Kuantum mekaniği I-II Problemler (David J.Griffiths)-(Türkçe)

Önsöz Ögrenmek için ferasetsiz ve tembel olmamak gerekir,yalnızca başka amaçlarla derse gelmek bir fayda sağlamaz.Bu derste anlatılanları sanki size Max Planck,Niels Bohr,Erwin Schrödinger,Werner Heisenberg,Paul Dirac... anlatıyormuş gibi dinleyin. Dinlerken kendinizi parçacıklar alemine atın ve orada yasadığınızı farz edin.Kuantum mekaniğini gerçekten anlayabilmek ve yorumlayabilmek için matematiksel bağıntıların araç olduğunu unutmayın.Problem,formül,bağıntı ezberlemeyin.Schrödinger denkleminin nasıl çalıştığını kavrayın.Bu kavrama zaten zihninize gereken tüm bağıntıları getirecektir.

Son olarak ; Kuantum mekaniği ile ilgili şu 12 maddeyi hafızanıza geçirin ; Kuantum mekaniğinde olasılık hükmeder. Madde dalga-parçacık özelliği gözterir. Ölçümler için temel bir sınırlama vardır. Etkileşimler parçacıkların var veya yok olmasını içerir ve gerektirir. Parçacıklar spin özelliğine sahiptir. Parçacıklar süperpozisyon yaşayabilir. Fermiyonlar dışarlama ilkesine uyarlar. Bozonlar aynı hareket durumunda olmaktan hoşlanırlar. Bazı nicelikler değişimin tüm süreçlerinde korunurlar. Işık hızı doğadaki hız sınırıdır. Kütle ve enerji tek bir kavramda birleşir.

14/06/2013 İsmail T.

1

I.BÖLÜM

Ismail T.

1.3) Bir gauss dağılımı düşünelim. a)-A sabitini bulunuz. b), ve bulunuz. c)in grafiğini çiziniz. a)

b)

2

c)

iken ;

Öneri : Defterinizin ilk sayfasına Gauss integral kuralları tablosunu hazırlayın.

1.4) t=0 anında bir parçacık ,

İle verilen dalga fonksiyonuyla temsil edilmektedir. a)- yı normlayınız . b)dalga fonksiyonunu x’in fonksiyonu olarak çiziniz. c)anında parçacık en büyük olasılıkla nerededir ? d)-Parçacığın a’nın solunda bulunma olasılığı nedir ? (b=2a ve b=a limitleri için kontrol edin.) e)-x’ in beklenen değerini bulunuz ? a)

3

b)

c) Parçacık grafikten de anlaşılacağı üzere en büyük olasılıkla konumunda olacaktır.Başka bir yol ile de en olası konumunu bulabilirsiniz ;bunun için tek yapmanız gereken, parçalı fonksiyonları birbirine eşitlemeniz olacaktır. d)

e)

1.5) İle verilen dalga fonksiyonunu düşünelim. a)‘ yi normlayınız. b)- ve nin beklenen değerlerini belirleyiniz. c)- in standart sapmasını bulunuz. Parçacığın ne kadardır ?

ile

4

noktaları dışında bulunma olasılığı

a)

b)

c)

Parçacığın

1.7)

ile

noktaları dışında bulunma olasılığı P olsun ;

momentumun beklenen değerinin zamanla değişimini bulunuz.

5

1.9) m kütleli bir parçacık,

İle verilen bir durumdadır. a)-A’ yı bulunuz. b)hangi potansiyel enerji fonksiyon için schrödinger denklemini sağlar ? c)- , , , nin beklenen değerlerini hesaplayınız. c)değerlerini bulup belirsizlik ilkesiyle uyumunu kontrol edin. a)

b)

6

Kısmi türevler zamana bağımlı Schrödinger denkleminde yerine konulur :

c)

7

d)

1.10)

nin ondalık açılımındaki ilk 25 basamağı göz önüne alalım ;

a)-Bu kümeden seçilen bir eleman seçtiğimizde,her bir rakamın seçilme olasılığı nedir? b)-En olası rakam hangisidir? Medyan rakam değeri nedir ? Ortalama değer nedir? c)-Bu dağılımın standart sapmasını bulunuz. a) 3.141592653589793238462643

8

b) En olası rakam 3 tür,çünkü olasılığı

tir.

c)

1.16) Schrödinger denkleminin

gibi normlanabilen herhangi iki çözümü için ;

olduğunu gösteriniz.

