Komputasi Matlab 4

Komputasi untuk Sains dan Teknik -Menggunakan Matlab-

Supriyanto Suparno ( Website: http://supriyanto.fisika.ui.edu ) ( Email: [email protected] atau [email protected] ) Edisi IV Revisi terakhir tgl: 25 April 2011

Departemen Fisika-FMIPA, Univeristas Indonesia Dipublikasikan pertama kali pada September 2007

Untuk Muflih Syamil Hasan Azmi Farah Raihanah Nina Marliyani

Usia bukan ukuran kedewasaan (Supriyanto, 2006)

Ketekunan adalah jalan yang terpercaya untuk mengantarkan kita menuju kesuksesan (Supriyanto, 2007)

Kata Pengantar

Perubahan adalah suatu keniscayaan. Aksioma itu berlaku juga pada buku ini — yang mulai ditulis pada tahun 2005. Mulai 24 juli 2010, edisi ke-4 ini diluncurkan dalam rangka mengubah sasaran tujuan dari buku edisi ke-3. Penekanan penulisan edisi ke-3 adalah ingin memperkenalkan sebanyak mungkin metode numerik kepada mahasiswa tingkat sarjana di Departemen Fisika, Universitas Indonesia. Hasil evaluasi proses perkuliahan menunjukkan bahwa diskusi matematis terlalu dominan dibandingkan diskusi aplikasi metode numerik pada masalah fisika. Oleh karena itu saya memutuskan untuk memperbesar porsi pembahasan aplikasi metode numerik sehingga beberapa metode numerik yang diulas pada edisi ke-3 dengan sengaja dihilangkan dalam edisi ke-4 ini. Rujukan utama buku edisi-4 ini tetap bersumber pada buku teks standar yang sangat populer di dunia komputasi, yaitu buku yang ditulis oleh Richard L. Burden dan J. Douglas Faires dengan judul Numerical Analysis edisi ke-7, diterbitkan oleh Penerbit Brooks/Cole, Thomson Learning Academic Resource Center. Namun demikian, buku ini telah dilengkapi dengan sejumlah contoh aplikasi komputasi pada upaya penyelesaian problem-problem fisika. Walaupun buku ini masih jauh dari sempurna, namun semoga ia dapat menyumbangkan kontribusi yang berarti untuk kebangkitan ilmu pengetahuan pada diri anak bangsa Indonesia yang saat ini sedang terpuruk. Saya wariskan buku ini untuk siswa dan mahasiswa Indonesia dimanapun mereka berada. Anda berhak memanfaatkan buku ini. Saya izinkan anda untuk meng-copy dan menggunakan buku ini selama itu ditujukan untuk belajar dan bukan untuk tujuan komersial. Bagi yang ingin berdiskusi, memberikan masukan, kritikan dan saran, silakan dikirimkan ke email: [email protected] Akhirnya saya ingin mengucapkan rasa terima kasih yang tak terhingga kepada Dede Djuhana yang telah berkenan memberikan format LATEX-nya sehingga tampilan tulisan pada buku ini benar-benar layaknya sebuah buku yang siap dicetak. Tak lupa, saya pun berterima kasih kepada seluruh mahasiswa yang telah mengambil mata kuliah Komputasi Fisika dan Anaisis Numerik di Departemen Fisika, FMIPA, Universitas Indonesia atas diskusi yang berlangsung selama kuliah. Kepada seluruh mahasiswa dari berbagai universitas di Timur dan di Barat Indonesia juga saya ungkapkan terima kasih atas pertanyaan-pertanyaan yang turut memperkaya isi buku ini.

Depok, 24 Juli 2010 Supriyanto Suparno

iii

iv

Daftar Isi

Lembar Persembahan

i

Kata Pengantar

iii

Daftar Isi

iii

Daftar Gambar

viii

Daftar Tabel

x

1 Pendahuluan

1

1.1

Inisialisasi variabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Perhitungan yang berulang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3

Mengenal cara membuat grafik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.4

Baris-baris pembuka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.5

Membuat 2 grafik dalam satu gambar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.6

Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2 Matrik dan Komputasi

13

2.1

Mengenal matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.2

Vektor-baris dan vektor-kolom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.3

Inisialisasi matrik dalam memori komputer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.4

Macam-macam matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.4.1

Matrik transpose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.4.2

Matrik bujursangkar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.4.3

Matrik simetrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.4.4

Matrik diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.4.5

Matrik identitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.4.6

Matrik upper-triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.4.7

Matrik lower-triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.4.8

Matrik tridiagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.4.9

Matrik diagonal dominan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.4.10 Matrik positive-definite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

Operasi matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.5.1

Penjumlahan matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.5.2

Komputasi penjumlahan matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.5.3

Perkalian matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.5.4

Komputasi perkalian matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.5

v

vi 2.5.5

Perkalian matrik dan vektor-kolom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.5.6

Komputasi perkalian matrik dan vektor-kolom . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.6

Penutup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.7

Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

3 Fungsi

39

3.1

Fungsi internal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

3.2

Fungsi eksternal penjumlahan matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

3.3

Fungsi eksternal perkalian matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

3.4

Fungsi eksternal perkalian matrik dan vektor-kolom . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

3.5

Penutup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

3.6

Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

4 Integral Numerik

49

4.1

Metode Trapezoida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

4.2

Metode Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

4.3

Peran faktor pembagi, n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

4.3.1

Source code metode integrasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

4.4

Metode Composite-Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

4.5

Adaptive Quardrature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

4.6

Gaussian Quadrature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

4.6.1

Contoh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

4.6.2

Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

5 Diferensial Numerik

59

5.1

Metode Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

5.2

Metode Runge Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

5.2.1

Aplikasi: Pengisian muatan pada kapasitor . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

5.3

Latihan I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

5.4

Metode Finite Difference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

5.4.1

Script Finite-Difference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

5.4.2

Aplikasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

5.5

Latihan II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

5.6

Persamaan Diferensial Parsial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

5.7

PDP eliptik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

5.7.1

Contoh pertama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

5.7.2

Script Matlab untuk PDP Elliptik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

5.7.3

Contoh kedua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

PDP parabolik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

5.8.1

Metode Forward-difference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

5.8.2

Contoh ketiga: One dimensional heat equation . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

5.8.3

Metode Backward-difference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

99

5.8

vii 5.8.4 5.9

Metode Crank-Nicolson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

PDP Hiperbolik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5.9.1

Contoh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.10 Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 6 Metode Iterasi

111

6.1

Kelebihan Vektor-kolom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6.2

Pengertian Norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6.3

6.4

6.5

6.2.1

Script perhitungan norm dua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6.2.2

Script perhitungan norm tak hingga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6.2.3

Perhitungan norm-selisih . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

Iterasi Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 6.3.1

Script metode iterasi Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

6.3.2

Stopping criteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

6.3.3

Fungsi eksternal iterasi Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Iterasi Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 6.4.1

Script iterasi Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

6.4.2

Algoritma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

6.4.3

Script iterasi Gauss-Seidel dalam Fortran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

Iterasi dengan Relaksasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 6.5.1

Algoritma Iterasi Relaksasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

7 Metode Eliminasi Gauss

141

7.1

Sistem persamaan linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

7.2

Teknik penyederhanaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

7.3

7.4

7.2.1

Cara menghilangkan sebuah variabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

7.2.2

Permainan indeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Triangularisasi dan Substitusi Mundur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 7.3.1

Contoh pertama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

7.3.2

Contoh kedua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

Matrik dan Eliminasi Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 7.4.1

Matrik Augmentasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

7.4.2

Penerapan pada contoh pertama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

7.4.3

Source-code dasar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

7.4.4

Optimasi source code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

7.4.5

Pentingnya nilai n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

7.4.6

Jangan puas dulu.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

7.4.7

Pivoting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

7.5

Function Eliminasi Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

7.6

Contoh aplikasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 7.6.1

Menghitung arus listrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

7.6.2

Mencari invers matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

viii 7.7

Penutup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

8 Aplikasi Eliminasi Gauss pada Masalah Inversi 8.1

Inversi Model Garis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 8.1.1

8.2

175

Script matlab inversi model garis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

Inversi Model Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 8.2.1

Script matlab inversi model parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

8.3

Inversi Model Bidang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

8.4

Contoh aplikasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 8.4.1

Menghitung gravitasi di planet X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

9 Metode LU Decomposition

193

9.1

Faktorisasi matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

9.2

Algoritma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

10 Interpolasi

203

10.1 Interpolasi Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 10.2 Interpolasi Cubic Spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 11 Metode Newton

213

11.1 Definisi akar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 11.2 Metode Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 11.3 Script metode Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 11.4 Fungsi ber-input vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 11.5 Fungsi ber-output vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 11.6 Fungsi ber-output matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 11.7 Metode Newton untuk sistem persamaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 12 Metode Monte Carlo

225

12.1 Penyederhanaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 13 Inversi

229

13.1 Inversi Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 13.2 Inversi Non-Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 Daftar Pustaka

234

14 Lampiran

237

14.1 Script Iterasi Jacobi, jcb.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 14.2 Script Iterasi Gauss-Seidel, itgs.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 Indeks

239

Daftar Gambar

1.1

Data perubahan kecepatan terhadap waktu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Data perubahan kecepatan terhadap waktu dengan keterangan gambar . . . . .

4

1.3

Grafik gelombang berfrekuensi 5 Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4

Grafik yang dilengkapi dengan keterangan sumbu-x dan sumbu-y serta judul . .

7

1.5

Grafik yang dilengkapi dengan font judul 14pt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.6

Dua buah grafik dalam sebuah gambar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.7

Tiga buah grafik dalam sebuah gambar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

4.1

Metode Trapezoida. Gambar sebelah kiri menunjukkan kurva fungsi f (x) dengan batas bawah integral adalah a dan batas atas b. Gambar sebelah kanan menunjukan cara metode Trapesoida menghitung integral dengan cara menghitung luas area integrasi, dimana luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f (x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan teliti, ada area kecil dibawah garis kurva dan diatas garis miring yang berada diluar bidang trapesium. Metode Trapesoida tidak menghitung luas area kecil tersebut. Disinilah letak kelemahan metode trapezoida.

4.2

50

Metode Simpson. Gambar sebelah kiri menunjukkan kurva fungsi f (x) dengan batas bawah integral adalah a dan batas atas b. Gambar sebelah kanan menunjukan cara metode Simpson menghitung luas area integrasi, dimana area integrasi di bawah kurva

4.3

f (x) dibagi 2 dalam batas interval a − x1 dan x1 − b dengan lebar masing-masing adalah h 51 Metode Composite Simpson. Kurva fungsi f (x) dengan batas bawah integral adalah a dan batas atas b. Luas area integrasi dipecah menjadi 8 area kecil dengan lebar masingmasing adalah h. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.1

54

Kiri: Kurva y(t) dengan pasangan titik absis dan ordinat dimana jarak titik absis sebesar h. Pasangan t1 adalah y(t1 ), pasangan t2 adalah y(t2 ), begitu seterusnya. Kanan: Garis singgung yang menyinggung kurva y(t) pada t=a, kemudian berdasarkan garis singgung tersebut, ditentukan pasangan t1 sebagai w1 . Perhatikan gambar itu sekali lagi! w1 dan y(t1 ) beda tipis alias tidak sama persis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2

60

Kurva biru adalah solusi exact, dimana lingkaran-lingkaran kecil warna biru pada kurva menunjukkan posisi pasangan absis t dan ordinat y(t) yang dihitung oleh Persamaan (5.9). Sedangkan titik-titik merah mengacu pada hasil perhitungan metode euler, yaitu nilai wi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3

64

Kurva biru adalah solusi exact, dimana lingkaran-lingkaran kecil warna biru pada kurva menunjukkan posisi pasangan absis t dan ordinat y(t) yang dihitung oleh Persamaan (5.9). Sedangkan titik-titik merah mengacu pada hasil perhitungan metode Runge Kutta orde 4, yaitu nilai wi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ix

68

DAFTAR GAMBAR

x 5.4

Rangkaian RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

5.5

Kurva pengisian muatan q (charging) terhadap waktu t . . . . . . . . . . . . . . .

73

5.6

Kurva suatu fungsi f (x) yang dibagi sama besar berjarak h. Evaluasi kurva yang dilakukan Finite-Difference dimulai dari batas bawah X0 = a hingga batas atas x6 = b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

5.7

Skema grid lines dan mesh points pada aplikasi metode Finite-Difference . . . . . .

85

5.8

Susunan grid lines dan mesh points untuk mensimulasikan distribusi temperatur pada lempeng logam sesuai contoh satu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.9

87

Sebatang logam dengan posisi titik-titik simulasi (mesh-points) distribusi temperatur. Jarak antar titik ditentukan sebesar h = 0, 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

94

5.10 Interval mesh-points dengan jarak h = 0, 1 dalam interval waktu k = 0, 0005 . . . . . . .

94

5.11 Posisi mesh-points. Arah x menunjukkan posisi titik-titik yang dihitung dengan forwarddifference, sedangkan arah t menunjukkan perubahan waktu yg makin meningkat . . . .

95

8.1

Sebaran data observasi antara suhu dan kedalaman . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

8.2

Kurva hasil inversi data observasi antara suhu dan kedalaman . . . . . . . . . . . 179

8.3

Kurva hasil inversi data observasi antara suhu dan kedalaman . . . . . . . . . . . 184

8.4

Grafik data pengukuran gerak batu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

8.5

Grafik hasil inversi parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

10.1 Fungsi f (x) dengan sejumlah titik data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 10.2 Pendekatan dengan polinomial cubic spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 10.3 Profil suatu object . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 10.4 Sampling titik data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 10.5 Hasil interpolasi cubic spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 10.6 Hasil interpolasi lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 11.1 Fungsi dengan dua akar yang ditandai oleh lingkaran kecil berwarna merah, yaitu pada x = −2 dan x = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

11.2 Fungsi dengan satu akar yang ditandai oleh lingkaran kecil berwarna merah,

yaitu pada x = −1, 2599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 12.1 Lingkaran dan bujursangkar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 12.2 Dart yang menancap pada bidang lingkaran dan bujursangkar . . . . . . . . . . . 226 12.3 Dart yang menancap pada bidang 1/4 lingkaran dan bujursangkar . . . . . . . . 227

Daftar Tabel

4.1

Polinomial Legendre untuk n=2,3,4 dan 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.1

Solusi yang ditawarkan oleh metode euler wi dan solusi exact y(ti ) serta selisih antara keduanya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2

68

Perbandingan antara hasil perhitungan numerik lewat metode Runge Kutta dan hasil perhitungan dari solusi exact, yaitu persamaan (5.16) . . . . . . . . . . . . .

5.4

63

Solusi yang ditawarkan oleh metode Runge Kutta orde 4 (wi ) dan solusi exact y(ti ) serta selisih antara keduanya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3

56

72

Hasil simulasi distribusi panas bergantung waktu dalam 1-dimensi. Kolom ke-2 adalah solusi analitik/exact, kolom ke-3 dan ke-5 adalah solusi numerik forward-difference. Kolom ke-4 dan ke-6 adalah selisih antara solusi analitik dan numerik . . . . . . . . . . . . . .

5.5

Hasil simulasi distribusi panas bergantung waktu dalam 1-dimensi dengan metode backwarddifference dimana k = 0, 01

5.6

98

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Hasil simulasi distribusi panas bergantung waktu (t) dalam 1-dimensi dengan metode backward-difference dan Crank-Nicolson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

6.1

Hasil akhir elemen-elemen vektor x hingga iterasi ke-10 . . . . . . . . . . . . . . . 125

6.2

Hasil perhitungan norm2-selisih hingga iterasi ke-10 . . . . . . . . . . . . . . . . 125

6.3

Hasil Iterasi Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

6.4

Hasil perhitungan iterasi Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

6.5

Hasil perhitungan iterasi Relaksasi dengan ω = 1, 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

8.1

Data suhu bawah permukaan tanah terhadap kedalaman . . . . . . . . . . . . . . 175

8.2

Data suhu bawah permukaan tanah terhadap kedalaman . . . . . . . . . . . . . . 180

8.3

Data ketinggian terhadap waktu dari planet X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

xi

xii

DAFTAR TABEL

Bab 1

Pendahuluan

✍ Objektif : ⊲ Mengenal cara inisialisasi variabel. ⊲ Mengenal operasi matematika. ⊲ Mengenal fungsi-fungsi dasar. ⊲ Mengenal cara membuat grafik.

1.1

Inisialisasi variabel

Salah satu perbedaan utama antara komputer dan kalkulator adalah pemanfaatan variabel dalam proses perhitungan. Kebanyakan kalkulator tidak menggunakan variabel dalam proses perhitungan; sebaliknya, komputer sangat memanfaatkan variable dalam proses perhitungan. Misalnya kita ingin mengalikan 2 dengan 3. Dengan kalkulator, langkah pertama yang akan kita lakukan adalah menekan tombol angka 2, kemudian diikuti menekan tombol ×, lalu menekan tombol angka 3, dan diakhiri dengan menekan tombol =; maka keluarlah hasilnya

berupa angka 6. Kalau di komputer, proses perhitungan seperti ini dapat dilakukan dengan memanfaatkan variabel. Pertama-tama kita munculkan sebuah variabel yang diinisialisasi1 dengan angka 2, misalnya A = 2. Kemudian kita munculkan variabel lain yang diinisialisasi dengan angka 3, misalnya B = 3. Setelah itu kita ketikkan A ∗ B; maka pada layar monitor

akan tampil angka 6. Bahkan kalau mau, hasil perhitungannya dapat disimpan dalam variabel yang lain lagi, misalnya kita ketiikan C = A ∗ B; maka hasil perhitungan, yaitu angka 6 akan

disimpan dalam variable C. Script2 matlab untuk melakukan proses perhitungan seperti itu adalah sebagai berikut A = 2; B = 3; C = A * B 1 2

inisialisasi adalah proses memberi nilai awal pada suatu variabel Script adalah daftar baris-baris perintah yang akan dikerjakan (di-eksekusi) oleh komputer

1

BAB 1. PENDAHULUAN

2

Nama suatu variabel tidak harus hanya satu huruf, melainkan dapat berupa sebuah kata. Misalnya kita ingin menyatakan hukum Newton kedua, yaitu F = ma, dimana m adalah massa, a adalah percepatan dan F adalah gaya. Maka, script matlab dapat ditulis seperti berikut ini massa = 2; percepatan = 3; gaya = massa * percepatan

Atau bisa jadi kita memerlukan variabel yang terdiri atas dua patah kata. Dalam hal ini, kedua kata tadi mesti dihubungkan dengan tanda underscore. Misalnya begini besar_arus = 2; beda_potensial = 3; nilai_hambatan = beda_potensial / besar_arus

Semua contoh di atas memperlihatkan perbedaan yang begitu jelas antara penggunaan komputer dan kalkulator dalam menyelesaikan suatu perhitungan. Saya akan tunjukkan perbedaan yang lebih tegas lagi pada bagian berikut ini.

1.2

Perhitungan yang berulang

Di dalam matlab, suatu variabel dapat diinisialisasi dengan urutan angka. Misalnya jika variabel t hendak diinisialisasi dengan sejumlah angka yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dan 10, caranya sangat mudah, cukup dengan mengetikkan t = 0:10;

Angka 0 pada script di atas merupakan nilai awal; sedangkan angka 10 adalah nilai akhir. Contoh lainnya, jika anda hanya menginginkan bilangan genap-nya saja, cukup ketikkan t = 0:2:10;

Disini, angka 2 bertindak sebagai nilai interval dari 0 sampai 10. Sehingga angka-angka yg muncul hanyalah 0, 2, 4, 6, 8 dan 10. Andaikata anda menginginkan urutan angka yang terbalik, maka yang perlu anda lakukan adalah t = 10:-2:0;

sehinggan angka yang muncul adalah 10, 8, 6, 4, 2 dan 0. Adakalanya proses perhitungan meminta kita untuk memulainya dari angka kurang dari nol, misalnya t = -10:3:4;

maka angka-angka yang tersimpan pada variabel t adalah -10, -7, -4, -1 dan 2. Dengan adanya kemampuan dan sekaligus kemudahan inisialisasi urutan angka seperti ini, maka memudahkan kita melakukan perhitungan yang berulang. Sebagai contoh, kita ingin mensimulasikan perubahan kecepatan mobil balap yang punya kemampuan akselerasi 2 m/dt2 . Rumus gerak lurus berubah beraturan sangat memadai untuk maksud tersebut v = vo + at

(1.1)

1.3. MENGENAL CARA MEMBUAT GRAFIK

3

Jika kita hendak mengamati perubahan kecepatan mobil balap dari detik pertama disaat sedang diam hingga detik ke-5, kita dapat menghitung perubahan tersebut setiap satu detik, yaitu pada t = 1

⇒

v1 = (0) + (2)(1)

⇒ 2m/dt

pada t = 2

⇒

v2 = (0) + (2)(2)

⇒ 4m/dt

pada t = 3

⇒

v3 = (0) + (2)(3)

⇒ 6m/dt

pada t = 4

⇒

v4 = (0) + (2)(4)

⇒ 8m/dt

pada t = 5

⇒

v5 = (0) + (2)(5)

⇒ 10m/dt

Script matlab untuk tujuan di atas adalah a = 2; t = 1:5; vo = 0; v = vo + a * t

Jarak tempuh mobil juga dapat ditentukan oleh persamaan berikut 1 s = vo t + at2 2

(1.2)

Untuk menentukan perubahan jarak tempuh tersebut, script sebelumnya mesti ditambah satu baris lagi 1 2 3 4

a = 2; t = 1:5; vo = 0; s = vo * t + 1/2 * a * t.^2

Ada hal penting yang perlu diperhatikan pada baris ke-4 di atas, yaitu penempatan tanda ˆ Maksud dari tanda titik adalah setiap angka yang tersimpan pada variabel t titik pada t.2. ˆ maka script harus dikuadratkan. Jika anda lupa menempatkan tanda titik, sehingga tertulis t2, tersebut tidak akan bekerja.

1.3

Mengenal cara membuat grafik

Seringkali suatu informasi lebih mudah dianalisis setelah informasi tersebut ditampilkan dalam bentuk grafik. Pada contoh mobil balap tadi, kita bisa menggambar data perubahan kecepatan mobil terhadap waktu dengan menambahkan satu baris lagi seperti ditunjukkan oleh script dibawah ini 1 2 3 4 5

a = 2; t = 1:5; vo = 0; v = vo + a * t plot(t,v,’o’)

BAB 1. PENDAHULUAN

4 10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Gambar 1.1: Data perubahan kecepatan terhadap waktu Jika script tersebut di-run, akan muncul Gambar 1.1. Untuk melengkapi keterangan gambar, beberapa baris perlu ditambahkan

2 3 4 5 6 7 8

a = 2; t = 1:5; vo = 0; v = vo + a * t; plot(t,v,’o’); xlabel(’Waktu (dt)’); ylabel(’Kecepatan (m/dt)’) title(’Data Kecepatan vs Waktu’)

Data Kecepatan vs Waktu 10 9 8 Kecepatan (m/dt)

1

7 6 5 4 3 2

1

1.5

2

2.5

3 Waktu (dt)

3.5

4

4.5

5

Gambar 1.2: Data perubahan kecepatan terhadap waktu dengan keterangan gambar

1.4. BARIS-BARIS PEMBUKA

1.4

5

Baris-baris pembuka

Ketika anda membuat script di komputer, anda mesti menyadari bahwa script yang sedang anda buat akan memodifikasi isi memory komputer. Oleh karena itu saya menyarankan agar sebelum kalkulasi anda bekerja, maka anda harus pastikan bahwa memory komputer dalam keadaan bersih. Cara membersihkannya, di dalam matlab, adalah dengan menuliskan perintah clear. Alasan yang sama diperlukan untuk membersihkan gambar dari layar monitor. Untuk maksud ini, cukup dengan menuliskan perintah close. Sedangkan untuk membersihkan teks atau tulisan di layar monitor, tambahkan saja perintah clc. Saya biasa meletakkan ketiga perintah tersebut pada baris-baris awal sebagai pembukaan bagi suatu script matlab. Inilah contohnya, 1 2 3

clear close clc

4 5 6 7 8 9 10 11 12

a = 2; t = 1:5; vo = 0; v = vo + a * t; plot(t,v,’o’); xlabel(’Waktu (dt)’); ylabel(’Kecepatan (m/dt)’) title(’Data Kecepatan vs Waktu’)

1.5

Membuat 2 grafik dalam satu gambar

Misalnya, sebuah gelombang dinyatakan oleh persamaan y = A sin(2πf t + θ) dimana A = amplitudo; f = frekuensi; t = waktu; θ = sudut fase gelombang. Jika suatu gelombang beramplitudo 1 memiliki frekuensi tunggal 5 Hz dan sudut fase-nya nol, maka script untuk membuat grafik gelombang tersebut adalah 1 2 3

clc clear close

4 5 6 7 8 9

A = 1; % amplitudo f = 5; % frekuensi theta = 0; % sudut fase gelombang t = 0:0.001:1; % t_awal = 0; t_akhir = 1; interval = 0.001 y = A * sin(2*pi*f*t + theta); % persamaan gelombang

10 11

plot(t,y)

% menggambar grafik persamaan gelombang

Grafik di atas muncul karena ada fungsi plot(t,y) yang diletakkan dibaris paling akhir pada script. Modifikasi script perlu dilakukan untuk memberi penjelasan makna dari sumbu-x dan sumbu-y serta memberikan judul grafik

BAB 1. PENDAHULUAN

6

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Gambar 1.3: Grafik gelombang berfrekuensi 5 Hz

1 2 3

clc clear close

4 5 6 7 8 9

A = 1; % amplitudo f = 5; % frekuensi theta = 0; % sudut fase gelombang t = 0:0.001:1; % t_awal = 0; t_akhir = 1; interval = 0.001 y = A * sin(2*pi*f*t + theta); % persamaan gelombang

10 11 12 13 14

plot(t,y) % menggambar grafik persamaan gelombang xlabel(’Waktu, t (detik)’); % melabel sumbu-x ylabel(’Amplitudo’); % melabel sumbu-y title(’Gelombang berfrekuensi 5 Hz’); % judul grafik

Untuk memperbesar font judul grafik, tambahkan kata fontsize(14) pada title(), contohnya title(’\fontsize{14} Gelombang berfrekuensi 5 Hz’); % judul grafik

Bila kita perlu menggambar dua buah grafik, contoh script berikut ini bisa digunakan 1 2 3

clc clear close

4 5

t = 0:0.001:1;

% t_awal = 0; t_akhir = 1; interval = 0.001

6 7 8 9 10

A1 = 1; % amplitudo gelombang 1 f1 = 5; % frekuensi gelombang 1 theta1 = 0; % sudut fase gelombang 1 y1 = A1 * sin(2*pi*f1*t + theta1); % persamaan gelombang 1

11 12 13

A2 = 1; f2 = 3;

% amplitudo gelombang 2 % frekuensi gelombang 2

1.5. MEMBUAT 2 GRAFIK DALAM SATU GAMBAR

7

Gelombang berfrekuensi 5 Hz 1 0.8 0.6

Amplitudo

0.4 0.2 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 Waktu, t (detik)

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Gambar 1.4: Grafik yang dilengkapi dengan keterangan sumbu-x dan sumbu-y serta judul

Gelombang berfrekuensi 5 Hz 1 0.8 0.6

Amplitudo

0.4 0.2 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 Waktu, t (detik)

0.6

0.7

0.8

Gambar 1.5: Grafik yang dilengkapi dengan font judul 14pt

0.9

1

BAB 1. PENDAHULUAN

8 14 15

theta2 = pi/4; % sudut fase gelombang 2 y2 = A2 * sin(2*pi*f2*t + theta2); % persamaan gelombang 2

