kinematika tacke - teorija i zadaci.pdf

KRIVOLINIJSKO KRETANJE TAČKE U RAVNI OPISANO U PRAVOUGLOM DEKARTOVOM KOORDINATNOM SISTEMU. JEDNAČINE KRETANJA. LINIJA PUTANJE. PUTANJA. Jednačine kretanja x(t) i y(t) u potpunosti određuju sve pojmove vezane za kinematiku tačke kao što su: linija putanje, putanja (trajektorija), brzina, ubrzanje i poluprečnik krivine putanje. Funkcija, kriva ili prava, dobijena eliminacijom vremena t iz jednačina kretanja naziva se linijom putanje i nju ćemo u svakom primeru crtati. U većini primera linija putanje se svodi na oblik y(x) ili x(y) ili f(x,y)=0. Podrazumevaće se da trenutku započinjanja kretanja (početnom trenutku) odgovara t=0 i da se pri kretanju vreme t stalno povećava. Početni položaj tačke M0, određen koordinatama x(0) i y(0), određuje se stavljanjem nule umesto t u jednačine kretanja. Putanja je onaj deo linije putanje na kom tačka može da se nađe u vremenskom intervalu t≥0. Taj deo je na slici prikazan debljom linijom.

VEKTORI BRZINE I UBRZANJA U PRAVOUGLOM DEKARTOVOM KOORDINATNOM SISTEMU I NJIHOVE PROJEKCIJE NA KOORDINATNE OSE. Vektorom položaja pokretne tačke M naziva se vektor koji se proteže od koordinatnog početka do te tačke: r r r r r r r (0 ) = OM 0 = x(0 )i + y (0 ) j r (t ) = OM (t ) = x(t )i + y (t ) j Dakle, x(t) i y(t), osim što su jednačine kretanja, to su i projekcije vektora položaja i koordinate pokretne tačke u nepokretnom xOy koordinatnom sistemu.

r r r r r ∆r ∆r dr r& Vsr = , V (t ) = lim = = r (t ) ∆ t → 0 ∆t ∆t dt r Vsr - Srednja brzina u vremenskom intervalu ∆t r t 0 - Jedinični vektor tangente na putanju r Vektor brzine V (t ) pokretne tačke u proizvoljnom trenutku vremena je prvi izvod po r r vremenu vektora položaja (t ) : r r V (t ) =r& (t )

Za krivolinijsko kretanje pravac vektora brzine poklapa sa pravcem tangente r r r r r r r & Zbog V (t ) =r (t ), r (t ) = x(t )i + y (t ) j i činjenice da su i i j konstantni vektori, dobija se vektor brzine: r r r V (t ) = x& (t )i + y& (t ) j Projekcije vektora vrzine na koordinatne ose jednake su prvim izvodima po vremenu jednačina kretanja, odnosno koordinata pokretne tačke u nepokretnom xOy koordinatnom sistemu, dakle: Vx (t ) = x& (t ), V y (t ) = y& (t ) V 2 = x& 2 + y& 2 Intenzitet vektora brzine: V = x& 2 + y& 2 ,

r r r r ∆V ∆V dV d 2 r r& r r r asr = , a (t ) = lim = = 2 = V (t ) = &r&(t ) ∆t →0 ∆t ∆t dt dt r asr - Srednje ubrzanje u vremenskom intervalu ∆t

r n0 - Jedinični vektor normale na putanju

r Vektor ubrzanja a (t ) pokretne tačke u proizvoljnom trenutku vremena, r jednak je prvom izvodu po vremenu vektora brzine V (t ) , odnosno, r r drugom izvodu po vremenu vektora položaja (t ) : r& r r a (t ) = V (t ) = &r&(t )

Za krivolinijsko kretanje, u opštem slučaju, vektor ubrzanja je usmeren u konkavnu stranu putanje.

