kalkulus 3

DIKTAT KULIAH KALKULUS PEUBAH BANYAK (IE-308) BAB 2

RUANG 3 DIMENSI

Diktat ini digunakan bagi mahasiswa Jurusan Teknik Industri Fakultas Teknik Universitas Kristen Maranatha

Ir. Rudy Wawolumaja M.Sc

JURUSAN TEKNIK INDUSTRI - FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS KRISTEN MARANATHA BANDUNG 2012

Diktat ini disusun berdasarkan “Calculus III” oleh Paul Dawkins, Lamar University dengan penyesuaian berupa penerjemahan, pengurangan dan penambahan dari sumber-sumber lainnya.

Rudy Wawolumaja

Multivariable Calculus

UK Maranatha 2012

BAB 2. RUANG 3 DIMENSI. 2.1 Sistem koordinat 3-Dimensi Kita akan membahas sistem koordinat dalam 3 dimensi, yang kita nyatakan dengan , dan notasi untuk sistem koordinat 2 dimensi kita nyatakan sebagai , sistem koordinat dalam 1 dimensi dinyatakan sebagai dan secara umum sistem koordinat dalam n dimensi dinyatakan dalam . Secara intuitisi kita dapat menggambarkan sistem koordinat sampai 3 dimensi, lebih dari itu agak sulit untuk menggambarkannya. Kita akan memulai dengan sistem koordinat dasar yang disebut sistem koordinat Cartesian.

Gambar 2.1. Koordinat Cartesian Pertama digambarkan garis sumbu x, garis sumbu y dan garis sumbu z. Perpotongan antara garis sumbu x,y dan z kita sebut sebagai titik (0,0,0), titik Original atau titik 0 yang merupakan titik referensi. Banyak rumus / formula di dapat diperluas ke . Contohnya jarak antara 2 titik di yang dinyatakan sebagai:

Dalam

jarak antara 2 titik dinyatakan sebagai:

Contoh lain, persamaan suatu lingkaran dengan titik pusat dinyatakan sebagai,

Dan persamaan sebuah bola dengan titik pusat / center dinyatakan sebagai, Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha KALKULUS PEUBAH BANYAK

dan radius/jari-jari r

and jari2/radius r

Halaman 8

Rudy Wawolumaja

Multivariable Calculus

Contoh perbandingan bekerja dalam

,

dan

UK Maranatha 2012

.

Contoh 2.1.1. Gambarkan dalam , dan . Solution Dalam kita memiliki sistem koordinat tunggal, sehingga sistem koordinat 1-D.

adalah sebuah titik di

Gambar 2.2. Titik x=3 dalam ℝ Dalam persamaan berarti menggambarkan seluruh titik dalam bentuk Ini akan menghasilkan garis vertical dalam sistem koordinat 2-D .

..

Gambar 2.3. Garis x =3 dalam ℝ2 Dalam persamaan berarti mengambarkan seluruh titik dalam bentuk . . Ini akan menghasilkan suatu bidang yang sejajar dengan bidang yz, hanya kita mempunyai nilai .

Gambar 2.4. Bidang x=3 dalam ℝ3

Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha KALKULUS PEUBAH BANYAK

Halaman 9

Rudy Wawolumaja

Multivariable Calculus

UK Maranatha 2012

Contoh 2.1.2. Gambarkan dalam dan . Solusi Dalam hal ini dilewat, karena kita bekerja dgn 2 variable artinya lebih 1-D tidak mungkin. Dalam

ini adalah sebuah garis dengan kemiringan/ slope 2 dan memotong y di -3.

Gambar 2.5. Persamaan

di

.

Namun dalam , karena kita tidak menspesifikasikan nilai z, maka berarti untuk setiap nilai z kita meng-copy/menggandakan garis tersebut. Sehingga gambarnya akan berbentuk suatu bidang yang memotong bidang xy menghasilkan garis

Gambar 2.6. Persamaan Contoh 2.1.3. Gambarkan Solution Dalam

dalam

.

dalam dan

.

.

kita mendapatkan sebuah lingkaran dengan titik pusat di (0,0) dengan radius 2.

Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha KALKULUS PEUBAH BANYAK

Halaman 10

Rudy Wawolumaja

Multivariable Calculus

UK Maranatha 2012

Dalam untuk setiap nilai z kita mendapatkan lingkaran seperti diatas pada bidang sejajar xy. Berikut gambar yang kita dapat.

Gambar 2.7.

dalam

dan

.

2.2. Persamaan garis Dalam bagian ini kita akan meninjau bagaimana merepresentasikan suatu garis lurus atau lengkungan dalam . Dalam kalukulus Dasar kita ketahui bahwa dalam untuk garis lurus di representasi oleh persamaan , namun persamaan yang sama dalam , akan berarti sebuah bidang. Ada dua cara untuk menyatakan suatu garis , yaitu dengan persamaan / equation seperti yang telah kita kenal dalam Kalkulus Dasar, dan cara lain dalam bentuk persamaan vektor atau dengan parametirasi (parameterization) yang akan kita pelajari dalam bagian ini. Untuk itu kita akan menggunakan konsep vektor dan fungsi vektor. Apakah fungsi vektor ? Bagaimana fungsi vektor dapat digunakan untuk menyatakan suatu kurva (lengkungan)? Perhatikan contoh berikut ini. Misalkan kita mempunyai suatu fungsi vektor sbb. : Suatu fungsi vector adalah sebuah fungsi yang mempunyai satu atau lebih variabel, dalam contoh kita diatas 1 variabel, dan menghasilkan vektor. Vektor yang dihasilkan fungsi dapat berupa sebuah vektor dalam berbagai dimensi yang didefinisikan, dalam contoh kita kita mendapatkan vektor dalam . Kita akan mulai dari fungsi vektor dalam dan setelah kita mulai terbiasa kita akan membahas dalam . Kita akan menggambarkan fungsi vektor diatas ( ). , kita akan menamakan fungsi vektor diatas sebagai fungsi yang menghasilkan vektor posisi. Suatu vektor posisi, sebutlah

, adalah suatu vektor yang berawal dititik awal /

origin (0,0) dan berakhir di titik . Jadi, untuk mendapatkan gambar dari vektor posisi, kita masukkan nilai dari variabel t dan menggambarkan vektor posisi yang didapat. Dalam hal contoh diatas kita mendapatkan : Jadi , untuk tiap vektor posisi kita mendapatkan titik-titik pada garis. Titik-titik tersebut,

Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha KALKULUS PEUBAH BANYAK

Halaman 11

Rudy Wawolumaja

Multivariable Calculus

UK Maranatha 2012

Kita menggambarkannya sbb.:

Gambar 2.8. Contoh lain,

.

