KATIHAL FİZİĞİ -1

MARMARA ÜNĠVERSĠTESĠ FEN EDEBĠYAT FAKÜLTESĠ FĠZĠK BÖLÜMÜ KATIHAL FĠZĠĞĠ –I TAMAMLAMA SINAVI 23/01/2008 Soru-1 Fononların ısı kapasitesi probleminde a) Debye modelini b) Einstein modelini açıklayınız c) Isı kapasitesi ifadelerini türeterek elde ettiğiniz sonucu tüm sıcaklık aralıklarında yorumlayınız? d) DulongPetit yasasını hangi sıcaklık bölgesinde geçerli olduğunu ve elde ettiğiniz ifadelerden Dulong-Petit yasasını türetiniz? 1 Soru-2 a) Termal iletkenliği tanımlayınız ve K termal iletkenlik katsayısının K Cvl ifadesiyle 3 verileceğini gösteriniz. Termal iletkenlik katsayısının sıcaklığa bağımlılığını tüm sıcaklık aralıklarında yorumlayınız. b) Tek atomlu lineer bir örgü dikkate alarak, Fonon dispersiyon bağıntısının 1/2   sin   formunda verildiğini gösteriniz? Fononların hız ifadesini bulunuz? Birinci Brillion ω  4C/M Ka/2 Bölgesi sınırları içinde v=v(k) grafiğini çiziniz. Sonucu yorumlayınız? Burada a örgü sabiti, K fonon dalga vektörü, C iki atom arasındaki etkileĢme sabiti, M atomun kütlesini göstermektedir.

12 T/T Soru-3 a)Serbest Elektron ısı kapasitesinin C el πNk B F ile verildiğini gösteriniz. Burada T F Fermi 2  2x 2 x e π dx  sıcaklığını göstermektedir. b) Fermi-Dirac Parçacıkları için Fermi fonksiyonunu x 2  3  1)   (e yazınız ve Fermi Fonksiyonun T=0K ve orta ve çok yüksek sıcaklıklar için davranıĢını genel olarak çizerek tartıĢınız? Soru-4 a) Bloch Teoremini izah ediniz? Bloch Dalga fonksiyonunu yazınız ve her parametrenin ne anlama geldiğini yazınız? b) Maddeyi elektriksel iletkenliğine göre band diyagramlarını çizerek açıklayınız? Soru-5 a) Kristal yapı türlerini Ģekil ve grafiklerle açıklayınız? b) AĢağıda verilen miller indislerine karĢı gelen düzlemleri çizerek gösteriniz? (100), (010), (001), (111), (110), (200) c) Basit kübik örgünün ilkel öteleme vektörü a=ai+aj+ak olduğuna göre, ters örgü vektörünü bulunuz? d) Bragg yasasının ispatlayınız ve fiziksel yorumunu yapınız?

Dr. MUSTAFA ÖZDEMĠR BaĢarılar

MARMARA ÜNĠVERSĠTESĠ FEN EDEBĠYAT FAKÜLTESĠ FĠZĠK BÖLÜMÜ KATIHAL FĠZĠĞĠ –I FĠNAL SINAVI 19/01/2010

Soru-1 Fononların ısı kapasitesi probleminde, a) Debye modelini b) Einstein modelini açıklayınız c) Isı kapasitesi ifadelerini türeterek elde ettiğiniz sonucu tüm sıcaklık aralıklarında yorumlayınız? d) DulongPetit yasasını hangi sıcaklık bölgesinde geçerli olduğunu ve elde ettiğiniz ifadelerden Dulong-Petit yasasını türetiniz? 1/2      4C/M sin Ka/2 Soru-2 Tek atomlu lineer bir örgü dikkate alarak, Fonon dispersiyon bağıntısının ω formunda verildiğini gösteriniz? Fononların hız ifadesini bulunuz? Birinci Brilliouin Bölgesi sınırları içinde v=v(k) grafiğini çiziniz. Sonucu yorumlayınız? Burada a örgü sabiti, K fonon dalga vektörü, C iki atom arasındaki etkileĢme sabiti, M atomun kütlesini göstermektedir. Soru-3 a) Bloch Teoremini izah ediniz? Bloch Dalga fonksiyonunu yazınız ve her parametrenin ne anlama geldiğini yazınız? b) Maddeyi elektriksel iletkenliğine göre band diyagramlarını çizerek açıklayınız? c) Elektronlarla Fononlar arasındaki Umklapp saçılmalarını açıklayınız? d) Fermi-Dirac Parçacıkları için Fermi fonksiyonunu yazınız ve Fermi Fonksiyonun T=0K ve orta ve çok yüksek sıcaklıklar için davranıĢını genel olarak çizerek tartıĢınız? Soru-4 a) Metallerdeki elektriksel özdirencin sıcaklığa bağlılığını tartıĢınız? b) Serbest elektronların elektriksel ne2 τ iletkenliğinin σ  ifadesi ile verildiğini gösteriniz? c) Wiedemann-Franz yasasını izah ediniz ve Lorenz m 2 2 kB L    ifadesi ile verileceğini gösteriniz? Bu ifadenin hangi durumlarda geçerli katsayısının 3 e 1 olduğunu tartıĢınız? d) Hall olayı nedir? Hall katsayısının serbest elektronlar için RH  ifadesi ile nec verileceğini gösteriniz? 1 Soru-5 a) Termal iletkenliği tanımlayınız ve K termal iletkenlik katsayısının K Cvl ifadesiyle 3 verileceğini gösteriniz. Termal iletkenlik katsayısının sıcaklığa bağımlılığını yorumlayınız. AĢağıdaki Ģekilde Bakır için aĢağıda verilen termal iletkenlik-sıcaklık davranıĢını, tüm sıcaklık aralıklarında tartıĢınız?

BaĢarılar

Doç.Dr. Mustafa Özdemir

MARMARA ÜNĠVERSĠTESĠ FEN EDEBĠYAT FAKÜLTESĠ FĠZĠK BÖLÜMÜ KATIHAL FĠZĠĞĠ –I FĠNAL SINAVI 24/01/2011 Soru-1 Fononların ısı kapasitesi probleminde Debye modeli için ısı kapasitesi ifadesini türetiniz. Elde ettiğiniz sonucu yorumlayınız?

12 2  2x 2 xe π dxx 2 Fermi sıcaklığını göstermektedir.   1) 3 b) Fermi-Dirac Parçacıkları için Fermi   (e

T/T el πNk B F ile verildiğini gösteriniz. Burada T F Soru-2 a)Serbest Elektron ısı kapasitesinin C

fonksiyonunu yazınız ve Fermi Fonksiyonun T=0K ve orta ve çok yüksek sıcaklıklar için davranıĢını genel olarak çizerek tartıĢınız? Soru-3 a) Bloch Teoremini izah ediniz? Bloch Dalga fonksiyonunu yazınız ve her parametrenin ne anlama geldiğini yazınız? b) Maddeyi elektriksel iletkenliğine göre band diyagramlarını çizerek açıklayınız? c) Elektronlarla Fononlar arasındaki Umklapp saçılmalarını açıklayınız? Soru-4 a) Metallerdeki elektriksel özdirencin sıcaklığa bağlılığını tartıĢınız? Serbest elektronların elektriksel iletkenliğinin

ne2 τ σ m

ifadesi ile verildiğini gösteriniz? Burada  elektron-elektron çarpıĢma süresi veya

elektron-elektron durulma süresidir. b) Bir katıdaki serbest elektronların ac (alternatif akım) iletkenliğinin

ne 2 τ 1  i σ( )    o. m(1 - i ) 1  ( ) 2

ifadesi ile verildiğini gösteriniz? Burada σ o 

ne 2 τ dc m

(doğru akım) iletkenliğini göstermektedir. 1 Soru-5 a) Isısal iletkenliği tanımlayınız ve K ısısal iletkenlik katsayısının K Cvlifadesiyle verileceğini 3 gösteriniz. Isısal iletkenlik katsayısının sıcaklığa bağımlılığını yorumlayınız. AĢağıdaki Ģekilde Bakır için verilen ısısal iletkenlik-sıcaklık davranıĢını, tüm sıcaklık aralıklarında tartıĢınız?

BaĢarılar Doç.Dr. Mustafa ÖZDEMĠR Doç.Dr. Mustafa Özdemir

BÖLÜM 2 TERS ÖRGÜ KAVRAMI Ters örgü kavramı periyodik yapıların analitik olarak incelenmesinde önemli bir rol oynar. Ters örgü denilme nedeni bu örgüye ait temel örgü vektörlerinin biriminin gerçek uzaydaki vektörlerin biriminin tersi 

ikr olmasıdır (1/uzunluk). Genel olarak bir düzlem dalga  0 e Ģeklinde açıklanır. Burada  0 sabit sayı

 2  k    , r dalganın temsil ettiği yerin yer olup dalganın genliğini ifade eder. k ise dalga vektörü vektörüdür.

Gerçek uzayda bir bravais örgüsü düĢünelim, bu örgü içine bir düzlem dalga yollanırsa genel olarak   düzlem dalganın periyodu ile örgünün periyodu aynı değildir. Özel k  K değerleri için dalganın periyodu  ile örgünün periyodu aynı olur. ĠĢte bravais örgüsünün periyoduna uygun düzlem dalga oluĢturan K vektörlerinin oluĢturduğu örgüye ters örgü denir.  

i K R e  1 koşulu sağlanmalı dır.     Cos K R  iSin K R  1  i.0     Cos K R  1  K R  2n 

Ters Örgü de Bravais Örgü müdür?         Bravaisörgüsündetemelötelemevektörleria1 , a2 , a3 ĢeklindetarifedilyorduveRn1a23 vektörüilediğerörgünoktalarınınyerleritespitedilyordu.Yania1 vea 2 nintariflediğinoktalarbravaisörgüdeisedoğalolaraka1 +a 2 ‟ninbelirlediği noktada bu örgü içinde yer alır. Bu özellik öteleme simetrisinden kaynaklanmalıdır.

    k k k 1 2 Ters örgüde eğer bir noktayı de baĢka bir örgü noktasını belirliyorsa 1 + k 2 de doğal olarak baĢka   iKR e 1 bağıntısını sağlıyorlardır. bir örgü noktasını belirtir. K vektörleri eğer ters örgüyü oluĢturuyorsa   Eğer K1  K 2 de bu örgüde bir noktayı belirliyorsa;     K1  K 2 bu bağıntıyı sağladığına göre ters örgüde bir örgü noktasını belirler. K1  K 2 farkı da bir örgü noktasını temsil eder.

Kristal Yapı 1- Kristal örgü (uzunluk) 2- Ters örgü(1/uzunluk) 1-Kristal Örgü: Mikroskop altında bakıldığında gözüken örgüye denir(Gerçek uzayda).  2-Ters Örgü: K uzayında (fourier uzayında) kırınım deseninden elde edilir.

ÖRNEK: Basit (sc) yapı için ters örgü vektörlerini bulunuz.