r r r r Zbog ar (t ) =&rr&(t ), rr (t ) = x(t )i + y (t ) j i činjenice da su i i j konstantni vektori, dobija se vektor ubrzanja: r r r a (t ) = &x&(t )i + &y&(t ) j , odakle se vidi da su njegove projekcije na koordinatne ose jednake drugim izvodima koordinata (jednačina kretanja) po vremenu: 2 2 a x (t ) = &x&(t ), a y (t ) = &y&(t ) ⇒ a = a x + a y

Te projekcije su, takođe, jednake prvim izvodima projekcija brzine, kao funkcija vremena, po vremenu: a x (t ) = V&x (t ), a y (t ) = V&y (t ). Na slici su nacrtani vektori brzine i ubrzanja u početnom M0 i proizvoljnom M položaju, koji odgovaraju početnom i proizvoljnom trenutku vremena, respektivno. Takodje su prikazanerkomponente r a ( ) V t vektora i (0 ).

Primer 1.1 Jednačine kretanja tačke u ravni su x = t i y = t 2 (t je u sekundama a x i y su u metrima). Odrediti liniju putanje i skicirati je? Odrediti trajektoriju i oblast kretanja? Odrediti i na putanji nacrtati brzinu u trenutku t=1s? Odrediti ubrzanje u proizvoljnom trenutku? Eliminacijom vremena t iz jednačina kretanja dobija se da je jednačina linije putanje parabola y = x 2 Početni položaj: x(0 ) = 0, y (0 ) = 0 ⇒ M 0 (0,0) Putanja (trajektorija) je samo desna grana parabole. Oblast kretanja: x ≥ 0, y ≥ 0

Projekcije brzine i ubrzanja u funkciji vremena dobijaju se preko izvoda od 2 jednačina kretanja: x = t , y = t x& (t ) = 1, y& (t ) = 2t , &x&(t ) = 0, &y&(t ) = 2 Brzina u trenutku t=1s (prikazana je na slici sa prethodnog slajda) : r r r ( ) x& (1) = 1, y& 1 = 2 ⇒ V (1) = 1i + 2 j , V (1) = 12 + 22 = 5 m s Položaj u trenutku t=1s : x(1) = 1, y (1) = 1 ⇒ M (1,1) Ubrzanje u proizvoljnom trenutku: r r a (t ) = 2 j , a(t ) = 2 m s 2 Vektor ubrzanja je konstantan, paralelan sa y osom i usmeren naviše. Primer 1.2 Jednačine kretanja tačke u ravni su x = 2 + 3sin 2t i y = 1− 2 cos 2t (t je u sekundama a x i y su u metrima). Odrediti trajektoriju i skicirati je? Odrediti oblast kretanja? Odrediti i na putanji nacrtati brzinu i ubrzanje u trenutku t = (π 4) s? Jednačinu putanje dobićemo preuređenjem, kvadriranjem pa sabiranjem 2 2 jednačina kretanja: x − 2 ( x − 2 ) ( x − 1) y −1 + =1 = sin 2t , = − cos 2t ⇒ 2 2 3 2 3 2

Jednačina elipse ( x − xC )2 ( x − yC )2 + =1 2 2 u b

xC = 2, yC = 1, u=3 i b=2. Oblast kretanja: − 1 ≤ x ≤ 5, − 1 ≤ y ≤ 3 Početni položaj: x(0 ) = 2, y (0 ) = −1 ⇒ M 0 (2,−1)

x = 2 + 3 sin 2t y = 1 − 2 cos 2t Projekcije brzine i ubrzanja u Položaj, brzina i ubrzanje u trenutku t = (π 4) funkciji vremena su: x(π 4 ) = 5, y (π 4 ) = 1 x& (t ) = 6 cos 2t r r x& (π 4 ) = 0 V (π 4 ) = 4 m s y& (t ) = 4 sin 2t y& (π 4 ) = 4 V (π 4 ) = 4 j &x&(t ) = −12 sin 2t r 2 &x&(π 4 ) = −12 r ( ) a π 4 = 12 m s a (π 4) = −12i &y&(t ) = 8 cos 2t &y&(π 4 ) = 0

