Knjiga_20101222

1.

UVOD U MEHANIKU FLUIDA

1.1.

POJAM FLUIDA I NJEGOVA PODJELA

Mehanika čvrstog i čvrsto-elestičnog tijela, kao što su otpornost materijala i teorija elestičnosti, izučavaju problematiku onih materija koje se ne deformišu ili je njihova deformacija vrlo mala dok su smičuće sile u dejstvu. Klasifikaciji materije na bazi veličine dejstva smičućih napona i odgovarajuće veličine deformacije dovodi do pojma fluida. U tom cilju, podsjetimo se na pojmove napona i deformacije. Napon se definiše kao granična vrijednost odnosa sile kada posmatrana površina teţi nuli:

i površine

na koju djeluje ova sila,

Ako je sila normalna na površinu govorimo o normalnom naponu , a ako je tangencijalna, govorimo o smičućem naponu . Deformacija se definiše kao promjena rastojanja izmeĎu dvije tačke u tijelu. Ako se posmatra apsolutna veličina ove promjene govori se veličini deformacije, a ako se posmatra količina ove promjene u jedinici vremena, govori se o brzini deformacije. Fluid se može definisati kao materija koja se kontinualno deformiše, tj. kreće se, struji ili teče kada je podvrgnuta i najmanjem dejstvu smičućih napona. Prema ovoj definiciji fluida, tečnosti i gasovi se mogu svrstati u fluide bez obzira na velike razlike u nekim njihovim fizičkim svojstvima. Isti zakoni kretanja su primjenljivi za strujanje oba medija dokle god su pri tom strujanju dominantna ista fizička svojstva. Ovakav pristup izučavanja i klasifikacije materijala je doveo do razvoja nove fundamentalne inţinjerske discipline Reologije, podjednako interesantne za izučavanje čvrsto–elastičnog i fluidnog tijela. Grafički prikaz funkcionalnih relacija napona i brzina deformisanja za izvjestan broj reoloških materija je prikazan na slici 1.1. U opštem slučaju, veza izmeĎu tangencijalnih napona i brzine deformacije se naziva krivom tečenja materijala:

Kako se vidi, prema reološkom tretiranju materije, klasifikacija počinje od jednog idealnog ekstrema: 

1

Paskalove1 materije, koja ne posjeduje unutarnje trenje pa prema tome ni otpor dejstvu smičućih sila. Pretpostavke o neviskoznom, idealnom fluidu su uvedene u svrhu aproksimativnih analiza.

Blaise Pascal

1

 

Njutnov2 fluid je materija kod koje je veza izmeĎu smičućih napona i brzine deformacije linearna. To su fluidi sa kojima se najčešće susrećemo u praksi (voda, ulja i druge tečnosti, zatim vazduh i drugi gasovi). Nenjutnovi fluidi su materije kod kojih je veza izmeĎu smičućih napona i brzine deformacije nelinearna. Tu spadaju guste suspenzije, krv, med, rastvor gume i dr. Mada postoji razlika izmeĎu ovih fluida u pogledu relacije napon – brzina deformacije ipak njutnovi i nenjutnovi fluidi posjeduju jedno zajedničko svojstvo koje ih karakteriše kao fluide, a to je da se oni počinju deformisati i pri najmanjem dejstvu smičućih napona.

Slika 1.1.: Reološka podjela materije



Plastično tijelo je materija za koju je karakteristično da mora proći zonu elastičnosti da bi prešla u zonu plastičnosti. Dok je dati element materije u zoni elastičnosti, po prestanku dejstva smičućih napona element poprima prvobitni oblik. Ordinatna osa dijagrama predstavlja čvrste – elastične materije. Plastični materijali zahtijevaju neki početni napon prije nego se počnu deformisati. To znači da se ne deformišu kontinualno pod dejstvom tangencijalnih napona te ne pripadaju kategoriji fluida.

Na prvi pogled, razlika izmeĎu tečnosti i gasova je velika da bi se oni mogli nazvati fluidi. Razlog je što je masa po jedinici zapremine kod tečnosti obično i do hiljadu puta veća nego kod gasova. MeĎutim, sa kinematske tačke gledišta meĎu njima nema razlike. Mehanizam vjetra u niţim slojevima atmosfere i mehanizam podvodnih strujanja u jezerima i morima principijelno se ne razlikuje i pored velike razlike u gustinama gasa i tečnosti. Isto tako, pri kretanju tijela kroz vazduh ili tečnost slika strujanja će biti ista. Iz tog razloga projektovanje velikog sistema ventilacije i sistema za razvod tečnosti, gasa ili ulja, u osnovi se ne razlikuju. Kako je god bila data veza izmeĎu čvrstih i tečnih materija, analogno se moţe povući paralela izmeĎu disciplina koje ih izučavaju. Mehanika fluida uključuje izučavanje tečnosti i gasova dokle god razlika u stišljivosti nije od dominantnog uticaja. Ako se relativno velika kompresibilnost fluida pojavi kao problem u analizi, onda termalni efekt igra dominantnu ulogu i problem nije više problem mehanike fluida nego postaje problem termodinamike. 2

Isaac Newton

2

Prema tome mehanika fluida je disciplina koja izučava kontinuume koji se deformišu i pri najmanjem dejstvu smičućih sila i obuhvata vrlo širok dijapazon ponašanja materije, počevši od momenta koji nije više od interesa za teoriju elastičnosti i teoriju plastičnosti, pa sve do momenta dok problem ne postane izrazito termodinamički. Na bazi reološke klasifikacije razlikujemo: Materija:

Naziv materije prema geniju:

Neviskozan fluid

Paskalova

Blaise Pascal

Viskozan fluid

Stoksova

George Gabriel Stokes

Viskozan – elastičan fluid (med, krv i sl.)

Maksvelova

James Clerk Maxwell

Elastično – viskozno tijelo (katran i sl.)

Kelvinova

William Thomson – 1892.godine postaje Baron Kelvin of Largs, tj. Lord Kelvin

Elastično – plastično tijelo

Hukova

Robert Hooke

Čvrsto (kruto) tijelo

Euklidova

Euclid of Alexandria

1.1.1.

IZ ISTORIJATA RAZVOJA MEHANIKE FLUIDA

Filozofi i matematičari, koji su proučavanju prirode prilazili sa stanovišta kvalitativne analize problema (zašto? i kako?), formirali su disciplinu pod imenom mehanika fluida. Sa druge strane, praktičari i inţenjeri koje je interesovao kvantitativni aspekt problema (koliko?) formirali su disciplinu pod imenom hidraulika. Prvi su za rješavanje problema upotrebljavali matematske metode, a drugi su se oslanjali na iskustvo i empiriju. Prvi, da bi riješili matematski postavljen problem, su često morali činiti takve pretpostavke koje su ih udaljavale od realnosti, tako da se mehanika fluida udaljavala od onoga što je trebala da bude. Drugi, u cilju dobivanja kvantitativnih rezultata, nisu ulazili u uzroke pojave i probleme su rješavali upotrebom empirijskih koeficijenata, tako da je hidraulika dobila i svoj ne zvanični naziv – nauka o koeficijentima. Divergencija izmeĎu ove dvije discipline, jedne te iste nauke, je dosegla kulminaciju krajem pretprošlog i početkom prošlog vijeka. Primjer za ovo je da su pri rješavanju jednog te istog problema ove dvije discipline davale potpuno kontradiktorna rješenja (npr. otpor tijela u fluidu, uzgon i cirkulacija). Krajem XIX vijeka pojavile su se tendencije zbliţavanja ovih disciplina. Tako je pobornik teoretskog tretiranja problema , engleski fizičar Osborn Rejnolds 3 osjetio potrebu da postojeće teorije o kretanju fluida više pribliţi realnosti, odnosno da teoriju koriguje eksperimentalnim rezultatima.

3

Osborne Reynolds

3

Ruski naučnik Nikolaj Jegorovič Ţukovski usmjerava teoriju potencijalnog strujanja fluida prema rješavanju inţenjerskih problema. Sa druge strane, inţenjeri, kao Viliam Frud4, postavljaju korelacije izmeĎu eksperimentalnih činjenica i teoretskog razmatranja. Tek početkom prošlog vijeka Ludvig Prandtl5, njemački naučnik, sa svojom teorijom graničnog sloja objedinjuje ova shvatanja, a hidraulika i mehanika fluida nalaze „jezik“ sporazumijevanja i tijesnu saradnju u rješavanju inţenjerskih problema. Rješenja postaju aplikativna i imaju odgovarajuću fizičku interpretaciju. Zato se kao osnivač moderne nauke o kretanju fluida, koja se danas pojavljuje pod različitim imenima: Mehanika fluida , Nauka o strujanju, Teorijska hidraulika, itd., smatra Ludvig Prandtl sa zasluţnim sinonimom „Otac moderne mehanike fluida“; kojoj je na prvom mjestu zadatak pri rješavanju problema da odgovori na pitanja „zašto?“ i „kako?“, a zatim i na pitanje „koliko?“.

1.2.

FIZIČKA SVOJSTVA FLUIDA

1.2.1.

POJAM KONTINUUMA

Fluidi, kao i sve ostale materije, posjeduju submikroskopsku strukturu u kojoj su elementarni dijelovi u neprekidnom pokretu kroz relativno veliki prazan prostor. MeĎutim, pri rješavanju problema kretanja mase fluida, molekularna struktura fluida se zanemaruje (kretanje molekula nije od interesa). Istina, o njoj se vodi računa u izuzetnim slučajevima, kao što je slučaj rješavanje problema pri vrlo niskim pritiscima. Osnovna pretpostavka je da fluidni medij u potpunosti ispunjava prostor izabranog elementa i posjeduje inercijska i druga fizička svojstva, čija je posljedica da su pored fizičkih svojstava tog medija isto tako i kinematske i dinamičke veličine neprekidne funkcije prostornih koordinata tačke. Ovo su svojstva tijela koje, u stvari ne postoji, i rezultat je potrebe za uproštenjem prirode u cilju njene lakše analize i aplikacija rezultata. Zbog navedenih pretpostavljenih svojstava takvih tijela ona se nazivaju neprekidne sredine, odnosno kontinuumi. Izučavanje njihovog ponašanja spada u posebnu disciplinu – Mehaniku neprekidnih sredina- u koju spada i mehanika fluida. Njena osnovna postavka je: Umjesto tačke posmatra se elementarna zapremina, element fluida. Element je dovoljno velik i u sebi sadrži veći broj molekula tako da su njegova fizička i kinematsko–dinamička svojstva odraz srednjeg efekta molekula u njemu. Sa druge strane, on je dovoljno malen da se, kao na diferencijalno malu veličinu, na njega u cijelosti može primijeniti princip diferencijalnog računa. Smatrajući ga kao redukovanu zapreminu u kojoj je masa molekula kontinuirano raspoređena bez praznog međuprostora, onda se i sva njegova svojstva kontinuirano mijenjaju ili su konstantna unutar posmatrane zapremine. Putem statističke analize većeg broja uzoraka uzetih iz posmatranog medija veće zapremine, pri konstantnoj temperaturi i pritisku, ova hipoteza o kontinuumu moţe se i grafički prikazati, kao na slici 1.2., gdje je: 4 5

William Froude Ludwig Prandtl

4

Ukoliko se izabere manji uzorak onda postoji i manja vjerovatnoća da će on sadrţavati molekule. Pošto su molekule u stalnom pokretu moguće je da se dobije dovoljno malen uzorak, bez molekula. S druge strane, neki drugi uzorak iste veličine moţe u sebi sadrţati izvjestan broj molekula. Prema tome, količina mase u datoj zapremini varira sa poloţajem i vremenom. Za tako izabranu malu zapreminu uzoraka je nemoguće ustanoviti konstantnu vrijednost odnosa mase i zapremine. Ovo je slučaj, ako je izabrana elementarna zapremina veličine unutar zone efekta molekula, kao što je pokazano na slici 1.2.

Slika 1.2.: Grafički prikaz hipoteze o kontinuumu

Ukoliko se zapremina uzorka poveća onda će svaki uzorak u sebi sadrţati glavninu molekula prvobitnog uzorka, tako da oni postaju sve homogeniji. Povećanjem zapremine, broja molekula po jedinici zapremine se smanjuje i zato se masa po jedinici zapremine asimptotski pribliţava konstantnoj vrijednosti. Zapremina predstavlja minimalnu zapreminu fluidnog elementa koji zadovoljava uslove neprekidne sredine, u kojoj molekuli ne izraţavaju svoje individualne karakteristike. Ova zapremina se naziva granica neprekidne sredine ili kontinuuma. Ako se konstantnost mase po jedinici zapremine (gustina) kontinuuma, za sve zapremine veće od granice neprekidne sredine, odraţava za ma kako izabranu zapreminu po obliku i njenom poloţaju u kontinuumu, onda je takav kontinuum homogen. Ako pak dolazi do promjene gustine povećanjem izabrane zapremine preko neke veličine onda postoji prostorna promjena gustine što odraţava nehomogenost posmatranog kontinuuma, i on se moţe povećati ili smanjiti zavisno od medija.

,

Osnovni uslov za posmatranje fluida kao kontinuuma je da karakteristična veličina posmatranog elementa fluida bude mnogo veća od srednje vrijednosti slobodne putanje molekula.

1.2.2.

GUSTINA FLUIDA

Gustina je fizičko svojstvo fluida koja se definiše kao granična vrijednost odnosa mase i zapremine, koja u sebi sadrţi ovu masu, kada posmatrana zapremina teţi nuli, tj. 5

(1.1.)

Dimenzija gustine je:

Gustina se mijenja sa pritiskom i temperaturom prema jednačini stanja. Sve ove veličine kao zavisno promjenljive u najopštijem slučaju mogu se mijenjati od tačke do tačke, a u posmatranoj tački i u toku vremena, tako da se u najopštijem slučaju moţe pisati da je gustina zavisno promjenljiva funkcija koordinate tačke i vremena, tj.

U velikom broju problema je

1.2.3.

i ovaj dio mehanike fluida će biti proučavan.

SPECIFIČNA TEŽINA FLUIDA

Dejstvo sila gravitacije na jedinicu zapremine fluida predstavlja teţinu jedinice zapremine, zapreminsku ili specifičnu teţinu: (1.2.)

Dimenzija je: Iako je poznata kao skalarna veličina, specifična teţina je suštinski vektor sa smjerom dejstva u smjeru ubrzanja zemljine teţe. Njena relativna u odnosu na neku referentnu veličinu se naziva relativna specifična težina . Obično se kao referentna specifična teţina uzima specifična teţina vode pri normalnim stanju. Prema definiciji slijedi da je relativna specifična teţina bezdimenzionalni broj.

1.2.4.

STIŠLJIVOST – ELASTIČNOST FLUIDA

Svaki fluid u manjoj ili većoj mjeri pokazuje svojstvo stišljivosti, odnosno elastičnosti. To je svojstvo fluida da pod dejstvom normalnih površinskih sila mijenja svoju zapreminu. Po prestanku dejstva ovih sila posmatrana zapremina poprima prvobitnu veličinu. Relativna zapreminska promjena ( ) uslijed promjene pritiska je mjera stišljivosti fluida i naziva se koeficijent stišljivosti: (1.3.)

Znak minus u izrazu 1.3. pokazuje da smanjenju pritiska odgovara povećanje zapremine i obratno. Promjena zapremine uzrok je promjeni gustine, pa iz zakona o odrţanju mase slijedi:

6

(1.4.)

Na ovaj način je definisana mjera elastičnosti fluida preko modula elastičnosti, izraz 1.4. Modul elastičnosti je recipročna vrijednost koeficijenta stišljivosti i predstavlja relativnu promjenu gustine uslijed promjene normalnih sila. Njutnov obrazac za brzinu prostiranja zvuka (c) u homogenoj sredini glasi:

Stišljivost fluida se moţe zanemarit u slučajevima gdje je brzina zvuka velika, a strujni prostor mali. Elastičnost-stišljivost fluida je zanemarljiva ako je brzina strujanja znatno manja od brzine prostiranja zvuka u datoj sredini. U vazduhu je brzina zvuka c ≈330 m/s, a u vodi c ≈1500 m/s.

1.2.5.

VISKOZITET

Mehanika fluida kao mehanika kontinuuma zanemaruje submikroskopsku strukturu materije, koja je osnova za fizičku interpretaciju viskoziteta kao isključivog svojstva fluida. Pri kaotičnom kretanju prelazeći iz jedne zone, molekule sa sobom prenose termodinamičke karakteristike (definisane stanjem kretanja molekula), predajući ih zoni u koju dolaze. Isti mehanizam prenosa se odigrava i u suprotnom smjeru, kao i svim ostalim pravcima i smjerovima. Ovaj kaotični proces miješanja na nivou molekula se naziva molekularna difuzija i predstavlja osnovu transportnih procesa (mase, toplote i količine kretanja) u fluidu. Molekule kao nosioci mase su nosioci i količine kretanja . U ovom difuznom procesu moţe doći i do sudara molekula. Prenos količine kretanja kroz površinu fluidnog elementa dogaĎa se kada molekule proĎu kroz površinu tog elementa. Do ovoga će doći ako u tom momentu, izmeĎu dvije grupe molekula sa obe strane površine elementa djeluje sila. Kombinovani efekt protoka količine kretanja, prolazom molekula kroz površinu elementa i kohezionih sila koje djeluju izmeĎu molekula na obe strane površine, predstavlja veličinu lokalnog napona. Ako je u blizini te tačke brzina fluida jednolika, napon je isti kao da fluid miruje, normalan je na površinu i ne zavisi od orijentacije površine elementa. Ako je u okolini posmatrane tačke raspored brzina fluida nejednolik, onda će ma kakva molekularna interakcija, poprečno na površinu elementa, rezultirati uspostavljanjem i tangencijalne komponente napona, koja će uvijek djelovati tako da nastoji eliminisati razliku brzina izmeĎu susjednih slojeva fluida. Prema tome, transport količine kretanja kao posljedica intermolekularnog dejstva, stvara unutrašnji otpor kretanju fluida ili unutrašnje trenje u fluidu. 7

Fluidi koji pokazuju ovo svojstvo su viskozni fluidi. Relacija koja daje vezu izmeĎu unutarnjeg napona i nejednolikosti rasporeda brzina uključivat će koeficijent proporcionalnosti kao predstavnika opisanog mehanizma. To je koeficijent viskoziteta kao predstavnik ovog novog fizičkog svojstva fluida. Na osnovu navedenog, tangencijalni napon se moţe interpretirati kao molekularni – viskozni fluks količine kretanja glavnog pravca toka u pravcu normalno na njega, kroz ravan u kojoj se formira ovaj napon. Postavimo relaciju izmeĎu unutarnjeg napona i lokalnog gradijenta brzine za jednostavno smičuće kretanje fluida, kao što je prikazano na slici 1.3. U ovom primjeru fluid se kreće izmeĎu dvije beskonačno velike, paralelne ploče, od kojih jedna miruje, a druga se kreće brzinom . Zbog dejstva viskoziteta brzine čestica fluida u kontaktu sa pločama su jednake brzini ploča. IzmeĎu ploča brzina se mijenja linearno od nule, na donjoj ploči, do na gornjoj pokretnoj ploči. Raspored brzina je dat funkcijom opšteg oblika:

Slika 1.3.: Jednostavno smičuće kretanje fluida

Zbog linearnog rasporeda brzina, izmeĎu i gradijent brzine je konstantan u svim tačkama presjeka pa će u ma kojoj ravni paralelnoj sa ravni doći do uspostavljanja smičućeg napona veličine: (1.5.)

gdje su: - tangencijalni napon (smičuća sila na jedinicu površine ), - koeficijent dinamičkog viskoziteta, -

gradijent brzine (promjena brzine po jedinici duţine u pravcu normalnom na pravac kretanja fluida).

Dobivena relacija 1.5. predstavlja Njutnov zakon unutrašnjeg trenja u fluidu, a fluidi koji se po njemu ponašaju, nazivaju se Njutnovi fluidi. U navedenom izrazu, napon je veličina tangencijalne komponente napona, u ravnima paralelnim sa ravni, koja ima takav pravac i smjer da nastoji eliminisati nejednakosti rasporeda brzina. Koeficijent proporcionalnosti, u izrazu 1.5.:

8

(1.6.)

se naziva koeficijent dinamičkog viskoziteta, jer u sebi sadrţi dimenzije dinamičke veličine. Kao predstavnik fizičkog svojstva fluida, on je za Njutnove fluide pri datim termodinamičkim uslovima konstantan, bilo da je fluid u stanju mirovanja ili kretanja. Za nenjutnove fluide koeficijent dinamičkog viskoziteta je funkcija i stanja i kretanja izraţenog preko gradijenta brzine Dimenzija koeficijenta dinamičkog viskoziteta je:

U SI sistemu jedinica, jedinica mjere za koeficijent dinamičkog viskoziteta

je:

Ranije, u fizičkom CGS sistemu, a i u tehničkom sistemu koristila se jedinica:

Ovako, kako je dat koeficijent dinamičkog viskoziteta, direktno ne predstavlja koeficijent prenosa količine kretanja, jer nema dimenzije koeficijenta difuznosti. Odgovarajući koeficijenti prenosa toplote i mase imaju dimenzije kvadrata duţine u jedinici vremena Koeficijent viskoziteta koji ima dimenzije isključivo kinematske veličine dobiva se djeljenjem koeficijenta dinamičke viskoznosti sa gustinom fluida: (1.7.)

Ovo je koeficijent kinematskog viskoziteta i njegove dimenzije su:

Jedinica za mjerenje kinematskog viskoziteta u SI sistemu je kvadratni metar po sekundi Ranije, u CGS sistemu se koristila jedinica Stoks Dakle, koeficijent kinematskog viskoziteta je koeficijent difuzije količine kretanja i predstavlja sposobnost molekularnog transporta da eliminiše nejednolikost intenziteta veličine koja doprinosi transportu količine kretanja (u ovom slučaju brzine fluida). Navedimo još da je koeficijent dinamičkog viskoziteta funkcija temperature, a ne pritiska i da sa porastom temperature koeficijent dinamičkog viskoziteta raste za gasove, a opada za tečnosti.

9

1.2.6.

OSTALE OSOBINE FLUIDA

Naprijed su navedene najvaţnije osobine fluida vezane za problematiku koja će se razmatrati u ovoj knjizi. MeĎutim, u reţimima strujanja kada dolazi do promjene temperature od značaja su i druge osobine:    

specifična toplota, koja pokazuje koliko energije treba utrošiti za zagrijavanje fluida, toplota provoĎenja, koja pokazuje koliko efikasno fluid provodi toplotnu energiju, unutrašnja energija, entalpija i entropija, čije promjene ukazuju na razmjenu energije izmeĎu fluidne struje i okoline, i koeficijent difuzije (toplota, masa) koji pokazuje transportne osobine fluidne mase.

1.3.

ANALIZA SILA KOJE DJELUJU NA FLUID I NJEGOVA RAVNOTEŽNA STANJA

Sve sile koje djeluju na fluidnu masu u odreĎenoj zapremini se mogu podijeliti na unutrašnje i vanjske. Unutrašnje sile su one koje djeluju na kontaktnoj površini izmeĎu dvije mase i pojavljuju se u parovima (po zakonu akcije i reakcije). Vanjske sile su one koje djeluju izmeĎu ma koje mase datog sistema i mase nekog drugog sistema koji nema direktnog kontakta sa prvim, a u datom sistemu se pojavljuju samo jednom. Vanjske sile se još nazivaju i zapreminske, a to su, npr., sila zemljine teţe, gravitaciona sila, sila inercije (Koriolisova, centrifugalna) i druge. Kao najbolji primjer moţe da posluţi sila teţe, koja je funkcija kako mase tijela tako i mase zemlje koja na ovu masu djeluje. One su, dakle, rezultat neke druge mase na posmatranu masu, pa im je naziv 'vanjske' adekvatniji nego 'zapreminske'. I naziv 'zapreminske' bi bio u potpunosti adekvatan ukoliko bi se radilo o tijelima (masi) kod kojih je gustina konstantna, jer u tom slučaju ta sila je zaista proporcionalna zapremini. U suštini ona je proporcionalna masi, ali pošto se ukupna vanjska sila na neko tijelo izraţava preko zapreminskog integrala elementarnih sila, to se uobičajeni naziv 'zapreminska' sila moţe opravdati i ovom činjenicom. Ako vanjsku silu jedinice zapremine označimo sa , čija je dimenzija posmatranu zapreminu fluida ukupna vanjska sila biti:

onda će za

Veliki broj vanjskih sila, posebno onih koje su predmet mehanike fluida, ima svoj potencijal, tj. skalarnu funkciju koja zadovoljava uslov:

odnosno, u notaciji vektorske analize: (1.8.)

gdje su: potencijal, odnosno funkcija jedinične sile , 10

je vektor definisan u svakoj tački polja, koji ima smjer normale na nivo-ravan. Sile koje imaju svoj potencijal se nazivaju konzervativne sile. Kao primjer uzmimo silu teţine (zemljine teţe) čija je jedinična vanjska sila jednaka sili gravitacionog ubrzanja, tj.:

tako da je potencijal sile zemljine teţe: (1.9.)

gdje je z ordinata sa smjerom prema gore. Sila gravitacije je jedna od vanjskih sila koje najčešće srećemo u mehanici fluida. Unutrašnje sile se nazivaju i površinske sile. Da bi se to pokazalo treba posmatranu zapreminu, koju ispunjava fluid, podijeliti na dva dijela pomoću ravni , slika 1.4.

Slika 1.4.: Unutrašnje sile

Ako se dio II ukloni, tada se dio I moţe zadrţati u istom stanju samo ako se uticaj dijela II zamjeni dejstvom ekvivalentnih sila u svim tačkama koje pripadaju zajedničkoj površini Zato se ovakve sile nazivaju površinskim silama i označimo ih sa površine

trpi elementarnu površinsku silu

Mali dio

granične

, koja se moţe rastaviti na normalnu

i

tangencijalnu komponentu . U opštem slučaju, površinske sile nisu jednake u raznim tačkama površine, pa ni u tačkama elementarne površine koja je proizvoljno izabrana. Ako se na nekoj elementarnoj površini

odabere proizvoljna tačka

više suţava onda će u limesu, kada normalne napone, a količnika

, pa se oko nje površina sve

, granična vrijednost količnika

predstavljati

tangencijalne ili smičuće napone, tj.:

U unutrašnjosti fluida normalni napon moţe biti samo pritisak , jer fluid ne moţe podnijeti silu istezanja, za razliku od čvrstih tijela. Pritisak je skalarna veličina, dimenzije:

Elementarna sila pritiska je:

Znak minus je zbog toga što sile pritiska djeluju u suprotnom smjeru od vanjske normale na površinu. Tangencijalne komponente površinskih sila izazivaju klizanje fluidnih elemenata i pri najmanjem dejstvu. Dakle, tangencijalne (smičuće) sile moraju biti u ravnoteţi kada fluid miruje. Realni fluid u stanju mirovanja se ponaša kao idealan, bez trenja. Pri kretanju realnog 11

fluida je situacija sasvim drugačija, viskozitet igra vaţnu ulogu i nema kretanja fluida bez većeg ili manjeg otpora. Uvijek se pretpostavlja da masa neprekidno ispunjava prostor koji zauzima fluid. Tako je moguće matematički obuhvatiti mnoge pojave koje bi bez toga ostale neobjašnjene. Razne fizičke veličine, kao što su gustina, brzina, pritisak itd. postaju sada funkcije koordinata u prostoru i mijenjaju se neprekidno od tačke do tačke, ukoliko u fluidnom prostoru nema nekih izuzetnih mjesta, singulariteta. U mehanici fluida se, dalje, pretpostavlja da je materija homogena i izotropna. Homogenost fluida podrazumijeva da su fizička svojstva svakog, pa i najmanjeg elementa ista u cjelokupnom fluidnom prostoru. Izotropan fluid podrazumijeva da su svojstva svakog, pa i najmanjeg elementa ista u svim pravcima. Drugačiji fluidi se ne proučavaju u mehanici fluida.

1.3.1.

PRITISAK

Već smo naveli da se pod pritiskom u nekoj tački fluida podrazumijeva skalarna veličina čija vrijednost odgovara površinskoj sili normalnoj na površinu, u toj tački. Zato je elementarna sila pritiska

, koja djeluje na element

površine , vektor i to jednak

pritisku pomnoţenim elementom površine i sa predznakom minus jer je smjer sile pritiska suprotan smjeru normale na vanjsku površinu:

Pritisak u fluidu postoji bez obzira da li fluid miruje ili se kreće. Zato treba praviti razliku izmeĎu ova dva slučaja. Pritisak pri mirovanju fluida se definiše kao statički pritisak. Sila uzrokovana statičkim pritiskom ima dva vaţna svojstva:  

uvijek je normalna na svakoj stvarnoj ili zamišljenoj površini u fluidu, intenzitet joj je isti na jednom mjestu bez obzira na orijentaciju površine.

Prvo svojstvo je očigledno jer kada bi sila statičkog pritiska djelovala pod nekim uglom prema normali na površinu, uvijek bi se mogla rastaviti na komponente u pravcu normale i tangente. Tangencijalna komponenta bi izazvala klizanje fluidnih elemenata i ravnoteţa bi se pokvarila. Zato moţe da postoji samo normalna komponenta koja pritiskuje fluid ne narušavajući ravnoteţu. Zbog ovog svojstva površinske sile u fluidu koji miruje dobile su kratak naziv pritisak. Drugo svojstvo pritiska treba dokazati. Zna se da kroz jednu tačku moţe prolaziti bezbroj površina pod raznim uglovima. Dokaz će biti izveden ako se dokaţe da statički pritisak ostaje isti u pravcu normale svake od tih površina. Ako se kroz tačku (slika 1.5.) povuku koordinatne ose i na njima uoče odsječci , spajanjem njihovih krajeva izdvojiće se fluidni tetraedar MABC. On miruje, pa se mogu napisati uslovi za njegovu ravnoteţu pod dejstvom normalnih sila (normalno na stranu ABC). 12

Pritisak u tački S1 površine

je:

i za ostale pravce:

Slika 1.5.: Svojstvo pritiska

Na osnovu ovoga, elementarne sile pritiska će biti:

(1.10.)

Elementarna sila pritiska na površinu

je: (1.11.)

gdje je

pritisak u teţištu površine

Pošto na izdvojeni element fluida djeluju i zapreminske sile (sila teţe) njihovu rezultantu po jedinici mase označavamo sa: Elementarnu masu fluidnog elementa moţemo napisati kao: (1.12.)

a elementarnu zapreminsku silu u pravcu

ose kao:

13

(1.13.)

Na osnovu d'Alember6-ovog principa dinamička ravnoteţa za pravac

će biti: (1.14.)

ili

gdje je: ugao izmeĎ unutrašnje normale na površinu

(u smjeru sile

)i

ose (slika

1.6.).

Slika 1.6.: Svojstvo pritiska u

ravni

Na osnovu ovoga dobivamo:

Zanemarujući članove niţeg (trećeg) reda i analogno ponavljajući postupak za dobiva se:

i

pravac,

Dakle, statički pritisak u nekoj tački fluida je isti u svim pravcima koji prolaze kroz tu tačku, tj.: (1.15.)

Elementarne sile pritiska su normalne na elementarnu površinu koju posmatramo.

6

Jean le Rond d'Alembert

14

2.

HIDROSTATIKA

2.1.

OSNOVNA JEDNAČINA HIDROSTATIKE, DIFERENCIJALNI OBLIK

Da bi se dobila osnovna jednačina hidrostatike, posmatraće se ravnoteţa fluidnog elementa mase u stanju mirovanja. Obzirom da se fluid nalazi u stanju mirovanja svejedno je da li je fluid idealan ili realan. Na posmatrani fluidni element djeluju površinske i zapreminske sile. Površinske sile su definisane veličinom statičkog pritiska , koji djeluje normalno na površine fluidnog elementa. Zapreminske sile (sile teţe) su izraţene po jedinici mase fluidnog elementa i imaju komponente tj. . Ako se pretpostavi da je pritisak u koordinatnom početku na bočnim stranama kao na slici 2.1.

tada su sile pritiska

Analizirat ćemo slučaj u pravcu, a za ostale pravce ćemo primijeniti analogiju. Komponenta vanjske ili zapreminske sile po jedinici mase je: Uslov statičke ravnoteţe sila koja djeluje u pravcu

ose je

i daje:

(2.1.)

Slika 2.1.: Statička ravnoteža sila u

Analogno se dobiva za

i

pravcu

pravac: (2.2.)

Sabiranjem jednačina 2.1. i 2.2. i dijeljenjem sa gustinom , dobiva se: 15

ili (2.3.)

Izraz 2.3. predstavlja osnovnu jednačinu hidrostatike u diferencijalnom obliku. Kada su poznate komponente zapreminskih sila osnovna jednačina hidrostatike se moze iskoristiti za dobivanje zakona rasporeda pritiska u fluidu. Površine istog pritiska se dobivaju iz uslova odnosno Ako od zapreminskih sila uzmemo silu teţe, a smjer

ose prema gore (slika 2.2), dobiva se: (2.4.)

Slika 2.2.: Analiza apsolutnog pritiska u nekoj tački fluida

Uvrštavajući izraz 2.4. u osnovnu jednačinu hidrostatike, izraz 2.3., dobiva se: (2.5.)

Ako jednačinu 2.5. integralimo po bilo kojoj liniji , i ako je za fluid

dobivamo: (2.6.)

Za

dobiva se vrijednost konstante: (2.7.)

odnosno: (2.8.)

gdje su: atmosferski pritisak, dubina na kojoj se nalazi posmatrana tačka. Jednačina 2.8. pokazuje da je apsolutni pritisak u nekoj tački jednak zbiru atmosferskog (tj. vanjskog pritiska) i hidrostatičkog pritiska, uslijed teţine stuba fluida visine i jediničnog poprečnog presjeka. Ranije je navedeno da je pri mirovanju fluida ravnoteţa moguća ako zapreminske (vanjske) sile imaju svoj potencijal, tj. skalarnu funkciju koja zadovoljava uslov: 16

(2.9.)

Skalarna funkcija je potencijal sile, odnosno potencijalna funkcija. Kao što je već napomenuto, sile koje imaju svoj potencijal se nazivaju konzervativne sile. Sada ćemo odrediti potencijal sile teţe:

(2.10.)

Na slici 2.2. je prikazano, da je u tački A sila teţe po jedinici mase R i dobiveno je: (2.11.)

Iz izraza 2.10. i 2.11. imamo: (2.12.)

odnosno, potencijal sile teţe: (2.13.)

Ako se u koordinatnom sistemu krećemo tako da je slijedi da je Na ovaj način dolazimo do pojma ekvipotencijalne površine. U slučaju sile teţe horizontalne.

znači da je

odnosno

odnosno ekvipotencijalne površine su

2.2.

PRITISAK NA POVRŠINE

2.2.1.

PRITISAK NA RAVNE POVRŠINE

U slučaju apsolutnog mirovanja fluida odreĎivanje intenziteta, pravca i smjera dejstva rezultujuće sile pritiska (hidrostatičkog pritiska) daje osnovne podatke projektantima brana, ustava, nasipa i dr. Dakle, problem je odrediti silu pritiska na ravnu površinu nagnutu pod uglom prema ravni horizonta, slika 2.3. Elementarne sile pritiska su normalne na elementarnu površinu rezultujuća sila normalna na posmatranu površinu.

, prema tome je i

Kako se atmosferski pritisak prenosi na obe strane površine on neće doprinositi rezultujućoj sili, i pritisak je razlika izmeĎu apsolutnog i atmosferskog pritiska – relativni pritisak. Intenzitet elementarne sile pritiska je: (2.14.)

