KALKULUS 2
November 25, 2018 | Author: Pendidikan Dokter UNS 2009 | Category: N/A
Short Description
Download KALKULUS 2...
Description
KALKULUS 2 INTEGRA INT EGRAL L LIPAT LIPAT 2
INTEGRAL LIPAT 2 DOMAIN PERSEGI PANJANG INTEGRAL LIPAT 2 DOMAIN BUKAN PERSEGI PANJANG INTEGRAL LIPAT LIPAT 2 DLM DL M KOORDINA KOOR DINAT T KUTUB KUT UB PENERAPAN INTEGRAL LIPAT 2
INTEGRA INT EGRAL L LIPAT LIPAT 3
INTEGR AL LIPA INTEGRAL LIPAT 3 KOORDINAT CARTESIAN INTEGRAL AL LIPA LIPAT 3 KOORDINAT TABUNG TABUNG DAN BOLA INTEGR
RUMUS DASAR INTEGRAL ´
1. x n dx !
1
x n 1 c, kecuali n ! 1 n 1
1
´ x dx ! ln x c 3.´ sin xdx ! cos x c 4.´ cos xdx ! sin x c 5.´ e dx ! e c 1 dx x 6.´ ! tan ¨© ¸¹ c x a a ª a º 2.
x
x
1
2
´a
7.
´
8.
2
dx
1
x a
c 2a x a dx ¨ x ¸ ! sin 1 © ¹ c ª a º a 2 x 2
2
x 2
!
ln
I T
I
T
I
z ! f ( x, y )
I
J
INTEGRAL LIPAT 2 DOMAIN PERSEGIPANJANG Rumus dasar :
´´ f ( x, y)dA ! ´ R
d
c
« b f ( x, y )dx »dy ! b « d f ( x, y )dy »dx ´a ¬-´c ¬- ´a ¼½ ¼½ y
Dengan R berupa persegi panjang
R
_ x, y : a e x e b, c e y e d a
d R c
x a
b
INTEGRAL LIPAT 2 DOMAIN PERSEGIPANJANG Contoh : 1.
´ ´ 2 x 3 y 3
0
2
dxdy
1
2.
3 2 ! ´0 «¬ ´1 2 x 3 y dx»¼ dy ½ 3
?
! ´0 x 2 3 yx
A
2
dy 1
?
A
! ´0 22 3 y2 12 3 y1 dy 3
! ´0 ?4 6 y 1 3 y A dy 3
! ´0 3 3 y dy 3
3 » « ! ¬3 y y 2 ¼ 2 ½ 3
45
2
2
! 9 9 !
3
0
´ ´ 4 x 2
1
0
0
2
y
dxdy
2 1 ! ´0 «¬ 4 x x 3 yx »¼ 3 ½ 2 1 ! ´0 ¨© 4 y ¸¹ dy ª 3 º 1 1 ! «¬4 y y y 2 »¼ 3 2 ½ -
2
16
3
3
!8 2 !
1 0
2 0
dy
INTEGRAL LIPAT 2 DOMAIN PERSEGIPANJANG SOAL
I T
I
T
I
SOAL Hitung
1.
integral lipat 2 yang ditunjukkan atas R
® °
´´
xy 3 dA; R ! ¯ x, y : 0 e x e 1,
R
¾ 1 e y e 1¿ À
® ¾ y dA; R ! ¯ x, y : 1 e x e 1, 0 e y e 2¿ ° À R ® T T ¾ 3. ´´ sin x y dA; R ! ¯ x, y : 0 e x e , 0 e y e ¿ 2 2À ° R ® ¾ 4. ´´ xy 1 x dA; R ! ¯ x, y : 0 e x e 3 , 1 e y e 2¿ ° À R 2.
´´ x
2
2
2
I
J
I T
I
T
I
I
J
Sketsalah benda pejal yang yang volumenya ditunjukkan oleh integral lipat di bawah ini 1
1.
´´ 0
1
!