16 17

figure

18 19 20 21 22 23

subplot(2,1,1) plot(t,y1) % menggambar grafik persamaan gelombang 1 xlabel(’Waktu, t (detik)’); ylabel(’Amplitudo’); title(’\fontsize{14} Gelombang berfrekuensi 5 Hz’);

24 25 26 27 28 29

subplot(2,1,2) plot(t,y2) % menggambar grafik persamaan gelombang 2 xlabel(’Waktu, t (detik)’); ylabel(’Amplitudo’); title(’\fontsize{14} Gelombang berfrekuensi 3 Hz, fase pi/4’);

Gelombang berfrekuensi 5 Hz Amplitudo

1 0.5 0 −0.5 −1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 Waktu, t (detik)

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0.8

0.9

1

Gelombang berfrekuensi 3 Hz, fase pi/4 Amplitudo

1 0.5 0 −0.5 −1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 Waktu, t (detik)

0.6

0.7

Gambar 1.6: Dua buah grafik dalam sebuah gambar Sekarang, jika kita ingin melihat tampilan superposisi kedua gelombang di atas, maka script berikut ini bisa digunakan 1 2 3

clc clear close

4 5

t = 0:0.001:1;

% t_awal = 0; t_akhir = 1; interval = 0.001

6 7 8 9 10

A1 = 1; % amplitudo gelombang 1 f1 = 5; % frekuensi gelombang 1 theta1 = 0; % sudut fase gelombang 1 y1 = A1 * sin(2*pi*f1*t + theta1); % persamaan gelombang 1

11 12 13 14 15

A2 = 1; % amplitudo gelombang 2 f2 = 3; % frekuensi gelombang 2 theta2 = pi/4; % sudut fase gelombang 2 y2 = A2 * sin(2*pi*f2*t + theta2); % persamaan gelombang 2

1.5. MEMBUAT 2 GRAFIK DALAM SATU GAMBAR

9

16 17

y3 = y1 + y2;

% superposisi gelombang

18 19

figure

20 21 22 23 24 25

subplot(3,1,1) plot(t,y1) % menggambar grafik persamaan gelombang 1 xlabel(’Waktu, t (detik)’); ylabel(’Amplitudo’); title(’\fontsize{14} Gelombang berfrekuensi 5 Hz’);

26 27 28 29 30 31

subplot(3,1,2) plot(t,y2) % menggambar grafik persamaan gelombang 2 xlabel(’Waktu, t (detik)’); ylabel(’Amplitudo’); title(’\fontsize{14} Gelombang berfrekuensi 3 Hz, fase pi/4’);

32

36 37

Gelombang berfrekuensi 5 Hz Amplitudo

35

subplot(3,1,3) plot(t,y3) % menggambar grafik superposisi gelombang xlabel(’Waktu, t (detik)’); ylabel(’Amplitudo’); title(’\fontsize{14} Superposisi gelombang 5 Hz dan 3 Hz’);

1 0 −1

0

0.2

0.4 0.6 Waktu, t (detik)

0.8

1

Gelombang berfrekuensi 3 Hz, fase pi/4 Amplitudo

34

1 0 −1

0

0.2

0.4 0.6 Waktu, t (detik)

0.8

1

Superposisi gelombang 5 Hz dan 3 Hz Amplitudo

33

2 0 −2

0

0.2

0.4 0.6 Waktu, t (detik)

0.8

Gambar 1.7: Tiga buah grafik dalam sebuah gambar

1

BAB 1. PENDAHULUAN

10

1.6

Latihan

1. Jarak tempuh mobil balap yang bergerak dengan percepatan 2 m/dt2 dari posisi diam ditentukan oleh rumus berikut

1 s = vo t + at2 2

Buatlah script untuk menggambarkan grafik jarak tempuh terhadap waktu dimulai dari t = 0 hingga t = 20 dt. 2. Sebuah elektron memasuki area yang dipengaruhi oleh medan listrik seperti gambar berikut dimana diketahui besar muatan elektron = 1,6×10−19 C, massa elektron = 9,11×10−31

kg, kecepatan v = 3×106 m/dt, kuat medan listrik E = 200 N/C , dan panjang plat ℓ = 0,1 meter. Posisi koordinat elektron memenuhi persamaan x = vt

y=−

1 eE 2 t 2 m

dimana percepatan

a=

eE m

Buatlah script untuk menentukan variasi posisi elektron (x, y) terhadap waktu (t), mulai dari t = 0 detik hingga t = 3,33×10−8 detik dengan interval waktu 3,33×10−10 detik. 3. Berkali-kali bola ditendang dari depan gawang ke tengah lapangan oleh penjaga gawang yang sedang berlatih. Misalnya bola ditendang sedemikian rupa sehingga bola selalu bergerak dengan kecepatan awal 5 m/dt. Diketahui konstanta gravitasi adalah 9,8 m/dt2 . (a) Plot variasi ketinggian maksimum bola bila sudut tendangan bervariasi dari 30o hingga 60o dengan interval 5o . Persamaan untuk menghitung ketinggian maksimum adalah hmaks =

vo2 sin2 α 2g

(1.3)

(b) Plot variasi jangkauan maksimum bola bila sudut tendangan bervariasi dari 30o hingga 60o dengan interval 5o . Persamaan untuk menghitung jangkauan maksimum adalah xmaks =

vo2 sin 2α g

(c) Buatlah fungsi eksternal untuk masing-masing persamaan di atas.

(1.4)

1.6. LATIHAN

11

4. Sebuah bola konduktor pejal memiliki jari-jari sebesar 0,75 meter. Kuat medan listrik yang terukur pada permukaan kulit bola diketahui sebesar 890 N/C dan mengarah ke pusat bola. Dengan memanfaatkan hukum Gauss, tentukan: (a) Tuliskan script matlab untuk menggambarkan kurva kuat medan listrik vs jarak, mulai dari 0 meter hingga 10 meter. (b) Plot gambar kurva-nya

12

BAB 1. PENDAHULUAN

Bab 2

Matrik dan Komputasi

✍ Objektif : ⊲ Mengenalkan matrik, vektor dan jenis-jenis matrik. ⊲ Mendeklarasikan elemen-elemen matrik ke dalam memori komputer. ⊲ Mengenalkan operasi penjumlahan dan perkalian matrik. ⊲ Membuat script operasi matrik.

2.1

Mengenal matrik

Notasi suatu matrik berukuran n x m ditulis dengan huruf besar dan dicetak tebal, misalnya An×m . Huruf n menyatakan jumlah baris, dan huruf m jumlah kolom. Suatu matrik tersusun atas elemen-elemen yang dinyatakan dengan huruf kecil lalu diikuti oleh angka-angka indeks, misalnya aij . Indeks i menunjukkan posisi baris ke-i dan indeks j menentukan posisi kolom ke-j. 



a11

a12

. . . a1m

  a21 A = (aij ) =   ..  .

a22 .. .

 . . . a2m  ..   . 

(2.1)

an1 an2 . . . anm

Pada matrik ini, a11 , a12 , ..., a1m adalah elemen-elemen yang menempati baris pertama. Sementara a12 , a22 , ..., an2 adalah elemen-elemen yang menempati kolom kedua. Contoh 1: Matrik A2×3 A=

"

# 3 8 5 6 4 7

dimana masing-masing elemennya adalah a11 = 3, a12 = 8, a13 = 5, a21 = 6, a22 = 4, dan a23 = 7. 13

BAB 2. MATRIK DAN KOMPUTASI

14 Contoh 2: Matrik B3×2 

 1 3   B = 5 9 2 4

dimana masing-masing elemennya adalah b11 = 1, b12 = 3, b21 = 5, b22 = 9, b31 = 2, dan b32 = 4.

2.2

Vektor-baris dan vektor-kolom

Notasi vektor biasanya dinyatakan dengan huruf kecil dan dicetak tebal. Suatu matrik dinamakan vektor-baris berukuran m, bila hanya memiliki satu baris dan m kolom, yang dinyatakan sebagai berikut i i h h a = a11 a12 . . . a1m = a1 a2 . . . am

(2.2)

Sedangkan suatu matrik dinamakan vektor-kolom berukuran n, bila hanya memiliki satu kolom dan n baris, yang dinyatakan sebagai berikut 

a11





a1



     a21   a2     a=  ..  =  ..   .  . an1 an

2.3

(2.3)

Inisialisasi matrik dalam memori komputer

Sebelum dilanjutkan, saya sarankan agar anda mencari tahu sendiri bagaimana cara membuat m-file di Matlab dan bagaimana cara menjalankannya. Karena semua source code yang terdapat dalam buku ini ditulis dalam m-file. Walaupun sangat mudah untuk melakukan copy-paste, namun dalam upaya membiasakan diri menulis source code di m-file, saya anjurkan anda menulis ulang semuanya. Dalam Matlab terdapat 3 cara inisialisasi matrik. Cara pertama1 , sesuai dengan Contoh 1, adalah clear all clc

1 2 3

A(1,1) A(1,2) A(1,3) A(2,1) A(2,2) A(2,3) A

4 5 6 7 8 9 10

1

= = = = = =

3; 8; 5; 6; 4; 7;

Cara ini bisa diterapkan pada bahasa C, Fortran, Pascal, Delphi, Java, Basic, dll. Sementara cara kedua dan cara ketiga hanya akan dimengerti oleh Matlab

2.4. MACAM-MACAM MATRIK

15

Sedangkan untuk matrik B3×2 , sesuai Contoh 2 adalah clear all clc

1 2 3

B(1,1) B(1,2) B(2,1) B(2,2) B(3,1) B(3,2) B

4 5 6 7 8 9 10

= = = = = =

1; 3; 5; 9; 2; 4;

Cara kedua relatif lebih mudah dan benar-benar merepresentasikan dimensi matriknya, dimana jumlah baris dan jumlah kolom terlihat dengan jelas. clear all clc

1 2 3

A=[ 3 8 5 6 4 7 ];

4 5 6

B=[ 1 3 5 9 2 4 ];

7 8 9

Cara ketiga jauh lebih singkat, namun tidak menunjukkan dimensi matrik lantaran ditulis hanya dalam satu baris. clear all clc

1 2 3

A=[ 3 8 5 ; 6 4 7 ]; B=[ 1 3 ; 5 9 ; 2 4];

4 5

2.4

Macam-macam matrik

2.4.1 Matrik transpose Operasi transpose terhadap suatu matrik akan menukar elemen-elemen kolom menjadi elemenelemen baris. Notasi matrik tranpose adalah AT atau At . Contoh 3: Operasi transpose terhadap matrik A

A=

"

# 3 8 5 6 4 7

  3 6   AT = 8 4 5 7

Dengan Matlab, operasi transpose cukup dilakukan dengan menambahkan tanda petik tunggal di depan nama matriknya

BAB 2. MATRIK DAN KOMPUTASI

16 1 2

clear all clc

3 4 5

A=[ 3 8 5 6 4 7 ];

6 7

AT = A’;

2.4.2 Matrik bujursangkar Matrik bujursangkar adalah matrik yang jumlah baris dan jumlah kolomnya sama. Contoh 4: Matrik bujursangkar berukuran 3x3 atau sering juga disebut matrik bujursangkar orde 3

  1 3 8   A = 5 9 7 2 4 6

2.4.3 Matrik simetrik Matrik simetrik adalah matrik bujursangkar yang elemen-elemen matrik transpose-nya bernilai sama dengan matrik asli-nya. Contoh 5: Matrik simetrik   2 −3 7 1   −3 5 6 −2   A= 6 9 8 7  1 −2 8 10



2

 −3 A = 7  T

1

−3 7

1



 6 −2  6 9 8  −2 8 10 5

2.4.4 Matrik diagonal Matrik diagonal adalah matrik bujursangkar yang seluruh elemen-nya bernilai 0 (nol), kecuali elemen-elemen diagonalnya. Contoh 6: Matrik diagonal orde 3  11 0  A =  0 29 0

0

0



 0

61

2.4.5 Matrik identitas Matrik identitas adalah matrik bujursangkar yang semua elemen-nya bernilai 0 (nol), kecuali elemen-elemen diagonal yang seluruhnya bernilai 1. Contoh 7: Matrik identitas orde 3   1 0 0   I = 0 1 0 0 0 1

2.4. MACAM-MACAM MATRIK

17

2.4.6 Matrik upper-triangular Matrik upper-tringular adalah matrik bujursangkar yang seluruh elemen dibawah elemen diagonal bernilai 0 (nol). Contoh 8: Matrik upper-triangular  3  0 A= 0  0

 6 2 1  4 1 5  0 8 7  0 0 9

2.4.7 Matrik lower-triangular Matrik lower-tringular adalah matrik bujursangkar yang seluruh elemen diatas elemen diagonal bernilai 0 (nol). Contoh 9: Matrik lower-triangular  0    32 −2 0 0   A=  8 7 11 0   −5 10 6 9 

12

0

0

2.4.8 Matrik tridiagonal Matrik tridiagonal adalah matrik bujursangkar yang seluruh elemen bukan 0 (nol) berada disekitar elemen diagonal, sementara elemen lainnya bernilai 0 (nol). Contoh 10: Matrik tridiagonal   3 6 0 0   2 −4 1 0   A= 0 5 8 −7   0 0 3 9 2.4.9 Matrik diagonal dominan Matrik diagonal dominan adalah matrik bujursangkar yang memenuhi |aii | >

n X

j=1,j6=i

|aij |

(2.4)

dimana i=1,2,3,..n. Coba perhatikan matrik-matrik berikut ini   7 2 0   A = 3 5 −1 0 5 −6



 −3   B =  4 −2 0  −3 0 1 6

4

BAB 2. MATRIK DAN KOMPUTASI

18

Pada elemen diagonal aii matrik A, |7| > |2|+|0|, lalu |5| > |3|+|−1|, dan |−6| > |5|+|0|. Maka

matrik A disebut matrik diagonal dominan. Sekarang perhatikan elemen diagonal matrik B,

|6| < |4| + | − 3|, | − 2| < |4| + |0|, dan |1| < | − 3| + |0|. Dengan demikian, matrik B bukan matrik

diagonal dominan.

2.4.10 Matrik positive-definite Suatu matrik dikatakan positive-definite bila matrik tersebut simetrik dan memenuhi xT Ax > 0

(2.5)

Contoh 11: Diketahui matrik simetrik berikut 

2

 A = −1 0

−1

0

2



 −1 −1 2

untuk menguji apakah matrik A bersifat positive-definite, maka    x1 i 2 −1 0 h    xT Ax = x1 x2 x3 −1 2 −1 x2  0 −1 2 x3   2x1 − x2 i h   = x1 x2 x3 −x1 + 2x2 − x3  −x2 + 2x3 = 2x21 − 2x1 x2 + 2x22 − 2x2 x3 + 2x23

= x21 + (x21 − 2x1 x2 + x22 ) + (x22 − 2x2 x3 + x23 ) + x23

= x21 + (x1 − x2 )2 + (x2 − x3 )2 + x23

Dari sini dapat disimpulkan bahwa matrik A bersifat positive-definite, karena memenuhi x21 + (x1 − x2 )2 + (x2 − x3 )2 + x23 > 0 kecuali jika x1 =x2 =x3 =0.

2.5

Operasi matematika

2.5.1 Penjumlahan matrik Operasi penjumlahan pada dua buah matrik hanya bisa dilakukan bila kedua matrik tersebut berukuran sama. Misalnya matrik C2×3 C=

"

9 5 3 7 2 1

#

2.5. OPERASI MATEMATIKA

19

dijumlahkan dengan matrik A2×3 , lalu hasilnya (misalnya) dinamakan matrik D2×3 D=A+C

D =

"

=

"

=

"

# 3 8 5 6 4 7

+

"

# 9 5 3

7 2 1 # 3+9 8+5 5+3

6+7 4+2 7+1 # 12 13 8 13

6

8

Tanpa mempedulikan nilai elemen-elemen masing-masing matrik, operasi penjumlahan antara matrik A2×3 dan C2×3 , bisa juga dinyatakan dalam indeks masing-masing dari kedua matrik tersebut, yaitu "

d11 d12 d13 d21 d22 d23

#

=

"

a11 + c11 a12 + c12 a13 + c13 a21 + c21 a22 + c22 a23 + c23

#

Dijabarkan satu persatu sebagai berikut d11 = a11 + c11 d12 = a12 + c12 d13 = a13 + c13

(2.6)

d21 = a21 + c21 d22 = a22 + c22 d23 = a23 + c23 Dari sini dapat diturunkan sebuah rumus umum penjumlahan dua buah matrik dij = aij + cij

(2.7)

dimana i=1,2 dan j=1,2,3. Perhatikan baik-baik! Batas i hanya sampai angka 2 sementara batas j sampai angka 3. Kemampuan anda dalam menentukan batas indeks sangat penting dalam dunia programming. 2.5.2 Komputasi penjumlahan matrik Berdasarkan contoh operasi penjumlahan di atas, indeks j pada persamaan (2.7) lebih cepat berubah dibanding indeks i sebagaimana ditulis pada 3 baris pertama dari Persamaan (2.6), d11 = a11 + c11 d12 = a12 + c12 d13 = a13 + c13

BAB 2. MATRIK DAN KOMPUTASI

20

Jelas terlihat, ketika indeks i masih bernilai 1, indeks j sudah berubah dari nilai 1 sampai 3. Hal ini membawa konsekuensi pada script pemrograman, dimana looping untuk indeks j harus diletakkan di dalam looping indeks i. Aturan mainnya adalah yang looping-nya paling cepat harus diletakkan paling dalam; sebaliknya, looping terluar adalah looping yang indeksnya paling jarang berubah. Bila anda masih belum paham terhadap kalimat yang dicetak tebal, saya akan berikan contoh source code dasar yang nantinya akan kita optimasi selangkah demi selangkah. OK, kita mulai dari source code paling mentah berikut ini. 1 2

clear all clc

3 4

A=[3 8 5; 6 4 7];

% inisialisasi matrik A

C=[9 5 3; 7 2 1];

% inisialisasi matrik B

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

% ---proses penjumlahan matrik---D(1,1)=A(1,1)+C(1,1); D(1,2)=A(1,2)+C(1,2); D(1,3)=A(1,3)+C(1,3); D(2,1)=A(2,1)+C(2,1); D(2,2)=A(2,2)+C(2,2); D(2,3)=A(2,3)+C(2,3);

15 16 17 18 19

% ---menampilkan matrik A, C dan D---A C D

Tanda % berfungsi untuk memberikan komentar atau keterangan. Komentar atau keterangan tidak akan diproses oleh Matlab. Saya yakin anda paham dengan logika yang ada pada bagian % —proses penjumlahan matrik—- dalam source code di atas. Misalnya pada baris ke-9, elemen d11 adalah hasil penjumlahan antara elemen a11 dan c11 , sesuai dengan baris pertama Persamaan 2.6. Tahap pertama penyederhanaan source code dilakukan dengan menerapkan perintah for end untuk proses looping. Source code tersebut berubah menjadi 1 2

clear all clc

3 4

A=[3 8 5; 6 4 7];

% inisialisasi matrik A

C=[9 5 3; 7 2 1];

% inisialisasi matrik B

5 6 7 8 9 10 11

% ---proses penjumlahan matrik---for j=1:3 D(1,j)=A(1,j)+C(1,j); end

12 13 14 15

for j=1:3 D(2,j)=A(2,j)+C(2,j); end

2.5. OPERASI MATEMATIKA

21

16 17 18 19 20

% ---menampilkan matrik A, C dan D---A C D

Pada baris ke-9 dan ke-13, saya mengambil huruf j sebagai nama indeks dimana j bergerak dari 1 sampai 3. Coba anda pikirkan, mengapa j hanya bergerak dari 1 sampai 3? Modifikasi tahap kedua adalah sebagai berikut 1 2

clear all clc

3 4

A=[3 8 5; 6 4 7];

% inisialisasi matrik A

C=[9 5 3; 7 2 1];

% inisialisasi matrik B

5 6 7 8 9 10 11 12

% ---proses penjumlahan matrik---i=1 for j=1:3 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j); end

13 14 15 16 17

i=2 for j=1:3 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j); end

18 19 20 21 22

% ---menampilkan matrik A, C dan D---A C D

Saya gunakan indeks i pada baris ke-9 dan ke-14 yang masing-masing berisi angka 1 dan 2. Dengan begitu indeks i bisa menggantikan angka 1 dan 2 yang semula ada di baris ke-11 dan ke-16. Nah sekarang coba anda perhatikan, statemen pada baris ke-10, ke-11 dan ke-12 sama persis dengan statemen pada baris ke-15, ke-16 dan ke-17, sehingga mereka bisa disatukan kedalam sebuah looping yang baru dimana i menjadi nama indeksnya. 1 2

clear all clc

3 4

A=[3 8 5; 6 4 7];

% inisialisasi matrik A

C=[9 5 3; 7 2 1];

% inisialisasi matrik B

5 6 7 8 9 10 11 12 13

% ---proses penjumlahan matrik---for i=1:2 for j=1:3 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j); end end

14 15

% ---menampilkan matrik A, C dan D----

BAB 2. MATRIK DAN KOMPUTASI

22 16 17 18

A C D

Coba anda pahami dari baris ke-9, mengapa indeks i hanya bergerak dari 1 sampai 2? Source code di atas memang sudah tidak perlu dimodifikasi lagi, namun ada sedikit saran untuk penulisan looping bertingkat dimana sebaiknya looping terdalam ditulis agak menjorok kedalam seperti berikut ini

1 2

clear all clc

3 4

A=[3 8 5; 6 4 7];

% inisialisasi matrik A

C=[9 5 3; 7 2 1];

% inisialisasi matrik B

5 6 7 8 9 10 11 12 13

% ---proses penjumlahan matrik---for i=1:2 for j=1:3 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j); end end

14 15 16 17 18

% ---menampilkan matrik A, C dan D---A C D

Sekarang anda lihat bahwa looping indeks j ditulis lebih masuk kedalam dibandingkan looping indeks i. Semoga contoh ini bisa memperjelas aturan umum pemrograman dimana yang looping-nya paling cepat harus diletakkan paling dalam; sebaliknya, looping terluar adalah looping yang indeksnya paling jarang berubah. Dalam contoh ini looping indeks j bergerak lebih cepat dibanding looping indeks i.

2.5.3 Perkalian matrik Operasi perkalian dua buah matrik hanya bisa dilakukan bila jumlah kolom matrik pertama sama dengan jumlah baris matrik kedua. Jadi kedua matrik tersebut tidak harus berukuran sama seperti pada penjumlahan dua matrik. Misalnya matrik A2×3 dikalikan dengan matrik B3×2 , lalu hasilnya (misalnya) dinamakan matrik E2×2

E2×2 = A2×3 .B3×2

2.5. OPERASI MATEMATIKA

23

E =

"

=

"

=

"

  # 1 3 3 8 5   5 9 6 4 7 2 4

# 3.1 + 8.5 + 5.2 3.3 + 8.9 + 5.4 6.1 + 4.5 + 7.2 6.3 + 4.9 + 7.4 # 53 101 40

82

Tanpa mempedulikan nilai elemen-elemen masing-masing matrik, operasi perkalian antara matrik A2×3 dan B3×2 , bisa juga dinyatakan dalam indeks masing-masing dari kedua matrik tersebut, yaitu "

e11 e12 e21 e22

#

=

"

a11 .b11 + a12 .b21 + a13 .b31 a11 .b12 + a12 .b22 + a13 .b32 a21 .b11 + a22 .b21 + a23 .b31 a21 .b12 + a22 .b22 + a23 .b32

#

Bila dijabarkan, maka elemen-elemen matrik E2×2 adalah e11 = a11 .b11 + a12 .b21 + a13 .b31

(2.8)

e12 = a11 .b12 + a12 .b22 + a13 .b32

(2.9)

e21 = a21 .b11 + a22 .b21 + a23 .b31

(2.10)

e22 = a21 .b12 + a22 .b22 + a23 .b32

(2.11)

Sejenak, mari kita amati perubahan pasangan angka-angka indeks yang mengiringi elemen e, elemen a dan elemen b mulai dari persamaan (2.8) sampai persamaan (2.11). Perhatikan perubahan angka-indeks-pertama pada elemen e seperti berikut ini e1.. = .. e1.. = .. e2.. = .. e2.. = .. Pola perubahan yang sama akan kita dapati pada angka-indeks-pertama dari elemen a e1.. = a1.. .b... + a1.. .b... + a1.. .b... e1.. = a1.. .b... + a1.. .b... + a1.. .b... e2.. = a2.. .b... + a2.. .b... + a2.. .b... e2.. = a2.. .b... + a2.. .b... + a2.. .b... Dengan demikian kita bisa mencantumkan huruf i sebagai pengganti angka-angka indeks

BAB 2. MATRIK DAN KOMPUTASI

24 yang polanya sama

ei.. = ai.. .b... + ai.. .b... + ai.. .b... ei.. = ai.. .b... + ai.. .b... + ai.. .b... ei.. = ai.. .b... + ai.. .b... + ai.. .b... ei.. = ai.. .b... + ai.. .b... + ai.. .b... dimana i bergerak mulai dari angka 1 hingga angka 2, atau kita nyatakan i=1,2. Selanjutnya, masih dari persamaan (2.8) sampai persamaan (2.11), marilah kita perhatikan perubahan angka-indeks-kedua pada elemen e dan elemen b, ei1 = ai.. .b..1 + ai.. .b..1 + ai.. .b..1 ei2 = ai.. .b..2 + ai.. .b..2 + ai.. .b..2 ei1 = ai.. .b..1 + ai.. .b..1 + ai.. .b..1 ei2 = ai.. .b..2 + ai.. .b..2 + ai.. .b..2 Dengan demikian kita bisa mencantumkan huruf j sebagai pengganti angka-angka indeks yang polanya sama eij = ai.. .b..j + ai.. .b..j + ai.. .b..j eij = ai.. .b..j + ai.. .b..j + ai.. .b..j eij = ai.. .b..j + ai.. .b..j + ai.. .b..j eij = ai.. .b..j + ai.. .b..j + ai.. .b..j dimana j bergerak mulai dari angka 1 hingga angka 2, atau kita nyatakan j=1,2. Selanjutnya, masih dari persamaan (2.8) sampai persamaan (2.11), mari kita perhatikan perubahan angkaindeks-kedua elemen a dan angka-indeks-pertama elemen b, dimana kita akan dapati pola sebagai berikut eij = ai1 .b1j + ai2 .b2j + ai3 .b3j eij = ai1 .b1j + ai2 .b2j + ai3 .b3j eij = ai1 .b1j + ai2 .b2j + ai3 .b3j eij = ai1 .b1j + ai2 .b2j + ai3 .b3j Dan kita bisa mencantumkan huruf k sebagai pengganti angka-angka indeks yang polanya

2.5. OPERASI MATEMATIKA

25

sama, dimana k bergerak mulai dari angka 1 hingga angka 3, atau kita nyatakan k=1,2,3. eij = aik .bkj + aik .bkj + aik .bkj eij = aik .bkj + aik .bkj + aik .bkj eij = aik .bkj + aik .bkj + aik .bkj eij = aik .bkj + aik .bkj + aik .bkj Kemudian secara sederhana dapat ditulis sebagai berikut eij = aik .bkj + aik .bkj + aik .bkj

(2.12)

Selanjutnya dapat ditulis pula formula berikut eij =

3 X

aik bkj

(2.13)

k=1

dimana i=1,2; j=1,2; dan k=1,2,3. Berdasarkan contoh ini, maka secara umum bila ada matrik An×m yang dikalikan dengan matrik Bm×p , akan didapatkan matrik En×p dimana elemen-elemen matrik E memenuhi eij =

m X

aik bkj

(2.14)

k=1

dengan i=1,2,. . . ,n; j=1,2. . . ,p; dan k=1,2. . . ,m.

