Kata Pengantar 12

K at ata a Pengant Peng antar  ar   Dengan menyebut nama Allah SWT yang Maha Pengasih lagi Maha Panyayang, kami panjatkan  puja dan puji syukur atas kehadirat-Nya, yang telah melimpahkan rahmat, hidayah, hidaya h, dan inayah Nya kepada kami, sehingga kami dapat menyelesaikan makalah ini  Adapun makalah ini telah kami usahakan semaksimal mungkin dan tentunya dengan bantuan berbagai pihak, sehingga dapat memperlancar pembuatan makalah ini. Untuk itu kami tidak lupa menyampaikan bayak terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu kami dalam  pembuatan makalah ini.  Namun tidak lepas dari semua itu, kami menyadar m enyadar sepenuhnya bahwa ada kekurangan baik dari  segi penyusun bahasanya maupun mau pun segi lainnya. Oleh karena itu dengan lapang da da dan tangan terbuka kami membuka selebar-lebarnya bagi pembaca yang ingin member saran dan kritik kepada kami sehingga kami dapat memperbaiki memperbaiki makalah ini.  Akhirnya penyusun mengharapkan semoga dari makalah dapat diambil hikmah dan manfaatnya  sehingga dapat memberikan inpirasi terhadap pembaca.  Manado , 2016 

 Penyusun

BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Pengertian Metode Numerik adalah teknik-teknik yang digunakan untuk memformulasi kan masalah matematis agar dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan. metode numerik  adalah   adalah teknik di mana masalah matematika diformulasikan sedemikian rupa sehingga dapat diselesaikan oleh pengoperasian aritmetika (Chapra dan Chanale, 1991);  metode numerik   adalah teknik teknik yang digunakan untuk merumuskan masalah matematika agar dapat diselesaikan han ya dengan operasi hitungan, yang terdiri dari operasi tambah, kurang, kali dan bagi (Susila, 1994 ; Ibraheem dan Hisyam, 2003). Terdapat banyak jenis metode numerik , namun pada dasarnya, masing -masing metode tersebut memiliki karakteristik umum, yaitu selalu mencakup sejumlah kalkulasi aritmetika. Jadi metode numerik adalah   suatu teknik untuk memformulasikan masalah matematika sehingga dapat diselesaikan dengan operasi aritmetika yang terdiri dari operasi tambah, kurang, kali dan bagi (Rochmad, 2011). Tujuan

Pembuatan makalah ini sebagai tugas mata kuliah Metode Numerik untuk lebih memahami metode eliminasi Gauss dan Gauss-Jordan dan membantu pembaca lainnya yang ingin menyelesaikan sistem persamaan linier. Manfaat

Dari makalah yang yang dibuat antara lain :   

Membantu memahami apa yang dimaksud metode eliminasi Gauss dan Gauss-Jordan. .Membantu mempelajari langkah-langkah yang dilakukan untuk menyelesaikan soal sistem persamaan linier dengan metode eliminasi Gauss dan Gauss Jordan

BAB II

PEMBAHASAN

A.

Definisi Deret Taylor

Andaikan f dan semua turunannya, f’, f’’, f’’’, …., menerus di dalam selang [a, b]. Misalkan xₒ ϵ [a, b], maka untuk nilai-nilai xₒ dan x ϵ [a, b], f(x) dapat diperluas (diekspansi) ke dalam deret taylor: Persamaan di atas merupakan penjumlahan dari suku-suku (term (term)) yang disebut deret. Untuk memudahkan penulisan suku-suku selanjutnya kita menggunakan tanda ellipsis (…). Jika  – xₒ = h, maka f(x) dapat juga ditulis sebagai dimisalkan x – xₒ Contoh: Hampiri fungsi f(x) = sin(x) ke dalam deret Taylor di s ekitar xₒ = 1. Penyelesaian: Kita harus menentukan turunan sin(x) terlebih dahulu sebagai berikut f(x) = sin(x)

f’(x) = cos(x) f’’(x) = -sin(x) f’’’(x) = -cos(x) f (4)(x) = sin(x), dan seterusnya. Maka, Bila dimisalkan x –  1  1 = h, maka = 0.8415 + 0.5403h + 0.4208h2 + 0.0901h3 + 0.0351h4 + …

Kasus khusus adalah bila fungsi diperluas di sekitar xₒ = 0, maka deretnya dinamakan deret Maclaurin, yang merupakan deret Taylor baku.

