Kocic_Matematika i Estetika, NKC 2003

Ljubiša Kocić

MATEMATIKA I ESTETIKA

NKC NIŠ, 2003

Biblioteka JEDAN SVET GLAVNI I ODGOVORNI UREDNIK Stevan Bošnjak

UREĐIVAČKI ODBOR Ljubiša Kocić Verica Novakov Ognjen Radović Ljiljana Jevtić Zoran Pešić Sigma Stevan Bošnjak

SADRŽAJ Uvod

7

Matematička istraživanja u estetici

13

Skriveni broj: egzegeza transcedentnog

55

Ponoćne refleksije o simetriji

71

Komentari na Peri Elikon

87

Ortogonalnost – kognitivno estetska funkcija

147

Umetnički elementi u fraktalnim konstrukcijama

179

UVOD U LEPO I RACIONALNO

S

aznanje je magičan proces iz nekoliko razloga. Onaj koji saznaje ima doživljaj otkrovenja. Onaj od koga saznanje potiče, dobija trajni oreol intelektualnog autoriteta dok predmet saznanja podjednako koristi i jednom i drugom. Ipak, najviše dobija ljudska zajednica budući da se jednom započeti proces lančano nastavlja u oba smera. Jer, učenik teži da postane učitelj a učitelj, opet, da bude učenik nekog još boljeg učitelja. Ovaj lanac ništa ne prekida. Ništa, osim lepote.

Ako se u saznanju naiđe na lepotu saznajni proces postaje ozbiljno ugrožen. Zbog čega? Zbog toga što se lepota ne da saznati. A to zato jer je lepota sastavljena od materije koja nije od iste vrste kao što su, na primer, zakoni Fizike. No, i to da se lepota ne saznaje, i to je saznanje. Naš duh je beskrajno fina mešavina racionalnog i iracionalnog. Svrsishodna i koncentrisana iracionalnost je neophodna za postojanje mitologije i, simetrično tome, svrsishodna i koncentrisana racionalnost vodi nauci. Mit i nauka (koja se sve oštrije izdvaja iz filozofije) dva su pola ljudskog intelekta. I mit i nauka traže svoje sublimne izraze. Tako se mit izražava kroz Umetnost a nauka kroz Matematiku. Umetnost je Lepota, Matematika je Logika. Ali nužno, u Logici takođe ima Lepote kao što u Lepoti ima Logike. One se, ustvari, ne mogu potpuno razdvojiti, kao što se ni Nebo i Zemlja ne mogu potpuno razdvojiti. Tako se ta dva, prividno

7

suprotna pola, spajaju u harmonični dualizam lepo-logično. Najveći umetnici su vrhunski logični kao što su i najveći naučnici prevashodno ljubitelji Lepog. U Srednjem veku gotovo potpuno zaboravljena Euklidova geometrija je vaskrsla iz tame kada su renesansni umetnici počeli njeno sistematsko proučavanje zbog primene u perspektivi. Na taj način je Umetnost čuvala Matematiku koja je u samom svom središtu imala Umetnost za inspiraciju i tako u beskraj. Kada je civilizacijska svest jednom stavila Matematiku i Umetnost jednu kraj druge, pokazalo se da su prožimanja mnogo dublja i temeljnija nego što se u početku i slutilo. Geometrijske proporcije doprinose estetskom doživljaju. Krug je lepa geometrijska figura. Sonet je cikličan. Matematički grafovi su obojeni dok se muzički komadi oslanjaju na ornamentalnu kombinatoriku. Klasični hramovi i građevine sadrže kanon Zlatnog preseka koji je sažet u jednom iracionalnom broju sa najjednostavnijim neprekidnim razvojem. Pozorišni komadi imaju svoju numeriku koja se ogleda u prebrojavanju konfiguracija diskretnih topoloških struktura. Slikarstvo se koristi iterativnim preslikavanjima i računarskom grafikom, dok stroge matematičke teorije traže ilustraciju u Haiku poeziji. Broj π se pojavljuje u Bibliji a ortogonalnost u lingvistici i antropologiji. Dezeni tradicionalne japanske kimono svile sadrže matrice koje se pojavljuju u Teoriji haosa, a u tlocrtu Katedrale u Šartru (Chartres, Francuska) otkriven je šifrirani muzički zapis skriven u odnosima rastojanja nosećih stubova od dve fokusne tačke u osi glavnog broda Katedrale.