Gambar 2.9. Dalam contoh diatas kita mendapatkan gambar sebuah elips. Dengan kata lain titik ujung dari vektor2 posisi kita menghasilkan lengkungan ellips. Untuk menuliskan persamaan suatu garis dalam dan seperti yang kita bahas diatas kita membutuhkan suatu fungsi vektor untuk mengerjakannya. Misal untuk suatu garis, dan terdapat suatu titik digaris tersebut, yaitu , dan tersebut. Kita nyatakan

adalah suatu vektor yang sejajar/ parallel dengan garis adalah setiap titik yang ada digaris tersebut.

Kita terjemahkan kedalam vektor posisi, yaitu masing2 P0 dan P . Dan kita definisikan bahwa

and

suatu vektor sama dengan

Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha KALKULUS PEUBAH BANYAK

yang adalah vektor posisi untuk . Halaman 12

Rudy Wawolumaja

Multivariable Calculus

UK Maranatha 2012

Kita mendapatkan gambar sbb.:

Gambar 2.10. Garis dalam bentuk vektor 𝑟 = 𝑟0 + 𝑎 Kita dapat menuliskan sebagai: 𝑟 = 𝑟0 + 𝑎 Kita lihat bahwa vektor and adalah sejajar / parallel. Dan ada suatu besaran atau parameter, t, sedemikian sehingga Sehingga kita mendapatkan, Formulasi diatas disebut sebagai bentuk vektor dari persamaan garis. Besaran yang tidak diketahui disini adalah t. Bila t positive maka garis akan melintas kearah kanan gambar kita dan bila t negative lintasan kearah sebaliknya (kearah kiri dalam gambar kita). Untuk setiap nilai t yang bervariasi kita akan mendapatkan suatu garis. The following sketch shows this dependence on t of our sketch.

Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha KALKULUS PEUBAH BANYAK

Halaman 13

Rudy Wawolumaja

Multivariable Calculus

UK Maranatha 2012

Gambar 2.11. Garis dalam bentuk vektor Kita dapat merepresentasikan persamaan garis kedalam beberapa bentuk alternatif persamaan.

Kita menulis ulang persamaan untuk masing2 komponen vektor, sbb.:

Persamaan2 diatas disebut sebagai bentuk parametric dari persamaan garis. 𝑥− 𝑥 𝑦− 𝑦 𝑧− 𝑧 Bila a, b, dan c bukan nol, maka 𝑡 = 𝑎 0 , 𝑡 = 𝑏 0 dan 𝑡 = 𝑐 0 Sehingga kita mendapatkan :

Bentuk ini disebut persamaan simetrik suatu garis . Bila salah satu dari a, b, or c bernilai nol (0) kita masih dapat menuliskan persamaan simetrik. Contoh, misal . Dalam hal ini t berpengaruh pada persamaan parametrik untuk y, sehingga kita memcahkan persamaan parametrik untuk t hanya pada x dan z . Sehingga persamaan kita berbentuk,

Contoh 2.2.1. Tuliskan persamaan garis lurus yang melewati titik-titik . Tuliskan dalam tiga bentuk persamaan. Penyelesaian: Kita menentukan vektor arah / vektor yang paralel terhadap garis yaitu vector

Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha KALKULUS PEUBAH BANYAK

dan

.

Halaman 14

Rudy Wawolumaja

Multivariable Calculus

UK Maranatha 2012

adalah vektor yang mempunyai titik awal dititik akhir

dan titik awal di titik kedua

, (boleh dibalik) sehingga kita mendapatkan, Kita mendapatkan bentuk persamaan vektor garis sbb: Dan bentuk parametrik persamaan garis sbb.:

Bentuk persamaan simetrik sbb.: Contoh 2.2.2. Tentukan apakah garis yang melewati titik dinyatakan oleh , tentukan koordinat titik tembus tsb. Penyelesaian: Vektor arah garis tersebut adalah:

dan

dan sejajar garisyang

menembus bidang- xz. Bila ya

Sehingga persamaan garis yang dimaksud adalah: Bila garis ini menembus bidang-xz berarti koordinat- y pada titik tersebut harus = nol/zero. Jadi, kita pecahkan persamaan untuk komponen y dari persamaan = 0 dan kita lihat apakah kita bisa mendapatkan nilai t untuk solusi persamaan diatas. Bila kita mendapat nilai t berarti garis tersebut menembus bidang- xz bila tidak maka garis tersebut tidak menembus bidang xz.

Jadi, garis tersebut menembus bidang-xz. Dan untuk mendapat koordinat titik tembus, kita memasukkan nilai parameter kedalam persamaan. Kita gunakan bentuk vector, Bentuk diatas adalah sebuah vector posisi, sehingga koordinat dari titik tembus bidang-xz yang dicari adalah titik akhir vektor posisi, yaitu :

.

