Kalkulus Vektor

KALKULUS VEKTOR

Pada bab ini kita akan membahas tentang kalkulus Vektor, yang terdiri dari : 1.

Medan Vektor

2.

Integral Garis

3.

Kebebasan Tapak

4.

Teorema Green di Bidang

5.

Integral Permukaan

6.

Teorema Divergensi Gauss

7.

Teorema Stokes

1.

Medan Vektor

Medan Vektor merupakan daerah yang mengandung besaran medan vector yang berubah sekaligus arah dan besarnya pada setiap titik ruang. Dan di tulis sebagai fungsi. Contoh medan vector adalah medan gaya, medan listrik, medan potensial vector magnetic.

Menurut teori deferensial parsial:

 T   T   T  dT    dx    dy    dz  T   dl   x   z   y  mengingat dl = i dx + j dy + k dz, maka gradien suhu T = T =

T T T i j k x y z

merupakan besaran vektor dengan 3 komponennya masing-masing mempunyai arah sesuai dengan arah vektor satuan i, j, dan k. Jadi interpretasi geometris suatu gradien, seperti vektor yang mempunyai harga dan arah, dan ditulis dalam bentuk abstrak: dengan  sudut antara T dengan dl, sehingga operator  didefinisikan dalam koordinat Cartesius sebagai:

i

    j k x y z

Seperti halnya vektor biasa, operator  dapat bekerja dengan 3 bentuk perkalian: 1.

Bekerja pada fungsi skalar: T disebut gradien

2.

Bekerja pada fungsi vektor, melalui perkalian dot: .V disebut divergensi 1

3.

Bekerja pada fungsi vektor, melalui perkalian silang:  x V disebut rotasi atau

curl.

Gradien Gradien suatu fungsi scalar  adalah suatu vector yang harganya merupakan turunan berarah maksimum di titik yang sedang di tinjau, sedangkan arahnya merupakan arah turunan berarah maksimum di titik tersebut.

  i

    j k x y z

Contoh 1.

Gradien suatu fungsi r

Ambil f(r) = f

x

f r   i

dengan

2

 y2  z2



f r  f r  f r  j k x y z

f r  df r  r   x dx x

dan

2 2 2 r  x  y  z x   x x r

sehingga

  x  y df  z  df r  r df f r   i   j   k     rˆ0 r dr dr  r  dr  r r

1 d  r 1  1 misal    rˆ0      2 rˆ0 dr r  r  2.

Anggap bahwa permukaan yang diperhatikan merupakan kulit bola

sepusat/konsentris, maka  x, y, z   x 2  y 2  z 2  ri  Ci  konstan dan   ri  Ci adalah beda nilai pada kulit bola yang berbeda. Gradien :

 r   rˆ0

d r   rˆ0 dr

2

z

rˆ0   r1

r2 y

x

Jelaslah bahwa turunan maksimum fungsi adalah dalam arah radial.

Divergensi Divergensi suatu vector adalah limit integral permukaan persatuan volum, jika volum yang terlingkupi oleh permukaan tersebut mendekati nol. F 

lim 1 V  0V

 F  n da S

Dalam koordinat tegak lurus, divergensi:   .F 

Fx Fy Fz  x y z

Arti fisis dari divergensi dapat dipahami seperti contoh pada mekanika fluida berikut: Jika v menyatakan kecepatan fluida sebagai fungsi kedudukan, dan  kerapatannya, maka



S

 v  n da , jelas merupakan jumlah volum fluida persatuan waktu (atau debit) yang

meninggalkan volum yang terlingkupi oleh S. Jadi jelaslah bahwa divergensi dapat ditafsirkan sebagai limit kuat sumber persatuan volum atau merupakan kerapatn sumber fluida tak termampatkan.

Teorema Divergensi/Teorema Gauss Integral dari divergensi suatu vector pada volum V sama dengan integral permukaan komponen normal vector itu pada permukaan yang melingkupi V.