Her iki integral için de kısmi integrasyon yöntemi uygulanır :

9

1.17) Bir parçacık t=0 anında

İle verilen dalga fonksiyonuyla temsil edilmektedir. a)-Normlama sabitini belirleyin. b)-t=0 da x in beklenen değeri nedir? c)-t=0 da p nin beklenen değeri nedir ? d)-x2 nin beklenen değeri nedir ? e)-p2 nin beklenen değeri nedir ? f)-x deki belirsizliği bulun ? g)-p deki belirsizliği bulun ? h)-Sonuçlarınızın belirsizlik ilkesiyle tutarlı olup olmadığını kontrol edin. a)

b)

10

c)

d)

e)

f)

g)

h)

11

I.BÖLÜM SONU ÖZET

Dirac sabiti ve De broglie dalga boyu ;

Bir boyutlu zamana bağımlı Schrödinger denklemi;

İstatistiksel hesaplamalar ;

Varyans ve standart sapma ;

Olasılık yoğunluğu hesaplamaları ;

Varyans ve standart sapma ;

Dalga fonksiyonu normalizasyon ;

Dalga fonksiyonu konum ve momentum ortalama değerler ;

durumunda bulunan bir parçacık için dinamik bir büyüklüğün ortalama değeri ;

Bir boyutlu Heisenberg ilkesi ve Ehrenfest teoremleri ;

12

II.BÖLÜM

Ismail T.

2.3)-Sonsuz kare kuyuda ; ve durumları için zamandan bağımsız Schrödinger denkleminin kabul edilebilir çözümleri olmadığını gösteriniz. için ;

Çözüme sınır şartları uygulanır;

;

Çözüme sınır şartlarını uygulanır ;

2.4)-Sonsuz kare kuyudaki n. kararlı durum için hesaplayınız.Belirsizlik ilkesinin sağlanıp sağlanmadığını kontrol ediniz.Belirsizlik limitine en yakın durum hangisidir? Kuyu potansiyelindeki bir parçacığın n. kararlı durumu için normalize edilmiş dalga fonksiyonunu :

Trigonometrik özdeşlikler veya kısmi integrasyon yöntemi kullanılarak ;

13

hesabı kolayca yapılmak istenirse, Schrödinger denkleminden yararlanılır ;

Veya başka yoldan ;

14

2.5)-Sonsuz kare kuyu içindeki bir parçacığın başlangıç dalga fonksiyonu ilk iki kararlı durumun bir karışımı yani lineer kombinasyonu olarak verilmiştir.

a)‘ normlayınız. b)ifadelerini bulunuz. c)değerini hesaplayınız, zamanla salınım yaptığına dikkat ediniz,bu salınımın açısal frekansı ve genliği nedir? d)değerini hesaplayınız.(E. Albayrak’ın söylediği gibi “Gözüm bunun hesabında bir şey yok”) e)- Bu parçacığın enerjisi ölçülürse hangi değerler olasılıklarla elde edilir? H’nın beklenen değerini bulunuz, yi karşılaştırınız. a)

15

b)

c)

16

Bir boyutta klasik dalga fonksiyonu hatırlanırsa genlik ve açısal frekans yazılabilir ;

d)

e)

2.7) Sonsuz kare kuyu içindeki bir parçacık ;

İle verilen bir başlangıç dalga fonksiyonuna sahiptir. a)- A sabitini belirleyiniz. b)yi bulunuz. c)-Bir enerji ölçümünde değerinin elde edilme olasılığı nedir ? d)-Enerjinin beklenen değerini bulunuz ? a)

17

b)

INT I

INT II

INT III

Sonuçlar yerlerine konulup düzenlenirse ;

c) Tek bir enerji ölçümünün

değerini verme olasılığı ;

idi.

18

değerini verme olasılığı ise ;

d)

2.8) a genişliğindeki sonsuz kare kuyuda bulunan m kütleli bir parçacık t=0 da kuyunun sol yarısından harekete başlıyor. Parçacık bu bölgede her noktada eşit olasılıkla bulunmaktadır. a)-Başlangıç dalga fonksiyonu b)-Bir enerji ölçümünde

nedir ? Dalga fonksiyonunu normlayın. değerinin elde edilme olasılığı nedir?

a)

b)

2.9) değerini ;

ile verilen dalga fonksiyonu için t=0 anında H’nın ortalama

yardımıyla bulunuz ?

19

2.10)-Kuantum harmonik salınıcını için : a)b)c)-

kararlı durumunu kurunuz . nin grafiklerini çiziniz. nin ortogonalliklerini kontrol ediniz.

a)

20

b) Mathematica ile :

c)

2.11)ve a)-Yukarıdaki dalga durumları için integrasyonları açık biçimde yaparak ; yi hesaplayın. b)-Bu durumlar için belirsizlik durumunu kontrol edin. c)-Bu durumlar için ortalama kinetik ve potansiyel enerjiyi hesaplayınız ? Bu ortalamaların toplamının neye eşit olmasını beklersiniz ? a)

21

b) için belirsizlik ilkesi ;

için belirsizlik ilkesinin sağlandığını siz gösterin. c)

Bu sonuçlar hangi teoremin sonucudur ?

