Koordinat sistemleri-I

1. KOORDNAT SSTEMLER

Matematiin temel kavramlarndan kavramlarndan biri olan koordinat sistemleri, n -boyutlu uzaylarn tanmlanmasnda ve incelenmesinde kullanlan analitik ve geometrik kavramlar topluluudur. Uygulamal mühendislik bilimlerinin çalma alan, yaygn olarak iki ya da üç boyutlu uzayda tanmland için kullanlan koordinat sistemleri de iki ya da üç boyutludur .

Bir noktann konumu n-boyutlu uzayda sral n tane say ile belirlenir ve bu saylara noktann koordinatlar denir. Tanml her koordinat sisteminde her sral say tek bir noktay gösterir ve (X 1, X2, ««Xn) eklinde tanmlanr.

Koordinat sistemleri tek boyutlu, iki boyutlu ve üç boyutlu olarak ayrlabilir. Tek boyutlu koordinat sistemlerine örnek  olarak sadece yükseklii ölçülmü olan bir yükseklik koordinat sistemi, iki i ki boyutlu koordinat sistemine örnek olarak X ve Y koordinatlar ölçülmü olan yersel koordinat sistemleri, 3 boyutlu koordinat sistemine örnek olarak X,Y,Z koordinatlar ölçülmü olan GPS koordinat sistemi verilebilir.

Teknolojik gelimeler nda jeodezik çalmalarda kullanlan nokta koordinatlarnn üç boyutlu belirlenmesi gerekli ve kolay bir ilem olmutur. Bu nedenle koordinat sistemleri ve nokta koordinatlar üç boyutlu olarak tanmlanmaktadr.

Arazi çalmalarnda koordinat kullanlan ve daha sonraki çalmalarda kullanlacak noktalarn birbirlerine göre konumlarn belirlemek gereklidir. gereklidir. Bu nedenle noktalarn belli bir balangca (orjine) olan uzaklklar yada açlar belli eksen yönlerinde ölçülerek saysal deerler verilir. Orjin noktasnn saysal deeri sfr alnarak verilen bu deerlere nokta koordinat denir ve bu ekilde tüm noktalarn birbirine göre koordinatlar yani konumlar belirlenmi olur. Boyutlarna göre tanmlanm koordinat sistemleri tek boyutlu (1D), iki boyutlu (2D) ve üç boyutlu (3D) olarak verilebilir.

1.1. Tek Boyutlu Koordinat Sistemleri

Genel jeodezik çalmalarda yükseklik koordinat sistemleri için kullanlan bir boyuttur. Özellikle nivelman koordinat sistemleri için deniz seviyesinden olan yükseklik ölçülerek elde edilir. Teknolojik yetersizlikler ve uygulama kolayl açsndan yatay ve düey alarn ayr olarak kurulduu durumda daha çok kurulmu ve kullanlmtr. Her nokta için tek bir  yükseklik deeri verilerek elde edilir. Eer bir bölge için yükseklik haritas (eyükseklik erisi haritas) yaplacaksa bir    balangç noktasna herhangi bir yükseklik deeri verilerek lokal olarak bu harita elde edilebilecei gibi ortalama deniz yüzeyine göre koordinat koordinat belirlenmi nokta bala ngç noktas olarak kullanlarak da direk çözüm elde edilebilir.

RS 5 182.93

RS 5 172.36

RS 5 180.60

RS 5 175.63

1.1. ki Boyutlu Koordinat Sistemleri

Arazide noktalarn birbirine göre durumlarn belirlemek için yatay bir düzlem içerisinde birbirine dik olan iki doru kullanlr. Bu dorularn oluturduu sisteme iki boyulu dik (kartezyen) koordinat sistemi denir. Matematikte kullanlan koordinat sistemleri sa-sol dorultusu X ekseni, yukar-aa dorultusu Y eksenidir. Haritaclkta ise bu durum terstir. Ordinat ekseni olarak adlandrlan adlandrlan Y ekseni daima dou-bat (sa-sol) (sa -sol) yönünü, abris olarak  adlandrlan X ekseni de kuzey-güney ( yukar-aa) yönünü göstermektedir. Bunun nedeni, matematikte kullanlan açlarn balangç yönü +X olup art yönü saat ibresini tersi yönündedir. Haritaclkta kullanlan aletlerin tümünde aç daireleri saat ibresi yönündedir. Matematikte kullanlan formüllerin deimemesi için jeodezik koordinat eksenlerinin yönü deitirilmi ve aç balangc olarak da kuzey yön alnmtr.

