Kunci Jawaban dan Pembahasan MAT XIB IPS

April 24, 2017 | Author: Isna Nuraini | Category: N/A

Share Embed Donate

Report this link

Short Description

Download Kunci Jawaban dan Pembahasan MAT XIB IPS...

Description

Matematika Kelas XI Program IPS

1

: .... : XI/2 : Matematika

Materi Pokok/ Pembelajaran

Fungsi Komposisi

Kompetensi Dasar

5.1 M e n e n t u k a n komposisi fungsi dari dua fungsi.

Nilai dan Materi yang Diintegrasikan – Menjelaskan pengertian fungsi. – Membedakan sifatsifat fungsi (fungsi injektif, fungsi surjektif, dan fungsi bijektif). – Memberikan contoh fungsi bijektif. – Menghitung suatu nilai fungsi jika diketahui rumusnya. – Menuliskan rumus operasi penambahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian dua fungsi. – Menyelesaikan operasi penambahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian dua fungsi. – Menyebutkan syarat agar suatu fungsi terdefinisi. – Menyimpulkan daerah asal suatu fungsi berdasarkan syarat agar fungsi tersebut terdefinisi. – Menentukan irisan daerah asal dua fungsi. – Menjelaskan pengertian fungsi komposisi. – Menjelaskan sifatsifat komposisi fungsi.

Kegiatan Pembelajaran

5.1.6

5.1.5

5.1.4

5.1.3

5.1.2

5.1.1

Mampu mendefinisikan fungsi. Mampu menyelesaikan operasi aljabar fungsi. Mampu menentukan daerah asal suatu fungsi. Mampu mendefinisikan fungsi komposisi. Mampu menentukan fungsi komposisi dari dua atau tiga fungsi. Mampu menyelesaikan masalah sehari-hari yang melibatkan fungsi.

Indikator Pencapaian Kompetensi

Standar Kompetensi : 5. Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi.

Sekolah Kelas/Semester Mata Pelajaran

Tes

Teknik Tertulis

Bentuk Instrumen

=

−

f(x)

=

= 2 . Rumus fungsi g(x) =.... a. 3x + 4 b. 4x – 3 c. 4x + 1 d. 4x + 7 e. 5x – 3

dan (f g)(x)

2. Diketahui

adalah . . . . a. {x | x ≠ 2, x ∈ R} b. {x | x ≠ 4, x ∈ R} c. {x | x ≠ 7, x ∈ R} d. {x | x ≠ 2, x ≠ 4, x ∈ R} e. {x | x ≠ 2, x ≠ 7, x ∈ R}

g(x)

1. Daerah asal (f · g)(x) untuk f(x) = x – 2 dan

Contoh Instrumen

Penilaian

Silabus Bab I Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers

8 × 45 menit

1. Buku PR Matematika Kelas XIIPS Semester 2, Intan Pariwara, halaman 1–16 2. Buku PG Matematika Kelas XIIPS Semester 2, Intan Pariwara, halaman 1–30 3. Buku BSE Khasanah Matematika 2 untuk Kelas XI SMA dan MA Program I P S , Rosihan Ari Y. dan Indriyastuti, Pusat Perbukuan Depdiknas 4. Buku BSE Inovatif Konsep dan Aplikasinya untuk kelas XI SMA/MA Program IPS, Siswanto dan Umi Supartinah, Pusat Perbukuan Depdiknas

Alokasi Alat dan Sumber Belajar Waktu

2

Silabus

5.2 M e n e n t u k a n invers suatu fungsi.

Kompetensi Dasar

Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers

Materi Pokok/ Pembelajaran

Pendidikan karakter (*) Kritis

Nilai dan Materi yang Diintegrasikan

– Menjelaskan pengertian invers suatu fungsi. – Menjelaskan langkahlangkah menentukan invers suatu fungsi. (*) – Menentukan invers suatu fungsi sesuai langkah-langkah yang dipelajari. (*) – Menjelaskan pengertian fungsi invers. – Menentukan invers suatu fungsi dengan rumus praktis. (*) – Menghitung suatu nilai invers fungsi. – Menggambar grafik invers suatu fungsi. – Menjelaskan pengertian invers dari fungsi komposisi. – Menentukan invers suatu fungsi komposisi berdasarkan pengertiannya. (*)

– Menuliskan rumus fungsi komposisi dari dua atau tiga fungsi. – Menghitung suatu nilai fungsi komposisi dari dua atau tiga fungsi. – Menuliskan rumus fungsi yang termuat dalam soal cerita. – Menghitung suatu nilai fungsi yang termuat dalam soal cerita.

Kegiatan Pembelajaran

5.2.5

5.2.4

5.2.3

5.2.2

5.2.1

Mampu menentukan invers suatu fungsi. Mampu mendefinisikan fungsi invers. Mampu mendefinisikan invers dari fungsi komposisi. Mampu menentukan invers suatu fungsi komposisi. Mampu menyelesaikan masalah sehari-hari yang melibatkan invers suatu fungsi.

Indikator Pencapaian Kompetensi

Tes

Teknik

Tertulis

Bentuk Instrumen

− −

c. f–1(x) = d. f–1(x) =

−

. Tentukan: a. rumus fungsi f(x); b. nilai (f g)–1(1).

=

2. Diberikan g(x) = 3x + 6 dan (g f) –1 (x)

−

b. f–1(x) =

e. f–1(x) =

a. f–1(x) =

1. Diketahui f(x – 4) = 2x + 1. Invers dari f(x) adalah . . . .

3. Diketahui f(x) = 3x – 1, g(x) = x + 6, dan h(x + 4) = 2x + 6. Tentukan: a. rumus fungsi (f g h)(x) b. rumus fungsi ((g h) f)(x)

Contoh Instrumen

Penilaian

8 × 45 menit

1. Buku PR Matematika Kelas XIIPS Semester 2, Intan Pariwara, halaman 1–16 2. Buku PG Matematika Kelas XIIPS Semester 2, Intan Pariwara, halaman 1–30 3. Buku BSE Khasanah Matematika 2 untuk Kelas XI SMA dan MA Program IPS, Rosihan Ari Y. dan Indriyastuti, Pusat Perbukuan Depdiknas

Alokasi Alat dan Sumber Belajar Waktu

Matematika Kelas XI Program IPS

3

Kompetensi Dasar

Materi Pokok/ Pembelajaran

Nilai dan Materi yang Diintegrasikan – Menentukan invers suatu fungsi komposisi dengan cara yang sama dengan menentukan invers suatu fungsi. – Menghitung suatu nilai invers fungsi komposisi. – Menuliskan rumus invers suatu fungsi yang termuat dalam soal cerita. – Menghitung nilai invers suatu fungsi dalam soal cerita.

Kegiatan Pembelajaran Indikator Pencapaian Kompetensi Teknik

Bentuk Instrumen

; x ≠ 0.

Tentukan: a. (f g h)–1(x); b. (f (g h)–1)–1(x).

h(x) =

3. Diketahui f(x) = 2x + 1, g(x – 1) = x + 6, dan

Contoh Instrumen

Penilaian

4. Buku BSE Inovatif Konsep dan Aplikasinya untuk kelas XI SMA/MA Program IPS, Siswanto dan Umi Supartinah, Pusat Perbukuan Depdiknas

Alokasi Alat dan Sumber Belajar Waktu

4

Silabus

: .... : XI/2 : Matematika

Materi Pokok/ Pembelajaran

Limit Fungsi

Kompetensi Dasar

3.1 M e n g h i t u n g limit fungsi aljabar sederhana di suatu titik. Pendidikan karakter (*) Kritis

Nilai dan Materi yang Diintegrasikan – Menjelaskan pengertian limit fungsi di suatu titik secara intuitif. (*) – Menjelaskan pengertian limit fungsi di suatu titik secara matematis. – Membuat gambar grafik suatu fungsi berdasarkan tabel. – Menentukan nilai limit fungsi di suatu titik jika didekati dari kiri berdasarkan gambar grafik fungsi. – Menentukan nilai limit fungsi di suatu titik jika didekati dari kanan berdasarkan gambar grafik fungsi. – Menjelaskan syarat suatu fungsi mempunyai limit. (*) – Menentukan limit fungsi di suatu titik berdasarkan gambar grafik fungsi. – Menjelaskan cara menyelesaikan limit fungsi di suatu titik menggunakan cara substitusi langsung. – Menentukan nilai limit fungsi di suatu titik menggunakan cara substitusi langsung.

Kegiatan Pembelajaran

3.1.2

3.1.1

Mampu menentukan nilai limit fungsi berdasarkan gambar grafik fungsi. Menentukan nilai limit fungsi di suatu titik menggunakan cara substitusi langsung.

Indikator Pencapaian Kompetensi Tes

Teknik Tertulis

Bentuk Instrumen

4.

3.

2.

1.

–5

0

4 2

f(x)

d. 5 e. 10

d. 10 e. ∞

X

=... a. –5 b. 3 c. 5

→ −

d. 11 e. 19

(x 2 – 4x + 7)

a. –∞ b. –5 c. 4

f(x) = . . .

–5 0 2 4 tidak ada →∞

a. b. c. d. e.

f(x) = . . . →

a. –10 b. –5 c. 2

f(x) = . . . → −

–5

10

Y

Untuk menjawab soal nomor 1–3 perhatikan grafik fungsi f(x) berikut.

Contoh Instrumen

Penilaian

Standar Kompetensi : 3. Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah.

Sekolah Kelas/Semester Mata Pelajaran

Silabus Bab II Limit Fungsi

6 × 45 menit

1. Buku PR Matematika Kelas XIIPS Semester 2, Intan Pariwara, halaman 17–40 2. Buku PG Matematika Kelas XIIPS Semester 2, Intan Pariwara, halaman 31–78 3. Buku BSE Khasanah Matematika 2 untuk Kelas XI SMA dan MA Program I P S , Rosihan Ari Y. dan Indriyastuti, Pusat Perbukuan Depdiknas 4. Buku BSE Inovatif Konsep dan Aplikasinya untuk kelas XI SMA/MA Program IPS, Siswanto dan Umi Supartinah, Pusat Perbukuan Depdiknas

Alokasi Alat dan Sumber Belajar Waktu

Matematika Kelas XI Program IPS

5

Materi Pokok/ Pembelajaran

Limit Fungsi

Kompetensi Dasar

3.2 Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar. Pendidikan karakter (*) R a s a ingin tahu

Nilai dan Materi yang Diintegrasikan – Menjelaskan nilai limit yang merupakan bentuk tak tentu. – Menjelaskan cara menyelesaikan limit fungsi di suatu titik menggunakan cara faktorisasi. – Menjelaskan cara menyelesaikan limit fungsi di suatu titik dengan mengalikan bentuk sekawan. – Membuktikan sifatsifat limit fungsi di suatu titik. – Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung limit fungsi di suatu titik. – Menentukan nilai limit fungsi di suatu titik. – Menjelaskan pengertian limit fungsi di tak hingga secara intuitif. (*) – Menentukan nilai limit fungsi jika variabel membesar tanpa batas berdasarkan gambar grafik fungsi. – Menentukan nilai limit fungsi jika variabel mengecil tanpa batas berdasarkan gambar grafik fungsi. – Menggunakan sifat limit di tak hingga untuk menghitung limit di tak hingga. – Menjelaskan cara menyelesaikan limit fungsi di tak hingga menggunakan cara substitusi langsung.

Kegiatan Pembelajaran

3.2.1 Mampu menentukan nilai limit fungsi aljabar di suatu titik menggunakan cara faktorisasi. 3.2.2 Mampu menentukan nilai limit fungsi aljabar di suatu titik menggunakan cara mengalikan bentuk sekawan. 3.2.3 Mampu menentukan nilai limit fungsi aljabar di tak hingga menggunakan cara substitusi langsung. 3.2.4 Mampu menentukan nilai limit fungsi aljabar di tak hingga menggunakan cara membagi dengan variabel pangkat tertinggi. 3.2.5 Mampu menentukan nilai limit fungsi aljabar di tak hingga menggunakan cara mengalikan bentuk sekawan.

Indikator Pencapaian Kompetensi

Tes

Teknik Tertulis

Bentuk Instrumen

e. –4

d. –2

→ − +

e. 2

d.

= 6.

 → ∞  −

b.



− − 

→ ∞ + −

a.

+ −

6. Tentukan nilai limit berikut.

+

→ −

– (x + 4)) = . . . . a. –5 d. 3 b. –2 e. 6 c. –1 5. Hitung a dan b, jika

( − →∞

c. –1 4. Nilai

b. –

a. –

=....

3. Nilai

c. –

b. –

a. –2

=....

−

d. 52 e. 63

→ −

2. Nilai

a. 10 b. 21 c. 49

→

(2x – 3) = . . . .

→

1. Nilai (2x – 3)2 +

Contoh Instrumen

Penilaian

12 × 45 1. Buku PR Matemenit matika Kelas XIIPS Semester 2, Intan Pariwara, halaman 17–40 2. Buku PG Matematika Kelas XIIPS Semester 2, Intan Pariwara, halaman 37–78 3. Buku BSE Khasanah Matematika 2 untuk Kelas XI SMA dan MA Program IPS, Rosihan Ari Y. dan Indriyastuti, Pusat Perbukuan Depdiknas 4. Buku BSE Inovatif Konsep dan Aplikasinya untuk kelas XI SMA/MA Program IPS, Siswanto dan Umi Supartinah, Pusat Perbukuan Depdiknas

Alokasi Alat dan Sumber Belajar Waktu

6

Silabus

Kompetensi Dasar

Materi Pokok/ Pembelajaran

Nilai dan Materi yang Diintegrasikan – Menjelaskan cara menyelesaikan limit fungsi di tak hingga menggunakan cara membagi dengan variabel pangkat tertinggi. – Menjelaskan cara menyelesaikan limit fungsi di tak hingga menggunakan cara mengalikan dengan bentuk sekawan. – Menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan limit fungsi di tak hingga.

Kegiatan Pembelajaran Indikator Pencapaian Kompetensi Teknik

Bentuk Instrumen

 



+ –

(2x – 1)  =

→∞ 

7. Tentukan nilai a yang memenuhi pada persamaan berikut:

Contoh Instrumen

Penilaian Alokasi Alat dan Sumber Belajar Waktu

Matematika Kelas XI Program IPS

7

: .... : XI/2 : Matematika

6.3 Menggunakan konsep turunan dalam perhitungan turunan fungsi.

Kompetensi Dasar

Turunan Fungsi

Materi Pokok/ Pembelajaran Pendidikan karakter (*) Kritis

Nilai dan Materi yang Diintegrasikan

– Menentukan nilai turunan fungsi di suatu titik.

– Menentukan turunan menggunakan dalil rantai.

– Menjelaskan cara menentukan turunan perkalian dan pembagian fungsi aljabar.

– Menentukan turunan pengurangan fungsi aljabar.

– Menentukan turunan penjumlahan fungsi aljabar.

– Menjelaskan notasi turunan menggunakan notasi Leibnitz.

– Membuktikan beberapa sifat turunan. (*)

– Menentukan turunan fungsi angkat.

– Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan laju perubahan suatu fungsi.

– Menentukan laju perubahan suatu fungsi.

Kegiatan Pembelajaran

Mampu menentukan nilai turunan fungsi aljabar di suatu titik.

Mampu menentukan turunan perkalian dan pembagian fungsi aljabar.

6.3.4

6.3.6

Mampu menentukan turunan penjumlahan dan pengurangan fungsi aljabar.

6.3.3

Mampu menentukan turunan fungsi aljabar menggunakan dalil rantai.

Mampu menjelaskan sifatsifat turunan.

6.3.2

6.3.5

Mampu menentukan turunan fungsi pangkat.

6.3.1

Indikator Pencapaian Kompetensi

Standar Kompetensi : 6. Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi.

Sekolah Kelas/Semester Mata Pelajaran

Tes

Teknik

Silabus Bab III Turunan Fungsi

Tertulis

Bentuk Instrumen

− − +

,

b.

a.

− − −

−

turunan kedua dari f–1(x) adalah . . . .

3. Jika f(x) =

e.

+

−

c. d.

−

h( – 2x2) = +

b.

a.

....

Nilai

= (2x + 1) − .

1. Diketahui f(x) = x3 –10x2 + 25x + 5 dan f′ adalah turunan pertama f. Nilai f′(1) =.... a. 3 d. 16 b. 8 e. 21 c. 13 2. Diketahui h(x)

Contoh Instrumen

Penilaian

8 × 45 menit

1. Buku PR Matematika Kelas XIIPS Semester 2, Intan Pariwara, halaman 45–62 2. Buku PG Matematika Kelas XIIPS Semester 2, Intan Pariwara, halaman 91–122 3. Buku BSE Khasanah Matematika 2 untuk Kelas XI SMA dan MA Program I P S , Rosihan Ari Y. dan Indriyastuti, Pusat Perbukuan Depdiknas

Alokasi Alat dan Sumber Belajar Waktu

8

Silabus

Kompetensi Dasar

Materi Pokok/ Pembelajaran

Nilai dan Materi yang Diintegrasikan – Menentukan turunan kedua fungsi aljabar.

Kegiatan Pembelajaran

6.3.7

Mampu menentukan turunan kedua fungsi aljabar.

Indikator Pencapaian Kompetensi Teknik

Bentuk Instrumen

− − − −

d. e.

− −

− +

d. − e. −

5. Jika f(t) = t3 – at2 + b, f(1) = 2, dan f′(2) = –4, tentukan nilai a + b. 6. Sebuah bola besi berjari-jari r dipanaskan hingga memuai. Luas permukaan bola bertambah dengan laju 0,04 mm2/detik. Jika luas permukaan bola a = 4πr2, hitunglah laju pertambahan jari-jari bola pada saat panjang jari-jarinya 5 cm.

− −

− + −

b.

c. −

− − −

a.

adalah f′(x) = . . . .

− −

4. Turunan dari f(x) =

− −

c.

Contoh Instrumen

Penilaian

4. Buku BSE Inovatif Konsep dan Aplikasinya untuk kelas XI SMA/MA Program IPS, Siswanto dan Umi Supartinah, Pusat Perbukuan Depdiknas

Alokasi Alat dan Sumber Belajar Waktu

Matematika Kelas XI Program IPS

9

6.4 Menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi dan memecahkan masalah.

Kompetensi Dasar

Turunan Fungsi

Materi Pokok/ Pembelajaran

Pendidikan karakter (**) K e r j a keras

Nilai dan Materi yang Diintegrasikan – Menentukan persamaan garis singgung dan garis normal suatu kurva. – Menjelaskan pengertian fungsi naik. – Menjelaskan pengertian fungsi turun. – Menyebutkan syarat suatu fungsi naik. – Menyebutkan syarat suatu fungsi turun. – Menjelaskan cara menentukan interval suatu fungsi naik. – Menjelaskan cara menentukan interval suatu fungsi turun. – Menentukan suatu fungsi naik atau turun. – Menentukan titik potong grafik fungsi dengan sumbusumbu koordinat. – Menjelaskan cara menentukan titik stasioner dan jenisnya. (**) – Menjelaskan cara menggambar sketsa grafik fungsi aljabar. – Menentukan fungsi marginal. – Menjelaskan cara menentukan nilai limit bentuk tak tentu menggunakan teorema 'Hopital.

Kegiatan Pembelajaran

6.3.1 M e n e n t u k a n persamaan garis singgung dan garis normal pada kurva. 6.4.2 Mendefinisikan fungsi naik dan fungsi turun. 6.4.3 Menentukan interval suatu fungsi naik atau suatu fungsi turun. 6.4.4 M e n e n t u k a n t i t i k stasioner dan jenisnya. 6.4.5 M e n g g a m b a r sketsa grafik fungsi aljabar. 6.4.6 M e n e n t u k a n fungsi marginal cost. 6.4.7 M e n e n t u k a n fungsi marginal revenue. 6.4.8 M e n e n t u k a n fungsi marginal profit. 6.4.9 Mampu menentukan nilai limit bentuk tak tentu menggunakan teorema ’Hopital.

Indikator Pencapaian Kompetensi

Tes

Teknik Tertulis

Bentuk Instrumen 1. Kurva f(x) = x2 + x – 20 memotong sumbu X di titik A dan B. Titik A di kanan sumbu Y dan titik B di kiri sumbu Y. Gradien garis singgung pada kurva di titik A adalah .... a. 9 d. –7 b. 7 e. –9 c. 6 2. Grafik fungsi f(x) = x3 – 3x2 – 9x + 15 turun pada interval . . . . a. x < –3 atau x > 1 b. x < –1 atau x > 3 c. x < –3 atau x > –1 d. –1 < x < 3 e. 1 < x < 3 3. Titik belok kurva f(x) = 3x4 – 8x3 + 6x2 + 3 dicapai di titik . . . . a. (4, 1) d. (1, 4) b. (3, 0) e. (3, 4) c. (1, 3) 4. Sebuah perusahaan memproduksi x unit barang dengan fungsi biaya total produksi C(x) = 0,02x2 – 1,5x + 40.000 dalam ribuan rupiah. Tentukan kenaikan biaya produksi per unit jika barang yang diproduksi bertambah 100 unit. 5. Gambarlah sketsa kurva y = x4 – 8x2 + 16 pada interval –3 ≤ x ≤ 3.

Contoh Instrumen

Penilaian

8 × 45 menit

1. Buku PR Matematika Kelas XIIPS Semester 2, Intan Pariwara, halaman 45–62 2. Buku PG Matematika Kelas XIIPS Semester 2, Intan Pariwara, halaman 91–122 3. Buku BSE Khasanah Matematika 2 untuk Kelas XI SMA dan MA Program I P S , Rosihan Ari Y. dan Indriyastuti, Pusat Perbukuan Depdiknas 4. Buku BSE Inovatif Konsep dan Aplikasinya untuk kelas XI SMA/MA Program IPS, Siswanto dan Umi Supartinah, Pusat Perbukuan Depdiknas

Alokasi Alat dan Sumber Belajar Waktu

10

Silabus

Turunan Fungsi

Turunan Fungsi

6.6 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi dan penafsirannya.

Materi Pokok/ Pembelajaran

6.5 M e r a n c a n g model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi.

Kompetensi Dasar

Nilai dan Materi yang Diintegrasikan

– Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan nilai maksimum. – Menyelesaikan model matematika dari masalah berkaitan dengan nilai minimum.

– Menjelaskan cara menentukan nilai maksimum suatu fungsi dalam interval tertutup. – Menjelaskan cara menentukan nilai minimum suatu fungsi dalam interval tertutup. – Menjelaskan cara menentukan nilai maksimum suatu fungsi. – Menjelaskan cara menentukan nilai minimum suatu fungsi. – Menjelaskan cara merancang model matematika yang berkaitan nilai maksimum dan minimum. – Menuliskan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan nilai maksimum dan minimum.

Kegiatan Pembelajaran

6.6.1 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan nilai maksimum dan minimum.

6.5.1 M e n e n t u k a n nilai ekstrim suatu fungsi dalam interval tertutup. 6.5.2 Menentukan nilai ekstrim suatu fungsi. 6.5.3 M e r a n c a n g model matematika dari masalah yang berkaitan dengan nilai maksimum dan minimum.

Indikator Pencapaian Kompetensi

Tes

Tes

Teknik

Tertulis

Tertulis

Bentuk Instrumen

1. Untuk memproduksi suatu barang diperlukan biaya produksi yang dinyatakan dengan fungsi B(x) = (2x2 – 180x + 2.500) dalam ribuan rupiah. Agar biaya produksi minimum maka harus diproduksi barang sebanyak . . . unit. a. 30 d. 90 b. 45 e. 135 c. 60

1. Nilai minimum fungsi f(x) = 2x3 + 9x2 – 60x + 20 pada interval 1 ≤ x ≤ 4 adalah . . . . a. –52 d. 48 b. –48 e. 52 c. –29 2. Fungsi f(x) = ax3 + 3x2 – 12x + b mencapai minimum di titik (1, –5). Nilai a + b = . . . . a. 2 d. 5 b. 3 e. 6 c. 4 3. Diketahui fungsi f(x) = ax3 + bx2 + cx + 2 mempunyai titik balik maksimum (–1, 7). Jika f′′(1) = 0, tentukan titik balik minimum fungsi.

Contoh Instrumen

Penilaian

6 × 45 menit

6 × 45 menit

1. Buku PR Matematika Kelas XIIPS Semester 2, Intan Pariwara, halaman 45–62 2. Buku PG Matematika Kelas XIIPS Semester 2, Intan Pariwara, halaman 91–122

1. Buku PR Matematika Kelas XIIPS Semester 2, Intan Pariwara, halaman 45–62 2. Buku PG Matematika Kelas XIIPS Semester 2, Intan Pariwara, halaman 91–122 3. Buku BSE Khasanah Matematika 2 untuk Kelas XI SMA dan MA Program I P S , Rosihan Ari Y. dan Indriyastuti, Pusat Perbukuan Depdiknas 4. Buku BSE Inovatif Konsep dan Aplikasinya untuk kelas XI SMA/MA Program IPS, Siswanto dan Umi Supartinah, Pusat Perbukuan Depdiknas

Alokasi Alat dan Sumber Belajar Waktu

Matematika Kelas XI Program IPS

11

Kompetensi Dasar

Materi Pokok/ Pembelajaran

Nilai dan Materi yang Diintegrasikan Indikator Pencapaian Kompetensi 6.6.2 M e n a f s i r k a n penyelesaian model matemat i k a d a r i masalah yang berkaitan dengan nilai maksimum dan minimum.

Kegiatan Pembelajaran – Menafsirkan penyelesaian model matematika dari masalah yang berkaitan dengan nilai maksimum. – Menafsirkan penyelesaian model matematika dari masalah yang berkaitan dengan nilai minimum.

Teknik

Bentuk Instrumen

1.800 – ) ratus ribu rupiah. Berapa hari proyek tersebut harus diselesaikan agar biaya proyek minimum?

3. Suatu proyek akan diselesaikan dalam x hari. Biaya proyek per hari (x2 – 75 x +

2. Sebuah perusahaan memproduksi x unit barang per hari dengan harga jual H(x) = (2x3 – 100x2 + 13.000x – 150.000) ribu rupiah. Biaya produksi setiap unit barang memenuhi fungsi B(x) = (x 2 + 110x – 500) ribu rupiah. Laba maksimum per hari yang akan diperoleh perusahaan . . . rupiah. a. 93 juta b. 100 juta d. 125 juta e. 130 juta c. 118 juta

Contoh Instrumen

Penilaian

3. Buku BSE Khasanah Matematika 2 untuk Kelas XI SMA dan MA Program I P S , Rosihan Ari Y. dan Indriyastuti, Pusat Perbukuan Depdiknas 4. Buku BSE Inovatif Konsep dan Aplikasinya untuk kelas XI SMA/MA Program IPS, Siswanto dan Umi Supartinah, Pusat Perbukuan Depdiknas

Alokasi Alat dan Sumber Belajar Waktu

Rencana Pelaksanaan Pembelajaran Bab I Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers Sekolah Kelas/Semester Mata Pelajaran Alokasi Waktu

: : : :

.......... XI/2 Matematika 16 × 45 menit

Standar Kompetensi : 5. Kompetensi Dasar

Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi.

: 5.1 Menentukan komposisi fungsi dari dua fungsi. 5.2 Menentukan invers suatu fungsi .

Indikator Pencapaian Kompetensi • Mendefinisikan fungsi. • Menyelesaikan operasi aljabar fungsi. • Menentukan daerah asal suatu fungsi. • Mendefinisikan fungsi komposisi. • Menentukan fungsi komposisi dari dua atau tiga fungsi. • Menyelesaikan masalah sehari-hari yang melibatkan fungsi. • Menentukan invers suatu fungsi. • Mendefinisikan fungsi invers. • Mendefinisikan invers dari fungsi komposisi. • Menentukan invers suatu fungsi komposisi. • Menyelesaikan masalah sehari-hari yang melibatkan invers suatu fungsi. Tujuan Pembelajaran Peserta didik mampu: 1. menjelaskan pengertian fungsi; 2. menjelaskan dan menyebutkan jenis-jenis fungsi; 3. menentukan syarat agar sebuah fungsi terdefinisi; 4. menentukan daerah asal sebuah fungsi; 5. menentukan nilai fungsi jika diketahui rumus fungsinya; 6. melakukan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian dua fungsi; 7. menentukan irisan daerah asal dua fungsi; 8. menjelaskan pengertian komposisi fungsi; 9. menjelaskan sifat-sifat komposisi fungsi; 10. menentukan fungsi hasil komposisi dua atau tiga fungsi; 11. menentukan nilai fungsi komposisi fungsi untuk bilangan tertentu; 12. menjelaskan pengertian invers fungsi; 13. menjelaskan langkah-langkah menentukan invers fungsi; 14. menjelaskan pengertian fungsi invers; 15. menentukan invers fungsi; 16. menentukan nilai invers fungsi untuk bilangan tertentu; 17. menggambar grafik invers fungsi; 18. menjelaskan invers dari fungsi komposisi; 19. menentukan invers fungsi dari fungsi komposisi; 20. menentukan nilai invers fungsi dari fungsi komposisi untuk bilangan tertentu. Nilai pendidikan karakter yang ditanamkan ke siswa: kritis Materi Pembelajaran 1. Fungsi 2. Fungsi Komposisi 3. Invers Fungsi

12

Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP)

Metode Pembelajaran 1. Metode Pembelajaran a. Cooperative Learning (CL) b. Direct Instruction (DI) 2.

Metode a. Tanya jawab b. Diskusi c. Tugas

Langkah-Langkah Kegiatan Pertemuan Pertama 1.

Kegiatan Pendahuluan (10 menit) a. Motivasi Guru menunjukkan gambar mesin/alat produksi kue. Guru menjelaskan prinsip pembuatan kue serupa dengan prinsip fungsi. Setelah itu, guru mengingatkan kembali materi tentang pemetaan. b.

2.

3.

Prasyarat Pengetahuan Siswa memahami materi tentang hubungan antarhimpunan (pemetaan).

Kegiatan Inti (70 menit) a. Eksplorasi • Guru menjelaskan pengertian fungsi. • Guru menjelaskan sifat fungsi injektif. • Guru menjelaskan sifat fungsi surjektif. • Guru menjelaskan sifat fungsi bijektif. b.

Elaborasi Guru dan siswa memberikan contoh fungsi injektif, surjektif, dan bijektif.

c.

Konfirmasi Guru menanyakan sifat fungsi jika rumus fungsi tersebut diketahui.

Kegiatan Penutup (10 menit) Guru mengevaluasi penguasaan materi oleh siswa dan memberikan soal-soal latihan. Pertemuan Kedua

1.

Kegiatan Pendahuluan (10 menit) a. Motivasi Guru mengingatkan kembali materi mengenai operasi aljabar sederhana, misalnya penjumlahan dua variabel sejenis. Dasar ini kemudian digunakan untuk membahas operasi pada fungsi. b.

2.

Prasyarat Pengetahuan Siswa memahami materi tentang sifat fungsi.

Kegiatan Inti (70 menit) a. Eksplorasi • Guru menjelaskan sifat operasi penjumlahan dua fungsi. • Guru menjelaskan sifat operasi pengurangan dua fungsi. • Guru menjelaskan sifat operasi perkalian dua fungsi. • Guru menjelaskan sifat operasi pembagian dua fungsi. b.

Elaborasi Guru dan siswa menentukan hasil operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian dua fungsi.

Matematika Kelas XI Program IPS

13

c. 3.

