Kinematika in Dinamika - Cvikl.pdf

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA GRADBENIŠTVO

KINEMATIKA IN DINAMIKA Z UVODOM V TEORETIČNO MEHANIKO

Prof. dr. B R U N O C V I K L

m3

m2

m1

k3

k2 x1

k1

k1

m1

MARIBOR, 1997

x2

k2

m2

x3

k3

m3

PREDGOVOR

Predmetu Kinematika in dinamika je v tretjem semestru univerzitetnega izobraževalnega programa Gradbeništvo na Fakulteti za gradbeništvo, Univerze v Mariboru dodeljenih 2 ure predavanj in ena ura vaj na teden. Vsebina je osredotočena na mehaniko togega telesa in predstavlja, ob uporabi že pridobljenih matematičnih orodjih, ki so jih slušatelji osvojili v prvih dveh semestrih ter sprotnem nadgrajevanju v tretjem, posplošitev vsebin ustreznih poglavij Fizike I iz prvega letnika izobraževanja. Namen predmeta je v podajanju tistih osnov, vključno z uvodnimi spoznanji analitične mehanike, ki tvorijo temelj nadaljnim strokovno teoretičnim predmetom tretjega in četrtega letnika študija. V pričujočem učbeniku so podani zgolj najnujnejši zgledi z namenom, da se utrdi razumevanje obravnavanih vsebin in navedenih splošnih trditev. Vsebina je prilagojena potrebam izobraževalnega programa gradbeništva in zato posamezna poglavja nekoliko odstopajo od usmeritev podanih v običajnih učbenikih z zapisanim naslovom, ki so avtorju služili kot vzor pri pisanju. Predstavljena snov je podrobneje razčlenjena in njena upraba predočena v obširni zbirki nalog, ki jo je pripravil doc. dr. Dean Korošak kar prazvaprav skupaj tvori zaokroženo osnovo za razumevanje in uspešno uporabo vsebin v nadaljnjem poteku študija gradbeništva Prof. dr. Andrej Umek je podal številne koristne pripombe in predloge, tako tudi glede vsebin, ki jih tovrstno delo naj zajema. Večino skic je skrbno oblikoval študent Sašo Turnšek. Obema se prijazno in iskreno zahvaljujem.

Avtor

ii

KAZALO 1. Uvod

1

1. Kinematika masne točke 1.1 Kartezični koordinatni sistem 1.2 Prostorski polarni (cilindrični) koordinatni sistem 1.3 Krogelni (sferični) koordinatni sistem 1.3.1 Zveza med krogelnim in (prostorskim) polarnim koordinatnim sistemom 1.3.2 Zveza med krogelnim in kartezičnim koordinatnim sistemom 1.4 Ločna dolžina prostorske krivulje; naravna koordinata s Zgledi

2 3 5 8 10 12 13 16

2. Hitrost masne točke Zgledi

18 22

3. Pospešek delca 3.1 Kartezični koordinatni sistem 3.2 Polarni koordinatni sistem 3.3 Krogelni koordinatni sistem Zgledi

25 29 29 30 30

4. Kinematika togega telesa 4.1 Vrtenje togega telesa okoli stalne osi; Eulerjeva enačba 4.2 Splošno gibanje togega telesa v primeru, da ena točka miruje 4.3 Translacijsko gibanje togega telesa 4.4 Splošno gibanje togega telesa; Chasle-jev teorem 4.5 Ravninsko gibanje togega telesa 4.5.1 Dokaz, da je kotna hitrost vseh točk preseka enaka 4.5.2 Projekcijski teorem hitrosti pri ravninskem gibanju togega telesa 4.5.3 Pol hitrosti pri ravninskem gibanju togega telesa 4.5.4 Pol pospeška pri ravninskem gibanju togega telesa Zgledi 4.6 Opis splošmega gibanja togega telesa

35 36

45 47 50 52 58

5. Linearne transformacije Zgledi 5.1 Formalne lastnosti transformacijske matrice 5.2 Eulerjevi koti

60 65 66 72

6. Dinamika 6.1 Splošni zakoni dinamike masne točke 6.1.1 Izreki o gibanju za masno točko 6.1.2 Izrek o sunku rezultante sil in spremembi

76 79

38 39 40 40 44

iii

količine 6.1.3 Izrek o sunku navora in spremembi vrtilne količine masne točke 6.1.4 Izrek o delu sile in spremembi kinetične energije delca 6.1.5 Omejeno gibanje masne točke 6.1.6 Lagrangejeve enačbe I. vrste omejenega gibanja masne točke Zgledi 6.1.7 Eulerjeve enačbe omejenega gibanja masne točke Zgledi 6.2 Splošni zakoni dinamike sistema masnih točk 6.2.1 Izrek o gibanju masnega središča; gibalna količina sistema masnih točk 6.2.2 Izrek o sunku navora in spremembi vrtilne količine sistema delcev 6.2.3 Transformacija vrtilne količine sistema masnih točk 6.2.4 Energija sistema masnih točk; Koenigs-ov teorem 6.3 Splošni zakoni dinamike togega telesa 6.3.1 Enačbe gibanja togega telesa 6.3.2 Vrtenje togega telesa okoli stalne osi, ki poteka skozi masno središče 6.3.3 Tenzor vztrajnostnega momenta togega telesa 6.3.4 Diagonalizacija tenzorja vztrajnostnega momenta togega telesa; lastne vrednosti in lastni vektorji 6.3.4.1 Lastnosti lastnih vrednosti in lastnih vektorjev za primer simetričnega tenzorja 6.3.4.2 Diagonalizacija nesimetričnega tenzorja 6.4 Eulerjeve enačbe gibanja togega telesa Zgledi 7. Alternativna formulacija mehanike - uvod v teoretično mehaniko 7.1 Statika sistema masnih točk; načelo virtualnega dela 7.1.1 Delo omejitvene sile pri gibanju delca-virtualni pomiki 7.1.2 Načelo virtualnega dela za sistem masnih točk Zgledi 7.2 D’Alambertovo načelo in Lagrangejeve enačbe 7.2.1 D’Alambertovo načelo za sistem gibajočih se masnih točk 7.2.2 Lagrangejeve enačbe za holonomni sistem masnih točk Zgledi 7.2.3 Lagrangejeve enačbe za primer neholonomnega sistema masnih točk Zgledi

79 80 82 86 88 99 97 93 104 104 107 109 113 121 121 124 125 130 133 136 137 142 158 158 158 161 163 169 169 171 176 189 193

iv

7.2.4 Hamiltonovo načelo; povezava z Lagrangejevimi enačbami Zgledi 8. Nihanje sklopljenih nihal z majhnimi amplitudami 8.1 Pogoj stabilnega gibanja dinamičnega sistema v okolici ravnovesne lege 8.2 Lastni načini nihanj sistema delcev okoli ravnovesne lege 8.3 Transformacija na normalne koordinate 8.4 Lastna nihanja sistemov podvržena vzbujevalnim in disipacijskim silam Zgledi

202 206 219 219 221 223 227 232

v

Seznam uporabljene literature

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19.

Vlatko Brčić, Dinamika konstrukcija, Građevinska knjiga, Beograd 1981. Peter Fajfar, Dinamika gradbenih konstrukcij, FAGG, Ljubljana 1984. Herbert Goldstein, Classical Mechanics, Addison – Wesley, Reading, Mass., ZDA 1965. Stjepan Jecić, Mehanika II - Kinematika i dinamika, Tehnička knjiga, Zagreb 1989. M. M. Kabaljski, V. D. Krivošej, N. I. Savicki, G. N. Čajkovski, Tipski zadaci iz teorijske mehanike i metode njihovih rešavanja, Univerztet u Beogradu, 1963. L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Mechanics – Vol. 1 of Course of Theoretical Physics, Pergamon Press, Oxford 1969. I. V. Meščerski, Zbirka zadataka iz teorijske mehanike, Građevinska knjiga, Beograd 1979. Milan Muršič, Osnove tehniške mehanike, 2. del, Kinematika, Društvo matematikov, fizikov in astronomov SRS, Ljubljana 1986. Milan Muršič, Osnove tehniške mehanike – III, Dinamika, Akademska založba, Ljubljana 1991. Sergej Pahor, Uvod v analitično mehaniko, Društvo matematikov, fizikov in astronomov SRS, Ljubljana 1989. Lazar Rusov, Mehanika – Kinematika,Naučna knjiga, Beograd 1980 Lazar Rusov, Mehanika - Dinamika, Naučna knjiga, Beograd 1979. Miran Saje, Kinematika in dinamika, John C. Slater and Nathaniel H. Frank, Mechanics,McGraw-Hill, New York 1947. Murray R. Spiegel, Theoretical Mechanics with an introduction to Lagrange's equations and Hamiltonian theory, Schaum's outline series, McGraw-Hill, New York, 1967. Keith R. Symon, Mechanics, Addison-Wesley, Reading, Mass. ZDA, 1964. S. M. Targ, Teorijska mehanika – kratak kurs, Građevinska knjiga, Beograd 1979. Andrej Umek, Dinamika gradbenih konstrukcij, Univerza v Mariboru 1998. Luka Vujošević in Slavko Đurić, Zbirka rešenih zadataka iz dinamike – sa izvodima iz teorije, Naučna knjiga, Beograd 1983.

vi

UVOD

Klasična mehanika je veda, ki proučuje splošne zakone vzajemnega delovanja teles v pogojih, kadar so kvantni in relativistični pojavi povezani z njihovim obstojem zanemarljivo majhni. Posledica vzajemnega sodelovanja dveh ali več teles se izraža v spremembah, ki jih ob tem doživi dano (opazovano) telo in ki se v splošnem kaže v spreminjanju lege v prostoru v odvisnosti od časa (kar se po definiciji pojmuje kot gibanje telesa) in/ali v spremembah oblike in prostornine telesa, oziroma danega dela telesa (kar predstavlja deformacijo telesa). Vzajemno delovanje dveh ali več teles (t. im. interakcije) se v splošnem popiše s pojmom sile. V omenjenem smislu je torej sila fizikalna količina s katero se popiše delovanje enega telesa (ali več teles) na dano telo zaradi česar se stanje slednjega (gibanje, deformacije, temperatura, mehanske, električne ali magnetne lastnosti telesa, kemijska sestavain lastnosti zaradi n.pr. prisotnosti jedrskih sil, in podobno) v časovnen intervalu učinkovanja sil (iz okolice telesa) spremeni. Klasična mehanika proučuje zakonitosti delovanja tistih sil (in njihovih posledic), katerih učinki na izbrano telo se v splošnem odražajo tako v spremembah gibanja telesa kot v deformacijah, oziroma v primerih, ki privedejo do sočasne spremembe obeh zvrsti stanja telesa. Klasično mehaniko je mogoče, z ozirom na posledice obstoja vzajemne interakcije dveh ali več teles, torej sil med posameznimi telesi, razdeliti na naslednja glavna (pod)področja: -- statiko, ki obravnava sile in navore ter pogoje, ki privedejo do ravnovesja teles pod vplivom delovanja sil, -- kinematiko, ki proučuje splošne geometrijske lastnosti gibanja in načine njegovega zapisa ter -- dinamiko, ki proučuje zakone gibanja enega ali skupine teles pod vplivom na njih delujočih sil. V odvisnosti od velikosti in sestave teles se mehaniko deli na: (a) mehaniko točkastega telesa, pri čemer točkasto telo (delec) pomeni geometrijsko točko, ki se ji pripiše dano maso, (b) mehaniko togega telesa (neskončno število masnih točk, katerih vzajemna razdalja se s časom ne spreminja iz česar sledi, da so deformacije togega telesa po definiciji enake nič), (c) mehaniko masnih točk, ki vključuje primere, ko njihovo skupno število ni konstantno, (d) mehaniko deformabilnih teles, ki se deli na elastomehaniko (deformacije telesa so sorazmerne silam, ki deformacijo povzročajo pri čemer mora biti zadoščeno dodatnemu pogoju, da je ob prenehanju delovanja sil na telo deformacija slednjega ponovno enaka nič) in plastomehaniko, ki proučuje primere, kjer enemu ali obema gornjima pogojema ni zadoščeno, (e) mehaniko tekočin (neviskoznih in viskoznih kapljevin) in (f) mehaniko plinov (aerodinamiko). V splošnem je privzeto stališče po katerem se področja zapisana pod (d), (e) in (f) uvrščajo v širše področje mehanike zveznih sredstev, t.j. mehanike kontinuuma.

1

1. KINEMATIKA DELCA (MASNE TOČKE) Kinematika je veja mehanike, ki proučuje geometrijo gibanja, to je opis gibanja na način, kjer se ne upošteva mase telesa in vpliva sil, ki na masni delec delujejo. Hitri razvoj mehanskih strojev in delov v 19. stoletju in potrebe po njih, zlasti v obdobju, ki je sledilo, je povzročilo veliki razvoj kinematika, ki se je zato zlagoma osamosvojila in prerastla v samostojno vedo klasične mehanike, katere dandanašnji pomen predvsem zadeva teorije mehanizmov, zlasti pa kinematiko robotov. Najpreprostejši primer gibanja je časovno spreminjanje lege masne točke v prostoru. Pri opisovanju gibanja se izkaže za ustreznega pristop, kjer se opisuje gibanje delca z ozirom na v naprej določenega opazovalca, ki se po definiciji nahaja v dani točki prostora. Za opazovalca se (do nadaljnjega) privzame, da miruje in točko prostora v kateri se le-ta nahaja se označi z O. Z ozirom na izbrano mirujočo točko O, opisuje gibanje masne točke neko krivuljo v prostoru (prostorsko krivuljo), katere shematsko obliko ponazarja slika 1.

T(t = 0) O T(t)

0 T(t+dt) 0

Slika 1. Krivulja C za primer namišljenega gibanja masne točke v prostoru kot jo vidi mirujoči opazovalec, ki se nahaja v izhodišču 0.

v V splošnem je lega točke v prostoru podana s krajevnim vektorjem r , ki je definiran kot vektor, ki kaže iz stalnega prijemališča (izhodišča) do dane točke. Ker se masna točka v prostoru giblje se tedaj spreminjata tako velikost kot smer krajevnega vektorja iz česar v v sledi, da je v splošnem krajevni vektor funkcija časa, t.j. r = r (t). Konica krajevnega vektorja, tedaj ko se masna točka giblje po prostoru, opisuje prostorsko krivuljo in očitno v v je enačba omenjene krivulje gibanja masne točke podana z izrazom r = r (t). Gibanje masne točke je poznano tedaj, ko je poznana časovna odvisnost spreminjanja krajevnega v vektorja, oziroma kako krajevni vektor r zavisi eksplicitno od časa t. V primeru, ko je ta časovna sprememba eksplicitno podana pravimo, da je podan zakon gibanja masne točke, oziroma, da poznamo enačbo gibanja masne točke (po prostorski krivulji). Osrednja naloga kinematike masne točke je poiskati eksplicitno časovno odvisnost spremembe krajevnega vektorja.

2

Zapis krajevnega vektorja v različnih koordinatnih sistemih v Iz matematike je poznano, da je krajevni vektor r definiran z najmanj tremi neodvisnimi podatki: s prijemališčem (ki je v zgornjem primeru stalna točka), s smerjo krajevnega vektorja in z dolžino vektorja oziroma z njegovo velikostjo. Pomembno se je zavedati, da je vektor količina, ki je enolično definirana z navedenimi tremi podatki in torej ne zavisi od izbire koordinatnega sistema. Toda za opis vektorja se izkaže kot nadvse umestno uprabiti katerega koli izmed množice različnih koordinatnih sistemov za popis navedenih treh količin, ki vektor enolično določajo, pri čemer sama izbira koordinatnega sistema običajno zavisi od vrste problema, ki se ga obranava. 1. Kartezični koordinatni sistem v Krajevni vektor r , kaže iz izbrane točke, ki se imenuje izhodišče in se označi z O, do v dane točke T v prostoru. Ta krajevni vektor r , je najpreprosteje zapisati v pravokotnem ali kartezičnem koordinatnem sistemu, ki ga definirajo trije, med seboj pravokotni, od časa v v v neodvisni, enotni vektorji i , j in k . Po definiciji le-ti enolično določajo smeri osi-x, osi-y in osi-z kartezičnega koordinatnega sistema v prostoru, slika 2. Z uporabo definicije skalarnega produkta dveh vektorjev in če se upošteva, da je velikost enotnega vektorja (po dogovoru) enaka 1, velja: v v v v v v i .i = j . j = k .k = 1

v v v v v v i . j = j .k = i .k = 0

in z T(x,y,z)

v r

v k v i

v j

y y-os

x x-os v Slika 2. Zapis krajevnega vektorja r v kartezičnem koordinatnem sistemu, ki v v v ga definirajo časovno neodvisni enotni vektorji i , j in k . Tedaj, ko potuje točka T v prostoru opisuje krajevni vektor prostorsko krivuljo.

3

v V izbranem kartezičnem koordinatnem sistemu se krajevni vektor r zapiše kot naslednja v v v linearna kombinacija enotnih vektorjev i , j in k , v v v v r = xi + y j + zk , v pri čemer so x, y in z, komponente vektorja r vzdolž kordinatnih osi. V splošnem zavisi v v v krajevni vektor od časa, r = r (t), zato velja, da so komponete vektorja r tudi od časa odvisne količine, x = x(t) y = y(t) z = z(t). v Pomen komponent x, y in z, je razviden brž, ko se tvori skalarne produkte vektorja r z v v v enotnimi vektorji i , j in k . Lahko se je prepričati, da velja naslednje, v v r . i = r.1 cos α 1 = r cos α 1 = x, v kjer r označuje velikost (dolžino) krajevnega vektorja r . Toda z uporabo definicije prav tako velja tudi naslednja relacija, v v v v v v r . i = (x i + y j + z k ). i = x. Na podoben način se dokaže veljavnost izrazov v v r . j = r cos α 2 = y v v r . k = r cos α 3 = z v Očitno so komponente x, y in z pravokotne projekcije vektorja r na koordinatne osi v kartezičnega koordinatnega sistema, saj so koti α i (i=1, 2, 3) koti, ki jih krajevni vektor r oklepa s pripadajočimi koordinatnimi osmi x, y in z, slika 2. Toda koti α i (i=1, 2, 3) med seboj niso neodvisni saj vendar velja, v v v v v v v v r . r = r2 = (x i + y j + z k ).(x i + y j + z k ) = x2 + y2 + z2 = = r2 (cos2 α 1 + cos2 α 2 + cos2 α 3), od koder sledi prvič, da je velikost (dolžina) krajevnega vektorja r podana z r=

x2 + y2 + z2

v in drugič, da so smerni kosinusi krajevnega vektorja r med seboj povezani s pomembnim izrazom (cos2 α 1 + cos2 α 2 + cos2 α 3) = 1.

4

v Poljubni vektor a se v kartezičnem koordinatnem sistemu zapiše kot ) v ) v a = ax i + ay j + az k v in je enolično podan s tremi kartezičnimi komponentami, a =( ax, ay, az), vzdolž osi x, y in z. 2. Prostorski polarni (cilindrični) koordinatni sistem Polarni (ali cilindrični) koordinatni sistem je definiran z tremi med seboj pravokotnimi ) ) ) enotnimi vektorji eρ , eϕ in k , pri čemer od sedaj naprej simbol ^ nad črko pomeni, da gre r ) ) za vektor katerega dolžina je enaka 1 (enotni vektor), torej k ≡ k , itd. Ker so vektorji eρ , ) ) eϕ in k , enotni, med seboj pravokotni vektorji velja,

) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) eρ . eρ = eϕ . eϕ = k . k =1 in eρ . eϕ = eρ . k = eϕ . k = 0. Polarni (cilindrični) koordinatni sistem, ki ga definirajo med seboj pravokotni, enotni ) ) ) vektorji eρ , eϕ in k , je skupaj s kartezičnim koordinatnim sistemom predstavljen na sliki ) 3. Enotni vektor k je identičen z istoimenskim enotnim vektorjem, kot le-ta definira orientacijo z-osi kartezičnega koordinatnega sistema v prostoru. z

v r ) k x

) eϕ

y

) eρ

Slika 3. Cilindrični koordinatni sistem je definiran z tremi enotnimi, med seboj ) ) ) ) pravokotnimi vektorji eρ , eϕ in k , pri čemer vektor k sovpada z enotnim vektorjem, ki definira z-os kartezičnega koordinatnega sistema. Na sliki 3. je hkrati s cilindričnim koordinatnim sistemom predstavljen še ustrezni kartezični koordinatni sistem.

5

v V cilindričnem koordinatnem sistemu se krajevni vektor, r , točke T v prostoru zapiše kot ) v ) r = ρ eρ + z k , pri čemer velja,

v ) r . eρ = ρ

v ) r . k = z.

in

Povezavo med cilindričnim in kartezičnim koordinatnim sistemom se dobi iz definicije,

v ) v v v ) r = ρ eρ + z k = x i + y j + z k . v Iz zgornjega izraza za krajevni vektor r takoj sledi, )

v

v

ρ eρ = x i + y j

) kar definira enotni vektor eρ izražen v kartezičnih koordinatah kot, ) ) ) eρ = (x/ ρ ) i + (y/ ρ ) k , r ) pri čemer ostaja ρ še nedefinirana dolžina vektorja ρ = ρ eρ , ki leži v x-y ravnini ) kartezičnega koordinatnega sistema. To je razvidno iz dejstva, da se eρ zapiše kot linearna v ) kombinacija enotnih vektorjev i in j . v Če se zgoraj zapisano povezavo za krajevni vektor r zaporedoma skalarno pomnoži z v ) enotnima vektorjema i in j sledi,

v ) ) ) r . i = ρ eρ . i = ρ cos ϕ = x v v ) v r . j = ρ eρ . j = ρ sin ϕ = y. Zapisani enačbi definirata kot ϕ kot tisti kot, ki ga oklepa enotni vektor cilindričnega ) ) koordinatnega sistema eρ z enotnim vektorjem i kartezičnega koordinatnega sistema, slika 3. r ) Desni strani dobljenih izrazov definirajo dolžino vektorja ρ = ρ eρ . Če se ju kvadrira in sešteje sledi,

ρ 2 (cos2 ϕ + sin2 ϕ ) = x2 + y2, in od tod je

ρ =

x2 + y2

6

Poslednji izraz, skupaj s katerimkoli od izvedenih izrazov cos ϕ = x/ ρ

ali

sin ϕ = y/ ρ

predstavlja transformacijske izraze, ki povezujejo cilindrični in kartezični koordinatni sistem, saj velja, da se z-komponenta krajevnega vektorja v obeh zapisanih koordinatnih sistemih ohranja. To pomeni, da se v primeru, ko so podane koordinate x, y in z krajevnega v vektorja r zapisanega v kartezičnem sistemu, tedaj lahko izračuna ogovarjajoči koordinati ρ in ϕ iz zgornjih transformacijskih enačb. Velja seveda tudi obratno, če so poznane v cilindrične koordinate ρ , ϕ in z, krajevnega vektorja r v cilindričnem koordinatnem v sistemu tedaj velja x= ρ cos ϕ , y= ρ sin ϕ in z=z. Dolžina vektorja r v cilindričnem koordinatnem sistemu je seveda enaka, r=

vr r .r =

ρ2 + z2 ≡

x2 + y2 + z2 ,

v saj gre za identični karajevni vektor r , toda zapisanem v dveh koordinatnih sistemih. ) Z uporabo poslednjih izrazov se sedaj lahko zapiše vektor eρ izražen v kartezičnih koordinatah v obliki, v ) ) eρ = cos ϕ i + sin ϕ j .

v v Ker v splošnem velja, da je krajevni vektor funkcija časa, r = r (t), sledi,

ρ = ρ (t) ϕ = ϕ (t) z = z(t) ) ) ) toda enotna vektorja, eρ in eϕ sta, v nasprotju s časovno neodvisnimi enotnimi vektorji i , ) v j in k , sedaj od časa odvisni količini. Velja torej,

) ) eρ = eρ (t) in ) ) eϕ = eϕ (t). ) ) ) Trojica enotnih vektorjev, ki definira cilindrični kordinatni sistem, eρ , eϕ in k tvori ) ) v desnosučno trojico vektorjev, podobno kot to velja za trojico enotnih vektorjev i , j in k . v ) ) Kako se tedaj izraža vektor eϕ z vektorjema i in j kartezičnega sistema? Iz dejstva, da ) ) ) tvorijo vektorji eρ , eϕ in k desnosučno trojico, med seboj pravokotnih enotnih vektorjev, se omenjeno zavisnost izračuna na naslednji način: v ) ) eϕ = u i + v j

pri čemer sta količini u in v še neznani. Očitno mora veljati,

7

) ) eϕ . eϕ = 1 = u2 + v2, ) ) eϕ . i = cos δ = u, ) v eϕ . j = cos ( δ -90o) = v ) ) kjer je δ kot, ki ga oklepata vektorja eϕ in i . Druga relacija sledi iz dejstva, da je kot med v ) ) ) vektorjema i on j enak 90o. Toda kot med vektorjema eρ in i je po definiciji enak ϕ in

zaradi tega sledi, da je δ = ϕ + 90o. Če se slednje vstavi v dobljena izraza je, u = cos δ = cos ( ϕ +90o) = - sin ϕ v = cos ( δ -90o) = cos ϕ

) od koder sledi da se vektor eϕ v kartezičnem sistemu izraža kot, v ) ) eϕ = - sin ϕ i + cos ϕ j .

v Posebej velja opozoriti, da v zapisu krajevnega vektorja r točke T v prostoru, v ) cilindričnem koordinatnim sistemu, enotni vektor eϕ ne nastopa. Toda v splošnem zavisi ) ) ) ) smer (vzajemno pravokotnih) vektorjev eρ = eρ (t) in eϕ = eϕ (t) eksplicitno od časa in zato je ) potrebno navesti še kot ϕ , ki ga v vsakem trenutku oklepata vektorja, n.pr. kot med i in ) eρ . v Poljuben vektor a se v polarnem koordinatnem sistemu zapiše, ) v ) ) a = a ρ eρ + aϕ eϕ + az k v in je enolično podan s trojico polarnih komponent a =( a ρ , aϕ , az ,)

3. Krogelni (sferični) koordinatni sistem Krogelni ali sferični koordinatni sistem definirajo trije, med seboj pravokotni, enotni ) ) ) vektorji, er , eθ in eϕ , kot kaže slika 4. Ker so vektorji enotni in med seboj pravokotni velja,

) ) ) ) ) ) er . er = eθ . eθ = eϕ . eϕ = 1 ) ) ) ) ) ) er . eθ = er . eϕ = eθ . eϕ = 0. v ) ) Enotni vektor er kaže po definiciji vzdolž krejevnega vektorja r . Enotni vektor eθ je v podan s smerjo tangente na krožnico v točki T prostora, ki jo definira krajišče vektorja r ,

8

če se, pri konstantni vrednosti kota ϕ , kot θ spreminja v intervalu 0 ≤ θ ≤ π /2. Enotni v ) vektor eϕ je podan s smerjo tangente na krožnico, ki jo definira krajišče vektorja r , če se spreminja kot ϕ v intervalu 0 ≤ ϕ ≤ 2 π , pri konstantni vrednosti kota θ . Iz definicije je ) ) razvidno, da je enotni vektor eϕ krogelnega sistema identičen z vektorjem eϕ , ki ga zajema definicija prostorskega polarnega koordinatnega sistema. v V krogelnem koordinatnem sistemu se krajevni vektor r do poljubne točke T v prostoru zapiše v preprosti obliki,

v ) r = r er pri čemer velja, da sta, ko se masna točka giblje po prostoru, velikost krajevnega vektorja r v ) ) in enotni vektor er ( er = r /r) eksplicitno odvisna od časa.

) er

z

) eϕ

v r

) eθ

θ

v i x

v k ϕ

v j

y

ρ

Slika 4. Krogelni koordinatni sistem je definiran s tremi, med seboj prevokotnimi, v ) ) ) enotnimi vektorji, er , eθ in eϕ . Krajevni vektor r , ki kaže do masne točke v prostoru, oklepa v kartezičnem koordinatnem sistemu kot θ z z-osjo in kot ϕ z x-osjo. Pravokotna v projekcija krajevnega vektorja r na x-y ravnino kartezičnega koordinatnega sistema je označena s simbolom ρ .

9

3.1 Zveza med krogelnim in (prostorskim) polarnim koordinatnim sistemom

v Krajevni vektor r se v obeh navedenih koordinatnih sistemih izraža v naslednji obliki, ) v ) ) r = r er = ρ eρ + z k . Od tod neposredno sledi,

) ) ) er = ( ρ /r) eρ + (z/r) k ) ) ) er = cos( θ - π /2) eρ + cos θ k ) ) ) er = sin θ eρ +cos θ k ) ) Preostala enotna vektorja eθ in eϕ se v polarnem sistemu najenostavneje izrazita s

pomočjo slike 5.

) k

θ

) er

) eρ

θ ) eθ

) ) Prikazuje projekcijo enotnih vektorjev er in eθ krogelnega koordinatnega ) ) sistema na polarni kordinatni sistem, podan z enotnima vektorjema k in eρ .

Slika 5.

Iz slike 5 je neposredno razvidna veljavnost pravkar izpeljanega izraza, poleg tega pa ) ) ) očitno velja tudi naslednja zveza, eθ = cos θ eρ - sin θ k , tako da se transformacijske enačbe zapišejo

) er = sin θ ) eθ = cos θ ) ) eϕ = eϕ

) eρ + cos θ ) eρ - sin θ

) k ) k

10

Dobljeni izrazi so transformacijske enačbe, ki izražajo enotne vektorje krogelnega koordinatnega sistema v polarnem koordinatnem sistemu. Obratne transformacije, to je ) ) ) izražava polarnih vektorjev eρ , eϕ in k v krogelnem koordinatnem sistemu je dobljena s pomočjo slike 5., ali pa preprosteje, da se prvi gornji enačbi zaporedoma pomnoži s ) faktorjema sin θ in cos θ ter sešteje. Na podoben način se izračuna razstavitev vektorja k v krogelnem koordinatniem sistemu. Lahko je uvideti, da veljajo naslednje povezave,

) ) ) eρ = sin θ er + cos θ eθ ) ) eϕ = eϕ ) ) ) k = cos θ er - sin θ eθ . Poslednja dva sklopa enačb povezuje trojico desnosučnih pravokotnih enotnih vektorjev enega koordinatnega sistema s trojico desnosučnih pravokotnih enotnih vektorjev drugega koordinatnega sistema. Očitno je sedaj mogoče zapisati,

) v ) ) ) ) ) r = ρ eρ + z k = ρ ( sin θ er + cos θ eθ ) + z(cos θ er - sin θ eθ ) v kar predstavlja zapis krejevnega vektorja r polarnega kordinatnega sistema v krogelenem koordinatnem sistemu. Komponente so podane z izrazom, v ) ) r = ( ρ sin θ + z cos θ ) er + ( ρ cos θ - z sin θ ) eρ . v ) Toda dobljeni izraz je po definiciji enak r = r er , zato mora veljati, r = ( ρ sin θ + z cos θ ) 0 = ( ρ cos θ - z sin θ ) od koder je očitno (primerjaj tudi s sliko 4.), da je kot θ podan z, r = ( ρ sin θ + z cos θ ) tg θ =

ρ z

) pri čemer je smer enotnega vektorja er , zapisana v polarnem koordinatnem sistemu, podana z že zgoraj zabeleženim izrazom, ) ) ) er = sin θ eρ + cos θ k . v Iz zapisanega je razvidno, da je s polarnima koordinatam ( ρ , z) krajevnega vektorja r zapisanega v prostorskem polarnem koordinatnem sistemu, ki ga definira trojica vektorjev ) v ) ) eρ , eϕ in k , znane orientacije, enolično določen zapis vektorja r v krogelnem ) ) ) koordinatnem sistemu, er , eθ , eϕ .