2.12)-

operatörlerini kullanarak harmonik salınıcının n.kararlı durumu için ;

değerlerini bulunuz.Belirsizlik ilkesinin sağlandığını kontrol ediniz.(Köşeli parantez içindekileri siz bulun)

22

23

2.13)- Harmonik salınıcı potansiyeli içindeki bir parçacığın başlangıç durum fonksiyonu ;

olarak verilmiştir, a)- A’yı bulunuz. b)kurunuz. c)- ve yi bulunuz.Bu dalga fonksiyonu için Ehrenfest teoreminin gerçeklendiğini kontrol ediniz. d)- Bu parçacığın enerjisi ölçülürse hangi değerler hangi olasılıklarla elde edilir ? a)

24

b) dalga fonksiyonunu oluşturmak için verilen başlangıç dalga durumu, içinde bulunan çözümler kendi enerji değerine karşılık gelen exponentiel ile çarpılır :

c)

25

d)

2.14) Bir parçacık klasik frekansı ω olan harmonik salınıcının taban durumundadır.Dalga fonksiyonu değişmeden klasik frekansı aniden 2ω oluyor.Enerji bir kez ölçüldüğünde değerini elde etme olasılığı nedir ?

26

2.15) Harmonik salınıcının taban durumunda ,parçacığın klasik olarak izin verilen bölgenin dışında bulunma olasılığı nedir? Klasik olarak bir salınıcının enerjisi : Klasik olarak izin verilen bölge içinde bulunma olasılığı P’ olsun.

Klasik olarak izin verilen bölge dışında bulunma olasılığı ise

Öneri: Hermite polinomlarından

tekrarlama ve Rodrigues formülünü kullanarak bulunuz.

2.21) Serbest bir parçacığın başlangıçtaki dalga fonksiyonu a)b)c)-

ı normlayın. yı bulun. yi integral formunda oluşturun.

a)

27

olarak verilmiştir.

b)

c)

2.22) Serbest bir parçacığın başlangıçtaki dalga fonksiyonu

olarak verilmiştir.

a)’ı normlayın. b)yi bulun. c)‘yi bulun. d)yi bulunuz. e)- Belirsizlik ilkesi sağlanıyor mu? Sistem hangi t değerinde belirsizlik limitine en yakın olur ?

28

a)

b)

Üstteki kural kullanılır :

c)

29

d)

30

Bu basit formu elde etmek için , dikkat edip matematiksel hata yapmamanız önerilir. e)

2.30)-

formunda verilen dalga fonksiyonunu normlayarak D ve F sabitlerini bulunuz.

31

2.34) Basamak potansiyelini :

göz önüne alın.

a)durumunda yansıma katsayısını hesaplayınız. R=? b)durumunda yansıma katsayısını hesaplayınız. R=? c)durumunda geçme katsayısını hesaplayınız. T=? d)durumunda geçme katsayısını hesaplayınız. T=? e)- R+T=1 olduğunu kontrol edin. a) durumunda R :

b) durumunda R :

32

c) durumunda T : Serbest parçacık için olasılık akım yoğunluğu :

d) durumunda T :

e)

İşlem yaparak ikinci toplamın bire eşit olduğunu gösteriniz.

33

2.35) m kütleli ve kinetik enerjili bir parçacık ani bir potansiyel düşüşü olan bir noktaya yaklaşmaktadır.Eğer kinetik enerjisi ise parçacığın geri yansıma olasılığı ne kadardır ?

durumunda R :

Burada

2.37) Sonsuz kare kuyu içinde bulunan bir parçacığın başlangıç dalga fonksiyonu :

olarak verilmiştir. A’yı belirleyin.

yi belirleyin.

‘i zamanın fonksiyonu olarak hesaplayın.

34

Veya ;

35

2.38) m kütleli bir parçacık sonsuz kare kuyunun taban durumundadır.Ani olarak kuyunun genişliği iki katına çıkarılıyor.Yani sağdaki duvar a’dan 2a’ya çekiliyor.Çekme ani olduğundan dalga fonksiyonu aynı kalmaktadır.Bu durumda parçacığın enerjisi ölçülüyor. a)- En olası değer hangisidir? Bu değeri elde etme olasılığı ne kadardır? b)-Bir sonraki en olası değer hangisidir ? Bu değerin olasılığı ne kadardır ? c)-Enerjinin beklenen değeri nedir? a)

Genişleyen kuyudaki en olası enerji düzeyi ;

36

b)

c)

Genişleyen kuyuda enerjinin beklenen değeri ;

2.41) Harmonik salınıcı potansiyeli içindeki m kütleli bir parçacığın başlangıç durumu :

olarak verildiğine göre enerjinin beklenen değerini bulunuz.

Dikkat edilirse bu dalga fonksiyonu harmonik salınıcının taban durumu ve birinci uyarılmış durum ile ikinci uyarılmış durumunun lineer karışımıdır.İlk üç durumun karışımı ;

Dalga fonksiyonları eşitlenerek katsayılar bulunur :

37

II BÖLÜM SONU ÖZET

Zamana bağımsız Schrödinger denklemi ;

Schrödinger denklemi en genel çözüm ;

Sonsuz kare kuyu potansiyeli ;

38

Tek boyutlu kuantum harmonik salınıcı ;

Serbest Parçacık ;

Delta fonksiyonu potansiyeli ;

Sonlu kare kuyu potansiyeli ;

39

III:BÖLÜM

Ismail T.