2.5.4 Komputasi perkalian matrik Mari kita mulai lagi dari source code paling dasar dari operasi perkalian matrik sesuai dengan contoh di atas.

1 2

clear all clc

3 4 5

A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A B = [1 3; 5 9; 2 4]; % inisialisasi matrik B

6 7 8 9 10 11

% ---proses perkalian matrik---E(1,1)=A(1,1)*B(1,1)+A(1,2)*B(2,1)+A(1,3)*B(3,1); E(1,2)=A(1,1)*B(1,2)+A(1,2)*B(2,2)+A(1,3)*B(3,2); E(2,1)=A(2,1)*B(1,1)+A(2,2)*B(2,1)+A(2,3)*B(3,1); E(2,2)=A(2,1)*B(1,2)+A(2,2)*B(2,2)+A(2,3)*B(3,2);

12 13 14 15 16

% ---menampilkan matrik A, B dan E---A B E

BAB 2. MATRIK DAN KOMPUTASI

26

Sejenak, mari kita amati dengan cermat statemen dari baris ke-9 sampai ke-12 sambil dikaitkan dengan bentuk umum penulisan indeks pada perkalian matrik yaitu eij = aik .bkj + aik .bkj + aik .bkj

(2.15)

Dari sana ada 4 point yang perlu dicatat: • elemen e memiliki indeks i dan indeks j dimana indeks j lebih cepat berubah dibanding indeks i. • pada baris statemen ke-8 sampai ke-11 ada tiga kali operasi perkalian dan dua kali operasi penjumlahan yang semuanya melibatkan indeks i, indeks j dan indeks k. Namun indeks k selalu berubah pada masing-masing perkalian. Jadi indeks k paling cepat berubah dibanding indeks i dan indeks j. • elemen a memiliki indeks i dan indeks k dimana indeks k lebih cepat berubah dibanding indeks i. • elemen b memiliki indeks k dan indeks j dimana indeks k lebih cepat berubah dibanding indeks j. Tahapan modifikasi source code perkalian matrik tidak semudah penjumlahan matrik. Dan mengajarkan logika dibalik source code perkalian matrik jauh lebih sulit daripada sekedar memodifikasi source code tersebut. Tapi akan saya coba semampu saya lewat tulisan ini walau harus perlahan-lahan. Mudah-mudahan mudah untuk dipahami. Saya mulai dengan memecah operasi pada statemen baris ke-8 yang bertujuan menghitung nilai E(1, 1) 1 2

clear all clc

3 4 5

A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A B = [1 3; 5 9; 2 4]; % inisialisasi matrik B

6 7 8 9 10 11

% ---proses perkalian matrik---% ---E(1,1) dihitung 3 kali E(1,1)=A(1,1)*B(1,1); E(1,1)=E(1,1)+A(1,2)*B(2,1); E(1,1)=E(1,1)+A(1,3)*B(3,1);

12 13 14 15 16

% ---E(1,2); E(2,1); dan E(2,2) masih seperti semula E(1,2)=A(1,1)*B(1,2)+A(1,2)*B(2,2)+A(1,3)*B(3,2); E(2,1)=A(2,1)*B(1,1)+A(2,2)*B(2,1)+A(2,3)*B(3,1); E(2,2)=A(2,1)*B(1,2)+A(2,2)*B(2,2)+A(2,3)*B(3,2);

17 18 19 20 21

% ---menampilkan matrik A, B dan E---A B E

Agar baris ke-9 memiliki pola yang sama dengan baris ke-11 dan ke-12, upaya yang dilakukan adalah

2.5. OPERASI MATEMATIKA

1 2

27

clear all clc

3 4 5

A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A B = [1 3; 5 9; 2 4]; % inisialisasi matrik B

6 7 8 9 10 11 12

% ---proses perkalian matrik---% ---E(1,1) dihitung 3 kali E(1,1)=0; E(1,1)=E(1,1)+A(1,1)*B(1,1); E(1,1)=E(1,1)+A(1,2)*B(2,1); E(1,1)=E(1,1)+A(1,3)*B(3,1);

13 14 15 16 17

% ---E(1,2); E(2,1); dan E(2,2) masih seperti semula E(1,2)=A(1,1)*B(1,2)+A(1,2)*B(2,2)+A(1,3)*B(3,2); E(2,1)=A(2,1)*B(1,1)+A(2,2)*B(2,1)+A(2,3)*B(3,1); E(2,2)=A(2,1)*B(1,2)+A(2,2)*B(2,2)+A(2,3)*B(3,2);

18 19 20 21 22

% ---menampilkan matrik A, B dan E---A B E

Dari sini kita bisa munculkan indeks k 1 2

clear all clc

3 4 5

A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A B = [1 3; 5 9; 2 4]; % inisialisasi matrik B

6 7 8 9 10 11

% ---proses perkalian matrik---E(1,1)=0; for k=1:3 % k bergerak dari 1 sampai 3 E(1,1)=E(1,1)+A(1,k)*B(k,1); end

12 13 14 15 16

% ---E(1,2); E(2,1); dan E(2,2) masih seperti semula E(1,2)=A(1,1)*B(1,2)+A(1,2)*B(2,2)+A(1,3)*B(3,2); E(2,1)=A(2,1)*B(1,1)+A(2,2)*B(2,1)+A(2,3)*B(3,1); E(2,2)=A(2,1)*B(1,2)+A(2,2)*B(2,2)+A(2,3)*B(3,2);

17 18 19 20 21

% ---menampilkan matrik A, B dan E---A B E

Kemudian cara yang sama dilakukan pada E(1, 2), E(2, 1), dan E(2, 2). Anda mesti cermat dan hati-hati dalam menulis angka-angka indeks!!! 1 2

clear all clc

3 4 5 6

A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A B = [1 3; 5 9; 2 4]; % inisialisasi matrik B

28 7 8 9 10 11

BAB 2. MATRIK DAN KOMPUTASI

% ---proses perkalian matrik---E(1,1)=0; for k=1:3 E(1,1)=E(1,1)+A(1,k)*B(k,1); end

12 13 14 15 16

E(1,2)=0; for k=1:3 E(1,2)=E(1,2)+A(1,k)*B(k,2); end

17 18 19 20 21

E(2,1)=0; for k=1:3 E(2,1)=E(2,1)+A(2,k)*B(k,1); end

22 23 24 25 26

E(2,2)=0; for k=1:3 E(2,2)=E(2,2)+A(2,k)*B(k,2); end

27 28 29 30 31

% ---menampilkan matrik A, B dan E---A B E

Inisialisasi elemen-elemen matrik E dengan angka nol, bisa dilakukan diawal proses perkalian yang sekaligus memunculkan indeks i dan j untuk elemen E 1 2

clear all clc

3 4 5

A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A B = [1 3; 5 9; 2 4]; % inisialisasi matrik B

6 7 8 9 10 11 12

% ---proses perkalian matrik---for i=1:2 % i bergerak dari 1 sampai 2 for j=1:2 % j bergerak dari 1 sampai 2 E(i,j)=0; end end

13 14 15 16

for k=1:3 E(1,1)=E(1,1)+A(1,k)*B(k,1); end

17 18 19 20

for k=1:3 E(1,2)=E(1,2)+A(1,k)*B(k,2); end

21 22 23 24

for k=1:3 E(2,1)=E(2,1)+A(2,k)*B(k,1); end

25 26 27 28 29

for k=1:3 E(2,2)=E(2,2)+A(2,k)*B(k,2); end

2.5. OPERASI MATEMATIKA 30 31 32 33

29

% ---menampilkan matrik A, B dan E---A B E

Sekarang coba anda perhatikan statemen pada baris ke-15 dan ke-19, lalu bandingkan indeks i dan indeks j pada elemen E. Indeks mana yang berubah? Ya. Jawabannya adalah indeks j. Dengan demikian kita bisa munculkan indeks j 1 2

clear all clc

3 4 5

A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A B = [1 3; 5 9; 2 4]; % inisialisasi matrik B

6 7 8 9 10 11 12

% ---proses perkalian matrik---for i=1:2 % i bergerak dari 1 sampai 2 for j=1:2 % j bergerak dari 1 sampai 2 E(i,j)=0; end end

13 14 15 16 17

j=1; for k=1:3 E(1,j)=E(1,j)+A(1,k)*B(k,j); end

18 19 20 21 22

j=2; for k=1:3 E(1,j)=E(1,j)+A(1,k)*B(k,j); end

23 24 25 26

for k=1:3 E(2,1)=E(2,1)+A(2,k)*B(k,1); end

27 28 29 30

for k=1:3 E(2,2)=E(2,2)+A(2,k)*B(k,2); end

31 32 33 34 35

% ---menampilkan matrik A, B dan E---A B E

Lihatlah, statemen dari baris ke-15 sampai ke-17 memiliki pola yang sama dengan statemen dari baris ke-20 sampai ke-22, sehingga mereka bisa disatukan kedalam looping indeks j 1 2

clear all clc

3 4 5

A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A B = [1 3; 5 9; 2 4]; % inisialisasi matrik B

6 7 8

% ---proses perkalian matrik---for i=1:2 % i bergerak dari 1 sampai 2

BAB 2. MATRIK DAN KOMPUTASI

30 for j=1:2 E(i,j)=0; end

9 10 11 12

% j bergerak dari 1 sampai 2

end

13 14 15 16 17 18

for j=1:2 for k=1:3 E(1,j)=E(1,j)+A(1,k)*B(k,j); end end

19 20 21 22

for k=1:3 E(2,1)=E(2,1)+A(2,k)*B(k,1); end

23 24 25 26

for k=1:3 E(2,2)=E(2,2)+A(2,k)*B(k,2); end

27 28 29 30 31

% ---menampilkan matrik A, B dan E---A B E

Sekarang coba sekali lagi anda perhatikan statemen pada baris ke-21 dan ke-25, lalu bandingkan indeks i dan indeks j pada elemen E. Indeks mana yang berubah? Ya. Jawabannya tetap indeks j. Dengan demikian kita bisa munculkan juga indeks j disana 1 2

clear all clc

3 4 5

A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A B = [1 3; 5 9; 2 4]; % inisialisasi matrik B

6 7 8 9 10 11 12

% ---proses perkalian matrik---for i=1:2 % i bergerak dari 1 sampai 2 for j=1:2 % j bergerak dari 1 sampai 2 E(i,j)=0; end end

13 14 15 16 17 18

for j=1:2 for k=1:3 E(1,j)=E(1,j)+A(1,k)*B(k,j); end end

19 20 21 22 23

j=1; for k=1:3 E(2,j)=E(2,j)+A(2,k)*B(k,j); end

24 25 26 27 28 29

j=2; for k=1:3 E(2,j)=E(2,j)+A(2,k)*B(k,j); end

2.5. OPERASI MATEMATIKA 30 31 32 33

31

% ---menampilkan matrik A, B dan E---A B E

Cermatilah, statemen dari baris ke-21 sampai ke-23 memiliki pola yang sama dengan statemen dari baris ke-25 sampai ke-27, sehingga mereka pun bisa disatukan kedalam looping indeks j 1 2

clear all clc

3 4 5

A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A B = [1 3; 5 9; 2 4]; % inisialisasi matrik B

6 7 8 9 10 11 12

% ---proses perkalian matrik---for i=1:2 % i bergerak dari 1 sampai 2 for j=1:2 % j bergerak dari 1 sampai 2 E(i,j)=0; end end

13 14 15 16 17 18

for j=1:2 for k=1:3 E(1,j)=E(1,j)+A(1,k)*B(k,j); end end

19 20 21 22 23 24

for j=1:2 for k=1:3 E(2,j)=E(2,j)+A(2,k)*B(k,j); end end

25 26 27 28 29

% ---menampilkan matrik A, B dan E---A B E

Akhirnya kita sampai pada bagian akhir tahapan modifikasi. Perhatikan baris ke-16 dan ke-22. Indeks i pada elemen E dan A bergerak dari 1 ke 2, sehingga indeks i bisa dimunculkan 1 2

clear all clc

3 4 5

A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A B = [1 3; 5 9; 2 4]; % inisialisasi matrik B

6 7 8 9 10 11 12

% ---proses perkalian matrik---for i=1:2 % i bergerak dari 1 sampai 2 for j=1:2 % j bergerak dari 1 sampai 2 E(i,j)=0; end end

13 14 15

i=1; for j=1:2

BAB 2. MATRIK DAN KOMPUTASI

32 for k=1:3 E(i,j)=E(i,j)+A(i,k)*B(k,j); end

16 17 18 19

end

20 21 22 23 24 25 26

i=2; for j=1:2 for k=1:3 E(i,j)=E(i,j)+A(i,k)*B(k,j); end end

27 28 29 30 31

% ---menampilkan matrik A, B dan E---A B E

Sekarang, statemen dari baris ke-15 sampai ke-19 memiliki pola yang sama dengan statemen dari baris ke-22 sampai ke-26. Mereka bisa disatukan oleh looping indeks i 1 2

clear all clc

3 4 5

A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A B = [1 3; 5 9; 2 4]; % inisialisasi matrik B

6 7 8 9 10 11 12

% ---proses perkalian matrik---for i=1:2 for j=1:2 E(i,j)=0; end end

13 14 15 16 17 18 19 20

for i=1:2 for j=1:2 for k=1:3 E(i,j)=E(i,j)+A(i,k)*B(k,j); end end end

21 22 23 24 25

% ---menampilkan matrik A, B dan E---A B E

Inilah hasil akhir dari tahapan-tahapan modifikasi yang selanjutnya saya sebut sebagai proses optimasi. Upaya yang baru saja saya perlihatkan, sebenarnya penuh dengan jebakan-jebakan kesalahan, terutama jika anda kurang cermat membaca indeks dan pola. Upaya seperti itu memerlukan konsentrasi dan perhatian yang tidak sebentar. Upaya semacam itu tidak semudah meng-copy hasil akhir optimasi. Walaupun bisa di-copy, namun saya menyarankan agar anda mencoba melakukan proses optimasi itu sekali lagi di komputer tanpa melihat catatan ini dan tanpa bantuan orang lain. Kalau anda gagal, cobalah berfikir lebih keras untuk mencari jalan keluarnya. Jika masih tetap gagal, silakan lihat catatan ini sebentar saja sekedar untuk

2.5. OPERASI MATEMATIKA

33

mencari tahu dimana letak kesalahannya. Hanya dengan cara begitu ilmu programming ini akan bisa menyatu pada diri anda.

2.5.5 Perkalian matrik dan vektor-kolom

Operasi perkalian antara matrik dan vektor-kolom sebenarnya sama saja dengan perkalian antara dua matrik. Hanya saja ukuran vektor-kolom boleh dibilang spesial yaitu m x 1, dimana m merupakan jumlah baris sementara jumlah kolomnya hanya satu. Misalnya matrik A, pada contoh 1, dikalikan dengan vektor-kolom x yang berukuran 3 x 1 atau disingkat dengan mengatakan vektor-kolom x berukuran 3, lalu hasilnya (misalnya) dinamakan vektor-kolom y y = Ax

y =

"

=

"

=

"

  # 2 3 8 5   3 6 4 7 4

3.2 + 8.3 + 5.4

6.2 + 4.3 + 7.4 # 50

#

52

Sekali lagi, tanpa mempedulikan nilai elemen-elemen masing-masing, operasi perkalian antara matrik A dan vektor-kolom x, bisa juga dinyatakan dalam indeksnya masing-masing, yaitu " # y1 y2

=

"

a11 .x1 + a12 .x2 + a13 .x3 a21 .x1 + a22 .x2 + a23 .x3

#

Bila dijabarkan, maka elemen-elemen vektor-kolom y adalah y1 = a11 .x1 + a12 .x2 + a13 .x3 y2 = a21 .x1 + a22 .x2 + a23 .x3 kemudian secara sederhana dapat diwakili oleh rumus berikut yi =

3 X

aij xj

j=1

dimana i=1,2. Berdasarkan contoh tersebut, secara umum bila ada matrik A berukuran n x m yang dikalikan dengan vektor-kolom x berukuran m, maka akan didapatkan vektor-kolom y berukuran n x 1

BAB 2. MATRIK DAN KOMPUTASI

34 dimana elemen-elemen vektor-kolom y memenuhi yi =

m X

aij xj

(2.16)

j=1

dengan i=1,2,. . . ,n. 2.5.6 Komputasi perkalian matrik dan vektor-kolom Mari kita mulai lagi dari source code paling dasar dari operasi perkalian antara matrik dan vektor-kolom sesuai dengan contoh di atas 1 2

clear all clc

3 4 5

A = [3 8 5; 6 4 7]; x = [2; 3; 4];

% inisialisasi matrik A % inisialisasi vektor x

6 7 8 9

% ---proses perkalian matrik dan vektor---y(1,1)=A(1,1)*x(1,1)+A(1,2)*x(2,1)+A(1,3)*x(3,1); y(2,1)=A(2,1)*x(1,1)+A(2,2)*x(2,1)+A(2,3)*x(3,1);

10 11 12 13 14

% ---menampilkan matrik A, B dan E---A x y

Sejenak, mari kita amati dengan cermat statemen dari baris ke-8 dan ke-9 sambil dikaitkan dengan bentuk umum penulisan indeks pada perkalian antara matrik dan vektor-kolom yaitu yi1 = aij .xj1 + aij .xj1 + aij .xj1

(2.17)

Dari sana ada 3 point yang perlu dicatat: • elemen y dan elemen x sama-sama memiliki indeks i yang berpasangan dengan angka 1. • pada baris statemen ke-8 dan ke-9 ada tiga kali operasi perkalian dan dua kali operasi penjumlahan yang semuanya melibatkan indeks i dan indeks j. Namun indeks j selalu berubah pada masing-masing perkalian. Jadi indeks j lebih cepat berubah dibanding indeks i. • elemen a memiliki indeks i dan indeks j dimana indeks j lebih cepat berubah dibanding indeks i. Kita mulai dengan memecah operasi pada statemen baris ke-8 yang bertujuan menghitung nilai y(1, 1) 1 2 3

clear all clc

2.5. OPERASI MATEMATIKA 4 5

A = [3 8 5; 6 4 7]; x = [2; 3; 4];

35

% inisialisasi matrik A % inisialisasi vektor x

6 7 8 9 10

% ---proses perkalian matrik dan vektor---y(1,1)=A(1,1)*x(1,1); y(1,1)=y(1,1)+A(1,2)*x(2,1); y(1,1)=y(1,1)+A(1,3)*x(3,1);

11 12

y(2,1)=A(2,1)*x(1,1)+A(2,2)*x(2,1)+A(2,3)*x(3,1);

13 14 15 16 17

% ---menampilkan matrik A, B dan E---A x y

Agar baris ke-8 memiliki pola yang sama dengan baris ke-9 dan ke-10, upaya yang dilakukan adalah 1 2

clear all clc

3 4 5

A = [3 8 5; 6 4 7]; x = [2; 3; 4];

% inisialisasi matrik A % inisialisasi vektor x

6 7 8 9 10 11

% ---proses perkalian matrik dan vektor---y(1,1)=0; y(1,1)=y(1,1)+A(1,1)*x(1,1); y(1,1)=y(1,1)+A(1,2)*x(2,1); y(1,1)=y(1,1)+A(1,3)*x(3,1);

12 13

y(2,1)=A(2,1)*x(1,1)+A(2,2)*x(2,1)+A(2,3)*x(3,1);

14 15 16 17 18

% ---menampilkan matrik A, B dan E---A x y

Dari sini kita bisa munculkan indeks j 1 2

clear all clc

3 4 5

A = [3 8 5; 6 4 7]; x = [2; 3; 4];

% inisialisasi matrik A % inisialisasi vektor x

6 7 8 9 10 11

% ---proses perkalian matrik dan vektor---y(1,1)=0; for j=1:3 y(1,1)=y(1,1)+A(1,j)*x(j,1); end

12 13

y(2,1)=A(2,1)*x(1,1)+A(2,2)*x(2,1)+A(2,3)*x(3,1);

14 15 16 17 18

% ---menampilkan matrik A, B dan E---A x y

BAB 2. MATRIK DAN KOMPUTASI

36

Dengan cara yang sama, baris ke-13 dimodifikasi menjadi 1 2

clear all clc

3 4 5

A = [3 8 5; 6 4 7]; x = [2; 3; 4];

% inisialisasi matrik A % inisialisasi vektor x

6 7 8 9 10 11

% ---proses perkalian matrik dan vektor---y(1,1)=0; for j=1:3 y(1,1)=y(1,1)+A(1,j)*x(j,1); end

12 13 14 15 16

y(2,1)=0; for j=1:3 y(2,1)=y(2,1)+A(2,j)*x(j,1); end

17 18 19 20 21

% ---menampilkan matrik A, B dan E---A x y

Inisialisasi vektor y dengan angka nol dapat dilakukan diawal proses perkalian, sekaligus memunculkan indeks i 1 2

clear all clc

3 4 5

A = [3 8 5; 6 4 7]; x = [2; 3; 4];

% inisialisasi matrik A % inisialisasi vektor x

6 7 8 9 10

% ---proses perkalian matrik dan vektor---for i=1:2 y(i,1)=0; end

11 12 13 14

for j=1:3 y(1,1)=y(1,1)+A(1,j)*x(j,1); end

15 16 17 18

for j=1:3 y(2,1)=y(2,1)+A(2,j)*x(j,1); end

19 20 21 22 23

% ---menampilkan matrik A, B dan E---A x y

Kemudian, untuk menyamakan pola statemen baris ke-13 dan ke-17, indeks i kembali dimunculkan 1 2 3

clear all clc

2.6. PENUTUP 4 5

A = [3 8 5; 6 4 7]; x = [2; 3; 4];

37 % inisialisasi matrik A % inisialisasi vektor x

6 7 8 9 10

% ---proses perkalian matrik dan vektor---for i=1:2 y(i,1)=0; end

11 12 13 14 15

i=1; for j=1:3 y(i,1)=y(i,1)+A(i,j)*x(j,1); end

16 17 18 19 20

i=2; for j=1:3 y(i,1)=y(i,1)+A(i,j)*x(j,1); end

21 22 23 24 25

% ---menampilkan matrik A, B dan E---A x y

Akhir dari proses optimasi adalah sebagai berikut

1 2

clear all clc

3 4 5

A = [3 8 5; 6 4 7]; x = [2; 3; 4];

% inisialisasi matrik A % inisialisasi vektor x

6 7 8 9 10

% ---proses perkalian matrik dan vektor---for i=1:2 y(i,1)=0; end

11 12 13 14 15 16

for i=1:2 for j=1:3 y(i,1)=y(i,1)+A(i,j)*x(j,1); end end

17 18 19 20 21

% ---menampilkan matrik A, B dan E---A x y

2.6

Penutup

Demikianlah catatan singkat dan sederhana mengenai jenis-jenis matrik dasar dan operasi penjumlahan dan perkalian yang seringkali dijumpai dalam pengolahan data secara numerik. Semuanya akan dijadikan acuan atau referensi pada pembahasan topik-topik numerik yang akan datang.

BAB 2. MATRIK DAN KOMPUTASI

38

2.7

Latihan

1. Diketahui matrik A, matrik B, dan vektor x sebagai berikut 

1

3

−6

−2



  5 9 7 5.6    A=  2 4 8 −1   2.3 1.4 0.8 −2.3



8

1

4

21



  3 10 5 0.1   B=  7 −2 9 −5   2.7 −12 −8.9 5.7



0.4178



  −2.9587   x=  56.3069   8.1

(a) Buatlah script untuk menyelesaikan penjumlahan matrik A dan matrik B. (b) Buatlah script untuk menyelesaikan perkalian matrik A dan matrik B. (c) Buatlah script untuk menyelesaikan perkalian matrik A dan vektor x. (d) Buatlah script untuk menyelesaikan perkalian matrik B dan vektor x.

Bab 3

Fungsi

✍ Objektif : ⊲ Mengenalkan fungsi internal. ⊲ Membuat fungsi ekstenal. ⊲ Membuat fungsi ekternal untuk penjumlahan matrik. ⊲ Membuat fungsi ekternal untuk perkalian matrik.

3.1

Fungsi internal

Pada bab terdahulu kita sudah melakukan proses optimasi penjumlahan matrik dengan source code akhir seperti ini 1 2

clear all clc

3 4 5

A=[3 8 5; 6 4 7]; C=[9 5 3; 7 2 1];

% inisialisasi matrik A % inisialisasi matrik B

6 7 8 9 10 11 12

% ---proses penjumlahan matrik---for i=1:2 for j=1:3 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j); end end

13 14 15 16 17

% ---menampilkan matrik A, C dan D---A C D

Pertanyaan yang segera muncul adalah apakah source code tersebut bisa digunakan untuk menyelesaikan penjumlahan matrik yang dimensinya bukan 2x3 ? Misalnya D=A+C 39

BAB 3. FUNGSI

40     4 3 8 6 2 6 7 2     D = 5 1 2 3 + 9 1 3 8 6 7 9 1 5 8 4 7

Tentu saja bisa, asal indeks i bergerak dari 1 sampai 3 dan indeks j bergerak dari 1 sampai 4. Lihat source code berikut 1 2

clear all clc

3 4 5

A=[4 3 8 6; 5 1 2 3; 6 7 9 1]; C=[2 6 7 2; 9 1 3 8; 5 8 4 7];

% inisialisasi matrik A % inisialisasi matrik B

6 7 8 9 10 11 12

% ---proses penjumlahan matrik---for i=1:3 for j=1:4 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j); end end

13 14 15 16 17

% ---menampilkan matrik A, C dan D---A C D

Walaupun bisa digunakan, namun cara modifikasi seperti itu sangat tidak fleksibel dan beresiko salah jika kurang teliti. Untuk menghindari resiko kesalahan dan agar lebih fleksibel, source code tersebut perlu dioptimasi sedikit lagi menjadi 1 2

clear all clc

3 4 5

A=[4 3 8 6; 5 1 2 3; 6 7 9 1]; C=[2 6 7 2; 9 1 3 8; 5 8 4 7];

% inisialisasi matrik A % inisialisasi matrik B

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

% ---proses penjumlahan matrik---dim=size(A); n=dim(1); m=dim(2); for i=1:n for j=1:m D(i,j)=A(i,j)+C(i,j); end end

16 17 18 19 20

% ---menampilkan matrik A, C dan D---A C D

Perhatikan, ada tambahan 3 statemen yaitu mulai dari baris ke-8 sampai ke-10. Sementara baris ke-11 dan ke-12 hanya mengalami sedikit perubahan. Statemen di baris ke-8 bermaksud mendeklarasikan variabel dim untuk diisi oleh hasil perhitungan fungsi internal yang bernama

3.2. FUNGSI EKSTERNAL PENJUMLAHAN MATRIK

41

size. Matrik A dijadikan parameter input fungsi size. Fungsi size berguna untuk menghitung jumlah baris dan jumlah kolom dari matrik A. Hasilnya adalah dim(1) untuk jumlah baris dan dim(2) untuk jumlah kolom. Pada baris ke-9, variabel n dideklarasikan untuk menerima informasi jumlah baris dari dim(1), sementara variabel m diisi dengan informasi jumlah kolom dari dim(2) pada baris ke-10. Adapun baris ke-11 dan ke-12 hanya mengubah angka indeks batas atas, masing-masing menjadi n dan m. Sekarang kalau kita balik lagi menghitung penjumlahan matrik dari contoh sebelumnya yang berukuran 2x3, maka source code akan seperti ini 1 2

clear all clc

3 4 5

A=[3 8 5; 6 4 7]; C=[9 5 3; 7 2 1];

% inisialisasi matrik A % inisialisasi matrik B

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

% ---proses penjumlahan matrik---dim=size(A); n=dim(1); m=dim(2); for i=1:n for j=1:m D(i,j)=A(i,j)+C(i,j); end end

16 17 18 19 20

% ---menampilkan matrik A, C dan D---A C D

Ajaib bukan!? Tidak ada statemen yang berubah kecuali hanya pada baris ke-4 dan ke-5. Perubahan itu tidak bisa dihindari karena memang di kedua baris itulah deklarasi elemen-elemen matrik A dan matrik C dilakukan.

