KKBI Matematik 1 (Tesalasi)

1.0 TRANSFORMASI

1.1 Definisi Transf Transform ormasi asi merupa merupakan kan satu satu proses proses yang yang meliba melibatka tkan n perge pergerak rakan an atau atau perubahan sesuatu objek dari posisi asal ke satu posisi yang baru. Objek pada kedudukan posisi yang baru dipanggil imej. Setiap titik pada objek akan dipetakan kepada kepada titik titik yang yang lain lain pada pada imej imej objek objek terseb tersebut. ut. Transf Transform ormasi asi merupa merupakan kan satu satu istilah umum untuk untuk empat empat cara cara khusus khusus untuk memanipulasi bentuk

titik, garis, atau

bentuk. Bentuk asal dari sesuatu objek dipanggil pra-imej dan bentuk akhir serta kedudukan akhir objek adalah imej yang telah melalui proses transformasi.

Transl Translasi asi,, pantul pantulan an dan dan putara putaran n merup merupaka akan n satu satu transf transform ormasi asi isomet isometrik rik kerana kerana setiap imej yang telah dipetakan daripada objek adalah sama dari segi saiz dan juga bentuknya. Kita juga boleh menyatakan di sini bahawa objek asal dan juga imej yang telah dipetakan adalah bersifat kongruen. Tran Transf sfor orma masi si

pelua peluasa san n

tida tidak k

term termas asuk uk

dala dalam m

kump kumpul ulan an

tran transf sfor orma masi si

isometrik. Ini adalah kerana saiz imej sesuatu objek yang terhasil apabila melalui proses transformasi ini adalah tidak sama dengan saiz objek asal. Objek asal dan   jug juga a imej imej yang yang terh terhas asil il adal adalah ah sama sama dari dari segi segi bent bentuk uk saha sahaja ja teta tetapi pi mere mereka ka mempunyai ukuran yang berbeza.

1.2 Jenis-jenis transformasi Terdapat empat jenis transformasi iaitu : •

Translasi

•

Refleksi(Pantulan)

•

Rotasi(Putaran)

•

Peluasan

Sebuah komposisi transformasi atau dalam buku-buku tertentu yang disebut gabungan dari transformasi bererti bahawa dua atau lebih transformasi akan dilakukan pada satu objek. Sebagai contoh, kita boleh melakukan pantulan dan kemudian translasi pada titik. Terdapat beberapa teori yang menarik yang melibatkan beberapa komposisi pantulan.

Rotation

Putar!

Reflection

Lipat!

Translation

Gelongsor!

Selepas mana-mana transformasi (translasi, putaran dan pantulan), bentuk akan kekal iaitu saiz, luas, sudut dan panjang garisannya tidak berubah. Jika sesuatu bentuk boleh menjadi bentuk yang lain dengan menggunakan putaran, pantulan dan translasi kedua-dua jenis bentuk tersebut dipanggil kongruen.

TRANSLASI

Dalam translasi, semua titik objek digerakkan dalam garis lurus di mana arahnya adalah sama. Size, bentuk, dan orentasi i mej adalah sama dengan objek asal. Orentasi yang sama bermakna objek dan imej mengadap arah yang sama.

Kita menerangkan translasi dalam sebutan unit nombor yang digerakkan ke kanan atau ke kiri dan unit nombor yang digerakkan ke atas atau ke bawah. Contoh:

Gerakkan objek 2 unit ke kanan dan 4 unit ke atas.

Penyelesaian:

Translasi dapat diwakili dengan lajur

vektor,

Nombor yang berada di atas mewakili pergerakan ke kiri dan ke kanan. Nombor  positif bermaksud bergerak ke kanan dan nombor negatif bermaksud bergerak ke kiri. Nombor yang berada di bawah mewakili pergerakan ke atas dan bawah. Nombor  positif bermaksud bergerak ke atas dan nombor negatif bermaksud bergerak ke bawah. Gambar di bawah adalah segi tiga ABC yang ditranslasikan kepada segi tiga A’B’C’.

Translasi ini diwakili oleh lajur vektor

.

