Juan Miguel Martínez CC1020436442 TALLER 6.

 

Integración Numérica. TALLER 6

Desarrollado por: Juan Miguel Martínez Ortiz. C.C. 1’020.436.442 1’020.436.442

MATEMATICAS ESPECIALES

Docente: Rolando Barrera Zapata

FACULTAD DE INGENIERIAS

Departamento de Ingeniería Química Medellín

 

Octubre 5 de 2018. Ejercicio 1. 



Para la obtención de biocombusbles a parr de la esterifcación de aceite de palma, se ulizó un reactor tubular de lecho empacado con óxido de calcio y un ujo molar inicial F A0 de 0.2 mol/min. Los experimentos permieron proponer dierentes expresiones cinécas para la velocidad de desaparición del aceite, -rA, en unidades de mol/L min (Cardozo y Barrera, 2014). Para eectos didáccos suponga que –rA puede representarse a parr de la siguiente expresión simplifcada:

a) Sabiendo que k = pseudo-constante de reacción = 2.1 L/mol2 min y C A0 = concentración inicial de aceite = 0.1 mol/L, determine qué volumen debe tener el reactor para asegurar una conversión x = 60%. El volumen para ese po de reactores se puede esmar a parr de la expresión (Fogler, 2016):

b) ¿Qué conversión x se alcanza si se dispone de un reactor de 72 L? Recomendación: para el literal b, como el límite de la integral es una incógnita, puede

aplicar alguna regla de integración de Newton-Coates manteniendo la conversión x como una variable. De este modo el resultado de la regla de integración será una ecuación no lin lineal eal en una variabl variable e (x), (x), la cual cual puede puede resol resolver ver con cualquie cualquiera ra de los métodos métodos o estrategias vistos previamente en el curso. Datos: k =

  2.1  L 2

mo l min

0,1 mol



  CAo =



  FAo =



  x =60 % =0,6

 L

0,2 mol min

Reemplazando los datos en la ecuación a integral del volumen V sin incluir las unidades sino solo los valores numéricos, con el fn de simplifcar, se consigue:

 

(1 −0,5 x ) dx ( 2,1 ) ( 0,1 )3 (1 − x )

V = 0,2

Operando y simplifcando se consigue la ecuación: V=

2000

 

21

(1− 0,5 x )  x

  dx

(1− )

Ya con la unción establecida numéricamente, numéricamente, se procede a desarrollar la integral. a) por medio del método analíco

En primer lugar se calculará la integral defnida analícamente con el fn de tener el result res ultad ado o como como un val valor or de reere reerenc ncia ia.. Entonc Entonces es el valor valor analí analíco, co, usando usando medios medios computacionales, computacion ales, se ene que: V = 72,20478 L Con una conversión del 60%, el reactor debe tener 72,205 L de capacidad para ser úl a las condiciones de operación requeridas. b) Ahora se calculará la integral por métodos numéricos. Regla del Trapecio

Se uliza la regla del Método del Trapecio, con su ecuación respeva de:

Los valores de a y b son los límites inerior y superior de la integral defnida a evaluar y F(a) y F(b) son los valores de la unción evaluadas evaluadas en esos puntos. Para aplicar este arreglo numérico, se usa la ecuación origina del volumen V, es decir la ecuación: V=

2000 21

 

(1− 0,5 x )   dx  , la cual reescribiéndola reescribié ndola es: V = (1− x )

2000 21

 x

(1− 0,5 x )   dx (1− x )

Igualando la ecuación anterior a F(x) y usando Excel para proceder con los cálculos de evaluar la unción en los valores a y b, se obene lo que sigue: a

0

b

F(a)

F(b)

0,6

95,238095 2

166,666666 7

 

Ahora se procede a hallar el valor de la integral por el método numérico, y se obene que: F(x) = V = 78,57142857 L El re resu sult ltad ado o an anal alí íco co y el cons conseg egui uido do numé numéri rica came ment nte e pres presen enta tan n un una a di die ere renc ncia ia relavamente alta entre sí, con un porcentaje de error alrededor del 8%; lo cual describe que el método numérico no es idealmente preciso. Por medio de una gráfca en donde se representa la unción sin integrar evaluada evaluada en valores desde 0 a 0,6 en intervalos de 0,1 se logra ver que la curva no ene un comportamiento lineal, tal como se ve a connuación:

x

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

F( x)

95,2 ,23 380952 100,5 ,52 29101 107,1 ,14 42857 115,6 ,64 46259 126,9 ,98 84127 142,8 ,85 57143 166,6 ,66 66667

 

En donde la línea azul representa la curva de la unción y las líneas negras el área relacionada con la curva que equivaldría a la integral, de aquí se logra entender que el valor numéricamente hallado hallado sea mayor que el analíco, en vista que el área encerrada no se ajusta perectamente a la que existe bajo la curva ya que incluye más área de la adecuada pues incluye una porción más por encima de la curva de la unción. Por lo anteriormente analizado se procederá a implementar el método numérico de la regla del trapecio compuesto. Regla del Trapecio Compuest Compuesto o