2.3. Persamaan Bidang Datar Pada bagian ini kita akan mempelajari bagaimana merepresentasikan bidang datar dalam persamaan. Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha KALKULUS PEUBAH BANYAK

Halaman 15

Rudy Wawolumaja

Multivariable Calculus

UK Maranatha 2012

Misalkan kita mempunyai suatu titik, yang berada dalam suatu bidang datar . Kita misalkan juga kita mempunyai suatu vektor yang tegak lurus /orthogonal (perpendicular) terhadap bidang datar tadi, yaitu,

. Vektor ini disebut vektor normal. Misal

adalah titik sembarang yang ada dibidang datar. Kita tetapkan vektor-vektor dan adalah vektor posisi dari titik P0 dan P . Gambar dari vektor-vektor diatas adalah sbb.:

Gambar 2.12. Pernyataan bidang datar dalam bentuk vektor Dalam gambar diatas kita mendapatkan vektor berada dalam bidang. Dalam gambar tersebut kita mempunyai vektor normal pada bidang, dan karena tegak lurus / orthogonal pada bidang, berarti vektor normal tegak lurus pada setiap vector yang terletak dibidang tersebut, kita dapat menyatakan orthogonal dengan Product) untuk 2 vektor yang orthogonal adalah = 0.

. Kita tahu perkalian titik (Dot

Persamaan diatas adalah persamaan vektor suatu bidang. Bentuk lain persamaan yang dihasilkan dari persamaan diatas adalah:

Dari hasil dot product didapatkan bentuk, Persamaan diatas disebut persamaan scalar suatu bidang. Sering ditulis sebagai, Dimana . Dari persamaan scalar bidang, dengan cepat kita dapat menentukan vektor normal dari bidang tersebut, yaitu : Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha KALKULUS PEUBAH BANYAK

Halaman 16

Rudy Wawolumaja

Multivariable Calculus

UK Maranatha 2012

Contoh 2.3.1. Tentukan persamaan bidang datar yang memiliki titik

,

dan

. Solusi Kita dapat menetapkan 2 vektor dari titik yang ada pada bidang, yaitu: Kedua vektor ini terletak dalam bidang dimaksud dan cross product dari kedua vektor tersebut akan menghasilkan normal vektor yang tegak lurus dengan kedua vector diatas.

Persamaan bidang datar adalah,

Kita dapat menggunakan titik selain titik P seperti Q & R dalam menentukan (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0) dan akan menghasilkan persamaan bidang datar yang sama (silahkan dicoba).

Contoh 2.3.2. Tetapkan apakah bidang datar dan garis tegak lurus/orthogonal, parallel atau bukan keduanya satu sama lain. Solusi Kita dapatkan vektor normal bidang datar adalah:

. Kita dapatkan vektor arah

dari garis yang dimaksud adalah: . Apabila kedua vektor, dan adalah parallel/sejajar satu sama lain, maka garis dan bidang datar tersebut akan tegak lurus/orthogonal. Mari kita uji,

Jadi, kedua vektor tersebut tidak parallel, jadi bidang dan garis tsb tidak orthogonal. Sekarang kita menguji jika bidang dan garis adalah sejajar satu sama lain. Jika garis dan bidang sejajar, maka setiap vektor yang sejajar dengan garis tsb akan orthogonal dengan normal vektor dari bidang yang dimaksud. Jadi jika dan orthogonal maka garis dan bidang akan sejajar. Mari kita uji dengan:

Jadi kedua vektor tersebut tidak saling tegaklurus atau orthogonal, jadi garis dan bidang tidak sejajar/parallel. Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha KALKULUS PEUBAH BANYAK

Halaman 17

Rudy Wawolumaja

Multivariable Calculus

UK Maranatha 2012

Jadi, garis dan bidang tidak orthogonal ataupun tidak sejajar.

Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha KALKULUS PEUBAH BANYAK

Halaman 18

Rudy Wawolumaja

Multivariable Calculus

UK Maranatha 2012

2.4. Permukaan Quadric Pada bagian ini kita akan membahas permukaan quadric. Permukaan quadric adalah grafik dari persamaan-persamaan yang mempunyai bentuk umum sbb.: dimana A, … , J adalah konstanta/constants. Berikut ini beberapa persamaan standard yang membentuk permukaan quadric yang perlu kita kenal dengan baik, yaitu: Ellipsoid Persamaan umum dari ellipsoid.

Gambar 2.13. Permukaan ellipsoid Bila maka kita akan mendapatkan permukaan bola/sphere. Disini persamaan ellipsoid berpusat dititik O (0,0,0) , bisa di (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ) dengan melakukan (𝑥−𝑥 )2

(𝑦 −𝑦 0) 2

(𝑧−𝑧 )2

proses translasi sederhana. Persamaan menjadi : 𝑎 20 + 𝑏 2 + 𝑐 20 = 1 Untuk memudahkan pembahasan selanjutnya maka kita memakai titik pusat di (0,0,0). Kerucut/Cone Berikut ini persamaan suatu kerucut/cone.

Gambar 2.14 Permukaan kerucut/cone. Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha KALKULUS PEUBAH BANYAK

Halaman 19

Rudy Wawolumaja

Multivariable Calculus

UK Maranatha 2012

Perhatikan persamaan cone diatas mempunyai mulut terbuka sepanjang sumbu-z. Untuk suatu kerucut yang memiliki mulut terbuka sepanjang sumbu-x mempunyai persamaan sbb,

Silender/Cylinder Berikut ini persamaan umum sebuah silinder.

Dalam hal ini penampang irisan/cross section berbentuk sebuah ellipse. Jika kita akan mendapatkan sebuah silender dengan irisan berbentuk lingkaran. Persamaan silinder dengan irisan lingkaran dengan mulut membuka sepanjang sumbu z adalah:

Gambar 2.15. Permukaan bentuk silender dengan irisan sebuah ellipse. Silinder diatas akan mempunyai pusat sepanjang sumbu yang tidak muncul dalam persamaan, dalam hal ini sumbu-z. Perlu diperhatikan untuk tidak bingung dengan bentuk lingkaran atau ellips. Dalam 2 dimensi kita dengan persamaan yang sama kita memperoleh suatu ellips atau lingkaran, tetapi dalam 3 dimensi kita mendapatkan sebuah silender. Hyperboloid of One Sheet Berikut ini persamaan hyperboloid of one sheet.

