Klett matematika 8 prirucnik

Небојша Икодиновић • Слађана Димитријевић • Бранислав Поповић

Приручник за наставнике математике у осмом разреду основне школе

Приручник за наставнике математике у осмом разреду основне школе

Друго издање Аутори: др Небојша Икодиновић, мр Слађана Димитријевић, др Бранислав Поповић Рецензенти: проф. др Радосав Ђорђевић, Природно-математички факултет у Крагујевцу Милица Вајукић, професор математике, ОШ „Дринка Павловић” у Београду Зорица Станковић, професор математике, ОШ „Мома Станојловић” у Крагујевцу Компјутерско обликовање: Лектура: Јована Ђокић

Нови Сад

Издавач: Издавачка кућа „Klett”, д. о. о. Светозара Ћоровића 15/IV, 11000 Београд Тел. : 011/3348-384, факс: 011/3348-385 office@klett. rs, www. klett. rs За издавача: Гордана Кнежевић Орлић Главни уредник: Александар Рајковић Уредник: др Бранислав Поповић Руководилац пројекта: Александар Рајковић Штампа: Calibris, Београд Тираж: 500 примерака Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

© Klett, 2012. ISBN 978-86-7762-227-5

Увод Овај приручник је део уџбеничког комплета Математика за осми разред основне школе издавачке куће „Klett”који још чине ••уџбеник чији су аутори Н. Икодиновић и С. Димитријевић и ••збирка задатака аутора Б. Поповића, С. Милојевић и Н. Вуловића. Уџбенички комплет доследно прати важећи наставни програм, наравно, сваки део комплета на себи својствен начин. О уџбенику и збирци биће доста речи у наставку, тако да ћемо овом приликом укратко приказати приручник. Приручник је пре свега намењен наставницима, то јест реализаторима наставе. При том, његова сврха није да прикаже како треба организовати и припремити наставу, већ да буде помоћ и подршка и нека врста добронамерног тумача неких идеја које су биле у основи приликом писања пре свега уџбеника, али и збирке. То је и разлог зашто нису писане детаљне припреме за наставне часове. Трудили смо се (пре свега у другом поглављу) да што детаљније анализирамо наставне садржаје предвиђене за осми разред тако да те анализе наставник може да искористи за припрему у складу са конкретним околностима и лако прилагоди сопственом стилу извођења наставе. Сматрамо да није могуће „споља” организовати наставу нити да постоји најбољи начин на који треба организовати неки час. Приручник садржи четири поглавља. У првом смо покушали да сагледамо и прикажемо градиво за осми разред у целини. Поред анализе његове унутрашње стуруктуре и међусобне (хоризонталне) повезаности већих наставних целина које садржи, грубо је приказана и његова (вертикална) повезаност са математичким садржајима који му претходе али и са онима који ће следити. Посебна пажња је посвећена основним концептима и водећим идејама којима смо се руководили приликом писања уџбеника и збирке. Детаљно је описана структура уџбеника са посебним нагласком на разлозима који су је условили. Друго поглавље је најобимније и заузима централно место у приручнику. Пратећи редослед излагања наставних садржаја, трудили смо се да их сагледамо и прикажемо и са математичког и са методичког становишта. Приликом писања овог поглавља често смо били приморани да трагамо за начинима на које се могу приближити и помирити погледи на дате садржаје нас, математичара, са погледима и схватањима ученика. Градиво за осми разред садржи низ озбиљних математичких концепата које смо приморани „наивно” да излажемо. У том смислу, сваки наслов овог поглавља се може схватити као основа и полазна тачка за припрему одговарајућих часова од које се може кренути разним „методичко-дидактичким путевима”. У основи неколико тема су исте идеје, па су неки делови (призма, пирамида, ваљак, купа) сажети да не би дошло до излагања истих идеја више пута. Треће поглавље садржи напомене и упутства о реализацији часова вежбања и утврђивања наставних садржаја са посебним освртом на структуру и садржај збирке задатака. Четврто поглавље садржи материјале различите врсте који се могу умножавати и делити ученицима. Погодни су и као домаћи и као радни материјал за час и за сваки је у другом поглављу, на одговарајућем месту, истакнуто каква му је намена, када се може употребити и којим ученицима је намењен. Користимо ову прилику да захвалимо свима који су на непосредан или посредан начин утицали на обликовање нашег уџбеничког комплета. Сугестије, критике и примедбе рецензената, лектора, уредника и колега из Центра за развој програма и уџбеника Завода за унапређивање образовања и васпитања значајно су допринеле квалитету нашег комплета. Непосредно, али веома значајно су на текст утицали и разговори са колегама који раде у основним школама. Захваљујемо им се на томе што су несебично поделили своје драгоцено наставно искуство са нама. Аутори

3

САДРЖАЈ 1. Настава математике и математика у осмом разреду . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1. Наставни садржаји . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2. Реализација наставних тема у уџбенику . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3. Реализација наставних тема у збирци задатака . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4. Хоризонтална и вертикална повезаност градива математике у осмом разреду . . 10 1.5. Глобални и оперативни план рада наставника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5.1 Глобални план рада наставника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5.2 Оперативни план рада наставника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2. Опште методичке напомене о реализацији наставних садржаја у осмом разреду . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1 Сличност троуглова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.1. Талесова теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.2. Сличност троуглова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.3. Ставови сличности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.4. Примена сличности на правоугли троугао . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2. Тачка, права и раван . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.1. Тачка, права, раван . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.2. Ортогонална пројекција . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.3. Полиедри . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3. Линеарне једначине и неједначине с једном непознатом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3.1. Алгебарски изрази . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3.2. Линеарна једначина. Еквивалентност једначина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3.3. Решавање линеарних једначина с једном непознатом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3.4. Примена линеарних једначина с једном непознатом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3.5. Једначине које се своде на линеарне . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3.6. Линеарна неједначина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3.7. Решавање линеарних неједначина с једном непознатом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4. Призма и пирамида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.4.1. Појам призме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.4.2. Површина призме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.4.3. Запремина призме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.4.4. Пирамида . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.5. Линеарна функција . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.5.1. Линеарна функција y = kx + n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.5.2. Имплицитни облик задавања линеарне функције . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.5.3. График линеарне функције . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4

2.5.4. Цртање и читање графика линеарних функција . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.5.5. Пресек две праве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.6. Графичко представљање статистичких података . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.6.1. Представљање зависних величина табеларно и у координатном систему . . . 40 2.6.2. Графичко представљање статистичких података у облику дијаграма . . . . . . . . 41 2.6.3. Средња вредност . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.6.4. Медијана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.6.5. Поређење података са средњом вредношћу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.7. Системи линеарних једначина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.7.1. Линеарна једначина с две непознате . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.7.2. Систем од две линеарне једначине с две непознате . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44 2.7.3. Еквивалентност система линеарних једначина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.7.4. Решавање система методом замене . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.7.5. Решавање система методом супротних коефицијената . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.7.6. Примена система линеарних једначина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.8. Ваљак и купа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.9. Лопта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3. Напомене о реализацији часова вежбања и утврђивања наставних садржаја у осмом разреду . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.1. Сличност троуглова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2. Тачка, права и раван . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.3. Линеарне једначине и неједначине са једном непознатом. Линеарна функција. Системи линеарних једначина. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.4. Призма и пирамида. Ваљак и купа. Лопта. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.5. Графичко представљање статистичких података . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4. Наставни листићи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 правоугли троуглови унутар коцке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Тест – линеарне једначине . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Мрежа и површина призме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Примена питагорине теореме на пирамиду . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Цртање графика линеарне функције . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Читање графика линеарне функције . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Анкетни листићи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Тест – системи једначина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Купа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Тест за крај осмог разреда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Тест за крај обавезног образовања . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5

6

1. Настава математике и математика у осмом разреду

1.1. Наставни садржаји Градиво за осми разред садржи врло озбиљне математичке садржаје. Наиме, наставни програм прописује следеће тематске целине: 1. Сличност троуглова; 2. Тачка, права и раван; 3. Линеарне једначине и неједначине с једном непознатом; 4. Призма; 5. Пирамида; 6. Линеарна функција; 7. Графичко представљање статистичких података; 8. Системи линеарних једначина; 9. Ваљак; 10. Купа; 11. Лопта. Програм осмог разреда, као завршног разреда обавезног образовања, обележен је тежњом да се већ комплетно усвојено знање-градиво обнови, систематизује и надогради тако да чини што хомогенију целину. У том смислу, писање уџбеничког комплета из математике за осми разред представљало је велики изазов и нимало лак посао.

1.2. Реализација наставних тема у уџбенику Уџбеник je конципиран на исти начин као и наши претходни уџбеници за пети, шести и седми разред. Пре свега, настојали смо да већину наставних тема мотивишемо и јасно укажемо на разлоге због којих је свака од њих значајна са практичног становишта, али и у систему знања појединца. Често ти уводи садрже и основне концепте читаве теме, истичући на тај начин оно на шта ученик треба посебно да усмери своју пажњу. Поједине теме које се надовезују на веће наставне целине из претходних разреда углавном смо почињали обнављањем оног најважнијег, што је и неопходно за праћење нове теме. Теме смо поделили на целине тако да се на основу садржаја уџбеника може направити један „природни” оперативни план рада. Такође, свака наставна јединица је писана у складу са принципима писања припреме за час. Излагање углавном почиње мотивационим и

7

илустративним примерима који су погодни за уводни део часа. Главни садржаји су написани стилом који је карактеристичан за математику. Настојали смо да класичну форму математичког текста дефиниција – теорема – доказ – пример – задатак што примереније модификујемо и прилагодимо могућностима ученика. Наравно, сви наведени делови математичког текста су присутни, само што су благо прикривени и прилагођени ученицима овог узраста јер је уџбеник њима и намењен. Искуство великог броја наставника, али и бројна истраживања, показују да основци не могу самостално читати текстове написане у „крутој” математичкој форми. Ипак, све дефиниције су јасно издвојене у апаратури „катанац”, а теореме у апаратури „слонче”. Докази су дати двојако, у зависности од конкретне ситуације, некад испред одговарајуће теореме, при чему се теорема доживљава као важан закључак, а понекад након формулације, као што је уобичајено у математичкој литератури. Иако методичари углавном више хвале први начин, сматрамо да ученике постепено треба припремати и за читање компликованијих и формалнијих текстова. Примери представљају веома важан део уџбеника и они су врло пажљиво састављани. Трудили смо се да буду подједнако заступљени они којима се показује зашто нешто учимо и они који нас уче како да решавамо задатке. Другим речима, подједнак значај је дат практичним примерима и онима који заправо представљају решене типичне школске задатке. Скоро сваки пример прате задаци истог или сличног типа. И они су састављани тако да прате излагање нових садржаја и да указују на примене усвојеног градива. Наравно, дати су и задаци за које је потребна нека нова идеја. Уколико неки задатак подразумева познавање градива из других наставних предмета (на пример из физике или географије), од ученика нисмо очекивали да то зна већ смо га подсетили на кључне моменте. Често нисмо подразумевали ни познавање математичких садржаја из претходних разреда, па смо читавим низом напомена покушали да дамо ретроспективу свих важнијих математичких чињеница које су обрађиване у претходним разредима. За те садржаје нисмо уводили нову апаратуру, већ се одговарајући текстови налазе у издвојеним боксовима. Уџбеник садржи и велики број напомена које указују на уобичајене грешке које ученици праве приликом решавања задатака, као и оне чија је намена да предупреде типичне ђачке недоумице и нејасноће. Сматрамо да би сваки математички уџбеник морао да указује и на овакве ствари. О томе ће бити доста речи и у овом приручнику. Узимајући у обзир чињеницу да је чуло вида доминантно, трудили смо се да визуелизујемо све важне дефиниције, теореме, поступке, али и да укажемо на опрезност када је то потребно. Пажљиво биране илустрације су увек у функцији текста уз који стоје, па би на њих требало што чешће указивати. У наставној пракси се доста пута потврдила изрека да „добра слика вреди хиљаду речи”. Као и раније, основни текст прате и две врсте необавезних садржаја. Језичке напомене, истакнуте иконицом АБВ, углавном упознају ученике са новим речима и указују на њихову ширу употребу ван математике, богатећи на тај начин речник ученика уопште. Будући да се овакве напомене углавном односе на речи страног порекла, оне су писане на основу Великог речника страних речи и израза, чији су аутори Иван Клајн и Милан Шипка. Други тип необавезних садржаја намењени су оним ученицима који желе више. Углавном је направљен мањи или већи искорак у односу на програмом предвиђен оквир. Овај део уџбеника може да послужи приликом организовања додатне наставе.

8

1.3. Реализација наставних тема у збирци задатака Збирка задатака, као и у претходним „Klett”-овим издањима, у потпуности прати уџбеник. Новина овог пута (у овој збирци) је да су задаци разврстани у четири групе. Критеријум за формирање ових група јесу актуелни Образовни стандарди за крај обавезног образовања, које је усвојио Национални просветни савет 19. 5. 2009. године. Задаци у збирци су разврстани у групе: А – утврди, у којој се налазе најједноставнији задаци у којима се од ученика захтева да покажу да су разумели одређене појмове или/и да непосредно примене основне формуле. Ови задаци би требало да обезбеде основни ниво знања из математике, који је дефинисан Стандардима. Б – вежбај, у којој се налазе уобичајени школски задаци у којима се од ученика захтева да покажу да су у стању да одаберу метод за решавање задатка или да, правећи један, два међукорака, примене основне формуле и реше задатак. Ови задаци би требало да обезбеде средњи ниво знања из математике, који је дефинисан у Стандардима. В – примени, у којој се налазе нешто сложенији (и даље уобичајени) задаци у којима се од ученика захтева да открију пут за решавање задатка комбинујући знања из више лекција или тема. Задаци из ове групе по правилу захтевају од ученика да покаже да је у стању да, на путу до решења, направи више коректних корака. Ови задаци би требало да обезбеде напредни ниво знања из математике, који је дефинисан у Стандардима. Г – прошири, у којој се налазе сложени задаци који знатно превазилазе захтеве из Стандарда и које углавном препоручујемо за додатни рад у школи. Задаци из ове групе би требало да помогну наставницима у раду са најбољим ученицима. Заправо, циљ ових задатака је да подстакну развој најфинијих мисаоних токова (у математици и уопште) код надарених ученика. У вези са структуром збирке треба истаћи још две ствари. Прво, када кажемо да одређена група задатака обезбеђује одређени ниво знања, онда под тим подразумевамо да су захтеви нешто (врло мало) „већи”, и по „обиму” и по „дубини”, од онога што је Стандардима прописано. Друго, као што сваки ниво дефинисан Стандардима не садржи све области које се налазе у Програму математике за осми разред, тако ни све целине (наставне јединице) у оквиру 11 обрађиваних наставних тема не садрже задатке из све четири поменуте групе. Скоро сви примери решени у уџбенику прерађени су у „почетне” задатке, те на тај начин збирка доприноси пре свега лакшем усвајању нових садржаја. Поред тога, она садржи и велики број задатака предвиђених за самостално вежбање. „Школских” задатака има довољно и за „најспорије” ученике. Наравно, има и задатака који су предвиђени за талентованије ученике, као и оних који захтевају мало шири поглед на ствари. На крају сваке теме дат је тест који систематизује читаву наставну тему и може представљати добру припрему за контролне и писмене задатке. Сви задаци у збирци су решени.

9

1.4. Хоризонтална и вертикална повезаност градива математике у осмом разреду Наставне теме које чине градиво осмог разреда јако су међусобно повезане. Готово да нема теме која се не позива на неку од претходно обрађених. Тако велика повезаност приморава нас на стално и упорно враћање на обрађене теме. Корист од тога је двојака: омогућава лакше праћење нових садржаја, али и освежава и продубљује већ усвојено знање. Тема Линеарне једначине и неједначине с једном непознатом је неопходна за усвајање теме Линеарна функција, док је ова тема неопходан предуслов за квалитетно усвајање теме Системи линеарних једначина. Такође, усвајање градива теме Графичко представљање статистичких података умногоме зависи од овладавања темом Линеарна функција. Све теме из геометрије су директно повезане. Тема Тачка, права и раван представља основ за све геометријске садржаје који ће уследити. Са темом Призма правимо аналогије и у оквиру теме Пирамида и у оквиру теме Ваљак, док се градиво теме Купа увелико ослања на усвојена знања из теме Пирамида, али и теме Ваљак. Такође, ове теме (Призма, Пирамида, Ваљак, Купа, Лопта) од ученика често захтевају да користе и знања стечена у оквиру тема Линеарне једначине и неједначине с једном непознатом и Системи линеарних једначина. Не треба ни говорити о значају Питагорине теореме у реализацији великог броја ових тема како у теоријском (предавања, извођења формула) тако и у практичном (утврђивање, вежбање) делу. Претходном реченицом је отворена тема о мери и квалитету математичких знања којима би ученици требало да располажу када крену у осми разред. Наравно, као што је и уобичајено у математици, подразумева се добро предзнање које је стечено у претходним разредима. Пре свега, скоро сви садржаји седмог разреда су потребни за успешно праћење градива осмог разреда. То свакако треба имати у виду приликом извођења наставе, и то не само због усвајања новог градива. Важно је и нужно ученицима указати на јаку (вертикалну) повезаност математичких садржаја, односно пружити им шири увид у „изградњу математике”, што се најбоље чини подсећањем на редослед упознавања са појединим садржајима током претходних година. Та „изградња математике” ће бити најефикаснија истицањем, чак инсистирањем на везама између „нових” и „старих” садржаја. Тако су Линеарне једначине и неједначине с једном непознатом у директној вези са темом Реални бројеви из седмог разреда (правила за решавање једначина и неједначина су последице својстава реалних бројева), као и са темама из претходних разреда које су се односиле на решавање једначина и неједначина. Слично, за усвајање теме Линеарна функција неопходно је ученике подсетити на садржаје теме Зависне величине и њихово графичко представљање. Теме из геометрије се природно надовезују на теме из седмог разреда, Сличност троуглова на Сличност, а теме у вези са геометријским телима се непрестано позивају на Питагорину теорему, Многоугао и Круг, као и на теме из геометрије које су рађене у шестом разреду (Подударност, Површина фигура). Скрећемо пажњу на још један детаљ који се односи на Образовне стандарде за крај обавезног образовања који се односе на математику. Наиме, Мерење јесте једна од области која фигурише у Стандардима, а која се током образовања од петог до осмог разреда непојављује експлицитно. Захтеви који се Стандардима из математике постављају када је реч о области Мерење јесу претежно део опште културе образованог човека. Према томе, сваки ученик који заврши основну школу би требало да зна оно што се Стандардима захтева. Рачунање површине и запремине тела пружа одличну прилику да се обнове и систематизују знања о мерењу и мерним јединицама за дужину, површину, запремину, запремину течности, углове и масу, док се знања о мерењу и мерним јединицама могу обновити и систематизовати приликом обраде тема Линеарна функција и/или Линеарне једначине и неједначине с једном непознатом. Ако се том

10

приликом ученици „гурну” у причу о заокругљивању бројева и процени резултата мерења, онда ће практично цела област Мерење бити обрађена током осмог разреда. На тај начин, не само да ће бити обновљена знања из Мерења, већ ће и поменуте теме из математике за осми разред бити боље обрађене и научене. Свакако треба истаћи и повезаност математике са другим предметима који се уче у осмом разреду. Док је ослањање учења физике и хемије на знања из математике јасно и очигледно, овде указујемо на могуће примене знања, рецимо, из теме Графичко представљање статистичких података на предмете као што су географија или биологија. На крају, истакнимо и то да је добро савладано градиво математике из програма за осми разред (завршног разреда у ком је комплетно усвојено знање систематизовано у једну хомогену целину) предуслов успешног настављања школовања.

1.5. Глобални и оперативни план рада наставника Планирање наставе је неопходни и обавезни део рада сваког наставника. У овом делу приручника вам преносимо прописани Глобални план рада за осми разред и предлажемо Оперативни план рада који је потпуно усклађен са нашим уџбеником, односно збирком. Напомињемо да предложени Оперативни план можете променити и прилагодити вашим потребама (у разним случајевима када вам то налажу искуство, могућности актуелне генерације ученика или пак несрећне околности као што су елементарне непогоде и тако даље). За такву промену или било какву другу адаптацију можете искористити активне фајлове на сајту издавачке куће „Klett”, чија је адреса www.klett.rs (Nastavni planovi od V do VIII).

1.5.1. Глобални план рада наставника Ред. број наставне теме 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

Број часова Назив наставне теме Сличност троуглова Тачка, права, раван Линеарне једначине и неједначине с једном непознатом Призма Пирамида Линеарна функција Графичко представљање статистичких података Системи линеарних једначина с две непознате Ваљак Купа Лопта Писмени задаци

за обраду 5 7 9 4 3 5 4 6 3 4 2 4 56

за друге типове 3 6 13 8 10 6 4 12 5 6 3 4 80

укупно 8 13 22 12 13 11 8 18 8 10 5 8 136

11

1.5.2. Оперативни план рада наставника ОПЕРАТИВНИ ПЛАН РАДА НАСТАВНИКА Број Број теме часа

1.

