Kekakuan Dan Fleksibilitas

STIFFNESS AND  FLEXIBILITY   ANALISA STRUKTUR DENGAN METODE MATRIKS

PRINSIP KEKAKUAN & FLEKSIBILITAS

•

KEKAKUAN atau “STIFFNESS” adalah aksi yang diperlukan untuk menghasilkan “unit displacemen”  satuan  satuan 

•

 gaya  gaya  panj  panjang 

a.l ; ton/m'  ; kN/mm ; kg/cm

FLEKSIBILITAS atau “FLEXIBILITY” adalah displacemen yang dihasilkan oleh “unit gaya”  satuan  satuan 

 panja  panjang  ng   gaya  gaya

a.l ; m/ton ; mm/kN ; cm/kg 

1

Contoh sederhana ;

F





D F = gaya / action D = displacemen







 f 

 f  = fleksibilitas

k 





1

k  = kekakuan

k  

1  f 

D =  f  F

atau

 f  

1 k 

F = k  D

Hubungan Deformasi dengan Internal Forces DEFORMASI AKSIAL   X  

  x  E 



 N  A  E 

d  x     x .dx   L

  L   d  x   



 N   EA

 N   EA

 N 

 EA O

.dx

.dx 

EA = axial rigidity

Dimana : A = luas tampang ; E = modulus elastis bahan L = panjang elemen

 L

 N   EA

Hubungan Deformasi dengan Internal Forces DEFORMASI LENTUR 

  x  

d    

 M . y

  x  

 I  z 

  x .dx  y



 M   EI  Z 

  x

 E 

  L

.dx

    d     O

 M . y  EI  Z 

 M   EI  Z 

.dx

EIz=flexural rigidity

Hubungan Deformasi dengan Internal Forces DEFORMASI GESER 

Shear Stress ;    Shearing Strain ;

V .Q

Displacemen relatif ;

d     f .

 I  z .b

  

V .dx G. A

  S    d   

 

G GA  f 

 shearing  rigidity

 f .V 

 L



GA O

.dx 

.  f  L

GA

 f = shape factor 

.V 

Hubungan Deformasi dengan Internal Forces DEFORMASI PUNTIR 

  

 max 

T .r   J  T  R .  J 

  

 maks 

 

G



 maks G

T .r  G. J 



T . R G. J 

J = momen inersia polar  konstanta torsi 

d   

 maks  R

dx   L

    d     . O

G.J  =

T  G. J 

T  G. J 

dx

dx 

 L

.T  GJ 

torsional rigidity

KONSTANTA TORSI PENAMPANG

EXAMPLE

 A1

D1 D2

STRUKTUR BALOK MENERIMA BEBAN TERPUSAT A 1 DAN MOMEN LENTUR A 2 PADA UJUNG KANTILEVER SEPERTI TERGAMBAR  HITUNG MATRIKS KEKAKUAN [K] DAN MATRIKS FLEKSIBILITAS [F] DARI STRUKTUR TERSEBUT ????

1

-6EI S21= 2 L

E,I,L

E,I,L

F11=

L

1

3EI

S11=

2

F21=

L 2EI

 D1 

 L3

 A1   A2 3 EI  2 EI   L2  L  D2   A1   A2 2 EI   EI 

 D   F   A

4EI

L

2EI

-6EI S12= 2 L

L EI

 L2

  L3  L2   D1   3 EI  2 EI      2  L  L  D  2    2 EI   EI  

3

1

F12=

F21=

L

S22=

1

E,I,L

12EI

 A1     A2 

 A1 

12 EI  6 EI   D  D2  1  L3  L2

 A2  

6 EI  4 EI    D  D2 1  L  L2

6 EI   12 EI    A1    L3  L2   D1      6 EI  4 EI      A2     D2  2  L    L

 A  S   D

L

SEHINGGA DAPAT DIBUKTIKAN BAHWA ;

  L  3 EI     L  2 EI  3

 F  S 



2

 F  S   F  S 





  2 EI    L   EI    2

 L

6 EI   12 EI     L3  L2   6 EI  4 EI    2   L    L

(4  3) (2 L  2 L) 6  6  (3  4)    L  L

1 0 

  1 0

1

 F   S 

 ATAU ;