Kebiasannya, translasi boleh diwakili oleh matriks lajur atau vektor lajur 

di

mana a ialah unit nombor yang bergerak ke kanan atau kiri di sepanjang paksi-x dan b adalah unit nombor yang bergerak ke atas dan ke bawah sepanjang paksi-y. Persamaan matrik yang mewakili translasi adalah:

Di mana

adalah matriks translasi dan

adalah imej kepada

Contoh:

Segi tiga P dipetakan pada segi tiga Q melalui translasi

a)Cari koordinat segi tiga Q b)Dalam gambar rajah di atas, lukis dan label segi tiga Q

Penyelesaian:

.

a)

b)

Sebagai sisitem menulis angka Matematik, kita boleh tulis: T( A  A) = B, yang bermaksud objek  A dipetakan pada B di bawah transformasi T.

PANTULAN

Dalam transformasi pantulan semua titik objek dipantulkan pada garisan yang dipanggil paksi pantulan atau garisan pantulan.

Contoh:

Pantulan ditentukan pada paksi simetri atau garisan pantulan. Dalam gambar rajah di atas, garisan pantulannya ialah  x = 3. Di bawah pantulan, bentuk dan size i mej adalah sama dengan bentuk asal. Transformasi jenis ini dipanggil transformasi isometrik. Orientasi yang benar-benar terbalik, di mana kedua-dua objek menghadap arah yang bertentangan. Garis pantulan adalah pembahagi dua serenjang pada garisan yang menghubungkan mana-mana mana-mana titik dengan imejnya. Semua titik pada garis pantulan tidak berubah. Melukis Imej

Jika paksi pantulan berada dalam satu garisan grid, kita hanya mengira bilangan segi empat sama daripada satu titik pada objek ke paksi dan imej adalah sama  jaraknya daripada paksi. Contoh:

Dalam gambar rajah di bawah, rajah A dipantulkan pada garisan XY. Lukis imej A pada gambar rajah di bawah.

Penyelesaian:

Perlu di ingat bahawa titik O tidak berubah di bawah pantulan kerana ia berada pada paksi pantulan. Mana-mana titik pada garisan pantulan tidak berubah. Jika paksi pantulan tidak berada pada garisan grid, kita memerlukan jangka lukis untuk membina imej. Contoh:

Gambar rajah di bawah menunjukkan segi tiga ABC dipantulkan pada garisan XY. Lukis imej segi tiga pada gambar rajah. Penyelesaian:

bersilang Langkah1: Letak titik tajam jangka lukis pada A dan lukis dua lengkuk bersilang pada garisan XY.

Langkah 2: Letakkan titik tajam jangka lukis pada titik persilangan yang pertama

dan tanda lengkuk yang berada pada bahagian bertentangan dengan garisan XY. Letakk Letakkan an titik titik tajam tajam jangka jangka lukis lukis pada pada titik titik persil persilang angan an yang yang kedua kedua dan dan tanda tanda lengkuk untuk disilangkan pada lengkuk yang pertama. Persilangan tersebut adalah imej A’.

Langkah 3: Ulang semula langkah 1 dan 2 untuk mendapatkan titik B’ dan C’.

Hubungkan titik A’, B’ dan C’ untuk mendapatkan imej A’B’C’.

PUTARAN

Putaran ialah transformasi di mana objek diputarkan pada koordinat yang tetap. Arah putaran boleh sama ada mengikut arah jam atau lawan arah jam. Koordi Koordinat nat yang yang tetap tetap di mana mana putara putaran n berlak berlaku u disebu disebutt sebaga sebagaii pusat pusat putar putaran. an. Jumlah putaran yang dibuat disebut sebagai sudut putaran. Contoh:

Untuk mana-mana putaran, kita perlu mngenal pasti pusat,sudut dan arah putaran.

Melukis imej Contoh:

Kenal pasti imej pada garis lurus XY di bawah putaran 90˚ arah lawan jam pada titik O.

Penyelesaian: Langkah 1: Hubungkan titik X pada O. Langkah 2: Dengan menggunakan protractor, lukis garisan 90˚ lawan arah jam dari

garisan OX. Tanda pada garisan itu titik  X   X ’ seperti mana garisan OX = OX ’

Step 3: Repeat steps 1 and 2 for point Y . Join the points  X’  and Y ’ to form the line  X’Y’.