2.

12

Наставне методе

Наставна средства

Тип часа

Облик рада

1.

Упознавање ученика са наставним планом и програмом и давање упутстава за рад

Уводни час

Фронтални

Монолошка, дијалошка

Уџбеник

2.

Сличност троуглова

Обнављање

Фронтални

Монолошка, дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

3.

Талесова теорема

Обрада

Фронтални

Монолошка, дијалошка, илустративна

Уџбеник

4.

Неке једноставне последице Талесове теореме

Обрада

Фронтални

Монолошка, дијалошка, илустративна

Уџбеник

5.

Примена Талесове теореме у конструкцијама

Обрада

Фронтални

Монолошка, дијалошка, илустративна

Уџбеник

6.

Сличност троуглова

Обрада

Фронтални

Монолошка, дијалошка, илустративна

Уџбеник

7.

Примена сличности на правоугли троугао

Обрада

Фронтални

Монолошка, дијалошка, илустративна

Уџбеник

8.

Сличност троуглова

Утврђивање

Индивидуални

Дијалошка, илустративна

Збирка

9.

Тачка, права, раван

Обрада

Фронтални

Монолошка, дијалошка, илустративна

Уџбеник

10.

Праве и равни у простору

Обрада

Фронтални

Монолошка, дијалошка, илустративна

Уџбеник

11.

Однос тачке, праве и равни

Вежбање

Индивидуални

Дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

12.

Нормала на раван

Обрада

Фронтални

Монолошка, дијалошка, илустративна

Уџбеник

13.

Растојање тачке од праве (равни)

Утврђивање

Индивидуални

Дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

14.

Однос међу равнима

Обрада

Фронтални

Монолошка, дијалошка, илустративна

Уџбеник

15.

Однос међу равнима

Вежбање

Индивидуални

Дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

Ортогонална пројекција

Обрада

Фронтални

Монолошка, дијалошка, илустративна

Уџбеник

17.

Ортогонална пројекција

Вежбање

Рад у паровима

Дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

18.

Полиедри. Мреже полиедара

Обрада

Фронтални

Монолошка, дијалошка, илустративна

Уџбеник

19.

Полиедри. Мреже полиедара

Утврђивање

Фронтални

Монолошка, дијалошка, илустративна

Уџбеник

20.

Појам запремине полиедра

Обрада

Фронтални

Монолошка, дијалошка, илустративна

Уџбеник

16.

Назив наставне јединице

3.

Дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

Фронтални

Монолошка, дијалошка, илустративна

Уџбеник

Обрада

Фронтални

Монолошка, дијалошка, илустративна

Уџбеник

Вежбање

Индивидуални

Дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

Линеарна једначина. Еквивалентност једначина

Обрада

Фронтални

Монолошка, дијалошка, илустративна

Уџбеник

Линеарна једначина. Еквивалентност једначина

Вежбање

Индивидуални

Дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

Обрада

Фронтални

Монолошка, дијалошка, илустративна

Уџбеник

Вежбање

Индивидуални

Дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

Утврђивање

Групни рад

Дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

Обрада

Фронтални

Монолошка, дијалошка, илустративна

Уџбеник

Вежбање

Индивидуални

Монолошка, дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

Обрада

Фронтални

Монолошка, дијалошка, илустративна

Уџбеник

Дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

Монолошка, дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

Писани рад

Листови са задацима

21.

Полиедар

Утврђивање

Индивидуални

22.

Алгебарски изрази

Обрада

23.

Еквивалентност израза. Линеарни израз

24.

Алгебарски изрази

25. 26. 27. 28. 29. 30. 31.

Решавање линеарних једначина с једном непознатом Решавање линеарних једначина с једном непознатом Решавање линеарних једначина с једном непознатом Примена линеарних једначина с једном непознатом Примена линеарних једначина с једном непознатом

32.

Једначине које се своде на линеарне

33.

Решавање линеарних једначина

Вежбање

Индивидуални

34.

Решавање линеарних једначина

Утврђивање

Фронтални

35.

Први писмени задатак

36.

Исправка писменог задатка

37.

Провера знања Индивидуални Систематизација

Фронтални

Монолошка, дијалошка, илустративна

Табла, креда

Линеарна неједначина

Обрада

Фронтални

Монолошка, дијалошка, илустративна

Уџбеник

38.

Еквивалентност неједначина

Обрада

Фронтални

Монолошка, дијалошка, илустративна

Уџбеник

39.

Еквивалентност неједначина

Вежбање

Индивидуални

Монолошка, дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

40.

Решавање линеарних неједначина с једном непознатом

Обрада

Фронтални

Монолошка, дијалошка, илустративна

Уџбеник

41.

Решавање неједначина

Вежбање

Индивидуални

Монолошка, дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

13

4.

5.

14

42.

Решавање неједначина

Вежбање

Индивидуални

Дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

43.

Решавање неједначина

Вежбање

Рад у паровима

Дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

44.

Решавање неједначина

Утврђивање

Индивидуални

Дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

45.

Решавање једначина и неједначина

Систематизација

Групни рад

Дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

46.

Призма, појам, врста, елементи

Обрада

Фронтални

Монолошка, дијалошка, илустративна

Уџбеник

47.

Елементи призме

Утврђивање

Индивидуални

Монолошка, дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

48.

Површина призме

Обрада

Фронтални

Монолошка, дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

49.

Површина четворостране призме

Вежбање

Фронтални

Дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

50.

Површина тростране призме

Вежбање

Фронтални

Дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

51.

Површина правилне шестостране призме

Вежбање

Фронтални

Дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

52.

Запремина призме. Запремина квадра

Обрада

Фронтални

Монолошка, дијалошка, илустративна

Уџбеник

53.

Запремина тростране призме

Вежбање

Фронтални

Дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

54.

Запремина правилне шестостране призме

Вежбање

Фронтални

Дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

55.

Запремина призме. Маса тела

Обрада

Фронтални

Монолошка, дијалошка, илустративна

Уџбеник

56.

Површина и запремина призме

Вежбање

Индивидуални

Дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

57.

Површина и запремина призме

Систематизација

Индивидуални

Дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

58.

Други писмени задатак

Самостални писани рад

Листови са задацима

59.

Исправка писменог задатка

60.

Провера знања Индивидуални Систематизација

Фронтални

Дијалошка, илустративна

Креда, табла, прибор за геометрију

Пирамида, појам, врсте, елементи

Обрада

Фронтални

Монолошка, дијалошка, илустративна

Уџбеник

61.

Површина пирамиде

Обрада

Фронтални

Монолошка, дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

62.

Површина четворостране пирамиде

Вежбање

Фронтални

Дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

63.

Површина тростране пирамиде

Вежбање

Фронтални

Дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

6.

7.

64.

Површина правилне шестостране пирамиде

Вежбање

Фронтални

Дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

65.

Површина пирамиде

Обнављање

Фронтални

Монолошка, дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

66.

Запремина пирамиде

Обрада

Фронтални

Монолошка, дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

67.

Запремина четворостране пирамиде

Вежбање

Фронтални

Дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

68.

3апремина тростране пирамиде

Вежбање

Фронтални

Дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

69.

3апремина правилне шестостране пирамиде

Вежбање

Фронтални

Дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

70.

Површина и запремина пирамиде

Вежбање

Фронтални

Дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

71.

Површина и запремина пирамиде

Утврђивање

Групни рад

Дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

72.

Површина и запремина пирамиде

Систематизација

Индивидуални

Дијалошка, илустративна

Збирка

73.

Функција облика у = k · х

Обнављање

Фронтални

Дијалошка, илустративна

Уџбеник

74.

Функција облика у = kx + п

Обрада

Фронтални

Монолошка, дијалошка, илустративна

Уџбеник

75.

Имплицитни облик линеарне функције Ах + Вх + С = 0. Вежбање Превођење на експлицитни облик.

Фронтални

Дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

76.

График линеарне функције

Обрада

Фронтални

Монолошка, дијалошка, илустративна

Уџбеник

77.

Цртање графика линеарне функције

Вежбање

Индивидуални

дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

78.

Нуле функције. Рашћење и опадање

Обрада

Фронтални

Монолошка, дијалошка, илустративна

Уџбеник

79.

Цртање и читање графика

Вежбање

Индивидуални

дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

80.

Неке особине графика линеарне функције. График функције x = а

Обрада

Фронтални

Монолошка, дијалошка, илустративна

Уџбеник

81.

Пресек две праве

Обрада

Фронтални

Монолошка, дијалошка, илустративна

Уџбеник

82.

График линеарне функције

Утврђивање

Рад у паровима

Дијалошка, илустративна

Збирка

83.

Линеарна функција

Систематизација

Индивидуални

Дијалошка, илустративна

Збирка

84.

Графичко приказивање статистичких података (стања, појава, процеса)

Обрада

Фронтални

Монолошка, дијалошка, илустративна

Уџбеник

15

8.

85.

Графичко приказивање статистичких података

Вежбање

Индивидуални

Монолошка, дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

86.

Графичко представљање статистичких података у облику дијаграма

Обрада

Фронтални

Монолошка, дијалошка, илустративна

Уџбеник

87.

Цртање дијаграма

Вежбање

Индивидуални

Монолошка, дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

88.

Средња вредност и медијана

Обрада

Фронтални

Монолошка, дијалошка, илустративна

Уџбеник

89.

Средња вредност и медијана

Вежбање

Индивидуални

Дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

90.

Поређење података са средњом вредношћу

Вежбање

Индивидуални

Дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

91.

Графичко представљање статистичких података

Систематизација

Индивидуални

Дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

92.

Трећи писмени задатак

Самостални писани рад

Листови са задацима

93.

Исправка писменог задатка

94.

Систем од две линеарне једначине с две непознате

95. 96. 97.

Еквивалентност система линеарних једначина. Решење система Графички приказ система од две линеарне једначине с две непознате Графички приказ система од две линеарне једначине с две непознате

Систематизација

Фронтални

Дијалошка, илустративна

Креда, табла, прибор за геометрију

Обрада

Фронтални

Монолошка, дијалошка, илустративна

Уџбеник

Утврђивање

Индивидуални

Дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

Обрада

Фронтални

Монолошка, дијалошка, илустративна

Уџбеник

Вежбање

Фронтални

Монолошка, дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

98.

Еквивалентност система линеарних једначина

Обрада

Фронтални

Монолошка, дијалошка, илустративна

Уџбеник

99.

Решавање система линеарних једначина (метода замене)

Обрада

Фронтални

Монолошка, дијалошка, илустративна

Уџбеник

100.

Решавање система једначина

Вежбање

Рад у паровима

Дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

Обрада

Фронтални

Монолошка, дијалошка, илустративна

Уџбеник

Монолошка, дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

Решавање система 101. једначина (метод супротних коефицијената) 102.

Решавање система једначина

Вежбање

Индивидуални

103.

Решавање система једначина

Вежбање

Групни рад

Дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

Обрада

Фронтални

Монолошка, дијалошка, илустративна

Уџбеник

Примена система 104. линеарних једначина у решавању проблема

16

Провера знања Индивидуални

9.

105.

Примена система једначина (на бројевима)

Вежбање

Индивидуални

Дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

106.

Примена система једначина (проблем кретања)

Вежбање

Индивидуални

Дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

107.

Примена система једначина (на проблеме из геометрије)

Вежбање

Индивидуални

Дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

108.

Примена система једначина (на проблеме из физике)

Вежбање

Рад у паровима

Дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

109.

Примена система једначина (на проблеме из живота)

Вежбање

Индивидуални

Дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

110.

Примена система једначина

Утврђивање

Индивидуални

Дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

111.

Системи линеарних једначина

Систематизација

Групни рад

Дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

112.

Ваљак

Обрада

Фронтални

Монолошка, дијалошка, илустративна

Уџбеник

113.

Површина ваљка

Обрада

Фронтални

Монолошка, дијалошка, илустративна

Уџбеник

114.

Површина ваљка

Вежбање

Индивидуални

Дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

115.

Запремина ваљка

Обрада

Фронтални

Монолошка, дијалошка, илустративна

Уџбеник

116.

Запремина ваљка

Вежбање

Индивидуални

Дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

117.

Површина и запремина ваљка

Вежбање

Индивидуални

Дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

118.

Површина и запремина ваљка

Утврђивање

Индивидуални

Дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

119.

Површина и запремина ваљка

Систематизација

Индивидуални

Дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

Обрада

Фронтални

Монолошка, дијалошка, илустративна

Уџбеник

Обрада

Фронтални

Монолошка, дијалошка,

Уџбеник

122. Површина купе

Вежбање

Индивидуални

Дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка,

123. Површина купе

Вежбање

Индивидуални

Дијалошка, илустративна

уџбеник, збирка

124. Запремина купе

Обрада

Фронтални

Монолошка, дијалошка, илустративна

Уџбеник

125. Запремина купе

Вежбање

Индивидуални

Монолошка, дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

Обрада

Фронтални

Монолошка, дијалошка, илустративна

Уџбеник

120. Купа 10. 121. Површина купе

126.

Површине и запремине сложенијих тела

17

127.

Површине и запремине сложенијих тела

Вежбање

Индивидуални

Дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

128.

Површина и запремина купе

Утврђивање

Групни рад

Дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

129.

Површина и запремина купе

Систематизација

Индивидуални

Дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

11. 130.

Сфера и лопта, основни делови лопте

Обрада

Фронтални

Монолошка, дијалошка, илустративна

Уџбеник

131.

Површина и запремина лопте

Обрада

Индивидуални

Монолошка, дијалошка, илустративна

Уџбеник

132. Површина лопте

Вежбање

Индивидуални

Дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

133. Запремина лопте

Вежбање

Индивидуални

Дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка,

Утврђивање

Индивидуални

Дијалошка, илустративна

Уџбеник, збирка

Самостални писани рад

Листови са задацима

Дијалошка, илустративна

Креда, табла, прибор за геометрију

134.

Површина и запремина лопте

135. Четврти писмени задатак

136. Исправка писменог задатка

18

Провера знања Индивидуални

Обнављање

Фронтални

2. Опште методичке напомене о реализацији наставних разреду 2. Опште методичкесадржаја напомене уоосмом реализацији наставних садржаја у осмом разреду 2.1.

Сличност троуглова

2.1. Сличност троуглова

Ова тема је наставак последње теме из седмог разреда. Доминирају две целине: Талесова теорема и Ставови сличности. Ова тема је наставак последње теме из седмог разреда. Доминирају две целине: Талесова теорема Ставови теорема сличности. 2.1.1. иТалесова Први део теме односи се на следеће целине: • Талесова теорема (формулација и директне примене); 2.1.1. Талесова теорема • Неке последице Талесове теореме (последице које се изводе из особина пропорција); Први• део теме односиТалесове се на следеће целине: Примена теореме у конструкцијама (неколико врсте примена: подела дужи у датој и размери, четврте пропорционале, •Талесова • теорема (формулација директнеконструкција примене); конструкција „производа” и „количника” дужи). •Неке • последице Талесове теореме (последице које се изводе из особина пропорција); Приликом формулације теореме, пожељно бипримена: било подсетити се још ••Применасаме Талесове теореме уТалесове конструкцијама (неколико врста подела дужи у датој једног важног тврђења које је доказано у шестом разреду.Тако, на самом почетку размери, конструкција четврте пропорционале, конструкција „производа” и „количника” смодужи). поновили шта се дешава када пар паралелних правих пресече други пар паралелних правих, а затим прешли на опис ситуације када пар паралелних правих Приликом саме формулације Талесове теореме, пожељно би било подсетити се још једног сече пар правих које се секу.Ова два тврђења спадају у најважнија тврђења важног тврђења које је доказано у шестом разреду. Тако, на самом почетку смо поновили шта елементарне геометрије из кога се изводи веома много других. се дешава када пар паралелних правих пресече други пар паралелних правих, а затим прешли на опис ситуације када пар паралелних правих сече пар правих које се секу. Ова два тврђења Поред тога, неопходно је подсетити ученике и на појам пропорционалности, спадају у најважнија тврђења елементарне геометрије из кога се изводи веома много других. као и на основна својства пропорција. Наставни листић на страни ??у приручнику Поред тога, неопходно је подсетити ученике и на појам пропорционалности, као и на основна бави се овим садржајима. својства пропорција. Када је реч о Талесовој теореми, важно је истаћи два контекста, илустрована наредним Када је реч о Талесовој теореми, важно је истаћи два контекста, илустрована сликама, у којима она важи. наредном сликом, у којима она важи.

Талесова теорема се једноставно изводи из важног тврђења теме Сличност у Талесова теорема ако се једноставно изводи из важног Сличност у седмом седмом разреду: су углови два троугла једнаки,тврђења онда су теме парови одговарајућих разреду: ако сумеђусобно углови двапропорционални. троугла једнаки, онда су парови одговарајућих страница међусобно страница пропорционални. У наставку ћемо изложити један доказ теореме (што нијетеореме предвиђено У наставку ћемо још изложити јошТалесове један доказ Талесове (штонаставним није програмом), који сматрамо погодним да се прикаже ученицима уколико то околности налажу. предвиђено наставним програмом), који сматрамо погодним да се прикаже ученицима уколико то околности налажу. 19

19

Доказаћемо најпре специјалан случај Талесове теореме, када је пар паралелних правих нормалан на један од кракова. Види слику испод. Доказаћемо најпре специјалан случај Талесове теореме, када је пар паралелних правих нормалан на један од кракова. Види слику испод. Примети најпре да је 1 1 PΔAB1C = AB1 ⋅ BC и PΔABC1 = AB ⋅ B1C1 . 2 2 Како су површине троугла BB1C и троугла BC1C једнаке (исте су висине које одговарају њиховој заједничкој страници BC), следи да је и PΔAB C = PΔABC . 1

1

Дакле, AB1 ⋅ BC=AB ⋅ B1C1, то јест AB BC . = AB1 B1C1 Даље, према Питагориној теореми је AC = AB 2 + BC 2 и AC1 = AB12 + B1C12 . Ако AB BC је = = k , за неки позитиван број k, онда је AB = kAB1 и BC = kBC1, па је AB1 B1C1 AC = AC1

AB 2 + CB 2 AB12 + C1 B12

=

k 2 AB12 + k 2 BC12 AB12 + BC12

=

k AB12 + BC12 AB12 + BC12

= k.

AB AC BC . = = AB1 AC1 B1C1 Општи случај сводимо на претходни. Ако паралелне праве нису норамалне ни на једном краку, конструишемо нормалу на њих из тачке A. Нека су D и D1 пресечне тачке конструисане нормале са правама BC и B1C1. Без обзира на то да ли тачке D и AB AD AC AD и , па је D1 припадају дужима BC и B1C1, имамо да је = = AB1 AD1 AC1 AD1 AB AC . Да бисмо доказали преосталу једнакост, разликоваћемо два случаја. = AB1 AC1 2. случај. Тачке D и D1 не припадају 1. случај. Тачке D и D1 припадају AD AD дужима BC и B1C1 и дужима BC и B1C1и =k. =l. AD1 AD1

Дакле,

AD DC DB = = = k следи да је AD1 D1C1 D1 B1 kD B + kD1C1 BC DB + DC = = 1 1 =k. B1C1 D1 B1 + D1C1 D1 B1 + D1C1

Из

20

AD DC DB = = = l следи да је AD1 D1C1 D1 B1 lD C - lD1 B1 BC DC - DB = = 1 1 =l . B1 C1 D1 C1 - D1 B1 D1 C1 - D1 B1

Из

20

Под једноставним последицама Талесове теореме (страна 12 у уџбенику) подразумевамо оне које се могу извести применом основних својстава пропорција. Ових последица има много, те их треба што систематичније изложити. Наравно, немогуће је навести све једнакости, па је неопходно ученике оспособити да сами изводе једноставне последице. Посебно је важно указати на типичне грешке које се праве.

Прва од „сложенијих” последица (према претходној слици) захтева детаљније образложење. Њен доказ је дат у уџбенику на страни 12. Ефикасан начин да се ученицима приближи Талесова теорема и њене последице јесте свакако израда задатака сличних онима који су дати у оквиру наслова Неке једноставне последице Талесове теореме (стране 12−14 у уџбенику). Примена Талесове теореме у конструктивним задацима је јако важна. Сматрали смо да је корисно подсетити се примена о којима је било речи претходне школске године. Дате су и неке нове примене. Наиме, на Талесовој теореми се заснивао „старогрчки рачун”. Када су видели да немају „довољно” бројева да измере дужину сваке дужи, древни математичари су увели појам величине (који је данас замењен појмом реалан број). Наравно, величине су представљане дужима, а основне рачунске операције над њима су извођене управо применом Талесове теореме. Методичка вредност овог „рачуна” је велика будући да илуструје веома јаке везе између алгебре и геометрије. Посебно истичемо задатак 2 са 16. стране у уџбенику. Пре него што се приступи решавању задатка, неопходно је изабрати јединичну дуж. Већина захтева у овом задатку не би требало да представља тешкоће већини ученика. Захтеви под л) и љ) су сложенији пре свега зато што је потребно подсетити се конструкције бројева 2 и 3 .