11

3.2 Zveza med krogelnim in kartezičnim koordinatnim sistemom S pomočjo zgoraj izvedenih enačb in z uporabo izrazov dobljenih v razdelku 2., sledi,

) ) v ) ) ) er = sin θ eρ + cos θ k = sin θ (cos ϕ i + sin ϕ j ) + cos θ k v ) in zato je kaj lahko pokazati, da vodi izraz r =r er , do naslednjih transformacijskih enačb, ) ) v v ) ) x i +y j +z k = r sin θ (cos ϕ i + sin ϕ j ) + r cos θ k , ki se v komponentni obliki zapišejo v obliki, x = r sin θ cos ϕ y = r sin θ sin ϕ z = r cos θ . Zapisani izrazi se lahko izpeljejo na bolj neposredni način; namreč s projiciranjem v vektorja r na osi kartezičnega koordinatnega sistema, slika 4. Gornje izraze je moč v razumeti tudi tako, da je krajevni vektor r podan s krogelnimi koordinatami (r, θ , ϕ ) v oziroma, da velja r = (x, y, z) = (r, θ, ϕ ). v Obratna transformacija, torej zapis krogelnih koordinat vektorja r v primeru, da so podane kartezične koordinate, sledijo neposredno iz zgornjih treh enač in se zapišejo,

z r y tg ϕ = x cos θ =

r

=

x2 + y2 + z2 .

v Poljubni vektor a se v krogelnem koordinatnem sistemu v splošnem zapiše kot, v ) ) ) a = ar er + a θ eθ + a ϕ eϕ = (ar, a θ , a ϕ ), a =

a r2 + aθ2 + aϕ2

v in (ar, a θ , a ϕ ) so krogelne koordinate poljubnega vektorja a izražene z ozirom na enotne v vektorje krogelnega koordinatnega sistema, pri čemer pomeni a= a dolžino (jakost) v vektorja a .

12

4. Ločna dolžina prostorske krivulje; naravna koordinata s

v v Enačbo krivulje v vektorski obliki podaja izraz r = r (t)=(x(t), y(t),z(t)), kjer je t parameter. Izraz je z vrednostjo parametra t natanko določen, kajti ko zavzame t vse možne vrednosti opiše krajišče krajevnega vektorja dano krivuljo v prostoru. Naj bo enačba prostorske krivulje eksplicitno podana. V tem primeru je možno enostavno določiti trenutni položaj masne točke na krivulji, če je podana vrednost ločne dolžine s. Po definiciji je ločna dolžina, s, razdalja, merjena vzdolž loka krivulje, od neke poljubno v izbrane začetne točke To na krivulji, katere lega je določena z izrazom r (to) do točke T na v v krivulji, ki je podana s krajevnim vektorjem v danem trenutku, t.j. r = r (t). Vrednost naravne koordinate, s, to je ločne dolžine izbrane točke T na prostorski krivulji z ozirom na dano začetno točko krivulje To, je mogoče izračunati s pomočjo slike 6.

To T

v r (to)

v ∆r

∆s T

v r (t)

Slika 6. V časovnem intervalu ∆ t = t-to, se masna točka, ki se giblje po prostorski krivulji v v podani z enačbo r = r (t), premakne iz točke To v točko T, ki sta povezani z vektorjem v v v v pomika ∆ r = r (to+ ∆ t) - r (to). Velikost pomika ∆r = ∆ r v splošnem ni enaka ločni dolžini ∆ s, t.j. razdalji merjeni po loku prostorske krivulje, ki povezuje točki To in T na krivulji.

v v V časovnem intervalu ∆ t = t-to je pomik masne točke podan z vektorjem ∆ r = r (t)v r (to), ki povezuje točki To in T na prostorski krivulji. V istem časovnem intervalu se je masna točka premaknila po loku krivulje za razdaljo ∆ s. Očitno v splošnem velja, da v pomik masne točke, ∆r = ∆ r, ni enak ločni dolžini ∆ s. Toda v limiti, ko gre čas v v opazovanja ∆ t → 0, sledi, ∆ r → d r in ∆ s → ds. V prvem približku prav gotovo velja, v dr = dr = ds,

13

kar predstavlja iskano povezavo med ločno koordinato s in velikostjo vektorja pomika, dr. v Najenostavneje se izraža ločna koordinata s, s pomikom krajevnega vektorja d r zapisanim v kartezičnem koordinatnem sistemu. Ker velja, dr =

v v dr . dr =

dx 2 + dy 2 + dz 2 ,

od koder je iskani rezultat dobljen z integracijo izraza,

s=

∫

dx 2 + dy 2 + dz 2 =

∫

x& 2 + y& 2 + z&2 dt,

pri čemer so bili upoštevani izrazi, dx = x& dt,

dy= y& dt

in

dz = z& dt.

v V polarnem koordinatnem sistemu se d r zapiše kot, ) v ) ) d r = d ρ eρ + ρ d eρ + dz k , ) ) pri čemer je potrebno posebej izračunati izraz d eρ . Diferencial enotnega vektorja eρ se najenostavneje izvrednosti, če se izhaja iz zapisov obeh polarnih vektorjev v kartezičnem koordinatnem sistemu, ) ) eρ = cos ϕ i + sin ϕ ) ) eϕ = -sin ϕ i + cos ϕ

v j v j.

Polarna vektorja sta enotna vektorja, ki implicitno zavisita od časa t, t.j. ϕ = ϕ (t), zato se diferencial obeh izrazov enostavno zapiše v obliki, v ) ) ) d eρ = (-sin ϕ i + cos ϕ j ) d ϕ = eϕ d ϕ v ) ) ) d eϕ = -(cos ϕ i + sin ϕ j ) d ϕ = - eρ d ϕ

Dobljena izraza se ob upoštevanju dejstev, da je

) ) d eρ = e&ρ dt in d ϕ = ϕ& dt, zapišeta v

preglednejši obliki, ) ) e&ρ = ϕ& eϕ ) ) e&ϕ = - ϕ& eρ

Časovna odvoda enotnih vektorjev sta torej pravokotna na prvotni vektor in ležita v isti ) ) ravnini kot vektorja eρ in eϕ . Toda časovni odvod enotnega vektorja ni več enotni vector!

14

Gornji rezultat je del splošnega izraza za primer, če je le velikost poljubnega vektorja v v a konstanta. Diferencial skalarnega produkta vektorja a je namreč tedaj enak,

v v a . a = a = konst v v v v d( a . a ) = 2 a d a = 0 v v da ⊥ a v v in je torej diferencial vektorja d a pravokoten na vektor a sam. Toda v splošnem, pa ni v v mogoče trditi, da tudi vektor d a leži v isti ravnini kot vektor a . Sedaj je moč izraziti element ločne dolžine, ds, zapisanega v polarnem koordinatnem sistemu saj velja, ) v ) ) d r = d ρ eρ + ρ d ϕ eϕ + dz k v v ds2 = d r .d r = d ρ 2 + ρ 2 d ϕ 2 + dz2 tako, da se ločna dolžina oziroma naravna koordinata, s, izražena v polarnem koordinatnem sistemu, zapiše, t

s =

∫

ρ& 2 + ρϕ& 2 + z&2 dt .

to

Na podoben način kot zgoraj se ločna dolžina, s, lahko zapiše še v ostalih koordinatnih sistemih, pri čemer je ključni izhodiščni izraz podan z enačbo, t

s =

∫

v v r& ⋅ r& dt ,

to

v v saj vedno velja, da je d r = r& dt, pri čemer tudi sedaj velja, da označuje pika odvod ustrezne količine po času, t. Ker je določeni integral zvezna in odveljiva funkcija zgornje meje sledi iz zgornje definicije veljavnost, po kateri je ločna dolžina, s = s(t), monotona naraščajoča funkcija parametra t. Posebej je potrebno poudariti, da podaja naravna koordinata, s, le trenutno lego masne točke na prostorski krivulji in v splošnem ni enaka njeni celotni pretečeni poti. To je kaj lahko uvideti n.pr. pri nihanju na vrvici vpete masne točke okoli ravnovesne lege, kjer se celotna pretečena pot izraža kot vsota (absolutnih) vrednosti odmikov (koordinate s) masne točke kot merjenih iz izbranega izhodišča na krožnici.

15

Zgled: 1. Vijačnica

v v v Iz matematike dobro poznana (vektorska) enačba vijačnice, r = r (t) = r (x(t), y(t), z(t)), se v parametrični obliki zapiše kot, x = R cost

y = R sint

in

z = C t,

ki je izbrana tako, da se točka, ki kroži po krožnici polmera R, pri čemer se delec v smeri osi z giblje enakomerno s hitrostjo C, v času t=0 nahaja v točki T0 na x-osi kartezičnega koordinatnega sistema. Po času t je naravna koordinata, s, delca, ki se giblje po vijačnici (hkrati je v tem primeru je naravna koordinata s, enaka celotni opravljeni poti delca v času t) podana z,

s=

∫

t

x& + y& + z& dt = 2

2

2

∫

R 2 + C 2 dt =

R 2 + C2 t

o

in je sorazmerna parametru t. Iz dobljenega izraza očitno sledi, t=

s R 2 + C2

in enačba vijačnice izražena z naravnim parametrom, s, se glasi,

s

x = R cos

R 2 + C2

y = R sin

s

z=C

R 2 + C2

s R 2 + C2

.

Kakšne so pa vrednosti odvodov komponent po naravni koordinati, s? Če se označi s simbolom x’, y’ in z’, odvod ustrezne koordinate po parametru s, tedaj velja, x’ = -

z’ =

R R +C 2

C R + C2 2

sin

2

s R +C 2

2

y’ =

R R +C 2

2

cos

s R + C2 2

.

Brž je mogoče uvideti, da je vsota kvadratov gornjih izrazov, to je vsota kvadratov v v odvodov koordinat izraženih z naravno koordinato, s, prostorske krivulje r = r (s), enaka 1 torej, x’2 + y’2 + z’2 = 1 Kaj lahko je dokazati, da velja zapisani izraz popolnoma splošno.

16

v v 2. V zgornjem primeru je bila podana enačba krivulje v vektorski obliki, r = r (t). Toda krivulje v prostoru je moč opisati na različne načine. Zelo pogosto je v uporabi tisti, ki definira prostorsko krivuljo (to je krivuljo, katerih točke ne ležijo vse v isti ravnini) kot presečišče dveh ploskev v prostoru. Enačbi, y=

x2 2a

in

z=

x3 , 6a 2

kjer je a dana konstanta, sta enačbi paraboličnih valjev v prostoru, pri čemer sečišče prve ploskve z x-y ravnino popiše kvadratne, sečišče druge ploskve z z-x ravnino pa kubične parabole. Zgornji enačbi sta potemtakem enačbi parabol zapisanih v ustreznih ravninah. Prostorska krivulja je krivulja, ki nastane kot presek obeh ploskev v prostoru, pri čemer ta krivulja poteka skozi izhodišče. Ločna dolžina s, delca merjeno po opisani prostorski krivulji z ozirom na koordinatno izhodišče je,

s=

∫

x

dx 2 + dy 2 + dz 2 =

∫ (1 + 0

x3 x2 = x + = x + z. ) dx 2a 2 6a 2

Torej je ločna dolžina, oziroma naravna koordinata delca, s, na dani krivulji enolična funkcija trenutne lege delca podane s točko T, kot je določena s (trenutnima) koordinatama x in z.

17

2. HITROST MASNE TOČKE v v Delec potuje po prostorski krivulji podani v vektorski obliki z enačbo r = r (t). Delec, ki se v času t nahaja v točki T0 na krivulji se, po preteku časovnega intervala ∆ t, nahaja v v v točki T, ki je podana s krajevnim vektorjem r = r (t+ ∆ t). V danem časovnem intervalu v ∆ t, opravi delec (končni) pomik ∆ r , ki je definiran z izrazom, v v v ∆ r = r (t+ ∆ t) - r (t) in veže točki T0 ter T , kot je to prikazano na sliki 7.

v ∆r ′ T0

) et

T´

v ∆r ∆

v r (t)

T

v r (t+ ∆ t’)

T

v r (t+ ∆ t)

O

Slika 7. Delec, ki potuje po prostorski krivulji se nahaja v trenutku t v točki To na krivulji v podani z krajevnim vektorjem r (t). V časovnem intervalu ∆ t se nahaja delec v točki T, ki v v jo podaja krejevni vektor r (t+ ∆ t). Pomik delca ∆ r , v danem časovnem intervalu ∆ t, je v v v podan z vektorsko razliko pripadajočih krajevnih vektorjev ∆ r = r (t+ ∆ t)- r (t), ki v sovpada s sekanto skozi točki To in T. V limiti, ko gre časovni interval ∆ t → dt, sledi ∆ r v v → d r , in pomik d r tedaj kaže vzdolž tangente na prostorsko krivuljo s prijemališčem v začetni točki opazovanja, tj. točki To.

v v v Na sliki 7. je prikazan pomik delca ∆ r ’= r (t+ ∆ t’)- r (t), za primer časovnega intervala opazovanja gibanja delca ∆ t’, ki je krajši kot prvotni časovni interval, ∆ t’ < ∆ t. Očitno v splošnem velja, da se spremeni smer in velikost pomika delca iz začetne točke v

18

v končno točko opazovanja T’, kot jo podaja vektor r (t+ ∆ t’). V splošnem velja naslednje; v limiti, ko gre ∆ t → dt, se nahaja točka T infinitezimalno blizu začetne točke To in sekanta preide v tangento na prostorsko krivuljo v začetni točki opazovanja, t.j. v točki To. v Infinitezimalni pomik delca, d r , iz navedenega razloga sovpada s tangento na krivuljo v tej točki. v v v v Povprečna hitrost v , je vektor, ki je definiran kot pomik delca, ∆ r = r (t+ ∆ t) - r (t), ki ga le-ta opravi v pripadajočem časovnem intervalu ∆ t, deljeno z navedenim intervalom, torej,

v v v ∆r r ( t + ∆t ) − r ( t ) v v = = ∆t ∆t v katerega smer je podana s pomikom ∆ r , ki leži vzdolž sekante med danima točkama opazovanja na krivulji. Povdariti gre, kot to izhaja iz same definicije povprečne hitrosti, da je potrebno pri v računanju kvocienta ∆ r / ∆ t, upoštevati tako spremembo velikosti vektorja pomika kot spremembo njegove smeri. Enota povprečne hitrosti je podana z, v m r  ∆r  v =   = . s  ∆t 

[]

V limiti, ko gre ∆ t → 0, gornji izraz za povprečno hitrost preide v (trenutno) hitrost, v v , ki je definirana kot, v v v v ∆r r ( t + ∆t ) − r ( t ) dr v v v = lim∆t → 0 v = lim∆t → 0 = lim∆t → 0 = . ∆t ∆t dt v Hitrost je torej kvocient infinitezimalnega pomika delca, d r , s pripadajočim infinitezimalnim časovnim intervalom dt ali, kot se to zapiše v matematičnem jeziku, v hitrost delca je podana z odvodom krajevnega vektorja r , po času t. Smer vektorja hitrosti je podana s tangento na krivuljo gibanja delca v izbrani točki opazovanja. Enota hitrosti je enaka enoti povprečne hitrosti, t.j. m/s. V kartezičnem sistemu je hitrost podana s tremi komponentami vzdolž koordinatnih osi, v ) v v v ) v v & + yj & + zk & = vx i + vy j + vz k v = r& = xi

od koder sledi, da so vx = x& vy = y& vz = z& v komponente hitrosti vektorja v v kartezičnem koordinatnem sistemu. V polarnem koordinatnem sistemu kjer se krajevni vektor zapiše, ) v ) r = ρ eρ + z k

v in zato je hitrost v ,

19

v v v = r& = ρ&

) ) v ) ) ) eρ + ρ ϕ& eϕ + z& k ≡ v ρ i + v ϕ j + vz k

vektor, ki je v polarnem koordinatnem sistemu v splošnem podan s tremi komponentami, ρ& , ρ ϕ& in z& pri čemer velja, v ρ = ρ& ,

v ϕ = ρ ϕ&

in

vz = z& .

v V krogelnem koordinatnem sistemu, kjer je krajevni vektor r do točke T v prostoru v ) posan z že znanim izrazom r =r er velja, v v ) ) v = r& = r& er + r e&r ) Iz definicije enotnega vektorja er , sledi, ) ) e&r = (cos θ cos ϕ θ& - sin θ sin ϕ ϕ& ) i + v (cos θ sin ϕ θ& + sin θ cos ϕ ϕ& ) j ) sin θ θ& k ) ) Od tod se dobi, z uporabo definicije vektorjev eθ in eϕ , željeni rezultat,

) ) ) e&r = θ& eθ + ϕ& sin θ eϕ ,

tako, da se hitrost delca v krogelnem koordinatnem sistemu zapiše, v v ) ) ) v = r& = r& er + r θ& eθ + r ϕ& sin θ eϕ . v Poljubni vektor a se v sferičnem koordinatnem sistemu zapiše kot, v ) ) ) a = ar er + a θ eθ + a ϕ eϕ v v v in iz primerjave za hitrost delca, v , torej v ≡ a sledi, da so komponente vektorja hitrosti v krogelnem koordinatnem sistemu podane z,

vr = r& v θ = r θ& v ϕ = r ϕ& sin θ , Seveda je velikost hitrosti, v, v krogelnem koordinatnem sistemu podana z izrazom r v v = v ⋅ v = r&2 + ( rϕ& sinθ ) 2 + ( rθ& ) 2 v Na podoben način se izraža hitrost, v , tudi v drugih koordinatnih sistemih. Posebej v zanimiv je primer, ko se hitrost v izrazi z naravno koordinato s. Iz izraza za ločno dolžino navedenega v prejšnjem poglavju sledi,

20

s=

∫

dx 2 + dy 2 + dz 2 =

∫

x& 2 + y& 2 + z&2 dt,

od koder je razvidno, da je, časovni odvod naravne koordinate, s& , podan z izrazom s& =

x& 2 + y& 2 + z&2 .

v Iz definicije hitrosti v namreč sledi, v v v dr dr ds dr v v = = ⋅ = s& . dt ds dt ds Hitrost v dani točki na prostorski krivulji v vsakem trenutku kaže v smeri tangente na krivuljo v tej točki, zato mora veljati, da je odvod krajevnega vektorja po naravni v koordinati, d r /ds , vektor, ki prav tako leži vzdolž tangente. Kolikšna pa je njegova jakost? Po definiciji imamo, v ) ) v v ) ) dr = (dx/ds) i + (dy/ds) j + (dz/ds) k = x’ i + y’ j + z’ k ds pri čemer je s črtico nad spremenljivko označeno dejstvo, da gre za odvod spremenljivke po naravni koordinati, s. Skalarni produkt gornjega izraza s samim seboj je tedaj, 2 2 2 v v dr dr  x&   y&   z&  2 2 2 . = x’ + y’ + z’ ≡   +   +   = 1  s&   s&   s&  ds ds

pri čemer je bil upoštevan zgoraj zapisani izraz za s& , kot tudi dejstvo, da velja verižno pravilo, t.j. dx/ds=(dx/dt)(dt/ds), itd. Dobljeni rezultat, namreč da je skalarni produkt odvoda krajevnega vektorja delca po naravni koordinati, s, enak 1, služi kot dokaz da je, navedeni odvod v dr v ) r’ = = etg ds ) kar enak etg , enotnemu vektorju v smeri tangente na krivuljo v dani točki. Končni rezultat v za hitrost v masne točke, ki se giblje po prostorski krivulji, zapisano v odvisnosti od naravne koordinate s, se sedaj zapiše kot, v ) v = s& etg . ) V splošnem velja, da sta s& in etg implicitni funkciji časa.

21

Zgledi: 1. Delec se giblje po prostorski krivulji, ki je podana v parametrični obliki z enačbami: x = 3e-2t,

y = 4 sin3t,

z = 2 cos3t.

v Izračunaj hitrost delca v , v odvisnosti od: 1) parametra t in 2) v odvisnosti od naravnega parametra s. Kolišna je velikost vektorja hitrosti v času t=0. ) ) v v ) ) v r = x i +y j +z k = 3e-2t i + 4 sin3t j + 2 cos3t k ) v ) v v v = r& = -6e-2t i + 12 cos3t j - 6 sin3t k v ) v r& t=o = -6 i +12 j

vt=0 =

62 + 12 2 = 6 5

2. Delec se giblje po krivulji C, ki jo opisuje krajevni vektor ) v ) v r = 3cos2t i + 3sin2t j +(8t-4) k v ) ) Izračunaj enotni vektor v smeri tangente, et , in preveri veljavnost izraza v =v et . v Hitrost v delca kaže v smer tangente na krivuljo, zato sledi, ) v ) v v v = r& = -6sin2t i +6cos2t j +8 k ,

v = (−6 sin 2t ) 2 + ( 6 cos 2 t ) 2 + 82 = 10 v v ) 3 v 3 4 ) ) et = = - sin2t i + cos2t j + k 5 5 5 v v dr ds v v& ) Toda, po drugi strani velja, da je v = r = = et s& , pri čemer je s& , ds dt s& =

x& 2 + y& 2 + z&2 = 10

in zato je v v ) 3 v 3 4 ) ) et = = - sin2t i + cos2t j + k 5 5 5 s&

kar pa je identično z že zgoraj izračunanim izrazom za enotni vektor v smeri tangente. Kako pa se izraža enačba krivulje z naravno koordinato s? V splošnem velja,

22

s=

∫ t

s=

∫

dx 2 + dy 2 + dz 2 =

∫

x& 2 + y& 2 + z&2 dt,

v v r& ⋅ r& dt = 10 t

o

in od tod, ker je t=s/10 sledi, ) v ) v r = 3cos0.2s i + 3sin0.2s j + (0.8s - 4) k . v dr ) Z neposrednim izračunom je kaj lahko pokazati veljavnost izraza = et . ds

3. y A L v rC

v j

O

v i

C v vo

Θ B

x

Drog dolžine L, ki se s krajiščem A opira na navpično steno, se giblje tako, da je hitrost v v krajišča B, v = v o, usmerjena vzdolž x-osi in konstantna po velikosti, v=vo. Pokaži, da opisuje težišče droga lok krožnice polmera L/2, s središčem v O. Izračunaj hitrost težišča v trenutku, ko se krajišče B nahaja na razdalji x=b < L. Iz skice je razvidno, da velja, ) v OB = L cosΘ r OB = L cosΘ i v v OA = L sinΘ r OA = L sinΘ j v v v r AB = r OB - r OA v ) v r AB = L cosΘ i - L sinΘ j v ) 1 v 1 v v v v r C = r OA + r AC = r OA + r AB = L (cosΘ i + sinΘ j ) 2 2 1 1 v rC = r = ( L) 2 (cos2 Θ + sin 2 Θ ) = L, 2 2

23

1 L, s središčem v izhodišču. 2 v v Hitrost težišča je po definiciji podana z izrazom v C = r& C. kar pomeni, da se težišče giblje po krožnici polmera

v & ) v v C = (L/2)(- sinΘ i + cosΘ j ) Θ .

Hitrost točke B je tedaj enaka, v & sinΘ i) , vB=-L Θ

iz česar sledi, da velja, & sinΘ = -vo LΘ

in če se krajišče B nahaja na razdalji x=b od navpične stene, sledi, sinΘ =

L2 − b 2 L

& =Θ

vo =L sinΘ

vo L2 − b 2

,

tako, da se hitrost težišča zapiše kot, ) 1 v v C = vo ( i 2

b L2 − b 2

v j ),

od koder je razvidno, da je velikost hitrosti težišča podana z izrazom, vC = Lvo/(2 L2 − b 2 ).

24

3. POSPEŠEK DELCA Po prostoru gibajoči se delec se v času t nahaja v točki T na krivulji, podani s v v krajevnim vektorjem r = r (t), pri čemer znaša njegova hitrost tedaj, ko se nahaja v v v navedeni točki T, v = v (t). Po preteku (končnega) časovnega intervala ∆ t se delec nahaja v v v točki T’, ki je podana s krajevnim vektorjem r ’= r (t+ ∆ t) kjer znaša tedaj trenutna v v hitrost delca v ’= v (t+ ∆ t). V danem časovnem intervalu ∆ t, se je hitrost delca v v v v spremenila za (končno) vrednost ∆ v , ki je definirana z izrazom, ∆ v = v ’ - v = v v v (t+ ∆ t) - v (t). V v v (t) T’ T v v (t+∆t)

v r (t)

v ∆v

v v (t+ ∆ t)

v r (t+∆t)

v Slika 8. V trenutku t, ko se masna točka nahaja v točki T krivulje znaša njena hitrost v (t). V časovnem intervalu ∆ t se delec premakne v točko T’ prostora kjer je hitrost delca v v v ’= v (t+ ∆ t). Vektorska sprememba hitrosti v danem časovnem intervalu opazovanja, v v v ∆ t, je podana z ∆ v = v ’- v in je usmerjena v konkavno stran prostorske krivulje gibanja. v V to smer kaže tudi povprečni pospešek a .

v splošnem kaže tako definirana vektorska sprememba hitrosti, ∆ v , vedno na konkavno stran dane prostorske krivulje gibanja, slika 8. Za zelo umestno se izkaže, če se definira v povprečni pospešek, a , kot v v v ∆v v (t + ∆t ) − v (t ) v a = = , ∆t ∆t količino, ki podaja spremembo (vektorja) hitrosti v danem časovnem intervalu. Iz definicije sledi, da je smer vektorja povprečnega pospeška podana s smerjo spremembe vektorjev hitrosti, ki se odvije v intervalu opazovanja ∆ t. Iz definicije je razvidno, da je enota povprečnega pospeška enaka,

25

[ av] = ms/ s = sm . 2

v Povprečni pospešek, a , sam po sebi ne predstavlja pomembnejše kinematične v karakteristike gibajočega delca, marveč služi le za definicijo (trenutnega) pospeška a , ki je podan z izrazom, v v v v v ∆v dv d 2r v (t + ∆t ) − v (t ) v v a = lim ∆ t → 0 = = = && r. = lim ∆ t → 0 2 ∆t ∆t dt dt v v Pospešek delca, a , je enak kvocientu infinitezimalne spremembe hitrosti, d v , ki se je odvila v infinitezimalnem časovnem intervalu dt. Iz definicije je razvidno, da ima v (trenutni) pospešek smer infinitezimalne spremembe hitrosti d v , ki v splošnem tudi kaže na konkavno stran prostorske krivulje gibanja. v Ob tej definiciji je tokrat potrebno podrobneje navesti smer vektorja pospeška a . Naj v bo r krajevni vektor do točke T na krivulji. Enotni vektor tangente v tej točki je podan z ) etg . Od prej je poznano, da je v v v v v dr v ) etg = = = = r ’, v s& ds kjer črtica pomeni, da gre za odvod krajevnega vektorja po naravni koordinati s. Kot je znano iz matematike, je oblika prostorske krivulje natančno določena, če sta poznani t.im. fleksijska in torzijska ukrivljenost krivulje v odvisnosti od parametra s. S tem v zvezi je najprej potrebno definirati normalno ravnino prostorske krivulje kot tisto ) ravnino, ki poteka skozi izbrano točko T(x,y,z) krivulje in stoji pravokotno na tangenti etg . v Če vektor R =(X, Y, Z) označuje v v krajevni vektor poljubne točke (X, Y, Z) na normalni ravnini je vektorska razlika R - r vektor, ki leži v normalni ravnini in zato stoji pravokotno ) na etg . Enačba normalne ravnine se zato v vektorski obliki glasi v v v ( R - r ) r& = 0.

) Tista ravnina, ki poteka skozi tangento, etg , in se dani prostorski krivulji v izbrani točki T(x,y,z) najtesneje prilega se imenuje pritisnjena ravnina (v primeru, da gre za ravninsko krivuljo je pritisnjena ravnina kar tista ravnina v kateri leži krivulja sama). V splošnem je pritisnjena ravnina tista ravnina, ki poteka skozi dano točko krivulje T in dve ali več točk, kiv ležijo na krivulji in se nahajajo v infinitezimalno bližnji okolici dane točke T. Če sedaj R pomeni krajevni vektor, do poljubne točke (X,Y,Z), ki leži v pritisnjeni ravnini, vektor v r pa krajevni vektor izbrane točke T krivulje se, kot je znano iz matematike, enačba pritisnjene ravnine v vektorski obliki zapiše, v v v v ( R - r ) ( r& x && r ) = 0,

oziroma, če je krivulja izražena z naravno koordinato s, v obliki v v ) ) ( R - r ) ( et x et ’) = 0

26

) ) ) kjer je et = et (s) in črtica pomeni odvod enotnega vektorja v smeri tangente, et , po naravni ) ) koordinati. Iz slednjega izraza izhaja, da je vektorski produkt et x et ’ vektor, ki stoji pravokotno na pritisnjeno ravnino in ker mora biti mešani produkt vektorjev, od katerih sta dva enaka po definiciji nič, je ) ) ) ) ) ) et ’ ( et x et ’) = ( et ’, et , et ’) = 0. ) ) Od tod izhaja, da leži vektor et ’ v pritisnjeni ravnini in ker je et enotni vektor stoji ) ) ) pravokotno na njega. Izkaže se, da je velikost vektorja e ' t = e ' t e ' t enaka recipročni vrednosti polmera pritisnjenega kroga, rpr, na krivuljo v točki T(x,y,z), 1 = rpr

) ) e 't e 't =

x ' '2 + y ' '2 + z ' '2 .