Intenzitet rezultujuće sile pritiska se dobiva integralenjem izraza 2.14.: 17

(2.15.)

Slika 2.3.: Pritisak na ravnu površinu

Integral

se naziva statički moment površine za

površinom tečnosti) i označava se sa

osu (presjek ravni sa slobodnom

Prema definiciji srednje vrijednosti integrala: (2.16.)

gdje je: koordinata teţišta površine

mjerene u ravni u kojoj leţi površina.

Sada je: (2.17.)

Vidi se da je intenzitet rezultujuće sile pritiska jednak proizvodu pritiska u teţištu površine i površine . Iz izraza 2.17. se vidi da intenzitet sile pritiska ne zavisi od ugla . Tačka u kojoj djeluje rezultujuća sila naziva se centar pritiska, hvatište ili centar dejstva. U opštem slučaju centar pritiska se razlikuje od teţišta površine. Poloţaj centra pritiska se odreĎuje iz uslova da je moment rezultante jednak sumi momenata komponenti, tj.: (2.18.)

U izrazu 2.18., osu, i označava se sa

se naziva aksijalni moment inercije površine

u odnosu na

Dakle, dobivamo:

odnosno: (2.19.)

18

Ako sa označimo ose koje prolaze kroz teţište površine , tada se primjenom teoreme o paralelnoj translaciji osa dobiva: (2.20.)

uzmemo da je

gdje je:

moment inercije u odnosu na teţišnu osu površine. Korištenjem izraza 2.20. i 2.19., dobivamo: (2.21.)

Kako je aksijalni moment inercije pozitivna veličina, centar pritiska je uvijek dublje od teţišta posmatrane površine. Smjer djelovanja rezultujuće sile pritiska se odreĎuje prema smjeru djelovanja elementarnih sila Na primjeru rezervoara sa bočnim zidom pod uglom ćemo prikazati ćemu su jednake komponente sile pritiska. Širina zida (normalno na ravan crteţa, slika 2.4.) je

(2.22.)

kako je:

dobivamo: (2.23.)

gdje je: zapremina tečnosti iznad pritisnute površine zida do slobodne površine tečnosti.

Slika 2.4.: Djelovanje sile pritiska na bočni zid

19

2.2.2.

PRITISAK NA ZAKRIVLJENE POVRŠINE

Kao što se vidi sa slike 2.5. koordinatni sistem je postavljen tako da x – y ravan leţi na slobodnoj površini, a osa z orjentisana prema dole.

Slika 2.5.: Pritisak na zakrivljene površine

Na elementarnu površinu površine djeluje elementarna sila koja sa koordinatom zaklapa uglove respektivno. Kada element površine u tački se moţe zamjeniti elementom koji leţi u tangencijalnoj ravni koja prolazi kroz tu tačku. Vektori

su kolinearni i moţe se pisati: (2.24.)

Dalje, (2.25.)

a komponente sile iz izraza 2.25. su:

(2.26.)

odnosno, komponente se dobivaju integralenjem navedenih izraza 2.26.: (2.27.)

Kao što nam je poznato iz izraza 2.16., integral:

se naziva statički moment površine za odgovarajuće vrijednost integrala je:

ose. Prema definiciji, srednja

20

(2.28.)

gdje je: koordinata teţišta površine

.

Iz izraza 2.27. i 2.28. se dobiva: (2.29.)

OdreĎivanje odgovarajućih centara pritiska, odnosno hvatišta. Posmatrajmo površinu (slika 2.6.).

odnosno projekciju površine

na

ravan, odnosno

ravan

(2.30.)

gdje je: aksijalni moment inercije površine

u odnosu na

Slika 2.6.: Centar pritiska ili hvatište (

osu.

ravan)

Primjenom teoreme o paralelnoj translaciji osa (na ose koje prolaze kroz teţište) dobiva se:

gdje je: 21

moment inercije u odnosu teţišnu osu površine. Na osnovu navedenog, dobiva se:

(2.31.)

Pomoću izraza 2.31. odreĎujemo dubinu na kojoj se nalazi pravac komponente sile pritiska Da bi se jednoznačno odredio poloţaj centra pritiska primjeniće se princip ravnoteţe momenta za osu:

odnosno: (2.32.)

gdje je: centrifugalni moment inercije površine

za

Slika 2.7.: Centar pritiska ili hvatište (

Analogno će se uraditi za površinu ravan, slika 2.7.:

projekciju površine

i

osu.

ravan)

na

ravan, odnosno

22

(2.33.)

gdje je: aksijalni moment inercije površine

u odnosu na

osu.

Primjenom teoreme o paralelnoj translaciji osa, dobiva se:

gdje je: moment inercije u odnosu na teţišnu osu površine. Nadalje se dobiva:

gdje je: centrifugalni moment inercije površine

za

i

osu.

Na kraju, posljednja komponenta sile pritiska je: (2.34.)

Integral na desnoj strani izraza 2.34. predstavlja zapreminu koja je ograničena izmeĎu zakrivljene površine, slobodne površine tečnosti i vertikalnih izvodnica koje dodiruju ivice zakrivljene površine. Na osnovu izraza 2.34. se moţe pisati:

23

(2.35.)

To znači, prema izrazu 2.35., da je intenzitet vertikalne komponente sile pritiska jednak teţini tečnosti koja se nalazi u prostoru izmeĎu posmatrane površine i slobodne površine tečnosti. Pravac djelovanja ove komponente prolazi kroz teţište zapremine Do sada je pokazano kako se odreĎuje intenzitet i pravac djelovanja komponenti sile pritiska. Što se tiče smjera on je uvijek suprotan smjeru normale okvašenog dijela pritisnute površine.

2.3.

POTISAK I PLIVANJE

2.3.1.

HIDROSTATIČKI UZGON – POTISAK

Posmatraće se tijelo potpuno potopljeno u tečnost sa ciljem da se odredi intenzitet, pravac i smjer djelovanja sile kojom tečnost djeluje na tijelo, slika 2.8.

Slika 2.8.: Hidrostatički uzgon-potisak

Kako je tijelo ograničeno zatvorenom površinom rezultante komponenti u i pravcu su jednake nuli, odnosno na potopljeno tijelo ne djeluju horizontalne sile. Na površinu vertikalna sila

djeluje vertikalna sila :

a na njoj odgovarajuću površinu

djeluje

(2.36.)

Rezultanta sila, prema izrazu 2.36. je:

(2.37.)

Iz izraza 2.36. i 2.37. se moţe vidjeti da je smjer sile smjer sile je prema gore

suprotan smjeru

ose, odnosno

Intenzitet sile iz izraza 2.37. je:

24

ili poslije integralenja: (2.38.)

gdje su: specifična teţina tečnosti, zapremina tijela. Izraz 2.38. pokazuje da je intenzitet rezultante vertikalnih komponenta sila jednak teţini tijelom istisnute tečnosti. Ovo je dobro poznat Arhimedov7 zakon koji glasi: svako tijelo uronjeno u tečnost prividno gubi onoliko od svoje težine koliko teži tijelom istisnuta tečnost. Rezultanta ove sile prolazi kroz teţište istisnute zapremine. Tačku dejstva ove uzgonske sile – potiska, koja se naziva centrom potiska ili uzgona, treba razlikovati od teţišta uronjenog tijela. Ako uporedimo intenzitete sila: teţine tijela

i uzgonske sile

, imamo slučajeve:

- tijelo tone, - tijelo lebdi u tečnosti, - tijelo u tečnost se kreće prema gore dok jednim dijelom ne izroni. Dio tijela u

tečnosti trpi potisak koji je jednak teţini tijela.

2.3.2.

PLIVANJE I STABILNOST TIJELA PRI PLIVANJU

Ako je potisak veći od teţine potpuno potopljenog tijela, tijelo se kreće prema gore dok jednim dijelom ne izroni. Tada kaţemo da tijelo pliva (slika 2.9.). Slobodna površina tečnosti, kao ravan plivanja, presijeca tijelo. Dobivena površina se naziva površina plivanja. Rastojanje od ravni plivanja do najniţe tačke tijela se naziva dubina potapanja. Dio tijela ispod površine plivanja se naziva deplasman, a središte potiska se naziva središte deplasmana . Prava na kojoj leţi teţište tijela i središte deplasmana, u stanju ravnoteţe, se naziva osa plivanja. Plovni objekti su pravilnog oblika i imaju jednu ili više vertikalnih ravni simetrije. U presjeku ravni simetrije i ravni plivanja dobiva se uzduţna osa (normalno na ravan crteţa, kroz tačku ) koja se naziva osa inklinacije. Rotacija oko ose inklinacije predstavlja bočno ljuljanje. IzvoĎenjem tijela iz ravnoteţnog poloţaja, rotacijom oko ose inklinacije za ugao prvobitno teţište ili središte deplasmana će se pomjeriti u tačku a pravac dejstva potiska će biti u pravcu U presjeku pravca dejstva potiska i ose plivanja dobiva se tačka metacentar.

7

Archimedes of Syracuse

25

Slika 2.9.: Plivanje tijela

Intenzitet potiska se ne mijenja jer je povećanje potopljene zapremine kompenzirano isplivavanjem iste veličine zapremine Dakle, pri ovom zakretanju je došlo samo do pomjeranja središta deplasmana, odnosno do pomjeranja napadne tačke dejstva sile pritiska. Sile teţine i potiska sada formiraju spreg čiji obrtni moment teţi da okrene objekt oko ose inklinacije. U zavisnosti od poloţaja metacentra i teţišta tijela u odnosu na središte deplasmana mogu se definisati tri ravnoteţna stanja: stabilna ravnoteţa, indiferentna ravnoteţa, labilna ravnoteţa. Za odreĎivanje stanja ravnoteţe, u kome se nalazi plovni objekt, potrebno je odrediti poluprečnik metacentra . Za dati nagib tijela, poluprečnik metacentra se moţe dobiti iz momentne jednačine sila koje djeluju na tijelo. Veličina momenta koji ţeli da vrati tijelo u ravnoteţni poloţaj, tzv. moment uravnoteţenja je: (2.39.)

Za uglove Potopljena polovina tijela je podvrgnuta višku, a polovina koja je iznad tečnost smanjuje silu potiska, koje su zbog jednakosti zapremina jednake po intenzitetu, ali su suprotnog smjera.

26

Obzirom da je:

dobivamo:

(2.40.)

gdje su: moment inercije površine plivanja u odnosu na

osu

zapremina potopljenog dijela tijela – deplasman. Radijus metacentra direktno je proporcijalan momentu inercije površine plivanja u odnosu na poduţnu osu u koju ulaze i geometrijske karakteristike plovnog objekta.

2.4.

RELATIVNO MIROVANJE FLUIDA

U mehanici fluida, kao i u mehanici krutog tijela, proučavaju se ne samo apsolutna kretanja ili mirovanja, nego i relativna. Tečnost moţe mirovati u odnosu na posudu u kojoj se nalazi, ali istovremeno se moţe kretati u prostoru zajedno sa posudom. Pri analizi takvih kretanja treba uvesti u proračun inercijalne i prividne sile (centrifugalne i dr.). Inercijalne sile su zapreminske i zato pri proučavanju relativnog mirovanja fluida, pod projekcijama sile treba podrazumjevati ne samo projekcije teţine nego i svih inercijalnih sila. Da bi se u ovakvim slučajevima odredio raspored pritisaka u tečnosti i oblik slobodne površine treba primijeniti osnovnu jednačinu hidrostatike, ali uzimajući u obzir i inercijalne sile. Dakle, prema d'Alember-ovom, svaki dinamički sistem se moţe tretirati kao statički pod uslovom da se efekt ubrzanja uzme u obzir preko fiktivnih inercijalnih sila.

2.4.1.

JEDNOLIKO UBRZANO TRANSLATORNO KRETANJE

Ako se posuda kreće pravolinijski, konstantnom brzinom, tečnost u posudi će relativno mirovati u odnosu na posudu, jer nema sile koja bi je izvela iz tog ravnoteţnog poloţaja, slika 2.10.

27

Slika 2.10.: Jednoliko ubrzano translatorno kretanje

Pri jednoliko ubrzanom pravolinijskom kretanju relativna ravnoteţa tečnost prema posudi zavisi od djelovanja dvije sile: teţine i inercije Vektorskim sabiranjem ovih sila dobiva se rezultujuća sila Na slici 2.10. su prikazane te sile izraţene po jedinici mase. Površine jednakih pritisaka će biti ravni normalne na pravac rezultujuće sile Na primjeru posude koja se kreće niz strmu ravan, nagnutu pod uglom ubrzanjem dobivamo:

konstantnim (2.41.)

Sada osnovna jednačina za hidrostatiku fluida 2.3., poprima oblik: (2.42.)

ili kada se integrali: (2.43.)

Konstanta integracije se odreĎuje iz uslova:

Uvrštavanjem konstante integracije u izraz 2.43. i sreĎivanjem, dobiva se: (2.44.)

Dobiveni izraz 2.44. predstavlja raspored relativnog pritiska u tečnosti. Jednačina slobodne površine tečnosti dobiva se iz izraza 2.44., uz uslov (2.45.)

Nagib slobodne površine tečnosti prema horizontu je:

28

Površine konstantnog relativnog pritiska se dobivaju iz uslova paralelne sa slobodnom površinom tečnosti. Ako se posuda kreće horizontalno onda je

2.4.2.

i one su

i

JEDNOLIKA ROTACIJA TEČNOSTI OKO VERTIKALNE OSE

Cilindrična posuda napunjena tečnošću rotira konstantnom ugaonom brzinom oko vertikalne ose, poslije izvjesnog vremena, i tečnost će početi rotirati zajedno sa posudom, slika 2.11. Uzrok tome je trenje tečnosti o zid posude koji se prenosi u unutrašnjost, te sva masa rotira.

Slika 2.11.: Rotacija tečnosti oko vertikalne ose

U ovom slučaju tečnost relativno miruje u odnosu na posudu. Dakle, sili teţine treba dodati horizontalnu centrifugalnu silu. Ako je ugaona brzina

dobiva se: (2.46.)

Osnovna jednačina hidrostatike sada glasi:

ili poslije integralenja: (2.47.)

Iz uslova

dobivamo

odnosno: (2.48.)

Uvrštavanjem konstante 2.48. u izraz 2.47. i sreĎivanjem, dobiva se: 29

(2.49.)

Dobiveni izraz 2.49. predstavlja raspored relativnog pritiska u tečnosti. Jednačina slobodne površine tečnosti se dobiva iz uslova

:

(2.50.)

Izraz 2.50. predstavlja jednačinu paraboloida. Sada je potrebno odrediti visinu na koju će se podignuti tečnost uz zid posude u odnosu na početnu visinu (prije rotacije) i na koju dubinu će se spustiti tečnost u osi rotacije. Prema slici 2.11. poluprečnik posude je , visina paraboloida tečnost uz zid posude je . Za tačke na zidu vrijedi jednačine, izraz 2.50., dobiva:

i visina do koje se podigne pa se iz posljednje

(2.51.)

Sa druge strane, ako je H bila visina tečnosti u posudi prije rotacije, njena zapremina ostaje ista i za vrijeme rotacije, odnosno:

Primjećuje se da je zapremina paraboloida jednaka polovini zapremine cilindra iste baze i visine.

Dalje slijedi da je:

Vidi se, da se tečnost u sredini posude, zid posude.

, spusti za istu vrijednost za koju se podigne uz

Probleme iz ove oblasti je praktičnije rješavati u cilindričnim koordinatama:

Sada izraz za raspored relativnog pritiska glasi:

Naprijed prikazano je vezano za postavljanje koordinatnog početka u tjeme paraboloida. 30

Osnovna jednačina rotacije oko ose, kada cijela masa fluida rotira istom ugaonom brzinom kao i posuda, glasi:

Konstantu integracije sistemu.

odreĎujemo iz poznatog uslova, a prema odabranom koordinatnom

Saznanja iz ovog poglavlja se koriste kada se ţeli povećati pritisak, npr. pri livenju ţeljeza u kalupe, za rad centrifugalnih pumpi i dr. Ista pojava se moţe iskoristiti ako su u posudi pomiješane dvije tečnosti različitih specifičnih teţina, onda kao što se zna, tečnosti teţe da se rasloje (razdvoje, separiraju) i da lakša tečnost zauzme poloţaj iznad teţe. Uzrok raslojavanju je nejednak pritisak koji se javlja u pojedinim tačkama na istoj dubini i koji je posljedica specifičnih teţina fluidnog elemenata. Na ovom principu su sagraĎeni separatori koji se koriste u industriji proizvodnje mlijeka, šećera, nafte, itd.

31

3.

KINEMATIKA FLUIDA

Kinematika fluida proučava kretanje fluidnih elemenata i fluida kao cjeline ne vodeći računa o silama koje uzrokuju kretanje. Postoji bitna razlika meĎu promjenama koje mogu nastupiti pri kretanju elemenata krute materije i fluidnih elemenata. Element krute materije se moţe kretati translatorno i da pri tome rotira bez promjene oblika, dok fluidni element pri kretanju mijenja poloţaj, oblik i zapreminu, ukratko, moţe se deformisati. U suštini, kinematika fluida daje matematičke opise kretanja fluida, čime predstavlja osnove za analizu kretanja pod dejstvom sila, što se proučava u dinamici fluida. Pored matematičkog opisivanja kretanja, kinematika fluida upotpunjava saznanja o kretanju fluida eksperimentalnim putem.

3.1.

BRZINA I UBRZANJE

Teškoće u opisivanju kretanja fluida su uzrokovane neprekidnošću sredine koja sadrţi veliki broj elemenata fluida. Poznavati kretanje fluida znači poznavati brzinu i ubrzanje svakog fluidnog elementa. Za ovo se primjenjuju dva metoda: Lagranţeov8 i Ojlerov9. Prvi metod je dao Lagranţ, a suština mu je u tome što se svaki element fluida prati na putu kroz prostor, onako kako se to radi u mehanici materijalne tačke. Drugi metod je postavio Ojler, i po njemu se uoči tačka u prostoru za koju se odreĎuje brzina i ubrzanje. Ako se za sve tačke prostora uspiju odrediti ove veličine, u svakom trenutku vremena, onda će strujanje biti potpuno definisano.

3.1.1.

LAGRANŽEOV METOD

Posmatrajmo kretanje fluida u prostoru koji je definisan Dekartovim koordinatnim sistemom. Neka se u trenutku vremena posmatrani fluidni element nalazi u tački koja ima svoj radijus vektor . U proizvoljnom vremenskom trenutku , isti fluidni element se nalazi u tački , koja ima radijus vektor , tj.: (3.1.)

gdje su: (3.2.)

ili (3.3.)

8 9

Joseph Louise Lagrange Leonhard Euler

32

Vrijednosti , u izrazima 3.2. i 3.3., se nazivaju Lagranţeovim varijablama. Pogodno je da se svaki fluidni element označi (definiše) početnom pozicijom. Tako se, naprijed posmatrani element, označava kao element . Po definiciji, brzina neke materijalne tačke je jednaka prvom izvodu radijus-vektora poloţaja u vremenu, tj.: (3.4.)

ili izraţeno preko komponenti: (3.5.)

gdje su komponente brzine odreĎene sa: (3.6.)

Prema definiciji ubrzanja: (3.7.)

ili ako se ubrzanje, izraz 3.7., izrazi preko komponenata ubrzanja: (3.8.)

Prednost ovakvog rješavanja je u tome što je putanja svakog fluidnog elementa odmah poznata, ali praktična primjena u dinamici fluida, vodi veoma sloţenim jednačinama, koje je teško rješavati.

3.1.2.

OJLEROV METOD

Prema ovoj metodi nije potrebno označavati pojedine fluidne elemente. Umjesto toga, karakteristika strujanja se odreĎuje u proizvoljnoj tački u proizvoljnom trenutku vremena . Ovako se, formalno matematički, brzina moţe predstaviti: (3.9.)

ili izraţavajući vektor brzine preko komponenti: (3.10.)

gdje su: (3.11.)

Prednost Ojlerovog metoda je u tome što vodi prema jednostavnim jednačinama. Kada su poznata rješenja u obliku 3.11., moguće je dobiti Lagranţeov opis kretanja, rješavajući sistem jednačina 3.12.: (3.12.)

33

(3.12.)

uz početne uslove:

, dobiva se: (3.13.)

Da bi se definisali izrazi za ubrzanje po Ojlerovoj metodi, posmatraće se promjena brzine izmeĎu tačke odreĎene vektorom i tačke odreĎene sa Neka se fluidni element, koji se u ternutku vremena , zatekne u poloţaju odreĎenom sa nakon isteka vremena preĎe u poloţaj odreĎen sa Zbog pojednostavljenja posmatraće se promjena brzine samo u

pravcu: (3.14.)

ili prema jednačini iz izraza 3.11. : (3.15.) 10

Razvojem prvog člana na desnoj strani izraza 3.15. u Taylorov red, zanemarujući članove višeg reda, dobiva se:

ili (3.16.)

Obzirom da je kao:

element putanje fluida, njegove komponente

se mogu izraziti

Sada se promjena komponente brzine moţe predstaviti kao: (3.17.)

Kako je, po definiciji, ubrzanje: (3.18.)

koristeći izraz 3.17., dobiva se: (3.19.)

ili

10

Brook Taylor

34

(3.20.)

Analogno se mogu izvesti izrazi i za druge dvije komponente ubrzanja:

(3.21.)

gdje je operator: (3.22.)

poznat pod nazivom materijalni, odnosno supstancijalni izvod ili Stoksov totalni izvod. U izrazima 3.20. i 3.21. za komponente ubrzanja, prvi član materijalnog izvoda je promjena brzine sa vremenom u posmatranoj tački i naziva se lokalnim ubrzanjem. Preostala tri člana predstavljaju promjenu brzine uslijed promjene poloţaja elemenata fluida i nazivaju se konvekcijsko, prenosno ili usputno ubrzanje. Obzirom da je ubrzanje vektorska veličina moţe se napisati kao: (3.23.)

Pored Dekartovog koordinatnog sistema u mehanici fluida se često koriste cilindrični ili sferni koordinatni sistemi. Izbor sistema zavisi od graničnih uslova. Izrazi za komponente ubrzanja u cilindričnom koordinatnom sistemu

glase:

(3.24.)

Izrazi za komponente ubrzanja u cilindričnom koordinatnom sistemu

glase:

(3.25.)

Na slikama 3.1. i 3.2. su prikazane komponente brzine u cilindričnom i sfernom koordinatnom sistemu, respektivno.

35

Slika 3.1.:Komponente brzine u cilindričnom koordinatnom sistemu

Slika 3.2.: Komponente brzine u sfernom koordinatnom sistemu

3.2.

PRINCIP RELATIVNOG KRETANJA

Brzina je vektor koji se moţe izraziti preko svojih komponenti: (3.26.)

i u opštem slučaju, je funkcija poloţaja tačke i vremena. U ovome je osnovna razlika u analizi kretanja fluida i čvrstog tijela. U slučaju kretanja čvrstog tijela za poznavanje brzine ma koje tačke u njemu dovoljno je poznavanje brzine centra mase, poloţaja te tačke u odnosu na centar mase (koji je konstantan) i ugaone brzine tačke oko trenutne ose rotacije u odnosu na centar mase. U najopštijem slučaju kretanja fluida, brzina pojedinih elemenata se ne moţe definisati brzinom centra mase, relativnim poloţajem tačke i njenom ugaonom brzinom, jer se u masi fluida pri njenom kretanju svi ovi parametri mijenjaju u toku vremena. Dobar primjer 36

kompleksnosti kretanja fluida je njegovo kretanje prilikom pomjeranja nekog tijela kroz fluid. Pravci i intenziteti brzine u raznim tačkama mijenjat će se promjenom pravca kretanja tijela, a kretanje će se nastaviti i poslije zaustavljanja tijela, mada su tada promjene znatno manje. Dakle, kretanje fluida se razlikuje od kretanja čvrstog tijela po tome što brzina mora biti poznata u nizu karakterističnih tačaka, a po mogućnosti i u izvjesnim uzastopnim intervalima. Ako je poznata ovakva promjena brzine, onda se kaţe da je definisano strujanje. Dato strujanje se moţe znatno uprostiti primjenom principa relativnog kretanja, koji kaţe da je brzina nekog tijela u odnosu na drugo, jednaka vektorskoj razlici izmeĎu brzina jednog i drugog tijela, mjerenih sa iste tačke posmatranja. Za navedeni primjer, ovim principom tijelo koje se kretalo kroz fluid će doći u stanje mirovanja, a okolni fluid će obstrujavati potopljeno tijelo. Primjena principa relativnog kretanja je prikazana na slici 3.3., gdje je za tijelo izabrana kugla.

Slika 3.3.: Princip relativnog kretanja

Tijelo se kroz fluid kreće brzinom Oduzimanjem brzine kretanja elementa fluida

dok je brzina fluidnog elementa u tački ,

od apsolutne brzine elementa fluida

.

, dobiva se relativna brzina

u odnosu na tijelo, (3.27.)

Vektor je brzina elementa fluida kakva bi ona bila za posmatrača fenomena kretanja kada bi se on nalazio na tijelu prilikom njegovog kretanja. Ovaj princip ima veliku primjenu u eksperimentalnoj mehanici fluida kao i pri analizi kvazistacionarnih fenomena.

3.3.

STRUJNA SLIKA

Iz prirode kretanja elemenata fluida unutar mase fluida, se vidi, da bi za opisivanje kretanja mase trebalo poznavati zakone kretanja svih pojedinih elemenata fluida unutar te mase. Ovakav pristup izučavanju kretanja fluida je praktično nemoguć, pa se prišlo izvjesnoj generalizaciji kretanja elemenata uvoĎenjem pojma kao što su strujna linija, trajektorija, trag i strujna mreţa. Sistem ovakvih linija daje uvid u kretanje fluida i predstavlja neku vrstu vizualizacije fenomena, kako strujanja fluida kao mase tako i kretanja njegovih elemenata u pojedinim zonama toka.

37

3.3.1.

STRUJNA LINIJA ILI STRUJNICA

Strujna linija ili strujnica se definiše kao linija na koju, u datom trenutku vremena, vektori brzine svih elemenata fluida na toj liniji imaju pravac tangente na nju.

Slika 3.4.: Strujna linija ili strujnica

Prema ovoj definiciji strujna linija pokazuje trenutni pravac kretanja fluida u svakoj svojoj tački, tj. ne moţe biti kretanja fluida poprečno na strujnu liniju, jer je komponenta vektora brzine u ovom pravcu jednaka nuli. Iz definicije se vidi da je element strujne linije napisati kao:

paralelan sa vektorom brzine

što se moţe (3.28.)

Odavde slijedi: (3.29.)

Strujne linije su u najopštijem slučaju krive linije. Sistem strujnih linija će konvergirati ili divergirati u zavisnosti od oblika graničnih površina kroz ili oko kojih fluid struji.

3.3.2.

PUTANJA ILI TRAJEKTORIJA

Putanja ili trajektorija je linija koja povezuje sve tačke u prostoru kroz koje je prošao jedan te isti, posmatrani, fluidni element u toku vremena kretanja. Matematičke jednačine trajektorije su date izrazom 3.30.:

(3.30.)

38

sa početnim uslovima za element.

koji time odreĎuju i fluidni

Prema navedenom, dok je sistem strujnih linija momentalna slika kretanja, sistem trajektorija je slika kretanja fluida u toku vremena. U najopštijem slučaju, strujnice i trajektorije su dva sistema linija koje se meĎusobno znatno razlikuju. Jedino ako se sistem strujnih linija ne mijenja po obliku u toku vremena onda će ovaj sistem predstavljati i sistem trajektorija.

3.3.3.

TRAG

Trag predstavlja liniju koja u datom trenutku vremena su prošli kroz neku fiksnu tačku prostora.

povezuje sve elemente fluida koji

Ako se u odreĎenu tačku prostora postavi marker malih dimenzija, npr. igla kroz koju se moţe ubrizgavati boja i svakih sekundi ubrizgavamo minimalnu količinu boje. Uskoro će u fluidnom polju biti označeni (vidljivi) ti elementi. Spajanjem vidljivih tačaka fluida se dobiva trag. Kada je strujanje stacionarno, strujnica, putanja i trag predstavljaju jednu te istu liniju.

3.3.4.

STRUJNO VLAKNO ILI STRUJNA CIJEV

Masa fluida koja se kreće ispunjena je cijelim nizom zamišljenih strujnica, Ako se zamisli kretanje dijela fluidne mase unutar prostornog niza strujnih linija, kao na slici 3.5., onda se tako ograničen prostor ovom strujnom površinom naziva strujno vlakno ili strujna cijev.

Slika 3.5.: Strujno vlakno ili strujna cijev

Dok se brzina moţe znatno mijenjati u nekom poprečnom presjeku toka, za pojedina strujna vlakna poprečnog presjeka diferencijalnog reda veličine, brzine u svim tačkama poprečnog presjeka su jednake. Jednačina kontinuiteta primijenjena na strujno vlakno daje elementarni protok kroz ma koji presjek vlakna, i jednak je: (3.31.)

gdje su: 39

konstantne veličine brzina u odgovarajućim presjecima vlakna. Obzirom da je elementarna zapremina fluida: (3.32.)

onda se zapremina fluida koja proĎe u jedinici vremena kroz posmatrani presjek naziva protokom, (3.33.)

Ovako definisana veličina

3.3.5.

, izraz 3.33., predstavlja zapreminski protok fluida.

VRTLOŽNA LINIJA

Na isti način, kao što strujna linija ima vektore brzina kao svoje tangente u svakoj tački kroz koje prolazi, vrtloţna linija u svakom trenutku vremena i u svakoj tački fluidne mase ima vektore vrtloţenja kao svoje tangente. Kako je element vrtloţne linije paralelan sa vektorom vrtloţenja vektorski proizvod te dvije veličine mora biti nula: (3.34.)

Navedeni izraz 3.34. u Dekartovom koordinatnom sistemu se moţe pisati kao: (3.35.)

što predstavlja jednačinu vrtložne linije.

3.3.6.

VRTLOŽNA CIJEV ILI VRTLOŽNO VLAKNO

Sve što je napisano za brzinu u poglavlju 3.3.4. analogno se moţe napisati i za vektor vrtloţenja Ova dva vektora meĎusobno su povezana pojmom cirkulacije. Vektor brzine zadovoljava diferencijalnu jednačinu kontinuiteta za nestišljiv fluid, pa se kombinacijom ovih izraza moţe napisati jednačina kontinuiteta: (3.36.)

koja zadovoljava vektor vrtloţenja i vaţi uvijek kada je zadovoljen uslov Odgovarajući integralni oblik jednačine 3.36. je: (3.37.)

Analogno formiranju strujne cijevi, elementarni dio strujnog toka ili preciznije vrtloţnog toka moţe se ograničiti površinom od sistema vrtloţnih linija koja će sačinjavati vrtloţnu cijev (slika 3.6.). Za vrtloţnu cijev je vezan pojam konstantnosti cirkulacije za svaki presjek, a za strujnu cijev je vezan pojam konstantnosti protoka za svaki presjek cijevi. Ovo je prva Helmholcova11 teorema o vrtlogu.

11

Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz

40

Druga Helmholcova teorema glasi: data vrtloţna cijev se uvijek sastoji od istih elemenata fluida bez obzira da li je ona prenošena ili deformisana prilikom strujanja fluida.

Slika 3.6.: Vrtložna cijev ili vrtložno vlakno

Treća Helmholcova teorema glasi: stepen vrtloţenja fluida, tj. cirkulacija po zatvorenoj krivoj se moţe mijenjati samo pod dejstvom smičućih napona unutar fluida.

JEDNAČINA KONTINUITETA

3.4.

Osnovni princip kontinuiteta je zakon o odrţanju mase, koji glasi: povećanje mase fluida u jedinici vremena sadrţane u nekoj ograničenoj zapremini mora biti jednaka razlici mase u jedinici vremena koja je ušla i izašla iz posmatrane zapremine. Za vrijeme kretanja zapremina moţe mijenjati oblik i veličinu, ali ukupna masa u njoj ostaje ista, što znači da se i gustina fluida moţe mijenjati.

JEDNAČINA KONTINUITETA U DIFERENCIJALNOM OBLIKU

3.4.1.

Ako postoji ulaz i izlaz mase fluida kroz površinu koja opkoljava posmatranu zapreminu onda uslovu odrţanja mase dodajemo uslov neprekidnosti sredine fluida. Pod ovim uslovima promjena mase u jedinici vremena unutar posmatrane zapremine mora biti jednaka fluksu mase fluida kroz površinu koja opkoljava tu zapreminu. Posmatrajmo zapreminu paralelopipeda fluida površinu

čija je gustina je dat jednačinom:

(slika 3.7.) u polju vektora brzina Maseni protok fluida kroz elementarnu (3.38.)

gdje je brzina

normalna na površinu

Od interesa je posmatrati kako se mijenja proizvod paralelopipeda , je:

. Vrijednost tog proizvoda u centru (3.39.)

41

Slika 3.7.: Zapremina paralelopipeda u polju vektora brzina fluida

Promjena mase paralelopipeda u vremenskom periodu odreĎena kao:

, uslijed kretanja u

pravcu, je (3.40.)

gdje su:

Uvrštavanjem

i

u izraz 3.40., dobivamo: (3.41.)

Analogno se dobije i za druga dva pravca:

(3.41.)

Dakle, ukupna promjena mase je:

(3.42.)

Promjena mase unutar nepromijenjene zapremine mora se odraziti na promjenu gustine, tj.: (3.43.)

U izrazu 3.43. je upotrjebljen parcijalni izvod da označi diferenciranje u odnosu na vrijeme u nekoj specifičnoj tački prostora.

42

Izostavljajući indeks , obzirom da tačka predstavlja proizvoljno odabranu tačku i izjednačavajući izraze 3.42. i 3.43., dobiva se:

ili (3.44.)

Dobiveni izraz 3.44. predstavlja jednačinu kontinuiteta u diferencijalnom obliku za nestacionarno strujanje stišljivog fluida. Jednačina kontinuiteta ili jednačina neprekidnosti za stacionarno strujanje fluida glasi:

ili (3.45.)

jer je:

Za stacionarno strujanje homogenog nestišljivog fluida, imamo:

i jednačina kontinuiteta glasi: (3.46.)

ili

Napomena: Jednačina kontinuiteta 3.44. se moţe pisati kao:

ili (3.47.)

43

Pri stacionarnom strujanju, gustina i brzina ne zavise eksplicitno od vremena te je prvi član jednačine 3.47. jednak nuli. Ako je fluid nestišljiv jednačina kontinuiteta se uproštava: (3.48.)

Jednačina 3.48. nije dovoljna, sama po sebi, da bi se definisao nestišljiv fluid. Na osnovu samo ovog uslova, izraz 3.48., jednačina kontinuiteta 3.47. glasi: (3.49.)

i moţe biti zadovoljena ne samo za

, nego i za

koje zadovoljava jednačine 3.50.: (3.50.)

Prva jednačina 3.50. pokazuje da gustina eksplicitno ne zavisi od vremena, a druga samo to da se elementi fluida kreću u slojevima jednake gustine, što se moţe dogoditi i u stišljivom fluidu. Brzina je u ovom slučaju uvijek normalna na gradijent gustine. Jednačina kontinuiteta 3.44. se moţe pisati: 

u cilindričnom koordinatnom sistemu

: (3.51.)



u sfernom koordinatnom sistemu

: (3.52.)

3.4.2.