Para llevar a cabo este método, se ulizarán sub-intervalos en los que se dividirá el intervalo [a,b], con lo cual se calculará el tamaño del paso o incremento h, y luego se evaluará el valor de la integral I de la unción. Las ecuaciones a usar, entonces, son:

 

 

Donde el valor de n es el número de sub-intervalos que se deseen tomar, teniéndose presente que mientras mayor sea el valor de n, más precisión reportara el valor de la integral I tras ser evaluada. Los cálculos correspondientes se hacen en Excel y se obene: Se comienza tomando n = 10 (valor arbitrario), y el método se monta, usando la unción original sin integrar y se procede en Excel como se muestra a connuación: Primero se calcula el valor de h y luego los valores de los pasos usando h y la unción original. a

n

b

0

0,6

h

10 0,06

x

F(x) 0

95 95,23 ,2380 8095 952 2

0,06

98 98,277 ,27760 6089 89

0,12

10 101,73 1,7316 1602 02

0,18

10 105,69 5,6910 1057 57

0,24

11 110,27 0,2756 5689 89

0,3

11 115,6 5,646 4625 259 9

0,36 0,3 6

122,0 122,023 238 81

0,42

12 129,72 9,7208 0854 54

0,48

13 139,19 9,1941 4139 39

0,54

15 151,13 1,1387 8716 16

0,6

16 166,6 6,666 6666 667 7

 

Ahora se calcula la integral, según la ecuación anteriormente ya defnida en donde el término de la sumatoria hace reerente a la columna de F(x) en la gráfca anterior sin incluir el primer y úlmo valor, y se obene: Integral

72,2791269

El resultado de la integral que es igual al volumen V es de V = 72,2791269 L. En análisis con el resultado analíco se consigue que el porcentaje de error es de 0,102%. En este punto se puede decir que ya el e l método ene muy buena precisión y el resultado obtenido puede ser aceptado puede ser aceptado el resultado obtenido. Sin embargo para este caso, queriendo una exactud para diseñar bien el reactor, se procede a reper el método usando un n = 25 porque a mayor valores para n mejor precisión. Se consigue que: n h

25 0,024

x

0 0,0 ,02 24 0,0 ,04 48 0,0 ,07 72 0,0 ,09 96 0,12 ,12 0,1 ,14 44 0,1 ,16 68

F(x)

95,2 ,23 380952 96,40 ,4090554 97,63 ,6390556 98,93 ,9326765 100,2 ,29 94985 101,7 ,73 31602 103,2 ,24 48776 104,8 ,85 5348  

0,1 ,19 92 0,2 ,21 16 0,24 ,24 0,2 ,26 64 0,2 ,28 88 0,31 ,312 0,3 ,33 36 0,36 ,36

106,5 ,55 53512 108,3 ,35 57629 110,2 ,27 75689 112,3 ,31 18841 114,4 ,49 99732 116,83 ,83278 119,3 ,33 34481 122,02 ,02381

0,3 ,38 84 124,9 ,92 22696  

0,4 ,40 08 0,4 ,43 32 0,4 ,45 56 0,4 ,48 8 0,5 ,50 04 0,5 ,52 28 0,5 ,55 52 0,5 ,57 76

128,05 ,056628 131,45 ,455399 135,15 ,154062 139,19 ,194139 143,62 ,625192 148,5 ,50 0686 153,91 ,911565 159,92 ,928122

0,6 166,6 ,66 66667

 

Integral

72,2163156

 

V = 72,2163156 L

Ya con este nuevo valor de la integral usando n = 25, se puede tener seguridad y confanza en que el resultado obtenido es el más preciso y en este caso correcto para la integral de estudio. El porcentaje de error es de 0,02% ya que el valor analíco y numérico es casi el mismo. b) Valor de la Conversión si el Volumen es de 72L

Para desarrollar este problema de orma cómoda, se recurrirá a Matlab con el fn de encontrar la integral de la unción de estudio la cual se iguala a 72 (valor del volumen al cual se quiere saber el valor de la conversión), posterior a esto se evaluará dicha integral entre a = 0 y b = x. Una vez obtenida el valor de la integral se igualará a cero y luego se recurre a Excel con la herramienta “buscar objevo”, para esto se iguala la unción a cero y se aplica la herramienta. A connuación se muestran los cálculos y el modo de resolución del problema. Cálculo de la integral en Matlab

