KLETT matematika 6 prirucnik

Небојша Икодиновић • Слађана Димитријевић

Математика 6 Приручник за наставнике математике у шестом разреду основне школе

Приручник за наставнике математике у шестом разреду основне школе Треће издање Аутори: др Небојша Икодиновић, мр Слађана Димитријевић Рецензенти: проф. др Радосав Ђорђевић, ванредни професор (Природно-математички факултет у Крагујевцу) Зорица Станковић, професор математике (ОШ „Мома Станојловић“ у Крагујевцу) Милица Вајукић, професор математике (ОШ „Дринка Павловић“ у Београду)

Графичко обликовање:

Нови Сад

Обликовање корица: Милош Аризовић Лектура: Јована Ђокић

Издавач: Издавачка кућа „Klett“, д.о.о. Светозара Ћоровића 15/IV, 11000 Београд Тел.: 011/3348-384, факс: 011/3348-385 [email protected], www.klett.rs За издавача: Гордана Кнежевић Орлић Главни уредник: Александар Рајковић Уредник: проф. др Бранислав Поповић Руководилац пројекта: Александар Рајковић Штампа: Scanner Studio, Београд Тираж: 500 примерака

Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

© Klett, 2012. ISBN 978-86-7762-159-9

Увод Приручник је део уџбеничког комплета Математика за шести разред основне школе који чине и • уџбеник аутора Н. Икодиновића и С. Димитријевић и • збирка задатака аутора С. Милојевић и Н. Вуловића. Као и цео уџбенички комплет, и Приручник на себи својствен начин прати важећи наставни програм. Писан је на основу идеја и ставова свих аутора Уџбеника и збирке. Приручник садржи три поглавља. Прво поглавље, с једне стране, даје приказ структуре Уџбеника, а с друге стране, општи поглед на градиво за шести разред. Настојали смо да детаљно прикажемо опште концепте и идеје које су нас водиле приликом писања Уџбеника и збирке, као и да посебно укажемо на разлоге који су условили њихову структуру. Такође, у анализи целокупног градива покушали смо да прикажемо структурну (хоризонталну) везу између наставних целина, а у основним цртама и њихову (вертикалну) повезаност са математичким садржајима који им претходе или који ће следити. Друго поглавље је најобимније, заузима централно место у приручнику и прати редослед излагања наставних садржаја у Уџбенику. Настојали смо да сваки од наслова прикажемо и анализирамо како са математичког тако и са методичког становишта. Значајно место посветили смо трагању за одговарајућим начинима на које се предвиђени садржаји могу што јасније изложити ученицима и приближити њиховим погледима и схватањима. У том смислу, сваки од наслова може бити полазна основа за припрему одговарајућих часова, при чему конкретан методичко-дидактички приступ може бити различит у зависности од околности у којима се изводи настава. Треће поглавље садржи материјале различите врсте (наставне листиће, тестове различитог облика и сл.), који се могу умножавати и делити ученицима. Они се могу користити за рад на часу или за домаће задатке. У другом поглављу објашњено је каква је намена сваког од њих, којим ученицима је намењен и када се може користити. Приручник је, пре свега, намењен наставницима. Како сматрамо да наставу није могуће „са стране“ организовати, Приручник смо осмислили као помоћ и подршку наставницима у држању наставе. То је разлог због кога нисмо писали детаљне припреме за часове, већ смо наставне садржаје за шести разред детаљно анализирали, тако да наставник те анализе може искористити за припреме у складу са сопственим начином извођења наставе. Желимо да захвалимо свима који су посредно или непосредно утицали на обликовање нашег уџбеничког комплета. Све сугестије и примедбе рецензената, лектора и уредника имале су велики утицај на коначан изглед текста. Посебно се захваљујемо колегама који раде у основним школама. Искуство које су несебично поделили са нама значајно је допринело квалитету нашег комплета. Аутори

САДРЖАЈ 1. Опште напомене о математици у шестом разреду . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1. Наставни садржаји . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2. Концепција Уџбеника и Збирке задатака . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3. Хоризонтална и вертикална повезаност градива математике у шестом разреду . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4. Оперативни план рада . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2. Опште методичке напомене о реализацији наставних садржаја у шестом разреду . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1. Цели бројеви . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.1. Скуп целих бројева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.2. Поређење целих бројева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.3. Сабирање целих бројева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.4. Одузимање целих бројева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.5. Својства сабирања целих бројева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.6. Једначине . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.7. Неједначине . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.8. Множење целих бројева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.9. Дељење целих бројева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.10. Својства множења целих бројева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2. Троугао . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.1. Појам и врсте троуглова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.2. Врсте троуглова у зависности од једнакости његових страница . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.3. Углови троугла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.3.1. Збир углова у троуглу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.3.2. Врсте троуглова у зависности од величине углова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.3.3. Спољашњи углови троугла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.4. Односи страница и углова троугла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2.5. Основне неједнакости за странице троугла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.6. Конструкције . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.6.1. Конструкције неких углова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.7. Подударност троуглова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2.8. Ставови подударности троуглова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.9. Примена ставова подударности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.10. Конструкције троугла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2.11. Описана и уписана кружница . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2.12. Висине троугла и ортоцентар . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2.13. Тежишне дужи троугла и тежиште . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2.14. Значајне тачке троугла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3. Рационални бројеви . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3.1. Скуп рационалних бројева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3.2. Поређење рационалних бројева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.3.3. Децимални запис рационалних бројева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.3.4. Сабирање рационалних бројева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3.5. Одузимање рационалних бројева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4

2.3.6. Својства сабирања рационалних бројева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3.7. Једначине са сабирањем и одузимањем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3.8. Неједначине са сабирањем и одузимањем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3.9. Множење рационалних бројева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3.10. Својства множења рационалних бројева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3.11. Дељење рационалних бројева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3.12. Изрази са рационалним бројевима . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3.13. Једначине . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3.14. Неједначине . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.3.15. Проценти . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.4. Четвороугао . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.4.1. Појам четвороугла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.4.2. Углови четвороугла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.4.3. Паралелограм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.4.3.1. Својства паралелограма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.4.3.2. Правоугаоник, ромб и квадрат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.4.3.3. Паралелограми и симетрије . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.4.3.4. Конструкција паралелограма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.4.4. Трапез . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2. 4.4.1. Својства трапеза . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.4.4.2. Конструкције трапеза . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.4.5. Делтоид . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.5. Површине четвороуглова и троуглова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.5.1. Појам површине . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.5.2. Површина паралелограма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.5.3. Површина троугла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.5.4. Површина трапеза . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.5.5. Површина произвољног четвороугла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3. Наставни листићи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 1. Сабирање целих бројева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2. Операције са целим бројевима . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3. Једноставне геометријске конструкције лењиром и шестаром . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4. Углови на трансверзали . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 p 5. Поређење рационалних бројева у запису q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 6. Површине фигура датих у квадратној мрежи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 7. Површина трапеза . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Cабирање целих бројева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Oперације са целим бројевима . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Једноставне геометријске конструкције лењиром и шестаром . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 углови на трансверзали . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 поређење рационалних бројева у запису p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 q површине фигура датих у квадратној мрежи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4. Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5

1. Опште напомене о математици у шестом разреду 1.1. Наставни садржаји Наставни програм прописује следеће тематске целине: 1. Цели бројеви; 2. Троугао; 3. Рационални бројеви; 4. Четвороугао; 5. Површине четвороуглова и троуглова.

1.2. Концепција Уџбеника и Збирке задатака Уџбеник и Збирка задатака која га прати конципирани су на исти начин као и наши комплети за остале разреде. Пре свега, велику пажњу посветили смо мотивацији сваке наставне теме и образлагању њеног значаја с практичног становишта, али и у систему знања ученика. У том смислу, свака наставна тема почета је кратком причом, чији је циљ да мотивише садржаје који следе. Садржај Уџбеника показује поделу тема на мање целине, тако да се из њега може направити оперативни план рада. Наставне јединице писане су у складу са принципима припреме за час, а већина почиње мотивационим и илустративним примерима погодним за уводни део часа. Главни садржаји писани су језиком својственим математичком излагању, који смо ипак настојали да ублажимо и прилагодимо могућностима ученика овог узраста. Ради прегледности, све дефиниције јасно су истакнуте у апаратури „катанац“, а све теореме у апаратури „слонче“. Докази су, у зависности од случаја, дати пре или после теореме. У случају када доказ претходи, ученици теорему доживљавају као закључак, што је са методичког становишта боље и ефикасније. Случај када теорема претходи доказу уобичајен је за математичку литературу и припрема ученике за читање озбиљнијих и формалнијих текстова. Примери заузимају врло значајно место у обради наставне јединице и врло пажљиво су састављани. Подједнако су заступљени они примери који објашњавају зашто се нешто учи и они који показују како се решaвају задаци. Дакле, међу њима има оних који су практични примери и оних који су типични школски задаци. Скоро сваки пример прате задаци истог или сличног типа. И они су састављани у функцији усвајања новог градива или примене усвојених садржаја, а свакако, има и оних за које је потребна нова идеја. Трудили смо се да у највећој могућој мери обновимо „познате“ ствари уколико је задатак то захтевао. Нисмо подразумевали да је познавање градива из других предмета (из физике или географије, на пример), а често ни математичких садржаја неопходно за решавање задатака, већ смо подсећали

7

ученике на њих. Из свега претходног видљива је наша намера да уобичајену форму математичког текста дефиниција – теорема – доказ – пример – задатак задржимо, али истовремено и „прикријемо“ онолико колико је неопходно да би сви њени елементи били присутни, али и разумљиви ученицима. Трудили смо се да помиримо озбиљност математичког градива и његову доступност ученицима у самосталном раду. У том духу, Уџбеник садржи велики број напомена, чији је циљ да предупреде типичне ђачке недоумице и нејасноће, као и оне које указују на типичне грешке које ученици праве приликом решавања задатака. Томе смо и у Приручнику посветили значајну пажњу. При бирању илустрација водила нас је изрека да слика вреди хиљаду речи. Илустрације су увек у функцији текста и на њих би требало посебно обратити пажњу. Такође, трудили смо се да јасно визуализујемо све важне дефиниције, теореме и поступке. Главни текст прате и две врсте необавезних садржаја. Иконицом АБВ истакнуте су језичке напомене које упознају ученике са новим речима. Како су углавном у питању речи страног порекла, напомене су писане на основу Великог речника страних речи и израза, чији су аутори Иван Клајн и Милан Шипка. Оне објашњавају употребу одређених речи у математици, али и ван ње, негујући на тај начин језичку културу ученика. Ученицима који желе више намењена је друга врста необавезних садржаја. Они се могу користити за припремање додатне наставе. У њима је обрађено градиво у већој или мањој мери ван предвиђеног наставног програма, с намером да подстакне ученике да направе искорак и мотивише их да самостално продубе знања и преко оквира потребног за оцену. Збирка задатака састављена је тако да у потпуности следи Уџбеник. Пре свега, Збирка доприноси лакшем усвајању градива зато што су примери из Уџбеника прерађени у почетне задатке. Она садржи довољно задатака, и за оне „споре“ ученике, али и оне који су намењени талентованим ученицима. Осим тога, Збирка садржи и великих број задатака предвиђених за самостално вежбање. Сваку наставну тему прати тест који је систематизује. Ови тестови се могу употребити за припрему контролних и писмених задатака. Збирка садржи решења свих задатака.

8

1.3. Хоризонтална и вертикална повезаност градива математике у шестом разреду Наставне теме које чине градиво шестог разреда могу се поделити у две целине. Једну чине аритметичко-алгебарски садржаји, а другу геометријски. Теме које чине једну целину јако су међусобно повезане. Тако, тема „Рационални бројеви“ природно се наставља на тему „Цели бројеви“. Такође, тема Четвороугао подразумева да су ученици савладали садржаје теме „Троугао“, те се интензивно и често на њих наслања. Тема Површина четвороуглова и троуглова повезана је са обе геометријске теме. Наравно, како тема обилује рачунским задацима, неминовна је повезаност и са алгебарским садржајима. Не треба да изненађује чињеница да се подразумева и знање стечено у претходним разредима, пре свега у петом. Разломци и децимални бројеви, као и извођење основних рачунских операција са њима подразумевају се у шестом разреду. Такође, без геометријских садржаја петог разреда није могуће пратити геометрију шестог разреда. Ово је неопходно имати и у виду приликом извођења наставе. Сматрамо да је корисно и ученицима указати на јаку (вертикалну) повезаност математичких садржаја, односно пружити им шири увид у „изградњу математике“, што се најбоље чини подсећањем на редослед упознавања са појединим садржајима током протеклих година и истицањем односа нових садржаја са њима. Истичемо још једну важну ствар која је у вези са обнављањем. Често ученике подсећамо искључиво на формуле и поступке, а ретко на начине и путеве којима смо дошли до њих. Таква пракса има за последицу да ученици углавном покушавају да се сете „готове“ формуле и ако им то не пође за руком, одустају. Скоро нико не покушава да се сети како се до те формуле долази. Добро су позната истраживања у вези са памћењем и заборављањем, која показују да се слепо меморисане чињенице веома кратко и неквалитетно држе у глави. Велики део градива шестог разреда неопходан је и за праћење градива седмог и осмог разреда.