JEDNAČINA KONTINUITETA U INTEGRALNOM OBLIKU

Jednačina kontinuiteta u diferencijalnom obliku daje samo uvid u mehanizam toka jer se odnosi na element fluida. Za njenu praktičnu primjenu, jednačinu je potrebno napisati za konačnu zapreminu fluida. U tom cilju, za date uslove toka, treba integraliti odgovarajuću diferencijalnu jednačinu. Posmatraće se konačna zapremina poznata kao strujna cijev, oblika kao na slici 3.8. U njoj nema protoka kroz omotač cijevi i strujanje se odvija samo kroz površine koje predstavljaju poprečne presjeke diferencijalnog reda veličine. Te površine ortogonalno sijeku linije elementarne strujne cijevi – strujnog vlakna. Napomena: Treba napomenuti da na slici 3.8. se poklapaju sa pravcima brzina i i on je normalan na brzinu .

predstavljaju ortove površina i sa svojim pravcima (iako to nije prikazano na slici). je ort površine

Za integralenje diferencijalne jednačine kontinuiteta potrebno je uvesti dopunski uslov o stacionarnosti

tako da je integralni oblik diferencijalne jednačine kontinuiteta za

strujanje stišljivog fluida kroz strujnu cijev: 44

ili poslije primjene Gausove 12 teoreme:

odnosno: (3.53.)

gdje je

ukupni protok kroz površinu .

Slika 3.8.: Strujna cijev

Napomena: Zapreminski integral se transformiše u površinski i obratno pomoću Gausove teoreme, koja se ponekad naziva Grinova13 teorema ili teorema Ostrogradskog14, kao npr.:

Prema slici 3.8. imamo:

12

Carl Friedich Gauss George Green 14 Mikhail Vasilievich Ostrogradsky 13

45

(3.54.)

 

znak minus na desnoj strani izraza 3.54. je zbog suprotnih smjerova vektora je srednja brzina u poprečnom presjeku ,

,

(3.55.)

i (3.56.)



jer je vektor nuli.

normalan na ort

površine

, pa je doprinos ovoga člana jednak

Sada moţemo napisati:

ili (3.57.)

Izraz 3.57. predstavlja jednačina kontinuiteta u integralnom obliku za stišljiv fluid. Njeno tumačenje: 

Protok mase fluida u jedinici vremena je isti kroz svaki presjek normalan na pravac brzine, odnosno pravac strujanja.

U slučaju da je fluid nestišljiv jednačina 3.57. postaje jednačina protoka zapremine fluida: (3.58.)

koja se interpretira kao: 

Protok zapremine fluida u jedinici vremena kroz površinu normalnu na pravac vektora brzine je konstantan u svim presjecima.

Maseni i zapreminski protok imaju dimenzije

i

, respektivno.

Dobivena jednačina kontinuiteta u integralnom obliku 3.57. se moţe primijeniti ako je strujanje stacionarno, u presjecima u kojima su brzine u svim tačkama iste. Ako brzina u posmatranom presjeku nije ista u svim tačkama onda se maseni i zapreminski protok izraţava preko srednje brzine protoka kroz dati presjek: (3.59.)

3.5.

VIDOVI KRETANJA FLUIDNOG ELEMENTA

Kretanje čvrstog tijela je definisano veličinom translacije i rotacije. Fluidni element, kao element neprekidne sredine, je pri svom kretanju, u najopštijem slučaju, pored translacije i 46

rotacije, podvrgnut promjeni veličine i oblika koja se naziva deformacija. U mehanici fluida se govori o ovim promjenama u jedinici vremena, tj. govori se o brzini deformacije, dok se u teoriji elastičnosti ili teoriji plastičnosti tretiraju apsolutne veličine ovih promjena. U cilju analize svih vidova kretanja fluidnog elementa posmatrajmo element, u ravni slike 3.9., koji ima oblik pravougaonika .

Slika 3.9.: Kretanje fluidnog elementa

U opštem slučaju brzina fluida se mijenja u cijelom fluidnom polju, pa su brzine u tačkama različite. Uzmimo da su u posmatranom trenutku vremena brzine fluida u tačkama:

Kako se uglovi pravougaonika kreću različitim brzinama, njihova meĎusobna udaljenost se mijenja, što je osnovna razlika u odnosu na kretanje čvrstog tijela. Za analizu vidova kretanja fluidnog elementa pogodno ih je klasificirati u slijedeće grupe:  

bez deformacije: translatorno i rotaciono, sa deformacijom: linearno i ugaono.

47

Translatorno kretanje elemenata fluida prikazano je na slikama 3.10. i 3.11.

Slika 3.10.: Translatorno kretanje elementa fluida

Slika 3.11.: Translatorno kretanje elementa fluida

Karakteristika ovog kretanja je da stranice ostaju paralelne početnoj poziciji, i da elementi ne mijenjaju svoje dimenzije. Veličina translacije u pravcu je ,au pravcu je . Kod rotacionog kretanja fluidni element rotira, ali se uglovi izmeĎu stranica i dijagonala ne mijenjaju. Translatorno i rotaciono kretanje je svojstveno kretanju čvrstog tijela. Kao mjera rotacije fluidnog elementa definiše se ugao zakretanja dijagonale. Linearno deformaciono kretanje analizira se pomoću slike 3.12. U početnom trenutku vremena fluidni element se nalazi u poziciji . Nakon isteka vremena , fluidni element se premjestio u poloţaj . Posmatraće se kretanje samo u

pravcu. Kretanje kreće brzinom

se stranica

je definisano brzinom njene srednje tačke . Uvremenskom intervalu

, dok , stranica

preĎe put: (3.60.)

a stranica

: (3.61.)

Razlika u preĎenim putevima, izrazi 3.60. i 3.61., daje veličinu istezanja fluidnog elementa: (3.62.)

48

Slika 3.12.: Linearno deformaciono kretanje fluidnog elementa

Brzina relativnog istezanja fluidnog elementa, poznata je kao brzina linearne deformacije: (3.63.)

Analogno se dobiva za kretanje u

i

pravcu: (3.63.)

Parcijalni izvodi komponenata brzine deformacije u pravcu istoimenih osa predstavljaju brzine relativnih linearnih deformacija u pravcu istih osa. Kretanje fluidnog elementa pri kome dolazi do deformacije uglova analizira se pomoću slike 3.13. U trenutku fluidni element se nalazi u poziciji , a poslije isteka vremenskog perioda fluidni element zauzima poziciju . Isprekidanim linijama je naznačeno samo početno translatorno pomjeranje elemenata. Zbog različitih brzina uglova fluidnog elementa dolazi do deformacije uglova za i kao i zakretanja dijagonale u odnosu na pravac dijagonale za ugao . Zakretanje diagonale se moţe pribliţno izraziti kao: (3.64.)

Obzirom da je: (3.65.)

iz izraza 3.64. i 3.65. se dobiva: (3.66.)

49

Slika 3.13.: Kretanje fluidnog elementa sa deformacijom uglova

Na osnovu geometrijskih odnosa sa slike 3.13. i znajući da je za male vrijednosti uglova , dobiva se: (3.67.)

Zanemarujući članove višeg reda u izrazu 3.67., dobiva se: (3.68.)

Analogno se moţe dobiti i: (3.69.)

Na osnovu izvedenih izraza 3.68. i 3.69., izraz 3.66., za ugao zakretanja kao:

se moţe pisati

(3.70.)

Brzina rotacije fluidnog elementa je: (3.71.)

Analogno, za slučaj prostornog fluidnog elementa, se mogu dobiti i druge dvije prostorne komponente vektora rotacije (vrtloţenja): (3.71.)

50

(3.71.)

gdje se

, u Dekartovom koordinatnom sistemu, definiše kao: (3.72.)

Obzirom na komponente vektora rotacije fluidnog elementa, jednačine u izrazu 3.71., zaključuje se da je vektor rotacije jednak polovni rotora vektora brzine, tj.: (3.73.)

Vektor rotacije

se naziva vrtlog.

Sa slike 3.13. kretanja fluidnog elementa, pri kome dolazi do deformacije, se moţe odrediti ugaona deformacija fluidnog elementa koja predstavlja ukupnu promjenu ugla stranica:

ili (3.74.)

Kao mjera brzine deformacije

uzima se jedna polovina vrijednosti izraza 3.74, tj.: (3.75.)

i za slučaj prostornog fluidnog elementa, preostale dvije komponente brzine deformacije su:

(3.75.)

Rezimirajmo: Ako posmatramo opšti slučaj kretanja prostornog fluidnog elementa, imamo:  

Brzine translacije: Brzine linearne deformacije:



Brzine ugaone deformacije:



Brzine rotacije:

Ugaona deformacija je poznata i kao deformacija smicanja, jer je ona posljedica dejstva smičućih sila. I rotacija je posljedica dejstva smičućih sila jer se moţe interpretirati kao specijalni slučaj ugaone deformacije, kao što je prikazano na slici 3.14. 51

Slika 3.14.: Rotacija fluidnog elementa

Translacija i linearna deformacija su posljedice dejstva normalnih sila. Suma komponenti brzina linearne deformacije je brzina zapreminske deformacije ili diletacije.

3.6.

CIRKULACIJA

Cirkulacija se definiše kao linijski integral vektora brzina po zatvorenoj krivoj , slika 3.15.: (3.76.)

gdje je

zatvorena kriva.

Slika 3.15.: Cirkulacija

Bez vektorskih oznaka, izraz 3.76. za cirkulaciju glasi: (3.77.)

Sada ćemo pokazati vezu izmeĎu vrtloţnosti (vrtloga) i cirkulacije. Posmatraće se elementarni pravougaonik u ravni , sa starnicama i , a traţi se elementarna cirkulacija duţ stranica pravougaonika, slika 3.16. Kontura se obilazi u pozitivnom smijeru. Ako su i projekcije brzine u tački , onda su u tačkama one date izrazima napisanim na slici 3.16. Elementarnoj stranici

pripada srednja brzina: (3.78.)

Analogno se dobije i za ostale stranice. 52

Slika 3.16.: Elementarna cirkulacija

Elementarna cirkulacija je:

ili poslije sreĎivanja: (3.79.)

Uzimanje srednjih brzina umjesto stvarnih brzina, na odgovarajućim stranicama, je dopušteno obzirom na male dimenzije pravougaonika. Izrazi za cirkulaciju duţ stranica i su negativni jer je smjer brzina suprotan smjeru kojim se obilazi pravougaonik. Dakle, elementarna cirkulacija je srazmjerna dvostrukoj projekciji vrtloţnosti (vrtloga) u pravcu normale elementarne površine . Analogno dolazimo i do izraza elementarnih cirkulacija za ravnima i duţ stranica :

i

oko pravougaonika u

(3.79.)

Ništa se ne bi promijenilo kada bi se umjesto elementarnih pravougaonika, poloţenih u koordinatne ravni, posmatrala elementarna površina u prostoru. Za elementarnu cirkulaciju imamo opšti izraz: (3.80.)

Kriva

ograničava površinu

.

Izraz 3.80. se moţe primijeniti i na krivu površinu konačnih elemenata, koju opkoljava kriva . Da bi se ovo dokazalo podjeliće se površina na elementarne površine i na svaku od njih će se primjeniti izraz 3.80., slika 3.17. 53

Slika 3.17.: Cirkulacija

Zbir elementarnih cirkulacija očigledno:

daje traţenu cirkulaciju . Sabiranjem izraza 3.80., postaje

(3.81.)

Treba primijetiti da se poništavaju cirkulacije duţ graničnih linija dva susjedna elementa jer se oko njih obilazi u suprotnom smjeru. Zato preostaje samo cirkulacija duţ krive , koja opkoljava površinu . Prema tome je: (3.82.)

Ovaj izraz slijedi direktno iz Stoksove teoreme o pretvaranju linijskog integrala u površinski. Izraz 3.82. se moţe interpretirati kao: cirkulacija duţ krive ma kakvog oblika je jednaka protoku rotora brzine kroz površinu ograničenu tom krivom. Bez vektorskih oznaka, Stoksov izraz glasi:

3.7.

KLASIFIKACIJA VIDOVA KRETANJA FLUIDA

Do sada smo se sreli sa više vidova kretanja fluida. Moglo se uočiti da se podjela kretanja moţe izvršiti prema ponašanju elemenata fluida i prema načinu promjene polja toka pri njegovom kretanju. Mogući vidovi kretanja fluida prema načinu promjene polja toka zavise od toga da li se polje mijenja u tački ili u polju.

54

3.7.1.

STACIONARNO I NESTACIONARNO KRETANJE FLUIDA

Stacionarno kretanje fluida je kretanje kod kojeg u posmatranoj tački prostora nema promjene polja toka u vremenu, tj.: (3.83.)

gdje je

bilo koje polje toka, npr. polje brzina, napona, gustina, temperature itd.

Nestacionarno kretanje fluida je kretanje kod kojeg dolazi do promjene polja toka po vremenu u posmatranoj tački prostora. Ako je pojam stacionarnosti ili nestacionarnosti vezan za polje brzine, onda su ovi vidovi kretanja definisani na bazi postojanja ili nepostojanja lokalnog ubrzanja. U stacionarnim uslovima strujanja slika ostaje nepromijenjena. Kod nestacionarnog kretanja fluida, u posmatranoj zoni toka, slika se mijenja sa vremenom.

3.7.2.

UNIFORMNO I NEUNIFORMNO KRETANJE FLUIDA

Uniformno ili jednoliko kretanje fluida je kretanje kod kojeg nema promjene brzine duţ strujne linije, a neuniformno ili nejednoliko kod kojeg se brzina mijenja duţ strujne linije. Ova dva vida kretanja fluida su usko vezana za postojanje konvekcijskog ubrzanja. Kod uniformnog kretanja konvekcijsko ubrzanje je jednako nuli, a strujne linije predstavljaju sistem meĎusobno paralelnih linija. Kod neuniformnog kretanja konvekcijsko ubrzanje postoji, a sistem strujnih linija će konvergirati ili divergirati u zavisnosti od toga da li se brzina povećava ili smanjuje.

3.7.3.

VRTLOŽNO I NEVRTLOŽNO KRETANJE FLUIDA

Ovi vidovi kretanja su vezani za ponašanje elemenata fluida pri kretanju mase fluida. U zavisnosti od toga da li oni rotiraju ili ne oko svoje ose, kretanje moţe da bude vrtloţno ili nevrtloţno. Vrtloţno kretanje fluida je takvo kretanje kod kojega dolazi do rotacije elemenata fluida oko njihove ose pri kretanju mase fluida: (3.84.)

a nevrtloţno kretanje je kretanje kod kojeg elementi fluida ne rotiraju oko svoje ose: (3.85.)

Pri nevrtloţnom kretanju elementi fluida mogu da trpe čistu ugaonu deformaciju ili čisto klizanje, ali su komponente brzine rotacije jednake nuli.

3.7.4.

VISKOZAN I NEVISKOZAN FLUID

Postojanje ili zanemarivanje efekta viskoziteta dovodi do pojma realnog (viskoznog) i idealnog (neviskoznog) fluida. Kako su svi fluidi u manjoj ili većoj mjeri viskozni oni će u zavisnosti od uslova kretanja da se ponašaju kao realni ili idealni. Kao primjer se moţe 55

navesti kretanje viskoznog fluida pri rotaciji posude oko svoje ose u kojoj se nalazi fluid i slučaj rotacije tankog cilindra oko svoje ose postavljenog u fluid. U prvom slučaju fluidni element će rotirati oko svoje ose, strujanje je vrtloţno i efekt viskoziteta je očigledan. MeĎutim, u drugom slučaju nema rotacije fluidnih elemenata oko njihove ose, strujanje je nevrtloţno i fluid, mada je viskozan, se pri svom kretanju ponaša kao neviskozan, tj. idealan.

3.7.5.

LAMINARNO I TURBULENTNO KRETANJE FLUIDA

Ova dva vida kretanja fluida se isto tako odnose na ponašanje elemenata fluida pri kretanju mase fluida. Ukoliko pri kretanju mase fluida ne dolazi do prelaza elemenata fluida iz jednog sloja u drugi, tj. ako se strujanje fluida zamišlja kao slojevito, onda takvo kretanje nazivamo laminarno kretanje fluida. Ako pak, pri kretanju fluida dolazi do kaotičnog kretanja elemenata fluida i njihovog prelaza ne samo u susjedne nego i u udaljenije slojeve, onda takvo kretanje nazivamo turbulentno kretanje fluida. Ova dva vida kretanja fluida su od posebnog značaja pri izučavanju kretanja fluida pod dejstvom sila viskoziteta.

3.7.6.

JEDNO-, DVO- I TRODIMENZIONALNO KRETANJE FLUIDA

U opštem slučaju osobine fluida se mogu izraziti u funkciji geometrijskih koordinata, npr. itd. Dimenzionalnost kretanja se odreĎuje prema broju nezavisnih geometrijskih koordinata. Ako osobina toka zavisi samo od jedne koordinate, kretanje je jednodimenzionalno. Najčešći oblik jednodimenzionalnog kretanja je kretanje u strujnoj cijevi, gdje su promjene osobina normalno na strujnicu zanemarljive u odnosu na promjene niz strujnicu. To znači da su osobine normalno na osu strujne cijevi konstantne. Granični uslovi i uticaj viskoziteta uzrokuju da je dvo- i trodimenzijalno kretanje fluida od velikog interesa. Na slici 3.18. je dat primjer dvodimenzionalnog kretanja fluida.

Slika 3.18.: Dvodimenzionalno kretanje fluida

Prikazana slika 3.18. je identična u bilo kojem presjeku za brzine u pravcu, funkcija:

Ovdje je komponenta

56

Trodimenzionalno strujanje je najopštiji slučaj kretanja. Na primjer, strujanje fluida oko aviona je trodimenzionalnog karaktera. Što je manja dimenzionalnost toka smanjuju se matematske teškoće u rješavanju takvih tokova.

3.7.7.

KARAKTERISTIČNI PRIMJERI

Ako je kretanje jednodimenzionalno, brzina je funkcija koordinate i vremena, i imamo:

odnosno:

(3.86.)

gdje se prvi član na desnoj strani jednačine 3.86. naziva konvekcijski, a drugi, lokalni član brzine. 3.7.7.1.

STACIONARNO I UNIFORMNO KRETANJE

Prema slici 3.19. imamo: Ovdje se primjenjuje Toričelijev15 izraz, teorema ili zakon: (3.87.)

Nadalje, vrijedi primjena izraza:

Slika 3.19.: Stacionarno i uniformno kretanje

15

Evangelista Torricelli

57

3.7.7.1.

STACIONARNO I NEUNIFORMNO KRETANJE

Prema slici 3.20. imamo:

Slika 3.20.: Stacionarno i neuniformno kretanje

Nadalje, vrijedi primjena izraza:

3.7.7.1.

NESTACIONARNO I UNIFORMNO KRETANJE

Prema slici 3.21. imamo:

Nadalje, vrijedi primjena izraza:

Slika 3.21.: Nestacionarno i uniformno kretanje

3.7.7.1.

NESTACIONARNO I NEUNIFORMNO KRETANJE

Prema slici 3.22. imamo:

58

Slika 3.22.: Nestacionarno i neuniformno kretanje

Nadalje, vrijedi primjena izraza:

3.8.

STRUJNA MREŽA

Strujne linije, trajektorije i tragovi se mogu odrediti eksperimentalno ili grafičkom metodom koja se oslanja na matematske principe klasične dinamike fluida. Strujna mreţa se sastoji od sistema strujnih linija i sistema linija normalnih na strujne linije. Ova dva sistema linija grade ortogonalnu mreţu kod koje je rastojanje izmeĎu strujnih i normalnih linija u elementarnom kvadratu te mreţe meĎusobno jednako. Oblik strujne mreţe zavisi od oblika granice kroz ili oko koje fluid struji. Za strujanje izmeĎu paralelnih ploča kvadratići strujne mreţe u cijeloj zoni toka su meĎusobno jednaki, pa je i brzina u svim tačkama toka ista. Ako su konture zakrivljene i još uz to konvergiraju ili divergiraju, kvadratići strujne mreţe mijenjaju veličinu i oblik. Na slici 3.23. je prikazana strujna mreţa koja predstavlja strujanje fluida izmeĎu dvije zakrivljene površine čija je duţina, normalno na ravan crteţa, beskonačno velika kako bi se ispunio uslov dvodimenzionalnosti kretanja. Bez obzira na promjenu veličine i oblika kvadratića strujne mreţe oni uvijek moraju zadovoljavati uslov da se kod svakog od njih strujne i normalne linije kao i dijagonale sijeku pod pravim uglom. Presjek dijagonala je ujedno i centar upisanog kruga u kvadratić mreţe. Crtanje mreţe se izvodi na taj način da se u zoni toka, gdje su konture meĎusobno paralelne, nacrta najpovoljniji broj strujnih linija na jednakom meĎusobnom rastojanju, a daljnje crtanje zavisi od oblika konture. Protok izmeĎu svakog para ovih strujnih linija je konstantan. Na ovako nacrtan sistem strujnih linija crta se sistem normalnih linija po navedenom principu . Naravno, nije moguće odmah dobiti tačnu strujnu mreţu pa se proces crtanja sa korekcijama mora ponavljati nekoliko puta dok se ne dobije zadovoljavajući oblik strujne mreţe. Strujna mreţa nije idealno tačna jer je ona jedna od grafičkih metoda koje su pribliţno rješenje egzaktno postavljenih algebarskih izraza, slika 3.24.

59

Slika 3.23.:Strujna mreža izmeĎu zakrivljenih površina

Dimenzija normalno na ravan crteţa, slika 3.25., je jedinična. U ovom slučaju je elementarna površina jednaka: (3.88.)

pa je elementarni protok kroz strujno vlakno jednak: (3.89.)

jer je

.

Slika 3.24.:Približno rješenje egzaktnog algebarskog izraza

Kako je protok kroz bilo koji presjek strujnog vlakna isti, slijedi da je: (3.90.)

ili (3.91.)

gdje su: - brzina, - rastojanje izmeĎu normalnih linija, 60

- rastojanje izmeĎu strujnih linija u zoni toka gdje su mu karakteristike poznate. To su obično zone gdje su strujne linije meĎusobno paralelne. U izrazima 3.90. i 3.91. nije stavljen znak jednakosti, nego znak pribliţnosti, jer je svaka mreţa pribliţno rješenje realnog kretanja fluida.

Slika 3.25.: Analiza jediničnog protoka u strujnoj mreži

Iz izraza 3.91. se moţe vidjeti da je brzina u bilo kojoj tački toka obrnuto proporcionalna rastojanju strujnih, odnosno normalnih linija u okolini te tačke. Iz istog izraza slijedi da na mjestima malih radijusa krivine, rastojanja , pa prema tome brzine postaju beskonačne. Ovakve tačke, iako praktično ne mogu postojati, imaju svoju primjenu u matematskom tretmanu strujanja fluida i nazivaju se singularne tačke. Sa druge strane, ako za neke tačke toka

, što je fizički moguće, brzina teţiti nuli. Tu se

fluid zaustavlja, pa se takve tačke nazivaju zaustavne tačke. I pored nekih nedostataka strujne mreţe, njena praktična primjena je značajna, jer iz poznatih uslova strujanja samo u jednoj tački je moguće, za datu strujnu mreţu, odrediti uslove strujanja, brzinu i pritisak, u bilo kojoj drugoj tački.

61

4.

DINAMIKA FLUIDA

4.1.

OSNOVNI ZAKONI KRETANJA

U prethodnom poglavlju razmatrani su kinematski elementi kretanja fluida. U ovom i slijedećim poglavljima će biti razmatrana i njihova veza sa silama koje djeluju pri kretanju fluida. Ta veza je data dinamičkom jednačinom ravnoteţe. Uslov ravnoteţe u stanju kretanja izraţen je preko dinamičke ravnoteţe, odnosno inercijskim svojstvom materije i principom ubrzanja koje je Njutn16 formulirao kroz svoja tri zakona. Njutnovi zakoni (u slobodnom prevodu) glase: I

Tijelo će ostati u stanju mirovanja ili u postojećem (datom) stanju kretanja sve dok na njega ne djeluje neka vanjska sila.

II

Ubrzanje tijela će biti u pravcu i smjeru sile koja izaziva dato ubrzanje, ono je direktno proporcijalno veličini sile i obratno proporcionalno masi tijela,

III Svaka akcija je praćena jednom reakcijom istog intenziteta i pravca, ali suprotnog smjera. Prvi zakon opisuje karakteristike materije, a drugi u svijetlu trećeg postavlja da se ubrzavajućem dejstvu sile suprotstavlja inercijska sila reakcije materije na koju sila djeluje.

(4.1.)

gdje su: gustina fluida, ubrzanje fluida. Izraz:

predstavlja silu inercije jedinice zapremine fluida. Ona je uzeta sa negativnim predznakom zbog njenog karaktera u odnosu na ostale sile. Nadalje,

je sistem svih vanjskih i unutrašnjih sila koje se odnose na jedinicu zapremine fluida. Primjenom Dalamberovog17 principa dinamička jednačina ravnoteţe se moţe pisati kao: (4.2.)

16 17

Isaac Newton Jean le Rond d'Alambert

62

4.2.

OPŠTA JEDNAČINA DINAMIKE FLUIDA U DIFERENCIJALNOM OBLIKU

Neka se posmatra kretanje fluidnog elementa mase koja u trenutku vremena zauzima zapreminu , kao što je prikazano na slici 4.1.

Slika 4.1.: Djelovanje napona na površinama paralelopipeda

Na fluidni element djeluju zapreminske sile svedene na jedinicu zapremine, čije su komponente u pravcima , respektivno. Sila djeluje u teţištu posmatranog elementa. Dejstvo površinskih sila definisano je tenzerom napona u tački ,

Na površinama paralelopipeda djeluju naponi kao na slici 4.1., od kojih su upisani samo oni koji djeluju u pravcu ose. Kako je izabrani element dovoljno malen pri prelazu od tačke u tačku na površini paralelopipeda zanemarena je promjena napona višeg reda. Koordinatni početak je postavljen u centar paralelopipeda (tačka

).

Radi jednostavnijeg izvoĎenja, osnovna jednačina kretanja:

gdje su: količina kretanja, rezultanta sila koje djeluju na fluidni element, će se napisati u Ojlerovom obliku za komponente kretanja u

pravcima, 63

(4.3a.)

(4.3b.)

(4.3c.)

Navedeno je da će se posmatrati kretanje u vremena se moţe predstaviti kao:

pravcu. Član promjene količine kretanja u toku

(4.4.)

Drugi član desne strane jednačine 4.4. je jednak nuli (prema jednačini kontinuiteta) jer predstavlja masu fluidnog elementa koja ne moţe biti promjenljiva. Na osnovu ovoga, imamo: (4.5.)

Komponenta zapreminske sile za zapreminu

iznosi

.

Vodeći računa o površini na koju djeluju pojedine komponente napona, jednačina 4.5. postaje:

(4.6.)

, poslije sreĎivanja jednačine 4.6. dobiva se:

Obzirom da je

(4.7a.)

i analogno za

pravce: (4.7b.) (4.7c.)

Ove tri skalarne jednačine 4.7. predstavljaju zakon o odrţanju količine kretanja fluidnog elementa, napisan u diferencijalnom obliku. Jednačine su poznate kao Sen-Venanove18 jednačine kretanja. Jednačine sadrţe deset nepoznatih veličina: gustinu , tri komponente brzine komponenti napona ( pošto su

18

i šest ).

Jean Claude Barré de Saint-Venant

64

Dobivene tri skalarne jednačine 4.7. se mogu napisati u obliku jedne vektorske jednačine: (4.8.)

gdje su:

4.3.

DEJSTVO SILA NA IDEALAN FLUID

Fluid konstantne gustine, kod koga se moţe zanemariti dejstvo sila viskoziteta, se naziva idealnim. U odsustvu viskoznosti ne postoji mogućnost da se generišu površinske sile u fluidu te je: Sada su površinske sile odreĎene tenzorom napona koji se pojavljuje u obliku: (4.9.)

Već ranije je navedeno da izmeĎu tri normalna napona postoji odnos: (4.10.)

Dakle veličina normalnog napona ne zavisi od pravca te se tenzor redukuje na skalar , koji se naziva hidrostatičkim pritiskom ili pritiskom u posmatranoj tački. Negativan predznak pokazuje da je hidrostatički pritisak usmjeren suprotno smjeru vanjske normale na površinu.

4.4.

OJLEROVE JEDNAČINE KRETANJA IDEALNOG FLUIDA

U poglavlju 4.2. je izvedena opšta jednačina 4.8. dinamike fluida koja u vektorskom obliku glasi:

Obzirom da se ovdje analizira kretanje idealnog fluida, površinske sile su odreĎene tenzorom napona u poglavlju 4.3., jednačina 4.9. Uvaţavajući naprijed navedeno, dobiva se: (4.11.)

gdje su:

65

zapreminska sila po jedinici zapremine, gradijent pritiska koji ima prirodu vektora. Navedena jednačina 4.11. predstavlja Ojlerovu diferencijalnu jednačinu u vektorskom obliku za kretanje idealnog fluida. Projekcije vektorske jednačine na koordinatne ose su: (4.12a.) (4.12b.) (4.12c.)

ili u razvijenom obliku: (4.13a.) (4.13b.) (4.13c.)

Dobivene jednačine 4.12. i 4.13. predstavljaju diferencijalne jednačine u skalarnom obliku. Kada ne bi bilo dejstva zapreminskih sila, od sila bi ostale samo sile pritiska. Onda bi izvedene jednačine postale uopštene Ojlerove jednačine, poznate kao jednačine pritiska. Ojlerove jednačine vrijede za opis kretanja neviskoznog, nestišljivog (i stišljivog) fluida. Jednačine sadrţe pet nepoznatih veličina: . Da bi sistem jednačina postao zatvoren potrebno je definisati još dvije jednačine. Jedna od jednačina će biti jednačina kontinuiteta, a druga jednačina stanja, koja daje daje vezu izmeĎu pritiska i gustine. Odnos pritiska i gustine moţe biti odreĎen i eksperimentalno. Naravno, da bi se našlo rješenje za neki posmatrani problem potrebno je definisati početne i granične uslove. Ojlerove diferencijalne jednačine kretanja fluida su izvedene za fluidni element. Kao takve one daju uvid u mehanizam toka. Za praktičnu primjenu ovih jednačina iste treba izraziti za konačnu zapreminu fluida, tj. integraliti ih po toj zapremini. MeĎutim, prisustvo komponenata konvekcijalnog ubrzanja ovim jednačinama daje karakter nelinearnih parcijalnih diferencijalnih jednačina, koje je kao takve formalno nemoguće integraliti.

4.5.

OJLEROVE JEDNAČINE U GROMEKA-LAMBOVOJ FORMI ILI TRANSFORMISANE OJLEROVE JEDNAČINE

Da bi se dobile jednačine pristupačnije za analizu strujanja i integralenje, potrebno je Ojlerove jednačine transformisati, odnosno napisati u specifičnom obliku. Pri analizi će se posmatrati komponenta ubrzanja u pravcu

ose: 66

(4.14.)

Ako na desnoj strani izraza 4.14. dodamo i oduzmemo članove

i

, vrijednost

izraza se neće promijeniti.

ili

Obzirom da su:

dobiva se:

Ovo se je moglo pisati jer je poznato da je vektorski proizvod dvostruke vrijednosti vektora vrtloţenja i vektora brzine:

TakoĎe, znajući da je

, moţe se pisati:

Ako se analogno uradi i za komponente ubrzanja u mogu napisati kao:

i

pravcima, Ojlerove jednačine se

(4.15a.) (4.15b.) (4.15c.)

Ako zapreminske sile imaju potencijal , tada su komponente sile

mogu izraziti kao:

67

Ako je sila gravitacije jedina zapreminska sila, tada je: (4.16.)

gdje je osa usmjerena prema gore. Obzirom da je za idealan fluid gustina konstantna, prethodne jednačine se mogu pisati kao: (4.17a.) (4.17b.) (4.17c.)

ili u vektorskom obliku: (4.18.)

Navedene jednačine 4.17. u skalarnom obliku, kao i vektorska jednačina 4.18. se nazivaju Ojlerovim jednačinama u Gromeka-Lambovoj formi ili transformisane Ojlerove jednačine. Specifičnost dobivenih izraza je u tome što u sebi sadrţe vektor vrtloţenja, odnosno njegove komponente. Kada je član:

Ojlerove jednačine se znatno uproštavaju i postaju: (4.19.)

Član   

je jednak nuli za tri slučaja: Kada je brzina fluida jednaka nuli . Ovo nema fizičkog smisla obzirom da tada nema kretanja. Kada je vektor vrtloţenja jednak nuli . Ovaj vid kretanja se naziva nevrtloţnim ili potencijalnim. Kada je vektor vrtloţenja paralelan vektoru brzine , tada je njihov vektorski proizvod jednak nuli. Kretanje fluida kod kojeg su vektor vrtloţenja i vektor brzine kolinearni, odnosno paralelni, je u formi svrdla i naziva se zavojnim ili helikoidnim kretanjem i poznato je kao Gromeka-Beltrami kretanje.

4.6.

BERNULIJEVA JEDNAČINA – JEDNO RJEŠENJE OJLEROVE JEDNAČINE

Ojlerove jednačine se mogu integraliti i kada je strujanje nestacionarno i nevrtloţno u cijeloj oblasti toka

, ali kada brzina ima svoj potencijal

Za potencijalno strujanje je

.

i Ojlerova jednačina glasi:

68

Prvi član, poslije smjene

jer se red operacija

i

, postaje:

moţe izmjeniti. Ovim načinom se dobiva:

Izraz u zagradi zavisi od koordinata i od vremena . Gradijent predstavlja operaciju prostornog diferenciranja, a ne vremenskog, nad funkcijama. Uslov da on bude jednak nuli zahtjeva da funkcija ne zavisi od , ali moţe da zavisi od vremena: (4.20.)

gdje je

proizvoljna funkcija od vremena.

Ovim načinom je naĎen integral Ojlerove jednačine za potencijalno strujanje, a dobiveni izraz 4.20. predstavlja Koši19-Lagranţeovu20 jednačinu. Ona je veoma slična Bernulijevoj21 jednačini, ali ipak postoje bitne razlike:  

Izraz 4.20. nije dobiven integralenjem duţ putanje fluidnih elemenata, nego je integralenje izvedeno za čitav fluidni prostor. Zbog toga se ne mijenja od strujnice do strujnice i vaţi za čitavo polje. ne predstavlja konstantu već zavisi od vremena. Dakle, pri potencijalnom i nestacionarnom strujanju energija se mijenja sa vremenom.

Ako je strujanje potencijalno i stacionarno imamo:

i ako je fluid u polju zemljine teţe:

izraz poprima oblik: (4.21.)

Izraz 4.21. predstavlja jedno rješenje Ojlerove jednačine i naziva se Bernulijeva jednačina, Kao što je u postupku izvoĎenja navedeno, ona se moţe primijeniti za stacionarno, nevrtloţno kretanje idealnog (nestišljivog i neviskoznog) fluida. Vaţno je primijetiti da konstanta ima istu vrijednost za cijelu oblast kretanja fluida jer nisu uočena nikakva ograničenja u pogledu

19

Augustin-Louis Cauchy Joseph Louis Lagrange 21 Daniel Bernoulli 20

69

putanje integralenja. Zato, u ovom slučaju, zakon o odrţanju strujne energije ima širi značaj jer vaţi za cijeli prostor kretanja.

4.7.

BERNULIJEVA JEDNAČINA ZA STRUJNU LINIJU

Analizirat će se opšti slučaj vrtloţnog kretanja fluida, kada vektori Unutar fluidne oblasti posmatrajmo usmjereni element

i

nisu kolinearni.

strujne linije: (4.22.)

Skalarnim mnoţenjem elementa , jednačina 4.22., sa Ojlerovom jednačinom 4.18. u Gromeka-Lambovoj formi, dobiva se: (4.23.)

