Kunci Jawaban dan Pembahasan MAT XIB IPA
April 27, 2017 | Author: Robby Sulih W | Category: N/A
Short Description
Download Kunci Jawaban dan Pembahasan MAT XIB IPA...
Description
Matematika Kelas XI Program IPA
1
4.1 Menggunakan algoritma pembagian suku banyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian.
Kompetensi Dasar
Suku Banyak
Materi Pokok/ Pembelajaran
Pendidikan karakter (*) Kritis
Nilai dan Materi yang Diintegrasikan Indikator Pencapaian Kompetensi
4.1.1 Mampu mendefinisikan suku banyak. 4.1.2 Mampu menentukan nilai suku banyak. 4.1.3 Mampu menentukan hasil operasi suku banyak. 4.1.4 Mampu menentukan hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak.
Kegiatan Pembelajaran
– M e n j e l a s k a n pengertian suku banyak. – Menentukan unsurunsur suatu suku banyak. – Menentukan nilai suku banyak dengan cara substitusi. – Menentukan nilai suku banyak dengan cara Horner. – Menentukan hasil penjumlahan suku banyak. – Menentukan hasil pengurangan suku banyak. – Menentukan hasil perkalian suku banyak. – Menentukan hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak dengan cara bersusun. (*) – Menentukan hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak oleh (x – k) dengan cara Horner. (*) – Menentukan hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak oleh (ax + b) dengan cara Horner. Tes
Teknik
Menggunakan aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah.
: ... : XI/2 : Matematika
Standar Kompetensi : 4.
Sekolah Kelas/Semester Mata Pelajaran
Silabus Bab I Suku Banyak
Tertulis
Bentuk Instrumen
x – 8) : (x – ) b. (4x5 – 2x3 + 5x + 6) : (2x – 3)
3. Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian berikut. a. (2x4 – 3x3 + 3x2 +
2. Diketahui: p(x) = x3 + 5x2 – 3x + 10 q(x) = x4 – x3 + 2x – 6 Tentukan: a. p(x) + q(x), b. p(x) – q(x), c. 4q(x) – 3p(x).
1. Tentukan nilai suku banyak berikut untuk nilai x yang disebutkan menggunakan cara Horner. a. f(x) = 3x5 – 2x4 + x 2 + 2x + 4 untuk x = –2. b. g(x) = 2x4 – 5x3 + x untuk x = 3. c. p(x) = 6x3 – x2 + x + 7 untuk x=
Contoh Instrumen
Penilaian
8 × 45 menit
1. Buku PR Matematika Kelas XI Semester 2, Intan Pariwara, halaman 1–20 2. Buku PG Matematika Kelas XI Semester 2, Intan Pariwara, halaman 1–38 3. Buku BSE Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI SMA/MA IPA, Wahyudin Djumanta dan R. Sudrajat, Depdiknas
Alokasi Alat dan Sumber Belajar Waktu
2
Silabus
4.2 Menggunakan teorema sisa dan teorema faktor dalam pemecahan masalah.
Kompetensi Dasar
Suku Banyak
Materi Pokok/ Pembelajaran
Pendidikan karakter (*) Jujur
Nilai dan Materi yang Diintegrasikan
– Menjelaskan teorema sisa. – Menjelaskan teorema faktor. – Menentukan sisa pembagian suku banyak oleh suku banyak berderajat satu. – Menentukan sisa pembagian suku banyak oleh suku banyak berderajat dua dengan memisalkan sisanya ax + b. – Menentukan faktorfaktor dari suatu suku banyak.
– Menentukan hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak oleh ax2 + bx + c yang dapat difaktorkan dengan cara Horner.
Kegiatan Pembelajaran
4.2.1 Mampu menentukan sisa pembagian suku banyak menggunakan teorema sisa. 4.2.2 Mampu menentukan faktorfaktor suatu suku banyak.
Indikator Pencapaian Kompetensi
Tes
Teknik
Tertulis
Bentuk Instrumen
1. Diketahui suku banyak f(x) dibagi g(x) = x 2 – 4x + 3 bersisa 2x – 4. Tentukan: a. nilai f(3); b. sisa pembagian f(x) oleh (x – 1). 2. Sisa pembagian suku banyak f(x) oleh (x + 2) adalah 8. Sisa pembagian suku banyak tersebut oleh (2x – 1) adalah –4. Tentukan sisa pembagian suku banyak tersebut oleh 2x 2 + 3x – 2. 3. Tentukan faktorfaktor dari suku banyak f(x) = x4 – 5x3 + 20x – 16.
4. Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak berikut. a. (3x 4 – 2x 3 + x 2 – 4x + 5) : (x – 3) (3x + 1) b. (2x4 – 3x3 + 5x – 4) : (x2 – 4)
Contoh Instrumen
Penilaian
8 × 45 menit
1. Buku PR Matematika Kelas XI Semester 2, Intan Pariwara, halaman 1–20 2. Buku PG Matematika Kelas XI Semester 2, Intan Pariwara, halaman 1–38 3. Buku BSE Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI SMA/MA IPA, Wahyudin Djumanta dan R. Sudrajat, Depdiknas
Alokasi Alat dan Sumber Belajar Waktu
Matematika Kelas XI Program IPA
3
5.1 M e n e n t u k a n komposisi fungsi dari dua fungsi.
Kompetensi Dasar
Fungsi Komposisi
Materi Pokok/ Pembelajaran
Pendidikan karakter (*) Kritis
Nilai dan Materi yang Diintegrasikan – Menjelaskan pengertian fungsi. – Membedakan sifatsifat fungsi (fungsi injektif, fungsi surjektif, dan fungsi bijektif). – Memberikan contoh fungsi bijektif. – Menghitung suatu nilai fungsi jika diketahui rumusnya. – Menuliskan rumus operasi penambahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian dua fungsi. – Menyelesaikan operasi penambahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian dua fungsi. – Menyebutkan syarat agar suatu fungsi terdefinisi. – Menyimpulkan daerah asal suatu fungsi berdasarkan syarat agar fungsi tersebut terdefinisi. – Menentukan irisan daerah asal dua fungsi.
Kegiatan Pembelajaran
5.1.1 Mampu mendefinisikan fungsi. 5.1.2 Mampu menyelesaikan operasi aljabar fungsi. 5.1.3 Mampu menentukan daerah asal suatu fungsi. 5.1.4 Mampu mendefinisikan fungsi komposisi. 5.1.5 Mampu menentukan fungsi komposisi dari dua atau tiga fungsi. 5.1.6 Mampu menyelesaikan masalah sehari-hari yang melibatkan fungsi.
Indikator Pencapaian Kompetensi
Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi.
: ... : XI/2 : Matematika
Standar Kompetensi : 5.
Sekolah Kelas/Semester Mata Pelajaran
Tes
Teknik Tertulis
Bentuk Instrumen
+ −
g(x) =
.
jika k(x) =
.
b. Tentukan daerah asal fungsi k(x)
jika h(x) =
a. Tentukan daerah asal fungsih(x)
.
+ dan f(x) =
2. Diketahui
3
1. Buku PR Matematia Kelas XI Semester 2, Intan Pariwara, halaman 21–36 2. Buku PG Matematika Kelas XI Semester 2, Intan Pariwara, halaman 39–70 3. Buku BSE Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI SMA/MA IPA, Wahyudin Djumanta dan R. Sudrajat, Depdiknas
Alokasi Alat dan Sumber Belajar Waktu
1. Diketahui f(x) = x2 – 5,2 8 × 45 menit (f D g)(x) = 9x2 + 12x – 1, dan h(x) = x + 10. Rumus fungsi (g D h)(x – 1) = . . . . a. 3x + 32 b. 3x + 29 c. 3x + 25 d. 3x + 12 e. 3x + 2
Contoh Instrumen
Penilaian
Silabus Bab II Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
4
Silabus
5.2 M e n e n t u k a n invers suatu fungsi.
Kompetensi Dasar
Fungsi Invers
Materi Pokok/ Pembelajaran
Pendidikan karakter (*) Teliti
Nilai dan Materi yang Diintegrasikan
– Menjelaskan pengertian fungsi invers. – Menjelaskan langkah-langkah menentukan invers suatu fungsi. – Menentukan invers suatu fungsi sesuai langkah-langkah yang dipelajari. (*) – Menentukan invers suatu fungsi dengan rumus praktis. – Menghitung suatu nilai invers fungsi. – Menggambar grafik invers suatu fungsi. – Menjelaskan pengertian invers dari fungsi komposisi. – Menentukan invers suatu fungsi komposisi berdasarkan pengertiannya.
– Menjelaskan pengertian fungsi komposisi. – Menjelaskan sifatsifat komposisi fungsi. (*) – Menuliskan rumus fungsi komposisi dari dua atau tiga fungsi. – Menghitung suatu nilai fungsi komposisi dari dua atau tiga fungsi. – Menuliskan rumus fungsi yang termuat dalam soal cerita. – Menghitung suatu nilai fungsi yang termuat dalam soal cerita.
Kegiatan Pembelajaran
5.2.1 Mampu mendefinisikan fungsi invers. 5.2.2 Mampu menentukan invers suatu fungsi. 5.2.3 Mampu mendefinisikan invers dari fungsi komposisi. 5.2.4 Mampu menentukan invers suatu fungsi komposisi. 5.2.5 Mampu menyelesaikan masalah sehari-hari yang melibatkan invers suatu fungsi.
Indikator Pencapaian Kompetensi
Tes
Teknik
Tertulis
Bentuk Instrumen
; ; ; ;
+ − − − − +
; + +
+ −
+ 2
; dan g(x) = − x ≠ 3. Daerah asal fungsi (g D f)–1 adalah ....
2. Diketahui f(x) = 12x + 1
e. h–1(x) = x ≠ –4
d. h–1(x) = x≠4
c. h–1(x) = x≠4
b. h–1(x) = x ≠ –2
x≠2
a. h–1(x) =
adalah . . . .
h(x) =
+ −
1. Invers dari fungsi
3. Diberikan fungsi f(x) = x 2 – 2x – 4, g(x) = 3x + 9, dan (g D f)(a) = 6. a. Tentukan nilai a jika a adalah bilangan positif. b. Tentukan nilai (f D g)(2).
Contoh Instrumen
Penilaian
8 × 45 menit
1. Buku PR Matematika Kelas XI Semester 2, Intan Pariwara, halaman 21–36 2. Buku PG Matematika Kelas XI Semester 2, Intan Pariwara, halaman 39–70 3. Buku BSE Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI SMA/MA IPA, Wahyudin Djumanta dan R. Sudrajat, Depdiknas
Alokasi Alat dan Sumber Belajar Waktu
Matematika Kelas XI Program IPA
5
Kompetensi Dasar
Materi Pokok/ Pembelajaran
Nilai dan Materi yang Diintegrasikan – Menentukan invers suatu fungsi komposisi dengan cara yang sama dengan menentukan invers suatu fungsi. – Menghitung suatu nilai invers fungsi komposisi. – Menuliskan rumus invers suatu fungsi yang termuat dalam soal cerita. – Menghitung nilai invers suatu fungsi dalam soal cerita.
Kegiatan Pembelajaran Indikator Pencapaian Kompetensi Teknik
Bentuk Instrumen
, x ∈ R}
3. Diketahui f(x) = 2x + 13 dan g–1(x + 1) = 12x – 7. Tentukan: a. g–1(x) b. f –1(x) c. (f D g)–1(x) d. (g D f)–1(x)
e. {x|x ≠ 1, x ∈ R}
d. {x|x ≠
c. {x|x ≠ 0, x ∈ R}
b. {x|x ≠ – , x ∈ R}
a. {x|x ≠ – , x ∈ R}
Contoh Instrumen
Penilaian Alokasi Alat dan Sumber Belajar Waktu
6
Silabus
Materi Pokok/ Pembelajaran
Limit Fungsi
Kompetensi Dasar
6.1 M e n j e l a s k a n secara intuitif arti limit fungsi di suatu titik dan di tak hingga. Pendidikan karakter (*) Kerja keras
Nilai dan Materi yang Diintegrasikan – M e n j e l a s k a n pengertian limit fungsi di suatu titik secara intuitif. – Menentukan nilai limit fungsi di suatu titik jika didekati dari kiri berdasarkan gambar grafik fungsi. – Menentukan nilai limit fungsi di suatu titik jika didekati dari kanan berdasarkan gambar grafik fungsi. – Menentukan limit fungsi di suatu titik berdasarkan gambar grafik fungsi. – Menjelaskan pengertian limit fungsi di tak hingga secara intuitif. – Menentukan nilai limit fungsi jika variabel membesar tanpa batas berdasarkan gambar grafik fungsi. – Menentukan nilai limit fungsi jika variabel mengecil tanpa batas berdasarkan gambar grafik fungsi.
Kegiatan Pembelajaran Teknik
6.1.1 Mampu mende- Tes finisikan limit fungsi di suatu titik . 6.1.2 Mampu menentukan nilai limit fungsi berdasarkan gambar grafik fungsi. 6.1.3 Mampu mendefinisikan limit fungsi di tak hingga. 6.1.4 Mampu menentukan limit fungsi di tak hingga berdasarkan gambar grafik fungsi.
Indikator Pencapaian Kompetensi
Tertulis
Bentuk Instrumen
3.
2.
1.
6 5 4 3 2 1
e. tidak ada
b. 1 c. 2
a. – ∞ b. –2 c. 0
→∞
d. ∞ e. tidak ada
f(x) = . . .
d. 1
X
a. 0
e. 3
d. 3
f(x) = . . . →
c. 2
b. 1
a. 1
1 2 3 4 5 6
f(x) = . . . → −
–3 –2 –1 0 –1 –2
f(x)
Y
Untuk menjawab soal nomor 1 sampai dengan 3 perhatikan gambar grafik fungsi f(x) berikut.
Contoh Instrumen
Penilaian
Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah.
: ... : XI/2 : Matematika
Standar Kompetensi : 6.
Sekolah Kelas/Semester Mata Pelajaran
Silabus Bab III Limit Fungsi
8 × 45 menit
1. Buku PR Matematika Kelas XI Semester 2, Intan Pariwara, halaman 41–58 2. Buku PG Matematika Kelas XI Semester 2, Intan Pariwara, halaman 83– 123 3. Buku BSE Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI SMA/MA IPA, Wahyudin Djumanta dan R. Sudrajat, Depdiknas
Alokasi Alat dan Sumber Belajar Waktu
Matematika Kelas XI Program IPA
7
Materi Pokok/ Pembelajaran
Limit Fungsi
Kompetensi Dasar
6.2 Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri.
Pendidikan karakter (*) Rasa Ingin Tahu
Nilai dan Materi yang Diintegrasikan – Menjelaskan sifatsifat limit fungsi di satu titik. – Menjelaskan cara menyelesaikan limit fungsi di suatu titik menggunakan cara substitusi langsung. – Menjelaskan cara menyelesaikan limit fungsi di suatu titik menggunakan cara memfaktorkan. – Menjelaskan cara menyelesaikan limit fungsi di suatu titik dengan mengalikan bentuk sekawan. – Menggunakan sifatsifat limit untuk menghitung limit fungsi. – Menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan limit fungsi di suatu titik. – Menjelaskan sifatsifat limit fungsi di tak hingga. – Menjelaskan cara menyelesaikan limit fungsi di tak hingga menggunakan cara substitusi langsung. – Menjelaskan cara menyelesaikan limit fungsi di tak hingga menggunakan cara membagi dengan pangkat tertinggi. – Menjelaskan cara menyelesaikan limit fungsi di tak hingga menggunakan cara mengalikan dengan bentuk sekawan.
Kegiatan Pembelajaran Teknik
6.2.1 Mampu menen- Tes tukan nilai limit fungsi aljabar di suatu titik. 6.2.2 Mampu menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan limit fungsi di suatu titik. 6.2.3 Mampu menentukan nilai limit fungsi aljabar di tak hingga. 6.2.4 Mampu menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan limit fungsi di tak hingga. 6.2.5 Mampu menentukan nilai limit fungsi trigonometri di suatu titik. 6.2.6 Mampu menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan limit fungsi trigonometri.
Indikator Pencapaian Kompetensi Tertulis
Bentuk Instrumen
= 4,
((x – 2) →∞
e.
b. c.
b.
−
− − → − − −
→
a.
5. Tentukan nilai limit berikut.
d.
a. 5
=...
d. 0 e. 4
→
a. –4 b. –3 c. –2
– − ) = . . .
3. Nilai
4.
e. ∞
d. 4
− −
nilai a yang memenuhi adalah . . . . a. 2 d. –1 b. 1 e. –2 c. 0
→
2. Jika
c. 2
b.
a.
=....
→ −
1. Nilai
Contoh Instrumen
Penilaian
12 × 45 1. Buku PR Matematika Kelas XI menit Semester 2, Intan Pariwara, halaman 41–58 2. Buku PG Matematika Kelas XI Semester 2, Intan Pariwara, halaman 83– 128 3. Buku BSE Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI SMA/MA IPA, Wahyudin Djumanta dan R. Sudrajat, Depdiknas
Alokasi Alat dan Sumber Belajar Waktu
8
Silabus
Kompetensi Dasar
Materi Pokok/ Pembelajaran
Nilai dan Materi yang Diintegrasikan – Menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan limit fungsi di tak hingga. – Menjelaskan teorema limit apit. – Menjelaskan cara menyelesaikan limit fungsi trigonometri. – Menentukan nilai limit fungsi trigonometri di titik nol. – Menjelaskan cara menyelesaikan limit fungsi trigonometri di suatu titik. – Menentukan nilai limit fungsi trigonometri di suatu titik. – Menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan limit fungsi trigonometri.
Kegiatan Pembelajaran Indikator Pencapaian Kompetensi Teknik
Bentuk Instrumen
, carilah
–
b.
−
→
+− −
→ −
a.
7. Tentukan nilai limit berikut.
nilai a yang memenuhi.
(2x – 1)) =
→∞
( +
6. Jika
Contoh Instrumen
Penilaian Alokasi Alat dan Sumber Belajar Waktu
Matematika Kelas XI Program IPA
9
6.3 Menggunakan konsep turunan dalam perhitungan turunan fungsi.
Kompetensi Dasar
Turunan Fungsi Aljabar
Materi Pokok/ Pembelajaran Pendidikan karakter (*) Cermat
Nilai dan Materi yang Diintegrasikan – M e n ye l es aik a n permasalahan yang berkaitan dengan laju perubahan fungsi f(x) di x = a. – Menjelaskan notasi turunan menggunakan notasi Leibnitz. – Membuktikan sifat penjumlahan dan pengurangan turunan. (*) – Menentukan fungsi pangkat. – Menentukan turunan penjumlahan fungsi aljabar. – Menentukan turunan pengurangan fungsi aljabar. – Menjelaskan cara menentukan turunan perkalian dan pembagian fungsi aljabar. – Menentukan turunan fungsi aljabar menggunakan dalil rantai. – Menentukan nilai turunan fungsi di suatu titik. – Menentukan turunan kedua fungsi aljabar.
Kegiatan Pembelajaran Teknik
6.3.1 Mampu menen- Tes tukan laju perubahan fungsi f(x) di x = a. 6.3.2 Mampu menentukan turunan fungsi pangkat. 6.3.3 M e n j e l a s k a n sifat-sifat turunan 6.3.4 Mampu menentukan turunan penjumlahan dan pengurangan fungsi aljabar. 6.3.5 Mampu menentukan turunan perkalian d a n pembagian fungsi aljabar. 6.3.6 Mampu menentukan turunan menggunakan dalil rantai. 6.3.7 Mampu menentukan nilai turunan fungsi aljabar di suatu titik. 6.3.8 Mampu menentukan turunan kedua fungsi aljabar.
Indikator Pencapaian Kompetensi Tertulis
Bentuk Instrumen
2. Diketahui f(x) = 3x3 + 4x + 8. Jika turunan pertama f(x) adalah f′(x) maka nilai f′(3) = .... a. 85 b. 101 c. 112 d. 115 e. 125
1. Buku PR Matematika Kelas XI Semester 2, Intan Pariwara, halaman 63–86 2. Buku PG Matematika Kelas XI Semester 2, Intan Pariwara, halaman 129– 176 3. Buku BSE Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI SMA/MA IPA, Wahyudin Djumanta dan R. Sudrajat, Depdiknas
Alokasi Alat dan Sumber Belajar Waktu
1. Sebuah gelembung2 4 × 45 menit air berbentuk bola. Ketika gelembung air bergerak di permukaan air, gelembung tersebut bertambah besar. Jika jari-jari gelembung bertambah dengan laju 0,04 cm/detik, laju pertambahan volume gelembung pada saat jarijarinya 1,5 cm adalah . . . cm3/detik. a. 0,16π 3 b. 0,26π c. 0,36π d. 0,61π e. 0,63π
Contoh Instrumen
Penilaian
Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah.
: ... : XI/2 : Matematika
Standar Kompetensi : 6.
Sekolah Kelas/Semester Mata Pelajaran
Silabus Bab IV Turunan Fungsi
10
Silabus
Kompetensi Dasar
Materi Pokok/ Pembelajaran
Nilai dan Materi yang Diintegrasikan Kegiatan Pembelajaran Indikator Pencapaian Kompetensi Teknik
Bentuk Instrumen
+ + + + + +
c. d. e.
. Nilai
+
−
−
, dan
e.
d.
c.
b.
a.
+
− +
+
− +
+
− +
+
− +
+
− +
h = g D f, turunan dari h adalah . . . .
g(x) =
+ ,
e. –
d. –
g( + ) = . . . .
−
5. Jika f(x) =
c.
b.
a.
g(x) =
+ +
b.
4. Diketahui
+ +
a.
....
+ maka f′(x) =
3. Jika f(x) = (x + 1)
Contoh Instrumen
Penilaian Alokasi Alat dan Sumber Belajar Waktu
Matematika Kelas XI Program IPA
11
Kompetensi Dasar
Turunan Fungsi Trigonometri
Materi Pokok/ Pembelajaran
Nilai dan Materi yang Diintegrasikan Indikator Pencapaian Kompetensi
– Menjelaskan turunan 6.3.8 Mampu menentukan turunan y = sin x dan y = cos x. – Menentukan turunan fungsi trigonometri. fungsi perkalian trigonometri. 6.3.9 Mampu menen– Menentukan turunan tukan nilai turunan fungsi fungsi pecahan trigonometri. trigonometri di suatu titik. – Menentukan turunan fungsi trigonometri 6.3.10 Mampu menentukan turunan menggunakan dalil rantai. kedua fungsi trigonometri. – Menentukan nilai turunan fungsi trigonometri di suatu titik. – Menentukan turunan kedua fungsi trigonometri.
Kegiatan Pembelajaran Bentuk Instrumen
Tertulis
Teknik
Tes
di x = 2.
=.... tan x 2 tan x –4 tan x –2 cotan x –4 cotan x
e. –1 c. 0 3. Diketahui f(x) = sin2 x dan f′′(x) = 1 untuk 0° ≤ x ≤ 180°. Nilai x yang memenuhi adalah . . . . a. 30° dan 60° b. 20° dan 120° c. 60° dan 240° d. 60° dan 120° e. 120° dan 240°
b.
d. –
(g(
. Nilai − π )) = . . . .
a. 1
g(x) =
2. Diketahui
a. b. c. d. e.
1. Jika y = cos4 x maka
7. Diketahui y = 3t2 dan x = 2t2 + t – 1. Jika t < 0, tentukan nilai
6. Diketahui f(x) = ax 2 + bx + 6. Jika f′(–1) = –11 dan f′(2) = 7, tentukan nilai f(1).
Contoh Instrumen
Penilaian
2 × 45 menit
1. Buku PR Matematika Kelas XI Semester 2, Intan Pariwara, halaman 63–86 2. Buku PG Matematika Kelas XI Semester 2, Intan Pariwara, halaman 129– 176 3. Buku BSE Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI SMA/MA IPA, Wahyudin Djumanta dan R. Sudrajat, Depdiknas
Alokasi Alat dan Sumber Belajar Waktu
12
Silabus
6.4 Menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi dan memecahkan masalah.
Kompetensi Dasar
Penggunaan Turunan
Materi Pokok/ Pembelajaran
Pendidikan karakter (**) Sabar dan teliti
Nilai dan Materi yang Diintegrasikan
– Menentukan persamaan garis singgung suatu kurva. – Menentukan persamaan garis normal suatu kurva. – Menjelaskan pengertian fungsi naik. – Menjelaskan pengertian fungsi turun. – Menyebutkan syarat suatu fungsi naik. – Menyebutkan syarat suatu fungsi turun. – Menjelaskan cara menentukan interval suatu fungsi naik. – Menjelaskan cara menentukan interval suatu fungsi turun. – Menentukan suatu fungsi naik atau turun. – Menentukan titik potong grafik fungsi dengan sumbusumbu koordinat.
Kegiatan Pembelajaran
6.4.1 Mampu mendefinisikan fungsi naik dan fungsi turun. 6.4.2 Mampu menggunakan turunan untuk menentukan persamaan garis singgung dan garis normal suatu kurva. 6.4.3 Mampu menentukan interval suatu fungsi naik atau suatu fungsi turun. 6.4.4 M e n e n t u k a n t i t i k stasioner dan jenisnya. 6.4.5 M e n g g a m b a r sketsa grafik fungsi aljabar. 6.4.6 Mampu menggunakan turunan untuk menentukan kecepatan dan percepatan.
Indikator Pencapaian Kompetensi
Tes
Teknik
Tertulis
Bentuk Instrumen
π
).
3.
+ +
c. 0
b. –
=...
e. 1
d.
− − −
a. –1
→∞
naik pada interval . . . . a. –2 < x < 0 b. –2 ≤ x ≤ 0 c. x < 0 atau x > 2 d. x < –2 atau x > 0 e. x ≤ –2 atau x ≥ 0
2. Kurva f(x) =
1. Garis A menyinggung kurva f(x) = 6 di titik P(4, b). Garis g tegak lurus garis A di titik P. Persamaan garis g adalah . . . . a. 2y + 3x = 44 b. 2y – 3x = 44 c. 3y + 2x = 44 d. 3y – 2x = 44 e. 3y + x = 44
π
) = 0, hitunglah
nilai f′′(
f′(
5. Jika f(x) = tan 2 bx untuk 0 < b < 4 dan
c. h(x) = tan2 −
b. g(x) = +
4. Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut. a. f(x) = sin2 (3x2 – 1) cos (3x + 1)
Contoh Instrumen
Penilaian
6 × 45 menit
1. Buku PR Matematika Kelas XI Semester 2, Intan Pariwara, halaman 63–86 2. Buku PG Matematika Kelas XI Semester 2, Intan Pariwara, halaman 129– 176 3. Buku BSE Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI SMA/MA IPA, Wahyudin Djumanta dan R. Sudrajat, Depdiknas
Alokasi Alat dan Sumber Belajar Waktu
Matematika Kelas XI Program IPA
13
Materi Pokok/ Pembelajaran
Penggunaan Turunan
Kompetensi Dasar
6.5 M e r a n c a n g model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi.
Nilai dan Materi yang Diintegrasikan Indikator Pencapaian Kompetensi
6.4.7 Mampu menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan kecepatan dan percepatan 6.4.8 Mampu menentukan nilai limit bentuk tak tentu menggunakan teorema A’Hopital.
6.5.1 Mampu menentukan nilai ekstrim suatu fungsi dalam interval tertutup. 6.5.2 Mampu menentukan nilai ekstrim suatu fungsi. 6.5.3 Mampu merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan nilai maksimum dan minimum suatu fungsi.
Kegiatan Pembelajaran
– Menjelaskan cara menentukan titik stasioner dan jenisnya. – Menjelaskan cara menggambar sketsa grafik fungsi aljabar. (**) – Menentukan fungsi kecepatan dan percepatan dari suatu fungsi gerak. – Menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan kecepatan dan percepatan. – Menjelaskan cara menentukan nilai limit bentuk tak tentu menggunakan teorema A'Hopital.
– Menjelaskan cara menentukan nilai maksimum suatu fungsi dalam interval tertutup. – Menjelaskan cara menentukan nilai minimum suatu fungsi dalam interval tertutup. – Menjelaskan cara menentukan nilai maksimum suatu fungsi. – Menjelaskan cara menentukan nilai minimum suatu fungsi. – Menjelaskan cara merancang model matematika dari masalah yang berkaitan Tes
Teknik
Tertulis
Bentuk Instrumen
x3 +
x2
b. 17 c. 12
e. 6
d. 8
a. 21
– 6x + 4 adalah . . . .
f(x) =
2. Nilai maksimum kurva
1. Nilai minimum fungsi f(x) = cos x + sin x dalam interval 0 ≤ x ≤ 270° sama dengan .... a. – d. 1 b. –1 e. c. 0
6. Gambarlah sketsa kurva y = x3 – 2x2 + x pada interval –1 ≤ x ≤ 2.
5. Diketahui persamaan kurva f(x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 11. a. Tentukan titik-titik stasioner kurva f(x) beserta jenisnya. b. Tentukan persamaan garis normal di titik stasioner kurva f(x).
4. Persamaan garis normal pada kurva f(x) = x2 – 6x + 7 di titik A adalah 10y – x = 212. Tentukan persamaan garis singgung kurva di titik A.
Contoh Instrumen
Penilaian
2 × 45 menit
1. Buku PR Matematika Kelas XI Semester 2, Intan Pariwara, halaman 63–86 2. Buku PG Matematika Kelas XI Semester 2, Intan Pariwara, halaman 129– 176 3. Buku BSE Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI SMA/MA IPA, Wahyudin Djumanta dan R. Sudrajat, Depdiknas
Alokasi Alat dan Sumber Belajar Waktu
14
Silabus
6.6 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi dan penafsirannya.
Kompetensi Dasar
Penggunaan Turunan
Materi Pokok/ Pembelajaran
Nilai dan Materi yang Diintegrasikan
P
Q
Busur PQ berbentuk setengah lingkaran dengan diameter PQ. Titik R pada busur PQ. Jika PR + RQ = 80 cm dan QR = x cm, hitunglah luas maksimum segitiga PQR.
O
R
2. Perhatikan gambar berikut.
1. Untuk memproduksi x unit barang per minggu diperlukan biaya (36x2 – 240x + 3.600) ribu rupiah, sedangkan penjualan untuk x unit barang per minggu (2x3 – 36x2 + 600x + 9.600) ribu rupiah. Keuntungan minimum per minggu akan didapat jika barang yang diproduksi per minggu sebanyak . . . unit. a. 14 d. 8 b. 12 e. 7 c. 10
Tertulis
Contoh Instrumen
– Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan nilai maksimum. – Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan nilai minimum. – Menafsirkan penyelesaian model matematika dari masalah yang berkaitan dengan nilai maksimum. – Menafsirkan penyelesaian model matematika dari masalah yang berkaitan dengan nilai minimum. Tes
Teknik
Bentuk Instrumen
Penilaian
3. Kurva f(x) = ax3 + bx2 + cx – 6 melalui titik (2, –4) dan mempunyai titik balik maksimum (1, –2). Tentukan titik balik minimum kurva. 6.6.1 Mampu menyelesaikan model matematika d a r i masalah yang berkaitan dengan nilai maksimum dan minimum. 6.6.2 Mampu menafsirkan penyelesaian model matematika d a r i masalah yang berkaitan dengan nilai maksimum dan minimum.
Indikator Pencapaian Kompetensi
dengan nilai maksimum dan minimum. – Menuliskan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan nilai maksimum dan minimum.
Kegiatan Pembelajaran
2 × 45 menit
1. Buku PR Matematika Kelas XI Semester 2, Intan Pariwara, halaman 63–86 2. Buku PG Matematika Kelas XI Semester 2, Intan Pariwara, halaman 129– 176 3. Buku BSE Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI SMA/MA IPA, Wahyudin Djumanta dan R. Sudrajat, Depdiknas
Alokasi Alat dan Sumber Belajar Waktu
Rencana Pelaksanaan Pembelajaran Bab II Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers Sekolah Kelas/Semester Mata Pelajaran Alokasi Waktu
: : : :
.......... XI/2 Matematika 16 × 45 menit
Standar Kompetensi : 5. Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi. Kompetensi Dasar
: 5.1 Menentukan komposisi fungsi dari dua fungsi. 5.2 Menentukan invers suatu fungsi.
Indikator Pencapaian Kompetensi • Mendefinisikan fungsi. • Menyelesaikan operasi aljabar fungsi. • Menentukan daerah asal suatu fungsi. • Mendefinisikan fungsi komposisi. • Menentukan fungsi komposisi dari dua atau tiga fungsi. • Menyelesaikan masalah sehari-hari yang melibatkan fungsi. • Menentukan invers suatu fungsi. • Mendefinisikan fungsi invers. • Mendefinisikan invers dari fungsi komposisi. • Menentukan invers suatu fungsi komposisi. • Menyelesaikan masalah sehari-hari yang melibatkan invers suatu fungsi. Tujuan Pembelajaran Peserta didik mampu: 1. menjelaskan pengertian fungsi; 2. menjelaskan dan menyebutkan jenis-jenis fungsi; 3. menentukan syarat agar sebuah fungsi terdefinisi; 4. menentukan daerah asal sebuah fungsi; 5. menentukan nilai fungsi jika diketahui rumus fungsinya; 6. melakukan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian dua fungsi; 7. menentukan irisan daerah asal dua fungsi; 8. menjelaskan pengertian komposisi fungsi; 9. menjelaskan sifat-sifat komposisi fungsi; 10. menentukan fungsi hasil komposisi dua atau tiga fungsi; 11. menentukan nilai fungsi komposisi fungsi untuk bilangan tertentu; 12. menjelaskan pengertian invers fungsi; 13. menjelaskan langkah-langkah menentukan invers fungsi; 14. menjelaskan pengertian fungsi invers; 15. menentukan invers fungsi; 16. menentukan nilai invers fungsi untuk bilangan tertentu; 17. menggambar grafik invers fungsi; 18. menjelaskan invers dari fungsi komposisi; 19. menentukan invers fungsi dari fungsi komposisi; 20. menentukan nilai invers fungsi dari fungsi komposisi untuk bilangan tertentu. Nilai pendidikan karakter yang ditanamkan ke siswa: Kritis dan Teliti Materi Pembelajaran 1. Fungsi 2. Fungsi Komposisi 3. Invers Fungsi Matematika Kelas XI Program IPA
15
Metode Pembelajaran 1. Metode Pembelajaran a. Cooperative Learning (CL) b. Direct Instruction (DI) 2. Metode a. Tanya jawab b. Diskusi c. Tugas Langkah-Langkah Kegiatan Pertemuan Pertama 1.
