Kuliah 1 Sistem Satuan

Dr. Suharsono, MT Kuliah Fisika Dasar

Satuan Acara Perkuliahan KULIAH I BAB I BESARAN POKOK 1. SISTEM SATUAN 2. BESARAN TAK TERDEFINISIKAN 3. STANDAR DAN SATUAN 4. SIMBOL BESARAN FISIKA BAB II KINEMATIKA PARTIKEL 1. GERAK PARTIKEL 2. 3. 4. 5. 6. 7.

KULIAH II & III KECEPATAN DAN PERCEPATAN KECEPATAN DAN PERCEPATAN SESAAT GERAK LURUS DENGAN PERCEPATAN KONSTAN GERAK DALAM BIDANG DATAR GERAK MELINGKAR KECEPATAN DAN PERCEPATAN RELATIF

Satuan Acara Perkuliahan KULIAH IV & V BAB III DINAMIKA PARTIKEL 1. HUKUM NEWTON 2. BERAT DAN MASSA 3. GAYA GESEKAN 4. GAYA SENTRIPETAL 5. GAYA GRAVITASI 6. BATAS BERLAKUNYA MEKANIKA NEWTON KULIAH VI QUIZZZ 45 MENIT BAB IV USAHA DAN ENERGI 1. PENGERTIAN UMUM 2. USAHA OLEH GAYA YANG BERUBAH 3. DAYA

Satuan Acara Perkuliahan KULIAH VII & VIII BAB IV USAHA DAN ENERGI 4. ENERGI POTENSIAL PEGAS 5. ENERGI POTENSIAL GRAVITASI 6. HUKUM KEKEKLAN ENERGI BAB V MOMENTUM LINIER 1. GAYA IMPULS 2. MOMENTUM PARTIKEL 3. PUSAT MASSA 4. GERAK PUSAT MASSA

Satuan Acara Perkuliahan KULIAH IX & X BAB V MOMENTUM 5. TUMBUKAN BAB VI STATIKA DAN DINAMIKA FLUIDA 1. STATIKA FLUIDA 2. TEKANAN DALAM FLUIDA 3. TEGANGAN PERMUKAAN 4. ALIRAN FLUIDA

Satuan Acara Perkuliahan

KULIAH XI & XII BAB VI STATIKA DAN DINAMIKA FLUIDA 1. DINAMIKA FLUIDA 2. PERSAMAAN KONTINUITAS 3. PERSAMAAN BERNOULLi

KULIAH XIII & XIV 1. 2. 3. 4.

QUIZZZ HUKUM STOKES PENERAPAN STATIKA DAN DINAMIKA FLUIDA KISI-KISI

KEDUDUKAN / TETRAHEDRON BASIC SCIENCE (ILMU PENGETAHUAN ALAM)

GI

BIOLOGI

GE OL

GE O

KI M IA

A MI KI

OG I

PA LE ON TO LO

BI O

GEOKIMIA

FI S IKA

FI

FISIKA

KA I S

A MI I K

GAMBARAN KUALITATIF

IPTEK

PENGUKURAN BESARAN DASAR

SISTEM SATUAN

OUTPUT/ MODEL

Ilmu Fisika disebut juga ilmu pengukuran (Science of Measurements). Lord Kelvin (1824 – 1907) : When you can measure what you are speaking about and express it in numbers, you know something about it; but when you cannot express it in numbers, your knowledge is of a meager and unsatisfactory kind, it may be the beginning of knowledge; but you scarcely, in your thoughts, advanced to the stage of science, whatever the matter may be.

SATUAN DALAM SISTEM INTERNASIONAL Dalam sejarah tercatat bahwa sejak zaman purba manusia telah melakukan pengukuran, misalnya terhadap panjang, luas, berat, waktu dan lain-lainnya. Penggunaan satuan pengukuran untuk setiap kelompok (bangsa) tentu pada awalnya berbeda-beda. Namun keadaan tersebut belum menimbulkan masalah karena interaksi dan komunikasi antar kelompok (bangsa) tidak begitu intensif.