9

1.4. Оперативни план рада ОПЕРАТИВНИ ПЛАН РАДА редни број часа теме

наст. јединице

I

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ – Z

1

обраде

утврђивања

7

9

Упознавање ученика са планом и програмом

1 1

2

1

Осврт на скупове N и No

3

2

Појам негативног броја; скуп Z

1

4

3

Цели бројеви и бројевна права, супротни бројеви

1

5

4

Апсолутна вредност целог броја

1

6

5

Упоређивање целих бројева

7

6

Сабирање целих бројева

8

7

Сабирање целих бројева

9

8

Одузимање целих бројева

10

9

Одузимање целих бројева

1

11

10

Својства сабирања

1

12

11

Једначине у вези са сабирањем и одузимањем у скупу Z

13

12

Једначине у вези са сабирањем и одузимањем у скупу Z

14

13

Неједначине у вези са сабирањем и одузимањем у скупу Z

15

14

Неједначине у вези са сабирањем и одузимањем у скупу Z

1

16

15

Сабирање и одузимање у скупу Z – систематизација

1

II

10

број часова наставна јединица

1 1 1 1

1 1 1

ТРОУГАО – ОПШТА СВОЈСТВА

6

6

17

1

Троугао – појам и елементи

1

18

2

Унутрашњи углови троугла

1

19

3

Спољашњи углови троугла

1

20

4

Углови троугла

21

5

Однос страница у троуглу

1

22

6

Однос страница и углова у троуглу

1

23

7

Врсте троуглова

1

24

8

Врсте троуглова

1

25

9

Особине једнакокраког и једнакостраничног троугла

1

26

10

Конструкције углова од 60°,30°,90°,120°

1

27

11

Конструкције углова од 75°, 45°, 135°

1

28

12

Троугао – систематизација

1

29

I писмени задатак

1

30

Исправка I писменог задатка

1

1

III

МНОЖЕЊЕ И ДЕЉЕЊЕ ЦЕЛИХ БРОЈЕВА

4 1

8

31

1

Множење целих бројева

32

2

Множење целих бројева

1

33

3

Множење – квадрат целог броја

1

34

4

Изрази са целим бројевима

1

35

5

Дељење целих бројева

36

6

Дељење целих бројева

37

7

Множење и дељење целих бројева

38

8

Једначине у вези са множењем и дељењем у скупу Z

39

9

Једначине у вези са множењем и дељењем у скупу Z

40

10

Неједначине у вези са множењем и дељењем у скупу Z

41

11

Примена једначина и неједначина

1

42

12

Множење и дељење целих бројева – систематизација

1

IV

ПОДУДАРНОСТ ТРОУГЛОВА И ЗНАЧАЈНЕ ТАЧКЕ

1 1 1 1 1 1

7

9

43

1

Подударност геометријских фигура – пресликавање

44

2

Подударност троуглова

1

45

3

Подударност троуглова – I и II став

1

46

4

Подударност троуглова – I и II став

47

5

Подударност троуглова - III и IV став

48

6

Подударност троуглова – III и IV став

1

49

7

Примена подударности троуглова

1

50

8

Основне конструкције троуглова

51

9

Основне конструкције троуглова

1

52

10

Основне конструкције троуглова

1

53

11

Центар описане и уписане кружнице

54

12

Центар описане и уписане кружнице

55

13

Тежиште троугла

1

56

14

Ортоцентар троугла

1

57

15

Значајне тачке троугла

1

58

16

Троугао – систематизација

1

59

II писмени задатак

1

60

Исправка II писменог задатка

1

V

1

1 1

1

1 1

ПРОЦЕНАТ И ПРИМЕНА

4

3

61

1

Појам процента

1

62

2

Израчунавање процентног износа

1

63

3

Израчунавање процента

1

64

4

Израчунавање главнице

1

65

5

Процентни рачун

1

66

6

Процентни рачун

1

67

7

Примена процента

1

11

VI 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ – Q Негативни рационални бројеви, супротни бројеви Скуп Q, бројевна права, координате тачке, апсолутна вредност Упоређивање рационалних бројева Сабирање разломака Сабирање рационалних бројева облика а/b Сабирање рационалних бројева облика а/b Сабирање рационалних бројева – децимални запис Својства сабирања Одузимање рационалних бројева Сабирање и одузимање у скупу Q Бројевни изрази Једначине облика а + x = b Примена једначина Неједначине облика а + x > b Једначине и неједначине Сабирање и одузимање у скупу Q – систематизација

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

ЧЕТВОРОУГАО Четвороугао – појам, врсте Углови четвороугла Углови четвороугла Паралелограм – својства Врсте паралелограма Квадрат – својства, конструкције Правоугаоник – својства, конструкције Правоугли паралелограми – својства и конструкције Ромб – својства, конструкције Косоугли паралелограми – својства и конструкције Паралелограм Трапез – својства, врсте, елементи Једнакокраки и правоугли трапез Конструкција трапеза Конструкција трапеза Делтоид – својства, конструкције Четвороугао Четвороугао – систематизација

VII 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103

12

1 2 3 4

МНОЖЕЊЕ И ДЕЉЕЊЕ У СКУПУ Q Множење рационалних бројева облика а/b Множење рационалних бројева у децималном запису Квадрат рационалног броја, бројеви 1, 0, -1 као чиниоци Својства множења у скупу Q

7

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 1 1

9

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

III писмени задатак Исправка III писменог задатка VIII

104 105 106 107

9 1 1 1

1 1 5 1 1

8

1 1

108

5

Бројевни изрази у скупу Q

109

6

Бројевни изрази у скупу Q

1

110

7

Дељење целих и позитивних рационалних бројева

1

111

8

Дељење рационалних бројева облика а/b

112

9

Дељење рационалних бројева у децималном запису

1

113

10

Дељење рационалних бројева

1

114

11

Множење и дељење у скупу Q

1

115

12

Бројевни изрази

1

116

13

Множење и дељење у скупу Q – систематизација

1

IX

1

1

ПОВРШИНА ТРОУГЛА И ЧЕТВОРОУГЛА

6

11

117

1

Појам површине, мерење површи, једнакост површина геом. фиг.

1

118

2

Површина правоугаоника и квадрата

1

119

3

Површина паралелограма

1

120

4

Површина паралелограма

1

121

5

Површина паралелограма

1

122

6

Површина троугла

123

7

Површина троугла

1

124

8

Површина троугла

1

125

9

Површина трапеза

126

10

Површина трапеза

1

127

11

Површина трапеза

1

128

12

Површина четвороугла са нормалним дијагоналама

129

13

Површина четвороугла са нормалним дијагоналама

1

130

14

Површина четвороугла

1

131

15

Површина четвороугла

1

132

16

Површина троугла и четвороугла

1

133

17

Површина троугла и четвороугла – систематизација

1

134

IV писмени задатак

1

135

Исправка IV писменог задатка

1

ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ У СКУПУ Q

X

1

1

1

2

7

136

1

Једначине познатог облика

1

137

2

Једначине облика ax + b = c

138

3

Примена једначина

1

139

4

Неједначине познатог облика

1

140

5

Неједначине облика ax + b > c

141

6

Примена неједначина

1

142

7

Бројевни изрази

1

143

8

Рационални бројеви

1

144

9

Систематизација градива

1

1

1

13

2. Опште методичке напомене о реализацији наставних садржаја у шестом разреду

2.1. Цели бројеви У нижим разредима основне школе ученици су упознати са природним бројевима, док током виших разреда уче о богатијим бројевним структурама. С првим проширењем скупа природних бројева – скупом разломака (који је затворен за дељење, за разлику од скупа N) – срећу се у петом разреду. У шестом разреду се наставља овај процес. Ученици се прво упознају са минималним проширењем скупа природних бројева које је затворено за одузимање – скупом целих бројева, а потом и са минималним проширењем скупа целих бројева које је затворено за дељење – скупом рационалних бројева. Настојали смо да тему „Цели бројеви“ што детаљније обрадимо у Уџбенику. На почетку излагања се неминовно поставља питање мотивације (како и чиме образложити потребу за новим знањем?). Мотивисање ученика за рад, на начин који им је близак и јасан, увек је корисно и пожељно, па то треба чинити кад год је могуће (а скоро увек јесте). Тако, у Уџбенику су најпре истакнуте практичне потребе увођења нових бројева, односно увођења негативних (целих) бројева. Познавање већег дела ове теме је предуслов нормалне свакодневне комуникације у савременом окружењу, па стога не треба бежати од примера из праксе. Затвореност за одузимање скупа целих бројева касније се изводи као закључак, а не даје се као мотив1. Такође, већи део ове теме потпада под најнижи и средњи ниво прописаних образовних стандарда за крај обавезног образовања, па се зато мора инсистирати на трајности усвојеног знања и систематизацији градива.

2.1.1. Скуп целих бројева Ова наставна јединица садржи више нових појмова који представљају камен темељац читаве теме. То су пре свега: • негативан цео број; • бројевна права; • супротан број; • апсолутна вредност броја. Због међусобне повезаности ових појмова, они су у Уџбенику дати у оквиру једне (поднасловима издељене) целине. Међутим, темпо излагања свакако треба прилагодити ученицима. Препорука је да се за усвајање датих појмова одвоји три или бар два часа. 1

14

Н  аравно, када о целим бројевима говоримо на вишим ступњевима школовања, поступамо другачије. У том случају практичне потребе и њихов утицај на развој математике би углавном припале историји математике, док би се предавање превасходно концентрисало на својства посматране алгебарске структуре. Тада бисмо говорили о адитивној групи (Z, +) и прстену (Z, +, ∙).

Појам негативног броја није потпуно непознат ученицима (сви су чули или видели бар неку зимску временску прогнозу), па их зато треба кратко подсетити на ситуације у којима се срећемо са негативним целим бројевима или од њих тражити да те ситуације наведу (то је сврха илустрација на страни 8). Наиме, и овде посежемо за мотивацијом у емпиријским представама броја, односно у мерењу. Заправо, број не посматрамо као засебан ентитет, већ као мерни број неке величине, у нашем случају температуре. Тако, једна вредност је изабрана за нулту (почетну), а од ње постоје и веће (позитивне) и мање (негативне) вредности. Слично је са надморском висином, убрзањем итд. Такође, негативне бројеве користимо да искажемо недостатак нечега, дуг. Историјски, они су се прво и користили у те сврхе2. Негативне бројеве уводимо као бројеве који су за неки природан број мањи од нуле, односно сваки негативан број посматрамо као резултат одузимања неког природног броја од нуле. У примеру 1 на страни 8 на тај начин је објашњено порекло записа негативних бројева: 0 – 1 = –1, 0 – 2 = –2,

0 – 3 = –3.

Слично се потом објашњава и запис са предзнаком позитивних целих бројева: 0 + 1 = +1, 0 + 2 = +2,

0 + 3 = +3.

Скуп целих бројева онда уводимо као одговарајућу унију: Z = Z – ∪ {0} ∪ Z + = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...} = {0, ±1, ±2, ±3, ...}. О бројевној правој Ученици се сада први пут срећу са бројевном правом, до сада је то увек била бројевна полуправа. Због одговарајућих аналогија, корисно је прво од ученика захтевати читање података са скале термометра и подсетити их на бројевну полуправу. Кључно је истаћи елементе који одређују бројевну праву. Слично као и у случају бројевне полуправе, бројевна права је одређена избором координатног почетка О и дужи OI, где је тачки О придружен број 0, а тачки I број 1 (овим је одређен и позитиван смер). Усмерење бројевне праве се мора истаћи јер игра кључну улогу при упоређивању целих бројева.

2

 егативне бројеве први пут срећемо у кинеској математици. У старокинеском делу Девет књига о матеН матичкој вештини (око 200. п.н.е.) негативни бројеви су записивани црном, а позитивни црвеном бојом. У Европу, негативне бројеве, као и арапске цифре, доноси трговац Леонардо из Пизе, познат и као Фибоначи (1180–1250), након свог путовања по Истоку. Он их је употребљавао да искаже губитак насупрот заради у финансијским проблемима.

15

Први прави проблем настаје када на бројевној правој треба одредити тачке којима се придружују негативни цели бројеви. Питање које свакако треба поставити ученицима је: „Шта мислите, где се налази тачка Ј, чија је координата број –1?“ Интуиција је у овом случају врло јака и најчешће довољна за тачан одговор. Међутим, и поред тога корисно је указати на аналогију између међусобних положаја тачака О(0) и I(1) и тачака J(–1) и О(0).

Посебну пажњу треба посветити задатку 5 на страни 11, јер он представља добар увод за неколико појмова који тек следе (супротан број, апсолутна вредност броја, поређење целих бројева, сабирање и одузимање целих бројева). Наравно, овај задатак је пожељно и додатно разрадити. Тако, вежбајући релативно једноставан поступак приказивања целих бројева на бројевној правој, ученике припремамо за озбиљније садржаје који следе. О супротним бројевима Појам међусобно супротних бројева уводимо помоћу бројевне праве. Тачке које су централносиметричне у односу на координатни почетак О придружене су супротним бројевима. Међутим, како појам централне симетрије ученицима још није познат, искоришћена је осна симетричност одговарајућих тачака у односу на праву p (нормалу на бројевну праву у тачки О).

Због каснијег објашњавања множења два цела негативна броја, битно је извести закључак да за сваки цео број a важи –(–a) = a. У Уџбенику је прво урађено неколико примера који указују на ову једнакост, а онда је дат и општи закључак3. 3

16

То је принцип који смо у Уџбенику најчешће примењивали при излагању нових тврђења.

О апсолутној вредности броја Овом приликом се ученици први пут срећу и са појмом апсолутне вредности броја. При усвајању овог појма углавном има проблема. Међу најкомпликованије задатке спадају они у којима се под апсолутном вредношћу налази непозната. На пример, једна од најчешћих грешака ученика је тврђење |a| = a. Овај погрешан закључак је последица тога што добар део ученика погрешно сматра да је a увек позитиван број, а –а увек негативан број. Слично, ученици често апсолутну вредност тумаче као уклањање предзнака –, па погрешно закључују да је |–a| = a. Стога треба избегавати да о целим бројевима говоримо као о n и –n, n∈N, јер то додатно подупире погрешна тумачења. Зато смо кроз читав текст инсистирали на томе да a означава произвољан цео број, осим ако није другачије наглашено. Сматрамо да у шестом разреду треба инсистирати на геометријској интерпретацији апсолутне вредности. Зато је у Уџбенику прво дата дефиниција у којој се апсолутна вредност неког броја дефинише као дужина одговарајуће дужи. На овај начин ученици већ могу да одреде апсолутну вредност конкретног броја (задатак 9 на страни 13), али и да изведу битан закључак о ненегативности апсолутне вредности броја (дужина не може бити негативна). Тек потом је дата и друга (еквивалентна) дефиниција апсолутне вредности целог броја: . Ову дефиницију ученици ће тек у даљем школовању више користити, на пример при решавању сложенијих једначина и неједначина са апсолутном вредношћу (у осмом разреду) она је неопходна. Међутим, за решавање задатака у шестом разреду, довољно је о апсолутној вредности размишљати „геометријски“. У Уџбенику су једноставне једначине и неједначине са апсолутном вредношћу управо тако и решаване (примери 3, 4 и 5). Ови задаци су дати јер представљају добру вежбу за квалитетно усвајање појма апсолутне вредности броја, што је врло битно за усвајање следећих садржаја (поређење целих бројева, сабирање целих бројева).

2.1.2. Поређење целих бројева Ово је врло битна наставна јединица, која се у потпуности наслања на претходну. Као главни аргумент при доношењу одговарајућих закључака користи се бројевна права (чињеница да бројеви слева надесно расту) и апсолутна вредност броја (удаљеност броја од координатног почетка). Посебну пажњу треба усмерити на поређење два негативна броја. Ученици ту често греше, па рецимо закључе да је –200 > –100. Зато их, бар на почетку, треба подсећати на бројевну праву, то јест тражити да замисле да дате бројеве представљају на бројевној правој, па тек онда да одреде њихов поредак. У овом случају је корисно негативне бројеве повезати са појмом дуга. Рецимо, ученицима поставити питање: „Када смо у повољнијој ситуацији, када дугујемо 100 (имамо –100) или када дугујемо 200 (имамо –200) динара?“

17

2.1.3. Сабирање целих бројева У жељи да ученици што лакше и са више разумевања овладају поступком сабирања целих бројева, у Уџбенику су дати одговарајући шематски прикази. Сврха тих илустрација је да ученицима кроз конкретне примере наговестимо и објаснимо општа правила, односно да их наведемо да сами донесу одговарајуће закључке. У примерима се користе једноставне финансијске трансакције јер је искуство показало да ученици рачун са целим бројевима најлакше тако прихватају. Такође, може се рећи да је то и најприроднији пут, јер се и сама математика, историјски гледано, у овом свом делу развијала под утицајем практичних потреба вођења финансија. Због већег броја илустрација које представљају срж излагања овај час би било добро реализовати: • уз директно коришћење Уџбеника4 или • уз мултимедијалну подршку, тако да одговарајући делови из Уџбеника буду пројектовани, или пак буде направљена одговарајућа анимација5. На страни 56 овог Приручника приложен је и радни листић који се може искористити за реализацију ове наставне јединице, без обзира на то за коју методу реализације се одлучите. Због сличности и одговарајућих аналогија прво су разматрани збирови бројева истог знака. Ово су и једноставнији случајеви, па им и због тога треба дати предност. Потом је детаљно обрађен и захтевнији случај – збир два броја различитих знакова. У примеру 1 (на страни 16 у Уџбенику) ученике подсећамо на сабирање природних бројева. Ово се чини пре свега да би се на познатој материји објаснио шематски приказ који ћемо користити и за нове садржаје. Наиме, сабирати на бројевној правој значи надовезивати одговарајуће дужи. Позитивни бројеви су приказани као позитивно усмерене „дужи“ (траке). Резултујућа усмерена „дуж“ почиње где и први сабирак, а завршава се где и други сабирак.