3.3) Hilbert uzayındaki tüm h fonksiyonları için olduğunu gösterin.(Yardım : h=f+c.g olarak alın.)

ise tüm f v e g ler için

3.4) a) Hermitsel iki operatörün toplamının hermitsel olduğunu gösterin. b) Q hermitsel bir operatör ise .Q hangi koşulda hermitsel olur ? c) Hermitsel iki operatörün çarpımı ne zaman hermitsel olur ? d) Konum operatörü ile Hamiltonyen operatörünün hermitsel olduklarını gösteriniz. a) A ile B hermityen iki operatör olsun :

b)

c) U ile V hermityen iki operatör olsun :

40

Bir operatör genel olarak

biçiminde gösterilir.

İki operatör için kanonik sıra değiştirme bağıntısı şu şekildedir ; Konum operatörü

:

3.6) operatörünü göz önüne alın.Burada kutupsal koordinatlarda azimut açısıdır ve fonksiyonlar şartını sağlarlar. hermitsel midir ? nun özfonksiyonlarını ve özdeğerlerini bulunuz. nun özdeğer spektrumu nedir ?

41

Özdeğerler

eşitliği ile bulunur ;

Özdeğer spektrumu iki kere katlıdır.

3.9) Kesikli,sürekli hem kesikli hem sürekli özdeğer spektrumuna sahip olan en az iki Hamiltonyen örneği veriniz?

3.11) Harmonik salınıcının taban durumunda bulunan bir parçacık için momentum uzayı dalga fonksiyonu yi bulunuz.Bu durumda bulunan bir parçacık üzerinde p bir kez ölçüldüğünde,aynı enerji için ,klasik aralığın dışında bir değer elde etme olasılığı nedir ?

42

Klasik aralık bulunur :

Klasik aralıkta bulunma olasılığı P’ ;

Klasik aralık dışında bulunma olasılığı ise : Bknz : Erf(x) Error function

3.13) a) b)

olduğunu gösteriniz.

c)

olduğunu gösteriniz.

a)

b)

43

Test fonksiyonu kaldırılırsa : c)

Öneri :

3.14) Konumdaki belirsizlikle enerjideki belirsizliği ilişkilendiren ünlü “Belirli “ belirsizlik ilkesini kanıtlayınız.

Bu ilkede

seçilirse “Belirli” belirsizlik ilkesi elde edilir :

Bu ifade kararlı durumlar için anlamsızdır.Nedeni şu ki kararlı durumlarda hamiltonyenin varyansı sıfır dır.

44

3.16) olduklarına dikkat ediniz.

denklemini

e göre çözünüz ,beklenen değerlerin sabit

3.17)

denklemi Q=1 ,Q=H ,Q=x ,Q=p durumlarına uygulayınız.Sonuçları yorumlayınız.

Kesikli çizgi ile gösterilen komütatör hesabı :

Sürekli çizgi ile gösterilen komütatör hesabı :

45

3.22)

ortonormal baz vektörleri tarfından örtülen 3 boyutlu bir vektör uzayı düşünelim. şeklinde verilmiştir.

a)-

dual bazı cinsinden

b)-

yı bulunuz.

c)-

yı kurun. olduğunu doğrulayın.

operatörünün bu bazdaki 9 matris elemanını bularak A matrisinin kurun.A matrisi hermitsel

midir? a)

b)

c)

46

A matrisi hermityen değil çünkü ;

3.23) İki düzeyli bir sistemin Hamitonyeni : olarak verilmiştir.Burada

ortonormal baz vektörleri ve

enerji boyutunda bir sabittir.

ın

özdeğer ve özvektörlerini bulun.Özvektörleri baz vektörlerinin lineer kombinasyonu olarak ifade edin.Bu baza göre Hamiltonyeni temsil eden H matrisi nedir ?

47

3.28) Sonsuz kare kuyunun n.kararlı durumu için momentum uzayı dalga fonksiyonu grafiklerini çiziniz. Sonsuz kare kuyuda :

48

yi bulun.

49

Grafikler için Mathematica yardımı :

50

3.29)

şeklinde verilen dalga fonksiyonunu göz

önüne alalım.Momentum uzayı dalga fonksiyonunu bulunuz.Konum ve momentum uzayında olasılık yoğunluklarının grafiklerinden yola çıkarak belirsizlik ilkesinin sağlanıp sağlanmadığını kontrol ediniz.

Olasılık yoğunlukları ise :

51

Grafiği için Mathematica :

alalım ;

3.31)

denklemini kullanarak

ifadesinin karşılığını bulunuz.

52

Kararlı bir durumda sol taraftaki eşitlik sıfırdır,nedeni şudur

zamandan bağımsızdır.

3.34) Bir harmonik salınıcının enerjisi ölçüldüğünde ve değerleri eşit olasılıklarla elde edilmektedir.Salınıcı böyle bir durumda bulunurken nin mümkün en büyük değeri nedir?Bu maksimum değer t=0 anında ise , nedir?