8

Muzički zapis u Katedrali u Šartru

Svakidašnji dokaz prožimanja Umetnosti i Matematike je sve veća zavisnost Umetnosti od Tehnologije i obratno, proizvodi Tehnologije ne mogu se prodavati ukoliko nisu oplemenjeni umetničkim dizajnom. Oblik karoserije automobila prati poslednja ostvarenja savremene skulpture a kist starih majstora zamenjen je računarskom grafikom. Kada je na prelasku iz XIX u XX vek došlo do eksplozije umetničkih pravaca i raznih „-izama“ bilo je jasno da je Umetnost kontaminirana hiper-analitičnošću specijalnih nauka. Jer, Umetnost u Periklovoj Atini se malo razlikovala od Umetnosti u Robespjerovom Parizu. Prodor je došao kasnije, kada se Estetika osetila ugroženom od naizgled superiornije Logike odenute u ruho prividnog tehnološkog napretka. Kakva zabluda! Kada su u XX veku planuli veliki ratovi, bilo je već kasno. Fatalna greška je bila načinjena. Nazad se nije moglo, napred takođe.

9

Ova knjiga nudi jedno rešenje. Ništa revolucionarno. Pre iskreno. To rešenje se zasniva na ubeđenju autora da je moguća nova Renesansa i nova velika integracija Umetnosti. Kako? Možda treba početi sa jednim iskrenim priznanjem da Umetnost ne može bez Matematike a Matematika bez Umetnosti. Taj se brak više ne može razvenčati. Zatim, moguće je, treba osloboditi umetnike straha od Logike, straha koji stvara nezdravu zavisnost, kao i logičare, straha od Lepog. Umesto straha i zavisnosti, neka Logičari proučavaju Umetnost a umetnici Logiku. Kao u drevnoj Heladi. Za to

Đorđo Morandi: Mrtva priroda (1919)

10

nije potreban čak ni veliki napor. Samo odustajanje od licemernog zatvaranja u svoje male, ali čvrsto ograđene prostore gde smo dovoljni sami sebi i samo sebi. Tako se, moguće je, može razdvojiti racionalni deo Lepote od iracionalnog i iracionalni deo Logike od racionalnog. Iz Nauke treba proterati mitologizirane i kvazi-naučne sadržaje. Iz Umetnosti odstraniti naučni mit. Na taj način bi se mogla osloboditi prava kreativnost, a visoka koncentracija kreativnosti donela bi Umetnosti novu Renesansu a Nauci nove prodore, ranije nepoznate. Na kraju, treba glasno opomenuti svakog i svakud: Nema napretka bez snažnog etičkog opredeljenja. Možda je to ključ. Jer Jedan Svet najpre mora biti bolji da bi bio lepši i pametniji. U Nišu, novembra 2003. Autor

11

12

MATEMATIČKA ISTRAŽIVANJA U ESTETICI UVOD Sa smrću Boga, umetnost je dobila na vrednosti. Nietzsche

M

nogi auditivni i vizuelni doživljaji su praćeni izvesnim intuitivnim osećajem vrednosti, koji je jasno odvojen od senzualnog, emotivnog, moralnog ili intelektualnog osećanja. Tim osećanjem, koje su antički Grci zvali aisthesis (αισθησισ) bavi se estetika. Predmeti koji iniciraju estetsko osećanje, nazivaju se estetskim predmetima. Lice estetike je dvostruko. Ona se može smatrati filozofskom disciplinom, kako su smatrali Platon, Kant, Schelling, Hegel i njihovi sledbenici, ili naučnom disciplinom za šta su se zalagali Fechner, Müller-Freienfels, Meumann, Lips, Desoar, Utic, Laloux, Munro i drugi. U prvom slučaju, estetske norme se uvode deduktivno, iz filozofskih refleksija, što daje estetiku odozgo. U drugom, estetika je zamišljena kao strogo induktivna, eksperimentalno-empirijska nauka, dakle estetika odozdo. U ovom članku, posmatraćemo naučno lice estetike, uz posebno pažljivo postavljanje pi13

tanja: da li se mogu koristiti i matematičke metode za njeno istraživanje, kao što se koriste u drugim naukama? Na osnovu postojeće literature može se zaključiti da je odgovor na ovo pitanje sasvim sigurno pozitivan, a to je u skladu i sa autorovim najdubljim ubeđenjem. Naime, matematika, kao sublimirani i pročišćeni oblik naučne misli višestruko je povezana sa estetikom. U prilog ovome idu sledeći argumenti. 1.

Rešavanje matematičkih problema praćeno je snažnim estetskim doživljajem. Dakle, matematički problem i njegovo rešenje predstavljaju i estetske predmete. Ovo iskustvo nije karakteristično samo za matematičare, već je mnogo šire rasprostranjeno.

