Juan Roederer Mecanica Elemental.pdf

.JUAN G. RQEDERER

Mecánica. elemental coMPLBmENTos PARA sU ENSEÑANZA Y ESTUDIQ _

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QB LWZI EDITORIAL UNIVERSITARIA DE BUENOS AIRES

Séptima edición: Junio de 1981

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EUDEBA S.E.M. Fundada oor la Universidad de Buenos Aires _

@.963 EDITORIAL UNIVERSITARIA DE BUENOS AIRES Sociedad de Economía Mixta

Rivadavia 1571/73 Hecho el deposito de Icy IMPRESO EN LA ARGENTINA-PRINTED IN ARGENTINA

A

Luís A. Santaló quien me enseñó 8 QHBÉIBI'

PREFACIO A LA QUIHTA EDICION

Van once años y cuatro ediciones desde la primera aparición de este fascículo. lucho ha cambiado en eg te intervalo de tiempo. El hombre ha conquistado la Luna, mas no ha logrado aún conquistar la paz.B1 ho; bre ha creado gigantescas computadoras,mas-no ha logrado aun crear las fuentes de energia 'pura' que il

periosamente necesita. El hombre ha acortado las diš tancias entre los pueblos a un mero par de horas,mes aun hay pueblos enteros que viven confinados dentro de sus propias fronteras políticas. Hoy más que nunca pesa una responsabilidad sin par sobre los fisicos. Pues son ellos quienes, a tra vés de las herramientas del pensamiento cientifico que han recibido en sus años formativos,están en con diciones de crear o des-crear el futuro de la humani dad. Y es en sus maestros,en quienes cae la response bilidad de asegurar que ese futuro sea el más humana mente correcto y el más correctamente humano. Lo que no ha cambiado en esos once años es,pues1a

necesidad de enseñar adecuadamente,a tono con las ne cesidades de la época. La aceptación que ha tenidoeg te librito en el ambiente universitario latinoamericano es prueba de que cumple satisfactoriamente con su misión original. Durante las breves visitas quetm realizado a la Argentina con posterioridad a mi radi cación en Denver en 1967, he tenido oportunidadds cg nocer docenas y docenas de jóvenes universitarios y egresados, quienes habían cursado fisica en compañía de este libro. ¡Hay pocos momentos de mayor satisfag ción personal y ¿por qué no? de orgullo,que esos ing tantes en que uno se encuentra con testimonio vivian

te de que no todo el esfuerzo habia sido en vano! De pero sinceramente que estos contactos continúen, por breves que sean, y que este fasciculo siga cumpliendo con su misión. ¡Escríbsnme! JUAN G. HOEDEREH

Department of Physics and Astronomy University of Denver Denver, Colorado, 80210,EE.UU.

INTRODUCCION

Éste no es un libro de texto.

Es un fasciculo cuya dnica pre-

tension es la de servir de complemento para quienes estudian o eg señan los fundamentos de la mecanica en el nivel universitario elemental; complemento que penmita incorporar las ideas modernas y el método didáctico nuevo que en la actualidad está siendo de sarrollado por educadores en los mas diversos centros de enseñanza. La enseñanza oe la fisica, especialmente en el nivel elementaL está en estado de revolución en todo el mundo. Después de un estancamiento de muchas décadas, la estructura de los cursos y los métodos didácticos correspondientes estan evolucionando con pasos gigantestos, para satisfacen cuanto antes,1as demandas de la revg lucion cientifica. Hasta hace poco, el enfoque de la enseñanza de la física ele mental tendia a ser dogmatico y desconectado de las necesidades reales del momento. A los físicos Jóvenes, en plena actividad de investigación, no les interesaba el dictado de esos cursos elemeg tales, prefiriendo participar en la enseñanza avanzada, o, sencillamente, no enseñar. La creciente presion del medio ambiente científico sobre cada uno de sus integrantes, para producir más en menos tiempo, la creciente exigencia al investigador, de tener ideas y concepciones aun mas claras y precisas, y la creciente ag olituo e interrelación de las disciplinas cientificas, han-revela

PREFACIO A LA SEGUNDA EDICION

Casi tres años han pasado desde la aparición de este fasciculo en la serie de Ediciones Previas de EUDEBA. En el interin, me he "mudado" a la cátedra de Fisica III (Electricidad y Magnetismo) tratando de aplicar alli la experiencia recogida en el dictado de Mecánica Elemental. En este lapso, la rg volución en la enseñanza de la fisica ha continuado propagándose por todo el mundo con vigor, y está mostrando sus primeros frutos en la generación que ahora egresa de las universidades. Hace moderna de la

poco, la bibliografia sobre

enseñanza

Mecánica se ha visto enriquecida con

un texto formidable: The Feynman Lecturas on Physics, Vol. I , por R. P. Feynman, R. B, Leighton y H. Sands ( Addison-Wesley

Publ. Co. 1963

). Espe-

ro que sea traducido al castellano a la mayor breve dad.

