KALKULUS

Karena Karena kesime kesimetria trian, n, integr integral al kita kita perole peroleh h dengan dengan batas batas antara antara 0 dan

π dan

kemudian mengalikannya dengan 2. Jadi,  A =

π 

∫  (4 + 4 cosθ  + cos 0

π 

π 

2

θ ) d θ 

= ∫  4d θ  + 4∫  cos θ d θ  + 0

π 

= ∫  0

0

9 2

d θ  + 4

π 

∫  0

1

∫  (1 + cos 2θ )d θ 

2 1

cos θ d θ  +

π 

4

0

π 

∫  cos 2θ .2d θ  0

π 

π 

9  1  =  θ  + [ 4 sin θ ] 0 +  sin 2θ   2 0 4 0 π 

=

9π  2

r  = 4 sin 2

Contoh 2 Tentukan luas satu daun dari mawar berdaun-empat

.

Penyelesaian Mawar lengkap telah digambar pada contoh 3, pasal sebelumnya. Disini kita perlihatkan yang ada dalam kuadran pertama (Gambar 5).

∆4 ≈  A =

1

1 2

π  / 2

2 ∫  0

[  f  (θ )] 2 ∆θ  2

(4 sin 2θ ) d θ 

Gambar 5

 A =

1

π  / 2

2 ∫ 

16 sin 2 2θ d θ  = 8

0

π  / 2

= 4∫ 

d θ  −

0

= [ 4θ ] 0

π  / 2

π  / 2

∫  0

π  / 2

∫ 

1 − cos 4θ  2

0

d θ 

cos 4θ .4d θ 

− [sin 4θ ] 0

π  / 2

= 2π 

Contoh 3 Tentukan luas daerah yang ada diluar kardioid didalam

r  =

3

sin

r 

= 1 + cos

dan

.

Penyelesaian Grafik kurva yang diketahui digambarkan pada Gambar 6. Kita  perlukan koordinat

titik-titik potong; nilai

kita tentukan dengan mencoba

menyelesaikan kedua persamaan secara serentak. 1 + cos θ  =

3 sin θ  

1 + 2 cos θ  + cos 2 θ  = 3 sin 2 θ   1 + 2 cos θ  + cos 2 θ  = 3(1 − cos 2 θ  ) 4 cos 2 θ  + 2 cos θ  − 2 = 0 2 cos

2

θ  + cos θ  −1 = 0

( 2 cos θ  −1)(cos θ  +1 = 0

∆4 ≈  A =

1

1 2

[3 sin

π 

2 ∫ 

π  / 3

2

θ  − (1 + cos θ )

2

]

∆θ 

3 sin 2 θ  − (1 + cos θ ) 2 d θ 

Gambar 6 cos θ  = θ  =

1 ,−1 2 π  

3

, π  

 A =

1

=

1

2 ∫ 

1 3   2 (1 − cos 2θ ) −1 − 2 cosθ  − 2 (1 + cos 2θ )d θ 

=

1

[ − 2 cosθ  − 2 cos 2θ ]d θ 

=

1 3 3 3 3 + ≈1.299 2  = 2 2 2  4

π 

[3 sin 2 ∫ 

2

π  / 3 π 

π  / 3 π 

2 ∫ 

π  / 3

]

θ  −1 − 2 cosθ  − cos θ  d θ  2

GARIS SINGGUNG DALAM KOORDINAT KUTUB Dengan koordinat

Cartesius, kemiringan * m dari garis singgung pada sebuah kurva adalah m = dy/dx. Dengan koordinat kutub kemiringan ini bukanlah dr/d  . Apabila r = f ( ) menentukan persamaan kurva, kita tulis  y = r sin θ  =   f  (θ  ) sin θ    x = r cos θ  =  f  (θ  ) cos θ  

Jadi,

dy dx

=

∆ y

∆ y / ∆θ 

lim ∆ x lim ∆ x / ∆θ  ∆θ  → 0

=

∆θ  → 0

=

dy / d θ  dx / d θ 

Karena itulah, m=

  f  (θ ) cos θ  +  f  ' (θ ) sin θ 

−  f  (θ ) sin θ  +  f  ' (θ ) cos θ 

Rumujs diatas menjadi sederhana apabila grafik  r = f (

) melalui kutub.

