KOSET TEOREMA LAGRANGE DAN SUBGRUP NORMAL

RESUME “KOSET TEOREMA LAGRANGE DAN SUBGRUP SUBGR UP NORMAL” NORMAL”

Dituju untuk memenuhi tugas Perkuliahan Perkuliahan Struktur Aljabar

Oleh: IIS ROSMERIA

(A1C215001)

FEBB AUNI ESA PUTRI

(A1C2150

SESI SUNDARI

(A1C2150

RIA NINGSI! SAPUTRI

(A1C2150

EKA RATIN RATINDRA DRA IK!S IK!SAN AN D!ANI D!ANI (A1C21 (A1C2150 50 DENI NO"ERA

(A1C2150#$)

D%&e' Pe'*+,: D-. SOFNIDAR/ M.S

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS JAMBI

A. TUJUAN

Setelah mempelajari koset teorema Lagrange dan subgrup normal, pembaca diharapkan untuk: 1. Memahami Memahami koset koset kiri, koset koset kanan, sifat-sifa sifat-sifatt koset dan dapat dapat menggunak menggunakanny annyaa dalam grup, 2. Memahami Memahami konsep konsep subgrup subgrup normal, normal, grup faktor faktor dan dapat menggun menggunakan akannya nya dalam dalam  penyelesaian  penyelesaian soal. Sebagai penjabaran tujuan di atas, setelah mempelajari koset teorema Lagrange dan subgrup normal, pembaca dapat: 1. Menentuk Menentukan an koset koset kiri atau koset koset kanan kanan dari suatu suatu subgrup subgrup dalam grup grup tertentu tertentu 2. Menentuk Menentukan an teorema teorema yang berkenaa berkenaann dengan dengan koset-koset koset-koset suatu suatu subgrup subgrup dalam grup grup tertentu !. Menentuk Menentukan an banyakny banyaknyaa koset-koset koset-koset yang yang berbeda berbeda dari suatu suatu subgrup subgrup dalam grup tertentu ". Menentuk Menentukan an hubungan hubungan antara antara order order suatu suatu grup dan order order dari subgrupny subgrupnya a #. Menentuk Menentukan an hubungan hubungan antara antara periode periode suatu suatu elemen elemen dari grup grup dan order order dari grupnya grupnya $. Menentuk Menentukan an elemen-ele elemen-elemen men yang yang kongruen kongruen modulo suatu suatu subgrup subgrup dari grup tertentu tertentu %. Mengiden Mengidentifika tifikasi si apakah apakah subgrup subgrup dari suatu grup grup merupakan merupakan subgrup subgrup normal normal atau tidak &. Menentuk Menentukan an syarat-sya syarat-syarat rat agar suatu suatu subgrup subgrup merupakan merupakan subgrup subgrup normal normal dari grup tertentu '. Menentuk Menentukan an teorema teorema yang yang berkenaa berkenaann dengan dengan subgrup subgrup normal normal 1(. Menentukan banyaknya banyaknya elemen elemen dari suatu grup faktor. B. MATERI

)dapun materi yang akan dipelajari sesuai dengan tujuan di atas, adalah: 1. Menentuk Menentukan an Koset Koset K! Atau Atau Koset Koset Kanan Kanan Da! Suatu Suatu Su"#!u$ Su"#!u$ Da%a& Da%a& G!u$ Te!tentu

*efi *efini nisi si %.1 %.1 +ika +ika  sua suatu tu sub subgr grup up dar darii grup grup  

∘

/ dan a

∈

  maka a 0

{ h ∘ a|h ∈ H }  disebut koset kanan dari  dalam , sedangkan a 0 { a ∘ h|h ∈ H } disebut koset kiri dari  dalam .

)pabila , / merupakan grup, dan S subgrup dari , maka :

aS 0 { a + s|s ∈ S }  dan Sa 0 { s +a|s ∈ S } apabila , / grup dan S subgrup dari  maka: aS 0 { a × s|s ∈ S }  dan Sa 0 { s × a|s ∈ S } secara umum, a ∘ s ditulis as dan s ∘ a ditulis sa. 3ontoh 1.

