Kemonotonan Dan Kecekungan

MATEMATIKA TEKNIK  APLIKASI TURUNAN

Di susun oleh Kelompok 3 Sandy Surapati

D51110287

Sunaryadi

D51110288

Andi Arfan

D51110289

Hardyanti Muchtar

D51110290

Anugrah Sakti A

D51110291

Syandi Ardin

D51110292

Syahrir Ramadhana

D51110293

Afrianto Saptahadi

D51110294

I. Maksimum dan Minimum Dalam hidup ini, kita sering mengahadapi masalah untuk mendapatkan cara terbaik untuk  melakukan sesuatu.Sebagai contoh, seorang petani ingn memilih kombinasi tanaman yang dapat menghasilkan kuntungan terbesar. Seorang dokter ingin memilih dosis terecil suatu obat yang akan menyembuhkan penyakit tertentu.Seorang kepala pabrik akan menekan sekscil mungin biaya distribusi barangnya. Kadangkala salah satu dari masalah diatas dapat dirumuskan sehingga melibatkan pemaksimuman atau peminimumam suatu fungsi pada suatu himpunan yang dirinci. Bila demikian, metode-metode kalkulus menyediakan sarana amph untuk memecahan masalah tersebut. Definisi Andaikan S, daerah asal dari f, mengandung titik c.Kita katakana bahwa: (i) f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f (c) ≥ f(x) untuk semua x di S; (ii) f(c) adalh nilai minimum f pada S jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x di S; (iii)f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum. (iv)Fungsi yang ingin kita nakimumkan atau minimumkan adalah fungsi objektif .

TEOREMA KEBERADAAN MAKS-MN Jika f kontinu pada selag tutup [a,b] maka f mencapai nilai maksmimum dan minimum disana. Contoh: Carilah titik-titik kritis dari f(x) = -2x3 + 3x2 pada [-½,2] Penyelesaian Titik-titik ujug adalah -½ dan 2. Untuk mencari titik stationer kita selesaikan f’(x) =-6x2 + 6x =0 untuk x, diperoleh 0 dan 1. Tidak aa titik-titik singular. Jadi titik-titik kritis adalah -½, 0, 1, 2. TEOREMA TITIK KRITIS Andaikan f terdefenisikan pada selang l yang memuat titik c. Jika f(c) adalah nilai ekstrim maka c haruslah berupa suatu titik kritis yakni c berupa salah satu: (i) Titik ujung dari I;

(ii) Titik stationer dari f(f’(c) = 0); atau (iii)Titik singular dari f(f’(c) tidak ada)

Contoh: Seorang petani mempunyai 100 meter kawat duri yang akan dipergunakan untuk membuat dua kandan identik yang berdampingan, seperti diperlihatkan dalam Gambar. Berapa ukuran seluruh keliling agar luas maksimum ?

Penyelesaian: Misalkan : x = panjang y = Lebar  Maka 3x+2y = 100 menjadi y = 50-3/2x Luas total A diberikan oleh A=xy= 50x-3/2x2 Karena harus terdapat tiga sisi dengan panjang x, kita lihat bahwa 0≤ x ≥ 100/3, jadi yang menjadi masalah adalah memaksimumkan A, Pada [0,100/3] sekarang

Ditetapkan 50-3x=0 maka x=50/3 pada titik stationer. Jadi sekarang kita telah mendapatkan tiga titik kritis 0,50/3,dan 100/3, kedua titik ujung 0 dan 100/3 memberikan A=0 sedangkan x=50/3 menghasilkan A=416,67. Ukuran yang diinginkan adalah x= 50/3=16,67 meter dan y= 50-3/2(50/3) = 25 meter.

II. Kemonotonan dan Kecekungan Definisi

Andaikan f  terdefinisi pada selang I ( buka, tutup, atau tak satupun ). Kita katakan bahwa : (i)  f  naik pada I  jika, untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I .

 x1 < x2 → f (x1) < f(x2) (ii) f turun pada I jika, untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 daalm I .

x1 > x2 → f (x1) > f(x2) (iii)f monoton murni pada I jika f pada I atau turun pada I.

Teorema A. Teorema kemonotonan

Andaikan f kontinu pada selang I dan terdiferensiasi pada setiap titik-dalam dari I . (i)  jika f’ (x) > 0 untuk semua x titik-dalam I, maka f naik pada I.

(ii) jika f’ (x) < 0 untuk semua x titik-dalam, maka f turun pada I.

Teorema ini biasanya memperbolehkan kita untuk menentukrn secara persis dimana suatu fungsi yang terdiferensiasikan naik dan dimana fungsi tersebut turun. Ini merupakan masalah penyelesaian dua ketaksamaan.

Teorema B. Teorema kecekungan

 Nadaikan f terdiferensiasikan dua kali pada selang buka I. (i) jika f’’ (x) > 0 untuk semua x dalam I, maka f cekung ke atas pada I. (ii) jika f”’ (x) < 0 untuk semua x dalam I, f cekung ke bawah pada I.

Untuk kebanyakan fungsi , teorema ini mengubah masalah penentuan kecekungan menjadi masalah penyelesaian ketaksamaan

Contoh soal

Anggaplah air dituangkan ke dalam wadah berbentuk kerucut, seperti yang diperlihatkan dalam gambar 12, dengn laju konstan

inci kubik perdetik. Tentukanlah ketinggian h sebagai fungsi

waktu t dan gambarlah plot h(t) dari waktu t = 0 sampai waktu wadah tersebut terisi penuh dengan air.