Langkah 3: Ulang langkah 1 dan 2 untuk titik Y. Hubungkan titik X’dan Y’ untuk

membentuk garisan X’Y’. SUDUT PUTARAN Jika diberi objek, imej dan pusat putaran, kita boleh mendapatkan sudut putaran dengan menggunakan langkah-langkah berikut. Langkah 1 : Pilih mana-mana titik dalam rajah yang diberi dan hubungkan titik yang

dipilih ke pusat putaran. Langkah 2 : Cari imej titik yang dipilih tadi dan hubungkan ke pusat putaran.

antara dua garisan tersebut. tersebut. Tanda Tanda sudut sudut bergantung bergantung Langka Langkah h 3 : Ukur sudut di antara pada arah putaran. Putaran arah lawan jam adalah positif dan putaran arah jam adalah negatif.

Contoh :

Rajah  A’B’C ’ adalah imej bagi rajah   ABC. O adalah adalah pusat pusat putara putaran. n. Cari Cari sudut sudut putaran.

. Penyelesaian : Langkah 1: Hubungkan A dan O Langkah 2: Hubungkan A’ dan O. Langkah 3: Ukur sudut AOA’ 

Sudut putaran adalah 62˚ arah lawan lawan jam jam atau +62˚

Mensaiz semula

Transf Transform ormasi asi lain lain yang yang penting penting ialah ialah mensai mensaiz z semula semula..(juga (juga dikena dikenalili sebag sebagai  ai  dilation, contraction, compression, enlargement or even expansion). Bentuk menjadi

besar atau kecil. adalah transformas transformasii yang menghasilkan menghasilkan imej yang sama bentuk bentuk dengan dengan Dilation adalah bentuk asal, tetapi saiz yang berbeza. Dilation adalah transformasi di mana setiap titik objek bergerak sepanjang garisan lurus. Garisan lurus dilukis daripada titik yang tetap yang dipanggil pusat dilation. Jarak pergerakan titik bergantung pada faktor  skala.

Faktor skala = panjang imej = jarak imej daripada pusat dilation Panjang asal jarak objek daripada pusat dilation Jika faktor skala lebih besar dari 1, imej itu ialah enlargement  Jika factor skala di antara 0 dan 1, imej itu ialah reduction

Contoh:

Rajah menunjukkan dua segi tiga sama PQR dan P’Q’R’.

Segi tiga P’Q’R’ ialah dilation segi tiga PQR. Kita boleh katakana bahawa segi tiga PQR ditransformasikan kepada segi tiga P’Q’R’ melalui dilation dengan pusat O dan

factor skala

Enlargement 

Contoh :

Memperbesar segi tiga PQR dengan O sebagai pusat dilation dan factor skala 2.

Penyelesaian: Langkah 1: Ukur OP. Langkah 2: Panjangkan garisan OP kepada titik P’ sepertimana OP’ = 2OP. Langkah 3: Ulang langkah untuk semua bucu : titik Q untuk mendapatkan Q’ dan

titik R untuk mendapatkan R’. Langkah 4: Sambung titik P’Q’R’ untuk membentuk imej.

Contoh:

Besarkan segi tiga ABC dengan C sebagai pusat dilation dan factor skala 3. Penyelesaian: Langkah 1: Ukur CA. Langkah 2: Panjangkan garisan CA kepada titik A’ sepertimana CA’ = 3CA. Langkah 3: Ulang langkah untuk titik B untuk mendapatkan B’.

Contoh:

Lukis imej gambar rajah PQRS. O adalah pusat dilation dan faktor skala ialah 1.5

Penyelesaian: Langkah 1: Hubungkan OP. Langkah 2: Panjangkan garisan OP kepada OP’, sepertimana OP’ = 1.5 × OP Langkah 3: Ulang untuk semua bucu Q, R dan S. Langkah 4: Hubungkan P’, Q’, R’ dan S’ untuk membentuk imej

Reduction

Jika faktor skala dilation di antara 0 dan 1, imej akan menjadi kecil daripada objek. Ini dipanggil sebagai reduction.

Contoh :

Perbesar segi tiga PQR dengan O sebagai sebagai pusat enlargement dan faktor skala

.

Penyelesaian: Langkah 1 : Hubungkan O kepada P .

Langkah 2 : Tandakan titik P ’ pada OP sepertimana OP ’ =

OP .

Langkah 3 : Ulang langkah untuk setiap bucu: titik Q untuk mendapatkan Q ’ dan

titik R untuk mendapatkan R ’ . Langkah 4 : Hubungkan titik-titik P ’Q’R ’ untuk membentuk imej.