Misalnya  0 4..., -2, -1, (, 1, 2, ...5 sedangkan , / merupakan grup Misalnya S 0 4..., -$, -!, (, !, $, ...5 Maka S2 0 4..., 4..., (, 1, 2, #, &, ...5 adalah adalah koset kanan dari dari s S! 0 4..., -!, (, !, $, ', ...5 adalah koset kanan dari s 1S 0 4..., -#, -2, 1, ", %, ...5 adalah koset kiri dari s.

3ontoh 2.

Misalkan 6 adalah himpunan semua bilangan bulat. Maka 6 dengan operasi  penjumlahan merupakan merupakan suatu grup. grup.  # adalah himpunan semua bilangan bulat kelipatan #. Maka  # dengan operasi penjumlahan juga merupakan semua suatu grup. # ⊂ 6, jadi # merupakan subgrup dari 6. 7oset kanan dimana  # dalam 6 untuk "

∈

6 adalah  #"

6 0 4..., -2, -1, (, 1, 2, ...5 # 0 4..., -1(, -#, (, #, 1(, ...5 #" 0 4h  " ' h 6# 0 4!  h ' h

∈

∈

 #5

→

 #5

→

 #" 0 4..., -$, -1, ", ', 1", ...5  !# 0 4..., -%, -2, !, &, 1!, ...5

"# koset kiri dari  # dan 6. 3ontoh !.

Misalnya  0 4i, a, b, c, d, e5 sedangkan , ∘/ adalah grup dengan i 0 1/ 2/ !/ c 0 2 !/ a 0 1 2 !/ d 0 1 !/  b 0 1 ! 2/ e 0 1 2/, dan ∘ adalah operasi perkalian permutasi asil kali anggtota  disajikan dalam tabel berikut ini: ∘

i a

i i a

a a b

b b i

c c e

d d c

e e d

 b c d e

b c d e

i d e c

a e c d

d i b a

e a i b

c b a i

Subgrup dari  adalah 4i, a, b5, 4i, c5, 4i, d5, 4i, e5 Misalnya S 0 4i, c5 7oset kanan dari S dalam  adalah: Si 0 4i, c5 Sc 0 4c, i5 Sa 0 4ia, ca5 0 4a, d5 Sd 0 4id, cd5 0 4d, a5 Sb 0 4ib, cb5 0 4b, e5 Se 0 4ie, ce5 0 4e, b5 7oset kiri dari S dalam  adalah: iS 0 4i, c5 cS 0 4c, i5 aS 0 4ai, ac5 0 4a, e5 dS 0 4di, de5 0 4d, b5  bS 0 4bi, bc5 0 4b, d5 d5 eS 0 4ei, ec5 0 4e, a5 3ontoh ".

Misalnya  0 41, -1, i, -i5 dengan i 0 √ −1  atau i2 0 -1. Maka ,/ merupakan grup dengan elemen identitas 1. Misalnya S 0 41, -15. Maka S merupakan subgrup dari  7oset kanan dari S dalam  adalah: S1 0 41, -15 Si 0 4i, -i5 S-1/ 0 4-1, 15 S-i/ 0 4-i, i5 7oset kiri dari S dalam  adalah: 1S 0 41, -15 iS 0 4i, -i5 -1/S 0 4-1, 15 -i/S 0 4-i, i5

3ontoh #.

Misalkan  0 48, 9, 9 2, ), 6, 35 menyatakan grup transformasi dari segitiga sama sisi )bc. Subgrup dari  adalah 48, 9, 9 25, 48, )5, 48, 65, 48, 35 Misalnya S 0 48, 9, 9 25 7oset kanan dari S dalam  adalah S8 0 48, 9, 9 25 S) 0 4), 3, 65 S9 0 49, 9 2, 85 S6 0 46, ), 35

S.9 2 0 49 2, 8, 95

S3 0 43, 6, )5

7oset kiri dari S dalam  adalah 8S 0 48, 9, 9 25 )S 0 4), 6, 35 9S 0 49, 9 2, 85 6S 0 46, 3, )5 9 2S 0 49 2, 8, 95 3S 0 43, ), 65 erhatikan lagi definisi koset. Misalkan S adalah subgrup dari  ∘/ Misalkan anggota dari S adalah h 1, h2, h!, ..., yang semuanya berlainan. +ika a