Enotni vektor, ki leži na premici v pritisnjeni ravnini ter poteka skozi izbrano točko T tako, ) da stoji pravokotno na tangenti, et , in kaže proti središču pritisnjenega kroga (torej na ) ) konkavno stran krivulje) se imenuje glavna normala, n . Ker je tudi et ’ vektor v pritisnjeni ) ) ravnini in stoji pravokotno na et , leži vektor et ’ na glavni normali in ker je njegova absolutna vrednost enaka 1/rpr, sledi, 1 ) ) et ’ = n. rpr

Vektorski produkt enotnih vektorjev tangente in glavne normale je vektor, ki po definiciji stoji pravokotno na oba vektorja in je torej pravokoten na pritisnjeno ravnino. Če se ) navedeni vektorski produkt označi z vektorjem ebi , torej ) ) ) ebi = et x n ) ) le-ta definira binormalo, to je enotni vektor, ki stoji pravokotno na vektorja et in n (in ) definirata pritisnjeno ravnino). Da je velikost (t.j. absolutna vrednost) vektorja ebi v resnici ) enaka 1 je razvidno iz definicije, saj je ebi = sin 90o = 1. Iz zapisanega je očitno, da določa krivulja v prostoru v vsaki svoji točki T tri med seboj ) ) ) pravokotne enotne vektorje, tangento et , glavno normalo, n , in binormalo, ebi , ki tvorijo desnosučni koordinatni sistem, poimenovan naravni, oziroma osnovni trieder. Le-ta je torej definiran z izrazom,

) ) ) et x n = ebi . v Iz definicije pospeška delca, a , sledi ) de v v ) ) a = && r = d( s& et )/dt = && s et + s& t , dt

27

pri čemer je potrebno izračunati še odvod enotnega vektorja v smeri tangente na krivuljo v točki T po času. Iz definicije odvoda sledi,

) ) ∆et det = lim ∆t→o , dt ∆t ) ) ) ) kjer je ∆ et = et (t+ ∆ t) - et (t) in vektor et (t+ ∆ t) je enotni vektor tangente v točki T’ na krivulji katere koordinate so (x(t+ ∆ t), y(t+ ∆ t),z(t+ ∆ t)). Ker velja, lim ∆t→o

) ) ) ) ∆et ∆et ∆s ∆et det ) = lim ∆t→o = s& lim∆s→o = s& = s& et ’ ds ∆t ∆s ∆t ∆s

zaradi že prej izpeljanih izrazov sledi, da je pospešek delca pri poljubnem gibanju po prostorski krivulji opisan z enačbo, s& 2 ) v ) a = && e + n, s t rpr

kjer je && s = d( s& )/dt = d(v)/dt = atg v2 s& 2 = = an rpr rpr

atg komponenta vektorja pospeška vzdolž tangente na krivuljo in je povezana s časovno spremembo absolutne vrednosti (velikosti) vektorja hitrosti in an je komponenta pospeška ) delca vzdolž glavne normale, n . V splošnem se da dokazati, da je vrednost polmera pritisnjenega kroga na krivuljo v točki T, rpr, enaka recipročni vrednosti fleksijske ukrivljenosti (ali upognjenosti) krivulje, 1/ ρ , pri čemer je upognjenost definirana kot, 1

ρ

= lim ∆s→o

∆ϑ , ∆s

) ) kjer je kot ∆ ϑ definiran kot kot med vektorjema et (t) in et (t+ ∆ t) in torej pomeni kot zavrtitve enotnega vektorja tangente krivulje v časovnem intervalu ∆ t, ko se naravna koordinata spremeni za vrednost ∆ s. Na podoben način je definirana torzijska ukrivljenost ali zvitost krivulje, τ. Binormali ) ) ebi (t) v točki T in ebi (t+ ∆ t) v točki T’ v splošnem med seboj oklepata od nič različen kot ∆ ψ. Tedaj meri kvocient ∆ ψ/ ∆ s hitrost s katero se suče binormala, če gre točka od T do T’. Limita tega kvocienta, ko gre T’ proti T je definirana kot torzijska ukrivljenost ali zvitost,

28

1

τ

= lim∆s→o

∆ψ ∆s

Mogoče je pokazati, da je recipročna zvitost krivulje 1/τ, enaka absolutni vrednosti odvoda ) binormale po spremenljivki s, t.j. e ' bi . Med navedenimi količinami v splošnem velja naslednja povezava, 1 ) ) ebi ’ = n.

τ

v v v r , je kaj enostavno zapisati komponente Iz definicije pospeška delca, a = v& = && pospeška izraženega v različnih koordinatnih sistemih, tako n. pr. velja za:

1. kartezični koordinatni sistem, ) v ) v a = && x i + && y j + && z k, kjer se komponente pospeška vzdolž koordinatnih osi izražajo kot

ax = && x ay = && y az = && z, in velikost pospeška a tedaj znaša, a=

&& x 2 + && y 2 + && z2 ,

2. polarni koordinatni sistem, ) ) v ) ) ) a = d/dt( d( ρ eρ +z k )/dt) = d/dt( ρ& eρ + ρ ϕ& eϕ ) + && z k ) v ) ) a = ( && ρ − ρϕ& 2 ) eρ + ( rϕ&& + 2r&ϕ& ) eϕ + && z k

od koder je razvidno, da se pospešek zapiše kot vektorska vsota med seboj pravokotnih komponent aρ, aϕ in az, kjer so, v ) a ρ = ( && ρ − ρϕ& 2 ) eρ v && + 2r&ϕ& ) e)ϕ a ϕ = ( rϕ ) v a z = && z k, v v količine, ki definirajo radialni pospešek a ρ , prečni (cirkularni) pospešek aϕ in v komponente pospeška v smeri stalne osi z, a z tako da je absolutna vrednost pospeška podana z, & & ) 2 + && a = ( && ρ − ρϕ& 2 ) 2 + ( ρϕ&& + 2 ρϕ z2 , 3. krogelni koordinatni sistem

29

V tem sistemu je najlažje izračunati komponente pospeška delca s pomočjo časovnega v odvoda kartezičnih komponent krajevnega vektorja r izraženega s krogelnimi koordinatami, r, θ in ϕ , x = r sin θ cos ϕ y = r sin θ sin ϕ z = r cos θ , tako, da se iz izraza a = a=

2

2

&& x 2 + && y 2 + && z 2 , po preureditvi členov lahko zapiše,

2

a r + aϑ + a ϕ ,

kjer so komponente pospeška podane z izrazi, ar = && r - r ϕ& 2 sin2 θ - r θ& 2 a θ = r θ&& + 2 r&θ& - r ϕ& 2 sin θ cos θ && sin θ + 2 r&ϕ& sin θ + 2 r ϕθ & & cos θ aϕ = r ϕ Zgled:

Kroženje delca po krožnici polmera r v stalni ravnini. Ker je ρ =konstanta sledi, da je ρ& = && ρ = 0 in če se vzame, da krožnica leži v x-y ravnini je z = 0 in zato je v ) && e)ϕ a = − ρϕ& 2 eρ + r ϕ

kar pomeni, da pospešek delca sestoji iz radialne in tangentne komponente.

at ar

v a

v Slika 9. Pospešek a delca, ki se giblje po krožnici (v stalni ravnini) polmera r sestoji iz komponente v smeri tangente (tangentni pospešek) in komponente v smeri glavne normale (radialni pospešek).

v v ) Če je gibanje takšno, da velja ϕ =konst. sledi, da je a = a ρ = && ρ eρ , kar pa predstavlja pospešeno premočrtno gibanje delca.

30

2. Gibanje delca po vijačnici. Enačba vijačnice v parametrični obliki je podana (glej zgled v prejšnjem poglavju) v parametrični obliki: x=Rcosωt, y=Rsinωt in z=Ct, pri čemer so R, ω in C konstante. v v v v V danem primeru se skalarni produkt r& r& zapiše v enostavni obliki, r& r& = (Rω)2 + C2 od koder sledi, da je ločna dolžina enaka, s= ( Rω ) 2 + C 2 t = c t, pri čemer je c v definiran kot c= R 2ω 2 + C 2 . Krajevni vektor r v odvisnosti od naravne koordinate se sedaj zapiše,

v r = (Rcos(ωs/c), Rsin(ωs/c), (C/c)s) in zato je enotni vektor na tangenti vijačnice v točki T, ki je za ločno dolžino s oddaljena od začetne točke To,

v ) et = r ’ = (-(Rω/c)sin(ωs/c), (Rω/c)cos(ωs/c), (C/c)). V tej točki je odvod enotnega vektorja po naravni koordinati podan z izrazom,

v ) et ’ = r ’’ = (-(Rω2/c2)cos(ωs/c), -(Rω2/c2)sin(ωs/c), 0) in dolžina (absolutna vrednost) zapisanega vektorja znaša tedaj, 1 = rpr

Rω 2 v v r '′ r '′ = 2 , c

tako, da je polmer pritisnjenega kroga na vijačnico v točki T enak,

R 2ω 2 + C 2 C2 rpr = =R+ . Rω 2 Rω 2 Iz gornjega izraza je razvidno, da je polmer pritisnjenega kroga rpr večji kot je polmer krožnice R, ki je projekcija vijačnice na xy ravnino. Samo za C=0 je tedaj rpr = R, toda tedaj kroži delec po krožnici v xy ravnini. ) Enotni vektor vzdolž glavne normale n je sedaj podan z,

) ) n = rpr et ’ = (-cos(ωs/c), -sin(ωs/c), 0) = (-cosωt, -sinωt, 0). ) Glavna normala n je vzporedna z ravnino xy in poteka skozi os valja. Binormala, ki stoji pravokotno na pritisnjeni ravnini je tedaj, ) ) ) ebi = et x n = ((C/c)sin(ωs/c), -(C/c)cos(ωs/c), Rω/c) ) tako, da je odvod binormale po naravni koordinati, ebi ’, podan z

31

) ebi ’ = ((Cω/c2)cos(ωs/c), (Cω/c2)sin(ωs/c), 0). Torzijska ukrivljenost τ je tedaj, τ=

C C ω= 2 2 ω 2 c R ω + C2

in je prav tako kot fleksijska ukrivljenost, 1/rpr, ki je enaka recipročni vrednosti polmera pritisnjenega kroga, konstantna. v V polarnih koordinatah se komponente hitrosti delca v zapišejo,

) v v ) v = r& = R ω eϕ + C k vρ = 0 vϕ = Rω vz = C tako. da je v danem primeru velikost hitrosti delca v= R 2ω 2 + C 2 = konstanta. Pospešek delca tedaj znaša,

v v v v ) ) a = && r = v& = Rω e&ϕ = Rω (- ϕ& eρ ) = -Rω2 eρ , pri čemer je bil upoštevan izraz ϕ =ωt. Komponente pospeška v polarnem koordinatnem sistemu se sedaj glasijo, aρ = - Rω2 aϕ = 0 az = 0. 3.

.

ϕ

E R

Slika 10. Krožna plošča polmera R je vrtljivo vpeta v točki, ki je od središča oddaljena za razdaljo E. Plošča se enakomerno vrti pri čemer se kot ϕ spreminja po enačbi, ϕ=Kt kjer je K konstanta. Oboda plošče se dotika palica, ki je vpeta tako, da dovoljuje gibanje palice samo v navpični smeri. Izpelji enačbo gibanja konice palice ter izračunaj hitrost in pospešek te točke v odvisnosti od časa.

Palica se giblje samo v navpični smeri. Trenutno lego konice palice podaja krajevni vektor v v r , ki ima v izbranem koordinatnem izhodišču komponente r =(0,y). Iz skice je razvidno, da velja,

32

R 2 − E 2 sin 2 ϕ

y=E cosϕ +

in hitrost ter pospešek krajišča palice se dobi s časovnim odvajanjem zapisanega izraza.

v v v = r& = (0, vy)   E cos Kt vy = - EK sin(Kt) 1 +  2 2 2 R − E sin Kt   v v a = && r = (0, ay) E 2 K 2 sin 2 Kt  E 2 cos2 Kt  − ay = K vy ctgKt + 1   R 2 − E 2 sin 2 Kt  R 2 − E 2 sin 2 Kt 

4.

v etg

θ

v a

Slika 11. Delec potuje po krivulji opisani z izrazom s=bekt tako, da vektor pospeška ves čas oklepa konstanten kot Θ s tangento na krivuljo. Kolikšen je krivinski polmer pritisnjenega kroga in kolikšni so hitrost delca, v, pospešek a ter tangentna, at in normalna, an, komponenta pospeška.

V splošnem velja v = s& , zato je, v = kbekt = ks at = v& = bk2ekt = k2 s at = a cos Θ = k2 s an = a sin Θ =

a 2 − at

2

Iz poslednjih dveh enačb sledi,

33

tg Θ =

an at

zato je an = at tg Θ. Ker pa velja, da je v2 an = rpr je polmer pritisnjenega kroga enak rpr =

v2 k 2 s2 s = 2 = = b ekt ctg Θ tgθ k stgθ an

Pospešek delca, a, je tedaj enak a=

an + at = at 1 + tg 2θ = k2 b ekt 2

2

1 + tg 2θ .

34

4. KINEMATIKA TOGEGA TELESA Po definiciji tvori togo telo neskončna množica masnih točk, ki se odlikuje po dejstvu, v da je razdalja med poljubnima masnima točkama konstantna. Če je r i krajevni vektor v v prostoru, ki kaže do i-tega delca sistema in če r j označuje krajevni vektor do j-tega v delca sistema delcev, tedaj je po definiciji razdalja rij= rij med poljubno izbranima delcema togega telesa od časa neodvisna konstanta cij, rij = cij. Če sestoji togo telo (oziroma sistem delcev) iz N masnih točk, pri čemer je N lahko zelo veliko število in ker je lega enega delca določena s 3 med seboj neodvisnimi koordinatami (n.pr. (x,y,z), ali ( ρ , ϕ ,z), ali (r,θ, ϕ ), itd.), imenovanih tudi prostostnih stopenj, poseduje togo telo tedaj največ 3N koordinat. Te koordinate pa niso več vse med seboj neodvisne zaradi zahteve, da morajo biti v togem telesu vzajemne razdalje med delci konstantne. Za sistem N delcev je skupno število konstantnih razdalj, cij 1 i,j=1, 2,…N, enako N(N-1), kar je za dovolj velik N vedno večje od vrednosti 3N. 2 Očitno torej mora biti število neodvisnih konstantnih razdalj, cij, v togem telesu med seboj manjše od navedene vrednosti. Izkaže se, da brž, ko so lege treh poljubno izbranih točk togega telesa, ki vse ne ležijo na eni premici, določene, so lege vseh preostalih točk togega telesa enolično izražajo s koordinatami izbranih treh delcev. [tevilo neodvisnih koordinat oziroma prostostnih stopenj, ki enolično določa lego togega telesa v prostoru tedaj ne more biti večje kot 9, pri čemer je potrebno upoštevati dejstvo, da so vzajemne razdalje treh delcev prav tako konstantne, torej

r12 = c12

r13 = c13

in

r23 = c23,

povezane s tremi enačbami, tako, da poseduje togo telo v splošnem največ 9 - 3 neodvisnih koordinat ali največ 6 prostorskih stopenj neodvisno od števila delcev, N, ki togo telo sestavljajo. Običajno se za določanje lege togega telesa v prostoru od 6 razpoložljivih prostorskih stopenj uporabi 3 za določitev težišča telesa, preostale 3 pa za popis njegove orientacije v prostoru. Poudariti gre, da je število prostostnih stopenj tgega telesa, v odvisnosti od dogajanja, lahko tudi manjše od 6, n.pr. v primeru, da se težišče togega telesa giblje v ravnini znaša skupno število prostostnih stopenj tedaj 5, dve za popis koordinate težišča, in tri za določanje orientacije telesa. V primeru, ko poljubna točka togega telesa miruje, je potrebno tedaj opisati samo še orientacijo togega telesa in zato le-to poseduje v tem primeru še največ tri prostostne stopnje. Za tovrstne primere, ko ena točka miruje je splošno gibanje togega telesa opisano z Eulerjevim teoremom, ki se glasi: splošni pomik togega telesa kjer ena točka miruje je podan z zavrtitvijo (rotacijo) okoli dane trenutne osi, ki poteka skozi mirujočo točko.

35

3.1 Vrtenje togega telesa okoli stalne osi; Eulerjeva enačba Pa naj bo, zaradi enostavnosti, orientacija osi vrtenja togega telesa v prostoru stalna. V kolikor os vrtenja poteka skozi telo tedaj vse točke, ki ležijo na rotacijski osi mirujeji, preostale točke pa potujejo po krožnicah, katerih ravnine ležijo pravokotno na os vrtenja pri čemer so vse ravnine med seboj vzporedne. V časovnem intevalu dt se veznica poljubne točke T togega telesa do osi vrtenja zavrti za kot d ϕ , točka T pa opiše lok krožnega izseka s kotom d ϕ ob vrhu in polmera enakim dolžini veznice. Po v v definiciji je vektor dϕ vektor, ki kaže vzdolž osi vrtenja in velikost vektorja dϕ je v enaka kotu d ϕ ob vrhu krožnega izseka. Vektor kotne hitrosti, ω , je tedaj vektor, v katerega smer je podana s smerjo vektorja dϕ in zato kaže vzdolž osi vrtenja tako, da velja, v dϕ v ω = = ϕ& dt v

in velikost kotne hitrosti ω je tedaj enaka, dϕ v ω= ω = = ϕ& dt Enota kotne hitrosti je s-1.

v dϕ y v

ω

dϕ x

v r

O Slika 12. Togo telo se vrti okoli stalne osi vrtenja. Masne točke potujejo po krožnicah v ravninah, ki so med seboj vzporedne in ležijo pravokotno na os vrtenja. V v časovnem intervalu dt se veznica točke T do osi vrtenja zavrti za kot dϕ , ki je po velikosti enak kotu krožnega izseka s kotom d ϕ ob vrhu in leži vzdolž osi vrtenja s v v v kotno hitrostjo ω , ki je enaka ϕ& in prav tako kot vektor dϕ usmerjena vzdolž osi vrtenja.

36

Z ozirom na poljubno izbrano točko O, ki leži na osi vrtenja je lega točke T v togega telesa opisana s krajevnim vektorjem r , katerega velikost je stalna, toda njegova smer se s časom spreminja. Hitrost delca T je po definiciji,

v dr v v& v = r = dt v kjer je infinitezimalni pomik delca d r v pripadajočem infinitezimalnem časovnem intervalu dt usmerjen vzdolž tangente na krožnico in po velikosti enak ds, torej infinitezimalni dolžini loka krožnice, ko jo opisuje veznica točke T z osjo vrtenja. Če R označuje polmer krožnice (dolžino veznice), tedaj je očitno, da je ds = R d ϕ toda ker, kot je razvidno s slike 12., velja, R = r sin θ sledi, da je velikost vektorja hitrosti delca T togega telesa pri kroženju okoli stalne osi enaka, v = r ω sin θ ,

v v ) pri čemer je smer vektorja hitrosti v podana s smerjo tangente na krožnico, v =v et . Slednje ugotovitve se lahko strnejo v zgoščeni obliki z izrazom, v v v v =ω xr,

kar je Eulerjeva enačba za izračun hitrosti poljubne točke togega telesa, ki se vrti okoli stalne osi. Kaj lahko se je prepričati, da velja Eulerjeva enačba tudi v primeru, ko stalna os vrtenja ne poteka skozi togo telo. Ker je pospešek delca podan s časovnim odvodom hitrosti, sledi,

v v v v v v v v v v v a = v& = ω& x r + ω x r& = ω& x r + ω x [ω x r ] v v v kjer je kotni pospešek α = ω& , ki je enak časovnemu odvodu kotne hitrosti ω vektor, ki je kolinearen z osjo vrtenja. Po definicije torej velja,

v dω v& α =ω = . dt v

Kotni pospešek je vektor, ki je leži vzdolž stalne osi vrtenja togega telesa in njegova smer je določena s smerjo (infinitezimalne) spremembe kotne hitrosti in zato, v odvisnosti od vrtenja, lahko kaže vzdolž vektorja kotne hitrosti (pospešeno vrtenje) ali v v pa v nasprotni smeri vektorja ω (pojemajoče vrtenje). Kotni pospešek ω& , je tedaj vektor, ki v splošnem ne kaže vzdolž trenutne rotacijske osi, slika 13.

37

Iz zgornje enačbe je razvidno, da je pospešek točke T pri vrtenju togega telesa okoli stalne osi sestavljen iz dveh deležev: prvi delež je usmerjen vzdolž tangente na krožnico zato je

v v v a tg = ω& x r atg = α r sin θ = α R v a tg tangentni pospešek kroženja delca T po krožnici polmera R in v v v v v a rd = ω x [ω x r ] = -ω2 R ard = ω (ω r sin θ ) sin 90o = ω2 R

kjer je R=r sin θ in je, radialni pospešek, kot je razvidno iz vektorskega produkta, usmerjen pravokotno na stalno os vrtenje, torej proti središču kroženja točke T.

3.2 Splošno gibanje togega telesa v primeru, da ena točka telesa miruje V primeru, kadar ena izmed točka togega telesa miruje je, po Eulerjevem teoremu, splošno gibanje tako vpetega togega telesa sestavljeno iz vrste zavrtitev (rotacij) togege telesa okoli trenutnih osi vrtenja, ki vse potekajo skozi dano mirujočo točko. v Omenjene trenutne rotacijske osi kažejo vzdolž trenutnih vektorjev kotne hitrosti, ω , ki vsi potekajo iz skupnega izhodišča, t.j. mirujoče točke togega telesa. v

ω&

v ω& 3, 2

C

v

ω (t1) v

ω (t2) v

ω (t3) O Slika 13. Poljubno gibanje togega telesa pod pogojem, da ena točka telesa miruje je po Eulerjevem teoremu sestavljajo infinitezimalne zavrtitve okoli trenutnih v rotacijskih osi, opisane z trenutnimi vektorji kotne hitrosti, ω , ki potekajo skozi mirujočo točko. Vektorji kotne hitrosti v splošnem opisujejo krivuljo v prostoru in v kotni pospešek togega telesa, ω& , je v tem primeru v v vsaki točki opisane prostorsko krivuljo podan s smerjo tangente na krivuljo.

38

V časovnem intervalu dt se, pri splošnem gibanju togega telesa okoli dane v v mirujoče točke telesa, spremeni vektor kotne hitrosti od ω (t) do ω (t+dt), kjer se oba v vektorja razlikujeta tako po velikosti, kot po smeri, t.j. za infinitezimalni vektor d ω , ki pa v splošnem ne kaže več vzdolž (trenutne) osi vrtenja. Krajišča vektorjev trenutne v v kotne hitrosti, ω , v splošnem popisujejo v prostoru poljubno krivuljo in vektorji d ω tedaj ležijo vzdolž tangente na omenjeno krivuljo. Iz zapisanega je razvidno, da je v tedaj kotni pospešek ω& vektor, ki leži vzdolž trenutnih smeri vektorja infinitezimalne v spremembe kotne hitrosti d ω , in v vsaki točki krivulje, ki jo opišejo krajišča v v vektorjev ω , je zato smer vektorja kotnega pospeška, ω& , usmerjena vzdolž tangente na opisano prostorsko krivuljo.

3.3 Translacijsko gibanje togega telesa. Translacijsko gibanje togega telesa je po definiciji takšna oblika gibanja, kjer so v v infinitezimalni pomiki, d r j, = d r , j=1, N, v časovnem intervalu dt, vsake točke togega telesa, med seboj vzporedni in enaki po velikosti. Iz definicije tedaj sledi, da v so tudi hitrosti, v , vseh točk med seboj vzporedne in v vsakem trenutku enake po v velikosti kar prav tako velja tudi za spremembe hitrosti točk togega telesa d v j, in zato v so tudi pospeški, a , vseh točk med seboj enaki. Iz dejstva, da so infinitezimalni pomiki točk enaki, ne pa pomiki sami sledi, da je translacijsko gibanje togega telesa v splošnem takšno kjer se vsaka točka togega telesa giblje po identičnih krivuljah v v prostoru, opisanih s pripadajočimi krajevni vektorji, r j, slika 15. Samo v primeru, da

T1 T2 T3

v v

T1 ’

v v

T2 ’

v v

T3’

Slika 15. Translacijsko gibanje togega telesa je definirano kot gibanje, kjer so infinitezimalni pomiki vseh točk togega telesa, v danem časovnem intervalu, enaki, t.j. vzporedni in enaki po velikosti. Iz definicije sledi, da so tedaj v vsakem trenutku v v tudi hitrosti, v , in pospeški točk, a , med seboj enaki, tako da za popis translacije togega teles zadošča proučitev kinematike gibanja ene same, poljubno izbrane, točke togega telesa. Vse točke togega telesa pri translacijskem gibanju potujejo vzdolž identičnih prostorskih krivulj, ki pa v splošnem niso premice.

39

so smeri vektorjev pomikov vseh delcev telesa konstantni s časom, je translatorno v gibanje telesa premočrtno; hitrosti v vseh točk togega telesa pa so tedaj premice. Zaradi dejstva, da so pomiki, hitrosti in pospeški vseh točk pri translaciji togega telesa med seboj enaki je očitno, da za popis translacijskega gibanja zadošča popis gibanja ene same točke togega telesa zato je kinematika translacijskega gibanja togega telesa v celoti popisana s kinematiko delca.

3.4 Splošno gibanje togega telesa; Chasle-jev teorem V mehaniki je mogoče dokazati Chasle-jev teorem, ki pravi, da je najbolj splošen pomik togege telesa sestavljen iz translacije in zavrtitve togega telesa okoli ustrezno izbrane osi vrtenja. Na tem mestu velja poudariti, da Chasle-jev teorem podaja način, kako je mogoče opisati splošno gibanje togege telesa, ki je iz dane lege v prostoru na nek način prešlo v drugo območje prostora, pri čemer se je spremenila tudi orientacija telesa. Skladno z zapisanim teoremom, je vedno mogoče omenjeno gibanje zapisati kot translacijo togega telesa in zavrtitve telesa okoli ustrezno izbrane osi vrtenja in na takšen način povezati lego in orientacijo (t.j. gibanje) togega telesa med danima območjima v prostoru. Toda ob tem se je potrebno zavedati, da je samo dejansko gibanje togega telesa lahko potekalo na bistveno bolj zapleten način, ki ga sestavlja zaporedje translacij in zaporedje ustreznih zavrtitev okoli vrste trenutnih osi vrtenja, ki pa zelo pogosto ostanejo neprepoznavni.

3.5 Ravninsko gibanje togega telesa Posebno preprost primer gibanja togega telesa je ravninsko gibanje, to je takšno gibanje kjer je mogoče poiskati poljubno število med seboj vzporednih presekov v telesa, takšnih, da so infinitezimalni pomiki d r j, vseh točk telesa, ki ležijo v dani presečni ravnini togega telesa med seboj vzporedni. To tudi pomeni, da ležijo vektorji hitrosti vseh masnih točk danega preseka prav tako v dani ravnini in ker so vse presečne ravnine vzporedne so hitrosti vseh točk togega telesa med seboj prav tako vzporedne in s tem hkrati vzporedne z ozirom na ustrezno izbrano stalno ravnino -referenčno ravnino- v prostoru, ki poteka izven telesa. Naj poteka pravokotnica na referenčno ravnino skozi togo telo, slika 16 zato v točki T1, kjer prebada presek S1 v stoji pravokotno nanj, enako pa velja za presek S2, ki ga prebada v točki T2. Naj bo v 1 v hitrost točke T1 in v 2 kitrost točke T2. Tedaj velja, da sta hitrosti vzporedni in stojita pravokotno na izbrano premico. Sedaj je potrebno ločiti dva značilna primera ravninskega gibanja togega telesa. V primeru, da gre za čisto translacijo telesa, tedaj v v očitno velja, da mora biti v 1 = v 2 po definiciji. Zapisano spoznanje velja tudi za splošni primer ravninskega gibanja, kot je to pokazano v nadaljnem. Naj bo točka O v v poljubno izbrana točka na referenčni ravnini in r 1 ter r 2 naj bosta krajevna vektorja iz

40

izhodišča O, do točk T1 in T2. Po Eulerjevem teoremu velja, z T2

v´ v2

v˝

S2

v r2

v1

S1

v r1

Slika 16. Ravninsko gibanje togega telesa je gibanje telesa kadar je mogoče najti takšno ravnino, ki seka togo telo, da ležijo vektorji hitrosti vsake točke preseka v tej ravnini in so tedaj vsi vektorji hitrosti točk lika vzporedni tudi stalni ravnini v referenčni ravnini- v prostoru, ki je vzporedna z danim presekom. Hitrosti, v , vseh točk togega telesa, ki se nahajajo na premici, ki poteka skozi togo telo in stoji pravokotno na referenčno ravnino so med seboj enake, toda hitrosti točk telesa znotraj danega preseka se v spošnem med seboj razlikujejo, tako po smeri kot po velikosti, pri čemer pa vektorji hitrosti teh točk nujno vedno ležijo v presečni ravnini.

v v1= v v2=

v

v

ω xr1 v v ω xr2

v pri čemer je ω trenutne kotna hitrost vrtenja togega telesa, ki stoji pravokotno na referenčno ravnino in poteka skozi izhodišče O, tako da velja v v v v v v 1 - v 2 = ω x ( r 1 - r 2).

v v Toda, vektor ( r 1 - r 2) leži vzdolž veznice točk T1T2 in je zato kolinearen z v vektorjem ω , zato je v v v1- v2=0 od koder sledi, da mora veljati,

v v v 1 = v 2. Hitrosti dveh točk na poljubno izbranih presekih togega telesa, ki podajata presečiči premice, ki stoji pravokotno na preseka in s tem na referenčno ravnino, sta enaki tako po velikosti kot po smeri.