Deseo agradecer por esta medio a todos los que me han hecho llegar sus criticas a la primera 3

dición (|tanto constructivas como destructivasi), y solicito encarecidamente a los futuros lectores a continuar con este intercambio de opinión tan útil. Lamentablemente, por razones técnicas, no hemos podido mejorar como hubiéramos deseado esta segunda g dición. Por ello, vuelvo a recalcar enfáticamente:

¡ssrs No es UN Lleno De Tsr1'o...3(de espe, pág.9) El autor

-12-

Introducción

d) dar oportunidad al estudiante para desarrollar su inventiva y fantasia. 2.

_

El trabajo práctico debe contener en pequeño todos los elemeg tos de un trabajo de investigación real: al planteo> i la ión d da ib ximación suficientemente buena. expres 8` arr 8 es una ap@

-24-

El proceso de meditión

de los datos uriginales, puesto que ésto! figuran elevados al cu; drado. Por lo tanto, se int:-aduce la raíz cuadrada de la varianZ8¦

i

ú

5=\¡G= ,f__Í(ì°“)z

...(1.s›

que tiene las mismas dimensiones me X (por ejemplo: una log gitud, si* las 11 son longitudes), ,Y que por lo tanto se puede comparar numéricamente con X . 6 nos da una idea cabal y prg cisa de la mayor o menor fluctuación o dispersión, en forma glo bel, de los valores de xi alrededor del promedio Í t 5 se llama "dispersión o grror stand,ar_c1 de cada _qgdic1_Qg"

Obsérve-

se que 6 = O , solo si cada uno de los EL es nulo, o sea, si todos los valores de xi son iguales entre si. Tal como la varianza, 5 depende solo del proceso de medición en sí. La cantidad 'Q -= 6/Í se llama error o desviación ¿gang de cada medición; 400 6'/Í se llama error porcentual de cada medición. Obsérvese que el error relativo, que no tiene dimensip nes, es una cantidad que nos- representa la forma numérica más intuitiva posible del concepto de "error" o dispersión. Efectivameg te, cuando decimos que un error dado es del 1.0 % , tenemos con ello una información sobre la calidad de la medición, que es to talznente independiente de lo que estamos midiendo. Ello no ocu rre con el error standard absoluto: si decimos que en la medi ción de una longitud el error standard es de 10 cm , ello puede 13 presentar una medición excelente, si la longitud que se mide es de centenares de metros, pero puede significar una medición 'mala' , si el objeto medido tiene solo 20 cm. L1 error relativo, asimismo, permite una comparación de la calidad de mediciones de dife rentes magnitudes entre si. Supongamos que hemos obtenido un pranedio

mediciones

x1,...,xN

.

X

de una serie

Hagamos ahora otra serie de 'N

de

medicig

nes en las mismas condiciones que la anterior, obteniendo-los valg res x]'_,...,x.Ñ . El promedio X de esta seguiría serie no tiene por qué coincidir con el de la primers'

'>ì'¬+-ïí, Tampoco las desviaciones standard 6 y 6' serán idénticas , aunque su orden de magnitud siempre será el mismo, puesto que re t Otras denominaciones: error ctndrático medio, desviaciài fluctuación standard de cada dato, etc.

o

Errores de medición

" -

Í vg-

-_ .ø

presentan, una caracteristica del proceso de medición en si, que , ¬¿_¿ por hipótesis, es el mismo en ambas series. ._ _.. ' Hi general, los promedios tenidos a través de

ll

F , Í: ,-... , X1 ,

series de mediciones con

, Il N

, op

valores cada

una, fluctuarán alrededor de un promedio general, o 'promedio los promedios", de valor al

_ § >›' ai ` ' _ _ "'~ ""_ a

'E;_

I

lidad sus cuadrados) es minima. Esto permite, con un poco de experiencia,

x---

RV

trazar "s ojo' la recta por cuadra dos minimos, y determinar asi gráficamente los coeficientes de relación lineal. ca.

ls.

luchas veces, esto es suficiente para la practi-

Obsérvese finalmente que el método de cuadrados minimos puede aplicarse a relaciones no lineales, como por ejemplo la OSX. Rágbxa

ìåzbg

\å=__L

b+x Bastará para ello transfonmarlas en una relación lineal. En el cg so de estos ejemplos,-ello se consigue tomando de la siguiente manera:

1 2¶b†o.e§7L

2%'-3 = ax +Í%)_z

=

PP' Ph*

y tratar ahora los pares 'Je valores lgay , lg x ; lg y , x ; % , x como datos en una relacidnlineal, a los que se pueden apl_i car directamente las fónmlas

(1.11) .

