Jugando Con Los Números

 

JUGANDO CON LOS NÚMEROS: 1.Una multiplicación peculiar: Si se multiplica cualquier número de cinco cifras por 11 y luego por 9091, las cifras del número original aparecerán escritas, en su orden, dos veces en el producto.

2. Oten!a 1"" Si tenemos escritos los números del 1 al 9, utilizando los signos de las operaciones de adición y sustracción y agrupando convenientemente las cifras formando números, obtenga como resultando el número 100 por eemplo! 1 " # $ % & ' ( 9 1"# ) $ * % ) &' * (9 + 100  -ora intente con las cifras cifras invertidas! 9 ( ' & % $ # " 1 Solución 9( * '& ) %$ ) # ) "1 + 100

#. Un n$mer% curi%&%: tro número bastante curioso en relación al residuo es "%19. /ste número, cuando es dividido entre ", #, $, %, &, ', (, 9 y aún por 10, dea un residuo de 1, ", #, $, %, &, ', ( y 9 respectivamente.

'.Cua(ra(% m)!ic% oloque en este cuadrado los números del 1 al 1% de modo que la suma de todas las filas columnas, y diagonales sea igual a #$

Solución 1

1$

1%

$

(

11

10

%

1" 1#

' "

& #

9 1&

*. Una +%rma (e multiplicar 

a siguiente es una forma de multiplicar muy peculiar!

2or eemplo para multiplicar #&% 3 1"# + $$(9%

/l resultado es $$(9% despu4s de sumar las diagonales yendo de arriba * derec-a* abao *izquierda*, y llevando unidades de orden superior cuando su total parcial es 10 o mayor.

 

,.- ue Mem%ria / /ste uego consiste en -acer creer a las visitas que usted tiene una memoria asombrosa. opie en un tablero las siguientes cifras y d5gale a los presentes que usted tomó -ace poco un curso que le capacita para retener de %0 a cien cifras de 10 d5gitos. /ste truco es muy simple y no tiene que ver en absoluto con la memoria. a lista del 1*10 es la siguiente 1.* #1$%9$#'0'

&.* (19099('%"

".* $1%&1'(%#(

'.* 91011"#%(#

#.* %1&'#0##&9

 

(.* 0""$&0&&"(

$.* &1'(%#(190

9.* 1"#%(#1$%9

%.* '1(9' "1

10.* ""$&0&&"(0

6sted sale del aposento y , despu4s de d e escoger un número, le dicen cual es, es decir si es el 1,si",le#,dan etc.tiempo 6sted para sin preámbulos, dice casi 7an en seguida  veces por es meor -acer la operación. pronto la le respuesta. digan el número, eemplo el #, usted mentalmente le aumenta 1" y luego lo invierte, quedando %18 este ser5a el comienzo. espu4s va sumando un número con el siguiente, descartando lo que lleva si pasan de 10. /ntonces ser5a % y 1 son & y ser5a el otro número. 6na más & son ', el otro número8 & y ' son 1#, en este caso escribe sólo el #8 ' y # son 10, escribe el 08 # y 0 son #8 # mas # son &8 & mas # son 9.  : isto ;;

0. De&c%mp%ner n$mer%& . /emplo! 100+111*11. c?=2uedes escribir el número #0 con tres treses>. =: con tres seises>. =: con tres cincos>

. Ju!an(% c%n n$mer%&  7e planteo este sencillo uego. */scribe de tres @
?. cifras distintas.@2or eemplo 1#&.? */scr5belounennúmero orden inverso

 

*Aesta del mayor el menor @
*1#&+$9%? *Si tu me dices la cifra de las unidades, yo adivino el valor de la resta. =rees que es posible> Solución 2ara determinar la cifra de las centenas sólo restamos de 9, porque la cifra de las decenas siempre es 9, porque es una caracter5sticas de la sustracción de un número con el formado por sus cifras invertidas.

. N$mer%& c%n&ecuti3%& a?=/s posible generar todos los números entre 1 y #0, por suma de números consecutivos>. 2or eemplo! &+1)")# 9+$)% "#+11)1" b?=uáles son los números que pueden generarse por suma de " consecutivos> c?=uáles pueden generarse por suma de # consecutivos> d?=/s posible generar un número entre 1 y #0 por adición de $ consecutivos> e?=/s posible predecir qu4 números entre 1 y 100 pueden generarse sumando números consecutivos>

