Kunci Jawaban Rpp Pr Mat 11 a Wajib 2014

Setelah mempelajari bab ini siswa: 1. mampu mendeskripsikan konsep sistem pertidaksamaan linear dua variabel; 2. mampu menerapkan konsep sistem pertidaksamaan linear dua variabel dalam menentukan nilai optimum dan memecahkan masalah program linear; 3. mampu merancang model matematika permasalahan program linear dan menyelesaikannya. Berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang dikuasai, siswa jeli dan kreatif dalam mencari solusi suatu permasalahan.

Materi • •

Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV) Menyelesaikan Permasalahan Program Linear

Pembelajaran Kognitif • • • •

Pengertian pertidaksamaan linear dua variabel (PtLDV) dan Penyelesaiannya. Pengertian SPtLDV dan penyelesaiannya. Nilai optimum fungsi objektif. Model matematika permasalahan program linear.

Pengetahuan yang Dikuasai • • • •

Mendeskripsikan konsep SPtLDV. Menentukan daerah penyelesaian SPtLDV. Menentukan nilai optimum fungsi objektif. Merancang model matematika permasalahan program linear dan menyelesaikannya.

Kegiatan Psikomotorik Menggambar daerah penyelesaian SPtLDV dan permasalahan program linear pada koordinat kartesius.

Keterampilan yang Dikuasai Terampil menggambar daerah penyelesaian SPtLDV dan permasalahan program linear pada koordinat kartesius.

Kemampuan dan Sikap yang Dimiliki • •

2

Merancang model matematika berupa SPtLDV dari masalah program linear dan menyelesaikannya. Jeli dan kreatif dalam mencari solusi permasalahan.

Program Linear

A.

Pilihan Ganda

1. Jawaban: b Garis 3x – 5y = 15 memotong sumbu X di titik (5, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, –3). Uji titik (0, 0) ke dalam 3x – 5y ≤ 15. 3 · 0 – 5 · 0 ≤ 15 ⇔ 0 ≤ 15 (benar). Dengan demikian, daerah Y penyelesaian 3x – 5y ≤ 15 dibatasi garis 3x – 5y = 15 X dan memuat titik (0, 0). 0 5 Jadi, grafik himpunan –3 penyelesaiannya seperti grafik di samping. 2. Jawaban: c Persamaan garis yang melalui titik (–2, 0) dan titik (0, 1) sebagai berikut. y−0 1− 0

y 1

⇔

=

x+2 0+2

=

x+2 2

3. Jawaban: b Garis x – y = 3 melalui titik (0, –3) dan (3, 0). Daerah penyelesaian x – y ≤ 3 di kiri garis penuh x – y = 3. Garis 2x + 3y = 12 melalui titik (0, 4) dan (6, 0). Daerah penyelesaian 2x + 3y < 12 di kiri garis putus-putus 2x + 3y = 12. Daerah penyelesaian x ≤ 0 di kiri dan pada sumbu Y. Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan sebagai berikut. Y

x–y=3

4

–3

y−3 0−3

4)

x−0

= −5 − 0

y+4 4

⇔

x

= −5 ⇔ –5(y – 3) = –3x ⇔ –5y + 15 = –3x ⇔ 3x – 5y = –15 Daerah penyelesaian di kiri garis putusputus 3x – 5y = –15, maka PtLDV-nya 3x – 5y < –15. Persamaan garis yang melalui titik (–2, 0) dan (0, –4) sebagai berikut. y+4 0+4

⇔ 2y = x + 2 ⇔ 2y – x = 2 Titik (–1, 0) pada daerah penyelesaian. Uji titik (–1, 0) ke dalam 2y – x. 0 – (–1) = 1 < 2 (benar) Garis digambar putus-putus sehingga tanda ketidaksamaannya 0, y ∈ R}. 7.

Jawaban: c Grafik (1) dan (4) merupakan grafik fungsi surjektif karena untuk setiap y ∈ Y dapat ditemukan satu x ∈ X yang merupakan prapeta dari y. Cara lain: Suatu fungsi merupakan fungsi surjektif jika daerah kawan sama dengan daerah hasil. Grafik 1) dan 4) mempunyai daerah kawan = daerah hasil = {y | y ∈ R}. Jadi, grafik yang menunjukkan fungsi surjektif adalah 1) dan 4).

8.

Jawaban: a Grafik 1) dan 2) menunjukkan fungsi bijektif atau berkorespondensi satu-satu karena setiap garis tegak bertemu tepat satu titik dengan grafik dan setiap garis mendatar bertemu tepat satu titik dengan grafik.

9.

Jawaban: e h(x) = 2x2 – 3x + 1 ⇔ h(x – 2) = 2(x – 2)2 – 3(x – 2) + 1 ⇔ h(x – 2) = 2(x2 – 4x + 4) – 3x + 6 + 1 ⇔ h(x – 2) = 2x2 – 8x + 8 – 3x + 7 ⇔ h(x – 2) = 2x2 – 11x + 15 Jadi, rumus fungsi h(x – 2) = 2x2 – 11x + 15.

x2 – 16 ≥ 0 ⇔ (x + 4)(x – 4) ≥ 0 –

terdefinisi jika

≠0 (1 – ⇔ 1 – 2x ≠ 0


−  bernilai real, syaratnya:

+

  −



2x)2

Jawaban: d Agar f(x) =

Jawaban: b Fungsi f(x) =

f(x)

Jawaban: c Fungsi f: x –x3 + 1. Rumus fungsi f adalah f(x) = –x3 + 1. Daerah asal = {x | 1 ≤ x ≤ 4, x bilangan bulat} = {1, 2, 3, 4} f(1) = –(1)3 + 1 = –1 + 1 = 0 f(2) = –(2)3 + 1 = –8 + 1 = –7 f(3) = –(3)3 + 1 = –27 + 1 = –26 f(4) = –(4)3 + 1 = –64 + 1 = –63 Jadi, daerah hasil fungsi f adalah {0, –7, –26, –63}.

4.

6.

.

10. Jawaban: a Misalkan t = 2x + 1 ⇔ x =

−










( )(x) =  =

−

Substitusikan t = 2x + 1 dan x =
pada g(2x + 1) = 6x – 7.

−

g(t) = 6(
) – 7 ⇔ g(t) = 3(t – 1) – 7 ⇔ g(t) = 3t – 3 – 7 ⇔ g(t) = 3t – 10 ⇔ g(x) = 3x – 10 Jadi, rumus fungsi g(x) = 3x – 10.

( )(x) =  =

    (x)  



−  −
+  −


=



−
−


Jadi, (f + g)(x) =



−
; −


x ≠ 2.

  − 

=  −   +  −  =


+  +  −  
− 

=


+
 −  
− 



 

=



+  − 
 + 

=


 +   − 
 + 

 − 

=


+  −  +  
− 

=


+  
− 



=  − ·  =



= x – 1 ⇔    (a) = a – 1  

14. Jawaban: d f(x) = x2 + 8x + 7 Daerah asal alami fungsi f: Df = {x | x ∈ R} g(x) = x + 1 Daerah asal alami fungsi g: Dg = {x | x ∈ R}     (x)  

=

 

=

 + 
+  + 

f(x) ≠ 0 ⇔ x2 + 8x + 7 ≠ 0 ⇔ (x + 1)(x + 7) ≠ 0 ⇔ x ≠ –1 atau x ≠ –7 = {x | x ∈ R} ∩ {x | x ∈ R} ∩ {x | x ≠ –1, x ≠ –7} = {x | x ≠ –1, x ≠ –7, x ∈ R}

Jadi, daerah asal fungsi (  )(x) adalah {x | x ≠ –1 atau x ≠ –7, x ∈ R}. 15. Jawaban: c 

Diketahui p(x) = 2x dan q(x) =  +  . (p – q)(x) = p(x) – q(x) 

(u · v)(x) = u(x) · v(x)

 + 
− 

    (x)  



=  −   –  − 

 +

 −

=x–1



=  − –   +  

 −

  = Dg ∩ Df dengan f(x) ≠ 0

(u – v)(x) = u(x) – v(x)  +


+   −



=  − +   +  

=

Jadi, rumus fungsi    (a) = a – 1.  

12. Jawaban: a (u + v)(x) = u(x) + v(x)  +

=  +  =
 +

=



=

   +  −

 +   −

13. Jawaban: c

= (2x + 1) + (  −
) =

=

Jadi, pernyataan yang benar pada pilihan a.

11. Jawaban: c (f + g)(x) = f(x) + g(x)


 +   −
+  −


 +  −  

= 2x –  +  =


 +  −   +

=



+
 −   +

=


 −   +
 +

Matematika Kelas XI

57

Fungsi (p – q)(x) =


 −   +
 +

b.

, x ≠ –1´merupakan

g(x) =  +  terdefinisi jika x + 1 tidak negatif, yaitu: x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ –1 Jadi, daerah asal alami fungsi g adalah {x | x ≥ –1, x ∈ R}.

fungsi tidak injektif karena untuk x1 = 1 dan x2 = –2(x1 ≠ x2), diperoleh (p – q)(1) = (p – q)(–2) = 0. Fungsi (p – q)(x) =


 −   +
 +

, x ≠ –1 merupakan

fungsi surjektif karena untuk setiap y ∈ R, akan terdapat nilai x1 yang memenuhi y = Jadi, fungsi (p – q)(x) =


 −   +
 + 


 −   +
 +

c.

.

1.

2x + 5y = 10 ⇔ 5y = 10 – 2x ⇔ y =

i(x) =

akan terdefinisi jika 4x – 1 tidak

nol dan tidak negatif, yaitu:

 −
 

{x | x >  , x ∈ R}.

x + y2 = 4 ⇔ y2 = 4 – x ⇔ y = ±  −  Perhatikan untuk setiap nilai x akan dihasilkan dua nilai y yaitu y =  −  atau y = –  −  . Oleh karena untuk setiap x ∈ R, mempunyai dua kawan y ∈ R maka relasi R3 = {(x, y) | x + y2 = 4} bukan fungsi. 9x2 + 25y2 = 225 ⇔ 25y2 = 225 – 9x2 y2 =



y=±



 − 



dihasilkan dua nilai y yaitu y =

 − 



3.

a.

b.

4.

a.



 − 



Perhatikan untuk setiap nilai x akan

y=–



.

c.

⇔



 − 



b.

atau

. Oleh karena untuk setiap

x ∈ R, mempunyai dua kawan y ∈ R maka relasi R4 = {(x, y) | 9x2 + 25y2 = 225} bukan fungsi.

c.

Pada grafik f(x), f(x) terdefinisi untuk semua x bilangan real kecuali di x = 4. Jadi, daerah asal fungsi f(x) adalah {x | x ≠ 4, x ∈ R}. Pada grafik g(x), g(x) terdefinisi untuk semua x bilangan real x ≥ 5. Jadi, daerah asal fungsi f(x) adalah {x | x ≥ 5, x ∈ R}. Fungsi f(x) = 20 tidak injektif karena untuk x1 = 2 dan x2 = 5 berlaku f(x1) = f(x2) = 20. Fungsi f(x) = 20 tidak surjektif karena untuk y = 10 tidak ada x1 yang memenuhi sehingga y = f(x1) = 10. Oleh karena fungsi f(x) = 20 tidak injektif dan tidak surjektif maka fungsi f(x) = 20 tidak bijektif. Jadi, fungsi f(x) = 20 tidak injektif, tidak surjektif dan tidak bijektif. Fungsi f(x) = 3x – 1 injektif karena untuk setiap nilai x1 ≠ x2 berlaku (f(x1) ≠ f(x2)). Fungsi f(x) = 3x – 1 surjektif karena untuk setiap nilai y terdapat nilai x1 yang memenuhi y = f(x1). Oleh karena fungsi f(x) = 3x – 1 injektif dan surjektif maka fungsi f(x) = 3x – 1 bijektif. Jadi, fungsi f(x) = 3x – 1 bijektif. Grafik fungsi f(x) = 4 – x2 Y

f(x) = x2 + 2x + 1 selalu ada nilainya untuk setiap x anggota bilangan real. Jadi, daerah asal alami fungsi f adalah {x | x ∈ R}.

4

–2

58

  − 

4x – 1 > 0 ⇔ 4x > 1 ⇔ x >  Jadi, daerah asal alami fungsi i adalah

x2 + y = 9 ⇔ y = 9 – x2 Relasi R2 = {(x, y) | x2 + y = 9} merupakan fungsi karena untuk setiap x ∈ R, mempunyai tepat satu kawan y ∈ R dengan nilai y = 9 – x2.

a.

terdefinisi jika 2x – 4 ≠ 0.

Relasi R1 = {(x, y) | 2x + 5y = 10} merupakan fungsi karena untuk setiap x ∈ R, mempunyai tepat satu kawan y ∈ R dengan nilai y =

⇔

2.

d.

 −
 

b.

d.

+
 − 

2x – 4 ≠ 0 ⇔ 2x ≠ 4 ⇔ x ≠ 2 Jadi, daerah asal alami fungsi h adalah {x | x ∈ R, x ≠ 2}.

Uraian a.

Bentuk pecahan terdefinisi jika penyebutnya tidak nol. h(x) =

, x ≠ –1

merupakan fungsi surjektif, tetapi tidak injektif. B.

Suatu bentuk akar terdefinisi jika bilangan di dalam akar tidak negatif.

Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers

0

2

X

d.

Fungsi f(x) = 4 – x2 tidak injektif karena untuk x1 = –2 dan x2 = 2 berlaku f(x1) = f(x2) = 0. Fungsi f(x) = 4 – x2 tidak surjektif karena untuk y > 4 tidak ada x1 yang memenuhi sehingga y = f(x1). Oleh karena fungsi f(x) = 4 – x2 tidak injektif dan tidak surjektif maka fungsi f(x) = 4 – x2 tidak bijektif. Jadi, fungsi f(x) = 4 – x2 tidak injektif, tidak surjektif dan tidak bijektif. Grafik fungsi x – 4 untuk x < 0 f(x) = x2 – 4 untuk 0 ≤ x ≤ 3 2x – 1 untuk x > 3 tampak seperti gambar berikut.

b.

Untuk setiap daerah asal tersebut, setiap nilai x yang berbeda (x1 ≠ x2) berlaku (f1(x1) ≠ f2(x2)). Grafik fungsi f2(x) = sin x untuk 0 ≤ x ≤ 2π tampak seperti gambar berikut.

Agar fungsi f2(x) = sin x untuk 0 ≤ x ≤ 2π menjadi fungsi injektif daerah asalnya π

harus dibatasi yaitu {x | 0 ≤ x ≤
, x ∈ R} atau

Y

π

0

2

X

6.

–4

a.



a.

Agar fungsi f(x) = x2 – 9 menjadi fungsi injektif daerah asalnya harus dibatasi yaitu {x | x ≤ 0, x ∈ R} atau {x | x ≥ 0, x ∈ R}. Untuk setiap daerah asal tersebut, setiap nilai x yang berbeda (x1 ≠ x2) berlaku (f(x1) ≠ f(x2)). 2) Daerah hasil fungsi f(x) = x2 – 9 adalah {y | y ≥ –9, y ∈ R}. Setiap y ∈ {y | y ≥ –9, y ∈ R} akan mempunyai kawan paling sedikit satu di daerah asal. Agar f(x) = x2 – 9 menjadi fungsi surjektif daerah kawan harus dibatasi menjadi {y | y ≥ –9, y ∈ R). Jadi, agar f(x) = x2 – 9 menjadi fungsi bijektif daerah asalnya harus dibatasi menjadi {x | x ≤ 0, x ∈ R) atau {x | x ≥ 0, x ∈ R} dan daerah kawan harus dibatasi menjadi {y | y ≥ –9, y ∈ R}.

b.

1)

Agar fungsi g(x) =  −  menjadi fungsi injektif daerah asalnya harus dibatasi yaitu {x | x ≥ 1, x ∈ R}. Untuk setiap daerah asal tersebut, setiap nilai x yang berbeda (x1 ≠ x2) berlaku (g(x1) ≠ g(x2)).

2)

Daerah hasil fungsi g(x) =  −  adalah {y | y ≥ 0, x ∈ R}. Setiap y ∈ {y | y ≥ 0, y ∈ R} akan mempunyai kawan paling sedikit satu di daerah asal. Jadi, agar g(x)

Fungsi f(x) merupakan fungsi injektif karena untuk setiap nilai x yang berbeda (x1 ≠ x2) berlaku (f(x1) ≠ f(x2)). Fungsi f(x) surjektif karena untuk setiap nilai y terdapat nilai x1 yang memenuhi y = f(x1). Oleh karena fungsi f(x) injektif dan surjektif maka fungsi f(x) bijektif. x – 4 untuk x < 0 Jadi, fungsi f(x) = x2 – 4 untuk 0 ≤ x ≤ 0 2x – 1 untuk x > 3 merupakan fungsi bijektif. 5.

π

{x |
≤ x ≤
, x ∈ R} atau {x | x ≥
π, x ∈ R}. Untuk setiap daerah asal tersebut, setiap nilai x yang berbeda (x1 ≠ x2) berlaku (f1(x1) ≠ (f2(x2)).

Grafik fungsi f1(x) = x 2 – 2x – 6 tampak seperti gambar berikut.

Y

–2 –1 0 –1

1

2

3

1)

X

–2 –3 –4 –5 –6 –7

Agar fungsi f(x) = x2 – 2x – 6 menjadi fungsi injektif daerah asalnya harus dibatasi yaitu {x | x ≤ 1, x ∈ R} atau { | x ≥ 1, x ∈ R}.

=  −  menjadi fungsi surjektif daerah kawan harus dibatasi menjadi {y | y ≥ 0, y ∈ R}. Jadi, agar g(x) =  −  menjadi fungsi bijektif daerah asalnya harus dibatasi yaitu {x | x ≥ 1, x ∈ R} dan daerah kawan harus dibatasi menjadi {y | y ≥ 0, y ∈ R}. Matematika Kelas XI

59

c.

1)

2)

−


Agar fungsi h(x) =  −  menjadi fungsi injektif daerah asalnya harus dibatasi yaitu {x | x ≠ 4, x ∈ R}.Untuk setiap daerah asal tersebut, setiap nilai x yang berbeda (x1 ≠ x2) berlaku (h(x1) ≠ h(x2)).

c.

= (x2 – 2x + 4)(  ) = x2  – 2x  + 4  Daerah asal fungsi (g · h) = D(g · h) = Dg ∩ Dh = {x | x ∈ R} ∩ {x | x ≥ 0, x ∈ R} = {x | x ≥ 0, x ∈ R}.

−


Daerah hasil fungsi h(x) =  −  adalah {y | y ≠ 1, y ∈ R}. Setiap y ∈ {y ≠ 1, y ∈ R} akan mempunyai kawan paling sedikit

d.

−


satu di daerah asal. Jadi, agar h(x) =  −  menjadi fungsi surjektif daerah kawan harus dibatasi menjadi {y | y ≠ 1, y ∈ R}.



Daerah asal fungsi (  ) = 

f(t) =

 −  −

⇒ f(2) =

−


e.

8.

= x2 + x + 6 +  Daerah asal fungsi (f + g + h) = D(f + g + h) = D f ∩ Dg ∩ Dh = {x | x ∈ R} ∩ {x | x ∈ R} ∩ {x | x ≥ 0, x ∈ R} = {x | x ≥ 0, x ∈ R}.

60

Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers







(  +  )(x) =  +   =  +  =

f.


−
 +   +
+ 

Fungsi (f + h)(x) = 3x + 2 +  terdefinisi untuk x ≥ 0 dan mempunyai nilai minimum 2 untuk x = 0. Dengan demikian 3x + 2 + tidak pernah bernilai nol. 

Daerah asal fungsi (  +  ) = 

      + 



= Dg ∩ Df

∩ D h ∩ {x | (f + h)(x) ≠ 0} = {x | x ∈ R} ∩ {x | x ≥ 0, x ∈ R} ∩ {x | x ∈ R} = {x | x ≥ 0, x ∈ R}. 9.

2

x–4

2 2

Daerah asal alami fungsi f(x) = 3x + 2 adalah Df = {x | x ≥ 0, x ∈ R}. Daerah asal alami fungsi g(x) = x2 – 2x + 4 adalah Dg = {x | x ≥ 0, x ∈ R}. Daerah asal alami fungsi h(x) =  adalah Dh = {x | x ∈ R}. a. (f + g)(x) = f(x) + g(x) = (3x + 2) + (x2 – 2x + 4) = x2 + x + 6 Daerah asal fungsi (f + g) = D(f + g)= Df ∩ Dg = {x | x ∈ R} ∩ {x | x ∈ R} = {x | x ∈ R}. b. (g – f)(x) = g(x) – f(x) = (x2 – 2x + 4) – (3x + 2) = x2 – 5x + 2

−


{x | x ≠  , x ∈ R} = {x | x ≠  , x ∈ R}. (f + g + h)(x) = f(x) + g(x) + h(x) = (3x + 2) + (x2 – 2x + 4) + (  )


 −  − 

= Dg ∩ Df ∩

{x | f(x) ≠ 0} = {x | x ∈ R} ∩ {x | x ∈ R} ∩

 −  −

=– 

 



f(x) + 2f(1 – x) = 2x Misalkan x = t maka berlaku f(t) + 2f(1 – t) = 2t . . . (1) Misalkan 1 – x = t ⇔ x = 1 – t. Substitusikan t = 1 – x dan x = 1 – t pada persamaan f(x) + 2 · f(1 – x) = 2x ⇔ f(1 – t) + 2f(1 – (1 – t) = 2(1 – t) ⇔ f(1 – t) + 2f(t) = 2 – 2t . . . (2) Eliminasi f(1 – t) dari persamaan (1) dan (2). f(t) + 2f(1 – t) = 2t × 1 f(t) + 2f(1 – t) = 2t f(1 – t) + 2f(t) = 2 – 2t × 2 2f(1 – t) + 4f(t) = 4 – 4t –––––––––––––––––– – –3f(t) = 6t – 4 f(t) =


−
 +   +


−


−


⇔





(  )(x) =  =

f(x) ≠ 0 ⇔ 3x + 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ 

Jadi, agar h(x) =  −  menjadi fungsi bijektif daerah asalnya harus dibatasi yaitu {x | x ≠ 4, x ∈ R} dan daerah kawan harus dibatasi menjadi {y | y ≠ 1, y ∈ R}. 7.