200 + 500 = 700, 4

|200| + |500| = |700|

 вакав начин обраде новог градива је од суштинске важности, јер смо тада у прилици да ученике учимо О како се користи стручна литература. Такође, то је и тренутак да код ученика подстакнемо самосталност у учењу, што је један од фактора који ће пресудно утицати на њихов успех у даљем школовању. Зато је пожељно, кад год то околности дозвољавају, на овај начин конципирати часове. 5 Наставни процес има много особина које су константа од појаве првих школа па до данас, али истовремено он се и свакодневно мења. Методе учења морају да одговарају начину и стилу живота ученика којима је то знање намењено. Стога морамо учинити све да модернизујемо наставу и на прави начин искористимо могућности савремених технологија.

18

У примеру 2 разматра се збир два негативна броја. Негативни бројеви су приказани као негативно усмерене „дужи“ (траке). Као додатно поједностављење разматрања, бројеви су тако изабрани да овај случај представља „слику у огледалу“ претходног примера.

(–200) + (–500) = –700,

|–200| + |–500| = |–700|

После ова два уводна примера исказује се општи поступак сабирања два броја истог знака. У примерима 3 и 4 објашњено је рачунање збира два цела броја различитих знакова. Примери су тако одабрани да ученицима јасно указују на чињеницу да унапред не знамо знак збира, он може бити једнак нули или позитиван или негативан.

Такође, ученици би на основу ових примера, то јест на основу датих шематских приказа требало да увиде како дужина приказаних усмерених дужи (апсолутна вредност сабирака) одређује знак и апсолутну вредност збира.

19

Препоручујемо да се задатак 6 на страни 18 (или неки њему сличан) искористи за мини (петоминутни) контролни тест6 на крају излагања ове наставне јединице или на првом часу увежбавања овог градива.

2.1.4. Одузимање целих бројева У скупу природних бројева, као и у скупу разломака, учиници су сабирање и одузимање доживљавали као две бинарне операције између којих постоји одговарајућа веза. То је било неминовно јер оба поменута скупа нису била затворена за одузимање. Увођењем целих бројева нестаје потреба за тим. Сада се одузимање схвата само као краћи запис одговарајућег сабирања, на пример: израз 300 – 250 је краћи запис израза 300 + (–250). Од ученика се очекује да то увиде радећи задатке 1 и 2 на страни 19. У оквиру ове наставне јединице дат је и веома битан закључак – скуп целих бројева је затворен за одузимање. Ово је битна разлика у односу на претходно разматране скупове бројева и, гледано строго математички, то је и сврха и оправдање за увођење овог проширења скупа природних бројева. Овде је и тренутак да се нагласи двојака употреба знака – (минус). Овај знак се

употребљава да означи две ствари:

• операцију која се примењује на два броја (бинарну операцију), названу одузимање и • операцију која се примењује на један број (унарну операцију), названу супротан број. Међутим, ова двојака употреба истог знака не доводи до забуна и двосмислености јер су ове две операције веома блиске. На пример, у изразу –5 – (–2) тачно се зна када знак – означава одузимање, а када супротан број. Напоменом да се одузимање своди на сабирање углавном се сугерише да –... треба схватити као супротан број, а бинарно употребљен ... – ... треба схватити као изостављање знака +, то јест као ... + (–...). Тако, што је ниво математичког образовања виши (од шестог разреда па надаље), одузимање се све више „протерује“, а бинарна употреба знака – се користи само да скрати записивање. 6

20

М  ини-тестови су корисни из више разлога. Они дају тренутну информацију професору о напретку ученика у одговарајућој области и зато су посебно корисни у ситуацијама када је неопходно да неку материју усвоје готово сви ученици. Код таквог градива врло је битно да одмах уочимо да ли има неких проблема, а не да ту информацију добијемо после обраде читаве теме, по обављању контролне вежбе или писменог задатка. Ови тестови се могу користити за утврђивање ефикасности метода за реализацију часа и избор најефикасније. На пример, исту наставну јединицу реализујете на више различитих начина у резличитим одељењима (претпостављамо сличних по успеху) и на крају сваког часа свима дате исти тест. Једноставна обрада тако добијених резултата ће дати одговор на коју методу су ученици најбоље реаговали. Мини-тестови су корисни и за ученике, јер их подстичу на континуирано учење и активно присуство на часовима. Такође, резултати ових тестова се не оцењују на класичан начин (најчешће описно са две или три категорије) и појединачно немају превелики утицај на коначну оцену, па их зато ученици доживљавају као мање стресне. То је разлог више да чешћим давањем оваквих тестова ученике припремимо са мање фрустрација за већа искушења која их у даљем образовању сигурно очекују (све чешће, из више разлога, форма теста замењује класично одговарање).

У оквиру ове наставне јединице није описано како знак – када се нађе испред заграде утиче на предзнак бројева унутар заграде. Вероватно је једна од најчешћих грешака ученика да у случају када се знак – нађе испред заграде промене знак само првом броју у загради, а не и другом. Услед тога треба бити опрезан са увођењем и објашњењем чињенице да за целе бројеве a и b (а касније и изразе са променљивама) важи: –(a + b) = –a – b

и

–(a – b) = – a + b.

Задаци који претходе увођењу множења целих бројева не захтевају нужно елиминисање (ослобађање) заграда, па су у Уџбенику претходне једнакости дате први 7 пут у оквиру наставне јединице Својства множења целих бројева . Овe једнакости се могу (али са много више уложеног труда и времена) увести и раније уз објашњење да је број супротан збиру два броја једнак збиру њима супротних бројева: –(a + b) = –a + (–b) = –a – b

и

–(a – b) = –a + (–(–b)) = –a + b.

У ту сврху би било најбоље урадити неколико примера са одговарајућим шемама. На пример, у ту сврху могу се искористити и примери 1 и 2 из претходне наставне јединице.

2.1.5. Својства сабирања целих бројева Са наставним јединицама сличног садржаја ученици су се већ сретали у претходним разредима и углавном не виде потребу за понављањем. Они исправно верују да рачунске операције једном стекнуте особине задржавају и у богатијим структурама. Зато нагласак треба ставити на новине – постојање инверзног елемента за сабирање. Већ познате особине најбоље је обновити указивањем на корист од њихове примене у конкретним ситуацијама (задатак 2 на страни 20 у Уџбенику). 7

Једнакости су изведене као последице дистрибутивног закона множења према сабирању.

21

2.1.6. Једначине Планом и програмом је предвиђено да се у скупу целих бројева решавају само једначине са сабирањем и одузимањем, што је и природно јер скуп Z није затворен за дељење. Међутим, овде чинимо једну недоследност. Иако је ученицима већ указано да одузимање представља само краћи запис одговарајућег сабирања, и даље се говори о једначинама са одузимањем (непознатом умањенику или умањиоцу) уместо да их све посматрају као једначине са сабирањем. Програмом се не захтева да се једначине решавају алгебарски, али смо сматрали да ученике треба упознати и са овом могућношћу, јер су сви предуслови испуњени. У Уџбенику се ученици прво подсећају на правила за израчунавање непознатих, која су им већ позната. Потом је модел теразија искоришћен да ученицима предочи основну идеју алгебарског решавања једначина – додавањем истог броја на обе стране једначине добијамо њој еквивалентну једначину. Кроз три потпуно урађена примера (2, 3 и 4 на странама 22 и 23 у Уџбенику) ученицима је показано како се сваки од три основна типа једначина (када је непознат сабирак, умањеник, односно умањилац) решава. Ученицима је тако пружен избор, а на њима је одлука како ће убудуће решавати сличне једначине8. Ови примери су уједно искоришћени да објасне оно што најчешће колоквијално исказујемо као: преласком на другу страну број мења знак. Ово је битно јер ученике треба стално подсећати да је математика систем знања у коме свако правило има објашњење. Често је мишљење ученика управо супротно, а то пре свега негативно утиче на њихово самопоуздање и мотивацију за учење (тешко је, а можда и немогуће упамтити сва правила ако се не уоче везе међу њима). На крају наставне јединице ученицима је још једном указано на затвореност скупа целих бројева за одузимање (основну разлику између скупа природних и скупа целих бројева). За разлику од скупа N, у скупу Z једначине са сабирањем и одузимањем увек имају решење9. Ово би се могло искористити и као мотивација за увођење целих бројева, али у случају када се обраћамо много зрелијим математичарима него што су то ученици шестог разреда.

2.1.7. Неједначине Неједначине су у Уџбенику обрађене аналогно једначинама. При подсећању ученика на већ усвојена (коришћена) правила, треба нагласити да више немамо услове које намеће дефинисаност израза који се јављају у овим једначинама. У скупу целих бројева одузимање је увек изводљиво, то јест израз a – b је дефинисан за све целе бројеве a и b. Као припрему за графичко представљање решења неједначина у скупу целих бројева ученике треба подсетити (обновити са њима) како смо раније (у петом разреду) на бројевној полуправој представљали решења неједначина. 8

 ледећи пут са једначима овог типа ученици се срећу у осмом разреду и од тад, па надаље, постојаће само С алгебарски приступ решавању једначина. 9 У шестом разреду под једначинама са сабирањем и одузимањем сматрамо само оне у којима непозната величина заиста учествује, то јест не разматрају се једначине типа 0 ∙ x = a, a ∈Z.

22

Слично као и у случају једначина, битно је нагласити ученицима да неједначине са сабирањем и одузимањем у скупу целих бројева увек имају непразан скуп решења10. Међутим, у случају неједначина имамо још једну специфичност. Скуп решења сваке неједначине са сабирањем или одузимањем описује се са x > а или са x < а, па ученици, покушавајући да наброје сва решења или посматрајући графички приказ скупа решења на бројевној правој, лако уочавају да дата неједначина има бесконачно решења. Ово је још једна разлика у односу на скуп природних бројева. Неке неједначине, попут x + 5 > 6, у скупу природних бројева имају бесконачно много решења, док постоје и оне које имају само коначно много решења, попут x + 5 < 7.

2.1.8. Множење целих бројева Множење (дефинисано у скупу природних бројева и скупу разломака) је ученицима већ позната рачунска операција. Сада је треба (до)дефинисати у скупу целих бројева, и то тако да се смисао операције на скупу природних бројева не мења и да на скупу целих 11 бројева операција задржи особине које је већ имала . Зато ученике треба подсетити на особине множења у скупу N, и то пре свега на везу између сабирања и множења, како би се извеле корисне аналогије. Тако у примеру 1, после подсећања да 3 ∙ 10 значи три пута сабери 10, то јест 3 ∙ 10 = 10 + 10 + 10 = 30, ученици и сами могу да наслуте да 3 ∙ (–10) значи три пута сабери –10, то јест 3 ∙ (–10) = (–10) + (–10) + (–10) = –30. Тако помоћу везе између сабирања целих бројева и множења целог броја природним лако долазимо да закључка чему мора бити једнак производ позитивног и негативног целог броја. Такође, ученици без проблема усвајају и чињеницу да је производ нуле и произвољног целог броја број нула. Први прави проблем (у овој наставној једниници) јесте како објаснити чему је једнак производ два негативна броја. Ово је и историјски гледано био велики проблем за математику. Као што смо већ рекли, у Европу је, након свог путовања по Истоку, негативне бројеве донео Леонардо из Пизе, познат као Фибоначи (1180–1250). Међутим, они су тек неколико векова касније ушли у општу употребу. Проблем је био у томе што су математичари тог времена број пре свега посматрали као мерни број неке величине. Зато нису могли да одговоре на питање: „Шта представља производ два негативна броја?“ Тек када су престали да о бројевима мисле емпиријски (прихватили да је одговор на претходно питање број), успели су да дођу до одговарајућег закона. Заправо, математичке дисциплине аритметика и алгебра се тек од краја XVIII и почетка XIX века заснивају на броју, а не на величини. Дакле, при одређивању производа два негативна цела броја морамо поступити формално, као што је то и учињено у примеру 2, где је израчунат производ бројева –2 и –5. Претходно (помоћу задатка 3) је уочено да је сваки негативан 10

У шестом разреду под неједначинама са сабирањем и одузимањем сматрамо само оне у којима непозната величина заиста учествује, то јест не разматрају се неједначине типа 0 ∙ x < a, a ∈ Z и 0 ∙ x ≤ a, a ∈ Z. 11 Ово је универзалан принцип при проширивању области дефинисаности неке рачунске операције.

23

број производ његове апсолутне вредности и броја –1, па је уз прећутно коришћење особине асоцијативности множења (што ученике не збуњује, јер они очекују да множење има ту особину) показано да је производ бројева –2 и –5 број супротан производу бројева 2 и –5. Потом је уз коришћење раније показане једнакости –(–a) = a донет одговарајући закључак: (–2) ∙ (–5) = –|–2| ∙ (–5) = –(2 ∙ (–5)) = –(–10) =10. Аналогна једнакост са општим бројевима, негативним бројевима a и b: a ∙ b = –|a| ∙ b = –(|a| ∙ b) = –(–(|a| ∙ |b|)) = |a| ∙ |b| доноси нову дозу апстрактности, која ће за већину ученика бити недостижна. Међутим, сматрамо да с времена на време (не често) математика и у основној школи треба да се уздигне на себи својствен апстрактан ниво. Поред тога, ова једнакост још једном треба ученике да подсети да број a не значи нужно позитиван број a. У овом случају он означава управо супротно, означава произвољан негативан број. Због проблема на које смо већ указивали, кроз читав текст смо инсистирали да се a тумачи као произвољан цео број (позитиван, 0 или негативан), осим ако није другачије наглашено. Могли смо поступити и нешто другачије. Уместо асоцијативности може се (прећутно) искористити дистрибутивни закон множења према сабирању. Тада на основу 0 = 0 ∙ (–5) = (–2 + 2) ∙ (–5) = (–2) ∙ (–5) + 2 ∙ (–5) закључујемо да је

(–2) ∙ (–5) = –(2 ∙ (–5)) = –(–10) =10.

Основна сврха ових примера је да ученици осете да се у математици ствари дешавају са разлогом и да су међусобно повезане. Ако желимо да сабирање целих бројева наследи све „лепе“ особине које је имало у скупу природних бројева, онда је дати начин једини могући. Наравно, не очекује се од (већине) ученика да овај поступак могу сами да изведу, он само представља објашњење за правило које пак сви треба да знају. Слично, као и у случају сабирања, препоручујемо да се задатак 6 на страни 27 (или неки њему сличан) искористи за мини-контролни тест који ће нам пружити повратну информацију о усвојености овог битног дела градива. На крају излагања, посебно је издвојен закључак у вези са множењем бројем –1. То је битно јер овај закључак заједно са дистрибутивним законом даје одговор на то како се ослобађамо заграде када је знак – испред ње.

