Komutator Dan Nilai Eigen

TUGAS 2/ 9 Maret 2011

MEKANIKA KUANTUM

KOMUTATOR DAN NILAI EIGEN

NAMA

:

MELI MUCHLIAN

BP

:

1021220005

DOSEN

: DR. DIAN FITRIYANI

PROGRAM STUDI FISIKA PASCASARJANA UNIVERSITAS ANDALAS PADANG 2011

1. Tentukan komutator-komutator a. [

]=[

]

=*

+

=*

+ ( ) +

= =

+

= b. [

]=[

]

Rumus komutator [

]

Sehingga: [

]

[

=[

]

= [2

[

]

[

]

]

]

=2 =2 c. [Lx,Ly] = [LxLy – LyLx] Lx = y pz – z py Ly = z px – x pz Lz = x py – y px = [(y pz – z py) (z px – x pz) - (z px – x pz) (y pz – z py)] = [(y pz z px - y pz x pz - z py z px + z py x pz) – (z px x pz - z px z py – x pz y pz - x pz z py)] = [y pz z px - x pz z py] =[ =[

px - x px - x

= = = d. [Lz ,L2] = [Lz L2 – L2 Lz] L2 = Lx2 + Ly2 + Lz2 Lz = x py – y px Lx2 = Lx Lx

py] py]

= (y pz – z py) (y pz – z py) = y pz y pz - y pz z py - z py y pz + z py z py = - y pz z py - z py y pz =

y py +

z pz

Ly2 = Ly Ly = (z px – x pz) (z px – x pz) = z px z px - z px x pz - x pz z px + x pz x pz = - z px x pz - x pz z px =

z pz +

x px

Lz2 = Lz Lz = (x py – y px) (x py – y px) = x py x py - x py y px - y px x py + y px y px = - x py y px - y px x py =

x px +

y py

Lx2 + Ly2 + Lz2 =

2

y py +

z pz +

z pz +

=2

y py + 2

=2

(x px + y py + z pz)

Lz L = (x py – y px) 2

z pz +

x px +

x px +

y py

x px

(x px + y py + z pz)

=2

(x py x px + x py y py + x py z pz - y px x px - y px y py - y px z pz

=2

(x py y py - y px x px)

=2

(x

=2

(x

L2Lz = 2

py – (x py –

=2 =2

py –

px) px)

px)

Lz (x px + y py + z pz) (x py – y px)

=2

(x px x py - x px y px + y py x py - y py y px + z pz x py - z pz y px

=2

(x px x py - y py y px)

=2

(x

=2

(x

py – (x py –

=2 =2

py –

Lz

px) px)

px)

Kembali ke persamaan awal: [Lz L2 – L2 Lz] = (2

Lz - 2

Lz)

= 0 (komut) e. *

+=*

+

= adalah suatu fungsi eigen dari operator (

2. Tunjukkan bahwa (

)

=(

)

= =

(

=

(

) )

Misalkan: u= u´ = v= v´= sehingga: =

(

)

= u´v + v´u +(

= =

)(

+

= (-1) = (-1)

adalah fungsi eigen dari operator (

) dengan nilai eigen (-1)

)