Gambar sketsa adalah sbb.

Gambar 2.16. Hyperboloid of one sheet Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha KALKULUS PEUBAH BANYAK

Halaman 20

Rudy Wawolumaja

Multivariable Calculus

UK Maranatha 2012

Variabel dengan tanda negative didepannya akan memberikan sumbu mana grafik tsb berpusat, untuk bentuk diatas variable z dan sumbu-z. Hyperboloid of Two Sheets Berikut ini persamaan hyperboloid of two sheets.

Gambar 2.17. Hyperboloid of two sheets. Variabel dengan tanda positif didepannya akan menentukan sumbu mana grafik diatas berpusat, dalam bentuk diatas sumbu-z.

Elliptic Paraboloid Berikut ini persamaan sebuah elliptic paraboloid.

Penampang irisan dari berbentuk ellipse dan bila berbentuk lingkaran.

maka penampang irisan akan

Gambar 2.18. Elliptic paraboloid Dalam hal ini, variabel yang tidak berpangkat menentukan pada sumbu mana bentuk ini mempunyai mulut terbuka, dalam kasus diatas sumbu z. Tanda c menentukan arah mana Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha KALKULUS PEUBAH BANYAK

Halaman 21

Rudy Wawolumaja

Multivariable Calculus

UK Maranatha 2012

paraboloid tersebut membuka. Bila c positive maka membuka keatas dan jika c negative maka membuka kebawah. Hyperbolic Paraboloid Berikut persamaan hyperbolic paraboloid.

Gambar 2.19. hyperbolic paraboloid. Bentuk diatas menyerupai bentuk pelana (saddle shaped) dan seperti juga elliptic paraboloid tanda c menentukan arah mana permukaan tersebut membuka. Gambar diatas c positive. With the both of the types of paraboloids discussed above the surface can be easily moved up or down by adding/subtracting a constant from the left side. Contoh: Adalah elliptic paraboloid yg memiliki mulut membuka kebawah, persamaan diatas dapat (𝑧−6) ditulis dalam bentuk −1 = 𝑥 2 + 𝑦 2 sehingga titik pusat adalah di bukan di .

Gambar 2.20. permukaan paraboloid dengan persamaan

Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha KALKULUS PEUBAH BANYAK

.

Halaman 22

Rudy Wawolumaja

Multivariable Calculus

UK Maranatha 2012

2.5. Fungsi multivariabel Pada bab ini kita akan membahas tentang fungsi multivariabel. Dari definisi fungsi kita tahu tidak semua persamaan quadric berbentuk fungsi. Kita meninjau grafik fungsi 2 variables,

yang adalah permukaan dalam ruang 3

dimensi.Contoh sketsa graphik dari

.

Gambar 2.21. Permukaan Bentuk fungsi umum lain yang telah kita bahas adalah bidang datar. Persamaan umum bidang datar yang telah kita bahas adalah: Atau dengan menempatkan z dikiri dan menggantinya dengan notasi fungsi,didapat: Menggambarkan bidang datar adalah dengan mencari titik potong/interseksi dengan ketiga sumbu, kemudian menghubungkan ketiga titik tersebut. Contoh: Gambarkan , Untuk lebih mudah menggambarkan fungsi diatas kita tulis sbb.: Titik potong dengan salah satu garis sumbu didapat dengan menetapkan koordinat variabel sumbu lainnya = 0. Contoh untuk mendapatkan titik potong dengan sumbu-z kita tetapkan . Jadi, titik potong pada garis sumbu-z: (0,0,12), untuk sumbu-x:(4,0,0), sumbu-y (0,3,0) Sehingga bidang datar tersebut dapat kita gambarkan sbb.:

Gambar 2.22. Permukaan Kita dapat mengembangkan fungsi menjadi permukaan 4 dimensi, misal Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha KALKULUS PEUBAH BANYAK

. Halaman 23

Rudy Wawolumaja

Multivariable Calculus

UK Maranatha 2012

Namun untuk menggambarkannya tidak bisa, karena intuisi visual kita adalah ruang 3 dimensi. Domain. Kita me review kembali konsep domain pada fungsi single variable, , domain x adalah setiap nilai x yang bila dimasukkan kedalam fungsi akan memberikan kembali satu dan hanya satu nilai (definisi fungsi). Jadi domain dari fungsi 1 variabel adalah satu garis bilangan (1 dimensi). Maka domain fungsi dua variable,

, adalah suatu area/daerah/ regions dalam

ruang dua dimensi dan terdiri dari pasangan koordinat, , dan bila kita memasukkan nilai x & y kedalam fungsi kita akan mendapatkan satu dan hanya satu bilangan real/real number. Contoh 2.5.1. Tentukan domain dari fungsi-fungsi berikut ini. (a)

(b)

(c)

Solusi (a) Dalam kasus ini kita tahu akar tidak dapat bernilai negatif, sehingga 𝑥 + 𝑦 ≥ 0 Jadi domain digambarkan sebagai daerah yang diarsir termasuk garis batasnya.

Gambar 2.23. Sketsa (b) Utk kasus ini juga akar tidak boleh negatif, sehingga Jadi domain digambarkan sebagai daerah yang diarsir termasuk garis batasnya.

Gambar 2.24. Sketsa 𝑥 ≥ 0 dan 𝑦 ≥ 𝑜 (c) Dalam kasus ini nilai dalam logarithm tidak boleh negatif atau nol (0), sehingga

Jadi domain digambarkan sebagai daerah yang diarsir tidak termasuk garis batasnya Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha KALKULUS PEUBAH BANYAK

Halaman 24

Rudy Wawolumaja

Multivariable Calculus

Gambar 2.25. Sketsa Catatan domain fungsi 3 variabel ,

𝑥2 9

UK Maranatha 2012

+ 𝑦2 < 1

, adalah regions dalam ruang 3 dimensi.

