K-Mape

Digitalna elektronika i Arhitektura računalnih sustava

K-Mape U narednom tekstu razmotrit ćemo Boolovi izraze i njihovu vezu sa digitalnom elektronikom. Minimizacija logičkih digitalnih simbola pomaže u smanjenju fizičkih komponenata. Sa manje komponenata digitalni sklop radi brže. Smanjenje boolovih izraza je moguće ostvariti s pomoću boolovih identiteta. Taj način može biti vrlo složen jer nema pravila kako i kada koristiti koje identitete i nema predodreĎenih koraka koje treba slijediti. Tada minimiziranje Boolovih izraza postaje slično matematičkom dokazu. Znate da ste na pravom putu, a postupak je iscrpan i može oduzeti mnogo vremena. U narednom tekstu je predstavljen sustavni pristup za minimiziranje Boolovih izraza.

1. K-mape i oznake Karnoove mape (Karnaugh maps) ili K-mape su grafički način za prikaz boolovih funkcija. K-mapa je jednostavna tablica koja se koristi za minimizaciju Boolovih izraza za različite ulazne vrijednosti. Stupci i retci odgovaraju mogućim vrijednostima ulaza, a svaka ćelija tablice predstavlja izlaznu vrijednost odgovarajućih ulaznih vrijednosti. Ako rješenje prikažemo u obliku zbroja umnožaka, to zovemo minterma. Na primjer, ako se radi o dvije ulazne vrijednosti i postoje četiri minterme: i , koje predstavljaju sve moguće kombinacije ulaza. Ako su ulazne varijable , i , tada postoji osam mintermi: , , , , , , i . Na primjer razmotrimo Boolovu funkciju . Moguće vrijednosti ulaza su prikazane u tablici 1. Minterma predstavlja ulazni par . Slično tome, minterma predstavlja , minterma predstavlja i minterma predstavlja . Oznake i vrijednosti minterme za tri ulazne varijable su prikazane u tablici 2. Tabela 1. Minterma za dvije varijable.

Minterma

x 0

y 0

0

1

1

0

1

1

Tabela 2. Minterma za tri varijable.

Minterma

Elektrotehnički fakultet u Osijeku

1

x 0

y 0

z 0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

0

0

1

0

1

1

1

0

1

1

1

Zavod za automatiku i procesno računarstvo

Digitalna elektronika i Arhitektura računalnih sustava K-mapa je tablica sa ćelijama za svaku mintermu, što znači da postoji ćelija za svaku liniju tablice. Primjer 1: Za funkciju i njenu vrijednsnu tablicu, tablica 3, Tabela 3. Vrijednosna tablica funkcije

x 0 0 1 1

y 0 1 0 1

.

xy 0 0 0 1

Odgovarajuća K-mapa je

Slika 1. K-mapa funkcije

.

Primjer 2: Pogledajmo slijedeći primjer, sa funkcijom

.

Tabela 4. Vrijednosna tablica funkcije

x 0 0 1 1

y 0 1 0 1

.

x+y 0 1 1 1

Odgovarajuća K-mapa je

Slika 2. K-mapa funkcije

.

Funkciju možemo prikazati kao logičku funkciju za sve minterme koje imaju vrijednost 1. Tada se može predstaviti kao . Ovaj izraz nije minimiziran. Već znamo da taj izraz treba biti . Možemo ga minimizirati korištenjem Boolovih identiteta.

Kako smo mogli znati da treba dodati u izrazu? Algebarska pojednostavljenja mogu biti vrlo zagonetna. Zato nam mogu pomoći K-mape.

Elektrotehnički fakultet u Osijeku

2

Zavod za automatiku i procesno računarstvo

Digitalna elektronika i Arhitektura računalnih sustava

2. K-mape za dvije varijable U prethodnoj redukciji funkcije F(x,y), cilj je bio grupirati izraze kako bi mogli izlučiti varijable. Dodali smo izraz kako bi dobili oblik koji se može kombinirati sa . To nam je omogućilo da izlučimo y, nakon čega ostaju , što se reducira na . Kako god, korištenjem K-mapa nećemo morati brinuti koje izraze treba dodati ili koje Boolove identitete treba koristiti. K-mape brinu o tome za nas. Pogledajmo ponovo u primjer 2, K-mape za funkciju . Da bismo minimizirali Boolovu funkciju koristeći ovu K-mapu (sl. 2), jednostavno treba grupirati jedinice. Grupiranje je slično pri minimiziranju primjenom Boolovih identiteta. Pri tome treba primijeniti odreĎena pravila. Prvo, grupiramo samo jedinice. Drugo, treba grupirati jedinice u K-mapi ako su jedinice u istom redu ili u istom stupcu, ali ne mogu biti na dijagonali. Treće, možemo grupirati jedinice ako je broj grupiranih jedinica potencija broja 2. Četvrto, potrebno je ostvariti što veću moguću grupu. Peto, sve jedinice moraju biti u grupi, čak i ako su neke u grupi sa po jednom jedinicom. Razmotrimo neka pravilna i nepravilna grupiranja, kako je prikazano na slici 3.