Kako je usmjereni element strujne linije kolinearan brzini (posljednji član jednačine 4.23.) jednak nuli, tj.:

to je mješoviti proizvod

Ovo znači da duţ strujne linije ili vrtloţne linije vaţi: (4.24.)

Ako se izraz 4.24. integrali duţ strujne linije od tačke 1 do tačke 2, dobiva se:

Obzirom da su tačke 1 i 2 izabrane proizvoljno na strujnoj liniji, moţe se pisati: (4.25.)

Izraz 4.25. predstavlja Benulijevu jednačinu. Konstanta ima vrijednost za tačke koje leţe na istoj strujnoj liniji. Ako se kroz tačke na odabranoj strujnoj liniji povuče familija vrtloţnih linija, slika 4.2., dobiva se površina u prostoru. Kako i duţ vrtloţne linije vaţi Bernulijeva jednačina, a svaka vrtloţna linija ima jednu zajedničku tačku sa strujnom linijom, zaključuje se da za sve tačke na uočenoj površini, konstanta ima istu vrijednost. Formalno posmatrano, Bernulijeva jednačina 4.25. i 4.21.su identične, ali se razlikuju po domenu vaţeće primjene obzirom na uslove pod kojima su izvedene. Konstanta je vaţeća za cijelu oblast toka.

70

Slika 4.2.: Familija vrtložnih linija

4.8.

ANALIZA BERNULIJEVE JEDNAČINE

Za fluid u oblasti dejstva zemljine teţe, kao jedine zapreminske sile potencijala , moţe se napisati Bernulijeva jednačina u obliku: (4.26.)

Posmatrati će se kretanje fluidnog elementa, mase jednačine 4.26. sa , dobiva se:

, niz strujnu liniju. Mnoţenjem

(4.27.)

Prvo se moţe konstatovati da suma tri člana na lijevoj strani jednačine 4.27. ostaje konstanta, ako fluidni element ostaje na istoj strujnoj liniji. Prvi član

predstavlja kinetičku energiju fluidnog elementa ili energiju kretanja

brzinom . Dakle, član Drugi član

predstavlja kinetičku energiju po jedinici mase.

ima dimenziju energije

i označava sposobnost fluida da

uslijed povišenog pritiska vrši rad. Treći član označava rad učinjen protiv dejstva sile zemljene teţe. Dakle, ovo je energija uslijed poloţaja u odnosu na referentnu ravan. U suštini, Bernulijeva jednačina predstavlja zakon o odrţanju energije duţ strujne linije. Pri kretanju niz strujnu liniju moţe se npr. povećati brzina, ali to mora biti popraćeno odgovarajućim smanjenjem pritiska ili promjenom poloţaja. Ako Bernulijevu jednačinu 4.27. podijelimo sa teţinom fluidnog elementa se:

, dobiva

71

(4.28.)

Svi članovi jednačine 4.28. predstavljaju energiju po jedinici teţine fluida i imaju dimenzije duţine . Ovako dobivena vrijednost energije se naziva naporom, pa se govori o brzinskom naporu (prvi član lijeve strane jednačine 4.28.), piezometarskom naporu (drugi član), geodetskom ili geometrijskom naporu (treći član), i konačno, ukupni napor kao suma tri prethodna, slika 4.3.: (4.29.)

Slika 4.3.: Napori

Kao što se vidi sa slike 4.3., piezometarska linija se najlakše crta tako, da se od ukupnog napora, linija energije, oduzme vrijednost brzinskog napora. Za slučaj kada je fluid u stanju mirovanja,

, Bernulijeva jednačina se svodi na oblik: (4.30.)

i predstavlja osnovnu jednačinu hidrostatike.

4.9.

BERNULIJEVA JEDNAČINA ZA STRUJNU CIJEV

Kako je presjek elementarne strujne cijevi beskonačno mali, moţe se smatrati da je Bernulijeva jednačina za strujnu liniju primjenljiva i za kretanje duţ te cijevi. Kod masenog protoka , energija fluida po jedinici vremena iznosi: (4.31.)

Ako se zamisli, da se strujna cijev sastoji od beskonačno mnogo elementarnih strujnih cijevi, energija koju nosi fluid u jedinici vremena se moţe dobiti sabiranjem, tj.:

72

odnosno: (4.32.)

Kada se strujne linije udaljavaju ili pribliţavaju pod malim uglom, moţe se pokazati da u nekom poprečnom presjeku pribliţno vaţi hidrostatički zakon rasporeda pritiska, tj. (4.33.)

Na osnovu jednačine 4.33., izraz u zagradi, u prvom integralu na desnoj strani jednačine 4.32. se moţe izvući ispred integrala i moţe se pisati: (4.34.)

Vezano za drugi član desne strane jednačine 4.34. mogu se dati slijedeća objašnjenja: Ukoliko u presjecima u kojima treba primijeniti jednačinu energije ne vladaju uslovi jednodimenzionalne analize treba uvesti koeficijent korekcije rasporeda brzina za energiju, jer je očigledno da: (4.35.)

gdje su: brzina u pojedinim tačkama poprečnog presjeka, srednja brzina po poprečnom presjeku. Količina kinetičke energije prenesena brzinom fluida u posmatranom presjeku jednaka je: (4.36.)

gdje su: teţina fluida koja u jedinici vremena proĎe kroz presjek

,

kinetička energija jedinice teţine fluida.

Izjednačavajući ovu veličinu kinetičke energije sa odgovarajućom veličinom energije koja proĎe kroz ovaj presjek, izraţene preko srednje brzine po presjeku, uključujući koeficijent korekcije brzine za energiju, slijedi da je: (4.37.)

Sada se moţe pisati:

73

gdje su: srednja brzina fluida u posmatranom poprečnom presjeku, koeficijent korekcije kinetičke energije, koji se prema jednačini 4.37. moţe pisati:: (4.38.)

Koeficijent korekcije za kinetičku energiju se naziva i Koriolisov 22 koeficijent. Uz definiciju koeficijenta korekcije

moţe se dodati da:

predstavlja srednju kinetičku energiju fluida po jedinici mase koja prolazi kroz posmatrani presjek. Koeficijent korekcije je veći od jedinice. Za laminarno strujanje kroz cijev okruglog poprečnog presjeka je , a za turbulentno strujanje kroz istu cijev je Ako se jednačina za energiju podjeli sa teţinskim protokom jednačina za strujnu cijev u formi napora:

dobiva se Bernulijeva

(4.39.)

4.10.

PRIMJERI PRIMJENE BERNULIJEVE JEDNAČINE

4.10.1.

MJERENJE BRZINE

Mjerenje brzine fluida je moguće izvršiti pomoću Pito-Prandtlove23 cijevi. Ona je izvedena u obliku dvije koaksijalne cijevi malog poprečnog presjeka, slika 4.4. Centralna cijev sluţi za mjerenje zaustavnog pritiska (dinamički + statički pritisak), a periferna cijev sa bočnim otvorima mjeri samo statički pritisak. Na vrhu Pito-Prandtlove cijevi su pijezometarski i brzinski napor:

a pijezometerski napor na periferiji cijevi je:

22 23

Gaspard-Gustave Coriolis Pitot-Prandtl

74

Slika 4.4.: Pito-Prandtlova cijev

Pito- Prandtlova cijev je spojena sa diferencijalnim -manometrom ( -cijev) koji je napunjena manometarskim fluidom, kao ţiva, voda, alkohol, itd., gustine Ako se Pito-Prandtlova cijev postavi u struju fluida brzine , onda se u diferncijalnom dijelu manometra fluid postavi kao na slici 4.4. Analizirajući pritisak u odgovarajućim presjecima diferencijalnog manometra uz poštivanje uslova neprekidnosti sredine, dobiva se:

(4.40.)

gdje su: gustina fluida kojim je napunjen diferencijalni manometar (manometarski fluid), gustina fluida čija se brzina mjeri.

4.10.2.

ISTICANJE TEČNOSTI IZ REZERVOARA

Na slici 4.5. je prikazan rezervoar sa tečnošću. Isticanje je u atmosferu. Pritisak iznad slobodnog nivoa tečnosti je . Ako je poprečni presjek otvora mnogo manji od površine poprečnog presjeka rezervoara, tada se spuštanje slobodnog nivoa tečnosti moţe zanemariti i problem tečenja smatrati stacionarnim.

75

Slika 4.5.: Isticanje tečnosti iz rezervoara

Zamišljena linija koja spaja tačke 1 i 2 predstavlja strujnu liniju. Bernulijeva jednačina primijenjena na strujanje izmeĎu tačaka 1 i 2 glasi: (4.41.)

Obzirom da je brzina mala moţe se zanemariti. Pritisak u mlazu nije tačno poznat. Kao dobra aproksimacija se uzima da je pritisak u mlazu jednak okolnom atmosferskom pritisku . Uvaţavajući ovo, iz Bernulijeve jednačine 4.41. se dobiva:

odnosno: (4.42.)

Ako je rezervoar otvoren prema atmosferi, onda je postaje:

, i izraz 4.42. za brzinu isticanja, (4.43.)

Brzina tečnosti na izlazu iz rezervoara je jednaka brzini padanja krutog tijela sa visine . Ova zakonitost je poznata kao Toričelijeva24 teorema. Protok realne tečnosti kroz otvor na rezervoaru se moţe odrediti pomoću izraza: (4.44.)

gdje su: površina poprečnog presjeka otvora, koeficijent protoka koji uzima u obzir uticaj realnih osobina tečnosti.

24

Evangelista Torricelli

76

4.10.3.

MJERENJE PROTOKA POMOĆU VENTURIJEVE CIJEVI

Venturijeva25 cijev je instrument koji sluţi za mjerenje protoka fluida. On ima kratku sekciju istog poprečnog presjeka kao i priključni cijevni vod , zatim se presjek suţava na neku minimalnu vrijednost , da bi konačno, poslije postepenog proširenja dostigao početni poprečni presjek , slika 4.6. Na početnom i najuţem presjeku izbušeni su otvori za priključke koji sluţe za mjerenje pritiska, odnosno razlike pritisaka. Razlika pritisaka se mjeri manometrom, koji je ispunjen fluidom gustine . Za kretanje nestišljivog fluida integralna jednačina kontinuiteta je:

gdje su

i

srednje brzine u presjecima 1 i 2, respektivno.

Ako uzmemo da su koeficijenti korelacije kinetičke energije jednaki jedinici, Bernulijeve jednačine 4.41., dobivamo:

, iz

odnosno:

Protok kroz Venturijevu cijev je:

Primjenjujući jednačinu hidrostatike na fluid u protok:

25

cijevi, moţe se dobiti izraz za teoretski

Giovanni Battista Venturi

77

Slika 4.6.: Venturijeva cijev

Uticaj realnih osobina fluida obuhvata se pomoću koeficijenta protoka

Koeficijent protoka

, te je realni protok:

se odreĎuje eksperimentalno za datu Venturijevu cijev.

78

5.

JEDNODIMENZIONALNA ANALIZA TOKA

Dimenzionalnost kretanja se odreĎuje prema broju nezavisnih geometrijskih koordinata. U opštem slučaju kretanja su trodimenzionalna. MeĎutim, ako osobina toka zavisi od jedne koordinate, kaţe se da je kretanje jednodimenzionalno. Najčešći oblik jednodimenzionalnog toka je kretanje u strujnoj cijevi, gdje su promjene osobina, normalno na strujnu liniju zanemarljive u odnosu na promjene niz istu. To znači da su osobine fluida normalno na osu strujne cijevi konstantne.

PROMJENA KOLIČINE KRETANJA

5.1.

U velikom broju problema mehanike fluida, od interesa je odreĎivanje sile kojom fluid u kretanju djeluje na potopljeno tijelo ili uopšte na čvrstu konturu. U tim slučajevima poznavanje detaljnih karakteristika toka, npr. brzine i pritiska, u svakoj tački fluidnog polja nije neophodno nego je od interesa poznavanje ukupnog dejstva fluida na tijelo. Pri rješavanju takvih problema koristi se osnovna jednačina dinamike o promjeni količine kretanja u integralnom obliku. Posmatraće se dejstvo fluida pri prolasku kroz graničnu površinu na slici 5.1.

kao sto je prikazano

Slika 5.1.: Granična površina

Granična površina moţe biti nepokretna ili translatorno pokretna sa konstantnom brzinom. Prema Njutnovim zakonima, promjena brzine tijela nastaje kao posljedica dejstva sila. Drugi Njutnov zakon primijenjen na materijalni element mase ima oblik: (5.1.)

gdje su: brzina kretanja fluidnog elementa, rezultujuća sila koja djeluje na fluidni element, količina kretanja. 79

Prema jednačini 5.1., vremenska promjena količine kretanja je jednaka rezultujućoj sili koja djeluje na fluidni element. Na osnovu ovoga, se moţe napisati: (5.2.)

gdje su: količina kretanja mase unutar granične zapremine

,

sila koja djeluje na posmatranu fluidnu masu. Primjenom zakona transformacije (na član

) izmeĎu sistemskog pristupa i pristupa za

graničnu zapreminu moţe se pisati:

odnosno: (5.3.)

Prvi član jednačine 5.3. predstavlja promjenu količine kretanja mase unutar granične zapremine, fiksirane u odnosu na koordinatni sistem . Ako je kretanje stacionarno, brzina u proizvoljnoj tački ostaje konstantna, a tako i količina kretanja fluidnog elementa kada prolazi kroz tu tačku, te je doprinos ovog člana jednak nuli. Drugi član predstavlja uticaj promjene količine kretanja uslijed ulaza i izlaza fluida iz granične površine. U ovom članu brzina

igra dvostruku ulogu. U skalarnom proizvodu

odreĎuje da li se radi o ulazu ili izlazu fluida iz granične zapremine. Ako je ugao izmeĎu vektora

i

mani od

predznak proizvoda je pozitivan i kroz taj segment

granične površine fluid izlazi iz granične zapremine. Naprotiv, ako je ugao veći od

, a manji

od , predznak proizvoda je negativan i označava ulaz fluida u graničnu zapreminu. Osim ovoga, brzina

se pojavljuje i kao intenzivna osobina količine kretanja.

Desna strana jednačine predstavlja sumu svih vanjskih sila koje djeluju na graničnu zapreminu fluida. Kao što je već napomenuto, vanjske sile se mogu podijeliti na zapreminske i površinske. Zapreminske sile potiču od vanjskog polja, kao što su gravitaciono i elektromagnetno. U slučaju gravitacionog polja, zapreminska sila je: (5.4.)

gdje je ubrzanje zemljine teţe. Pravac djelovanja gravitacione sile prolazi kroz teţište granične zapremine. 80

Površinske sile djeluju na graničnu površinu i predstavljaju dejstvo okolnog fluida i dejstvo čvrste konture koji su u kontaktu sa graničnom površinom. U opštem slučaju, granična površina se sastoji od segmenta konture koja prolazi kroz fluid, segmenta konture koji se poklapa sa konturom čvrste površine i segmenta koji presijeca konturu čvrstog tijela, npr. kroz oslonac. Zato se površinske sile prikazuju kao suma tri komponente: (5.5.)

Komponenta fluidne konture odreĎena je veličinom normalnih i tangencijalnih napona na odgovarajućem segmentu konture. Dominantan uticaj ima hidrostatički pritisak, te se moţe napisati: (5.6.)

Komponenta predstavlja dejstvo čvrste konture, reakciju elemenata uslijed dejstva fluidne mase, koja se na fluid prenosi pomoću normalnih i tangencijalnih napona, odreĎenih tenzorom napona , (5.7.)

Dejstvo sile reakcije oslonca, nastale u presjeku granične površine i čvrstog tijela, izračunava se pomoću tenzora napona : (5.8.)

Konačno, korištenjem jednačina 5.3., 5.4. i 5.5. se moţe napisati: (5.9.)

Ilustracije radi, jednačina 5.9. je primijenjena za odreĎivanje sile , kojom fluid u stacionarnom kretanju djeluje na redukciono koljeno (u horizontalnoj ravni ), prikazano na slici 5.2. Na dijelu slike 5.2. (a) je prikazano redukciono koljeno, a na dijelu 5.2.(b) je prikazan poligon sila (vektorski dijagram). Granična površina označena crtkanom linijom ima segment konture koja prolazi kroz fluid: i segment konture u dodiru sa čvrstim tijelom:

81

Slika 5.2.: Djelovanje fluida na redukciono koljeno

Obzirom da je strujanje stacionarno, član jednačine 5.9. je:

Drugi član jednačine 5.9. se moţe napisati po segmentima granične površine kao: (5.10.)

Doprinos trećeg člana sa desne strane jednačine 5.10. je:

obzirom da su vektori

i

po konturi

meĎusobno normalni.

U slučaju kada su brzine fluida u presjecima

ili, obzirom da je maseni protok

Zapreminska sila

i

nepromjenjive, imamo:

,

predstavlja teţinu fluida unutar granične zapremine, tj.:

Okolni fluid djeluje na graničnu površinu u presjecima

i

, te se moţe napisati:

82

Smjer sila pritiska i odreĎuje vrijednost relativnog pritiska i jer isti mogu biti veći ili manji od nule. Pretpostavlja se da su relativni pritisci konstantni u posmatranom presjeku, Dejstvo konture

se moţe odrediti ako se poznaje raspored normalnih i tangencijalnih

napona na konturi . Alternativno, jednačina 5.9. se moţe iskoristiti za odreĎivanje su poznati ostali članovi te vektorske jednačine.

ako

Reakcija oslonca , u ovom slučaju, nije poznata jer granična površina ne siječe noseće elemente konstrukcije. Koristeći naprijed navedene izraze, moţe se napisati: (5.11.)

Na slici 5.2.(b) je prikazan vektorski dijagram – poligon sila. Prema III Njutnovom zakonu dejstvo fluida na čvrstu konturu je jednak negativnom dejstvu konture na fluid, tj.: (5.12.)

Navedeni izraz 5.12. uz pomoć vektorskog dijagrama, se koristi za odreĎivanje dejstva fluida na element, kako bi se mogli dimenzionisati nosaći koljena: (5.13a.)

ili (5.13b.)

Postavljeni uslov o konstantnosti brzina u svim tačkama presjeka predstavlja uslov jednodimenzionalne analize toka. On se svodi na to da je brzina u bilo kojoj tački presjeka predstavnik brzinskog polja u cijelom presjeku. Uslov jednodimenzionalne analize proširen na bilo koju vektorsku veličinu kaţe da je dovoljno poznavanje posmatrane vektorske veličine samo u jednoj tački presjeka za poznavanje tog vektorskog polja u cijelom presjeku. Ukoliko je to vektorsko polje – polje brzina, onda pod uslovima jednodimenzionalne analize slijedi da u posmatranom presjeku strujne linije moraju biti paralelne ili bar pribliţno paralelne kako bi brzine u svim tačkama presjeka bile praktično meĎusobno jednake. Drugim riječima, u presjecima gdje se moţe primijeniti princip jednodimenzionalne analize kretanja na polje brzina, konvekcijalno ubrzanje je jednako nuli. Da bi se princip jednodimenzionalne analize kretanja mogao primijeniti na fluks količine kretanja i u slučajevima nejednolikog rasporeda brzina po presjeku potrebno je uvesti koeficijent korekcije, koji u sebi sadrţi efekt promjene brzine po poprečnom presjeku toka. Sa koeficijentom korekcije stvarni protok količine kretanja kroz neki presjek, izraţen preko srednje brzine protoka u tom presjeku, bio bi: (5.14.)

gdje je

jedinični vektor normale na površinu. 83

Koeficijent korekcije ili Bazenov koeficijent za količinu kretanja se odreĎuje iz: (5.15.)

Koeficijent korekcije uzima u obzir nekonstantnost rasporeda brzina. Njegova vrijednost je uvijek veća od jedan. Na primjer, za slučaj laminarnog kretanja fluida u cijevi okruglog poprečnog presjeka je:

84

6.

POTENCIJALNO STRUJANJE FLUIDA

6.1.

RAVANSKO STRUJANJE NESTIŠLJIVOG FLUIDA

Ponekad se fluid kreće tako da je strujna slika identična ili skoro identična u svim ravnima koje su paralelne nekoj referentnoj ravni. Tada se govori o ravanskom strujanju fluida. Ovdje se ne misli na kretanje fluida u tankom sloju, što ima drukčiju fizičku interpretaciju. Kao primjer ravanskog strujanja moţe posluţiti, naravno uz izvjesna ograničenja, kretanje vode kroz velike pravougaone kanale. U prirodi nema ravanskih strujanja jer se slike strujanja razlikuju čak i kad su ravni paralelne. MeĎutim, meĎusobne razlike su toliko male da oslanjanje na pretpostavku o istovjetnosti strujanja ne vode pogrešnim zaključcima. Prednost ovakvog uproštenja se sastoji prvenstveno u tome da se kretanje fluida moţe posmatrati u jednoj od paralelnih ravni, a da se izvedeni zaključci mogu primijeniti i za strujanje kroz sve ostale ravni. Zato, kada se govori o tački u ravni, podrazumijeva se da je to trag prave koja je normalna na ravan. Protok kroz izabranu krivu u ravni znači da fluid u jedinici vremena prolazi kroz odgovarajuću cilindričnu površinu, koja graniči sa paralelnim ravnima čije je rastojanje jedinično. Pri ravanskom strujanju, brzina se uvijek moţe smatrati paralelnom ravni, npr.

) pa je:

Uslov nije dovoljan da strujno polje definišemo kao ravansko, jer se fluid moţe kretati u paralelnim slojevima raznim brzinama. Potrebno je još, da projekcije brzine i , kao uopšte i sve veličine koje se odnose na ravansko strujanje budu nezavisne od promjenljive , a da zavise jedino od

i , eventualno, i od vremena . Zato izvod

ma koje veličine mora biti

jednak nuli pri ravanskom strujanju. Za vrtlog se dobiva izraz: (6.1.)

iz kojeg se saznaje da vektor

stoji uvijek normalno na ravan kretanja.

Jednačina kontinuiteta nestišljivog fluida postaje: (6.2.)

a gradijent bilo koje funkcije

: (6.3.)

6.2.

STRUJNA FUNKCIJA

Diferencijalna jednačina strujne linije (strujnice) pri ravanskom strujanju je:

85

(6.4.)

Ova jednačina se moţe integraliti kada se lijeva strana dovede do oblika potpunog diferencijala , neke funkcije . Ako je navedena jednačina 6.4. egzaktna, onda njena lijeva strana predstavlja potpuni diferencijal, u protivnom treba traţiti integralni faktor kojim bi se lijeva strana pomnoţila i tako dovela do potpunog diferencijala. Kada je jednačina egzaktna moţe se neposredno napisati: (6.5.)

a kako je: (6.6.)

to se poreĎenjem ova dva izraza, 6.5. i 6.6., dobiva: (6.7.)

Vidi se da jednakost drugih izvoda:

funkcije

moţe postojati jedino kada je: (6.8.)

što predstavlja uslov da bi početna jednačina bila egzaktna. Ovaj uslov je uvijek ispunjen pri strujanju nestišljivog fluida, koji se ovdje posmatra, jer se podudara sa jednačinom kontinuiteta 6.2.

koja se mora zadovoljiti. Jednačine 6.7.,

odreĎuju funkciju

koja zavisi od promjenljivih

i , a u opštem slučaju i od vremena .

Tada se diferencijalna jednačina 6.4., odnosno 6.5., strujne linije svodi na: (6.9.)

ili poslije integralenja: (6.10.)

Za odreĎenu vrijednosti konstante , jednačina 6.10. predstavlja jednačinu krive linije u ravni , koja se moţe mijenjati tokom vremena. Uvaţavajući naprijed navedeno, jednačina 6.10. predstavlja cilindričnu površinu u prostoru. Za proizvoljne vrijednosti konstante dobiva se 86

sistem krivih linija u ravni. To je, ustvari, sistem strujnih linija, odnosno sistem strujnih površina. Funkcija se naziva strujna funkcija. Kada je strujanje stacionarno, strujna funkcija ne zavisi od vremena, strujne linije su nepromjenjene u ravni i poklapaju se sa putanjom fluidnih elemenata. Primjenom strujne funkcije

moţe se vrtlog

, iz izraza 6.1., predstaviti kao: (6.11.)

gdje je, u opštem slučaju,:

Laplasov operator ili Laplasian. Pri potencijalnom strujanju, kada je jednačinu:

, funkcija

mora zadovoljiti Laplasovu

(6.12.)

Funkcija moţe posluţiti i za izračunavanje protoka kroz proizvoljnu krivu u ravni , odnosno kroz cilindričnu površinu normalnu na ravan , ograničenu paralelnim ravnima i , vidi sliku 6.1.:

Slika 6.1.: Protok kroz proizvoljnu krivu AB u ravni 0xy (6.13.)

Ako

predstavlja usmjereni element krive

, onda je: (6.14.)

Iz izraza 6.13. i 6.14. slijedi:

87

Obzirom da strujna funkcija

ne zavisi od , dobiva se: (6.15.)

Prema izrazu 6.15., protok kroz konturu funkcija u krajnjim tačkama krive.

6.3.

jednak je razlici vrijednosti koje ima strujna

POTENCIJALNO STRUJANJE

Poznavanje rasporeda brzina i pritisaka nekog strujanja u prostoru i vremenu problem je riješen jer se ostale veličine mogu dobiti iz ovih poznatih rješenja. Činjenica da je brzina vektorska funkcija, sa matematske tačke gledišta, oteţava nalaţenje rješenja. Ako je moguće naći skalarnu funkciju preko koje se moţe izraziti brzinsko polje onda se rješenje problema strujanja fluida znatno uproštava jer se ono svodi na nalaţenje odgovarajuće skalarne funkcije. Ako skalarna funkcija zadovoljava uslov da su komponente brzine izvod te funkcije u odgovarajućim pravcima, tj.: (6.16.)

onda moţemo reći da je strujanje potencijalno. Funkcija koja zadovoljava ovaj uslov je funkcija potencijala brzine i ona u potpunosti definiše polje brzine. Za polja za koja se moţe specificirati skalarna funkcija, na ovaj način, se nazivaju potencijalna polja (npr., polje gravitacionih sila je definisano funkcijom potencijala gdje je osa usmjerena naviše).

,

Funkcija ima karakteristike funkcije potencijalnog polja. Da je ona potencijal brzine pokazuje činjenica da se iz njenih izvoda dobivaju komponente brzina. Obzirom da ona opisuje njihovu kontinualnu raspodjelu u funkciji koordinata i vremena, kao nezavisno promjenljivih veličina, onda je funkcija polja. Obuhvatajući obadva njena svojstva slijedi da je funkcija zaista funkcija potencijalnog polja. Primjenom izraza 6.16. za komponente brzina na neke kinematske karakteristike strujanja dolazi se do dopunskih svojstava potencijalnog strujanja fluida. Ako se iste uvrste u izraz za komponente vrtloţenja, izraz 3.71.:

dobiva se: (6.17.)

88

Iz navedenih jednačina u izrazu 6.17., koje predstavljaju uslove nevrtloţnosti elemenata fluida moţe se doći do osnovnih svojstava potencijalnog strujanja fluida. Nevrtloţnost je usko vezana za odsustvo dejstva sila viskoziteta. Fluid u kojem je moguće zanemariti viskozitet je idealan fluid. Prema ovome, u principu, teorija potencijalnog strujanja fluida se primjenjuje na kretanje idealnog fluida. MeĎutim, u prirodi ne postoji neviskozan fluid, ali pri kretanju realnog, viskoznog, fluida dolazi do formiranja zona u kojima sile viskoziteta ne dolaze do izraţaja. Na takva strujanja se moţe primijeniti teorija potencijalnog strujanja. To su slučajevi u zonama izrazito velikog ubrzanja fluida gdje je strujanje, većinom i nevrtloţno (isticanje i prelijevanje, konvergentno strujanje, neki slučajevi kretanja tijela kroz fluid, otvoreni tokovi konstantnog pritiska na slobodnoj površini i slično). Ako ravansko strujanje ima potencijal brzine

, biće: (6.18.)

S druge strane, iz izraza 6.7., imamo:

Izjednačavajući izraze za komponente brzina dobiva se:

(6.19.)

Jednačine 6.19. se nazivaju Koši26-Riemanovim27 jednačinama. One pokazuju da strujne ( ) i ekvipotencijalne linije ( ) predstavljaju dva sistema, meĎusobno normalnih linija. To dokazuje, skalarni proizvod gradijenta ovih funkcija je jednak nuli:

što znači da su gradijenti meĎusobno normalni. Svaka od funkcija i zadovoljava Laplasovu jednačinu 28. Ovo se lako moţe dokazati, uvrštavanjem komponenti brzine izraţenih preko funkcije potencijala u jednačinu kontinuiteta. Tako se dobiva: (6.20.)

26

Augustin Cauchy Bernhard Riemann 28 Funkcije koje zadovoljavaju Laplasovu jednačinu (neprekidne i sa neprekidnim parcijalnim izvodima prvog i grugog reda) nazivamo Laplasovim ili harmonijskim funkcijama. 27

89

Analogno, uvrštavanjem komponenti brzine, izraţenih preko strujne funkcije, u uslov nevrtloţnosti ( ), dobiva se: (6.21.)

gdje je

Laplasov operator ili Laplasijan.

Kako Laplasova jednačina istovremeno izraţava uslov kontinuiteta i nevrtloţnosti, to skalarna funkcija koja opisuje neko strujanje fluida u zoni toka, a zadovoljava Laplasovu jednačinu, pokazuje da je u toj zoni toka zadovoljen uslov kontinuiteta i da je u njoj strujanje nevrtloţno. Dobivene jednačine 6.20. i 6.21. su Laplasove homogene parcijalne linearne diferencijalne jednačine drugog reda. Rješenja Laplasovih jednačina su harmonijske funkcije i bilo koja od njih predstavlja potencijal brzine, odnosno strujnu funkciju. Ako je taj potencijal harmonijski u cijeloj zoni toka, izuzev u nekim tačkama, onda su te tačke, tačke singulariteta. Jednačine 6.20. i 6.21. pokazuju još jedno vaţno svojstvo funkcija i . Naime, ako postoji kretanje potencijala i strujne funkcije , onda moţe postojati i kretanje potencijala i strujne funkcije ( ). Samo se jedna od funkcija mora naći primjenom Laplasove jednačine, a druga se dobiva iz Koši-Riemanovih uslova. Neka je, npr., poznat potencijal brzine i neka se traţi strujna funkcija . Koši-Riemanovi uslovi glase, prema jednačinama 6.19.:

Ako se integrali prva jednačina, od vrijednosti

do , dobiva se: (6.22.)

Mora se pretpostaviti funkcija koja je za sada nepoznata funkcija od . Ako se dobiveni izraz 6.22. uvrsti u drugu jednačinu 6.19. Koši-Riemanovih uslova, dobiva se: (6.23.)

Obzirom da funkcija

zadovoljava Laplasovu jednačinu, moţe se napisati: (6.24.)

Uvrštavanjem izraza 6.24. u izraz 6.23. dobivamo:

90

(6.25.)

Integralenjem dobivog izraza 6.25. od vrijednosti

do , dobiva se:

Na kraju se nalazi vrijednost za: (6.26.)

Da se je pri traţenju funkcije dobio bi se izraz:

pošlo od druge jednačine 6.19. Koši-Riemanovih uslova,

(6.27.)

Ovaj izraz 6.27. je ekvivalentan izrazu 6.26. Postupak za iznalaţenje potencijala brzine već prikazanim.

, kada se zna strujna funkcija

, analogan je sa

Za neke oblike strujanja pogodnije je strujnu sliku opisati u polarnom koordinatnom sistemu . Komponente brzine i Koši-Riemanovi uslovi, sada glase:

(6.28.)

a Laplasova jednačina za ravansko strujanje je data izrazom: (6.29.)

6.4.

SLAGANJE STRUJANJA

U ovom poglavlju će se izloţiti način na koji se dolazi do predstave o sloţenim strujanjima, a na osnovu poznatih jednostavnijih strujanja. Ravansko potencijalno strujanje je potpuno definisano funkcijom potencijala i strujnom funkcijom . Ove funkcije daju i analitičku i grafičku predstavu o kretanju. Zna se da su one vezane Koši-Riemanovim uslovima i da svaka od njih zadovoljava Laplasovu jednačinu. Dakle, ne mogu se izabrati bilo kakve funkcije i , i smatrati da su one upravo funkcije koje odreĎuju neko strujanje. Ali, svaki par funkcija koje zadovoljavaju Koši-Riemanove

91

uslove uvijek daju sliku nekog mogućeg strujanja. Ne ulazeći u analizu kako će se one prilagoditi graničnim uslovima, očigledno je da takvih funkcija ima beskonačno mnogo. Pretpostavimo da su odreĎene dvije funkcije

i

Njima odgovara potencijalno strujanje, potencijala brzine Neka su

koje zadovoljavaju uslove:

i strujne funkcije

.

, drugi par funkcija koje, takoĎe, zadovoljavaju uslove:

i

Ove funkcije odreĎuju drugo strujanje sa potencijalom brzine

i strujnom funkcijom

.

Koši-Riemanovi uslovi su linearne parcijalne diferencijalne jednačine, pa ih moraju zadovoljiti i funkcije: što znači da njima odgovara neko novo strujanje potencijala brzine i strujne funkcije . Dobivene zbirne funkcije takoĎe zadovoljavaju Koši-Riemanove uslove. Dakle, poznavanjem pojedinih jednostavnih strujanja, moguće je upoznati nova, često, vrlo sloţena strujanja.

6.5.

ANALIZA POTENCIJALNIH STRUJANJA

Primjeri potencijalnog strujanja fluida koji će se navesti, se odnose na najjednostavnije slučajeve stacionarnog ravanskog strujanja fluida.

6.5.1.

RAVANSKO STACIONARNO STRUJANJE FLUIDA

Najjednostavniji primjer strujanja fluida je stacionarno, kod kojeg su strujne linije meĎusobno paralelne. Paralelno strujanje se karakteriše konstantnom brzinom fluidnog polja. Ako je pravac brzine odreĎen uglom u odnosu na pokazano na slici 6.2. Komponente brzine u

i

, u bilo kojoj tački osu, kao što je

pravcu su:

Iz izraza za komponente brzine i Koši-Riemanovih uslova, dobiva se:

(6.30.)

92

Slika 6.2.: Ravansko stacionarno strujanje fluida

Ako se integrali prva jednačina 6.30., dobiva se:

(6.31.)

Izvod funkcije 6.31., po drugoj promjenljivoj je:

Ako ovaj izvod izjednačimo sa drugom jednačinom iz 6.30., Koši-Riemanovih uslova, dobiva se:

odnosno: (6.32.)

Uvrštavanjem izraza 6.32. u izraz 6.31. dobiva se: (6.33.)

Dobivena funkcija

zadovoljava jednačinu kontinuiteta u obliku Laplasove jednačine.

Analogno, strujna funkcija

se odreĎuje iz prve jednačine 6.30. Koši-Riemanovih uslova: (6.34.)

Ako izvod ove funkcije 6.34., po drugoj promjenljivoj,

izjednačimo sa istim članom iz druge jednačine 6.30. Koši-Riemanovih uslova, dobiva se:

93

odnosno: (6.35.)

Uvrštavanjem nepoznate funkcije, izraz 6.35., u izraz 6.34., dobiva se: (6.36.)