  F dV   F  n da V

S

3

Kita tinjau vector-vektor radial yang banyak muncul dalam masalah listrik magnet:

    x y z   .r   i  j  k   ix  j y  kz     3 y z  x y z  x Bagaimana divergensi perkalian vector dan fungsi scalar radial? .   r f r  

2 2 2  x f r     y f r    z f r   3 f r    x df  y df  z df  x y z r dr r dr   r dr

  r f r   3 f r   r

df dr

Bila f r   r n 1 , maka

  r r n 1  3r n 1  n  1r n 1  n  2r n 1

Rotasi atau Curl Rotasi suatu vector adalah limit angka banding antara integral perkalian silang vector itu dengan normal yang berarah ke luar di seluruh permukaan tertutup terhadap volum yang terlingkup oleh permukaan tersebut untuk untuk harga volum yang mendekati nol. F 

lim 1 V 0V

 n  F da S

Perhatikan bahwa definisi rotasi sangat mirip dengan divergensi, bedanya dot dengan cross. Kita tinjau vector dan fungsi radial

  r f r   f r   r  f r  r i  r  x x

dan f r   rˆ0

j  y y

k   0, z z

df r  , sehingga dr   rf r  

df rˆ0  r  0 karena rˆ0 dan r arahnya sama. dr

Arti fisis rotasi suatu medan vector adalah setara dengan divergensi suatu medan vector. Namun bahwasanya medan vector ada yang bersifat divergen atau bersifat rotasional. Divergensi medan vector adalah rapat sumber dari medan vector yang bersifat divergen, sedang Rotasi medan vector menghasilkan rapat sumber dari suatu medan vector rotasional. 4

Operator Laplace

                i  j  k    i j k y z   x y z   x

.



 2  2  2     2 x 2 y 2 z 2

2 2 2    2  2  2 , dinamakan operator Laplace x y z 2

Cari   g r   ? Dari contoh 1: g r   rˆ0

dg r  dr   g r     rˆ0

Dari contoh 4: ∑∫

   g r  

dg r  r dg   dr r dr

, ⃗( )- ( )

3 dg r d 2 g  r dg  2 dg d 2 g      r dr r dr 2  r 2 dr  r dr dr 2

2. Integral Garis Definisi : Misal ⃗ suatu lintasan dalam ruang dimensi m pada interval [a,b]. Andaikan ⃗ adalah medan vektor yang didefinisikan pada lintasan ⃗. Integral ⃗ sepanjang ⃗ disebut integral garis. ∫ ⃗⃗ ⃗

∫ , ⃗( )- ( )

Dalam hal ini ⃗⃗

(

) sedangkan,

⃗

(

) . Jadi dapat juga ditulis 5

Dalam ruang dua dimensi (2D) pernyataannya menjadi →

()

()

Dalam ruang dua dimensi (3D) pernyataannya menjadi →

()

()

()

Sifat Integral Garis ⃗) ⃗

1. ∫( ⃗

∫⃗

⃗

⃗

⃗

∫ ⃗

⃗

2. Jika lintasannya adalah maka ∫

⃗

⃗

∫

∫

⃗

c1

⃗

∫

⃗

⃗

c3

cm

c2 b a

s(t)

  Bila a  b lintasan disebut lintasan tertutup, simbol

3.



biasa digunakan

  a b

C

Contoh 1

   Misalkan F x, y   yi  x 3  y j ,  x, y  dengan y  0  Hitunglah kerja yang dilakukan oleh F untuk memindahkan suatu partikel dari titik (0,0)





ke titik (1,1) sepanjang lintasan berikut: a. b.

Garis dengan persamaan x  t , y  t , 0  t  1 Garis dengan persamaan x  t 2 , y  t 3 , 0  t  1

6

Jawab

y

:

      a. Jadi s  xi  yj  s (t )  ti  tj       F x, y   yi  x 3  y j  F t   t i  t 3  t j



W  1

W   0





1,1 

1

0 , 0 

0





   F  d s  F   (t )  ds (t )

 a

 s x, y   b xt y  t,

x



1     1 17 3 t i  t  t  j  i  j dt    t 2  t 3  t dt    12 0

7

      Jadi s  xi  yj  s (t )  t 2 i  t 3 j     ds (t )  2ti  3t 2 j dt    F x, y   yi  x 3  y j



y



 a

  3   F t   t 2 i  t 6  t 3 j



W 



 s x, y   b x  t2

1,1 

  F ds

y  t3

x

0 , 0 





   3    t 2 i  t 6  t 3  j   2ti  3t 2 j dt   0 1

1

=  2t  0

5

2

59  3t 8  t 5 dt   42

 Catatan: jika suatu medan vektor F adalah gradien dari medan skalar  , maka  disebut  potensial untuk F level set dari  disebut permukaan ekipotensial.