V=

2000 1 0,5  x )  x ( − dx reemplaza reemplazando ndo a V = 72 (volumen (volumen deseado deseado [L]), la ecuación ecuación 21 ( 1− x )

resultante queda entonces como: 72 / (

2000 21

)  =

1−0,5  x 1− x

Entonces procediendo en Matlab para hallar la integral, se ene: >> syms x >> F = (1-0.5*x)/(1-x)   F=  (x/2 - 1)/(x - 1)  >> I = int(F)   I= x/2 - log(x - 1)/2

nota:  la u unc nció ión n lo log, g, en este este ca caso so es ln, ln, debe debe es esta tarr en va valo lorr ab abso solu luto to pa para ra ev evit itar ar

indeterminaciones indeterminac iones cuando se evalúe con a=0 y b=x, y tras hacerlo, se obene: [x/2 – (1/2)*(ln(abs(x – 1))]-[ 0/2 – (1/2)*(ln(abs(0 – 1))] = x/2 – (1/2)*(log(abs(x – 1))

Ahora despejado la ecuación e igualando a 72, se consigue que: 72 = (1000*x)/21 - (1000*ln(abs (1000*ln(abs(x (x - 1)))/21

 

Igualando a F(x) = 0 = -72+(1000*x)/21 - (1000*ln(abs(x - 1)))/21, y aplicando “buscar objevo” en Excel para resolver la ecuación y encontrar el valor de x, que es la conversión requerida, se obene:

x

 

F ( x)

0,59877271   -3,659E-06

Conclusión:

Pa Para ra un re reac acto torr de ca capa paci cida dad d 72 L, la co conv nver ersi sión ón qu que e se pu pued ede e co cons nseg egui uirr es de 0,59877271, o sea del 59,877271%. En comparación comparación con el caso en que la conversión conversión es del 60% se puede concluir que por cada aumento del volumen del tanque en 0,20478 L, se consigue aumentar aumentar en 0,122729% la conversión de los reacvos reacvos en productos.  

Ejercicio 2.

Determine la integral de F(x) entre 0 y 1.2 a parr de los datos de la tabla 1, usando cada una de las estrategias recomendadas. Compare entre ellas. Tabla 1. Datos para el ejercicio 2.

a) Ulice métodos y estrategias para aproximar los datos a uno (o varios) polinomios y  luego intégrelos analícamente.

Para realizar este numeral, se usará Excel para llevar a cabo una regresión polinómica, con el fn de establecer una unción adecuada que modele bien los datos contenidos en la tabla 1, posteriormente se usará una herramienta computacional para hallar la integral analíca entre los límites límites de a= 0 y b = 1,2. Se ene entonces que: x

F(x)

0

0

0,1

6,84

0,2

4

0,5

4,2

0,8

5,51

1,1

5,77

1,2

1

 

La unción que mejor modela los datos es una unción polinómica de grado 6, la cual es F(x) = -1383x6 + 5181,4x5 - 7380,4x4 + 4928,2x3 - 1519,3x2 + 177,92x - 3E-09; este ajuste presenta un valor de R² = 1. Se analizó un polinomio de grado 5 sin embargo se descartó debido a que su R² = 0,7902, valor que siempre es muy lejano de 1 en comparación. El valor de la integral, encontrada analícamente usando calculad calculadora, ora, es de: 5.467195 b) Ulice métodos y estrategias para aproximar los datos a uno (o varios) polinomios. Posteriormente, ulice el (o los) polinomio(s) para generar datos igualmente espaciados e spaciados que pueda integrar numéricamente usando reglas de Newton-Coates.

Se uliza la ecuación polinómica hallada en el numeral anterior y ahora se procede a hacer un análisis sobre cual método de Newton-Coates sería el más adecuado a usar. Como se puede ver en la gráfca anterior de la curva que modela el comportamiento de la unción, se ve que ésta es imposible de expresarse por medio de una línea recta sino por el polinomio de grado 6 ya encontrado, por lo cual se usará la regla del trapecio compuesto. Para generar mayor precisión, se hará el regla con un número de trapecios n = 35, esto es porque la curva de la unción presenta muchos picos por lo que lo más úl es usar un gran número de trapecios para obtener un resultado mucho más cercano al analíco; mientras que los valores para a = 0 y b = 1,2. Tras calcular h como (b-a)/n y los valores necesarios del paso para montar la integral, se ene que: a b n h

0 1,2 35 0,0343

El va valo lorr de la integral

In Inte tegr gra al

es:

-0,000000003

0,411 0,41142 4285 857 7 2,144 2,14404 0406 0676 76 0,445 0,44571 7142 429 9 2,872 2,87273 7327 2757 57

0,85714 0,857 1428 286 6 4,7 4,792 9282 8213 1355 55 0,891 0,8 9142 4285 857 7 4,5 4,501 0160 6088 8829 29

4,502 4,50282 8287 8711 11 6,489 6,48993 9329 2956 56 6,821 6,82151 5120 2009 09 6,168 6,16841 4134 3469 69 5,037 5,03754 5469 6998 98 3,795 3,79568 6806 0607 07 2,691619477 1,876 1,87676 7673 7319 19 1,424 1,42407 0702 0277 77 1,345 1,34534 3433 3359 59 1,60 1,6069 6979 7942 42

