Konjunktivna i Disjunktivna Normalna Forma

KONJUNKTIVNA I DISJUNKTIVNA NORMALNA FORMA

U logici često za zadanu formulu tražimo jednostavniju, njoj ekvivalentnu, formulu. Osim toga matematičarima i fizičarima često je cilj za zadanu formulu pronaći njenu disjunktivnu ili njenu konjunktivnu normalu formu  –  formulu koja joj je ekvivalentna i posebnog je oblika. Disjunktivna normalna forma (skraćeno DNF) formule  F  je formula G za koju vrijedi: 1. G je ekvivalentno  F  , 2. G je oblika G gdje su  Aij , i





...   A2 n   ... ...   Am1   Am 2  ... ... Amn   A11   A12  ...   A1n    A21   A22  ...

1,2,3,...,m ;  j



1,2,3,...,n literali varijabli koje se pojavljuju u  F  .

Konjunktivna normalna forma (skraćeno KNF) formule  F  je formula G za koju vrijedi: 1. G je ekvivalentno  F  . 2. G je konjunkcija nekih literali varijabli iz  F  . Primjer

G



 H 2

5.

zadanu

  A  C     A  C    A  C  , 



formulu

 F    A  C 

DNF

od

 F 

je

formula

a KNF od  F  je  H    A  C  . Neka DNF od  F  su i

  A   A  C   C  te  H 3    A  C    A  C  . KNF i DNF,dakle nisu jednake. Primjer

G1

Za

 

6.

Za

 F    P   G    R   P    Q   R 

DNF

od

 F 

je

 P  Q   R    P  Q   R    P  Q  R    P  Q   R    P  Q   R   P  Q  R

KNF od  F  je G2



 P  Q   R    P  Q   R .

Primjer 7. Za formulu  F    A   B ,  F   je već u DNF jer je  F  disjunkcija jedne konjunkcije (  F 

npr. možemo gledati kao  F    A   B    A   B  ). No,  F  je i u KNF jer je  F  konjunkcija dva

literala (F npr. možemo gledati i kao  F    A   A    B   B  ). DNF pronalazimo tako da za zadanu formulu izradimo tablicu istinitosti, a zatim u zadnjem stupcu tablice (stupcu od  F  ) promatramo redove u kojima je  I  F   1 te za svaki takav red sastavimo jednu konjunkciju u koju stavimo varijable koje su zadane, ali samo varijable koje u tom redu imaju vrijednost „0“ negiramo. Analogno, za KNF promatramo retke tablice u kojima je  I  F   0 i za svaki takav red sastavljamo jednu disjunkciju u kojoj negiramo varijable koje u tom retku imaju vrijednost „1“. Primjer 8. Neka je  F    A   B  C  (podsjetimo se, to je isto što i A  A   B  C  jer   ima veći prioritet od



). Prvo izradimo tablicu istinitosti za  F  :

 A

 B

C 

 F 

0

0

0

1

0

0

1

0

0

1

0

0

0

1

1

0

1

0

0

0

1

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

Za zadanu DNF od  F  gledamo retke tablice u kojima je  I  F   1 . To su: prvi, šesti, sedmi i osmi red. Svaki od tih redova dat će jednu zagradu za DNF, a u svakoj od tih zagrada negirane će biti varijable koje u redu kojeg promatramo imaju vrijednost nula. DNF od  F  je dakle formula G    A   B  C    A   B  C    A   B  C    A   B  C  . Analogno, KNF od  F  je  H    A   B  C    A   B  C    A   B  C     A   B  C  .

Primjer 9. Za  F    A   A   B  , tablica od  F  je:

 A

 B

 F 

0

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1

1

DNF od  F  je dakle formula  D    A   B     A   B     A   B  . KNF od  F  je formula  K    A   B    A   B .