Dengan semakin majunya peradaban manusia, teknologi dan alat komunikasi, ketidakseragaman penggunaan satuan mulai terasa mengganggu dan menimbulkan hambatan dalam usaha mengembangkan ilmu pengetahuan. Sebagian pakar mulai memikirkan dan berusaha mendapatkan satuan yang bersistem, mudah dalam pemakaian maupun perhitungan dan dapat diterima semua pihak.

Aturan dan Konvensi Sistem Internasional 1. Cara menulis satuan Nama satuan dasar dan satuan jabaran apabila ditulis lengkap tidak memakai huruf kapital. Huruf kapital hanya dipakai pada singkatan dan tidak diikuti tanda titik. 10 newton V 10 5AV Xn 5 Ampere X 10 Newton 5 ampereV 5Xa 10XN. X o o 10 CV 273 kelvin V 273 X K 273 K V 273X Kelvin 10o celcius V

10o Celcius X

2. Penulisan Bilangan dan Tanda desimal Bilangan ditulis sebagai hasil kali suatu bilangan real antara 1 s/d 10 dengan pangkat dari bilangan 10. Contoh: Jarak Bumi – Matahari 150.000.000.000 M = 1,5 x 1011meter 0,00000001 → 1,0 x 10-8 12.000.000 → 1,2 x 107

3. Penulisan Satuan jabaran Pemakaian tanda solidus (/) diperbolehkan, tetapi tidak digalakkan. Untuk tulisan resmi lebih baik menggunakan tanda pangkat. Contoh: 100 N/meter2 (boleh) Akan lebih baik jika ditulis : 100 Nmeter

-2.

Contoh : a. Hitung : 120 x 6000 b. Hitung : 3.000.000/0,00015 Jawab : a. 120 x 6000 = (1,2x102)(6,0x103) = (1,2)(6,0) x 102+3 = 7,20 x 105 b.

3,0 x 106 1,5 x 10-4

3,0 = 1,5

x 106-(-4) = 2,0 x 1010

Konversi Satuan Suatu besaran fisik harus terdiri dari bilangan dan satuan. Jika bilangan-bilangan dijumlahkan, dikurangkan, dikalikan atau dibagi dalam suatu persamaan aljabar, maka satuannya juga harus diperlakukan sama seperti bilangannya. Bentuk umumnya: Besaran = Nilai numerik

Satuan

Contoh: Kecepatan suara = [ 340 ] {M/dt}

Contoh : Pada persamaan X = Vo.t + ½ a.t2. Bila X dalam satuan meter, maka suku Vo.t dan ½ a.t2 juga harus menghasilkan satuan meter. Bila t dinyatakan dalam satuan detik maka satuan Vo= M dt-1 sedangkan satuan a=M dt-2. Faktor ½ hanyalah suatu bilangan tanpa satuan. Misalkan diberi nilai Vo = 10 Mdt-1; a = 4Mdt-2 dan t = 10dt, maka persamaan di atas dapat diselesaikan menjadi: X = 10 M dt-1. 10 dt + ½. 4 M dt-2. [10 dt]2 = 10 M . 10 + ½. 4 M. 10.10 = 100M + 200M = 300meter.

Contoh : Berapa mil jarak yang ditempuh sebuah mobil yang melaju dengan kecepatan konstan 80km/jam selama 3 jam ? (Diketahui 1 mil = 1,61 km) Jawab: 80 km X = v.t   x3 jam  240 km jam

Jika akan diubah satuannya dari km jadi mil : 240km = 240km x 1 mil = 149 mil 1,61 km

Contoh : Hitung nilai ekivalen 90km/jam kedalam meter/dt ! Faktor konversinya : 1000 m 60 dt 60 menit 1 ; 1 ; 1 1 km 1 menit 1jam