-4Q..

Capitulo 2

crm-:MÁrrc:.~. DEL Puuro a

El vector posición El concepto de movimiento tiene un significado relativo:

se rg

'fiere a la modificación de la posición relativa de los cuerpos entre si. Por ello, es necesario definir un cuegpo_§g ggferencia , respecto del cual se determinan los movimiento de los demás cuer _ pos. Se lo idealiza en la fo; fjl »

_

_

f' ' ,

nn de un sistema de coordene das: una terna de ejes carte-

I' P

: I

sianos ortogonales rigidos,re§ pecto de los cuales se refie -

jp 1" ' ' ' 0? ; _

ren las coordenadas de los pug tos de un cuerpo cualquiera.

*ì¡›

Dar las coordenadas de un punto P significa ubicar el

v

Í; ,

*J

/

_ /_ _ _ _

tx

_

punto unívocamente respecto del sistema de referenciai por ejenplo dando las distancias xp , yp , zp a los planos

'

fx

coordenados.

De esta manera

la posición de un punto esta fijada por tres números dados_a1 un orden determinado. La posi ción está representada entonces por un ente mas complicado que otras magnitudes, como por ejemplo la masa _y la telrperatura,

que

necesitan un solo número para ser determinadas completamente. En fisica hay magnitudes para cuya descripción se necesita mas información que la que puede dar un simple número: entre éstas , las magnitudes vectoriales. Magnitudes que se describen exhaustivamente con un solo número se llaman gggalareg. Por ejemplo, la distancia entre dos puntos es ZA P un escalar; no asi la posición ; 3

de un punto respecto del otro, que necesita tres números para

P*

su descripción. La posición también la podg

. ¿Z? 1 C.) _'”"

|

..-

'K

1_

I' , " 1;,

no I >'

V

5

mos representar por un segmento dirigido que va del origen del sistema de coorden.-¬.das al punto en cuestión: 6? . Este segmento dirigido esta caractg rizado por la dirección de le

El vector posición

recta que pasa por

5

-41-

, por el sentido de esta recta de

0

ha -

cia P ¡ y por la distancia 5 (longitud del segnento). Un seg mento dirigido se denomina vgcgqr. En este caso, es el vector posición o "radio vector” -r' . La distancia OP 1 se llama módulo del vector y se representa por |r| o simplemente r (sin flecha) Observemos que la representación de la posición de un pinto por sus coordenadas o por su vector posición es totalmente equivalente las coordenadas son las proyecciones del radio vector sobre los ejes. Esas proyecciones se llaman _Qgp9_r_¡_eg;_g_§ del vector. Se les asigna un sigxo positivo o negativo según tengan su sentido en las coordenadas crecientes o decrecientes, respectivamente. Las desig naremos con (rx ry 1' z ) o simplemente (nz)___ . La relaciún entre el módulo del vector r y las compmentes es.

Y` =\}')(1+Iá1+-22' La relación entre las ccmponentes y la dirección y sentido del vector, determinados por los ángulos del vector con cada uno de los tres ejes (ángulos directores), es por consideraciones geomé tricas elementales:

cosa

X "

_ _

'JC \/ Z 2 4% 1. +2 2.

v A ¡nz

“°"'f3`fï"\/';1T`͆.›

M Í?

Y'

\fx.L_,_ä2+z2.

0¿

Comprobamos la relación:

cos2o(+cnszƒ3+cos7`ö =1

_

\-Í*

-en

2"

_§,

0(:;

.

'†

im

El valor del alcance máximo es

41,, = U3/3 . Obsérvese' la dependencia del alcance gulo de tiro

o(_

.

2 fm ¿_ - _-¬|.-›-

_""""'°'I“

¿R sä

111.9

0(

F

como función del ag

Según el gráfico, se puede llega: con un prg yectil a un punto -Q (O (resorte estirado), y repulsiva, si r'-K < O (reso_r_~

f

te comprimido). En el caso real, la relación (3 17a) solo vale para elongaciones AJ” pequeñas. Las interacciones elásticas son fundamentales para el estudio de la deformación de los cuerpos (teoria de la elasticidad, Cap. VI). La propiedad fundamental de la interacción elástica, de que la fuerza de interacción solo depende de la configuración del mecanig mo que provee la interacción (constante k y distancia r ), y gg de la :asa y demás propiedades de los cuerpos en interacción (como sucede en el caso gravitatorio o eléctrico), permite ”ca1ibrar"]as interacciones elásticas (un resorte, por ejemplo) en una forma uni voca (e través de la relación = ÄAY' ), y utilizarlas en medición estática de otras fuerzas de interacción desconocidas (_Då!š- 74).

la

Un resorte calibrado se' denomina "dinamómetro".