Contoh 2.5.2. Tentukan domain dari fungsi berikut ini,

Solusi Dalam kasus ini kita tahu bahwa akar tidak bisa negatif dan penyebut dalam pembagian tidak boleh 0. Sehingga perlu disyaratkan,

Jadi, domain dari fungsi ini adalah setiap titik dalam himpunan yang terletak diluar permukaan bola yang berpusat dititik (0,0,0) dengan jari-jari/radius 4.

Level curve. Level curve suatu fungsi adalah kurva dalam 2 dimensi yang didapat dengan menetapkan , dimana k adalah suatu bilangan. Jadi persamaan level curves adalah . Penulisan lain yang ekivalen bisa dalam bentuk kasus ini persamaan level curve adalah contour curve.

dan dalam

. Level curve disebut juga sebagai

Contoh 2.5.3. Tetapkan level curves dari fungsi Jawab

. Gambarkan beberapa.

dapat kita tuliskan sebagai, Bila kita pangkat 2 persamaan diatas kita mendapatkan , Persamaan diatas adalah persamaan cone atau kerucut dan karena kita tahu dari persamaan dalam bentuk awal , bahwa akar akan selalu memberi hasil positif, maka dapat kita simpulkan bahwa bentuk kerucut yang kita ambil adalah kerucut sebelah atas. Level curves ( contour curves) untuk permukaan ini didapat dari persamaan diatas dengan mengganti nilai . Dalam contoh kasus ini,

dimana k adalah sembarang blangan. So, in this case, the level curves are circles of radius k with center at the origin. Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha KALKULUS PEUBAH BANYAK

Halaman 25

Rudy Wawolumaja

Multivariable Calculus

UK Maranatha 2012

Kita dapat menggambar sketsa permukaan tersebut, dan untuk setiap nilai z yang kita tetapkan dengan bilangan k kita dapatkan sketsa dalam 2 dimensi sbb.

Gambar 2.26. sketsa

dan sketsa level curve atau contour curve.

Kita dapat katakan bahwa garis kontur / level curve adalah irisan dari fungsi bidang datar .

dan

Traces. Bila level curve adalah irisan permukaan dengan bidang datar , maka traces suatu permukaan adalah kurva/garis lengkung yang merupakan penampang irisan dengan bidang datar

atau

.

Contoh 2.5.4. Gambarkan trace dari fungsi

untuk bidang

dan

. Untuk . Didapat Yang merupakan persamaan garis trace. Gambar dibawah ini menggambarkan potongan irisan bidang x=1 dengan permukaan

Gambar 2.27 Untuk kita Dan gambar sketsanya berupa

Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha KALKULUS PEUBAH BANYAK

Halaman 26

Rudy Wawolumaja

Multivariable Calculus

UK Maranatha 2012

Gambar 2.28. 2.6. Fungsi bernilai Vektor Fungsi bernilai vektor (dalam buku teks berbahasa Inggris disebut vector-valued function ) adalah fungsi yang mempunyai satu atau lebih variabel dan memetakannya menghasilkan vektor. Bila fungsi multivariabel yang lalu, memetakan domain dalam himpunan bilangan real, menjadi bilangan real. Dalam fungsi vektor, memetakan menghasilkan vektor. Fungsi vektor variabel tunggal dapat dalam

atau

dan dinyatakan sebagai,

dimana , dan disebut sebagai komponen fungsi. Perhatikan notasi, 𝑥, 𝑦, 𝑧 menyatakan koordinat, sedangkan 𝑥, 𝑦, 𝑧 menyatakan vektor. Domain dari fungsi vektor adalah himpunan dari semua nilai t dimana komponen fungsi terdefinisi. Contoh 2.6.1. Tetapkan domain dari fungsi Komponen ke-1 terdefinisi untuk setiap t . Komponen ke-2 terdefinisi hanya untuk Komponen ke-3 hanya terdefinisi untuk

.

. Sehingga domain fungsi adalah

Contoh 2.6.2. Gambarkan sketsa fungsi vector . Domain fungsi t terdefinisi untuk semua himpunan bilangan real t.

Dengan memasukkan nilai t beberapa nilai kita dapatkan vektor diatas, makin banyak nilai dimasukkan dan ini sangat memungkinkan dengan bantuan komputer, kita mendapatkan gambar sketsa sbb. :

Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha KALKULUS PEUBAH BANYAK

Halaman 27

Rudy Wawolumaja

Multivariable Calculus

UK Maranatha 2012

Gambar 2.29. Contoh 2.6.3. Buat sketsa fungsi vektor berikut ini (a)

(b)

(a)

Gambar 2.30. Dalam contoh ini kita mendapatkan sebuah ellipse. (b)

Gambar 2.31. Contoh 2.6.4.

Gambarkan sketsa fungsi vektor

Fungsi vektor diatas dapat dituliskan sebagai Dalam bentuk ini kita dapatkan persamaa garis yang melalui titik dengan vector

. Gambar sketsa adalah sbb.:

Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha KALKULUS PEUBAH BANYAK

dan sejajar

Halaman 28

Rudy Wawolumaja

Multivariable Calculus

UK Maranatha 2012

Gambar 2.32. Contoh 2.6.5. Gambarkan sketsa fungsi vektor Kita dapat menulis ulang dalam persamaan parametric untuk kurva Persamaan x dan y menunjuk pada lingkaran dengan radius 2 dan pusat (0,0) pada 2 dimensi dan pada 3 dimensi dimana z = 3. Kita dapat menggambarkan sketsa sbb.:

Gambar 2.33. Contoh 2.6.6. Gambarkan sketsa fungsi vector Solution Bila komponen z = k seperti contoh 5 kita akan mendapatkan hasil yang sama dengan contoh 5, tetapi dalam contoh ini z = t sehingga gambar sketsa akan berbentuk helix atau spiral.

