Kalkulus 3

 

  TEKNIK INFORMATIKA MATERI KALKULUS 3

DOSEN : CHATARINA FERBRIYANTI, M. Pd 

GUSTIFANI DIMAPUTRIE 201343500870 R3H

 

DAFTAR ISI Daftar Isi............................................................... Isi...................................................................................................................... ......................................................... 1. Bilangan Kompleks………….……......................................................................... 1.1. Pengertian Bilangan Kompleks…………................................................. 1.2. Bidang Kompleks….. ……....................................................................... 1.3. Operasi Aljabar.......................................................................................... Aljabar.................................................... ...................................... 1.4. Modulus dan Bilangan Kompleks Sekawan …………............................. 1.5. Bentuk Kutub………………….…………………………………… Kutub………………….…………………………………………. ……. 1.6. Bentuk Akar……………………………………………………… Akar…………………………………………………………..….. …..…..

2 3 3 4 4 5 6 7 

2. Barisan Bilangan dan Deret……………………………………………………… Deret………………………………………………………… … 2.1. Barisan Bilangan………………………………………………………… Bilangan………………………………………………………….. 2.2. Deret Bilangan………………………………………………………… Bilangan…………………………………………………………… … 2.3. Barisan dan Deret Aritmatika…………………………………….……… Aritmatika…………………………………….……… 2.3.1. Barisan Aritmatika…………………….…………….………… Aritmatika…………………….…………….………….. 2.3.2. Deret Aritmatika……………………………………………..… Aritmatika……………………………………………..… 2.4. Barisan dan Deret Geometri……………………………………………… Geometri……………………………………………… 2.4.1. Barisan Geometri……………………………………………… Geometri……………………………………………….. 2.4.2. Deret Geometri…………………………………………………. Geometri…………………………………………………. 3. Notasi Sigma…………………………………………………… Sigma……………………………………………………………………….. ………………….. 3.1. Pengertian Notasi Sigma…………………………………………………. Sigma…………………………………………………. 3.2.Menentukan Nilai Penjumlahan yang Dinyatakan dengan Notasi Sigma.. 3.3. Sifat – Sifat Notasi Sigma………………………………………………. Sigma………………………………………………. 4. Deret Kompleks..................................................... Kompleks............................................................................................ ....................................... ... 4.1. Barisan dan Deret Bilangan Kompleks…………………………………... Kompleks…………………………………...

8 8 9 9 9 10 11 11 12 13  13 14 14 15 15

4.1.1. Barisan Bilangan Kompleks……………………………………. Kompleks……………………………………. 4.1.2. Deret Bilangan Kompleks……………………………………… Kompleks……………………………………… 4.2. Deret Pangkat………………………………………………………… Pangkat………………………………………………………….… .… 4.3. Deret Taylor dan MacLaurin……………………………………………... MacLaurin……………………………………………... 4.4. Deret Laurent……………………………………………………… Laurent…………………………………………………………….. …….. 5. Persamaan Differensial…………………………………………… Differensial…………………………………………………………….. ……………….. 5.1. Pengertian Persamaan Diferensial……………………………………….. Diferensial……………………………………….. 5.2. Persamaan Differensial Terpisah Dan Mudah Dipisah.......................... Dipisah......................... . .... 5.3. Persamaan Differensial Homogen……………………………………….. Homogen……………………………………….. 5.4. Persamaan Differensial Eksak……………………………………………. Eksak……………………………………………. 6. Contoh – Contoh Soal……………………………………………………… Soal………………………………………………………………. ………. 6.1. Sistem Bilangan Kompleks……………………………………………….. Kompleks……………………………………………….. 6.1.1. Bentuk Akar…………………………………………………… Akar…………………………………………………….. .. 6.1.2. Bentuk Kutub…….…………………………………………….. Kutub…….…………………………………………….. 6.1.3. Bilangan Kompleks Sekawan…………………………………… Sekawan……………………………………

15 16 17 18 19 19 19 21 21 22 24 24  24 24 25

6.1.4. Bilangan Kompleks……………………………………………… Kompleks……………………………………………… 6.2. Deret Taylor dan Mc.Laurin…………………………………………….… Mc.Laurin…………………………………………….… 6.3. Persamaan Differensial………………………………………… Differensial……………………………………………………. …………. 6.3.1. Persamaan Differensial Eksak................................................ ..... 6.3.2. Persamaan Differensial Homogen........................................... ..... 6.3.3. Persamaan Differensial yang Dipisah……………………………. Dipisah……………………………. 6.4. Barisan Dan Deret…………………………………………………… Deret……………………………………………………….… ….… 6.5. Deret Aritmatika……………………………………………… Aritmatika…………………………………………………………… …………… 6.6. Barisan Geometri…………………………………………………… Geometri…………………………………………………………… ……… 6.7. Deret Geometri………………………………………………… Geometri……………………………………………………………… ……………

DAFTAR PUSTAKA.................................................... PUSTAKA................................................................................................ ............................................

2 

25 25 27  27 28 29  29 29 30 30 

31

 

1.BILANGAN KOMPLEKS Sistem bilangan yang sudah dikenal sebelumnya yaitu sistem sistem bilangan real,

tetapi sistem sistem

 bilangan real ternyata masih belum cukup untuk menyelesaikan semua bentuk persamaan. Oleh karena itu, perlu suatu jenis bilangan baru yang disebut bilangan kompl kompleks. eks. Pengertian bilangan kompleks,  bidang kompleks dan sifat aljabar bilangan kompleks yang akan menguraikan :  

Definisi bilangan kompleks.

 

Sifat aljabar dan tafsiran geometri bilangan kompleks.

 

Bilangan kompleks dalam bentuk kutub, eksponen, pangkat dan akar.