Vrijednosti konstanti i su proizvoljne, te mogu biti izjednačene sa nulom. Strujne linije su pravci pod uglom prema osi. Ekvipotencijalne linije su pravci normalni na linije Dobiveni izrazi 6.33. i 6.36. za uzimajući: i

i

se mogu transformisati u polarni koordinatni sistem, ,

i

Za slučaj strujanja paralelnog sa osom, , izrazi za funkciju potencijala brzine i strujnu funkciju u Dekartovom sistemu, postaju:

a u polarnom koordinatnom sistemu su:

Za ovaj slučaj strujanja, strujne linije su paralelne sa parelelne sa osom.

osom, a ekvipotencijalne linije su

U cijelom strujnom polju stacionarnog strujanja nema tačaka singulariteta, jer su date funkcije potencijala harmonijske u cijeloj zoni toka. Zbog toga je cirkulacija po bilo kojoj zatvorenoj liniji jednaka nuli. Ovo je prikazano na izdvojenoj zatvorenoj liniji , slika 6.2.) Vodeći računa o usvojenom smjeru linije po kojoj se vrši integralenje (pozitivan smjer je smjer suprotan kretanju kazaljke na satu) i pravcu brzine, dobiva se:

94

Dakle, u polju potencijalnog toka je cirkulacija, po zatvorenoj krivoj, jednaka nuli.

6.5.2.

POTENCIJALNI USAMLJENI VRTLOG

U slučaju rotacije fluida u koncentričnim krugovima oko neke ose, tako da se brzina u njemu mijenja obrnuto proporcijalno sa rastojanjem od ose rotacije, sistem strujnih i potencijalnih linija će biti kao na slici 6.3.

Slika 6.3.: Potencijalni usamljeni vrtlog

Za ovaj vid strujanja fluida, funkcija potencijala izraţena u cilindričnim koordinatama, je: (6.37.)

Komponente brzine u bilo kojoj tački ovog toka, izraţene preko funkcije potencijala, su: (6.38.)

ili u Dekartovom koordinatnom sistemu:

(6.39.)

Da bi se odredila strujna funkcija, treba primijeniti Koši-Riemanove uslove 6.28. Iz prve jednačine se dobiva: (6.40.)

Ako se naĎe izvod za po drugoj promjenljivoj i izjednači sa drugom jednačinom iz KošiRiemanovih uslova 6.28., odrediće se nepoznata funkcija : 95

(6.41.)

Uvrštavajući dobiveni izraz 6.41. u izraz 6.40. za

, i usvajajući da je

, dobiva se: (6.42.)

Funkcija potencijala 6.37. i strujna funkcija 6.42. u Dekartovom koordinatnom sistemu glase: (6.43.) (6.44.)

U ovom slučaju se vidi, da su strujne linije sistem koncentričnih krugova sa aksijalnom i radijalnom komponentom brzine jednakom nuli, a tangencijalna komponenta je duţ svake strujne linije konstantna. Sa druge strane, sistem potencijalnih linija se sastoji od sistema radijalnih linija, kao sto je prikazano na slici 6.3. Fluid kruţi u strujnoj ravni oko ose rotacije (koordinatni početak) u koncentričnim krugovima sa smjerom suprotnim smjeru kretanja kazaljke na satu . Na konstantnom rastojanju od centra krugova brzine su istog intenziteta. Ali, ukoliko se odmičemo od centra, intenzitet brzina opada obratno proporcijalno radijusu i u beskonačnosti teţi nuli . Ukoliko se primićemo osi rotacije brzina teţi beskonačno velikoj brzini . U prirodi nisu poznate tako velike brzine pa je jasno da posmatrano strujanje ne moţe vaţiti za brzinu ose rotacije. Na osnovu navedenog, strujno polje se moţe podijeliti na dvije oblasti: 

prvu, koja je veoma prostrana i gdje se brzine ponašaju prema zakonu



drugu, vrlo malu, u kojoj naprijed navedeni zakon ne vrijedi. Ova oblast, singularna oblast, ima podreĎenu ulogu prema prostranstvu toka. Obično se pretpostavlja da u njoj fluid rotira kao čvrsto tijelo, nepromijenjenom ugaonom brzinom. Singularna oblast se naziva i vrtložnim jezgrom. Moţe se smatrati da fluidni elementi iz singularne oblasti pripadaju jednom jedinom vrtloţnom vlaknu po kojem se cjelokupno kretanje fluida naziva strujanje u polju usamljenog vrtloga.

Pri analiziranju i odreĎivanju cirkulacije, nailazi se na dva slučaja:  

kad integralska kriva ne obuhvata tačku singulariteta, kad integralska kriva obuhvata tačku singulariteta.

U prvom slučaju, kriva

(slika 6.3.) ne obuhvata vrtloţno jezgro pa se nalazi:

96

Integrali duţ dijelova i

. Kako je:

na putu

i

integralske krive jednaki su nuli uslijed ortogonalnosti vektora

na putu

, dobiva se: (6.45.)

Izrazom 6.45. je pokazano da je u polju usamljenog vrtloga cirkulacija po zatvorenoj krivoj, koja ne obuhvata tačku singulariteta, jednaka nuli. U drugom slučaju, ako se za integralnu krivu uzme bilo koja od strujnih linija, koncentrični krug, tako da je obuhvaćena tačka singulariteta, onda će cirkulacija po njoj biti: (6.46.)

Dakle, cirkulacija nije više jednaka nuli. Rezultat se neće promijeniti kada se singularitet obuhvati proizvoljnom krivom. Ako se površina podjeli u niz elementarnih kruţnih isječaka, vidi se da jedino integrali duţ elementarnih lukova daju doprinos cirkulaciji. Zbir svih pojedinih integrala opet je . Cirkulacija je konstantna i ne zavisi od veličine jezgra. Prema tome jezgro se moţe svesti na tačku, tačku singulariteta. Dobiveni izraz 6.46. za cirkulaciju, daje fizičko značenje konstante , kao jačine vrtloga: (6.47.)

Funkcija potencijala i strujna funkcija se mogu pisati: (6.48.)

6.5.3.

STRUJANJE U POLJU USAMLJENOG IZVORA I PONORA

Primjenom svojstva o zamjeni uloga funkcije potencijala i strujne funkcije na prethodni slučaj, izraz 6.48., dobiva se novi vid strujanja fluida poznat kao izvor ili ponor, definisan funkcijom potencijala i strujnom funkcijom kao: (6.49.)

U ovom slučaju umjesto konstante , uzeta je konstanta razlikovao od prethodnog.

, da bi se ovaj vid strujanja

Komponente brzina, izraţene preko funkcije potencijala, su:

97

(6.50.)

Iz izraza 6.50. se vidi da je polje brzina predstavljeno samo radijalnom brzinom. Njena apsolutna vrijednost se povećava sa pribliţavanjem centru i u njemu postaje beskonačno velika, tačka singulariteta. Karakter strujanja u ova dva slučaja zavisi od konstante . Za , sa povećanjem radijusa (pozitivan smjer), brzina je pozitivna i smjer strujanja je od centra u polje. Za , sa istim smjerom , brzina je negativna i smjer strujanja je iz polja prema centru. Za prvi slučaj se kaţe da je strujanje u polju usamljenog izvora, a u drugom, da je strujanje u polju usamljenog ponora. Strujanje je dvodimenzijalno (ravansko), strujne linije su radijalni pravci, a potencijalne linije koncentrični krugovi, kao što je prikazano na slici 6.4.

Slika 6.4.: Strujanje u polju usamljenog izvora

Intenzitet izvora ili ponora je definisan konstantom , koja se moţe odrediti iz veličine protoka kroz jediničnu cilindričnu površinu, koja obuhvata liniju izvora ili ponora. (6.51.)

gdje je

jedinični protok (izdašnost) izvora ili ponora, dimenzija:

Iz izraza 6.51. se dobiva intenzitet (jačina) dvodimenzionalnog izvora ili ponora: (6.52.)

Izrazi 6.51. i 6.52. imaju iste dimenzije,

.

U Dekartovim koordinatama funkcija potencijala i strujna funkcija, za slučaj izvora, glase:

98

(6.53.)

a u cilindričnim koordinatama:

(6.54.)

Za slučaj ponora, smjer brzine se mijenja za , te se izrazi za funkciju potencijala i strujnu funkciju dobivaju iz izraza 6.53 i 6.54. zamjenom .

6.5.4.

SUPERPOZICIJA IZVORA I PONORA ISTIH INTENZITETA

Posmatraće se rezultujuće strujanje nastalo superpozicijom (sabiranjem) izvora i ponora, jediničnih protoka , postavljenih na osi na i udaljenosti od koordinatnog početka, kao što je prikazano na slici 6.5.(a).

Slika 6.5.: Superpozicija izvora i ponora

Za proizvoljnu tačku

strujna funkcija je: (6.55.)

Uvrštavajući izraz 6.54. za strujnu funkciju izvora i ponora, dobivamo: 99

(6.56.)

Koristeći sliku 6.5.(a), dobivamo slijedeće odnose: (6.57.)

Sada strujnu funkciju, iz izraza 6.56., moţemo napisati kao: (6.58.)

Koristeći trigonometrijsku relaciju za razliku arkusa dva ugla, izraz 6.58. se moţe napisati: (6.59.)

Jednačine strujne linije se dobivaju za funkciju:

, što uvrštavamo u izraz 6.59. za strujnu

(6.60.)

Poslije sreĎivanja dobiva se: (6.61.)

Izraz 6.61. predstavlja jednačinu kruga sa centrom na

osi, u tački:

i sa radijusom:

Na slici 6.5.(b) su punom linijom nacrtane strujne linije dobivene promjenom vrijednosti konstante . Za , iz izraza 6.61. se dobiva . Ovo znači da segmenti luka kruga povezuju izvor i ponor, odnosno da cijeli protok iz izvora biva zahvaćen ponorom. Na sličan način potencijal superponiranog strujanja postaje: (6.62.)

Iz geometrijskih odnosa na bazi slike 6.5.(a) je:

tako da se funkcija potencijala moţe pisati kao:

100

(6.63.)

6.5.5.

DVOPOL ILI DIPOL

Interesantna strujna slika se dobije kada se izvor i ponor istovremeno pribliţavaju koordinatnom početku sistema, kao na slici 6.6.

Slika 6.6.: Dvopol ili dipol

Ako su izvor i ponor istog jediničnog protoka (izdašnosti), cijeli protok izvora će biti zahvaćen ponorom ne uzrokujući nikakvo kretanje. Neto protok je jednak nuli. Analizirat će se slučaj kada udaljenost teţi nuli , a jedinični protok beskonačnosti , tako da proizvod teţi konačnoj vrijednosti : Uz označavanje kao na slici 6.6.(a), potencijal nastalog strujanja je: (6.64.)

Kada

i

, dobiva se:

101

(6.65.)

Obzirom da

i količnik

je male vrijednosti. Razvojem logaritamske funkcije u red,

se dobiva: (6.66.)

Zanemarujući članove višeg u izrazu 6.66. i uvrštavanjem u izraz 6.65., dobiva se: (6.67.)

Primjenom teoreme kosinusa na trouglove prikazane na slici 6.6.(a), dobiva se: (6.68.)

Oduzimajući drugu jednačunu od prve, u izrazu 6.68., dobiva se: (6.69.)

Uvrštavajući izraz 6.69. u izraz 6.67., dobiva se:

odnosno: (6.70.)

ili u Dekartovom koordinatnom sistemu: (6.71.)

Ekvipotencijalne linije se dobiju iz izraza 6.71. uz uslov

:

ili poslije sreĎivanja:

(6.72.)

Izraz 6.72. predstavlja parametarsku jednačinu sa parametrom , odnosno predstavlja familiju krugova sa centrom na osi i sa koordinatama centra:

i radijusom:

102

što pokazuje da je

osa tangenta na ekvipotencijalne linije.

Na osnovu funkcije potencijala

Strujnu funkciju

, izraz 6.70., dobivamo komponente brzine:

dobivamo primjenom Koši-Riemanovih uslova 6.28.:

i već prikazanog načina izvoĎenja: (6.73.)

ili u Dekartovom koordinatnom sistemu: (6.74.)

Strujne linije se dobivaju za

, analogno kao i kod ekvipotencijalnih linija: (6.75.)

Jednačina 6.75. sa vrijednošću parametra u tački:

predstavlja familiju krugova sa centrom na

osi

i radijusom:

osa je tangenta na krugove – strujne linije.

6.5.6.

SUPERPOZICIJA DVOPOLA I PARALELNOG STRUJANJA

Posebno zanimljivu sliku strujanja daje superpozicija dva prethodno analizirana nevrtloţna strujanja: dvopol i paralelno strujanje (slika 6.7.a). Neka paralelno strujanje ima konstantnu brzinu u pravcu ose, i neka je dvopol lociran u centar koordinatnog sistema . Kako su oba strujanja nevrtloţna, strujna funkcija superponiranog strujanja je: Ako se usvoji cilindrični koordinatni sistem dobiva se:

103

(6.76.)

Strujne linije se dobivaju za , ili iz izraz 6.76. je:

Od posebnog interesa je nulta strujna linija

(6.77.)

Jednačina 6.77. je zadovoljena za:

Dakle, nulta strujna linija je

osa i krug radijusa:

Veličina radijusa zavisi od jačine dvopola i brzine paralelnog tečenja . Kako kroz nultu strujnu liniju nema protoka fluida ista se moţe smatrati kao čvrsta kontura. Dobivena slika strujanja odgovara nevrtloţnom strujanju oko cilindra, radijusa . Zato je pogodno da se strujna funkcija 6.76. izrazi pomoću radijusa : (6.78.)

Komponente brzine su:

(6.79.)

Koristeći se dobivenim izrazima 6.78., 6.79., Koši-Riemanovim uslovima 6.28. i već poznatim načinom se moţe odrediti funkcija potencijala brzine, kao: (6.80.)

Raspored brzine po konturi cilindra se odreĎuje iz uslova

:

Promjena brzine po periferiji cilindra grafički je prikazana na slici 6.7.(c). Za brzina . Ove tačke se nazivaju zaustavnim tačkama i označene su sa i Maksimalna brzina fluida se postiţe u tačkama cilindra za i iznosi

i

,

. ,

tj. brzina je dva puta veća od brzine u neporemećenom toku.

104

Slika 6.7.: Superpozicija dvopola i paralelnog strujanja

Jedan od problema mehanike fluida je odreĎivanje sila kojom fluid djeluje na okolna tijela. Interesantno je odrediti kojom silom fluid djeluje na cilindar radijusa . Uobičajeno je da se rezultujuća sila po jedinici visine tijela razloţi na komponente: silu u pravcu strujanja i silu u pravcu koji je normalan na pravac neporemećenog strujanja. Tada se prva sila naziva silom otpora , a druga silom uzgona , slika 6.8. Da bi se odredila sila kojom fluid djeluje na cilindar, analizirat će se raspored pritisaka kod nevrtloţnog strujanja na bazi poznatog rasporeda brzina i Bernulijeve jednačine. Primjenjujući Bernulijevu jednačinu na strujanje neporemećenog toka, dovoljno daleko od cilindra, i stanje na konturi cilindra, dobiva se: (6.81.)

Obzirom da je strujanje u horizontalnoj ravni

i

, dobiva se:

105

ili u bezdimenzijalnoj formi: (6.82.)

Slika 6.8.: Sile otpora i uzgona

Bezdimenzionalni raspored pritiska, izraz 6.82., je prikazan na slici 6.8., i za njega vrijedi:

Strujanje je neviskozno, sile uslijed dejstva pritiska predstavljaju jedine sile kojim fluid djeluje na cilindar. Na elementarnu površinu djeluje sila . Komponente otpora i uzgona, od dejstva sile su: (6.83.)

Integralenjem prve jednačine izraza 6.83. uz uvrštavanja vrijednosti za na simetričan raspored pritisaka u odnosu na osu:

, dobiva se, obzirom

(6.84.)

Za silu uzgona se dobiva: (6.85.)

Dakle sile otpora i uzgona su jednake nuli, a time je i rezultujuća sila jednaka nuli

.

Činjenica da pri opstrujavanju potopljenog tijela realnim fluidom uvijek postoji odreĎena sila, a da je pri potencijalnom opstrujavanju tog tijela ona jednaka nuli, poznata je kao Dalamberov paradoks.

6.6.

METODE ODREĐIVANJA FUNKCIJE POTENCIJALA

U poglavlju 6.5. se polazilo od poznate funkcije potencijala i strujne funkcije, i njihovim ispitivanjem se došlo do rješenja za strujanje fluida pri odgovarajućim konturnim uslovima. U 106

inţenjerskoj praksi najčešći slučajevi su upravo suprotni. Za date konturne uslove potrebno je naći sistem strujnih linija i linija potencijala, da bi se preko njih došlo do rješenja problema. U osnovi problem se svodi na rješavanje Laplasove diferencijalne jednačine strujanja, koje treba da zadovolje ove funkcije pri datim konturnim uslovima. U zavisnosti od uslova toka i oblika granica, njihovo rješenje moţe biti egzaktno ili pribliţno.

6.6.1.

RAČUNSKE METODE

Za egzaktno rješavanje Laplasove jednačine na raspolaganju nam stoje metode rješavanja parcijalnih diferencijalnih jednačina. One se baziraju na korištenju Furjeovih 29 redova, Leţandrovih30 ili Beselovih31 funkcija, na metodu integralnih jednačina i dr. Ove matematske metode fizike su pogodne za matematski definisane konture. Za kompleksniji oblik konture, koje je teško definisati, mora se prići pribliţnim numeričkim metodama rješavanja Laplasove jednačine. 6.6.1.1.

METOD KONAČNIH RAZLIKA

Ovom metodom se diferencijalne jednačine, u ovom slučaju Laplasove, prevode u sistem algebarskih diferencijalnih jednačina. Da bi se došlo do potrebnog stepena tačnosti rješenja, prvobitno rješenje je potrebno sukcesivno popravljati (metod relaksacije), radi čega i konačno rješenje predstavlja pribliţno rješenje postavljenog problema. Postoji čitav niz metoda prevoĎenja diferencijalnih jednačina u sistem algebarskih diferencijalnih jednačina kao i njihovo rješavanje. Ovdje se daje klasičan primjer prevoĎenja razvijanjem u Tajlorov32 red i rješavanje dobivenog sistema metodom relaksacije, koji zahtjeva pretpostavljanje vrijednosti funkcije potencijala u pojedinim tačkama mreţe. Ovaj metod je pogodan za primjenu računara, mada se u tu svrhu sve više koristi metod Gausove33 eliminacije ili inverzije matrice, i dr. Postupak prelaska sa Laplasove diferencijalne jednačine na algebarski diferentni izraz koji opisuje dati tok, pokazan je na primjeru dvodimenzijalnog strujanja fluida oko neke čvrste granice, slika 6.9. U čvornim tačkama nacrtane kvadratne mreţe trebaju se pretpostaviti vrijednosti potencijala. Njihove konačne vrijednosti trebaju biti takve da je za svaku tačku zadovoljena Laplasova jednačina. Tako na primjer, za tačku mora biti: (6.86.)

Izvodi potencijala u tački se mogu izraziti pribliţno preko vrijednosti potencijala u okolnim tačkama: . U tom cilju funkcija , u okolini tačke , se moţe aproksimirati Tajlorovim polinomom kao:

29

Joseph Fourier Andrien-Marie Legendre 31 Friedrich Bessel 32 Brook Taylor 33 Carl Friedrich Gauss 30

107

Slika 6.9.: Metod konačnih razlika

Za tačku ,

, dobivamo: (6.87.)

i za tačku ,

: (6.88.)

Sabiranjem izraza 6.87. i 6.88., dobiva se: (6.89.)

Na sličan način se moţe dobiti izraz za tačke

i : (6.90.)

Zanemarujući sve članove reda veličine i veće, algebarski izraz kao najjednostavnija aproksimacija Laplasove jednačine za tačku je: (6.91.)

Na isti način će se dobiti odgovarajući algebarski izrazi za sve tačke kvadratne mreţe, posmatrajući ih kao i tačku . U ovako formiranom sistemu jadnačina potrebno je izvršiti korekciju pretpostavljenih vrijednosti potencijala u pojedinim tačkama metodom relaksacije, dok se ne doĎe do vrijednosti koje će zadovoljiti posljednji izraz sa odgovarajućom tačnošću.

108

Ovakav metod je mukotrpan i dug ukoliko se ne koriste računari. Osnovna prednost ove metode je u mogućnosti dobivanja strujne slike za konturne granice bilo kakve konfiguracije.

6.6.2.

METOD ANALOGIJE

Uslov da karakteristična veličina neke pojave zadovoljava Laplasovu jednačinu, pored primjera strujanja idealnog fluida, susreće se i u nizu drugih fizičkih pojava. Takve su: provoĎenje toplote ili elektriciteta, naponsko stanje membrane, prostiranje magnetnih i drugih talasa, laminarno strujanje izrazito viskoznog fluida, itd. Svaka od ovih pojava moţe posluţiti kao model (analog) odgovarajućem potencijalnom strujnom polju fluida. Koji od navedenih uzeti kao model za posmatrano strujanje fluida zavisi od najpodesnije eksperimentalne opreme. 6.6.2.1.

MEMBRANSKA ANALOGIJA

Izohipse tanke trodimenzionalne elastične membrane (od gume ili filma sapunice) projektovane na horizontalnu ravan odgovaraju strujnim linijama dvodimenzionalnog potencijalnog strujanja fluida. Pretpostavlja se da je membrana tako tanka da su njena krutost kao i sile gravitacije zanemarljive. Nadalje, pretpostavlja se da su unutrašnji naponi svugdje i u svim pravcima isti, a da su ugibi membrane tako maleni da se sekundarni naponi uslijed njih mogu zanemariti. Kod ove metode odreĎivanja strujne slike problemi su isključivo tehničke prirode – formiranje membrane traţenih karakteristika i odreĎivanje izohipsi na njoj, odnosno nagiba površine membrane u pojedinim tačkama. 6.6.2.1.

ELEKTRO ANALOGIJA

Ako analitički oblici strujne funkcije i funkcije potencijala nisu poznati, strujna mreţa se moţe pribliţno odrediti pomoću analogije sa električnim potencijalom. Analogija sa električnim poljem napona posebno je pogodna, zato što se električne veličine mogu lako mjeriti. Za homogeni električni provodnik polje napona je definisano jednačinom:

gdje je

veličina napona.

Jednačina je identična sa jednačinom koja vaţi za funkciju potencijala brzine i strujnu funkciju . Dakle, raspored napona u polju provodnika je analogan rasporedu funkcije potencijala brzine, ako su granični uslovi slični. Analogno, električno polje mora biti i geometrijski slično fluidnom polju. Čvrsta kontura u fluidnom polju analogno odgovara ploči izolatora. Konstantan potencijal brzine odgovara dobrom provodniku. Na slici 6.10. je prikazano odreĎivanje potencijala brzine kod opstrujavanja cilindra u dvodimenzionalnom kanalu. Dovoljno daleko ispred i iza cilindra raspored brzina je konstantan, što pokazuje da je normalno na osu kanala. Taj dio polja izraĎen je od dobrog provodnika i spojen sa izvorom potencijala (baterija). Cilindar i bočne konture izraĎene su od izolatora, a oblast

109

koja odgovara fluidnom polju izraĎena je od homogenog električnog provodnika u obliku ravne ploče.

Slika 6.10.: Elektro analogija

Mjerenje rasporeda električnog potencijala homogenog električnog provodnika ostvareno je pomoću Vistonovog34 mosta. Kada je most u ravnoteţi i galvanometar pokazuje nulti otklon, vrijedi:

gdje su: razlika potencijala izmeĎu elektrode i bilo koje tačke (tačka N), razlika potencijala izmeĎu elektroda

,

električni otpori koji su unaprijed poznati i definišu se pomoću kliznog reostata. Praktično, kada se ţeli odrediti ţeljena površina potencijala , električni otpornici se podešavaju prema navedenom izrazu, kako bi dali isti količnik. Tada se sondom traţe tačke na provodniku za koje je most u ravnoteţi. Te tačke leţe na ekvipotencijalnoj liniji. U svakoj tački tako dobivenog sistema ekvipotencijalnih linija brzina je normalna na njih, a njena veličina je jednaka gradijentu potencijala u toj tački. Na taj način se dolazi do odgovarajućeg sistema strujnih linija.

34

Sir Charles Wheatstone

110

7.

DINAMIKA VISKOZNOG FLUIDA

7.1.

FIZIČKA RAZMATRANJA

Moţe se zamisliti slika o razvoju strujanja iznad neograničene idealno ravne i glatke čvrste konture i to od stanja mirovanja pa do neke ustaljene brzine, koja bi cijelom toku imala istu vrijednost, kao kada bi fluid bio neviskozan. MeĎutim, kada se fluid pokrene moţe se očekivati da će u kretanju biti ometani samo oni elementi koji su u kontaktu sa pločom, uslijed adhezije. Iz kinetičke teorije gasova je poznato, da se molekule kreću kaotično, u granicama svoje slobodne molekularne putanje, pa tako ulaze i u slojeve fluida koji se kreće. Ovaj ih povlači, što fizički znači da ih ubrzava, a posljedica toga se ispoljava kao sila u dodirnoj površini slojeva. Ova sila usporava kretanje fluida i predstavlja otpor. Uobičajeno je da se taj otpor pripisuje djelovanju unutrašnjeg fluidnog trenja. Istog trenutka kada se uspore elementi fluida uz ploču, nastaje razlika brzina izmeĎu njih i susjednih elemenata fluida, tako da se oni bliţe ploči, kao sporiji, nalaze u relativnom mirovanju prema brţim elementima. Zato meĎu njima nastaje 'trenje' uz posljedicu koja je opisana. Ova pojava se nastavlja sve dok se strujanje ne ustali. Naravno, ovi zaključci vaţe samo za slojevito-laminarno strujanje fluida. Teoretski, brzine obliţnjih fluidnih slojeva bi se izjednačile tek na beskonačnom rastojanju od ploče, ali je za praktičnu primjenu, izjednačenje nastupilo već na mjestu gdje je brzina manja za 1% od brzine u neporemećenom toku. Ovaj prostor, od ploče do mjesta izjednačenja brzina, naziva se granični sloj (prema Prandtlu), a rastojanje od ploče do mjesta izjednačenja brzina predstavlja debljinu graničnog sloja. Granični sloj bi teţio veoma maloj debljini jedino kada bi se fluid kretao veoma brzo, tada bi se u dodiru sa 'zalijepljenim' slojem stvorila neizmjerno jaka sila koja bi mogla da se suprotstavi silama adhezije. Iz ovoga slijedi da nema smisla zanemarivati granični sloj pri malim brzinama kretanja fluida, dok je opravdano i korisno da se tako postupi i kada su brzine velike. Tada bi se moglo smatrati da granični sloj pripada konturi tijela, upravo kao da je uz nju očvrsnuo. Time bi se dobio formalan prelaz od realnog fluida prema neviskoznom, potencijalnom, fluidu. Promjenljivost brzine u graničnom sloju, u funkciji udaljenosti od ploče, svjedoči o tome da je u tom dijelu struje: (7.1.)

Dakle, fluidni elementi rotiraju, iako se to prostim okom ne primjećuje. Običajno je da se vidljivo rotiranje fluidne mase označava kao vrtlog, pa bi se ovi nevidljivi vrtlozi mogli nazvati 'elementarnim vrtlozima'. Svaki vrtlog, elementarni ili konačni, sadrţi kinetičku energiju koja se tokom vremena transformiše u toplotnu energiju. Pri ovom se povećava unutrašnja energija fluida, a ne pritisak i brzina. Nastanak elementarnih vrtloga je usko vezan za unutrašnje trenje fluida, tj. za otpor koji struja fluida mora savladati prilikom prelaska preko čvrste konture. Zato se mora pretpostaviti da će zbog otpora, u opštem slučaju, opadati 111

pritisak i brzina u struji fluida. Jasno je i to, da će se otpor povećavati ukoliko se više vrtloga formira u jedinici vremena. S jedne strane, to zavisi od intenziteta rotora vektora brzine, tj. od promjene brzine po jedinici okomito na čvrstu konturu, a sa druge strane, od gustine fluida i od dubine do koje prodiru molekuli usporenih elemenata fluida. Njutn je postavio slijedeći izraz za napon smicanja u laminarnoj struji: (7.2.)

gdje su: koeficijent dinamičkog viskoziteta, komponenta brzine u pravcu

ose.

Kako trenje izaziva promjenu toplotnog stanja fluida, to bi značilo uspostavljanje veze izmeĎu mehaničkih i termodinamičkih pojava. Uslijed velikih teškoća koje oko ovoga nastaju, pretpostavlja se da je uticaj toplote beznačajan pa se neće uzimati u obzir. Posljedica toga će biti da viskozitet ostaje konstantan iako se on mijenja sa temperaturom. Iz ovih razloga, zadrţat će svoj raniji oblik i karakteristična jednačina. Posmatraće se, uglavnom, nestišljiv fluid ili adijabatska promjena stanja stišljivog fluida. Uslov neprekidnosti, kontinuiteta, vaţi i za viskozni fluid, pa će jednačina kontinuiteta imati oblik: (7.3.)

odnosno, ako je fluid nestišljiv: (7.4.)

Prirodno je da na snazi, i dalje, ostaju Njutnovi principi koji odraĎuju sile kao proizvod mase i ubrzanja. Ojlerove jednačine su izvedene, takoĎe, na istom principu. Zato i one vrijede, ali pod uslovom da se dopune novim članovima koji zavise od trenja, izvora još jedne sile koja veoma jako utiče na kretanje fluidne mase.

7.2.

DEJSTVO SILA VISKOZITETA

Da bi se u diferencijalne jednačine za kretanje fluida uvele sile koje zavise od viskoziteta treba, najprije, utvrditi stanje napona. Neka je tačka proizvoljna tačka u fluidu, tjeme diferencijalno malog pravouglog paralelopipeda sa stranicama i , slika 7.1. Uslijed viskoziteta, bočne strane paralelopipeda trpe normalne i tangencijalne sile, pri čemu normalne sile više nisu nezavisne od pravca, kao u idealnom fluidu. Poznato je, iz nauke o otpornosti materijala, da stanje napona u tački odreĎuje 9 veličina: tri normalne komponente i šest tangencijalnih i . Indeksi uz normalne napone pokazuju stranu paralelopipeda na koju naponi djeluju, a označavaju pravac normalne na toj strani. U isto vrijeme, indeks pokazuje i pravac u kojem djeluje odgovarajući normalni napon. U tangencijalnih napona, prvo slovo u indeksu pokazuje pravac normale i time odreĎuje stranu paralelopipeda na koju se odnosi. Drugo slovo odreĎuje pravac djelovanja napona. Kao što je poznato, zbog veza: 112

(7.5.)

Broj komponenata tangencijalnih napona se sada svodi na tri.

Slika 7.1.: Dejstvo sila viskoziteta

Da bi se dobila sila koja djeluje na stranicu paralelopipeda treba svaki napon pomnoţiti površinom odgovarajuće stranice. Rezultujuće sile u pravcu i se dobivaju sabiranjem svih sila u odgovarajućem pravcu vodeći računa o smjeru. Za pravac ose, ima se:

odnosno, poslije sreĎivanja:

Analogno se moţe uraditi i za pravce

i

ose:

Odavde slijedi da projekcije sile, računate po jedinici zapremine, imaju vrijednosti: (7.6.a) (7.6.b)

113

(7.6.c)

Dakle, umjesto normalnog pritiska jednakog u svim pravcima, kao što je u idealnom fluidu, javljaju se normalni pritisci i razne tangencijalne sile.

7.3.

PRETPOSTAVKE O NAPONIMA

Ako se posmatraju samo naponi prouzrokovani viskozitetom, i koji zavise od pravca, treba jednostavno oduzeti od normalnih napona, pritisak koji je jednak u svim pravcima, a javlja se i u idealnom fluidu. Dakle, normalni naponi koji zavise od viskoziteta su:

Tangencijalni naponi su posljedica viskoziteta fluida i ne mogu se pojaviti u idealnom fluidu. Što se tiče veličine napona, kako normalnih tako i tangencijalnih, treba uvesti neke pretpostavke. One trebaju biti jednostavne i prirodne, kako bi se dobili rezultati koji će se slagati sa eksperimentima. Prirodno je da se naponi poveţu sa brzinama deformacije fluidnih elemenata jer su ove brzine posljedica napona. Pretpostavka je, da se komponente napona mogu izraziti kao linearne funkcije odgovarajućih brzina deformacije, što odgovara Njutnovom zakonu. Uobičajeno je da se koeficijent proporcionalnosti uzima jednak i da je konstantan (polovina vrijednosti koeficijenta proporcionalnosti je jednaka dinamičkom viskozitetu). Duţine stranica paralelopipeda se mijenjaju proporcionalno sa

. Ove

promjene su posljedica djelovanja normalnih napona i . Prema učinjenoj pretpostavci, i principu simetrije, odgovarale bi slijedeće veze izmeĎu napona i brzina deformacije:

(7.7.)

gdje je

nepoznati koeficijent proporcionalnosti.

Na sličan način, pretpostavka o tangentnim naponima dovodi do izraza:

(7.8.)

114

Kao što se vidi, normalni naponi i zavise od pravca. U mehanici viskoznog fluida, pod nazivom fluidni pritisak u nekoj tački , podrazumjeva se srednja vrijednost pritisaka , i , koji djeluju u pravcima koordinatnih osa, tj.: (7.9.)

Obično se pretpostavlja da ne zavisi od pravca, dakle, da je jednak pritisku javlja u jednačinama izvedenim za strujanje neviskoznog fluida.

koji se

Sabiranjem jednačina (7.7.) se dobiva: (7.10.)

Obzirom da je: (7.11.)

Na osnovu izraza 7.10. i 7.11., dobivamo: (7.12.)

ili (7.13.)

Sada izrazi za normalne napone glase:

(7.14.)

7.4.

NAVIJE-STOKSOVE JEDNAČINE

Uvrštavanjem izraza 7.8. i 7.14. u izraze 7.6. dobivaju se projekcije unutrašnjih sila, na koordinatnim osama, izraţene projekcijama brzine. Za projekciju u pravcu ose imamo:

115

ili (7.15.)

gdje je Laplasov operator:

Analogno se moţe izvesti i za projekcije u pravcima

i

osa:

(7.15.)

Izraz za rezultujuću unutrašnju silu po jedinici zapremine, u vektorskom obliku, u opštem slučaju glasi: (7.16.)

Odnosno, poslije uvrštavanja komponenti, izraz 7.15., i sreĎivanja: (7.17.)

U poglavlju 4.4. je izvedena Ojlerova diferencijalna jednačina u vektorskom obliku za kretanje idealnog fluida, izraz 4.11.:

U Ojlerovoj jednačini, unutrašnjim silama po jedinici zapremine odgovara član – Za viskozne fluide ovaj član treba zamijeniti izrazom 7.17. za

.

: (7.18.)

Dakle, od uticaja viskoziteta fluida postoji, u jednačini kretanja 7.18., član: (7.19.)

Vidi se, ako se ovaj član, izraz 7.19., doda Ojlerovoj jednačini 4.11., i čitav izraz podjeli sa , dobiva se jednačina za kretanje viskoznog fluida u obliku:

116

(7.20.)

gdje su: zapreminska sila po jedinici mase fluida, kinematski viskozitet. Dobiveni izraz 7.20. predstavlja Navier35 - Stoksovu36 jednačinu kretanja viskoznog fluida u vektorskom obliku. Kada je fluid nestišljiv, jednačina 7.4., 7.20. uprosti, i postaje:

dopušta da se Navije-Stoksova jednačina

(7.21.)

odnosno, u skalarnom obliku:

(7.22.)