2.

Istraživanjem estetskih doživljaja moguće je uočiti strukturalne karakteristike estetskih predmeta. U jednom broju slučajeva one su slične karakteristikama matematičkih estetskih objekata. Prema Birkhofu ovo omogućuje uvođenje estetske mere jednostavnih objekata.

3.

Iz takvih estetsko-matematičkih iskustava izvedene su neke tradicionalne karakteristike „dobro uređenih“ estetskih predmeta, kao npr. proporcija, simetrija, harmonija, ritam itd. Ove karakteristike mogu se opisati modelima euklidske geometrije, a u nekim slučajevima i drugim vrstama klasičnih neeuklidskih geometrija.

4.

Oni estetski predmeti koji nisu „dobro uređeni“ već su pre amorfni i haotični (oblaci, mahovina, talasi ili enformel slikarstvo) takođe nalaze svoj adekvatni matematički model u fraktalnim geometrijama.

14

Svakoj od gornjih tačaka posvećena je po jedna sekcija u daljem tekstu, u kojima se opširnije govori o problemima sa kojima se matematička estetika suočava.

MATEMATIČKI ESTETSKI OBJEKTI Ne mogu da ne poverujem – jer je neverovatno! Oscar Wilde U proleće 1919-te, sedamnaestogodišnji Werner Heisenberg, čitao je Platonov dijalog Timaj, ležeći u oluku krova na zgradi semeništa u Minhenu i grejući se na jutarnjem suncu. Dečak je bio zadivljen Platonovom smelošću sa kojom tvrdi da su najsitniji delići materije oblika pravouglih trouglova, koji, kada se dva po dva sastave u ravnostrane trouglove ili kvadrate (Sl. 1.), obrazuju pravilna geometrijska tela: kocku, tetraedar, oktaedar i ikosaedar. Ta četiri tela sačinjavaju osnovne gradivne jedinice četiri elementa: zemlje, vatre, vazduha i vode. „Pritom me je u izvesnom smislu fascinirala predstava kako se kod najsitnijih delića materije naposletku nailazi na matematičke oblike“ piše Heisenberg u [13]. Kasnije će ova jednostavna geometrij-

Slika 1: Platonov trougao i oblici koji se od njega mogu sastaviti 15

ska shema biti osnovna ideja vodilja u zametnom opusu ovog vodećeg fizičara XX veka, koji je više puta naglasio da ga je fascinirala upravo jedinstvena lepota Platonove ideje. Platon je svakako bio svestan činjenice da se Zemlja ne sastoji od sićušnih kockica, ali nije mogao naći pogodniji način od geometrijskog da izrazi silinu ideje o harmoniji za koju je bio siguran da prožima svu prirodu. Da bi iskazao svoje oduševljenje za lepotu koja se nalazi u prapočecima prirodnih stvari, Platon je posegnuo za jezikom geometrije i njenim čvrstim zakonima. Može se reći da je time on svoj estetski doživljaj matematički kodirao i odaslao ga u budućnost kroz tekst svog dijaloga, siguran da će na budućeg čitaoca koji uspe da dekodira njegovu geometrijsku šifru preneti bar deo tog doživljaja. Heinsenberg je bio pun pogodak. Estetsko osećanje je bilo dominantno kod antičkih matematičara Menehma i Apolonija, kada su proučavali zanimljiva svojstva krivih koje su nazvali ελλειψιζ, παραβολη i υπερβολη, koje su se dobijale u preseku ravni i kupaste površi. Oni tada nisu mogli ni sanjati o bilo kakvoj praktičnoj primeni svojih istraživanja. Dve hiljade godina kasnije, Keppler i Newton pokazali su da su elipsa, parabola i hiperbola upravo osnovni oblici u prirodi – pitanje nebeskih tela. Sledeći primer je iz XVIII veka. Johann Bernoulli je, privučen lepotom Galilejevog problema brahistohrone krive – trajektorije po kojoj telo za najkraće vreme silazi iz više u nižu tačku – primenio svoju novu metodu beskonačno malih veličina i dobio kao rešenje cikloidu – krivu koja predstavlja pravu riznicu estetskih svojstava. 16