Kegiatan Pendahuluan (10 menit) a. Motivasi Guru menunjukkan gambar mesin/alat produksi kerupuk. Guru menjelaskan prinsip pembuatan kerupuk serupa dengan prinsip fungsi. Setelah itu, guru mengingatkan kembali materi tentang pemetaan. b. Prasyarat Pengetahuan Siswa memahami materi tentang hubungan antarhimpunan (pemetaan).
2.
Kegiatan Inti (70 menit) a. Eksplorasi • Guru menjelaskan pengertian fungsi. • Guru menjelaskan sifat fungsi injektif. • Guru menjelaskan sifat fungsi surjektif. • Guru menjelaskan sifat fungsi bijektif. b. Elaborasi Guru dan siswa memberikan contoh fungsi injektif, surjektif, dan bijektif. c. Konfirmasi Guru menanyakan sifat fungsi jika rumus fungsi tersebut diketahui.
3.
Kegiatan Penutup (10 menit) Guru mengevaluasi penguasaan materi oleh siswa dan memberikan soal-soal latihan. Pertemuan Kedua
1.
Kegiatan Pendahuluan (10 menit) a. Motivasi Guru mengingatkan kembali materi mengenai operasi aljabar sederhana, misalnya penjumlahan dua variabel sejenis. Dasar ini kemudian digunakan untuk membahas operasi pada fungsi. b. Prasyarat Pengetahuan Siswa memahami materi tentang sifat fungsi.
2.
Kegiatan Inti (70 menit) a. Eksplorasi • Guru menjelaskan sifat operasi penjumlahan dua fungsi. • Guru menjelaskan sifat operasi pengurangan dua fungsi. • Guru menjelaskan sifat operasi perkalian dua fungsi. • Guru menjelaskan sifat operasi pembagian dua fungsi. b. Elaborasi Guru dan siswa menentukan hasil operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian dua fungsi. c. Konfirmasi Guru menanyakan hasil operasi dua fungsi.
3.
Kegiatan Penutup (10 menit) Guru mengevaluasi penguasaan materi oleh siswa dan memberikan soal-soal latihan
16
Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP)
Pertemuan Ketiga 1.
Kegiatan Pendahuluan (10 menit) a. Motivasi Guru mengingatkan kembali materi tentang daerah asal dan daerah hasil fungsi. Selanjutnya, guru menggunakan materi tersebut sebagai dasar untuk membahas daerah asal fungsi yang dihasilkan dari operasi dua fungsi. b. Prasyarat Pengetahuan Siswa memahami materi tentang operasi dua fungsi.
2.
Kegiatan Inti (70 menit) a. Eksplorasi • Guru menjelaskan daerah asal fungsi yang dihasilkan dari operasi penjumlahan dua fungsi. • Guru menjelaskan daerah asal fungsi yang dihasilkan dari operasi pengurangan dua fungsi. • Guru menjelaskan daerah asal fungsi yang dihasilkan dari operasi perkalian dua fungsi. • Guru menjelaskan daerah asal fungsi yang dihasilkan dari operasi pembagian dua fungsi. b. Elaborasi Guru dan siswa menentukan daerah asal fungsi yang dihasilkan dari operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian dua fungsi. c. Konfirmasi Guru menanyakan daerah asal fungsi yang dihasilkan dari operasi dua fungsi.
3.
Kegiatan Penutup (10 menit) Guru mengevaluasi penguasaan materi oleh siswa dan memberikan soal-soal latihan. Pertemuan Keempat
1.
Kegiatan Pendahuluan (10 menit) a. Motivasi Guru memberikan contoh operasi sederhana yang mewakili komposisi fungsi, misalnya: penggunaan kalkulator untuk menghitung (3 × 4) + 2. Guru dapat menjelaskan fungsi pertama untuk menentukan 3 × 4, fungsi kedua menjumlahkan dengan 2, dan komposisi fungsinya menentukan (3 × 4) + 2. b. Prasyarat Pengetahuan Siswa memahami materi tentang sifat-sifat fungsi.
2.
Kegiatan Inti (70 menit) a. Eksplorasi • Guru menjelaskan bentuk/rumus fungsi yang dihasilkan oleh komposisi dua fungsi. • Guru menjelaskan sifat-sifat komposisi dua fungsi. • Guru menjelaskan nilai fungsi komposisi untuk nilai x tertentu. b. Elaborasi Guru dan siswa menentukan bentuk/rumus fungsi yang dihasilkan oleh komposisi dua fungsi. c. Konfirmasi Guru menanyakan bentuk/rumus hasil komposisi dua fungsi.
3.
Kegiatan Penutup (10 menit) Guru mengevaluasi penguasaan materi oleh siswa dan memberikan soal-soal latihan. Pertemuan Kelima
1.
Kegiatan Pendahuluan (10 menit) a. Motivasi Guru mengingatkan kembali tentang materi komposisi dua fungsi. Guru dapat memancing minat siswa misalkan dengan memperkirakan hasil komposisi tiga fungsi. b. Prasyarat Pengetahuan Siswa memahami materi tentang sifat-sifat komposisi dua fungsi.
Matematika Kelas XI Program IPA
17
2.
Kegiatan Inti (70 menit) a. Eksplorasi • Guru menjelaskan bentuk/rumus fungsi yang dihasilkan oleh komposisi tiga fungsi. • Guru menjelaskan sifat-sifat komposisi tiga fungsi. • Guru menjelaskan nilai fungsi komposisi untuk nilai x tertentu. b. Elaborasi Guru dan siswa menentukan bentuk/rumus fungsi yang dihasilkan oleh komposisi tiga fungsi. c. Konfirmasi Guru menanyakan bentuk/rumus hasil komposisi tiga fungsi.
3.
Kegiatan Penutup (10 menit) Guru mengevaluasi penguasaan materi oleh siswa dan memberikan soal-soal latihan. Pertemuan Keenam
1.
Kegiatan Pendahuluan (10 menit) a. Motivasi
Guru memberikan contoh invers (kebalikan) yang terdapat pada operasi hitung bilangan, misalnya
b.
sebagai kebalikan dari 2 karena × 2 = 1. Selanjutnya guru mengarahkan siswa untuk memikirkan ”adakah kebalikan dari sebuah fungsi?”. Prasyarat Pengetahuan Siswa memahami materi tentang fungsi.
2.
Kegiatan Inti (70 menit) a. Eksplorasi • Guru menjelaskan pengertian invers fungsi. • Guru menjelaskan syarat agar invers fungsi berbentuk fungsi. • Guru menjelaskan cara mencari invers fungsi. • Guru menjelaskan daerah asal fungsi invers. b. Elaborasi Guru dan siswa menentukan bentuk/rumus invers fungsi jika rumus sebuah fungsi diketahui. c. Konfirmasi Guru menanyakan invers dari sebuah fungsi.
3.
Kegiatan Penutup (10 menit) Guru mengevaluasi penguasaan materi oleh siswa dan memberikan soal-soal latihan. Pertemuan Ketujuh
1.
Kegiatan Pendahuluan (10 menit) a. Motivasi Guru mengingatkan kembali materi tentang komposisi dua fungsi. Selanjutnya guru mengarahkan siswa untuk mencari invers dari komposisi dua fungsi tersebut. b. Prasyarat Pengetahuan Siswa memahami materi tentang komposisi dua fungsi dan invers fungsi.
2.
Kegiatan Inti (70 menit) a. Eksplorasi • Guru menjelaskan cara mencari invers dari fungsi yang dihasilkan oleh komposisi dua fungsi. • Guru menjelaskan daerah asal fungsi invers tersebut. b. Elaborasi Guru dan siswa menentukan bentuk/rumus invers fungsi dari fungsi yang dihasilkan oleh komposisi dua fungsi c. Konfirmasi Guru menanyakan invers dari sebuah fungsi yang dihasilkan oleh komposisi dua fungsi.
18
Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP)
3.
Kegiatan Penutup (10 menit) Guru mengevaluasi penguasaan materi oleh siswa dan memberikan soal-soal latihan. Pertemuan Kedelapan
1.
Kegiatan Pendahuluan (10 menit) a. Motivasi Guru mengingatkan kembali materi tentang komposisi tiga fungsi. Selanjutnya guru mengarahkan siswa untuk mencari invers dari komposisi tiga fungsi tersebut. b. Prasyarat Pengetahuan Siswa memahami materi tentang komposisi tiga fungsi dan invers fungsi.
2.
Kegiatan Inti (70 menit) a. Eksplorasi • Guru menjelaskan cara mencari invers dari fungsi yang dihasilkan oleh komposisi tiga fungsi. • Guru menjelaskan daerah asal fungsi invers tersebut. b. Elaborasi Guru dan siswa menentukan bentuk/rumus invers fungsi dari fungsi yang dihasilkan oleh komposisi tiga fungsi. c. Konfirmasi Guru menanyakan invers dari sebuah fungsi yang dihasilkan oleh komposisi tiga fungsi. Kegiatan Penutup (10 menit) Guru mengevaluasi penguasaan materi oleh siswa dan memberikan soal-soal latihan.
3.
Alat Sumber Belajar 1. Buku PR Matematika Kelas XI, Intan Pariwara 2. BSE Matematika untuk Kelas XI SMA/MA Program IPA, Depdiknas Penilaian Hasil Belajar 1. Teknik Penilaian dan Bentuk Instrumen a. Teknik Penilaian Tertulis b. Bentuk Instrumen 1) Pilihan ganda 2) Uraian 2. Contoh Instrumen a. Pilihan Ganda + , g(x) = 4 – 2x, dan h(x) = –x. Nilai (f D g D h)(–1) adalah . . . .
1)
Diberikan rumus fungsi f(x) = a. 1 d. 4 b. 2 e. 5 c. 3
2)
Diketahui f(x) = 3x2, g(x) = 2x – 1, dan h(x) = 3log x. Jika (f D g D h)(p) = 27, nilai p = . . . . a. p = 1 atau p = 9 b. p = 1 atau p = 3
c.
p = atau p = 9
d.
p = atau p = 1
e.
p = atau p = 1
Matematika Kelas XI Program IPA
19
b.
Uraian 1)
2)
− ,x≠ g)( – 1);
Jika f(x) =
0, dan g(x) = 4 – x, tentukan:
a.
(f D
b.
nilai k sehingga (g D f)(k) = 3 .
Diketahui f(x) = 2log x, g(x) = x + 3, dan h(x) = x – 1. a. Tentukan (f D g)–1(x). b. Tentukan p jika (h D (f D g))–1(p) = 13.
________, ______________ Mengetahui, Kepala SMA ______________
Guru Mata Pelajaran
........................ ___________________________ NIP _______________________
........................ ___________________________ NIP _______________________
20
Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP)
Rencana Pelaksanaan Pembelajaran Bab IV Turunan Fungsi Sekolah Kelas/Semester Mata Pelajaran Alokasi Waktu
: : : :
.......... XI/2 Matematika 16 × 45 menit
Standar Kompetensi : 6. Kompetensi Dasar
Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah.
: 6.3 Menggunakan konsep turunan dalam perhitungan turunan fungsi.
Indikator Pencapaian Kompetensi: • Menentukan laju perubahan fungsi f(x) di x = a. • Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan laju perubahan fungsi f(x) di x = a. • Menentukan turunan fungsi pangkat. • Menjelaskan sifat-sifat turunan. • Menentukan turunan penjumlahan dan pengurangan fungsi aljabar. • Menentukan turunan perkalian dan pembagian fungsi aljabar. • Menentukan turunan fungsi aljabar menggunakan dalil rantai. • Menentukan nilai turunan fungsi aljabar di suatu titik. • Menentukan turunan kedua fungsi aljabar. • Menentukan turunan fungsi trigonometri. • Menentukan nilai turunan fungsi trigonometri di suatu titik. • Menafsirkan turunan kedua fungsi trigonometri. • Mendefinisikan fungsi naik dan fungsi turun. • Menggunakan turunan untuk menentukan persamaan garis singgung dan garis normal suatu kurva. • Menentukan interval suatu fungsi naik atau interval suatu fungsi turun. • Menentukan titik stasioner dan jenisnya. • Menggambar sketsa grafik fungsi aljabar. • Menggunakan turunan untuk menentukan kecepatan dan percepatan. • Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan kecepatan dan percepatan. • Menentukan nilai limit bentuk tak tentu menggunakan teorema L’Hopital. • Menentukan nilai ekstrim suatu fungsi dalam interval tertutup. • Menentukan nilai ekstrim suatu fungsi. • Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan nilai maksimum dan minimum. • Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan nilai maksimum dan minimum. • Menafsirkan penyelesaian model matematika dari masalah yang berkaitan dengan nilai maksimum dan minimum. Tujuan Pembelajaran: Peserta didik mampu: 1. menentukan laju perubahan fungsi f(x) di x = a; 2. menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan laju perubahan fungsi f(x) di x = a; 3. menentukan turunan fungsi pangkat; 4. menjelaskan sifat-sifat turunan; 5. menentukan turunan penjumlahan dan pengurangan fungsi aljabar; 6. menentukan turunan perkalian dan pembagian fungsi aljabar; 7. menentukan turunan fungsi aljabar menggunakan dalil rantai; 8. menentukan nilai turunan fungsi aljabar di suatu titik; 9. menentukan turunan kedua fungsi aljabar; 10. menentukan turunan fungsi trigonometri; 11. menentukan nilai turunan fungsi trigonometri di suatu titik; 12. menentukan turunan kedua fungsi trigonometri;
Matematika Kelas XI Program IPA
21
13. 14. 15. 16. 17. 18.
19. 20. 21. 22. 23. 24. 25.
menjelaskan fungsi naik dan fungsi turun; menggunakan turunan untuk menentukan persamaan garis singgung dan garis normal suatu kurva; menentukan interval suatu fungsi naik atau interval suatu fungsi turun; menentukan titik stasioner dan jenisnya; menggambar sketsa grafik fungsi aljabar; menggunakan turunan untuk menentukan kecepatan dan percepatan; menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan kecepatan dan percepatan; menentukan nilai limit bentuk tak tentu menggunakan teorema L’Hopital; menentukan nilai ekstrim suatu fungsi dalam interval tertutup; menentukan nilai ekstrim suatu fungsi; merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan nilai maksimum dan minimum; menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan nilai maksimum dan minimum; menafsirkan penyelesaian model matematika dari masalah yang berkaitan dengan nilai maksimum dan minimum.
Nilai pendidikan karakter yang ditanamkan ke siswa: Cermat, Sabar, dan Teliti
Materi Pembelajaran 1. Turunan Fungsi Aljabar 2. Turunan Fungsi Trigonometri 3. Penggunaan Turunan Metode Pembelajaran 1. Model Pembelajaran a. Cooperative Learning (CL) b. Direct Instruction (DI) 2. Metode a. Tanya jawab b. Diskusi c. Tugas Langkah-Langkah Kegiatan Pertemuan Pertama 1.
Kegiatan Pendahuluan (10 menit) a. Motivasi Memberikan contoh persamaan lintasan suatu benda. b. Prasyarat pengetahuan Siswa mengetahui tentang fungsi dan nilai fungsi.
2.
Kegiatan Inti (70 menit) a. Eksplorasi • Guru menjelaskan pengertian turunan sebagai laju perubahan fungsi f(x) di x = a. • Guru menjelaskan cara menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan laju perubahan fungsi f(x) di x = a. • Guru menjelaskan notasi turunan menggunakan notasi Leibniz. • Guru menjelaskan cara menentukan turunan fungsi pangkat. • Guru menjelaskan sifat-sifat turunan. • Guru menjelaskan cara menentukan turunan fungsi aljabar menggunakan dalil rantai. • Guru menjelaskan cara menentukan nilai turunan fungsi di suatu titik. • Guru menjelaskan cara menentukan turunan kedua fungsi aljabar.
22
Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP)
b.
c. 3.
Elaborasi • Siswa dengan bimbingan guru menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan laju perubahan fungsi f(x) di x = a. • Siswa dengan bimbingan guru membuktikan beberapa sifat-sifat turunan. • Siswa dengan bimbingan guru berlatih menentukan turunan fungsi aljabar menggunakan sifat-sifat operasi turunan. Konfirmasi Guru menanyakan hasil pembuktian beberapa sifat-sifat operasi turunan yang dilakukan siswa.
Kegiatan Penutup (10 menit) Guru memberikan tugas rumah mengerjakan soal-soal latihan menentukan turunan. Pertemuan Kedua
1.
Kegiatan Pendahuluan (10 menit) a. Motivasi Guru mengingatkan kembali cara menentukan turunan fungsi aljabar menggunakan dalil rantai. b. Prasyarat pengetahuan Siswa harus mengetahui cara menentukan turunan fungsi aljabar menggunakan dalil rantai.
2.
Kegiatan Inti (70 menit) a. Eksplorasi • Guru menjelaskan turunan fungsi sinus dan kosinus. • Guru menjelaskan sifat-sifat operasi turunan fungsi trigonometri. • Guru menjelaskan cara menentukan turunan fungsi trigonometri menggunakan dalil rantai. b. Elaborasi • Guru membimbing siswa membuktikan turunan fungsi trigonometri. • Siswa dengan bimbingan guru berlatih menentukan turunan fungsi trigonometri c. Konfirmasi Guru menanyakan kepada siswa tentang hasil pembuktian turunan fungsi trigonometri.
3.
Kegiatan Penutup (10 menit) Guru mengevaluasi tentang materi yang diperolehsiswa, serta memberikan soal-soal latihan tentang turunan fungsi trigonometri. Pertemuan Ketiga
1.
Kegiatan Pendahuluan (10 menit) a. Motivasi Guru memberikan contoh penggunaan turunan. b. Prasyarat pengetahuan Siswa mengetahui tentang gradien, persamaan garis, nilai turunan, dan cara menyelesaikan pertidaksamaan aljabar dan pertidaksamaan trigonometri.
2.
Kegiatan Inti (70 menit) a. Eksplorasi • Guru menjelaskan pengertian garis singgung dan garis normal suatu kurva. • Guru menjelaskan cara menentukan persamaan garis singgung dan garis normal suatu kurva. • Guru menjelaskan pengertian fungsi naik dan fungsi turun. • Guru menjelaskan syarat suatu fungsi naik dan syarat suatu fungsi turun. b. Elaborasi • Guru membimbing siswa berlatih menentukan persamaan garis singgung dan garis normal suatu kurva. • Guru membimbing siswa berlatih menentukan interval suatu fungsi naik dan interval suatu fungsi turun.
Matematika Kelas XI Program IPA
23
c. 3.
1.
2.
3.
1.
2.
24
Konfirmasi Guru menanyakan kepada siswa tentang pemahaman siswa terhadap materi yang diberikan.
Kegiatan Penutup (10 menit) Guru menyuruh siswa untuk mengerjakan soal-soal latihan yang berkaitan dengan garis singgung dan garis normal suatu kurva serta fungsi naik dan fungsi turun. Pertemuan Keempat Kegiatan Pendahuluan (10 menit) a. Motivasi Guru mengingatkan kembali cara menentukan interval suatu fungsi naik dan interval suatu fungsi turun. b. Prasyarat pengetahuan Siswa mengetahui cara menentukan interval suatu fungsi naik dan interval suatu fungsi turun. Kegiatan Inti (70 menit) a. Eksplorasi • Guru menjelaskan pengertian titik stasioner. • Guru menjelaskan jenis-jenis titik stasioner. • Guru menjelaskan cara menentukan jenis-jenis titik stasioner menggunakan uji turunan pertama. • Guru menjelaskan cara menentukan jenis-jenis titik stasioner menggunakan uji turunan kedua. b. Elaborasi • Guru membimbing siswa berlatih menentukan jenis-jenis titik stasioner menggunakan uji turunan pertama. • Guru membimbing siswa berlatih menentukan jenis-jenis titik stasioner menggunakan uji turunan kedua. c. Konfirmasi Guru menanyakan kepada siswa tentang pemahaman siswa terhadap materi yang diberikan. Kegiatan Penutup (10 menit) Guru menyuruh siswa untuk mengerjakan soal-soal latihan yang berkaitan dengan titik stasioner. Pertemuan Kelima Kegiatan Pendahuluan (10 menit) a. Motivasi Guru mengingatkan kembali cara menentukan interval suatu fungsi naik dan interval suatu fungsi turun. b. Prasyarat pengetahuan Siswa mengetahui cara menentukan interval suatu fungsi naik dan interval suatu fungsi turun. Kegiatan Inti (70 menit) a. Eksplorasi • Guru menjelaskan cara menentukan nilai maksimum dan nilai minimum suatu fungsi dalam interval tertutup. • Guru menjelaskan cara menentukan nilai maksimum dan nilai minimum suatu fungsi. • Guru menjelaskan cara merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan nilai maksimum dan minimum. • Guru menjelaskan cara menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan nilai maksimum dan minimum. b. Elaborasi • Guru membimbing siswa berlatih menentukan nilai maksimum dan nilai minimum suatu fungsi dalam interval tertutup. • Guru membimbing siswa berlatih menentukan nilai maksimum dan nilai minimum suatu fungsi.
Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP)
•
c. 3.
1.
2.
3.
1.
2.
Guru membimbing siswa berlatih merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan nilai maksimum dan minimum. • Guru membimbing siswa berlatih menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan nilai maksimum dan minimum. Konfirmasi Guru menanyakan kepada siswa tentang pemahaman siswa terhadap materi yang diberikan.
Kegiatan Penutup (10 menit) Guru menyuruh siswa untuk mengerjakan soal-soal latihan yang berkaitan dengan nilai maksimum dan nilai minimum fungsi. Pertemuan Keenam Kegiatan Pendahuluan (10 menit) a. Motivasi Guru mengingatkan kembali cara menentukan interval suatu fungsi naik dan interval suatu fungsi turun. b. Prasyarat pengetahuan Siswa mengetahui cara menentukan interval suatu fungsi naik dan interval suatu fungsi turun. Kegiatan Inti (70 menit) a. Eksplorasi Guru menjelaskan langkah-langkah menggambar grafik fungsi aljabar. b. Elaborasi Guru membimbing siswa berlatih menggambar grafik fungsi aljabar. c. Konfirmasi Guru menanyakan kepada siswa tentang pemahaman siswa terhadap materi yang diberikan. Kegiatan Penutup (10 menit) Guru memberi tugas kepada siswa untuk menggambar grafik fungsi aljabar. Pertemuan Ketujuh Kegiatan Pendahuluan (10 menit) a. Motivasi Guru mengingatkan kembali cara menentukan turunan fungsi pangkat. b. Prasyarat pengetahuan Siswa mengetahui cara menentukan turunan fungsi pangkat. Kegiatan Inti (70 menit) a. Eksplorasi • Guru menjelaskan pengertian kecepatan rata-rata. • Guru menjelaskan pengertian kecepatan sesaat benda pada detik ke-t. • Guru menjelaskan cara menentukan fungsi kecepatan dari suatu fungsi gerak. • Guru menjelaskan pengertian percepatan rata-rata. • Guru menjelaskan pengertian percepatan sesaat benda pada detik ke-t. • Guru menjelaskan cara menentukan fungsi percepatan dari suatu fungsi gerak. • Guru menjelaskan cara menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan kecepatan dan percepatan. b. Elaborasi • Guru membimbing siswa berlatih menentukan fungsi kecepatan dari suatu fungsi gerak. • Guru membimbing siswa berlatih menentukan fungsi percepatan dari suatu fungsi gerak. • Guru membimbing siswa berlatih menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan kecepatan dan percepatan. c. Konfirmasi Guru menanyakan kepada siswa tentang pemahaman siswa terhadap materi yang diberikan.
Matematika Kelas XI Program IPA
25
3.
1.
2.
3.
Kegiatan Penutup (10 menit) Guru memberi soal latihan kepada siswa yang berkaitan dengan penggunaan turunan untuk menentukan kecepatan dan percepatan suatu fungsi gerak. Pertemuan Kedelapan Kegiatan Pendahuluan (10 menit) a. Motivasi • Guru mengingatkan kembali limit fungsi yang mempunyai nilai bentuk tak tentu. • Guru mengingatkan kembali cara menentukan turunan fungsi pangkat. b. Prasyarat pengetahuan Siswa mengetahui cara menentukan turunan fungsi pangkat. Kegiatan Inti (70 menit) a. Eksplorasi • Guru menjelaskan penggunaan teorema L’Hopital. • Guru menjelaskan cara menentukan nilai limit bentuk tak tentu menggunakan teorema L’Hopital. b. Elaborasi Guru membimbing siswa berlatih menentukan nilai limit bentuk tak tentu menggunakan teorema L’Hopital. c. Konfirmasi Guru menanyakan kepada siswa tentang pemahaman siswa terhadap materi yang diberikan. Kegiatan Penutup (10 menit) Guru memberi soal latihan kepada siswa yang berkaitan dengan penggunaan turunan untuk menentukan nilai limit bentuk tak tentu menggunakan teorema L’Hopital.
Alat Sumber Belajar 1. Buku PR Matematika Kelas XI, Intan Pariwara 2. Buku BSE Matematika untuk Kelas XI SMA/MA Program IPA, Pusdiknas Penilaian Hasil Belajar 1. Teknik Penilaian dan Bentuk Instrumen a. Teknik Penilaian Tertulis b. Bentuk Instrumen 1) Pilihan ganda 2) Uraian 2.
26
Contoh Instrumen a. Pilihan ganda 1)
Sebuah gelembung air berbentuk bola. Ketika gelembung air bergerak di permukaan air, gelembung tersebut bertambah besar. Jika jari-jari gelembung bertambah dengan laju 0,04 cm/detik, laju pertambahan volume gelembung pada saat jari-jarinya 1,5 cm adalah . . . cm3/detik. a. 0,16π d. 0,61π b. 0,26π e. 0,63π c. 0,36π
2)
Diketahui f(x) = 3x3 + 4x + 8. Jika turunan pertama f(x) adalah f′(x) maka nilai f′(3) = . . . . a. 85 d. 115 b. 101 e. 125 c. 112
Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP)
3)
Jika y = cos4 x maka = . . . . a. tan x d. –2 cotan x b. 2 tan x e. –4 cotan x c. –4 tan x
4)
Garis A menyinggung kurva f(x) = 6 di titik P(4, b). Garis g tegak lurus garis A di titik P. Persamaan garis g adalah . . . . a. 2y + 3x = 44 d. 3y – 2x = 44 b. 2y – 3x = 44 e. 3y + x = 44 c. 3y + 2x = 44
5)
Kurva f(x) = a. b. c.
6)
7)
8)
9)
b.
+ +
naik pada interval . . . .
–2 < x < 0 –2 ≤ x ≤ 0 x < 0 atau x > 2
− −
−
→∞
a.
–1
b.
–
c.
0
d. e.
x < –2 atau x > 0 x ≤ –2 atau x ≥ 0
d.
e.
1
=...
Nilai minimum fungsi f(x) = cos x + sin x dalam interval 0 ≤ x ≤ 270° sama dengan . . . . a.
–
d.
b. c.
–1 0
e.
1
Nilai maksimum kurva f(x) = x3 + x2 – 6x + 4 adalah . . . .
a.
21
b.
17
c.
12
d.
8
e.
6
Untuk memproduksi x unit barang per minggu diperlukan biaya (36x2 – 240x + 3.600) ribu rupiah, sedangkan penjualan untuk x unit barang per minggu (2x3 – 36x2 + 600x + 9.600) ribu rupiah. Keuntungan minimum per minggu akan didapat jika barang yang diproduksi per minggu sebanyak . . . unit. a. 14 d. 8 b. 12 e. 7 c. 10
Uraian
1)
Diketahui y = 3t2 dan x = 2t2 + t – 1. Jika t < 0, tentukan nilai di x = 2.
2)
Jika f(x) = tan2 bx untuk 0 < b < 4 dan f′( ) = 0, hitunglah nilai f′′( ).
3)
Diketahui persamaan kurva f(x) = 2x3 –3x2 – 12x + 11. a. Tentukan titik-titik stasioner kurva f(x) beserta jenisnya. b. Tentukan persamaan garis normal di titik stasioner kurva f(x).
π
π
Matematika Kelas XI Program IPA
27
4)
Kurva f(x) = ax3 + bx2 + cx – 6 melalui titik (2, –4) dan mempunyai titik balik maksimum (1, –2). Tentukan titik balik minimum kurva.
5)
Perhatikan gambar di samping. Busur PQ berbentuk setengah lingkaran dengan diameter PQ. Titik R pada busur PQ. Jika PR + RQ = 80 cm dan QR = x cm, hitunglah luas maksimum segitiga PQR.
R
P
O
Q
________, ______________ Mengetahui Kepala SMA ______________
Guru Mata Pelajaran
............................. __________________________ NIP. _______________________
.............................. ___________________________ NIP. ________________________
28
Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP)
Bab I
Suku Banyak
5. Jawaban: d 3 1 b 3
–4 3b + 9
–9 9b + 15
3b + 5
9b + 6 = f(3)
+ 1 A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: d Derajat suku banyak p(x) = 3x4 – 2x6 + 5x – 10x2 adalah pangkat tertinggi dari variabel x, yaitu 6. 2. Jawaban: a p(x) = 12x3 + 8x2 – 5x + 6
p( ) = 12( )3 + 8( )2 – 5( ) + 6
= +2– +6=7
Jadi, nilai p(x) untuk x = adalah 7. 3. Jawaban: b p(x) = x3 + 2x2 – 2x – 5 p(2) = (2)3 + 2(2)2 – 2(2) – 5 =8+8–4–5 =7 p(–2) = (–2)3 + 2(–2)2 – 2(–2) – 5 = –8 + 8 + 4 – 5 = –1 p(–2) + 2p(2) = –1 + 2(7) = 13 Jadi, p(–2) + 2p(2) = 13. 4. Jawaban: b p(x) = x4 + 3x3 + nx – 7 p(–3) = 14 ⇒ (–3)4 + 3(–3)3 + n(–3) – 7 = 14 ⇔ 81 – 81 – 3n – 7 = 14 ⇔ –3n = 14 + 7 ⇔ –3n = 21 ⇔ n = –7 Diperoleh p(x) = x4 + 3x6 – 7x – 7. p(2) = (2)4 + 3(2)3 – 7(2) – 7 = 16 + 24 – 14 – 7 = 19 Jadi, nilai p(2) = 19.
b+3
2f(3) + 3 = 51 ⇔ 2(9b + 6) + 3 = 51 ⇔ 18b + 15 = 51 ⇔ 18b = 36 ⇔ b=2 Jadi, nilai b = 2. 6. Jawaban: e f(x) = x2 – x + 4 g(x) = 3x2 – 2x + c f(–3) = g(–3) ⇒ (–3)2 – (–3) + 4 = 3(–3)2 – 2(–3) + c ⇔ 9 + 3 + 4 = 27 + 6 + c ⇔ 16 = 33 + c ⇔ c = 16 – 33 ⇔ c = –17 Diperoleh g(x) = 3x2 – 2x – 17 g(4) = 3(4)2 – 2(4) – 17 = 48 – 8 – 17 = 23 Jadi, nilai g(4) = 23. 7. Jawaban: e (2x4 – 5x3 + x – 8) + (x5 – x4 – 2x2 + 6x) = x5 + (2 – 1)x4 – 5x3 – 2x2 + (1 + 6)x – 8 = x5 + x4 – 5x3 – 2x2 + 7x – 8 Jadi, hasil penjumlahannya x5 + x4 – 5x3 – 2x2 + 7x – 8. 8. Jawaban: a r(x) = p(x) – q(x) = (4x3 – 2x2 + 1) – (x4 – nx2 + 2) r(2) = 39 ⇒ (32 – 8 + 1) – (16 – 4n + 2) = 39 ⇔ 25 + 4n – 18 = 39 ⇔ 4n = 39 – 7 ⇔ n =8
Matematika Kelas XI Program IPA
29
1
9. Jawaban: c (2x2 – 3)(x2 + 4x) + 4x2(3 – x) = 2x2(x2 + 4x) – 3(x2 + 4x) + 4x2(3 – x) = 2x4 + 8x3 – 3x2 – 12x + 12x2 – 4x3 = 2x4 + (8 – 4)x3 + (–3 + 12)x2 – 12x = 2x4 + 4x3 + 9x2 – 12x 10. Jawaban: d (x – 1)(x – 2)(x – 3) . . . (x – 10) Jumlah suku-suku hasil perkalian yang mempunyai variabel x9: (–1)x9 + (–2)x9 + (–3)x9 + . . . + (–10)x9 = ((–1) + (–2) + (–3) + . . . + (–10))x9 = –55x9 Jadi, koefisien x9 yaitu –55. B. Uraian 1. a.
b. c.
f(–2) = 3(–2)5 – 10(–2)2 + 5(–2) – 8 = 3(–32) – 10(4) – 10 – 8 = –96 – 40 – 10 – 8 = –154 f(0,5) = 2(0,5)4 – 3(0,5)3 – 10 = 0,125 – 0,375 – 10 = –10,25
f(– ) = 4(– )3 + 3(– )2 – 2(– ) + 4
= 4(– ) + + + 4
= – + 5
= 4 2. a.
f(x) = 3x5 – 2x4 + x2 + 2x + 4 –2 3 –2 0 1 2 4 –6 16 –32 62 –128 3 –8 16 –31 Jadi, nilai f(–2) = –124.
b.
g(x) = 2x4 – 5x3 + x 3 2 –5 0 1 6 3 9 2 1 3 10 Jadi, nilai g(3) = 30.
c.