Daerah asal fungsi (g – f) = Dg – f = Dg ∩ Df = {x | x ∈ R} ∩ {x | x ∈ R} = {x | x ∈ R}. (g · h)(x) = g(x) · h(x)

2

x–4 x–4

x–

4

2

a.

b.

Volume kotak: V(x) = panjang × lebar × tinggi = (x – 4) × (x – 4) × 2 = 2x2 – 32 Jadi, volume kotak = V(x) = (2x2 – 32) cm3. x merupakan panjang sehingga nilai x ≥ 0 . . . (1) x – 4 merupakan panjang sehingga nilai x–4≥0⇔x≥4 . . . (2)

V(x) = 2x2 – 32 merupakan volume sehingga 2x2 – 32 ≥ 0 ⇔ 2(x + 4)(x – 4) ≥ 0 ⇔ x ≤ –4 atau x ≥ 4 . . . (3) Irisan (1),(2) dan (3) adalah x ≥ 4. Jadi, daerah asal fungsi V(x) = 2x2 – 32 adalah {x | x ≥ 4, x ∈ R}. 10. a.

Jumlah gula yang dibutuhkan perusahaan = (f + g)(x) = f(x) + g(x) 








=  x Jadi, fungsi banyak gula yang dibutuhkan perusahaan untuk x bungkus roti isi selai


adalah (f + g) (x) =  x. Jumlah gula yang dibutuhkan perusahaan untuk membuat 1.000 bungkus roti isi selai:

b.




(f + g)(1.000) =  · 1.000 = 280 kg.



=  x +  x

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: b Fungsi komposisi (f g)(x) = f(g(x)) g 0 1 2

f 1 2 3 4



=  x +  x

2 4 6 8

Jadi, f g = {(0, 2), (1, 4), (2, 6)}. 2. Jawaban: e Jika a dan b fungsi serta Ra ∩ Db ≠ Ø maka fungsi komposisi b a ada. a. Fungsi komposisi f g Rg ∩ Df = {6, 7, 8} ∩ {1, 2, 3} = Ø Oleh karena Rg ∩ Df = Ø maka f g tidak ada. b. Fungsi komposisi f h Rh ∩ Df = {8, 9, 10} ∩ {1, 2, 3} = Ø Oleh karena Rh ∩ Df = Ø maka f h tidak ada. c. Fungsi komposisi g h Rh ∩ Dg = {8, 9, 10} ∩ {4, 5, 6} = Ø Oleh karena Rh ∩ Dg = Ø maka g h tidak ada. d. Fungsi komposisi h f Rf ∩ Dh = {3, 4, 5} ∩ {7, 8, 9} = Ø Oleh karena Rf ∩ Dh = Ø maka h f tidak ada. e. Fungsi komposisi h g Rg ∩ Dh = {6, 7, 8} ∩ {7, 8, 9} ≠ Ø Oleh karena Rg ∩ Dh ≠ Ø maka h g ada. Jadi, pernyataan yang benar pada pilihan e.

3. Jawaban: a Fungsi komposisi (g f)(x) = g(f(x)) A

B∪C

1 2 3 4

5 6 7 8 10

D 11 12 13

g f = {1, 13}, (2, 13}, (3, 11)} Daerah asal g f = {1, 2, 3} 4. Jawaban: c (f g)(x) = f(g(x)) = f(x + 2) = 2(x + 2)2 – 3(x + 2) + 4 = 2(x2 + 4x + 4) – 3x – 6 + 4 = 2x2 + 8x + 8 – 3x – 2 = 2x2 + 5x + 6 Jadi, (f g)(x) = 2x2 + 5x + 6. 5. Jawaban: e (g f)(x) = g(f(x)) = g(x – 5) = (x – 5)2 – 3(x – 5) – 4 = x2 – 10x + 25 – 3x + 15 – 4 = x2 – 13x + 36 Jadi, (g f)(x) = x2 – 13x + 36. 6. Jawaban: c (g f)(x) = g(f(x)) = g(3x + 2) (g f)(–1) = g(3 × (–1) + 2) = g(–1) =

− + 
− − 

=–




Matematika Kelas XI

61

7. Jawaban: b (f g)(x) = 4 ⇔ f(g(x)) = 4 ⇔ f(2x2 + 1) = 4 ⇔ 3(2x2 + 1) – 5 = 4 ⇔ 6x2 + 3 = 9 ⇔ 6x2 = 6 ⇔ x2 = 1 ⇔ x = ±1 Jadi, nilai x = –1 atau x = 1. 8. Jawaban: a Misalkan t = x – 2 ⇒ x = t + 2 g(x – 2) = 2x + 7 ⇔ g(t) = 2(t + 2) + 7 ⇔ g(t) = 2t + 4 + 7 ⇔ g(t) = 2t + 11 ⇔ g(x) = 2x + 11 (h g)(x) = h(g(x)) ⇔ 4x2 + 44x + 1 = h(2x + 11) ⇔ (2x + 11)2 – 121 + 1 = h(2x + 11) ⇔ (2x + 11)2 – 120 = h(2x + 11) ⇔ h(x) = x2 – 120 2 h(10) = (10) – 120 = 100 – 120 = –20 Jadi, h(10) = –20. 9. Jawaban: e
 +  
 +  f(g(x)) = 

(f g)(x) = ⇔ ⇔


 −  

=


 +  

⇔ 2g(x) – 3 = 20x + 9 ⇔ 2g(x) = 20x + 12 ⇔ g(x) = 10x + 6 (h g)(x) = h(g(x)) = h(10x + 6) = (10x + 6) – 7 = 10x – 1 (h g)(x + 1) = 10(x + 1) – 1 = 10x + 10 – 1 = 10x + 9 Jadi, (h g)(x + 1) = 10x + 9. 10. Jawaban: e 

g(x) =  +  ; x ≠ –1 (g h)(x) = x – 2 ⇔ g(h(x)) = x – 2 ⇔

62

  + 

=x–2

Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers

⇔ 5h(x) = (x – 2)(h(x) + 1) ⇔ 5h(x) = xh(x) – 2h(x) + x – 2 ⇔ 5h(x) – xh(x) + 2h(x) = x – 2 ⇔ 7h(x) – xh(x) = x – 2 ⇔ h(x)(7 – x) = x – 2 −


⇔

h(x) =  −  ; x ≠ 7

(h f)(x) = h(f(x)) = h(2x – 1) 
 −  −


=  − 
 − 
 − 

= −
 +  ; x ≠ –4 11. Jawaban: b Misalkan (g f)(x) = k(x). k(x) = (g f)(x) = g(f(x)) = g(x2 + 6x + 5) =


+  +  + 

=


+  + 


=  +  =x+3 (g f h)(x) = ((g f) h)(x) = (k h)(x) = k(h(x)) = k(x2 – 5x + 1) = x2 – 5x + 1 + 3 = x2 – 5x + 4 Jadi, (g f h)(x) = x2 – 5x + 4.

12. Jawaban: c (f g h)(x) = f((g h)(x)) = f(g(h(x))) = f(g(3x – 4)) = f((3x – 4)2 – 1) = f(9x2 – 24x + 15) = 10(9x2 – 24x + 15) + 9 = 90x2 – 240x + 159 13. Jawaban: a Untuk x = –1 digunakan rumus f(x) = –x sehingga f(–1) = –(–1) = 1 Untuk x = 1 digunakan rumus f(x) = x + 3 sehingga f(1) = 1 + 3 = 4 Untuk x = 4 digunakan rumus f(x) = –x2 sehingga f(4) = –42 = –16 (f f f)(–1) = (f f)(f(–1) = (f f)(1) = f(f(1)) = f(4) = –16 Jadi, nilai (f f f)(–1) = –16.

14. Jawaban: e (f g h)(4) = (f g)(h(4)) = (f g)(2) = f(g(2)) = f(4) = 6 Jadi, nilai (f g h)(4) adalah 6. 15. Jawaban: b Banyak kain yang dihasilkan sesuai dengan fungsi (g f)(x) (g f)(x) = g(f(x)) Untuk x = 100, diperoleh: (g f)(100) = g(f(100)) = g(0,8(100) – 30) = g(80 – 30) = g(50) = 0,02(50)2 + 10 = 50 + 10 = 60 kg Jadi, kain yang dihasilkan 60 kg.

c.

h

b.

2. a.

4 pada interval x ≥ 3 maka f(4) = –2 2 pada interval –1 < x < 3 maka f(2) =2–1=1 –2 pada interval x ≤ –1 maka f(–2) = 1 f(4) – 2f(2) + f(–2) = –2 – 2 · 1 + 1 = –3 Jadi, nilai f(4) – 2f(2) + f(–2) = –3. (f f)(5) = f(f(5)) = f(–2) = 1 (f f)(–3) = f(f(–3)) = f(1) = 1 – 1 = 0 (f f)(0) = f(f(0)) = f(0 – 1) = f(–1) = 1 (f f)(5) + (f f)(–3) – (f f)(0) = 1 + 0 – 1 =0 Jadi, nilai (f f)(5) + (f f)(–3) – (f f)(0) = 0.

3. a.

1 2 3 5

1 2 3 4 6

1 2 3 5

b.

g(x) = x2 – 4 Dg = {x | x ∈ R} Rg = {y | y ≥ –4, y ∈ R} h(x) =  −
Dh = {x | x ≥ 2, x ∈ R} Rh = {y | y ≥ 0, y ∈ R} 1) Fungsi komposisi g h Rh ∩ Dg = {y | y ≥ 0, y ∈ R] ∩ {x | x ∈ R} = {y ≥ 0, y ∈ R} ≠Ø Oleh karena Rh ∩ Dg ≠ Ø maka fungsi g h ada. 2) Fungsi komposisi h g Rg ∩ Dh = {y ≥ –4, y ∈ R} ∩ {x | x ≥ 2, x ∈ R} = {x | x ≥ 2, x ∈ R} ≠Ø Oleh karena Rg ∩ Dh ≠ Ø maka fungsi h g ada. (g h)(x) = g(h(x)) = g(  −
) = (  −
)2 – 4 =x–2–4 =x–6 (h g)(x) = h(g(x)) = h(x2 – 4)

f 1 2 3 4 6

1 2 3 5

1 2 3 4 5

f

(f g h)(x) = {(1, 3), (2, 2)}

(f g)(x) g

g

1 2 3 4

B. Uraian 1. a.

(f g h)(x)

4. a.

1)

=


−  −


=


− 

f(x) = x – 1 Y f(x) = x – 1

b.

(f g)(x) = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)} (g h)(x) h 1 2 3 4

g 1 2 3 4 5

1 2 4 6

(g h)(x) = {(1, 6), (2, 1), (4, 2)}

0

X

1

–1

Daerah hasil fungsi f: Rf = {y | y ∈ R}

Matematika Kelas XI

63

g(x) = x2

2)

Y g(x) = x2 4

b.

b.

X

0

–2

2

Daerah hasil fungsi g: Rg = {y | y ≥ 0, y ∈ R} (f g)(x) = f(g(x)) = f(x2) = x2 – 1

6. a.

Y y = x2 – 1

–1

0

Daerah asal fungsi (f g)(x). Df g = {x | x ∈ R} Daerah hasil fungsi (f g)(x): Rf g = {y | y ≥ –1, y ∈ R} (g f)(x) = g(f(x)) = g(x – 1) = (x – 1)2 = x2 – 2x + 1 Y

b.

7. a.

y = x2 – 2x + 1

1

0

1

X

Daerah asal (g f)(x): Dg f = {x | x ∈ R} Daerah hasil fungsi (g f)(x): Rg f = {y | y ≥ 0, y ∈ R} 5. a.

64

(f g)(x) = 35x + 50 ⇔ f(g(x)) = 35x + 50 ⇔ f(5x + 8) = 35x + 50 ⇔ p(5x + 8) – 6 = 35x + 50 ⇔ p(5x + 8) = 35x + 56

(f g h)(x) = f(g(h(x))) = f(g(2x + 2)) = f(6 – (2x + 2)2)

Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers

b.

 + 

⇔

p =  + 

⇔

p =  +  p=7

X 1

–1

c.

= f(6 – (4x2 + 8x + 4)) = f(–4x2 – 8x + 2) = –(–4x2 – 8x + 2) = 4x2 + 8x – 2 Jadi, (f g h)(x) = 4x2 + 8x – 2. (h g f)(x) = h(g(f(x))) (h g f)(–3) = h(g(f(–3))) = h(g(–(–3))) = h(g(3)) = h(6 – 32) = h(6 – 9) = h(–3) = 2(–3) + 2 = –6 + 2 = –4 Jadi, (h g f)(–3) = –4.

 + 

⇔ Jadi, p = 7. (h k)(x) = 6x + 2 ⇔ h(k(x)) = 6x + 2 ⇔ h(2x + p) = 6x + 2 ⇔ 3(2x + p) – 7 = 6x + 2 ⇔ 3(2x + p) = 6x + 9 ⇔ 2x + p = 2x + 3 ⇔ p=3 Jadi, p = 3. (g f)(a) = 6 ⇔ g(f(a)) = 6 ⇔ g(a2 – 2a – 4) = 6 ⇔ 3(a2 – 2a – 4) + 9 = 6 ⇔ 3a2 – 6a – 12 + 9 = 6 ⇔ 3a2 – 6a – 9 = 0 ⇔ a2 – 2a – 3 = 0 ⇔ (a – 3)(a + 1) = 0 ⇔ a = 3 atau a = –1 Diambil a = 3 karena a berupa bilangan positif. Jadi, nilai a adalah 3. (f g)(x) = f(g(x)) (f g)(2) = f(g(2)) = f(3 × 2 + 9)) = f(15) = 152 – 2 × 15 – 4 = 225 – 30 – 4 = 191 Jadi, (f g)(2) = 191.

9. a.



8. f(x) =  −  , x ≠ 1 (f f f)(x) = (f f)(f(x)) 

= (f f)(  −  ) 

b.

= f(f(  −  )) = f(

 

 − − 

)



= f( −  − ) − 

= = =

−  f(  −

)

 −

−  −

10. a.



(y x)(h) = y(x(h)) = y(g(h)) = y(100.000 – 0,02h2) = 20(100.000 – 0,02h2) + 1.000.000 = 2.000.000 – 0,4h2 + 1.000.000 = 3.000.000 – 0,4h2 Besar upah yang diterima salesman jika harga produk h rupiah per unit z(h) = (y x)(h) = 3.000.000 – 0,4h2 Untuk h = 1.000 z(1.000) = 3.000.000 – 0,4(1.000)2 = 3.000.000 – 400.000 = 2.600.000 Jadi, besar upah yang diterima salesman tersebut Rp2.600.000,00. (y x)(t) = y(x(t))

− 

−  −+  −

= y(  )

−

= − = x Misalkan h(x) = (f f f)(x) = x. (f (f f f))(x) = (f h)(x) = f(h(x)) = f(x) 

= −  ((f f f) f) = (h f)(x) = h(f(x))

=

b.







= −  (Dapat ditunjukkan)

−



−  − 
  × 

− 


. . . (1)

= h(  −  ) = −  Dari (1) dan (2) diperoleh: (f (f f f))(x) = (f f f) f)(x)

− 

=

= 
Banyak uang euro yang diterima Fandi = (y x)(20.000.000) =

. . . (2)


 − 
 


= 
= 1.244,17 euro Jadi, banyak euro yang yang diterima Fandi 1.244,17 euro.

Matematika Kelas XI

65




A.

Pilihan Ganda

1.

Jawaban: d Invers fungsi f dalam bentuk diagram panah: 3)

f–1(x) B 


•1

1•

•2




•

•3

2•

•4



4)



f–1(x) =

5)



Jadi, invers dari f(x) = 10x adalah f–1(x) =  . Pernyataan 1) benar.





⇔

x=







+ 

⇔ f–1(x) =

+ 

+ 

.

. 



y=
x–1 

⇔ y+1=
x  +

⇔

x=

⇔

x =  (y + 1)

⇔

f–1(y) =  (y + 1)

⇔

f–1(x) =  (x + 1)











y



⇔ f–1(y) =
y 

⇔ f–1(x) =
x.

66

⇔ f–1(y) =

x

Misalkan y = f(x)

x=

+ 

Diketahui f(x) =
x – 1 Misalkan y = f(x) ⇔



⇔

adalah

Pernyataan 4) benar.

⇔ f–1(x) = 

y= x

− 

Jadi, invers dari fungsi f(x) = 3x – 5 adalah

 

⇔

⇔ 4y = x – 3

f–1(x) = 4x + 3. Pernyataan 3) salah. Diketahui f(x) = 3x – 5 Misalkan y = f(x) ⇔ y = 3x – 5 ⇔ y + 5 = 3x ⇔x=



Diketahui f(x) =

− 

Jadi, invers dari fungsi f(x) =

x = 

⇔ f–1(y) =

2)

.

⇔ 4y + 3 = x ⇔ 4y + 3 = f–1(y) ⇔ f–1(x) = 4x + 3.

Jawaban: e 1) Diketahui f(x) = 10x. Misalkan y = f(x). ⇔ y = 10x ⇔

− 

Misalkan y = f(x) ⇔ y =

Jadi, f–1(x) = {(
, 1), (1, 2), (
, 3), (2, 4)}. 2.

Diketahui f(x) =

A •



Jadi, invers dari f(x) =  x adalah f–1(x) =
x. Pernyataan 2) salah.

Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers

Jadi, invers dari fungsi f(x) =
x – 1 adalah


f–1(x) =  (x + 1). Pernyataan 5) benar. Jadi, pernyataan yang benar 1), 4) dan 5).

3.

Jawaban: d Grafik invers suatu fungsi f(x) dapat diperoleh dengan mencerminkan grafik fungsi f(x) terhadap garis y = x. Y

f(x)

6.

Jawaban: c  + 




f(x) =  −
; x ≠  Misalkan y = f(x).

y=x

 + 

⇔

y =  −
⇔ 5xy – 2y = 3x + 4 ⇔ 5xy – 3x = 2y + 4 ⇔ x(5y – 3) = 2y + 4

X


 + 

⇔

x =  − 

⇔

f–1(y) =  − 

⇔

f–1(x) =  − 


 + 


 + 


 + 

Grafik di atas menunjukkan grafik fungsi f(x) dan hasil pencerminannya terhadap garis y = x. Jadi, grafik yang menunjukkan grafik fungsi f(x) dan hasil fungsi f(x) dan invers fungsinya adalah gambar pilihan d. 4.

x=

⇔

 − 
 − 


⇔ g–1(x) =

 − 
 − 


⇔ ⇔

3y = 2x + 11 2x = 3y – 11 x=

 − 


⇔

f–1(y) =

 − 


⇔

f–1(x) =

 − 


Jadi, invers fungsi f(x) adalah f–1(x) =



 +
 = h–1(y) h–1(x) =



 +
 

 +
 .

Jawaban: a Diketahui fungsi f(x) = x2 – 4x – 5. Misalkan y = f(x) ⇔ y = x2 – 4x – 5 ⇔ y = (x – 2)2 – 9 ⇔ y + 9 = (x – 2)2


 +  

⇔

⇔

9.

.


 +  

y=

 +
 = x

Jawaban: e Diketahui fungsi g(x) = 5x + 7 untuk daerah asal Dg = {x | 3 ≤ x ≤ 8, x ∈ R}. Untuk x = 3, g(3) = 5(3) + 7 = 22. Untuk x = 8, g(8) = 5(8) + 7 = 47. Daerah hasil fungsi g adalah Rg = {y | 22 ≤ y ≤ 47, y ∈ R}. Pada fungsi invers, daerah hasil fungsi yang diinverskan menjadi daerah asal fungsi inversnya. Daerah asal fungsi invers = daerah hasil fungsi yang diinverskan = {x | 22 ≤ x ≤ 47, x ∈ R} Jadi, daerah asal fungsi g–1 adalah Dg–1 = {x | 22 ≤ x ≤ 47, x ∈ R}.

Misalkan y = f(x) ⇔



8.

Jawaban: c f(x) =

⇔

Jadi, invers fungsi h(x) adalah h–1(x) =

2x = 10 – y

⇔ g–1(y) =

Jawaban: d Diketahui fungsi h(x) = x3 – 27. Misalkan y = h(x) ⇔ y = x3 – 27 ⇔ y + 27 = x3

⇔

Jadi, invers g(x) = 10 – 2x adalah g–1(x) = 5.

7.

Jawaban: c Diketahui g(x) = 10 – 2x. Misalkan y = g(x) ⇔ y = 10 – 2x ⇔



Jadi, f–1(x) =  −  ; x ≠  .

⇔ ± + = x – 2  −  .


⇔

x = 2 ± +

Matematika Kelas XI

67

⇔

f–1(y) = 2 ±  + 

⇔

f–1(x) = 2 ±  + 

11. Jawaban: b (f g)(x) = f(g(x)) +

= f(
−  )

Jadi, invers fungsi f(x) adalah f–1(x) = 2 ±  +  .