3.2

Fungsi eksternal penjumlahan matrik

Saatnya kita memasuki topik tentang pembuatan fungsi eksternal. Dari source code yang terakhir tadi, mari kita ambil bagian proses penjumlahan matrik-nya saja 1 2 3 4 5 6 7 8

dim=size(A); n=dim(1); m=dim(2); for i=1:n for j=1:m D(i,j)=A(i,j)+C(i,j); end end

Kita akan jadikan potongan source code ini menjadi fungsi eksternal, dengan menambahkan statemen function seperti ini

BAB 3. FUNGSI

42

1 2 3 4 5 6 7 8 9

function D=jumlah(A,C) dim=size(A); n=dim(1); m=dim(2); for i=1:n for j=1:m D(i,j)=A(i,j)+C(i,j); end end

kemudian ia harus di-save dengan nama jumlah.m. Sampai dengan langkah ini kita telah membuat fungsi eksternal dan diberi nama fungsi jumlah. Sederhana sekali bukan? Untuk menguji kerja fungsi eksternal tersebut, coba jalankan source code berikut ini 1 2

clear all clc

3 4 5

A=[3 8 5; 6 4 7]; C=[9 5 3; 7 2 1];

% inisialisasi matrik A % inisialisasi matrik B

6 7 8

% ---proses penjumlahan matrik---D=jumlah(A,C)

9 10 11 12 13

% ---menampilkan matrik A, C dan D---A C D

atau anda jalankan source code yang berikut ini 1 2

clear all clc

3 4 5

A=[4 3 8 6; 5 1 2 3; 6 7 9 1]; C=[2 6 7 2; 9 1 3 8; 5 8 4 7];

% inisialisasi matrik A % inisialisasi matrik B

6 7 8

% ---proses penjumlahan matrik---D=jumlah(A,C)

9 10 11 12 13

% ---menampilkan matrik A, C dan D---A C D

atau coba iseng-iseng anda ganti matrik-nya menjadi 1 2

clear all clc

3 4 5

V=[4 3; 5 1]; W=[2 6; 9 3];

% inisialisasi matrik V % inisialisasi matrik W

6 7 8

% ---proses penjumlahan matrik---U=jumlah(V,W)

3.3. FUNGSI EKSTERNAL PERKALIAN MATRIK

43

9 10 11 12 13

% ---menampilkan matrik V, W dan U---W V U

Periksa hasilnya, betul atau salah? Pasti betul! Kesimpulannya adalah setelah fungsi eksternal berhasil anda dapatkan, maka seketika itu pula anda tidak perlu menggubrisnya lagi. Bahkan anda tidak perlu mengingat nama matrik aslinya yang tertulis di fungsi jumlah yaitu matrik A, matrik C dan matrik D. Ditambah lagi, source code anda menjadi terlihat lebih singkat dan elegan. Dan kini, perhatian anda bisa lebih difokuskan pada deklarasi matrik-nya saja.

3.3

Fungsi eksternal perkalian matrik

Mari kita beralih ke perkalian matrik. Kita akan membuat fungsi eksternal untuk perkalian matrik. Berikut ini adalah source code perkalian matrik hasil akhir optimasi yang telah ditulis panjang lebar pada bab sebelumnya 1 2

clear all clc

3 4 5

A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A B = [1 3; 5 9; 2 4]; % inisialisasi matrik B

6 7 8 9 10 11 12

% ---proses perkalian matrik---for i=1:2 for j=1:2 E(i,j)=0; end end

13 14 15 16 17 18 19 20

for i=1:2 for j=1:2 for k=1:3 E(i,j)=E(i,j)+A(i,k)*B(k,j); end end end

21 22 23 24 25

% ---menampilkan matrik A, B dan E---A B E

Source code tersebut digunakan untuk menghitung perkalian matrik berikut E2×2 = A2×3 · B3×2 Dan kita bisa sepakati simbol indeks m, n, dan p untuk men-generalisir dimensi matrik Em×n = Am×p · Bp×n

44

BAB 3. FUNGSI

Dengan demikian, source code tersebut dapat dioptimasi menjadi 1 2

clear all clc

3 4 5

A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A B = [1 3; 5 9; 2 4]; % inisialisasi matrik B

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

% ---proses perkalian matrik---dim=size(A); m=dim(1); p=dim(2); dim=size(B); n=dim(2); for i=1:m for j=1:n E(i,j)=0; end end

18 19 20 21 22 23 24 25

for i=1:m for j=1:n for k=1:p E(i,j)=E(i,j)+A(i,k)*B(k,j); end end end

26 27 28 29 30

% ---menampilkan matrik A, B dan E---A B E

Selanjutnya kita ambil bagian proses perkalian matrik nya untuk dibuat fungsi eksternal 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

function E=kali(A,B) dim=size(A); m=dim(1); p=dim(2); dim=size(B); n=dim(2); for i=1:m for j=1:n E(i,j)=0; end end

12 13 14 15 16 17 18 19

for i=1:m for j=1:n for k=1:p E(i,j)=E(i,j)+A(i,k)*B(k,j); end end end

lalu di-save dengan nama kali.m, maka terciptalah fungsi eksternal yang bernama fungsi kali. Kemudian coba anda uji fungsi kali tersebut dengan menjalankan source code berikut

3.4. FUNGSI EKSTERNAL PERKALIAN MATRIK DAN VEKTOR-KOLOM

1 2

45

clear all clc

3 4 5

A = [3 8 5; 6 4 7]; % inisialisasi matrik A B = [1 3; 5 9; 2 4]; % inisialisasi matrik B

6 7 8

% ---proses perkalian matrik---E = kali(A,B)

9 10 11 12 13

% ---menampilkan matrik A, B dan E---A B E

Silakan anda periksa hasil perhitungannya. Pasti betul! Anda bisa mencoba perkalian matrik lainnya dengan menggunakan source code tersebut. Bahkan anda bisa mengganti nama matriknya untuk selain A, B dan E.

3.4

Fungsi eksternal perkalian matrik dan vektor-kolom

Mari kita beralih ke perkalian matrik dan vektor-kolom. Kita akan membuat fungsi eksternal untuk perkalian matrik dan vektor-kolom. Berikut ini adalah source code perkalian matrik dan vektor-kolom hasil akhir optimasi yang telah ditulis panjang lebar pada bab sebelumnya 1 2

clear all clc

3 4 5

A = [3 8 5; 6 4 7]; x = [2; 3; 4];

% inisialisasi matrik A % inisialisasi vektor x

6 7 8 9 10

% ---proses perkalian matrik dan vektor---for i=1:2 y(i,1)=0; end

11 12 13 14 15 16

for i=1:2 for j=1:3 y(i,1)=y(i,1)+A(i,j)*x(j,1); end end

17 18 19 20 21

% ---menampilkan matrik A, B dan E---A x y

Source code tersebut digunakan untuk menghitung perkalian matrik dan vektor-kolom berikut y2×1 = A2×3 · x3×1 Dan kita bisa sepakati simbol indeks m dan n untuk men-generalisir dimensi matrik ym×1 = Am×n · xn×1

BAB 3. FUNGSI

46 Dengan demikian, source code tersebut dapat dioptimasi menjadi 1 2

clear all clc

3 4 5

A = [3 8 5; 6 4 7]; x = [2; 3; 4];

% inisialisasi matrik A % inisialisasi vektor x

6 7 8 9 10 11 12 13

% ---proses perkalian matrik dan vektor---dim=size(A); m=dim(1); n=dim(2); for i=1:m y(i,1)=0; end

14 15 16 17 18 19

for i=1:m for j=1:n y(i,1)=y(i,1)+A(i,j)*x(j,1); end end

20 21 22 23 24

% ---menampilkan matrik A, B dan E---A x y

Selanjutnya kita ambil bagian proses perkalian matrik dan vektor nya untuk dibuat fungsi eksternal 1 2 3 4 5 6 7

function y=kalivektor(A,x) dim=size(A); m=dim(1); n=dim(2); for i=1:m y(i,1)=0; end

8 9 10 11 12 13

for i=1:m for j=1:n y(i,1)=y(i,1)+A(i,j)*x(j,1); end end

lalu di-save dengan nama kalivektor.m, maka terciptalah fungsi eksternal yang bernama fungsi kalivektor. Kemudian coba anda uji fungsi kalivektor tersebut dengan menjalankan source code berikut 1 2

clear all clc

3 4 5

A = [3 8 5; 6 4 7]; x = [2; 3; 4];

% inisialisasi matrik A % inisialisasi vektor x

6 7

% ---proses perkalian matrik dan vektor----

3.5. PENUTUP 8

47

y = kalivektor(A,x);

9 10 11 12

% ---menampilkan matrik A, B dan E---A x

Silakan anda periksa hasil perhitungannya. Pasti betul! Anda bisa mencoba perkalian matrik dan vektor-kolom dengan angka elemen yang berbeda menggunakan source code tersebut. Bahkan anda bisa mengganti nama matrik dan vektor nya untuk selain A, x dan y.

3.5

Penutup

Ada tiga pilar yang harus dikuasai oleh seorang calon programmer. Pertama, ia harus tahu bagaimana cara mendeklarasikan data. Kedua, ia harus tahu bagaimana mendayagunakan flow-control, yang dalam bab ini dan bab sebelumnya menggunakan pasangan for-end. Dan ketiga, ia harus bisa membuat fungsi eksternal. Tidak ada yang melarang anda beralih ke Fortran, atau ke Delphi, atau ke C++, atau ke Python, atau bahasa pemrograman apa saja. Saran saya, ketika anda berkenalan dengan suatu bahasa pemrograman, yang pertama kali anda lakukan adalah menguasai ketiga pilar itu. Insya Allah ia akan membantu anda lebih cepat mempelajari bahasa pemrograman yang sedang anda geluti. Penguasaan atas ketiga pilar tersebut akan mengarahkan programmer untuk membuat source code yang bersifat modular atau extention. Ini adalah modal untuk memasuki apa yang disebut object oriented programming. Sesungguhnya Matlab memiliki banyak fungsi internal yang bisa langsung dipakai. Anda bisa coba sendiri suatu saat nanti. Kekuatan bahasa pemrograman salah satunya terletak pada seberapa kaya dia memilik banyak fungsi. Library adalah kata lain untuk fungsi. Jadi, suatu bahasa pemrograman akan semakin unggul bila dia memiliki semakin banyak library. Menurut saya, yang terdepan saat ini masih dimenangkan oleh Python. Dengan Python, source code anda akan bisa berjalan di Windows, Linux dan Machintos serta beberapa platform lainnya.

3.6

Latihan

1. Berkali-kali bola ditendang dari depan gawang ke tengah lapangan oleh penjaga gawang yang sedang berlatih. Misalnya ia dapat menendang bola sedemikian rupa sehingga bola selalu bergerak dengan kecepatan awal 5 m/dt. Diketahui konstanta gravitasi adalah 9,8 m/dt2 . (a) Plot variasi ketinggian maksimum bola bila sudut tendangan bervariasi dari 30o hingga 60o dengan interval 5o . Persamaan untuk menghitung ketinggian maksimum adalah hmaks =

vo2 sin2 α 2g

(b) Plot variasi jangkauan maksimum bola bila sudut tendangan bervariasi dari 30o hingga 60o dengan interval 5o . Persamaan untuk menghitung ketinggian maksi-

BAB 3. FUNGSI

48 mum adalah xmaks =

vo2 sin 2α g

(c) Buatlah fungsi eksternal untuk masing-masing persamaan di atas. 2. Diketahui gelombang elektromagnetik bergerak dari medium 1 (permitivitas ǫ1 = 1) ke medium 2 (permitivitas, ǫ2 = 80) dengan sudut datang (θI ) bervariasi dari 0 o hingga 70 o . Persamaan koefisien refleksi gelombang elektromagnetik adalah sbb: EoR = EoI



α−β α+β



=

ǫ2 ǫ1

cos θI −

ǫ2 ǫ1

cos θI +

q q

ǫ2 ǫ1

− sin2 θI

ǫ2 ǫ1

− sin2 θI

(a) Buatlah script untuk menghitung koefisien refleksi dengan interval sudut per 5 o (b) Buatlah gambar grafik Koefisien Refleksi vs Sudut (c) Buatlah fungsi eksternal untuk perhitungan koefisien refleksi tersebut. 3. Diketahui gelombang elektromagnetik bergerak dari medium 1 (permitivitas ǫ1 = 1) ke medium 2 (permitivitas, ǫ2 = 80) dengan sudut datang (θI ) bervariasi dari 0 o hingga 70 o . Persamaan koefisien transmisi gelombang elektromagnetik adalah sbb: EoT = EoI



2 α+β



=

ǫ2 ǫ1

cos θI +

2 q

ǫ2 ǫ1

− sin2 θI

(a) Buatlah script untuk menghitung koefisien transmisi dengan interval sudut per 5 o (b) Buatlah gambar grafik Koefisien Transmisi vs Sudut (c) Buatlah fungsi eksternal untuk perhitungan koefisien transmisi tersebut. 4. Soal berikut ini berkaitan dengan superposisi gelombang (a) Buatlah script untuk mem-plot gelombang sinusoidal berfrekuensi 200 Hz dengan amplitudo 10 dalam fungsi waktu (t) dari 0 ms sampai 10 ms. (b) Lanjutkan script yang tadi dengan menambahkan script baru untuk menggambar gelombang sinusoidal berfrekuensi 500 Hz dengan amplitudo 6; kemudian di-plot pada grafik yang sama. (c) Lanjutkan script yang tadi dengan menambahkan script baru untuk menggambar gelombang sinusoidal berfrekuensi 1000 Hz dengan amplitudo 6; kemudian di-plot pada grafik yang sama. (d) Lanjutkan script yang tadi dengan menambahkan script baru untuk menggambar superposisi ketiga gelombang di atas; kemudian di-plot pada grafik yang sama. (e) Buatlah fungsi eksternal hanya untuk ketiga persamaan gelombang-nya saja. Sementara perhitungan superposisi dan plot grafik tetap ditulis pada main program.

Bab 4

Integral Numerik

✍ Objektif : ⊲ Mengenalkan metode Trapezoida ⊲ Mengenalkan metode Simpson ⊲ Mengenalkan metode Composite-Simpson ⊲ Mengenalkan metode Adaptive Quardrature ⊲ Mengenalkan metode Gaussian Quadrature

4.1

Metode Trapezoida

Integral terhadap suatu fungsi, f(x), yang dievaluasi dari a hingga b dapat dinyatakan oleh rumus berikut ini Z

b

f (x)dx

(4.1)

a

Pendekatan numerik yang paling dasar dalam memecahkan masalah integral adalah metode Trapezoida, yang dirumuskan sebagai berikut Z

b

f (x)dx =

a

h3 h [f (x0 ) + f (x1 )] − f ′′ (ξ) 2 12

(4.2)

dimana x0 = a, x1 = b dan h = b − a. Akan tetapi, suku yang terakhir pada ruas kanan dimana terdapat faktor turunan ke-2, f ′′ , seringkali diabaikan dengan tujuan agar persamaan (4.2) menjadi lebih sederhana. Z

b

f (x)dx = a

h [f (x0 ) + f (x1 )] 2

(4.3)

Akibatnya pendekatan Trapezoida hanya bekerja efektif pada fungsi-fungsi yang turunan keduanya bernilai nol (f ′′ = 0). Gambar (4.1) memperlihatkan prinsip metode trapezoida dalam bentuk grafik. Sementara, script berikut ini dibuat berdasarkan persamaan (4.3). 49

BAB 4. INTEGRAL NUMERIK

50

f(x)

f(x)

f(x1) f(x0)

x0=a

x1=b

x0=a

x1=b

Gambar 4.1: Metode Trapezoida. Gambar sebelah kiri menunjukkan kurva fungsi f (x) dengan batas bawah integral adalah a dan batas atas b. Gambar sebelah kanan menunjukan cara metode Trapesoida menghitung integral dengan cara menghitung luas area integrasi, dimana luas area integrasi sama dengan luas trapesium di bawah kurva f (x) dalam batas-batas a dan b. Jika anda perhatikan dengan teliti, ada area kecil dibawah garis kurva dan diatas garis miring yang berada diluar bidang trapesium. Metode Trapesoida tidak menghitung luas area kecil tersebut. Disinilah letak kelemahan metode trapezoida.

1 2

clear all clc

3 4 5

a = ... b = ...

%batas bawah integral; %batas atas integral;

6 7 8 9

x0 = a; x1 = b; h = b-a;

10 11 12

% -- metode trapezoida -Int_trapezoida = h/2*(f(x0)+f(x1))

Dengan fungsi eksternal fungsi f(x) adalah 1 2

function y = f(x) y = ... % rumus fungsi yang di-integralkan;

4.2

Metode Simpson

Metode pendekatan yang lebih baik dibanding metode Trapezoida dalam integral numerik adalah metode Simpson yang diformulasikan sebagai berikut Z

b

f (x)dx = a

h h5 [f (x0 ) + 4f (x1 ) + f (x2 )] − f 4 (ξ) 3 90

(4.4)

dengan x0 = a, x2 = b, dan x1 = a + h dimana h = (b − a)/2. Jika suku terakhir diabaikan, maka

Z

a

b

f (x)dx =

h [f (x0 ) + 4f (x1 ) + f (x2 )] 3

(4.5)

Gambar (4.2) memperlihatkan prinsip metode trapezoida dalam bentuk grafik. Sementara, script berikut ini dibuat berdasarkan persamaan (4.5).

4.2. METODE SIMPSON

51

f(x)

f(x)

f(x2) f(x1) f(x0) h h

x0=a

x1=b

x0=a

x1

x2=b

Gambar 4.2: Metode Simpson. Gambar sebelah kiri menunjukkan kurva fungsi f (x) dengan batas bawah integral adalah a dan batas atas b. Gambar sebelah kanan menunjukan cara metode Simpson menghitung luas area integrasi, dimana area integrasi di bawah kurva f (x) dibagi 2 dalam batas interval a − x1 dan x1 − b dengan lebar masing-masing adalah h

1 2

clc clear all

3 4 5

a = ... %batas bawah integrasi ; b = ... %batas atas integrasi ;

6 7 8 9 10

x0 = a; x2 = b; h = (b-a)/2; x1 = a + h;

11 12 13

% -- metode simpson -Int_simpson = h/3*(f(x0)+4*f(x1)+f(x2))

Contoh Metode Trapezoida untuk fungsi f pada interval [0,2] adalah Z

0

2

f (x)dx ≈ f (0) + f (2)

dimana x0 = 0, x1 = 2 dan h = 2 − 0 = 2. Sedangkan metode Simpson untuk fungsi f pada interval [0,2] adalah

Z

0

2

f (x)dx ≈

1 [f (0) + 4f (1) + f (2)] 3

dengan x0 = 0, x2 = 2, dan x1 = a + h = 1 dimana h = (b − a)/2 = 1.

Tabel berikut ini memperlihatkan evaluasi integral numerik terhadap beberapa fungsi dalam interval [0,2] beserta solusi exact-nya. Jelas terlihat, metode Simpson lebih baik dibanding Trapezoida. Karena hasil intergral numerik metode Simpson lebih mendekati nilai exact f (x) Nilai exact Trapezoida Simpson

x2 2,667 4,000 2,667

x4 6,400 16,000 6,667

1/(x + 1) 1,099 1,333 1,111

√

1 + x2 2,958 3,326 2,964

sin x 1,416 0,909 1,425

ex 6,389 8,389 6,421

BAB 4. INTEGRAL NUMERIK

52

4.3

Peran faktor pembagi, n

Kalau diamati lebih teliti, akan kita dapatkan bahwa interval [0,2] telah dibagi 2 pada metode Simpson, sementara pada metode Trapesoida tidak dibagi sama sekali. Sebenarnya dengan membagi interval lebih kecil lagi, maka error -nya akan semakin kecil. Misalnya, banyaknya pembagian interval dinyatakan dengan n ketika n = 1: Trapesioda Z

x1

h h3 [f (x0 ) + f (x1 )] − f ′′ (ξ) 2 12

(4.6)

h h5 [f (x0 ) + 4f (x1 ) + f (x2 )] − f 4 (ξ) 3 90

(4.7)

f (x)dx = x0

ketika n = 2: Simpson Z

x2

f (x)dx =

x0

ketika n = 3: Simpson tiga-per-delapan Z

x3

f (x)dx =

x0

3h 3h5 4 [f (x0 ) + 3f (x1 ) + 3f (x2 ) + f (x3 )] − f (ξ) 8 80

ketika n = 4: Z x4 8h7 6 2h [7f (x0 ) + 32f (x1 ) + 12f (x2 ) + 32f (x3 ) + 7f (x4 )] − f (ξ) f (x)dx = 45 945 x0 4.3.1 Source code metode integrasi Source code untuk persamaan (4.8) disajikan sebagai berikut 1 2

clc clear all

3 4 5 6

% -- batas integrasi -a = 0; b = 2;

7 8 9 10 11 12 13

x0 = a; x3 = b; h = (b-a)/3; x1 = a + h; x2 = a + 2*h; % ---------------------

14 15 16

% -- metode simpson 3/8 -Int_38 = 3*h/8*(f(x0)+3*f(x1)+3*f(x2)+f(x3))

Sementara, source code untuk persamaan (4.9) disajikan sebagai berikut 1 2 3

clc clear all

(4.8)

(4.9)

4.4. METODE COMPOSITE-SIMPSON 4 5 6

53

% -- batas integrasi -a = 0; b = 2;

7 8 9 10 11 12 13 14

x0 = a; x4 = b; h = (b-a)/4; x1 = a + h; x2 = a + 2*h; x3 = a + 3*h; % ---------------------

15 16 17

% -- metode simpson n=4 -Int_n4 = 2*h/45*(7*f(x0)+32*f(x1)+12*f(x2)+32*f(x3)+7*f(x4))

Perbandingan tingkat akurasi hasil perhitungan seluruh metode integral numerik yang sudah dibahas adalah sebagai berikut x2 2,667 4,000 2,667 2,667 2,667

f (x) Nilai exact Trapezoida Simpson n=2 Simpson n=3 Simpson n=4

x4 6,400 16,000 6,667 6,519 6,400

1/(x + 1) 1,099 1,333 1,111 1,105 1,099

√

1 + x2 2,958 3,326 2,964 2,960 2,958

sin x 1,416 0,909 1,425 1,420 1,416

ex 6,389 8,389 6,421 6,403 6,389

Keempat bentuk persamaan integral numerik di atas dikenal dengan closed Newton-Cotes formulas. Keterbatasan metode Newton-Cotes terlihat dari jumlah pembagian interval. Di atas tadi pembagian interval baru sampai pada n = 4. Bagaimana bila interval evaluasinya dipersempit supaya solusi numeriknya lebih mendekati solusi exact? Atau dengan kata lain n > 4.

4.4

Metode Composite-Simpson

Persamaan (4.9) terlihat lebih rumit dibandingkan persamaan-persamaan sebelumnya. Bisakah anda bayangkan bentuk formulasi untuk n = 5 atau n = 6 dan seterusnya? Pasti akan lebih kompleks dibandingkan persamaan (4.9). Metode Composite Simpson menawarkan cara mudah menghitung intergal numerik ketika R4 nilai n > 4. Perhatikan contoh berikut, tentukan solusi numerik dari 0 ex dx. Metode Simpson dengan h = 2 (atau interval evaluasi integral dibagi 2 , n = 2) memberikan hasil Z

4 0

ex dx ≈


2 0 e + 4e2 + e4 = 56, 76958 3

Padahal solusi exact dari integral tersebut adalah e4 − e0 = 53, 59815, artinya terdapat er-

ror sebesar 3,17143 yang dinilai masih terlampau besar untuk ditolerir. Bandingkan dengan

BAB 4. INTEGRAL NUMERIK

54

f(x)

h

x0=a x1

x2

x3

x4

x5

x7 xn=b

x6

Gambar 4.3: Metode Composite Simpson. Kurva fungsi f (x) dengan batas bawah integral adalah a dan batas atas b. Luas area integrasi dipecah menjadi 8 area kecil dengan lebar masing-masing adalah h.

metode yang sama namun dengan h = 1 (atau interval evaluasi integral dibagi 4 , n = 4) Z

4

Z

x

e dx =

0

2

x

e dx +

Z

4

ex dx

2

0


1 2
1 0 e + 4e + e2 + e + 4e3 + e4 3 3
1 0 2 e + 4e + 2e + 4e3 + e4 = 3 = 53, 86385 ≈

Hasil ini memperlihatkan error yang makin kecil, yaitu menjadi 0,26570. Jadi dengan memperkecil h, error menjadi semakin kecil dan itu artinya solusi integral numerik semakin mendekati solusi exact. Sekarang kita coba kecilkan lagi nilai h menjadi h =

1 2

(atau interval evaluasi in-

tegral dibagi 8 , n = 8), Z

4

x

1

Z

2

Z

3

Z

4

ex dx e dx + e dx + 3 2 1 0  1  1 0 ≈ e + 4e1/2 + e + e + 4e3/2 + e2 + 6 6  1  1 2 5/2 3 e + 4e + e + e3 + 4e7/2 + e4 6 6  1 0 e + 4e1/2 + 2e + 4e3/2 + 2e2 + 4e5/2 + 2e3 + 4e7/2 + e4 = 6 = 53, 61622

e dx = 0

Z

x

e dx +

x

x

dan seperti yang sudah kita duga, error -nya semakin kecil menjadi 0,01807. Prosedur ini dapat digeneralisir menjadi suatu formula sebagai berikut Z

b

f (x)dx = a

n/2 Z X j=1

=

x2j

f (x)dx

x2j−2

n/2  X h j=1

 h5 (4) [f (x2j−2 ) + 4f (x2j−1 ) + f (x2j )] − f (ξj ) 3 90

(4.10)

4.5. ADAPTIVE QUARDRATURE

55

dimana h = (b − a)/n dan xj = a + jh, untuk j = 1, ..., n/2, dengan x0 = a dan xn = b. Formula

ini dapat direduksi menjadi Z

b

f (x)dx =

a



h f (x0 ) + 2 3

(n/2)−1

X

f (x2j ) + 4

j=1

n/2 X j=1



n/2

f (x2j−1 ) + f (xn ) −

h5 X (4) f (ξj ) 90

(4.11)

j=1

Formula ini dikenal sebagai metode Composite Simpson.