64
0 30
+
30
p(x) = 6x3 – x2 + x + 7 untuk x =
6 –1 4
1 2
7 2
6
3
9
3
+
Jadi, nilai p( ) = 9. 3. f(x) = x3 + 2(x2 + p) + qx = x3 + 2x2 + qx + 2p
30
–124
Kunci Jawaban dan Pembahasan
+
1
2 1
q 3
2p q+3
1
3
q+3
–2 1
2 –2
q 0
1
0
q
2p –2q
+ 2p + q + 3 = 10 ⇔ 2p + q = 7 . . . (i)
+
2p – 2q = –26 ⇔ p – q = –13 . . . (ii) Eliminasi q dari persamaan (i) dan (ii) 2p + q = 7 p – q = –13 ––––––––––– + 3p = –6 ⇔ p = –2 Substitusi p = –2 ke persamaan (i) 2p + q = 7 2(–2) + q = 7 ⇔ q = 11 Jadi, nilai p = –2 dan q = 11. 4. f(x) = ax2 – 5x + 3 g(x) = x2 – 2x + 5 f(x) dan g(x) bernilai sama untuk x = –1, berarti: f(–1) = g(–1) ⇒ a(–1)2 – 5(–1) + 3 = (–1)2 – 2(–1) + 5 ⇔ a+5+3=1+2+5 ⇔ a+8=8 ⇔ a=0 Diperoleh f(x) = –5x + 3. f(x) dan g(x) bernilai sama, jika: f(x) = g(x) ⇒ –5x + 3 = x2 – 2x + 5 2 ⇔ x + 3x + 2 = 0 ⇔ (x + 2)(x + 1) = 0 ⇔ x = –2 atau x = –1 Diperoleh nilai b = –2. Jadi, a = 0 dan b = –2. 5. p(x) = (x2 – 2x + 5)(2x2 – x – 3) + mx + n a. p(2) = 4 ⇒ (4 – 4 + 5)(8 – 2 – 3) + 2m + n = 4 ⇔ (5)(3) + 2m + n = 4 ⇔ 15 + 2m + n = 4 ⇔ 2m + n = –11 . . . (i) p(1) = 8 ⇒ (1 – 2 + 5)(2 – 1 – 3) + m + n = 8 ⇔ (4)(–2) + m + n = 8 ⇔ –8 + m + n = 8 ⇔ m + n = 16 . . . (ii) Eliminasi n dari persamaan (i) dan (ii): 2m + n = –11 m + n = 16 –––––––––––– – m = –27
Substitusi m = –27 ke persamaan (ii): –27 + n = 16 ⇔ n = 43 Jadi, m = –27 dan n = 43. b.
p(x) = (x2 – 2x + 5)(2x2 – x – 3) – 27x + 43 p(–1) = (1 + 2 + 5)(2 + 1 – 3) + 27 + 43 = (8)(0) + 70 = 70
6. p(x) = x3 + 5x2 – 3x + 10 q(x) = x4 – x3 + 2x – 6 a.
b.
c.
7. a.
b.
c.
8. a.
b.
Derajat suku banyak adalah 3. Koefisien x3 adalah 8. Koefisien x2 adalah 36. Koefisien x adalah 54. Suku konstan 27. c.
(x2 – 3x + 2) + (2x – 1)(3 – x2) = (x2 – 3x + 2) + (6x – 2x3 – 3 + x2) = –2x3 + 2x2 + 3x – 1 (3x2 + x – 6)(2x – 1) – (5 – 2x)(x2 – 3) = (6x3 – 3x2 + 2x2 – x – 12x + 6) – (5x2 – 15 – 2x3 + 6x) = (6x3 – x2 – 13x + 6) – (–2x3 + 5x2 + 6x – 15) = 8x3 – 6x2 – 19x + 21 (x + 1)2 (3x + 4) + (3 – 4x)(2x – 1)2 = (x2 + 2x + 1) (3x + 4) + (3 – 4x)(4x2 – 4x + 1) = (3x3 + 4x2 + 6x2 + 8x + 3x + 4) + (12x2 – 12x + 3 – 16x3 + 16x2 – 4x) = (3x3 + 10x2 + 11x + 4) + (–16x3 + 28x2 – 16x + 3) = –13x3 + 38x2 – 5x + 7 (4 – 3x)(2x + 3)2 = (4 – 3x)(4x2 + 12x + 9) = 16x2 + 48x + 36 – 12x3 – 36x2 – 27x = –12x3 – 20x2 + 21x + 36 Derajat suku banyak adalah 3. Koefisien x3 adalah –12. Koefisien x2 adalah –20. Koefisien x adalah 21. Suku konstan 36.
(x + 1)(x + 3)(x + 5)= (x2 + 4x + 3)(x + 5) = x3 + 9x2 + 23x + 15 Derajat suku banyak adalah 3. Koefisien x3 adalah 1. Koefisien x2 adalah 9. Koefisien x adalah 23. Suku konstan 15.
p(x) + q(x) = (x3 + 5x2 – 3x + 10) + (x4 – x3 + 2x – 6) = x3 + 5x2 – 3x + 10 + x4 – x3 + 2x – 6 = x4 + 5x2 – x + 4 p(x) – q(x) = (x3 + 5x2 – 3x + 10) – (x4 – x3 + 2x – 6) = x3 + 5x2 – 3x + 10 – x4 + x3 – 2x + 6 = –x4 + 2x3 + 5x2 – 5x + 16 4q(x) – 3p(x) = 4(x4 – x3 + 2x – 6) – 3(x3 + 5x2 – 3x + 10) = 4x4 – 4x3 + 8x – 24 – 3x3 – 15x2 + 9x – 30 = 4x4 – 7x3 + 17x – 54
(2x + 3)3 = (2x + 3)(2x + 3)2 = (2x + 3)(4x2 + 12x + 9) = 8x3 + 24x2 + 18x + 12x2 + 36x + 27 = 8x3 + 36x2 + 54x + 27
9. a.
p(x) = (2x2 – 3x + 4)(3x + n) p(2) = 12 ⇒ (2(2)2 – 3(2) + 4)(3(2) + n) ⇔ (8 – 6 + 4)(6 + n) ⇔ (6)(6 + n) ⇔ (6 + n) ⇔ n
= 12 = 12 = 12 =2 = –4
b.
p(x) = (2x2 – 3x + 4)(3x – 4) = 6x3 – 8x2 – 9x2 + 12x + 12x – 16 = 6x3 – 17x2 + 24x – 16 Koefisien x adalah 24.
c.
p(x) = 6x3 – 17x2 + 24x – 16
p( ) = 6( )3 – 17( )2 + 24( ) – 16
= – + 12 – 16
= –7 10. a.
b.
p(x) + (x2 – 4x + 12) = (x2 – 3)(2 – 4x) ⇔ p(x) = (x2 – 3)(2 – 4x) – (x2 – 4x + 12) = 2x2 – 4x3 – 6 + 12x – x2 + 4x – 12 = –4x3 + x2 + 16x – 18 Jadi, p(x) = –4x3 + x2 + 16x – 18. (x2 – 2x – 5) – p(x) = (3 – 2x)(5x – 4) ⇔ –p(x) = (3 – 2x)(5x – 4) – (x2 – 2x – 5) ⇔ p(x) = –(15x – 12 – 10x2 + 8x) + (x2 – 2x – 5) = –15x + 10x2 + 12 – 8x + x2 – 2x – 5 = 11x2 – 25x + 7 Jadi, p(x) = 11x2 – 25x + 7.
Matematika Kelas XI Program IPA
31
c.
2p(x) + (x2 – 3)(x + 1) = (3 – 4x)(2x – 1) ⇔ 2p(x) = (3 – 4x)(2x – 1) – (x2 – 3)(x + 1) = 6x – 3 – 8x2 + 4x – (x3 + x2 – 3x – 3) = –8x2 + 10x – 3 – x3 – x2 + 3x + 3 = –x3 – 9x2 + 13x ⇔ p(x) = – x3 – x2 + x Jadi, p(x) = – x3 – x2 + x.
A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: a p(x) : q(x) = (6x2 – 10x – 4) : (2x – 4) 3x + 1 2x – 4
2. Jawaban: c (9x3 + 5x2 – 2x + 3) : (x + 1) 9
5 –9
–2 4
3 –2
2
–3 6
a 9
–3 3a + 27
2
3
a+9
3a + 24
9
–4
2
1
+
Diperoleh hasil bagi 2x2 + 2x + (a + 9) dan sisa 3a + 24. Diketahui sisa pembagiannya 18, maka: 3a + 24 = 18 ⇔ 3a = –6 ⇔ a = –2 Jadi, hasil baginya 2x2 + 2x + 7. 6. Jawaban: a (3x4 + 7x3 – 12x2 + 19x – 10) : (3x – 2)
3
3
7
–12
19
–10
2
6
–4
10
9
–6
15
0
+
Diperoleh hasil bagi = (3x3 + 9x2 – 6x + 15) = x3 + 3x2 – 2x + 5 7. Jawaban: b (8x4 + 4x3 + 2x2 – 9x – 6) : (2x2 – 3x + 5) 4x2 + 8x + 3 . 2x2 – 3x + 5
+
Diperoleh: Hasil bagi = 9x2 – 4x + 2 Sisa = 1 3. Jawaban: d f(x) = 2x5 – 3x4 + 7x3 – 4x2 + 1 dibagi (x – 2) 2 2 –3 7 –4 0 1 4 2 18 28 56 + 2 1 9 14 28 57 Jadi, sisanya 57. 4. Jawaban: e
+ + + + + ––––––––––––––– – –4x2 – x – 1 –4x2 – 2x – 2 –––––––––––––––– – x+1 Diperoleh: 4x3 – x2 + x – 1 = (2x2 + x + 1)(2x – 2) + (x + 1) Jadi, h(x) = 2x – 2 dan s(x) = x + 1. 32
3
6x2
– 10x – 4 6x2 – 12x ––––––––––– – 2x – 4 2x – 4 ––––– – 0 Jadi, p(x) : q(x) = 3x + 1.
–1
5. Jawaban: c (2x3 – 3x2 + ax – 3) : (x – 3)
Kunci Jawaban dan Pembahasan
8x4 + 4x3 + 2x2 – 9x – 6 8x4 – 12x3 + 20x2 –––––––––––––––––––––– – 16x3 – 18x2 – 9x – 6 16x3 – 24x2 + 40x ––––––––––––––––– – 6x2 – 49x – 6 6x2 – 9x + 15 ––––––––––– – –40x – 21 Jadi, hasil baginya 4x2 + 8x + 3. 8. Jawaban: e p(x) = x3 + 2x2 + mx + n berderajat 3. Hasil bagi p(x) oleh x2 – 4x + 3 berderajat 1, misalkan ax + b. Dapat dituliskan: p(x) = (x2 – 4x + 3)(ax + b) + (3x + 2) = ax3 + (b – 4a)x2 + (3a – 4b)x + 3b + 3x + 2 = ax3 + (b – 4a)x2 + (3a – 4b + 3)x + (3b + 2) Dengan membandingkan p(x) diperoleh: Koefisien x3 = a = 1 Koefisien x2 = b – 4a = 2 ⇔ b = 2 + 4a = 2 + 4 = 6 Suku konstan = n = 3b + 2 = 18 + 2 = 20 Jadi, nilai n = 20.
9. Jawaban: b a sisa pembagian f(x) oleh (x + 2), berarti a = f(–2) = –8 + 8 + 1 = 1 b sisa pembagian g(x) oleh (x + 2), berarti b = g(–2) = –16 + 20 – 8 = –4 f(x) – g(x) = (x3 – 4x + 1) – (2x3 + 5x2 – 8) = –x3 – 5x2 – 4x + 9 f(x) – g(x) dibagi (x – a – b) = (x – 1 + 4) = (x + 3) –3
–1
–5 3
–4 6
9 –6
–1
–2
2
3
Diperoleh: 3x4 – 2x3 + x2 – 4x + 5
+
–3
3
1
–8
1
–1
1
1
–2
2
2
–7
+
(4x5 – 5x3 + 5x + 6) : (2x – 3)
4
0 6
–5 9
0 6
5 9
6 21
4
6
4
6
14
27
+
Hasil bagi = (4x4 + 6x3 + 4x2 + 6x + 14) = 2x4 + 3x3 + 2x2 + 3x + 7 Sisa = 27 2. a.
(3x4 – 2x3 + x2 – 4x + 5) : (x – 3)(3x + 1) 3 3 –2 1 –4 5 9 21 66 186 + – 3 7 22 62 191
3
Hasil bagi = x2 + 2x +
Sisa = x + 25 b.
(2x4 – 3x3 + 5x – 4) : (x2 – 4) = (2x4 – 3x3 + 5x – 4) : (x – 2)(x + 2) 2 2 –3 0 5 –4 4 2 4 18 –2
2
2
1
2
9
–4
6
–16
–3
8
–7
14
+
Diperoleh: 2x4 – 3x3 + 5x – 4 = (x – 2)((x + 2)(2x2 – 3x + 8) – 7) + 14 = (x – 2)(x + 2)(2x2 – 3x + 8) – 7(x – 2) + 14 = (x2 – 4)(2x2 – 3x + 8) – 7x + 14 + 14 = (x2 – 4)(2x2 – 3x + 8) – 7x + 28 Hasil bagi = 2x2 – 3x + 8 Sisa = –7x + 28
Hasil bagi = 2x3 – 5x2 + 2x + 2 Sisa = –7 b.
(2x4 – 3x3 + 3x2 + x – 8) : (x – )
2
= (x – 3)(3x + 1)(x2 + 2x + ) + x + 25
B. Uraian
2
= (x – 3)(3x + 1)(x2 + 2x + ) + (x – 3) + 191 = (x – 3)(3x + 1)(x2 + 2x + ) + x – 166 + 191
10. Jawaban: d Suku banyak berderajat 3 dibagi (x2 – 3x + 1) diperoleh hasil bagi (ax – 3) dan sisa (3x + 2) yaitu: p(x) = (x2 – 3x + 1)(ax – 3) + (3x + 2) p(2) = 15 ⇔ (4 – 6 + 1)(2a – 3) + (6 + 2) = 15 ⇔ (–1)(2a – 3) + 8 = 15 ⇔ –2a + 3 = 15 – 8 ⇔ –2a = 7 – 3 ⇔ –2a = 4 ⇔ a = –2 Jadi, nilai a = –2.
= (x – 3)((3x + 1)(x2 + 2x + ) + ) + 191
Jadi, diperoleh sisa 3.
1. a.
= (x – 3)((x + )(3x2 + 6x + 20) + ) + 191
3. p(x) – q(x) = (x5 – 3x4 + 6x2 + 3x + 2) – (x4 – 3x3 + 4x2 + 2x + 8) = x5 – 4x4 + 3x3 + 2x2 + x – 6 Pembagian p(x) – q(x) = x5 – 4x4 + 3x3 + 2x2 + x – 6 oleh r(x) = x2 – 2x + 3:
+ + + + x5 – 2x4 + 3x3 –––––––––––––––––––––––– – –2x4 + 2x2 4 3 –2x + 4x – 6x2 ––––––––––––––––––––––– – –4x3 + 8x2 + x –4x3 + 8x2 – 12x ––––––––––––––––– – 13x – 6 Jadi, hasil bagi = x3 – 2x2 – 4x dan sisa = 13x – 6.
–1
–2
–
6
20
Matematika Kelas XI Program IPA
33
4. f(x) = 4x3 – px2 + 2x – 5 g(x) = x + 2 a.
f(x) dibagi g(x): –2
b.
4
–p –8
2 2p + 16
–5 –4p – 36
4
–p – 8
2p + 18
–4p – 41
Sisa = 7 ⇒ –4p – 41 = 7 ⇔ –4p = 48 ⇔ p = –12 Hasil bagi: h(x) = –4x2 + (–p – 8)x + (2p + 18) = –4x2 + 4x – 6 Jadi, p = –12 dan h(x) = –4x2 + 4x – 6. f(x) = 4x3 + 12x2 + 2x – 5 dibagi (2x – 3).
4
12
2
–5
6
27
29
+ 4
18
Hasil bagi = (4x2 + 18x + 29)
Sisa = 5. a.
f(x) = x3 – 2x2 – bx – 2 dibagi (x – 1) 1
1
–2 1
–b –1
–2 –b – 1
1
–1
–b – 1
–b – 3
+
g(x) = x2 + bx – 16 dibagi (x – 2) 2 1 b –16 2 2b + 4 + 1 b+2 2b – 12 Sisa pembagian sama, yaitu: –b – 3 = 2b – 12 ⇔ –3b = –9 ⇔ b=3 Jadi, nilai b = 3. b.
f(x) = x3 – 2x2 – 3x – 2 g(x) = x2 + 3x – 16 x–5 x2 + 3x – 16
x3 – 2x2 – 3x – 2 x3 + 3x2 – 16x ––––––––––––––– – –5x2 + 13x – 2 –5x2 – 15x + 80 ––––––––––––––––– – 28x – 82 Hasil bagi = x – 5. Sisa = 28x – 82.
34
Kunci Jawaban dan Pembahasan
A. Pilihan Ganda +
1. Jawaban: d Suku banyak pembagi (g(x)) berderajat 3, maka sisanya berderajat kurang dari 3. 2. Jawaban: e Suku banyaknya p(x). p(x) = (x2 + 2x – 3) h(x) + (5x + 2) Sisa pembagian p(x) oleh (x – 1): p(1) = ((1)2 + 2(1) – 3) h(1) + (5(1) + 2) = (1 + 2 – 3) h(1) + (5 + 2) =0+7=7 Jadi, sisa pembagian suku banyak oleh (x – 1) adalah 7. 3. Jawaban: b f(x) = x3 + mx2 – 4x + 2m – 3 dibagi (x – 1) bersisa 3, berarti: f(1) = 3 ⇔ 1 + m – 4 + 2m – 3 = 3 ⇔ 3m = 9 ⇔ m =3 f(–1) = (–1)3 + 3(–1)2 – 4(–1) + 2 · 3 – 3 = –1 + 3 + 4 + 6 – 3 =9 Jadi, f(x) dibagi (x + 1) sisanya 9. 4. Jawaban: d f(x) dibagi (x – 4) bersisa a berarti: f(4) = a ⇒ 64 – 48 – 14 = a ⇔ a=2 g(x) dibagi (x – 2) bersisa: g(2) = 8 + 8 + 4 + 2 = 22 5. Jawaban: e p(x) = ax5 + bx – 1 p(x) dibagi (x – 2006) bersisa 3 berarti: p(2006) = 3 ⇒ a(2006)5 + b(2006) – 1 = 3 ⇔ a(2006)5 + b(2006) = 4 p(x) dibagi (x + 2006) bersisa: p(–2006) = a(–2006)5 + b(–2006) – 1 = –a(2006)5 – b(2006) – 1 = –(a(2006)5 + b(2006)) – 1 = –4 – 1 = –5 Jadi, p(x) dibagi (x + 2006) bersisa –5. 6. Jawaban: a Suku banyak: f(x) = (x2 – 4x – 12) h(x) + s(x) = (x – 6)(x + 2) h(x) + (9x + a)
Sisa pembagian f(x) oleh (x + 2) adalah 8, maka: f(–2) = s(–2) = 8 ⇔ 9(–2) + a = 8 ⇔ –18 + a = 8 ⇔ a = 26 Diperoleh s(x) = 9x + 26 Sisa pembagian f(x) oleh (x – 6): s(6) = 9(6) + 26 = 54 + 26 = 80 7. Jawaban: c Suku banyak: p(x) = 2x4 + ax3 – 3x2 + 5x + b p(x) dibagi (x – 1) sisa 11, berarti: p(1) = 11 ⇔ 2(1)4 + a(1)3 – 3(1)2 + 5(1) + b = 11 ⇔ 2 + a – 3 + 5 + b = 11 ⇔ a+b=7 . . . (i) p(x) dibagi (x + 1) sisa –1, berarti: p(–1) = –1 ⇔ 2(–1)4 + a(–1)3 – 3(–1)2 + 5(–1) + b = –1 ⇔ 2 – a – 3 – 5 + b = –1 ⇔ –a + b = 5 . . . (ii) Eliminasi a: a+b=7 –a + b = 5 –––––––––– + 2b = 12 ⇔ b = 6 a+b=7 ⇔ a+6=7 ⇔ a=1 Nilai (2a + b) = 2(1) + 6 = 8. 8. Jawaban: e Diketahui p(–2) = 8 dan p(3) = 3. x2 – x – 6 = (x – 3)(x + 2) Misalkan sisa pembagiannya s(x) = ax + b maka: p(–2) = 8 ⇒ –2a + b = 8 p(3) = 3 ⇒ 3a + b = 3 –––––––––– – –5a = 5 ⇔ a = –1 –2a + b = 8 ⇔ 2 + b = 8 ⇔ b=6 Jadi, sisa pembagiannya –x + 6. 9. Jawaban: d Pembagi: x2 – 7x + 12 = (x – 4)(x – 3) Pembagi berderajat dua maka sisanya berderajat satu. Misal sisanya s(x) = ax + b. s(4) = f(4) = 1 ⇒ 4a + b = 5 s(3) = f(3) = –1 ⇒ 3a + b = –2 –––––––––– – a=7 b = 5 – 4a = 5 – 4(7) = –23 Jadi, sisanya 7x – 23. 10. Jawaban: c Pembagi: x2 – 1 = (x – 1)(x + 1) f(x) = x6 – 6x3 + ax + b
f(1) = 16 – 6 · 13 + 1 · a + b =1–6+a+b =a+b–5 f(–1) = (–1)6 – 6(–1)3 + (–1)a + b =1+6–a+b =7–a+b Suku banyak f(x) dibagi (x – 1)(x + 1) diperoleh sisa s(x) = 2x – 3. f(1) = s(1) ⇒ a + b – 5 = 2 – 3 ⇔ a+b=4 f(–1) = s(–1) ⇒ 7 – a + b = –2 – 3 ⇔ a – b = 12 Dengan eliminasi diperoleh: a+b=4 a+b=4 a – b = 12 a – b = 12 –––––––– + ––––––––– – 2a = 16 2b = –8 ⇔ a=8 ⇔ b = –4 Jadi, diperoleh a = 8 dan b = –4. 11. Jawaban: a Sisa pembagian suku banyak p(x) oleh (x + 4) adalah 1, berarti p(–4) = 1. Sisa pembagian suku banyak p(x) oleh (x2 + x – 2) = (x + 1)(x – 2) adalah –3x + 4, berarti: p(–1) = –3(–1) + 4 = 7 p(2) = –3(2) + 4 = –2 Sisa pembagian suku banyak p(x) oleh (x2 + 5x + 4) = (x + 1)(x + 4) berderajat satu s(x) = ax + b, maka: p(–1) = s(–1) ⇔ 7 = –a + b p(–4) = s(–4) ⇔ 1 = –4a + b –––––––––––– – 6 = 3a ⇔ a =2 7 = –a + b ⇒ 7 = –2 + b ⇔ b=9 Jadi, sisa pembagian p(x) oleh (x2 + 5x + 4) adalah 2x + 9. 12. Jawaban: d f(x) dibagi (x – 1) bersisa 2, berarti f(1) = 2. f(x) dibagi (x – 2) bersisa 3, berarti f(2) = 3. g(x) dibagi (x – 1) bersisa 5, berarti g(1) = 5. g(x) dibagi (x – 2) bersisa 4, berarti g(2) = 4. h(x) = f(x)g(x) h(1) = f(1)g(1) = 2 × 5 = 10 h(2) = f(2)g(2) = 3 × 4 = 12 h(x) = (x2 – 3x + 2)k(x) + s(x) = (x – 1)(x – 2)k(x) + (ax + b) h(1) = 10 ⇒ a + b = 10 h(2) = 12 ⇒ 2a + b = 12 ––––––––––––––––– – –a = –2 ⇔ a = 2 a + b = 10 ⇒ b = 8 Jadi, sisanya 2x + 8.
Matematika Kelas XI Program IPA
35
13. Jawaban: b Suku banyak berderajat 3 dibagi (x2 + x – 3) bersisa (3x – 3) yaitu p(x) = (x2 + x – 3)(ax + b) + (3x – 3). Suku banyak tersebut dibagi (x 2 + x – 2) = (x – 1)(x + 2) bersisa s(x) = (2x – 1), berarti: p(1) = s(1) ⇒(12 + 1 – 3)(a + b) + (3 – 3) = (2 – 1) ⇔ (–1)(a + b) = 1 ⇔ a + b = –1 p(–2) = s(–2) ⇒ (4 – 2 – 3)(–2a + b) + (–6 – 3) = (–4 – 1) ⇔ (–1)(–2a + b) – 9 = –5 ⇔ 2a – b = 4 Elimiasi b: a + b = –1 2a – b = 4 –––––––––– + 3a = 3 ⇔ a =1 a + b = –1 ⇔ 1 + b = –1 ⇔ b = –2 Diperoleh suku banyak: p(x) = (x2 + x – 3)(x – 2) + (3x – 3) = x3 – 2x2 + x2 – 2x – 3x + 6 + 3x – 3 = x3 – x2 – 2x + 3 14. Jawaban: a p(x) dibagi x2 – 9 = (x – 3)(x + 3) sisanya 5x – 2, maka: p(3) = 5(3) – 2 = 13 p(–3) = 5(–3) – 2 = –17 p(x) dibagi x2 – 16 = (x – 4)(x + 4) sisanya nol, maka: p(4) = 0 p(–4) = 0 p(x) dibagi x2 + 7x + 12 = (x + 4)(x + 3) sisanya ax + b, berarti: p(–4) = –4a + b = 0 p(–3) = –3a + b = –17 –––––––––––––– – –a = 17 ⇔ a = –17 b = 4a = 4(–17) = –68 Jadi, p(x) dibagi x2 + 7x + 12 sisanya –17x – 68. 15. Jawaban: b Suku banyak: p(x) = x4 – 5x3 – 6x2 + ax + b Faktor: x2 – 2x – 8 = (x + 2)(x – 4) Pembagian p(x) oleh (x + 2) dan (x – 4): –2 1 –5 –6 a b –2 14 –16 –2a + 32 +
4
1
–7
8
a – 16
4
–12
–16
–3
–4
a – 32
–2a + 32 + b +
1
36
Kunci Jawaban dan Pembahasan
(x + 2) dan (x – 4) merupakan faktor, berarti: a – 32 = 0 ⇔ a = 32 –2a + 32 + b = 0 ⇔ –2(32) + 32 + b = 0 ⇔ –64 + 32 + b = 0 ⇔ b = 32 Diperoleh nilai a = 32 dan b = 32. Jadi, a + b = 64. 16. Jawaban: a p(x) = 2x3 – 5x2 + 12x – 8 Akar-akar yang mungkin dari suku banyak p(x)
adalah ±8, ±4, ±2, ±1, dan ± . p(2) = 2(2)3 – 5(2)2 + 12(2) – 8 = 16 – 20 + 12 – 8 =0 Oleh karena p(2) = 0, maka (x – 2) merupakan faktor dari p(x). Jadi, salah satu faktor suku banyak p(x) = 2x3 – 5x2 + 12x – 8 adalah (x – 2). 17. Jawaban: d Suku banyak: x3 + kx2 + x – 3 1
1
k 1
1 k+1
–3 k+2
1
k+1
k+2
k–1
+
x – 1 merupakan faktor, berarti sisa pembagiannya nol, yaitu k–1=0 ⇔ k=1 Hasil bagi = 1x2 + (k + 1)x + (k + 2) = x2 + 2x + 3 Oleh karena (x – 1) merupakan faktor, maka (x2 + 2x + 3) juga merupakan faktor. 18. Jawaban: b p(x) = x3 + ax2 – 13x + b (x – 2) dan (x – 1) merupakan faktor-faktor suku banyak p(x), maka: p(x) = (x – 2)(x – 1)(x – n) = (x2 – 3x + 2)(x – n) = x3 – (3 + n)x2 + (2 + 3n)x – 2n Dari kesamaan p(x) diperoleh: –13 = 2 + 3n (kesamaan koefisien x) ⇔ –15 = 3n ⇔ n = –5 Diperoleh p(x) = (x – 2)(x – 1)(x + 5), sehingga akar-akar persamaan suku banyak p(x) adalah 2, 1, dan –5. Oleh karena x1 > x2 > x3, maka x1 = 2, x2 = 1, dan x3 = –5. Jadi, nilai x1 – x2 – x3 = 2 – 1 – (–5) = 6.
19. Jawaban: b x9 – x = x(x8 – 1) = x((x4)2 – 12) = x(x4 + 1)(x4 – 1) = x(x4 + 1)((x2)2 – 12) = x(x4 + 1)(x2 + 1)(x2 – 1) = x(x4 + 1)(x2 + 1)(x + 1)(x – 1) Jadi, banyak faktor ada 5 yaitu x, (x 4 + 1), (x2 + 1), (x + 1), dan (x – 1).
3. a.
–1
1 –3 1
–6 –2
8 –8
1 –2
–8
0
b. +
x3 – 3x2 – 6x + 8 = 0 ⇔ (x – 1)(x2 – 2x – 8) = 0 ⇔ (x – 1)(x + 2)(x – 4) = 0 ⇔x = 1 atau x = –2 atau x = 4 Jadi, akar-akarnya adalah 1, –2, dan 4. B. Uraian 1. g(x) = x2 – 4x + 3 = (x – 3)(x – 1) a. Suku banyak f(x) dibagi g(x) = (x – 3)(x – 1) bersisa s(x) = 2x – 4, berarti: f(3) = s(3) = 2(3) – 4 = 2 Jadi, nilai f(3) = 2. b.
Sisa pembagian f(x) oleh (x – 1): s(1) = 2(1) – 4 = –2
Dari persamaan (i) dan (ii) diperoleh:
8 + 2a = – a – 4 ⇔ 16 + 4a = –a – 8 ⇔ 5a = –24 ⇔ a = –4,8 Substitusi a = –4,8 ke persamaan (i): b = 8 + 2(–4,8) = –1,6 Diperoleh sisa pembagian –4,8x – 1,6.
2
–7
–c + 7
c–4
+
Oleh karena c = 4 maka hasil bagi = 2x2 – 7x + (–4 + 7) = 2x2 – 7x + 3. Suku banyak p(x) dapat dituliskan: p(x) = (x + 1)(2x2 – 7x + 3) = (x + 1)(2x – 1)(x – 3) Jadi, faktor linear yang lain adalah (2x – 1) dan (x – 3).
b.
Misalkan p(x) dibagi x2 – x – 6 = (x + 2)(x – 3) sisanya ax + b, maka: p(–2) = –2a + b = –12 p(3) = 3a + b = 18 ––––––––––––– – –5a = –30 ⇔ a=6 b = 18 – 3a = 18 – 3(6) = 0 Jadi, p(x) dibagi x2 – x – 6 sisanya 6x.
3 c–7
Misalkan p(x) dibagi (x – 2)(x + 5) sisanya ax + b, maka: p(2) = 2a + b = 0 p(–5) = –5a + b = –14 ––––––––––––– – 7a = 14 ⇔ a =2 2a + b = 0 ⇔ b = –2a = –2(2) = –4 Jadi, p(x) dibagi (x – 2)(x + 5) sisanya 2x – 4.
f( ) = –4 ⇒ a + b = –4 b = – a – 4 . . . (ii)
–c 7
a.
Suku banyak f(x) dibagi (2x – 1) sisanya 6, berarti:
⇔
–5 –2
4. p(x) dibagi x2 – 4 = (x – 2)(x + 2) sisanya 3x – 6, berarti: p(2) = 3(2) – 6 = 0 p(–2) = 3(–2) – 6 = –12 p(x) dibagi x2 + 2x – 15 = (x – 3)(x + 5) sisanya 4x + 6, berarti: p(3) = 4(3) + 6 = 18 p(–5) = 4(–5) + 6 = –14
2. Pembagi: 2x2 + 3x – 2 = (x + 2)(2x – 1) Sisa pembagian berderajat satu, misalkan sisanya ax + b. Suku banyak f(x) dibagi x + 2 sisanya 8, berarti: f(–2) = 8 ⇒ –2a + b = 8 ⇔ b = 8 + 2a . . . (i)
2
Diperoleh hasil bagi 2x2 – 7x + (–c + 7) dan sisa c – 4. (x + 1) merupakan faktor dari suku banyak p(x), berarti sisa pembagiannya 0. c–4=0⇔c=4 Jadi, nilai c = 4.
20. Jawaban: c Faktor dari suku tetap 8 adalah ±1; ±2; ±4; dan ±8. 1
p(x) = 2x3 – 5x2 – cx + 3 Pembagian p(x) oleh (x + 1)
Matematika Kelas XI Program IPA
37
5. f(x) dibagi (x – 3) bersisa 4, maka f(3) = 4. f(x) dibagi (x – 2) bersisa 8, maka f(2) = 8. g(x) dibagi (x – 3) bersisa 2, maka g(3) = 2. g(x) dibagi (x – 2) bersisa –6, maka g(2) = –6. h(x) = f(x)g(x) h(3) = f(3)g(3) = 4 × 2 = 8 h(2) = f(2)g(2) = 8 × (–6) = –48 Misalkan sisa pembagian h(x) oleh (x2 – 5x + 6) = (x – 3)(x – 2) adalah s(x) = ax + b, maka: s(3) = h(3) ⇒ 3a + b = 8 s(2) = h(2) ⇒ 2a + b = –48 ––––––––––––– – a = 56 3a + b = 8 ⇔ b = 8 – 3a = 8 – 3(56) = –160 Jadi, sisanya 56x – 160. 6. a.
b.
