Kelompok 2 - Teorema Binomial
April 11, 2019 | Author: dyah retno k. | Category: N/A
Short Description
teorema binomial...
Description
MAKALAH TEOREMA BINOMIAL
Disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Matematika Matematika Diskrit
Dosen Pengampu
: Dr. Isnaini Rosyida, S.Si, M.Si
Rombel B
Kelompok 2
1. Wihdati Martalyna
(0401516006) (0401516006)
2. Betha Kurnia S.
(0401516012) (0401516012)
3. Agriat Barata
(0401516015) (0401516015)
4. Anita Sulistyawati
(0401516020) (0401516020)
PENDIDIKAN MATEMATIKA PROGRAM PASCASARJANA UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 2017
KATA PENGANTAR Puji syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa yang telah memberikan rahmat serta karunia-Nya sehingga kami berhasil menyelesaikan makalah yang berjudul “Teorema Binomial ” ini dengan baik. Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Matematika Diskrit. Kami menyadari bahwa makalah ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu kritik dan saran dari semua pihak yang bersifat membangun selalu kami harapkan demi kesempurnaan makalah ini. Akhir kata, kami sampaikan terima kasih kepada semua pihak yang telah berperan serta dalam penyusunan makalah ini dari awal sampai akhir. Semoga Tuhan Yang Maha Esa senantiasa meridhai segala usaha kita. Amin.
Penyusun
2
TEOREMA BINOMIAL
Teorema binomial memberikan koefisien dari perluasan ekspresi binomial berpangkat. Ekspresi binomial secara sederhana merupakan penjumlahan dari dua suku, seperti
(Suku-suku dapat dihasilkan dari konstan dan variabel, tetapi
tidak diperhatikan disini). Contoh 1 berikut mengilustrasikan bagaimana koefisien dalam perluasan khas dapat ditemukan dan menyiapkan kami untuk pernyataan teorema binomial.
Penjabaran
dapat ditentukan menggunakan kombinatorial daripada
perkalian tiga suku. Saat
dijabarkan, semua hasil kali suku
pertama, suku kedua, dan suku ketiga dijumlahkan. Suku-suku terbentuk. Untuk mendapatkan suku
,,,
, sebuah harus dipilih dari setiap penjumlahan, dan
hanya dapat dikerjakan dengan cara ini. Jadi, suku
pada hasil perkalian tadi memiliki koefisien 1.
Untuk mendapatkan suku
, sebuah
harus dipilih dari dua dari tiga
penjumlahan (dan akibatnya dalam penjumlahan lainnya). Bilangan seperti itu disebut bilangan kombinasi 2 dari tiga objek, dinamakan Dengan cara yang sama, bilangan dari suku
.
adalah bilangan dari cara
memilih satu dari tiga penjumlahan untuk mendapatkan sebuah
32
(dan akibatnya,
ambil sebuah dari setiap dua penjumlahan lain). Hal ini dapat diselesaikan dengan
31
.
Akhirnya, satu-satunya cara untuk mendapatkan sebuah suku
adalah memilih
untuk setiap ketiga penjumlahan dalam hasil kalinya, dan ini hanya bias diselesaikan dengan satu cara. Akibatnya,
3 3 Sekarang kita nyatakan teorema Binomial.
3
Misalkan
dan
negatif. Maka,
adalah variabel, dan misalkan n adalah bilangan bulat non
− = − 0 1− ⋯ 1 Bukti:
Kita gunakan bukti kombinatorial. Suku-suku dalam hasil kali saat dijabarkan adalah bentuk
0,1,2,…,
.
− −
untuk
Untuk menghitung bilangan dengan suku-suku dalam bentuk untuk mendapatkan suku tersebut, perlu memilih
s dari n jumlah (sehingga
j suku lain dalam hasil kali adalah ys). Sehingga koefisien
−
adalah
, catat bahwa
, dan sama dengan
.
Terbukti.
Atau kita dapat membuktikan teorema ini dengan induksi matematika. Bukti:
Untuk n = 0, jelas pernyataan tersebut benar. Asumsikan pernyataan benar untuk n-1 > 0. Artinya,
−
−− − 1 =
Selanjutnya, akan ditunjukkan pernyataan benar untuk n.
4
Perhatikan bahwa,
− − 1−− = − − −− 1 −− 1 = −
= −
=
=
+ −− 1 − 1
− − 1 1 + −− 1 = = 1 − 1 0
−
−
=
=
+ −− 1 − 1 Ganti k+1 dengan k pada suku kedua, diperoleh
−
− 1 − 1− 1 = = Setelah disederhanakan, didapat
−
{ 11 1 } − =
Berdasarkan identitas Pascal, maka
∑− = − ∑= − Jadi, pernyataan benar untuk n. Terbukti.
Bagaimana penjabaran dari
?
Penyelesaian:
Dari teorema binomial, maka
5
.
4 − = 40 41 42 43 44 4 6 4 Apakah koefisien dari
Penyelesaian:
Dari teorema binomial, maka koefisien dari
! 5,200,300 2513 !!
Pertama, catat bahwa
?
adalah
.
2 3 2 3 2 3
Apakah koefisien dari Penyelesaian:
dalam penjabaran
dalam penjabaran
?
.
Dengan menggunakan teorema binomial,
2 3 25 2−3 = ! 23 25132−3 251323 !! Akibatnya, koefisien
dalam penjabarannya akan diperoleh saat
13
,
yaitu
.