Slika 3. Pravilna i nepravilna grupiranja pri minimiziranju Boolovih izraza K-mapama.

Da bismo pojednostavili boolove izraze primjenom K-mapi, prvo treba stvoriti grupe kako je navedeno u gore predstavljenim pravilima. Nakon što pronaĎete sve grupe, razmotrite svaku grupu i odbacite varijable koje se mijenjaju unutar grupe. Na primjer, na slici 3.d.b je prikazano pravilno grupiranje za funkciju . Počnimo sa grupom prikazanom u drugom redu, gdje je . Dvije minterme su . Ovi izrazi se razlikuju po varijabli, te se varijbla može odbaciti, nakon čega ostaje samo . Druga grupa je predstavljena mintermama . Ovi izrazi se razlikuju po varijabli, te se varijbla može odbaciti, nakon čega ostaje samo . Kada se primjeni logička funkcija ILI na rezultate ovih grupa dobija se kao rezultat minimizacije. Primijetite da bismo dobili iste vrijednosti kada bi koristili Boolove identitete. K-mape nam omogućuju automatsko odbacivanje odgovarajućih varijabli.

Elektrotehnički fakultet u Osijeku

3

Zavod za automatiku i procesno računarstvo

Digitalna elektronika i Arhitektura računalnih sustava

3. K-mape za tri varijable K-mape se mogu primijeniti na izraze sa više od dvije varijable. U ovom poglavlju pokazat ćemo primjenu sa tri varijable. Iz prethodnog poglavlja je poznato kako se K-mape primjenjuju za funkcije sa dvije varijable. Istu ideju ćemo proširiti na K-mapu sa tri varijable, prikazanu na slici 4.

Slika 4. Minterme K-mapi za tri varijable.

Prva razlika koju ćete primijetiti je da su varijable i grupirane zajedno u tablici. Druga je razlika u nizu brojeva dodijeljenih stupcima. Prebrojavanje stupaca nije sekvencijalno, prema prirodnoj binarnoj progresiji. Označili smo ih sa , , , . Ulazne vrijednosti za K-mape moraju biti poredane tako da se svaka minterma razlikuje samo u jednoj varijabli u odnosu na susjedne minterme. Koristeći ovaj red (na primjer, nakon 01 slijedi 11) odgovarajućih mintermi i se razlikuju samo u varijabli y. Zapamtite, da biste reducirali, potrebno je odbaciti varijablu koja se mijenja unutar grupe. Najveće grupe koje se nalaze u primjerima sa dvije varijable su sastavljene od dvije jedinice. Moguće je imati grupe od četiri ili čak osam jedinica, ovisno o funkciji. Pogledajmo nekoliko primjera minimizacije logičkih funkcija za izraze sa tri varijable. Primjer 3: Pogledajmo slijedeći primjer, sa funkcijom

Slika 5. K-mapa za funkciju

.

.

Ponovo slijedimo pravila za grupiranje. Moguće je napraviti grupe sa dvije jedinice na nekoliko načina. Kako god, pravila navode kako bi grupe trebale biti što je mogće veće sa brojem članova potencije broja 2. Postoji jedna grupa od četiri jedinice, grupiramo sukladno tome.

Slika 6. K-mapa za funkciju

sa grupom od 4 jedinice.

Nije potrebno stvarati dvije grupe po dva. Što manje grupa imate manje ćete imati izraza. Zapamtite, želimo pojednostaviti izraz i sve što moramo učiniti je osigurati da je svaka jedinica u nekoj od grupa. Kako pojednostaviti izraz kada imamo četiri jedinice u grupi? Dvije jedinice u grupi omogućuju odbacivanje jedne varijable. Četiri jedinice u grupi omogućuju nam odbacivanje dvije varijable: one dvije varijable kod kojih se sve četiri kombinacije razlikuju. U grupi od četiri iz prethodnog primjera, imamo slijedeće minterme: , , i . Sve imaju zajedničku varijablu , a razlikuju se varijable i . Sukladno tome, odbacujemo varijable i , pri čemu ostaje kao konačni rezultat minimizacije. Da bismo vidjeli kako se isti rezultat dobije primjenom Boolovih identiteta, razmotrit ćemo istu funkciju.

Elektrotehnički fakultet u Osijeku

4

Zavod za automatiku i procesno računarstvo

Digitalna elektronika i Arhitektura računalnih sustava

Rezultat je isti bilo da koristimo Boolove identitete ili K-mape. Od slučaja do slučaja grupiranje može biti više ili manje uočljivo. Pogledajmo jedan složeniji primjer. Primjer 4: Minimizirajte funkciju

.

Slika 7. K-mapa za funkciju

.