Gambar 2.34. Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha KALKULUS PEUBAH BANYAK

Halaman 29

Rudy Wawolumaja

Multivariable Calculus

UK Maranatha 2012

Contoh 2.6.7. Tentukan persamaan vektor untuk segment garis yang berawal pada titik dan berakhir pada titik . Solusi Untuk mendapatkan persamaan garis bentuk vektor, kita perlu menentukan vektor arah, yaitu Dengan satu titik P dan vektor arah 𝑣 didapat persamaan garis bentuk vektor, sbb. : Dengan menata tulis persamaan diatas kita mendapatkan:

Persamaan garis ini dinyatakan dengan titik dan dan karena perumusan dari soal diatas adalah persamaan segmen garis yang berawal dari P dan berakhir di Q, tidak lebih dan kurang, maka perlu ditetapkan batasan dari nilai t. Dari persamaan diatas didapat

Jadi dengan membatasi nilai t antara nol dan satu kita mendapatkan segment garis yang mulai dari P dan berakhir di Q. Jadi kesimpulan, persamaan segment garis yang mulai dari

dan berakhir di

adalah Berikut adalah contoh fungsi vektor dengan 2 variabel dalam contoh ini fungsi vektor yang menggambarkan permukaan. Contoh 2.6.8. Identifikasi bentuk permukaan apa yang dinyatakan oleh fungsi vektor . Solution Fungsi vektor diatas dapat dituliskan kedalam bentuk persamaan parametrik sbb,: Persamaan pertama dan kedua menyatakan kita dapat mengambil bebas nilai x & y, persamaan ketiga menyatakan persamaan elliptic paraboloid. Sehingga persamaan diatas identik menggambarkan persamaan yang menggambarkan bentuk elliptic paraboloid. Secara umum setiap fungsi single variabel, fungsi dua variabel maupun fungsi multivariabel dapat dinyatakan/dituliskan dalam kedalam persamaan bentuk vektor. Semua Fungsi Multivariabel dapat dinyatakan dalam Fungsi Vektor !!!!!!!. Untuk fungsi single variable (

atau

ganda ( , , atau fungsi vektor sbb.: Untuk fungsi variabel tunggal dinyatakan,

) atau sembarang fungsi variabel ) dapat dituliskan kebentuk persamaan

Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha KALKULUS PEUBAH BANYAK

Halaman 30

Rudy Wawolumaja

Multivariable Calculus

UK Maranatha 2012

Dan untuk fungsi variabel ganda dinyatakan sebagai,

Sesuai dengan bentuk awal dari fungsi multivariable. Contoh : Fungsi hyperbolic paraboloid

dapat dituliskan sebagai fungsi vektor:

Konsep ini sangat penting dalam pembahasan Kalkulus Peubah Banyak. 2.7. Kalkulus pada Fungsi bernilai Vektor Pada bagian ini dibahas konsep dasar kalkulus, yaitu limit, turunan / derivatives dan integral untuk fungsi bernilai vektor . Prinsip kerja, rumusan berlaku dalam untuk perluasan ruang dimensi (ruang dimensi n).

dan juga berlaku

Limit untuk fungsi bernilai vektor.

Contoh 2.7.1.

Hitung

dimana fungsi vektor

.

Untuk komponen y digunakan dalil L’Hospital. Turunan Fungsi bernilai Vektor.

Contoh 2.7.2. Hitung

(turunan dari)

Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha KALKULUS PEUBAH BANYAK

.

Halaman 31

Rudy Wawolumaja

Multivariable Calculus

UK Maranatha 2012

Teorema

Beberapa definisi yang penting: smooth curve adalah setiap kurva dimana kontinu dan curve.

adalah

untuk setiap t kecuali pada titik akhir. Contoh helix adalah smooth

Integral Fungsi bernilai Vektor.

Dan untuk definite integrals.

Untuk indefinite integral konstan hasil proses integral berbentuk vektor. Untuk definite integral dapat dituliskan dalam bentuk,

Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha KALKULUS PEUBAH BANYAK

Halaman 32

Rudy Wawolumaja

Multivariable Calculus

Contoh 2.7.3. Hitung

untuk fungsi vektor

Contoh 2.7.4. Hitung

UK Maranatha 2012

.

untuk fungsi vektor

.

2.8. Vektor Tangent, Normal dan Binormal Untuk suatu fungsi vektor, dan

, maka

. Garis singgung

sejajar vektor tangent,

disebut vektor tangent bila terdapat

pada titik P adalah garis yang melalui titik P dan

.

Unit vektor tangent didefinisikan

Contoh 2.8.1. Tentukan rumusan vektor tangent dan unit vektor tangent untuk fungsi vektor Vektor tangent adalah:

.

Panjang unit vektor tangent :

Maka unit vektor tangent adalah

Contoh 2.8.2. Tentukan persamaan bentuk vektor garis singgung pada lengkungan fungsi vektor

pada titik

Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha KALKULUS PEUBAH BANYAK

. Halaman 33

Rudy Wawolumaja

Multivariable Calculus

Vektor tangent didapat dengan memasukkan nilai

Nilai lengkungan fungsi vektor pada

UK Maranatha 2012

pada turunan fungsi vektor,

adalah,

Persamaan vektor dari garis singgung adalah,

Unit vektor normal didefinisikan sebagai,

Unit vektor normal orthogonal (atau normal, atau tegaklurus) terhadap unit vektor tangent dan juga terhadap kurva fungsi vektor. Teorema Bila terhadap

suatu vektor sehingga

untuk setiap t. Maka

orthogonal

.

Vektor Binormal di definisikan sebagai,

Karena vektor binormal adalah hasil perkalian silang/cross product dari unit vektor tangent dan unit vektor normal maka vektor binormal orthogonal terhadap vektor tangent dan vektor normal . Contoh 2.8.3. Tentukan vektor normal dan binormal untuk fungsi vektor .