2 2 Primer 1.3 Jednačine kretanja tačke u ravni su x = 2t − 1 i y = t + 2 (t je u sekundama a x i y su u metrima). Odrediti liniju putanje i skicirati je? Odrediti trajektoriju i oblast kretanja? Odrediti i na putanji nacrtati brzinu i ubrzanje u trenutku t=1s? Eliminacije vremena t (određivanje jednačine linije putanje) y 0 3 y = t 2 + 2 ⇒ t 2 = y − 2, x = 2t 2 − 1 = 2( y − 2) − 1 ⇒ x = 2 y − 5 x -5 1

Početni položaj: x(0 ) = −1, y (0 ) = 2 ⇒ M 0 (− 1,2) Tačka se kreće stalno u jednom smeru (gore desno) pošto sa porastom vremena t, obe koordinate i x i y se stalno povećavaju. Zbog toga je trajektorija poluprava (podebljani deo linije putanje) a oblast kretanja je x ≥ −1, y ≥ 2 Položaj tačke u trenutku t=1s x(1) = 1, y (1) = 3 ⇒ M (1,3)

Projekcije brzine i ubrzanja u funkciji vremena su: x& (t ) = 4t , y& (t ) = 2t , &x&(t ) = 4, &y&(t ) = 2 odakle se vidi da je vektor ubrzanja tokom kretanja konstantan r r r a (t ) = 4i + 2 j = const. ⇒ a(t ) = 4 2 + 2 2 = 2 5 m s 2 Brzina u trenutku t=1s r r r x& (1) = 4, y& (1) = 2 ⇒ V (1) = 4i + 2 j , V (1) = 2 5 m s 2 Primer 1.4 Jednačine kretanja tačke u ravni su x = sin t i y = cos 2t (t je u sekundama a x i y su u metrima). Odrediti liniju putanje i skicirati je? Odrediti trajektoriju i oblast kretanja? Odrediti brzinu i ubrzanje u proizvoljnom trenutku? Odrediti trenutak vremena t u kojem tačka prvi put menja smer kretanja? Za dobijanje jednačine linije putanje (odnosno, za eliminaciju vremena t iz jednačina kretanja) iskoristimo trigonometrijske identitete prema kojima dobijamo da je linija putanje parabola: cos 2t = cos 2 t − sin 2 t , cos 2 t = 1 − sin 2 t ⇒ cos 2t = 1 − 2 sin 2 t ⇒ y = 1 − 2 x 2 Zbog − 1 ≤ sin t ≤ 1, − 1 ≤ cos 2t ≤ 1 oblast kretanja je − 1 ≤ x ≤ 1, − 1 ≤ y ≤ 1

Tačka osciluje duž parabole a na mestima A i B menja smer kretanja. Projekcije brzine i ubrzanja u funkciji vremena su: x& (t ) = cos t , y& (t ) = −2 sin 2t &x&(t ) = − sin t , &y&(t ) = −4 cos 2t Brzina u proizvoljnom trenutku: r r r V (t ) = cos t i − 2 sin 2t j

V (t ) = cos 2 t + (2 sin 2t ) 2

Ubrzanje u proizvoljnom trenutku: r r r a (t ) = − sin t i − 4 cos 2t j a (t ) = sin 2 t + (4 cos 2t ) 2 Početni položaj: x(0 ) = 0, y (0 ) = 1 ⇒ M 0 (0,1)

Zbog x& (0 ) = 1 ≥ 0 tačka je započela kretanje u desnu stranu. Na mestu prve promene smera kretanja (A) brzina tačke jednaka je nuli: x& (t ) = cos t = 0, y& (t ) = −2 sin 2t = 0 ⇒ t = (π 2 ) s

Trohoida. Cikloida Parametarske jednačine trohoide: (u prikazanoj varijanati) x(t ) = xM = Vt + R sin ωt

y (t ) = yM = R + R cos ωt

C – centar rotora (tačka koja se kreće ravnomerno pravolinijski, brzinom V) R – poluprečnik rotora (rastojanje tačke M od tačke C), R = CM