´
0
2
x
0
x y
2
« x » ¬4¼ - ½ 2
´ ?A
2
y 0
1
!
1
0
y
? A1 ! 1
! y
0
I T
I
T
2.
´ ´ 2 x y
d yd yd x
1
1
0 0
« y ! ´0 ¬2 y xy 2 3 ! ´0 ¨© x ¸¹d x ª 2 º
2
1
1
«3
1
! ¬ x x »¼ - 2 2 ½0 !1 1
2
»1 ¼ 0 d x ½
I
I
J
I T
I
´ ´ x
3.
2
0
2
0
2
y 2
T
I
dydx 2
1 3» « 2 ! ´0 ¬ x y y ¼ dx 3 ½0 2« 8 ! ´0 ¬2 x 2 »¼ dx 3½ 2 2 3 8 » 16 16 ¸ 32 « ¨ ! ¬ x x ¼ ! © ¹ ! 3 ½0 ª 3 3 º 3 -3 2
I
J
I T
I
T
´ ´ 4 y dydx
4.
2
0
2
2
0
2
1 ! ´0 «¬4 y y 3 »¼ dx 3 ½0 2 8 ! ´0 «¬8 »¼ dx - 3½ 2
2
16 32 ! «¬ x»¼ ! - 3 ½0 3
I
I
J
I T 5.
I
T
I
Tentukan volume benda pejal di bawah bidang z=x+y+1 z=x+y+1 atas R={(x,y): R={(x,y): 0x 1, 1, 1y 3 }
yd x ´ ´ x y 1d yd 1
0
3
1
3
« » y ! ´ ¬ xy y ¼ d x 2 ½ «¨ » 9 1 ¸ ¨ ¸ ! ´ ¬© 3 x 3 ¹ © x 1¹¼d x 2 º ª 2 º½ -ª 2
1
0
1
1
0
! ´ 2 x 6d x 1
0
?
A 1
! x 6 x ! 1 6 ! 7 2
0
I
J
INTEGRAL LIPAT 2 DOMAIN PERSEGIPANJANG 6. Tentukan volume benda pejal di bawah bidang z=2x+3y atas R={(x,y): 1x 2, 0y 4 }
yd x ´ ´ 2 x 3 y d yd 2
4
0
1
!´
2
!´
2
1
1
?
4
« 3 y » ¬2 xy 2 ¼ d x ½0 2
?8 x 24Ad x
A
! 4 x 24 x ! 16 48 4 24 ! 36 2
2
1
INTEGRAL LIPAT 2 DOMAIN PERSEGIPANJANG 7. Tentukan volume benda pejal antara z=x2+y2+2 dan z=1 dan terletak di atas R={(x,y): -1x 1, 0y 1 } yd x ´ ´ ? x y 2 1Ad yd ! ´ ´ ? x y 1Ad yd yd x 1
1
1
2
2
0
1
1
1
0
2
2
1
1
! ´
1
1
! ´
1
« x y 1 y 3 y » d x ¬- 3 ¼½ « x 1 »d x 1 ¬3 ¼½ 2
0
2
1
1 4 ! «¬ x 3 x»¼ 3 ½ -3 «¨ 1 4 ¸ ¨ 1 4 ¸ » ! ¬© ¹ © ¹ ¼ -ª 3 3 º ª 3 3 º ½ 1
5
5
10
3
3
3
! !