1.1. 

Pengertian Bilangan Kompleks

Mengapa perlu bilangan kompleks ?

•  x 2 − 1 = 0  mempunyai penyelesaian dengan  x ∈ ℜ . •  x 2 + 1 = 0   ⇔  x 2 = −1  tidak mempunyai penyelesaian jika  x ∈ ℜ . Sehingga perlu mengidentifikasi suatu bilangan sehingga  x 2 + 1 = 0   mempunyai penyelesaian. Selanjutnya perlu dikembangkan suatu sistem bilangan yaitu bilangan kompleks.

Definisi Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks z : • merupakan pasangan berurut ( x, y )  dengan  x ,  y ∈ ℜ . Ditulis :  z = ( x, y ) . • merupakan bilangan yang berbentuk  x + iy   dengan  x ,  y ∈ ℜ dan i = (0,1) =   −1 . Ditulis :  z =  x + iy . 

  ) =  x  + iy maka Jika  z = ( x, y  x = Re ( z )  = bagian riil z,  y = Im ( z )  = bagian imajiner z,

i  = satuan imajiner dan i 2 = −1 .

Ada beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam bilangan kompleks yaitu 1. 

= himpunan bilangan kompleks kompleks =  z  z =  x + iy ,  x,  y ∈ ℜ & i 2 = −1 .

2.  Jika Re ( z  ) = 0  dan Im ( z  ) ≠ 0 maka z dinamakan bilangan imajiner murni. 3.  Jika Re ( z  ) ≠ 0  dan Im ( z  ) = 0 maka z merupakan bilangan riil. 4.  Kesamaan bilangan kompleks. Misalkan  z1 =  x  1 + iy1  dan  z 2 =  x  2 + iy 2 .  z1  =  z 2  jika dan hanya jika  x1  =  x 2  dan  y1  =  y 2 .

3 

 

1.2. 

Bidang Kompleks

Bilangan kompleks merupakan pasangan berurut ( x, y ) , se sehi hingg nggaa secar secaraa geome geometr trii dapat dapat di disa saji jika kan n sebagai titik ( x, y ) pa pada da bida bidang ng ko komp mple leks ks (bid (bidan ang g  xy), dengan sumbu  x  (sumbu riil) dan sumbu  y  (sumbu imajinair). Selain itu, bilangan kompleks  z =  x + iy = ( x, y )  juga dapat disajikan sebagai vektor dalam bidang kompleks dengan titik pangkal pada titik asal dan ujung vektor merupakan titik ( x, y ) .

 y (sumbu imajinair)   ) =  x + iy •  z = ( x, y

 x (sumbu riil)

O Gambar 1. Bidang kompleks

1.3. 

Operasi Aljabar

Operasi aljabar pada bilangan kompleks sesuai dengan operasi aljabar pada bilangan riil.

Operasi Aljabar pada  bilangan kompleks

=  x  1 + iy1  dan  z 2 =  x  2 + iy 2 . a.  Penjumlahan :  z1 + z 2 = ( x1 +   2 ) + i ( y1 + y 2 )      x  b.  Pengurangan :  z1 − z 2 = ( x1 −    x   2 ) + i ( y1 − y 2 )   Misalkan  z1

c.  Perkalian :

 z1 z 2 = ( x1 + iy1 ) ( x 2 + iy 2 )

= ( x1 x2 −  y1 y 2 ) + i ( x1 y 2 + x 2 y1 )

 

d.  Pembagian :

 z1  z 2

=  z1  z 2−1 =

 x1 x 2 +  y1 y 2  x 2 +  y 2 2

+i

2

 x 2 y1 − x1 y 2  x 2 +  y 2 2

2

,  z 2 ≠ 0  

Perlu diperhatikan : 1. 

− z ( negatif z ). Jika  z

2.   z

−1

=

Jika  z

=  x + iy  maka − z =  − x − iy . 1  z

  ( kebalikan z )

=  x + iy  maka  z −1 =

Sifat Operasi Aljabar

 x  x 2 +  y 2

−i

 y  x 2 +  y 2

.

a. Hukum komutatif

 z1 + z 2  =   z 2 + z1    z1 z 2 =   z 2 z1    b. Hukum asosiatif

( z1 + z 2 ) + z 3  =   z1 + ( z 2 + z3 )   ( z1 z 2 )  z3 =   z1 ( z 2 z3 )   c. Hukum distributif

 z1 ( z 2 + z 3  ) =   z1 z 2 + z1 z 3   d. Elemen netral dalam penjumlahan penjumlahan ( 0 =  0 + 0 i )

 z + 0 =  0 + z =  z   e. Elemen netral dalam perkalian perkalian ( 1 =  1 + 0 i )

 z .1 = 1. z =  z  

4 

 

1.4. 

Modulus dan Bilangan Kompleks Sekawan

Penyajian bilangan kompleks sebagai vektor dapat digunakan untuk mengembangkan konsep nilai mutlak bilangan riil pada bilangan kompleks.

•  Modulus (nilai mutlak)  z =  x + iy   didefinisikan sebagai bilangan Definisi modulus riil non negatif  x 2  +  y 2  dan ditulis sebagai (nilai mutlak)  Modulus z  =  z  =  x 2  +  y 2 . Secara geometri,  z  menyatakan jarak antara titik ( x, y ) dan titik asal. Misalkan  z1 =  x  1 + iy1  dan  z 2 =  x  2 + iy 2 . Jarak antara  z1  dan  z 2  didefinisikan dengan  z1 − z 2 =

( x1  −   x2 )2 + ( y1 − y 2 )2

.