+

= 2(
−  ) – 1

10. Jawaban: c Sketsa grafik fungsi f(x) = x2 + 6x + 5. Y


 + 


−

=
− –
−

f(x)

 + 

=
− , x ≠ 2 Misalkan y = (f g)(x)  + 

X

–3 0

⇔ ⇔ ⇔

–4

Agar invers fungsi f(x) merupakan fungsi invers, daerah asal fungsi f(x) harus dibatasi sehingga fungsi f(x) merupakan fungsi bijektif. Fungsi f(x) merupakan fungsi bijektif untuk daerah asal Df = {x | x ≤ –3, x ∈ R} atau Df = {x | x ≥ –3, x ∈ R} dan daerah kawan Kf = {y | y ≥ –4, y ∈ R}. Untuk daerah asal {x | x ≤ –3, x ∈ R} diperoleh fungsi invers berikut. Y

y=x

y =
− (2 – x)y = 3x + 4 2y – xy = 3x + 4 2y – 4 = 3x + xy

⇔


 −  +

=x

⇔


 −  +

= (f g)–1(y)
 − 

⇔ (f g)–1(x) =  +  , x = –3
 − 

Jadi, invers dari (f g)(x) adalah (f g)–1(x) =  +  , x ≠ –3. 12. Jawaban: a (f g)–1(x) = (g–1 f–1)(x)

X

0

f–1(x)

Untuk daerah asal {x | x ≥ –3, x ∈ R}, diperoleh fungsi invers berikut. Y

y=x

f(x)




f(x) =  −  Misalkan y = f(x).


⇔

y =  −  ⇔ 3xy – y = 2x ⇔ 3xy – 2x = y ⇔ x(3y – 2) = y 

⇔

x =  −


⇔ f–1(x) 0

X



= g–1(  −
) = Jadi, daerah asal fungsi harus dibatasi {x | x ≤ –3, x ∈ R}.

68

Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers




f–1(x) =  −
; x ≠  (f g)–1(x) = (g–1 f–1)(x) = g–1(f–1(x))

=

+  

     −
   
 −   −


+

  −



  −


−

 −
+   −

 −  −
 −


=

 −


=
 − 
 +   −


f(x)(–2x – 6) = x + 10

⇔

f(x) = −
 − 

⇔

f(8) = −
 −  = −

= – 

 + 

 + 

 − 

= − +   − 



Jadi, (f g)–1(x) = − +  ; x ≠  . 13. Jawaban: c (f g)(x) = f(g(x))

⇔

x=

 −  

⇔

f–1(x) =

 −  

⇔ f–1(48.100.000) =


 +  ) 
 + 

=

= 2log  Misalkan (f g)(x) = y y = 2log 2log

⇔

2y

=


 +  


 +  

B.

Uraian

1.

a.

⇔ 2x + 6 = 4(2)y ⇔ 2x = 4(2)y – 6 ⇔

x=

 −    

 + 

f(x) =
 +  Misalkan y = f(x).  + 

⇔

y =
 +  ⇔ 2xy + 5y = 7x + 1 ⇔ 2xy – 7x = 1 – 5y ⇔ x(2y – 7) = 1 – 5y


 − 


⇔ x = 2(2)y – 3 Jadi, (f g)–1(x) = 2(2)x – 3. 14. Jawaban: c Perhatikan sifat invers fungsi komposisi (h g f)–1(x) = (f–1 g –1 h–1)(x) = 2x – 4 Misalkan y = (h g f)–1(x) ⇔ y = 2x – 4 ⇔

x=

+


⇔

((h g f)–1)–1(x) =

+


⇔

(h g f)(x) =

+


⇔

((h g ) f)(x) =

⇔

(h g)(f(x)) =

⇔



= 800 Jadi, banyak tiket yang terjual 800 lembar.


 +  

2y = 2log



15. Jawaban: c f(x) = 60.000x + 100.000 Misalkan y = 60.000 + 100.000

= − + 

= f(

⇔

 − 
 + 

=

+
+
+


⇔ 2(f(x) – 3) = (x + 4)(2f(x) + 1) ⇔ 2f(x) – 6 = 2xf(x) + 8f(x) + x + 4 ⇔ 2f(x) – 2xf(x) – 8f(x) = x + 4 + 6 ⇔ –2xf(x) – 6f(x) = x + 10

− 

⇔

x =
 − 

⇔

f–1(y) =
 − 

⇔

f–1(x) =
 − 

− 

− 

− 



Jadi, f–1(x) =
 −  ; x ≠
. b.

f(x) = 2x +

 −  

Misalkan y = f(x). ⇔

y=

 +  −  

⇔

y=

+ 

⇔ x = 3y – 6 ⇔ f–1(y) = 3y – 6 ⇔ f–1(x) = 3x – 6 Jadi, f–1(x) = 3x – 6.

Matematika Kelas XI

69

c.






f(x) =  −  –  −
Misalkan y = f(x).
 − 

⇔

y=

⇔

y =
 − 

⇔

y =
 − 

–

c.

 −


(f–1)–1(x) =  −  ; x ≠ 3 Jadi, f(x) = (f–1)–1(x).


 − 

−

3.





2.

a.

x =  + 

⇔

x=


 +  

⇔ f–1(y) =


 +  

⇔ f–1(x) =


 +  
 +  ; 

 







= cx jika dan hanya jika  = c ⇔ ac = 1. 

x ≠ 0. 4.

1)

⇔

 −
−

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

y(x – 3) = 4x – 2 xy – 3y = 4x – 2 xy – 4x = 3y – 2 x(y – 4) = 3y – 2

f(x) =

 −


Misalkan y = f(x) y=

 −


⇔ 4y = 5x – 2 ⇔ 4y + 2 = 5x ⇔

 +


=x

 −
−

⇔

 +


= f–1(y)

 −


⇔

 +


= f–1(x)

 −


Pada f–1(x) =

⇔

f–1(y) =  − 

⇔

f–1(x) =  −  ; x ≠ 4

 +
, untuk setiap x ∈ daerah 

asal mempunyai satu kawan di daerah kawan.

 −


f–1(x) =  −  ; x ≠ 4

Jadi, f–1(x) =

 −


Misalkan y = f(x) ⇔ y =  −  ⇔ y(x – 4) = 3x – 2 ⇔ xy – 4y = 3x – 2 ⇔ xy – 3x = 4y – 2  −
−  −


⇔ (f–1)–1(y) =  − 

 −


⇔ (f–1)–1(x) =  −  ; x ≠ 3

70



Jadi, hubungan a dan c adalah  = c ⇔ ac = 1.

y=

x=





⇔

⇔



Diketahui f–1(x) = g(x) ⇔  –  = cx + d sehingga

 −


x=

 − 

⇔ f–1(x) =  – 

f(x) =  −  ; x ≠ 3 Misalkan y = f(x)

⇔

b.





⇔

x=

⇔ f–1(y) =  – 

3x = 1 +


Jadi, f–1(x) =

f(x) = ax + b Misalkan y = ax + b ⇔ ax = y – b ⇔



⇔ 3x – 1 =
 ⇔

 −


f(x) =  −  ; x ≠ 3

Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers

2)

 +


merupakan fungsi invers.



g(x) =
−  ; x ≠ 2 Misalkan y = g(x) 

⇔

y =
− ⇔ y(2 – x) = 10 ⇔ 2y – yx = 10 ⇔ 2y – 10 = yx ⇔

Y


 −  

–3

0

=x –9

3

X

⇔


 −  

= g–1(y)

⇔


 −  

= g–1(x), x ≠ 0

Pada g–1(x) =

Pada f–1(x) = ±  +  , untuk setiap x ∈ daerah asal mempunyai dua kawan di daerah kawan.


 −  , x ≠ 0, untuk 

Jadi, f –1(x) = ±  +  bukan merupakan fungsi invers. (Dapat ditunjukkan) Fungsi f(x) = x2 – 9 harus dibatasi daerah asal dan daerah kawannya sehingga menjadi fungsi bijektif. 1) Untuk daerah asal Df = {x | x ≤ 0, x ∈ R} dan daerah kawannya Kf = Rf = {y | y ≥ –9, x ∈ R}, f(x) = x2 – 9 merupakan fungsi bijektif. f(x) = x2 – 9 ⇔ f–1(x) = ±  +  Oleh karena f(x) = x2 – 9 mempunyai daerah asal x ≤ 0 dan daerah kawan y ≥ –9 maka f–1(x) akan mempunyai daerah asal x ≥ –9 dan daerah kawan y ≤ 0. Daerah kawan y ≤ 0 hanya diperoleh dari rumus f–1(x) = –  +  . Untuk invers

setiap x ∈

daerah asal mempunyai satu kawan di daerah kawan. Jadi, g–1(x) = 3)


 −  ; x ≠ 0 merupakan fungsi 

invers. h(x) = 3x2 – 6x Misalkan y = h(x) ⇔ y = 3x2 – 6x ⇔ y = 3(x – 1)2 – 3 ⇔ 3(x – 1)2 = y + 3 ⇔ ⇔

(x – 1)2 =

+ 

x–1= ±

+  + 

⇔

x=1±

⇔

h–1(y) = 1 ±

+ 

⇔

h–1(x) = 1 ±

+ 

Pada h–1(x) = 1 ±

+ 

2)

, untuk setiap x ∈

daerah asal mempunyai dua kawan di daerah kawan. Jadi, h–1(x) = 1 ±

+ 

bukan merupakan

fungsi invers. 4)

i(x) =  −  Misalkan y = g(x) ⇔ y =  − ⇔ y2 = x – 1 ⇔ x = y2 + 1 –1 ⇔ i (y) = y2 + 1 ⇔ i–1(x) = x2 + 1 Pada i–1(x) = x2 + 1, untuk setiap x ∈ daerah asal mempunyai satu kawan di daerah kawan. Jadi, i–1(x) = x2 + 1 merupakan fungsi invers.

5.

a.

f(x) = x2 – 9 Misalkan y = f(x) ⇔ y = x2 – 9 ⇔ x2 = y + 9 ⇔

x = ± +

⇔ f–1(y) = ±  +  ⇔ f–1(x) = ±  + 

fungsi f –1(x) = –  +  , setiap daerah asal mempunyai tepat satu kawan di daerah asal sehingga f–1(x) merupakan fungsi. Akibatnya f –1 (x) = –  +  merupakan fungsi invers. Untuk daerah asal Df = {x | x ≥ 0, x ∈ R} dan daerah kawan Kf = Rf = {y | y ≥ –9, y ∈ R}, f(x) = x2 – 9 merupakan fungsi bijektif. Oleh karena f(x) = x2 – 9 mempunyai daerah asal x ≥ 0 dan daerah hasil y ≥ –9 maka f–1(x) akan mempunyai daerah kawan x ≥ –9 dan daerah kawan y ≥ 0. Daerah kawan y ≥ 0 diperoleh dari rumus f–1(x) =  +  . Untuk invers fungsi f–1(x) =  +  , setiap daerah asal mempunyai tepat satu kawan di daerah asal sehingga f–1(x) merupakan fungsi. Akibatnya f–1(x)

b.

=  +  merupakan fungsi invers. f(x) = –x2 + 12x – 20 Misalkan y = f(x) ⇔ y = –x2 + 12x – 20 ⇔ y = –(x – 6)2 + 16 ⇔ (x – 6)2 = 16 – y ⇔ x – 6 = ±  −  ⇔

x = 6 ±  − 

⇔

f–1(y) = 6 ±  − 

⇔

f–1(x) = 6 ±  − 

Pada f–1(x) = 6 ±  −  , untuk setiap x ∈ daerah asal mempunyai dua kawan di daerah kawan.

Matematika Kelas XI

71

Daerah kawan y ≥ 6 diperoleh dari rumus f–1(x) = 6 +  −  . Untuk invers fungsi

Jadi, f–1(x) = 6 ±  −  bukan merupakan fungsi invers.(Dapat ditunjukkan) Fungsi f(x) = –x2 + 12x – 20 harus dibatasi daerah asal dan daerah kawannya sehingga f(x) menjadi fungsi bijektif.

f–1(x) = 6 –  −  , setiap daerah asal mempunyai tepat satu kawan di daerah asal sehingga f–1(x) merupakan fungsi. Akibatnya f–1(x) = 6 –  −  merupakan fungsi invers.

Y 16

6.

0

X

6

f(x)

1)

Untuk daerah asal Df = {x | x ≤ 6, x ∈ R} dan arah daerah kawan Kf = {y | y ≤ 6, x ∈ R}, f(x) = –x2 + 12x – 20 merupakan fungsi bijektif. f(x) = –x2 + 12x – 20 ⇔ f–1(x) = 6 ±  −  Oleh karena f(x) = –x 2 + 12x – 20 mempunyai daerah asal x ≤ 6 dan daerah kawan y ≤ 16 maka f –1 (x) akan mempunyai daerah asal x ≤ 16 dan daerah kawan y ≤ 6. Daerah kawan y ≤ 6 diperoleh dari rumus

Pada fungsi invers, daerah hasil fungsi yang diinverskan menjadi daerah asal fungsi inversnya dan daerah asal fungsi yang diinverskan menjadi daerah hasil fungsi inversnya. a. Diketahui fungsi f1(x) = 16 – 3x dan Df = A = 1 {x | 2 ≤ x ≤ 10, x ∈ R}. Nilai-nilai fungsi di ujung interval: Untuk x = 2, f(2) = 16 – 3(2) = 10 Untuk x = 10, f(10) = 16 – 3(10) = –14 Daerah hasil fungsi f(x) Df = {y | –14 ≤ y ≤ 10, y ∈ R} 1 Daerah asal fungsi invers: Df –1 = {x | –14 ≤ x ≤ 10, x ∈ R} 1 Daerah hasil fungsi invers: Rf–1 = {y | 2 ≤ y ≤ 10, y ∈ R} b. Diketahui A = {x | 2 ≤ x ≤ 10} dan fungsi f(x) = x2 – 8x – 12. Nilai-nilai fungsi di ujung interval: Untuk x = 2, f(x) = 22 – 8(2) – 12 = –24 Untuk x = 10, f(x) = 102 – 8(10) – 12 = 8 Nilai maksimum/minimum fungsi: −

f–1(x) = 6 –  −  . Untuk invers fungsi f–1(x) = 6 –  −  , setiap daerah asal mempunyai tepat satu kawan di daerah asal sehingga f–1(x) merupakan fungsi.

2)

Akibatnya f–1(x) = 6 –  −  merupakan fungsi invers. Untuk daerah asal Df = {x | x ≥ 6, x ∈ R} dan daerah kawan Kf = {y | y ≤ 16, y ∈ R}, f(x) = –x2 + 12x – 20 merupakan fungsi bijektif. Oleh karena f(x) = –x 2 + 12x – 20 mempunyai daerah asal x ≥ 6 dan daerah kawan y ≤ 16 maka f –1 (x) akan mempunyai daerah asal x ≤ 16 dan daerah kawan y ≥ 6.

c.

−−

x =
 =
 = 4 y = f(4) = 42 –– 12 = –28 Daerah hasil fungsi: Rf = {y | –28 ≤ x ≤ 8, x ∈ R} 2 Daerah asal fungsi invers: D(f –1) = {x | –28 ≤ x ≤ 8, x ∈ R} 2 Daerah hasil fungsi invers: R(f –1)= {y | 2 ≤ y ≤ 10, y ∈ R} 2 Diketahui A = {x | 2 ≤ x ≤ 10} dan fungsi f(x) =  −  . Nilai-nilai fungsi di ujung interval:

Untuk x = 2, f(x) =


−  =  −  =

Untuk x = 10, f(x) = Daerah hasil fungsi: Rf = {y | 2

 ≤y≤

 , y ∈ R}

Daerah asal fungsi invers: D(f

–1 2 )

= {x |

 ≤x≤

 , x ∈ R}

Daerah hasil fungsi invers: R(f –1) = {y | 2 ≤ y ≤ 10, y ∈ R} 2

72

Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers

 

7.

a.

(g f)–1 = f–1 g–1 g–1

Misalkan y = 20.000 + 0,02x2 ⇔ 0,02x2 = y – 20.000

f–1

⇔ –3

1

–2

–1

2

–1

2

3

0

3

4

2

x2 =

⇔

x=±

 −
 


⇔

C–1(y) = ±

 −
 


⇔

C–1(x) = ±

 −
 


–1

(g f)

b.

8.

a.

Dari diagram panah di atas diperoleh (g f)–1 = {(–3, –2), (–1, 2), (2, –1), (3, 0)}. f = {(–1, 1), (–2, 2), (2, 3), (0, 4)} g = {(2, –3), (3, –1), (1, 2), (4, 3)} (g f)–1(2) + 2f(2) – 3g(2) = –1 + 2 · 3 – 3 · (–3) = –1 + 6 + 9 = 14 Jadi, nilai (g f)–1(2) + 2f(2) – 3g(2) = 14. (g h)(x) = g(h(x)) = g(2log x) = 2 · 2log x + 1 Misalkan y = (g h)(x). y = 2 · 2log x + 1 2 ⇔ 2 · log x = y – 1 ⇔

2log

⇔

2log

⇔

 −


x= x=

2log

x=


⇔ (g h)–1(x) =


(g h)–1(p) =
⇔ ⇔ ⇔

20 =
 −


 −


.

C →

y

= C–1(x) = a.

.

 −
 


Untuk x = 40.000 Banyak barang yang diproduksi = C–1(40.000)  −
 


=

=  = 1.000 Jadi, banyak barang yang diproduksi 1.000 unit. Untuk x = 100.000 Banyak barang yang diproduksi = C–1(100.000)  −
 


=

=  = 2.000 Jadi, banyak barang yang diproduksi 2.000 unit.

 −


10. Banyak gula (kg) yang diperlukan untuk membuat

 −




x liter sirop = f(x) =  x. 

f(x) =  x Misalkan

=0



x = banyak barang yang diproduksi C(x) = biaya untuk memproduksi x barang x

 −
 


Banyak barang yang diproduksi untuk biaya sebesar x

b.

 −


⇔ p=1 Jadi, nilai p adalah 1. 9.

=

 −


 −


1=


Daerah asal C(x) = 20.000 + 0,002x2 adalah x ≥ 0 karena banyak produk tidak boleh negatif dan daerah kawannya adalah y ≥ 0. Dengan demikian daerah asal C–1(x) adalah x ≥ 0 dan daerah kawan y ≥ 0. Agar diperoleh daerah kawan y ≥ 0, invers fungsi C(x) harus dipilih C–1(x)

 −


Jadi, (g h)–1(x) =
b.




 −
 


y

C–1 →

x

C–1(x) = banyak barang yang diproduksi untuk biaya sebesar x C(x) = 20.000 + 0,02x2

y =  x ⇔ x = 3y f–1(y) = 3y ⇔ f–1(x) = 3x Banyak sirop (liter )yang dapat dibuat jika ada x kg gula = f–1(x) = 3x a. Banyak sirop (liter )yang dapat dibuat jika ada 120 kg gula = f–1(120) = 3 · 120 = 360 liter b. Banyak sirop (liter )yang dapat dibuat jika ada 300 kg gula = f–1(300) = 3 · 300 = 900 liter c. Banyak sirop (liter )yang dapat dibuat jika ada 1.000 kg gula = f–1(1.000) = 3 · 1.000 = 3.000 liter Matematika Kelas XI

73

Fungsi f(x) = x3 untuk daerah asal A dan daerah kawan B merupakan fungsi surjektif karena untuk setiap y ∈ B mempunyai kawan di A. 5) Fungsi f(x) = x4 untuk daerah asal A dan daerah kawan B bukan merupakan fungsi surjektif karena ada y ∈ B (yaitu y < 0) yang tidak mempunyai kawan di A. Jadi, fungsi yang merupakan fungsi surjektif adalah 1) dan 4). 4)

A.

Pilihan Ganda

1.

Jawaban: b Grafik suatu relasi merupakan fungsi jika tidak ada garis tegak yang memotong grafik lebih dari sekali. Perhatikan gambar pada pilihan b berikut. Y X

0

4.

Jawaban: d (f + g)(x) = f(x) + g(x)


Dari gambar terlihat tidak ada garis tegak yang memotong grafik lebih dari sekali. Jadi, grafik pada pilihan b merupakan grafik fungsi. 2.

= (10x + 11) + (  −  )

Jawaban: d Grafik suatu fungsi merupakan fungsi injektif jika tidak ada garis horizontal yang memotong grafik lebih dari sekali. Perhatikan gambar pada pilihan d berikut.

 +   −  +
  −

=


+  −  ;  −




= (10x + 11) – (  −  ) =

 +   −  −
  −

=


−  −  ;  −

=


+  −  − 
−  −  −

X

 +    −  

 +  

Dari gambar terlihat tidak ada garis mendatar yang memotong grafik lebih dari sekali. Artinya untuk setiap nilai x1 ≠ x2, nilai f(x1) ≠ f(x2) sehingga fungsi tersebut merupakan fungsi injektif. Jadi, grafik pada pilihan d merupakan grafik fungsi injektif. 3.

Jawaban: c 1) Fungsi f(x) = x untuk daerah asal A dan daerah kawan B merupakan fungsi surjektif karena untuk setiap y ∈ B mempunyai kawan di A. 2) Fungsi f(x) = 1 untuk daerah asal A dan daerah kawan B bukan merupakan fungsi surjektif karena ada y ∈ B (yaitu y ≠ 1) yang tidak mempunyai kawan di A. 3) Fungsi f(x) = x2 untuk daerah asal A dan daerah kawan B bukan merupakan fungsi surjektif karena ada y ∈ B (yaitu –1 < y < 0) yang tidak mempunyai kawan di A.

74

Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers

x≠1

(f – g)(x) = f(x) – g(x)

Y

0

=

=

x≠1 
+  −  
−  − 


+  − 

Jadi,  −   = ; 10x2 – x – 11 ≠ 0. 
−  −  5.

Jawaban: a 



( )(x) =  = = = 6.

 −  +


 −  −  +

 −   + 

  +   + 

; x ≠ –1

Jawaban: d −

Fungsi f(x) =  −  mempunyai daerah asal alami Df = {x | x ≠ 10, x ∈ R} dan g(x) = 
−  mempunyai daerah asal alami Dg = {x | x ≤ 0 atau x ≥ 5, x ∈ R}.