    ˆ 2  a2a a2x ˆ 3 b  2    b  2   x    1 1 3 a a2a a a 1 3   2   ˆ 2 aa ay ˆ b 2   3 1  b 2  3 y 2 2 a a2a a a 1 3   2   ˆ 2 aa az ˆ b 2   1 2  b 2  3 z 3 3 a a2a a a 1 3

ÖRNEK: fcc yapı için ters örgü vektörlerini bulunuz.

a  a a  a ˆ  zˆ x ˆ  zˆ y     a2 a3 2 2  2 2   b1 2    2 a1a2 a3 a3 4 2 2 2  a a a  ˆ y ˆ   4 zˆ  4 x 4    2 3 a 4 2 ˆy ˆ zˆ  x a a a  a a  ˆ  zˆ x ˆ y ˆ    x  a3 a1 2 2  2 2   b2 2    2 a1a2 a3 a3 4 2 2 2 a a a  ˆ x ˆ   4 zˆ  4 y 4    2 3 a 4 2 ˆy ˆ zˆ  x a a  a a  a ˆ y ˆ y ˆ  zˆ    x  a a 2 2  2 2  b3 2  1 2 2  3 a1a2 a3 a 4  a2 a2 a2  ˆ ˆ  ˆ z  y  x 4 4 4    2 3 a 4 2 ˆ y ˆ zˆ  x a SONUÇ: fcc yapının ters örgüsü bcc yapıdır. ÖDEV: Taban merkezli, cisim merkezli ve besit altıgen yapının ters örgüsünü bulunuz. Ters Örgü Temel Hücresinin Hacmi     V  a a  a Gerçek örgüde 1 2 3   * V  b b  b Ters örgüde 1 2 3

 

     2 a2  a3    b1 b2 b3      b2 b3 a1a2  a3  2      d  b2 b3 V 2      b2  b3  d V 2       b2  b3 a2  a3  V   2        b2   b3a3 a2  b3a2 a3        V  2 0    2   2  a2  b2   V



















a a 2



  d 3



   





2

   2  b1 b2 b3  V



*

V



3

3  2 

V Kristal Doğrultuları ve Kristal Düzlemlerinin Ġndislenmesi

Atomlar düzgün olarak dizilmiĢlerdir. Her örgü noktasında bir atom varsa doğrultu meydana getirir. Fiziksel özellik doğrultuya bağlıdır „Bu fiziksel özellikler ısısal, mekanik, optik gibi özelliklerdir.). Bu yüzden kristal doğrultu ve düzlemlerini sayısal olarak ifade etmek gerekir. İzotropik Yapı: Homojen bir yapı olup fiziksel özellikler her doğrultuda aynıdır. Anizotropik Yapı: Doğrultuya göre bir fiziksel özellik farklılık gösteriyorsa o yapı anizotropik bir yapıdır. Kristal yapılar doğrultuya göre farklı özellik gösterdiği için anizotropik yapıdadır. Kristal Doğrultuları

Kristal Düzlemleri ve Miller Ġndisleri Kristal yapılar her doğrultuda ve düzlemde farklı fiziksel özellikler gösterirler. Bunu ayırdedebilmek için miller indisleri kullanılır. Kristal düzlemleri adı geçen düzlemin kristal eksenlerini kestiği noktaların koordinat baĢlangıcı olan uzaklıklar cinsinden ifade edilebilir. Fakat bu durumda kristal eksenlerine paralel olan önemli düzlemler kristal eksenini sonsuzda keserler. Sonsuzda iĢlemlerin yapılmaması bu gösterimi biraz değiĢtirme ihtiyacı doğurmuĢtur. Bunun için düzlemin kristal eksenini kestiği noktalar yerine bu noktaların terslerinden türetilen büyüklükler kullanılarak miller indislemesi tanımlanır. Miller indisleri h,k,l ile gösterilir. Buna göre ters örgü  uzayındaki bir K vektörünü;  Khb1k2l3 olarak yazabiliriz. Miller indislemesi yapabilmek için aĢağıdaki yöntem takip edilir. 1- Miller indislerini bulmak için bir atomu temel örgü vektörlerinin baĢlangıcı olarak alınız.    2- Düzlemin eksenleri kesim noktasını a1 , a2 , a3 tam katları olarak ifade ediniz 3- Bu sayıların terslerini alınız ve paydadan kurtararak h,k,l ‟leri elde ediniz. (-) değer alıyor ise rakamın üzerine çizgi koyunuz. hkl,.



ÖRNEK:



(2 2 3) kristal eksen kesim noktaları 1 1 13 3 2  ( hkl )  ( 332 ) 2 2 26 6 6 ÖRNEK:

 a123 üçgen için n1n2 n3 

 111

(hkl)



 1 1 1    1 1 1

(hkl)



111

 üst düzlemiçin

n1n2 n3  hkl 

 1

 1 1 1       1 001



 sol yan için

n1n2 n3   11 hkl 

1 1 1    1  1  101

 ön yüz için  arka yüz için  1 n1 n2 n3   11

n1n2 n3  hkl 

1 1 1   1 11    hkl     1      11  100  011

 sağ yan yüz için  üst düzlem için  1 n1 n2 n3   11

n1n2 n3  hkl 

1 1 1 11 1     hkl     1 11   010  110



Kristallerde doğrultuları göstermek için n1n2 n3  sembolü kullanılır. Düzlemleri göstermek için ise (hkl) Ģeklinde sembollerle gösterilir. (hkl) lerin üzerinde eksi varsa eksiliği gösteriyordur. -Ters Örgü Ġle Gerçek Örgü Arasındaki ĠliĢkiTers örgü ile gerçek örgü arasında sıkı bir iliĢki vardır. 1- Ters örgünün her vektörü gerçek örgünün bir örgü düzlemi grubuna diktir.

2- Düzlemler arası uzaklık d ise

 



   2  2 2 2 ˆ K  n  K   K  , K  1 2 d d d d 1 2 Eğer bir düzlemin miller indisini biliyorsak birbirine paralel olan eksenlerin birbirlerini hangi aralıklarla keseceğini biliriz.

ÖRNEK: Düzlemsel bir kristal ele alalım. n1n2 3  32 hkln  1 1

   3 2   2301

(230) düzlemine paralel diğer düzlemleri çizmek için Ģu iĢlemler yapılır.   a1 ‟de her örgü noktası 2 eĢit parçaya a 2 ‟de ise her örgü noktası 3 eĢit parçaya bölünür. Böylece her bir noktadan geçen düzlemler çizilir.

 2 K  d 2 d  k

-Düzlemler Arası Dik Uzaklığın Bulunması 2 ˆ K n d

d: düzlemler arası dik uzaklık

Ortanormal olmayan kristal için d=? a1a2 a3  birbirine dik değil ise ortanormal olmayan kristal olur.  2 ˆ K n d  Khb1k2l3



 



2        h b  k b  l b  h b  k b  l b  1 2 3 1 2 3 d   2

     2

 2  2          2 2    h b b  k b b  l b b  2 hk b b  2 kl b b  2 hl b b 1 2 2 3 3 1 2 2 3 1 3   1 d hkl                                  ORTANORMAL DEĞĠLSE (hkl) düzlemine karĢılık gelen düzlemler arası uzaklığı verir. * Eğer kristalimiz ortanormal ise;

2   2  2   2 2    h b b  k b b l b b 1 1 2 2 3 3 d   hkl 

     

2  2 2 2 2 2 2  kb lb 1 2 3 d   hb  hkl           b  b  b b b  0 , b b  0 , b b  0 1 2 3 1 2 2 3 1 3 h h  k k  l l o 2 1 2 1 2   Cos 1  Cos 90  222 222 h  k  l  h  k  l 111 222 2





θ:düzalremsıçnki

ÖDEV:

 ? ,d  ?,d  ? 100 110 111 a) Sc yapı için d b) Basit altıgen prizma için d10?, c) Elmas yapı ve ZnS için d10?, -BĠRĠNCĠ BRĠLLOUĠN BÖLGESĠ (1.B.B)Ters örgünün Wigner-Seitz temel hücresi birinci brillouin bölgesi olarak bilinmektedir. Daha yüksek derecede brillouin bölgeleri mevcuttur ve bu bölgeler baĢka tip temel hücrelerdir. O halde Wigner-Seitz temel hücresi ve 1.Brillouin bölgesi aynı geometriksel yapıya sahip olmasına rağmen ikincisinin ters örgü uzayında olduğu unutulmamalıdır. Örnek olarak bu örgünün birinci brillouin bölgesi ters örgüde fcc örgünün Wigner-Seitz temel örgüsüdür.

ġEKĠL 7

 Çizgisel bir örgü bir a öteleme vektörü ile temsil edilir. Bunun bir Ģekli (k) da gösterilmiĢtir (m) de ise  2 a*  *   a dır. En küçük ters örgü vektörleri a * ve - a * dır. Bu ters örgü vektörü a olup büyüklüğü vektörlerin orta noktalarından çıkılan dikmeler 1.B.B. sınırını oluĢturmaktadır. ÖDEV:

ġekilde a kenarlı basit kübik yapıya ait iki düzlem görülmektedir. Bu düzlemlere ait miller indisleri nedir ve bu düzlemlere dik doğrultuların miller indisleri rotasyonu nedir? ÖDEV: (100) ve (111) düzlemleri ile (110) ve (100) düzlemleri arasındaki açıyı bulunuz. -KRĠSTAL YAPI KUSURLARIKristallerin mükemmelliğinin bozulduğu an kusurlar ortaya çıkar. 1- Noktasal Kusurlar 2- Çizgisel Kusurlar 3- Yüzeysel Kusurlar 4- Hacimsel Kusurlar 1-) Noktasal Kusurlar: Bir kristalin beklenen noktasında olması gerekenin olmaması sonucu ortaya çıkar a) Yabancı atomun oluĢturduğu noktasal kusurlar: Kristal yapı oluĢurken olması gereken atomun yerinde olmaması gereken yabancı bir atomun bulunmasıdır. Eğer yabancı atom asıl atomdan büyükse kristal atomların arasına girme Ģansı azdır. Bu tip kusurlar maddeyi kristalleĢtirirken çalıĢtığımız ortamın kirli olması ile ortaya çıkar. Yabancı atom kristalin yüzeyinde ya da arada bir yerde bulunabilir. b) BoĢluk kusurları: Bir atomun olması gereken yer boĢ ise bu tür kusurlara boĢluk kusurları denir. Bu atom araya bir yere ya da kristalin yüzeyine gitmiĢ olabilir. Tek bir atom boĢluğu olabileceği gibi 2 ya da 3 boĢluk ta olabilir. O tek bir boĢluk var ise F merkezli boĢluk kusuru OO 2 boĢluk var ise M merkezli boĢluk kusuru OOO 3 boĢluk var ise R merkezli boĢluk kusuru Atom arada bir yerde ise bu tip kusura Frenkel tipi kusur, eğer kristal yüzeyinde bir yerde ise Shatley tipi kusur denir. Bir kristalde nokta kusurları olup olmaması kristalin fiziksel özelliklerini değiĢtirir. Mesela katıların optik soğurma tayfları değiĢik olur. Elektriksel ve manyetik özellikleri değiĢir. Düzensiz kusurlu bir kristal yapı daha yüksek enerjidedir. Çünkü kusurun oluĢması enerji gerektiren bir olaydır. Düzenli kusursuz bir kristal ise en kararlı haldedir ve enerjisi en azdır. Bir nokta kusuru oluĢturmanın bedeli 1 eV‟dir. Bir kristalde N 0 tane atomda kusurlu atom sayısı:

N0eEkt dir. ÖDEV:1 cm3 kristalde kusurlu atom sayısı ne kadardır? (oda sıcaklığında N0=1023 tane atom olduğunu kabul edelim.) 2-) Çizgisel Kusurlar: Aynı çizgide bulunan atomların oluĢturduğu kusurlardır, iki tanedir.

a) Kenar çizgisel kusuru: Bu kusur genellikle malzemeyi iĢlerken ortaya çıkar. Bu tür kusurların enerji olarak değeri 13 eV civarındadır.

b) Vida Kusuru: Kristali makaslama zoruna tabi tutarsak yani yüzeyine paralel kuvvet çifti uygularsak vida kusuru ortaya çıkar. Bu kusurda kristalin cephesi kayar. Bu tip kusurun bulunduğu kristallerde cm 3 baĢına 10 kusur bulunur. ÖDEV: Oda sıcaklığında (T=300 °K) vida kusurunu oluĢturmak için gerekli enerji kaç eV‟tur. 3-) Yüzeysel Kusurlar: Bir kristal küçük kristal taneciklerinden oluĢmuĢtur. Genellikle kristal metal malzemeler bu tip kristal taneciklerinin üst üste yığılmasıyla oluĢturulmuĢtur. Küçük metal tanecikler düzgün olmalarına rağmen birleĢme anında birbirleriyle açı yaptıklarından yüzeyde kusur oluĢtururlar. Bu kusurların adına “pit” denir. 4-) Hacimsel Kusurlar: a) a) Kayma Kusurları

Kristal yapı oluĢurken Ģekildeki gibi her bir parça düzgün ancak biri diğerine göre öteleme (kayma) yapmıĢ olabilir. Bu tip kusurlara kayma kusuru denir. b) b) Ġkizleme Kusuru

Bu tip kusurda belli bir parça döndükten sonra aynı parçanın ikizi ile birleĢmesi sonucu oluĢur. Hacimsel kusurun oluĢması için gerekli enerji çok büyüktür.