∈

∉

  dan a

 S, maka anggota dan koset kanan Sa adalah h 1 ∘ a, h2 ∘ a, h! ∘

a, ....., yang semuanya berlainan pula. Sebab jika ada anggota dalam Sa yang sama, yaitu h i ∘ a 0 h j ∘ a, dengan sifat kanselasi diperoleh h i 0 h j. al ini tidak mungkin karena anggota dari S semuanya berlainan. 6egitu pula anggota dari koset kanan Sa tidak ada yang sama dengan anggota dari S. Sebab andaikan ada yang sama, misalkan h i ∘ a 0 h j, dengan h i, h j

∈

 S,

yang berarti: hi-1 ∘ hi ∘ a/ 0 hi-1 ∘ h j hi-1 ∘ hi/ ∘ a 0 hi-1 ∘ h j i ∘ a/ 0 hi-1 ∘ h j a 0 hi-1 ∘ h j S suatu subgrup maka S suatu grup. Sehingga, apabila h j ∈

∉

S maka hi ∘ hi-1/

dalam  untuk b

∈

∈

 S maka h-1

∈

 S pula. hi, hi-1

 S karena sifat tertutup/. 7arena a 0 h i-1 ∘ hi maka a

ini pun tidak mungkin, sebab tadi mengambil a Sekarang ambil b

∈

  dengan b 0 a, dan b

∈ ∈

  dengan a

∈

∈

 S. al

 S.

 S. Maka anggota dari koset kanan S

 , yaitu Sb adalah h 1 ∘ b, h2 ∘ b, h! ∘ b, ... tentu anda dapat

menunjukkan bah;a anggota dari dalam Sb ini tidak ada yang sama. 6egitu pula anggota dari Sb tidak ada yang sama dengan anggota dari S. ernyataan ini dapat ditunjukkan melalui contoh !, yaitu S 0 4i, c5 1/ +ika i

∈

 s dan c

∈

 S maka Si 0 S dan Sc 0 S

2/ +ika a

∉

∉

 S dan b

 S maka Sa

≠

 S dan Sb

≠

 S

s

∈

 S 5 ⊂ Sa

+adi Sa 0 S Teorema Teorema 7.2 7 .2

+ika  adalah grup grup dan S adalah adalah Subgrup dari , maka Sa 0 Sb jika dan hanya hanya  jika ab-1

∈

 S.

6ukti: 1/ )kan )kan dibu dibukti ktika kann : Sa 0 Sb →  ab-1 ∈  S Misalkan Sa 0 Sb Maka Sa/b-1 0 Sb/b-1 Sab-1 0 Si Sab-1 0 S. 7arena i ∈  S, maka ab -1 0 i ab-1/ +adi Sa 0 Sb

→

 ab-1

∈

 S

∈

 S

2/ )kan )kan dibu dibukt ktik ikan an ab-1

∈

 S

→

 Sa 0 Sb

Misalkan ab-1 ∈  S Menurut teorema di atas Sab -1 0 S Maka Sab-1/ b 0 Sb Sa/ b-1b/ Sb Sai 0 Sb Sa 0 Sb +adi ab-1 ∈  S →  Sa 0 Sb *ari 1/ dan 2/ diperoleh Sa 0 Sb

↔

Teorema Teorema 7.3 7 .3 +ika S adalah subgrup dari grup , maka b

 ab-1 ∈

∈

 S

 Sa jika dan hanya jika Sa 0 Sb.

6ukti : 1/ )kan )kan dibu dibukti ktika kann b ∈  Sa →  Sa 0 Sb *apat dilakukan dengan dua cara 3ara 1 a ∈  Sb →  ab-1 ∈  Sbb-1 atau ab-1 ∈  S Menurut ?eorema ab-1 ∈  S →  Sab-1 0 S Sab-1 b 0 Sb Sai 0 Sb Sa 0 Sb 3ara 2 Misalnya b ∈  Sa. Maka b 0 s j . a untuk suatu s j  b a-1 0 s j a/ a-1  b a-1 0 s j a a-1/  b a-1 0 s j i  b a-1 0 s j maka b a-1 ∈  S Menurut teorema, jika b a -1