Andaika, sebagai contoh, untuk suatu sudut α, r = f (α) = 0 dan  f ’(α) ≠ 0. Maka dikutub tersebut kita peroleh m=

Oleh karena garis

α 

=

  f  ' (α ) sin α  = tan α    f  ' (α ) cos α 

memiliki kemiringan tan

α 

juga, maka kita dapat

mengatakan bahwa garis tersebut menyinggung kurva dikutub. Jadi dapat ditarik  kesimpulan bahwa  garis singgung kurva dikutub dapat ditemukan dengan menyelesaikan persamaan f (

) = 0.

Kita beri contoh sebagai berikut. Contoh 4 Perhatikan persamaan kutub r = 4 sin 3 a. Tentukan kemiringan garis singgung di

.

= π/6 dan

= π/4.

 b. Tentukan garis singgung dikutub. c. Gambar grafik. d. Tentukan luas satu daun kurva.

Penyelesaian : a.

m= Di

  f  (θ ) cosθ  +  f  ' (θ ) sin θ 

−  f  (θ ) sin θ  +  f  ' (θ ) cosθ 

=

4 sin 3θ  cos θ  + 12 cos 3θ  sin θ 

− 4 sin 3θ  sin θ  + 12 cos 3θ  cosθ 

θ  = π  / 6

m=

4.1

3 2 1

+12.0.

− 4.1. +12.0. 2

Di

θ 

1 2 =− 3 3 2

= π  / 4 2 2 2 2 . −12. . 2 2 2 2 = − 2 −6 = 1 m= −2 −6 2 2 2 2 2 − 4. . −12. . 2 2 2 2 4.

 b. Kita misalkan f ( =

) = 4 sin 3θ  = 0. Setelah diselesaikan diperoleh

= 2 π  / 3,

π  / 3,

= 4 π  / 3, dan

= 0,

= 5 π  / 3.

c. Berhubung sin 3(π  −θ ) = sin(3π  − 3θ ) = sin 3π  cos 3θ  − cos 3π  sin 3θ 

= sin 3θ 

Maka dapat ditarik kesimpulan bahwa grafik simetri terhadap sumbu  y, kita susun daftar nilai fungsi dan kemudian kita gambar grafik fungsi. Grafik ini diperlihatkan pada Gambar 7.

r  0

0

π  /12

2,8

π  /6

4

π  /4

2,8

π  /3

0

5 π  /1

-2,8

2

-4

π  /2

r = 4 sin 3θ 

GAMBAR 7

d.  A =

1

π  / 3

2 ∫  0

π  / 3

= 4∫  0

(4 sin 3θ ) d θ  = 8 2

π  / 3

∫ 

(1 − cos 6θ )d θ  = 4

0

π  / 3

∫  0

2

sin 3θ d θ 

d θ  −

4

π  / 3

6 ∫  0

cos 6θ .6d θ 

π  / 3

2 4π    = 4θ  − sin 6θ  = 3 3  0

SOAL-SOAL 12.8

Dalam. Soal 1-10, gambarlah grafik fungsi yang diketahui dan ditentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva tersebut.

1. r  = a, a

6. r  = 7 −7 sin θ  

>0

2. r  = 2a sin θ  , a

> 0]

7. r  = a (1 +sin θ  ), a 2

= 5 cos 2θ  

2

= 4 sin 2θ  

2

, a >0 = a sin 2θ  

3. r  = 3 + cosθ  

8. r 

4. r  = 4 +3 cosθ  

9. r 

5. r  = 4 − 4 cosθ  

10. r 

11.