24

2.1.9. Дељење целих бројева У скупу целих бројева дељење још не можемо поистоветити са одговарајућим множењем (то ће бити могуће тек у скупу рационалних бројева). Зато ученике прво треба подсетити на везу између множења и дељења природних бројева, јер аналогно важи и за целе бројеве. У задатку 1 на страни 28 у Уџбенику, служећи се том везом, ученици треба самостално да донесу закључке о датим изразима са дељењем. Сврха овог задатка је утврђивање везе између множења и дељења, али и наговештај ученицима како се два цела броја деле. Ово је прилика и да се обнови како предзнак чинилаца одређује предзнак производа, па да се онда изведе и одговарајући закључак за дељење. Јасно треба указати, на конкретним примерима, да дељење у скупу Z није увек изводљиво. Такође, у Уџбенику је овом приликом обновљен појам делиоца, кроз пример 1 и задатак 3 на страни 28. Пре свега, истакнута је чињеница да се међусобно супротни бројеви јављају увек заједно у скупу делилаца (ако је један од њих делилац датог броја, онда је то и други).

2.1.10. Својства множења целих бројева У овој наставној јединици сумирана су нека од својстава множења која смо већ користили (комутативност, асоцијативност, дистрибутивни закон, множење са 1 и –1). Задатак 1 (страна 29 у Уџбенику), поред указивања на дистрибутивни закон множења према сабирању, ученике треба и да подсети на примену овог тврђења. Ученици заправо треба да схвате да им овај закон омогућава да одговарајући израз трансформишу. Засад се трансформација своди на лакше израчунавање бројевне вредности израза (на пример, у задатку 1 лакше је израчунати израз А него B, односно израз D него C), али ће касније имати битну улогу и при трансформацији израза са променљивама и решавању једначина и неједначина. Дистрибутивни закон множења према сабирању искоришћен је и за објашњење једнакости: –(a + b) = (–1) · (a + b) = (– 1) · a + (– 1) · b = –a + (– b) = –a – b. Како је ово место честих грешака, сматрамо да је нужно да ученици једнакост усвоје са разумевањем, а не као шаблон који се мора испоштовати. То је био основни разлог што смо се одлучили да ову једнакост ученицима разјаснимо тек у оквиру ове наставне јединице. Решавање једначина и неједначина са множењем у скупу целих бројева није предвиђено планом и програмом. С њима ће се ученици срести касније и решаваће их у скупу рационалних бројева. Тада ће детаљно бити објашњено у којим случајевима долази до промене знака неједнакости. Међутим, како ученици често при том греше, одлучили смо да већ у скупу целих бројева укажемо како на поредак целих бројева утиче множење позитивним, а како множење негативним целим бројем.

25

Овде смо посебну пажњу посветили поретку супротних бројева у односу на два дата броја (пример 1 на 30. страни у Уџбенику), то јест множењу са –1. То смо учинили пре свега зато што множење произвољним негативним бројем увек можемо посматрати као множење са –1, па са одговарајућим позитивним бројем (апсолутном вредношћу тог негативног броја). Такође, овај пример можемо искористити и да подсетимо ученике на поредак негативних бројева и њихових апсолутних вредности, то јест да већа удаљеност од 0 у случају негативних бројева значи мању вредност.

2.2. Троугао Ова наставна тема веома је значајна будући да се први пут геометрија изучава на озбиљнији начин у односу на претходне године школовања. Ученици су се раније упознавали само са елементарним појмовима геометрије и од њих се углавном очекивало само елементарно препознавање и елементарне примене. Поред низа нових појмова, значајно место заузимају теореме. Први пут се појављују и прави докази. Тако, поред упознавања са троугловима, истакнути задатак ове теме јесте упознавање са централним појмовима математике, као што су теорема и доказ. Није реално очекивати да ученици 12 до краја шестог разреда савладају вештину доказивања . Ипак, некада се мора почети. Постепено и стрпљиво излагање математичких доказа, указивање на „осетљива“ места и образлагање потребе за такозваном математичком строгошћу морају бити саставни део великог броја часова наставе геометрије у шестом разреду.

2.2.1. Појам и врсте троуглова Појам троугла ученицима је познат још од самог почетка школовања. Ипак, неопходно је једно систематично обнављање које треба да прати упознавање са усвојеним стандардним начинима обележавања троуглова и новом терминологијом. Важно је ученицима предочити да је главни разлог усвајања договора приликом означавања троуглова поједностављивање споразумевања и комуникације. У Уџбенику на страни 32 наведен је начин уобичајеног обележавања страница и углова троугла, а затим је на наредној, 33. страни, дат једноставан задатак чији је циљ да помогне при усвајању ових конвенција. У наставку су прецизирани још неки термини: шта значи „углови належу на страницу“ и „угао је захваћен страницама“. Након овог увода природно је прећи на најједноставније поделе (класификације) троуглова: • у зависности од једнакости његових страница и • у зависности од величине углова. Прва подела је једноставнија, па је предвиђена одмах након увођења појма троугла. 12

26

То није реално очекивати чак и од просечних средњошколаца.

2.2.2. Врсте троуглова у зависности од једнакости његових страница Важна класа троуглова која је прва издвојена и јасно дефинисана јесте класа једнакокраких троуглова. Будући да је реч о троугловима који заузимају истакнуто место у геометрији, сасвим је природно што су настали и неки посебни називи у вези са овим троугловима; пре свега они којима се именују странице ових троуглова – основица и крак. На страни 34 у Уџбенику наведен је и начин на који графички истичемо две једнаке (подударне) дужи на сликама и специјално краке једнакокраког троугла. Значај једнакокраких троуглова у геометрији илустрован је у примеру 1 на страни 34. У овом примеру је наведен низ ситуација у којима се појављују једнакокраки троуглови. Од ученика се захтева да уоче једнакокраке троуглове и идентификују њихове основице и краке. Ово је згодна прилика да се ученици подсете осне симетрије, симетрале дужи (њених особина и конструкције). Поменути пример садржи и ситуације преузете из геометријских конструкција које ће уследити. Након тога, посебна пажња је посвећена поткласи уочене класе троуглова – класи једнакостраничних троуглова. Наведена је и конструкција једнакостраничног троугла задате странице. Ова конструкција ће нам бити потребна приликом конструисања угла од 60°.

2.2.3. Углови троугла Да би се извршила подела троуглова у зависности од величине његових углова, природно је најпре ученике упознати са „феноменом“ константности збира углова сваког троугла. За доказ теореме о збиру унутрашњих углова неопходна је теорема о угловима на трансверзали са којом су се ученици упознали у петом разреду. На страни 61 овог Приручника дат је наставни листић који је погодан за подсећање на ову теорему. 2.2.3.1. Збир углова у троуглу У Уџбенику је предвиђено да ученици најпре експериментално наслуте важење теореме о којој ће бити речи. Пожељно би било да сви у одељењу направе сопствени модел троугла, чије би крајеве одсекли и надовезали их. При том је пожељно охрабрити ученике да праве моделе „најпроизвољнијих“ троуглова. Наравно, резултат сваког експеримента ће бити исти: надовезани углови троугла формирају опружен угао. Природно је очекивати да ће за већину ученика (можда и за све) ово бити сасвим довољан аргумент да изведу теорему: збир углова било ког троугла је 180°. Ипак, никако не треба одмах прећи на задатке, будући да бисмо се на тај начин огрешили о математику без потребе. Иако постоје теореме које се обрађују у основној школи, а које није могуће доказати на овом нивоу школовања, ова теорема није једна од њих. Њен доказ је прилично једноставан. Пре самог доказа треба јасно истаћи потребу за њим, то јест објаснити ученицима „шта недостаје у претходном закључивању“ и „зашто оно није поуздано“. Наиме, јасно је

27

да постоји неограничено (бесконачно) много различитих троуглова, односно бесконачно много троуглова који су различитог „облика“13. Наше тврђење говори о сваком могућем троуглу, а ми смо га проверили само у неколико конкретних случајева. При том, експеримент се своди на директно сабирање (надовезивање) углова задатог конкретног троугла. Сигурно је да постоји троугао чије углове нисмо сабирали, те не можемо тврдити да ће и збир његових углова бити 180°. Основно питање јесте: „Можемо ли да посматрамо све случајеве одједном?“ Кључна досетка и спас у овој ситуацији јесте теорема о угловима на трансверзали. Применом ове теореме два пута (страна 36 у Уџбенику) избегавамо сабирање углова конкретног троугла јер видимо да ма колики ти углови били, они морају дати опружен угао. Универзалност доказане теореме ваљало би истаћи навођењем њених еквивалентних језичких формулација: • збир углова било ког троугла је 180°; • збир углова сваког троугла је 180°; • збир углова ма ког троугла је 180°; • збир углова произвољног троугла је 180°; итд. Уопште, универзалност теорема са којима ће се ученици и касније упознавати треба посебно наглашавати. То се може постићи и честом употребом синонима за реч сваки. Такође, неопходно је ученике упознати и са обичајем изостављања ове важне речи. Наиме, због језичке језгровитости, она се често изоставља, а од читаоца се очекује да је подразумева. На пример, теорема о којој сада пишемо краће се формулише као „збир углова троугла је 180°“. Свакако, ученику морамо помоћи да развије осећај где треба да употреби реч сваки. Након доказа теореме, потребно је урадити у одређен број рачунских задатака, обнављајући при том операције сабирања и одузимања мера углова изражених у степенима, минутима и секундама. 2.2.3.2. Врсте троуглова у зависности од величине углова Најпре треба поновити поделу углова, у зависности од њихове величине, на оштре, праве и тупе. Пре него што се наведе насловљена класификација, треба истаћи важне последице теореме о збиру углова троугла: • било који троугао може имати највише један прав угао (или еквивалентно, троугао не може имати два права угла; троугао има један или нема ниједан прав угао); • било који троугао може имати највише један туп угао (или еквивалентно, троугао не може имати два тупа угла; троугао има један или нема ниједан туп угао); • у сваком троуглу два угла су оштра, док трећи може бити туп, прав или оштар. Подела троуглова се природно намеће; разликујемо оштроугле, правоугле и тупоугле троуглове. Имена страница правоуглог троугла треба посебно истаћи. 13 

Овде користимо непрецизан термин „облик“ зато што још не можемо говорити о (не)подударним троугловима.

28

2.2.3.3. Спољашњи углови троугла Свакако прво треба обновити појмове као што су упоредни углови, унакрсни углови и слично. Након увођења појма спољашњег угла троугла, било би добро поменути да се понекад углови троугла називају и унутрашњи углови (посебно када желимо то да нагласимо да не би дошло до забуне)14. Наравно, треба нагласити и уобичајен начин обележавања спољашњих углова троугла (користи се исто слово као за одговарајући унутрашњи угао само са индексом 1), као и једнакости које проистичу из саме дефиниције: a + a1 = 180°, b + b1 = 180°, g + g1 = 180°. Централно место ове наставне јединице заузимају два тврђења. 1. Сваки спољашњи угао (било ког) троугла једнак је збиру њему несуседних углова тог троугла. 2. Збир спољашњих углова (било ког) троугла једнак је 360°. У Уџбенику (на страни 38) дата су два доказа првог тврђења. Први доказ се заснива на сада већ познатој теореми о збиру углова троугла, док је други директан и базиран је на истој идеји као и доказ поменуте теореме. Сматрамо да ученике треба упознати са оба доказа. Разлога за то има више. Најважнији су: • Доказ заснован на примени прве теореме илуструје начин на који ће се изграђивати геометрија касније (доказане теореме користимо у доказима нових теорема, а затим ове даље употребљавамо приликом откривања нових итд.). • Други доказ је користан јер омогућава ученицима да сагледају значај једне од основних теорема еуклидске геометрије – теореме о трансверзали, али и да запамте оба доказа која је користе будући да је реч о истој идеји. • Излагањем оба доказа лепо се илуструје чињеница да у математици углавном не постоји јединствен пут: иста ствар се може сагледати и утврдити на различите начине. Другу теорему је пожељно извести заједно са ученицима. Пажљивим навођењем требало би сами да дођу до закључка да је збир спољашњих углова било ког троугла константан и износи 360°. Рачунски задаци су стандардни садржај ове наставне јединице.

14

У уџбеничком комплету под угловима троугла увек се подразумевају унутрашњи углови. Реч унутрашњи је изостављена (као што се то обично и чини) јер би непотребно оптеретила текст.

29

2.2.4. Односи страница и углова троугла Геометријска тврђења која описују однос између дужина страница и величине углова троугла изводе се из основних особина симетрале дужи, односно углова са којима су се ученици упознали у петом разреду. Другим речима, најпре се описује однос страница и углова у једнакокраком троуглу јер је у том случају потребно само преформулисати одговарајуће особине поменутих симетрала. Зато је у Уџбенику на страни 40 најпре дат задатак у коме су садржане све потребне законитости обрађене у петом разреду. Из њих се даље изводе жељени нови закључци. Први пример, дат на страни 41, намерно је формулисан тако да се морају разликовати два случаја, то јест тако да одговарајући задатак има два решења. Иако сматрамо да је прерано овакве задатке задавати шестацима да их самостално решавају (нарочито на контролним и писменим задацима), не смемо их заобићи на часовима када се „колективно ради“ јер је њихов методички значај велики. Односе у вези са једнакокраким троуглом једноставно је специјализовати на једнакостраничне троуглове. Једна од последица је једнакост свих углова једнакостраничног троугла, односно чињеница да је сваки угао једнакостраничног троугла једнак 60°. Централно место ове наставне јединице заузимају тврђења: 1) наспрам једнаких страница било ког троугла налазе се једнаки углови, (страна 42 у Уџбенику); 2) наспрам једнаких углова троугла налазе се једнаке странице (страна 43 у Уџбенику); као и 3) наспрам веће странице троугла налази се већи угао; 4) наспрам већег угла троугла налази се већа страница. У вези са наведеним тврђењима пре свега желимо да нагласимо да у уџбеничком комплету за шести разред нема теорема које су еквиваленције, то јест у којима се појављује логички везник ако и само ако. Сматрамо да је прерано оптерећивати ученике еквиваленцијама будући да је неопходно најпре да добро савладају значење импликације ако ... онда ... Тако, сва еквиваленцијска тврђења су подељена на два импликацијска повезана речима „и обрнуто“. То је и случај са паровима тврђења 1 и 2, односно 3 и 4. Приликом навођења тврђења 1 и 2, неопходно је посветити пажњу самим формулацијама, односно везнику „ако ... онда ...“. Бољем разумевању ових тврђења доприносе разни језички еквиваленти; на пример, за тврђење 1, то су: • ако су две странице неког троугла једнаке, онда су једнаки и углови који се налазе наспрам њих; • из једнакости две странице неког троугла следи једнакост углова који се налазе наспрам њих; • уколико знамо да су две странице неког троугла једнаке, онда закључујемо да су једнаки и углови који се налазе наспрам њих, итд. Аналогно се може преформулисати тврђење 2. Овакве реформулације теорема свакако ће допринети и лакшој примени ових теорема.

30

Почетак упознавања са еквиваленцијом, то јест са везником ако и само ако (а да их при том и не споменемо) представља објашњење израза „важи и обрнуто“15. Оно што је важно да ученик схвати јесте да обрнуто значи да су претпоставке и закључак тврђења заменили места. Са логичког становишта значајни су и докази тврђења 3 и 4. Доказ тврђења 3 спада у такозване директне доказе, док је доказ тврђења 4 индиректан.