Harmonik salınıcıda tüm kararlı durumlarda

53

54

III.BÖLÜM SONU ÖZET

İki fonksiyonun iç çarpımı ;

Hermityen operatör ;

Gözlenebilir büyüklüğün ortalama değeri ;

Kanonik komütatör ;

Momentum ve konum uzayı ;

Genelleştirilmiş belirsizlik ve Heisenberg ilkesi ;

Gözlenebilir büyüklüğün zamana göre değişimi ;

Virial teoremi ;

Schrödinger denklemlerinin Dirac gösterimleri ;

55

IV.BÖLÜM

Ismail T.

4.1) a) r ve p operatörlerinin bileşenleri için bağıntılarını hesaplayınız. b) Üç boyutta Ehrenfest teoremini gerçekleyiniz. c) Üç boyutta Heisenberg belirsizlik ilkesini ifade ediniz.

tüm kanonik sıra değiştirme

a)- Konum ve momentum operatörlerinin birbirleriyle olan tüm komütatör bağıntıları hesaplanır :

b)-Hermitsel bir verilmişti :

operatörünün beklenen değerinin zamanla değişimi 3.71 nolu denklemde şöyle

Bu denklemde Q hermitsel büyüklüğünün yerine aynı konum ve momentum operatörlerinden biri yazılır :

Bu sonuçlar tek boyutta Ehrenfest’in teoremleridir,üç boyut için bir genelleme yapılır ;

c)-Genelleştirilmiş belirsizlik ilkesi 3.62 nolu denklemde şöyle verilmişti :

56

Burada

ve

operatörlerinin yerine konum ve momentum operatörlerinin bileşenleri yazılır ;

4.2) Kartezyen koordinatlarda değişkenlere ayırma yöntemini kullanarak sonsuz kübik kuyu problemini çözünüz.

a)-Kararlı durumları ve karşılık gelen enerji değerlerini bulunuz. b)-Artan enerji ölçeğinde ilk 6 ayrık enerji düzeylerini ve bu düzeylerin katlılıklarını bulunuz. c)ün katlılığı nedir,ve durum niçin ilginçtir ? a)-Schrödinger denklemi

için kartezyen koordinatlarda çözülür ;

Her bir çözüme sınır şartları uygulanırsa,istenen çözümler elde edilir :

burada normalizasyon sabiti olup normlama koşulundan bulunur,tek boyutlu sonsuz kare kuyu potansiyeli için normalizasyon sabitinden yararlanarak :

57

b)Enerji 1

1

1

3

1 1 2

1 2 1

2 1 1

6

1 2 2

2 1 2

2 2 1

9

1 1 3

1 3 1

3 1 1

11

2

2

2

12

1 1 2 2 3 3

2 3 1 3 1 2

3 2 3 1 2 1

Katlılık 1 3

3

3

1 6

14

c)- Yukarıdaki seçenekte verilen enerjilerden sonra artarak gelen ayrık enerjilerin kombinasyonları şöyledir :

ve üzere 4 tür. İlginçlik ise

4.9) m kütleli bir parçacık

gibi kuantum sayılarına sahiptir.Bu enerjinin katlılığı

olmak

kuantum sayılarının kareler toplamının eşit olmasıdır.

ile verilen sonlu küresel kuyunun içindedir.

radyal denklemi çözerek taban durumunu belirleyin . gösterin.

58

için

ise bağlı durum olamayacağını

için süreklidir,her iki

ve türevleri birbirine eşitlenir ve bölünürse :

bu transendental denklemin

Taban durum enerjisi ise ;

ile

4.10) Gerekli bağıntıları kullanarak yapmayın)

için çözümü yoktur,öyleyse ;

arasındadır ; enerji

ile çarpılıp bölünür:

radyal dalga fonksiyonlarını belirleyin.(Normlama

59

4.13) a)-Hidrojenin taban durumundaki bir elektron için b)-Hidrojenin taban durumundaki bir elektron için c)durumu için yi bulunuz.

ve ve

yi bulunuz. yi bulunuz.

a)

b)

c) Bu durum için dalga fonksiyonunu doğrudan yazmamıza bakmayın,bu dalga fonksiyonunu üretme bağıntılarından yararlanarak oluşturmaya çalışmalısınız.

60

Buradan

olur.

4.14) Hidrojen atomunun taban durumunda en olası r değeri nedir ?

4.15) Bir hidrojen atomunun başlangıç dalga fonksiyonu ;

a)yi kurarak mümkün olduğu kadar basitleştiriniz. b)-Bu durumda potansiyel enerjinin beklenen değerini hesaplayınız. a)- Buradaki dalga fonksiyonlarını gerekli bağıntıları kullanarak kurmaya çalışmalısınız.

b)-Hidrojen atomunda potansiyel enerji

61

Sayısal hesaplama yapılır :

4.23) operatörünü kullanarak operatörü)

şeklinde verilen açısal dalga fonksiyonunu artırma açısal dalga fonksiyonunu elde ediniz.(4.130 : Açısal momentum merdiven

4.24) m kütleli iki parçacık a uzunluğundaki kütlesiz katı bir çubuğun uçlarına tutturulmuştur.Sistem sabit tutulan bir merkez etrafında,üç boyutta serbestçe dönebilmektedir. a)-Bu katı dönerin izin verilen enerji değerlerini bulunuz. b)-Bu sistemin normlanmış özfonksiyonları nedir? n. enerji düzeyinin katlılığı ne kadardır ?