8. a.
x3 – 4x2 – 12x = 0 ⇔ x(x2 – 4x – 12) = 0 ⇔ x(x + 2)(x – 6) = 0 ⇔ x = 0 atau x = –2 atau x = 6 Jadi, himpunan penyelesaiannya {–2, 0, 6}. (x4 – 16)(x4 – 18x2 + 81) = 0 ⇔ (x2 + 4)(x2 – 4)(x2 – 9)2 = 0 ⇔ (x2 + 4)(x + 2)(x – 2)(x + 3)2(x – 3)2 = 0 ⇔ x = –2 atau x = 2 atau x = –3 atau x = 3 Untuk x 2 + 4 = 0 tidak ada nilai x yang memenuhi. Jadi, himpunan penyelesaiannya {–3, –2, 2, 3}. 3
2
f(x) berderajat 2 dan habis dibagi (2x + 3) maka f(x) = (2x + 3)(ax + b). 1)
2)
f(x) dibagi (x – 3) bersisa 36, berarti: f(3) = 9(3a + b) = 36 3a + b = 4 . . . (i)
1 3
6
1
2
a+6
3a + 19
9a + b + 57 = 0 9a + b = –57 . . . (i)
1
–1 2
a 2
1 2a + 4
b 4a + 10
1
1
a+2
2a + 5
4a + b + 10 = –12 4a + b = –22 . . . (ii)
f(x) dibagi (x + 2) bersisa 1, berarti: f(–2) = (–1)(–2a + b) = 1 2a – b = 1 . . . (ii)
b.
2
2
5
3
x = –1
+
dan sisanya
1
2 –1
–1 –1
–2 2
1
1
–2
0
+
+
.
9. Faktor suku tetap –16 adalah ±1, ±2, ±4, ±8, ±16. 1 1 –5 0 20 –16 1 –4 –4 16
+
1
–4
–4
16
0
f(x) = (x3 – 4x2 – 4x + 16)(x – 1).
38
+
Hasil bagi = x2 + x – 2 = (x – 1)(x + 2) Jadi, akar-akarnya f(x) = 0 adalah x = –2, x = –1, x = 1, dan x = 3.
Jadi, hasil baginya (2x + ) = x +
b
Hasil bagi f(x) dengan (x – 3) adalah x3 + 2x2 + (–7 + 6)x + (3(–7) + 19) = x3 + 2x2 – x – 2
f(x) = 2x2 + 5x + 3 dibagi (3x – 1)
–1 a 1 3a + 18 9a + 57
Eliminasi b dari persamaan (i) dan (ii): 9a + b = –57 4a + b = –22 ––––––––––– – 5a = –35 ⇔ a = –7 b = –22 – 4a = –22 – 4(–7) = 28 – 22 =6 Jadi, a = –7 dan b = 6.
Eliminasi b pada (i) dan (ii): 3a + b = 4 2a – b = 1 ––––––––– + 5a = 5 ⇔ a=1 b = 4 – 3a = 4 – 3(1) =1 Jadi, f(x) = (2x + 3)(x + 1) = 2x2 + 5x + 3. b.
7. a.
Kunci Jawaban dan Pembahasan
2
1
–4 2
–4 –4
16 –16
1
–2
–8
0
p(–3) = 5(–3)3 + 4(–3)2 – 8(–3) – 12 = –135 + 36 + 24 – 12 = –87 p(4) + 4p(–3) = 340 + 4(–87) = 340 – 348 = –8
+
f(x) = (x2 – 2x – 8)(x – 2)(x – 1) = (x – 4)(x + 2)(x – 2)(x – 1) Jadi, faktor-faktor dari f(x) adalah (x – 1), (x – 2), (x – 4), dan (x + 2). 10. Menjadi suku banyak berarti dapat disederhanakan tanpa ada penyebut bervariabel x (pecahan bentuk aljabar). Artinya penyebut bentuk di atas merupakan faktor dari pembilangnya. Penyebut = x2 – 3x + 2 = (x – 2)(x – 1) f(2) = f(1) = 0 dengan f(x) = x5 – 6x3 + px2 – 7x + q 1 1
0
–6
p
–7
q
1
1
–5
p–5
p – 12
1
–5
p–5
p – 12
p + q – 12 = 0
+ 1
p + q = 12 . . . (i) 2 1
0
–6
p
–7
q
2
4
–4
2p – 8
4p – 30
2
–2
p–4
2p – 15
4p + q – 30 = 0
+ 1
4p + q = 30 . . . (ii)
Eliminasi q dari persamaan (i) dan (ii): p + q = 12 4p + q = 30 –––––––––– – –3p = –18 ⇔ p = 6 q = 12 – p = 12 – 6 = 6 Jadi, nilai p = 6 dan q = 6.
3. Jawaban: b p(x) = 2x4 + ax3 – 5x2 – x + 6 p(–1) = –13 2(–1)4 + a(–1)3 – 5(–1)2 – (–1) + 6 = –13 ⇔ 2 – a – 5 + 1 + 6 = –13 ⇔ 4 – a = –13 ⇔ a = 17 Jadi, nilai a = 17. 4. Jawaban: c f(x) = x4 – 3x3 + 2x2 –8 g(x) = 2x3 – 6x2 + 12x + 10 ––––––––––––––––––––––––––––––––– + f(x) + g(x) = x4 – x3 – 4x2 + 12x + 2 Jadi, hasil f(x) + g(x) = x4 – x3 – 4x2 + 12x + 2. 5. Jawaban: e f(x) = 3x4 – 2x3 + 4x2 – 6 f(2) = 3(2)4 – 2(2)3 + 4(2)2 – 6 = 48 – 16 + 16 – 6 = 42 g(x) = 4x4 – x3 – 5x2 + 3x + 15 g(2) = 4(2)4 – (2)3 – 5(2)2 + 3(2) + 15 = 64 – 8 – 20 + 6 + 15 = 57 h(x) = f(x) – g(x) h(2) = f(2) – g(2) = 42 – 57 = –15 6. Jawaban: d Derajat (6 – x) adalah 1. Oleh karena derajat (2x2 – 3x) adalah 2, maka derajat (2x2 – 3x)3 adalah 2 × 3 = 6. Jadi, derajat (6 – x)(2x2 – 3x)3 adalah 1 + 6 = 7.
A. Pilihan ganda 1. Jawaban: d Suku banyak: p(x) = 4x4 – 2x2 + 5x + 18 Nilai suku banyak p(x) untuk x = –2: p(–2) = 4(–2)4 – 2(–2)2 + 5(–2) + 18 = 64 – 8 – 10 + 18 = 64 Jadi, nilai suku banyak untuk x = –2 adalah 64. 2. Jawaban: d p(x) = 5x3 + 4x2 – 8x – 12 p(4) = 5(4)3 + 4(4)2 – 8(4) – 12 = 320 + 64 – 32 – 12 = 340
7. Jawaban: e (x + 3)(x2 – 2)2 = (x + 3)(x4 – 4x2 + 4) = x5 – 4x3 + 4x + 3x4 – 12x2 + 12 = x5 + 3x4 – 4x3 – 12x2 + 4x + 12 8. Jawaban: b p(x) = (x + 3)(x3 – 3x2 + 2x – 2) + (3x3 – 2x2 + x – 4)2 Suku konstan dari (x + 3)(x3 – 3x2 + 2x – 2) adalah 3 × (–2) = –6, sedangkan suku konstan (3x3 – 2x2 + x – 4)2 adalah (–4)2 = 16. Suku konstan dari p(x) adalah –6 + 16 = 10. 9. Jawaban: e h(x) = f(x) × g(x) + 2g(x) = (x2 – 4x + 2)(4x – 5) + 2(4x – 5)
Matematika Kelas XI Program IPA
39
h(3) = (9 – 12 + 2)(12 – 5) + 2(12 – 5) = –1 × 7 + 14 =7 10. Jawaban: c (x2 + 1)(x3 + 2x)(x2 + 1) Ada 3 rangkaian perkalian yang hasil variabelnya x5, jumlahnya = x2 · x3 · 1 + x2 · 2x · x2 + 1 · x3 · x2 = x5 + 2x5 + x5 = 4x5 Jadi, koefisien x5 adalah 4. 11. Jawaban: c Sisa pembagian suku banyak f(x) = 2x3 – 3x2 + 4 oleh (x + 2) sama dengan f(–2). f(–2) = 2(–2)3 – 3(–2)2 + 4 = 2(–8) – 3(4) + 4 = –16 – 12 + 4 = –24 Jadi, sisa pembagiannya –24. 12. Jawaban: b f(x) = x + 2 dan g(x) = 2x2 – 3x + 1 Sisa pembagian suku banyak h(x) oleh (x + 1) sama dengan h(–1). f(–1) = –1 + 2 = 1 g(–1) = 2 + 3 + 1 = 6 h(–1) = (f(–1) + g(–1)) × f(–1) = (1 + 6) × 1 =7 Jadi, sisa pembagian suku banyak h(x) oleh (x + 1) adalah 7. 13. Jawaban: e x4 – 2x3 + x – 1 dibagi (x + 1) –1 1 –2 0 1 –1 –1 3 –3 2 1
–3
3
–2
1
+
Hasil bagi: h(x) = x3 – 3x2 + 3x – 2 14. Jawaban: c f(x) = 2x4 – 5x3 + 6x2 – 8x + 9 dibagi (2x – 1)
2
–5 6 1 –2
–8 2
9 –3
2
–4
–6
6
4
+
Hasil baginya x3 – 2x2 + 2x – 3, sisa 6. 15. Jawaban: d f(x) = x4 + 2x3 – 6x2 + px + 8 dibagi oleh (x + 3). –3 1 2 –6 p 8 –3 3 9 –3p – 27 + 1 –1 –3 p + 9 –3p – 19
40
Kunci Jawaban dan Pembahasan
Diperoleh: Hasil bagi = x3 – x2 – 3x + (p + 9) Sisa = –3p – 19 Diketahui sisa pembagian f(x) oleh (x + 3) adalah 2, maka: –3p – 19 = 2 ⇔ –3p = 21 ⇔ p = –7 Hasil bagi = x3 – x2 – 3x + (–7 + 9) = x3 – x2 – 3x + 2 Jadi, hasil baginya x3 – x2 – 3x + 2. 16. Jawaban: c p(x) = x4 + mx3 + 5x2 + nx – 12 habis dibagi (x + 1) dan (x – 4), maka p(–1) = 0 dan p(4) = 0. p(–1) = (–1)4 + m(–1)3 + 5(–1)2 + n(–1) – 12 ⇔ 0 = 1 – m + 5 – n – 12 ⇔ m + n = –6 . . . (i) p(4) = (4)4 + m(4)3 + 5(4)2 + n(4) – 12 ⇔ 0 = 256 + 64m + 80 – 4n – 12 ⇔ 64m – 4n = 324 ⇔ 16m – n = 81 . . . (ii) Eliminasi n dari (i) dan (ii) m + n = –6 16m – n = 81 ––––––––––––– – –15m = –87 ⇔ m = 5,8 Substitusi nilai m = 5,8 ke (i) m + n = –6 ⇔ n = –6 – m = –6 – 5,8 = –11,8 Diperoleh m = 5,8 dan n = –11,8. Jadi, 2m + n = 2(5,8) + (–11,8) = –0,2. 17. Jawaban: c Misal: f(x) = 2x3 – px2 + qx + 6 g(x) = 2x3 + 3x2 – 4x – 1 f(x) dan g(x) dibagi (x + 1) mempunyai sisa sama, berarti: f(–1) = g(–1) ⇒ –2 – p – q + 6 = –2 + 3 + 4 – 1 ⇔ –p – q + 4 = 4 ⇔ –(p + q) = 0 ⇔ p+q=0 18. Jawaban: c f(x) = 2x3 + ax2 + bx – 2 (x – 2) faktor f(x), berarti: f(2) = 0 ⇒ 16 + 4a + 2b – 2 = 0 ⇔ 4a + 2b = –14 ⇔ 2a + b = –7 . . . (i) f(x) dibagi (x + 3) bersisa –50, berarti: f(–3) = –50 ⇒ –54 + 9a – 3b – 2 = –50 ⇔ 9a – 3b = 6 ⇔ 3a – b = 2 . . . (ii)
22. Jawaban: b
Eliminasi b dari persamaan (i) dan (ii): 2a + b = –7 3a – b = 2 ––––––––––– + 5a = –5 ⇔ a = –1 Substitusi a = –1 ke persamaan (i): 2a + b = –7 ⇒ –2 + b = –7 ⇔ b = –5 Jadi, nilai a + b = (–1) + (–5) = –6.
p(x) dibagi (2x – 1) bersisa 2 → p( ) = 2
p(x) dibagi (3x + 2) bersisa –3 → p(– ) = –3
f(x) dibagi (2x – 1) bersisa –2 → f( ) = –2
f(x) dibagi (3x + 2) bersisa 6 → f(– ) = 6 h(x) = p(x) · f(x) dibagi (2x – 1)(3x + 2) mempunyai sisa ax + b, maka:
19. Jawaban: e Suku banyak: f(x) = (x2 + x – 12) h(x) + (7x – 4) Sisa pembagian f(x) oleh (x – 3): p(3) = ((3)2 + (3) – 12) h(3) + (7(3) – 4) = (9 + 3 – 12) h(3) + (21 – 4) = 0 + 17 = 17
h( ) = 2 · (–2) = –4 ⇒
h(– ) = –3 · 6 = –18 ⇒
⇔
f(x) dibagi 3x2 + 5x + 2 diperoleh hasil h(x) dan sisa s(x) = ax + b, yaitu: f(x) = (3x2 + 5x + 2)h(x) + s(x) = (3x + 2)(x + 1)h(x) + (ax + b) f(– ) = –2 ⇒
–a + b = 1 – a + b = –2 –––––––––––– – – a = 3 ⇔ a = –9
–a + b = 1 ⇔ b = 1 + a = 1 + (–9) = –8 Jadi, sisanya –9x – 8.
+
a = 14
a = 14 × = 12
a + b = –4 ⇔ b = –4 – a = –4 – (12) = –10 Jadi, sisanya: 12x – 10.
⇔
f(x) dibagi (3x + 2) sisanya –2 berarti f(– ) = –2.
⇒
a + b = –18 ––––––––––––––– –
21. Jawaban: a f(x) dibagi (x + 1) sisanya 1 berarti f(–1) = 1.
a + b = –4
( + )a = 14
20. Jawaban: a p(x) = (x2 – 3x + 2) h(x) + s(x) = (x – 2)(x – 1) h(x) + 9x – 5 p(2) = 23 + a(2)2 – 4(2) + b = 9(2) – 5 ⇔ 8 + 4a – 8 + b = 18 – 5 ⇔ 4a + b = 13 . . . (i) 2 p(1) = 13 + a(1) – 4(1) + b = 9(1) – 5 ⇔ 1+a–4+b =9–5 ⇔ a+b–3 =4 ⇔ a + b = 7 . . . (ii) Eliminasi b dari (i) dan (ii) diperoleh: 4a + b = 13 a+b =7 –––––––––– – 3a = 6 ⇔ a = 2 Substitusi a = 2 ke (ii): a + b= 7 ⇔ b=7–a=7–2=5 Jadi, nilai a – b = 2 – 5 = –3.
f(–1) = 1
–
23. Jawaban: c f(x) dibagi x2 – 2x – 15 = (x + 3)(x – 5) bersisa 3x + 2, berarti: f(–3) = 3(–3) + 2 = –7 f(5) = 3(5) + 2 = 17 f(x) dibagi x2 – 2x – 3 = (x + 1)(x – 3) bersisa 5x – 4, berarti: f(–1) = 5(–1) – 4 = –9 f(3) = 5(3) – 4 = 11 f(x) dibagi x2 – 8x + 15 = (x – 3)(x – 5) bersisa px + q, berarti: f(3) = 3p + q = 11 f(5) = 5p + q = 17 –––––––––––– – –2p = –6 ⇔ p = 3 q = 11 – 3p = 11 – 9 = 2 Jadi, f(x) dibagi x2 – 8x + 15 bersisa 3x + 2. 24. Jawaban: c f(x) habis dibagi (x – 1), berarti f(1) = 0. Misal sisa pembagian f(x) oleh (x – 1)(x + 1) adalah s(x) = ax + b. f(1) = s(1) ⇒ 0 = a + b b = –a f(–1) = s(–1) ⇒ f(–1) = –a + b ⇔ f(–1) = –a + (–a) ⇔ f(–1) = –2a
⇔ a = – f(–1)
b = –a = –(– f(–1)) = f(–1)
Matematika Kelas XI Program IPA
41
29. Jawaban: c 2x4 + tx3 – 7x2 + nx + 6 = 0
Jadi, sisa pembagiannya s(x) = ax + b
–2
= – f(–1)x + f(–1) =
1
2
=0 =0 = –16 = –8
26. Jawaban: e p(x) = 2x3 – 5x2 – px + 3 2
–5 –2
–p 7
3 p–7
2
–7
7–p
p–4
+
Sehingga diperoleh: p(x) = (x + 1)(2x2 – 7x + 3) = (x + 1)(2x – 1)(x – 3) Jadi, salah satu faktor linear yang lain (2x – 1). 27. Jawaban: a (x2 – 4x – 12)(x2 – 3x + 2) = 0 ⇔ x2 – 4x – 12 = 0 atau x2 – 3x + 2 = 0 ⇔ x1 + x2 = 4 x3 + x4 = 3 Jumlah akar-akar persamaan suku banyak x1 + x2 + x3 + x4 = 4 + 3 =7 28. Jawaban: c 2x3 – 3x2 – 11x + p = 0 x1 = –2 2
–3 –4
–11 14
2
–7
3
–7
n
6
–2t + 8
4t – 2
–8t – 2n + 4
t–4
–2t + 1
4t + n – 2
–8t – 2n + 10
2
t–2
–t – 1
t–2
–t – 1
3t + n – 3
+
Jadi, 2α + 2β = 2(α + β) = 2 · 0 = 0. 30. Jawaban: e Faktor bulat dari –2 adalah ±1 dan ±2. Faktor bulat dari 3 adalah ±1 dan ±3.
+
p–6
Akar-akar 2x2 – 7x + 3 = 0 adalah x2 dan x3 dengan
–1
3 –4 –3
1 7
6 –8
–2 2
3 –7
8
–2
0
+
Diperoleh –1 adalah akar rasional suku banyak.
3 –7
8
–2
1 –2
2
6
+
0
Diperoleh adalah akar rasional suku banyak. 3x4 – 4x3 + x2 + 6x – 2 = 0 ⇔ (x + 1)(3x3 – 7x2 + 8x – 2) = 0 ⇔ ⇔
(x + 1)(x – )(3x2 – 6x + 6) = 0 (x + 1)(3x – 1)(x2 – 2x + 2) = 0
x2 – 2x + 2 tidak dapat difaktorkan karena D = (–2)2 – 4 · 1 · 2 = –4 < 0.
x2x3 = .
Jadi, akar rasionalnya adalah –1 dan .
Jadi, x1x2x3 = –2 × = –3.
Kunci Jawaban dan Pembahasan
Akar-akar yang mungkin adalah ± 1, ± 2, ± , ± .
p –6
+
Oleh karena x = –2 dan x = 1 merupakan akar, maka: –8t – 2n + 10 = 0 ⇔ 4t + n = 5 3t + n – 3 = 0 ⇔ 3t + n = 3 –––––––– – t=2 Dari hasil pembagian terakhir diperoleh hasil bagi 2x2 + (t – 2)x + (–t – 1) = 0 t = 2 ⇒ 2x2 + 0t – 3 = 0 Akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut adalah
3 –6
Sisa = 0 ⇒ p – 6 = 0 ⇔ p =6
42
t –4
α dan β, sehingga α + β = – = 0.
(x + 1) merupakan faktor p(x), berarti: p(–1) = 0 ⇒ p – 4 = 0 ⇔ p=4
–2
2
f(–1)(1 – x)
25. Jawaban: e f(x) = x4 – 2x3 + px + 16 x – 2 faktor f(x) apabila: f(2) = 0 ⇒ 24 – 2(2)3 + p(2) + 16 ⇔ 16 – 16 + 2p + 16 ⇔ 2p ⇔ p
–1
2
B. Uraian
5. a.
x3
1. p(x) = – 4x + 1 q(x) = x4 – 2x3 + 5x a. f(x) = 2p(x) – q(x) = 2(x3 – 4x + 1) – (x4 – 2x3 + 5x) = (2x3 – 8x + 2) – (x4 – 2x3 + 5x) = 2x3 – 8x + 2 – x4 + 2x3 – 5x = –x4 + 4x3 – 13x + 2 b. Derajat f(x) adalah 4. c. Koefisien x2 dari suku banyak f(x) adalah 0. 2. p(x) = 2x4 + 3x3 – 6x2 + mx + 4 a. p(–3) = 1 ⇔ 2(–3)4 + 3(–3)3 – 6(–3)2 + m(–3) + 4 = 1 ⇔ 162 – 81 – 54 – 3m + 4 = 1 ⇔ –3m + 31 = 1 ⇔ –3m = –30 ⇔ m = 10 Jadi, nilai m = 10. b. p(x) = 2x4 + 3x3 – 6x2 + 10x + 4 p(–1) = 2(–1)4 + 3(–1)3 – 6(–1)2 + 10(–1) + 4 = 2 – 3 – 6 – 10 + 4 = –13 p(1) = 2(1)4 + 3(1)3 – 6(1)2 + 10(1) + 4 = 2 + 3 – 6 + 10 + 4 = 13 p(–1) + 2p(1) = –13 + 2(13) = 13 3. a.
b.
c.
4. a.
(2x4 – 4x3 – x2 + 6x – 4) : (x + 2) –2 2 –4 –1 6 –4 –4 16 –30 48 15
–24
44
+
Hasil bagi = 2x3 – 8x2 +15x – 24 Sisa = 44 b.
(4x5 – 3x3 + x2 + 8) : (2x + 3)
–
4
4
0
–3
1
0
8
–6
9
–9
12
–18
–6
6
–8
12
–10
Hasil bagi = (4x4 – 6x3 + 6x2 – 8x + 12) = 2x4 – 3x3 + 3x2 – 4x + 6 Sisa = –10
2
5
–8
3
p
3
12
6
8
4
9
p+
+
Sisa = 15 ⇒ p + = 15 ⇔ p = 15 – = 15 – 13 =1 b.
Hasil bagi: h(x) =
(2x3
+ 8x2 + 4x + 9)
6. Misal p(x) = x4 – ax3 + (a – 3)x2 + 3x + 2a a. Pembagian p(x) oleh (x – 2): 2 1 –a 2 1
a–3 3 2a 4 – 2a 2 – 2a 10 – 4a
2–a 1–a
+
5 – 2a 10 – 2a
Oleh karena p(x) habis dibagi (x – 2), maka: 10 – 2a = 0 ⇔ a = 5 Jadi, nilai a = 5. b.
Pembagi: x2 + x – 6 = (x – 2)(x + 3) p(x) = x4 – 5x3 + 2x2 + 3x + 10 = (x – 2)(x3 – 3x2 – 4x – 5) 1 –3 –3
–4 18
–5 –42
1 –6
14
–47
+
p(x) = (x – 2)(x3 – 3x2 – 4x – 5) = (x – 2)[(x + 3)(x2 – 6x + 14) – 47] = (x – 2)(x + 3)(x2 – 6x + 14) – 47(x – 2) = (x2 + x – 6)(x2 – 6x + 14) + 94 – 47x Jadi, sisanya 94 – 47x.
r(–2) = (–2)6 – 4(–2)4 + 8(–2)3 – 32(–2) = 64 – 64 – 64 + 64 =0
–8
2
–3
p(–2) = q(–2) ⇔ (–2)4 – a(–2) = (–2)2 – 4 ⇔ 16 + 2a = 4 – 4 ⇔ 2a = –16 ⇔ a = –8 r(x) = p(x)q(x) = (x4 + 8x)(x2 – 4) = x6 – 4x4 + 8x3 – 32x
2
+
7. f(x) dibagi (x – 1) sisanya 6, maka f(1) = 6. f(x) dibagi (x + 3) sisanya –2, maka f(–3) = –2. f(x) dibagi x2 + 2x – 3 = (x – 1)(x + 3) sisanya s(x) = ax + b. f(x) dibagi (x – 1) sisanya 6, berarti a + b = 6. f(x) dibagi (x + 3) sisanya –2, berarti –3a + b = –2. Eliminasi b: a+b =6 –3a + b = –2 –––––––––––– – 4a = 8 ⇔ a = 2 Substitusi a = 2 diperoleh: a+b =6 ⇔2+b =6 ⇔ b =4 Jadi, sisa pembagian f(x) oleh x2 + 2x – 3 adalah 2x + 4.
Matematika Kelas XI Program IPA
43
8. a.
p(x) = 2x4 + 3x3 + ax2 + bx + 5 habis dibagi (x2 – 1) = (x – 1)(x + 1), berarti p(1) = 0 dan p(–1) = 0. p(1) = 2(1)4 + 3(1)3 + a(1)2 + b(1) + 5 ⇔0=2+3+a+b+5 ⇔ a + b = –10 . . . (i) p(–1) = 2(–1)4 + 3(–1)3 + a(–1)2 + b(–1) + 5 ⇔0=2–3+a–b+5 ⇔ a – b = –4 . . . (ii) Eliminasi b dari (i) dan (ii) a + b = –10 a – b = –4 ––––––––––– + 2a = –14 ⇔ a = –7 Substitusi a = –7 ke persamaan (i) a + b = –10 ⇔ b = –10 – a = –10 – (–7) = –3 Jadi, a = –7 dan b = –3.
b.
p(x) = 2x4 + 3x3 – 7x2 – 3x + 5 Sisa pembagian p(x) oleh (x + 3): p(–3) = 2(–3)4 + 3(–3)3 – 7(–3)2 – 3(–3) + 5 = 162 – 81 – 63 + 9 + 5 = 32
9. Jika x = 2 adalah akar persamaan f(x) = 0 maka f(2) = 0. Menghitung nilai f(2) dengan cara Horner. 2 1 –5 2 8 2 –6 –8 + 1 –3 –4 0
Diperoleh sisa 0, berarti x – 2 merupakan faktor. 3x3 – 4x2 – 5x + 2 = 0 ⇔ (x – 2)(3x2 + 2x – 1) = 0 ⇔ (x – 2)(x + 1)(3x – 1) = 0 ⇔ x = 2 atau x = –1 atau x = Jadi, akar-akarnya –1,
Bab II
,
.
dan 2.
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
A. Pilihan ganda 1. Jawaban: d Gambar (i) bukan fungsi surjektif karena ada anggota B yang tidak mempunyai pasangan anggota A. Gambar (ii) fungsi surjektif karena setiap anggota B mempunyai pasangan anggota A. Gambar (iii) fungsi surjektif karena setiap anggota B mempunyai pasangan anggota A. Gambar (iv) fungsi bijektif karena satu anggota A berpasangan dengan tepat satu anggota B. Jadi, fungsi surjektif ditunjukkan oleh gambar (ii) dan (iii). 2. Jawaban: c f(x) = 5x + 2 f(x – 2) = 5(x – 2)+ 2 = 5x – 10 + 2 = 5x – 8 Jadi, rumus fungsi f(x – 2) = 5x – 8. 3. Jawaban: a
Oleh karena f(x) = 0, x = 2 merupakan akar. Dari pembagian cara Horner di atas didapat hasil bagi = x2 – 3x – 4 sehingga: x3 – 5x2 + 2x + 8 = 0 ⇔ (x – 2)(x2 – 3x – 4) = 0 ⇔ (x – 2)(x – 4)(x + 1) = 0 ⇔ x = 2 atau x = 4 atau x = –1. Jadi, akar-akar yang lain adalah 4 dan –1. 10. 3x3 – 4x2 – 5x + 2 = 0 2
3 3
–4 6 2
–5 4 –1
2 –2 0
−
Misalkan t = 2x + 1 ⇒ x = g(2x + 1)= 6x – 7 ⇔
−
g(t) = 6( ) – 7 ⇔ g(t) = 3(t – 1) – 7 ⇔ g(t) = 3t – 3 – 7 ⇔ g(t) = 3t – 10 ⇔ g(x) = 3x – 10 Jadi, rumus fungsi g(x) = 3x – 10. 4. Jawaban: a
+
Agar f(x) =
− bernilai real, syaratnya:
x2 – 16 ≥ 0 ⇔ (x + 4)(x – 4) ≥ 0
1234567
1234567 1234567 – 1234567 + – • • –4 4 –4 ≤ x ≤ 4
Jadi, daerah asalnya = {x | –4 ≤ x ≤ 4, x ∈ R}.
44
Kunci Jawaban dan Pembahasan
5. Jawaban: e f(x + 2) = x2 + 4x + 1 ⇔ f(x + 2) = (x2 + 4x + 4) – 3 ⇔ f(x + 2) = (x + 2)2 – 3 ⇔ f(x) = x2 – 3 Jadi, f(x) = x2 – 3. 6. Jawaban: c (x)
=
=
+ − +
=
+ − +
=x–1 Dengan demikian, (a)
=a–1
Jadi, rumus fungsi (a) adalah a – 1. 7. Jawaban: b (f + g)(x) = f(x) + g(x) = (10x – 7) + (2x2 – 1) = 2x2 + 10x – 8 Jadi, (f + g)(x) = 2x2 + 10x – 8. 8. Jawaban: c (f g)(x) = f(g(x)) = f(x + 5) = (x + 5)2 – 5(x + 5) + 1 = x2 + 10x + 25 – 5x – 25 + 1 = x2 + 5x + 1 Jadi, komposisi fungsi (f g)(x) adalah x2 + 5x + 1. 9. Jawaban: b (g f)(x) = g(f(x)) = g(4x + 3) = 2(4x + 3)2 + (4x + 3) – 5 = 2(16x2 + 24x + 9) + 4x – 2 = 32x2 + 48x + 18 + 4x – 2 = 32x2 + 52x + 16 Jadi, (g f)(x) = 32x2 + 52x + 16. 10. Jawaban: c (g f)(x) = g(f(x)) = g(3x – 1) (g f)(1) = g(3(1) – 1) = g(2) = 2(2)2 + 3 = 8 + 3 = 11 11. Jawaban: c (g f)(x) = g(f(x)) = g(3x + 2)
(g f)(–1) = g(3(–1) + 2) = g(–1) − + − −
=
=–
12. Jawaban: b (g f)(x) = 9x2 – 6x + 2 ⇔ g(f(x)) = 9x2 – 6x + 2 ⇔ g(3x – 1) = 9x2 – 6x + 2 ⇔ g(3x – 1) = 9x2 – 6x + 1 + 1 ⇔ g(3x – 1) = (3x – 1)2 + 1 ⇔ g(x) = x2 + 1 (f g)(x) = f(g(x)) = 3(x2 + 1) – 1 = 3x2 + 3 – 1 = 3x2 + 2 Jadi, (f g)(x) = 3x2 + 2. 13. Jawaban: b (f g)(x) = 4 ⇔ f(g(x)) = 4 ⇔ f(2x2 + 1) = 4 ⇔ 3(2x2 + 1) – 5= 4 ⇔ 6x2 + 3 = 9 ⇔ 6x2 = 6 ⇔ x2 = 1 ⇔ x = ±1 Jadi, nilai x = 1 atau x = –1. 14. Jawaban: b (f g)(a) = f(g(a)) = 2 f(2a2 + 2a – 1) = 2 2 ⇔ –(2a + 2a – 1) + 1= 2 ⇔ –2a2 – 2a + 1 + 1 = 2 ⇔ –2a2 – 2a = 0 ⇔ –2a(a + 1) = 0 ⇔ a = 0 atau a = –1 Jadi, nilai a adalah 0 atau –1. 15. Jawaban: e
(f g)(x) =
+ +
⇔
f(g(x)) =
⇔
−
=
+ +
+ +
− = + + ⇔ (g(x))2 – 2 = x2 + 6x + 7 ⇔ (g(x))2 = x2 + 6x + 9 ⇔ (g(x))2 = (x + 3)2 ⇔ g(x) = x + 3 ⇔ g(x + 2) = (x + 2) + 3 ⇔ g(x + 2) = x + 5 Jadi, g(x + 2) = x + 5. ⇔
Matematika Kelas XI Program IPA
45
16. Jawaban: a Misalkan t = x – 2 ⇒ x = t + 2 g(x – 2) = 2x + 7 ⇔ g(t) = 2(t + 2) + 7 ⇔ g(t) = 2t + 4 + 7 ⇔ g(t) = 2t + 11 ⇔ g(x) = 2x + 11 (h g)(x) = h(g(x)) ⇔ 4x2 + 44x + 1 = h(2x + 11) ⇔ (2x + 11)2 – 121 + 1 = h(2x + 11) ⇔ (2x + 11)2 – 120 = h(2x + 11) ⇔ h(x) = x2 – 120 2 h(10) = (10) – 120 = 100 – 120 = –20 Jadi, h(10) = –20.
19. Jawaban: b (f g)(x) = 9x2 + 12x – 1 ⇔ f(g(x)) = 9x2 + 12x – 1 ⇔ (g(x))2 – 5 = 9x2 + 12x – 1 ⇔ (g(x))2 = 9x2 + 12x + 4 ⇔ (g(x))2 = (3x + 2)2 ⇔ g(x) = 3x + 2 (g h)(x) = g(h(x)) = g(x + 10) = 3(x + 10) + 2 = 3x + 30 + 2 = 3x + 32 (g h)(x – 1) = 3(x – 1) + 32 = 3x – 3 + 32 = 3x + 29 Jadi, (g h)(x – 1) = 3x + 29.
17. Jawaban: c g(2x – 1) = 4x(x – 1) ⇔ g(2x – 1) = 4x2 – 4x ⇔ g(2x – 1) = (4x2 – 4x + 1) – 1 ⇔ g(2x – 1) = (2x – 1)2 – 1 ⇔ g(x) = x2 – 1 (f g)(x) = f(g(x)) = f(x2 – 1) = (x2 – 1) + 1 = x2 Jadi, rumus fungsi (f g)(x) = x2.
20. Jawaban: e
18. Jawaban: b Misalkan x – 1 = t ⇒ x = t + 1 (f g)(x – 1) = 8x2 – 40x + 50 ⇔ (f g)(t) = 8(t + 1)2 – 40(t + 1) + 50 ⇔ (f g)(t) = 8(t2 + 2t + 1) – 40t – 40 + 50 ⇔ (f g)(t) = 8t2 + 16t + 8 – 40t + 10 ⇔ (f g)(t) = 8t2 – 24t + 18 ⇔ (f g)(x)= 8x2 – 24x + 18 Misalkan v = 2x – 3 ⇒ x =
+
8x2
(f g)(x) = – 24x + 18 ⇔ f(g(x)) = 8x2 – 24x + 18 ⇔ f(2x – 3)= 8x2 – 24x + 18 ⇔ f(v) = 8x2 – 24x + 18 +
⇔
× −
=
+ +
⇔ 2 × g(x) – 3 = 20x + 9 ⇔ 2 × g(x) = 20x + 12 ⇔ g(x) = 10x + 6 (h g)(x) = h(g(x)) = h(10x + 6) = (10x + 6) – 7 = 10x – 1 (h g)(x + 1) = 10(x + 1) – 1 = 10x + 10 – 1 = 10x + 9 Jadi, (h g)(x + 1) = 10x + 9. B. Uraian Daerah asal fungsi g adalah {x | x ∈ R}.