BÖLÜM 3 X-IġINLARI KIRINIMI ĠLE KRĠSTAL YAPILARIN TAYĠNĠ

Kristal yapıların ortaya çıkarılması denince a,b,c ve  ,  ,  birim hücre parametrelerini, birim hücrede kaç tane atom veya molekül olduğunun çıkarılması anlaĢılır. Bunların dıĢında atomların konumları bağ uzunlukları, kristal yüzlerinin indislenmesi, kristalin mükemmelliği de tespit edilebilir. Kristal yapıyı tespit ederken atomların veya moleküllerinin yerlerinin belirlenmesi spektroskopik yöntemlerle gerçekleĢtirilir. Bu yöntemlerden ilki x-ıĢınlarıdır bunun dıĢında nötron kırınımı ve elektron kırınımı da kullanılır.

Kırınım= GiriĢim + Saçılma Bir kırınım için saçan ve saçılan x-ıĢınlarının dalga boyları eĢit ve sabit bir faz farkına sahip olmalıdır. Saçılan bir x-ıĢını atomun elektron yoğunluğunun çok olduğu kısmıyla etkileĢir. Saçılan x-ıĢınının enerjisi 10-50 KeV‟tur.

 

c hc o E  h    1 A E o  ( 1  10 ) A arasında değişiyor.



Nötron Kırınımı: Nötronların enerjisi yaklaĢık olarak 0.08 eV‟tur. Bir nötronun kütlesi yaklaĢık olarak elektronun kütlesinin 2000 katıdır. (mn=2000me)

hh h o     1 A Pm 2 mE Nötronlar kristal maddenin çekirdeği ile etkileĢirler. EtkileĢme esnek etkileĢmedir ve dipol momenti olan moleküllerle etkileĢirler.

Elektron Kırınımı: Enerjileri yaklaĢık olarak 100 eV‟tur. Elektronlar katının derinliklerine giremezler. Çünkü enerjileri düĢüktür. Bu nedenle elektron kırınımıyla sadece katılarda yüzey araĢtırması yapılır. X-IĢınları ve Nötron Kırınımı KarĢılaĢtırılması 1- X-ıĢınları atom etrafındaki elektronlarla etkileĢir. Elektronların sayısı azsa x- ıĢınlarının etkileĢimi zordur. Elektron sayısı az olan (atom numarası küçük) elementlerin atomlarının yerlerinin bulunmasında nötronlar avantaja sahiptir. Çünkü nötron hafif ya da çok sayıda olan elektronlarla aynı derecede etkileĢir. X-ıĢınlarıyla atomların yerlerinin belirlenmesi zordur. 2- Buna karĢılık nötron kaynağını yapmak oldukça pahalıdır. Kırınım Olayı – Bragg Yasası

Yol farkı = CB + BA = d.Sin? + d.Sin? n? = 2d sin?

› Bragg Yasası

n = 1,2,3,.... n? = 2dhkl sin?hkl n dhkl 2Sinhkl

bağıntısından aynı düzlem takımı için d‟yi bularak a,b,c ve  ,  ,  ‟ları bulabiliriz.

ÖDEV: X-ıĢını demetinde gözlenen en kısa dalga boyu ?=1 23°A olarak verilmektedir. Hedefe çarpan en hızlı elektronun kinetik enerjisini bulunuz. ÖRNEK: bcc yapı için geometrik yapı faktörünü bulunuz?

Bcc yapıyı sc yapı gibi düĢünürsek

3

 ikd j

Sk  fe j1  ikd1

e

 ikd2

e

 e e  0



    i hb1kb2lb3 d2

 2  2  2 a    i h xk yl z  xyz a a 2 1 e  a

1 eihkl i   h  k  l      e  Cos  h  k  l  iSin  h  k  l        0

Görüldüğü gibi bazı noktalar için Bragg yansıması yoktur. Bunun anlamı Ģudur: bu iĢlem bcc yapıyı (sc) fcc yapıya dönüĢtürür. AĢağıdaki Ģekilde görülen noktalar için giriĢimin olduğunu söyleyebiliriz.

Sk=2 olduğunda bragg yansıması var siyah noktalarla gösterilmiĢtir. Sk=0 olduğunda bragg yansıması yok boĢ yuvarlaklarla gösterilmiĢtir.

ÖDEV: fcc yapı için geometrik yapı faktörünü bulunuz ve aĢağıdaki düzlemlerin hangisinde yansımalar vardır hangisinde yoktur yorumlayınız. (100) , (110) , (111) , (200) , (220) , (222) , (211) , (221) , (123) (Ġpucu: Bunu da sc yapı olarak düĢüneceksiniz) Tek Tip Atomlu Elmas Yapı

 a   a x y 1  2  a   a2 y z 2  a   a x z 3  2



 2      b x y z 1  a  2       b  x y z 2  a  2      b x y z 3  a



Sk eikd1 eikd2





   a   i hb1kb2lb3 xyz 4 1e  2    2    2    a    ih xyzk xyzl xyz xyz a a 4 1e a 2          a   i hxyzkxyzlxyz xyz a 4 1e  i hkl 1e 2

      S  1  Cos h  k  l  i Sin h  k  l k 2 2

h  k  l 2  çift say ı S  2 k h  k  l 2  tek say ı S  0 k h  k  l tek say ı S  1  i k  ihkl Sk1e2

elmas yapı (fcc) için geometrik yapı çarpanı faktörü

ÇOK ATOMLU KRĠSTALLERDE GEOMETRĠK YAPI ÇARPANI FAKTÖRÜ  n  f ( k )  Atomik yapı çarpanı j Skfj(k)e.ikd  ( k )  sbt.  toplam dışına atılır j1 f j Elektron Yoğunluğu: Kırınım lekelerinin Ģiddeti deneyler sonucu ölçülür. Yapı faktörü Sk  Ihkl ile orantılıdır.  S k = enerji uzayını temsil eder. Kuzayında





g  elektron yoğunluğunu ifade eder.(gerçek uzayda)

Baz içindeki elektron yoğunluğu, n  iKd Skfj(k)e.j j1‟nin Fourier dönüĢümüdür. 

 V : gerçek uzayda hacim  1 2  i K d j g  S . e  ( x , y , z )  k g : elektron yoğunluğu V 

1  2  i ( hx  ky  lz ) g  S . e ( x , y , z ) k V

Birim hücredeki herhangi bir (x,y,z) noktasının yoğunluğu bu fonksiyonla bulunur. Birim hücrenin simetri bağımsız bölgesinin tamamı küçük adımlarla taranır. Elektron yoğunluğu aynı olan noktalar birleĢtirilerek eĢ elektron yoğunluğu hesaplanır ve eĢ elektron yoğunluğu çizgileri elde edilir. Elektron yoğunluğu en büyük olan noktalar atomların yerlerini verir. Birim hücrenin simetrik özelliklerinden yararlanarak birim hücrenin sadece bir kısmının elektron yoğunluk haritası çıkarılırsa diğer kısımlarında simetri özelliğiyle haritaları çıkarılmıĢ olur.

BÖLÜM 4 KRĠSTAL ÖRGÜLERĠN DĠNAMĠĞĠ Kristal yapıları incelerken atomların örgü noktalarında hareketsiz olduğunu kabul etmiĢtik. Bu kabul, olayların anlatılmasını ve anlaĢılmasını kolaylaĢtırmak içindir. Bu sayede matematiksel ifadeler sadelik kazanır. Gerçekte örgü noktalarındaki atomlar hareketsiz değildirler. Yani denge konumunda sıcaklığa bağlı olarak salınım (titreĢim) hareketi yaparlar. Örgü titreĢimleri ile bu titreĢimlerin kristalin ses ve ıĢık ile ilgili özelliklerinin etkisi incelenmektedir. Örgü titreĢimleri soğurulan ısı miktarını katı içinde ısının iletimi ile ilgilenir. Bu da katının ısısal özellikleri hakkında bilgi verir.

  a ise sürekli ortam       a ise kesikli ortam     f

f

g

g

Sürekli Ortam: Katılar atomlardan oluĢur ve bu kesiklik örgü titreĢimlerinin incelenmesinde esastır. TitreĢim hareketinin dalga boyu kristalin örgü sabitinden çok büyük ise katının atomlardan oluĢan kesikli yapısı göz ardı edilebilir. Ve katı sürekli bir madde ortamı olarak ele alınabilir. Böyle bir ortamdaki dalgalara esnek dalgalar denir. Model olarak ele alınan sonsuz uzun çubuk Ģeklindeki bir cisimde yayılan esnek dalgayı inceleyelim. TaĢıyıcı ortamın sürekli olduğunu ve çubuk boyunca ilerlediğini düĢünelim. Bu durumda hareket tek boyutta sınırlanmıĢ olur. çubuk üzerindeki bir x noktasının yer değiĢtirmesini U  x ,t  fonksiyonu ile temsil edelim.

Sonsuz Uzun Esnek Çubuk A: çubuğun kesiti Buna göre birim uzunluk baĢına yer değiĢtirmeye “zorlanma” denir. (zorlanma:E)

E

Ux,t  dx

U  x ,t  :yer değiĢtirme

Birim yüzey baĢına etki eden kuvvete ise “zor” denir. S ile gösterilir. X‟in bir fonksiyonudur. Hooke yasasına göre sonsuz küçük yer değiĢtirmeler için zor ile zorlanma doğru orantılıdır.

S  Y . E

S  E

Y : young " elastik" katsayısı

Esnek ortamda ilerleyen dalgayı veren dalga denklemini elde edebilmek için Ģekilde dx kadar keyfi bir yüzey elemanı seçelim. Çubuğun yapıldığı maddenin yoğunluğu  ve kesit alanı da A olsun. Buna göre dx elemanının hareketi; 2  U  x , t      Adx . 2  S S . A  x  dx   x     t      kütle ivme Ģeklindedir.

EĢitliğin sağ tarafındaki S xdx .A  A yüzeyine +x ekseni boyunca etki eden F2 kuvvetini, S  x  . A  -x ekseni boyunca A yüzeyine etki eden F1 kuvvetini verir. Klasik Dalga Denklemi

Ux,tc.eikxt k: dalga vektörü w: açısal hız  U x,t

ikx   t  ik .c .e  ikU x,t

 x U x,t 2

2  x

 k2U x,t

 



2 2  k U  U x ,t  x ,t Y 2 Y2  k



Y    . k  2



Y :elastik sabiti, young sabiti   ρ :cismin yoğunluğu     sabit bir değer olarak karşımıza çıkar 

 Y faz   h ıız :sabit k     . k   k Faz Hızı ( ) : Ġlerleme doğrultusundaki aynı fazdaki noktaların ilerleme hızına faz hızı denir ve bu hız sabittir.

  .k bağıntısına sürekli ortam için dispersiyon bağıntısı denir. Böyle sürekli ortamdaki dalgalara esnek dalgalar denir.

    eğim k  sesin o ortam Esnek dalga için   .k dağınım eğrisi çizgiseldir ve bu doğrunun eğimi  içindeki yayılma hızını verir. Benzer Ģekilde   c.k ifadesi de çizgisel olup boĢlukta ilerleyen ıĢığın dağınım eğrisini verir. Sürekli Ortamın Modlarının Belirlenmesi Sonsuz uzun çubuğu dikkate aldığımızda çubuk üzerinde ilerleyen dalga için çözüm ilerleyen bir dalga ikxt çözümü idi ve Ux,te. Ģeklinde idi. Bu çözüme sınır Ģartlarını uygulayalım.

Sınır Ģartları çubuğun uçlarına uygulanan dıĢ sınırlamalar tarafından belirlenir. Sınır Ģartları çubuğun uçlarına uygulanacağına göre artık çubuğumuz sonsuz uzunlukta değildir.