0,48 0,514 0,51428 2857 571 1 0,548 0,54857 5714 143 3 0,582 0,58285 8571 714 4 0,617 0,61714 1428 286 6 0,6 0,65142857 0,685 0,68571 7142 429 9 0,72 0,754 0,75428 2857 571 1 0,788 0,78857 5714 143 3 0,822 0,82285 8571 714 4

0,925 0,9 2571 7142 429 9 0,96 0,994 0,9 9428 2857 571 1 1,028 1,0 2857 5714 143 3 1,062 1,0 6285 8571 714 4 1,097 1,0 9714 1428 286 6 1,131 1,1 3142 4285 857 7 1,165 1,1 6571 7142 429 9 1,2

x

F(x)

0 0,034 0,03428 2857 571 1 0,068 0,06857 5714 143 3 0,102 0,10285 8571 714 4 0,137 0,13714 1428 286 6 0,171 0,17142 4285 857 7 0,205 0,20571 7142 429 9 0,24 0,274 0,27428 2857 571 1 0,308 0,30857 5714 143 3 0,342 0,34285 8571 714 4 0,37 ,3771 7142 4286 86

5,43 ,438185517

3,701261301 4,539 4,53907 0710 1085 85 5,304 5,30446 4676 7697 97 5,930 5,93062 6217 1744 44 6,369 6,36995 9556 5602 02 6,5 ,59 969127 6,609 6,60910 1093 9346 46 6,426869093 6,091 6,09113 1396 9643 43 5,659 5,65979 7922 2282 82 5,202 5,20230 3038 3871 71

 y el porcentaje de error es de 0,53%.

4,3 4,384 8487 8771 7128 28 4,472995968 4,7 4,757 5708 0886 8617 17 5,1 5,174 7400 0091 911 1 5,5 5,589 8970 7019 1998 98 5,7 5,780 8094 9446 464 4 5,4 5,415 1547 4720 2034 34 4,0 4,030 3048 4841 4182 82 1,009535997

 

En este punto se analiza si este resultado es aceptable, como no se ha establecido un valor de tolerancia, entonces se espula arbitrariamente un de tol = 1x10^-2. Para lograr esto, se repió el proceso anterior con un valor de candad de trapecios de n = 100, y se obtuvo:

a x

0

 

b

1, 2

 

n

100

 

h

0,012

F(x) 0 -0,0000000 -0,000000003 03

0,252 2,3683121 2,368312188 88

0,504 4,291 4,291854 854955 955

0,768 5,9263 5,9263770 77074 74

0,012 1,924624 1,924624972 972

0,264 2,0851859 2,085185957 57

0,516 4,579 4,579685 685095 095

0,78 5,7729 5,7729326 32635 35

0,024 3,460682 3,460682987 987

0,276 1,8452127 1,845212768 68

0,528 4,858 4,858049 049435 435

0,036 4,653951 4,653951347 347 0,048 5,546837 5,546837384 384 0,06 6,178 6,178525 525744 744 0,072 6,585122 6,585122695 695 0,0 0,084 84

6,79 6,7997 9797 9746 46

0,096 6,852920 6,852920584 584

0,3 1,50 1,5017 17549 54997 97

0,552 5,374 5,374296 296623 623

0,816 5,2923 5,2923368 36845 45

1,3 1,399 9961 6164 641 1

0,564 5,606 5,606799 799485 485

0,828 5,1360 5,1360144 14459 59

0,324 1,3434895 1,343489566 66

0,576 5,819 5,819118 118406 406

0,3 0,312 12

0,336 1,3322486 1,332248613 13 0,348 1,3641877 1,364187794 94 0,36 1,4370 1,4370943 94395 95 0,372 1,5483187 1,548318724 24

0,132 6,307527 6,307527715 715

0,384 1,6948411 1,694841111 11

0,156 5,579132 5,579132321 321 0,168 5,160685 5,160685346 346

5,4527 5,452741 4145 45

1,6 1,650 5037 3753 535 5

0,2 0,288 88

0,108 6,772199 6,772199321 321 0,1 0,12 2 6,5828 6,582810 1005 05 0,144 5,966852 5,966852301 301