Daerah asal fungsi h adalah {x | x ∈R, x ≠ }. +
f(v) = 8( )2 – 24 ( ) + 18
⇔
f(v) = 8(
b.
(h + g)(x) = 3x + 16 +
) – 12(v + 3) + 18
⇔ f(v) = 2(v2 + 6v + 9) – 12v – 36 + 18 ⇔ f(v) = 2v2 + 12v + 18 – 12v – 18 ⇔ f(v) = 2v2 ⇔ f(x) = 2x2 Jadi, f(x) = 2x2.
Kunci Jawaban dan Pembahasan
−
=
+ − + −
=
+ − − + −
=
+ −
−
Jadi, rumus (h + g)(x) adalah (h + g)(x) =
46
+
f(g(x)) =
⇔
1. a.
⇔
+ +
(f g)(x) =
+ −
−
; x ≠ .
2. a.
h(x) = +
=
+ −
+ − +
=
b.
Syarat: 1)
2)
+ terdefinisi, 5x + 15 harus lebih dari atau sama dengan nol. 5x + 15 ≥ 0 ⇔ 5x ≥ –15 ⇔ x ≥ –3 3x + 1 tidak boleh bernilai nol sehingga
Agar
3x + 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ –
5. a.
.
Jadi, daerah asal fungsi h(x) adalah
{x | x ≠ – , x ≥ –3, x ∈ R}. b.
k(x) = =
+
+ −
⇔ g(t) = 6(
+
b.
4. a.
(g f)(a) = 6 ⇔ g(f(a)) = 6 ⇔ g(a2 – 2a – 4) = 6
+ )
+ 10
⇔ g(t) = 2(t + 1) + 10 ⇔ g(t) = 2t + 12 ⇔ g(x) = 2x + 12 Dengan demikian, g(–x – 5) = 2(–x – 5) + 12 ⇔ g(–x – 5) = –2x – 10 + 12 ⇔ g(–x – 5) = –2x + 2 ⇔ g(–x – 5) = 2 – 2x Jadi, rumus fungsi g(–x – 5) = 2 – 2x.
+
(f g h)(x) = f(g(h(x))) = f(g(2x + 2)) = f(6 – (2x + 2)2) = f(6 – (4x2 + 8x + 4)) = f(–4x2 – 8x + 2) = –(–4x2 – 8x + 2) = 4x2 + 8x – 2 Jadi, (f g h)(x) = 4x2 + 8x – 2. (h g f)(x) = h(g(f(x))) (h g f)(–3) = h(g(f(–3))) = h(g(–(–3))) = h(g(3)) = h(6 – 32) = h(6 – 9) = h(–3) = 2(–3) + 2 = –6 + 2 = –4 Jadi, (h g f)(–3) = –4.
Cara 1 g(3x – 1) = 6x + 10 ⇔ g(3x – 1) = 2(3x – 1) + 12 ⇔ g(x) = 2x + 12 Cara 2 g(3x – 1) = 6x + 10 Misal t = 3x – 1 ⇒ x = g(3x – 1) = 6x + 10
= − + Dari (x – 6)(5x +15) dapat disimpulkan bahwa k(x) tidak terdefinisi untuk x = 6 atau x = –3. Jadi, daerah asal fungsi k(x) adalah {x | x ≠ 6, x ≠ –3, x ∈ R}. 3. a.
⇔ 3(a2 – 2a – 4) + 9 = 6 ⇔ 3a2 – 6a – 12 + 9 = 6 ⇔ 3a2 – 6a – 9 = 0 ⇔ a2 – 2a – 3 = 0 ⇔ (a – 3)(a + 1) = 0 ⇔ a = 3 atau a = –1 Jadi, nilai a adalah 3. (f g)(x) = f(g(x)) (f g)(2) = f(g(2)) = f(3 × 2 + 9)) = f(15) = 152 – 2 × 15 – 4 = 225 – 30 – 4 = 191 Jadi, (f g)(2) = 191.
b.
(f g)(x) = x + 2 ⇔ f(g(x)) = x + 2 Cara 1 f(2x + 12) = x + 2 f(2x + 12) = ⇔
f(x) =
+ − −
Cara 2 f(2x + 12) = x + 2 Misal t = 2x + 12 ⇒ x =
−
f(2x + 12) = x + 2 ⇔ f(t) =
−
+2
⇔ f(t) =
− +
−
⇔ f(x) =
−
⇔ f(t) =
Matematika Kelas XI Program IPA
47
Dengan demikian, f(x) =
3. Jawaban: a Cara 1
− .
(g f)(x) = g(f(x)) ⇔ (g f)(x) = g( ⇔ (g f)(x) =
f(x) =
− )
− 2( )
Misal y = + 12
⇔ (g f)(x) = x – 8 + 12 ⇔ (g f)(x) = x + 4 Jadi, rumus fungsi (g f)(x) = x + 4.
A.
Pilihan ganda
1.
Jawaban: c x+2=t⇒x=t–2 f(x + 2) = 3x – 6 ⇔ f(t) = 3(t – 2) – 6 ⇔ f(t) = 3t – 6 – 6 ⇔ f(t) = 3t – 12 ⇔ f(x) = 3x – 12 Misalkan y = f(x) y = 3x – 12 ⇔ 3x = y + 12 x=
⇔ f –1(x) =
+
x=
+ −
− − − ; −
+ −
.
+ +
− + −
, x ≠ – maka
,x≠
− +
maka
− −
f –1(x)
=
+
⇔ f–1(x) =
.
+ − +
Jadi, f–1(x) = − , x ≠ . 4. Jawaban: b Misalkan y = g(x) y = x2 + 6 ⇔ x2 = y – 6 ⇔
x = ± −
⇔ g–1(x) = ± − g(x) = x2 + 6 untuk x < 0 diperoleh g–1(x) = – − ; x > 6. 5. Jawaban: c (g f)(x) = g(f(x)) = g(12x + 1)
= − +
x≠4
Jadi, invers dari fungsi h(x) adalah x ≠ 4. 48
⇔
f(x) =
xy – y = 4x – 1 xy – 4x = y – 1 x(y – 4) = y – 1
h–1(x) =
− − −
Dengan demikian,
− −
⇔
x=
f–1(x) =
+ +2 − + − = + − − + + − = − − = − − Misalkan y = − .
x=
⇔
Jika f(x)=
h(x) =
⇔
y(4x + 1) = 2x – 3 4xy + y = 2x – 3 4xy – 2x = –y – 3 x(4y – 2) = –y – 3
Cara 2 Dengan rumus praktis:
2. Jawaban: d
⇔ ⇔ ⇔
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
f–1(x) = −
Jadi, invers dari f(x) adalah
y=
− +
Dengan demikian, f–1(x) =
+
⇔
− +
Kunci Jawaban dan Pembahasan
h–1(x)
=
− ; −
= −
⇔ t = 10 Jadi, nilai t = 10.
Misalkan y = (g f)(x). y=
−
8. Jawaban: c
⇔ 2y – 12xy = 4 ⇔ 12xy = 2y – 4
Misalkan y = 4x + 6 ⇒
⇔ g–1(x) =
−
⇔
x=
x =
−
Misalkan t =
⇔ (g f)–1(x) =
Daerah asal (g f)–1(x) = {x | x ≠ 0, x ∈ R} 6. Jawaban: b g(x) = 52x Misal y = 52x ⇔ log y = log (52x) ⇔ log y = 2x log 5
−
⇒ x = 4t + 6
(g f)–1(x) = (f –1 g–1)(x) ⇔
− + −
= f –1( )
⇔
− + −
= f –1(t)
⇔
− + + + −
= f –1(t)
⇔
− − + + −
= f –1(t)
− + −
= f –1(t)
−
⇔
x =
⇔
x = 5log y
⇔
⇔
x = 5log
⇔
⇔
f –1(x) = −
x = 5log
⇔
f –1(x) = −
Dengan demikian, Jadi, g–1(9)
=
g–1(x)
5log
=
=
5log
5log
7. Jawaban: b Cara 1 Dengan menentukan f–1(x) terlebih dahulu f(x) = Misal
+ + y=
⇔ yx = 6x + 8 ⇔ yx – 6x = 8 ⇔ (y – 6)x = 8 ⇔
x=
−
Dengan demikian, f–1(t) ⇔
f–1(x)
=
−
=2
−
=2
⇔ 2t – 12 = 8 ⇔ 2t = 20 ⇔ t = 10 Cara 2 Dengan pengertian fungsi invers f(x) = y ⇔ f–1(y) = x f–1(t) = 2 maka f(2) = t f(2) = t ⇔ ⇔
+
=t =t
− +
− +
3
− −
− +
Misalkan y = − − +
y = − ⇔ 2xy – 3y = –3x + 1 ⇔ 2xy + 3x = 1 + 3y ⇔ x(2y + 3) = 1 + 3y +
⇔
x = +
⇔
(f –1(x))–1 = +
⇔
f(x) = +
+ +
Jadi, f(x) =
+ ; +
x ≠ –.
9. Jawaban: a (f g)–1(x) = (g–1 f–1)(x) = g–1(f–1(x))
= g–1( − ) =
−
−
− +
= ( − ) −
= − , x ≠ 4 −
Jadi, rumus fungsi (f g)–1(x) adalah − , x ≠ 4.
Matematika Kelas XI Program IPA
49
10. Jawaban: c (f g)(x) = f(g(x)) = f(
Misal y = 2log
⇔
+
+
2y = 2log 2y =
Misalkan y = f–1(x) = ⇔ ⇔
+ y2 = 2x + 3 2x = y2 – 3
⇔
x=
−
⇔
(f –1(x))–1 =
−
⇔
f(x) =
−
⇔
f(x + 1) =
y=
+ )
= 2log
2log
2. a.
+
+
⇔ 2x + 6 = 4(2)y ⇔ 2x = 4(2)y – 6 ⇔
x=
b. B. Uraian 1. a.
Misalkan y = f(x). y= ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
− −
(8 – 3x)y = 2x – 1 8y – 3xy = 2x – 1 3xy + 2x = 8y + 1 x(3y + 2) = 8y + 1
⇔ b.
+
f–1(x) = + ; x ≠ –
+
y = −
⇔ (2x – 5)y = 4x + 1 ⇔ 2xy – 5y = 4x + 1 ⇔ 2xy – 4x = 5y + 1 ⇔ x(2y – 4) = 5y + 1
⇔ c.
+ −
Jadi, f(x + 1) =
+ −
x= f –1(x) =
3. a.
+ − + ; −
g–1(x + 1) =
−
⇔ g–1(t) =
− −
⇔ g–1(t) =
−
⇔ g–1(x) =
− = y.
g–1(x)
⇔ ⇔
− y2 = 4x – 5 4x = y2 + 5
⇔
x=
+
⇔ (g–1(x))–1 =
+
⇔
+
g(x) =
g(x) =
+
Misalkan y = f(x)
Kunci Jawaban dan Pembahasan
⇔
.
−
Misal y = x≠2
.
Misalkan t = x + 1 ⇒ x = t – 1.
Jadi, g(x) =
y = 2log x ⇔ 2log 2y = 2log x ⇔ 2y = x –1 ⇔ f (x) = 2x
50
=
y=
x = +
Misalkan y = f(x).
⇔
+ + −
Misalkan
+
⇔
+ −
=
−
⇔ x = 2(2)y – 3 Jadi, (f g)–1(x) = 2(2)x – 3.
+
y2 =
−
−
⇔ 2y2 = x – 8 ⇔ x = 2y2 + 8 Dengan demikian, g–1(x) = 2x2 + 8. Dg = {x | x ≥ 8, x ∈ R} Rg = {y | y ≥ 0, y ∈ R} Dg–1 = {x | x ≥ 0, x ∈ R}
Dengan demikian, daerah asal g–1(x) adalah Dg–1 = {x | x ≥ 0, x ∈ R}. b.
g(x) = x2 – 6x + 10 Misal y = x2 – 6x + 10 ⇔ x2 – 6x = y – 10 2 ⇔ x – 6x + 9 = y – 10 + 9 ⇔ (x – 3)2 = y – 1 ⇔
= 6x – 16 5. a.
+
x = 3 ± −
Diperoleh: 1)
−
g–1(x) = 3 + g–1(x) = 3 –
−. Dg–1 = {x | x ≥ 1, x ∈ R}
b.
Dengan demikian, g–1(x) = 3 – − dan daerah asal g–1(x) adalah Dg–1 = {x | x ≥ 1, x ∈ R}. Misalkan x + 1 = t ⇒ x = t – 1. g–1(x + 1) = 12x – 7 ⇔ g–1(t) = 12(t – 1) – 7 ⇔ g–1(t) = 12t – 12 – 7 ⇔ g–1(t) = 12t – 19 ⇔ g–1(x) = 12x – 19 ⇔
(f g)–1(t) = −
+
y = 2x + 1 ⇔
x=
−
⇔
g–1(x) =
−
+
(f g)–1(x) = −
+
⇔
(g–1 f–1)(x) = −
⇔
g–1(f–1(x)) = −
+
⇔
− −
+
= − ⇔ (x – 4)(f –1(x) – 1) = 16x + 38
f(x) = 2x + 13 y = 2x + 13 −
⇔
f –1(x) – 1 =
+ −
⇔ f –1(x) =
−
⇔
f –1(x) =
+ −
⇔
f –1(x) =
+ −
(f g)–1(x) = (g–1 f –1)(x) = g–1(f–1(x)) = g–1(
−
= 12(
−
b.
− −
+ ; −
−
+ −
x ≠ 4.
(g f –1)(x) = g(f –1(x))
) – 19
(g f)–1(x) = (f –1 g–1)(x) = f –1(g–1(x)) = f –1 (12x – 19) =
Jadi, f –1(x) =
)
= 6(x – 13) – 19 = 6x – 78 – 19 = 6x – 97 d.
⇔
x=
⇔
c.
(f g)–1(t) = + −
+
=3–
4. a.
+ +
⇔
⇔ (f g)–1(x) = − Misalkan y = g(x) = 2x + 1.
− Oleh karena Dg = {x|x ≤ 3, x ∈ R} maka g–1(x) 2)
Misalkan t = x – 2 ⇒ x = t + 2. (f g)–1(x – 2) = −
x – 3 = ± −
⇔
−
=
+
= g( − ) +
= 2( − ) + 1 =
+ −
=
+
−
Jadi, (g f –1)(x) =
−
+ −
+
−
; x ≠ 4.
Matematika Kelas XI Program IPA
51
6. a.
Misalkan y = g(x).
⇔ ⇔ ⇔
3xy – y = x 3xy – x = y x(3y – 1) = y
− − −
= h
−
= h −
= −
⇔
x = −
⇔
g–1(x) = −
b.
−
−
= −
Jadi, g–1(x) = − ; x ≠ . (g h)(x) = g(h(x)) = g(x + 5) =
−
= −
+ + −
c.
+
= + Misalkan (g h)(x) = y.
−
+
⇔
Dengan demikian, (h g f) –1(x) = − Agar (h g f) –1(k) = 3 maka
−
= −
− −
2 × (g h)–1(a) = –9
⇔
x x 4y 4y
− −
=k −
⇔
k = −
⇔
k=
x = −
Dengan demikian, (g–1)–1(x) = g(x) = Jadi, rumus fungsi g(x) =
, −
(h g f)(x) = h(g(f(x))) −
= h(g ( ))
52
k=
Cara 2 Dengan pengertian fungsi invers f(x) = y ⇔ f–1(y) = x (h g f)–1(k) = 3 maka (h g f)(3) = k (h g f)(3) = k
b.
⇔
g–1(x) = −
⇔
=3
⇔ 7k – 5 = 3(k – 1) ⇔ 7k – 5 = 3k – 3 ⇔ 4k = 2
−
⇔ 2 × − = –9 ⇔ 10 – 28a = – 27a + 9 ⇔ –a = –1 ⇔ a=1 Jadi, nilai a adalah 1.
Misal y = − ⇔ (x – 4)y = ⇔ xy – 4y = ⇔ xy – x = ⇔ x(y – 1) =
x = −
−
= −
⇔ (g h)–1(x)
−
⇔
−
x
−
Jadi, (h g f)(x) = − , x ≠ 7. Cara 1 Dengan menentukan (h g f)–1(x) dahulu Misal y = − ⇔ y(x – 7) = x – 5 ⇔ xy – 7y = x – 5 ⇔ xy – x = 7y – 5 ⇔ x(y – 1) = 7y – 5
y = + ⇔ 3xy + 14y = x + 5 ⇔ 3xy – x = 5 – 14y ⇔ x(3y – 1) = 5 – 14y
7. a.
− − −
=h
y=
−
Kunci Jawaban dan Pembahasan
−
x ≠ 1.
Jadi, nilai k = . 8. h(x + 1) = 5 + x ⇔ h(x + 1) = 4 + (1 + x) ⇔ h(x) = 4 + x Misalkan y = h(x) y=4+x ⇔ x=y–4 ⇔ h–1(x) = x – 4
(f g h–1)(x) = (f(g h–1))(x) = f(g(h–1(x))) = f(g(x – 4)) = f(2(x – 4) + 1) = f(2x – 7) = 3(2x – 7) = 6x – 21 (f g h–1)(p) = 21 ⇔ 6p – 21 = 21 ⇔ 6p = 42 ⇔ p=7 Jadi, nilai p = 7. 9. a.
⇔ ⇔
x=
b.
(g h)–1(p) =
−
1=
⇔
20 = −
=
– x) – 2)
=
f(
x
−
.
−
⇔
⇔
−
−
Jadi, (g h)–1(x) =
f( (1
x = 2log
⇔ (g h)–1(x) =
(f g h)(x) = f((g h)(x)) = f(g(h(x))) = f(g(1 – x))
–
2log
− −
=0
⇔ p=1 Jadi, nilai p adalah 1.
– 2)
= f(– x – )
= 4(– x – ) = –2x – 6 Misalkan y = (f g h)(x). y = –2x – 6 ⇔ 2x = –y – 6 ⇔
x=
⇔ (f g h)–1(x) =
− − − −
+ + −
x=
g(x) =
= −
–p = 2
2log
2. Jawaban: b
+
– p – 3 = –1
(g h)(x) = g(h(x)) = g(2log x) = 2 · 2log x + 1 Misalkan y = (g h)(x). y ⇔ 2 · 2log x = y – 1 ⇔
+ −
= − +
(f g h)–1(p) = –1
Jadi, daerah asal g(x) adalah {x | x ≠ , x ∈ R}.
⇔ –p = 4 ⇔ p = –4 Jadi, nilai p adalah –4. 10. a.
Jawaban: d
Jadi, (f g h)–1(x) = – x – 3.
⇔
1.
= − + Daerah asal f(x) adalah {x | x ≠ 1, x ≠ –5, x ∈ R}.
⇔
Pilihan ganda
f(x) =
⇔ (f g h)–1(x) = – x – 3
b.
A.
−
3. Jawaban: d (f · g)(x) = f(x) · g(x)
= (x2 + 8x + 15)( + )
= 2 · 2log x + 1
= (x + 5)(x + 3)( + ) =x+3 Jadi, rumus fungsi (f · g)(x) = x + 3.
Matematika Kelas XI Program IPA
53
4. Jawaban: a
7. Jawaban: c (f g)(x) = f(g(x)) = f(2x + 1) = 5 + 2(2x + 1) – (2x + 1)2 = 5 + 4x + 2 – (4x2 + 4x + 1) = 7 + 4x – 4x2 – 4x – 1 = –4x2 + 6 Jadi, rumus fungsi komposisi (f g)(x) = –4x2 + 6.
( )(x) =
=
+ + +
+
= + +
= + Jadi, daerah asal fungsi ( )(x) adalah {x |
x ∈ R}.
5. Jawaban: c Cara 1
g(3x + 2) = + Misal 3x + 2 = t ⇒ x =
−
Dengan demikian,
−
− +
⇔ g(t) = ⇔ g(t) =
9. Jawaban: d (g f)(x) = g(f(x)) = g(x2 + 4x) = –2 +
10. Jawaban: d (g f)(x) = g(f(x))
−
− +
+ −
−
⇔ g(t) =
= g
+
−
⇔ g(t) =
(g f)(2) = g −
−
⇔ g(5) =
=
⇔ g(5) =
Cara 2 +
3x + 2 = 5 ⇒ 3x = 3 ⇔ x=1 Untuk x = 1 g(3(1) + 2) = ⇔ g(5) =
+
Jadi, nilai g(5) =
.
6. Jawaban: a h(x – 1) = (x – 1)2 + 2(x – 1) – 1 = x2 – 2x + 1 + 2x – 2 – 1 = x2 – 2 Jadi, rumus fungsi f(x – 1) = x2 – 2. 54
g −
= g(–3) = (–3)2 + (–3) + 1 =9–2 =7
⇔ g(5) =
g(3x + 2) =
= –2 + = –2 + x + 2 =x Jadi, fungsi komposisi (g f)(x) = x.
+
g(3x + 2) =
x ≠ –7,
8. Jawaban: a (f g)(x) = f(g(x) = f(x2 – 2x – 1) = (x2 – 2x – 1) + 3 = x2 – 2x + 2 Jadi, komposisi (f g)(x) = x2 – 2x + 2.
Kunci Jawaban dan Pembahasan
11. Jawaban: e (f g)(x) = f(g(x)) = f(x + 1) = (x + 1)2 + (x + 1) – 1 = x2 + 2x + 1 + x = x2 + 3x + 1 Jadi, komposisi fungsi (f g)(x) = x2 + 3x + 1. 12. Jawaban: c (f g)(x) = x2 – 3x + 3 ⇔ f(g(x)) = x2 – 3x + 3
⇔ f( x2 – x – 2) = x2 – 3x + 3
⇔ f( x2 – x – 2) = 3( x2 – x – 2) + 9 ⇔ f(x) = 3x + 9 Jadi, rumus fungsi f(x) = 3x + 9.
16. Jawaban: b
13. Jawaban: b (f g)(x) = f(g(x)) =
f +
= 3 + + 1
+
= + + + +
= + (f g)(a) = 7 ⇔
+ +
=7
⇔ 3a + 2 = 7(a + 2) ⇔ 3a + 2 = 7a + 14 ⇔ 4a = –12 ⇔ a = –3 Jadi, nilai a = –3. 14. Jawaban: a f(x + 1) = 2x ⇔ f(x + 1) = 2(x + 1) – 2 ⇔ f(x) = 2x – 2 (f g)(x + 1) = 2x2 + 4x – 2 ⇔ f(g(x + 1)) = 2(x2 + 2x – 1) ⇔ f(g(x + 1)) = 2((x2 + 2x + 1) – 2) ⇔ f(g(x + 1)) = 2((x + 1)2 – 2) ⇔ f(g(x)) = 2(x2 – 2) ⇔ f(g(x)) = 2x2 – 4 ⇔ 2(g(x)) – 2 = 2x2 – 4 ⇔ 2(g(x)) = 2x2 – 2 ⇔ g(x) = x2 – 1 Jadi, g(x) = x2 – 1. 15. Jawaban: c (f g h)(x) = f(g(h(x))) (f g h)(–1) = f(g(h(–1))) = f(g(–(–1))) = f(g(1)) = f(4 – 2(1)) = f(2) = + = =3 Jadi, nilai (f g h)(–1) = 3.
(f g)(x) = f( − ) = 2( − )2 + 9 = 2(3x – 1) + 9 = 6x + 7 ((f g) h)(x) = (f g)(h(x)) = (f g)(4x + 3) = 6(4x + 3) + 7 = 24x + 18 + 7 = 24x + 25 Jadi, ((f g) h)(x) = 24x + 25. 17. Jawaban: b ((g h) j)(x) = (g h)(j(x)) ⇔ ((g h) j)(2) = (g h)(j(2)) = (g h)(j(2)) = (g h)(–2 + 7) = (g h)(5) = g(h(5)) = g(52 + 2 × 5) = g(35) = 5 × 35 – 6 = 175 – 6 = 169 Jadi, ((g h) j)(2) = 169. 18. Jawaban: c (f g h)(p) = f(g h(p)) ⇔ 27 = f(g(h(p)) ⇔ 27 = f(g(3log p)) ⇔ 27 = f(2(3log p) – 1) ⇔ 27 = 3(2 · 3log p – 1)2 ⇔ 9 = (2 · 3log p – 1)2 ⇔ 2 · 3log p – 1 = ±3 Untuk 2 · 3log p – 1 = 3, diperoleh: 2 · 3log p – 1 = 3 ⇔ 2 · 3log p = 4 3log p = 2 ⇔ ⇔ p=9 3 Untuk 2 · log p – 1 = –3, diperoleh: 2 · 3log p – 1 = –3 ⇔ 2 · 3log p = –2 3log p = –1 ⇔ ⇔
p=
Jadi, nilai p yang mungkin adalah atau 9.
Matematika Kelas XI Program IPA
55
19. Jawaban: e f(x) =
+ −
Cara 1 Dengan menentukan f–1(x) dahulu Dengan rumus praktis: Jika f(x) =
+ , +
− +
x ≠ – maka
f–1(x) = − , x ≠ Dengan demikian, f(x) =
21. Jawaban: c Misalkan f(x) = y. y= ⇔ ⇔ ⇔
+ − +
⇔ f(x) = − + maka
⇔
+
(f g)–1(1) = (g–1 f–1)(1) = g–1(f–1(1))
+ −
= –3
= g–1(1)
= + = 2 Jadi, (f g)–1(1) = 2.
−
= − +
−
−
= − + −
= − Misalkan y = (g h)(x). −
−
=3
⇔ a – 1 = 15 ⇔ a = 16
56
= g–1( + )
(g h)(x) = g(h(x)) = g(2x – 5)
20. Jawaban: d Cara 1 Dengan menentukan f–1(x) terlebih dahulu f(x) = 5x + 1 Misal y = 5x + 1 ⇔ 5x = y – 1
−
f–1(x) = + ; x ≠ –2
22. Jawaban: b
⇔ 2x + 1 = –9 + 3x ⇔ –x = –10 ⇔ x = 10 ⇔ f–1(3) = 10 Jadi, f–1(3) = 10.
Dengan demikian, f–1(x) = f–1(a) = 3
x = +
×
Cara 2 Dengan pengertian fungsi invers f(x) = y ⇔ f–1(y) = x f–1(–3) = x maka f(x) = –3 ⇔ f(x) = –3
⇔
−− +
= − = 10
x=
3y – xy = 2x 2x + xy = 3y x(2 + y) = 3y
⇔
f–1(–3) = −− −
⇔
−
− +
f–1(x) = − −
⇔
Cara 2 Dengan pengertian fungsi invers f(x) = y ⇔ f–1(y) = x f–1(a) = 3 maka f(3) = a f(3) = a ⇔ 5(3) + 1 = a ⇔ a = 15 + 1 ⇔ a = 16 Jadi, nilai a = 16.
Kunci Jawaban dan Pembahasan
y = − ⇔ 8xy – 15y = 2x – 5 ⇔ 8xy – 2x = 15y – 5 ⇔ x(8y – 2) = 15y – 5 ⇔
−
x = −
−
⇔ (g h)–1(x) = −
(h–1 g–1)(p) = 2
⇔ (g f)(x) = − +
⇔ (g h)–1(p) = 2 ⇔
− −
⇔ (g f)(x) = −
=2
⇔ 15p – 5 = 16p – 4 ⇔ –1 = p Jadi, nilai p = –1. 23. Jawaban: c Misalkan t = x + 1 ⇒ x = t – 1 h(x + 1) = 3x – 1 ⇔ h(t) = 3(t – 1) – 1 ⇔ h(t) = 3t – 3 – 1 ⇔ h(t) = 3t – 4 ⇔ h(x) = 3x – 4 Misalkan h(x) = y. y = 3x – 4 ⇔ ⇔ (g
x=
+
h–1(x) =
+
h–1)(x)
= g( =
=
+ )
+
+
+
+ ++
+
= +
× +
(g h–1)(4) = +
=
Misal y =
−
⇔ 6xy – 8y = 1 ⇔ 6xy = 8y + 1 ⇔
x=
+
Dengan demikian, (g f)–1(x) =
(g f)–1(x – ) =
(
)+ ( − )
−
=
− + −
=
− −
= f–1( + ) + )2
= 3( +2 = 3(x + 1) + 2 = 3x + 3 + 2 = 3x + 5 Jadi, (g f)–1(x) = 3x + 5. 25. Jawaban: c (g f)(x) = g(f(x)) ⇔ (g f)(x) = g(2x – 3)
⇔ (g f)(x) = − +
,x≠
⇔
x2 =
+
x= ±
+
24. Jawaban: a (g f)–1(x) = (f–1 g–1)(x) = f–1(g–1(x))
x ≠ 0.
26. Jawaban: a (f g)(x) = 2x2 – 8x + 4 ⇔ f(g(x)) = 2x2 – 8x + 4 ⇔ f(x – 2) = 2x2 – 8x + 4 ⇔ f(x – 2) = 2(x2 – 4x + 4) – 4 ⇔ f(x – 2) = 2(x – 2)2 – 4 ⇔ f(x) = 2x2 – 4 Misal y = 2x2 – 4 ⇔ 2x2 = y + 4
⇔
Jadi, (g h–1)(4 ) = .
+ ,
Jadi, rumus fungsi f–1(x) = ±
+
.
27. Jawaban: a g(x) = ⇔ ⇔ ⇔
+
y=
+
3y = 2x + 1 2x = 3y – 1 x=
−
⇔ g–1(x) =
−
⇔
(f g h)–1(–2) = (h–1 g–1 f–1)(–2) = h–1(g f–1)(–2) = h–1(g–1(f–1(–2))) = h–1(g–1(4 × (–2) + 5)) = h–1(g–1(–3))
Matematika Kelas XI Program IPA
57
= h–1(
× − − )
Diperoleh (h g f)–1(1 – x) =
= h–1(–5) = –5 – 6 = –11 Jadi, (f g h)–1(–2) = –11. 28. Jawaban: e f(x) = 2x – 13 ⇔ y = 2x – 13 x=
+
⇔ f–1(x) =
+
⇔
(g h)–1(x) = (h–1 g–1)(x) +
= h–1( ) +
= 5( ) + 7 = x + 11 (f (g h))–1(3) = ((g h)–1 f –1)(3) = (g h)–1(f–1(3)) = (g h)–1(
+
)
= (g h)–1(8) = 8 + 11 = 19 29. Jawaban: b (h g f)(x) = h(g(f(x)))
= h(g( + )) = h(
) +
= + – 1 =
− − +
f–1(x) =
,x≠ − −
(h g f)(x) = + maka
58
⇔
=
− −
−
x=
−
Dengan demikian, (f g h)–1(x) = (f g h)–1(k) = 2 ⇔
−
=2
⇔ 1–k=4 ⇔ k = –3 Cara 2 Dengan pengertian fungsi invers f(x) = y ⇔ f–1(y) = x (f g h)–1(k) = 2 maka (f g h)(2) = k (f g h)(2) = k ⇔ 1 – 2(2) = k ⇔ k=1–4 ⇔ k = –3 Jadi, nilai k adalah –3.
f(x) =
−
− − +
Kunci Jawaban dan Pembahasan
. Daerah asal f(x) adalah {x | x ≠ 4,
x ∈ R}. g(x) =
+ + +
=
+ + +
Dengan demikian,
(h g f)–1(x) =
− + − −
30. Jawaban: c (f g h)(x) = f(g(h(x))) = f(g(x – 4)) = f((x – 4) + 6) = f(x + 2) = 5 – 2(x + 2) = 5 – 2x – 4 = 1 – 2x Cara 1 Dengan menentukan (f g h)–1(x) terlebih dahulu Misal y = 1 – 2x ⇔ 2x = 1 – y
1. a.
Jika f(x) = + , x ≠ – maka − + −
=
B. Uraian
− −
= + Dengan rumus praktis: +
− − − − +
= + Daerah asal g(x) adalah {x | x ≠ –6, x ∈ R}
b.
h(x) = g(x) – f(x) (f g)(
=
− − + + −
=
=
− − − + −
=
=
− − − − +
Jadi, rumus fungsi h(x) =
− − − − +
− −
b.
− −
(g f) = {(3, 5), (4, 6), (5, 3), (6, 4)} (f g)(x) = f(g(x)) = f(–x – 2) = 3(–x – 2)2 + 1 = 3(x2 + 4x + 4) + 1 = 3x2 + 12x + 12 + 1 = 3x2 + 12x + 13 Jadi, rumus fungsi (f g)(x) = 3x2 + 12x + 13. (g h)(–5) = g(h(–5))
= g(3) = –3 – 2 = –5 Jadi, nilai (g h)(–5) = –5. (f g)(x) = f(g(x)) = f(4 – x) =
− − −
=
− −
−
(g f)(x) = g(f(x)) = g( ) = 4 –
⇔
− −
⇔
−
=3
=4–3
= ⇔ k = 2k – 2 ⇔ k=2 Jadi, nilai k = 2. 5. a.
b.
= g( )
−
= −
dan
f g = {(3, 4), (4, 3), (5, 6), (6, 5)}
4. a.
−
⇔ 4–
− −
) − ) −
−
(g f)(k) = 3
= g( − + )
Jadi, (f g)( – 1) = − , x ≠ .
2. a.
b.
daerah asalnya {x | x ≠ –6, x ≠ 4, x ∈ R}.
3. a.