Dalam 2D disebut garis-garis ekipotensial (equipotential line) jika, a.

 menyatakan temperature 

isothermal

b.

 menyatakan tekanan



isobaric

c.

 menyatakan density



isodensity

1

Contoh:  ( x, y, z )  r m dengan r  ( x 2  y 2  z 2 ) 2 ,  integer m medan vektor F ( x, y, z )   = (r m ) = mr m 1(r ) = mr m 1 [

r  r  r  i j  k] x y z

x y  z   = mr m1[ i  j  k ] = mr m2 r r r r   Jadi ,  F ( x, y, z )  mr m  2 r

Sebagai latihan coba anda selesaikan soal ini. Massa m bergerak dalam orbit lingkaran   dengan kecepatan sudut  . Mengalami gaya sentrifugal F ( x, y, z )  m 2 r . Tunjukan bahwa      potensial  , akibat gaya F adalah  ( x, y, z )  1 m 2 ( x 2  y 2  z 2 ) , r  xi  y j  zk 2

8

3. KEBEBASAN TAPAK Andaikan C kurva mulus sepotong-sepotong pada bidang xy,

, yang dimulai di

(x(a), y(a)) dan berakhir di (x(b), y(b)), a ≤ t ≤ b . Maka integral garis

disebut

bebas tapak apabila integral tersebut hanya dipengaruhi oleh titik awal dan titik akhir (tidak dipengaruhi oleh bentuk kurva C). Artinya untuk setiap kurva yang mempunyai titik awal dan titik akhir yang sama, maka integral garisnya sama. Teorema A (Teorema Bebas Tapak) Andaikan F(r) kontinu pada suatu himpunan tersambung terbuka D. Maka integral garis bebas tapak jika dan hanya jika F(r) =

f (r) untuk suatu fungsi skalar f

(F adalah medan vektor konservatif). Contoh 13 Buktikan integral

bebas tapak, kemudian

hitung integral tersebut. Jawab Diketahui F = (y2 + 2xy)i + (x2 + 2xy)j. Maka f (x, y) = y2x + x2y + g(y) = 2yx + x2 + g’(y)

g’(y) = 0

g(y) = c

Jadi, terbukti F bebas tapak karena ada fungsi potensial f (x, y) = xy2 + x2y + c .

Maka,

Akibat Teorema Pernyataan di bawah ini ekuivalen: 1. F(r) =

f (r) untuk suatu fungsi f 9

2. 3.

bebas tapak untuk setiap tapak tertutup.

Contoh 14 Hitung

, C adalah lingkaran dengan pusat di (0, 0)

dan berjari-jari 2, orientasi positif. Jawab Dari contoh 13 F medan vektor konservatif dan C kurva tertutup, maka berdasarkan teorema

Teorema B (Teorema Rotasi) Andaikan F = Mi + Nj + Pk dengan M, N, dan P kontinu bersama-sama dengan turunan parsial tingkat pertamanya ada pada himpunan tersambung D dengan tanpa lubang. Maka F konservatif jika dan hanya jika rot F = 0, yakni ,

10

Contoh 15 Buktikan F = (6xy3 + 2z2)i + 9x2y2j + (4xz + 1)k medan vektor konservatif Jawab ,

, ,

Maka diperoleh rot F = 0. Berdasarkan teorema rotasi, F adalah medan vektor konservatif

11

4. TEOREMA GREEN DALAM BIDANG Misalkan P dan Q dua fungsi dengan dua variable, kontinu dan memiliki turunan parsial pertama yang kontinu pada suatu daerah R di bidang (

∮

)

Simbol ∮

(

)

∬ 0

dan daerah ini di batasi oleh kurva C. Maka

1

berarti bahwa integral lengkungan diambil satu kali putar pada C dalam arah

berlawanan jarum jam.

