Kalkulus Vektor

kalkulus vektor

BAB I PENDAHULUAN Vektor dalam matematika dan fisika adalah obyek geometri yang memiliki besar dan arah. Vektor jika digambar dilambangkan dengan tanda panah (→). Besar vektor proporsional dengan panjang panah dan arahnya bertepatan dengan arah panah. Vektor dapat melambangkan

perpindahan

Vektor sering ditandai sebagai

dari

titik

A

ke

B.

. Vektor berperan penting dalam fisika seperti posisi,

kecepatan dan percepatan obyek yang bergerak dan gaya dideskripsikan sebagai vektor. Kalkulus Vektor (Bahasa Inggris : Vektor Calculus) atau sering disebut Analisis Vektor dalam matematika adalah salah satu cabang ilmu yang mempelajari analisis riil dari vektor dalam dua dimensi atau lebih dimensi. Kalkulus vektor melingkupi operasi vektor (penjumlahan vektor, pengurangan vektor, perkalian titik, dan perkalian silang vektor), diferensial vektor, integral vektor, dan teorema-teorema yang berhubungan dengan operasi nabla. Nabla adalah salah satu operator yang digunakan dalam kalkulus vektor. Cabang ilmu ini sangat berguna bagi para insinyur dan fisikawan dalam menyelesaikan masalah karena mengandung teknik-teknik dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan vektor. Salah satu fokus dari kalkulus vektor adalah permasalahan bidang skalar, dimana terdapat suatu nilai dalam setiap titik dalam ruang. Contohnya pesawat terbang di malam hari tidak nyasar ke tempat lain karena pilot mengemudikan pesawat dengan sistem vektor yang dikaligrasikan dengan komputer navigasi pesawat sehingga pilot dapat memantau arah tujuan pendaratan pesawat.

BAB II PEMBAHASAN Vektor adalah istilah penting yang berhubungan dengan sifat yang dimiliki oleh suatu objek. Vektor atau besaran vektor didefinisikan sebagai besaran yang mempunyai besar atau

nilai dan arah, sedangkan definisi dari besaran adalah sesuatu yang dapat diukur dan dinyatakan dalam satuan. Dalam hal ini akan lebih banyak membahas operasi matematika pada vektor. Vektor dapat direpresentasikan ke dalam bentuk vektor satuan. Vektor satuan adalah vektor pada arah sumbu x, y, atau z pada koordinat cartesius yang memiliki besar satu satuan. Pada arah sumbu x dan huruf j menunjukkan vektor satuan dari F pada arah sumbu y. Untuk vektor tiga dimensi kita dapat menambahkan vektor satuan dengan lambang k untuk merepresentasikan vektor pada arah sumbu z. Secara umum kita dapat menuliskan suatu vektor F = Fxi + Fyj + Fzk, dengan Fx, Fy, dan Fz masing – masing adalah nilai komponen vektor F pada arah sumbu x, y, dan z. Vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah. Kecepatan, percepatan, tekanan, momentum dan sebagainya adalah contoh-contoh besaran vektor. Penulisan vektor dengan vektor satuan mempermudah pengertian tentang arah vektor itu. Beberapa vektor dapat dijumlahkan maupun dikalikan. Dalam pesawat antara penumpang, pilot dan capilot di ruang kemudi dipisah dengan sekat. Tujuannya agar pilot dapat berkonsentrasi mengemudikan pesawat. Apabila pesawat terbang di malam hari, pilot mengemudikan pesawat dengan sistem vektor yang dikaligrasikan dengan komputer navigasi pesawat, pilot dapat memantau arah tujuan pendaratan pesawat. Jadi tidak pernah sebuah pesawat nyasar ke lain tempat.