Ovo je slabo uočljiv problem iz dva razloga: postoje preklapajući grupe i imamo grupe koje se omataju oko tablice. Prvi i posljednji stupac su grupa je su logički povezani. K-mapa se može shvatiti kao cilindar. Ispravno grupiranje je slijedeće.

Slika 8. K-mapa za funkciju

sa dvije grupe od 4 jedinice.

Prva grupa u prvom retku K-mape se reducira na . To je jedini zajednički izraz koji imaju članovi prve grupe. Druga grupa se reducira na . Dakle, konačni rezultat minimizacije je funkcija . Primjer 5: K-mapa sa jedinicama u svim ćelijama. Pretpostavimo da imamo slijedeću Kmapu.

Slika 9. K-mapa sa jedinicama u svim ćelijama.

Najveća grupa jedinica koju možemo naći je grupa od 8 jedinica, koja sadrži sve ćelije mape. Kako se to pojednostavljuje? Slijedimo ista pravila kao do sada. Prisjetimo se da se grupom od dvije jedinice može eliminirati jedna varijabla, grupom od četiri jedinice se mogu eliminirati dvije varijable, a grupom od osam varijabli se mogu eliminirati sve tri varijable. Ako eliminiramo sve varijable koja imamo onda preostaje . Ako razmotrite tablicu vrijednosti ove funkcije, vidi se da imamo ispravno pojednostavljenje.

Elektrotehnički fakultet u Osijeku

5

Zavod za automatiku i procesno računarstvo

Digitalna elektronika i Arhitektura računalnih sustava

4. K-mape za četiri varijable Sada proširujemo na četiri varijable. Četiri varijable nam daju šesnaest mintermi, kako je prikazano na slici 10. Primijetite kako se slijed 11 nakon kojeg slijedi 10 pojavljuje u recima kao i u stupcima. Primjer 6 predstavlja pojednostavljenje funkcije sa četiri varijable. Samo nas zanimaju izrazi koji rezultiraju sa jedinicama.

Slika 10. K-mape sa četiri varijable.

Primjer 6: Razmotrimo funkciju sa četiri varijable .

Slika 11. K-tablica za funkciju .

Grupa 1 je omotana oko mape, kao što smo vidjeli u prethodno spomenutim primjerima. Grupa 3 je takoĎer lako pronaći. Grupa 2 predstavlja teško uočljivu grupu koja se sastoji od jedinica u kutovima. Zapamtimo, ovi kutovi su logički spojeni. Konačni rezultat je da je minimizirana na 3 izraza, po jedan od svake grupe: iz grupe 1, iz grupe 2 i iz grupe 3. Konačni minimizirani oblik funkcije je Slijedeći primjer će nam pokazati kako je ponekad birati u koju će se grupu jedinica svrstati. Primjer 7: Odabir grupa. Pretpostavimo slijedeću K-mapu.

Slika 12. K-mapa sa mogućnošću odabira u koju grupu svrstati jedinicu.

Elektrotehnički fakultet u Osijeku

6

Zavod za automatiku i procesno računarstvo

Digitalna elektronika i Arhitektura računalnih sustava Prvi stupac treba očito biti grupiran. TakoĎer, i izrazi trebaju biti gruzpirani. Kako god, imamo izbor kako grupirati izraz . Mogli bi ga grupirati sa wxyz ili sa wxyz (kao omotana grupa). Ova dva rješenja su navedena na slici 13.

Slika 13. ...

Prva mapa pojednostavljuje funkciju na . Druga mapa pojednostavnjuje funkciju na . Premda su posljednji izrazi različiti, i su ekvivalentni. Ako slijedimo pravila minimizacije funkcije, a time i minimizacije korištenog sklopovlja, rezultat ne mora biti jedinstven.

5. Pravila izrade K-mapa pomoću mintermi 1) Grupe mogu sadržavati samo jedinice, a ne nule. 2) Grupiraju se susjedna polja jedinica, pri čemu dijagonalno grupiranje nije dozvoljeno. 3) Broj jedinica u grupi mora biti potencija broja 2. 4) Grupe trebaju biti što je moguće veće, a da se pri tome zadovoljena sva ostala pravila. 5) Sve jedinice trebaju pripadati grupi, čak i ako se radi o grupi sa jednom jedinicom. 6) Preklapanje grupa je dozvoljeno. 7) Omatanje grupa je dozvoljeno. 8) Iskoristite što je moguće manji broj grupa.

Elektrotehnički fakultet u Osijeku

7

Zavod za automatiku i procesno računarstvo

Digitalna elektronika i Arhitektura računalnih sustava

6. Zadaci za vježbu: Zadatak 1.

Rješenje: Zadatak 2.

Rješenje: Zadatak 3. Odredite minimizirani oblik funkcije.

Zadatak 4. Odredite minimizirani oblik funkcija.

Elektrotehnički fakultet u Osijeku

8

Zavod za automatiku i procesno računarstvo