INTEGRAL INTEGRA L LIPA LIPAT 2 DOMAIN DOMA IN BUKAN BUK AN PERSEGIP PE RSEGIPANJANG ANJANG Sebuah himpunan y sederhana
Sebuah himpunan x sederhana
={ (x,y (x,y ):* ):* 1(x)y (x)y S ={
={ (x,y (x,y ): S ={
* 2 (x), a x b}
y
y y=* y=* 2 (x)
x = ] 1( y y )
d S
S c y=* y=* 1(x)
0
a
y )x ] 2 ( y y ), c c y d} ] 1( y
x b
0
x =
y ) 2 ( y
INTEGRAL INTEGRA L LIPA LIPAT 2 DOMAIN DOMAI N BUKAN PERSEGIPANJANG RUMUS
DASAR
b
J 2 ( x )
a
J 1 ( x )
´´ f ( x, y)dA ! ´ ´ S
d
] 2 ( y )
´´ f ( x, y)dA ! ´ ´ S
c
f ( x, y )dydx
] 1 ( y )
f ( x, y )dxdy
INTEGRAL INTEGRA L LIPA LIPAT 2 DOMAIN DOMA IN BUKAN BUK AN PERSEGIP PE RSEGIPANJANG ANJANG CONTOH 5
x 2
3
x
´ ´ 4 x 10 y dydx 5
! ´3
5
! ´3
?4 xy 5 y A
2 2 x x
?4 x
3
dx
A dx
5 x 4 4 x 2 5 y 2
! ´3 5 x 4 4 x 3 x 2 5
5
dx
« » 1 1 1 ! «¬ x5 x 4 x 3 »¼ ! ¬¨© 55 54 53 ¸¹ ¨© 35 34 33 ¸¹¼ 3 ½ 3 -ª 3 º ª 3 º½ ! 3393
1 3
INT
I
T
OMAIN
CONTOH 2 1 y 2
´´
0 0 1
! ´0
2 ye x dxdy
?2 ye A dy y 2
x
0
?2 ye 1Ady ! ´ 2 ye 2 y dy ! ?e y A 1
! ´0
y 2
1
y
2
0
y
2
2
1
0
! ?e 1 1 0A! e 2
AN
I
ANJ ANG
INTEGRAL INTEGRA L LIPA LIPAT 2 DOMAIN DOMAI N BUKAN PERSEGIPANJANG CONTOH 3 :
Hitunglah
volume µtetrahedron¶ bidang empat di bawah ini 4
´´
12-3x-6y-4z=0
0
2
0
1
x 2
¨ 3 3 x 3 y ¸d yd © ¹ yd x 4 2 ª º 2
1
x
3 3 ! ´ «¬3 y xy y »¼ d x 4 4 ½ « » 3 3 1 1 1 ! ´ ¬3¨© 2 x ¸¹ x¨© 2 x ¸¹ ¨© 2 x ¸¹ ¼d x ¬- ª 2 º 4 ª 2 º 4 ª 2 º ¼½ « 3 3 3 » 3 1 ! ´ ¬6 x x x ¨© 4 2 x x ¸¹ ¼d x 4ª 4 º ½ - 2 2 8 3 3 3 ! ´ ¨© 3 x x x ¸¹d x 16 º ª 2 8 3 3 ! ´ ¨© 3 x x ¸¹d x ª 2 16 º 1 3 ! «¬3 x x x 3 »¼ 4 16 ½ ! 12 12 4! 4 4
2
2
0
0
z
2
4
3
0
4
2
y
2
0
4
4 x
y
!2
1 2
2
2
0
x
2
4
2
0
4
2
0
INT
GRAL LI AT
OMAIN
SOAL 1
3 x
´´ ! ´ ? x y A d x ! ´ ? x 3 x 0Ad x ! ´ 3 x d x
1.
0
1
0
x 2 d yd yd x 3 x
2
0
1
0
2
0
1
3
0
1
3 » 3 « ! ¬ x ¼ ! -4 ½ 4 4
0
AN
RSEGI ANJ ANG
INTEGRAL LIPAT LIPAT 2 DOMAIN DOM AIN BUKAN BU KAN PERSEGIPANJANG P ERSEGIPANJANG 2
x 1
´´
2.
1
0
x 1
! ´1 ¬ y 2 »¼ d x - 2 ½0 2 «1 ! ´1 ¬ x 12 »¼d x -2 ½ 2 «1 ! ´1 ¬ x 2 2 x 1»¼d x -2 ½ 2 1 «1 3 ! ¬ x x 2 x »¼ 2 -3 ½1 » 1« 8 1 ! ¬¨© 4 2 ¸¹ ¨© 1 1 ¸¹¼ 2 -ª 3 º ª 3 º½ 2
!