4.5

Adaptive Quardrature

Metode composite mensyaratkan luas area integrasi dibagi menjadi sejumlah region dengan jarak interval yang seragam yaitu sebesar nilai h. Akibatnya, bila metode composite diterapkan pada fungsi yang memiliki variasi yang tinggi dan rendah sekaligus, maka interval h yang kecil menjadi kurang efektif, sementara interval h yang besar mengundang error yang besar pula. Metode Adaptive Quadrature muncul untuk mendapatkan langkah yang paling efektif dimana nilai interval h tidak dibuat seragam, melainkan mampu beradaptasi sesuai dengan tingkat variasi kurva fungsinya. Misalnya kita bermaksud mencari solusi numerik dari integral

Rb a

f (x)dx dengan toleransi

ǫ > 0. Sebagai langkah awal adalah menerapkan metode Simpson dimana step size h = (b − a)/2

Z

b a

f (x)dx = S(a, b) −

h5 (4) f (µ) 90

(4.12)

dengan S(a, b) =

h [f (a) + 4f (a + h) + f (b)] 3

Langkah berikutnya adalah men Z

a

4.6

b

      h 3h h f (a) + 4f a + + 2f (a + h) + 4f a + + f (b) f (x)dx = 6 2 2  4 h (b − a) (4) − f (˜ µ) 2 180

(4.13)

Gaussian Quadrature

Suatu integral dapat ditransformasi kedalam bentuk Gaussian quadrature melalui formulasi berikut Z

b

f (x)dx = a

Z

1

f −1



(b − a)t + (b + a) 2



(b − a) dt 2

(4.14)

dimana perubahan variabel memenuhi t=

2x − a − b 1 ⇔ x = [(b − a)t + a + b] b−a 2

Berikut adalah table polinomial Legendre untuk penyelesaian Gaussian quadrature

(4.15)

BAB 4. INTEGRAL NUMERIK

56

Tabel 4.1: Polinomial Legendre untuk n=2,3,4 dan 5 n Akar rn,i Koefisien cn,i 2 0,5773502692 1,0000000000 -0,5773502692 1,0000000000 3 0,7745966692 0,5555555556 0,0000000000 0,8888888889 -0,7745966692 0,5555555556 4 0,8611363116 0,3478548451 0,3399810436 0,6521451549 -0,3399810436 0,6521451549 -0,8611363116 0,3478548451 5 0,9061798459 0,2369268850 0,5384693101 0,4786286705 0,0000000000 0,5688888889 -0,5384693101 0,4786286705 -0,9061798459 0,2369268850

4.6.1 Contoh Selesaikan integrasi berikut ini Z

1,5

2

e−x dx

(4.16)

1

(Solusi exact integral diatas adalah: 0.1093643) jawab: Pertama, integral tersebut ditransformasikan kedalam Gaussian quadrature melalui persamaan (4.14) Z

1,5

−x2

e 1

1 dx = 4

Z

1

e

−(t+5)2 16

dt

(4.17)

−1

Kedua, Gaussian quadrature dihitung menggunakan konstanta-konstanta yang tercantum pada tabel polinomial Legendre. Untuk n = 2 Z

1,5

1

2

e−x dx ≈

i 1 h (−(0,5773502692+5)2 /16) 2 e + e(−(−0,5773502692+5) /16) = 0, 1094003 4

Untuk n = 3 Z

1

1,5

2

e−x dx ≈

1 2 2 [(0, 5555555556)e(−(0,7745966692+5) /16) + (0, 8888888889)e(−(5) /16) 4

+ (0, 5555555556)e(−(−0,7745966692+5)

4.6.2 Latihan Selesaikan integrasi berikut ini Z

0

0,35

x2

2 dx −4

2 /16)

] = 0, 1093642

4.6. GAUSSIAN QUADRATURE

57

Selesaikan integrasi berikut ini Z

3,5 3

√

x dx −4

x2

BAB 4. INTEGRAL NUMERIK

58 Latihan

1. Hitunglah integral-integral berikut ini dengan metode Composite Simpson! Z

a.

2

x ln xdx,

b.

Z

c.

2

2 dx, +4 x dx, 2 x +4

3 1 2

x3 ex dx,

−2 Z 3π/8

e.

n=6

x2

0

Z

d.

n=4

1

Z

n=8 n=4

tan xdx,

n=8

0

Z

f.

5

√

3

1

x2 − 4

dx,

n=8

2. Tentukan nilai n dan h untuk mengevaluasi Z

2

e2x sin 3xdx

0

dengan metode Composite Simpson, bila error yang ditolerir harus lebih kecil dari 10−4 . 3. Dalam durasi 84 detik, kecepatan sebuah mobil balap formula 1 yang sedang melaju di arena grandprix dicatat dalam selang interval 6 detik: time(dt) speed(f t/dt)

0 124

6 134

12 148

18 156

24 147

30 133

36 121

42 109

48 99

54 85

60 78

66 89

72 104

78 116

84 123

Gunakan metode integral numerik untuk menghitung panjang lintasan yang telah dilalui mobil tersebut selama pencatatan waktu di atas!

Bab 5

Diferensial Numerik

✍ Objektif : ⊲ Mengenalkan metode Euler ⊲ Mengenalkan metode Runge Kutta orde 4 ⊲ Mengenalkan metode Finite Difference ⊲ Mengenalkan Persamaan Diferensial Parsial Eliptik ⊲ Mengenalkan Persamaan Diferensial Parsial Hiperbolik ⊲ Mengenalkan Persamaan Diferensial Parsial Parabolik

5.1

Metode Euler

Suatu persamaan diferensial ( dy dt ) dinyatakan dalam fungsi f (t, y), dimana y(t) adalah persamaan asalnya dy = f (t, y), dt

a ≤ t ≤ b,

y(a) = α

(5.1)

Nilai t dibatasi dari a hingga ke b. Sementara, syarat awal telah diketahui yaitu pada saat t = a maka y bernilai α. Akan tetapi kita sama sekali tidak tahu bentuk formulasi persamaan asalnya y(t). Gambar 5.1 memperlihatkan kurva persamaan asal y(t) yang tidak diketahui bentuk formulasinya. Tantangannya adalah bagaimana kita bisa mendapatkan solusi persamaan diferensial untuk setiap nilai y(t) yang t-nya terletak diantara a dan b ? Tahap awal solusi pendekatan numerik adalah dengan menentukan point-point dalam jarak yang sama di dalam interval [a,b]. Jarak antar point dirumuskan sebagai h=

b−a N

(5.2)

dengan N adalah bilangan integer positif. Nilai h ini juga dikenal dengan nama step size. Selanjutnya nilai t diantara a dan b ditentukan berdasarkan ti = a + ih,

i = 0, 1, 2, ..., N 59

(5.3)

BAB 5. DIFERENSIAL NUMERIK

60

y

y y(tN)=y(b)

y’=f(t,y)

y(t)

y(t)

y(a)=a y(t2)

y’=f(t,y) y(a)=a

y(t1) y(t0)=a

y’(a)=f(a,a)

w1 a h

h t0=a

t1

t2

.....

tN=b

t

t0=a

t1

t2

.....

tN=b

t

Gambar 5.1: Kiri: Kurva y(t) dengan pasangan titik absis dan ordinat dimana jarak titik absis sebesar h. Pasangan t1 adalah y(t1 ), pasangan t2 adalah y(t2 ), begitu seterusnya. Kanan: Garis singgung yang menyinggung kurva y(t) pada t=a, kemudian berdasarkan garis singgung tersebut, ditentukan pasangan t1 sebagai w1 . Perhatikan gambar itu sekali lagi! w1 dan y(t1 ) beda tipis alias tidak sama persis. Metode Euler diturunkan dari deret Taylor. Misalnya, fungsi y(t) adalah fungsi yang kontinyu dan memiliki turunan dalam interval [a,b]. Dalam deret Taylor, fungsi y(t) tersebut dirumuskan sebagai y(ti+1 ) = y(ti ) + (ti+1 − ti )y ′ (ti ) +

(ti+1 − ti )2 ′′ y (ξi ) 2

(5.4)

h2 ′′ y (ξi ) 2

(5.5)

dengan memasukkan h = (ti+1 − ti ), maka y(ti+1 ) = y(ti ) + hy ′ (ti ) +

dan, karena y(t) memenuhi persamaan diferensial (5.1), dimana y ′ (ti ) tak lain adalah fungsi turunan f (ti , y(ti )), maka y(ti+1 ) = y(ti ) + hf (ti , y(ti )) +

h2 ′′ y (ξi ) 2

(5.6)

Metode Euler dibangun dengan pendekatan bahwa suku terakhir dari persamaan (5.6), yang memuat turunan kedua, dapat diabaikan. Disamping itu, pada umumnya, notasi penulisan bagi y(ti ) diganti dengan wi . Sehingga metode Euler diformulasikan sebagai wi+1 = wi + hf (ti , wi )

dengan syarat awal

w0 = α

(5.7)

dimana i = 0, 1, 2, .., N − 1. Contoh Diketahui persamaan diferensial y ′ = y − t2 + 1 batas interval: 0 ≤ t ≤ 2

syarat awal: y(0) = 0, 5

dimana N = 10. Disini terlihat bahwa batas awal interval, a = 0; dan batas akhir b = 2.

(5.8)

5.1. METODE EULER

61

Dalam penerapan metode euler, pertama kali yang harus dilakukan adalah menghitung step-size (h), caranya h=

2−0 b−a = = 0, 2 N 10

kemudian dilanjutkan dengan menentukan posisi titik-titik ti berdasarkan rumus ti = a + ih = 0 + i(0, 2) sehingga ti = 0, 2i serta menetapkan nilai w0 yang diambil dari syarat awal y(0) = 0, 5 w0 = 0, 5 Dengan demikian persamaan euler dapat dinyatakan sebagai wi+1 = wi + h(wi − t2i + 1)

= wi + 0, 2(wi − 0, 04i2 + 1)

= 1, 2wi − 0, 008i2 + 0, 2

dimana i = 0, 1, 2, ..., N − 1. Karena N = 10, maka i = 0, 1, 2, ..., 9.

Pada saat i = 0 dan dari syarat awal diketahui w0 = 0, 5, kita bisa menghitung w1 w1 = 1, 2w0 − 0, 008(0)2 + 0, 2 = 0, 8000000 Pada saat i = 1 w2 = 1, 2w1 − 0, 008(1)2 + 0, 2 = 1, 1520000 Pada saat i = 2 w3 = 1, 2w2 − 0, 008(2)2 + 0, 2 = 1, 5504000 Demikian seterusnya, hingga mencapai i = 9 w10 = 1, 2w9 − 0, 008(9)2 + 0, 2 = 4, 8657845 Berikut ini adalah script matlab untuk menghitung w1 , w2 , sampai w10 1 2

clear all clc

3 4

format long

5 6 7 8 9 10 11

b=2; %batas akhir interval a=0; %batas awal interval N=10; % bilangan interger positif h=(b-a)/N; % nilai step-size w0=0.5; % nilai w awal t0=0; % nilai t awal

12 13 14

% perubahan t sesuai step-size h adalah: t1=a+1*h;

BAB 5. DIFERENSIAL NUMERIK

62 15 16 17 18 19 20 21 22 23

t2=a+2*h; t3=a+3*h; t4=a+4*h; t5=a+5*h; t6=a+6*h; t7=a+7*h; t8=a+8*h; t9=a+9*h; t10=a+10*h;

24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

% solusinya: w1=w0+h*(w0-t0^2+1) w2=w1+h*(w1-t1^2+1) w3=w2+h*(w2-t2^2+1) w4=w3+h*(w3-t3^2+1) w5=w4+h*(w4-t4^2+1) w6=w5+h*(w5-t5^2+1) w7=w6+h*(w6-t6^2+1) w8=w7+h*(w7-t7^2+1) w9=w8+h*(w8-t8^2+1) w10=w9+h*(w9-t9^2+1)

Atau bisa dipersingkat sebagai berikut 1 2

clear all clc

3 4

format long

5 6 7 8 9 10 11

b=2; %batas akhir interval a=0; %batas awal interval N=10; % bilangan interger positif h=(b-a)/N; % nilai step-size w0=0.5; % nilai w awal t0=0; % nilai t awal

12 13 14 15 16

% perubahan t sesuai step-size h adalah: for i=1:N t(i)=a+(i*h); end

17 18 19 20 21 22 23 24

% solusinya: w(1)=w0+h*(w0-t0^2+1); for i=2:N k=i-1; w(i)=w(k)+h*(w(k)-t(k)^2+1); end w

Disisi lain, solusi exact persamaan diferensial (5.8) adalah y(t) = (t + 1)2 − 0, 5et Script matlab untuk mendapatkan solusi exact ini adalah: 1 2

clear all clc

(5.9)

5.1. METODE EULER

63

3 4

format long

5 6 7 8 9

b=2; %batas akhir interval a=0; %batas awal interval N=10; % bilangan interger positif h=(b-a)/N; % nilai step-size

10 11 12 13 14

% perubahan t sesuai step-size h adalah: for i=1:N t(i)=a+(i*h); end

15 16 17 18 19 20

% solusi exact: for i=1:N y(i)=(t(i)+1)^2-0.5*exp(t(i)); end y

Tabel 5.1: Solusi yang ditawarkan oleh metode euler wi dan solusi exact y(ti ) serta selisih antara keduanya i ti wi yi = y(ti ) |wi − yi | 0 0,0 0,5000000 0,5000000 0,0000000 1 0,2 0,8000000 0,8292986 0,0292986 2 0,4 1,1520000 1,2140877 0,0620877 3 0,6 1,5504000 1,6489406 0,0985406 4 0,8 1,9884800 2,1272295 0,1387495 5 1,0 2,4581760 2,6408591 0,1826831 6 1,2 2,9498112 3,1799415 0,2301303 7 1,4 3,4517734 3,7324000 0,2806266 8 1,6 3,9501281 4,2834838 0,3333557 9 1,8 4,4281538 4,8151763 0,3870225 10 2,0 4,8657845 5,3054720 0,4396874 Coba anda perhatikan sejenak bagian kolom selisih |wi − yi |. Terlihat angkanya tumbuh se-

makin besar seiring dengan bertambahnya ti . Artinya, ketika ti membesar, akurasi metode euler justru berkurang. Untuk lebih jelasnya, mari kita plot hasil-hasil ini dalam suatu gambar. Gambar (5.2) memperlihatkan sebaran titik-titik merah yang merupakan hasil perhitungan metode euler (wi ). Sementara solusi exact y(ti ) diwakili oleh titik-titik biru. Tampak jelas bahwa titik-titik biru dan titik-titik merah –pada nilai t yang sama– tidak ada yang berhimpit alias ada jarak yang memisahkan mereka. Bahkan semakin ke kanan, jarak itu semakin melebar. Adanya jarak, tak lain menunjukkan keberadaan error (kesalahan). Hasil perhitungan metode euler yang diwakili oleh titik-titik merah ternyata menghadirkan tingkat kesalahan yang semakin membesar ketika menuju ke-N atau ketika ti bertambah. Untuk mengatasi hal ini, salah satu pemecahannya adalah dengan menerapkan metode Runge-Kutta orde-4. Namun sebelum masuk ke pembahasan tersebut, ada baiknya kita memodifikasi script matlab yang terakhir tadi. Saya kira tidak ada salahnya untuk mengantisipasi kesalahan pengetikan fungsi turunan

BAB 5. DIFERENSIAL NUMERIK

64 5.5

5

4.5

4

y(t)

3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5 0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

t

Gambar 5.2: Kurva biru adalah solusi exact, dimana lingkaran-lingkaran kecil warna biru pada kurva menunjukkan posisi pasangan absis t dan ordinat y(t) yang dihitung oleh Persamaan (5.9). Sedangkan titik-titik merah mengacu pada hasil perhitungan metode euler, yaitu nilai wi .

yang terdapat dalam script sebelumnya yaitu, w(1)=w0+h*(w0-t0^2+1);

dan w(i)=w(k)+h*(w(k)-t(k)^2+1);

Ketika fungsi turunan memiliki formulasi yang berbeda dengan contoh di atas, bisa jadi kita akan lupa untuk mengetikkan formulasi yang baru di kedua baris tersebut. Oleh karena itu, lebih baik fungsi turunan tersebut dipindahkan kedalam satu file terpisah. Di lingkungan matlab, file tersebut disebut file function. Jadi, isi file function untuk contoh yang sedang kita bahas ini adalah function y = futur(t,w) y = w - t^2 + 1;

File function ini mesti di-save dengan nama file yang sama persis dengan nama fungsinya, dalam contoh ini nama file function tersebut harus bernama futur.m. Kemudian file ini harus disimpan dalam folder yang sama dimana disana juga terdapat file untuk memproses metode euler. Setelah itu, script metode euler dimodifikasi menjadi seperti ini 1 2 3

clear all clc

5.2. METODE RUNGE KUTTA 4

65

format long

5 6 7 8 9 10 11

b=2; %batas akhir interval a=0; %batas awal interval N=10; % bilangan interger positif h=(b-a)/N; % nilai step-size w0=0.5; % nilai w awal t0=0; % nilai t awal

12 13 14 15 16

% perubahan t sesuai step-size h adalah: for i=1:N t(i)=a+(i*h); end

17 18 19 20 21 22 23 24

% solusinya: w(1)=w0+h*futur(t0,w0); for i=2:N k=i-1; w(i)=w(k)+h*futur(t(k),w(k)); end w

Mulai dari baris ke-13 sampai dengan baris ke-24, tidak perlu diubah-ubah lagi. Artinya, jika ada perubahan formulasi fungsi turunan, maka itu cukup dilakukan pada file futur.m saja. Ok. Sekarang mari kita membahas metode Runge Kutta.

5.2

Metode Runge Kutta

Pada saat membahas metode Euler untuk penyelesaian persamaan diferensial, kita telah sampai pada kesimpulan bahwa truncation error metode Euler terus membesar seiring dengan bertambahnya iterasi (ti ). Dikaitkan dengan hal tersebut, metode Runge-Kutta Orde-4 menawarkan penyelesaian persamaan diferensial dengan pertumbuhan truncation error yang jauh lebih kecil. Persamaan-persamaan yang menyusun metode Runge-Kutta Orde-4 adalah w0 = α k1 = hf (ti , wi ) 1 h k2 = hf (ti + , wi + k1 ) 2 2 h 1 k3 = hf (ti + , wi + k2 ) 2 2 k4 = hf (ti+1 , wi + k3 ) 1 wi+1 = wi + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ) 6

(5.10) (5.11) (5.12) (5.13) (5.14)

dimana fungsi f (t, w) adalah fungsi turunan. Contoh Saya ambilkan contoh yang sama seperti contoh yang sudah kita bahas pada metode Euler. Diketahui persamaan diferensial y ′ = y − t2 + 1,

0 ≤ t ≤ 2,

y(0) = 0, 5

BAB 5. DIFERENSIAL NUMERIK

66 Jika N = 10, maka step-size bisa dihitung terlebih dahulu h=

b−a 2−0 = = 0, 2 N 10

dan ti = a + ih = 0 + i(0, 2)

→

ti = 0, 2i

serta w0 = 0, 5 Sekarang mari kita terapkan metode Runge-Kutta Orde-4 ini. Untuk menghitung w1 , tahaptahap perhitungannya dimulai dari menghitung k1 k1 = hf (t0 , w0 ) = h(w0 − t20 + 1)

= 0, 2((0, 5) − (0, 0)2 + 1) = 0, 3 lalu menghitung k2 k1 h , w0 + ) 2 2 h k1 = h[(w0 + ) − (t0 + )2 + 1)] 2 2 0, 2 2 0, 3 ) − (0, 0 + ) + 1)] = 0, 2[(0, 5 + 2 2 = 0, 328

k2 = hf (t0 +

dilanjutkan dengan k3 h k2 , w0 + ) 2 2 k2 h = h[(w0 + ) − (t0 + )2 + 1)] 2 2 0, 2 2 0, 328 ) − (0, 0 + ) + 1)] = 0, 2[(0, 5 + 2 2 = 0, 3308

k3 = hf (t0 +

kemudian k4 k4 = hf (t1 , w0 + k3 ) = h[(w0 + k3 ) − t21 + 1]

= 0, 2[(0, 5 + 0, 3308) − (0, 2)2 + 1] = 0, 35816

5.2. METODE RUNGE KUTTA

67

akhirnya diperoleh w1 1 (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ) 6 1 = 0, 5 + (0, 3 + 2(0, 328) + 2(0, 3308) + 0, 35816) 6 1 = 0, 5 + (0, 3 + 0, 656 + 0, 6616 + 0, 35816) 6 = 0, 8292933

w1 = w0 +

Dengan cara yang sama, w2 , w3 , w4 dan seterusnya dapat dihitung dengan program komputer. Script matlab-nya sebagai berikut1 : 1 2

clear all clc

3 4

format long

5 6 7 8 9 10 11

b=2; %batas akhir interval a=0; %batas awal interval N=10; % bilangan interger positif h=(b-a)/N; % nilai step-size w0=0.5; % nilai w awal t0=0; % nilai t awal

12 13 14 15 16

% perubahan t sesuai step-size h adalah: for i=1:N t(i)=a+(i*h); end

17 18 19 20 21 22 23

% solusinya: k1=h*futur(t0,w0); k2=h*futur(t0+h/2,w0+k1/2); k3=h*futur(t0+h/2,w0+k2/2); k4=h*futur(t(1),w0+k3); w(1)=w0+1/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);

24 25 26 27 28 29 30 31 32 33

for i=2:N k=i-1; k1=h*futur(t(k),w(k)); k2=h*futur(t(k)+h/2,w(k)+k1/2); k3=h*futur(t(k)+h/2,w(k)+k2/2); k4=h*futur(t(i),w(k)+k3); w(i)=w(k)+1/6*(k1+2*k2+2*k3+k4); end w

Dibandingkan dengan metode Euler, tingkat pertumbuhan truncation error, pada kolom |wi −

yi | (lihat Tabel 5.2), jauh lebih rendah sehingga metode Runge-Kutta Orde Empat lebih disukai untuk membantu menyelesaikan persamaan-diferensial-biasa.

Contoh tadi tampaknya dapat memberikan gambaran yang jelas bahwa metode RungeKutta Orde Empat dapat menyelesaikan persamaan diferensial biasa dengan tingkat akurasi 1

Jangan lupa, file futur.m mesti berada dalam satu folder dengan file Runge Kutta nya!

BAB 5. DIFERENSIAL NUMERIK

68

Tabel 5.2: Solusi yang ditawarkan oleh metode Runge Kutta orde 4 (wi ) dan solusi exact y(ti ) serta selisih antara keduanya i ti wi yi = y(ti ) |wi − yi | 0 0,0 0,5000000 0,5000000 0,0000000 1 0,2 0,8292933 0,8292986 0,0000053 2 0,4 1,2140762 1,2140877 0,0000114 3 0,6 1,6489220 1,6489406 0,0000186 4 0,8 2,1272027 2,1272295 0,0000269 5 1,0 2,6408227 2,6408591 0,0000364 6 1,2 3,1798942 3,1799415 0,0000474 7 1,4 3,7323401 3,7324000 0,0000599 8 1,6 4,2834095 4,2834838 0,0000743 9 1,8 4,8150857 4,8151763 0,0000906 10 2,0 5,3053630 5,3054720 0,0001089 5.5

5

4.5

4

y(t)

3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5 0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

t

Gambar 5.3: Kurva biru adalah solusi exact, dimana lingkaran-lingkaran kecil warna biru pada kurva menunjukkan posisi pasangan absis t dan ordinat y(t) yang dihitung oleh Persamaan (5.9). Sedangkan titik-titik merah mengacu pada hasil perhitungan metode Runge Kutta orde 4, yaitu nilai wi .

yang lebih tinggi. Namun, kalau anda jeli, ada suatu pertanyaan cukup serius yaitu apakah metode ini dapat digunakan bila pada persamaan diferensialnya tidak ada variabel t ? Misalnya pada kasus pengisian muatan pada kapasitor berikut ini. 5.2.1 Aplikasi: Pengisian muatan pada kapasitor Sebuah kapasitor yang tidak bermuatan dihubungkan secara seri dengan sebuah resistor dan baterry (Gambar 5.4). Diketahui ǫ = 12 volt, C = 5,00 µF dan R = 8,00 ×105 Ω. Saat saklar

5.2. METODE RUNGE KUTTA

69

dihubungkan (t=0), muatan belum ada (q=0). dq ǫ q = − dt R RC

(5.15)

Solusi exact persamaan (5.15) adalah   qexact = q(t) = Cǫ 1 − e−t/RC

(5.16)

Anda bisa lihat semua suku di ruas kanan persamaan (5.15) tidak mengandung variabel

Gambar 5.4: Rangkaian RC t. Padahal persamaan-persamaan turunan pada contoh sebelumnya mengandung variabel t. Apakah persamaan (5.15) tidak bisa diselesaikan dengan metode Runge-Kutta? Belum tentu. Sekarang, kita coba selesaikan, pertama kita nyatakan m1 = m2 =

ǫ = 1, 5 × 10−5 R 1 = 0, 25 RC

sehingga persamaan (5.15) dimodifikasi menjadi dq = f (qi ) = m1 − qi m2 dt ti = a + ih Jika t0 = 0, maka a = 0, dan pada saat itu (secara fisis) diketahui q0 = 0, 0. Lalu jika ditetapkan h = 0, 1 maka t1 = 0, 1 dan kita bisa mulai menghitung k1 dengan menggunakan q0 = 0, 0, walaupun t1 tidak dilibatkan dalam perhitungan ini k1 = hf (q0 ) = h(m1 − q0 m2 )

= 0, 1((1, 5 × 10−5 ) − (0, 0)(0, 25))

= 0, 150 × 10−5

BAB 5. DIFERENSIAL NUMERIK

70 lalu menghitung k2 k2 = hf (q0 +

k1 ) 2

= h[(m1 − (q0 +

k1 )m2 )] 2

= 0, 1[(1, 5 × 10−5 − ((0, 0) +

0, 15 × 10−5 )(0, 25)] 2

= 0, 14813 × 10−5 dilanjutkan dengan k3 k3 = hf (q0 +

k2 ) 2

= h[(m1 − (q0 +

k2 )m2 )] 2

= 0, 1[(1, 5 × 10−5 − ((0, 0) +

0, 14813 × 10−5 )(0, 25)] 2

= 0, 14815 × 10−5 kemudian k4 k4 = hf (q0 + k3 ) = h[(m1 − (q0 + k3 )m2 )]

= 0, 1[(1, 5 × 10−5 − ((0, 0) + 0, 14815 × 10−5 )(0, 25)] = 0, 14630 × 10−5

akhirnya diperoleh q1 1 (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ) 6 1 = 0, 0 + (0, 150 + 2(0, 14813) + 2(0, 14815) + 0, 14630) × 10−5 6 = 0, 14814 × 10−5

q1 = q0 +

Selanjutnya q2 dihitung. Tentu saja pada saat t2 , dimana t2 = 0, 2, namun sekali lagi, t2 tidak terlibat dalam perhitungan ini. Dimulai menghitung k1 kembali k1 = hf (q1 ) = h(m1 − q1 m2 )

= 0, 1((1, 5 × 10−5 ) − (0, 14814 × 10−5 )(0, 25))

= 0, 14630 × 10−5

5.2. METODE RUNGE KUTTA

71

lalu menghitung k2 k2 = hf (q1 +

k1 ) 2

= h[(m1 − (q1 +

k1 )m2 )] 2

= 0, 1[(1, 5 × 10−5 − ((0, 14814 × 10−5 ) +

0, 14630 × 10−5 )(0, 25)] 2

= 0, 14447 × 10−5 dilanjutkan dengan k3 k3 = hf (q1 +

k2 ) 2

= h[(m1 − (q1 +

k2 )m2 )] 2

= 0, 1[(1, 5 × 10−5 − ((0, 14814 × 10−5 ) +

0, 14447 × 10−5 )(0, 25)] 2

= 0, 14449 × 10−5 kemudian k4 k4 = hf (q1 + k3 ) = h[(m1 − (q1 + k3 )m2 )]

= 0, 1[(1, 5 × 10−5 − ((0, 14814 × 10−5 ) + 0, 14449 × 10−5 )(0, 25)] = 0, 14268 × 10−5

akhirnya diperoleh q2 1 (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ) 6 1 = 0, 14814 × 10−5 + (0, 14630 + 2(0, 14447) + 2(0, 14449) + 0, 14268) × 10−5 6 = 0, 29262 × 10−5

q2 = q1 +

Dengan cara yang sama, q3 , q4 , q5 dan seterusnya dapat dihitung. Berikut ini adalah script dalam matlab yang dipakai untuk menghitung q 1 2

clear all clc

3 4

format long

5 6 7 8 9 10 11 12

b=1; % batas akhir interval a=0; % batas awal interval h=0.1; % interval waktu N=(b-a)/h; % nilai step-size q0=0.0; % muatan mula-mula t0=0.0; % waktu awal

BAB 5. DIFERENSIAL NUMERIK

72 13 14 15 16

% perubahan t sesuai step-size h adalah: for i=1:N t(i)=a+(i*h); end

17 18 19 20 21 22 23

% solusinya: k1=h*futur(q0); k2=h*futur(q0+k1/2); k3=h*futur(q0+k2/2); k4=h*futur(q0+k3); q(1)=q0+1/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);

24 25 26 27 28 29 30 31 32 33

for i=2:N k=i-1; k1=h*futur(q(k)); k2=h*futur(q(k)+k1/2); k3=h*futur(q(k)+k2/2); k4=h*futur(q(k)+k3); q(i)=q(k)+1/6*(k1+2*k2+2*k3+k4); end q

Adapun script fungsi turunannya (futur.m) adalah sebagai berikut: 1 2 3 4 5 6 7

function y=futur(q) E=12; % tegangan (volt) R=800000; % hambatan (ohm) C=5e-6; % kapasitansi (farad) m1=E/R; m2=1/(R*C); y=m1-(m2*q);

Tabel 5.3: Perbandingan antara hasil perhitungan numerik lewat metode Runge Kutta dan hasil perhitungan dari solusi exact, yaitu persamaan (5.16) i ti qi qexact = q(ti ) |qi − qexact | −5 0 0,0 0,00000×10 0,00000×10−5 0,00000 −5 −5 1 0,1 0,14814×10 0,14814×10 0,00000 2 0,2 0,29262×10−5 0,29262×10−5 0,00000 3 0,3 0,43354×10−5 0,43354×10−5 0,00000 −5 −5 4 0,4 0,57098×10 0,57098×10 0,00000 5 0,5 0,70502×10−5 0,70502×10−5 0,00000 6 0,6 0,83575×10−5 0,83575×10−5 0,00000 7 0,7 0,96326×10−5 0,96326×10−5 0,00000 8 0,8 1,0876×10−5 1,0876×10−5 0,00000 −5 −5 9 0,9 1,2089×10 1,2089×10 0,00000 10 1,0 1,3272×10−5 1,3272×10−5 0,00000 Luar biasa!! Tak ada error sama sekali. Mungkin, kalau kita buat 7 angka dibelakang koma,

error nya akan terlihat. Tapi kalau anda cukup puas dengan 5 angka dibelakang koma, hasil ini sangat memuaskan. Gambar 5.5 memperlihatkan kurva penumpukan muatan q terhadap waktu t – dengan batas atas interval waktu dinaikkan hingga 20 –.