0,792 5,6140 5,6140073 07385 85 0,804 0,804

0,54 5,123 5,123862 862986 986

0,396 1,8733359 1,873335937 37 0,408 2,0802326 2,080232693 93 0,4 0,42 2

2,3 2,311 1177 7740 406 6

0,84 4,9869 4,9869680 68079 79

6,009 6,00931 3143 437 7

0,852 4,8483 4,8483154 15427 27

0,6 6,175775 6,175775997 997

0,864 4,7230 4,7230462 46232 32

0,612 6,317 6,317230 230047 047

0,876 4,6139 4,6139673 67326 26

0,624 6,432 6,432748 748963 963

0,888 0,888

0,588 0,588

4,5236 4,523644 4477 77

1,068 1,06 8

5,63948 5,63948366 3669 9

0,912 4,4079 4,4079609 60997 97

1,08

5,73134 5,73134651 6513 3

6,619 6,61967 6795 951 1

0,924 4,3859 4,3859655 65515 15

1,092 1,09 2

5,77826 5,77826195 1952 2

0,672 6,629 6,629193 193149 149

0,936 4,3893 4,3893212 21279 79

1,104 1,10 4

5,76517 5,76517559 5592 2

0,948 4,4184 4,4184182 18264 64

1,116 1,11 6

5,67512 5,67512767 7675 5

1,128 1,12 8

5,48913 5,48913573 5734 4

0,66

0,684 6,613 6,613374 374688 688

0,96 4,4729 4,4729959 95968 68

0,192 4,287428 4,287428289 289

0,444 2,8331549 2,833154989 89

0,708 6,510 6,510609 609741 741

0,972 4,5520 4,5520647 64724 24

0,72 6,426 6,426869 869093 093

0,984 4,6538 4,6538240 24039 39

0,468 3,4057038 3,405703821 21

0,732 6,324 6,324172 172548 548

0,996 4,7755 4,7755779 77954 54

3,0 3,051 5105 0558 58

0,48 3,7012 3,7012613 61301 01

0,744 6,204 6,204809 809704 704

1,008 4,9136 4,9136474 47435 35

0,24 2,691 2,691619 619477 477

0,492 3,9978744 3,997874487 87

0,756 6,071 6,071302 302502 502

1,02 5,0632 5,0632797 79791 91

0,2 0,228 28

5,37228 5,37228975 9758 8 5,51593 5,51593681 6817 7

0,648 6,584 6,584023 023954 954

0,696 6,573 6,573362 362401 401

0,216 3,441395 3,441395331 331

1,044 1,044 1,056 1,05 6

0,9 4,4543429 4,454342997 97

0,432 2,5640710 2,564071019 19 0,456 3,1150269 3,115026987 87

5,21855 5,21855511 5116 6

0,636 6,521 6,521755 755426 426

0,18 4,725 4,725915 915551 551 0,204 3,856141 3,856141699 699

1,032 1,03 2

1,14

5,18607 5,18607427 4277 7

1,152 1,15 2

4,74255 4,74255149 1498 8

1,164 1,16 4

4,13278 4,13278301 3011 1

1,176 1,17 6

3,32846 3,32846261 2616 6

1,188 1,18 8

2,29863 2,29863008 0089 9

1,2

1,00953 1,00953599 5997 7

El valor de la integral integral reportada reportada con n=100 es de 5,463630259 y el porcentaje de error es 0,065% respecto respecto al valo valorr analíco. analíco. Con estos datos se cumple cumple la toleranci tolerancia a arbitraria arbitrariamente mente establecida y se consigue una precisión mayor que la evaluación de la regla con n = 35, por lo cual se concluye que la regla del trapecio compuesto con esta unción reporta un valor adecuado para la integral con número de trapecios de 100, en comparación con el valor del resultado analíco.

c) Ulice métodos y estrategias para ajustar los datos a alguna función (diferente a line lineal al o di difer feren ente te a poli polino nomi mio) o) e inté intégr grel ela a usan usando do algu alguna na té técn cnic ica a o métod método o de integración vistas en esta unidad.

Para este caso, en que se pide ajustar los datos a una unción dierente a un polinomio o una línea recta, se deduce que las opciones posibles son exponenciales, logarítmicas o potenciales. Cabe resaltar resaltar que estos tres posibles ajustes no responden cuando el valor de

   

x = 0 (especialmente la unción logarítmica), por lo que se aproximará x a 0,001 en donde se requiera, con el fn de mantener la naturaleza de los datos y obtener el ajuste pedido. Según Excel, tras evaluar que ajuste de los pedidos es el mejor en base al valor del número R2, se encuentra que para el ajuste exponencial R2 = 0,1823, logarítmica ene R2 = 0,3102 y potencial muestra un R2 = 0,863. Por lo anterior se elige el ajuste potencial de los datos ya que su R2 es el más cercano a 1 de los tres ajustes, sin embargo cabe resaltar que el ajuste polinómico es el mejor de todos. Este arreglo de datos e inormación se muestra a connuación por medio de una tabla y una gráfca:

x 0,0001

F(x) 0,0001

0,1

6,84

0 0,,2 5 0,8 1,1 1,2

4 4,2 5,51 5,77 1

 

Ahora para evaluar la integral de la unción potencial, buscando comodidad, precisión y agilidad en el método, se procederá a aplicar la Regla del Trapecio Complejo usando Excel con un numero de trapecios n=35. El arreglo numérico se puede ver tal como se sigue: F(x) = 8,015x^1,132 a