Доказ тврђења 4 је вероватно први сусрет са индиректним размишљањем у математици од почетка школовања.

Када се мало дубље сагледа, ова наставна јединица се може сматрати и првом „лекцијом“ из логике будући да је потребно објаснити и велики број важних логичких појмова. Никако се не смеју испустити из вида поменути логички аспекти. На крају треба истаћи и две важне последице: • хипотенуза је најдужа страница правоуглог троугла; • наспрам тупог угла налази се најдужа страница тупоуглог троугла. 15

У Уџбенику је често уз ту реченицу дата илустрација дечака који дуби на глави.

31

2.2.5. Основне неједнакости за странице троугла Неједнакости у вези са дужинама страница троугла најпре су наговештене кроз задатак 1 и пример 1 (страна 45 у Уџбенику). Будући да је пример 1 јако илустративан, основно тврђење се једноставно намеће, те је одмах након овог примера и формулисано. Разумевању саме формулације тврђења требало би да допринесу задаци 2, 3 и 4, који су дати непосредно после њега. Будући да доказ поменутог тврђења није сасвим једноставан, дали смо га тек након задатака, сматрајући да ће га ученик боље разумети када се буде упознао са оним што треба доказати. Наставна јединица је завршена једним примером који се може сврстати у теже, јер се до решења долази након једне мале досетке. Наравно, не треба преоптеретити редовну наставу оваквим задацима, али их никако не треба стално заобилазити.

2.2.6. Конструкције Једина нова конструкција која се крије иза овог наслова јесте конструкција угла од 60°. Међутим, како конструкције заузимају значајно место у градиву математике за шести разред, најпре су систематизоване конструкције које су ученици већ изводили у ранијим разредима (нарочито у петом), а које ће бити неопходне касније у шестом разреду. Да бисмо што сажетије систематизовали познате конструкције, на странама 47–49 у Уџбенику оне су само илустроване, што би требало да буде довољно да би се освежило памћење. Наравно, ваљало би захтевати од ученика да сваку од набројаних конструкција и самостално изведе. На страни 60 овог Приручника дат је наставни листић који је погодан за обнављање познатих конструкција. Пример 1 са стране 50 нешто је тежи и требало би га обрадити колективно са ученицима. Циљ овог примера је да покаже значај геометријских тврђења приликом извођења конструкција. 2.2.6.1. Конструкције неких углова Као што смо већ поменули, једина нова конструкција је конструкција угла од 60°. Ову конструкцију би свакако требало повезати са конструкцијом једнакостраничног троугла задате странице (страна 35 у Уџбенику) и чињеницом да су сви углови једнакостраничног троугла једнаки по 60° (страна 41 у Уџбенику). Уз познате конструкције надовезивања углова, конструкције правог угла и конструкције симетрале угла, нова конструкција нам омогућава да лењиром и шестаром конструишемо више углова: 15°, 30°, 45°, 60°, 75°, 90°, 105°, 120°, 135°, 150°, 165° итд. Вештину конструисања набројаних углова ученици би требало што боље да савладају јер ће касније ове конструкције изводити као помоћне приликом конструисања троуглова и четвороуглова.

32

2.2.7. Подударност троуглова Подударност је релација16 која је уведена у петом разреду на скупу дужи и на скупу углова. Међутим, веома ретко се користи овај термин у поменутом контексту, па се уместо подударне дужи каже једнаке дужи, и слично, уместо подударни углови каже се једнаки углови. Разлози и оправдања за то проистичу из чињенице да се подударност дужи углавном дефинише преко једнакости одговарајућих дужина. Слично, и углове меримо тако да је подударност два угла еквивалентна једнакости мера тих углова. Све у свему, релација подударности се заобилази и замењује мером. Подударност троуглова не можемо на овај начин „заобићи“. Чак и касније, када 17 буде било дефинисано мерење троуглова, нећемо постићи „потпуну складност“ са подударношћу. Наиме, подударни троуглови имају исту меру, али обрнуто није тачно. Ако два троугла имају исту меру, не значи да су и подударни. Настојали смо најпре да опишемо појам подударности уопште (страна 53 у Уџбенику). Наравно, строгу математичку дефиницију није могуће навести будући да се она заснива на ученицима непознатом појму изометријске трансформације. Овај проблем смо правазишли враћајући се почецима геометрије, када се изометријска трансформација називала крутим кретањем, односно кретањем без деформација, а подударност две фигуре замишљала и доживљавала као могућност да се кретањем без деформација те две фигуре доведу у положај у коме се потпуно преклапају. Савремена дефиниција подударности настала је чишћењем од непрецизности наведене „интуитивне дефиниције“. Наравно, подударност се и после ње на исти начин доживљава. Овако постављене интуитивне основе омогућавају да подударност два троугла уведемо преко шест једнакости: три једнакости за парове страница и три једнакости за парове углова. Интуитивно је јасно да уколико странице и углови нека два троугла задовољавају ових шест једнакости, ти троуглови се могу преклопити – то јест подударни су. Будући да је карактеризација подударности троуглова преко поменутих једнакости коректнија и оперативнија од „интуитивне“, њој је у Уџбенику (страна 54) дат статус дефиниције. Одмах затим, по дефиницији, доказана је прва подударност два троугла. Доказ је записан на два начина. Први је типичан за математичку литературу – текст у коме „провејавају“ формуле. Међутим, овакве доказе почетник тешко чита, а још мање је у стању да самостално испише доказ у овом облику. Зато смо предложили и други, сажетији запис, који је доста распрострањен у школама. Овај други запис има низ предности: много је читљивији и илустративнији у смислу да приказује како доказ „тече“. Овако смо записивали и већину сличних доказа у наставку, који су базирани на ставовима подударности троуглова. При том, важно је инсистирати на објашњењима која се налазе у заградама уз наведене једнакости. Након упознавања са појмом подударности најављене су основне теореме, такозвани ставови подударности, и истакнут је њихов значај. 16 17

Подударност дужи, односно углова строго се дефинише помоћу појма изометријске трансформације. Под мерењем троуглова подразумевамо одређивање површине.

33

2.2.8. Ставови подударности троуглова Све четири наставне јединице које се односе на сваки од ставова подударности посебно, написане су по истом принципу. Ставови су названи добро познатим сликовитим именима која значајно олакшавају њихово памћење: страница–угао–страница (или још краће СУС), угао–страница–угао (УСУ), страница–страница–страница (ССС) и страница– страница–угао (ССУ). На почетку сваке од поменутих наставних јединица дат је пример. Примери се односе на три или четири троугла добијена конструкцијама које су у складу са формулацијом одговарајућег става подударности. Другим речима, странице односно углови ових троуглова задовољавају једнакости које одговарајући став подударности претпоставља. Дате једнакости су илустроване на сликама и „сређене“ у првој од наведене две табеле. Само за ставове СУС и ССУ прве табеле су комплетиране, у остала два случаја ученик треба да допуни оно што недостаје. Друга табела се односи на преостале странице и/или углове датих троуглова. За све ставове подударности ове табеле су само делимично попуњене. Попуњавање ових табела представља прве примене насловљеног става подударности. Оно што је посебно важно приликом попуњавања друге табеле јесте то што ће ученик морати да уочава одговарајуће парове страница, односно одговарајуће парове углова који су једнаки. Вештина препознавања одговарајућих парова неопходна је за решавање већине задатака у којима се захтева некаква примена ставова подударности. Одмах после уводног примера, формулисан је одговарајући став подударности. Затим следе примери и задаци. Описани принцип писања наставних јединица о ставовима подударности делимично је нарушен само код става ССУ јер је формулација овог става компликованија од осталих. Наиме, на почетку ове наставне јединице изложена је краћа дискусија која би требало да допринесе бољем разумевању става ССУ.

2.2.9. Примена ставова подударности Иако се у задацима који прате ставове подударности углавном захтева њихова примена, издвојили смо овај наслов из више разлога. Први је истицање на једном месту најважнијих последица ставова подударности, које представљају важне теореме геометрије и које треба трајно запамтити. Такође, у овој наставној јединици први пут се помиње реч теорема, као и уобичајена математичка форма текста теорема – доказ. Сматрали смо да је ово погодан тренутак за тако нешто будући да су ученици сада први пут у прилици да заиста нешто доказују. Наведене теореме (стране 63–65) су веома значајне, те свакој треба посветити посебну пажњу. Свака од њих ће бити примењивана много пута у наставку школовања. Прва теорема спада у основне теореме еуклидске геометрије. Говори о односима међу 18 дужима и угловима које образују два пара паралелних правих који се секу . Што се шестог разреда тиче, ова теорема ће нам дати основне особине паралелограма. Друга теорема је теорема о средњој линији троугла. И ова теорема ће касније бити више пута коришћена (на пример, примене ове теореме могу се наћи касније на странама 82, 84, 143 итд. у Уџбенику). 18

34

 ва теорема и Талесова (о којој ће бити речи у осмом разреду) представљају јако моћна тврђења будући О да се из њих изводи огроман број нових тврђења геометрије.

Трећа теорема је названа теорема о средишту хипотенузе. Она нам даје једну важну особину правоуглих троуглова. И на ову теорему ћемо се враћати више пута. На пример, на страни 77 у Уџбенику, када будемо писали о центру описаног круга правоуглог троугла. Још једно важно тврђење – теорема о тангентним дужима – дато је у задатку 4 на страни 66 у Уџбенику. Поново ћемо га поменути у седмом разреду када буде било речи о тангентама на кружницу из исте тачке. Наравно, на ставове подударности ћемо се често враћати касније, на пример, приликом проучавања особина четвороуглова.

2.2.10. Конструкције троугла На ставове подударности природно се надовезују основне конструкције троуглова, то јест оне конструкције које су на њима засноване. Причу смо почели ставовима подударности који су преформулисани за потребе основних конструкција. Текст у коме су описане основне конструкције подељен је на четири дела – за сваки став подударности по један. Најобимнији је први део: конструкција троугла по ставу СУС, односно конструкција троугла када су задате две његове странице и угао између њих. Наиме, у оквиру примера 1 (страна 67 у Уџбенику) детаљно је описано како се решавају конструктивни задаци, то јест описане су основне етапе решавања назване анализа, конструкција, доказ и дискусија. Свака етапа је описана најпре уопштено, а затим је прича конкретизована и односи се на дати пример. Етапе доказ и дискусија ће бити тривијалне у случају основних конструкција: • доказа заправо и нема јер ће добијени троугао задовољавати постављене услове по конструкцији; • дискусија ће се свести на једну реченицу: решење је јединствено на основу става подударности... Ипак, сматрамо да их не треба избегавати већ инсистирати на њима не би ли се ученици навикли на ове две важне етапе решавања конструктивних задатака. При решавању сложенијих конструктивних задатака ове две етапе никако се не могу заобићи. Преостале три основне конструкције описане су такође на одговарајућим примерима, који су детаљно урађени. Конструкције су дате корак по корак, при чему је илустровано и како слика настаје: сваки корак конструкције приказан је на засебној слици (тако што је претходна слика допуњена). Такође, сваки корак конструкције прати и одговарајући коментар. Било би добро и од ученика захтевати да своје конструкције описују и речима. Педагошка вредност једног оваквог захтева је очигледна и велика. Сложеније конструкције дате су после основних. На оваквим конструкцијама не треба инсистирати, али их никако не треба заобићи. Тек са њима све описане етапе решавања конструктивног задатка долазе до пуног изражаја. Између осталог, овакве конструкције су значајне јер захтевају познавање и примену већег броја геометријских тврђења (не само ставова подударности). У случају да околности не омогућавају да се сложенијим конструкцијама посвети време, било би добро бар урадити пример 1 са стране 73 у Уџбенику и упоредити га са основном конструкцијом по ставу ССУ, као и са уводним напоменама на страни 63.

35

2.2.11. Описана и уписана кружница Упознавањем са значајним тачкама троугла завршава се тема „Троугао“. Центар описане и центар уписане кружнице јесу значајне тачке чију егзистенцију откривамо коришћењем познатих својстава симетрале дужи, односно симетрале угла. Зато је на почетку сваке од ове две наставне јединице дат задатак (задатак 1 на страни 76, односно задатак 1 на страни 78 у Уџбенику) којим се истичу потребна својства симетрала. Верујемо да ће након израде ових задатака докази теорема • симетрале све три странице троугла секу се у једној тачки • симетрале сва три угла троугла секу се у једној тачки бити много јаснији. Будући да је реч о сродним појмовима и да су форме излагања аналогне, наставну јединицу Уписана кружница би требало излагати по аналогији са јединицом Описана кружница. Место (унутрашњост, спољашњост или граница) центара описане и уписане кружнице оштроуглог, правоуглог и тупоуглог троугла ученици би могли самостално да одреде на основу интуиције стечене израдом конкретних примера. Након обраде описане кружнице ваљало би ученике навести (аналогијом) да самостално дођу до уписане кружнице и њених основних особина.

2.2.12. Висине троугла и ортоцентар Висине троугла представљају посебно значајне дужи које су везане за троугао будући да се појављују у формулама за израчунавање површине троугла. Нарочито је важно истаћи одређивање висина правоуглих и тупоуглих троуглова. Појам ортоцентра је (у односу на појам висине троугла) секундарног значаја када је реч о градиву шестог разреда. Место (унутрашњост, спољашњост или граница) ортоцентра оштроуглог, правоуглог и тупоуглог троугла ученици би требало самостално да одреде на основу интуиције стечене израдом конкретних примера.

2.2.13. Тежишне дужи троугла и тежиште Ова наставна јединица писана је у истој форми као и претходна, при чему је у потпуности поновљен редослед увођења појмова. Оно што је посебно значајно истаћи када је реч о тежишту троугла приказује илустрација на страни 83 у Уџбенику. Тежиште било које фигуре, па тиме и троугла, представља њену „тачку равнотеже“. Однос 2 : 1 у коме тежиште троугла дели његове тежишне дужи је нешто на шта ћемо ученике морати да подсећамо доста пута до краја школовања. Зато је важно да што пре и што квалитетније усвоје ову чињеницу.

2.2.14. Значајне тачке троугла Овај наслов подразумева систематично обнављање основних чињеница у вези са уведеним значајним тачкама троугла. Нарочито је важно истражити особине значајних тачака троугла у специјалним случајевима, то јест за једнакокраке и једнакостраничне троуглове.

36

2.3. Рационални бројеви У петом разреду ученици су се срели са минималним проширењем скупа природних бројева које је затворено за дељење – скупом разломака. Сада се, аналогно томе, ученици упознају са минималним проширењем скупа целих бројева које је затворено за дељење – скупом рационалних бројева. Тема „Рационални бројеви“ је обрађена тако да обједињује поступке изложене у темама „Цели бројеви“ (у шестом разреду) и „Разломци“ (у петом разреду). Заправо, ако су садржаји ове две наставне теме квалитетно усвојени, ученици неће имати проблема са савладавањем ових садржаја. Зато при објашњавању разлога за увођење (негативних) рационалних бројева ученике прво треба подсетити зашто је било неопходно увести разломке и (негативне) целе бројеве. Ово ће вероватно бити довољно да ученици и сами схвате потребу за новим проширењем. Затвореност за дељење скупа рационалних бројева се касније изводи као закључак, а не даје се као мотив.