>0

Gambar grafik limason r = 2 – 4 cos

, dan tentukan luas daerah yang ada

dalam simpai yang kecil. 12.

Gambar limason r = 3 – 6 sin

, dan tentukan luas daerah didalam simpai

yang kecil. 13.

Gambar limason r = 2 – 4 sin

, dan tentukan luas daerah didalam simpai

yang besar. 14.

Gambar satu daun dari mawar berdaun empat dengan persamaan r = 3 cos 2θ   dan tentukan lus daun tersebut.

15.

Gambar grafik mawar berdaun tiga r = 4 cos 3θ  dan tentukan luas daerah keseluruhan yang dibatasi oleh mawar itu.

16.

Gambar grafik mawar berdaun tiga r = 2 sin 3θ  dan tentukan luas daerah keseluruhan yang dibatasi oleh mawar itu.

17.

Tentukan luas daerah yang terletak diantara lingkaran-lingkaran sepusat r = 7 dan r = 10.

18.

Gambar daerah yang ada didalam lingkaran r = 3 sin r = 1 + sin

19.

dan diluar kardioid

. Tentukan luas daerah itu.

Gambar daerah diluar lingkaran r  = 2 dan didalam lemniskat r 2 = 8 cos 2θ  . Tentukan luas daerah itu.

20.

Gambar limason r = 3 – 6 sin

dan tentukan luas daerah didalam simpai

yang besar dan diluar simpai yang kecil. 21.

Gambar daerah yang ada pada kuadran pertama yang terletak didalam kardoid r = 3 + 3 cos

dan diluar kardioid r = 3 + 3 sin

. Tentukan luas

daerah tersebut. 22.

Tentukan luas daerah pada kuadran kedua yang ada didalam kardioid r = 2 + 2 sin

23.

dan diluar kardioid r = 2 + 2 cos

.

Tentukan kemiringan garis singgung pada kurva-kurva berikut, dititik π  / 3 .

=

a. r = 2 cos  b. r = 1 + sin c. r = sin 2θ   d. r = 4 – 3 cos 24.

Tentukan semua titik pada kardioid r  = a (1 + cos θ ) yang garis singgungnya adalah (a) mendatar, (b) tegak.

25.

Tentukan semua titik pada limason r = 1 – 2 sin

yang garis singgungnya

adalah mendatar. 26.

Andaikan r = f ( θ  ), dengan f kontinu pada selang tertutup [α, β]. Apabila  L  panjang subur kurva dari

=

α 

hingga

=

, buktikan

β 

 L = ∫  [  f  (θ )]2 +[  f  ' (θ )]2 d θ  α 

27.

Gunakan rumus dalam soal 26 untuk menetukan panjang busur kardioid r  = a (1 + cos θ )

28.

Tentukan panjang spiral logaritma r  = eθ  / 2 dari

29.

Hitung luas total mawar  r  = a cos nθ  , dimana n adalah bilangan bulat

= 2π  .

= 0 hingga

 positif  30.

Gambarlah grafik  strofoid r = sec

- 2 cos

31.

Perhatikan dua buah lingkaran r = 2 a sin

dan hitung luas simpainya. dan r = 2 b cos

dengan

a

dan b positif. a. Hitung luas daerah yang ada didalam kedua lingkaran tersebut .  b. Tunjukkan bahwa kedua lingkaran tersebut saling berpotongan tegak  lurus. 32.

Diasumsikan bahwa sebuah planet yang massanya m berputar mengelilingi matahari (yang terletak pada kutubnya) dengan momentum sudut konstan sebesar  mr 2 d θ  / dt  . Turunkan Hukum Kedua dari Kepler : Garis dari matahari ke planet menyapu suatu daerah yang luasnya sama dalam waktu yang sama.

33.