5.3. LATIHAN I

73 −5

6

x 10

4

2

0

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Gambar 5.5: Kurva pengisian muatan q (charging) terhadap waktu t Sampai disini mudah-mudahan jelas dan bisa dimengerti. Silakan anda coba untuk kasus yang lain, misalnya proses pembuangan (discharging ) q pada rangkaian yang sama, atau bisa juga anda berlatih dengan rangkaian RL dan RLC. Saya akhiri dulu uraian saya sampai disini.

5.3

Latihan I

1. Sebuah benda bersuhu 50o F diletakkan di dalam ruangan bersuhu 100o F. Laju perubahan suhu terhadap waktu diformulasikan oleh hukum Newton sebagai berikut dT = k(Tr − Tb ) dt dimana Tr = suhu ruang; Tb = suhu benda yang berubah-ubah dan k = konstanta bernilai 0,045. (a) Buatlah kurva peningkatan suhu benda terhadap waktu berdasarkan analisis numerik menggunakan medote Runge-kutta orde-4. Parameter waktu divariasikan mulai dari 0 menit hingga 20 menit. (b) Berapakah suhu benda setelah 5 menit? Berapakah suhu benda setelah 20 menit?. 2. Peluruhan zat radioaktif diformulasikan sebagai dN − kN = 0 dt

BAB 5. DIFERENSIAL NUMERIK

74

dimana N = massa zat radioaktif pada waktu tertentu; k = konstanta bernilai peluruhan. Jika mula-mula adalah 50 miligram dan k = -0,053, (a) Buatlah kurva peluruhan zat radioaktif terhadap waktu berdasarkan analisis numerik menggunakan medote Runge-kutta orde-4. Parameter waktu divariasikan mulai dari 0 jam hingga 20 jam. (b) Berapakah masa zat radioaktif setelah 4 jam? Berapakah masa zat radioaktif setelah 15 jam?

5.4. METODE FINITE DIFFERENCE

75

Gambar 5.6: Kurva suatu fungsi f (x) yang dibagi sama besar berjarak h. Evaluasi kurva yang dilakukan Finite-Difference dimulai dari batas bawah X0 = a hingga batas atas x6 = b

5.4

Metode Finite Difference

Suatu persamaan diferensial dapat dinyatakan sebagai berikut: d2 y dy (x) = p(x) (x) + q(x)y(x) + r(x), dx2 dx

a ≤ x ≤ b,

y(a) = α,

y(b) = β

(5.17)

atau juga dapat dituliskan dalam bentuk lain y ′′ = p(x)y ′ + q(x)y + r(x)

(5.18)

Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan melakukan pendekatan numerik terhadap y ′′ dan y ′ . Caranya adalah pertama, kita memilih angka integer sembarang yaitu N dimana N > 0 dan membagi interval [a, b] dengan (N + 1), hasilnya dinamakan h (lihat Gambar 5.6) h=

b−a N +1

(5.19)

Dengan demikian maka titik-titik x yang merupakan sub-interval antara a dan b dapat dinyatakan sebagai xi = a + ih,

i = 0, 1, ..., N + 1

(5.20)

Pencarian solusi persamaan diferensial melalui pendekatan numerik dilakukan dengan memanfaatkan polinomial Taylor untuk mengevaluasi y ′′ dan y ′ pada xi+1 dan xi−1 seperti berikut ini y(xi+1 ) = y(xi + h) = y(xi ) + hy ′ (xi ) +

h2 ′′ y (xi ) 2

(5.21)

y(xi−1 ) = y(xi − h) = y(xi ) − hy ′ (xi ) +

h2 ′′ y (xi ) 2

(5.22)

dan

BAB 5. DIFERENSIAL NUMERIK

76 Jika kedua persamaan ini dijumlahkan

y(xi+1 ) + y(xi−1 ) = 2y(xi ) + h2 y ′′ (xi ) Dari sini y ′′ dapat ditentukan h2 y ′′ (xi ) = y(xi+1 ) − 2y(xi ) + y(xi−1 ) y ′′ (xi ) =

y(xi+1 ) − 2y(xi ) + y(xi−1 ) h2

(5.23)

Dengan cara yang sama, y ′ (xi ) dapat dicari sebagai berikut y ′ (xi ) =

y(xi+1 ) − y(xi−1 ) 2h

(5.24)

Selanjutnya persamaan (5.23) dan (5.24) disubstitusikan ke persamaan (5.18) maka y(xi+1 ) − y(xi−1 ) y(xi+1 ) − 2y(xi ) + y(xi−1 ) = p(xi ) + q(xi )y(xi ) + r(xi ) 2 h 2h −y(xi+1 ) + 2y(xi ) − y(xi−1 ) y(xi+1 ) − y(xi−1 ) = −p(xi ) − q(xi )y(xi ) − r(xi ) h2 2h −y(xi+1 ) + 2y(xi ) − y(xi−1 ) y(xi+1 ) − y(xi−1 ) + p(xi ) + q(xi )y(xi ) = −r(xi ) h2 2h

Sebelum dilanjut, saya nyatakan bahwa y(xi+1 )=wi+1 dan y(xi )=wi serta y(xi−1 )=wi−1 . Maka persamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut 

−wi+1 + 2wi − wi−1 h2



+ p(xi )



wi+1 − wi−1 2h



+ q(xi )wi = −r(xi )

h p(xi ) (wi+1 − wi−1 ) + h2 q(xi )wi 2 h h −wi+1 + 2wi − wi−1 + p(xi )wi+1 − p(xi )wi−1 + h2 q(xi )wi 2 2 h h 2 −wi−1 − p(xi )wi−1 + 2wi + h q(xi )wi − wi+1 + p(xi )wi+1 2 2    
h h − 1 + p(xi ) wi−1 + 2 + h2 q(xi ) wi − (1 − p(xi ) wi+1 2 2 (−wi+1 + 2wi − wi−1 ) +

= −h2 r(xi ) = −h2 r(xi ) = −h2 r(xi ) = −h2 r(xi )

(5.25)

dimana i=1,2,3...sampai N, karena yang ingin kita cari adalah w1 , w2 , w3 ,..., wN . Sementara, satu hal yang tak boleh dilupakan yaitu w0 dan wN +1 biasanya selalu sudah diketahui. Pada persamaan (5.17), jelas-jelas sudah diketahui bahwa w0 =α dan wN +1 =β; keduanya dikenal sebagai syarat batas atau istilah asingnya adalah boundary value. Topik yang sedang bahas ini juga sering disebut sebagai Masalah Syarat Batas atau Boundary Value Problem. Sampai disini kita mendapatkan sistem persamaan linear yang selanjutnya dapat dinyatakan sebagai bentuk operasi matrik Aw = b

(5.26)

5.4. METODE FINITE DIFFERENCE

77

dimana A adalah matrik tridiagonal dengan orde N × N 2 + h2 q(x1 ) −1 − h2 p(x2 )  0   0   ...  ... 0

 A

=

−1 + h p(x1 ) 2 2 + h2 q(x2 ) p(x3 ) −1 − h 2 0 ... ... ...



w1

0 −1 + h p(x2 ) 2 2 + h2 q(x3 ) p(x4 ) −1 − h 2 ... ... ...



   w2     w   3     w=  w4   ..   .    w   N −1  wN 5.4.1 Script Finite-Difference 1 2

... 0 −1 + h p(x3 ) 2 2 + h2 q(x4 ) ... ... ...



... ... 0 −1 + h p(x4 ) 2 ... −1 − h p(xN −1 ) 2 ...


−h2 r(x1 ) + 1 + h2 p(x1 ) w0

5 6 7 8 9

clear all clc a=1.0; %ganti angkanya sesuai data yang anda miliki b=2.0; %ganti angkanya sesuai data yang anda miliki n=9; %ganti angkanya sesuai data yang anda miliki h=(b-a)/(n+1); alpha=1; %ganti angkanya sesuai data yang anda miliki beta=2; %ganti angkanya sesuai data yang anda miliki

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27



    −h2 r(x2 )     2 −h r(x3 )     2  −h r(x4 ) b=     ..   .     2 −h r(x ) N −1  
−h2 r(xN ) + 1 − h2 p(xN ) wN +1

3 4

... ... ... 0 ... 2 + h2 q(xN −1 ) −1 − h p(xN ) 2

%====== Mencari Elemen Matrik A ======== for i=1:n x=a+i*h; A(i,i)=2+h^2*fungsiQ(x); end for i=1:n-1 x=a+i*h; A(i,i+1)=-1+((h/2)*fungsiP(x)); end for i=2:n x=a+i*h; A(i,i-1)=-1-((h/2)*fungsiP(x)); end A %====== Mencari Elemen Vektor b ======== x=a+h; b(1,1)=-h^2*fungsiR(x)+(1+((h/2)*fungsiP(x)))*alpha;



0 0   0   0   ...  −1 + h p(x ) N −1 2 2 2 + h q(xN )

BAB 5. DIFERENSIAL NUMERIK

78 28 29 30 31 32 33 34

for i=2:8 x=a+i*h; b(i,1)=-h^2*fungsiR(x); end xn=a+n*h b(n,1)=-h^2*fungsiR(xn)+(1-((h/2)*fungsiP(xn)))*beta; b

Pada akhirnya, elemen-elemen matrik A dan vektor b sudah diketahui. Sehingga vektor w dapat dihitung dengan berbagai metode pemecahan sistem persamaan linear, seperti Eliminasi Gauss, Gauss-Jourdan, Iterasi Jacobi dan Iterasi Gauss-Seidel. Contoh Diketahui persamaan diferensial seperti berikut ini 2 sin(ln x) 2 , y ′′ = − y ′ + 2 y + x x x2 memiliki solusi exact y = c1 x + dimana c2 =

1 ≤ x ≤ 2,

y(1) = 1,

y(2) = 2

c2 3 1 − sin(ln x) − cos(ln x), 2 x 10 10

1 [8 − 12 sin(ln 2) − 4 cos(ln 2)] ≈ −0, 03920701320 70

dan c1 =

11 − c2 ≈ 1, 1392070132. 10

Dengan metode Finite-Difference, solusi pendekatan dapat diperoleh dengan membagi interval 1 ≤ x ≤ 2 menjadi sub-interval, misalnya kita gunakan N = 9, sehingga spasi h diperoleh h=

b−a 2−1 = = 0, 1 N +1 9+1

Dari persamaan diferensial tersebut juga didapat p(xi ) = − q(xi ) = r(xi ) =

2 xi

2 x2i sin(ln xi ) x2i

Script matlab telah dibuat untuk menyelesaikan contoh soal ini. Untuk memecahkan persoalan ini, saya membuat 4 buah script, terdiri dari script utama, script fungsiP, script fungsiQ dan script fungsiR. Berikut ini adalah script fungsiP yang disimpan dengan nama file fungsiP.m: 1 2

function y = fungsiP(x) y = -2/x;

5.4. METODE FINITE DIFFERENCE

lalu inilah script fungsiQ yang disimpan dengan nama file fungsiQ.m: 1 2

function y = fungsiQ(x) y = 2/x^2;

kemudian ini script fungsiR yang disimpan dengan nama file fungsiR.m:: 1 2

function y = fungsiR(x) y = sin(log(x))/x^2;

dan terakhir, inilah script utamanya: 1 2

clear all clc

3 4 5

a=1.0; b=2.0;

6 7 8

alpha=1; beta=2;

9 10 11 12

%=======jika diketahui n, maka h dihitung ==== n=9; h=(b-a)/(n+1);

13 14 15 16

%=======jika diketahui h, maka n dihitung ==== %h=0.1; %n=((b-a)/h)-1;

17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

%====== Mencari Elemen Matrik A ======== for i=1:n x=a+i*h; A(i,i)=2+h^2*fungsiQ(x); end for i=1:n-1 x=a+i*h; A(i,i+1)=-1+((h/2)*fungsiP(x)); end for i=2:n x=a+i*h; A(i,i-1)=-1-((h/2)*fungsiP(x)); end A %====== Mencari Elemen Vektor b ========

79

80 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46

BAB 5. DIFERENSIAL NUMERIK

x=a+h; b(1,1)=-h^2*fungsiR(x)+(1+((h/2)*fungsiP(x)))*alpha; for i=2:8 x=a+i*h; b(i,1)=-h^2*fungsiR(x); end xn=a+n*h b(n,1)=-h^2*fungsiR(xn)+(1-((h/2)*fungsiP(xn)))*beta; b %====== Menggabungkan Vektor b kedalam matrik A ======== for i=1:n A(i,n+1)=b(i,1); end A

47 48 49 50

%&&&&&& Proses Eliminasi Gauss &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& %---------Proses Triangularisasi----------for j=1:(n-1)

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

%----mulai proses pivot--if (A(j,j)==0) for p=1:n+1 u=A(j,p); v=A(j+1,p); A(j+1,p)=u; A(j,p)=v; end end %----akhir proses pivot--jj=j+1; for i=jj:n m=A(i,j)/A(j,j); for k=1:(n+1) A(i,k)=A(i,k)-(m*A(j,k)); end end end %-------------------------------------------

71 72 73

%------Proses Substitusi mundur------------x(n,1)=A(n,n+1)/A(n,n);

74 75 76 77 78 79

for i=n-1:-1:1 S=0; for j=n:-1:i+1 S=S+A(i,j)*x(j,1); end

5.4. METODE FINITE DIFFERENCE 80 81 82

81

x(i,1)=(A(i,n+1)-S)/A(i,i); end %&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

83 84 85

%===== Menampilkan Vektor w ================= w=x

Tabel berikut ini memperlihatkan hasil perhitungan dengan pendekatan metode Finite-Difference wi dan hasil perhitungan dari solusi exact y(xi ), dilengkapi dengan selisih antara keduanya |wi − y(xi )|. Tabel ini memperlihatkan tingkat kesalahan (error) berada pada orde 10−5 . Unxi 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0

wi 1,00000000 1,09260052 1,18704313 1,28333687 1,38140205 1,48112026 1,58235990 1,68498902 1,78888175 1,89392110 2,00000000

y(xi ) 1,00000000 1,09262930 1,18708484 1,28338236 1,38144595 1,48115942 1,58239246 1,68501396 1,78889853 1,89392951 2,00000000

|wi − y(xi )| 2,88 × 10−5 4,17 × 10−5 4,55 × 10−5 4,39 × 10−5 3,92 × 10−5 3,26 × 10−5 2,49 × 10−5 1,68 × 10−5 8,41 × 10−6

tuk memperkecil orde kesalahan, kita bisa menggunakan polinomial Taylor berorde tinggi. Akan tetapi proses kalkulasi menjadi semakin banyak dan disisi lain penentuan syarat batas lebih kompleks dibandingkan dengan pemanfaatan polinomial Taylor yang sekarang. Untuk menghindari hal-hal yang rumit itu, salah satu jalan pintas yang cukup efektif adalah dengan menerapkan ekstrapolasi Richardson. Contoh Pemanfaatan ekstrapolasi Richardson pada metode Finite Difference untuk persamaan diferensial seperti berikut ini 2 sin(ln x) 2 , y ′′ = − y ′ + 2 y + x x x2

1 ≤ x ≤ 2,

y(1) = 1,

y(2) = 2,

dengan h = 0, 1, h = 0, 05, h = 0, 025. Ekstrapolasi Richardson terdiri atas 3 tahapan, yaitu ekstrapolasi yang pertama Ext1i =

4wi (h = 0, 05) − wi (h = 0, 1) 3

kemudian ekstrapolasi yang kedua Ext2i =

4wi (h = 0, 025) − wi (h = 0, 05) 3

BAB 5. DIFERENSIAL NUMERIK

82 dan terakhir ekstrapolasi yang ketiga Ext3i =

16Ext2i − Ext1i 15

Tabel berikut ini memperlihatkan hasil perhitungan tahapan-tahapan ekstrapolasi tersebut. Jika seluruh angka di belakang koma diikut-sertakan, maka akan terlihat selisih antara solusi exact dengan solusi pendekatan sebesar 6, 3 × 10−11 . Ini benar-benar improvisasi yang luar

biasa. xi 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0

wi (h = 0, 1) 1,00000000 1,09260052 1,18704313 1,28333687 1,38140205 1,48112026 1,58235990 1,68498902 1,78888175 1,89392110 2,00000000

wi (h = 0, 05) 1,00000000 1,09262207 1,18707436 1,28337094 1,38143493 1,48114959 1,58238429 1,68500770 1,78889432 1,89392740 2,00000000

wi (h = 0, 025) 1,00000000 1,09262749 1,18708222 1,28337950 1,38144319 1,48115696 1,58239042 1,68501240 1,78889748 1,89392898 2,00000000

Ext1i 1,00000000 1,09262925 1,18708477 1,28338230 1,38144598 1,48115937 1,58239242 1,68501393 1,78889852 1,89392950 2,00000000

Ext2i 1,00000000 1,09262930 1,18708484 1,28338236 1,38144595 1,48115941 1,58239246 1,68501396 1,78889853 1,89392951 2,00000000

Ext3i 1,00000000 1,09262930 1,18708484 1,28338236 1,38144595 1,48115942 1,58239246 1,68501396 1,78889853 1,89392951 2,00000000

5.4.2 Aplikasi Besar simpangan terhadap waktu (y(t)) suatu sistem osilator mekanik yang padanya diberikan gaya secara periodik (forced-oscilations) memenuhi persamaan diferensial seperti dibawah ini berikut syarat-syarat batasnya dy d2 y = + 2y + cos(t), 2 dt dt

0≤t≤

π , 2

y(0) = −0, 3,

π y( ) = −0, 1 2

Dengan metode Finite-Difference, tentukanlah besar masing-masing simpangan di setiap interval h = π/8. Buatlah table untuk membandingkan hasil finite-difference dengan solusi analitik 1 [sin(t) + 3cos(t)]. yang memenuhi y(t) = − 10

jawab: Secara umum, persamaan diferensial dapat dinyatakan sbb: d2 y dy (x) = p(x) (x) + q(x)y(x) + r(x), dx2 dx

a ≤ x ≤ b,

y(a) = α,

y(b) = β

Dengan membandingkan kedua persamaan di atas, kita bisa definisikan p(t) = 1

q(t) = 2

r(t) = cos(t)

a=0

b=

π 2

α = −0, 3

β = −0, 1

5.5. LATIHAN II

83

Adapun persamaan finite-difference adalah    
h h 2 − 1 + p(xi ) wi−1 + 2 + h q(xi ) wi − (1 − p(xi ) wi+1 = −h2 r(xi ) 2 2 Persamaan diatas dikonversi kedalam operasi matriks Aw = b

(5.27)

dimana A adalah matrik tridiagonal dengan orde N × N 2 + h2 q(x1 ) −1 − h2 p(x2 )  0   0   ...  ... 0

 A

=

p(x1 ) −1 + h 2 2 + h2 q(x2 ) −1 − h p(x3 ) 2 0 ... ... ...



w1

0 −1 + h p(x2 ) 2 2 + h2 q(x3 ) −1 − h p(x4 ) 2 ... ... ...



   w2     w   3     w=  w4   ..   .    w   N −1  wN

... 0 −1 + h p(x3 ) 2 2 + h2 q(x4 ) ... ... ...



... ... 0 −1 + h p(x4 ) 2 ... −1 − h p(xN −1 ) 2 ...

... ... ... 0 ... 2 + h2 q(xN −1 ) p(xN ) −1 − h 2


−h2 r(x1 ) + 1 + h2 p(x1 ) w0



0 0   0   0   ...  −1 + h p(x ) N −1 2 2 + h2 q(xN )



    −h2 r(x2 )     −h2 r(x3 )     2  −h r(x4 ) b=     ..   .     2 −h r(x ) N −1  
−h2 r(xN ) + 1 − h2 p(xN ) wN +1

Jumlah baris matrik ditentukan oleh bilangan n. Namun disoal hanya tersedia informasi nilai h = π/8, sehingga n harus dihitung terlebih dahulu: h=

b−a n+1

n=

π −0 b−a −1= 2 −1=3 h π/8

perhitungan ini dilakukan didalam script matlab. Selanjutnya seluruh elemen matrik A dan vektor b dihitung dengan matlab 

2, 3084

−0, 8037

0



w1





−0, 5014



      −1, 1963 2, 3084 −0, 8037   w2  =  −0, 1090  0 −1, 1963 2, 3084 w3 −0, 1394 Proses diteruskan dengan metode Eliminasi Gauss dan didapat hasil akhir berikut ini w1 = −0.3157

5.5 1.

Latihan II

w2 = −0.2829

w3 = −0.2070

BAB 5. DIFERENSIAL NUMERIK

84

5.6

Persamaan Diferensial Parsial

Dalam sub-bab ini, penulisan ’persamaan diferensial parsial’ akan dipersingkat menjadi PDP. PDP dapat dibagi menjadi 3 jenis, yaitu persamaan diferensial eliptik, parabolik dan hiperbolik. PDP eliptik dinyatakan sebagai berikut ∂2u ∂2u (x, y) + (x, y) = f (x, y) ∂x2 ∂y 2

(5.28)

Di bidang fisika, persamaan (5.28) dikenal sebagai Persamaan Poisson. Jika f (x, y)=0, maka diperoleh persamaan yang lebih sederhana ∂2u ∂2u (x, y) + (x, y) = 0 ∂x2 ∂y 2

(5.29)

yang biasa disebut sebagai Persamaan Laplace. Contoh masalah PDP eliptik di bidang fisika adalah distribusi panas pada kondisi steady-state pada obyek 2-dimensi dan 3-dimensi. Jenis PDP kedua adalah PDP parabolik yang dinyatakan sebagai berikut ∂u ∂2u (x, t) − α2 2 (x, t) = 0 ∂t ∂x

(5.30)

Fenomena fisis yang bisa dijelaskan oleh persamaan ini adalah masalah aliran panas pada suatu obyek dalam fungsi waktu t. Terakhir, PDP ketiga adalah PDP hiperbolik yang dinyatakan sebagai berikut α2

∂2u ∂2u (x, t) = (x, t) ∂2x ∂t2

(5.31)

biasa digunakan untuk menjelaskan fenomena gelombang. Sekarang, mari kita bahas lebih dalam satu-persatu, difokuskan pada bagaimana cara menyatakan semua PDP di atas dalam formulasi Finite-Difference.