41

Za ravninsko gibanje togega telesa tedaj zadošča, če je poznano gibanje točk poljubnega preseka telesa, ki je vzporeden dani referenčni ravnini, kajti vse preostale točke togega telesa na presekih, ki so vzporedni danemu preseku se tedaj gibljejo na identični način. S kinematiko ravninsko gibanje togega telesa se pogosto popisuje gibanje raznovrstnih strojnih mehanizmov, kotaljenje itd. Ravninsko gibanje togega telesa je poseben primer splošnega gibanja togega telesa za katerega velja Chasle-jev teorem; zato je poljubno ravninsko gibanje v splošnem ravno tako sestavljeno iz translacije lika, ki ga podaja presek ravnine s togim telesom in zavrtitvijo lika okoli osi vrtenja, ki stoji prevokotno na referenčno ravnino. Ravninsko gibanje togega telesa je poznano, če so poznani pospeški vseh točk danega preseka. Naj bosta točki T in T’ poljubni točki danega preseka. Krajevna vektorja iz izhodišča O izbranega v referenčni ravnini do točk T in T’ se zapišeta; ) v r 1 = x1 i + y1 ) v r 2 = x2 i + y2

v j + z1 v j + z2

) k ) k

pri čemer sta koordinati z1 in z2 točk T in T’ enaki in vse ostale točke danega preseka se nahajajo na konstantni razdalji od navedenih dveh točk. Razlika krajevnih vektorjev, v ) v v r 2 - r 1 = (x2 - x1) i + (y2 - y1) j

je tedaj vektor, ki leži v ravnini preseka in kaže iz točke T v točko T’, pri čemer je v njegova dolžina od časa neodvisna količina. Če se z vektorjem ρ označi vektorska razlika krajevnih vektorjev točk T in T’,

v

v

v

ρ = r 2 - r 1, tedaj se legi izbranih točk T in T’ dane presečne ravnine lahko zapišeta kot,

) v ) v r 1 = x1 i + y1 j + z1 k v v v r2= r1+ ρ v v tako, da sta hitrost v in pospešek a izbranih točk tedaj enaka, v v1= v v2=

v r& 1 v v v r& 2 = v 1 + ρ& ,

v pri čemer je vektor ρ , to je vektor, ki kaže iz točke T v točko T’ preseka, konstanten v po velikosti. Toda, ker je ρ konstanten se lahko spreminja samo njegova smer, to pa pomeni, da je v

)

v

v

ρ = ρ eρ )

v

v

ρ& = ρ e&ρ = ρ ϕ& eϕ = ω x ρ

42

v pri čemer je smer kotne hitrosti ω pravolotna na referenčno ravnino tako, da sedaj velja, v v v v v v 2 = r& 2 = r& 1 + ω x ρ

kjer je točka T izbrana za izhodišče ravninskega polarnega sistema, ki leži v ravnini v v preseka in (relativna) hitrost ρ& točke T’ je pravokotna na veznico točk ρ ter kaže v v ) smer enotnega vektorja eϕ . Na tem mestu je pomembno poudariti, da sta hitrosti v 1 v v v (= r& 1) in v 2 (= r& 2) hitrosti izbranih točk T1 in T2 presečne ravnine z ozirom na opazovalca, ki miruje torej hitrosti, ki se izražata z ozirom na izhodišče koordinatnega sistema v (mirujoči) referenčni ravnini. Pospeška navedenih točk sta podana z,

v v a 1 = && r1 v v v v v v a 2 = && r 1 + ω& x ρ + ω x ρ& v v v v v v a 2 = && r 1 + ω& x ρ + ω x ( ω x v v v v v v r 1 + ω& x ρ + ω ( ω ρ ) - ω2 = && v v v v r 1 + ω& x ρ - ω2 ρ . = &&

v

ρ)= v ρ =

Iz zgornjega izvajanja je razvidno, da sta pospeška izbranih točk T in T’ preseka podana z izrazoma,

v a1= v a2=

v && r1 v v v v && r 1 + ω& x ρ - ω2 ρ ,

kjer je sedaj očitno, da je pospešek točke T’ enolično določen kot vektorska vsota pospeška točke T in pospeška kroženja točke T’ z ozirom na izbrano začetno točko T. v Kotna hitrost ω je vektor, ki stoji pravokotno na referenčno ravnino in poteka skozi izbrano začetno točko, ki se tradicionalno imenuje izbrani pol. Zgornji enačbi sta enačbi ravninskega gibanja togega telesa, ki je tedaj podano z gibanjem poljubno izbranega pola T ter z vrtenjem točke T’ relativno na izbrani pol, kjer sta T in T’ sicer poljubni točki preseka. Ravninsko gibanje togega telesa je poznano, če je podana časovna odvisnost izrazov, v ) v v r T = r T(t) = xT(t) i + yT(t) j ϕ = ϕ (t).

Ker je z kordinata izbranega pola T konstanta je zato v zgornjem izrazu izpuščena. v Zapisani kot ϕ je kot, ki ga n.pr. oklepa vektor ρ s pozitivno smerjo x’ osi koordinatnega sistema z izhodiščem v T. Poudariti gre, da je omenjeni, x’y’ koordinatni sistem izbran tako, da so njegove osi v vsakem trenutku vzporedne x- in y-osi koordinatnega sistema v referenčni ravnini z izhodiščem v točki O in zato je očitno, da se x’y’ koordinatne osi ne vrtijo.

43

Dokaz, da je kotna hitrost vseh točk preseka enaka v V zgornji enačbi nastopa kotna hitrost ω , ki poteka skozi izbrani pol in podaja (trenutno) kotno hitrost vrtenja točke T’ z ozirom na točko T. Izkaže se, da je kotna hitrost pri ravninskem gibanju togega telesa količina, ki je neodvisna od izbire pola in je tedaj za v vse točke preseka enaka. Dokaz poteka na naslednji način, slika 17: naj bo ω ’ kotna v hitrost vrtenja točke T z ozirom na izbrani pol, ki je sedaj točka T’. Vektor ω ’ poteka v v v skozi pol T’ in po predpostavki ni enak ω , seveda pa sta tako ω ’ kot ω pravokotna na ravnino preseka

v

ω′

v

ω v

ρ′ T

T`

v rT ,

v rT

O Slika 17. Pri ravninskem gibanju togega telesa je kotna hitrost vseh točk dane presečne v v ravnine v vsakem trenutku enaka, ω = ω ′ , kar neposredno vodi do dejstva, da so tedaj v v tudi kotni pospeški vseh točk med seboj enaki, ω& = ω& ′ .

v togega telesa. Naj bo ρ ’ vektor, ki kaže iz pola T’ v točko T. Očitno sedaj velja, v r& T

v v v r T = r T’ + ρ ’ v v v v v = r& T’ + ρ& = r& T’ + ω ’ x ρ ’,

toda od prej velja, v v v v v v 2 = r& T’ = r& T + ω x ρ

v zato sledi, ko se iz obeh enačb eliminira r T’ , v v v v v v v v r& T = r& T’ + ρ& = r& T + ω x ρ + ω ’ x ρ ’,

44

v v od koder, z upoštevanjem dejstva, da je ρ = - ρ ’, sledi, v v v ( ω - ω ’) x ρ = 0. v v v in ker sta vektorja ( ω - ω ’) ter ρ med seboj pravokotna je vektorski produkt lahko enak nič tedaj in le tedaj, ko velja, v

v

ω’= ω. Ker je kotni pospešek podan z odvodom kotne hitrosti po času velja tudi, v v ω& ’ = ω& . v Za vse točke preseka je kotna hitrost vrtenja ω potemtakem enaka in zato je za vse točke v v preseka tudi kotni pospešek ω& enak ter stoji, prav tako kot vektor ω , pravokotno na presek togega telesa.

Projekcijski teorem hitrosti pri ravninskem gibanju togega telesa Naj bo točka T izbrani pol ter točki T’ in T’’ poljubni točki preseka togega telesa, ki se v ravninsko giblje. Z ozirom na izbrani pol T je lega točke T’ podana z vektorje ρ , točka v T’’ pa z vektorjem ρ ′ , pri čemer točke T, T’ in T’’ ne ležijo na isti premici. Sedaj velja,

v r T’ = v r T’’ =

v rT+ v rT+

v

ρ v ρ’

kjer sta hitrosti točk T’ in T’’ podani z izrazoma, v v v v’= v + ω x v v v v ’’ = v + ω x

v

ρ v ρ ’.

Razlika gornjih izrazov je tedaj, v v v v v v ’’ - v ’ = ω x ( ρ ’ - ρ ),

v v v kjer je vektor ρ ’ - ρ ≡ u , vektor, ki kaže iz točke T’ v točko T’’ in je torej veznica teh v dveh točk, slika 18. Skalarni produkt gornjega izraza z vektorjem u je enak, v v v v v v ( v ’’ - v ’) u = ( ω x u ) u = 0,

kajti mešani produkt treh vektorjev od katerih sta dva identična je po definiciji enak 0. Leva stran gornjega izraza se sedaj lahko zapiše,

v v v v v ’ u = v ’’ u .

45

v v Hitrost v ’ točke T’ in hitrost v ’’ točke T’’ sta hitrosti zapisanih točk z ozirom na mirujoči v koordinatni sistem povezanem z referenčno ravnino. Če je α kot med vektorjem v ’ in v

v v

v v′

ω

ω× ρ

v v v u = ρ′− ρ

T´

v

ρ

v

ρ′

v v ,, T˝

v vT ,,

T v vT v rT

v rT ,

Slika 18. Poljubno izbrani pol T in točki T´in T˝ ležijo v preseku togega telesa, ki se v ravninsko giblje. Hitrost pola z ozirom na inercialni koordinatni sistem je vT . Krajevna v v vektorja iz pola do točk T´ in T˝sta označena z ρ in ρ ′ . Skica prikazuje konstrukcijo v v v v v hitrosti v ′′ točke T˝, kot vektorsko vsoto izrazov v ′′ = vT + ω × ρ ′ . Zaradi jasnosti je v v v točki T´ prikazan samo vektorski produkt ω × ρ . Seveda velja, da je trenutna kotna hitrost, v ω , pri ravninskem gibanju telesa pravokotna na izbrani presek, vsi ostali vektorji pa s to ravnino sovpadajo.

v veznico točk T’T’’, kot β pa označuje kot med hitrostjo v ’’ točke T’’ in omenjeno veznico v u , tedaj po definiciji skalarnega produkta velja, v’ cos α = v’’ cos β, ali projekciji hitrosti poljubnih dveh točk T’ in T’’ na njuno veznico sta enaki. Dobljeni izraz, v v v v v v v v ’’ - v ’ = ω x ( ρ ’ - ρ ) = ω x u ,

je pomemben tudi še zaradi drugačnega vidika. Po definiciji vektorskega produkta namreč velja,

46

v v v ' ' − v ' = ω u sin 90o = ω u, v v v pri čemer je u = u = ρ ' − ρ , razdalja med točkama T’in T’’. Poslednji izraz omogoča izračunati velikost kotne hitrosti vrtenja točk presečne ravnine (in s tem togega telesa pri ravninskem gibanju) pod pogojem, da sta poznana vektorja hitrosti poljubnih dveh točk preseka in njuna medsebojna odaljenost u, kajti, ω=

v v v'' − v' . u

v Ker je, kot je bilo pokazano zgoraj kotna hitrost ω enaka za vse točke preseka je tedaj kvocient

v v v'' − v' = konstanta u konstanten za poljubni dve točki preseka pri ravninskem gibanju togega telesa.

Pol hitrosti pri ravninskem gibanju togega telesa Naj bosta točki T in T1 poljubni točki preseka togega telesa, ki se ravninsko giblje. Z ozirom na poljubni izbrani pol T je hitrost točke T1, (izražena z ozirom na izhodišče inercialnega koordinatnega sistema, vpetega v refrenčni ravnini) podana z, v v v v v1= v + ω x ρ1

v v kjer je v hitrost (z ozirom na referenčno ravnino) pola T in ρ 1 je krajevni vektor, ki kaže v iz pola T do točke T1. V splošnem je hitrost v pola T od nič različna in podobno velja za hitrost točke T1. Toda upravičeno se zastavlja vprašanja ali je, k dani točki T1, mogoče poiskati takšno posebno točko v ravnini preseka togega telesa, pol T, da je njena trenutna hitrost enaka 0 in če obstaja, kako takšno točko -katere trenutna hitrost je nič- določiti? v Točka T za katero v nekem trenutku velja, da je njena hitrost v =0 se po definiciji imenuje v pol hitrosti in se označi z Pv. Pa naj bo sedaj točka T tista katere trenutna hitrost v =0 in tedaj je T (trenutni) pol hitrosti. Z ozirom na izbrani pol, mora torej veljati, v v v v 1 = ω x ρ 1.

Poudariti gre, da sta v tem in samo v tem primeru, ko je za pol izbran prav (trenutni) pol v v hitrosti, Pv, relativna hitrost točke T1 (= ρ& 1) z ozirom na izbrani pol hitrosti in hitrost v 1 (t.j. absolutna hitrost točke) enaki. v Če se zgornji izraz vektorsko pomnoži z leve s kotno hitrosjo ω x, takoj neposredno v sledi da je krajevni vektor ρ 1 podan z,

47

v

ρ1 = -

v

v

ω x v1 , ω2

tako, da znaša dolžina vektorja ρ 1,

ρ1 =

v1

ω

v Toda krajevni vektor - ρ 1 je, po definiciji tedaj vektor, ki kaže iz točke T1 do pola hitrosti, Pv, in je, kot je razvodno iz zgornjega izraza, v splošnem od nič različen vektor. Na takšen v način je tedaj lega (trenutnega) pola hitrosti enolično določena. Krajevni vektor - ρ 1 je v v v vsakem trenutku pravokoten na vektorja kotne hitrosti ω in v 1 hitrosti izbrane točke T1. Iz dobljenih izrazov je razvidno, da se lega pola hitrosti, Pv, s časom spreminja kajti v v v splošnem sta velikost kotne hitrost ω in hitrosti v izbrane točke funkciji časa. Toda vedno velja, da leži pol hitrosti v ravnini preseka togega telesa in se nahaja na razdalji ρ = ρ (t) od izbrane točke na premici, ki je po definiciji vektorskega produkta pravokotna na oba zapisana vektorja, slika 19. v Očitno je, da je pol hitrosti v splošnem določen, če je poznana trenutna hitrost v (z ozirom na nepomični koordinatni sistem v referenčni ravnini) poljubno izbrane točke ter v trenutna kotna hitrost ω zasuka vseh točk togega telesa dane presečne ravnine. Toda v v primeru, da sta poznani hitrosti dveh poljubno izbranih točk T1 in T2 presečne ravnine, v 1

v v v v1 = ω × ρ1

T1

v

ω T

v

ρ1

Pv v rPv

v rT1

Slika 19. K definiciji pola hitrosti Pv. Trenutna hitrost pola hitrosti, Pv. je nič, zato je v (relativna) hitrost točke T1 pri ravninskem gibanju togega telesa, v1 , kar enaka njeni v absolutni hitrosti v tem trenutku. Vektor v1 zaradi tega dejstva stoji pravokotno na veznico v pola hitrosti Pv in točke T1, to je na vektor ρ1 .

48

v in v 2, oziroma celo samo smeri vektorjev hitrosti, zaradi zgoraj zapisanega, določa trenutno lego pola hitrosti, Pv, tista točka v ravnini preseka, ki leži na presečišču premic, ki v potekajo skozi točki T1 in T2 ter stojita pravokotno na odgovarjajoče vektorje hitrosti v 1 in v v 2. v v V primeru, da sta smeri in velikosti vektorjev hitrosti, v 1 in v 2, poznani, absolutna vrednost razlike obeh vektorje deljena z medsebojno oddaljenosto izbranih točk, tedaj določa tudi trenutno kotno hitrost zavrtite vseh točk dane presečne ravnine. Z ozirom na pol hitrosti, Pv, se velikost hitrosti obeh točk zapiše kot,

v1 = ω ρ 1 v2 = ω ρ 2 od koder sledi, da mora za poljubno točko presečne ravnine veljati, v1

ρ1

=

v2

= .... =

ρ2

vk

ρk

= ω,

kar pomeni, da je razmerje velikosti hitrosti, vk, poljubne točke preseka z njeno oddaljenostjo do pola hitrosti, ρ k, k=1, 2,...., N, za vse točke preseka konstantno in enako (trenutni) vrednosti kotne hitrosti, ω, slika 20. V posebnem primeru ravninskega gibanja togega telesa, ko so (trenutne) hitrosti vseh točk preseka med seboj vzporedne in enake po velikosti je trenutno gibanje telesa opisano s čisto translacijo. Pol hitrosti se v tem primeru nahaja v neskončnosti. V primeru, da sta

v v1

T1

T2 v

ρ2

v

ρ1

v v2

Pv v

ρ3 v v3

T3

Slika 20. K določitvi pola hitrosti Pv pri ravninskem gibanju togega telesa, to je točke v katere trenutna hitrost v =0. Z ozirom na pol hitrosti, Pv, vse točke preseka togega telesa krožijo s hitrostmi, ki so enake produktu kotne hitrosti in oddaljenosti od pola hitrosti. Poznavanje vektorjev hitrosti poljubnih dveh točk preseka togega telesa omogoča enolično v v določitev trenutnega pola hitrosti Pv. Pravokotnica na vektorja hitrosti v1 in v3 je označena s črtkano premico.

49

v v vektorja hitrosti v 1 in v 2, točk T1 in T2 nasprotno vzporedni, pri čemer točki ležita na premici, ki je pravokotna na obe hitrosti, tedaj leži pol hitrosti na pravokotni veznici med vektorjema in sicer na razdalji n.pr. ρ 1 od točke T1, za katero velja, v1 ρ ρ1 = 1 = ( = ω), ρ2 l − ρ1 v2

kjer je z l označena (pravokotna) razdalja med točkama, l = ρ 1 + ρ 2.

Pol pospeška pri ravninskem gibanju togega telesa

Pospešek poljubne točke T togega telesa pri ravninskem gibanju izražen s pospeškom poljubno izbranega pola T’, kot je bilo izpeljano zgoraj, je enak izrazu v v v v v a T = && r T’ + ω& x ρ - ω2 ρ ,

v v pri čemer je && r T’ = a T’ pospešek pola T’ z ozirom na referenčno ravnino. Podobno kot pri polu hitrosti, je tudi tokrat umestno vprašanje ali obstaja takšni pol T’, pol pospeška, katerega trenutni pospešek je enak nič. Pa naj bo sedaj, po predpostavki, točka T’ pol v pospeška. Tedaj je njen trenutni pospešek enak nič, a T’=0, in zato se pospešek poljubne točke T, z ozirom na izbrani pol pospeška, zapiše kot v v v v a T = ω& x ρ - ω2 ρ ,

kar pomeni, da je pospešek izbrane točke T, izražen v referenčnem koordinatnem sistemu (absolutni pospešek) enak pospešku točke T z ozirom na izbrani pol T´ (relativni pospešek). To je torej možno tedaj in le tedaj, ko je pospešek pola T enak nič. Na podoben način kot pol hitrosti se izračuna (trenutna) lega pola pospeška, torej v v

v

v

v

v

ρ . a T = ρ .( ω& x ρ - ω2 ρ ) = - ω2 ρ 2, v v od koder sledi, da se kot λ, ki ga oklepa pospešek, a T, točke T z vektorjem ρ , izračuna iz izraza,

cos λ = -

ω 2ρ aT

,

50

kjer pa je oddaljenost pola pospeška ρ od točke T še neznana. Toda, vektorski produkt v v v gornjega izraza z vektorjem ρ , ob upoštevanju, da vektor ρ in kotni pospešek ω& , oklepata kot π /2 med seboj, v v v v v v v ρ x a T = ρ x ( ω& x ρ - ω2 ρ ) = ω& ρ 2,

podaja izraz, da je oddaljenost pola pospeška od izbrane točke T enaka,

ρ =

aT sin λ , ω&

kar je druga enečba z dvema neznankama, ρ in λ. Pot pospeška z ozirom na izbrano točko T pri ravninskem gibanju togega telesa je torej podan z izrazoma, tg λ = -

ρ =

ω& ω

aT sin λ , ω&

T3

T2 λ

a1 T1

ρ1

λ

ρ3

a2

λ

a3

ρ1

Pa

λ

a4

ρ4

T4

Slika 21. Z ozirom na trenutni pol pospeška je kot λ, ki ga oklepaj trenutni pospešek točke s premico, ki poteka skozi izbrano točko in pol pospeška, za poljubno izbrano točko pri ravninskem gibanju togega telesa konstanten. Hkrati prav tako tudi velja, da je razmerje pospeška poljubno izbrane točke z njeno oddaljenostjo do pola pospeška za vse točke preseka togega telesa pri ravninskem gibanju konstantna.

51

v in je enolično določen s trenutnimi vrednostmi pospeška (absolutnim pospeškom), a T, kotnega pospeška, ω& , in kotne hitrosti, ω , izbrane točke T, pri čemer je λ kot, ki ga v v oklepata pozitivni smeri vektorja a T in vektor ρ , t. j. vektor, ki kaže iz pola pospeška do izbrane točke T. Iz prvega od poslednjih dveh zapisanih izrazov je razvidno, da kot λ zavisi zgolj od vrednosti kotne hitrosti in kotnega pospeška in je tedaj za vse točke, ki ležijo v dani presečni ravnini, pri ravninskem gibanju togega telesa enak, slika 21. Tedaj sledi, da je tudi razmerje aT

ρ

=

aT1

ρ1

= ....... =

aTN

ρN

=

ω&

sin λ

= konstanta

pospeška točke aT z oddaljenostjo ρ T točke do pola pospeška za poljubno točko dane presečne ravnine togega telesa pri ravninskem gibanju konstantno, slika 21. Pol pospeška ima v praksi posebno pomemben pomen. Namreč, iz drugega Newtonovega zakona sledi, da je pospešek točke sorazmeren rezultanti sil, ki na točko deluje kar pomeni, da je rezultanta (zunanjih) sil, ki deluje na pol pospeška enaka nič.

Zgledi: 1. Slika 22. Po dveh, med seboj pravokotnih, utorih drsita dva drsnika A in B, ki sta vrtljivo povezana s prečko, kot kaže skica. Če je L razmak med pritrdiščema drsnikov in če je D oddaljenost točke T od drsnika A izračunaj enačbo krivulje, ki jo pri gibanju drsnikov A in B opisuje točka T.

y T D B L ϕ A

x

Naj bo kot ϕ kot, ki ga oklepa v trenutku t prečka z vodoravno osjo. V izbranem koordinatnem sistemu se enačba gibanja točke T zapiše, v v v r T = r A + ρ T, kjer je v r A = ( -L cos ϕ , 0) v ρ = (D cos ϕ , D sin ϕ )

52

tako, da velja,

xT = (D - L) cos ϕ yT = D sin ϕ .

Enačbo krivulje gibanja točke T se dobi, če se iz zgornjih dveh izrazov eliminira parameter ϕ . Tedaj je enačbe krivulje podana z odvisnostjo, 2

2

xT y + T2 2 D ( D − L)

= 1,

ki je enačba elipse s polosema (D-L) in D s središčem v koordintnem ishodišču. Iz zapisanega sledi, da točka T, pri poljubnem gibanju drsnikov A in B, opisuje elipso, zato se opisana naprava imenuje elipsograf. S spreminjanjem razdalj L in D se dobi družino elips s središčem v koordinatnem izhodišču.

2. Za zgornji elipsograf velja, da je v nekem trenutku hitrost drsnika A usmerjena vzdolž pozitivne smeri osi x in enaka vA, glej skico. Izračunaj smer in velikost hitrosti drsnika B v tem trenutku (slika 23). Po teoremu o projekcijah hitrosti velja, da sta projekciji hitrosti poljubnih dve točk na njuno veznico enaki. Torej mora veljati, vA cos ϕ = vB cos ( π /2 - ϕ ), kar pomeni, da je hitrost drsnika B usmerjena v pozitivno smer osi y. Zgornji izraz se zato poenostavi v vB = vA ctg ϕ .

53

3. Naj bosta v nekem trenutku smeri in velikosti hitrosti drsnikov elipsografa poznani in enaki vA ter vB, kot kaže slika 23. Izračunaj trenutno hitrost točke T ter trenutno vrednost kotne hitrosti ω prečke. T vB Pv B Slika 23. ϕ A

vA

x

Po definiciji pola hitrosti Pv, ravninskega gibanja prečke se pol hitrosti nahaja na presečišču pravokotnic na smer vektorjev trenutne hitrosti drsnikov A in B. Iz skice je razvidno, da sta koordinati pola hitrosti tedaj podani z: xP = -L cos ϕ in yP = L sin ϕ . Od tod tedaj sledi, ω=

vA vB = . L sin ϕ L cosϕ

Hitrost točke T, vT, se izrazi s pomočjo pola hitrosti pri čemer je potrebno še izračunati razdaljo d, t.j. oddaljenost točke T do pola hitrosti Pv. Le-ta v tem primeru znaša, d2 = (D cos ϕ )2 + [(D - L) sin ϕ ]2, od koder takoj sledi željeni odgovor, ki je: vT = ω d =

vA L sin ϕ

( D cos ϕ ) 2

2

vT = v A

+

[ (D − L) sin ϕ ]2

D  D   ctgϕ  +  − 1 L  L 

2

54

4. T T β

R

γ

v, v v vT = ω × ρ

v vC

C

Izračunaj hitrost točke T na obodu valja polmera R, ki se kotali premočrtno brez podrsavanja. V danem trenutku znaša hitrost težišča C valja vC, veznica DT točke T pa oklepa kot ϕ z navpičnico, ki poteka skozi težišče, slika 24.

ϕ D Za pol je umestno izbrati težišče C, kajti hitrost težišča, vC, je znana tako po smeri kot po velikosti. Z ozirom na izhodišče koordinatnega sistema v dotikališču, točka D, velja,

v v v rT= rC+ ρ v v v v vT= vC+ ω x ρ, v v kjer je ρ =R. Vektorski produkt ω x ρ je usmerjen vzdolž tangente na krožnico valja in v zato hitrost točke T, v T, na obodu krožnice oklepa kot γ z vodoravnico, t.j. z vektorjem v v C, glej sliko 24. Trenutno kotno hitrost vrtenja, ω, se izračuna iz zahteve, da točka D miruje torej, v v v v v D = 0 = v C + ω x ρ D,

tako, da velja, v v v v v vC=- ω x ρD= ρD x ω vC = ρ D ω = R ω.

Od tod je razvidno, da v vsakem trenutku velja, da je hitrost težišča valja vedno (če ni podrsavanja) enaka velikosti obodne hitrosti točke T pri vrtenju točke T okoli težišča, zato je paralelogram hitrosti iz točke T kar romb. Zaradi zapisanega sta kota med vektorjema v v v v v T in v C ter med v T in ω x ρ med seboj enaka in označena s simbolom γ. Toda trikotnik DCT je enakostranični trikotnik zato velja, da je 2 ϕ = β, skica 22. v Podaljšek veznice CT oklepa kot ( π /2 - β) s smerjo hitrosti v C v točki T, zato velja ( π /2 β) + 2 γ = π /2, slika 24, od koder sledi, da je γ = ϕ . Sedaj je, cos ϕ =

vT , 2 vC

od koder je takoj moč izraziti končni rezultat, da je hitrost točke T na obodu valja enaka,

55

vT = 2 vC cos ϕ .

b) Isti nalogo se neprimerno enostavneje reši z uporabo pojma pola hitrosti. Ker po predpostavki valj ne podrsava je trenutna hitrost vseh točk, ki ležijo na tvornici valja, ki poteka skozi pol D enaka nič. Pol D je torej pol hitrosti in zaradi tega dejstva mora veljati, da leži hitrost vT pola T pravokotno na veznico DT, slika 24. Zaradi tega mora veljati, vC v = T , R L kjer je L je dolžina veznice DT, ki znaša, L = 2R cos ϕ , od koder takoj sledi končni rezultat, vT = 2vC cos ϕ . Kaj enostavno je uvideti, da je hitrost točke T’, ki se nahaja na obodu krožnice in leži na premici, ki poteka skozi točki DC enaka dvakratni hitrosti težišča, vT’ = 2 vC.

5. Škripčevje sestoji iz sistema treh škripcev od katerih sta dva nepomična in enaka, slika 23. Kolikšna je hitrost težišča gibljivega škripca polmera R ter kotna hitrost vrtenja ω, če se giblje desna utež A s hitrostjo vA v navpični smeri navzgor, leva utež B pa z hitrostjo vB navpično navzdol, pri čemer velja vA < vB. Iz enačbe ω=

v v v A − vB AB

=

v A + vB 2R

takoj sledi kotna hitrost vrtenja, ω, gibljivega škripca. S ponovno uporabo gornjega izraza,

ω=

v v v B − vC R

=

vB − vC , R

takoj neposredno sledi iskani razultat,

56

vC

vA R

vB B

A

v Slika 25. K izračunu hitrosti masnega središča vC škripca polmera R.

vB vC

Pv

R vA

Slika 26. K rešitvi problema 5. Obodni hitrosti vA in vB sta nasprotno vzporedni in presečišče njune veznice s pravokotnico nanju (dolžine 2R) določa lego pola hitrosti, PV.

vC = vB - R ω =

vB − v A . 2

Tezišče gibljivega škripca se torej dviguje s polovično razliko hitrosti potovanja obeh bremen.

57

B.

Opis splošnega gibanja togega telesa

Po Chasle-jevem teoremu je splošno gibanje togega telesa sestavljeno iz translacije in zavrtitve okoli dane, trenutne, osi vrtenja. Ob tem je pomembno spoznanje, da velikost in v smer vektorja trenutne kotne hitrosti vrtenja, ω , ne zavisi od izbire pola in je tedaj za vse točke togega telesa enaka. Zapisana trditev se dokaže na naslednji način. Pa naj bosta, po predpostavki, trenutni v v kotni hitrosti polov A in B togega telesa, slika 27, med seboj različni, torej ω A ≠ ω B. Naj v v bo ρ krajevni vektor iz izbranega pola A do poljubne točke T in ρ ’ krajevni vektor iz pola B do T. Iz slike 27 je razvidno, da se tedaj lahko zapiše, v

ωB v

ωA B

v

ρ′

v

ζ

v

ρ

A v rA

v rB

T

v rT

O

v Slika 27. Togo telo se vrti okoli trenutne osi vrtenja. Trenutna kotna hitrost, ω A je kotna v hitrost vrtenja pola B z ozirom na poljubno izbrani pol A in narobe, ω B označuje trenutno kotno hitrost vrtenja pola B z ozirom na pol A.

v v v rT= rA+ ρ v v v r T = r B + ρ ’, v v pri čemer velja, ρ ≠ ρ ’. Izraza za hitrost pola T se zapišeta v obliki, v v v v vT = vA+ ωAx ρ v v v v v T = v B + ω B x ρ ’.

58

v Toda, naj bo vektor ς vektor, ki kaže iz pola A do pola B. Ker je telo togo, je velikost v v v v vektorja ς konstantna, spreminja se le njegova smer. Seveda velja r B= r A+ ς , pri čemer v v v je zaradi prvih dveh enačb, ς = ρ - ρ ’, zato od tod neposredno sledi, v v v v v v v B = v A + ς& = v A + ω A x ς . v Če se iz zgornjih dveh izrazov eliminira hitrost točke T, t.j. v T, ter za hitrost pola B v uporabi pravkar izpeljano enačbo za v B, tedaj sledi, v v v v v v v v v A + ω A x ρ = v A + ω A x ς + ω B x ρ ’. v Z uporabo definicije vektorja ς se dobljeni izraz poenostavi v, v v v v 0 = - ω A x ρ ’ + ω B x ρ ’,

ali po preureditvi, v v v ( ω B - ω A) x ρ ’ = 0

Če se sedaj upošteva dejstvo, da sta pola A in B popolnoma poljubno izbrani točki togega v v v telesa tedaj vektorja ( ω B - ω A) ter ρ ’ v splošnem nista med seboj vzporedna odkoder zato enolično sledi, v

v

v

ωA= ωB ≡ ω

v ali vektor (t.j. smer in velikost) trenutne kotne hitrosti, ω , je za vse točke (na površini in v notranjosti togega telesa) enak. Od tod izhaja, da mora tedaj prav tako veljati, da je kotni v pospešek, ω& , v vsakem trenutku enak za vse točke togega telesa.