2.3.1. Скуп рационалних бројева Читава тема, па и ова наставна јединица, писана је по аналогији са одговарајућим садржајима теме „Цели бројеви“. Тако, прво уводимо негативне рационалне бројеве као бројеве који су за неки разломак (позитиван рационалан број) мањи од нуле, то јест проширење објашњавамо геометријски. Према томе, скуп Q дефинишемо као проширење скупа разломака које настаје тако што сваком разломку додамо његов пар – одговарајући негативан рационалан број. Након тога дајемо и алгебарско објашњење проширења. Ученике прво подсећамо да је тек по увођењу разломака било могуће поделити произвољан природан број другим произвољно изабраним природним бројем. Потом, аналогно претходном, објашњавамо да тек по увођењу рационалних бројева операција дељења постаје увек изводљива у скупу целих бројева (осим дељења нулом). На примеру количника 3 : 4 и –3 : 4 долазимо до одговарајућег закључка. Знајући да је 3 : 4 = 3 и да су 4 бројеви 3 и –3 међусобно супротни, природно се намеће закључак да вредност количника –3 : 4 мора бити – 3 (четвртине међусобно супротних бројева су међусобно супротни 4 бројеви). Дакле, рационалне бројеве можемо да дефинишемо и на други начин – сваки рационалан број је количник два цела броја. Поступци проширивања и скраћивања рационалних бројева у потпуности су аналогни поступцима који су важили за разломке, па ученицима (уколико су их претходно усвојили) углавном не представљају проблем. Ова два поступка нам омогућавају да изведемо веома важан закључак – сваки рационалан број се може записати као количник целог и природног броја. На ово је врло битно указати, пре свега због каснијег објашњавања поступака сабирања и множења рационалних бројева. Зато је корисно урадити више задатака сличних задацима 2 и 3.

37

О бројевној правој Ученици су већ упознати са бројевном правом и знају који је елементи у потпуности одређују. Проблем – Где представити дати негативан рационалан број? – ученици углавном лако решавају. Довољно их је подсетити на начин на који смо одредили место негативних целих бројева. Зато је овај део и остављен ученицима за самосталан рад. При том им је посао олакшан тиме што су негативни бројеви из задатка 5 супротни бројевима које треба представити у задатку 4. Ово је прилика да ученике подсетимо да јединицу мере, јединичну дуж, за одговарајућу бројевну праву бирамо тако да нам слика буде прегледна, као и да тај избор варира од примера до примера.

О супротним бројевима Појам међусобно супротних бројева уводимо помоћу бројевне праве као и у случају целих бројева. Поново је истакнута једнакост –(–a) = a, где је a сада произвољан рационалан број.

О апсолутној вредности броја И сада, у скупу рационалних бројева, сматрамо да треба потенцирати геометријску интерпретацију апсолутне вредности. Поново су на основу те дефиниције изведени битни закључци: • апсолутна вредност рационалног броја је ненегативна (дужина не може бити негативна); • апсолутне вредности међусобно супротних бројева су једнаке; • aпсолутна вредност рационалног броја p (q ≠ 0) једнака је количнику апсолутних q |p| вредности броjиоца и имениоца, то јест | p | = . |q| |q| Задатак 9 на страни 91 у Уџбенику може се урадити и пре навођења ових тврђења, само помоћу „геометријског“ сагледавања проблема. Последња три захтева овог задатка представљају једноставне облике једначина са апсолутном вредношћу. Сличне неједначине, на пример |r| > 2 или |r| < 2 , могу се искористити као увод у следећу наставну 7 7 јединицу – Поређење рационалних бројева.

38

2.3.2. Поређење рационалних бројева Ова наставна јединица заправо говори само о поређењу рационалних бројева датих у запису p , јер децимални запис још нисмо увели. Одлучили смо се за тај приступ јер смо q желели да основне појмове и тврђења уведемо користећи један запис, а како су записи еквивалентни, сва тврђења важе и за бројеве дате у децималном запису. При поређењу рационалних бројева у потпуности се ослањамо на бројевну праву, као што смо то чинили у скупу целих бројева. Тако се лако уочава да је сваки негативан број мањи од 0 и од сваког позитивног броја, док када је реч о бројевима истог знака, треба упоредити њихове апсолутне вредности. Како су апсолутне вредности рационалних бројева разломци, са ученицима треба прво обновити поређење разломака. Поређење рационалних бројева истог имениоца своди се на поређење њихових бројилаца, то јест на поређење одговарајућих целих бројева. У Уџбенику ово није експлицитно наведено, јер смо одлучили да наведемо само тврђења која се истовремено 19 могу применити на оба записа рационалних бројева. Међутим, како поређење апсолутних вредности већ захтева довођење на заједнички именилац који је заједнички и за те бројеве, верујемо да ће поменуту последицу изнетих тврђења ученици и сами уочити током израде задатака. За реализацију ове наставне јединице предлажемо приложени наставни листић на страни 62. Задаци су конципирани тако да први од ученика захтевају да обнове и утврде претходно стечено знање, а следећи наводе ученике да сами дођу до нових закључака.

2.3.3. Децимални запис рационалних бројева Ова наставна јединица заправо више представља обнављање већ познатог него што доноси новине. Ученици се подсећају на то да постоје коначни и бесконачни (засад само периодични) децимални записи, као и како те записе добијамо. Такође, обнавља се поступак превођења броја из једног записа у други, као и правила заокругљивања, која су потпуно аналогна онима која су важила за разломке. Замишљено је да ученици сами или уз помоћ професора, радећи задатке 2 и 3 на страни 94 у Уџбенику, савладају поређење рационалних бројева у децималном запису. Као што смо већ рекли, рационалне бројеве истог знака (тај случај је једино интересантан) сводимо на поређење њихових апсолутних вредности, па у овом случају треба упоредити разломке у децималном запису, што ученици већ знају. За разлику од математике из школских клупа која код нас традиционално више користи запис p , у пракси је доминантан децималан запис. Стога најнижи обавезни ниво знања q управо подразумева адекватну употребу децималних бројева, па овој наставној јединици треба приступити крајње озбиљно и имати увид у резултате свих ученика.

19

В  ерујемо да ученици могу сами да уоче одговарајуће специфичности рада са рационалним бројевима у сваком од записа.

39

2.3.4. Сабирање рационалних бројева Сабирање рационалних бројева објашњавамо помоћу шематског приказа који смо користили и у случају целих бројева. Желели смо да ученици увиде да је поступак потпуно аналоган оном који већ знају, а потом смо у примеру 2 на страни 96 у Уџбенику детаљно објаснили уобичајени поступак сабирања рационалних бројева датих у запису p (који q је последица претходно описаног поступка). Сабирање рационалних бројева датих у децималном запису нисмо посебно објашњавали у Уџбенику, јер оно следи директно из дефиниције. Тада, по одређивању знака збира, што је у овом случају лакше него у случају записа p , рачунамо збир или разлику одговарајућих разломака датих у децималном q запису, а то је ученицима већ познато (градиво петог разреда). Зато сматрамо да је довољно на конкретним примерима ученике упознати са овим поступком. У ту сврху може се искористити задатак 1 (захтеви под г) и д)) на страни 96 у Уџбенику, као и доста задатака датих у Збирци.

2.3.5. Одузимање рационалних бројева Одузимање рационалних бројева, као и целих, дефинишемо преко одговарајућег сабирања. Сада се та информација ученицима даје одмах, јер је она за њих у потпуности очекивана. Ова наставна јединица у ствари више представља утврђивање већ познатог него обраду новог градива, па су и дати задаци нешто захтевнији. „Пирамиде“ у задатку 3 представљају увод у решавање једначина које тек следи. Уочено је да овакве задатке, у којима једначине нису дате експлицитно, ученици (посебно они са лошијим успехом) решавају са више успеха. Такође, већини је ова форма задатка интересантнија од уобичајеног: Реши једначину... То су свакако разлози да овакви и слични задаци постану део наставног процеса. Посебно је истакнут битан закључак о затворености скупа рационалних бројева и за сабирање и за одузимање.

2.3.6. Својства сабирања рационалних бројева Садржај ове и сличних наставних јединица ученици најчешће не сматрају новим градивом. Заправо, већина ученика и не види потребу за понављањем. Међутим, ипак морамо указати на одговарајуће особине операција, али можемо учинити да то не буде сувопарно. Рецимо, добро је још једном ученицима указати на корист примене тих правила при рачунању бројевних вредности појединих израза (задатак 2), па се може и организовати такмичење ученика у брзом израчунавању напамет. Посебно треба нагласити постојање неутралног елемента за сабирање (0), као и да за сваки број постоји њему инверзан (супротан) елемент за сабирање (за а то је –а).

40

2.3.7. Једначине са сабирањем и одузимањем Како бисмо избегли поновно навођење правила за решавање једначина која су ученицима позната још из нижих разреда основне школе, а која су већ једном и ове школске године обнављана, дали смо задатак 1 и 2. Они представљају добар пример задатака погодних за форму теста, а који се односе на теоријска питања. Предлажемо да ови задаци буду ученицима дати као мини-тест или у оквиру обичног теста (рецимо, ова два задатка и једначине са сабирањем и одузимањем које су ученици решавали у скупу целих бројева и разломака) час пре обраде ове наставне јединице. То би омогућило професору да уочи евентуалне пропусте у знању својих ученика и надомести их у оквиру новог предавања. Као и у случају целих бројева, прописаним наставним планом и програмом се не захтева да се једначине решавају алгебарски, али смо поново ученицима изнели и ту могућност, мада се на њој не инсистира. Сматрали смо да је у Уџбенику експлицитно понављање модела теразија непотребно (дато је само одговарајуће тврђење), али ако је потребно, наставник то може поновити на предавању. Кроз три потпуно урађена примера (примери 1, 3 и 4 на странама 99 и 100 у Уџбенику) ученицима је показано како се сваки од три основна типа једначина (када је непознат сабирак, умањеник, односно умањилац) решава. Показано је како се решавају и сличне једначине са апсолутном вредношћу (пример 2). На крају наставне јединице ученицима је још једном указано на затвореност скупа рационалних бројева за одузимање. Битна последица тога је и да у скупу Q једначине са 20 сабирањем и одузимањем увек имају решење .

2.3.8. Неједначине са сабирањем и одузимањем Неједначине су обрађене аналогно једначинама. Задаци 1, 2, 3 и 4 на странама 101 и 102 у Уџбенику искоришћени су да би се обновило градиво на које се ова наставна јединица наслања. У примерима 1, 2 и 3 дате једначине (основни типови неједначина) су прво решене на алгебарски начин. Потом је објашњено како на основу решења одговарајуће једначине, позивајући се на зависност збира од сабирака и разлике од умањеника, односно умањиоца, можемо одредити решење дате неједначине. Ово је посебно битно због неједначина у којима је непознат умањилац, јер тада треба објаснити зашто полазна неједначина и њен решен облик немају исти знак неједнакости. Слично као и у случају једначина, битно је нагласити ученицима да неједначине са сабирањем и одузимањем у скупу рационалних бројева увек имају непразан скуп решења 21 (прецизније, имају бесконачно много решења) . 20

21

У  шестом разреду под једначинама са сабирањем и одузимањем сматрамо само оне у којима непозната заиста учествује, то јест не разматрају се једначине типа 0 ∙ x = a, a ∈Q. У  шестом разреду под неједначинама са сабирањем и одузимањем сматрамо само оне у којима непозната заиста учествује, то јест не разматрају се неједначине типа 0 ∙ x < a, a ∈Q и 0 ∙ x ≤ a, a ∈Q.

41

2.3.9. Множење рационалних бројева Како се садржај ове наставне јединице увелико наслања на множење целих бројева и разломака, прво са ученицима треба обновити то градиво. Верујемо да потом неће бити проблема са усвајањем поступка множења рационалних бројева – знак производа одређује се као у случају целих бројева, а затим се множе одговарајући разломци. Ученицима треба јасно указати и на могућност скраћивања при множењу рационалних бројева.

2.3.10. Својства множења рационалних бројева У овој наставној јединици дата су основна својства множења (комутативност, асоцијативност, дистрибутивни закон, множење са 1 и –1), која ученици углавном и не доживљавају као нешто ново. Оно што донекле представља новину је појам реципрочне вредности рационалног броја. При увођењу овог појма направљена је аналогија са појмом супротног броја, то јест са постојањем инверзног елемента за сабирање – Да ли за произвољан рационалан број различит од нуле постоји рационалан број такав да је њихов производ једнак 1 (једнак неутралном елементу за множење)? На примеру броја – 3 у примеру 1 на страни 105 у 8 Уџбенику дат је одговор на ово питање. Намерно је узет негативан број јер је одговор у случају позитивног рационалног броја (разломка) ученицима познат. Такође, наглашено је да број 0 нема реципрочну вредност. Ученици се укратко, при изради задатка 4, подсећају и како се множење слаже са поретком бројева, на шта ћемо се детаљније осврнути пре решавања неједначина.

2.3.11. Дељење рационалних бројева Већ само увођење појма реципрочне вредности рационалног броја наговештава да се дељење рационалних бројева, као и у случају разломака, своди на одговарајуће множење. Заправо, веза између операција множења и дељења (која је ученицима већ позната) и појам реципрочне вредности доводе до новог поступка. Од овог тренутка у скупу рационалних бројева разликујемо само две операције – операцију сабирања и операцију множења. Посебно је истакнуто како делимо рационалне бројеве дате у децималном запису, то јест да је у овом случају могуће бројеве делити директно (не преводити дељење на одговарајуће множење). Задатак 2 на страни 106 у Уџбенику би својом формом требало да припреми ученике на сналажење у новим ситуацијама. Можда још једном није на одмет поновити да је основни циљ математике развој мисаоних процеса код ученика. Зато се никако не сме дозволити да настава математике постане увежбавање типских задатака.

42

2.3.12. Изрази са рационалним бројевима Ученицима је од самог почетка школовања познат појам бројевног израза, а нешто касније упознају и изразе са променљивама. Зато ова наставна јединица не доноси новине, већ представља детаљну систематизацију познатих садржаја: • како се правилно граде изрази (бројевни и са променљивама); • значај и правилна употреба заграда; • приоритет и особине рачунских операција; • бројевна вредност израза; • два начина израчунавања с обзиром на запис рационалних бројева. Ученике смо специјално подсетили и на двојни разломак, пре свега због примене овог записа у физици. Међу датим задацима по садржају се издваја задатак 6 на страни 112 у Уџбенику. На основу њега ученици треба да увиде да постоје изрази са променљивама који имају константну бројну вредност, то јест имају бројевну вредност која не зависи од вредности које додељујемо променљивама. Заправо, овим задатком се наговештава појам идентитета, са којим ће се ученици први пут срести у осмом разреду.