Trohoida

ω – ugaona brzina rotora (konstanta) Specijalni slučaj trohoide, za Rω = V, je ciklioda Brzina tačke M može se odrediti preko prvog izvoda parametarskih jednačina: x& (t ) = V + Rω cos ωt

y& (t ) = − Rω sin ωt

Ubrzanje tačke M određuje drugi izvod: &x&(t ) = − Rω2 sin ωt

&y&(t ) = − Rω2 cos ωt

Ciklioda (Rω = V), i više trohoida (Rω > V). Na svakoj narednoj slici

Rω je veće. V

Cikloida dobijena kotrljanjem bez klizanja kružnog diska po pravoj (x osi) Ovde je parametar, ne vreme t, već ugao rotacije diska ϕ. C – centar diska (tačka koja se kreće pravolinijski) R – poluprečnik diska R = CM

Zbog kotrljanja bez klizanja dužina duži A0P jednaka je dužini kružnog luka AP, što je Rϕ. Parametarske jednačine cikloide: (u prikazanoj varijanati) x(ϕ) = xM = Rϕ + R sin ϕ

y (ϕ) = yM = R + R cos ϕ

Brzina se može odrediti preko prvog izvoda: x& = Rϕ& + Rϕ& cos ϕ

y& = − Rϕ& sin ϕ

Krivolinijska koordinata. Jedinični vektori tangente i normale. Vektor brzine izražen preko njegove projekcije na tangentu i njegov intenzitet. U prirodnom koordinatnom sistemu koordinata koja u potpunosti određuje položaj tačke je krivolinijska (prirodna, lučna) koordinata s(t). Međusobno upravni jedinični vektori r r ovog koordinatnog sistema su t 0 i n 0 r Jedinični vektor tangente t 0 ima smer porasta koordinate s(t), dok je, njemu upravni, r jedinični vektor normale n 0 uvek usmeren u konkavnu stranu putanje. Vektor brzine: r r r r V = Vt t0 , V = ±Vt0 r drr r ds r r r r r V = , dr = dst0 , V = t0 , V = s&t0 ⇒ Vt = s& dt dt 0 Tangencijalno i normalno ubrzanje r r r r a = a t + a n Vektor ubrzanja a u ovom koordinatnom sistemu ima oblik t 0 n 0 Projekcije ubrzanja na tangentu i normalu at i an nazivaju se tangencijalnim i normalnim ubrzanjem. a 2 = at 2 + an 2

r r V = s&t

r r V = s&t0 Diferenciranjem ovog izraza po vremenu dobija se: r r r r dV a= = &s&t0 + s&t&0 dt r& r r r r t Za dobijanje 0 izrazimo t0 i n0 preko i i j r r r r r r t0 = cos θi + sin θj , n0 = − sin θi + cos θj r r r d r t&0 = t0 = − sin θ ⋅ θ& i + cos θ ⋅ θ& j dt r& & r r r r& & r t0 = θn0 t0 = θ(− sin θi + cos θj ) = θ& n0

U gornjem r rizvođenju koriščeni su: činjenica da su i i j konstantni i sledeći identiteti: d d dθ d d dθ cos θ = cos θ ⋅ = − sin θ ⋅ θ& , sin θ = sin θ ⋅ = cos θ ⋅ θ& dt dθ dt dt dθ dt r r r& r r r & a = & s & t + s & θ n , a = s t + s t & & & Sada, izraz za vektor ubrzanja postaje 0

0

0

što daje da tangencijalno i normalno ubrzanje određuju izrazi: at (t ) = &s&(t ), an (t ) = s&(t )θ& (t )

0

Odredimo θ& , kako bi dobili konačni izraz za an = s&θ& : dθ dθ ds dθ s& θ& = = ⋅ = ⋅ s& = dt ds dt ds Rk