Gambar Jurusan Tiga Angka

Pada jurusan tiga angka di atas menggambarkan arah tiga kota yang menjadi rute penerbangan pesawat. Kota 2 berarah 215 dari kota 1, kota 3 berarah 300 dari kota 2 dan kota 1 berarah 079 dari kota 3. Jurusan tiga angka merupakan pelajaran vektor yang menyatakan arah dan besar perpindahan. Jurusan tiga angka, analisis ruang, navigasi penerbangan dan pelayaran selalu menggunakan vektor untuk keperluan itu. Peralatan navigasi membutuhkan perhitungan vektoris yang sudah dikaligrasikan dengan alat ukur sehingga menghasilkan keluaran manual digital. Keluaran itu dapat dibaca pada alat ukur yang menera besar dan arah secara bersamaan, sehingga bermanfaat bagi orang yang memantaunya. A. Sistem Navigasi Pesawat Terbang Semua pesawat terbang dilengkapi dengan sistem navigasi agar pesawat tidak tersesat dalam melakukan penerbangan. Panel-panel instrument navigasi pada kokpit pesawat memberikan berbagai informasi untuk sistem navigasi mulai dari informasi tentang arah dan ketinggian pesawat. Pengecekan terhadap instrument sistem navigasi harus seteliti dan seketat mungkin. Sebagai contoh kejadian yang menimpa pesawat Adam Air pada bulan pebruari 2006 sewaktu menjalani penerbangan dari bandara Soekarno Hatta menuju bandara Hasanudin di Makasar. Ketidaktelitian pihak otoritas penerbangan yang mengijinkan pesawat Adam Air terbang dengan sistem navigasi yang tidak berfungsi menyebabkan Pesawat Adam Air berputar-putar di udara tanpa tahu arah selama tiga jam, sebelum mendarat darurat di bandara El Tari Nusa Tenggara Timur. Kesalahan akibat tidak berfungsinya system navigasi adalah kesalahan yang fatal dalam dunia penerbangan. Sanksi yang diberikan adalah dicabutnya ijin operasi bagi maskapai penerbangan yang melanggar. B. Fasilitas Navigasi di Bandara Fasilitas Navigasi dan Pengamatan adalah salah satu prasarana penunjang operasi bandara. Fasilitas ini dibagi menjadi dua kelompok peralatan, yaitu: 1.

Peralatan Pengamatan Penerbangan Peralatan pengamatan penerbangan terdiri dari:



Primary Surveillance Radar (PSR) PSR merupakan peralatan untuk mendeteksi dan mengetahui posisi dan data target yang ada di sekelilingnya secara pasif, dimana pesawat tidak ikut aktif jika terkena pancaran sinyal RF radar primer. Pancaran tersebut dipantulkan oleh badan pesawat dan dapat diterima di system penerima radar.



Secondary Surveillance Radar (SSR) SSR merupakan peralatan untuk mendeteksi dan mengetahui posisi dan data target yang ada di sekelilingnya secara aktif, dimana pesawat ikut aktif jika menerima pancaran sinyal RF radar sekunder. Pancaran radar ini berupa pulsa-pulsa mode, pesawat yang dipasangi transponder, akan menerima pulsa-pulsa tersebut dan akan menjawab berupa pulsa-pulsa code ke system penerima radar.



Air Traffic Control Automation (ATC Automation) ATC Automation terdiri dari RDPS, FDPS. ADBS-B Processing dan ADS-C Processing. Automatic Dependent Surveillance Broadcast (ADS-B) dan Automatic Dependent



Surveillance Contract (ADS-C) ADS-B dan ADS-C merupakan teknologi pengamatan yang menggu-nakan pemancaran informasi posisi oleh pesawat sebagai dasar pengamatan. 

Airport Survace Movement Ground Control System (ASMGCS)



Multilateration



Global Navigation Satellite System

Bagan Alur Sistem Navigasi dan Pengamatan Penerbangan 2.

Peralatan Rambu Udara Radio

Peralatan Rambu Udara Radio, yaitu Peralatan navigasi udara yang berfungsi memberikan signal informasi berupa Bearing (arah) dan jarak pesawat terhadap Ground Station, yang terdiri dari peralatan: 

Non Directional Beacon (NDB) Fasilitas navigasi penerbangan yang bekerja dengan menggunakan frekuensi rendah (low frequency) dan dipasang pada suatu lokasi tertentu di dalam atau di luar lingkungan Bandar udara sesuai fungsinya.



VHF Omnidirectional Range (VOR) Fasilitas navigasi penerbangan yang bekerja dengan menggunakan frekuensi radio dan dipasang pada suatu lokasi tertentu di dalam atau di luar lingkungan Bandar udara sesuai fungsinya.



Distance Measuring Equipment (DME) Alat bantu navigasi penerbangan yang berfungsi untuk memberikan panduan/informasi jarak bagi pesawat udara dengan stasiun DME yang dituju (Stant range distance). Penempatan DME pada umumnya berpasangan (collocated) dengan VOR atau Glide Path ILS yang ditempatkan di dalam atau di luar lingkungan bandara tergantung fungsinya.