Deret Taylor yang dipotong sampai suku orde ke-n dinamakan deret Taylor terpotong dan dinyatakan oleh: Yang dalam hal ini,

, xₒ < c < x Disebut galat atau sisa (residu). Dengan demikian deret Taylor yang dipotong sampai suku orde k-n dapat ditulis sebagai f(x) = Pn(x) + R n(x) yang dalam hal ini, Contoh:

Sin(x) jika dihampiri dengan deret Taylor orde 4 di sekitar xₒ = 1 adalah: Yang dalam hal ini, ,10 Then Goto 60 55 x=x –dx: dx=dx/2 60 Wend 65 ‘ 70 Stop Running program memberikan hasil sebagai berikut: Iterasi ke-n Nilai x Kesalahan (Error) 1 2 3 4 . . 13 14 . . 32 33 1.5 2 2.5 2.25 . . 2.2421875 2.23828125 . . 2.236066818237305 2.236068725585938 0.7360679774997897 0.2360679774997897 – 0.2639320225002103  –  1.39320225002103E – 002 . .  – 6.119522500210304E – 003  – 2.2132725002103036E – 003 . . 1.159262485008914E – 006 – 7.480861478035856E – 007 Pada iterasi ke-33 proses komputasi berhenti, karena telah memenuhi toleransi kesalahan 10 – 6 dengan presisi jawaban yang bagus. Berikut ini adalah metode-metode yang populer digunakan untuk menyelesaikan masalah finding roots terutama pada kasus persamaan non linear f(x)=0 secara komputasi numerik: a. ˜ Bagidua (Bisection) (initial Guesses:2,Convergence Rate:Slow, Stability:Always, Accuracy:Good, Breadth of Application:Real Roots, Programming Effort:Easy) b. Posisi Palsu (False Position) c. Titik Tetap (Fixed Point Iteration) d. ˜  NewtonRaphson (initial Guesses:1,Convergence Rate:Fast, Stability:Possibly Divergent, Accuracy:Good, Breadth of Application:General, Programming Effort:Easy, Requires evaluation of f’(x)) e. Modifikasi Newton Raphson f. ˜Tali Busur (Secant) (initial Guesses:2,Convergence Rate:Medium to Fast, Stability:Possibly Divergent, Accuracy:Good, Breadth of Application:General, Programming Effort:Easy, Initial guesses do not have to bracket the root g. Modifikasi Talibusur (Secant Modified) h. Müller i. Bairstow

Metode analisa numerik diatas, memiliki karakteristik terapan (metode a dan b untuk akar-akar real, metode b sampai g untuk general aplikasi, dan metode h dan i untuk akar-akar polinomial). Di sini hanya akan diimplementasikan satu atau beberapa metode yang dipilih, dengan  pertimbangan yang disertakan pada item metode, sebagai dasar untuk menangani kasus-kasus

fisika pada bab-bab selanjutnya. Metode Grafik  – dengan contoh 2.1 dan metode Bagidua adalah termasuk metode ‘mengurung’ (bracketing methods), sedangkan metode Newton Raphson dan metode Secant termasuk metode terbuka (open methods). 2.1 Metode Bagidua (Bisection )  Nilai f(x) akan berubah tanda, berbeda pada kedua sisi akar, seperti yang ditunjukkan pada contoh 2.1. Secara umum, jika f(x) real dan kontinu pada interval antara xl sampai xu, dan f(xl) dan f(xu) berlawanan tanda, maka 0)()(