Kuliah-2-Integral-Garis.pptx

Integral Garis

Integral Garis •

•

A line integral (sometimes called a path integral, contour integral, or curve integral) is an integral where the function to be integrated is evaluated along a curve. The line integral of a vector field plays a crucial role in vector calculus. Out of the four fundamental theorems of vector calculus, three of them involve line integrals of vector fields. Green's theorem and Stokes' theorem relate line integrals around closed curves to double integrals or surface integrals.

Integral Garis

Integral Garis Misalkan C suatu kurva bidang mulus, dan dinyatakan secara parameter oleh persamaan :

 x  x t  , y  y t  , a  t  b

dimana x’(t) dan y’(t) kontinu serta tidak secara serentak sama dengan nol pada [a, b]. Misalkan C terorientasi secara positif (yakni arah positifnya berpadanan terhadap pertambahan nilai t). Berarti t mempunyai titik awal A= (x(a),y(a)) dan titik ujung B = ( x(b),y(b)).

Integral Garis •

•

•

•

Selanjutnya kurva C kita partisi menjadi n busur bagian Pi-1Pi dimana titik Pi berpadanan dengan ti Misalkan ∆si menyatakan panjang busur Pi-1Pi dan |P| adalah norm partisi P, yaitu misalkan |P| adalah ∆ti = ti-ti-1 yang terbesar. Kemudian pilih titik contoh Qi  xi , yi  pada busur-busur bagian Pi-1Pi Kemudian perhatikan penjumlahan Riemann : n





   f xi , yi si i 1

Integral Garis •

•

 Jika f tidak negatif, maka jumlah ini mengaproksimasi luas tirai tegak melengkung seperti terlihat pada gambar.  Jika f kontinu pada suatu daerah D yang mengandung kurva C, maka jumlah Riemann ini mempunyai limit untuk  P   0

Limit ini disebut integral garis f sepanjang C dari A ke B, yaitu : n

  f  x, y  dS  lim  f  x , y  s C 

 P  0

i

i

i

i 1

dS  menyatakan panjang busur, jadi : b

  f  x, y  dS   f  x  t  , y  t   C

2

2

 x '  t     y '  t   dt 

a

Integral garis di atas merupakan integral garis dari fungsi skalar.

Contoh : Hitung  x 2 y ds , dengan C ditentukan oleh persamaan



C 

 parameter : x  3 cos t , y  3sin t , 0  t     

2

 Jawab :   

 x

2

y ds 

/2

 3cos t 

2

 3sin t   3sin t    3cos t 

0

C 

  

/2

 81  cos 2 t sin t dt   0   

/2

 81  cos 2 t d (cos t ) 0



81 3

cos3 t  0 / 2  27   

2

2

dt 

Integral Garis •

Selain terhadap panjang busur, integral garis dapat juga didefinisikan terhadap variabel koordinat sebagai berikut: b   f  x, y, z  dx   f  x  t  , y  t  , z (t )  x '  t  dt  C

a b

  f  x, y, z  dy   f  x  t  , y  t  , z(t )  y '  t  dt  C

a b

  f  x, y, z  dz   f  x  t  , y  t  , z(t )  z '  t  dt  C

a

Integral Garis •

Ketiga integral di atas sering terjadi bersamaan. Jika P, Q, dan R adalah fungsi kontinu dari variabel x, y, dan z, maka:

 P dx  Q dy  R dz   P dx   Q dy   R dz  C

C

C

C

 

b

 P dx  Q dy  R dz  P  x  t  , y  t  , z(t )  x '  t  dt  C

a b

 Q  x  t  , y  t  , z(t )  y '  t  dt   a b

 R  x  t  , y  t  , z(t )  z '  t  dt  a

Integral Garis •

Contoh: Hitung integral garis

  y dx  z dy  x dz ,dengan C ditentukan oleh persamaan C 

 parameter : x  t , y  t 2 , z  t 3 , 0  t   1

Sifat-sifat Integral Garis •

Ketika orientasi dari kurva parameter berlawanan dengan C, maka:

  f ( x, y, z ) ds   f ( x, y, z)ds C

C 

  P dx  Q dy  R dz    P dx  Q dy  R dz  C •

C 

 Jika kurva C terdiri dari sejumlah berhingga kurva mulus yang terhubung pada setiap titik-titik ujungnya, maka C disebut piecewise smooth.

Sifat-sifat Integral Garis •

Contoh: Hitung integral garis a.  xy ds , dengan C ditentukan oleh persamaan



C 

 parameter : x  1  8t , y  2  6t , 0  t   1



b.  xy ds , dengan C ditentukan oleh persamaan C 

 parameter : x  9  4t , y  8  3t , 0  t   2

Sifat-sifat Integral Garis •

Contoh: Hitung integral garis a.  y dx  x dy ,dengan C ditentukan oleh persamaan



C 

 parameter : x  1  8t , y  2  6t , 0  t   1



b.  y dx  x dy ,dengan C ditentukan oleh persamaan C 

 parameter : x  9  4t , y  8  3t , 0  t   2

Integral Garis

Sifat-sifat Integral Garis •

Contoh: Hitung integral garis

  y dx  2 x dy, untuk masing-masing tiga kurva berikut C 

C 1 : garis lurus pada bidang dari A (1,1) ke B (2,4) C 2 : lintasan pada bidang bidang dari A (1,1) ke B (2,4) sepanjang kurva  y  x 2 C 3 : garis lurus pada bidang dari A (1,1) ke Q (2,1) diikuti garis lurus dari Q (2,1) ke B (2,4)

Latihan 1. Hitung 2 xds , dengan C terdiri dari busur parabola y  x 2



C 

dari (0,0) ke (1,1) diikuti oleh ruas garis vertikal dari (1,1) ke (1,2) 2. Hitung

 P( x, y) dx  Q( x, y) dy, dengan C terdiri dari garis dari C 

(  1,1) ke (2,1) dan dari (2,1) ke (2,5)