Sea ahora un cuerpo apoyado en una mesa, en reposo. El hecho de que esta en reposo,pese a estar sujeto a la interacción gravitg toria con la Tierra ...-,

significa que debe haber otra interacción que anule la primera (3.4). Esa in teracción es del tipo elástico, y

R

tiene su origen en la deformación elástica de la mesa. Eh otras pg

-

Í/I *\-

Z-3

SLU /,

P-Uh

A / \ fï/ 3 M3

labras, podemos imaginamos al

M,/>

cuerpo como apoyado sobre un "col dwón deresortes' (provisto por mg léculas de la mesa), que se com -

_ prime hasta que la fuerza elástica (repulsiva) anule la acción de la fuerza gravitatoria. Esa fugza elástica se llama ¡sección de yincuJ__Q R . Lo mismo sucede ccn un cuerpo suspendido de un hilo. En este caso, las moléculas del

Interacciones elásticas

-93-

hilo se comportan como formando resortecitos que se estiran hasta que la fuerza correspondiente (atractiva) equilibra a la fuerza de la gravedad. En general, cada vez que un sistema fisico (vinculo) limita la posibilidad de movimiento de un punto material, aparece la reac ción de vinculo que (siemre que lo resista el material) equilibra la componente normal al vinculo de las demás fuerzas.que actuan sg bre el cuerpo (siempre que esa componente normal tenga el sentido correcto como para que el vinculo pueda ejercer reacción). I Tlf

R*'fn

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R =.ƒ,,

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l¢,vsn†a\

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-~

11. No ha? r! èccìzn-

Cuando hay un vinculo, la ecuación de movimiento de un cuerpo puntual estara dada por la ecuación -›

_.)

__'

S 1- F{ = `fi1Ck -D

donde

f

'es la resultante de todas las fuerzas de interacción

'y

Í?, es la resultante de las fuerzas de vínculo, la cual siempre tig -§ ne el valor adecuado_como para que la aceleración a del cuerpo sea compatible con el vinculo en cuestión (o sea, tal que el cuerpo no lo atraviese). Obsérvese que las reacciones de vinculo no se pueden modificar independientemente, sino que dependen entera mente de las otras fuerzas aplicadas, o del movimiento del cuer-

po en si. Esto ultimo ocurre Dor›eJenplo en el caso de un tren que entre en una curva: aparece una reacción de vinculp en las vias que le imparte la fuerza centripeta necesaria Thu/V sérvese finalmente

.

Cb-

que las reacciones de vinculo siempre son per-

pendiculares al vinculo. Veamos finalmente :tro tipo de fuerzas importante. Considero mos,por ejemplo, un cuerpo apoyado sobre una superficie horizontal ' -5 _ nagosa, Estando en reposo, el peso Thfi se equilibra con la rea;

-94-

Dinamica del punto ;)

-D

ción de vinculo R . Si ahora ejercemos una pequeña fuerza f tengencial a la superficie del vinculo, observamos experimentalmeg te que el móvil continúa estando en reposo. Eso quiare decir que

R F-

-›

_

C'

š(ff

//}

//f

debehaber otra fuerza Fe más de R , “m.g y f )

f

(adg que

-es responsable de que la acelera _ ción sea nula:

///\ ///S/vé _

ía!-

3

dni

+

¡H + -r¬'1 +. ,TH:mato

_-Q`.

Por lo tanto, dado que

171% †R= O por separado, en todo momento

debe ser

__ F@

De nuevo

_, = ”'S

.

tenanos una fuerza que no puede ser modificada inde -

pendientemente, sino que en todo mcmento depende de otra fuerza e_›_; terior aplicada (la f ) . Esta flxerza tiene relación con las GF@

rugosidades en las superficies-de contacto, y se llama fuerza de fgotggiento ggtático. Todo esto vale solo hasta cierto limite máiimo del valor de|H , limite que depende del contacto altre las superficies del cuerpo y del vinculo. Se comprueba experimentalmente que a partir de ese limite, o sea, en cuanto § >{¿m , ïe salta bruscamente a _§

otro valor menor

F

, .poniéndose por lo tanto el cuerpo en movi-

miento. La fuerza da , valor al que salta la fuerza de frota miento cuando`el cuerpo se pone en movimiento, se llama fuerza de fmtegignto . Este fuerza es siempre opuesta al movimiento, o sea, al vector velocidad 7 . Mientras que -¡fe está total

mente determinada por _? (o la componente tangencial al plano, si _f. no está contenida en él) ' _;d es_,independiente de -fv . Inclu -9 _ "' so, si -f = O , actuará la fuerza F¿ , con tal'q1e esté el cue; oo en movimiento. Representando el módulo de la fuerza de frota miento en función de la fue; za exterior tangencial f , tenemos lo que'mestra la fi

F › ' F 3

A HK

`

`

`

i

¢/fhèim-"('0

X-`\.° ¿dz

' ;

g_¡r.a.