Jika h(x) = (f · g)(x), daerah asal fungsi h(x) adalah Dh = Df ∩ Dg = {x | x ≠ 10, x ∈ R} ∩ {x | x ≤ 0 atau x ≥ 5, x ∈ R} = {x | x ≤ 0 atau x ≥ 5, x ≠ 10, x ∈ R}. 7.

Jawaban: a Perhatikan grafik fungsi f(x) = x2 + 2x – 8 berikut. Y f(x) = x2 + 2x – 8

–3 –1

X

2

11. Jawaban: a +

f(x) =  +  Misalkan y = f(x). +

⇔

y =  +  ⇔ 6xy + y = x + 4 ⇔ 6xy – x = 4 – y ⇔ x(6y – 1) = 4 – y −

⇔

x =  − 

⇔

f–1(x) =  − 

−

−



Jadi, f–1(x) =  −  ; x ≠  . 12. Jawaban: b

–8

 −

g(x) =
 +  Fungsi f(x) = x2 + 2x – 8 merupakan fungsi injektif jika daerah asalnya dibatasi menjadi {x | x ≤ –1, x ∈ R atau {x | x ≥ –1, x ∈ R}. Oleh karena {x | –5 ≤ x ≤ –2, x ∈ R} ⊂ {x | x ≤ –1, x ∈ R}, f(x) = x2 + 2x – 11 merupakan fungsi injektif pada daerah asal {x | –5 ≤ x ≤ –2, x ∈ R}. 8.

9.

Jawaban: e Pada fungsi 1), 2), 4), dan 5), setiap x1, x2 ∈ daerah asal dan x1 ≠ x2 mempunyai kawan berbeda. Jadi, 1), 2), 4), dan 5) merupakan fungsi injektif. Jawaban: e Invers fungsi f dalam bentuk diagram panah: f–1

B

a

3

b c

4

d

f–1(x) = {(1, a), (1, b), (2, d), (4, c)}




Diketahui g(x) = 8 –  x. Misalkan y = g(x)

⇔ ⇔




x=8–y x=

x =
 − 

⇔

g–1(x) =
 − 

⇔

g–1(x) = −


− −   +

 +



Jadi, g–1(x) = −
 , x ≠
.

⇔

⇔

y=8– x


− − 

⇔

x=

 − 

Dengan demikian, f–1(x) = f–1(a) = 3

10. Jawaban: a

⇔

⇔ ⇔ ⇔

 −

y =
 +  2xy + y = x – 1 2xy – x = –y – 1 x(2y – 1) = –y – 1

13. Jawaban: d Cara 1 Dengan menentukan f–1(x) terlebih dahulu f(x) = 5x + 1 Misalkan y = 5x + 1 ⇔ 5x = y – 1

A

1 2

⇔

−




⇔ g–1(y) =
(8 – y) 

⇔ g–1(x) =
(8 – x) 

Jadi, invers g(x) adalah g–1(x) =
(8 – x).

 − 

 − 

=3

⇔ a – 1 = 15 ⇔ a = 16 Cara 2 Dengan pengertian fungsi invers f(x) = y ⇔ f–1(y) = x f–1(a) = 3 maka f(3) = a f(3) = a ⇔ 5(3) + 1 = a ⇔ a = 15 + 1 ⇔ a = 16 Jadi, nilai a = 16.

Matematika Kelas XI

75

14. Jawaban: e f(x) = ax + 3 Misalkan y = ax + 3. ⇔ ax = y – 3 ⇔

x=

− 

⇔

f–1(x) =

− 

17. Jawaban: a Suatu fungsi mempunyai fungsi invers jika fungsi tersebut merupakan fungsi bijektif. Fungsi f(x) pada gambar akan menjadi fungsi bijektif jika daerah asalnya dibatasi menjadi: 1) {x | x ≤ –1, x ∈ R} 2) {x | –1 ≤ x ≤ 0, x ∈ R} 3) {x | 0 ≤ x ≤ 1, x ∈ R} 4) {x | x ≥ 1, x ∈ R} Jika daerah asal fungsi dibatasi menjadi {x | x ≤ –1, x ∈ R}, fungsi tersebut merupakan fungsi bijektif sehingga mempunyai fungsi invers. Jadi, batas daerah asalnya {x | x ≤ –1, x ∈ R}.

f–1(f–1(9)) = 3 

⇔

f–1(  ) = 3  

⇔

− 

 

⇔

=3

– 3 = 3a 

⇔

0 = 3a + 3 –  ⇔ 0 = 3a2 + 3a – 6 ⇔ 0 = 3(a2 + a – 2) ⇔ 0 = 3(a + 2)(a – 1) ⇔ a = –2 atau a = 1 Untuk a = –2: a2 + a + 1 = (–2)2 + (–2) + 1 = 4 – 2 + 1 = 3 Untuk a = 1 a2 + a + 1 = 12 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3 15. Jawaban: e f(x) = 3x – 1 Misalkan y = f(x) ⇔ y = 3x – 1 3 ⇔ log y = 3log 3x – 1 ⇔ x – 1 = 3log y ⇔ x = 3log y + 1 –1 ⇔ f (x) = 3log x + 1 f–1(81) = 3log 81 + 1 = 3log 34 + 1 = 4 · 3log 3 + 1 = 5 16. Jawaban: d Grafik invers fungsi f(x) dapat diperoleh dengan mencerminkan fungsi ke f(x) ke garis y = x. Perhatikan gambar Y

y=x

X

0 f(x)

Grafik tersebut merupakan hasil pencerminan grafik fungsi dengan garis y = x. jadi, grafik fungsi dan inversnya ditunjukkan oleh gambar pada pilihan d. 76

Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers

18. Jawaban: a (f g)(x) = f(g(x) = f(x2 – 2x – 1) = (x2 – 2x – 1) + 3 = x2 – 2x + 2 Jadi, komposisi (f g)(x) = x2 – 2x + 2. 19. Jawaban: c (g f)(x) = g(f(x)) = g(2x – 1) = 3(2x – 1)2 – (2x – 1) + 5 = 3(4x2 – 4x + 1) – 2x + 1 + 5 = 12x2 – 12x + 3 – 2x + 6 = 12x2 – 14x + 9 Jadi, (g f)(x) = 12x2 – 14x + 9. 20. Jawaban: c (f g)(x) = x2 – 3x + 3 ⇔ f(g(x)) = x2 – 3x + 3 

⇔ f(  x2 – x – 2) = x2 – 3x + 3 



⇔ f(  x2 – x – 2) = 3(  x2 – x – 2) + 9 ⇔ f(x) = 3x + 9 Jadi, rumus fungsi f(x) = 3x + 9. 21. Jawaban: b (f g)(x) = f(  −  ) = 2(  −  )2 + 9 = 2(3x – 1) + 9 = 6x + 7 ((f g) h)(x) = (f g)(h(x)) = (f g)(4x + 3) = 6(4x + 3) + 7 = 24x + 18 + 7 = 24x + 25 Jadi, ((f g) h)(x) = 24x + 25. 22. Jawaban: c (f g h)(x) = f(g(h(x))) (f g h)(–1) = f(g(h(–1))) = f(g(–(–1)))

= f(g(1)) = f(4 – 2(1)) = f(2) =

+  =  =3 Jadi, nilai (f g h)(–1) = 3. 23. Jawaban: c Misalkan t = x + 1 ⇒ x = t – 1 h(x + 1) = 3x – 1 ⇔ h(t) = 3(t – 1) – 1 ⇔ h(t) = 3t – 3 – 1 ⇔ h(t) = 3t – 4 ⇔ h(x) = 3x – 4 Misalkan h(x) = y. y = 3x – 4 ⇔

x=

+ 

⇔

h–1(x) =

+ 

(g

h–1)(x)

=

=

= f–1(  +  ) = 3(  +  )2 + 2 = 3(x + 1) + 2 = 3x + 3 + 2 = 3x + 5 Jadi, (g f)–1(x) = 3x + 5. 26. Jawaban: c (g f)(x) = g(f(x)) = g(2x – 3) 

= 
 −  +  

=  −  +  

=  −  y=

⇔


  +  

     +    +  


 +   ++ 

  − 

⇔ 6xy – 8y = 1 ⇔ 6xy = 8y + 1

+ ) 

= g(

25. Jawaban: a (g f)–1(x) = (f–1 g–1)(x) = f–1(g–1(x))

x=

 +  

 + 

⇔ (g f)–1(x) = 
 + 

=  + 


×  + 



(g f)–1(x –
) =



(g h–1)(4) =  +  = 

=



Jadi, (g h–1)(4 ) =  . 24. Jawaban: c Misalkan f(x) = y.
 −

y= ⇔ 3y – xy = 2x ⇔ 2x + xy = 3y ⇔ x(2 + y) = 3y ⇔ ⇔

(

)+  ( − )

 −







 −  +   − 

=– 

 −   −   − 



Jadi, (g f)–1(x –
) =  −  ; x ≠
. 27. Jawaban: a g(x) =



⇔



⇔ ⇔

x =
+  f–1(x) =
+  ; x ≠ –2

(f g)–1(1) = (g–1 f–1)(1) = g–1(f–1(1)) ×

= g–1(
+  ) = g–1(1) 

=
+ = 2


 +  

y=


 +  

3y = 2x + 1 2x = 3y – 1 x=

 − 


⇔ g–1(x) =

 − 


⇔

(f g h)–1(–2) = (h–1 g–1 f–1)(–2) = h–1(g f–1)(–2) = h–1(g–1(f–1(–2))) = h–1(g–1(4 × (–2) + 5)) = h–1(g–1(–3))

Jadi, (f g)–1(1) = 2. Matematika Kelas XI

77

= h–1(

 × − −  )


(h g f)–1(1 – x) =

= h–1(–5) = –5 – 6 = –11 Jadi, (f g h)–1(–2) = –11. 28. Jawaban: e f(x) = 2x – 13 ⇔ y = 2x – 13 x=

 + 


⇔ f–1(x) =

 + 


⇔

− +  − 
−

=

 − 
− 

+

+

= 5(  ) + 7 = x + 11 (f (g h))–1(3) = ((g h)–1 f –1)(3) = (g h)–1(f–1(3)) = (g h)–1(

 + 


⇔

)

x ≠ 2.

− 


x=

− 

Dengan demikian, (f g h)–1(x) =
(f g h)–1(k) = 2

= (g h)–1(8) = 8 + 11 = 19

⇔

− 


=2

⇔ 1–k=4 ⇔ k = –3 Cara 2 Dengan pengertian fungsi invers f(x) = y ⇔ f–1(y) = x (f g h)–1(k) = 2 maka (f g h)(2) = k (f g h)(2) = k ⇔ 1 – 2(2) = k ⇔ k=1–4 ⇔ k = –3 Jadi, nilai k adalah –3.

29. Jawaban: b (h g f)(x) = h(g(f(x))) 

= h(g(  +  ))  +

 −  ;
− 

30. Jawaban: c (f g h)(x) = f(g(h(x))) = f(g(x – 4)) = f((x – 4) + 6) = f(x + 2) = 5 – 2(x + 2) = 5 – 2x – 4 = 1 – 2x Cara 1 Dengan menentukan (f g h)–1(x) terlebih dahulu. y = 1 – 2x ⇔ 2x = 1 – y

= h–1(  )

)



= + – 1 =

=

Jadi, (h g f)–1(1 – x) =

(g h)–1(x) = (h–1 g–1)(x)

= h(

− −  −  −  + 

−− + − − 

= + Dengan rumus praktis: Jika f(x) = f–1(x)

=

 +   + 

− +   − 



, x ≠ –  maka

,x≠

B.

Uraian

1.

a.

f(x) =

.

Daerah asal f(x) adalah Df = {x | x ≠ 4, x ∈ R}.

 

g(x) =

Dengan demikian, − − 

 −

− − 

(h g f)(x) =  +  maka (h g f)–1(x) =  +

=

+

+  + 
+
 +
 +  

= + Daerah asal g(x) adalah Dg = {x | x ≠ –6, x ∈ R}.

78

Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers

b.

Oleh karena fungsi f(x) = x2 – 3x – 10 tidak injektif dan tidak surjektif maka tidak bijektif. Jadi, fungsi f(x) = x2 – 3x – 10 tidak injektif, tidak surjektif dan tidak bijektif.

h(x) = g(x) – f(x) =

 +

=

 −  −  +   +   − 

=

 −  −  −   +   − 

=

 −

–

c.

− −  −
−
 +


Jadi, rumus fungsi h(x) =

− −  −
−
 +


Fungsi f(x) =  −  untuk x ≥ 5 tidak surjektif karena untuk setiap nilai y < 0 tidak ada nilai x1 yang memenuhi y = f(x1).

dan

Y

d.

X

0

X

Fungsi f(x) =  −  untuk x ≥ 5 injektif karena untuk setiap nilai x yang berbeda (x1 ≠ x2) berlaku (f(x1) ≠ f(x2)).

daerah asalnya {x | x ≠ –6, x ≠ 4, x ∈ R}. a.

−

f(x) =

0

Dh = Dg ∩ Df = {x | x ≠ –6, x ∈ R} ∩ {x | x ≠ 4, x ∈ R} = {x | x ≠ –6, x ≠ 4, x ∈ R}

2.

Y

Jadi,fungsi f(x) =  −  untuk x ≥ 5 hanya bersifat injektif. Grafik fungsi x – 2 untuk x < –1 f(x) = x2 + 2x – 2 untuk –1 ≤ x ≤ 1 2x – 1 untuk x > 1 tampak seperti gambar berikut. Y

f(x) = 1 – 2x

Fungsi f(x) = 1 – 2x injektif karena untuk setiap nilai x yang berbeda (x1 ≠ x2) berlaku (f(x1) ≠ f(x2)). Fungsi f(x) = 1 – 2x surjektif karena untuk setiap nilai y terdapat nilai x1 yang memenuhi y = f(x1). Oleh karena fungsi f(x) = 1 – 2x injektif dan surjektif maka fungsi f(x) = 1 – 2x bijektif. Jadi,fungsi f(x) = 1 – 2x bijektif. b.

Y

0

Fungsi f(x) merupakan fungsi injektif karena untuk setiap nilai x yang berbeda (x1 ≠ x2) berlaku (f(x1) ≠ f(x2)). Fungsi f(x) surjektif karena untuk setiap nilai y terdapat nilai x1 yang memenuhi y = f(x1). Oleh karena fungsi f(x) injektif dan surjektif maka fungsi f(x) bijektif. Jadi, fungsi x – 2 untuk x < –1 f(x) = x2 + 2x – 2 untuk –1 ≤ x ≤ 1 2x – 1 untuk x > 1 merupakan fungsi bijektif.

f(x) = x2 – 3x – 10

3

X

–10  –12


3.

Fungsi f(x) = x2 – 3x – 10 tidak injektif karena untuk x1 = 0 dan x2 = 3 berlaku f(x1) = f(x2) = –10. Fungsi f(x) = x2 – 3x – 10 tidak surjektif karena 

untuk y > 12
tidak ada x1 yang memenuhi

X

0 1 –2



Daerah asal alami fungsi f(x) =  −
adalah Df = {x | x ≠ 2, x ∈ R}. Daerah asal alami g(x) = 10x 2 – 4 adalah D g = {x | x ∈ R}. Daerah asal alami fungsi h(x) = 
−
 adalah Dh = {x | x ≤ –5 atau x ≥ 5, x ∈ R}.

sehingga y = f(x1). Matematika Kelas XI

79

a.

(f + g)(x) = f(x) + g(x)




g(x) =  +




=  −
+ (10x2 – 4)

y = +
⇔ xy + 2y = 2x ⇔ 2x – xy = 2y ⇔ x(2 – y) = 2y

−




=  −
+ (10x2 – 4)  −
= =

b.

 +   −

−  +  −
  −

−  +  −


Daerah asal fungsi (f + g) = D(f + g) = Df ∩ Dg = {x | x ≠ 2, x ∈ R} ∩ {x | x ∈ R} = {x | x ≠ 2, x ∈ R}. (f · g · h)(x) = f(x) · g(x) · h(x)

b.




− 
−


x =
−

⇔

g–1(x) =
− 





(  )(x) =  =

untuk ⇔

=


−  
−



  −  

   − 
 − 
  −  +  


−


 − 


=
 −  5.

a.

Fungsi tersebut merupakan fungsi injektif. 1)


−
 



−

= g–1(  ) =


− 

Fungsi (  )(x) =  =




(f g)–1(x) = (g–1 f–1)(x) = g–1(f –1(x))


−


Daerah asal fungsi (f · g · h) = D(f · g · h) = Df ∩ Dg ∩ Dh = {x | x ≠ 2, x ∈ R} ∩ {x | x ∈ R} ∩ {x | x ≤ –5 atau x ≥ 5, x ∈ R} = Dh = {x | x ≤ –5 atau x ≥ 5, x ≠ 2, x ∈ R] c.




⇔

= (  −
)(10x2 – 4)( 
−
 ) =




⇔



Grafik fungsi f(x) =  −  ; x ≠ 4 tampak seperti gambar berikut.

terdefinisi

Y


−
 ≠ 0.

f(x) =

 −


−
 ≠ 0

⇔ x2 – 25 > 0 ⇔ (x + 5)(x – 5) > 0 ⇔ x < –5 atau x > 5

X

0



Daerah asal fungsi (  ) =    = Dg ∩ Dh dan   

{h(x) ≠ 0} = {x | x ∈ R} ∩ {x | x ≤ –5 atau x ≥ 5, x ∈ R} ∩ {x | x ≠ –5 atau x ≠ 5, x ∈ R} = {x | x < –5 atau x > 5, x ∈ R}. 4.

a.

f(x) = 7x + 6 ⇔ y = 7x + 6 ⇔ 7x = y – 6 x=

− 

⇔ f–1(x) =

− 

⇔

80

Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers



Fungsi f(x) =  −  ; x ≠ 4 merupakan fungsi injektif karena untuk setiap nilai x yang berbeda (x1 ≠ x2) berlaku (f(x1) ≠ f(x2)). 

Jadi, fungsi f(x) =  −  ; x ≠ 4 merupakan fungsi injektif.

2)

Grafik fungsi f(x) = x2 – 4x tampak seperti gambar berikut. Y

2)

f(x) = x2 – 4x

f(x) = x2 – 4x Misalkan y = x2 – 4x ⇔ y = (x – 2)2 – 4 ⇔ (x – 2)2 = y + 4 ⇔

x – 2= ± +

⇔ ⇔

3) Fungsi f(x) = x2 – 4x bukan merupakan fungsi injektif karena ada nilai x yang berbeda (x1 ≠ x2) tetapi berlaku (f(x1) ≠ f(x2)). Jadi, fungsi f(x) = x 2 – 4x bukan merupakan fungsi injektif. 3)

f–1(x) = 2 ±

⇔ ⇔

0

= 3x – 4 3x = y2 + 4 
+  

⇔ f–1(y) =


+  

 − 

⇔ f–1(x) =


+  

X

Jadi, fungsi inversnya f–1(x) =



 −  ; x ≥  merupakan fungsi injektif karena untuk setiap nilai x yang berbeda (x1 ≠ x2) berlaku (f(x1) ≠ f(x2)).

Y

f(x)



⇔

.

16



Fungsi f(x) =  −  ; x ≠ 4 Misalkan y = f(x)


+  

Suatu fungsi mempunyai rumus invers jika fungsi tersebut bersifat bijektif. a. Grafik fungsi f(x) = –x2 + 2x + 15 tampak seperti gambar berikut.

Jadi, f(x) =  −  ; x ≥  merupakan fungsi injektif. 1)

 − 

y2

⇔

6.

Fungsi f(x) =

y=

x=



 −  ; x ≥  tampak seperti gambar berikut.

Grafik fungsi f(x) =

f(x) =



 −  ; x ≥  Misalkan y = f(x)

Fungsi f(x) =

⇔

Y

b.

+

Jadi, invers fungsinya f–1(x) = 2 ±  +  .

X

0

x = 2 ± +

0 1

X



⇔ ⇔ ⇔ ⇔

y = − y(x – 4) = 4x xy – 4y = 4x xy – 4x = 4y x(y – 4) = 4y

⇔

x = −

⇔

f–1(y) =  − 

⇔

f–1(x) =  −  ; x ≠ 4

Agar fungsi f(x) = –x2 + 2x + 15 menjadi fungsi bijektif daerah asalnya harus dibatasi yaitu {x | x ≤ 1, x ∈ R} atau {x | x ≥ 1, x ∈ R} dan daerah kawan {y | y ≤ 16, y ∈ R}. Jadi, daerah asal fungsi f(x) = –x2 + 2x + 15 dibatasi menjadi {x | x ≤ 1, x ∈ R} atau {x | x ≥ 1, x ∈ R} dan daerah kawan {y | y ≤ 16, y ∈ R}.

 





Jadi, invers fungsinya f–1(x) =  −  ; x ≠ 4.

Matematika Kelas XI

81

b.

Grafik fungsi f(x) = (x – 2)2 – 6 tampak seperti gambar berikut.

(f g)(

Y

 

– 1) =

f(x)

( −( −

   

) − ) −



= =

−  

−   −   − 

 − 

=  −   − 





Jadi, (f g)(  – 1) =  −  , x ≠  . –2 0 –2

b.

X



a.

b.

9.

a.

82

Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers

 − −   −

 − 

=  −

f–1(x) =

⇔ f–1(x) = Misalkan y = f–1(x) y=

 − 

⇔ x = 3y + 1 ⇔ f(x) = 3x + 1 Jadi, f(x) = 3x + 1.

(f g)(x) = f(g(x)) = f(4 – x)

−

 − 

g(f–1(x)) =  − 

⇔

= g(3) = –3 – 2 = –5 Jadi, nilai (g h)(–5) = –5.