21

2.1.2. Сличност троуглова Овај наслов не доноси практично ништа ново, већ се понављају основне ствари из седмог разреда. Задаци су овога пута мало сложенији. Међу њима посебно издвајамо задатак 1 са 18. стране јер се захтева основна вештина потребна за решавање задатака који ће следити – препознавање парова одговарајућих углова и парова одговарајућих страница два слична троугла. Ученике свакако треба подсетити шта се подразумева под одговарајућим страницама. – Одговарајуће парове страница тражимо у троугловима за које већ знамо да имају исте углове и при том, – под одговарајућим страницама два троугла подразумевамо оне странице на које належу исти углови, или (што је еквивалентно) оне странице које се налазе наспрам истих углова.

2.1.3. Ставови сличности Ставови сличности су теореме сличне ставовима подударности о којима се учило у шестом разреду. Поређење са овим теоремама је од вишеструке користи. С једне стране, обнављају се ставови подударности, а са друге, олакшава се усвајање нових теорема. Такође, поређење је корисно и за стварање јасније опште слике о изградњи математике. Будући да је наставним програмом један став сличности претворен у дефиницију сличности троуглова, ставова сличности има мање него што је то уобичајено у литератури. Прецизније, обрађују се само два става сличности, која су аналогна ставовима подударности СУС и ССС.

22

Први став сличности је обрађен на странама 20 и 21 у уџбенику, а други на 22. страни. Пример 1 (страна 20) и пример 2 (страна 22), поред решења постављених проблема, пружају и неке опште напомене у вези са приступом решавању сличних задатака. Што се примена ставова сличности тиче, у уџбенику су углавном дати рачунски задаци. У збирци се могу пронаћи сложенији задаци, као и задаци у којима се захтева примена сличности у разним конструкцијама.

2.1.4. Примена сличности на правоугли троугао

2.1.4. Примена сличности на правоугли троугао

Наставни програм екслицитно захтева примену сличности на правоугли троугао.Након извођења уобичајених формула, доказана је Питагорина теорема, а дата је и Наставни програм екслицитно захтева примену сличности на правоугли троугао. Након применауобичајених добијених формула, формула доказана у конструктивним задацима. уведен је појам извођења је Питагорина теорема, аПрецизније, дата је и примена добијених геометријске средине и показано је како се конструише геометријска средина две дужи. формула у конструктивним задацима. Прецизније, уведен је појам геометријске средине и Уколико околности дозвољавају, може се илустровати и добро позната неједнакост између показано је како се конструише геометријска средина две дужи. Уколико околности дозвољавају, аритметичке и геометријске срединнеједнакост е. може се илустровати и добро позната између аритметичке и геометријске средине. x+y ௫ା௬ свакадва двапозитивна позитивнаброја броја ‫ݔ‬х и y‫ݕ‬важи ЗаЗасвака важинеједнакост неједнакостxy ‫ ݕݔ‬൑ . . ඥ≤ 2 ଶ

средиште дужи дужине х + y

2.2. Тачка, права и раван

23

Приликом писања ове теме, имали смо у виду и то да је она прилично „непопуларна” међу осмацима. Разлога за то вероватно има више. Ова тема по садржају прилично одудара од осталих тема; нема уобичајене задатке на које су ученици навикли (можда главни разлог непопуларности); поједини делови захтевају већи интелектуални напор; ученици не виде сврху увођења појединих појмова. Један од основних задатака ове наставне теме јесте да ученике што је могуће боље оспособи за мисаоно посматрање простора. Пракса показује да овај задатак није нимало лак и да увек има оних који ову вештину теже савладавају. Зато смо се трудили да што више излагање „освежимо” задацима који развијају управо ову вештину. Поред тога, често смо истицали немогућност верног приказивања простора у равни (листу папира или табли) и тиме указивали на значај и потребу за замишљањем простора. На самом почетку је то јасно истакнуто (25. и 26. страна у уџбенику).

23

2.2.1. Тачка, права, раван Описивање односа међу основним геометријским објектима подељено је на више целина: 1. Тачке и праве; 2. Тачке и равни; 3. Праве у простору; 4. Праве и равни у простору; 5. Нормала на раван; 6. Однос међу равнима. Будући да је потребно описати много односа, определили смо се да их поделимо на мање целине, пре свега због систематичности и поступности. Наслов Тачке и праве не садржи ништа ново већ само подсећа ученике на оно о чему је било речи још у петом разреду. Поред тога, дато је и неколико једноставних комбинаторних задатака. Наслов Тачке и равни, поред тога што понавља одређени део градива петог разреда, садржи и неколико нових чињеница. Наиме, иако је разматрање односа праве и равни у простору издвојено у посебну целину, овде се дефинише само припадање праве некој равни. Посебно је важно нагласити (зло)употребу речи припадање када је реч о овом односу. Наиме, да права p припада равни ρ, не значи да је њен елемент већ њен подскуп1; не пише се p∈ρ, већ p ⊂ ρ. Новину представљају тврђења која говоре о различитим начинима задавања равни. Да бисмо повећали број нетривијалних задатака у вези са насловљеним садржајима, искористили смо то да је коцка једино геометријско тело које је ученицима блиско, те се она појављује у формулацијама већег броја задатака који су у вези како са овом, тако и са наредном наставном јединицом (задатак 4 на 30. страни, пример 2 и задатак 5 на страни 31 у уџбенику). Почев од овог наслова, скоро све геометријске слике односа о којима се расправља су пропраћене илустрацијама тих односа у реалном окружењу. На пример, на страни 30 у уџбенику, тврђења о одређености равни илустрована су различитим начинима на које је могуће повезати стаклену плочу стола (раван) и „ноге” тог стола. Сматрамо да је посебно корисно и значајно указивати ученицима на ове илустрације. Наслов Праве у простору говори о међусобним односима две праве дате у простору. Наравно, основна новина је појава мимоилазних правих. Наслов Праве и равни у простору описује међусобне односе између праве и равни у простору. Однос „припадања” свакако треба поновити, а акценат ставити на паралелност и продирање. Наслов Нормала на раван односи се на посебно важан однос између праве и равни у простору, због чега је он и издвојен у посебну целину. Пажљиво описивање овог односа је важно за касније садржаје градива које је предвиђено за осми разред: ортогонална пројекција, одређивање висине геометријских тела и тако даље. Зато предлажемо и да се за овај наслов одвоји посебан час обраде. Посебно наглашавамо значај задатка 2 на страни 36 уџбеника за наредне садржаје: ученици ће веома често ове школске године морати да уочавају правоугле троуглове на сликама геометријских тела у равни. Сматрамо да са овим захтевом треба почети што раније не би ли што пре савладали ову вештину. Као још једна подршка овом предлогу, дат је и наставни листић на страни 58 у овом приручнику. При том, посебно је важно истаћи значај Питагорине теореме у стереометрији. До краја школске године много пута ће се користити ова теорема. Однос међу равнима последњи је однос који се разматра. Овај наслов даје основу за појам диедра. И овога пута, коцка је главни извор примера (пример 2 и задатак 2 на 38. страни у уџбенику). У задатку 3 дати су сви међусобни односи у којима се могу наћи три равни у простору.

1

24

 а би се избегле овакве „забуне”, често се каже само „права је у равни” или „права лежи у равни”. Д Овај други термин, иако је прилично сугестиван, многи сматрају колоквијалним.

2.2.2. Ортогонална пројекција Ортогоналној пројекцији је посвећено доста простора у уџбенику (пет страна, од 42. до 46). Сматрали смо да је боље бити преопширан него изоставити неко „осетљиво” место ове наставне јединице. Иако нису експлицитно издвојене, следеће целине се издвајају: ••Појам пројекције, посебно ортогоналне пројекције; Ортогонална пројекција тачке (страна 42); ••Ортогонална пројекција дужи (стране 43 и 44); ••Ортогонална пројекција праве; Нагибни угао (страна 45). У вези са првом целином посебно издвајамо „сликовну дефиницију” појмова који су у вези са ортогоналном пројекцијом. Сматрамо да оваква врста дефиниција знатно доприноси бољем разумевању и дужем памћењу појмова на које се односи. Оно што је нарочито важно јесте то да ученици ортогоналну пројекцију на неку раван доживе и схвате као придруживање које тачкама простора додељује тачке равни. Као посебно важну особину овог придруживања треба истаћи да је једна (произвољно изабрана) тачка пројекцијске равни придружена свим тачкама праве која је нормална на пројекцијску раван у тој тачки. Ортогоналну пројекцију дужи треба детаљно обрадити будући да ће се она појављивати касније, када буду обрађивана геометријска тела. Уз ортогоналну пројекцију праве треба истаћи, као посебно важан, појам нагибног угла. Ортогоналним пројекцијама других геометријских објеката, као што су угао, троугао и тако даље, може се посветити само периферна пажња. Оне се помињу у уџбенику на страни 47 у примеру 4 и задатку 6. Што се задатака тиче, они су претежно рачунски и заснивају се на Питагориној теореми. Поред њих, сматрамо да су врло корисни они налик задатку 7 са стране 46.

2.2.3. Полиедри Полиедри спадају у веома важне геометријске објекте. Основно упознавање са полиедрима и основним деловима ових геометријских тела дато је на странама 51 и 52 у уџбенику. Идентификација темена, ивица и страна неког полиедра представља минимум који би сви ученици за почетак требало да савладају. Мреже полиедра су уведене у оквиру посебне целине Мреже полиедра и појам површине полиедра. Посебно су истакнуте мреже најједноставнијих тела која су ученицима добро позната – квадар и коцка. У задацима 1 и 2 на страни 53 у уџбенику се мрежа коцке користи да би се додатно вежбала вештина мисаоног сналажења у простору. Ученицима који наиђу на тешкоће приликом решавања ових задатака можемо дозволити да на папиру (картону) нацртају одговарајуће мреже, изрежу их и од њих савијањем саставе коцку. На тај начин ће свакако открити тачне одговоре. Израда геометријских тела од модела је добра вежба за вештину сагледавања простора (задатак 3 на страни 54 у уџбенику). У потпуно природној вези са мрежама полиедра је његова површина. Одређивање површине полиедра илустровано је на примеру коцке (пример 1 и задатак 4 на 54. страни у уџбенику). Поред тога, у задатку 5 се захтева извођење опште формуле за површину правилног тетраедра а2 3 странице a, Р = 4 · . 4

25

Сматрамо да је корисно појам запремине издвојити као посебну целину. Ученици су се већ срели са запремином, и то углавном у физици и хемији. Без обзира на то, математичка прича о запреминама се не сме изоставити. На страни 55 у уџбенику, најпре је појам запремине повезан претходним разредима (дужина и површина) и које би требало да су ученицима блиске. са осталим мерама о којима је у математици било речи у претходним разредима (дужина и Затим су истакнуте јединице мере и односи међу њима. површина) и које би требало да су ученицима блиске. Затим су истакнуте јединице мере и односи међу њима. На почетку стране 56 у уџбенику наведена су два основна тврђења на којима се На почетку стране 56 у уџбенику наведена су два основна тврђења на којима се заснива заснива одређивање запремине тела. Корисно би било повезати наведена тврђења са одређивање запремине тела. Корисно би било повезати наведена тврђења са њиховим аналогним, њиховим аналогним, везаним за одређивање површине у равни 2 : везаним за одређивање површине у равни2:

На крају (стране 57 и 5857у уџбенику), ученике смо подсетили на појам густине и њене доброи На крају (стране и 58 у уџбенику), ученике смо подсетили на појам густине познате везе са масом и запремином. Будући да се у наставном програму експлицитно помиње њене добро познате везе са масом и запремином. Будући да се у наставном програму употреба ове формуле задацима,ове дали смо и таблицу материјала од којих су направљена тела експлицитно помиње уупотреба формуле у задацима, дали смо и таблицу материјала од (призме, пирамиде, ваљци, купе и лопте) поменута у практичним задацима остатка уџбеника, којих су направљена тела (призме, пирамиде, ваљци, купе и лопте) поменута у као и пратећeзадацима збирку задатака. практичним остатка уџбеника, као и пратећу збирку задатака. На крају сматрамо да је корисно, и са математичког становишта, подсетити се поступка „претварања једнесматрамо јединице мере (пример и задатак 4 на становишта, страни 57 у уџбенику). На крају да јеу другу” корисно, и са 1математичког подсетити се

поступка „претварања једне јединице мере у другу” (пример 1 и задатак 4 на страни 57 у уџбенику).

2.3. Линеарне једначине и неједначине с једном непознатом 2.3. Линеарне једначине и неједначине с једном непознатом У оквиру ове наставне теме ученицима већлинеарне познатеједначине линеарнеиједначине и У оквиру ове наставне теме ученицима углавномуглавном већ познате неједначине неједначине решавају се на нов начин. (алгебарски) начин. наконРеални обраде теме Реални решавају се на нов (алгебарски) Заправо, наконЗаправо, обраде теме бројеви (у седмом бројеви (у седмом разреду) испуњени су сви предуслови да се једначине и неједначине разреду) испуњени су сви предуслови да се једначине и неједначине решавају без позивања на решавајуоперација без позивања на особине операција (сабирања, одузимања, множења, особине (сабирања, одузимања, множења, дељења), јер од тог тренутка,дељења), па надаље јер од тог тренутка, па надаље посматрамо структуру (R, +, ·, 0, 1) – поље реалних бројева. посматрамо структуру (R, +, ·, 0, 1) – поље реалних бројева. Ово је једна од ретких тема из математике у основној школи (ако не и једина) која ученицима Овопоглед је једнанаодвећ ретких тема из математике у основној школи ученици (ако не исеједина) пружа нов познату материју (са решавањем једначина срећу која још у ученицима пружа нов поглед на већ познату материју (са решавањем једначина млађим разредима основне школе). Вероватно због тога већина ученика ову темуученици усваја без 3 се срећу још у нижим разредима основне школе). Вероватно због наметнут тога већина већих потешкоћа, али углавном и без формализма који је програмом . ученика ову тему усваја без већих потешкоћа, али углавном и без формализма који је програмом 2 Тврђења су3 .преузета из уџбеника Математика за шести разред основне школе Издавачке куће „Klett”. наметнут 3 У  џбенички комплет (па и ова тема) је написан према постојећем плану и програму наставе математике у

26

осмом разреду. То подразумева инсистирање на појмовима као што су: еквивалентани изрази, еквивалентне 2 једначине, еквивалентне неједначине, правила решавања једначина и слично. Чини нам се да је овај форТврђења су преузета из уџбеника Математика за шести разред основне школеИздавачке куће „Klett”. 3 мализам претеран за дати узраст. Зато сваки детаљно исписан формалан текст прате одговарајућа графичка Уџбенички комплет (па и ова тема) је написан према постојећем плану и програму наставе математике у решења (шеме),Токоје на сликовит начин приказују примену као одговарајућих правила. Напоменимо и то да мноосмом разреду. подразумева инсистирање на појмовима што су: еквивалентани изрази, еквивалентне ги савремени школски уџбеници (у Немачкој, Француској, Словенији) градиво и обрађују само на једначине, еквивалентне неједначине, правила решавања једначина и слично. Чини нам се да је овајтај начин – мало текста је пропраћено графичким приказима, типичним примерима и најчешћим применама формализам претеран за дати шемама, узраст. Зато сваки детаљно исписан формалан текст прате одговарајућа изложене материје. Ми смо покушали да напишемо уџбеник који је компромис између ове две опције. графичка решења (шеме), које на сликовит начин приказују примену одговарајућих правила. Напоменимо и то да многи савремени школски уџбеници (у Немачкој, Француској, Словенији) градиво и обрађују само на тај начин – мало текста је пропраћено шемама, графичким приказима, типичним примерима и најчешћим

28

Обрада ове наставне теме подразумева систематизацију одговарајућих претходно усвојених садражаја, а кроз решавање разних проблема омогућава и обнављање најразноликијих математичких садржаја. Трудили смо се да уџбеник испуни и та два захтева, па су у оквиру ове теме примери и задаци бирани тако да при њиховом решавању обновимо и нека претходно усвојена тврђења. Ово посебно наглашавамо јер је у завршном разреду основне школе, у оквиру припреме за завршни испит, неопходно инсистирати на обнављању и систематизацији читавог градива. И овог пута испоштовали смо наш већ устаљени принцип да излагању самог градива претходе уводне напомене за дату тему. У овом случају, на примеру једначине 2x = x + 5, показане су мањкавости претходно усвојеног начина решавања једначина и предности новог начина, који је илустрован идејом теразија4.

2.3.1. Алгебарски изрази У оквиру ове наставне јединице углавном се обнављају већ познати садржаји који су неопходни за усвајање наредних наставних јединица. Напоменимо још једном да је уџбеник писан тако да у оквиру једног наслова обједини једну целину градива, али да због великог обима није неопходно, нити предлажемо, да се свака лекција из уџбеника обради у оквиру једног часа. Темпо излагања пре свега треба прилагодити могућностима и потребама ученика5. Прво је пажња посвећена алгебарским изразима и алгебарским изразима са променљивом. Како су трансформације тих израза (рачун са тим изразима) директне последице одговарајућих особина реалних бројева, дата је и кратка рекапитулација важнијих тврђења у вези са особинама рачунских операција у скупу реалних бројева. Ученици се још једном подсећају на двојаку употребу знака – (минус), као и на то да одузимање, односно дељење, представља само другачији запис одговарајућег сабирања, односно множења. Једна од честих грешака ученика је у вези са трансформацијом израза у којима се знак – налази испред заграде, па смо томе посебно посветили пажњу у задатку 36. Једина новина у овом делу лекције је појам области дефинисаности израза. Надамо се да ће 1 објашњење на примеру израза ученицима указати на потребу за овим појмом, јер се они засад x готово искључиво срећу са изразима чија је област дефинисаности читав скуп реалних бројева. Заправо, овај појам је било неопходно увести због наредне дефиниције еквивалентних израза.  ни који су користили уџбеничке комплете издавачке куће „Klett” за шести и седми разред могли су да уоче О да смо ученике још од увођења целих бројева полако припремали за ову наставну тему. 5 Било би добро, кад год је то могуће, пре почетка обраде нове наставне теме побројати садржаје из претходног градива који су неопходни за ту тему и на основу тога саставити улазни контролни тест за ученике. Резултати теста би пре свега требало да послуже као информација о тренутном знању ученика и да на тај начин професор увиди којим садржајима при обнављању треба посебно да посвети пажњу. 6 Предлажемо да задатак сличан овоме, који би укључио и неке друге типове трансформација израза, дате ученицима као мини-контролни тест пре почетка обраде ове теме, а да затим то поновите и у току и на крају теме. На тај начин би на почетку и професор и ученици знали какво предзнање ученици једни и други имају, а затим би и ви и они могли да прате да ли има напретка у њиховом раду. Уједно би то била и добра припрема за испит који их чека на крају школске године. 4

27

Еквивалентност израза. Линеаран израз Овај део теме доноси неке нове појмове. Да бисмо могли да дамо прецизну дефиницију линеарног израза7, било је неопходно пре тога увести појам еквивалентних израза. Дата су три пара израза за које је разматрано и детаљно објашњено зашто јесу или нису еквивалентни. Иако су ова разматрања вероватно доста сложена за ученикe, оно што би већина ученика морала да усвоји је да правилно примењеним правилима рачунањa (са алгебарским изразима) од датог добијамо њему еквивалентан израз.

Једначине У овом делу лекције ученици се подсећају на појмове једначине (са нагласком на једначину с једном непознатом) и решења једначине. Ово је учињено пре свега због систематичности излагања градива, иако верујемо да су ученицима ови појмови добро познати.