&θ = s& Rk

gde je, na osnovu slike, korišćena jednakost: Rk ⋅ dθ = ds ⇒ Rk - poluprečnik krivine putanje 2 2 Konačno, pošto je s& = V , tangencijalno i normlno ubrzanje određuju formule:

V (t ) . at (t ) = &s&(t ), at (t ) = V& (t ) , an (t ) = Rk (t ) Poluprečnik krivine u nekoj tački putanje predstavlja poluprečnik kruga koji najbolje aproksimira beskonačno malu okolinu te tačke. 2

dθ 1 = ds Rk

Određivanje poluprečnika krivine putanje (kinematički način) Ovde se podrazumeva definisanje procedure za određivanje poluprečnika krivine putanje (samim tim, normalnmog i tangencijalnog ubrzanja) u nekom trenutku vremena, ako su poznate jednačine kretanja x(t) i y(t) u xOy koordinatnom sistemu. 2 V2 V (t ) an (t ) = . ⇒ Rk = an Rk (t ) 2 2 2 2 2 Intenzitet brzine i njegov kvadrat su: V (t ) = x& (t ) + y& (t ) , V = x& + y& 2 Normalno ubrzanje određuje formula an = a − at x&&x& + y&&y& 2 2 2 & a V a = x + y , = = & & & & gde je: t V Gornja formula može se izvesti sledećim diferenciranjem po vremenu: d 2 V = x& 2 + y& 2 ⇒ 2VV& = 2 x&&x& + 2 y&&y& ⇒ at dt 2

Primer 1.5 U primeru 1.1 odrediti poluprečnik krivine putanje na mestu koje odgovara trenutku vremena t=1 s. S obzirom da je u tom trenutku vremena x& = 1 m s , y& = 2 m s , V = 5 m s, &x& = 0, &y& = 2 m s 2

tangencijalno ubrzanje iznosi at =

x&&x& + y&&y& 4 m = V 5 s2

S obzirom da je u tom trenutku a = &x&2 + &y&2 = 2 m s 2 ,

normalno ubrzanje iznosi 16 2 m 2 a n = a 2 − at = 4 − = , 2 5 5s pa je traženi poluprečnik krivine V2 5 5 5 Rk = = = m ≅ 5.59 m an (2 5 ) 2

Primer 1.6 U primeru 1.2 odrediti poluprečnik krivine putanje na mestu koje odgovara trenutku vremena t = (π 4 ) s S obzirom da je u tom trenutku vremena x& = 0, y& = 4 m s , V = 4 m s, &x& = −12 m s 2 , &y& = 0,

tangencijalno ubrzanje iznosi x&&x& + y&&y& at = =0 V S obzirom da je u tom trenutku a = &x&2 + &y&2 = 12 2 + 0 2 = 12 m s 2

normalno ubrzanje iznosi m , 2 s pa je traženi poluprečnik krivine at = 0, a = an = 12 m s 2 2 2 Do zaklju č ka da je V 4 4 Rk = = = m ≅ 1.33 m itd. moglo se doći i na osnovu same slike an 12 3

an = a 2 − at = 12 2 − 0 2 = 12 2

Primer 1.7 U primeru 1.4 odrediti poluprečnik krivine putanje na mestu koje odgovara početnom trenutku vremena t=0 s. S obzirom da je u tom trenutku vremena x& = 1 m s , y& = 0, V = 1 m s , 2 &x& = 0, &y& = −4 m s , tangencijalno ubrzanje iznosi x&&x& + y&&y& at = = 0. V S obzirom da je u tom trenutku a = &x&2 + &y&2 = 0 2 + 4 2 = 4 m s 2 , normalno ubrzanje iznosi m 2 an = a 2 − at = 4 2 − 0 = 4 2 , s pa je traženi poluprečnik krivine

V 2 12 1 Rk = = = m. an 4 4 I ovde se moglo doći do zaključka da je a t = 0 itd. na osnovu same slike