Kako piše Hadamard [12], godine 1913-te, francuski matematičar E. Cartan je došao do značajne klase analitičkih i geometrijskih transformacija koja je u vezi sa Teorijom grupa. U to vreme nije bilo nikakvih praktičnih primena ovih rezultata. Petnaest godina kasnije, fizičari su eksperimentalnim putem otkrili neobično ponašanje elektrona koje se moglo objasniti samo zahvaljujući Cartanovim idejama. Ovaj Cartanov primer se može lepo ilustrovati (Sl. 2.) na kojoj je prikazana mikrofotografija biljnih ćelija i Mondrianova raster-slika Losangique sa sivim linijama [2]. Mon-

Slika 2: Mikroskopski snimak ćelija u stabljici site (levo) i raster-slika Pieta Mondriana Losangique sa sivim linijama

drian, poput Cartana postavlja osnovnu strukturu, rukovodeći se estetskim idejama, a takva slična struktura biva otkrivena u mikroprirodi.

17

STRUKTURA ESTETSKOG DOŽIVLJAJA I ESTETSKA MERA Važno je da u’vatiš istinu. Čika Božo, starac sa Durmitora Edgar Allan Poe, taj zagonetni pesnik Novog sveta bio je, uprkos svojoj emocionalnoj osetljivosti i nekim iracionalnim postupcima, jedan od najgorljivijih zagovornika naučne estetike. Naravno, to ga je zanimalo u okvirima veštine stihotvorstva – versifikacije. Tako, on na jednom mestu kaže, odgovarajući na pitanje „Šta su stihovi?“ [19, s. 363]: „Jer, iako se može uzeti da trećinu toga pitanja sačinjava metafizika, i da se zato o njoj može raspravljati po ćudi ovog ili onog pojedinca, još uvek one dve preostale trećine pripadaju, neosporno matematici.“ Zalažući se za uvođenje opštih zakona versifikacije, Poe polemiše sa eventualnim prigovorom da tvorac Ilijade nije znao za takve zakone pa ipak je Ilijada milozvučnija i skladnija od svega što je napisano u novije vreme, i kaže da bi ta nova nauka o versifikaciji možda mogla da poboljša ahajski ep, jer verovatno ni Homer nije bio zadovoljan pojedinim njegovim mestima. Na kraju, slepi pesnik sa Hiosa je možda te zakone naslutio u svom duhu, ali ipak je Ilijada produkt njegovih ušiju i prstiju pa ih nije mogao valjano oteloviti (setimo se Hofmannove tragedije raskoraka između muzičke imaginacije i tehnike izvođenja). Možda je Hesse upravo ovo imao na umu kada u romanu Narcis i Zlatousta piše „Posmatrao je kako je lišće male biljke tako ljupko, tako neobično pametno složeno oko stabljičice. Lepi su Vergilijevi stihovi, on ih je voleo, ali bilo je kod Vergilija mno18

go stihova koji nisu bili ni upola tako lepi i krcati smislom kao što je spiralni poredak ovih sićušnih listića duž stabljike.“ Poe je dao i neka praktična uputstva kako bi neki od estetskih zakona versifikacije trebalo da izgledaju. U Filozofiji kompozicije on [19, s. 350] piše da „…dužina pesme treba da bude u matematičkom odnosu s njenom vrednošću…“ On čak sugeriše i način kvantifikovanja intenziteta estetskog osećaja u odlomku koji citira i Georg Birkfoff, američki matematičar koji se među prvima ozbiljno pozabavio idejom estetske mere: „Posmatrajmo, na primer, neki kristal. Našu pažnju odmah privlači jednakost strana i uglova jedne od njegovih površina, ali kad uočimo drugu njegovu površinu, u svakom pogledu istovetnu prvoj, naše uživanje izgleda kao da se učetvorostručilo: kad uočimo i treću kao da se uosmostručilo, itd: nimalo ne sumnjam, zaista, da bi se našlo da doživljeno uživanje, kad bi se moglo meriti, ima pravilne matematičke odnose, onakve, ili skoro onakve, kakve sam naveo – što će reći, do jedne određene tačke, posle koje bi u istim odnosima nastupilo opadanje.“ [19, s. 365]. Svakako jedna od najviše pominjanih konstanti matematičke estetike je zlatni broj ϕ=

1+ 5 ≈ 1,618 , 2

koji predstavlja odnos dužina pri tzv. zlatnom preseku tj. takvoj podeli duži kod koje se cela dužina prema većem delu odnosi kao veći prema manjem delu. Zlatni presek, a naročito zlatni pravougaonik, kod koga je odnos duže prema kraćoj stranici jednak ϕ (srednji pravougaonik u nizu 19