( −( −
– 1) =
=
–
−
+
b.
h(x – 1) = 2x – 5 ⇔ h(x – 1) = 2(x – 1) – 5 + 2 ⇔h(x – 1) = 2(x – 1) – 3 ⇔ h(x) = 2x – 3 (g h)(x) = g(h(x)) = g(2x – 3) = 4(2x – 3) + 3 = 8x – 12 + 3 = 8x – 9 (g f)(p) = g(f(p)) = g(p2 + 1) = 4(p2 + 1) + 3 = 4p2 + 7 (f h)(p) = f(h(p)) = f(2p – 3) = (2p – 3)2 + 1 = 4p2 – 12p + 9 + 1 = 4p2 – 12p + 10 (g f)(p) = (f h)(p) ⇔ 4p2 + 7= 4p2 – 12p + 10 ⇔ 12p =3 ⇔
p
=
Jadi, nilai p = .
Matematika Kelas XI Program IPA
59
6. a.
(f g–1)(9) = 4(3log 9 – 1) – 3 = 4(3log 32 – 1) – 3 = 4(2 – 1) – 3 = 4 – 3 = 1 (terbukti) Jadi, terbukti bahwa (f g–1)(9) = 1.
f(x) = 7x + 6 ⇔ y = 7x + 6 ⇔ 7x = y – 6 x=
−
⇔ f–1(x) =
−
⇔
8. a.
Daerah asal f –1(x) adalah {x|x ∈ R}. g(x) = ⇔
y=
+
⇔ xy + 2y = 2x ⇔ 2x – xy = 2y ⇔ x(2 – y) = 2y ⇔
x=
⇔ f(5x + 3) =
− −
−
f(t) =
(f g)–1(x) = (g–1 f–1)(x) = g–1(f –1(x))
−
−
⇔ f(t) =
− − −
⇔ f(t) =
−
⇔ f(x) =
−
=
Misal y =
− − − − − +
b.
(g f)(x) = g(f(x))
−
Daerah asal (f g)–1(x) adalah {x|x ≠ 20, x ∈ R}. 7. Bukti: g(x) = 32x + 1 Misal y = 32x+ 1 log y = log 32x + 1 ⇔ log y = (2x + 1) log 3
x=
⇔ ⇔
−
⇔
Dengan demikian, g–1(x) = (f g–1)(x) = f(g–1(x)) − − 8
−
–3
= 4(3log x – 1) – 3
60
−
)
= 5(
−
)+3
=
− +
=
−
Kunci Jawaban dan Pembahasan
−
2y = 11 – 5x 5x = 11 – 2y x=
−
Jadi, (g f)–1(x) = 9. a.
= f =
= g(
Misal y =
⇔ 2x + 1= 3log y ⇔ 2x = 3log y – 1 ⇔
−
⇔ 2y = 1 – x ⇔ x = 1 – 2y Jadi, f–1(x) = 1 – 2y.
= −
⇔ 2x + 1=
−
−
= g–1( ) =
−
Diperoleh:
g–1(x) = − Daerah asal g–1(x) adalah {x|x ≠ 2, x ∈ R}. b.
− −
Misal t = 5x + 3 ⇒ x =
⇔
f(g(x)) =
⇔
+
− −
(f g)(x) =
−
(f g)(x) = f(g(x)) = f(x + 3) = 2log (x + 3) Misalkan y = 2log (x + 3) y = 2log (x + 3) ⇔ 2log 2y = 2log (x + 3)
.
b.
10. a.
⇔ 2y =x+3 ⇔ x = 2y – 3 –1 x ⇔(f g) (x) = 2 – 3 h(x) = x – 1 ⇔ y =x–1 ⇔ x=y+1 =x+1 ⇔ h–1(x) –1 (h (f g)) (p) = 13 ⇔((f g)–1 h–1)(p) = 13 ⇔ (f g)–1(h–1(p)) = 13 ⇔ (f g)–1(p + 1) 13 ⇔ 2p + 1 – 3 = 13 = 16 ⇔ 2p + 1 p +1 ⇔ 2 = 24 ⇔ p+1=4 ⇔ p=3 Jadi, nilai p = 3. (g h f)–1(x) = 5 – 5x Misal y = 5 – 5x ⇔ 5x = 5 – y ⇔
−
x=
Dengan demikian, ((g h f)–1)–1(x) = (g h f)(x) = (g h f)(x) =
−
⇔
g(h(f(x))) =
−
⇔
g(h(6 – 3x)) =
−
)=
−
)=
−
⇔
g( − ) =
−
⇔
g( − ) =
−
⇔
g(x) =
⇔ g( ⇔
− +
g(
−
b.
(g f)(x) = g(f(x)) = g(6 – 3x) =
−
=
− +
⇔ ⇔
− + − +
⇔
=n =n
n=
⇔ n=0 Jadi, nilai n = 0.
=
Latihan Ulangan Tengah Semester A.
Pilihan ganda
1.
Jawaban: e (a3 – a + 1)(a – 2)2 = (a3 – a + 1)(a2 – 4a + 4) = a5 – 4a4 + 4a3 – a3 + 4a2 – 4a + a2 – 4a + 4 = a5 – 4a4 + 3a3 + 5a2 – 8a + 4 Jadi, koefisien a2 adalah 5.
2. Jawaban: e f(x) = 2x4 – x3 + 3x2 – 6 f(2) = 2(24) – (23) + 3(22) – 6 = 2(16) – 8 + 3(4) – 6 = 32 – 8 + 12 – 6 = 30 f(1) = 2(14) – (13) + 3(12) – 6 = 2(1) – 1 + 3(1) – 6 = 2 – 1 + 3 – 6 = –2 2f(2) – 4f(1) = 2(30) – 4(–2) = 60 + 8 = 68 Jadi, nilai 2f(2) – 4f(1) = 68. 3. Jawaban: d f(x) = (x – 3)(2x2 – px + 4) ⇔ f(2) = (2 – 3)(2(2)2 – p(2) + 4) ⇔ –8 = (–1)(8 – 2p + 4) ⇔ –8 = (–1)(12 – 2p) ⇔ 8 = 12 – 2p ⇔ 2p = 4 ⇔ p=2 Jadi, nilai p = 2.
Jadi, rumus fungsi g(x) =
−
Dengan pengertian fungsi invers f(x) = y ⇔ f–1(y) = x (g f)–1(n) = 2 maka (g f)(2) = n (g f)(2) = n
.
4. Jawaban: a f(x) = x2 – 2x g(x) = x2 – x + 1 f(x) × g(x) = (x2 – 2x)(x 2 – x + 1) = x4 – x3 + x2 – 2x3 + 2x2 – 2x = x4 – 3x3 + 3x2 – 2x Jadi, hasil f(x) × g(x) = x4 – 3x3 + 3x2 – 2x.
Matematika Kelas XI Program IPA
61
Pembagian 2x4 + 3x3 – 13x2 – mx + 15 oleh (2x – 3) yaitu:
5. Jawaban: d Menggunakan cara Horner –2 1 2 –2 1 –2 0 4 1
0
–2
8 –10
5
–2 = sisa
2
+
2
–3
4
–6
8
–4 = sisa
3
p 6
2 2p + 12
p+6
2p + 14 = S
+
2p + 14 = 2 ⇔ 2p = –12 ⇔ p = –6 Jadi, nilai p yang memenuhi adalah –6. 8. Jawaban: c Dengan cara Horner diperoleh:
–
8
–4
–p
12
–12
24
–36 + p
+ 8
–16
24 – p –24 + p = 0
–24 + p = 0 ⇔
p
= 24
⇔
p = 24 × = 16
Jadi, nilai p = 16. 9. Jawaban: e Pembagian 4x3 – 18x2 + 32x – 24 oleh (2x – 3) yaitu:
4
–18
32
–24
6
–18
21
–12
14
–3
+ 4
62
9
–6
–m–9
6
–4 –m – 6
–
m+6
Jadi, sisa pembagian f(x) adalah –4.
2
3
⇔ – m = –9 ⇔ m =6 Jadi, m = 6.
+
1
15
– m + 6 = –3
1
7. Jawaban: b Cara Horner 1 0 –1 2 2 4
–m
6. Jawaban: a Menggunakan cara Horner 2 –7 11 –8
2
–13
+
Hasil bagi : x3 – 2x + 5 Sisa : –2
3
Kunci Jawaban dan Pembahasan
10. Jawaban: d Pembagian x3 – 9x2 + mx + 69 oleh (x – 3) yaitu: 3 1 –9 m 69 3 –18 3m – 54 + 1 –6 m – 18 3m + 15 = 12 Diperoleh: 3m + 15 = 12 ⇔ 3m = –3 ⇔ m = –1 Pembagian x4 + 2x3 – 2x2 + nx + 26 oleh (x + 2) yaitu: –2 1 2 –2 n 26 –2 0 4 –8 – 2n + 1 0 –2 4 + n 18 – 2n = 12 Diperoleh: 18 – 2n = 12 ⇔ –2n = –6 ⇔ n= 3 Jadi, m + n = –1 + 3 = 2. 11. Jawaban: d f(x) = (x2 – 3x + 2) · H(x) + 0 = (x – 2)(x – 1) · H(x) f(2) = 23 – 4(22) + 2(a) + b ⇔ 0 = 8 – 16 + 2a + b ⇔ 2a + b = 8 . . . (i) f(1) = 13 – 4(12) + 1(a) + b ⇔ 0=1–4+a+b ⇔ a+b=3 . . . (ii) Dari persamaan (i) dan (ii) 2a + b = 8 a+b=3 ––––––––– – a=5
Substitusi a = 5 ke persamaan (ii) a+b=3 ⇔ 5+b=3 ⇔ b = –2 Nilai a – b = 5 – (–2) = 7. Jadi, nilai a – b = 7. 12. Jawaban: a f(x) = (x2 – x – 2) · H(x) + (ax + b) f(x) = (x – 2)(x + 1) · H(x) + (ax + b) f(2) = (2 – 2)(2 + 1) · H(2) + (2a + b) ⇔ f(2) = 0 + 2a + b ⇔ f(2) = 2a + b ⇔ 2a + b = –32 . . . (i) f(–1) = (–1 – 2)(–1 + 1) · H(–1) + (–a + b) ⇔ f(–1) = 0 + (–a + b) ⇔ f(–1) = –a + b ⇔ –a + b = –8 . . . (ii) Dari (i) dan (ii) 2a + b = –32 –a + b = –8 –––––––––– – 3a = –24 ⇔ a = –8 Substitusi a = –8 ke persamaan (ii) –a + b = –8 ⇔ –(–8) + b = –8 ⇔ 8 + b = –8 ⇔ b = –16 Sisa bagi = ax + b = –8x + (–16) = –8x – 16 Jadi, sisa pembagiannya –8x – 16. 13. Jawaban: e f(x) dibagi (x + 5) sisa 6 ⇒ f(–5) = 6 f(x) dibagi (x – 1) sisa –12 ⇒ f(1) = –12 Misalkan f(x) dibagi x2 + 4x – 5 sisa ax + b. f(x) = x2 + 4x – 5 · H(x) + (ax + b) = (x + 5)(x – 1) · H(x) + (ax + b) f(–5) = 6 ⇒ 6 = 0 + –5a + b 6= –5a + b . . . (i) f(1) = –12 ⇒ –12 = a + b . . . (ii) Dari (i) dan (ii) diperoleh: –5a + b = 6 a + b = –12 –––––––––––– – –6a = 18 ⇔ a = –3 ⇔ a + b = –12 ⇔ –3 + b = –12 ⇔ b = –9 Jadi, sisa baginya –3x – 9.
14. Jawaban: d f(x) dibagi (x2 – x) sisa (5x + 1) ⇔ f(0) = 1 ⇔ f(1) = 6 f(x) dibagi (x2 + x) sisa (3x + 1) ⇔ f(0) = 1 ⇔ f(–1) = –2 f(x)= (x2 – 1) · H(x) + (ax + b) ⇔ f(x) = (x – 1)(x + 1) · H(x) + (ax + b) ⇔ f(1) = a + b = 6 . . . (i) ⇔ f(–1) = –a + b = –2 . . . (ii) Dari (i) dan (ii) a+b =6 –a + b = –2 –––––––––– – 2a = 8 ⇔ a =4 Substitusikan a = 4 ke persamaan (i) a+b=6 ⇔ 4+b=6 ⇔ b= 2 Sisa bagi = ax + b = 4x + 2 Jadi, sisa baginya 4x + 2. 15. Jawaban: c f(x) = (x2 – 1)(x – 3) · H(x) + ax2 + bx + c f(x) = (x – 1)(x + 1)(x – 3) · H(x) + ax2 + bx + c f(1) = a + b + c = 24 . . . (i) f(–1) = a – b + c = 8 . . . (ii) f(3) = 9a + 3b + c = 32 . . . (iii) Dari (i) dan (ii) a + b + c = 24 a–b+c=8 ––––––––––– – 2b = 16 ⇔ b=8 Dari (i) dan (iii) a + b + c = 24 9a + 3b + c = 32 ––––––––––––– – –8a – 2b = –8 ⇔ 8a + 2b = 8 . . . (iv) Substitusi b = 8 ke persamaan (iv) 8a + 2b = 8 ⇔ 8a + 16 = 8 ⇔ a = –1 Dari persamaan (i) a + b + c = 24 ⇔ –1 + 8 + c = 24 ⇔ c = 24 – 7 ⇔ c = 17 Sisa bagi = ax2 + bx + c = –x2 + 8x + 17 Jadi, sisa pembagiannya –x2 + 8x + 17.
Matematika Kelas XI Program IPA
63
Substitusi a = 2 ke persamaan (ii) 4(2) + 2b = –2 ⇔ 2b = –2 – 8 ⇔ b = –5 Jadi, a – b = 2 – (–5) = 7.
16. Jawaban: c p(x) dibagi (x – 2) bersisa 4 ⇒ p(2) = 4
p(x) dibagi (2x + 3) bersisa –1 ⇒ p(– ) = –1
f(x) dibagi (x – 2) bersisa 1 ⇒ f(2) = 1
f(x) dibagi (2x + 3) bersisa 3 ⇒ f(– ) = 3 Misalkan h(x) dibagi (x – 2)(2x + 3) bersisa ax + b, diperoleh: h(2) = p(2) · f(2) = 4 ⇒ 2a + b = 4
h(– ) = p(– ) · f(– ) = –3 ⇒ – a + b = –3 2a + b = 4
– a + b = –3 ––––––––––– –
⇔
4
a=7 a=7×
=2
2×2+b =4 b=0 Jadi, sisa baginya 2x. 17. Jawaban: e Salah satu faktor 2x3 – 5x2 – px + 3 adalah (x + 1). –1 2 –5 –p 3 –2 7 p–7 + 2 –7 –p + 7 p – 4 = 0 p–4=0⇔p=4 2x3 – 5x2 – 4x + 3= (x + 1)(2x2 – 7x + 3) = (x + 1)(2x – 1)(x – 3) Jadi, faktor linear yang lain (2x – 1) dan (x – 3). 18. Jawaban: a f(x) = (x2 + x – 6) · H(x) + 0 = (x + 3)(x – 2) · H(x) (x + 3) faktor dari f(x) –3 1 a b –6 –3 9 – 3a 9a – 3b – 27 1 (a – 3) (9 – 3a + b) 9a – 3b – 33 = 0
a + 2 2a + b + 4 4a + 2b + 2 = 0
Diperoleh 4a + 2b = –2 . . . (ii) Eliminasi b dari (i) dan (ii): 9a – 3b = 33 × 2 ⇔ 18a – 6b = 66 4a + 2b = –2 × 3 ⇔ 12a + 6b = –6 ––––––––––– + 30a = 60 ⇔ a=2
64
Kunci Jawaban dan Pembahasan
–6
0
–4
–3
0
Hasil bagi f(x) oleh (x – 1)(x + 2) adalah 4x2 – 4x – 3. 4x2 – 4x – 3 = 0 ⇔ (2x – 3)(2x + 1) = 0 ⇔
x=
atau x = –
Jadi, banyak akar rasional bulat f(x) ada 2. 20. Jawaban: d Misal sin x = a 2a3 + a2 – 2a – 1 = 0 2 1 –2 –1 1 2 3 1
–1
⇔ +
–11
4
2
Diperoleh 9a – 3b = 33 . . . (i) (x – 2) faktor dari f(x) 2 1 a b –6 2 2a + 4 4a + 2b + 8
4
Hasil bagi f(x) oleh (x – 1) adalah 4x3 + 4x2 – 11x – 6. f(–2) = 4(–2)3 + 4(–2)2 – 11(–2) – 6 = –32 + 16 + 22 – 6 =0 Oleh karena f(–2) = 0, maka (x + 2) faktor dari f(x). 4 4 –11 –6 –2 –8 8 6
2 +
1
19. Jawaban: c Jika (x – a) faktor 4x4 – 15x2 + 15x + 6 = 0, nilai a yang mungkin adalah faktor bulat dari 6, yaitu ±1, ±2, ±3, atau ±6. f(1) = 4(14) – 15(12) + 5(1) + 6 = 0 Oleh karena f(1) = 0, maka (x – 1) faktor dari f(x). 4 0 –15 5 6 1 4 4 –11 –6
3
1
–2
–1
1
0
0
2a3 + a2 – 2a – 1 = 0 (a – 1)(a + 1)(2a + 1) = 0
⇔ a = 1 atau a = –1 ∨ a = – sin x = a ⇔ sin x = 1 ⇔ sin x = sin 90° ⇔ x = 90° sin x = –1 ⇔ sin x = sin 270° ⇔ x = 270°
sin x = –
⇔ sin x = sin 210° ⇔ x = 210° atau 330° Jadi, himpunan penyelesaiannya {90°, 210°, 270°, 330°}. − +
harus terdefinisi
−
− + −
Syarat terdefinisi yaitu ⇔
− + −
⇔
− − −
≥0
≥ 0, x ≠ 1 ≥0
Pembuat nol fungsi x = 2, x = 3, atau x = 1 – 1
+ 2
– 3
Nilai x yang memenuhi: x < 1 atau 2 ≤ x ≤ 3 Jadi, daerah asal fungsi f(x) adalah {x | x < 1 atau 2 ≤ x ≤ 3, x ∈ R}. 22. Jawaban: a 3x + 2, untuk 0 ≤ x ≤ 1 f(x) = x2 – 6, untuk x yang lain f(0) = 3(0) + 2 = 2 f(2) = 22 – 6 = –2
= 2( − )2 – 3 (f g)(3) = 2( − )2 – 3
+
= f( − )
21. Jawaban: c f(x) =
25. Jawaban: c (f g)(x) = f(g(x))
f( ) = 3( ) + 2 = 3 f(–3) = (–3)2 – 6 = 3
Nilai f(0) f(2) – f( ) f(–3) = 2(–2) – 3(3) = –4 – 9 = –13
Jadi, nilai f(0) f(2) – f( ) f(–3) = –13. 23. Jawaban: b f(x) = x2 – 2x + 3 f(2x – 1) = (2x – 1)2 – 2(2x – 1) + 3 = 4x2 – 4x + 1 – 4x + 2 + 3 = 4x2 – 8x + 6 Jadi, f(2x – 1) = 4x2 – 8x + 6. 24. Jawaban: e (g f)(x) = g(f(x)) = g(3x2 + 1) = 2(3x2 + 1) + 5 = 6x2 + 2 + 5 = 6x2 + 7 Jadi, (g f)(x) = 6x2 + 7.
= 2( − )2 – 3 = 2(81) – 3 = 162 – 3 = 159 Jadi, nilai (f g)(3) = 159. 26. Jawaban: c (f g)(x) = f(g(x)) = f(3x + 4) = 4(3x + 4) – 1 = 12x + 15 (f g)(p) = 51 ⇔ 12p + 15 = 51 ⇔ 12p = 36 ⇔ p=3 Jadi, nilai p = 3. 27. Jawaban: c f(x) = 2x + p g(x) = 3x – 6 (f g)(x) = f(g(x)) = f(3x – 6) = 2(3x – 6) + p = 6x – 12 + p (g f)(x) = g(f(x)) = g(2x + p) = 3(2x + p) – 6 = 6x + 3p – 6 (f g)(x) = (f g)(x) ⇔ 6x – 12 + p = 6x + 3p – 6 ⇔ –12 + p = 3p – 6 ⇔ p – 3p = –6 + 12 ⇔ –2p = 6 ⇔ p = –3 Jadi, nilai p = –3. 28. Jawaban: d (h g f)(x) = h(g(f(x))) = h(g(2x2)) = h(2x2 + 9) = 3(2x2 + 9) = 6x2 + 27 (h g f)(x – 1) = 6(x – 1)2 + 27 = 6(x2 – 2x + 1) + 27 = 6x2 – 12x + 33 Jadi, fungsi (h g f)(x – 1) = 6x2 – 12x + 33.
Matematika Kelas XI Program IPA
65
29. Jawaban: c Diketahui f(x) = 3x – 2 (f g)(x)= 6x + 1 ⇔ f(g(x)) = 6x + 1 ⇔ 3 · g(x) – 2 = 6x + 1 ⇔ 3(g(x)) = 6x + 3 ⇔
g(x) =
+
= 2x + 1
Jadi, rumus fungsi g(x) = 2x + 1. 30. Jawaban: d g(x) = x – 1 (f g)(x) = 2x2 – 4x + 3 ⇔ f(g(x)) = 2x2 – 4x + 3 ⇔ f(x – 1) = 2x2 – 4x + 3 ⇔ f(x – 1) = 2(x2 – 2x + 1) + 1 ⇔ f(x – 1) = 2(x – 1)2 + 1 ⇔ f(x) = 2x2 + 1 ⇔ f(x + 1) = 2x2 + 1 = 2(x + 1)2 + 1 = 2(x2 + 2x + 1) + 1 = 2x2 + 4x + 2 + 1 = 2x2 + 4x + 3 Jadi, f(x + 1) = 2x2 + 4x + 3. 31. Jawaban: a (g f)(x) = 5x2 + 15x + 19 ⇔ g(f(x)) = 5x2 + 15x + 19 ⇔ 5 · f(x) + 9 = 5x2 + 15x + 19 ⇔ 5 · f(x) = 5x2 + 15x + 10 ⇔ f(x) = x2 + 3x + 2 f(2) = 22 + 3(2) + 2 = 4 + 6 + 2 = 12 Jadi, nilai f(2) = 12. 32. Jawaban: d f(x) = x – 3 (g f)(x) = (x + 3)2 ⇔ g(f(x)) = x2 + 6x + 9 ⇔ g(x – 3) = x2 + 6x + 9 ⇔ g(x – 3) = x2 – 6x + 9 + 12x ⇔ g(x – 3) = (x – 3)2 + 12x ⇔ g(x – 3) = (x – 3)2 + 12(x – 3) + 36 ⇔ g(x) = x2 + 12x + 36 g(–4) = (–4)2 + 12(–4) + 36 = 16 – 48 + 36 = 4 Jadi, nilai g(–4) = 4. 33. Jawaban: a f(x) = 3x2 – 4 Misal y = 3x2 – 4 ⇔ y + 4 = 3x2 ⇔
66
+
34. Jawaban: d f(x) = x2 – 6x + 5 Misal y = x2 – 6x + 5 ⇔ y = x2 – 6x + 9 – 4 ⇔ y = (x – 3)2 – 4 ⇔ (x – 3)2 = y + 4
+
⇔
x–3=
⇔
x=
+ +3
⇔
f–1(x) =
+ +3
f–1(5) = + 3 = ±3 + 3 = 0 atau 6 Jadi, nilai f–1(5) = 0 atau 6. 35. Jawaban: d −
f(x) = + −
Misal y = + Diperoleh: y(2x + 1) = 5x – 3 ⇔ 2xy + y = 5x – 3 ⇔ 2xy – 5x = –y – 3 ⇔ x(2y – 5) = –y – 3 − −
⇔
x = − − −
36. Jawaban: d +
f(x) = −
+
Misal y = − ⇔
+
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
y= − y(x – 3) = 2x + 1 xy – 3y = 2x + 1 xy – 2x = 3y + 1 x(y – 2) = 3y + 1
⇔
x=
⇔
x=
⇔
f–1(x) =
+
Jadi, f–1(x) =
+
+ −
− +
⇔ f–1(x – 2) = − −
= x2 +
Jadi, f–1(x) = − , x ≠ .
− + −
=
= −
−
, x ≥ –4.
Kunci Jawaban dan Pembahasan
−
Jadi, f–1(x – 2) = − , x ≠ 4.
a = (g–1 f–1)(8) = g–1(f–1(8))
37. Jawaban: e (f g)(x) = f(g(x))
= g–1( ) = g–1(2)
= f(2x – 1) − +
= − − +
= −
=2 Nilai (f–1 g–1)(10a) = f–1(g–1(20))
+
Misal y = − ⇔ 2xy – 7y = 2x + 3 ⇔ 2xy – 2x = 7y + 3 ⇔ x(2y – 2) = 7y + 3 ⇔
= f–1(
+
Jadi, (f g)–1(x) = − , x ≠ 1. 38. Jawaban: b h–1(x) = 2x + 11 Misal y = 2x + 11 ⇔ 2x = 11 – y ⇔
x=
= =2 Jadi, nilai (f–1 g–1)(10a) = 2. B. Uraian 1. a.
−
Diperoleh h(x) =
+ )
= f–1(8)
+ −
x=
+
=
x3 – 3x2 + x – 3 dibagi (x + 1) 1 –3 1 –3 –1 –1 4 –5 1
−
b.
− +
=
)
x =
)–1
−
.
39. Jawaban: c (f g h)–1(x) = (h–1 g–1 f–1)(x) = (h–1 g–1)(f–1(x)) = (h–1 g–1)(x) = h–1(g–1(x)) = h–1(2x) = 3(2x) = 6x 40. Jawaban: b f(x) = x3 ⇒ f–1(x) =
g(x) = 3x – 4 ⇒ g–1 =
2
4
5
9
20 = S1
–2
–2
–3
2
3
6 = S2
Jadi, hasil baginya adalah 2x2 + 2x + 3.
−
Jadi, (g h f)–1(x) =
2 –1
= 4 – 4x – 1 = 3 – 4x Misal y = 3 – 4x ⇔ 4x = 3 – y ⇔
–8 = S
2x4 – 3x2 – x + 2 dibagi (x2 – x – 2) 2 0 –3 –1 2 2 4 8 10 18
= g
− 2(
5
Jadi, hasil baginya x2 – 4x + 5.
(g h f)(x) = g((h f)(x)) = g(h(f(x))) = g(h(4x + 7))
− = g(
–4
2. f(x) habis dibagi oleh (x + 2), berarti f(–2) = 0. (–2)3 – (a – 1)(–2)2 + b(–2) + 2a = 0 ⇔ –8 – (a – 1)4 – 2b + 2a= 0 ⇔ –8 – 4a + 4 – 2b + 2a = 0 ⇔ –2a – 2b = 4 . . . (i) f(x) dibagi (x – 2) sisanya –4, berarti f(2) = –4. 23 – (a – 1)22 + 2b + 2a = –4 ⇔ 8 – (a – 1)4 + 2b + 2a= –4 ⇔ 8 – 4a + 4 + 2b + 2a = –4 ⇔ –2a + 2b = –16 . . . (ii) Eliminasi b dari (i) dan (ii) diperoleh: –2a – 2b = 4 –2a + 2b = –16 –––––––––––– + –4a = –12 ⇔ a=3
+
Matematika Kelas XI Program IPA
67
–1
Substitusi a = 3 ke persamaan (i) –2(3) – 2b = 4 ⇔ –2b = 4 + 6
1
⇔
b = − = –5 Jadi, nilai a = 3 dan b = –5.
3.
f(x) = (x2 – x – 6) · H(x) + (ax + b) ⇔ f(x) = (x + 2)(x – 3) · H(x) + (ax + b) ⇔ f(–2) = –2a + b = –11 . . . (i) ⇔ f(3) = 3a + b = 4 . . . (ii) Dari (i) dan (ii) –2a + b = –11 3a + b = 4 ––––––––––– – –5a = –15 ⇔ a=3 Substitusi a = 3 ke persamaan (ii) 3a + b = 4 ⇔ 3(3) + b = 4 ⇔ b = –5 Sisa bagi = ax + b = 3x – 5 Jadi, sisa baginya 3x – 5.
4. (x + 2) dan (x – 4) merupakan faktor dari 2x4 + x3 – 29x2 + ax + b sehingga diperoleh: f(–2) = 0 dan f(4) = 0. f(–2) = 0 ⇒ 2 × (–2)4 + (–2)3 – 29 × (–2)2 – 2a + b = 0 ⇔ 32 – 8 – 116 – 2a + b = 0 ⇔ –92 – 2a + b = 0 . . . . (i) f(4) = 0 ⇒ 2 (4)4 + (4)3 – 29 (4)2 + 4a + b = 0 ⇔ 2 × 256 + 64 – 29 × 16 + 4a + b = 0 ⇔ 512 + 64 – 464 + 4a + b = 0 ⇔ 112 + 4a + b = 0 . . . . (ii) Dari (i) dan (ii) diperoleh: –92 – 2a + b = 0 112 + 4a + b = 0 –––––––––––––– – –204 – 6a = 0 ⇔ a = –34 –92 – 2 × (–34) + b = 0 ⇔ b = 24 2a + b = 2 × (–34) + 24 = –68 + 24 = –44 Jadi, nilai 2a + b = –44. 5. a.
x3 – 2x2 – x + 2 f(1) = 13 – 2(12) – 1 + 2 =1–2–1+2 =0 1 –2 –1 2 1 1 –1 –2 1
68
–1
–2
0
Kunci Jawaban dan Pembahasan
b.
–1
2
–2
0
Jadi, faktor dari x3 – 2x2 – x + 2 adalah (x – 1), (x + 1), dan (x – 2). x4 + x3 – 7x2 – x + 6 f(1) = 14 – 13 – 7(12) – 1 + 6 =1+1–7–1+6 =0 1 1 –7 –1 6 1 1 2 –5 –6 1 –1 1 2 1
2
–5
–6
–1
–1
6
1
–6
0
2
6
3
0
0
Jadi, faktor-faktornya adalah (x – 1), (x + 1), (x – 2), dan (x + 3). 6. f(x) = 2x – 3 g(x) = x2 – 4 a.
(f g)(x) = f(g(x)) = f(x2 – 4) = 2(x2 – 4) – 3 = 2x2 – 8 – 3 = 2x2 – 11
b.
(g f)(x) = g(f(x)) = g(2x – 3) = (2x – 3)2 – 4 = 4x2 – 12x + 9 – 4 = 4x2 – 12x + 5
c.
(f g)(x) = 2x2 – 11 (f g)(3) = 2(32) – 11 = 2(9) – 11 = 18 – 11 =7
d.
(g f)(x) = 4x2 – 12x + 5 (g f)(4) = 4(4)2 – 12(4) + 5 = 4(16) – 48 + 5 = 64 – 48 + 5 = 21
7. f(x) = 5x – 3 a. (f g)(x) = 5x2 – 20x + 2 ⇔ f(g(x)) = 5x2 – 20x + 2 ⇔ 5(g(x)) – 3 = 5x2 – 20x + 2 ⇔ 5(g(x)) = 5x2 – 20x + 5 ⇔ g(x) = x2 – 4x + 1 Jadi, g(x) = x2 – 4x + 1.
b.
8. a.
g(x) = x2 – 4x + 1 ⇔ g(x – 1) = (x – 1)2 – 4(x – 1) + 1 = x2 – 2x + 1 – 4x + 4 + 1 = x2 – 6x + 6 Jadi, g(x – 1) = x2 – 6x + 6.
a.
Jadi, (g f)–1(x) = f(x) = 2x – 7 ⇒
+ +
− +
f(g(x)) = −
− +
−
− +
⇔
+ =
⇔
+ =
⇔
+ =
⇔
+ =
⇔
(g(x))2 + 1 =
− +
⇔
(g(x))2 =
− +
− + − + − + +
− +
+
+ = − g–1(x) =
(g–1 f –1)(x) = g–1(f –1(x)) ⇔
−
Misal y = − ⇔ xy – 2y = 1 ⇔ xy = 2y +1
+
=
Jadi, (g–1
g(x) = −
+− + = + f –1)(x) =
.
⇔
x=
+
⇔
g–1(x) =
+
Jadi, g–1(x) =
+ ,
+
9. f(x) = − +
Misal y= − ⇔ 2xy – y = 5x + 3 ⇔ 2xy – 5x = y + 3 ⇔ x(2y – 5) = y + 3 ⇔
+1
−
= g–1( ) =
− +
.
f–1(x)
g(x) = 3x + 2 ⇒
+
⇔ (g f)–1(x) =
+ (f g)(x) = −
⇔
(g f)(x) = g(f(x)) = g(2x – 7) = 3(2x – 7) + 2 = 6x – 21 + 2 = 6x – 19 Misal y = 6x – 19 ⇔ 6x = y + 19 ⇔ x =
b.
10. f(x) =
g–1(x) =
b. ⇔
g–1(x – 2) =
+
x = −
=
+
⇔ f–1(x) = − (f–1 g)(x) = f–1(g(x)) = f–1(3x + 2)
x ≠ 0.
+ − + − − + − −
= − −
Jadi, g–1(x – 2) = − , x ≠ 2.
+ +
= + − +
= − Jadi, (f–1
+
g)(x) = − , x ≠ .
Matematika Kelas XI Program IPA
69
Bab III
7. Jawaban: b
Limit Fungsi
(f(x) · g(x)) = f(x) · g(x)
→
→
A. 1.
→
(x3
– 2x +
3)(x4
– 3x2 – 1)
Pilihan ganda
= (x3 – 2x + 3) · (x4 + x3 – 3x2 – 1)
Jawaban: b Dari gambar grafik fungsi f(x) terlihat sebagai berikut. 1) Untuk x mendekati 1 dari sebelah kiri, nilai
= (13 – 2 · 1 + 3)(14 + 13 – 3 · 12 – 1) = 2 · (–2) = –4
→
f(x) mendekati 2 atau − f(x) = 2. → −
2)
Untuk x mendekati 1 dari sebelah kanan, nilai f(x) mendekati 2 atau + f(x) = 2. → +
Oleh karena − f(x) = + f(x) = 2 maka nilai → −
→ +
→
f(x) = (2x + 1)
→
→
f(x) mendekati 5 atau − f(x) = 5. → −
2)
Untuk x mendekati 3 dari sebelah kanan, nilai f(x) mendekati 8 atau + f(x) = 8. → +
Oleh karena
f(x) ≠
→ −
→
=2·1+1 =3
→
2. Jawaban: e Dari gambar grafik fungsi f(x) terlihat sebagai berikut. 1) Untuk x mendekati 3 dari sebelah kiri, nilai
→
8. Jawaban: e Menentukan nilai limit f(x) untuk x mendekati 1. Oleh karena 1 < 3 maka fungsi yang digunakan f(x) = 2x + 1.
f(x) = 2.