Selanjutnya, persamaan  z − z  0 =  R  menyatakan bilangan kompleks  z yang bersesuaian dengan titiktitik pada lingkaran dengan pusat  z 0  dan jari-jari R.

Definisi bilangan •  Bilangan kompleks sekawan dari  z =  x + iy   didefinisikan kompleks sekawan sebagai bilangan kompleks  z =  x − iy . Secara geometri, bilangan kompleks sekawan  z =  x − iy   dinyatakan dengan titik merupakan pencerminan titik ( x, y ) te terh rhad adap ap sumbu umbu riil iil.

Sifat Modulus dan Bilangan Kompleks Sekawan

a. 

 z1 z  2 =   z1

 b. 

Re ( z ) ≤ Re   ( z ) ≤  z

c. 

Im ( z ) ≤ Im   ( z ) ≤  z

d. 

e.  f. 

 z1  z 2

=

 z1  z 2

z2  

 

 z  =  z    z   =  z  

g. 

 z1 + z 2  =    z1 + z 2  

h. 

 z1 − z 2  =    z1 − z 2  

i. 

 z1 z 2 =   z1 z 2  

 j. 

⎛  z1  ⎞  z1 ⎜⎜ ⎟⎟ =   ⎝  z 2  ⎠  z 2

k. 

   z − z     z + z     , Im ( z ) = Re ( z ) = 2i 2

l. 

 z z  =  z

m. 

Pertidaksamaan Segitiga :  z1

2

 

n. 

 z1 + z 2  ≥   z1 − z 2  

o. 

 z − z  ≥   z − z 1

 p. 

2

1

+ z 2   ≤   z1 + z 2  

  2

 z1 + z 2 + L + z n ≤    z1 +  z  2 + L + z n   .

5 

( x, − y )  

dan

 

1.5. 

Bentuk Kutub

Bentuk kutub  bilangan kompleks

=  x + iy   dapat disajikan dalam koordinat kutub (r ,θ ) . Misalkan  x = r cosθ    dan  y  = r sin θ    maka  z =  x + iy   dapat

Bilangan kompleks  z

dinyatakan dalam bentuk kutub

 z = r cos θ  + i r sin θ  = r (cos θ  + i sin θ )

= r cisθ 

 

dengan  = modulus (nilai mutlak)  z  =  z   = r  =

 x 2  +  y 2 .

θ   = argumen dari z  = arg z    y = arc tg ,  x   ≠ 0.  x  y 

• z = x+ iy r   θ 

 x

 Nilai argumen dari  z (arg  z) tidak tunggal tetapi merupakan kelipatan 2π  (s (ses esua uaii den denga gan n kuad kuadra ran n  principal value) dari arg z ditulis  Arg  z   dengan dimana titik  z  berada). Sedangkan, nilai nilai utama ( principal

− π  <  Arg     z ≤ π   adalah tunggal. =

+

 

=

Jelas, arg z  Arg  z   2nπ  , n  z = r (cos θ  + i sin θ )

= r  cisθ 

± ± 0,

L

1, 2, . Perlu diperhatikan bahwa :  z = r (cos θ  − i sin θ )

 

= r  cis (− θ )

arg z = θ   

Operasi aljabar  bentuk kutub dan sifat argumen

 

arg z = −θ   

= r 1 ( cosθ 1  +  i sin θ 1 )   dan  z 2 = r 2 ( cosθ 2  + i sin θ 2 )   dengan r 1 =  z1 , r 2 =  z 2 , arg    z1  = θ 1 , arg   z 2 = θ 2 .

Misalkan  z1

a.  Perkalian

 z1 z 2 = r 1 r 2 cis (θ 1 + θ 2 )

=  z1 z 2 cis (θ 1 + θ 2 )

 

   z1 + arg z 2 . arg z1 z 2 =  arg  b.  Pembagian ( z 2   ≠ 0 )  

 z1  z 2

arg

=

 z cis (θ 1 − θ 2 ) =   1 cis (θ 1 − θ 2 ) .  z 2 r 2

 z1  z 2

r 1

= arg  z1 − arg z 2 .

c.  Invers sebarang bilangan kompleks  z  = r e

 z −1 =

1  z

=

1 r 

i θ 

yaitu

cis (− θ ) .

1 arg  = − arg z  .  z

Selain dalam bentuk umum   z =  x + iy   dan bentuk kutub  z = r (cos   θ  + i sin θ ) , bilangan kompleks  z    juga dapat dinyatakan dalam bentuk eksponen.

6 

 

Bentuk eksponen

Bentuk eksponen bilangan kompleks  z

 z  = r e dengan e

Operasi aljabar  bentuk eksponen

i θ 

i θ 

=  x + iy  yaitu

 

=  cosθ  + i sin θ   dinamakan rumus Euler .

Misalkan  z1  = r 1 e

i θ 1

 dan  z 2 

= r 2 e

i θ 2

.

a.  Perkalian

 z1 z 2 = r 1 r 2 e

i θ 1 i  θ 2 i (θ  + θ 2 )   e = r 1 r 2 e 1  

 b.  Pembagian

 z1  z 2

=

r 1    i (θ 1  − θ 2 ) e   r 2

c.  Invers sebarang bilangan bilangan kompleks  z  = r e

 z

−1

=

1   z

=

yaitu

1 − i θ    e r 

Misalkan  z  = r e

Bentuk  pangkat

i θ 

i θ 

, maka menggunakan aturan pangkat seperti pada bilangan

riil diperoleh

 z n = (r  e

i θ  n   n i n θ  , n = 0, ± 1, ± 2, K   ) = r  e

Jika r  = 1 , maka bentuk pangkat di atas menjadi  z

Rumus Moivre

(e

n

= ( e 

i θ  n   i n θ  , atau ) =e

i θ  n   i n θ   ) = e , n = 0, ± 1, ± 2, K . Selanjutnya dapat ditulis dalam bentuk 

(cosθ  + i sin θ )  n =  cos nθ  + i sin nθ   yang disebut  Rumus Moivre .