59

5. LINEARNE TRANSFORMACIJE

V 4. poglavju je bilo povedano, da je največje število neodvisnih koordinat (prostostnih stopenj), ki enolično definirajo lego togega telesa (t.j. položaj in orientacijo v prostoru) enako 6. Običajno se s tremi koordinatami poda lego težišča, preostale tri koordinate pa služijo za popis orientacije togega telesa. Za določitev orientacije togega telesa se je v splošnem mogoče poslužiti vrste med seboj različnih popisov. V tem poglavju bo orientacija togega telesa enolično določena z lego koordinatnih osi, s togim telesom trdno povezanega kartezičnega koordinatnega sistema. Iz zapisanega sledi, da koordinatni sistem z ozirom na telo miruje in je definiran tako, da izhodišče sovpada s težiščem togega telesa. Orientacija telesa je tedaj določena s koti, ki jih osi telesnega sistema oklepajo s prostorskim kartezičnim koordinatnim sistemom, katerega izhodišče prav tako sovpada s težiščem togega telesa. Ob tej definiciji je pomembno ugotoviti, da se orientacija osi prostorskega kartezičnega koordinatnega sistema ne spreminja in je torej konstantna s časom zato je trenutna orientacija togega telesa enolično določena s koti, ki jih posamezne osi telesnega sistema oklepajo z osmi prostorskega koordinatnega sistema tako, kot to prikazuje slika 5.1. Z z’

v i′ ϕ3 x’ ϕ1

ϕ2

C

Y v j′

y’

z X x

y

Slika 5.1. V težišču togega telesa, C, je izhodišče kartezičnega koordinatnega sistema, X, Y, Z, katerega orientacija osi je od časa neodvisna in je po definiciji vzporedna osem x, y, z prostorskega (absolutnega) inercialnega sistema. Telesni kartezični koordinatni sistem, x’, y’ in z’, prav tako izbran z izhodiščem v težišču, je s togim telesom trdno povezan. Tedaj očitno velja, da je orientacija togega telesa v vsakem trenutku enolično podana z orientacijo osi telesnega sistema glede na prostorski kartezični koordinatni sistem X, Y, Z.

60

Najpreprostejši način, ki določa orientacijo telesnega koordinatnega sistema z ozirom na prostorski koordinatni sistem podajajo koti, ki jih oklepajo posamezne osi telesnega sistema z X, Y in Z osmi prostorskega koordinatnega sistema. Naj bo trenutna orientacija osi x’, y’ in z’ določena z enotnimi vektorji ) v v ) ) i ’, j ’ in k ’ pri čemer enotni vektor i ’ oklepa kote ϕ 1, ϕ 2 in ϕ 3 z enotnimi vektorji i , ) v j in k . Slednji enotni vektorji določajo smeri prostorskega koordinatnega sistema. v Podobno naj velja, da je orientacija j ’ enotnega vektorja telesnega sistema podana s trojico kotov, θ i, i=1, 2, 3, ki jih le-ta oklepa z osmi prostorskega sistema, orientacija ) enotnega vektorja k ’ pa s koti ψ j, j = 1, 2, 3. Vsak vektor je mogoče na enolični način zapisati kot linearno kombinacijo njegovih pravokotnih komponent, zato velja, ) ) i ’ = ( i ’)x ) ) = (i ’ i )

) v ) ) ) i + ( i ’)y j + ( i ’)z k ) ) v v ) ) ) i + (i ’ j ) j + (i ’ k ) k .

Slednji izraz je mogoče zapisati v poenostavljeni obliki, če se definira smerne kosinuse s pomočjo naslednjih izrazov,

α1= α2= α3=

) i’ ) i’ ) i’

) i v j ) k

β1= β2= β3=

v j’ v j’ v j’

) i v j ) k

) )

γ 1= k’ i ) v γ 2= k’ j ) ) γ 3= k’ k

tako, da je ) v ) ) i ’= α1 i + α2 j + α3 k. Na analogen način je mogoče pokazati pravilnost tudi preostalih dveh zapisov, v j’= β1 ) k’= γ 1

) i + β2 ) i +γ 2

v j + β3 v j +γ 3

) k ) k.

Iz poslednjih treh izrazov je moč razbrati, da je orientacija telesnega sistema z ozirom na prostorski koordinatni sistem določena z 9 smernimi kosinusi α i, β i in γ i, kjer je i=1, 2, 3. ) ) v Seveda pa je mogoča tudi obratna izražava, t.j. zapis enotnih vektorjev i , j in k ) v prostorskega sistema vzdolž osi telesnega sistema določenega z enotnimi vektorji i ’, j ’ ) ter k ’. V tem primeru se dobi, ) ) ) ) ) v v ) ) ) i = ( i i ’) i ’ + ( i j ’) j ’ + ( i k ’) k ’ = ) v ) = α 1 i ’+ β1 j’+ γ 1 k ’

) v in podobna izraza za enotna vektorja j ter k . Očitno se torej izražajo enotni vektorji, ki določajo orientacijo prostorskega kartezičnega koordinatnega sistema glede na telesni kartezični koordinatni sistem z isto množico 9. smernih kosinusov, kot zgoraj.

61

Naj bo krajevni vektor iz težišča togega telesa do poljubne točke T togega telesa podan v v z vektorjem r v prostorskem in z vektorjem r ’ v telesnem kartezičnem koordinatnem sistemu. Ob upoštevanju dejstva, da sta izbrani izhodišči obeh koordinatnih sistemov v v v težišču togega telesa, mora očitno veljati, r ≡ r ’ in zato, v v | r | = | r ’ | = r, v v kjer je r = (X, Y, Z) ter r ’ = (x’, y’, z’) oziroma, ) ) v v ) ) v r = X i + Y j + Z k = x’ i ’ + y’ j ’ + z’ k . ) ) v Z upoštevanjem zgoraj izpeljanih izrazov za i ’, j ’ ter k ’, se iz primerjave poslednjih dveh strani enačbe izpelje, x’ = X α 1 + Y α 2 + Z α 3 ≡ y’ = X β 1 + Y β 2 + Z β 3 ≡ z’ = X γ 1 + Y γ 2 + Z γ 3 ≡

v r ⋅ v r ⋅ v r ⋅

) i’ v j’ ) k ’,

v povezava med komponentami krajevnega vektorja, r ’, do poljubne točke T togega telesa v izraženega v telesnem sistemu s komponentami krajevnega vektorja r prostorskega sistema, ki kaže iz težišča do izbrane točke togega telesa T. Očitno velja, da se vsaka od v komponent vektorja r ’ izraža kot linearna kombinacija vseh treh komponent krajevnega vektorja točke T v prostorskem koordinatnem sistemu, pri čemer imajo smerni kosinusi pomen koeficientov linearne kombinacije. Zapisane izraze je z matematičnega vidika ugodno zapisati v splošni obliki. V ta namen v v v se naj krajevni vektor r točke T definira kot vektor r ≡ X , kjer se komponente prevede v bolj simetrično obliko, X → x1 Y → x2 Z → x3, v v tako, da se (preimenovana) krajevna vektorja X in X ’ lahko zapišeta v poenoteni obliki kot,  x1  v X =  x 2   x3 

 x1 ' v X ’ =  x 2 '  x3 '

Z definicijo transformacijske matrice Â, kjer je

62

α 1 α 2 α 3   a11 Â =  β 1 β 2 β 3  ≡  a21 γ 1 γ 2 γ 3   a31

a13  a23  , a33 

a12 a22 a32

je mogoče zgornje transformacijske izraze zapisati v zgoščeni (posplošeni) obliki kot, v v X’= X. Ob tem dejstvu velja poudariti, da produkt dveh matric ni komutativen, zato je v splošnem v v  X ≠ X Â. Kakšnim pogojem morajo zadoščati koeficienti transformacijske matrice Â, t.j. ai,j, (ki so očitno smerni kosinusi) kjer je i, j = 1, 2, 3? V ta namen je potrebno upoštevati dejstvo, da mora veljati,

v v X′ = X , kar je identično enako, 3

∑ x i '2 = i =1

3

∑x j =1

2 j

.

Kot je razvidno zgoraj so komponente krajevnega vektorja v telesnem sistemu povezane s komponentami krajevnega vekorja do točke T prostorskega kartezičnega koordinatnega sistema na naslednji način, 3

∑a

x i’ =

j=1

ij

xj

i = 1, 2, 3,

zato se gornja identiteta glasi,

 3  3  a x  ∑ ij j   ∑ aik x k  = ∑  k =1 i =1  j =1 3

 3 a a  x x ≡ ∑ ∑ ij ik  i k j , k =1 i =1 3

=

3

3

∑ ∑a i =1 j , k =1

3

∑x i =1

2 i

ij

aik x j x k =

.

Toda slednjemu izrazu je možno v splošnem zadostiti samo in le tedaj, če velja, 3

∑a i=1

ij

 1  0

aik = 

j

=

k

j

≠

k

.

Če se vpelje Kröneckerjev delta simbol δ ij, kjer je

63



1

j

=

k



0

j

≠

k

δ ij = 

se gornji izraz v zgoščeni zapisavi glasi, 3

∑a i=1

ij

aik = δ j,k

j, k = 1, 2, 3.

Prav zaradi te lastnosti, ki jim morajo v popolnoma splošnem primeru zadoščati elementi transformacijske matrike  (toda samo v zgornjem primeru so le-ti kar smerni kosinusi, ki jih osi telesnega sistema oklepajo z osmi prostorskega kartezičnega koordinatnega sistema) se imenuje linearna transformacija, v v X’= X,

ortogonalna transformacija, Â je transformacijska matrika, izrazi aik, (i, k = 1, 2, 3), pa matrični elementi transformacije. V zgornjem primeru, ko so matrični elementi transformacije kar enaki smernim kosinusom, gornjo vsoto produktov na levi strani enačbe podaja izraz,

α j α k + β j β k + γ j γ k = δ jk ,

j, k = 1, 2, 3.

Smerni kosinusi potemtakem zadoščajo 6. enačbam od katerih so tri nehomogene (tedaj, ko je j=k). To pomeni, da smerni kosinusi (devet po številu) med seboj niso linearno neodvisni in zato jih v splošnem ni mogoče uporabiti kot posplošene, neodvisne, koordinate za določitev orientacije togega telesa. Seveda, kot je razvidno zgoraj pa je transformacijska matrika  z njimi enolično določena.

64

Zgled: Kako se zapiše transformacijska matrika  v primeru transformacije koordinat krajevnega v vektorja r podanega v ravninskem kartezičnem koordinatnem sistemu x1, x2, na telesni kartezični koordinatni sistem x1’, x2’, če pozitivni smeri osi x1 in x1’ oklepata med seboj kot φ, slika 5.2. x2’

x2

φ

x2´

v φ r

x1’

φ

x1 x1

v Slika 5.2. Transformacija komponent krajevnega vektorja r na ravninski (od časa neodvisne orientacije osi) kartezični koordinatni sistem x1, x2 in telesni sistem x1’ ter x2’.

Iz slike 5.2 je razvidno, da se projekciji na koordinatne osi sistema x1’, x2’ izražata v obliki,

krajevnega

vektorja

v r

x1’ = x1 cos φ + x2 sin φ x2’ = - x1 sin φ + x2 cos φ od koder je razvidno, da so elementi transformacijske matrice  enaki, a11 = cos φ a21 = -sin φ

a12 = sin φ a22 = cos φ

tako, da se  zapiše kot,  cosφ Â=  − sinφ

sinφ  . cosφ 

Linearna transformacija med koordinatnima sistemoma je tedaj enolično podana z izrazom,

65

v v X’=Â X, v v kjer sta krajevna vektorja v ravnini, X ’ in X , definirana kot, v x  X =  1  x2 

v  x ' X ’=  1 .  x 2 '

v kar se je kaj lahko prepričati z neposrednim množenjem. Pogoj ortogonalnosti koeficientov transformacijske matrice se tedaj zapiše, a11 a11 + a21 a21 = 1 a12 a12 + a22 a22 = 1 a11 a12 + a21 a22 = 0. Če se za koeficiente transformacijske matrice, aij, vstavi njihove ustrezne vrednosti, zapisani pogoji ortogonalnosti izražajo dobro znane odnose med trigonometrijskimi funkcijami in sicer, cos2 φ + sin2 φ = 1 sin2 φ + cos2 φ = 1 cos φ sin φ - sin φ cos φ = 0.

5.1 Formalne lastnosti transformacijske matrice v Krajevni vektor do poljubne točke T togega telesa, X , zapisan v danem kartezičnem koordinatnemv sistemu se v novem, zavrtenem koordinatnem sistemu, zapiše kot X ′ . Velja poudariti, da izhodišči obeh kartezičnih koordinatnih sistemov sovpadata tako, da v se slednja sistema razlikujeta le po orientaciji koordinatnih osi. Krajevni vektor X ′ se v novem (torej zavrtenem z ozirom na prvotni sistem) zapiše s pomočjo linearne transformacije, v v X’=Â X,

kjer je matrica  transformacijska matrica. Elementi matrice Â, t. j. aij, zadoščajo pogojem, 3

∑a i =1

ij

aik = δ jk

j, k = 1, 2, 3,

in zato je transformacijska matrica  ortogonalna matrica in transformacija se imenuje ortogonalna transformacija.

66

Zgoraj je bila transformacijska matrice  definirana kot ortogonalna matrica, kar pa je potrebno posebej dokazati. V ta namen je ugodno izhajati iz, na poseben način tvorjenih, zaporednih transformacij koordinatnega sistema, kot je to izvedeno v nadaljevanju. Opozoriti velja, da je bilo do sedaj osvojeno stališče, po katerem je bil dani krajevni vektor v X zapisan v dveh različnih koordinatnih sistemih katerih koordinatni izhodišči sovpadata. Linearna transformacija v v X’=ÂX, v v prevede vektor X , kot je podan v prvem sistemu, v vektor X ’ zapisan v drugem sistemu, ki je z ozirom na prvotni sistem zavrten, saj je po Eulerjevemu teoremu splošno gibanje telesa, ki ima eno točko negibljivo (le-ta pa je koordinatno izhodišče) podano z zavrtitvijo okoli neke dane rotacijske osi. Orientacijo osi zavrtenega (kartezičnega) koordinatnega sistema podaja sistem devetih kotov. Kosinusi teh kotov (ne pa koti sami) tvorijo elemente transformacijske matrice Â, pri čemer so zaradi pogoja ortogonalnosti elementov 3

∑a i =1

ij

aik = δ jk

j, k = 1, 2, 3,

samo trije (9 - 6 povezovalnih enačb med njimiv = 3) smerni kosinusi, in zato tudi koti, med v seboj neodvisni. Na linearno transformacijo, X ’=  X , je možno zaradi tega gledati tudi drugače in sicer jo je mogoče interpretirati kot izraz kjer matrica  zavrti (transformira) v dani v koordinatni sistem v novo orientacijo v kateri se prvotni vektor X zapiše kot vektor X ’, ki vse od prvotnega razlikuje samo v njegovih komponentah. To pomeni, da dani vektor X ves čas ohrani svojo smer in svojo velikost v prostoru le njegove komponente se v zavrtenem koordinatnem sistemu zapišejo drugače. Prav zavrtitev prvotnega koordinatnega sistema pa podaja transformacijska matrica Â. Na osnovi zapisanega vidika si je sedaj kaj lahko ogledati nekatere posebne primere zavrtitev (prvotnega) koordinatnega sistema. I) Dve zaporedni zavrtitvi koordinatnega sistema. Naj transformacijska matrica Â1 (elementi so aij(1)) prevede prvotni koordinatni sistem (x, y, z) v novo lego (x’, y’, z’), s transformacijsko matrico Â2 (katere elementi so aij(2)) pa se nato le-ta prevede v končno orientacijo (x”, y”, z”). Naj bo matrica  tista, ki neposredno prevede začetni koordinatni sistem (x, y, z) v končno orientacijo (x”, y”, z”). Tedaj očitno velja, v v Xv ’ = Â1 Xv X ’’ = Â2 X ’.

Toda veljati mora tudi v v X ’’ = Â X ,

zato sledi, da je v v v v X ’’ = Â X = Â2( Â1 X ) = (Â2 Â1) X

67

kar pomeni, da je v ( Â - Â2 vÂ1) X = 0. Vektor X je od nič različen, zato mora veljati,

( Â - Â2 Â1) = 0 oziroma, Â = Â2 Â1, ki se v komponentni obliki glasi, aij =

3

∑a

(2)

ik

akj

(1)

.

k =1

Dobljeni rezultat ima naslednji pomen: dve zaporedni zavrtitvi koordinatnega sistema podani najprej z zavrtitvijo Â1, ki ji nato sledi še zavrtitev Â2, sta ekvivalentni eni sami rotaciji Â, ki se dobi s produktom z leve strani obeh zaporednih zavrtitev, t. j.  = Â2 Â1. Ob tem velja ponovno poudariti, da je produkt dveh matric nekomutativen in zato Â2 Â1 ≠ Â1 Â2. II) Zavrtitvi koordinatnega sistema si naj sledita v naslednjem zaporedju: s transformacijsko matriko  se prvotni sistem zavrti okoli neke osi v dano orientacijo, z transformacijsko matrico, ki se jo označi z Â-1, pa se tako dobljeni novi sistem vrne v izhodiščno orientacijo. V tem primeru velja naslednje, v v X’=ÂX,

toda po zavrtitvi v prvotno orientacijo je v v X = Â-1 X ’.

Iz dobljenih izrazov neposredno sledi, v v X ’ = Â Â-1 X ’

kar pomeni, da mora veljati, Â Â-1 =I1 kjer je enotna matrica I1 definirana kot diagonalna matrica oblike,

68

1 0 0 1I = 0 1 0 . 0 0 1

Seveda je mogoče opraviti opisani zavrtitvi danega koordinatnega sistema tudi v obratnem vrstnem redu, t.j. najprej za delež kot ga popisuje transformacijska matrica Â-1, nato pa se z matrico  zavrti dobljeni novi sistem nazaj v izhodiščno lego. Analogno kot zgoraj se z lahkoto dokaže, da mora v tem primeru veljati, Â-1  = I1 kar pa pomeni, da je matrica Â-1 inverzna matrica transformacijske matrice Â. ^e se elemente matrice  označi z aij , elemente matrice Â-1 pa s simbolom aij ' , tedaj

[ ]

[ ]

poslednja dva izpeljana izraza ustrezata pogojem, kjer je 3

∑a

ki

aij ' = δ kj.

i =1

Če se enačbo pomnoži z elementi akl in sešteje po indeksu k je, 

∑  ∑ a i

kl

k

 aki  aij ' = 

∑δ

li

aij ' = alj’,

i

kar pa se lahko izračuna tudi v drugačnem vrstnem redu, 

∑  ∑ a k

ki

i

 aij ' akl = 

∑δ

kj

akl = ajl.

k

Očitno mora torej veljati, alj’ = ajl, kar pomeni, da transformacijsko matriko Â-1 sestavljajo elementi matrice Â, ki se jih dobi tako, da se matriko  transponira okoli glavne diagonale, kar se, po običaju, označi s simbolom Ă. Izpeljani rezultat pomeni, da je transformacijska matrica  ortogonalna matrica saj velja, da je inverzna matrica k matriki  kar enaka transponirani matriki  sami, ali

~ Â-1 = A . Če se obe strani enačbe pomnoži z matrico Â, se izpeljani izraz v ekvivalentni obliki glasi,

~ ~ Ă A Â = Â A Ă =I

69

Vrednost determinante transformacijske matrike Â, ki je ortogonalna matrika, se sedaj lahko izračuna neposredno, kajti, ~ det Â-1 = det A Ă ≡ det Â, kajti operacija transponiranja elementov matrike na vrednost determinante ne vpliva, zato je, ~ (det A ) (det Â) = 1 ) det A 2 = 1

[

]

in od tod je vrednost determinante ortogonalne transformacijske matrice  enaka, det  = ± 1. v Dobljene rezultate linearne transformacije, ki veljajo za poljubni krajevni vektor X , je v U (n. pr. gibalne količine telesa pa mogoče posplošiti na katerikoli poljubni drugi vektor v v v v G , vrtilne količine telesa Γ , navora M , sile F in podobno). Velja torej, da se pri zavrtitvi koordinatnega sistema iz prvotne lege v novo orientacijo, v ki jo podaja transformacijska matrica Â, prvotni vektor U zapiše v novem sistemu kot v vektor U ’, ki je s prvotnim vektorjem povezan z linearno transformacijo, v v U’= U. ) Pogosto pa nastopi primer, ko se z delovanjem ustreznega (matematičnega) operatorja O , v v prevede dani vektor U v neki nov vektor V , torej, v ) v V = OU . v Primer tovrstne transformacije ilustrira n. pr. povezava med kotno hitrostjo, ω , togega v telesa in pripadajočo vrtilno količino (podrobneje o tem v poglavju 7.), Γ ,

v v Γ =J ω,

kjer je J tenzor vztrajnostnega momenta togega telesa, ki se v kartezičnem, s togim telesom trdno povezanim (t.j. telesnim), koordinatnem sistemu zapiše v obliki 3 x 3 ) simetrične matrike. Očitno je operator O v tem primeru kar enak tenzorju J. Podobne povezave obstajajo n. pr. med električno poljsko jakostjo in električno poljsko gostoto v v v anizotropni snovi, D = ε ε o E , nadalje med magnetnimi količinami kot sta magnetna v v poljska jakost in magnetna poljska gostota, B = µ µo H , itd., kjer sta ε in µ tenzorja dielektrične konstante, oziroma magnetne permeabilnosti, telesa in podobno. Pod vplivom linearne transformacije vektorjev, pri čemer je transformacija podana z v ) dano matriko Â, se mora tedaj, poleg vektorja U tudi operator O na nek način transformirati. V ta namen je potrebno zapisano transformacijo med vektorji nekoliko preurediti,

70

v ) v V = OU .

Obe strani enačbe se pomnoži z matriko Â, tako da, v ) v ÂV = Â O U ,

toda ker velja Â-1 Â = I, je dobljeni izraz enak, v v ) v ) ÂV = Â O I U = Â O Â-1 ÂU .

Toda zaradi veljavnosti transformacij, v v V ’=ÂV v v U’=Â U

se gornji izraz poenostavi v, v v ) V ’ = Â O Â-1 U ’,

ki pa je zahtevane oblike, v ) v V ’ = O ’ U ’. ) pri čemer je operator O ’ zapisan v novem, zavrtenem koordinatnem sistemu, ki je s ) prvotnim operatorjem O povezan z linearno transformacijo, ) ) O ’ = Â O Â-1.

Dobljeni rezultat je iskana transformacija pri zavrtitvi koordinatnega sistema za primer ) transformacije operatorja O . Zapisana transformacija se imenuje podobnostna transformacija, ki poseduje značilno lastnost. Če se dobljeno enačbo pomnoži z desne strani z transformacijsko matrico Â, je tedaj, ) ) O ’ = Â O Â-1 ) ) O’ Â = Â O

in od tod je neposredno razvidno, da je ) ) det O ’ det  = det  det O .

Toda, ker je vrednost determinante matrice  enaka, det  = ± 1 sledi končni rezultat namreč,

71

) ) det O ’ = det O .

V primeru podobnostne transformacije je vrednost determinante prvotnega operatorja enaka vrednosti determinante transformiranega operatorja, kar pomeni, da je determinanta pri podobnostni transformaciji invarianta. 5.2 Euler-jevi koti

V zgornjem razdelku je bilo poudarjeno, da je za orientacijo togega telesa potrebno navesti tri, med seboj neodvisne, koordinate. V ta namen se uporablja številne opise, v najširši uporabi pa je popis, kjer je orientacija togega telesa enolično določena s tremi neodvisnimi parametri, t. im. Eulerjevimi koti, φ, θ in ψ. Le-ti so definirani z zaporednimi zavrtitvami danega kartezičnega koordinatnega sistema okoli točno določenih rotacijskih osi kot kažejo slika 5.3, slika 5.4 in slika 5.5. 1) Eulerjev kot φ je določen z zavrtitvijo x, y, z, osi prvotnega koordinatnega sistema okoli prvotne osi z, slika 5.3. Tako definirana zavrtitev prevede, x, y, z, sistem

⇒ z ≡

ξ, η, ζ ζ

sistem,

kjer je φ kot, ki ga oklepata osi x ter os ξ zavrtenega koordinatnega sistema, slika 5.3.

ζ

z

y x

Φ

ξ

Slika 5.3. K definiciji Eulerjevega kota φ. Rotacijska os je z os prvotnega koordinatnega sistema, ki sovpada z ζ osjo zavrtenega sistema.

2) Eulerjev kot θ je določen z zavrtitvijo ξ, η, ζ osi prvotnega koordinatnega sistema okoli prvotne osi ξ, slika 5.4. Tako definirana zavrtitev prevede, ξ, η, ζ sistem

⇒ ξ ≡ y ⇒

ξ’, η;, ζ’ ξ’ η’

sistem,

kjer je θ kot, ki ga oklepata osi z ter os ξ’ zavrtenega koordinatnega sistema, slika 5.4.

72

ζ

z ζ’ θ

η’

y ξ

x φ

Slika 5.4. K definiciji Eulerjevega kota θ. Rotacijska os je ξ os prvotnega koordinatnega sistema, ki sovpada z ξ’ osjo zavrtenega sistema. 3) Eulerjev kot ψ je določen z zavrtitvijo ξ’, η’, ζ’ osi prvotnega koordinatnega sistema okoli prvotne osi ζ’ = z’, slika 5.5. Tako definirana zavrtitev prevede, ξ’, η’, ζ’ sistem ⇒ ζ’ ≡

x’, y’, z’ sistem, z’

kjer je ψ kot, ki ga oklepata osi ξ’ ter os x’ zavrtenega koordinatnega sistema, slika 5.5. z z’ = ζ’ θ

y’

η’

Φ

ψ

y x’

x

Slika 5.5. K definiciji Eulerjevega kota ψ. Rotacijska os je ξ’ os prvotnega koordinatnega sistema, ki sovpada z z’ osjo zavrtenega sistema.

73

Transformacijska matrica Â, izražena z Eulerjevimi koti φ, θ, ψ, ki prevede prvotni sistem x, y in z v končno orientacijo podano s koordinatnimi osmi kartezičnega koordinatnega sistema x’, y’ in z’, je unitarna matrica katere determinanta je enaka, det  v = ± 1. Transformacija poljubnega vektorja U je lenearna transformacija, v v U’= U.

Za unitarno transformacijsko matrico Â, katere elementi so funkcije Eulerjevih kotov, je mogoče pokazati, da ima naslednjo obliko,

 cosψ cos φ − cosθ sin θ sin ψ  Â = − sin ψ cos φ − cosθ sin φ cosψ  sin θ sin φ

cosψ sin φ + cosθ cos φ sin ψ − sin ψ sin φ + cosθ cos φ cosψ − sin θ cos φ

sin ψ sin θ   cosψ sin θ  . cosθ 

v v Če je poljuben vektor U ’ podan v novem sistemu, tedaj je vektor U prvotnega sistema mogoče izraziti z inverzno transformacijo, ki se dobi, če se gornji izraz z leve strani enačbe pomnoži z inverzno transformacijsko matriko Â-1, v v U’=Â U

/ Â-1

v v v Â-1 U ’ = Â-1 Â U = U v in je potemtakem vektor U prvotnega sistema podan z enačbo, v v U = Â-1 U ’.

Seveda je inverzna matrika Â-1 ortogonalne matrike  enaka njeni transponirani vrednosti, saj velja, ~ Â-1 = A .

74

6. DINAMIKA 1.

Splošni zakoni dinamike masne točke

1.1 Newtonovi zakoni Dinamika je področje mehanike, ki proučuje gibanje teles pod vplivom sil, ki delujejo nanje. Osnovna spoznanja, ki povezujejo gibanje masne točke (t.j. točkastega telesa mase m) z vsemi silami, ki nanjo delujejo, podajajo trije Newtonovi zakoni in sicer: v v v v I. če je rezultanta vseh sil enaka nič, F = 0, pri čemer je F = ∑ Fi in F i je i-ta sila, ki deluje na masno točko, se tedaj nahaja masna točka v ravnovesju, kar pomeni, da delec ali miruje ali pa se giblje premočrtno s konstantno hitrostjo, v II. če rezultanata vseh sil, F , ki delujejo na delec ni enaka nič, tedaj se masna točka giblje v s pospeškom, a , takšnim, da velja, v v F = ma kar pomeni, da je smer pospeška enolično določena s smerjo rezultante sil na masno točko. v III. Če deluje na masno točko drugi delec z neko silo F 1,2, tedaj deluje prvi delec nazaj na v drugega z nasprotno enako silo, F 2,1, tako, da velja v v F 1,2 + F 2,1 = 0. V mednarodnem sistemu enot kjer je enota mase kg, enota pospeška pa ms-2 je enota sile podana preko II. Newtonovega zakona tako, da je

v

[ F ] = kgms-2 = N

(newton).

75

Zgled: Kamen vržemo v navpični smeri navzor z začetno hitrostjo vo. Izračunaj kako se spreminja hitrost kamna, če upoštevaš, da na kamen deluje sila upora, ki je v prvem približku sorazmerna kvadratu hitrosti kamna, t.j. Fu = mCv2, slika 6.1 Začetna hitrost kamna vo je dovolj majhna tako, da je teža kamna konstantna.

y

v0 m x Fg = mg z Fu Slika 6.1 prikazuje izbrani koordinatni sistem in obe sili, teža in sila upora, ki sestavljata rezultanto sil in delujeta na kamen.

- mg - mC v2 = m a && y = -(g + C y& 2 ) dy& && y = dt dy& = - dt g + C y& 2 dy& = -g dt 1 + δ 2 y& 2

1

δ

v v F =m a

δ=

C g

arc tg (δ y& ) = - gt + C1

pri čemer so začetni pogoji podani z zahtevo, da

76

=

to = 0 y&o

⇒

vo

C1 =

1

δ

arc tg (δ vo )

in zato je, t=

1 δg

[ arctg (δ vo )

− arctg (δ y& )] .