C. Sistem Autopilot Pilot otomatis (Bahasa Inggris: Autopilot) adalah sistem mekanikal, elektrikal, atau hidrolik yang memandu sebuah kendaraan tanpa campur tangan dari manusia. Umumnya pilot otomatis dihubungkan dengan pesawat, tetapi pilot otomatis juga digunakan di kapal dengan istilah yang sama. Sistem pilot otomatis pertama diciptakan oleh Sperry Corporation tahun 1912. Lawrence Sperry (anak dari penemu ternama Elmer Sperry) mendemonstrasikannya dua tahun kemudian pada 1914 serta membuktikan kredibilitas penemuannya itu dengan menerbangkan sebuah pesawat tanpa disetir olehnya. Pilot otomatis menghubungkan indikator ketinggian menggunakan giroskop dan kompas magnetik ke rudder, elevator dan aileron. Sistem pilot otomatis tersebut dapat menerbangkan pesawat secara lurus dan rata menurut arah kompas tanpa campur tangan pilot, sehingga mencakup 80% dari keseluruhan beban kerja pilot dalam penerbangan secara umum. Sistem pilot otomatis lurus-dan-rata ini masih umum sekarang ini, lebih murah dan merupakan jenis pilot otomatis yang paling dipercaya. Sistem tersebut juga memiliki tingkat kesalahan terkecil karena kontrolnya yang tidak rumit.

Awak pesawat yang bekerja di dalam pesawat Boeing 777 hanya mengawasi dan mengecek sistem autopilot, karena semua peralatan beroperasi secara otomatis

Instrumen yang ada di kokpit pesawat dengan jumlah dan fungsi yang bermacam-macam D. Kontrol Lalu Lintas Udara Segala aktifitas pengaturan lalulintas udara dikendalikan dari ruang air traffic control. Ruang Air Traffic Control sendiri terdiri dari empat unit tugas yaitu :

Aktifitas di ruangan Air Traffic Control 1.

Data Analyzing Room

2.

En-route Control Unit

3.

Pilot Unit

4.

Terminal Control Unit

Pada ruang Air Traffic Control bekerja para petugas pengatur lalulintas udara (Air Traffc Controller) yang bertugas memantau dan mengarahkan lalulintas pergerakan semua pesawat yang terpantau di angkasa. Dalam menjalankan tugasnya, para petugas pengatur lalulintas udara memantau pergerakan pesawat dari alat Air Traffic Control Display. E. Sistem Pendaratan Pesawat (Instrument Landing System) Sistem pendaratan pesawat adalah suatu sistem peralatan yang ada di Bandar Udara yang digunakan untuk memandu pesawat dalam melakukan pendaratan dengan aman dan lancar. Sistem Pendaratan Pesawat menggunakan dua transmisi. Transmisi yang pertama berfungsi untuk memandu pesawat menuju landasan pacu, sedangkan transmisi yang kedua menginformasikan tentang ketinggian pesawat dari landasan pacu.

Instrument Landing System F. Alur Pendaratan Pesawat Terbang Setelah memberi tahu pada bandara yang dituju, awak pesawat menunggu instruksi dari petugas Air Traffic Control. Pesawat akan diarahkan oleh Instrument Landing System melaui radio beacon untuk menentukan arah pendaratan agar tepat pada tengah tengah landasan pacu.

Alur Pendaratan Pesawat G. Ground Controlled Approach Pesawat yang terpantau radar akan diarahkan oleh operator Ground Controlled Approach tentang petunjuk pendaratan pesawat terbang, dengan tujuan pesawat dapat mendarat dengan aman. Pekerjaan ini menuntut konsentrasi yang tinggi dari operatornya, sehingga diperlukan kerja shift karena bandara beroperasi duapuluh empat jam.

Gambar Radar pendeteksi Pesawat di Bandara

BAB III PENUTUP Vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah. Kecepatan, percepatan, tekanan, momentum dan sebagainya adalah contoh-contoh besaran vektor. Penulisan vektor dengan vektor satuan mempermudah pengertian tentang arah vektor. Vektor dalam matematika dan fisika adalah obyek geometri yang memiliki besar dan arah. Vektor jika digambar dilambangkan dengan tanda panah (→). Vektor dapat melambangkan perpindahan dari titik A ke B. Vektor sering ditandai sebagai

. Vektor

berperan penting dalam fisika seperti posisi, kecepatan dan percepatan obyek yang bergerak dan gaya dideskripsikan sebagai vektor. Jurusan tiga angka, analisis ruang, navigasi penerbangan dan pelayaran selalu menggunakan vektor. Peralatan navigasi membutuhkan perhitungan vektoris yang sudah dikaligrasikan dengan alat ukur sehingga menghasilkan keluaran manual digital. Keluaran itu dapat dibaca pada alat ukur yang menera besar dan arah secara bersamaan, sehingga bermanfaat bagi orang yang memantauny