+Y

-X

+X

+X

-Y

Matematik Koordinat Sistemleri Si stemleri

-Y

        N    E    S    K    E    T    A    N         D    R    O

ABSS EKSEN +Y

-X

Jeodezik Koordinat Sistemleri

Yukardan da görüldüü üzere bir koordinat sistemi tanmlanrken koordinat sisteminin balangç (orjin) noktas, eksenlerin says ve art yönü ve eksenler arasndaki açnn tanmlanmas gereklidir. gereklidir. Jeodezik çalm alarda genelde dik  (kartezyen) koordinat sistemleri tanmlanr ve kullanlr.

ki boyutlu uzayn geometrik yapsna uygun olarak kurulmu farkl parametrelerle ifade edilen birçok koordinat sistemi tanmlanabilir. ki boyutlu uzayda koordinat sistemi {P 0, P1, P2, P3}olarak tanmlanan dört noktann oluturduu P0 P1 ! i , P0 P2 !  j birim vektörlerin tanmlad iki eksenli bir sistemdir.

P1

i

P0 P2

ekil 1. ki boyutlu uzayda koordinat çats

ekil 1¶de gösterilen koordinat çatsnda; P 0 sistemin balangç (orijin) noktasn, P1 ve P2

ise eksenlerini

tanmlamaktadr. Bu koordinat çatsnda herhangi bir noktann konumu a i deerleri skaler büyüklükler olmak üzere,

2

P0 P ! § a i P0 Pi ! a 1 i  a 2 j T

T

(1)

i !1

vektörel eitliiyle elde edilir. ki boyutlu uzayda herhangi bir noktann konumunu belirlemek için kullanlan reel saylar  ikilisine noktann parametreleri yada ksaca noktann koordinatlar denir. Koordinat deerleri her nokta için daima deiik  ve tek anlaml koordinat fonksiyonlaryla tanmlanrlar. Yani her noktann koordinat fonksiyonlar, koordinat   parametrelerinin seçimine bal olarak bir sistem içerisinde belirlenir. Bu nedenle (X1, X2) eklinde tanmlanm koordinatlar daima iki boyutlu uzayda {P 0, P1, P2}çatsnda tanmlanm bir sisteme göre tanmlanmlardr.

2.1.1.

Üç Boyutlu Koordinat Sistemleri

Üç boyutlu uzayn geometrik yapsna uygun olarak kurulmu farkl parametrelerle ifade edilen birçok koordinat sistemi tanmlanabilir. Üç boyutlu uzayda koordinat sistemi {P 0, P1, P2, P3}olarak tanmlanan dört noktann oluturduu P0 P1 ! i ,

0

2

!

,

0 3

! k 

birim vektörlerin tanmlad üç eksenli bir sistemdir. XHA Eks

2 0

k 

ekil 1. Üç boyutlu uzayda koordinat çats

3

ekil 1¶de gösterilen koordinat çatsnda; P 0 sistemin balangç (orijin) noktasn, P 1, P2 ve P3 ise eksenlerini tanmlamaktadr. Bu koordinat çatsnda herhangi bir noktann konumu a i deerleri skaler büyüklükler olmak üzere,

3

P0P ! § a i P0Pi ! a1 i  a 2 j  a 3k  T

T

T

(1)

i !1

vektörel eitliiyle elde edilir. Üç boyutlu uzayda herhangi bir noktann konumunu belirlemek için kullanlan reel saylar  üçlüsüne noktann parametreleri yada ksaca noktann koordinatlar denir. Koordinat deerleri her nokta için daima deiik  ve tek anlaml koordinat fonksiyonlaryla tanmlanrlar. Yani her noktann koordinat fonksiyonlar, koordinat   parametrelerinin seçimine bal olarak bir sistem içerisinde belirlenir. Bu nedenle (X1, X2, X3) eklinde tanmlanm koordinatlar daima üç boyutlu uzayda {P 0, P1, P2, P3}çatsnda tanmlanm bir sisteme göre tanmlanmlardr. Üç boyutlu koordinat sistemleri koordinat çatlarnn geometrik yapsna göre iki gruba ayrlabilirler.

2.1.1.1.

Üç Boyutlu Afin Koordinat Sistemleri

Üç boyutlu afin koordinat sisteminin koordinat çatsn oluturan birim vektörler  P0 P1 ! i , P0 P2 !  j , P0 P3 ! k arasndaki iliki belli bir aç ile tanmldr. Bu vektörler birbirine paralel yada yada dik deildir. deildir. Bu özellik sebebiyle koordinat sistem inin eksenleri birbirine göre eik konumdadr ve eik çatl koordinat sistemleri olarak da adlandrlabilirler. Afin koordinat sisteminde birim vektörlerden oluan koordinat çatsna göre üç boyutlu uzayda herhangi bir P noktasnn konumu (1) eitlii de dikkate alnarak,

3

T

T

T

P0 P ! § a i P0 Pi ! a 1 i  a 2 j  a 3 k  i !1

eitliiyle elde edilir. Buradaki a i katsaylar katsaylar noktann afin koordinatlardr. koordinatlardr. Afin koordinat koordinat sisteminde bir n oktann koordinatlar da daima birbirinden farkl ve tek anlaml koordinat fonksiyonlaryla tanmlanr ve (X 1, X2, X3) eklinde gösterilir.