(Soal “Kambing Tua” Pertama) Seekor kambing diikat ke tepi sebuah kolom  bundar yang jari-jarinya

a dengan seutas tali yang panjangnya  Ka (0 < k 

≤ 2). Gunakan metode yang diberikan dalam pasal ini untuk menghitung

luas daerah yang dapat dijangkau oleh kambing (daerah diraster pada Gambar 8). Catatan: Soal ini telah pernah dijawab (Soal 49 Pasal 7.6); saudara harus mampu memberikan jawaban yang sama.

Gambar 8 34.

Gambar 9

(Soal “Kambing Tua” Kedua) Ulangi lagi soal 33 tetapi dengan asumsi  bahwa sekeliling kolam dipagari sedemikian rupa hingga dalam membentuk  irisan  A , tali melilit sekeliling pagar (lihat Gambar 9).  Petunjuk (: Jika saudara berminat, cobalah metode yang diberikan dalam pasal ini. Sebaiknya saudara perhatikan bahwa pada lilitan

 A, ∆ A ≈ (1/2)

| PT  |2

∆θ   yang memberikan jumlah Riemann untuk suatu integral. Jawaban 2 2 3 akhirnya adalah a (π k  / 2 + k  / 3) , yang merupakan hasil yang diperlukan

dalam soal 35. 35.

(Soal “Kambing Tua” Ketiga) Seekor kambing yang terikat memakan rerumputan didalam suatu kebun yang dibatasi oleh pagar melingkar yang  jari-jarinya

a ; seekor kambing lain, yang terikat seperti pada soal 34,

memakan rumput-rumputan diluar pagar. Hitung panjang tali jika kedua ekor kambing tersebut mampu menjangkau daerah yang luasnya sama.

12.9

Soal-soal Ulangan Bab KUIS BENAR-SALAH

Katakan benar atau salah ungkapan dibawah ini. Pertahankanlah pendirian anda. 1. Grafik   y = ax 2 + bx + c adalah parabol untuk semua 2.

a , b, c.

Puncak parabol letaknya ditengah antara focus dan garis arah.

3. Puncak elips lebih dekat dengan garis arah daripada dengan focus. 4. Titik parabol yang terdekat dengan focus adalah puncaknya. 5. Hiperbol  x 2 / a 2 − y 2 / b 2 = 1 dan  y 2 / b 2 − x 2 / a 2 = 1 memiliki asimtot yang sama. 6. Keliling C elips  x 2 / a 2 − y 2 / b 2 = 1 dengan b < a memenuhi 2π b < C  < 2π a . 7. Semakin berkurang keeksentrikan e sebuah elips semakin elips tersebut menyerupai lingkaran. 2 2 8. Fokus elips 6 x + 4 y = 24 terletak pada sumbu x.

9. Persamaan  x 2 − y 2 = 0 adalah persamaan hiperbol. 10. Persamaan ( y 2 − 4 x +1) 2 = 0 adalah persamaan parabol. 11. Apabila k  ≠ 0, x 2 / a 2 −  y 2 / b 2 = k  adalah persamaan hiperbol. 12. Apabila k  ≠ 0, x 2 / a 2 +  y 2 / b 2 = k  adalah persamaan elips. 13. Jarak antara fokus-fokus kurva  x 2 / a 2 +  y 2 / b 2 = 1 adalah 2 a 2 −b 2 14. Grafik persamaan  x 2 / 9 − y 2 / 8 = −2 tidak memotong sumbu

 x .

15. Cahaya yang dipancarkan dari sebuah titik yang terletak diantara focus dan  puncak terdekat sebuah cermin yang berbentuk elips, akan dipantulkan diluar  focus yang lain. 2 2 16. Himpunan titik-titik yang sama jauhnya dari lingkaran  x +  y =1 dan garis x

= 3 adalah parabol. 17. Dari hukum Kepler tentang luas daerah yang dilintasi oleh garis hubung antara matahari dan planet dapat ditarik kesimpulan bahwa laju gerak planet terbesar dicapai pada saat planet itu berada pada puncak kurva lintasannya yang terlekat dengan matahari. 18. Sebuah elips digambar dengan menggunakan seutas tali sepanjang 8 satuan yang diikatkan pada dua focus berjarak 2 satuan; maka panjang garis tengah yang pendek adalah

60

satuan.