Çubuğun uçları değiĢik hareket yapmaya zorlanabilir. 1- Her iki uç aynı hareketi yapabilir. 2- Bir uç sabit diğer uç serbest olabilir. 3- Her iki uç ta hareketsiz olabilir. Periyodik sınır Ģartımızı çubuğun her iki ucunun aynı hareketi yapmaya zorlandığı durumu dikkate alarak uygulayalım. Çubuğun boyu L ve koordinat baĢlangıcı olarak da çubuğun sol yanı seçilirse, periyodik sınır Ģartı:

K değerlerinin tanımladığı bu dalgalar çubuk üzerinde bulunabilir. 2  2  K      L K Dalga sayısı K ile sınırlandırılmıĢtır.

2 L veya Ģekildeki izinli K değerleri salınımın bir modunu verir. Her mod kendi bağımsız dalga boyu ile salınır. Kn

ÖDEV: Periyodik sınır Ģartını çubuğun her iki ucunun da hareketsiz kaldığı duruma uygulayarak K‟nın aldığı değerleri bulunuz. Sürekli Ortamın Modlarının Sayısı Mod Yoğunluğu: K uzayında keyfi bir dK aralığı seçelim ve bu aralıkta olan modların sayısını bulmaya çalıĢalım. L uzunluğunun sonsuz büyük fakat sonsuz olmadığını kabul edelim. Böylece K noktalarını yarı süreklilik durumunda olmaları sağlanmıĢ olur. Bu kabul yukarıda kullandığımız çubuk için geçerlidir. Periyodik sınır 2 Ģartının sağlanması sonucu elde edilmiĢ olan K noktaları arasındaki uzaklık L olduğunda K uzayındaki her 2 L aralığına bir mod düĢer. Buna göre dK arasındaki modların sayısı;

dN 

dK 2 L olur.

K ile  arasındaki bağıntıdan faydalanarak   d arasındaki modların sayısı da;

 dNgolur.

 

dN     g  g : durum yoğunluğ ya da mod yoğun d

Buna göre mod yoğunluğu birim frekans aralığına düĢen modların sayısıdır.

dk L1 2 L2  dN g    d  d  2 d dk NOT: Durum yoğunluğunu hesaplarken +K yanında –K‟larda da bulunan modlar olduğu dikkate alınmalıdır. Bu nedenle durum yoğunluğu ifadeleri 2 ile çarpılmalıdır. d grupfaz dk

Grup hızı duran dalgaları temsil eden bir hız ifadesi olup enerjinin taĢınma hızını verir. ÖRGÜ TĠTREġĠMLERĠ Elektromanyetik dalgalar katı üzerine geldiği zaman daha fazla titreĢirler yani enerjileri artar. Bir baĢka deyiĢle örgü titreĢimleri artar. Kristal yapıda düzeni örgü ile belirlediğimiz için örgü titreĢimi adını alır. 3  Atomlar mutlak sıfır noktasında bile (3-boyutta) 2 enerjisine sahiptir. Sıcaklık arttıkça atomların enerjileri de artar. Örgü noktalarında yer alan noktalar bir titreĢim hareketi yaparlar. Buna göre örgü titreĢimlerinin kuantumlandırılmıĢ parçacıklarına fonon denir.

-Foton ile Fonon arasındaki Farklar-

FOTON

FONON

1- Elektroman yetikdalgaların kuantumlan 1- Örgü titre şimlerinin kuantumlan dırılmış dırılmış parçacıkla rıdır. (Enerjinin kesikli parçacıkla rıdır. olması yüzünden) (K'nınkesikli olması yüzünden) 2- Boşlukta yayılırlar . 2- Maddesel ortamda yayılırlar (Maddesel ortam şartdeğil) 3- Hızları maddesel ortama göredeğişir. 3- Hızları ışıkhızına eşittir. 4- Boyuna veeninetitreşir. 4- Boyuna titreşir 3 5- E   3n 5- E h   2

Örgü Titreşimlerinin İncelenmesi 1- Sürekli ortam için   a ise

   Y d  d  Y   ,     dk dk  f

g

f

g

Grup hızı faz hızına eĢit ise örgü titreĢimlerinin yayılması bakımından izotropiktir. Yani doğrultuya göre herhangi bir fiziksel özellik değiĢmeden kalır. 2- Kesikli ortam için   a ise

faz grup Örgü titreĢimlerinin yayılması bakımından anizotropiktir.

Atomik Düzlemlerin Yer DeğiĢtirmesi

Un

n. Atomun denge konumuna uzaklığı olsun ve sadece komĢu atomların etkileĢtiğini düĢünelim. Burada  kuvvet ya da yay sabitidir. Herhangi bir baĢlangıç noktası seçmek üzere; n-1 numaralı atomun bulunduğu yer x=(n-1).a numaralı atomun bulunduğu yer x=n.a

n

n+1 numaralı atomun bulunduğu yer x=(n+1).a Bu durumda n. Atoma etki eden net kuvvet:    F F1 F2      F   U  U   U  U n  1 n n n  1

     2 U  U  U n n  1 n  1

 i tkx UAe  i tkna U Ae n

i tk(n 1 ). a  ika U U n 1Ae ne i tk(n 1 ). a U Ae Ueika n 1

F  m.a

n

dır.

2 d U n 2   U  U  U  m . n n  1 n  1 2 dt





 ika ika 2   2 U U e  U e   m . U n n n n





   i t kx U Ae n  dU  i t kx n  i Ae  dt 2  d U  2 i t kx 2   Ae   U  2n n dt

 ika ika 2   2  e  e   m .

Coska  iSinka  Coska  iSinka  2  m2 2Coska  2  m2  m2  2Coska  1 m2  21  Coska ka 2 ka m2  4.Sin 2 2 4. ka 2  Sin 2 m 2 4. ka 2  Sin m 2 m2  2.2Sin 2



Dispersiyon bağıntısı

 K‟nın lineer bir fonksiyonu değildir. Ortam dispersif (dağıtıcı) bir ortamdır. Bu bağıntıya dispersiyon bağıntısı denir. Sürekli ortamlarda titreşimin frekansı 

Y .k 

Sürekli ortamlarda   a 

Y .k 

 Y   sabit f  k   Y   sabit g  f  k 

Kesikli ortam için   a

ka  n    0 ( n  0 ,  1 ,  2 ,......... ..) 2 ka 4   ( 2 l  1 )      ( l  0 ,  1 ,  2 ,......... ..) m 2 m

4 ka a Sin  m 2 faz   . 2 a k k 2 a 4 ka Sin 2 m 2  ka 2 a 4 k0  faz . 2 m  k  a

a 4 faz .  m

g 

ÖDEV:

a 4 . 2 m

k0



g 

 a



g  0

k

  a

g  0

k

K

d  a 4 ka  . . Cos dk 2 m 2

 a da  g  0 olmasına rağmen neden titreĢim hareketi gösterir?

ÖDEV: Grup hızının sıfır olması durumu hangi dalga boyuna karĢılık gelir? Hangi  açısında yansıma gerçekleĢir? Yansımanın 1 B.B ile ilgisi nedir? ÖDEV:mkütleliatomlarınaaralıklarladizilmesiileoluĢanbiratomluçizgiselörgüdeilerleyenUnCtoksna boyunadalgasınıdüĢünün,kuvvetsabiti olduğunagöredalganıntoplamenerjisinin

  1 dn 1 2   E  M   U  U      n n  1 2 dt  2 n n   olduğunu gösteriniz. (Burada toplam bütün atomlar üzerinden alınmaktadır.) 2

ĠLK BRĠLLOĠN BÖLGESĠNDEKĠ MODLARIN SAYISI

Kesikli örgünün titreĢimlerine sınır Ģartlarının etkisini incelemek için 11 tane parçacığın a aralıklarla dizildiğini gösteren L uzunluklu esnek cismi ele alalım. n=0. ve n=10. parçacıkların hareketsiz kalacak Ģekilde tutturulmuĢ olduğunu kabul edelim. Tek boyutta ilerleyen dalga için,  i  t    U  e ACos kx  BSin kx A ve B sabit   x , t ‟tir.

U(x0,t) 0 Ģartını sağlamalı (hareketsiz olduğu için).  i  t   U  e ACos 0  BSin 0 A  0   x  0 , t olmalıdır.

U 0 ( x  L , t )  i  t U e . B Sin kL  0 ( x  L , t )

Sin kL 0 KL n  

n  K L

LNa   N10  L10 a 

n  K 10 a n  ( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 )  0 ve 10 olamıyor çünkü bu noktalarda zaten hareketsizdirler. n=0. ve n=10. atomlar hareketsiz oldukları için bunların izinli K değerlerine katkısı olamaz. Dolayısıyla izinli K değerlerini bulmakta kullanılacak n değerleri 1,2,3,4,5,6,7,8,9 olur.  2  3  4  5  6  7  8  9  K  , , , , , , , , 10 a 10 a 10 a 10 a 10 a 10 a 10 a 10 a 10 a olur.

Sistemdeki 11 parçacıktan sadece 9 tanesi hareket edebildiği için bağımsız modların sayısı ile sistem serbestlik derecesinin sayısı aynı olmalıdır.

Un  B.eit SinkL k  0  Un  0   k  Un  0   a 1.B.B  k     U  0 n  a   Not: Her bir 2 aralığına bir mod düĢer. ÖDEV: ġekildeki atomların tutturulmadığını düĢünerek periyodik sınır Ģartını uygulayınız ve ilk B.B deki modları bulunuz. BĠR ATOMLU ÖRGÜ ĠÇĠN DURUM YOĞUNLUĞU

L1 g(). d dk idi.  

4  ka Sin m 2

ka   0Sin 2

 4    0 m 

d a ka  0Cos dk2 2 L 1 2 L 1 g ( )    ka  ka a a  0 Cos  0Cos 2 2 2 2 L k  0  g (  )  a  0  k   a



g (  ) 

ka 2 ka Cos  1Sin 2 2 ka 0Sin  2

ka  Sin  2 0

ka 2 Cos  1 2 2 0 L 1 2L 1 g()     a 2 a0 2 0 1 2 1 2 2 0 0 0



2L g()  a0



k0değerine karşılık geliyor

0



g() 



 k değerine karşılık geliyor a

0

L  Ng()d Nolack ÖDEV: 0eĢitliği 0‟dan 0 ‟a kadarlık bölgedeki modların toplam sayısını verir. Buna göre bir atomlu örgü için modların toplam sayısını bulunuz.a.

ÖDEV: tek atomlu ve iki atomlu örgü için faz ve grup hızlarını elde ediniz ve bunların grafiklerini çiziniz. Sürekli ortam yaklaĢımı ile kesikli ortam yaklaĢımı açısından değerlendiriniz.

BÖLÜM 5

'ye 1 T 2 T 3 için grafiği yorumlayınız. ÖDEV: f'nin bağlı değiĢim eğrisini çiziniz ve T 

U    . N   .d  0

U 

  kT 

3 2

x



  kT 

3 2

U 

3 2

( kT )

2

 3 2 3 NkT 2

N  1



d   kTdx

3/2

.kT .  x 3 2 .e  x dx 0

.e  x dx 

0

U 

  kTx 

2N



.  e 3 2 .e   / kT d  0

 x kT

U 



2N

3  4

N .kT .

31/ 2 4



U 3  kT N 2

3  U  kT 2

Sabit Hacim Altında Isı Sığası dU Cv   idi . dTv

Cv 

d 3   NkT  dT2 v

3 Cv  Nk  2

ısısığası

Birim Hacimdeki Isınma Isısı

f   ‟yi hız dağılımı fonksiyonu cinsinden yazalım, 3 2

2 h N   / kT  .   f  . e   2 V 2  mkT   idi.