Oleh karena itu: 90km 1 jam

x

1000m 1 km

1 jam x 60 menit

1 menit x = 60 detik

9,0 x 104 90 = 25 meter/detik 3 = 3,6 x 10 3,6

Besaran tak terdefinisikan Dalam mendefinisikan suatu besaran dalam Ilmu Fisika harus terkandung kaidah menghitung besaran yang bersangkutan berdasarkan besaran lain yang dapat diukur. Misalnya: • Kecepatan didefinisikan sebagai hasil bagi antara Panjang dan Waktu • Momentum adalah hasil kali antara Massa dan Kecepatan. • Usaha adalah hasil kali antara Gaya dan Panjang

Namun selanjutnya, besaran Panjang, Waktu dan Massa tidak dapat didefinisikan lagi secara lebih mendasar dan lebih sederhana lagi. Oleh sebab itu, Panjang, Waktu dan Massa dinamakan besaran mekanika yang tak terdefinisikan. Semua besaran mekanika dapat diungkapkan berdasarkan tiga besaran tersebut. Tentukan besaran dasar untuk : 1. Daya 2. Kerja/usaha 3. Energi

STANDARD DAN SATUAN Kaidah untuk mengukur besaran mekanika yang tak terdefinisikan ditentukan oleh badan internasional yang bernama General Conference on Weights and Measures, yang bertugas menetapkan suatu standar untuk setiap besaran yang tak terdefinisikan. Standar ini dapat berupa suatu barang nyata, dengan syarat bahwa sifatnya tidak boleh berubah-ubah dalam jangka waktu yang lama.

Besaran Panjang • Pada tahun 1889, standar panjang dibuat dari bahan campuran Platinum-Iridium yang dinyatakan sebagai satu meter. • Pada 14 Oktober 1960, GCWM mengganti standar panjang berdasarkan suatu konstanta atom, yaitu panjang gelombang cahaya merah jingga yang dipancarkan oleh atom Kripton 86.

Besaran Massa Standar untuk besaran massa adalah “massa dari suatu silinder yang terbuat dari bahan campuran Platinum-Iridium” dan diberi nama satu kilogram.

Standar Waktu • Standar waktu yang digunakan sampai tahun 1960-an adalah “selang waktu antara saat matahari berada di atas kepala sampai posisi yang sama pada keesokan harinya”, dihitung rata-ratanya dalam satu tahun dan dinamakan ‘satu hari rata-rata hari matahari’ (mean solar day). • Antara tahun 1960-1967, standar tersebut diganti dengan metoda tahun tropik 1900 (Tropical year 1900), yaitu waktu yang diperlukan matahari pada tahun 1900 untuk bergerak dari titik vernal equinox, lalu kembali lagi ke titik tsb.

• Pada bulan Oktober 1967, metoda tahun tropik diganti lagi menggunakan waktu periodik radiasi yang bersesuaian dengan transisi antara dua tingkat energi atom Cesium 133. Besaran Panjang Massa Waktu

Standar

Alat Ukur

Satuan

 Cahaya merahjingga atom Kr86. Silinder PlatinumIridium

InterferometerOptik

1m=1.650.763,73

Neraca sama lengan

1kg

Waktu periodik Jam atom transisi antara dua tingkatan energi atom Cs133.

1dt=9.192.631.770 periode atom Cs

BAB II KINEMATIKA PARTIKEL Kinematika merupakan bagian dari mekanika yang menyelidiki gerak suatu benda/partikel, tanpa memperhatikan penyebab gerak tersebut, dengan cara menentukan posisi benda pada setiap saat, sehingga diperoleh hubungan kecepatan/laju benda setiap saat dan perubahannya terhadap waktu. Dalam kondisi sebenarnya di jagad raya tidak ada benda yang benar-benar berupa benda titik. Akan tetapi pengertian bendatitk) partikel sangat bermanfaat sebab gerak benda yang sebenarnya seringkali dapat didekati dengan gerak partikel. Untuk selanjutnya dalam kuliah ini yang dimaksud dengan benda (mobil, bola balok dsb.) adalah berupa benda titik atau partikel.