Teselasi-teselasi

Pengertian Corak yang mencakupi permukaan satah dengan memasang bersamasama dari bentuk asas yang sama yang telah diciptakan oleh Alam dan Manusia sama ada secara tidak langsung atau reka bentuk. Contohcontoh susunan dari corak heksagonal mudah seperti sarang madu lebah'atau lantai seramik untuk hiasan kompleks yang digunakan oleh orang Moor diSepanyol abad k etiga belas atau kerumitan dalam Matematik, tapi artistik, mozekdicipta oleh Maurits Escher abad ini. Corak-corak ini disebut teselasi. Apakah itu teselasi?Dalam terminologi geometri teselasi adalah corak yang dihasilkan dari susunanpoligon yang sekata untuk menutup sebuah permukaan satah tanpa ruang (gap) ataupertindihan. Corak ini biasanya berulang. Terdapat tiga jenis teselasi. Sebuah teselasi (atau jubin) adalah suatu susunan bentuk tertutup yang berp adananbersama-sama untuk menutup permukaan satah tanpa pertindihan dan tanpameninggalkan jurang. Teselasi-teselasi ada di mana-mana di alam ini seperti sarang dan objekbuatan manusia seperti selimut. M.C. Escher, seorang seniman dan ahli matematik, telah menjadi terkenal keranateselasi yang mengagumkan.

Jenis-jenis Teselasi

Teselasi Sekata Separuh-sekata teselasi Bukan-sekata teselasi Ringkas teselasi Kompleks teselasi

Teselasi Sekata

Teselasi sekata merupakan sepenuhnya dari poligon sekata kongruen semua pertemuan _bucu bertemu bucu. Hanya terdapat tiga teselasi sekata yang menggunakan segitiga sama sisi, segi empat tepat dan segi enam. Berikut yang menggunakan segi tiga dan segi enam.

Teselasi-separuh sekata

Teselasi Separuh-sekata dicipta dengan dua atau lebih jenis poligon sekata yangdip asangkan bersama-sama sedemikian rupa supaya poligon yang sama dalamsusunan kitaran yang sama mengelilingi setiap bucu. Terdapat lapan teselasi separa-sekata yang merangkumi pelbagai kombinasi segi tiga sama sisi, segi empat sama sisi, segi enam, octagons dan dodecagons.

Teselasi Tidak Sekata

Teselasi tidak sekata adalah di mana tidak ada halangan dalam susunan poligon di sekeliling kenderaan. Terdapat nombor infiniti di dalam teselasi. Deng Dengan an meng mengam ambi bill kira kira defi defini nisi si di atas atas akan akan memb membua uatk tkan an kita kita faha faham m sead seadan anya ya yang yang keba kebany nyak akan an cora corak k yang yang dipe diperb rbua uatt dari daripa pada da satu satu atau atau lebi lebih h polyiamond polyiamond adalah bukan bukan teselasi teselasi kerana kerana komponen komponen polyiamond polyiamond adalah adalah bukan bukan poligon poligon sekata. sekata. Coraknya Coraknya mungkin lebih tepat dipanggil dipanggil mozek mozek atau corak jubin. Tesela Teselasi si sekata sekata dalam dalam matema matematik tik adalah adalah mungki mungkin, n, tetapi tetapi dengan dengan moniam moniamond ond,, segitiga tetriamond dan juga sisi enam hexiamond. Teselasi separuh sekata adalah mungkin dengan kombinasi moniamond dan sisi enam hexiamond. Namun, saya akan akan

apli aplika kasi sika kan n

sebu sebuta tan n

tese tesela lasi si

(sep (seper erti tima mana na

penu penuli lis s

menera menerangk ngkan an corak yang diperole diperoleh h daripa daripada da susuna susunan n

lain lain

ada) ada)

untu untuk k

salah salah satu atau lebih

polyiamond untuk menutupi satah tanpa ada persilangan persilangan atau pertindihan. Definisi dan penerangan berikut merujuk kepada teselasi polyiamond. Contoh adalah terhad, dengan sedikit pengecualian kepada teselasi ppolyiamond individu. Teselasi Teselasi boleh boleh direka direka dengan dengan mempersem mempersembahka bahkan n satu atau lebih operasi asas, translasi, putaran dan pantulan pada polyiamond (rujuk rajah).

Translasi – menggerakkan polyiamond di sepanjang satah. Operasi translasi boleh diaplikasikan kepada semua polyiamond.