2  N   / kT   N  . d   . . e . d  3 2    kT

12   m  d   m  . d  2 3 2

2 h 2 N  m  / 2 kT  .   f  . e   2 V 2  mkT  

Nd  f gd Nd 

2N

kT

32

.

m. 2

em

32

 m  Nd  4N   2kT

2

.md

/ 2kT

2.em

2

.d

/ 2kT

    hızıcivarındak idaralığında olanparçacıkla rınsayısı

FERMĠ-DĠRAC ĠSTATĠSTĠĞĠ 1-) Gerçek hayatta bir elektron sisteminde veya elementer parçacıklar sisteminde bir parçacığı diğerinden ayırmak mümkün değildir. 2-) Herhangi bir kuantum durumu istenen sayıda parçacık içeremez. Bu parçacık elektron olarak düĢünülürse bir kuantum durumunda ancak bir parçacık bulunabilir. (Pauli DıĢarlama Ġlkesi geçerlidir.) Eğer yukarıdaki 2 kısıtlama sisteme uygulanırsa Maxwell-Boltzman sistemi için çıkardığımız dağılım fonksiyonu kısmen değiĢikliğe uğrar ve buna da Fermi-Dirac Dağılım Fonksiyonu denir. o Fermi Enerjisi: T0KF

1 T  0 K de elektronların alabileceği max. enerjiye spinleri 2 olan elektronlar için Fermi-Dirac Dağılımı 1 fkT 1eF T sıcaklığında Fermi-Dirac Dağılımına göre  enerji seviyesinin dolu olma olasılığını verir. o

0 °K‟de elektron yoğunluğu n olan Fermi gazının (iletken gaz) enerjisini veren ifade

g d : enerjisi  iled aralığında olan kuantum durumlarının sayısı yani durum yoğunluğu  Fo

: T=0 °K‟de Fermi enerjisi

f   : dolu olma olasılığı g  : durum yoğunluğu f   =1

(0-

 Fo

arasında 1 dir.)

N 

 Fo



1

8 2 V h

0



8 2 V h

 N 

3

3

m

 Fo



1 2

d

d

0

8 2 V h3

m

2 V

16

3 2



3 2 1 2

m

3h

3

3 2

m



3 2   3 2

3 2

 3F

 Fo   0 2

o

ÖDEV: Alüminyumun fermi enerjisini hesaplayınız. (K.N=27, M=27,  =2,7 g/cm3 ve Valans değerlik elektronları=3 tür.) ÖDEV: Cu8,95g/cm KN=63,5 akb olan Cu+1 için fermi enerji değerini bulunuz. 3

ÖRNEK: Ġki boyutlu ideal bir gaz için herhangi bir sıcaklıktaki fermi enerjisinin /kT

F(t)klTneFo1  olduğunu gösteriniz.

Burada

Fo 

N2 mAdır.



N   f () g() d 0

N

mA 

2





1

0 1 e

(F ) / kT

d

e (F ) / kT  1  x e (F ) / kT  x  1 ln(x  1)  (   F ) / kT (   F )  kT ln(x  1)    F  kT ln(x  1) d  0  kT

dx x 1



d 

kT dx x 1

x

2 mA kT N  2 dx 1 )x   x(x 1

1 A B   x (x 1 ) x x 1



x

(A B )xA 1

A  1   B 1 

x

mA 2 1 mA 2 1 N  2kT dx   x 2 kT(x1)dx   x x 1

N 

mA

 mA



2

2

1

mA

x

kT ln x x 2  1



2

x

kT ln( x  1) x 2 1

kT  ln x  ln( x  1) x 2 x

1

x

 ( x  1)  2  2 kT  ln  x  x1   mA



  1 1  kT ln 1    ln 1     1  e  F / kT    mA 2

  F / kT    ln e kT  2  1  e  F / kT mA  1  e  F / kT   2 kT  ln   e  F / kT  

mA





  

   



 F   /kT o F  ln e  1 kT  /kT

F o e

 /kT F  1  e  /kT

 /kT F F e  eo

 1

 /kT F   o   kT ln e  1   F  

o T  0 K için ikiboyutlu durum yoğunluğu için

Fermi enerjisi ifadesi T=0 °K‟deki gazın iç F o

 N U E N ()d .  0   N 0 F o

 f()g()d  0 F o

8 2V 32 1/2  m  d  h3 0 F

8 2V 32 5/2 o U m o 5/2 h3 0

enerj

162V 32 3/2  m F .F o o 5 h3

2

 h2  3 N3  F  .   idi  o 2 m 8  V    isi

(ortalama iç enerji):

3

2 2   16 2  V h N 3 2  .3 U  3m .  o F o   2 m 8  5 h   V

KATIHAL FĠZĠĞĠ - 2 – KATILARIN ISISAL (TERMAL) ÖZELLĠKLERĠ 1- 1- Isı sığası 2- 2- Isısal GenleĢme 3- 3- Isı iletkenliği Örgü titreĢimlerinin enerji kuantumları fononlardır. Fononlar kullanarak katıların ısısal özellikleri açıklanabilir. Belli bir sıcaklıkta katının atomları titreĢmektedir. Bu örgü titreĢimlerinin toplam enerjisi katının toplam ısı enerjisini verir. Ortamın sıcaklığı arttıkça titreĢim kipinin, dolayısıyla katının ısı enerjisinin nasıl arttığını inceleyelim. Öz Isı: Bir katının mol baĢına öz ısısı, sıcaklık küçük bir ∆T kadar arttırıldığında katı tarafından Q soğurulan ∆Q ölçülerek C = T olarak bulunur. Buna göre sıcaklığı arttırmak için bir katıya verilmesi gereken ˚K baĢına ısı miktarına öz ısı denir. Isı sığasını sabit hacim veya sabit basınç altında tanımlarız. Bir cisim ısıtılırken onun hacmini sabit tutmak güç olduğu için genellikle sabit basınç altında öz ısı ölçülür. Sabit basınç ve sabit hacim arasındaki öz ısılar arasında

V0 .a 2 .T Cp=Cv= K Vo: örneğin hacmi T: sıcaklık (˚K) K: sıkıĢabilirlik katsayısı Termodinamiğin 1. Kanunu: dQ=dET + P.dV dQ: maddenin soğurduğu ısı dET: cismin toplam enerjisindeki artıĢ P.dV: cisim tarafından yapılan iĢ Sabit hacim altında P.dV  0

dQTE   Cv= dTV Deneysel Sonuçlar

Bu Ģekil inorganik katıların öz ısılarının sıcaklıkla değiĢim eğrisini vermektedir. Bu deneysel bir sonuç olup aĢağıdaki özelliklere sahiptir. 1- Hemen hemen bütün tek atomlu katıların öz ısısı;





3 Nk23  23 0  3  6 , 02  10  1 , 38  10  25 joule mol . K R Cv= 3

Yüksek sıcaklıklarda (300 ˚K) öz ısıda herhangi bir değiĢim olmaz, sabit kalır. (Dulong-Petit Yasası) 2- DüĢük sıcaklıklarda öz ısı anlamlı bir Ģekilde düĢer, bu düĢüĢ yalıtkanlarda T3 ile iletkenlerde ise T ile orantılı olarak mutlak sıfır sıcaklığına (˚K olarak, 0 ˚C) “cümle?????” Eğer metal süper iletken durumuna geçerse düĢüĢ T den daha hızlı olur. 3- Manyetik (mıknatıssal) katılarda manyetik özelliğinin olduğu sıcaklık bölgesinde ısı sığasına manyetik momentlerin katkısı büyüktür. Deneysel olarak bulunan sonuçları açıklamak için 3 tane model ileri sürülmüĢtür. 1- 1- Klasik yaklaĢım 2- 2- Einstein kuramı 3- 3- Debye kuramı 1- Klasik YaklaĢım: I. yol: ET = EK + EP  Bir kipin enerjisi 3 3 kT kT  üç boyutta (tek atomlu için) 2 = 2 = 3NkT  N atomlu katının toplam enerjisi

dE   C   3 Nk  3 R  25 joule mol T  v dT   V .˚K Yüksek sıcaklıklarda klasik öz ısı modeli geçerli olup düĢük sıcaklıklar için deney sonuçlarını doğrulayacak herhangi bir bilgi vermemektedir. Bu yüzden ikinci bir yaklaĢım ileri sürülmelidir. II. yol:

=





f

(

0 

 0

f



).

(



).

.



d

d

Klasik yaklaĢımda g ( ) sabittir. Çünkü enerji süreklidir.

 x    kTx  d   kTdx

kT 

 kT sbt.e ..d f ()0   kT sbt.e .d 0





.kTdx kT e kTx e xdx  x

 x

0 0       x  x e kTdx e dx 0

 kT

0

 tek atomlu

 NkT  N atomlu  N atomlu üç boyutlu durum   3NkT dE CvT3NkR dTV 2- Einstein Kuramı: Enerji kesiklidir ve katı içindeki bütün atomlar aynı frekansta titreĢir. Bir atomun toplam enerjisi; 1 En 2 3 3Nn 2

sıcaklığa bağlı değiĢiyor  fonon sayısı Bose-Einstein istatistiğine göre fonon sayısı 1 nkT e1 :T sıcaklığındaki fonon sayısı

1 3 E  3 N .       kT e  1 2  Einstein modelinde N atomlu bir katının sahip olduğu toplam enerji

Bu modelde ısı sığası Ģu Ģekilde incelenir; Yüksek sıcaklıklarda Cv  kT T  e x  0‟a gider

(x=  kT )

x2 liem1. x01!2  x

ihmal



  x  kT lim e  1  x  1  e x  0 kT





  U  E  3 N  3 N   kT e  1 2 3N 3N  12 kT

3 UE3NkT 2

 yüksek sıcaklıklarda enerji ifadesi

dU Cv3NkR dTV

  Deneysel sonuçları doğruluyor.

Düşük sıcaklıklarda Cv T0 3 U3NkT e2

ekT1 ihmal

 DüĢük sıcaklıklarda enerji ifadesi





dU 3  d     kT C   3 N  e  N   v  dT 2     VdT Serbest elektronların katının ısı sığasına ve elektriksel iletkenliğe katkısı 3 Ee  NkT 2 N tane serbest elektron içeren bir katı için toplam enerji ‟dir.

dE 3 CeeNk Elektronlardan ileri gelen ısı sığası: dT2 Elektronlardan ileri gelen ısı iletkenliği:

   1 3 3 kT m  kT   ort .

1 KeCor.t 3

2

2 ort .

2

2 ort .

m

1 KeCo2r.t 3



1 33 kT K  Nk . e 3 2 m 2 3 Nk T K  (K : ısısal iletkenlik katsayısı) e e 2m



K L e sbt .idi  Deneysel sonuçlar  T 2 2 3Nk T 3Nk T 2 m 3k sbt L2 m 2 2 . m  T Ne T 2e2 m

3k2 L2sabit 2. SONUÇ: Klasik yaklaĢım Lorentz katsayısının 2e olduğunu göstererek deneysel sonuçları doğrulamıĢtır.

Cefon

1 f() 1eFkT

CATB2

3. SONUÇ: Deneysel olarak serbest elektronların ısı sığasına katkıda bulunan elektron sayısı yaklaĢık olarak 3 Nk Cefon CATB2 0,01ile0,03arasındadeğiĢirveelektronlardangelenkatkısıcaklıkladoğruorantıldır.Bu,kadardır.OysaklasikyaklaĢımdaserbestelektronlardanilerigelenkatkı2 kadarolupsıcaklıktanbağımsızdırvedeenerjisürekliolduğundanelektronların%50‟siısığasınakatkıdabulunur.BuisedeneyselsonuçlarlauyuĢmaz.YaniCe‟nindeğeri1,5NkdeğilbudeğerinyaklaĢık%1‟ikadardır.

Ne2  m idi. Klasik serbest elektron kuramında





1



 

2 1Ne m   2 m Ne

 

‟yu etkileyen iki faktör vardır;

1- Elektronların kusurla etkileĢmesi: Sıcaklıktan bağımsızdır. 2- Elektronların fononlarla etkileĢmesi:Sıcaklığa bağlıdır.