1 6
«1
yd yd yd yd x
INTEGRAL LI
AT
´ ´ x
3.
3
3 y
1 0
2
OMAIN
AN
ERSEGI ANJ ANG
y 2 dxdy 3 y
1 3 ¨ 2 ¸ ! ´1 © x y x ¹ dy ª3 º 0 3
! ´1 9 y 3 y dy ! ´112 y 3dy 3
3
3
? A ! 3?3
! 3 y
4 3
1
4
3
A
1 ! 381 1 ! 240 4
INTEGRAL LIPAT LIPAT 2 DOMAIN DOM AIN BUKAN BU KAN PERSEGIPANJANG P ERSEGIPANJANG
´ ´ x y dydx ! ´ ? x y y Adx
4.
1
x
2
3
3 0 1
2
1 4
3
4
x
0
1 ! ´3 ¨© x 3 x 4 ¸¹dx 4 º ª 1
1
1 1 ! «¬ x 4 x 5 »¼ 20 ½ 3 -4 «¨ 1 1 ¸ ¨ 81 ¨ 243 ¸ ¸» ! ¬© ¹ ©© © ¹ ¹¹¼ -ª 4 20 º ª 4 ª 20 º º½
!
242 20
82 4
!
32 20
!
8 5
INTEGRAL LIPAT LIPAT 2 DOMAIN DOM AIN BUKAN BU KAN PERSEGIPANJANG P ERSEGIPANJANG 3
´´
5.
1
3
2 y
y
xe xe y 3d xd xd y
«1
2 y
» d y ¼½ y
! ´1 ¬ -2 3 «1 y 2 2 » ! ´1 ¬ e 4 y y ¼d y -2 ½ 3«3 2 y » ! ´1 ¬ y e ¼d y -2 ½ 3 1 y » 1 27 « ! ¬ e ¼ ! e e - 2 ½1 2 x 2e y
3
3
3
3
INTEGRAL LIPAT LIPAT 2 DOMAIN DOM AIN BUKAN BU KAN PERSEGIPANJANG P ERSEGIPANJANG
´ ´ x
6.
3
5 x
1
0
2
y
2
d yd yd x x
¨ 3 ¨ y ¸ ¸ ! ´ ©© tan © ¹ ¹¹ d x ª x º º ª x 5¨ 3 ! ´ © tan 1 tan 0 ¸¹d x ª x º 5 ¨ 3 T ¸ !´ © ¹d x ª x 4 º 5
1
1
0
1
1
1
1
« 3T
!¬ -
4
5
3T » ln x ¼ ! ln 5 4 ½ 1
INTEGRAL LIPAT LIPAT 2 DOMAIN DOM AIN BUKAN BU KAN PERSEGIPANJANG P ERSEGIPANJANG
´ ´ ! ´ ? y cosT x A dx ! ´ 2 x cosT x dx
7.
1
2 x
1/ 2 1
cos T x 2 dydx 2
2 x
1/ 2 1
2
1/ 2
1
1 ! «¬ si T x 2 »¼ - T ½ 1/ 2 1¨ T ¸ ¸ ¨ ! ©© si T si © ¹ ¹¹ T ª ª 4 º º
!
2 2T
INTEGRAL LIPAT LIPAT 2 DOMAIN DOM AIN BUKAN BU KAN PERSEGIPANJANG P ERSEGIPANJANG T
/4
´ ´
8.