= −

 − 

(g f–1)(x) =  − 

⇔ f–1(x) · 3x – 6 · f–1(x) = 3f–1(x) · x – 3f–1(x) –x+1 ⇔ f–1(x) · 3x – 3x · f–1(x) – 6f–1(x) + 3f–1(x) = –x + 1 ⇔ –3f–1(x) = –x + 1



 −  −  −



⇔

= g(
)

=

 − 



=4–3


⇔

(f g)(x) = f(g(x)) = f(–x – 2) = 3(–x – 2)2 + 1 = 3(x2 + 4x + 4) + 1 = 3x2 + 12x + 12 + 1 = 3x2 + 12x + 13 Jadi, rumus fungsi (f g)(x) = 3x2 + 12x + 13. (g h)(–5) = g(h(–5))  − −

a.

⇔



=3


=
⇔ k = 2k – 2 ⇔ k=2 Jadi, nilai k = 2.

= g( − +  )

8.

⇔

 −   − 

⇔ 4–

Agar fungsi f(x) = (x – 2)2 – 6 menjadi fungsi bijektif daerah asalnya harus dibatasi yaitu {x | x ≤ –2, x ∈ R} atau {x | x ≥ –2, x ∈ R} dan daerah kawan {y | y ≥ –6, y ∈ R}. Untuk setiap daerah asal tersebut, setiap nilai x yang berbeda (x1 ≠ x2) berlaku (f(x1) ≠ f(x2). Jadi, daerah asal fungsi f(x) = (x – 2)2 – 6 menjadi {x | x ≤ –2, x ∈ R} atau {x | x ≥ –2, x ∈ R} dan daerah kawan {y | y ≥ –6, y ∈ R}.

 −

(g f)(k) = 3


–6

7.

 −

(g f)(x) = g(f(x)) = g(  ) = 4 – 

b.

g(x) = ⇔

 −  

y=

 −  

⇔ xy = 3x – 1 ⇔ xy – 3x = –1 ⇔ x(y – 3) = –1 −

⇔

x = −

⇔

g–1(x) =  − 

−

− +  −  − 

(f g)–1(x) = (g–1 f–1)(x) = g–1(f–1(x))

)=

− 

⇔

g(  −  ) =

− 

⇔

g(  −  ) =

  − 


−

⇔

g(x) =

−

Jadi, rumus fungsi g(x) = .  (g f)(x) = g(f(x)) = g(6 – 3x)

⇔

  − 

= g–1      =

=

−  − − 

 −−  

b. −

Jadi, (f g)–1(x) =  −  , x ≠ 10. (g h f)–1(x) = 5 – 5x ⇔ y = 5 – 5x ⇔ 5x = 5 – y ⇔

x=

− 

⇔ ((g h f)–1)–1(x) =

− 

⇔

(g h f)(x) =

− 

⇔

g(h(f(x))) =

− 

⇔

g(h(6 – 3x)) =

⇔

g(

 −  +  

 −  


 


=  − 

10. a.

g(

)=

=

 − 


=


−  +  

Dengan pengertian fungsi invers f(x) = y ⇔ f–1(y) = x (g f)–1(n) = 2 maka (g f)(2) = n (g f)(2) = n ⇔



− 
+  

=n

− 

⇔

 − 
+  

=n

− 

⇔

n=

 

⇔ n=0 Jadi, nilai n = 0.

Matematika Kelas XI

83

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: e Persamaan garis yang melalui titik (0, 0) dan (2, 2) adalah y = x. Daerah penyelesaian di kiri garis y = x maka x ≤ y. Persamaan garis yang melalui titik (0, 4) dan (4, 0) adalah x + y = 4. Daerah penyelesaian di kanan garis x + y = 4 maka x + y ≥ 4. Persamaan garis yang melalui titik (0, 8) dan (4, 0) adalah 8x + 4y = 32 ⇔ 2x + y = 8. Daerah penyelesaian di kiri garis 2x + y = 8 maka 2x + y ≤ 8. Daerah penyelesaian di kanan sumbu Y maka x ≥ 0. Jadi, sistem pertidaksamaan dari daerah penyelesaian tersebut adalah x ≤ y, x + y ≥ 4, 2x + y ≤ 8, x ≥ 0. 2. Jawaban: d Garis x + 3y = 6 melalui titik (6, 0) dan (0, 2). Oleh karena x + 3y ≤ 6, berarti daerah penyelesaiannya di kiri garis x + 3y = 6. Garis 5x + y = 5 melalui titik (1, 0) dan (0, 5). Oleh karena 5x + y ≥ 5, berarti daerah penyelesaiannya di kanan garis 5x + y = 5. Garis 5x + 3y = 15 melalui titik (3, 0) dan (0, 5). Oleh karena 5x + 3y ≤ 15, berarti daerah penyelesaiannya di kiri garis 5x + 3y = 15. Oleh karena x ≥ 0, berarti daerah penyelesaiannya di kanan sumbu Y. Oleh karena y ≥ 0, berarti daerah penyelesaiannya di atas sumbu X. Irisan daerah penyelesaian dari kelima pertidaksamaan dapat digambarkan sebagai berikut. Y 5

3. Jawaban: a Daerah penyelesaian 0 ≤ x ≤ 4 di kanan sumbu Y dan di kiri garis x = 4. Garis 3x – 4y = 12 memotong sumbu X di titik (4, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, –3). Daerah penyelesaian 3x – 4y ≤ 12 di kiri garis 3x – 4y = 12. Garis x + 4y ≤ 16 melalui titik (0, 4) dan titik (4, 3). Daerah penyelesaian x + 4y ≤ 16 di kiri garis x + 4y = 16. Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan sebagai berikut. Y x + 4y = 16 4 3 4

0 3x – 4y = 12

–3

x=4

Daerah penyelesaian berbentuk trapesium. 4. Jawaban: d Daerah penyelesaian y ≤ 4 di bawah garis y = 4. Daerah penyelesaian x ≥ –6 di kanan garis x = –6. Garis x + 2y = –6 memotong sumbu X di titik (–6, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, –3). Daerah penyelesaian x + 2y ≥ –6 di kanan garis x + 2y = –6. Garis 4x + y = 4 memotong sumbu X di titik (1, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, 4). Daerah penyelesaian 4x + y ≤ 4 di kiri garis 4x + y ≤ 4. Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan sebagai berikut. Y 4 A

D

y=4

2 B X 0

1 5x + y = 5

3

6

x + 3y = 6

5x + 3y = 15

Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerah IV. 100

Ulangan Tengah Semester

X

–6 x = –6

0 1 2

X

–3 C –4 x + 2y = –6 4x + y = 4

Garis x + 2y = –6 dan garis 4x + y = 4 berpotongan di titik C(2, –4). Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 10y – 8x. Titik Pojok

f(x, y) = 10y – 8x

A(–6, 4) B(–6, 0) C(2, –4) D(0,4)

10 · 4 – 8(–6) = 88 10 · 0 – 8(–6) = 48 10(–4) – 8 · 2 = –56 10 · 4 – 8 · 0 = 40

6. Jawaban: b Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan sebagai berikut.

4

5. Jawaban: b Gambar tersebut adalah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear 2x + y ≤ 4; 3x + 4y ≤ 12; x, y ≥ 0. B adalah titik potong garis 2x + y = 4 dan garis 3x + 4y = 12. Menentukan koordinat titik B. 2x + y = 4 × 4 8x + 4y = 16 3x + 4y = 12 × 1 3x + 4y = 12 –––––––––– – 5x = 4


x= 


  

2 + y = 4 

y= 


 

Diperoleh koordinat titik B        Akan dicari fungsi objektif yang memiliki nilai maksimum di B. Fungsi Objektif

Titik Pojok O(0, 0)

A(2, 0)

15x + 10y

0

30

–20x + 15y

0

–40

4x + 5y 6x – 4y

0 0

8 12 (maks)




 

B(  ,

)

C(0, 3)

36 (maks)

30

20

45 (maks)

15

 

(maks)

–4




B

1 0 –2

y=6 D

C 2 34

6

X x+y=4

x–y=2

Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 4x – 2y. Titik Pojok A(0, B(0, C(3, D(6, E(6,

6) 4) 1) 4) 6)

f(x, y) = 4x – 2y 4 · 0 – 2 · 6 = –12 4 · 0 – 2 · 4 = –8 4 · 3 – 2 · 1 = 10 4 · 6 – 2 · 4 = 16 4 · 6 – 2 · 6 = 12

Nilai minimum f(x, y) = 4x – 2y adalah –12 dicapai di titik A(0, 6).




Substitusi x =  ke 2x + y = 4 diperoleh:

⇔

E

6 A

Jadi, nilai maksimum f(x, y) = 10y – 8x adalah 88.

⇔

x=6

Y

15 –12

Jadi, fungsi objektif yang mencapai maksimum di B adalah 15x + 10y dan 4x + 5y.

7. Jawaban: d Misalkan x= banyak bolpoin merek A yang dibeli y= banyak bolpoin merek B yang dibeli Banyak bolpoin merek A yang dibeli tidak lebih dari tiga kali banyak bolpoin B sehingga diperoleh pertidaksamaan: x ≤ 3y . . . (1) Harga beli bolpoin merek A Rp1.000,00 per buah dan harga beli bolpoin merek B Rp1.500,00 per buah, sedangkan modal untuk membeli kedua merek bolpoin hanya Rp100.000,00 sehingga diperoleh pertidaksamaan: 1.000x + 1.500y ≤ 100.000 ⇔ 2x + 3y ≤ 200 . . . (2) Keuntungan penjualan bolpoin merek A Rp500,00 per buah dan keuntungan penjualan bolpoin merek B Rp600,00 per buah, sedangkan keuntungan yang diperoleh paling sedikit Rp30.000,00 sehingga diperoleh pertidaksamaan: 500x + 600y ≥ 30.000 ⇔ 5x + 6y ≥ 300 . . . (3) Banyak bolpoin merek A dan merek B yang dibeli tidak mungkin negatif sehingga diperoleh pertidaksamaan: x ≥ 0 dan y ≥ 0 . . . (4) Dari pertidaksamaan (1) sampai dengan (4) diperoleh sistem pertidaksamaan: x ≤ 3y, 2x + 3y ≤ 200, 5x + 6y ≥ 300, x ≥ 0, y ≥ 0

Matematika Kelas XI

101

8. Jawaban: b Jenis

Banyak Papan Tebal (m2) Papan Tipis (m2)

Meja Rak Buku

x y

2 1

Pembatas

1 3

160

Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 30.000x + 20.000y. Titik Pojok A(0, 180) B(0, 160) C(64, 32) D(120, 60)

180

 

Diperoleh sistem pertidaksamaan: 2x + y ≤ 160 x + 3y ≤ 180 x≥0 y≥0 Daerah penyelesaian adalah daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan tersebut. Daerah penyelesaian sebagai berikut. Y 160

f(x, y) = 30.000x + 20.000y 30.000 30.000 30.000 30.000

10. Jawaban: b a. Misalkan: x = banyak unsur A (ons) y = banyak unsur B (ons) Unsur

Nitrogen (bagian)

Kalium (bagian)

Harga (rupiah/ons)

A

3

2

1.500

B

2

4

2.000

7

10

X 80

180

Model matematika permasalahan tersebut adalah meminimumkan f(x, y) = 1.500x + 2.000y dengan kendala: 3x + 2y ≥ 7 2x + 4y ≥ 10 x ≥ 0, y ≥ 0

Jadi, gambar yang sesuai ada pada pilihan b.

Roti I (x)

Roti II (y)

Pembatas

A (gram) B (gram)

200 100

100 100

16.000 18.000

Harga

30.000

20.000

 

Model matematika permasalahan tersebut adalah memaksimumkan fungsi objektif f(x, y) = 30.000x + 20.000y dengan kendala: 200x+ 100y ≥ 16.000 ⇔ 2x + y ≥ 160 100x + 100y ≤ 18.000 ⇔ x + y ≤ 180 x ≤ 2y x≥ 0 y≥ 0 Daerah penyelesaian SPtLDV sebagai berikut. Y A 180 160 B

0

Daerah penyelesaian SPtLDV sebagai berikut. Y



3



(1 ,2)

0

 

2

X 2

3x + 2y = 7

5

2x + 4y = 10

Uji titik pojok ke fungsi objektif: f(x, y) = 1.500x + 2.000y 

D

x = 2y

C 64 80 120 180

X x + y = 180

2x + y = 160

102

b.



f(0, 3  ) = 1.500(0) + 2.000(3  ) = 7.000

60 32

 

9. Jawaban: d Misalkan x= banyak roti I yang dibuat y= banyak roti II yang dibuat Bahan

0 + 20.000 · 180 = 3.600.000 0 + 20.000 · 160 = 3.200.000 64 + 20.000 · 32 = 2.560.000 120 + 20.000 · 60 = 4.800.000

Nilai maksimum f(x, y) = 30.000x + 20.000y adalah 4.800.000 dicapai di titik D(120, 60). Jadi, banyak roti I yang harus dibuat 120 dan banyak roti II yang harus dibuat 60 agar diperoleh pendapatan maksimum.

60 0

· · · ·

Ulangan Tengah Semester

f(1, 2) = 1.500(1) + 2.000(2) = 5.500 f(5, 0) = 1.500(5) + 2.000(0) = 7.500 Nilai minimum f(x, y) = 1.500x + 2.000y adalah 5.500 dicapai di titik (1, 2). Jadi, biaya pembuatan pupuk akan minimum jika 1 ons unsur A dan 2 ons unsur B dicampurkan.

11. Jawaban: d Dari kesamaan matriks diperoleh: 1) 2) 3)





y=  ⇔y=4=2 2log z = 4 ⇔ z = 24 = 16 xlog y = 4log z ⇔ xlog 2 = 4log 16 ⇔ xlog 2 = 2 ⇔ 2 = x2 ⇔ x =  atau x = –  4log

Oleh karena bilangan pokok harus positif maka x=

.

Jadi, nilai x =

.

12. Jawaban: d  −       −      –   =  

  

     −        − −  −       =       −  −   − Dari kesamaan matriks diperoleh: y–x–2=x–y ⇔ 2y – 2x = 2 ⇔ y–x=1 . . . (1) x–y–1=1–x ⇔ 2x – y = 2 . . . (2) Eliminasi y dari persamaan (1) dan (2). y– x=1 –y + 2x = 2 –––––––––– + x=3 Substitusikan x = 3 ke dalam y – x = 1 sehingga diperoleh: y–3=1⇔y=4 Jadi, nilai x – y = 3 – 4 = –1.

⇔

13. Jawaban: b A2 + pA – qI = qB  −    −    −      ⇔    + p  – q                 = q             −      ⇔   +   –   =                       −  −  ⇔   =    

+  −       Dari kesamaan matriks diperoleh q = 2p.

q = 2p ⇔ ⇔



3p =  3p =

 

⇔ p=1 p=1⇒q=2 Jadi, nilai 2p + q = 4.

14. Jawaban: e BA = C + 2AT  − −
   ⇔         − −  ⇔   =   

   −  −       +2   =  +  

       −  −   
    +  

  +    

 − −   −  −  +   ⇔   =         +  

Dari kesamaan matriks diperoleh: 19 = n + 12 ⇔ n=7 –7 = 2m – n + 10 ⇔ –7 = 2m – 7 + 10 ⇔ 2m = –10 ⇔ m = –5 Jadi, nilai 4m + n = 4(–5) + 7 = –13. 15. Jawaban: c S = PR + 2QT

     − −    − =  
     + 2  −          − −    −  =     +  −
        −
 =  −
     −
 Jadi, matriks S =  −
 .   16. Jawaban: b

  −
   −   −
 AB – A =      −   –            −    −
 =    –       
−  =     Determinan matriks (AB – A): | AB – A | =


− = 28 – 0 = 28 

17. Jawaban: b  −      
A – B =  −   –   −        −  −
 =  − 
−    |A – B| = –2(4 – x) – (x – 3)(2x – 4) ⇔ –2 = –2((4 – x) + (x – 3)(x – 2)) ⇔ 1 = (4 – x) + (x – 3)(x – 2) ⇔ 1 = 4 – x + x2 – 5x + 6 ⇔ x2 – 6x + 9 = 0 ⇔ (x – 3)2 = 0 ⇔ x=3 Matematika Kelas XI

103

18. Jawaban: b det (A) = det (B)

   
=  

⇔

⇔ 3x – 4 = 6x2 – 2 2 ⇔ 6x – 3x + 2 = 0 Oleh karena x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat maka x1 + x2 =

− 

=

 

=

 

x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 



= (  )2 – 2 ·  





dan x1x2 =  =  .



=
– 

21. Jawaban: d Suatu fungsi merupakan fungsi surjektif jika setiap anggota daerah kawan mempunyai kawan di daerah asal atau dapat dikatakan daerah kawan sama dengan daerah hasil. Gambar 1) menunjukkan daerah kawan sama dengan daerah hasil namun relasi tersebut bukan merupakan fungsi (ada x anggota daerah asal yang mempunyai kawan lebih dari satu). Gambar 2) dan 4) menunjukkan suatu fungsi dengan daerah kawan sama dengan daerah hasil. Gambar 3) dan 5) menunjukkan suatu fungsi tetapi daerah hasil fungsi (R+) tersebut tidak sama dengan daerah kawannya (R). Jadi, grafik 2) dan 4) menunjukkan suatu fungsi surjektif. 22. Jawaban: c f(x) = 5x – 2 ⇔



= – 

f(5) = 5(5) – 2 = 25 – 2 = 23



Jadi, x12 + x22 = –  . 19. Jawaban: d


−     A – kI =  −   – k        
−    =  −   –       





g(x) = ⇔ g(5) =  h(x) =

−  ⇔ h(5) =


−  − −  −  = 0

⇔ (4 – k)(3 – k) – (–2)(–1) = 0 ⇔ 12 – 7k + k2 – 2 = 0 ⇔ k2 – 7k + 10 = 0 ⇔ (k – 2)(k – 5) = 0 ⇔ k = 2 atau k = 5



= 2 + 23 –  

= 25 –  

= 24  23. Jawaban: b f(x) =

 − 

 
 A=     

10x – 2 ≥ 0 ⇔

⇔ X =

  −
  −    −    −    

        ⇔ X =  =   − −      − −

104

10x ≥ 2 

⇔

x ≥ 

⇔

x≥ 





Df = {x | x ≥  , x ∈ R }

   −
    −
 ⇔ A–1 =  −
  =   −   −       AX = B ⇔ X = A–1B

 

 −  adalah

Daerah asal alami f(x) =

Jadi, k = 2 atau k = 5. 20. Jawaban: c


=2

(h + f – g)(5) = h(5) + f(5) – g(5)


−  −  =  −  −     A – kI matriks singular jika |A – kI| = 0 ⇔

 − =

Ulangan Tengah Semester

g(x) =  + 

Daerah asal alami g(x) =  +  adalah 2x + 5 ≠ 0 ⇔ 2x ≠ –5 ⇔ 



x≠ –

Dg = {x | x ≠ –  , x ∈ R}

Daerah asal (f + g) = D(f + g)

⇔

x = 2(
– y)

= Df ∩ D g

⇔

x =  – 2y

⇔

f–1(y) =  – 2y

⇔

f–1(x) =  – 2x





= {x | x ≥  , x ∈ R} ∩ {x | x ≠ –  , x ∈ R} 

= {x | x ≥  , x ∈ R}

+


+


⇔

f–1(x) = ±

+


Jadi, f–1(x) = ±

+


, x ≥ –4.

 + 

f(x) = − 

⇔

x= ± 

⇔

f–1(x) = ±

Jadi, f–1(x) = ± bukan fungsi invers.  + 

Misalkan y = − 

3)

 + 

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

y= − y(x – 3) = 2x + 1 xy – 3y = 2x + 1 xy – 2x = 3y + 1 x(y – 2) = 3y + 1

⇔

x=

⇔

Jadi, f–1(x) =  – 2x merupakan fungsi invers. f(x) = x2 Misalkan y = x2

f–1(x) = ± bukan merupakan fungsi karena semua x ∈ daerah asal mempunyai lebih dari satu kawan di daerah kawan. Contoh untuk x = 4 akan diperoleh f–1(4) = ±
⇔ f–1(4) = 2 atau f–1(4) = –2.

25. Jawaban: d

⇔





2)

x=±





= x2

⇔



f–1(x) =  – 2x merupakan fungsi karena untuk setiap x ∈ daerah asal mempunyai tepat satu kawan di daerah kawan.

24. Jawaban: a f(x) = 3x2 – 4 Misalkan y = 3x2 – 4 ⇔ y + 4 = 3x2 ⇔



f–1(x)

=

f(x) = x3 Misalkan y = x3 ⇔ ⇔

x= f–1(x)

 +  −

Jadi, f–1(x) =

 +  −

4)

 −  + 

=

 −  +  −


=

 −  −
 − 



Misalkan y =
–  x ⇔

 x 



=
–y

merupakan fungsi invers.

⇔

x= ±


⇔

f–1(x) = ±


Jadi, f–1(x) = ±
bukan merupakan fungsi invers. 5)



f(x) =
–  x



f(x) = x4 Misalkan y = x4

26. Jawaban: c





f–1(x) = ±
bukan merupakan fungsi karena semua x ∈ daerah asal yang mempunyai lebih dari satu kawan di daerah kawan.

Jadi, f–1(x – 2) = −
, x ≠ 4. 





f–1(x) =  merupakan fungsi karena untuk setiap x ∈ daerah asal mempunyai tepat satu kawan di daerah kawan.

⇔ f–1(x – 2) =  −  − 

1)

=



f(x) =

−

Misalkan y =  − ⇔ y2 = 2 – x ⇔ x = 2 – y2 –1 ⇔ f (x) = 2 – x2

Matematika Kelas XI

105

f–1(x) = 2 – x2 merupakan fungsi karena untuk setiap x ∈ daerah asal mempunyai tepat satu kawan di daerah kawan. Jadi, f–1(x) = 2 – x2 merupakan fungsi invers. Jadi, fungsi yang mempunyai fungsi invers adalah 1), 3), dan 5).