Pada umumnya gerak suatu benda dianggap sebagai gabungan antara gerak translasi dan gerak rotasi. Jika benda yang dikaji berukuran jauh lebih kecil dari pada lintasan translasi, maka gerak rotasinya dapat diabaikan, sehingga cukup dibahas gerak translasi saja. 1.2. KECEPATAN Gerak yang paling sederhana dari suatu benda adalah gerak pada garis lurus yang disebut gerak lurus beraturan. Dalam mengamati gerak suatu partikel perlu dicatat posisi partikel sebagai fungsi waktu. t0

t1

t2

t3

t4

0

x1

x2

x3

x4

Tabel Posisi Benda Terhadap Waktu t (dt)

X(m)

0

0,0

1

4,9

2

19,6

3

44,1

4

78,4

5

122,5

Selang waktu antara t1 dan t2  t = t2 - t1 Sedangkan perubahan posisi benda dalam selang tersebut dinyatakan sebagai perpindahan benda  x = x2 – x1. Berapa besar perubahan posisi benda disebut kecepatan benda.

1.2.1 KECEPATAN RATA-RATA Kecepatan rata-rata dalam selang waktu t1 dan t2 dituliskan:

x x 2  x1 V  t t 2  t1

. . . . (2.1)

Kecepatan rata-rata bergantung pada besar selang waktu dan pada bagian mana selang digunakan: T1 (dt)

T2 (dt)

t

X1 (m)

X2 (m)

x

V

0 0 0 2

1 2 3 3

1 2 3 1

0 0 0 19,6

4,9 9,8 43,1 43,1

4,9 9,8 43,1 33,1

4,9 4,9 14,3 33,3

Kecepatan rata-rata memberi keterangan yang kasar tentang gerak benda dalam selang waktu tertentu, tanpa mempedulikan bagaimana posisi berubah dengan waktu dalam selang tersebut.

X Q

x2

x1 0

P t1

t2

T

Pada kurva X-T kecepatan rata-rata dilukiskan oleh kemiringan talibusur PQ, karena kemiringan tersebut merupakan perbandingan x dan t. Dengan demikian persamaan (2.1) dapat dituliskan : x2 – x1 = v ( t2 – t1 ) (2.2)

Jika t1 = 0 dan t2 adalah sebarang, sedangkan posisi benda pada saat t = 0 adalah x0 dan pada saat t posisinya x, maka: x – x0 = v.t

. . . (2.3)

Bila pada saat t = 0 posisi benda di titik 0 maka: x = v.t

. . . . (2.4)

1.2.2 KECEPATAN SESAAT Kecepatan suatu partikel pada suatu saat t tertentu atau pada suatu titik sepanjang lintasannya disebut kecepatan sesaat. Dengan demikian kecepatan pada saat t dapat ditentukan jika dihitung kecepatan rata-ratanya dalam selang waktu t di sekitar t dan selang waktu ini diperkecil terus hingga mendekati 0. Secara matematik dinyatakan:

x v( t )  lim t 0 t

………(2.5)

Misalkan pada contoh di atas akan dihitung kecepatan sesaat pada t = 3 dt, maka harus dilakukan pengukuran sangat teliti pada t di sekitar 3 dt, sehingga dapat ditentukan lim v pada selang waktu t0. Hasil pengukuran dapat ditabelkan seperti berikut: t1 (dt)

t2 (dt)

t

x1 (m)

x2 (m)

x

V (m.dt-1)

3 3 3 3 3 3 3

4,00 3,50 3,20 3,10 3,05 3,02 3,01

1,00 0,50 0,20 0,10 0,05 0,02 0,01

44,1 44,1 44,1 44,1 44,1 44,1 44,1

78,40 60,22 50,18 47,09 45,58 44,69 44,395

34,30 15,92 6,08 2,99 1,48 0,59 0,295

34,36 31,84 30,44 29,90 29,60 29,50 29,50

Nyata bahwa jika t0 maka x juga mendekati 0, namun;

x v t

tidak mendekati nol, akan tetapi menuju suatu nilai.