Slika 3: Oblici pravougaonika

na Sl. 3, korišćen je u arhitekturi i vajarstvu stare Grčke (Fidia), a koristio ga je Euclid za konstrukciju pravilnih poligona, ali je bio poznat pod nazivom „srednjeg i krajnjeg odnosa“. Za razliku od broja π , koji je transcedentan i ne može se geometrijski konstruisati (čime je stavljena tačka na problem kvadrature kruga), broj ϕ je iracionalan, može se konstruisati i to vrlo jednostavno, i ima približnu vrednost 1,618. Termin zlatni presek uveden je u XIX veku, a oznaku ϕ predložio je američki matematičar M. Bar u čast vajara Fidie. U doba Renesanse, zlatni presek je ponovo došao u središte pažnje, pa su tako otkrivene mnoge njegove interesantne osobine. Na primer, kada se iz zlatnog pravougaonika izdvoji kvadrat, preostali pravougaonik je takođe zlatan (Sl. 4). Produžujući ovaj postupak dobijaju se sve manji i manji zlatni pravougaonici. Slika 4: Zlatni pravougaonici se smanjuju po Zakonu logaritamske spirale 20

Tačke koje dele stranice pravougaonika u odnosu zlatnog preseka leže na logaritamskoj spirali, a pol ove spirale nalazi se u preseku prva dva pravougaonika iz zlatnog niza. Oblik ove spirale sreće se na mnogim mestima u prirodi (Sl. 5), o čemu je pisao M. Ghyka u svojoj sjajnoj knjizi [9], koja je tako mnogo uticala na Salvadora Dalia, da je na mnogim slikama koristio rog nosoroga koji je takođe savijen po Zakonu logaritamske spirale. Na primer, u slikama Naturaleza muerta viva ili Joven virgen sodomizada por los cuernos de su propia castidad, oblik roga je

Slika 5: Oblici spirale u prirodi 21

ključ kompozicionog rešenja slike. U Otkrivenim tajnama Salvadora Dalia, Bernard tvrdi da je Dali, u vezi sa zlatnim presekom, od 1948-me godine, u svojim slikama koristio i božansku proporciju koju je uveo italijanski matematičar Luca Pacioli, i uz pomoć jednog rumunskog matematičara proračunava položaj Lede na slici La Leda Atomica, kako bi se figura Lede tačno uklopila u geometriju ove obrnute proporcijske sheme. Božansku proporciju proučavao je i koristio i Milić od Mačve. U intervalu od 1854-te do 1884-te godine, nemački filozof Adolf Zeising, koji je bio pod Hegelovim uticajem, objavljuje nekoliko rasprava u kojima tvrdi da od svih proporcija zlatni presek ostavlja najpovoljniji estetski utisak na posmatrača. Ovo će eksperimentalno potvrditi lajpciški profesor Gustav Fechner, utemeljivač eksperimentalne estetike. Rezultat eksperimentalnog istraživanja estetičnosti pravougaonika različitih oblika mogu se ukratko izraziti sledećim rečima: Kvadrat i specijalno, pravougaonik čije dimenzije stoje u odnosu od približno 8 5 se uopšteno procenjuju kao najbolje forme među različitim pravougaonim oblicima. Fechnerove ideje razviće dalje Ernst Meumann u svom delu Uvod u savremenu estetiku koje i danas služi kao standardni univerzitetski udžbenik. Sledeći u nizu nemačkih mislilaca, poklonika ‚estetike odozdo‘ (Asthetik von unten), je psiholog i filozof Rihard Müller Freienfels koji umetnost shvata kao estetsku impresiju a estetsko uživanje je po njemu rezultat psihofizičkog principa stvaralačke, životne ekonomičnosti. Takođe treba pomenuti i Theodora Lippsa, još jednog nemačkog filozofa, autora Teorije o 22

uživljavanju (Einfuhlung) iz koje izvodi svoju estetiku. Thomas Manro, američki estetičar, smatra da estetika još uvek nije prava nauka, ali da ima sve uslove da to postane, koristeći pre svega striktno klasifikacionu i induktivnu metodu. U daljem tekstu zadržaćemo se podrobnije na objašnjavanju ideja poznatog američkog matematičara Georga Birkhoffa koji je, polazeći od Fechnerovih istraživanja i ideja E. A. Poea došao do estetske mere, načina da se estetski doživljaj pri posmatranju jednostavnijih geometrijskih tela izrazi brojnom vrednošću. Osnovu metode G. Birkhoffa [3], [4], čini povezivanje tri veličine, koje se mogu meriti. To su: 1.

Intenzitet estetskog doživljaja ili estetska mera – M;

2.