Putaran – putar polyiamond di atas satah. Operasi putaran boleh diaplikasikan kepada semua polyiamond yang mana tidak mempunyai simetri bulat, contohnya hexiamond sisi enam, yang mana tidak berubah. Pantulan – memantulkan polyiamond di atas satah, seperti yang terdapat pada cermin. Operasi pantulan adalah terhad kepada polyiamond yang enantiomorphic. Polyiamond enantiomorphic adalah yang mana tidak boleh ditumpangkan pada pantulannya, ianya adalah imej cermin. Saya nyatakan klasifikasi teselasi polyiamond berikut berdasarkan operasi yang diguna pada polyiamond yang telah di teselasikan. Teselasi ringkas yang mana hanya operasi translasi digunakan. Teselasi kompleks yang mana menggunakan satu atau lebih operasi putaran dan

pantulan yang digunakan bersama-sama operasi translasi. Satu atau lebih polyiamond boleh digabungkan untuk membentuk rajah yang boleh menteselasikan satah menggunakan hanya ooperasi translasi. Rajah ini akan dipanggil unit sel. Satu unit sel yang biasa boleh diisi dengan beberapa polyiamond yang berlainan. Gardner menerangkan bagaimana lima pasang heptiamond boleh digunakan untuk mengisi unit sel corak teselasi yang sama. Anda akan berupaya untuk mencari contoh lain di dalam ilustrasi-ilustrasinya kemudian.

Teselasi boleh diklasifikasikan dengan lebih mendalam mengikut bagaimana unit sel mengandungi satu atau lebih polyiamond yang disusun. Jika unit sel disusun seperti corak sekata yang berulang-ulang atau corak rambang, teselasi disebut periodic. Jika susunan menghasilkan corak yang tidak sekata atau rambang,

teselasi disebut aperiodic. Susunan lain yang menghasilkan teselasi dengan pusat simetri bulat adalah disebut radial – seperti teselasi, dengan pengeculian kes-kes istimewa, adalah kompleks dan akan meliputi dua per tiga atau enam unit sel yang salah satunya mengandungi nombor polyiamond yang ti dak terbatas. Kesemua teselasi yang sekata termasuk dalam tujuh belas set simetri yang berlainan kumpulan yang mana menguras semua cara yang coraknya boleh diulang tanpa had dalam dua dimensi.

Pembaca sepatutnya sedar bahawa susunan ganjil polyiamonds tidak boleh menjad menjadii tesela teselasi si mudah. mudah. Operas Operasii putara putaran n dan dan pantul pantulan an mesti mesti diguna digunakan kan untuk untuk menyediakan keseimbangan unit sel untuk teselasi. Kesemua Kesemua susunan susunan polyiamond polyiamonds s lapan atau kurang, kurang, dengan dengan pengecual pengecualian ian sala salah h satu satu hept heptia iamo mond nds s akan akan ment mentes esel elas asik ikan an sata satah. h. Peng Pengec ecua uali lian anny nya a ialah ialah hept heptia iamo mond nds s berb berben entu tuk k ‘V’. ‘V’. Gard Gardne nerr (buk (buku u ke-6 ke-6 m/s m/s 248) 248) menu menulis lis meng mengen enai ai masalah

mengenalpasti

ketida ketidakmu kmungk ngkina inan n

Gregor Gregory. y.

heptiamond

dan

menghasilk ilkan

Walau Walaubag bagaim aimana anapun pun,,

dalam dalam

semula

kombin kombinasi asi

bukti denga dengan n

heptiamond yang lain, teselasi yang menggunakan heptiamonds berbentuk V boleh di bentuk.