Konfirmasi Guru menanyakan hasil operasi dua fungsi.

Kegiatan Penutup (10 menit) Guru mengevaluasi penguasaan materi oleh siswa dan memberikan soal-soal latihan. Pertemuan Ketiga

1.

Kegiatan Pendahuluan (10 menit) a. Motivasi Guru mengingatkan kembali materi tentang daerah asal dan daerah hasil fungsi. Selanjutnya, guru menggunakan materi tersebut sebagai dasar untuk membahas daerah asal fungsi yang dihasilkan dari operasi dua fungsi. b.

2.

3.

Prasyarat Pengetahuan Siswa memahami materi tentang operasi dua fungsi.

Kegiatan Inti (70 menit) a. Eksplorasi • Guru menjelaskan daerah asal fungsi yang dihasilkan dari operasi penjumlahan dua fungsi. • Guru menjelaskan daerah asal fungsi yang dihasilkan dari operasi pengurangan dua fungsi. • Guru menjelaskan daerah asal fungsi yang dihasilkan dari operasi perkalian dua fungsi. • Guru menjelaskan daerah asal fungsi yang dihasilkan dari operasi pembagian dua fungsi. b.

Elaborasi Guru dan siswa menentukan daerah asal fungsi yang dihasilkan dari operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian dua fungsi.

c.

Konfirmasi Guru menanyakan daerah asal fungsi yang dihasilkan dari operasi dua fungsi.

Kegiatan Penutup (10 menit) Guru mengevaluasi penguasaan materi oleh siswa dan memberikan soal-soal latihan. Pertemuan Keempat

1.

Kegiatan Pendahuluan (10 menit) a. Motivasi Guru memberikan contoh operasi sederhana yang mewakili komposisi fungsi, misalnya: penggunaan kalkulator untuk menghitung (3 × 4) + 2. Guru dapat menjelaskan fungsi pertama untuk menentukan 3 × 4, fungsi kedua menjumlahkan dengan 2, dan komposisi fungsinya menentukan (3 × 4) + 2. b.

2.

3.

14

Prasyarat Pengetahuan Siswa memahami materi tentang sifat-sifat fungsi.

Kegiatan Inti (70 menit) a. Eksplorasi • Guru menjelaskan bentuk/rumus fungsi yang dihasilkan oleh komposisi dua fungsi. • Guru menjelaskan sifat-sifat komposisi dua fungsi. • Guru menjelaskan nilai fungsi komposisi untuk nilai x tertentu. b.

Elaborasi Guru dan siswa menentukan bentuk/rumus fungsi yang dihasilkan oleh komposisi dua fungsi.

c.

Konfirmasi Guru menanyakan bentuk/rumus hasil komposisi dua fungsi.

Kegiatan Penutup (10 menit) Guru mengevaluasi penguasaan materi oleh siswa dan memberikan soal-soal latihan.

Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP)

1.

Pertemuan Kelima Kegiatan Pendahuluan (10 menit) a. Motivasi Guru mengingatkan kembali tentang materi komposisi dua fungsi. Guru dapat memancing minat siswa misalkan dengan memperkirakan hasil komposisi tiga fungsi. b.

2.

3.

Prasyarat Pengetahuan Siswa memahami materi tentang sifat-sifat komposisi dua fungsi.

Kegiatan Inti (70 menit) a. Eksplorasi • Guru menjelaskan bentuk/rumus fungsi yang dihasilkan oleh komposisi tiga fungsi. • Guru menjelaskan sifat-sifat komposisi tiga fungsi. • Guru menjelaskan nilai fungsi komposisi untuk nilai x tertentu. b.

Elaborasi Guru dan siswa menentukan bentuk/rumus fungsi yang dihasilkan oleh komposisi tiga fungsi.

c.

Konfirmasi Guru menanyakan bentuk/rumus hasil komposisi tiga fungsi.

Kegiatan Penutup (10 menit) Guru mengevaluasi penguasaan materi oleh siswa dan memberikan soal-soal latihan. Pertemuan Keenam

1.

Kegiatan Pendahuluan (10 menit) a. Motivasi

Guru memberikan contoh invers (kebalikan) yang terdapat pada operasi hitung bilangan, misalnya

sebagai kebalikan dari 2 karena × 2 = 1. Selanjutnya guru mengarahkan siswa untuk memikirkan ”adakah kebalikan dari sebuah fungsi?”. b. 2.

3.

Prasyarat Pengetahuan Siswa memahami materi tentang fungsi.

Kegiatan Inti (70 menit) a. Eksplorasi • Guru menjelaskan pengertian invers fungsi. • Guru menjelaskan syarat agar invers fungsi berbentuk fungsi. • Guru menjelaskan cara mencari invers fungsi. • Guru menjelaskan daerah asal fungsi invers. b.

Elaborasi Guru dan siswa menentukan bentuk/rumus invers fungsi jika rumus sebuah fungsi diketahui.

c.

Konfirmasi Guru menanyakan invers dari sebuah fungsi.

Kegiatan Penutup (10 menit) Guru mengevaluasi penguasaan materi oleh siswa dan memberikan soal-soal latihan.

Matematika Kelas XI Program IPS

15

1.

Pertemuan Ketujuh Kegiatan Pendahuluan (10 menit) a. Motivasi Guru mengingatkan kembali materi tentang komposisi dua fungsi. Selanjutnya guru mengarahkan siswa untuk mencari invers dari komposisi dua fungsi tersebut. b.

2.

3.

Prasyarat Pengetahuan Siswa memahami materi tentang komposisi dua fungsi dan invers fungsi.

Kegiatan Inti (70 menit) a. Eksplorasi • Guru menjelaskan cara mencari invers dari fungsi yang dihasilkan oleh komposisi dua fungsi. • Guru menjelaskan daerah asal fungsi invers tersebut. b.

Elaborasi Guru dan siswa menentukan bentuk/rumus invers fungsi dari fungsi yang dihasilkan oleh komposisi dua fungsi.

c.

Konfirmasi Guru menanyakan invers dari sebuah fungsi yang dihasilkan oleh komposisi dua fungsi.

Kegiatan Penutup (10 menit) Guru mengevaluasi penguasaan materi oleh siswa dan memberikan soal-soal latihan. Pertemuan Kedelapan

1.

Kegiatan Pendahuluan (10 menit) a. Motivasi Guru mengingatkan kembali materi tentang komposisi tiga fungsi. Selanjutnya guru mengarahkan siswa untuk mencari invers dari komposisi tiga fungsi tersebut. b. Prasyarat Pengetahuan Siswa memahami materi tentang komposisi tiga fungsi dan invers fungsi.

2.

Kegiatan Inti (70 menit) a. Eksplorasi • Guru menjelaskan cara mencari invers dari fungsi yang dihasilkan oleh komposisi tiga fungsi • Guru menjelaskan daerah asal fungsi invers tersebut.

3.

b.

Elaborasi Guru dan siswa menentukan bentuk/rumus invers fungsi dari fungsi yang dihasilkan oleh komposisi tiga fungsi

c.

Konfirmasi Guru menanyakan invers dari sebuah fungsi yang dihasilkan oleh komposisi tiga fungsi.

Kegiatan Penutup (10 menit) Guru mengevaluasi penguasaan materi oleh siswa dan memberikan soal-soal latihan.

Alat Sumber Belajar 1. Buku PR Matematika Kelas XI SMA/MA Program IPS, Intan Pariwara 2. Buku BSE Matematika untuk Kelas XI SMA/MA Program IPS, Depdiknas

16

Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP)

Penilaian Hasil Belajar 1. Teknik Penilaian dan Bentuk Instrumen a. Teknik Penilaian Tertulis b.

2.

Bentuk Instrumen 1) Pilihan ganda 2) Uraian

Contoh Instrumen a. Pilihan Ganda 1. Diketahui fungsi f: R → R, g: R → R, dan h: R → R dengan f(x) = 2x, g(x) = x + 1, dan h(x) = 10x – 5. Jika (f D g)(x) = (h D g)(x), nilai x adalah . . . .

2.

b.

a.

–

b.

–

c.

d.

e.

Jika f(x) = x + 6 dan g(x) = 2x – 7 maka (g D f)–1(1 – x) = . . . .

a.

–2 – x

b.

–2 + x

c.

2 – x

d.

3 – x

e.

3 + x

Uraian 1. Diketahui f(x) = x2 + 1, h(x) = 2x – 3, dan (g D h)(x) = 8x – 9. a. Tentukan rumus fungsi g(x). b. Tentukan nilai a jika (g D f)(a) = (f D h)(a). 2.

Tentukan invers dari fungsi-fungsi berikut.

a.

f(x) = 3 – , x ≠ 0

b.

g(x) = − , x ≠ 5

+

________, ________________

Mengetahui Kepala SMA ______________

Guru Mata Pelajaran

......................... _________________________

........................ ________________________

NIP _____________________

NIP ____________________

Matematika Kelas XI Program IPS

17

Rencana Pelaksanaan Pembelajaran Bab II Limit Fungsi Sekolah Kelas/Semester Mata Pelajaran Alokasi Waktu

: : : :

.......... XI/2 Matematika 18 × 45 menit

Standar Kompetensi : 3. Kompetensi Dasar

Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah.

: 3.1 Menghitung limit fungsi aljabar sederhana di suatu titik. 3.2 Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar.

Indikator Pencapaian Kompetensi • Menentukan nilai limit fungsi aljabar di suatu titik berdasarkan gambar grafik fungsi. • Menentukan nilai limit fungsi aljabar di suatu titik menggunakan cara substitusi langsung. • Menentukan nilai limit fungsi aljabar di suatu titik menggunakan cara memfaktorkan. • Menentukan nilai limit fungsi aljabar di suatu titik menggunakan cara mengalikan bentuk sekawan. • Menentukan nilai limit fungsi aljabar di tak hingga menggunakan cara substitusi langsung. • Menentukan nilai limit fungsi aljabar di tak hingga menggunakan cara membagi dengan pangkat tertinggi. • Menentukan nilai limit fungsi aljabar di tak hingga menggunakan cara mengalikan bentuk sekawan. • Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar. Tujuan Pembelajaran Peserta didik mampu: 1. menentukan nilai limit fungsi aljabar di suatu titik menggunakan cara substitusi langsung; 2. menentukan nilai limit fungsi aljabar di suatu titik menggunakan cara memfaktorkan; 3. menentukan nilai limit fungsi aljabar di suatu titik menggunakan cara mengalikan bentuk sekawan; 4. menentukan nilai limit fungsi aljabar di tak hingga menggunakan cara substitusi langsung; 5. menentukan nilai limit fungsi aljabar di tak hingga menggunakan cara membagi dengan pangkat tertinggi; 6. menentukan nilai limit fungsi aljabar di tak hingga menggunakan cara mengalikan bentuk sekawan. Nilai pendidikan karakter yang ditanamkan ke siswa: Kritis dan Rasa Ingin Tahu Materi Pembelajaran 1. Limit fungsi aljabar di suatu titik 2. Limit fungsi aljabar di tak hingga Metode Pembelajaran 1. Model Pembelajaran a. Cooperative Learning (CL) b. Direct Instruction (DI) 2.

18

Metode a. Tanya jawab b. Diskusi c. Tugas

Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP)

Langkah-Langkah Kegiatan Pertemuan Pertama 1.

Kegiatan Pendahuluan (10 menit) a. Motivasi • Menunjukkan biaya rata-rata produksi suatu minuman ringan dapat dihitung menggunakan konsep limit di suatu titik dan di tak hingga. • Menjelaskan pengertian kata limit dalam kehidupan sehari-hari dan dalam bidang Matematika. b.

2.

3.

1.

Kegiatan Inti (70 menit) a. Eksplorasi • Guru menjelaskan tentang pengertian limit fungsi di suatu titik secara intuitif. • Guru menjelaskan tentang pengertian limit fungsi di suatu titik secara matematis. • Guru menuliskan suatu fungsi rasional. • Guru membuat tabel nilai x dan y dari fungsi rasional tersebut. • Guru membuat gambar grafik fungsi berdasarkan tabel yang telah dibuat. • Guru menunjukkan kecenderungan nilai fungsi jika didekati dari arah kiri suatu titik. • Guru menunjukkan kecenderungan nilai fungsi jika didekati dari arah kanan suatu titik. • Guru menjelaskan syarat suatu fungsi mempunyai limit di suatu titik. • Guru menjelaskan tentang cara menentukan nilai limit fungsi di suatu titik berdasarkan gambar grafik fungsi. b.

Elaborasi Guru membimbing siswa dalam menyelidiki keberadaan dan menentukan nilai limit fungsi di suatu titik.

c.

Konfirmasi Guru menanyakan hasil penyelidikan keberadaan dan penentuan nilai limit fungsi di suatu titik.

Kegiatan Penutup (10 menit) Guru mengevaluasi kegiatan siswa dengan memberikan soal-soal latihan yang berkaitan dengan penentuan nilai limit fungsi di suatu titik berdasarkan grafiknya. Pertemuan Kedua Kegiatan Pendahuluan (10 menit) a. Motivasi Menanyakan kepada siswa tentang pengertian limit fungsi aljabar di suatu titik. b.

2.

Prasyarat Pengetahuan • Siswa dapat menggambar grafik suatu fungsi. • Siswa dapat memfaktorkan bentuk aljabar.

Prasyarat Pengetahuan Siswa dapat menjelaskan pengertian limit suatu fungsi aljabar di suatu titik.

Kegiatan Inti (70 menit) a. Eksplorasi • Guru menjelaskan tentang cara menentukan nilai suatu fungsi f(x) dengan menyubstitusi suatu nilai x yang telah ditentukan. • Guru menjelaskan tentang cara menyelesaikan limit fungsi di suatu titik menggunakan cara substitusi langsung. • Guru bersama dengan siswa menentukan nilai limit fungsi di suatu titik menggunakan cara substitusi langsung. b.

Elaborasi Guru membimbing siswa dalam menentukan nilai limit suatu fungsi di suatu titik menggunakan cara substitusi langsung.

Matematika Kelas XI Program IPS

19

c.

3.

Konfirmasi Guru menanyakan tentang langkah-langkah menentukan nilai limit suatu fungsi di suatu titik menggunakan cara substitusi langsung.

Kegiatan Penutup (10 menit) Guru mengevaluasi kegiatan siswa dengan memberikan soal-soal latihan yang berkaitan dengan penentuan nilai limit fungsi di suatu titik menggunakan cara substitusi langsung. Pertemuan Ketiga

1.

Kegiatan Pendahuluan (10 menit) a. Motivasi Menanyakan kepada siswa tentang cara menentukan nilai limit fungsi aljabar di suatu titik menggunakan cara substitusi langsung. b.

2.

3.

Prasyarat Pengetahuan • Siswa dapat menentukan nilai limit fungsi aljabar di suatu titik menggunakan cara substitusi langsung. • Siswa dapat memfaktorkan bentuk aljabar.

Kegiatan Inti (60 menit) a.

Eksplorasi • Guru mengingatkan kembali tentang cara menyelesaikan limit fungsi di suatu titik menggunakan cara substitusi langsung. • Guru menjelaskan tentang beberapa nilai limit yang merupakan bentuk tak tentu. • Guru menjelaskan tentang beberapa cara yang dapat digunakan untuk menentukan nilai limit di suatu titik apabila menggunakan cara substitusi langsung diperoleh bentuk tak tentu. • Guru menjelaskan tentang cara menentukan nilai limit fungsi di suatu titik menggunakan cara faktorisasi. • Guru bersama dengan siswa menentukan nilai limit fungsi di suatu titik menggunakan cara memfaktorkan.

b.

Elaborasi Guru membimbing siswa dalam menentukan nilai limit suatu fungsi di suatu titik menggunakan cara faktorisasi.

c.

Konfirmasi Guru menanyakan tentang langkah-langkah menentukan nilai limit suatu fungsi di suatu titik menggunakan cara memfaktorkan.

Kegiatan Penutup (10 menit) Guru mengevaluasi kegiatan siswa dengan memberikan soal-soal latihan yang berkaitan dengan penentuan nilai limit fungsi di suatu titik menggunakan cara memfaktorkan. Pertemuan Keempat

1.

Kegiatan Pendahuluan (10 menit) a. Motivasi • Menanyakan kepada siswa tentang cara menentukan nilai limit fungsi aljabar di suatu titik menggunakan cara substitusi langsung. • Menanyakan kepada siswa tentang cara menentukan nilai limit fungsi aljabar di suatu titik menggunakan cara memfaktorkan. b.

20

Prasyarat Pengetahuan • Siswa dapat menentukan nilai limit fungsi aljabar di suatu titik menggunakan cara substitusi langsung. • Siswa dapat menentukan nilai limit fungsi aljabar di suatu titik menggunakan cara faktorisasi. • Siswa dapat menentukan bentuk sekawan dari suatu bentuk akar.

Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP)

2.

3.

1.

Kegiatan Inti (70 menit) a. Eksplorasi • Guru menjelaskan tentang bentuk sekawan dari suatu bentuk akar. • Guru mengingatkan kembali tentang cara menyelesaikan limit fungsi di suatu titik menggunakan cara substitusi langsung dan memfaktorkan. • Guru menjelaskan tentang beberapa cara yang dapat digunakan untuk menentukan nilai limit fungsi di suatu titik apabila menggunakan cara substitusi langsung diperoleh bentuk tak tentu. • Guru menjelaskan tentang cara menentukan nilai limit fungsi di suatu titik menggunakan cara mengalikan bentuk sekawan. • Guru bersama dengan siswa menentukan nilai limit fungsi di suatu titik menggunakan cara mengalikan bentuk sekawan. b.

Elaborasi Guru membimbing siswa dalam menentukan nilai limit suatu fungsi di suatu titik menggunakan cara mengalikan bentuk sekawan.

c.

Konfirmasi Guru menanyakan tentang langkah-langkah menentukan nilai limit suatu fungsi di suatu titik menggunakan cara mengalikan bentuk sekawan.

Kegiatan Penutup (10 menit) Guru mengevaluasi kegiatan siswa dengan memberikan soal-soal latihan yang berkaitan dengan penentuan nilai limit fungsi di suatu titik menggunakan cara mengalikan bentuk sekawan. Pertemuan Kelima Kegiatan Pendahuluan (10 menit) a. Motivasi Menanyakan kepada siswa tentang cara menentukan nilai limit fungsi aljabar di suatu titik menggunakan cara substitusi langsung, memfaktorkan dan mengalikan bentuk sekawan. b.

2.

3.

Prasyarat Pengetahuan Siswa dapat menentukan nilai limit fungsi aljabar di suatu titik menggunakan cara substitusi langsung, faktorisasi dan mengalikan bentuk sekawan.

Kegiatan Inti (70 menit) a. Eksplorasi • Guru menyebutkan sifat-sifat yang berlaku pada limit fungsi di suatu titik. • Guru bersama dengan siswa membuktikan sifat-sifat yang berlaku pada limit fungsi di suatu titik. • Guru menjelaskan cara menggunakan sifat-sifat yang berlaku pada limit untuk menentukan nilai limit fungsi aljabar di suatu titik. • Guru bersama dengan siswa menentukan nilai limit fungsi aljabar menggunakan sifat-sifat limit. b.

Elaborasi Guru membimbing siswa dalam membuktikan sifat-sifat yang berlaku pada limit dan menggunakannya untuk menentukan nilai limit fungsi aljabar di suatu titik.

c.

Konfirmasi Guru menanyakan tentang langkah-langkah menentukan nilai limit suatu fungsi di suatu titik menggunakan sifat-sifat limit.

Kegiatan Penutup (10 menit) Guru mengevaluasi kegiatan siswa dengan memberikan soal-soal latihan yang berkaitan dengan penentuan nilai limit fungsi di suatu titik menggunakan sifat-sifat limit.

Matematika Kelas XI Program IPS

21

1.

Pertemuan Keenam Kegiatan Pendahuluan (10 menit) a. Motivasi Menunjukkan produktivitas harian suatu pekerja pabrik garmen yang telah bekerja puluhan tahun dapat ditentukan menggunakan konsep limit di tak hingga. b.

2.

3.

Prasyarat Pengetahuan Siswa dapat menggambar grafik suatu fungsi.

Kegiatan Inti (70 menit) a. Eksplorasi • Guru menjelaskan tentang bilangan tak hingga. • Guru menjelaskan tentang pengertian limit fungsi di tak hingga secara intuitif. • Guru menuliskan suatu fungsi. • Guru membuat tabel nilai x dan y dari fungsi tersebut. • Guru membuat gambar grafik fungsi berdasarkan tabel yang telah dibuat. • Guru menunjukkan kecenderungan nilai fungsi jika nilai x semakin membesar tanpa batas atau nilai x mendekati tak hingga berdasarkan gambar grafik suatu fungsi. • Guru menunjukkan kecenderungan nilai fungsi jika nilai x semakin mengecil tanpa batas atau nilai x mendekati negatif tak hingga berdasarkan gambar grafik suatu fungsi. • Guru menjelaskan cara menentukan nilai limit di tak hingga berdasarkan gambar grafik suatu fungsi. • Guru menjelaskan cara menentukan nilai limit di negatif tak hingga berdasarkan gambar grafik suatu fungsi. b.

Elaborasi Guru membimbing siswa dalam menyelidiki keberadaan dan menentukan nilai limit suatu fungsi di tak hingga.

c.

Konfirmasi Guru menanyakan hasil penyelidikan keberadaan dan penentuan nilai limit suatu fungsi di tak hingga.

Kegiatan Penutup (10 menit) Guru mengevaluasi kegiatan siswa dengan memberikan soal-soal latihan yang berkaitan dengan penentuan nilai limit fungsi aljabar di tak hingga berdasarkan grafiknya. Pertemuan Ketujuh

1.

Kegiatan Pendahuluan (10 menit) a. Motivasi Menanyakan kepada siswa tentang pengertian limit fungsi aljabar di tak hingga. b.

2.

22

Prasyarat Pengetahuan • Siswa dapat menjelaskan pengertian limit suatu fungsi di tak hingga. • Siswa dapat menyebutkan sifat-sifat limit fungsi di suatu titik.

Kegiatan Inti (70 menit) a. Eksplorasi • Guru menjelaskan tentang cara menyelesaikan limit fungsi di tak hingga menggunakan cara substitusi langsung. • Guru bersama dengan siswa menentukan nilai limit fungsi di suatu titik menggunakan cara substitusi langsung. • Guru mengingatkan kembali sifat-sifat limit fungsi di suatu titik. • Guru menyebutkan sifat-sifat yang berlaku pada limit fungsi di tak hingga. • Guru bersama dengan siswa membuktikan sifat-sifat yang berlaku pada limit fungsi di tak hingga. • Guru menjelaskan cara menggunakan sifat-sifat yang berlaku pada limit untuk menentukan nilai limit fungsi aljabar di tak hingga.

Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP)

3.

b.

Elaborasi • Guru membimbing siswa dalam menentukan nilai limit suatu fungsi di tak hingga menggunakan cara substitusi langsung. • Guru membimbing siswa dalam membuktikan sifat-sifat yang berlaku pada limit fungsi di tak hingga.

c.

Konfirmasi • Guru menanyakan tentang langkah-langkah menentukan nilai limit suatu fungsi di tak hingga menggunakan cara substitusi langsung. • Guru menanyakan tentang langkah-langkah membuktikan sifat-sifat yang berlaku pada limit fungsi di tak hingga.

Kegiatan Penutup (10 menit) Guru mengevaluasi kegiatan siswa dengan memberikan soal-soal latihan yang berkaitan dengan penentuan nilai limit fungsi di tak hingga menggunakan cara substitusi langsung. Pertemuan Kedelapan

1.

Kegiatan Pendahuluan (10 menit) a. Motivasi Menanyakan kepada siswa tentang cara menentukan nilai limit fungsi aljabar di tak hingga menggunakan cara substitusi langsung. b.

2.

3.

Prasyarat Pengetahuan Siswa dapat menentukan nilai limit fungsi aljabar di tak hingga menggunakan cara substitusi langsung.

Kegiatan Inti (70 menit) a. Eksplorasi • Guru mengingatkan kembali tentang cara menyelesaikan limit fungsi di suatu titik menggunakan cara substitusi langsung. • Guru menjelaskan tentang beberapa nilai limit yang merupakan bentuk tak tentu. • Guru menjelaskan tentang beberapa cara yang dapat digunakan untuk menentukan nilai limit di tak hingga apabila menggunakan cara substitusi langsung diperoleh bentuk tak tentu. • Guru menjelaskan tentang cara menentukan nilai limit fungsi di tak hingga menggunakan cara membagi dengan pangkat tertinggi. • Guru bersama dengan siswa menentukan nilai limit fungsi di tak hingga menggunakan cara membagi dengan pangkat tertinggi. b.

Elaborasi Guru membimbing siswa dalam menentukan nilai limit suatu fungsi di tak hingga menggunakan cara membagi dengan pangkat tertinggi.

c.

Konfirmasi Guru menanyakan tentang langkah-langkah menentukan nilai limit suatu fungsi di tak hingga menggunakan cara membagi dengan pangkat tertinggi.

Kegiatan Penutup (10 menit) Guru mengevaluasi kegiatan siswa dengan memberikan soal-soal latihan yang berkaitan dengan penentuan nilai limit fungsi di tak hingga menggunakan cara membagi dengan pangkat tertinggi. Pertemuan Kesembilan

1.

Kegiatan Pendahuluan (10 menit) a. Motivasi • Menanyakan kepada siswa tentang cara menentukan nilai limit fungsi aljabar di tak hingga menggunakan cara substitusi langsung. • Menanyakan kepada siswa tentang cara menentukan nilai limit fungsi aljabar di tak hingga menggunakan cara membagi dengan pangkat tertinggi

Matematika Kelas XI Program IPS

23

b.

2.

3.

Prasyarat Pengetahuan • Siswa dapat menentukan nilai limit fungsi aljabar di tak hingga menggunakan cara substitusi langsung. • Siswa dapat menentukan nilai limit fungsi aljabar di tak hingga menggunakan cara membagi dengan pangkat tertinggi. • Siswa dapat menentukan bentuk sekawan dari suatu bentuk akar.

Kegiatan Inti (70 menit) a. Eksplorasi • Guru menjelaskan tentang bentuk sekawan dari suatu bentuk akar. • Guru mengingatkan kembali tentang cara menyelesaikan limit fungsi di tak hingga menggunakan cara substitusi langsung dan membagi dengan pangkat tertinggi. • Guru menjelaskan tentang beberapa cara yang dapat digunakan untuk menentukan nilai limit di tak hingga apabila menggunakan cara substitusi langsung diperoleh bentuk tak tentu. • Guru menjelaskan tentang cara menentukan nilai limit fungsi di tak hingga menggunakan cara mengalikan bentuk sekawan. • Guru bersama dengan siswa menentukan nilai limit fungsi di tak hingga menggunakan cara mengalikan bentuk sekawan. b.

Elaborasi Guru membimbing siswa dalam menentukan nilai limit suatu fungsi di tak hingga menggunakan cara mengalikan bentuk sekawan.

c.

Konfirmasi Guru menanyakan tentang langkah langkah menentukan nilai limit suatu fungsi di tak hingga menggunakan cara mengalikan bentuk sekawan.

Kegiatan Penutup (10 menit) Guru mengevaluasi kegiatan siswa dengan memberikan soal-soal latihan yang berkaitan dengan penentuan nilai limit fungsi di tak hingga menggunakan cara faktorisasi.

Alat Sumber Belajar 1. Buku PR Matematika Kelas XI SMA/MA Program IPS, Intan Pariwara 2. Buku BSE Matematika untuk Kelas XI SMA/MA Program IPS, Depdiknas Penilaian Hasil Belajar 1. Teknik Penilaian dan Bentuk Instrumen a. Teknik Penilaian Tertulis b.

2.

Bentuk Instrumen 1) Pilihan ganda 2) Uraian

Contoh Instrumen a. Pilihan Ganda 1.

f(x) = . . .

→

a. b. c. d. e.

1 2 3 5 tidak ada

Y f(x)

9 8 7 6 5 4 3 2 1 –1 0

24

Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP)

1

2

3 4

5

X

2.

x = . . .

→ −

a. b. c. 3.

b.

–4 –2 0  −    → ∞  −

Nilai 

d. e.

2 4

=....

a.

d.

b.

e.

0

c.

Uraian 1. Tentukan nilai limit berikut. a. b. c. 2.

→

+ − − −

→

− −

− − −

→

Tentukan nilai limit berikut. a. b.

− →∞ − +

x(x –

→∞

−

________, ________________

Mengetahui Kepala SMA ______________

Guru Mata Pelajaran

......................... _________________________

........................ ________________________

NIP _____________________

NIP ____________________

Matematika Kelas XI Program IPS

25

Bab I

Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers

5. Jawaban: c (f · g)(x) = f(x) · g(x) = (x – 2) ·

−

−

= − − A.

Pilihan Ganda

1. Jawaban: d Gambar (i) bukan fungsi, karena terdapat anggota A yang mempunyai 2 pasangan anggota B. Gambar (ii) fungsi surjektif, karena setiap anggota B mempunyai pasangan anggota A. Gambar (iii) fungsi surjektif, karena setiap anggota B mempunyai pasangan anggota A. Gambar (iv) fungsi injektif, karena satu anggota A berpasangan dengan tepat satu anggota B. Jadi, fungsi surjektif ditunjukkan oleh gambar (ii) dan (iii). 2. Jawaban: e g(x) = 11x + 15 ⇔ g(x + 3) = 11(x + 3) + 15 ⇔ g(x + 3) = 11x + 33 + 15 ⇔ g(x + 3) = 11x + 48 h(x) = g(x + 3) + 2 = (11x + 48) + 2 = 11x + 50 Jadi, h(x) = 11x + 50. 3. Jawaban: a Misalkan t = x – 6 ⇒ x = t + 6. h(x – 6) = 8x + 1 ⇔ h(t) = 8(t + 6) + 1 ⇔ h(t) = 8t + 49 ⇔ h(x) = 8x + 49 Jadi, h(x) = 8x + 49.

( )(x) = =

+ − +

=

− + +

=x–1

Jadi, rumus fungsi ( )(x) = x – 1. 28

6. Jawaban: a f(x – 2) = x2 – 4x – 1 ⇔ f(x – 2) = (x2 – 4x + 4) – 5 ⇔ f(x – 2) = (x – 2)2 – 5 ⇔ f(x) = x2 – 5 Jadi, f(x) = x2 – 5. 7. Jawaban: b Fungsi komposisi (f g)(x) = f(g(x)) g

f

0

1

1

2

2 4

2

3 4

6 8

Jadi, f g = {(0, 2), (1, 4), (2, 6)}. 8. Jawaban: c (f g)(–4) = f(g(–4)) = f( − − ) = f( ) = 2 – ( )2 =2–5 = –3 Jadi, (f g)(–4) = –3. 9. DJawaban: c (f g)(x) = f(g(x)) = f(x + 5) = (x + 5)2 – 5(x + 5) + 1 = x2 + 10x + 25 – 5x – 25 + 1 = x2 + 5x + 1 Jadi, fungsi komposisi (f g)(x) adalah x2 + 5x + 1.

4. Jawaban: b

= − ; x ≠ 7 Daerah asal (f · g)(x) adalah {x | x ≠ 7, x ∈ R}.

Kunci Jawaban dan Pembahasan

3. a.