1.6.  Bentuk akar

Bentuk Akar 1 Misalkan  z  = r  cisθ  , akar pangkat n  dari bilangan kompleks  z   ditulis z  n   atau n z .

Jika diberikan bilangan kompleks  z

≠ 0   dan n  bilangan bulat

1  positif, maka diperoleh n bu  buah ah akar untuk  z n  yaitu

 z

  θ  + 2k π  ⎤ ⎡ θ  + 2  k π  = n r  ⎢cos + i sin   , (n − 1) . ⎥⎦ , k  = 0,  1, 2 , K k  n n ⎣

Secara geometri, n  buah akar tersebut merupakan titik-titik sudut segi n  beraturan pada suatu lingkaran lingkaran dengan pusat titik titik O dan jari-jari n r  .

Ringkasan

Bilangan kompleks  z =  x + iy  mempunyai bentuk kutub  z  = r  cisθ  , dan bentuk eksponen  z  = r e dengan θ  = arg z .

7 

i θ 

,

 

2. Barisan Bilangan dan Deret  Kalian tentu pernah berpikir tentang nomor rumah di sisi kiri jalan yang bernomor ganjil 1, 3, 5, 7, dan seterusnya, sedangkan nomor rumah di sisi kanan jalan bernomor genap 2, 4, 6, 8, dan seterusnya. Mungkin juga kalian pernah berpikir dari mana para pakar menyatakan bahwa 10 tahun ke depan  penduduk Indonesia akan menjadi x juta jiwa. Dua contoh di atas berkaitan dengan barisan dan deret dari suatu bilangan.

2.1. 

Barisan Bilangan 

Misalkan seorang anak diberi uang saku orang tuanya setiap minggu Rp10.000,00. Jika setiap minggu uang sakunya bertambah Rp500,00 maka dapat dituliskan uang saku dari minggu ke minggu berikutnya adalah Rp10.000,00, Rp10.500,00, Rp11.000,00, Rp11.500,00, .... Susunan bilangan-bilangan yang sesuai dengan contoh di atas adalah :

Perhatikan bahwa dari bilangan-bilangan yang disusun berbentuk 10.000, 10.500, 11.000, 11.500, ... mempunyai keteraturan dari urutan pertama, kedua, ketiga, keempat, dan seterusnya, yaitu bilangan  berikutnya diperoleh dari bilangan sebelumnya ditambah 500. Bilangan-bilangan yang disusun urut dengan aturan tertentu seperti itulah dikenal dengan nama barisan bilangan. Secara matematis, barisan bilangan merupakan nilai fungsi dengan daerah definisinya adalah bilangan asli. Misalkan barisan bilangan ditulis lambang U untuk menyatakan urutan suku-sukunya maka  bilangan pertama ditulis U(1) atau U1, bilangan kedua ditulis U(2) atau U2, dan seterusnya. Jika kita  buat korespondensi, akan terlihat seperti berikut.

Jadi, bentuk umum barisan bilangan adalah U1, U2, U3, ..., Un, ... Dalam hal ini, Un = f(n) disebut rumus umum suku ke-n dari barisan bilangan. Contoh Soal Barisan Bilangan 1 : 2

Diketahui barisan bilangan dengan suku ke-n berbentuk Un = n   – 2n. Tuliskan 5 suku pertama dari  barisan tersebut. Pembahasan : 2 Rumus suku ke-n adalah Un = n  – 2n.  2

Suku pertama dapat dicari dengan menyubstitusikan n = 1 dan diperoleh U 1 = 1   – 2(1) = –1. Suku 2 kedua dicari dengan mensubstitusikan n = 2 dan diperoleh U2 = 2  – 2(2) = 0. Dengan cara yang sama, diperoleh sebagai berikut. 2

Suku ketiga = U3 = 3  – 2(3) = 3. 2 Suku keempat = U4 = 4  – 2(4) = 8. 2 Suku kelima = U5 = 5  – 2(5) = 15. Jadi, lima suku pertama dari barisan itu adalah –1, 0, 3, 8, 15.  Misalkan barisan bilangan sukuHal ke-n bilangan tersebut tetapi tidak diketahui. diberikan Dapatkah suatu kita menentukan rumus dengan suku ke-n? ini dari tidakbarisan selalu dapat ditentukan,  pada beberapa barisan kita dapat melakukannya dengan memperhatikan pola suku-suku barisan tersebut.

8 

 

2.2. 

Deret Bilangan 

Misalkan kita mempunyai barisan bilangan U1, U2, U3, ..., Un dan Sn  adalah jumlah dari suku-suku  barisan itu. Sn = Sn = U1 + U2 + U3 + ... + Un disebut deret. Jadi, deret adalah jumlahan suku-suku dari suatu barisan.

2.3. 

Barisan dan Deret Aritmatika 

2.3.1. 

Barisan Aritmatika 

Indah menyisihkan sebagaian uang yang dimilikinya untuk disimpan. Pada bulan ke-1, ia menyimpan Rp 20.000,00. Bulan berikutnya ia selalu menaikkan simpanannya Rp 500,00 lebih besar dari bulan sebelumnya. Bear simpanan (dalam rupiah) Indah dari pertama dan seterusnya dapat ditulis sebagai berikut. Bulan Ke-1

Bulan Ke-2

Bulan Ke-3

Bulan Ke-4

...

20.000

20.500

21.000

21.500

...