5.7

PDP eliptik

Kita mulai dari persamaan aslinya ∂2u ∂2u (x, y) + (x, y) = f (x, y) ∂x2 ∂y 2

(5.32)

dimana R = [(x, y)|a < x < b, c < y < d]. Maksudnya, variasi titik-titik x berada di antara a dan b. Demikian pula dengan variasi titik-titik y, dibatasi mulai dari c sampai d (lihat Gambar 5.7). Jika h adalah jarak interval antar titik yang saling bersebelahan pada titik-titik dalam rentang horizontal a dan b, maka titik-titik variasi di antara a dan b dapat diketahui melalui rumus ini xi = a + ih,

dimana i = 1, 2, . . . , n

(5.33)

5.7. PDP ELIPTIK

85

mesh points

d

......

ym

grid lines

y2 k

y1 c a

x1

x2

...

xn

b

h Gambar 5.7: Skema grid lines dan mesh points pada aplikasi metode Finite-Difference

dimana a adalah titik awal pada sumbu horisontal x. Demikian pula pada sumbu y. Jika k adalah jarak interval antar titik yang bersebelahan pada titik-titik dalam rentang vertikal c dan d, maka titik-titik variasi di antara c dan d dapat diketahui melalui rumus ini yj = c + jk,

dimana j = 1, 2, . . . , m

(5.34)

dimana c adalah titik awal pada sumbu vertikal y. Perhatikan Gambar 5.7, garis-garis yang sejajar sumbu horisontal, y = yi dan garis-garis yang sejajar sumbu vertikal, x = xi disebut grid lines. Sementara titik-titik perpotongan antara garis-garis horisontal dan vertikal dinamakan mesh points. Turunan kedua sebagaimana yang ada pada persamaan (5.32) dapat dinyatakan dalam rumus centered-difference sebagai berikut u(xi+1 , yj ) − 2u(xi , yj ) + u(xi−1 , yj ) h2 ∂ 4 u ∂2u (x , y ) = − (ξi , yj ) i j ∂x2 h2 12 ∂x4

(5.35)

u(xi , yj+1 ) − 2u(xi , yj ) + u(xi , yj−1 ) k 2 ∂ 4 u ∂2u (x , y ) = − (xi , ηj ) i j ∂y 2 k2 12 ∂y 4

(5.36)

Metode Finite-Difference biasanya mengabaikan suku yang terakhir, sehingga cukup dinyatakan sebagai u(xi+1 , yj ) − 2u(xi , yj ) + u(xi−1 , yj ) ∂2u (xi , yj ) = 2 ∂x h2

(5.37)

u(xi , yj+1 ) − 2u(xi , yj ) + u(xi , yj−1 ) ∂2u (xi , yj ) = 2 ∂y k2

(5.38)

Pengabaian suku terakhir otomatis menimbulkan error yang dinamakan truncation error. Jadi, ketika suatu persamaan diferensial diolah secara numerik dengan metode Finite-Difference,

BAB 5. DIFERENSIAL NUMERIK

86

maka solusinya pasti meleset alias keliru "sedikit", dikarenakan adanya truncation error tersebut. Akan tetapi, nilai error tersebut dapat ditolerir hingga batas-batas tertentu yang uraiannya akan dikupas pada bagian akhir bab ini. Ok. Mari kita lanjutkan! Sekarang persamaan (5.37) dan (5.38) disubstitusi ke persamaan (5.32), hasilnya adalah u(xi+1 , yj ) − 2u(xi , yj ) + u(xi−1 , yj ) u(xi , yj+1 ) − 2u(xi , yj ) + u(xi , yj−1 ) + = f (xi , yj ) (5.39) h2 k2 dimana i = 1, 2, ..., n − 1 dan j = 1, 2, ..., m − 1 dengan syarat batas sebagai berikut u(x0 , yj ) = g(x0 , yj )

u(xn , yj ) = g(xn , yj )

u(xi , y0 ) = g(xi , y0 )

u(xi , ym ) = g(xi , ym )

Pengertian syarat batas disini adalah bagian tepi atau bagian pinggir dari susunan mesh points. Pada metode Finite-Difference, persamaan (5.39) dinyatakan dalam notasi w, sebagai berikut wi+1,j − 2wi,j + wi−1,j wi,j+1 − 2wi,j + wi,j−1 + h2 k2 h2 wi+1,j − 2wi,j + wi−1,j + 2 (wi,j+1 − 2wi,j + wi,j−1 ) k 2 h h2 h2 wi+1,j − 2wi,j + wi−1,j + 2 wi,j+1 − 2 2 wi,j + 2 wi,j−1 k k k 2 2 h h −2[1 + 2 ]wi,j + (wi+1,j + wi−1,j ) + 2 (wi,j+1 + wi,j−1 ) k k 2 h2 h 2[1 + 2 ]wi,j − (wi+1,j + wi−1,j ) − 2 (wi,j+1 + wi,j−1 ) k k

= f (xi , yj ) = h2 f (xi , yj ) = h2 f (xi , yj ) = h2 f (xi , yj ) = −h2 f (xi , yj )

(5.40)

dimana i = 1, 2, ..., n − 1 dan j = 1, 2, ..., m − 1, dengan syarat batas sebagai berikut w0,j = g(x0 , yj )

wn,j = g(xn , yj )

j = 0, 1, ..., m − 1;

wi,0 = g(xi , y0 )

wi,m = g(xi , ym )

i = 1, 2, ..., n − 1.

Persamaan (5.40) adalah rumusan akhir metode Finite-Difference untuk PDP Eliptik.

5.7.1 Contoh pertama

Misalnya kita diminta mensimulasikan distribusi panas pada lempengan logam berukuran 0, 5 m x 0, 5 m. Temperatur pada 2 sisi tepi lempengan logam dijaga pada 0◦ C, sementara pada 2 sisi tepi lempengan logam yang lain, temperaturnya diatur meningkat secara linear dari 0◦ C hingga 100◦ C. Problem ini memenuhi PDP Eliptik: ∂2u ∂2u (x, y) + (x, y) = 0; ∂x2 ∂y 2

0 < x < 0, 5,

0 < y < 0, 5

5.7. PDP ELIPTIK

87 Y

U(0,y)=0

W0,3 W0,2 W0,1

W2,4

W1,4

W3,4

W1,3

W2,3

W3,3

W1,2

W2,2

W3,2

W1,1

W2,1

W3,1

W2,0

W1,0

W3,0

W4,3 W4,2 W4,1

0.5

U(0.5,y)=200y

0.5

U(x,0.5)=200x

X

U(x,0)=0 Gambar 5.8: Susunan grid lines dan mesh points untuk mensimulasikan distribusi temperatur pada lempeng logam sesuai contoh satu

dengan syarat-syarat batas u(0, y) = 0,

u(x, 0) = 0,

u(x, 0.5) = 200x,

u(0.5, y) = 200y

Jika n = m = 4 sedangkan ukuran lempeng logam adalah 0, 5 m x 0, 5 m, maka h=

0, 5 = 0, 125 4

k=

0, 5 = 0, 125 4

Grid lines berikut mesh points dibuat berdasarkan nilai h dan k tersebut (lihat Gambar 5.8). Langkah berikutnya adalah menyusun persamaan Finite-Difference, dimulai dari persamaan asalnya (persamaan 5.40) 2[1 +

h2 h2 ]w − (w + w ) − (wi,j+1 + wi,j−1 ) = −h2 f (xi , yj ) i,j i+1,j i−1,j k2 k2

Karena h = k = 0, 125 dan f (xi , yj ) = 0, maka 4wi,j − wi+1,j − wi−1,j − wi,j−1 − wi,j+1 = 0

(5.41)

Disisi lain, karena n = 4, maka nilai i yang bervariasi i = 1, 2, ..., n − 1 akan menjadi i =

1, 2, 3. Demikian hal-nya dengan j, karena m = 4, maka variasi j = 1, 2, ..., m − 1 atau j =

1, 2, 3. Dengan menerapkan persamaan (5.41) pada setiap mesh point yang belum diketahui

BAB 5. DIFERENSIAL NUMERIK

88 temperaturnya, diperoleh

4w1,3 − w2,3 − w1,2 = w0,3 + w1,4 4w2,3 − w3,3 − w2,2 − w1,3 = w2,4 4w3,3 − w3,2 − w2,3 = w4,3 + w3,4 4w1,2 − w2,2 − w1,1 − w1,3 = w0,2 4w2,2 − w3,2 − w2,1 − w1,2 − w2,3 = 0 4w3,2 − w3,1 − w2,2 − w3,3 = w4,2 4w1,1 − w2,1 − w1,2 = w0,1 + w1,0 4w2,1 − w3,1 − w1,1 − w2,2 = w2,0 4w3,1 − w2,1 − w3,2 = w3,0 + w4,1 Semua notasi w yang berada diruas kanan tanda sama-dengan sudah ditentukan nilainya berdasarkan syarat batas, yaitu w1,0 = w2,0 = w3,0 = w0,1 = w0,2 = w0,3 = 0, w1,4 = w4,1 = 25,

w2,4 = w4,2 = 50,

dan

w3,4 = w4,3 = 75 Dengan memasukkan syarat batas tersebut ke dalam sistem persamaan linear, maka 4w1,3 − w2,3 − w1,2 = 25 4w2,3 − w3,3 − w2,2 − w1,3 = 50 4w3,3 − w3,2 − w2,3 = 150 4w1,2 − w2,2 − w1,1 − w1,3 = 0 4w2,2 − w3,2 − w2,1 − w1,2 − w2,3 = 0 4w3,2 − w3,1 − w2,2 − w3,3 = 50 4w1,1 − w2,1 − w1,2 = 0 4w2,1 − w3,1 − w1,1 − w2,2 = 0 4w3,1 − w2,1 − w3,2 = 25

5.7. PDP ELIPTIK

89

Kemudian dijadikan operasi perkalian matrik                  

4 −1

−1 4

0 −1

−1 0

0

0

0

0

−1

0

0

0

0



 0    0 −1 4 0 0 −1 0 0 0    −1 0 0 4 −1 0 −1 0 0    0 −1 0 −1 4 −1 0 −1 0    0 0 −1 0 −1 4 0 0 −1     0 0 0 −1 0 0 4 −1 0    0 0 0 0 −1 0 −1 4 −1   0 0 0 0 0 −1 0 −1 4

w1,3





  w2,3      w3,3      w1,2      w2,2  =   w3,2      w1,1      w2,1   w3,1

25



 50   150    0   0    50   0    0  25

Mari kita perhatikan sejenak susunan elemen-elemen angka pada matrik berukuran 9x9 di atas. Terlihat jelas pada elemen diagonal selalu berisi angka 4. Ini sama sekali bukan ketidaksengajaan. Melainkan susunan itu sengaja direkayasa sedemikian rupa sehingga elemen-elemen tridiagonal terisi penuh oleh angka bukan 0 dan pada diagonal utamanya diletakkan angka yang terbesar. Metode Eliminasi Gauss dan Iterasi Gauss-Seidel telah diaplikasikan untuk menyelesaikan persamaan matrik di atas. 5.7.2 Script Matlab untuk PDP Elliptik Inilah script Matlab yang dipakai untuk menghitung nila-nilai w menggunakan metode Eliminasi Gauss. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

clear clc n=9; A=[ 4 -1 0 -1 0 0 0 0 0

all

-1 0 -1 0 0 0 0 0; 4 -1 0 -1 0 0 0 0; -1 4 0 0 -1 0 0 0; 0 0 4 -1 0 -1 0 0; -1 0 -1 4 -1 0 -1 0; 0 -1 0 -1 4 0 0 -1; 0 0 -1 0 0 4 -1 0; 0 0 0 -1 0 -1 4 -1; 0 0 0 0 -1 0 -1 4];

13 14

b=[25; 50; 150; 0; 0; 50; 0; 0; 25];

15 16 17 18 19 20 21

%&&&&&& Proses Eliminasi Gauss &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& %====== Menggabungkan Vektor b kedalam matrik A ======== %====== sehingga terbentuk matrik Augmentasi. ======== for i=1:n A(i,n+1)=b(i,1); end

22 23 24

%---------Proses Triangularisasi----------for j=1:(n-1)

25 26 27

%----mulai proses pivot--if (A(j,j)==0)

BAB 5. DIFERENSIAL NUMERIK

90 for p=1:n+1 u=A(j,p); v=A(j+1,p); A(j+1,p)=u; A(j,p)=v; end

28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44

end %----akhir proses pivot--jj=j+1; for i=jj:n m=A(i,j)/A(j,j); for k=1:(n+1) A(i,k)=A(i,k)-(m*A(j,k)); end end end %-------------------------------------------

45 46 47

%------Proses Substitusi mundur------------x(n,1)=A(n,n+1)/A(n,n);

48 49 50 51 52 53 54 55 56

for i=n-1:-1:1 S=0; for j=n:-1:i+1 S=S+A(i,j)*x(j,1); end x(i,1)=(A(i,n+1)-S)/A(i,i); end %&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

57 58 59

%===== Menampilkan Vektor w ================= w=x

Sementara berikut ini adalah script Matlab untuk menghitung nila-nilai w menggunakan metode Iterasi Gauss-Seidel. 1 2

clear all clc

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

n=9; A=[ 4 -1 0 -1 0 0 0 0 0; -1 4 -1 0 -1 0 0 0 0; 0 -1 4 0 0 -1 0 0 0; -1 0 0 4 -1 0 -1 0 0; 0 -1 0 -1 4 -1 0 -1 0; 0 0 -1 0 -1 4 0 0 -1; 0 0 0 -1 0 0 4 -1 0; 0 0 0 0 -1 0 -1 4 -1; 0 0 0 0 0 -1 0 -1 4];

14 15

b=[25; 50; 150; 0; 0; 50; 0; 0; 25];

16 17 18 19 20 21 22

%&&&&&&& ITERASI GAUSS-SEIDEL &&&&&&&&&&&&&&&&&& itermax=100; %iterasi maksimum %----nilai awal----------xl=[0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0]; xb=xl; %----stopping criteria-----------

5.7. PDP ELIPTIK 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63

91

sc=0.001; %----memulai iterasi------------for iterasi=1:itermax smtr1=0; for j=2:n smtr1=smtr1+A(1,j)*xl(j,1); end xb(1,1)=(-smtr1+b(1,1))/A(1,1); %---------------------------------------------for i=2:n-1 smtr2=0; for j=i+1:n smtr2=smtr2-A(i,j)*xl(j,1); end smtr3=0; for k=1:i-1 smtr3=smtr3-A(i,k)*xb(k,1); end xb(i,1)=(smtr3+smtr2+b(i,1))/A(i,i); end %---------------------------------------------smtr4=0; for k=1:n-1 smtr4=smtr4-A(n,k)*xb(k,1); end xb(n,1)=(smtr4+b(n,1))/A(n,n); %------perhitungan norm2 ------------s=0; for i=1:n s=s+(xb(i,1)-xl(i,1))^2; end epsilon=sqrt(s); %------------------------------------xl=xb; %------memeriksa stopping criteria-------if epsilon 0,

dan u(x, 0) = f (x),

0 ≤ x ≤ ℓ,

dimana t dalam dimensi waktu, sementara x berdimensi jarak.

t > 0,

(5.42)

5.8. PDP PARABOLIK

93

5.8.1 Metode Forward-difference Solusi numerik diperoleh menggunakan forward-difference2 dengan langkah-langkah yang hampir mirip seperti yang telah dibahas pada PDP eliptik. Langkah pertama adalah menentukan sebuah angka m > 0, yang dengannya, nilai h ditentukan oleh rumus h = ℓ/m. Langkah kedua adalah menentukan ukuran time-step k dimana k > 0. Adapun mesh points ditentukan oleh (xi , tj ), dimana xi = ih, dengan i = 0, 1, 2, ..., m, dan tj = jk dengan j = 0, 1, .... Berdasarkan deret Taylor, turunan pertama persamaan (5.42) terhadap t, dengan time step k, adalah

u (xi , tj + k) − u (xi , tj ) k ∂ 2 u ∂u (xi , tj ) = − (xi , µj ) ∂t k 2 ∂t2

(5.43)

Namun, sebagaimana pendekatan finite-difference pada umumnya, pendekatan forward-difference selalu mengabaikan suku terakhir, sehingga persamaan di atas ditulis seperti ini u (xi , tj + k) − u (xi , tj ) ∂u (xi , tj ) = ∂t k

(5.44)

Sementara itu, turunan kedua persamaan (5.42) terhadap x berdasarkan deret Taylor adalah u (xi + h, tJ ) − 2u (xi , tj ) + u (xi − h, tJ ) h2 ∂ 4 u ∂2u (x , t ) = − (ξi , tj ) i j ∂x2 h2 12 ∂x4

(5.45)

Pengabaian suku terakhir menjadikan persamaan di atas ditulis kembali sebagai berikut u (xi + h, tj ) − 2u (xi , tj ) + u (xi − h, tj ) ∂2u (xi , tj ) = 2 ∂x h2

(5.46)

Kemudian persamaan (5.44) dan (5.46) disubstitusi kedalam persamaan (5.42), maka diperoleh u (xi + h, tj ) − 2u (xi , tj ) + u (xi − h, tj ) u (xi , tj + k) − u (xi , tj ) = α2 k h2

(5.47)

atau dapat dinyatakan dalam notasi w wi,j+1 − wi,j wi+1,j − 2wi,j + wi−1,j − α2 =0 k h2

(5.48)

Dari sini diperoleh solusi untuk wi,j+1 , yaitu wi,j+1 =



2α2 k 1− 2 h



wi,j + α2

k (wi+1,j + wi−1,j ) h2

(5.49)

jika λ=

α2 k h2

(5.50)

maka (1 − 2λ) wi,j + λwi+1,j + λwi−1,j = wi,j+1 2

(5.51)

Pada Bab ini ada beberapa istilah yang masing-masing menggunakan kata difference, yaitu finite difference, forward difference, centered difference dan backward difference. Setiap istilah punya arti yang berbeda.

BAB 5. DIFERENSIAL NUMERIK

94 5.8.2 Contoh ketiga: One dimensional heat equation

Misalnya diketahui, distribusi panas satu dimensi (1D) sebagai fungsi waktu (t) pada sebatang logam memenuhi persamaan berikut ∂u ∂2u (x, t) − 2 (x, t) = 0, ∂t ∂x

0 < x < 1 0 ≤ t,

dengan syarat batas u(0, t) = u(1, t) = 0,

0 < t,

dan kondisi mula-mula u(x, 0) = sin(πx),

0 ≤ x ≤ 1,

Solusi analitik atas masalah ini adalah 2

u(x, t) = e−π t sin(πx) Adapun sebaran posisi mesh-points dalam 1-D diperlihatkan pada Gambar 5.9. Sementara

h=0.1

Gambar 5.9: Sebatang logam dengan posisi titik-titik simulasi (mesh-points) distribusi temperatur. Jarak antar titik ditentukan sebesar h = 0, 1.

Gambar 5.10 melengkapi Gambar 5.9, dimana perubahan waktu tercatat setiap interval k = 0, 0005. Sepintas Gambar 5.10 terlihat seolah-olah obyek yang mau disimulasikan berbentuk 2-dimensi, padahal bendanya tetap 1-dimensi yaitu hanya sebatang logam.

t 0.0.....

k=0.0005

1 x

0 h=0.1

Gambar 5.10: Interval mesh-points dengan jarak h = 0, 1 dalam interval waktu k = 0, 0005 Selanjutnya, Gambar 5.11 memperlihatkan tepi-tepi syarat batas yaitu angka 0 di ujung kiri dan angka 1 di ujung kanan pada sumbu horisontal x. Diantara batas-batas itu terdapat sebaran titik simulasi berjarak h = 0, 1. Sementara, sumbu vertikal menunjukan perubahan dari waktu ke waktu dengan interval k = 0, 0005. Karena α = 1, h = 0, 1 dan k = 0, 0005 maka

5.8. PDP PARABOLIK

95

t 0.0..... 0.0015 0.0010 0.0005

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1 x

Gambar 5.11: Posisi mesh-points. Arah x menunjukkan posisi titik-titik yang dihitung dengan forwarddifference, sedangkan arah t menunjukkan perubahan waktu yg makin meningkat

λ dapat dihitung dengan persamaan (5.50) λ=

0, 0005 α2 k = = 0, 05 2 h 0, 12

Berdasarkan persamaan (5.51), sistem persamaan linear dapat disusun sebagai berikut 0, 9w1,j + 0, 5w2,j

= w1,j+1 − 0, 5w0,j

0, 9w2,j + 0, 5w3,j + 0, 5w1,j

= w2,j+1

0, 9w3,j + 0, 5w4,j + 0, 5w2,j

= w3,j+1

0, 9w4,j + 0, 5w5,j + 0, 5w3,j

= w4,j+1

0, 9w5,j + 0, 5w6,j + 0, 5w4,j

= w5,j+1

0, 9w6,j + 0, 5w7,j + 0, 5w5,j

= w6,j+1

0, 9w7,j + 0, 5w8,j + 0, 5w6,j

= w7,j+1

0, 9w8,j + 0, 5w9,j + 0, 5w7,j

= w8,j+1

0, 9w9,j + 0, 5w8,j

= w9,j+1 − 0, 5w10,j

Syarat batas menetapkan bahwa w0,j = w10,j = 0. Lalu dinyatakan dalam bentuk operasi matrik                  

0, 9 0, 5

0

0, 5 0, 9 0, 5 0 0 0 0 0 0 0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0



 0    0, 5 0, 9 0, 5 0 0 0 0 0    0 0, 5 0, 9 0, 5 0 0 0 0    0 0 0, 5 0, 9 0, 5 0 0 0    0 0 0 0, 5 0, 9 0, 5 0 0    0 0 0 0 0, 5 0, 9 0, 5 0    0 0 0 0 0 0, 5 0, 9 0, 5   0 0 0 0 0 0 0, 5 0, 9

w1,j





  w2,j      w3,j      w4,j      w5,j  =   w6,j      w7,j      w8,j   w9,j

w1,j+1



 w2,j+1   w3,j+1    w4,j+1   w5,j+1    w6,j+1   w7,j+1    w8,j+1  w9,j+1

(5.52)

BAB 5. DIFERENSIAL NUMERIK

96 Persamaan matriks di atas dapat direpresentasikan sebagai Aw(j) = w(j+1)

(5.53)

Proses perhitungan dimulai dari j = 0. Persamaan matrik menjadi                  

0, 9 0, 5

0

0, 5 0, 9 0, 5 0 0 0 0 0 0 0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0



 0    0, 5 0, 9 0, 5 0 0 0 0 0    0 0, 5 0, 9 0, 5 0 0 0 0    0 0 0, 5 0, 9 0, 5 0 0 0    0 0 0 0, 5 0, 9 0, 5 0 0    0 0 0 0 0, 5 0, 9 0, 5 0    0 0 0 0 0 0, 5 0, 9 0, 5   0 0 0 0 0 0 0, 5 0, 9

w1,0





  w2,0      w3,0      w4,0      w5,0  =   w6,0      w7,0      w8,0   w9,0

w1,1



 w2,1   w3,1    w4,1   w5,1    w6,1   w7,1    w8,1  w9,1

Nilai w1,0 , w2,0 , ..., w9,0 sudah ditentukan oleh kondisi awal, yaitu u(x, 0) = sin πx,

0 ≤ x ≤ 1,

Jika h = 0, 1, maka x1 = h = 0, 1; x2 = 2h = 0, 2; x3 = 3h = 0, 3;....; x9 = 9h = 0, 9. Lalu masing-masing dimasukkan ke sin πx untuk mendapatkan nilai u(x, 0). Kemudian notasi u(x, 0) diganti dengan notasi w yang selanjutnya dinyatakan sebagai berikut: w1,0 = u(x1 , 0) = u(0.1, 0) = sin π(0.1) = 0, 3090. Dengan cara yang sama: w2,0 = 0, 5878; w3,0 = 0, 8090; w4,0 = 0, 9511; w5,0 = 1, 0000; w6,0 = 0, 9511; w7,0 = 0, 8090; w8,0 = 0, 5878; dan w9,0 = 0, 3090. Maka persamaan matriks menjadi                  

0, 9 0, 5

0

0, 5 0, 9 0, 5 0 0 0 0 0 0 0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0



 0    0, 5 0, 9 0, 5 0 0 0 0 0    0 0, 5 0, 9 0, 5 0 0 0 0    0 0 0, 5 0, 9 0, 5 0 0 0    0 0 0 0, 5 0, 9 0, 5 0 0    0 0 0 0 0, 5 0, 9 0, 5 0    0 0 0 0 0 0, 5 0, 9 0, 5   0 0 0 0 0 0 0, 5 0, 9

0, 3090





  0, 5878      0, 8090      0, 9511      1, 0000  =   0, 9511      0, 8090      0, 5878   0, 3090

w1,1



 w2,1   w3,1    w4,1   w5,1    w6,1   w7,1    w8,1  w9,1

Ini hanya perkalian matrik biasa 3 . Hasil perkalian itu adalah: w1,1 = 0, 3075; w2,1 = 0, 5849; w3,1 = 0, 8051; w4,1 = 0, 9464; w5,1 = 0, 9951; w6,1 = 0, 9464; w7,1 = 0, 8051; w8,1 = 0, 5849; dan w9,1 = 0, 3075. Semua angka ini adalah nilai temperatur kawat di masing-masing mesh points setelah selang waktu 0, 0005 detik4 . 3 4

Topik tentang perkalian matrik sudah diulas pada Bab 1 karena step time k-nya sudah ditentukan sebesar 0, 0005

5.8. PDP PARABOLIK

97

Selanjutnya, hasil ini diumpankan lagi ke persamaan matriks yang sama untuk mendapatkan wx,2                  

0, 9 0, 5

0

0, 5 0, 9 0, 5 0 0 0 0 0 0 0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0



 0    0, 5 0, 9 0, 5 0 0 0 0 0    0 0, 5 0, 9 0, 5 0 0 0 0    0 0 0, 5 0, 9 0, 5 0 0 0    0 0 0 0, 5 0, 9 0, 5 0 0    0 0 0 0 0, 5 0, 9 0, 5 0    0 0 0 0 0 0, 5 0, 9 0, 5   0 0 0 0 0 0 0, 5 0, 9

0, 3075





  0, 5849      0, 8051      0, 9464      0, 9951  =   0, 9464      0, 8051      0, 5849   0, 3075

w1,2



 w2,2   w3,2    w4,2   w5,2    w6,2   w7,2    w8,2  w9,2

Perhitungan dengan cara seperti ini diulang-ulang sampai mencapai waktu maksimum. Jika waktu maksimum adalah T = 0, 5 detik, berarti mesti dilakukan 1000 kali iterasi5 . Untuk sampai 1000 kali, maka indeks j bergerak dari 1 sampai 1000. Dengan bantuan script Matlab, proses perhitungan menjadi sangat singkat. 5.8.2.1 Script Forward-Difference Script matlab Forward-Difference untuk menyelesaikan contoh masalah ini, dimana h = 0, 1 dan k = 0, 0005 1 2

clear all clc

3 4 5 6 7 8

n=9; alpha=1.0; k=0.0005; h=0.1; lambda=(alpha^2)*k/(h^2);

9 10 11 12 13

% Kondisi awal for i=1:n suhu(i)=sin(pi*i*0.1); end

14 15 16 17 18

%Mengcopy kondisi awal ke w for i=1:n w0(i,1)=suhu(i); end

19 20 21 22 23 24 25 26

A=[ (1-2*lambda) lambda 0 0 0 0 0 0 0; lambda (1-2*lambda) lambda 0 0 0 0 0 0; 0 lambda (1-2*lambda) lambda 0 0 0 0 0 ; 0 0 lambda (1-2*lambda) lambda 0 0 0 0; 0 0 0 lambda (1-2*lambda) lambda 0 0 0; 0 0 0 0 lambda (1-2*lambda) lambda 0 0; 0 0 0 0 0 lambda (1-2*lambda) lambda 0 ; 5

cara menghitung jumlah iterasi: T /k = 0, 5/0, 0005 = 1000

BAB 5. DIFERENSIAL NUMERIK

98 27 28

0 0 0 0 0 0 lambda (1-2*lambda) lambda ; 0 0 0 0 0 0 0 lambda (1-2*lambda) ];

29 30 31 32 33 34 35 36

iterasi=1000; for k=1:iterasi disp(’perkalian matriks’) %====================================== for i=1:n w(i,1)=0.0; end

37

for i=1:n for j=1:n w(i,1)=w(i,1)+A(i,j)*w0(j,1); end end %==================================== w w0=w;

38 39 40 41 42 43 44 45 46

end

Tabel 5.4 memperlihatkan hasil perhitungan yang diulang-ulang hingga 1000 kali. Tabel tersebut juga menunjukkan hasil perbandingan antara pemilihan nilai interval k = 0, 0005 dan k = 0, 01. Tabel ini menginformasikan satu hal penting, yaitu pada saat interval k = 0, 0005, forward-difference berhasil mencapai konvergensi yang sangat baik. Namun pada saat interval k = 0.01, dengan jumlah iterasi hanya 50 kali untuk mencapai time maksimum 0, 5 detik, terlihat jelas hasil forward-difference tidak konvergen (Bandingkan kolom ke-4 dan kolom ke-6!), dan ini dianggap bermasalah. Masalah ini bisa diatasi dengan metode backward-difference.