10. Jawaban: c

(f g)(x) = 2 ⇔

f(g(x)) = 2

⇔

= 2 ⇔ (g(x))2 + 3 = 4(4x2 + 2x + 1) ⇔ (g(x))2 = 16x2 + 8x + 4 – 3 ⇔ (g(x))2 = 16x2 + 8x + 1 ⇔ (g(x))2 = (4x + 1)2 ⇔ g(x) = 4x + 1 Jadi, g(x) = 4x + 1. B.

b.

Uraian

1. a.

b.

g(x) = − Agar g(x) terdefinisi, nilai x ≠ 6. Jadi, daerah asal g(x) adalah {x | x ≠ 6, x ∈ R}. (f – g)(x) = f(x) – g(x) =

=

− − −

=

− − − −

=

− − −

Jadi, (f – g)(x) =

− − −

= 4. a.

– −

b.

untuk x ≠ 6 dan daerah

−

=

x

5. a.

− +

≥–

Jadi, daerah asal (f + g)(x) adalah {x | x ≥ – , x ∈ R}. b.

=

−

−

= + +

Daerah asal

p = – atau p = 1

Jadi, nilai p = – atau p = 1.

Agar terdefinisi, 2x + 9 harus lebih dari atau sama dengan nol. ⇔ 2x + 9 ≥ 0 ⇔ 2x ≥ –9 ⇔

=x–2

(g f)(x) = g(f(x)) = g(4x + 3) = 2(4x + 3)2 + (4x + 3) – 5 = 2(16x2 + 24x + 9) + 4x – 2 = 32x2 + 48x + 18 + 4x – 2 = 32x2 + 52x + 16 (g f)(p) = 100 ⇔ 32p2 + 52p + 16 = 100 ⇔ 32p2 + 52p – 84 = 0 ⇔ 8p2 + 13p – 21 = 0 ⇔ (8p + 21)(p – 1) = 0 ⇔ 8p + 21 = 0 atau p – 1 = 0 ⇔

(f + g)(x) = f(x) + g(x) = +

−

Jadi, rumus fungsi (f g)(x) = x – 2.

asalnya {x | x ≠ 6, x ∈ R}. 2. a.

Cara 1 g(x + 1) = 2x – 2 ⇔ g(x + 1) = 2(x + 1) – 4 ⇔ g(x) = 2x – 4 Cara 2 g(x + 1) = 2x – 2 Misal t = x + 1 ⇒ x = t – 1 Diperoleh: g(t) = 2(t – 1) – 2 ⇔ g(t) = 2t – 2 – 2 ⇔ g(t) = 2t – 4 ⇔ g(x) = 2x – 4 Jadi, rumus fungsi g(x) = 2x – 4. (f g)(x) = f(g(x)) = f(2x – 4)

b.

(g f)(x) = 3 – x ⇔ g(f(x)) = 3 – x ⇔ f(x) + 2 = 3 – x ⇔ f(x) = 1 – x ⇔ f(5) = 1 – 5 ⇔ f(5) = –4 Jadi, nilai f(5) = –4. f(x) = 1 – x (f g)(p) = 1 ⇔ f(g(p)) = 1 ⇔ f(p + 2) = 1 ⇔ 1 – (p + 2) = 1 ⇔ –1 – p = 1 ⇔ –p = 2 ⇔ p = –2 Jadi, nilai p = –2.

adalah {x | x ≠ –5,

x ≠ – , x ∈ R}. Matematika Kelas XI Pogram IPS

29

6. a.

b.

7. a.

b.

8. a.

b.

30

f(x + 1) = 3x + 2 ⇔ f(x + 1) = 3(x + 1) – 1 ⇔ f(x) = 3x – 1 (g f)(x) = 9x2 – 6x + 2 ⇔ g(f(x)) = 9x2 – 6x + 2 ⇔ g(3x – 1) = 9x2 – 6x + 2 ⇔ g(3x – 1) = 9x2 – 6x + 1 + 1 ⇔ g(3x – 1) = (3x – 1)2 + 1 ⇔ g(x) = x2 + 1 Jadi, g(x) = x2 + 1. (f g)(–1) = f(g(–1)) = f((–1)2 + 1) = f(2) =3×2–1 =5 Jadi, (f g)(–1) = 5. g(x – 3) = 2x + 5 ⇔ g(x – 3) = 2(x – 3) + 11 ⇔ g(x) = 2x + 11 (f g)(x) = f(g(x)) = f(2x + 11) = (2x + 11)2 + 4(2x + 11) = 4x2 + 44x + 121 + 8x + 44 = 4x2 + 52x + 165 Jadi, rumus (f g)(x) = 4x2 + 52x + 165. (g f)(2) = g(f(2)) = g(22 + 4 × 2) = g(12) = 2 × 12 + 11 = 24 + 11 = 35 Jadi, (g f)(2) = 35. h(x + 4) = 2x + 6 ⇔ h(x + 4) = 2(x + 4) – 2 ⇔ h(x) = 2x – 2 (f g h)(x) = f(g h(x)) = f(g(h(x))) = f(g(2x – 2)) = f(2x – 2 + 6) = f(2x + 4) = 3(2x + 4) – 1 = 6x + 12 – 1 = 6x + 11 Jadi, rumus fungsi (f g h)(x) = 6x + 11. (g h)(x) = g(h(x)) = g(2x – 2) = 2x – 2 + 6 = 2x + 4 ((g h) f)(x) = (g h)(3x – 1) = 2(3x – 1) + 4 = 6x – 2 + 4 = 6x + 2 Jadi, rumus fungsi ((g h) f)(x) = 6x + 2.

Kunci Jawaban dan Pembahasan

9. a.

b.

10. a.

b.

A.

(g f h)(x) = g((f h)(x)) = g(f(x + 6)) = g(3(x + 6) – 15) = g(3x + 3) = 2(3x + 3) + 6 = 6x + 12 Jadi, (g f h)(x) = 6x + 12. (h f g)(p) = –3 ⇔ h(f(g(p))) = –3 ⇔ h(f(2p + 6)) = –3 ⇔ h(3(2p + 6) – 15) = –3 ⇔ h(6p + 3) = –3 ⇔ 6p + 3 + 6 = –3 ⇔ 6p + 9 = –3 ⇔ 6p = –12 ⇔ p = –2 Jadi, p = –2. (f g h)(x) = f(g(h(x))) = f(g(2x + 2)) = f(6 – (2x + 2)2) = f(6 – (4x2 + 8x + 4)) = f(–4x2 – 8x + 2) = –(–4x2 – 8x + 2) = 4x2 + 8x – 2 Jadi, (f g h)(x) = 4x2 + 8x – 2. (h g f)(x) = h(g(f(x))) = h(g(–x)) = h(6 – (–x)2) = h(6 – x2) = 2(6 – x2) + 2 = 12 – 2x2 + 2 = 14 – 2x2 (h g f)(–3) = 14 – 2(–3)2 = 14 – 18 = –4 Jadi, (h g f)(–3) = –4.

Pilihan Ganda

1. Jawaban: c f(x – 4) = 2x + 1 ⇔ f(x – 4) = 2(x – 4) + 9 ⇔ f(x) = 2x + 9. Misalkan y = f(x) y = 2x + 9 ⇔

x=

−

⇔

f–1(x) =

−

Jadi, invers dari f(x) adalah f–1(x) =

−

.

2. Jawaban: a g(x) =

Misalkan y = f(x)

−

+3

=

=

y = ⇔ 4xy + y = 2x – 3 ⇔ 4xy – 2x = –y – 3 ⇔ x(4y – 2) = –y – 3 − −

⇔

x = −

⇔

x = −− +

⇔

x = −

= Misalkan y = g(x) y= ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

x=

⇔

g–1(x) =

+

Jadi, g–1(x) =

+

−

−

Jika f(x) = + , x ≠ – maka

−

−

−

−

+

Dengan demikian, f–1(x) = − . Cara 2 Dengan rumus praktis:

(2x + 3)y = 7x + 5 2xy + 3y = 7x + 5 7x – 2xy = 3y – 5 x(7 – 2y) = 3y – 5

⇔

− +

− +

untuk x ≠

untuk x ≠

f–1(x) = − , x ≠ .

−

f(x) = + sehingga:

.

− −

f–1(x) = −

3. Jawaban: a

− +

h(x) = 6 –

⇔

f–1(x) = −− +

=

⇔

f–1(x) = −

= =

− + − + + − +

+

Jadi, invers fungsi f(x) adalah f–1(x) = − untuk

+

x≠ .

Misalkan h(x) = y. y=

5. Jawaban: b Misalkan y = f(x)

+

⇔ (2x + 3)y = 13x + 14 ⇔ 2xy + 3y = 13x + 14 ⇔ 13x – 2xy = 3y – 14 ⇔ x(13 – 2y) = 3y – 14 ⇔

x=

− −

⇔

h–1(x) =

− −

untuk x ≠

y=

.

−

⇔ (3 + 2x)y = 3 – x ⇔ 3y + 2xy = 3 – x ⇔ 2xy + x = 3 – 3y ⇔ x(2y + 1) = 3 – 3y

Jadi, invers dari h(x) adalah h–1(x) = x≠

+

− −

untuk

⇔

x=

⇔

f–1(x) =

−

− ;

x≠– .

Daerah asal f–1(x) adalah {x | x ≠ – , x ∈ R}.

4. Jawaban: b Cara 1 −

f(x) =

Matematika Kelas XI Pogram IPS

31

6. Jawaban: b Cara 1 Dengan menentukan f–1(x) dahulu. Misal y = f(x) = 2 + −

8. Jawaban: b f(x) =

Misal y =

−

y=2+

− = 4

⇔

− = 2

⇔

x–1 =4

f–1(t) = 2

=

−

⇔ 2t – 12 = 8 ⇔ 2t = 20 ⇔ t = 10 Jadi, nilai t = 10. 9. Jawaban: d f(x) = 3x – 2 Misalkan y = f(x) y = 3x – 2 ⇔ 3x = y + 2 ⇔

⇔ ⇔ ⇔

+

+

= g( )

) )+1

+

− −

;x≠

Jadi, (g

x=

⇔ (f g)–1(x) =

−

= = 4.

10. Jawaban: c (f g)–1(x) = (g–1 f–1)(x) = g–1(f–1(x))

−

−

+ − − = − = − f–1)(1) =

=5–

(2 – 3x)y = 2 2y – 3xy = 2 3xy = 2y – 2

⇔

x=

Dengan demikian, f–1(x) = + .

Misalkan y = (f g)(x) y=

=2

3( − −

−

⇔

(g f–1)(x) = g(f–1(x))

−

=

x = −

Dengan demikian, f–1(x) = − .

7. Jawaban: b (f g)(x) = f(g(x))

=

⇔

⇔ x =5 –1 ⇔ f (4) = 5 Jadi, nilai f–1(4) = 5.

= f(

+

⇔ xy = 6x + 8 ⇔ xy – 6x = 8 ⇔ (y – 6)x = 8

⇔ − = y – 2 ⇔ x – 1 = (y – 2)2 ⇔ x – 1 = y2 – 4y + 4 ⇔ x = y2 – 4y + 5 Dengan demikian, f–1(x) = x2 – 4x + 5. f–1(4) = 42 – 4(4) + 5 = 16 – 16 + 5 =5 Cara 2 Dengan pengertian fungsi invers. f(x) = y ⇔ f–1(y) = x f–1(4) = x maka f(x) = 4. f(x) = 4 ⇔ 2+

+

= g–1( − ) =

untuk x ≠ 0.

−

− +

untuk x ≠ 0

Jadi, invers dari (f g)(x) adalah (f g)–1(x) =

−

= ( − ) −

−

= − , x ≠ 4 −

Jadi, rumus fungsi (f g)–1(x) adalah − untuk x ≠ 4. 32

Kunci Jawaban dan Pembahasan

B.

Uraian

1. a.

Misalkan y = f(x). y = 3x + 1 ⇔ 3x = y – 1 ⇔

x=

−

⇔

f–1(x) =

−

b.

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

⇔

− −

x= g–1(x) =

− −

− −

y= ⇔

y=

⇔

y=

⇔

x= h–1(x) =

−

;x≠

y= ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

−

(8x + 3)y = 6 – x 8xy + 3y = 6 – x 8xy + x = 6 – 3y x(8y + 1) = 6 – 3y

g(x) =

−

⇔

g(x – 1) =

− −

⇔

g(x – 1) =

− −

⇔

g(x – 1) =

− − − − .

Misalkan f–1(x) = y. y = y2 = 4x + 1 x=

−

⇔ f(x) =

−

g–1(x + 2) =

⇔ g–1(x + 2) =

⇔

g–1(x) =

Misalkan g (x) = y. y = ⇔ y2 = x + 4 ⇔ x = y2 – 4 ⇔ g(x) = x2 – 4 Jadi, g(x) = x2 – 4.

−

.

Misalkan y = f(x).

⇔

–1

.

Jadi, invers dari h(x) adalah h (x) =

2. a.

−

b.

–1

untuk x ≠

y = y2 = 3x + 2

⇔ (g–1(x))–1 =

⇔

−

untuk x ≠ – .

−

⇔

⇔ 4xy = 13x + 2 ⇔ 4xy – 13x = 2 ⇔ x(4y – 13) = 2

x≠– .

x=

+3

− ;

Misalkan g–1(x) = y.

Jadi, g(x – 1) = 3. a.

−

−

;x≠2

untuk x ≠ 2. Misalkan y = h(x).

⇔

f–1(x) =

⇔

− −

Jadi, invers dari g(x) adalah g–1(x) = c.

− .

(x – 8)y = 2x – 15 xy – 8y = 2x – 15 2x – xy = –8y + 15 x(2 – y) = –8y + 15

⇔

⇔

⇔

Misalkan y = g(x). y=

x=

Jadi, f–1(x) =

Jadi, invers dari f(x) adalah f–1(x) = b.

⇔

f–1(x + 4) =

⇔

f–1(x + 4) =

−

⇔

f–1(x) =

4. a.

−

Matematika Kelas XI Pogram IPS

33

Misalkan f–1(x) = y. ⇔

y = − y2 = 3x – 11 x=

⇔ f(x) =

⇔

b.

f(a) = 4 ⇔

b.

=4

⇔ a2 + 11 = 12 ⇔ a2 = 1 ⇔ a = ±1 Jadi, a = –1 atau a = 1. 5. a.

(f g)(x) = f(g(x)) = f(x – 1) = 2(x – 1) + 5 = 2x – 2 + 5 = 2x + 3 Misalkan y = (f g)(x). y = 2x + 3 x=

−

⇔ (f g)–1(x) =

−

⇔

Jadi, (f g)–1(x) = b.

x=

−

⇔ (g f)–1(x) =

−

Jadi, (g f)–1(x) =

−

x=

− −

Dengan demikian, (f g)–1(x) = (f g)–1(1) =

− −

− − −

= = –12 Cara 2 Dengan pengertian fungsi invers. f(x) = y ⇔ f–1(y) = x (f g)–1(1) = x maka (f g)(x) = 1. (f g)(x) = 1 ⇔ –12x – 23 = 1 ⇔ –12x = 24 ⇔ x = –2 ⇔ (f g)–1(1) = –2 Jadi, nilai (f g)–1(1) = –2.

.

7. a. .

Misalkan g(x) = y. y=x+3 ⇔ x=y–3 ⇔ g–1(x) = x – 3

−

(f g)–1(x) = −

(g f)–1(x) = −

Misal y = ⇔ 12y = 9 – x ⇔ x = 9 – 12y

34

⇔

(g f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 5) = (2x + 5) – 1 = 2x + 4 Misalkan (g f)(x) = y. y = 2x + 4 ⇔

6. a.

−

Dengan demikian, ((g f)–1)–1(x) = (g f)(x) = 9 – 12x (g f)(x) = 9 – 12x ⇔ g(f(x)) = 9 – 12x ⇔ 3(f(x)) + 6 = 9 – 12x ⇔ 3(f(x)) = 3 – 12x ⇔ f(x) = 1 – 4x Jadi, rumus fungsi f(x) = 1 – 4x. (f g)(x) = f(g(x)) = f(3x + 6) = 1 – 4(3x + 6) = 1 – 12x – 24 = –12x – 23 Cara 1 Dengan menentukan (f g)–1(x) dahulu. Misalkan y = (f g)(x) y = –12x – 23 ⇔ 12x = –y – 23

Kunci Jawaban dan Pembahasan

⇔ (g–1 f–1)(x) = −

⇔

g–1(f–1(x)) = −

⇔

f–1(x) – 3 = −

.

b.

f–1(x) = − + 3

⇔

f–1(x) =

− −

⇔

x=

−

⇔

f–1(x) =

− −

⇔ f–1(x) =

−

− −

(f (g h)–1)–1(x) = (((g h)–1)–1 f–1)(x) = ((g h) f–1)(x) = (g (h f–1))(x)

⇔

–1

f (x) =

;x≠4

−

b.

Misalkan y = f(x) y = 2x + 1

⇔

Jadi, f–1(x) = − ; x ≠ 4. (f–1 g)(x) = f–1(g(x)) = f–1(x + 3)

−

= g(h( ))

= g( − )

−

= − =

= g( − )

− −

= − + 7 =

− −

Jadi, (f–1 g)(x) = − ; x ≠ 1.

=

− −

g(x – 1) = x + 6 ⇔ g(x – 1) = (x – 1) + 7 ⇔ g(x) = x + 7 (f g h)(x) = f((g h)(x)) = f(g(h(x)))

= − ; x ≠ 1

= − ; x ≠ 1

8. a.

−

−

Jadi, (f (g h)–1)–1(x) = − untuk x ≠ 1. 9. a.

= f(g( )) =

f(

=

2(

+ 7) + 7) + 1

= + 14 + 1

= + 15 Misalkan y = (f g h)(x)

x = −

Jadi, rumus fungsi g(x) =

⇔

y=

⇔ ⇔ ⇔

xy = 6 + 15x 15x – xy = –6 x(15 – y) = –6

+ 15

b.

. −

(h g f)(x) = h(g(f(x))) −

= h(g ( ))

x=

– −

(f g h) (x) =

– −

untuk x ≠ 15

Jadi, (f g h)–1(x) =

– −

untuk x ≠ 15.

⇔

⇔

−

y=

–1

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

y = − (x – 4)y = x xy – 4y = x xy – x = 4y x(y – 1) = 4y

Dengan demikian, (g–1)–1(x) = g(x) = .

⇔

g–1(x) = − Misalkan y = g–1(x)

  −      −    

= h  −

 −   −−   

= h 

 − 

= h −    −

−

−

= − = − = − −

Jadi, rumus fungsi (h g f)(x) = − , x ≠ 7. Matematika Kelas XI Pogram IPS

35

c.

Cara 1 Dengan menentukan (h g f)–1(x) dahulu. Misalkan y = (h g f)–1(x).

b.

−

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

y = − y(x – 7) = x – 5 xy – 7y = x – 5 xy – x = 7y – 5 x(y – 1) = 7y – 5

−

⇔

−

Dengan demikian, (h g f) –1(x) = − . Agar (h g f) –1(k) = 3 maka ⇔ ⇔ ⇔

7k – 5 = 3(k – 1) 7k – 5 = 3k – 3 4k = 2

⇔

k=

⇔

− −

=k

⇔

10. a.

= 10

Pilihan Ganda

− −

= −

.

x=

⇔ (f g h)–1(x) =

Jadi, (f g h)–1(x) = 36

A.

f(x) =

Misalkan y = f–1(x) y=x+4 ⇔ x=y–4 ⇔ f(x) = x – 4 g(x + 2) = 3x – 2 ⇔ g(x + 2) = 3(x + 2) – 8 ⇔ g(x) = 3x – 8 (f g h)(x) = f((g h)(x)) = f(g(h(x))) = f(g(5x – 1)) = f(3(5x – 1) – 8) = f(15x – 11) = (15x – 11) – 4 = 15x – 15 Misalkan y = (f g h)(x). y = 15x – 15 ⇔

1. Jawaban: e

k=

Jadi, nilai k =

⇔ a + 71 = 150 ⇔ a = 79 Jadi, nilai a = 79.

Cara 2 Dengan pengertian fungsi invers. f(x) = y maka f–1(y) = x. (h g f)–1(x) = 3 maka (h g f)(3) = k. (h g f)(3) = k =k

⇔ (g h f)–1(x) =

⇔

− −

(g h f)–1(a) = 10

=3

⇔

x=

⇔

x = −

− −

(g h f)(x) = g((h f)(x)) = g(h(x – 4)) = g(5(x – 4) – 1) = g(5x – 21) = 3(5x – 21) – 8 = 15x – 63 – 8 = 15x – 71 Misalkan y = (g h f)(x) y = 15x – 71

= − untuk x ≠ 3 Jadi, daerah asal f(x) adalah {x | x ≠ 3, x ∈ R}. 2. Jawaban: d f(x) =

−

= −

= − untuk x ≠ 1 Jadi, daerah asal f(x) adalah {x | x ≠ 1, x ∈ R}. 3. Jawaban: d (g · h)(x) = g(x) · h(x)

= (x2 + 11x + 24) ·

= (x + 8)(x + 3) · =x+3 Jadi, (g · h)(x) = x + 3. .

Kunci Jawaban dan Pembahasan

4. Jawaban: a f(x + 2) = 4x – 7 ⇔ f(x + 2) = 4(x + 2) – 15 ⇔ f(x) = 4x – 15 g(x) = f(x) + 6 = 4x – 15 + 6 = 4x – 9 Jadi, rumus fungsi g(x) = 4x – 9.

10. Jawaban: a (f g)(x) = f(g(x))

−

= f( − − )

5. Jawaban: a f(x + 1) = 2(x + 1)2 + (x + 1) – 6 = 2(x2 + 2x + 1) + x – 5 = 2x2 + 4x + 2 + x – 5 = 2x2 + 5x – 3 Jadi, rumus fungsi f(x + 1) = 2x2 + 5x – 3. 6. Jawaban: c (f g)(x) = f(g(x))

−

= f( − − ) = f(1) = 12 + 2 =3

Jadi, nilai (f g)(– ) = 3. 11. Jawaban: a (f g)(x) = f(g(x)) = f(2x + 5)

= f( x – 1)

= 6( x – 1) + 5 = 2x – 6 + 5 = 2x – 1 Jadi, (f g)(x) = 2x – 1. 7. Jawaban: d (f g)(x) = f(g(x))

=

=

= (f g)(a) = 2

 −

⇔ = 2 ⇔ 6a + 16 = 4 ⇔ 6a = –12 ⇔ a = –2 Jadi, nilai a adalah –2.

= f  −     −  

= 3  −  – 5 − −

=

− −

–

=

− − +

;x≠2

Jadi, hasil komposisi fungsi (f g)(x) adalah x ≠ 2. 8. Jawaban: a (f g)(x) = (h g)(x) ⇔ f(g(x)) = h(g(x)) ⇔ f(x + 1) = h(x + 1) ⇔ 2(x + 1) = 10(x + 1) – 5 ⇔ 2x + 2 = 10x + 5 ⇔

(f g)(– ) = f(g(– ))

–8x = 3 ⇔ x = –

Jadi, nilai x adalah – . 9. Jawaban: e (g f)(x) = g(f(x)) (g f)(2) = g(f(2)) = g( − ) = g( ) = g(2) = 3 + 2(2)2 = 3 + 8 = 11 Jadi, nilai (g f)(2) = 11.

− − +

;

12. Jawaban: c h(x) = f(x) + 2 = 4x + 3 + 2 = 4x + 5 (g h)(x) = g(h(x)) = g(4x + 5) = (4x + 5) – 15 = 4x – 10 (g h)(p) = –8 ⇔ 4p – 10 = –8 ⇔ 4p = 2 ⇔

p=

Jadi, nilai p adalah . 13. Jawaban: a f(x – 3) = 3x – 10 ⇔ f(x – 3) = 3(x – 3) – 1 ⇔ f(x) = 3x – 1 (g f)(x) = g(f(x)) = g(3x – 1) = 2(3x – 1)2 = 2(9x2 – 6x + 1) = 18x2 – 12x + 2 Jadi, (g f)(x) = 18x2 – 12x + 2. Matematika Kelas XI Pogram IPS

37

14. Jawaban: d (f g)(x) = 3x + 3 ⇔ f(g(x)) = 3x + 3 ⇔

−

= f(6) = 62 + 1 = 37 Jadi, ((f g) h)(3) = 37.

= 3x + 3

⇔ 4 – g(x) = 6x + 6 ⇔ –g(x) = 6x + 2 ⇔ g(x) = –6x – 2 Jadi, rumus fungsi g(x) = –6x – 2. 15. Jawaban: e (g f)(x) = 6x – 7 ⇔ g(f(x)) = 6x – 7 ⇔ g(3x – 4) = 6x – 7 ⇔ g(3x – 4) = 2(3x – 4) + 1 ⇔ g(x) = 2x + 1 g(2x + 2) = 2(2x + 2) + 1 = 4x + 4 + 1 = 4x + 5 Jadi, rumus fungsi g(2x + 2) = 4x + 5. 16. Jawaban: c (g f h)(x) = g((f h)(x)) = g(f(h(x))) = g(f(3x)) = g((3x)2 + 3x – 6) = g(9x2 + 3x – 6) = 2(9x2 + 3x – 6) + 1 = 18x2 + 6x – 12 + 1 = 18x2 + 6x – 11 Jadi, (g f h)(x) = 18x2 + 6x – 11. 17. Jawaban: a h(x) = (f + g)(x) – x2 = (f(x) + g(x)) – x2 = ((4x + 7) + (x2 + 1)) – x2 = x2 + 4x + 8 – x2 = 4x + 8 (h g f)(x) = h((g f)(x)) = h(g(f(x)) = h(g(4x + 7)) = h((4x + 7)2 + 1) = h(16x2 + 56x + 49 + 1) = 4(16x2 + 56x + 50) + 8 = 64x2 + 224x + 200 + 8 = 64x2 + 224x + 208 18. Jawaban: e g(x + 1) = 3x + 6 ⇔ g(x + 1) = 3(x + 1) + 3 ⇔ g(x) = 3x + 3 ((f g) h)(3) = (f g)(h(3))

= (f g)( ) = (f g)(1) = f(g(1)) = f(3 × 1 + 3)

38

Kunci Jawaban dan Pembahasan

19. Jawaban: d (h g f)(–2) = h((g f)(–2)) = h(g(f(–2)) = h(g((–2)2 + 1)) = h(g(5)) = h(4 × 5 – 1) = h(19)

=

=

=

Jadi, (h g f)(–2) = . 20. Jawaban: b Cara 1 Dengan menentukan f–1(x) dahulu.

f(x) = +

Misal y = +

⇔

=y– ⇔ x = 8y – 4 Dengan demikian, f–1(x) = 8x – 4.

f–1( ) = 8( ) – 4 =2–4 = –2 Cara 2 Dengan pengertian fungsi invers. f(x) = y ⇔ f–1(y) = x f–1( ) = x maka f(x) = .

f(x) = ⇔ ⇔

+ =

=–

⇔

x=–

⇔

x = –2

⇔

f–1( ) = –2

Jadi, nilai f–1( ) = –2.

21. Jawaban: a g–1(x – 1) = 4x + 9 ⇔ g–1(x – 1) = 4(x – 1) + 13 ⇔ g–1(x) = 4x + 13 Misalkan y = g–1(x) y = 4x + 13 x=

−

⇔ g(x) =

−

⇔

g(17) =

24. Jawaban: c

(g f)–1(x) = −

⇔ (f g) (x) =

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

Jadi, invers dari (f g)(x) adalah (f g) (x) = 23. Jawaban: a (g f)(x) = g(f(x)) = g(x + 6) = 2(x + 6) – 7 = 2x + 12 – 7 = 2x + 5 Misalkan y = (g f)(x) y = 2x + 5 ⇔ 2x = y – 5

; −

g–1(x) =

x≠7

.

Dengan demikian, (g f)–1(x) = − .

− −

−

(x – 7)y = 5x + 22 xy – 7y = 5x + 22 xy – 5x = 7y + 22 x(y – 5) = 7y + 22

⇔

x=

⇔

g(x) =

Jadi, g(x) =

−

; −

; −

= –2 – x

Jadi, (g f)–1(1 – x) = –2 – x.

x ≠ 5.

−

Dengan demikian, (f g)–1(x) = − . ⇔ (f g)–1(2) = =

− −

x≠5

25. Jawaban: d (f g)(x) = f(g(x)) = f(3x + 3) = 2(3x + 3) + 2 = 6x + 6 + 2 = 6x + 8 Cara 1 Akan ditentukan (f g)–1(x) dahulu. Misal y = 6x + 8 ⇔ 6x = y – 8 ⇔ x =

−

=

= − –1 (g (x) + 1)(x – 7) = (2x + 5)3 x · g–1(x) + x – 7g–1(x) – 7 = 6x + 15 x · g–1(x) – 7g–1(x) = 5x + 22 g–1(x)(x – 7) = 5x + 22

y=

–1

(g f)–1(1 – x) =

−

Misalkan g (x) = y.

x=

–1

x=

⇔

f–1(g–1(x)) = −

⇔

22. Jawaban: b (f g)(x) = f(g(x)) = f(3x – 8) = 4(3x – 8) + 21 = 12x – 32 + 21 = 12x – 11 Misalkan (f g)(x) = y y = 12x – 11

–1

⇔

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

=1 Jadi, g(17) = 1.

⇔

(f–1 g–1)(x) = −

⇔

−

⇔

− − =

–1

Cara 2 Dengan pengertian fungsi invers. f(x) = y ⇔ f–1(y) = x (f g)–1(2) = x maka (f g)(x) = 2. (f g)(x) = 2 ⇔ 6x + 8 = 2 ⇔ 6x = –6 ⇔ x = –1 ⇔ (f g)–1(2) = –1 Jadi, nilai (f g)–1(2) = –1. Matematika Kelas XI Pogram IPS

39

(f g)(p) = 12 ⇔ 12p + 8 = 12 ⇔ 12p = 4

26. Jawaban: c f(x + 1) = x – 4 ⇔ f(x + 1) = (x + 1) – 5 ⇔ f(x) = x – 5 Misal y = x – 5 ⇔ x=y+5 Dengan demikian, f–1(x) = x + 5. (g f–1)(x) = g(f–1(x)) = g(x + 5)

29. Jawaban: a g(x) = 3x + 2 ⇔ y = 3x + 2

Jadi, (g f–1)(x) = x + . −

Misalkan y = (f g)–1(x) y=

Misal t = 3x + 2 ⇒ x =

−

− –1 −− = − = − = −

f–1(t) =

⇔

f–1(t)

⇔

f–1(x)

Misal y =

⇔ 3y = x – 5 ⇔ x = 3y + 5 Dengan demikian (f–1)–1(x) = f(x) = 3x + 5. (f g)(x) = f(g(x)) = f(4x + 1) = 3(4x + 1) + 5 = 12x + 3 + 5 = 12x + 8

40

−

Kunci Jawaban dan Pembahasan

= f–1(

− −

= f–1(

− )

g)(x) =

28. Jawaban: e f–1(3x + 2) = x – 1

f–1(t)

⇔ g–1(x) =

−

⇔ 4y = 3 – x ⇔ x = 3 – 4y Dengan demikian, ((f g)–1)–1(x) = (f 3 – 4x. (f g)(x) = 3 – 4x ⇔ f(g(x)) = 3 – 4x ⇔ 5 – 2(g(x)) = 3 – 4x ⇔ –2(g(x)) = –4x – 2 ⇔ g(x) = 2x + 1 ⇔ g(4) = 2(4) + 1 ⇔ g(4) = 8 + 1 ⇔ g(4) = 9 Jadi, nilai g(4) = 9.