= g(h(4x + 7))   − 
+     

= g 

+


= g–1(2) +


=2 Nilai (f–1 D g–1)(10a) = f–1(g–1(20))

= =

106

 +
) 

f–1(8) 



Ulangan Tengah Semester

= g(


−


)

= 2(


−


)–1

= 4 – 4x – 1 = 3 – 4x Misalkan y = 3 – 4x ⇔ 4x = 3 – y ⇔

x=

−


Jadi, (g D h D f)–1(x) =

−


.

B. Uraian 1. Garis 3x + 7y = 21 melalui titik (7, 0) dan (0, 3). Daerah penyelesaian 3x + 7y ≥ 21 di kanan garis 3x + 7y = 21. Garis 2x + 7y = 42 melalui titik (7, 4) dan (0, 6). Daerah penyelesaian 2x + 7y ≤ 42 di kiri garis 2x + 7y = 42. Daerah penyelesaian 0 ≤ x ≤ 7 di kanan garis x = 0 dan di kiri garis x = 7. Daerah penyelesaian SPtLDV sebagai berikut.

= g–1(   )

= f–1(

 − 

= g(h(f(x)))

a = (g–1 D f–1)(8) = g–1(f–1(8))

=

 −  

(g D h D f)(x) = g((h D f)(x))

29. Jawaban: b

g(x) = 3x – 4 ⇔ g–1(x) =

x=

Diperoleh h(x) =

28. Jawaban: d g(x) = x – 1 (f D g)(x) = 2x2 – 4x + 3 ⇔ f(g(x)) = 2x2 – 4x + 3 ⇔ f(x – 1) = 2x2 – 4x + 3 ⇔ f(x – 1) = 2(x2 – 2x + 1) + 1 ⇔ f(x – 1) = 2(x – 1)2 + 1 Misalkan t = x – 1. ⇔ f(t) = 2t2 + 1 ⇔ f(x) = 2x2 + 1 ⇔ f(x + 1) = 2x2 + 1 = 2(x + 1)2 + 1 = 2(x2 + 2x + 1) + 1 = 2x2 + 4x + 2 + 1 = 2x2 + 4x + 3 Jadi, f(x + 1) = 2x2 + 4x + 3. 

30. Jawaban: b h–1(x) = –2x + 11 Misalkan y = –2x + 11 ⇔ 2x = 11 – y ⇔

27. Jawaban: c (f D g)(x) = f(g(x)) = f(3x + 4) = 4(3x + 4) – 1 = 12x + 15 (f D g)(p) = 51 ⇔ 12p + 15 = 51 ⇔ 12p = 36 ⇔ p=3 Jadi, nilai p = 3.

f(x) = x3 ⇔ f–1(x) =

=2 Jadi, nilai (f–1 D g–1)(10a) = 2.

Y A

6 5 4 3 2B 1 O

x=7

D 2x + 7y = 42 C X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3x + 7y = 21

Daerah penyelesaian berbentuk trapesium dengan sisi sejajar AB dan DC serta tinggi OC.

Luas ABCD =

 

· OC (AB + CD)

=

 

· 7(3 + 4)

= 24

 

3. a.

Misalkan: x = lama pengoperasian mesin I y = lama pengoperasian mesin II

satuan luas

Jadi, luas daerah penyelesaiannya 24

 

satuan

luas.

Biaya Operasi

Mesin I Mesin II

x y

10 20

40.000 50.000

Pembatas

18

220

 

Waktu Laba Pengolahan

Banyak Barang

Model matematika permasalahan tersebut adalah meminimumkan fungsi objektif f(x, y) = 40.000x + 50.000y dengan kendala: x + y ≤ 18 10x + 20y ≤ 220 ⇔ x + y ≤ 22 y–x≤2

2. Misalkan: x = Banyak boneka yang diproduksi y = Banyak mobil-mobilan yang diproduksi Jenis Mainan

Lama Operasi

Jenis Mesin

Pemasangan Pengepakan

Boneka (x) Mobilmobilan (y)

6

4

5

6.000

3

6

5

5.000

Persediaan waktu

54

48

50

Daerah penyelesaian SPtLDV sebagai berikut. Y

18 x + y = 18

Model matematika permasalahan tersebut adalah memaksimumkan fungsi objektif f(x, y) = 6.000x + 5.000y dengan kendala: 6x + 3y ≤ 54 ⇔ 2x + y ≤ 18 4x + 6y ≤ 48 ⇔ 2x + 3y ≤ 24 5x + 5y ≤ 50 ⇔ x + y ≤ 10 x ≥ 0, y ≥ 0

y–x=2

11 10

 

8 6 4

Daerah penyelesaian SPtLDV sebagai berikut.

0

A

B

2

Y

6 8 10

Titik Pojok A(6, 8) B(14, 4) C(8, 10)

10 8 A D(6, 4) O

C(8, 2) B X 9 10 12 2x + 3y = 24 2x + y = 18 x + y = 10

b.

Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 6.000x + 5.000y. Titik Pojok A(0, 8) O(0, 0) B(9, 0) C(8, 2) D(6, 4)

14

18

22

X x + 2y = 22

Uji titik pojok ke fungsi objektif f(x, y) = 40.000x + 50.000y.

18

0

C

f(x, y) = 6.000x + 5.000y 40.000 · 6 + 50.000 · 8 = 640.000 40.000 · 14 + 50.000 · 8 = 960.000 40.000 · 8 + 50.000 · 10 = 820.000

Nilai minimum f(x, y) = 40.000x + 50.000y adalah 640.000. Jadi, biaya minimum pengoperasian kedua mesin per hari Rp640.000,00. Jumlah barang yang diproduksi per hari adalah B(x, y) = 10x + 20y. Uji titik pojok ke B(x, y) = 10x + 20y

Fungsi Objektif f(x, y) = 6.000x + 5.000y

Titik Pojok

B(x, y) = 10x + 20y

6.000 · 0 + 5.000 · 8 = 40.000 6.000 · 0 + 5.000 · 0 = 0 6.000 · 9 + 5.000 · 0 = 54.000 6.000 · 8 + 5.000 · 2 = 58.000 (maksimum) 6.000 · 6 + 5.000 · 4 = 56.000

A(6, 8) B(14, 4) C(8, 10)

10 · 6 + 20 · 8 = 220 10 · 14 + 20 · 8 = 220 10 · 8 + 20 · 10 = 280

Dari tabel diperoleh nilai maksimum 58.000 dicapai di titik C(8, 2). Jadi, pabrik tersebut harus memproduksi 8 unit boneka dan 2 unit mobil-mobilan per minggu agar memperoleh laba maksimum.

c.

Perhatikan bahwa nilai maksimum B(x, y) = 10x + 20y adalah 280. Jadi, jumlah barang maksimum yang diproduksi pabrik per hari 280 unit. Mesin I dioperasikan selama 10 jam per hari, berarti x = 10.

Matematika Kelas XI

107

Dari daerah penyelesaian SPtLDV diperoleh untuk x = 10, nilai y1 = 6 dan y2 = 8. Jumlah minimum barang yang diproduksi = B(x, y1) = B(10, 6) = 10 · 10 + 20 · 6 = 220 Jumlah maksimum barang yang diproduksi = B(x, y2) = B(10, 8) = 10 · 10 + 20 · 8 = 260 Jadi, jumlah minimum dan maksimum barang yang diproduksi jika mesin I dioperasikan selama 10 jam berturut-turut 220 unit dan 260 unit.

⇔ ⇔

Dari kesamaan matriks diperoleh: 2x + 4y + 35 = 30 ⇔ (2x + 4y) = –5 x : y = 1 : 2 ⇔ y = 2x Substitusikan y = 2x ke 2x + 4y = –5. 2x + 4(2x) = –5 ⇔ 10x = –5

(ABC)T = CT(BTAT)

4.

⇔ ⇔ ⇔

        CT = –   −   − −    

⇔

−     CT = –   −
  

⇔

 −   CT =     

A = 2BT ⇔

−  −    −   +    = 2   +      

 

= 2  −   = –1 

Jadi, diperoleh x = –  dan y = –1. 6. a.

S = PQ – R


        =    –       
              =   –    =          Invers matriks S:

b.

   −  S–1 =  −     −  

b.

(

      ) 
    = (30)     

  ⇔ ( +
+   +  +  )    = (30)  

=

Ulangan Tengah Semester

  −   −    −   =   −     

7. Misalkan: x = umur Andi sekarang y = umur Budi sekarang z = umur Tini sekarang Diperoleh SPL: x+y=7+z⇔x+y–z=7 (x – 2) + (z – 2) = 24 ⇔ x + z = 28 (y + 3) + (z + 3) = 3(x + 3) ⇔ –3x + y + z = 3

 D = –

 − 

 −  –

–



   −  +

+

+

= 1 · 0 · 1 + 1 · 1 · (–3) + (–1) · 1 · 1 – (–3) · 0 · (–1) – 1 · 1 · 1 – 1 · 1 · 1 =0–3–1–0–1–1 = –6

 −

Dx =  –

108

 −

 

−  −    −   +    =  
+       Dari persamaan matriks diperoleh: x = –2y 6 = 4x + 2y ⇔ 3 = 2x + y ⇔ 3 = 2(–2y) + y ⇔ 3 = –3y ⇔ y = –1 x = –2y = –2(–1) = 2 Jadi, nilai x = 2 dan y = –1. ⇔

x =–

y = 2x

|C| = |CT| = –2 · 0 – 1 · 3 = –3 Jadi, determinan C adalah –3. 5. a.



⇔

     −  ⇔  −  = CT         −      −  CT =  −                 CT =  −  · –   − −     

   + )   = (30)  (2x + 13 + 4y + 22) = (30) (2x + 4y + 35) = (30)

( + 

⇔







    

–

–

+

+

+

= 7 · 0 · 1 + 1 · 1 · 3 + (–1) · 28 · 1 – 3 · 0 · (–1) – 1 · 1 · 7 – 1 · 28 · 1 = 0 + 3 – 28 + 0 – 7 – 28 = –60



 −
+ 

 −

 −
+ 

  +  =

    − 

⇔

  +  =

⇔

  +  =



⇔

  +  =

   −   − 

⇔

(g(x))2 + 1 =

  −
+


⇔

(g(x))2 =

  −
+


− 

  − 

–

–

–

+

+



–



–

–



+

+

 −
+   −
+


+

= 1 · 28 · 1 + 7 · 1 · (–3) + (–1) · 1 · 3 – (–3) · 28 · (–1) – 3 · 1 · 1 – 1 · 1 · 7 = 28 – 21 – 3 – 84 – 3 – 7 = –90

Dz =

f(g(x)) = − 

⇔

 Dy =

⇔

+

= 1 · 0 · 3 + 1 · 28 · (–3) + 7 · 1 · 1 – (–3) · 0 · 7 – 1 · 28 · 1 – 3 · 1 · 1 = 0 – 84 + 7 + 0 – 28 – 3 = –108



−
+
+  

−
+


+

  −
+


+1

⇔

g(x) = ±

  −
+


⇔

g(x) = ±

  − 

⇔

g(x) = ±

z =  = − = 18

⇔

g(x) =

Jadi, umur Andi, Budi, dan Tini sekarang berturutturut 10 tahun, 15 tahun, dan 18 tahun.

Jadi, g(x) =



−

x =  = − = 10 y =

 



−

= − = 15 − 

8. f(x) = 2x – 3 g(x) = x2 – 4 a.

b.

c.

d.

10. a.

(f D g)(x) = f(g(x)) = f(x2 – 4) = 2(x2 – 4) – 3 = 2x2 – 8 – 3 = 2x2 – 11

atau g(x) = –

atau g(x) = –

 +    + ⇔ (g D f)–1(x) =  +  Jadi, (g D f)–1(x) = 

b.

 −

 −

x=

.

+  − = 

f(x) = 2x – 7 ⇒ f–1(x) = g(x) = 3x + 2 ⇒ g–1(x)

(g–1 D f –1)(x) = g–1(f –1(x))

(g D f)(x) = 12x + 5 (g D f)(4) = 4(4)2 – 12(4) + 5 = 4(16) – 48 + 5 = 64 – 48 + 5 = 21

9. f(x) =

 −

(g D f)(x) = g(f(x)) = g(2x – 7) = 3(2x – 7) + 2 = 6x – 21 + 2 = 6x – 19 Misalkan y = 6x – 19 ⇔ 6x = y + 19 ⇔

(g D f)(x) = g(f(x)) = g(2x – 3) = (2x – 3)2 – 4 = 4x2 – 12x + 9 – 4 = 4x2 – 12x + 5 (f D g)(x) = 2x2 – 11 (f D g)(3) = 2(32) – 11 = 2(9) – 11 = 18 – 11 = 7

 −

 −

−

4x2 –

= g–1(  ) =

 + 

+ 

−



+ −
+ =   + f –1)(x) =  .

=



(f D g)(x) = − 

 −
+ 

Jadi, (g–1 D

Matematika Kelas XI

109

Setelah mempelajari bab ini siswa: 1. mampu menentukan persamaan garis dan menggambar grafiknya; 2. mampu menggunakan sifat garis sejajar dan sifat garis tegak lurus dalam menyelesaikan permasalahan garis. Berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang dikuasai, siswa jeli dan kreatif dalam mencari solusi suatu permasalahan.

Materi • •

Garis dan Gradien Hubungan Antargaris

Pembelajaran Kognitif • • • •

Persamaan garis. Gradien garis. Dua garis saling sejajar. Dua garis saling tegak lurus.

Menggambar grafik dari persamaan garis.

Pengetahuan yang Dikuasai • • • • •

Kegiatan Psikomotorik

Menentukan penyelesaian persamaan garis. Menentukan gradien garis. Menentukan persamaan garis. Menyelesaikan masalah yang berhubungan dengan garis sejajar. Menyelesaikan masalah yang berhubungan dengan garis tegak lurus.

Keterampilan yang Dikuasai Terampil dalam menggambar grafik garis.

Mampu menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan persamaan garis secara jeli dan kreatif.

84

Persamaan Garis Lurus

A. Pilihan Ganda 1. Diketahui koordinat titik-titik P(6, 2), Q(2, 1), dan Jawaban: a Persamaan garis: 2x + 4y – 6 = 0 Koordinat titik P(6, –2). Substitusi x = 6 dan y = –2 ke persamaan garis diperoleh pernyataan 2(6) + 4(–2) – 6 = 0 yang bernilai salah. Artinya, (6, –2) bukan penyelesaian persamaan garis dan titik P tidak dilalui garis 2x + 4y – 6 = 0. Koordinat titik Q(2, 1). Substitusi x = 2 dan y = 1 ke persamaan garis diperoleh pernyataan 2(2) + 4(1) – 6 = 0 yang bernilai salah. Artinya, (2, 1) bukan penyelesaian persamaan garis dan titik Q tidak dilalui garis 2x + 4y – 6 = 0. Koordinat titik R(–3, 3). Substitusi x = –3 dan y = 3 ke persamaan garis diperoleh pernyataan 2(–3) + 4(3) – 6 = 0 yang bernilai benar. Artinya, (–3, 3) penyelesaian persamaan garis dan titik R dilalui garis 2x + 4y – 6 = 0. Jadi, titik P dan Q tidak dilalui garis 2x + 4y – 6 = 0, sedangkan titik R dilaui garis tersebut. 2. Jawaban: a

+2=0+2=2


y=0 ⇒

⇔

mg =

  −    − 

− 

= − −  



= −
= –


5. Jawaban: e Garis dengan persamaan y = mx + n bergradien m. Persamaan garis h: 2x + 3y – 2 = 0 ⇔ 3y = –2x + 2 

⇔



y = –x + 



Diperoleh gradien garis h adalah mh = –  . 


–  (0)

Diperoleh koordinat titik potong dengan sumbu Y(0, 2).

⇔

4. Jawaban: d Garis g melalui titik (2, 0) dan (–2, 1), maka gradien garis g:

Jika besar sudut kemiringan garis h adalah α, nilai




y = –x + 2 x=0⇒y=

⇔ q – 28 = 0 ⇔ q = 28 Jadi, nilai q = 28.

0= –x + 2


tan α = mh = –  . 

Nilai tan α = –  < 0 berarti nilai α di kuadran dua yaitu 90° < α < 180°.

r =

x=2 

x=2×


r





Gambar yang sesuai ada pada pilihan a. 3. Jawaban: b Persamaan garis: x + py – 15 = 0 Garis tersebut melalui titik M(2, –1), maka: x + py – 15 = 0 ⇔ (2) + p(–1) – 15 = 0 ⇔ 2 – p – 15 = 0 ⇔ –p – 13 = 0 ⇔ p = –13 Diperoleh persamaan garis x – 13y – 15 = 0. Garis tersebut melalui titik N(q, 1), maka: x – 13y – 15 = 0 ⇔ (q) – 13(1) – 15 = 0 ⇔ q – 13 – 15 = 0

+


=



α

Diperoleh koordinat titik potong dengan sumbu X (1  , 0).

=

2

=1

 + 

3

Nilai cos α = –



=–

 



= –   .

6. Jawaban: c Gradien garis g: 

mg = –2  ⇔ ⇔

− −− 

− −



– 

=– =

⇔ 2(5 – a) = (–3)(–5) ⇔ 10 – 2a = 15 ⇔ –2a = 5 ⇔



– . 

a=–

Jadi, nilai a =

Matematika Kelas XI

85

7. Jawaban: c Sudut kemiringan garis 30° , maka gradien garis:

sumbu X adalah y = 3. Perhatikan gambarnya berikut ini.

m = tan α = tan 30° = 

Y

Persamaan garis yang melalui titik (2, 0) dan ber-

5

gradien m =  yaitu:

4

y – y1 = m (x – x1)

2





y – 0 =  (x – 2)

⇔

1



⇔ ⇔

–3 –2 –1 0 –1

y = x – 2

x–

Persamaan garis yang bergradien m =

 – 

dan

melalui titik (–2, 4): y – y1 = m (x – x1)  

⇔

y – 4 = – (x + 2)

⇔ 2(y – 4) = –1(x + 2) ⇔ 2y – 8 = –x – 2 ⇔ x + 2y – 6 = 0 Garis memotong sumbu X, berarti y = 0. x + 2y – 6 = 0 ⇔ x + 2(0) – 6 = 0 ⇔ x+0–6=0 ⇔ x=6 Diperoleh koordinat titik potong garis dengan sumbu X adalah (6, 0).

−
− 

3

4

X

10. Jawaban: a Garis g: x + 2y – 5 = 0 Garis g melalui titik A(–1, q), maka: x + 2y – 5 = 0 ⇔ –1 + 2q – 5 = 0 ⇔ 2q – 6 = 0 ⇔ 2q = 6 ⇔ q=3 Diperoleh koordinat titik A(–1, 3), sehingga persamaan garis h yang melalui titik A dan sejajar

Persamaan Garis Lurus



⇔

y =
x + 3



a.

Gradien garis y =
x + 3 adalah m =
.

b.

y =
x + 3 Untuk x = 0 diperoleh:





y =
(0) + 3 = 0 + 3 = 3 Garis g melalui titik (0, 3). Untuk x = 4 diperoleh:

y =
(4) + 3 = 5 + 3 = 8 Garis g melalui titik (4, 8). Untuk x = 8 diperoleh:

−

=  − − =  = –2 Persamaan garis melalui titik (–2, 2) dan bergradien m = –2: y – y1 = m(x – x1) ⇔ y – 2 = –2(x + 2) ⇔ y – 2 = –2x – 4 ⇔ 2x + y + 2 = 0 Jadi, persamaan garisnya 2x + y + 2 = 0.

86

2

B. Uraian 1. Persamaan garis g: 5x – 4y + 12 = 0 ⇔ 4y = 5x + 12

9. Jawaban: a Gradien garis yang melalui titik (–2, 2) dan (1, –4) adalah:   −    − 

1

y – 2 = 0

8. Jawaban: a

m=

y=3

3



c.

y =
(8) + 3 = 10 + 3 = 13 Garis g melalui titik (8, 13). Tiga titik yang dilalui garis g diantaranya (0, 3), (4, 8), dan (8, 13). Grafik garis g: Y 14 12 10 8 6 4 2 –4 –2 0

2

4

5

8 10

X

2. Persamaan garis: 8x + 5y + p = 0 Garis tersebut melalui titik B(–5, 3), maka: 8x + 5y + p = 0 ⇔ 8(–5) + 5(3) + p = 0 ⇔ –40 + 15 + p = 0 ⇔ p – 25 = 0 ⇔ p = 25 Diperoleh persamaan garis 8x + 5y + 25 = 0. Garis tersebut melalui titik A(0, q), maka: 8x + 5y + 25 = 0 ⇔ 8(0) + 5(q) + 25 = 0 ⇔ 0 + 5q + 25 = 0 ⇔ 5q = –25 ⇔ q = –5 Garis tersebut melalui titik C(r, –13), maka: 8x + 5y + 25 = 0 ⇔ 8(r) + 5(–13) + 25 = 0 ⇔ 8r – 65 + 25 = 0 ⇔ 8r – 40 = 0 ⇔ 8r = 40 ⇔ r=5 Diperoleh nilai p = 25, q = –5, dan r = 5 sehingga: p + 2q + r = 25 + 2(–5) + 5 = 20 Jadi, nilai p + 2q + r = 20. 3. a.

Garis h melalui titik A(–6, 4) dan B(5, –1), maka gradien garis h: mh =

b

  −    − 

− −


−



= − − =  = –  Garis h melalui titik A(–6, 4) dan bergradien

mh = –  , maka persamaan garis h: y – y1 = mh (x – x1)

⇔

y – 4 = –  (x + 6)

⇔ 11(y – 4) = –5(x + 6) ⇔ 11y – 44 = –5x – 30 ⇔ 5x + 11y – 14 = 0 Jadi, persamaan garis h adalah 5x + 11y – 14 = 0. 4. a.





sin α = 0,6 =  =

 − 

x = =

 − 

=

 = 4 

m = tan α =


b.