0
2 cosU 2
! ´0 ¬ r 2 »¼ -2 ½ T 4
«1 1
T / 4
1
! ´0
2 cos U
d U 2
2 cos U 2d U 2
T / 4
! ´0
rdrd U
2
1¨1
2
cos 2U 1d U T / 4
1¨1 T T ¸ 1 ¨ 1 T ¸ ¸ ! © sin 2U U ¹ ! © sin ¹ ! © ¹ 2ª2 2ª2 2 4 º 2 ª 2 4 º º0
INTEGRAL LIPAT LIPAT 2 DOMAIN DOM AIN BUKAN BU KAN PERSEGIPANJANG P ERSEGIPANJANG T / 9
3r
´ ´ Ud r r d dU ! ´ ?tan U A d r r
9.
0
se
2
T / 4
T / 9
3 r
0
T / 4
!´
T / 9
!´
T / 9
0
0
T ¸ ¨ ta ta r © n 3r n ¹d r 4 º ª
tan 3r 1d r r
1 ! ¨© ln se 3r r ¸¹ ª3 º 1
T
3
9
! ln 2
T / 9
0
INTEGRAL LIPAT LIPAT 2 DOMAIN DOM AIN BUKAN BU KAN PERSEGIPANJANG P ERSEGIPANJANG T / 2
´ ´ ! ´ e
10.
0
sin y
0
T / 2
x
0
!´
T / 2
0
e
sin y
d xd xd y
sin y
s y
0
d y
s y
T / 2
! e sin y ! e 1 1! e 2 sin y
0
s y
d y
INTEGRAL LIPAT LIPAT 2 DOMAIN DOM AIN BUKAN BU KAN PERSEGIPANJANG P ERSEGIPANJANG 2
´´
11.
0
0
4 x 2
x y dydx 4 x 2
! ´0 «¬ xy y 2 »¼ dx 2 ½0 2¨ 1 ! ´0 © x 4 x 2 4 x 2 ¸¹dx 2 ª º 2
1
! ´0 x 4 x dx ´0 4 x 2 dx 2
2
2
2
2
1 «2 1 » ! ¬ 4 x 2 2 ¼ ¨© 4 x x 3 ¸¹ 2 -3 3 º 0 ½0 ª 3 1 «2 2 2» 1 ¨ 16 ¸ 8 ! ¬ 0 4 ¼ ! © ¹ ! 2 -3 3 ½ 2 ª 3 º 3 3
INTEGRAL LIPAT LIPAT 2 DOMAIN DOM AIN BUKAN BU KAN PERSEGIPANJANG P ERSEGIPANJANG T / 2
sin U
´ ´ 6r cos Udrd U ! ´ ?3r cos U A d U
12.
T / 6
T / 2
0
sin U
2
T / 6
0
?
T / 2
! ´ / 6 3 sin 2 U cos U T
?
! cos3 U
A d
A ! cos T / 2 T / 6
U
3
T / 2
cos T / 6! 18 3
INTEGRAL LIPAT LIPAT 2 DOMAIN DOM AIN BUKAN BU KAN PERSEGIPANJANG P ERSEGIPANJANG 13.´´ xydA;
S adalah da ah yang dibatasi ol h y ! x 2 dan y ! 1
S 14.´´ ( x y ) dA ; S adalah s gitiga S 2 1 .´´ x 2 y d S
S adalah daerah yang dibatasi oleh y ! x 2 dan y ! x
2 16.´´ x xy d S 1
´´ 1 x
17.