Teorema: Jika R suatu daerah macam I atau II (kombinasi), maka luas daerah R tersebut adalah ∮ Dengan C batas daerah R Bukti: Misal (

)

(

)

Dari Teorema Green ∮

(

)

(

)

∬[

]

∬(

)

∬

Jadi ∮

∬ ∮

Catatan: 12

∮

Jika lengkungan C dapat diuraikan menjadi

∮

∮

∮

∮

Contoh (1)

Dit : Tentukan luas daerah yang terkurung oleh ellips

Jaw : Perhatikan 2

Misal

2

x  y     1 a b

atau

= cos t → 2

Kita gunakan A = jadi, karena

0 ≤ t ≤ 2π

∮

................. (i) x = a cos t

dx = - a sin t dt y = b sin t

................. (ii)

dy = b cos t dt (ii) pada (i) ∫,

A= A

(2)

=

∫

- dt *

+

= ab∫

= π a b sat luas.

Dit : Luas daerah R yang dibatasi lengkungan y =

dan y =

⁄

Jawab:

13

Misal potongan kurva C1 : y =

⁄

dari (1,1) → (0,0)

dari (0,0) → (1,1)

C2 : y =

C = C1 + C2 Luas R : A = ∮

∮

=

+

∮

sepanjang C1 : y =

⁄

⁄

=

⁄

/+



dx =

∫

Theorema Green dalam bentuk vektor 

⁄

dx = −

dx jadi

⁄

∫ .

dx , jadi dapat ditulis untuk lengkungan ini

dx −

→ dy =

C2 : y = Jadi A =

⁄

→ dy =

=

dx −

dx =

dx

satuan luas

F1





1. Jika F  F1 i  F2 j  F F  R  x2  y1  dxdy 

2.





F  F1 i  F2 j F2

  F dx  F dy 

   Curl F   dxdy  R  

1

2

(Skalar)

c





Fd r

(vektor)

c

z 14

C





i   Dalam hal ini Curl F  x F1

j  y F2



k  , dalam 3D z F3

y x

Catatan : 

DivV 

V1 V2 V3   x y z              V   i  j  k   V1 i  V2 j  V3 k  y z     x

Atau

 f  f  f   Gradf   i j k  y z   x Div  Gradf  

2 f 2 f 2 f  2  2  2 f 2 x y z 

Curl  Gradf   O



Ingat :



DivV menghasilkan skalar Grad V menghasilkan vektor

15

5. Integral Permukaan Andaikan permukaan G berupa grafik z = f(x, y) dengan (x, y) mempunyai jangkauan atas persegi panjang R pada bidang xy. Andaikan P suatu partisi yang membagi R menjadi n-buah persegipanjang bagian Ri; menghasilkan padanan partisi permukaan G menjadi n-potongan Gi. Pilih titik di Ri dan tetapkan = ) adalah titik yang berpadanan di Gi , maka definisi integral permukaan adalah

Definisi di atas tidak praktis untuk perhitungan integral permukaan, sehingga diperlukan cara yang praktis untuk menghitung integral permukaan. Teorema Integral Permukaan Andaikan G suatu permukaan berupa grafik mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu dan pada R , maka

dengan

adalah sudut antara normal satuan ke atas n di

dengan

di R. Jika f kontinu

dan sumbu z positif.

Contoh 1 Hitung dan z = 4. Jawab

dengan G adalah bagian dari kerucut z2 = x2 + y2 di antara bidang z = 1

didapat

Jadi,

16

1.2 Fluks Medan Vektor Menembus Permukaan Permukaan yang dimaksud adalah permukaan dengan dua sisi, yaitu seperti pita m bius Misalkan permukaan ini mulus, maka ia memiliki suatu vektor normal satuan n yang berubah-ubah. Andaikan G suatu permukaan dua sisi yang demikian mulus dan anggap bahwa ia terendam di dalam fluida dengan suatu medan vektor F hampir konstan, dan volume fluida V yang melewati potongan ini dalam arah normal satuan n adalah V F.n S Fluks F melintasi G =