Tabel 5.4: Hasil simulasi distribusi panas bergantung waktu dalam 1-dimensi. Kolom ke-2 adalah solusi analitik/exact, kolom ke-3 dan ke-5 adalah solusi numerik forward-difference. Kolom ke-4 dan ke-6 adalah selisih antara solusi analitik dan numerik xi 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

u(xi , 0.5) 0 0,00222241 0,00422728 0,00581836 0,00683989 0,00719188 0,00683989 0,00581836 0,00422728 0,00222241 0

wi,1000 k = 0, 0005 0 0,00228652 0,00434922 0,00598619 0,00703719 0,00739934 0,00703719 0,00598619 0,00434922 0,00228652 0

|u(xi , 0.5) − wi,1000 | 6, 411 × 10−5 1, 219 × 10−4 1, 678 × 10−4 1, 973 × 10−4 2, 075 × 10−4 1, 973 × 10−4 1, 678 × 10−4 1, 219 × 10−4 6, 511 × 10−5

wi,50 k = 0, 01 0 8, 19876 × 107 −1, 55719 × 108 2, 13833 × 108 −2, 50642 × 108 2, 62685 × 108 −2, 49015 × 108 2, 11200 × 108 −1, 53086 × 108 8, 03604 × 107 0

|u(xi , 0.5) − wi,50 | 8, 199 × 107 1, 557 × 108 2, 138 × 108 2, 506 × 108 2, 627 × 108 2, 490 × 108 2, 112 × 108 1, 531 × 108 8, 036 × 107

5.8. PDP PARABOLIK

99

5.8.3 Metode Backward-difference

Kalau kita ulang lagi pelajaran yang lalu tentang forward-difference, kita akan dapatkan formula forward-difference adalah sebagai berikut (lihat persamaan (5.48)) wi+1,j − 2wi,j + wi−1,j wi,j+1 − wi,j − α2 =0 k h2 Sekarang, dengan sedikit modifikasi, formula backward-difference dinyatakan sebagai wi,j − wi,j−1 wi+1,j − 2wi,j + wi−1,j − α2 =0 k h2

(5.54)

jika ditetapkan λ=

α2 k h2

maka backward-difference disederhanakan menjadi (1 + 2λ) wi,j − λwi+1,j − λwi−1,j = wi,j−1

(5.55)

coba sejenak anda bandingkan dengan formula forward-difference dalam λ sebagaimana dinyatakan oleh persamaan (5.51) (1 − 2λ) wi,j + λwi+1,j + λwi−1,j = wi,j+1 O.K., mari kita kembali ke contoh soal kita yang tadi, dimana ada perubahan nilai k yang semula k = 0, 0005 menjadi k = 0, 01. Sementara α dan h nilainya tetap. Maka λ dapat dihitung dengan persamaan (5.50) kembali λ=

0, 1 α2 k = =1 h2 0, 012

Berdasarkan persamaan (5.55), sistem persamaan linear mengalami sedikit perubahan 3w1,j − 1w2,j

= w1,j−1 + 1w0,j

3w2,j − 1w3,j − 1w1,j

= w2,j−1

3w3,j − 1w4,j − 1w2,j

= w3,j−1

3w4,j − 1w5,j − 1w3,j

= w4,j−1

3w5,j − 1w6,j − 1w4,j

= w5,j−1

3w6,j − 1w7,j − 1w5,j

= w6,j−1

3w7,j − 1w8,j − 1w6,j

= w7,j−1

3w8,j − 1w9,j − 1w7,j

= w8,j−1

3w9,j − 1w8,j

= w9,j−1 + 1w10,j

BAB 5. DIFERENSIAL NUMERIK

100

Syarat batas masih sama, yaitu w0,j = w10,j = 0. Lalu jika dinyatakan dalam bentuk operasi matrik                  

3 −1 0

0 0 0 0 0 0

−1 3

0

0

0

0

0

0

−1

0

0

0

0

0

0



 0    −1 3 −1 0 0 0 0 0    0 −1 3 −1 0 0 0 0    0 0 −1 3 −1 0 0 0    0 0 0 −1 3 −1 0 0    0 0 0 0 −1 3 −1 0    0 0 0 0 0 −1 3 −1   0 0 0 0 0 0 −1 3



w1,j



  w2,j      w3,j      w4,j      w5,j  =   w6,j      w7,j      w8,j   w9,j



w1,j−1

 w2,j−1   w3,j−1    w4,j−1   w5,j−1    w6,j−1   w7,j−1    w8,j−1  w9,j−1

Persamaan matriks di atas dapat direpresentasikan sebagai Aw(j) = w(j−1)

(5.56)

Perhitungan dimulai dari iterasi pertama, dimana j = 1                  

3 −1 0

0 0 0 0 0 0

−1 3

0

0

0

0

0

0

−1

0

0

0

0

0

0



 0    −1 3 −1 0 0 0 0 0    0 −1 3 −1 0 0 0 0    0 0 −1 3 −1 0 0 0    0 0 0 −1 3 −1 0 0    0 0 0 0 −1 3 −1 0    0 0 0 0 0 −1 3 −1   0 0 0 0 0 0 −1 3

w1,1





  w2,1      w3,1      w4,1      w5,1  =   w6,1      w7,1      w8,1   w9,1

w1,0



 w2,0   w3,0    w4,0   w5,0    w6,0   w7,0    w8,0  w9,0

Dengan memasukan kondisi awal, ruas kanan menjadi                  

3 −1 0

0 0 0 0 0 0

−1 3

0

0

0

0

0

0

−1

0

0

0

0

0

0



 0    −1 3 −1 0 0 0 0 0    0 −1 3 −1 0 0 0 0    0 0 −1 3 −1 0 0 0    0 0 0 −1 3 −1 0 0    0 0 0 0 −1 3 −1 0    0 0 0 0 0 −1 3 −1   0 0 0 0 0 0 −1 3

w1,1





  w2,1      w3,1      w4,1      w5,1  =   w6,1      w7,1      w8,1   w9,1

0, 3090



 0, 5878   0, 8090    0, 9511   1, 0000    0, 9511   0, 8090    0, 5878  0, 3090

5.8. PDP PARABOLIK

101

Berbeda dengan operasi matrik forward difference, operasi matrik backward difference ini bukan perkalian matrik biasa. Operasi matrik tersebut akan dipecahkan oleh metode Eliminasi Gauss6 . Untuk jumlah iterasi hingga j = 50, perhitungannya dilakukan dalam script Matlab. 5.8.3.1 Script Backward-Difference dengan Eliminasi Gauss 1 2

clear all clc

3 4 5 6 7 8

n=9; alpha=1.0; k=0.01; h=0.1; lambda=(alpha^2)*k/(h^2);

9 10 11 12 13

%Kondisi awal for i=1:n suhu(i)=sin(pi*i*0.1); end

14 15 16 17 18

%Mengcopy kondisi awal ke w for i=1:n w0(i,1)=suhu(i); end

19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

AA=[ (1+2*lambda) -lambda 0 0 0 0 0 0 0; -lambda (1+2*lambda) -lambda 0 0 0 0 0 0 -lambda (1+2*lambda) -lambda 0 0 0 0 0 ; 0 0 -lambda (1+2*lambda) -lambda 0 0 0 0; 0 0 0 -lambda (1+2*lambda) -lambda 0 0 0; 0 0 0 0 -lambda (1+2*lambda) -lambda 0 0; 0 0 0 0 0 -lambda (1+2*lambda) -lambda 0 ; 0 0 0 0 0 0 -lambda (1+2*lambda) -lambda ; 0 0 0 0 0 0 0 -lambda (1+2*lambda) ];

0;

29 30 31 32 33

iterasi=50; for i=1:iterasi %&&&&&& Proses Eliminasi Gauss &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& A=AA; %Matriks Backward Difference dicopy supaya fix

34 35 36 37

for i=1:n A(i,n+1)=w0(i,1); end

38

%---------Proses Triangularisasi----------for j=1:(n-1)

39 40 41

%----mulai proses pivot--if (A(j,j)==0) for p=1:n+1 u=A(j,p); v=A(j+1,p); A(j+1,p)=u; A(j,p)=v; end

42 43 44 45 46 47 48 49 6

Uraian tentang metode Eliminasi Gauss tersedia di Bab 2

BAB 5. DIFERENSIAL NUMERIK

102 end

50

%----akhir proses pivot--jj=j+1; for i=jj:n m=A(i,j)/A(j,j); for k=1:(n+1) A(i,k)=A(i,k)-(m*A(j,k)); end end

51 52 53 54 55 56 57 58

end %-------------------------------------------

59 60 61

%------Proses Substitusi mundur------------w(n,1)=A(n,n+1)/A(n,n);

62 63 64

for i=n-1:-1:1 S=0; for j=n:-1:i+1 S=S+A(i,j)*w(j,1); end w(i,1)=(A(i,n+1)-S)/A(i,i); end %&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

65 66 67 68 69 70 71 72

w0=w;

73 74 75

end w

Hasilnya menunjukkan bahwa kinerja metode backward-difference lebih baik dibanding metode forward-difference, ini ditunjukkan dari selisih yang relatif kecil antara solusi numerik dan solusi analitik, sebagaimana bisa terlihat dari kolom ke-4 pada tabel berikut Tabel 5.5: Hasil simulasi distribusi panas bergantung waktu dalam 1-dimensi dengan metode backwarddifference dimana k = 0, 01

xi 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

u(xi , 0.5) 0 0,00222241 0,00422728 0,00581836 0,00683989 0,00719188 0,00683989 0,00581836 0,00422728 0,00222241 0

wi,50 0 0,00289802 0,00551236 0,00758711 0,00891918 0,00937818 0,00891918 0,00758711 0,00551236 0,00289802 0

|u(xi , 0.5) − wi,50 | 6, 756 × 10−4 1, 285 × 10−3 1, 769 × 10−3 2, 079 × 10−3 2, 186 × 10−3 2, 079 × 10−3 1, 769 × 10−3 1, 285 × 10−3 6, 756 × 10−4

5.8.4 Metode Crank-Nicolson Metode ini dimunculkan disini karena metode ini memiliki performa yang lebih unggul dari dua metode sebelumnya. Namun begitu pondasi metode Crank-Nicolson terdiri atas metode Forward-Difference dan metode Backward-Difference. Mari kita ulang lagi pelajaran yang sudah

5.8. PDP PARABOLIK

103

kita lewati. Formula Forward-Difference adalah wi+1,j − 2wi,j + wi−1,j wi,j+1 − wi,j − α2 =0 k h2 sedangkan Backward-Difference adalah wi+1,j − 2wi,j + wi−1,j wi,j − wi,j−1 − α2 =0 k h2 Ketika Backward-Difference berada pada iterasi ke j + 1, maka wi,j+1 − wi,j wi+1,j+1 − 2wi,j+1 + wi−1,j+1 − α2 =0 k h2

(5.57)

Jika formula ini dijumlahkan dengan formula forward-difference, kemudian hasilnya dibagi 2, maka akan diperoleh   wi+1,j+1 − 2wi,j+1 + wi−1,j+1 wi,j+1 − wi,j α2 wi+1,j − 2wi,j + wi−1,j − + =0 k 2 h2 h2

(5.58)

inilah formula Crank-Nicolson. Adapun λ tetap dinyatakan sebagai λ=

α2 k h2

maka wi,j+1 − wi,j − wi,j+1 − wi,j −

λ [wi+1,j − 2wi,j + wi−1,j + wi+1,j+1 − 2wi,j+1 + wi−1,j+1 ] = 0 2

λ λ λ λ wi+1,j + λwi,j − wi−1,j − wi+1,j+1 + λwi,j+1 − wi−1,j+1 = 0 2 2 2 2

λ λ λ λ − wi−1,j+1 + wi,j+1 + λwi,j+1 − wi+1,j+1 − wi−1,j − wi,j + λwi,j − wi+1,j = 0 2 2 2 2 λ λ λ λ − wi−1,j+1 + wi,j+1 + λwi,j+1 − wi+1,j+1 = wi−1,j + wi,j − λwi,j + wi+1,j 2 2 2 2 dan akhirnya λ λ λ λ − wi−1,j+1 + (1 + λ)wi,j+1 − wi+1,j+1 = wi−1,j + (1 − λ)wi,j + wi+1,j 2 2 2 2

(5.59)

Dalam bentuk persamaan matrik dinyatakan sebagai Aw(j+1) = Bw(j) ,

untuk j = 0, 1, 2, ...

(5.60)

Dengan menggunakan contoh soal yang sama, yang sebelumnya telah diselesaikan dengan metode Forward-Difference dan Backward-Difference, maka penyelesaian soal tersebut dengan metode Crank-Nicolson juga akan didemonstrasikan di sini. Dengan nilai k = 0, 01; h = 0, 1;

BAB 5. DIFERENSIAL NUMERIK

104 λ = 1 dan berdasarkan persamaan (5.59) diperoleh

−0, 5wi−1,j+1 + 2wi,j+1 − 0, 5wi+1,j+1 = 0, 5wi−1,j + 0wi,j + 0, 5wi+1,j Script Matlab untuk menyelesaikan persamaan ini adalah 1 2

clear all clc

3 4 5 6 7 8 9

n=9; iterasi=50; alpha=1.0; k=0.01; h=0.1; lambda=(alpha^2)*k/(h^2);

10 11 12 13 14

%Kondisi awal for i=1:n suhu(i)=sin(pi*i*0.1); end

15 16 17 18 19

%Mengcopy kondisi awal ke w for i=1:n w0(i,1)=suhu(i); end

20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

AA=[(1+lambda) -lambda/2 0 0 0 0 0 0 0; -lambda/2 (1+lambda) -lambda/2 0 0 0 0 0 0; 0 -lambda/2 (1+lambda) -lambda/2 0 0 0 0 0; 0 0 -lambda/2 (1+lambda) -lambda/2 0 0 0 0; 0 0 0 -lambda/2 (1+lambda) -lambda/2 0 0 0; 0 0 0 0 -lambda/2 (1+lambda) -lambda/2 0 0; 0 0 0 0 0 -lambda/2 (1+lambda) -lambda/2 0; 0 0 0 0 0 0 -lambda/2 (1+lambda) -lambda/2; 0 0 0 0 0 0 0 -lambda/2 (1+lambda)];

30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

B=[(1-lambda) lambda/2 0 0 0 0 0 0 0; lambda/2 (1-lambda) lambda/2 0 0 0 0 0 0; 0 lambda/2 (1-lambda) lambda/2 0 0 0 0 0; 0 0 lambda/2 (1-lambda) lambda/2 0 0 0 0; 0 0 0 lambda/2 (1-lambda) lambda/2 0 0 0; 0 0 0 0 lambda/2 (1-lambda) lambda/2 0 0; 0 0 0 0 0 lambda/2 (1-lambda) lambda/2 0; 0 0 0 0 0 0 lambda/2 (1-lambda) lambda/2; 0 0 0 0 0 0 0 lambda/2 (1-lambda)];

40 41 42

iterasi=50; for iter=1:iterasi

43 44 45 46 47 48 49 50 51 52

%===perkalian matriks=================== for i=1:n b(i,1)=0.0; end for i=1:n for j=1:n b(i,1)=b(i,1)+B(i,j)*w0(j,1); end end

5.9. PDP HIPERBOLIK 53

105

%======================================

54 55 56

%&&&&&& Proses Eliminasi Gauss &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& A=AA; %Matriks Backward Difference dicopy supaya fix

57 58 59 60

for i=1:n A(i,n+1)=b(i,1); end

61

%---------Proses Triangularisasi----------for j=1:(n-1)

62 63 64

%----mulai proses pivot--if (A(j,j)==0) for p=1:n+1 u=A(j,p); v=A(j+1,p); A(j+1,p)=u; A(j,p)=v; end

65 66 67 68 69 70 71 72

end

73

%----akhir proses pivot--jj=j+1; for i=jj:n m=A(i,j)/A(j,j); for k=1:(n+1) A(i,k)=A(i,k)-(m*A(j,k)); end end

74 75 76 77 78 79 80 81

end %-------------------------------------------

82 83 84

%------Proses Substitusi mundur------------w(n,1)=A(n,n+1)/A(n,n);

85 86 87

for i=n-1:-1:1 S=0; for j=n:-1:i+1 S=S+A(i,j)*w(j,1); end w(i,1)=(A(i,n+1)-S)/A(i,i); end %&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

w0=w; end iter w

Terlihat disini bahwa orde kesalahan metode Crank-Nicolson (kolom ke-6) sedikit lebih kecil dibandingkan metode Backward-Difference (kolom ke-5). Ini menunjukkan tingkat akurasi Crank-Nicolson lebih tinggi dibandingkan Backward-Difference.

5.9

PDP Hiperbolik

Pada bagian ini, kita akan membahas solusi numerik untuk persamaan gelombang yang merupakan salah satu contoh PDP hiperbolik. Persamaan gelombang dinyatakan dalam persamaan

BAB 5. DIFERENSIAL NUMERIK

106

Tabel 5.6: Hasil simulasi distribusi panas bergantung waktu (t) dalam 1-dimensi dengan metode backward-difference dan Crank-Nicolson BD CN Backward-Diff Crank-Nicolson xi u(xi , 0.5) wi,50 wi,50 |u(xi , 0.5) − wi,50 | |u(xi , 0.5) − wi,50 | 0,0 0 0 0 0,1 0,00222241 0,00289802 0,00230512 6, 756 × 10−4 8, 271 × 10−5 −3 0,2 0,00422728 0,00551236 0,00438461 1, 285 × 10 1, 573 × 10−4 0,3 0,00581836 0,00758711 0,00603489 1, 769 × 10−3 2, 165 × 10−4 −3 0,4 0,00683989 0,00891918 0,00709444 2, 079 × 10 2, 546 × 10−4 −3 0,5 0,00719188 0,00937818 0,00745954 2, 186 × 10 2, 677 × 10−4 0,6 0,00683989 0,00891918 0,00709444 2, 079 × 10−3 2, 546 × 10−4 −3 0,7 0,00581836 0,00758711 0,00603489 1, 769 × 10 2, 165 × 10−4 0,8 0,00422728 0,00551236 0,00438461 1, 285 × 10−3 1, 573 × 10−4 −4 0,9 0,00222241 0,00289802 0,00230512 6, 756 × 10 8, 271 × 10−5 1,0 0 0 0

diferensial sebagai berikut 2 ∂2u 2∂ u (x, t) − α (x, t) = 0, ∂t2 ∂x2

0 < x < ℓ,

t>0

(5.61)

dengan suatu kondisi u (0, t) = u (ℓ, t) = 0, u (x, 0) = f (x) ,

dan

untuk t > 0,

∂u (x, 0) = g (x) , ∂t

untuk

0≤x≤ℓ

dimana α adalah konstanta. Kita tentukan ukuran time-step sebesar k, jarak tiap mesh point adalah h. xi = ih dan tj = jk dengan i = 0, 1, ..., m dan j = 0, 1, .... Pada bagian interior, posisi mesh points ditentukan oleh koordinat (xi , tj ), karenanya persamaan gelombang ditulis menjadi ∂2u ∂2u (xi , tj ) − α2 2 (xi , tj ) = 0 2 ∂t ∂x

(5.62)

Formula centered-difference digunakan sebagai pendekatan numerik persamaan gelombang pada tiap-tiap suku. Untuk turunan kedua terhadap t u (xi , tj+1 ) − 2u (xi , tj ) + u (xi , tj−1 ) ∂2u (xi , tj ) = ∂t2 k2 dan turunan kedua terhadap x u (xi+1 , tj ) − 2u (xi , tj ) + u (xi−1 , tj ) ∂2u (xi , tj ) = 2 ∂x h2

5.9. PDP HIPERBOLIK

107

Dengan mensubtitusikan kedua persamaan di atas kedalam persamaan (5.62) u (xi , tj+1 ) − 2u (xi , tj ) + u (xi , tj−1 ) u (xi+1 , tj ) − 2u (xi , tj ) + u (xi−1 , tj ) − α2 =0 2 k h2 maka dapat diturunkan formula finite-difference untuk PDP hiperbolik sebagai berikut wi+1,j − 2wi,j + wi−1,j wi,j+1 − 2wi,j + wi,j−1 − α2 =0 2 k h2

(5.63)

Jika λ = αk/h, maka persamaan ini dapat ditulis kembali wi,j+1 − 2wi,j + wi,j−1 − λ2 wi+1,j + 2λ2 wi,j − λ2 wi−1,j = 0 sehingga wi,j+1 selaku solusi numerik dapat dihitung dengan merubah sedikit suku-suku pada formula di atas
wi,j+1 = 2 1 − λ2 wi,j + λ2 (wi+1,j + wi−1,j ) − wi,j−1

(5.64)

dengan i = 1, 2, ..., m − 1 dan j = 1, 2, .... Kondisi syarat batas ditentukan sebagai berikut w0,j = wm,j = 0,

untuk j = 1, 2, 3, ...

(5.65)

sementara kondisi awal dinyatakan wi,0 = f (xi ) ,

untuk

i = 1, 2, ..., m − 1

(5.66)

Berbeda dengan PDP eliptik dan PDP parabolik, pada PDP hiperbolik, untuk menghitung mesh point (j + 1), diperlukan informasi mesh point (j) dan (j − 1). Hal ini sedikit menim-

bulkan masalah pada langkah/iterasi pertama karena nilai untuk j = 0 sudah ditentukan oleh

persamaan (5.66) sementara nilai untuk j = 1 untuk menghitung wi,2 , harus diperoleh lewat kondisi kecepatan awal ∂u (x, 0) = g (x) , ∂t

0≤x≤ℓ

(5.67)

Salah satu cara pemecahan dengan pendekatan forward-difference adalah ∂u u (xi , t1 ) − u (xi , 0) (xi , 0) = ∂t k

u (xi , t1 ) = u (xi , 0) + k

(5.68)

∂u (xi , 0) ∂t

= u (xi , 0) + kg (xi ) konsekuensinya wi,1 = wi,0 + kg(xi ),

untuk

i = 1, 2, ..., m − 1

(5.69)

BAB 5. DIFERENSIAL NUMERIK

108 5.9.1 Contoh Tentukan solusi dari persamaan gelombang berikut ini ∂2u ∂2u − 2 = 0, ∂t2 ∂x

0 < x < 1,

0 ǫ, kenapa? Karena m 6= m0 . Kalau begini situasinya, δd yang ada 10 biji itu dimasukan kedalam proses berikutnya.

8. Hitunglah operasi matriks berikut ini untuk mendapatkan δm [Gt G + λI]δm = Gt δd

(13.21)

BAB 13. INVERSI

234

dengan λ-nya dikasih nilai sembarang antara 0 dan 1, misalnya λ = 0.005. Perhitungan ini bisa diselesaikan dengan metode eliminasi gauss. 9. Ganti nilai m0 menjadi m1 sesuai dengan rumus m1 = m0 + δm

(13.22)

Nah, m1 ini dimasukan ke proses yang dijelaskan pada point 4 kemudian proses diulangi hingga point 9, begitu seterusnya. Dari sinilah dimulai proses iterasi. Iterasi akan berhenti bila ||δd|| < ǫ. Pada saat itu, nilai mk akan mendekati m = 2 sesuai dengan m simulasi.

Selamat mencoba! Saya juga telah menulis beberapa persamaan non-linear sebagai bahan latihan. Lihat saja di Latihan 1. Tapi tolong diperiksa lagi, apakah jacobiannya sudah benar atau ada kekeliruan. Selanjutnya, kalau ada pertanyaan atau komentar, silakan kirim ke [email protected]

Daftar Pustaka

[1] Burden, R.L. and Faires, J.D., (2001), Numerical Analysis, Seventh Edition, Brooks/Cole, Thomson Learning Academic Resource Center. [2] Haliday and Resnick, (2001), Fundamental of Physics, Brooks/Cole, Thomson Learning Academic Resource Center.

235

236

BAB 13. INVERSI

Bab 14

Lampiran

14.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %

Script Iterasi Jacobi, jcb.m

Fungsi Eksternal - METODE ITERASI JACOBI Script ini adalah hasil akhir dari proses penyempurnaan script berulang-ulang yang diajarkan pada kuliah Analisis Numerik di Ruang B203, Gedung B, FMIPA-UI. Perhatikan bahwa elemen diagonal matrik A harus berisi angka yang paling besar. Contoh penggunaan script ini adalah A = [ 10 -1 2 0; -1 11 -1 3; 2 -1 10 -1; 0 3 -1 8]; b = [ 6 ; 25 ; -11 ; 15 ]; xawal = [12 ; 0.3; -0.12; 6]; [xakhir,L2,k] = jcb(A,b,xawal) atau [xakhir,L2] = jcb(A,b,xawal) atau [xakhir] = jcb(A,b,xawal) script ini disusun oleh Supriyanto (1 Feb 2011)

24 25 26 27

function [xbaru, L2, k] = jcb(A,b,xlama) % L2 diatas ini menyimpan nilai norm2-selisih antara xbaru dan xlama; % Sementara k menyimpan jumlah iterasi aktual.

28 29 30 31 32

% epsilon adalah batas nilai selisih antara xbaru dan xlama yang % dihitung secara norm-2. Epsilon bisa diartikan sebagai batas % toleransi. Anda bisa merubahnya sesuai kebutuhan. epsilon = 10^(-5);

33 34 35 36

% itermaks adalah jumlah iterasi maksimum yang mampu dilakukan % oleh function ini. Anda bisa merubahnya sesuai kebutuhan. itermaks = 1000;

37 38

n = length(A);

237

BAB 14. LAMPIRAN

238 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55

for p = 1:n J(p,p) = 0; for k = 1:n if k ~= p J(p,k) = -A(p,k)/A(p,p); end end u(p,1) = b(p)/A(p,p); end for k = 1:itermaks xbaru = J*xlama + u; L2 = norm2(xlama-xbaru); if L2 < epsilon break; end xlama = xbaru; end

14.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

Script Iterasi Gauss-Seidel, itgs.m

% Fungsi Eksternal - METODE GAUSS-SEIDEL % Script ini adalah hasil akhir dari proses penyempurnaan script % berulang-ulang yang diajarkan pada kuliah Analisis Numerik % di Ruang B203, Gedung B, FMIPA-UI. % % Perhatikan bahwa elemen diagonal matrik A harus berisi angka % yang paling besar. Contoh penggunaan script ini adalah % A = [ 10 -1 2 0; % -1 11 -1 3; % 2 -1 10 -1; % 0 3 -1 8]; % % b = [ 6 ; 25 ; -11 ; 15 ]; % % xawal = [12 ; 0.3; -0.12; 6]; % % [xakhir,L2,v] = jcb(A,b,xawal) % atau % [xakhir,L2] = jcb(A,b,xawal) % atau % [xakhir] = jcb(A,b,xawal) % % script ini disusun oleh Supriyanto (1 Feb 2011) function [xbaru,L2,v] = itgs(A,b,xlama) % L2 diatas ini menyimpan nilai norm2-selisih antara xbaru dan xlama; % Sementara v menyimpan jumlah iterasi aktual.

27 28 29 30 31

% epsilon adalah batas nilai selisih antara xbaru dan xlama yang % dihitung secara norm-2. Epsilon bisa diartikan sebagai batas % toleransi. Anda bisa merubahnya sesuai kebutuhan. epsilon = 10^(-5);

32 33 34 35 36 37

% itermaks adalah jumlah iterasi maksimum yang mampu dilakukan % oleh function ini. Anda bisa merubahnya sesuai kebutuhan. itermaks = 1000; n = length(A); for k = 1:n

14.2. SCRIPT ITERASI GAUSS-SEIDEL, ITGS.M 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69

J(k,k) = 0; for q = 1:n if q ~= k J(k,q) = -A(k,q)/A(k,k); end end p(k,1) = b(k)/A(k,k); end L = zeros(n); U = zeros(n); for q = 1:n-1 for k = q+1:n L(k,q) = J(k,q); U(q,k) = J(q,k); end end for v = 1:itermaks xsmt = U*xlama + p; xbaru(1,1) = xsmt(1,1); for q = 1:n-1 sum = 0; for k = 1:q sum = sum + L(q+1,k)*xbaru(k,1); end xbaru(q+1,1) = sum + xsmt(q+1,1); end L2 = norm2(xbaru-xlama); if L2 < epsilon break; end xlama = xbaru; end

239

Indeks

Positive-definite, 18 Transpose, 15 Tridiagonal, 17 Vektor-baris, 14 Vektor-kolom, 14

240