x  v (t ) Nilai yang didekati adalah: lim t  0 t

Seringkali tabel antara waktu (t) dan posisi (x) digantikan dengan persamaan gerak berbentuk fungsi x(t). Dalam hal ini, perpindahan ∆x adalah menyatakan beda posisi pada saat (t+∆t) dengan posisi pada saat t. Oleh karena itu dapat dituliskan ∆x = x(t+∆t) - x(t), sehingga kecepatan sesaat v(t) dapat ditulis sebagai: x x (t  t ) - x(t) v (t )  lim  lim t  0 t t  0 t

…………. (2.6)

x(t  t ) - x(t) merupakan definisi turunan x(t) t  0 t

Akan tetapi lim

terhadap t, yaitu: dx . dt

x dx  Sehingga v (t )  lim t  0 t dt

…..(2.7)

S O AL 1. Suatu benda bergerak mengikuti fungsi x(t) = 5t 3+2t Hitunglah kecepatan sesaat pada t=2dt? 2. Suatu partikel bergerak berdasarkan persamaan x = a + bt + ct2; dimana a=10cm, b =8cm.dt-1, c=4cm.dt-2 Hitunglah: a. Perpindahan partikel dalam selang t1=2dt dan t2=4dt. b. Kecepatan rata-rata selama selang waktu tersebut. c. Kecepatan sesaat pada t=3dt

PERCEPATAN Pada umumnya saat benda bergerak, kecepatannya juga berubah-ubah terhadap waktu. Laju perubahan kecepatan ini disebut percepatan. Dalam hal ini benda dikatakan bergerak dengan gerak yang dipercepat. Seperti dalam pembahasan kecepatan, disini juga dikenal pengertian percepatan rata-rata dan percepatan sesaat. t1 v1

t2 v2

Jika pada saat t1 benda mempunyai kecepatan v1, dan pada saat t2 kecepatannya v2, maka percepatan rata-ratanya dalam selang waktu ∆t = t2 – t1, dinyatakan oleh: v 2  v1 v a  …………. (2.8) t 2  t1 t

Percepatan sesaat Dengan cara yang sama seperti pada saat menentukan kecepatan sesaat, maka percepatan sesaat dapat ditentukan. Andaikan pada grafik 2.2 titik Q diambil semakin mendekati P, dan misalkan percepatan rata-rata dihitung untuk selang waktu yang sangat pendek; Maka percepatan sesaat pada saat tertentu atau pada suatu titik dapat didefinisikan sebagai nilai limit percepatan rata-rata bila selang waktu diambil mendekati 0. V

v dv a  lim  …… (2.9) dt t  0 t

Q

v2

v1

P

0

t1

t2

T

Percepatan sesaat pada setiap titik sepanjang grafik tersebut sama dengan kemiringan garis singgung pada titik tersebut.

Percepatan juga dapat dituliskan dalam bentuk yang lain: dx ; maka: Karena v = dt

dv d  dx  d2 x a     2 dt dt  dt  dt

………….. (2.10)

Persamaan ini menyatakan bahwa percepatan merupakan turunan kedua posisi terhadap waktu. Selain itu percepatan dapat ditulis dalam bentuk yang lain lagi:

dv dv dx dv a  v dt dx dt dx

……………. (2.11)

yang menyatakan percepatan dalam bentuk perubahan kecepatan dalam ruang.

SOAL Sebuah partikel bergerak dengan kecepatan v = a + bt + ct 3; dimana a=8m.dt-1; b=3m.dt-2; c=1m.dt-4; (t dalam detik) Hitunglah: 1. Perubahan kecepatan dalam selang waktu antara t1=2dt dan t2=5dt. 2. Percepatan rata-rata dalam selang waktu tersebut. 3. Percepatan pada saat t = 3 detik.