1 1  m         Ne       2

  

fonon kusur

kusur fonon

kusur fonon

τ  Elektron  kusur etkileşme zamanı fonon τ  Elektron  fonon etkileşme zamanı kusur DüĢük sıcaklıklarda fononlardan gelen katkı büyüktür.

Na için yüksek sıcaklıklarda  ‟nun arttığını gösteren grafik

sıcaklıkla orantılı

.

Na için düĢük sıcaklıklarda  ‟nun yaklaĢık sabit olduğunu gösteren grafik 4. SONUÇ: Klasik serbest elektron modeli deneysel olarak gözlenen Ģu sonucu da açıklayamamıĢtır. Ġletim elektronları diğer elektronlardan veya iyon merkezinden saçılmadan doğrusal bir çizgide çok uzun mesafeler gidebilmektedir. Alçak sıcaklıklarda çok saf bir metalde ortalama serbest yol atomlar arası uzaklığın 108 katı yanı 1cm‟den fazla olabilmektedir. Bu yoğun madde ortamı iletim elektronlarına nasıl bu kadar saydam davranabilir? Bunun iki sebebi vardır. 1-) Ġletim elektronları periyodik bir örgüdeki iyon merkezlerinden saçılmaya uğramazlar. Çünkü kuantumlanmıĢ madde dalgaları periyodik dalgalar serbestçe ilerleyebilir. 2-) Bir iletim elektronu diğer iletim elektronu tarafından çok nadir olarak saçılmaya uğratılabilir. Bu Pauli dıĢarlama ilkesinin sonucudur. 2-) KUANTUMLANDIRILMIġ SERBEST ELEKTRON MODELĠ (Sommerfield Modeli) Klasik serbest elektronların hepsi ortalama aynı kinetik enerjiye sahip elektronlardır. Gerçekte elektronlar böyle davranmazlar. Kuantum mekaniğine göre elektronların enerjisi kuantumlanmıĢtır. Pauli dıĢarlama ilkesine göre hiçbir elektron bir diğeri ile aynı kuantum durumunda bulunamaz. Ya enerji düzeyleri ya da spin durumları farklıdır. Elektronların iki tanesi bir enerji düzeyinde birinin spini yukarı diğerinin spini aĢağı olacak Ģekilde yerleĢmiĢlerdir. Kristallerin yüzeylerinin oluĢturduğu potansiyel kuyusu içine bu Ģekilde her enerji düzeyinde iki elektron bulunur. Tüm elektronlar en düĢük enerji düzeyinden baĢlayarak dizilirler. T=0°K‟de bu Ģekilde enerji düzeyleri hiç boĢ düzey kalmadan doldurulduğunda en yüksek düzeye fermi enerji düzeyi denir.

Metallerde tipik fermi enerji düzeyi yaklaĢık 5 eV civarındadır. Elektronlar enerji düzeylerine Ģekildeki gibi yerleĢmiĢlerdir. Serbest kuantumlanmıĢ elektron demek serbest olduklarından bir potansiyel enerjisi olmayan ve dalga hareketi yapan tanecikler anlamına gelir. Bir elektronun kristal içindeki hareketi tek boyutta;

xAiekx ilerleyen düzlem dalga denklemidir.

Kristalin boyu L ise periyodiklik sınır Ģartından; xL AeikxL Aeikx.L ikL e  1  CoskL  iSinkL  1 kL  n . 2

 2  .. 2  k  0 , ,......... n . dalga vektörü bu değerleri alıyor . L

L

Schödinger Dalga Denklemi

    H  x E  x 2 p H  E  E  H  E  k p k  2 m

0 idi

p:momentum iĢlemcisi

2 H2 2mx

2   2 2 ˆ p   i   p    2  x  x

2 xEn 2mx2

xAieknxolmıa



2 kn2xE 2m 2kn2 En  2m

 



2 4 2 k  0 , , .......... .. n n L L L

0°K‟de tüm enerji düzeyi elektronlarla dolu ise bu düzeye fermi enerji düzeyi deniliyordu. Fermi enerji düzeyinin üzerinde boĢ enerji düzeyleri vardır. T > 0°K olduğunda bazı elektronlar  F ‟nin üstündeki düzeylere geçerler. Bir elektronun bir E enerji düzeyinde bulunma olasılığı (veya E düzeyinin dolu olma olasılığı) Fermi-Dirac enerji fonksiyonu ile verilir.

1 fFkT 1e o T 0 K

T 0K o

o T 0 K

F içinf  1 F içinf 0 F için f 1

2

Pauli dıĢarlama ilkesine göre bir elektronun dıĢ alanlar (elektrik alan, manyetik alan ve termal enerji) ile etkileĢmesi bu etkileĢme sonucunda gideceği enerji düzeyinin boĢ olması durumunda mümkündür. Aksi takdirde uygulanan dıĢ alan elektrona enerji aktarmaz ve elektronun enerjisi değiĢmez. DıĢ alan etkisi ile elektronun enerjisi E kadar değiĢmiĢse  F ‟nin E kadar altında olan elektronlar  F ‟nin üstündeki boĢ enerji düzeylerine geçebilirler, daha aĢağıda olan elektronların enerjileri  F ‟nin üstüne geçmeye yetmez. Eğer   F ise boĢ düzeylere geçen elektron sayısı:



 NN

F

‟dir.

‟yi üç şekilde sağlayabiliriz;

 46 1- Metale bir E elektrik alan uygulansın. L serbest yolu boyunca elektronun enerjisindeki değiĢme: eE1L0 eV değerindedir.

2- Manyetik alan içindeki elektronun enerjisinin kuantumlanması halinde; c103F

eH     : siklatron frekans ı m c c

c

0

3- Termal yolla elektron oda sıcaklığında ısısal yolla enejisini değiĢtirdiğinde;

keV T0,25 olur.

Demek ki normal koĢullarda bu üç çeĢit uyarma ile serbest elektronların sadece  F düzeyine yakın olan küçük bir oranı dıĢ uyarmalardan etkilenerek enerjisini değiĢtirir. Bu elektronlar katının fiziksel özelliklerini belirler.  F ‟nin çok altında olan elektronlar fiziksel özelliklere etki etmezler. Oda sıcaklığında kT enerji bölgesindeki elektronlar  F ‟nin üstüne uyarılırlar. Dolayısıyla  F düzeyi boĢaltılmıĢolarakgörülür.Birolasılıkladoluolanyenifermiseviyebirazgeriyesolakayar.Ancakk(T30Ko)FT lduğundanyenifermidüzeyileT=0°KfermidüzeyibirazfarklıolsalardaçokyakınveyaklaĢıkçaeĢitsayılabilirler.BunedenlefermidüzeyiyaklaĢıkça sıcaklıktan bağımsız bir enerji düzeyi olarak kabul edilebilir.  F0   FT olur.

k‟nın olası değerleri için k momentum uzayında enerji düzeyleri bir hacim oluĢtururlar. Fermi yüzeyi bu hacmi çevreleyen dolu enerji düzeyleri ile boĢ enerji düzeylerini ayıran düĢünsel bir yüzeydir. Yani  F bağıntısı momentum uzayında bir eĢ enerji yüzeyi belirler. Bu yüzeye fermi yüzeyi denir.    F enerjili elektronların özellikleri, davranıĢları tümü ile fermi yüzeyinin Ģekli tarafından belirlenir.

Fermi Yüzeyi Örneğin sadece yüzeyindeki elektronlar elektriksel ve ısısal uyarmalardan etkilendiklerinden bu olaylar fermi yüzeyinin Ģekline bağlıdır.



2 2  k  k kesikli olduğundan enerji kesiklidir . 2 m

Üç boyutlu enerji ifadesi



k2 kx2yz 2m



2

2  k f   k : Fermi Yüzeyi yarıçapı f 2 m olduğu için fermi yüzeyi küreseldir.

Her elektron k uzayında bir nokta ile gösterilirse bir serbest elektronun enerjisi momentum uzayında;

E

p2 2m





2 2   k  2 m F p   k idi p   k    k  F F 2 m 

Fermi enerji seviyesindeki hız fermi hızı olur.



  

2 m2  F m   k   F  F F F m  m

 F ’nin elektron yoğunluğuna bağlılığı:

 F fermi küresi içindeki elektronların sayısı:

43 kF 3N2 3 2  L

3N k L

1 23

F1 3





2

  

2 2 2 2 2 3     3 N N N    2 3 2 3    k   L  V  n     n   FF F3 3 3   2 m 2 m V m L L 2   

Mesela; F  5eV ise;

1 2 m   5 eV F 2 1  31 2  19 9 , 11  10   5  1 , 6  10 F 2 6   10 m /s  yaklaşıkça sıcaklıkta n bağımsız F F SONUÇ: Fermi enerjisi sıcaklıktan bağımsız olup elektron yoğunluğuna bağlıdır.

Durum Yoğunluğu Fonksiyonu gε  : Örgü titreĢim frekanslarındaki kip yoğunluğuna benzer biçimde birim enerji aralığı baĢına düĢen yörünge sayısı durum (enerji seviyeleri) yoğunluğu fonksiyonu g   ‟yi türetelim. g

dN' d Ģeklinde tanımlanır.

N ' : dolu veya boĢ olan enerji düzeylerinin (yörünge) sayısı. Bir  enerji düzeyine kadar olan momentum uzayında bulunan durumların sayısı; 43 k N'2.33id 2   L



V N'2k3VL 3

Her yörünge bir enerji düzeyi ile gösterilir. Bu düzeylere de, enerji durumları denir.

E

2k2 2m

k2 

2mE 2

3 32 2 2

k2mE  

3

V2mE2 N'2 3

 

3

2 1 dN ' V 2 m   2  g  2 2 E d 2  

Kuantum Durumları Yoğunluğu Fonksiyonu

Serbest elektronların ısı sığasına katkısı:

Cefon CATB2 1-C=AT midir? 2- Elektronlardan gelen katkı 0,01-0,03 arasında mıdır? Bu iki soruya cevap arayalım.

kT ε F için C e ‟yi bulmaya çalıĢalım: Elektron gazının sıcaklığı 0°K‟den T°K‟e çıkarıldığı zaman elektronlardan ileri gelen ısı enerjisi artıĢı;



 



F 0

    U  . g f d  . g f d   0

0

1 feFkT1 1. T  0 K ‟de 1e olduğu için  F ‟nin üzerine çıkan elektronların enerjisini verir. o

o 2. T 0 K de sadece  F ‟ye kadar olan elektronların enerjisidir.

 

dU df   C  . g d  0 e  dT dT 0 

(1)

2. terimin 0 olması T‟ye bağlı bir fonksiyon olmadığı içindir. T=0°K‟den itibaren f e  1‟den farklı olan dolu enerji durumlarının sayısı: 

Nfgd 0

  f ε : Bir ε enerji seviyesind e bulunma olasılığı   g ε : Birim enerji aralığına düşen durum sayısı 

ifadenin her iki tarafını  F ile çarpalım;

df 0Fg.d sıcaklığa göre türevini alalım; 0dT

FNfgd 0



(2)

(2)‟yi (1)‟de yerine yazalım;

  

    df df     C  . g d  g . d e F   dT dT 0 0 



  df     C    . g  d  e F  dT 0 

Tüm E bölgesi ile ilgilenmek yerine kT ε F ye karĢılık gelen Fermi bölgesi ile ilgilenirsek E yerine  F ;

ggF

  

 df F    C  g . d e F  dT 0 

Ara işlem: 1 fFkT 1e idi.

  

    kT F   df F e  2 . 2     kT F dT  1 kT  e



  

     kT F   e F   C  g . k . d   e F 2      kT F kT   1  e 0 

x



2



 F kT

dönüĢümünü uygulayalım.

     0  x  F  d  kTdx kT      x    

F.k.T C g x e

2

2

 F kT

x e

e 1 x

dx

2

         12  3

k2 CegF.T 3 A

CeA.T

k2 CegF.T 3 A

Cefon ATB3

idi , k2 2 gF . 3  A

ise A katsayısını bulalım; bunun için g  F  nedir?

3

V2mE2 N2F 3 idi. (1)

g 

dN d idi.