2.3.2. Линеарна једначина. Еквивалентност једначина Ова наставна јединица доноси садржаје чије је усвајање од пресудног значаја. Заправо, обрадом ове наставне јединице постављамо темељ за успешно решавање једначина. У жељи да излагање правила која се користе за решавање једначина буду што приступачније ученицима, прво смо на конкретним примерима показали како се она примењују, а затим дали опште исказе тих правила. Такође, како бисмо избегли ситуацију да ученици правила памте по редоследу навођења (правило 1, 2 и 3), наденули смо им имена која их укратко и описују и тако не дозвољавају забуну у вези са тим које правило је у датом тренутку примењено. Правила о додавању и о множењу, уз коришћење правила замене, илустрована су на примеру еквивалентних једначина. Тако смо заправо показали како се применом три поменута правила решава једначина 9x – 18 = 0. Свако правило и одговарајући пример прате и графички прикази, шеме, као и одговарајући приказ записа у свесци8. Да би та графичка решења заиста добила на значају, било би пожељно да се ова лекција реализује уз подршку пројекције која садржи материјале из уџбеника. Ова обимна лекција садржи доста теоријског знања (што није типично за основну школу), па се ученицима који су навикнути на решавање задатака често чини непотребном. Зато посебну пажњу треба посветити и изради задатака након излагања новог градива, како би ученици стекли утисак о примени и значају тих теоријских знања. У задатку 1 ученици треба да примене одговарајућа правила како би дошли до парова еквивалентних једначина. У случају прве две једначине лево, то углавном не представља Н  апоменимо да се у неким другим образовним системима (у Немачкој, Француској, Словенији) не инсистира на овој, за дати узраст ученика, доста апстрактној дефиницији, већ се задовољава описом да је линеаран онај израз који садржи само први степен променљиве. Дати опис је пропраћен са више различитих примера од којих је истакнуто који јесу, а који нису линеарни изрази. 8 У више наврата у уџбенику се налазе графички прикази свеске ученика, односно записи које би ученици требало да испоштују при изради задатака. Битно је ученицима указати на културу (прегледност, исправност, сажетост) записа математичких садржаја, јер са усложњавањем градива то постаје све важније. 7

28

проблем пошто се ради о једноставним трансформацијама израза са левих страна једначина. У случају треће једначине, ученик мора више да се потруди. Ми предлажемо да се пре било какве трансформације те једначине провери да ли је она еквивалентна једначини x = –1. Заправо, ученици би требало да провере да ли је њено решење број –1 и уоче да је одговор потврдан. Потом би могли да покушају да једначину 3x + 1 = 2x трансформишу у x = –1. Ово би практично значило да сами закључе како се дата једначина решава. После претходна три уочена пара, четврти избор је наметнут, али од ученика ипак треба тражити да то тврђење докажу, односно образложе. У задатку 2 очекује се да ученици препознају линеарне једначине међу наведеним и при том се треба задовољити описним одговором, без строгог доказа. Задатак9 3 представља увод у следећу наставну јединицу. Заправо, дата су два погрешна поступка решавања једначине 8x + 5 = 3(4x – 1). Ученици би прво провером требало да утврде да ли је број 4, односно 0,5 није решење дате једначине, то јест да утврде да је и Миличино и Милошево тврђење нетачно, а затим и да нађу грешке у њиховим поступцима решавања дате једначине.

2.3.3. Решавање линеарних једначина с једном непознатом Већ током излагања претходне лекције, ученици су били у прилици да уоче како се решавају линеарне једначине са једном непознатом. Сада само наглашавамо како бирамо редослед којим примењујемо правила. Прво на конкретном примеру (5x – 8 = 0), а затим и у општем случају, објашњавамо поступак решавања линеарне једначине у облику аx – b = 0, где је а ≠ 0, то јест линеарне једначине која има јединствено решење. Како решавање оваквих једначина представља фокус читаве теме, сматрамо да не треба одмах прелазити на објашњавање за ученике чудних једначина типа 0x = 0 и 0x = 1. У примеру 2 смо показали како се решавају једначине у којима се непознате налазе на обе стране, односно како се правило множења користи да би се избегао рад са разломцима при решавању једначина. Напоменимо и да је у свим почетним примерима извршена провера решења како би и ученици ту навику усвојили. При том је и објашњено да начин провере произвољно бирамо, односно да није битно да ли прво израчунавамо вредност израза са једне стране једначине, па са друге, и потом проверавамо да ли смо добили једнаке вредности или истовремено израчунавамо вредности обе стране једначине и проверавамо да ли смо добили истиниту бројевну једнакост. При решавању ових једначина ученици дате примере могу да реше и на стари начин и тако уоче да правила која су до сад користили произлазе из поступка решавања који им је управо представљен10. Другу целину у оквиру ове лекције представља део који је посвећен једначинама које немају решење и једначинама које имају бесконачно много решења. Предлажемо да се овај део не обрађује на првом часу који је посвећен решавању линеарних једначина. У оба случаја на  вакви задаци, у којима се ученик ставља у улогу професора, ученицима су углавном занимљиви. Поред О тога, они су корисни, јер од ученика захтевају повећан степен концентрације и често доводе до тога да ученик постане свестан грешака које и сам често прави. Такође, стављање ученика у позицију да оцењује туђи рад има и васпитну улогу, па с времена на време и то треба учинити. 10 Овај приступ је већ коришћен у уџбеничком комплету за шести разред издавачке куће „Klett”. Наравно, тада излагање није толико формално као сада и не очекује се да ученици масовно користе показани метод, док се на томе сада инсистира. 9

29

конкретним примерима је показано да постоје једначине са наведеним особинама. Посебно је указано на неопходан услов да једначина буде идентитет, као и на довољан услов да не буде идентитет. Ово је пожељно повезати са појмом еквивалентних израза, о чему је већ било речи. У уџбенику, у оквиру звездице на страни 79, дата су и два задатка који дотичу ову тему, а за које верујемо да ће бити интересантни и онима који до тад нису баш најбоље схватили појам идентитета. Трећи део ове лекције је посвећен решавању сложенијих линеарних једначина. Сврха примера 7 на страни 70 је да оправда дату дефиницију линеарне једначине, то јест да укаже да није прецизно рећи да су линеарне једначине оне код којих се појављује само први степен непознате. У примеру 8 детаљно се објашњавају могући начини решавања једначина у којима се јављају заграде, са освртом на ефикасност тих поступака. Напоменимо још једном да садржај ове лекције треба поступно излагати на више часова, по нашем мишљењу, на бар три часа.

2.3.4. Примена линеарних једначина с једном непознатом Ова лекција представља преглед разних задатака чије решавање се своди на решавање одговарајућих линеарних једначина. При том су задаци груписани према теми на коју се односе, односно према области којој припадају (задаци који се односе на бројеве, године, делове целине, задаци из геометрије, физике, хемије, економије). Циљ ове лекције је да ученицима покаже практичну страну математике које ученици често нису свесни, односно да покаже примену стеченог знања. Наравно, у збирци се може наћи још много задатака који илуструју примену линеарних једначина. Овом приликом је можда интересантно и цитирати виђење математематике познатог данског физичара Нилса Бора (1885–1962): „Математика је више од науке, она је језик науке.”

2.3.5. Једначине које се своде на линеарне У оквиру ове лекције прво су обрађене једначине са апсолутном вредношћу, и то једноставнији примери. Потом су обрађене неке од квадратних једначина, то јест указано је како се те једначине своде на облик A(x)B(x) = 0, где су A(x) и B(x) линеарни изрази.

2.3.6. Линеарна неједначина Пре обраде самих линеарних неједначина, ученици се подсећају на неке од већ усвојених појмова (појам неједначине и решења неједначине, интервале и њихове графичке приказе), који су неопходни за усвајање новог градива.

30

Еквивалентност неједначина Под овим поднасловом, поред појмова еквивалентне неједначине и линеарна неједначина, дата су и правила чијом применом од дате добијамо њој еквивалентну неједначину. Правила су названа по аналогији са сличним правилима за једначине. Овог пута посебну пажњу захтева правило о множењу, то јест разјашњење промене знака неједнакости у случају множења са негативним бројем. У жељи да ученици то уоче, прво смо дали задатак 3, а затим и графички приказали случајеве са општим бројевима11.

2.3.7. Решавање линеарних неједначина с једном непознатом Мада је решавање неједначина за ученике увек теже од решавања једначина, уколико је решавање линеарних једначина добро усвојено, једини проблем који се сада јавља је евентуална промена знака неједнакости. У оквиру ове лекције прво је на конкретном примеру показано (у примеру 1), а затим и у општем случају, како се решавају линеарне неједначине облика аx – b > 0, где је а > 0, то јест линеарне неједначине при чијем решавању се не мења знак неједнакости. Посебно је истакнуто да је скуп решења такве линеарне неједначине интервал, то јест да таква линеарна неједначина има бесконачно много решења. Стога није могуће проверити да ли смо тачно решили неједначину. Међутим, не треба ученицима бранити (уколико желе) да за неколико бројева из добијеног интервала или ван њега провере да ли су решења неједначине или не, али им се јасно мора указати да то није провера. У примеру 2 ученици се први пут срећу са применом правила о множењу негативним бројем при решавању неједначина. Потом је дат и поступак решавања аналогне неједначине аx + b > 0, где је а < 0. Може бити корисно да ученици ову неједначину реше и коришћењем старог поступка, па да тако уоче да већ позната правила произлазе из новоусвојених. Ово би коначно требало да буде тренутак када ће постати јасно зашто се мења знак неједнакости када је умањилац непознат12. Како решавање оваквих једначина представља фокус читаве теме, сматрамо да не треба одмах прелазити на објашњавање неједначина које немају решење или неједначина чији је скуп решења читав скуп реалних бројева. У примерима 3 и 4 на страни 86 смо показали како се решава једначина у којој се непознате налазе на обе стране неједначине, односно како се решава неједначина у којој се непозната налази у оквиру заграда. На конкретним примерима (3x > 3x – 1 и 3x > 3x + 1) ученицима је указано да постоје неједначине чији је скуп решења скуп R, као и неједначине које немају решење, а затим су дати и одговарајући општи закључци. Предлажемо да се овај део не обрађује на првом часу који је посвећен решавању линеарних неједначина.

 ни који су користили уџбеничке комплете издавачке куће „Klett” могу уочити да смо већ од увођења целих О бројева у шестом разреду ученицима указивали како се операција множења слаже са поретком. 12  Овај приступ је већ коришћен у уџбеничком комплету за шести разред издавачке куће „Klett”. Наравно, тада излагање није толико формално као сада и не очекује се да ученици масовно користе показани метод, док се сада на томе инсистира. 11

31

Циљ примера 7 и задатка 7 је да укажу да иако неједначине решавамо у скупу реалних бројева, некад нас интересују само нека од тако нађених решења (у овом случају интересују нас само решења која припадају скупу природних бројева). На крају лекције обрађене су и неке једноставне неједначине са апсолутним вредностима, чије решавање се своди на решавање одговарајућих линеарних неједначина. У уџбенику, у оквиру звездице на страни 88, показано је како решавамо компликованије неједначине са апсолутним вредностима. Заправо, то је први пример где се при решавању једначине мора користити алгебарска дефиниција апсолутне вредности реалног броја. Напоменимо још једном да садржај ове лекције треба поступно излагати на више часова, по нашем мишљењу, на бар три часа.

2.4. Призма и пирамида Ове две наставне теме, као и остале које се односе на поједине врсте геометријских тела, почињу тестовима чији је циљ да се обнове најважније чињенице. Тако, тест који је дат на страни 89 у уџбенику намењен је обнављању неких садржаја који су потребни за упознавање са призмом. Решење теста. 1. в); 2. д); 3. г); 4. б); 5. д). На 101. страни у уџбенику дат је тест који ученике треба да припреми за пирамиду. Решење теста. 1. г); 2. г); 3. в); 4. г).

2.4.1. Појам призме Поред упознавања са призмом и њеним основним деловима, кроз ову тему треба обновити и велики број формула за израчунавање површина равних фигура. Као подршка овом обнављању на странама 187 и 188 у уџбенику систематично су поређане поменуте формуле. Пре упознавања са призмом, пожељно је вратити се на стране 51 и 52, подсетити се појма полиедра и истаћи чињеницу да је призма специјалан случај полиедра. Основни делови призме уведени су на странама 90 и 91 у уџбенику. Поред уобичајених објашњења, дате су и „илустративне дефиниције”, те на њих свакако треба указати. Посебно је важно да ученици уоче да се класификација правих призми врши према врстама многоуглова који су основе (базе): – призма је тространа, четворострана, ... , n-тострана ако је њена основа троугао, четвороугао, ... , n-тоугао; – призма је правилна ако је њена основа правилан многоугао. Увођењем дијагонала и дијагоналних пресека призме појављују се први рачунски задаци који се могу сврстати у примену Питагорине теореме на призму. Формула коју би ученици требало

32

да запамте је она која повезује дијагоналу квадра са његовим ивицама (пример 1 на 92 страни у уџбенику) и њен специјалан случај за коцку. У оквиру примера дате су две „исте” слике (једна испод друге) да би се још једном истакла немогућност верног представљања геометријских тела у равни. Оно што свакако треба истаћи јесте да са равних слика просторних фигура не можемо директно уочити односе који важе већ да ове слике служе само да нам олакшају исправно замишљање одговарајућих просторних фигура. Сувишно би било да говоримо о значају модела (нарочито жичаних) приликом упознавања са геометријским телима.

2.4.2. Површина призме Централно место ове наставне јединице заузимају мрежа призме и општа формула за израчунавање површине до којих би ученици требало самостално да дођу на основу раније приче са 53. и 54. стране. Наравно, општу причу треба специјализовати на посебне случајеве, пре свега на тростране, четворостране и шестостране призме (будући да су оне издвојене и у наставном програму). У уџбенику су дате специјализације опште формуле за сваки наведени тип призме. При том, свака формула је наведена поред слике тела заједно са развијеном мрежом у позадини. Верујемо да ће ове слике допринети бољем разумевању материје. Такође, сматрамо да ученике не треба „охрабривати” у прављењу спискова (таблица) специјалних формула, већ их саветовати да потребне формуле изводе самостално на основу опште формуле.

2.4.3. Запремина призме Идеју израчунавања запремине (о којој је било речи на крају поглавља Тачка, права, раван на странама 55 и 56) сада треба применити на призму. Како је немогуће строго извести општу формулу за израчунавање запремине призме, у оквиру примера 1 и 2 на страни 98 у уџбенику изложене су само основне идеје. Тако, у примеру 1 се описује најједноставнија призма чију је запремину веома лако одредити – реч је о квадру са целобројним дужинама ивица. Испуњавање овог квадра „коцкицама” треба повезати са прекривањем правоугаоника „квадратићима”. Овај пример не би требало да представља проблем ниједном ученику. Иста идеја је искоришћена и примеру 2, само што је овог пута призма компликованија (дужине ивица су и даље целобројне). Систематично бројање колико „коцкица” се може сместити у ову призму директно мотивише општу формулу. Наиме, доње стране коцкица које се налазе у првом слоју потпуно покривају основу ове призме, па број коцкица првог слоја представља мерни број површине основе. Како сваки слој садржи исти број коцкица, преостаје још да се одреди број слојева, што ће рећи висина призме. Дакле, укупан број коцкица потребних да би се испунила дата призма једнак је броју коцкица у првом слоју × број слојева, односно површина основе × висина.

33

Као и за површину призме, и овога пута важе исте напомене о односу опште формуле и њених специјалних случајева, па то нећемо понављати.

2.4.4. Пирамида Како је наставна тема Пирамида писана и организована на исти начин као и тема Призма, да не бисмо непотребно понављали оно што је речено, за пирамиду ћемо дати само неколико најзначајнијих напомена. Пре свега, Пирамида је захтевнија наставна тема од претходне. Чак и једноставни задаци у вези са пирамидом су тежи од аналогних задатака који се односе на призму. Зато је пажња углавном посвећена правилним пирамидама13, и то тространим, четвоространим и шестостраним. Наравно, у уџбенику су урађени и неки примери у вези са пирамидама које нису правилне (пример 2 на страни 106). Посебно истичемо два места на којима се излази из оквира предвиђеног програмом. Прво, теорема о три нормале дата је на страни 103 у уџбенику. Ова теорема није предвиђена наставним програмом. Ипак, сматрамо да би било корисно посветити јој одређену пажњу јер она, на пример, објашњава једну „мистерију” у вези са правом правилном пирамидом: зашто се подножје нормале из центра основе на основну ивицу поклапа са подножјем апотеме на ту исту ивицу. Друго, у задатку 3 на страни 107 помињу се чак и пирамиде које нису праве (већ косе). Овакве пирамиде нису предвиђене програмом, али смо сматрали да је корисно бар указати на њих, нарочито у контексту запремине јер се тако лепо илуструје општост формуле V = 1 BH, 3 уз напомену да је висина косе пирамиде растојање врха од равни основе. Запремине све три пирамиде дате у поменутом задатку су међусобно једнаке (одговор на део задатка под 1) и износе 20cm3 (одговор на део задатка под 2).

2.5. Линеарна функција Ова наставна тема је врло битна, пре свега зато што се тада ученици први пут срећу са једним од основних појмова у математици – са појмом функције, прецизније са појмом линеарне функције. Такође, ова тема обједињује и повезује знања алгебре и геометрије, односно показује њихову дуалну природу и тако представља увод у аналитичку геометрију. Ученике прво подсећамо на појам директне пропорционалности, јер је то специјалан случај линеарне зависности. Намерно смо прво употребили термин линерна зависност, а не линеарна функција, јер смо нови појам хтели да повежемо са типовима зависности две величине који су ученицима већ познати (пре свега са директном пропорционалношћу). Један од захтева прописаног плана и програма је да се не уводи општи појам функције. Зато сматрамо да је овај избор природан. Такође, желели смо да постигнемо да ученици у свакодневном говору правилно користе израз линеарно зависи, као и да га правилно протумаче када га чују. 13

34

Јер се код правих правилних пирамида врх пројектује у веома „згодну” тачку основе – у њен центар.

У уводном делу смо појам функције повезали са постуком којим сваком елементу једног скупа придружујемо (додељујемо) тачно један елемент другог скупа. Посматрали смо коцке различите запремине направљене од истог материјала и измерили њихове запремине и масе, односно свакој уоченој запремини придружили одговарајућу масу. Међутим, оно што је још битније је да на основу познатог физичког закона m = 0,8V произвољној запремини без мерења можемо придружити одговарајућу масу14. Овим смо желели да укажемо да познавањем одговарајућег закона (функције) независно променљивој једнозначно додељујемо вредност зависно променљиве, то јест израчунамо вредност одговарајућег израза, а не вршимо никакво мерење или слично. Појам линеарне зависности, односно линеарне функције први пут помињемо на примеру зависности обима од краће странице правоугаоника који је настао продуживањем две странице квадрата за 1 (страна 110). Тим примером смо желели да укажемо на повезаност (сличност међу графицима) линеарне функције y = kx + n и одговарајуће функције директне пропорционалности y = kx. Напоменимо да текст на странама 109 и 110 представља само увод у тему и да се ту поменути појмови детаљно обрађују у наредним лекцијама.

2.5.1. Линеарна функција y = kx + n Појам линерне функције (y = kx + n) је у непосредној вези са појмом линеарног израза (kx + n), па зато ученике прво подсећамо на тај појам. Специјално је указано на константан израз, као што ће касније бити указано и на константне функције15. У задатку 1 од ученика се тражи да одреде бројевне вредности датих линеарних израза за различите вредности променљиве, у ствари на овом, њима већ познатом поступку (сличне табеле су попуњавали и у нижим разредима основне школе), објашњавамо додељивање вредности зависно променљивој, односно одређивање вредности линеарне функције за дату вредност (независно) променљиве. Линеaрни изрази у табели су намерно изабрани тако да један од њих дефинише функцију директне пропорционалности, а остала два линерне функције са истим коефицијентом правца, јер ће се касније на сличним примерима објашњавати и цртање графика линерне функције y = kx + n. После овог задатка је дата прецизна дефиниција линерне функције, задате експлицитно. Циљ ове наставне јединице је да ученици овладају појмом линерне функције, да препознају коефицијент правца и слободан члан при експлицитном задавању линеарне функције, као и да умеју да одреде вредност линеарне функције за дату вредност независно променљиве, односно да одреде вредност независно променљиве за дату вредност функције. пример је већ коришћен у уџбенику за седми разред приликом обраде директне пропорционалности. Сматрамо да је корисно понављати неке од примера у уџбеницима за различите разреде, јер тако укратко ученике подсећамо на већ обрађене садржаје и указујемо на надовезивање нових појмова на старе, односно на вертикалну повезаност градива математике. 15 Сматрамо да је ученицима неприродно рећи да функција y = 0x + n представља линеарну зависност међу величинама x и y. Понекад се константне функције посматрају и као специјалан случај линеарних функција, пре свега зато што је и њихов график права. Такође, у жељи да једним изразом објединимо све праве у координатном систему, често се дозвољава да при имплицитном облику задавања функције аx + by + c = 0 коефицијенти а и b могу бити једнаки нули, али не истовремено. Таквим записом су обухваћени графици линеарних и константних функција, као и праве задате са x = а. 14

Овај

35

Поред ових основних захтева, у уџбенику је доказано и да је свака линеарна функција y = kx + n, k ≠ 0, бијекција скупа реалних бројева на скуп реалних бројева. Наравно, на том доказу не треба инсистирати, јер је његово разумевање за већину ученика тежак, а за неке и недостижан захтев. Међутим, при обради наставне јединице Цртање и читање графика линеарне функције, сматрамо да ученицима треба бар визуелно указати на ову особину линеарних функција: ••линеарна функција је дефинисана за сваки реалан број; ••вредности линеарне функције за два различита броја су различите; ••сваки реалан број је вредност линеарне функције за одговарајућу вредност независно променљиве.