62

a)-Sistemdeki iki parçacığın toplam enerjisi;

Sistemdeki iki parçacığın toplam açısal momentumun boyu ve boyunun karesi ;

Toplam enerji ile toplam açısal momentumun boyunun karesi birbirine bağlanır;

b)-Bu sistemin normlanmış özfonksiyonları alışıldığı gibi küresel harmoniklerdir,yani olduğundan n.enerji düzeyinin katlılığı

4.25) Eğer elektron yarıçapı da

dir.

ile verilen klasik bir katı küre olsaydı ve açısal momentumu

olsaydı ekvator üzerindeki bir noktanın hızı m/sn cinsinden ne olurdu? Böyle bir model bir anlam

ifade eder mi?

Böyle bir model anlamsızdır,çünkü

4.27) Bir elektron

,bundan dolayı bu model kabul edilemez.

ile verilen bir spin durumundadır.

a)-Normlama sabitini belirleyin. b)değerlerini bulun. c)belirsizliklerini bulun. d)-Sonuçların belirsizlik ilkesiyle uyumlu olduğunu gösterin. a)

b)

63

c)

d)

4.28) En genel normlanmış bir spinör için

değerlerini bulunuz.

64

Not :

4.29) matrisinin özdeğer ve özspinörlerini hesaplayınız.Parçacık genel bir durumundayken yi ölçerseniz hangi değerleri hangi olasılıklarla elde edersiniz? Olasılıklar toplamının 1 olduğunu kontrol ediniz. yi ölçerseniz hangi değeri bulursunuz ?

Bu iki özdeğere karşılık gelen özspinörler bulunur :

Özspinörler normlanır :

4.33) Bir elektron

şeklinde titreşim yapan bir manyetik alan içinde durgun durumdadır.

a)-Bu sistem için Hamiltonyen matrisini kurunuz. b)-Elektron başlangıçta x eksenine göre spin yukarı durumundadır,daha sonraki zamanlar için belirleyin. c)- i ölçerseniz değerini elde etme olasılığı nedir? d)- i tam olarak döndürmeye yetecek minimum manyetik alan ne kadardır? a)

65

yi

b)

Adi diferansiyel denklemler integre edilerek çözülür ;

c)

ölçüldüğünde

değerini elde etme olasılığı

d) in tam olarak dönmesi için

olmalı.

66

4.38)

potansiyeli ile verilen üç boyutlu harmonik salınıcıyı göz önüne alalım.

a)-Kartezyen koordinatlarda değişkenlere ayırma yönteminin üç tane bir boyutlu salınıcı verdiğini gösteriniz.Eski bilgilerinizi kullanarak izin verilen enerji değerlerini belirleyiniz. b)-n. enerji düzeyini ve bu düzeyin katlılığını belirleyiniz. a)

II.bölümde operatör ve Frobenius yöntemi ile tek boyutlu enerji düzeyi bulunmuştu,Öyleyse;

olur.

b) 0 0 1 0 1 2 0 1 2 3 … … …

0 1 0 2 1 0 3 2 1 0

1 2

…. … … …………

… … …

3 4

67

4.43) a)uzaysal dalga fonksiyonunu kurunuz. b)uzaysal dalga fonksiyonunun normlanmış olduğunu gösteriniz. c)uzaysal dalga fonksiyonu için beklenen değerini hesaplayınız.Bu değerin anlamlı olması için hangi değer aralığında olmalıdır ? a)

Radyal dalga gerekli bağıntılar kullanılarak normlanmış biçimde bulunur,Açısal dalga küresel harmonikler bağıntısı kullanılarak normlanmış biçimde bulunur ve sonra her ikisi çarpılır :

68

b)

c)

Kural :

4.44) a)dalga fonksiyonunu kurunuz. b)-Bu durum için beklenen değerini hesaplayınız. c)-Atom bu durumdayken gözlenebilirini ölçtüğünüzde hangi değerler hangi olasılıklarla elde edilir? a)-Bu seçenek ve diğer seçenekte bilimsel bir hesap makinesi kullanmanız gerekir ;

69

b)

70

c)

olasılığı ile

değerini elde ederiz.

4.45) a)-Hidrojen atomunun taban durumunda bulunan bir elektronun çekirdeğin içinde bulunma olasılığını,çekirdeğin yarıçapını b alarak hesaplayınız. b)-Sonucunuzu olarak tanımlanan sayısına göre kuvvet serisine açarak,en küçük mertebeli terimin kübik olduğunu gösteriniz. c)olacak şekilde nin çekirdeğin hacmi boyunca sabit olduğunu varsayarak,bu yaklaşıklılık ile de sonucun kübik olduğunu gösteriniz. d)için sayısal bir değer elde ediniz. a)

Buradaki integrale iki defa kısmi integrasyon yöntemi uygulanır ;

b)

71

c)

d)

Bu sayı aslında elektronun çekirdek içinde harcadığı zaman kesridir.