Ko doseže kamen najvišjo točko (= metna višino) H, mora tedaj veljati, da je y& ≡ v = 0 in zato je dvižni čas T enak, 1 T= arctg (δ vo ) . δg Metno višino H se izračuna iz začetne enačbe, ki je

&& y = - g(1 + δ 2 y& 2 ) in ker velja, da je

&& y =

dy& dy& dy& dy = = y& dy dy dt dt

sledi od tod, da je

y& dy& = - g(1 + δ 2 y& 2 ) dy & & ydy

∫ 1+ δ 1 2δ Za to = 0, ⇒ y&o

= vo ,

2

2

= -g ∫ dy

y& 2

ln(1+δ 2 y& 2 ) = -g y + C2

in yo = 0, zato je C2 =

y=

1 2δ

ln(1+δ 2 y& 2 )

2

 1+δ 2 vo 2  ln   2δ 2 g  1+δ 2 y& 2 

1

Največja višina, ki jo doseže kamen v navpični smeri, H, je ob upoštevanju pogoja, da za y ≡ H mora biti hitrost delca enaka nič, t.j. y& = 0 in zato, ynajv. = H =

1 2δ g 2

ln(1 + δ 2 vo ). 2

77

1.2. Izreki o gibanju za masno točko 1.2.1 Izrek o sunku rezultante sil in spremembi gibalne količine. Drugi Newtonov zakon, ki podaja gibanje delca se, zapisan v vektorski obliki, glasi,

v v F =m a, pri čemer zgornji izraz eksplicitno naveden n.pr. v danem izbranem kartezičnem koordinatnem sistemu ustreza trem skalarnim enačbam oblike, d 2x dv =m x 2 dt dt 2 dv d y ∑ Fi y = m ay = m dt 2 = m dty d 2z dv F = m a = m =m z . z z ∑ i 2 dt dt

∑ Fi x = m ax = m

Masa delca konstantna in zato se lahko definira gibalno količino masne točke kot vektor v G , pri čemer je v v G =m v,

v kjer je v hitrost delca v danem trenutku, tako da je mogoče II. Newtonov zakon zapisati v alternativni obliki, v v v v d  dr  d  dr  d dG v F =m (m v ) = .   = m  = dt dt  dt  dt  dt  dt

Rezultat pove, da je rezultanta sil na masno točko enaka infinitezimalni spremembi gibalne količine delca v infinitezialnem časovnem intervalu, ali alternativno,

v v F dt = d G infinitezimalni sunek rezultante sil je enak infinitezimalni spremembi gibalne količine delca. Z integracijo gornjega izraza se dobi izrek o sunku sile in spremembi gibalne količine delca v integralni obliki, t2

v ∫ Fdt = t1

2

v

∫ dG

v v v = ∆ G = G 2 - G 1,

1

ki izraža dejstvo, da je sunek rezultante sil na masno točko enak spremembi njegove gibalne količine. Velja tudi obratno; če je rezultanta sil na delec enaka nič je tedaj sprememba gibalne količine enaka nič to pa pomeni, da mora biti gibalna količina delca konstantna. Toda,

78

zapisano pa je pravzaprav tudi vsebina prvega Newtonovega zakona. Tokrat je le-ta v dobljen iz zakona o ohranitvi gibalne količine, saj za F = 0 sledi, v v v ∆G = G2 - G1 = 0

kar pomeni, da je v v G 2 = G 1,

gibalna količina delca v časovnem trenutku t2 je enaka gibalni količini delca v prejšnjem trenutku t1 in ker sta t1 ter t2 poljubna časovna trenutka to pomeni, da mora biti, v G = konstantna,

gibalna količina delca neodvisna od časa.

1.2.2 Izrek o sunku navora in spremembi vrtilne količine masne točke

C

v r

z

y O x

Slika 6.2. K definiciji vrtilne količine masne točke.

79

v Naj bo r krajevni vektor iz izhodišča inercialnega koordinatnega sistema, ki določa trenutno lego masne točke, ki potuje pa dani krivulji C v prostoru, slika 6.2. Če se obe strani enačbe, ki popisuje II. Newtonov zakon, zapisan v alternativni obliki, vektorsko v pomnoži z leve z vektorjem r , v v v dG v r x F =r x dt v jev mogoče dobljeni izraz poenostaviti. Prvi člen na levi je po definiciji navor, M , kjer je M,

v v v M =r x F

navor rezultane sil na delec z ozirom na izhodišče koordinatnega sistema, člen na desni je pa mogoče dodatno preoblikovati saj velja, v v v d v d v v v& v v v dG (r x G ) = r x G + r x (G) = v x m v + r x dt dt dt v v dG . =r x dt

Torej je desna stran gornjega izraza v enaka časovnemu odvodu vrtilne količine masne točke, pri čemer je vrtilna količina Γ definirana kot v v v Γ = r x G,

in končni zapis transformiranega II. Newtonovega zakona za masno točko je, v v dΓ M = . dt

Navor rezultante sil, ki učinkuje na masno točko je enaka infinitezimalni spremembi vrtilne količine masne točke v pripadajočem infinitezimalnem časovnem intervalu, ali če se uporabi matematični jezik, odvodu vrtilne količine po času. Poudariti gre, da je gornja vektorska enačba, zapisana v izbranem koordinatnem sistemu v splošnem ekvivalentna v trem skalarnim enačbam. Pomembno je ugotoviti, da je M navor rezultante sil na delec, toda ker je delec točkasto telo je v tem primeru navor rezultante sil identično enak rezultanti navorov vseh posameznih delujočih sil. Slednje v primerih, če telo ni točkasto v splošnem ne velja, saj v tem primeru vseh sil v splošnem ni mogoče nadomestiti samo z rezultatno sil msrveč z rezultanto sil in rezultanto navorov. Za točkasto telo pa je, kot to v sledi iz zapisanega, da je vseeno ali se M pojmuje kot navor rezultante sil ali pa kot rezultanta navorov vseh delujočih sil na delec. v V primeru, da je rezultanta navorov, ki deluje na masno točko enaka nič, M = 0, tedaj sledi,

80

v dΓ = 0, dt v kar pomeni, da je tedaj vrtilna količina, Γ , od časa neodvisna fizikalna količina, t.j. v Γ = konstanta. v Zapisani izraz pomeni, da sta tedaj tako smer (v prostoru) vektorja vrtilne količine, Γ , kot njegova velikost konstantna in se torej s časom ne spreminjata. To je vsebina zakona o ohranitvi vrtilne količine. V primeru, da pa je samo ena izmed komponent rezultante navora na masno točko enaka nič, pa naj bo to z-komponenta navora, Mz = 0, velja d Γx , dt d Γy My = , dt d Γz 0= , dt

Mx =

v od koder sledi, da se tedaj samo z-komponenta vrtilne količine Γ ohranja, t.j. samo Γz je tedaj neodvisna od časa.

1.2.3 Izrek o delu sile in spremembi kinetične energiji delca v Po definiciji je delo sile F , dA, enako skalarnemu produktu sile in infinitezimalnega v pomika prijemališča sile d r , v v dA = F . d r = F dr cos θ , v v kjer je kot θ kot med pozitivnima smerema vektorja F in d r . Iz definicije je razvidno, da je enota dela

[ A] = kgms-2 m = N m = J. Če se tvori skalarni produkt II. Newtonovega zakona z infinitezimalnim pomikom v prijemališča sile. d r , tedaj sledi, v v v dv v v v F .d r = m .d r = m d v . v , dt v v kjer je pomik d r = v dt. Skalarni produkt na desni strani enačbe je mogoče takoj pretvoriti v izraz,

81

v v v . v = v2 v v d( v . v ) = d(v2) v v 2 v .d v = d(v2)

in zato se prejšnji izraz lahko zapiše kot,  v2   mv 2  dA = m d   = d    2  2 

ali z uporabo definicije T, kinetične energije masne točke, T=

mv 2 , 2

se sadaj lahko zapiše izrek o delu rezultante sil in spremembi kinetične nergije (v infinitezimalni obliki), ki se za masno točko glasi, dA = dT. Če je hitrost delca v času t = t1 , ko se le-ta nahaja v točki prostora, ki jo podaja krajevni v v v r 2, ki jo masna točka doseže v vektor r 1, enaka v 1, v točki prostora podani z vektorjem && v v času t = t2, pa znaša njena hitrost delca v = v 2, je tedaj celotno delo, ki ga opravi rezultanta sil pri premikanju delca pa dani prostorski krivulji iz začetne lege opazovanja v končno lego enako, A=

2

2

1

1

∫ dA = ∫ dT

= T2 - T1 ,

ali v krajši obliki, A = ∆ T = T2 - T1 , delo rezultante sil je enako spremembi kinetične energije delca, kot se mu jo pripiše samo v končni in v začetni točki opazovanja. Zapisani izrek o delu rezultante sil in spremembi kinetične energije velja proučiti še z dodatnega zornega kota. Leva stran gornje enačbe, kot to sledi iz definicije dela, je (pogosto zapleten) integral izraza, A=

∫ FdscosΘ , C

kjer poteka integracija po prostorski krivulji C, ki jo opiše delec v času od t=t1 do t=t2. Gornji izrek pa nadomesti opisano integracijo s preprosto operacijo odštevanja ene same skalarne količine, kinetične enrgije delca Ek, izračunane v končni in v začetni točki opazovanja. v V primeru, da je kakšna izmed sil, ki deluje na delec konservativna sila, F ’’, je moč v v rezultanto sil zapisati kot vsoto “ostalih” sili F ’ ter sile F ’’, t.j.

82

v v v F = F ’ + F ’’,

tako, da je tedaj delo rezultante sil enako vsoti dveh odgovarjajočih prispevkov A’ in A’’, A = A’ + A’’. Za konservativno silo po definiciji velja, da je A’’ =

v

v

∫ F ' '⋅ dr

= 0,

C

delo konservativne sile po poljubni zaključeni krivulji enako nič je. Primer konservativne v v v v sile je n.pr. sila teže, F g = m g , nadalje sila vzmeti, F vz = -k x , sila na naboj v v v električnem polju, F = e E , itd. v Kakšnim lastnostim pa mora zadoščati sila F ’’, da je konservativna? Do odgovora se najlažje pride z uporabo Stokes-ovega teorema, ki v v nadomesti integracijo po dani zaključeni krivulji C, poljubne vektorske funkcije U = U (x,y,z), ki je funkcija lege v prostoru, z integracijo po površini S ploskve, ki jo zaključena krivulja objema. Stokesov teorem izhaja

v U

) n

dS S C

Slika v 6.3v K definiciji Stokes-ovega teorema. Integracijo vektorskega polja U = U (x,y,z) po sklenjeni krivulji C v smeri nasprotni vrtenju urnega kazalca se v ) lahko nadomesti z integracijo integranda ( n .rot U ) po površini, vki jo sklenjena ) ) krivulja omejuje, pri čemer je n normala površinskega elementa d S = n dS.

83

v ) ) iz integranda n .rot U , kjer je n normala površinskega elementa ploskve v v dS, kjer je ) površinski element definiran kot d S = n dS, slika 6.3, pri čemer je rotor U na poseben način izračunan odvod vektorske funkcije, ki je v kartezičnem koordinatnem sistemu definiran kot,

) i

) j

) k

∂U y  )  ∂U x ∂U z  )  ∂U y ∂U x  ) v  ∂U ∂ ∂ ∂ rot U = = z − − − i +  k .  j + ∂z   ∂z ∂ x   ∂ x ∂ y  ∂x ∂ y ∂z  ∂y Ux U y Uz

v Iz definicije je razvidno, da je rot A tudi vektorsko polje, katerega komponente vzdolž koordinatnih osi x, y in z so podane z zgornjimi izrazi. Stokesov teorem se glasi,

)

v

∫∫ n ⋅ rotU dS S

=

v

)

∫ U ⋅ dr , C

v zato mora konservativna sila F ’’ zadoščati pogoju, v rot F ’’ = 0. v Zapisanemu pogoju pa je vedno identično zadoščeno, če je mogoče konservativno silo F ’’ v izraziti kot gradient skalarne funkcije lege, V = V(x,y,z) ≡ V( r ), kar se v kartezičnem koordinatnem sistemu glasi, v ∂V ) ∂V ) ∂V ) v F ’’ = - grad V( r ) ≡ −( i + j+ k ). ∂x ∂y ∂z

S preprostim izračunom je mogoče takoj preveriti, da v resnici velja, v v rot F ’’ = - rot grad V( r ) ≡ 0.

Zaradi navedene lastnosti je delo konservativne sile na poti po krivulji med začetno lego v v r 1 in končno lego delca v prostoru r 2 enako, 2 v v  ∂V ∂V ∂V  = ' '⋅ F dr ∫1 ∫1  ∂ x dx + ∂ y dy + ∂ z dz = 2

A’’ =

2

∫ dV

= - (V2 - V1).

1

84

Delo konservativne sile je potemtakem enako (negativni) razliki skalarne funkcije V, poimenovane potencialne energije, izračunane samo v začetni in končni legi. Dobljeni izraz, ki velja za poljubno konservativno silo je bistvena poenostavitev, kajti zapleten krivuljni integral po prostorski krivulji, ki povezuje obe skrajni točki je nadomeščen s preprosto algebrajsko operacijo odštevanja skalarne funkcije - potencialne energije izračunane v obeh skrajnih točkah. Izrek o kinetični energiji se sedaj zapiše, A = A’ - (V2 - V1) = T2 - T1, od koder sledi, da je delo nekonservativnih sil A’ enako, A’ = (T + V)2 - (T + V)1 = E2 - E1 = ∆ E spremembi mehanske energije, pri čemer je mehanska energija, E, delca definirana kot E = T + V. Mehanska energija E je vsota kinetične in potencialne energije delca. Poudariti gre, da je V potencialna energija delca to je energija, ki jo poseduje delec, ko se nahaja v (zunanjem skalarnem) polju konservativne (ali več konservativnih) sil. V primeru, da je delo nekonservativnih si A’ = 0 je iz zgornjega izraza takoj razvidno, E2 = E1, kar pomeni, da T1 + V1 = T2 + V2 T + V = konstanta se vsota mehanske energije delca tedaj ohranja. Dobljeni izraz je poznan kot zakon o ohranitvi mehanske energije delca.

85

1.3

Omejeno gibanje masne točke

Izreki o gibanju kot so formulirani v zgornjem razdelku izhajajo iz Newtonovih v zakonov in veljajo za splošno gibanje masne točke v prostoru. Rezultanta sil F , je sestavljena iz vseh sil s katerimi okolica deluje na dano masno točko. Pogosto pa se dogaja, da je gibanje masne točke omejeno v smislu, da je zaradi delovanja enega ali več teles iz okolice masni točki vsiljeno gibanje na v naprej predpisani del prostora, ali samo na dano površino, ali pa zgolj na krivuljo v prostoru. Primeri omejenega gibanja so n.pr. gibanje delca po dani površini, nihanje na vrvici vpetega delca pod vplivom sile teže, gibanje delca po dani prostorski krivulji, itd. Značilnost omejenega gibanja pogosto izhaja iz dejstva, da so omejitve, ki opredeljujejo gibanje delca znane v naprej in nemalokrat so izražene v obliki matematičnih izrazov, kot n.pr. enačba ploskve po kateri se delec giblje, ali enačb krivulje (pri čemer se je potrebno zavedati, da se krivuljo v prostoru v splošnem lahko popiše kot presečišče dveh ali več prostorskih ploskev) po kateri potuje delec in podobno. Tovrstni matematični izrazi, ki se v splošnem zapišejo v obliki ene ali več enačb oblike v fi( r ) = 0, (i=1, 2,...,k), v kjer je r krajevni vektor, ki kaže iz izhodišča koordinatnega sistema do poljubne točke T na ploskvi oziroma na krivulji, se v splošnem zato imenujejo omejitvene enačbe. Pogosto so omejitvene enačbe znane v naprej.

Zgled

Na vrvico, dolžine L, vpeti delec kroži po vodoravni ravnini. Gibanje delca je očitno omejeno na ravninsko krivuljo, ki je v danem primeru krožnica. Enačba krožnice, izražena v izbranem kartezičnem koordinatnem sistemu, se zato zapiše v v v obliki: x2 + y2 = L2. Delec se lahko giblje le tako, da krajevni vektor r = r (t) v vsakem trenutku zadošča zapisani enačbi krožnice. Omejitvena enačba za v navedeni primer se tedaj glasi: f( r ) ≡ x2 + y2 - L2 = 0, kjer sta sedaj koordinati x in y koordinati krožečega delca in sta zato funkciji časa, t.j. x=x(t) in y=y(t).

Vse omejitvene enačbe se v splošnem lahko uvrsti v eno izmed naslednjih dveh skupin: a) holonomne (geometrijske) omejitve, to so takšne omejitve, kjer so omejitvene enačbe delca, (ali pa v primeru več, n.pr. n delcev katerih lego podajajo krajevni vektorji v v v r 1(t), r 2(t), ...., r n(t)) funkcije samo koordinat delca in kvečjemu še časa (ne pa drugih

86

količin, kot n.pr. hitrosti, gibalne ali vrtilne količine, itd.) tako, da za holonomne omejitvene enačbe v teh primerih velja, v v v v fi( r 1, r 2, r 3, ... , r n; t) = 0, i=1, 2,...., k,

b) neholonomne (neintegrabilne) omejitve, to so takšne, ki jih v splošnem ni mogoče popisati v obliki enačb. Zgled holonomne omejitvene enačbe za en delec je predstavljen v zgornjem primeru kroženja delca po krožnici v ravnini ploskve, kot primer holonomnih enačb več delcev pa lahko služi togo telo, ki je definirano kot sistem velikega števila N masnih točk za katere je značilno, da so razdalje med njimi konstantne, torej v v ( r k - r j)2 - ck,j2 = 0,

k, j = 1, 2, ......, N.

Zgled neholonomne omejitve je n.pr. gibanje delca po zunanji površini krogle, polmera R, pod vplivom lastne teže. V tem primeru, če se za izhodišče koordinatnega v sistema izbere središče krogle, mora krajevni vektor r =(x,y,z) delca ustrezati pogoju, da se delec nahaja na površini krogle vse do trenutka, ko se delec od površine odlepi in zato se omejitvena enačba, ki ji morajo ustrezati koordinate delca, glasi, f(x,y,z) ≡ r2 - R2 ≥ 0, kar pa je neenačba. Vsako od navedenih skupin omejitvenih enačb je moč razvrstiti še naprej v, 1. skleronomne (stacionarne) in 2. reonomne (nestacionarne) omejitve kar zavisi od dejstva, ali so omejitveni pogoji od časa eksplicino odvisni ali ne. Tako n.pr. je pravkar zapisana omejitvena enačba za gibanje delca pod vplivom sile teže po površini krogle, primer neholonomnega skleronomnega omejitvenega pogoja.

1.3.1 Lagrange-jeve enačbe I. vrste omejenega gibanja masne točke V primerih omejenega gibanja masne točke nastopajo poleg ostalih sil, ki delujejo na delec, tudi še omejitvene sile za katere je karakteristično dejstvo, da so v splošnem v naprej nepoznane in jih je moč izračunati šele potem, ko je eksplicitno že poznana rešitev enačb gibanja. Veljavnost zapisane trditve je neposredno razvidna na dveh preprostih primerih omejenega gibanja delca. a) Prvi primer zadeva gibanje delca po idealno gladki ploskvi, katere omejitvena enačba je v poznana. V tem primeru je sila podlage F p na masno točko v vsaki točki ploskve pravokotna na površino po kateri se delec giblje. II. Newtonov zakon se za navedeni primer glasi, v v v ma = F’ + N ,

87

v v v kjer N sedaj označuje silo podlage F p , ki je v danem primeru pravokotna na ploskev, F ’ pa potemtakem označuje rezultanto vseh ostalih sil razen sile podlage. V kartezičnem koordinatnem sistemu se zgornja vektorska enačba zapiše v komponentni obliki,

m && x = F’x + Nx m && y = F’y + Ny m && z = F’z + Nz, od koder je očitno, da sistem treh enačb poseduje 6 neznank in sicer: 3 koordinate delca x, y in z ter 3 komponente sile podlage Nx, Ny ter Nz. Dodatno enačbo predstavlja enačba površine po kateri se giblje delec, to je omejitvena enačba, f(x, y, z) = 0, ki v danem primeru predstavlja enačbo ploskve v prostoru, ki se s časom ne spreminja. v Preostali dve (skalarni) enačbi se dobi izhajajoč iz dejstva, da je sila podlage, N , vedno pravokotna na podlago in je zato kolinearna z vektorjem grad f. Zato mora v primeru gibanju delca po popolnoma gladki ploskvi veljati, v N = λ grad f,

kjer je λ sorazmernostna konstanta, poimenovana Lagrange-jev množitelj, ki je lahko kvečjemu funkcija časa, t, ne pa koordinat. Kot je bilo razvidno v razdelku o povezavi konservativne sile in potencialne energije, se matematična operacija na skalarno funkcijo f(x, y, z) v kartezičnem koordinatnem sistemu zapiše, grad f =

∂f ) ∂f ) ∂f ) i + j+ k. ∂x ∂y ∂z

v Zgornji izraz za silo podlage N se sedaj zapiše, ) v ) ∂f ) ∂f ) ∂f ) Nx i + Ny j + Nz k = λ ( i + j+ k ), ∂x ∂y ∂z

od koder sledi, da se dajo komponente sile podlage Ni, (i=x,y,z) v splošnem izraziti s (parcialnimi) odvodi omejitvene funkcije f(x,y,z), v obliki, Nu = λ

∂f , (u = x, y, z). ∂u

Z na takšen način dobljenimi izrazi je gornji sistem gibalnih enačb postal popolnoma rešljiv. Zapisan v komponentni obliki se sistem enačb, ki podaja (omejeno) gibanje masne točke po ploskvi, podane z enačbo f(x,y,z) = 0, glasi: ∂f m && x = F’x + λ ∂x

88

∂f ∂y ∂f m && z = F’z + λ ∂z

m && y = F’y + λ

f(x, y, z) = 0.

Zapisane enačbe se poznane kot Lagrange-jeve enačbe I. vrste omejenega gibanja masne točke. Reštve gornjih enačb so koordinate x=x(t), y=y(t) in z=z(t) delca, ki se giblje po gladki površini ter Lagrangejev množitelj λ . [ele, ko je slednji poznan je mogoče v v izračunati silo podlage N s pomočjo izraza N = λ grad f in na takšen način je dinamika omejenega gibanja masne točke po polnoma gladki površini enolično določena. Lagrangejev množitelj pa je mogoče izračunati tudi neposredno, ne da bi predhodno rešili enačbo gibanja. Ob upoštevanju, da se delec giblje po popolnoma gladki (stacionarni) v ploskvi, katere omejitvena enačba se glasi, f( r ) ≡ f(x, y, z) = 0, mora veljati, v v .grad f = 0,

kar pomeni, da je v vsakem trenutku skalarni produkt sile podlage in hitrosti delca enak 0. Odvod zapisanega izraza po času se izrazi kot, v v d ( grad f ) = 0. a . grad f + v . dt v v v Če se dobljeno enačbo pomnoži z maso delca, m, se lahko s pomočjo izrazov m a = F ’+ N v ter N = λ grad f, izračuna Lagrangejev množitelj λ , kjer je

λ =-

v F ' ⋅grad f

vd + mv⋅ grad f dt 2 grad f

v tako, da je sila podlage N enolično podana, v načelu, zgolj s prvim integralom (kajti v potrebno je izračunati hitrost v delca) enačb omejenega gibanja masne točke po idealno gladki ploskvi.

89

b) Drugi primer zadeva gibanje delca po idealno gladki krivulji v prostoru, pri čemer je krivulja v splošnem definirana z enačbama dveh ploskev v prostoru, ki se sekata, kot

f1(x, y, z) = 0 v N1

f2(x. y. z) = 0 v N2 C

Slika 6.4 Prostorska krivulja C je podana kot presečišče dveh ploskev v prostoru, ki se sekata. Zaradi dejstva, da sta privzeti ploskvi idealno gladki, sta v odgovarjajoči sili podlage N i (i=1, 2) v vsaki točki krivulje pravokotni na pripadajočo ploskev katerih enačbi se glasita, f1(x,y,z)=0 in f2(x,y,z)=0, pri v čemer velja, da je N i = λ i grad fi, (i=1, 2) kjer sta λ 1 in λ 2 Lagrangejeva množitelja.

shematično predočeno na sliki 6.4, to je, v f1( r ) = 0 v f2( r ) = 0.

Ker je krivulja C podana s presečiščem dveh ploskev mora veljati, da vsaka točka krivulje hkrati pripada tako prvi kot tudi drugi ploskvi. Zaradi tega dejstva, tako kot v prejšnjem primeru, mora tudi tokrat tedaj veljati, da je sila podlage v poljubni toči krivulje pravokotna na ustrezno ploskev, torej v N 1 = λ 1 grad f1 v N 2 = λ 2 grad f2,

90

v tako, da je sila podlage N v dani točki krivulje v vsakem trenutku podana kot vektorska v v vsota komponent N 1 in N 2. Ker torej velja, v v v N = N1+ N2

se sedaj II. Newtonov zakon za omejeno gibanje delca po idealno gladki krivulji zapiše, v v m a = F ’ + λ 1 grad f1 + λ 2 grad f2,

ali v komponentni obliki, skupaj z omejitvenima enačbama

∂ f1 ∂ f2 + λ2 ∂x ∂x ∂ f1 ∂ f2 m && y = F’y + λ 1 + λ2 ∂y ∂y ∂ f1 ∂ f2 m && z = F’z + λ 1 + λ2 ∂z ∂z m && x = F’x + λ 1

f1(x, y, z) = 0 f2(x, y, z) = 0

predstavlja sistem diferencialnih enačb drugega reda s konstantnimi koeficienti katerega rešitve x=x(t), y=y(t), z=z(t) ter λ 1 in λ 2, ob upoštevanju danih začetnih pogojev popisujejo omejeno gibanje masne točke po idealno gladki krivulji v prostoru. Tako kot v prejšnjem primeru je tudi tokrat mogoče samo s prvim integralom izraziti v Lagrangejeva množitelja in tako izračunati silo podlage N , saj mora vedno veljati, v v .grad f1 = 0 v v .grad f2 = 0.

c) Problem omejenega gibanja delca po površini ploskve z upoštevanjem sile trenja se rešuje na podoben način kot v primeru pod a), čeprav je večinoma matematično v zahtevnejši. Ob tem je potrebno izhajati iz dejstva, da sila podlage F p na masno točko v primeru obstoja (suhega) trenja ni več pravokotna na dano površino in sestoji iz dveh v v komponent in sicer pravokotne komponente na podlago N ter komponente sile trenja, F tr, to je komponente, ki leži v tangentni ravnini v dani točki ploskve in je usmerjena v v nasprotno smer vektorja hitrosti delca v . Velja namreč naslednje, v v v F p = N + F tr, v pri čemer pa sta velikosti obeh komponent sile podlage, če le hitrost delca v ni prevelika, med seboj sorazmerni, saj velja,

Ftr = ktr N, kjer je ktr koeficient trenja, ki se ga določi empirično.

91

II. Newtonov zakon za primer omejenega gibanja masne točke po dani ploskvi ob upoštevanju trenja se sedaj zapiše, v v v v m a = F ’ + N + F tr

kar se, v izbranem kartezičnem koordinatnem sistemu, glasi

∂f + (Ftr)x ∂x ∂f m && + (Ftr)y y = F’y + λ ∂y ∂f m && + (Ftr)z, z = F’z + λ ∂z m && x = F’x + λ

pri čemer se dajo komponente sile trenja eksplicitno izraziti, če se upošteva, da je sila v trenja usmerjena v nasprotno smer vektorja hitrosti delca v . Veljati namreč mora, v v F tr = - K v

kjer je K konstanta, ki jo je potrebno še določiti. Iz zgornje enače sledi, Ftr = ktr N = K v in zato je K=

k tr N, v

tako, da so tedaj komponente sile trenja zapisane v danem koordinatnem sistemu enake,

v k ( F tr)x = - tr N x& = v

k tr λ

(

∂f 2 ∂f 2 ∂f 2 ) +( ) +( ) ∂x ∂y ∂z x& 2 + y& 2 + z& 2

x&

in na podoben način se izrazita še preostali dve komponenti sile trenja. Zgoraj zapisani sistem treh enačb omejenega gibanja se rešuje hkrati z omejitveno enačbo f(x, y, z) = 0 kar skupaj predstavlja formalno sicer rešljivi sistem štirih Lagrangejevih enačb I. vrste s v v štirimi neznankami, r = r (t) ter λ .

92

Zgledi: 1.

Z uporabo enačb za omejeno gibanje delca izpelji pospešek kvadra mase m na klancu nagiba θ. (Navodilo: omejitvena enačba klanca v predstavljenem koordinatnem sistemu se glasi, y = konst.). y N

Ft x θ

Fg

Slika 6.6. Omejitvene enačbe se glasijo: m &x&C = Fx´ + Nx m &y&C = Fy´ + Ny m &z&C = Fz´ + Nz v N = λ grad f v f( r ) = y – konst. = 0. Iz skice, slika 6.6, je razvidno: Fx’ = mg sinθ - Ft Fy’ = - mg cosθ ∂f Nx = λ = 0 ∂x ∂f = λ Ny = λ ∂y N =

2

Nx + Ny

2

= λ,

tako, da se diferencialne enačbe zapišejo v obliki,

93

m &x&C = mg sinθ - Ft m &y&C = - mg cosθ + λ m &z&C = 0. Toda sila trenja je podana z izrazom, Ft = k N = k λ, tako, da se enačbe omejitvenega gibanja sedaj glasijo, &x&C = g sinθ -

k λ m

λ = mg cosθ oziroma po preureditvi, &x&C = g (sinθ - k cosθ ) Ny = mg cosθ.

1. Delec se giblje po notranjosti vodoravnega, popolnoma gladkega, plašča valja polmera R pod vplivom lastne teže. Delecu, ki se v času t = 0 nahaja v točki T s koordinatami, xo = v 0, yo = R in zo = 0, se podeli začetna hitrost v o katere komponente v izbranem koordinatnem sistemu, glej sliko 6.7, so naslednje: x& o = vo, y& o = 0, z& o = 0. Izračunaj silo v podlage N , s katero deluje valj na delec. x x

R R

ϕj

v v0

y ϕ z

Slika 6.7. Definicija koordinatnega sistema

94

Enačbe omejenega gibanja masne točke po notranjosti popolnoma gladkega vodoravnega plašča valja so: ∂f ∂x ∂f m && y = F’y + λ ∂y ∂f m && z = F’z + λ , ∂z m && x = F’x + λ

v v kjer je rezultanta “ostalih” sil kar enaka teži masne točke, t.j. F ’ ≡ F g = (0, 0, mg), in v omejtvena enačba f( r ) = 0 se glasi, f(x, y, z) ≡ y2 + z2 - R2 = 0. Išče se torej rešitev naslednjega sistema sklopljenih diferencialnih enačb, m && x =0 m && y = 2λ y m && z = mg + 2 λ z Rešitev prve enačbe je očitno enakomerno gibanje saj velja, x = vo t, rešitev drugih dveh pa se poišče s pomočjo ustrezne substitucije. V ta namen se pomnoži drugo enačbo s koordinato z, tretjo enačbo pa s koordinato y, ter se dobljena izraza odšteje: v naslednjem koraku se pomnoži drugo enačbo s koordinato y, tretjo enačbo pa s koordinato z ter se sešteje rezultirajoča izraza. Kot rezultat izvedenih algebrajskih operacij se tedaj dobi naslednji enačbi, m( && z y - && y z) = mgy m( && y y + && z z) = 2 λ (y2 + z2) + mgz. Za nadaljni izračun je ugodno vpeljati ravninski polarni kordinati, R in ϕ , slika 6.7, kjer je kot ϕ definiran kot kot med z-osjo kartezičnega koordinatnega sistema in enotnim ) vektorjem er , torej, y = R sin ϕ z = R cos ϕ , tako, da se s pomočjo zapisane substitucije sistem gornjih dveh enačb poenostavi v && = - mgR sin ϕ mR2 ϕ 2 2 -mR ϕ& = mgR cos ϕ + 2 λ R2.