GERAK LURUS DENGAN PERCEPATAN KONSTAN Gerak lurus dipercepat yang paling sederhana adalah gerak lurus dengan percepatan konstan (Gerak Lurus Berubah Beraturan), dimana kecepatan benda berubah secara teratur selama gerak berlangsung. Dalam grafik v-t, pertambahan kecepatan rata-rata akan sama besar di dalam selang waktu yang sama, sehingga grafiknya merupakan garis lurus. V Kemiringan talibusur antara sebarang dua titik sepanjang garis itu sama dengan kemiringan garis singgung di sebarang titik tersebut.

v a.t vo

v

vo t

T

Sifat lain dari benda yang mengikuti GLBB adalah bahwa percepatannya akan sama besar dengan percepatan sesaat. Oleh karena itu dalam persamaan (2.8), percepatan rata-rata dapat diganti dengan percepatan konstan (a):

v 2  v1 a t 2  t1 Selanjutnya bila t1 = 0 dan t2 adalah sebarang waktu t, sedangkan vo merupakan kecepatan pada saat t=0 (vo=kecepatan awal), dan v adalah kecepatan pada saat t, maka persamaan diatas dapat ditulis menjadi:

v  vo a t0

atau v = vo + a.t

………… (2.12)

Untuk menghitung perpindahan benda yang bergerak dengan percepatan konstan, maka kecepatan rata-rata pada sebarang selang waktu akan sama dengan setengah dari jumlah kecepatan pada awal dan akhir selang waktu tersebut. Sehingga kecepatan rata-rata antara t=0 dan t adalah:

vo  v v 2

……….. (2.13)

Persamaan ini tidak berlaku bila percepatannya tidak konstan. Dengan demikian posisi benda pada sebarang t adalah: x = v.t

………… (2.14)

Substitusi persamaan (2.13) dan (2.14)

vo  v x .t 2

………… (2.15)

Bentuk persamaan lain yang sering digunakan dalam mempelajari gerak benda, dapat diturunkan sbb.: Substitusi (2.12) dan (2.15), yakni ruas kanan (2.12) masukkan sebagai v pada persamaan (2.15) sehingga: 2 v o .t  a.t 2 x 2

…………… (2.16)

atau v o  v o  a.t x .t 2

x  v o .t  12 a.t 2

…………… (2.17)

Bila harga t dicari berdasarkan persamaan (2.12) kemudian dimasukkan ke dalam persamaan (2.15) akan diperoleh:

vo  v v  v o v2  v o x .  2 a 2a

2

atau 2

v  v o  2a.x 2

…………… (2.18)

Persamaan (2.12), (2.15), (2.17) dan (2.18) merupakan persamaan gerak dengan percepatan konstan, khusus untuk gerak dimana benda berada di titik awal (x=0) pada t = 0. Grafik x-t dari persamaan (2.17) merupakan garis lengkung berbentuk parabola, yang menggambarkan persamaan gerak dengan percepatan konstan.

X x

Kemiringan = v

Kemiringan = vo t

T

Kemiringan garis singgung pada t=0 menyatakan kecepatan awal vo sedangkan kemiringan garis singgung pada saat t merupakan kecepatan v pada saat itu. Kasus khusus untuk percepatan konstan adalah kalau percepatannya sama dengan nol. Dalam hal ini kecepatan akan menjadi konstan dan persamaan geraknya menjadi lebih sederhana: v = konstan Sehingga: x =v.t

Metoda Penentuan Persamaan Gerak x(t) Bila posisi suatu benda yang bergerak mengikuti fungsi waktu t, maka percepatan benda dapat diperoleh dari diferensialnya. Diferensiasi yang ke-2 akan menghasilkan percepatan. Proses tersebut sekarang dibalik dengan mengintegralkan suatu persamaan percepatan sehingga diperoleh kecepatannya. Integral kedua akan menghasilkan posisi benda.  Metoda Integral Tanpa Batas 1. Misalkan suatu benda bergerak dengan percepatan sebagai fungsi dari waktu t, yaitu a(t) karena dv = a(t) dt Maka  dv = a(t) dt  dv =  a(t) dt ……….. (2.19)  v =  a(t) dt + C1