dg titik sudut (0,0) (0,4) dan (1,4)
2
S adalah daerah yang dibatasi oleh y ! x dan y ! x x
dA; S adalah se se gitiga dg titik sudut (0,0) (2,2) dan (0,2)
S
´´
18. xdA; S adal adal ah ah daerah yang d ibat bat asi asi ol eh eh y ! x dan y ! x 3 S
2
INTEGRAL LIPAT LIPAT 2 DOMAIN DOM AIN BUKAN BU KAN PERSEGIPANJANG P ERSEGIPANJANG Sketsalah benda pejal yang ditunjukkan dan hitung volumenya dengan integral lipat dua 19. Caturtira yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan bidang z=6-2x-3y 20. Caturtira yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan bidang 3x+4y+z-12=0 21. Baji yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan bidang-bidang x=5 dan y+2z-4=0 22. Benda pejal di oktan pertama yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan bidang-bidang
2x+y-4=0 dan 8x+y-4z=0
23. Benda pejal di oktan pertama yang dibatasi oleh permukaan 9x2+4y2=36 dan bidang
9x+4y-6z=0
24. Benda pejal di oktan pertama yang dibatasi oleh permukaan z=9-x2-y2 dan bidang-bidang koordinat
25. Benda pejal di oktan pertama yang dibatasi oleh tabung y=x2 dan bidang-bidang x=0, z=0 dan y+z=1
INTEGRAL LIPAT LIPAT 2 DOMAIN DOM AIN BUKAN BU KAN PERSEGIPANJANG P ERSEGIPANJANG 26. Benda pejal yang dibatasi oleh tabung parabola x 2 =4y dan bidang-bidang z=0 dan 5y+9z-45=0 27. Benda pejal di oktan pertama yang dibatasi oleh tabung z=tan x 2 dan =y , x =1 =1 dan y=0 bidang-bidang x =y -y , 28. Benda pejal di oktan pertama yang dibatasi oleh permukaan z=e x -y +y=1 dan bidang-bidang koordinat bidang x +y=1
29. Benda pejal di oktan pertama yang dibatasi oleh permukaan 9z=36-9 x 9z=36-9 x 2 -4y 2 dan bidang-bidang koordinat 30. Benda pejal di oktan pertama yang dibatasi oleh tabung bulat x 2 +z 2 =16 dan y 2 +z 2 =16 dan bidang-bidang koordinat
INTEGRAL LIPAT LIPAT 2 DOMAIN DOMAI N BUKAN BUKA N PERSEGIP PE RSEGIPANJANG ANJANG 19. z=6-2x-3y
20. 3x+4y+z-12=0
INTEGRAL INTEGRA L LIPA LIPAT 2 DOMAIN DOMAI N BUKAN PERSEGIPANJANG 21. Baji yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan bidang-bidang x=5 dan y+2z-4=0
INTEGRAL LIPAT LIPAT 2 DOMAIN DOMA IN BUKAN BU KAN PERSEGIPANJANG P ERSEGIPANJANG 22. B bi
l i kt -bi 2 -
rt
ib t si l - z
bi
-bi
k
r i
t
INTEGRAL LIPAT LIPAT 2 DOMAIN DOMA IN BUKAN BU KAN PERSEGIPANJANG P ERSEGIPANJANG 2
.
B
l i kt - z
rt
ib t si l
r
k
2
2
bi
INTEGRAL LIPAT LIPAT 2 DOMAIN DOMA IN BUKAN BU KAN PERSEGIPANJANG P ERSEGIPANJANG 24. Benda pejal di oktan pertama yang dibatasi oleh permukaan z=9-x2-y2 dan bidang-bidang koordinat
INTEGR INTEG RAL
LIPAT 2 KOORDINAT
POLAR
RUMUS U= F
r=b r=a
V ! R
R
U=E
sumbu kutub
0
´´ f ( x, y)dA
R
l
rs
i
(r r , R={ (
U ):a r , E U F }
=f (x,y Z =f (x,y )=f ( (rcos r cos U,rsin U )=F ( (r r , U )
Sehingga :
V !
´´ f ( x, y)dA ! ´´ f (r R
k t b:
R
s U , r sin U )r d dr r d d U
INTEGR INTEG RAL CONTOH /2
OAL:
´ ´
1.
T
0
LIPAT 2 KOORDINAT
cosU
0
r 2 sin Udrd U cosU
« r » ! ´0 ¬ sin U ¼ d U -3 ½0 3 / 2 « cos U » ! ´0 ¬ sin U ¼d U - 3 ½ 3 / 2 « cos U » ! ´0 ¬ d cosU ¼ - 3 ½ T / 2
3
T
T
T / 2
« cos U » ¨ 0 1 ¸ ! 1 ! ¬ ! © ¹ ¼ ª 12 º 12 - 12 ½ 0 4
POLAR
INTEGR INTEG RAL T /2
sin U
0
0
´ ´
2.