Jika kalian amati, selisih suku barisan ke suku berikutnya selalu tetap, yaitu 500. Barisan aritmetika adalah suatu barisan bilangan yang selisih setiap dua suku berturutan selalu merupakan bilangan tetap (konstan). Bilangan yang tetap tersebut disebut beda dan dilambangkan dengan b. Perhatikan juga barisan-barisan bilangan berikut ini. a. 1, 4, 7, 10, 13, ...  b. 2, 8, 14, 20, ... c. 30, 25, 20, 15, ... Barisan-barisan tersebut merupakan contoh dari barisan aritmatika. Mari kita tinjau satu per satu. a. Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 3. Dapat dikatakan  bahwa beda sukunya 3 atau b = 3.

 b. Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 6. Dapat dikatakan  bahwa beda sukunya 6 atau b = 6.

c. Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah –5. Dapat dikatakan  bahwa beda sukunya –5 atau b = –5. Secara umum dapat dikatakan sebagai berikut. Jika Un adalah suku ke-n dari suatu barisan aritmetika maka berlaku b = Un – Un-1.

9 

 

Rumus umum suku ke-n barisan aritmetika dengan suku pertama (U1) dilambangkan dengan a dan  beda dengan b dapat ditentukan seperti berikut. U1 = a U2 = U1 + b = a + b U3 = U2 + b = (a + b) + b = a + 2b 4 3 U U5 =  = U U4 +  + b b= = (a (a + + 2b) 3b) + +b b= = aa + + 3b 4b . . n = Un–1 + b = a + (n – 1)b

Jadi, rumus suku ke-n dari barisan aritmatika adalah : Un = a + (n – 1)b

Keterangan: Un = suku ke-n a = suku pertama  b = beda n = banyak suku

2.3.2. 

Deret Aritmatika 

Dari sembarang barisan aritmetika, misalnya 2, 5, 8, 11, 14, ... dapat dibentuk suatu deret yang merupakan penjumlahan berurut dari suku-suku barisan tersebut, yaitu 2 + 5 + 8 + 11 + .... Terlihat  bahwa barisan aritmetika dapat dibentuk menjadi deret aritmetika dengan cara menjumlahkan sukusuku barisan aritmetika sehingga dapat didefinisikan secara umum. Misalkan U1, U2, U3, ..., Un merupakan suku-suku dari suatu barisan aritmetika. U 1  + U2  + U3  + ... + Un disebut deret aritmetika, dengan :

Un = a + (n – 1)b. Seperti telah kalian ketahui, deret aritmetika adalah jumlah n suku pertama barisan aritmetika. Jumlah n suku pertama dari suatu barisan bilangan dinotasikan Sn. Dengan demikian, Sn = U1 + U2 + U3 + ... + Un. Untuk memahami langkah-langkah menentukan rumus Sn, perhatikan contoh berikut. Contoh Soal Deret Aritmatika 6 : Diketahui suatu barisan aritmetika 2, 5, 8, 11, 14. Tentukan jumlah kelima suku barisan tersebut. Pembahasan : Jumlah kelima suku 2, 5, 8, 11, 14 dapat dituliskan sebagai berikut. S5 = S5 = 2S5 = 2S5 = S5 =

2 + 5 + 8 + 11 + 14 14 + 11 + 8 + 5 + 2 16 + 16 + 16 + 16 + 16 5 x 16 52 x 16

+

= 40

Jadi, jumlah kelima suku barisan tersebut adalah 40.

10 

 

Setelah kalian amati contoh di atas, kita dapat menentukan rumus umum untuk Sn sebagai berikut. Diketahui rumus umum suku ke-n dari barisan aritmetika adalah Un = a + (n – 1)b.

Oleh karena itu, U1 = a U2 = a + U3 = a + .

b 2b .

=a = Un – (n – 2)b = Un – (n – 3)b .

. . Un =

. . (n – 1)b

. . = Un 

a

+

Dengan demikian, diperoleh : Sn = a + (a + b) + (a + 2b) + ... + (a + (n – 1)b) = a + (Un – (n – 2) b) + (U n – (n – 3) b) + ... + Un............ (1) Dapat pula dinyatakan bahwa besar setiap suku adalah b kurang dari suku berikutnya. Un–1 = Un – b Un–2 = Un–1 – b = Un – 2b Un–3 = Un–2 – b = Un – 3b Demikian seterusnya sehingga Sn dapat dituliskan Sn = a + (Un – (n – 1)b) + … + (U n – 2b) + (Un – b) + Un ...... (2) Dari persamaan 1 dan dan 2 jika kita jumlahkan, diperoleh :

Dengan demikian, 2Sn = n(a + Un) ↔ Sn

= ½ n(a + Un) ↔ Sn = ½ n(a + (a + (n – 1)b)) ↔ Sn = ½ n(2a + (n – 1)b) Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama p ertama deret aritmetika adalah :

Sn = ½ n(a + U n) atau Sn = ½ n [2a + (n – 1)b]   Keterangan: Sn= jumlah n suku pertama a = suku pertama  b = beda Un = suku ke-n n = banyak suku

2.4.  2.4.1. 

Barisan dan Deret Geometri  Barisan Geometri 

Coba 2kalian barisan 1, 2, Barisan 4, 8, 16,ini32,termasuk .... Terlihat, sukugeometri. berikutnya diperoleh mengalikan pada amati suku sebelumnya. barisan Jadi, secara dengan umum,  barisan geometri adalah suatu barisan bilangan yang setiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya

11 

 

dikalikan dengan suatu bilangan tetap (konstan). Bilangan yang tetap tersebut dinamakan rasio (pembanding) dan dinotasikan dengan r. Perhatikan contoh barisan-barisan berikut. a. 3, 6, 12, 24, ...  b. 2, 1, ½, 1/4, ... c. 2, –4, 8, –16, ... Barisan di atas merupakan contoh barisan geometri. Untuk barisan di atas berturut-turut dapat dihitung rasionya sebagai berikut. a.