2.3.13. Једначине У оквиру ове наставне јединице прво су обрађене једначине само са множењем и дељењем, а затим и сложенији примери у којима се јављају и операције сабирања и одузимања. Ученици су једначине са множењем и дељењем већ решавали у скупу природних бројева и разломака, па им кроз задатак 1 на страни 113 у Уџбенику дајемо прилику да се подсете на одговарајућа правила за њихово решавање. Верујемо да већина ученика зна ова правила, али их ипак кроз примере 1, 3 и 4 поново подсећамо на њих. Како је скуп рационалних бројева затворен за дељење, сматрамо да нема разлога да избегавамо алгебарско решавање једначина. Зато су једначине у поменутим примерима тако и решаване, то јест користили смо претходно дато тврђење које нам омогућава да обе стране једначине множимо или делимо одговарајућим бројем. На овај начин ученицима је поново дат избор у начину решавања једначина, а то само по себи доприноси квалитету њиховог знања. Сви примери су дати у форми текстуалних задатака, тако да ученици уједно могу да уче како на основу датог текста оформити одговарајућу једначину. Такође, трудили смо се да у примерима оба записа рационалних бројева буду подједнако заступљена, јер сматрамо да су ученици за то довољно зрели и да нема потребе за класификовањем решавања једначина према запису бројева. Илустрација, графичко представљање зависности величина, дата у примеру 3 на страни 114 у Уџбенику, може представљати донекле изненађење, јер се о томе више учи тек у осмом разреду. Уколико сматрате непотребним, не морате се ни задржавати на објашњењу графикона, задатак се може урадити и без њега. Међутим, овај мали излет ван

43

прописаног градива учинили смо пре свега јер се ученици са сличним графиконима срећу и у другим предметима (на пример у географији), па смо сматрали да није на одмет дати им основна упутства у вези са тим приказима на неком од часова математике (то не мора бити у оквиру ове наставне јединице). Поред основних типова једначина, кроз примере су детаљно решена и два сложенија типа једначина ax + b = c и a(x + b) = c, то јест објашњено је како се њихово решавање своди на претходне случајеве.

2.3.14. Неједначине У оквиру ове наставне јединице објашњено је решавање неједначина у којима је непознат чинилац или дељеник. Неједначине у којима је непознат делилац обрађене су у оквиру дела који је намењен онима који желе више и не треба их решавати у редовној настави. Пре самог решавања ученици се подсећају (задатак 1 на страни 116 у Уџбенику) како се множење с позитивним, односно негативним бројем слаже са поретком бројева. Потом је у примерима 1 и 2 детаљно објашњено решавање неједначина у којима је непознат чинилац, а у примеру 3 је детаљно објашњено решавање неједначина у којима је непознат дељеник. Неједначине смо решавали алгебарски, али је и показано како се на основу решења одговарајуће једначине може наћи скуп решења дате неједначине. Врло је битно да ученицима буде јасно зашто у неким случајевима долази до промене знака неједнакости, јер ће се само тако искоренити њихове честе грешке.

2.3.15. Проценти Појам процента, као и разна израчунавања у којима се проценти користе, део су свакодневног живота свакога од нас, па је стога ова наставна јединица веома битна. Према важећем наставном плану и програму, појам процента се први пут појављује у шестом разреду. Међутим, прописани садржаји у вези са процентима могу се обрадити и само уз познавање разломака, јер су за скоро све смислене примере за овај узраст ученика потребни само позитивни рационални бројеви. Стога смо већ у Уџбенику за пети разред, у оквиру садржаја за оне који желе више, уврстили овај појам и неке од основних примена. Због чврсте везе између свакодневице и ове наставне јединице, сматрамо да би било пожељно да се овај час реализује уз коришћење примера из дневне штампе. Рецимо, од ученика треба захтевати да на час донесу неки исечак из новина који би искористили за анализу на часу. Оваква реализација часа допринела би да: • ученици буду мотивисани да усвоје ово градиво, јер би били непосредно уверени у његову употребљивост; • ученици активно учествују у настави; • се градиво усваја са разумевањем, јер је пропраћено животним, а не апстрактним примерима.

44

2.4. Четвороугао 2.4.1. Појам четвороугла Као и у случају теме „Троугао“, и на почетку ове наставне теме дато је систематично подсећање уз неопходна проширења основних појмова који су важни за четвороуглове. У односу на троуглове, новину представља постојање неконвексних четвороуглова22. На почетку треба јасно истаћи да ће бити проучавани само конвексни четвороуглови и да то нећемо посебно наглашавати. Посебно треба истаћи још један појам чији аналогон нисмо срели код троуглова – појам дијагонале. Проучавање четвороуглова битно се надовезује и ослања на тему „Троугао“. Велики број особина троуглова ћемо морати да поновимо и искористимо приликом откривања особина четвороуглова. При том, кључна идеја ће бити разлагање четвороугла (дијагоналом) на два троугла.

2.4.2. Углови четвороугла Оно што је речено у претходном пасусу оправдано је у оквиру ове наставне јединице. Разлагањем четвороугла на два троугла и позивањем теореме о угловима троугла добијамо одговарајућу теорему за збир углова четвороугла. На основу ове теореме даље се једноставно изводи теорема о збиру спољашњих углова четвороугла. Корисно би било упоредити добијене теореме са одговарајућим теоремама за углове троугла: док је збир спољашњих углова троугла два пута већи од збира унутрашњих, код четвороуглова су ова два збира једнака.

2.4.3. Паралелограм Паралелограмима је оправдано посвећена највећа пажња. Упознавање са паралелограмима је подељено на четири дела: • својства паралелограма; • правоугаоник, ромб, квадрат; • паралелограм и симетрије; • конструкције паралелограма. 2.4.3.1. Својства паралелограма Упознавање са основним својствима паралелограма неминовно прати подсећање на важна тврђења о којима је било речи у петом разреду, али и у шестом у оквиру теме „Троугао“. 22

Неконвексан троугао не постоји.

45

Основне особине паралелограма које се директно изводе из познатих тврђења требало би формулисати и на друге еквивалентне начине.

46

Треба истаћи и то да су тачни и обрти наведених теорема у вези са паралелограмима.

Први од наведених обрта се може строго доказати применом обрта теореме о угловима на трансверзали. Пошто са овим тврђењем ученици практично нису упознати, у Уџбенику је изостављен. Други обрт се једноставно своди на претходни. Сматрамо да је пожељно навести наведене обрте (без доказа) пре свега да би се ученици навикли на обрте и боље разумели формулације математичких теорема. Трећи обрт се једноставно може доказати применом ставова подударности. Зато је овај доказ дат као пример (пример 1 на страни 130 у Уџбенику) који би се могао обрадити заједно са ученицима као још једна примена ставова подударности. Поред наведених основних особина, важно је истаћи и теорему која каже да се дијагонале паралелограма полове. Обрт ове теореме је дат као задатак 8 на страни 131 у Уџбенику. На то би свакако требало скренути пажњу ученицима. Приликом решавања овог задатка посебно треба пазити како изводимо закључак да је четвороугао паралелограм. Претпоставимо да је дат четвороугао ABCD чије се дијагонале полове: секу се у тачки O и важи AO = OC, BO = OD. Применом става подударности СУС лако се закључује да је DAOD ≅ DCOB, а одавде да су дужи AD и BC једнаке. Међутим, ово није довољно да се закључи да је четвороугао ABCD паралелограм.

47

Потребно је доказати и да је други пар наспрамних страница AB и CD једнак23. Тек након тога се можемо позвати на последњи од наведених обрта и закључити да је четвороугао ABCD паралелограм. 2.4.3.2. Правоугаоник, ромб и квадрат У посебну наставну јединицу издвојени су специјални случајеви паралелограма. Посебно важно је нагласити да све особине паралелограма задовољавају и ови специјални случајеви, али и да сваки од њих има низ особина које су својствене само њему. Систематично и поступно откривање тих особина представља централно место ове наставне јединице. У Уџбенику (стране 131 и 132), најпре је проучен правоугаоник, затим ромб (132. и 133. страна) и на крају квадрат (134. страна). Класификацију паралелограма приказану на страни 134 треба посебно истаћи. Задатак 9 на страни 135 у Уџбенику требало би да помогне ученицима да лакше запамте специјална својства посматраних врста паралелограма. 2.4.3.3. Паралелограми и симетрије Ова наставна јединица говори о још једној изометријској трансформацији – о централној симетрији24. Реч је о врсти симетрије коју поседују паралелограми. У општем случају паралелограм није осносиметричан, али је симетричан у односу на тачку, то јест централно је симетричан. 2.4.3.4. Конструкција паралелограма Последња наставна јединица о паралелограмима говори о његовим конструкцијама, и то најједноставнијим. Ова наставна јединица директно се наслања на конструкције троуглова. Сваки задатак у коме се захтева конструкција паралелограма треба искористити за обнављање основних особина ових четвороуглова. Задаци 4 и 5 на страни 140 у Уџбенику су нешто тежи, али имају своју методичку вредност јер је неопходно сетити се важних геометријских тврђења. Тако, за задатак 4 треба се сетити да се дијагонале квадрата полове и да су међусобно нормалне. Задатак 5 се једноставно решава помоћу исте идеје: дијагонале ромба се полове и секу се под правим углом. Имајући ово на уму закључујемо да је теме B пресек праве а и симетрале дужи AC. 23

24

48

П  остоји и други начин. Наиме, можемо доказати да су дужи AD и BC паралелне и искористити теорему: ако су две наспрамне странице четвороугла једнаке и паралелне, онда је тај четвороугао паралелограм. Међутим, ова теорема није наведена у Уџбенику. О  сна и централна симетрија су једине изометријске трансформације о којима се учи у основној школи. Док је осној симетрији посвећена читава наставна тема у петом разреду, централном се бави само ова лекција.

2.4.4. Трапез Најпре дајемо неколико коментара у вези са дефиницијом трапеза која је дата у Уџбенику на страни 141. Та дефиниција гласи: трапез је четвороугао који има тачно један пар паралелних страница. С друге стране, у литератури се поред ове могу срести и другачије дефиниције; на пример, трапез је четвороугао који има (бар) један пар паралелних страница25. Када трапез дефинишемо на други начин, онда паралелограми постају специјални случај трапеза, те се у наставку стално мора водити рачуна о томе. Врло често се текст, по нашем мишљењу, непотребно оптерећује изразима типа посматрајмо трапез који није паралелограм. На овакве тешкоће не наилазимо када усвојимо прву дефиницију. Будући да већина ученика, али и математичара, под трапезом подразумева углавном четвороугао дефинисан на први начин, сматрамо да је ова дефиниција природнија, те смо се за њу и определили. 2.4.4.1. Својства трапеза Откривање својстава трапеза поново освежава примену ставова подударности троуглова. Посебно важна метода проучавања трапеза коју треба истаћи јесте разлагање на паралелограм и троугао (страна 142 у Уџбенику). 2.4.4.2. Конструкције трапеза Разлагањем трапеза на паралелограм и троугао, конструкција трапеза се своди на конструкцију паралелограма и конструкцију троугла. Дакле, овом досетком, конструкције трапеза сводимо на оне са којима су ученици већ упознати и она треба да заузме централно место ове наставне јединице.

2.4.5. Делтоид Делтоиду је посвећено најмање простора. Један од разлога је тај што је ова врста четвороуглова мање значајна од паралелограма и трапеза. С друге стране, ученици би требало (после великог броја часова посвећених геометрији) да буду спремнији за сусрет са новом врстом четвороуглова. У том смислу, проучавање делтоида се може схватити и као систематизација знања, али и вештина које су ученици стекли проучавајући геометрију ове школске године. О делтоидима се прича по већ утврђеном редоследу: појам делтоида – својства делтоида – конструкција делтоида. 25

Са или без речи бар.

49

2.5. Површине четвороуглова и троуглова Проблем одређивања површине правоугаоника ученици углавном доживљавају (јер им се тако и презентује) као задатак да се квадратима који су подударни изабраној јединици мере „оптимално и потпуно, без преклапања, прекрије тај правоугаоник“. Проблем одређивања површине паралелограма (који није правоугаоник), трапеза, троуглова итд. не можемо овако директно и непосредно решити будући да је очигледно да се поменуте фигуре не могу прекрити квадратима на описани начин. Потребно је дакле смислити неки други начин да се проблем реши. Кључна досетка је: изрежи дату фигуру на делове, па их препакуј (без деформација делова!) тако да добијеш фигуру чију површину знаш да одредиш. Идеја је веома слична идеји древне кинеске игре танграм. Зато смо ову игру описали на самом почетку (страна 149 у Уџбенику). Састављање фигурица од делова које танграм предвиђа није тривијално. Као припрема за наставну тему могао би да послужи домаћи задатак са захтевом да се састави бар једна (по избору) од фигурица датих у Уџбенику. Наравно, домаћем задатку се могу додати и још неки захтеви: • на тврђем картону нацртај квадрат, подели га као што је приказано на првој слици 149. стране у Уџбенику и изрежи делове; • састави фигуру по жељи; • у свесци нацртај (конструиши) најпре квадрат издељен на танграм-делове, а затим и изабрану фигуру тако да се види начин на који је она састављена од танграм-делова.

2.5.1. Појам површине Појму површине посвећено је доста пажње. Иако су се ученици упознали са овим појмом и израчунавали површине квадрата и правоугаоника, сматрали смо да је корисно подсетити се основних ствари на један систематичан начин. Пре свега, важно је истаћи најважнија својства карактеристична за било коју врсту мерења (страна 150 у Уџбенику). Поређење са мерењем дужине може бити од вишеструке користи. Затим су наведене јединице које се користе приликом мерења површине. Задатак 1 са стране 151 у Уџбенику важан је не само са математичког становишта. Решавањем овог задатка истовремено се обнавља и множење и дељење декадним јединицама бројева у децималном запису. Наставак приче је директна припрема за садржаје који следе – израчунавање површине фигура са којима су се ученици срели у шестом разреду. Најпре су, на страни 151 у Уџбенику, наведена два основна (општа) тврђења на којима ће се поменута израчунавања заснивати. Затим је одмах илустрована њихова примена. Примери који следе односе се на израчунавање површине неких једноставнијих фигура нацртаних у квадратној мрежи, при чему је један квадрат те мреже изабран за јединицу мере. Методички, али и математички, значај оваквих примера и задатака је велики (примери 1 и 2 на странама 151–152 и задаци

50

2 и 3 на 153. страни у Уџбенику). Сматрамо да би требало урадити што више оваквих задатака пре него што се пређе на мање-више рутинску примену одговарајућих формула. На страни 65 у Приручнику дат је наставни листић са новим задацима ове врсте. На крају, подсетили смо на формуле које су ученицима већ добро познате. Реч је о обрасцима за израчунавање површине правоугаоника и квадрата. При том, дат је и одређен број задатака чије се решавање не своди само на примену поменутих образаца (задаци 6, 7, 8 и 9 на 154. страни у Уџбенику). Посебно истичемо задатке 7 и 8. Задатак 7 се може схватити правим практичним задатком: најпре је потребно осмислити како да се одреди површина дате фигуре (у конкретном случају то значи изделити фигуру на правоугаонике), затим треба измерити потребне дужине и, најзад, применити одговарајућу формулу. Наравно, врло је могуће да ученици добију различита решења, па никако не треба изоставити и објашњење те појаве. Наиме, различита решења су последица непрецизности директног мерења. Ваљало би да ученици упореде резултате својих мерења. Треба истаћи и то да иако су решења различита, разлике су мале. Задатак 8 доноси једну врсту оптичке варке: на први поглед површине правоугаоника и квадрата не изгледају једнаке иако јесу. Уз мало размишљања то постаје очигледно: дијагонала дели велики правоугаоник на два подударна троугла; та иста дијагонала дели и мање (беле) правоугаонике на делове једнаких површина.