KATA PENGANTAR Alhamdulillah segala puji dan syukur atas rahmat Allah SWT sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah yang berjudul “Penerapan Kalkulus Vektor Dalam Kehidupan Sehari-hari” dan menghadirkannya di hadapan para pembaca terutama civitas akademika Universitas Muhammadiyah Purworejo Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas perkuliahan mata kuliah Kalkulus Vektor. Di samping itu penulisan makalah ini bertujuan untuk melatih ketrampilan dan kemampuan mahasiswa dalam membuat karya tulis yang nantinya akan dipresentasikan dalam perkuliahan Terima kasih kami sampaikan kepada semua pihak yang telah memberikan dukungan dan sumbangan pikiran, terutama kepada anggota kelompok mata kuliah Kalkulus Vektor kelas IV C sebagai tim penulis makalah ini. Penulis menyadari “tak ada gading yang tak retak”. Oleh karena itu, penulis menunggu kritik dan saran yang konstruktif dari seluruh pembaca sehingga makalah ini akan lebih sempurna pada masa-masa yang akan datang. Semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi kita semua.

Purworejo, April 2011

Penulis

BAB I PENDAHULUAN A. LATAR BELAKANG Sebelum kita tinjau lebih lanjut apa yang dimaksud dengan Kalkulus Vektor, terlebih dahulu kita jelaskan penngertian tetang vektot, vektor adalah besaran yang didefinisikan secara lengkap besar danarahnya. Kalkulus Vektor (Bahasa Inggris:

Vector

Calculus)

(atau

sering

disebut

Analisis

Vektor)

dalam

matematika adalah salah satu cabang ilmu yang mempelajari analisis riil dari vektor dalam dua atau lebih dimensi. Cabang ilmu ini sangat berguna bagi para insinyur dan fisikawan dalam menyelasikan masalah karena mengandung teknikteknik dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan vektor. Salah satu fokus dari kalkulus vektor adalah permasalahan bidang skalar, dimana terdapat suatu nilai dalam setiap titik dalam ruang. Contoh dari bidang skalar adalah temperatur udara di dalam suatu kamar. Kalkulus vektor juga fokus pada bidang vektor, dimana terdapat suatu vektor dalam setiap titik dalam ruang. Contoh dari bidang vektor adalah aliran air di laut di mana dalam setiap titik arah aliran bisa berbeda-beda. Manusia adalah makhluk Tuhan YME, atas dasar keimanan hal ini jelas kita akui dan kita pahami. Dalam filsafat hal ini didukung oleh argumen kosmologi, sedangkan secara faktual terbukti dengan adanya fenomena kemakhlukan yang dialami manusia. Pendidikan dapat diartikan dari berbagai sudut pandang seperti pendidikan suatu sistem, pendidikan berwujud sebagai suatu proses, dan pendidikan berwujud sebagai suatu hasil. Kajian dalam resume ini lebih difokuskan pada pengertian kalkulus vektor dan penerapannya didalam kehdupan sehari-hari. Keseluruhan isi makalah ini menyajikan tentang kalkulus vektor sebagai suatu aspek dan penerapannya dalam kehidupan sehari-hari, baik secara umum maupun secara khusus. Setiap topik kajian disajikan sedemikian rupa, sehingga memberikan kemudahan bagi pembaca.

B.

RUMUSAN MASALAH Banyaknya ruang lingkup dalam kalkulus vector membuat penyusun membatasi apa yang akan dibahas. Hal-hal yang akan dibahas dalam makalah ini meliputi ;

1.

Bagaimana ruang lingkup vektor yang terdapat di matematika?

2.

Bagaimana cara menganalisis vektor?

C.

TUJUAN Setelah mempelajari bab ini diharapkan pembaca dapat:

1.

Menganalisis gerak dua dimensi secara vektor dan skalar.

2.

Menghitung besaran dan arah perpindahan ,kecepatan, dan percepatan gerak suatu benda.

3.

Menganalisa kompone-komponen vektor.

4.

Menyelesaikan masalah vektor dengan metode analitik

D.

MANFAAT Adapun manfaatnya adalah:

1.

Sebagai penambah pengetahuan tentang matematika khususnya penerapan kalkulus vektor dalamkehidupan sehari-hari.

2.

Sebagai

wacana yang membuat pembaca mampu memahami

betapa

pentingnya matematika dalam kehidupan. 3.

Menyelesaikan tugas mata kuliah Kalkulus vektor.

BAB II PERMASALAHAN

A. Ruang Lingkup Kalkulus vektor melingkupi operasi vektor, diferensial vektor, integral vektor, dan teorema-teorema yang berhubungan dengan operasi

1.