95

dϕ& dϕ& dϕ dϕ& = = ϕ& , se prvi integral zgornje enačbe poišče s preprosto dt dϕ dt dϕ integracijo in sicer se dobljeni izraz glasi, && = Ker je ϕ

ϕ& 2 2

=

g cos ϕ + C1, R

kjer je integracijska konstanta določena z začetnim pogojem, da ko je t=0 je ϕ o= π /2 ter ϕ& o =0, od koder je razvidno, da je C1=0 in zgornji izraz za kotno hitrost ϕ& je tedaj enak,

ϕ& 2 =

2g cos ϕ . R

Iz druge enačbe je sedaj moč izračunati Lagrangejev množitelj λ , ki je,

λ =-

3mg cos ϕ 2R

v in zato je končni rezultat, to pa so komponente sile podlage N , enak Nx = λ

∂f =0 ∂x

∂f 3mg = -2 cos( ϕ ) Rsin( ϕ ) 2R ∂y ∂f 3mg Nz = λ = -2 cos( ϕ ) Rcos( ϕ ), 2R ∂z

Ny = λ

sama velikost sile podlage N, pa je tedaj N=

2

2

Nx + N y + Nz

2

= 3 mg cos ϕ .

Enačba

ϕ& 2 =

2g cos ϕ . R

v načelu podaja odvisnot polarnega kota ϕ od časa t, t.j. ϕ = ϕ (t). Pripadajoči integral na desni strani

∫

dϕ cosϕ

=

2g R

∫ dt ,

96

zapisane enačbe ni več elementarni integral ter se, v splošnem, izrazi z eliptičnim integralom prvega reda.

1.3.2 Euler-jeve enačbe omejenega gibanja masne točke V primeru, da je enačba krivulje po kateri se giblje delec eksplicitno poznana je tedaj pogosto priročno obravnavati omejeno gibanje masne točke po dani krivulji C kot funkcijo ločne dolžine s, s pomočjo naravnega triedra, ki je definiran s trojico med seboj ) ) pravokotnih enotnih vektorjev in sicer, tangente na krivuljo et , normale n in binormale ) ) ) ) ebi , pri čemer je ebi = et x n . Projekcija enačbe gibanja masne točke po krivulji C, v v v ma = F’ + Fp na osi naravnega triedra se zapisano v komponentni obliki glasi, m an = F’n + Fpn m ae = F’e + Fpe m abi = F’bi + Fpbi. v v Kot je bilo pokazano v 2. in 3. poglavju, ležita vektorja hitrosti v in pospeška a , delca v pritisnjeni ravnini in zato je, ae =

dv t d2s = 2 dt dt

1  d s an =   Rk  d t  abi = 0,

2

kjer je Rk = Rk(s) krivinski polmer v dani točki krivulje C. v V primeru, da gre za gibanje po popolnoma gladki krivulji je F p v vsaki točki krivulje v pravokotna na krivuljo C in zato je tedaj projekcija sile podlage F p na enotni vektor ) tangente, et , enaka nič, t.j. Fpe ≡ 0. V primeru, da krivulja C ni gladka, leži tedaj sila trenja v nasprotni smeri vektorja v ) hitrosti v , to je v nasprotni smeri enotnega vektorja et . V tem primeru je Fpe ≡ Ftr = ktr N = ktr

2

2

Fpn +Fpbi .

Enačbe gibanja izražene v naravnem triedru se sedaj v končni obliki zapišejo,

97

m

d2s = F’e - Ftr dt 2 2

1  d s m   = F’n + Fpn Rk  d t  0 = F’bi + Fpbi. Zapisane enačbe omejenega gibanja masne točke po krivulji C v prostoru se imenujejo Eulerjeve enačbe omejenega gibanja delca.

Zgled: 1. Izračunaj nihajni čas T matematičnega nihala, ki niha nedušeno pod vplivom sile teže v stalni ravnini. Za zadani problem je priporočljivo izbrati naravni trieder kot kaže slika 6.8. V danem primeru se enačba gibanja masne točke tedaj zapiše, v v v m a = F g + F v, kjer je rezultanta “ostalih” sil kar enaka teži delca, sila podlage pa se v danem primeru v poistoveti z silo vrvice, F v.. Eulerjeve enačbe se za ta primer glasijo, m

d2s = - mg sin ϕ dt 2 2

1  d s m   = - mg cos ϕ + Fv, Rk  d t 

98

L

ϕ ) n Fv

) etg m

mg

Slika 6.8. Matematično nihalo, ki ga sestavlja na neraztegljivi brezmasni vrvici dolžine L vpeta masna točka mase m, niha pod vplivom sile teže v ravnini slike. Vpliv dušenja na nihanje je zanemarjen. pri čemer je tretji Eulerjevi enačbi zadoščeno identično. Delec se giblje po loku krožnice polmera L in zato velja, s=L ϕ;

v = s& = L ϕ& ;

&& , && s =L ϕ

pri čemer je potrebno upoštevati še dejstvo, da je krivinski polmer konstanten in enak dolžini vrvice L, t.j. Rk = L, tako da se gornja izraza zapišeta, g sin ϕ = 0 L m L ϕ& 2 = - mg cos ϕ + Fv.

ϕ&& +

Na tem mestu naj bo omenjeno, da v običajnem približku nihanj z majhnimi amplitudami, t.j. kadar velja ϕ ωo Korena s1 in s2 sta sedaj realna in splošna rešitev je podana z izrazom, x = A e s1 t + B e s 2 t . pri čemer sta konstanti A in B, za gornje začetne pogoje, enaki A = - (s2/s1) B

in

B = xo/(1 – s2/s1).

V tem primeru je lahko uvideti, da pojav ni več periodičen. Nihalo se eksponencialno približuje svoji ravnovesni legi. 3. Na nihalo, ki niha dušeno deluje okolica z dodatno periodično silo F(t) = Fo sin (ω t), kjer je ω frekvenca vzbujevalne sile. Kako se amplituda nihanja nihala spreminja z vzbujevalno frekvenco? Nekonservativni sili, ki delujeta na utež sta sila trenja (upora) ter vzbijevalna sila. Virtualno delo teh dveh sil je enako,

δA = - C x& δx + F(t) δx = Qtrenja δx + Qvzb δx. Lagrangejeva enačba se sedaj zapiše v obliki, &x& + 2 β x& + ωo x = (Fo/m) sin (ω t)

kar je nehomogena diferencialna enačba drugega reda s konstantnimi koeficienti. Nastavek za iskanje rešitve (partikularna rešitev) je, x = a sin (ω t) + b sin (ω t), tako, da se diferencialna enačba tedaj preoblikuje v izraz, -(a ω2 – a ωo2 + 2 β ω b) sin(ω t) – (b ω2 – b ωo2 - 2 β ω a) cos (ω t) = (Fo/m) sin (ω t). Zapisana zveza velja za poljuben t zato mora veljati, da so koeficienti pred trigonometričnih funkcijah enaki od koder sledi,

209

a (ω2 - ωo2) + 2 β ω b = - Fo/m b (ω2 - ωo2) - 2 β ω a =

0.

Rešitvi zapisanega sistema sta, a = -

(ω

(

Fo ω 2 − ω o 2

−ωo

)

2 2

2

)/ m

+ 4β 2ω 2

,

b = -

(ω

2 Fo β ω / m 2

−ωo

)

2 2

+ 4β 2ω 2

.

Na takšen način je je partikularna rešitev diferencialne enačbe poznana funkcija časa. Toda dobljene rezultate je mogoče izraziti še na drugi način z vpeljavo substitucije, a = D cos φ b = - D sin φ. Če delimo drugo enačbo s prvo je, tg φ =

2 βω ω 2 − ωo2

s kvadriranjem izrazov in seštevanjem, pa sledi, D =

a 2 + b2 =

(ω

Fo / m 2

− ωo

) +4 β ω

2 2

2

, 2

tako, da se partikularno rešitev lahko zapiše kot, x = D sin (ω t - φ ). Nihalo torej niha s frekvenco, ω, vzbujevalne sile F(t), pri čemer pa tako fazna razlika, φ, med nihanjem nihala in vzbujevalno silo, kot amplituda nihanja D prav tako zavisita od frekvence ω. Resonanca nastopi tedaj, ko doseže amplituda nihala največjo vrednost, kar pomeni, da mora biti odvod amplitude po frekvenci tedaj nič, t.j. dD = 0. dω

Rešitev gornje enačbe se glasi,

ωres =

ω o 2 −2 β 2 ,

iz česar je razvidno, da je samo v primeru, da je β = 0 (ni dušenja), resonančna frekvenca enaka lastni frekvenci, ωo, nedušenega nihala. V splošnem se resonančna frekvenca z naraščajočim dušenjem nihala zmanjšuje; resonanca nastopa pri nižji vrednosti, kot pa je vrednost lastne krožne frekvence nihala, če bi nihalo nihalo nedušeno. 210

Splošna rešitev enačbe vsiljenega nihanja je vsota partikularne rešitve in splošne rešitve pripadajoče homogene diferencialne enačbe. Slednja je že bila zapisana v prejšnjem primeru, zato je splošna rešitev diferencialne enačbe vsiljenega nihanja podana z, x = e- β t (A sin (ω* t) + B cos (ω* t) )+ D sin (ω t - φ ). kjer je sedaj ω*2 = ωo2 - β 2, lastna krožna frekvenca dušenega nihala. Toda zaradi eksponentno pojemajočega časovnega faktorja se delež prispevka, ki ga predstavlja splošna rešitev homogene enačbe izniči in preostane samo še izraz za vsiljeno nihanje. Po določenem času od pričetka delovanja vzbujevalne sile nihalo samo še niha s frekvenco vzbujevalne sile, toda s (frekvenčno odvisnim) faznim zamikom z ozirom na vzbujevalno silo. 4. Palica dolžine L in mase M je na spodnjem koncu vrtljivo pritrjena na vpeto vertikalno os tako, da se lahko giblje v ravnini vzporedni osi, hkrati pa se vrti skupaj z osjo. Os in palica sta vzajemno spojeni s sučno vzmetjo direkcijske konstante D. Na palici se nahaja drsnik mase m, ki lahko brez trenja drsi po palici. Zapiši enačbe gibanja drsnika, če je je začetna lega palice vzporedna z vertikalno osjo, drsnik pa se je v tem trenutku nahajal na sredini palice, skica ????

Z ozirom na izbrani inercialni koordinatni sistem (x, y, z), skica ????, definiramo telesni koordinatni sistem x`, y` in z` tako, da izhodišče le-tega sovpadata s težiščem palice mase M in dolžine L, pri čemer z`-os telesnega sistema leži vzdolž palice. Če privzamemo, da so v začetku osi telesnega in inercialnega koordinatnega sistema vzporedne med seboj, tedaj je lega telesnega sistema v času t z ozirom na inercialni koordinatni sistem podana s transformacijsko matrico A, katere elementi so funkcije Eulerjevih kotov φ, θ, in ψ. Kot φ podaja zavrtitev telesnega sistema okoli z-osi inercialnega sistema, kot θ pa označuje naklon z`-osi telesnega sistema (t.j. nagib palice) z ozirom na z-os inercialnega koordinatnega sistema. Slednja zavrtitev je izvedena okoli trenutne x`-osi telesnega sistema, glej poglavje o linearnih transformacijah. Z ozirom na zadani problem sledi, da mora biti tretji Eulerjev kot ψ identično enak 0 (palica se ne vrti okoli svoje osi). Trenutna lega drsnika je podana s koordinato z` vzdolž palice. Sistem očitno poseduje 3 prostostne stopnje in sicer; Eulerjeva kota φ in θ ter koordinato drsnika, z`. Lega sistema, ki sestoji iz palice in drsnika se v telesnem koordinatnem sistemu očitno da izraziti na zelo preprosti način. Enačbe gibanja sistema podajajo Lagrangejeve enačbe, ki jih za vajo zapišemo v najbolj splošni obliki,

d dt

 ∂T   ∂q&  j

 ∂T −  ∂q j 

= Qj

j=1, 2, …….., n.

ne oziraje se na dejstvo, da je sistem delcev, ki ga obravnavamo izključno konservativni sistem. Seveda v zadanem primeru velja, da je n=3.

211

Celotna kinetična energija sistema mora biti izražena v inercialnem koordinatnem sistemu x, y in z. Sestoji se iz kinetične energije palice in kinetične energije drsnika, t.j. T = TL + Td, pri čemer sta izraza, z uporaba Koenigsovega teorema za palico, enaka, v2 v v M r&C ω • ΓC TL = + 2 2

Td =

v2 mr&d . 2

v v V zapisanih izrazih sta rC in rd krajevna vektorja masnega središča palice in drsnika zapisana v inercialnem koordinatnem sistemu z izhodiščem izbranim na spodnjem koncu vertikalne v osi, ω , je trenutna kotna hitrost sistema izražena v tako izbranem inercialnem koordinatnem v sistemu. ΓC je vrtilna količina palice zapisana z ozirom na (pomožni) inercialni koordinatni sistem, ki ima osi vzporedne s prvotnim le, da se njegovo izhodišče nahaja v masnem središču palice in torej sovpada z izhodiščem telesnega sistema. Krajevni vektor do težišča palice, zapisan v inercialnem sistemu, je v rC =

L ) e pal , 2

) kjer je e pal enotni vektor, ki leži vzdolž palice in je zato kolinearen z z´-osjo telesnega ) sistema, katere orientacijo (v telesnem sistemu) podaja enotni vektor k ′ , kjer je, 0  ) k ′ = 0 . 1

Skladno pravilom linearne transformacije vektorjev sta oba enotna vektorja povezana z izrazom, ) ) e pal = A-1 k ′ .

Zapisani izraz je namreč posebna oblika splošne transformacije, kajti če se označi v poljubni krajevni vektor v telesnem koordinatnem sistemu z vektorjem r `= (x`, y`, z`), v v prostorskem pa z r = (x, y, z), tedaj mora vedno veljati,

v v r = A-1 r ` kjer je inverzna transformacijska matrica, A-1, t.j. matrica, ki prevede telesni sistem v prostorski inercialni sistem, eksplicitno podana v poglavju o linearnih transformacijah.

v Podobna ugotovitev velja za krajevni vektor drsnika, rd , kajti,

212

L v ) rd = ( + z´) e pal 2 pri čemer se razdalja drsnika sedaj z´ izraža z ozirom na izhodišče telesnega sistema, ki se nahaja v težišču palice. Na začetku je potrebno ugotoviti, da se v telesnem koordinatnem sistemu tenzor vztrajnostnega momenta palice, J ′ zapiše zelo enostavno. Velja namreč,

J′ =

J1 0   0

0 J2 0

0 0 , 0

kjer sta očitno lastni vrednosti vztrajnostnega momenta palice z ozirom na težiščno os J1 = Jx`x` in J2 = Jy`y` . V primeru, da je palica simetrična z ozirom na njeno vzdolžno os nemudoma sledi, JC = J1 = J2 = M L2/12 in Jz`z` = 0 . V prostorskem koordinatnem sistemu se tenzor vztrajnostnega momenta palice zapiše, = A-1 J ′ A

J

v skladu z zahtevo podobnostne transformacije. Seveda pa velja, da sta vrtilna količina palice in tenzor vztrajnostnega momenta povezana s splošnim izrazom,

v Γ =

v Jω .

V danem primeru, ko je kot ψ = 0, se rotacijska matrica A zapiše,

A =

cos φ  − sin φ cos θ   sin θ sin φ

sin φ cos θ cos φ − sin θ cos φ

0  sin θ  , cos θ 

pri čemer velja, da je inverzna matrica k matrici A kar transponirana matrica A, t.j. A-1 = AT. Za tenzor vztrajnostnega momenta palice v (pomožnem) inercialnem koordinatnem sistemu, z ozirom na izhodišče v težišču palice, se dobljeni izraz zapiše,

J

 J1 cos2 φ + J 2 cos 2 θ sin 2 φ  =  J1 sin φ cos φ − J 2 cos 2 θ sin φ cos φ   − J 2 sin θ cos θ sin φ 

Kotna hitrost različno,

v

ω

J1 cos φ sin φ − J 2 cos 2 θ sin φ cos φ J1 sin 2 φ + J 2 cos 2 θ cos 2 φ J 2 sin θ cos θ s cos φ

− J 2 cos θ sin θ sin φ   J 2 cos θ sin θ cos φ    J 2 sin 2 θ 

ima v prostorskem koordinatnem sistemu samo eno komponento od nič

0 ω =  0  φ& 

v

213

in zato je vrtilna količina palice zapisana v (pomožnem) prostorskem koordinatnem sistemu enaka,

v ΓC

=

 cosθ sin θ sin φ  & J ω = J2 φ cosθ sin θ cos φ  ,   sin 2 θ

v

tako, da je (lastni) delež kimetične energije palice zaradi vrtenja okoli navpične z-osi inercialnega koordinatnega sistema enak,

v v

ω • ΓC 2

=

J 2 φ& 2 sin 2 θ . 2

v Krajevni vektor rC težišča palice zapisan v prostorskem koordinatnem sistemu se dobi s pomočjo zgoraj navedene transformacije. Končni rezultat se glasi, v rC =

 sin θ sin φ  L − sin θ cosφ  .  2  cos θ 

v 2 v Kinetična energija težišča palice je sorazmerna r&C = r&C • r&C , kar se po krajšem računu poenostavi v, 2

(

)

L 2 r&C =   θ& 2 + φ& 2 sin 2 θ . 2 Kinetična energija palice v inercialnem koordinatnem sistemu se torej glasi, TL =

M L2 θ& 2 J o & 2 φ sin 2 θ , + 8 2

kjer je z Jo označen vztrajnostni moment palice okoli vrtišča, Jo = J2 + M(L/2)2, to je rezultat, ki bi ga dobili če bi uporabili Steinerjev izrek za vztrajnostni moment palice okoli osi, ki je vzporedna osi skozi težišče. Na podoben način se dobi izraz za krajevni vektor do trenutne lege drsnika v prostorskemu sistemu tako, da je  sin θ sin φ  ) L v rd = ( + z´) A-1 k ′ = (L/2 + z´) − sin θ cosφ  . 2  cos θ 

Po nekoliko daljšem računu se dobi izraz za kinetično energijo drsnika izraz

214

2

Td =

mr&d 2

2

=

m z& ′ 2 2

+

L  m z′ +  2  &2 &2  θ + φ sin 2 θ , 2

(

)

kjer se razdalja z´ nanaša v telesnem koordinatnem sistemu vzdolž z´-osi, pri čemer je izhodišče sistema izbrano v težišču palice. Celotna kinetična energija sistema palice in drsnika je tedaj, T = TL + Td = =

m z& ′ 2 2

+

L  J o + m z′ +  2  2

2

2

2

L  L M   + m z′ +  2  &2  2 φ& 2 sin 2 θ + θ 2

Zunanje aktivne v sile, ki delujejo na sistem so; teža palice, teža uteži in navor spiralne vzmeti, v M nav = − Dθ . Čeprav na palico v točki vpetja na vertikalno os deluje še sila ležaja je potrebno ugotoviti, da je pomik prijemališča te sile (ta je seveda omejitvena sila) enak nič in zato je virtualno delo te sile identično enako nič. Iz izraza za virtualno delo vseh aktivnih sil dobimo, v v v v v v δA = M g ⋅ δ r C + m g ⋅ δ r d - D θ δ θ = Qφ δφ + Qθ δθ + Qz´ δz´. V izbranem inercialnem kordinatnem sistemu se pospešek prostega pada zapiše kot, ) v g = (0, 0, -g) = - g k .

v Virtualni pomik težišča, δ r C je v tem sistemu enak, v δr C =

 cosθ δθ sin φ + sin θ cos ϕ δφ  (L/2) − cosθ δθ cos φ + sin θ sin φ δφ  ,   − sin θ δθ

v virtualni pomik drsnika, δ r d, pa je, v δr d

 sin θ sin φ   cosθ δθ sin φ + sin θ cos ϕ δφ    = δz´ − sin θ cosφ  + (L/2 + z´) − cosθ δθ cos φ + sin θ sin φ δφ  .  cos θ    − sin θ δθ

Po izračunu skalarnih produktov, se dobi izraz, δA = (- mg cos θ - Qz´) δz´ + [(mg (L/2+z´) sin θ + Mg (L/2) sin θ - D θ ) - Qθ] δθ Qφ δφ = 0. Ker so posplošene koordinate z´, θ in φ med sebij neodvisne koordinate je gornja linearna kombinacija lahko enaka nič samo tedaj, če velja,

215

Qz´ = - mg cos θ Qθ = mg (L/2+z´) sin θ + Mg (L/2) sin θ - D θ Qφ = 0. Lagrangejeve enčbe se sedaj zapišejo v obliki, 2 m (z´+ L/2) z& ′φ& sin2θ + [Jo + m (z´ + L/2)2] ( φ&& sin2θ + φ&θ& sin 2θ ) = 0 2 m (z´+ L/2) z& ′θ& + [ m (z´+ L/2)2 + ML2/4] θ&& - [Jo + m (z´ + L/2)2] φ& 2 sin θ cos θ = + [ m (z´+ L/2) + ML/2] g sin θ - D θ

(

m &z&′ - m (z´ + L/2) θ& 2 + φ& 2 sin 2 θ

)

= - mg cos θ.

Očitno gre za sklopljen sistem treh nelinearnih diferencialnih enačb katerega splošna analitična rešitev ni znana zato se problem naprej rešuje numerično. Ker zastavljeni problem zadeva konservativni sistem »delcev«, je mogoče izraziti potencialno energijo sistema kar neposredno torej, V = VLzunanj + Vdzunanj + Vnotr = Mg zC + mg zd +

Dθ 2 , 2

kjer koordinati zC in zd podajata razdalji do težišča palice in težišča uteži vzdolž z-osi inercialnega koordinatnega sistema. Iz zgornjih izrazov za krajevna vektorja sledi, zC =

L cos θ, 2

zd

= (

L + z´) cos θ, 2

tako, da se celotna potencialna energija sistema neposredno zapiše v obliki, V = Mg

Dθ 2 L L cos θ + mg ( + z´) cos θ + . 2 2 2

Za konservativne sisteme tedaj neposredno sledi iz definicije, Qj = -

∂V , ∂q j

tako, da so v danem primeru vse tri komponente Qj posplošene sile enake,

∂V = - mg cos θ ∂ z′ ∂V L L = sin θ + mg ( + z´) sin θ - D θ = Mg ∂θ 2 2 ∂V = = 0, ∂φ

Qz´ = Qθ Qφ

216

kar so pa poznani izrazi, ki se že bili izpeljani zgoraj, s pomočjo definicije virtualnega dela aktivnih sil, na alternativni toda docela ekvivalentni način.

5.

Navpična palica dolžine L in mase M je na spodnjem krajišču vrtljivo vpeta okoli vodoravne osi. Z osjo je palica povezana s torzijsko vzmetjo direkcijske konstante D, drsnik mase m, ki se brez trenja pomika po palici, pa je vpet na vijačno vzmet ravnovesne dolžine L/2, katere konstanta vzmeti je K. Drugi konec vzmeti je vpet na zgornjem krajišču palice, skica ???? Zapiši enačbe gibanja sistema palice in uteži. Po predpostavki je sistem konservativen, ki poseduje dve prostostni stopnji; θ in z´. Kinetično energijo palice in uteži podajata izraza zgornjega primera, če se postavi spremenljivki φ = φ& = 0, upoštevati pa je potrebno, da ima vektor kotne hitrosti sedaj od nič različno komponento vzdolž osi vrtenja. Kinetična energija palice je torej, TL

M r&C = 2

2

+

v v

ω • ΓC 2

,

kjer je sedaj, 2

r&C

2

=

 L  &2   θ . 2

Vektor kotne hitrosti se v laboratorijskem koordinatnem sistemu v tem primeru glasi, v v ω ≡ θ& =

θ&    0 , 0  

tenzor vztrajnostnega momenta palice v laboratorijskem sistemu z izhodiščem v težišču palice pa privzamemo iz zgornjega primera in upoštevamo, da je φ = φ& = 0 tako, da imamo,

J

 1  = J C 0  0 

0 sin 2 θ 1 sin 2θ 2

   1 sin 2θ  . 2  2 sin θ   0

Vrtilna količina palice z ozirom na težišče je tedaj,

217

v ΓC

θ&    v J ω = JC  0  , 0  

=

in zato je celotna kinetična energija palice enaka, 2

TL =

M  L  &2   θ + 2 2

J C θ& 2 = 2

(M L / 3)θ& 2

2

2

=

J o θ& 2 , 2

kjer je Jo vztrajnostni moment palice okoli vrtišča, Jo = ML2/12 + ML2/4 = M L2/3. Seveda pa bi lahko izračunali kinetično energijo palice neposredno iz definicije, kajti T z ozirom na mirujoče izhodišče in ob pogoju, da je os vrtenja stalna, je T = J ω2/2, kjer je J vztrajnostni moment telesa okoli vrtišča. Kinetična energija drsnika prav tako neposredno privzamemo od prejšnjega primera ob pogoju, da je φ = φ& = 0 tako, da je 2

Td =

m z& ′ 2 2

+

L  m z′ +  2  &2  θ . 2

Celotna kinetična energija sistema je sedaj, 2

T =

m z& ′ 2 2

+

L  J o + m z′ +  2  &2  θ . 2

K prejšnjemu izrazu za potencialno energijo je sedaj potrebno dodati še notranjo prožnostno energijo uteži tako, da je celotna potencialna energija podana z izrazom, V = Mg

Dθ 2 L L cos θ + mg ( + z´) cos θ + + 2 2 2

K z′2 , 2

kajti koordinata z´ vzdolž osi palice v telesnem koordinatnem sistemu podaja, tako kot je problem zastavljen, hkrati tudi deformacijo same vijačne vzmeti. Kaj lahko je sedaj pokazati, da se Lagrangejevi enačbi sklopljenega gibanja sistema glasita, m &z&′ + K z´ + m g cos θ = 0 [Jo + m (z´+L/2)2] θ&& + [(M g L/2) + m g (z´+L/2)] sin θ - D θ = 0. 218

8. NIHANJE SKLOPLJENIH NIHAL Z MAJHNIMI AMPLITUDAMI 8.1 Pogoj stabilnega gibanja dinamičnega sistema v okolici ravnovesne lege V številnih zgledih v preteklih poglavjih je postalo očitno, da sile, ki delujejo na dani delec, kot enega od elementov sistema delcev, samo posredno vplivajo na pomik delca proti njegovemu ravnovesnemu položaju, marveč se sile predvsem odražajo preko interakcije danega delca s preostalimi masnimi točkami sistema delcev. Tako n.pr. če prične dani delec sistema nihati, tedaj zaradi vzajemnih interakcijskih sil deluje na sosede in na takšen način vzbudi njihovo gibanje, slednji delujejo na njihove sosede, itd, s končnim rezultatom, da se vzpostavi zapleteno nihanje vseh delcev sistema. Dobljene diferencialne enačbe takšnega sklopljenega gibanja so zapletene in v splošnem njihovih rešitev ni mogoče podati v analitični obliki. Nihanje delca je v mehaniki opredeljeno kot periodično gibanje, ki se odvija okoli njegove ravnovesne lege. Po definiciji je ta ravnovesna lega stabilna samo tedaj, če se v primeru majhnega pomika delca iz te ravnovesne lege, ki je posledica delujoče rezultante sil na delec, dinamika delca odraža izključno v obliki gibanja okoli te ravnovesne lege in to s pomiki, ki morajo biti majhni. Kot zgled lahko služi polkrogla, ki poseduje dve stabilni legi in sicer, če leži plosko na vodoravni površini, toda stabilna lega je tudi tista lega polkrogle, kjer se krogelna površina in vodoravna ravnina dotikata v skupni točki. V primeru, da povzroči majhna zunanja motnja na delec v ravnovesju obliko gibanje, ki lokalno ni omejeno, tedaj je takšna lega po definiciji nestabilna lega. Kot zgled služi n.pr. narobe obrnjen stožec. V splošnem se lahko za poljubni skleronomni mehanski sistem delcev (takšen, kjer omejitve ne zavisijo eksplicitno od časa) zapiše kinetično energijo sistema v obliki, 1 n ∑ M lk q& l q& k . 2 k ,l =1

T =

Lagrangejeve enačbe gibanja za konservativni sistem se zato glasijo,

d (M lk q& l ) l =1 dt n

∑

1 n ∂M lm q&l q&m ∑ 2 l , m =1 ∂xk

+

∂V ∂qk

= 0,

k=1, 2, ...., n.

Ravnovesna lega je tista lega, kjer posplošene koordinate q1, q2,...., qn ne zavisijo od časa. Konservativni sistem delcev se torej nahaja v ravnovesni legi tedaj, kadar so komponente posplošene sile enake nič, - Qk =

∂V ∂qk

=

0,

k=1, 2, ...., n.

Dobljeni izrazi pa, kot je znano, predstavljajo potrebni pogoj za nastop ekstrema funkcije V, torej potencialna energija sistema mora imeti v ravnovesni legi (v splošnem lokalni) ekstrem. Kaj lahko je uvideti, da je obstoj stabilne lege konservativnega sistema delcev, ki se izraža s pogojem za nastop ekstrema funkcije V(q1, q2,...., qn) istovetna z zahtevo po (lokalnem) minimumu potencialne energije sistema delcev kar pomeni, da mora biti drugi odvod funkcije V > 0. V nadaljevanju se omejimo na takšno dinamiko sistemov, ki se odvija v neposredni okolici stanja stabilnega ravnovesja. Ker so odmiki iz ravnovesja zato majhni, lahko 219

potencialno energijo sistema razvijemo v Taylorjevo vrsto in obdržimo samo najnižje člene. Spremembo posplošene koordinate od vrednosti, ki jo le-ta ima v ravnovesju naj označuje simbol ηi, i = 1, 2,...,n, zato velja, qi = qoi + ηi,

i=1,2, 3,...,n.

