kalkulus

Fungsi Real

i

Fungsi Real

iii

KALKULUS Oleh

: Wikaria Gazali Soedadyatmodjo

Editor : F. Wiwiek Nurwiyati Edisi Pertama Cetakan Pertama, 2005 Edisi Kedua Cetakan Pertama, 2007 Hak Cipta © 2005, 2007 pada penulis, Hak Cipta dilindungi undang-undang. Dilarang memperbanyak atau memindahkan sebagian atau seluruh isi buku ini dalam bentuk apa pun, secara elektronis maupun mekanis, termasuk memfotokopi, merekam, atau dengan teknik perekaman lainnya, tanpa izin tertulis dari penerbit.

Candi Gebang Permai Blok R/6

Yogyakarta 55511 Telp. : 0274-882262; 0274-4462136 Fax. : 0274-4462136 E-mail : [email protected]

Gazali, Wikaria & Soedadyatmodjo KALKULUS/Wikaria Gazali & Soedadyatmodjo - Edisi Kedua – Yogyakarta; Graha Ilmu, 2007 xii + 348 hlm, 1 Jil. : 23 cm. ISBN:

978-979-756-173-1

1. Matematika

iv

I. Judul

Kalkulus

KATA PENGANTAR

Buku kalkulus ini ditulis untuk para mahasiswa yang akan mempelajari kalkulus dengan tidak terlalu banyak menggunakan waktu, namun, tanpa mengurangi materinya. Dari sisi lain, cara penyajian materi tidak terlalu mendalam dan jelimet. Terlihat dari isi pada masing-masing bab dan cara menganalisis setiap teorema atau sifat dari setiap pokok bahasannya yang tidak terlalu mendalam, bahkan ada beberapa teorema atau sifat yang tidak dibuktikan. Rumus-rumus derivatif dan integral diberikan hanya yang pokok-pokok saja. Rumus-rumus yang lebih lengkap terlampir, soal-soal yang bersifat membuktikan atau bersifat teoritik agak dihindari. Karena matematika bersifat logik-deduktif maka urutan penyajian materi tetap dijaga. Dengan demikian dalam mempelajari buku ini dianjurkan sesuai dengan urutannya. Pada masing-masing sub bab cukup banyak diberikan contoh-contoh dasar, mulai dari yang mudah meningkat ke yang lebih sukar. Jika contoh-contoh sudah dikuasai dan dipahami intinya, diharapkan mahasiswa dapat mengerjakan soal-soal latihan tanpa pertolongan. Jika hal itu dapat terlaksana dalam proses belajar mengajar, maka tercapailah sasaran dari penulisan buku yang singkat ini.

Fungsi Real

v

Penulis yakin bahwa banyak kekurangan dan kesalahan yang tidak terkontrol, khususnya pengetikannya. Untuk itu penulis mengharapkan munculnya masukan yang konstruktif tentang isi buku ini dari para pemakai.

Penulis

vi

Kalkulus

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR DAFTAR ISI BAB 1 FUNGSI REAL 1.1 PENGERTIAN FUNGSI 1. Konstanta, Parameter, Variabel 2. Perkalian Cartesius 3. Relasi atau Hubungan 4. Fungsi 5. Soal-soal Latihan 1.2 BERBAGAI MACAM FUNGSI 1. Macam Keterkaitan 2. Jenis Keterkaitan 3. Bentuk Keterkaitan 4. Variabel yang Digunakan 5. Hal-hal lain Tentang Fungsi 6. Soal-soal Latihan 1.3 FUNGSI INVERS DAN FUNGSI KOMPOSISI 1. Invers Relasi atau Fungsi 2. Komposisi Relasi atau Fungsi 3. Soal – soal Latihan

v vii 1 1 1 2 3 4 7 8 8 10 13 14 15 17 19 19 23 28

Daftar Isi

vii

1.4 GRAFIK FUNGSI 1. Fungsi Aljabar 2. Fungsi Transenden 3. Fungsi-Fungsi yang Lain 4. Grafik Fungsi Sistem Polar 5. Soal-soal Latihan 1.5 SOAL-SOAL CAMPURAN

28 29 39 41 44 47 48

BAB 2 LIMIT FUNSI DAN KONTINUITAS FUNGSI 2.1 LIMIT FUNGSI 1. Bilangan Tidak Tertentu 2. Limit Barisan 3. Limit Fungsi 4. Soal-soal Latihan 2.2 KONTINUITAS FUNGSI 1. Pengertian Kontinu 2. Diskontinu dapat Dihapus (Removable Discontinuity) 3 Soal – soal Latihan

51 51 51 53 58 63 64 64 65 67

BAB 3 TURUNAN ATAU DERIVATIF 3.1 PENGERTIAN, SIFAT, RUMUS DASAR, DAN DALIL RANTAI 1. Pengertian Derivatif secara Kalkulus 2. Teorema atau Sifat Turunan 3. Rumus-rumus Dasar 4. Dalil Rantai 5. Soal-soal latihan 3.2 TURUNAN FUNGSI IMPLISIT DAN BENTUK PARAMETER 1. Fungsi Implisit 2. Fungsi Bentuk Parameter 3. Soal-soal Latihan 3.3 PENDERIVATIFAN DENGAN LOGARITMA DAN DERIVATIF TINGKAT LEBIH TINGGI

69

viii

69 69 72 75 77 80 81 81 83 85 86

Kalkulus

1. 2. 3.