⇔

−

(h g f)–1(x) = (f–1 g–1 h–1)(x) = f–1((g–1 h–1)(x)) = f–1(g–1(h–1(x))) = f–1(g–1(8x – 3))

27. Jawaban: c (f g)–1(x) =

x=

⇔

= x + – = x +

p=

Jadi, nilai p = .

= (x + 5) – 1 = x + – 1

⇔

= 4(

− )

–1

=

−

=

− −

=

−

Jadi, (h g h)–1(x) =

)

–1

−

.

30. Jawaban: a (f g h)(x) = f(g(h(x))) = f(g(x – 4)) = f((x – 4) + 6) = f(x + 2) = 5 – 2(x + 2) = 5 – 2x – 4 = 1 – 2x Misalkan y = (f g h)(x) y = 1 – 2x ⇔ 2x = 1 – y ⇔

x=

−

Dengan demikian, (f g h)–1(x) = − . (f g h)–1(x) = 3 ⇔

−

=3

⇔ 1–x=6 ⇔ x = –5 Jadi, nilai x adalah –5.

b.

g f

Uraian

1. a.

▲

B.

g(x) =

b.

a

f(x) = − sehingga daerah asalnya {x | x ≠ 3, x ∈ R}. + − −

f

a b

b

c

c

c

d

d

d

=

+ + −

=

−

g f = {(a, c), (b, a), (c, d), (d, a)} 4. a.

(f g)(x) = f(g(x))

= f( + )

Daerah asal g(x) adalah {x | x ≠ 6, x ∈ R}. h(x) = f(x) + g(x)

=

=

=

− + − − −

=

− + − − − +

=

− − + −

Jadi, (f g)(x) = – , x ≠ 0. b.

(g f)(x) = g(f(x)) −

= g( ) = − − + −

; x ≠ 3, x ≠ 6.

=

Daerah asal h(x) = {x | x ≠ 3, x ≠ 6, x ∈ R}.

− − +

=

−

= −

= f(x) · g(x) = (3 + 2x)(x – 6) = 3x + 2x2 – 18 – 12x = 2x2 – 9x – 18 Jadi, (f · g)(x) = 2x2 – 9x – 18.

⇔

− −

= ⇔ 3a – 3 = 4a – 2 ⇔ –a = 1 ⇔ a = –1 Jadi, nilai a = –1.

( )(x) =

−

− − + − −

(g f)(a) =

(f · g)(x)

− + + + +

= =–

Rumus fungsi h(x) =

b.

− + +

−

= − + −

2. a.

a

g

b

b

b

b

c

c

c

(g h)(x) = 8x – 9 ⇔ g(h(x)) = 8x – 9 ⇔ g(2x – 3) = 8x – 9 ⇔ g(2x – 3) = 4(2x – 3) + 3 ⇔ g(x) = 4x + 3 Jadi, g(x) = 4x + 3. (g f)(a) = (f h)(a) ⇔ g(f(a)) = f(h(a)) ⇔ g(a2 + 1) = f(2a – 3) ⇔ 4(a2 + 1) + 3 = (2a – 3)2 + 1 ⇔ 4a2 + 7 = 4a2 – 12a + 9 + 1 ⇔ 4a2 + 7 = 4a2 – 12a + 10 ⇔ –12a + 10 = 7 ⇔ –12a = –3

d

d

d

⇔

=

5. a.

=

−

=

−

Jadi, ( )(x) = 3. a.

−

b. .

f g ▲

a

g

a

f

a

f g = {(a, b), (b, c), (c, a), (d, a)}

a=

Jadi, a = .

Matematika Kelas XI Pogram IPS

41

6. a.

= f–1(5)

f(x) = 3 – Misalkan y = f(x)

y=3– ⇔

⇔

x = −

=3–y Jadi, nilai

b.

Dengan demikian, f–1(x) =

b.

−

.

Jadi, inversnya f–1(x) = − , x ≠ 3. Cara 1

⇔

x = − +

⇔

x =

=

− −

8. a.

Dengan demikian, g–1(x) = Cara 2 Dengan rumus praktis.

− .

⇔

− +

b.

g–1(x) = − −

− −

⇔ g–1(x) = − + −

g–1(x) =

−

Jadi, inversnya g–1(x) = , x ≠ –2. 7. a.

f(x) = 5x – 5 Misalkan y = f(x) y = 5x – 5 ⇔ 5x = y + 5 ⇔

x=

(g f)–1(3) = =

+

Dengan demikian, f (x) = (f–1 g)(x) = f–1(g(x))

+

(f–1 g)( ) = f–1(g( ))

= f–1(6( ) + 2)

42

Kunci Jawaban dan Pembahasan

.

− −

g(x) = x + 2 ⇔ y=x+2 ⇔ x=y–2 ⇔ g–1(x) = x – 2 (g f)–1(x) = (f–1 g–1)(x) = f–1(g–1(x)) = f–1(x – 2) =

–1

x=

⇔ (f–1 g)–1(x) =

g(x) = − atau g(x) = − + , sehingga:

y = y2 = 4x + 13

⇔

g–1(x) = − , x ≠ .

⇔

Jadi, nilai (g–1 f)(2) = . (f–1 g)(x) = f–1(g(x)) = f–1(x + 2)

.

− =

= = Misalkan y = (f–1 g)(x).

Jika g(x) = , x ≠ – maka −

−

−

−

=

− − −

x=

x=

Dengan demikian, g–1(x) = (g–1 f)(x) = g–1(f(x)) (g–1 f)(2) = g–1(f(2)) = g–1(5(2) – 5) = g–1(5)

y = − 5y – xy = 2x + 6 –xy – 2x = 6 – 5y x(–y – 2) = 6 – 5y

⇔

= 2.

g(x) = 6x + 2 Misalkan y = g(x) y = 6x + 2 ⇔ 6x = y – 2 ⇔

g(x) = − Misalkan y = g(x) ⇔ ⇔ ⇔

+ = =2 (f–1 g)( )

=

− =

−

− −

= = ±3 Jadi, (g f)–1(3) = 3 atau (g f)–1(3) = –3.

(f g)–1(3x + 5) =

9. a.

⇔ (f g)–1(3x + 5) = ⇔

(f g)–1(x) = y=

+ + − −

−

⇔ 4y = x – 3 ⇔ x = 4y + 3 Dengan demikian, ((f g)–1)–1(x) = (f g)(x) = 4x + 3. Jadi, rumus fungsi (f g)(x) = 4x + 3. b.

Bab II

A.

Pilihan Ganda

1. Jawaban: b Dari gambar grafik fungsi f(x) terlihat sebagai berikut. 1) Untuk x mendekati 1 dari sebelah kiri, nilai f(x) mendekati 2 atau f(x) = 2. → −

(f g)(x) = 4x + 3 ⇔ f(g(x)) = 4x + 3 ⇔ f(6x + 9) = 4x + 3

2)

⇔

f(x) =

x–3

⇔

⇔

p–3=5

p=8

p= ×8 ⇔ p = 12 Jadi, nilai p = 12. (g h)(x) = g(h(x) = g(2x – 7) = 3(2x – 7) + 10 = 6x – 21 + 10 = 6x – 11 Misalkan y = (g h)(x) y = 6x – 11 ⇔

x=

⇔ (g h)–1(x) = b.

⇔ ⇔ ⇔ (f ⇔ ⇔

= 2.

2. Jawaban: e Dari gambar grafik fungsi f(x) terlihat sebagai berikut. 1) Untuk x mendekati 3 dari sebelah kiri, nilai

⇔

10. a.

Oleh karena f(x) = f(x) = 2 maka nilai → − → + → f(x)

f(p) = 5

Untuk x mendekati 1 dari sebelah kanan, nilai f(x) mendekati 2 atau f(x) = 2. → +

⇔ f(6x + 9) = (6x + 9) – 3

Limit Fungsi

.

f(x) = x – 16 y = x – 16 x = y + 16 f–1(x) = x + 16 (g h))–1(a) = ((g h)–1 f–1)(a) –2 = (g h)–1(f–1(a)) –2 = (g h)–1(a + 16)

⇔

–2 =

⇔

–2 =

⇔ –12 = a + 27 ⇔ a = –39 Jadi, nilai a = –39.

f(x) mendekati 5 atau − f(x) = 5. → −

2)

Untuk x mendekati 3 dari sebelah kanan, nilai f(x) mendekati 8 atau + f(x) = 8. → +

Oleh karena − f(x) ≠ + f(x) maka dikatakan → −

→ +

f(x) tidak ada.

→

3. Jawaban: c f(x) =

f(x) = 4

→ −−

→ −+

Diperoleh f(x) = 4. (Pernyataan a salah) → −

f(x) = f(x) = 3 +

→ −

→

Diperoleh f(x) = 3. (Pernyataan b salah) →

f(x) = f(x) = 3 +

→ −

→

Diperoleh f(x) = 3. (Pernyataan c benar, →

pernyataan d dan e salah) Jadi, pernyataan yang benar pada pilihan c. 4. Jawaban: c Oleh karena x = a maka x = –4. →

→ −

5. Jawaban: d Oleh karena k = k maka 5 = 5. →

→

Matematika Kelas XI Pogram IPS

43

6. Jawaban: e Dengan substitusi langsung: (x2 – 4x + 7) = (–2)2 – 4(–2) + 7

→ −

=4+8+7 = 19

7. Jawaban: d Dengan substitusi langsung:

→

+

=

= 2

→

→

+ + 2 →

=

→

→

( ) + ( )

8. Jawaban: c Oleh karena fn(x) = ( f(x))n →

→

maka (x – 3)5 = ( (x – 3))5 →

= (2 – 3) = (–1)5 = –1

→

=

+ + 2

=

+ 2 = 5 + 2 = 7

5

Dengan memfaktorkan: − →

− →

=

− →

=

− − −

=

− →

=

− − −

Dengan memfaktorkan:

=

− →

− −

⋅ − ⋅ ⋅

−

=

−

→

= 6

− → −

= −

=

→

−

→

=

=–

→

→

−

→

→

= =

−

= –2

Kunci Jawaban dan Pembahasan

=–

−

−

=

⋅ −

−

=

(tak tentu)

Dengan memfaktorkan:

→

⋅ − ⋅ −

−

(tak tentu)

14. Jawaban: b Dengan substitusi langsung:

⋅ −

=

=

→

=

−

=

13. Jawaban: b Dengan substitusi langsung:

10. Jawaban: a

44

⋅ −

− − → −

=

→

⋅ − ⋅ − = = (tak tentu) ⋅ →

=

=

+ 2

→

9. Jawaban: b Dengan substitusi langsung:

→

12. Jawaban: a Dengan substitusi langsung:

= 2

→

+ + 2

=

= + − + 2

= 21 · 2

( + + 2)

→

=

+ =

= 21 +

11. Jawaban: c

→

−

−

=

−

→ − −

= –3 = –3 →

15. Jawaban: e Dengan substitusi langsung: − → −

=

− −

=

+ − − →

19. Jawaban: e Dengan substitusi langsung: + − → − + +

= (tak tentu) Dengan memfaktorkan: − → −

=

+ − → − + +

=

=

16. Jawaban: b Dengan substitusi langsung: − ⋅ ⋅ − ⋅ +

=

(tak tentu)

−

→

– −) =

= =

− −

− − → + −

(

→

= =

⋅ − − + −

=

=

(tak tentu)

=

−

–

+ = → +

− − → + −

=

− − →

(

− ⋅ − + ⋅ −

− − + − →

=

–

−

=

− + − +

=

− − +

–

−

)=

+

= +

=

(tak tentu)

(

→

· +

–

–

−

(tak tentu)

− −

–

−

)

−

→ − +

− −

= + − → −

= + → =

− −

=∞–∞

− + → − + + + →

− +

Dengan memfaktorkan:

=

=

+

=

=

Dengan memfaktorkan:

+

– − + )

Dengan substitusi langsung:

⋅+ +

18. Jawaban: c Dengan substitusi langsung:

(tak tentu)

– −)

→ − + − + → − + − → − + → + = +

− −

− + → − +

=

=

21. Jawaban: b

Dengan memfaktorkan:

=

−

–

−

= (

− ⋅ − –

=

Dengan memfaktorkan:

17. Jawaban: d Dengan substitusi langsung:

⋅ −

− → −

=

−

= − =

= – =∞–∞

→ − −

− − → + −

−

→ − −

=

− − − +

− +

=

−

20. Jawaban: d Dengan substitusi langsung: (

Dengan memfaktorkan:

+ −

→ − +

=1+1=2

→ − +

(tak tentu)

→ − + +

=

→

=

=

Dengan memfaktorkan:

= (x + 1)

− → − +

⋅ − + − − − + − +

− +

=–

= = Matematika Kelas XI Pogram IPS

45

22. Jawaban: e Dengan substitusi langsung: − −

→

=

→

=

= Dengan memfaktorkan:

→

25. Jawaban: d Dengan substitusi langsung:

+

= ( − ) · (4 + 4) =

·8=0

(tak tentu)

+

=

=

→

+ + −

+ + −

=

− + −

− + − − →

=

→

+ −

+ + −

=

=

− + · −

− ⋅+ −

=

− −

=

(tak tentu)

=

− + −

=

(tak tentu)

·

+ +

−

→ −

+

− − +

− − +

+

− → + +

= + = = –

Kunci Jawaban dan Pembahasan

+ +

− + + − + →

=

− + + − →

→

=

+ +

= (3 +

→ − +

·

=

− +

−

=

−

→ −

+

−

+ 3)

27. Jawaban: c Dengan substitusi langsung:

+ +

= − + + →

− + ⋅+

=

− −

Mengalikan dengan bentuk sekawan:

+ +

− +

→ − +

=

=

− + + −

= (3 + 2 · =3+6+3 = 12

= –4

Mengalikan dengan bentuk sekawan:

=

→

24. Jawaban: c Dengan substitusi langsung:

→

=

= (x + 2 + 3)

−

− + − →

+

26. Jawaban: e Dengan substitusi langsung:

− + − →

→

46

=

=

+ − −

→ + + −

− + + − + →

=

(tak tentu)

Mengalikan dengan bentuk sekawan:

=

=

+ + − + + −

→

+ + + +

·

·

Mengalikan dengan bentuk sekawan:

+ − −

=

23. Jawaban: e Dengan substitusi langsung:

→ −

→ + + −

→

=

+ − −

=

= ( − )(x + 4)

=

=

→

+ →

− +

+ − −

→

=

→ − +

= Mengalikan dengan bentuk sekawan:

(tak tentu)

+ )

=3+

+

=3+

=6

=

(tak tentu)

Mengalikan dengan bentuk sekawan:

28. Jawaban: d Dengan substitusi langsung: + − − −

→

=

→

+ − − −

=

+ ! + ! ! − ! ! × + ! + ! ! − !

(tak tentu)

→!

− ! ! + ! → ! − ! + ! !

=

Mengalikan dengan bentuk sekawan: + − − −

→

− ! + !

= − ! + ! ! →!

+ − + −

=

→

− ! + ! + ! + ! − ! + ! ! →!

+ + +

·

=

+ + +

+ − +

=

+ ! + ! + ! +! ! →!

=

→ − + + +

+ − + −

=

→ − + + +

− +

=

→ − + + +

− −

=

B.

→ − + + + +

− −

=

=

! + ! × ! + ! ! + ! ! !+! !

=

! ⋅ ! ! !

Uraian

1. a.

→ − − + + + +

→ + + + +

=

Jika x < –2 maka f(x) =

+ + + +

=

+

=

= x – 2 dengan

Y f(x)

5 4

=

− +

x ≠ –2. Jika –2 < x < 2 maka f(x) = 2x. Jika x ≥ 2 maka f(x) = x2 – 4x + 9. Sketsa grafik f(x):

=

= 3p

29. Jawaban: e

→

=

+ +

·

=

+

=

+

=

+

–2

→

⇔ ⇔ ⇔

+ +

Ingat,

x3

–

y3

= (x –

y)(x2

f(x) = –4 dan + f(x) = –4. → −

Oleh karena

f(x) = −

→ −

f(x) = –4

→ − +

maka f(x) = –4. → −

2)

Dengan memperhatikan grafik diperoleh: f(x) = 4 dan f(x) = 5 +

→ −

30. Jawaban: b Dengan substitusi langsung: =

Dengan memperhatikan grafik diperoleh: → − −

=4

4a = –8 a = –2

! ! −! ! !− !

1)

=4

Jadi, nilai a = –2.

− ! ! − ! →!

X

2

–4

b.

= 4 ⇔

0

→

Oleh karena − f(x) ≠ + f(x) maka =

(tak tentu)

+ xy +

→

→

f(x) = tidak ada.

→

y2)

Matematika Kelas XI Pogram IPS

47

2. a.

Dengan substitusi langsung: (x → −

b.

4. a.

+ 5)(2x – 3)

= (–2 + 5)(2(–2)3 – 3) = 3(2(–8) – 3) = 3(–19) = –57 Dengan substitusi langsung:

+ − − →

=

−

− ⋅ −

b. =

(tak tentu)

+ − − → −

− − + − →

→

=

→ +

+ − − → −

+

=

+ − + −

=

− −

→ −

=

→ − +

=

 

  −   +

=

(tak tentu)

5. a.

Dengan memfaktorkan:

→ − +

=

Dengan substitusi langsung:

→ − − + → −

=

−

−

=

− +

→ − + +

Dengan memfaktorkan: →

− +

b.

− +

=

→

=

− → +

=

− +

=

→

=

=1

Kunci Jawaban dan Pembahasan

+ +

=

(tak tentu)

=

−

=

= –4

Dengan substitusi langsung: − +

(tak tentu)

+ + + +

·

→ − + +

=

+ −

=

  − +

+ − −

→

  +

+ − ⋅ −

=

Mengalikan dengan bentuk sekawan:

=

+ − −

→

+ − =

=

−− − − −

= − = –3

48

=

Dengan substitusi langsung:

→

(tak tentu)

→ −

c.

− − − − − −

=

= Dengan memfaktorkan:

=

Dengan substitusi langsung:

Dengan memfaktorkan:

=

= − =

Dengan substitusi langsung: =

+ ⋅ − ⋅ −

=

· =

− − →

b.

=

· + )

= · + = 3. a.

+ − − →

+ − − →

= (2(3) – 7)5 = (6 – 7)5 = (–1)5 = –1 Dengan substitusi langsung: ( →

+ × − × × − ×

=

= (tak tentu) Dengan memfaktorkan:

(2x – 7)5 →

c.

Dengan substitusi langsung: + − − →

3

+ + ⋅

=

+

=

· =

Dengan substitusi langsung:

→

− +−

=

− +−

−

= − =

(tak tentu)

Mengalikan dengan bentuk sekawan: −

·

+ −

→

=–

+ + + +

− + + + −

=–

=–

=

→

=

− + + → −

=

− + + − + →

+ +

+ + +

= c.

− − −

f(x) =

− − − →

→

=

− − −

→

=

− − −

+ =

=

→ +

(tak tentu)

Mengalikan dengan bentuk sekawan: − − −

→

+ +

·

− + − +

·

=

− + − + − − − + + →

=

− − + − − + →

=

g(x) =

− → − +

g(x) =

→

→ −

− + + − −

=

+ + −

− + +

=

→

+ +

=

→

+ − ⋅ − ⋅ − −

=

− −

=

=

(tak tentu)

Mengalikan dengan bentuk sekawan: + − − − −

= =

− + → − − −

→ −

= –

+ + − + + −

·

+ − − → − −

=–

+ + + +

=

+ − − − −

→

·

− + +

→

6. Dengan substitusi langsung:

=

− +

=

− + + − +

=

→

− − +

=

→

→

=

− − + − + →

=

+ +

Menentukan nilai limit g(x):

=

→

+ −

→ + −

= =2

Dengan substitusi langsung:

f(x) =

+ +

=

→

+ + +

→

=–

7. Menentukan nilai limit f(x):

=

·

·

− + + + −

− + + + −

· ·

− + + + −

− + + + −

⋅ − + + + ⋅ −

·

=

+ + −

=

−

= –24 − →

− + − +

−

=

→

→

→

(

)

−

=

→

→

⋅ →

→

=

− −

⋅ ⋅ −

=

− − −

= − =

Matematika Kelas XI Pogram IPS

49

8.

+

→ −

⇔

= (85 + x) + 0,5h

=6

→

+

→ +

+

= (85 + x) + 0 = 85 + x Jadi, biaya marjinal produksi mebel per minggu M(x) = (85 + x) ribu rupiah.

=6

⇔ · + = 6 → → +

b.

Perusahaan memproduksi 10 mebel sehingga dapat ditulis x = 10. Biaya marjinal dalam x: M(x) = (85 + x) ribu rupiah Untuk x = 10: M(10) = (85 + 10) ribu rupiah = 95 ribu rupiah

Supaya ada hasilnya, haruslah = –2. → Dengan demikian diperoleh: −

⇔ − · + = 6 → →

⇔

1· =6 a = 24

⇔

= –2 ⇔ b = –2a = –2 × 24 = –48

Jadi, nilai a = 24 dan b = –48. 9. a.

f(x) = 2x – 3 f(x + h) = 2(x + h) – 3 = 2x + 2h – 3 + − − − + − =

→

= 2 →

=2 f(x) = x – 4 f(x + h) = (x + h)2 – 4 = x2 + 2hx + h2 – 4 = (x2 – 4) + 2hx + h2

− + + − − →

=

+ →

=

= (2x + h) →

1. Jawaban: d Dari grafik terlihat untuk x yang mengecil tanpa batas (x → –∞) nilai f(x) mendekati 10 (f(x) → 10) atau dapat ditulis f(x) = 10. → −∞

2. Jawaban: a Dari grafik terlihat untuk x yang membesar tanpa batas (x → ∞) nilai f(x) juga semakin mengecil tanpa batas atau dapat ditulis (f(x) → –∞) f(x) = –∞. →∞

3. Jawaban: e Dengan substitusi langsung: (x4 – x2 – 5) →∞

= x4(1 – →∞ →∞

# + + + $ + + $ − # + + $

+ + $ →

=

= 85 + x + 0,5h →

Kunci Jawaban dan Pembahasan

)

→∞

→∞

→∞

– 1) →∞

= x5(5 · →∞

– 1) →∞

= ∞(5 · 0 – 1) = ∞(–1) = –∞ 5. Jawaban: c Dengan substitusi langsung: → ∞

∞

= ∞

(tak tentu)

→∞

–

(5 – x5)

= x5(

→

4. Jawaban: a Dengan substitusi langsung:

B(x) = 15.500 + 85x + 0,5x2 B(x + h) = 15.500 + 85(x + h) + 0,5(x + h)2 = 15.500 + 85x + 85h + 0,5x2 + hx + 0,5h2

=

–

= ∞(1 – 0 – 5 · 0) = ∞(1) = ∞

→∞

" + − " →

= x4( 1 –

= 2x + 0 = 2x

M(x) =

50

Pilihan Ganda

2

+ − →

10. a.

A.

→

= →

b.

→

)

Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi: ← Variabel pangkat tertingginya x. → ∞

=

=

=

→∞

∞

− → ∞ −

= ∞

− → ∞ −

=

=

− ⋅

→∞

= ⋅ − = − = – ⋅ −

→∞

7. Jawaban: a Dengan substitusi langsung: ∞

 − + 

  = ∞ (tak tentu) → ∞  +  Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi:  − +  2   ← Variabel berpangkat tertingginya x . → ∞  +   −

+



=

→ ∞

=

   

→ ∞

−

→∞ →∞

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ −

→∞

−

→∞

= =0

∞

− → ∞ −

= ∞

(tak tentu)

Membagi dengan variebel berpangkat tertinggi: − ← Variabel berpangkat tertingginya x4. → ∞ −

− − →∞

=

−

−

→∞

−

=

→∞

⋅

→∞

− ⋅

− ⋅

→∞

= ⋅ − ⋅ = = ∞ 11. Jawaban: b Dengan substitusi langsung:

∞

= ∞

(tak tentu)

− − → ∞ − −

=

− + − +

∞

= ∞

(tak tentu)

Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi:

− −

Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi:

→ ∞ − −

− ← Variabel berpangkat tertingginya x4. → ∞ +

=

+ ⋅

10. Jawaban: e Dengan substitusi langsung:

→ ∞

8. Jawaban: a Dengan substitusi langsung: − → ∞ +

+ ⋅

→∞

− ⋅ + + ⋅

(tak tentu)

+

+ ⋅

→∞

=

+

+ ⋅

→ ∞

=

− ⋅

→ ∞

⋅

→∞

=  →∞  +

+

→∞ +

→∞

=

− ⋅

∞

= ∞

+ + ← Variabel berpangkat tertingginya x3. → ∞ + −

=

→ ∞ −

=

=

− 2 ← Variabel berpangkat tertingginya x . → ∞ −

→∞

− ⋅ + ⋅

Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi: (tak tentu)

=

→ ∞

Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi:

−

+ ⋅

+ + → ∞ + −

6. Jawaban: b Dengan substitusi langsung:

9. Jawaban: a Dengan substitusi langsung:

= =

→∞

→∞

→ ∞

→ ∞

→ ∞

→ ∞

=

→∞ +

− ⋅

→∞

=

−

=

− + ← Variabel berpangkat tertingginya x2. → ∞ − +

Matematika Kelas XI Pogram IPS

51

Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi:

− + + → ∞ −

=

−

=

→ ∞ −

     → ∞  − 

+ +

=

+ ⋅ →∞ →∞ →∞ − ⋅ + ⋅

→∞ →∞ →∞

− ⋅

=

− ⋅ + ⋅



+

− − +

=

+ − +

=

+ − + − +

=

+ + + −

–

(

−

–

+

+ + + −

) =

→∞

∞ (tak tentu) ∞

= Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi: →∞ −

(

=

–

+

=

→∞

+ +

=

  →∞    −  →∞   →∞

=

   − 

=

+

→∞

=

← Variabel berpangkat tertingginya x2.

Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi:

( f(x))

− → ∞ +

−

→∞

+ ⋅

=

→∞

→∞

− + ⋅

=

=4

15. Jawaban: a Dengan substitusi langsung: n

→∞

    →∞ −  

∞

+

→∞

=

→∞

∞ =  

=

∞

− +

= ∞

(tak tentu)

Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi:

→∞

− + −

→∞

+

=

→∞

Kunci Jawaban dan Pembahasan

← Variabel berpangkat tertingginya

atau

∞ (tak tentu) ∞

=

52

.

=

=

← Variabel berpangkat tertingginya x atau

+

−

= = 10

−

→∞

Dengan substitusi langsung:      → ∞  − 

(tak tentu)

13. Jawaban: b Ingat: (f(x))n =

= ∞ +

=

+ ⋅ →∞ →∞ − ⋅ →∞ →∞

→∞

∞

−

→∞

→∞

+ −

+ ⋅ + ⋅ + − ⋅

14. Jawaban: c Dengan substitusi langsung:

+ ⋅

→∞

=   = –

)

+ + + − →∞

−

Dengan substitusi langsung: →∞

  −  



12. Jawaban: e Perhatikan: –

  2    ← Variabel berpangkat tertingginya x .  →∞ − 

=  →∞

= − ⋅ + ⋅ = =

−

−

+

.

⋅

→∞

19. Jawaban: d Dengan substitusi langsung:

− ⋅

→∞

+ ⋅ →∞ →∞

=

=

⋅ − ⋅ + ⋅

=

=0

Mengalikan dengan bentuk sekawan:

( + +

+ +

=

→∞

→∞

− ) = ∞ – ∞ (tak tentu)

( − –

→∞

Mengalikan dengan bentuk sekawan: = ( − –

− ) ·

→∞

=

→∞

− + − − + −

− − − − + − − − − + −

→∞

=

→∞

=

=

−

− − − + −

← Variabel berpangkat tertingginya x.

−) ·

→∞

( + − –

+ + −

+ + − + + −

=

+ −

+ + −

+ − − + + + − + + +

− + − + + +

← Variabel berpangkat tertingginya .

← Variabel berpangkat tertingginya x atau

.

Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi: =

→∞

=

+ + )

+ − + + +

→∞

Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi: +

+ + ) = ∞ – ∞

+ − + + +

=

+ − − + + − →∞ + − − →∞ + + −

→∞

= =1

− ) = ∞ – ∞ (tak tentu)

= ( + –

=

→∞

→∞

Mengalikan dengan bentuk sekawan:

→∞

+ − +

− − + + − +

=

= – = –∞

( + –

=

Mengalikan dengan bentuk sekawan:

−

→∞

=

− +

20. Jawaban: d Dengan substitusi langsung:

·

18. Jawaban: a Dengan substitusi langsung:

=

−

( + − –

− − −

← Variabel berpangkat tertingginya x atau

.

→∞

− + + − +

→∞

Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi: =

−

=

Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi:

17. Jawaban: a Dengan substitusi langsung:

→∞

− + + − +

∞+∞ = ∞ + ∞ = ∞

∞+∞ +

=

− + − − +

→∞

− )

→∞

− + + − +

=

→∞

+ +

→∞

− + + − +

·

− )

→∞

=(

→∞

− )

→∞

− + )

= ( − + –

16. Jawaban: e Dengan substitusi langsung:

=(

− + ) = ∞ – ∞ (tak tentu)

( − + –

→∞

=

− +

−

+ +

+

− +− + ++ +

= =2 21. Jawaban: a Dengan substitusi langsung: ( − + – (x + 4)) = ∞ – ∞ (tak tentu)

→∞

= = = 0

Matematika Kelas XI Pogram IPS

53

Mengalikan dengan bentuk sekawan: = ( − + – (x + 4)) ·

→∞

=

+ + + −

→∞

− + + + − + + +

+ + − − + −

=

→∞

=

− + − +

.

− + + +

→∞

Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi:

− + − − −

=

− + + +

→∞

← Variabel berpangkat tertingginya x atau

Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi: − −

=

=

→∞

=

− + + +

− −

+ +

− +

− ) = ∞ – ∞ (tak tentu)

Mengalikan dengan bentuk sekawan: − ) ·

→∞

=

→∞

− + − − + −

− + −

← Variabel berpangkat tertingginya x atau

.

− +

+ −

− − − + −

−

= = –2

23. Jawaban: e Dengan substitusi langsung: ( + + – (2x – 3)) = ∞ – ∞ (tak tentu)

→∞

Mengalikan dengan bentuk sekawan: ( + + – (2x – 3))

→∞

54

= =

− + + − + +

  

− − + +

→∞

→∞

Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi:

·

  − – (2x + 1) · →∞ 

=

− + −

→∞ −

=4

− + +

− − − + +

← Variabel berpangkat tertingginya x atau

.

Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi:

− + − +

→ ∞ − +

=

+

=

=

=

→∞

−

=

− + + + −

→ ∞ − +

+ −

=

− − −

Mengalikan dengan bentuk sekawan:

= ((x – 2) –

+

→∞

22. Jawaban: c Dengan substitusi langsung: →∞

( − – 2x – 1) = ∞ – ∞ (tak tentu)

= = –5

((x – 2) –

+

→∞

24. Jawaban: b Dengan substitusi langsung:

−

− − − + + +

−

=

.