17

6. Teorema Gauss

Andaikan S suatu benda pejal tertutup dan terbatas dalam ruang dimensi-3, yang secara lengkap dicakup oleh suatu permukaan mulus sepotong-sepotong S (gambar 12) z

n

y

x

Gambar 12

Teorema Gauss Andaikan F = Mi + Nj + Pk suatu medan vektor demikian sehingga M, N, dan P mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu pada S dan batasnya S. Jika n menyatakan normal satuan terluar terhadap S , maka atau

Bukti Pertama tinjau kasus dimana S adalah x sederhana, y sederhana, dan z sederhana. Cukup menunjukan bahwa

Cukup membuktikan yang ketiga, karena yang lain serupa. Karena S adalah z sederhana, maka S dapat dijelaskan oleh . Seperti pada gambar 13, S terdiri dari tiga bagian; S1 yang berpadanan dengan ; S2 yang berpadanan dengan ; dan permukaan S3 samping yang boleh kosong; pada S3 0 cos = cos 90 = 0, sehingga dapat diabaikan. 18

Jadi,

Contoh 1 Hitung fluks medan vektor F = x2i + 2xzj +yz3k melewati permukaan benda pejal persegipanjang S yang ditentukan oleh ; 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ 3. Jawab M = x2 , maka

,

N = 2xz, maka

P = yz3 , maka Menurut teorema gauss, didapat

19

Perluasan dan Penerapan Benda pejal S dapat diperluas untuk benda pejal berlubang seperti keju swiss, asal saja mensyaratkan n menunjuk menjauhi bagian dalam benda pejal tersebut. Andaikan S adalah kulit benda pejal antara dua bola sepusat yang berpusat di titik asal. Teorema Gauss berlaku asal saja S terdiri atas dua permukaan (permukaan luar dengan n menunjuk menjauhi titik asal dan permukaan dalam dengan n menunjuk ke arah titik asal) Contoh 2 Andaikan S benda pejal yang ditentukan oleh 1 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 4 dan F = xi + (2y + z)j + (z + x2)k. Hitung Jawab

20

7. Teorema Stokes Andaikan S, S, dan n seperti yang ditunjukkan di atas dan andaikan F = Mi + Nj + Pk adalah suatu medan vektor dengan M, N, dan P mempunyai turunan parsial tingkat pertama kontinu pada S dan batasnya S, maka

Bukti : pada kuliah kalkulus lanjut Contoh 1 Periksa kebenaran teorema stokes untuk F = yi – xj + yzk jika S adalah paraboloid dengan lingkaran sebagai batasnya

S n S

Jawab Persamaan parameter untuk S adalah x = cos t ; y = sin t ; z = 1, maka dz = 0 dan cara langsung

Menggunakan teorema stokes Curl F =

F=

Jadi,

21

KESIMPULAN

Kalkulus vektor (vector calculus) atau sering disebut analisis vektor dalam matematika adalah salah satu cabang ilmu yang mempelajari analisis riil dari vektor dalam dua atau lebih dimensi. Cabang ilmu ini sangat berguna bagi para insinyur dan fisikawan dalam menyelasikan masalah karena mengandung teknikteknik dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan vektor.

Salah satu fokus dari kalkulus vektor adalah permasalahan bidang skalar, dimana terdapat suatu nilai dalam setiap titik dalam ruang. Contoh dari bidang skalar adalah temperatur udara di dalam suatu kamar. Kalkulus vektor juga fokus pada bidang vektor, dimana terdapat suatu vektor dalam setiap titik dalam ruang. Contoh dari bidang vektor adalah aliran air di laut di mana dalam setiap titik arah aliran bisa berbedabeda. Kalkulus vektor melingkupi operasi vektor, diferensial vektor, integral vektor, dan teorema-teorema yang berhubungan dengan operasi nabla.Nabla (atau del) adalah salah satu operator yang digunakan dalam kalkulus vektor. Terdapat empat operasi penting dalam kalkulus vektor berhubungan dengan operator ini, yaitu: Gradien, Divergensi, Curl, Laplacian.

22