Iako su Navije-Stoksove jednačine, u prezentiranom obliku, poznate još iz devetnaestog stoljeća, nemaju opšte rješenje. Zbog prisustva konvektivnih članova tipa

jednačine su

parcijalne i nelinearne, a zbog članova drugog su reda, pa je njihovo rješavanje veoma teško. Danas ne postoji niti jedno rješenje Navije-Stoksovih jednačina koje bi istovremeno sadrţavalo, neke ili sve, konvektivne ili viskozne članove, a koje vjerno predstavljaju slučaj strujanja u nekim graničnim uslovima. Vektorska jednačina 7.20., odnosno 7.21., zajedno sa jednačinom kontinuiteta i karakterističnom jednačinom, predstavlja sistem diferencijalnih jednačina koje sluţe za odreĎivanje i kretanje viskoznog fluida.

i koje uz pomoć početnih i graničnih uslova potpuno definišu

Zbog pogodnosti rada u cilindričnom koordinatnom sistemu, navedene su Navije-Stoksove jednačine u ovom sistemu :

(7.23.)

35 36

Claude-Louis Navier George Gabriel Stokes

117

(7.23.)

7.5.

NEKA EGZAKTNA RJEŠENJA NAVIJE-STOKSOVIH JEDNAČINA

Navije-Stoksove jednačine se primjenjuju u širokoj kategoriji kretanja viskoznog fluida. Najjednostavniji oblik kretanja viskoznog fluida je laminarno. Kod ovakvog kretanja se moţe zamisliti da se fluid kreće u slojevima, uz kontinualnu promjenu brzine toka. Laminarno kretanje se pojavljuje kod nekih jednostavnih graničnih uslova. Pokazat ćemo neka egzaktna rješenja Navije-Stoksovih jednačina za laminarno kretanje u jednostavnim graničnim uslovima. Ovdje se pod egzaktnim rješenjem Navije-Stoksovih jednačina podrazumijeva analitičko rješenje pojednostavljenih jednačina, kada takve jednačine vjerno prikazuju kretanje. Pojednostavljenje Navije-Stoksovih jednačina se postiţe izostavljanjem pojedinih članova iz jednačina, kada ti članovi zbog prirode kretanja ne postoje. Analitičko rješenje Navije-Stoksovih jednačina se najlakše nalazi kada se one mogu pojednostavniti, odnosno svesti samo na linearne članove.

7.5.1.

USTALJENO KRETANJE IZMEĐU PARALELNIH PLOČA, NESTIŠLJIVOG FLUIDA KONSTANTNOG VISKOZITETA

Za ustaljeno kretanje izmeĎu paralelnih ploča postoji egzaktno rješenje Navije-Stoksovih jednačina. Pretpostavlja se da su ploče beskonačne površine i da se nalaze na konstantnom rastojanju. Ploče mogu mirovati ili se kretati konstantnom brzinom. Koordinatni sistem je postavljen tako da je osa usmjerena u pravcu kretanja fluida, osa je normalna na horizontalnu ravan, a osa je normalna na x-z ravan, slika 7.2.

Slika 7.2.: Ustaljeno kretanje fluida izmeĎu paralelnih ploča

118

Za opis kretanja fluida izmeĎu paralelnih ploča prirodno je izabrati Navije-Stoksove jednačine, izraz 7.22., u Dekartovom koordinatnom sistemu:

Obzirom da je fluid nestišljiv, jednačina kontinuiteta se moţe pisati:

Uslov stacionarnosti, ustaljenosti, kretanja ukazuje da su svi članovi:

Ako je

osa orjentisana u pravcu kretanja fluida, tada je:

Uvrštavanjem ovih uslova u jednačinu kontinuiteta dobiva se:

Diferenciranjem ove jednačine dobiva se:

Obzirom da je

moţe se napisati

.

Neka od zapreminskih sila djeluje samo sila gravitacije, tada je: Uvrštavajući ovo u jednačine kretanja dobiva se:

Ako se umjesto pritiska

i zapreminske sile uvede generalisani pritisak:

koji obuhvata djelovanje pritisnih i vanjskih sila, dobiva se:

119

Iz posljednje dvije jednačine se vidi da

nije funkcija

i , respektivno, odnosno:

Kako je funkcija samo od varijable, a komponenta brzine funkcija samo varijable, oznaka za parcijalno diferenciranje u prvoj jednačini se mogu zamjeniti izrazima za totalno diferenciranje:

odnosno:

Kako je lijeva strana jednačine funkcija samo od , a desna funcija od , jednačinu je moguće zadovoljiti samo ako je:

Integracijom ovih jednačina dobiva se:

ili (7.24.)

i (7.25.)

Konstante

i

se odreĎuju iz graničnih uslova.

Nadalje će biti analizirana strujanja za dva tipa graničnih uslova. 7.5.1.1.

KUETOVO KRETANJE

Kod Kuetovog37 kretanja donja ploča se nalazi u stanju mirovanja, a druga, gornja, se kreće konstantom brzinom U, slika 7.3. Ovakav opis uslova kretanja fluida nameće slijedeće granične uslove za brzinu:

Granični uslovi za pritisak su:

37

Maurice Marie Alfred Couette

120

Slika 7.3.: Kuetovo kretanje

Uvrštavanjem graničnih uslova u jednačinu 7.25., dobiva se:

a odavde se odreĎuju konstante: (7.26.) (7.27.)

Zamjenom konstanti, izrazi 7.26. i 7.27., u jednačinu 7.25., dobiva se:

ili (7.28.)

gdje je sa

označeno: (7.29.)

Korištenjem graničnih uslova za pritisak, iz jednačine 7.24. se dobiva:

Odavde se odreĎuju konstante: (7.30.) (7.31.)

Zamjenom konstanti, izrazi 7.30. i 7.31., u jednačinu 7.24., dobiva se:

121

(7.32.)

Uvrštavanjem konstante , izraz 7.31., u izraz 7.29., za

dobiva se: (7.33.)

Za razne vrijednosti parametra , raspored brzina izmeĎu ploča je prikazan na slici 7.4.

Slika 7.4.: Raspored brzina izmeĎu ploča

Vrijednosti

odgovara linearni raspored brzina. Ta vrijednost je moguća samo ako je

, tj. ako ne postoji gradijent pritiska u pravcu kretanja Pozitivnim vrijednostima parametra, ploče

.

, odgovara smanjenje pritiska u pravcu kretanja

i povećanje brzine u odnosu na linearni raspored.

Negativne vrijednosti parametra,

, su posljedica porasta pritiska u pravcu kretanja ploče

. Ovakav pritisak uzrokuje silu koja se suprotstavlja dejstvu pokretne ploče. Kada vrijednosti opadne ispod vrijednosti , počinje povratno strujanje. Tada, na dijelu visine rastojanja ploča neposredno iznad nepokretne ploče, fluid struji u smjeru koji je suprotan smjeru kretanja ploče. 7.5.1.1.

PUAZEJEVO KRETANJE

Kod Puazejevog38 kretanja obadvije ploče su nepokretne i kretanje fluida je posljedica dejstva pritiska, skica 7.5. Granične uslovi za brzinu:

Granični uslovi za pritisak:

38

Jean Louise Marie Poiseuille

122

Slika 7.5.: Puazejevo kretanje

Uvrštavajući granične uslove za brzine u izraz 7.25.: (7.34.)

dobiva se: (7.35.) (7.36.)

U prvom slučaju oduzimajući, a u drugom sabirajući jednačine 7.35. i 7.36., dobivamo vrijednosti za konstante: (7.37.) (7.38.)

Zamjenom konstanti, izrazi 7.37. i 7.38., u izraz 7.34. za raspored brzine, dobiva se: (7.39.)

Korištenjem graničnih uslova za pritisak, iz jednačine 7.24. se dobiva: Odavde se odreĎuju vrijednosti za konstante: (7.30.) (7.31.)

Konačno se moţe dobiti izraz za raspored pritiska: (7.32.)

i vidi se da je raspored pritiska u presjeku hidrostatski. Uvrštavajući vrijednost konstante , izraz 7.31., u izraz za raspored brzine, dobiva se:

123

(7.33.)

Raspored brzine je paraboličan, slike 7.5. i 7.6., sa maksimalnom brzinom na osi

: (7.34.)

Slika 7.6.: Raspored brzina

Prema definiciji srednje brzine, slijedi: (7.35.)

odnosno, (7.36.)

Iz izraza 7.36. za vrijednost srednje brzine, se moţe pisati: (7.37.)

ili izraţeno preko jediničnog protoka (dimenzija normalno na ravan crteža je jedinična): (7.38.)

gdje je

jedinični protok.

Dobivena razlika pritisaka, izraz 7.38., je potrebna da bi se kroz jediničnu površinu presjeka transportovala jedinična količina fluida na udaljenost . Eksperimenti su pokazali, da navedeni izrazi vrijede za male brzine strujanja, odnosno za strujanja sa Rejnoldsovim brojem:

7.5.1.1.

HAGEN-PUAZEJEVO KRETANJE

Ustaljeno kretanje nestišljivog fluida konstantne viskoznosti kroz cijev, okruglog poprečnog presjeka, beskonačne duţine je poznato kao Hagen39- Puazejevo kretanje. Oblik cijevi nameće

39

Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen

124

izbor cilindričnog koordinatnog sistema. Navije-Stoksove jednačine u cilindričnom koordinatnom sistemu, prema izrazu 7.23., glase:

a jednačina kontinuiteta, prema izrazu 3.51.:

Ovaj sistem od četiri parcijalne diferencijalne jednačine predstavlja zatvoreni sistem dovoljan da se odrede četiri varijable: i . Fluid se kreće u polju gravitacije i na njega djeluje sila gravitacije. Naprijed uraĎene analize Kuetovog i Puazejevog kretanja su pokazale da sila gravitacije uzrokuje hidrostatički raspored pritisaka u posmatranom presjeku. Imajući u vidu tu činjenicu, iz Navije-Stoksovih jednačina se mogu izostaviti članovi: i . Nadalje, uproštenja datog sistema jednačina se mogu postići uvoĎenjem uslova stacionarnosti,

Za kretanje paralelno

osi, bez vrtloţnog kretanja fluida, moţe se pisati: (7.39.)

Uvrštavanjem uslova 7.39. u jednačinu kontinuiteta 3.51. se dobiva:

i poslije diferenciranja,

Iz prethodnog izraza slijedi:

Konačno, izostavljanjem komponenti zapreminskih sila i uvoĎenjem navedenih uslova, dobiva se:

125

(7.40.)

Iz prve i druge jednačine 7.40. se vidi da je pritisak funkcija samo od varijable , tj.:

Kako je komponenta brzine napisati:

funkcija samo varijable , treća jednačina 7.40. se moţe

(7.41.)

Jednačina 7.41. je zadovoljena, samo ako je :

(7.42.)

Jednačine 7.42. su linearne diferencijalne jednačine. Integracijom prve jednačine 7.42. se dobiva: (7.43.)

Druga jednačina 7.42. se svodi na linearnu diferencijalnu jednačinu prvog reda, smjenom :

i ona ima, tzv., Ojlerov multiplikator:

Opšti integral dobivamo po formuli:

odnosno: 126

Konstante integracije se odreĎuju iz graničnih uslova, vidi sliku 7.7.

Slika 7.7.: Hagen-Puazejevo kretanje

Granični uslovi za pritisak:

Uvrštavajući granične uslove u jednačinu 7.43.:

dobivamo vrijednosti za konstante: (7.44.) (7.45.)

Sada moţemo napisati izraz o rasporedu pritisaka u cijevi: (7.46.)

Granične uslovi za brzinu:

Drugi granični uslov je posljedica simetrije oko

ose.

Na osnovu ovih graničnih uslova se dobivaju vrijednosti konstanti: (7.47.) (7.48.)

Uvrštavajući vrijednosti konstanti 7.47. i 7.48. u izraz za brzinu, imamo: (7.49.)

127

Ako se u izraz 7.49. uvrsti i vrijednost konstante , iz izraza 7.44., dobiva se izraz za raspored brzine u cijevi: (7.50.)

Iz izraza 7.50. se moţe vidjeti da je raspored brzina paraboličan, sa maksimalnom brzinom u osi cijevi, za : (7.51.)

Korištenjem definicije srednje brzine u presjeku, dobiva se: (7.52.)

Iz izraza 7.52., za srednju brzinu, se moţe dobiti izraz za pad pritiska u dionici cijevnog voda duţine i radijusa , odnosno, prečnika : (7.53.)

ili izraţeno preko protoka,

,: (7.54.)

Pad pritiska je proporcionalan protoku . Dobivena relacija je analogna Omovom40 zakonu u elektrotehnici, gdje je pad napona proporcionalan jačini struje. U skladu sa izrazima za pad pritiska pri turbulentnom strujanju, uobičajeno je da se jednačina 7.54., za pad pritiska, piše u obliku: (7.55.)

Izjednačavajući izraze 7.53. i 7.55. dobiva se:

ili (7.56.)

Eksperimenti su potvrdili korektnost izraza za raspored brzine i pritiska, za koje vrijedi (laminarno kretanje). Kretanje fluida pri je nestabilno i pri najmanjem poremećaju prelazi u turbulentno kretanje.

40

Georg Simon Om

128

Pored korektnosti dobivenih izraza, sa aspekta reţima kretanja, vaţan praktični značaj ima i konačna duţina cijevi. Uslijed ubrzanog kretanja fluida i oblikovanog ulaza u cijev, raspored brzina na ulazu u cijev, , je pribliţno konstantna , slika 7.8.

Slika 7.8.: Raspored brzine pri ulasku u cijev

Pod dejstvom meĎumolekularnih sila, brzina fluida na zidu cijevi je , što se prenosi mehanizmom viskoznih sila u vidu usporavanja fluidnih slojeva u neposrednoj blizini zida. To uzrokuje formiranje graničnog sloja čija debljina raste niz struju. Da bi se zadovoljila jednačina kontinuiteta i da bi kroz presjek prolazio isti protok kao kroz presjek , fluid se u blizini ose mora ubrzati. Raspored brzine fluida u blizini je konstantan, uniforman. Niz struju fluida debljina graničnog sloja raste uz povećanje brzine u osi cijevi. Na udaljenosti granični sloj se širi do ose cijevi i dalje je promjena brzine zanemarljiva. Duţina se naziva razvojnom dužinom. Rješenja izvedena za Hagen-Puazejevo kretanje ne mogu biti primijenjena unutar razvojne duţine. Langar 41 je izveo pribliţnu formulu za razvojnu duţinu: (7.57.)

Na primjer, za razvojna duţina iznosi rješenje vrijedi za dio cijevi gdje je .

41

. Dakle, Hagen-Puazejevo

Henry L. Langhaar

129

8.

TURBULENCIJA

Ideja o isključivo laminarnom kretanju fluida bila je dugo zastupana meĎu hidrauličarima i hidrodinamičarima. Smatralo se da se fluidi pod bilo kojim uslovima toka, tj. bez obzira na veličinu brzine, viskoziteta, gustine i dimenzija toka, uvijek kreću u lamelama. Ovu zabludu o jedinom mogućem vidu kretanja fluida korigovali su hidrodinamičari tek u drugoj polovini XIX vijeka. Ukazano je da postoji i drugi vid kretanja fluida kod kojega dolazi do procesa miješanja na nivou elemenata i veće mase fluida, analogno onom na nivou molekula. Fluid ne mijenja poloţaj samo unutar lamela nego dolazi i do razmjene mase fluida kako izmeĎu susjednih tako i izmeĎu udaljenih slojeva fluida. Ova haotičnost i nepravilnost u kretanju fluida je uzrok pojavi fluktuacija, slučajnog karaktera po vremenu i prostoru, veličina toka kao što su brzine, pritisak, temperatura i dr. Nepravilnost promjene ovih veličina je ipak takvog karaktera da se one mogu opisati zakonima vjerovatnoće. Ovakvo nepravilno i kaotično kretanje fluida, unutar već postojećeg glavnog toka (koje u osnovi predstavlja intenzivni proces miješanja fluida u kojem razne veličine toka pokazuju karakter slučajne pojave po vremenu i prostoru iz kojih se uvijek mogu izdvojiti statističke srednje vrijednosti) naziva se turbulentno kretanje fluida ili prosto, turbulencija. U ovakvoj definiciji, koja u potpunosti specificira karakter turbulentnog kretanja fluida, mora biti uključena funkcionalna zavisnost posmatrane veličine toka po vremenu i prostoru. Ako je jedna od ovih zavisnosti izostavljena, kretanje fluida nije turbulentno.

8.1.

NESTABILNOST LAMINARNOG TOKA – NASTAJANJE TURBULENCIJE

O postanku turbulencije do danas je dato niz teorija od kojih su najpoznatije teorije o nestabilnosti laminarnog toka. Sve one imaju zajedničku postavku da do turbulencije dolazi uslijed poremećaja u toku, definisanih njihovom talasnom duţinom, a u zavisnosti od rasporeda brzine i pritisaka u toku, njegovih linearnih dimenzija i fizičkih svojstava fluida. Poremećaj moţe biti unutarnji ili vanjski, sa ili bez prisustva čvrste granice. Sam poremećaj u toku, bez odgovarajućih navedenih uslova, ne mora rezultirati pojavom turbulencije. Laminarno strujanje moţe preći samo u neku drugu formu laminarnog toka ili moţe doći do prigušenja i uspostavljanja prvobitnog laminarnog reţima, uslijed dominantnog dejstva sila viskoziteta. Ovdje se neće izlagati matematska analiza nestabilnosti laminarnog toka nego će se dati, danas najšire prihvaćena, Prandtlova šema nastanka turbulencije, na primjeru strujanja dva paralelna toka neviskoznog fluida sa brzinama suprotnog smjera, slika 8.1.(a). Na obadvije strane kontaktne površine ova dva sloja fluida pritisci su isti. Ukoliko na neki način doĎe do poremećaja kontaktne površine, slika 8.1.(b), poremećen je i uslov konstantnosti pritiska u susjednim slojevima fluida zbog nastale lokalne razlike u rastojanju izmeĎu strujnih linija. Na mjestima povećanja ovog razmaka dolazi do smanjenja brzine, odnosno do povećanja pritiska, i obratno. Ovom pojavom razlike pritisaka na stranama poremećene kontaktne površine formirao se dopunski, unutrašnji – indukovani poremećaj koji moţe da dovede do povećanja devijacije kontaktne površine kroz dalje faze, kao na slici 8.1.(c). 130

Slika 8.1.: Nestabilnost laminarnog toka

Ako je poremećeni laminarni tok viskozan, uslijed dejstva sila viskoziteta na kontaktnoj površini ovih slojeva moţe doći do prigušenja početnih i indukovanih poremećaja u toku i strujna slika poprima izglede reverzibilno kroz faze (c), (b) i na kraju početnu fazu (a). Za ovakav laminarni tok se kaţe da je stabilan. Ako je tok nestabilan, sile inercije postaju dominantnije od sila viskoziteta i proces devijacije kontaktne površine se nastavlja kroz dalje faze (d), itd., tako da se i pri najmanjem daljem poremećaju strujna slika mijenja u odnosu na prvobitnu. Moţe doći i do odvajanja odreĎene mase fluida od glavnog toka, u formi vrtloga, koji rotira oko svoje ose, a istovremeno je nošen glavnom strujom toka fluida. Formiranjem cijelog niza ovakvih vrtloga i njihovim nošenjem glavnom strujom toka, dolazi do njihovog meĎusobnog sudaranja, promjene oblika i poloţaja, a istovremeno oni postaju uzrok novim poremećajima u toku. Konačan rezultat ovog procesa će biti sasvim nepravilno kretanje mase fluida u formi kaotičnog kretanja velikog broja vrtloga unutar struje glavnog toka, koje predstavlja turbulentno kretanje fluida. Mada je u viskoznom fluidu nemoguće ostvariti diskontinuitet u rasporedu brzina, kao što je to pretpostavljeno na slici 8.1.(a) i (b) u početnoj fazi nastanka turbulencije, ona ukazuje da će u fluidu većeg gradijenta brzine

prije doći do pojave turbulencije. Isto tako povećanjem

gustine , povećava se sila inercije pa prema tome i tendencija pojave turbulencije. Jedino se povećanjem viskoziteta poremećaj u laminarnom toku moţe prigušiti i mogućnost njegovog prelaza u turbulentni tok se smanjuje. Naravno, viskozitet i blizina čvrste konture utiče na stabilnost laminarnog toka. Bezdimenzionalna kombinacija navedenih veličina: (8.1.)

je parametar nestabilnosti laminarnog toka i kriterij za prelaz iz laminarnog u turbulentni reţim kretanja fluida. Za razne granične uslove je pokazano, da je za laminarni tok stabilan za bilo kakav poremećaj u njenu, dok za prelazi u turbulentni reţim kretanja. I pored njegove univerzalnosti u pogledu graničnih uslova toka, parametar nestabilnosti laminarnog toka nije pogodan za praktičnu primjenu jer se odnosi na odreĎenu zonu toka , a ne za tok kao cjelinu. Za praktičnu analizu reţima kretanja fluida potrebno je raspolagati nekim kriteriumom nestabilnosti laminarnog toka koji će se odnositi na tok kao cjelinu i koji će u 131

sebi sadrţati karakteristične parametre toka kao cjeline. Prvi koji je usvojio takav kriterij je Rejnolds.

8.2.

REJNOLDSOV EKSPERIMENT I REJNOLDSOV BROJ

Rejnoldsovi eksperimenti, izvedeni pred kraj prošlog vijeka, na sistematičan način su omogućili da se dobije korektna slika o turbulenciji i trasira put naučnoj analizi ovog problema. Rejnoldsov eksperiment je vrlo jednostavan, i izveden je sa ureĎajem koji je prikazana na slici 8.2.

Slika 8.2.: Rejnoldsov eksperiment

UreĎaj se sastoji od dva rezervoara i staklenih cijevi. U većem rezervoaru A, nalazi se voda koja ističe kroz staklenu cijev B na čijem kraju se nalazi ventil C. Ventilom se mijenja otpor strujanja i time se dobiva različita brzina fluida u cijevi B. U rezervoaru D se nalazi boja koja nije rastvorljiva u vodi. Iz rezervoara D se vodi tanka cjevčica E do ulaza u cijev B. Rezultati Rejnoldsovog eksperimenta su prikazani na slici 8.2. (b,c,d). Pri maloj brzini vode kroz cijev boja, koja ističe iz rezervoara D, se ne miješa sa vodom (8.2.b). obojena strujnica izgleda kao tanka neprekidna nit koja se proteţe od ulaza u cijev B do ventila C. Postepenim otvaranjem ventila povećava se brzina vode u cijevi. Pri nekoj brzini obojena strujnica počinje da se talasa kao na slici 8.2.(c), da bi se kod većih brzina potpuno razbila, na kratkoj udaljenosti od ulaza u cijev i pomiješala sa okolnom masom fluida (slika 8.2.d). Ovakvo tečenje se naziva turbulentnim. Daljnje povećanje brzine vode ne mijenja tip strujanja, ali miješanje boje i vode počinje bliţe ulazu u cijev B. Talasasto ponašanje strujne linije i njeno miješanje sa okolnim fluidom smatra se indikacijom da je došlo do prelaza laminarnog kretanja u turbulentno. Laminarno kretanje se ponovo uspostavlja ako se smanji brzina vode. Brzina vode pri kojoj kretanje ponovo postaje laminarno naziva se kritičnom brzinom. Daljnji eksperimenti su pokazali da prelaz laminarnog kretanja u turbulentno, takoĎe, zavisi od vanjskih uzroka, na primjer od stanja fluida na ulazu u cijev, zakrivljenosti ulazne sekcije, hrapavosti cijevi, stabilnosti eksperimentalne konstrukcije i tako dalje. 132

Kada je brzina kretanja fluida manja od kritične, nikakav poremećaj ne moţe prevesti laminarno kretanje u turbulentno. Pri paţljivom eksperimentisanju moţe se tok zadrţati laminarnim i kod brzina koje su znatno veće od kritične brzine. MeĎutim, svaki pa i najmanji poremećaj inicira prelazak laminarnog kretanja u turbulentno. Rejnoldsovi eksperimenti su izvedeni sa vodom, meĎutim, pojava turbulentnog kretanja nije privilegija tečnosti nego se jednako manifestuje i kod strujanja gasova. Isto tako, geometrija, odnosno granični uslovi ne ograničavaju pojavu turbulencije. Rejnolds je utvrdio da prelaz od laminarnog u turbulentno kretanje zavisi od srednje brzine , prečnika cijevi i koeficijenta viskoziteta . Od ovih relevantnih veličina formiran je bezdimenzionalni parametar (broj) koji je nazvan Rejnoldsovim brojem: (8.2.)

Eksperimenti Rejnoldsa i drugih su pokazala da je tok u cijevi okruglog poprečnog presjeka uvijek laminaran za , a da je tok turbulentan ako je Rejnoldsov broj veći od 3000 ili 4000. Da li će kretanje u dijapazonu od 2300 i, recimo, 4000 biti laminarno ili turbulentno zavisi od ukupnih uslova kretanja. Vrlo preciznim eksperimentima se uspjelo odrţati laminarno kretanje čak i pri . Dakle, uslovno će se smatrati da je kretanje laminarno ako je . Kritična vrijednost Rejnoldsovog broja je drukčija. Na primjer:

za razne karakteristične linearne dimenzije toka

=

2300

za kretanje fluida kroz cijevi okruglog poprečnog presjeka, gdje je prečnik karakteristična linearna dimenzija toka.

=

1000

za kretanje fluida izmeĎu paralelnih ploča, gdje je razmak ploča karakteristična linearna dimenzija toka.

=

500

za kretanje u širokim kanalima, gdje je dubina karakteristična linearna dimenzija toka.

= 1 10

za kretanje kroz poroznu sredinu, gdje je prečnik zrna porozne sredine kritična linearna dimenzija toka.

Ove vrijednosti kritičnog Rejnoldsovog broja za različite tokove fluida su date da bi se istakla razlika izmeĎu pojma kritičnog Rejnoldsovog broja i njegove numeričke vrijednosti za dati tok. Često se, dajući numeričku vrijednosti kritičnog Rejnoldsovog broja za kretanje u cijevima, poistovjećuju ova dva pojma za sve tokove. Rejnoldsov broj ima i fizički smisao, kao odnos inercijalnih i viskoznih sila u fluidu. Inercijalna sila je proporcionalna proizvodu mase i ubrzanja, tj.: (8.3.)

Ako se sa

oznaći karakteristična duţina u posmatranom problemu, tada je:

133

Tada je inercijalna sila iz izraza 8.3.: (8.4.)

Sila viskoziteta je proporcionalna površini i tangencijalnom naponu, tj.: (8.5.)

Obzirom da je:

Dobiva se, umjesto izraza 8.5.: (8.6.)

Formirajući količnik inercijalne (8.4.) i viskozne sile (8.6.), dobiva se: (8.7.)

Dakle, što su viskozne sile veće to je Rejnoldsov broj manji, odnosno one igraju ulogu prigušivača turbulentnog kretanja. Ako su inercijalne sile dominantne u odnosu na viskozne, i Rejnoldsov broj prelazi kritičnu vrijednost, viskozne sile neće biti u stanju da priguše poremećaje i kretanje postaje turbulentno. Prema načinu na koji je nastala turbulencija fluidnog polja, razlikuju se zidna i slobodna turbulencija. Kod zidne turbulencije, uzrok njenog nastanka je prisustvo čvrste konture. Kao primjeri zidne turbulencije mogu posluţiti: strujanje u cijevi, strujanje oko ravne ploče i dr, Slobodna turbulencija nastaje kretanjem dva sloja fluida različitim brzinama. Primjer ovog strujanja je isticanje jednog fluida u drugi, nepokretan ili pokretan fluid.

8.3.

OSNOVNE KARAKTERISTIKE TURBULENTNIH TOKOVA

Iz opisanog mehanizma nastanka turbulentnog toka i njegovog kaotičnog karaktera slijedi da je turbulentno kretanje fluida u osnovi nestacionarna pojava toka. Haotičnost pri kretanju i prelaz fluida iz jedne zone toka u drugu pokazuju da se u turbulentnom toku odigravaju intenzivni procesi miješanja, koji turbulentnom toku daju difuzioni karakter. Nastanak turbulencije je, pored poremećaja, usko vezan i za postojanje gradijenta brzine, a ovaj je indikator dejstva smičućih napona u viskoznom fluidu, slijedi da su turbulentni tokovi disipativni.

134

Nestacionarni karakter turbulentnog toka se odraţava u nestacionarnim i u stacionarnim uslovima toka. Posljedica nestacionarnosti je fluktuacija, slučajnog karaktera po vremenu i prostoru, raznih veličina toka oko njihovih odgovarajućih osrednjenih vrijednosti u glavnom toku. Tako, na primjer, brzina će se mijenjati u toku vremena, ne samo u tački nego i po presjeku toka. Ove promjene će se odigravati oko srednjih vrijednosti brzina glavnog toka u tački i presjeku kao što je to pokazano na slici 8.3.

Slika 8.3.: Fluktuacija brzine

Kao što se vidi na slici 8.3., u svakom turbulentnom toku se moţe govoriti o postajanju primarnog i sekundarnog dijela turbulentnog toka. Koordinatni sistem izabran je tako da je brzina primarnog, glavnog, toka data sa , dok će brzina sekundarnog, fluktuirajućeg dijela toka, zbog prirode pojave, imati sve tri komponente tj. . Turbulentne fluktuacije brzine su obično reda veličine 10% od srednje brzine toka. Znači za najčešći domen srednjih brzina glavnog toka one će varirati izmeĎu sa frkvencijom od

.

Difuzioni karakter turbulentnih tokova se odraţava većoj transportnoj sposobnosti karakterističnih veličina toka koji rezultira ujednačavanjem rasporeda njihovih polja po presjeku, u odnosu na iste u laminarnom toku. Pored uvijek prisutnog molekularnog procesa miješanja, proces miješanja vrtloga u turbulentnom toku isto tako doprinosi prenosu odgovarajućih veličina toka. Vrtlozi nastali u odreĎenoj zoni toka su nosioci karakteristika te zone toka kao što su kinetička energija, količina kretanja, toplota, masa i dr. U procesu miješanja vrtlozi pri prelasku u drugu zonu sa sobom nose navedene karakteristike toka zone u kojoj su nastali i predaju ih zoni u koju dolaze. Tako, na primjer, vrlog pri prelasku iz zone veće u zonu manje brzine nosi sa sobom odgovarajuću količinu kinetičke energije zone toka u kojoj je nastao i doprinosi povećanju brzine toka u zoni u koju je došao, i obratno. Ovaj mehanizam transporta vrloga rezultira ujednačenim rasporedom brzina. Potpuno isti mehanizam je uzrok promjeni rasporeda i drugih veličina. Obzirom da je difuzioni proces na nivou molekula manje izraţen nego na nivou vrtloga u razvijenom turbulentnom toku, to se u analizama praktičnih problema molekularna difuzija zanemaruje. Konačno uspostavljeni raspored brzina u turbulentnom toku je doveo do ujednačenja brzina po većem dijelu poprečnog presjeka, ali i do povećanja gradijenta brzine u blizini čvrste granice (slika 8.3.). Povećanjem gradijenta brzine

povećava se veličina smičućih napona 135

na granici, pa se prema tome povećava i količina izvršenog rada sila viskoziteta u jedinici vremena, odnosno količina disipacije energije. Lokalno povećanje gradijenta brzine glavnog toka nije jednini uzrok povećanju disipacije energije. Isto tako, i dejstvo smičućih napona unutar formiranih vrtloga su uzrok disipaciji energije. Raspored brzina u vrtlogu je djelomično kao u potencijalnom vrtlogu, a djelomično kao u realnom vrtlogu. Bliţe osi rotacije on ima karakter potencijalnog vrtloga i raspored brzina je proporcionalan sa rastojanjem od ose rotacije . U udaljenim slojevima od ose rotacije , zbog otpora okolnog fluida, brzina je obrnuto proporcionalna rastojanju

.

Vrtlozi dovode, zbog velikog gradijenta brzine u njima, do izrazito velike disipacije energije. Količina ovako transformisane energije u toplotnu energiju često, u turbulentnom toku, prevazilazi količinu disipacije uslijed postojanja smičućih napona u glavnom toku. Ako bi se disipacija korisne energije izrazila preko pada pritiska duţ toka (strujanje u cijevnim provodnicima fluida) onda je za laminarni tok linearna funkcija brzine, a za turbulentni reţim postaje funkcija kvadrata brzine. I ova činjenica ukazuje na izrazito disipativni karakter turbulentnih tokova u poreĎenju sa laminarnim. Opisani proces disipacije energije u toku fluida predstavlja kaskadni proces transformacije korisne energije u druge vidove energije sve do njene konačne forme tj. transformacije u toplotu, slika 8.4.

Slika 8.4.: Kaskadni proces transformacije korisne energije

Prva stepenica ove kaskade je transformacija energije toka pri formiranju turbulencije. U ovoj fazi translatorna kinetička energija laminarnog toka, pri formiranju vrtloga, se djelomično transformiše u energiju rotiranja vrtloga. Za tok kao cjelinu ukupna kinetička energija je, u osnovi, ostala nepromijenjena s tim da se ona sada sastoji pored translatorne kinetičke i od kinetičke energije rotiranja vrtloga. Ova posljednja, mada je u osnovi forma mehaničke energije, je nepovratno izgubljeni dio kinetičke energije za glavni tok. Dejstvo smičućih napona unutar formiranih vrtloga transformišu kinetičku energiju rotiranja u toplotu. Veliko dejstvo smičućih napona unutar vrtloga je usmjereno u pravcu formiranja manjih vrtloga i smanjenju jačine rotacije. Vrtlozi postepeno izumiru i vrtloţno dejstvo se svodi na viskozno meĎumolekularno dejstvo, tako da strujanje opet postaje laminarno, ali sa raspoloţivom korisnom energijom manjom za količinu koja je izgubljena u ovom kaskadnom procesu transformacije. Formiranje vrtloga je posljedica dejstva smičućih napona vezanih za postojanje gradijenta brzine.

136

Ako je gradijent brzine rezultat prisustva čvrste konture onda se nastala turbulencija naziva zidna turbulencija. Ukoliko je gradijent brzine rezultat slobodno formiranih uslova toka, a ne direktnog dejstva konture, onda se turbulencija naziva slobodna turbulencija. Turbulentni tok, u opštem slučaju, u pogledu njegovih karakteristika po presjeku i u tački je homogen i anizotropan. To je slučaj sa tokovima u kojima postoji gradijent brzine glavnog toka. Ukoliko su karakteristike turbulentnog toka u svim tačkama presjeka iste onda je to homogen turbulentni tok. Ako turbulentne karakteristike toka u ma kojoj tački ne zavise od orijentacije onda za takav tok kaţemo da je izotropan. U njemu nema formiranja novih vrtloga nego dolazi do izumiranja u njemu već postojećih. Izotropnu turbulenciju je moguće očekivati u zonama toka bez gradijenta brzine. Za njeno postojanje su negdje uz struju toka morali postojati uslovi zbog kojih je došlo do formiranja vrtloga. Primjer za ovo je strujanje iza rešetke.

8.4.

STATISTIČKO OPISIVANJE TURBULENTNIH TOKOVA

Neposredna mjerenja turbulentnih fluktuacija uz statističko prikazivanje izmjerenog je metoda koja odgovara turbulenciji, jer su fluktuacije slučajne veličine. Bez obzira na haotičnost turbulentnog kretanja fluida, statističkom analizom ma koje slučajne karakteristike turbulentnog toka se moţe pokazati da i u toj kaotičnosti postoje izvjesne zakonitosti. U tom cilju analizirajmo oscilogram brzine kao reprezentativne slučajne pojave turbulentnog toka.