Jadi, gradien garis tersebut m =
. Garis melalui titik O(0, 0) dan bergradien 

m =
, persamaannya: y – y1 = m(x – x1) 

⇔

y – 0 =
(x – 0) 

⇔

y =
x ⇔ 4y = 3x ⇔ 3x – 4y = 0 Jadi, persamaan garis tersebut 3x – 4y = 0. 5. Gradien garis g yang melalui titik A(2, –4) dan B(–1, 8) adalah: m=

  −    − 

=

 − −
− − 



= − = –4 Persamaan garis g yang melalui titik A(2, –4) dan bergradien m = –4: y – y1 = m(x – x1) ⇔ y + 4 = –4(x – 2) ⇔ y + 4 = –4x + 8 ⇔ 4x + y – 4 = 0 Garis g memotong sumbu Y, berarti x = 0. 4x + y – 4 = 0 ⇔ 4(0) + y – 4 = 0 ⇔ 0+y–4=0 ⇔ y=4 Diperoleh koordinat titik potong garis g dengan sumbu Y adalah (0, 4). Garis g dan garis h berpotongan pada sumbu Y yaitu pada koordinat (0, 4), berarti garis h juga melalui titik (0, 4). 

Garis h melalui titik (0, 4) dan bergradien m =  , maka persamaannya: y – y1 = m(x – x1)

5 3

⇔ ⇔

α x



y – 4 =  (x – 0) 

y – 4 = x ⇔ 2y – 8 = x ⇔ x – 2y + 8 = 0 Jadi, persamaan garis h adalah x – 2y + 8 = 0.

Matematika Kelas XI

87

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: e 

Gradien garis ax + by + c = 0 adalah m = –  . (i)





→ mi = – − =

2x – 5y + 8 = 0










(ii) 5x – 2y + 5 = 0

→ mii = – − = 

(iii) 4x – 10y – 5 = 0

→ miii = –  =






(iv) 4x + 10y – 15 = 0 → miv = –  = –

 





mii × miv =    ×  −  = –1     Oleh karena mii × miv = –1 maka garis (ii) dan (iv) saling tegak lurus. 2. Jawaban: b Garis g: 4x + 2y – 9 = 0 ⇔ 2y = –4x + 9




y = –2x +  Diperoleh gradien garis a = ma = –2. Garis b: 3x – y = 8 – 7y ⇔ 6y = –3x + 8 ⇔








Diperoleh gradien garis g = mg = . Garis h tegak lurus garis g berarti:

⇔ mh = –5 Jadi, gradien garis h adalah –5. 4. Jawaban: a Garis: 3x – 6y + 5 = 0 ⇔ –6y = –3x – 5 

⇔



y = x + 



Diperoleh gradien garis = m =  . Garis AB sejajar garis 3x – 6y + 5 = 0 maka gradiennya sama, yaitu: 



⇔

Garis c: 2x + 5y= 15 – 8x ⇔ 5y = –10x + 15 ⇔ y = –2x + 3 Diperoleh gradien garis c = mc = –2. Garis d: 8x + 3y = 2x – 6 ⇔ 3y = –6x – 6 ⇔ y = –2x – 2 Diperoleh gradien garis d = md = –2. Garis e: 2(4x – 5) = 4(3 – y) ⇔ 8x – 10 = 12 – 4y ⇔ 4y = –8x + 22

⇔

88



y = x + 

mAB = 

y = –x + 

Diperoleh gradien garis b = mb = –  .

⇔



⇔



y = –2x +  Diperoleh gradien garis g = mg = –2. Garis a: 9y = 4 – 18x ⇔ 9y = –18x + 4 ⇔

3. Jawaban: d Garis g: 3(x + 2y) + 4(y – 2) = 5x – 3 ⇔ 3x + 6y + 4y – 8 = 5x – 3 ⇔ 3x + 10y – 8 = 5x – 3 ⇔ 10y = 2x + 5

mh × mg = –1 ⇔ mh × ( ) = –1



⇔

Diperoleh gradien garis e = me = –2. Gradien garis a, c, d, dan e sama dengan gradien garis g, berarti garis-garis tersebut sejajar garis g. Gradien garis b tidak sama dengan gradien garis g, berarti garis b tidak sejajar garis g.



y = –2x + 

Persamaan Garis Lurus

⇔

 −    −  

 −  +  − −  −



= 



= 



=  ⇔ 2 – 2p = p – 7 ⇔ –3p = –9 ⇔ p=3 Jadi, koordinat titik A(7, p + 2) = A(7, 5). 5. Jawaban: d Garis g: 6x + (5 – 2a)y – 8 = 0 ⇔ (5 – 2a)y = –6x + 8 ⇔

−



y = −  x + −  −

Diperoleh gradien garis g = mg = −  .

7. Jawaban: a Garis: 2x – 4y – 6 = 0 ⇔ 4y = 2x – 6

Garis h: (a + 1)x – 2y + 15 = 0 ⇔ 2y = (a + 1)x + 15 ⇔

 + x 

y=



+ 

Diperoleh gradien garis h = mh =

⇔ ⇔

×

  +    =  

−  + 

− 





garis tersebut bergradien m =  . Persamaan garis

–1



melalui titik (3, 2) dan bergradien m =  : y – y1 = m(x – x1)

= –1

⇔ ⇔ ⇔

–3(a + 1) = –1(5 – 2a) –3a – 3 = –5 + 2a –5a = –2

⇔

a=

y – 2 =  (x – 3) ⇔ 2y – 4 = x – 3 ⇔ x – 2y + 1 = 0 Jadi, persamaan garisnya x – 2y + 1 = 0. 

Jadi, garis g tegak lurus garis h jika nilai a = . 6. Jawaban: c Garis g: 2(x – 3y) + n(3x – 2y) – 8 = 0 ⇔ 2x – 6y + 3nx – 2ny – 8 = 0 ⇔ (2 + 3n)x – (6 + 2n)y – 8 = 0 ⇔ –(6 + 2n)y = –(2 + 3n)x + 8 y=

 +   + 

x–

  + 

 + 

Diperoleh gradien garis g yaitu mg =  +  . Garis h: 2n(x – y + 1) – (y – 1) = 0 ⇔ 2nx – 2ny + 2n – y + 1 = 0 ⇔ 2nx – (2n + 1)y + (2n + 1) = 0 ⇔ –(2n + 1)y = –2nx – (2n + 1) ⇔

y=

 x  + 

+1



Diperoleh gradien garis h yaitu mh =  +  . Garis g sejajar garis h, maka: mg = mh ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

 +   + 



=  +  (2 + 3n)(2n + 1) = (6 + 2n)(2n) 4n + 2 + 6n2 + 3n = 12n + 4n2 6n2 + 7n + 2 = 4n2 + 12n 2n2 – 5n + 2 = 0 (2n – 1)(n – 2) = 0 2n – 1 = 0 atau n – 2 = 0 

n =  atau



⇔



⇔



y = x – 

Diperoleh gradien garis m1 =  . Garis yang sejajar

Garis g tegak lurus garis h, maka: mg × mh = –1  −     −  



⇔

 + . 

8. Jawaban: d Garis: 6x – 4y + 11 = 0 ⇔ 4y = 6x + 11 

⇔



y = x +
Diperoleh gradien garis 6x – 4y + 11 = 0 adalah 

m =  . Garis h tegak lurus garis 6x – 4y + 5 = 0 maka: mh × m = –1 

⇔ mh ×  = –1 

⇔

mh = – 

Persamaan garis h melalui titik (5, –1) dan bergradien 

m = –: y – y1 = m(x – x1) ⇔



y + 1 = –  (x – 5)

⇔ 3(y + 1) = –2(x – 5) ⇔ 3y + 3 = –2x + 10 ⇔ 2x + 3y – 7 = 0 Jadi, persamaan garis h: 2x + 3y – 7 = 0. 9. Jawaban: b Garis g melalui titik (–6, 0) dan (0, 2). Gradien garis g: mg =

  −    − 

−





= + =  = 



Garis h sejajar garis g, maka mh =  . Garis h

n=2 

Jadi, garis g sejajar garis h jika nilai n =  atau n = 2.



melalui O(0, 0) dan mh =  , persamaan garis h:

Matematika Kelas XI

89

y – y1 = m(x – x1) ⇔

⇔



⇔ a=6 Jadi, kedua garis saling tegak lurus jika a = 6.

y – 0 =  (x – 0) 

⇔

y = x ⇔ 3y = x ⇔ x – 3y = 0 Jadi, persamaan garis h: x – 3y = 0.

2. Garis g: 2n(3y – x) + 6x – 5n = 0 ⇔ 6ny – 2nx + 6x – 5n = 0 ⇔ (6 – 2n)x + 6ny – 5n = 0 ⇔ 6ny = –(6 – 2n)x + 5n

10. Jawaban: b Garis h melalui titik (–4, 0) dan (0, 2). −

  −    − 







 −
Diperoleh gradien garis h = mh = –  −  .

a.

b.



y = –x + 5 

Diperoleh gradien garis kedua = m2 =  . a. Kedua garis saling sejajar jika: m1 = m2 ⇔

 



⇔

2 = –3a

⇔

a=–

=–  

Jadi, kedua garis saling sejajar jika a = –  . b.

Kedua garis saling tegak lurus jika: m1 × m2 = –1 ⇔

90

 



× (–  ) = –1

Persamaan Garis Lurus

y = – −x –

Garis g sejajar garis h, maka: mg = mh ⇔



⇔

.




⇔

y = x + 2 

 −  

Garis h: 2(2x – y) + ny + 9 = 0 ⇔ 4x – 2y + ny + 9 = 0 ⇔ 4x + (n – 2)y + 9 = 0 ⇔ (n – 2)y = –4x – 9

B. Uraian 1. Garis pertama: x – 3y + 6 = 0 ⇔ –3y = –x – 6

Diperoleh gradien garis pertama = m1 =  . Garis kedua: ax + 2y – 10 = 0 ⇔ 2y = –ax + 10



y = –  x + 

Diperoleh gradien garis g = mg = –

⇔ mg ×  = –1 ⇔ mg = –2 Garis g melalui titik (0, 2) dan bergradien mg = –2. Persamaan garis g: y – y1 = mg(x – x1) ⇔ y – 2 = –2(x – 0) ⇔ y – 2 = –2x ⇔ 2x + y – 2 = 0 Jadi, persamaan garis g: 2x + y – 2 = 0.

⇔

 − 

⇔

= +
=
=  Garis g tegak lurus garis h, maka: mg × mh = –1 Gradie



–  = –1

–

 −  




= –−

⇔ –(6 – 2n)(n – 2) = –(6n)(4) ⇔ –(6n – 12 – 2n2 + 4n) = –24n ⇔ 2n2 – 10n + 12 = –24n ⇔ 2n2 + 14n + 12 = 0 ⇔ n2 + 7n + 6 = 0 ⇔ (n + 1)(n + 6) = 0 ⇔ n = –1 atau n = –6 Jadi, nilai n = –1 atau n = –6. Untuk n = –1 diperoleh: Garis g: 2n(3y – x) + 6x – 5n = 0 ⇔ 2(–1)(3y – x) + 6x – 5(–1) = 0 ⇔ –6y + 2x + 6x + 5 = 0 ⇔ 8x – 6y + 5 = 0 Garis h: 2(2x – y) + ny + 9 = 0 ⇔ 2(2x – y) + (–1)y + 9 = 0 ⇔ 4x – 2y – y + 9 = 0 ⇔ 4x – 3y + 9 = 0 Untuk n = –6 diperoleh: Garis g: 2n(3y – x) + 6x – 5n = 0 ⇔ 2(–6)(3y – x) + 6x – 5(–6) = 0 ⇔ –36y + 12x + 6x + 30 = 0 ⇔ 18x – 36y + 30 = 0 ⇔ 3x – 6y + 5 = 0

Garis h: 2(2x – y) + ny + 9 = 0 ⇔ 2(2x – y) + (–6)y + 9 = 0 ⇔ 4x – 2y – 6y + 9 = 0 ⇔ 4x – 8y + 9 = 0 Jadi, pasangan garis g dan h berturut-turut 8x – 6y + 5 = 0 dan 4x – 3y + 9 = 0 atau 3x – 6y + 5 = 0 dan 4x – 8y + 9 = 0.

b.

Grafik garis g dan garis h:

⇔

y=

+

h

8 7 6 5 4 3

3. garis h: 6x + 4y – 15 = 0 ⇔ 4y = –6x + 15  –x

g

Y

2 1 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1






1

2

3

X



Diperoleh gradien garis h = mh = –  . Garis g melalui titik P(–5a, 2) dan Q(3, 2a), maka: mg = a.

 −    − 

⇔ ⇔

b.

 − 

 − 

=  − −  =  +  Garis g tegak lurus dengan garis h, maka: mg × mh = –1   −       +  

×

–

  −  =  

 −   + 

–1



y – 2 =  (x – 15) ⇔ 3(y – 2) = 2(x – 15) ⇔ 3y – 6 = 2x – 30 ⇔ 2x – 3y – 24 = 0 Jadi, persamaan garis g: 2x – 3y – 24 = 0. Garis g: 3x – y + 6 = 0 ⇔ –y = –3x – 6 ⇔ y = 3x + 6 Diperoleh gradien garis g = mg = 3. Garis h sejajar garis g, maka mh = mg = 3. Persamaan garis h melalui titik (3, 8) dan bergradien mh = 3: y – y1 = m(x – x1) ⇔ y – 8 = 3(x – 3) ⇔ y – 8 = 3x – 9 ⇔ 3x – y – 1 = 0 Jadi, persamaan garis h: 3x – y – 1 = 0.

y = – x – 2 

Diperoleh gradien garis g = mg = – . a.



Garis h sejajar garis g, maka mh = mg = – . Persamaan garis h yang melalui titik (2, 3) 

⇔ 6a – 6 = 6 + 10a ⇔ –4a = 12 ⇔ a = –3 Jadi, nilai a = –3. Koordinat titik P(–5a, 2) = P(15, 2).

⇔



⇔

= –1

− −   − mg =  −  =  −  = − =   +  Persamaan garis g: y – y1 = m(x – x1)

4. a.

5. Garis g: 2x + 5y + 10 = 0 ⇔ 5y = –2x – 10

dan bergradien m = – : y – y1 = m(x – x1) 

⇔

b.

y – 3 = – (x – 2) ⇔ 5(y – 3) = –2(x – 2) ⇔ 5y – 15 = –2x + 4 ⇔ 2x + 5y – 19 = 0 Jadi, persamaan garis h: 2x + 5y – 19 = 0. Garis g memotong sumbu Y jika x = 0, yaitu: 2x + 5y + 10 = 0 ⇔ 2(0) + 5y + 10 = 0 ⇔ 0 + 5y + 10 = 0 ⇔ 5y = –10 ⇔ y = –2 Diperoleh koordinat titik potong garis g dengan sumbu Y yaitu (0, –2). Garis yang tegak lurus dengan garis g bergradien m dengan syarat: m × mg = –1 

⇔ m × (– ) = –1 ⇔



m=  Persamaan garis yang melalui titik (0, –2) dan

bergradien m =  : y – y1 = m(x – x1) ⇔ ⇔



y – (–2) =  (x – 0)

y + 2 = x ⇔ 2y + 4 = 5x ⇔ 5x – 2y – 4 = 0 Jadi, persamaan garis l: 5x – 2y – 4 = 0. Matematika Kelas XI

91

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: c Garis x + ay – 3 = 0 melalui titik (2, –1), berarti: (2) + a(–1) – 3 = 0 ⇔ 2–a–3=0 ⇔ –a – 1 = 0 ⇔ a = –1 Diperoleh persamaan garis x – y – 3 = 0. Garis tersebut melalui titik (4, b), berarti: (4) – (b) – 3 = 0 ⇔ 4–b–3=0 ⇔ –b + 1 = 0 ⇔ b=1 Nilai a + b = –1 + 1 = 0. 2. Jawaban: d Persamaan garis g: 5x – 2y – 20 = 0 x = 0 ⇔ 5(0) – 2y – 20 = 0 ⇔ –2y = 20 ⇔ y = –10 Diperoleh titik potong dengan sumbu Y (0, –10). y = 0 ⇔ 5x – 2(0) – 20 = 0 ⇔ 5x = 20 ⇔ x=4 Diperoleh titik potong dengan sumbu X (4, 0). Gambar yang sesuai ada pada pilihan d. 3. Jawaban: a Persamaan garis: 2mx + 3y – m + 3 = 0 Agar supaya garis tersebut melalui titik P(–1, 2), maka: 2mx + 3y – m + 3 = 0 ⇔ 2m(–1) + 3(2) – m + 3 = 0 ⇔ –2m + 6 – m + 3 = 0 ⇔ –3m + 9 = 0 ⇔ –3m = –9 ⇔ m=3 Jadi, nilai m = 3. 4. Jawaban: b Persamaan garis: 2(4y + 3) – 3(2x – y) + 2x + 9 = 0 ⇔ 8y + 6 – 6x + 3y + 2x + 9 = 0 ⇔ –4x + 11y + 15 = 0 ⇔ 11y = 4x – 15


⇔



y =  x –  Dari persamaan tersebut diperoleh gradien garis


adalah  . 5. Jawaban: e Gradien garis g yang melalui titik (–3, 4) dan (2, –1) adalah:

92

Persamaan Garis Lurus

m=

  −    − 

− −


−

=  − − = = –1 Misalkan α menyatakan besar sudut antara garis g terhadap sumbu X positif, maka: tan α = m = –1 ⇔ α = 135° Jadi, besar sudut antara garis g terhadap sumbu X positif adalah 135°.

6. Jawaban: a Garis dengan persamaan y = mx + n bergradien m. Persamaan garis: x – 2y – 4 = 0 ⇔ –2y = –x + 4 

⇔

y = x – 2 

Diperoleh gradien garis adalah m =  . Jika besar sudut kemiringan garis h adalah α, nilai 

tan α = m =  . 

Nilai tan α =  > 0 berarti nilai α di kuadran satu yaitu 0° < α < 90°. r =

 + 

=

+


=



1



Nilai sin α = =



r

α



2

= .

7. Jawaban: d Persamaan garis: p(x – 3y) – (p + 12)y – 8 + 3p = 0 ⇔ px – 3py – py – 12y – 8 + 3p = 0 ⇔ px – 4py – 12y – 8 + 3p = 0 ⇔ px – (4p + 12)y – 8 + 3p = 0 ⇔ –(4p + 12)y = –px + 8 – 3p −

 − 

⇔ y = −
 +  x + −
 +  

 − 

⇔ y =
 +  x –
 +  

Diketahui gradien garis adalah –  , maka: 
 + 

⇔



=– 

p = –  (4p + 12)

⇔ p = –2p – 6 ⇔ 3p = –6 ⇔ p = –2 Jadi, nilai p = –2.

8. Jawaban: e Sudut kemiringan garis 60°, maka gradien garis: m = tan α = tan 60°=  Misalkan garis tersebut memotong sumbu Y di titik (0, a). Oleh karena garis tersebut melalui titik (  , –1), maka: m= ⇔

  −    − 

 =

⇔

− −   − − −  

 = ⇔ 3 = –1 – a ⇔ a = –4 Jadi, garis tersebut memotong sumbu Y di titik (0, –4). 9. Jawaban: a Garis g membentuk sudut α terhadap sumbu X

positif, maka mg = tan α =


–.

Persamaan garis g melalui titik (2, –1) dan ber


gradien mg = –  adalah: y – y1 = mg(x – x1) y + 1 = –  (x – 2)

⇔ 3(y + 1) = –4(x – 2) ⇔ 3y + 3 = –4x + 8 ⇔ 4x + 3y – 5 = 0 Jadi, persamaan garis g: 4x + 3y – 5 = 0. 10. Jawaban: a Gradien garis yang melalui titik (–4, 2) dan (5, –1) adalah: m=

  −    − 

− − 

−



= − −
=  = –  Persamaan garis melalui titik (–4, 2) dan bergradien m=

 –: 

y – 2 = –  (x + 4)

  −    − 

−


  −    − 

−



= −
= –  Persamaan garis melalui titik (4, 0) dan bergradien 

m = –  adalah: y – y1 = m(x – x1) 

⇔

y – 0 = –  (x – 4)

13. Jawaban: d Dua garis sejajar mempunyai gradien yang sama. Gradien garis ax + by + c = 0 dan garis ax + by = c 

adalah m = –  , sehingga: (i)

4x – 3y – 4 = 0







→ mi = – − =  









(ii) 12x + 9y + 5 = 0 → mii = –  = –  (iii) 8x + 6y = 7

→ miii = –  = – 

(iv) 3x + 4y = 8

→ miv = –





⇔ 3y – 6 = –x – 4 ⇔ x + 3y – 2 = 0 Garis memotong sumbu X jika y = 0, sehingga diperoleh: x + 3(0) – 2 = 0 ⇔ x+0–2=0 ⇔ x–2=0 ⇔ x=2 Jadi, garis memotong sumbu X di titik (2, 0). 11. Jawaban: e Gradien garis yang melalui titik (2, 4) dan (1, 2) adalah: m=

m=

Garis (ii) dan garis (iii) bergradien sama yaitu – .

y – y1 = m(x – x1) ⇔

12. Jawaban: b Garis melalui titik (4, 0) dan (1, 2), maka gradien garis:

⇔ 3y = –2x + 8 ⇔ 2x + 3y – 8 = 0




⇔

Persamaan garis melalui titik (1, 2) dan bergradien m = 2: y – y1 = m(x – x1) ⇔ y – 2 = 2(x – 1) ⇔ y – 2 = 2x – 2 ⇔ y = 2x Garis melalui titik (–3, a), maka: y = 2x ⇔ a = 2(–3) ⇔ a = –6 Jadi, nilai a = –6.