Para el valor de -Í-2;.-\ se observa experimentalmente

- si

f›-

q“°

Z¡n=})'eR

J

*Um-/4¢R04¢>`U

y la tensión es prácticamente igual a 1n3co$ok

(en Iruchos libros se cuneta el error de igualar la tensifin a priori a 'ma C,:›soL ). b) en la dirección perpendicular al hilo, o sea, sobre el arco de circunferencia

s

(contado positivo hacia la derecha de Iafigura):

dz -†nâ$~2no(-_ ma_¿ _._ mlïsl

.

~

Osea dl

ãše -âsenoz =_ãsen-ìó

la ¿H _-_ åsaa . 2

La solución de cualquiera de estas ecuaciones diferenciales da el movimiento de la masa m .

-lO2-

Dinámica del punto

Integremos la ecuación.en la forma de arriba.

Cano siempre, ha

cemos en este caso

du

ci

A 1\ ,

S

“wz-¿ 'a;O . La raiz en la expresión de U' es real para cualquier valor de Y' ,

incluso para

r'= oo

.

El movimiento no está acotado:

se escapa (corresponde a órbitas hiperbólicas).

el cuerpb

De esto deducimos

que la velocidad (3.16) representa la velocidad de escape para cualquier dirección inicial. Consideremos un satélite en órbita eliptica, y examinemos el bg lance de energia cinética y potencial a lo largo de su recorrido . Partiendo del apogeo, el punto más lejano, el UA

valor de la energia total queda fijado por la

condición inicial: E='5ímuÃ'-3""/r¿ . Ya sabemos que E< O , para que la órbita sea realmaite una elipse. En otras palabras, la v_g . locidad inicial (que en este caso es peroendicg lar al radiovector) debe cumplir UA'›1+i\_J_)7'

U W _ (/¢)¡

1 (e

me

W -Oh/C)

=

4

Í

J

, podemos qnroximar por serie de Tax .

Í

frn.,( ¡F _C,1¡c)1 Vi-1.4 _(,¿¿¡c) )

Porlotanto,

Fuerzas no conservativas

-159-

Am Q; fl ______.'m°(U:'UÍ) ...'_-.2L1*..= _

1

C1

él

çì.

_

cl

0 sea, para la variación de energia cinótica de un cuerp vale: AT; An-¡C1

Como'

C7' es un número enorme,

Am

.

...(4.2§)

es extranadammte pequfio.

La expresión (4.25) se puede escribir en la foma 1

AT

=

_

1.

U

° C

U

_'

_

no C

\/1-(1/c)

e e o(

4 0 25a )

V1-( */c)

El término

E

=

'm ° C1 q-==-14 _(U/C)

2

.;

...(4.26)

mc

es ¢w°=1ne.eee:aisr.:J.a&izi.a.†.s.t.9¿al¢~ le mee m - 1-@ ffirflula (4.26) es la clásica 'ecuación de Einstein”.

Según esta defi-

nición, una masa en reposo tiene una energia total EO

:

.

_

eoe(4I%a)

Esta energia se denomina 'energía en reposo' (rest energ).

La energia cinética relativista de un móvil se define en la forma

_ Esto

Tn C1 T= 5-50 = ___°___ - mas1- . VT-_"¬f(v/¢_›

sale de (4.25a), para

1),_=U

Y

U', = O

....E°, Esto exige, de acuerdo con la (4.24), el trabajo positi vo de fuerzas no conservativas. En este caso, este trabajo es provisto por la fuerza de retropropulsión del cohete portador. Este aumento de energia mecanica provendrá, de acuerdo con el principio general de conservación de energia, de una forma "no mecánica' de energia (la energia quimica de combustión del propulsante). Unai vez en órbita, la energia mecánica permanece constante. Si consi deramos la fuerza de rozamiento con el gas tenue que existe a esas alturas, la energía mecánica disminuirá gradualmente, debido al caracter disipativo de la interacción por frotamíento. En pa; ticular, al dar una vuelta (suponemos al satélite en órbita prac¿ ticamente circular), el radio de la órbita variará, por efecto de la acción de la fuerza disipativa f, de acuerdo a la relación (4.24) y teniendo en cuenta la (4.15)

w'=;\çw†. se = ¿(gmu;-Yf_†_1'›.~)=-.;¿»¬š.;*;sf†1±;†,esf =;*_*;*,2¿f , Esto quiere decir que el radio disminira,gradualmente:

el saté-

lite esta “cayendo” lentamente hacia la Tierra. El periodo de re volución tsmbin disminuirá; la variació relativa por cada revg lución valdrá,`teniendo en cuenta la (4.16) 2 §§,38f_

C

Í.