→∞

← Variabel berpangkat tertingginya x atau

+ + + −

+ + + − + + + −

Kunci Jawaban dan Pembahasan

=

− − −

+ +

− − − + +

−

= + = –

25. Jawaban: b Dengan substitusi langsung: ( − –

→∞

− ) = ∞ – ∞ (tak tentu)

Mengalikan dengan bentuk sekawan: − + −   ( − – − ) ·  → ∞ − + − 

=

→∞

=

→∞

− − − − + − − + − + −

← Variabel berpangkat tertingginya x2 atau

.

Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi: =

→∞

=

− + −

− + − + −

− →∞ → ∞ −

→∞

= ∞ – ∞ (tak tentu) Mengalikan dengan bentuk sekawan:

=

→∞

→∞ +

+

+ −

→∞ −

← Variabel berpangkat tertingginya x atau

.

+ −

= + = 8

→∞

( + –

+− −

→∞

⋅ ) = ∞ – ∞ (tak tentu)

→ ∞ + +

→∞

= =

+

+ + = =

+

=

→∞

← Variabel berpangkat tertingginya x atau

.

← Variabel berpangkat tertingginya

.

+

= =

+

+ + +

Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi:

Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi:

+

→∞

+ +

+ +

+

=

=

⋅ )

+ −

+ +

·

→ ∞ + +

+ +

++ + +

·

+ − +

=

= ( + – ) · + + →∞

=

∞

→ ∞ − + +

)( )

= ( + –

→∞

=

Mengalikan dengan bentuk sekawan:

=

+− −

)( )

= ( + –

→∞

→∞

27. Jawaban: c Dengan substitusi langsung:

→∞

29. Jawaban: c Dengan substitusi langsung:

( + –

= =

= ∞ (tak tentu) Mengalikan dengan bentuk sekawan:

−

=

+ −

→∞

→ ∞ +

→∞

+

=

=

+ −

=

−

−

→∞

Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi:

=

+ ← Variabel berpangkat tertingginya x2. → ∞ −

+ −

=

+ +

·

=

=

Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi:

− −

=

x(x – − ) = (x2 – x − )

x(x – − ) ·

(tak tentu)

26. Jawaban: d Dengan substitusi langsung:

→∞

= ∞

Mengalikan dengan bentuk sekawan:

−

= + = –1

→∞

∞

− →∞

+ −

28. Jawaban: c Dengan substitusi langsung:

+

+

+

+

+ + +

=

=0

30. Jawaban: b Dengan substitusi langsung:

→∞ −

−

∞

= ∞ −

(tak tentu)

Matematika Kelas XI Pogram IPS

55

Mengalikan dengan bentuk sekawan: −

→∞ −

−

3. a.

+ −

·

Dengan substitusi langsung: + − → ∞ + −

+ −

− + − − − →∞

=

= =

Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi:

− + − − − − + →∞

+ −

→ ∞ + −

− − + − →∞

− + − − − ← Va r i a b e l − + →∞ berpangkat tertinggi x2

=

.

=

=

atau

→∞

Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi:

=

− + −

−

− +

→∞

B.

−

=

b.

=

−+ − − − − +

=

− + ⋅ − ⋅ − +

− −

=

=5

− − − − −

− − + − + →∞

=

Dari gambar grafik fungsi f(x) terlihat untuk nilai x yang semakin membesar tanpa batas, nilai f(x) mendekati 0.

∞

= ∞

(tak tentu)

  − − 

 → ∞  −

=

→ ∞ − +

=

→ ∞ −

=

Jadi, h(x) = C. →∞

4. a.

2x7 = 2 · x7 →∞

= 2 · ( x)7 = 2 · (∞)7 = ∞ →∞

Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi:

Dari gambar grafik fungsi h(x) terlihat untuk nilai x yang semakin membesar tanpa batas, nilai h(x) mendekati C.

→∞

→ ∞ − +

Dari gambar grafik fungsi g(x) terlihat untuk nilai x yang semakin membesar tanpa batas, nilai g(x) semakin mengecil tanpa batas.

=

→∞

b.

+ −

Dengan substitusi langsung:

→∞

Jadi, f(x) = –∞.

2. a.

−− + −

=

= − = –9

→∞

c.

− −

  − − 

Jadi, f(x) = 0. b.

← Variabel berpangkat tertingginya x2.

 → ∞  −

Uraian

1. a.

− − + − →∞ ∞ ∞

=

− +

=0

+ − − − − − →∞

=

= 3 · (0)5 = 0

+ − − − →∞

→∞

=

= 3 · ( )5 →∞

+

Dengan substitusi langsung:

→∞

= 3 ·

← Variabel berpangkat tertingginya x2.

=

+ − − − →∞ ∞ (tak tentu) ∞

Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi: + − − − →∞

+ − − ← Variabel berpangkat − →∞ tertingginya x3.

=

56

Kunci Jawaban dan Pembahasan

−

=

→∞

= b.

+ −

+−− −

+    →∞ − 

=  →∞ − 



= 

=

+ 



−

 + 

Dengan substitusi langsung: + − − →∞

− − + →∞

=  − 

=

= (–3)3 = –27

∞

= ∞ (tak tentu) Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi:

6. a.

=

−

→ ∞ −

= 5. a.

− −+

+

→∞

=

+ − = −

→∞

=

=

+ + → ∞ − −

+ ← Variabel berpangkat ter − →∞ − tingginya x2.

= b.

−

+

−

− + −

=1

b.

− + + −

∞

= ∞

→ ∞

=

=

→∞

= c.

− − + + −

+ + −−

 + 

→∞

 + 

=

∞

= ∞

+ −

(tak tentu)

← Variabel berpangkat tertingginya

.

+

=

→ ∞ −

−

=

+ 



=  →∞ −   ∞   ∞

=

+

→ ∞ −

∞ (tak tentu) ∞

Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi:   →∞  − 

= − = 1

=

=

Dengan substitusi langsung:

=

−

−

+ → ∞ −

Dengan substitusi langsung:   →∞  − 

+ +

Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi:

(tak tentu)

− + + − →∞ − − + + ← Variabel berpangkat = − →∞ tertingginya x3. +

→ ∞ −

+

− −

+ → ∞ −

Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi:

− −

← Variabel berpangkat tertingginya x2.

Dengan substitusi langsung: →∞

=

→∞

(tak tentu)

+ +

∞ (tak tentu) ∞

Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi:

=

= ∞

+ + − +

Dengan substitusi langsung:

∞

+ + − +

Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi:

→∞

− ← Variabel berpangkat tertinggi → ∞ − + nya x4.

Dengan substitusi langsung:

← Variabel berpangkat tertingginya x.

7. a.

=

+ −

=3

Dengan substitusi langsung: ( –

→∞

+ ) = ∞ – ∞ (tak tentu)

Mengalikan dengan bentuk sekawan: ( –

→∞

+ ) ·

+ + + +

Matematika Kelas XI Pogram IPS

57

b.

=

− + + +

=

− ← Variabel berpangkat ter + + tingginya .

→∞ →∞

Dengan substitusi langsung:

= (x2 – x − ) →∞

=∞–∞ Mengalikan dengan bentuk sekawan:

Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi: − → ∞ + +

=

+ +

→∞

→∞

=

+ +

=0

=

→∞

− )

( –

→∞

→∞

− ) ·

→∞

=

=

(2x – 1 –

8. a.

=

+ −

=

=∞

− →∞ − +

∞

= ∞

·

− + + −

=

→∞

(tak tentu)

Mengalikan dengan bentuk sekawan: − →∞ − +

− + + −

·

Dengan substitusi langsung:

=

→∞

+ + + +

=

− + + − +

=

− + + −

→∞

= (–2x + 5)(3 + →∞

+)

=

+2

+ −

+ + 5

Kunci Jawaban dan Pembahasan

− +

+

b.

← Variabel berpangkat tertingginya

.

+ +

=

− + −+ +−

=

− +

)

= –0 + 0 – 2 + ) + 5 + = –2

58

− +

→∞ −

Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi: +

− + + −

Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi:

(Variabel berpangkat tertingginya

− + − − +

x atau

→∞

→∞

− + + −

→ ∞ − +

= (–6x + 15 – 2 + + 5 + )

= –

− − + −

=

→∞

+ − )

(2x – 1 –

→∞

−

+ − ) = ∞ – ∞ (tak tentu)

Mengalikan dengan bentuk sekawan:

+ →∞ + −

+

→∞

=

→∞

−

Dengan substitusi langsung:

← Variabel berpangkat tertingginya x.

Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi:

.

+ −

9. a.

+ + − →∞

+

tingginya x atau

= + = = 2

=

← Variabel berpangkat ter-

−

→ ∞ +

+ − + −

− − →∞ + −

=

−

=

Mengalikan dengan bentuk sekawan: ( –

+

Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi:

− ) = ∞ – ∞ (tak tentu)

= ( –

−

+ −

→∞ +

Dengan substitusi langsung:

+

− −

= b.

− ) ·

x(x –

−

=

− )

x(x –

→∞

−

=–

Dengan substitusi langsung: ( + –

→∞

− ) = ∞ – ∞ (tak tentu)

Mengalikan dengan bentuk sekawan: ( + –

→∞

− )

+ + −

·

A.

+ + −

1. Jawaban: b

+ − −

=

→∞

→∞

Dari grafik terlihat

+ + −

Oleh karena

+

=

+ + −

← Variabel berpangkat tertingginya x atau

.

Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi: →∞

+

+ −

=

+ ++ −

=

+

= ·

f(x) = –5.

→ −

2. Jawaban: e

→ −

→ +

→

3. Jawaban: d Dari grafik terlihat untuk nilai x yang semakin membesar tanpa batas nilai fungsi f(x) semakin mendekati 10.

Jadi, f(x) = 10. →∞

4. Jawaban: e

Hari pertama pekerja bekerja maka h = 1. = ⋅ = = 60 kaos ⋅ + Jadi, diharapkan setiap pekerja baru dapat menghasilkan 60 kaos pada hari pertama ia bekerja.

Grafik fungsi g(x) =

→ +

=

Y g(x) 8

× × +

6 4

= 142,857 ≈ 142 kaos Jadi, diharapkan pekerja menghasilkan 142 kaos per hari setelah bekerja 30 hari. Puluhan tahun setelah pekerja bekerja maka h = ∞.

→ ∞ +

=

→∞

→∞

–2 0

a.

+

+

X

2 4

Dari grafik terlihat untuk nilai x yang semakin mengecil tanpa batas (x → –∞) nilai fungsi g(x) semakin membesar tanpa batas (g(x) → ∞) sehingga dapat ditulis g(x) = ∞.

=

4 – x untuk x ≤ –2 x2 untuk –2 < x < 2 2x untuk x ≥ 2

sebagai berikut.

30 hari setelah pekerja bekerja maka h = 30.

f(x) = 4.

→ +

tidak ada.

→ +

c.

f(x) = –5 maka

→ −+

Oleh karena f(x) ≠ f(x) maka f(x)

b.

f(x) =

→ −

f(x) = –5.

→ −+

→ −

= 10. a.

f(x) = –5 dan

→ −−

Dari grafik terlihat f(x) = 0 dan

+

=

Pilihan Ganda

=

+

→ −∞

= 150

Jadi, diharapkan pekerja dapat menghasilkan 150 kaos per hari setelah bekerja puluhan tahun.

Diperoleh pernyataan pada pilihan a salah. b.

Dari grafik terlihat

g(x) = 6 dan

→ −−

g(x) = 4. Oleh karena

→ −+

g(x) ≠

→ −−

g(x) maka g(x) tidak ada.

→ −+

→ −

Diperoleh pernyataan pada pilihan b salah. Matematika Kelas XI Pogram IPS

59

c.

Dari grafik terlihat

g(x) = 0 dan

→ −

g(x) = 0. Oleh karena

→ +

g(x) =

→ +

g(x) = 0 maka g(x) = 0.

→ −

Dari grafik terlihat

g(x) = 4 dan

→ −

→ +

g(x) =

→ −

→

→

→

= 3 · (–4) – (2)2 = –12 – 4 = –16 10. Jawaban: b Dengan substitusi langsung:

g(x) = 4 maka g(x) = 4.

+

=

→ − −

→

Diperoleh pernyataan pada pilihan d salah. Dari grafik terlihat untuk nilai x yang semakin membesar tanpa batas nilai fungsi g(x) juga membesar tanpa batas sehingga dapat

e.

= 3f(x) – g2(x) = 3 f(x) – ( g(x))2

g(x) = 4. Oleh karena

→ +

(3f(x) – g2(x))

→

→

→

Diperoleh pernyataan pada pilihan c salah. d.

9. Jawaban: a

+

→ − + −

− → −

=

→∞

=

− −

(2x – 3)2 + (2x – 3)

+ − → − +

→

2

= ( (2x – 3) ) + (2x – 3) →

+ − → − +

− + +

= =

 +  + 



=

(tak tentu)

− + → − −

=

+ +

+

=

= + = = 2

⋅ + − +

 + =  →

12. Jawaban: d Dengan substitusi langsung: − → − +

− → − +

=

− → − + + − + → −

→ −

= (–1) · (–1 – 1) = (–1)(–2) = 2 13. Jawaban: d − −

+

− −

=

− −

=

− + − −

=

− − −

=   = (8) = 2  

Kunci Jawaban dan Pembahasan

(tak tentu)

= x(x – 1)

 ⋅ + ⋅     

=

= =



 + ⋅   +  

− − − − +

Dengan memfaktorkan:

 + 



=

= =0

= − = − = –12

= 

60

+ ⋅ − − ⋅ +

+

− + +

8. Jawaban: d Dengan substitusi langsung: → 

=

+ +

7. Jawaban: a Dengan substitusi langsung:



=

+ +

+ − + →

=–

+ → −

6. Jawaban: c

−

Dengan memfaktorkan:

= (2 · 5 – 3)2 + (2 · 3 – 3) = 72 + 3 = 49 + 3 = 52

→

=

11. Jawaban: e Dengan substitusi langsung:

5. Jawaban: d

(tak tentu)

+

=

→ − −

Jadi, pernyataan yang benar pada pilihan e.

→

=

Dengan memfaktorkan:

dituliskan g(x) = ∞.

→

− + − −

−

· + −

Dengan substitusi langsung: − −

(

→

− −

Dengan memfaktorkan:

+

)

− +

− −

→ − +

−

− − − →

= − →

= =

⋅ − ⋅ − −

=

−

= −

(tak tentu)

−

Dengan memfaktorkan: (

→

− −

+

− −

)

16. Jawaban: e

− − − →

= =

+ →

–

–

→

)

=

=

−

=

(tak tentu)

+ +

=

+

=

⋅ +

=

=2

18. Jawaban: e Dengan substitusi langsung:

− ⋅ + ⋅ − ⋅ +

·

− + −

→

15. Jawaban: d Dengan substitusi langsung: =

− −

=

+

− + → − +

−

→

→ − + − −

=

=

− + −

− − +

→ − − − = − − − − −−

−

= )

→ − + − −

=

−

→

– + − → − + − − − − → − + − −

=

a = 12

= ( =

⇔

Mengalikan dengan bentuk sekawan:

Dengan memfaktorkan: + −

– = –3

= ∞ – ∞ (tak tentu)

( → − −

⇔

→

4– =1

17. Jawaban: b Dengan substitusi langsung:

– ) + − → − − = – − − − − − −

(x – ) = 1

→

⇔

=9

=1

⇔

14. Jawaban: d Dengan substitusi langsung:

=

−

→

+ − − →

⋅+

− −

=

(

= ⋅ − =

=

= − − →

→ −

=

(tak tentu)

+− − +

= =

− + − − − − +

−

= (tak tentu) Mengalikan dengan bentuk sekawan:

→ −

+− − +

·

+ + − + + −

Matematika Kelas XI Pogram IPS

61

− + − + + →

+ − − = → − + + + −

=

+ = → − + + + −

=

+ = → − + + + −

=

→ +

= → − =

− − − + + →

=

+ + −

−

− + + − −

21. Jawaban: d Dengan substitusi langsung:

19. Jawaban: a Dengan substitusi langsung:

→

=

− − −

(tak tentu)

→

Mengalikan dengan bentuk sekawan: + − − + −

→

·

→ − + − +

→

=

+

⋅ +

+

= ⋅ − + =

⋅ ⋅

= = 1 Jadi, nilai n adalah 1.

+

− +

22. Jawaban: b Dengan substitusi langsung:

− +

 −  =  −  = (tak tentu)  + →  +   Mengalikan dengan bentuk sekawan:

= +

= =



−  + 

→ 

20. Jawaban: b Dengan substitusi langsung: − + − →

=

− ×+ −

=

→

=

(tak tentu)

 − +    + 

=

·

+ + + +

=

→

=

→

62

Kunci Jawaban dan Pembahasan

·

+ +

⋅ − + +

→ + +

Mengalikan dengan bentuk sekawan: − + − →

+ +

+

+ − + +

·

= − + →

⋅ + ⋅ − + ⋅ +

− + − +

− +

− − +

→ − + − +

·

= − − + →

− + −

=

(tak tentu)

= − − + →

+ − + +

+ − − +

→ − + − +

=

=

=

− − +

+ − + +

=

⋅ − − ⋅ −

=

Mengalikan dengan bentuk sekawan:

⋅ + ⋅ − − ⋅ + −

=

− − −

+ − − + −

=– =–

= + = =

→

− + ⋅+

= +

− +

− + +

+

− + + +

+ +

− + + +

= =

− +

=

− −

=

23. Jawaban: b Dengan substitusi langsung: − +

∞

= ∞

→ ∞ + −

−

→∞ +

=

=

−+ +−

+

−

→∞

→∞

=

− + → ∞ − +

=

→ ∞

+

=0

+ + + − + + + − − +

=

=

∞ (tak tentu) ∞

− − + − − − +

=

+ + + − +

= =

−

→ ∞

−

→∞

− −

=

+ + + − +

=

→∞

← Variabel berpangkat tertingginya x .

+ + + + − +

← Variabel berpangkat tertingginya x atau

.

Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi: =

→∞

Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi: → ∞

+

( + + – − + )

25. Jawaban: b Dengan substitusi langsung:

Mengalikan dengan bentuk sekawan:

·

− + − +

−

27. Jawaban: b Dengan substitusi langsung:

+

+ − +

=

−

→∞

− −

.

( + + – − + ) = ∞ – ∞ (tak tentu)

− + ← Variabel berpangkat tertingginya x2. → ∞ − +

→ ∞

← Variabel berpangkat tertinggi-

→∞

=

+

→∞

− − − → ∞

=

=

∞ (tak tentu) ∞

(tak tentu)

nya x atau

−+ −+

∞

= ∞

+ − +

→∞

Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi:

→ ∞

=–

Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi:

− − − → ∞

=

−

+ − +

=

=

24. Jawaban: d Dengan substitusi langsung:

=

+

26. Jawaban: b Dengan cara substitusi langsung:

− + ← Variabel berpangkat tertingginya x2. → ∞ + −

− − + −

(tak tentu)

Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi:

→ ∞

–

=

+ +

+

+ −

=

+ + + + − +

=

+

+

= =1

−

Matematika Kelas XI Pogram IPS

63

28. Jawaban: e Dengan substitusi langsung:

Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi:

( − – − +

→∞

2

→∞

→ ∞

Mengalikan dengan bentuk sekawan: −–

 

  →∞ 

+

=1

→ ∞

=

 →∞ 

=

  

−

+ −

−   − + −+

+

   

=

− + − − +

→ ∞

− + + −

→ ∞ − +

→ ∞

=

→ ∞

64

+ + + + + +

− − + +

+

+

−

− −

= + =

− −

((2x + b) –

→ ∞

+ − +

⇔

+ + +

+ − + + + + +

+ + +

− + + −

− − + +

( + – 3x – 1) ·

→ ∞

−

tertingginya x atau .

= −+ ++

Mengalikan dengan bentuk sekawan:

=

← Variabel berpangkat

+ −

− − + +

→ ∞ −

( + – (3x + 1)) = ∞ – ∞ (tak tentu)

→ ∞

− − + +

=

=

→ ∞

=

+ −

Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi:

29. Jawaban: c Dengan substitusi langsung:

→ ∞

− + + −

=   = =  

=

− + + −

− − + −

→ ∞ − +

Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi: −

+ − ) ·

  ← Variabel berpangkat − + − +  tertingginya x atau



−

.

= 

++

+++

−

((2x – b) –

− − − +   − + − + 

+

30. Jawaban: a Mengalikan dengan bentuk sekawan:

2  

=

− +

− + − +

2 )

=

− + − +

=  →∞

=

− +

=  − –  → ∞ ·

−

=

= ∞ – ∞ (tak tentu)

+ + +

→ ∞

 =  ( − – − + )

 ( →∞ 

−

=

)2

← Variabel berpangkat tertingginya x atau

Kunci Jawaban dan Pembahasan

.

+ − ) = − −

⇔

= –4b – 5 = 15

⇔

–4b = 20

⇔

b = − = –5 Jadi, nilai b yang memenuhi adalah –5.

B.

Uraian

2. a.

Dengan substitusi langsung: − − → − + −

1. a.

–x – 2 untuk x < 2 Grafik fungsi f(x) = 2 untuk 2 ≤ x ≤ 3 x2 – 7 untuk x > 3

= − − → − + −

f(x)

= =

2

=

X 23

b.

− +

→ − − + −

→ − −

−

− − − −

1)

Dengan substitusi langsung: − → −

Dari grafik terlihat untuk nilai x yang semakin mengecil tanpa batas nilai f(x) semakin membesar tanpa batas. Dengan

f(x) = –4) dan untuk nilai

=

+ + + →

x mendekati 2 dari kanan nilai f(x) =

mendekati 2 (ditulis + f(x) = 2). →

3. a.

+ ⋅ + +

→

= = 4

Dengan substitusi langsung: − − →

→

f(x) tidak ada.

=

− −

=

(tak tentu)

Dengan memfaktorkan:

Dari grafik terlihat untuk nilai x mendekati 3 dari kiri, nilai f(x) mendekati 2 (ditulis

− − →

f(x) = 2) dan untuk nilai x mendekati

− − →

→ −

=

3 dari kanan nilai f(x) mendekati 2 ditulis f(x) = 2.

=

→ +

→

Oleh karena − f(x) = →

→

= 5(5 + 5) = 5 · 10 = 50

→

Dari grafik terlihat untuk nilai x yang semakin membesar tanpa batas nilai f(x) semakin membesar tanpa batas. Dengan demikian diperoleh f(x) = ∞. → ∞

+ − −

= x(x + 5)

f(x) = 2

→ +

maka f(x) = 2. 4)

(tak tentu)

− + + − + →

=

→ −

3)

=

− → −

Dari grafik terlihat untuk nilai x mendekati 2 dari kiri nilai f(x) mendekati –4 (ditulis

→

− −

→ −∞

Oleh karena − f(x) ≠ + f(x) maka

=

Dengan memfaktorkan:

demikian, diperoleh f(x) = ∞. 2)

= − =

b.

− − − − − + − − (tak tentu)

Dengan memfaktorkan:

Y

–2 0 –2 –4

=

b.

Dengan substitusi langsung:

→ ( −

=

−

– − )

–

= =

(tak tentu)

Matematika Kelas XI Pogram IPS

65

Dengan memfaktorkan: → ( −

= →(

–

+ + →

=

−

) +

+ −

→

− − = → + − − = → + −

=

= → +

=

c.

+ + − ⋅

=

b.

= + =

−

(

–

− −

−

(

–

− −

=

Dengan substitusi langsung: −

=

)

Mengalikan dengan bentuk sekawan:

−

− − − = → − + − +

=

− − + = → − + − +

=

→

− +

=5+

5. a.

Dengan substitusi langsung:

3 ← Variabel berpangkat tertingginya x . → ∞ −

=

(tak tentu)

=

→

=

+ − − + − −

=

→ ∞

=

→ ∞

·

+ + − + + −

+ − − −

→ + +

66

∞

(tak tentu) = ∞ → ∞ −

Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi:

+ − −

Mengalikan dengan bentuk sekawan: →

+

Dengan substitusi langsung:

+ − − ⋅ ⋅

+ +

= 5 + 5 = 10

= – − =

=

+ +

+ )

= (5 +

→

·

− + + → −

= – − − − +

+

(tak tentu)

− + + → − +

− + = → − + − +

4. a.

−

→ −

= − +

= → − ( + − – + − )

= → − –

+

)= – =∞–∞

Dengan memfaktorkan: → −

·

→ −

Dengan substitusi langsung: → −

+ + −

=

– − + )

−

Kunci Jawaban dan Pembahasan

=

−

−

−

=–

b.

Dengan substitusi langsung: −

→ ∞

=

−

7. a.

∞ (tak tentu) ∞

−

→ ∞

4

+ –

− )

= (

+ –

−

→ ∞

← Variabel berpangkat ter-

−

− )

= (

Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi:

4

( + –

→ ∞

→ ∞

tingginya x2 .

−

=

→ ∞

=

→ ∞

= 6. a.

− −

·

−

−

→ ∞

=

 +

 → ∞  −

→ ∞

=0

+

 +

∞

+

∞

=

+

→ ∞ −

=

+

→∞ −

= b.

+ −

→∞

+

→ ∞ −

+ −

–

+ −

– – =

–2=

–

Dengan substitusi langsung: + − → ∞ − +

=(

=

+ − → ∞ − +

− − ← Variabel berpangkat ter → ∞ − tingginya x4.

=

−

→∞

=

−− −

−

−

)4

= ( − + – (2x – 3)) → ∞

·

− + + − − + + −

=

→ ∞

=

)4

( − + – (2x – 3))

→ ∞

)4

→ ∞

→ ∞

− − → ∞ − +

)4 = (

=

=

+ −

+ + −

∞ (tak tentu) ∞

)4

)4 = = 4 Membuktikan dengan cara menghitung nilai limit pada pembilang dan penyebutnya terlebih dahulu. 1) Menentukan nilai limit pembilang

=( b.

+

+ + −

)4

→ ∞

Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi:

=

+ + −

= ( (tak tentu)

+  ← Variabel berpangkat ter −  tingginya x.

−

→ ∞

Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi:  → ∞  −

+ + −

= (

+  − 

−

= (

= − – = ∞ – ∞ →∞ →∞ −

+ + −

−

Dengan substitusi langsung:

+ − −

= (

+ + − 4 )

=

→ ∞

= =

=

− + − − − + + − − + − + − − + + − − − + + −

− −

+

+−

− −+ +−

= =1

Matematika Kelas XI Pogram IPS

67

2)

Menentukan nilai limit penyebut =

( + – 2x)

→∞

→ ∞

+ +

−

+

+

+

= ( + – 2x) · → ∞

+ −

= = =

+

+ = ++

→ ∞

3)

10. a.

=

Menentukan nilai limit fungsi keseluruhan + −

→ ∞

∆ →

=

→∞

∆ →

+ −

8.



→∞ 

⇔

⇔

=2

= (3 + 2x + ∆x) ∆ →

+ − − + + + − + −

⇔

→∞

+ − +

+ −

=

+ − + + −

⇔

+

=

=

= a+4=9 a=5

9. Barang yang terjual jumlahnya sangat banyak artinya m mendekati tak hingga besarnya atau m → ∞. Laba yang dapat diperoleh pedagang →∞

− +

=

→∞

68

b.

Diketahui C(x) = 10 – 3x + x2 C(x + ∆x) = 10 – 3(x + ∆x) + (x + ∆x)2 = 10 – 3x – 3∆x + x2 + 2x∆x + (∆x)2 = (10 – 3x + x2) + (–3∆x + 2x∆x + (∆x)2) Fungsi biaya marjinalnya: % + ∆ − % ∆ ∆ →

M(x) = =

∆ →

+ +

← Variabel berpangkat tertingginya m2.

Kunci Jawaban dan Pembahasan

− + + −∆ + ∆ + ∆ − − + ∆

−∆ + ∆ + ∆ ∆ ∆ →

=

= (–3 + 2x + ∆x) ∆ →

= (–3 + 2x) + ∆x ∆ →

= f(m)

∆ →

= (3 + 2x) + 0 = 3 + 2x Jadi, fungsi biaya marjinalnya M(x) = (3 + 2x) dolar US.

=

⇔

⇔ ⇔ Jadi, nilai a = 5.

∆ →

+ + −

= (3 + 2x) + ∆x

=



→∞

+ + + ∆ + ∆ + ∆ − + + ∆

=

+ – (2x – 1) 

→∞

% + ∆ − % ∆

∆ + ∆ + ∆ ∆ ∆ →

→∞

=

Diketahui C(x) = 5 + 3x + x2 C(x + ∆x) = 5 + 3(x + ∆x) + (x + ∆x)2 = 5 + 3x + 3∆x + x2 + 2x∆x + (∆x)2 = (5 + 3x + x2) + (3∆x + 2x∆x + (∆x)2)

M(x) =

− + − −

=

= = 7 juta rupiah

Fungsi biaya marjinalnya:

− + − −

− + ++

Jadi, laba yang dapat diperoleh pedagang 7 juta rupiah.

+ +

→ ∞

=

+ +

→ ∞

=

+ +

∆ →

= (–3 + 2x) + 0 = –3 + 2x Jadi, fungsi biaya marjinalnya adalah M(x) = (–3 + 2x) dolar US.

Latihan Ulangan Tengah Semester A.