Kompleksnost (složenost) estetskog predmeta, koji je proporcionalan naporu pažnje potrebnom za njegovu percepciju – C i

3.

Mera uređenosti, harmonija ili simetrija predmeta koji se posmatra – O.

Ono što sigurno znamo, to je da estetska mera funkcionalno zavisi od kompleksnosti i uređenosti, tj.

M = f (O, C )

(1)

gde je f nepoznata funkcija (u matematici se (1) naziva funkcionalnom jednačinom). Ako povećamo uređenost O pri nepromenljivoj kompleksnosti, vrednost M raste. Isto je i ako smanjujemo kompleksnost uz istu vrednost uređenosti, međutim, ovo nije dovoljno za određivanje funkcije f. U tu svrhu, Birkhoff predlaže sledeći hipotetički eksperiment: Pretpostavimo da pred nama imamo skup od k ob23

jekata iz iste klase i neka svi imaju istu uređenost O i kompleksnost C, i drugi skup od k ′ objekata sa uređenošću O′ i takođe kompleksnošću C. Izaberimo k i k ′ tako da je k′ C ′ = k C . Osmotrimo sada prvi skup objekata, jedan za drugim; ukupni osećaj kompleksnosti biće jednak zbiru pojedinačnih, dakle k C (pretpostavlja se da naša pažnja ne slabi, tj. da smo idealni posmatrači). Takođe, ukupna mera uređenosti za čitav skup je k O . U slučaju drugog skupa, ukupna kompleksnost je k′C ′ što je jednako k C , dok je uređenost k′O′ . Ako su estetske vrednosti objekata iste za obe klase, jasno je da je rezultujuća mera uređenosti za obe klase jednaka, tj. k′O′ = k O . Na taj način odnosi O C ′ i O C moraju biti isti, tj. estetska mera zavisi samo od odnosa O C , ili ⎛O ⎞ M= f ⎜ ⎟ ⎝C ⎠

(2)

Kako M mora da raste sa porastom količnika O C to je f nužno rastuća funkcija. Takođe, po prirodi stvari, ona mora biti neprekidna. Posmatrajmo sada dva objekta iste kompleksnosti ali različite uređenosti O1 i O2 ; tada će mera doživljaja pri percepciji svakog predmeta pojedinačno biti jednaka doživljaju oba predmeta istovremeno tj. ⎛O O ⎞ ⎛O ⎞ ⎛O ⎞ f ⎜ 1 ⎟+ f ⎜ 2 ⎟ = f ⎜ 1 + 2 ⎟ ⎝C C ⎠ ⎝C ⎠ ⎝C ⎠

što predstavlja Cauchyevu funkcionalnu jednačinu f (x + y ) = f (x ) + f ( y ) , čije je rešenje na skupu nepre24

kidnih funkcija, (videti, npr. [1]), f (x ) = A x , gde je A proizvoljna konstanta. Iz našeg uslova monotonosti dobijamo A > 0 . Budući da stvarna numerička vrednost funkcije f može biti proizvoljna jer zavisi od skale koju smo uveli, to treba obratiti pažnju samo na njenu relativnu vrednost, pa možemo staviti A = 1 . Tako dobijamo f (x ) = x , tj. na osnovu (2), konačno je M=

O C

(3)

Osim ovog, strogo matematičkog izvođenja, Birkhoff nudi i drugi, više intuitivni metod, kojim dolazi do istog rezultata. Potvrdu svoje formule on nalazi u definiciji lepote holandskog estetičara T. Hemsterhuisa: „Lepota je ono što daje najveći broj ideja u najkraćem vremenskom intervalu“. Drugim rečima, Birkhoff smatra da se estetska vrednost sastoji u postizanju što većeg reda uz što manju složenost i odnos O C naziva gustinom uređenosti estetskog objekta. Ovo je u skladu i sa Voltaireovom misli da „poezija sa manje reči kazuje više nego proza“, kao i sa Gaussovom izrekom o „maksimumu ideja u minimumu obima“. Ovu formulu Birkhoff testira na primerima jednostavnih geometrijskih objekata. On najpre polemiše o oblicima pravougaonika, (Sl. 3), koje karakteriše odnos r veće stranice prema manjoj [5]. Na prvom mestu je kvadrat, r = 1 , na drugom pravougaonik koji ima osobinu da se sastoji od dva pravougaonika istog oblika, r = 2 ≈ 1,414 , što daje proporciju državne zastave. Treći je zlatni pravougaonik, r = 1 + 5 2 ≈ 1,618 . Zatim dolazi Platonov pravo-

(

)