1". El matem)tic% i!n%rante /n las aulas de cierta facultad de Batemáticas, nos podemos encontrar a un e3traCo personae. ierto d5a, me confesó que tan sólo sab5a multiplicar y dividir por ". *  pesar de todo, me dio, puedo multiplicar rápidamente números de dos cifras. e propuse que multiplicara '% por #(. 7omó una -oa de papel y escribió a la izquierda '% y a la derec-a #(. uego inició sus cálculos! * a mitad de '% es #', =no es as5>. * Do *le die* es #'E%. * e acuerdo, pero no s4 trabaar con decimales, as5 que no los pongo. /scribió #' y, repitiendo el proceso, dividió por dos y obtuvo, a pesar de mis protestas, 1(, 9, $, " y finalmente 1. espu4s multiplicó #( por dos. /l resultado, '&, lo escribió en la fila inferior. Folvió a multiplicar por dos y obtuvo 1%", #0$, &0(, 1"1& y "$#".  l final ten5a escrito,  '% #' 1( 9 $ " 1

#( '& 1%" #0$ &0( 1"1& "$#"

Be dio que los números pares de la columna de la izquierda no serv5an de nada, as5

 

que los tac-ó @unto con el número que ten5an a su derec-a? con lo que quedó 

'% #' 9 1

#( '& #0$ "$#"

Sumando los números de la columna de la derec-a obtuvo! #()'&)#0$)"$#"+"(%0, #()'&)#0$)"$#"+"(%0, que es el resultado r esultado correcto. 2rob4 con otros números y tambi4n funcionaba el m4todo. =Sabr5as dar una e3plicación matemática>

11.Cinc% (%&e& =2uedes escribir todos los números del cero al diez utilizando cinco doses, y los signos ), *, 3, G, además del par4ntesis>. 2uedes empezar as5 0+ " * "G" * "G" 1+"G")"*" H.

4RUCOS MA4EM546COS 1. AD676NAR EL NÚMERO ESCR64O. /ste diálogo ocurrió en una reunión de profesionales * Be toca -ablar el último.  fin de que -aya mayor variedad, presentar4 un truco aritm4tico, con el ruego de que descubran el secreto que encierra. Iue cualquiera de los presentes, usted mismo, mismo, presidente, escriba en un un papel un núm número ero de tres cifras, sin que yo lo vea. * =/l número puede tener ceros> * Do pongo limitación alguna. ualquier número de tres cifras, el que deseen. * :a lo -e escrito. =Iu4 más> *  continuación de ese mismo número, escr5balo otra vez, y obtendrá una cantidad de seis cifras. * :a está. * 4le el papel al compaCero más aleado de m5, y que este último divida por ' la cantidad obtenida. * JIu4 fácil es decir div5dalo por siete;  lo meor no se divide e3actamente. * Do se apure8 se divide sin dear resto. * Do sabe usted qu4 número es, y asegura que se divide e3actamente. * Kaga primero la división y luego -ablaremos. * Ka tenido usted la suerte de que se dividiera. * /ntregue el cociente a su vecino, sin que yo me entere de cuál es, y que 4l lo divida d ivida por 11. * =2iensa usted que va a tener otra vez suerte, y que va a dividirse> * Kaga la división. Do quedará resto. * J/n efecto; =: a-ora, qu4 más> * 2ase el resultado a otro. Famos a dividirlo por... 1#.

 

* Do -a elegido bien. Son pocos los números que se dividen e3actamente por trece... J-, la división es e3acta; JIu4 suerte tiene usted; * 4me el papel con el resultado, pero dóblelo de modo que no pueda ver el número. Sin desdoblar la -oa de papel, el prestidigitador la entregó al presidente. * -5 tiene el número que usted -ab5a pensado. =/s 4se> * J/l mismo; * contestó admirado, mirando el papel * . 2recisamente es el que yo -ab5a pensado...

2. A(i3inar un n$mer% &in pre!untar na(a 2ropone usted a alguien que piense un número cualquiera de tres cifras que no termine en cero, y le ruega que ponga las cif cifras ras en orden contrario. Ke Kec-o c-o esto, debe restar del número número mayor el menor y la difere diferencia ncia obte obtenida nida sumar sumarla la con ella misma, pero con las cifras escritas escritas en orden con contrario trario.. Sin pregu preguntar ntar nada, adiv adivina ina usted el número resultante. /ste uego debe realizarse con una sola persona y no repetirla porque el resultado que se obtenga es siempre 10(9.

#. A(i3inar un n$mer% (e tre& ci+ra& 2iense un número de tres cifras. Sin enseCármelo, duplique su primera cifra8 de las demás cifras prescinda por a-ora.  lo que -aya resultado, súmele %. o obtenido multipl5quelo por %, aCádale la segunda cifra del número que pensó y multiplique por 10 el resultado. l número reci4n obtenido súmele la tercera cifra del número pensado y d5game lo que -a obtenido. Lnmediatamente le dir4 qu4 número pensó usted. /emplo. Supongamos que pensó usted el número #('. Kaga con 4l las operaciones siguientes! uplique la primera cifra! # M " + &. Súmele %. & )% + 11. Bultiplique por %. 11 M % + %%. Cada la segunda cifra! %% ) ( + &#. Bultiplique por10. &# M 10 + �. Sume la tercera cifra! � ) ' + &#'. 6sted me dice que -a obtenido el número &#', y yo le digo el número que usted pensó. =ómo lo adivino>  l resultado de todas las operaciones operaciones -ay que restarle "%0. o que queda es el número de que pensó.