Pravolinijsko kretanje tačke U dinamici se pri pravolinijskom kretanju materijalne tačke uvek jedna osa (na primer x) usvaja u pravcu kretanja dok je ona druga (y osa) upravna na pravac kretanja. Izložimo kinematiku takvog kretanja kao specijalni sličaj kretanja tačke u yOx ravni, r r r r Vektore brzine i ubrzanja su V (t ) = x& (t )i , a (t ) = &x&(t )i , i ukoliko nisu nula vektori, moraju imati pravac kretanja (pravac x ose). Projekcije ovih vektora na y osu moraju biti jednake nuli y& (t ) = 0, &y&(t ) = 0, što daje i jednakost y (t ) = 0 = const . Intenziteti vektora su: V = x& , a = &x& x(t ) je jednačina (zakon) kretanja Često će se za pravolinijsko kretanje tačke umesto x(t ) koristiti i druge slovne oznake, kao na primer s(t ), y, u , z ,... , ali suština je ista. I tada će se brzine dobijati preko prvih izvoda tih koordinata a ubrzanja preko drugih.

Primer 1.8 1 2 1 3 ( ) x t = t + t − t Za pravolinijsko kretanje tačke jednačina (zakon) kretanja je 2 18 (t je u [s], x je u [m]). Odrediti brzinu i ubrzanje u funkciji vremena i nacrtati vektore brzine i ubrzanja u trenucima t0 = 0, t1 = 6 i t 2 = 9 sekundi? Nacrtati funkcije x(t ), x& (t ), &x&(t ), s (t ), V (t ) i a(t )? Odrediti u kom trenutku vremena

t = ? i na kom mestu x(t ) = ? tačka menja smer kretanja? 1 2 ( ) x & t = 1 + t − t Projekcija brzine je 6 1 a projekcija ubrzanja &x&(t ) = 1− t 3

Uvrstimo sada u izraze za x(t ), x& (t ) i &x&(t ) umesto vremena t vrednosti 0, 6 i 9 kako bi dobili položaj, brzinu i ubrzanje u tim vremenskim trenucima: x(0 ) = 0, x& (0 ) = 1 m s , &x&(0 ) = 1 m s 2 , x(6 ) = 12 m, x& (6 ) = 1 m s , &x&(6 ) = −1 m s 2 , x(9 ) = 9 m, x& (9 ) = −3.5 m s , &x&(9 ) = −2 m s 2 .

Za t = 0 kretanje je ubrzano Za t = 6 s kretanje je usporeno Za t = 9 s kretanje je ubrzano ali se tačka kreće u suprotnom smeru od porasta x koordinate

Tačka menja smer kretanja u trenutku t kada joj je brzina jednaka nuli, tj. 1 x& (t ) = 0 ⇒ 1 + t − t 2 = 0 ⇒ t = 3 + 15, t ≈ 6,873 s ⇒ x(t ) = 12,455 m 6

Zakoni kod jednolikog i jednako promenljivog pravolinijskog kretanja tačke Jednoliko (ravnomerno) pravolinijsko kretanje ⇒ x& = V = const . dx = Vdt - diferencijalna jednačina ⇒ x(t ) = V ⋅ t - Zakon kretanja x(0 ) = 0 - početni uslov (Zakon puta) Jednako (ravnomerno) promenljivo pravolinijsko kretanje Ovde je a (ubrzanje, usporenje) konstantno Neka su početni uslovi: &x& = a > 0 (jednako ubrzano), a-ubrzanje ili x(0 ) = 0, x& (0 ) = V0 &x& = − a < 0 (jednako usporeno), a-usporenje dx& = a = const. ⇒ x& (t ) = V0 + at -Zakon brzine &x& = dt jednako ubrzano 2 t -Zakon puta dx = (V0 + at )dt ⇒ x(t ) = V0 ⋅ t + a ⋅ 2 dx& = − a = const. ⇒ x& (t ) = V0 − at -Zakon brzine &x& = dt jednako usporeno 2 t ( ) x t = V ⋅ t − a ⋅ -Zakon puta dx = (V0 − at )dt ⇒ 0 2