25

ugaonik (videti takođe Sl. 1), kod koga je r = 3 ≈ 1,732 , i najzad, poslednji u nizu je udvojeni kvadrat, dakle r = 2 . Između ovih pet pravougaonih oblika, Birkhoff se opredeljuje za „zastavu“ pre nego za „zlatni pravougaonik“, uglavnom zbog zaista lepog svojstva da se deljenjem tog oblika na pola ponovo dobija isti oblik. To je, ustvari, fraktalno svojstvo koje će dobiti na vrednosti tek sedamdesetih godina, sa pojavom fraktalnih geometrija, o čemu će biti reči u petoj sekciji. U radu [5], Birkhoff daje podrobniju formulu za izračunavanje estetske mere kod mnogouglova: M = O C , pri čemu je uređenje O dato sa O = V + E + R ⋅ HV − F ,

(4)

gde su značenja veličina sledeća: V – vertikalna simetrija, E – ravnoteža, R – rotaciona simetrija, HV – veza sa horizontalno-vertikalne mreže, F – faktor koji umanjuje uređenje zbog suviše kratkih strana, suviše malih ili velikih uglova, nedostatka simetrije i sl. U daljem tekstu, Birkhoff podrobno analizira primenu gornje formule na 90 različitih poligona, od kojih, na (Sl. 6), izdvajamo 20. Ispod svakog poligona označena je njegova estetska mera. Vidimo da je prema Birkhoffu, najviše estetski vrednovan kvadrat, a najslabije – zvezdasti mnogouglovi pri dnu. Vrednost svoje formule Birkhoff je eksperimentalno proverio tako što je listu sa slikama svih 90 poligona pokazao dvema grupama studenata na Columbia University (1929te godine) i na Harvardu (1930-te). Oni su se složili da je „rejting“ pojedinih poligona koji daje formula (3), sasvim u skladu sa estetskim izgledom poligona. 26

Slika 6: Prvih dvadeset mnogouglova sa vrednošću estetske mere po Birkhoffu

Jedino su postojale rezerve prema suviše niskom kotiranju pravouglog trougla (označenom sa o na Sl. 6). U radu [3], Birkhoff proširuje primenu svoje formule na krivolinijske konture vaza. Pri tome, uređenost je data 27

slično kao u [4]. Slika 7 prikazuje studije četiri različita profila (levo), kao i vaze koja ima „idealnu formu“ sa vrednošću estetske mere M = 1 (desno). U istom radu Birkhoff naglašava da bi se slična formula mogla primeniti i na poeziju, pri čemu bi O označavalo muzikalnost stihova po određenim pravilima koje bi trebalo dobro izabrati, a kompleksnost C bi bio broj stihova pesme koja se posmatra. Takođe, on se osvrće i na muziku pri čemu naglašava vrednost istraživanja koja su u toj grani umetnosti vršili Helmholz i Gurney. Birkhoff je svakako značajan kao jedan od pionira naučne estetike. Njegove ideje preispitivali su Rul Ganzenhauser i Max Bense, koristeći savremene metode Teorije informacija i upoređujući ih sa nekim pojavama iz fizike i logike. Međutim, ako govorimo o matematičkoj estetici poezije i

Slika 7: Vaze i njihova estetska mera 28

književnosti uopšte, nezaobilazna je Monografija [18] Solomona Marcusa, čije su osnovne karakteristike multidisciplinarnost, lep stil i bogatstvo citirane bibliografije (citirano je 1.336 jedinica). Ukratko ćemo navesti osnovne ideje koje su iznete u ovoj knjizi. Na početku se diskutuje o problemu mogućnosti primene naučnog i posebno matematičkog jezika, kao njegovog najvišeg oblika na proučavanje pesničkog jezika. Nabrajaju se suprotnosti ova dva jezika: Naučni jezik je logički gust, beskonačan u sinonimiji a lišen homonimije, veštački, opšti, prevodljiv, lišen stilskih problema, fiksiran u vremenu i prostoru, prebrojivog skupa fraza, nepodudarne kardinalnosti tog skupa i skupa značenja, proziran, tranzitivan, nezavistan od izraza i muzičke strukture, paradigmatski, podudaran u smislu odstojanja paradigmatsko-sintagmatsko, kratkih konteksta, logičan, denotativan, rutinski, opšte stereotipije, trezven, predvidljiv itd. Pesnički jezik je: sugestivno gust, lišen sinonimije a beskonačne homonimije, prirodan, pojedinačan, neprevodiv, krcat stilskim problemima, promenljiv u vremenu i prostoru, neprebrojivog skupa fraza, podudarne kardinalnosti tog skupa i skupa značenja, neproziran, refleksivan, zavistan od izraza i muzičke strukture, sintagmatski, nepodudaran u smislu odstojanja paradigmatsko-sintagmatsko, dugih konteksta, alogičan, konotativan, stvaralački, lične stereotipije, pun zanosa, nepredvidiv itd. Zaključak koji Marcus izvlači iz ovih suprotnosti je da, bez obzira na njih, nema nikakve prepreke da se matematički jezik (kao sublimat naučnog) koristi za analizu pes29