'. C%m% a(i3inar el (8a 9 el me& (e nacimient% 2ropóngale a un compaCero que escriba en una -oa de papel el d5a del mes en que nació y que -aga las operaciones siguientes! que duplique el número escrito, que multiplique por 10 lo obtenido, que le sume '# al producto, que multiplique por % la suma, y que, al total, le aCada el número de orden del mes en que nació. /l le dice a usted el resultado final de todas las operaciones y usted le dice a 4l la fec-a en que nació. /emplo. Su compaCero nació el 1' de agosto, es decir, el d5a 1' del mes (. /l -ace lo siguiente! 1' < " + #$. #$ < 10 + #$0 #$0 ) '# + $1#, $1# < % + "0&% "0&% ) ( + "0'#.

 

Su compaCero le dice a usted el número "0'# y usted le dice a 4l la fec-a en que nació. =ómo puede usted -acer esto> 2ara saber la fec-a que se busca -ay que restarle #&% al resultado final8 en este caso, las dos últimas cifras de la diferencia indicarán el número de orden del mes, y las que están delante de ellas, el del d5a. /n nuestro eemplo "0'# * #&% + 1'0(. 2or el número 1'*0( deducimos la fec-a! 1'GFLLL.

*. Cóm% a(i3inar la ci+ra taca(a 25dale a un compaCero que piense un número cualquiera de tres cifras y que -aga lo siguiente! que escriba el número pensado, que cambie como quiera el orden de sus cifras, que reste el número menor del mayor, que tac-e una de las cifras del resto @que no sea cero?, y que le diga las demás cifras en un orden cualquiera. /n respuesta, usted le dice cuál es la cifra tac-ada. /emplo. Su compaCero piensa el número (%'. espu4s -ace lo siguiente! '(%, (%'*'(%+'" espu4s de tac-ar la cifra ', 4l le dice a usted las demás cifras en el orden, por eemplo, siguiente! (, $, (. 2or estas cifras puede usted -allar la tac-ada. =Iu4 debe -acer para esto> /l que sabe cómo se deduce la condición de divisibilidad por 9, conoce que la suma de las cifras de cualquier número da, cuando se divide por 9, el mismo resto que el propio número. os números formados con las mismas cifras, pero colocadas en otro orden, deben, por esta razón, dar los mismos restos si se dividen por 9. 2or consiguiente, si de uno de estos números se resta el otro, la diferencia será divisible por 9 @porque la diferencia de los restos iguales es nula?. Sobre la base de lo e3puesto puede usted saber que su compaCero obtuvo, como resultado de la resta, un número cuyas cifras dan una suma múltiplo de 9. omo la cifras que 4l le dio a usted es " y dan la suma 9, la cifra tac-ada tiene que ser, evidentemente, ', que sumada a " da un número divisible por 9.

,.C%m% a(i3inar la &uma (e * n$mer%& (e tre& ci+ra& ante& (e e+ectuar la %peración. 5gale a su compaCero que escriba un número de tres cifras, luego 6d. en un papel escribe un número de $ cifras que se obtiene al agregar el número " a la izquierda del número escrito por su compaCero y restando " unidades a la última cifra del número escrito y doblándolo entrega a otro compaCero. uego pida que escriba otro número de tres cifras a otro compaCero debao del inicial, luego 6d. escribe debao otro número de tres cifras8 nuevamente pide a otro compaCero que escriba otro número de tres cifras debao de los anteriores y luego 6d. escribe otro número de tres cifras cifras debao. Ninalmente pide a otro compaCero qu que e efectúe la suma, ya con el resultado se compara con el número que escribió inicialmente, y sorpr4ndase porque el resultado coincide con el escrito en la -oita. /emplo! 2rimer compaCero escribe! $%&

 

6d. escribe en la -oita! "$%$ @se agrego el " delante y se resto al & el número "? Segundo compaCero escribe! "'& 6d. escribe! '"# 7ercer compaCero escribe! (1" 6d. escribe! 1(' 6n compaCero efectúa la suma! 456 276 723 812 +

187

2454

=ómo ocurrio> uando 6d. escriba un número debe ser los resultados de restar los números escritos de 999, es decir, escriba! 999*"'&+'"# 999*(1"+1('

0.;Cu)nt%& 3a&%&< /n la figura, puede ver que una botella y un vaso se equilibran con una una arra8 la propia botella se equilibra con el vaso y un plato pequeCo8 y dos arras se equilibran con tres platos iguales que el anterior. anterior. =uántos vasos -ay que poner en el platillo libre de la balanza, para equilibrar la botella>

=ARSAS MA4EM546CAS  lgunas e3presiones permiten representar verdaderas comedias comedias y farsas matemáticas, basadas en un error arto elemental, pero que por encontrarse muy oculto, muc-as veces demoramos en descubrirlo.  Feamos algunos eemplos!