2.3 Contoh Teselasi

Terdapat banyak contoh teselasi dalam dunia yang sebenar. Kita telah belajar  yang teselasi adalah bentuk polygon yang berulang-ulang tanpa mempunyai ruang atau seksyen yang bertindih. Siapa yang pertama menemui corak ini, dan siapa yang menggunakannya? Maka, untuk yang pertama kalinya fikirkan bentuk yang berbeza yang ada dalam alam semula jadi, dan lihat sama ada anda boleh fikirkan sesuatu sesuatu yang boleh diklasifika diklasifikasika sikan n sebagai sebagai teselasi. teselasi. Sisik pada ikan, ikan, cengkeran cengkerang g kura-kura, ataupun kulit nenas. Jadi, hanya dengan memerhatikan dunia sekeliling kita kita boleh pelajari macam mana untuk mengenalpasti coraknya dan bagaimana kita boleh aplikasikannya dalam kerja kita. Contoh teselasi yang dapat kita lihat adalah adalah dalam pembinaan pembinaan batu bata semasa semasa membina membina bangunan. bangunan. Selama beribu tahun manusia telah menggunakan teselasi untuk mereka bangunan yang cantik, mozek, kerja kayu, lantai dan taman. Orang Orang Greek Greek dan Roman Roman dahulu dahulu kala kala telah telah mencip mencipta ta mozek mozek yang yang rumit rumit menggunakan bahagian batu-batu kecil yang ditampalkan pada dinding-dinding dan lantai-lantai. Mozek-mozek ini adalah bukan teselasi dalam sistem matematik kecuali bentuk batu di dalam mereka yang membentuk corak berulang. Tetapi selalunya, mozek-moze mozek-mozek k ini menggunak menggunakan an rekaan rekaan geometric geometric yang akan diteselasik diteselasikan an pada satah dalam sempadan dan latar belakangnya. Ubin yang lebih besar diperbuat daripada marmar atau granit yang digunakan pada corak lantai. Kadangkala, seluruh lantai dihamparkan dalam satah teselasi yang besar. Seni islam dinotakan mempunyai hiasan mozek yang ekstrem. Lebih banyak rekaan rekaan ubin mempunyai mempunyai segmen segmen yang bertindih bertindih dan disebabkan disebabkan itu ia bukanlah bukanlah teselasi yang sebenar. Banyak masjid dahulukala dan istana dibina di Istanbul, dan warnanya yang terang tidak hilang. Masjid Biru dan Haiga Sophia adalah dua tempat yang yang popu popula larr di Ista Istanb nbul, ul, Turk Turkii yang yang mana mana bany banyak ak corak corak tese tesela lasi si pada pada bangunann bangunannya. ya. Kadangka Kadangkala, la, corak yang diwarnakan diwarnakan pada jubin adalah daripada daripada reka rekaan an geom geomet etri rik k mere mereka ka send sendir irii yang yang mana mana apab apabil ila a dili diliha hatt dari daripa pada da jauh jauh menampakkan teselasi. Kawasan lain dalam dunia yang menggunakan teselasi pada dinding dan lantai adalah Negara Cina, di mana seramik porselin biru dan putih yang popular  menjadi menjadi aspirasi aspirasi artis-artis artis-artis daripada Negara lain untuk membuat membuat jubin yang sama; sama; Jepun, yang mana dikenali sebagai pengukir kayu dalam mereka teselasi; Afrika Utara Utara dan Sepan Sepanyol yol teruta terutaman manya ya senibi senibina na Moorish Moorish.. Belan Belanda da juga juga mempun mempunyai yai

indu indust stri ri jubi jubin n Delf Delftt begi begitu tu juga juga Engl Englan and d iaitu iaitu West Westmi mins nste terr Abbe Abbey y di Lond London on mempunyai mempunyai rekaan yang hebat yang ditiru biara lain. Budaya lain juga dikatakan dikatakan menggunakan teselasi pada bangunan mereka dan rekaan tekstil termasuk Navajos dan Amish. Kita boleh mendapatka mendapatkan n buku berkenaan berkenaan keseniaan keseniaan dan senibina senibina di perpustakaan. Terdapat banyak sebab mengapa kita harus belajar teselasi.

Contoh-contoh teselasi dalam kehidupan sebenar : 1. Snake sk skin

2. Bee web

3. Butterfly

4. Building

5. Ball

6. Pede Pedes stri trian

7. Roof  

8. Dried tree ree

2.4 Bagaimana teselasi boleh dihasilkan

2.5 Sumbangan Maurice C Escher 

2.5.1 Waterfall

Waterfall ialah satu lukisan pada logam yang dilakar oleh seorang pelukis Belanda, M. C. Escher  yang pertama kali dicetak dicetak pada tahun 1961. 1961. Waterfall Waterfall menunjukkan menunjukkan

rekaan paradoks terbalik, air dari tapak rekaan bergerak keatas sebelum sampai di puncak rekaan.