Penderivatifan dengan Logaritma Derivatif Tingkat Lebih Tinggi Soal-soal Latihan

BAB 4 KEGUNAAN DERIVATIF 4.1 ARTI DERIVATIF SECARA GEOMETRI DAN EKSTREM FUNGSI 1. Arti Derivatif secara Geometri 2. Ekstrem Fungsi 3. Soal-Soal Latihan 4.2 LIMIT FUNGSI 1. Dalil l’Hopital 2. Soal–soal Latihan 4.3 KELENGKUNGAN DAN GERAK PARTIKEL 1. Kelengkungan 2. Gerak Partikel 3. Soal-soal Latihan 4.4 MENGGAMBAR GRAFIK SECARA LENGKAP 1. Titik Potong dengan Sumbu-sumbu, Asimtot Datar-Tegak Miring, Puncak, Titik Belok Miring, Sifat-Sifat Titik Batas, Titik Potong dengan Asintot Datar 2. Soal-soal Latihan BAB 5 INTEGRAL 5.1 INTEGRAL TIDAK TENTU 1. Pengertian 2. Sifat-sifat Integral 3. Teorema/Rumus Dasar 4. Teknik-teknik Pengintegralan 1. Subtitusi Biasa 2. Substitusi Trigonometri 3. Integral Parnial 4. Integral fungsi Trigonometri

Daftar Isi

86 88 95 99 99 99 106 116 120 120 125 127 127 131 133 133

133 135 137 137 137 138 138 140 140 144 147 151

ix

5. Integral Fungsi Rasional Pascal 6. Soal-soal Latihan 5.2 INTEGRAL TERTENTU 1. Pengertian Integral Tertentu 2. Sifat-sifat Integral Tertentu 3. Integral Tidak Sebenarnya 4. Soal-Soal Latihan BAB 6 BEBERAPA KEGUNAAN INTEGRAL 6.1 LUAS DAERAH DATAR 1. Dalam Kordinator Cartesius 2. Dalam Koordinator Polar 3. Luas Daerah diantara Kurva 4. Soal-soal Latihan 6.2 VOLUME BENDA PUTAR 1. Dalam Koordinat Cartesian 2. Dalam Koordinat Polar 3. Soal-soal Latihan 6.3 PANJANG KURVA 1. Dalam Koordinat Cartesian 2. Dalam Koordinat Polar 3. Soal-soal latihan 6.4 LUAS BIDANG LENGKUNG PUTAR 1. Dalam Koordinat Catesius 2. Dalam Koordinat Polar 3. Soal-soal Latihan 6.5 PUSAT MASSA 1. Pusat Massa Luasan Datar 1. Dalam Koordinat Cartesius 2. Dalam Koordinat Polar 3. Soal-soal Latihan 2. Pusat Massa Ruas Garis atau Busur 1. Dalam Koordinat Cartesius

x

153 160 162 162 163 164 168 171 171 171 174 177 180 181 181 188 192 193 193 195 197 197 197 200 201 201 203 203 203 208 212 213

Kalkulus

2. Dalam Koordinat Polar 3. Soal-soal Latihan 3. Pusat Massa Benda Putar 1. Dalam Koordinat Putar 2. Soal-soal Latihan 4. Pusat Massa Bidang Putar 1. Dalam Koordinat Cartesius 2. Soal-soal Latihan 5. Teori Pappus 1. Pappus I dan Pappus II 2. Soal-soal Latihan 6.6 SEKELUMIT KEGUNAAN KALKULUS DALAM ILMU EKONOMI 1. 1. Berkaitan Dengan Derivatif 2. Soal-soal Latihan 2. 1. Berkaitan Dengan Integral 2. Soal-soal Latihan

213 214 216 216 216 222 222 226 226 226 229 231 231 231 237 237 239

BAB 7 FUNGSI DENGAN DUA VARIABEL 7.1 TURUNAN PARSIAL DAN DIFENSIAL TOTAL 1. Kaitan Antara Fungsi Dengan Satu Variabel dan Fungsi dengan Dua Variabel 2. Derivatif Parsial 3. Soal-soal latihan 4. Diferensial Total / lengkap 5. Soal-soal latihan 7.2 EKSTREM FUNGSI DENGAN 2 VARIABLE 1. Pengertian 2. Soal-soal latihan

241 241

BAB 8 FUNGSI KOMPLEK 8.1 BILANGAN KOMPLEK 1. Pengertian 2. Operasi Bilangan Komplek

263 263 263 264

Daftar Isi

241 242 246 247 252 253 253 261

xi

3. Sifat-sifat Operasi Bilangan Komplek 4. Pernyataan Bilangan Kompleks Dalam Polar 5. Dalil De Moivre 6. Soal-soal latihan 8.2 FUNGSI DENGAN VARIABEL KOMPLEK 1. Pengertian 2. Daerah Definisi 3. Limit dan kontinuitas 4. Fungsi-Fungsi Elementer 5. Soal – soal latihan BAB 9 DERET 9.1 DERET BILANGAN 1. Pengertian 2. Deret Tidak Terhingga 3. Kriteria Konvergensi 4. Deret Berselang-seling / Berayun 5. Konvergen Mutlak Dan Konvergen Bersyarat 6. Soal Latihan 9.2 DERET FUNGSI 1. Kovergensi Deret Fungsi 2. Deret Pangkat 3. Soal Latihan 9.3 PENDERETAN FUNGSI 1. Deret Taylor 2. Deret Maclaurin 3. Penderetan Fungsi Dengan Sisa 4. Soal Latihan DAFTAR PUSTAKA JAWABAN SOAL NOMOR GANJIL LAMPIRAN RUMUS

264 265 267 269 270 270 270 272 273 278 281 281 281 282 286 296 298 300 301 301 303 306 307 307 309 313 317 319 321 339

-oo0oo-

xii

Kalkulus