1. Dem%&trar >ue 2?# emostración 2artimos escribiendo! $*10+9*1%

Sumando a ambos miembros

6 1  se 4

tiene!

 

1 1 = 9 - 15 + 6 4 4 /sta igualdad se transforma como sigue! 4 - 10 + 6

2

5 �5 �5 � 2 - 2.2. + � � = 32 - 2.3. + � 2 �2 � 2 �2 5

2

Nactorizando! 2

� 5� � 5 2 - 2 �= � 3� � � � 2

2

 l e3traer ra5z cuadrada de ambos miembros, se tiene! 5 5 2- = 32 2 Sumando a ambos miembros %G", resulta! "+# =/n donde está el error>

2. Dem%&trar >ue 2 2?* emostración. 2artimos de la identidad! 1&*#&+"%*$% 1

Sumando

20 4

 a ambos miembros! 1 1 16 - 3 36 6 + 20 = 25 - 45 + 20 4 4 7ransformando 2

9 �9 �9 � 4 - 2.4. + � � = 52 - 2.5. + � 2 �2 � 2 �2 9

2

2

2

2

� 9� � 9� 4 - �= � 5- � � � 2� � 2� /3trayendo ra5z cuadrada! 9 9 4- =52 2 ancelando! $+% ó ""+% =/n donde está el error>

#.Dem%&trar >ue 2  # emostración! bservemos la siguiente desigualdad es cierta! 1 1  4 8 7ransformando! 2

�1 � �1 � � � �2 � �2

3

omo a un número mayor corresponde tambi4n un logaritmo mayor, se tiene!

 

2

�1 � �1 log � �  log � �2 � �2

3

2or propiedad de logaritmos! �1 � �1 2 log � � 3log � �2 � �2 ancelando "# =/n donde está el error>

'.Dem%&trar >ue: c%&1"@ ?1 emostración /n la figura, se tiene que!

1. Se tiene! r  =

 x   x 2

+

y 2

". lueg luego o po porr de defi fini nici ción ón!!

  x cos180º = r 

#. omo! y+0 �    x 2

y2

$. uego! cos180º =

+

  x

=

=

 x 2

x 

=

 

x

2

+

2

y 

x 2 x   x 

%. e dond donde! e! cos1 cos1(0 (0O+ O+1 1 =/n donde está el error>

JUEGOS DE 6NGEN6O 1. 2irámide num4rica ebao de cada casilla -ay " casillas cuyos números sumados equivalen al primero

-C%mpleta la pir)mi(e/ 52 20 14 3 1

5 3

4

2

 

2.En l8nea 2, istribuir en los cuadritos, los números del 1 al 1". 7al que la suma de cada lado "&.

#.C%n palit%& (e +ó&+%r% #.1.=uántos palitos como m5nimo debo quitar para tener sólo " cuadrados>.

#.".=uántos palitos como m5nimo se debe agregar para formar cinco rombos>.

#.#. =uántos palitos se debe mover como m5nimo para que el árbol de fósforos este orientado -acia el sur.

#.$. a figura mostrada es un famoso! P7emplo griegoQ que está -ec-o con once cerillas. ambia de lugar $ cerillas de manera que obtengas % cuadrados.

$.on l5neas! $.1.=uántas l5neas serán necesarias para tac-ar todos los puntos sin levantar el lapicero>.

 

$.". =uál es el menor número de rectas que deben trazarse para dividir la figura en & regiones>.

SU=6C6ENC6A DE DA4OS. Se propone un problema y se ofrece dos dato, o dos series de datos. Para resolverlo, tienes que identificar que datos son necesarios para resolver el problema y marcar.  .uando el dato L es suficiente. suficiente. R.uando el dato LL es suficiente. .uando es necesario utilizar el dato L y LL conuntamente. .uando cada uno de los datos, por separado es suficiente.

/.uando se necesitan más datos. 1.eterminar el valor num4rico de ! b-a b + 2b a -1 b atos! L. a+$   LL. b+% ".Kalla 4ab - 7b 2 5a(7b + a) atos! L. a")b"+"ab a  2   LL. = b 3 #.-alla la suma de dos ángulos consecutivos. atos! L. a suma de los complementos de los ángulos es "0O   LL.os ángulos son suplementarios. $./n un triángulo R, de ortocentro , -alla R AOC  atos! L. R ABC   = 140º   LL. R BCA   = 20º