Y

XMn1

Esto se compruebe para todos los satélites artificiales en órbi tas circulares. Para satélites ai órbitas excéntricss (elipses),

la fuerza disipativa de rozamiento actúa con efecto aprecnable ag lo en las vecindades del perigeo. Obsérvese que en este ejemplo no se conserva el impulso angular del satélite: ello se debe a que éste transfiere impulso angular a la masa de gas que lo frena a través de la interacción de rozamienu›. ejemplo es el del ascensor que sube con velocidad constag te. En ese caso, hay una interacción conaervativa (la gravitatoria) y una interacción no conservativa (la dada por el sistema cg ble - motor), que están en equilibrio mutuo (velocidad de ascenso constante). En este caso, la energia cinética se mantiene cons tante, y el trabajo de la fuerza no conservativa se transforma en energia potencial del ascensor. La potencia que debe entregar el

fuerzas no cone ervat ivas

-161-

motor (el mecanismo de interacción no qgnaervativo) estará.dada directamente por la (4.23), en la que -f seria la tensión del cable. Cuando el ascensor vuelve a bajar, a velocidad constante, la energia potencial acumulada se disipa en forma de calor en la campana del freno correspondiente. Es sumamente instructivo discutir aquí un problema clasico, e¡ celente para fijar ideas en forma definitiva sobre dinamica por un lado, y sobre el teorema de conservación de la energia, por otro. Se trata del caso de dos individuos de masas exactamente iguales,.colgados de sendos cabos de una cuerda (de peso despre ciable, e inextensible), que pasa por una.roldana (sin peso y sin frotamiento) fija al techo. Inicialmente están en reposo (equili brio), Ahora comienzan a trepar; el de la izquierda es forzudo. y trepa mas rápido que el de la derecha. ¿Cuál de los dos llegará primero a la polea? La solución dinamica de este problema suele presentarse asii independientemente de la 'fuerza' que haga cada uno por separado, sobre cada individuo actuan como únicas fuerzas el peso (igual para los dos) y la tensión de la cuerda (tambien igual para los dos). Cuando trepan, la tensión de la cuerda es mayor que el peso; por lo tanto, ambos tendran en todo momento la misma_aceleración hacia arriba: d.= Í:ç;!å› , llegando por lo tanto simultáneamente a la polea. Esto vale incluso ai uno de ellos no ha hecho ningún esfuerzo. Si bien esto es absolutamente correcto, esta solución aturde frecuentemente, por la tendencia a mezclar las nociones intuitivas de fuerza, "esfuerzo muscular" , "cansancio muscular" y trabajo. Planteenos este problema detallg damente, desde el punto de vista de los procesos de interacción

en juego.

Estos están descriptos en la figura (pagina shguana).

*Obsérvese en la figura que, por pertenecer a un mismo proceso de interacción (3.3), los siguientes pare: de fugrza siempre se rán iguales en módulo (y opuestos en*sentido)-

¿W155 WUBCUIB-P de 1 to entre las manos de

; l

f,

y

fi

(inter

y T, (interacción de frotami@ y la cuerda) ; Í] y Tr (intepaooion

elástica en la cuerda a laåizquiera); (1 3' ii (interacción muscular_de 2 ); (Q y ÍÍL (interacción de frotamiento de 2 ); -TL

y 'F1

(interacción elástica en_la cuerda a la derecha).Por

otro ;::te, deben ser iguales 'T1' y 7';

(no hay rozamiento en

la polea, y su :asa (en realidad, su momento de inercia,_§ap.5)es despreciable). Por lo tanto, necesariamente, la fuerza fa de la interacción muscular del individuo l debe ser igual a fl , fuerza de interacción muscular de 2 . Aqui está el aparente

contrasentido:

¿acaso el esfuerzo muscular no está contxoledo

por cada individuo independientemente?