Maka unit vektor tangent adalah,

Unit vektor normal didapat dari turunan unit vektor tangent dibagi magnitude unit vektor tanget.

Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha KALKULUS PEUBAH BANYAK

Halaman 34

Rudy Wawolumaja

Multivariable Calculus

UK Maranatha 2012

Sehingga vektor normal adalah,

Vektor binormal adalah,

2.9. Panjang garis/lintasan Fungsi vektor Pada bab ini membahas bagaimana menentukan panjang lintasan dari fungsi vektor, Pada interval . Fungsi vektor dapat dituliskan dalam bentuk parametric sbb.:

Panjang lintasan kurva

pada interval

adalah,

Sehingga, panjang lintasan dapat dituliskan sebagai:

Contoh 2.9.1. Tentukan panjang lintasan dari kurva fungsi vektor untuk interval Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha KALKULUS PEUBAH BANYAK

. Halaman 35

Rudy Wawolumaja

Multivariable Calculus

UK Maranatha 2012

tangent vector dan magnitude nya adalah:

Maka panjang lintasan adalah:

Fungsi panjang lintasan (arc length function). Fungsi panjang lintasan (arc length function) didefinisikan sebagai,

Contoh 2.9.2. Tentukan fungsi panjang lintasan fungsi vektor . Dari contoh 1 kita dapatkan, Sehingga kita dapatkan fungsi panjang lintasan sebagai,

Dari persamaan diatas kita dapatkan : Dengan memasukkan nilai diatas ke fungsi vektor awal, kita melakukan reparameterize (parameterisasi ulang) fungsi vektor kedalam bentuk, dalam contoh kita dapatkan,

. Jadi untuk fungsi vektor

Dari persamaan vektor diatas, dapat ditentukan dimana titik capai pada kurva fungsi vektor setelah menempuh jarak tertentu sepanjang s . Pengukuran jarak s adalah jarak yang diawali dari titik awal dimana . Kegunaan dari fungsi lintasan diatas ditunjukkan dalam contoh dibawah ini. Contoh 2.9.3. Tentukan titik mana yang akan dicapai pada setelah menempuh jarak lintasan sepanjang Dari proses reparametrisasi diatas, kita dapatkan:

?

Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha KALKULUS PEUBAH BANYAK

Halaman 36

Rudy Wawolumaja

Dengan memasukkan nilai dicapai adalah pada titik:

Jadi setelah melintasi jarak

Multivariable Calculus

UK Maranatha 2012

kedalam fungsi diatas kita dapatkan lokasi akhir yang

sepanjang kurva, dicapai titik akhir

.

2.10. Kelengkungan/Curvature Kelengkungan/curvature adalah ukuran seberapa cepat suatu lengkungan berubah arah pada suatu titik yang ditetapkan. Ada beberapa rumusan untuk menentukan kelengkungan suatu kurva. Rumusan formal diberikan sebagai,

Dimana adalah unit vektor tangent dan s adalah panjang lintasan/kurva (arc length). Rumusan formal diatas agak rumit untuk digunakan, terdapat dua alternatif rumusan kelengkungan yang cukup praktis untuk digunakan, yaitu:

Contoh 2.10.1. Solusi

Tentukan curvature dari fungsi vektor

Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha KALKULUS PEUBAH BANYAK

. Halaman 37

Rudy Wawolumaja

Multivariable Calculus

UK Maranatha 2012

Dari contoh 2.8.3. pada subbab 2.8. “Vektor Tangent, Normal and Binormal ”, kita mendapatkan hasil perhitungan untuk fungsi vektor diatas, sebagai:

Turunan unit tangent adalah,

Besaran (magnitude) kedua vektor adalah,

Maka kelengkungan didapat,

Dalam kasus contoh ini didapatkan nilai kelengkungan (curvature) adalah constant. Ini berarti bahwa kurva berubah arah dengan laju yang sama pada tiap titik sepanjang kurva, Mengingat fungsi kurva ini adalah lintasan helix, maka hasil yang didapat sesuai/masuk akal. Contoh 2.10.2. Tentukan curvature dari . Dalam contoh ini kita menggunakan rumusan kedua curvature. Hasil perkalian silang (cross product).

Besaran (magnitudes), Sehingga nilai untuk setiap nilai t adalah,

Misal kita mempunyai kurva yang dinyatakan dalam fungsi real mendapatkan nilai kelengkungannya / curvature. Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha KALKULUS PEUBAH BANYAK

dan kita ingin

Halaman 38

Rudy Wawolumaja

Multivariable Calculus

UK Maranatha 2012

Setiap fungsi multi variable dapat dinyatakan dalam fungsi vektor, untuk fungsi real diatas kita dapat menuliskannya sebagai, Dengan menggunakan rumusan kedua curvature, kita akan mendapatkan

Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha KALKULUS PEUBAH BANYAK

Halaman 39

Rudy Wawolumaja

Multivariable Calculus

UK Maranatha 2012

2.11. Kecepatan dan Percepatan Bila fungsi vektor posisi suatu benda tersebut adalah,

maka kecepatan dan percepatan dari benda

Baik kecepatan maupun percepatan berbentuk vektor. Dalam mekanika percepatan terdiri dari dua komponen, yaitu komponen tangential, aT, dan komponen normal , aN. Komponen tangential adalah bagian percepatan yang searah dengan lintasan dan komponen normal percepatan adalah bagian percepatan yang normal / tegaklurus (atau orthogonal) terhadap lintasan. Sehingga dapat dituliskan :

Dimana

dan

adalah unit tangent dan unit normal dari fungsi vektor posisi.

Bila didefinisikan

Dimana

maka komponen tangential dan normal percepatan adalah,

adalah kelengkungan (curvature) dari fungsi vektor posisi.

Contoh 2.11.1. Bila percepatan suatu benda bergerak adalah

, dapatkan

fungsi kecepatan dan fungsi posisi benda , bila diketahui kecepatan awal adalah dan posisi awal adalah Solusi

.