C1 merupakan konstanta integrasi yang harganya dapat ditentukan bila kecepatan benda pada sebarang waktu telah diketahui. Untuk kasus percepatan konstan, maka:  v =  a(t) dt + C1  v = a  dt + C1  v = a.t + C1 Jika v = vo pada t=0, maka vo = a.0 + C1, sehingga C1=vo. Karena itu v = a.t + vo atau v(t) = vo + a.t ... (2.20) = (2.12) 2. Jika suatu benda bergerak dengan kecepatan sebagai fungsi dari waktu, yaitu v(t): Karena dx = v(t) dt Analog dengan penyelesaian kasus di atas

dx = v(t) dt  dx = v(t) dt  x = v(t) dt + C2 C2 adalah konstanta integrasi yang nilainya dapat ditentukan jika posisi benda pada sebarang waktu telah diketahui. Untuk kasus percepatan konstan :  x =  [vo+a.t] dt + C2  x = vo.t + ½ a.t2 + C2 Jika posisi benda pada saat t=0 adalah x=0 maka C2=0, sehingga :  x = vo.t + ½ a.t2

………… (2.21)=(2.17)

3. Jika suatu benda bergerak dengan percepatan sebagai fungsi dari posisi (x), maka: v dv = a(x) dx  v dv = a(x) dx v2  = a(x) dx + C3 2 Sekali lagi untuk kasus benda bergerak dengan a konstan: v2  = a.x + C3 2

vo2 Jika pada posisi awal x=0 kecepatannya v=vo, maka C3= 2 Sehingga: v2 = vo2 + 2a.x

…………. (2.22)=(2.18)

 Integral Terbatas Untuk membahas penentuan kecepatan dan posisi dengan integral terbatas, perhatikan grafik v-t. V

v O

t1

∆t

t

t2 T

Misalkan selang waktu antara t1 dan t2 dibagi menjadi beberapa segi empat yang lebarnya ∆t.

Pada sebarang waktu t, ordinat grafik itu sama dengan kecepatan vo. Jika kecepatan tersebut harganya konstan sebesar v, maka perpindahan ∆x dalam selang waktu antara t+∆t akan sama dengan v.∆t. Hal ini tidak lain adalah luas segiempat yang diarsir. Jumlah luas keseluruhan segiempat pada selang t1 dan t2 kira-kira sama dengan perpindahan total x2-x1: x2-x1 ≈ Σ v.∆t Makin kecil selang waktu ∆t, maka harga v. ∆t akan mendekati perpindahan yang sesungguhnya. Bila ∆t mendekati nol, pastilah semua jumlah segiempat itu tepat sama dengan luas total daerah di bawah garis lengkung dan juga sama dengan total perpindahan x2-x1. Limit jumlah luas keseluruhan merupakan integral terbatas dari t1 sampai dengan t2, sehingga:

t2

x 2  x1   v.dt

………………. (2.23)

t1

Dengan cara yang sama pula, luas di bawah grafik a-t, dapat dibagi-bagi menjadi pias-pias vertikal setinggi a dan lebar ∆t: A

a O

t1

∆t

t

t2 T

Jika percepatan konstan, maka perubahan kecepatan ∆v selama ∆t akan sama dengan a.∆t , yaitu luas pias yang diarsir. Perubahan kecepatan total (v2-v1) selama selang waktu t1 dan t2 kira-kira sama dengan jumlah luas keseluruhan: v2-v1 ≈ Σ a.∆t Bila ∆t→0 t2

v 2  v1   a.dt

…………. (2.24)

t1

Jika kecepatan benda dari titik pusat dengan kecepatan awal= vo dan percepatannya konstan maka persamaan (2.24) menjadi t1=0 v1=vo. t

v  v o   a.dt  a.t 0

 v = vo + a.t

[tidak lain adalah (2.12)]

Sedangkan persamaan (2.13) dapat diperoleh  Jika t1=0 sehingga x1=0, maka: t

x  0   (v o  a.t )dt  v o .t  12 a.t 2 0

atau x = vo.t + ½a.t2

[tidak lain adalah persamaan (2.12)]