4.46) a)-Gerekli bağıntılardan yararlanarak sabitini belirleyiniz. b)formundaki durumlar için c)-Bu durumlar için

olduğunu doğrulayarak normlama ve

yi hesaplayınız.

olduğunu gösteriniz.

a)

b)

72

c)

4.48)

ve

gözlenebilirlerini alalım.

a)- Bu iki gözlenebilir için belirsizlik ilkesini kurunuz. b)-Hidrojenin durumu için yi hesaplayınız. c)-Bu durum için hakkında ne söyleyebilirsiniz? a)

bağıntısından yararlanarak

73

olur.

b) olur. c) olduğundan

4.49) Bir elektron

olur.

ile verilen spin durumundadır.

a)- spinörünü normlayarak A sabitini belirleyiniz. b)-Bu elektron için yi ölçtüğünüzde,hangi değerler hangi olasılıklarla bulunur ? nedir ? c)- Bu elektron için yi ölçtüğünüzde,hangi değerler hangi olasılıklarla bulunur ? nedir ? d)- Bu elektron için yi ölçtüğünüzde,hangi değerler hangi olasılıklarla bulunur ? nedir ? a)

b)

ve

in özspinörleri olmak üzere ;

c)

ve

in özspinörleri olmak üzere ;

d)

ve

in özspinörleri olmak üzere ;

74

nin beklenen değeri nin beklenen değeri nin beklenen değeri

4.52) bulunuz.

nin özdurumlarını baz olarak kullanarak spinli bir parçacık için in özdeğerlerini belirlemek için karakteristik denklemi çözünüz.

Yukarıdaki spin özdurumlarını belirten bağıntıdan yararlanarak ;

75

in matris temsilini

özdeğer denkleminde

olarak yazılıp karakteristik denklem

çözülür;

Bu ifadeyi kullanarak A matrisinin determinantı 1.sütuna göre açılır ;

Çarpanlarına ayrılır ;

Bu değerler A matrisinin özdeğerleri olup ,

matrisinin özdeğerleri ise

4.55) Bir hidrojen atomundaki elektronun tüm dalga fonksiyonu şu formdadır ;

a)-Yörüngesel açısal momentumun karesi ölçülürse hangi değerler hangi olasılıklarla elde edilir ? b)-Yörüngesel açısal momentumun z bileşeni ölçülürse hangi değerler hangi olasılıklarla elde edilir ? c)-Spin açısal momentumun karesi ölçülürse hangi değerler hangi olasılıklarla elde edilir? d)-Spin açısal momentumun z bileşeni ölçülürse hangi değerler hangi olasılıklarla elde edilir?

76

a)Parantez içindeki her iki terimin açısal kuantum sayısı

dir,dolayısıyla

olasılığı ile

değerini elde ederiz. b)Parantez içindeki ilk küresel harmonik için ve diğer küresel harmonik için , nin özdeğerleri ile verilir,buna göre yörüngesel açısal momentumun z bileşeni için özdeğerler ve olasılıkları şöyledir ;

c) değerini ederiz. d)

IV:BÖLÜM SONU ÖZET

77

olasılığı ile elde

Ismail T. 78

V.BÖLÜM

Ismail T.

5.4)

birbirlerine ortonormal ise ;

a)-A sabitini belirleyiniz. b)ve normlanmış ise A sabitini belirleyiniz. a)

b)

5.5) a)-Sonsuz kuyu potansiyelinde birbirleri ile etkileşmeyen iki özdeş parçacık için Hamiltonyeni bulunuz. b)dalga fonksiyonlarını ve enerjilerini ; “ayırt edilebilen parçacıklar”,”özdeş bozonlar” ,”özdeş fermiyonlar için bulunuz. a)-Ayırt edilebilen iki özdeş parçacık için ;

79

b) Ayırt edilebilen iki özdeş parçacık için ;

Özdeş bozonlar için ;

80

Özdeş fermiyonlar için ;

5.6) Sonsuz kuyu potansiyelinde her biri m kütleli ve etkileşmeyen iki parçacık düşünün .Bunlardan biri durumunda ve diğeri de durumunda ise aşağıdaki parçacıklar için ni hesaplayınız. a)-Her ikisi ayırt edilebilen parçacık b)-Her ikisi özdeş bozon c)-Her ikisi özdeş fermiyon a) II.bölümde (sonsuz kare kuyu potansiyeli) n.durum için beklenen değerler şöyle bulunmuştu ;

b) Özdeş bozonlar için ;

INT

81

c) Özdeş fermiyonlar için ;

5.7) durumunda olan üç parçacığınız olsun ; 3 parçacık durum fonksiyonunu ; a)-Ayırt edilebilen parçacıklar için, b)-Özdeş bozonlar için, c)-Özdeş fermiyonlar için oluşturun. {Slater determinantından yararlanarak 4 parçacık için durum fonksiyonunu siz oluşturmalısınız.} a)-Ayırt edilebilen 3 özdeş parçacık için ;

b)-Özdeş 3 bozon için ;

c)-Özdeş 3 fermiyon için ;

82

A burada normalizasyon sabiti olup problem 5.4 deki gibi bulunursa

sonucuna ulaşılır.