Напоменимо још једном да се у уџбенику не помиње општи појам функције јер Напоменимо још једном да се у уџбенику не помиње општи појам функције прописани план прописани план и програм инсистира на његовом неувођењу, иако јер је наше становиште и програм инсистира његовом иако је наше становиште супротно.један Чиниод нам се да супротно. Чининанам се да неувођењу, је појам функције, односно придруживања, је појам функције, односно придруживања, један одјасних фундаменталних и ученицима фундаменталних и ученицима интуитивно појмова. Они се заправоинтуитивно још од нижих јаснихразреда појмова.срећу Они се још одфункцијама нижих разреда срећу саодговарајуће различитим функцијама (квадрату сазаправо различитим (квадрату странице придружујемо одговарајуће странице придружујемо мерни број обима или површине и слично). Посебно нам битан мерни број обима или површине и слично). Посебно нам се чини да је овај мали, али се чини је овај мали, али битан део градива, беспотребно изостављен, имајући у виду да деодаградива, беспотребно изостављен, имајући у виду да се на неким другим, за ученике се на неким за ученике много заморнијим и неадекватнијим, приступима много другим, заморнијим и неадекватнијим, формалним приступима формалним инсистира (на пример, на инсистира (на пример, формализму при решавању линеарних једначина и система линеарних формализму принарешавању линеарних једначина и система линеарних једначина). Такође требаТакође имати треба у видуимати да неки савремени су одбацили једначина). у виду да некиуџбеници савременикоји уџбеници који супотпуну одбацилипрецизност потпуну у објашњавању решавања линерних једначина и система линерних једначина (у Немачкој, прецизност у објашњавању решавања линерних једначина и система линерних једначина (у Француској, Словенији) у случају линеарних функција не изостављају део део којикоји је посвећен Немачкој, Француској, Словенији) у случају линеарних функција не изостављају је општем појму функције, домена, кодомена. посвећен општем појму функције, домена, кодомена. 2.5.2. Имплицитни облик задавања линеарне функције

2.5.2. Имплицитни облик задавања линеарне функције

Одлучили смо се да ову лекцију уврстимо пре наставних јединица које се односе на график линеарне функције, како би приликом њихове обраде могли по потреби да Одлучили смо се да ову лекцију уврстимо пре наставних јединица које се односе на график говоримо и о експлицитно и о имплицитно задатој линеарној функцији. линеарне функције, како би приликом њихове обраде могли по потреби да говоримо и о експлицитно и о имплицитно задатој линеарној функцији. Овај облик задавања линеарне функције је посебно битан због тога што ће при графичком Овај облик задавања линеарне функције је посебно битан због тога што ће при графичком приказу система линеарних једначина са две непознате свака од једначина бити приказу система линеарних једначина са две непознате свака од једначина бити протумачена као протумачена као имплицитно задата линеарна функција. имплицитно задата линеарна функција.

36

Наравно, треба нагласити да су облици задавања еквивалентни, односно да се један може превести у други. Специјално, када у имлицитном облику аx + by + c = 0 дозволимо да коефицијенти а и b

Наравно, треба нагласити да су облици задавања еквивалентни, односно да се један може превести у други. Специјално, када у имлицитном облику аx + by + c = 0 дозволимо да коефицијенти а и b могу бити једнаки нули, али не истовремено, овим обликом су обухваћене све праве у координатном систему, па се у том смислу може рећи да је он општији од експлицитног облика (једнакошћу y = kx + n се не може описати права x = а).

2.5.3. График линеарне функције Како би ученици лако пратили излагање у вези са графиком линеарне функције, одлучили смо се да прво укратко обновимо појмове у вези са координатним системом, као и основне особине графика зависности y = kx.

График линеарне функције y = kx + n Прво је дата дефиниција графика линеарне функције, која нам у ствари даје критеријум којим можемо да одредимо да ли нека тачка припада графику дате функције или му не припада. Да бисмо дошли до закључка да је график линеарне функције y = kx + n права, полазимо од (недоказаног) тврђења да је график зависности y = kx права16. Ово је битан закључак, јер нам омогућава да график цртамо одређујући само две тачке које му припадају. Кроз примере 2, 3 и 4, ученици би требало и сами да увиде да је график линеарне функције y = kx + n права која се добија транслацијом за n (у смеру y-осе за n > 0 или у супротном смеру за n < 0) графика функције y = kx. Због релативно компликованих графичких приказа у ова три примера, било би пожељно да ученици градиво усвајају или директно из уџбеника или уз одговарајућу мултимедијалну подршку17. Након ова три примера, изнети су одговарајући закључци и посебно је објашњена веза између паралелности графика линеарних функција и вредности њихових коефицијената правца. Такође, указано је и да график линеарне функције y = kx + n увек сече y-осу, односно да тачка Т(0, n) увек припада том графику.

Нула функције Посебна пажња је посвећена пресеку графика линеарне функције y = kx + n са x-осом, односно појму нуле функције. Прво је на конкретном примеру функције y = 3x – 6 (у примеру 5) показано како одређујемо тачку пресека, односно како одређујемо њену апсцису, а потом је  ченици су у седмом разреду то тврђење прихватили без доказа, а сада после обраде сличности је могуће У дати и доказ тог тврђења. Идеја доказа је дата у оквиру звездице на страни 116, јер сматрамо да доказ ипак треба представити само надареним ученицима. 17 Сматрамо да су поменуте илустрације врло корисне, али би њихово цртање на табли и прецртавање од стране ученика вероватно одузело превише времена и скренуло пажњу ученика са кључних питања ове наставне јединице. 16

37

дата дефиниција нуле функције. Показано је и како се у општем случају одређује нула функције, то јест показано је да је она решење линеарне једначине kx + n = 0, за k ≠ 0. Такође, показано је и да константне функције y = n, n ≠ 0, не секу x-осу, док се график функције y = 0 поклапа са x-осом. Напоменимо да ову лекцију треба излагати на два часа, због њене обимности. Рецимо, за други час се може оставити део градива који говори о пресецима графика са координатним осама.

2.5.4. Цртање и читање графика линеарних функција Уколико је претходна лекција детаљно обрађена, само цртање графика линеарне функције не представља велики проблем. Како је график права, за његово цртање су довољне две различите тачке које му припадају. Које ће то тачке бити није важно и на то је указано у оквиру примера 1. Ученицима не треба бранити ако желе да одреде и више од две тачке неког графика пре него што га нацртају, јер се тако могу елиминисати евентуалне грешке. Сврха примера 2 је да покаже како помоћу графика линеарних функција можемо да опишемо разне појаве (на пример пражњење базена, то јест зависност између времена и количине воде у базену). Такође, овај пример показује да у оквиру једне појаве можемо посматрати зависност између различитих величина, што је квалитет сам по себи.

Неке особине графика линеарне функције Предлажемо да се у оквиру другог часа обраде неке од основних особина линеарних функција, при чему пре свега мислимо на монотоност и знак функције. У примерима 3, 4 и 5 на конкретним функцијама је показано како промена независно променљиве утиче на промену зависно променљиве. При том је функција разматрана у примеру 3 растућа, у примеру 4 опадајућа, а у примеру 5 константна. Ови примери би требало да укажу на везу између коефицијента правца дате функције, односно угла који њен график заклапа са позитивним делом x-осе, и монотоности те функције. Показано је и у општем случају како вредност коефицијента правца утиче на монотоност функције, а дат је и обрт тог тврђења. Од ученика се пре свега очекује да визуелно разликују графике растућих од графика опадајућих функција, као и да на основу вредности коефицијента правца и без цртања закључе да ли је функција растућа или опадајућа. Од овог тренутка, па надаље графици растућих функција су нацртани црвеном, а графици опадајућих функција плавом бојом. У примеру 6 се разматра знак линеарне функције. Заправо, ученици се наводе на закључак о томе како знак функције лево, односно десно, од нуле функције зависи од монотоности те функције. Ово је прилика и да се успостави веза између скупа решења линеарних неједначина и графика одговарајуће линеарне функције.

38

Права одређена једнакошћу x = a, a ∈ R У оквиру ове лекције показали смо и да сваку праву у координатном систему можемо описати једнакошћу аx + by + c = 0, где су коефицијенти а и b произвољни реални бројеви који не могу истовремено бити једнаки нули. Заправо, указано је да до сада нисмо једино разматрали праве паралелне y-оси, то јест праве дефинисане са x = a, a∈R18. Битно је ученицима указати и на ове праве због каснијег графичког представљања система једначина. После обраде ове лекције, предлажемо да на часовима вежбања са ученицима прорадите и радне листиће дате на странама 64 и 65.

2.5.5. Пресек две праве Ова лекција практично представља увод у тему Системи линеарних једначина с две непознате. Кључно је да ученици схвате да координате пресечне тачке морају да задовољавају обе једнакости којима су дате праве дефинисане. Очекује се и да ученици на основу познавања коефицијента правца две праве закључе да ли се оне секу или не. Такође, битно је да они уоче да није увек (у ствари најчешће није) могуће са графика одредити координате пресечне тачке већ се оне морају рачунски одредити. Последње посебно наглашавамо због тога што приликом решавања система графички приказ треба схватити само као испомоћ при решавању, односно као могућност брзог добијања одговора на питање да ли систем има решења, као и колико их има.

2.6. Графичко представљање статистичких података Статистичке анализе су саставни део информација које свакодневно добијамо на послу и због посла или у слободно време путем свих врста медија. Зато је ова наставна тема веома значајна не само за даље математичко образовање, већ и за свакодневне потребе савременог човека. Заправо, способност читања и тумачења разних графикона постала је саставни део онога што називамо функционалном писменошћу. Зато се природно намеће потреба да се најосновнија знања о обради статистичких података усвоје још у основној школи, што је планом и програмом и предвиђено, почев од школске 2010/2011. године19. Напоменимо да и други европски образовни системи (у Француској, Немачкој, Словенији) на сличан начин третирају ову област, као и да су задаци из ове области често присутни на свим врстама тестирања знања ученика основне школе (на пример, PISA тестови садрже и по неколико задатака који се односе на статистичку анализу података). У оквиру ове наставне теме, ученици се пре свега упознају са графичким представљањем прикупљених података, као појмовима средња вредност и медијана. Права статистичка анализа је остављена за касније. Међутим, сматрали смо да већ сада ученици треба да имају увид у сврху и циљ статистике као научне дисциплине. Зато је за ову тему дат нешто дужи увод, који 18 19

 ко y посматрамо као независну променљиву, онда је тако задата константна функција. А Ова наставна тема (нешто измењеног садржаја) била je саставни део градива пре двадесетак година и више, али је потом изостављена.

39

је информативног карактера, а циљ му је да код ученика створи општу слику о статистичким испитивањима. Желели смо да на једном, надамо се, за ученике интересантном испитивању јавног мњења (испитивање о употреби интернета), објаснимо основне појмове статистике (популација, узорак, анкета, репрезентативан узорак). Посебно смо желели да истакнемо да се испитивање увек своди на одговарајући коначан скуп објеката (узорак), а да се на основу тога доносе закључци који се односе на целу популацију, која је битно бројнија од посматраног узорка.

2.6.1. Представљање зависних величина табеларно и у координатном систему Са приказивањем зависности две величине у координатном систему ученици су се први пут срели у седмом разреду, у оквиру теме Зависне величине и њихово графичко представљање, док су неке напомене о томе дате и у осмом разреду, у оквиру теме Линеарна функција. Зато ова наставна јединица донекле представља и обнављање већ усвојеног градива. Ипак, због жеље и потребе да готово сви ученици овладају датим садржајима, наставна јединица је изложена детаљно, не подразумевајући предзнање ученика. У примеру 1 је објашњено како се одговарајући график црта. Након тога је објашњено и како се са њега неке информације могу прочитати. При том смо указали и на предност графичког у односу на табеларни приказ. Након примера 1 дате су и неке опште напомене у вези са графичким представљањем зависних величина у координатном систему. Пре свега треба нагласити да овакво представљање има смисла када континуирано пратимо промену неке величине (најчешће у зависности од времена). Такође, ученицима је указано на могућа прилагођавања координатног система, која су условљена вредношћу посматраних величина. Такви графички прикази се често срећу у штампи и књигама, па је битно ученике оспособити за њихово правилно тумачење. У примеру 2 је поново објашњено како се црта одговарајући график, али се сада говори и томе да се на основу тог графика може проценити и вредност посматране величине и у тренуцима у којима није извршено мерење. Тако у овом случају, на пример, можемо да проценимо колико је Милош био висок када је имао11 и по година, као и колико ће бити висок у блиској будућности, када буде имао 16 година. Наравно, одговор на питање колико ће Милош бити висок када буде имао 23 године није лако дати, представљена зависност није линеарна, тачније, није је могуће исказати формулом, законом, и тим смо питањем управо и желели да ученици то увиде. У оквиру овог примера дат је још један график који описује промену Милошеве висине кроз време, то је график брзине његовог раста. Сматрамо да је увек добро било коју појаву сагледати из више углова и уочити што је више могуће чињеница везаних за њу. На овај начин ученицима показујемо да се исти подаци могу обрадити на више различитих начина, што увек доприноси квалитету спознаје о посматраној појави. Интересантно је и да други график у ствари представља први извод функције приказане на првом графику, па се овај пример може схватити и као далеки увод за појам првог извода. Већ и на овако једноставном примеру могуће је увидети зависност између графика функције и њеног првог извода20. Пример 3, за разлику 20

40

Заиста,

касније у средњој школи, било би пожељно да се приликом обраде првог и другог извода функције и цртања графика функције прича почне са неким примером попут датог и да се на њему конкретно објасне ти појмови.

од претходна два, потпуно се фокусира на оно што се најчешће назива читање графика. Наиме, на основу датог графика доносе се одговарајући закључци о приказаној појави. Са становишта свакодневног живота, ово је вероватно и најбитније, јер је већина људи најчешће у позицији да тумачи приказане графике, а ретко када да их црта.

2.6.2. Графичко представљање статистичких података у облику дијаграма У оквиру ове наставне јединице обрађена су три типа дијаграма, стубични дијаграм, хистограм и кружни дијаграм. Примери су бирани тако да ученицима буду разумљиви, а са некима од њих ученици су се већ и срели у оквиру других предмета (пример 1), али им је тек сада прецизно објашњено њихово цртање и читање. Такође, ученицима се мора јасно указати када се одговарајући тип дијаграма користи, што је у уџбенику и учињено. У примерима 1 и 2 се разматрају стубични дијаграми, у примеру 3 хистограм, а у примеру 4 кружни дијаграм. Напоменимо да наставни план и програм не помиње хистограм експлицитно, али сматрамо да је ученицима битно показати и ту врсту дијаграма. Наиме, ученици ће се касније, при изучавању статистике, са овим дијаграмом најчешће сретати. Не треба изгубити из вида да приликом посматрања неког обележја, горња контура хистограма, добијеног на основу неког узорка из посматране популације, апроксимира функцију густине (један од основних појмова статистике) за дато обележје. У примеру 4, где се објашњава цртање кружног дијаграма, ученици се уједно и подсећају како се одређује који проценат целине чини неки њен део. Овде је битно напоменути да се при том, поред правила о заокругљивању, мора водити рачуна и о томе да збир свих добијених процената мора бити тачно 100%. Понекад, услед гомилања грешке при заокругљивању, један од делова се не заокругљује на основу правила, већ тако да збир свих делова буде 100% (уобичајено је да се један од делова, на пример последњи, рачуна тако што се од 100% одузме збир осталих процената). Слично, при одређивању мере одговарајућих углова, мора се водити рачуна да збир свих добијених углова мора бити тачно 360°. Како би ученици помоћу угломера могли да нацртају кружни дијаграм из овог примера, одлучили смо се да углове заокругљујемо на цео број степени. Континент

Азија

Африка

Европа

Северна Америка

Јужна Америка

Аустралија и Океанија

Удео у популацији

60,7%

14,2%

11,5%

7,1%

6%

0,5%

Приближна вредност угла на две децимале

218,5°

51,1°

41,4°

25,6°

21,6°

1,8°

Приближна вредност наведена у уџбенику

218°

51°

41°

26°

22°

2°

Пожељно је заокругљивање вршити тако да чинимо најмању грешку. Зато је Азији додељен угао од 218°, а Северној Америци од 26°, jeр је |25,56 – 26| < |218,52 – 219|. Сврха примера 5 и задатка 4 је да се ученицима покаже како се прикупљени подаци обрађују, сортирају у одговарајуће групе, а онда и приказују помоћу одговарајућих дијаграма.

41

2.6.3. Средња вредност Појам средње вредности посматраних података се у потпуности ослања на ученицима већ познат појам аритметичке средине. Зато је прво детаљно обновљено предзнање о аритметичкој средини бројева. Напоменимо и да смо у обради ове наставне теме намерно избегли да користимо назив средња вредност узорка, јер је појам узорак суштински везан за појмове популација и обележје, а то овде није случај. Заправо, за сада је ученицима увек познат (дат) коначан број података који се посматра као целина, а не као део неког већег скупа. Сврха примера 1 и 2 је да ученицима предочи зашто је средња вредност битна карактеристика неке групе података. Ти примери показују како се многи скупови карактеришу, сврставају у одговарајуће групе, управо према њиховој средњој вредности. Пример 3, међутим, има за циљ да ученици увиде да ова битна карактеристика не може у потпуности да опише одговарајући скуп, то јест указано је да више различитих скупова могу имати исту средњу вредност. При том смо намерно изабрали да то учинимо на примеру просека оцена ученика, јер је тај пример ученицима искуствено познат (верујемо да они већ знају да исти просек оцена за два ученика не мора да значи да они имају исте оцене).

2.6.4. Медијана Медијана је појам који је ученицима потпуно нов. Његово увођење надовезујемо на крај претходне лекције, где је уочено да различити скупови могу да имају исту средњу вредност. У том случају могуће је (али не и обавезно) разлику међу њима описати на основу познавања медијане. Грубо говорећи, медијана представља централни члан растућег низа, чији су чланови дати подаци. У случају поклапања медијане и средње вредности (или ако су ове вредности блиске), можемо закључити да су подаци равномерно распоређени око те вредности (ово је случај са првим кошаркашким тимом из примера 1). Уколико је медијана битно мања од средње вредности, то говори у прилог томе да у посматраном скупу постоји мали број вредности који је битно већи од средње вредности (ово је случај са другим кошаркашким тимом из примера 1). Слично, уколико је медијана битно већа од средње вредности, то говори у прилог томе да у посматраном скупу постоји мали број вредности који је битно мањи од средње вредности (Маркове оцене у примеру 2). Ученицима се јасно мора указати и на разлику у одређивању медијане у случају парног у односу на случај када имамо непаран број података (примери 1 и 3).

2.6.5. Поређење података са средњом вредношћу Последња лекција, по захтевима које ставља пред ученике, представља најкомплекснију наставну јединицу ове теме, иако не доноси нове теоријске садржаје. Примери 1 и 2, као и задаци 1 и 2, своде се на решавање одговарајућих линеарних једначина, за чије постављање је углавном потребно само познавање појма средње вредности. У задатку 3 се тражи да ученици одреде и податак који се најчешће јавља у посматраном скупу, па се тако имплицитно уводи појам мода, који је такође врло битна карактеристика

42

скупа података. Такође, у оквиру овог задатка од ученика се захтева да уочени податак упореде са средњом вредношћу, као и да протумаче податке добијене истраживањем. Ово свакако није лак задатак за једног осмака, али управо такви задаци дочаравају суштину статистике, па сматрамо да их треба уврстити у градиво. При том је битно да ученицима дозволимо слободу при закључивању, јер у оваквим ситуацијама не постоји само један тачан одговор, што се битно разликује од праксе коју су ученици до сада познавали. На овај начин се развија самосталност и самопоуздање ученика, као и интерес за истраживање, што је битан циљ наставе математике. Пример 3, између осталог, илуструје честу појаву приликом статистичких истраживања – одбацивање екстремних резултата (минималних и максималних резултата који се битно разликују од средње вредности). Задаци сличног садржаја могу се наћи на PISA тестовима. Конкретно, по овом задатку би било добро урадити задатак који се може наћи на 31. страни документа Математичка писменост (www. mp. gov. rs/userfiles/konferencije/PISA-MatematickaPismenost. pdf), а који је био дат на PISA тестирању. Сличан захтев је садржан и у задатку 5. Примери 3 и 4 на посредан начин ученицима објашњавају и појам дисперзије, који је такође врло битан за сагледавање података. Од ученика се заправо тражи да уоче у којем примеру је међу подацима веће, односно мање расипање око средње вредности. Тај захтев и одговарајуће закључке на основу њега садрже и задаци 6 и 7.