∈

 S maka Sa 0 Sb

2/ )kan )kan dib dibuk uktik tikan an Sa Sa 0 Sb →  b 3ara 1  b ∈  Sa →  ba-1 ∈  Saa-1  ba-1 ∈  S Menurut ?eorema Sba-1 0 S Sba-1a 0 Sa Sbi 0 Sa Sb 0 Sa )tau Sa 0 Sb

∈

 Sa

∈

 S

3ara 2  b ∈  Sb, sebab S memuat i sehingga ib 0 b  b

∈

∈

 Sb dan Sa 0 Sb. Maka b ∈

 Sa

dari 1/ dan 2/ diperoleh b

∈

→

 jadi Sa 0 Sb

 b

 Sa

 Sa ↔

 Sa 0 Sb

+. Menentuk Menentukan an Ban)akn)a Ban)akn)a Koset*K Koset*Koset oset )an# )an# Be!"e,a Be!"e,a Da! Suatu Suatu Su"#!u$ Su"#!u$ Da%a& G!u$ Te Te!tentu !tentu

?ujuan diatas sesuai dengan ?eorema berikut:

Teorema Teorema 7.4

+ika S adalah subgrup dari  maka: 1.  adalah adalah gabun gabungan gan semua semua koset koset kanan kanan Sa, Sa, dengan dengan a ∈

2. O sifat tertutup terhadap perkalian dalam >O dipenuhi/. Selanjutnya tunjukkanlah bah;a operasi perkalian dari elemen-elemen dalam >O bersifat assosiatif, >O mempunyai elemen identitas terhadap perkalian, dan setiap elemen >O mempunyai in=ers terhadap perkalian. Maka >O terhadap operasi perkalian merupakan suatu grup. Selanjutnya >O disebut grup faktor grup kuosien/  oleh O. Teorema Teorema 7.19 7.1 9 +ika , R/

suatu grup dan O adalah subgrup normal dari , maka >O terhadap operasi perkalian himpunan merupakan suatu grup.

+ika  adalah suatu grup berhingga, berapakah order >OP 8ngat bah;a >O adalah himpunan semua koset kanan O dalam , sedangkan banyaknya koset kanan O dalam  adalah indeks dari O dalam , yaitu: iGO/ ¿

n (G )

¿  iGO/ ¿ n ( N ) . Maka, n>O/

n (G ) n ( N )

al ini dinyatakan sebagai teorema berikut ini Teorema Teorema 7.20 7.2 0 +ika  suatu grup berhingga, dan O adalah subgrup normal dari , maka n (G )

n>O/ ¿ 3ontoh $.

n ( N )

Misalnya  ¿  4

a

,

a

2

,

3

a

, H,

11

a

,

12

a

¿  i5 adalah suatu

grup siklik dan  O ¿  4i,

a

3

,

6

a

,

9

a

5 adalah suatu subgrup normal dari , n/ 0 12,

dan nO/ 0 ". eriksalah bah;a

n (G )

n>O/ ¿

n ( N )

12

=¿

0 ! dengan menunjukkan menunjukkan semua koset kanan

4

 O dan  atau semua semua elemen dari >O 3

a

Dlemen-elemen >O adalah Oi 0 O  O

a

 O

a

2

 0 O

a

4

0O

a

5

7

0O

a

0O

a

8

10

0O

a

0O

a

11

+adi n>O/ 0 ! dan >O 0 4O, O 3ontoh 3ontoh %.

 0 O

04

a

04

a

a

,O

,

2

a

, 2

a

6

a

4

5

a

a

 0 O 7

a

, ,

8

a

9

 0 O, 10

a

, ,

11

a

5 dan 5

5

 0 4i, a, b, d, e/ , , , R/ grup grup dari dari himpun himpunan an permu permutas tasii deng dengan an operas operasii  perkalian permutasi i 0 1/ 2/ !/ a 0 1 2 !/  b 0 1 ! 2/

c 0 2 !/ d 0 1 !/ e 0 1 2/

erhatikan koset kanan dari O 0 4i, a, b5  Oi 0 Oa 0 Ob 0 4i, a, b5  Oc 0 Od 0 Oe 0 4c, d, e5 e5 aktor grup >O 0 4Oi, Oc5 0 K4i, a, b5, 4c, d, e5  n>O/ ¿

n (G ) n ( N )

=¿

6 3

02