0

b n h

1,2 35 0,03428571

0,4114285 0,4114 2857 7 2,9328161 2,93281617 7

0,857 0,85714 1428 286 6 6,731 6,73162 6226 262 2

0 0 0,03428571 0,0342 8571 0,17605 0,17605634 634

0,4457142 0,4457 1429 9 3,2109648 3,21096481 1 0,48 3,49 3,49195 19547 475 5

0,06857143 0,0685 7143 0,38584 0,38584922 922

0,5142857 0,5142 8571 1 3,7756086 3,77560868 8

0,10285714 0,1028 5714 0,61059 0,61059456 456

0,5485714 0,5485 7143 3 4,0617715 4,06177153 3

0,891 0,89142 4285 857 7 0,925 0,92571 7142 429 9 0,9 ,96 6 0,994 0,99428 2857 571 1 1,028 1,02857 5714 143 3 1,062 1,06285 8571 714 4 1,097 1,09714 1428 286 6 1,131 1,13142 4285 857 7 1,165 1,16571 7142 429 9 1,2

x

F(x)

0,5828571 4,35030644 4 0,13714286 0,1371 4286 In0,84563 0,84563623 tegral 623 50,5828 ,54585714 99643 4,3503064 0,6171428 4286 6 4,6410916 4,64109167 7 0,17142857 0,1714 2857 1,08864 1,08864358 358 0,6171

El valor de la integral conseguido porr esta po esta re regl gla a de integración y por un ajuste potencial de 1, es de

0,20571429 0,2057 1429 1,33819 1,33819341 341

0,65142 0,65 14285 857 7

4,9340 4,934018 182 2

1,59 ,5933 3318 187 7

0,6857142 0,6857 1429 9 5,2289877 5,22898777 7

0,27428571 0,2742 8571 1,85331 1,85331626 626

0,72 5,52 5,52591 59113 134 4

0,30857143 0,3085 7143 2,11765 2,11765004 004

0,7542857 0,7542 8571 1 5,8247078 5,82470783 3

0,34285714 0,3428 5714 2,38589 2,38589689 689

0,7885714 0,7885 7143 3 6,1253030 6,12530306 6

0,37714286 0,3771 4286 2,65771 2,65771367 367

0,8228571 0,8228 5714 4 6,4276289 6,42762893 3

0,24 0,2 4

7,037 7,03722 2260 604 4 F(a) 7,344 7,34438 3852 529 9 7,6 ,653 530 05021 5021 7,963 7,96317 1739 399 9 8,274 8,27471 7128 284 4 8,587 8,58762 6257 573 3 8,901 8,90187 8740 407 7 9,217 9,21742 4215 157 7 9,534 9,53423 2339 397 7 9,8 ,85 522789

los datos de la tabla 5,54589963. Frente

al va valo lorr an anal alí íco co Con (5,4 (5,467 6719 195) 5) sese calc ca lcul ula a concluir el porc porcen enta taje jeajuste de erro er rorr el cual cu al esser1,4% 1,una 4% aproximadamente. aproximada mente. este valor puede que el potencial puede

F(b) 0 9,85227889 9,852278895 5

 

muy buena aproximación al valor real de la integral de la unción de estudio, en base al valor del %error el cual es relavamente bajo. Esto previamente se pudo esmar gracias al valor del R 2 el cual es cercano a 1 por lo que se puede decir que con un R 2=0,863 se puede confrmar que se ene un buen ajuste aproximado para realizar el cálculo de la integral de estudio por medio de este arreglo potencial. Sin embargo embargo el ajuste ajuste polinó polinómic mico o si sigue gue si siend endo o el que mejor mejor preci precisió sión n da sobre sobre la reproducibilidad reproducibil idad de los datos de estudio de la tabla 1. d) Aplique trapecios individuales entre cada par de datos de la tabla 1 y sume las áreas (no debe aplicar trapecio compuesto ya que los datos no están igualmente espaciados).

Para resolver este numeral, tal como se dice en el enunciado, se procederá a calcular trapecios individuales entre cada par de valores para x, usando la ecuación y los datos de la tabla siguiente: a 0

b 0,1

F(a) 0

F(b) 6,84

0,1 0,2 0,5 0,8 1,1

0,2 0,5 0,8 1,1 1,2

6,84 4 4,2 5,51 5,77

4 4,2 5,51 5,77 1

 

Gráfcamente se puede ver los trapecios a calcular y la candad que hay que sumar 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

 

Usando Usan do Excel Excel para calcular calcular los trapecios trapecios numérica numéricament mente e a través través de la órmula que acompaña la tabla de datos en este numeral y haciendo su sumatoria, se obene: Trape ci o 1 Trape ci o 2 Trape ci o 3 Trape ci o 4 Trape ci o 5 Trape ci o 6

0,342 0,542 1,23 1,4565 1,692 0,3385

Suma de los 6 trapecios 5,601

Por defnición del cálculo, la integral de una unción es el área contenida bajo la curva, el número de la integral, por este método, es de 5,601. En comparación con el valor de la integral conseguido analícamente (5.467195) se concluye que este método de trapecios individuales no demuestra gran precisión ni exactud y posee un valor de porcentaje de error de 2,4% aproximadamente respecto al valor analíco. Es decir, este método no se ajusta felmente al área exacta contenida bajo la curva, sino que incluye más de la debida. e) Aplique sobre los datos de la tabla 1 reglas de integración ulizando agrupación de los datos que se encuentran igualmente espaciados (por ejemplo, entre x = 0 y x = 0.2 se enen 3 datos igualmente espaciados, así que puede usarse Simpson 1/3, entre x = 0.2 y   x = 1.1 se enen 4 datos igualmente espaciados; así que puede usarse Simpson 3/8 y  entre los datos x = 1.1 y x = 1.2 se puede usar un trapecio.