2.7. Системи линеарних једначина Ова наставна тема се природно надовезује на већ обрађене теме Линеарне једначине и неједначине и Линеарнa функцијa. Као и у случају једначина и неједначина, и овде се планом и програмом захтева формалан приступ, односно инсистира се на појму еквивалентни системи. Новина у односу на решавање једначина је присуство геометријске интерпретације, односно графичког приказа сваког од посматраних система једначина. На првој, мотивационој, страни посвећеној овој наставној теми дали смо пример (који говори о роду кајсија у две године у низу) који се наслања на лекцију Пресек две праве. Наиме, пример је тако изабран да се у обе једначине система једна непозната изражава преко друге, па се природно намеће идеја да се оформи нова линеарна једначина са једном променљивом тако што се изједначе изрази са десних страна две уочене једначине (метода замене). Управо ту идеју смо и користили када смо одређивали пресек две праве. Штавише, ученици су се вероватно већ срели са оваквим и сличним задацима и идејама где се постављање система једначина формално није захтевало, већ се очекивало да ученици методу замене примене у глави, а да запишу само линеарну једначину која се тако добија21. Додуше, у претходним разредима такви задаци су били окарактерисани као тешки, док се они сада сматрају основним примерима које ученици решавају.

21

 а пример, задатак типа: „Колико година имају отац и син, ако је сада отац 4 пута старији од сина, а за 5 Н година ће заједно имати 60 година?” среће се још у млађим разредима (у оквиру додатне наставе). Тада се подразумева да ученик размишља на следећи начин. Ако са x означимо године сина, онда отац има 4x година, а за 5 година њихов збир година ће бити једнак (x + 5) + (4x + 5), па треба решавати једначину 5x + 10 = 60.

43

2.7.1. Линеарна једначина с две непознате Поред самог дефинисања линеарне једначине с две непознате и њеног решења, у оквиру ове наставне јединице кључно је успоставити везу између линеарне једначине с две непознате и одговарајуће праве у координатном систему, односно графика одговарајуће линеарне функције. Већ у оквиру ове лекције треба утрти пут графичком приказу система линеарних једначина. С тим у вези треба нагласити да свака линеарна једначина с две непознате има бесконачно много решења (има онолико решења колико права има тачака).

2.7.2. Систем од две линеарне једначине с две непознате У оквиру ове лекције дата је прецизна дефиниција система од две линеарне једначине с две непознате, као и решења тог система. Како ученици овај део лекције не би схватили као пуко теоретисање, које им углавном није интересантно, предлажемо да се усвајање ових појмова обавезно провери на задацима као што су задатак 1 и 2 на страни 150 у уџбенику. Већ овде се са ученицима може вежбати записивање (не решавање) система једначина који одговарају задатим проблемима.

Графички приказ система од две линеарне једначине с две непознате Одмах по увођењу појма система од две линеарне једначине с две непознате одлучили смо се да ученицима укажемо и на графички приказ таквог система. Кроз читаву тему ова два појма ће се појављивати заједно и при том ће графички приказ бити коришћен пре свега да нам укаже на број решења датог система. Заправо, већ у оквиру ове лекције, и пре решавања самих система, користећи графички приказ система, односно знање геометрије (међусобни положаји две праве), ученицима предочавамо три могућа случаја: ••систем има једно решење; ••систем нема решење; ••систем има бесконачно много решења. Напоменимо да се у књигама може наићи и на термин графичка метода за решавање система једначина. То сматрамо у најмању руку непрецизним називом, јер системе не можемо тако решити. Помоћу графичког приказа можемо у најбољем случају да локализујемо решење или га евентуално наслутимо, па потом провером утврдимо да ли уочени уређени пар заиста и јесте. Између осталог, и због тога смо више пута нагласили да је графички приказ само испомоћ при решавању и да га најчешће користимо само да утврдимо број решења датог система без његовог решавања.

44

2.7.3. Еквивалентност система линеарних једначина Ова наставна јединица умногоме подсећа на већ обрађену лекцију Еквивалентне једначине. Ученицима се представљају правила која се могу користити приликом решавања система једначина и тако се они практично већ стављају у позицију да могу да решавају системе. Слично као и у случају једначина, у оквиру примера 1, 2 и 3 смо прво показали примену сваког од правила на конкретном систему једначина, а потом дали и њихове опште исказе. При том смо намерно изабрали да системи разматрани у та три примера буду еквивалентни, како би ученици у ствари видели како од полазног система применом поменутих правила долазимо до еквивалентног система најједноставнијег облика. Приложени графички прикази треба да илуструју шта геометријски значи да су два система која имају јединствено решење еквивалентна. Графички приказ система 1 и 2, од којих сваки има јединствено решење, представљају по две праве које се секу. Та два система су еквивалентна ако и само ако је пресечна тачка правих које одговарају систему 1 уједно и пресечна тачка правих које одговарају систему 2.

Сматрамо да је врло корисно да пре самог решавања система са ученицима прорадити задатке као што су 1 и 2, како би кроз њих увидели сврху претходно изложене теорије, чији језик је њима често стран. Приликом решавања задатка 1, очекује се да ученици уоче која правила треба применити да би спојили одговарајуће еквивалентне системе. У случају прва два система из горњег реда, верујемо да то неће представљати проблем, док би после вероватно најефикасније било да ученици провере решење ког система је уређени пар (–3, 6), па да на основу тога донесу одговарајуће закључке. Сврха задатка 2 је да провери колико су ученици заиста овладали појмовима еквивалентни системи и графички приказ система линеарних једначина.

2.7.4. Решавање система методом замене У нашем уобичајеном стилу, прво је детаљно образложен поступак решавања конкретног система једначина применом ове методе (пример 1), а затим је примена ове методе објашњена и у општем случају. При том је ученицима указано и у којим случајевима је погодно користити методу замене, што сматрамо врло битним. Није битно да ученици само усвоје одговарајући поступак, већ и да знају када да га примене. У оквиру ове лекције методом замене решени су и један систем који нема решење, као и један систем који има бесконачно много решења (пример 2 и 3). Тиме је и алгебарски објашњено зашто ти системи имају одговарајући скуп решења, а дати су и њихови графички прикази. Предлажемо да овај део лекције буде предмет обраде на другом часу, јер се на првом часу обраде треба фокусирати само на решавање система који имају јединствено решење.

45

2.7.5. Решавање система методом супротних коефицијената Метода супротних коефицијената прво је примењена на конкретном систему (пример 1) и при том је поступак детаљно образложен. Као и у случају методе замене, укратко је објашњена примена у општем случају, а указано је и у којим случајевима је погодно користити ову методу. У оквиру ове лекције, у примеру 2, један систем једначина решен је применом обе од наведених метода. Ово је учињено како би се ученици уверили у еквивалентност метода и како би могли да анализирају њихову ефикасност. Предлажемо да се при изради задатака ученици не усмеравају на одређене методе, већ да то буде препуштено њиховом избору. Не треба заборавити да је и само бирање начина решавања проблема битан квалитет знања.

2.7.6. Примена система линеарних једначина Ова лекција представља преглед разноврсних задатака чије решавање се своди на решавање одговарајућих система линеарних једначина. Циљ ове лекције је да ученицима покаже практичну страну математике које често нису свесни, односно да покаже примену стеченог знања. Наравно, у збирци се може наћи још много задатака који илуструју примену система линеарних једначина. Пожељно је да се при избору задатака фаворизују они који су и у функцији обнављања градива математике, као и систематизације читавог градива.

2.8. Ваљак и купа Иако се ваљак и купа обрађују одвојено, свако тело у оквиру посебне наставне теме, опште напомене дајемо заједно, јер су обе теме писане и организоване на исти начин због природних веза које постоје и повезују ова два тела. На почетку обе теме дат је тест који би требало ученике да припреми за одговарајуће геометријско тело. Решење теста (за ваљак) са 165. стране у уџбенику. 1. в); 2. б); 3. б); 4. в); 5. д). (Задатак 5 овог теста је посебно важан јер је у вези са извођењем формуле за површину ваљка.) Решење теста (за купу) са 173. стране у уџбенику. 1. в); 2. б); 3. в); 4. в). (Задатак 3 овог теста је посебно важан јер је у вези са извођењем формуле за површину купе.) Теме Ваљак и Купа треба, такође, повезати и са темама Призма и Пирамида, и указати насуштинске аналогије између ваљка и призме, односно између купе и пирамиде. Наиме, аналогије између многоугла и круга природно се преносе на однос између призме и ваљка, односно пирамиде и купе. Ово не би требало да изненади ученике, тим пре ако им је указано на сродност

46

Теме иВаљак Купатреба, такође, такође, повезати са Призма темама Призма и Пирамида, и Теме Ваљак Купатреба, Теме иВаљак такође, и Купатреба, повезати са темама повезати са темама и Пирамида, Призма и и Пирамида, и насуштинске аналогије између ваљка иваљка призме, односно између купе и купе и указати указати насуштинске указати аналогије насуштинске између аналогије ваљка иизмеђу призме, односно и призме, измеђуодносно купе и између пирамиде.Наиме, између између многоугла иприродно круга иприродно се преносе на однос пирамиде.Наиме, пирамиде.Наиме, аналогијеаналогије измеђуаналогије многоугла и круга многоугла круга се преносе природно на однос се преносе на однос измеђуипризме ваљка,иодносно пирамиде и купе.Ово не би да требало да изненади ученике,ученике, између призме између ваљка, ипризме односно пирамиде ваљка, односно и купе.Ово пирамиде не биитребало купе.Ово не изненади би требало ученике, да изненади 22 22 ако им ако је указано на сродност између између (правилних) многоуглова и. кругаи . круга 22 . тим пре тим ако пре имтим је указано пре на им сродност је указано између на сродност (правилних) многоуглова (правилних) и круга многоуглова постоји низ специфичности ваљка се срести не могу срести призме. Наравно,Наравно, постојиНаравно, низ специфичности постоји низваљка специфичности које се некоје могу ваљка које секод не призме. могукод срести код призме. 22 између многоуглова . Наравно, постоји специфичности ваљка се Посебно је истаћи важно истаћи да су купаротациона тела. Сугестивне Посебно је(правилних) важно Посебно је да важно суи круга ваљак истаћи иваљак дакупаротациона су иваљак инизкупаротациона тела. Сугестивне тела. које Сугестивне недатесу могу срести кодна призме. илустрације странама 166 (заодносно ваљак), на 174.(за страни купу), свакако илустрације илустрације надатесу странама датесу 166 (за на странама ваљак), 166 (за односно ваљак), на 174. страни односно накупу), 174.(за страни и свакако (заи купу), и свакако Посебно је важно истаћи да су ваљак и купа ротациона тела. Сугестивне илустрације дате би на њих требало посебно указати. би на њих требало бипосебно на њих требало указати.посебно указати. су на странама 166 (за ваљак), односно на 174. страни (за купу), и свакако би на њих требало посебно указати. Користећи се поменутим ваљак–призма, купа–пирамида изведене су Користећи се поменутим аналогијама ваљак–призма, односно купа–пирамида Користећи се поменутим Користећи аналогијама се аналогијама поменутим ваљак–призма, аналогијама односно ваљак–призма, купа–пирамида односно купа–пирамида формуле за израчунавање површине и запремине ваљка, односно купе, наравно користећи изведене су формуле за израчунавање површине и запремине ваљка, односно купе, изведене су формуле изведене за су израчунавање формуле заповршине израчунавање и запремине површиневаљка, и запремине односно ваљка, купе, односнои купе, формуле заиобим и површину дужину и површину кружног Наглакористећи и формуле заи обим површину круга, дужину кружног лука и лука и наравно наравно користећи наравно формуле користећи за обим и круга, формуле површину заи кружног обим круга, и лука површину дужину кружног круга, дужину лукаисечка. икружног шавамо дакружног се у случају површине кружног премаповршине којој је овакружног површина површину исечка. Наглашавамо секористи удаслучају површине кружног исечка исечка површину кружног површину исечка. кружног Наглашавамо исечка. даНаглашавамо се исечка у да случају површине сеформула у случају кружног исечка једнакакористи половини производа одговарајућег кругаполовини ипроизвода дужине лука који одређује формулапрема којој јеполупречника ова површина једнака једнака половини полупречника користи користи формулапрема којој формулапрема је ова површина којој јеједнака ова површина половини производа полупречника производа полупречника 2 одговарајућег круга и лука дужине лука који одређује тај Веома исечак. Веома често, ученици памте r p одговарајућег круга одговарајућег и дужине круга који и дужине одређује лука тај који исечак. одређује тај често, исечак. ученици Веома памте често, ученици · a, па би било корисно да се памте тај исечак.�Веома често, ученици памте само формулу Р = ��� � � ��� 360 само формулу � би��би �,па и� р�,па би исло но дарис седно претхо поменута формула, само формулу �само � формулу �ло бко ���,па исло нобко и дарби се претхо ко ноизведе да седноизведе ппоменута ретходноизведе формула, поменута формула, ��� ��� претходно��� изведе поменута формула, тим пре јер је извођење прилично једноставно: тимјепре јер јепре извођење прједноставно: илично тим пре јер извођење тим пр јер илично је извођење прједноставно: илично једноставно: � � � 1� r�2p� ����1� � � �2 �·1�r ·�� � � 1r��· p � � � �=1�1 rℓ. 1 · a�=���1� � �� � �· a � ��� �� � ���Р = ��360 �� �·��� � � ��� � � � ��� 2 360 ��� 360 2 ��� 2 360 2 360 2 2 ��� 2 2

крају, сезадатак на 3задатак 3стране са178 стране 178 будући он не спада типичне На крају, осврнимо Наосврнимо крају, се на се задатак осврнимо са се3стране на будући 3 сабудући стране да он не да будући спада у да типичне он неу спада у типичне НаНа крају, осврнимо на са задатак 178 да178 он не спада у типичне школске школске задатке. Сматрамо да решавање овог задатка може допринети бољем школске задатке. школске Сматрамо задатке. да решавање Сматрамо овог да решавање задатка може овог бољем допринети задаткаразумевању може бољем допринети задатке. Сматрамо да решавање овог задатка може допринети формуле забољем разумевањуформуле за запремину купе. Наиме, запремине сва три дата тела су међусобно разумевањуформуле разумевањуформуле за запремину купе. за запремину Наиме, запремине купе. Наиме, сва три запремине дата тела сва су три међусобно дата тела су међусобно запремину купе. Наиме, запремине сва три дата тела су међусобно једнаке. једнаке. једнаке. једнаке.

22 од 000 година је 1стара посматрања круга многоугла са 1222Више � идеја 1је стара � 1круга 1�као 1посматрања 1� као �1 1круга 1 бесконачно 1 сатемена. 11много 1 темена. 1 1 Више од 2 Више 000 година је стара од 21 идеја 000 година посматрања идеја многоугла са1� бесконачно као1многоугла много бесконачно много темена.1 � � � � ��, � � � � � ��, � � � ��, � � � � � � � � ��,   � � � � � � � � � � � ��,   � � � � ��,   � � � � � � � � � � � ��� � � �� � � �������� ���� � � ��� ����� �� � Поменимо и то да је велики број особина круга откривен захваљујући управо овој идеји. � � � � � � � � � � � � �� Поменимо и то да је3Поменимо велики број и 3то особина да је велики круга откривен број особина захваљујући круга откривен управо захваљујући овој идеји. управо овој идеји. 32 3 32 323 3 2 23 3 32 3 3 3 33 3 3 3 � �3

22

50 50 501 1 1 � 1 � 1 1 1 1 1 � �� � ��, �� � � � � � � � ��,   �� � � � �� � � � �� � ���� � �� � � ��, �� � � � � �� 3 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 2 2.9.Лопта 2.9.Лопта 2.9.Лопта

2.9. Лопта

Тему Лопта(предвиђену Тему Тему Лопта(предвиђену Лопта(предвиђену за сам крај осмог за сам заразреда) крај сам осмог крај почели осмог разреда) смо разреда) причом почели почели осмо причом смо причом о

2.9.Лопта 2.9.Лопта „најважнијој лопти” „најважнијој „најважнијој – планети лопти” Земљи. лопти” – планети Један – планети Земљи. од циљева Земљи. Један оваквог Један од циљева од увода циљева оваквог је да оваквог ученике увода увода је да јеученике да учен

Темуна Лопта (предвиђену засусам осмог почели смо она „најважнијој подсетимо садржаје подсетимо подсетимо о којима на садржаје на садржаје већокрај учили којима о којима изсуразреда) географије. већсуучили већ учили из Сматрамо географије. изпричом географије. да сеСматрамо овај Сматрамо начин да селопна да овај се наначин овај нач ти” – планети Земљи. Један од циљева оваквог увода је да ученике подсетимо на садржаје о Тему сам крај осмог разреда) смо одговарајућихгеографских причом Тему о Лопта(предвиђ могу бар малоЛопта(предвиђену могу надоместити бар могумало барнеминовне надоместити малозанадоместити празнине неминовне неминовне у разумевању празнине празнине одговарајућихгеографских у почели разумевању у разумевању одговарајућихгеографск којимакоји су лопти” већ из географије. Сматрамо да се на природе овајоваквог начин могу надоместити „најважнијој –свега планети Земљи. Један од циљева увода да „најважнијој лопти” – план појмова, појмова, су учили препојмова, који математичке су који пре сусвега пре природе свега математичке математичке и са којима природе суи се са ученици којима и бар сајемало којима супоученике се нашем су ученици се ученици по нашем по наш неминовне празнине у разумевању одговарајућих географских појмова, који су пре свега матеподсетимо на садржаје о којима суупознавали. већ учили из географије. Сматрамо на подсетимо овај начин на исадржаје кој мишљењу прерано мишљењу упознавали. мишљењу прерано прерано Такође, упознавали. поновљене Такође, су Такође, поновљене и некепоновљене чињенице су и да неке су и се задаци и чињенице неке очињенице којима и задаци задаци о којима оо који матичке природе и са којима су се ученици по нашем мишљењу прерано упознавали. Такође, могу бар мало надоместити неминовне празнине у разумевању одговарајућихгеографских могу бар мало надоместити је било речи ујенашем било је речи било уџбенику уречи нашем за у нашем седми уџбенику уџбенику разред за уседми оквиру за седми разред теме разред уКруг, оквиру у то оквиру теме јест уКруг, теме оквиру Круг, то јесттоујест оквиру у окви поновљене су и неке чињенице и задаци о којима јелука. речи у нашем за разред појмова, који су пре свега математичке природе ибило са којима су се уџбенику учениципојмова, поседми нашем који су пре свега наставне јединице наставне Дужина наставне јединице кружног јединице Дужина лука. Дужина кружног кружног лука. у оквиру теме Круг, то јест у оквиру јединице Дужина кружногилука. мишљењу прерано упознавали. Такође,наставне поновљене су и неке чињенице задаци мишљењу о којимапрерано упознава је било речи у нашемПриликом уџбенику за седми разред у односно оквиру теме то јест јејеубило оквиру у нашем уџбе Приликом дефинисањасфере, односно дефинисањасфере, лопте, посебно односно лопте, јеКруг, лопте, важно посебно посебно подсетити важно јеречи севажно подсетити подсетити се 22 Приликом дефинисањасфере, Више од 2 000 година је стара идеја посматрања круга као многоугла са бесконачно много темена. Поменимо наставне јединице Дужина кружног лука. наставне јединице Дужина к дефиниција кружнице дефиниција дефиниција и круга кружнице и кружнице упоредити и круга и их круга и са упоредити дефиницијама и упоредити их са их дефиницијама сфере са дефиницијама и лопте сфере уз посебно сфере и лопте и лопте уз посебно уз посеб и то да је велики број особина круга откривен захваљујући управо овој идеји. истицање да сеистицање дефиниције истицање да сејезички да дефиниције се дефиниције „мало”, језички а суштински језички „мало”, „мало”, „много” а суштински а суштински разликују: „много” „кружница „много” разликују: разликују: „кружница „кружни дефинисањасфере, лопте, посебно је тачака важно подсетити Приликом сеу простору...”. (круг) Приликом је скуп(круг) тачака (круг) је ускуп равни...”, је скуп тачакатачака док уодносно равни...”, је у„сфера равни...”, док (лопта) једок „сфера скуп је „сфера (лопта) (лопта) ускуп простору...”. скуп тачака тачака у дефиниса простору 47 дефиниција кружнице и круга иодносе упоредити дефиницијама лопте дефиниција уз посебно и кру Међусобне односе Међусобне равни Међусобне иодносе сфере равни требало равни и сфере биихобрадити исасфере требало требало узбиподсећање обрадити бисфере обрадити на узи међусобне подсећање уз подсећање односе на међусобне накружнице међусобне односе одн истицање да сеправе дефиниције језички „мало”, а суштински „много” разликују: истицање „кружницада се дефиниције праве и круга. праве и круга. и круга. (круг) је скуп тачака у равни...”, док је „сфера (лопта) скуп тачака у простору...”. (круг) је скуп тачака у ра