(2)

3

V2m21 g2F2 2

(3)

(1)-(2)-(3)‟ün sonunda;

3N gF 2F

dir.



 

2 2 2 2 k 3 N k   C  g . . T  C  . . T e F e 3 2 3 F

Ce 

3 N k22 . .T 2 F 3

1 kT  2Nk 2 F

 

   NkT NkT   C  5 . k : ısı sığasına elektronla rın katkısı  e  F F   

Nk C  . T  C  T 2      2

2

e

e

F

A







kT   0 , 025   5eV  10eV F F, F

kT0,253 5.10 F5 ısı sığasına katkıda bulunurlar.

kT

SONUÇ: Isı sığasına tüm elektronların  F kadarlık oranı bir katkıda bulunur ve bu katkı kT F olduğundan 0,001-0,003 civarında olup deneysel sonuçları doğrulamaktadır. Sıcaklıkla ısı sığası orantılı olarak değiĢmektedir.

Elektronlardan Ġleri Gelen Isı Ġletkenliği: Bir katıda ısı iletkenliğine katkı elektronlardan ve fononlardan ileri gelir; Kefon

dur.

Metallerde;

Ke10fon Ke 1 Ke  CeV 3

idi.

DüĢük Sıcaklıklarda kT   F 1T Ce2Nk 2F

Sadece Fermi düzeyindeki elektronlarla ilgileniyorsak;

  F   F Isıyı Fermi yüzeyine yakın olan elektronlar iletir. 1 2

F  mF2

alınırsa,

  Nk T  K    3 m 22

F

F

e

F

F

N2e eF m

idi.

 Nk T 1 Teorik mode K   k   3 m cal . ohm L     5 , 8  10    s . K bulun sonu  T 3 e Ne     T m Lorentz sabiti: 22

F

e

2

F

2

 9

o 2

İrdeleme: Deneysel Sonuç L :

Na

Au

Fe

5,2x10-9

5,9x10-9

5,5x10-9

Yüksek sıcaklıklarda elektron-fonon etkileĢmesi baskındır. Fonon sayısı T ile arttığından ortalama serbest 1 zaman da T ile değiĢecektir. Bu nedenle K e sabit çıkar.





2 2 2 Nk T 12 Nk K  .   sabit e 3 m T3 m

Yüksek sıcaklıklarda K e sabit çıkar. DüĢük sıcaklıklarda elektron-kusur ve elektron-kristal boyutu etkileĢmeleri baskındır.  F sıcaklıktan bağımsızdır ve bu nedenle K e ;





22 Nk F  K  T K  T  sabit e e F 3 m

Eğimin pik noktası, fonon sayısı artarken, fonon-elektron etkileĢmesinin süresi azalır. Belli bir sıcaklıktan sonra da iletkenlik sabit kalır. Elektriksel Ġletkenlik:

  Dalga hareketi yapan elektronların momentumu: P  k Bu alana etki eden kuvvet: F  eE dPk Fk dTt

F  dk  dt momentum değişimi olur . 

m  k md  dk ms  0  

F dt  m  eEdt

eE   dt m

 dt   F

eE      sürüklenme hız ı m F

F 

F F

F  sabit

(1)

Yüksek sıcaklıklarda:

F 

1 T idi. (2)

JNes eE NeF m 2 Ne E J F m

(3)

J  E

(4)

(3) ve (4) ten:



Ne2F m

(5)

(1)-(2) ve(5) dikkate alınırsa:

Yüksek sıcaklıklarda;



1 T olur.

1     

 T olur.

öz direnç öz direnç

Bu sonuçlar, deneysel sonuçlarla uyum içindedir.

MAGNETĠK ALAN ĠÇĠNDE HAREKET 1- Siklotron Rezonansı 2- Hall Olayı 1- Siklotron Frekansı: Bir metale bir magnetik alan uygulanırsa iletim elektronları tarafından birçok önemli olaylar sergilenir. Bunlardan ikisi, siklotron rezonansı ve Hall olayıdır. Böyle bir iletkene bir dıĢ kuvvet uygulanırsa, bu kuvvet iki farklı iĢe yarar: a-)  ortalama serbest süreli çarpıĢmalardaki kuvveti, b-) Elektronun yerdeğiĢtirme ivmesini veren kuvveti, oluĢturur. Eğer elektronların oluĢturduğu Fermi küresi k kadar yerdeğiĢtirirse kuvvetler arasındaki iliĢki:  dk Fk dt -1  Serbest elektronlar hem E alanı, hem de B alanı etkisinde ise:



 FeEVB

Loreknutvzi

-2-

  m  k 

k 

 (Fermi yüzeyi k kadar yerdeğiĢtirirse)

m 

-3-

-2- ve –3- ü –1- de yerine yazarsak:     m  dm   F         dt           m   dm        e E    B     dt        d1   m    e E    B   dt    -4-









 Exiyjzk  xiyjzk   B  Bz z  B manyetik alanı z doğrultusunda seçilirse –4- nolu denklemin çözümü aĢağıdaki gibi olur.

   

d1   m   e E   B   x x y z dt  

   

d1   m   e E   B   y y x z dt   d1 mzeE0 dt   Sabit bir E alanı ve B alanı olduğu zaman Fermi küresi kararlı bir durum aldığından sabit hızla gider.   Yüklerin yörüngeleri   B ‟ye uygun olarak devamlı değiĢir. Kararlı hal kurulduktan sonra elektrik yükleri düzenli dairesel hareketlerini sürdürürler. Bunun için, sabit hızla hareketten dolayı;

d  d  d  y x z m  m m  0 dt dt dt olarak karĢımıza çıkar.

x   y    

eEx eBz  y m m eE eBz  x m

m eEz m

eB m

 Wc

ise,

eB  z W c  m  eB  z W (SI ) Siklotron Frekans ı  c * m  eB  z W (CGS ) c *  mc 

Siklotron Rezonansı deneyi ile elektronların kütleleri (etkin kütle) ölçülür.

2- Hall Olayı:

ġEKĠL 2

Hareketli elektrik yüklerine bir magnetik alan uygulandığı zaman Hall olayı meydana gelir. Bir metale   yoğunluğu J olan bir elektrik alan uygularsak ve aynı zamanda sabit bir B magnetik alan içinden geçirilirse    J  B doğrultusunda yeni bir elektrik alanı meydana gelir. Bu elektrik alanı elde etmek için E y elektrik alan etkisinde elektronların bir magnetik alan içinde hareketlerini dikkate alırsak, magnetik alandan dolayı  elektronlara FeB kuvveti etkir.





 FeB eyyˆBxx eyBxzˆ

(1)

 (  )lik  z yönünde olduğunu gösterir

 F ifadesinde de görüldüğü gibi y-z düzleminde, -z yönünde saptırır. Sapan elektronlar iletkenin alt kenarından kaçamayacağı için basitĢe (b) de görüldüğü gibi, altta (-) ve üstte (+) yüzey yükü tabakası oluĢur. Bu yüzey yükünün oluĢumu sırasında, yeni bir alan oluĢur. Bu alana;  ˆ EH Ez z

Hall alanı denir. Sonuçta –y yönünde ilerleyerek magnetik alan içine giren iletim elektronlarına ; birincisi –z yönünde etki eden Lorentz Kuvveti, ikincisi de

 FHeE  FHeEzzˆ  FHeEzzˆ

(2)

olarak hesaplanan Hall Kuvveti etkir.

(1)=(2) dersek,   FL  FH

eVB x eE H

E  VB Hall Alan ı ( SI ) H x    J n(e)V idi. Jy Volu.r ne

E . HVB x idi JyB x E  Hall Alan ı H ne

RH  

1 ne

1 RH    H ne JEyBx

RH: Hall sabiti

Bu sonuç deneysel değerlerle karĢılaĢtırılırsa Ģu sonuçlar çıkabilir.

1-) Basit metaller için R H Hall sabiti hem iĢaretçe hem değerce uyuĢur. 2-) GeçiĢ metalleri için iĢaretçe uyuĢur değerce uyuĢmaz. 3-) Yarı metaller için hem iĢaretçe hem de sayıca uyuĢmaz. Termoiyonik Olay:

Metaller ısıtıldıklarında elektron yaymaya baĢlarlar. Bu olaya termoiyonik olay denir. Kuantumsal serbest elektron modeline göre, metallerde yayınlanan bu elektronlar , serbest elektronlardır. ġekildeki gibi bir elektronu bir potansiyel kuyusu içinde olduğunu düĢünelim. ġekle göre elektronları bağlayan bir potansiyel söz konusudur. Bu nedenle madde dıĢına çıkamazlar. DıĢarıdan bir uyarma ile Fermi enerji seviyesine yakın olan elektronlar;

  F

kadarlık enerji alarak dıĢarı çıkabilirler. Burada  ‟ye iĢ fonksiyonu denir. Klasik olarak iĢ fonksiyonunu alan her elektron bu kuyudun kurtulabilir. Oysa kuantum mekaniksel olarak elektronun sahip olduğu enerjiler, kesikli enerji değerleri olduğu için, her elektron kuyu içinden rahatlıkla çıkamaz. Bu demektir ki; dipteki elektronların çıkabilmesi için  kadarlık bir enerji gerekirken, fermi seviyesine yakın bir elektronu sökebilmek için   F kadarlık enerji gerekir. Çünkü, dıĢ yörüngedeki elektronlar, dipteki elektronlara kıyasla daha zayıf bağlıdır. Bu olayın modelimizle bağlantısı Ģudur: 1-Enerjinin kesekli olması, 2- Ġletime katkıda bulunan elektronların serbest elektronlar olması. Fotoelektrik Olay: Metalden elektron sökme olayıdır. Foton enerjisinin bir kısmını elektronu sökmekte, bir kısmını da elektronu fırlatmakta kullanır. Fotonun enerjisi: h ise, h : elektronu sökmek için gerekli enerji  0 h  h  W  0 W : elektronu fırlatmak için gerekli enerji  klasik olarak, gelen bütün fotonların elektronlar tarafından soğurulduğunu kabul ederiz. Oysa kuantum mekaniksel olarak, her foton metalden elektron sökemez. Sökülen elektronlar, metalin içinden veya metalin yüzeyinden ileri gelir. Bu olayın modelimizle bağlantısı elektronların serbest elektronlar olduğu ile iliĢkilidir.

  

Serbest Elektronların Paramagnetik Alınganlığa Katkısı: Klasik serbest elektron modeline göre, tüm serbest elektronlar magnetik alınganlığa katkıda bulunurlar ve genel olarak magnetik alınganlığı: M : Mıknatısla nma  M χ   e H : Magnetik alan H  ve klasik yaklaĢımda ; N 2  χ B : Bohr magnetonu e B kT olarak ifade edilir. Klasik yaklaĢımın neticesi olarak paramagnetik alınganlığa katkısı (T=0°K‟de) tüm serbest elektronlardan ileri gelir ve magnetik alınganlık sıcaklıkla ters orantılı olarak değiĢir.



Kuantum mekaniksel olarak, serbest elektronların T=0°K‟de paramagnetik alınganlığa katkısı:

3N χeB2 2F0

olarak verilir.