9. Jawaban: a Dengan substitusi langsung: −
→
=
−
→
Berdasarkan sifat x = a maka x = –3. → −
4. Jawaban: c
⋅ −
=
−
=–
(kx – 2) = 5k – 2
→
10. Jawaban: d Dengan substitusi langsung:
5. Jawaban: d f(x) = 2 dan g(x) = –1
→
→
–
g2(x))
=
→
f2(x)
–
= (
f(x))2
= =4–1 =3
(–1)2
→ (2)2 –
→
g2(x)
– ( g(x))2 →
− −
→ −
=
− −
− ⋅
=
− −
→ −
=
+ − −
=
→
+
+
=1
→
=
(x2 – 5)3 = ( x2 – 5)3
→ −
= ((–3)2 – 5)3 = (4)3 = 64
Kunci Jawaban dan Pembahasan
(tak tentu)
Dengan memfaktorkan:
6. Jawaban: d → −
−
=
3. Jawaban: a
(f2(x)
(tak tentu)
−
→
→
tidak ada.
→
=
= =
maka dikatakan
→ +
→
⋅ − ⋅
⋅
Dengan memfaktorkan:
→
70
+
→
x3
− −
→ −
Jadi,
= 1 .
11. Jawaban: b Dengan substitusi langsung:
− → −
− − −
→
=
−
−
−
−
=
= ∞ – ∞ (tak tentu)
Dengan memfaktorkan:
− −
→ −
=
⋅
→ −
− −
− → −
= =
→ −−
=
Dengan memfaktorkan: Dengan metode Horner diperoleh: (x10 – 1) = (x – 1)(x9 + x8 + x7 + x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1) − → −
− + + + + + + + + + − →
=
15. Jawaban: b Dengan substitusi langsung:
12. Jawaban: b Dengan substitusi langsung:
−
−
−
− − −
−
→ −
→ + −
−
→ −
− → − −
→
− −
= =
−
=
− → −
=
− + −
=
(tak tentu)
Dengan memfaktorkan: + → −
− −
=
−
=
(tak tentu)
− → −
=
·
+
+
−
→ −
13. Jawaban: d Dengan substitusi langsung: + → −
=
=
–
− −
Dengan mengalikan bentuk sekawan:
→ −
−
→
16. Jawaban: a Dengan substitusi langsung:
→ −
=
=
+
+
=
=
→ + − →
= − ⋅ → + − −
=
(tak tentu)
−
= =
−
−
= − =
Dengan memfaktorkan:
= ∞ – ∞ (tak tentu)
−
− −
=
Dengan memfaktorkan:
(tak tentu)
→
=
= 19 + 18 + 17 + 16 + 15 + 14 + 13 + 12 + 1 + 1 =1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 = 10
→
=
−
= − =
= (x9 + x8 + x7 + x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1)
− → −
=
14. Jawaban: a Dengan substitusi langsung:
+ − + → −
=
= (x2 – 2x + 4) → −
(–2)2 –
= 2(–2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12
=
− +
→ −
=
− +
→ −
=
− −
→ −
=
−
→
= =
−
− =–
Matematika Kelas XI Program IPA
71
17. Jawaban: e Dengan substitusi langsung: − →
−
=
→ − − +
(tak tentu)
=
− →
− →
=
·
− − +
− +
+ +
= → + + − − +
−
→ +
= + + −
−
→ +
= ⋅
− + →
= – = –
=
−
=
=
→
− +
=
=
20. Jawaban: e Perhatikan:
− +
=
=∞
18. Jawaban: c Dengan substitusi langsung:
⋅ − −
= − −
→
=
(tak tentu)
Dengan mengalikan bentuk sekawan:
→
− ⋅ − − − →
=
+
=
+
−
=
⋅
⇔
⋅
=4
⇔
+
=4
4a = –8 a = –2
f(x) = –L.
=9
− −
→ − −
22. Jawaban: d Dengan substitusi langsung:
=
− − − × −
=
− −
(tak tentu)
− −
→ − −
→∞
+ − + −
=
→∞
− −
→ − − +
−
Kunci Jawaban dan Pembahasan
(tak tentu)
+ ← Variabel berpangkat tertingginya x3.
→ ∞ −
= ·
= ∞
Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi:
→ − −
=
∞
+
→ ∞ −
Dengan mengalikan bentuk sekawan:
72
=4
→∞
=
+
→
21. Jawaban: b Untuk nilai x yang semakin membesar tanpa batas, nilai f(x) mendekati –L. Dapat dituliskan
19. Jawaban: a Dengan substitusi langsung:
+
Jadi, nilai a = –2.
→
−
=
⇔ ⇔
−
→
=
·
= 4 ⇔
− − − →
=
+
+
=
= =
−
= − + + − →
Dengan memfaktorkan:
−
=
=
+
−
+
−
+
−
= =2
23. Jawaban: d Dengan substitusi langsung: ∞
+
→ ∞ +
= ∞
26. Jawaban: b Dengan substitusi langsung:
(tak tentu)
→∞
Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi:
→∞
=
+
=
→∞
=
→ ∞ +
=
=
− + −
+
−
+
=
∞
= ∞
(tak tentu)
+ − +
=
+
=
+
→∞
→ ∞ +
−
+
−
∞
= ∞
+
−
=
=
→∞ +
=0 =
+ −
= =1
− ) ·
=
− + −
− +
→ ∞ − +
⋅ +
= =∞
−
→ ∞ −
→∞
−
Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi:
=
→∞
− + −
− + − −
=
→∞
− + −
− + −
−
=
+
− + −
→∞
→∞
−
− ) = ∞ – ∞ (tak tentu)
→∞
⋅
27. Jawaban: c Dengan substitusi langsung:
→ ∞ + +
+
+ − +
→∞
=
(tak tentu)
=
=
((x – 2) –
=
Dengan mengalikan bentuk sekawan:
Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi: → ∞ +
((x – 2) –
25. Jawaban: a Dengan substitusi langsung:
→∞
→∞
→ ∞
Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi: →∞
+ − +
→∞
→∞
=
24. Jawaban: c Dengan substitusi langsung:
+ −
→∞
Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi:
=
=
+
+ −
−
− −
→∞
→ ∞ + +
−
← Variabel berpangkat tertingginya x2. → ∞ + +
− )
–
+ −
= =
(
+ −
·
+ − → ∞ + +
− ) = ∞ – ∞ (tak tentu)
–
Dengan mengalikan bentuk sekawan:
+
→ ∞ +
(
=
−
−
− − −
=
−
−
= –2
Matematika Kelas XI Program IPA
73
28. Jawaban: a Dengan substitusi langsung: ( + –
− ) = ∞ – ∞ (tak tentu)
→∞
Dengan mengalikan bentuk sekawan: + + – +
→∞
·
Dengan mengalikan bentuk sekawan: + + − + + −
−) ·
( + –
→∞
+ − −
+ + − →∞ + − − →∞ + + −
+ + + + + + + +
=
→∞
+ + − + + + + + + + + − + + + + +
=
=
=
Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi:
=
→∞
+
=
→∞
→∞ + + −
+
=
→∞
Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi: →∞
+
→∞
−
→∞
=
+ −
+ −
=
=
=0
29. Jawaban: b Dengan substitusi langsung: ∞
→ ∞ − −
= ∞
→ ∞ − −
+
→ ∞ +
=
+
−
+
−
+ + − −
=
−
−
+
+ +
+ + +
=
=1
Berdasarkan kecenderungan grafik pada gambar, terlihat untuk x yang semakin membesar tanpa batas (x → ∞), grafik berupa garis lurus y = 3. Jadi, f(x) = 3.
c.
Berdasarkan grafik diperoleh
→ −∞
→∞
f(x) = 6 dan
=
→ − −
→∞
= ∞ – ∞ (tak tentu)
→ −−
f(x) = 6 maka
→ −
f(x) = 6.
→ −
) +
= + + – +
f(x) = 6
→ −
f(x) =
Oleh karena
30. Jawaban: c Dengan substitusi langsung: ( + –
+
b.
→∞
+
+
Berdasarkan kecenderungan grafik pada gambar, terlihat untuk x yang semakin mengecil tanpa batas (x → –∞), grafik semakin naik (f(x) → ∞). Jadi, f(x) = ∞.
+
1. a.
(tak tentu)
=
+
B. Uraian
Membagi dengan variabel pangkat tertinggi:
→∞
+
=
=
=
=
=
+ + + +
d.
Berdasarkan grafik diperoleh f(x) = 4 dan f(x) = 3
→ −
→
Oleh karena − f(x) ≠ f(x) maka f(x) →
tidak ada.
74
Kunci Jawaban dan Pembahasan
→
→
2. a.
Jika x < 0 maka f(x) = –x. Jika x > 0 maka f(x) = 3x. Grafik fungsi f(x): Y
b.
Dengan substitusi langsung:
+ − → −
−
=
y = 3x
6 y = –x
− − → −
3 2
−
=
→ − −
1 X –5 –4 –3 –2 –1 0
1
2
3 4
→ − −
f(x) = f(x) = 0 − +
=
− − − − −
=
−
→
c.
Jadi, f(x) = 0.
−
=
5
Dari grafik terlihat:
→
b.
= –3
Dengan substitusi langsung:
→
Jika x < 2 maka f(x) = 2x – 1. Jika x > 2 maka f(x) = –x + 6.
−
− +
=
→
Y
−
5 4 3 2 1
→
− + − = +
= 1 2 3 4 5 6
=
y = –x + 6
y = 2x – 1
4. a.
→
f(x) = 3 dan f(x) = 4 +
→ −
→
Oleh karena − f(x) ≠ + f(x) maka →
→
Dengan substitusi langsung: =
− − −
→
− − −
→
(tak tentu)
− → −
=
→
= =
=
− −
=
(tak tentu)
·
→
=
+ +
=
+
=
+ +
=
−
→ − + +
=
+ + +
−
= =
− ⋅ −
Dengan mengalikan bentuk sekawan:
Dengan memfaktorkan:
=
→ − + +
→
− − −
→
− −
=
f(x) tidak ada.
=1
Dengan substitusi langsung:
Dari grafik terlihat:
−
→ +
X
(tak tentu)
− +
= =
0 –1
=
Dengan memfaktorkan:
Grafik fungsi f(x):
3. a.
(tak tentu)
=
Dengan memfaktorkan:
5 4
→
− + − − − − −
×
Matematika Kelas XI Program IPA
75
b.
Dengan substitusi langsung: −
→
+−
−
=
+−
b. −
−
=
=
→ ∞ + −
(tak tentu)
Dengan mengalikan bentuk sekawan: −
→
+ −
→∞ + −
− + + + − →
=
− + + − →
=
=
→∞
=
− + + − + →
=
→
c.
c.
+
+
=
=
=
=
=
−
− −
=
+
+
·
·
+
→ ∞ −
+
→ ∞ −
− +
− +
5. a.
6. a.
=
=
∞ (tak tentu) ∞
→ ∞ +
=
− +
=
− )
(2x – 1 –
·
=
− ) = ∞ – ∞ (tak tentu)
→∞
Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi: − + →∞
Dengan mengalikan bentuk sekawan:
− + + −
− + + −
=
→∞
Dengan substitusi langsung: =
= =0
Dengan substitusi langsung:
− +
+
+
+ +
(2x – 1 –
− − + → − +
− → ∞ +
76
=
→∞
→ +
=
∞ (tak tentu) ∞
=
− − + → − − +
− +
+
=
+
→ ∞ −
(tak tentu)
− + − + → − − − + +
=
Dengan substitusi langsung:
=
−
−
= =
=∞
Dengan memfaktorkan: →
=
Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi: =2
−
− −
−
− −
+ −
+
→ ∞ −
Dengan substitusi langsung: →
+ −
+ +
+
+ +
+
=
← Variabel berpangkat tertingginya x3.
+ +
=
∞ (tak tentu) ∞
=
Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi:
+ +
·
Dengan substitusi langsung:
=
→∞
Kunci Jawaban dan Pembahasan
− + + −
− + − − +
− + + −
− +
=
→ ∞ − +
−
=5
− − + −
=
→∞ −
=
+ −
− +
+ +
− +
− + + −
−
−
+
=
=
+ + −
→
Dengan substitusi langsung: ( − ) – 3x – 1) = ∞ – ∞ (tak tentu)
→∞
Dengan mengalikan bentuk sekawan:
= ( − ) – (3x + 1)) =
− + + − + +
= –24
→
→
(
)
− →
=
− − +
→ ∞ − + +
=
− −
=
− −
− + +
Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi: −
− + +
8.
→
− −
⋅ ⋅ −
− + +
→
⋅ →
− − − −
→∞
−
→
=
=
=
−
→∞
→∞
+ + −
→∞
=
=
− →
= ( − ) – (3x + 1))
·
− + + − −
→
=– b.
=
−
= − =
( – x) = 7
→∞
−
=
→∞
=
− −
→∞
=
7. f(x) =
− − − ++
=
⇔
− +
=–
= –3
− −
−
→∞
⇔
→∞
⇔
− −
− →
+ + −
+ + +
+
·
+ + +
→∞
+ +
=
+ − → + −
=
+ → +
=
+
+
=
+
−
− +
− → − +
− → − +
=
=7
=7 +
+ + + +
=7
⇔
=7
a=7 f(x) = x2 + 3x – 5 f(2) = 22 + 3 · 2 – 5 = 5
→
·
+ +
+ +
− + + − + →
=
=7
⇔
9. a.
g(x) =
→
=7
Jadi, nilai a = 7.
g(x) =
⇔
f(x) =
→
+ + +
→∞
− + +
+ + +
⇔ ( – x) ·
=
→
+ − − −
+ − −
→
=
+ − −
→
=
Matematika Kelas XI Program IPA
77
= (x + 5) →
b.
= 2+5 =7 2 f(x) = x + 3x – 5 f(x + h) = (x + h)2 + 3(x + h) – 5 = x2 + 2hx + h2 + 3x + 3h – 5 f(x + h) – f(x) = (x2 + 2hx + h2 + 3x + 3h – 5) – (x2 + 3x – 5) = 2hx + h2 + 3h = h(2x + h + 3) + →
A.
Pilihan ganda
1.
Jawaban: d Dengan substitusi langsung:
2 sin x cos2x
→
π
= 2 · sin x · ( cos x)2 →
+ + →
=
= (2x + h + 3)
10. a.
Hari pertama pekerja bekerja maka h = 1. = ⋅ = = 60 kaos
⋅ + Jadi, diharapkan setiap pekerja baru dapat menghasilkan 60 kaos pada hari pertama ia bekerja. → +
b.
30 hari setelah pekerja bekerja maka h = 30. → +
=
⋅
⋅ +
c.
Puluhan tahun setelah pekerja bekerja maka h = ∞. → ∞ +
=
→∞
=
+
→∞ +
=
+
= 150 Jadi, diharapkan pekerja dapat menghasilkan 150 kaos per hari setelah bekerja puluhan tahun.
π
→
π
2. Jawaban: d Dengan substitusi langsung: −
→
π
π
=
π
=
π
−
Kunci Jawaban dan Pembahasan
=
−
(tak tentu)
Dengan mengubah fungsi trigonometri: −
→
π
=
− −
=
+ − −
→
→
π π
= (cos x + sin x) →
π
π
π
= cos + sin = + = 3. Jawaban: d Dengan substitusi langsung:
→
=
⋅
=
(tak tentu)
Dengan mengubah fungsi trigonometri: →
= · cos 2x → →
= · cos 0 → =1·1=1
78
π
π
· ( )2 =
=2·
= 142,857 ≈ 142 kaos Jadi, diharapkan pekerja menghasilkan 142 kaos per hari setelah bekerja 30 hari.
→
= 2 · sin · (cos )2
→
= 2x + 0 + 3 = 2x + 3
π
4. Jawaban: b Dengan substitusi langsung:
→
− → −
=
−
= − =
− → −
− → −
=
·
→
− −
→
→
→ ⋅ →
−
→ →
− ⋅
−
=
→
=
·
→
=
·1–
→
⋅ −
−
→
= ⋅ − ⋅ = = – 5. Jawaban: d Dengan substitusi langsung:
⋅
=
→ −
⋅ ⋅
= − =
(tak tentu)
→
→
·
·
= 2 · →
→
= 2 · →
= ·
→
·
−
=
→
− −
−
= − =
→
·
· 3 →
→
− −
=
→
=
−
= =
=
− →
=
− − →
→
·
·
·
→
9. Jawaban: b Dengan substitusi langsung:
=
·
→
→
= (–4 ·
− − − −
→
− ⋅
−
(tak tentu)
=
=
→
Dengan mengubah fungsi trigonometri:
·3
Dengan mengubah fungsi trigonometri:
=
− −
6. Jawaban: e Dengan substitusi langsung:
– 10 ·
·
·1
=2·1·1·1·3=6
→
→
–
= =
→ −
=
·
8. Jawaban: c Dengan substitusi langsung:
Dengan mengubah fungsi trigonometri:
=
→
⋅
(tak tentu)
−
→
→ ⋅
→
−
=
=
=
−
=
⋅ ⋅
=
Dengan mengubah fungsi trigonometri:
=
→
·
7. Jawaban: c Dengan substitusi langsung:
(tak tentu)
Dengan mengubah fungsi trigonometri:
→
·
= –4 · 1 · 1 · 1 = –4
− −
→ −
→
= (–4) ·
·
·
·
→
=
=
(tak tentu)
)
Matematika Kelas XI Program IPA
79
Dengan mengubah fungsi trigonometri: →
− = →
→
→
= cos 2x · = cos 2x ·
→
→
→
=
π
π
⋅ π
·
=
→
− −
=
=
→
π
→
π
=
13. Jawaban: d Dengan substitusi langsung:
−
→
= =
− −
− − = (tak tentu)
→
π
π
=
=
− −
=
− −
=
π
→
π
→
Dengan mengubah fungsi trigonometri: − −
→ − =
→
−
→
→
=
80
−
−
11. Jawaban: d Dengan substitusi langsung: − −
→
π
π
=
−
=
(tak tentu)
Dengan mengubah fungsi trigonometri:
= ⋅ = =
=
π
(tak tentu)
= +
=
=
→
⋅
·
−
π
→
π
→ →
= (cos x + sin x)
=
→
−
= cos + sin
→
=
= (tak tentu)
→
=
−
π
=
π
−
Dengan mengubah fungsi trigonometri:
→
Dengan mengubah fungsi trigonometri:
10. Jawaban: a Dengan substitusi langsung: =
→
−
=1·1=1
→
·
12. Jawaban: d Dengan substitusi langsung:
→
= cos (2 · 0) ·
=1· · =
→
→
→
= cos 0 · ·
⋅ ⋅
⋅
=
= cos 2x ·
Kunci Jawaban dan Pembahasan
π
→
π
→
= π π →
=
→
π
= =
14. Jawaban: b Dengan substitusi langsung:
→
=
Dengan mengubah fungsi trigonometri: − − − − →
− − −
− −
=
− ⋅
=
→ − − −
=
− − −
−
−
=
=
·
−
→
− − −
− − −
− −
=
−
(tak tentu)
=
+ +
=
·
→
→
+
=
·
→
+
− −
− − − − →
=
·1·1 =
− −
·
−
−
=
−
·
− −
→
→
− −
→
·
·
→
=
− − − − →
=
⋅ − ⋅
· →
− π π
−
π
=
⋅ − π π
π
⋅ −
=
⋅
=
(tak tentu)
− π
π
π
−
= →
π
− π − π
Misalkan u = 6x – π. π
· 1 = –4
Jika x → maka (6x – π) → 0 atau u → 0.
16. Jawaban: a Dengan substitusi langsung:
π
→
−
→
Dengan mengubah fungsi trigonometri:
− −
→
Misal u = x – 2 Jika x → 2 maka (x – 2) → 0 atau u → 0.
−
−
→ −
18. Jawaban: d Dengan substitusi langsung:
− −
=
·
·
·
−
· → −
Misal u = x – 1. Jika x → 1 maka u → 0.
− −
− −
+ +
=
=
=
→
=
=
− −
− − − −
→
→
(tak tentu)
− + −
=
→
=
− = − + + − · − →
− + − +
·
⋅ ⋅
Dengan mengubah fungsi trigonometri: →
=
Dengan mengubah fungsi trigonometri:
=– ·1=–
=
→ − −
15. Jawaban: a Dengan substitusi langsung: − → − −
− −
Misal: u = x – 6. Jika x → 6 maka (x – 6) → 0 atau u → 0. −
17. Jawaban: d Dengan substitusi langsung:
− −
− −
= · →
· · → →
= − · 1 · = –1 · 1 · 2 = –2
− − →
= · →
+
−
+
− −
= · → → −
−
· − · − → →
Misalkan x – 1 = u. Jika x → 1 maka u → 0.
− − − →
= · →
−
+ → −
=
Dengan mengubah fungsi trigonometri: →
+ − −
=
(tak tentu)
=
→
=
=1
(tak tentu)
Matematika Kelas XI Program IPA
81
19. Jawaban: a Dengan substitusi langsung:
→
π
− π − π
=
B. Uraian
⋅
1. a.
π
=
(tak tentu)
(sin x + tan x)
→
Jika x →
→
π
= =
− π − π
b.
+ π ⋅ →
=
→
π
→
(–
)=
(u + π)
→
–
π
π
π
∞
c.
→
π
−
= − =
π − π
(tak tentu)
π
− π − π π
π π
→
π
−
=
− +
π
π π −
π
π
( – x) ·
→
π
2. a.
π
π
π
π
= sin (x + ) = sin ( + ) = sin = 1 π
π
π
− +
π
=
π − π
−
→ =
⋅ ⋅
=
(tak tentu)
−
= −⋅ = = ∞
Dengan substitusi langsung:
=
Kunci Jawaban dan Pembahasan
π
− +
π
π
=
π
=
π π π −
= sin ( – x) · π π − →
82
⋅
→
sin π →
→
⋅ − π
= sin ( – x) · π =
− π − π
Dengan mengubah fungsi trigonometri:
π
sin ( – x) tan (x + ) π
→
π
π
Dengan menggunakan rumus:
= ⋅ = 0
π
Dengan substitusi langsung:
=
→
(tak tentu)
π
(tak tentu)
π
π
= sin 0 · tan
=
=
=
−
π
π
=
= π →
=
−
−
=
sin ( – x) tan (x + ) π
=
π
⋅
→
=
π
−
20. Jawaban: b Dengan substitusi langsung: →
−
Dengan mengubah fungsi trigonometri:
· cos
(0 + π) = 1 · 1 ·
π
+ 2)
π
=
=
= 1 · 1 · cos
+1
Dengan substitusi langsung: →
⋅ ⋅ π →
(
=
·
π
= sin + tan
maka (3x – π) → 0 atau u → 0.
→
π
π
Misalkan 3x – π = u atau x = (u + π). π
Dengan substitusi langsung:
Dengan mengubah fungsi trigonometri:
→
→
·
→
·
= b.
·
→
b.
→
⋅
=
=
→
=
→
→
→
→
→
= 24 ·
→
→
= 24 · c.
=2·1·
4. a.
=
·
−
=
− →
→
+
=
= 2
→
= 2(1)3 + 3. a.
+
→
= 2 + 8 = 10
=
− ∞
=
−
=
→
=
→
→
⋅ −
=
(tak tentu)
=
→
+ →
∞ (tak tentu) ∞
Dengan mengubah fungsi trigonometri:
→
−
→
=
−
−
= = –
−
→
−
Dengan substitusi langsung: →
→
→
2 →
→
·
−
=
→
·
=
·
Dengan mengubah fungsi trigonometri:
(tak tentu)
Dengan mengubah fungsi trigonometri:
==2·1· · =
→
⋅
=
·
Dengan substitusi langsung:
Dengan substitusi langsung:
→
→
→
= 24 · = 3
·
= 2 ·
= 24 ·
= 2 ·
→
→
(tak tentu)
−
⋅
=
= 24 · · · → = 24 ·
=
−
(tak tentu)
Dengan mengubah fungsi trigonometri:
− ⋅
=
Dengan mengubah fungsi trigonometri:
Dengan substitusi langsung:
Dengan substitusi langsung: − →
=
→
= 0 – 1 = –1
→
=
→
= x –
→
=
= x –
b.
Dengan substitusi langsung:
→
=
=
(tak tentu)
Dengan mengubah fungsi trigonometri:
→
·
→
= –
→
→
=
Matematika Kelas XI Program IPA
83
( ) ( )
→
=
→
→
→
−
=
·
−
→ −
· → −
− −
−
·
=
= 6. a.
·
−
·1=–
→
= 7. a.
−
→ π
=
(tak tentu)
→
π
→ − −
=
π
= →
·
⋅ π π
=
→
(tak tentu)
→−
− −
π
)
π
−
(
π
)
π π
− π π
=
(
− →−
−
= − = –1
Kunci Jawaban dan Pembahasan
−
π
π −
=
)
−
→ π
−
π
π
· cos ( + ) ·
→ π → π
−
(
π
−
Misal x + 1 = u. Jika x → –1 maka (x + 1) → 0 atau u → 0.
84
π
−
=
=
→
= –1 · 1 = –1
−
π
→− →−
→ 0 atau u → 0.
− π
= →
→ − − −
=
→
− π
Dengan mengubah fungsi trigonometri:
=
·
Dengan mengubah fungsi trigonometri:
→ − − −
=
.
→ −
Dengan substitusi langsung:
Dengan substitusi langsung:
=
→
·
Jika x → 0 maka
Misal u = x + 3. Jika x → 0 maka (x + 3) → 0 atau u → 0. =
·
Misalkan u =
→ −
−
−
·
→
→ −
=
→ −
→
·
→
→ −
=
= → −
=
− →
−
·
=
→ −
−
(tak tentu)
→ −
=
=
−
=
(tak tentu)
Dengan mengubah fungsi trigonometri:
−
→
− → −
=
−
=
Dengan mengubah fungsi trigonometri:
5. Dengan substitusi langsung:
=
−
= =2
− − − − −
Dengan substitusi langsung:
=
b.
=
−
· cos (
+
π
π
) ·
→ π
Misal u =
π
π
–
.
− π
−
π
−
−
π
Jika x → =
−
π
maka ( π
· (cos
)
–
→ 0 atau u → 0
−
b.
= (x2 sec – x2) →∞
= · 0 · 1 = 0 Dengan substitusi langsung: −
→
π
π
−
=
−
π
π
=∞–∞
π
−
=
x2(sec – 1) →∞
= (tak tentu)
=
−
−
=
− −
= =
Dengan mengubah fungsi trigonometri:
= x2(
→ π −
→∞
π
−
→
Jika x → ∞ maka → 0 atau u → 0.
π
→
π −
π
→
−
( ) (
→
−
=
→
=
=
π
=
=
−
9. a.
π → π − −
·
→
π
→ π
→ π
π
=
·
→ π
Misal u = Jika x → π
= =
)
→
·
= 2 ·
→∞
π
( – x) → 0 atau u → 0.
→
·
Misal t = .
Jika x → ∞ maka → 0 atau t → 0.
·
(
− π − π −
π – x. π maka
→∞
→ π −
x sin · →∞
π
− −
= ·
π
·1·1=2
= x ·
−
·
·1·1
π
−
=
)
·
π
−
=
)
→
−
π
=
− → π
Misal = u ⇔ x = .
−
−
=
=
π
−
– 1)
→∞
(tan x – 1)2 = –
=
= x2(
Perhatikan:
(tak tentu)
Dengan mengubah fungsi trigonometri:
−
x2(sec – 1) →∞
→
)·
8. Dengan substitusi langsung:
= 2 · →
= 2 · →
=2·1=2
· 12 =
Matematika Kelas XI Program IPA
85
b.
c.
n2(1 – cos ) →∞
=
→∞
n2(2
= 2n2 · →∞
=
→∞
·
sin2
·
·
=
·
+ − →
)·
f(x) = –sin 3(x + π)
→
− + π + − + π →
=
=
= 10. a.
·
→
→ 0 atau t → 0. ·
→
= –2 cos (6x + 6π + 0) ·
= –3 cos 3(x + π) A Pilihlah jawan yang tepat.
·1·1=
+ −
=
→
+ −
A. Pilihan ganda
− →
=
=
1. Jawaban: c Dari gambar terlihat: 1) untuk x mendekati –2 dari kiri, nilai f(x) mendekati
+
→
= 4 cos (2x + h) · → → = 4 · cos
(2x + 0) ·
2 sehingga dapat dituliskan
2)
=
2. Jawaban: e Dari gambar terlihat: 1) untuk x mendekati 1 dari kiri, nilai f(x) mendekati 1 sehingga dapat dituliskan
− + + π
= –4 cos →
(6x +
f(x) = 1
→ −
3h + 2π)
= –4 cos (6x + 2π) ·
= –6 cos (3x + π)
Kunci Jawaban dan Pembahasan
2)
= –4 cos (6x + 3h + 2π) → →
f(x) = 2 maka
→ − +
f(x) = 2.
− + + π − − + π
→
→ − −
→ −
− + + π − + π →
=
f(x) =
Oleh karena
+ − → →
untuk x mendekati –2 dari kanan, nilai f(x) mendekati 2 sehingga dapat dituliskan f(x) = 2
f(x) = –2 sin (3x + π)
=
f(x) = 2
→ − −
→ − +
= 6 cos 3x
86
= –2 cos (6x + 6π + 3h) → →
f(x) = 2 sin 3x →
b.
Jika n → ∞ maka
→
− + π +
→
Misal t = .
=
− + π + − − + π
untuk x mendekati 1 dari kanan, nilai f(x) mendekati 2 sehingga dapat dituliskan f(x) = 2
→ +
Oleh karena − f(x) ≠ + f(x) maka f(x) tidak ada.
→
→
→
3. Jawaban: d Dari gambar terlihat untuk x semakin membesar tanpa batas, nilai f(x) juga semakin membesar tanpa batas sehingga dapat dituliskan f(x) = ∞. →∞ Jadi, f(x) = ∞. →∞
4. Jawaban: c Dari gambar terlihat untuk nilai x yang semakin membesar tanpa batas, nilai g(x) konstan yaitu 1. →∞
→ −
= –2 – 3 = –5
((2x2 + 1)(7x4 – 14))
− → −
)4
= (2( + 1)(7( – 14) = (2(2) + 1)(7(4) – 14) = (5)(14) = 70
(tak tentu)
+ − − →
=
→
= 2(2 + 2) = 8 10. Jawaban: e Dengan substitusi langsung:
→
6. Jawaban: c Dengan substitusi langsung:
− − →
− −
→ − − +
=
− −
=
(tak tentu)
Dengan memfaktorkan:
=
−
−−
→ − − +
Jadi,
=
=
=
− − →
→ −
=
− +
→ − +
− − + + → −
=
− − − − − − + − +
=
⋅
(tak tentu)
=
−
⋅ − ⋅
=
(tak tentu)
− −
= − − → = − → −
−
= − = ⋅ − =
= 2.
8. Jawaban: a Dengan substitusi langsung:
=
−
= = = 2
→
Dengan memfaktorkan:
− +
→ − +
=
11. Jawaban: d Dengan substitusi langsung:
→
=
=
= → →
=
−
=
.
7. Jawaban: d Dengan substitusi langsung:
=
=
= x(x + 2)
Jadi, ((2x2 + 1)(7x4 – 14)) = 70.
Jadi,
−
−
=
Dengan memfaktorkan:
→
=
= (a – 3)
− → −
5. Jawaban: d Dengan substitusi langsung:
− − − − − − − +
− − + + → −
− = → −
9. Jawaban: c Dengan substitusi langsung:
Jadi, nilai g(x) = 1.