2.5.2. Површина паралелограма Ова наставна јединица, као и наредне две, подељена је на више целина. Прва је експериментално-емпиријска, будући да подразумева резање модела паралелограма и вешто слагање добијених делова не би ли се добио правоугаоник. На страни 155 у Уџбенику, приказана су два случаја: • када подножје висине из једног темена паралелограма припада страници и • када подножја обе висине из темена једне странице не припадају наспрамној страници. Друга целина представља употребу уочених правилности у строго математичком извођењу формуле за површину паралелограма. И овога пута потребно је разматрати два случаја. Добијену формулу за израчунавање површине паралелограма корисно је најпре применити на паралелограме који су нацртани у истој квадратној мрежи (страна 156 у Уџбенику). Последњу целину чине задаци у којима се примењује изведена формула. Поред задатака у којима се захтева директна примена да би се израчунала површина неког паралелограма, важни су и они у којима се добијена формула примењује за неке друге прорачуне (пример 2 на страни 156 у Уџбенику). Посебно желимо да истакнемо задатак 4 са 157. стране у Уџбенику будући да је за његово решавање, поред формуле за површину паралелограма, потребно применити и једну досетку. Наиме, један пар страница црвених паралелограма од којих је трака састављена једнак је половини одговарајуће странице правоугаоника. Међутим, висине ових седам паралелограма међусобно су различите. Али, оне нам нису ни важне, важан је њихов

51

збир, будући да нам је потребна површина траке. Збир висина уочених паралелограма једнак је другој страници правоугаоника. Дакле, површина траке заузима тачно половину површине правоугаоника.

2.5.3. Површина троугла Ова наставна јединица је написана по истим принципима као и претходна. Једина разлика је та што су овога пута практична резања троугла дата у оквиру задатака (задаци 1 и 2 на 158. страни у Уџбенику) и тиме препуштена ученицима да их сами протумаче и изведу потребне закључке.

2.5.4. Површина трапеза Откривање формуле за израчунавање површине трапеза базирано је на истим идејама као и за паралелограм и троугао. Зато је ову наставну јединицу погодно реализовати неким обликом рада који подразумева појачану активност ученика. На страни 66–85 у приручнику понуђен је материјал за обраду ове наставне јединице са групним обликом рада.

2.5.5. Површина произвољног четвороугла У Уџбенику (на страни 164) најпре је изведена формула за израчунавање површине четвороугла чије су дијагонале међусобно нормалне. При том су истакнута и два важна специјална случаја – квадрат и ромб. Будући да се не користи нека општа формула за израчунавање површине произвољног четвороугла, описан је (на страни 165 у Уџбенику) само поступак како се приступа овом проблему. Разне досетке у неким посебним случајевима обрађене су кроз примере и задатке. Задаци процене површине фигура нису експлицитно предвиђени наставним планом. Међутим, сматрамо да овакви задаци имају велики практичан значај и да им се свакако мора посветити бар минимална пажња. Ово је уједно оправдање за последњи задатак у Уџбенику на страни 16626. До решења није тешко доћи. Видимо да је површина једног квадрата мреже на којој је приказано острво једнака 4km2. Лако је пребројати да острво (зелена површина) потпуно покрива 16 квадрата, а 7 квадрата делимично, при чему је визуелно очигледно да је приближно половина (негде мање, негде више) сваког квадрата зелена. Све у свему, сасвим је задовољавајућа процена да је површина острва 16 целих и 7/2 квадрата странице 2km; што ће рећи приближно једнака 78km2. Најближи понуђен одговор овом броју је под б) 80km2.

26

52

Слично, задаци процене дужине (кривих линија) могу се наћи у нашем комплету за пети разред.

3. Наставни листићи Oви материјали су замишљени као подршка наставном процесу. Једну групу чине они који су погодни за обнављање познатих садржаја из претходних разреда, други се односе на нове садржаје и требало би да омогуће њихово лакше усвајање и утврђивање и трећи, који систематизују веће наставне целине.

1. Сабирање целих бројева Приложени наставни листић замишљен је као подршка при реализацији наставне јединице Сабирање целих бројева, обрада новог градива. Сматрамо да су шеме дате у Уџбенику веома илустративне и од велике помоћи при усвајању овог, за ученике новог, поступка. Стога сматрамо да више почетних примера треба да буде обрађено на овај начин. Међутим, комплетно цртање шеме за сваки од конкретних случајева односи много времена, па, између осталог, и то је разлог зашто дајемо овај прилог. Уколико се час реализује помоћу Уџбеника и приложеног радног листића, предлажемо да се задаци 1 и 2 ураде после примера 2, а пре давања општег правила. Слично, предлажемо да се задаци 3 и 4 ураде после примера 4, а пре давања општег правила. Наравно, ученици би дати радни листић (као и остале дате материјале) требало да чувају као део своје радне свеске из математике (рецимо, да их залепе у свеске, како би при вежбању или обнављању градива у свескама имали интегралне целине). Напоменимо и то да су задаци тако бирани да, поред усвајања самог поступка сабирања, ученицима наговесте и неке особине сабирања: • прва два захтева у задацима 1 и 3 илуструју комутативност сабирања; • прва два захтева у задатку 4 илуструју тврђење да је збир два цела броја супротан збиру њима супротних бројева; • захтев в) у задатку 2 може да допринесе успостављању везе између множења и сабирања целих бројева.

2. Операције са целим бројевима Овај наставни листић садржи задатке у којима се захтева извођење операција са целим бројевима. Поред тога, потребна је извесна доза домишљатости и сналажљивости будући да ученици нису навикли на предвиђене формулације задатака. Погодни су за часове утврђивања основних операција са целим бројевима.

3. Једноставне геометријске конструкције лењиром и шестаром Овај наставни листић омогућава обнављање основних геометријских конструкција са којима су се ученици упознали у петом разреду.

53

4. углови на трансверзали Овај наставни листић омогућава обнављање једног од најзначајнијих тврђења петог разреда – теореме о угловима на трансверзали.

5. ПОРЕЂЕЊЕ РАЦИОНАЛНИХ БРОЈЕВА У ЗАПИСУ p q Приложени радни листић намењен је за реализацију наставне јединице Поређење рационалних бројева, обрада новог градива. Предлажемо да током часа сваки ученик засебно одговара на дате захтеве, уз контролу наставника који ће диктирати темпо и проверавати тачност одговора. Радни листић обрађује дату тему на сличан начин као и у Уџбенику, с тим што је сада више места посвећено обнављању претходно стечених знања. Главна упоришта на које се ново градиво наслања су бројевна права, поређење целих бројева и разломака, па су тако и задаци конципирани. Одговарајућим низом задатака ученици се наводе на самостално доношење за њих нових закључака. Сматрамо да су за реализацију поменуте наставне јединице погодни и програмирани или полупрограмирани дидактички материјали. Уколико су они у електронском облику, за овај начин реализације било би пожељно да сваки ученик самостално ради за рачунаром. После сваког одговора ученик добија повратну информацију о тачности одговора, али се и у случају грешке усмерава на одговарајуће садржаје који би требало да га доведу до решења. За ученике је врло корисно да уче на основу својих грешака, јер тако развијају позитивне особине личности: упорност, самокритичност, способност самооцењивања.

6. ПОВРШИНЕ ФИГУРА ДАТИХ У КВАДРАТНОЈ МРЕЖИ Наставни листић садржи задатке у којима се захтева израчунавање површине фигура нацртаних у квадратној мрежи, при чему је један квадрат те мреже изабран за јединицу мере. Методички и математички значај оваквих задатака је велики. Сматрамо да би требало урадити што више оваквих задатака пре него што се пређе на мање-више рутинску примену одговарајућих формула.

7. ПОВРШИНА ТРАПЕЗА Предвиђени материјал представља припрему за обраду наставне јединице Површина трапеза, при чему је изабран групни облик рада. Након обраде површине паралелограма и површине троугла ученици би требало да буду упознати са основним идејама извођења формула за израчунавање површине, па је ова наставна јединица погодна да је ученици „самостално обраде“. Најпре треба ученике поделити у групе од по четири ученика. Било би добро да групе буду подједнако „јаке“. У првом делу часа, свака од група добија један од материјала који су означени са А, Б, В или Г. Сваки материјал садржи: • један лист папира на коме је нацртан трапез и четири линије на које треба да упишу своја имена;

54

• други лист на коме се налазе упутства и једноставни задаци; • трећи који садржи четири урађена примера.

Захтев је да свака група изреже модел трапеза дат на првом папиру онако како је то назначено на другом папиру и од делова састави одговарајућу фигуру. На основу тог експеримента ученици би требало да дођу до формуле за израчунавање површине трапеза и ураде једноставне задатке који се налазе на другом листу. На крају, требало би да проуче решене примере са трећег папира. У другом делу часа добијају задатке које је нека друга група проучавала као решене примере. Треба дати толико времена за решавање ових задатака тако да сваки ученик у групи мора да ради по један задатак (а не један све).

У трећем делу часа, ученици дају своја решења групи којој су позната решења задатака. Свака група прегледа задатке својих „супарника“ и даје мишљење „задатак је тачно урађен“ и „задатак није тачно урађен“. При том, свако у групи треба да прегледа један задатак и да се потпише на том папиру. Професор узима листиће на којима су једни радили, а други прегледали задатке. Прегледа задатке поново и оцењује како су ученици решили задатке. Решење бодује поенима од 0 до 5. Такође, прегледа и како су задаци прегледани: ако је задатак коректно прегледан, група која га је прегледала добија 1 поен, а ако није, група добија –1 поен. На следећем часу саопштава ученицима резултате „такмичења“. Пошто сваки од материјала садржи другачији експеримент, било би добро да свака група на наредном часу укратко прикаже свој пут до формуле за израчунавање површине трапеза.

55

САБИРАЊЕ ЦЕЛИХ БРОЈЕВА 1. На основу датог графичког приказа израчунај збир: а)

б)

(–3) + (–2) = ___ ;

(–2) + (–3) = ___ ;

в)

г)

(–1) + (–5) = ___;

(–10) + (–4) = ___.

2. Нацртај одговарајућу шему и на основу ње израчунај збир:

а) (–4) + (–5) = ___;

б) (–7) + (–2) = ___;

в) (–3) + (–3) = ___;

56

3. На основу датог графичког приказа израчунај збир: а) б)

5 + (–4) = ___ ;

(–4) + 5 = ___ ;

в)

г)

–7 + 4 = ___;

–7 + 9 = ___.

4. Нацртај одговарајућу шему и на основу ње израчунај збир: а)

(–5) + 3 = ___; б)

5 + (–3) = ___;

57

в)

–4 + 13 = ___; г)

–10 + 8 = ___; д)

6 + (–7) = ___; ђ)

20 + (–14) = ___.

58

ОПЕРАЦИЈЕ СА ЦЕЛИМ БРОЈЕВИМА 1. Попуни празне шестоуглове по принципу који је дат на слици десно.

2. П  опуни празна поља поштујући „значење“ хоризонталних и вертикалних стрелица.

По ком закону се добијају бројеви на дијагонали (у осeнченим пољима)? 3. Р  аспореди три од дате четири карте тако да добијене једнакости буду тачне.

=1 = –13 = –8 = –1 4. Одреди број X у шеми испод.

59

ЈЕДНОСТАВНЕ ГЕОМЕТРИЈСКЕ КОНСТРУКЦИЈЕ ЛЕЊИРОМ И ШЕСТАРОМ 1. Конструиши нормалу из тачке A на праву a и нормалу из B на праву b.

2. Конструиши праву q кроз тачку P тако да она буде паралелна са p.

3. Одреди тачку Y полуправе Ox тако да дуж XY буде подударна датој дужи CD.

4. Конструиши полуправу Ob тако да угао aOb буде подударан датом углу a.

6. Конструиши симетралу дужи LM.

7. Конструиши симетралу угла pOq.

60

УГЛОВИ НА ТРАНСВЕРЗАЛИ У квадратиће упиши мере одговарајућих углова.

61

ПОРЕЂЕЊЕ РАЦИОНАЛНИХ БРОЈЕВА У ЗАПИСУ p q 1. Заокружи слово испред тачне неједнакости: а) 2 < 3;

б) 3 < 2;

в) 0 > 1;

г) 0 < 1;

д) 3 < 7.

Уколико ти је потребно, нацртај бројевну праву пре него што одговориш. • Прецртај једну од речи даља ближа тако да добијеш тачну реченицу. Од два природна броја (позитивна цела броја) већи је онај коме је на бројевној правој придружена тачка која је даља ближа координатном почетку. 2. Заокружи слово испред тачне неједнакости: а) 2 < 3 ; 5 5

б) 3 < 2 ; 5 5

в) 0 > 1 ; 5

г) 0 < 1 ; 5

д) 3 < 7 . 5 5

Уколико ти је потребно, нацртај бројевну праву пре него што одговориш. • Прецртај једну од речи већи мањи тако да добијеш тачну реченицу. Од два разломка (позитивна рационална броја) једнаких именилаца већи је онај чији је бројилац већи мањи. 3. Бројеве –2, –3, –1, –7 представи на бројевној правој.

Заокружи слово испред тачне неједнакости: а) –2 < –3;

б) –3 < –2;

в) 0 > –1;

г) 0 < –1;

д) –3 < –7.

• Прецртај две речи тако да добијеш тачну реченицу. Од два негативна цела броја већи је онај коме је на бројевној правој придружена тачка која је даља ближа координатном почетку, то јест онај чија је апсолутна вредност мања већа.

62

4. Бројеве – 2 , – 3 , – 1 , – 7 представи на бројевној правој. 5 5 5 5

Заокружи слово испред тачне неједнакости: а) – 2 < – 3 ; б) – 3 < – 2 ; в) 0 > – 1 ; 5 5 5 5 5

г) 0 < – 1 ; 5

д) – 3 < – 7 . 5 5

• Прецртај две речи тако да добијеш тачну реченицу. Од два негативна рационална броја већи је онај коме је на бројевној правој придружена тачка која је даља ближа координатном почетку, то јест онај чија је апсолутна вредност мања већа. • Прецртај једну реч тако да добијеш тачну реченицу. Од два негативна рационална броја једнаких именилаца (који су природни бројеви) већи је онај чији је бројилац већи мањи. 5. На празна места упиши бројеве тако да добијеш тачне једнакости: а) 3 = 9 ; 4

в) 7 = 14 ; 6

б) 2 = ; 3 12

г) 3 = ; 2 12

д) 5 = . 6 12

6. Бројеве 3 , 2 , 7 , 3 , 5 представи на бројевној правој и упореди. 4 3 6 2 6

Како је

12

<

12

<

12

<

12

<

12

, закључујемо да је

<

<

<

<

.

Разломке (позитивне рационалне бројеве) дате у запису p поредимо тако што их q проширивањем или скраћивањем запишемо тако да имају једнаке имениоце, а онда упоредимо њихове бројиоце.

63

7. Упиши бројеве тако да добијеш тачне једнакости: б) – 4 = – 16 ; 5

а) – 3 = – ; 4 20

в) – 5 = – 25 ; 4

г) – 7 = – ; 10 20

д) – 1 = – . 2 20

8. Бројеве – 3 , – 4 , – 5 , – 7 , – 1 представи на бројевној правој и упореди. 4 5 4 10 2

Како је –

20