Pelajaran dari integral. Prinsip dasar integral adalah : untuk menghitung suatu luas, pecahlah suatu wilayah yang bentuknya tak beraturan menjadi pecahan kecil-kecil, sedemikian kecil sehingga luas tiap bagian bisa dihitung sebagai perkalian Panjang x Lebar. Kemudian gabungkan semua hasil perkalian, maka didapat luas keseluruhan. Pelajaran yang ditarik dari prinsip ini adalah : setiap bertemu masalah yang besar dan rumit, maka: pecah masalah itu menjadi masalah-masalah yang kecil yang mudah dipecahkan, kemudian selesaikan tiap-tiap masalah kecil tersebut. Kemudian gabungkan semua permasalahan tersebut. Then, big problem solved

2. Limit X mendekati … Di Kalkulus kita ada pelajaran menghitung nilai X di limit mendekati titik tertentu (yang sering dipakai: limit mendekati tak terhingga). Pelajaran dari sini adalah: ketika kita dilanda suatu keraguan (misal bingung antara ya atau tidak) maka ambillah proyeksi limit mendekati tak hingga. Dengan proyeksi seperti itu kita bisa menilai, ternyata kondisi masa depan adalah seperti itu. Maka kita bisa ambil keputusan untuk mengabil pilihan yang mana. Contoh kasus: kita akan ambil tawaran kerjaan di perusahaan minyak dengan ditempatkan di lautan dekat Kutub Utara. Ketika bingung untuk menerima atau tidak, ekstrapolasikan aja situasi jauh ke depan. Misal: 5 tahun kedepan kalau kita terus disitu apa yang terjadi? Ternyata jawaban kita adalah : - Kita akan melakukan adaptasi dalam menjalani kehidupan sehari-hari - Kita bisa mengumpulkan tabungan yang significant yang bisa dimanfaatkan untuk A, B,C, dll. Dengan kondisi demikian, maka kemungkinan besar pilihan adalah: ambil. Tapi kalau ternyata situasi ke depan dalam bayangan kita adalah : - Stress, sehingga harus masuk perawatan RS Jiwa - Nggak ada tabungan, karena uang habis untuk pengobatan - Nggak ada ilmu apapun, karena hanya diperlakukan sebagai operator terdidik. Then, bisa jadi kita memilih untuk tidak mengambil tawaran tersebut. B. Analisis Sebagaimana kita ketahui, besaran-besaran gerak seperti posisi, perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya dan sebagainya merupakan besaran besaran vektor. Oleh karena itu, supaya pembahasan mengenai gerakbisa menjadi lebih lengkap maka harus di ungkapkan dengan metode vektor. Pada tahap awal , penggunaan metode vektor bidang kadang sulit untuk dipahami. Namun, apabila kita sudah terbiasa maka akan terbiasa bahwametode vektor ternyata sangat sederhana. Anlisa

yang cukup panjang dan rumit dengan metode skalar sering kali menjadi sangat singkat dan seederhana bila di lakukan dengan metode vektor. Sebagai contoh, ketika kita membahas mengenal gerak dua dimensi. Jika kita menggunakan metode skalar , maka gerak pada masing-masing dimensi arus dipecahkan sendiri-sendiri. Selama pemecahan itu dilakukan, kita juga harus waspada terhadap tada positif dan negatif serta sudut-sudut yang dibentuk. Amun, bila kita menggunakan metode vektor, maka kita menggunakan dua arah gerak sekaligus dan kita tidak perlu was-wasdengan tanda positif atau negatif karena semua tercakup dengan sendirinya dalam besaran vektor. B.1 Analisis Vektor Untuk memahami penerapan metode vektor dalam analisis gerak, mari kita mulai dengan benda yang melakukan gerak. Vektor perpindahan benda adalah pengurangan vektor posisi akhir dengan posisi awal. Analisis vektor dari berbagai besaran gerak lurus meliputi: a)

Posisi.Untuk menggambarkan posisi dari suatu benda secara vektor, kita dapat menggunakan dua sumbu koordinat

b) Perpindahan( selisih dari posisi awal dengan posisi akhir). c)

Kecepatan rata-rata.Kecepatan rata-rata menunjukkan besaran perpindahan per satuan waktu yang dilakukan benda.

d) Kecepatan sesaat (kecepatan suatu benda dalam selang waktu yang sangat singkat). e) Percepatan sesaat ( percepatan suatu benda dalam selang waktu yang sangat singkat). B.2. Analisis Skalar Jika kamu masih menghadapi kesulitan saat melakukan analisis gerak dengan metode vektor, kamu dapat juga menggunakan metode skalar seperti yang telah dipelajari di SLTA kelas X. Mengapa? Karena pada dasarnya, vektor adalah skalar yang dilengkapi dengan notasi arah. Jadi, menyelesaikan masalah vektor dapat melakukan dengan menyelesaikan masalah skalar setelah notasi arah dihilangkan. Analisis skalar dapat pula dilakukan dengan memecahkan persamaan gerak kedalam sumbunya masing-masing. Terdapat empat operasi penting dalam kalkulus vektor berhubungan dengan operator ini, yaitu:



Gradien



Divergensi



Curl



Laplacian BAB PENUTUP

A. Kesimpulan Dari makalah terdapat dua dasar dalam kalkulus vektor yaitu : 

Kalkulus vector melingkupi operasi vector, deferensial vector, integral vector, dan teorema-teorema yang ber hubungan dengan operasi.