= ..... = 2. Jadi, r = 2.

 b.

= .... Jadi, r = ½

c.

= –2. Jadi, r = –2.

Dengan demikian, dapat disimpulkan jika U1, U2, ... Un barisan geometri dengan Un adalah rumus ke-n,  berlaku :

Rumus umum suku ke-n barisan geometri dengan suku pertama (U1) dinyatakan a dan rasio r, dapat diturunkan sebagai berikut. U1 =

a

U2 = U3 = U4 = . . . Un =

U1 × r = ar 2 U2 × r = ar    3 U3 × r = ar    . . . n–2 n–1 Un–1 × r = ar   × r = ar    2

n–1

Dengan demikian, diperoleh barisan geometri a, ar, ar  , ..., ar  , ... Jadi, rumus umum suku ke-n (Un) barisan geometri adalah :

Un = a.r

n–1

 

Keterangan: ar == rasio suku pertama n = banyak suku

2.4.2. 

Deret Geometri 

Jika U1, U2, U3, ... Un merupakan barisan geometri maka U1  + U2  + U3 + ... + Un adalah deret n–1 geometri dengan Un  = ar  . Rumus umum untuk menentukan jumlah n suku pertama dari deret geometri dapat diturunkan sebagai berikut. Misalkan Sn notasi dari jumlah n suku pertama. Sn = U1 + U2 + ... + Un  n–2 n–1 Sn = a + ar + ... + ar   + ar   .............................................. (1) Jika kedua ruas dikalikan r, diperoleh : 2

3

n–1

n

rSn = ar + ar   + ar   + ... + ar   + ar   ................................... (2) Dari selisih persamaan (1) dan (2), diperoleh :

12 

 

2

3

n–1

n

rSn = ar + ar   + ar   + ... + ar   + ar    Sn = a+ ar + ar 2 + ar 3 + ... + ar n–1  n rSn - Sn = –a + ar    n ↔ (r–1)Sn =a(r  -1)

-

↔ Sn =

Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama dari deret geometri adalah sebagai berikut.

Sn =

, untuk r > 1

Dan Sn =

, untuk r < 1

Keterangan: Sn = jumlah n suku pertama a = suku pertama r = rasio n = banyak suku

3. Notasi Sigma  Salah satu ciri matematika adalah digunakannya lambang untuk mengungkapkan suatu pernyataan secara singkat, jelas, dan konsisten yang jika diungkapkan dengan kalimat biasa cukup panjang. Salah satu lambang yang penting adalah ” Σ  ” (dibaca: sigma). Lambang ini digunakan untuk menuliskan  penjumlahan secara singkat.

3.1. 

Pengertian Notasi Sigma 

Perhatikan penjumlahan bilangan-bilangan di bawah ini. 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 50 Jika semua suku-sukunya ditulis, cara penulisan penjumlahan tersebut jelas tidak efektif. Apalagi jika  banyak bilangan yang dijumlahkan makin besar. Dengan menggunakan notasi sigma, penulisan 1 + 2 +

3 + 4 + ... + 50 dipersingkat menjadi k (dibaca: sigma k mulai dari k = 1 sampai dengan k = 50). Atau, boleh dibaca sigma k, untuk k = 1 hingga 50. Huruf k digunakan sebagai variabel suku yang akan bergerak mulai 1 dan bertambah 1 sampai mencapai 50. Bilangan 1 disebut batas bawah dan 50 disebut batas atas penjumlahan. Secara umum, notasi sigma dinyatakan sebagai berikut.

Uk  = U1 + U2 + ... + Un  Keterangan: 1 = batas bawah n = batas atas k = indeks Uk  = suku ke-k Batas bawah tidak harus bernilai 1. Jika batas bawah penjumlahan 1 dan batas atasnya n maka  penjumlahan terdiri atas n suku, sedangkan jika batas bawahnya r dan batas atasnya n maka  penjumlahan terdiri dari (n – r + 1) suku. Contoh Soal Notasi Sigma 22 :

 Nyatakan dalam bentuk penjumlahan

k(k + 1).

13 

 

Pembahasan :

k(k + 1) = 1(1 + 1) + 2(2 + 1) + 3(3 + 1) + 4(4 + 1) 1 ) + 5(5 + 1) =1×2+2×3+3×4+4×5+5×6 = 2 + 6 + 12 + 20 + 30

3.2.  Menentukan Nilai Penjumlahan yang Dinyatakan dengan Notasi Sigma   Nilai penjumlahan yang dinyatakan dengan notasi sigma dapat dicari, antara lain dengan terlebih dahulu menyatakan ke dalam bentuk lengkapnya, kemudian dijumlahkan. Perhatikan contoh-contoh  berikut ini. Contoh Soal : Tentukan nilai-nilai notasi sigma berikut.

Jawaban :

2

2

2

2

= 2(3 ) + 2(4 ) + 2(5 ) + 2(6 ) = 18 + 32 + 50 + 72 = 172

3.3. 

Sifat-Sifat Notasi Sigma 

Untuk mempermudah perhitungan yang berhubungan dengan notasi sigma, dapat digunakan sifatsifat yang berlaku pada notasi sigma. Sifat apakah yang berlaku pada notasi sigma? Lakukan Aktivitas  berikut.