}

}

Zakoni kod jednolikog i jednako promenljivog krivolinijskog kretanja tačke Jednoliko (ravnomerno) krivolinijsko kretanje ⇒ s& = V = const . ds = Vdt - diferencijalna jednačina ⇒ s(t ) = V ⋅ t - Zakon kretanja s(0 ) = 0 - početni uslov (Zakon puta) Jednako (ravnomerno) promenljivo krivolinijsko kretanje Ovde je aT (tangencijalno ubrzanje/usporenje) konstantno &s& = aT > 0 (jednako ubrzano), a - tangencijalno ubrzanje ili T &s& = − aT < 0 (jednako usporeno), aT- tangencijalno usporenje ds& &s& = = aT = const. ⇒ s&(t ) = V0 + aT t -Zakon brzine dt t2 -Zakon puta ds = (V0 + aT t )dt ⇒ s(t ) = V0 ⋅ t + aT ⋅ 2

Početni uslovi: s (0 ) = 0, s&(0) = V0

}

ds& = − aT = const. ⇒ s&(t ) = V0 − aT t dt t2 ds = (V0 − aT t )dt ⇒ s(t ) = V0 ⋅ t − aT ⋅ 2

&s& =

-Zakon brzine -Zakon puta

}

jednako ubrzano

jednako usporeno

Jedinični vektori, jednačine kretanja i komponente brzine i ubrzanja u polarnom koordinatnom sistemu Polarne koordinate tačke su: riϕ Jednačine kretanja su: r (t ) i ϕ(t ) Jedinični vektori radijalnog i cirkularnog pravca su: r r r0 i c0 . Oni su zbog promene ugla ϕ promenljivi i za nalaženje r r i i j: njihovih izvoda po vremenu izrazimo ih preko jediničnih vektora r r r r r r r0 = cos ϕ i + sin ϕ j , c0 = − sin ϕ i + cos ϕ j r r r& d (cos ϕ) d (cos ϕ) dϕ r0 = −ϕ& sin ϕ i + ϕ& cos ϕ j = ⋅ = − sin ϕ ⋅ ϕ& r& r r r r& dt dϕ dt r0 = ϕ& (− sin ϕ i + cos ϕ j ) ⇒ r0 = ϕ & c0 r r r& d (sin ϕ) d (sin ϕ) dϕ c0 = −ϕ& cos ϕ i − ϕ& sin ϕ j = ⋅ = cos ϕ ⋅ ϕ& r r r r r dϕ dt & r0 dt c&0 = −ϕ& (cos ϕ i + sin ϕ j ) ⇒ c&0 = −ϕ

Vektor položaja: r r r = OM = rr0 Prvi izvod vektora položaja daje vektor brzine i njegove komponente u radijalnom i cirkularnom pravcu a samim tim i njegove projekcije na radijalni i cirkularni pravac: r r r d r r r& r r r = rr0 ⇒ V = r&r0 + rr0 ⇒ V = r& r0 + rϕ& c0 dt

⇒ Vr = r&, Vc = rϕ&

Prvi izvod vektora brzine daje vektor ubrzanja i njegove komponente u radijalnom i cirkularnom pravcu a samim tim i njegove projekcije na radijalni i cirkularni pravac: d r r r r r r d r r V = r& r0 + rϕ& c0 ⇒ a = &r&r0 + r&r&0 + (rϕ& ) c0 + rϕ& c&0 dt dt r r r r r && ) c0 + rϕ& (− ϕ& r0 ) ⇒ a = r&&r0 + r&ϕ& c0 + (r&ϕ& + rϕ r r r && + 2r&ϕ& ) c0 ⇒ a = (&r& − rϕ& 2 )r0 + (rϕ 2 & && + 2r&ϕ& ⇒ ar = &r& − rϕ , ac = rϕ