појмова, који су пре свега математичке природе и са којима су се ученици по нашем мишљењу прерано упознавали. Такође, поновљене су и неке чињенице и задаци о којима је било речи у нашем уџбенику за седми разред у оквиру теме Круг, то јест у оквиру наставне јединице Дужина кружног лука. Приликом дефинисањасфере, односно лопте, посебно је важно подсетити се дефиниција кружнице и круга и упоредити их са дефиницијама сфере и лопте уз посебно истицање да се дефиниције језички „мало”, а суштински „много” разликују: „кружница Приликом сфере,уодносно лопте, је важно подсетити се дефиниција (круг)дефинисања је скуп тачака равни...”, докпосебно је „сфера (лопта) скуп тачака у простору...”. кружнице и круга и односе упоредити их са дефиницијама и лоптеузузподсећање посебно истицање да се односе Међусобне равни и сфере требало сфере би обрадити на међусобне дефиниције језички „мало”, а суштински „много” разликују: „кружница (круг) је скуп тачака у праве и круга. равни... ”, док је „сфера (лопта) скуп тачака у простору... ”. Међусобне односе равни и сфере требало би обрадити подсећање на је међусобне односе праве и круга. За сваузтела о којима раније било речи једноставније је било оправдати формулу За свазатела о којима је раније било речи једноставније је било оправдати формулу за израчунавање површине него формуле за израчунавање запремине. У израчуслучају лопте, навање површине него формуле за израчунавање запремине. У случају лопте, ситуација је обр-посебно ситуација је обрнута. Зато, формулу за израчунавање површине лопте нисмо нута. Зато, формулу завећ израчунавање лопте нисмо посебно већ смо само оправдавали смо само површине илустровали како се она можеоправдавали најлакше запамтити. Насупрот илустровали како се она може најлакше запамтити. Насупрот томе, формулу за запремину томе, формулу за запремину лопте оправдали смо на исти начин као што јелопте оправдавана оправдали смо на исти начин као штоповршине је оправдавана за израчунавање површине круга формула за израчунавање кругаформула (при чему смо ово друго поновили из седмог (при чему смо ово поновили из седмог разреда уз одговарајуће модификације пригодне разреда уз друго одговарајуће модификације пригодне за ову прилику). Очигледно, овакав начин за ову прилику). овакав начин излагања значајноформи доприноси развијањумишљења. основних излагањаОчигледно, значајно доприноси развијању основних математичког форми математичког мишљења. На крају, осврнућемо на последњи из уџбеника (задатак 5 на страни 186).5СматраНа крају,сеосврнућемо сезадатак на последњи задатак из уџбеника (задатак на страни 186). мо да овај задатак треба урадити јер он даје једну практичну примену формуле за израчунавање Сматрамо да овај задатак треба урадити јер он даје једну практичну примену формуле за запремине лопте и захтева прецизност у раду са великим бројевима. је да задатак израчунавање запремине лопте и захтева прецизност у Пожељно раду са великим бројевима. ученициПожељно реше у оквиру домаћег задатка (пожељно помоћу калкулатора) да се не би непотребно је да задатак ученици реше у оквиру домаћег задатка (пожељно помоћу губило време на рачун сасе великим бројевима, агубило да се навреме часу пaжња посвети само најважнијим калкулатора)да не би непотребно на рачун са великим бројевима, а да се детаљима. на часу пажња посвети само најважнијим детаљима. 4 4 � � �троп. � � ���Земља � � троп. � � �Земља � � � 3,14 � �6380� � 6370� � 3 3 � 5 104 463 546, 67km� 4 � � �страт. � � ���Земља � �троп. � � страт. � � ��Земља � � троп. � � 3

4 � 3��4 � �6420� � 6380� � � 20��78�370��86� 67��� 3 4 � � � � ���Земља � � троп. � � страт. � � мезо. � � ��Земља � � троп. � � страт. � � 3

������������ �мезо.

�

4 � 3��4 � �6470� � 6420� � � 26086�0�0�33� 33��� 3

�термо. � �

48

4 � 3��4 � �6770� � 6470� � � �6���8���200��� 3

51

3. Напомене о реализацији часова часова вежбањавежбања и утврђивања 3. Напомене о реализацији и наставних садржаја у осмом разреду утврђивања наставних садржаја у осмом разреду Уџбенички комплет за осми разред је тако конципиран да у њему сваки наставник може наћи довољно задатака за разраду теоријских чињеница које су дате на предавањима. Ту Уџбенички комплет за осми разред је тако конципиран да у њему сваки наставник може наћи мислимо на разраду како на часовима вежбања и утврђивања (рад у школи), тако и на рад довољно задатака за разраду теоријских чињеница које су дате на предавањима. Ту мислимо на код куће било кроз рад домаћих задатака било кроз самостално вежбање. разраду како на часовима вежбања и утврђивања (рад у школи), тако и на рад код куће било кроз рад домаћих задатака било кроз самостално вежбање. Како у основној школи не постоји час обраде на ком ће наставник предавати 45 минута, то Како у основној школи не постоји час обраде на ком ће наставник предавати 45 минута, то у уџбенику увек има довољно задатака за утврђивање непосредно после предавања. у уџбенику увек има довољно задатака за утврђивање непосредно после предавања. Задаци за Задаци за које смо сматрали да наставник треба да их уради (уз мању или већу „помоћ” које смо сматрали да наставник треба да их уради (уз мању или већу „помоћ” ученика) назвали ученика) назвали смо примерима. Непосредно после таквих задатака-примера дати су врло смо примерима. Непосредно после таквих задатака-примера дати су врло слични задаци које би слични задаци које би ученици требало да решавају (уз мању или већу помоћ наставника). ученици требало да решавају (уз мању или већу помоћ наставника). Дакле, утврђивање треба Дакле, утврђивање треба почети коришћењем уџбеника. почети коришћењем уџбеника. је реч о збирци задатака, она у потпуности (редослед тема и наставних јединица, ознаке, КадаКада је реч о збирци задатака, она у потпуности (редослед тема и наставних јединица, стил... ) прати уџбеник. Поред онога што је раније речено о збирци, треба истаћи да је урађена ознаке, стил...) прати уџбеник. Поред онога што је раније речено о збирци, треба истаћи да па су садржаји прегледнији, једноставно, текст боље „дише”. Сматрамо да је то, у је двоколонски, урађена двоколонски, па су садржаји прегледнији, једноставно текст боље „дише”. визуелном смислу, велики помак набоље. Сматрамо да је то, у визуелном смислу, велики помак набоље. Сада ћемо дати неколико напомена, што општих што врло конкретних, о томе како мислимо да треба утврђивати и вежбати градиво осмог разреда коришћењем ове збирке задатака. Сада ћемо дати неколико напомена, што општих што врло конкретних, о томе како

мислимо да треба утврђивати и вежбати градиво осмог разреда коришћењем ове збирке задатака.

3.1. Сличност троуглова 3.1. Сличност троуглова Тема Сличност је делом обрађена у седмом разреду, па би прво требало обновитиобновити већ рађене Тема Сличностје делом обрађена у седмом разреду, па би прво требало основне задатака. Треба констатовати се ова тема сврстава „тешке” за обраду већ рађенетипове основне типове задатака. Требаи да констатовати и да се уова тематеме сврстава у у основној школи. То што је делом померена из седмог у осми разред је добро, али то што „тешке” теме за обраду у основној школи. То што је делом померена из седмог у осми је на самом почетку разреда лоше.почетку Зато саветујемо да се задаци раде са доста стрпљења. разред је добро, алиосмог то што је на је самом осмог разреда је лоше. Зато саветујемо да Стицајем околности, ова тема и нема задатака из групе А – утврди, а задатке из групе Г – просе задаци раде са доста стрпљења. Стицајем околности, ова тема и нема задатака из групе шири смо из напред наведених разлога највећим делом избегли. А-утврди, а задатке из групе Г-прошири смо из напред наведених разлога највећим делом избегли. Типичан задатак из групе Б – вежбај је (страна 9 задатак 4) Типичан задатак из групе Б-вежбај је (страна 9. Задатак 4.) 4. Да ли су слични троуглови OAB и ODC (дужине страница су изражене у центиметрима)? 4.Да ли су слични троуглови (дужине страница су изражене у центиметрима) OAB и ODC C

А B

2O 1

3 6 D

53

49

Овде се од ученика очекује да установи да су претпоставке теореме задовољене, то јест да види да је могућа примена теореме, па да потом направи одговарајући закључак. Скрећемо пажњу да на основу наших искустава (а и многих других), нема очигледних и једноставних закључака када је у питању сличност. За разлику од напред наведеног задатка, у задатку (страна 10 задатак 14) 14. Хипотенуза правоуглог троугла је 13cm, а једна катета 12cm. Катете другог правоуглог троугла су 2,5cm и 6cm. Да ли су ови троуглови слични? се од ученика очекује да „направи један међукорак”, па да онда примени теорему. То је разлог што смо овај задатак сврстали у групу В – примени.

3.2. Тачка, права и раван Задаци којима се ова тема разрађује углавном не припадају уобичајеним задацима, то јест онима који од ученика захтевају да нешто докаже, израчуна или конструише. То је разлог зашто их наставници ређе раде, па их (те задатке) онда и ученици често „прескачу” (јер „не падају” на контролном). За усвајање знања из геометрије и уопште математичког мишљења, перцепција односа у равни и простору је неопходна. Брзим преласком преко ових задатака лишавамо ученике да стварно и суштински уђу у односе геометријских објеката у простору. Наведимо један пример, по нашем мишљењу, доброг приступа овим задацима. У задатку (страна 17 задатак 16) 16. Пет правих се секу у истој тачки. Колико најмање, а колико највише равни одређују ове праве? који припада групи В – примени, није довољно само решити задатак, то јест одговорити да је то најмање једна, а највише десет равни. Права разрада овог задатка је и постављање низа питања типа: 1. Може ли да се догоди да ове праве одређују тачно 2 равни? Зашто? 2. Колико равни одређују 4 компланарне праве и једна права која не припада тој равни (свих 5 правих се секу у једној тачки)? 3. Колико је равни одређено са таквих 5 правих (које се секу у једној тачки)? Размотри све случајеве!

50

3.3. Линеарне једначине и неједначине с једном непознатом. Линеарна функција. Системи линеарних једначина Ове три теме су врло повезане, па ћемо наш приступ њиховој реализацији објаснити јединствено. Глаголи, који у највећој мери описују захтеве за задатке из ове области, јесу реши, одреди, израчунај. То је омиљена инструкција, и за наставнике и за ученике, која наравно не мора (и није) бити повезана само са једноставним захтевима. Вероватно је најједноставније приказати градацију у повећавању тежине захтева на примерима из теме Линеарне једначине и неједначине с једном непознатом. Дајемо пример четири задатка (страна 27 задатак 4; страна 28 задатак 10; Линеарне Линеарне једначине једначине и инеједначине неједначине саса једном једном непознатом. непознатом. Дајемо Дајемо четири четири задатка задатка страна 30 задатак 28; страна 30 задатак 33) који редом припадају групама Апример –пример утврди, Б – вежбај, (страна27. 4;4;страна страна28. 28.задатак задатак10; 10;страна страна30. 30.задатак задатак28; 28;страна страна30. 30.задатак задатак33.) 33.) В –(страна примени и27. Гзадатак –задатак прошири. који којиредом редомприпадају припадајугрупама групамаА-утврди, А-утврди,Б-вежбај, Б-вежбај,В-примени В-примениииГ-прошири. Г-прошири.

Реши Решиједначине једначине(4. (4.– –17.) 17.) Реши једначине (4–17) 4.4. а)а)2 2– –(3х (3х++5)5)==5 5– –(3(3++2х); 2х);

б)б)8 8– –(7х (7х– –6)6)==5 5– –(4х (4х– –6); 6);

3(3x(x++2 )2 ) 7 7x x−−6 6 7 7x x−−6 6 10. 10. е)е) ;; ++ = = 5 5x x−− 33 66 22

5 5⋅ (⋅x( x−−1)1) 3 x3 x++2 2 x x++3 3 ж)ж) .. = 3 x3 x−− −− = 33 66 1212 x x−−2 2 3 3−−x x 28.Одреди 28.Одредивредност вредностпроменљиве променљивех хзазакоју којујејевредности вредностиизраза израза −− једнака једнака 33 22 x x++5 5 изразу изразух−х− .. 66 х + +33│ 3х ==5;5; б)б)│х х +++11│ х – –11│ 2х ++1│ 1 1│++│х х – –22│ 9;9; 33. 33.а)а)│х │х 3│++│3х│ │3х│ │х 1│++│х │х 1│==4;4; в)в)│2х │2х │х 2│==9. Јасно је да је у првом од наведених задатака захтев сасвим једноставан. Нема „тешког” сређиЈасно Јасно дадајејеу упрвом првом одод наведених наведених задатака задатака захтев захтев сасвим сасвимједначина једноставан. једноставан. Нема Нема „тешког” „тешког” вања да сејеје једначина доведе на жељени облик. У другом задатку, је дата експлицитно, сређивања дадасесе јадначинадоведе доведе нанажељени жељени облик. облик.Узахтевнија Удругом другомзадатку, задатку, једначина једначина јеједата дата алисређивања је техника која јејадначина неопходна за решавање ове једначине и помало заморна (тражи експлицитно, али алијејетехника техника која којадуже). јејенеопходна неопходна зазарешавање решавање ове овеједначине једначине захтевнија захтевнија ии да експлицитно, ученик буде концентрисан нешто Трећи задатак се битно разликује од претходних, помалозаморна заморна (тражи (тражи дасе сеученик ученик буде будеконцентрисан концентрисан нешто нешто дуже). дуже). Трећи задатак задатак сесе јер помало једначина мора прво да да се постави. Четврти задатак је тежак, јер поредТрећи тога што захтева битно битноразликује разликује ододпретходних, претходних, јер јерједначина једначина мора мора прво прводадасе сепостави. постави.Четврти Четвртизадатак задатак познавање дефиниције апсолутне вредности, захтева и анализу, разликовање случајева, као ијеје тежак, тежак, јер јерпоред поредТо тога тога штозахтева захтева познавање познавање апсолутне апсолутневредности, вредности,захтева захтеваии одређену дискусију. је што типичан задатак из групедефиниције Гдефиниције – прошири. анализу, анализу,разликовање разликовањеслучајева, случајева,као каоииодређену одређенудискусију. дискусију.То Тојејетипичан типичанзадатак задатакизизгрупе групе Г-прошири. Г-прошири.

3.4. Призма и пирамида. Ваљак и купа. Лопта 3.4. 3.4.Призма Призмаиипирамида.Ваљак пирамида.Ваљакиикупа. купа.Лопта. Лопта.

Као и претходне три, и ових пет тема су врло повезане. Ако су добро разрађене претходне Као Каоиипретходне претходнетри, три,ииових овихпет петтема темасусуврло врлоповезане. повезане.Ако Акосусудобро доброразрађене разрађене три теме (Линеарне једначине и неједначине са једном непознатом, Линеарна функција, Сиспретходне претходне три три теме теме (Линеарне (Линеарне једначине једначине и и неједначине неједначине са са једном једном непознатом, непознатом, Линеарна Линеарна теми линеарних једначина), затим тема Тачка, права и раван (изграђена перцепција простора) функција, функција,Системи Системилинеарних линеарнихједначина), једначина),затим затимтема темаТачка, Тачка,права праваи ираван(изграђена раван(изграђена и поновљено (пре или током) оно што се односи на обим и површину многоугла и круга (плаперцепција перцепција простора) простора) и и поновљено поновљено (пре (пре или или током) током) оно оно што што се се односи односи нана обим обим ии ниметрија), ова тема ће бити лако прихваћена и рађена са великим задовољством код ученика. површину површинумногоугла многоуглаиикруга круга(планиметрија) (планиметрија)ова оватема темаћећебити битилако лакоприхваћена прихваћенаиирађена рађенасаса Дајемо, и овде, пример постепеног повећавања захтева преко четири задатка (страна 118 задатак великим великим задовољством задовољством код код ученика. ученика. Дајемо, Дајемо, и и овде, овде, пример пример постепеног постепеног повећавања повећавања 2; страна 119 задатак 9; страна 119 задатак 16; страна 121 задатак 32) који редом припадају грузахтева захтевапреко прекочетири четиризадатка задатка(страна (страна118. 118.задатак задатак2;2;страна страна119. 119.задатак задатак9;9;страна страна119. 119. пама А – утврди, Б – вежбај, В – примени и Г – прошири. задатак задатак16; 16;страна страна121. 121.задатак задатак32.) 32.)који којиредом редомприпадају припадајугрупама групамаА-утврди, А-утврди,Б-вежбај, Б-вежбај,В-Впримени примениииГ-прошири. Г-прошири. 22

33

2.2. Површина Површинаоснове основеваљка ваљкајеје48cm 48cm, а, ањегова његовазапремина запреминајеје960cm 960cm. Колика . Коликајејевисина висинатог тог ваљка? ваљка?

51

2. Површина основе ваљка је 48cm2, а његова запремина је 960cm3. Колика је висина тог ваљка? 9. И  зрачунај површину и запремину ваљка ако је осни пресек ваљка квадрат странице 6cm. 16. П  олупречник основе ваљка је 4cm. Израчунај површину и запремину ваљка ако је угао између дијагонале осног пресека и равни основе: а) 60°; б) 45°; в) 30°. 32. С  уд облика ваљка пречника основе 8cm и висине 25cm напуњен је водом. Колико воде ће остати у том суду ако се он нагне тако да његова основа са хоризонталном равни образује угао од 60 степени? Јасно је да је у првом од наведених задатака захтев сасвим једноставан, потребно је само непосредно коришћење формуле. У другом наведеном задатку, полупречник основе и висина нису непосредно дати, али се лако израчунавају. Да би решио трећи задатак, ученик мора да зна како се односе странице у раније рађеним карактеристичним случајевима троуглова (примена Питагорине теореме), да нађе неопходне податке и да на крају примени одговарајуће формуле за површину и запремину ваљка. Четврти задатак је тежак и захтева добру анализу и низ закључака, па је то типичан задатак из групе Г – прошири.

3.5. Графичко представљање статистичких података Ова тема као и тема Тачка, права и раван разрађује се углавном задацима који не припадају оним уобичајеним задацим у којима су захтеви докажи, израчунај или конструиши. Овде би требало стално наглашавати примену. Употреба дневне штампе, разних статистичких извештаја, анализа продаја појединих компанија, анализа социјалних и политичких ставова и кретања не само да може да актуелизује ову тему него и применљивост математике и математичког мишљења уопште. Ово је права тема у којој током обраде можемо разговарати са ученицима о њиховим ставовима и све то уобличити у статистички узорак.