1

S    F 

EXAMPLE Prinsip superposisi kekakuan ;  F 1 

3 EI  3 EI  3 EI   D1  2  D2  2  D3  L  L  L

 F 2 

3 EI  3 EI  3 EI     D  D  D3 1 2  L2  L3  L3

 F 3 

3 EI  3 EI  3 EI     D  D  D3 1 2 2 3 3  L  L  L

1  F 1    3 EI   1  F 2     L  L  F    1 L  3

1  L 1  L2 1  L2

  D1    1  D  L   2  1   D   L   3  1  L

2

2

 F    K   D Bagaimana jika memakai Prinsip superposisi fleksibilitas ????........home work 

EQUIVALENT JOINT LOADS 



Pada metode matriks, pengaruh beban luar yang bekerja pada batang (atau “member loads”) dapat diekivalensikan dengan beban pada node/joint yang mempunyai pengaruh sama seperti beban aslinya. Konsep tersebut dikenal sebagai “equivalent  joint loads” 

FORMULASI ANALISA STRUKTUR  DENGAN METODE MATRIKS 

Metode yang dikenal s/d sekarang ; 1) Metode Kekakuan





(Metode Displacemen)

2) Metode Fleksibilitas (Metode Gaya) Metode Kekakuan ; displacemen sebagai unknown value (variabel yang tidak diketahui) dan dicari terlebih dahulu. Metode Fleksibilitas ; gaya sebagai un-known value dan dicari terlebih dahulu.

Metode Kekakuan Langsung 



Metode yang cocok dan banyak digunakan dalam analisis struktur berbasis program komputer (SAP2000/STAAD-PRO/ANSYS)  Asumsi-asumsi dasar ; 1) Bahan struktur berperilaku “linear-elastic”  2) Displacemen struktur relatif kecil dibanding dimensi  /geometrik struktur 3) Interaksi pengaruh gaya aksial dan lentur diabaikan 4) Elemen/batang struktur bersifat “prismatis & homogen” 

PROSEDUR ANALISIS 1. Semua kekakuan elemen dievaluasi sesuai dengan hubungan antara “gaya” dan  “ deformation” (dalam koordinat LOKAL). 2. Matriks kekakuan elemen ditransformasikan ke koordinat GLOBAL. 3. Matriks kekakuan elemen-elemen struktur (dalam koordinat global) digabungkan menjadi matriks kekakuan seluruh struktur (dengan mempertimbangkan kompatibilitas).

PROSEDUR ANALISIS 4. Berdasarkan pembebanan yang ada, disusun vektor/matriks gaya. 5. Kondisi batas pada perletakan diperhitungkan, dan dilakukan “static condensation” untuk memperoleh matriks kekakuan struktur ter-reduksi. 6. Matriks kekakuan struktur yang ter-reduksi tersebut memberikan persamaan kesetimbangan struktur, yang solusinya akan menghasilkan “displacement” setiap node/joint. Kemudian gaya-gaya (reaksi perletakan) dapat diperoleh kemudian. 7. Kemudian gaya-gaya dalam dapat dihitung untuk setiap elemen.

 Aplikasi Metode Kekakuan Langsung 









STRUKTUR RANGKA BIDANG STRUKTUR RANGKA RUANG STRUKTUR PORTAL BIDANG STRUKTUR PORTAL RUANG STRUKTUR GRID

EXAMPLE Prinsip superposisi kekakuan ;  F 1 

3 EI  3 EI  3 EI   D1  2  D2  2  D3  L  L  L

 F 2 

3 EI  3 EI  3 EI     D  D  D3 1 2  L2  L3  L3

 F 3 

3 EI  3 EI  3 EI     D  D  D3 1 2 2 3 3  L  L  L

1  F 1    3 EI   1  F 2     L  L  F    1 L  3

1  L 1  L2 1  L2

  D1    1  D  L   2  1   D   L   3  1  L

2

2

 F    K   D Bagaimana jika memakai Prinsip superposisi fleksibilitas ????........home work