2 2 19. Grafik persamaan  x +  y + Cx + Dx + F  = 0 lingkaran, titik atau himpunan

kosong. 2 2 20. Grafik persamaan 2 x +  y + Cx + Dy + F  = 0 tak mungkin berupa satu titik.

21. Grafik persamaan  Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F  = 0 adalah perpotongan antara sebuah bidang dengan sebuah kerucut bercabang dua untuk segala pilihan  A,  B, C ,  D, E ,

dan  F  .

22. Dalam sebuah sistem koordinat yang sesuai, persamaan perpotongan antara sebuah bidang dengan sebuah kerucut bercabang dua dapat ditulis sebagai  Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F  = 0 .

23. Grafik sebuah hiperbol terletak dalam ke empat kuadran sistem koordinat Cartesius. 24. Apabila penampang konik melalui (1, 0), (-1, 0), (0, 1), dan (0, -1) maka  penampang konik tersebut adalah lingkaran. 25. Grafik persamaan kutub r  = 4 cos(θ  − π  / 3) adalah lingkaran. 26. Tiap titik pada bidang memiliki koordinat kutub yang tak hingga banyaknya. 27. Semua titik potong dua kurva dengan persamaan kutub masing-masing r  =  f  (θ  ) dan r  = g (θ  ) dapat ditemukan dengan jalan menyelesaikan kedua

 persamaan itu sekaligus. 28. Apabila  f sebuah fungsi ganjil, maka grafik dari r  =  f  (θ  ) simetrik terhadap sumbu y (yaitu garis

θ  = π  / 2) .

29. Apabila  f  sebuah fungsi genap, maka grafik dari r  =  f  (θ  ) simetrik terhadap sumbu x (garis

θ  = 0 ).

30. Grafik  r  = 4 cos 3θ  adalah mawar berdaun tiga yang luasnya kurang dari setengah luas lingkaran dengan jari-jari 4.

SOAL-SOAL ANEKA RAGAM

1. Padankanlah kurva yang tersedia dengan persamaan yang cocok. 1) Tidak ada grafik.

2) Satu titik. 3) Satu garis. 4) Dua garis sejajar. 5) Dua garis berpotongan. 6) Sebuah lingkaran. 7) Sebuah parabol. 8) Sebuah elips. 9) Sebuah hiperbol. 10) Bukan salah satu diatas. (a)  x 2 − 4 y 2 = 0 2 2 (b)  x − 4 y = 0.01

(c)  x 2 − 4 = 0 (d)  x 2 − 4 x + 4 = 0 (e)  x 2 + 4 y 2 = 0 (f)  x 2 + 4 y 2 =  x 2 2 (g)  x + 4 y = − x 2 2 (h)  x + 4 y = −1

(i) ( x 2 + 4 y −1) 2 = 0 (j) 3 x 2 + 4 y 2 = −x 2 +1

Dalam soal 2-10, sebutlah konik yang persamaannya diketahui dibawah ini. Tentukan puncak, fokus dan kemudian gambarlah grafiknya. 2.  y

2

3. 9 x

−6 x = 0 2

4. 25 x 5.  x

2

2 6.  x

+4 y 2

2

−36 = 0

−36 y

2

+900 = 0

+9 y = 0 −4 y

2

7.

9 x

2

− 25 y 2 −225 = 0

8.

9 x

2

+9 y 2 −225 = 0

9.

r  =

5

2 + 2 sin θ   10. r (2 +cos θ  ) = 3

−16 = 0

Dalam soal 11-18, tentukan persamaan Cartesius konik yang diketahui sifatnya sebagai berikut.

11. Puncak di ( ± 4, 0) dan keksentrikan

1 2

12. Keksentrikan 1, fokus (0, -3), dan puncak (0, 0). 13. Keksentrikan 1, puncak (0, 0), simetrik terhadap sumbu x, dan melalui titik (1, 3). 14. Keksentrikan

5 3

dan puncak (0, ± 3).

