¨e, 3 rr¨enja e n−t¨e e numrit real, 54 P;ot¨epjes¨erimi i polinomeve, 59 Pabarazimi eksponencial, 147 linear me dy t¨e panjohura, 95 linear me nj¨e t¨e panjohur, 91 Parabola, 121 Perioda e funksionit, 21 Pika B-E (Break-Even), 38 Pjerrt¨esia (koeficienti i drejtimit), 31 Pjes¨etimi i polinomeve, 58 Pjesa e plot¨e, 25 Polinomet e barabarta, 57 Polinomi faktorizimi i polinomit, 60 gjymtyra e lir¨e, 57 gjymtyra m¨e e vjet¨er, 57 i pjes¨etueshmi, 58

223 i shkall¨es n, 57 koeficient¨et e polinomit, 57 mbetja, 58 pjes¨etuesi, 58 Prerja e bashk¨esive, 4 Prodhimi kartezian i dy bashk¨esive, 6 Progresioni aritmetik, 192 gjeometrik, 201 Shprehje racionale algjebrike, 65 Shum¨ezimi i polinomeve, 58 Simboli ashtu q¨e (:), 1 dhe (∧), 1 ekziston (∃), 1 nuk ekziston ( ∃), 1 ose (∨), 1 p¨er ¸cdo (∀), 1 n  p¨er prodhimin e fundm¨e ( ), 1 i=1

n & p¨er shum¨en e fundme ( ), 1 i=1

Sistemi homogjen, 85 i ekuacioneve lineare me n t¨e panjohura, 84 T¨e ardhurat totale, 154 Trinomi, 56 Unioni i bashk¨esive, 3 Varg divergjent, 191 i kufizuar, 188 konstant, 189 konvergjent, 191 monotono-jorrit¨es, 189 monotono-jozvog¨elues, 189 monotono-rrit¨es, 189 monotono-zvog¨elues, 189 real, 187 i fundm¨e, 184 Variabla e pavarur, 14

224 e varur, 14 Vija buxhetore, 35 Vlera absolute, 23 Zero e funksionit linear, 31 Zgj¨erimi dhe thjeshtimi i thyesave, 65 Zgjidhja e ekuacionit kuadratik, 113 e ekuacionit linear¨e, 79 e sistemit, 85 e ekuacionit eksponencial, 143 e pabarazimit eksponencial, 147 e pabarazimit linear¨e me dy t¨e panjohura, 95 Zgjidhja e pabarazimit linear¨e me nj¨e t¨e panjohur, 91

INDEKSI

Literatura [1] Edward T. Dowling: Theory and Problems of Mathematical Methods for Business and Economics. [2] F. Berisha, M. Berisha: Matematika p¨er biznes dhe ekonomiks, 2006. [3] Harshbarger/Reynolds: Mathematical Applications for the Management, Life and Social Sciences. [4] Laurence D. Hoffmann, Gerald L. Bradley: Finite Mathematics with Calculus. [5] M. Efendija, Q. Haxhibeqiri, R. Limani: Matematika 11, gjimnazi matematik¨e-informatik¨e, 2005. [6] M. Efendija, Q. Haxhibeqiri, R. Limani: Matematika 12-Analiz¨e me teori t¨e gjas¨es, gjimnazi matematik¨e-informatik¨e, 2006. [7] R. Limani: Kursi i matematik¨es elementare, dispenc¨e.

Dr. Sci. Minir EFENDIJA & Mr. Sci. Ramadan LIMANI MATEMATIKA ELEMENTARE me zbatime n¨e EKONOMIKS DHE BIZNES Lektor Autor¨et Korrektor Autor¨et P¨ergatitja kompjuterike Autor¨et Vizatimet i punuan Autor¨et Tirazhi (??) cop¨e Formati 17 × 24 U shtyp n¨e ????Shtator t¨e vitit ???? n¨e Shtypshkronj¨en ???? ?????Prishtin¨e Katalogimi n¨e publikim – (CIP) ??Biblioteka Komb¨etare dhe Universitare e Kosov¨es

51 (075.8) EFENDIJA, Minir Analiza matematike I & II / Minir Efendija ; [Vizatimet i i punuan Autor¨et]. - Prishtin¨e: Universiteti (Prishtin¨e: ”Blini BK”????). -???? IX, 333,

Parath¨enie : fq. i-ii. – Literatura : fq.[329-330]– Indeksi: fq. [331-333] ???? ISBN

???? ISBN

9951-00-046-0

9951-00-046-0