Razvoj potencialne energije sistema okoli ravnovesne vrednosti koordinat se tedaj zapiše, n  ∂V  1 n  ∂ 2V   ηi + V(q1,q2,.....,qn) = V(qo1,qo2,,.....,qon) + ∑  ηiη j + ...... ∑ 2 i  ∂qi  i , j ∂qi ∂q j  0  0

Linearni člen mora biti, zaradi pogoja ravnovesne lege (ekstrem potencialne energije) identično enak nič. S premikom nivoja koordinatnega sistema se v splošnem lahko doseže, da postane vrednost potencialne energije, V(qo1,qo2,,.....,qon), ko se nahaja sistem v ravnovesnem položaju, enaka nič. Tedaj prvi od nič različen člen razvoja potencialne energije preostane le kvadratni člen, t.j., V(q1,q2,.....,qn) =

1 n 1 n  ∂ 2V  ηiη j = ∑ ∑ Vij ηiη j , 2 i , j  ∂qi ∂q j  2 i, j 0

Na tem mestu je vrednost drugega odvoda potencialne energije v položaju ravnovesja označena kot konstanta Vij, ki zavisi izključno od vrednosti posplošenih koordinat, ko se nahaja sistem v ravnovesju. Poudariti velja, da so koeficienti Vij simetrični, torej, Vij = Vji

i,j = 1,2,....., n.

Podobno kot zgoraj je mogoče razviti v Taylorjevo vrsto tudi kinetično energijo sistema. Z ozirom na dejstvo, da posplošene koordinate sistema delcev, qi, od časa ne zavisijo eksplicitno je zato kinetična energija homogena kvadratna forma posplošenih hitrosti, T =

1 n ∑ c ij q& i q& j = 2 i, j

1 n ∑ c ij η& i η& j , 2 i, j

kjer so koeficienti cij v splošnem funkcija posplošenih koordinat qi. Zaradi tega dejstva je mogoče tudi koeficiente cij v splošnem zapisati kot Tayloryevo vrsto okoli ravnovesnih vrednosti posplošenih koordinatn, n  ∂c cij = cij (qo1,qo2,,.....,qon) + ∑  ij k  ∂qk

  ηk + ......., 0

pri čemer se pa v najnižjem približku zadovoljimo kar samo s prvim členom razvoja. Če se definira, cij (qo1,qo2,,.....,qon) ≡

Tij,

se tedaj izraz za kinetično energijo sistema, v prvem približku glasi,

220

T =

1 n ∑ Tij η& i η& j . 2 i, j

Zapisani izraz je invarianten na medsebojno zamenjavo indeksov kar je očitno, če se zapiše določeni člen vsote. Ko zavzameta indeksa i in j vse možne vrednosti nastopajo v vsoti paroma členi, 1   (Tij + T ji ) (η&iη& j + η& j η&i ) . 2

Ker velja, da je η& i η& j = η& j η& i , bo zgornji člen simetričen tedaj, če velja, da so tudi koeficienti simetrični, torej, Tij = Tji. Lagrangejeva funkcija L = T - V, se zato v prvem približku zapiše, 1 n ∑ (Tij η&iη& j − Vijηiη j ) , 2 k, j

L =

kjer predstavljajo spremenljivke η nove posplošene koordinate. Enačbe gibanja sistema delcev v okolici stabilnega ravnovesja se zato sedaj glasijo, n

n

j

j

∑ Tij η&&j + ∑ Vij η j = 0

i=1, 2, ...., n,

kar predstavlja sklopljeni sistem diferencialnih enačb, katerega rešitev popiše dinamiko sistema. Vsaka od enačb se v splošnem izraža z vsemi n posplošenimi koordinatami tako, da je za splošno rešitev potrebno dobljeni sistem dodatno razčleniti. Gre namreč za dejstvo, da se rešitev najenostavneje dobi, če se uspe spremenljivke ločiti na takšen način, da se sitem prevede na n enačb, pri čemer v vsaki izmed njih nastopa le ena spremenljivka. To se doseže z metodo »normalnih koordinat«, oziroma z metodo lastnih načinov nihanj.

8.2 Lastni načini nihanj sistema delcev okoli ravnovesne lege Zgoraj zapisani sklopljeni sistem enačb gibanja predstavlja sistem linearnih diferencialnih enačb s konstantnimi koeficienti, katerega rešitev je mogoče iskati z nastavkom,

ηi = C ai e- iωt, kjer je v splošnem predstavlja produkt koeficientov Cai kompleksno amplitudo nihanja posplošene koordinate ηi, pri čemer je privzeto, da je konstanta C enaka za vse koordinate. S

221

pomočjo zapisanega nastavka se sitem diferencialnih enačb prevede na homogeni sistem navadnih linearnih enačb oblike,

∑ (Vij a j − ω 2 Tij a j ) = 0, n j

pri čemer so amplitudni faktorji aj še neznani koefficienti. Homogeni sistem linearnih enačb ima netrivialno rešitev tedaj, če je determinanta koeficientov enaka 0, V11 − ω 2T11

V12 − ω 2T12

V13 − ω 2T13

.

.

.

V1n − ω 2T1n

V21 − ω 2T21 V22 − ω 2T22

.

V31 − ω T31

.

.

.

.

.

2

.

= 0.

.

Vn1 − ω Tn1 2

.

.

.

.

. Vnn − ω 2Tnn

Determinanta je, zaradi pogojev, ki jim ustrezajo koeficienti Vij in Tij, simetrična okoli glavne diagonale. Zapisana enačba, poznana pod imenom sekularna enačba, je enačba n-tega reda, ki poseduje n-korenov za neznanko ω2. Na podoben način, kot za tenzor vztrajnostnega momenta je mogoče pokazati, da so koreni enačbe realni, kar pomeni, da so frekvence ω ali realne (če je ω2 > 0) ali čisto imaginarne (za ω2 < 0). Če je ω realno število se časovni faktor gornjega nastavka za rešitev zapiše kot e i ω t ali e -i ω t (kajti korena sta tedaj ω in – ω), če pa je rešitev čisto imaginarna je tedaj ω = ± iϖ t, kjer je ϖ sedaj pozitivno število. V tem primeru sta rešitvi očitno sorazmerni faktorju e ϖ t , oziroma e − ϖ t , ki pa ne predstavljata nihanje zato jih v nadaljnjem ne obravnavamo. Predpostavimo sedaj, da je rešitev sekularne enačbe za neznanke ω2 poznana in da je vseh n rešitev realnih. Pa označimo ter rešitve, teh n-korenov, kot ω1, ω2, ω3, ...., ωk, ...., ωn, pri čemer so, n.pr. razvrščeni od najmanjše vrednosti do največje. Očitno se tedaj rešitev sistema diferencialnih enačb zapiše kot,

ηi+k = aik Ck+ e + iω k t

ter

ηi-k = aik Ck- e − iω k t

V splošnem je privzeto, da kompleksni faktor pri dani vrednosti indeksa k zavisi še od predznaka frekvence ω. Torej obravnavani sistem niha okoli ravnovesne lege s frekvenco ωk. Ta frekvenca se imenuje k-ta lastna frekvenca (nedušenega) nihanja sistema. Z neposredno substitucijo v enačbe gibanja se izkaže, da je rešitev tudi vsota obeh izrazov, torej,

ηik = ηi+k + ηi-k, pri čemer se imenuje dobljena rešitev ηik, k-ti lastni način nihanja sistema delcev (t.j. normal mode). Za slednjega je značilno, da vsi delci sistema nihajo s frekvenco, ki je enaka ωk in amplitudami, ki so sorazmerne faktorjem aik. Sistem torej lahko niha z največ k-lastnimi frekvencami ωk, k vsaki frekvenci je prirejen en sam lastni način nihanja, torej je skupno število lastnih načinov nihanj enako n po številu.

222

Zapisana rešitev velja za katerikoli frekvenco, ωk, zato kot splošno rešitev lahko zapišemo,

ηi =

+ + iω t − + C k e −iω t ) . ∑ aik (C k e

n

k

k

k =1

Toda dejansko gibanje sistema podaja le realni del zgornje kompleksne rešitve za koordinato ηi, ki se lahko zapiše v obliki,

ηi = ∑ f k aik cos(ω k t + δ k ) , n k

kjer je amplitudo nihanja, fk, in fazo, δk, potrebno določiti iz začetnih pogojev za n.pr. amplitude nihanj ter hitrosti delcev sistema v času t=0. Prav iz razloga, da je potrebno poiskati realno komponento kompleksne rešitve pa je omogočeno, da se nastavek izrazi ali samo v zgoraj zapisani obliki, ali pa se uporabi že zapisani nastavek v kompleksni obliki aik C k e ηi = ∑ k

− iω k t

,

ter se na koncu računa poišče realne komponente posplošenih koordinat ηi.

8.3

Transformacija na normalne koordinate

Če so posplošene koordinate η1, η2, ..., ηn, ortogonalne koordinate, n. pr. kartezične koordinate, x1, x2, x3, ....., x3N, tedaj so mešani produkti enaki nič in kinetična energija sistema se v tem primeru zapiše v obliki,

T =

1 n ∑ Tij η& i η& j = 2 i, j

1 2 ∑ M i x& i , 2 i

kar pomeni, da je sedaj matrica T diagonalna in zato velja,

Tij = Tii δij. Seveda so diagonalni elementi matrice T v tem primeru kar mase delcev, ki sestavljajo sistem, Tii = Mi. Očitno tedaj izraz za kinetično energijo sestoji izključno iz komponent hitrosti delcev na kvadrat. S pomočjo transformacije,

ζi =

M i x& i ,

se tedaj kinetična energija poenostavi v vsoto kvadratov, t.j.,

T =

1 2 ∑ ς&i , 2 i

223

kar pomeni, da so pod zapisano transformacijo elementi matrice kinetične energije sedaj enaki,

Tij = δij. Zgornja enačba za amplitudne faktorje se v tem primeru bistveno poenostavi v,

∑ Vij a j = λ ai, j

2

kjer je namesto ω sedaj vpeljan simbol λ. Toda zapisani izraz je natančno enak izrazu za diagonalizacijo tenzorja vztrajnostnega momenta posplošenega na n dimenzij. Če si torej zamislimo, da Vij predstavlja (i,j)-ti element v n x n matrice V ter da je ai i-ta komponenta n-dimenzionalnega vektorja a , tedaj se gornji izraz lahko zapiše v obliki enačbe za določanje lastnih vrednosti,

v v V a = λ a. Ker je V simetrična in realna matrica, tedaj sledi, da so odgovarjajoče lastne vrednosti izraza realne. Če se iz n lastnih vektorjev, ki pripadajo lastnim vrednostim tvori matrica A, tedaj slednja diagonalizira matrico V po načelu podobnostne transformacije. Seveda dodatno velja, v da je n pripadajočih lastnih vektorjev, a , med seboj ortogonalnih in zato je transformacijska matrica A ortogonalna matrica. Pokazati je mogoče, da prav tako v splošnem primeru, ko ima matrica T od nič različne tudi izvendiagonalne elemente, Tij ≠ 0, je gornji izraz, ki vodi do sekularne enačbe v bistvu posplošena enačba za določanje lastnih vrednosti, ki se v kompaktni obliki lahko zapiše kot,

v v V a = λ T a. Za razliko od prej pa se tokrat operacija množenja matrice potencialne energije, V, z v pripadajočim lastnim vektorjem a , ne odraža kot produkt tega lastnega vektorja pomnoženega s skalarjem λ, kot pri običajnih problemih lastnih vrednosti in lastnih vektorjev, v marveč gre za izraz kjer se delovanje matrice V na lastni vektor a , odraža v zmnožku skalarja v λ z rezultatom delovanja matrice T na lastni vektor a . Mogoče je dokazati, da posedujejo rešitve zapisanega izraza, ki se v komponenti obliki glasi,

∑ Vij a jk = λk ∑ Tij a jk , j

j

vse značilnosti rešitev problema diagonalizacije tenzorja vztrajnostnega momenta in sicer; a) lastne vrednosti λ, ki zadoščajo zapisanemu izrazu so realne in so, zaradi hermitskih lastnosti matric V in T, vse pozitivne, v b) pripadajoči lastni vektorji a , so med seboj, v posplošenem smislu, ortogonalni, c) matrica sestavljena iz lastnih vektorjev A, hkrati diagonalizira tako matrico T, kot tudi matrico V, pri čemer je diagonalizirana matrica T identično enaka matrici enote E (t.j. Tij = δij), diagonalno matrico V pa sestavlja n lastnih vrednosti λk, k=1, ....., n. Z ozirom na dejstvo, da so v gornjem izrazu dobljene lastne vrednosti vse realne sledi, da mora biti razmerje komponent lastnega vektorja, ajk, prav tako realno. Toda, kot je znano je rešitev homogenega sistema enačb izražena z poljubno vrednostjo ene od neznank nakar so vse ostale n-1 neznanke enolično določene. Pri diagonalizaciji tenzorja vztrajnostnega momenta se je tej poljubnosti mogoče izogniti z dodatno postavljeno zahtevo, da se lastne 224

vektorje normira na 1. Kako se tej poljubnosti izogniti v poplošenem problemu iskanja lastnih vrednosti in lastnih vektorjev? Če se enačbo zgoraj, zapisano za lastno vrednost λp kompleksno konjugira, * ∑ Vij aip * = λp ∑ Tij a jp *, i

i

in se obe enačbi odšteje je dobljeni rezultat enak, (λk - λp) ∑ Tij a jk ai p

= 0.

i, j

V primeru kadar so vsi koreni sekularne enačbe med seboj različni, λk ≠ λp, mora zato veljati,

∑ Tij aip a jk = δpk. i, j

V zapisanem izrazu (pravzaprav obstaja n takšnih enačb, ki enolično opredelijo vrednosti ene v od sicer poljubnih n komponent, ki sestavljajo vsakega od n lastnih vektorjev a ) je že bilo upoštevano dejstvo, da so vse lastne vrednosti prav tako, kot lastni vektorji, realni. V primeru dvo ali mnogoličnosti lastnih vrednosti, pripadajoči lastni vektorji, v zgornjem smislu, z utežjo Tij, niso več ortogonalni. To pomeni, da v splošnem ni mogoče več tvoriti ortogonalne matrice A, ki simultano diagonalizira matrici T in V. Toda izkaže se, da je v takšnem primeru še vedno mogoče izhajajoč iz večličnih rešitev za lastne vrednosti in konstruirati takšne lastne vektorje, ki so med seboj in na preostale lastne vektorje, ki pripadajo različnim lastnim vrednostim, vedno ortogonalni. Gornji (posplošeni) pogoj ortogonalnosti, ki velja za λk ≠ λp, k,p = 1, 2, ..., n, pa je mogoče razumeti tudi čisto geometrično. Po definiciji skalarnega produkta v kartezičnem v vektorskem prostoru je norma n-dimenzionalnega vektorja a k, ki sestoji iz n komponent katerih pomen so amplitude nihanja posplošenih koordinat, aki, enaka

v v ak . ak =

∑ a jk

2

= 1.

j

Poljubna vektorja, ki ustrezata različnim lastnim vrednostim sta v tem prostoru med seboj ortogonalna zato,

v v a i. a k

= ∑ a jp a jk

=

0

za

j ≠ k.

j

Če vektorski prostor ni kartezičen, to pomeni, da koordinatne osi tega n-dimenzionalnega prostora niso med seboj pravokotne (v posplošenem smislu), tedaj se dolžina danega vektorja in pogoj ortogonalnosti poljubnih dveh vektorjev tega vektorskega prostora zapiše v obliki,

v v ak . ak v v ai. ak

=

∑ Tij aik a jk i, j

=

∑ Tij aip a jk . i, j

Primerjava obeh enačb z enačbami zgoraj neposredno vodi, do naslednje (matematične) ugotovitve: pogoj ortogonalnosti, ki je zapisan za primer različnih lastnih vrednosti matrice A, 225

potemtakem pomeni pogoj ortogonalnosti te matrice v vektorskem prostoru, katerega metrični tenzor je T. Ker je v evklidskem (kartezičnem) vektorskem prostoru metrični tenzor kar enak enotnemu tenzorju, 1, se tedaj zgoraj zapisana pogoja norme in ortogonalnosti neposredno poenostavita v že znane izraze. Pogoj ortogonalnosti je nadvse priročen za določitev faktorjev Ck iz zadanih začetnih pogojev za vrednosti posplošenih koordinat in posplošenih hitrosti. Na osnovi zgoraj zapisanega je očitno, da se splošna rešitev Lagrangejevih enačb gibanja glasi,

ηi = ∑ C k aij e − iω k t , k

tako, da se začetni pogoji izrazijo na naslednji način, ηi(t=0) = ∑ Re (C k aik ) k

∑ Im(C k aij ω k ) ,

ηi(t=0) =

k

kjer besedi Re in Im pomenita realni, oziroma imaginarni del izraza v oklepaju, t.j. koeficienta Ck. Če se desne in leve strani gornjih izrazov pomnoži s členom Tijajp in nato sešteje dobljene izraze po indeksih i in j se dobi,

∑ Tijη i (0)a jp = i, j

Re ∑ C k Tij aij a jp

∑ Re(C k δ kp ) ,

=

i , j ,k

k

od koder je nemudoma razvidno, da je realni del koeficienta Cp enak, Re Cp

∑ Tijη i (0)a jp .

=

i, j

Na podoben način se pokaže, da se imaginarni del koeficienta Cp glasi, =

Im Cp

-

1

∑ Tijη& i (0)a jp .

ω p i, j

Na takšen način določeni koeficienti, Ck, aik, in ωk, tedaj enolično določajo rešitev začetnega sistema sklopljenih diferencialnih enačb, ki se z nastavkom,

∑ aik ζ k ,

ηi =

k

kjer funkcija ζk definirana kot,

ζ k = Ck e − iω t , k

zadošča Lagrangejevi funkciji (po izvedeni diagonalizaciji matric T in V ) v obliki,

L =

(

)

1 2 2 2 ∑ ζ&k − ω k ζ k . 2 k

226

Lagrangejeve enačbe gibanja zapisane za vsako od n koordinat ζk, k=1, 2, ….n, se zato glasijo,

ζ&&k + ω k 2 ζ k =

0,

kar pomeni, da so enačbe gibanja sistema delcev, zapisane z koordinatami ζk sedaj nesklopljene. Rešitev zgornjega izraza. ki je očitno,

ζ k = Ck e − iω t k

k=1,2,…….,n

se imenuje normalna koordinata sistema delcev.

8.4

Lastna nihanja sistemov povržena vzbujevalnim in disipacijskim silam

V prejšnjem razdelku je bilo pokazano, da predstavlja vsaka lastna (normalna) koordinata, ζk, nedušeno harmonično nihanje sistema delcev okoli ravnovesnih leg z natančno določeno frekvenco, t.im. lastno frekvenco, ωk. Iz zapisanega razloga se zato lastna koordinata ζk pojmuje kot k-ti lastni način nihanja (včasih pa kot k-ti normalni mod, oziroma k-ti normalni lastni način nihanja) sistema delcev, ki se ga obravnava. Pomen lastnega načina nihanja sloni na dejstvu, da vsak lastni način nihanja predstavlja nihanje sistema, kjer so vsi delci sistema podvrženi nedušenemu harmoničnemu nihanju (okoli njihovih ravnovesnih leg) z enako frekvenco in enako fazo. Koeficienti, aik, k=1, 2,….., n, podajajo relativne amplitude posameznih lastnih načinov nihanja, kajti kot je razvidno iz izraza, ηi =

∑ aik ζ k

i=1, 2,……,n ,

k

je najbolj splošno nihanje sistema (bolj natančno nedušeno harmonično nihanje i-te generalizirane koordinate) sestavljeno iz vsote, t.j., linearne kombinacije vseh, za dani sistem delcev dopustnih, lastnih načinov nihanj. Toda v naravi mehanski sistemi po tem, ko so bili vzbujeni, sami od sebe zlagoma preidejo v stanje statičnega ravnovesja (mirovanja). Za to, da se bodo nahajali v stanju dinamičnega ravnovesja, t.j. nihanja delcev sistema okoli ravnovesnih leg z majhnimi amplitudami, je potrebno na delce delovati s časovno odvisnimi harmoničnimi vzbujevalnimi silami. V splošnem je problem sklopljenega nihanja z majhnimi amplitudami sistema delcev rešljiv samo v nekaterih posemeznih primerih, zato je ustrezneje najprej proučiti problem vsiljenega nihanja nedušenega sistema delcev na katerega deluje okolica z vzbujevalnimi silami Fs, kjer teče indeks s = 1, 2, ...., L. Iz definicije virtualnega dela za vzbujevalne sile sledi,

v n N v n ∂r v v δA = ∑ Fs .δ rs = ∑ Fs ∑ s δ q j = ∑ Q j δ q j , j =1 s =1 s j =1 ∂q j L

kjer so Qj, komponente generalizirane sile, ki so povezane z vzbujevalnimi silami na sistem delcev, enake,

227

v ∂rvs Qj = ∑ Fs . ∂q j s =1 L

v ∂rvs . ∑ Fs . ∂η j s =1 L

=

Pri izpeljavi je bilo upoštevano, da velja,

qj = qjo + ηj

j = 1, 2, ...., n,

pri čemer je ravnovesna posplošena koordinata qjo, od časa neodvisna količina in zato je δqj = δηj. Toda prav tako mora veljati, n

n

j =1

n =1

(ζ )

δ A = ∑ Q j δ q j = ∑ Qn δζ n , in zato so posplošene komponente vzbujevalnih sil, Qj(ζ), enake,

Qn(ζ) =

n

∂q j

j =1

∂ζ n

∑Qj

Toda iz transformacijskih enačb

∑ aik ζ k ,

ηi =

k

je nemudoma razvidno, da je n

Qn(ζ) =

∑ a jn Q j . j =1

Lagrangejeve enačbe zapisane za normalno koordinato, ζj,

d dt

 ∂L   ∂ζ&  j

 ∂L − = Qj(ζ)  ∂ζ j 

j = 1, ....., n

kjer je Lagrangejeva funkcija za konservativni sistem delcev enaka,

L =

(

)

1 2 2 2 ∑ ζ&k − ω k ζ k , 2 k

se tedaj razcepijo v preproste, že poznane nesklopljene diferencialne enačbe vsiljenega nihanja oblike,

ζ&&j + ω j 2 ζ j =

Qj

(ζ )

j = 1, 2,....,n.

Zapisane enačbe je mogoče rešiti, če je poznana časovna odvisnost komponent posplošene (ζ ) vzbujevalne sile, Q j . Toda jasno je, da tudi v primeru zunanjih vzbujevalnih sil na sistem

228

delcev, ki lahko nihajo z majhnimi amplitudami okoli ravnovesne lege, formulacija problema z vpeljavo lastnih (normalnih) koordinat ohrani zgoraj opisano prednost in sicer, da omogočijo ločitev spremenljivk in tako reducirajo reševanje sklopljenega sistema direferencialnih enačb na reševanje diferencialne enačbe ena same spremenljivke. V primeru, ko je vzbujevalne sile mogoče opisati s periodično časovno odvisnostjo dane frekvence tako, da je

Qj

(ζ )

= Qjo cos (Ω t+δj),

kjer je ω krožna frekvenca vzbujevalnih sil se pripadajoča nehomogena diferencialna enačba drugega reda za neznano funkcijo ζj glasi,

ζ&&j + ω j 2 ζ j = Qjo cos (Ω t+δj). Splošna rešitev je vsota partikularne rešitve in rešitve homogenega dela diferencialne enačbe in torej sestoji iz vsote, ki podaja nedušeno harmonično nihanje in partikularne rešitve. Z ustrezno izbiro začetnih pogojev je mogoče doseči, da je prispevek harmoničnega nihanja zanemarljiv. V tem primeru se išče partikularna rešitev z nastavkom, ζj =

Bj cos (Ω t+δj).

Amplitude Bj se tedaj določi iz diferencialne enačbe od koder se dobi,

Bj =

Qoj

ω j − Ω2 2

,

tako, da je pod navedenimi pogoji časovna odvisnost posplošenih koordinat in s tem rešitev problema vsiljenega nihanja podana z ηj =

n

n

a ji Q0i

i =1

i =1

ωi 2 − Ω2

∑ a ji ζ i = ∑

cos (Ωt + δ i ) .

Očitno je nihanje posplošene koordinate in s tem delcev sistema sestavljeno iz linearne kombinacije lastnih načinov nihanj, pri čemer pa je časovna odvisnost vsakega lastnega načina nihanja podana s frekvenco vzbujevalne sile. Iz zgornjega izraza bi na prvi pogled sledilo, da v primeru, ko se vzbujevalna frekvenca Ω približuje lastni frekvenci nekega določenega lastnega načina nihanja, n.pr. Ω → ωp, tedaj bi nastopila resonanca za p-ti lastni način nihanja. To bi pomenilo, da vsi preostali lastni načini nihajo z majhnimi amplitudami, amplituda Bp pa bi naraščala preko vsake meje. Takšno pričakovanje pa ni realno, kajti potrebno se je zavedati, da je celotna teorija sklopljenega nihanja sistema delcev zgrajena na predpostavki nihanj z majhnimi amplitudami, to pa pomeni, da zapisani pristop ni uporaben v primeru, da je frekvenca vzbujevalne sile blizu lastni frekvenci danega lastnega načina nihanja. Seveda pa so v praksi nihanja delcev povržena dušenju. V posebnem primeru, ko je sila upora sorazmerna hitrosti delca je mogoče definirati Rayleigh-ovo disipacijsko funkcijo Rdis, glej razdelek 2.2, ki je homogena kvadratna funkcija posplošenih hitrosti,

229

Rdis =

1 n ∑ Rijη&i η& j . 2 i, j

Koeficienti Rij so simetrični torej Rij = Rji, in so lahko funkcija koordinat. V tem primeru jih razvijemo v Taylorjevo vrsto in obdržimo samo prvi, t.j. konstantni člen, podobno kot je bilo to storjeno za kinetično energijo. V splošnem se pokaže, da so koeficienti Rij pozitivni ali kvečjemu enaki nič. V tem primeru se Lagrangejeve enačbe gibanja glasijo,

∑ Tij η&& j + ∑ Rij η& j + ∑ Vij η j = 0. j

j

j

Dobljeni sistem enačb je neposredno mogoče rešiti le tedaj, če je mogoče najti takšno matrico, ki khrati diagonalizira tri matrice, T, V in Rdis. To je pa le tedaj, ko so sile upora sorazmerne tako hitrosti delca kot tudi masi delca. Samo v tem primeru se enačbe gibanja pretvorjene na lastne (normalne) koordinate, ζi, glasijo

ζ&&i + Ri ζ&i +ω i 2 ζ i = 0, kjer so Ri pozitivni koeficienti ki ležijo vzdolž glavne diagonale, diagonalizirane matrice Rdis. Rešitev enačbe se išče z nastavkom, ζj =

Cj e

− i ω ′j t

,

kjer mora še neznana krožna frekvenca ωj´ zadostiti enačbo,

ωj´2 + i ωj´Rj - ωj2 = 0. Dobljeni rešitvi sta očitno kompleksni,

ωj´ =

± ωj − 2

Rj

2

4

−i

Rj 2

,

kar pomeni, da lastna koordinata ζj niha dušeno, s frekvenco, ki zavisi od koeficienta dušenja. Samo v primeru nadalnje poenostavitve, da je Rj majhen se tedaj dinamika lastnega načina nihanja ζj izraža, kot eksponencialno dušeno harmonično nihanje oblike, ζj = Cj e − Rit 2 e

− iω j t

.

Bolj pogosti pa so primeri, ko dejanske disipacijske funkcije sistema delcev ni mogoče diagonalizirati hkrati z diagonalizacijo T in V. Izkaže se, da je tudi v teh primerih mogoče iskati rešitev izraza,

∑ Tij η&& j + ∑ Rij η& j + ∑ Vij η j = 0, j

j

j

z nastavkom,

230

ηj = C aj e- i ωt, ki prevede gornji sistem v množico linearnih enačb,

∑ (Vij − iω Ri j − ω 2 Tij )a j = 0. j

V splošnem je rešitev tega homogeneg sistema linearnih enačb za neznanke aj podana samo za določene vrednosti ω, ki je kompleksno število. Še večje težave nastopijo v primerih vsijenega nihanja ob prisotnosti sil upora na delce sistema. Če se zapiše časvna sprememba vzbujevalne sile v obliki, Fj = Foj e – i ω t, kjer so amplitude Foj lahko kompleksna števila, se enačbe gibanja glasijo, –iωt . ∑ (Vijη j + Rijη& j + Tijη&& j ) = Foi e j

Z nastavkom, ηj =

Aj e- i ω t

se gornji sistem prevede na nehomogeni sistem linearnih enačb za amplitude Aj, v obliki,

∑ (Vij − iω Ri j − ω 2 Tij )A j =

Foj

j=1, 2, ...., n.

j

Če število enačb ni preveliko (n.pr. n < 10) tedaj se zapisani sistem lahko rešuje s pomočjo Cramerjevega pravila, Aj =

det j (ω ) det (ω )

,

kjer je det[ω] kar determinanta koeficientov neznak Aj, detj[ω] pa označuje to determinanto v kateri je j-ti stolpič koeficientov zamenjan z stolpičem desne strani, t.j. s stolpičem F01, F02, ......., F0n. V splošnem se izkaže, da je sedaj resonanca dopustna, toda zaradi dušenja so lahko amplitude v resonanci še vedno sprejemljivo velike, vedno so pa končne. Seveda pa velja, da lastni način nihanja, katerega lastna frekvenca je blizu ali pa enaka vzbujevalni frekvenci, vedno prevladuje v primerjavi s preostalimi lastnimi nihanji, ki so še v sistemu prisotni. Teorija sklopljenih nihanj z majhnimi amplitudami je sicer izhajala iz problemov mehanike, toda njen nadalnji razvoj izhaja iz vzpodbud, ki so nastale pri razvoju prenašanja signalov z elektromagnetnim valovanjem, natančneje pri analizi sklopljenega nihanja množice električnih nihajnih krogov, sestavljenih iz kondenzatorjev, tuljav in ohmskih uporov.

231

Zgledi: 1.

Na togi vertikalno vpeti palici sta preko vijačnih vzmeti konstant k1 in k2 vpeti uteži mas m1 in m2, ki drsita brez trenja po paličnem vodilu, skica ??? Zapiši enačbe gibanja za primer nihanj z majhnimi amplitudami in podaj njihove rešitve.

Če se označi z z1 in z2 trenutni odmik drsnikov mase m1 in m2 iz njunih ravnovesnih leg se tedaj

če je število enačb sorazmerno majhno, sicer pa z n.pr. Gaussovo eliminacijsko metodo in pd.,

232