-l62-

Teors de conaervsciú:

†.T¬ï -±. -

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3.2:.. §.\ ¡_1>f/g _, _ ,

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2 /\

†

Veamos primero el siguiente caso: el hcnbre l _g¿3_1_t_g la soga en B. Esto quiere decir que anula la interacción de frotamien

to estático. Con ello se anulan, por lo dicho mas arriba, las __ fuerzas T, , T1' , T, Y T', . Si el hombre 2 persiste con su interacción muscular, esto solo podra durar un instantelmiy breve, pues con esa interacción, sus manos (de.masa muy pequeña) son aceleradas rapidanente hacia él.

En resumen, la interacción

muscular de 2 también se anula (iaunque no lo quiera éstel); los Q; hombres caerán simul taneamente. El próximo caso a tratar es el siguiente: el individuo l cop trae los brazos aumentando su esfuerzo macular (trepa). Dedo que antes la fuerza macular {1 estaba equilibrio con el peso M3, ,' ahora seca mayor, dando una reailtante distinta de cero,que

acelera el individuo hacia' arriba (3.5). de

f,

, la aceleración sera 0, =

Si

es el aumento

- Óf/m

.

Por otra

parte, como la distancia AB ha disminuido, la interacción mscu lar ¡abra realizado trabajo positivo. Por lo dicho arriba, todas losfuerzas T,

TL aumentarán si módulo en

.

Esto 'quiere

Fuerzas no conservativas

-163

decifr que el individuo 2 gg” aumentar mi intersccim niacular

precisamente en el valor dí' , para mgiggg el`frota`miento ea_ tdtioo en C (para no resbalar)._ En otras palabras, debe reaccionar al 'tirón' que siente en la mno. Pero en ese aumento de fuerza macular pg varia' la distancia CD (por ejanplo, el individuo 2 podria estar colgando con los brazos completamente extendidos); por lo tanto, la interacción muscular de 2 gg 3311@ tmggjgen ese aumento (ino hay que confundir cansancio macular con trabajo mecanico realizadol). En resumen: para no resbalar en el punto C, el individuo 2 debe aumentar, sin realización de trabajo alguno, su interacción muscular precisamente en un monto ôf ; ello implica que sobre él actúe ahora una resultante no nula, dándole una aceleración Q¡_= 5)/m - (21 1 Eh este caso, el aumento de energia mecánica del sistema (aumento de energia poteg cial de la interacción gravitatoria de l y 2, aumento de su energia cinética) es provisto por el trabajo de la interacción muscular (ïno-conservatival) de 1 . Si mora también el individuo 2 'hace fuerza' por su parte, pp ra trepar, su interacción muscular aumentará independientemente , en un monto df/ . En esta interacción se realiza trabajo, por cuanto la distancia CD disminuye. Para este aumento indepen diente df' valen las misma consideraciones que antes: es ahora el .individuo l el que, para no resbalar por efectos del 'tirüi' adicional en B, debe aumentar (sin trabajo adicional) su esfuerzo macular en df/ . Ambos tendran entonces una aceleración adicional 0§_= öf//m = Q/1 . Obsérvese que esta aceleración podria ser opuesta a la anterior, si el individuo 2 g de la soga, en luçr de ascender. En ese caso, el esta disminuyendo su interacción mu°scular, aumentando la distancia CD y. realizando un trabajo negativo (lpese a ello, se cansa iguall). Si las acelg raciones son exactamente opuestas, ambos individuos permanecen a la misma altura, el de la izquierda trepando continuamente' 'hacia arriba', el de la derecha "descendiendo". la energia mecanica tg tal es cmstante;

hay una transferencia ccntinua de energia en -

tregada por la interacción muscular no-corservativa de l a la interacción correspondiente en 2 , que recibe ese trabajo (aunque el individuo 2 no lo "sienta"fisiológicamente).

Una discusión

análoga vale para el caso en que el individuo 2 mantiene su es fuerzo muscular constante e igual al inicial, a cambio de resbalar en el punto C.

Eh ese caso, ambos quedaran a la misma altu -

ra, y la energia entregada por la interacción macular de

l

se

convierte en energia termica por efectos del frotamiento dinamico en el punto C.

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Teoremas de conservación

Ambos individuos, sin excepción, siemre se encontraran a una misma altura, cualquiera sea ésta, porque siempre tendrán la misma aceleración, cualesquiera hayan sido los "esfuerzos" individug les realizados. El esfuerzo de cada uno se puede dividir siempre en dos partes= una contribución "voluntaria" para trepar, o ae., para disminuir la distancia AB ó CD, en la que se realiza traba jo; la otra parte corresponde a una contribución "involuntaria", que debe ser ejercida para mantener el frotamiento estático en B y C respectivamente. Para esto no se realiza trabajo. Si bien ambos individuos llegarán siempre simultáneamente a la polea, independientemente de quiäihaya realizado más trabajo, el tiempo que tardarán para ello dependerá de la suma de sus esfuer-

zos Gmayor potencial).