5.9) a)-Helyumun her iki elektronunu n=2 durumuna yerleştirdiğinizi varsayın,salınan elektronun enerjisi ne olur ? b)-Helyum iyonunun spektrumunu nitel olarak tanımlayın.

5.15) Bir serbest elektron başına düşen ortalama enerjiyi Fermi enerjisinin kesri şeklinde bulunuz.

5.16) Bakırın yoğunluğu

ve atom ağırlığı

dür.

a)-Bakırın Fermi enerjisini q=1 durumunda eV cinsinden bulunuz. b)-Bu enerjiye karşılık gelen hız relativistik midir? c)-Bakır için hangi sıcaklıkta tipik ısıl enerji Fermi enerjisine eşit olur ? d)-Bakırın katlılık basıncını hesaplayınız. a)

b)

c)

83

d)

5.17) Bir malzemenin bulk modülü basınçtaki ufak bir azalmanın hacimde yol açtığı küçük artışa oranı olarak tanımlanır : bağıntısı ile serbest elektron gaz modelinde olduğunu gösteriniz.

5.19) hesaplayın.

olduğu durumda ilk izin verilen bandın an alt enerji değerini üç basamağa kadar olduğunu varsayın.

Grafik yöntemi veya Mathematica ile ;

5.22) a) 3 özdeş fermiyonun durumlarında olduğu tamamıyla antisimetrik olan fonksiyonunu oluşturun. b) 3 özdeş bozon için simetrik dalga fonksiyonunu şu durumlar için oluşturun ; - Hepsi durumunda. - İkisi durumunda diğeri durumunda. - Her biri a)-

84

dalga

durumunda.

b)

A burada normalizasyon sabiti olup problem 5.4 deki gibi bulunur.

5.23) Denge durumunda bir boyutlu harmonik salınıcı potansiyelinde bulunan ve toplam enerjisi olan ve de birbirleriyle etkileşmeyen 3 parçacığımız olsun.Eğer bu 3 parçacık ; ayırt edilebilirler,özdeş bozonlar,özdeş fermiyonlar olursa şu soruları yanıtlayınız ; a)-Olası doluluk sayı düzeneklerini ve her bir düzenek için kaç tane farklı üç parçacık durumları vardır? En olası düzenek hangisidir? b)-Rastgele bir parçacık seçip bunun enerjisini ölçtüğünüzde,hangi değerleri elde ederdiniz? Ve her birinin olasılığı ne olurdu ? En olası enerji değeri nedir?

Durumları 000 030 300 012 021 102 120 201 210 111

Bu problemde

3

6

1

alarak seçenekte ki soruları cevaplandırınız.

5.27) a) olduğu durumda Stirling yaklaşıklığındaki hata yüzdesini hesaplayın. b) Hatayı %1 den az verecek en küçük tamsayısı nedir? a)-Stirling yaklaşıklığı ;

85

b)

5.30)

a)-Planck bağıntısını kullanarak dalga boyu aralığındaki enerji yoğunluğunu bulunuz. b)-Enerji yoğunluğunu kullanarak Wien yer değiştirme yasasını çıkarın. a)-

b)olarak yazılabilir ;ve maksimumu türevi alınarak bulunur,

86

Bu denklem hesap makinesi ile çözümlenirse ;

sonucu bulunur.

5.31) Kara cisim ışımasında toplam enerji yoğunluğu için Stefan-Boltzmann formülünü çıkarın.

5.33) Üç parçacığınız ve üç ayrı girilebilecek tek parçacık durumları a)-Ayırt edilebilenler için kaç farklı üç parçacık durumu vardır ? b)-Özdeş bozonlar için kaç farklı üç parçacık durumu vardır? c)-Özdeş fermiyonlar için kaç farklı üç parçacık durumu vardır? a) Her bir parçacık 3 olası duruma sahiptir,dolayısıyla

olsun.

üç parçacık durumu vardır.

b)

c) Özdeş fermiyonlar için sadece 1 tane üç parçacık durumu vardır ;

5.34) İki boyutlu sonsuz kare düzlem potansiyelinde etkileşmeyen elektronlar için Fermi enerjisini hesaplayınız. yı birim alana düşen elektron sayısı olarak kabul edin. dalga vektörünün büyüklüğü olmak üzere;

87

eksen takımlı iki boyutlu uzayı ve noktalarında çizilen doğruları düşünelim.Her kesişme noktası ayrı bir kararlı durumu temsil eder.Izgaraya dahil her bir birim alan ve dolayısıyla her bir durum k uzayının; kadarlık bir alanını işgal eder.Burada maddenin kendi alanıdır.Özdeş fermiyonlar k uzayında bir dairenin karşılık

nü doldururlar.Dairenin

alanının gelmesi koşulu uygulanarak elde edilir:

V.BÖLÜM SONU ÖZET

Ismail T. 88

yarıçapı her bir elektron çiftine

Bazı yararlı bağıntılar ;

89