2 in

4 in

Penyelesaian

Sebelum kita menyelesaikan masalah ini, pikirkanlah seperti apa grafik tersebut nantinya. Pertama-tama, ketinggian akan meningkat dengan cepat, karena hanya diperlukan sedikit air  untuk mengisi dasarnya. Seiring wadah kerucut tersebut mulai terisi dengan air, ketinggian meningkat agak lambat. Apakah yang dikatakan pernyataan-pernyataan ini mengenai fungsi h(t), turunannya h’(t), dan turunannay keduanya h’’(t) ? sementara air dituangkan kedalam kerucut, ketinggiannya akan bertambah barati h’(t) akan positif. Ketinggiannya akan meningkat lebih lambat seiring ketinggian air yang bertambah. Jadi, fungsi h’(t) menurun, sehingga h’’(t)

negatif. Grafik h(t) kemudian bertambah (karena h’(t) positif) dan cekung ke bawah (karena h’’(t) negatif). Sekarang sekali kita telah memiliki ide intuitif mengenai apa jadinya grafik itu ( meningkat dan cekung ke bawah), kitaselesaikan masaalh ini secara analitis. Volume kerucut yang tegak melingakar adalah V =

, dengan V, r, dan h adalah fungsi-fungsi waktu.

Karena alian air ke dalam kerucut laju sebesar

inci kubik per detik, fungsi V adalah V =

,

di mana t diukur dalam detik. Fungsi-fungsi h dan r berhubungan ; perhatikanlah segitigasegitiga yang sama pada gambar.

2 in

4 in h

Dengan menggunakan sifat-sifat dari segitiga yang sama, kita memperoleh

jadi, r = h/4.

Volume air di dalam kerucut , sebesar V =

Di sisi lain volumenya adalah V = t . dengan menyamakn kedua persamaan tersebut untuk V maka

Pada saat h = 4, kita mempunyai t =

=

= 8,4

Jadi,diperlukan waktu sekitar 8,4 detik untuk mengisi wadah tersebut. Sekarang kita selesaikan

untuk h daalm persamaan di atas yang menyatakan relasi h dan t, menjadi h =

Turunan pertama dan kedua dari h adalah h’(t)= Dt =

Yang bernilai positif,dan

=-

h’’(t) = D

yang bernilia negative. Grafik h(t) ditunjukkan dalam gambar 

di bawah. Seperti yang diharapkan grafik h meningkat dan cekung ke bawah.

200 v 150 100 50 0 1

2

3

4

t

III. Maksimum dan Minimum Lokal Defenisi

i)

f(a) dinamakan nilai maksimum lokal fungsi f di x=a bila mana terdapat selang terbuka I

yang memuat a, sehingga ; f(a)

≥

f(x) ,

∀

x  € I dan titik (a,f(a)) dinamakan titik maksimum

lokal dari fungsi f. (ii) f(a) dinamakan nilai minimum lokal fungsi f di x=a bila mana terdapat selang terbuka I yang memuat a, sehingga ; f(a)≤ f(x) , ∀ x € I dan titik (a,f(a)) dinamakan titik minimum lokal dari fungsi f. (iii) f(a) adalah nilai ekstrim lokal fungsi f jika ia berupa nilai maksimum lokal atau minimum lokal.

Dimana nilai-nilai ektrim terjadi ?

Teorema titik krisis berlaku sebaimana dinyataan, dengan ungkapan nilai ekstrim diganti oleh nilai ektrim lokal. Jadi titik-titik krisis ( titik ujung, titik stasioner, titik singular ) adalah calon untuk titik tempat kemungkinan terjadinya ektrim lokal. Kita katakan bahwa setiap titik kritis harus merupakan ekstrim lokal.

Teorema 1

( Uji turunan pertama untuk ektrim lokal ). Misalkan fungsi f kontinu pada selang terbuka ( a,  b) yang memuat titik kritis c. 

(i) Jika f’(x)>0 untuk semua x dalam (a,c) dan f’(x)0. Kita menyimpulkan bahwa f(1)=-3 adalah nilai minimum lokal untuk f, dan karena f turun di sebelah kiri 1 dan naik di sebelah kanan 1, memang benar merupakan nilai minimum dari f. Fakta-fakta yang dinyatakan di atas menunjukkan bahwa f tidak mempunyai nilai maksimum. Masalah-Masalah Praktis. Contoh :

Sebuah surat edaran memuat 50cm2 bahan cetakan. Jalur bebas cetak di atas dan di bawah selebar 4 cm dan di smaping kiri dan kanan selebar 2 cm. Berapakah ukuran surat edaran tersebut yang memerlukan kertas sedikit mungkin? Penyelesaian Andaikan x adalah lebar dan y adalah tinggi surat edaran tersebut Kita bermaksud meminimumkan A.

Seperti terlihat, A diungkapkan dalam bentuk dua peubah, situasi yang tidak kita ketahui  bagaimana menanganinya. Tetapi, kita akan mencari sebuah persamaan yang mengaitkan x dan y sehingga satu dari peubah-peubah ini dapat dihilangkan dari ungkapan untuk A. Ukuran  bahan cetakan adalah x-4 dan y-8 dan luasnya adalah 50 cm2 , sehingga (x-4)(y-8)=50. Bilamana kita selesaikan ini untuk y, kita peroleh

4cm

Dengan penggantian ungkapan ini untuk y dalam A = xy yang memberikan A dalam x

2 cm

4 cm

 Nilai-nilai x yang diperbolehkan adalah 4