F0:Fer(T=0°K‟de) mnijs

Fermi enerji seviyesi, sıcaklıktan yaklaĢıkça bağımsız olduğu için kT F  magnetik alınganlık ta sıcaklıktan bağımsız olarak incelenir. T=T °K , T  0 °K:

   

2  2    3 N kT 2    χ  B 1  e  2 12   F  0  F 

T °K için elektronların paramagnetik alınganlığa katkısı sıcaklıkla değiĢimi çok küçük olduğundan, yaklaĢıkça sıcaklıktan bağımsız olduğu kabul edilebilir. Kuantumsal serbest elektron modeli, deney sonuçlarını desteklemektedir. (Deneysel sonuçların 7. maddesi ile tutarlıdır). Serbest Elektron Modelinin BaĢarısız Olduğu Durumlar Serbest elektron modeli metallerin gözlenen özelliklerini açıklamakta baĢarılı olmakla birlikte aĢağıdaki sonuçları açıklamakta yetersiz kalmıĢtır. 1- 1- Model elektriksel iletkenliğin, elektron yoğunluğu ile doğru orantılı olduğunu kabul eder. Be, Cd ve Zn gibi iki değerlikli ve Al, In gibi üç değerlikli metaller; Cu, Ag, Au gibi bir değerlikli metallerden daha düĢük iletkenlik gösterir. 2- 2- Serbest elektron modeli her zaman (-) iĢaretli Hall sabitini tahmin ettiği halde; Be, Zr, Cd gibi metallerin Hall sabitleri (+) iĢaretlidir. 3- 3- Serbest elektron modeli, küresel Fermi yüzeyini tahmin ettiği halde, ölçümler sık sık küresel olmayan Fermi yüzeyleri ortaya çıkarmıĢtır. 4- 4- Maddeleri; metal, yarı iletken ya da yalıtkandır diye ayırabileceğimiz bir sonuç vermemiĢtir. 5- 5- Hemen hemen mükemmel kristallerde serbest elektronların ortalama serbest yolunun çok uzun olmasının sebebini açıklayamamıĢtır. Bu ve benzeri güçlükler, ancak periyodik kristal potansiyeli dikkate alınarak aĢılabilir. Çünkü, eğer deneysel sonuçların sayısal olarak açıklanması isteniyorsa, o zaman kristal potansiyeli tamamen göz ardı edilemez. Bu yüzden yeni bir kuram olan Enerji Band Kuramını açıklayacağız.

ENERJİ BAND KURAMI Periyodik Örgü Ġçindeki Elektronların Kuantum Teorisi: Metaller içindeki elektronlar serbest elektronlardı ve bu elektronları incelerken serbest parçacıklar veya ideal gaz gibi ele almıĢtık. Bu elektronların klasik parçacıklardan farkı Fermi-Dirac Ġstatistiğine uymalarıdır. Bunun neden böyle olduğunu açık bir Ģekilde ifade etmemiĢtik ve bazı metallerde serbest elektronların çok bulunmasını yani iyi bir iletken olmasını, bazılarında hiç serbest elektron bulunmayıĢını yani yalıtkan olduğunu açıklamamıĢtır. Kristal içinde en basit kuantum mekaniksel model Ģöyledir: Elektron mükemmel bir Ģekilde periyodik bir potansiyel etkisi altındadır ve bu potansiyelin periyodu örgü potansiyeli ile aynıdır. Bir kristalin bu tek elektron modelinde periyodik potansiyelin Ģu Ģekilde olduğu düĢünülmektedir: Bu potansiyel örgü noktalarına yerleĢtirilmiĢ iyonların periyodik yükleri ile bütün kristal içine yayılmıĢ serbest yük taĢıyıcılarının oluĢturduğu ortak potansiyelden oluĢmaktadır. Bu toplam potansiyele Kristal Potansiyeli denir.

Kristal Potansiyeli

ġEKĠL 3

 Elektronun içinde hareket ettiği V r  kristal potansiyeli iki terimden oluĢur.

 Bunlar örgüyü oluĢturan iyon korları (merkezleri) ile iletim elektronlarının etkileĢmesinden doğan Vi r   potansiyeli ve iletim elektronunun öteki iletim elektronu ile etkileĢmesinden doğan Ve r  potansiyelidir. Bu potansiyellerin toplamı:

   V r  = Vi r  + Ve r  = Kristal Potansiyeli Örnek olarak Na kristalini dikkate alırsak, 3s bandındaki bir elektron diğer Na atomundaki diğer elektronlarla etkileĢtiği gibi, örgüyü oluĢturan Na+ iyonları ile de etkileĢir. 3s bandındaki bir elektronun iyon korlarıyla etkileĢmesinden doğan potansiyel;



 VirTj j

 Tn1a2

    j iyon korunun yeri değiştikçe V r de değişir i

 T j : Öteleme vektörü olup, herhangi bir iyon korunun yeri temel örgü vektörleri ile verilir.

  Vi r  ‟nin potansiyeli T j öteleme vektörüne bağlı olduğu için periyodik bir potansiyeldir.  Oysa elektron-elektron etkileĢmesini temsil eden Ve r  potansiyelinin tayininde aĢağıda sıralanan güçlükler vardır. 1. Bu terim, verilen bir elektronla etkileĢen öteki bütün elektronların durumları bilinirse, ancak o zaman hesaplanabilir.  2. Elektron örgü içinde sabit bir hareket sürdürdüğünden Ve r  potansiyeli daima sabittir. Dolayısıyla, bu potansiyelin periyodik olduğu düĢünülemez.  3. Ve r  hesaplanırken bütün elektronların durumunu aynı anda düĢünmek gerekir. Bu ise çok parçacık problemi olarak bilinir. Yukarıda sıralanan güçlüklerin yanında elektron-elektron etkileĢmesinin zayıf oluĢu bir çıkıĢ yolu  göstermektedir. Bu da kristal potansiyelinde Ve r  ‟nin dikkate alınmayacağını gösterir.

Sonuç olarak; sabit ve periyodik değiĢkenlerin toplamı yine bir değiĢkendir ve periyodiktir.

  V r  = Vi r 



  Vi r Tj   V r  = j



 Kristal Potansiyeli

Kristal Potansiyelinin OluĢumu: Elektronların iyon korları ile ve diğer elektronlarla etkileĢmesi periyodik bir potansiyel doğurmuĢtur. Yukarıda bahsettiğimiz periyodik bir potansiyel içinde bir elektronun Schrodinger denkleminin çözümü, bize bu tek elektrona ait kuantum durumunun bir takımını verir. Bu kuantum durumları elektronlar tarafından iĢgal edilebilir veya Pauli DıĢarlama Ġlkesine uygun olarak diğer elektronlar tarafından doldurulabilir.

“ġEKĠL 4”

Band yapılarının oluĢumunu incelerken, bu Ģekildeki bir potansiyeli ele alacağız ve kristal içinde enerjiband yapılarının nasıl oluĢtuğunu inceleyeceğiz. Ġlk olarak çözüme tek elektron dalga fonksiyonu ile baĢlayacağız. Tek elektron modeli aynı zamanda Bloch Teoremi (Bloch elektron modeli) olarak ta bilinir. Bu dalga fonksiyonu örgü periyodu ile ilgili bazı önemli özellikler taĢır. Bu fonksiyonlar yardımı ile elektronun alabileceği enerji seviyeleri bulunur, elektron bu enerji seviyelerinin bazılarında bulunabilir, bazılarında bulunamaz. Bu Ģekilde periyodik potansiyele sahip bir sistemde elektronun alabileceği enerji seviyelerinin oluĢturduğu yapıya izinli ya da müsadeli enerji bandı denir. Bu bantlar elektronlar için izinli olmayan ve yasak bölge denen (yasak enerji aralığı, enerji gapı) elektronların bulunamadığı bölgelerle birbirinden ayrılmıĢlardır.

Enerji seviyelerinin yarılmasının çekirdekler arası uzaklığa bağlı olduğunu söyleyebiliriz. Tek atomun enerji düzeyleri Schrodinger dalga denkleminin çözümünden elde edilebilir. Molekül oluĢturan iki atom yan yana geldiğinde bir atomun elektronu diğerinin potansiyelinden etkilenerek eski düzeyinin bir altında ve bir üstünde yeni enerji düzeylerine sahip olurlar. Böylece kuantum durumlarında yozlaĢma gözlenmez.

Katıyı oluĢturmak için yan yana gelen N atom halinde tek atom halindeki her enerji düzeyi N tane enerji düzeyine yarılır. Enerji seviyelerinin yarılması çekirdekler arasındaki uzaklığa bağlıdır. Çekirdekler arası mesafe büyükse yarılma küçük olur. Ayrıca bir atomun enerji seviyelerinin yarılması halinde çekirdeğe yakın olan yörüngelerdeki elektronlar atoma sıkı bağlandığından diğer atomlar tarafından daha az rahatsız

edilirler ve bunun sonucunda enerji yarılması az olur. DıĢ yörüngelerdeki elektronlar ise diğer atomun potansiyelinden daha fazla etkilendiğinden bunların enerjilerindeki yarılmalar da geniĢ olur. (Ġçten dıĢa doğru enerji yarılması geniĢler, enrji gapı daralır.) Her bandın katıdaki atom sayısına yarıldığını söylemiĢtik. Katının cm3‟ünde yaklaĢık 1023 tane atom varsa 523 5.10 23 vetipikbirbantgeniĢliğini5eValırsakikienerjiseviyesiarasındakifark10 olur.bukadaryakınenerjiseviyelerinekesiklidiyebakmakzorolduğundansürekliymiĢgibikabuledilir.

Bloch Teoremi: Ġzinli enerji bandı içinde olan elektronların dinamik davranıĢı pek çok açıdan serbest elektronun davranıĢına benzemektedir. Kristalin iletken veya yalıtkan oluĢu sorusuna cevap; tamamen bant içinde bulunan kuantum durumlarının tamammen veya kısmen dolu oluĢuna bağlıdır. Kristalin tek elektron modeli (Bloch Teoremi) kristaller için geçerli olan serbest elektron modelinin uygunluğunu bir çok açıdan göstermektedir. Bloch teoremi periyodik kristal potansiyeli altında tek elektron dalga fonksiyonu ile ilgili matematiksel bir ifadedir. H. E.

2 H2V(x) 2mx 2  (x) V(x).x E.x 2m x2 2



2(x) x

2

2m  2 (EV(x)).x 0       f(x)

Serbest elektron durumunda V(x)  0 idi o zaman f(x) = k2 = sabit olur.  ikx   Ae idi .   x E ğğe f  f  f  ' in çözümü ;   ( x ) ( x  a ) ( x  na )ise x

ikx   e . U   x k ( x )

 U : Bloch fonk . k ( x )

 : periyodikt ir   x U : Bloch fonk . ( periyodikt ir ) k ( x )

(xn)aeikna

Tek elektron modelinde kristal içindeki bir elektronun dalga fonksiyonu

KRĠSTAL MOMENTUMU VE ETKĠN KÜTLE Elektronlar için RH (-) olması etkin kütle ile açıklanabiliyor.

  Fm .a   d  Ftopm Fuy. Förgü . dt   d Fuy. a  * dt m   Fuy.  m0 * Fuy. Förgü . m  Fuy. *  m m0.  Fuy. Förgü .



* m etkin kütle

Örgü kuvveti: Kristal potansiyeli ile elektronun etkileĢmesi sonucu örgü tarafından uygulanan kuvvettir.

 F  0 örgü  F   örgü  F   örgü



* m  m 0



* m  m 0



* m  m 0

Etkin Kütle: Kristal potansiyeli etkisi altında grup halinde hareket eden elektronların sahip olmuĢ olduğu kütleye denir.

Kristal Momentumu: Serbest parçacığa etki eden kuvvet sıfırdır. Bu netice bizi elektronun kütlesinin sabit olduğu sonucuna götürür. Oysa kristal içinde hareket eden elektron kristal potansiyelinin etkisindedir. Ve bu nedenle elektrona etki eden bir kuvvet vardır. Bu durumda elektronun momentumu sabit değildir. Öyle bir momentum tarifleyelim ki kristal içindeki elektron için sabit olsun. Buna kristal momentumu denir.

2 P h  k   ,P   m    k    2 m  m

2 2 2  k d  k     2 m dk m

1d  dk Serbest parçacık için hız ifadesi 1dk  dkm

2 m2 d dk2 Serbest parçacık için kütle ifadesi

Kristal Ġçindeki Elektronun Enerji ve Etkin Kütle Ġfadesi

Kristal içindeki bir elektronun dıĢ bir kuvvet etkisi altında olduğunu söyleyelim.Kristal içindeki elektronlar için grup hızından bahsedilir.

Grup hızı:

1d g dk

   d P  dk P   k ,F   F   dt dt Momentumu:

d  1 d  g d  * * m   . m  F dtdt  dk  

2 m*2 d dk2 etkin kütlenin ?‟ye bağlı değiĢimi