)2
Dengan memfaktorkan:
12. Jawaban: e Dengan substitusi langsung:
→ − −
=
− −
=
–
–
−
+ −
− + − −
= ∞ – ∞ (tak tentu)
Matematika Kelas XI Program IPA
87
Dengan memfaktorkan:
→ − −
−
15. Jawaban: d Dengan substitusi langsung:
+ −
=
+ − − + − → −
=
− − − + − − → −
=
→
→
− − +
− −
=
=
−
− −
→ −
− −
− − −
=
=
=
−
− −
→ −
·
16. Jawaban: e Dengan substitusi langsung:
− +
= + −
→∞
− +
= + −
→∞
= –(–1 – 1)( − − + 3)
− +
→ ∞ + −
=
= –(–2)( + 3) = 2 · 6 = 12
+ − ⋅ + −
=
= Dengan mengalikan bentuk sekawan: + − + −
·
+ + + + + +
+ − + → − + + +
= =
− − → − + + +
=
→
=
− + + +
− + + ⋅ +
−
=
Kunci Jawaban dan Pembahasan
− +
−
− + + −
= =
17. Jawaban: e Dengan substitusi langsung:
+
→ ∞ −
+
=
→∞
∞
= ∞ −
→∞
Dengan membagi pangkat tertinggi:
+
→ ∞ − +
→ ∞ −
+ → ∞
−
=
=
= + = – 88
(tak tentu)
→ ∞ +
=
14. Jawaban: a Dengan substitusi langsung:
→
(tak tentu)
−
→ ∞ − +
+ − − + − +
+ − + −
∞
= ∞
→ −
= ⋅ = = 1
Dengan membagi pangkat tertinggi:
= –(x – 1)( − + 3)
→
⋅
⋅ ⋅ −
− − +
−− → −
→ −
−
− + →∞
− +
− +
= =
+ +
Jadi, nilai n = 1. (tak tentu)
Dengan mengalikan bentuk sekawan:
·
→ −
13. Jawaban: e Dengan substitusi langsung:
− +
− +
·
− +
=
− −
−
= − − + →
→ − − −
=
(tak tentu)
− − +
+
− − − −
=
= − − + →
→ − + − −
=
⋅ − −
⋅ −
=
Dengan mengalikan bentuk sekawan:
→ − + − −
=
− −
−
=
+ −
= =∞
(tak tentu)
18. Jawaban: b Dengan substitusi langsung:
+ ) = ∞ – ∞ (tak tentu)
( + –
→∞
+ ) ×
( + –
→∞
→∞
=
→∞
=
→∞
→∞
+ +
+
+ +
+
+ − +
+ +
+
+
+ +
·
=
+ + +
− − − + −
=
(3x – 2) – − + ·
=
→∞
− + − +
− +
−
− − − + + +
( + –
+
−
=
)( − )
→∞
= ( − − – →∞
− ) − )
− − + − − − + −
=
→∞
= –1
)( − )
= ( + − –
π
= 2 · → =2·1=2 23. Jawaban: e Dengan substitusi langsung:
→
Dengan mengalikan bentuk sekawan:
·
→∞
( + –
⋅
= =
= ( + − – − ) = ∞ – ∞ (tak tentu)
→∞
π
(tak tentu)
Dengan mengubah fungsi trigonometri:
20. Jawaban: a Dengan substitusi langsung: →∞
π
→
π
= = (tak tentu) Dengan mengubah fungsi trigonometri:
→
→
− −
→∞ − +
= cos π = (–1) = –
− −
=
=
− + − +
− + − +
→ ∞ − +
= = =
22. Jawaban: e Dengan substitusi langsung:
− − − +
=
x cos 2x = cos 2( ) π →
Dengan mengalikan bentuk sekawan: →∞
+ −
=
− + ) = ∞ – ∞ (tak tentu)
→∞
−
π
19. Jawaban: c Dengan substitusi langsung: ((3x – 2) –
−
·
21. Jawaban: a Dengan substitusi langsung:
+ + +
− − + −
−
=
Dengan mengalikan bentuk sekawan:
=
→∞
−
=
− − − − − − + −
=3·
= 3
→
=3· = =
24. Jawaban: d Dengan substitusi langsung: − − →
=
− −
=
(tak tentu)
Dengan mengubah fungsi trigonometri: − → − − = − →
−
= (x + 1) · − → → −
= (1 + 1) · − → Misal u = x – 1. Jika x → 1 maka (x – 1) → 0 atau u → 0. = (1 + 1) ·
→
=2·1=2
Matematika Kelas XI Program IPA
89
25. Jawaban: e Dengan substitusi langsung:
→
= = (tak tentu) Dengan mengubah fungsi trigonometri:
→
·
=
⋅ →
→ →
⋅
⋅
=
→
= 2
→
=2·
·
·
=
(tak tentu)
·
+
= − + → − +
= − − + → −
+
+
Misal u = x + 3. Jika x → –3 maka (x + 3) → 0 atau u → 0.
→
= · · = ·1·1= → →
→
29. Jawaban: b Dengan substitusi langsung: − − = ⋅ = (tak tentu) − + Dengan mengubah fungsi trigonometri →
− −
27. Jawaban: d Dengan substitusi langsung:
=
− π → π − π + − π
=
⋅
=
(tak tentu)
Dengan mengubah fungsi trigonometri: − π
− π + − π →π
− π −π
− π − π + →π −π −π
·
− + − − → − − + − − · → − → − −
→
−π −π
=
90
+
= · + · + → − → −
=2· ·1=
=
+
= · + · + → −
→
π − π
π − π + π − π
(tak tentu)
= + → −
Jika x → 0 maka (4 ) → 0 atau u → 0. =2·
+
·
Misal u = 4 .
+ + → − − +
=
→
= − ⋅ = Dengan mengubah fungsi trigonometri:
=
=
Dengan mengubah fungsi trigonometri:
→
+ + → − − +
= =
26. Jawaban: c Dengan substitusi langsung: →
+
28. Jawaban: e Dengan substitusi langsung:
=
⋅
− π −π
→ →
→
→π
Misal u = x – π. Jika x → π maka (x – π) → 0 atau u → 0.
− π −π
+
→π
→
=
→π
=
=
=
− π −π − π →π + −π
=
Kunci Jawaban dan Pembahasan
=
·
→
+
Misal u = x – 1 dan v = 1 – . Jika x → 1 maka (x – 1) → 0 atau u → 0. Jika x → 1 maka (1 – ) → 0 atau v → 0. =
→
= 1 · (–1) ·
− =–
+
·
→
·
→
+
30. Jawaban: d Dengan substitusi langsung:
2. a.
Dengan substitusi langsung:
−
→ − −
= =
→
→
=
− +
−
−
− − →
=
− −
− − · · − − → −
− − · · → − → − → − − −
⋅ · · → − → − − − · · → − → −
→ − + +
= b.
·
→
−
→
= 10 · 1 · 1 = 10
→ −
=
−
=
→ −
=
=
= (tak tentu)
→
=
→
=
=
Dengan substitusi langsung: − − − → −
− − − − − − − −
=
(tak tentu)
− − − → −
= + =
1
3–a a
–3a 3a
1
3
0
Hasil bagi: x + 3 x2 + (3 – a)x – 3a = (x – a)(x + 3) − − − →
=
− −
=
(x + 3) =
⇔
→
→
− − − → −
⇔
a+3=
− − − → −
⇔
a=
= =
− − − − − − −
−
= − = 3
+ +
x=a
⇔
Dengan memfaktorkan:
+
+ +
3. Menentukan hasil pembagian x2 + (3 – a)x – 3a oleh (x – a) menggunakan metode Horner.
−
→ −
=
+ +
=
(tak tentu)
Dengan memfaktorkan: −
=–
→ +
−
−
+ + + +
·
→ +
=
=
+
Dengan substitusi langsung:
=
=
Dengan mengalikan bentuk sekawan:
=
b.
+
→
B. Uraian 1. a.
+
+
− + + +
Dengan substitusi langsung:
Misal u = x – 5 ⇔ x = 4 + 5. Jika x → 5 maka (x – 5) → 0 atau u → 0. = 10 ·
+
=
=
→
+ + + +
·
+ − − + − + + →
→ − −
=
(tak tentu)
− − → + − + +
=
=
− +
→ − + +
=
=
−
−
=
(tak tentu)
Dengan mengubah fungsi trigonometri:
=
=
Dengan mengalikan bentuk sekawan:
− − ⋅ −
⋅ − ⋅ ⋅ ⋅
− +
−
–3=
Jadi, nilai a yang memenuhi
.
Matematika Kelas XI Program IPA
91
4. a.
Dengan substitusi langsung:
+ + − − → ∞ −
b.
∞ (tak tentu) ∞
=
( − + – (x + 1))
→∞
= ∞ – ∞ (tak tentu) Dengan mengalikan bentuk sekawan:
Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi:
+
→ ∞ −
=
−
+
→ ∞ −
=
+
→∞ −
+
+ −
·
( − + – (x + 1))
–
→∞
+
–
→ ∞ −
+
+ −
·
→∞
− + − +
→ ∞ − + + +
=
−
→∞
= =
−
−
→∞
=
6.
−
= 2 – 3 = –1
(
→∞
⇔
= ( − + – (3x – 2)) = ∞ – ∞ (tak tentu) →∞
Dengan mengalikan bentuk sekawan: (
→∞
− + – (3x – 2))
− + + −
·
=
→∞
=
→∞
=
→∞
− − −
=
→∞
=
− − − − + − − − +
+ −
+
+ − + +−
·
→∞
+ − +
=
−
=
+ −
=
⇔
+
=
=
= a+4=9 a=5
Dengan substitusi langsung: − − →
=
− −
= (tak tentu)
Dengan mengubah fungsi trigonometri: − −
+ −
= = =
=
+ − + + −
Kunci Jawaban dan Pembahasan
·
− −
⇔
→
−
+ + −
=
− − −
=
−
→
→
92
=
+ −
→∞
+ +
+ + −
⇔
7. a.
− + + −
⇔ ⇔ Jadi, nilai a = 5.
− + + −
−
+ − − +
→∞
− + – 3x + 2)
·
+ – (2x – 1) )
⇔
Dengan substitusi langsung:
(
→∞
+
− −
+ − + +
→∞
− −
=
→∞
=
+ − + +
→∞
−
− −
=
Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi: =
+ − + +
→∞
∞ (tak tentu) ∞
=
+ − − − −
=
Dengan substitusi langsung: →∞
5. a.
− + + + − + + +
·
= − – = –2=–
− b.
Dengan substitusi langsung:
+
+
· + · +
b.
+ + − →
Dengan substitusi langsung:
=
− − − → − −
+ + →
=
− − −
=
(tak tentu)
=
= 2 · (1 + )(1 + →
=2· b.
·
Dengan mengubah fungsi trigonometri:
· (1 +
− − − → − −
) · (1 + 1) = 112
− − → − − − − − − →
Dengan substitusi langsung:
=
+ − − →
=
=
(tak tentu)
Dengan mengubah fungsi trigonometri:
→
=
+
−
+ ⋅
+
9.
→ −
=
·
→ −
→
8. a.
=
−
·
=
→
+
·1+
·
→ −
·
→
=
− − −
=
(tak tentu)
− −
=
→
− − − → →
Misal u = x – 3. Jika x → 3 maka (x – 3) → 0 atau u → 0. →
−
=
−
=
=∞
→
−
10. s = f(t) = –5t2 + 40t + ∆ − ∆ − + ∆ + + ∆ − − + ∆ ∆ → − − ∆ − ∆ + + ∆ + − ∆ → ∆ − ∆ − ∆ + ∆ ∆ ∆ →
v(t1) =
∆ →
= =
− · − − − →
→
−
=
=
= –y · 1 = –y (terbukti)
→ − − −
→ −
−
− = –y ·
Dengan mengubah fungsi trigonometri:
− −
= − −
=1+2=3
− → − − −
=
−
= − − − →
Dengan substitusi langsung
→ −
=
→ −
·1+
→
−
·
→ − +
− →
·
= 2 · · = 2 · · =
−
=
→
=
→ −
= 2 ·
→
−
Misal u = x – a. Jika x → a maka (x – a) → 0 atau u → 0
−
→
·
−
→
=
−
−
= 2
+
→
→ − −
+ − −
=
=
=
= (–10t1 – 5 ∆t + 40) ∆ →
= –10t1 + 0 + 40 = –10t1 + 40 Diperoleh v(t1) = –10t1 + 40. t1 = 2 detik v(2) = –10 · 2 + 40 = 20 m/detik Jadi, kecepatan sesaat dalam waktu tepat 2 detik 20 m/detik.
Matematika Kelas XI Program IPA
93
Bab IV
Turunan Fungsi
" ′ − "′ "
g′(x)=
− ⋅ − ⋅
=
−
A. Pilihan ganda
− −
=
1. Jawaban: a f′(x) = 9x2 + 4 f′(3) = 9 · 32 + 4 = 81 + 4 = 85 2. Jawaban: c
−
− −
=
−
=–
f(x) = (x + 1) + = (x + 1)(2 + x)
Misal u = x + 1, v = (2 + x) , dan w = 2 + x maka
! !
−
g( + ) = g′( + )
=–
f(x) = uv dan v = w . u′ = 1 v′ =
!" !
=
!" !#
·
−
= w
=–
!# !
=–
·1
= (2 + x)
−
Misalkan n = 3x + 2 maka x =
= (2 + x) · 1 + (x + 1) ·
+
+ + +
f(n) = =
+ + + +
+
−
3. Jawaban: e
−
+
− − +
Misal u =
+
+
−
=
v =
+
w=
+
+
− , dan w = x2 – 1 maka
Misal u = 2x, v =
g(x) = " dan v = u′ = 2 !"
# =w .
!#
= w
−
= (x2 – 1)
!"
!"
·x
−
Kunci Jawaban dan Pembahasan
!#
v′ = ! = !# · ! = w
· 2x −
u′ =
v′ = ! = !# · !
=
= ( )
maka f(n) = uv dan v = (w)
−
!"
− +
= (n – 2)
g(x) =
−
.
Persamaan menjadi:
94
+ −
f(3x + 2) = x +
f′(x) = vu′ + uv′
=
+ −
4. Jawaban: b
+
=
=
=
−
= =
−
·
+
+
−
f′(n) = vu′ + uv′ +
6. Jawaban: b
=( ) · +
=
=
−
·
( )+−
⋅ ( )
+
=
+
⋅
⋅
+
=
=
+
⋅
−
=
⋅
=
=2
⇔ + − = 0 atau + − = 0
+ −
−
⇔ + = 1 atau ⇔
=
+ +
+
⇔ ( + − ) + − = 0
maka u′ = 2x + 2, v′ = 2, dan f(x) = " .
=
+
⇔ + – + + 1 = 0
= 11
Misal u = x2 + 2x – 2 dan v = 2x – 1
f′(x) =
⇔ 3(a + 1) + 1 = +
5. Jawaban: e f(x) =
−
(3x + 1)
f′(a + 1) = 2 ⇔
+
=
+
12f′(11) = 12 · =
=
+
= +
f′(x) = +
+
+ + −
+
f(x) =
⇔ a = – atau a = 0
Jadi, nilai a = – atau a = 0. 7. Jawaban: c
Fungsi kuadrat (2x2 – 2x + 2) mempunyai nilai a = 2, b = –2, dan c = 2. Diskriminan fungsi kuadrat: D = b2 – 4ac = (–2)2 – 4 · 2 · 2 = 4 – 16 = –12 Oleh karena fungsi kuadrat (2x 2 – 2x + 2) mempunyai nilai a = 2 > 0 dan D = –12 < 0 maka (2x2 – 2x + 2) > 0 untuk setiap bilangan real x. Oleh karena (2x2 – 2x + 2) > 0 dan f′(x) > 0 maka (2x – 1)2 > 0 sehingga diperoleh nilai x sebagai berikut. Pembuat nol: (2x – 1)2 = 0 ⇔ 2x – 1 = 0 ⇔ 2x = 1
+++
+++
x=
+ = − +
−
g(x) =
Misalkan u = x – + maka g(x) = . ! !
−
=1–
=1–
+
! !
=
+
! !
=
·1
+ −
+ −
!
· ! =
·
+ −
+
=
− +
·
+ −
+
+−
=
+ − +
Nilai turunan g(x) di x = 3 adalah ! !
=
+− + − +
=
⋅ − −
=
Jadi, nilai x adalah x ≠ ; x ∈ R.
+ =1
atau
⇔ a + 1 = atau a + 1 = 1
" ′ − "′ "
− + − + − ⋅
−
− + − − − + −
− +
−
⇔
+ =
+ =1
=
⋅
=
Matematika Kelas XI Program IPA
95
8. Jawaban: a f(x) = 2x3 + nx2 + 4x + 3 f′(x) = 2 · 3x2 + n · 2x + 4 = 6x2 + 2nx + 4 f′′(x) = 6 · 2x + 2n = 12x + 2n f′′(–1) = –22 ⇔ 12 · (–1) + 2n = –22 ⇔ 2n= –10 ⇔ n= –5 Jadi, nilai n = –5.
= =
−
+
+
= (x2 + 1)
!
=
⇔ xy + 4y = 3x – 2 ⇔ xy – 3x = –4y – 2 ⇔ x(y – 3) = –4y – 2
=
x= − −
−
− −
−
!"
= –28(x –
=
Jadi, turunan kedua dari f–1(x) adalah 10. Jawaban: e h =gDf = g(f(x)) = g( + ) + − +
Kunci Jawaban dan Pembahasan
, dan v = w–1.
!#
− −
· 2x −
!"
!#
= !# · !
= –1w–2 · 2x = –2x(x2 + 1)–2 − +
−
=
+
−
=
+
–(
− +
+
+
)
=
− + + +
=
− + + +
=
− + +
=
− + +
Jadi, turunan dari h adalah h′ = −
−
.
− + +
11. Jawaban: d
g(x) = 2 + = 2(3x + 1)
Misal u = 3x + 1 maka g(x) = 2u . g′(x) = =
! ! ! !
!
· !
= 2 · u
−
= 3(3x + 1) 96
−
h′ = u′ – v′
= 14 · (–2)(x – 3)–3 −
−
, v = (x2 + 1)–1, dan w = x2 + 1
v′ = !
!# !
3)–3
+
" ′ − "′ "
− ⋅ − − − − ⋅ −
− + + +
−
= 14(x – 3)–2 −
·
−
−
=
= 14 · (–2) w–3 · 1
=
– (x2 + 1)–1
= –x(x2 + 1)
=
!′ ! !′ !#
!
⇔ y(x + 4) = 3x – 2
Misal w = x – 3 maka h′(x) = 14w–2 h′′(x) =
−
=– #
"
=
+
= !# · !
Misalkan h(x) = f–1(x), u = –4x – 2, dan v = x – 3, maka u′ = –4 dan v′ = 1.
=
–
Diperoleh: f–1(x) =
h′(x) =
+
maka h = u – v, u = w u′ = !
⇔
h(x) =
–
Misal u = (x2 + 1)
9. Jawaban: d Misal y = f(x) y=
+ +
·3 −
.
Turunan dari g′(x) adalah g′′(x). g′(x) = 3u
−
!′ !
g′′(x) =
14. Jawaban: c Laju pertambahan jari-jari gelembung:
!$ !
! !
·
Gelembung berbentuk bola maka volume
=
− 3(– )u
gelembung = V = πr3. Laju perubahan volume gelembung:
·3
= – (3x + 1)
−
!% !
−
=
−
+
Jadi, turunan dari g′(x) adalah g′′(x) =
−
+
12. Jawaban: c
= 3t2 – 4
.
!% !
!
= 0,16π · (1,5)2 = 0,36π cm3/detik
15. Jawaban: a Debit air = laju air yang diisikan ke wadah !%
= 2t ⇔ ! = !
= ! = 3 cm3/detik
!
= ! · ! = (3t2 – 4) · = x = t2 + 3 ⇔ t2 = x – 3 ⇔
− ke
− −
=
−
−
−
t=
Substitusi t = ! !
!$
= π · 3r2 · 0,04 = 4πr2 · 0,04 = 0,16πr2 Laju pertambahan volume gelembung pada saat r = 1,5 cm:
!
Turunan y terhadap x adalah ! . ! ! ! ! ! !
!%
= !$ · !
+
=
= 0,04 cm/detik
! !
!
Laju pertambahan tinggi air = ! . Perhatikan gambar berikut. D
A
diperoleh:
C ra
E
− − =
− − − − = =
−
−
F
ha
13. Jawaban: d ! ! ! !
B
= 4 · 2x + 2 = 8x + 2 !
Diameter wadah = AC = 12 cm Tinggi wadah = BD = 18 cm Jari-jari permukaan air = ra Tinggi air = ha ∆BCD dan ∆BFE sebangun.
= 2x – 6 ⇔ ! =
− t = x2 – 6x + 9 = (x – 3)2 ⇔ ! !
=x–3 ⇔ x=3+
=
! !
·
! !
= (8x + 2) · = = =
! !
= =
+
+ ⋅
⋅
Jadi, nilai
! !
−
+
−
+
+
+ +
⇔ +
− +
−
&' &*
=
=
= 10,5
= 10,5.
=
+
$
⇔
ra = = Volume air:
V = πra2 ha
?'
= @*
= π( )2 ha
= π·
= πha3
Matematika Kelas XI Program IPA
97
!% !
= π · 3ha2 = πha2
⇔
! !%
! !
= = =
3.
! !
= π
! !% · ! !%
π
π
=
! !
·3
π ⋅
–
= · t
=
=
π
air 5 cm adalah
π
! !
cm/detik
! !
2. f(x) = ax3 – 5x2 + (a + b)x – 4 f′(x) = 3ax2 – 5 · 2x + (a + b) = 3ax2 – 10x + a + b f′′(x) = 3a · 2x – 10 f′′(a) = 14 ⇔ 3a · 2a – 10 = 14 ⇔ 6a2 = 24 ⇔ a2 = 4 ⇔ a= ± ⇔ a=±2 Oleh karena a > 0 maka a = 2. f′(b) = –1 ⇔ 3ab2 – 10b + a + b = –1 ⇔ 3 · 2b2 – 10b + 2 + b = –1 ⇔ 6b2 – 9b + 3 = 0 ⇔ 3(2b2 – 3b + 1) = 0 ⇔ (2b – 1)(b – 1) = 0 ⇔ 2b – 1 = 0 atau b – 1 = 0 ⇔ 2b = 1 atau b=1
b = atau b=1 Oleh karena b bilangan bulat maka b = 1. Nilai a + b = 2 + 1 = 3. Jadi, nilai a + b = 3.
Kunci Jawaban dan Pembahasan
!
= (3 · 52 – 3) ·
cm/detik.
1. f′(x) = 2ax + b f′(–1) = –11 ⇔ –2a + b = –11 f′(2) = 7 ⇔ 4a + b = 7 ––––––––––– – –6a = –18 ⇔ a= 3 Substitusi a = 3 ke persamaan 4a + b = 7: 4 · 3 + b = 7 ⇔ b = –5 Diperoleh f(x) = 3x2 – 5x + 6 Nilai f(1) = 3 · 12 – 5 · 1 + 2 = 3 – 5 + 6 = 4 Jadi, nilai f(1) = 4.
!
= ! · ! = (3x2 – 3) · Laju perubahan fungsi y pada saat t = 4:
= 72 · = 9 Jadi, laju perubahan fungsi y pada saat t = 4 adalah 9.
B. Uraian
98
Untuk t = 4 maka x = + 4 = 5
Jadi, laju pertambahan tinggi air pada saat tinggi
⇔
= 3x2 – 3
x = + 4 = t + 4
Untuk ha = 5 cm diperoleh: ! !
y = x3 – 3x + 5
4.
y = 3t2 ! !
= 6t
x = 2t2 + t – 1 ! ! ! !
!
= 4t + 1 ⇔ ! = + !
!
= ! · !
= 6t · +
= + Substitusi x = 2 ke x = 2t2 + t – 1 diperoleh: 2 = 2t2 + t – 1 ⇔ 2t2 + t – 3 = 0 ⇔ (2t + 3)(t – 1) = 0 ⇔ 2t + 3 = 0 atau t – 1 = 0
⇔
t = – atau
t=1
Oleh karena t < 0 maka t = – .
!
Substitusi t = – ke ! = + diperoleh: ! !
= = = =
−
− + − − +
− − !
Jadi, nilai ! di x = 2 adalah .
S
O
5. a.
R
r
Q
h
A. Pilihan ganda
P
Perhatikan gambar di atas. Jari-jari wadah:
OS = OQ = OP =
b.
× 24 = 12 cm
Jari-jari permukaan alkohol bagian atas: QR = r. Tinggi alkohol dalam wadah: PR = h. ∆QOR siku-siku di R. OQ2 = OR2 + QR2 ⇔ 122 = (12 – h)2 + r2 ⇔ 122 = 122 – 24h + h2 + r2 ⇔ r2 = 24h – h2 Permukaan alkohol bagian atas berbentuk lingkaran sehingga luasnya: A = πr2 = π(24h – h2) Jadi, luas permukaan alkohol bagian atas adalah A = π(24h – h2). Laju perubahan luas permukaan alkohol
1. Jawaban: c Misal u = cos x maka dy = u4. ! !
!
!
= ! · ! = 4u3 · (–sin x) = 4 cos3 x · (–sin x)
! !
=
· 4 cos3 x · (–sin x)
= –4 = –4 tan x 2. Jawaban: b
g(x) = − = (cotan x – 1)–1 Misal u = cotan x – 1 maka g(x) = u–1. ! !
=
! !
!
=
K −
=
−
· ! = –u–2 · (–cosec2 x) = (cotan x – 1)–2 cosec2 x
bagian atas =
!I !
.
Laju pengurangan tinggi alkohol: ! !
= 0,001 cm/detik
!I !
= ! · !
)) =
π
−
π
=
= π(24 – 2 · 6) · 0,001
= π · 12 · 0,001 = 0,012π cm2/detik Jadi, laju perubahan luas permukaan alkohol bagian atas pada saat tinggi alkohol 6 cm adalah 0,012π cm2 detik.
−
−
!
= π(24 – 2h) · 0,001 Pada saat h = 6 cm diperoleh: !I !
π (g(
!I
! !
= π
!
−
= =
Jadi, nilai = ! (g( )) = . 3. Jawaban: e !W !
= 2 cos 2t ! !
π
W ( + t) = π
⇔ 2 cos 2 ( + t) = ⇔
π
cos ( + 2t) =
⇔
–sin 2t
⇔
sin 2t
=
= –
π
= sin
Matematika Kelas XI Program IPA
99
π
Penyelesaian sin 2t = sin sebagai berikut. (i)
2t = ⇔ t =
π
π
2t = π –
(ii)
+ k · 2π +k·π= π
7. Jawaban: c π
f(x) = tan (4x + ) π
π
,
Misal u = 4x + maka f(x) = tan u.
π
f′(x) =
! !
+ k · 2π
π
π
π
= 4 sec2 (4x + )
π
4. Jawaban: a y = sin2 5x = (sin 5x)2 y′ = 5 · 2 sin 5x cos 5x = 5 sin 10x Diketahui y′ = (2a – 1) sin 5bx ⇔ 5 sin 10x = (2a – 1) sin 5bx Dari kesamaan tersebut diperoleh: 2a – 1 = 5 ⇔ a=3 5b = 10 ⇔ b=2 Jadi, a · b = 3 · 2 = 6. 5. Jawaban: e π
π
Misalkan a = x + maka x = a – π
f(x + ) = 2 cos x π
π
π
cos2 (4x + ) = 1 π
⇔
cos (4x + ) = ± 1 π
Mencari penyelesaian cos (4x + ). π
cos (4x + ) = 1 π
⇔ cos (4x + ) = cos 0 π
⇔
4x + = ± 0 + k · 2π
⇔
4x = – + k · 2π
⇔
x =– + k ·
⇔
x =– , , , ,...
π
π
π
π
π
π
π
π
= –2 · = –
6. Jawaban: c f(x) = cos3 (5 – 4x2) = (cos (5 – 4x2))3 Misalkan u = 5 – 4x2, v = cos (5 – 4x2) maka v = cos u dan f(x) = v3. !" !
·
! !
= 3v2 · (–sin u) · (–8x) = 24x cos2 u sin u = 12x cos u · 2 sin u cos u = 12x cos u sin 2u = 12x cos (5 – 4x2) sin 2(5 – 4x2) = 12x cos (5 – 4x2) sin (10 – 8x2)
100
π
⇔
π
⇔
·
=4
⇔ cos (4x + ) = cos π
π
! !"
π
+
π
= –2 sin
=
f′(x) = 4 ⇔
cos (4x + ) = –1
f′( ) = –2 sin ( – )
! !
π
+
Mencari penyelesaian cos (4x + ) = –1.
f′(a) = –2 sin (a – )
f′(x) =
=
π
f(a) = 2 cos (a – ) π
! ! π
π
Oleh karena 0 ≤ t ≤ maka t = .
π
·
= sec2 u · 4
⇔ t =– + k · π = –,
⇔
! !
=
Kunci Jawaban dan Pembahasan
4x + = ± π + k · 2π π
⇔
4x = – ± π + k · 2π
⇔
x = – ± + k ·
π
π
π
π
π
π
π
π
π
Nilai x yang memenuhi untuk x = – + + k ·
π
π
π
adalah , , , . . . . Nilai x yang memenuhi untuk x = – – + k ·
− π
π
π
π
adalah , , , , . . . . Oleh karena 0 ≤ x ≤ π, nilai x yang memenuhi adalah π
π
π
π
, , , dan . π
π
π
π
Jadi, nilai x yang memenuhi , , , dan .
8. Jawaban: a f′(x) = 2p sin px cos px = p sin 2px
− [ [
g(x) = cos p +
=
−
⇔
. (0 – 2p2 cos 2px)
− [ [
− [ [
π
g′( [ ) =
− [ [ ⋅ π [
− [ [ ⋅ π [
=
− [ π
− [ π
=
− [ ⋅
−
= –p2
⇔ –2 cos x + 2 sin x=
Bentuk fungsi trigonometri a cos x + b sin x dapat dibentuk menjadi k cos (x – α) dengan
+ \ dan tan α =
\
+ =
− +
=
tan α =
v′ =
!" !
=
=2
!" !#
·
−
= w
=
10. Jawaban: d f(x) = sin2 x Misal sin x = u maka f(x) = u2. ! !
=
! !
·
! !
= 2u · cos x = 2 sin x cos x = sin 2x
# = w , dan
·
!^ !
· cos z · 2x −
cos (x2 – 1)
−
−
cos (x – 135°) = = cos 60° (i) x – 135° = 60 + k · 360° ⇔ = 195° + k · 360° = 195° (ii) x – 135° = –60 + k · 360° ⇔ = 75° + k · 360° = 75° Oleh karena 0 ≤ x ≤ 180° maka x = 75°.
!# !^
= x(sin(x2 – 1))
=
− −
⇔
− , w = sin (x2 – 1),
dan z = x2 – 1 maka f(x) = uv, v =
= –1 oleh karena a = –2 < 0 dan
⇔ 2 cos (x – 135°) =
−
Misal u = x2 + 1, v =
b = 2 > 0 maka tan α di kuadran II sehingga α = 135° –2 cos x + 2 sin x =
f′(x) =
= cos 120°
w = sin z. u′ = 2x
.
Dari fungsi –2 cos x + 2 sin x diperoleh a = –2 dan b = 2.
−
⇔ 2x = ± 120° + k · 360° Mencari penyelesaian 2x = 120° + k · 360°. 2x = 120° + k · 350° ⇔ x = 60° + k · 180° ⇔ x = 60°, 240°, . . . Mencari penyelesaian 2x = –120° + k · 360°. 2x = –120° + k · 360° ⇔ x = –60° + k · 180° ⇔ x = –60°, 120°, 300°, . . . Oleh karena 0° ≤ x ≤ 180°, nilai x yang memenuhi 60° dan 120°.
f(x) = (x2 + 1)
f(x) + f′(x)=
k=
cos 2x = –
11. Jawaban: c
9. Jawaban: a
k=
= –2 cos 2x
f′′(x) = 1 ⇔ –2 cos 2x = 1
= cos p + (1 – p sin 2px) g′(x) = 0 + (1 – p sin 2px)
!′ !
f′′(x) =
12. Jawaban: d
− = ((x2 – 1) cos x) Misal u = (x2 – 1) cos x, v = x2 – 1, dan w = cos x
f(x) =
maka f(x) = u dan u = vw. ! !
= vw′ + wv′ = (x2 – 1)(–sin x) + cos x · 2x = (1 – x2) sin x + 2x cos x
f′(x) =
! !
= u
−
·
! !
· ((1 – x2) sin x + 2x cos x)
= ((x2 – 1) cos x)
−
((1 – x2) sin x + 2x cos x)
Matematika Kelas XI Program IPA
101
= 4(x2 – sin (2x2 + 1))3 · 2x(1 + 2 cos (2x2 + 1)) = 8x(1 + 2 cos (2x2 + 1))(x2 – sin (2x2 + 1))3 Jadi, y′ = 8x(1 + 2 cos (2x2 + 1))(x2 – sin (2x2 + 1))3.
− +
=
−
− +
=
− − +
15. Jawaban: b f(x) = ax + b cotan x f′(x) = a + b(–cosec2 x) = a – b cosec2 x
Jadi, f′(x) =
−
.
13. Jawaban: a y = cos3 x sin5 x = cos3 x sin3 x sin2 x = sin2 x sin3 x cos3 x
π
f′( ) = –7
=
sin2 x sin 2x
Misal u =
⇔
w2.
v′ = 2 cos 2x ! !
! !# · !# ! · 2w · (cos x)
· 2 sin x cos x
sin 2x
= = = =
a–
sin2 x, v = sin 2x, dan w = sin x maka
y = uv dan u = u′ =
\
⇔ a–
= sin2 x · (2 sin x cos x)3
⇔ ⇔
a – 4b = –7 a = 4b – 7
=7
π
= sin2 2x + sin2 x – sin4 x
\
a–
a–
π
\
=2 =2
⇔ a–b=2 ⇔ 4b – 7 – b = 2 ⇔ 3b = 9 ⇔ b=3 Diperoleh a = 4b – 7 = 4 · 3 – 7 = 5. Nilai a – b = 5 – 3 = 2. Jadi, nilai a – b = 2.
= sin2 2x + sin2 x (1 – 2 sin2 x)
\
= –7
a–
⇔
\
= –7
⇔
⇔
= sin 2x · sin 2x + sin2 x · 2 cos 2x
π
f′( ) = 2
y′ = vu′ + uv′
\
=a–
Jadi, y′ = sin2 2x + sin2 x – sin4 x. 14. Jawaban: b y = (x2 – sin (2x2 + 1))4 Misal u = x2 – sin (2x2 + 1), v = x2, w = sin (2x2 + 1), dan z = 2x2 + 1 maka y = u4, u = v – w, dan w = sin z. w′ =
! !^
·
!^ !
B.
Uraian
1. a.
f(x) = sin2 (3x2 – 1) cos (3x + 1) Misal u = sin2 (3x2 – 1), v = cos (3x + 1), w = sin (3x2 – 1), z = 3x2 – 1, dan p = 3x + 1 maka f(x) = uv, u = w2, v = cos p, dan w = sin z. u′ =
! !
= –cos z · 4x = –4x cos (2x2 + 1) ! !
y′ =
! !
=
! !
·
! !
= 4u3(2x + 4x cos (2x2 + 1))
102
Kunci Jawaban dan Pembahasan
! !#
·
!# !^
·
!^ !
= 2w · cos z · 6x = 6x · 2 sin (3x2 – 1) cos (3x2 – 1) = 6x sin 2 (3x2 – 1) = 6x sin (6x2 – 2)
= v′ – w′ = 2x – (–4x cos (2x2 + 1)) = 2x + 4x cos (2x2 + 1)
=
v′ =
! !
=
!" 