ničkog jezika, i da se te razlike mogu koristiti kao prednosti. Zatim se analizira matematički jezik i matematičko modeliranje suprotnosti između pesničkog i naučnog jezika. U tom smislu uvodi se apstraktna matematička struktura semantičkog jezika L nad rečnikom V. Svaki konačan niz elemenata iz V, naziva se fraza na rečniku V, a skup svih fraza na V sačinjava univerzalni jezik. Uvodeći pojam sinonimije i homonimije pomoću stroge Teorije skupova, zatim ritamsku dužinu, indeks, dijametar, dimenziju i ritamsku strukturu, Marcus dokazuje 25 stavova, koristeći se instrumentima topologije i funkcionalne analize. U narednom poglavlju, razmatraju se pesničke figure kao devijacije naučnog jezika. Odstupanja se mere posebno uvedenim rastojanjima. Zatim se razmatraju oni aspekti pesničkog jezika koji su u vezi sa Teorijom verovatnoće i Teorijom informacija. U okviru tzv. stilističke statistike, koja je najbolje proučena oblast matematičke poetike, barata se statističkim pokazateljima, kao što su procenat samoglasnika u nekom jeziku (npr. italijanski 47,73%, nemački 38,86%), verovatnoća sa kojom se dve, slučajno izabrane reči rimuju ili broj rimovanih parova koji se nalazi u uzorku od n reči. Na primer, od 100 reči u ruskom jeziku može se napraviti 25 a u francuskom 37 rimovanih parova. Na osnovu relativnih parametara može se izračunati informaciona energija pesničkog stiha i njegova entropija. Rasprava o tome da li je entropija mera poetičnosti može se naći na kraju 6-og poglavlja. Sedmo poglavlje je posvećeno komparativnoj analizi pesničkih tekstova. Uvodeći Hamingovo rastojanje između pesničkih segmenata, Marcus navodi primer upoređivanja četiri prepeva Baudelaireove pesme A une passante, s tim što je poređeno 16 semantičkih karakteristika. Prevodioci su bili Filipide, Karajon, Bas30

ković i Dauš. Rastojanja su pokazala da su najverniji prevodioci Basković i Karajon; Filipideov prepev je na priličnom rastojanju, dok je Daušov prevod najudaljeniji od originala. Poslednje poglavlje Marcusove knjige posvećeno je matematičkim metodama u pozorištu, koje je više kombinatorika umetnosti od poezije. Iz šest dramskih funkcija Etienne Souriau, kombinatornim postupkom dobija 210.141 dramsku situaciju. Razvijajući dalje Souriauove ideje, Paul Ginestier izgradio je tzv. geometriju drame. Ustvari, Ginestier je upotrebio ono što matematičari zovu graf. Pomoću standardnih metoda Teorije grafova, moguće je razrešiti dublja značenja radnje i lica u jednom dramskom delu. Prema Raymondu Queneau [20], svaka nauka prolazi kroz četiri faze; empirijsku, kada se nabrajaju činjenice; eksperimentalnu, kad se vrše merenja; analitičku, kada se računa i aksiomatsku, kada se uz pomoć dedukcije, izvode zaključci i utvrđuju zakoni. Prema onome što je napred rečeno, jasno je da matematička estetika polako ulazi u treću, analitičku fazu. Naravno, umetnosti se razlikuju među sobom, i svakako je teže matematički analizirati film koji je četvorodimenzionalan nego pozorište koje je dvodimenzionalno, pa je taj deo matematičke estetike koji se bavi filmom tek na početku.

31

MOZAICI ALHAMBRE Kristali blistaju simetrijom. E. S. Fedorov Naš pesnik i helenista Laza Kostić, u [16] analizira pojmove simetrije i harmonije i zaključuje da uzajamna veza ova dva estetska elementa – tzv. ukrst (tj. jedinstvo suprotnosti) predstavlja osnovno načelo bića ali i umetnosti. On uvodi grafičke znake: >< za simetriju i