Slika 8.5.: Oscilogram brzine pri turbulentnom toku

Na oscilogramu, slika 8.5., je prikazana eksperimentalno dobivena promjena brzine u nekoj tački . Trenutna brzina u nekoj tački osciluje oko neke stalne vrijednosti, tj. oko osrednjene, prosječne brzine. Ova brzina predstavlja neku vrstu srednje brzine u pogledu vremenskih promjena i nema ništa zajedničko sa srednjom brzinom u presjeku . Komponente osrednjene brzine će se označiti sa

i

, i iznose:

137

gdje je period posmatranja koji mora biti dovoljno velik da promjene intenziteta osrednjene vrijednosti postane dovoljno malena. Dalje, se moţe pisati:

kao i:

Osrednjena vrijednost fluktuirajuće komponente brzine se odreĎuje kao:

Osrednjena vrijednost fluktuirajuće komponente je jednaka nuli. Analogno se dobiva i za:

Srednje kvadratno odstupanje fluktuirajuće komponente brzine:

ili kako se često naziva RMS 42 vrijednost, je uvijek različita od nule, za razliku od osrednjene vrijednosti, koja je uvijek jednaka nuli. Relativni intenzitet turbulencije, definisan kao:

predstavlja odnos RMS vrijednosti i osrednjene vrijednosti funkcije iste slučajne promjenljive (u ovom slučaju, brzine) za posmatranu tačku. Relativni intenzitet turbulencije je poznat i kao stepen ili nivo turbulencije datog toka. Pored intenziteta turbulencije, kao osnovne statističke veličine, daljnji uvid u svojstva turbulentnih tokova dobiva se iz veze izmeĎu različitih ili istih veličina toka u posmatranoj tački ili u različitim tačkama u prostoru. Ovakva veličina je poznata pod imenom korelacija, a njena relativna vrijednost je koeficijent korelacije. Ako je problem traţenje veze izmeĎu samo dvije karakteristike turbulentnog toka, onda se govori o dvostrukoj korelaciji čiji je koeficijent dat izrazom: 42

RMS: Root (korjen), Mean (srednja vrijednost), Square (kvadrat)

138

Vrijednost koeficijenta korelacije zavisi od graničnih uslova toka. Ako ne postoji veza izmeĎu posmatranih veličina koeficijent korelacije je jednak nuli, a za idealnu korelaciju on je jednak jedinici. Korelacija se moţe traţiti izmeĎu dvije ili više, po prirodi, različitih karakteristika toka. To je obično slučaj sa brzinom i pritiskom ili pritiskom i gustinom. Ako je u pitanju veći broj promjenljivih, onda govorimo o trostrukoj korelaciji itd.

8.5.

TURBULENTNO KRETANJE FLUIDA

8.5.1.

REJNOLDSOVE JEDNAČINE

Navije-Stoksove jednačine su izvedene bez ograničenja za sve Njutnove fluide te se mogu primijeniti na laminarno i turbulentno kretanje. U njima se pojavljuju trenutne vrijednosti osobina fluidnog toka i . MeĎutim, u većini tehničkih primjena turbulentnog tečenja, nisu vaţne tačne promjene osobina toka te se zadovoljavamo i osrednjenim vrijednostima. Uz pretpostavku da jednačina kontinuiteta 3.46. i Navije-Stoksove jednačine 7.22. vaţe za turbulentno kretanje fluida, zamjenom trenutnih vrijednosti osobina toka sa njihovim ekvivalentnim srednjim fluktuirajućim vrijednostima, a zatim, njihovim osrednjavanjem je moguće dobiti jednačine kretanja osrednjenog toka. (1) Podsjetimo se, i ponovo napišimo Navije-Stoksove jednačine kretanja viskoznog nestišljivog fluida u Dekartovom koordinatnom sistemu:

i jednačinu kontinuiteta:

Ako se trenutne brzine zamjene odgovarajućim osrednjenim i fluktuirajućim vrijednostima:

dobivamo za jednačinu kontinuiteta:

(8.8.)

Osrednjavanjem izraza 8.8., sa obzirom na:

139

dobiva se:

i, iz jednačine 8.8.,:

Dakle, jednačinu kontinuiteta moraju zadovoljiti, kako osrednjene komponente brzina (jednačina kontinuiteta primarnog osrednjenog dijela toka) tako i fluktuirajuće komponente brzina (jednačina kontinuiteta sekundarnog, fluktuirajućeg toka). Ukoliko se trenutne vrijednosti zamjene sa odgovarajućim osrednjenim i fluktuirajućim vrijednostima u jednačine kretanja za turbulentni tok, dobiva se:

(8.9.)

Zbog jednostavnosti, analizirajmo samo prvu jednačinu u izrazu 8.9.:

Poslije osrednjavanja, označeni su svi članovi koji su jednaki nuli, dobivamo:

(8.10.)

140

Ako jednačinu kontinuiteta za fluktuirajuće komponente:

pomnoţimo sa

:

zatim, osrednjimo:

i na kraju saberemo sa jednačinom 8.10., dobiva se:

ili napisano jednostavnije: (8.11.)

Jednostavnim matematičkim operacijama se dobiva:

(8.12.)

analogno dobivamo i za druge dvije komponente:

(8.12.)

Jednačine 8.12. se nazivaju Rejnoldsove jednačine kretanja turbulentnog toka. One se razlikuju od odgovarajućih za laminarni tok, za veličinu turbulentnih napona, poznatih kao Rejnoldsovi naponi. Tenzor Rejnoldsovih napona je:

141

(8.13.)

Rejnoldsovi naponi su jedini članovi u jednačini turbulentnog kretanja fluida koji pokazuju neto efekt turbulentnih fluktuacija na tok fluida kao cjelinu. Mada su navedenim jednačinama grupirani sa viskoznim naponima, zbog čega formalno i nose ovaj naziv, oni su u osnovi članovi inercije, što se vidi iz jednačine 8.11. Oni odraţavaju promjenu inercije uslijed nastalih fluktuacija brzine i ne doprinose direktnoj transformaciji mehaničke energije toka u toplotu. Ukupna izgubljena energija toka, primarnog ili sekundarnog, je transformirana u toplotu jedino i samo kroz dejstvo sila viskoziteta.

8.5.2.

PRANDTLOVA TEORIJA PUTANJE MIJEŠANJA

U slučaju ravanskog strujanja imamo izraz 7.8. za tangencijalni napon:

Prandtl je, kao i većina istraţivača, prihvatio tezu da postoji analogija izmeĎu viskoznih i turbulentnih napona. Ovu tezu je prvi postavio Businesk 43. (1) Rezultujuća veličina napona u turbulentnim tokovima uslijed molekularnog i turbulentnog prenosa količine kretanja je: (8.14.)

U izrazu 8.14. dinamički viskozitet odraţava meĎumolekularnu interakciju u fluidu, kroz miješanje i transport fluida na nivou molekula i postoji bez obzira da li se fluid kreće ili miruje. Dakle, to je fizičko svojstvo fluida. Sa druge strane, turbulentni viskozitet , koji mora imati iste dimenzije kao dinamički viskozitet, dolazi do izraţaja samo pri kretanju fluida. Pri mirovanju fluida i pri laminarnom kretanju on je jednak nuli. Očigledno, turbulentni viskozitet nije fizičko svojstvo fluida. Po analogiji sa naprijed navedenim izrazima me se napisati izraz za turbulentnu komponentu napona: (8.15.)

Da bi se izraz 8.15., koji je postavio Busineski, mogao koristiti u Rejnoldsovim jednačinama potrebno je poznavati vezu izmeĎu koeficijenta i osobina toka. MeĎutim, do danas nije naĎena takva veza u prihvatljivom obliku.

43

Joseph Valentin Boussinesq

142

Na primjeru ustaljenog paralelnog dvodimenzionalnog kretanja fluida preko ravne ploče će se pokazati odreĎivanje koeficijenta turbulentnog viskoziteta prema Prandtlovoj teoriji putanje miješanja.

Slika 8.6.: Raspored brzine preko ravne ploče

Na slici 8.6. je prikazan raspored brzine u sloju koji se moţe definisati kao:

Prema ovome, komponenta turbulentnog napona, izraz 8.15., postaje: (8.16.)

Neka se elementi fluida iz sloja koji ima brzinu , pod dejstvom turbulentne fluktuacije premjeste u sloj , za rastojanje , gdje je osrednjena brzina . Elementi fluida iz sloja u sloj prelaze bez meĎudejstva sa elementima fluida na putu od do .

,

Poslije miješanja u sloju , elementi fluida će poprimiti osrednjenu brzinu fluida u sloju, djelujući pri tome kao fluktuacija brzine u pravcu. Razlika brzina je: (8.17.)

Prema Prandtlu, veličina fluktuacije će biti: (8.18.)

uz dodatnu pretpostavku da su fluktuacije istog reda veličine, tj.: tako se turbulentna komponenta napona, izraz 8.16., moţe izraziti: (8.19.)

gdje je novodefinisana duţina miješanja u kojoj je sadrţan koeficijent proporcionalnosti, iz predhonih izraza. Prema Prandtlu, veličina , koja ima demenzije duţine, se naziva dužina puta miješanja. Vodeći računa o predznaku komponenti

i

izraz 8.19. se moţe napisati kao:

143

(8.20.)

Dakle, umjesto kvadratnog člana u izrazu 8.19., uzeta je apsolutna i stvarna vrijednost gradijenta brzine, izraz 8.20. Cilj ovoga je da se iz karaktera gradijenta brzine moţe zaključiti karakter napona (pozitivan ili negativan). PoreĎenjem izraza 8.16 i 8.19. se moţe zaključiti da je koeficijent turbulentnog viskoziteta: (8.21.)

Prandtl je predloţio, da za kretanje u graničnom sloju preko ravne ploče vaţi odnos: (8.22.)

Duţina puta miješanja je linearna funkcija udaljenosti od ploče. Koeficijent karakter i odreĎen je eksperimentalno, .

ima univerzalni

144

9.

GRANIČNI SLOJ

Kretanje viskoznog fluida u blizini čvrste granice odraţava se u formiranju zone toka u kojoj dolazi do promjene brzine fluida od one koju ima čvrsta granica do one u kojoj je raspored brzina takav da se strujanje moţe smatrati neviskoznim, vrtloţenje nestaje. Drugim riječima, strujanje u blizini čvrste granice je zona vrtloţenja u kojoj se njena veličina mijenja kao rezultat kombinovanog efekta molekularne viskozne difuzije i konvekcije. Do ove pojave, izrazitog dejstva viskoziteta, dolazi i u zonama slobodnog strujanja fluida, bez prisustva čvrste granice, u kojima postoji izraziti gradijent brzine normalno na pravac toka. Zona toka, u kojoj je dejstvo sila viskoziteta izrazito veliko, bez obzira na vrijednost Rejnoldsovog broja toka kao cjeline, naziva se granični sloj. Mada se granični sloj moţe slobodno formirati i u toku fluida, nosi ovaj naziv jer se najčešće pojavljuje uz čvrstu granicu. Pojava je prvi put uočena, obraĎena i prezentirana44 od strane Ludvig Prandtla na primjeru strujanja viskoznog fluida duţ čvrste granice.

9.1.

KARAKTERISTIKE GRANIČNOG SLOJA

U beskonačan stacionaran tok viskoznog fluida, čiji je raspored brzina ravnomjeran – uniforman, postavi se beskonačno tanka čvrsta ploča paralelno sa tečenjem fluida, kao što je prikazano na slici 9.1.

Slika 9.1.: Razvoj graničnog sloja, (a) sa početnom i (b) bez početne laminarne oblasti

Kada fluid male viskoznosti dodirne ploču, fluidni elementi, u dodiru sa njom, bivaju zaustavljeni. Elementi fluida, udaljenije od ploče, zadrţavaju veliku brzinu što uzrokuje pojavu velikih gradijenata brzine u pravcu normalnom na ploču. Posljedice toga su pojave velikih tangencijalnih napona što usporava kretanje fluida. Ta oblast strujanja, unutar koje se brzina rapidno mijenja od nule na ploči, do pribliţno konstantne

44

Third International Congress of Mathematicians in Heidelberg, Germany, 1904.

145

vrijednosti daleko od ploče, naziva se hidrodinamičkim graničnim slojem, ili jednostavno, graničnim slojem. U odnosu na nevrtloţno strujanje, bitna karakteristika strujanja uz čvrstu konturu je i nulta tangencijalna komponenta, a ne samo normalna komponenta brzine. Dakle, viskozan fluid ne klizi po čvrstoj konturi kao što je to slučaj sa idealnim fluidom. Posljedica toga je da na čvrstu konturu ne djeluju samo normalne sile pritiska nego i tangencijalne sile. Postojanje tangencijalnih sila znatno povećava otpor kretanju tijela. Debljina graničnog sloja raste sa udaljavanjem od početka ploče niz fluidnu struju. Početnu oblast graničnog sloja karakteriše kretanje fluidne mase u slojevima, pa se taj sloj naziva laminarnim graničnim slojem. Na nekoj udaljenosti , laminarni granični sloj postaje nestabilan, i nakon prelazne oblasti, postaje turbulentan granični sloj.

Slika 9.2.: Razvoj graničnog sloja

Turbulentni granični sloj se karakteriše intenzivnim miješanjem fluidne mase, a ne samo molekula, kao što je to slučaj u laminarnom graničnom sloju. Posljedica toga je znatno uniformniji raspored brzina u sloju, veći gradijent promjene brzine na samoj ploči i povećanje debljine graničnog sloja, niz fluidnu struju. Unutar turbulentnog graničnog sloja, neposredno iznad površine ploče, uvijek se formira laminarni podsloj (slika 9.2.). On nastaje kao posljedica smanjenja inercijalnih sila u neposrednoj blizini ploče i velikih viskoznih sila, uslijed velikih gradijenata brzine. Poloţaj prelaza laminarnog u turbulentni granični sloj zavisi od hrapavosti površine, uniformnosti početnog profila brzina, početnog nivoa turbulencije, viskoznosti, intenziteta brzina i udaljenosti. Kod hidraulički glatkih površina kod kojih laminarni podsloj prekriva neravnine hrapavosti, uz dovoljno nizak nivo turbulencije, prelaz laminarnog sloja u turbulentni je odreĎen kritičnom vrijednosti Rejnoldsovog broja: (9.1.)

čija brojna vrijednost leţi u granicama od

do

.

Na razvoj graničnog sloja dominantan uticaj ima pojava separacije ili odvajanja, koja je uzrokovana pozitivnim gradijentom pritiska

, gdje je -osa u pravcu kretanja fluida.

Pozitivan gradijent pritiska uzrokuje usporavanje kretanja fluida u oblasti izvan graničnog sloja. Paralelno sa tim usporavanjem, dogaĎa se i usporavanje fluidnih elemenata u graničnom 146

sloju. Kinetička energija i količina kretanja fluidnih elemenata u graničnom sloju je manja od istih u oblasti izvan sloja. Istovremeno dejstvo sila pritiska i viskoznosti moţe dovesti do potpunog zaustavljanja fluidnih elemenata u graničnom sloju. Tačka na čvrstoj konturi, u kojoj vrijedi

, predstavlja tačku separacije, ( je brzina u pravcu strujnice,

je

koordinata u pravcu normalno na konturu). Od tačke separacije, niz fluidnu struju, formira se povratno strujanje, tj. strujanje u smjeru suprotnom od smjera strujanja fluidne mase van graničnog sloja, slika 9.3.

Slika 9.3.: Povratno strujanje

U oblasti povratnog strujanja je vrtloţenje intenzivno. Za ovu oblast ne vrijede Prandtlove jednačine graničnog sloja, te se u ovoj oblasti moraju primijeniti kompleksni matematski modeli. U mnogim tehničkim problemima pojava separacije je štetna.

Slika 9.4.: Granični sloj i separacija u difuzoru

Na kopijama, slika 9.4.45, se vide: a) granični sloj u difuzoru sa malim uglom, b) granični sloj i separacija u difuzoru sa većim uglom.

45

Iz filma: ”Fundamentals of Boundary Layers”, by the National Committee for Fluid Mechanics Films and the Education Development Center.

147

Po nastanku separacije, vrtloţenje fluidnih elemenata nije više ograničeno sam ona granični sloj. Ono sada postoji i u drugim zonama toka, jer odvajanjem vrtloga od čvrste konture, on je nošen u zonu toka koja je u osnovi nevrtloţna. Na taj način, ove dvije zone vrtloţnog i nevrtloţnog toka fluida postaju više meĎusobno zavisne. Razvoj graničnog sloja po konturi cilindra, zajedno sa pojavom separacije i reţima strujanja iza cilindra pri povećanju Rejnoldsovog broja, su prikazani na slici 9.5. U početnoj fazi, (slika 9.5.a), pri malim vrijednostima Rejnoldsovog broja, separacije praktično nema. Povećavanjem Rejnoldsovog broja, u jednom momentu, dolazi do simetričnog odvajanja vrtloga i formiranja vrtloţnog 'džepa' iza tijela, u zoni separacije, oko kojeg se odvija strujanje glavnog toka (slika 9.5.b).

Slika 9.5.: Razvoj graničnog sloja po konturi cilindra

Daljnjim povećanjem Rejnoldsovog broja (slika 9.5.c) dolazi do pojave nesimetričnog odvajanja vrtloga, pa prema tome, i nesimetričnog poloţaja tačaka separacije. Iza tijela dolazi do formiranja strujanja fluida poznatog kao vrtložni trag. Naizmjenično pomjeranje tačke separacije je nestacionarna pojava, jer u toku vremena dolazi do oscilatornog pomjeranja tačke separacije po konturi tijela, kao što je šematski prikazano sistemom strujnih linija za strujanje oko cilindra u dva različita vremenska trenutka, slika 9.6. Pomjeranje tačke separacije po konturi tijela uzrokuje pojavu hidrodinamičkih vibracija: prema pokazanoj nesimetričnoj konfiguraciji strujnih linija postojeće razlike brzina toka u odgovarajućim tačkama separacije, a tim i razlika pritisaka. To uzrokuje pojavu sile pritiska, normalno na pravac toka, koja, ukoliko se prenosi na tijelo dovodi do njegovog pomjeranja u tom pravcu.

148

Slika 9.6.: Oscilatorno pomjeranje tačke separacije

Naizmjeničnost ove pojave će rezultirati u naizmjeničnom pomjeranju tijela u pravcu normalnom na pravac glavnog toka. Ova pojava je poznata kao hidrodinamičke vibracije. Moţe se zaključiti, razvoj graničnog sloja zajedno sa pojavom separacije i njenim oscilatornim pomjeranjem po konturi, će uzrokovati pojavu hidrodinamičkih vibracija.

9.2.

DEBLJINA GRANIČNOG SLOJA

U cilju praktičnih analiza strujanja fluida i razgraničenja zone nevrtloţnog, potencijalnog toka i zone toka sa izrazitim dejstvom sila viskoziteta potrebno je definisati i neku praktičnu granicu graničnog sloja. U tom pogledu bilo je više pokušaja.

Slika 9.7.: Debljina graničnog sloja

Do danas, najbolje prihvaćena definicija granice oraničkog sloja je ona koja definiše debljinu graničnog sloja , kao normalno rastojanje od čvrste granice do tačke u kojoj je brzina fluida za 1% manja od brzine u zoni uniformnog toka, tj. , slika9.7. Predstava o redu veličine debljine graničnog sloja je data u tabeli 9.1., u nekim presjecima duţ ravne ploče. Treba napomenuti da linija koja spaja debljine graničnog sloja nema značaja za analizu kinematskih karakteristika toka, kao što je slučaj sa strujnom linijom. Dakle, strujne linije presijecaju liniju koja definiše debljine graničnog sloja i ulaze u granični sloj. Pored prednosti ovako definisane debljine graničnog sloja u odnosu na ostale definicije, jer obuhvata najveći dio zone efekta viskoziteta, ona ima i nedostataka sa aspekta njenog praktičnog odreĎivanja. Raspored brzina u graničnom sloju dobiva se mjerenjem. 149

Tabela 9.1.: Debljina graničnog sloja Fluid

Vazduh

Voda

50

1

18

100

1

26

100

5

60

200

10

90

1

2

40

2

5

75

5

50

385

10

200

1000

Mogućnost disipacije tačaka, koje predstavljaju vrijednosti mjerenih brzina u zoni asimptotskog pribliţavanja brzina u graničnom sloju onoj u zoni toka izvan njega, je uzrok dosta nepreciznom odreĎivanju ovako definisane debljine graničnog sloja. Zbog ovoga se došlo i do drugih definicija debljine, koje indirektno pokazuju nominalnu debljinu graničnog sloja . Izraţavajući promjene dinamičkih karakteristika toka uslijed razvoja graničnog sloja, definisane preko integrala a ne duţine direktno, one eliminišu efekt asimptotskog pribliţavanja brzine brzini van graničnog sloja. Efekat disipacije eksperimentalno dobivenih tačaka sveden je na minimum. Devijacija strujnih linija uslijed razvoja graničnog sloja odraţava se u istiskivanju cijelog sistema strujnih linija duţ ravne ploče normalno na nju, a u odnosu na konfiguraciju strujnih linija prije razvoja graničnog sloja. Ukupna veličina istiskivanja strujnih linija u nekom presjeku, uslijed razvoja graničnog sloja do njega, poznata kao debljina istiskivanja , moţe posluţiti kao indikator debljine graničnog sloja, slika 9.8. U stvari, zbog razvoja graničnog sloja, na visini njegove nominalne debljine došlo je do smanjenja protoka fluida u odnosu na onaj koji je postojao u tom presjeku prije postavljanja ploče u njega. Veličina tog smanjenja protoka je: (9.2.)

Iz izraza 9.2. se odreĎuje debljina istiskivanja: (9.3.)

Debljina istiskivanja je uvijek manja od nominalne debljine graničnog sloja , i za ploču u posmatranom presjeku, iznosi:

150

(9.4.)

Linija debljine istiskivanja se definiše kao normalna udaljenost od zida za koju bi trebalo izmjestiti čvrstu konturu kada bi preko nje sada proticao idealan fluid, uniformnom brzinom , pa da protok fluida bude isti.

Slika 9.8.: Debljina istiskivanja

Promjena brzine se odraţava na promjenu protoka količine kretanja uslijed razvoja graničnog sloja do posmatranog presjeka, i jednaka je: (9.5.)

Iz izraza 9.5. je debljina impulsa ili količine kretanja jednaka: (9.6.)

Dakle, debljina impulsa ili debljina količine kretanja se definiše kao udaljenost od čvrste konture ploče, za koji je količina kretanja idealnog fluida jednaka smanjenju količine kretanja realnog fluida, izraz 9.5. Ovako definisana debljina količine kretanja je indikator veličine sila do posmatranog presjeka, jer su sile prema osnovnom principu impulsa i količine kretanja, jednake promjeni fluksa količine kretanja. U slučaju ravne ploče u beskonačnom fluidu, to su jedino sile viskoziteta izraţene preko smičućih napona. Promjena brzine, pored promjene fluksa količine kretanja, odraţava i promjenu protoka kinetičke energije toka, uslijed razvoja graničnog sloja do posmatranog presjeka, i jednaka je: (9.7.)

odakle je debljina energije jednaka: (9.8.)

151

Prema osnovnom principu energije i rada, slijedi da je ovako definisana debljina energije indikator veličine izvršenog rada sila u jedinici vremena unutar graničnog sloja, do posmatranog presjeka. To je, u stvari, indikator veličine gubitaka energije unutar graničnog sloja na savladavanju trenja do tog presjeka. Pored toga što daju uvid u efekt razvoja graničnog sloja na dinamičke karakteristike toka, ovako definisane debljine δ1, δ2 i δ3 su znatno odreĎenije veličine od nominalne debljine graničnog sloja δ. Obzirom da su definisane preko integrala, slijedi da su one za, dati presjek, konstantne. Sve se one mijenjaju, povećavajući se kao i nominalna debljina graničnog sloja duţ toka i zavise, kao i δ, od Rejnoldsovog broja. TakoĎe se vidi da je . Dobiveni izrazi 9.3., 9.6. i 9.8. za debljine, se odnose na slučaj dvodimenzionalnog strujanja fluida.

152

10.

HIDRODINAMIČKI OTPORI

10.1.

VRSTE OTPORA

U cilju objašnjenja pojma graničnog sloja u poglavlju 9, posmatrana je vrlo tanka ploča postavljena paralelno sa pravcem uniformnog toka viskoznog fluida, slika 10.1.(a). (2)

Slika 10.1.: Vrste otpora

Razvoj graničnog sloja nije ništa drugo nego rezultat opiranja sila viskoziteta kretanju fluida u blizini čvrste površine. Ukupna veličina sila viskoziteta u blizini čvrste površine predstavlja veličinu otpora kojeg pruţaju sile viskoziteta kretanju fluida po nekoj površini. Zato se ova vrsta otpora naziva otpor površine ili otpor viskoziteta, odnosno otpor trenja. Ukoliko bi se ploča postavila normalno na pravac toka, slika 10.1.(b), onda bi na njenim ivicama došlo do pojave separacije. U sredini prednje strane ploče bi vladao maksimalni pritisak jer se u toj tački nalazi zaustavna tačka . Od tačke prema ivicama ploče dolazi do povećanja brzine od nule do maksimalne vrijednosti na samoj ivici ploče, gdje dolazi do pojave separacije. Prema jednačini pritiska u tačkama maksimalne brzine dolazi do minimalnog pritiska. Kako sa obe strane strujne linije mora da vlada isti pritisak (u suprotnom bi došlo do tečenja fluida normalno na strujnu liniju, a to je prema definiciji strujne linije nemoguće) to znači da dobiveni minimalni pritisak, u tačkama separacije, mora vladati i u čitavoj zoni separacije iza tijela. Razlika pritisaka ispred i iza tijela, nastala uslijed pojave separacije, daje jednu rezultujuću silu otpora kretanju fluida oko tijela. Pojava separacije je rezultat viskoznosti fluida, jer kako je viĎeno, o ovom fenomenu nije bilo riječi pri izučavanju nevrtloţnog potencijalnog opstrujavanja tijela, gdje su sile viskoziteta zanemarljive. Ova vrsta otpora je u suštini rezultat sila viskoziteta, bez obzira na činjenicu da je ovaj otpor poznat kao otpor razlike pritisaka ili otpor oblika tijela. Pojava separacije i njen poloţaj, a time i vrijednost razlike pritisaka, je pored viskoziteta, funkcija i oblika tijela. Prema tome će se ova vrsta otpora nazivati otpor oblika. U slučaju opstrujavanja tijela bilo kakvog oblika, pri malim vrijednostima Rejnoldsovog broja, neće doći do separacije pa ni do pojave otpora oblika. Pored ovih vrsta otpora, koji se skoro uvijek pojavljuju zajedno i izraţavaju se pomoću odgovarajućeg zajedničkog koeficijenta otpora, moţe doći i do pojave drugih otpora, kao što je npr. otpor talasa, ukoliko se tijelo kreće na površini tečnosti. Relativni odnos veličine pojedinih otpora u ukupnom otporu tijela pri kretanju kroz fluid, uzimajući u obzir i otpor talasa, dat je za slučaj kretanja broda, slika 10.2. 153

Slika 10.2.: Ukupni otpor tijela

10.2.

OTPOR POVRŠINE

Ukoliko se kretanje fluida odvija preko čvrste konture najveći otpor njegovom kretanju je uslijed dejstva sila viskoziteta unutar graničnog sloja, tj. uz samu čvrstu konturu. Zato se ovakav otpor kretanju fluida naziva otpor površine. (2) Veličina ovog otpora po jedinici površine, tj. veličina smičućeg napona, se moţe naći primjenom principa impulsa i količine kretanja na izdvojeni element fluida u zoni graničnog sloja, slika 10.3.

Slika 10.3.: Element fluida u zoni graničnog sloja

Ukupna sila u pravcu, koja djeluje na izdvojeni element fluida , mora biti jednaka neto protoku količine kretanja u jedinici vremena kroz posmatrani element. Ukupna sila po jedinici širine je: (10.1.)

a neto protok mase fluida kroz površine

i

je: (10.2.)

Masa fluida mora proći i kroz površinu jedinici vremena:

, unoseći u posmatrani element količinu kretanja u

154

(10.3.)

Višak količine kretanja koji napušta presjek presjek je:

u odnosu na količinu kretanja koja je ušla kroz

(10.4.)

Ako se izjednači ukupna sila, izraz 10.1., sa navedenim promjenama količine kretanja, izrazi 10.3. i 10.4., i podjeli sa dobiva se: (10.5.)

Za ravnu ploču

i

, tako da se jednačina 10.5. svodi na: (10.6.)

Veličina uticaja sila viskoziteta na bilo kom rastojanju od granice je izraţena preko razlike brzine u neporemećenom toku i brzine u posmatranoj tački. Bez obzira na ovo, kako je to u teoriji graničnog sloja istakao Prandtl, vidi poglavlje 9, znatna promjena brzine se odigrava, pod izvjesnim uslovima u relativno uskoj zoni blizu konture, koja u stvari predstavlja debljinu graničnog sloja. Kako strujanje u graničnom sloju moţe da bude laminarno ili turbulentno, to se za nalaţenje veličine otpora treba poznavati odgovarajuće izraze za smičuće napone, za odgovarajući reţim strujanja unutar graničnog sloja, ili pak raspolagati odgovarajućim izrazima za raspored brzine unutar graničnog sloja iz kojih bi se mogli odrediti smičući naponi prema jednačini 10.6. Od praktičnog značaja je izraţavanje veličina otpora površine preko kinetičke energije neporemećenog toka, upotrebom „koeficijenta lokalnog trenja“ , tj.:

odakle je lokalni koeficijent otpora: (10.7.)

Ako se ukupni otpor površine podjeli sa odgovarajućom veličinom površine dobiva se veličina srednjeg smičućeg napona po cijeloj površini koja se opet moţe izraziti preko kinetičke energije neporemećenog toka i preko srednjeg koeficijenta otpora , kao: (10.8.)

155

UporeĎujući dobivene izraze 10.7. i 10.8. za koeficijente otpora sa izrazom za Ojlerov broj, vidi se da su oni slični po strukturi sa Ojlerovim brojem (kod kojeg se umjesto smičućih napona pojavljuje normalni napon ). Zbog ovoga, Ojlerov broj igra vaţnu ulogu kod problema kod kojih su, pri kretanju fluida, dominantni normalni naponi, a koeficijent otpora ima vaţnu ulogu pri kretanju fluida kod kojeg smičući naponi imaju dominantnu ulogu.

10.2.1.

LAMINARNO KRETANJE U GRANIČNOM SLOJU

Eksperimentalna analiza karakteristika toka u graničnom sloju je pokazala da su za dati reţim kretanja u graničnom sloju profili brzine u raznim poprečnim presjecima meĎusobno slični, tj. mogu se izraziti jednom analitičkom funkcijom oblika:

koja ne zavisi od varijable . Ova funkcija treba da zadovoljava granične uslove kada je i kada je . Za slučaj laminarnog kretanja fluida raspored brzine je paraboličan. Parabola moţe biti drugog, trećeg ili višeg stepena. U zavisnosti od izbora parabole u konačnom rezultatu za razvoj debljine graničnog sloja pojavit će se različita konstanta, ali je opšti zakon razvoja graničnog sloja isti. (2) (3) Prandtl je pretpostavio da je:

i

Funkcija zadovoljava granične uslove. Sada, jednačinu 10.6. moţemo pisati kao:

odnosno: (10.9.)

Na samoj granici je:

(10.10.)

Izjednačavajući izraze 10.9. i 10.10., dobivamo:

156

ili poslije sreĎivanja: (10.11.)

gdje uzimamo i 10.11. dobivamo:

umjesto

i

jer je

funkcija samo od . Poslije integralenja izraza

(10.12.)

Ako je

za

, onda je i ntegraciona konstanta jednaka nuli,

. Rješavajući

jednačinu 10.12. po dobiva se konačni izraz za razvoj graničnog sloja u obliku: (10.13.)

gdje je sloja.

Rejnoldsov broj baziran na veličini rastojanja

od početka razvoja graničnog

Jednačina 10.13. pokazuje da se debljina laminarnog graničnog sloja povećava kao kvadratni korijen rastojanja od mjesta gdje se granični sloj počinje razvijati. Ako se za funkciju rasporeda brzina uzme neka druga kvadratna parabola, npr.:

tako da joj verteks46 leţi na rastojanju sloja dobio izraz:

od granice, onda bi se za debljinu graničnog

što je isti izraz kao i izraz 10.13., samo se razlikuju u konstanti, koja se kreće oko 5. Zato se za bilo koji paraboličan raspored brzina u graničnom sloju moţe uzeti, aproksimativno, razvoj debljine graničnog sloja po jednačini:

Zamjenjujući vrijednost , iz izraza 10.13., u izraz 10.10. dobivamo: (10.14.)

odakle je, prema izrazu 10.7., lokalni koeficijent otpora: (10.15.)

Otpor ploče na jednoj strani, po jedinici širine, je:

46

Vertex – Tačka na krivoj sa lokalnim minimumom ili maksimumom.

157

(10.16.)

odakle je, prema izrazu 10.8., srednjeg koeficijenta otpora: (10.17.)

Obadva koeficijenta trenja, lokalni i srednji opadaju sa razvojem graničnog sloja, uslijed činjenice da gradijent brzine na samoj granici postaje manji sa povećanjem debljine graničnog sloja. Promjena debljine graničnog sloja kao i veličina sile otpora po jedinici površine, odnosno smičućeg napona sa rastojanjem od mjesta razvoja graničnog sloja, je prikazana na slici 10.4.

Slika 10.4.: Promjena debljine graničnog sloja i smičućeg napona

Blasius47 je, koristeći generalnu jednačinu kretanja viskoznog fluida, došao do tačnih vrijednosti i za koeficijente u izrazima 10.14. i 10.16. respektivno. Kada Rejnoldsov broj dostigne vrijednost izmeĎu i kretanje u graničnom sloju postaje turbulentno. Pri kojoj vrijednosti kritičnog Rejnoldsovog broja će doći do prelaza u turbulentno kretanje zavisi od turbulentnih karakteristika samog toka, oblika ulazne ivice ploče kao i od hrapavosti površine ploče.

10.2.2.

TURBULENTNO KRETANJE U GRANIČNOM SLOJU

Prisustvo turbulencije u graničnom sloju povećava brzinu širenja graničnog sloja i znatno mijenja raspored brzine, a time i otpor površine. Proces miješanja teţi da napravi raspored brzine uniformnijim u većem dijelu graničnog sloja, tako da uz čvrstu konturu dolazi do veoma naglih promjena brzine. U zoni izrazito turbulentnog toka Prandtl je za raspored brzine koristio eksperimentalne podatke za raspored brzine u glatkoj cijevi: (10.18.)

gdje su: rastojanje od zida cijevi, radijus cijevi.

47

Paul Richard Heinrich Blasius

158

Primjenjujući izraz 10.18. na kretanje fluida preko ravne ploče, za koju je pretpostavio: (10.19.)

a slično kao i u slučaju laminarnog kretanja u graničnom sloju je: (10.20.)

Napomena uz izraz 10.20.: Navedeni izraz je dobiven iz slijedećeg izraza za cijev:

Za prelaz sa cijevi na ravnu ploču je korišteno:

Smičući napon na površini glatke ploče, analogno naprijed navedenom, je: (10.21.)

Izjednačavanjem izraza 10.20. i 10.21.,dobivamo: (10.22.)

Ako se izraz 10.22. integrali uz granične uslove, za , odnosno pretpostavlja se da je ploča dovoljno dugačka tako da se dio laminarnog graničnog sloja moţe zanemariti, dobiva se:

ili rješavajući po : (10.23.)