Sekarang kita dapat membuktikan beberapa identitas yang berguna menggunakan teorema binomial, yaitu Akibat 1, Akibat 2, dan Akibat 3.
Misalkan n bilangan bulat non negatif. Maka,
∑= 2
.
6
Bukti:
Menggunakan teorema binomial dengan x = 1 dan y = 1, maka
2 11 ∑= 1 1− ∑=
.
Terbukti.
Selain menggunakan pembuktian, tersebut, dapat juga menggunakan pembuktian berikut ini. Bukti:
Sebuah himpunan dengan nunsur memiliki total
2
subset berbeda. Setiap subset
memiliki nol unsur, satu unsur, dua unsur, atau n unsur di dalamnya. Ada
0
subset dengan nol unsur,
dengan dua unsur, dan Sehingga,
1
subset dengan satu unsur,
2
subset
subset dengan n unsur.
∑=
menghitung total banyaknya subset dari sebuah himpunan dengan n unsur. Dengan menyamakan rumus tersebut dengan yang telah kita punyai sebelumnya, yaitu rumus banyaknya subset sebuah himpunan dengan n unsur, maka
2
=
Misalkan n adalah bilangan bulat positif. Maka
∑=1 0
.
Bukti:
1 1 0 0 (1 1) ∑= 11− ∑= 1 Kita gunakan teorema binomial dengan
dan
Terbukti.
7
, maka
.
Tandai: Akibat 2 mengakibatkan bahwa
02 4⋯ 135 ⋯ Misalkan n adalah bilangan bulat non negatif. Maka
2 3
=
Bukti:
Kita mengenal ruas kiri dari rumus ini adalah penjabaran dari
12
, sehingga
dengan teorema binomial,
12 ∑= 1− 2 ∑= 2
.
Sehingga,
2 3
=
Terbukti.
Misalkan m, n, dan r bilangan bulat non negatf dengan r tidak lebih dari m ataupun n. Maka
=
Bukti:
•
Pandang dua himpunan A dengan m elemen dan B dengan n elemen.
•
Maka banyaknya cara untuk memilih r elemen dari AUB adalah
•
Cara lain untuk memilih r elemen dari AUB adalah dengan memilih k elemen
dari B dan kemudian r -k elemen dari A, dengan k bilangan bulat,
8
.
0 ≤ k ≤ r . •
Berdasarkan aturan perkalian, banyaknya cara untuk melakukan pemilihan tersebut adalah
•
∑=
Jadi berdasarkan aturan perkalian, banyaknya cara untuk memilih r elemen dari AUB adalah
•
Kita telah mendapatkan dua ekspresi untuk menentukan banyaknya cara untuk memilih r unsur dari gabungan himpunan dengan m item dan himpunan dengan n item. Menyamakan kedua persamaan tersebut menghasilkan identitas Vandemonde.
Jika n bilangan bulat non-negatif, maka
2 ∑=
Bukti:
Kita gunakan identitas Vandermonde dengan m=r=n untuk mendapatkan
2 = = Kesamaan ini diperoleh menggunakan identitas
Misalkan n dan r bilangan bulat non-negatif dengan
1 1 =
9
≤
.
. Maka
1.
Tentukan penjabaran dari
2.
Apakah koefisien dari
3.
Tentukan rumus untuk koefisien
!
dalam penjabaran
2 3 ?
dalam penjabaran
, dimana k
adalah bilangan bulat ! 4.
Show that a nonempty set has the same number of subsets with an odd number number of elements as it does subsets with an even number of elements.
5. Determine a formula involving binomial coefficients for the nth term of a sequence if its initial terms are those listed. a. 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, … b. 1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, …
Penyelesaian:
1. Dari teorema binomial, maka
6 − = 60 61 62 63 64 65 66 6 15 20 15 6 2 3 2 3
2. Pertama, catat bahwa
.
Dengan menggunakan teorema binomial,
2 3 200 2−3 = −3 200 23 25! 23 200 2 99 99 13!12! Akibatnya, koefisien
dalam penjabarannya akan diperoleh saat
yaitu
10
99
,
3.
100 − ∑ = 100 −1− = 100 −1 = Karena akan dicari koefisien , maka
2003 ⟺ 200 3 0 ≤ ≤ 100 0 ≤ − ≤ 100 ⇔ 0 ≤ 200 ≤ 300 ⇔ 100 ≤ ≤ 200 1 00 − 1 100 ≤ ≤ 200 ≡ 2 3 Karena
, maka
.
Sehingga diperoleh koefisien dengan
adalah
,
dan
4. Misalkan terdapat himpunan A yang tak kosong dengan n unsur. Dari Akibat 2 diperoleh
01 2345⋯ 0 ⟺ 024 ⋯ 135⋯
Ruas kiri memberikan banyaknya subset dengan sejumlah genap unsur, dan ruas kanan memberikan banyaknya subset dengan sejumlah ganjil unsur. 5. a.
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, … Barisan tersebut apabila dikaitkan dengan koefisien binomial ekuivalen dengan barisan
20,31,42,53,64,75,… 21 2 2
Sehingga formula suku ke n adalah b.
1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, …
Barisan tersebut apabila dikaitkan dengan koefisien binomial ekuivalen dengan barisan
00,21,42,63,84,105 ,… 2 12
Sehingga formula suku ke n adalah
.
11
View more...
Comments