Analisis sebagai mana telah kita ketahui, besaran-besaran gerak seperti posisi, perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya, dan sebagainya merupakan besaran-besaran vektor

B. Saran Saran yang dapat diajukan penulis adalah sebagai berikut: 1. Makalah ini sebaiknya dijadikan referensi untuk mata kuliah Kalkulus Vektor. 2. Makalah ini hendaknya sebagai bacaan bagi semua kalangan. 3.

Pembaca hendaknya memberi kritikan pada makalah ini jika ada kesalahan dalam penulisan, sistematika penyusunan.

DAFTAR PUSTAKA

http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus_vektor .14 00 , 14 – 4 - 2011 Mikrajuddin Abdullah. 2007. FISIKA 1A SMA dan MA Kelas X Semester 1.

Jakarta . Erlangga

Mikrajuddin Abdullah. 2007. FISIKA 2A SMA dan MA kelas XI semester 1. Jakarta. Erlangga

Kalkulus Vektor

A.

Pengertian Kalkulus Vektor

Kalkulus Vektor (Bahasa Inggris: Vector Calculus) (atau sering disebut Analisis Vektor) dalam matematika adalah salah satu cabang ilmu yang mempelajari analisis riil dari vektor dalam dua atau lebih dimensi. Cabang ilmu ini sangat berguna bagi para insinyur dan fisikawan dalam menyelasikan masalah karena mengandung teknik-teknik dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan vektor. Salah satu fokus dari kalkulus vektor adalah permasalahan bidang skalar, dimana terdapat suatu nilai dalam setiap titik dalam ruang. Contoh dari bidang skalar adalah temperatur udara di dalam suatu kamar. Kalkulus vektor juga fokus pada bidang vektor, dimana terdapat suatu vektor dalam setiap titik dalam ruang. Contoh dari bidang vektor adalah aliran air di laut di mana dalam setiap titik arah aliran bisa berbeda-beda. Kalkulus merupakan sebuah cabang ilmu dari Matematika yang sangat dibutuhkan untuk pengembangan ilmu pengetahuan terutama bagi Fisika dan Teknik (Engineering). 1. 2. 3. 4.

Dalam ilmu kalkulus materi yang dapat kita pelajari antara lain: differensial, integral, integral dan diferensial terapan, dll. Pada dasarnya ketika kita mempelajari Kalkulus maka yang terbesit dalam hati atau terpikirkan oleh kita adalah angka-angka yang menjelma menjadi sebuah momok menyeramkan bagi kita dan tak jarang pula terpikirkan oleh kita bahwa untuk apakah kita mempelajari kalkulus? Oleh karena itu dalam makalah ini akan dijelaskan sedikit tentang guna kalkulus bagi kehidupan sehingga kita dapat melihat kalkulus sebagai suatu yang menyenangkan dan dapat membimbing kita.

B.

Pengertian Tentang Vektor dan Notasi Vektor

1. Pengertian Vektor Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai dan arah. Contoh sebuah kapal bergerak dengan kecepatan sebesar 20 knot pada arah 30 derajat dari suatu pelabuhan. Dari pernyataan di atas dapat dipahami bahwa kapal tersebut bergerak dengan kecepatan 20 knot yang

merupakan besaran, selain itu dijelaskan juga arah yang ditempuh, yaitu 30 derajat dari pelabuhan. 2. Penggambaran vector Untuk menyatakan suatu vektor dapat dilakukan pada bidang datar atau bidang koordinat Cartesius XOY dengan menggambar ruas garis dengan anak panah di salah satu ujungnya. Panjang ruas garis mewakili besar (panjang) vektor dan anak panah mewakili arah vektor. Vektor disimbolkan dengan huruf tebal atau dengan huruf yang digaris bawahi .

C.