−

=  −  = − = 2

Jadi, pasangan garis yang saling sejajar adalah (ii) dan (iii). 14. Jawaban: e Dua garis saling tegak lurus jika hasil kali gradiennya sama dengan –1. Perhatikan pasangan garis 3x + 4y = 9 dan 4x – 3y = 2 pada pilihan e. 3x + 4y = 9 4x – 3y = 2 ⇔





y = –
x +


m1 = –





⇔



y = x – 


m2 =  




Oleh karena m1 × m2 = –
×  = –1 maka kedua garis saling tegak lurus. Jadi, pasangan garis yang saling tegak lurus 3x + 4y = 9 dengan 4x – 3y = 2.

Matematika Kelas XI

93

15. Jawaban: b Dua garis yang memiliki gradien m1 dan m2 saling tegak lurus jika m1 × m2 = –1. Gradien garis yang menghubungkan titik (5, 3) dan (–1, 0): m=

  −    − 

=

− − −

−

(–5, –3) dan (–3, –4) → m =

−
− − − − −

=

 –

− − −

−

(–5, –3) dan (–1, –11) → m = − − −

=
= –2  − −




− −  − −

 

=1

=

 



(–5, –3) dan (3, 1) → m =  − −

=  = 

(–5, –3) dan (3, 13) → m =

=

 − −  − −

=2

Jadi, garis yang tegak lurus dengan garis yang menghubungkan titik (5, 3) dan (–1, 0) adalah garis yang menghubungkan titik (–5, –3) dan (–1, –11). 16. Jawaban: e Garis g: 2(x + 5y) – 3 = 3(3y – x + 1) + 2x ⇔ 2x + 10y – 3 = 9y – 3x + 3 + 2x ⇔ 2x + 10y – 3 = –x + 9y + 3 ⇔ 10y – 9y = –x – 2x + 3 ⇔ y = –3x + 3 Diperoleh gradien garis g = mg = –3. Garis h tegak sejajar g berarti: mh = mg = –3 Jadi, gradien garis h adalah –3. 17. Jawaban: a Garis g yang melalui titik (0, 6) dan (8, 0). Gradien garis g: mg =

  −    − 

=

− −

−



=  =–
Misalkan garis yang tegak lurus garis g bergradien m, maka: 

m × mg = –1 ⇔ m × (–
) = –1 ⇔




m=  Jadi, gradien garis yang tegak lurus garis g adalah
. 

⇔



= − =  Gradien garis yang tegak lurus dengan garis di atas harus bergradien m = –2. Gradien garis yang menghubungkan dua titik koordinat.

(–5, –3) dan (3, 5) → m =

18. Jawaban: c Garis: ax – 3y = 8 ⇔ –3y = –ax + 8 



y = x –  

Diperoleh gradien garis = m =  . Garis AB sejajar garis ax – 3y = 8, maka gradiennya sama yaitu: mAB = m ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

 −    −  

− − − 
 



=  

=  

=  =2

⇔ a=6 Jadi, nilai a = 6. 19. Jawaban: e Garis pertama: 2x + 3y – 14 = 0 ⇔ 3y = –2x + 14 

⇔




y = –x +  

Diperoleh m1 = –  . Garis kedua: 2px – 3(x – 5y) + 6 – p = 0 ⇔ 2px – 3x + 15y + 6 – p = 0 ⇔ 15y = 3x – 2px + p – 6 ⇔ 15y = (3 – 2p)x + (p – 6)  − 

⇔ Diperoleh m2 =

 −  

.

Kedua garis saling tegak lurus, maka: m1 × m2 = –1 ⇔ ⇔



 −  

 −
 –


– ×

= –1 = –1

⇔ ⇔

–6 + 4p = –45 4p = –39

⇔

p=–




20. Jawaban: c Garis g: (n + 3)x – 5y + 10 = 0 ⇔ –5y = –(n + 3)x – 10 ⇔

y=

+

x+2

Diperoleh gradien garis g yaitu mg =

94

Persamaan Garis Lurus

−

y =  x + 

+

.

Garis h: (4 – 3n)x + 2y – 6 = 0 ⇔ 2y = –(4 – 3n)x + 6 ⇔

y=

 −


24. Jawaban: b ∆

x+3

Diperoleh gradien garis h yaitu mh =

 −


.

Garis g sejajar garis h, maka: mg = mh ⇔

+

=

mk = – 

Persamaan garis k melalui titik P(0, –4) dan ber

gradien mk = –  adalah:

⇔ 2n + 6 = 15n – 20 ⇔ –13n = –26 ⇔ n=2 Jadi, nilai n = 2.



y – y1 = mk (x – x1) ⇔ ⇔ ⇔

21. Jawaban: b Garis h sejajar garis g maka mh = mg = 3. Garis h melalui titik (3, –1), sehingga persamaannya: y – y1 = mh(x – x1) ⇔ y + 1 = 3(x – 3) ⇔ y + 1 = 3x – 9 ⇔ 3x – y – 10 = 0



y + 4 = –  (x – 0) 2y + 8 = –x x + 2y + 8 = 0

25. Jawaban: a mAB =



 − − 

= − = –3

Misalkan garis h melalui P(–6, 1) dan tegak lurus garis AB maka mh × mAB = –1 ⇔ mh =

− 



= . Persamaan garis h yang melalui P(–6, 1) dan 

⇔ 4y = –5x + 9 ⇔



⇔

 −


22. Jawaban: b g: 5x + 4y = 9




Gradien garis : m = ∆ =  = 2 Garis k tegak lurus maka: mk × m = –1 ⇔ mk × 2 = –1

bergradien mh =  adalah: y – y1 = mh(x – x1)



y = –
x +






Diperoleh m = –
.

⇔ y – 1 =  (x + 6)

Misalkan m1 merupakan gradien garis yang melalui titik (2, –3).

⇔

y = x + 2 + 1

⇔

y = x + 3



Oleh karena garis sejajar garis g maka m1 = m = –
. Persamaan garisnya: ⇔



y + 3 = –
(x – 2)









y = –
x +  – 

⇔

y = –
x –
⇔ 4y = –5x – 2 ⇔ 5x + 4y = –2





26. Jawaban: a Garis: 5x – 10y = 12 ⇔ 10y = 5x – 12 

⇔



y = x –

Diperoleh gradien garis 5x – 10y = 12 adalah 

m =  . Garis yang sejajar garis 5x – 10y = 12

23. Jawaban: d 

Gradien garis 3x + 4y = 8 adalah m1 = –
. Gradien garis yang tegak lurus garis 3x + 4y = 8 adalah m2 =


. 

Persamaan garis yang melalui (2, –4) dan tegak lurus garis 3x + 4y = 8: y + 4 = m2(x – 2) ⇔




y + 4 =  (x – 2) ⇔ 3y + 12 = 4x – 8 ⇔ 4x – 3y = 20



bergradien m =  . Persamaan garis melalui titik 

(1, 2) dengan m =  adalah: y – y1 = m(x – x1) 

⇔ y – 2 =  (x – 1) ⇔ 2y – 4 = x – 1 ⇔ x – 2y + 3 = 0 Diperoleh persamaan garis x – 2y + 3 = 0.

Matematika Kelas XI

95

Untuk y = 4 diperoleh: x – 2y + 3 = 0 ⇔ x – 2(4) + 3 = 0 ⇔ x–8+3=0 ⇔ x–5=0 ⇔ x=5 Jadi, garis berpotongan dengan garis y = 4 di titik (5, 4). 27. Jawaban: d Garis: 9x – 6y + 8 = 0 ⇔ 6y = 9x + 8 

⇔




y = x +  Diperoleh gradien garis 9x – 6y + 8 = 0 adalah 

m =  . Garis h tegak lurus garis 9x – 6y + 8 = 0, maka: mh × m = –1 mh ×  = –1

⇔

mh = – 



Persamaan garis h melalui titik (4, –1) dan ber-



y + 1 = –  (x – 4)

  −    − 

−



= − = – 



Garis h tegak lurus garis g, maka mh =  . Garis h 

⇔



y – 0 =  (x – 0) 

y = –−
x –

 −



+

Diperoleh gradien garis g yaitu mg = –  −
. Garis h: 2(2x + y) – 3(x – 2y) + 5 = 0 ⇔ 4x + 2y – 3x + 6y + 5 = 0 ⇔ x + 8y + 5 = 0 ⇔ 8y = –x – 5

⇔ 4y = 8 – 5x

⇔

y = –
x + 2







y = –x – 



Misalkan m1 adalah gradien garis yang melalui titik (4, 5).

Oleh karena garis sejajar garis g maka m1 = m = –
.

Persamaan Garis Lurus


+

⇔

Diperoleh m = –
.

96

mg =

30. Jawaban: a Garis g: 4(x – y) + p(x + y) + 8 = 0 ⇔ 4x – 4y + px + py + 8 = 0 ⇔ (4 + p)x + (p – 4)y + 8 = 0 ⇔ (p – 4)y = –(4 + p)x – 8

⇔ 3(y + 1) = –2(x – 4) ⇔ 3y + 3 = –2x + 8 ⇔ 2x + 3y – 5 = 0 Diperoleh persamaan garis h: 2x + 3y – 5 = 0. Garis h melalui titik (a, 11), berarti: 2x + 3y – 5 = 0 ⇔ 2(a) + 3(11) – 5 = 0 ⇔ 2a + 33 – 5 = 0 ⇔ 2a + 28 = 0 ⇔ 2a = –28 ⇔ a = –14 Jadi, nilai a = –14.

⇔

29. Jawaban: d Garis g melalui titik (3, 0) dan (0, 2). Gradien garis g:

y = x ⇔ 2y = 3x ⇔ 3x – 2y = 0 Jadi, persamaan garis h: 3x – 2y = 0.

y – y1 = m(x – x1)

28. Jawaban: b g: 5x + 4y = 8

⇔ 4y – 20 = –5x + 20 ⇔ 5x + 4y = 40 Garis memotong sumbu Y jika x = 0. 5x + 4y = 40 ⇔ 5(0) + 4y = 40 ⇔ 0 + 4y = 40 ⇔ 4y = 40 ⇔ y = 10 Jadi, garis memotong sumbu Y di titik (0, 10).

⇔



gradien m = –  : ⇔



y – 5 = –
(x – 4)

melalui O(0, 0) dan mh =  , persamaan garis h: y – y1 = m(x – x1)



⇔

Persamaan garisnya:

Diperoleh gradien garis h = mh = –  . Garis g tegak lurus garis h, maka:

mg × mh = –1 ⇔


+ (– −


b.

 ) × (–  ) =
+  − 

⇔ ⇔ ⇔

–1

= –1

4 + p = –8p + 32 9p = 28

⇔ α = 135° Garis h: x –



⇔

p=  Persamaan garis g: 4(x – y) + p(x + y) + 8 = 0 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

Garis g: x + y – 4 = 0 Gradien garis g = mg = –1 Jika α menyatakan besar sudut antara garis g dengan sumbu X positif maka: tan α = mg = –1 y = 0



4(x – y) +  (x + y) + 8 = 0 36(x – y) + 28(x + y) + 72 = 0 36x – 36y + 28x + 28y + 72 = 0 64x – 8y + 72 = 0 8x – y + 9 = 0



tan β = mh =   ⇔ β = 30° α – β = 135° – 30° = 105° Oleh karena α – β > 90°, besar sudut antara garis g dan h adalah: ∠(g, h) = 180° – (α – β) = 180° – 105° = 75° 3. a.

Garis melalui titik pusat koordinat dan titik (–5, 3) yaitu: Y 4 B

3 2 1

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1

8 7 5 4 3

b.

1

2 3

4

 −

−

X







y = mx ⇒

y = – x ⇔ –5y = 3x ⇔ 3x + 5y = 0 Jadi, persamaan garisnya 3x + 5y = 0. 4. a.

Y h

1 4

4

gradien m = – :

Grafik garis g dan garis h:



3

Gradien garis yang melalui (0, 0) dan (–5, 3): ∆

–4 –5 –6

0

2

= –

m = ∆ =   −   = − −    Persamaan garis melalui (0, 0) dan ber-

2 1

4

1

–2

6

–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3

X

A

3x – 2y + 12 = 0

Y



=   Jika β menyatakan besar sudut antara garis h dengan sumbu X positif maka:

B. Uraian 1. a. Titik (–6, b) terletak pada garis 3x – 2y + 12 = 0 maka: 3(–6) – 2b + 12 = 0 ⇔ –18 – 2b + 12 = 0 ⇔ –2b = 18 – 12 ⇔ –2b = 6 ⇔ b = –3 Jadi, nilai b yang memenuhi –3. b. Gambar garis 3x – 2y + 12 = 0:

2. a.

 

Gradien garis h = mh =

X

Gradien garis h adalah 3, sehingga diperoleh hubungan: m=3=

  −    − 

⇔

3=

−

 −

⇔ 3(a – 1) = –2 ⇔ 3a – 3 = –2 ⇔ 3a = 1 ⇔



a= 

g

Matematika Kelas XI

97

b.

5. a.

Persamaan garis h: y – y1 = m(x – x1) ⇔ ⇔

y – 5 = 3(x – 1) y = 3x + 2

(i)

m=

 −    −  

Grafik P = –30 + 5B:

−  − −

⇔ 2=

−


⇔ p=0

P

(ii) m = 0

⇒ 2=

B

6

  −    − 

⇒ 2=

 −  −

⇔ 2=


−

⇔ q=5 Jadi, nilai p = 0 dan q = 5. 8. a.

2x + 3y – 6 = 0 ⇔ 3y = –2x + 6 

⇔ –30

y =–x + 2



Gradien: m1 = –  Misal gradien garis yang sejajar 2x + 3y – 6 = 0 

b.

c.

6. a.

adalah m2 maka m2 = m1 = –  .

Diketahui B = 12 P = –30 + 5(12) = –30 + 60 = 30 Jadi, pendapatannya 30. Agar memperoleh keuntungan maka P > 0. P > 0 ⇒ –30 + 5B > 0 ⇔ 5B > 30 ⇔ B>6 Jadi, barang yang harus dijual minimum 6 buah. Garis g melalui titik A(–4, –9) dan B(8, 6), maka gradien garis g: mg = mAB = =

Persamaan garis yang melalui titik (6, –8) dan 

bergradien m2 = –  : y – y1 = m2(x – x1) 

⇔

b.

y – (–8) = –  (x – 6)

⇔ 3(y + 8) = –2(x – 6) ⇔ 3y + 24 = –2x + 12 ⇔ 2x + 3y + 12 = 0 Jadi, persamaan garisnya 2x + 3y + 12 = 0. Grafik garis g dan garis h: Y

−    −   = 
 −     =


b.

Garis h sejajar garis g, maka gradien garis h:

c.

mh = mg =
Garis k tegak lurus garis g, maka: mk × mg = –1

3 2 1 X



⇔

mk = –

⇔

mk = –

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1




2

4

5

–3 –4

= –4

7. Sebuah garis yang sejajar garis y = 2x – 5 memiliki gradien m = 2. Titik-titik A, B, dan C dilalui sebuah garis bergradien m = 2 maka:

9. a.



Garis y = –  x + 5 mempunyai gradien 

m1 = –  . Misal gradien garis g yang tegak lurus 

y = –  x + 5 adalah m2 maka:

98

3

–2

  

1

Persamaan Garis Lurus



m1 × m2 = –1 ⇔ –  × m2 = –1 ⇔

m2 =

 

Persamaan garis g yang melalui titik (–4, –1) 

dan bergradien m2 =  : y – y1 = m2(x – x1) ⇔

y – (–1) =

 

(x – (–4))

⇔ 2(y + 1) = 3(x + 4) ⇔ 2y + 2 = 3x + 12 ⇔ 3x – 2y + 10 = 0 Jadi, persamaan garis g: 3x – 2y + 10 = 0. b. Garis g: 3x – 2y + 10 = 0 memotong sumbu Y jika x = 0. 3(0) – 2y + 10 = 0 ⇔ 0 – 2y + 10 = 0 ⇔ –2y + 10 = 0 ⇔ –2y = –10 ⇔ y=5 Jadi, garis g memotong sumbu Y di titik (0, 5).

10. Gradien garis yang melalui titik (–4, 9) dan (2, –3) adalah m1 =

− −   − −


−

=  = –2. Garis yang tegak lurus dengan garis yang melalui 

kedua titik tersebut mempunyai gradien m2 = – 



=

 – −

=

 

.

Persamaan garis yang melalui titik (6, –4) dan 

bergradien m2 =  adalah: y – y1 = m2(x – x1) ⇔



y – (–4) =  (x – 6) ⇔ 2(y + 4) = 1(x – 6) ⇔ 2y + 8 = x – 6 ⇔ x – 2y – 14 = 0 Jadi, persamaan garisnya x – 2y – 14 = 0.

Matematika Kelas XI

99

Setelah mempelajari bab ini siswa: 1. mampu mendeskripsikan konsep barisan tak hingga sebagai fungsi dengan daerah asal himpunan bilangan asli; 2. mampu menentukan unsur-unsur pembentuk barisan dan deret geometri tak hingga; 3. mampu menentukan deret geometri tak hingga; 4. mampu menerapkan konsep barisan dan deret tak hingga dalam penyelesaian masalah sederhana. Berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang dikuasai, siswa mampu menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan barisan dan deret geometri tak hingga secara cermat, teliti, dan dengan rasa percaya diri.

Materi Barisan dan Deret Tak Hingga

Pembelajaran Kognitif • • •

Barisan dan deret tak hingga. Barisan geometri tak hingga. Deret geometri tak hingga.

Membuat model matematika tentang barisan dan deret tak hingga

Pengetahuan yang Dikuasai • • • • •

Kegiatan Psikomotorik

Menjelaskan konsep deret tak hingga. Menjelaskan jumlah deret tak hingga. Menjelaskan suku pertama deret tak hingga. Menjelaskan rasio deret geometri tak hingga. Menjelaskan konsep deret geometri tak hingga dalam kehidupan nyata.

Keterampilan yang Dikuasai Terampil dalam membuat model matematika tentang deret tak hingga dan menyelesaikannya.

Kemampuan dan Sikap yang Dimiliki Mampu mendiskripsikan dan menerapkan konsep barisan dan deret tak hingga secara cermat, teliti, dan rasa percaya diri.

110

Barisan dan Deret Tak Hingga

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: d U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + . . . dikatakan deret Un Un − 1

konvergen apabila r = –1 < r < 1. (I)

1 32 1 16

1

1

mempunyai nilai

1

+ 16 + 8 + 4 + . . . mempunyai r =

1 16 1 32

=

=

1 2

× 32 = 2 (tidak konvergen).

(II) 32 + 16 + 8 + 4 + . . . mempunyai r =

16 32

(konvergen) 3

(III) –1 + 3 – 9 + 27 – 81 + . . . mempunyai r = −1 = –3 (tidak konvergen) −12

(IV) 24 – 12 + 6 – 3 + . . . mempunyai r = 24 = 1

– 2 (konvergen)

2. Jawaban: a a = 15, S∞ = 45 a

45 =

1

atau

–2 x>–2 1

1 1

1

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah – 2 < x < 2 . 5. Jawaban: c Syarat konvergen: –1 < r < 1, r = 3log (2x – 1) –1 < 3log (2x – 1) < 1 ⇔ 3log 3 < 3log (2x – 1) < 3log 3 1

⇔ 3 < 2x – 1 < 3

2

2

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 3 < x < 2.

15

1

1

6. Jawaban: e a

2

S∞ = 1 − r

r=1– 3 = 3 ⇔

3. Jawaban: e 2

2

10 = 1 − r 2

⇔ 1 – r = 10

S∞ = –6, r = – 3 ⇔ –6 = ⇔ –6 = ⇔

1 2

⇔ 3 3 atau 3 < S < 1

27

⇔

⇔

U4 U2

1

⇔ 1 >S> 3

⇔

r=

1

–1 < r < 1 ⇒ 2 − 1 > S > 2 + 1

8. Jawaban: a S∞ = 81, a = 27 a

1

= 2+r 1

Jadi, rasio positif deret tersebut adalah

S∞ = 1 − r

1 3+r

S = 1− r

⇔ 9 – 9r2 = 5 ⇔ 9r2 = 4

r = 3

1 3+r

r = rasio =

5 (1 + r)(1 − r) 5 1 − r2

⇔

= 4

4 3

3

S∞ = 1 − r ; S∞ = 9

r2 = 9

3

1

+ tan4 30° + . . . + (–1)n tan2n 30° + . . . adalah 4 .

a = 1+ r

⇔

1 − (−

=

1 ) 3

Jadi, jumlah deret tak hingga dari 1 – tan2 30° 5

⇔

1

U2 U1

=

konvergen)

U3 U2

9

1

= 27 = 3 (deret bilangan

4. Diketahui deret geometri tak hingga dengan

a

S∞ = 1 − r = = =

2

U2 = ar = 2 dan S∞ = 10 3

27

2

ar = 2 ⇔ a = r

1 3

1−

2 3

⇔

81 2

⇔ 1

= 40 2 b.

⇔

2

U3 = 2 · 52 – 3 = 2 · 5–1 = 5 r = r =

2 10

=

U3 U2

=

1 5

=...

=

(deret bilangan konvergen)

3. a.

64

log2 (x − 2) log (x − 2)

64

4 5

1

= 64log (x – 2)

⇔1<

=

1

a

64

1−

log (x − 2) log (x − 2)

64

0. Deret geometri dikatakan konvergen apabila rasionya –1 < r < 1. –1 < r < 1 ⇔ –1 < 3log x < 1 ⇔ 3log 3–1 < 3log x < 3log 3 ⇔ 3–1 < x < 3 ⇔

1 3