Pilihan Ganda

⇔ x=

1. Jawaban: a g f = g(f)

+

f(3x – 4))= 9x2 – 24x + 10 g

f

⇔

4

0

–5

6

1

–1

7

3

5

g f

Dari diagram panah di atas diperoleh: (g f)(4) = –5 (g f)(6) = –1 (g f)(7) = 5 Jadi, g f = {(4, –5), (6, –1), (7, 5)}. 2. Jawaban: c f g = f(g) f

g –5

0

0

–1

5

1

7

6

3

f g

Dari diagram panah di atas diperoleh g = {(–5, 0), (–1, 6), (7, 5)}. 3. Jawaban: a (h g)(x) = h(g(x)) = h(4x – x2) = 4x – x2 + 5 = –x2 + 4x + 5 4. Jawaban: b (f g)(x) = f(g(x)) ⇔ 4x + 11 = 4(g(x)) + 3 ⇔ 4(g(x)) = 4x + 8 ⇔

6. Jawaban: d (f g)(x) = f(g(x)) ⇔ 9x2 – 24x + 10 = f(3x – 4) Misalkan t = 3x – 4

g(x) =

+

=x+2

5. Jawaban: c (f g h)(x) = f(g h)(x)) = f(g(h(x))) = f(g(3x – 4)) = f((3x – 4)2 – 1) = f(9x2 – 24x + 15) = 10(9x2 – 24x + 15) + 9 = 90x2 – 240x + 159

 + 

 + 

f(t) = 9   – 24   + 10    + +    

= 9 

– 8(t + 4) + 10

2

= t + 8t + 16 – 8t – 32 + 10 = t2 – 6 Diperoleh f(t) = t2 – 6 sehingga f(–1) = (–1)2 – 6 = –5 7. Jawaban: a (g f)(1) = 4 · 12 + 12 · 1 + 8 ⇔ g(f(1)) = 4 + 12 + 8 ⇔ (f(1))2 – 1 = 24 ⇔ (f(1))2 = 25 ⇔ f(1) = ± = ±5 Jadi, nilai f(1) adalah –5 atau 5. 8. Jawaban: d (g f)(a – 2) = –41 ⇔ 15(a – 2) + 4 = –41 ⇔ 15(a – 2) = –45 ⇔ a – 2 = –3 ⇔ a = –1 (g f)(a) = 15a + 4 ⇔ (g f)(–1) = 15(–1) + 4 ⇔ g(f(–1)) = –15 + 4 ⇔ g(3(–1) + 2) = –11 ⇔ g(–3 + 2) = –11 ⇔ g(–1) = –11 Jadi, nilai g(a) = –11. 9. Jawaban: b f(x – 1) = 6x + 1 Misal x – 1 = t ⇔ x = t + 1 f(x – 1) = 6x + 1 ⇔ f(t) = 6(t + 1) + 1 = 6t + 6 + 1 = 6t + 7 ⇔ f(x) = 6x + 7 (f g)(x) = 6x2 – 12x + 13 ⇔ f(g(x)) = 6x2 – 12x + 13 ⇔ 6g(x) + 7 = 6x2 – 12x + 13 ⇔ 6g(x) = 6x2 – 12x + 6 ⇔ g(x) = x2 – 2x + 1

Matematika Kelas XI Pogram IPS

69

10. Jawaban: c

Diperoleh:

f

f–1(x) =

2

0

–3

1

–1

3

−

15. Jawaban: a +

h(x) = = + Misalkan y = h(x), diperoleh:

f–1

Dari diagram panah di atas diperoleh nilai f(2) = 3 dan f–1(1) = –3. Nilai f(2) = f–1(1) = 3 – 3 = 0. 11. Jawaban: c Suatu fungsi f mempunyai fungsi invers f–1 jika hanya jika f korespondensi satu-satu. Hal ini berarti jumlah anggota domain f sama dengan jumlah anggota kodomain f, setiap anggota domain f mempunyai satu pasangan di kodomain, dan setiap anggota kodomain f mempunyai satu pasangan di domain. Fungsi f, h, p, dan g bukan korespondensi satusatu. Fungsi g korespondensi satu-satu. Jadi, fungsi yang mempunyai fungsi invers adalah pilihan c. 12. Jawaban: c f

−

⇔

x = − −

h–1(x) = − dengan x ≠ 6 16. Jawaban: d Misal y = f(x) y = ax + 4 ⇔ ax = y – 4

–5

3

b

–3

5

c

0 g–1

(g f)–1 = f–1 g–1

x=

+

⇔

–1

f (x) =

+

17. Jawaban: c g(x) = 2x – 7 ⇒

y=

70

x=

+

⇔ g–1(x) =

+

(g–1 h)(x) = g–1(h(x))  +    

= g–1 

 +     

+

x=

−

Kunci Jawaban dan Pembahasan

+

+ +

Jadi, (g–1 h)(x) =

⇔ 2xy = 3 + x ⇔ 2xy – x = 3 ⇔ x(2y – 1) = 3 ⇔

y = 2x – 7

⇔

=

14. Jawaban: a

=–

⇔ 3(a – 4) = –a ⇔ 3a – 12 = –a ⇔ 4a = 12 ⇔ a=3 Jadi, nilai a = 3.

=

Diperoleh:

− −

Diperoleh f–1(x) =

Dari diagram panah di ats diperoleh f–1 = {(a, 1), (b, 5), (c, 3)} 13. Jawaban: d Misalkan y = f(x). y = 2x – 3 ⇔ y + 3 = 2x

−

x=

a

f–1

+

y = + ⇔ xy + 6y = 6x + 7 ⇔ xy – 6x = 7 – 6y ⇔ x(y – 6) = 7 – 6y

f–1(a) = –

g

1

⇔

dengan x ≠

=

+

+

.

18. Jawaban: b f–1(x – 2) = x – 12 = (x – 2) – 10 Misal x – 2 = t maka f–1(t) = t – 10 Mencari rumus f(t). (f–1(t))–1 = f(t)

Misal y = f–1(t) y = t – 10 ⇔ t = y + 10 Diperoleh (f–1(t))–1 = t + 10 ⇔ f(t) = t + 10 ⇔ f(x) = x + 10 (f g)(x) = 2x + 13 ⇔ f(g(x)) = 2x + 13 ⇔ g(x) + 10 = 2x + 13 ⇔ g(x) = 2x + 3 Jadi, rumus g(x) = 2x + 3. 19. Jawaban: a (h g f)(x) = h(g(f(x))) = h(g(x + 5)) = h(3(x + 5) – 5) = h(3x + 10) = 8(3x + 10) + 9 = 24x + 89 Misal y = ( h g f)(x). y = 24x + 89 ⇔ 24x = y – 89 ⇔

x=

−

.

21. Jawaban: c + → +

=8

⋅ + +

=8

27 + a = 40 a = 13

(2x – a)(x + 3) = (2x – a) · (x + 3)

→

→

→

⇔ 49 = (8 – a) · 7 ⇔ 8–a=7 ⇔ a=1 a+1=1+1 =2 23. Jawaban: b

−

+ − − = − − → →

⇔

−

b = x + 1 →

⇔ b=1+1 ⇔ b=2 2b – 1 = 2 · 2 – 1 =3

20. Jawaban: e Misal y = f(x) y = 4x + 3 −

24. Jawaban: c

Diperoleh f–1(x) =

−

→−

+ + + −

Misal y = h(x) y = 7x – 1 ⇔ x=

−

22. Jawaban: b

(f–1 g–1 h–1)(x) = (h g f)–1(x)

⇔ x=

− −

Jadi, (f–1 g h–1)(x) =

⇔ ⇔

Diperoleh:

=

=

⇔

−

(h g f)–1(x) =

=

+ +

= + − →− +

= − →−

+

−

Diperoleh h–1(x) =

= −

+

=

(f–1 g h–1)(x) = f–1(g(h–1(x))) = f–1(g(

+

= f–1(

+ −

– 10)

 −   

= f–1 

 −     

−

−

→ −

= f–1(

=

25. Jawaban: d

+ ))

)

− = → −

− + =

−

→

2

= x + 32 →

= 32 + 32 =9+9 = 18

Matematika Kelas XI Pogram IPS

71

26. Jawaban: c

→

−

−

− +

=

−

→

−

=

− ⋅ +

→

−

=

+

→

−

=

+

=

Dari (i) dan (ii) diperoleh: 5a + b = 22 10a – b = 23 ––––––––––– + 15a = 45 ⇔ a=3 5 · 3 + b = 22 ⇔ b=7 Jadi, a = 3 dan b = 7. 30. Jawaban: a

=0

→

− + −

27. Jawaban: b

→

− −

→

=

− → − + →

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

⇔ ⇔

=

− +

+ →

·

+ ⋅ + +

+ →

=A–1

31. Jawaban: a

=A–1

→

−

+ −

=

Oleh karena

+ = A – 1

→

2×0+1=A–1 A=2

→

−

⋅ +−

=

−

+ −

= maka nilai limit

→

−

+ −

→

→

=B+2

− ⋅ +

=

− ⋅

ax + b = 22 . . . (i)

− − −− →

− + −− →

− + −− →

=

72

=

→

. . . (ii)

Kunci Jawaban dan Pembahasan

=

2ax – b = 23

→

=–

32. Jawaban: c

→

− +

=

(x + 5) = B + 2

2a · 5 – b = 23 10a – b = 23

−

=

=

29. Jawaban: e

⇔ ⇔

=

+

→

5a + b = 22

−

dapat dicari menggunakan teorema L’Hopital

=B+2

− +

− →

+

= =

⇔ 8=B+2 ⇔ B=6 2A + B = 2 · 2 + 6 = 10

⇔

− +

=

=A–1

+ −

− →

=

=

28. Jawaban: d + →

− + +

→ +

= + =

+ + + +

=

=

×

→ − +

+

=

− + −

→ − +

+

=

→

→ − +

−

−

=

=

×

−+ −+

− + − + −−

− + − + − →

=

=

−

=

= (x+4)( − + 2) →

= (6 + 4)( − + 2) = 10 · (2 + 2) = 40 3A – A2 = 3 · 40 – 402 = 120 – 160 = –40

= –2 37. Jawaban: e

− – 2x

→∞

33. Jawaban: d − − − →

→∞

=

=

− −

=

→∞

− + + − − →

=

=

→∞

= – ( + 2)(x + 1) →

=

= –( + 2)(4 + 1) = –(2 + 2) · 5 = –20 34. Jawaban: e + − − →∞

=

→∞

=

+

−

−

+

+ →

= 2h + 15 →

= 15

−+ −

39. Jawaban: d

→

+ − →∞ − +

=

=

=

+ − − +

−

+ + + + − →

36. Jawaban: b

−

=

=0

→∞

+ + + + − − →

=

+

=

→∞

− −

+ + + − − ⋅ + ⋅ − →

− − →∞ −

=

− +

=

35. Jawaban: c

=

−

+− −

=

− +

+ − →

−

− +

38. Jawaban: c

= =∞

− + − →∞

=

=

+ −

→∞

− − + − + −

+

=

→∞

= − −

− +

− −

→∞

=

− +

→

− – 2x ·

=

− + → − −

−− −+

→∞ −

+ −

=5

⇔

+ + + − + →

=5

⇔

+ + + + − + →

=5

⇔

+ + →

=5

− −

+

Matematika Kelas XI Pogram IPS

73

⇔

(f f)(5) + (f f)(–3) – (f f)(0) = 1 + 0 – 1 =0 Jadi, nilai (f f)(5) + (f f)(–3) – (f f)(0) = 0.

8 + h + a = 5

→

⇔ ⇔

8+a=5 a = –3

3. Da. (g h)(x) = g(h(x))

40. Jawaban: c (f g)(x) = f(g(x)) = f(x2 + 2x – 3) = 2(x2 + 2x – 3) – 7 = 2x2 + 4x – 6 – 7 = 2x2 + 4x – 13

→

= g(2x + 13) + −

= + − +

= + − +

+ −

+ + + − − + − →

= =

→

b.

(h g)(x) = h(g(x))  − 

= h  −  

+ + + + − − + −

=



 −  2  −    − + −

+ 13

=

+ + →

=

=

+ + →

=

− + − −

=

− + − −

= 4x + 4 B. Uraian 1. a. Diagram panah f g. f

b. 2. a.

b.

13

−

= − dengan x ≠ g

–1

0

–2

0

1

1

3

5

3

4

7

4

g f

Dari diagram panah di atas diperoleh g = {(0, 4), (1, –2), (5, 3), (7, 1)} g(0) + (g f)(0) = 4 + 3 = 7 Jadi, nilai g(0) + (g f)(0)= 7. 4 pada interval x ≥ 3 maka f(4) = –2 2 pada interval –1 < x < 3 maka f(2) =2–1=1 –2 pada interval x ≤ –1 maka f(–2) = 1 f(4) – 2f(2) + f(–2) = –2 – 2 · 1 + 1 = –3 Jadi, nilai f(4) – 2f(2) + f(–2) = –3. (f f)(5) = f(f(5)) = f(–2) = 1 (f f)(–3) = f(f(–3)) = f(1) = 1 – 1 = 0 (f f)(0) = f(f(0)) = f(0 – 1) = f(–1) = 1

74

= + dengan x ≠ −

Kunci Jawaban dan Pembahasan

4. (f g)(x) = f(g(x)) ⇔ 4x2 – 12x + 13 = f(2x2 + bx + 1) ⇔ 4x2 – 12x + 13 = 2(2x2 + bx + 1) + 11 ⇔ 4x2 – 12x + 13 = 4x2 + 2bx + 2 + 11 ⇔ –12x = 2bx ⇔ b = –6 Diperoleh g(x) = 2x2 – 6x + 1. g(2x + 1) = 2(2x + 1)2 – 6(2x + 1) + 1 = 2(4x2 + 4x + 1) – 12x – 6 + 1 = 8x2 + 8x + 2 – 12x – 5 = 8x2 – 4x – 3 Jadi, g(2x + 1) = 8x2 – 4x – 3. 5. Misal y = f(x) +

y = −

⇔ y(2x – 6) = 6 + x ⇔ 2xy – 6y = 6 + x ⇔ 2xy – x = 6 + 6y ⇔ x(2y – 1) = 6 + 6y +

⇔

x = − +

Diperoleh f–1(x) = − . f–1(x) = x + 1 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

+ −

=x+1

6 + 6x = (x + 1)(2x – 1) 6 + 6x = 2x2 + x – 1 2 2x – 5x – 7 = 0

⇔ (2x – 7)(x + 1) = 0 ⇔ 2x – 7 = 0 atau x + 1 = 0

⇔

x = atau

=

x = –1

=

Jadi, nilai x = atau x = –1. 6. (f g)(x) = x2 + 19x + 80 ⇔ (f g)(–2) = (–2)2+ 19(–2) + 80 ⇔ f(g(–2)) = 4 – 38 + 80 ⇔ f(5) = 46 ⇔ 52 + 5p – 4 = 46 ⇔ 25 + 5p – 4 = 46 ⇔ 5p = 25 ⇔ p=5 Jadi, nilai p = 5. 7. a.

9. a.

→−

+ +

×

+ +

+ −

=

→− + + +

+

=

→− + + +

+

=

→− + + +

–1

g

+ − +

=

(g f)–1 = f–1 g–1 –1

+ − +

→−

f

–3

1

–2

–1

2

–1

2

3

0

3

4

2

=

→−

+ +

=

+ − +

=

+

(g f)–1

b.

8. a.

Dari diagram panah di atas diperoleh (g f)–1 = {(–3, –2),(–1, 2),(2, –1), (3, 0)}. f = {(–1, 1), (–2, 2), (2, 3), (0, 4)} g = {(2, –3), (3, –1), (1, 2), (4, 3)} (g f)–1(2) + 2f(2) – 3g(2) = –1 + 2 · 3 – 3 · (–3) = –1 + 6 + 9 = 14 Jadi, nilai (g f)–1(2) + 2f(2) – 3g(2) = 14.

−

→ +

−

=

+

→

+

→

= b.

→

+ − −−

− + − +

+ − +

Jadi,

→−

b.

=

→

=

→

=

→

+ +

− +

− + − ⋅ + − ⋅ + + +

.

+ −

→ −

+

×

+ +

+ +

− + + → − +

=

→

= –1

=

−

→ −

=

=

=

=

−

= =

= +

− + + −

= 15 + + →

= 15 + + = 15 +

= 15 + 5 = 20 Jadi,

−

→ −

+

= 20.

Matematika Kelas XI Pogram IPS

75

10. a.

 −  →∞  +



Bab III

+ − 

Turunan Fungsi



− + + − + →∞

=

− + − − + →∞

= =

− − →∞ + − − + →∞

=

=

− −

→∞

+

1. Jawaban: b f′(x) = 3x2 – 20x + 25 f′(1) = 3 · 12 – 20 · 1 + 25 = 8 Jadi, nilai f′(1) = 8.

f(x) = + x = x + x

f′(4) =

− + )

(3x + 2) –

→∞

− + )

= (3x + 2) – →∞

+ + − +

+ + − +

=

+ − − +

→∞ + +

=

− +

+ + − + −

→∞

+ + − +

+

=

→∞ + +

=

→∞

+

+ + −

+

+

=

+

+ + − +

= +

·2+1=3+1=4

f′(x) =

= · = 4u3 · 6x = 24x(3x2 – 7)3 4. Jawaban: e Misal u = 2x2 – 3x + 1 maka f(x) = u4.

f′(x) =

= · = 4u3 · (4x – 3) = 4(2x2 – 3x + 1)3(4x – 3) = 4(4x – 3)(2x2 – 3x + 1)3 = (16x – 12)(2x2 – 3x + 1)3 5. Jawaban: b

→∞ + + − +

=

+

3. Jawaban: c Misal u = 3x2 – 7 maka f(x) = u4.

− +

+ =

·

f′(x) = x + 1 =

= –2 b.

Pilihan Ganda

2. Jawaban: a

− − +

=

A.

Misalkan t = 3 + 2x maka x = f(3 + 2x) = 4 – 2x + x2  −

 −

⇔ f(t) = 4 – 2   +      

= 4 – t + 3 + (t2– 6t + 9)

= =

f′(t) = t – = t –

f′(1) = · 1 – = – = –2 Kunci Jawaban dan Pembahasan

= 7 – t + t2 – t + = t2 – t + 9

76

−

6. Jawaban: c

− , dan w = 1 – 2x

Misal u = 2x + 1, v = maka h(x) = uv dan v =

=2

= ·

=w.

9. Jawaban: b h(x) = (g f)(x) = g(f(x)) = g(2x2 + 4x)

= w– · (–2)

= –(1 – 2x)– =–

−

= = h(

Misal u = 2x2 + 4x – 3 maka h(x) = u

− · 2 + (2x + 1) · (–

−

)

h′(x) =

=

− − + −

−

=

−

·

+

−

=

– 2x2) =

=

− −

+

Jadi, h′(x) =

+ −

− + − +

−

f(x) = + Misal y = f(x)

−

=

−

atau

.

10. Jawaban: d

−

=

+ + −

− −

−

y = + ⇔ xy + 4y = 3x – 2 ⇔ xy – 3x = –4y – 2 ⇔ x(y – 3) = –4y – 2

7. Jawaban: c f′(x) = 4x2 + 18x – 11 f′(a) = –1 ⇔ 4a2 + 18a – 11 = –1 ⇔ 4a2 + 18a – 10 = 0 ⇔ (4a – 2)(a + 5) = 0 ⇔ 4a – 2 = 0 atau a + 5 = 0 a=

.

= u– · (4x + 4)

− − −

=

⇔

+ −

= (2x2 + 4x – 3)

=

=

= v + u =

8. Jawaban: a f(x) = 2x3 + nx2 + 4x + 3 f′(x) = 6x2 + 2nx + 4 f′′(x) = 12x + 2n f′′(–1) = –22 ⇔ 12 · (–1) + 2n = –22 ⇔ 2n = –10 ⇔ n = –5

− − − − − –1 Diperoleh f (x) = −

⇔

x=

Misalkan h(x) = f–1(x), u = –4x – 2, dan v = x – 3,

a = –5

Jadi, nilai a yang memenuhi adalah –5 atau .

maka h(x) = . u′ = –4 v′ = 1

Matematika Kelas XI Pogram IPS

77

′ − ′

=

=

− − − − − ⋅

−

=

=

− + + +

−

=

=

−

=

h′(x) =

= 14(x –

3)–2

Misalkan u = (2x – 4) dan v = − maka f(x) = uv. u′ = 3(2x – 4)2 · 2 = 6(2x – 4)2

3

· 4x =

−

f′(x) = vu′ + uv′ =

− · 6(2x – 4)2 + (2x – 4)3 · − + (2x –4)3 ·

= 6(2x – 4)2

f′(3) = 6(2 · 3 – 4)2 ⋅ − + (2 · 3 – 4)3 ·

− − ⋅ ⋅ −

= 6 · 22 + =6·4·4+

– 4 · 32) = –4

= (x – 1)2(3(1 – 2x) – 2(x – 1)) = (x – 1)2(3 – 6x – 2x + 2) = (x – 1)2(5 – 8x)

f′(x) = =

78

−

=

= t

= ·

−

=

⇔ = 2

= (3t2 – 4t) · 2 = (3(x – 1)4 – 4(x – 1)2) · 2(x – 1) = 2(x – 1)(x – 1)2(3(x – 1)2 – 4) = 2(x – 1)3(3(x2 – 2x + 1) – 4) = 2(x – 1)3(3x2 – 6x + 3 – 4) = 2(x – 1)3(3x2 – 6x – 1) = (x – 1)3(6x2 – 12x – 2) 14. Jawaban: e Misal tinggi air dalam wadah = h Tinggi air dalam wadah berkurang dengan laju

(108

= (1 – 2x) · 3(x – 1)2 + (x – 1)3· –2

=

=x–1 t = (x – 1)2

12. Jawaban: a Misalkan u = (x – 1)3(1 – 2x) maka f(x) = .

−

=

= 23 = 8 · 4 = 32

· (5 – 8x)

0,04 mm/detik maka = –0,04 mm/detik. Volume air: V = πr2h Laju pengurangan volume air

f(3) = (2 · 3 – 4)3 ⋅ −

– 4f(3)) =

− −

− −

= 96 + 12 = 108

(f′(3)

−

·

+1 ⇔ ⇔

x=

11. Jawaban: b

−

13. Jawaban: d

−

−

v′ = (2x2 – 2)

− −

− − −

= –28(x – 3)–3

−

− −

= (5 – 8x) −

h′′(x) = 14 · (–2)(x – 3)–3 · 1

=

− −

=

− −

·

Kunci Jawaban dan Pembahasan

= · = πr2 · (–0,04)

Untuk r = 15, nilai = π · 152 · 0,04 = –9π cm3/detik Tanda minus pada –9π cm3/detik menunjukkan volume air berkurang. Jadi, laju pengurangan air dalam wadah adalah 9π cm3/detik. 15. Jawaban: e Misal luas noda tinta = A. Noda tinta berbentuk lingkaran maka A = πr2. Luas noda tinta bertambah dengan laju

0,2 mm2/detik maka = 0,2 mm2/detik.

!

= ! ·

=

+

!

⇔ 0,2 = 2πr ·

= + +

⇔ = π! = π! m/detik

!

⇔

!

"

"

merupakan laju pertambahan jari-jari noda tinta. !

"

Pada saat r = 5 mm, nilai = π = π

= π mm/detik. Jadi, laju pertambahan jari-jari noda tinta pada saat

r = 5 mm adalah π mm/detik. B.

Uraian

+ +

. −

v′ = · +

=

+

= g′(x) = =

+ − ⋅

2(a + 2)(a + 2) = a + 3 2(a2 + 4a + 4) = a + 3 2a2 + 8a + 8 = a + 3 2a2 + 7a + 5 = 0 (2a + 5)(a + 1) = 0 2a + 5 = 0 atau a + 1 = 0 −

a=

+

atau

a = –1

4. t = x2 – 4x + 4 ⇔ t = (x – 2)2 ⇔ ± =x–2 ⇔

x=2±

Oleh karena x > 2 maka x = 2 +

⇔ ⇔

+ = + maka

⇔ ⇔

.

= 3x2 – 3 =

=0

(3x2 – 3) ·

· = 0

=0

3(2 + )2 – 3 = 0 3(4 + 4 + t) – 3 = 0

⇔ 12 + 12 + 3t – 3 = 0 ⇔

3t + 12 + 9 = 0

⇔

3( )2 + 12 + 9 = 0

⇔

(3 + 9)( + 1) = 0

⇔

3 +9=0

⇔ +

+

−

⇔

′ − ′

=

+ +

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

+ + +

+

⇔

+

Jadi, nilai a = atau a = –1.

2. 2f(x) – 2xf′(x) + x2f′′(x) = 2(px2 + qx) – 2x(2px + q) + x2 · 2p = 2px2 + 2qx – 4px2 – 2qx + 2px2 = 4px2 – 4px2 + 2qx – 2qx =0 Jadi, nilai 2f(x) – 2xf′(x) + x2f′′(x) = 0. 3. Misalkan u = x dan v =

=

+ + + +

2

1. f(t) = t – at + b, f′(t) = 3t2 – 2at f′(2) = –4 ⇔ 3 · 22 – 2a · 2 = –4 ⇔ 12 – 4a = –4 ⇔ –4a = –16 ⇔ a =4 f(1) = 2 ⇔ 13 – a · 12 + b = 2 ⇔ 1–4·1+b =2 ⇔ –3 + b = 2 ⇔ b =5 Nilai a + b = 4 + 5 = 9. Jadi, nilai a + b = 9.

+

g(a + 1) = +

⇔ 3

g(x) = u′ = 1

+ − + +

⇔

3 = –9  − 

+1=0

atau

= –1

atau

( )2 =   atau ( )2 = (–1)2   t=9 atau t=1

Jadi, nilai t yang memenuhi = 0 adalah 1 dan 9.

Matematika Kelas XI Pogram IPS

79

5. Misal luas permukaan bola: A = 4πr2 Luas permukaan bola bertambah dengan laju

0,04 mm2/detik maka = 0,04 mm2/detik.

⇔ ⇔

!

= ! ·

!

0,04 = 8πr · !

"

= π! =

"

π!

mm/detik !

"

Pada saat r = 5 cm = 50 mm, nilai = π =

" π

= #π mm/detik.

Jadi, laju pertambahan jari-jari bola pada saat

r = 5 cm adalah #π mm/detik.

A.

Pilihan Ganda

1. Jawaban: a Persamaan gradien garis singgung kurva: f′(x) = 2x + 1 Kurva f(x) = x2 + x – 20 memotong sumbu X maka y = 0. x2 + x – 20 = 0 ⇔ (x – 4)(x + 5) = 0 ⇔ x – 4 = 0 atau x + 5 = 0 ⇔ x = 4 atau x = –5 Titik A di kanan sumbu Y maka absis titik A positif (xA > 0). Diperoleh xA = 4. Gradien garis singgung pada kurva di titik A: m = f′(xA) = f′(4) =2·4+1=9 Jadi, gradien garis singgung pada kurva di titik A adalah 9. 2. Jawaban: e Persamaan gradien garis singgung kurva: m = y′ = 2x + 3 Gradien garis singgung kurva di titik (1, 3): m = y′(1) = 2 · 1 + 3 = 5 Persamaan garis singgung melalui titik (1, 3) dan bergradien m = 5: y – 3 = 5(x – 1) ⇔ y = 5x – 5 + 3 = 5x – 2 Jadi, persamaan garis singgung kurva yang melalui titik (1, 3) adalah y = 5x – 2.

80

Kunci Jawaban dan Pembahasan

3. Jawaban: d Gradien garis yang sejajar garis y + 2x = 5 adalah m = –2. Garis g sejajar garis y + 2x = 5 dan menyinggung kurva f(x) = 2x2 – 6x + 1 maka gradien garis g: mg = f′(x) = –2 ⇔ 4x – 6 = –2 ⇔ 4x = 8 ⇔ x=2 Diperoleh absis titik P, xp = 2. Ordinat titik P: yp = f(2) = 2 · 22 – 6 · 2 + 1 = 8 – 12 + 1 = –3 Jadi, koordinat titik P(2, –3). 4. Jawaban: b f(x) = ax2 + b f′(x) = 2ax Gradien garis singgung di titik (1, 2) adalah 20, maka: f′(1) = 20 ⇔ 20 = 2a · 1 ⇔ a = 10 Persamaan kurva menjadi f(x) = 10x2 + b. Kurva melalui titik (1, 2) maka f(1) = 2. 10 · 12 + b = 2 ⇔ b = –8 Jadi, nilai a = 10 dan b = –8. 5. Jawaban: d Persamaan gradien garis singgung kurva: m = f′(x) = 3x2 – 4x – 2. Gradien garis singgung kurva di titik T(2, 2): m = f′(xT) = f′(2) = 3 · 22 – 4 · 2 – 2 = 2 Garis normal y = ax + b mempunyai gradien mn = a.

mn = – ′ ⇔ a = –

Persamaan garis normal menjadi y = – x + b. Garis normal melalui titik T(2, 2) maka:

2 = – · 2 + b ⇔ 2 = –1 + b ⇔ b=3 Nilai a + b =

–

+3=2.

Jadi, nilai a + b = 2 . 6. Jawaban: d Kurva f(x) = 3x2 + 2x – 1 melalui titik P(a, 4) maka f(a) = 4. Oleh karena a > 0 maka a = 1 sehingga koordinat titik P(1, 4). f(a) = 3a2 + 2a – 1 ⇔ 4 = 3a2 + 2a – 1 2 ⇔ 3a + 2a – 5 = 0 ⇔ (3a + 5)(a – 1) = 0

⇔

3a + 5 = 0

⇔

a=

atau a – 1 = 0

–

atau

a=1

Persamaan gradien kurva: m = f′(x) = 6x + 2 Gradien garis singgung kurva di titik P(1, 4): m = f′(xP) = f′(1) = 6 · 1 + 2 = 8 Jadi, gradien garis singgung kurva di titik P(1, 4) adalah 8. 7. Jawaban: b Persamaan gradien garis singgung kurva: m = f′(x) = 6x – a Garis y = (a + 2)x – 2b mempunyai gradien m = a + 2. Oleh karena garis y = (a + 2)x – 2b menyinggung kurva di titik (1, a) maka m = f′(1). m = f′(1) ⇔ a+2=6·1–a ⇔ 2a = 4 ⇔ a=2 Jadi, nilai a = 2. 8. Jawaban: d Persamaan gradien garis singgung kurva: m = f′(x) = 2x + a

Gradien garis singgung kurva di titik P( a, b) sama

dengan 8 maka m = f′( a) = 8.

f′( a) = 2 · a + a ⇔ 8 = 2a ⇔ a=4

Diperoleh xP = a = · 4 = 2 Persamaan kurva menjadi f(x) = x2 + 4x – 8. Menentukan ordinat titik P. yP = f(xP) = f(2) = 22 + 4 · 2 – 8 =4+8–8=4 Jadi, koordinat titik P(2, 4). 9. Jawaban: d Fungsi f(x) turun jika f′(x) < 0. ⇔ 3x2 – 6x – 9 < 0 ⇔ 3(x2 – 2x – 3) < 0 ⇔ (x – 3)(x + 1) < 0 ▲

▲

+++

–––

+++

▲

–1

3

Dari diagram di atas kelihatan bahwa grafik fungsi f(x) turun pada interval –1 < x < 3. Jadi, grafik fungsi f(x) turun pada interval –1 < x < 3.