Bukti: Pada kali ini, akan dibuktikan sifat b dan e saja. Sifat b: Sifat e:

14 

 

4. DERET KOMPLEKS  Seperti halnya dalam bilangan riil, dalam bilangan kompleks juga dikenal istilah istilah barisan dan deret kompleks serta sifat-sifat kekonvergenannya. Hal penting dalam bab ini yaitu setiap fungsi analitik dapat disajikan dalam deret pangkat (deret Taylor, deret MacLaurin atau deret Laurent). Sebelumnya, perlu pengertian barisan dan deret bilangan kompleks, deret pangkat, dan jari-jari kekonvergenanan.  

Definisi barisan dan deret pangkat beserta sifat kekonvergenannya.

 

Fungsi analitik dalam deret Taylor, deret MacLaurin atau deret Laurent.

4.1. 

Barisan dan Deret Bilangan Kompleks

4.1.1. 

Barisan Bilangan Kompleks Barisan bilangan kompleks :

Definisi Barisan Bilangan Kompleks

•  merupakan fungsi yang memetakan setiap bilangan bulat positif n  dengan suatu bilangan kompleks.  Notasi barisan bilangan bilangan kompleks :

 z n  atau { z n } = { z1 , z  2  , z 3 , K, z n }, n ≥1 .

Kekonvergenan •  Barisan

Barisan  z n  konvergen jika ada  z ∈ C  sehingga lim z n n→∞

=  z .

•  Jika ∀ ε  > 0 , ∃ n0  ∈ N   sehingga  z n − z < ε   untuk n ≥ n0 .

Seperti halnya dalam barisan bilangan riil, pada bilangan kompleks berlaku beberapa teorema berikut.

Teorema 5.1

=  x n + i y n   dengan  xn ∈ ℜ dan  y n ∈ ℜ , maka  z n   konvergen ke  z =  a + i b  jika dan hanya jika  xn  konvergen ke a   Jika  z n

dan  y n  konvergen ke b .

Teorema 5.2

□ 

Jika  z n  dan wn  berturut-turut konvergen ke  z  dan w , dan c   konstanta kompleks, maka 1.   z n  +   wn  konvergen ke  z + w . 2.  c z n  konvergen ke c z . 3.   z n wn  konvergen ke  z w . 4. 

1  z n

  konvergen ke

 z

  asalkan  z n

≠ 0   dan  z ≠ 0   untuk

□ 

setiap n .

4.1.2. 

1

Deret Bilangan Kompleks ∞

Diberikan deret bilangan kompleks

∑ z n  dengan suku-suku deret yaitu  z1 , z 2 , z3 ,K.

n =1

S 1  =  z1  

merupakan jumlah suku pertama

S 2 =  z 1 + z 2  

merupakan jumlah dua suku pertama

S 3 =  z1  +   z 2 + z3  

merupakan jumlah tiga suku pertama

M 

S n =  z1 +  z    2 + K + z n  

merupakan jumlah n  suku pertama

15 

Misalkan,

 

∞

Bilangan S  menyatakan jumlah deret di atas apabila lim S n n →∞

= S . Jadi deret

∑ zn  konvergen ke S 

n =1

∞

 jika dan hanya jika lim S n n →∞

= S , dan ditulis

∑ zn   = S .

n =1

∞

Teorema 5.3

∑ zn   dengan  z n =  x n + i y n ,  xn dan

Diberikan deret bilangan kompleks

n =1

 y n  bilangan riil, maka berlaku sifat-sifat berikut : ∞

∑ z n  konvergen

1. 

n =1

∞

⇔   ∑ xn  dan n =1

∞

∑ yn  konvergen.

n =1

∞

∑ z n  konvergen

2. 

n =1

⇒   lim   z n = 0 . n →∞

∞

∑ z n  

3. 

konvergen

⇒ 

terdapat

bilangan

riil

 M  sehingga

n =1

 z n ≤ M    , ∀n∈ N . ∞

∞

n =1

n =1

∑  z n  konvergen ⇒   ∑ zn  konvergen .

4. 

∞

Seperti dalam deret bilangan riil, kekonvergenan deret

∑ z n  dapat diuji dengan beberapa uji kekonvergenan n =1

 berikut. ∞ 1.   z n  konvergen n =1

∑

⇒   lim z    n = 0 . n→ ∞

∞

lim z    n ≠ 0   ⇒  

n→∞

∑ z n  divergen.

n =1

∞

∞

2. 

∑  z

n

⇒   ∑ z n  konvergen mutlak.

 konvergen

n =1

n =1

∞

∑ zn  konvergen dan ∑  z

n

 divergen

n =1

n =1

∞

3. 

∞

∞

∑ z n  konvergen mutlak

n =1

4.  Uji Banding

n =1

∞

⇒   ∑ z n  konvergen. n =1

∞

∞

∑b

 z n  ≤   bn   dan

n

 konvergen

n =1

∑a n =1

⇒   ∑ z n  konvergen. n =1

∞

a n  ≤  z n   dan

⇒   ∑ z n  konvergen bersyarat.

∞

n

 divergen

⇒   ∑ z n  divergen. n =1

5.  Ratio Test ∞ ⎧ 1 ,  L  z n konvergen mutlak  < ∑ ⎪ n =1 ⎪ ∞   = L   ⇒   ⎪ ⎨  L > 1, ∑ z n divergen n =1 ⎪ ⎪  L = 1, uji gagal ⎪⎩

 z n +1

lim ←∞  z n

n

6.  Root Test

lim ←∞ n

n

 z n

∞ ⎧  L  z n konvergen mutlak  < 1 , ∑ ⎪ n =1 ⎪ ∞   = L   ⇒   ⎪⎨  L > 1, ∑  z n divergen n =1 ⎪ ⎪  L = 1, uji gagal ⎪⎩

16 

 

7.  Deret Geometri ∞

Bentuk umum :

∑q

n

= 1 + q  + q 2 + L  

n =1

Jika q

< 1   maka deret konvergen.