2.1.1. 2.

Üç Boyutlu Ortogonal Koordinat Sistemleri

Üç boyutlu ortogonal koordinat sisteminde siste minde koordinat çatsn tan mlayan birim vektörler  vektörler  P0 P1 ! i , P0 P2 !  j , TTT

P0 P3 ! k arasndaki açlar birbirine eit ve dik (90º) µdr. Bu özellikten dolay i ,  j , k  çatsnn birim vektörleri üç boyutlu

uzayda P 0 orijin noktasnda her zaman ortogonal yapl koordinat çats oluturmaktadr.

Ortogonal çatnn birim vektörlerinden biri dier iki birim vektörün belirledii düzleme dik ve bu yüzeyin yüzey normali ile çakkt çakktr. r. Bu özellie paralel olarak, ortogonal çatnn birim vektörlerinin tanmlad düzlemler birbirine diktir [

Üç boyutlu uzayda bu tür özelliklere sahip ortogonal çatl koordinat sistemleri geometrik yaplarna göre; kartezyen (doru eksenli) ve erisel (eri eksenli) koordinat sistemleri gibi farkl iki koordinat sistemi eklinde ele alnabilirler. Bu sistemlerde farkl koordinat parametreleri kullanlmasdr, fakat hepsi ortogonal yapdadr ve birbirine dönüümü salanabilir.

y

Kartezyen Koordinat Sistemleri

Üç boyutlu uzayda tanmlanan kartezyen koordinat sistemi basit olmas nedeniyle oldukça fazla uygulama uygulama alan  bulmutur. Bu koordinat sisteminin orijini O, öklid uzaynda tanmlanan ortogonal çatnn orijini P 0 ile çakktr. Eksenleri de ortogonal sistemi tanmlayan birim vektörlerle çakktr. Bu sistemde bir P noktasnn konumu o noktadan her bir koordinat eksenine inilen dik boylar ile belirlenir ve noktann dik (kartezyen) koordinatlar olarak adlandrlrlar. (X,Y,Z ) kartezyen koordinatlar + Z P (x,y,z) T

k 

T

T

Y

O

i

P¶ X

g

ve - g arasnda deer alabilir.

Bu durumda kartezyen koordinat sisteminde üç boyutlu uzayn herhangi bir P noktasnn konumu,

T

T

T

r  ! OP ! x i  y  j  z k 

T

(2)

vektörel bants ile elde edilir. Kartezyen koordinat sistemleri Z ekseninin etrafnda döndürüldüünde X ve Y eksenleri 90º aç ile çakyorsa sa sistem, 270º aç ile çakyorsa sol sistem olarak adlandrlr. Bu iki sistem arasndaki fark sadece bir sistemdeki eksenin yönü pozitifken dierinde negatif olmasdr. Bu durum kartezyen koordinat sisteminde yansma olarak adlandrl adlandrlr. r. Kartezyen koordinat sisteminde eksenlerin tanmlad düzlemler daima birbirine diktir. Üç boyutlu uzayda herhangi bir P noktasnn konumu kartezyen koordinatlarla belirlendiinde bu düzlemlere göre de de konumu belirl belirl enmi olur.

Kartezyen koordinat sistemleri üç boyutlu uzayda eksen parametrelerinin sabit ve deiken alnmalar durumuna göre   birbirinden farkl konumda E1, E2, E3 gibi üç farkl düzlem yüzey olutururlar. Bu yüzeyler eksenlerin ikisini içinde

 bulundurur ve dier eksene dik olur. Bu yüzeylerden E 1 = xoy düzlemi kartezyen koordinat sisteminin asal düzlemi, E 2 = xoz düzlemi birinci ana düey düzlemi ve E 3 = yoz düzlemi ise ikinci ana düey düzlemi olarak adlandrlr.