15. Puncak di ( ± 2, 0) dan asimtot  x ± 2 y = 0 . 16. Parabol dengan fokus (3, 2) dan puncak (3, 3). 17. Elips dengan pusat (1, 2), satu fokus di (4, 2), dan garis tengah panjang sama dengan 10. 18. Hiperbol dengan puncak (2, 0) dan (2, 6) dan keksentrikan

Dalam

soal

19-22,

gunakan

proses

melengkapkan

10 3

.

kuadrat

untuk 

menyederhanakan persamaan dibawah ini menjadi bentuk baku. Sebutlah kemudian jenis kurva yang bersangkutan dab gambarlah grafiknya. 19. 4 x

2

+ 4 y 2 −24 x +36 y +81 = 0

2

+9 y 2 −24 x −36 y +36 = 0

20. 4 x 21.  x

2

22. 3 x

23.

+8 x +6 y + 28 = 0 2

−10 y 2 +36 x −20 y +68 = 0

Pemutaran sumbu koordinat dengan sudut  x 2 + 3 xy + y 2 =10

= 45 o mengubah persamaan

menjadi bentuk  ru 2 + sv 2 = 10 . Tentukan r  dan  s,

sebutlah jenis konik, dan tentukan jarak antara focus-fokusnya. 24.

Tentukan sudut putar campuran

dalam

yang diperlukan untuk menghilangkan suku

persamaan

7 x 2 + 8 xy + y 2 = 9 .

Susunlah

kemudian

 persamaan uv yang sesuai dan tentukan jenis konik yang bersangkutan. Dalam soal 25-36, selidikilah persamaan kutub yang diketahui dan kemudian gambarlah grafiknya.

5 sin θ   3 28. r  = cos θ   30. r  = 5 −5 cos θ   26. r  =

25. r  = 6 cosθ   27. r  = cos 2θ   29. r  = 4 31. r  = 4 −3 cosθ  

32. r  = 2 −3 cos θ  

37.

33. θ  = 35. r 2

2

π  

3

=16 sin 2θ  

34. r  = 4 sin 3θ   36. r  =θ  , θ  ≥ 0

Tentukan persamaan Cartesius grafik yang diketahui persamaan kutubnya r 2 − 6r (cos θ  + sin θ ) + 9 = 0

Gambarlah grafiknya. 38.

Tentukan persamaan Cartesius grafik dengan persamaan kutub r  cos 2θ  = 9 2

Gambarlah grafiknya. 39.

Tentukan kemiringan garis singgung grafik dengan persamaan r  = 3 + 3 cosθ 

Pada titik grafik dengan 40.

θ  =

1

π 

6

Gambarlah grafik persamaan r  = 5 sin θ  dan r  = 2 + sin θ 

Tentukan titik potongnya. 41.

Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik  r  = 5 − 5 cosθ 

(lihat soal 30). 42.

Tentukan luas daerah yang ada diluar limason r  = 2 + sin θ  dan didalam lingkaran r  = 5 sin θ  (lihat soal 40).

43.

Sebuah mobil balap yang sedang melaju pada suatu lintasan yang berbentuk  elips dengan persamaan  x 2 / 400 +  y 2 / 100 = 1 pada suatu titik (16, 6) tidak  dapat dikendalikan lagi dan terus bergerak sepanjang garis singgungnya sehingga menabrak pohon dititik (14,

k  ).

Tentukan

k  .

13. GEOMETRI PADA BIDANG, VEKTOR 

13.1 Kurva Bidang : Penyajian Secara Parameter  13.2 Vektor pada Bidang : Pendekatan Secara Geometri 13.3 Vektor pada Bidang : Pendekatan secara Aljabar  13.4 Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak Sepanjang Kurva 13.5 Kelengkungan dan Percepatan 13.6 Soal-soal Ulangan Bab