Para resolver este punto se recurren a las ecuaciones necesarias de:  

Regla se Simpson Si mpson 1/3 (A)

, de donde  

 x 1=

a +b

b− a

h= 2  y 2

Regla de Simpson Si mpson 3/8 (B)

, de donde los F(x 1) se calculan análogamente como en la regla del trapecio compuesto y h se calcula igual que en regla Simpson 1/3.  

Regla del Trapecio (C)

Se procede a recrear gráfcamente la unción y en que regiones se aplicaran cada método aplicando su convención de A, B y C.

 

La metodología a implementar con el fn de calcular la integral por medio de estas reglas, es primero calcular por separado cada regla en los intervalos defnidos y con los cálculos adecuados para cada una de ellas, ayudándose por medio de Excel. Luego se sumarán los resultados obtenidos individualmente. individualmente. Entonces se ene: Para el intervalo A, con Regla de Simpson 1/3 0 0,2 0,1 0,1

a b x1 h

F( a)

F(b)

0

4

Integrall e n el intervalo Integra

F(x1) 6,84

1,045333333

Para el intervalo B, con Regla de Simpson 3/8 0,2 1,1 3 0,3

a b n h

F(a)

F(b)

4 x

5,77 F( x)

0,2

4

0,5 0,8 1,1

4,2 5,51 5,77

Integral en el intervalo

4,37625

Para el intervalo C, con Regla del Trapecio a

 

1,1

b

 

1,2

 

F(a)

F( b ) 5,77

Integral en el intervalo

1 0,3385

Ahora, para hallar el valor total de la integral, se suman los valores de las integrales calculadoss en los intervalos A, B y C, y se obene que: calculado

 

Valor de la Integral Inte gral

5,76008333

Analizando este resultado numérico con el analíco se puede encontrar que los valores diferen con un porcentaje de error de 5% aproximadamente, lo cual manifesta que la aplicación aplicació n de los métodos simultáneamente pueden acilitar los cálculos ya que condensa varios valores para x de una vez en cada regla, pero el valor obtenido fnal de la sumatoria no es tan preciso respecto al valor exacto o analíco conseguido por calculadora. Conclusión.

Los métodos numéricos de Newton-Coates, aplicados para calcular valores de integrales, no reportan valores exactos sino aproximados aproximados al valor analíco de una integral de estudio, sin embargo estos métodos aportan inormación úl que permite esmar el valor de la integral problema en casos en que no se tenga a la mano una calculadora o herramientas computacionales computacion ales que se puedan usar para conseguir el valor de la integral de la unción de estudio, así como también que estas reglas pueden aplicarse en intervalos defnidos, no siendo éstos, necesariamente, los límites inerior y superior en los que se quieren evaluar co comp mple leta tame ment nte e la unc unció ión n de estu estudi dio, o, si sino no qu que e la lass regl reglas as pu pued eden en ap apli lica cars rse e en subinter subi ntervalo valoss objevam objevamente ente defnidos y seleccio seleccionad nados os para los valores valores de x  según la naturaleza de la regla a usar, la uente uente y candad de los datos con los que se cuentan y en base a si éstos están o no igualmente espaciados, espaciados, etc.  

Ejercicio 3.

El perímetro de una elipse se puede aproximar mediante la integral elípca completa de segunda especie a parr de la ecuación:

Fórmula 1

Donde a representa la longitud del semieje mayor y  la excentricidad. Determine el perímetro de una elipse que presenta a = 1.0 (unidades arbitrarias) arbitrarias) y = 0.017

( a −b ) c La excentricidad ε  de una elipse puede reescribirse como: ε = √    = a a 2

2

Esta es una integral especial, cuya solución esta reportada en la literatura matemáca matemáca que puede comprobarse usando una herramienta computacional para encontrar la solución de la integral en los límites defnidos y teniendo a a y ε  como valores constantes; la cual es: L = 4aE(θ  ∣ε ^2)

 

Para fnes práccos, también se tendrá de reerencia una solución aproximada para calcular la longitud longitud de la elipse en unción de sus semiejes mayores y menores a y b; y ésta é sta es:  

Fórmula 2

Con la intención de trabajar y evaluar esta integral elípca completa de segunda especie por los métodos de integración hasta ahora vistos, comparando los resultados obtenidos numéricamente con los analícos, se procederá, entonces, a calcular con los datos dados de la eli elips pse, e, en primer primera a in insta stanci ncia, a, el valor valor analí analíc co o de la in integ tegral ral conseg conseguid uido o con calculadora usando la órmula 1; luego se calculará la aproximación de la órmula 2 y se hará un análisis de estos datos. Finalmente se evaluará, con una regla numérica de integración hasta ahora vista, la integr int egral al de la órmul órmula a 1, cuyo cuyo result resultado ado se compa comparar rará á con la respue respuesta sta analí analíca ca ya calculada y se hará un análisis de estos resultados.