10. Jawaban: b Fungsi f(x) mencapai stasioner jika f′(x) = 0 3x2 + 6x = 0 ⇔ 3x(x + 2)= 0 ⇔ x = 0 atau x = –2 Untuk x = 0 maka f(0) = 03 + 3 · 02 + 8 = 8 (minimum) Untuk x = –2 maka f(–2) = (–2)3 + 3 · (–2)2 + 8 = 12 (maksimum) Jadi, nilai maksimum fungsi adalah 12. 11. Jawaban: b f(x) mencapai stasioner jika f′(x) = 0. f′(x) = x2 + 2px – 6 Fungsi f(x) mencapai stasioner di x = –3 maka f′(– 3) = 0. ⇔ (–3)2 + 2p(–3) – 6 = 0 ⇔ 9 – 6p – 6 = 0

⇔

–6p = –3 ⇔ p =

Diperoleh persamaan f′(x) = x2 + 2 · · x – 6 = x2 + x – 6. f′(x) = 0 ⇔ x2 + x – 6 = 0 ⇔ (x + 3)(x – 2) = 0 ⇔ x + 3 = 0 atau x – 2 = 0 ⇔ x = –3 atau x =2 Jadi, nilai stasioner yang lain dicapai di x = 2. 12. Jawaban: e Fungsi f(x) mencapai maksimum di x = –2 maka f′(–2) = 0. f′(x) = 3x2 + 2ax – 2 f′(–2) = 0 ⇔ 3(–2)2 + 2a(–2) – 2 = 0 ⇔ 12 – 4a – 2 = 0 ⇔ 4a = 10

⇔

a=

⇔

a=2

Jadi, nilai a = 2 . 13. Jawaban: c Fungsi f(x) mencapai minimum di titik (1, –5) maka f′(1) = 0 dan f(1) = –5. f′(x) = 3ax2 + 6x – 12 f′(1) = 0 ⇔ 3a · 12 + 6 · 1 – 12 = 0 ⇔ 3a + 6 – 12 = 0 ⇔ 3a = 6 ⇔ a=2 Persamaan kurva menjadi f(x) = 2x3 + 3x2 – 12x + b. f′(1) = –5 ⇔ 2 · 13 + 3 · 12 – 12 · 1 + b = –5 ⇔ 2 + 3 – 12 + b = –5 ⇔ –7 + b = –5 ⇔ b=2 Nilai a + b = 2 + 2 = 4 Jadi, nilai a + b = 4. Matematika Kelas XI Pogram IPS

81

14. Jawaban: b Fungsi f(x) mencapai stasioner jika f′(x) = 0. 6x2 + 18x – 60 = 0 ⇔ 6(x2 + 3x – 10) = 0 ⇔ (x + 5)(x – 2) = 0 ⇔ x + 5 = 0 atau x – 2 = 0 ⇔ x = –5 atau x=2 Untuk x = –5 tidak masuk dalam interval 1 ≤ x ≤ 4. Untuk x = 2, nilai f(2) = 2 · 23 + 9 · 22 – 60 · 2 + 20 = 16 + 36 – 120 + 20 = –48 Nilai f(x) di ujung-ujung interval: f(1) = 2 · 13 + 9 · 12 – 60 · 1 + 20 = 2 + 9 – 60 + 20 = –29 f(4) = 2 · 43 + 9 · 42 – 60 · 4 + 20 = 128 + 144 – 240 + 20 = 52 Fungsi f(x) pada interval 1 ≤ x ≤ 4 mempunyai nilai terendah –48. Jadi, pada interval 1 ≤ x ≤ 4 fungsi f(x) = 2x3 + 9x2 – 60x + 20 mempunyai nilai minimum –48. 15. Jawaban: c Luas persegi panjang: L=p = (2x + 4)(8 – x) = –2x2 + 12x + 32 $

Fungsi L mencapai stasioner jika = 0. $

⇔ ⇔ ⇔

= 3ay – 3y2 = 0 30y – 3y2 = 0 3y(10 – y) = 0 y = 0 atau y = 10

Sketsa grafik :

---

10

Dari diagram terlihat h mencapai maksimum di y = 10. Diperoleh nilai maksimum h: h(10) = 15 · 102 – 103 = 500 Jadi, hasil perkalian maksimumnya 500. 17. Jawaban: b Biaya produksi: B(x) = (2x2 – 180x + 2.500) ribu rupiah Fungsi B(x) mencapai stasioner jika B′(x) = 0. B′(x) = 4x – 180 ⇔ 0 = 4x – 180 ⇔ 4x = 180 ⇔ x = 45 Sketsa grafik B′(x):

---

+++ 45

$

Dari sketsa grafik B′(x) di atas tampak bahwa fungsi B(x) mencapai minimum di x = 45. Jadi, biaya produksi akan minimum jika diproduksi 45 unit barang. 18. Jawaban: d Biaya proyek per hari:

Sketsa grafik :

---

+++

---

+++ 0

= –4x + 12

⇔ 0 = –4x + 12 ⇔ –4x = –12 ⇔ x =3

3

$

Dari sketsa grafik di atas tampak bahwa fungsi L mencapai maksimum di x = 3. Lebar persegi panjang: = 8 – x = 8 – 3 = 5 cm Jadi, luas persegi panjang akan maksimum apabila lebar persegi panjang 5 cm. 16. Jawaban: b Misalkan bilangan pertama x dan bilangan kedua y. x + y = 15 ⇔ x = 15 – y h = xy2 = (15 – y)y2 = 15y2 – y3

82

Fungsi h mencapai stasioner jika = 0.

Kunci Jawaban dan Pembahasan

b(p) = (4p + % – 40) juta rupiah Biaya proyek p hari: B(p) = pb(p)

= p(4p + % – 40) = 4p2 + 100 – 40p = 4p2 – 40p + 100 Fungsi B(p) mencapai stasioner jika B′(p) = 0. 8p – 40 = 0 ⇔ 8p = 40 ⇔ p= 5 Sketsa grafik B′(p):

---

+++ 5

Dari sketsa grafik B′(p) di atas tampak bahwa fungsi B(p) mencapai minimum di p = 5. Jadi, proyek tersebut harus diselesaikan dalam waktu 5 hari agar biaya proyek tersebut minimum.

b.

19. Jawaban: c Biaya total:

TC = B(x) = x2 – 10x + 25 Penerimaan total:

TR = 50x – x2 Laba akan maksimum jika MP = 0. MP = MR – MC &'

&*

⇔ 0 = –

⇔ 0 = 50 – x – ( x – 10) ⇔ 60 – 2x = 0 ⇔ x = 30 Jadi, laba maksimum diperoleh jika diproduksi 30 m kain batik.

2. Misal garis g menyinggung kurva di titik P maka absis titik singgung xP = –1. Garis g: y = ax – b mempunyai gradien m = a. Garis g menyinggung kurva f(x) di xP = –1 maka m = f′(–1). f′(x) = 3(a + 1)(–1)2 + 3 m = f′(–1) ⇔ a = 3(a + 1)x2 + 3 ⇔ a = 3a + 3 + 3 ⇔ 2a = –6 ⇔ a = –3 Persamaan garis menjadi y = –3x – b.

Garis g memotong sumbu X di titik A(– , 0) maka

y(– ) = 0. menyinggung kurva di x = –1 maka:

20. Jawaban: b − ⋅ − − − = = (tak tentu) − → −

⇔ 0 =2–b ⇔ b =2 Persamaan garis menjadi y = –3x – 2. Persamaan kurva menjadi f(x) = (–3 + 1)x3 + 3x + 2 = –2x3 + 3x + 2 Ordinat titik singgung: yP = y(xP) atau yP = f(xP). yP = y(xP) = y(–1) = –3(–1) – 2 =3–2 =1 Diperoleh koordinat titik P(–1, 1). Jadi, koordinat titik singgung kurva dengan garis g adalah (–1, 1).

−

→

→

−

− −

⋅





=  −  −  →  ⋅ −

=1–

= 1 – = –1 B.

Uraian

1. a.

f(x)= (x + 3)2 – 2x = x2 + 6x + 9 – 2x = x2 + 4x + 9 Kurva f(x) memotong sumbu Y jika x = 0 maka: f(0) = 02 + 4 · 0 + 9 = 9 Kurva memotong sumbu Y di titik T(0, 9). Gradien kurva di titik T(0, 9) adalah m = f′(0). f′(x) = 2x + 4 m = f′(0) = 2 · 0 + 4 = 4 Jadi, gradien garis singgung kurva di titik T adalah 4.

y(– ) = –3(– ) – b

Oleh karena nilai limitnya maka: − − =

Persamaan garis singgung di titik T(0, 9) dengan gradien m = 4: y – yT = m(x – xT) ⇔ y – 9 = 4(x – 0) ⇔ y – 9 = 4x ⇔ y = 4x + 9 Jadi, persamaan garis singgung kurva di titik T adalah y = 4x + 9.

3.

Harga per unit barang: H(x) = 16 +

#

–

Pendapatan total: TR = xH(x) = x(16 +

#

–

= 16x + 2.000 –

)

Matematika Kelas XI Pogram IPS

83

Jadi, kurva memotong sumbu Y di titik (0, 16).

&'

Pendapatan akan maksimum jika = 0. &'

=16 – = 0

⇔

b.

= 16

⇔ x = 32 Pendapatan maksimum perusahaan: TR(32) = (16 · 32 + 2.000 –

) · 100.000

= 2.256 · 100.000 = 225.600.000 Jadi, pendapatan maksimum perusahaan 225.600.000 rupiah. 4. Biaya proyek per hari: b(x) = (x2 – 75x + 1.800 –

# ) ratus ribu rupiah

Biaya proyek x hari: B(x) = xb(x) = x(x2 – 75x + 1.800 –

---

# ) –3

= (x3 – 75x2 + 1.800x – 5.000) ratus ribu rupiah B′(x) = 3x2 – 150x + 1.800 Fungsi B(x) mencapai stasioner jika B′(x) = 0. 3x2 –150x + 1.850 = 0 ⇔ 3(x2 – 50x + 600) = 0 ⇔ x2 – 50x + 600 = 0 ⇔ (x – 30)(x – 20) = 0 ⇔ x – 30 = 0 atau x – 20 = 0 ⇔ x = 30 atau x = 20 Sketsa grafik B′(x): ▲

3)

▲

+++

––– ▲

20

+++

84

Kunci Jawaban dan Pembahasan

+++

0 2 ↑ ↑ ↑ maksimum minimum minimum –2

3

Jadi, (–2, 0) dan (2, 0) merupakan titik balik minimum dan (0, 16) merupakan titik balik maksimum. Menentukan fungsi naik dan fungsi turun. Dari diagram di atas terlihat kurva naik pada interval –2 < x < 0 dan 2 < x ≤ 3. Kurva turun pada interval –3 ≤ x < –2 dan 0 < x < 2.

Menentukan koordinat titik pada ujung-ujung interval. Untuk x = –3 maka y(–3) = (–3)4 – 8(–3)2 + 16 = 25 Untuk x = 3 maka y(3) = 34 – 8 · 32 + 16 = 25. Jadi, koordinat titik-titik pada ujung interval (–3, 25) dan (3, 25).

d.

Sketsa kurva

30

Menentukan titik potong kurva dengan sumbu koordinat. 1) Kurva memotong sumbu X jika y = 0. x4 – 8x2 + 16 = 0 ⇔ (x2 – 4)2 = 0 ⇔ x2 – 4 = 0 ⇔ (x – 2)(x + 2) = 0 ⇔ x – 2 = 0 atau x + 2 = 0 ⇔ x = 2 atau x = –2 Jadi, kurva memotong sumbu X di titik (–2, 0) dan (2, 0). 2) Kurva memotong sumbu Y jika x = 0. y = 04 – 8 · 02 + 16 = 16

---

+++

c.

Dari sketsa grafik B′(x) tampak bahwa fungsi B(x) mencapai minimum di x = 30. Jadi, proyek harus diselesaikan dalam waktu 30 hari agar biaya proyek minimum. 5. a.

Menentukan titik stasioner dan jenisnya serta interval fungsi naik dan fungsi turun. 1) Kurva mencapai stasioner jika f′(x) = 0. 4x3 – 16x = 0 ⇔ 4x(x2 – 4) = 0 ⇔ x(x – 2)(x + 2) = 0 ⇔ x = 0 atau x = 2 atau x = –2 Untuk x = 0 maka y(0) = 04 – 8 · 02 + 16 = 16 Untuk x = 2 maka y(2) = 24 – 8 · 22 + 16 =0 Untuk x = –2 maka y(–2) = (–2)4 – 8 (–2)2 + 16 = 0 Jadi, titik-titik stasionernya (–2, 0), (0, 16), dan (2, 0). 2) Menentukan jenis titik stasioner. Sketsa grafik f′(x):

y 25 16

–3 –2

0

2

3

x

A.

Pilihan Ganda

1. Jawaban: a

f(x) =

+ + = (2x3 + 3x + 3)

Misal u = 2x3 + 3x + 3 maka f(u) = u . f′(x) =

→

f′(a) =

= ·

–

=

4. Jawaban: c f′(x) = + ;

= u

f′(a) = 6a – 1 f′(x – 1) = –x2 ⇔ 6(x – 1) – 1 = –x2 ⇔ 6x – 6 – 1 = –x2 ⇔ x2 + 6x – 7 = 0 ⇔ (x + 7)(x – 1) = 0 ⇔ x + 7 = 0 atau x – 1 = 0 ⇔ x = –7 atau x =1 Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 1 dan –7.

= · (6x + 3)

+ ; → + ; →

− + →

+

= →

+ +

f′(1) = =

+ ; →

= –

+

=

=

− + ;

+

+ + +

+ +

=3

= – f′(a) 5. Jawaban: d

Misalkan u = 2x2 + 1 dan v = 1 – x2 maka f(x) = . u′ = 4x dan v′ = –2x f′(x) = =

− − + −

−

=

− + +

−

=

−

f′(2) =

⋅

−

Jadi, nilai f′(1) = 3. 2. Jawaban: d Misal u = 2x – 5x 4 dan v = (2x + 1) 4 maka f(x) = uv. u′ = 2 – 20x3 v′ = 4(2x + 1)3 · 2 = 8(2x + 1)3 f′(x) = vu′ + uv′ = (2x + 1)4 · (2 – 20x3) + (2x – 5x4) · 8(2x + 1)3 = (2x + 1)4 · 2(1 – 10x3) + (2x – 5x4) · 8(2x + 1)3 = 2(2x + 1)3((2x + 1)(1 – 10x3) + 4(2x – 5x4)) = 2(2x + 1)3 · (2x + 1 – 20x4 – 10x3 + 8x – 20x4) = 2(2x + 1)3 · (1 + 10x – 10x3 – 40x4) 3. Jawaban: e Misal a = x + 1 ⇔ x = a – 1 f(x + 1) = 3x2 + 5x + 7 ⇔ f(a) = 3(a – 1)2 + 5(a – 1) + 7 = 3(a2 – 2a + 1) + 5a – 5 + 7 = 3a2 – 6a + 3 + 5a + 2 = 3a2 – a + 5

′ − ′

=

−

= =1

6. Jawaban: a f′(x) = 3px2 – 2x f′′(x) = 6px – 2 f′′(1) = 10 ⇔ 6p · 1 – 2 = 10 ⇔ 6p = 12 ⇔ p=2 Diperoleh f′(x) = 3 · 2x2 – 2x = 6x2 – 2x. f′(–1) = 6(–1)2 – 2(–1) = 6 + 2 = 8 Jadi, nilai f′(–1) = 8.

Matematika Kelas XI Pogram IPS

85

⇔ (2a + 5)(a – 3) = 0 ⇔ 2a + 5 = 0 atau a – 3 = 0

7. Jawaban: a  ′   (x)  

=

′ − ′

⇔ a = – atau Oleh karena a > 0 maka a = 3. Jadi, nilai a = 3.

 ′ ′ − ′   (0) =

 

=

− ⋅ − − ⋅

−

11. Jawaban: d

= –2 8. Jawaban: d

9. Jawaban: e y = x +

+

=

+

Misal u = x3 + x2 maka y = u .

= · =

· (3x + 2x)

=

3 (x

– x2) (3x2

2

+ 2x)

=

!

maka = 0,03 cm/detik. Laju pertambahan volume balon:

!

= ! · = 4πr2 · 0,03 = 0,12πr2

+ ·

Pada saat r = 3 cm, nilai = 0,12π · 32 = 1,08π cm3/detik Jadi, laju pertambahan volume balon pada saat r = 3 cm adalah 1,08π cm3/detik.

? .

Laju pertambahan luas permukaan kotak: $

?

= ? ·

?

⇔ 7,2 = 12s · + +

+

10. Jawaban: c f(x) = ax2 – (a + 1)x + 8 f′(x) = 2ax – (a + 1) f′(a) = 14 ⇔ 2a · a – (a + 1) = 14 ⇔ 2a2 – a – 1 = 14 ⇔ 2a2 – a – 15 = 0

86

12. Jawaban: e Jari-jari balon bertambah dengan laju 0,03 cm/detik

$

+

+

Laju pertambahan rusuk kotak =

+

y =

· 2t

13. Jawaban: a Luas permukan kotak: L = 6s2.

– u

=

= (x3 + x2)

+

=

= · =

h′(x) = g(x)f′(x) + f(x)g′(x) h′(x) – f′(x)g(x) – 5 = g(x)f′(x) + f(x)g′(x) – f′(x)g(x) – 5 = f(x)g′(x) – 5 = f(x)f(x) – 5 = f2(x) – 5

− ⇔ t2 = x – 1 ⇔ x = t2 + 1

t=

= –

=

a=3

Kunci Jawaban dan Pembahasan

⇔

?

=

" ?

Laju pertambahan rusuk kubus pada saat s = 3 cm = 30 mm ?

=

"

= 0,02 mm/detik 14. Jawaban: c

f′(x) = · 4x3 = x3 f′′(x) = 3x2

4f(x) + 5f′(x) + 2f′′(x) ≥ 0 ⇔ 4· ⇔ ⇔ ⇔

4 x

12345678901 12345678901 12345678901 12345678901

+++

Garis g mempunyai gradien 5 dan menyinggung kurva f(x) di x = a maka f′(a) = 5. f′(a) = 2a · a – 3 ⇔ 5 = 2a2 – 3 ⇔ 2a2 – 8 = 0 ⇔ 2(a2 – 4) = 0 ⇔ (a – 2)(a + 2) = 0 ⇔ a – 2 = 0 atau a + 2 = 0 ⇔ a = 2 atau a = –2 Jadi, nilai a = 2 atau a = –2.

+ 5x + 2 · 3x ≥ 0 3

2

x4 + 5x3 + 6x2 ≥ 0 x2(x2 + 5x + 6) ≥ 0 x2(x + 2)(x + 3) ≥ 0

–––

–3

1234567890123456789 1234567890123456789 1234567890123456789 1234567890123456789

+++ +++

–2

0

⇔ x ≤ –3 atau x ≥ –2 15. Jawaban: c

Garis g: 2x + y = 1 mempunyai gradien mg = – . Persamaan gradien garis singgung kurva : m = f′(x) = 6x – 4. Garis singgung kurva tegak lurus garis g maka:

m · mg = –1 ⇔ (6x – 4) · (– ) = –1 ⇔ 3x – 2 = 1 ⇔ 3x = 3 ⇔ x =1 Diperoleh absis titik singgung x = 1. Ordinat titik singgung: f(1) = 3 · 12 – 4 · 1 + 5 = 4. Diperoleh koordinat titik singgung (1, 4). Persamaan garis singgung melalui (1, 4) dan bergradien 2: y – 4 = 2 (x – 1) ⇔ y – 4 = 2x – 2 ⇔ y = 2x + 2 Jadi, persamaan garis singgungnya y = 2x + 2. 16. Jawaban: d Persamaan gradien garis singgung kurva: m = f′(x) = 9x2 – 3 Gradien garis normal di x = 1: mn = –

−

Persamaan garis normal kurva di x = 1 sama dengan persamaan garis normal di titik (1, f(1)). f(1) = 3 · 13 – 3 · 1 + 2 = 2

Persamaan garis normal dengan gradien mn = –

⇔

y – 2 = – (x – 1)

⇔ 6y – 12 = –x + 1 ⇔ x + 6y = 13 17. Jawaban: b Persamaan gradien garis singgung kurva: m = f′(x) = 2ax – 3

x =

Jadi, garis singgung memotong sumbu X di

titik ( , 0). 19. Jawaban: b Garis g: x + 3y + 12 = 0

⇔ y =–x–4

Garis g mempunyai gradien mg = – . tegak lurus garis g maka:

=–

di titik (1, 2): y – 2 = mn(x – 1)

⇔

Garis

=– ′ =–

18. Jawaban: a f(x) = 2x2 – 4x + 5 f′(x) = 4x – 4 Gradien garis singgung di titik (2, 5): m = f′(2) = 4 · 2 – 4 = 4 Persamaan garis yang melalui titik (2, 5) dengan gradien m = 4 adalah y – 5 = 4(x – 2). Garis memotong sumbu X jika y = 0. 0 – 5 = 4(x – 2) ⇔ –5 = 4x – 8 ⇔ 4x = 3

mg · m = –1 ⇔ – · m = –1 ⇔ m =3 Garis menyinggung parabola f(x) = x2 – x – 6 maka: f′(x) = m ⇔ 2x – 1 = 3 ⇔ x=2 Untuk x = 2 nilai f(2) = 22 – 2 – 6 = –4. Jadi, ordinat titik singgung garis adalah –4. 20. Jawaban: c f′(x) = 3ax2 + 2(a + 1)x – 3 Gradien garis singgung kurva di x = –2 adalah 1 maka f′(–2) = 1. f′(–2) = 3a · (–2)2 + 2(a + 1) · (–2) – 3= 1 ⇔ 12a – 4a – 4 – 3 = 1 ⇔ 8a = 8 ⇔ a=1 Jadi, nilai a = 1.

Matematika Kelas XI Pogram IPS

87

21. Jawaban: a Persamaan gradien garis singgung kurva: f′(x) = 3x2 + 2bx Titik singgung garis dan kurva adalah (1, 2) maka y(1) = 2 ⇔ a·1+5=2 ⇔ a = –3 Persamaan garis g menjadi y = –3x + 5. Garis g mempunyai gradien mg = –3. Gradien garis singgung kurva: mg = f′(1) ⇔ –3 = 3 · 12 + 2b · 1 ⇔ 2b = –6 ⇔ b = –3 Jadi, nilai a + b = –3 – 3 = –6. 22. Jawaban: d Fungsi f(x) mencapai stasioner jika f′(x) = 0. f′(x) = 6x2 – 30x + 36 = 0 ⇔ 6(x2 – 5x + 6) = 0 ⇔ (x – 2)(x – 3) = 0 ⇔ x–2=0 atau x – 3 = 0 ⇔ x=2 atau x=3 Sketsa grafik f′(x): ▲

▲

+++

–––

+++

▲

2

3

Dari sketsa grafik di atas tampak bahwa fungsi f(x) mencapai minimum di x = 3. Nilai minimum = f(3) = 2 · 33 – 15 · 32 + 36 · 3 – 6 = 21 Jadi, nilai minimum fungsi f(x) adalah 21. 23. Jawaban: e f′(x) = 3ax2 – 15x4 Nilai minimum fungsi f(x) = ax3 – 5x5 + b dicapai di x = –1 maka f′(1) = 0. f′(1) = 3a · 12 – 15 · 14 = 0 ⇔ 3a = 15 ⇔ a=5 Jadi, nilai a = 5. 24. Jawaban: d Kurva f(x) = 3x4 – 8x3 + 6x2 + 3 mencapai stasioner jika f′(x) = 0. f′(x) = 12x3 – 24x2 + 12x = 0 ⇔ 12x(x2 – 2x + 1) = 0 ⇔ 12x(x – 1)2 = 0 ⇔ x = 0 atau (x – 1)2 = 0 ⇔ x = 0 atau x=1 Menentukan jenis titik stasioner menggunakan uji turunan kedua.

88

Kunci Jawaban dan Pembahasan

f′′(x) = 36x2 – 48x + 12 f′′(0) = 12 > 0 f′′(1) = 36 – 48 + 12 = 0 Oleh karena f′′(0) > 0 maka titik (0, f(0)) merupakan titik balik minimum, sedangkan f′′(1) = 0 maka titik (1, f(1)) merupakan titik belok. f(1) = 3 · 14 – 8 · 13 + 6 · 12 + 3 = 4 Diperoleh titik belok (1, 4). Jadi, titik belok kurva (1, 4). 25. Jawaban: d Fungsi f(x) mencapai stasioner jika f′(x) = 0. f′(x) = 12x – 3x2 = 0 ⇔ 3x(4 – x) = 0 ⇔ x = 0 atau x = 4 Untuk x = –1 maka f(–1) = 6 · (–1)2 – (–1)3 = 7. Untuk x = 0 maka f(0) = 6 · 02 – 03 = 0 (minimum). Untuk x = 3 maka f(3) = 6 · 32 – 33 = 27 (maksimum). Jadi, nilai maksimum fungsi adalah 27. 26. Jawaban: b f′(x) = 6x2 + 2(a + 1)x – 36 Fungsi f(x) mencapai nilai minimum di x = a maka f′(a) = 0. f′(a) = 6a2 + 2(a + 1)a – 36 = 0 ⇔ 3a2 + a2 + a – 18 = 0 ⇔ 4a2 + a – 18 = 3 ⇔ (4a + 9)(a – 2) = 0 ⇔ 4a + 9 = 0 atau a – 2 = 0 ⇔

a=–

atau

a=2

Oleh karena a > 0 maka a = 2. 27. Jawaban: a Persamaan biaya marginal: C′(x) = 3x2 + 24x – 53 Kenaikan biaya produksi jika produksi bertambah 20 unit: C′(20) · 10.000 = (3 · 202 + 24 · 20 – 53) · 10.000 = 16.270.000 Jadi, kenaikan biaya produksinya Rp16.270.000. 28. Jawaban: c Fungsi C(x) mencapai stasioner jika *

*

= 0,03x2 – 12x + 900 = 0

⇔ 3x2 – 1.200x + 90.000 = 0 ⇔ 3(x2 – 400x + 30.000) = 0 ⇔ (x – 100)(x – 300) = 0 ⇔ x – 100 = 0 atau x – 300 = 0 ⇔ x = 100 atau x = 300

= 0.

*

Sketsa grafik ▲

+++

:

Oleh karena nilai limitnya maka: − + → −

▲

–––

+++

▲

100

300

*

di atas terlihat bahwa

fungsi C(x) mencapai minimum di x = 300. Jadi, banyak barang yang harus diproduksi 300 unit per hari agar biaya produksi minimum. 29. Jawaban: d Fungsi penerimaan total: TR = H(x) = 2x3 – 100x2 + 13.000x – 150.000 Fungsi biaya total: TC(x) = xB(x) = x(x2 + 110x – 500) = x3 + 110x2 – 500x Fungsi laba: L(x) = TR(x) – TC(x) = (2x3 – 100x2 + 13.000x – 150.000) – (x3 + 110x2 – 500x) = x3 – 210x2 + 13.500x – 150.000 Fungsi L(x) mencapai stasioner jika L′(x) = 0. L′(x) = 3x2 – 420x + 135.000 = 0 ⇔ 3(x2 – 140x + 45.000) = 0 ⇔ (x – 50)(x – 90) = 0 ⇔ x – 50 = 0 atau x – 90 = 0 ⇔ x = 50 atau x = 90 Sketsa grafik L′(x):

---

50 ↑ Maksimum

+++ 90

↑ Minimum

− + → −

=

− ⋅ + −

−

= = –1 B.

Uraian

1. Misalkan h = fg = 3x2 – 3x maka: h′ = gf′ + fg′ = 6x – 3 h′(1) = g(1)f′(1) + f(1)g′(1) ⇔ 2 · f(1) + g′(1)g′(1) ⇔ g′(1) · 2 + (g′(1))2 – 3 ⇔ (g′(1))2 + 2g′(1) – 3 ⇔ (g′(1) + 3)(g′(1) – 1) ⇔ g′(1) + 3 = 0 atau g′(1) – 1 ⇔ g′(1) = –3 atau g′(1) Jadi, nilai g′(1) = –3 atau g′(1) = 1.

=6·1–3 =3 =0 =0 =0 =0 =1

2. x = 2t – 3 ⇔2t = x + 3 ⇔ t=

+

= 2 ⇔ =

= ·

= (2t – 2) · =t–1

+ –1 +− = = (x + 1) = x+ = ( ) = Jadi, = .

=

Dari sketsa grafik L′(x) di atas tampak bahwa fungsi L(x) mencapai maksimum di x = 50. Laba maksimum = L(50) = (503 – 210 · 502 + 13.500 · 50 – 150.000) ribu = (125.000 – 525.000 + 675.000 – 150.000) ribu = 125.000 ribu = 125.000.000 Jadi, laba maksimum per hari yang akan diperoleh perusahaan 125 juta rupiah. 30. Jawaban: b

⋅ − ⋅ ⋅

=

Dari sketsa grafik

+++

− →

=

=

(tak tentu)

+0=

3. Jari-jari benda bertambah dengan laju !

0,02 mm/detik maka = 0,02 mm/detik. Volume benda = 96π cm3 V = πr 2 h = 96π ⇔ π · r2 · 6 = 96π ⇔ r2 = 16 ⇔ r = 4 cm = 40 mm

Matematika Kelas XI Pogram IPS

89

Luas permukaan benda: A = 2πr2 + 2πrh = 2πr2 + 2πr · 6 = 2πr2 + 12πr Laju pertambahan luas permukaan benda:

!

= ! · = (4πr + 12π) · 0,02 = (4π · 40 + 12π) · 0,02 = 172π · 0,02 = 3,44π mm2/detik Jadi, laju pertambahan luas permukaan benda pada saat volumenya 96π cm3 adalah 3,44π mm2/detik. 4. f′(x) = 2ax + b Titik P(2, 4) pada kurva f(x) = ax2 + bx + 2 maka f(2) = 4. ⇒ a · 22 + b · 2 + 2 = 4 ⇔ 4a + 2b = 2 ⇔ 2a + b = 1 ⇔ b = 1 – 2a Garis y = 5x – 6 mempunyai gradien m = 5. Gradien garis singgung kurva di titik P(2, 4): m1 = f′(2) = 2a · 2 + b = 4a + b Garis singgung sejajar garis y = 5x – 6 maka m1 = m. 4a + b = 5 ⇔ 4a + 1 – 2a = 5 ⇔ 2a = 4 ⇔ a=2 Untuk a = 2 maka b = 1 – 2 · 2 = –3. Jadi, nilai a = 2 dan b = –3. 5. Persamaan gradien garis singgung: m = f′(x) = 2ax – (a + 1) Persamaan garis normal: 2y + x = 2a + b ⇔ 2y = –x + 2a + b ⇔

y =–x+a+ b

Garis normal y = – x + a + b mempunyai

gradien mn = – . Gradien garis normal di titik (1, b):

mn = – ′

⇔

– = – − +

⇔

– = – −

⇔ a–1=2 ⇔ a=3

90

Kunci Jawaban dan Pembahasan

Titik (1, b) dilalui garis y = – x + a + b maka y(1) = b.

y(1) = – · 1 + a + b = b

⇔

– +3 = b

⇔

–1 + 6 = b

⇔ Jadi, nilai b = 5.

b=5

6. f(x) = ax3 + bx2 + cx + 2 f′(x) = 3ax2 + 2bx + c f′′(x) = 6ax + 2b Fungsi f(x) mempunyai titik balik maksimum (–1, 7) maka f′(–1) = 0 dan f(–1) = 7. f′(–1) = 0 ⇔3a · (–1)2 + 2b · (–1) + c = 0 ⇔ 3a – 2b + c = 0 . . . (i) f(–1) = 7 ⇔ a · (–1)3 + b · (–1)2 + c · (–1) + 2 = 7 ⇔ –a + b – c + 2 = 7 ⇔ –a + b – c = 5 . . . (ii) f′′(1) = 0 ⇔ 6a · 1 + 2b = 0 ⇔ 6a + 2b = 0 ⇔ 3a + b = 0 . . . (iii) Eliminasi c dari persamaan (i) dan (ii): 3a – 2b + c = 0 –a + b – c = 5 ––––––––––––– + 2a – b = 5 . . . (iv) Eliminasi b dari persamaan (iii) dan (iv): 3a + b = 0 2a – b = 5 –––––––––– + 5a = 5 ⇔ a = 1 (iv) 2a – b = 5 ⇔ 2 · 1 – b = 5 ⇔ 2–b=5 ⇔ b = –3 (ii) –a + b – c = 5 ⇔ –1 – 3 – c = 5 ⇔ –4 – c = 5 ⇔ c = –9 Diperoleh persamaan: f(x) = x3 – 3x2 – 9x + 2 f′(x) = 3x2 – 6x – 9 Fungsi f(x) mencapai stasioner jika f′(x) = 0. f′(x) = 3x2 – 6x – 9 = 0 ⇔ 3(x2 – 2x – 3) = 0 ⇔ 2(x – 3)(x + 1) = 0 ⇔ x – 3 = 0 atau x + 1 = 0 ⇔ x = 3 atau x = –1 Sketsa grafik f′(x):

+++

---

+++

3 –1 Maksimum Minimum

Dari sketsa grafik f′(x) di atas tampak bahwa fungsi f(x) mencapai minimum di x = 3. Nilai minimum = f(3) = 33 – 3 · 32 – 9 · 3 + 2 = 27 – 27 – 27 + 2 = –25 Diperoleh titik balik minimum (3, f(3)) = (3, –25). Jadi, titik balik minimum fungsi adalah (3, –25).