Asimismo, es fácil ver que la soga se des

plazsrá siempre hacia el lado del individuo que realiza más traba jo (la unica forma para descubrir quién de los dos hace 'mula' al trepar, o sea, quién realiza el trabajo menor, consiste en mirar para dónde gira la polea ('mulimetro'), ya que los dos siempre ag cenderán simltáneamentel)

Por óltimo, volvamos al ejemplo dado en la pág.l4l con los dos astronautas que se encuentran en el espacio y se acercan mutuameg te tirando de una cuerda. Ánalicemos este caso desde el puntàe--de vista del balance de energia. Sera un caso de interacción de dos cuerpos con masas comparables entre si; el principio de conserva ción de la energia deberá pues plantearse para la energia cinética (y potencial) 19331 del sistema. El mecanismo de interacción

en este caso (acción muscular) es no-conservativo: cuando los dosastronautas se acercan, realizan un trabajo positivo, que in crementará correspondientemente la energia total del sistema. Cp mo no hay fuerzas conservativas un juego, el incremento de ener gía mecánica corresponderá a un aumento de energia cinética exclg sivamente. Efectivamente, habiamos visto que la velocidad de los astronautas aumenta considerablemente a medida que éstos se acercaban entre si, En otras palabras, cuando los dos "salen volan -

do' después del abrazo, como en el ejemplo discutido en la pág. 141, la ganancia neta de energia cinética habrá sido provista por el trabajo de las fuerzas musculares que los dos astronautas han debido realizar mientras se estaban acercando.

Como ejemplo de aplicación de las expresiones (4.25) y (4.25b), cslculamos el aumento de la masa«de un protdn, que ha sido acele-

rado a una energia de 25.000 lev (pág.l52) en un sincrotrón. La energia en reposo (4.26a) de un protón es de 939 lev; por lo tag

Fuerzas no conservat ivas

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to,de acuerdo con la (4.251)), su energia total será de 25.939 llev, Dividiendo la (4.26) por la (4.26a), obtenemos-un aumento relati-

vo de' masa! "`Á.¬_= E/2.'-L' 1,16 . La ener-gía máxima que se visto en los protones de la radiación cósmica ha sido de 1019 ev . ¡Con una energia asi, un protón tiene su ¡naa aumentada en 101° ve ces respecto de su masa en repoaol

J-Denominaremos colisión o choque entre dos cuerpos puntuales

s

un proceso de interacción de duración sumamente corta, y que solo

tiene lugar cuando los dos cuerpos se encuentran muy próxima antre si.

1-1 mecanismo de interacción puede ser elástico (choque

entre dos vagones de tren), electromagnético (colisión de un eleg trón con un átomo), nuclear (colisión de un neutrón cm un ndcleo), etc. Los teoremas de conservación permiten estudiar el proceso de choque en form totalmente independiente del mecanismo particular

de interacción.

Efectivamente, permiten vincular el 'estado ini-

cial' de los dos cierpos (sus variables cinemátioas antes de la interacción) con el 'estado final' (después de la interacción),en

forma independiente de los generalmente :SU complicados procesos que ocurren durante la interacción.

En otras palabras, nos pemj,

ten hacer predicciones sobre el estado final, sin necesidad de cg nocer detalles particulares del mecanismo de interacción en mes-

tión. Estudiemoe primero el caso en una sola dimensión, es decir, el de dos masas que se mueven sobre una misma recta. En ese caso , el impulso angular total es nulo respecto del sistema centro de masa (pág. 131). Para el iupulso lineal, valdrá la relación (4.1), que aqui escribiremos en la forma:

~m1( -U,-114°) = - m¡_(u,_-uf)

_

.. .(4.21a)

Respecto de la energia, analizaremos la variación de energia cin; tica AT:

-

I "-1-o

2.

4

'

1- _

2 %m'\/' + åmtvlf-_ (ìmau: * %_m1v1.)"

= im. uf-v°_ «- +1m1 f'\ vi- C N N Í-É

...(4.27`) PÚQJ

L?

3

Como suponemos a las particulas libres tanto am el estado inicial como en el estado final, la variacim de energia cinética (4.27.b) estará vinculada, de acuerdo con la (4.24), con la varia

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Teorema de conservación

ción de energia potencial en el mecanisno de interacción, y con el trabajo de eventuales fuerzas no-conservativas durante esta ig

teracción, en ].a form:

AT= v\/'-A\/

.

Por ej emplo, durante el choque, puede quedar comprimido un_r_es_or_te (A\(>O), puede disiparse energia 'térmica ( W'