Kegunaan Kalkulus

Kalkulus digunakan di setiap cabang sains fisik, sains komputer, statistik, teknik, ekonomi, bisnis, kedokteran, kependudukan, dan di bidang-bidang lainnya. Setiap konsep di mekanika klasik saling berhubungan melalui kalkulus. Massa dari sebuah benda dengan massa jenis yang tidak diketahui, momen inersia dari suatu objek, dan total energi dari sebuah objek dapat ditentukan dengan menggunakan kalkulus. Dalam subdisiplin listrik dan magnetisme, kalkulus dapat digunakan untuk mencari total fluks dari sebuah medan elektromagnetik . Contoh historik lainnya adalah penggunaan kalkulus di hukum gerak Newton, diekspresikan dengan laju perubahan yang merujuk pada turunan: Laju perubahan momentum dari sebuah benda adalah sama dengan resultan gaya yang bekerja bada benda tersebut dengan arah yang sama. Bahkan rumus umum dari hukum kedua Newton: Gaya = Massa × Percepatan, mengandung diferensial kalkulus karena percepatan bisa diekspresikan sebagai turunan dari kecepatan. Teori elektromagnetik Maxwell dan teori relativitas Einstein juga diekspresikan dengan diferensial kalkulus.

D. 1.

Kegunaan Vektor

Dalam Navigasi, vektor berpengaruh besar terhadap keberadaan suatu lokasi ditinjau dari tempat yang bergerak (kendaraan atau lainnya). Teknologi ini disebut Global Positioning System atau GPS. Dimana sistem ini memberitahukan lokasi di permukaan bumi walaupun tempatnya bergerak. Sehingga, suatu kendaraan dapat tahu keberadaannya dan dimana lokasi tujuannya. Karena itu vektor sangat berperan penting dalam Navigasi contohnya vector yang digunakan untuk Sistem Navigasi Pesawat Terbang. Semua pesawat terbang dilengkapi dengan sistem navigasi agar pesawat tidak tersesat dalam melakukan penerbangan. Panelpanel instrument navigasi pada kokpit pesawat memberikan berbagai informasi untuk sistem navigasi mulai dari informasi tentang arah dan ketinggian pesawat. Pengecekan terhadap

instrument sistem navigasi harus seteliti dan seketat mungkin. Sebagai contoh kejadian yang menimpa pesawat Adam Air pada bulan pebruari 2006 sewaktu menjalani penerbangan dari bandara Soekarno Hatta menuju bandara Hasanudin di Makasar. Ketidaktelitian pihak otoritas penerbangan yang mengijinkan pesawat Adam Air terbang dengan sistem navigasi yang tidak berfungsi menyebabkan Pesawat Adam Air berputar-putar di udara tanpa tahu arah selama tiga jam, sebelum mendarat darurat di bandara El Tari Nusa Tenggara Timur. Kesalahan akibat tidak berfungsinya system navigasi adalah kesalahan yang fatal dalam dunia penerbangan. Sanksi yang diberikan adalah dicabutnya ijin operasi bagi maskapai penerbangan yang melanggar. Vektor menyatakan arah dan besar suatu besaran. Jurusan tiga angka, Analisi ruang, Navigasi penerbangan dan pelayaran selalu menggunakan vektor untuk keperluan itu. Peralatan navigasi membutuhkan perhitungan vektoris yang sudah dikalibrasikan dengan alat ukur sehingga menghasilkan keluaran manual atau digital. Keluaran itu dapat dibaca pada pada alat ukur yang menera besar dan arah secara bersamaan, sehingga bermanfaat bagi orang yang memantaunya.Pernahkah Kamu naik pesawat terbang? Antara penumpang dan pilot dan copilot di ruang kemudi dipisah dengan sekat. Tujuannya agar pilot dapat berkonsentrasi mengemudikan pesawat. Pernahkah Kamu bayangkan pesawat terbang di malam hari? Bagaimana pilot mengemudikan pesawat terbang di malam hari. Dengan sistem vektor yang dikalibrasikan dengan komputer navigasi pesawat pilot dapat memantau arah tujuan pendaratan pesawat. Jadi tidak pernah sebuah pesawat nyasar ke lain tempat. 2. Dalam sains komputer vektor digunakan untuk pembuatan gravis. Grafis adalah gambar yang tersusun dari koordinat-koordinat. Dengan demikian sumber gambar yang muncul pada layar monitor komputer terdiri atas titik-titik yang mempunyai nilai koordinat. Layar Monitor berfungsi sebgai sumbu koordinat x dan y. Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan matematika tertentu. Contoh software yang menggunakan vektor adalah CorelDRAW dan Adobe Illustrator. Dalam software komputer seperti AutoCAD, Google SketchUp dll, terdapat penghitungan vektor yang terkomputerisasi. Program tersebut berfungsi sebagai penggambar rancangan bangunan 3D sebelum membangun bangunan sebenarnya. Dalam progeam tersebut terdapat tiga sumbu, sumbu X, sumbu Y dan sumbu Tegak (3 dimensional) 3. Vektor Dalam Geometri Dalam geometri, sebuah sistem koordinat adalah suatu sistem yang menggunakan satu atau lebih angka, atau koordinat, untuk menentukan posisi titik atau elemen geometris. Urutan koordinat sangat signifikan dan mereka kadang-kadang diidentifikasi oleh posisi mereka dalam suatu tuple, seperti dalam 'x-koordinat'. Dalam matematika dasar koordinat yang