LIPAT 2 KOORDINAT
POLAR
rdrd U sin U
« r » ! ´0 ¬ ¼ d U - 2 ½0 2 T / 2 « sin U » d U ! ´0 ¬ ¼ - 2 ½ T / 2 «1 os 2U » d U ! ´0 ¬ ¼ 4 ½ T / 2 1 «U sin 2U » ¬ 2 ¼ ¨ T / 2 0 ¸ ! T !¬ ! © ¹ ¼ 4 ª 4 º 8 ¬ ¼ ½0 T / 2
2
INTEGR INTEG RAL
T
´´
3.
0
sin U
0
LIPAT 2 KOORDINAT
r 2 d r rd d U sin U
« r » ! ´ ¬ ¼ d U -3½ 3 T « sin U » !´ ¬ ¼d U - 3 ½ 3
T
0
0
0
? 3
1
! (2 sin U ) cos U !
1
3
2
A
T 0
?2 0 1 2 01A!
4
3
POLAR
INTEGR INTEG RAL T
1 cosU
´´
4.
0
0
LIPAT 2 KOORDINAT
r sin Ud r r d dU
1 cosU
« r » d U ! ´ ¬ sin U ¼ 2 ½ T « 1 cos U » sin U ¼d U !´ ¬ 2 ½ T «1 2 cos U cos U » d (cos U ) ! ´ ¬ ¼ 2 ½ T 1« 1 » ! ¬cosU cos U cos3 U ¼ 3 2½ 1 «¨ 1 1 ¸ ¸ » ¨ 3 ! ¬©© 1 1 1 ©1 1 ¹ ¹¹¼ 3 3 º º½ 2 -ª ª 1 7 1 4 ! ¨© ¸¹ ! 3 2 ª 3 3 º 2
T
0
0
2
0
2
0
2
0
2
POLAR
INTEGR INTEG RAL
LIPAT 2 KOORDINAT
POLAR
Seketsalah daerah asal S dan hitung luasnya dengan rumus :
´´ rdrd U S
1. S adalah daerah di dalam lingkaran r=4cosU dan diluar lingkaran r=2 2. S adalah daerah yang dibatasi olehU=T /6 /6 dan r=4 sinU 3. S adalah satu daun dari mawar daun empat r=a sin(2U) 4. S adalah daerah didalam kardioid r=6-6 sinU 5. S adalah daerah (loop) yang lebih besar dari limason r=2-4sin U
r=cosU
r=sinU
r=1-cosU
r=1+cosU
r=2 dan r=4cosU
/ 6 dan dan r=4si r=4sin nU U =T /6
r=sin2U
r=6-6sinU
r=2-4sinU
r=2 dan r=sqrt(9cos2U)
INTEGR INTEG RAL
LIPAT 2 KOORDINAT
POLAR
QUIZ
1.
a. c.
T / 4
´ ´ 0
2 cos U 2
T
1 cos U
0
0
´´
r d dr r d d U
.
T /2
´ ´ ´´ 0
r sin Udrd U
d .
2. Hitunglah luas daerah S dengan menghitung
cosU
0
T
0
sin U
0
´´ rdrd
r 2 sin Ud r rd d U
r 2 d r rd d U dan buatlah sketsanya
a. S adalah daerah di dalam lingkaran r=4cos sU dan diluar lingkaran r=2 S adalah satu daun dari mawar m awar daun empat r=a sin(2U)
b.
3.
a.
´´
4
x y dA 2
2
S
b.
x2+y2=4 antara y=0 dan y=x 1
´´ 4 x S
S adalah sektor kuadran pertama dari lingkaran
2
y
2
dA
S seperti soal a
View more...
Comments