Fungsi posisi adalah,

Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha KALKULUS PEUBAH BANYAK

Halaman 40

Rudy Wawolumaja

Multivariable Calculus

UK Maranatha 2012

Contoh 2.11.2. Untuk contoh diatas, tentukan komponen tangential dan normal percepatan. Solusi Dengan menggunakan rumus,

Komponen tangential percepatan adalah,

Komponen normal percepatan adalah,

Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha KALKULUS PEUBAH BANYAK

Halaman 41

Rudy Wawolumaja

Multivariable Calculus

UK Maranatha 2012

2.12. Koordinat silendris Koordinat silendris dalam

ditunjukan dalam gambar dibawah ini:

Gambar 2.35. Koordinat silendris. Konversi dari koordinat silendris ke Cartesian adalah sbb.:

Sedangkan konversi dari koordinat Cartesian ke koordinat silendris dinyatakan sbb.:

Contoh 2.12.1. Identifikasi jenis permukaan/surface untuk persamaan berikut ini: (a) (b) (c) Solution (a) Silender dengan radius 5 berpusat disumbu-z. (b) Dengan konversi koordinat Cartesian kita dapatkan

Jadi, bentuk permukaan adalah bola dengan radius = 10. (c) Dalam kasus ini, dengan konversi ke koordinat kita mendapatkan

Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha KALKULUS PEUBAH BANYAK

Halaman 42

Rudy Wawolumaja

Multivariable Calculus

UK Maranatha 2012

Jadi bentuk permukaan yang dimaksud adalah kerucut atau cone. 2.13. Koordinat Bola Koordinat bola digambarkan sbb.:

Gambar 2.36. Koordinat Bola. Koordinat bola / Spherical coordinates terdiri dari tiga variabel/perubah. Pertama variabel , yang merupakan jarak dari titik 0 (origin) dengan titik yang dimaksud, sehingga perlu di syaratkan . Variabel kedua adalah . Ini adalah sudut yang sama dengan yang dinyatakan dalam koordinat polar/cylindrical coordinates. Yaitu sudut antara sumbu-x positif dan garis yang dinyatakan dengan r (yang juga sama dengan r yang dinyatakan dalam koordinat p olar/cylindrical coordinates). Tidak ada persyaratan untuk . Variabel ketiga adalah . Ini adalah sudut antara sumbu-z positif dengan garis yang menghubungkan 0 (origin) dengan titik yang dimaksud. Perlu disyaratkan Berikut rumus konversi antara koordinat: Konversi dari koordinat bola ke koordinat silender, diketahui

.

dan ingin didapat

. Dan karena dalam koordinat bola dan silender adalah sama, maka yang perlu dicari adalah r dan z . Dengan sedikit proses geometry dan trigoneometry didapat:

Sehingga :

Juga berlaku, Atau,

Hubungan dengan koordinat Cartesian, untuk itu kita lihat rumus konversi koordinat Cartesian dengan koordinat silender yang telah dibahas di bab sebelum ini. Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha KALKULUS PEUBAH BANYAK

Halaman 43

Rudy Wawolumaja

Multivariable Calculus

UK Maranatha 2012

Dengan menggunaka formula r dan z kita dapatkan,

Diketahui juga

sehingga,

Konversi dari Cartesian atau cylindrical coordinates ke spherical coordinates dilakukan dengan penurunan rumus yang sama. Contoh 2.13.1. Lakukan konversi berikut ini. (a) Konversikan titik

dari koordinat silender ke koordinat bola.

(b) Konversikan titik dari koordinat Cartessian ke koordinat bola.. (a) Nilai adalah sama dalam kedua koordinat. Berikut didapatkan . Untuk mendapatkan

dilakukan dengan rumus konversi untuk r atau z.

Ada banyak kemungkinan untuk nilai mempunyai persyaratan

yang memberikan

dalam

maka nilai yang diambila adalah

koordinat bola yang didapat adalah (b) Langkah pertama adalah menemukan Untuk mendapatkan

, namun karena kita 𝜋 3

, sehingga

. .

, digunakan rumus konversi untuk z.

Karena persyaratan range maka hanya nilai diatas yang diperbolehkan untuk . Untuk mendapatkan digunakan konversi untuk x atau y. Dengan menggunakan rumus konversi untuk y didapat,

Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha KALKULUS PEUBAH BANYAK

Halaman 44

Rudy Wawolumaja

Multivariable Calculus

UK Maranatha 2012

Dari kedua nilai diatas, perlu dipilih salah satu dan karena koordinat dan terletak dalam quadrant kedua, maka sudut haruslah sudut yang menghasilkan titik pada quadrant kedua. Sehingga sudut yang dipilih adalah,

.

Jadi koordinat bola adalah . Contoh 2.13.2. Identifikasi permukaan yang dinyatakan persamaan berikut ini. (a)

(b)

(c)

(d)

(a) Bila dikonversi ke koordinat Cartesian coordinates yang telah dikenal, didapat.

Sehingga kita mendapat permukaan bola dengan radius 5 berpusat di 0 (origin). (b) Kita mendapatkan cone dengan sudut

dengan sumbu z positive.

(c) Didapat bidang datar vertical yang membentuk sudut

dengan sumbu-x positive.

(d) Cara 1 Sisi kiri dan kanan ditambahkan dengan

didapat.

Bila dikonversi ke koordinat Cartesian didapat,

Persamaan diatas menyatakan sebuah silender dengan radius 2 berpusat di sumbu-x. Cara 2 Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha KALKULUS PEUBAH BANYAK

Halaman 45

Rudy Wawolumaja

Multivariable Calculus

UK Maranatha 2012

Cara ini lebih langsung, yaitu konversi langsung ke koordinat silender dan karena maka didapat, Yang berarti suatu silinder dengan radius 2.

Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha KALKULUS PEUBAH BANYAK

Halaman 46