dianggap bilangan real, tetapi dalam aplikasi yang lebih maju koordinat dapat diambil untuk bilangan kompleks atau unsur-unsur dari sistem yang lebih abstrak seperti ring komutatif. Penggunaan sistem koordinat memungkinkan masalah dalam geometri untuk diterjemahkan ke dalam masalah tentang angka dan sebaliknya, ini adalah dasar dari geometri analitik. 4. Vektor Dalam Topologi Topologi (dari bahasa Yunani τόπος, "tempat", dan λόγος, "ilmu") merupakan cabang matematika yang bersangkutan dengan tata ruang yang tidak berubah dalam deformasi dwikontinu (yaitu ruang yang dapat ditekuk, dilipat, disusut, direntangkan, dan dipilin tetapi tidak diperkenankan untuk dipotong, dirobek, ditusuk atau dilekatkan). Dalam penerapannya pada fisika, ruang vektor topologi (juga disebut ruang topologi linier) merupakan salah satu struktur dasar diselidiki dalam analisis fungsional. Seperti namanya ruang memadukan struktur topologi (struktur yang seragam dan harus tepat) dengan konsep aljabar dari ruang vektor. Unsur-unsur ruang vektor topologi biasanya fungsi atau operator linear yang bekerja pada ruang vektor topologi, dan topologi sering didefinisikan sehingga untuk menangkap gagasan tertentu konvergensi urutan fungsi.

PERKALIAN VEKTOR Aug 14 Posted by NICO MATEMATIKA

Image via Wikipedia Perkalian vektor adalah operasi perkalian dengan dua operand (obyek yang dikalikan) berupa vektor. Terdapat tiga macam perkalian vektor, yaitu perkalian titik (dot product), perkalian silang (cross product) dan perkalian langsung (direct product).

Perkalian titik Perkalian titik dua buah vektor akan menghasilkan sebuah skalar. Jenis perkalian ini bersifat komutatif.

Untuk vektor satuan terdapat hubungan-hubungan yang khusus dalam operasi perkalian titik, yang merupakan sifat-sifat yang digunakan dalam perkalian titik, yaitu

dan

Atau dapat pula dituliskan dengan menggunakan notasi delta Kronecker

, yaitu

Perkalian silang Hasil suatu perkalian silang dua buah vektor adalah juga sebuah vektor. Perkalian silang bersifat tidak komutatif.

Untuk vektor-vektor satuan terdapat pula hubungan yang mendasari operasi perkalian silang, yaitu

dan

Perkalian langsung Hasil perkalian langsung dua buah vektor adalah sebuah tensor atau matriks. Perkalian ini tidak bersifat komutatif.

Perkalian langsung dua buah vektor satuan tidak memiliki hubungan yang khusus.

PENERAPAN VEKTOR DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI 1. Ketika penerjun menjatuhkan diri dari kapal, tempat ia jatuh tidak tepat di bawah kapal, tetapi jauh melenceng karena adanya dua vektor gaya yaitu gaya gravitasi dan gaya dorong angin. 2. Saat perahu menyebrangi sebuah sungai, makan kecepatan gerak perahu yang sebenarnya merupakan kecepatan gerak perahu dan kecepatan air. 3. Dalam suatu kejadian seorang pemanah menarik anak panah dari busunya sebenarnya arah gerak anak panah merupakan penjumlahan vektor gaya tarik tali dari kedua ujung busur tersebut. 4. Pesawat terbang yang ingin terbang dan mendarat menggunakan metode vekto, sehingga ketika turun tidak langsung jatuh kebawah, tapi melalui arah vektor yang disesuaikan. Dengan demikian orang-orang yang berada didalamnya pun tidak jatuh atau terombangambing. 5. Metode vektor juga diaplikasikan terhadap orang yang sedang bermain layang-layang. Sehingga arah layang-layang yang sedang terbang tidak lurus terhadap orang yang memegang tali layangan. Dengan demikian orang tersebut dapat melihat layangan lebih jelas karena ada pengaruh vektor. 6. Pada saat seorang anak bermain jungkat-jungkit, pada bidang miring menggunakan gaya vektor, sehingga anaak tersebut tidak jatuh dari bidang miring itu.

7. Seorang pilotpada pesawat terbang menggunakan komputer navigasi yang dihubungkan dengan cara vektor, sehingga seorang pilot yang mengemudi tidak salah arah atau berpindah di tempat yang tidak diinginkan.