9. Fungsi pendapatan marginal: R′(x) = 40 – 0,01 · 2x + 100 · x–2 = 40 – 0,02x +

Untuk x = 50 maka R′(50) = 40 – 0,02 · 50 +

= 39,04 juta rupiah Jadi, pendapatan marginalnya Rp39.040.000,00

7. t

10. a.

p=2

Panjang rusuk-rusuk balok = panjang kawat ⇔ 4p + 4 + 4t = 468 ⇔ p + + t = 117 ⇔ 2 + + t = 117 ⇔ t = 117 – 3 Volume balok: V =p t = 2 · (117 – 3 ) = 234 2 – 6 3

Fungsi V mencapai stasioner jika = 0.

= 468 – 18

2

=0

⇔ 18 (26 – ) = 0 ⇔ = 0 atau = 26

Sketsa grafik :

---

---

+++ 0

26

Dari sketsa grafik tampak bahwa fungsi B mencapai maksimum di = 26. Diperoleh: p = 2 = 2 × 26 = 52 cm = 117 – 3 = 117 – 3 × 26 = 39 cm Jadi, panjang balok 52 cm, lebar 26 cm, dan tinggi 39 cm. 8. Fungsi biaya total: C(x) = 0,02x2 – 1,5x + 40.000 Fungsi biaya marginal: C′(x) = 0,04x – 1,5 Kenaikan biaya produksi per unit jika produksi barang bertambah 100 adalah: C′(100) · 1.000 = (0,04 · 100 – 1,5) · 1.000 = 2,5 · 1.000 = 2.500 Jadi, kenaikan biaya produksi per unit barang Rp2.500,00.

Biaya produksi setiap unit barang: b(x) = (x2 + 250x – 15.000) ratus rupiah Biaya produksi x unit barang: B(x) = xb(x) = x(x2 + 250x – 15.000) = (x3 + 250x – 15.000x) ratus rupiah Harga jual setiap unit barang: h(x) = (2x2 – 275x + 75.000) Harga jual x unit barang: H(x) = xh(x) = (2x3 – 275x2 + 75.000x) Biaya total: TC(x) = biaya unit barang + biaya tetap = (x3 + 250x2 – 15.000x + 150.000) ratus rupiah Laba = penjualan – biaya total ⇔ L(x) = H(x) – TC(x) = (2x3 – 275x2 + 75.000x) – (x3 + 250x2 – 15.000x + 150.000) = (x3 – 525x2 + 90.000x – 150.000) ratus rupiah Fungsi L(x) mencapai stasioner jika L′(x) = 0. L′(x) = 3x2 – 1.050x + 90.000 = 0 ⇔ 3(x2 – 350x + 30.000) = 0 ⇔ (x – 150)(x – 200) = 0 ⇔ x – 150 = 0 atau x – 200 = 0 ⇔ x = 150 atau x = 200 Sketsa grafik L′(x):

+++

---

+++

150 200 Maksimum Minimum

Dari sketsa grafik L′(x) di atas tampak bahwa fungsi L(x) mencapai maksimum di x = 150. Jadi, banyak barang yang harus diproduksi setiap bulan 150 unit agar perusahaan memperoleh laba maksimum. b.

Laba maksimum: L(150) = (150 3 – 525 · 1502 + 90.000 · 150 – 150.000) ratus = 4.912.500 · 100 = 491.250.000 Jadi, laba maksimum yang diperoleh perusahaan Rp491.250.000,00 per bulan. Matematika Kelas XI Pogram IPS

91

Latihan Ulangan Akhir Semester A.

Pilihan Ganda

6. Jawaban: b f(x) = 5 – 2x dan (f o g)(x) = 2x2 – 4x – 7 f(g(x)) = (f o g)(x) ⇒ 5 – 2g(x) = 2x2 – 4x – 7 ⇔ –2g(x) = 2x2 – 4x – 12 ⇔ g(x) = –x2 + 2x + 6

1. Jawaban: a g

f –3

1

–3

–2

3

–2

–1

4

–1

0

5

0

g

f

Dari diagram panah di atas diperoleh: (g f)(–3) = g(f(–3)) = g(1) = –2 (g f)(–2) = g(f(–2)) = g(4) = –3 (g f)(–1) = g(f(–1)) = g(5) = 0 (g f)(0) = g(f(0)) = g(3) = –1 Jadi, g f = {(–3, –2), (–2, –3), (–1, 0), (0, –1)}. 2. Jawaban: d

x = pada interval 0 < x < 1 maka f( ) = + 1 =

7. Jawaban: c 2x – 3 = –1 ⇔ 2x = 2 ⇔ x = 1 f(2x – 3) = x2 – 8x + 16 Untuk x = 1 diperoleh: f(2(1) – 3) = 1 – 8 + 16 f(–1) = 9 8. Jawaban: c (g o f)(x) = 4x2 – 6x + 3 ⇔ g(f(x)) = 4x2 – 6x + 3 ⇔ g(1 – 2x) = 4x2 – 6x + 3 −

(f f)( ) = f(f( ))

⇔ 4(t – 1)(t – 1) = 0 ⇔ t=1 Jadi, nilai yang memenuhi t = 1.

Misal 1 – 2x = t ⇔ x = Sehingga:  −    

.

x = pada interval x ≥ 1 maka f( ) = 2 · – 1 = 3–1=2

Nilai f(f(( )) = f( ) = 2

– 6  + 3   = 1 – 2t + t2 – 3 + 3t + 3 = t2 + t + 1 Jadi, g(x) = x2 + x + 1.

9. Jawaban: c h–1: B → A

Jadi, nilai (f f)( ) = 2. 3. Jawaban: d (g o f)(x) = g(f(x)) = 11 + 4(2x2 – 3x – 5) = 11 + 8x2 – 12x – 20 = 8x2 – 12x – 9 o (g f)(x – 3) = 8(x – 3)2 – 12(x – 3) – 9 = 8(x2 – 6x + 9) – 12x + 36 – 9 = 8x2 – 48x + 72 – 12x + 27 = 8x2 – 60x + 99 4. Jawaban: c (g o h)(x) = g(h(x)) = g(x + 1) = 2 Jadi, (g o h)(x) = 2. 5. Jawaban: b (f o g)(t) = f(g(t)) = 0 ⇔ f(2t – 1) = 0 ⇔ (2t – 1)2 – 2(2t – 1) + 1 = 0 ⇔ 4t2 – 4t + 1 – 4t + 2 + 1 = 0 ⇔ 4t2 – 8t + 4 = 0 ⇔ 4(t2 – 2t + 1) = 0

92

 − 

g(t) = 4 

Kunci Jawaban dan Pembahasan

h–1 –1

1

0

2

1 3

2

4

5

B

A

Dari diagram di atas terlihat bahwa 3 dipetakan h–1 ke 1 sehingga h–1(3) = 1. 10. Jawaban: b g–1 a

1

b

2

c

3

d

4

g–1 bukan fungsi karena ada anggota domain g–1 yang tidak mempunyai pasangan dan mempunyai dua pasangan. a tidak mempunyai pasangan d mempunyai dua pasangan.

h –1 merupakan fungsi karena setiap anggota domain h –1 mempunyai pasangan.

h–1 a

1

b

2

c

3

d

4

f–1 bukan fungsi karena ada anggota domain f –1 yang tidak mempunyai pasangan. c tidak mempunyai pasangan.

2

c 3

d

x = −

⇔

f–1(x) = −

1

b

⇔

f–1(a) =

f–1 a

⇔ 3xy – 2x = 1 ⇔ x(3y – 2) = 1

⇔

−

= ⇔ 3a – 2 = 2 ⇔ 3a = 4 ⇔

a=

Jadi, a = .

k–1 a

1

b

2

k–1 bukan fungsi karena ada anggota domain k–1 yang mempunyai dua pasangan. c mempunyai dua pasangan.

3

c

4 p–1 a

1

b

2

p–1 bukan fungsi karena ada anggota domain p–1 yang tidak mempunyai pasangan dan mempunyai dua pasangan. a tidak mempunyai pasangan. b dan c mempunyai dua pasangan.

3

c

4

11. Jawaban: e (g f)–1(1) = (f–1 g–1)(1) = f–1(g–1(1)) = f–1(3) = –2 Jadi, nilai (g f)–1(1) = –2. 12. Jawaban: a f(x) =

− +

−

Misal: y = + ⇔ 2xy + y = 5 – x ⇔ 2xy + x = 5 – y ⇔ x(2y + 1) = 5 – y

−

⇔

x = +

⇔

f–1(x) = +

−

− −

f–1(–1) = − + = − = –6 Jadi, f–1(–1) = –6. 13. Jawaban: d f(x) = Misal:

+ + y =

14. Jawaban: b g(x) = 5x2 + 10x + 6 Misal y = 5x2 + 10x + 6 ⇔ y – 6 = 5(x2 + 2x) ⇔ y – 6 = 5(x2 + 2x + 1 – 1) ⇔ y – 6 = 5(x2 + 2x + 1) – 5 ⇔ y – 6 = 5(x + 1)2 – 5 ⇔ y – 6 + 5 = 5(x + 1)2 ⇔ ⇔

−

= (x + 1)2

x+1=±

−

⇔

x = –1 ±

−

⇔

g–1(x) = –1 ±

−

Jadi, rumus g–1(x) = –1 ±

− ,

x ≥ 1.

15. Jawaban: c (f o g)–1(6) = (g–1 o f–1)(6) = g–1(f–1(6)) −

= g–1( ) −

= g–1(1) = = 1 16. Jawaban: d −

g–1(x) = 6 – 2x dan (f o g)(x) = − , x ≠ ((f o g) o g–1)(x) = (f o (g o g–1))(x) = (f o I)(x) = f(x) f(x) = ((f o g) o g–1)(x) = (f o g )(g–1(x)) = (f o g)(6 – 2x) =

− − − −

Matematika Kelas XI Pogram IPS

93

21. Jawaban: e

−

= − −

= − , x ≠

− → −

=

→

17. Jawaban: e f

o

g

2

= –(2 + = –4

b

g–1

)

22. Jawaban: b (f

o

− − @ − + @ →

–1

g)

2 dikawankan oleh f ke b, berarti: f(2) = b ⇒ 2 – 3(2) = b ⇔ b = 2 – 6 = –4 b = –4 dikawankan oleh (f o g)–1 ke a, berarti: (f o g)–1(–4) = a ⇒ 4(–4) – 3 = a ⇔ a = –16 – 3 = –19 Jadi, g–1(2) = a = –19.

− −

=

h( g(x)) = h(3) →

− + + @ − + + @

− − − + + = @ − − − @

→

=

→

− − − + + @ − @

→

→

= ( h(x)) →

=–

→

= 2 →

=2

⋅− + +

− − = − − ×

→

−

−

→

→ + − +

→ + − +

→ + − +

→ + +

−

=–

+ + −

− − →

=–

+

− − →

=–

=–

=

− + − − →

= 3

→

= –3(3 + 3) = –18

−

−

=

=

−

− −

=

20. Jawaban: e f(x) = 3x2 f(3) = 3 · 32 = 27

−

−

=

→

= –3 (x + 3)

+ − + −

− −

=

(g f)(x) = 9 = 9

→

−

= = –2

23. Jawaban: a

19. Jawaban: e (g f)(x) = g(f(x)) = g(4) =2·4+1 =9 g(1) = 2 · 1 + 1 = 3

− − →

×

→ @ − − + @

− + + = –

18. Jawaban: b

)

→

f

a

@Q@ − − −

= –(2 +

g

→

− → − −

=

24. Jawaban: b (

→

−

–

−

) = ( →

=

− + − +

→ − +

94

Kunci Jawaban dan Pembahasan

–

−

)

28. Jawaban: b

−

=

→ − +

=

= x2 – x

→ +

Misal u = (2x2 – 4x + 1) maka f(x) =

 − 

f′(x) =

=  −  →  

= u

= =

→

=

−

−

=

@Q@

→∞

@Q@

@Q@

= =

→∞

=

→∞

(

+ + +

=

=

→∞

=

@

@Q@

@Q@

−

+ + −

=

)×

+ + − + + −

W

v′ = = W · = 2z · (–2) = –4(3 – 2x) f′(x) = vu′ + uv′ = (3 – 2x)2 · 15(5x – 1) 2 + (5x – 1)3 · (–4(3 – 2x)) = (3 – 2x)(5x – 1)2(15(3 – 2x) – 4(5x – 1)) = (3 – 2x)(5x – 1)2(45 – 30x – 20x + 4) = (5x – 1)2(3 – 2x)(49 – 50x)

+ + −

@

maka y = dan u = w3.

u′ = = · = 3w2 · 5 = 15(5x – 1) 2

31. Jawaban: c Misal u = (4x2 – 2)3, v = 3 + 4x, dan w = 4x2 – 2

+ + −

=

→∞

→∞

− )

+ + −

=

@

+ − −

→∞

→∞

+ − −

=

@@Q@ @Q@ @Q@

27. Jawaban: c ( + –

− +

30. Jawaban: e Misal u = (5x – 1)3, v = (3 – 2x)2, w = 5x – 1, dan z = 3 – 2x maka f(x) = uv, u = w3, dan v = z2.

26. Jawaban: c @

(4x – 4)

−

2

= ( + 1) = 22 =4

= u

–

 − +    − →  

= ·

= ( + 1)2

+ + → ∞ +

29. Jawaban: d

−

= − →

=

= x –

25. Jawaban: a

− → − +

y′ = 2 · x1 – 1 · x

=

= x2 – x1

+

=

y = (x2 – x)

@

u′ = = · = 3w2 · 8x = 24x(4x2 – 2)2

=1

Matematika Kelas XI Pogram IPS

95

v′ = 4 y′ =

Tinggi air dalam bak berkurang dengan laju

′ − ′

=

+ − − −

+

=

− + − −

+

=

− + − +

+

=

− + +

+

=

− + +

+

=

− + +

+

=

− + +

+

0,4 cm/detik maka = 0,4 cm/detik. Volume air dalam bak: Va = πr2h

⇔

p=

atau

36. Jawaban: e Persamaan gradien garis singgung: m = f′(x) = 3x – a Persamaan garis normal kurva di titik T(a – 1, b): ay + x = 5 ⇔ ay = –x + 5 ⇔

mn = – ⇔

+

f(2x – 1) = 8x2 – 2 +

⇔ f(t) = 8( )2 – 2

= (t + 1)2 – 2 = 2(t2 + 2t + 1) – 2 = 2t2 + 4t + 2 – 2 = 2t2 + 4t f′(t) = 4t + 4 f′(–2) = 4 · (–2) + 4 = –8 + 4 = –4 34. Jawaban: d Misal tinggi air dalam bak = h.

Diameter bak d = 60 cm maka jari-jari bak r = d

96

Kunci Jawaban dan Pembahasan

− –

= – − −

⇔ 3(a – 1) – a = a ⇔ 3a – 3 = 2a ⇔ a=3 Diperoleh koordinat titik T(2, b). Persamaan kurva menjadi f(x) = x2 – 3x + 1. yT = f(xT) ⇔ b = f(2) = 23 – 3 · 2 + 1 =3 Jadi, koordinat titik T(2, 3).

33. Jawaban: d Misal 2x – 1 = t ⇔ 2x = t + 1

= · 60 = 30 cm.

p=2

x =

y = –x +

Gradien garis normal mn = – .

Oleh karena p > 0 maka p = 2.

⇔

35. Jawaban: d Persamaan gradien garis singgung: m = f′(x) = 10x – 2a Garis singgung kurva di x = a yaitu y = 16x – 19 mempunyai gradien m = 16 maka m = f′(a). f′(a) = 10a – 2a ⇔ 16 = 8a ⇔ a=2 Jadi, nilai a = 2

32. Jawaban: b f′(x) = 6px – 2p f′(p – 1) = 8 ⇔ 6p(p – 1) – 2p = 8 ⇔ 6p2 – 6p – 2p = 8 ⇔ 6p2 – 8p – 8 = 0 ⇔ 2(3p2 – 4p – 4) = 0 ⇔ (3p + 2)(p – 2) = 0 ⇔ 3p + 2 = 0 atau p – 2 = 0 –

= ! · = πr2 · 0,4 = π · 302 · 0,4 = 360π cm3/detik Jadi, laju pengurangan volume air dalam bak adalah 360π cm3/detik.

37. Jawaban: b Grafik fungsi f(x) naik jika f′(x) > 0. 12x3 – 48x2 + 48x > 0 ⇔ 12x(x2 – 4x + 4) > 0 ⇔ 12x(x – 2)2 > 0 Pembuat nol: –12x(x – 2)2 = 0 ⇔ x=0 atau (x – 2)2 = 0 ⇔ x=0 atau x=2

Sketsa grafik f′(x): ---

+++ 0

+++

Dari sketsa grafik di atas tampak bahwa fungsi

2

Dari sketsa grafik f′(x) di atas terlihat bahwa fungsi f(x) naik pada x > 0. Jadi, fungsi f(x) = 3x4 – 16x3 + 24x – 1 naik pada interval x > 0. 38. Jawaban: a Fungsi f(x) mencapai stasioner jika f′(x) = 0. 6x2 + 6x – 36 = 0 ⇔ 6(x2 + x – 6) = 0 ⇔ (x + 3)(x – 2) = 0 ⇔ x+3=0 atau x – 2 = 0 ⇔ x = –3 atau x=2 Untuk x = –3 tidak pada interval 0 ≤ x ≤ 3. Untuk x = 2, nilai f(2) = 2 · 23 + 3 · 22 – 36 · 2 + 2 = –42 Nilai fungsi di ujung-ujung interval: f(0) = 2 · 03 + 3 · 02 – 36 · 0 + 2 = 2 f(3) = 2 · 33 + 3 · 32 – 36 · 3 + 2 = –25 Fungsi f(x) pada interval 0 ≤ x ≤ 3 mempunyai nilai tertinggi 2 dan nilai terendah –42 sehingga –42 ≤ f(x) ≤ 2. Jadi, daerah hasil fungsi f(x) adalah –42 ≤ f(x) ≤ 2.

V mencapai minimum di a = 12. 40. Jawaban: a Biaya produksi x unit barang: C(x) = (25x2 – 2.000x + 50.000) ribu Harga jual per unit barang: H(x) = (0,1x2 – 20x + 4.000) ribu Harga jual x unit barang: TH(x) = x H(x) = x(0,1x2 – 20x + 4.000) = (0,1x3 – 20x2 + 4.000x) ribu Keuntungan: U = TH(x) – C(x) = (0,1x3 – 20x2 + 4.000x) – (25x2 – 2.000x + 50.000) = (0,1x3 – 45x2 + 6.000x – 50.000) ribu [

Fungsi U mencapai stasioner jika = 0. 0,3x2 – 90x + 6.000 = 0 ⇔ 0,3(x2 – 300x + 20.000) = 0 ⇔ (x – 100)(x – 200) = 0 ⇔ x – 100 = 0 atau x – 200 = 0 ⇔ x = 100 atau x = 200

39. Jawaban: d Misal a = rusuk alas; t = tinggi Luas permukaan kotak tanpa tutup = 432 cm2. ⇔ a2 + 4at = 432 ⇔ 4at = 432 – a2 ⇔

+++

−

t=

[

−

Dari sketsa grafik terlihat bahwa fungsi U mencapai maksimum di x = 100. Jadi, banyak barang yang harus diproduksi setiap bulan 100 unit agar diperoleh keuntungan maksimum.

) a

a

Fungsi V mencapai stasioner jika = 0.

108 – a2 = 0 2 a

⇔

= 108

⇔ a2 – 144 = 0 ⇔ (a – 12)(a + 12) = 0 ⇔ a – 12 = 0 atau a + 12 = 0 ⇔ a = 12 atau a = 12

B.

Uraian

1. a.

(f o g)(x) = f(g(x))  − 

= f +     −  +

=

Sketsa grafik :

+++ –12

+++

t

= 108a – a3

⇔

---

200 100 Maksimum Minimum

Volume kotak V = a2 t = a2(

[

Sketsa grafik :

---

+++

=

 +  − − +

×

@Q@ @Q@

− @Q@@Q@ − − − −

−

= − − =

@Q@

12

Matematika Kelas XI Pogram IPS

97

(f o g)(x) = x – 2 −

@Q@

⇔

=x–2

⇔ 3x – 10 = (5x + 2)(x – 2) ⇔ 3x – 10 = 5x2 – 8x – 4 2 ⇔ 5x – 11x + 6 = 0 ⇔ (5x – 6)(x – 1) = 0 ⇔ 5x – 6 = 0 atau x – 1 = 0 ⇔

x = atau

b.

y = −

x=1

⇔

x=

+

⇔

f–1(x) =

+

(g o f)–1(x) = (f–1 o g–1)(x)

(g o f)(x) = g(f(x))  @Q@

= g −   

=

⇔ y(x – 4) = 6 ⇔ xy – 4y = 6 ⇔ xy = 6 + 4y

=

−  +  −  + + −

− −

×

− − − @ @Q@@Q@ −

− −

=

⇔

+

−

= f–1(g–1(x))

⇔

+

−

=

⇔

− + −

= –x

⇔

− + −

= –x

⇔

⇔

−

= –x

Jadi, g–1(x) =

⇔ 14 ⇔ 4x2 – x – 14 ⇔ (4x + 7)(x – 2) ⇔ 4x + 7 = 0 ⇔

x=

= 4x2 – x =0 =0 atau x – 2 = 0 atau

3. a.

→−

@Q@ − −

⇔ ⇔

98

.

=

@Q@

− @Q@

=

−

→−

→−

⇔

−

x=2

Misal y = f–1(x). y=x–1 ⇔ x =y+1 ⇔ (f–1(x))–1 = x + 1 ⇔ f(x) = x + 1 f(g(x)) = 3x2 + 4 ⇔ g(x) + 1 = 3x2 + 4 ⇔ g(x) = 3x2 + 3 Misal y = g(x). y = 3x2 + 3 ⇔ 3x2 = y – 3 x2 =

−

x=±

−

g–1(x) = ±

−

Kunci Jawaban dan Pembahasan

=

b.

− −

−

=

− @−@

=

− + = − + ×

→

−

g–1(x) =

Jadi, nilai x = – atau x = 2. 2. a.

+ − −

⇔ (4x + 5)g–1(x) = (x – 2)(6 + 4g–1(x)) ⇔ (4x + 5)g–1(x) = 6(x – 2) + 4g–1(x)(x – 2) ⇔ (4x + 5)g–1(x) – 4g–1(x)(x – 2) = 6(x – 2) ⇔ g–1(x)(4x + 5 – 4(x – 2)) = 6(x – 2) ⇔ g–1(x)(4x + 5 – 4x + 8 = 6(x – 2) ⇔ g–1(x) · 13 = 6(x – 2)

(g o f)(x + 1) = –x

–

, x ≥ 3.

Misal y = f(x).

Jadi, nilai x = atau x = 1. b.

−

Jadi, g–1(x) = ±

−

−

→

+ + + +

− −

=

→ − + +

−

=

→ − + +

− −

=

→ − + +

= –4

→ + +

= –4 · = –4 · = –4 ·

+ ⋅ + + =–

c.

→∞

=

→∞

+ +

=

→∞

4. a.

+ +

+ +

=

Luas permukaan benda: A = 2πrh + 2πr2 Laju pertambahan luas permukaan benda:

+ +

=

Misal u = (2x – 4) 3 , v = 12 – 4x 5 , dan w = 2x – 4 maka f(x) = uv dan u = w3.

u′ = = · = 3w2 · 2 = 6(2x – 4)2 v′ = –20x4 f′(x) = vu′ + uv′ = (12 – 4x5) · 6(2x – 4)2 + (2x – 4)3 · (–20x4) = 2(2x – 4)2((12 – 4x5) · 3 – 10x4(2x – 4)) = 2(2x – 4)2(36 – 12x5 – 20x5 + 40x4) = 2(2x – 4)2(36 + 40x4 – 32x5) Jadi, f′(x) = 2(2x – 4)2(36 + 40x4 – 32x5). b.

Misal u =

− = (3x – 2) , v = x2 + 1,

dan w = 3x – 2 maka h(x) = dan u = w .

u′ = = · –

= w

· 3 = (3x – 2)

′ − ′ −

=

=

+ − − −

+

+

=

−

− −

=

+

+ − +

+ −

Jadi, h′(x) =

+ − −

+ −

=

+ −

+ −

+ −

+ −

.

5. Jari-jari benda: r = 0,5 cm = 5 mm Panjang benda: h = 2,5 cm = 25 mm Jari-jari benda bertambah dengan laju !

0,02 mm/detik maka = 0,02 mm/detik.

!

6. Persamaan gradien garis singgung: m = f′(x) = 3x2 + 6x Garis : 9y + x = 1 ⇔ 9y = –x + 1

⇔

y = – x +

Gradien garis : m = –

Garis normal di titik A sejajar garis maka gradien

garis normal mn = m = – . Gradien garis singgung di titik A:

m = – = – \

m = f′(xA)

−

=9

⇔

9 = 3xA2 + 6xA

⇔ 3xA2 + 6xA – 9 = 0 ⇔ 3(xA2 + 2xA – 3) = 0

–

v′ = 2x h′(x) =

= ! · = (2πh + 4πr) · 0,02 = (2π · 25 + 4π · 5) · 0,02 = (50π + 20π) · 0,02 = 70π · 0,02 = 1,4π mm2/detik Jadi, laju pertambahan luas permukaan benda pada saat h = 25 cm dan r = 0,5 cm adalah 1,4π mm2/detik.

⇔ (xA + 3)(xA – 1) = 0 ⇔ xA + 3 = 0 atau xA – 1 = 0 ⇔ xA = –3 atau xA = 1 Menentukan ordinat titik A. Untuk x = –3, nilai f(–3) = (–3)3 + 3(–3)2 – 1 = –27 + 27 – 1 = –1 Untuk x = 1, nilai f(1) = 13 + 3 · 12 – 1 =1+3–1 =3 Diperoleh koordinat titik A(–3, –1) atau A(1, 3). Jadi, koordinat titik A(–3, –1) atau A(1, 3). 7. Persamaan gradien garis singgung: m = f′(x) = 3ax2 – 4

Garis 20y + x = 2 mempunyai gradien m1 = – . Gradien garis singgung di x = a tegak lurus garis 20y + x = 2 maka m · m1 = –1.

m · m1 = f′(a) · (– )

Matematika Kelas XI Pogram IPS

99

⇔ –1 = (3a3 – 4)(– )

⇔ 2x –

⇔ 20 = 3a3 – 4 ⇔ 3a3 = 24 ⇔ a3 = 8 ⇔ a=2 Diperoleh absis titik singgung: x = a = 2. Persamaan kurva menjadi f(x) = 2x3 – 4x – 4. Ordinat titik singgung: y = f(a) = f(2) = 2 · 23 – 4 · 2 – 4 = 16 – 8 – 4 =4 Diperoleh koordinat titik singgung T(2, 4). Gradien garis singgung: m = f′(2) = 3 · 2 · 22 – 4 = 24 – 4 = 20 Persamaan garis singgung kurva di titik T(2, 4) dengan gradien m = 20: y – yT = m(x – xT) ⇔ y – 4 = 20(x – 2) ⇔ y – 4 = 20x – 40 ⇔ y = 20x – 36 Jadi, persamaan garis singgungnya y = 20x – 36.

⇔

2x =

⇔

x3 = 64

8. a. F

E

x D

x

C t B

A

Karton yang digunakan untuk membuat kotak tampak seperti pada gambar. Misal tinggi kotak = t. Volume kotak = 32 cm3 ⇔ x2t = 32 ⇔

t=

Luas karton yang digunakan: L(x) = 4 · luas ABCD + luas DCFE = 4xt + x2    +   x2 +

= 4x  = b.

x2 (terbukti)

Fungsi L(x) mencapai stasioner jika L′(x) = 0. L(x) = x2 +

= x2 + 128x–1

L′(x) = 0

100

Kunci Jawaban dan Pembahasan

=0

⇔ x = ⇔ x=4 Sketsa grafik L′(x):

---

+++ 4

Dari sketsa grafik L′(x) terlihat bahwa fungsi L(x) mencapai minimum di x = 4. Nilai x = 4 disubstitusikan ke t = t =

.

=2

Jadi, ukuran kotak agar karton yang digunakan sesedikit mungkin yaitu panjang = lebar = 4 cm dan tinggi 2 cm. 9. Biaya proyek per hari: b(x) = (x2 – 105x + 3.600) puluhan ribu Biaya proyek x hari: B(x) = xb(x) = x(x2 – 105x + 3.600) = (x3 – 105x2 + 3.600x) puluhan ribu Fungsi B(x) mencapai stasioner jika B′(x) = 0. 3x2 – 210x + 3.600 = 0 ⇔ 3(x2 – 70x + 1.200) = 0 ⇔ (x – 30)(x – 40) = 0 ⇔ x – 30 = 0 atau x – 40 = 0 ⇔ x = 30 atau x = 40 Sketsa grafik B′(x):

+++

---

30 Maksimum

+++

40 Minimum

Dari sketsa grafik B′(x) di atas tampak bahwa fungsi B(x) mencapai minimum di x = 40. Biaya minimum: B(40) = (403 – 105 · 402 + 3.600 · 40) · 10.000 = (64.000 – 168.000 + 144.000) · 10.000 = 40.000 · 10.000 = 400.000.000 Jadi, biaya minimum proyek 400 juta rupiah.

10. a.

b.

Menentukan titik potong grafik dengan sumbu koordinat. Grafik memotong sumbu X jika f(x) = 0. f(x) = 0 ⇔ x4 – 2x3 = 0 ⇔ x3(x – 2) = 0 ⇔ x3 = 0 atau x – 2 = 0 ⇔ x = 0 atau x=2 Jadi, grafik memotong sumbu X di titik (0, 0) dan (2, 0). Grafik memotong sumbu Y jika x = 0. x = 0 ⇔ f(0) = 04 – 2 · 03 = 0 Jadi, grafik memotong sumbu Y di titik (0, 0).

Sketsa grafik f′(x):

---- -

x = 0 atau

x= Menentukan nilai stasioner. Untuk x = 0, nilai f(0) = 04 – 2 · 03 = 0

Jadi, titik (0, 0) merupakan titik belok dan

( , – ) merupakan titik balik minimum. c.

Menentukan nilai fungsi pada ujung-ujung interval dan beberapa titik dalam interval. Untuk x = –1, nilai f(–1) = (–1)4 – 2(–1)3 = 1 – 2(–1) =3 Untuk x = 2, nilai f(2) = 24 – 2 · 23 = 16 – 16 =0 Untuk x = 1, nilai f(1) = 14 – 2 · 13 = –1 Jadi, koordinat titik-titik ujung interval (–1, 3) dan (2, 0), serta grafik melalui titik (1, –1).

d.

Sketsa grafik Y

Untuk x = , nilai f( ) = ( )4 – 2( )3

+ ++

Minimum

Menentukan titik stasioner dan jenisnya serta interval fungsi naik dan interval fungsi turun. Fungsi f(x) mencapai stasioner jika f′(x) = 0. f′(x) = 4x3 – 6x2 = 0 ⇔ 2x2(2x – 3) = 0 ⇔ 2x2(2x – 3) = 0 ⇔ x2 = 0 atau 2x – 3 = 0 ⇔

---- 0

3

= –

= –

= –

0

–1

X 1

2

–1

–

Matematika Kelas XI Pogram IPS

101

Kunci Jawaban dan Pembahasan MAT XIB IPS

Short Description

Description

Comments

We need your help!