Debljina graničnog sloja raste mnogo brţe ako je u graničnom sloju turbulentno, a ne laminarno kretanje. Da bi se odredio otpor na glatkoj ravnoj ploči, potrebno je iz izraza 10.20. i 10.23. eliminisati : (10.24.)

Na osnovu izraza 10.7., lokalni koeficijent otpora je: 159

(10.25.)

Sila otpora ploče na jednoj strani, po jedinici širine, je: (10.26.)

odakle je, prema izrazu 10.8., srednji koeficijent otpora: (10.27.)

gdje je

Rejnoldsov broj baziran na duţinu ploče.

Kao što je napomenuto, Prandtlov eksponencijalni zakon

rasporeda brzine vrijedi za

Rejnodsove brojeve veličine: , te će za ove vrijednosti vaţiti i izrazi 10.24. i 10.26. Treba napomenuti da za navedeni dijapazon Rejnoldsovih brojeva, srednji koeficijent otpora, prema eksperimentalnim podacima, je nešto veći od izvedenog, izraz 10.27., i iznosi: (10.28.)

Granični sloj je, naravno, laminaran na prvom dijelu ploče uz struju fluida. Prandtl je oduzeo laminarni dio graničnog sloja do kritičnog Rejnoldsovog broja i dobio izraz 10.29.: (10.29.)

Slika 10.5.: Srednji koeficijent otpora u funkciji Rejnoldsovog broja

Za područja na slici 10.5., vrijedi: 

laminarno, izraz 10.17.

160



prelazno, izraz 10.29.



turbulentno, izraz 10.28.

Koristeći logaritamski raspored brzine za cijevi, dobivamo: (10.30.)

gdje je konstanta odgovara najboljoj aproksimaciji eksperimentalnih podataka. 10.2.2.1.

PRIMJER

Glatka ravna ploča, širine

i duţine

, se kreće brzinom

temperature

kroz mirnu vodu

Odrediti silu otpora na jednoj

strani ploče i silu otpora na prva

ploče.

RJEŠENJE: Rejnoldsov broj za cijelu ploču je:

Na osnovu izraza 10.30., dobivamo vrijednost za srednji koeficijent otpora:

Sila otpora na jednoj strani ploče je:

Ako je kritični Rejnoldsov broj

Za prva

ploče je Rejnoldsov broj je

, duţina

do prelaznog područja je:

i uz ponovno korištenje izraza 10.30.

dobiva se:

161

10.2.3.

OTPOR U GLATKIM I VJEŠTAČKI HRAPAVIM CIJEVIMA

10.3.

UKUPNI OTPOR

Relativno mali broj slučajeva u praksi je takav da samo otpor površine ili samo otpor oblika predstavlja ukupni otpor. Ukupni otpor kretanju fluida predstavlja sumu otpora površine, oblika i drugih, koji mogu doći u obzir kao što je to slučaj pri kretanju broda na površini vode. MeĎutim, rijedak je slučaj odreĎivanja veličine pojedinačnih otpora sadrţanih u ukupnom otporu, jer je u najvećem broju slučajeva sa inţenjerske tačke gledišta, od interesa ukupni otpor. Izuzetak čini ukupni otpor nekog cijevnog voda koji se računa parcijalno, tj. posebno otpor površine ili linijske gubitke, a posebno otpor oblika ili lokalne gubitke i na kraju njihova suma daje ukupni otpor ili ukupne gubitke u datom sistemu.

10.4.

OTPOR TIJELA POTPUNO POTOPLJENIH U FLUID

IzmeĎu graničnih slučajeva, otpora površine i oblika, slika 10.1.(a) i (b), postoji mnogo tijela upotrebljavanih u inţenjerskog praksi, kod kojih se ukupni otpor sastoji od sume ova dva elementarna otpora. Kako je njegovo izračunavanje u većini slučajeva nemoguće na bazi sume elementarnih otpora, kao kod cijevnih vodova, to se ukupni otpor odreĎuje pomoću koeficijenta otpora, eksperimentalnim putem. Poznavanje pojedinih vrsta otpora u ukupnom otporu nema nekog praktičnog značenja jer je ukupni otpor, odlučujući faktor za dizajn i dimenzionisanje konstruktivnih elemenata potpuno potopljenih u fluid. OdreĎivanje veličine otpora je bazirano na veličini koeficijenta otpora koji se mijenja, kako sa oblikom tijela tako i sa uslovima toka, tj. sa veličinom Rejnoldsovog broja: (10.1.)

gdje su: ukupna sila otpora, površina projekcije tijela na ravan koja je normalna na pravac toka, gustina fluida, – brzina fluida u zoni uniformnog toka.

162

10.4.1.

OTPOR OBRTNIH – OSNOSIMETRIČNIH TIJELA

Većina konstruktivnih elemenata i tijela koja se kreću kroz fluid imaju geometrijski pravilne oblike. U ovom poglavlju će se opisati promjena koeficijenta otpora obrtnih tijela, dobivenih rotacijom geometrijski pravilnih likova, osnosimetrična tijela. Na slici 10.2., u dvostruko logaritamskoj razmjeni je prikazan dijagram promjene koeficijenta otpora u funkciji Rejnoldsovog broja i oblika osnosimetričnog tijela. Najveći broj eksperimentalnih podataka je definisan za sferu. U oblasti malih Rejnoldsovih brojeva nema separacije i fluid potpuno prati čvrstu konturu. Sila otpora je u potpunosti posljedica trenja. Stoks je analitički našao vrijednost koeficijenta otpora, zanemarujući inercijalne sile: (10.2.)

Slika 10.6.: Promjena koeficijenta otpora

u funkciji Rejnoldsovog broja

Eksperimentalni podaci za počinju da ostupaju od prave,izraz 10.2., čim uticaj ubrzanja okolnog fluida dolazi do izraţaja. Stoks je ovo zanemario pri analizi sporog padanja sfere u fluidu. Prema dijagramu, slika 10.2., granica vaţenja Stoksovog zakona je pribliţno . Do ove vrijednosti Rejnoldsvog broja otpor površine predstavlja ukupni otpor sfere pri kretanju kroz fluid. Kada Rejnoldsov broj raste, dolazi do separacije laminarnog graničnog sloja počevši prvo kod zaustavne tačke niz struju fluida. Kod daljnjeg povećanja Rejnoldsovog broja tačka separacije se pomiče uz struju, čime se povećava udio otpora pritiska, da bi kod zauzela fiksnu poziciju na uglu , mjereno od zaustavne tačke uz struju fluida. U oblasti koeficijent otpora ima pribliţno konstantu vrijednost . Pri kritičnoj vrijednosti Rejnoldsovog broja dolazi do naglog smanjenja koeficijenta otpora na vrijednost . Ovo se objašnjava prelazom laminarnog graničnog 163

sloja u turbulentni i pomjeranjem tačke separacije sa na , mjereno od zaustavne tačke uz struju fluida. Pomjeranjem tačke separacije suţava se vrtloţna zona, a time i otpor pritiska. Moţe se zaključiti, kada je od interesa smanjiti koeficijent otpora, moguće je raznim pobuĎivaćima u obliku vještačkih neravnina na površini sfere inicirati raniji prelaz laminarnog u turbulentni sloja , a time smanjiti otpor. Nasuprot sferi, tijela sa oštrim ivicama kao što je disk imaju karakteristiku konstantnosti koeficijenta otpora čim se preĎe zona otpora površine. Sa dijagrama, slika 10.2., se vidi da koeficijent otpora postaje konstantan iznad . Ovo se moţe objasniti činjenicom da je tačka separacije fiksna na ivici diska bez obzira da li je sloj laminaran ili turbulentan, a time i oblik vrtloţnog traga ostaje pribliţno konstantan iznad neke vrijednosti Rejnoldsovog broja. Dijagram zavisnosti koeficijenta od Rejnoldsovog broja omogućava, da za date uslove toka, direktno riješimo otpor tijela koja se kreće kroz fluid odgovarajućom brzinom.

10.4.2.

OTPOR DVODIMENZIONALNIH TIJELA

Zbog geometrijske sličnosti navedenih trodimenzionalnih obrtnih tijela i odgovarajućih dvodimenzionalnih tijela (cilindri kruţnog i eliptičnog presjeka) postoji sličnost i dijagrama zavisnosti koeficijenta od Rejnoldsovog broja. U dijagramu na slici 10.3. su prikazane vrijednosti koeficijenta otpora dvodimenzionalnih tijela u zavisnosti od Rejnoldsovog broja.

Slika 10.7.: Koeficijenta otpora

za nekoliko

za neka dvodimenzionalna tijela

U ovom slučaju zbog nepostojanja bočne separacije treba očekivati nešto veće vrijednosti koeficijenta otpora od odgovarajućih za trodimenzionalna tijela.

164

10.5.

OTPORI U OTVORENIM I ZATVORENIM PROVODNICIMA FLUIDA

U hidraulici se otpori u provodnicima fluida dijele na dvije grupe i to:  

otpori na pravolinijskom putu, linijski otpori ili otpori površine, lokalni otpori ili otpori oblika.

Gubici energije prouzrokovani ovakvim otporima kratko se zazivaju: linijski i lokalni gubici. Pod linijskim gubitkom se podrazumijeva gubitak energije na pravolinijskoj dionici provodnika uslijed trenja fluida o dodirne površine sa čvrstim tijelom. Lokalni gubici se odnose na energiju koja se gubi uslijed nagle promjene pravca kretanja ili oblika strujanja fluida (proširenje, suţenje, koljena, armature itd.).

10.5.1.

LINIJSKI GUBICI ENERGIJE

Uniformno stacionarno kretanje nestišljivog fluida u provodniku se moţe smatrati kao granični slučaj razvoja graničnog sloja, te se intenzitet smičućih napona na površini zida provodnika moţe izraziti kao: (10.3.)

gdje su: koeficijent otpora (za cijevi:

),

bezdimenzionalni Darsi48-Vajsbahov49 koeficijent otpora, srednja brzina. U otvorenim provodnicima-kanalima i zatvorenim necilindričnim provodnicima tangencijalni napon nije konstantan duţ čvrste konture. U ovom slučaju, tangencijalni napon se koristi kao srednja vrijednost tangencijalnog napona. Na slici 10.4. je prikazan stacionarni uniformni tok u otvorenom ili zatvorenom provodniku. (1)

Slika 10.8.: Dejstvo aksijalnih sila na kontrolnu zapreminu (c.v.) u provodniku

48 49

Henry Darcy Julius Weisbach

165

Za otvoreni kanal i su identični i kretanje je rezultat promjene potencijalne energije . Za kretanje u zatvorenom provodniku, energija toka je definisana promjenom potencijalne i pritisne energije . Ako posmatramo vertikalnu cijev i tok u njoj sa smjerom prema dole, pritisak moţe rasti u pravcu toka, ali pad potencijalne energije mora biti veći od

da bi se obezbjedila energija koja će savladati

tangencijalne napone uz zid cijevi. Jednačina energije, u koju su uključeni i gubici redukciji raspoloţive energije, se moţe napisati kao: (10.4.)

Budući da je visina brzinske energije

ista u obadva presjeka, dobivamo: (10.5.)

Zbog pretpostavke o uniformnom toku, jednačina količine kretanja u

pravcu je:

gdje je okvašeni obim konture tj. dio obima gdje je kontura u kontaktu sa fluidom (uključujući slobodnu površinu tečnosti). Kako je , imamo: (10.6.)

Iz jednačine 10.5. i 10.6., koristeći

166

11.

TEORIJA SLIČNOSTI

11.1.

HIDRODINAMIČKA SLIČNOST I MODEL

U poglavlju 7 su izvedene Navije-Stoksove jednačine, izraz 7.22., za izotermno kretanje nestišljivog fluida konstantnog viskoziteta u i pravcu. (4)

Navije-Stoksove jednačine su vektorske jednačine i mogu se napisati u tenzorskoj notaciji: (11.1.)

Jednačine su, u najopštijem slučaju kretanja fluida, nerješive. Samo u izvjesnom veoma malom broju konkretnih slučajeva, u kojima uslijed pogodnih graničnih uslova dolazi do znatnog uproštenja jednačina, moguće je doći do njihovog egzaktnog ili pribliţnog rješenja. Preostali, najveći dio problema hidrodinamike je praktično nerješiv direktno iz osnovnih jednačina kretanja fluida. Za rješavanje ovakvih problema pribjegava se eksperimentima. Eksperimentalna rješenja imaju ograničenu valjanost i sa obzirom na uslove pod kojima su izvedena, veoma su skupa ali daju veoma pouzdane rezultate unutar tačnosti mjernih metoda. Da bi se proširila valjanost eksperimentalnih podataka i smanjili troškovi izvoĎenja eksperimenta, koriste se metode dimenzionalne analize, eksperiment se obavlja na modelu umjesto na prototipu. Problem formiranja modela, prenošenje dobivenih rezultata sa modela na prototip ili na pojavu u prirodi, kao i uopštavanje dobivenih rezultata predstavlja problem hidrodinamičke sličnosti. Pojam hidrodinamičke sličnosti je znatno kompleksnija od pojma geometrijske sličnosti. Hidrodinamička sličnost je bazirana na identičnosti odnosa odreĎenih veličina, izraţenih u bezdimenzionalnoj formi, koji karakteriše dva hidrodinamička toka. Iz definicije hidrodinamičke sličnosti slijedi i pojam hidrodinamičkog modela. Hidrodinamički model se odnosi na modeliranje nekog procesa koji se eksperimentalno proučava, sa tim da se dobiveni rezultati mogu prenijeti na pojave u svim sličnim objektima. Model i prototip, ili objekt, će biti meĎusobno slični ako sve veličine, koje utiču na proces u njima, stoje u odreĎenom odnosu. Upravo sada moţemo postaviti pitanje od velike vaţnosti: Koji su to uslovi pod kojim se dva kretanja mogu smatrati sličnim? Jedno je očigledno, geometrijska sličnost je potrebna. U obadva kretanja strujne linije moraju biti slične što, razumije se, povlači sličnost vanjskih geometrijskih uslova, kao npr. sličnost 167

cijevnih vodova, presjeka kanala, tijela oko kojih se strujanje odvija itd. U geometrijsku sličnost ulazi i sličnost hrapavosti čvrste konture.

11.1.1.

POJMOVI VEZANI UZ SLIČNOST KRETANJA

Putanje, odnosno trajektorije, su geometrijski slične ako su odgovarajuće duţine u stalnom odnosu, a odgovarajući uglovi jednaki. Tačke i su odgovarajuće tačke za meĎusobnu analizu, slika 11.1.

Slika 11.1.: Geometrijska sličnost dva toka

Geometrijska sličnost zahtjeva:

Ako je kvalitet površine, hrapavost, od bitnog uticaja pri kretanju, treba i tu ostvariti geometrijsku sličnost, slika 11.2.

Slika 11.2.:Hrapavost površine

Ako su odgovarajuće duţine u odnosu odnosu:

, tada je jasno da će odgovarajuće površine biti u

a odgovarajuće zapremine:

168

Dakle, odnosi ili razmjere su: duţina, površina, zapremina.

Sama geometrijska sličnost nije dovoljna već mora postojati i kinematska sličnost. U meĎusobnoj razmjeri treba da stoje, ne samo analogne duţine, već i analogne brzine i ubrzanja:

Kod kinematski sličnih strujanja, geometrijski oblici strujnih linija su slični. Kako je čvrsta kontura istovremeno i strujna površina, da bi se zadovoljio uslov kinematske sličnosti, model i prototip moraju biti i geometrijski slični. Suprotno, sama geometrijska sličnost ne garantuje kinematsku sličnost. Na kraju, da bi sličnost dva strujanja bila potpuna, trebaju obadva strujanja biti odreĎena istim jednačinama, u ovom slučaju, Navije-Stoksovim jednačinama. Ovo uslovljava srazmjernost sila koje djeluju na fluid. Tek tada je zadovoljena dinamička sličnost. To znači da odnos intenziteta bilo koje dvije sile u posmatranoj tački mora biti konstantan i neovisan o izboru tačke. Neka su za dva slična strujanja:

i

sile: inercije, gravitacione vanjske, pritiska i viskoziteta, respektivno. Na osnovu Dalamberovog principa, izraz 4.2., se moţe Navije-Stoksova jednačina napisati, za jedno strujanje, u obliku:

a za drugo:

Kako se obadvije jednačine odnose na slična strujanja to se one izmeĎu sebe mogu razlikovati samo nekim konstantnim odnosom. Dinamička sličnost predstavlja jednakost razmjera sila inercije i svakog para homolognih sila u sistemu:

169

Ako su propisani neki odnosi osnovnih veličina, tj. odnosi mase, duţine i vremena, tada svi ostali odnosi proizlaze iz propisanih i ne mogu biti proizvoljni. Na primjer, razmjera za brzinu ne moţe biti proizvoljna, jer je

Razmjera za ubrzanje se dobiva iz odnosa

:

:

Izraz za razmjeru neke veličine se dobiva tako da dimenziju dotične veličine zamijenimo razmjerama osnovnih fizikalnih veličina, koje figurišu u dimenziji dotične veličine. Npr. razmjera za gustinu je:

gdje je

razmjera za masu.

11.2.

UPROŠTENI PRISTUP RJEŠAVANJU PROBLEMA KRETANJA

Matematičko rješenje problema kretanja viskoznog fluida je veoma teško. Zato se postavlja prirodno pitanje: Da li postoji jednostavan, racionalan način kojim se mogu riješiti problemi kretanja, i ako postoji da li se taj metod može koristiti pri interpretaciji eksperimentalnih rezultata. Odgovor je potvrdan za obadva dijela pitanja.

11.2.1.

SLIČNOST NA OSNOVU DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA

Ako napišemo Navije-Stoksovu jednačinu, izraz 7.22., u

pravcu, za:

o prototip:

o model: (11.2.)

Iz odgovarajućih razmjera imamo:

Uvrštavajući navedene razmjere u izraz 11.2. dobivamo: 170

ili, poslije sreĎivanja:

(11.3.)

Prema izrazu 11.3. treba biti zadovoljeno: (11.4.)

Izjednačavajući članove

i , iz izraza 11.4., dobivamo jednakost Rejnoldsog broja:

(11.5.)

Izjednačavajući članove

i , iz izraza 11.4., dobivamo jednakost Frudovog50 broja: (11.6.)

Izjednačavajući članove

i , iz izraza 11.4., dobivamo jednakost Ojlerovog broja: (11.7.)

Izjednačavajući članove

i , iz izraza 11.4., dobivamo jednakost Strouhalovog51 broja: (11.8.)

Izjednačavajući članove

i , iz izraza 11.4., dobivamo jednakost Mahovog52 broja: (11.9.)

gdje je

brzina zvuka:

50

Williams Froude Vincenc Strouhal 52 Ernst Mach 51

171

Ako su za razna strujanja isti i broj, rješenja diferencijalnih jednačina će biti ista. Kako su bezdimenzionalne veličine iste, tokovi će posjedovati, zadovoljavati tzv. kinematsku sličnost. Ovdje treba napomenuti da je sa istim fluidom, u analizi modela i prototipa, nemoguće jednostavno zadovoljiti Frudov i Rejnoldsov broj. To pokazuje slijedeća analiza:

(11.10.)

Sa druge strane Rejnoldsov broj je: (11.11.)

Uvrštavajući

iz izraza 11.10. u izraz 11.11. za Rejnoldsov broj, dobivamo: (11.12.)

što nije tačno. Neke druge kombinacije ne daju suštinski nove uslove. Naglasimo još jednom, da bi sličnost dva kretanja bila potpuna potrebno je, da pored geometrijske sličnosti bude ispunjena kinematska i dinamička sličnost.

11.2.2.

FIZIČKI SMISAO REJNOLDSOVOG I FRUDOVOG BROJA 

Sila inercije prema Njutnovom zakonu je:

Kod sličnih strujanja mora biti zadovoljen uslov:

(11.13.)



Sila teţe neke mase je:

Za slična strujanja imamo:

172

(11.14.)



Sila trenja na nekoj površini, prema Njutnovom zakonu, je:

ili za slična strujanja moţemo pisati:

(11.15.)

Frudov broj je proporcionalan odnosu sila inercije, izraz 11.13., i sila viskoziteta, izraz 11.14.: (11.16.)

dok je Rejnoldsov broj proporcionalan odnosu sila inercije, izraz 11.13., i viskoziteta, izraz 11.15.: (11.17.)

Sile pritiska će automatski ispunjavati uslove sličnosti ako ih ispunjavaju i ostale sile. Kao što smo već naveli, na osnovu Dalamberovog principa, Navije-Stoksove jednačine moţemo napisati za: 

prototip ili original: (11.18.)



model: (11.19.)

Ako je, na nekom odreĎenom mjestu, ispunjen uslov:

moţemo napisati:

173

(11.20.)

UporeĎivanjem izraza 11.18. i 11.20., dobivamo: (11.21.)

odakle vidimo da pritisak ne trebamo uzimati u obzir pri uporeĎivanju. Napomena: Pritisak će igrati ulogu kod pojave kavitacije, koja moţe potpuno onemogućiti sličnost strujanja, iako su Rejnoldsov i Frudov broj jednaki.

11.3.

DIMENZIONALNA ANALIZA - HOMOGENOST

Fizička pojava koja je predstavljena nekim algebarskim izrazom u sebi sadrţi članove sa različitim fizičkim svojstvima. Takav izraz će biti tačan ako pored numeričke tačnosti postoji i dimenzionalna ravnoteţa izmeĎu članova te jednačine. Drugim riječima, jednačina oblika:

zahtjeva ne samo da broj predstavlja proizvod izmeĎu jednake proizvodu dimenzija brojeva i .

i , nego da su i dimenzije broja

Ovo opšte pravilo dimenzionalne homogenosti mora biti zadovoljeno ma kako kompleksan fenomen bio opisan datom jednačinom. Pogledajmo dimenzionalnu homogenost izraza koji predstavlja II Njutnov zakon, koji kaţe da je sila proporcionalna proizvodu mase i ubrzanja, tj.: (11.22.)

gdje su: sila, masa,

koeficijent proporcionalnosti. Znajući dimenzije ubrzanja: (11.23.)

jednačina 11.22. će biti homogena ako koeficijent proporcionalnosti ima dimenzije: (11.24.)

Bez obzira na sistem jedinica koje se upotrebljavaju pri analizi problema, u ovom osnovnom zakonu kretanja je usvojeno da je koeficijent proporcionalnosti uvijek jednak jedinici: (11.25.)

174

Drugim riječima, jedinice duţine, vremena, sile i mase su tako kombinovane da se bilo koja od njih moţe izraziti pomoću ostale tri. Na osnovu prethodne diskusije o homogenosti izraza 11.22., koji predstavlja II Njutnov zakon, slijedi da u osnovi postoje tri osnovne veličine, dimenzionalne kategorije, pomoću kojih su izvedene sve ostale. To su duţina , vrijeme i sila ili duţina , vrijeme i masa , i one definišu dimenzionalni sistem koji se koristi u mehanici. On je dio fizičkog dimenzionalnog sistema koji pored ovih, uključuje i veličine za odreĎivanje toplotnih, optičkih, akustičnih, magnetnih drugih pojava. Uzmimo da je zapremina nekog tijela dimenzije i :

gdje je

data kao proizvod njegove tri karakteristične linearne

faktor proporcionalnosti, bezdimenzionalni broj, koji karakteriše opšti oblik tijela.

Bezdimenzionalna veličina:

predstavlja zapreminu tog tijela ma koje veličine. Ako su , a za paralelopiped je .

i poluose elipsoida onda je

Izraţavanje zapremine nekog tijela u bezdimenzionalnoj formi pokazuje da njena veličina nije vezana za izbor mjernog sistema i razmjere, nego zavisi samo od oblika tijela: Ovakvo bezdimenzionalno izraţavanje funkcija pokazuje odreĎene prednosti u odnosu na njihovu dimenzionalnu formu. Opšti princip dimenzionalne homogenosti nekog algebarskog izraza, koji opisuje fizičku pojavu za izabrani dimenzionalni sistem , se moţe napisati u obliku: (11.26.)

gdje i trebaju biti takvi da dobivena dimenzija člana na desnoj strani jednačine mora biti jednaka dimenziji veličine na lijevoj strani jednačine 11.26. Na primjer, ako je

ubrzanje, onda su:

Navedeni izraz 11.26. nije jednačina u pravom smislu riječi. Izraz pokazuje dimenzionalnu homogenost, daje fizička svojstva veličine koju opisuje kao i kvalitet te veličine, ali ništa ne govori o kvantitativnoj vrijednosti veličine koju opisuje. Za dobivanje brojne vrijednosti veličine, u izraz se mora uključiti bezdimenzionalni koeficijent proporcionalnosti , tako da će vrijednost veličine opisane dimenzionalnim izrazom 11.26. biti: (11.27.)

U izrazu 11.27. veličine.

je koeficijent proporcionalnosti i predstavlja mjerni broj posmatrane

175

Značaj dimenzionalne homogenosti nekog izraza je očigledan i sa praktične tačke gledišta, jer ukoliko se pokaţe da neki izraz nije dimenzionalno homogen, to je indikacija da u proračunu postoji greška tj. greška u dimenziji je sigurna indikacija numeričke greške.

11.4.

TEOREMA

Kao osnova koja opisuje neku pojavu u bezdimenzionalnoj formi je Vaši53-Bakingemova54 –teorema, koja je poznata od 1915. godine. Naziv teorema je dobila po tome što je jedan od autora, Bakingem, bezdimenzionalne brojeve označavao grčkim slovom . Osnova teoreme je: Ako se funkcija koja opisuje neku pojavu sa promjenljivih moţe opisati sa osnovnih dimenzionalnih kategorija ili , onda se sve promjenljive u njoj mogu grupisati u bezdimenzionalnih parametara, tako da se dobije bezdimenzionalna funkcija oblika: (11.28.)

U svakom bezdimenzionalnom parametru će biti sadrţano promjenljivih, od kojih su njih isti u svim parametrima, a samo se jedna promjenljiva mijenja u svakom od njih. Pri izboru promjenljivih, koje se pojavljuju u svakom oni uključuju:   

parametru, treba voditi računa da

predstavnika linearne dimenzije toka (duţina) koji definiše geometrijske granične uslove (veličina tijela, dubina toka, granični uslovi), kinematske i/ili dinamičke karakteristike toka (brzina, ubrzanje, pad pritiska, sile gravitacije, sile trenja i sl.) koje definišu uslove kretanja fluida, fizička svojstva fluida (gustina, specifična teţina, viskozitet, modul elastičnosti, stišljivost itd.) koja odraţavaju materijalnost fluida.

Veoma je vaţno procijeniti dominantne veličine za neki problem, odnosno pojavu, a za to je potrebno znanje i iskustvo. Posmatrajmo problem za koji se moţe tvrditi da postoji funkcionalna zavisnost: (11.29.)

U izrazu 11.29. je broj promjenljivih , a imamo kategorije. Sve promjenljive se mogu grupisati u parametra.

53 54

osnovne dimenzionalne bezdimenzionalna

Aimée Vaschy Edgar Buckingham

176

Poslije sreĎivanja desne kolone dobivamo: (11.30.) (11.31.) (11.32.)

Rješenja jednačina u eksponentima izraza 11.30.:

daju:

odnosno: (11.33.)

Analogno uradimo i za jednačine u izrazima 11.31. i 11.32.:

(11.34.)

(11.35.)

Sada moţemo napisati bezdimenzionalnu jednačinu koja je ekvivalentna početnoj, izraz 11.28.: (11.36.)

Izraz 11.36. se moţe dalje napisati kao: (11.37.)

ili (11.38.)

gdje se

treba odrediti eksperimentalno, slika 11.3.

Primjena dimenzionalne analize i

teoreme su značajne pri eksperimentalnom radu.

Sve veća primjena teoreme otkriva i neke njene nedostatke. U nekim slučajevima je pokazano da broj bezdimenzionalnih parametara, koji opisuju kretanje fluida, nije jednak 177

, kako je to dato orginalnom teoremom, nego da njihov broj moţe biti i veći. U tom slučaju broj parametara se ne izraţava više razlikom , nego razlikom , gdje je rang dimenzonalne matrice.

Slika 11.3.: Dijagram eksperimentalnih podataka

Prema ovome, modificirani oblik

teoreme će glasiti:

Ako je potrebno promjenljivih za opis neke fizičke pojave i ako ove veličine uključuju dimenzionalnih kategorija, onda se funkcionalna zavisnost između zavisno promjenljive i nezavisno promjenljivih, koje je opisuju, može svesti na bezdimenzionalnih parametara, gdje je rang dimenzionalne matrice . Dimenzionalnu matricu formiraju elementi promjenljivih, tako da one predstavljaju kolone, a dimenzionalne kategorije ili predstavljaju redove matrice. U svakom parametru će biti u svakom od njih.

promjenljivih veličina od kojih se samo jedna mijenja

Ako se za neki problem moţe tvrditi da postoji funkcionalna zavisnost: (11.39.)

Formirajmo dimenzionalnu matricu:

(11.40.)

Napomena:

Minorom tog reda matrice nazivamo determinantu dobivenu (sa odrţavanjem reda) i elemenata matrice, koji leţe na presjeku nekih njenih kolona i redova, slika 11.4. Rangom matrice

nazivamo najveći red koji mogu imati njeni minori, a da nisu jednaki nuli. 178

Slika 11.4.: Minor trećeg reda

Vratimo se našem primjeru. Rang dimenzionalne matrice je

Promjenljive se mogu grupirati u

, odnosno:

bezdimenzionalna

parametra.

ili poslije sreĎivanja desne kolone: (11.41.) (11.42.) (11.43.)

Rješenja jednačina u eksponentima izraza 11.41., 11.42. i 11.43. nam daju vrijednost parametara:

daju:

odnosno: (11.44.)

(11.45.)

179

(11.46.)

Sada moţemo napisati bezdimenzionalnu jednačinu koja je ekvivalentna početnoj, izraz 11.39.: (11.47.)

Sam eksperiment će pokazati koji su parametri dominantni.

11.5.

URAĐENI PRIMJERI

11.5.1.

PRIMJER

Koristeći

teoremu provjeriti da li je moguća zavisnost:

ili

prilikom kretanja viskoznog fluida kroz cijevi. RJEŠENJE: Funkcionalna zavisnost: (11.48.)

Formirajmo tabelu:

Formirajmo dimenzionalnu matricu:

180

Rang dimenzionalne matrice je

Promjenljive se mogu grupirati u

, odnosno:

bezdimenzionalna

parametra.

ili poslije sreĎivanja desne kolone: (11.49.) (11.50.) (11.51.)

Rješenja jednačina u eksponentima izraza 11.49., 11.50. i 11.51. nam daju vrijednost parametara:

(11.52.)

(11.53.)

181

(11.54.)

Sada moţemo napisati bezdimenzionalnu jednačinu ekvivalentnu početnoj, izraz 11.48.:

ili

odnosno,

(11.55.) izraz 11.55. kvalitativno odgovara početnom izrazu.

11.5.2.

PRIMJER

Odrediti kvalitativni izraz za brzinu isticanja tečnosti kroz otvor na beskonačno velikom rezervoaru, prema slici 11.5.

Slika 11.5.: Isticanje tečnosti iz rezervoara

RJEŠENJE (A): Pretpostavimo da iz posude ističe neviskozan fluid kroz mali otvor. Moţemo očekivati da će brzina isticanja zavisiti od gustine tečnosti , ubrzanja zemljine teţe i od visine nivoa vode u rezervoaru :

odnosno (11.56.)

Formirajmo tabelu:

182

Formirajmo dimenzionalnu matricu:

Rang dimenzionalne matrice je

, odnosno:

(11.57.)

Promjenljive se mogu grupirati u

bezdimenzionalni

parametar.

ili poslije sreĎivanja desne kolone: (11.58.)

Rješenja jednačina u eksponentima izraza 11.58. nam daju vrijednost

parametra:

(11.59.)

(11.60.)

Vidimo da brzina isticanja ne zavisi od gustine, srazmjerna je kvadratnom korijenu visine tečnosti . Konstantu ne moţemo odrediti na ovaj način, ali znamo da je konstanta, prema Toričeliju, .

183

RJEŠENJE (B): Ako bismo ţelili riješiti isti problem tačnije, onda bismo u obzir trebali uzeti i viskozitet fluida. (11.61.)

Formirajmo tabelu uz izostavljanje uticaja gustine, uz saznanja iz dijela riješena (A),:

Formirajmo dimenzionalnu matricu:

Rang dimenzionalne matrice je

Promjenljive se mogu grupirati u

, odnosno:

bezdimenzionalna

parametra.

ili poslije sreĎivanja desne kolone: (11.62.) (11.63.)

Rješenja jednačina u eksponentima izraza 11.62., i 11.63. nam daju vrijednost

parametara:

(11.64.)

184

(11.65.)

Sada moţemo napisati bezdimenzionalnu jednačinu ekvivalentnu početnoj, izraz 11.61.:

ili

odnosno, (11.66.)

Vidimo da je brzina isticanja srazmjerna , ali je sada koeficijent srazmjernosti, odnosno proporcionalnosti, funkcija Rejnoldsovog broja. Oblik ove funkcije se moţe naći samo eksperimentalnim putem.

11.6.

PRIMJENA HIDRODINAMIČKE SLIČNOSTI NA MODELIRANJE KRETANJA FLUIDA

Kao što je ranije navedeno, da bi dva kretanja bila slična, moraju biti ispunjeni slijedeći uslovi:   

geometrijska sličnost, kinematska sličnost, odnosno sličnost strujnog polja, dinamička sličnost.

Uslov dinamičke sličnosti je: (11.67.)

Neki karakteristični brojevi su (1): Rejnoldsov broj, predstavlja odnos inercijalne i viskozne sile:

Ojlerov broj, predstavlja odnos sile pritiska i inercijalne sile:

Frudov broj, predstavlja odnos inercijalne i gravitacione sile:

185

Košiev broj, predstavlja odnos inercijalne sile i sile elastičnosti nastalih kao posljedica stišljivosti fluida:

Kavitacijski broj:

gdje su: apsolutni statički pritisak, pritisak zasićenja na temperaturi fluida. Kavitacijski broj ukazuje na mogućnost pojave kavitacije. Razlika pritisaka pokazuje koliko rezerve pritiska postoji dok se ne počnu formirati prvi mjehurići pare. Povećanje brzine po pravilu vodi smanjenju pritiska i pojavi kavitacije.

11.6.1.

PRIMJER

Model za ispitivanje vodenih talasa izraĎen je u razmjeri

.

a) Ako je period talasa na objektu , koliki treba biti period nastajanja talasa na modelu da bi se obezbjedila sličnost? b) Kolika je sila po duţnom metru na objektu, koja odgovara sili od na modelu? RJEŠENJE: a) Iz Frudove sličnosti dobivamo:

b) Iz Ojlerove sličnosti: 186

(11.68.)

Iz Frudove sličnosti: (11.69.)

Iz izraza 11.68. i 11.69., imamo: (11.70.)

Odnos traţenih sila je:

pa je sila po jedinici duţine:

11.6.2.

PRIMJER

Model aviona, izraĎen u razmjeri

, se ispituje u vazduhu:

pri brzini od:

a) Kojom brzinom treba vući model ako se ispitivanja obavljaju u vodi:

b) Koliki će biti otpor aviona u vazduhu, ako je otpor modela u vodi:

RJEŠENJE: a) Iz Rejnoldsove sličnosti dobivamo: 187

b) Iz Rejnoldsove sličnosti:

Brzina objekta u vazduhu treba biti:

Iz Ojlerove sličnosti:

Odnos sila objekta u vazduhu i modela u vodi je:

odnosno:

Otpor aviona u vazduhu je:

188