Usando los datos dados de la elipse con unidades arbitrarias, se puede establecer que el valor val or del del semieje semieje mayor mayor a = 1 cm y de la ε = 0,017 (adimensional); se halla la integral exacta o analíca por calculadora por la órmula 1, y se consigue:  L=6.282731322 cm  Ecuación 1 Calculando L por medio de la órmula 2, primero se despeja de ε  el valor de b, pues ya se conoce el de a, y se obene que b = 0,9998554896 cm Ahora reemplazando y calculando en la órmula 2, se consigue un valor aproximado de:  L ≈ 6.282731323 cm  Ecuación 2  Análisis de Resultados: Resultados:

Por medio de las ormulas 1 y 2 se encuentra que el porcentaje de error es técnicamente del 0%, por lo que la órmula 2 exhibe una excelente aproximación al valor analíco. Procediendo ahora con reglas de integración numérica

Sin hacer un análisis muy proundo sobre la unción de la órmula 1, se concluye que ésta es una unción no lineal, por lo que su grafca propenderá a crear una curva que no se modelaría bien con una regresión lineal (con una línea recta), en la cual, para calcular su integral con mucha precisión, se deberá usar varios trapecios. Esto quiere decir, y con intención de acilitar cálculos, que si se uliza el método del trapecio compuesto con un valor de numero de trapecios relavamente relavamente altos, es decir, con un n alto, puede llegarse a conseguir un valor adecuado para la integral de la órmula 1 con los datos de la elipse de estudio.

 

Montando en Excel el método de la regla del trapecio compuesto, espulando para empezar, un n = 10 (relavamente bajo, según el resultado este valor se variará) y una tolerancia de 10^-5 (valor de tolerancia elegido arbitrariamente con el fn de poder lidiar con la candad de decimales no periódicos que puede contener la respuesta sin perder inormación numérica), numérica), en comparación con el valor analíco (ecuación (ecuación 1), se ene que:

  a b n h

F(a)

El

Ra Radia dianes nes

0 1,57079633 = PI/2 10 0,15707963

F( b ) 4 3,9 ,99 9942196

valor

de

la

integral

0

F(rad F(radian ianes) es) 4

0,157079 0,157 07963 63

3,999 3,999985 98586 86

0,314159 0,314 15927 27

3,999 3,999944 94481 81

0,471238 0,471 2389 9

3,999880 3,99988087 87

0,6283 0,62 8318 1853 53

3,99 3,9998 9800 003 3

0,785398 0,785 39816 16

3,999 3,999710 71099 99

0,942477 0,942 4778 8

3,999621 3,99962168 68

1,0995 1,09 9557 5743 43

3,99 3,9995 9541 411 1

1,256637 1,256 63706 06

3,999 3,999477 47716 16

1,4137 1,41 3716 1669 69

3,99 3,9994 9436 361 1

1,570796 1,570 79633 33

3,999 3,999421 42196 96

Integral

conseguido

6,28273132

numéricamente

es de 6,282731322 cm, en comparación con la ecuación 1 (valor analíco), el porcentaje de error es de 0% y con la tolerancia defnida, se puede concluir que el valor de la integral conseguido por el método de la regla del trapecio compuesto es exacto y aceptable y por ende no hay que reper cálculos con valores para n mayores al espulado. Con solo 10 trapecios se logró conseguir una precisión ideal y un resultado completamente fel al que debía ser el esperado. Esta inmediatez en la consecución del valor exacto de esta integral (órmula 1) por medio de una regla numérica puede deberse a la naturaleza del comportamiento de la unción, es decir, la integral a estudiar es de comportamiento de unción seno, que la ser integrada adopta comportamiento de unción coseno. Este po de unciones son periódicas y por ende son completamente predecibles en cualquier amplio rango de x(radianes) de una orma muy analíca por medio del cálculo, por este movo pueda deberse que, usando pocos trapecios (valor de n relavamente bajo) se consiga un resultado con una precisión y exactud del 100%, esto se puede concluir, usando de paralelo, el comportamiento y número de cálculos que se tuvieron que desarrollar en los numerales del ejercicio 2 para llegar a resultados aceptables, aceptables, por ejemplo; ya que como la curva de la unción de estudio exhibía un comportamiento no periódico ni lineal, el número de trapecios n debía ser alto para ajustar mejor el modelo y encontrar un valor de la integral más preciso respecto al resultado analíco. Referencias:

Procedimientos

Numéricos.

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Wolram

Integral

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Calculadora

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