Jika q

≥ 1  maka deret divergen.

8.  Deret p ∞

Bentuk umum :

1

∑n n =1

 p

1

= 1+

+

 p

2

Jika  p

< 1   maka deret deret konvergen. konvergen.

Jika  p

≤ 1  maka deret divergen.

4.2. 

1 3 p

+ L 

Deret Pangkat Deret pangkat dalam  z − z 0  berbentuk :

Bentuk Deret Pangkat

∞

∑ a ( z − z  

n

0

) n = a0 + a1 ( z − z 0 ) + a 2 ( z − z 0 ) 2 + L  

n =0

dengan  z   bilangan kompleks,  z 0   bilangan kompleks sebarang yang disebut pusat deret, a 0 , a 1 , a 2 , L   konstanta kompleks yang disebut koefisien deret. Apabila  z 0   = 0  diperoleh bentuk khusus dari suatu deret pangkat dalam  z  yaitu ∞ 2

  n

∑ a  z n

n =0

= a + a  z + a  z + L   0

1

2

∞

Untuk setiap deret pangkat

∑a

n

( z  − z 0 ) n  terdapat bilangan tunggal  ρ   dengan 0 ≤  ρ  ≤ ∞  yang dinamakan

n =0

 jari-jari kekonvergenan deret. deret. Sedangkan  z − z 0

Teorema 5.4

=  ρ   disebut lingkaran kekonvergenan deret. ∞

Misal diberikan deret pangkat

∑a

n

( z  − z 0 ) n . Jika lim

n =0

dengan 0 ≤  ρ  ≤

Teorema 5.5

n →∞

∞  maka  ρ   adalah jari-jari kekonvergenan.

an a n +1

=  ρ    ,

□ 

∞

Misal diberikan deret pangkat

∑a

n

( z  − z 0 ) n .

n=0

Jika lim

1

=  ρ    , dengan 0 ≤  ρ  ≤ ∞   maka  ρ    adalah jari-jari

1

n→∞

an

n

kekonvergenan. □ 

Sifat jari-jari kekonvergenan deret pangkat. 1.  Jika  ρ  = 0  maka deret konvergen hanya di  z  =  z 0  (pusat deret). 2.  Jika 0 <  ρ  < ∞  maka deret konvergen mutlak (atau konvergen ) untuk setiap  z  dengan  z − z 0 <  ρ    dan deret divergen untuk setiap  z  dengan  z − z 0 >  ρ  . 3.  Jika  ρ  = ∞  maka deret konvergen mutlak (atau konvergen ) untuk setiap  z  dengan  z − z 0 < ∞ .

4.3. 

Deret Taylor dan MacLaurin

Suatu fungsi  f ( z )   tidak dapat direpresentasikan dalam dua deret pangkat dengan pusat deret yang sama. Apabila  f ( z )  dapat dinyatakan dalam deret pangkat dengan pusat  z 0 , maka deret tersebut tunggal. Setiap fungsi analitik dapat disajikan dalam deret pangkat. Apabila  f ( z )   analitik di dalam

17 

 

lingkaran C   maka  f ( z )   dapat disajikan dalam deret Taylor atau deret MacLaurin bergantung pada  pusat deretnya. C  

 f ( z )  analitik di dalam C  

r 0   • z 0  

Gambar 5.1  Lingkaran C  dengan pusat deret  z 0  

Deret Taylor  

Jika  f ( z )   analitik di dalam lingkaran C   yang berpusat di  z 0   dan  berjari-jari r 0   ( lihat Gambar 5.1 ), maka untuk setiap titik  z   di dalam C  berlaku ∞  f ( n) ( z ) 0

 

∑

 f ( z ) =  f ( z 0 ) +   ( z − z 0 )n . (5.1) n ! n =1 Persamaaan (5.1) disebut deret Taylor dari  f ( z )  di sekitar titik  z 0 .

Jika pada persamaan (5.1),  z 0   = 0  maka untuk setiap titik  z  di dalam

Deret MacLaurin

C  berlaku  f ( z ) =  f (0) +

∞  f  ( n) (0)

∑

 z n .

(5.2)

n! Persamaan (5.2) disebut deret MacLaurin dari  f ( z ) .  n =1

Beberapa contoh deret MacLaurin.  z

1. e

 z 2

= 1 + z +  

2. sin z = z −

3. cos z = 1 − 4.

2!

 z 3

+

 

3!  z 2

 

2!

+

+

 z 3

3!

 z 5

5!  z 4

4!

∞

+L = ∑

 z n

n =0

n!

∞

− L=

∑ (−1)

n

n =0

∞

− L=

∑ (−1) n n =0

1, kita gunakan rumus : Sn =

↔ 363

=

↔ 726

=3

n+1

↔ 3

n+1

↔ 3

n+1

 – 3

 = 729  = 36

Dengan demikian, diperoleh n + 1 = 6 atau n = 5. Jadi, banyak suku dari deret tersebut adalah 5. 5 . 

30 

 

Daftar Pustaka http://perpustakaancyb http://perpustakaancyber.blogspot.com/2013/ er.blogspot.com/2013/05/contoh-soal-barisan-dan-deret05/contoh-soal-barisan-dan-deret pengertian-rumus.html    pengertian-rumus.html http://bambanghgmathunsoed.files.wordpress.com  http://bambanghgmathunsoed.files.wordpress.com  http://mariefh.lecture.ub.ac.id/files/2010/10/bila ngan-kompleks.ppt   http://mariefh.lecture.ub.ac.id/files/2010/10/bilangan-kompleks.ppt http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_kompleks

31