Z E2 E3 T

k 

T

T

i

Y

O E1

X

y

Erisel Koordinat Sistemleri

Erisel koordinat sistemlerinde (u 1,u2,u3) koordinatlar, (X,Y,Z) kartezyen koordinatlarna dönüümü olan, üç boyutlu uzayn her bir noktas için daima birbirinden farkl ve tek deerli parametrelerdir. (u 1,u2,u3) parametrelerinin seçimine göre  birçok farkl erisel koordinat sistemi tanmlanabilir. Bu koordinat sistemlerinin sahip olduu ortak koordinat çatsnda bir P noktasnn kartezyen ve erisel koordinat parametrelerine göre,

T

T

T

T

T

r  ! P ! x i  y  z k  ! r (u 1 , u 2 , u 3 )

eitliiyle tanmlanr.

(3)

Üç boyutlu uzayda u 1,u2,u3 parametrelerinin seçimine bal olarak erisel koordinat sistemleri aadaki isimlerle adlandrlrlar.

y

Küresel Koordinat Sistemi

y

Silindirik Koordinat Sistemi,

y

Toroidal Koordinat Sistemi,

y

Parabolik Silindirik Koordinat Sistemi,

y

Ekliptik Silindirik Koordinat Sistemi,

y

Paraboloidal Koordinat Sistemi,

y

Yayk (Prolate) Sferoidal Koordinat Sistemi,

y

Yass (oblate) Sferoidal Koordinat Sistemi,

y

Elipsoidal Koordinat Sistemi,

y

Bipolar Koordinat Sistemi.

Bu koordinat sistemlerinin her biri ayn ortogonal koordinat çatsna sahip olmalarna ramen, kullanlan   parametrelerin matematiksel ve geometrik farkllklar nedeniyle nedeniyle üç boyutlu boyutlu uzayda farkl koordinat koordinat sistemleri olarak  karmza çkarlar. Bu koordinat sistemlerinden Küresel koordinat sistemi ve Elipsoidal koordinat sistemi burada açklanacaktr.

y

Küresel Koordinat Sistemi :

Konum parametresi olarak aç ve uzunluklarn alnd küresel koordinat sistemleri astronomi ve jeodezi gibi bilim dallarnda yaygn olarak kullanlmaktadr. Bu koordina t sistemindeki bir noktann koordinatlar ( ,,r) ile tanmldr.

Z

P (x,y,z) T

k 

r  T



O

T

i

Y

 P¶

X

POP¶ = 

;

0

xOP¶ = 

;

0

OP = r

;

r  u 0

 

e



e

2



e

2

Bu deerler P noktasn küresel koordinatlar olmakta ve pozitif yönleri x,y,z kartezyen koordinat sisteminin kartezyen eksenlerinin eksenlerinin pozitif yönünü göstermektedir. Üç boyutlu uzayda P noktasna ait küresel koordinatlar ile kartezyen kartezyen koordinatlar arasndaki iliki;

x ! r CosN  Cos

,

r  ! X 2  Y 2  Z 2

y ! r CosN  in

,

¨ y ¸ ¨ z ¸  ! arctan © ¹ ! arcsin © ¹ ª x º ª r  º

,

N  ! arctan ©

 z 

! r  in N 

¨

 ¸ ¹ © x2  y2 ¹ ª  º

z

Bu ekilde tanmlanan küresel koordinat sisteminde; (, , r) küresel koordinat parametrelerinden birinin deiken dierlerinin sabit seçilmesi durumunda farkl geometrik yapda koordinat sistemleri olutururlar. r parametresinin deiken olmas durumunda ayn merkezli merkezli iç içe kü reler;  parametresinin parametresinin deiken dei ken olmas durumunda duru munda Z-ekseninin Z -ekseninin r yarçapl küreyi kestii noktalarda ( küresel kutup noktalarnda) birleen büyük daire (meridyen) yaylar;  parametresinin deiken olmas durumunda  deiken yaylarn dik olarak kesen eri eri ler (küçük daire yaylar) meydana gelmektedir. gelmektedir.

Z

 O

X

Y

y

Kartezyen ve Küresel Koordinat Sistemleri Arasndaki Dönüüm:

Üç boyutlu uzayda bir P noktasnn yer vektörü kartezyen koordinatlar cinsinden;

T

T

T

T

T

r  ! P ! x i  y  z k  ! r (u 1 , u 2 , u 3 )

eitliiyle verilir. Ayrca bu noktann küresel ve kartezyen koordinatlar arasnda;

x ! r  osN  os y ! r  osN  in  z  ! r  in N 

fonksiyonel ilikisi mevcuttur.

Bu bantlar göz önüne alnarak üç boyutlu uzayda herhangi bir P noktasna ait r  yer vektörünün küresel koordinatlar  cinsinden ifadesi; r  ! X 2  Y 2  Z 2 ¨ y ¸ ¨ z ¸  ! arctan © ¹ ! arcsin © ¹ x ª  º ª r  º ¨

 ¸ ¹ © x2  y2 ¹ ª  º

N  ! arctan ©

z