52

4. Наставни листићи Oви материјали су замишљени као подршка наставном процесу. Једну групу чине они који су погодни за обнављање познатих садржаја из претходних разреда, други се односе на нове садржаје и требало би да омогуће њихово лакше усвајање и утврђивање и трећи који систематизују веће наставне целине. Ови последњи су састављени у облику тестова, с тим што поједини уз сваки задатак или дају директна и кратка упутства како га решити или се ученик упућује на одговарајућу страну уџбеника. Оваква форма тестова требало би да допринесе осамостаљивању ученика пре свега у смислу развоја способности самосталног учења. Актуелно стање ствари нас приморава да озбиљно размотримо могућности отклањања узрока који су до те мере „размазили” ученике да један велики број њих не може самостално да учи. Већина материјала је намењена свим ученицима, али има и оних који су предвиђени за ученике који наилазе на тешкоће у савладавању појединих садржаја, као и оних који су састављани за напредније. Иако су наставни листићи углавном састављени у облику тестова, њихова намена није провера знања и не могу се употребити у те сврхе. Никако не треба оцењивати како су их ученици решили. Замишљени су искључиво за утврђивање, вежбање, обнављање, продубљивање и систематизовање знања и у те сврхе их треба употребљавати. Сматрамо да дате форме наставних листића могу бити веома корисне у настави и надамо се да ће инспирисати наставнике да састављају сличне за преостале садржаје. У другом делу истакнуте су намена и основне карактеристике сваког од датих наставних листића. Овом приликом ћемо их кратко поновити. 1. Правоугли троуглови унутар коцке Овај наставни листић је проширење задатка 2 са 36. стране у уџбенику. Већ смо истакли значај који овакви задаци имају (страна 21 у приручнику), па то сада нећемо понављати. Истачемо само да је пожељно у случајевима када је троугао правоугли указати на примену Питагорине теореме. Овај наставни листић је погодан за дискусију на часу. 2. Тест – линеарне једначине Приложени тест намењен је провери и систематизацији градива које се односи на линеарне једначине. Састоји се од 10 задатака од којих сваки носи 10 бодова. Укратко ћемо објаснити наш избор задатака, као и начин оцењивања. Први и други задатак имају за циљ да провери да ли ученици познају и разумеју појам решења једначине. Трећи и четврти задатак проверава да ли су ученици овладали употребом правила о додавању. Пети задатак испитује правилну употребу правила о множењу. Шести задатак захтева да ученици реше једну једноставнију линеарну једначину (применом сва три правила). Међутим, како су понуђена решења, ученик може и да провери које од њих јесте решење дате једначине. Да би овај задатак ипак био нешто тежи од првог задатка, изабрали смо једначину чије решење је разломак, па је бар рачун нешто компликованији. Сматрамо да би ученик за оцену 2 морао да уради бар 4 од првих шест задатака. Седми задатак од ученика захтева да реше нешто сложенију једначину (један од коефицијената је разломак) него у шестом задатку. При том,

53

решења нису понуђена, тако да се мора приступити решавању дате једначине. У осмом задатку се срећемо са још сложенијом једначином, сада је непозната са рационалним коефицијентом у оквиру заграде, а решења поново нису понуђена. Девети задатак испитује да ли ученици умеју да одреде колико дата једначина има решења, то јест да одреде тип дате линеарне једначине (или има јединствено решење, или нема решење, или је идентитет). Због специфичности тематике коју испитује и пет тврђења које треба испитати, сматрамо да ће само ученици који добро владају градивом тачно одговорити. Десети задатак такође представља тежи захтев, јер од ученика захтева рад са апсолутном вредношћу, а и решења нису понуђена већ се до њих мора доћи решавањем једначине. Предлажемо да се табела дата испод користи за оцењивање ученика.

Број освојених бодова на датом тесту Оцена

0, 10, 20, 30

40, 50

60,70

80,90

100

1

2

3

4

5

Многе ће можда изненадити да је оцену 5 могуће добити само у случају свих 10 тачних одговора, а оцену 4 у случају 8 тачних одговора. Нагласимо да је дата табела применљива само за дати тест и никако не представља опште правило. У овом конкретном случају, тест углавном испитује основна и знања средњег нивоа, као и концентрацију и неку врсту рутине у решавању задатака овог типа23, па нам се чини да ученик за оцену 5 треба да одговори тачно на све захтеве, али то свакако није случај и у неким другим околностима. Овом приликом смо се одлучили да на тесту не дајемо најкомликованије задатке (рецимо задатке који се односе на примену линеарних једначина), јер сматрамо да је њих примереније дати на контролној вежби, где је могуће боље испратити рад ученика (увидети да ли је за дати проблем поставио одговарајућу једначину, као и да ли је ту једначину тачно решио). 3. Мрежа и површина призме

Наставни листић нуди групу задатака у којима је потребно уочавати везе између призме и њене мреже. Овакви задаци доприносе увежбавању вештине мисаоног сналажења у простору, али и вештине израчунавања површине дате призме. 4. Примена Питагорине теореме на пирамиду Овај наставни листић је погодан за прве часове на којима се ученици упознају са основним појмовима у вези са пирамидом, јер подстиче сналажење међу дужима које се уочавају у правој правилној четвоространој пирамиди и уочавање у простору одговарајућих правоуглих троуглова. Сличне задатке треба обрадити и за остале врсте пирамида, посебно за праве правилне тростране и праве правилне шестостране.

23

54

 ешавање линеарних једначина је неопходан алат за читав низ наставних тема из математике и природних Р наука, тако да се мора инсистирати на увежбаности ученика у њиховом решавању.

5. и 6. Цртање и читање графика линеарне функције Приложени наставни листићи намењени су часу или часовима вежбања, по обради цртања и читања графика линеарних функција. Примећено је да се за многе ученике часови вежбања или обнављања своде на преписивање рада других, то јест преписивање онога што се напише на табли. На тај начин су ти ученици само пасивни посматрачи, па се тешко може очекивати битнији напредак у њиховом знању или размишљању. Зато предлажемо да се помоћу ових радних листића бар делимично сваки од ученика стави у позицију активног учесника. Предлажемо да саставите више оваквих наставних листића, који ће се разликовати само у избору функције, док ће форма остати иста. Нека, на пример, по 5 ученика добије исти наставни листић. У случају проблема при решавању, ученици би требало да вам се обрате, а ви да их упутите на одговарајуће стране у уџбенику да прочитају како се решавају задаци тог типа, па да поново покушају да реше задатак са наставног листића. На пример, уколико ученик има проблем да реши трећи задатак са наставног листића 1, треба га упутити да прочита примере 3 и 4 са стране 122 у уџбенику, као и тврђења у апаратури „слонче” на страни 123. На тај начин би ученици уједно учили како да користе литературу, односно како да уче самостално користећи књигу. Развијање те способности код ученика је врло значајно за њихово даље школовање, али је то у пракси, нажалост, често и потпуно занемарено. После одређеног времена (или на следећем часу), када процените да је већина одговорила на дате захтеве, по један од ученика би требало да представи сваки од датих радних листића. Рецимо, било би пожељно да скенирани рад ученика гледа цело одељење, док он објашњава како је дошао до одговарајућих одговора. На тај начин би ученици били у прилици и да развијају културу изражавања (прецизне реченице следе из прецизних мисли). 7. Анкетни листићи Уз тему Графичко представљање статистичких података прилажемо три анкетна листића помоћу којих ученици треба да прикупе податке и потом их обраде. Желели смо да на тај начин ученици осете шта значи статистички испитати неку појаву. Верујемо да ће то за њих бити и занимљив и едукативан посао. Предлажемо да ученике поделите у три групе (свакој групи доделите по један од приложених анкетних листића) и свакој од група доделите обраду података добијених на основу испитивања бар 50 испитаника (њихових вршњака). Пожељно би било да ученици потраже податке о сличним истраживањима, па да онда своје резултате упореде са тим. На пример, неке од ових тема је обрађивао и Статистички завод Србије, а многи подаци се могу наћи и на интернету. 8. Тест – системи једначина Уз тему Системи линеарних једначина прилажемо тест, који би професору требало да укаже на квалитет усвојеног знања ученика, као и на способност ученика за савладавање апстрактних појмова и веза међу њима. Сврха овог теста је да заиста увидимо колико наши ђаци могу сами да се снађу у новонасталој ситуацији (задаци 1 и 2), то јест да утврдимо да ли су појмове усвојили само површно, односно да ли њихово знање престаје са примерима који личе на оне које смо им показали. Зато предлажемо да тест дате без најављивања после неколико часова утврђивања градива, али и да га оцењујете само афирмативно, односно да они који ураде тачно сва четири задатка добију оцену 5, док у осталим случајевима ученици неће бити оцењи-

55

вани. Ово пре свега предлажемо да бисте ублажили стрес код ученика, а оставили мотивацију за рад. Такође, сврха самог теста је да пре свега утврдимо општи, а не појединачни, ниво знања у тестираној популацији ученика. Тест се састоји од четири различито формулисана задатка, који у суштини од ученика захтевају исти или сличан поступак – у прва два задатка ученик на основу одређивања решења система (координата пресечне тачке) и положаја тачке пресека на датим графицима треба да донесе одговарајући закључак, а у остала два задатка ученик треба да провери да ли је одређени уређени пар решење неког система или не. При том, до тог закључка сам треба да дође у задатку 3, док се у задатку 4 то од њега експлицитно захтева. Напомињемо да се у задацима 1 и 2 од ученика не тражи да одреде једначине правих, већ само да уоче да ли решењу система одговара приказана пресечна тачка правих и обрнуто. Задаци су овог пута поређани од тежег ка лакшем. Једном одељењу можете да дате овај, а другом супротан редослед задатака, па да на основу компаративне анализе добијених резултата видите да ли постепеним отежавањем задатака стављамо ученике у повољнију позицију. Са задацима попут прва два ученици би се вероватно тада први пут срели и нас заправо највише и интересује њихова реакција на та два задатка. Нажалост, искуство нам говори да је код ученика приметна појава блокаде у раду при сусрету са новом формом задатка, иако разлика у задацима не мора бити суштинске природе. Зато нам се чини да на овом тесту неће бити пуно петица, али ће нас свако ваше другачије искуство обрадовати. После израде теста са ученицима свакако треба проанализирати сва четири задатка. Задатак 3 је доста лакши од претходних, а и познат је, па очекујемо да ће бити боље урађен. Њиме заправо тестирамо да ли појам еквивалентни системи остаје да живи у главама наших ученика или нестаје одмах по преласку на конкретно решавање система једначина. Процентуална заступљеност тачних одговора на овом задатку би можда била интересантна за састављаче будућих планова и програма математике за осми разред. Задатак 4 представља најосновнији тип задатака и њега би требало тачно да ураде скоро сви ученици. Уколико сматрате да је тест (прва два задатка) претежак за просечног ученика, само прва два задатка се могу дати на часовима додатне наставе, па видети какви ће се резултати добити. У случају добрих резултата, има смисла тест дати свим ученицима. 9. Купа Наставни листић садржи задатке који подстичу уочавање веза између купе и њене мреже. Када ученици ураде све задатке, требало би извести неке општије закључке о томе како се мења запремина купе ако се повећава централни угао омотача, а основа остаје иста. Слично питање треба размотрити и за површину. 10. Тест за крај осмог разреда Овај тест, наставни листић, замишљен је као нека врста завршне контроле укупних знања из тема које су обрађиване током осмог разреда. Предлажемо да овај тест дате ученицима као пробни, а да сами, по узору на овај, саставите други који би могао бити и оцењен. Тест не садржи проблемске задатке, јер његов циљ није да мери сналажљивост ученика у непознатим или атипичним ситуацијама. Дакле, с обзиром на то да предлажемо да проверите у којој мери су ученици савладали типичне задатке – захтеве – тест садржи баш такве задатке. Захтевност (тежина) овог теста није у сложеним (тешким) задацима, већ у томе што садржи задатке из свих тема које су у осмом разреду обрађиване.

56

11. Тест за крај обавезног образовања Завршни испит је вероватно најважнији испит који ученици овог узраста имају. Зато ће им добро доћи свака помоћ при припремању за тај испит, па тако и приложени тест. Скрећемо пажњу наставницима да је издавачка кућа „Klett” издала збирку задатака „Знам за матуру”, која је специјално писана као приручник за припрему дела завршног испита који се односи на математику.

57

Правоугли троуглови унутар коцке

ПРАВОУГЛИ ТРОУГЛОВИ УНУТАР КОЦКЕ

Који међу осенченим троугловима правоугли? сваки правоугли троугао Који међу осенченим троугловима су су правоугли? За За сваки правоугли троугао одреди теме одреди теме правог угла. правог угла.

58

а) Јесте правоугли и теме правог угла је ____.

а) Јесте правоугли и теме правог угла је ____.

а) Ј есте правоугли и теме правог угла је ____.

а) Ј есте правоугли и теме правог угла је ____.

б) Није правоугли.

б) Није правоугли.

б) Није правоугли.

б) Није правоугли.

а) Јесте правоугли и теме правог угла је ____.

а) Јесте правоугли и теме правог угла је ____.

а) Ј есте правоугли и теме правог угла је ____.

а) Ј есте правоугли и теме правог угла је ____.

б) Није правоугли.

б) Није правоугли.

б) Није правоугли.

б) Није правоугли.

а) Јесте правоугли и теме правог угла је ____.

а) Јесте правоугли и теме правог угла је ____.

а) Ј есте правоугли и теме правог угла је ____.

а) Ј есте правоугли и теме правог угла је ____.

б) Није правоугли.

б) Није правоугли.

б) Није правоугли.

б) Није правоугли.

а) Јесте правоугли и теме правог угла је ____.

а) Јесте правоугли и теме правог угла је ____.

а) Ј есте правоугли и теме правог угла је ____.

а) Ј есте правоугли и теме правог угла је ____.

б) Није правоугли.

б) Није правоугли.

б) Није правоугли.

б) Није правоугли.

62

Тест – линеарне једначине Тест садржи 10 задатака, за чије решавање је предвиђено 45 минута. Тачан одговор у сваком од задатака носи 10 бодова. На сваки задатак у тесту одговараш заокруживањем слова испред тачног одговора. У сваком од задатака понуђен је само један тачан одговор. У случају заокруживања више одговора, задатак се бодује са 0 бодова. 1. Број 1 је решење једначине: а) –2x + 1 = 1;

б) –2x – 1 = 3;

в) 2x + 1 = 3;

г) 2x + 1 = 2;

д) –2x – 1 = –2.

2. Број 0 није решење једначине: а) –2x + 1 = 1;

б) –2x – 1 = – 1;

в) 2x – 1 = 1;

г) 3x = x;

д) 1 – 2x = 1.

3. Једначина 3x – 2 = 7 је еквивалентна једначини (применом одговарајућих правила једначина 3x – 2 = 7 постаје): а) 3x = 2;

б) 3x = 5;

в) –3x = 5;

г) 3x = 9;

д) –3x = 9.

4. Једначина 3x – 1 = 5 није еквивалентна једначини: а) 3x = 6;

б) x = 2;

в) –3x = –6;

г) 3x = 4;

д) 3x + 2 = 8.

5. Која реченица је истинита (тачна)? а) Једначине 3x = 2 и x = –

2 су еквивалентне; 3

б) Једначине – 2 x = –7 и x = – 49 су еквивалентне; 7 2 в) Једначине 3(x + 2) = 11 и 3x + 2 = 11 су еквивалентне; г) Једначине 2x – 4 = 2 и x – 2 = 1 су еквивалентне; д) Једначине –(8 – x) = 8x и x – 8 = –8x су еквивалентне. 6. Једначина 4 – 3x + 1 = 3 је еквивалентна једначини: а) x = 8 ; 3

б) x = 6;

в) x = 2 ; 3

г) x = – 2 ; 3

д) x = –6.

59

7. Решење једначине 2 x + 4 = –3 припада интервалу: 3 а) [–20, –10);

б) [–10, 1);

в) [–1, 1);

г) [1, 10) ;

д) [10, 20).

8. Решење једначине 3 + 2 5 – x = 2,5 је број дељив са: 4 а) 2;

б) 7;

в) 5;

г) 6;

д) 4.

9. Која реченица је истинита (тачна): а) Сваки реалан број је решење једначине –3x + 5 = 3x – 5; б) Ниједан реалан број није решење једначине –3x + 5 = 3x – 5; в) Једначина 3x = 3x – 5 има тачно једно решење; г) Једначина 3x + 5 = 5 нема решење; д) Једначина 5 – 3x = –5 + 3x има тачно једно решење. 10. Скуп решења једначине 3|х – 1| + 4 = 5 је подскуп скупа: а) [–1, 1);

60

б )[0, 2];

в) (1, 3];

г) (2, 4) ;

д) [3, 5].

Мрежа и површина призме

МРЕЖА И ПОВРШИНА ПРИЗМЕ

1. Основа призме је једнакостраничан У квадратиће упиши одговарајуће дужине, МРЕЖА Итроугао. ПОВРШИНА ПРИЗМЕ 1. Основа призмепризме. је једнакостраничан троугао. У квадратиће упиши одговарајуће дужине, па па израчунај површину призме. троугао. У квадратиће упиши одговарајуће дужине, 1. Основа израчунај призме је површину једнакостраничан па израчунај површину призме.

7cm

5cm

2. Основа призме је правилан шестоугао. У квадратиће упиши одговарајуће дужине, па израчунај призме. шестоугао. У квадратиће упиши одговарајуће дужине, па 2. Основа површину призме је правилан

израчунај површину призме. 2. Основа призме је правилан шестоугао. У квадратиће упиши одговарајуће дужине, па израчунај површину призме.

3cm 3cm

65 65

61

3. Основа призме је једнакокраки трапез. У квадратиће упиши одговарајуће дужине, па израчунај површину призме. Основајепризме је једнакокраки У квадратиће упиши одговарајуће дужине, 3. Основа3.призме једнакокраки трапез.трапез. У квадратиће упиши одговарајуће дужине, па па израчунај површинупризме. призме. израчунај површину

4. Основа призме је правоугли трапез. У квадратиће упиши одговарајуће дужине, па израчунај површину призме. 4. Основа призме је правоугли трапез. У квадратиће упиши одговарајуће дужине, па

израчунај површину призме.

4. Основа призме је правоугли трапез. У квадратиће упиши одговарајуће дужине, па израчунај површину призме.

66

62

66

Примена Питагорине теореме на пирамиду ПРИМЕНА ПИТАГОРИНЕ ТЕОРЕМЕ НА ПИРАМИДУ Дата је права правилна четворострана пирамида. Дата је права правилна четворострана пирамида.

1. Која једнакост повезује ‫ܪ‬ǡ ݄и ܽ? 1. Која једнакост повезује H, h и a?

మ

Одговор иобразложење. образложење.Једнакост ‫ ܪ‬ൌ ට݄ଶ െ ௔ , према Питагориној теореми Одговори ସ 2 а 2 = ο‫ܱܵܧ‬са h – , према теореми Једнакост Нна примењеној правимПитагориној углом у темену ܱ. примењеној на DEOS са правим углом у 4 темену O. 2.2.Која повезује h, a݄ǡиܽи b? ܾ? Којаједнакост једнакост повезује Одговор иобразложење. образложење. Одговори

3.3.Која повезује H, ‫ܪ‬ǡ h и݄и b? ܾ? Којаједнакост једнакост повезује Одговор иобразложење. образложење. Одговори

4.4.Која повезује H, ‫ܪ‬ǡ a иܽи b? ܾ? Којаједнакост једнакост повезује Одговор иобразложење. образложење. Одговори

67

63

Цртање графика линеарне функције

ЦРТАЊЕ ГРАФИКА ЛИНЕАРНЕ ФУНКЦИЈЕ–Радни листић 1 1. Попуни дату табелу. 1. Попуни дату табелу. x –3x + x4

–2

–1 –2

0 –1

1 0

1

2 2

–3x + 4

10 10

–5 –5

На основу добијених резултата у горњој табели допуни дате реченице тако да оне 2. 24 24 2. а основу добијених резултата у горњој табели допуни дате реченице тако да оне буду будуНтачни искази. тачни искази. • Тачке (–2, ___ ), (0, ___), ( ___ ,10)припадају графику функције y = –3x + 4. • Тачке (–2, ___ ), (0, ___), ( ___ ,10) припадају графику функције y = –3x + 4. • Тачке Тачке (–1, (–1,___ ___),),(1, (1,___ ___),),( (___ ___, –5) , –5)не припадајуграфику графику функције = –3x • не припадају функције y =y–3x + 4.+ 4. 25 опуни дате УУ другој реченици обаоба пута изабери 3. 3. 25 Д Допуни дате реченице реченицетако такодадаоне онебуду будутачни тачниискази. искази. другој реченици пута једну од понуђених речи из заграде. изабери једну од понуђених речи из заграде.

• Коефицијент правца правца функције y = –3x +y 4=једнак ___. је ___. • Коефицијент функције –3x + 4је једнак

• Функција + 4 је _________________ опадајућа), јер је • Функција y = –3x y+=4 –3x је _________________ (растућа,(растућа, опадајућа), јер је њен коефицијент правца _________________ (позитиван, негативан) број. њен коефицијент правца _________________ (позитиван, негативан) број. 26 Нацртај график линеарне функције y = –3x + 4. 4. 26 Нацртај график линеарне функције y = –3x + 4. 4.

Упутство: Погледај „катанац” и пример 2 у уџбенику на страни 115. Упутство: Упутство: Погледај пример 3 и 4 у уџбенику на страни 122, као и „слончиће” на страни 123. Упутство: 26 26 Упутство: Упутство: Погледај Погледај пример пример11уууџбенику уџбеникуна настрани страни119. 119. 24 24 25 25

64

68

Читање графика линеарне функције ЧИТАЊЕ ГРАФИКА ЛИНЕАРНЕ ФУНКЦИЈЕ–Радни листић 2 1.  Права нацртана у координатном систему испод графикједне једнелинеарне линеарнефункције, функције, рецимо 1. Права нацртана у координатном систему испод јејеграфик функцијеf(x) f(x) == ax ax + b, b, где Посматрајући тајтај график, рецимо функције где су су aaииbbза занас наснепознати непознатибројеви. бројеви. Посматрајући закључи које знаке неједнакости треба да упишеш на празна места. график, закључи које знаке неједнакости треба да упишеш на празна места.

• 1