Kebanyakan orang seni menggunakan perkadaran biasa untuk menghasilkan ilusi ilusi kedala kedalaman man,, tetapi tetapi Esther Esther mengg mengguna unaka kan n perkad perkadara aran n berten bertentan tangan gan untuk untuk menghasilk menghasilkan an gambar gambar paradoks. paradoks. Waterfall Waterfall mempunyai mempunyai struktur struktur segitiga segitiga samakaki samakaki Penrose , satu objek yang mustahil mustahil direka direka sendiri sendiri oleh Roger Penrose dan Oscar  Reutersvärd. Reutersvärd. Bentangan 3D

Penerangan tentang rekaan teselasi yang dihasilkan

Dalam Dalam proses proses memben membentuk tuk rekaan rekaan tesela teselasi, si, kami kami telah telah menggu menggunak nakan an tiga tiga bentuk iaitu empat segi sama, segi tiga sama kaki dan heksagon sekata serta tiga  jenis transformasi transformasi yakni yakni pembesara pembesaran, n, putaran putaran dan translasi. translasi. Pertama Pertama sekali, sekali, lukis satu garis lurus. Kemudian, kami memilih satu titik sebagai pusat. Seterusnya kami menggu menggunak nakan an putara putaran n 90 darjah darjah untuk untuk memben membentuk tuk satu satu segi segi empat empat sama sama yang yang sempu empurrna. na.

Kemu Kemud dian, ian,

deng engan

men menggun ggunak akan an

opera peras si

pem pembesa esaran, ran,

kami ami

mengecilkan segi empat tepat tersebut dengan menggunakan faktor pembesaran satu per dua berpandukan titik tengah iaitu pusat bagi segi empat tepat tersebut yang juga disebut disebut sebagai sebagai objek. objek. Seterusny Seterusnya, a, kami membina sebuah heksagon heksagon sekata yang sisinya adalah 3 cm. Heksagon tersebut dilukis dengan menggunakan setiap sisi segi empat tepat tadi sebagai asasnya. Kemudian, kami lukis 3 garisan lurus yang menghubungkan setiap bucu yang bertentangan pada heksagon tersebut untuk membentuk membentuk 6 segitiga segitiga sama sisi. Seterusny Seterusnya, a, kami menggunakan menggunakan operasi putaran ke atas segi empat tepat tersebut dengan berpandukan pusat heksagon sebagai pusat putaran. Putaran dibuat arah jam sebanyak 120.15 o dan putaran ini dibuat sebanyak dua kali bagi menghasilkan dua imej bagi segi empat tersebut. Langkah seterusnya, kami menggunakan operasi translasi ke atas bentuk heksagon bagi bagi memben membentuk tuk tiga tiga lagi lagi imej imej heksa heksagon gon.. Namun Namun begitu begitu,, kami kami kekalk kekalkan an objek objek translasi tersebut. Pergerakannya berdasarkan metrik vektor seperti di bawah :

Penerangan tentang bentuk maujud 3D

Kami telah memilih truncated octahedron sebagai bentuk maujud 3D kami kerana bentuk ini menarik dan mempunyai 2 bentuk poligon yakni heksagon dan empat segi sama. Ini menunjukkan menunjukkan kerja ini betul-betul betul-betul sesuai sesuai untuk untuk kami telitikan telitikan dan dan meng mengka kaji jiny nya. a. Kami Kami mema memada dank nkan an obje objek k tadi tadi deng dengan an tese tesela lasi si dan dan ini ini membuatkan kami teruja dengan kerja ini. Ciri-ciri yang ada pada bentuk ini adalah ia mempunyai 14 permukaan kesemuanya yang merangkumi kedua-dua bentuk iaitu heksagon heksagon dan segi empat tepat. Rekaan Rekaan ini juga mempunyai mempunyai 8 bentuk bentuk heksagon heksagon yang sekata dan mempunyai 6 bentuk segi empat tepat. Seterusnya, bentuk ini memiliki sebanyak 36 sisi yang sama panjang iaitu 3 cm setiap satu. Ciri lain adalah ia mempunyai mempunyai 24 bucu kesemuanya. kesemuanya. Truncated Truncated Octahedro Octahedron n adalah adalah satu pepejal Archimedean. Disebabkan setiap permukaannya mempunyai titik simetri, bentuk ini adalah adalah zonohe zonohedro dron. n. Zonohe Zonohedro dron n berert berertii polyhe polyhedro dron n cembun cembung g di mana mana setia setiap p permuk permukaan aan adalah adalah poligo poligon n dengan dengan titik titik simetr simetrii atau atau simetr simetrii yang yang disama disamaka kan n di bawah putaran 180°.